parabola - zanichelli

1

TC

AP

ITO

LO

La parabola e la sua equazione

Le coniche

In questo e nel prossimo capitolo, affronteremo lo studio delle curve che sono dette coniche, perché si possono ottenere sezionando una superficie conica (a due falde) con un piano, non passante per il vertice del cono. Consideriamo un cono di asse a, con un angolo al vertice 2b (figura a fianco), e sezioniamo la superficie del cono con un piano che forma con l’asse del cono un angolo ,a b. La linea che si ottiene dall’intersezione tra il cono e il piano è una parabola.

Parabola

La parabola può essere vista anche come luogo geometrico perché tutti i suoi punti e soltanto essi godono di una proprietà: essere equidistanti da un punto e da una retta particolari.

DEFINIZIONE

Assegnati nel piano una retta d e un punto F che non le appartiene, una pa-rabola è una curva piana luogo geome-trico dei punti equidistanti da F e da d.Il punto F è il fuoco e la retta d è la di-rettrice della parabola.

1

β

β ≅

Listen to it

A parabola is the locus of points in a plane that are equidistant from both a line (the directrix) and a point (the focus).

F

S

S

d

direttrice

fuoco

PARABOLA

|▶ La risposta a pag. 12

Parabole intorno a noi

L’architettura è uno dei più potenti mezzi di rilancio del turismo: singoli monumenti hanno il potere di con‑dizionare l’afflusso turistico di un Paese o una città.I monumenti sono costellati di figure geometriche che si nascondono nelle loro forme. È il caso della para‑bola, che delinea il profilo di ponti, archi ed edifici.Nell’immagine vedi, per esempio, l’arco olimpico realizzato a Torino nel 2006, in occasione dei Giochi olimpici invernali. Dalla conoscenza di alcuni dati rela‑tivi alla parabola puoi ricavare altre informazioni.

Come calcolare la lunghezza di un edificio a profilo

parabolico?

1

Scarica GUARDA!

e inquadrami per accedere

alle risorse digitali

del capitolo

Capitolo 1. Parabola

2

TEORIA

T

La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola.

Il punto V in cui la parabola interseca il suo asse è il vertice della parabola.

Si può dimostrare che l’asse della parabola è anche asse di simmetria della curva: preso un punto della parabola, esiste un altro suo punto simmetrico del primo rispetto all’asse.

Ora studiamo le parabole nel piano cartesiano, considerando inizialmente quelle con asse parallelo all’asse y.

■ Parabola con asse coincidente con l’asse y

e vertice nell’origine

ESEMPIO

Dati nel piano cartesiano il fuoco F (0; 2) e la direttrice di equazione y = - 2 (figura a), ricaviamo l’equazione della parabola applicando la definizione.L’asse della parabola è l’asse y e il vertice coincide con l’origine degli assi; infatti il punto O(0; 0) è equidistante da F e dalla direttrice.Se un punto P (x ; y) appartiene alla parabola (figura b), la sua distanza da F deve essere uguale alla sua distanza dalla retta y = - 2, cioè

PF PH= .

Poiché ( )PF x y 22 2= + - e 2PH y += , l’uguaglianza precedente diventa

( 2) 2x y y2 2+ - += .

Eleviamo i due membri al quadrato per eliminare la radice (e il valore assoluto):

( ) ( )

.

x y y x y y y y

x y

2 2 4 4 4 4

8 0

2 2 2 2 2 2

2

" "+ - = + + - + = + +

- =

Ricavando y, otteniamo l’equazione della parabola cercata:

y x81 2

= .

Con passaggi analoghi, prendendo come fuoco F un punto dell’asse y di coordinate F (0; f ), con f ! 0 e direttrice una retta parallela all’asse x di equazione y = - f , si ottiene:

y ax2= , dove a

f41

= .

Essendo a ! 0, da af4

1= ricaviamo f

a41

= , quindi:

;Fa

041b l;

ya4

1= - .

F

d

V

direttrice

vertice

fuoco

asse

|▶ Esercizi a p. 15

–2

F(0; 2)

y = –2

O

2y

x

H(x; –2)

P(x; y)

y

x

b

–2

F(0; 2)

y = –2

O V

y

x

2

a

≡

Animazione sull’eBook

Nell’animazione:

• troviamo l’equazione della parabola con asse coincidente con l’asse y, vertice in O e fuoco F(0; 3);

• con una figura dinamica, verifichiamo la proprietà della parabola come luogo geometrico e osserviamo come cambia la parabola al variare della distanza del fuoco dal vertice. x

y

F(0; f)

y = Ðf

Ox

P(x; y)

H(x; –f)

equazione della parabola con vertice nell’origine

e asse coincidente con l’asse y

coordinate del fuoco

equazione della direttrice

Paragrafo 1. La parabola e la sua equazione

3

TEORIA

T

In sintesi

Equazione di una parabola con ver-tice nell’origine e asse coincidente con l’asse y:

y = ax 2, con a ! 0.

Fuoco: ;Fa

041b l.

Equazione della direttrice: ya4

1= - .

F ;0

asse: x = 0

V(0; 0) OF

V direttrice: y = − —14a

x

y

x2y = a

14a—

≡

Le coordinate dei punti della parabola verificano l’equazione y = ax2. Viceversa, si può dimostrare che i punti del piano le cui coordinate verificano l’equazione appartengono alla parabola.

Il fuoco di una parabola ha una proprietà con importanti applicazioni pratiche: se si mandano dei raggi paralleli all’asse di simmetria di un profilo parabolico, essi vengono riflessi nel fuoco.Questa proprietà viene sfruttata, per esempio, nelle antenne paraboliche e nelle centrali solari.

■ Dall’equazione y = ax2 al grafico

ESEMPIO

Studiamo le caratteristiche della parabola di equazione y x21 2

= .

Attribuiamo alcuni valori a x: la funzione y x21 2

= fa corrispondere a ogni valore di x un valore di y.

x 3- 2- 1- 0 1 2 3

y29 2

21 0

21 2

29

Le coppie (x; y) corrispondono a punti della parabola che segniamo nel piano cartesiano. Congiungiamo i punti otte-nendo il grafico.

L’ordinata del fuoco è ,y a41

21

F = = quindi ;F 021b l.

La direttrice d ha equazione y21

= - .

La parabola è simmetrica rispetto all’asse y, perché i punti che hanno ascisse

opposte hanno la stessa ordinata: ( )x x21

212 2

= - .

La simmetria osservata nell’esempio è vera in generale.

Ogni parabola di equazione y ax2= è simmetrica rispetto all’asse y.


