1

POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI PRZEMYSŁOWEJ

Łukasz KNYPIŃSKI

OPTYMALIZACJA SILNIKÓW O MAGNESACH TRWAŁYCH NA PODSTAWIE POLOWO-

OBWODOWEGO MODELU ZJAWISK ELEKTOMAGNETYCZNYCH

Rozprawa Doktorska

Promotor: prof. dr hab. inż. Lech NOWAK

POZNAŃ 2016

2

Składam serdeczne podziękowania za pomoc i wsparcie

mojej Żonie Agnieszce, Rodzicom,

profesorom: L. Nowakowi, A. Demenko, W. Szelągowi,

pracownikom Zakładu Mechatroniki i Maszyn Elektrycznych,

w szczególności:

dr inż. Mariuszowi Barańskiemu, dr inż. Cezaremu Jędryczce,

dr inż. Piotrowi Sujce oraz dr inż. Krzysztofowi Kowalskiemu,

profesorom: A. Oko i L. Drobnikowi, dr M. Pawlik ze Szpitala

Klinicznego im. Heliodora Święcickiego w Poznaniu,

oraz tym którzy wciąż żyją w mojej pamięci.

3

Spis treści

1. Wprowadzenie. Cel, zakres i tezy pracy ……………………………………………….. 5

2. Silniki wzbudzane magnesami trwałymi ……………………………………………... 15

2.1. Rozwój materiałów magnetycznie twardych

2.2. Klasyfikacja silników magnetoelektrycznych

2.3. Silniki synchroniczne 2.3.1. Wprowadzenie

2.3.2. Obwody magnetyczne maszyn PMSM

2.3.3. Obwody magnetyczne maszyn LSPMSM

2.3.4. Nowe koncepcje konstrukcji silników synchronicznych

2.4. Bezszczotkowe silniki prądu stałego 2.4.1. Wprowadzenie

2.4.2. Budowa silnika BLDC

2.4.3. Metody sterowania i elektroniczna komutacja w silnikach BLDC

2.4.4. Metody detekcji położenia biegunów wirnika

2.5. Silniki krokowe

3. Modele o parametrach skupionych maszyn wzbudzanych magnesami trwałymi … 37

3.1. Wprowadzenie

3.2. Modele obwodowe silnika PMSM

3.3. Modele obwodowe silnika BLDC

3.4. Uproszczona metoda obliczania obwodów z magnesami trwałymi

3.5. Metody odwzorowania pętli histerezy 3.5.1. Model Preisacha

3.5.2. Model Jilesa-Athertona

4. Polowy model zjawisk w silnikach magnetoelektrycznych ………………………….. 50

4.1. Równania pola elektromagnetycznego

4.2. Polowo obwodowy model zjawisk nieustalonych w silnikach BLDC

4.3. Równanie równowagi mechanicznej

4.4. Algorytm sterowania silnikiem BLDC

4.5. Kompleksowe oprogramowanie do symulacji dynamicznych stanów pracy

silników wzbudzanych magnesami trwałymi

5. Algorytmy optymalizacji w projektowaniu przetworników elektromagnetycznych 83

5.1. Analiza i synteza obiektu technicznego. Formułowanie zadania optymalizacji

5.2. Metody optymalizacji bezwarunkowej

5.3. Zastosowanie metod funkcji kary do optymalizacji z ograniczeniami.

Przystosowanie funkcji kary do algorytmu genetycznego

5.4. Optymalizacja wielokryterialna – kompromisowe funkcje celu

4

5.5. Oprogramowanie do optymalizacji silników. Przykłady testowe 5.5.1. Struktura oprogramowania z wykorzystaniem algorytmu genetycznego i metody

roju cząstek

5.5.2. Optymalizacja wybranych urządzeń z wykorzystaniem obwodowych modeli

zjawisk elektromagnetycznych

5.5.3. Zastosowanie metody roju cząstek do identyfikacji parametrów histerezy

magnetycznej modelu Jilesa-Athertona

5.6. Podsumowanie

6. Optymalizacja magnetoelektrycznych silników synchronicznych na podstawie polowo-obwodowego modelu zjawisk elektromagnetycznych ………... 122

6.1. Wprowadzenie

6.2. Zastosowanie algorytmu genetycznego do optymalizacji wirnika PMSM 6.2.1. Optymalizacja wirnika z magnesami łukowymi z uwzględnieniem

momentu zaczepowego

6.2.2. Dekompozycja zadania. Etap 1 – optymalizacja z uwzględnieniem współczynnika THD zawartości harmonicznych w przebiegu siły elektromotorycznej

6.2.3. Dekompozycja zadania. Etap 2 – optymalizacja z uwzględnieniem współczynnika THD i momentu zaczepowego

6.3. Zastosowanie algorytmu genetycznego do optymalizacji wirnika PMSM z hybrydowym układem wzbudzenia

6.4. Zastosowanie metody roju cząstek do optymalizacji wirnika LSPMSM 6.4.1. Optymalna synteza silnika z wykorzystaniem metody funkcji kary zewnętrznej

6.4.2. Projekt i wykonanie prototypu silnika. Weryfikacja pomiarowa

7. Optymalizacja silników BLDC na podstawie polowo-obwodowego modelu zjawisk elektromagnetycznych ………………………………………...…………… 163

7.1. Wprowadzenie

7.2. Optymalizacja wielokryterialna

7.3. Optymalizacja z ograniczeniami

8. Podsumowani. Wnioski końcowe ……...…………………………….……………….. 180

Wykaz literatury ...……………………………………………………………….……… 186

5

1. Wprowadzenie cel, zakres i tezy pracy

W ostatnim dwudziestoleciu XX-go wieku; na masową skalę wdrożono do produkcji

materiały magnetyczne twarde, wytwarzane na bazie tzw. ziem rzadkich, o dużej gęstości

energii [49, 124, 189]. W związku z tym od kilkunastu lat obserwuje się dynamiczny rozwój

nowych konstrukcji maszyn o magnesach trwałych. We współczesnych układach napędowych

coraz częściej wykorzystuje się takie właśnie maszyny elektryczne jak: silniki synchroniczne

(Permanent Magnet Synchronous MotorsPMSM), bezszczotkowe silniki prądu stałego

(BrushLess Direct Current Motors – BLDCM), a także silniki krokowe. Obecnie są

wytwarzane silniki o mocach rzędu nawet megawatów. Rozwój ten idzie w parze z rozwojem

przekształtnikowych układów zasilania i zaawansowanych algorytmów sterowania [51, 60,

125, 144, 159, 186, 206].

Silniki wszystkich trzech wymienionych typów mają podobną strukturę i zasadę

działania. Moment elektromagnetyczny jest wytwarzany w wyniku oddziaływania pola

magnetycznego generowanego przez uzwojony stojan na wirnik z zamontowanym układem

magnesów trwałych. Uzwojenie stojana może być rozłożone w żłobkach lub nawinięte

w sposób „skupiony” na wydatnych szerokich zębach (biegunach). Uzwojenia „rozłożone” są

stosowane przede wszystkim w silnikach synchronicznych, zaś w silnikach typu BLDC

i silnikach krokowych zwykle stosuje się uzwojenia skupione. Wirniki silników

synchronicznych są wykonywane w postaci ferromagnetycznych rdzeni z magnesami

umieszczonymi na zewnętrznej powierzchni (Surface Permanent Magnet Synchronous

Motors – SPMSM) lub magnesami umieszczonymi wewnątrz rdzeni (Inner Permanent

Magnet Synchronous Motors – IPMSM). Często silniki są zaopatrywane w klatkę służącą do

rozruchu asynchronicznego; mówimy wówczas o silnikach o rozruchu bezpośrednim (Line

Start Permanent Magnet Synchronous Motors – LSPMSM). Rozruch asynchroniczny

silników z magnesami trwałymi jest znacznie trudniejszy niż silników o wzbudzeniu

elektromagnetycznym [16, 257, 258]. Dlatego kryteria związane z właściwościami

rozruchowymi (np. ze zdolnością do osiągania synchronizmu) muszą być uwzględniane

z dużą wagą w procesach projektowania i optymalizacji tych silników.

W silnikach synchronicznych (w mniejszym stopniu także w silnikach typu BLDC)

występuje bardzo niekorzystne zjawisko polegające na „przyklejaniu” się i odrywaniu

magnesów od zębów stojana. Generowany jest reluktancyjny, pulsujący moment, tak zwany

moment zaczepowy (Cogging Torque) [159, 254]. Minimalizacja tego momentu, jest bardzo

ważnym aspektem procesu optymalnego projektowania silników o magnesach trwałych

i także musi być wzięta pod uwagę przy konstruowaniu kompromisowych funkcji celu

i funkcji ograniczeń [142, 196].

6

Silniki krokowe o magnesach trwałych działają podobnie jak silniki BLDC, jednak ich

zadaniem jest wykonanie obrotu o zadany kąt; rzadko są wykorzystywane jako elementy

napędowe o ruchu ciągłym. W przedłożonej rozprawie silniki krokowe nie są rozpatrywane.

W związku ze wspomnianym wyżej dynamicznym rozwojem maszyn o magnesach

trwałych, pojawiają się coraz to nowsze konstrukcje, których celem jest poprawa parametrów

i charakterystyk silników oraz poprawa wskaźników ekonomicznych. Nowe, udoskonalone

konstrukcje są trudniejsze do wykonania pod względem technologicznym. Dlatego coraz

częściej sięga się do technologii proszkowych wytwarzania materiałów magnetycznie

miękkich i formowania magnesów. W najbardziej nowatorskich rozwiązaniach stosuje się

obwody magnetyczne składające się zarówno z różnych typów proszkowych elementów

magnetycznie miękkich, jak też różnych typów proszkowych magnesów trwałych – tzw.

struktury hybrydowe [84, 111, 176, 229].

Dalszy rozwój nowych konstrukcji silników wzbudzanych magnesami jest w dużej

mierze uzależniony od doskonalenia metod symulacji ich stanów pracy oraz metod

projektowania i optymalizacji. We współczesnym procesie projektowania urządzeń oraz

układów elektromechanicznych wykorzystuje się symulację komputerową. Pozwala ona

uniknąć kosztownego i czasochłonnego etapu budowy prototypów. Programy symulacyjne

zapewniają konstruktorowi możliwość wirtualnej „realizacji” i weryfikacji swoich pomysłów

już na etapie projektowania, co znacznie skraca okres wprowadzania w życie nowych

projektów. Symulacja komputerowa wymaga jednak tworzenia dokładnych modeli

matematycznych zjawisk zachodzących w projektowanych urządzeniach. W dostępnej

literaturze brak jest opracowań ujmujących kompleksowo zagadnienia dotyczące polowo-

obwodowej symulacji dynamiki nowych typów maszyn o magnesach trwałych,

w szczególności opracowań prezentujących algorytmy na tyle efektywne, by można je było

zastosować w procedurach rekursywnego projektowania i w procedurach optymalizacji

z ograniczeniami. Często brakuje nawet ogólnikowych wytycznych do projektowania i do

optymalnego doboru proporcji wymiarów i parametrów charakteryzujących nowe struktury.

Dlatego głównym celem badań jaki postawił sobie autor rozprawy jest pogłębienie

teorii i doskonalenie procedur modelowania silników o magnesach trwałych w ujęciu

polowym, ale przede wszystkim opracowanie efektywnego i uniwersalnego oprogramowania

do optymalnej syntezy tych silników. Najważniejszy cel polega na połączeniu efektywnego

numerycznego (polowego) modelu silnika ze skutecznie i stabilnie działającą procedurą

optymalizacyjną. Zgodnie z założeniami przyjętymi przez autora rozprawy oprogramowanie

ma charakter modułowy. Składa się z dwóch głównych bloków: modułu optymalizacyjnego

oraz modułu zawierającego matematyczny model zjawisk w analizowanym obiekcie.

Uniwersalność oprogramowania ma polegać na: (a) możliwości analizy i syntezy

silników magnetoelektrycznej o dowolnej strukturze, (b) możliwości wymiennego stosowania

7

różnych procedur optymalizacji oraz (c) możliwości wymiennego wykorzystywania modeli

matematycznych o różnym stopniu złożoności do symulacji zjawisk w wybranym obiekcie.

Z tak postawione celu głównego wynikają dalsze, bardziej szczegółowe cele.

1. Opracowanie efektywnych procedur i oprogramowania do analizy dynamiki silników

magnetoelektrycznych z wykorzystaniem ujęcia polowego i polowo-obwodowego,

przystosowanych do optymalizacji.

2. Przeprowadzenie analizy porównawczej i zaproponowanie sposobów formułowania

zadania optymalizacji z ograniczeniami w odniesieniu do silników o magnesach

trwałych, w szczególności doboru zmiennych decyzyjnych, sposobów uwzględniania

w procesie optymalizacji różnych przeciwstawnych kryteriów oraz ograniczeń. Autor

postanowił rozparzyć dwie główne strategie polegające na: (a) formowaniu

wielokryterialnych funkcji kompromisowych oraz (b) dołączaniu do funkcji celu członu

reprezentującego karę za przekraczanie ograniczeń.

3. Testowanie i wskazanie najbardziej efektywnych metod optymalizacji bezwarunkowej, to

jest metod ekstremalizacji zmodyfikowanych funkcji celu, formowanych w postaci

addytywnych lub multiplikatywnych funkcji kompromisowych lub formowanych poprzez

uwzględnienie ograniczeń za pomocą kary zewnętrznej.

4. Porównanie efektywności procesów syntezy silników z wykorzystaniem modeli

matematycznych o różnym stopniu złożoności: modeli o parametrach skupionych (modeli

obwodowych), modeli o parametrach rozłożonych (modeli polowych), a także modeli

polowo-obwodowych. Celem autora jest wskazanie w jakich przypadkach, ze względów

ekonomicznych, uzasadnione jest stosowanie modeli uproszczonych, a w jakich konieczne

jest stosowanie dokładniejszych modeli polowych. Dlatego przy opracowaniu własnych

programów do polowej symulacji stanów pracy zwracano szczególną uwagę na

efektywność obliczeniową algorytmów, np. algorytmu formowania macierzy sztywności

MES, algorytmu rozwiązywania zagadnień nieliniowych.

5. Opracowanie (na postawie obliczeń testowych) wytycznych do projektowania silników

wybranych typów, w szczególności wytycznych dotyczących wstępnego doboru

proporcji wymiarów układów wzbudzenia z magnesami trwałymi.

Z tak sformułowanymi celami pracy wiąże się jej zakres. Pierwsze dwa rozdziały

autor potraktował jako prezentacje aktualnego stanu wiedzy w obszarze, którego dotyczy

rozprawa. Na tej podstawie wskazał na potrzeby dotyczące opracowywania nowych struktur

i modeli matematycznych do symulacji zjawisk w silnikach wzbudzanych magnesami

trwałymi.

Przegląd i analizę porównawczą prezentowanych w literaturze współczesnych

konstrukcji maszyn wzbudzanych magnesami trwałymi przedstawiono w rozdziale 2.

Scharakteryzowano w nim wady i zalety proponowanych rozwiązań.

8

Znaczna część badań przedstawionych w rozprawie była realizowana w ramach

projektu „Nowa generacja energooszczędnych napędów elektrycznych do pomp

i wentylatorów dla górnictwa” współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu

Rozwoju Regionalnego w ramach Programu Operacyjnego Innowacyjna Gospodarka.

Badania dotyczyły przede wszystkim opracowania nowych struktur silników synchronicznych

o wzbudzeniu magnetoelektrycznym, które w przyszłości zastąpią bardziej energochłonne

silniki indukcyjne. Część z przedstawionych w rozdziale 2 konstrukcji, to rozwiązania nowe,

zaproponowane w ramach projektu, przy współudziale autora niniejszej rozprawy.

W rozdziale 3 scharakteryzowano najczęściej stosowane modele matematyczne

zjawisk elektromagnetycznych, to jest modele o parametrach skupionych (modele

„obwodowe”). Omówiono ogólne zalecenia dotyczące wybranych aspektów projektowania

silników o magnesach trwałych. Wskazano ograniczenia wynikające z przyjmowanych

założeń upraszczających.

Symulacja komputerowa wymaga tworzenia modeli matematycznych możliwie

wiernie odwzorowujących zjawiska zachodzące w projektowanych urządzeniach. Dlatego

współcześnie coraz częściej stosuje się modele, w których parametry i charakterystyki

przetworników elektromechanicznych są wyznaczane na podstawie rozkładu pola

elektromagnetycznego. W dostępnej literaturze brak jest opracowań ujmujących

kompleksowo zagadnienia dotyczące polowo-obwodowej symulacji dynamiki maszyn

o magnesach trwałych, w szczególności opracowań prezentujących algorytmy na tyle

efektywne, by można je było zastosować w procedurach optymalizacji. Dlatego jednym

z celów jakie postawił sobie autor rozprawy jest opracowanie efektywnych procedur

i oprogramowania do analizy dynamiki silników magnetoelektrycznych z wykorzystaniem

ujęcia polowego, przystosowanych do optymalizacji. Zaproponowane procedury do analizy

zjawisk statycznych i zjawisk nieustalonych, z wykorzystaniem metody elementów

skończonych (MES) przedstawiono w rozdziale 4. W przetwornikach z nieliniowym

obwodem magnetycznym, przebiegi prądów w uzwojeniach zwykle nie są znane przed

wyznaczeniem rozkładu pola. Równania pola muszą być zatem sprzężone z równaniami

obwodów elektrycznych przetwornika i równaniami obwodów zewnętrznych. Opracowano

zmodyfikowany, efektywny algorytm do rozwiązywania nieliniowych układów równań

modelu polowo-obwodowego, bazujący na metodzie Newtona-Raphsona.

W zaproponowanym algorytmie poszukiwane są zarówno poprawki wektora potencjałów jak

też poprawki wektora prądów, a nie prądy jak w przypadku sformułowań klasycznych.

Zaprezentowane w rozdz. 4 algorytmy i programy komputerowe obejmują także

modelowanie zjawisk polowych w stanach dynamicznych (nieustalonych pod względem

mechanicznym), to jest w stanach, w których w układzie występuje ruch wirnika ze zmienną,

nieznaną „a priori” prędkością obrotową. Do modelowania pola w układach z elementami

9

ruchomymi zaproponowano efektywną metodę redyskretyzacji siatki MES. Została opracowana

procedura rozwiązywania dyskretnego równania bilansu momentów i włączona do

kompleksowego modelu nieustalonych zjawisk polowo-obwodowych.

Najważniejszy cel jaki autor postanowił osiągnąć, polega na połączeniu powyższego

kompleksowego numerycznego modelu silnika z efektywną procedurą optymalizacyjną.

