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  • PARMETROS ESTADSTICOS

    Puesto que las representaciones grficas no siempre consiguen ofrecer una informacin completa de una serie de datos, es necesario analizar procedimientos numricos que permitan resumir toda la informacin del fenmeno en estudio en unos nmeros llamados parmetros estadsticos. Los parmetros estadsticos se pueden clasificar en:

    a) Medidas de centralizacin.- Que representan a toda la distribucin. Buscan caractersticas del centro de la distribucin. Los ms importantes son la media aritmtica, la mediana y la moda.

    b) Medidas de posicin.- Indican, una vez ordenados los datos, cuantos elementos quedan a la izquierda o derecha de uno dado: cuartiles, deciles, centiles o percentiles.

    c) Medidas de dispersin.- Que indican si los valores estn agrupados o dispersos. Los ms importantes son rango o recorrido, desviacin media, la varianza y la desviacin tpica.

    MEDIDAS DE CENTRALIZACIN

    MEDIA:

    N

    x

    Nx..........xxx

    x 1i

    N321

    ==++++

    =

    N

    i

    Cuando los datos vienen dados por una tabla de frecuencias:

    N

    fx

    Nfx..........fxfxfx

    x 1ii

    NN332211

    ==++++

    =

    N

    i

    Cuando los datos estn agrupados en intervalos, el valor central de cada intervalo (marca de clase), es el que se asigna a todos los individuos que estn en dicho intervalo.

    Ejemplo 1:Se ha preguntado a un grupo de 70 alumnos sobre el nmero de zapatos que calzan, obteniendo los resultados de la siguiente tabla:

    9

  • N. de calzado N. de alumnos35 436 1537 1738 2040 1042 4

    En este caso, la media aritmtica sera:

    67.3770

    263770

    42.440.1038.2037.1736.1535.4x ==+++++=

    Ejemplo 2 El consumo de carburantes, en litros, de una flota de camiones a lo largo de un da est tabulado en la siguiente tabla de frecuencias:

    Consumo Camiones(0,10] 8(10,20] 12(20,30] 10(30,40] 14(40,50] 21(50,60] 16(60,70] 9

    Como la variable est agrupada en intervalos, tomamos la marca de clase. La media sera:

    44.3790

    337090

    65.955.1645.2135.1425.1015.205.8x ==++++++=

    MODA

    Es el valor de la distribucin que se repite con mayor frecuencia. Puede no existir o puede no ser nica. Las distribuciones que contienen una sola moda se llaman unimodales y las que contienen dos, bimodales. En general, cuando contiene varias modas se denomina multimodal.

    En una representacin grfica, la moda ser el rectngulo ms alto, en el caso del histograma, y el pico ms alto, en el caso del polgono.Ejemplo:

    En la distribucin de cifras: 2, 3, 3, 3, 5, 5.................la moda es 3En la distribucin de cifras: 2, 2, 4, 5, 5, 6................ las modas son 2 y 5.

    En el caso de los datos agrupados en intervalos, la moda es aproximadamente el punto medio de la clase que contiene la mayor frecuencia de casos (a la que se le llamara clase modal)Ejemplo:

    De 1 a 3..............6De 4 a 6..............15De 7 a 8..............10De 9 a 11............6

    10

  • En este ejemplo, la clase modal es 4-6 y la moda valdr 5.Pero si queremos calcular ms exactamente la moda (y no de forma aproximada),se

    busca el intervalo de mayor frecuencia (intervalo o clase modal) y se aplica la

    frmula:

    Mo=Li-1+C. )ff()f(fff

    1ii1-ii

    1-i

    ++i

    Donde:Li-1 es el lmite inferior del intervalo modalC es la amplitud del intervalofi es la frecuencia del intervalo modalfi-1 es la frecuencia del intervalo anterior al modalfi+1 es la frecuencia del intervalo posterior al modal

    En el ejemplo puesto, sera el intervalo (4,6], y aplicando la frmula:

    Mo=4+3. )1015()615(615

    +

    =5.93

    Otro ejemplo:El consumo de carburantes, en litros, de una flota de camiones a lo largo de un da est tabulado en la siguiente tabla de frecuencias:

    Consumo Camiones(0,10] 8(10,20] 12(20,30] 10(30,40] 14(40,50] 21(50,60] 16(60,70] 9

    Solucin:El intervalo modal sera el (40,50]

    Mo=40+ )1621()1421(1421

    +

    = 45.83

    MEDIANASi los individuos de una poblacin estn colocados en orden creciente segn la variable que estudiamos, el que ocupa el valor central se llama individuo mediano, y su valor la mediana.La mediana Me, est situada de modo que antes de ella est el 50% de la poblacin y, detrs, el otro 50%.Por ejemplo, en la distribucin:

    6,7,7,7,8,9,10,12,15Me=8

    Si el nmero de individuos fuera par, la mediana sera el valor medio de los dos centrales.Por ejemplo, en la distribucin:

    11

  • 6,7,7,7,8,9,10,12,15,16Me=8.5

    Si los datos estn agrupados en intervalos, suponemos que los datos de cada intervalo se reparten uniformemente en l, hemos de buscar el intervalo central (en el que se encuentre el o los valores centrales) y aplicar la frmula:

    Me= Li-1+ C.i

    1

    f

    F2N

    i

    Donde Li-1 es el lmite inferior del intervaloN es el nmero total de casos o datosFi-1 es la frecuencia acumulada del intervalo anteriorfi es la frecuencia absoluta del intervaloC es la amplitud del intervalo

