osnove teorije uzoraka - fsb online...osnove teorije uzoraka testiranje hipoteza za proporcije...

Inženjerska statistika

Osnove teorije uzoraka




• Osnove teorije uzoraka

UZORAK: slučajni, reprezentativni dio osnovnog skupa – populacije

2

1 1

2

2 2

2

1.uzorak: , ,

2.uzorak: , ,

.uzorak: , ,i i

n x

n x

i n x

Uzorci:



Razdioba aritmetičke sredine uzorka

osnovni skup:

aritm. sredina uzorka:

2

0( ) ;N E x

2( ) ;N xE x

Raspon osnovnog skupa

2x

3x

4x

5x

6x

,x x

( )

( )

f x

f xrazdioba

aritmetičke

sredine uzorka

osnovni

skup

x1



Nepristrane procjene parametara osnovnog skupa

Pojam nepristrane procjene:

neka varijabla nepristrano procjenjuje parametar

osnovnog skupa Θ ako vrijedi:

( )E

( ) ( )E x E x

2 2

0( )E

2 2

0( )E s

dakle: uzorka nepristrano procjenjuje očekivanja osn.

skupa

dakle: varijanca uzorka nije nepristrana procjena

varijance osnovnog skupa

dakle: varijabla nepristrano procjenjuje

varijancu osnovnog skupa

2 2

1

ns

n

x



Standardna pogreška aritmetičke sredine uzorka

• Pomoću varijable s2 određuje se

• VAŽNO:

k = (n – 1)... broj stupnjeva slobode uzorka od n podataka

2

x

22 0 0

22

x x

x x

n n

s ss s

n n

2

2 1

( )

1

n

i

i

x x

sn

standardna pogreška

ar. sredine



Intervalna procjena očekivanja osnovnog skupa

2

2 (1 2)

1

21

( )2

x x

x

z

x z x z

xz

f z e

xz

interval povjerenja

(vjerodostojnosti)

varijabla

standardizirane

normalne razdiobe

1

2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2 30–1–2–3 z

f(z)



Važno:

• Veliki uzorci: n > 30 elemenata, podataka

– vrijednost varijable z → iz standardizirane normalne razdiobe

• Mali uzorci: n ≤ 30 elemenata, podataka

– koristiti Studentovu t-razdiobu

Studentova t-razdioba

• simetrična

• za velike uzorke se ne

razlikuje od normalne razdiobe

t

f(t) N 0,1

Studentova t-razdioba sa

k = n – 1 stupanj slobode



Konačno:

• Za velike uzorke

Koristiti standardiziranu

(jediničnu) normalnu

razdiobu

• Za male uzorke

Koristiti Studentovu t-

razdiobu s parametrom k =

n – 1

( 2) (1 2)

s sx z x z

n n

( ; 2) ( ;1 2)k k

s sx t x t

n n

... 0,1varijabla Nz ... varijabla Studentove

t-razdiobe

t



Primjer:

• Podaci utvrđeni u nekom procesu:52.1, 49.0, 51.4, 50.0, 50.3, 49.6, 50.6, 50.8, 51.0, 51.7

Intervalno procijeniti očekivanje osnovnog skupa iz kojeg potječe uzorak, uz

interval vjerodostojnosti 1 – = 0,95 (95%)

• Rezultati dobiveni računanjem, iz uzorka:

n = 10; = 50,65; s = 0.96x

( 2) (1 2)

0.96 0.9650.65 2.262 50.65 2.262

10 10

49.96 51.34 uz P 0,95 (95%)

s sx t x t

n n



Opaska

• U slučaju kada je poznata standardna devijacija osnovnog skupa, nije nužno

korištenje Studentove t-razdiobe kao ni nepristrane procjene standardne

pogreške

• U tom je slučaju:

• Za prethodni primjer:

ako prihvatimo da je standardna devijacija osnovnog skupa , slijedi:

( 2) (1 2)x z x zn n

1 150.65 1.96 50.65 1.96

10 10

50.03 51.27 uz P 0,95 (95%)