Zadanie takie, to znaczy połączenie rozbudowanego pakietu oprogramowania do polowo-

obwodowej symulacji dynamicznych stanów pracy silników magnetoelektrycznych

z algorytmem optymalizacji nie zostało jeszcze w kompleksowym ujęciu rozwiązane. Stanowi

najważniejszy nowy element w stosunku do aktualnego stanu wiedzy dotyczącej

rozpatrywanych w pracy zagadnień. Zagadnienia związane z połączeniem obu głównych

bloków, to znaczy kompleksowego numerycznego modelu obiektu z efektywnie działającą

procedurą optymalizacyjną są przedmiotem rozdziału 5. Stworzone środowisko komputerowe

składa się z dwóch modułów: modułu optymalizacyjnego oraz modułu zawierającego

matematyczny model zjawisk analizowanej maszyny. Opracowany system pozwala na

wykorzystanie różnych algorytmów optymalizacji w pierwszym z modułów. Natomiast

w module do symulacji zjawisk można wykorzystywać zarówno prostsze modele

(o parametrach skupionych), jak również modele polowe i polowo obwodowe, i to dla silników

różnych typów: synchronicznych z magnesami montowanymi na powierzchni wirnika

(SPMSM), synchronicznych z magnesami wewnętrznymi (IPMSM), synchronicznych

o rozruchu własnym (LSPMSM) oraz dla bezszczotkowych silników prądu stałego (BLDC).

Głównym zadaniem jakie postawił sobie autor było opracowanie uniwersalnego

środowiska programistycznego umożliwiającego w stosunkowo prosty sposób wymianę

modułów – zarówno modułu optymalizacji, jak również modułu zawierającego model zjawisk

w dowolnym typie silnika, a także „wymienne” stosowanie modeli o różnym stopniu

złożoności – w zależności od typu realizowanego zadania. Oba moduły są połączone poprzez

procedurę transformacji zmiennych decyzyjnych oraz procedurę obliczania funkcji celu

i ograniczeń. W procedurze optymalizacji wykorzystywany jest wektor bezwymiarowych

zmiennych unormowanych, natomiast moduł do symulacji stanów pracy silników BLDC,

PMSM lub LSPMSM wykonuje obliczenia na podstawie wektora zmiennych rzeczywistych

Procedura transformacji zmiennych jest więc powiązana ze strumieniem danych wyjściowych

modułu optymalizacji i jednocześnie ze strumieniem danych wejściowych modułu z modelem

obiektu. Odwrotna sytuacja występuje w przypadku procedury obliczania funkcji celu

i ograniczeń. W tym przypadku wyznaczane parametry funkcjonalne silnika tworzą strumień

danych wyjściowych z modułu zawierającego matematyczny model zjawisk w obiekcie

i jednocześnie strumień danych wejściowych modułu optymalizacji, w którym są formowane

kompromisowe funkcje celu (optymalizacja wielokryterialna) lub człony reprezentujące karę

za niespełnienie wymagań (metoda funkcji kary zewnętrznej).

10

Opracowane środowisko umożliwia także łączenie modułu zawierającego

oprogramowanie własne z modułem wykorzystującym oprogramowanie komercyjne. Jest to

praktyczne rozwiązanie, szczególnie przy wykorzystaniu środowiska komercyjnego do

odwzorowania polowych zjawisk elektromagnetycznych. W takim przypadku konieczne jest

jednak opracowanie dodatkowych „skryptów” umożliwiających komunikację pomiędzy

różnymi środowiskami programistycznymi.

Do optymalizacji opracowano warianty oprogramowania bazujące na metodach

deterministycznych (metody najszybszego spadku i metody gradientów sprzężonych) oraz

procedur probabilistycznych: algorytmu genetycznego (AG), metody roju cząstek (PSO)

i algorytmu mrówkowego. W wyniku wykonania wielu obliczeń testowych stwierdzono, że

w procesie optymalnego projektowania silników magnetoelektrycznych należy stosować

algorytmy niedeterministyczne, co uzasadniono w podsumowaniu rozdziału 5. W przypadku

optymalizacji obiektów technicznych, w tym silników magnetoelektrycznych, kompromisowe

funkcje celu, funkcje ograniczeń i funkcje kary mają bardzo złożone, nie znane projektantowi

kształty. Posiadają wiele ekstremów; ich liczba oczywiście nie jest znana. Algorytmy

deterministyczne często „utykają” w pobliżu ekstremum lokalnego, w pobliżu „siodła”

funkcji lub wewnątrz jej „zaułku” [64, 234]. Algorytmy probabilistyczne

(niedeterministyczne) są pod tym względem o wiele bardziej skuteczne, bardziej odporne na

„utknięcia”.

Na podstawie zrealizowanych i prezentowanych w rozdziale 5 obliczeń stwierdzono, że

najbardziej efektywne w optymalnej syntezie silników magnetoelektrycznych

z wykorzystaniem modeli polowych są algorytmy genetyczne (AG) oraz metoda roju

cząstek (PSO). Te dwie metody zostały włączone do opracowanego środowiska

projektowego.

Autor, zarówno w przypadku algorytmu genetycznego, jak również metody roju cząstek

stosował różne proponowane w literaturze modyfikacje i udoskonalenia [1, 6, 31, 54, 239, 255].

Zaproponował też szereg własnych modyfikacji. Wszystkie modyfikacje zwiększają

oczywiście czas obliczeń w ramach modułu optymalizacyjnego. Umożliwiają jednak

osiągnięcie optimum przy mniejszej liczebności pokolenia lub roju. Zmniejszeniu ulega

także liczba „przetworzonych” pokoleń. Zmniejsza się więc liczba wywołań funkcji celu.

W przypadku, gdy funkcja celu jest formowana z wykorzystaniem prostego modelu zjawisk

w obiekcie, to znaczy przypadku, gdy wyznaczanie parametrów funkcjonalnych jest szybkie,

stosowanie modyfikacji nie jest wskazane; komplikuje algorytmy, a nawet może wydłużyć czas

trwania obliczeń optymalizacyjnych. Jednak gdy wykorzystywany jest polowy lub polowo-

obwodowy model zjawisk elektromagnetycznych w urządzeniu, to czas operacji wykonywanych

w module optymalizacyjnym jest pomijalnie mały. Wtedy nawet niewielkie zmniejszenie liczby

11

osobników w pokoleniu i liczby pokoleń może znacząco skrócić czas obliczeń. To jest jeden

z ważniejszych wniosków wynikających z badań wykonanych w ramach tej pracy.

Bardzo często w procesie optymalnego projektowania silników magnetoelektrycznych

mamy do czynienia z koniecznością uwzględnienia kilku parametrów funkcjonalnych, które

należy wziąć pod uwagę przy tworzeniu kryteriów optymalności. Zmiany wartości zmiennych

decyzyjnych mogą wpływać korzystnie na wszystkie kryteria, jednak w praktyce zmiany te

często prowadzą do przeciwstawnych tendencji. Jedne parametry poprawiają się, podczas gdy

inne pogarszają. Mówimy wówczas, że kryteria są sprzeczne i trzeba szukać „kompromisu”.

Zagadnienia te są przedmiotem tzw. optymalizacji wielokryterialnej. W tego typu

zagadnieniach nie można wskazać jednoznacznie który wariant jest optymalny. Dlatego

często jest wyznaczany tzw. zbiór Pareto (zbiór kompromisów) [130, 139]. Podstawowym

zadaniem optymalizacji wielokryterialnej jest znalezienie frontu Pareto. Dalsze działania

wymagają interwencji projektanta (jego wiedzy, doświadczenia, intuicji) zmierzającej do

wyboru wariantu kompromisowo-optymalnego. Teoria optymalizacji wielokryterialnej

proponuje strategie wspomagające podjęcie decyzji, np. algorytm wagowy lub algorytm min-

max [168]. Strategie te zazwyczaj prowadzą do skonstruowania kompromisowej funkcji celu

i przeprowadzenia optymalizacji jednokryterialnej. W strategii wagowej formułowana jest

addytywna lub multiplikatywna funkcja kompromisowa:

Na etapie wstępnej optymalizacji silników, której celem jest rozpoznanie relacji pomiędzy

parametrami opisującymi strukturę obwodów elektromagnetycznych, a uzyskiwanymi

parametrami funkcjonalnymi, dopuszczalne wartości parametrów nie są jednoznacznie określone.

Dlatego, przy wstępnym formułowaniu wytycznych do projektowania, wygodniejsze jest

dołączenie tych dodatkowych parametrów z odpowiednią wagą do kompromisowej funkcji celu

i wykorzystanie zasad optymalizacji wielokryterialnej. Natomiast w procesie projektowania

silnika dedykowanego do określonego zadania lub przeznaczonego do seryjnej produkcji,

funkcją celu może być wąski zbiór wybranych parametrów funkcjonalnych; pozostałe

parametry tworzą wówczas zbiór ograniczeń nierównościowych. W takim przypadku

z powodzeniem można stosować metodę funkcji kary. Ponieważ w algorytmie genetycznym

przystosowanie musi być wielkością dodatnią (kara nie może przewyższać funkcji celu),

zatem autor zaproponował modyfikację członu reprezentującego karę z wykorzystaniem

funkcji sigmoidalnej. Opracowana i wdrożona procedura upodabnia algorytm z funkcją kary

do algorytmu z multiplikatywną funkcją kompromisową. Funkcja zmodyfikowana (z karą)

jest wówczas iloczynem dwóch czynników: funkcji celu i czynnika związanego

z ograniczeniami.

W klasycznej metodzie z funkcją kary zewnętrznej, zwiększenie współczynnika kary

następuję po całkowitym zakończeniu bezwarunkowej optymalizacji zmodyfikowanej funkcji

celu [166, 209]. W algorytmach niedeterministycznych wykorzystywanych w tej pracy (AG

12

i PSO) takie postępowanie jest niecelowe; prowadzi do znacznego, niepotrzebnego

wydłużenia czasu obliczeń. Wykazano, że bardzo dobre wyniki zapewnia algorytm ze zmianą

współczynnika kary przed osiągnięciem optimum, po wykonaniu obliczeń dla kilku pokoleń.

Zaproponowano więc oryginalny algorytm mieszany, w którym operacje związane

z obiema strategiami (algorytmem genetycznym i generowaniem narastającej kary)

wzajemnie się przenikają podrozdz. 6.4. W porównaniu z procedurą klasyczną uzyskano

nawet trzykrotne skrócenie czasu obliczeń.

Bardzo ważnym zagadnieniem w ekstremalizacji funkcji kompromisowej jest dobór

współczynników wagowych z jakimi są uwzględniane poszczególne kryteria. Autorską

metodykę dobierania wartości tych współczynników przedstawiono w podrozdziale 5.5 oraz

rozdziałach 6 i 7.

W podrozdziale 5.5.2 przedstawiono wyniki testowych obliczeń optymalizacyjnych

silnika LSPMSM z zastosowaniem zmodyfikowanej metody PSO. Z przeprowadzonych

badań wynika bardzo ważny wniosek, a mianowicie, że model o parametrach skupionych

może być wykorzystywany do wstępnej optymalizacji maszyn synchronicznych o rozruchu

własnym, pod warunkiem, że w obwodzie magnetycznym nie wystąpią obszary silnie

nasycone. W drugim przykładzie testowym wykorzystano algorytm genetyczny do

optymalizacji wymiarów rdzenia oraz parametrów uzwojeń transformatora zasilacza

elektronicznego, zapewniających minimalne straty mocy. Zastosowano model o parametrach

skupionych. Celem badań było testowanie różnych strategii i ocena ich przydatności

w procesie projektowania urządzeń elektromagnetycznych. Przeprowadzono analizę

efektywności różnych metod: reprodukcji, krzyżowania, mutacji oraz wpływu strategii

elitarnej na przebieg procesu optymalizacji. W ostatnim teście (rozdz. 5.5.3) opracowane

oprogramowanie wykorzystano do realizacji zadania innego typu, nie polegającego na

optymalnej syntezie obiektu. Wykorzystano metodę roju cząstek do identyfikacji parametrów

histerezy magnetycznej modelu Jilesa-Athertona. Zastosowanie naturalnego kryterium

w postaci odchylenia nie pozwalało odwzorowanie pętli histerezy z zadowalającą

dokładnością. Po wielu próbach testowych zaproponowano autorską metodę formowania

trójczłonowej funkcji celu obejmującej dodatkowe dwa składniki dotyczące pola

powierzchni pętli oraz położenia jej wierzchołków.

Wszystkie wykonane testy potwierdziły przydatność i efektywność opracowanego

oprogramowania. Opracowane środowisko zostało w dalszej części badań z powodzeniem

wykorzystane do optymalizacji silników synchronicznych o magnesach trwałych (rozdział 6)

i silników BLDC (rozdział 7).

W rozdziale 6 zaprezentowano algorytmy i wyniki badań dotyczących wykorzystania

algorytmu genetycznego do:

13

optymalizacji wirnika PMSM z magnesami łukowymi z uwzględnieniem momentu

zaczepowego,

optymalizacja wirnika PMSM z uwzględnieniem współczynnika THD zawartości

harmonicznych w przebiegu siły elektromotorycznej,

optymalizacji wirnika PMSM z uwzględnieniem współczynnika THD i momentu

zaczepowego,

optymalizacji wirnika PMSM z hybrydowym układem wzbudzenia.

W ostatnim teście przedstawiono możliwość wykorzystania metody roju cząstek do

optymalizacji wirnika LSPMSM.

Jednym z ważniejszych osiągnięć autora w zakresie zaleceń co do metodyki

definiowania zadania optymalizacji, jest sformułowana w rozdziale 6 teza dotycząca doboru

cząstkowych kryteriów w funkcji kompromisowej. Stwierdzono, że przy niewłaściwym

wyborze kryteriów algorytm optymalizacji może działać wadliwie. Dotyczy to przypadku gdy

poszczególnie kryteria mają znacznie zróżnicowaną czułość na zmiany parametrów

decyzyjnych. Jak pokazano rozdziale 6, zmiana przyjętej jako parametr decyzyjny względnej

rozpiętości magnesu o kilka procent może generować kilkuprocentowe zmiany użytecznego

momentu elektromagnetycznego, przy jednoczesnych zmianach momentu zaczepowego

o kilkaset procent. Algorytm jest zbyt czuły na moment zaczepowy, co wypacza wynik lub

zakłóca proces optymalizacji wydłużając wielokrotnie czas obliczeń. Dlatego

zaproponowano dekompozycję zadania optymalizacji na etapy, w taki sposób by uniknąć

łączenia w jedną funkcję kompromisową składników o charakterze unimodalnym

i multimodalnym, a w szczególności by uniknąć łączenia członów o bardzo różnej czułości na

zmiany poszczególnych parametrów decyzyjnych. Jest to jedna z głównych konkluzji

wynikających z przeprowadzonych badań nad formułowaniem i realizacją zadań optymalnej

syntezy urządzeń elektromagnetycznych.

W rozdziale 7 przestawiono wyniki obliczeń i wynikające z nich wnioski dotyczące

formułowania i rozwiązywania zadań optymalnej syntezy silników typu BLDC. W procesie

optymalnej syntezy wykorzystano algorytm genetyczny. Podstawową wadą silników

bezszczotkowych są pulsacje momentu elektromagnetycznego, obejmujące dwa składniki:

moment zaczepowy i moment tętniący. Przyczyną występowania momentu tętniącego jest

sposób sterowania silnikiem. W celu uzyskania impulsów prądowych o pożądanym kształcie,

konieczne jest formowanie kształtu impulsów napięciowych, co w przypadku stosowania

bipolarnych układów sterowania jest utrudnione. Dlatego pulsacje momentu muszą być

minimalizowane już na etapie projektowania silnika. W wyniku komutacji, w obwodzie

magnetycznym silnika BLDC występują silnie nasycone podobszary. Przeprowadzenie

obliczeń optymalizacyjnych, przy wykorzystaniu uproszczonych obwodowych modeli

14

zjawisk może być całkowicie nieefektywne i może prowadzić do błędnych rozwiązań

w sensie optymalizacji. Dlatego do obliczeń optymalizacyjnych silników BLDC należy

stosować polowo-obwodowy model nieustalonych zjawisk elektromagnetycznych.

W rozdziale 7 porównano procesy optymalizacji silnika BLDC dla dwóch różnych

strategii: (a) z kompromisową, wielokryterialną funkcją celu, (b) z dołączoną do algorytmu

genetycznego procedurą kary zewnętrznej za przekroczenie ograniczeń. Wykazano

przydatność obu strategii. Przeprowadzono również wnikliwą analizę dotyczącą optymalnego

doboru liczby osobników w pojedynczym pokoleniu. Zaproponowano liczebność pokolenia

zapewniająca kompromis pomiędzy jakością otrzymywanych wyników, a złożonością czasową

procesu optymalizacyjnego.

Biorąc pod uwagę zakreślone powyżej cele oraz zakres można sformułować

następujące tezy pracy.

1. Możliwe jest opracowanie uniwersalnego, kompleksowego i jednocześnie

efektywnego komputerowego narzędzia do optymalnej syntezy różnych typów

silników magnetoelektrycznych z wykorzystaniem polowych i polowo-obwodowych

modeli zjawisk elektromagnetycznych w tych silnikach.

2. Dla prawidłowego działania algorytmu optymalnej syntezy podstawowe znaczenie ma

sformułowanie zadania optymalizacji: dobór zmiennych decyzyjnych, dobór kryteriów

cząstkowych przy formowaniu kompromisowej funkcji celu. Ze względu na

zróżnicowaną czułość kryteriów cząstkowych na zmiany parametrów decyzyjnych,

w wielu przypadkach konieczna jest dekompozycja zadania, to jest jego podział na

realizowane sekwencyjnie etapy.

3. W przypadku zadania optymalizacji z ograniczeniami możliwe jest połączenie

algorytmu genetycznego z metodą funkcji kary zewnętrznej w taki sposób by

operacje związane z tymi strategiami wzajemnie się przenikały.

4. Na etapie wstępnej optymalizacji silników, której celem jest rozpoznanie relacji

pomiędzy parametrami opisującymi strukturę obwodów elektromagnetycznych

a uzyskiwanymi parametrami funkcjonalnymi, wygodniejsze jest łączenie tych

parametrów w funkcję kompromisową. Natomiast w procesie projektowania silnika

dedykowanego do określonego zadania lub przeznaczonego do seryjnej produkcji,

funkcję celu można konstruować na bazie wybranych parametrów funkcjonalnych;

pozostałe parametry (których wartości są „sztywno” narzucone) należy włączyć do

zbioru ograniczeń nierównościowych, uwzględnianych z wykorzystaniem metody

funkcji kary zewnętrznej.

15

2. Silniki wzbudzane magnesami trwałymi

2.1. Rozwój materiałów magnetycznie twardych

Zjawisko magnetyzmu towarzyszy człowiekowi od bardzo dawna. Pierwsze wzmianki

dotyczące wykorzystania pierwiastków o właściwościach magnetycznych pochodzą z około

2600 r. p.n.e., kiedy wojska cesarza Huang-Ti wykorzystywały kompasy magnetyczne do

wyznaczenia kierunku swojego marszu [48]. Pierwsze magnesy wykonane były z naturalnego

magnetytu. Wykorzystywano je do budowy busoli magnetycznej. Początek technologii

wytwarzania materiałów magnetycznie twardych rozpoczął się w drugiej połowie XIX wieku.

Poprawianie właściwości tych materiałów w XX wieku znacząco przyczyniło się do rozwoju

dziedzin elektrotechniki związanych z projektowaniem i produkcją maszyn

magnetoelektrycznych.

