pålitelighet.no › wp-content › uploads › 2014 › 11 › hovedoppgave... masteroppgavecrf =...

DET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET

MASTEROPPGAVE

Studieprogram/spesialisering: Industriell teknologi og driftsledelse

Vårsemesteret, 2010

Åpen Forfatter: Michael Sørensen

…………………………………………

(signatur forfatter) Fagansvarlig: Veileder: Tore Markeset Tittel på masteroppgaven: En kvantitativ og risikobasert tilnærming til identifisering av forebyggende vedlikeholdsintervaller uten bruk av spesialistkompetanse Engelsk tittel: A quantitative and risk based approach for identification of preventive maintenance intervals without the use of specialists Studiepoeng: 30 Emneord: Optimering, vedlikeholdsintervaller, kvantitative metoder,

Sidetall: 80 + vedlegg/annet: 20

Finnsnes, 10/06/2010 dato/år

En kvantitativ og risikobasert tilnærming til identifisering av forebyggende vedlikeholdsintervaller uten bruk av spesialistkompetanse

Av Michael Sørensen

10. juni 2010

Industriell teknologi og driftsledelse

Universitetet i Stavanger

Skrevet i samarbeid med Finnfjord AS

Innhold 1 INNLEDNING ............................................................................................................................................. 8

1.1 PROBLEMSTILLING .................................................................................................................................... 91.1.1 Avgrensninger ............................................................................................................................... 10

2 METODE ................................................................................................................................................... 11

3 FINNFJORD AS ........................................................................................................................................ 12

3.1 PRODUKSJON ........................................................................................................................................... 123.2 VEDLIKEHOLDSORGANISASJON ............................................................................................................... 12

4 TEORI FOR VEDLIKEHOLDSMODELLER ...................................................................................... 13

4.1 OPTIMALISERINGSPROSESSEN .................................................................................................................. 154.1.1 Risikobasert beslutningsgrunnlag ................................................................................................. 16

4.2 DATAGRUNNLAG ..................................................................................................................................... 204.2.1 Datainnsamling for bruk i FMECA ............................................................................................... 21

4.3 DATAANALYSE ........................................................................................................................................ 224.3.1 Sviktrate ......................................................................................................................................... 224.3.2 Prosessraten .................................................................................................................................. 234.3.3 Weibullfordelingen ........................................................................................................................ 244.3.4 Eksponentialfordelingen ................................................................................................................ 244.3.5 Innledende test av data .................................................................................................................. 244.3.6 Identifisering av levetidsfordeling med Nelson-Aalen plott .......................................................... 264.3.7 Analytisk estimering av parametrene i sannsynlighetsfordelingen ............................................... 30

4.4 MANGELFULL DATA ................................................................................................................................ 324.4.1 Ekspertvurderinger av pålitelighetsdata ....................................................................................... 334.4.2 Ekspertvurderinger med punktestimering ..................................................................................... 344.4.3 Ekspertvurderinger med intervaller .............................................................................................. 354.4.4 Bayesianske metoder ..................................................................................................................... 36

5 KONSTRUKSJON AV OPTIMERINGSMODELLER ......................................................................... 41

5.1 OPTIMERINGSMODELLER ......................................................................................................................... 425.2 BLOKK METODEN .................................................................................................................................... 435.3 FV I FORM AV UTSKIFTING ETTER ALDER ................................................................................................. 44

5.3.1 Utskifting etter alder med hensyn til tiden .................................................................................... 455.4 MINIMAL REPARASJON ............................................................................................................................ 465.5 UTSKIFTING AV UTSTYR MED STORE KAPITALKOSTNADER ...................................................................... 495.6 TILSTANDSBASERT VEDLIKEHOLD ........................................................................................................... 505.7 RELATIVE RISK OG PROPORTIONAL HAZARDS MODELL (PHM) .............................................................. 515.8 PROPORTIONAL INTENSITY MODEL (PIM) ............................................................................................... 52

6 CASE FRA FINNFJORD AS ................................................................................................................... 54

6.1 VALG AV SYSTEM FOR ANALYSE ............................................................................................................. 546.2 FMECA .................................................................................................................................................. 566.3 SCHENKELEVATOR .................................................................................................................................. 586.4 SCHENKBÅND - MINIMAL REPARASJON .................................................................................................... 616.5 UTSTYR MED STORE KAPITALKOSTNADER ............................................................................................... 636.6 KRAN ....................................................................................................................................................... 64

6.6.1 Situasjon ........................................................................................................................................ 646.6.2 Konstruksjon av modell ................................................................................................................. 65

6.6.3 Validering ...................................................................................................................................... 676.6.4 Resultat .......................................................................................................................................... 67

7 DISKUSJON AV RESULTATER ............................................................................................................ 69

7.1 LØNNSOMHETEN AV CASENE ................................................................................................................... 697.2 DATAANALYSE ........................................................................................................................................ 70

7.2.1 Bruk av Bayesiansk statistikk ........................................................................................................ 717.2.2 Ingeniørestimater .......................................................................................................................... 72

7.3 PRAKTISK BRUK AV OPTIMERINGSMODELLENE ........................................................................................ 727.4 ILLUSTRASJON AV DEN BENYTTEDE OPTIMERINGSPROSESSEN ................................................................. 73

8 KONKLUSJON ......................................................................................................................................... 76

9 REFERANSER .......................................................................................................................................... 78

Oversikt over Figurer Figur 1 Beslutningsprosess for tildeling av type FV ................................................................ 14

Figur 2 Typisk optimering innenfor vedlikehold ..................................................................... 15

Figur 3 Overordnet struktur for optimaliseringsprosessen ....................................................... 16

Figur 4 Flytdiagram kritikalitetsanalyse fra NORSOK ............................................................ 18

Figur 5 NORSOK flytdiagram opprettelse vedlikeholdsprogram ............................................ 20

Figur 6 Faktorer som påvirker resultatet av optimeringen ....................................................... 20

Figur 7 Data i optimeringsprosessen ........................................................................................ 22

Figur 8 Illustrasjon av sannsynlighetsfordelingen, påliteligheten og upåliteligheten .............. 23

Figur 9 Kritiske områder for testobservatoren, u ..................................................................... 25

Figur 10 Antall svikt som funksjon av tid ................................................................................ 26

Figur 11 Identifikasjon av weibullfordeling med plott av kumulativ sviktrate ........................ 27

Figur 12 Ln plott av levetid og kumulativ sviktrate ................................................................. 29

Figur 13 Fordeler med formel ekspertvurdering og ingeniørvurdering ................................... 34

Figur 14 Rom med mest sannsynlige parametre – fra ekspertvurderinger (Zuashkiani, 2008) 35

Figur 15 Bruk av Bayes metode ............................................................................................... 37

Figur 16 Levetidsfordeling f(t) med stokastiske parametre ..................................................... 37

Figur 17 Komponentenes sviktrate avgjør ROCOF til systemet .............................................. 41

Figur 18 Fornyelsesprosesser ................................................................................................... 42

Figur 19 Sykluser ved blokkmetoden ....................................................................................... 43

Figur 20 Sykluser ved forbyggende utskiftinger og syklus ved svikt ...................................... 44

Figur 21 Syklusillustrasjon ....................................................................................................... 46

Figur 22 Homogen poissonprosess .......................................................................................... 47

Figur 23 Inhomogen poissonprosess ........................................................................................ 47

Figur 24 Syklus for minimal reparasjon ................................................................................... 48

Figur 25 Sykluser ved store kapitalkostnader og lange intervaller (Jardine og Tsang, 2006) . 50

Figur 26 Parameter over tid hvor tilstanden er tilfredsstilende. ............................................... 51

Figur 27 Paretodiagram med kostnader for arbeidstimer ......................................................... 54

Figur 28 Paretodiagram kostnader tapt produksjon ................................................................. 55

Figur 29 Paretodiagram for delekostnader og innleie .............................................................. 55

Figur 30 Paretodiagram for totale kostnader ............................................................................ 56

Figur 31 FMECA-gruppen ....................................................................................................... 57

Figur 32 Bilde av gir til Schenkelevator .................................................................................. 59

Figur 33 Kostnad per måned med ulike intervaller .................................................................. 60

Figur 34 Bånd til Schenkelevator ............................................................................................. 61

Figur 35 Antall svikt per år ...................................................................................................... 62

Figur 36 Årlige kostnader ved utskiftning i år n ...................................................................... 62

Figur 37 EAC for ulike intervaller for utskiftning av Schenkelevator ..................................... 63

Figur 38 Illustrasjon av Kran 2 ................................................................................................ 64

Figur 39 Tappehalskran 1 ......................................................................................................... 65

Figur 40 Plott i Weibull++ programvare .................................................................................. 71

Figur 41 Illustrasjon av optimeringsprosess ............................................................................. 74

Oversikt over Tabeller Tabell 1 Weibullfordelte levetider ......................................................................................................... 26

Tabell 2 Weibullfordelte levetider med suspensjoner ................................................................... 28

Tabell 3 Data uten suspensjoner for estimering av kumulativ sviktrate ................................ 28

Tabell 4 Utdrag av FMECA for utstyr med største kostnader identifisert i paretoanalysen ............................................................................................................................................................................. 58

Tabell 5 Optimum ......................................................................................................................................... 60

Tabell 6 Sensitivitet for korrektive kostnader .................................................................................. 60

Tabell 7 Sensitivitet for planlagte kostnader ..................................................................................... 61

Tabell 8 Historikk mot modellens forutsigelser ............................................................................... 67

Tabell 9 Sensitivitetsanalyse med tapt produksjonstid ................................................................ 68

Forkortelser Her følger en alfabetisk oversikt over de forkortelser som er tatt i bruk.

CRF = Capital Recovery Factor CMMS = Computerized Maintenance Management System EAC = Equivalent Annual Cost FMEA = Failure Mode and Effect Analysis FMECA = Failure Mode Effect and Criticality Analysis FV = Forebyggende Vedlikehold MPMT =Mean Preventive Maintenance Time MTBF = Mean Time Between Failures MTTR = Mean Time To Repair NDT = Non Destructive Testing NFPV = Norsk Forening for Produksjon og Vedlikehold NHPP = Non Homogeneous Poisson Process NIST = National Institute of Standards and Technology OEM = Original Equipment Manufacurer PHM = Proportional Hazards Modell PIM = Proportional Intensity Model PLS = Programmerbar Logisk Styringsenhet RCM = Reliability Centered Maintenance ROCOF = Rate of occurance of failures SME= Sannsynlighetsmaksimeringsestimator TPM = Total Productive Maintenance

Sammendrag Med utgangspunktet ”Å finne fram til en framgangsmåte og optimeringsmodeller som kan danne et kvantitativt beslutningsgrunnlag for tildeling av ressurser til forebyggende vedlikeholdsintervaller velegnet for små og mellomstore bedrifter”, er det foreslått en risikobasert framgangsmåte for tildeling av forebyggende vedlikeholdsintervaller basert på bevis og data.

Med kvantitative metoder belyses verdien av ulike strategier tydelig, og det bør da bli enklere å oppnå aksept for de valgte strategiene. Fokuset er på enkle og lite ressurskrevende metoder og begrenser seg til grunnleggende modeller som blokk, alder og minimal reparasjon. I tillegg behandles et tilfelle med både deterministiske kostnader og kapitalkostnader. Modellene illustreres med virkelige eksempler fra en mellomstor norsk bedrift, Finnfjord AS. Her utvelges kritiske systemer som skal vurderes for optimalisering. Identifiseringen av dette utstyret baseres på en risikobasert metode, og basert på analyse av datagrunnlaget blir de mest relevante modellene for optimering av vedlikeholdsintervaller presentert. Gjennom casene blir det demonstrert at disse metodene også fungerer i praksis.

Det ble funnet at bedrifter med begrensede ressurser og kompetanse vil kunne ta i bruk grunnleggende modeller, men at det foreligger et potensial for et større bruk av optimeringsmodeller hvis programvaren som allerede er på markedet i dag videreutvikles. Bruk av modellene og den nødvendige dataanalysen er demonstrert med ferdige oppsett i standardverktøyet Excel for weibullfordelte levetider. Oppsettene vil også kunne fungere som maler for lignende tilfeller.

8

1 INNLEDNING Påfallende mye litteratur innenfor vedlikeholdsfaget innledes med noen ord omkring de betydelige ressurser som ofte inngår i vedlikeholdsbudsjettet, og de mange områder hvor vedlikehold ellers har påvirkningskraft overfor bedriftens konkurranseevne (Sherwin, 2000; Marais, 2008; Alsyouf, 2006; Al-Najar, 2006; Campbell & Jardine, 2001). Det kan dermed virke som om bedrifter ikke alltid er tilstrekkelig oppmerksomme på koblingen mellom vedlikehold og de overordnede økonomiske resultatene. Når store ressurser går til vedlikehold vil en kostnadseffektiv vedlikeholdsstrategi derfor representere en betydelig verdi for bedriftene. I tillegg kommer alle andre kostnader relatert til produksjonstap, kvalitet osv. som muligens er enda større enn de direkte kostnadene. Det antas at ulike vedlikeholdsstrategier har ulik betydning for bedriftenes resultater, noe som mange vil mene er en selvfølge i dag.

Problemstillingen er også aktuell i Norge, og i følge Norsk Forening for Produksjon og Vedlikehold (NFPV) er det likevel fremdeles stort potensial for optimaliseringer innenfor vedlikehold i norske bedrifter. Dette gjelder spesielt innenfor forebyggende vedlikehold (FV) (NFPV, 2002). Dette var også en del av konklusjonen i to undersøkelser av svenske bedrifter (Jonsson, 1997 og Alsyouf, 2009), og det antas her at norske og svenske forhold er sammenlignbare.

Det finnes antakelig flere gode forklaringer på hvorfor bedrifter ikke klarer å realisere dette potensialet, selv om de ofte er i hard konkurranse på det globale markedet og dermed har lite rom for å drive suboptimalt. En årsak kunne ganske enkelt være manglende oppmerksomhet på at det i det hele tatt eksisterer et potensial, og en oppfattelse av at vedlikehold nå engang bare ”koster det det koster” eller fungerer som et stort, umettelig svart hull i budsjettet.

Det er selvfølgelig også mulig å anerkjenne vedlikeholdsstrategien som en positiv bidragsyter til bedriftens konkurranseevne uten likevel å få realisert dette potensialet. I dette siste tilfellet kan det være veldig begrenset hva små og mellomstore bedrifter har tilgjengelig av ressurser og kompetanse innenfor dette multidisiplinære området hvor det kreves mer enn innsikt i de spesifikke tekniske systemene for å oppnå suksess. En god del kompetanse innenfor især statistikk er også nødvendig. Dessuten må tilstrekkelig data være tilgjengelig og kjennskap til bruk av programvare i beregningene er avgjørende.

I tillegg har forskning innenfor vedlikeholdsoptimering ofte vært publisert i matematiske tidsskrifter som pålitelighets- og vedlikeholdsingeniører vanligvis ikke leser. Denne typen forskning presenteres som oftest også i et vanskelig tilgjengelig matematisk språk og, ikke minst, med begrenset relevans for praktiske problemstillinger. (Sherwin, 2000; Scarf, 1997; Dekker, 1996) Det finnes mange andre utfordringer i forhold til for eksempel organisatoriske og strategiske problemstillinger - og ikke minst implementering, men denne oppgaven vil i motsetning til kvalitative metoder som klassisk Reliability Centered Maintenance (RCM) og Total Productive Maintenance (TPM), hovedsakelig være fokusert på kvantitative metoder med datagrunnlag, dataanalyse, og beslutningsanalyse relatert til FV.

9

I rapporten fra NFPV(2002) nevnes det at en del vedlikeholdsledere hadde et ønske om å øke andelen av FV. I konkurransen om ressurser internt i bedriften er det nærliggende å forestille seg at kvantitative argumenter står sterkest, og derfor antas det her at en kvantitativ metode som optimering av vedlikeholdsintervaller definitivt er velegnet til å rettferdiggjøre anbefalinger innenfor FV.

1.1 Problemstilling Ved bruk av kvantitativ metoder, som statistikk og beslutningsanalyse, kan usikkerhet behandles i beslutningsprosessen på en systematisk og gjennomskuelig måte. Avgjørelser basert på synsing eller prinsippet om ”den sterkestes” rett” for investeringer og prioriteringer vil dermed stå svakere. Kvantitative metoder tydeliggjør også resultatene, noe som er en fordel når man skal argumentere for å bruke ressurser på især FV. Når det i litteraturen nevnt over stadfestes at denne typen beslutninger har stor økonomisk betydning, og at FV har et stort potensial, er det nærliggende å undersøke om en slik kvantitativ og risikobasert metode kan være relevant for norske, og da spesielt små og mellomstore bedrifter. Optimering av forebyggende vedlikeholdsintervaller er lite utbredt, selv om dette er anerkjent som et viktig satsningsområde innenfor FV (Jardine, 2006). Gitt disse utfordringene innenfor vedlikeholdsområdet blir hovedmålet som følger:

Hovedmål

Å finne fram til en framgangsmåte og optimeringsmodeller som kan danne et kvantitativt beslutningsgrunnlag for tildeling av ressurser til forebyggende vedlikeholdsintervaller velegnet for små og mellomstore bedrifter.

Mål Første del av hovedmålet, selve framgangsmåten, består hovedsakelig av de innledende prosesser som er nødvendige før optimering av forebyggende vedlikeholdsintervaller kan beregnes og vil kunne nås gjennom følgende delmål:

• Utvelgelse av kritiske systemer som skal vurderes for optimering • Tildeling av vedlikehold som baserer seg på en risikobasert metode • Demonstrere at metodene fungerer i praksis under de gitte forutsetninger

Andre del av hovedmålet, å finne velegnede optimeringsmodeller som kan danne grunnlag for å tildele ressurser til arbeidet med forebyggende vedlikeholdsintervaller, består av følgende delmål:

• Finne en velegnet metode for analyse av data til bruk i optimeringsmodellene • Finne fram til de mest relevante modeller for optimering av vedlikeholdsintervaller • Demonstrere at metodene fungerer i praksis under de gitte forutsetninger

10

Aktiviteter: Målene nevnt over består av følgende aktiviteter:

• Utføre paretoanalyse for identifisering av kritiske systemer • Gjøre bruk av FMECA analyse • Utforme regneark i standardprogramvaren Excel uten bruk av spesialisert programvare

for dataanalyse • Litteraturstudie for identifisering av grunnleggende optimeringsmodeller • Implementering av optimeringsmodellene i Excel • Teste metodene gjennom case fra Finnfjord AS

1.1.1 Avgrensninger • Optimeringsprosessen må være anvendelig for ikke-spesialister, og derfor enkel å

anvende i praksis. Dette betyr at metoder som vil kreve spesialistkompetanse utelukkes som alternativer i denne sammenhengen.

• Metoden som velges skal være anvendelig for små- og mellomstore bedrifter, og må derfor være gjennomførbar med begrensede ressurser.

• Optimering av intervaller for FV vil begrense seg til grunnleggende og relativt enkle modeller som vil være realistiske å implementere i praksis. Modellene vil gjelde for utskiftning av utstyr med blokk- og aldersmetoden, minimal reparasjon og tilfeller med store kapitalkostnader og deterministisk kostnadsutvikling. (Se kapittel 4)

11

2 METODE For å sikre at modellen blir anvendelig i praksis vil utgangspunktet for casene her være fra virkelige problemstillinger i en mellomstor norsk industribedrift. Bedriften Finnfjord AS, som er en produsent av ferrosilisium, bli benyttet og regnes i denne sammenheng for å være representativ for små og mellomstore bedrifter. Prinsippene for tildeling av vedlikehold og bestemmelse av intervaller regnes ikke for bransjespesifikke. Ved at utstyret i modellene representerer store verdier for bedriften, og konsekvensene ved svikt er betydelige, vil det være mulig å trekke paralleller til andre små og mellomstore bedrifters vedlikeholdsstrategi.

Interessante modeller ble identifisert ved hjelp av litteraturstudie innenfor kvantitativ optimering og dens utfordringer. Ved å ta høyde for de angitte begrensninger i utvalgsprosessen er relevante optimeringsmodeller presentert. Det tilstrebes å beskrive en komplett metode fra start til slutt. For å komme frem til den risikobaserte prosessen som leder fram til bruk av modellene ble det også gjennomført litteraturstudie. Tilgjengelig spesialisert programvare på området er også undersøkt for å se på deres anvendelighet i prosessen.

I casene er først en kartlegging av kostnader utført slik at det mest kritiske utstyr kunne identifiseres ved hjelp av paretoanalyse. På bakgrunn av disse resultatene er intervju utført for estimering av levetidsparametre med ingeniørvurderinger for å kompensere for manglende data. Mulige begrensninger ved bruk av ingeniørestimater til datainnsamling er diskutert i avsnitt 7.2.2. Løsningen på problemet som mangelen på data utgjør ble foreslått av Zuashkiani, under et seminar i april 2010. Denne viten, sammen med de tilknyttede kostnader, benyttes til modellvalg og oppbygging av modeller. Grunnlaget for modellene er dataanalysen, og enkle framgangsmåter er vist med bruk av Excel. På bakgrunn av teorien og modellene litteraturstudiene, er det konstruert modeller i Excel som antas å være velegnede med de gitte begrensningene. Alle modellene som er lagt til grunn for anbefalingene er vedlagt både i papirformat, samt i Excelfiler.

12

3 FINNFJORD AS Finnfjord er et smelteverk i Lenvik kommune i Troms, og er en av Europas ledende produsenter av ferrosilisium (FeSi). Ferrosilisium benyttes i produksjonen av stål og forskjellige stålprodukter. Finnfjord leverer også silika, som inngår i moderne betongteknologi. I 1983 ble smelteverket som det fremstår i dag grunnlagt, og har siden da blitt utvidet og modernisert frem til i dag å dekke rundt 15 % av EUs behov for ferrosilisium. Det er i overkant av 100 ansatte på Finnfjord, og omsetningen var i 2008 ca 850 millioner kroner. ( www.finnfjord.no)

3.1 Produksjon Produksjonen er energikrevende. For å produsere ferrosilisium benyttes det i alt 3 elektriske reduksjonsovner som opereres med effekter på 20, 42 og 45 MW. Årlig forbruk er da på rundt 950 GWh elektrisk kraft ved full kapasitetsutnyttelse. Elektrisk energi er en stor del av produksjonskostnadene, ca 45 %. Det er derfor fokus i dag på å utnytte energien best mulig, og dette er også et besluttet å være bedriftens viktigste strategiske satsningsområde. (www.finnfjord.no) Finnfjord har i dag flere prosjekter som skal gjenvinne energi, og satser også sterkt på å utvikle prosesser som kan imøtekomme stadig sterkere miljø- og produktkrav.

Generelt er 100 % tilgjengelighet med full kapasitetsutnyttelse ønskelig og nedetid i produksjonen medfører derfor betydelige kostnader i form av tapt produksjon. Hele prosessen med lossing av råvarer fra skip til utstøping av ferdig ferrosilisium er sårbar overfor svikt. Det stilles derfor store krav til utstyret som i tillegg representerer store kostnader i form av tilknyttet vedlikehold. Kritisk og kostbart utstyr i produksjonsprosessen er ikke et særtilfelle for metallindustrien og samme forhold gjør seg ofte gjeldende for små- og mellomstore bedrifter i andre bransjer.