Nell’animazione, tracciata la parabola e disegnati il fuoco e la direttrice, verifichiamo con figure dinamiche:

• la proprietà della parabola come luogo geometrico;

• la simmetria rispetto all’asse y.

F

MATEMATICA E AMBIENTE

Sole e parabole Nelle centrali solari termodi‑namiche ci sono specchi con sezione parabolica che concentrano l’energia dei raggi solari nel punto focale della sezione.

▶ Approfondisci l’argo‑mento.

Cerca nel web:

collettore parabolico


92–

12–

–1–2–3 32

2

1O x

y

y = x 12– 2

▶ Studia le caratteristi‑che della parabola di equazione y x5 2

=- .


4

TEORIA

T

■ Concavità e apertura della parabola

Segno di a e concavità

Nell’equazione della parabola y = ax 2, se a 2 0 abbiamo y 0$ per ogni valore di x, quindi i punti della parabola diversi dal vertice si trovano nel semipiano dei punti con ordinata positiva (primo e secondo quadrante).

Inoltre, se a 2 0, anche f 2 0. Il fuoco è sul semiasse positivo delle y : diciamo che la parabola volge la concavità verso l’alto.

Se invece a 1 0, si ha y # 0 per ogni valore di x e i punti della parabola diversi dal vertice sono nel semipiano dei punti con ordinata negativa (terzo e quarto qua-drante). Inoltre, f 1 0 e il fuoco si trova nel semiasse negativo delle y : la parabola volge la concavità verso il basso.

Per a = 0, l’equazione diventa y = 0, ossia quella dell’asse x. In questo caso dicia-mo che la parabola è degenere.

Valore di a e apertura

Disegniamo per punti, assegnando a x alcuni valori a piacere, le parabole di

equazione: y x41 2

= , y x43 2

= , 2y x2= .

a cb

O x–1

y

1

y = x214–

14–

O x–1 1

34–

y

O x–1 1

2

y

y = 2x2y = x23

4–

Notiamo che il coefficiente a è l’ordinata del punto di ascissa 1. Per a 2 0, all’au-mentare di a diminuisce l’apertura della parabola.

Se invece il coefficiente a è negativo, l’apertura della parabola diminuisce all’au-mentare del valore assoluto di a.

■ Parabola con asse parallelo all’asse y

ESEMPIO

Determiniamo l’equazione di una parabola avente il fuoco in F(1; 6) e direttrice di equazione y = 3.Indichiamo con P(x; y) un punto generico della parabola e imponiamo la condizione .PF PH=

Poiché ( ) ( )PF x y1 62 2= - + - e ,PH y 3= -

otteniamo:

( ) ( ) .( )x y y1 6 32 2- + - = -

Eleviamo entrambi i membri al quadrato.

Concavità verso l’alto

x

y

a > 0

O

F


Concavità verso il basso

x

y

a < 0

O

F


Osserva le aperture delle parabole di equazioni

y x41 2

=- , y x43 2

=- ,

y x2 2=- e confrontale con

quelle della figura qui sopra, disegnando i loro grafici o utilizzando l’animazione, dove con una figura dina‑mica facciamo variare l’a‑pertura della parabola.

F(1; 6)

y 3

O

H(x; 3)

P(x; y)y

x

=



5

TEORIA

T

( ) ( ) ( )x y y1 6 32 2 2"- + - = -

.x x y y y y x x y2 1 12 36 6 9 2 6 28 02 2 2 2"- + + - + = - + - - + =

Esplicitando y otteniamo l’equazione della parabola richiesta.

.y x x61

31

3142

= - +

Applicando lo stesso procedimento per una parabola con il fuoco in un generico punto del piano F(p; q) e con y = d equazione della direttrice, si ottiene l’equazione:

y ax bx c2= + + ,

dove a, b, c R! e a 0! .Una parabola, con l’asse parallelo all’asse y, ha sempre equazione del tipo y = ax 2 + bx + c e, viceversa, si può dimostrare che un’equazione qualsiasi del tipo y = ax2 + bx + c rappresenta sempre una parabola.

Le caratteristiche di una parabola con asse parallelo all’asse y sono le seguenti.

Equazione di una parabola con asse parallelo all’asse y:

y ax bx c2= + + , con a ! 0.

Equazione dell’asse: xa

b2

= - .

Vertice: ;Va

ba2 4D

- -b l, con b ac42D = - .

Fuoco: ;a

ba2 4

1 D-

-b l.Equazione della direttrice: y

a41 D

= -+ .

y

O x

y ax2 bx c

asse: x = —b2a

direttrice: y ——1 ∆

4a

V( —; —)∆

4ab2a

F( —; ——)1 ∆

4ab2a

–

––

– –

= –

= + +

+

■ Dall’equazione y = ax2 + bx + c al grafico

ESEMPIO Animazione sull’eBook

Rappresentiamo nel piano cartesiano la parabola di equazione y x x1 34

2= - - ,

l’asse, il fuoco e la direttrice.Per rappresentare in modo approssimato la parabola, basta trovare il vertice e alcuni punti, per esempio i punti di intersezione con gli assi cartesiani che si ottengono mettendo a sistema l’equazione della parabola con quelle dell’asse y e dell’asse x.

asse y: ;y x x

xA

y

x41 3

00 3

3

0

2

""

= - -

=

-=-

=^ h* )

asse x: y x x

y

x x

y

x x

y41 3

0

0 41 3

0

4 12 0

0

2 2 2

" " "

= - -

=

= - -

=

- - =

=* * *

,; , ;

x x

yB B

2 6

02 0 6 0

1"

=- =

=- l^ ^h h*

Il vertice è sull’asse di simmetria, quindi:

xx x

2 22 6

24 2V

B B=

+=

- += =

l .

equazione della parabola con asse

parallelo all’asse y

Video

Il moto parabolico

▶ Che traiettoria segue un oggetto quando lo lan‑ ciamo?

▶ Da cosa dipende?


Video

Mirascopio

Il mirascopio permette di creare l’ologramma dell’og‑getto che vi poniamo all’in‑terno. Spieghiamo il suo funzionamento attraverso le proprietà della parabola.


6

TEORIA

T

Sostituiamo l’ascissa del vertice nell’e-

quazione: y 41 2 2 3 4V

2$= - - = - .

Il vertice è perciò ( ; )V 2 4- .L’asse ha equazione x 2= .

Il fuoco F è sull’asse, quindi x 2F = .

L’ordinata è y4 4

11 4 3F

$

=-

= - .