Początki konstrukcji tego typu maszyn datowane są już na XIX wiek. Pierwszą

konstrukcją obrotowej maszyny elektrycznej była samowzbudna dynamo-elektryczna

maszyna zaprezentowana przez belgijskiego inżyniera Zénobe Théophile Gramme’a we

francuskiej Akademii Nauk w lipcu 1871 roku. Maszyna Gramme’a była prądnicą o mocy

3 kW, prędkości obrotowej 420 obr/min oraz masie 600 kg [123]. Maszyna mogła pracować

zarówno jako prądnica lub silnik. Jako magnesy stosowane były wówczas stale węglowe.

W 1920 roku najlepszymi właściwościami magnetycznymi charakteryzowały się stale

twarde: chromowa, kobaltowa oraz wolframowa [62]. W tym okresie obserwowano nawet

pewne spowolnienie w rozwoju konstrukcji maszyn elektrycznych o wzbudzeniu

elektromagnetycznym.

Przełomowym momentem w rozwoju maszyn elektrycznych wzbudzanych magnesami

trwałymi było opracowanie przez T. Mishima w 1932 roku stopów magnesów utwardzanych

dyspersyjnie: Al – Ni – Fe oraz Fe – Al – Ni – Co [73]. Maszyny o wzbudzeniu

magnetoelektrycznym stały się wówczas konkurencyjne w stosunku do maszyn o wzbudzeniu

elektromagnetycznym. Współcześnie magnesy stopowe, ALNICO straciły swoje wiodące

znaczenie; stosowane są głownie w maszynach synchronicznych do mocy kilkudziesięciu

kilowatów [224].

Szybkie tempo rozwoju technologicznego, wdrażanie nowych technologii doprowadziło

do odkrycia w 1955 roku magnesów ferrytowych. Są one wykonywane na bazie baru (Ba) lub

strontu (Sr). Technologia wytwarzania tego typu magnesów jest technologią ceramiczną

[210]. W zależności od sposobu wytwarzania wyróżniamy materiały anizotropowe oraz

izotropowe, produkowane metodą spiekania na sucho. Materiały anizotropowe, które są

magnesowane w ściśle określonym kierunku, charakteryzują się większymi gęstościami

energii niż magnesy izotropowe, które mogą być magnesowane w dowolnych kierunkach.

16

Próby poszukiwania materiałów o coraz lepszych właściwościach magnetycznych

doprowadziły do odkrycia pod koniec lat 60-tych XX wieku magnesów produkowanych na

bazie pierwiastków ziem rzadkich. Jako pierwsze produkowano magnesy Sm-Co

charakteryzujące się większą gęstością energii wytwarzanego pola oraz znacznie lepszą

stabilnością temperaturową w porównaniu do magnesów ferrytowych. Magnesy tego typu

produkowane są metodami spiekania lub spajania pod ciśnieniem. Są materiałami

anizotropowymi dlatego kierunek magnesowania może być dopasowany do kształtu magnesu.

Obecnie produkowane są dwa typy magnesów: SmCo5 oraz Sm2Co17. Najsilniejszymi

dotychczas wyprodukowanymi magnesami są trójskładnikowe magnesy z pierwiastków ziem

rzadkich – neodym, żelazo, bor – NeFeB, których produkcję rozpoczęto w latach 80-tych XX

wieku. Najbardziej popularne Nd2Fe14B charakteryzują największą gęstością energii

magnetycznej oraz dużą powtarzalnością właściwości magnetycznych. Wadą jest słaba

odporność na korozję. W celu uodpornienia magnesów neodymowych pokrywane są one

powłokami zabezpieczającymi wykonanymi z niklu, chromu oraz tworzyw sztucznych.

Ze względu na technologię produkcji magnesy można podzielić na następujące grupy:

magnesy wiązane, wytwarzane poprzez spajanie materiału magnetycznego specjalnym

tworzywem sztucznym (żywica lub nylon), wytwarzane jako magnesy izotropowe

i anizotropowe. Drugą grupę magnesów neodymowych tworzą magnesy spiekane.

Do budowy współczesnych silników wzbudzanych przez magnesy trwałe w celu

uzyskania jak najlepszych parametrów użytkowych (sprawność, trwałość oraz wysokie

stosunki mocy wyjściowej do masy) stosowane są magnesy o najlepszych właściwościach

magnetycznych oraz posiadające największą odporność na rozmagnesowanie. Do tej grupy

zaliczamy ferryty oraz magnesy wytwarzane na bazie pierwiastków ziem rzadkich.

W tabeli 2.1 przedstawiono porównanie podstawowych parametrów powyżej opisanych

materiałów magnetycznie twardych: natężenie koercji CH , indukcję remanentu rB , gęstość

energii maxBH oraz maksymalną temperaturę pracy maxT [21, 49, 263, 267]. Rysunek 2.1

prezentuje krzywe odmagnesowania tych materiałów.

Tabela 2.1. Wybrane parametry materiałów magnetycznie twardych

Hc Br (BH)max Tmax Materiał [kA/m] [T] [kJ/m3] [ºC]

Ferryty (spiekane) 140 – 300 0,25 – 0,45 6,4 – 38 350 AlNiCo (odlewane) 43 – 200 0,8 – 1,35 9 – 72 450 – 550 AlNiCo (spiekany) 70 – 210 0,6 – 1,15 8 – 50 420 – 550

Sm2Co17 480 – 820 0,73 – 1,20 125 – 300 250 – 300 NdFeB (spiekane) 760 – 1100 1,0 – 1,4 190 – 300 80 – 200

NdFeB (diaelektromagnetyk) 240 – 480 0,5 – 0,8 30 – 100 120 – 160

17

Rys. 2.1. Porównanie charakterystyk odmagnesowania magnesów trwałych

2.2. Klasyfikacja silników magnetoelektrycznych

Do grupy maszyn elektrycznych wzbudzanych magnesami trwałymi możemy zaliczyć:

• silniki synchroniczne – PMSM (Permanent Magnet Synchronous Motor),

• silniki synchroniczne o rozruchu własnym – LSPMSM (Line-Start Permanent Magnet

Synchronous Motor),

• bezszczotkowe silniki prądu stałego – BLDC (Brushless Direct Current Motor),

• komutatorowe silniki prądu stałego (Brush Direct Current Motor),

• silniki krokowe (Stepper Motor).

Na rysunku 2.2 przedstawiono ogólną klasyfikację silników elektrycznych

ze wskazaniem maszyn wzbudzanych magnesami trwałymi.

W pracy szczegółowo rozpatrywane będą typy silników BLDC, PMSM oraz LSPMSM.

Struktury obwodów magnetycznych bezszczotkowych silników prądu stałego,

synchronicznych i krokowych są podobne, obejmują uzwojony stojan oraz wirnik

z magnesami trwałymi. Jednak pomiędzy właściwościami tych silników występują istotne

różnice.

Silniki synchroniczne charakteryzują się sinusoidalnymi przebiegami: prądu fazowego,

sinusoidalnym przebiegiem siły elektromotorycznej indukowanej w uzwojeniach stojana oraz

w przybliżeniu sinusoidalnym rozkładem indukcji magnetycznej w szczelinie powietrznej [2].

Mogą być zasilane z falownika (PMSM) lub bezpośrednio z sieci trójfazowej (LSPMSM).

Bezszczotkowe silniki prądu stałego charakteryzują się prostokątnym przebiegiem

prądu w każdym paśmie oraz trapezoidalnym przebiegiem siły elektromotorycznej

18

indukowanej w stojanie. Sterowanie ruchem tego typu maszyn realizowane jest przez układ

komutatora elektronicznego.

Silniki krokowe zasilane są odpowiednio dobraną sekwencją impulsów. Są

przeznaczone do precyzyjnego pozycjonowania napędzanego elementu.

Różne przeznaczenia silników i związane z tym różne sposoby zasilania powodują

istotne różnice w konstrukcjach stojanów i wirników.

Rys. 2.2. Klasyfikacja silników elektrycznych

Silniki elektryczne

Silniki prądu zmiennego Silniki prądu stałego

Silniki o komutacji elektronicznej

Asynchroniczne

Wzbudzane magnesami trwałymi

Silniki komutatorowe uniwersalne

Jednofazowe

Trójfazowe

Synchroniczne

Reluktancyjne

Histerezowe

Silniki z uzwojeniem

pomocniczym

Silniki z pomocniczym uzwojeniem

Klatkowe

Pierścieniowe

Szeregowe

Bocznikowe

Obcowzbudne

Ze wzbudzeniem od magnesów trwałych

Ze wzbudzeniem od uzwojeń

Silniki krokowe z magnesami trwałymi

Przełączalne reluktancyjne (SRM)

Bezszczotkowe wzbudzane magnesami

trwałymi (BLDC)

19

2.3. Silniki synchroniczne

2.3.1. Wprowadzenie

W wyniku ciągłego rozwoju inżynierii materiałowej powstają magnesy trwałe o dużych

gęstościach energii, lepszych parametrach magnetycznych, mechanicznych i termicznych.

Współcześnie producenci i użytkownicy maszyn elektrycznych coraz częściej zwracają

uwagę na energooszczędność urządzeń. Z powyższych powodów obserwowany jest wzrost

zainteresowania oraz rozwój konstrukcji silników magnetoelektrycznych, to jest silników

wzbudzanych magnesami trwałymi. Silniki te posiadają wiele zalet: wysoki stosunek

momentu do masy, wyższą sprawność, większy współczynnik mocy, niższe koszty

eksploatacji, większą dynamikę działania oraz niską awaryjność [49, 136, 198].

Maszyny PMSM są silnikami zazwyczaj małej i średniej mocy. Uzwojenie stojana jest

rozmieszczone równomiernie w żłobkach i skojarzone w gwiazdę. Uzwojenia silników

PMSM są podobne do uzwojeń maszyn indukcyjnych. Różnorodność parametrów magnesów

trwałych oraz szerokie spektrum zastosowań praktycznych tego typu maszyn, wpływa na

zróżnicowanie ich konstrukcji [21, 83]. W strukturach tych maszyn magnesy są naklejane na

zewnętrzną powierzchnię wirnika lub umieszczone wewnątrz jego pakietu (wsuwane).

Wymiary, kształt oraz rozmieszczenie magnesów trwałych pozwala na osiągnięcie

pożądanego przez konstruktora rozkładu pola magnetycznego w szczelinie powietrznej.

W przypadku silników PMSM dąży się do uzyskania rozkładu sinusoidalnego.

Podstawową wadą silników PMSM jest konieczność stosowania przy rozruchu układów

przekształtnikowych, co powoduje zwiększenie całkowitego kosztu napędu [13]. W celu

uniknięcia dodatkowych kosztów stosowane są silniki synchroniczne o rozruchu własnym

(LSPMSM). Maszyny LSPMSM łączą zalety silnika PMSM podczas pracy w stanie

ustalonym, natomiast uzwojenie klatkowe ma za zadanie wytworzyć odpowiedni moment

rozruchowy. Silniki te są przystosowane do rozruchu przy bezpośrednim podłączeniu do sieci

zasilającej. Prace nad doskonaleniem konstrukcji tego typu silników prowadzone są obecnie

w wielu ośrodkach naukowo-badawczych na całym świecie [13, 41, 55, 65, 84, 251].

2.3.2. Obwody magnetyczne maszyn PMSM

Wymagane przez konstruktorów parametry funkcjonalne silników

magnetoelektrycznych są determinowane przez warunki eksploatacji, kryteria ekonomiczne

oraz wymogi europejskich norm dotyczących energooszczędności [175]. Obecnie

produkowane maszyny synchroniczne magnetoelektryczne posiadają magnesy trwałe

umieszczone w wirniku. Stojany maszyn synchronicznych nie różnią się od stojanów maszyn

indukcyjnych [224]. Często prace nad poprawieniem parametrów funkcjonalnych

20

przeprowadza się wykonując proces optymalizacji wirnika maszyny magnetoelektrycznej.

Wymiary geometryczne pakietu stojana przyjmuje się wówczas z seryjnie produkowanego

silnika indukcyjnego [114, 117]. Zasilanie maszyn PMSM realizowane jest przy

wykorzystaniu falowników wyposażonych w układy do regulacji częstotliwości – stosowany

jest wówczas rozruch częstotliwościowy. W konstrukcji wirników tego typu maszyn

stosowane mogą być następujące sposoby montażu magnesów [26, 101, 252]:

• magnesy naklejane na powierzchni wirnika (surface mounted permanent magnet – SPM [26]),

• magnesy osadzane w wirniku (insert rotor with surface magnet – ISM [198]),

• magnesy ułożone promieniowo (buried radial magnets – BRM [70])

• magnesy zagłębione w rdzeniu wirnika (buried, interior permanent magnets – IPM [218]);

Na rysunku 2.3 przedstawiono przykładowe konstrukcje wirników pierwszych trzech

typów wirników silników synchronicznych.

W najprostszym przypadku wirnika SPM wirnik jest wykonany w postaci

ferromagnetycznej tulei na powierzchni której naklejane są magnesy trwałe uformowane

w kształcie wycinka pierścienia – rys. 2.3a. Podstawowe wady tego typu konstrukcji

wirników to duże niebezpieczeństwo uszkodzenia pod wpływem działania sił odśrodkowych

przy dużych prędkościach oraz możliwość odmagnesowania materiału magnetycznego.

a) b) c)

Rys. 2.3. Wybrane struktury wirników walcowych PMSM: a) magnesy SPM, b) magnesy osadzane w wirniku, c) magnesy ułożone promieniowo

Główną zaletą struktury IPM (rys. 2.4) jest stosunkowo prosta możliwość kształtowania

pola magnetycznego w szczelinie powietrznej poprzez odpowiednio przyjęty przekrój

obwodu magnetycznego wirnika. Konstrukcję cechuje również większa odporność na

uszkodzenia mechaniczne mogące powstać pod wpływem działających sił odśrodkowych.

W tym przypadku magnesy są bardziej odporne na odmagnesowanie. Przykłady obwodów

magnetycznych współczesnych silników synchronicznych z magnesami zagłębionymi

w wirniku przedstawiono na rys. 2.4 [83, 252].

21

a) b) c)

Rys. 2.4. Wybrane struktury silników z wirnikami walcowymi IPM: a) maszyna z powietrznymi barierami dla strumienia, b) maszyna z magnesami w kształcie litery „V” z daszkiem, c) maszyna z łukowymi magnesami

2.3.3. Obwody magnetyczne maszyn LSPMSM

Silniki synchroniczne o rozruchu własnym łączą zalety dwóch typów maszyn

elektrycznych: indukcyjnych i synchronicznych. LSPMSM mogą być stosowane jako

zamienniki popularnych silników indukcyjnych, jednak charakteryzujące się wyższą

sprawnością oraz większym współczynnikiem mocy. Z badań przedstawionych w ramach

projektu „Nowa generacja energooszczędnych napędów elektrycznych do pomp

i wentylatorów dla górnictwa” wynika, że w przypadku silników LSPMSM uzyskuje się

sprawności około 4 – 7 % większe od sprawności silników indukcyjnych tej samej mocy.

Współczynnik mocy wzrasta nawet o 0,1 [228]. Obecnie publikowane wyniki badań

symulacyjnych oraz weryfikacja pomiarowa tych maszyn wykazuje na możliwości znacznego

poprawienia współczynnika energooszczędności [5, 16, 81]. Rozruch LSPMSM jest możliwy

dzięki momentowi asynchronicznemu wytwarzanemu przez uzwojenie klatkowe w wirniku.

W warunkach pracy ustalonej, maszyna wpada w synchronizm i moment synchroniczny jest

momentem roboczym. Proces technologiczny produkcji silników synchronicznych małej

mocy o rozruchu własnym jest zbliżony do procesu produkcji małych silników indukcyjnych.

Wynikająca z różnorodności kształtów magnesów struktura pakietu wirnika, wymaga

zaprojektowania i wykonania odpowiednich narzędzi, które dedykowane byłyby dla

konkretnego rozwiązania konstrukcyjnego silnika, co często zwiększa koszty produkcji [257].

Koszt produkcji maszyn LSPMSM jest wyższy od kosztu produkcji silników klatkowych

także o koszt materiału magnesu. Żywotność produkowanych maszyn jest podobna do

żywotności maszyn indukcyjnych. Na rys. 2.5 przedstawiono wybrane struktury obwodów

magnetycznych maszyn LSPMSM. Koncepcję silnika o rozruchu własnym, w którym

zastosowano pierścień wykonany z materiału przewodzącego zastępujący klatkę rozruchową

przedstawiono na rys. 2.5c [72]. Zmodyfikowaną strukturę maszyny PMSM z łukowymi

magnesami w kształcie litery „V” pokazano na rys. 2.5d. W celu zwiększenia momentu

rozruchowego stosuje się rozwiązanie ze zmienną średnicą prętów klatki – rysunek 2.5d

22

[229]. W celu zmniejszenia strumienia rozproszenia w wirniku są wykonywane prostokątne

bariery powietrzne [23, 78].

a) b) c)

d) e)

Rys. 2.5. Wybrane struktury obwodów magnetycznych LSPMSM: a) maszyna z klatką rozruchową i magnesami rozłożonymi w kształcie litery „U”, b) maszyna z okrągłymi prętami klatki rozruchowej oraz magnesami

rozłożonymi w kształcie litery „W”, c) maszyna o klatce rozruchowej wykonanej w postaci pierścienia, d) maszyna z magnesami łukowymi i różnymi przekrojami prętów klatki rozruchowej, e) maszyna z klatką rozruchową

i magnesami umieszczonymi przy powierzchni wirnika

2.3.4. Nowe koncepcje konstrukcji silników synchronicznych

Rozwój technologii proszkowej umożliwia swobodne kształtowanie geometrii

elementów oraz zmiany właściwości magnetycznych w zależności od zastosowanych

domieszek. Zastosowanie kompozytów proszkowych umożliwia uzyskanie swobodnego

wpływu na właściwości magnetyczne układów wzbudzenia maszyn synchronicznych.

Obecnie do najnowszych rozwiązań technologii proszkowej możemy zaliczyć

możliwość wytwarzania elementów hybrydowych. Elementy te składają się z co najmniej

dwóch obszarów wykonanych z materiałów o różnych właściwościach magnetycznych. Są

wykonywane w jednym procesie technologicznym [229]. W przypadku magnesów

hybrydowych mogą to być magnesy wykonane z mieszanek różnych materiałów lub

magnesy o strukturze warstwowej [84]. Właściwości oraz parametry takich magnesów

można dostosować do projektowanej konstrukcji i wymagań stawianych maszynie [98].

23

Współcześnie produkowane maszyny PMSM z wykorzystaniem magnesów na bazie

pierwiastków ziem rzadkich umożliwiają poprawianie parametrów energooszczędności

silników przy zachowaniu tych samych wymiarów zewnętrznych. Główną wadą silników

o rozruchu własnym LSPMSM jest słaba zdolność synchronizacji oraz mała wartość

momentu rozruchowego. Wartość momentu rozruchowego możemy kształtować poprzez

zmiany wartości rezystancji klatki. Zastosowanie magnesów hybrydowych umożliwia

poszukiwanie konstrukcji pozbawionych powyżej wymienionych wad.