3.2 Vedlikeholdsorganisasjon Vedlikeholdet er organisert med en vedlikeholdssjef, en elektrosjef med ansvar for elektrikere, en planlegger, 3 vedlikeholdsingeniører og 1 verkstedsjef som har ansvaret for mekanikere. Det er ca. 5 elektrikere og 15 mekanikere.

På nåværende tidspunkt er det satt fokus på utvikling av vedlikeholdet med bl.a. en igangværende TPM-prosess, og et stadig behov for utvikling av vedlikeholdet er påkrevd i forbindelse med nye prosjekter. Vedlikeholdsbudsjettet utgjør et tosifret millionbeløp, noe som er betydelig i seg selv, men påvirkningskraften vedlikeholdet indirekte har på produksjonen er utvilsomt også stor. Det er derfor viktig at beslutninger tas på et faglig velfundert grunnlag basert på bevis og data, og her vil kvantitative og risikobaserte metoder være velegnet.

http://www.finnfjord.no/�

http://www.finnfjord.no/�

13

4 TEORI FOR VEDLIKEHOLDSMODELLER En oversikt over et særdeles stort antall eksisterende modelltyper er presentert av Wang (2002) og modellene som behandles videre her vil representerer et veldig begrenset utsnitt. For å belyse hvilken type modeller og hvorfor de er valgt er FV inndelt i 3 hovedgrupper:

• Tilstandsbasert vedlikehold, • Tidsbasert vedlikehold • Forebyggende utskiftning

De 3 hovedgrupper framgår i høyre side av Figur 1, som er gjengitt fra Jardine og Tsang (2006). Figuren illustrerer beslutningslogikken for tildeling av vedlikehold når først det er avgjort at vedlikeholdet på det spesifikke utstyret må være forebyggende. Beslutningslogikken er den del av prosessen for tildeling av vedlikehold som vil bli beskrevet nærmere i avsnitt 6.2.1. Det vil naturligvis igjen være undergrupper som termografi, vibrasjonsmåling osv. som må bestemmes i hvert enkelttilfelle. Hovedgruppen ”forebyggende utskiftning” vil her være hovedfokuset, fordi den inneholder modeller som er grundig gjennomtestet og så tilpass enkle at det burde være god mulighet for å ta dem i bruk i praksis. Forebyggende utskiftninger representerer ikke alltid de største potensielle gevinster innenfor optimering, men i tillegg til at de valgte modellene er relativt simple, så danner de også ofte grunnlaget for andre og mer avanserte modeller (Aven og Dekker, 1997; Wang, 2002).

For tilstandsbasert vedlikehold er man også ofte avhengig av tilstedeværelsen av teknologi og kompetanse på måleteknikker for tilstandskontroll. Modellene for forebyggende utskiftning krever til gjengjeld bare forholdsvis enkle data som ofte allerede registreres i utgangspunktet i bedriftens CMMS system. (Computerized maintenance management system). Med dette øker sannsynligheten for at de valgte modellene er innenfor rekkevidde for små og mellomstore bedrifter som ikke gjør bruk av grundige pålitelighetsanalyser eller har tatt i bruk programmer med omfattende bruk av tilstandsbasert teknologi. Selv om det ikke her utarbeides eksempler med tilstandsbaserte modeller, er to typer likevel funnet veldig interessante på grunn av deres potensial og derfor omtalt i avsnitt 5.6.

14

Figur 1 Beslutningsprosess for tildeling av type FV

Den optimale beslutningen balanserer ofte mellom ulike kostnader og fordeler, og optimeringsmodeller blir da et velegnet verktøy da de er matematiske modeller som nettopp etterstreber en optimal balanse ved å kvantifisere kostnader og fordeler (Dekker, 1995). I praksis betyr det å ta hensyn til kostnader forbundet med både FV, korrektiv vedlikehold, kostnader forbundet med tapt produksjon osv. En måte å se på optimering innenfor vedlikehold er presentert i Figur 2. Her illustreres at øking av tiden mellom FV på x-aksen fører til lavere forebyggende kostnader, men også til større kostnader forbundet med det korrektive vedlikeholdet. Økingen i korrektive kostnader kunne også avspeile øking i tapt produksjon og ofte vil optimum skulle finnes mellom FV og tapt produksjon.

Nei

Vedlikeholdet på gitt utstyr må være forebyggende

Tidsbasert reparasjon

Forebyggende utskiftning

Teknisk mulig og økonomisk hensiktsmessig å oppdage gradvis feilutvikling ved hjelp av tilstandsbasert vedlikehold?

Teknisk mulig og økonomisk fordelaktig å reparere komponenten slik at sannsynligheten for svikt minskes?

Teknisk mulig og økonomisk hensiktsmessig å skifte ut komponenten slik at sannsynligheten for svikt minskes?

Redesign eller annen løsning

Nei

Ja

Ja

Ja

N

ei

Tilstandsbasert vedlikehold

15

Målet med optimeringsmodellene vil i det følgende bli å minimere kostnadene ved å identifisere de optimale tidsintervallene for vedlikehold i forbindelse med forebyggende utskiftninger. Innenfor operational research er det utviklet mange ulike modeller, hvor noen utvalgte modeller blir behandlet her. Det antas at disse modellene er grunnleggende og er anvendelige for ikke-spesialister innenfor pålitelighet og optimering og som ellers har relativ bred anvendelighet.

4.1 Optimaliseringsprosessen Den overordnede strukturen for optimaliseringsprosessen vil hovedsakelig være som illustrert i Figur 2. Prosessen innfrir kravene til hva som kan kalles en RCM prosess ved å inkludere følgende 7 kriterier:

1. Identifikasjon av systemer/utstyr som skal analyseres 2. Bestemme funksjonene til systemene/utstyret 3. Bestemme hva som definerer svikt hos disse funksjonene 4. Identifisere årsaken til sviktene 5. Identifisere effekten av sviktene 6. Bruk av RCM-logikk for å tildele velegnet vedlikehold 7. Dokumentasjon av vedlikeholdsprogrammet og kontinuerlig forbedring i takt med

innhentet erfaring.

(Campbell & Jardine, 2001)

For å sikre en kostnadseffektiv prosess, bør ikke alle systemer bli utsatt for grundige analyser, og de systemer eller utstyr med størst potensial identifiseres derfor først. Når systemene som man ønsker å analysere grundig er kartlagt, utføres en Failure Mode Effect and Criticality Analysis (FMECA) med det formål å kartlegge feilmodi og deres effekt og konsekvenser. Med den viten FMECA bringer med seg om de ulike feilmodi kan det besluttes hvilken type vedlikehold som er velegnet ved hjelp av en beslutningslogikk som beskrives nærmere i

Figur 2 Typisk optimering innenfor vedlikehold

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

kost

nade

r/tid

Forebyggende vedlikeholdsintervall

Forebyggende kostnader

Korrektive kostnader Totale kostnader

Optimum

16

avsnitt 6.2. Til slutt blir da spørsmålet ved hvilke intervaller FV bør utføres. Denne identifiseringen av forebyggende vedlikeholdsintervaller bestemmes på bakgrunn av optimeringsmodellene. Hovedelementene i denne strukturen kan også kjennes igjen i NORSOK standarden Z-008, og i avsnitt 4.1.1 vil standarden bli beskrevet nærmere i forhold til en praktisk og enkel metode som blir fulgt i et case igjennom oppgaven.

Figur 3 Overordnet struktur for optimaliseringsprosessen

4.1.1 Risikobasert beslutningsgrunnlag Risikovurderinger er nyttige som beslutningsgrunnlag når begrensede ressurser betinger at man må prioritere blant mange muligheter. Mengden av utstyr kan ofte være såpass stor at det vil være behov for prioriteringer når tildelingen av ulike typer av vedlikehold på utstyret skal besluttes. Det finnes ulike oppfatninger av begrepet risiko, men her er definisjonen fra Aven (2007) valgt:

”risiko er en kombinasjon av mulige konsekvenser (utfall) og tilhørende usikkerhet”.

Ved bruk av denne definisjonen tas det hensyn til både konsekvenser og de tilhørende usikkerheter i beslutningsprosessen. Risiko behøver dermed heller ikke å beskrives som en kvantitativ størrelse, i motsetning til den litt mer ”enkle” definisjonen av risiko som lik sannsynlighet x konsekvens. Dette medfører at risiko meningsfylt kan uttrykkes med for eksempel høy/lav og ofte/sjelden uten at det trengs å foreligge konkrete tall.

Her vil derimot sannsynlighet x konsekvens alene beskrive forventningsverdien ved å betrakte kostnaden og sannsynligheten for at denne kostnad vil forekomme. Forventningsverdiene for de ulike alternativer sammenlignes, og største forventningsverdi bør velges hvis ikke den tilhørende risikoen vurderes som uakseptabel. Å velge løsninger med størst forventningsverdi maksimerer bedriftens overskudd i det lange løp, hvilket anses som grunnleggende økonomisk teori. I hovedtrekk vil risikovurderinger her primært bli brukt i utvelgelsen av kritisk utstyr (prioritering), og forventningsverdier vil bli brukt som et beslutningskriterium.

Før en beslutning kan tas på bakgrunn av ovenstående, gjenstår det å bestemme etter hvilke kriterier en beslutning er lønnsom. Internrente og netto nåverdi er eksempler på vanlige metoder for å avgjøre om det bør investeres eller ikke. Netto nåverdi metoden er oftest sterkest da den for eksempel tar hensyn til nåverdi og ikke vil gi flere optimum som kan være tilfellet ved bruk av internrentemetoden (Brealey et al., 2006). Formålet med risikovurderinger og netto nåverdi som beslutningskriterier blir da å bidra med kostnadseffektive beslutninger. Det vil være tilfeller hvor det i praksis ikke er nødvendig å ta hensyn til tidsverdien av penger, og i noen av modellene som blir presentert i senere avsnitt er tidshorisonten såpass liten at det ikke er nødvendig å ta hensyn til nåverdien.

Valg av system FMECA for valgt system

Identifisering av velegnet

vedlikehold på utstyr

Optimering av forebyggende vedlikeholds-

intervaller

17

Man kunne for så vidt velge å gå gjennom alt utstyr fra en ende til en annen, men ut fra antakelsen om at noen systemer har større potensial enn andre for optimalisering, kan man velge å identifisere de mest kritiske systemene først og dermed begrense analysens omfang. En mye brukt metode til dette er paretoanalyse, hvor man foruten kostnader også kan prioritere sikkerhet, tilgjengelighet eller andre områder som vektlegges ut fra relevante kriterier til disse. I caset som presenteres under er fokuset på kostnader, som her alene avgjør hvilke systemer som tas med for videre analyse. Kostnader kan ofte inndeles i material- og delekostnader, lønnskostnader og kostnader relatert til produksjonstap. Når alle kostnadene er summert, vil utstyr tilknyttet de høyeste kostnader trå tydelig fram.

Beslutningsgrunnlag for valg av system Basis for beslutninger vil her være risikovurderinger og lønnsomhetsbetraktninger, noe som er i tråd med NORSOK standarden Z-008, som har følgende formål:

”…establish a basis for preparation and optimization of maintenance programs for new and in-service oil and gas plants. This NORSOK standard describes an efficient and rational working process resulting in an optimized maintenance program based on risk analysis and cost-benefit principles” (NORSOK Z-008, 2001, s. 7)

Selv om denne standarden er utviklet for bruk innenfor petroleumsindustrien, bør den også kunne brukes innenfor andre industrier da den bygger på kost/nytte betraktninger og risikovurderinger - et grunnlag som antas å være ettertraktet i alle typer industri. En annen fordel med standarden er at den er lett tilgjengelig og kan nedlastes gratis fra internett. Standarden vil her videre bli brukt som en ledetråd, men med visse vesentlige unntakelser for å tilpasse den til små- og mellomstore bedrifter. Unntakelsene vil bli beskrevet i neste avsnitt.

Første del av av NORSOK Z-008 inneholder definering av systemgrenser og kritikalitetsanalyse. Flytdiagrammet i Figur 4 vil her være utgangspunktet for det videre arbeid med utvilklingen av intervaller.

18

Figur 4 Flytdiagram kritikalitetsanalyse fra NORSOK

Formålet med bruk av standarden er først og fremst å konstruere et risikobasert vedlikeholdsprogram. I Figur 4 tilsvarer dette punkt 4.1. Teknisk dokumentasjon i punkt 5.2.1 er nødvendig senere i analysen, men for å spare tid kan det med fordel ventes til relevant utstyr er definert. Punkt 5.2.2 går på systemgrenser, og er et vesentlig punkt som det her anbefales å avvike fra standarden. Dette utdypes nærmere i neste avsnitt. Beslutningskriterier bestemmes i 5.2.3, og i flytdiagrammets punkt 5.3 vurderes det hvilke systemer som skal analyseres etter kritikalitet for å sikre en kostnadseffektiv framgangsmåte. Dette vil bli behandlet i caset i avsnitt 6.1.

Avvik fra NORSOK En stor del av flytdiagrammet for kritikalitetsanalysen er tilknyttet definering av systemgrenser og funksjoner på system- og undersystemnivå. Dette er en vanlig framgangsmåte også i RCM (Moubray, 1997) Man kan mene at systemgrenser og systemfunksjoner bidrar til å skape en oversikt og innsikt i anlegget, men spørsmålet er om det koster mer enn det smaker, siden denne delen av analysen kan bli omfattende. Det vil i det følgende bli argumentert for hvorfor denne delen av analysen kan unnlates.

Bloom (2005) argumenterer med at hvis alle komponenter i kritisk utstyr gjennomgås på en systematisk måte som ved FMECA, vil alle konsekvensene også bli identifisert som følger av svikt relatert til de enkelte komponenter. Altså vil ikke systemgrenser og systemfunksjoner være nødvendige for å belyse relasjonen mellom komponenter og konsekvenser som er hovedgrunnlaget for avgjørelser omkring tildeling av vedlikehold. Hvis man derimot tar utgangspunkt i systemfunksjoner og deres svikt, så må man igjennom en prosess hvor det enkelte utstyret som bidrar til systemsvikten må identifiseres. Dermed introduseres en mulighet til å overse utstyr som kan bidra til svikt, hvor metoden som i stedet tar

19

utgangspunkt i alle komponenter sikrer at ingen komponenter eller utstyr blir oversett. Utgangspunktet med å begynne analysen på komponentnivå og derfra identifisere hvilke svikt komponentene kan forårsake må også kunne sies å være et enklere konsept enn om man først skal definere systemgrenser og funksjoner for deretter å identifisere tilhørende svikt. Bloom (2005) argumenterer for at vektleggingen av systemgrenser i klassisk RCM kommer av at systemgrensene allerede var definerte av flyindustrien før Nowland og Heap begynte sitt arbeid med utvikling av RCM-metoden fra flyindustrien.

Offshore systemer, som NORSOK er utviklet til, er ofte veldig omfattende med et stort antall komponenter som muligens kan rettferdiggjøre omfattende ressursbruk på oppdeling av produksjonsutstyret i systemavgrensninger, hovedfunksjoner, hovedsystemer og undersystemer. For mindre bedrifter med mer oversiktlige systemer og mindre rotasjon av personell, vil denne innledende disiplin med fordel kunne begrenses betraktelig. Definisjon av systemer og systemgrenser behøver ikke nødvendigvis å lede til målet om effektivt vedlikehold, og prosessen kan antas å miste fart hvis ledere føler de allokerer ressurser til en prosess som de mistenker er lite verdiskapende. Især hvis vedlikeholdet har en uavklart rolle vil prosessene rundt FV kunne ende i skyggen av de mer direkte aktiviteter forbundet med det fysiske vedlikeholdet.

FMECA for valgt system Framgangsmåten som beskrives i denne NORSOK-standarden har mye til felles med Reliability Centered Maintenance (RCM) metoden.

I neste fase konstrueres vedlikeholdsprogrammet og beslutningsdiagrammet for dette er vist i Figur 5. En stor del av prosessen vil bestå av en FMECA analyse, og hvordan dette kan gjøres vil bli illustrert med et case i avsnitt 6.2.

20

Figur 5 NORSOK flytdiagram opprettelse vedlikeholdsprogram

4.2 Datagrunnlag En god del av prosessen går på å konstruere en modell som representerer det virkelige systemet i tilstrekkelig grad, og i tillegg være så tilpass enkel at den er brukbar i praksis. Men for å oppnå et brukbart resultat av optimeringen er det ikke nok med en fornuftig modell. Også datagrunnlaget er avgjørende og må både være tilstrekkelig i omfang og nøyaktighet (se Figur 6).

Figur 6 Faktorer som påvirker resultatet av optimeringen

For å ha tilstrekkelig grad av tiltro til typen av sannsynlighetsfordelinger som er valgt og deres parametre, er det en fordel med en god mengde utfall (ofte i form av levetidsdata), og dataene må også være representative for formålet. Ofte vil mengden av data som man har innsamlet internt i bedriften være begrenset eller helt fraværende, og det kan da være aktuelt å benytte seg av eksterne databaser som for eksempel OREDA. Ved bruk av interne data bør man alltid vurdere om dataene er tilstrekkelig representative, og kanskje enda mer ved bruk av eksterne data. Hva angår eksterne data risikeres at data hvor driftsbetingelser, vedlikehold

Data intern Data ekstern

Relevant modell

Resultat optimering

21

eller andre faktorer er såpass forskjellig fra den situasjonen som modelleres at de eksterne data ikke vil være tilstrekkelig representative. En god del forutsetninger må altså være på plass og relativt strenge krav stilles til datagrunnlaget før et godt resultat er mulig for optimeringen.

Følgende punkter er essensielle for et godt beslutningsgrunnlag.

Registreringer på alle avsluttede arbeidsordre:

• Tiden til komponenter og systemer feiler (for bestemmelse av sviktrate og levetidsfordeling)

• Tiden vedlikeholdet tar (for kostnadsberegning)

• Lengden på eventuelle produksjonsstans (for kostnadsberegning)

• Kostnader knyttet til vedlikeholdet som for eksempel lønn, deler og produksjonsstans

Tilleggspunkter ved optimalisering av tilstandsbasert vedlikehold:

• Utstyrets timetall

• Måleresultater (alltid i kombinasjon med timetall)

• Hendelser som påvirker måleresultatene. For eksempel oljeskift, oppretting, utskiftning eller overhaling av komponent forebyggende eller på grunn av svikt, osv. (Alltid i kombinasjon med timetall).

4.2.1 Datainnsamling for bruk i FMECA Ideelt sett bør all data være lett tilgjengelig fra historikken i CMMS, men i praksis kan nødvendig data være fragmentert og befinne seg i ulike databaser som eies av ulike avdelinger. Kanskje produksjonsavdelingen har en database over driftsstopp, vedlikeholdsavdelingen sitter på reparasjonstid, levetid og timekostnader og lageravdelingen administrerer databasen over delekostnader. I tillegg til å være fragmentert, kan data rett og slett være mangelfull og feilaktig og man må passe seg for at GIGO (garbage in garbage out) prinsippet ikke trår i kraft. Mye tid vil i slike situasjoner bli brukt på å hente ut data fra ulike databaser og forsøk på å estimere og rydde opp i eventuell feilaktig data vil gjøre datainnsamlingen ressurskrevende. Nytten av prioriteringer vil da øke og FMECA analysen vil kunne danne grunnlaget for denne prioriteringen, slik at data først innentes når de kritiske komponenter er blitt belyst i FMECA analysen.

En annen og mer ønskelig situasjon er hvor man allerede har et effektivt CMMS på plass som inneholder korrekt og fyllestgjørende data. Når rapporteringsfunksjonen i systemet er enkel, antas det at prioritering kan automatiseres til en viss grad igjennom rapporteringsfunksjonen, og FMECA’ en blir mindre vesentlig, spesielt med hensyn til datainnsamlingen. Et moderne CMMS med oppdaterte data kan automatisk rapportere utstyr tilknyttet de høyeste kostnader, og på bakgrunn av denne rapporteringen kunne man gå rett til optimeringen uten å involvere en ressurskrevende FMECA. Hvis sistnevnte velges og FMECA hoppes over, må man likevel

22

allerede i utgangspunktet ha god kjennskap til utstyret og dets sviktmodi. Data og informasjon som trengs i optimeringsmodellene gjennomgås i avsnitt 4.3.

Dataenes betydning for optimeringsprosessen som er valgt i casene er illustrert i Figur 7. Her framgår det at hele prosessen bygger på data, og det blir dermed viktig å innfri noen krav til datamengde og kvalitet. Det kan tenkes at allerede eksisterende systemer og prosedyrer for datainnsamling må styrkes for å tilfredsstille kravene, men nødvendigheten av gode data blir tydelig hvis man har ambisjoner innenfor optimering.

Figur 7 Data i optimeringsprosessen

4.3 Dataanalyse Før rett modell til en gitt problemstiling identifiseres, må man investere noe arbeid omkring sannsynlighetsfordelingene til levetider og deres parametre. Det kreves også litt kunnskap om teorien bak estimeringen av sannsynlighetsfordelingene, hvor især Nelson-Aalen estimatoren er en metode som er mye brukt og velegnet til data som også inneholder sensurerte data Arven (2007). Etter en gjennomgang av sentrale begreper vil den nødvendige teorien for å kunne estimere sannsynlighetsfordelinger vil bli gitt.

4.3.1 Sviktrate Sviktraten er allerede nevnt og spiller en sentral rolle innenfor optimering av vedlikehold. Den beskriver sannsynligheten for svikt umiddelbart etter at et gitt tidsrom har passert. Det betyr at ved økende sviktrate, så vil sannsynligheten også øke for svikt i takt med at tiden går. Situasjonen er annerledes ved konstant sviktrate, representert ved eksponentielle levetider. Sannsynligheten for svikt vil fremdeles være større hvis komponenten skal fungere over lang tid i forhold til kort tid, men når først et tidsrom har passert, er den umiddelbare sannsynligheten for svikt etter dette tidsrommet den samme som da komponenten ble satt i funksjon. Hvis en Programmerbar Logisk Styringsenhet (PLS) med konstant sviktrate for eksempel først har overlevd i 5 år, så har sannsynligheten for svikt ikke økt i forhold til den

Valg av system FMECA for valgt system

Identifisering av velegnet

vedlikeholdOptimering av FV

intervaller

Opprette arbeidspakker med

prosedyrer og tidsintervaller.

Generisk hvor mulig.

Vedlikeholdsplan i CMMSIverksettelseRegistreringDataanalyse

Evaluering

23

var ny, og det vil derfor heller ikke være fornuftig å skifte den ut med en ny (av samme type) for å minske sannsynligheten for svikt.

Matematisk beskrives sviktraten:

𝑤𝑤(𝑡𝑡) = limΔ𝑡𝑡→0𝑝𝑝(𝑡𝑡<𝑇𝑇≤𝑡𝑡+∆𝑡𝑡|𝑇𝑇>𝑡𝑡)

∆𝑡𝑡 (4-1)

Som også kan skrives som:

𝑤𝑤(𝑡𝑡) = 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑅𝑅(𝑡𝑡)

(4-2)

f(t) er sannsynlighetsfordelingen til levetiden. R(t) betegner funksjonssannsynligheten og er sannsynligheten for å oppnå lengre levetid enn tiden, t. Også F(t) er essensiell og er lik 1-R(t) og kan benevnes upålitelighetsfunksjonen. Disse begreper er hentet fra Aven (2006) og er illustrert i Figur 8.

Feilraten fungerer som en nøkkel i optimeringen og en god del arbeid ligger i å bestemme denne i dataanalysen.

