EXERCCIOS DE REVISO 1( PARTE DO CONTEDO PROGRAMTICO DA P1) 1. Traar os diagramas de momentos fletores e de foras cortantes para a estrutura isosttica da figura abaixo.

Onde:gT: carregamento permanente uniformemente distribudo;Q: carga concentrada acidental.Resoluo:a. Determinao das reaes de apoio:

Das condies de equilbrio tem-se:: RxB = 0 (1): RyA + RyB 2 x 75 52,8 x 40 = 0 (2): RyB x 40 75 (18 + 4) 75 x 18 - 52,8 x 40 x 20 = 0 (3)De (3) resulta em: RyB = 1131 kNDe (3) em (2) resulta em: RyA = 1131 kN (estrutura simtrica)b. Leis de distribuio de momentos fletores e de foras cortantes:Trecho ACDomnio:

Pelas condies de equilbrio:(I)Onde:

Trecho ADDomnio:

Pelas condies de equilbrio:(II)Onde:

Trecho ABDomnio:

Pelas condies de equilbrio:(III)Onde:

Das leis de distribuio de momentos fletores e de foras cortantes resulta em:Momentos Fletores (variao parablica)MA = 0MC = 11.804,4 kN.mMx=20 = 11.910 kN.mMD = 11.804,4 kN.mMB = 0Foras Cortantes (variao linear)VA = + 1131 kNVCesq = + 180,6 kNVCdir = + 105,6 kNVx=20 = 0VDesq = -105,6 kNVDdir = -180,6 kNVB = -1131 kNObs.: onde M(x)mx V(x) = zero

c. Diagramas de Momentos Fletores e Foras CortantesDiagrama de Momentos Fletores

EQUAO M(x) (I)EQUAO M(x) (II)EQUAO M(x) (III)

Posio (m)

Momento Fletor (kN.m)Posio (m)

Momento Fletor (kN.m)Posio (m)

Momento Fletor (kN.m)

001811804.42211804.4

1811804.42011910400

2211804.4

Diagrama de Foras Cortantes

EQUAO V(x) (I)EQUAO V(x) (II)EQUAO V(x) (III)

Posio (m)

Fora Cortante (kN)Posio (m)

Fora Cortante (kN)Posio (m)

Fora Cortante (kN)

0113118105.622-180.6

18180.620040-1131

22-105.6

2. Para a estrutura da figura abaixo, determinar as reaes de apoio e traar os diagramas de esforos internos.

Resoluo: a. Determinao das reaes de apoio:

Das condies de equilbrio tem-se:: RxA = q.b: RyA = RyB: b. Determinao dos esforos solicitantes internos

b.1) Momentos Fletores

b.2) Foras Cortantes

b.3) Foras Normais

c. Traado dos Diagramas

Momentos Fletores:

Foras Cortantes

Foras Normais

3. Para a estrutura da figura abaixo, determinar as reaes de apoio e traar os diagramas de esforos internos.

REAES DE APOIO:Pelas condies de equilbrio:

Resulta em:RxA = 2 kNRxB = 2 kNRyA = 8 kNRyB = 0 (zero)

DIAGRAMAS DE ESFOROS SOLICITANTES

4. Para a estrutura da figura abaixo, determinar as reaes de apoio e traar os diagramas de esforos internos.

REAES DE APOIO:Das condies de equilbrio:

Resulta em: RxA = 30 kNRyA = 10 kNRyB = 50 kN

LEIS DE DISTRIBUIO DOS ESFOROS INTERNOS:

Momentos Fletores:Trecho AC: (0 x 4)MAC = MAC = Trecho CD: (0 x 6)MCD = MCD = Trecho BD: (0 x 2)MBD = -10xForas Cortantes:Trecho AC: (0 x 4)VAC = Trecho CD: (0 x 6)VCD = Trecho BD: (0 x 2)VBD = +10Foras NormaisTrecho AC:NAC = -10 kNTrecho CD:NCD = -10 kNTrecho BD:NBD = -50 kN

DIAGRAMAS DE ESFOROS SOLICITANTES

PEF-215 RESISTNCIA DOS MATERIAIS 1 SEM DE 1999 PROVA 11. Identifique-se com a carteira da USP ou de identidade:2. os resultados s sero considerados se estiverem acompanhados da memria de clculo:3. coloque seu nome em todas as folhas.ALUNO:N USP: Algarismo da Unidades:Considere a estrutura da figura para as questes 1 e 2.Adote : q=1 + (algarismo das unidades do seu nmero USP)P= 2.q1 Questo(3 pontos) Determine:a. os valores das reaes de apoio;b. os esboos dos diagramas de esforos solicitantes N, V e M.