Pełne wykorzystanie zalet i właściwości silników o wirniku hybrydowym wymaga

poznania zjawisk, opracowania nowych, dokładnych modeli matematycznych oraz

algorytmów ich projektowania i optymalizacji tych silników [143, 173, 176].

Przy współudziale autora niniejszej pracy, między innymi w ramach projektu „Nowa

generacja energooszczędnych napędów elektrycznych do pomp i wentylatorów dla

górnictwa” zaproponowano szereg nowych konstrukcji struktur silników

magnetoelektrycznych.

Nowoczesne wirniki silników synchronicznych z magnesami trwałymi pozwalają na

zmniejszenie zużycia energii i kosztów eksploatacji oraz zwiększenie współczynnika mocy

przy jednoczesnym zmniejszeniu gabarytów. Wadą tych silników jest słaba zdolność

synchronizacji oraz mały moment rozruchowy, który pogarsza się ze wzrostem natężenia

koercji magnesów. W silnikach synchronicznych z magnesami trwałymi przystosowanych do

rozruchu bezpośredniego wykorzystuje się klatkę rozruchową. Zwiększenie rezystancji klatki

powoduje wzrost momentu rozruchowego, ale wpływa niekorzystnie na zdolność

synchronizacji silnika. Celowe jest poszukiwanie konstrukcji o jak najlepszych parametrach

eksploatacyjnych charakteryzujących się dużym momentem rozruchowym i łatwością

synchronizacji.

Na rysunku 2.6 przedstawiono wybrane struktury maszyn z magnesami hybrydowymi

[111, 229].

Na rys. 2.6b pokazano strukturę silnika z zewnętrzną warstwą wirnika wykonaną

z materiału przewodzącego oraz magnesem będącym hybrydą dwóch proszków o różnych

właściwościach magnetycznych. Materiał magnesów należy dobierać w zależności od

potrzeb wymaganego rozkładu indukcji w szczelinie. Środkowa cześć magnesu powinna być

wykonana z materiału o dużej wartości indukcji remanentu Br, końce z materiału o dużym

natężeniu koercji Hc.

Rysunek 2.6c przedstawia obwód magnetyczny silnika w którym pomiędzy magnesami

o różnych właściwościach magnetycznych umieszczono pręty klatki rozruchowej. W tym

przypadku istnieje niebezpieczeństwo odmagnesowania magnesów skrajnych, dlatego

wykonuje się je z materiałów o dużym natężeniu koercji [229].

24

a) b) c)

d) e)

Rys. 2.6. Wybrane struktury obwodów magnetycznych silników wzbudzanych układem magnesów: a) maszyna

z dwoma obszarami magnetycznymi naklejonymi na powierzchni wirnika, b) maszyna z hybrydowymi magnesami i warstwą przewodzącą przy powierzchni wirnika, c) maszyna z trójkątnymi prętami klatki

rozruchowej i magnesami o różnych właściwościach magnetycznych, d) maszyna z hybrydowymi magnesami ukształtowanymi w kształcie litery „U” oraz klatką rozruchową, e) maszyna z magnesami

umieszczonymi pomiędzy prętami klatki rozruchowej

Na rys. 2.6d przedstawiono strukturę silnika z klatką rozruchową i magnesami

proszkowymi o różnych właściwościach uformowanymi w kształcie litery „U”.

Umieszczenie prętów klatki rozruchowej blisko szczeliny powietrznej powinno zapewnić

wpad w synchronizm, przy nieco gorszym momencie rozruchowym wynikającym

z oddziaływania magnesów.

Rysunek 2.6e ilustruje strukturę silnika, w której pomiędzy układem magnesów

z materiału proszkowego o różnych właściwościach magnetycznych umieszczono pręty

klatki rozruchowej.

2.4. Bezszczotkowe silniki prądu stałego

2.4.1. Wprowadzenie

W ostatnich latach obserwowany jest dynamiczny rozwój konstrukcji bezszczotkowych

silników prądu stałego (Brushless Direct Current Motor – BLDC). Silniki BLDC należą do

25

grupy silników o komutacji elektronicznej. Rozwój tego typu silników jest możliwy dzięki

rozwojowi produkcji i poprawie parametrów magnesów trwałych. Producenci magnesów

oferują w swoich ofertach handlowych magnesy wytwarzane na bazie pierwiastków ziem

rzadkich (SmCo5, Sm2Co17 oraz Ne2Fe14B). Tego typu magnesy trwałe stanowią podstawowe

elementy silników BLDC. Ponadto, w ostatnich latach, znacznemu obniżeniu uległy koszty

produkcji elementów elektronicznych z których budowane są komutatory elektroniczne.

Dzięki postępom technologicznym w tych dwóch dziedzinach silniki BLDC mogą być coraz

bardziej konkurencyjne pod względem parametrów oraz cen z maszynami klasycznymi.

Silniki BLDC posiadają wiele zalet [62, 76, 136, 249]:

• wysoką sprawność,

• duży stosunek momentu do masy,

• wysoką trwałość,

• możliwość precyzyjnej regulacji obrotów,

• dużą przeciążalność momentem,

• liniową charakterystyką mechaniczną,

• wyższe gęstości mocy.

Ze względu na liczne zalety bezszczotkowe silniki prądu stałego znajdują szerokie

zastosowanie w serwonapędach maszyn, sprzęcie powszechnego użytku, napędzie pojazdów

elektrycznych oraz urządzeniach wykonawczych automatyki.

2.4.2. Budowa silnika BLDC

W najnowszej literaturze światowej dotyczącej projektowania oraz analizy maszyn

elektrycznych wzbudzanych przez magnesy trwałe zauważalne są trendy prowadzące do

klasyfikacji maszyn w zależności od sposobu umiejscowienia wirnika [97, 157]. Także

w przypadku bezszczotkowych silników prądu stałego wyróżnia się dwie grupy:

• silniki z wirnikiem wewnętrznym,

• silniki z wirnikiem zewnętrznym.

Przykładowe struktury silników BLDC przedstawiono na rys. 2.8. Klasyczne

konstrukcje silników nazywane są silnikami z wewnętrznym wirnikiem (interior permanent

magnet motor – IPM motor). W tym przypadku wirnik wykonany w postaci

ferromagnetycznego walca z naklejonymi na jego powierzchni magnesami umieszczany jest

wewnątrz maszyny – rys. 2.8a. W ostatnich latach coraz częściej pojawiają się konstrukcje

silników BLDC z wirnikiem zewnętrznym [253]. Wirnik wykonuje się w postaci

ferromagnetycznej tulei umieszczonej po zewnętrznej stronie silnika – rys. 2.8b. Magnesy są

naklejane na wewnętrznej powierzchni tulei. Takie konstrukcje maszyn znajdują

zastosowanie do elektrycznego napędu pojazdów [97, 261].

26

a) b)

Rys. 2.8. Struktury obwodów magnetycznych silników BLDC: a) z wewnętrznym wirnikiem, b) z zewnętrznym wirnikiem: 1 – stojan, 2 – wirnik, 3 – wał, 4 – magnes trwały

Budowa stojana – typy uzwojeń stosowanych w silnikach BLDC

Silniki BLDC mają użłobkowany stojan wykonany w postaci pakietu z blachy

elektrotechnicznej. W żłobkach stojana znajduje się równomiernie rozłożone uzwojenie.

Zadaniem uzwojenia jest wytworzenie wirującego pola magnetycznego zależnego od

przyjętego algorytmu sterowania. W zależności od pożądanego przebiegu czasowego siły

elektromotorycznej rotacji (SEM) indukującej się w uzwojeniu stojana stosowane są dwa typy

uzwojeń:

• uzwojenie rozłożone,

• uzwojenie o cewkach skupionych.

W przypadku uzwojenia o cewkach rozłożonych uzyskuję się siłę elektromotoryczną

rotacji (back electromotive force) o przebiegu w zasadzie sinusoidalnym. Maszyny

o sinusoidalnej sile rotacji są zbliżone pod względem budowy do silników synchronicznych

o magnesach trwałych. Różnica dotyczy przede wszystkim sposobu zasilania [154].

Uzyskanie sinusoidalnego przebiegu SEM wymaga stosowania skomplikowanych

układów zasilających. Zdecydowanie prostszy układ sterowania wymagany jest w przypadku

SEM w kształcie trapezu. W celu uzyskania takiego kształtu stosowane są uzwojenia

wykonane w postaci cewek skupionych, nawijanych wokół pojedynczego zęba stojana.

W polskim języku technicznym dotyczącym konstrukcji silników o komutacji

elektronicznej wprowadza się określenie uzwojenia pasmowe [243] zamiast fazowe,

w odróżnieniu od maszyn synchronicznych i indukcyjnych. Uzwojenie trójpasmowe zasilane

jest ze źródła napięcia stałego, a komutator elektroniczny odpowiedzialny jest za zmianę

kierunku prądu w kolejnych pasmach uzwojeniach. Silniki o uzwojeniach skupionych są

zwykle wykonywane jako jedno, dwu lub trójpasmowe.

27

W przypadku silników o cewkach skupionych ważnym zagadnieniem jest prawidłowy

dobór liczby zębów (żłobków) stojana w zależności od liczby biegunów wirnika.

W większości maszyn BLDC stosowane są konstrukcje o ułamkowej liczbie żłobków na

biegun [208]. Zależność wiążąca powyższe parametry silnika BLDC jest zapisywana w

postaci [75]:

22 sNp (2.1)

w którym p – liczba biegunów w wirniku, sN – liczba żłobków w stojanie.

Zastosowanie konstrukcji o ułamkowej liczbie żłobków na biegun powoduje istotne

zmniejszenie momentu zaczepowego [208, 75].

Rysunek 2.9a przedstawia obwód magnetyczny silnika trójpasmowego, w każdym

paśmie znajdują się dwie szeregowo połączone cewki. W tym przypadku w każdym żłobku

znajdują się zwoje tylko jednej fazy. Oznaczenia A1+ oznacza początek pierwszej cewki

pasma A. Rysunek 2.9b ilustruje bardziej złożoną strukturę, w której w każdym żłobku

znajdują się cewki dwóch różnych pasm uzwojenia stojana.

a) b)

Rys. 2.9. Przykłady uzwojeń stosowanych w silnikach BLDC

Struktury wirników silników BLDC

Najczęściej stosowane struktury z wirnikiem wewnętrznym pokazano na rysunku 2.10.

Struktury obwodów magnetycznych silników BLDC w zależności od sposobu montażu

magnesu trwałego, dzielą się na dwie grupy [184, 261]:

• silnik z magnesami naklejonymi na powierzchni wirnika (surface-mounted permanent

magnet motor),

• silnik z magnesami umieszczonymi wewnątrz wirnika (interior permanent magnet

motor).

28

Magnesy są najczęściej magnesowane promieniowo (rys. 2.10a, b, c, d), obwodowo

(rys. 2.10c) lub w sposób pośredni (rys. 2.10d). Wirniki charakteryzują się stałą (rys. 2.10a)

lub zmienną (rys. 2.11b, c, d, e) permenacją szczeliny powietrznej wzdłuż obwodu.

Liczba magnesów w wirniku ma wpływ na pulsacje momentu elektromagnetycznego.

Przy większej liczbie magnesów pulsacje są mniejsze. Liczba magnesów określa również tzw.

współczynnik obrotu, tj. liczbę zmian położeń pola stojana przypadającą na jeden obrót

wirnika. Determinuje zatem algorytm pracy komutatora elektronicznego, który zawiera

informację ile obrotów pola magnetycznego – liczba cykli pracy komutatora elektronicznego

przypada na jeden obrót mechaniczny wirnika. W przypadku wirnika z 10-cioma magnesami

trwałymi pięć cykli komutatora elektronicznego powoduje jeden obrót wirnika [116].

a) b) c)

d) e) f)

Rys. 2.10. Przykłady konstrukcji wirników stosowanych w silnikach BLDC

2.4.3. Metody sterowania i elektroniczna komutacja w silnikach BLDC

Algorytmy sterowania bezszczotkowymi silnikami prądu stałego zostaną omówione na

przykładzie silnika trójpasmowego. Stosowane są dwa podstawowe sposoby sterowania

silników BLDC [45]: sterowanie unipolarne i sterowanie bipolarne.

W przypadku sterowania bipolarnego uzwojenie stojana może być skojarzone

w gwiazdę bez konieczności wyprowadzania punktu zerowego. Natomiast w przypadku

sterowania unipolarnego uzwojenie stojana musi być wykonane w postaci nieskojarzonych

pasm lub też połączone w gwiazdę z wyprowadzonym punktem zerowym.

W przypadku zastosowania sterowania unipolarnego prąd przez każde pasmo przepływa

w jednym kierunku. Układy sterowania unipolarnego są znacznie prostsze i tańsze niż układy

sterowania bipolarnego. W przypadku sterowania unipolarnego silnika trójpasmowego komutator

elektroniczny zbudowany jest z trzech tranzystorów. Schemat komutatora realizującego algorytm

29

sterowania unipolarnego przedstawiono na rysunku 2.11. Komutacja każdego pasma odbywa się

przy wykorzystaniu jednego tranzystora. Komutacja kolejnych pasm powoduje przesunięcie pola

magnetycznego w stojanie o 120° elektrycznych.

Rys. 2.11. Schemat komutatora dla sterowania unipolarnego

Dwa najczęściej stosowane algorytmy sterowania przedstawiono na rys. 2.12.

Na rys. 2.12a przedstawiono przebiegi prądu w pasmach silnika przy wykorzystaniu

sterowania unipolarnego, zasilane pasmo przewodzi wówczas przez 120˚ elektrycznych.

Przełączanie pasm jest realizowane na podstawie sygnałów z czujników położenia wirnika.

Prądy pasm wyłączanych zamykają się poprzez diody zwrotne D1, D2 i D3. Wadą sterowania

unipolarnego są duże pulsacje momentu elektromagnetycznego które wynoszą nawet 23,7 %

wartości użytecznej momentu [208]. Na rysunku 2.12b przedstawiono przebieg prądów

w pasmach silnika w przypadku gdy pojedyncze pasmo zasilane jest przez okres

odpowiadający 180˚ elektrycznych. W przypadku silnika o 6-ciu żłobkach takie sterowanie

powoduje wyraźne zmniejszenie pulsacji – wynoszą 8,5 % [208]. Dalsze zmniejszanie

pulsacji przy tym sposobie sterowania jest możliwe poprzez powiększenie liczby pasm.

a) b)

Rys. 2.12. Przebieg czasowy prądów dla sterowania unipolarnego: a) prąd przepływa przez pasmo przez 120˚ elektrycznych, b) prąd przepływa przez każde pasmo przez 180˚ elektrycznych

30

Natomiast podstawową strukturę komutatora elektronicznego trójpasmowego silnika

sterowanego bipolarnie przedstawiono na rysunku 2.13. Liczba kluczy elektronicznych oraz

diod zwrotnych w układzie sterowania bipolarnego jest dwa razy większa.

Rys. 2.13. Schemat układu sterowania bipolarnego do zasilania trójpasmowego

uzwojenia połączonego w gwiazdę

Pasma silnika zasilane są impulsami prądu o zmiennej biegunowości. Każde z pasm

przewodzi przez 120˚ elektrycznych. Informacja o aktualnym położeniu wirnika

przekazywana jest z czujników położenia (najczęściej czujników hallotronowych).

Wykorzystując układ sterujący składający się z sześciu kluczy oraz trzech czujników

hallotronowych można zrealizować podstawowy algorytm obejmujący 6 stanów (taktów)

pracy komutatora elektronicznego. W każdej chwili przewodzą dwa tranzystory, które zasilają

dwa pasma silnika. Każdy takt przekształtnika przesuwa pole magnetyczne stojana o 60˚

elektrycznych. Przebiegi prądów w uzwojeniach silnika przy pominięciu „bezwładności

magnetycznej” uzwojeń przedstawiono na rys. 2.14 [197, 235].

Rys. 2.14. Przebieg czasowy prądów dla silnika trójpasmowego połączonego w gwiazdę

31

Zastosowanie układu bipolarnego sterowania pozwala na lepsze wykorzystanie uzwojeń

stojana niż przy zasilaniu unipolarnym, to jest uzyskanie większego momentu

elektromagnetycznego przy tych samych wymiarach silnika. Umożliwia również wyraźne

zmniejszenie pulsacji momentu.

2.4.4. Metody detekcji położenia biegunów wirnika

Najbardziej efektywna praca silnika BLDC występuje gdy wektor pola magnetycznego

wytworzonego przez uzwojenia stojana oraz wektor pola magnetycznego wytwarzanego przez

wirnik są prostopadłe. Na jedną zmianę położenia pola magnetycznego w stojanie (jeden krok

pola stojana) – przypada jeden takt pracy komutatora. Pełen cykl pracy komutatora obejmuje

sześć taktów i odpowiada obrotowi wirnika o kąt p260 , p jest liczbą par biegunów. Podczas

pracy silnika dyskretna zmiana pola magnetycznego w stojanie musi nastąpić w ściśle

określonym momencie. Dlatego niezbędne jest ciągłe monitorowanie położenia wirnika

podczas pracy maszyny. W praktycznych aplikacjach stosowane są dwie główne metody

określenia pozycji wirnika: czujnikowe i bezczujnikowe.

Metody czujnikowe

Najbardziej popularną metodą określenia położenia wirnika względem stojana

w silnikach BLDC jest zastosowanie czujników Halla. Zasada działania tych czujników

polega na wytworzeniu napięcia wyjściowego pod wpływem indukcji magnetycznej. Wartość

napięcia może wskazywać położenie źródła pola magnetycznego. Najważniejszymi zaletami

czujników Halla jest wysoka czułość magnetyczna oraz niski koszt. Czujniki hallotronowe

produkowane są z materiałów półprzewodnikowych: arsenku indu (InAs), antymonku indu

(InSb) oraz germanu (Ge) [62].

W przypadku silnika trójpasmowego, monitorowanie położenia wirnika silnika BLDC

wymaga użycia układu trzech czujników przesuniętych względem siebie o 120˚ [186, 199].

Czujniki montowane są na etapie produkcji silnika [206]. Często stosowane są rozwiązania,

w których czujniki umieszczone na płytce drukowanej, znajdują się na zewnątrz obudowy

silnika [199]; na wale, na wirniku montowane są dodatkowych magnesy przeznaczone do

współpracy z czujnikami [60]. Zaletami czujników jest niezależność generowanego sygnału

wyjściowego od wartości prędkości obrotowej. Hallotrony wytwarzają sygnał również przy

nieruchomym wirniku. Na rys. 2.15 przedstawiono przebiegi prądów w pasmach stojana oraz

odpowiadające im sygnały „kroki” z modułów elektronicznych współpracujących z czujnikami.