4.3.2 Prosessraten Forventede antall hendelser per tidsenhet til tiden, t beskrives som prosessraten eller Rate of occurance of failures (ROCOF) og er definert som:

𝜆𝜆(𝑡𝑡) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝐸𝐸(𝑁𝑁(𝑡𝑡)) (4-3)

(Rausand & Høyland, 2004)

I motsetning til sviktraten, brukes prosessraten for reparerbare systemer og prosessraten blir summen av systemets enkeltkomponenters sviktrater wi:

𝜆𝜆(𝑡𝑡) = ∑ 𝑤𝑤𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 (4-4)

(Sherwin, 2009)

For å finne E(N(t)) kan ROCOF’en brukes da en estimator for λ(t) (når Δt er liten) i følge Rausand og Høyland (2004) blir:

t

R(t) F(t) f(t)

Figur 8 Illustrasjon av sannsynlighetsfordelingen, påliteligheten og upåliteligheten

24

�̂�𝜆(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑡𝑡𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑡𝑡 𝑖𝑖 [𝑡𝑡 ,𝑡𝑡+∆𝑡𝑡]∆𝑡𝑡

(4-5)

og E(N(t)) finnes når λ (t) er estimert da

𝐸𝐸�𝑁𝑁(𝑡𝑡)� = ∫ 𝜆𝜆(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢𝑡𝑡0 (4-6)

4.3.3 Weibullfordelingen Den mest relevante sannsynlighetsfordelingen innenfor optimering er weibullfordelingen, som er veldig fleksibel og beskriver de fleste typer levetider:

𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 𝛽𝛽𝜂𝜂

(𝑡𝑡𝜂𝜂

)𝛽𝛽−1𝑒𝑒−(𝑡𝑡𝜂𝜂)𝛽𝛽 (4-7)

Parameteren β benevnes formparameteren og ved β < 1 er feilraten avtagende. Ved β = 1 fås eksponentialfunksjonen og ved β > 1 er sviktraten økende. β ≈ 3,44 gir en normalfordeling.

η benevnes skalaparameteren og har den egenskap at når η = t er F(t) = 0,632. Det vil si at muligheten eksisterer for et grovt estimat av denne parameteren hvis man vurderer at det for eksempel er ca. 60 % sannsynlighet for at en komponent vil svikte før 9 000 timer. Et estimat av η blir da 9 000.

Sviktraten for weibullfordelingen er : w(t) = βη

(tη

)β−1 (4-8)

Upålitelighetsfunksjonen er: 𝐹𝐹(𝑡𝑡) = 1 − 𝑒𝑒−(𝑡𝑡𝜂𝜂)𝛽𝛽 (4-9)

(Jardine & Tsang, 2006)

4.3.4 Eksponentialfordelingen Systemer bestående av mange komponenter beskrives ofte best med eksponentialfunksjonen som er gitt ved: f(t) = λe−λt (4-10)

Sviktraten: 𝑤𝑤(𝑡𝑡) = 𝜆𝜆 (4-11)

Upålitelighetsfunksjonen: 𝐹𝐹(𝑡𝑡) = 1 − 𝑒𝑒𝜆𝜆𝑡𝑡 (4-12)

(Aven, 2006)

4.3.5 Innledende test av data For å kunne estimere en levetidsfordeling må dataene være uavhengige og identisk fordelte. Det vil si at alle dataene må tilhøre samme levetidsfordeling og hver levetid må være uavhengig av den foregående. Et system hvor driftsforholdende med tiden har utviklet seg til å belaste systemet i større grad enn tidligere, kan for eksempel skape levetider tilhørende forskjellige levetidsfordelinger og dataene kan dermed ikke analyseres som om de representerer det samme systemet. Tilsvarende kan man heller ikke slå sammen data fra ulike systemer og deretter estimere en enkelt levetidsfordeling gjeldende for alle systemene.

25

Laplace trend test er en brukbar metode til å avgjøre om dataene er uavhengige identisk fordelte (u.i.f.) (Jardine A. og Tsang A., 2006). Hvis fordelingen er u.i.f. utføres testen ved å beregne en testobservator, u som er standardnormalfordelt, N(0,1):

u = �12N(tn) ∙ ( ∑ tini=1

T∙N(tn ) − 0,5) (4-13)

hvor T er tiden forsøket avsluttes og som må skje imens utstyret fremdeles fungerer. ti er levetidene og N(tn) er antall levetider opp til den siste registrerte levetid før forsøket avsluttes.

Hvis forsøket avsluttes med svikt, tn blir testobservatoren i stedet:

𝑢𝑢 = �12𝑁𝑁(𝑡𝑡𝑛𝑛−1) ∙ ( ∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑛𝑛−1𝑖𝑖=1

𝑡𝑡𝑛𝑛 ∙𝑁𝑁(𝑡𝑡𝑛𝑛−1) − 0,5) (4-14)

Med signifikansnivå α = 0,05 og tosidig test, vil hypotesen u ~ N(0,1) kunne avvises hvis u > 1,96 eller u < -1,96 (se Figur 8).

Figur 9 Kritiske områder for testobservatoren, u

Et eksempel på dette vil bli vist med data tilfeldig utvalgt fra en weibullfordeling. Tilfeldige levetider (som er weibullfordelte), t, kan genereres i Excel fra upålitelighetsfunksjonen.

Upålitelighetsfunksjonen er som vist før 𝐹𝐹(𝑡𝑡) = 1 − 𝑒𝑒−(𝑡𝑡𝜂𝜂)𝛽𝛽 (4-9) (Jardine & Tsang, 2006).

(Excel har ingen inversfunksjon for weibullfordelingen). 8 uavhengige identiske fordelte levetider ble generert fra en weibullfordeling med η = 6 000 og β = 2 (se vedlegg 2) og er i ordnet rekkefølge gitt i Tabell 1:

p(u)

26

Tabell 1 Weibullfordelte levetider

j T

1 1724

2 3514

3 3864

4 4545

5 5700

6 6245

7 6720

8 7111

For å sjekke om antakelsen om u.i.f. er rimelig for dataene i Tabell 1, beregnes u:

𝑢𝑢 = √12 ∙ 8 ∙ �32312

7111 ∙ 8− 0,5� = 0,67

og hypotesen u ~ N(0,1) forkastes ikke og det er ikke funnet bevis for at dataene følger en bestemt trend og u.i.f. antas. Når trend ikke kan påvises kan analysen fortsettes med identifisering av en passende levetidsfordeling.

4.3.6 Identifisering av levetidsfordeling med Nelson-Aalen plott Et veldig enkelt plott kan avsløre viktig informasjon om utformningen av levetidsfordelingene, og et eksempel er gitt i Figur 10 og benevnes N(t)- eller Nelson-Aalen plott. Nelson-Aalen plottet er velegnet til å estimere den kumulative sviktraten og er ofte brukt til dette (Kalbfleisch et Al., 2002; Aven, 2006).

N(t) er antallet av svikt som har forekommet til tiden, t og er altså en diskret størrelse. Fra plottet vil en økende, minkende eller konstant feilrate avsløres, og allerede her vil man altså i noen tilfeller kunne avgjøre om det er hensiktsmessig med for eksempel forebyggende utskiftninger. Figur 10 viser henholdsvis en konstant, en minkende og en økende sviktrate. Som diskutert tidligere vil det ikke være hensiktsmessig å gå videre med vurdering av forebyggende utskiftninger ved konstant og minkende sviktrate.

Figur 10 Antall svikt som funksjon av tid

Selv om man vet at sviktraten har en bestemt tendens ut fra plottet i Figur 10, er ikke parametrene til sannsynlighetsfordelingen gitt og flere fordelinger kan også avspeile samme

Tid Tid

N(t) N(t) N(t)

Tid

Konstant Minkende Økende

27

tendens i sviktraten. For eksempel vil weibull og normalfordeling begge resultere i en økende sviktrate. En løsning kan da være å plotte den kumulative sviktraten (også kaldt hazard-plott) som kan si noe om sannsynlighetsfordelingen og dens parametre. Den kumulative sviktraten er definert som

𝑊𝑊(𝑡𝑡) = ∫ 𝑤𝑤(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢𝑡𝑡0 (4-15)

Dette er nyttig da det er en direkte forbindelse mellom den kumulative sviktraten og sannsynlighetsfordelingen når pålitelighetsfunksjonen kan skrives som

𝑅𝑅(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒−𝑊𝑊(𝑡𝑡) (4-16)

En rett linje igjennom origo ved plott på vanlig papir av den kumulative sviktraten avslører en konstant feilrate og dermed også en eksponentialfordeling. Hvis det kumulative plottet utføres på en logaritmisk skala som vist i Figur 11 og resultatet er en rett linje, har man identifisert en weibullfordeling. Ln-plottet benyttes til å finne parameter for sannsynlighetsfordelingen, som videre benyttes i optimeringsmodellene.

Figur 11 Identifikasjon av weibullfordeling med plott av kumulativ sviktrate

Det eneste som står igjen for å utføre ovenstående plott er å estimere W(t) og Nelson-Aalen estimatoren vil her bli benyttet. Dataene hentes fra Tabell 1 som var generert fra en fordeling med formparameter (β) 2 og skalaparameter (η) 6 000. I tillegg til dataene i Tabell 1 introduseres suspensjoner som er tilfeldig valgt i Tabell 2. Her levetidene presentert i ordnet rekkefølge og med markering for suspensjoner.

Ln t

Ln W(t)

28

Tabell 2 Weibullfordelte levetider med suspensjoner

j t δ=0 hvis suspensjon, ellers 1

1 1724 1

2 2000 0

3 3514 1

4 3864 1

5 4545 1

6 5700 1

7 6245 1

8 6720 1

9 7111 1

10 9000 0

Kumulative sviktrate estimeres med Nelson-Aalen estimatoren:

𝑊𝑊� (𝑡𝑡) = ∑ 1𝑛𝑛−𝑗𝑗+1𝑗𝑗 :𝛿𝛿𝑗𝑗=1,𝑇𝑇𝑗𝑗≤𝑡𝑡 (4-17)

Eksempel på beregning av estimatoren er gitt i Tabell 3 på bakgrunn av dataene fra Tabell 2.

Tabell 3 Data uten suspensjoner for estimering av kumulativ sviktrate

j t δ Estimat av W(t)

1 1724 1 0,10

3 3514 1 0,23

4 3864 1 0,37

5 4545 1 0,53

6 5700 1 0,73

7 6245 1 0,98

8 6720 1 1,32

9 7111 1 1,82

Hvis man forventer en weibullfordeling, kan man gjøre nytte av at sviktraten for en weibullfordeling er:

𝑤𝑤(𝑡𝑡) = 𝛽𝛽𝜂𝜂∙ (𝑡𝑡

𝜂𝜂)𝛽𝛽−1 (4-18)

Som medfører at den kumulative sviktraten blir:

𝑊𝑊(𝑡𝑡) = ∫ 𝑤𝑤(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 = (𝑡𝑡𝜂𝜂

)𝛽𝛽𝑡𝑡0 (4-19)

Tar man logaritmen av dette uttrykket gir den kumulative sviktraten som funksjon av tiden, t en rett linje hvor estimatet av formparameteren, β kan avleses direkte og skaleringsparameteren, η enkelt kan beregnes:

29

ln[𝑊𝑊(𝑡𝑡)] = ln[(𝑡𝑡𝜂𝜂

)𝛽𝛽 ]

ln[𝑊𝑊(𝑡𝑡)] = β ln �1η� + βln(t) (4-20)

som tilsvarer formen y = ax+b

(Rausand og Høyland, 2004)

Ln( W(t)) og ln(t) av de 8 datapunkt i Tabell 2 er plottet i Figur 12. Da punktene ser ut til å ligge på en rett linje indikerer det en weibullfordeling, og parameterestimering kan iverksettes.

Figur 12 Ln plott av levetid og kumulativ sviktrate

Parametrene kan så finnes da hellingskoeffisienten på den rette linjen i Figur 12 er lik formparameteren, β. β er i dette tilfellet 1,99 hvilket stemmer godt overens med en forventet

verdi på 2. Heretter kan η finnes fra formel ln[𝑊𝑊(𝑡𝑡)] = β ln �1η� + βln(t) (4-20)


0 = 1,99 ∙ ln �1𝜂𝜂� + 1,99 ∙ 8,73 ⇔ ln �

1𝜂𝜂� = −8,73 ⇔ 𝜂𝜂 =

1𝑒𝑒−8,73 = 6186

Dette er heller ikke så langt fra de forventede 6 000 og estimatene for begge parametrene er dermed funnet hvis man mener plottet av tidene til svikt ligger på en rett linje.

Hvis det er behov for å kommunisere at punktene faktisk ser ut til å ligge på en rett linje, kan dette gjøres enkelt ved hjelp av lineær regresjon. Et eksempel er vist med Excel i vedlegg 3 med bruk av Excels innebygde variansanalysefunksjon. I dette tilfellet forklarer den lineære modellen 94 % av variasjonen for de 8 levetider og vi kan avvise med stor tiltro at β = 0 og η = 0. Det ser derfor ikke ut til å være noe til hinder for å anta levetidene er weibullfordelte med de estimerte parametrene, og denne weibullfordelingen kan skrives som:

𝑓𝑓(𝑡𝑡) =1,996186

(𝑡𝑡

6186)0,99𝑒𝑒−( 𝑡𝑡

6186)1,99

y = 1,9997x - 17,449

-3,00

-2,50

-2,00

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

7,20 7,40 7,60 7,80 8,00 8,20 8,40 8,60 8,80 9,00

ln(W

(t))

ln(t)

30

Når f(t) er funnet er en viktig forutsetning for å konstruere optimeringsmodellen på plass.

4.3.7 Analytisk estimering av parametrene i sannsynlighetsfordelingen Parametrene til sannsynlighetsfordelingen, β og η, kan finnes med en grafisk metode som vist i det ovenstående hvor form- og skalaparameteren ble funnet for weibullfordelingen. Dette kan også gjøres analytisk ved bruk av sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (SME), men denne metoden betinger at sannsynlighetsfordelingen allerede er blitt identifisert. Det vil derfor være naturlig å utføre Nelson-Aalen plottet først for identifisering av sannsynlighetsfordelingen, for deretter å foreta en mer nøyaktig estimering av parametre med SME. Metoden går ut på å finne den estimatoren som maksimerer sannsynligheten for å ha fått de innsamlede levetider brukt i dataanalysen. Fremgangsmåten som kan benyttes for dette, og som er beskrevet i det følgende, er i stor grad hentet fra Walpole et. Al. (2007) og Rausand et al. (2004).

Bruk av SME uten suspensjoner SME er den estimatoren, 𝜃𝜃� som maksimerer sannsynlighetsfunksjonen:

𝐿𝐿(𝜃𝜃) = 𝑝𝑝(𝑑𝑑𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎|𝜃𝜃) = 𝑓𝑓(𝑡𝑡1,𝜃𝜃)𝑓𝑓(𝑡𝑡2,𝜃𝜃) ∙∙∙ 𝑓𝑓(𝑡𝑡𝑛𝑛 ,𝜃𝜃) = ∏ 𝑓𝑓(𝑡𝑡𝑖𝑖|𝜃𝜃)𝑛𝑛𝑖𝑖=1 (4-21)


Weibullfordelingen

𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 𝛽𝛽(1𝜂𝜂

)𝛽𝛽𝑡𝑡𝛽𝛽−1𝑒𝑒−(1𝜂𝜂𝑡𝑡)𝛽𝛽

gir sannsynlighetsfunksjonen:

𝐿𝐿(𝛽𝛽, 𝜂𝜂) = 𝛽𝛽𝑛𝑛(1𝜂𝜂

)𝛽𝛽𝑛𝑛 ∏ 𝑡𝑡𝑗𝑗 𝛽𝛽−1𝑒𝑒−(1𝜂𝜂𝑡𝑡𝑗𝑗 )𝛽𝛽𝑛𝑛

𝑗𝑗=1 (4-22)


Funksjonen deriveres og settes lik null for å finne maksimumspunktet, men for å gjøre derivasjonen enklere, finnes først logaritmen av funksjonen:

ln𝐿𝐿(𝛽𝛽, 𝜂𝜂) = 𝑛𝑛𝛽𝛽𝑎𝑎𝑛𝑛 �1𝜂𝜂� + 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛𝛽𝛽 + ∑ (𝛽𝛽 − 1)𝑎𝑎𝑛𝑛𝑡𝑡𝑗𝑗 −𝑛𝑛

𝑗𝑗=1 �1𝜂𝜂�𝛽𝛽∑ 𝑡𝑡𝑗𝑗 𝛽𝛽𝑛𝑛𝑗𝑗=1 (4-23)


Denne partiell deriveres med hensyn til η og settes lik null for å finne parameteren η :

𝜕𝜕𝑎𝑎𝑛𝑛𝐿𝐿

𝜕𝜕(1𝜂𝜂)

= �𝛽𝛽1𝜂𝜂− 𝛽𝛽(

1𝜂𝜂

)𝛽𝛽−1𝑡𝑡𝑗𝑗 𝛽𝛽𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

= 0

1𝜂𝜂

= ( 𝑛𝑛∑ 𝑡𝑡𝑗𝑗 𝛽𝛽𝑛𝑛𝑗𝑗=1

)1𝛽𝛽 (4-24) (Rausand og Høyland, 2004)

31

Og η kan enkelt beregnes i regneark. Mangler da å finne β og partiell deriverer igjen:

𝜕𝜕𝑎𝑎𝑛𝑛𝐿𝐿𝜕𝜕𝛽𝛽

= 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛 �1𝜂𝜂� +

𝑛𝑛1𝜂𝜂

+ �𝑎𝑎𝑛𝑛𝑡𝑡𝑗𝑗 −��1𝜂𝜂� 𝑡𝑡𝑗𝑗 𝛽𝛽 𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

�1𝜂𝜂� 𝑡𝑡𝑗𝑗 = 0

Ved innsetting av 1𝜂𝜂

= ( 𝑛𝑛∑ 𝑡𝑡𝑗𝑗 𝛽𝛽𝑛𝑛𝑗𝑗=1

)1𝛽𝛽 fås

𝑛𝑛𝛽𝛽

+ ∑ 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑡𝑡𝑗𝑗 −𝑛𝑛 ∑ 𝑡𝑡𝑗𝑗 𝛽𝛽 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑡𝑡𝑗𝑗𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

∑ 𝑡𝑡𝑗𝑗 𝛽𝛽𝑛𝑛𝑗𝑗=1

𝑛𝑛𝑗𝑗=1 = 0 (4-25)


Å finne β fra ovenstående likning er enkelt i Excel ved bruk av en innbygget iterativ metode i programvaren og er demonstrert i Vedlegg 4. De to suspensjonene er fjernet fra dataene, da utledningene over ikke gjelder for suspensjoner.

Resultatet blir da β = 3,31 og η = 5505. I dette tilfellet avviker β altså betraktelig fra den forventede verdien på 2 og den grafiske metoden med en β = 1,99 var nærmere den forventede verdien. Det kan ikke dermed konkluderes at den grafiske metoden er mer nøyaktig, da utgangspunktet er et lite utvalg med 8 stokastiske variabler hvor utfallene også kunne ha vært verdier som ga det mest nøyaktige resultatet ved bruk av SME. Parameterestimering med SME regnes for å være mer nøyaktig enn den grafiske metoden ved store mengder data (Aven, 2006)

På samme måte kan SME brukes til å finne parameteren λ for utstyr med eksponentielle levetider og resultatet blir:

𝜆𝜆𝑆𝑆𝑆𝑆𝐸𝐸 = 𝑛𝑛∑ 𝑇𝑇𝑗𝑗𝑛𝑛𝑗𝑗=1

(4-26)


Som ved weibullfordelingen over gjelder dette også bare for data uten suspensjoner.

Suspensjoner Hvis suspensjoner er registrert, fås likelyhoodfunksjonen:

𝐿𝐿(𝜃𝜃) = ∏ 𝑓𝑓(𝑡𝑡𝑖𝑖 |𝜃𝜃)∏ 𝑅𝑅(𝑡𝑡𝑖𝑖|𝜃𝜃)𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑆𝑆

𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝐹𝐹 (4-27)

(Eirik Abrahamsen, forelesning 10.03.2009)

Hvor F er alle tidene til svikt, og S er suspensjonene.

SME for eksponentialfunksjonen, λSME når k er antall levetider uten suspensjoner og n er totale antall levetider:

32

𝐿𝐿(𝜆𝜆) = ∏ 𝜆𝜆𝑒𝑒−𝜆𝜆𝑡𝑡𝑖𝑖 ∏ 𝑒𝑒−𝜆𝜆𝑡𝑡𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑆𝑆

𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝐹𝐹 = 𝜆𝜆𝑠𝑠𝑒𝑒−𝜆𝜆 ∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 (4-28)


ln�𝐿𝐿(𝜆𝜆)� = ln(𝜆𝜆𝑠𝑠) + ln�𝑒𝑒−𝜆𝜆 ∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 � = 𝑠𝑠 · ln(𝜆𝜆) − 𝜆𝜆�𝑡𝑡𝑖𝑖

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

· 1

𝑑𝑑ln�𝐿𝐿(𝜆𝜆)�𝑑𝑑λ

=𝑠𝑠𝜆𝜆−�𝑡𝑡𝑖𝑖

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

𝑑𝑑ln�𝐿𝐿(𝜆𝜆)�𝑑𝑑λ

= 0 ⇔ 𝑠𝑠

𝜆𝜆− ∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 = 0 ⇔ λ = k

∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1

(4-29)


Også eksponentialfunksjonen finnes veldig enkelt for data som også inneholder suspensjoner.

Relativt enkle matematiske utledninger er nå blitt vist for å finne parametrene i levetidsfordelinger som er både eksponentialfordelte med suspensjoner og weibullfordelinger uten suspensjoner. Et viktig scenarie mangler imidlertid, nemlig tilfellet hvor dataene inneholder suspensjoner og hvor levetiden samtidig er weibullfordelt. Det er mulig å finne parametrene også i sistnevnte tilfelle, men beregningene er relativt kompliserte og jobben egner seg best til spesialisert programvare for weibullanalyse. Teorien for SME er imidlertid også nødvendig ved bruk av bayesianske teknikker i avsnitt 4.4.4.

4.4 Mangelfull data Siden mangelfull data ofte vil være en hindring, kan det overveies andre muligheter til å få tak i relevant data. Her skal 4 muligheter nevnes som kan benyttes når dataene internt i bedriften er mangelfulle:

• Data fra eksterne database • Utføre egne eksperimenter • Data fra leverandører • Data-pooling

Ifølge Rausand og Høyland. (2004) eksisterer det god del kommersielle aktører som tilbyr pålitelighetsdata igjennom egne databaser, men sviktraten er dessverre som oftest oppgitt som konstant, uavhengig om den er det i virkeligheten eller ei. Da komponenter med konstant sviktrate uansett er lite interessante for problemstillinger innenfor optimering av vedlikehold, er de eksterne databaser nok dessverre til begrenset nytte.

Andre muligheter er data fra leverandører eller simpelthen å designe eksperimenter og skape egne data ved bruk av for eksempel akselererte levetidstester. Sistnevnte metode er ressurskrevende og antas å ha lite potensial i denne konteksten av små og mellomstore bedrifter.

33

Data fra leverandører er en annen mulighet, men det er ikke sikkert leverandøren råder over brukbar data annet enn hva som registreres under garantiperioden da det oftest ikke er leverandøren som drifter det leverte utstyret og derfor muligens heller ikke har tilgang til driftsdata. Det er heller ikke sikkert leverandøren er villig til å levere ut data av ulike konkurransemessige hensyn.