1



Intervalna procjena proporcija

• Uzorkovanje nekog dvoslojnog osnovnog skupa (populacije) u

kojem neki događaj ima proporciju P rezultiralo bi slučajnom

varijablom p, tj. proporcijom istog događaja ali u uzorku:

Vrijedi:

( 2) (1 2)p pp z s P p z s

uz povjerenje (vjerodostojnost)

procjene (1 – )

1

2

2

( )f p

pP1p

2p

( ) ; pN E p P



• Važne pretpostavke:

– proporcija uzorka

– sp ... nepristrana procjena standardne pogreške proporcije

uzorka:

– n ... veličina uzorka

– VRIJEDI SAMO ZA VELIKE UZORKE (n → 100)

( )( ) ; pp N E p P

, 1p

p qs q p

n



Intervalna procjena varijance

• Varijance (osobito malih) uzoraka ne rasipaju se normalno oko varijance

osnovnog skupa

• Vrijedi (K. Pearson, 1857.–1936.)

– varijabla rasipa se prema 2 razdiobi s

k = n – 1 stupanj slobode 2

2 2

( 2) (1 2)2

0

n

uz vjerojatnost (1 – )2( )E k

k = n – 1

1

2

( 2) 2

(1 2)

2( )f k = 1 k = 5 k = 10

k = 15

220

2 22

2 21 10 0

( )n ni

i i

x x n



Konačno:

2 22

02 2

(1 2) ( 2)

,n n

uz razinu povjerenja (1 – )



Testiranje statističkih hipoteza

• T.S.H. predstavlja postupak donošenja odluke na bazi uzorka

• uzorak, n podataka: x1, x2, ... , xn

• rezultati se uzorka mogu shvatiti kao točka u

n-dimenzionalnom prostoru

• prostor se može podijeliti na dva međusobno disjunktna dijela (koji

se isključuju), dio A i dio B

U praksi: umjesto n-dimenzionalnog modela

služimo se jednodimenzionalnim varijablama

(uglavnom).

dio B

(odbacivanje H0)

dio A

(prihvaćanje H0)



• Postavimo dvije hipoteze

H0: nulta hipoteza

H1: alternativna hipoteza

– Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu A,

smatramo hipotezu H0 ispravnom i prihvaćamo je

– Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu B,

smatramo hipotezu H0 neispravnom i odbacujemo je

dio B

(odbacivanje H0)

dio A

(prihvaćanje H0)



Pogreške pri testiranju hipoteza

• Očito: pri uporabi opisanog modela moguće su pogreške

• Uzrok pogrešaka: slučajnost odabira elemenata uzorka!

• Vrste pogrešaka:

– Pogreška 1. vrste nastaje odbacivanjem nulte hipoteze H0 (i prihvaćanjem alternativne hipoteze H1) iako je hipoteza H0

ispravna:• Vjerojatnost pogreške 1. vrste:

– Pogreška 2. vrste nastaje prihvaćanjem hipoteze H0 u uvjetima ispravnosti alternativne hipoteze H1

• Vjerojatnost pogreške 2. vrste:

0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE HoP T B H

1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE HoP T A H



Jakost testa

• Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja

nulte hipoteze kada je uistinu neispravna:

• očito: + p = 1 p = 1 – ISPRAVNO

ODBACIVANJE Ho

1p B H P T



Hipoteza Ho

Stanje

ISTINITA NEISTINITA

O

D

L

U

K

A

Odbaciti

Pogreška

1. vrste

ISPRAVNO

Prihvatiti ISPRAVNO

Pogreška

2. vrste



Testiranje hipoteza za očekivanje

• Uzorak – osnovni skup, hipoteze

• Razdioba aritmetičke sredine uzorka

– Studentova razdioba s k = n – 1 st. slob.