W silniku trójpasmowym przy zastosowaniu układu trzech czujników oraz bipolarnego

komutatora, możliwe jest uzyskanie sześciu taktów pracy przekształtnika. Każdemu zestawowi

32

sygnałów z układu czujników odpowiada jeden „krok” pola magnetycznego stojana. Wszystkie

możliwe kombinacje sygnałów z czujników oraz odpowiadające im „kroki” pola

magnetycznego stojana dla tego przypadku przedstawiono na rys. 2.15b [51].

a) b)

Rys. 2.15. a) Przebiegi czasowe prądów stojana oraz odpowiadające im sygnały z czujników Halla, b) Rozkład

kierunków pól magnetycznych wytwarzanych przez stojan oraz odpowiadające im sygnały z czujników Halla

Metody bezczujnikowe

W napędach, w których elementem wykonawczym są silniki BLDC coraz częściej

stosowane są bezczujnikowe metody detekcji położenia wirnika (sensorless control). Metody

te są często opisywane w literaturze światowej [29, 60, 144, 207]. Zazwyczaj przedstawiane

są trzy metody detekcji położenia wirnika:

• na podstawie siły elektromotorycznej indukowanej w uzwojeniach stojana [29, 178, 202],

• na podstawie pomiaru prądu [33],

• na podstawie detekcji trzeciej harmonicznej napięcia [207].

Rozprawa doktorska nie dotyczy bezpośrednio metod sterowania silników BLDC.

Poniżej scharakteryzowano więc tylko najczęściej stosowaną metodę oparta na pomiarze siły

elektromotorycznej indukowanej w uzwojeniach maszyny. Wadą takiego rozwiązania jest

brak odporności układu sterującego na skokowe zmiany obciążenia silnika. Wyróżniamy dwie

podstawowe metody pomiaru siły elektromotorycznej – w zależności od konstrukcji

uzwojenia stojana. Na rysunku 2.16a przedstawiono uproszczony schemat układu

pomiarowego dla jednej fazy silnika z wyprowadzonym punktem gwiazdowym. Pomiar SEM

jest wykonywany w nie zasilanym paśmie silnika. Konieczne jest zastosowanie filtrów RC na

wejściu komparatora. Zadaniem filtrów jest likwidacja zakłóceń powstałych w wyniku

przełączania kluczy komutatora.

33

W przypadku gdy nie ma dostępu do punktu gwiazdowego uzwojenia, konieczne jest

utworzenie sztucznego punktu. Pomiar SEM jest dokonywany wówczas pomiędzy pasmami

uzwojenia, a tym punktem. Ideowy schemat układu pomiarowego przedstawiono na

rys. 2.16b.

a) b)

Rys. 2.16. Układy do pomiaru wartości siły elektromotorycznej nie zasilanej fazy: a) dostępny punkt neutralny uzwojeń, b) brak dostępnego punktu neutralnego uzwojenia stojana

W przypadku braku dostępu do punktu neutralnego uzwojenia, zostaje on utworzony

przez połączenie trzech rezystorów i podłączenie ich do początków pasm stojana. Potencjał

tak utworzonego punktu neutralnego powinien odpowiadać potencjałowi punktu neutralnego

uzwojeń. Wartości potencjałów w punkcie neutralnym podczas pracy silnika mogą

przyjmować wartości od zera do wartości napięcia zasilającego komutator. Dlatego w tym

przypadku w celu zabezpieczenia układów elektronicznych, szczególnie podczas rozruchu

muszą być stosowane dzielniki napięcia [202].

2.5. Silniki krokowe

Silniki krokowe (stepper motor), nazywane również silnikami skokowymi są

przetwornikami elektromechanicznymi przetwarzającymi ciąg impulsów wytwarzanych przez

komutator elektroniczny na przesunięcie kątowe wirnika. „Komutator” jest w tym przypadku

elektronicznym układem przełączającym prądy maszyny. Wartość przesunięcia kątowego jest

proporcjonalna do ilości impulsów wytworzonych przez układ sterujący. Prędkość silnika jest

proporcjonalna do częstotliwości tych impulsów.

Podział konstrukcji silników krokowych przeprowadza się według dwóch

podstawowych kryteriów. Pierwsze kryterium jest związane ze sposobem zasilania uzwojeń

stojana. Zgodnie z tym kryterium silniki dzielimy na: jednopasmowe, dwupasmowe oraz

wielopasmowe [180]. Klasyfikując maszyny w zależności od konstrukcji wirnika

rozróżniamy trzy podstawowe typy: z wirnikiem biernym (silniki reluktancyjne), z wirnikiem

34

aktywnym (silniki z magnesami trwałymi) oraz silniki hybrydowe [187]. Na rys. 2.17

przedstawiono przykładowe konstrukcje wymienionych typów silników krokowych. W celu

zwiększenia rozdzielczości, czyli zmniejszenia kroku podstawowego stosuje się konstrukcje

w której na biegunach (dużych zębach) stojana wykonuje się dodatkowe małe zęby

o podziałce zbliżonej do podziałki zębowej wirnika. W produkcji przemysłowej spotykane są

następujące wartości dla liczby zębów stojana równej 4sz , małych zębów równej 51 sz

oraz 25wz otrzymujemy wartość kroku znamionowego równą 3,6° [214].

a) b) c)

Rys. 2.17. Przykładowe konstrukcję obwodów magnetycznych silników krokowych: a) sinika dwupasmowego

o wirniku biernym; b) reluktancyjnego silnika czteropasmowego, c) silnika dwupasmowego czterobiegunowego

o wirniku aktywnym

Producenci podają zazwyczaj następujące parametry znamionowe silników [272]:

• rozdzielczość kątowa kroku, oznacza jego obrót kątowy wirnika przypadający na

jeden impuls komutatora. Parametr ten jest zależny od struktury obwodu

magnetycznego, najczęściej spotykane wartości to: 15˚, 7,5˚, 3,6˚, 1,8˚ oraz 0,9˚;

• rezystancja oraz indukcyjność uzwojenia;

• prąd znamionowy uzwojenia, jest to wartość natężenia prądu niezbędna do zmiany

położenia wirnika przy obciążeniu znamionowym;

• bezprądowy moment spoczynkowy. Parametr ten dotyczy konstrukcji z wirnikami

czynnymi. Wirnik z magnesami trwałymi ma tendencję do ustawiania się w pozycji

w której reluktancja obwodu magnetycznego jest minimalna. Próba wytrącenia

wirnika z tej pozycji wymaga pokonania momentu spoczynkowego.

Obwód magnetyczny silnika o wirniku biernym jest zbliżony do obwodu

magnetycznego silnika reluktancyjnego przełączalnego. Natomiast w silnikach o magnesach

trwałych stosowane są trzy podstawowe typy wirników: z biegunami jawnymi, z biegunami

utajonymi oraz silniki o strukturze kłowej [270].

Ze względów technologicznych silniki z magnesami trwałymi charakteryzują się

małymi wartościami rozdzielczości kątowej – zwykle w przedziale od 7,5˚ do 15˚. Silniki

o wirnikach hybrydowych powstały w wyniku połączenia technologii silników

35

reluktancyjnych i silników z magnesami trwałymi. Zastosowanie takiego rozwiązania

technologicznego pozwoliło na poprawę podstawowych parametrów: maksymalnej prędkości

obrotowej, momentu obrotowego oraz rozdzielczości [214, 265, 231].

Silnikami krokowymi możemy sterować unipolarnie i bipolarnie. Sterowanie unipolarne

zapewnia przepływ prądu w danym paśmie tylko w jednym kierunku. Zaletą tego rodzaju

sterowania jest prostota układu sterującego, który składa się z mniejszej liczby kluczy

elektronicznych. Podczas takiego sterowania pracuje tylko połowa cewek pasma co powoduje

wytworzenie mniejszego momentu. Sterowanie bipolarne umożliwia przepływ prądu

w uzwojeniu w dwóch kierunkach. Do sterowania wykorzystywane są wówczas mostki

dwukwadrantowe typu H [154].

Ruchem silnika krokowego możemy sterować wykorzystując następujące algorytmy:

sterowanie falowe, pełnokrokowe oraz z mikrokokiem [187]. Najprostszym algorytmem

sterowania jest sterowanie falowe. Zasadę tego sposobu sterowania w odniesieniu dla silnika

dwupasmowego z wirnikiem czynnym przedstawiono na rys. 2.18. W wirniku silnika

znajduje się sześć naklejonych magnesów trwałych, natomiast w stojanie cztery jawne

bieguny. W pierwszym kroku zasilane jest uzwojenie 1, wirnik ustawia się w pozycji

przedstawionej na rys. 2.18a. Następnie zasilane jest uzwojenie 2, wirnik obraca o kąt 60˚

wykonując jeden krok. W kolejnych krokach załączane są kolejno uzwojenia 1 oraz 2,

maszyna przyjmuje położenia przedstawione na rysunkach 2.18c i 2.18d.

a) b) c) d)

Rys. 2.18. Sterowanie falowe silnika dwupasmowego z wirnikiem aktywnym

Sterowania pełnokrokowe i sterowanie z mikrokokiem polega na jednoczesnym

zasilaniu dwóch pasm silnika. Przy zasilaniu obu uzwojeń tym samym prądem uzyskuje się

dwukrotne zmniejszenie kroku podstawowego (poprzez dodatkowe położenie pomiędzy

biegunami). Stosując bardziej zaawansowany układ sterowania pozwalający na jednoczesne

zasilanie dwóch uzwojeń prądami można uzyskać więcej położeń pośrednich (sterowanie

mikrokrokowe) [185].

Silniki krokowe posiadają wiele zalet do których można zaliczyć: łatwość sterowania

prędkością obrotową, duża niezawodność oraz trwałość, dokładne pozycjonowanie położenia

przy pracy w trybie mikroskoku, rozwijanie przez silnik stałych momentów w szerokim

zakresie prędkości obrotowej, silnik ma możliwość pracy w układach otwartych [185].

36

Największą wadą silników krokowych są drgania i rezonanse wynikające z skokowego

charakteru pracy.

Silniki krokowe stosowane są przede wszystkim jako elementy wykonawcze

w automatyce i robotyce. Stosowane są też jako napędy drukarek, elementy wykonawcze

w napędach dysków twardych, elementy napędowe obrabiarek sterowanych cyfrowo,

w przemyśle samochodowym oraz jako elementy wykonawcze elektrozaworów.

Podsumowanie

W rozdziale 2 przedstawiono przegląd i analizę porównawczą prezentowanych w literaturze

współczesnych konstrukcji maszyn wzbudzanych magnesami trwałymi. Scharakteryzowano

wady i zalety proponowanych rozwiązań. Przegląd dotyczy najczęściej stosowanych

konstrukcji; nie obejmuje wszystkich rozwiązań, np. silników o strumieniu osiowym i

silników o budowie „kłowej”.

Część z przedstawionych w rozdziale 2 konstrukcji to rozwiązania nowe, zaproponowane

przy współudziale autora w ramach projektu „Nowa generacja energooszczędnych

napędów elektrycznych do pomp i wentylatorów dla górnictwa” współfinansowanego ze

środków Europejskiego Funduszu Rozwoju Regionalnego w ramach Programu Operacyjnego

Innowacyjna Gospodarka.

Z przedstawionym w tym rozdziale przeglądem typów i struktur maszyn wzbudzanych

magnesami trwałymi wiążą się główne cele niniejszej pracy. Duża liczba pojawiających się

nowych konstrukcji i ich duża różnorodność wymagają opracowania nowych, dokładnych, ale

jednocześnie obliczeniowo efektywnych metod analizy ich stanów pracy. W szczególności

zachodzi potrzeba opracowania metodyki ich projektowania i optymalizacji, a także

określenia wytycznych dotyczących doboru kryteriów optymalności i doboru ograniczeń

w procesie optymalnego projektowania. Sposób realizacji powyższych celów przedstawiono

w rozdziałach 4 do 7.

W następnym rozdziale scharakteryzowano najczęściej wykorzystywane uproszczone

modele (o parametrach skupionych) opisujące stany pracy silników magnetoelektrycznych.

Jednak autor, w opracowanych i prezentowanych w dalszych rozdziałach rozprawy

algorytmach optymalizacji, proponuje wykorzystywać modele dokładniejsze polowe

i polowo-obwodowe. Efektywne algorytmy wyznaczania rozkładu wymuszanego napięciowo

pola elektromagnetycznego z wykorzystaniem metody elementów skończonych są

przedmiotem rozdziału 4.

37

3. Modele o parametrach skupionych maszyn magnetoelektrycznych 3.1. Wprowadzenie

Zjawiska fizyczne występujące w silnikach magnetoelektrycznych mają charakter

polowy i są wzajemnie sprzężone [42, 154, 224]. Zachodzi potrzeba rozpatrywania zarówno

stanów ustalonych i przejściowych. W drugim przypadku pełna analiza zjawisk odbywa się

w dziedzinie czasu.

Pod pojęciem modelu rozumiemy matematyczny opis obiektu technicznego oraz

odwzorowanie występujących w nim zjawisk fizycznych [188]. Wykorzystując stworzony

opis matematyczny można modelować różne stany pracy występujące w urządzeniu. Dla

potrzeb projektowania i analizy nowoczesnych silników z magnesami trwałymi o jak

najlepszych parametrach funkcjonalnych konieczne jest opracowanie jak najdokładniejszego

modelu występujących w nich zjawisk [28, 82, 233]. Wykonując prototyp fizycznego silnika,

dla którego model został opracowany istnieje możliwość oceny przydatności modelu

w procesie projektowania.

Pierwsze modele matematyczne obiektów technicznych powstawały już w XVIII wieku.

Ich twórcy byli zmuszeni do analitycznego rozwiązywania równań tworzonych modeli [232].

Wyraźny postęp w formułowaniu coraz to dokładniejszych modeli i rozwiązywania równań

opisujących te modele nastąpił w XX wieku z chwilą pojawienia się techniki komputerowej.

Symulacja komputerowa to współcześnie najczęściej stosowana metoda modelowania

zjawisk fizycznych.

Obecnie w obliczeniach projektowych silników magnetoelektrycznych wykorzystywane

są dwie grupy modeli: o parametrach skupionych [17, 137, 159, 160] (modele obwodowe)

oraz modele polowe [12, 42, 53, 224]. Zjawiska w silnikach magnetoelektrycznych mają

charakter polowy, jednak w praktyce, ze względu na trudności z rozwiązywaniem równań

modelu polowego do analizy stanów pracy tych urządzeń nawet współcześnie wykorzystuje

się modele obwodowe lub polowo-obwodowe [107, 116, 173, 220, 260]. W modelach

o parametrach skupionych zjawiska o naturze polowej rozpatrywane są w sposób uproszczony

- poprzez stworzenie tzw. schematu zastępczego. Zazwyczaj modele te nie wymagają dużych

nakładów obliczeniowych.

Model polowy jest zintegrowanym modelem elektrodynamicznym [42, 249]. Przy jego

wykorzystaniu możliwe jest badanie w dziedzinie czasu funkcji stanu (to jest przebiegów

prądów w uzwojeniach, przebiegów SEM, przebiegów prędkości wirnika oraz momentów)

opisujących obiekt. Wyznaczenie parametrów funkcjonalnych odbywa się na podstawie

rozkładu pola elektromagnetycznego. Powszechnie stosowana jest metoda elementów

skończonych (MES). Modele te pozwalają na dokładne odwzorowanie nieliniowych

właściwości materiałów ferromagnetycznych. W stanach nieustalonych pod względem

38

elektromagnetycznym równania pola należy połączyć z równaniami obwodów zewnętrznych –

otrzymuje się wówczas tzw. model polowo-obwodowy [116, 107]. Natomiast w analizie

stanów nieustalonych pod względem mechanicznym (rozruch) konieczne jest dodatkowo

uwzględnienie równania bilansu momentów [104]. Uwzględnia się również zjawisko histerezy

występujące w rdzeniach elektromagnetycznych oraz prądy wirowe [221, 227, 230].

Symulacja komputerowa z wykorzystaniem modeli polowych jest dokładniejsza, jednak

wymaga nakładu obliczeniowego. Dlatego współcześnie nadal są wykorzystywane modele

obwodowe bazujące na schemacie zastępczym.

Proces projektowania silnika często wspomagany jest przez obliczenia

optymalizacyjne. Obliczenia te są współcześnie wykonywane zazwyczaj przy wykorzystaniu

metod niedeterministycznych. Najczęściej stosowane są algorytmy genetyczne oraz metoda

roju cząstek [53, 123, 142, 255]. W metodach tych obliczenia są wykonywane

z wykorzystaniem zbioru (pokolenia) osobników (algorytm genetyczny) lub grupy

współpracujących z sobą cząstek (metoda roju cząstek). Wykonanie wiarygodnych obliczeń

wymaga zastosowania populacji o dużej liczbie osobników lub cząstek. W celu

odwzorowania zjawisk naturalnych w procesach adaptacyjnych konieczne jest wykonanie

obliczeń dla odpowiednio dużej liczby pokoleń.

Pełen proces optymalizacji wymaga wywołania (tj. obliczenia) funkcji celu wiele

tysięcy razy. Zastosowanie modelu polowego (a w szczególności polowo-obwodowego) do

obliczenia funkcji celu prowadzi do wielogodzinnych obliczeń optymalizacyjnych [179].

Dlatego na wstępnym etapie optymalizacji uzasadnione jest wykorzystanie modeli

uproszczonych – o parametrach skupionych [222].

3.2. Modele obwodowe silników PMSM

Model matematyczny silnika PMSM jest zbliżony do modelu maszyny synchronicznej

o wzbudzeniu elektromagnetycznym. W analizie tego typu maszyn najbardziej popularny jest

klasyczny model dwuosiowy [11, 19, 135, 213, 224]. Zasilanie maszyny układem napięć

trójfazowych umożliwia pracę silnika z kątem obciążenia 90 ° [118]. Stabilna praca

silnika przy takiej wartości kąta powoduje wytworzenie maksymalnego momentu przy danym

prądzie. W praktyce oznacza to, że prąd stojana ma składową tylko w osi q ( 0sdi ) [259]. Na

rys. 3.1 przedstawiono model fizyczny silnika PMSM z zaznaczeniem osi d i q dla wirnika.

39

Rys. 3.1. Model silnika PMSM zasilanego z sieci trójfazowej

W przypadku silnika o wzbudzeniu magnetoelektrycznym w opisie matematycznym

pomijane są składowe równań uzwojenia wirnika. Równania modelu dwuosiowego mają

postać [194, 235]:

sd

sq

sqsqssq

sqsd

sdsdssd

t

iLiRu

t

iLiRu

d

d

d

d

(3.1)

w których indeksy d i q oznaczają składowe w osiach podłużnej i poprzecznej, indeks

s odnosi się do stojana, u – napięcie zasilające, si – prąd, sL – indukcyjność, s – strumień

skojarzony, – prędkość kątowa wirnika, sqsqsq iL , msdsdsd iL – składowe

strumienia skojarzonego, m – strumień wytworzony przez magnesy trwałe [135].

W analizach dynamicznych stanów pracy równania napięciowe (3.1) należy

rozwiązywać łącznie z równaniem momentów [42, 166]:

t

JTT bod

d (3.2)

w którym: T – moment elektromagnetyczny, oT – moment obciążenia, bJ – moment

bezwładności mas wirujących.

