Se Maria tem 4 camisetas, uma vermelha, uma azul, uma amarela e uma verde. Ela

também tem 3 calças, uma roxa, uma rosa e uma preta. De quantas maneiras ela poderá ir

vestida para a escola?

Para resolver esse problema

precisamos descobrir a

melhor maneira de contar

todas as possibilidades

A matemática nos permite, através de alguns cálculos, contar rapidamente o

total de possibilidades que advém dessa situação.

No caso de Maria e suas 4 camisetas e 3 calças, podemos descobrir o número

total de combinações ao multiplicar o número de calças pelo de camisetas.

4x3=12

Esse cálculo funciona, pois ele engloba a combinação de cada uma das 4

camisetas com uma calça, então a Amarela se combina com 3 calças, a Azul

também, e assim por diante, assim cada uma das 4 camisetas se juntou com 3

calças, justificando assim, a multiplicação entre os itens.

Podemos comparar esse cálculo com a árvore de possibilidades, vemos que a

partir de cada camiseta se origina uma árvore e cada uma destas possui 3

galhos referente as calças, dessa forma temos 4 árvores c com 3 finais

possíveis, totalizando 12 finais.

A árvore de possibilidades é uma ótima maneira para visualizar as opções de Maria,

porém em muitos casos os itens a serem combinados serão muitos, neste caso eram

apenas calça e camiseta, mas se pensarmos nos calçados ou ainda, nos acessórios

possíveis, desenhar essa árvore se torna cada vez mais difícil. Você não concorda?

Considerando que Maria, além da roupa, também quer saber as opções de

calçados, ela possui uma sandália e um tênis, temos a árvore a seguir:

Como podemos observar o desenho fica mais complexo que seu anterior,

portanto sugerimos que o desenho da árvore seja feito apenas em casos

simples e apenas para que seja ilustrada a situação.

Neste caso o cálculo a ser feito é analisar quantas opções ela tem para cada

peça de roupa e multiplicar os valores dessas quantidades, assim: 4x3x2=24

possibilidades.

Exercícios

1. Arnaldo planeja ir à praia e deseja utilizar uma camiseta, uma bermuda e

um chinelo. Sabe-se que ele possui 5 camisetas, 6 bermudas e 3 chinelos. De

quantas maneiras distintas Arnaldo poderá vestir-se?

2.Uma prova possui 5 questões de múltipla escolha, onde cada uma possui 4

opções distintas. De quantas maneiras a prova pode ser resolvida?

3. Quantos números de três algarismos distintos existem?

Umas das principais aplicações dos métodos de contagem é a resolução de

problemas de Probabilidade. Pois se considerarmos que todos os resultados

possíveis têm a mesma chance de acontecer. Por exemplo se maria lançar

um dado de 6 lados “honesto”(construído perfeitamente cúbico e

homogêneo), todas as faces têm a mesma chance de sair. Dizemos então

que cada face tem a probabilidade de ⅙ de sair

Também atribuímos probabilidade a conjuntos de resultados possíveis,

chamados de eventos. A probabilidade de um evento ocorrer é a soma das

probabilidades dos resultados que o compõem.

Exemplo: Qual a probabilidade de se obter um resultado maior que 4 ao se

lançar um dado honesto?

Solução: Dizer que se quer um resultado maio que 4é equivalente a dizer que

se quer 5 ou 6. Como cada uma das facetas têm probabilidade ⅙ de ocorrer,

então a probabilidade de um número maior que 4 é:

⅙ + ⅙ = 2/6 = ⅓

De maneira geral, quando todos os resultados têm a mesma possibilidade de

ocorrer, a probabilidade de um evento é igual a razão entre o número de

resultados relativos a esse evento e o número total de resultados. Chamamos

os resultados que desejamos de Resultados favoráveis, o total de resultados

possíveis de Espaço amostral.

Probabilidade = Resultado favorável / Espaço amostral

Exercicios

1) No lançamento de dois dados perfeitos, qual a probabilidade de que a

soma dos resultados obtidos seja igual a 6?

2) Em uma urna existem 16 bolas sendo elas 5 roxos, 3 azuis, 6 amarelas e

2 vermelhas

a) Qual a probabilidade de, tirando apenas 1 bola da urna, esta bola ser

azul?

b) Qual a probabilidade desta bola ser roxa ou amarela?

3) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas

amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde?

4) Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se

retirarmos uma única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela?

5) De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retira-se uma bola.

Qual é a probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4?

6) Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de

inglês, 300 fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos.

Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual a probabilidade dele

também estar cursando o curso de espanhol?

Em jornais, revistas e na televisão são comuns notícias que citam números,

bem como o uso de tabelas e gráficos nas reportagens.

Essas tabelas e gráficos resultam de um trabalho que envolve várias etapas:

1) Coleta de dados;

2) Organização dos dados;

3) Exposição dos dados em forma de tabela e/ou gráficos.

A Estatística é o ramo da Matemática que se encarrega

desse processo. Por meio de tabelas e gráficos, a Estatística

pode fornecer informações sobre um assunto em estudo, bem

como fazer previsões fundamentadas.

Gráficos estatísticos

O gráfico é uma ferramenta utilizada para apresentar dados de maneira

visual e simplificada, isto melhora a compreensão e/ou comparação entre

informações adquiridas por uma pesquisa mais fáceis.

Existem diversos tipos de gráficos, cada um com uma função na

apresentação das informações, alguns apresentam como comparações entre

quantidades dos totais de algo, outros partes de um total, ou ainda

comparando a evolução de um informação.

