OSNOVE 123

Download OSNOVE 123

Post on 15-Jun-2015

3.011 views

Category:

Documents

19 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

<p>J. Huek</p> <p>OSNOVE ELEKTROTEHNIKE-biljeke s predavanja-</p> <p>Varadin, 2007.</p> <p>1</p> <p>1. UVODPredmet prouavanja "Osnova elektrotehnike I" je gradivo iju cjelinu ine sljedea poglavlja: a) Elektrostatika b) Strujni krugovi istosmjerne struje c) Magnetizam d) Prijelazne pojave u krugovima istosmjerne struje U prouavanju problematike pojavljivati e se zakoni u dva oblika: -diferencijalni oblik -integralni oblik</p> <p>1.0. Diferencijalni oblik zakona vrijedi za odreenu toku prostora, a u njemu se pojavljujudiferencijalne veliine i svojstva materije. Diferencijalne veliine se odnose na jedinicu duine, povrine ili volumena. 1.1. Integralni oblik zakona vrijedi za odreeni prostor, plohu ili duinu, a u njemu se pojavljuju integralne veliine i konstante koje se odnose na materiju obraivanu dotinim zakonom. Integralne veliine zahvaaju fizikalnu veliinu u prostoru, na plohi ili duini. Pri obraivanju gradiva moramo se koristiti Meunarodnim sustavom mjernih jedinica (SI) za sedam fizikalnih veliina kako je prikazano u tablici 1.1. Fizikalna veliina Osnovna jedinica Oznaka jedinice duljina metar m masa kilogram kg vrijeme sekunda s jakost elektrine struje amper A termodinamika temperatura kelvin K koliina tvari mol mol jakost svjetlosti kandela cd Tablica 1.1. Osnovne jedinice SI sustava Jedinice svih ostalih fizikalnih veliina odreujemo iz osnovnih zakona primjenom osnovnog sustava mjernih jedinica. Nazivamo ih izvedene jedinice, a povezane su s osnovnim jedinicama preko dimenzijske jednadbe odreene veliine. Na primjer, iz F = m a izlazi da je izvedena jedinica za silu (kg m s-2 = N). Faktor 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 Prefiks eksa peta tera giga mega kilo hekto deka Oznaka E P T G M k h da Faktor 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 Prefiks deci centi mili mikro nano piko femto ato Oznaka d c m n p f a</p> <p>Tablica 1. Pfiksi jedinica fizikalnih veliina</p> <p>2</p> <p>Pri objanjavanu gradiva esto se pojavljuju grka slova iji pregled je dati u sljedeoj tabeli</p> <p>Naziv Alfa Beta Gama Delta Epsilon Zeta Eta Teta Jota Kapa Lambda Mi</p> <p>Veliko Malo Naziv Ni Ksi Omikron Pi Ro Sigma Tau Ipsilon Fi Hi Psi Omega</p> <p>Veliko Malo , u u v u v = v2 v</p> <p>1.2. Matematiki podsjetnik(sin x) = cos x (cos x) = sin x 1 (tgx) = cos 2 x 1 (ctg ) = 2 sin x</p> <p>x n +1 x dx = n + 1 + kn</p> <p>n 1</p> <p>x12</p> <p>12</p> <p> dx = </p> <p>1 +k x</p> <p> x dx = ln x + k cos x dx = sin x + k sin12</p> <p>1</p> <p> sin x dx = cos x + ky</p> <p> cos</p> <p>x</p> <p> dx = tan x + k</p> <p>x</p> <p>= ctgx + k</p> <p>e</p> <p>x</p> <p>dx = e x + k</p> <p>Skalarni produkt vektora a i b je broj a b = a b cos(a, b) Pritom vrijedi da je: i i = j j = k k = 1 ;</p> <p>i j = j i = i k = k i = j k = k j = 0</p> <p>jkz</p> <p>iSl.1.1</p> <p>x</p> <p>Vektorski produkt vektora a i b je vektor</p> <p>c = a b c = a b sin (a , b ) Pritom vrijedi da je: i i = j j = k k = 0 i j =kj i = k k j = i i k = j</p> <p>j k = i</p> <p>k