Po uwzględnieniu wyrażeń opisujących strumienie sq oraz sd moment

elektromagnetyczny silnika pisuje zależność [224]:

sqsdsqsdsdm iiLLip

T 2

3 (3.3)

w której p – liczba par biegunów.

40

Jeżeli można założyć sqsd LL [80] to:

sqmip

T

(3.4)

W celu przekształcenia wielkości charakteryzujących nieruchomy stojan maszyny

skojarzony z osiami uzwojeń a, b, c do układu osi d , q , 0 związanego z wirującym

wirnikiem stosuje się transformację Park’a – Blondel’a [79]:

q

d

c

b

a

u

u

u

pp

pp

pp

u

u

u

sincos

sincos

sincos

(3.5)

Omówiony powyżej model matematyczny silnika synchronicznego z magnesami

trwałymi jest modelem uproszczonym, nie uwzględnia wielu złożonych zjawisk

występujących w tego typu maszynach. W celu zwiększenia przydatności modelu

o parametrach skupionych wprowadzane są różne modyfikacje [34, 36, 80, 219]. W pracy

[36] w modelu matematycznym uwzględniono kształt krzywej odmagnesowania i pola

magnetycznego twornika maszyny. Zależność ta jest szczególnie ważna przy rozpatrywaniu

stanów przejściowych. Zastosowanie interdyscyplinarnej metody wariacyjnej umożliwiło

przestawienie modelu matematycznego układu napędowego z silnikiem PMSM bez potrzeby

dekompozycji zintegrowanego układu elektromechanicznego [27, 36].

Wartości przybliżonych parametrów skupionych maszyn synchronicznych w przypadku

dużych obiektów są szacowane na podstawie danych konstrukcyjnych [80]. Takie podejście

jest niedokładne i prowadzi do rozbieżności pomiędzy wynikami obliczeń symulacyjnych

i wynikami pomiarów. Dlatego stosuję się metody wyznaczania parametrów

elektromagnetycznych (indukcyjności, rezystancji, stałych czasowych) dla dwuosiowych

modeli przy wykorzystaniu rozkładów dwuwymiarowych pól magnetycznych w przekroju

poprzecznym maszyny statycznych i quasi-statycznych [80].

W celu uzyskania wiarygodnych wyników badań symulacyjnych konieczne jest również

uwzględnienie w modelu zjawiska nasycenia się obwodu magnetycznego w osiach d i q [34,

219] oraz uwzględnienie wzajemnych oraz własnych sprzężeń pomiędzy umieszczonymi na

nich uzwojeniami. Dlatego w tym przypadku parametry schematu zastępczego wyznaczane są

na podstawie trójwymiarowych rozkładów pola [118].

3.3. Modele obwodowe silników BLDC

Przy zapisie matematycznym modelu silnika BLDC przyjęto, że w stojanie znajdują się

trzy skupione uzwojenia pasmowe. Źródłem pola magnetycznego w wirniku są magnesy

41

naklejone na jego powierzchni. Strukturę silnika BLDC z komutatorem elektronicznym

przedstawiono na rys. 3.2.

Rys. 3.2. Silnik BLDC z komutatorem

Układ równań napięciowych silnika trójpasmowego zapisujemy w postaci:

C

B

A

C

B

A

C

B

A

C

b

A

ti

i

i

R

R

R

u

u

u

d

d

00

00

00

(3.6)

pC

pB

pA

C

B

A

CCCBCA

BCBBBA

ACABAA

C

B

A

i

i

i

LLL

LLL

LLL

(3.7)

przy czym: u – napięcie zasilające, i – prąd, – strumień skojarzony, R – rezystancja,

AAL , BBL , CCL – indukcyjności własne uzwojeń pasmowych, ABL , ACL , BAL , BCL , CAL ,

CBL – indukcyjności wzajemne pomiędzy pasmami, pA , pB , pC – strumienie

wytwarzane przez magnesy trwałe skojarzone z uzwojeniami.

Rozkład pola magnetycznego pochodzący od magnesów trwałych zależy od położenia

wirnika. Strumień skojarzony z poszczególnymi skupionymi uzwojeniami wytwarzany

przez magnesy trwałe jest zapisywany z wykorzystaniem bezwymiarowej funkcji okresowej

zdefiniowanej w pracy [259]:

120120 mmm

T

pCpBpA (3.8)

gdzie m – amplituda strumienia „skojarzonego” wytworzonego przez magnesy trwałe [259].

Jeżeli rdzeń stojana jest symetryczny to ABL = ACL = BAL = BCL = CAL = CBL = M

[126, 149], wówczas:

42

pC

pB

pA

C

B

A

CC

BB

AA

C

B

A

i

i

i

LMM

MLM

MML

(3.9)

W przypadku uzwojenia połączonego w gwiazdę bez przewodu zerowego, równania

napięciowe upraszczają się. Równanie dla pasma A przyjmuje postać:

pAAAAA iML (3.10)

a zależność (3.9) można zapisać w następującej zwartej postaci:

p

T

p iL (3.11)

przy czym TCCBBAAp MLMLMLL .

Pełny układ równań napięciowych silnika BLDC przyjmuje wówczas postać:

pmp it

LiRu

d

d

d

d (3.12)

Zakładając, że moc elektryczna wydzielona w każdym paśmie zamieniana jest na moc

mechaniczną, moment silnika można opisać wyrażeniem [46, 259]:

CCBBAA ieieieT

(3.13)

gdzie Ae , Be , Ce – wartości SEM w poszczególnych pasmach.

Przedstawiony powyżej model jest najprostszym odwzorowaniem zjawisk fizycznych

występujących w silnikach BLDC. Tak sformułowane modele są stosowane do analizy

wpływu poszczególnych strategii sterowania na właściwości ruchowe silników [46]. Znajdują

również zastosowanie w obliczeniach projektowo-optymalizacyjnych silników do napędu

elektrycznego pojazdów [164]. Bardzo często wykorzystywane są przy tworzeniu modeli

symulacyjno-komputerowych w programie Matlab [177] oraz podczas rozwiązywania

problemów dydaktycznych [10, 148].

Wyznaczenie rozkładu pola w szczelinie silnika BLDC można wykonywać również

przy wykorzystaniu modeli analitycznych [129]. Oprócz rozkładu pola w szczelinie, modele

te pozwalają na wyznaczanie przebiegów: momentu zaczepowego, sił elektromotorycznych

rotacji (SEM) w pasmach oraz strat w rdzeniu. W pracy [129] wykazano, że maksymalne

różnice pomiędzy momentem zaczepowym wyznaczonym analitycznie a momentem

obliczonym z wykorzystaniem MES są rzędu 7 % .

W modelowaniu maszyn elektrycznych [226], w tym również silników BLDC [242]

często stosowana jest metoda schematów zastępczych. W tym przypadku określa się kontur

43

przez który przepływa strumień magnetyczny wytworzony przez uzwojenie. Elementami

schematu zastępczego są reluktancje reprezentujące poszczególne fragmenty konturu.

3.4. Uproszczona metoda obliczania obwodów z magnesami trwałymi

Przybliżone obliczenia maszyn magnetoelektrycznych, w których magnesy trwałe

umieszczone są na powierzchni wirnika mogą być wykonane na podstawie modeli

o parametrach skupionych. Ośrodki badawcze zajmujące się projektowaniem i produkcją

maszyn magnetoelektrycznych w Polsce dokładność tak wykonanych obliczeń szacują na

około 5 % [21].

Postulowana zastępcza długość ml magnesu lub magnesów tworzących jedną parę

biegunów (licząc w kierunku namagnesowania) wynika z reluktancji obwodu zewnętrznego –

wielkości maksymalnego przepływy rozmagnesowującego. Właściwości materiałów

magnetycznie twardych charakteryzuje tzw. krzywa odmagnesowania, tj. krzywa znajdująca się

w 2-giej ćwiartce układu współrzędnych H-B, a więc ograniczona punktami rB,0 oraz cH,0 .

W celu wyznaczenia punktu pracy magnesu trwałego dogodnie jest opisywać jego stany

we układzie współrzędnych: mlHV oraz mSB , przy czym mS jest powierzchnią

przekroju poprzecznego magnesu. Przy braku zewnętrznego przepływu odmagnesowującego

punkt pracy magnesu jest punktem przecięcia charakterystyki odmagnesowani magnesu

i zwierciadlanego odbicia charakterystyki magnesowania obwodu zewnętrznego Vf .

Natomiast w przypadku występowania zewnętrznego przepływu odmagnesowującego z

należy uwzględnić charakterystykę przesuniętą zV f – rys. 3.3.

Rys. 3.3. Wyznaczenie punktu pracy magnesu trwałego z zewnętrznym przepływem odmagnesowującym

44

Główną cześć reluktancji obwodu magnetycznego silnika (zewnętrznego w stosunku do

magnesu) stanowi reluktancja R szczeliny głównej o długości . Wykonując wstępne

obliczenia można więc założyć liniowość obwodu magnetycznego, a spadki napięć na

ferromagnetycznych częściach rdzenia uwzględnić poprzez tzw. współczynniki nasycenia:

V

VVk

Fe

ns (3.14)

przy czym FeV – suma napięć magnetycznych w rdzeniu.

Takie podejście sprowadza się do zastąpienia całego magnetowodu części stojanowej

(z uwzględnieniem żłobkowania stojana) i części wirnika ekwiwalentną szczeliną

o poprzecznym polu powierzchni mSS i zastępczej długości [38]:

nsckk2' (3.15)

przy czym ck – jest tzw. współczynnikiem Cartera, za pomocą którego uwzględnia się

pozorne powiększenie szczeliny wynikające z żłobkowania stojana.

Przyjmując zatem zastępczą, uproszczoną strukturę magnetowodu maszyny jak na

rys. 3.4 otrzymuje się dla 0 współrzędne przecięcia charakterystyk, tj. współrzędne

punktu pracy magnesu:

'10

w

m

m

mw

r

l

l

SV (3.16)

'1

11

w

mr l

(3.17)

w którym w – względna przenikalność materiału magnesu.

Uwzględniając dodatkowo rozmagnesowujący przepływ zewnętrzny z otrzymuje się:

'1

'

0

0

w

m

m

mw

zm

r

l

l

S

S

V (3.18)

45

'

'

'1

11

0

w

m

zm

w

mr l

S

l (3.19)

Dzieląc zależności (3.17) i (3.19) przez mS otrzymuje się wyrażenia opisujące średnią

indukcję w magnesie:

'1

11

w

mr l

BB (3.20)

'

'

'1

11

0

w

m

zm

w

mr l

S

lBB (3.21)

Na tej podstawie można wstępnie oszacować długość ml magnesu gdy postulowana jest

indukcja o wartości B. W przypadku obwodu bez zewnętrznego przepływu:

1

1

1'

r

w

m

B

Bl (3.22)

Zwykle średnia indukcja w szczelinie maszyny

wzbudzanej magnesami trwałymi (rys. 3.4) jest

w stanie jałowym rzędu 80÷85% indukcji

remanentu rB [62]. Zatem w przypadku

magnesów neodymowych '54 ml [171].

Uwzględniając typowe wartości współczynnika

korekcyjnego 30,115,1 nsckk otrzymuje się

139ml . Rys. 3.4. Ilustracja obwodu magnetycznego

z zaznaczoną drogą dla strumienia

3.5. Metody odwzorowywania pętli histerezy

Właściwości magnesów trwałych związane są z zjawiskiem histerezy magnetycznej.

Zjawisko histerezy występuje również w ferromagnetykach miękkich z których wykonane są

rdzenie przetworników elektromagnetycznych. W tym przypadku histereza magnetyczna jest

46

niekorzystna. Zjawisko histerezy powoduje straty w rdzeniu (histerezowe) oraz przyczynia się

do odkształcenia przebiegów prądów [221]. W większości prac zjawisko histerezy jest

pomijane [62, 119].

W literaturze przedstawiane są różne modele opisujące zjawisko histerezy

magnetycznej [24, 32, 123, 128]. Do odwzorowania właściwości magnetycznych materiałów

ferromagnetycznych najczęściej jednak wykorzystywane są modele Praisacha oraz Jilesa-

Athertona [224, 237].

3.5.1. Model Preisacha

Model Praisacha można przedstawić jako nieskończony zbiór elementarnych

operatorów histerezy [128, 153, 221]. Operator taki jest opisany jako prostokątna pętla

histerezy w której symbole oraz określają „górną” oraz „dolną” wartość natężenia pola

przy których następuje zmiana stanu wyjścia operatora [221]. Przykład takiej pętli histerezy

przedstawiono na rys. 3.5. Elementarny operator może przyjmować dwie wartości: +1

oraz – 1. Jeżeli sygnał wejściowy jest monotonicznie rosnący wówczas wartość sygnału

wyjściowego zmienia dla wartości na wartość +1, natomiast jeżeli wartość natężenia pola

magnetycznego jest monotonicznie malejąca wartość operatora zmienia się na – 1

w punkcie .

Wartość wyjściową elementarnego operatora jest mnożona przez funkcję wagi ,

nazywaną również funkcją Preisacha [221]. Model można opisać za pomocą wzoru:

ddˆ, tHtB (3.23)

Rys. 3.5. Przykład elementarnego operatora histerezy

47

Model histerezy magnetycznej sformułowany przez Preisacha można przedstawić jako

grupę równolegle połączonych dwustanowych przekaźników (rys. 3.6) [128]. Sygnał

wyjściowy każdego z tych przekaźników jest dodatkowo mnożony przez funkcje ,

zależną od każdej pary wartości oraz .

Rys. 3.6. Ideowy schemat blokowy modelu Preisacha

Model Praisacha pozwala na relatywne dokładne odwzorowanie pętli histerezy jest

jednak kłopotliwy w zastosowaniu przede wszystkim z uwagi na trudności w identyfikowaniu

parametrów oraz [221].

Przy modelowaniu histerezy magnetycznej w elementach ferromagnetycznych za

pomocą przedstawionego wyżej klasycznego modelu Preisacha sygnałem wejściowym jest

natężenie pola magnetycznego, a sygnałem wyjściowym indukcja magnetyczna. W procesie

wyznaczania rozkładu pola metodą elementów skończonych znana jest wartość indukcji

magnetycznej B , wówczas odpowiadające jej natężenie pola H należy wyznaczać

iteracyjnie. Znacznie wygodniej jest stosować w takich przypadkach model odwrotny

Praisacha [20]. W modelu odwrotnym sygnałem wejściowym jest indukcja B , a sygnałem

wyjściowym natężenia pola magnetycznego H .

3.5.2. Model Jilesa-Athertona

Model opracowany przez D. Jilesa i D. Athertona jest pełnym fizykalnym

makroskopowym modelem opisującym histerezę magnetyczną [89]. Zastosowanie tego

modelu pozwala odwzorować wektor namagnesowania oraz ferromagnetyczne straty

materiału ferromagnetycznego.

W modelu zakłada się, że energia dostarczona do ferromagnetyka jest równa sumie

energii magnetostatycznej oraz energii strat histerezowych. Straty histerezowe są

reprezentowane przez energię wiązania ścian domen podczas ich ruchu. Jeżeli w materiale nie

występowałyby straty histerezowe to energia magnetostatyczna jest równa całkowitej energii

48

dostarczonej. Jeżeli występują straty, to zakłada się, że magnetyzacja iH wewnątrz materiału

pochodzi od dwóch czynników reprezentujących procesy odwracalne i nieodwracalne

zachodzące podczas magnesowania ferromagnetyka [221, 223]:

nieodwodw iii HHH (3.24)

W powyższym równaniu nieodwracalne procesy przy magnesowaniu opisane są

równaniem różniczkowym [89, 90, 91]:

)(d nieodwbezh

nieodwbezhnieodw

ii

iii

HHk

HH

H

H

(3.25)

t

H

d

dsgn (3.26)

przy czym bezhisterezowa krzywa magnesowania [8, 92]:

i

iii

HH

a

a

HHHH cothnasbezh (3.27)

gdzie: k – współczynnik zakotwiczenia ścian domen proporcjonalny do strat histerezowych,

– średni parametr pola reprezentujący oddziaływanie między domenami, a – współczynnik

kształtu, nasiH – magnetyzacja nasycenia.

Procesy odwracalne wewnątrz materiału określa się jako:

nieodwbezhodw iii HHcH (3.28)

gdzie c – współczynnik zależny od rodzaju materiału.

Po podstawieniu (3.28) do (3.24) całkowitą magnetyzację wewnątrz materiału opisuje

zależność:

bezhnieodw1 iii cHHcH (3.29)

Podatność magnetyczną różniczkową otrzymujemy poprzez wyznaczenie pochodnej

równania (3.29) po natężeniu pola magnetycznego oraz uwzględnieniu równania (3.25)

H

Hc

HHk

HHc

H

H i

ii

iii

d

d

)(1

d

d bezh

nieodwbezh

nieodwbezh

(3.30)

Do rozwiązania równania (3.30) wykorzystywane są numeryczne metody

rozwiązywania równań różniczkowych, np. metody różnicowe lub metody Rungego-Kutty.

Model Jilesa-Athertona jest bardzo często stosowany do odwzorowania zjawiska

histerezy magnetycznej przy polowej analizie przetworników elektromagnetycznych [30, 86,

147, 227, 230, 237]. Charakteryzuje się dużą dokładnością odwzorowania zjawisk i jest

prostszy w stosunku do omówionego wcześniej modelu Praisacha.

49

Największym problemem jest identyfikacja parametrów modelu [93, 94]. Autor

zaproponował algorytm wyznaczania tych parametrów ( nasiH , a , k , c , ) poprzez

minimalizacje funkcji celu składającej się z trzech składników. Do minimalizacji zastosowano

metodę PSO. Przykład optymalizacji przedstawiono w rozdziale 6.

Podsumowanie

Symulacja komputerowa z wykorzystaniem modeli polowych jest dokładniejsza, jednak

wymaga dużego nakładu obliczeniowego. Dlatego współcześnie nadal wykorzystuje się

scharakteryzowane powyżej modele obwodowe, bazujące na schematach zastępczych.

Wykorzystując uproszczony schemat zastępczy obwodu magnetycznego z magnesem

trwałym, autor zaproponował metodykę wstępnego szacowania długości magnesów, co

w procedurach optymalizacji jest bardzo przydatne do określenia punktów startowych i przedziału

zmienności tego parametru, będącego jedną z podstawowych zmiennych decyzyjnych.

Współcześnie proces projektowania silnika często wspomagany jest przez obliczenia

optymalizacyjne. Najczęściej stosowane są algorytmy genetyczne oraz metoda roju cząstek.