Data-pooling er relevant hvis man har brukbar historikk over utstyr plassert andre steder i bedriften som er lik det man ønsker å analysere. Som ved analyse av alle typer data uansett opprinnelse, så er det avgjørende at også driftsforholdene er sammenlignbare slik at man ikke risikerer å ende opp med data fra en komponent som for eksempel bare har vært utsatt for små belastninger når beslutninger skal tas angående en komponent utsatt for store belastninger.

4.4.1 Ekspertvurderinger av pålitelighetsdata Ovenstående metoder for dataanalyse fungerer bra hvis man har nok representative data, men dette er ikke alltid tilfelle, og situasjoner oppstår lett hvor datamengden er veldig sparsom. Grunnen til dette kan være enten fordi data ganske enkelt ikke er blitt registrert, utstyr har bare vært i bruk i en kort tidsperiode, eller utstyret har en så høy pålitelighet at det er ingen eller veldig få feil til stede i historikken for registrering. Man kan da velge å designe eksperimenter i form av akselererte levetidstester som må anses for å være en ressurskrevende metode, eller man kan benytte seg av de noe mindre kostnadsintensive ekspertvurderinger.

Hokstad et Al. (1998) trekker fram to klassiske oppfattelser av ekspertvurderinger som benevnes henholdsvis formelle ekspertvurderinger og ingeniørvurderinger. Ekspertvurderinger har strengere krav i forhold til prosessen med hensyn til både dokumentasjon, struktur, objektivitet og evnen til reproduksjon. Fra et forskningsmessig standpunkt er dette derfor den foretrukne metoden, men minst to punkter taler i mot den formelle ekspertvurdering: Man må begrense seg til de forhåndsdefinerte spørsmål og metoden blir hurtig kostnadskrevende å gjennomføre og er på grunn av dette ikke realistisk i mange tilfeller. De såkalte ingeniørvurderingene krever få ressurser, men ofrer til gjengjeld den strukturerte framgangsmåten, og sammenlignet med formelle vurderinger forventes det at sannsynligheten øker for at resultatene blir mindre objektive. En grov sammenligning er vist i Figur 13, og ingeniørvurderinger ble benyttet i casene når data var utilstrekkelig.

34

Figur 13 Fordeler med formel ekspertvurdering og ingeniørvurdering

4.4.2 Ekspertvurderinger med punktestimering Ekspertvurderinger må nødvendigvis trå i kraft når data ikke eksisterer. Estimering av parameteret λ med 1

𝜆𝜆 som forventet antatt svikt innenfor et gitt tidsrom for

eksponentialfunksjonen, er veldig intuitiv og det forventes at for eksempel spørsmål angående ”forventet antall svikt per år” vil kunne besvares uten store vanskeligheter. Når sviktraten ikke er konstant blir utfordringen litt større, men en metode som baserer seg på bare 2 kvartiler i weibullfordelingen er fremdeles relativ enkel og ble for eksempel brukt i Vanneste et Al. (1995) og vil her bli demonstrert.

Metoden går ut på å få en vurdering av F(t) til to levetider ut fra subjektiv erfaring. Man kan for eksempel formulere et spørsmål som går på å vurdere hvor lang tid det vil gå før man med 50 % sannsynlighet forventer en svikt og hvor lang tid det vil gå før en svikt vil inntreffe med bare 10 % sannsynlighet. Utledningen av parametrene i det følgende er hentet fra Cook (2010):

Utgangspunktet er her upålitelighetsfunksjonen for weibullfordelingen, 𝐹𝐹(𝑡𝑡) = 1 − 𝑒𝑒−(𝑡𝑡𝜂𝜂)𝛽𝛽

Tiden, t finnes ved den inverse av F(t) ble allerede utledet i Vedlegg 2 med resultatet:

𝐹𝐹−1(𝑡𝑡) = 𝑡𝑡 = 𝜂𝜂(−ln(1 − 𝐹𝐹(𝑡𝑡))1𝛽𝛽 (4-30)

Dette brukes til å finne parameteren β ved hjelp av bare F(t1), og F(t2) :

𝑡𝑡2

𝑡𝑡1=𝜂𝜂(−ln(1 − 𝐹𝐹(𝑡𝑡2))

1𝛽𝛽

𝜂𝜂(−ln(1− 𝐹𝐹(𝑡𝑡1))1𝛽𝛽

= �ln(1 − 𝐹𝐹(𝑡𝑡2)ln(1 − 𝐹𝐹(𝑡𝑡1)�

1𝛽𝛽

⇔ 𝛽𝛽 = ln (− ln�1−𝐹𝐹(𝑡𝑡2)�−ln (−ln (1−𝐹𝐹(𝑡𝑡1))ln (𝑡𝑡2)−ln (𝑡𝑡1)

(4-31)

Formell ekpertvurdering

Ingeniørvurdering

35

Når β er identifisert kan η finnes fra uttrykket fra formel (4-30)

𝜂𝜂 = 𝑡𝑡

(−ln (1−𝐹𝐹(𝑡𝑡))1𝛽𝛽 (4-32)

Et numerisk eksempel kan gis når det vurderes at F(2000) = 0,1 og F(5000) = 0,5:

𝛽𝛽 =ln(− ln(1 − 0,5) − ln(−ln(1 − 0,1)

ln(5000) − ln(2000)= 2,06

𝜂𝜂 =2000

(−ln(1 − 0,1)1

2,06= 5976

Levetidsfordelingens parametre er identifisert. Vedlegg 5 er et Excelark hvor det kun er nødvendig å taste inn de to tider med tilhørende sannsynligheter for å få de tilhørende parameterverdier. Det er åpenlyse svakheter med ovennevnte metode. Først og fremst angis punktestimater uten noen form for usikkerhet tilknyttet estimatene. Konseptuelt kan det også være en utfordring å skulle angi et tidspunkt som tilsvarer en gitt sannsynlighet for svikt når man ikke har erfaring med å arbeide med sannsynligheter.

4.4.3 Ekspertvurderinger med intervaller Selv om sannsynlighetsbegrepet ikke kan ignoreres, så anbefales her en annen metode som er litt mer komplisert for personen som skal analysere svarene fra eksperten, men som til gjengjeld stiller spørsmål som er enklere for eksperten å forholde seg til. Når spørsmålene blir enklere for eksperten å forstå, forventes det at sannsynligheten for misforståelser minker og svarene kommer nærmere de faktiske forhold. Metoden er beskrevet av Zuashkiani (2008) og benytter seg av intervaller estimert av en eller flere eksperter. De estimerte intervaller tilsvarer ulikheter som brukes av fasilitatoren til å estimere parametrene i levetidsfordelingen.

Ulikhetene representerer intervaller med subjektive sannsynligheter for at svikt vil framkomme innen tiden, t. Spørsmål kan formuleres som ”angi et intervall som beskriver

β

Ulikheter som avgrenser rommet med parametre

η Rom med mest sannsynlige parametre

Figur 14 Rom med mest sannsynlige parametre – fra ekspertvurderinger (Zuashkiani, 2008)

36

sannsynligheten for at svikt vil forekomme innen 12 måneder”. Et svar på dette kunne være: ”sannsynligheten for svikt innen 12 måneder er mellom 20 og 30 %. Ulikheten blir da: 0,20 ≤ F(12) ≤ 0,30. Ved flere tilsvarende spørsmål om intervaller for andre tider til svikt vil det dannes et rom som illustrert i Figur 14, og parametrene estimeres fra dette rommet.

I tillegg til å kunne gjøre bruk av intervaller når sannsynligheter estimeres, er det også mulig for eksperten å tilegne subjektive usikkerheter til hvert intervall. Eksperten kan altså for eksempel svare at vedkommende er 80 % sikker på at svikt vil forekomme med 20 – 30 % sannsynlighet innenfor 12 måneder. Denne ulikheten vil da bare ”telle” 80 % av gangene i simuleringen som må til for å identifisere parametrene.

Et relativt bredt intervall som man er sikker på innerholder parametrene for levetidsfordelingen må være på plass først, og de tilfeldig genererte parameterverdier må være innenfor dette intervallet. Et konservativt intervall for β i weibullfordelingen kan for eksempel være 0,5 – 15. Resultatet av simuleringen er da estimater av parametrene i levetidsfordelingen som er gjennomsnittet av alle de tilfeldig genererte utfall av parametre som tilfredsstiller alle ulikhetene. Ovenstående ble forklart av Zuashkiani (2010). Et eksempel med parameterestimering fra en weibullfordeling på bakgrunn av ovenstående resultater er gitt i Vedlegg 6. I vedlegget legges svarene omkring sannsynlighetene inn og parameterverdiene beregnes automatisk basert på dette.

Som ved alle modeller må fasilitatoren være kritisk til inndataene som i dette tilfellet representeres ved ekspertens svar. Eksperten er for eksempel inkonsistent hvis en ulikhet aldri vil kunne oppfylles og man må da vurdere hvorfor svaret er inkonsistent. Kanskje det er flere inkonsistente svar som gjør at man bør være kritisk til bruk av eksperten. Hvis bare en enkelt ulikhet ikke kan oppfylles velger man muligens bare å fjerne den inkonsistente ulikhet fra beregningene og parametrene estimeres uten den. I følge Zuashkiani (2010) og Welte og Eggen (2008) vil eksperten ofte være for sikker på sine egne intervaller og når svarene analyseres bør man kalibrere intervallene ved å utvide dem en god del med for eksempel 10 – 20 %. Scarf (1997) påpeker at de intervjuede ofte er de som selv står bak planleggingen av vedlikeholdsprogrammet. Et insentiv til å få det nåværende programmet til å stemme overens med det optimale oppstår hvis den intervjuede vil kunne framstå mer kompetent hvis den intervjuedes arbeid allerede resulterer i den mest optimale strategien.

4.4.4 Bayesianske metoder Problemet med få data gjør Bayesianske teknikker velegnet (Luit et al., 2009), siden de i tillegg til data om levetider også inkluderer annen tilleggsinformasjon som for eksempel data fra andre systemer lik det som evalueres eller fra ekspertvurderinger. Det betyr at man for eksempel tar utgangpunkt i en ekspertvurdering og på bakgrunn av denne vurderingen danner et estimat av parametrene i levetidsfordelingen for så senere å revurdere denne oppfattelse i takt med at mer data blir tilgjengelig. Flyten i metoden kan da illustreres som i Figur 15, og gjelder i tilfeller hvor erfaringsdata er sparsomme.

37

Figur 15 Bruk av Bayes metode

Til forskjell fra den klassiske metoden som SME representerer, forutsettes det ikke at sanne og objektive parametre eksisterer, men derimot at parametrene i levetidsfordelingen er stokastiske variabler. Sannsynlighetsfordelingen som beskriver parametrene benevnes apriorifordelingen, se Figur 16. Typen av levetidsfordeling må være bestemt før man konstruerer apriorifordelingen. En apriorifordeling kan da konstrueres ved hjelp av ekspertvurderinger eller erfaringer fra lignende systemer.

Som tiden går og man etterhånden får registrert data, bør den opprinnelige vurderingen av Bayes metode gjør det mulig å ta hensyn til tidligere vurderinger slik at de samsvarer bedre med den akkumulerte data. Når mengden av data øker, vil graden av tiltro til dataene i forhold til de opprinnelige vurderingene også øke. Det betyr at ved store mengder data forventes det at Bayes metode ender opp med samme resultat som en ”klassisk” dataanalyse som gjør bruk av SME. Dermed viser Bayes metode sin styrke i forhold til de klassiske metoder, som står svakere når ingen eller få data er tilgjengelig. Bayes metode får da en fordel hvis man i utgangspunktet allerede har en formening (uttrykt ved apriorifordelingen) omkring parametrene i levetidsfordelingen før man får innsamlet tilstrekkelig med erfaringsdata.

Kombinasjonen av apriorifordelinger og dataene skjer ved hjelp av Bayes teorem som derfor blir sentral:

Ekspertvurdering

ErfaringsdataEkspertvurdering kombinert med erfaringsdata

Figur 16 Levetidsfordeling f(t) med stokastiske parametre

𝑓𝑓(𝛽𝛽)

Apriorifordeling for β

𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 𝛽𝛽(1𝜂𝜂

)𝛽𝛽 𝑡𝑡𝛽𝛽−1𝑒𝑒−(1𝜂𝜂𝑡𝑡)𝛽𝛽

Apriorifordeling for η

𝑓𝑓(𝜂𝜂)

38

𝑝𝑝(𝜃𝜃|𝑑𝑑𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎) = 𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎 |𝜃𝜃)∙𝑝𝑝(𝜃𝜃)𝑝𝑝(𝑑𝑑𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎 )

(4-33)


Hvor 𝑝𝑝(𝜃𝜃|𝑑𝑑𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎) er parameteren θ gitt dataene og betegnes aposteriorifordelingen og er den som oppdateres i takt med at ny informasjon fra data blir tilgjengelig. p(θ) er apriorifordelingen og p(data) vil være en konstant, c. Aposteriorifordelingen kan da skives som:

𝑝𝑝(𝜃𝜃|𝑑𝑑𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎) = 𝑐𝑐 ∙ 𝐿𝐿(𝜃𝜃) ∙ 𝑝𝑝(𝜃𝜃) (4-34)


Neste skritt blir å finne en passende apriorifordeling, og hvis levetiden er eksponentialfordelt vil en apriorifordeling av formen gammafordeling resultere i at aposteriorifordelingen også blir gammafordelt, og beregningene forenkles. I det følgende vil bare tilfeller med eksponentialfordelte levetider bli behandlet, og metoden som er beskrevet her vil derfor være begrenset til komponenter med eksponentielle levetider.

Gammafordelingen med forventingsverdi og varians:

𝑓𝑓(𝜆𝜆) = 𝑏𝑏𝑎𝑎

Γ(𝑎𝑎)𝜆𝜆𝑎𝑎−1𝑒𝑒−𝑏𝑏𝜆𝜆 (4-35)

𝐸𝐸(𝜆𝜆) = 𝑎𝑎𝑏𝑏 (4-36)

𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉(𝜆𝜆) = 𝑎𝑎𝑏𝑏2 (4-37)


Aprioriestimering av parametre for eksponentialfordeling Hvis aprioriviten eksisterer, kan parametrene a og b enkelt bestemmes i gammafunksjonen. Hvis data finnes fra lignende utstyr blir: a = antall levetider og b = totale sum av levetidene. Apriori estimatet for λ betegnes heretter λapriori

Hvis ikke aprioriviten eksisterer i utgangspunktet kan ekspertvurderinger benyttes. En enkel metode er beskrevet av National Institute of Standards and Technology (NIST) (2010) som tar utgangpunkt i ekspertvurdering av sannsynligheten for at systemet ”overlever” gitte mean time between failure (MTBF). Ekspertene blir spurt hvilken levetid det vil være 50 % sannsynlighet å oppnå og denne levetiden betegnes MTBF50. Det vil i tillegg være et spørsmål om hvilken levetid som det for eksempel er 10 % sannsynlighet for ikke å oppnå, og denne levetiden betegnes MTBF10. Et eksempel på beregning av parametrene a og b for en gammafunksjon er gitt i Vedlegg 7, hvor oppbygging av regnearket er hentet fra NIST (2010).

Beregning av aposteriorifordelingen for eksponentialfordeling Aposteriorifordelingen kunne skrives som

𝑝𝑝(𝜃𝜃|𝑑𝑑𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎) = 𝑐𝑐 ∙ 𝐿𝐿(𝜃𝜃) ∙ 𝑝𝑝(𝜃𝜃) (4-38)

39

og når eksponentialfordelte levetider ga likelyhoodfunksjonen

𝐿𝐿(𝜆𝜆) = ∏ 𝜆𝜆𝑒𝑒−𝜆𝜆𝑡𝑡𝑖𝑖 ∏ 𝑒𝑒−𝜆𝜆𝑡𝑡𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑆𝑆

𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝐹𝐹 = 𝜆𝜆𝑠𝑠𝑒𝑒−𝜆𝜆 ∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 (4-39)

vil multiplisering av konstanten og apriorifordelingen gi aposteriorifordelingen:

𝑝𝑝(𝜃𝜃|𝑑𝑑𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎) = 𝑐𝑐 ∙ 𝜆𝜆𝑠𝑠𝑒𝑒−𝜆𝜆 ∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 ∙ 𝑏𝑏𝑎𝑎

Γ(𝑎𝑎)𝜆𝜆𝑎𝑎−1𝑒𝑒−𝑏𝑏𝜆𝜆 (4-40)

𝑝𝑝(𝜃𝜃|𝑑𝑑𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎) = 𝑐𝑐2 ∙ 𝜆𝜆𝑠𝑠+𝑎𝑎−1𝑒𝑒−𝑏𝑏𝜆𝜆+∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 (4-41)

𝑝𝑝(𝜃𝜃|𝑑𝑑𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎) = (𝑏𝑏+∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖)𝑛𝑛𝑖𝑖=1

𝑎𝑎+𝑠𝑠

Γ(𝑎𝑎+𝑠𝑠)𝜆𝜆𝑎𝑎+𝑠𝑠−1𝑒𝑒−𝜆𝜆(𝑏𝑏+∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖)𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 (4-42)


Da en gammafordeling har forventningsverdien 𝑎𝑎𝑏𝑏 , blir en estimator for λ i

aposteriorifordelingen derfor:

�̂�𝜆𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑡𝑡 = 𝑎𝑎+𝑠𝑠𝑏𝑏+∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 (4-43)


Som oppgir den oppdaterte viten med ny (og eventuelt sensurert) data. Det kan også vises at forventningsverdien av λ i aposteriorifordelingen vil vektlegge apriori viten og SME ulikt alt etter hvor mye data som er tilgjengelig:

�̂�𝜆𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑡𝑡 =𝑎𝑎 + 𝑠𝑠

𝑏𝑏 + ∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1

=𝑎𝑎


+𝑠𝑠


=𝑎𝑎𝑏𝑏

·𝑏𝑏


+𝑠𝑠

∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1

·∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1


= �̂�𝜆𝑎𝑎𝑝𝑝𝑉𝑉𝑖𝑖𝑝𝑝𝑉𝑉𝑖𝑖 · 𝑏𝑏𝑏𝑏+∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑛𝑛

𝑖𝑖=1+ �̂�𝜆𝑆𝑆𝑆𝑆𝐸𝐸 · ∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑛𝑛

𝑖𝑖=1𝑏𝑏+∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 (4-44)


Ved økende datamengde vektlegges aprioriviten i estimatet mindre da apriorileddet da blir mindre og leddet med estimatet på bakgrunn av SME øker. Det motsatte er tilfellet når b er stor og det dermed er liten usikkerhet knyttet til aprioriviten da 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉(𝜆𝜆) = 𝑎𝑎

𝑏𝑏2 og estimatet på bakgrunn av SME minker og leddet med aprioriviten øker.

Et eksempel kan vises hvis en ny svikt kommer allerede etter t = 75 når forventet levetid,

𝐸𝐸 �1𝜆𝜆� = 1

0,0020= 500 som ca. er forventet levetid med parametrene a = 1,84 og b = 914 fra

Vedlegg 7. Med den oppdaterte viten (t = 75) minker forventet levetid fra 500 til 345:

�̂�𝜆𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑡𝑡 =1,84 + 1914 + 75

= 0,0029 ⇒ 1

�̂�𝜆𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑡𝑡= 345

40

Syklusen kan gjentas hver gang et svikt inntreffer og ved svikt ved t = 90 senkes estimert levetid ytterligere til 281:

�̂�𝜆𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑡𝑡 =1,84 + 1 + 1

914 + 75 + 90= 0,0036 ⇒

1�̂�𝜆𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑡𝑡

= 281

og de opprinnelige estimater justeres dermed i takt med at ny viten blir tilgjengelig.

Bruk av Bayesianske teknikker ved weibullfordelte levetider Utledningen av aposteriorifordelingen ovenfor er begrenset til å gjelde for eksponentielle levetider og vil derfor ha begrenset anvendelighet for optimeringsmodellene hvor utgangspunktet er økende sviktrate.

Igjen blir matematikken mer komplisert når levetidene best beskrives med en weibullfordeling. Hvis ingen data er tilgjengelig finnes det ikke noen praktisk god metode for estimering av apriorifordelingen (Zuashkiani, 2010). I dette tilfellet er det altså ikke hensiktsmessig å bruke Bayesianske teknikker og man er henvist til å bruke den estimerte levetidsfordeling fra ekspertvurderingene med parametrene som punktestimater. Etter hvert som tiden går og data blir tilgjengelig, kan klassisk weibullanalyse utføres.

Det kan imidlertid hende at man mener relevant informasjon er tilstede i data fra annet utstyr. For å utnytte denne informasjonen kan man estimere en apriorifordeling på bakgrunn av denne data. En forutsetning vil være at utstyret som dataene kommer fra er noenlunde representativ med hensyn til både design og operasjonelle forhold. Hvis man kan akseptere at spesialisert software ikke detaljert dokumenterer hvordan apriorifordelinger estimeres, så kan parametrene enkelt estimeres fra aposteriorifordelingen (også med sensurert data) med denne softwaren. Et eksempel på en slik spesialisert software er Weibull ++ fra Reliasoft. Weibull ++ kan beregne estimater som er svært kompliserte for ikke-spesialister, og kan derfor være en god løsning for å blant annet kunne utnytte informasjon fra annet representativt utstyr.

41

5 KONSTRUKSJON AV OPTIMERINGSMODELLER I noen tilfeller kan man raskt avvise at det finnes et godt alternativ til planlagt korrektiv vedlikehold. For at det skal lønne seg med en forebyggende utskifting, må kostnaden ved korrektiv utskifting være høyere enn kostnaden ved forebyggende utskifting. Ofte er dette en rimelig antakelse, siden svikt kan føre til kostbart havari med store følgekostnader. Nedetiden blir også hurtig lang når utskifting ved svikt i sakens natur er uplanlagt med alle de ulemper dette medfører.

Før modellen settes opp, bør man ha kjennskap til typen av levetidsfordeling. Hvis feilraten er konstant eller minkende, vil forebyggende utskiftninger nemlig ikke lønne seg. Umiddelbart kan dette virke veldig restriktivt for optimeringsmodellenes anvendelsesområde ettersom utstyr ofte følger badekarskurven med konstant sviktrate for mesteparten av levetiden. Moubrey (1997) fremfører med sin ofte refererte beskrivelse av RCM-metoden, at langt det meste utstyr fremviser en konstant sviktrate og at periodiske utskiftninger eller overhalinger sjelden er veien fram. Denne oppfattelsen møter hard kritikk i Sherwin (2009), som for det første drar i tvil gyldigheten av konklusjonene omkring sammenhengen mellom sviktrate og utskiftninger som baserer seg på få og gamle undersøkelser fra flyindustrien. For det annet kan utstyr utmerket utvise en konstant ROCOF, men samtidig bestå av enkeltkomponenter som utviser økende sviktrater. Hvis utstyret består av flere utskiftbare enkeltkomponenter, vil utstyrets ROCOF være et resultat av feilratene til alle komponentene. Dersom også feilraten til enkeltkomponentene minskes ved hjelp av FV, vil resultatet i følge Jardine (2006) og Sherwin (2009) også bli en lavere ROCOF for hele utstyret/systemet, illustrert i Figur 17. Derfor bør feilraten også vurderes på komponentnivå. Hvis en eller flere komponenter utviser økende sviktrate, kan forbyggende utskiftninger vurderes og resultatet vil i prinsippet alltid medføre en lavere ROCOF for systemet selv om denne vil fortsette å være konstant. Dette betyr at modeller som beskriver en situasjon med forebyggende periodiske utskiftninger eller overhalinger fremdeles kan ha en betydelig anvendelighet selv om ROCOF på systemnivå er konstant.