Pertanto il fuoco è ( ; )F 2 3- .

La direttrice passa per il punto dell’as-se y simmetrico del fuoco rispetto al vertice, di conseguenza la sua equazione è: y 5= - . Per ottenere un grafico più preciso, possiamo segnare altri punti. Per esempio: ( ; ),A 4 3-l ( ; )C 4 5- , ( ; )C 8 5l .

Si può dimostrare che anche per la parabola di equazione y = ax 2 + bx + c la con-cavità dipende solo dal segno del coefficiente a: se a 2 0, la concavità è rivolta verso l’alto; se a 1 0, verso il basso.Inoltre, come abbiamo visto in precedenza, l’apertura della parabola dipende dal valore assoluto di a: all’aumentare di a diminuisce l’apertura della parabola, ossia la parabola si «stringe» attorno al proprio asse.

Casi particolari dell’equazione y = ax2 + bx + c

Caso esaminato Grafico Esempio

b = 0 e c ! 0L’equazione diventa:y = ax2 + c.La parabola ha vertice V(0; c) e il suo asse di simmetria è l’asse y.

x

y

O

y = ax2 + c

V(0; c)

x

y

O

y = ––x2 + 234

2 V

c = 0 e b ! 0L’equazione diventa:y = ax 2 + bx.

La parabola ha vertice ;V ab

ab

2 42

- -b le passa sempre per l’origine O.Infatti le coordinate (0; 0)soddisfano l’equazione.

x

y

O

y = ax2 + bx

b2

4a– ––

b2a

– ––

V

x

y

O

y = Ð2x2 + 8x

2 4

8V

b = 0, c = 0L’equazione diventa:y = ax 2.Ritroviamo la parabola già studiata con asse coincidente con l’asse y e vertice nell’origine.

x

y

y = ax2

V ≡ O x

y

O

y = 3x2

–2–4 42

5

O x

y

–3

6 8

x = 2

y = –5

C C'

B B'

A A'

Vy = x – x – 3

14– 2

F

▶ Rappresenta nel piano cartesiano la parabola di equazione y = - 2x2 + x + 1 e determina asse, fuoco e direttrice.

O

y

x

a > 0

a < 0


7

TEORIA

T

■ Parabola e funzioni

L’equazione y = ax 2 + bx + c fa corrispondere a ogni valore di x uno e un solo valo-re di y, quindi è una funzione, che chiamiamo funzione quadratica. Ogni parabola con equazione di questo tipo è pertanto il grafico di una funzione.

ESEMPIO

y x x51

56 12

= + + è l’equazione

di una funzione quadratica. Il suo grafico è una parabola. A ogni valo-re di x corrisponde un solo valore di y. Gli zeri della funzione sono

x x51

56 1 02

"+ + = ,x x x x6 5 0 5 121 2"+ + = = - = - ,

e sono le ascisse dei punti di intersezione della parabola con l’asse x.

■ Problemi di massimo e minimo

È possibile determinare il massimo o il minimo di una funzione quadratica ana-lizzando il suo grafico.Risolviamo un problema di massimo.

ESEMPIO ECONOMIA

Corso di cucina

L’iscrizione a un corso di cucina costa € 200 a persona se ci sono 10 iscritti, numero minimo per attivare il corso.Per ogni iscritto in più è previsto uno sconto di € 5 a testa e il numero massimo di partecipanti previsti è 30.

▶ Qual è il numero di iscritti che garantisce il massimo ricavo all’ente organizzatore del corso? A quanto am-monta il massimo ricavo?

Chiamiamo x il numero di iscritti oltre la soglia minima. Gli studenti totali sono quindi 10 + x. Ognuno spende € (200 - 5x) per il corso, quindi il ricavo totale per gli organizzatori è:

( )( )y x x x x x x x10 200 5 2000 50 200 5 5 150 20002 2= + - = - + - = - + + .

Il grafico della funzione del ricavo è una parabola che interseca l’asse y nel punto (0; 2000), poiché se x 0= , cioè se gli iscritti sono 10, il ricavo totale è di € 2000.Poiché a 5 01=- , la parabola volge la concavità verso il basso, e quindi il massimo ricavo è dato dall’ordinata del vertice V:

x ab

52 2150 15V$

=--

=- =^ h ,

y 5 15 150 15 2000 3125V2

$ $=- + + = .

Il ricavo massimo è di € 3125 e si ottiene per x 15= , cioè quando gli iscritti sono .10 15 25+ = Il numero è accettabile, perché inferiore al numero massi-mo di partecipanti al corso.


O x

–1–5

yy = x + x + 1

15– 2 6

5–

▶ Determina gli zeri della funzione y = 2x2 + 6x e disegna il suo grafico.


è d l

y

O x15

2000

3125V

▶ Determina il massimo della funzione quadratica di equazione y x x6 102

=- + - .


8

TEORIA

T

Vediamo ora un problema di minimo.

ESEMPIO ECONOMIA

Quanto produrre?

Un artigiano produce utensili in legno per la cucina. Ha dei costi di produzione giornalieri che variano in base al numero x di set prodotti. Il costo di produzio-ne y per un singolo set è espresso dalla funzione

y x x101 6 1002

= - + ,

in euro per unità.

▶ Quanti set deve produrre ogni giorno il suo labo-ratorio per minimizzare il costo del singolo pro-dotto? Qual è il costo minimo?

La funzione del costo unitario è l’equazione di una parabola con la concavità verso l’alto. Pertanto il minimo viene raggiunto nel vertice:

x ab2 5 306V $=- = = ,

y 90 180 100 10V = - + = .

Il numero di set da produrre giornalmente per mi-nimizzare il costo unitario è 30. Il costo di ogni set in questo caso è € 10.

Rette e parabole

■ Posizione di una retta rispetto a una parabola

Consideriamo una parabola con asse parallelo all’asse y e osserviamo le possibili posizioni di una retta.Nelle figure che seguono, osserva che una parabola e una retta possono esse-re secanti in due punti, essere tangenti in un punto, non intersecarsi in alcun punto oppure, se la retta è parallela all’asse della parabola, intersecarsi in un solo punto.

x

y

O

a. La retta è secantela parabola. I punti diintersezione sono due.

x1

b. La retta è tangentealla parabola. Il punto diintersezione è unico e sichiama punto di tangenza.

c. La retta è esternaalla parabola. Non vi sonopunti di intersezione.

d. La retta è parallelaall’asse della parabola:c’è un unico puntodi intersezione.

x2

A

B

x

y

O x1 = x2

T

x

y

O x

y

O

P

y

O x30

10

100

V

2


Paragrafo 2. Rette e parabole

9

TEORIA

T

Come si possono dedurre le reciproche posizioni di una retta e una parabola co-noscendo le loro equazioni?Supponiamo che la retta non sia parallela all’asse y e che, dunque, la sua equazione possa essere scritta nella forma esplicita y = mx + q.

