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ORIGEMEstão freqüentemente no nosso cotidiano.Tratam de decisões sobre onde encontrar
facilidades em uma rede, considerando a demanda, visando otimizar determinado critério.
Esse problema começou a ser estudado por Alfred Weber em 1909.
Weber seguiu a linha de pesquisa sobre a seleção de locais de facilidade tendo como objetivo minimizar os custos sobre transporte e a distância.
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APLICAÇÕESEsses problemas tratam da questão de onde
localizar uma facilidade e podem ser aplicados para tomar decisões em situações como:
Onde construir escolas, hospitais, fábricas. Como posicionar policiais nas ruas, de modo
que atenda à maioria da população.Também é usado na hora de instalar uma
antena de telefonia celular.
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TRABALHOS RELACIONADOS
Geomarketing: Modelos e Sistemas, com Aplicações em Telefonia. Paulo Sérgio Sampaio de Aragão - Tese de Mestrado Universidade Estadual de Campinas.
Distribuição de gás natural no Brasil: Um enfoque crítico de minimização de custos. Eduardo Rocha Praça – Tese de Mestrado Universidade Federal do Ceará.
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MODELOS MATEMÁTICOS
Formulação matemática do problema de máxima cobertura:
Church e Revelle (1974) apresentaram a formulação matemática deste problema.A fomulação é a que se segue:
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Problema de localização de máxima coberturaConsiste em escolher locais para instalar
facilidades de forma que o maior número de clientes (pontos de demanda) sejam cobertos, e saber qual cliente será atendido por qual facilidade.
O PLMC procura cobrir áreas de demanda.Não faz restrição de capacidade.Não exige que todas as áreas de demanda
sejam cobertas.
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Problema de localização de máxima cobertura
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Problema de localização de máxima cobertura
v(PLMC) = Max∑ Di yi (1)
i
E
N
sujeito a ∑ xj ≥ yi para todo i E N (2)
jENi
∑ xj = p (3)j EM
xj E {0, 1}, para todo j E M, (4)yi E {0, 1}, para todo i E N (5)
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Problema de localização de máxima cobertura
Onde:S : distância de serviço - a área de demanda é coberta se
está dentro desta distância;N = {1, 2, ..., n} : conjunto de pontos de demanda;M = {1, 2, ..., n} : conjunto de poss´ıveis facilidades;Di : a demanda de população da área i;p : número de facilidades a serem localizadas;dij= a menor distância do nó i ao nó j;Ni = {j E J | dij ≤ S};yi recebe 1 se a área de demanda é coberta, caso
contrário recebe 0xj recebe 1 se a facilidade deve ser localizada em j, caso
contrário recebe 0
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Problema de localização de máxima cobertura
Nesse Modelo acima descrito, a função objetivo (1) procura maximizar a população coberta.
A restrição(2) diz que a área de demanda j E J é coberta e se há pelo menos uma facilidade dentro da distância S. A restrição (3) limita o número de facilidades a p. E as
restrições (4) e (5) definem as variáveis de decisão a {0,1}.
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Algoritmo HLA p/ PLMCHeurística aplicada ao PLMC (HLA)
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Algoritmo HLA p/ PLMCDados J conjunto dos vértices facilidades = {j1,..., jp} eCk conjunto de vértices do agrupamento k = {v1, ...v|Ck|}| Ck | cardinalidade de CkEnquanto (solução-inicial melhora) faça
Para k = 1, ..., pPara i = 1, ..., | Ck |
Troque facilidade jk por um vértice vi;Calcule o valor sol correspondente ao novo valor de cobertura;Se sol é melhor que solução inicial então ¸ Faça melhor vértice← vi; Faça solução-inicial← sol;Fim Se;
Fim Para;Se houver melhor vértice então;Atualize J;Fim Se;
Fim Para;Fim Enquanto;
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Algoritmo HLA p/ PLMC
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Algoritmo HLA p/ PLMC
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Algoritmo HLA p/ PLMC
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Modelo matemático para o Problema das P-medianas
O problema das p-medianas pode ser formulado como um problema de programação inteira binária. Dado um grafo descrevendo uma dada instância, obtida através da aplicação do algoritmo de Floyd (Beasley, 1993) e um conjunto resultante de vértices. N = {1, ..., n} podemos descrevê-lo da seguinte maneira:
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Modelo matemático para o Problema das P-medianas v(PM) = Min∑ ∑ dijXij (1)
iEN jEN
sujeito a ∑ Xij = 1; i E N (2)
jEN
∑ Xjj = p (3)
jEN
Xij ≤ Xii i, j E N (4) Xij E {0, 1}, i E N, j E N (5)
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Modelo matemático para o Problema das P-medianas
Onde:N = {1,...,n} é o índice dos objetos a serem
alocados;p : número de medianas;[dij ] é a matriz de distâncias;Xij recebe 1 se o vértice i é atribuído ao vértice
j, caso contrato yij recebe 0.
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Modelo matemático para o Problema das P-medianas
Nesse modelo as restrições 2 e 4 vértice j seja atribuído somente a um vértice i, que deve ser uma mediana. A restrição 3 assegura o número exato de medianas a
serem localizadas e a restrição 5 indica a condição binária de atribuições.
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Trabalho Prático - 1Função Objetiva: Minimizar a distância entre
os vértices e as Medianas.
Escolha da Mediana.
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Modelo matemático para o Problema das P-medianas