Figur 17 Komponentenes sviktrate avgjør ROCOF til systemet

Generelt om modellene kan de sies ikke å representere annet enn modellen selv. En god modell representer i tilstrekkelig grad også virkeligheten på en såpass enkel måte at modellen også er brukbar i praksis. Et kritisk blikk på resultatene med bakgrunn i sunn fornuft og en bevissthet rundt modellenes forutsetninger vil derfor alltid være nødvendig.

System Komponent 3 Komponent 2 Komponent 1

+ + =

w(t) ROCOF w(t) w(t)

t t t t

42

5.1 Optimeringsmodeller Når dataanalysen er på plass, må det besluttes hvilke modeller som kan tas i bruk i de konkrete tilfeller og man må da vite noe om de stokastiske prosessene i vedlikeholdet. Især er 3 prosesser nyttige i modelleringen:

1. Fornyelsesprosess 2. Imperfekt reparasjon 3. Minimal reparasjon

Fornyelsesprosessen antas når vedlikehold bringer systemer eller komponenter tilbake til en ”god som ny” tilstand. Dette skjer når man bytter ut med noe nytt, men en reparasjon uten utskiftning av deler kan også i visse tilfeller gjøre systemet eller komponenten så god som ny. Fornyelsesprosessen må være tilstede for å kunne anvende blokk- eller aldersmetoden som behandles i neste avsnitt.

Imperfekt reparasjon er en prosess som på en måte er en mellomting mellom en fornyelsesprosess og en minimal reparasjon. Her blir systemer ikke som helt nye, men likevel forbedret i forhold til tiden umiddelbart før vedlikeholdet. For større systemer vil ofte denne modellen beskrive virkeligheten best, men samtidig er denne typen modeller også de mest kompliserte.

For minimal reparasjon gjelder at systemet etter vedlikeholdet blir tilbakeført til samme tilstand som akkurat før det ble nødvendig med en reparasjon eller utskiftning. For store systemer med mange deler vil ofte denne tilnærmingen være tilstrekkelig nær virkeligheten og gir enklere beregninger enn ved imperfekt reparasjon. Modellen vil derfor bli benyttet her selv om imperfekt reparasjon strengt tatt ofte vil ligge nærmere virkeligheten.

Prosessene kan illustres ved hjelp av feilraten i Figur 18 hvor fornyelsesprosessen nullstiller sviktraten, imperfekt reparasjon fornyer ikke fullstendig og minimal reparasjon ikke påvirker sviktraten.

I følge Rausand og Høyland (2004) og Sherwin (2005) er blokkmetoden og aldersmetoden to modeller som er mye brukt og som har blitt videreutviklet til bruk i flere situasjoner. Selv om det finnes flere variasjoner av disse modellene, er det to modeller som er grunnleggende og

w(t) w(t)

t t t

w(t)

Vedlikehold Vedlikehold Vedlikehold

Figur 18 Fornyelsesprosesser

Fornyelse Imperfekt reparasjon Minimal reparasjon

43

Svikt

som i det følgende vil bli forsøkt presentert med en metode som gjør dem enkle i bruk og med et eksempel for metoden etter alder fra et case. Felles for de to metodene er antakelsen at det skjer en fornying etter både forebyggende utskiftning og vedlikeholdet som skjer etter svikt. Selv om det ikke er blitt foretatt en utskifting, kan det fremdeles være tilfeller hvor vi antar at komponenten er ”så god som ny” etter vedlikeholdet - som typisk etter overhaling. Med reparerbare komponenter menes det komponenter som utsatt for vedlikehold blir tilbakeført til en tilstand som ikke er så god som ny. Sistnevnte forhold er gjeldende for modellen ”minimal reparasjon” som beskrives senere, men for blokk- og aldersmetoden må det antas at komponentene ikke er reparerbare.

5.2 Blokk metoden Utskifting etter blokk metoden er definert som forebyggende utskiftinger med konstante intervaller uten å ta hensyn til siste utskifting på grunn av svikt. Man risikerer altså her å skulle skifte ut nye deler forebyggende hvis intervallet for forebyggende utskifting faller kort tid etter en tidligere utskifting på grunn av svikt. Til gjengjeld kan metoden være nyttig hvis man har mange komponenter av samme type (blokk) hvor det er åpenlyse fordeler med å skifte alle komponenter på en gang (Rausand og Høyland, 2004). I følge Nakagawa (2005) er metoden mye brukt på elektroniske systemer og elektriske komponenter. Denne metoden gjør også planleggingen enklere, selv om bruk av vanlig CMMS software til en viss grense må antas å begrense denne fordelen.

Optimeringsmodellene har alle det til felles at de minimerer forventet kostnad per tidsenhet (Nakagawa, 2005), hvilket tilsvarer minimering av funksjonen

𝐾𝐾(𝑇𝑇) = 𝐹𝐹𝑝𝑝𝑉𝑉𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑒𝑒𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑠𝑠𝑡𝑡𝑛𝑛𝑎𝑎𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑉𝑉 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎𝑢𝑢𝑠𝑠𝑓𝑓𝑝𝑝𝑉𝑉𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑝𝑝𝑉𝑉 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎𝑢𝑢𝑠𝑠

Situasjonen med blokk-strategien er illustrert i Figur 19:

En syklus, tf, er intervallet mellom forebyggende utskiftinger som skal optimeres, kf er kostnad for forebyggende utskifting og kk er kostnad for korrektiv utskifting. E(N(tf)) er forventet antall svikt i intervallet tf.

Forventet kostnad per tidsenhet kan da utrykkes ved:

𝐾𝐾(𝑇𝑇) = 𝑠𝑠𝑓𝑓+𝑠𝑠𝑠𝑠𝐸𝐸(𝑁𝑁�𝑡𝑡𝑓𝑓�)𝑡𝑡𝑓𝑓

(5-1)

(Nakagava, 2005)

tf tf

Figur 19 Sykluser ved blokkmetoden

t

tf

44

svikt t

Målet blir å finne intervallet tf som minimerer K(T). Utfordringen her er å finne forventet antall svikt i intervallet tf, E(N(tf)), noe som i praksis kan være (for) vanskelig analytisk (Jardine og Tsang, 2006).

I Vedlegg 8 er det konstruert en modell som på en praktisk håndterbar måte ved hjelp av simulering kan beregne E(N(tf)). K(T) beregnes så i samme vedlegget for ulike intervaller med forebyggende utskiftning i en tabell. Intervallet som tilsvarer laveste K(T) avleses så direkte fra grafen eller tabellen.

Det var ikke mulig å finne en situasjon for Finnfjord hvor denne modellen ble vurdert som mest passende. Som nevnt tidligere er metoden velegnet når man ikke ønsker å holde regnskap med tiden under drift på komponentene. Et slikt tilfelle kan være situasjoner hvor man velger utskiftning av flere komponenter på en gang og man dermed oppnår rabatt på kostnadene per utskiftning. Eksempelvis kan det være samme kostnad til leie av kran eller bygging av stillas uansett om det er en eller flere komponenter som utskiftes.

I følge Gertsbakh (2000) og Wang (2002) er det en annen metode som oftest kan anses for å være mer optimal enn blokkmetoden, nemlig modellen som går på utskifting etter alder og som beskrives i det følgende.

5.3 FV i form av utskifting etter alder Utskifting etter alder er definert som utskifting ved enten svikt eller ved planlagt utskifting med konstant intervall avhengig av hva som kommer først (eng. ”age replacement policy”). I modellen som beskrives gjelder følgende forutsetninger:

1. Systemet blir som nytt etter vedlikeholdet 2. Levetidsfordelingen til systemet vil være den samme før og etter vedlikehold 3. Tiden mellom svikt er uavhengige 4. Reparasjonstiden er neglisjerbar

Igjen minimeres 𝐾𝐾(𝑇𝑇) = 𝐹𝐹𝑝𝑝𝑉𝑉𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑒𝑒𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑠𝑠𝑡𝑡𝑛𝑛𝑎𝑎𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑉𝑉 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎𝑢𝑢𝑠𝑠𝑓𝑓𝑝𝑝𝑉𝑉𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑝𝑝𝑉𝑉 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎𝑢𝑢𝑠𝑠

(Nakagawa, 2005)

En syklus kan da enten være levetiden inntil svikt, T eller levetiden inntil planlagt utskifting, tf (Figur 20).

Figur 20 Sykluser ved forbyggende utskiftinger og syklus ved svikt

K(T) kan beregnes direkte med 𝐹𝐹𝑝𝑝𝑉𝑉𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑒𝑒𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑠𝑠𝑡𝑡𝑛𝑛𝑎𝑎𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑉𝑉 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎𝑢𝑢𝑠𝑠𝑓𝑓𝑝𝑝𝑉𝑉𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑝𝑝𝑉𝑉 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎𝑢𝑢𝑠𝑠

ved simulering i for eksempel

Excel, og en modell for beregning av K(T) for en weibullfordeling ved ulike forebyggende

tf tf T

45

intervaller er konstruert i vedlegg 9. Intervallet som gir minste K(T) finnes fra tabellen eller grafen.

Et annet alternativ er også mulig og er beskrevet av for eksempel Jardine og Tsang (2006), og av Nakagawa (2005). Metoden krever ikke simulering, men numerisk integrasjon er til gjengjeld nødvendig. Modellen bygges opp som følger:

Forventet kostnad per syklus med 𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑠𝑠𝑡𝑡𝑛𝑛𝑎𝑎𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑉𝑉𝑉𝑉𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡𝑖𝑖𝑠𝑠𝑡𝑡 og 𝑠𝑠𝑓𝑓 = 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑠𝑠𝑡𝑡𝑛𝑛𝑎𝑎𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑡𝑡 blir da

𝑠𝑠𝑠𝑠 ∙ 𝑃𝑃(𝑠𝑠𝑝𝑝𝑉𝑉𝑉𝑉𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡𝑖𝑖𝑠𝑠𝑡𝑡) + 𝑠𝑠𝑓𝑓 ∙ 𝑃𝑃(𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑡𝑡) = 𝑠𝑠𝑠𝑠 ∙ (1 − 𝑅𝑅�𝑡𝑡𝑓𝑓�) + 𝑠𝑠𝑓𝑓 ∙ 𝑅𝑅(𝑡𝑡𝑓𝑓) (5-2)

Forventet tid for en syklus med 𝑡𝑡𝑓𝑓 = 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑡𝑡 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑡𝑡𝑒𝑒𝑉𝑉𝑠𝑠𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 og 𝑇𝑇 = tiden til svikt:

𝑡𝑡𝑓𝑓 ∙ 𝑃𝑃(𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑡𝑡) + 𝑇𝑇 ∙ 𝑃𝑃(𝑠𝑠𝑝𝑝𝑉𝑉𝑉𝑉𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡𝑖𝑖𝑠𝑠𝑡𝑡) = 𝑡𝑡𝑓𝑓 ∙ 𝑅𝑅�𝑡𝑡𝑓𝑓� + 𝑇𝑇 ∙ �1 − 𝑅𝑅�𝑡𝑡𝑓𝑓��

= 𝑡𝑡𝑓𝑓 ∙ 𝑅𝑅�𝑡𝑡𝑓𝑓� + ∫ 𝑡𝑡 ∙ 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓0 (5-3)

Funksjonen som skal optimeres blir da

𝐾𝐾(𝑇𝑇) = 𝑠𝑠𝑠𝑠∙(1−𝑅𝑅�𝑡𝑡𝑓𝑓�)+𝑠𝑠𝑓𝑓∙𝑅𝑅(𝑡𝑡𝑓𝑓 )

𝑡𝑡𝑓𝑓 ∙𝑅𝑅�𝑡𝑡𝑓𝑓�+∫ 𝑡𝑡∙𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓

0

(5-4)

(Jardine og Tsang, 2006)

Kostnad per tidsenhet er her uttrykt ved hjelp av det planlagte intervallet tf som er verdien som må optimaliseres. Uttrykket ∫ 𝑡𝑡 ∙ 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡𝑓𝑓

0 lar seg ikke løse analytisk og en numerisk metode er satt opp i vedlegg 10 som beregner K(T) for en weibullfordeling ved ulike forebyggende intervaller. I tillegg til å finne minimumspunktet fra tabellen eller grafen, kan Excels innbyggede Problemløserfunksjon benyttes til direkte å finne minimumspunktet. (Problemløserfunksjonen vil kreve et innledende estimat som ikke er altfor langt fra den optimale løsningen). Oppsettet av den numeriske integrasjonen i vedlegget er beskrevet av El-Gebeily og Yushau (2007) og vil også bli brukt i vedlegg 12.

5.3.1 Utskifting etter alder med hensyn til tiden Igjen skal funksjonen (𝑇𝑇) = 𝐹𝐹𝑝𝑝𝑉𝑉𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑒𝑒𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑠𝑠𝑡𝑡𝑛𝑛𝑎𝑎𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑉𝑉 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎𝑢𝑢𝑠𝑠

𝑓𝑓𝑝𝑝𝑉𝑉𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑝𝑝𝑉𝑉 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎𝑢𝑢𝑠𝑠 minimeres ved tf og som i det

ovenstående kan K(T) beregnes direkte med simulering i for eksempel Excel. Beregning av K(T) for en weibullfordeling ved ulike forebyggende intervaller og hvor det tas hensyn til vedlikeholdstiden er vist i vedlegg 11.

Jardine og Tsang (2006) beskriver modellen på en form som gjør at simulering ikke er nødvendig:

Forventede kostnad per syklus blir igjen som i (5-2).

46

En syklus er enten levetiden inntil svikt, T pluss forventet tid for reparasjon (MTTR) eller tiden inntil planlagt utskifting, tf pluss forventet tid for forebyggende utskifting. Figur 21 illustrerer sykluser når det tas hensyn til reparasjonstid og tiden for forebyggende utskifting.

Figur 21 Syklusillustrasjon

Forventet tid for en syklus blir da:

(𝑡𝑡𝑓𝑓 + 𝑆𝑆𝑃𝑃𝑆𝑆𝑇𝑇) ∙ 𝑃𝑃(𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑡𝑡) + (𝑇𝑇 + 𝑆𝑆𝑇𝑇𝑇𝑇𝑅𝑅) ∙ 𝑃𝑃(𝑠𝑠𝑝𝑝𝑉𝑉𝑉𝑉𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡𝑖𝑖𝑠𝑠𝑡𝑡)

= (𝑡𝑡𝑓𝑓 + 𝑆𝑆𝑃𝑃𝑆𝑆𝑇𝑇) ∙ 𝑅𝑅�𝑡𝑡𝑓𝑓� + (𝑇𝑇 + 𝑆𝑆𝑇𝑇𝑇𝑇𝑅𝑅) ∙ �1 − 𝑅𝑅�𝑡𝑡𝑓𝑓��

= (𝑡𝑡𝑓𝑓 + 𝑆𝑆𝑃𝑃𝑆𝑆𝑇𝑇) + ∫ 𝑡𝑡 ∙ 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝑆𝑆𝑇𝑇𝑇𝑇𝑅𝑅 ∙ �1 − 𝑅𝑅�𝑡𝑡𝑓𝑓��𝑡𝑡𝑓𝑓

0 (5-5)

Funksjonen som skal optimeres får da formen

𝐾𝐾(𝑇𝑇) = 𝑠𝑠𝑠𝑠 ∙(1−𝑅𝑅�𝑡𝑡𝑓𝑓�)+𝑠𝑠𝑓𝑓∙𝑅𝑅(𝑡𝑡𝑓𝑓)

(𝑡𝑡𝑓𝑓+𝑆𝑆𝑃𝑃𝑆𝑆𝑇𝑇 )+∫ 𝑡𝑡∙𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡+𝑆𝑆𝑇𝑇𝑇𝑇𝑅𝑅∙�1−𝑅𝑅�𝑡𝑡𝑓𝑓��𝑡𝑡𝑓𝑓

0

(5-6)


Dette resultat er benyttet til konstruksjon av modellen i vedlegg 12 som beregner K(T) for en weibullfordeling ved ulike forebyggende intervaller. Også her er det mulig å bruke Excels’ problemløserfunksjon når metoden med numerisk integrasjon benyttes.

5.4 Minimal reparasjon I foregående modeller ble det antatt at utstyr både ble fornyet ved FV og ved vedlikehold pga. svikt. I mange tilfeller er dette ikke en rimelig antakelse og optimeringsproblemer blir mer komplekse (Lugtigheid et al., 2007), noe som især gjelder større systemer bestående av mange komponenter. Man vil da ofte løpende utføre korrigerende veldikehold på komponenter i systemet ved behov, men disse enkeltvise vedlikeholdsoppgavene vil ikke påvirke systemets ROCOF. De ulike prosesser med fornyelse, imperfekt reparasjon og minimal reparasjon var illustrert i Figur 18.

I caset fra Finnfjord vil det bli trukket fram et system som er utsatt for små vedlikeholdsstans, men hvor disse mindre vedlikeholdsstansene ikke klarer å fornye systemet. Etter en tid må systemet derfor igjennom en større overhaling. Etter overhalingen antas systemet å være

Forebyggende utskiftning

Syklus forebyggende Syklus svikt

MPMT Oppetid MTTR

Svikt

Oppetid / tf

t

47

fornyet og kan derfor betraktes som en forebyggende utskifting. Dette kan betraktes som en stokastisk prosess som utnyttes til å konstruere modellen. I modellen forutsettes det at reparasjonstiden er neglisjerbar.

E(N(t)) er en nyttig størrelse i den stokastiske prosessen og angir det forventede antall svikt i et intervall [0,t], hvor disse sviktene her vil utløse en minimal reparasjon. E(N(t)) kan finnes ved først å gå rundt prosessraten som var definert som:

𝜆𝜆(𝑡𝑡) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝐸𝐸(𝑁𝑁(𝑡𝑡)) (5-7)


Og forvetnet antall svikt opp til tiden, t kan da beregnes når λ(t) er estimert da

𝐸𝐸�𝑁𝑁(𝑡𝑡)� = ∫ 𝜆𝜆(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢𝑡𝑡0 (5-8)


Hvis ROCOF er konstant, kan den betegnes som 𝜆𝜆 og vil ofte antas å være en homogen poissonprosess med stasjonære og uavhengige inkrementer. Stasjonære inkrementer betyr at antallet av hendelser alene avhenger av lengden av intervallene, men ikke av plasseringen av intervallet på tidslinjen (Figur 22). At inkrementene må være uavhengige betyr at antallet av hendelser i ikke-overlappende intervaller er uavhengige, slik at hendelser/svikt i framtiden ikke påvirkes av antallet svikt i tidligere intervaller. En inhomogen poissonprosess er illustrert i Figur 23 hvor forventete antall hendelser i hvert intervall er avhengig av plasseringen på tidslinjen. (Ross, 2007)

I modellen med minimal reparasjon forventer vi en økende trend av svikt avhengig av tiden, og prosessen har altså ikke stasjonære inkrementer og prosessen og vil se ut som Figur 23. ROCOF betegnes da som λ(t) og prosessen antas å være en inhomogen poisson prosess (NHPP). Andre stokastiske prosesser kan være bedre egnet enn NHPP, men NHPP kan likevel foretrekkes siden de matematisk er enklere og deres teoretiske grunnlag er veldig godt

t Figur 22 Homogen poissonprosess

t Figur 23 Inhomogen poissonprosess

48

beskrevet. NHPP er også gjennomtestet med praktiske eksempler i litteraturen. (Louit et. al., 2009)

Modellen for minimal reparasjon er beskrevet av Nakagawa (2005):

Som før minimeres funksjonen (𝑇𝑇) = 𝐹𝐹𝑝𝑝𝑉𝑉𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑒𝑒𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑠𝑠𝑡𝑡𝑛𝑛𝑎𝑎𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑉𝑉 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎𝑢𝑢𝑠𝑠𝑓𝑓𝑝𝑝𝑉𝑉 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑝𝑝𝑉𝑉 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎𝑢𝑢𝑠𝑠

ved tf. hvor en syklus er

illustrert i Figur 24 under.

Figur 24 Syklus for minimal reparasjon

Forventet kostnad per syklus blir 𝑠𝑠𝑠𝑠 ∙ 𝐸𝐸(𝑁𝑁�𝑡𝑡𝑓𝑓�) + 𝑠𝑠𝑓𝑓 , hvor kk er kostnad ved minimal reparasjon, E(N(tf) er forventet antall minimale reparasjoner i intervallet [0,tf] og kf er kostnaden for forebyggende utskifting/fornyelse.

Funksjonen som skal optimeres (med konstante) intervaller får da formen:

𝐾𝐾(𝑇𝑇) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝐸𝐸(𝑁𝑁(𝑡𝑡𝑓𝑓)+𝑠𝑠𝑓𝑓𝑡𝑡𝑓𝑓

(5-9)

Funksjonen K(T) kan umiddelbart virke identisk med funksjonen for blokkmetoden, men E(N(tf)) vil ved blokkmetoden bestå av prosesser hvor utstyret fornyes, hvilket ikke er tilfelle ved minimal reparasjon og beregning av E(N(tf))blir forskjellig.

Sviktene som initierer de minimale reparasjoner følger en NHPP og 𝐸𝐸(𝑁𝑁�𝑡𝑡𝑓𝑓�) blir da lik

∫ 𝜆𝜆(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢𝑡𝑡0 , hvor 𝜆𝜆(𝑡𝑡) er ROCOF/intensiteten som er avhengig av tiden. I følge Luit et al

(2009) beskriver ”power-law” intensitet en NHPP med weibullintensitet som er gitt ved:

𝜆𝜆(𝑡𝑡) = 𝜂𝜂 ∙ 𝛽𝛽 ∙ 𝑡𝑡𝛽𝛽−1

Hvor η og β er samme parametre som i weibullfordelingen og forventet antall minimale reparasjoner kan da skrives

E(N(tf)) = ∫ λ(u)dut0 = ∫ 𝜂𝜂 ∙ 𝛽𝛽 ∙ 𝑡𝑡𝛽𝛽−1du = η∙tβt

0 (5-10)

At E(N(tf)) = η∙tβ gjør modellen veldig enkel og optimum kan finnes analytisk:

𝐾𝐾(𝑇𝑇) =𝑠𝑠𝑠𝑠∙𝐸𝐸(𝑁𝑁(𝑡𝑡𝑓𝑓) + 𝑠𝑠𝑓𝑓

𝑡𝑡𝑓𝑓=𝑠𝑠𝑠𝑠 ∙ η∙tβ + 𝑠𝑠𝑓𝑓

𝑡𝑡𝑓𝑓= 𝑠𝑠𝑠𝑠 ∙ 𝜂𝜂 ∙ 𝑡𝑡𝑓𝑓𝛽𝛽−1

Fornyelse Syklus periodisk fornyelse, tf

Minimale reparasjoner

t

49

𝑑𝑑𝐾𝐾(𝑇𝑇)𝑑𝑑𝑡𝑡𝑓𝑓

= 𝑠𝑠𝑠𝑠 ∙ 𝜂𝜂 ∙ (𝛽𝛽 − 1) ∙ 𝑡𝑡𝑓𝑓𝛽𝛽−2 − 𝑠𝑠𝑓𝑓 ∙ 𝑡𝑡𝑓𝑓−2 = 0

⇔ 𝑡𝑡𝑓𝑓 = ( 𝑠𝑠𝑓𝑓𝑠𝑠𝑠𝑠∙𝜂𝜂∙(𝛽𝛽−1))

1𝛽𝛽 (5-11)


Ovenstående resultater er benyttet i vedlegg 15 til oppsett av en modell for minimal reparasjon. Modellen i vedlegget er utvidet med hensyn til å kunne bruke andre intensiteter enn weibullintensiteten.