Mettiamo a sistema l’equazione della parabola e l’equazione della retta:

y ax bx c

y mx qax bx c mx q

22

"

= + +

= ++ + = +) .

Svolgendo i calcoli, otteniamo l’equazione di secondo grado, detta risolvente,

ax 2 + (b - m)x + c - q = 0,

le cui soluzioni sono le ascisse dei punti di intersezione della parabola con la retta.

Il numero di soluzioni dipende dal discriminante D , quindi:

• se D 2 0, le soluzioni sono reali e distinte e la retta è secante la parabola in due punti;

• se D = 0, le soluzioni sono reali e coincidenti e la retta è tangente alla pa-rabola in un punto;

• se D 1 0, non ci sono soluzioni e la retta è esterna alla parabola.


Determiniamo gli eventuali punti di intersezione della parabola di equazione

2y x x21 2

= - +

con la retta di equazione y = x - 4.

Risolviamo il sistema:

y x x

y xx x x2

1 24 2

1 2 42

2" "

=- +

= -

- + = -* x x2 8 02- - = .

L’equazione x 2 - 2x - 8 = 0 ha due soluzioni reali distinte, x1 = -2 e x2 = 4, ascisse dei punti di intersezione tra retta e parabola. Troviamo le ordinate.

x

y x

x

y x

x

y

x

y

24

44

26

40

"0 0= -

= -

=

= -

= -

= -

=

=) ) ) )

La retta interseca la parabola nei punti A(-2; -6) e B(4; 0).

■ Rette tangenti a una parabola

Le rette passanti per un punto P e tangenti a una parabola possono essere due, una o nessuna, a seconda della posizione di P rispetto alla parabola.

Se:

• per un punto P si possono tracciare due rette tangenti, si dice che P è esterno alla parabola;

• la retta è una sola, P è sulla parabola;

• da P non è possibile tracciare rette tangenti, allora P si dice interno alla pa-rabola.

Listen to it

If 02D , we have two

points of intersection between the line and the parabola; if 0D = , the line is tangent to the parabola; if 01D , the line does not intersect the parabola.

x

y

O

–6

–2 4

2

2

V

y = –—x2 + 2x12

y = x – 4

A

B

▶ Determina gli eventuali punti di intersezione della parabola di equa‑zione y = 2x2 - 2x con la retta di equazione y = -x + 3.

; ; ;1 4 23

23

-^ bh l; E|▶ Esercizi a p. 33


10

TEORIA

T

x

y

O

a. P esterno alla parabola:due rette tangenti.

b. P sulla parabola: unaretta tangente.

c. P interno alla parabola:non esistono rette tangenti.

Pt2

t1

x

y

O

P

t

x

y

O

P

Per determinare le equazioni delle eventuali rette passanti per P(x 0; y 0) e tangenti alla parabola di equazione y ax bx c2

= + + :

• scriviamo l’equazione del fascio di rette passanti per P(x 0; y 0):

y - y 0 = m(x - x 0);

• scriviamo il sistema delle equazioni del fascio di rette e della parabola:

( )y y m x x

y ax bx c0 0

2

- = -

= + +) ;

• poniamo la condizione di tangenza, ossia poniamo uguale a 0 il discriminante dell’equazione risolvente, cioè D = 0 (se una retta è tangente deve avere due intersezioni con la parabola coincidenti);

• risolviamo rispetto a m l’equazione ottenuta e sostituiamo nell’equazione del fascio gli eventuali valori trovati.


Determiniamo le equazioni delle eventuali rette passanti per P(1; - 5) e tan-genti alla parabola di equazione y = x 2 - 2.

Scriviamo l’equazione del fascio di rette passanti per P:

y + 5 = m(x - 1).

Scriviamo il sistema delle equazioni del fascio e della parabola, e determiniamo l’equazione risolvente:

( )y m x

y xx mx x mx mm

5 12

2 5 3 022 2

" "

+ = -

= -- + = - - + + =) .

Calcoliamo D:

D = m 2 - 4m - 12.

Poniamo la condizione di tangenza D = 0:

,m m m m4 12 0 2 621 2"- - = = - = .

Alle soluzioni m1 = -2 e m2 = 6 corrispondono le due rette tangenti:

t1: y = -2x - 3,

t2: y = 6x - 11.

Ox

y

P

1

–5

V

y = 6x – 11y = –2x – 3

t1

t2▶ Determina le equazioni delle eventuali rette pas‑santi per ;P 0 2-^ h e tan‑genti alla parabola di equazione y = 6x2 + 4.

;y x y x12 2 12 2= - =- -6 @

Paragrafo 3. Determinare l’equazione di una parabola

11

TEORIA

T

In alternativa al metodo generale appena esaminato, se il punto P(x0; y0) si trova sulla parabola di equazione y ax bx c2

= + + , l’equazione della retta tangente in P alla parabola si determina rapidamente applicando la seguente formula, detta formula di sdoppiamento:

y yax x b

x xc2 2

00

0+= +

++ .

ESEMPIO

Determiniamo l’equazione della retta tangente alla parabola di equazione y x x42

=- + nel suo punto P(1; 3).

Applichiamo la formula di sdoppiamento, dove abbiamo x0 = 1 e y0 = 3:

yx

x2

31 1 4 2

1$ $ $

+=- +

+ ,

da cui otteniamo:

.y x x y x3 2 4 4 2 1"+ =- + + = +

Rappresentiamo la parabola e la retta nel piano cartesiano.

Determinare l’equazione di una parabola

Se dobbiamo scrivere l’equazione di una parabola, dobbiamo determinare i tre coefficienti a, b e c che compaiono nell’equazione y = ax 2 + bx + c, quindi ci oc-corrono tre informazioni sulla parabola, dette condizioni.Queste tre condizioni permettono di scrivere un sistema di tre equazioni nelle tre incognite a, b, c. Esaminiamo due esempi.


Determiniamo l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y passante

per il punto P(-1; 2) e avente per fuoco il punto ;F 245

-b l.Nell’equazione generica y = ax 2 + bx + c sostituiamo a x e a y le coordinate del punto P.

Utilizziamo inoltre ognuna delle due formule relative alle coordinate del fuoco.