2 questo (2 pontos) Determine as equaes dos diagramas de esforos solicitantes N, V e M, no trecho AB, em funo da varivel x, admitindo-se que as reaes em A sejam RHA= 0 e RVA = P (reaes horizontal e vertical em A).

Considere a estrutura da figura para a questo 3.Adote: P= 4 + 4.(algarismo das unidades do seu nmero USP)q = P / 4a 3a questo (5 pontos) Esboce os diagramas dos esforos solicitantes N, V, M e T.Por trechos: DE(1,0); CD(1,0), BC(1,5) AB(1,5)

4a questo Um certo carregamento vertical, aplicado na viga ao lado, conduziu ao diagrama de momento fletor indicado. Determine as cargas e reaes.

TEMA I: TRELIASSo estruturas formadas por barras ligadas por articulaes as quais trabalham predominantemente sob a ao de foras normais.Ex.:

Hipteses admitidas nos processos de clculo: a) As barras se ligam aos ns atravs de articulaes perfeitas;b) As cargas e as reaes de vnculo aplicam-se apenas nos ns das trelias;c) O eixo das barras coincidem com as retas que unem os ns.Exerccios: Calcule os esforos normais nas barras das trelias1.-

Exerccio 11) M(A) = 0 =8.3.a/2 RC.2.aRC = 6 kN2) FV = 0 = RA 8 + RCRA = 2 kN3) FH = 0 = HA

4) N A:

a) 2 + FAD.sen 60 = 0 FAD = - 2,30 kNb) FAD.cos 60 + FAB = 0 FAB = 1,15 kN

5) N D: a) 2,30.cos 30 FDB.cos 30 = 0 FDB = 2,30 kNb) 2,30.cos 60 + FDB.sen 30 + FDE = 0 FDB = -2,30 kN

6) N E: a) 2,30 FEB.cos 60 + FEC.cos 60 = 0 FEC - FEB = -4,60b)-8 FEB.cos 30 FEC.cos 30 = 0- FEC - FEB= 9,25De (a) e (b) FEB = -2,30 kN e FEC = -6,90 kN

7) N C:

6,90.cos60 - FCB =0 FCB = 3,45 kN

8) N B: (verificao)

a) FH = -1,15 2,30.cos 60 - 2,30.cos60 + 3,45 = 0b) FV = 2,30.sen 60 - 2,30.sen 60 = 0

PROCESSO DE RITTER Cortar a estrutura em apenas trs barras no concorrentes, no concorrentes, no paralelas e calcular as foras necessrias para equilibrar os cortes.EXEMPLO

FV =0 = FBD. cos 30 8 + 6FBD = 2,30

Exerccio 2

1) N A:

a) FAB = 0b) 2.P + FAF = 0 FAF = -2.P

2) N F:

a) 2.P FFB.cos 45 = 0 FFB = 2 Pb) FFG + FFB.cos 45 = 0

3)

a) M(G) = 0 = 2.P.a FBC.aFBC = 2.Pb) FV = 0 = 2.P P FGC.cos 45 FGC = Pc) FH = 0 = FBC + FGH + FGC.cos45 FGH = -3.P

4) N B:

FBC = 0 = - P + 2 P.cos45 + FBG FBG = -P

Exerccio 31) FV = 0 = VF 12 VF = 12kN2) MF = 0 = -HA.6 12.8 HA = -16 kN3) FH = 0 = HA + HF HF = 16 kN

N ( kN )

1+16

2+16

30

40

50

6-20

70

80

9-20

4) N A:

a) N3 = 0b) N1 = 16

5) N F:

a) 16 N9.cos = 0 N9 = -20b) 12 + N8 + N9.sen = 0 N8 = 0

6) N D:

a) N4.sen = 0 N4 = 0b) N4.cos + N7 = 0 N7 = 0

7) N B:

a) N2 16 = 0 N2 = +16b) N5 = 0

8) N E:

a) N6 = -20

9) Verificao no n C:

a) 12 + 20.sen = 0 OK!b) 16 + 20.cos = 0 OK!

Extra

1) M(A) = 0 = -120.1,75 120.14,25 120.6 + RB.16 RB = 165 kN2) FV = 0 = RA 120 120 + RB RA = 75 kN

3)

a) M(I) = 0 = 120.6,25 120.6 75,8+ N8.6 N8 = 95 kN

4) M(A) = 0 = -120.1,75 N6.6 N6 = - 35 kN5) FH = 0 = -120 + N8 + N6 + N7.cos N7 = 75 kN

Lista de exerccios P1aQuaisquer sugestes ou erros detectados, contacte : osnakao@usp.brExerccio 11) M(A) = 0 = P.l MAMA = P.l

2)

a) Rv = 0 = P- V(x)V(x) = Pb) Rh = 0 = N(x)c) M = -P.l + P.x M(x)M(x) = P.x P.l

3)