5.5 Utskifting av utstyr med store kapitalkostnader Inntil nå er utstyr antatt å svikte såpass ofte at tidsaspektet er vurdert som irrelevant, men når utstyr blir tilstrekkelig kostbart og utskiftes relativt sjelden, bør man ta hensyn til nåverdien. Nåverdien tar hensyn til at penger ikke har samme verdi over tid, da at inntekter er mindre verdt i framtiden i forhold til nåtiden. Det samme gjelder for kostnader som blir mindre jo lengre ut i framtiden de må tas. Altså bør man ideelt sett velge utstyr som gir den største inntekten hurtigst mulig i utstyrets levetid, og som genererer de minste drifts- og vedlikeholdskostnader tidlig i levetiden. I eksemplet her, er typen av utstyr allerede valgt og målet blir å beslutte optimale intervaller imellom innkjøp av nytt utstyr. Et eksempel kunne være i hvor mange år man bør drifte en truck før man går til innkjøp av en ny. For vedlikeholdsavdelingens ståsted vil det nok ikke være noen inntekter forbundet med utstyr, og målet blir da alene å minimere kostnadene.

Nåverdien (NV) avspeiler den reelle verdien av framtidige inntekter og kostnader ved bruk av en diskonteringsrente som økonomiavdelingen fastsetter. Ved hjelp av denne diskonteringsrenten, i, fås en diskonteringsfaktor r = 1

(1+𝑖𝑖)

Få å finne nåverdien av en investering, multipliseres diskonteringsfaktoren med kostnaden for hvert år, n og kostnaden for alle årene summeres:

𝑁𝑁𝑉𝑉 = ∑ (𝑠𝑠𝑝𝑝𝑠𝑠𝑡𝑡𝑛𝑛𝑎𝑎𝑑𝑑 å𝑉𝑉 𝑛𝑛) ∙ 𝑉𝑉𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖=1 (5-12)

Målet blir da å finne det intervallet som gir den laveste netto nåverdi (NNV).

Modellen som beskrives i det følgende er beskrevet av Jardine og Tsang (2006), og er illustrert i Figur 25. I denne figuren illustrerer tidslinjen intervaller opp til. C er kostnadene som utløses i hvert intervall.

50

Figur 25 Sykluser ved store kapitalkostnader og lange intervaller (Jardine og Tsang, 2006)

Noen antakelser i modellen: Kostnadene, C utløses i slutten av hvert intervall og utskiftingen skjer i slutten av hver syklus siden utstyret oftest allerede vil være i drift når optimeringen foretas. Kostnader relatert til selve utskiftingen betegnes med Kinnkjøp og en eventuell salgspris på utstyret som skiftes ut betegnes Psalg. Funksjonen som skal optimeres blir da:

𝐾𝐾(𝑛𝑛) =∑ 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑉𝑉𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 +𝑉𝑉𝑛𝑛 (𝐾𝐾𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛𝑠𝑠𝑗𝑗 ø𝑝𝑝−𝑃𝑃𝑠𝑠𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝 )

1−𝑉𝑉𝑛𝑛 (5-13)


K(n) utrykker NV for et uendelig antall sykluser og kan derfor virke som en noe abstrakt størrelse. En verdi som er enklere å kommunisere er EAC (Equivalent Annual Cost) som svarer til den konstante kostnad som måtte betales hvert år hvis strategien skulle betales som en annuitet med det valgte intervallet, n. Hvis EAC = 40 000 svarer det til at strategien kunne finansieres ved å innbetale 40 000 hvert år.

EAC beregnes som produktet av NV og Capital Recovery Factor (CRF), hvor

CRF = i(1+i)n

(1+i)n−1 (5-14)

Ved bruk av formel 𝐾𝐾(𝒏𝒏) =∑ 𝑪𝑪𝒊𝒊𝑉𝑉𝑖𝑖𝒏𝒏𝒊𝒊=𝟏𝟏 +𝑉𝑉𝑛𝑛 (𝐾𝐾𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛𝑠𝑠𝑗𝑗 ø𝑝𝑝−𝑃𝑃𝑠𝑠𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝 )

1−𝑉𝑉𝑛𝑛 (5-15)

går n mot uendelig i CRF= i(1+i)n

(1+i)n -1 (5-16)

og CRF = i. EAC beregnes da som: EAC = NV∙i (5-17)


Optimering av K(n) og beregning av EAC demonstreres i avsnitt 6.5.

5.6 Tilstandsbasert vedlikehold Foruten foregående avsnitt hvor problemet kan sies å ha en deterministisk natur, er eksempler inntil nå gitt hvor problemstilingen omhandler tilfeller med tilfeldige/stokastiske levetider. Strategier som utskiftning etter alder, blokk metoden og minimal reparasjon ble da beskrevet. Utskiftninger bestemmes alene ut fra tid. Tid i seg selv er ikke et mål for utstyrets tilstand, men de hittil nevnte modeller kan likevel være gode når tiden korrelerer godt med den faktiske tilstanden. Det vil imidlertid ofte være tilknyttet usikkerheter omkring korrelasjonen

Utskiftning Utskiftning

t

Syklus 2 Syklus 1

Cn Cn-1 C3 C2 C1

1 2 3 n-1 n 1 2 3 n-1 n

Cn Cn-1 C3 C2 C1

51

og man risikerer med slike metoder åpenlyst å skifte ut/fornye forebyggende enten for tidlig eller for sent. Tilstandsbasert vedlikehold forsøker å løse dette ved å ta hensyn til andre parametre enn bare tiden i et forsøk på å oppnå en mer nøyaktig tolkning av den reelle tilstanden til utstyret. Begrepet ”tolkning” er passende ettersom det i praksis alltid vil være usikkerheter knyttet til den observerte tilstanden i form av variabler som vibrasjoner, partikkelinnhold, varmeavgivelse og sprekkdannelse som er vanlige observerte parametre innenfor tilstandbasert vedlikehold. Fremgangsmåten har fått stor interesse og skyldes bl.a. utvikling av rimelige sensorer og avansert informasjonsteknologi (Kumar, 1997).

En vanlig metode er å observere en parameterverdi som for eksempel partikkelmengde i hydraulikkolje og la dette nivået eller utvikling være grunnlag for vedlikeholdsbeslutninger uavhengig av tid/alder av utstyret. Øvre og nedre grenser kan opprettes og verdier kan følges med samme metoder som brukes i statistisk kvalitetskontroll for å kunne avsløre om en bestemt utvikling er i ferd med å skje. Et eksempel uten mistenkelig utvikling er vist i Figur 26 som er et exponentially weighted moving average (EWMA) skjema laget i MINITAB hvor punktene er uttrykk for forskjeller mellom måleverdiene (ikke måleverdiene seg selv) og er et mål for utviklingen av tilstanden.

Figur 26 Parameter over tid hvor tilstanden er tilfredsstilende.

I mange tilfeller kan denne formen for tilstandsovervåking danne et godt beslutningsgrunnlag, men det vil også være situasjoner hvor den virkelige tilstanden kan tilnærmes enda bedre ved også å ta hensyn til tiden og eller flere forklaringsvariabler samtidig som for eksempel temperatur og vibrasjonsnivå. En slik metode vil bli beskrevet nærmere i det følgende.

5.7 Relative Risk og Proportional Hazards Modell (PHM) Det er mulig å konstruere en veldig fleksibel og anvendelig modell som beskriver forklaringsvariablenes effekt på sviktraten (Kalbfleisch, 2002) og som Cox (1972) formulerte først med sviktraten gitt som

ℎ(𝑡𝑡; 𝑧𝑧) = ℎ0(t) ⋅ exp(𝑧𝑧𝛽𝛽) (5-18)

52

Sviktraten er da et produkt av en eksponentialfunksjon inneholdende forklaringsvariablene, z

og parametrene β hvor vektoren β har formen

𝛽𝛽1𝛽𝛽2⋮𝛽𝛽𝑛𝑛

. ℎ0(t) tilsvarer sviktraten hvis

forklaringsvariablene ikke har innvirkning på sviktraten, dvs. at z = 0 slik at ℎ(𝑡𝑡; 𝑧𝑧) = ℎ0(t) ⋅1. På grunn av sin fleksibilitet er weibullfordelingen den mest populære levetidsfordelingen innenfor vedlikehold, og hvis man lar ℎ0(t) være en weibullfordeling kan sviktraten i form av en PHM skrives på formen:

ℎ(𝑡𝑡) = 𝛽𝛽𝜂𝜂

(𝑡𝑡𝜂𝜂

)𝛽𝛽−1𝑒𝑒𝛾𝛾1𝑧𝑧1(𝑡𝑡)+𝛾𝛾2𝑧𝑧2(𝑡𝑡)+⋯+𝛾𝛾𝑚𝑚 𝑧𝑧𝑚𝑚 (𝑡𝑡) (5-19)

(Jardine et. al., 2001)

ℎ0(𝑡𝑡) = 𝛽𝛽𝜂𝜂

(𝑡𝑡𝜂𝜂

)𝛽𝛽−1 beskriver et slags ”basisnivå” for sviktraten som tar hensyn til utstyrets

alder. Den annen halvdel, 𝑒𝑒𝛾𝛾1𝑧𝑧1(𝑡𝑡)+𝛾𝛾2𝑧𝑧2(𝑡𝑡)+⋯+𝛾𝛾𝑚𝑚 𝑧𝑧𝑚𝑚 (𝑡𝑡) er et ”tillegg” til basislinjen som avhenger av tilstanden til utstyret som for eksempel vibrasjonsnivå og partikkelinnhold. z(t) er forklaringsvariablene til tiden t, som altså for eksempel kan representere vibrasjonsnivå eller partikkelantall. 𝛾𝛾 er parameteren til forklaringsvariablene og bestemmer hvor mye hver forklaringsvariabel vektlegges (Jardine et. al., 2001).

Bruk av PHM i tilstandsbasert vedlikehold er annerledes enn standardmetoden, som kun utløser forebyggende vedlikeholdsaktiviteter på bakgrunn av fastsatte grenseverdier. Foruten Grenseverdiene er som regel formulert av Original Equipment Manufacturer (OEM) eller så bygger de på annen erfaringsdata. Foruten metoden med grenseverdier er det også mulig å benytte prinsipper fra statistisk kvalitetskontroll til å avsløre ”mistenkelige” verdier som indikerer endring i normaltilstanden. Sistnevnte metoder avhenger i prinsippet av en deterministisk sammenheng mellom tilstanden til utstyret og de målte verdier. Realiteten er derimot ofte den at sammenhengen er såpass kompleks at bruk av PHM blir mer meningsfull, siden de målte verdier her behandles som stokastiske variabler og man kan da frigjøre seg for den ofte urimelige antakelse om deterministisk sammenheng. En annen forskjell er også tidsaspektet som standard tilstandbaserte metoder ikke tar hensyn til. PHM derimot er en kombinasjon av både alder i form av ℎ0(𝑡𝑡) og de målte forklaringsvariable i form av 𝑒𝑒𝛾𝛾1𝑧𝑧1(𝑡𝑡)+𝛾𝛾2𝑧𝑧2(𝑡𝑡)+⋯+𝛾𝛾𝑚𝑚 𝑧𝑧𝑚𝑚 (𝑡𝑡) .

5.8 Proportional Intensity Model (PIM) PIM modellen er blant annet beskrevet i Lugtigheid et Al. (2007) og tilfører enda en dimensjon til PHM modellen. Hvor PHM modellen begrenser seg til situasjoner hvor vedlikehold også medfører fornyelse, dvs. i praksis ikke-reparerbare komponenter, kan PIM modellen til gjengjeld beskrive situasjoner med både fornyelse, minimal reparasjon og imperfekt reparasjon. Dette er mulig gjennom begrepet ”virtuell” alder av systemet som øker i takt med tiden, men som også kan bli mindre etter vedlikehold på de komponenter som inngår i systemet. Repair and Maintenance Indicator (RMI(t)) er en måte å beskrive denne virtuelle alderen til systemet. RMI(t) bestemmes av tiden som er gått siden de enkelte komponenter i

53

systemet ble fornyet, og av de enkelte komponenters betydning for systemets tilstand. Basisnivået på sviktraten som beskrevet ved PHM modellen var: ℎ0(𝑡𝑡) = 𝛽𝛽

𝜂𝜂(𝑡𝑡𝜂𝜂

)𝛽𝛽−1 og blir

med PIM modellen:

ℎ0(𝑡𝑡) = 𝛽𝛽𝜂𝜂

(𝑅𝑅𝑆𝑆𝑅𝑅(𝑡𝑡)𝜂𝜂

)𝛽𝛽−1 (5-20)

Den komplette PIM modell blir da:

ℎ(𝑡𝑡) = 𝛽𝛽𝜂𝜂

(𝑅𝑅𝑆𝑆𝑅𝑅(𝑡𝑡)𝜂𝜂

)𝛽𝛽−1𝑒𝑒𝛾𝛾1𝑧𝑧1(𝑡𝑡)+𝛾𝛾2𝑧𝑧2(𝑡𝑡)+⋯+𝛾𝛾𝑚𝑚 𝑧𝑧𝑚𝑚 (𝑡𝑡) (5-21)

(Lugtigheid et. al., 2007)

I tillegg til parametrene η, β og γ må også indikatoren RMI(t) bestemmes, noe som kompliserer modellen ytterligere sammenlignet med PHM. Det finnes programvare for å ta i bruk PHM (EXAKT fra OMDEC), men det var ikke mulig å finne software som er rettet mot PIM-modellen.

PHM og PIM er nevnt fordi de framgår som potensielt veldig nyttige modeller hvor svikt resulterer i store konsekvenser og hvor fornying eller reparasjon er kostbart. De stiller imidlertid relativt store krav til kvaliteten og typen av data og CMMS systemet må derfor tilpasses denne typen modeller. Utstyr som har ovenstående karakteristika planlegges installert av Finnfjord A/S i nær framtid og denne typen modeller bør da overveies.

De andre modellene nevnt i dette kapittelet stiller også krav til data, men kravene er mindre strenge og de er mindre kompliserte å ta i bruk i praksis. Likevel danner de et godt og tydelig beslutningsgrunnlag under gitte forutsetninger. De burde derfor være realistiske å implementere med begrensede ressurser, noe som demonstreres med case i kapittelet som følger.

54

6 CASE FRA FINNFJORD AS Hele prosessen fra innledende identifikasjon av kritisk utstyr til den beregnede anbefaling er illustrert med eksempler utført i Finnfjord A/S.

6.1 Valg av system for analyse En paretoanalyse ble gjennomført for Finnfjord AS for utvelgelse av systemer. I dette avsnittet beskrives det hvordan denne utvelgelsen foregikk i praksis, og i senere avsnitt følges resultatene fra bedriften i igjennom de andre fasene illustrert i Figur 2.

For å beregne lønnskostnader ble det hentet ut antall arbeidstimer for det individuelle utstyret fra bedriftens Computerized Maintenance Management System (CMMS). Timelønnen varierer fra hver yrkesgruppe, og lønnskostnadene for hvert utstyr ble derfor funnet som et veid gjennomsnitt. Timekostnader relatert til det individuelle utstyret ble så beregnet ved å multiplisere timelønn med antall arbeidstimer og paretodiagrammet fremgår i Figur 27.

Figur 27 Paretodiagram med kostnader for arbeidstimer

Produksjonsavdelingen har sitt eget registreringssystem for både stans og reduksjon. Reduksjon er betegnelsen på forskjellen mellom den kapasitetsutnyttelse som er planlagt og den faktiske kapasitetsutnyttelse og anses derfor også som tapt produksjon. Markedsprisen er den viktigste variabelen for å estimere kostnader relatert til tapt produksjon. En del usikkerhet knytter seg til markedsprisen, så analysen bygger på en forventet framtidig markedspris og resultatet er vist i Figur 28.

050000

100000150000200000250000300000350000

NO

K/år

55

Figur 28 Paretodiagram kostnader tapt produksjon

Den siste kostnad som ble beregnet var for deler, materialer og innleie av eksterne ressurser. Da kostnadene ikke var registrert i CMMS, men måtte letes fram enkeltvis for hvert utstyr i økonomistyringssystemet, var dette den mest tidskrevende kostnad å finne. Kostnader for deler, materialer og innleie er illustrert i paretodiagrammet i Figur 29.

Figur 29 Paretodiagram for delekostnader og innleie

De tre kostnadsgrupper ble da summert for hvert utstyr for å identifisere det utstyr som står for de største kostnader og Figur 30 viser et nytt paretodiagram for denne totalen.

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000N

OK/

år

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

NO

K/år

56

Figur 30 Paretodiagram for totale kostnader

Av paretoanalysen fremgikk det at delekostnader var klart dominerende og lønnskostnader hadde minst påvirkning. Resultatet blir da mer robust når usikkerheten omkring markedsprisen ved tapt produksjon blir mindre viktig i forhold til delekostnader som har små usikkerheter og sensitivitetsanalyser ble ikke vurdert å være nødvendige. På bakgrunn av dette resultatet ble det valgt å gå videre med topp 10 (Figur 30) for systemer med totale kostnader for videre analyse.

Tilbake i NORSOK diagrammet i Figur 4, er analysen da kommet til punktet hvor beslutningen omkring hvilke systemer som skal igjennom videre analyse er tatt, og flytdiagrammet kan følges videre til konstruksjon av vedlikeholdsprogram. I Figur 5 vises et flytdiagram hvor det først vurderes om det allerede finnes et generisk vedlikehold for utstyret, dvs. om analyser allerede er blitt foretatt og vedlikeholdsprogram opprettet for tilsvarende utstyr under samme driftsbetingelser. Dette var ikke tilfelle i dette caset, og neste steg blir da FMECA-analyse i overensstemmelse med Figur 3.

6.2 FMECA Poenget med en FMECA er hovedsakelig å tildele passende vedlikehold til komponenter ved å belyse konsekvensene av sviktmodi, slik at ulike tiltak innenfor FV kan iverksettes for å minimere konsekvensene og/eller deres sannsynlighet for å forekomme.

Som vist i flytdiagrammet i FMECA-analysen fra NORSOK i Figur 5, bestemmes risikonivået på bakgrunn av konsekvensene og tilhørende usikkerheter (sannsynlighetene er ofte et mål for usikkerhetene) og risikonivået avgjør så neste skritt i prosessen. Hvis en sviktmodi har medium eller høy konsekvens, må det utføres tiltak i form av FV eller designendring, noe som også er helt i tråd med RCM-metoden.

En arbeidsgruppe ble dannet for å utføre FMECA-analysen. Sammensetningen av gruppen ble avgjort i henhold til krav om kompetanse omkring de spesifikke systemene som ble evaluert. Dvs. at sammensetningen av gruppen til dels var flytende med deltagerlisten tilpasset i

0500000

1000000150000020000002500000300000035000004000000

NO

K/år

57

forhold til hvilke systemer som ble analysert. Et unntak var koordinatoren som var fast medlem og som hadde kompetanse på selve analyseprosessen. Gruppen besto av noenlunde de samme medlemmer representert fra faggruppene illustrert i Figur 31. I praksis konkurrerte FMECA-analysen med umiddelbare mekaniske og elektriske oppgaver som vedlikeholds- og produksjonspersonalet sto overfor, og sammensetningen på møtene var derfor også avhengig av hvilke personalressurser som var tilgjengelig. Det var gruppens medlemmer som selv avgjorde om de ville prioritere møtene i arbeidsgruppen.

Figur 31 FMECA-gruppen

FMECA-skjemaets utforming finnes i flere variasjoner, og her kunne det velges fritt etter hva som ble vurdert som mest effektivt, ettersom det ikke var krav til å følge bestemte standarder som for eksempel SAE Standard JA1011 eller IEC 60300-3-11. Utstyret som hadde de største kostnader i paretoanalysen ble analysert først. Det viktigste formålet med FMECA-analysen var å tildele FV på en strukturert måte, og FMECAs plassering i optimeringsprosessen ble illustrert i Figur 3. Systemer ble altså valgt ut i paretoanalysen, og FMECA-analyse ble så utført på de utvalgte systemene. Forhåndsdefinerte kriterier for kritikalitetsanalysen må være på plass når FMECA påbegynnes. De forhåndsdefinerte kriterier var representert av risikomatriser fra diagrammet i vedlegg 1, som ble brukt i kritikalitetsvurderingene. Vedlegg 1 beskriver beslutningsprosessen som avgjør om utstyr er kritisk og derfor skal tildeles FV. I tillegg bestemmes også 3 overordnede typer FV kategorisert som:

• Tilstandsbasert vedlikehold • Tidsbasert vedlikehold • Forebyggende utskiftning

Valg av passende overordnet FV-type er beskrevet at Jardine og Tsang (2006), og ble gjennomgått i kapittel 4.

Et utdrag av FMECA analysen inklusiv tildeling av vedlikehold for chargeringsrør er vist i

Engineering

Elektro

Produksjon

Mekanisk

58

Tabell 4. Ved bruk av beslutningssløyfen i vedlegg 1 ble ingen aktiviteter forbundet med periodevise inspeksjoner, og utskiftninger og var derfor ikke relevante med hensyn til optimering.

Tabell 4 Utdrag av FMECA for utstyr med største kostnader identifisert i paretoanalysen

ID Beskrivelse Funksjon Funksjonssvikt Sviktmodi (dominerende)

Synlig feil? Årsak

42218

Chargeringsrør

tilføre charge rett plass

manglende tilførsel chargering

Fast i vertikale bevegelsen

ja Fastkiling innerrør - feil dimensjon innerrør

ja masse kiler seg mellom rør

ja fremmedlegemer kiler seg, bolter brytes pga skjevheter i monteringen

ja skjeve stagbolter hindrer bevegelse

ja feil på hydraulikksylinder

ja skjevhet hydraulikkstempelstang (skyldes fastkiling)

Fortsatt fra ovenstående:

Konsekvenser Klassifisering (kritikalitet)

Egnet FV Frekvens FV Designendring nødvendig?

Redusert prod. + mekanisk vedl. t1 Prosedyre som følges av Finnses mekaniske. Kontroll ved levering fra vadtvedt og Finnsnes mek. hos Finnfjord.

ved mottakelse av rør

Redusert prod. + mekanisk vedl. t1 ?

Redusert prod. + mekanisk vedl. t1 Følg prosedyre for montering av chargeringsrør

Evt. bruk av sterkere bolter

Redusert prod. + mekanisk vedl. t1 Følg prosedyre for montering av chargeringsrør

Redusert prod. + mekanisk vedl. t1 Hvis skjevhet rettes opp, antas det å kunne ha innvirkning få sviktfrekvensen.

Redusert prod. + mekanisk vedl. 0

6.3 Schenkelevator Fra paretoanalysen tilhørte Schenkelevatoren gruppen med størst kostnader og det ble identifisert en komponent i form av et gir som var kandidat for utskiftning etter alder. Komponenten er vist i Figur 32, og funksjonen er å nedsette turtallet fra elektromotoren til drivverket på Schenkelelevatoren.

59

Figur 32 Bilde av gir til Schenkelevator

Komponenten ble evaluert på bakgrunn av et intervju hvor det innledningsvis ble bekreftet at de direkte kostnader ville være høyere ved svikt i forhold til en forebyggende utskiftning. I tillegg var sviktraten økende. Etter disse forholdene var klargjort, gikk intervjuet videre med spørsmål som hadde til formål å identifisere parametrene i weibullfordelingen.