W metodach tych obliczenia są wykonywane z wykorzystaniem zbioru punktów (osobników),

przy czym jeden punkt reprezentuje jeden wariant projektowanego silnika. Wykonanie

wiarygodnych obliczeń wymaga zastosowania populacji o dużej liczbie osobników,

a w dodatku konieczne jest wykonanie obliczeń dla odpowiednio dużej liczby pokoleń. Pełen

proces optymalizacji często wymaga obliczenia funkcji celu (a więc parametrów silnika)

wiele tysięcy razy. Zastosowanie modelu polowego prowadzi do wielogodzinnych obliczeń

optymalizacyjnych. Dlatego na wstępnym etapie optymalizacji uzasadnione jest

wykorzystanie modeli uproszczonych. Przykład takiego podejścia przedstawiono

w rozdziale 6. Jednak generalnie w opracowanych algorytmach optymalizacji autor proponuje

wykorzystywać dokładniejsze modele polowe i polowo-obwodowe. Ze względu na

czasochłonność obliczeń konieczna jest jednak racjonalizacja numerycznych algorytmów

wyznaczania rozkładu pola elektromagnetycznego. Efektywne metody analizy stanów pracy

oparte na modelach o parametrach rozłożonych są przedmiotem następnego rozdziału.

Do odwzorowania zjawiska histerezy magnetycznej przy polowej analizie

przetworników elektromagnetycznych autor wykorzystywał model Jilesa-Athertona, który

charakteryzuje się dużą dokładnością i jest stosunkowo prosty. Dużą trudność sprawia jednak

identyfikacja jego parametrów. Autor zaproponował oryginalny algorytm wyznaczania

tych parametrów poprzez minimalizację trójskładnikowej funkcji celu, co zostało

przedstawione w podrozdziale 5.5.3.

50

4. Polowy model zjawisk w silnikach magnetoelektrycznych 4.1. Równanie pola elektromagnetycznego

W silnikach magnetoelektrycznych pole elektromagnetyczne jest wytwarzane

jednocześnie przez magnesy trwałe oraz uzwojenia stojana. Równania opisujące nieustalone

pole magnetyczne w przestrzeni zawierające ferromagnetyki miękkie, magnesy trwałe oraz

obszary o stałej przenikalności magnetycznej opisują zależności [42, 85, 224]:

Mu JJA

rot

1rot (4.1)

tVeu

AJ grad (4.2)

w których: – przenikalność magnetyczna środowiska, A – wektorowy potencjał

magnetyczny, uJ – wektor gęstości prądu przewodnictwa w obszarach o konduktywności

elektrycznej, MJ – wektor gęstości prądu polaryzacji magnetycznej w obszarach

z magnesami trwałymi, – konduktywność środowiska, eV – skalarny potencjał elektryczny.

W obszarach magnesów trwałych wektor gęstości prądu polaryzacji jest zależny od

wektora magnetyzacji MH [224]:

MM HJ rot (4.3)

Wektor natężenia pola magnetycznego H opisuje zależność [85, 230]:

MM HBH (4.4)

przy czym 1 MM – reluktywność magnesu trwałego.

Pole magnetyczne w wielu przetwornikach może być rozpatrywane jako

dwuwymiarowe. Wielkości opisujące rozkład pola są wówczas funkcją tylko dwóch

współrzędnych. Pole dwuwymiarowe może charakteryzować się symetrią płaszczyznową

(pole płaskie, np. w silnikach o strukturze walcowej – rys. 4.1) lub symetrią obrotową (pole

osiowosymetryczne, np. w aktuatorach o strukturze nurnikowej [166, 172, 190]).

Strukturę rozpatrywanego w dalszej części pracy silnika BLDC, w układzie

trójwymiarowym, przedstawiono na rys. 4.1.

51

W przypadku pola elektromagnetycznego

o symetrii płaszczyznowej przyjmuję się, że

wielkości elektromagnetyczne zależą wyłącznie

od współrzędnych x i y, natomiast nie zależą od

współrzędnej z. Do opisu pola o symetrii

płaszczyznowej dogodnie jest posługiwać się

krawędziową wartością potencjału

magnetycznego tyx ,, . Potencjał ten jest

definiowany następująco: tyxlAtyx z ,,,,

[166], przy czym l jest długością pakietu

maszyny. Rys. 4.1. Struktura obwodu magnetycznego

silnika BLDC

Równanie (4.1) w układzie o symetrii płaszczyznowej przyjmuje postać [166, 224]:

x

H

y

H

tlz

V

yyxxl

MyMxe

d

d111 (4.5)

Formowanie układu równań MES dla pola o symetrii płaszczyznowej

W metodzie elementów skończonych – MES (Finite Elements Method) poszukiwane są

dyskretne rozwiązania pola elektromagnetycznego w postaci zbioru wartości potencjałów

i w węzłach iii yxQQ , siatki dyskretyzującej obszar rozpatrywanego silnika [166, 224,

262]. Zbiór wartości i tworzy wektor Tlw ,...,, 321Φ , przy czym wl – całkowita

liczba węzłów siatki dyskretyzującej. W przypadku, kiedy siatka dyskretyzująca składa się

z elementów trójkątnych, wówczas w obszarze pojedynczego elementu skończonego

potencjał yx, jest aproksymowany funkcją liniową [22, 205]:

ei

ii

e yxyx

3

1

,, (4.6)

przy czym: yxi , – funkcje kształtu elementu [2, 224, 225], ei – wartość funkcji yx,

w trzech wierzchołkach elementu.

W metodzie MES, poszukuje się takiej funkcji yx, w rozpatrywanym obszarze ,

która minimalizuje funkcjonał energetyczny. Funkcjonał ten jest równy różnicy pomiędzy

energią zmagazynowaną oraz dostarczoną do obszaru . W przypadku, gdy poszukiwany

rozkład funkcji potencjalnej opisywany jest równaniem Poissona, to funkcjonał energetyczny

jest koenergią [156, 190]:

52

ddd

0

JBBlIB

(4.7)

przy czym: J – składnik reprezentujący energię doprowadzoną do rozpatrywanego obszaru,

J – gęstość prądu w obszarze uzwojenia, l – długość pakietu silnika.

Po podziale obszaru na elementy skończone, funkcjonał wyznacza się sumując jego

wartości w poszczególnych elementach. Otrzymuje się dyskretną postać:

TMΦTJΦSΦΦ TTTI 2

1 (4.8)

przy czym: S – macierz sztywności układu [42, 262], T – macierz powierzchni

elementarnych obszarów źródłowych [166], J – wektor gęstości prądów źródłowych

przypisanych węzłom siatki dyskretyzującej, M – wektor przepływów związany

z namagnesowaniem magnesów trwałych.

Funkcjonał (4.8) reprezentuje kwadratową funkcję wl – zmiennych – potencjałów

węzłowych i . Warunek konieczny istnienia funkcjonału (4.8) przyjmuje zatem postać:

01

n

m i

m

i

II, wli ,...,3,2,1 (4.9)

przy czym bw lln gdzie bl – liczba węzłów w których zadany jest warunek brzegowy.

Po przekształceniach otrzymuje się układ n równań algebraicznych:

Mu ΘΘSΦ (4.10)

przy czym TJΘ u – wektor przepływów w otoczeniu węzłów związanych z prądami

przewodnictwa, MΘ – wektor sił magnetomotorycznych w obszarach z magnesami trwałymi.

Układ równań (4.10) można efektywnie rozwiązywać metodami: Cholesky’ego-

Banachiewicza oraz metodami gradientów sprzężonych [22, 58].

Metoda rozwiązania układu równań pola magnetycznego

Najbardziej efektywna w analizie zagadnień układów dwuwymiarowych jest metoda

Cholesky’ego – Banachiewicza. Jest stosowana do rozwiązania układu równań (4.10)

w przypadku kiedy macierz S jest macierzą rzeczywistą, symetryczną oraz dodatnio

określoną [37]. Metoda polega na dekompozycji macierzy sztywności według zależności:

TLLS (4.11)

przy czym L – dolna macierz trójkątna.

Algorytm wyznaczenia macierzy L oraz TL został przedstawiony w pracach [22, 37].

Po dokonaniu dekompozycji macierzy sztywności metodą Cholesky’ego otrzymujemy układ

równań:

53

ΘΦLL T (4.12)

w którym Mu ΘΘΘ .

Układ (4.12) rozwiązywany jest w dwóch krokach. Pierwszy krok polega na

rozwiązaniu układu ΘLu , przy czym ΦLu T – wektor pomocniczy.

Ponieważ macierz układu TL ma strukturę trójkątną, zatem wyrazy wektora u można

z tego układu wyznaczyć w sposób jawny:

ii

i

kkiki

iL

uLu

1

1 dla i=2, 3, 3,…, n przy czym 11

11

Lu

(4.13)

W drugim kroku rozwiązywany jest układ uΦL T . Jego rozwiązanie ma zatem

podobną postać:

ii

n

ikkiki

iL

Lu 1 dla i=n-1, n-2, n-3,…,1 przy czym

nn

nn

L

u (4.14)

Omówiona powyżej metoda została wykorzystywana przez autora w opracowanym

własnym oprogramowaniu. Ze względu na symetrię i pasmową strukturę współczynników

macierzy S można znacznie ograniczyć zapotrzebowanie na pamięć operacyjną [85].

Niezerowe elementy macierzy S są wówczas zapisywane w postaci prostokątnej macierzy

o wymiarach nnp 1 . Wystarczy przechowywać tylko elementy macierzy w obszarze

półpasma o szerokości nnp [156].

W procesie projektowania, a szczególnie w procesie optymalizacji urządzeń

elektromagnetycznych, funkcja celu jest wyznaczana setki a nawet tysiące razy dla różnych

parametrów opisujących strukturę obiektu – rozdz. 5. To oznacza, że przy wykorzystaniu

polowego modelu zjawisk, macierz sztywności S układu równań (4.10) oraz dolna macierz

trójkątna L w równaniach (4.12) są formowane (w formie półpasma) setki lub tysiące razy. Te

operacje w największym stopniu wpływają na czas obliczeń optymalizacyjnych, które są

zwykle wykonywane przez wiele godzin. Dlatego autor zaproponował szereg udoskonaleń,

skracających czas formowania równań (4.10) i (4.12).

1. W wielu zadaniach optymalizacja dotyczy tylko części rozpatrywanego obwodu

magnetycznego. W rozdziale 6 rozpatrywane są zadania dotyczące optymalnego doboru

parametrów układu wzbudzenia wirnika przy wykorzystaniu stojana seryjnie

produkowanego silnika indukcyjnego. W takim przypadku, przy założeniu liniowości

obwodu, zapamiętane wyrazy sij macierzy S związane z węzłami Qi oraz Qj leżącymi

w obszarze stojana i częściowo w obszarze szczeliny, a nawet w wewnętrznej części

jarzma wirnika nie muszą być wyznaczane w kolejnych iteracjach procesu.

54

2. Takie postępowanie nie jest poprawne w przypadku obwodu nieliniowego; w kolejnych

krokach procesu optymalizacji zmieniają się bowiem reluktywności poszczególnych

elementów skończonych. Może być jednak zastosowane w początkowej fazie optymalizacji,

w przypadku obwodów słabo nasyconych. Jest to równoznaczne z zastosowaniem w tej fazie

mniej dokładnego modelu polowego, ale jednak o wiele bardziej dokładnego od modelu

o parametrach skupionych. Z kolei w końcowej fazie działań algorytmu genetycznego prawie

wszystkie osobniki mają niemal równe chromosomy. Odpowiadające tym osobnikiem

warianty projektowanych urządzeń mają niemal identyczne wymiary. Minimalne zmiany

wymiarów magnesów, rzędu ułamka procenta, nie wywołują zmian stopnia nasycenia

rdzenia stojana, w szczególności jego jarzma.

3. W przypadku obwodu o znaczny stopniu nasycenia postępowanie takie nie jest

dopuszczalne. Dlatego zastosowano procedurę zapamiętywanie cząstkowych macierzy

sztywności o wymiarze 33 odnoszących się do poszczególnych elementów

skończonych, przy założeniu przenikalności równej 1. Zapamiętywana jest macierz

o wymiarach 9le, przy czym le jest liczbą elementów skończonych. Element sij macierzy

S jest sumą z wagami dwóch przyczynków pochodzących od elementów p-tego i q-tego

o wspólnej krawędzi QiQj,, to znaczy )()()()( νν qij

qpij

pij sss . Formowanie macierzy

polega więc na prostym sumowaniu składników.

4. Prawie 90 % czasu wyznaczania rozkładu pola zajmuje operacja dekompozycji macierzy

S, to jest wyznaczenia macierzy L. Liczba operacji mnożenia przy wyznaczaniu wyrazu

lij jest proporcjonalna do kwadratu szerokości pasma pn . Zatem czas rozkładu jest

proporcjonalny do 2pnn . Zatem przy zachowaniu proporcji liczby węzłów w kierunku

promieniowym i w kierunku obwodowym, czas obliczeń jest w przybliżeniu

proporcjonalnych do trzeciej potęgi ogólnej liczby węzłów.

W początkowych iteracjach (pokoleniach) procesu optymalizacji poszczególne

elementy zbioru zazwyczaj znacząco odbiegają od optimum. Nie jest więc konieczne

stosowanie bardzo dokładnego modelu; ważne jest by wiernie odzwierciedlał charakter

wpływu zmian parametrów decyzyjnych (wymiarów) na parametry funkcjonalne tworzące

funkcje celu i funkcje ograniczeń. W opracowanych algorytmach (rozdz. 5) stosowano taką

właśnie strategie; w pierwszych 3 do 5 pokoleniach wykorzystywano model z siatką o około

1, 6 razy mniejszą liczbą węzłów w obu kierunkach (promieniowym i obwodowym), co

czterokrotnie skracało czas obliczeń w jednym pokoleniu.

Przy ogólnej liczbie pokoleń rzędu 10, po uwzględnieniu modyfikacji

zaproponowanych w punktach 1 do 4 uzyskano ponad dwukrotne skrócenie czasu obliczeń,

co zwykle oznaczało skrócenie tego czasu o kilka godzin.

55

Zastosowanie metody Newtona-Raphsona do rozwiązywania układów równań nieliniowych

W maszynach elektrycznych występują elementy wykonane z ferromagnetyka

miękkiego, posiadają one nieliniową charakterystykę magnesowania. Wówczas elementy

macierzy sztywności S zależą od przenikalności , zależnej od średniej wartości indukcji

w elemencie. Indukcja magnetyczna w elementach siatki dyskretyzującej jest funkcją

poszukiwanego rozkładu pola magnetycznego. Zatem układ równań (4.10) jest układem

równań nieliniowych. Elementy macierzy sztywności muszą być więc poszukiwane

iteracyjnie [37, 43, 166, 224]. W k -tej iteracji układ równań przyjmuje postać:

ΘΦS kk (4.15)

w którym: Mu ΘΘΘ , 1 kk ΦSS .

Układ (4.15) można rozwiązywać metodami: iteracji prostej, metodą chord oraz

wykorzystując algorytm Newtona-Raphsona [156, 166].

W iteracyjnym procesie Newtona-Raphsona macierz sztywności kS jest zastępowana

przez hesjan funkcji energii magnetycznej SΦΦΦ TW ,50 . Elementy jiH macierzy kH

w k - tej iteracji są równe pochodnym:

ji

ji

WH

2

(4.16)

Podobnie jak w przypadku macierzy S macierz H jest konstruowana przez sumowanie

przyczynków odpowiadających poszczególnym elementom. Dla pojedynczego m-tego

elementu otrzymuje się [116, 166]:

3

1

3

122 )()(

2

qq

mqj

qq

mqimm

mji

mji SS

BSH (4.17)

przy czym: ji, – węzły siatki dyskretyzujacej, m – pole powierzchni elementu

skończonego, B – średnia wartość indukcji w m -tym elemencie.

W iteracyjnym algorytmie Newtona-Raphsona rozwiązywany jest pomocniczy układ

równań w którym poszukiwane jest wektor poprawek potencjałów węzłowych kΦ :

kkk RΦH (4.18)

w którym 1 kkk ΦHH – macierz Jakobiego (w tym przypadku Hesjan funkcji) procesu

iteracyjnego, 1 kkk ΦSΘR – wektor reszt [101, 166].

Układ równań (4.18) jest w opracowanym oprogramowaniu własnym rozwiązywany

metodą Cholesky’ego – Banachiewicza. Po rozwiązaniu układ (4.18) wyznaczany jest wektor

potencjałów węzłowych kΦ :

56

kkk ΦΦΦ 1 (4.19)

Proces iteracyjny kończy się, gdy norma wektora reszt spełnia warunek ΘR k ,

przy czym – dopuszczalny błąd.

Schemat blokowy procedury obliczeń pola magnetycznego w opracowanym

oprogramowaniu z wykorzystaniem procedury Newtona-Raphsona przedstawiono na rys. 4.2.

Wczytanie danych wejściowych

Dyskretyzacja struktury maszyny

Wyznaczenie macierzy sztywności 1 kk BSS

Wyznaczenie hesjanu

1 kkk ΦHH

Wyznaczenie wektora reszt1 kkk ΦSΘR

Wyznaczenie wektora poprawek metodą Cholesky’egokΦ

Wyznaczenie aktualnego rozkładu polakkk ΦΦΦ 1

Wyznaczenie wartości przenikalności magnetycznej

kkB f

ΘR kNie

Tak

Wizualizacja wyników obliczeń

STOP

START

Rys. 4.2. Schemat blokowy algorytmu do wyznaczania rozkładu pola

57

Polowe metody odwzorowania magnesów trwałych

Podczas modelowania pola magnetycznego w magnesach trwałych dogodnie jest

posługiwanie się składowymi wektora natężenia pola oraz indukcji magnetycznej w lokalnym

układzie współrzędnych [224, 225]. Na rys. 4.3 przestawiono ilustrację globalnego układ

współrzędnych (o osiach x i y) oraz lokalnego układu współrzędnych (o osiach i ) dla

białego elementu magnesu. Symbolem oznacza się kąt obrotu lokalnego układu względem

globalnego układu współrzędnych.

Rys. 4.3. Lokalny układ współrzędnych o osiach i

Przyjmując założenie, że oś w magnesach izotropowych jest zgodna z kierunkiem

namagnesowania MH , a w magnesach anizotropowych z kierunkiem łatwego magnesowania,

uzyskujemy [224]:

M

M

HB

HB

H

H

0

0 (4.20)

gdzie: 1

00

– reluktywność magnetyczna próżni, BB , – składowe wektora indukcji

magnetycznej odczytywane z liniowo aproksymowanej charakterystyki odmagnesowania

magnesu [265], HH , – składowe wektora natężenia pola magnetycznego.

Dla przedstawionego w pracy [224] modelu właściwości magnetycznych gęstość

energii magnetycznej w obszarze magnesu przedstawia się w postaci:

B

MM BBHBBw0

22

0 d2

1 (4.21)

Przy formułowaniu układu równań konieczne jest wyznaczenie gęstości Mw . Dlatego

należy wyrazić składowe indukcji xB , yB w układzie globalnym za pomocą składowej B

oraz B w układzie lokalnym – zgodnie z zależnością:

58

B

B

B

B

y

xk (4.22)

Przy czym macierz transformacji [225]:

cossin

sincosk (4.23)

Dla obszarów z magnesami trwałymi elementy jiP macierzy Jakobiego procesu

iteracyjnego dla m - tego elementu mają postać [226]:

m

j

m

i

immji

mji EE

B

BHSP

0 (4.24)

przy czym

sincos

sincos

xyE

xyE

jjm

j

iim

i

(4.25)

gdzie 3,2,1, ji – indeksy wierzchołków trójkąta.