OU

2)

a) N(x) = 0b) V(x) = Pc) M = 0 = M(x) + P.xM(x) = -P.x

Exerccio 2

1) N(x) = 02) V(x) P.x = 0 V(x) = P.x3) M(x) + P.x.x/2 = 0 M(x) = -p.x2/2

OU

1) N(x) = 02) p.l p.x V(x) = 0V(x) = p.l p.x3) p.l2/2 + p.l.x p.x.x/2 M(x) = 0M(x) = - p.x2/2 + p.l.x p.l2/2

Exerccio 3

1) p/l = px/x

2) N(x) = 0V(x) (p.x2)/ 2.l = 0 V(x) = (p.x2 ) / 2.lM(x) + p.(x2/2.l).(x/3) = 0 M(x) = - (p.x3) / 6.l

Exerccio 41) HA = 02) RA P + RB = 03) M(A) = 0 P.a RB.lRB = (P.a) / l4) M(B) = 0 R A.l P.b = 0R A = (P.b) / l

5) Seo I

a) N(x) = 0b) V(x) = (P.b) / lc) (P.b.x) / l M(x) = 0M(x) = (P.b.x) / l

6) Seo II

a) N(x) = 0b) P.b/l P V(x) = 0 V(x) = P.(b/l) P = (P.b P.l) / l = P.(b-l) / l = - ( P.a) / lc) P.b.x/l P.(x-a) M(x) = 0M(x) = P.b.x/l P.x + P.a = (P.(b-l).x + P.a)/l = (-P.a.x + P.a.l) / lx = a M= (- P.a2 + P.a.l)/l = P.a.(-a + l)/l = P.a.b/lx = l M = 0

Exerccio 5

1) N(x) = 02) p.l/2 p.x V(x) = 0V(x) = p.l/2 p.x3) p.l.x/2 p.x.x/2 M(x) = 0M(x) = p.l.x/2 p.x2/2

x = l/2 M = p.l.l/2.2 p.(l/2)2/2M = p.l2/4 p.l2/8M = p.l2/8

Exerccio 61) HA = 02) M(A) = 0 = (p.l/2).(2.l/3) RB.lRB = p.l/33) M(B) = 0 = RA.l p.l/2RA = p.l/6

4)

Px/x = p/l px = p.x/la) N = 0b) p.l/6 p.x2/2.l V = 0 p.l/6 p.x2/2.lc) p.l.x/6 p.x2.x/2.l.3 M = 0M = p.l.x/6 p.x3/6.l

x = l V = p.l/6 p.l2/l = (p.l 3.l)/6V = -p.l/3V = p.l/6 p.x2/2.l = 0 p.l/6 = p.x2/2.ll2/3 = x2 x = l/3

Exerccio 7

p/(l/2) = px/x px = 2.p.x/l

a) N = 0b) p.l/4 p.x2/l V = 0V = p.l/4 p.x2/l c) p.x.l/4 p.x2.x/l.3 M = 0M = p.x.l/4 - p.x3/3.l

Exerccio 81) H A = 02) M(A) = 0 = M 0 RB.lRb = M0/l3) M(B) = 0 = M0 + RA.lRa = -M0/l

a) N = 0b) V + M0/l = 0 V = -M0/lc) M M0.x/l = 0 M = M0.x/l

Exerccio 9

1) HA = 02) M(A) = 0 = p.l/2.(l/2) RB.l + M0RB = p.l/2 + M0/l3)M(B) = 0 = RA.l p.l.l/2 + M0RA = p.l/2 -M0/l

a) N = 0b) p.l/2 M0/l p.x V = 0 V = p.l/2 M0/l p.xc) (p.l/2 M0/l).x p.x.x/2 M = 0M = (p.l/2 M0/l).x p.x/2

Exerccio 101) M(A) = 0 = p.a RB.l + p.l./2RB = P.a/l + p.l/22) M(B) = 0 = RA.l p.b p.l.l/2RA = P.b/l + p.l/2

a) N(x) = 0b) p.b/l + p.l/2 p.x V = 0V = p.b/l + p.b/2 p.xc) ( p.b/l + p.l/2 ).x p.x.x/2 M = 0M = ( p.b/l + p.l/2 ).x p.x/2

V(a) = p.b/l + p.l/2 p.a == p.b/l + p.b/2 p.a/2M(a) = ( p.b/l + p.l/2 ).a p.a/2 = = p.b/l + p.a/2 + p.b.a/2 p.a/2V(a) p = p.b/l + p.b/2 p.a/2 p == ( p.b.l p.a.l 2.p.a )/2.l == p.b/2 p.a/2 p.a/l