In questo modo otteniamo tre equazioni nelle incognite a, b e c, che mettiamo a sistema.

a b c

ab

a

2

2 2

41

45D

= - +

- =-

-=

Z

[

\

]]]

]]

equazione della tangente se P(x0; y0)

appartiene alla parabola

y

O x41

3P

V

3|▶ Esercizi a p. 34

▶ Determina l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y che ha il fuoco nell’origine e passa per il punto P(-1; 0).

;y x21

212

= -:y x2

1212

=- + D

passaggio per P(-1; 2)

x 2F =-

y45

F =


12

TEORIA

T

Risolvendo il sistema, otteniamo:

a

b

c

145

=

=

=

* e 1

a

b

c

41

45

= -

= -

=

Z

[

\

]]]

]]]

.

Le parabole che soddisfano le con-dizioni richieste sono due:

y = x 2 + 4x + 5, y x x41

452

= - - + .

Durante le visite turistiche può capitare di osservare archi di parabola, spesso uti-lizzati nell’architettura moderna. Vediamo un esempio.

ESEMPIO ACCOGLIENZA TURISTICA

Un arco moderno

L’edificio nella foto è una chiesa progettata da Oscar Niemeyer a Belo Horizonte, in Brasile. La fac-ciata è individuata da un arco di parabola di vertice V che poggia sui punti A e B.

▶ Qual è la lunghezza di AB?

Dall’equazione generica

y ax bx c2= + + ,

troviamo l’equazione della pa-rabola nella foto imponendo il vertice V(0; 9) e il passaggio per P(6; 5).

ab

c

a b c

2 0

9

36 6 5

- =

=

+ + =

Z

[

\

]]

]]

bc

a

09

36 9 5"

=

=

+ =

* b 0=

a

c

91

9

=-

=

Z

[

\

]]

]]

La parabola ha equazione y x91 92

=- + .

Troviamo A e B come intersezioni della parabola con l’asse x:

x x x91 9 0 81 92 2

" " !- + = = = .

Quindi i punti cercati sono A(9; 0) e B(-9; 0) e la lunghezza di AB è 18 m.

▶ Determina le equazioni della parabola:a. passante per l’origi‑

ne, per ( ; )A 4 0- e di vertice con ordinata

3- ;b. con vertice nell’origi‑

ne e passante per

;B 2 54

- -b l;c. con vertice V(0; 3) e

passante per P(2; 2).

Animazione

sull’eBook

x

y

O

P

54––

2

–2 –1

y = x2 + 4x + 5

F

y = – – x2 – x + –14

54

O AB

V (0; 9)

P (6; 5)

y (m)

x (m)

ascissa del vertice

passaggio per V(0; 9)

passaggio per P(6; 5)

Mappa dei concetti e dei metodi

13

TEORIA

T

MAPPA DEI CONCETTI E DEI METODI

• Per a 2 0, all’aumentare di a diminuisce l’apertura della parabola.

• Se a 1 0, l’apertura della parabola diminuisce all’aumentare del

valore assoluto di a.

y = x273–

O x–1

y

1 O x–1 1

y

O x–1 1

y

1

3–

y = x223–y = x21

3–

7

3–

2

3–

Concavità

La parabola ha concavità rivolta:

• verso l’alto se a 2 0;

• verso il basso se a 1 0.

Apertura

Casi particolari

x

y

O

y = ax2

V / O x

y

O

y = ax2 + c

V(0; c)

x

y

O

y = ax2 + bx

b2

4a- ––

b

2a- ––

V

• Se b = 0 e c = 0,

l’asse di simmetria è l’asse y

e il vertice è nell’origine.

• Se b = 0 e c ! 0,

l’asse di simmetria è l’asse y

e il vertice ha ordinata c.

• Se c = 0 e b ! 0,

la parabola passa

per l’origine.

asse

direttrice

y

F

V

O x

Caratteristiche della parabola

Equazione della

parabola con asse

parallelo all’asse y:

y ax bx c2= + + .

Asse: xa

b

2=- .

Fuoco: ;a

b

aF

2 41 D

--a k.

Vertice: ;Va

b

a2 4D

- -a k.

Direttrice: a

y4

1 D=-

+.


14

TEORIA

T

Rette tangenti a una parabola

Le rette passanti per un punto P e tangenti a una parabola possono essere due, una

o nessuna a seconda della posizione di P rispetto alla parabola.

Posizione di una retta rispetto a una parabola

Una retta, non parallela all’asse y, può essere secante, tangente o esterna a una parabola.

x

y

O x

y

O

retta esternaretta secante

x

y

O

retta tangente

y = ax2 + bx + c) " ax2 + _b - mix + c - q = 0 " y = mx + q

equazione della parabola

equazione della retta

se D 2 0, retta Secante;

se D = 0, retta tangente;

se D 1 0, retta esterna. equazione risolvente del sistema

x

y

O

Pt2

t1

x

y

O

P

t

x

y

O

P

P interno alla parabola:nessuna tangente.

P esterno alla parabola:due tangenti.

P sulla parabola:una tangente.

y = ax2 + bx + c) " " y - y0 = m_x - x0 i

parabola

rette passanti per P(x0; y0)

poniamo la condizione

di tangenza D = 0

nell’equazione risolvente

risolviamo rispetto

a m l’equazione ottenuta

Determinare l’equazione di una parabola

Nell’equazione della parabola y = ax2 + bx + c dobbiamo trovare a, b e c, quindi servono tre

condizioni.

Esempio

Determiniamo l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y passante per i punti

A(0; -6) e B(2; 10) e con il vertice di ascissa -1.

c

a b c

a

b

6

10 2 2

21

2$ $

= -

= + +

- = -

Z

[

\

]]

]]

a = 2

b = 4

c = -6

Z][]\

passaggio per A

passaggio per B

ascissa del vertice

" " y = 2x2 + 4x - 6


15

ESERCIZ

I

E

La parabola e la sua equazione

Parabola con asse coincidente con l’asse y

e vertice nell’origine

Applicando la definizione determina l’equazione della

parabola, dati il fuoco F e la direttrice d.

F (0; 2) d: y = –2

;F 0 31a k :d y 3

1–=

F (0; –4) d: y = 4

TEST Se un punto P appartiene a una parabola di vertice V, fuoco F, asse a e direttrice d, allora P è equidistante:

A da V e d. C da F e a.

B da F e d. D da V e a.