i = j</p> <p>i , j , k su jedinini vektori u osima x, y, z Pravilo desnog vijka: Ako ravnina i , j rotira u naznaenom smjeru (Sl. 1.1) po pravilu desnog vijka jedinini vektorr k ima orijentaciju prema nama (iz papira). Zato je i j = k i a b = ax b x j ay by k az = (a y bz az by ) i + (az bx ax bz ) j + (ax by a y bx ) k bz 3</p> <p>2. ELEKTROSTATIKA2.0. Struktura materije i elektrini nabojiSva materija je sastavljena od atoma koji su graeni na jednak nain. U sredini atoma se nalazi jezgra dimenzije reda veliine 10-14 m, oko koje se gibaju elektroni. Promjer elektronskih putanja je reda veliine (2-3)10-10 m. Jezgru atoma ine teke estice, protoni i neutroni. Mase protona i neutrona su jednake i iznose 1,6710-27 kg, dok je masa elektrona oko 1840 puta manja i iznosi 9,1110-31 kg. Izmeu protona i elektrona djeluje privlana sila, a izmeu dva protona odnosno elektrona djeluje odbojna sila. Postojanje tih sila se pripisuje elektrinim nabojima koji su pridrueni elementarnim atomskim esticama protonima i elektronima. Prema konvenciji protonu se pripisuje pozitivni elektrini naboj, a elektronu negativni naboj, koji su istog iznosa e = 1,610-19 C] (elementarni naboj). Neutron ne nosi elektrini naboj. Atom je kao cjelina elektriki neutralan: u njemu je jednak broj protona i elektrona. Elektriziranje materije nastaje tako da se na neki nain povea ili smanji broj elektrona koji mogu prelaziti s jednog tijela na drugo. Neutralna materija koja iz vanjskog izvora primi elektrone postaje elektriki negativno nabijena, dok materija gubljenjem elektrona postaje pozitivno nabijena. Da bi se elektron odvojio od elektriki neutralnog atoma materije, potrebno je utroiti energiju za savladavanje privlane sile izmeu elektrona i jezgre (npr. trenjem). To u stvari znai da pozitivno nabijeno tijelo posjeduje obje vrste naboja, ali je broj negativnog naboja manji, tj. postoji manjak elektrona. Isto tako kod negativno nabijenog tijela postoji viak negativnog naboja tj. elektrona. Nabiti neko tijelo elektrinim nabojem znai poremetiti ravnoteu pozitivnog i negativnog naboja. Iznosi naboja su kvantizirani. Svaki naboj Q je cjelobrojni viekratnik elementarnog kvanta naboja e : Q = n e to su elektrini naboji ne znamo, ali znamo tota o njima pomou ega moemo objasniti pojave koje su u svezi s elektrinim nabojima.</p> <p>2.1. Tokasti nabojAko su dimenzije nabijenog tijela zanemarive (kuglica iji polumjer R0), naboj tog tijela smatramo tokastim i oznaujemo ga sa Q. Mjerna jedinica naboja je As ili C (kulon). Pri opisivanju elektrinih pojava izmeu mirujuih naboja koristimo zakon kojeg je ve 1785. godine na temelju pokusa postavio Coulomb, pa ga zato zovemo Coulombov (Kulonov) zakon. Coulombov zakon je temeljni zakon elektrostatike koji glasi: Sila kojom dva tokasta naboja meusobno djeluju jedan na drugog je proporcionalna produktu tih naboja, a obrnuto proporcionalna kvadratu meusobne udaljenosti, to se zapisuje kao:</p> <p>(2.1)</p> <p>F =k</p> <p>Q1 Q2 r012 [ N ] 2 r12</p> <p>k=</p> <p> Nm 2 = 8,987 109 9 109 2 4 0 C 1</p> <p>gdje je 0 dielektrina konstanta vakuuma i iznosi:</p> <p> 0 = 8,854 10</p> <p>12</p> <p>109 = 36</p> <p> C Vm </p> <p>4</p> <p>Apsolutni iznos sile izmeu 2 tokasta naboja u vakuumu iznosi:F = 1 4 0 Q1 Q2 [N ] 2 r12</p> <p>Q1 &gt; 0</p> <p>F12 ako</p> <p>je Q2 &lt; 0</p> <p>Q2</p> <p>F12 ako</p> <p>je Q2 &gt; 0</p> <p>r12 Sl.2.1</p> <p>U izrazu 2.1 r012 je jedinini vektor vektora r12 . Openito, jedinini vektor r0 ima duljinu 1, kolinearan je vektoru r i ima istu orijentaciju.