1

2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n – 1 ss

0

1

:

: – dvostrani test

H x

H x

1

1

:

:

– jednostrani

testovi

H x

H x

Pogodna jednodimenzionalna varijabla:

Ako je odbaciti Ho, uz

vjerojatnost pogreške 1. vrste

x

xt

s

... varijabla Studentove

t-razdiobe, k = n – 1

stup. slobode

. 0račt t

Hipoteze:



Primjer:

• Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10; = 50.65; s = 0.96;

• Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 51.5 jedinica,

naprama alternativnoj hipotezi

• Vjerojatnost pogreške 1. vrste neka iznosi 0.05 ( = 0.05)

0 1: 51.5 : 51.5 ( 51.5)H x H x

.

50.65 51.50 0.852.7997

0.96 0.3036

10

račt

0.05

( )f t

t00 1.833t

. 2.7997račt

Zaključak:

. 0 0ODBACITIračt t H

51.5

x



Provjera hipoteza uzorak – uzorak

• 1. skup: očekivanje 1, varijanca 201

1. uzorak: n1 podataka,

• 2. skup: očekivanje 2, varijanca 202

2. uzorak: n2 podataka,

Hipoteze:

1

2 2

1 1, , xx s s

2

2 2

2 2, , xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

:

:

:

:

H

H

H

H

1 1 2,x x

1( )f x

2( )f x

2



• aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja

skupa iz kojeg uzorak potječe

• njihova razlika rasipat će se oko veličine

• pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita, ,

varijabla d će se rasipati oko 0.

1 2d x x

1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0



• pri tome je standardna pogreška varijable d:

• varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze:

2 2

1 2

1 2

2 2

1 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)

2

d

d

s ss

n n

n s n s n ns

n n n n

... za uzorke s n1 + n2 – 2 ≤ 30

... za uzorke s n1 + n2 – 2 > 30,

i ako se n1 i n2 znatno razlikuju

1 2

.rač

d

x xt

s

... varijabla Studentove t-razdiobe

s k = n1 + n2 – 2 s. s.

Ako odbaciti Ho, uz vjerojatnost

pogreške 1. vrste .. 0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 – 2



Testiranje hipoteza za proporcije

(atributivne podatke)

• slučaj: uzorak – osn. skup

– osnovni dvoslojni skup s

proporcijom P elementa sa

svojstvom A.

– uzorak n elemenata s

proporcijom p

– važno: E(p) = P

– rasipanje proporcije p oko

proporcije P ima standardnu

pogrešku:

• slučaj: uzorak – uzorak

– osnovni skupovi

– uzorci

– nulta hipoteza:

– alternativna hip.:

p

p qs

n

1. skup, proporcije P1 2. skup, proporcije P2

n1 pod., proporcija p1

n2 pod., proporcija p2

0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2

:

:

:

:

H P P

H P P

H P P

H P P



– varijabla za testiranje hipoteze

Ho : P

– razlika d = p1 – p2 rasipa se oko

E(d) = 0, ako pretpostavimo

istinitost nulte hipoteze

– varijabla pogodna za testiranje

nulte hipoteze: 0,1var. razdiobe N

p

p Pz

s

Vrijedi samo za VELIKE uzorke

tj. n 100

1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p p

n n

n p n pp

n n

Zaključak:

Ako . ( )račz z o ODBACITI H



Usporedba (testiranje) varijanci

• 1. Osnovni skup: očekivanje 1, varijanca 201

nepristrana procjena varijance

• 2. Osnovni skup: očekivanje 2, varijanca 202

nepristrana procjena varijance

• Nulta hipoteza: naprama alternativnoj

• Varijabla

…varijabla F-razdiobe s kb = n1 – 1 s.s. i kn = n2 – 1 s.s.

2

1s

2

2s

2 2

0 01 02

2 2

1 01 02

:

:

H

H

2

1

2

2

sF

s



Ako: Frač. > F0 odbaciti Ho

Konvencija:

Tipično: = 0.05; 0.01

2 2

1 2s s

VAŽNO: Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnosti

razlika među varijancama

• F-razdioba: utemeljio G. Snedecor (1881.–1934.)

• Naziv F-razdioba u čast R. Fishera (1890.–1962.)

( )f F

kb; kn

1

FF0

osnove teorije uzoraka - fsb online...osnove teorije uzoraka testiranje hipoteza za proporcije...

Documents