ASSOCIA il fuoco F alla corrispondente direttrice d, relativi a una parabola con asse x = 0 e vertice V(0; 0).

a. F(0; -5) b. F(0; 1) c. F(0; 5) d. F(0; -2)

1. d: y = -5 2. d: y = 5 3. d: y = 2 4. d: y = -1

ESERCIZIO GUIDATO Determina l’equazione della parabola con asse coincidente con l’asse y, vertice nell’o-

rigine e fuoco ;F 0 43` j.

Il fuoco ha coordinate ; a0 41a k, quindi: a4

1= a" = .

La parabola ha equazione y x31 2= .

Determina l’equazione di una parabola che ha per asse l’asse y, il vertice nell’origine degli assi e il fuoco nel

punto ;F 025b l. y x

101 2=: D

Una parabola ha vertice nell’origine, asse coincidente con l’asse y e direttrice che passa per il punto ; .047a k

Scrivi l’equazione della parabola e le coordinate del fuoco.; ;y x F7

1 0 472=- -a k: D

Una parabola di equazione y = ax2 ha fuoco nel punto F(0; 5). Quanto vale il coefficiente a? 201: D

Per quale valore di a la parabola di equazione y = ax2 ha direttrice di equazione y81

= ? [-2]

1

ATTIVITÀ INTERATTIVA|▶ Teoria a p. 2

1••

2••

3••

4••

5••

6

7••

8••

9••

10••

CAPITOLO 1

ESERCIZIInquadrami

per fare

le attività

interattive


16

ESERCIZ

IE

Trova le equazioni delle seguenti parabole, utilizzando i dati delle figure.

y x21 2=: D y x

41 2= -: D y x

61 2= -: D y x2=6 @

ESERCIZIO GUIDATO Una parabola di equazione y ax2= passa per il punto ;P 1 5-^ h. Quanto vale a?

Le coordinate di P devono verificare l’equazione della parabola, quindi le sostituiamo a x e a y.

= a a 52"$ =^ h .

La parabola di equazione y ax2= passa per ;P 2 32

-a k. Quanto vale a? 61

-: D

Trova l’equazione della parabola con asse coincidente con l’asse y, vertice nell’origine e passante per il punto A(2; 12). y x3 2=6 @

LEGGI IL GRAFICO

11••

12

– –

x

y

y=

O

direttrice:

12••

x

y

F(0; –1)

O

13••

x

y

O

(0; )32–

direttrice

14••

x

y

O

F(0; )14–

15

16••

17••

Trova le equazioni delle seguenti parabole, utilizzando i dati delle figure.

y

O 3

x

Ð3

y x31 2=-: D

y

O–2 x

1

y x14

2=8 B

y

O x

1

—1

3

y x9 2=6 @

y

O–1

x

–4

y x4 2=-6 @

LEGGI IL GRAFICO

18••

19••

20••

21••

ACCOGLIENZA TURISTICA Non solo osservazione Organizzi visite guidate a un’oasi naturalistica e, come integrazione al birdwatching, vuoi noleggiare dispositivi per l’ascolto basati su microfoni parabolici. Il microfono parabolico consente di amplificare suoni provenienti anche da kilometri di distanza: le onde sonore si riflettono sul profilo parabolico e vengono concentrate nel fuoco, dove si trova un microfono. Hai comprato alcuni dispositivi, ma vuoi controllare che i microfoni siano posizionati correttamente. Se il profilo è descritto dalla parabola di equazione

y x41 2= , dove dovrebbe trovarsi il microfono? ;F 0 1^ h6 @

22••


17

ESERCIZ

I

E

Dall’equazione y = ax2 al grafico

COMPLETA la tabella e disegna la parabola data.

y x61 2=

x 0 !1 !2 !6

y

y x31 2=-

x 0 !1 !3 !6

y

y x45 2=

x 0 !1 !2 !4

y

y x14

2=-

x -1 4

y 0 -1

y x2 2=

x !1

y 8 18 21

y x61 2=-

x 6

y 0 32

- -6

ESERCIZIO GUIDA Disegniamo la parabola di equazione yx4

2= e determiniamo le coordinate del fuoco e

l’equazione della direttrice.

L’equazione y = ax2 rappresenta una parabola con il vertice nell’origine degli assi e con l’asse di simmetria coincidente con l’asse y.

Costruiamo la tabella e disegniamo la parabola per punti.

Il fuoco ha ascissa nulla e ordinata

( ; )ya

F41

441

1 1 0 1F "

$

= = = .

L’equazione della direttrice è

ya

y41 1"= - = - .

x

0

±2

±4

±6

y

0

1

4

9

9

x

y

O

4

1

2 4 6–6 –4 –2

F

y = – 1

La parabola di equazione y x2 2= - ha fuoco di coordinate:

A (0; 8). C (0; -8).

B ;081

-a k. D (0; 0).

La parabola di equazione y x31 2= ha direttrice

di equazione:

A y 121

=- . C y 34

= .

B y x43

=- . D y 43

=- .

Rappresenta la parabola di equazione assegnata e trova le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice.

y x23 2=

y x3 2=-

y x 05 2- =

x 2 + 2y = 0

4y + 3x 2 = 0

x y2 72 =

|▶ Teoria a p. 3

23••

24••

25••

26••

27••

28••

29

TEST

30••

31••

32••

33••

34••

35••

36••

37••


18

ESERCIZ

IE

CUCINA Forno solare Vuoi costruire un forno solare sfruttando una vecchia antenna parabo-lica. Per farlo devi rive-stirla con dei fogli di allu-minio e posizionare la pentola nel punto focale. Calcola le sue coordinate.

y

O x–60 60

A B35

;F 0 7180a k: D

Verifica se i punti ;A2 45 5a k e ;B 5 5-^ h appar-

tengono alla parabola di equazione y x15

2= .

Verifica se i punti ;A 1 14-` j, ;B 2

1 116-a k e

;C 54

254

-` j appartengono alla parabola di

equazione .y x41 2=-

Trova per quale valore di a la parabola di equa-zione y ax2= ha direttrice di equazione y 2= -

e rappresentala graficamente. Stabilisci se i punti

( ; )A 1 8- e ;B 221a k appartengono alla parabo-

la. 81: D

Determina il valore di a affinché la parabola di equazione y = ax2 passi per il punto P(-2; 8) e rappresenta la parabola ottenuta. [2]

Concavità e apertura della parabola

Stabilisci come è rivolta la concavità delle seguenti parabole e disegna il loro grafico:

a. y x91 2= ; b. y x2 2= ; c. y x

31 2 2= ; d. y x2 3 02+ = .

Nell’equazione y = ax2 determina per quale valore di a si ha una parabola con la concavità rivolta verso il

basso e con il fuoco che ha distanza da O(0; 0) uguale a 32 .