</p> <p>r0</p> <p>r</p> <p>r 0</p> <p>Sl.2.22.2. Elektrino polje i jakost elektrinog polja</p> <p>(2.2)</p> <p>r0 =</p> <p>r r</p> <p>Elektrino polje definiramo kao prostor kojeg su mirujui naboji doveli u "elektriki napeto stanje". Mjerilo napetog stanja moe biti sila na pokusni naboj u odreenoj toci polja. elimo li elektrina polja meusobno usporeivati moramo posvuda odabrati isti pokusni naboj (po iznosu i polaritetu). Zato je najbolje ako za pokusni naboj izaberemo +1As.</p> <p>Q</p> <p>r0</p> <p>r</p> <p>Q1 = 1As</p> <p>F E</p> <p>Sl. 2.3Sila kojom elektrino polje djeluje na +1As u zadanoj toci se zove jakost elektrinog polja kojuoznaavamo s E . Elektrino polje naboja Q djeluje na naboj Q1 silom:</p> <p>(2.3)</p> <p>F =k</p> <p>Q Q1 r0 [ N ] r2</p> <p>Ako za Q1 uzmemo +1As po definiciji za jakost elektrinog polja izlazi:</p> <p>(2.4)</p> <p>E=</p> <p>1 4 0</p> <p>Q N r0 r2 C </p> <p>N N V C = As = m </p> <p>5</p> <p>Ako bi umjesto naboja +1As imali naboj Q1, na njega bi djelovala Q1 - puta vea sila, a to znai da je:</p> <p>(2.5)</p> <p>F = E Q1</p> <p>Jakost elektrinog polja je vektorska veliina koja elektrino polje definira u zadanoj toci prostora. Zato je to diferencijalna elektrina veliina.Primjer izraunavanja jakosti el. polja: Zadatak 1: Treba izraunati jakost elektrinog polja u toci T prema slici 2.4, ako je Q = +1 nC</p> <p>y (cm)</p> <p>4 3 2 1Q r0 r</p> <p>T</p> <p>ET Ex</p> <p>Ey</p> <p>je jedinini vektor koji je dogovorno uvijek orijentiran prema toci u kojoj izraunavamo jakost elektrinog polja. r 2 = 3 2 + 4 2 = 5 cm</p> <p>r0</p> <p>1</p> <p>2</p> <p>3</p> <p>4</p> <p>x (cm)</p> <p>Sl. 2.4</p> <p>ET 9 109 </p> <p>1109 9 V kV 104 0,36 104 3, 6 4 25 10 25 m m</p> <p>elimo li jakost elektrinog polja Er izraunati po komponentama moramo jedinini vektor r0 rastaviti na komponente u osi x i y prema izrazu:</p> <p>r0 = cos i + sin j , gdje su i i j jedinini vektori u smjeru osi x i y, a cos i komponenta jedininog vektora r0 u smjeru osi x i sin j komponenta jedininog vektora r0 usmjeru osi y.4 3 4 3 Slijedi da je: r0 = i + j = 0,81i + 0,6 j jer je cos = i sin = . 5 5 5 5 kV Prema tome ET = 3, 6 (0,8i + 0, 6 j ) = 2,88i + 2,16 j . m kV 2 Jasno da je ET = Ex2 + E y = 2,882 + 2,162 = 12,96 = 3, 6 . Pri izraunavanju jakosti m elektrinog polja koje je rezultat veeg broja naboja koristimo se metodom superpozicije. To e pokazati sljedei primjer.