    Ejemplo:El consumo de carburantes, en litros, de una flota de camiones a lo largo de un da est tabulado en la siguiente tabla de frecuencias:

    Consumo Camiones(0,10] 8(10,20] 12(20,30] 10(30,40] 14(40,50] 21(50,60] 16(60,70] 9

    Calcular la mediana.Solucin:Hemos de buscar el intervalo en el que estn los elementos centrales. Como hay 90 elementos, el intervalo es (40,50]. Aplicamos la frmula:

    Me=40+10.21

    442

    90 =40.48

    MEDIDAS DE POSICIN

    CENTILES O PERCENTILES Mediana:

    Si los individuos de una poblacin estn colocados en orden creciente segn la variable que estudiamos, el que ocupa e valor central se llama individuo mediano, y su valor la mediana.

    La mediana, Me , est situada de modo que antes de ella est el 50% de la poblacin y, detrs, el otro 50%. Por ejemplo, en la distribucin:

    6,7,7,7,8,9,10,12,15Me=8

    Si el nmero de individuos fuera par, la mediana sera el valor medio de los dos centrales.Por ejemplo, en la distribucin:

    12

  • 6,7,7,7,8,9,10,12,15,16Me=8.5

    Cuartiles:Si en vez de partir la totalidad de los individuos en dos mitades, lo hacemos en cuatro partes iguales (todas ellas con el mismo nmero de individuos), los dos nuevos puntos de separacin se llaman cuartiles.Cuartil inferior Q1 es un valor de la variable que deja por debajo de l al 25% de la poblacin, y por encima la 75%. Cuartil superior Q3 es un valor de la variable que deja por debajo de l al 75% de la poblacin, y por encima la 25%.Q2 sera la mediana.Por ejemplo, en la distribucin:

    1, 2, 2 , 3, 4, 5 , 5, 5, 6 , 8, 9, 10 25% 25% 25% 25%

    Q1 Me Q3

    Q1 = 2.5; Me = 5; Q3 = 7

    Centiles o Percentiles:Si partimos la poblacin en 100 partes y sealamos el lugar que deja debajo k de ellas, el valor de la variable correspondiente a ese lugar se designa por pk y se denomina centil k o percentil k.La mediana es Me = p50

    A la mediana, cuartiles y centiles, se les llama medidas de posicin.Veamos unos ejemplos de estas medidas de posicinEjemplo 1: Calcular Me, Q1, Q3, P10 y P80 en la distribucin:

    1, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10Solucin: Hay 17 individuos; 17/2 = 8.5...................la mediana es el valor del individuo 9..........Me=517/4 = 4.25..............................5 lugar..............................................Q1=417. 3/4 = 12.75......................13 lugar..............................................Q3=717/100 . 10 = 1.7.....................2 lugar...............................................P10=117/100 . 80 = 13.6.................14 lugar...............................................P80=7

    Ejemplo 2: En la siguiente distribucin de nmero de hijos de 110 parejas , halla Me, Q1, Q3, P20 y P99

    N hijos (xi) 0 1 2 3 4 5 6fi 4 18 41 32 11 3 1

    Para calcular la mediana, cuartiles y Percentiles en distribuciones dadas por tablas de frecuencias , necesitamos las frecuencias acumuladas y los %

    xi fi Fi En %0 4 4 3.61 18 22 202 41 63 57.33 32 95 86.4

    13

  • 4 11 106 96.45 3 109 99.16 1 110 100

    Me = P50 =2 porque para xi=2 la Fi supera el 50%Q1 = P25 =2 porque para xi=2 la Fi supera el 25%Q3 = P75 =3 porque para xi=3 la Fi supera el 75%P99 =5 porque para xi=5 la Fi supera el 99%P20 =1.5 porque para xi=1 la Fi iguala el 20%. Por tanto el valor 1.5 es superior al 20% de la poblacin, e inferior al 80% restante.

    Ejemplo 3: En la fabricacin de cierto tipo de bombillas, se han detectado algunas defectuosas. Se han estudiado 200 cajas de 100 bombillas cada una, obtenindose la siguiente tabla:

    Defectuosas N de cajas1 52 153 384 425 496 327 178 2

    Calcula la mediana, el cuartil superior y el percentil 20.

    Solucin: Formemos la tabla de frecuencias acumuladas:Xi fi Fi %1 5 5 2.52 15 20 103 38 58 294 42 100 505 49 149 74.56 32 181 90.57 17 198 998 2 200 100

    Mediana: Se han ordenado las cajas segn el n de bombillas defectuosas, de menor a mayor. La mediana ser la caja que ocupe el lugar central. Como el n de cajas es par (200), la mediana es el valor medio entre los dos centrales.La caja n 100 tiene 4 bombillas defectuosas y la n 101 tiene 5 bombillas defectuosas. Por tanto, Me = (4+5)/2 = 4.5El cuartil superior: corresponde al 75% del total : 0.75.200=150. La caja que ocupa el lugar n 150 tiene 6 bombillas defectuosas. Por tanto, Q3 = 6. El 25% de las cajas tiene 6 o ms bombillas defectuosas.El percentil 20: corresponde al 20% del total: 0.20 . 200 = 40. La caja que ocupa el lugar 40 tiene 3 bombillas defectuosas. Por tanto, P20 =3. El 20% de las cajas tiene 3 o menos bombillas defectuosas.

    14

  • En caso de una variable agrupada, las frmulas p