Framgangsmåten (beskrevet i avsnitt 4.4.3) resulterte i en weibullfordeling med β = 2,7 og η = 25 (vedlegg 13).

Kostnader for svikt er 80 000 kr, mens en planlagt utskiftning medfører en kostnad på 45 000 kr. Forskjellen på planlagt og uplanlagt skyldes større tapt produksjon og lengre reparasjonstid ved svikt. Alle nødvendige inndata er da tilgjengelige og modellen finnes i vedlegg 14. Tidsenheten er oppgitt i måneder, og kostnad per måned med ulike intervaller er illustrert i Figur 33.

60

Figur 33 Kostnad per måned med ulike intervaller

Optimumspunktet frangår av Figur 33, og kostnaden for den nåværende korrektive løsning tilsvarer kostnaden når t går mot uendelig. Optimumspunktet kan også beregnes ved hjelp av Problemløseren i Excel. Resultatene fra vedlegg 14 er vist i Tabell 5 hvor det framgår at minimumspunktet bare er et par hundre kroner lavere enn ved valg av korrektiv strategi.

Tabell 5 Optimum

Nåværende strategi 3600 NOK/mnd Optimum 3400 NOK/mnd Lengde optimalt intervall 23 mnd

Sensitivitetsanalyse ble utført før endelig beslutning og ”tabell” funksjonen i Excel er et enkelt verktøy til dette, og er også vist i vedlegg 14. I Tabell 6 endres de korrektive kostnadene, og selv når de økes opp til 100 000 vil den forventede besparelsen bare utgjøre noen hundre kroner i måneden.

Tabell 6 Sensitivitet for korrektive kostnader

Kostnader ved svikt [NOK] 80 000 85 000 90 000 95 000 100 000

Inte

rval

ler

for

utsk

iftni

ng [m

nd] 10 4 881 4 923 4 971 5 028 5 056

15 3 754 3 832 3 924 3 988 4 069

20 3 420 3 534 3 676 3 782 3 898

25 3 389 3 546 3 681 3 863 4 019

30 3 452 3 633 3 818 4 018 4 226

35 3 535 3 728 3 940 4 138 4 375

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 10 20 30 40 50

Månedlige intervaller

NO

Kmnd

61

I Tabell 7 framgår det at det fremdeles ikke er nevneverdig å tjene på forebyggende utskiftninger selv når kostnaden minker til 35 000 NOK for planlagt utskiftning og det ble derfor ikke valgt å utføre forebyggende tidsbasert utskiftning.

Tabell 7 Sensitivitet for planlagte kostnader

Kostnader forebyggende utskiftning [NOK]

35 000 40 000 45 000 50 000 55 000

Inte

rval

ler

for

utsk

iftni

ng [m

nd] 10 3 960 4 421 4 889 5 356 5 823

15 3 190 3 479 3 767 4 036 4 314

20 3 074 3 263 3 421 3 588 3 755

25 3 196 3 297 3 385 3 491 3 586

30 3 361 3 398 3 452 3 500 3 543

35 3 479 3 501 3 526 3 540 3 562

I ovenstående metoder for identifisering av optimalt intervall for utskifting, er reparasjonstiden og tiden som blir brukt til forebyggende utskiftning veldig lav i forhold til oppetiden, men det vil være tilfeller hvor MTTR og MPMT ikke kan ignoreres, noe som ble behandlet i avsnitt 5.3.1.

6.4 Schenkbånd - minimal reparasjon Fra paretoanalysen tilhørte Schenkelevatoren gruppen med flest kostnader. Schenkelevatoren består av av et 20 m høyt bånd med påmonterte beholdere hvor funksjonen er å transportere chargeringsmasse fra punkt a til b. Vedlikeholdet består hovedsakelig av mindre reparasjoner av beholderne og deres festeforbindelser inntil mengden av reparasjoner er av et så betydelig omfang at hele Schenkelevatoren må fornyes. Målet blir da å finne ut når Schenkelevatoren bør fornyes. Båndet med beholdere er vist i Figur 34.

Figur 34 Bånd til Schenkelevator

62

Etter intervju med mekanikeren som jobbet med Schenkelevatoren før og etter siste fornying ble antall svikt estimert. Antallet av svikt var betydelig, og det var ikke praktisk å finne sviktraten ved hjelp av spørsmål som: ”Sannsynligheten for at båndet vil feile før 3 dager” når antallet svikt var flere per måned og levetiden til utstyret var flere år. Svarene ble derfor gitt som antall svikt per måned til og med året hvor fornyelsen ble foretatt i år 12, og antall svikt man kunne forvente hvis ikke Schenkelevatoren hadde blitt fornyet i år 13 og 14. Antall svikt ble vurdert som værende konstant opp til år 11 før fornyelsen. Antall svikt per år er vist i Figur 35.

Resultatet blir da som vist ved formelen 𝐾𝐾(𝑇𝑇) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝐸𝐸(𝑁𝑁(𝑡𝑡𝑓𝑓)+𝑠𝑠𝑓𝑓𝑡𝑡𝑓𝑓

(5-9), og det

framgår at det optimale intervall også er år 12 i modellen. Beregningen finnes i vedlegg 16. Ved å avvente fornying vil frekvensen av reparasjoner øke og det må tas hensyn til om mengden av reparasjoner tilknyttet nedetid blir så stor at man ville få problemer med å oppnå produksjonsmål ved å følge modellens anbefaling. Det er også mulig andre hensyn må ivaretas som modellen ikke tar hensyn til, og en vurdering av rimeligheten av modellenes resultater bør i hvert enkelttilfelle vurderes.

Figur 36 Årlige kostnader ved utskiftning i år n

020406080

100120140160180

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Ant

alls

vikt

per

år

År

0

500 000

1 000 000

1 500 000

2 000 000

2 500 000

3 000 000

0 2 4 6 8 10 12 14 16

NO

K/år

Intervall[år]

Figur 35 Antall svikt per år

63

I dette tilfellet er relativt store kapitalkostnader involvert med sykluser som strekker seg over flere år. I tillegg er sviktfrekvensen høy og stabil, hvilket betyr at en tilnærming til en deterministisk modell også kan være aktuell. Et eksempel på dette beskrives i neste avsnitt.

6.5 Utstyr med store kapitalkostnader I avsnitt 6.4 ble Schenkelevatoren med sine hyppige, minimale reparasjoner, store kapitalkostnader og lange intervaller før fornying gjennomgått. Utstyret tilfredsstiller derfor forutsetningene som må til for å gjøre bruk av ovenstående modell for store kapitalkostnader og lange intervaller. Med anskaffelseskostnad på 2 500 000 og kostnad på 11 000 for hver svikt, beregnes EAC for ulike intervaller i vedlegg 17 og resultatet framgår i Figur 37.

Figur 37 EAC for ulike intervaller for utskiftning av Schenkelevator

Det framgår at fornying av utstyret bør skje mellom år 11,5 og 12,5 hvilket stemmer godt overens med hva som faktisk ble resultatet sist utstyret ble fornyet. Dette er samme resultatet som for modellen med minimal reparasjon hvor ingen hensyn ble tatt til nåverdi. Årsaken til at resultatene blir like er den eksponentielle stigningen i antallet av reparasjoner som hurtig medfører voldsomme kostnader for de minimale reparasjoner og kapitalkostnadene vil derfor ha relativ liten effekt på beslutningen.

I eksemplet her vil det sannsynligvis være lite meningsfullt å anbefale utskiftning av utstyret hvert 12. år. Teknologien endrer seg, og vedlikeholdskostnad, driftskostnad og innkjøpskostnad kan forventes å endre seg vesentlig i løpet av et så stort tidsrom. Modellen må derfor i dette tilfellet justeres til å ta hensyn til dette for å beregne et optimum for hvor når det nye utstyret burde installeres - noe som også er fullt mulig. Den nåværende Schenkelevator forventes fremdeles å ha relativt lave driftskostnader. Ny og bedre teknologi er ikke umiddelbart kjent for bedriften, så for Schenkelevatoren er det ikke planer om å videreutvikle modellen ytterligere. Det finnes imidlertid annet utstyr i bedriften som anses for snart å bli moden for utskiftning og hvor ny teknologi endrer det nåværende kostnadsbildet. Det gjelder for en ny type automatisert ovnsutstyr som kan erstatte bemannede chargeringsbiler. Disse har til oppgave å jevne ut det øverste lag med materiale som tilsettes ovnen. Den nye teknologien vil kunne ha positiv påvirkning på kvaliteten av produktet, noe som også må inn i nåverdiberegningene. Ikke bare kostnader, men også endring i produksjonskapasitet og kanskje sikkerhet og miljø bør kvantifiseres og inngå i modellen hvis

0

200 000

400 000

600 000

800 000

1 000 000

1 200 000

1 400 000

0 2 4 6 8 10 12 14 16

EAC

Intervall [år]

64

de er av betydning. Kvantifisering av for eksempel miljø og sikkerhet er beskrevet av Haarman & Delahay (2004).

6.6 Kran Følgende case antas å være en typisk problemstilling hvor spørsmålet er om det er på tide å investere i nytt, men kostbart utstyr. Bruk av NV illustreres og modellen utvides til også å inneholde andre finansielle elementer, som avskriving og skatt, som begge kan ha avgjørende betydning for beslutningens utfall. Modellen er relativt komplisert med mange variabler og det vil bli for omfattende å beskrive den i detalj. Hensikten med avsnittet er primært å beskrive de viktigste prinsippene i oppbyggingen, og demonstrere bruk av modellen for å kunne oppnå en informert beslutning.

6.6.1 Situasjon Ifølge mekanikerne som hadde ansvaret for vedlikeholdet av bedriftens to store tappehalskraner, var en uholdbar situasjon i ferd med å oppstå med den eldste av de to kraner kalt Kran 2. Kran 2 brukes på verkstedet som vedlikeholder de 2 tonn tunge øser som brukes til å transportere flytende metall fra ovn til utstøping.

Figur 38 Illustrasjon av Kran 2

Stans på denne kranen medfører ikke umiddelbart produksjonsstopp. Imidlertid fungerer kranen også som standby for kran 1 som brukes kontinuerlig i produksjonen og er vist i Figur 39.

65

Figur 39 Tappehalskran 1

Hvis Kran 1 svikter er Kran 2 derfor klar til å ta over, men Kran 2 er av mekanikerne vurdert til å være i så dårlig stand at sannsynligheten for svikt på Kran 2 når den av og til må ta over for Kran 1 er veldig stor. Hvis dette inntreffer slik at begge kraner er nede samtidig, vil det bety total produksjonsstans.

Modellen skal danne beslutningsgrunnlaget for 3 valgmuligheter:

1. Fortsette som nå 2. Overhale Kran 2 3. Kjøpe ny Kran 3

6.6.2 Konstruksjon av modell Modellen er å finne i vedlegg 18 og består av 4 hoveddeler:

1. Inndata i form av parametre for sannsynlighetsfordelinger og enkeltkostnader (for eksempel pris for reservedeler)

2. Kontantstrømmer med skattefordeler 3. Simulering for beregning av forventet nedetid og forventede reparasjonskostnader 4. Beregning av NNV for 3 ulike valgmuligheter.

For bestemmelse av inndataene i punkt 1 ble en mekaniker med god erfaring med tappehalskranene intervjuet for å belyse følgende forhold:

• Levetidsfordelingen for kranene • Sannsynlighetsfordelinger for reparasjonstider • Sannsynlighetsfordelinger for antall svikt på kranene • Sannsynlighetsfordelinger for dominerende sviktmodi • Delekostnader på dominerende sviktmodi med størst konsekvenser

66

Nedenfor er beskrevet nærmere hvordan hoveddelene er behandlet i modellen:

Parametrene for levetiden for Kran 2 og reparasjonstider for både Kran 1 og 2 ble estimert ved hjelp av metoden for ekspertvurderinger beskrevet i avsnitt 4.4.3. Svarene og resultatene for levetidsfordelingen for Kran 2 er å finne i vedlegg 18a. Svar og resultater for reparasjonstiden for både Kran 1 og Kran 2 er i vedlegg 18b.

Kran 1 har mye lavere sviktrate enn Kran 2, og etter opplysninger fra mekanikeren ble tidene til svikt vurdert som eksponentialfordelte for Kran 1. Mekanikeren mente det var enklest å estimere antall svikt per år framfor å bruke metoden fra avsnitt 4.4.3. Det kan da utnyttes at antall eksponentialfordelte hendelser er poissonfordelte med parameteren 𝜆𝜆 = 8760 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑚𝑚𝑒𝑒𝑉𝑉

8=

1095. Den eksponentialfordelte levetiden tilsvarer da weibullfordelingen med parametrene β = 1 og 𝜂𝜂 = 1095. Antall svikt for kran 1 brukes også i modellens simuleringsdel og ved hjelp

av inversfunksjonen finnes antall svikt, n fra poissonfordelingen gitt ved 𝑓𝑓(𝑛𝑛; 𝜆𝜆) = 𝑒𝑒𝜆𝜆𝜆𝜆𝑛𝑛

𝑛𝑛 ! .

Inversfunksjonen som er brukt i modellen finnes ikke i utgangspunktet i Excel for poissonfordelingen, men funksjonen finnes i tillegget Simtools (som kan lastes ned fra http://home.uchicago.edu/~rmyerson/addins.htm).

Kran 2 som ikke er i kontinuerlig drift fikk estimert 12 svikt i året av mekanikeren og antallet ble antatt normalfordelt med standardavvik 2.

Sannsynlighetsfordelingene for dominerende sviktmodi for Kran 2 til beregning av reparasjonskostnader ble antatt eksponentialfordelte med forventningsverdier estimert av mekanikeren.

Delekostnader for de dominerende sviktmodi var tilgjengelig i bedriftens CMMS.

Ovenstående vurderinger hviler i stor grad på informasjonen fra den intervjuede. Vedkommende ble ansett for å være den som kunne gi de beste estimatene, og ingen andre intervju ble derfor foretatt. Det skal bemerkes at spørsmålene i stor grad ble til under intervjuet på bakgrunn av samtalen. Det var da mulig i større grad å stille spørsmål som den intervjuede mente kunne besvares uten alt for store usikkerheter og nye interessante opplysninger kunne behandles tilstrekkelig grundig. Opplysninger fra intervjuet ga ikke kun informasjon om ulike parametre i modellen, men var også vitale for å kunne utforme modellen.

I del 2 av modellen ble opplysninger av mer finansiell karakter opplyst av bedriftens controller og omfattet følgende:

• Avskrivningssats og skattefordel • Skattefordel ved direkte vedlikeholdskostnader (for eksempel lønn)

Disse opplysninger vil ha innvirkning på kontantstrømmene i utstyrets levetid og vil derfor påvirke NV.

http://home.uchicago.edu/~rmyerson/addins.htm�

67

Hovedparten av simuleringen i modellens del 3 går på å bestemme forventet produksjonstap. Det er to ulike muligheter for tapt produksjon:

1. Samtidig som vedlikehold utføres på kran 1, svikter kran 1 2. Samtidig som vedlikehold utføres på kran 2, svikter kran 1

I modellens del 4 estimeres forventet produksjonstap på bakgrunn av alle inndataene.

6.6.3 Validering Validering av estimatene ble vanskeliggjort pga. mangelfull historikk for kranene, men gode historiske data eksisterte for tapt produksjon og driftskostnader for kran 2. Dette muliggjorde sammenligning med modellens resultater ved å fortsette med nåværende strategi:

Tabell 8 Historikk mot modellens forutsigelser

Historikk [NOK] Modell [NOK] Tapt produksjon 70 000 110 000

Driftskostnader kran 2 80 000 100 000

Tap med tapt produksjon som årsak er kjernen i modellen og ses å være noe høyere enn hva som er blitt registrert tidligere. Det er forventet at kostnaden for tapt produksjon vil øke framover, noe som var årsaken til at mekanikerne med erfaring fra kranene tok opp problemstillingen og modellens estimat virker plausibelt. Samme argumentasjon kan brukes ved betraktning av modellens resultat for driftskostnader for kran 2 og disse resultatene gir da heller ikke anledning til å forkaste modellen.

6.6.4 Resultat Forventingsverdiene for de 3 valgmulighetene:

NNV uendret strategi 2 800 000 NOK

NNV overhaling kran 2 2 900 000 NOK

NNV Ny kran 2 3 400 000 NOK

Nåverdien av kostnadene er lavest for den uendrede strategien, men forskjellen mellom de 3 resultater kan betegnes som liten til moderat og flere forhold bør belyses før en endelig beslutning treffes. Usikkerheten omkring kostnadsnivået er større for en uendret strategi og lavest for ny kran. Nedetiden med uendret strategi kan hurtig bli høyere enn de forventede 4,5 timene, og det vil derfor være en betydelig nedside ved denne løsningen. Tid med produksjonsstans anses å være den største kostnadsdriver og sensitivitetsanalyse er utført i Tabell 9. Det framgår blant annet at med en øking fra de forventede 4,5 timers tapt produksjon med nåværende løsning til 8 timer, blir nåverdien like høy som løsningen med ny kran.

68

Tabell 9 Sensitivitetsanalyse med tapt produksjonstid

Uendret strategi Overhaling Ny kran

Tapte timer NV Tapte timer NV NV

2 -2 380 000 0,01 -2 920 000 -3 340 000

4 -2 730 000 0,5 -2 990 000 -3 419 000

6 -3 080 000 1 -3 070 000 -3 498 000

8 -3 430 000 2 -3 230 000 -3 660 000

10 -3 780 000 3 -3 390 000 -3 810 000

12 -4 120 000 4 -3 550 000 -3 970 000

14 -4 470 000 5 -3 700 000 -4 130 000

16 -4 820 000 6 -3 860 000 -4 290 000

Sikkerhetsgodkjenning er et annet vesentlig element som modellen ikke tar hensyn til og det anses som en mulighet at Kran 2 uansett må igjennom kostbart vedlikehold på strukturelle elementer for å bli sikkerhetsgodkjent. Sammenlignes overhaling med ny kran, så vil det være en usikkerhet tilknyttet strukturelle elementer som ikke vil bli utskiftet ved overhaling. Non Destructive Testing (NDT) vil bli utført og muligens påvise at de strukturelle elementer ikke oppfyller kravene, eller enda verre, NDT finner ikke tegn på svakheter, men kranen svikter likevel under drift på grunn av aldring.

Med disse forhold tatt i betraktning ble vedlikeholds- og driftsledelsens innstilling innkjøp av ny kran.

69

7 DISKUSJON AV RESULTATER For å bidra til bedre beslutninger rundt FV gjennom tildeling av ressurser til forebyggende vedlikeholdsintervaller er en framgangsmåte gjennomgått og optimeringsmodeller presentert i det foregående. Gjennom først å gjøre et valg av kritiske systemer og tildele vedlikehold basert på risikobaserte metoder er det vist at det er mulig for små og mellomstore bedrifter å anvende et begrenset datagrunnlag som grunnlag for optimeringsmodeller. Når de mest relevante modellene nå er identifisert, er det på sin plass å diskutere hvordan denne metoden harmonerer med kravet om lønnsomhet, betraktninger rundt dataanalyse når man har begrenset datagrunnlag, og samtidig den praktiske bruken av modellene med eller uten spesialisert programvare.

7.1 Lønnsomheten av casene Fire case fra virkeligheten er blitt presentert:

1. Optimal intervall ved bruk av metoden for utskiftning av schenkgir etter alder – avsnitt 6.3

2. Optimal intervall ved minimal reparasjon av Schenkbånd – avsnitt 6.4 3. Optimal intervall ved deterministiske og store kapitalkostnader av Schenkelevator –

avsnitt 6.5 4. Optimalt valg av kranløsning på bakgrunn av LCC-analyse – avsnitt 6.6

Punkt 4 muliggjorde en informert beslutning, men i punkt 1,2 og 3 ble det ikke funnet grunn til å endre nåværende praksis og strengt tatt har forsøket på optimering i nevnte eksempel bare medført ekstra timekostnader i form av intervjutid osv. Det vil likevel være en feilslutning å konkludere med at kvantitativ optimering med de demonstrerte modeller ikke er lønnsomt for andre eller Finnfjord AS. Utstyret som er behandlet i eksemplene er kun et utvalg, og det eksisterer mye annet utstyr som kan være kandidater til lønnsomme, forebyggende utskiftinger. Mangel på levetider og vedlikeholdskostnader utgjør en stor utfordring ved identifisering av kandidater til slik utskiftning. Detaljert viten om levetider og kostnader er nødvendig når utstyret både skal innfri kravene om økende sviktrate og samtidig ha vesentlige større kostnader ved utskiftninger etter svikt i forhold til kostnadene ved forebyggende utskiftninger.

En forestående implementering av et mer moderne CMMS og større satsning på FV vil bedre muligheten betraktelig for dataanalyse og det forventes at betydelig flere kandidater til de behandlede modeller vil bli synliggjort. Prosessen vil også forenkles i forhold til eksemplene hvor mangel på data nødvendiggjorde bruk av ekspertvurderinger. En annen faktor som vil kunne bedre modellenes lønnsomhet er læringskurven. Framgangsmåten var ny og når vedlikeholdsorganisasjonen blir mer komfortabel med å tenke i sviktrater og kostnader ved korrektivt vedlikehold i forhold til forebyggende, vil flere potensielle tilfeller trolig bli synlige. Det ville være interessant å følge hvordan modellene eventuelt bidrar til lønnsomheten når bruk av modellene er blitt mer integrert i vedlikeholdsprosessene, og når informasjonssystemene er bedre designet for å støtte opp omkring den nødvendige dataanalysen.

70

7.2 Dataanalyse Målet har ikke vært å undersøke en hypotese omkring de valgte modellers lønnsomhet, da lønnsomhet i stor grad allerede har vært en premiss for målet beskrevet i avsnitt 1.1. Diskusjon og påvisning av viktigheten og potensialet innenfor kvantitativ optimering innenfor vedlikehold er gitt i Dekker (1996) og Dekker og Scarf (1998). Som demonstrert er det ikke tilstrekkelig å finne passende modeller og så bare inntaste historiske data. En stor del av jobben består av dataanalyse hvor det er mange fallgruver og hvor det kan oppstå tvilstilfeller. Turner (2009) mener å ha observert for mange tilfeller hvor statistikken ikke brukes korrekt:

• Weibullanalyse på levetider som ikke er weibullfordelte • Konklusjoner som bygger på alt for få historiske data • Bruk av data som ikke er representativ for den aktuelle problemstillingen • Manglende interesse og viten omkring sviktårsakene.

I tillegg framføres det at problemene bare øker i omfang ettersom spesialisert programvare til dataanalyse vinner fram i bedriftene.

I stedet for at spesialisert programvare framholdes som et problem, skal det her argumenteres for at denne type programvare er et nyttig verktøy på mange måter. Ikke bare blir dataanalysen mer effektiv, den blir også mer underholdende å jobbe med, og gir samtidig mulighet for enklere sensitivitetsanalyser. Et annet viktig poeng er de gode rapporteringsmuligheter av resultater som kan skje på en lett forståelig og grafisk måte overfor beslutningstakerne. At et verktøy bokstavelig talt kan være farlig i ukyndige hender vil nok være en realitet i mange situasjoner, men en god løsning er neppe å vrake verktøyet. Det er blitt demonstrert at standardprogrammet Excel gir gode muligheter for weibullanalyse og når oppsettet er klart, er det enkelt å taste inn data for å få svar på om det er rimelig å gå ut fra betingelsen om uavhengige identisk fordelte data. Parametrene i weibullfordelingen kan også enkelt estimeres selv med suspensjoner i dataene, og hvis ønskelig kan regresjonsanalyse utføres for å sjekke om antakelsen om weibullfordeling i det hele tatt virker rimelig (vedlegg 3). Det ble ikke funnet en velegnet analytisk metode for bruk av SME som også var velegnet for suspensjoner ved weibullfordelte levetider. Den grafiske metoden med logaritmisk plott fungerer derimot også godt med suspensjoner, og anbefales derfor her hvis valget står mellom logaritmisk plott og bruk av SME.