</p> <p>Zadatak 2: Treba izraunati jakost elektrinog polja u toci T ako je zadano: Q1 = 1nC , Q2 = 2 nC ,Q3 = 2 nC .6</p> <p>y (cm)</p> <p>Q23 2</p> <p>E1T</p> <p>r02</p> <p>r2</p> <p>T</p> <p>E2T</p> <p>r1r011 2 3</p> <p>E3T</p> <p>Q1</p> <p>1</p> <p>r3 Q3 r034</p> <p>x (cm)</p> <p>Sl. 2.5U toci T zamiljamo pokusni naboj +1As, pa prema tome slijede smjerovi i orijentacije jakosti elektrinog polja kako je prikazano na slici 2.5. Svi jedinini vektori r01 , r02 i r03 su orijentirani prema toci T u kojoj izraunavamo ukupnu jakost elektrinog polja ET . Rezultantna jakost elektrinog polja u toci T prema slici 2.5 iznosi:</p> <p>E =ET +E2T +ET T 1 3E1T (iz prethodnog zadatka) iznosi: E1T = 2,88 i + 2,16 j . Jakost polja naboja Q2 iznosi: Q E2T = k 22 r02 , gdje je r02 = i , pa je: r2E1TE2T</p> <p>E2T =</p> <p>9 109 2 109</p> <p>( 4 10 )2</p> <p>2</p> <p> r02 = 11, 25 i</p> <p>kV . m</p> <p>Jakost polja naboja Q3 iznosi:2 1092 2</p> <p>E3T</p> <p>ET</p> <p>E3T 9 109</p> <p>( 3 10 )</p> <p>j=</p> <p>18 j = 20 j 9 104</p> <p>kV . m</p> <p>Sl.2.5 a</p> <p>Vidimo da rezultati izraunavanja potvruju jakost elektrinog polja po smjeru i orijentaciji. Ukupna jakost elektrinog polja u toki T se dobije vektorskim zbrojem jakosti elektrinog polja pojedinih naboja. ET = 2,88 i + 2,16 j + 11,25 i 20 j = 14,13 i 17,84 j kV Apsolutni iznos: ET = 14,132 + 17,842 = 22, 75 . m</p> <p>Da bi dobili to zorniju sliku o elektrinom polju, polje prikazujemo elektrinim silnicama. Elektrine silnice su zamiljene linije za prikaz elektrinog polja, a pomou njih moemo utvrditi smjer, orijentaciju i jakost elektrinog polja. Silnice izlaze iz pozitivnog naboja, a ulaze u negativan naboj. Polje je jae gdje su silnice gue, odnosno slabije gdje su silnice rjee.7</p> <p>Prikaz elektrinog polja tokastog naboja pomou silnica:</p> <p>B A +</p> <p>Sl. 2.6</p> <p>Toka B ima veu jakost elektrinog polja od toke A, jer su tu silnice gue. Polje tokastog naboja je radijalno prostorno polje. Jakost elektrinog polja je dana izrazom: kvadratom udaljenosti.</p> <p>(2.6)</p> <p>E=</p> <p>Q r0 , 4 r2</p> <p>to znai da opada s</p> <p>2.3. Linijski nabojNaboj beskonano dugog i beskonano tankog ravnog vodia nazivamo linijski naboj, koji je jednoliko rasporeen po duljini tako da je koliina naboja po jedinici duljine jednaka [ As m ] . Prouavanje zakonitosti u svezi linijskog naboja ima opravdanje zbog elektrinih vodova i kabela koji po svojim geometrijskim dimenzijama priblino udovoljavaju zahtjevima da naboj skupljen na njima tretiramo kao linijski. Elektrino polje linijskog naboja je radijalno polje u ravnini.</p> <p>+ Sl. 2.7Jakost elektrinog polja linijskog naboja moemo izraunati na osnovi zakona superpozicije kojim se rauna rezultantna jakost elektrinog polja E veeg broja tokastih naboja, jer je ovdje mogue matematikim postupcima provesti sumiranje pojedinih komponenata. 8</p> <p>x dxx</p> <p>+</p> <p>dEA</p> <p>EdE</p> <p>y</p> <p>x</p> <p>dx</p> <p>Sl. 2.8</p> <p>,a 4 0 r 2 ukupna jakost E od cijelog vodia bit e jednaka sumi, tj. integralu svih diferencijalnih jakosti, pri emu se integracija po varijabli x provodi od do + . Iz slike se vidi da se komponente polja u smjeru vodia meusobno ponitavaju, te preostaju samo komponente okomite na smjer vodia.</p> <p>Prema slici 2.8. u toki A je od naboja dx stvorena jakost elektrinog polja: dE =</p> <p>1</p> <p>dx</p> <p>dE cos =</p> <p>dE cos je radijalna komponenta jakosti elektrinog polja (jedina preostala) pa emo je oznaiti s E.