83

-: D

Determina per quali valori di a la parabola di equazione ( )y a x2 4 2= - ha concavità rivolta verso l’alto e

disegna la parabola che si ottiene per a27

= . a 226 @Determina per quali valori di a la parabola di equazione y a x6 2= -^ h ha la concavità rivolta verso il basso e disegna la parabola che si ottiene per a 8= . a 626 @

FAI UN ESEMPIO

Scrivi l’equazione della parabola simmetrica, rispetto all’asse x, della parabola di equazione y x8 2= .

Scrivi l’equazione di una parabola con vertice nell’origine e concavità rivolta verso il basso.

Per ogni coppia di parabole assegnata, stabilisci quale delle due ha apertura minore e rappresenta graficamente

le due parabole.

y x43 2= ; y x

34 2= - . y = - 3x2; y x

31 2= . y = 6x2; y = 5x2.

VERO O FALSO? La parabola di equazione y x51 2= - :

a. ha concavità rivolta verso il basso. V F

b. ha fuoco di ordinata 45 . V F

c. passa per il punto ;P 151

- -a k. V F

d. ha apertura maggiore rispetto alla parabola di equazione y x21 2= - . V F

38••

39••

40••

41••

42••

|▶ Teoria a p. 4

43••

44••

45••

46••

47••

48••

49••

50••

51••

52••


19

ESERCIZ

I

E

VERO O FALSO? La parabola di equazione y x7 2=- :

a. passa per l’origine. V F

b. ha il vertice nell’origine. V F

c. ha il fuoco nell’origine. V F

d. rivolge la concavità verso l’alto. V F

Il punto ;A 1 7- -^ h appartiene alla parabola? Spiega perché la parabola non può avere punti nel primo e nel secondo quadrante.

COMPLETA

La parabola di equazione y x4 2= :

a. ha il vertice V di coordinate ( ; );

b. ha l’asse di simmetria di equazione ;

c. ha la concavità rivolta verso ;

d. passa per ;P 21

-` j.a. Il punto ;A 2 7^ h appartiene alla parabola di equazione y = x2.

b. Il punto ;B 21

-` j appartiene alla parabola di equazione y x3 2=- .

c. La parabola di equazione y k x3 7 2= -^ h ha la concavità rivolta verso l’alto per k 2 .

d. La parabola di equazione y ax 02+ = ha la concavità rivolta verso il basso per a 0.

Parabola con asse parallelo all’asse y

ESERCIZIO GUIDA Una parabola ha direttrice di equazione y = -1 e fuoco nel punto F(-1; 2). Determinia-mo l’equazione della parabola mediante la definizione.

La parabola è per definizione il luogo dei punti equidistanti dal fuoco e dalla direttrice. Pertanto, preso un punto P(x ; y) sulla parabola, deve valere la relazione PH PF= .Poiché

( ) ( )PF x y1 22 2= + + - ,

PH y 1= + ,

uguagliando le due espressioni si ottiene:

( ) ( )x y y1 2 12 2+ + - = + .

Eleviamo al quadrato i membri dell’equazione per eli-minare la radice ed eseguiamo i calcoli:

(x + 1)2 + (y - 2)2 = (y + 1)2

x 2 + 2x + 1 + y 2 - 4y + 4 = y 2 + 2y + 1

x 2 + 2x + 5 = 6y + 1

6y = x 2 + 2x + 4.

Perciò l’equazione della parabola è:

yx x6 3 3

22= + + .

53••

54••

55••

ATTIVITÀ INTERATTIVA|▶ Teoria a p. 4

56

F(–1; 2)

P

O

y

x

2

–1

–1 y = –1H


20

ESERCIZ

IE

Qui di seguito sono assegnate le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice di alcune parabole. Determina

l’equazione di ciascuna parabola applicando la definizione.

F(-2; -1), d: y  = -3. 41 1y x x2= + -: D

F(2; 3), d: y  = -3. 121

31

31

y x x2= - +: D

F(2; 1), d: y  = 3. 41 1y x x2= - + +: D

;F 24

19- -b l, :d y

421

= - . y x x4 12= + -6 @

F(-1; -1), :d y23

= - . 241

y x x2= + -: D

;F 24

15-b l, :d y

417

= - . 4y x x2= -6 @

ASSOCIA ogni parabola al suo vertice:

a. y x x3 6 12= + - b. y x x3 6 72= - + c. y x x2 12= + - d. y x x 212= - -

1. ;21

43

-` j 2. ;1 4- -^ h 3. ;1 4^ h 4. ;1 2- -^ hESERCIZIO GUIDA Determiniamo vertice, fuoco, asse e direttrice della parabola di equazione

y = x2 + 6x - 1.

I coefficienti della parabola sono: a = 1; b = 6;c = -1. Calcoliamo il discriminante:

D = b 2 - 4ac = 62 - 4 $ 1 $ (-1) =36 + 4 = 40.

• Vertice V:

3xa

b2 2 1

6V

$= - = - = -

ya4 4 1

40 10V$

D= - = - = -

È possibile calcolare l’ordinata yV del vertice anche sostituendo a x il valore -3 di xV nell’e-quazione della parabola:

yV = (-3)2 + 6 $ (-3) - 1 = - 10.

• Fuoco F:

x F = x V = -3

y a41

4 11 40

439

F "

$

D=

-=

-=-

;F 3 439

- -a k.• Asse: è l’insieme dei punti che hanno la stessa ascissa

del vertice, quindi ha equazione:

x = -3.

• Direttrice:

ya4

14 1

1 40441

$

D= -

+= -

+= - .

Determina, per le seguenti parabole, vertice, fuoco, direttrice e asse di simmetria.

y x 12= -

y x x32= - -

y x x3 22= + +

y x x2 32=- - +

y x x2 82= - -

y x4 42= - +

y x x62= - +

y = x 2 - 4x + 4

y x21

412= - -

y x x3 42= -

( )y x 3 2= +

y = (x - 1)(x + 2)

57••

58••

59••

60••

61••

62••

63••

64

( ; )V 3 10" - - .

65••

66••

67••

68••

69••

70••

71••

72••

73••

74••

75••

76••


21

ESERCIZ

I

E

Una parabola con asse parallelo all’asse y ha ver-tice ;V 2 2-^ h e fuoco ;F 2 1-^ h. La sua direttrice ha equazione:

A x 2=- .

B y 0= .

C y 3= .

D y 2=- .