O processo estatístico

Observe a situação a seguir.

Juliana é professora de uma turma de 6º ano, ela decidiu fazer um

levantamento estatístico com os 20 alunos de sua sala, acerca da prova de

matemática. Acompanhe a sequência utilizada por ela.

1º passo: coleta de dados

Juliana registrou no caderno a nota de matemática de todos

os alunos.

2º passo: organização dos dados

Juliana colocou todas as notas em ordem crescente e

elaborou uma tabela.

3º Elaboração de um gráfico

Voltando a pesquisa de Juliana, construiu o gráfico abaixo depois de organizar

os dados.

Verificando o gráfico e a tabela Juliana poderá chegar a algumas

conclusões. Veja:

- A menor nota da turma foi 1,0.

- A maior nota da turma foi 10.

- A nota que apareceu com mais frequência é 6,0.

- A maioria dos seus alunos tiraram notas acima de 10.

Frequência = Número de vezes que uma informação se repete

em uma pesquisa

O gráfico utilizado é chamado de gráfico de barras simples.

É possível fazer um gráfico de barras parecido considerando outros dados da

turma, como gênero.

Os gráficos de barras múltiplas utilizam variáveis numéricas e adiciona uma

variável categórica.

Gráficos e tabelas no cotidiano

Em muitos jornais de revistas é possível encontrar gráficos acompanhando

notícias, reportagens, textos de divulgação científica, etc. Estes podem servir

como argumentação das ideias expostas no texto, demonstração gráfica das

informações ou até para enfatizar alguma informação. Podemos encontrar

gráficos e tabelas sobre diversos assuntos, como por exemplo:

1) ……………………………………………...

2) ................................................................

3) ……………………………………………...

Gráfico de colunas

Esse tipo de gráfico é utilizado principalmente para comparar informações.

As informações aparecem na forma de retângulos (barras), com origem no

eixo x e cuja largura e altura são proporcionais aos valores aos quais elas

representam.

Na situação anterior, Juliana construiu um gráfico estatístico de colunas.

Obs.: Em alguns casos, em vez da correspondência com valores do eixo y,

os valores são colocados no próprio retângulo ou acima deles para eliminar

problemas de interpretação sobre qual seria o valor correspondente. Veja:

Elementos do Gráfico de Colunas

Gráfico de segmentos

Usado, muitas vezes, para representar a variação de algum fato ao longo do

tempo.

Elementos do gráfico de segmentos

Observe que na reta horizontal (chamada de eixo x) ficam os anos em que os

dados foram coletados.

Na reta vertical (chamada de eixo y) ficam as quantidades de estudantes

cursando línguas no exterior, em milhares de unidades; ou seja, cada unidade

dessa reta representa 1000 estudantes.

No gráfico, representamos por pontos os valores da quantidade de estudantes

cursando línguas no exterior em relação ao ano analisado. Por exemplo, o

ponto A representa o número de estudantes no exterior em 2004 (42000).

Finalmente, os pontos são ligados por segmentos. Daí o nome de gráfico de

segmentos.

Obs.: As divisões dos dois eixos podem ter medidas diferentes.

Gráfico de Pizza

Gráficos de pizza são gráficos divididos em setores, cada setor da pizza

exibe o tamanho de uma parte da informação relacionada. Gráficos de pizza

normalmente são utilizados para exibir os tamanhos relativos às partes do

total das informações.

Elementos do Gráfico de Pizza

Trabalho em equipe

Forme dupla com um colega. Escolham um dos temas propostos abaixo e

façam um levantamento estatístico parecido com o que Juliana fez com

as notas da prova de matemática.

- Altura dos colegas de sala

- Tempo para chegar à escola (use valores aproximados)

- Quantidade de irmão

Se preferirem, inventem um novo tema. Após a coleta e organização dos dados faço um

gráfico para apresentar os dados. Utilizem o tipo de gráfico que preferirem.

Exercicios

1) A tabela abaixo mostra a produção de uma montadora de carros

esportivos durante seis meses.

Mês Produção

Julho 60

Agosto 160

Setembro 210

Outubro 280

Novembro 420

Dezembro 100

Construa um gráfico de segmentos que represente essa tabela.

a) Paulo saiu às 8 horas de sua casa e percorreu um total de 90

quilômetros, até as 12 horas. Analise o gráfico e determine:

a) Quantos quilômetros ele percorreu entre 8 e 9?

b) O que aconteceu entre 9 e 10 horas?

c) Quantos quilômetros ele percorreu entre 10 e 12 horas?

4) Observe os exemplos a seguir:

Nomes femininos de bebês mais populares de São Paulo em 2017

Fonte: Fundação Seade Disponível em: https://www.nexojornal.com.br/grafico/2019/09/24/Quais-os-nomes-de-beb%C3%AAs-mais-

populares-de-S%C3%A3o-Paulo-em-2017

Quantidade de espécies de animais de um Zoológico do interior de Minas Gerais

Responda as

seguintes

perguntas:

Na sua opinião, o gráfico de colunas é o tipo de gráfico que melhor representa

a quantidade de bebês com nomes femininos em São Paulo? Por que?

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………...

E o gráfico de pizza é o que melhor representa a quantidade de espécies de

um zoológico? Por que ?

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………...

5) Discuta e faça um esboço no box a seguir do gráfico que melhor pode

representar as informações de cada tabelas:

Tabela I: Número de empréstimos de livros da

biblioteca ao longo dos meses

Tabela II: Uso das terras do território brasileiro

Fev. 61

Março 78

Abril 49

Maio 48

Junho 52