Exerccio 111) M(A) = 0 = 3.p.a.( a + 3.a/2 ) RB.6.aRB = 5.p.a/42) M(B) = 0 = RA.6.a 3.p.a.( 2.a + 3.a/2 )RA = 7.p.a/4

3) Seo ( I ) a) N = 0b) V = 7.p.a/4c) 7.p.a.x/4 M = 0 M = 7.p.a.x/4

4) Seo ( II )a) N = 0b) 7.p.a/4 p.(x - a) V = 0V = 7.p.a/4 p.(x - a)c) 7.p.a.x/4 p.(x - a).(x - a)/2 M = 0M = 7.p.a.x/4 p.(x - a)/2M = -p.x/2 + 11.p.a.x/4 p.a/2

Exerccio 121) M(A) = p.l.l/2.4 + p.l.3.l/4 RB.l = 0RB = 7.p.l/82) M(B) = RA.l p.l.3.l/2.4 p.l.l/4 = 0RA = 5.p.l/8

Lista de exerccios P1bQuaisquer sugestes ou erros detectados, contacte: osnakao@usp.brExerccio 1Exerccio 2Exerccio 3

sen q = 4/5 = 0,8 cos q = 3/5 = 0,6Resoluo do exerccio 1

1) M(A) = 0 = 15.1,5 RB.3 +HB.42) M(B) = 0 = RA.3 15.1,5RA = 7,5RB = 7,5HB = 0

a) N 3.x.sen + 7,5.sen = 0N = 2,4.x 6b) 7,5.cos - 3.x.cos - V = 0V = 4,5 1,8.xc) 7,5.cos - 3.x.x.cos / 2 M = 0M = 4,5.x 0,9.x

Exerccio 2sen = 4/5 = 0,8cos = 3/5 = 0,6

1) M(B) = 0 = RA.3 15.2,5RA = 12,5 kN2) R = RA 15.cos + RB = 0RB = -3,5 kN3) H = 15.sen + HB = 0HB = -12 kN

a) N + 12,5.sen = 0 N = -10 kNb) 12,5.cos - 3.x V = 0 V = 7,5 3.xc) 12,5.x.cos - 3.x.x/2 M = 0M = 7,5.x-3.x/2

Exerccio 31) M(B)= 0 =RA.3 9.1,5RA = 4,5 kN2) R = 0 = RA 9 + RBRB = 4,5 kN3) H = 0 = HB

a) N 3.x.cos . sen + 4,5.sen = 0N = -1,44.x + 3,6b) V 3.x.cos . cos + 4,5.cos = 0V = 1,08.x 2,7c) M + 3.x.cos . cos . x/2 4,5.x.cos = 0M = -0,54.x + 2,7.x

Exerccio 41) HA = 02) RA P = 0 RA = P3) MA + P.R = 0 MA = -P.R

a) N P.sen x = 0N = -P.sen xb) V P.cos x = 0V = P.cos xc) M + P.R.sen x = 0M = -P.R.sen x

Exerccio 51) HA = 02) RA p.R = 0 RA = p.R3) MA + p.R.R/2 = 0 MA = - p.R/2

a) N p.R.sen x. sen x = 0N = - p.R.sen xb) V p.R.sen x.cos x = 0V = p.R.sen x.cos x = ( p.R.sen 2x) / 2c) M + p.R.sen x.(R.sen x)/2 = 0M = -p.R/2.senx

Exerccio 6

1) Hp = 02) 5 8 + RD = 0 RD = 13 kN3) M(D) = 0 = -5.7 - 8.2 MD MD = -51 kN

4)

5) equao no trecho CD

a) N = 0b) -5 - 2.x - V = 0 V = -2.x - 5c) 5.(3 + x) 2.x.x/2 M = 0M = -x - 5.x - 15

Exerccio 71) HC 5 = 0 HC = 52) M(A) = 0 = 6.1 + 10.3 RC.4 5.3RC = 21/43) RA 10 + RC 6 = 0 RA = 43/4

Exerccio 8

sen = 0,6cos = 0,8

1) 3,2 + HB = 0 HB = -3,22) M(B) = 0 = -2,4.2 + 5,.8 + 16 RE.8 RE = 6,43) RB 2,4 5 + RE = 0 RB = 1

Exerccio 9

1) F V = 0 = R A 3 + R E R A + R E = 3 (1)2) F H = 0 = H A + H E H A = -H E (2)3) M(A) = 0 = -3.2 + R E.5 H E.2 5.R E 2.H E = 6 (3)4) M(C) = 0 = R E.2 + H E.2 H E = -R E (4)

De (3) em (4) temos que:R E = 0,84H E = -0,84Em (2) : H A = 0,84Em (1) : R A = 2,16

Vamos considerar algumas estruturas espaciais com carregamentos nos diferentes planos:Exerccio 10

Exerccio 12