La direttrice di una parabola ha equazione y = - 5. Se il vertice della parabola ha coordinate (3; -1), quali sono le coordinate del suo fuoco?

A F (3; - 3)

B F (3; 0)

C F (3; 3)

D F (-3; -1)

Dall’equazione y = ax2 + bx + c al grafico

ESERCIZIO GUIDA Disegniamo la parabola di equazione y = x2 + 3x + 2.

• La concavità è rivolta verso l’alto poiché a 1 02= .

• Troviamo le coordinate del vertice.

xa

b2 2

3V = - = -

y a ab ac

4 44

49 8

41

V

2D=- =-

-=-

-=-

;V 23

41

" - -` j

• Le intersezioni con gli assi sono:

x

y

O

2

32

– –

y=x2+ 3x +2

–1–2

V( ); 14

– –

x = 0 " y = 2 " (0; 2);

y x x x0 3 2 0 23 9 8

23 12

" "

! != + + = =

- -=

-=

( ; ),

( ; ) .

x

x

1 1 0

2 2 0

1

2

"

"

= - -

= - -

Disegna le parabole che hanno le seguenti equazioni.

y x 12= -

y x x2 82= - -

y x x3 22= + +

y x x4 42=- + -

y x x6 82= + +

y x x3 42= - + +

3y x 32= - +

y x x2 82=- +

y x x2= -

( )y x 1 2= -

3y x 62= +

y x x2 32= - + +

4y x2= +

y x x412= - +

y x x2 242= - -

y x x23 2= -

y x x21

212= - +

( )y x x 2= -

3y x x2 12= - +

y x31 32= - -

xy x 52 - += - +^ ^h hESERCIZIO GUIDATO Disegna la parabola individuata dalla seguente equazione, dopo averla scritta in forma

normale: y x x5 6+ = -^ h.

TEST

77••

78••

|▶ Teoria a p. 5

79

80••

81••

82••

83••

84••

85••

86••

87••

88••

89••

90••

91••

92••

93••

94••

95••

96••

97••

98••

99••

100••

101


22

ESERCIZ

IE

Scriviamo l’equazione in forma normale: y = x 62+ - .

• La concavità è rivolta verso poiché a 0.

• Vertice: x ab2V =- =

y a ab ac

4 44

V

2D=- =-

-=

" V( ; ).

• Intersezioni con gli assi:

x y0 "= = " A(0; );

y x x x0 6 5 02" "= - + - = = =

x1 = " B( ; 0),

x2 = " C( ; 0).

Riporta i punti V, A, B e C nel piano cartesiano e disegna la parabola.

Disegna le parabole che hanno le seguenti equazioni.

2y x 12=- +

x y 1 02- + - =

x y 42= +

9y x2+ =

y x x4 2- =

y x x3 2- = +^ h

LEGGI IL GRAFICO Determina le ascisse dei punti indicati nelle figure.

a b c d

x

y

O

x

y

O P Q

x

y

O B

x

y

O P

A

A B

y = – —x2 + —16

32

y = 2x2 – 6x + 4 y = x2 – 6x + 9

y = —x2 – 414

Quali delle seguenti parabole intersecano l’asse x in due punti distinti?

a. y x x8 162= - +

b. y x x22=- -

c. y x x2 72= - +

d. y x x3 102= + -

TEST Solo una delle seguenti equazioni rappresenta una parabola con vertice V(2; - 1) e passante per A(1; 0). Quale?

A y x x42= - B

3y x x

21

22

2= - + C y x x 342

=- + - D y x x 342= +-

a. TEST La parabola nella figura ha equazione:

A y x 1 2= -^ h . C y x 12

= + .

B y x 1 2= +^ h . D y x x2 12

= + - .

b. Che coordinate ha il suo fuoco? Qual è l’equazione della direttrice?

y

O x1

1

102••

103••

104••

105••

106••

107••

108••

109••

110••

111••


23

ESERCIZ

I

E

ASSOCIA a ogni grafico l’equazione corrispondente.

a b c d

O x

y

9

V(0; 8)

O x

y

O x

y

4

O x1

–4

4

y

1. y x x41 2= - 2. y x x 962= +- 3. y x2 82= - + 4. y x x5 42=- + -

RIFLETTI SULLA TEORIA Ponendo y 0= nell’equazione y x x2 92= + + si ottiene un’equazione impossibile. Senza fare calcoli, indica in quali quadranti non può trovarsi il vertice della parabola.

EUREKA! Scrivi le coordinate del vertice della parabola di equazione y x 4 2= -^ h , senza svolgere il quadrato.Spiega il ragionamento che hai seguito.

VERO O FALSO?

a. La parabola di equazione y x x5 72= - - ha la concavità rivolta verso il basso. V F

b. Il vertice della parabola di equazione y x x52=- + ha ordinata 425 . V F

c. La parabola di equazione y x x 174 82= - + ha l’asse di simmetria di equazione y 1= . V F

d. Il punto (2; 1) appartiene alla parabola di equazione y x x21 12= - + . V F

ACCOGLIENZA TURISTICA Chiacchiere… alla città della scienza Alla città della Scienza di Bagnoli due spec-chi parabolici permettono di dialogare mettendosi nei due fuochi, posti a 55 m l’uno dall’altro.

In pianta hanno equazione rispettivamente y x x201 3 201

2= - + e .y x x401

23

245

22= - + +

Determina sul piano cartesiano la posizione dei due punti in cui occorre posizionarsi per poter dialogare e rappresentali nel piano cartesiano insieme alle parabole. ) ( ; ); ( ; )F F30 20 30 35a 1 2-6 @

Stabilisci se i punti ;A 0 1^ h, ;B 1 4-^ h e ;C 1 3-^ happartengono alla parabola di equazione y x x2 5 12= - + .

Stabilisci se i punti ;A 1 2-^ h, ;B 2 10-^ h e ;C 1 2- -^ h appartengono alla parabola di equa-

zione y x x3 2=- + .

Trova per quale valore di k la parabola di equa-zione y kx x8 12= + + ha vertice di ascissa 2- .

k 2=6 @

Determina per quale valore di b la parabola di equazione y bx x b2 2= + - passa per il punto

;A 2 9^ h. b 1=6 @

Trova per quale valore di a la parabola di equa-zione y x ax2 32=- + - ha asse di simmetria di equazione x 3= . a 12=6 @

Trova per quale valore di k la parabola di equa-zione y kx kx 52= - + passa per il punto ; .P 2 3^ h

k 1=-6 @

112••

113••

114••

115••

116••

117••

118••

119••

120••

121••

122••

parabola - zanichelli

Documents