Det vil derfor være fullt mulig å utføre grunnleggende weibullanalyser på en effektiv måte uten investeringer i programvare. Dette vil være en fullt gangbar vei for små bedrifter som ikke ønsker å bruke nevneverdig med ressurser på innkjøp av programvare. Spørsmålet som står igjen er om tilstrekkelig viten er tilgjengelig for å unngå de tidligere nevnte fallgruvene. De fleste norske ingeniører har dog som et minimum hatt grunnleggende kurs i statistikk under utdannelsen, så hvis den umiddelbare kompetansen på området er begrenset, vil det som regel være et grunnlag å bygge videre på. Øking av kompetansen til et brukbart nivå vil uansett være realistisk, og kompetanseheving kan gjennomføres med få ressurser hvis grunnleggende kunnskaper om statistikk er tilstede.

71

Figur 40 Plott i Weibull++ programvare

Det er dog lite tvil om at spesialisert programvare som for eksempel Weibull++ fra Reliasoft byr på mange flere funksjoner enn grunnleggende analyse. Dessuten er programmet mer behagelig og hurtigere å jobbe med enn regneark. Plott av dataene fra Tabell 3 er gjengitt i Figur 40 med med Weibull++ programvare. De resulterende parametre ses til høyre. En annen stor leverandør av lignende programvare er Availability Workbench fra Isograph, og det er en god del andre aktører på markedet for dataanalyse utover disse. En oversikt kan finnes på www.plant-maintenance.com

7.2.1 Bruk av Bayesiansk statistikk I tilfelle av begrenset eller ingen data, ble det i avsnitt 4.4.4 vist at Bayesianske teknikker var praktisk mulige for eksponentielle levetider, og en metode for estimering av apriorifordelingen ble gitt. Dessverre er det vanskeligere å håndtere de weibullfordelte levetidene. Apriorifordelingen kan estimeres på bakgrunn av data med spesialisert software, men det er ikke dokumentert fra leverandøren nøyaktig hvordan dette gjøres og hvis ingen data eksisterer i utgangspunktet, er det ikke lykkes her å identifisere en praktisk metode for weibullfordelte levetider. I stedet anbefales det å gjøre bruk av ekspert- eller ingeniørvurderinger av levetidsfordelingene, og som tiden går, utføre klassisk weibullanalyse når nok data foreligger.

72

7.2.2 Ingeniørestimater I de utvalgte eksemplene var ikke tilstrekkelig data tilgjengelig og en subjektiv (men fremdeles kvantitativ) metode ble presentert for å omgå dette problemet. I avsnitt 6.3 ble parametrene til levetidsfordelingen for et gir estimert ved hjelp av intervju med en erfaren mekaniker, som ga konsistente estimater uten å være trent i statistikk eller sannsynlighetsregning. Dette muliggjorde en beregning av optimalt intervall for utskiftning av det aktuelle giret. Samme framgangsmåte ble benyttet i avsnitt 6.6 til estimering av parametre for reparasjonstider og levetider for to kraner. Noen av modellens resultater som ble validert virket rimelige etter en validering, og når først modellen er på plass (vedlegg 5) kan resultatet fra intervjuet analyseres. Den umiddelbare svakheten er tiden som kreves til intervjuene og de subjektive resultatene. I casene var de intervjuede ikke de samme som stod for planleggingen og det var ingen umiddelbar mistanke om at de i estimatene derfor kunne ha tendens til å søke å underbygge den nåværende strategien.

Selv om metoden gav brukbare resultater med forholdsvis få ressurser, oppfattes den likevel mer ressurskrevende enn objektiv dataanalyse. Sammenlignet med de subjektive resultater blir et veletablert og vedlikeholdt CMMS mer attraktivt for å kunne benytte de mer konkurransedyktige objektive metodene. Ekspert- og ingeniørvurderinger er også en kompetanse som kommer i tillegg til vanlig weibullanalyse og som i mange tilfeller ikke er nødvendig hvis CMMS holdes ved like med korrekte og tilstrekkelig detaljerte registreringer. Selv om ekspertvurderinger i stor grad kan unngås, vil det likevel være situasjoner med veldig få data og store usikkerheter, men hvor en beslutning likevel må tas, og ekspert- eller ingeniørvurderingene vil da utgjøre et positivt bidrag.

7.3 Praktisk bruk av optimeringsmodellene Det er blitt vist metoder hvor grunnleggende weibullanalyse enkelt kan utføres i standardverktøyet Excel med oppsett hvor det stort sett bare er å taste inn levetidsdataene. Det gjenstår da å bruke rett modell til den spesifikke situasjonen, og akkurat dette trinnet kan by på en del utfordringer for små og mellomstore bedrifter. En god del betingelser må være på plass før de presenterte standardmodellene er brukbare. I tillegg til situasjoner hvor man etter gjennomgang av data vet betingelsene ikke er oppfylte, er det andre tilfeller hvor man mangler data som kan fortelle om betingelsene er oppfylte. Hvis betingelsene først er oppfylt, er det mulig å bruke de relevante Excelark (Vedlegg 8 – 12) for å taste inn parameterverdier og kostnader. Ut fra dette vil optimalt intervall med sensitivitetsvurderinger framkomme. Det er imidlertid bare det siste trinnet som er enkelt, og for å kunne gjøre bruk av forhåndsoppsatte Excelark eller spesialisert programvare, må man fremdeles ha grunnleggende viten om statistikk for å gjøre bruk av verktøyene da mulighetene for å gjøre feil er mange. Virkeligheten passer heller ikke alltid inn i de enkle standardmodellene, og i avsnitt 6.6 ble det gitt et virkelig eksempel med LCC-beregninger med tappehalskraner hvor modellen hurtig ble komplisert selv om problemstilingen var enkel.

Dekker (1996) etterlyser generiske metoder for konstruksjonen av modeller. Han argumenterer med at viften av problemstillinger er så bred, og såpass mange spesielle forhold gjør seg gjeldende, at det blir lite hensiktsmessig å måtte velge mellom noen få standardmodeller. Aven og Dekker (1997) beskriver et rammeverk som vil kunne utgjøre

73

grunnlaget for en slik generisk metode, og som inkluderer flere optimeringsmodeller, men det har ikke vært mulig å finne programvare med denne egenskapen. OREST fra leverandøren Omdec spesialiserer seg i forebyggende utskiftninger, men man må fremdeles velge modelltypen først. Det samme gjør seg gjeldende for RELCODE fra Oliver-Group som er av samme type programvare.

For at optimeringsmodellene skal nå sitt potensial, er det nærliggende at tro at programvare spiller en viktig rolle for å automatisere prosessen og få økt brukervennligheten. Utgangspunktet for å få dette til er en velfungerende CMMS som også ivaretar den type data som den spesialiserte programvaren trenger. I forbindelse med valg av nytt CMMS i bedriften, ble 3 store leverandører av EAM suites (CMMS som ikke er en del av Enterprise Resource Planning systemer (ERP)) er evaluert på det norske markedet. De evaluerte systemene var API PRO fra API Maintenance Systems, EAM fra Infor og DASH fra DASH Software. Ingen av disse ble funnet å tilrettelegge for nødvendige data for optimeringsmodeller. Manglende mulighet for å merke av for suspensjoner er et eksempel på dette. Den spesialiserte softwaren, EXAKT, som gjør bruk av PHM-modellen som beskrevet i avsnitt 5.7 krever en del input som vanligvis ikke registreres i en CMMS. For å løse dette har leverandøren utviklet en annen programvare som fungerer som et slags mellomledd mellom CMMS og EXAKT og som sørger for at dataene fra CMMS blir brukbare. Her er det snakk om 3 slags programvare som er integrert i hverandre bare for vedlikeholdsorganisasjonen, og en ekstra kan legges til hvis CMMS er knyttet opp mot et ERP system.

For å øke anvendelsesmulighetene for modellene kunne den nåværende programvaren videreutvikles slik at brukerterskelen senkes og anvendelsen av nåværende modeller og andre mer avanserte modeller blir enklere. Fremfor å velge blant et utvalg av forhåndsdefinerte modeller, kunne programvaren fungere som en generisk metode til å guide brukeren fram og modellen kunne konstrueres direkte på bakgrunn av brukerens input.

7.4 Illustrasjon av den benyttede optimeringsprosessen Prosessen som beskrevet for enten utskiftning etter alder, utskiftning med blokk metoden, minimal reparasjon eller utskiftning tilknyttet store kapitalkostnader er illustrert i Figur 41:

74

Figur 41 Illustrasjon av optimeringsprosess

Vurdering om kostnadene tilknyttet utstyret er stokastiske eller deterministiske

Stokastiske: Sammenligning av kostnadens størrelse ved svikt i forhold til forebyggende utskiftning

Deterministisk: Metoder som for eksempel

utskiftning med store kapitalkostnader

Liten forskjell:

Ingen forebyggende utskiftning

Stor forskjell: vurdering av historisk data

Utilstrekkelig:

Parameterestimering eller ingeniørvurdering

Tilstrekkelig: Undersøkelse av betingelser for weibullanalyse

kan utføres

Ikke u.i.f.: Ingen forebyggende utskiftning

U.i.f.: Parameterestimering med weibullanalyse

Konstant eller minkende sviktrate: Ingen

forebyggende utskiftning

Økende sviktrate: Valg av modelltype på bakgrunn av

effekten på vedlikeholdet

Uendret sviktrate: Minimal reparasjon

Fornying: Valg av modelltype på bakgrunn av effekten på

vedlikeholdet

75

Når implementeringen er fullført og tilstrekkelig tid har forløpt, må de faktiske kostnader sammenlignes med det som var forventet. Dette vil kunne gjøres enkelt hvis alle kostnader tilknyttes en såkalt kostnadsbærer i økonomisystemet. Alle direkte kostnader som timelønn og deler blir registrert under kostnadsbæreren, og hvis resultatet ikke er som forventet undersøkes årsaken og programmet justeres deretter. Dette er også i tråd med Demings syklus ”Plan Do Check Act” som er mye brukt i kvalitetssammenhenger (Montgomery, 2009). Det kan selvfølgelig være nødvendig å innbefatte mer enn direkte kostnader i evalueringen som for eksempel tapt produksjon eller pålitelighet. Dette var tilfellet med kranene i avsnitt 6.6 hvor tapt produksjon var vesentlig å få med i tillegg til de direkte vedlikeholdskostnadene. Formålet med evalueringen er kontinuerlig å justere inn programmet, slik at det både er tilpasset virkeligheten som ofte ikke er statisk, og å lære og aktivt bruke erfaringene til å ta enda bedre framtidige beslutninger.

Evalueringene vil også helt konkret fortelle om man rent faktisk lykkes med den kvantitative metoden. Hele formålet er å bidra såpass til lønnsomheten at ressursene til metoden kan rettferdiggjøres. Antakelsen om lønnsomhet er eksistensgrunnlaget for den kvantitative metoden og man må derfor også vite om denne antakelsen er sann. Styrken med metoden er nettopp tydelige kvantitative svar, og det burde være enkelt å kommunisere suksesser overfor beslutningstagere og dermed sikre metodens forankring i organisasjonen.

Finnfjord AS skal implementere et nytt CMMS som vil gjøre bruk av kvantitative metoder enklere, og evalueringene vil med tiden vise om det har vært en suksess. Hvis den kvantitative metoden viser seg å gi gode resultater, ville det være interessant å se på om det skyldes den kvantitative metode i seg selv, eller om forbedringer like godt kan tilskrives et systematisk fokus og generell økt forståelse for utstyret. Forbedringer vil for eksempel kunne tilskrives større bevissthet rundt ulike sviktmodi, konsekvenser og årsaker. Sistnevnte attributter er også gjeldende for de rent kvalitative metoder og et eksperiment vil muligens kunne utføres hvor utstyr tildeles enten en kvantitativ eller kvalitativ metode, og det undersøkes da om metodene resulterer i signifikante forskjeller.

76

8 KONKLUSJON Det er blitt foreslått en risikobasert framgangsmåte for tildeling av vedlikehold slik at aktivitetene i vedlikeholdsprogrammet både blir målrettede mot den valgte strategien og effektive. Det er vist at denne metoden kan danne et kvantitativt beslutningsgrunnlag for tildeling av ressurser til FV, og at denne metoden både er gjennomførbar og velegnet for små og mellomstore bedrifter. Metoden følger de viktigste RCM-prinsippene og benytter seg av FMECA analyse. Først identifiseres det mest kritiske utstyret og fokuset er på konsekvenser av funksjonelle svikt og hvordan de imøtegås. Når fokuset begrenses til disse hovedelementene, begrenses ressursbruken til et minimum og metoden blir enklere å utføre i praksis.

Metoden stopper ikke her, men går videre til å behandle ved hvilke intervaller det tildelte vedlikeholdet bør utføres. Dette skjer ofte på bakgrunn av anbefalinger fra OEM og mer eller mindre velfunderte vurderinger. Da denne fastsettingen ikke alltid er intuitiv og anbefalingene fra OEM ikke alltid er optimale, er det fordelaktig å gå fram på en strukturert måte for fastsetting av disse intervallene basert på data eller ekspert/ingeniørvurderinger. Bruk av data til dette vil være å foretrekke, men som vist her kan dataene av ulike årsaker være for sparsomme til meningsfulle analyser. Her ble bruk av bayesianske teknikker og expert/ingeniørvurderinger fremholdt som en mulighet i disse tilfellene. Det var ikke mulig å finne en gjennomførbar metode for bruk av bayesianske teknikker med unntak for eksponentielle levetider. Til gjengjeld ble det demonstrert en annen metode som viste seg å være både fleksibel og enkel i bruk når data var sparsomme eller manglet helt. Med ingeniørvurderinger ble et sannsynlig utfallsrom for levetidsparametrene dannet, og ved hjelp av simulering ble det vist hvordan parametrene kan estimeres på bakgrunn av enkle spørsmål til den/de intervjuede.

Det er blitt demonstrert hvordan ingeniørvurderinger kan utnyttes med standardverktøyet Excel, og det samme verktøyet ble også brukt for gruppen av grunnleggende optimeringsmodeller som aldersmetoden, blokk-metoden og minimal reparasjon. I tillegg ble utstyr med store kapitalkostnader behandlet, og med grunnleggende kunnskaper om statistikk er det altså fullt mulig for bedrifter med få ressurser å planlegge intervaller ved hjelp av kvantitativ optimering. Alle modellene er uavhengige av type utstyr og bransje. Det avgjørende for om disse metodene vil være relevante for små og mellomstore bedrifter handler om konsekvenser og kostnader knyttet til svikt. Jo større konsekvenser ved svikt, og jo større kostnader knytte til svikt (direkte eller indirekte), jo større blir mulighetene og potensialet for å optimalisere vedlikeholdsintervallene.

Resultatene av optimeringene i casene viste seg ikke å anbefale noen form for preventive utskiftninger, men konklusjonene fremgikk tydelig med grafiske fremstillinger. I tilfelle preventive utskiftninger hadde vært det mest lønnsomme alternativ, ville dette også ha framgått tydelig og det forventes at aksept for de beregnede intervaller og ressurstildeling til disse forebyggende aktiviteter i så fall ville være enklere å oppnå. I caset fra avsnitt 6.6 omhandlet problemstillingen ikke intervaller, men metoden bygger på de samme prinsipper og et kvantitativt beslutningsgrunnlag ble formet. Denne typen beslutningsgrunnlag vil styrke muligheten for fornuftige valg basert på lønnsomhet, og samtidig minske muligheten for

77

belsutinger basert på hvem som ”roper høyest” eller fordi det optimale valget ganske enkelt ikke er intuitivt.

Uansett om man velger å gjøre analysene ved hjelp av Excel eller med spesialisert programvare er en av de største utfordringene ved denne kvantitative strategien å identifisere riktig optimaliseringsmodell. Dette er til hinder for bruk av flere og mer kompliserte modeller som ville kunne ha åpnet opp for bruk av denne typen metoder i enda flere situasjoner, og som kunne bidra til en mer kostnadseffektiv vedlikeholdsstrategi. Dette tyder på et potensial for videreutvikling av spesialisert programvare slik at bruken av optimeringsmodeller både forenkles og utbredes i større grad. I tillegg vil en tilpasning av CMMS mot anvendelse av dataanalyse og optimering ytterligere kunne bidra med beslutninger primært basert på bevisføring og data.

78

9 REFERANSER Al-Najar B., 2006, The lack of maintenance and not maintenance which costs: a model to describe and quantify the impact of vibration-based maintenance on a company’s business, International Journal of Production Economics, vol. 107, pp. 260-273

Alsyouf I., 2006, The role of maintenance in improving companies’ productivity and profitability, International Journal of Production Economics, vol. 105, pp. 70-78

Alsyouf I., 2009, Maintenance Practices in Swedish Industries, International Journal of Production Economics, vol. 121, pp. 212-223

Aven T., 2006, Pålitelighets- og risikoanlayse, 4. Ed., Universitetsforlaget, tillegg C

Aven T., 2007, Risikostyring, Universitetsforlaget, p.47

Aven T. & Dekker R., 1997, A useful framework for optimal replacement models, Reliability Engineering and System Safety, vol. 58, pp. 61-67

Bloom, N., 2005, Reliability Centered Maintenance Implementation Made Simple, MCGraw-Hill, ch.2.

Brealey, Myers & Allen (2006), Corporate Finance, 8. Utg., McGraw-Hill, ch. 5

Campbell J.D. & Jardine A.K.S. (2001), Maintenance Excellence Optimizing Equipment Life-Cycle Decisions, Marcel Dekker

Cook J.D., 2010, Determining Distribution Parameters from Quantiles, http://www.johndcook.com/quantiles_parameters.pdf, (lest 04/04/2010).

Dekker R., 1995, Integrating optimization, priority setting, planning and combination of maintenance activities, European Journal of Operational Research, Vol 82, pp. 225-240

Dekker R., 1995, The use of operations research models for maintenance decision making, Microelectron. Reliab., Vol 35, pp.1321-1331

Dekker R., 1996, Applications of maintenance optimization models: a review and analysis, Reliability Engineering and System Safety, 51, 229-240

Dekker R. & Scarf R., 1998, On the impact of optimization models in maintenance decision making: the state of the art, Reliability Engineering and System Safety, Vol. 60

El-Gebeily M. & Yushau B., 2007, Numerical Methods with MS Excel, The Montana Mathematics Enthusiast, Vol. 4, no. 1

Gertsbakh I., 2005, Reliability Theory With Applications to Preventive Maintenance, Springer-Verlag, Berlin, ch.4, p88,

Haarman M. & Delahay G., 2004, Value Driven Maintetance, Mainnovation, ch. 2

http://www.johndcook.com/quantiles_parameters.pdf�

79

Jardine A.K.S., Banjevic D., Wiseman M., Buck S. & Joseph T., 2001, Optimizing a mine haul truck wheel motors’ condition monitoring program Use of Proportional Hazards Modeling, Journal of Quality in Maintenance Engineering, Vol. 7 no. 4

Jardine A.K.S. & Tsang A.H.C., 2006, Maintenance, Replacement and Reliability Theory and Applications, Taylor and Francis Group

Jonsson, P., 1997, The status of maintenance management in Swedish manufacturing firms, Journal of quality in Maintenance Engineering, Vol 3, no. 4, pp.233-258

Kalbfleisch D.J. & Ross L.P., 2002, The Statistical Analysis of Failure Time Data, 2. ed., Wiley, p.18 og p.95

Montgomery D.C., 2009, Statistical quality control: a modern introduction, 6. Ed., Wiley, p. 21

Kumar D. & Westberg, U., 1997 Maintenance scheduling under age replacement policy using proportional hazards model and the TTT-plotting, European Journal of Operational Research, 99

Lugtigheid D.,Banjevic D. & Jardine A.K.S., 2007, System repairs: When to perform and what to do?, Reliability Engineering and System Safety, 93, 604-615

Luit D.M., Pascual R. & Jardine A.K.S., 2009, A practical procedure for the selection of time-to-failure models based on the assessment of trends in maintenance data, Reliability Engineering and System Safety, 94, 1618-1628

Marais, K.B. & Saleh J. H.,2008, Beyond its costs, the value of maintenance: An analytical framework for capturing its net present value, Reliability Engineering and System Safety, vol. 94, pp.644-657

Nakagava T., 2005, “Maintenance Theory of Reliability”, Springer-Verlag, London

NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/apr/section2/apr25.htm, (lest 26/05/2010)

NORSOK Z-008, 2001, NORSOK standard Z-008, Norsk Teknologi Senter, s.7, http://www.standard.no/PageFiles/961/Z-008.pdf, (lest 01/06/2010).

Rapport, Norsk Forening for Vedlikehold, 2002, Kartlegging av Vedlikehold og driftssikkerhet i norsk industri, http://www.nfv.no/fileadmin/pdf/Rapport_utgave_1.pdf, (lest 9.01.2010).

Rausand, M. & Høyland, A., 2004, System reliability Theory Models, Statistical Methods and Applications, 2. Ed., Wiley (p.148)

Ross M.S., 2007, Introduction to probability models, 9. utg, Elsevier, kap. 5, p.303

http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/apr/section2/apr25.htm�

http://www.standard.no/PageFiles/961/Z-008.pdf�

http://www.nfv.no/fileadmin/pdf/Rapport_utgave_1.pdf�

80

Scarf P.A. 1997, On the application of mathematical models in maintenance, European Journal of Operational Research, 99, 493-506

Sherwin, D., 2000, A review of overall models for maintenance management, Journal of quality in Maintenance Engineering, Vol. 3, No 3, pp. 138-164, MCB University Press

Sherwin D., 2005, The case for more comprehensive data collection and how it might be achieved: part 1, Maintenance and Asset Management, vol.20, no. 3

Sherwin D., 2009, Common errors in maintenance & reliability theory & practice, The Asset Journal, Vol.3 , p.6-8,

Turner S., 2009, Russian Roulette Loading The Barrel With Statistics and Pulling The Trigger on Reliability, Asset Management and Maintenance Journal, Vol.23, no. 1

Vanneste S.G. & Wassenhove L.N., 1995, An integrated and structured approach to improve maintenance, European Journal of Operational Research, Vol 82, pp. 241-257

Walpole R.E., Myers R.H. & Myers S.L. Ye K., 2007, Probability and Statistics for Engineers and Scientists, 8 ed., p.310-114.Person Prentice Hall

Wang H., 2002, A survey of maintenance policies of deteriorating systems, European Journal of Operational Research, Vol. 139

Welte T.M. & Eggen A.O., 2008, Estimation of Sojourn Time Distribution Parameters Based on Expert Opinion and Condition Monitoring Data, IEE Xplore.

Zuashkiani A., 2008, Expert Knowledge Based Reliability Models: Theory and Case Study, VDM Verlag Dr. Müller

Zuashkiani A., 2010, PAM Master Class, Better Physical Asset Management, Toronto, Canada 12. – 16. April 2010, (personlig samtale)

pålitelighet.no › wp-content › uploads › 2014 › 11 › hovedoppgave... masteroppgavecrf =...

Documents