</p> <p> dx cos 4 0 r2</p> <p> + dx cos E= 4 0 r2 Integriranje je jednostavnije po varijabli koja se za beskonano dugi vodi mijenja od 90 do + 90 . Pri tome su potrebne sljedee supstitucije:</p> <p>y 1 y2 2 r= dx = y d , r = x = y tg , cos , cos2 cos 2 +90 +90 cos d = sin | , E = pa je: E = 2 0 y 4 0 y 90 4 0 y -90Budui da postoje samo radijalne komponente, jakost elektrinog polja beskonano dugog vodia zapiemo: E = , gdje je r okomita udaljenost neke toke od vodia. 2 0 r 9</p> <p>r0 A rA</p> <p>A</p> <p>EA</p> <p>(2.7)</p> <p>EA =</p> <p> r0 A 2 0 rA</p> <p>Sl. 2.9Polja tokastog i linijskog naboja su nehomogena jer silnice u razliitim tokama polja nemaju jednaku gustou niti su meusobno paralelne.</p> <p>2.4. Elektrino polje tijela realnih dimenzijaU praksi se susreemo s nabijenim tijelima ije su dimenzije realne (kugla, vodi, valjak, ploha i sl.) Konfiguracija elektrinog polja kod nabijenih tijela nepravilnog oblika je sloena i takva tijela nisu primjerena za prouavanje osnovnih zakonitosti koje vladaju u elektrinom polju. Zato emo razmotriti sljedea nabijena tijela: - kuglu - valjak - ravninu Ako su navedena tijela vodljiva (kovine), sav dovedeni naboj e se pojaviti na povrini, a razlog tome su odbojne sile izmeu istoimenih naboja. Naboji se jedan od drugog nastoje to vie udaljiti, a najvee udaljavanje je upravo na povrini. To znai da postoji samo normalna komponenta polja. Tangencijalna komponenta elektrinog polja na povrini bi prouzroila gibanje naboja po povrini koji bi se razmjestili tako da se ta komponenta polja poniti. Naboj e se ravnomjerno rasporediti po povrini ako je povrina posvuda jednako zakrivljena. Jednako zakrivljene povrine imaju upravo kugla, valjak i ravnina (zakrivljenost ravnine je posvuda 0). Gustoa naboja je kod takovih tijela na svim mjestima jednaka (inae je vea ako je polumjer zakrivljenosti manji). Naboj skupljen na povrini je povrinski naboj, a naboj skupljen na jedinici povrine predstavlja povrinsku gustou naboja . Ako je zakrivljenost povrine konstantna, povrinska gustoa je posvuda ista i iznosi:</p> <p>(2.8)</p> <p>=</p> <p>Q S</p> <p>Ako taj uvjet nije zadovoljen, povrinsku gustou raunamo prema izrazu: =</p> <p>dQ dS Prema izloenom lako odredimo povrinske gustoe na nabijenoj kugli, valjku ili ravnini.</p> <p>Povrinska gustoa na kugli polumjera R iznosi:</p> <p>=</p> <p>Q Q . = S 4 R2</p> <p>Kod nabijenog valjka (beskonano dugi) ne moemo govoriti o ukupnom naboju, ve samo o naboju Q koji je skupljen na jedinici duljine (na 1 metar): = linijski naboj. l Q l Povrinska gustoa nabijenog valjka iznosi: = = . = S 2 R l 2 R 10</p> <p>2R l je naravno povrina plata valjka duljine l i polumjera R.Ako je naboj skupljen na ravnoj plohi ije je jednostrana povrina S , gustoa naboja je definirana Q Q izrazom: = = gdje je S ukupna povrina plohe. S 2S U elektrotehnici se susreemo i s prostornom razdiobom naboja (elektronski oblak), pa postoji i dQ Q ili = , ako naboj nije jednakomjerno prostorna gustoa naboja koja se zapie kao: = V dV raspodijeljen u prostoru volumena V. Da jo jedanput razmotrimo nabijeni vodi iji je presjek proizvoljnog oblika:</p> <p>Smjer polja u odreenoj toci na povrini vodia odreuj...</p>