Składnik wektora M prawej strony równania (4.10) pochodzący od pojedynczego,

m-tego elementu wyraża się zależnością:

sincos

xyBHE ii

i

m

imM (4.26)

W przypadku modelowania rozkładu pola w układach w których, źródłem są wyłącznie

magnesy trwałe rozwiązywany jest układ równań [166]:

MΘPΦ (4.27)

w którym P – macierz Jakobiego wyznaczana poprzez sumowanie przyczynków

pochodzących od poszczególnych elementów skończonych.

4.2. Polowo-obwodowy model zjawisk nieustalonych w silnikach BLDC.

Pole elektromagnetyczne w stanach nieustalonych jest zazwyczaj wymuszane

napięciowo. Z uwagi na nieliniowość rdzenia oraz występujące elementy ruchome

w silnikach BLDC zasilanych ze źródeł napięciowych nie są znane przebiegi prądów

pasmowych. Przebiegi te są niezbędne do wyznaczenia rozkładu pola elektromagnetycznego

opisanego równaniem (4.10). Konieczne jest wówczas jednoczesne rozwiązanie równania

pola magnetycznego z uwzględnieniem nieliniowości materiałów ferromagnetycznych oraz

59

równania obwodów elektrycznych. Układ równań obwodów silnika BLDC zapisujemy

w ogólnej postaci:

uRiΨ

td

d (4.28)

przy czym: Ψ – wektor strumieni skojarzonych z uzwojeniami, R – diagonalna macierz

rezystancji pasm, Tiii ][ 321i – wektor prądów pasmowych, Tuuu ][ 321u – wektor napięć

zasilających pasma.

Formowanie układu sprzężonych równań polowo-obwodowych silnika BLDC

W stanach nieustalonych poszukiwany jest rozkład potencjału węzłów siatki

dysktretyzującej w funkcji czasu )(tΦ . W zastosowanym algorytmie „step by step”

wyznaczane są rozkłady pola w kolejnych chwilach czasowych [170, 183]. W n -tym kroku

czasowym dyskretny układ równań MES opisany układem (4.10) przyjmuję postać:

Mnunnn ΘΘΦS (4.29)

w której:

nun ziΘ (4.30)

przy czym z – macierz zwojności [166], która transformuje wektor prądów pasmowych

w wektor przepływów unΘ w otoczeniu siatki dyskretyzującej [224].

W powyższym układzie równań niewiadomymi są wektory nΦ oraz ni .

Do dyskretyzacji czasu zastosowano metodę różnic wstecznych [217]. Uwzględniając

wektor strumieni skojarzonych z pasmami nT

n ΦzΨ [133, 166]. Równanie zależności

obwodów (4.28) dla n-tej chwili czasowej przyjmuje postać:

nnnT

nT tt uRiΦzΦz 1 (4.31)

w którym 1 nn ttt – długość kroku czasowego.

Ostatecznie stosując zapis macierzowy układ sprzężonych równań pola i obwodów

może być przedstawiony w zwartej formie:

1nT

n

nM

n

n

T

n

tt Φzu

Θ

i

Φ

Rz

zS (4.32)

Metoda rozwiązania sprzężonego układu równań pola i obwodów

W przypadku maszyny z nieliniowym obwodem macierz S zależy od rozwiązania

Φ i musi być wyznaczana iteracyjnie w każdym kroku czasowym. Do rozwiązania

60

sprzężonego nieliniowego układu równań pola i obwodów w opracowanym oprogramowaniu

zastosowano przedstawiony wcześniej algorytm Newtona-Raphsona. Poszukiwane są

poprawki wektora potencjałów i wektora prądów w uzwojeniach:

1 k

nkn

kn ΦΦΦ

(4.33)

1 k

nkn

kn iii

(4.34)

W n -tym kroku czasowym i k -tej iteracji rozwiązywany jest globalny układ równań:

111

11

kn

kn

Tn

Tn

kn

kn

knnM

kn

kn

T

kn

ttt RiΦzΦzu

ziΦSΘ

i

Φ

Rz

zH (4.35)

Punktem startowym rozwiązania układu równań (4.35) metodą Newtona-Raphsona jest

pomocniczy układ równań:

kn

kn

kn RΦH (4.36)

w którym wektor reszt knR można przedstawić w postaci sumy składników:

11 kn

kn

kn

knnM

kn ziizΦSΘR (4.37)

W wyrażeniu (4.37) w k -tej iteracji nie jest znany występujący po prawej stronie

wektor kni . W związku z tym układ równań (4.36) jest w opracowanym algorytmie

dekomponowany na dwa układy:

kn

kn

kn 11 RΦH (4.38)

kn

kn

kn 22 RΦH (4.39)

przy czym 111

kn

kn

knnM

kn ziΦSΘR oraz k

nk

n izR 2 .

Nieznany „a priori” jest wyraz kn2R .

Rozwiązanie układu równań (4.36) jest sumą rozwiązań cząstkowych:

kn

kn

kn 21 ΦΦΦ (4.40)

Pierwszy składnik kn1Φ wyznaczany jest bezpośrednio z układu równań (4.38),

ponieważ wszystkie składniki wektora reszt w k -tej iteracji są znane. Algorytm rozwiązania

układu równań (4.39) zostanie omówiony poniżej. Przyjmiemy, że wektor j

kn20Φ jest

rozwiązaniem układu równań (4.39) dla wektora reszt równego jk

n 02 ziR , 3,2,1j .

Wektor j0i ma j -ty wiersz równy wartości 0i natomiast pozostałe składniki są równe zero

[101]. Rzeczywista wartość prądu j -tego pasma w k -tej iteracji wyznaczana jest według

zależności:

61

jk

jnk

jn ii 0 (4.41)

w której kjn – poszukiwany bezwymiarowy współczynnik krotności prądu w j -tym

uzwojeniu.

Rozwiązanie układu (4.39) można przedstawić w postaci sumy składników:

j

kn

j

kjn

kn 20

3

32 ΦΦ

(4.42)

Rozpatrywany silnik BLDC posiada trzy pasmowe uzwojenia, zatem wektor knΛ

składający się z bezwymiarowych współczynników kjn zapisywany jest w postaci:

Tkn

kn

kn

kn 321 Λ (4.43)

Nieznane wektory potencjałów knΦ oraz prądów pasmowych k

ni wyznaczamy:

kn

kn

kn Λiii 0

1 (4.44)

kn

kn

kn

kn

kn ΛΦΦΦΦ 201

1 (4.45)

gdzie 0i – jest macierzą złożoną z wektorów j0i , kn20Φ – jest macierzą złożoną z wektorów

j

kn20 .

Uwzględniając (4.44) oraz (4.45), układ równań (4.31) opisujący obwody zasilające

można przedstawić w postaci:

knu

kn

kn

kn

T t RΛRiΛΦz 020 (4.46)

przy czym wektor knuR jest określony zależnością:

11

11

k

nkn

Tkn

Tn

Tn

knu tt RiΦzΦzΦzuR (4.47)

Z układu (4.46) wyznaczane są współczynniki kjn tworzące macierz k

nΛ . Następnie

wykorzystując zależności (4.33) i (4.45) wyznaczane są wektory knΦ i k

ni .

W celu oceny poprawności działania opracowanego algorytmu i oprogramowania

rozpatrzono dwa zadania testowe – dla obwodu magnetycznego przedstawionego na rys. 4.4

[101].

62

W żłobkach rozmieszczono równomiernie

rozłożone uzwojenie. Schemat uzwojenia

przedstawiono na rys. 4.5. Pierwsze zadanie

testowe polegało na zasileniu napięciem 1u

zacisków A-X oraz zwarciu zacisków C-Z.

Schemat elektryczny połączeń przedstawiono

na rys. 4.6a. W wyniku obliczeń wyznaczono

przebiegi prądów ti1 oraz ti2 , przy

zadanej wartości 241 u V. Wyniki obliczeń

symulacyjnych przedstawiono na rys. 4.7a.

Kolorem czarnym oznaczono przebieg

napięcia zasilającego, kolorem niebieskim –

Rys. 4.4. Przekrój poprzeczny obwodu

magnetycznego; 1 – żłobek, 2 – szczelina powietrzna,

3 – pierścień zewnętrzny, 4 – rdzeń wewnętrzny

prąd w fazie włączanej, natomiast kolorem czerwonym prąd w zwartej fazie.

Rys. 4.5. Schemat uzwojenia

W drugim zadaniu testowym rozpatrzono układ połączeń, którego schemat

przedstawiono na rys. 4.6b. Wyznaczono przebiegi prądów ti1 , ti2 oraz ti3 dla zadanej

wartości napięcia zasilającego 36U V. Obliczenia symulacyjne wykonano dla siatki

dyskretyzującej przekrój poprzeczny maszyny składającej się 26512 elementów. Przyjęto

wartości rezystancji fazowych 321 RRR = 4,4 Ω, krok czasowy t = 0,444 ms oraz

dopuszczalny błąd obliczeń = 0,0005. Rysunek 4.7b przedstawia wyniki obliczeń dla

drugiego zadania testowego. W tym przypadku kolorem niebieskim oznaczono napięcie

zasilające, kolorem czarnym prąd w fazie włączanej, natomiast kolorami czerwonym

i niebieskim prądu w równolegle połączonych fazach.

63

a) b)

Rys. 4.6. Schematy elektryczne połączenia uzwojeń a) pierwsze zadanie testowe,

b) drugie zadanie testowe

Uzyskane przebiegi pokrywają się z przebiegami rzeczywistymi uzyskanymi

eksperymentalnie przy dokładanym odwzorowaniu charakterystyki magnesowania rdzenia

ferromagnetycznego.

a)

b)

Rys. 4.7. Przebiegi: a) pierwsze zadanie testowe, b) drugie zadanie testowe

64

Kolejne obliczenia testowe przeprowadzono dla silnika BLDC z wirnikiem zewnętrznym,

który będzie przedmiotem analizy i optymalizacji w dalszej części pracy. Strukturę obwodu

magnetycznego silnika przedstawiono na rys. 4.8a. Rozpatrywany silnik ma dwanaście

wydatnych zębów na których nawinięto uzwojenia skupione [77, 261]. Trójpasmowe uzwojenie

stojana skojarzono w gwiazdę. W każdym z pasm znajdują się dwie połączone szeregowo

cewki. Sposób rozmieszczenia uzwojenia w żłobkach ilustruje rys. 4.8b. Zewnętrzny wirnik

wykonano w postaci ferromagnetycznej tulei, na powierzchni której naklejono 10 magnesów

trwałych. Zastosowano magnesy samarowo-kobaltowe typu Recoma 22 [266].

Przyjęto, że silnik jest zasilany z bipolarnego układu sterowania przedstawionego na

rys. 2.13. Sekwencję załączeń napięć na poszczególnych pasmach przedstawiono na rys. 4.9.

Sprzężony układ równań polowo-obwodowych rozwiązywany był przy wykorzystaniu

algorytmu Newtona-Raphsona. Obliczenia testowe wykonano dla silnika z nieruchomym

wirnikiem. Obliczenia symulacyjne wykonano dla siatki dyskretyzującej przekrój poprzeczny

maszyny składającej się z 30960 skończonych elementów. Przyjęto wartość napięcia

zasilającego przekształtnik 24U V, krok czasowy t = 0,222 ms. Uzyskane przebiegi

prądów ti1 , ti2 oraz ti3 ilustruje rys. 4.10.

a) b)

Rys. 4.8. Silnik BLDC z wirnikiem zewnętrznym: a) struktura obwodu magnetycznego, b) sposób rozmieszczenia

uzwojenia w żłobkach; 1 – zewnętrzny wirnik, 2 – magnes trwały, 3 – wewnętrzny stojan

Na podstawie wyników obliczeń możemy zaobserwować, że przebiegi prądów

pasmowych odbiegają kształtem od przebiegów prostokątnych. Z punktu widzenia

efektywności sterowania przebiegi prostokątne prądów pasmowych zapewniają lepsze

właściwości dynamiczne silników [75, 187].

65

Rys. 4.9. Przebieg napięć pasmowych dla silnika połączonego w gwiazdę

Rys. 4.10. Przebieg prądów pasmowych rozpatrywanego silnika

W celu poprawy kształtu przebiegów prądów pasmowych badano możliwość

zastosowania zmodyfikowanych przebiegów napięć 1u , 2u , 3u zasilających pasma silnika

[107] – rys. 4.11. Takie modelowanie przebiegów napięć zasilających jest możliwe przy

wykorzystaniu sterownika matrycowego, szczegółowo omówionego w pracy [9]. W tym

przypadku włączane pasmo silnika zasilane jest napięciem o wartości U5,1 , natomiast pasmo

wyłączane jest zasilane napięciem o przeciwnej biegunowości – równym U5,0 . Przebiegi

prądów pasmowych ti1 , ti2 oraz ti3 przedstawiono na rys. 4.12.

Rys. 4.11 Przebieg zmodyfikowanych napięć zasilających

66

Zastosowanie zmodyfikowanych przebiegów napięć zasilających pasma (rys. 4.11)

umożliwia znaczne skrócenie czasu zanikania prądu w wyłącznym paśmie oraz poprawę

kształtu przebiegu prądu w paśmie włączanym.

Rys. 4.12. Przebieg czasowy prądów paskowych przy zasilaniu zmodyfikowanym napięciem

4.3. Równanie równowagi mechanicznej

Przedstawiony powyżej model polowo-obwodowy po modyfikacjach, w szczególności

po uwzględnieniu sił elektromotorycznych rotacji może być wykorzystywany do analizy

stanów pracy silnika wirującego ze stałą zadaną prędkością. Jednak w stanach dynamicznych

(rozruch, zmiana obciążenia) prędkość obrotowa zmienia się i to w nieznany sposób. W takim

przypadku konieczne jest włączenie do modelu równania równowagi mechanicznej – bilansu

momentów:

0d

dTT

tJb

(4.48)

w którym: bJ – moment bezwładności mas wirujących, T – moment elektromagnetyczny,

0T – moment obciążenia.

Pojawia się konieczność obliczenia na bieżąco chwilowej wartości momentu

elektromagnetycznego. Nowym zagadnieniem które trzeba rozpatrzyć jest konieczność

redyskretyzacji obszaru silnika, która wynika z ruchu wirnika.

Metody wyznaczania momentu elektromagnetycznego

Moment elektromagnetyczny można wyznaczać jedną z trzech metod [190]:

- metodą tensora naprężeń Maxwella,

- metodą wynikającą z zasady prac wirtualnych,

- metodą opartą na wykorzystywaniu objętościowej gęstości siły.

W opracowanych przez autora procedurach wykorzystano pierwsze dwie metody.

Wśród metod wyznaczania wartości momentu elektromagnetycznego na podstawie tensora

67

naprężeń Maxwella najbardziej popularna jest zależność opisana w pracy [195]. W metodzie

tej moment wyznacza się wykorzystując zależność:

sBBrr

lrT t

sr

av d120

(4.49)

w której

1

1

lrBr ,

rlBt

1 (4.50)

przy czym: 2r , 1r – promienie zewnętrzny oraz wewnętrzny pasma, 221 /rrrav , s –

powierzchnia walca obejmującego wirnik maszyny, rB , tB – składowa promieniowa oraz

styczna indukcji magnetycznej na powierzchni s .

W przypadku stosowania metody elementów skończonych otrzymywane jest

rozwiązanie przybliżone. Dlatego stosując wzory wyprowadzone na podstawie tensora

naprężeń Maxwella często uzyskuje się różne wyniki obliczeń dla tego samego układu –

w zależności od struktury siatki dyskretyzacyjnej [43].

Zgodnie z zasadą pracy wirtualnej moment elektromagnetyczny działający na wirnik

obliczany jest jako pochodna energii pola magnetycznego:

,ΦWT (4.51)

Do grupy metod wykorzystującej zasadę prac wirtualnych można zaliczyć metodę

zaproponowaną przez Coulomba. W metodzie tej moment elektromagnetyczny jest

wyznaczany na podstawie zmian energii magnetycznej w wirtualnie odkształcanych

elementach siatki dyskretyzującej w paśmie przejściowym. Dla pojedynczego elementu

moment można wyrazić następująco [42]:

tr BBlr

T0

2

1

2

(4.52)

W opracowanym oprogramowaniu do wyznaczenia momentu elektromagnetycznego

wykorzystano algorytm przedstawiony w pracach [44, 58, 224]. Całkowity moment

wyznaczany jest jako suma składników przyporządkowanych pl węzłom znajdujących się na

powierzchni pasma o mniejszym promieniu – 1r (rys. 4.13):

pl

acTT

1

(4.53)

przy czym dla węzła oznaczonego indeksem a :

1,1,112

babababaaaa SSl

T (4.54)

68

W metodzie elementów odkształcanych, elementy baS , , 1, baS odwzorowują powiązania

między węzłami w paśmie.

Rys. 4.13. Fragment siatki dyskretyzującej pasmo przejściowe

Metody odwzorowania ruchu wirnika

Wyróżniamy dwie podstawowe grupy metod odwzorowania ruchu w analizie stanów pracy

silników. Pierwszą grupą stanowią metody o nieruchomej siatce [42, 224], które polegają na

zastosowaniu w rozpatrywanym modelu jednego układu współrzędnych nieruchomego względem

stojana. Podczas obrotu wirnik przemieszcza się względem tak utworzonej siatki dyskretyzującej.

Modele o nieruchomej siatce znajdują zastosowanie w symulacji stanów pracy maszyn w których

obszar ruchomy jest jednorodny magnetycznie [42].

Druga grupa metod polega na zastosowaniu dwóch różnych układów współrzędnych.

Pierwszy układ jest skojarzony ze stojanem, natomiast drugi układ obraca się z wirnikiem.

Nieruchoma siatka stojana łączona jest z siatką obracającego się wirnika w paśmie

przejściowym, znajdującym się w szczelinie [224]. Różnice pomiędzy metodami

odwzorowania ruchu w tej grupie metod dotyczą sposobu tworzenia pasma przejściowego

oraz formułowania powiązań w tym paśmie. W tej grupie wyróżniamy [37, 42, 224, 238]:

- metodę powierzchni ślizgowej,

- metodę elementów odkształcanych,

- pasmową metodę interpolacyjną,

- odwzorowanie powiązań w paśmie metodą elementów brzegowych.

W metodzie powierzchni ślizgowej liczba węzłów na powierzchni ślizgowej jest

jednakowa dla stojana i wirnika. Węzły rozłożone są równomiernie na obwodzie powierzchni

ślizgowej. Podczas ruchu w jednym kroku czasowym wirnik przemieszcza się o jeden skok

siatki dyskretyzującej. Prędkość maszyny wyznacza się z zależności t , przy czym

– skok siatki dyskretyzującej – odległość pomiędzy kolejnymi węzłami na powierzchni

ślizgowej.

Metoda powierzchni ślizgowej najczęściej znajduje zastosowanie do analizy stanów

pracy maszyn elektrycznych pracujących ze stałą prędkością obrotową [224].

69

W przypadku symulacji stanów nieustalonych pod względem mechanicznym prędkość

obrotowa zmienia się w funkcji czasu. W tym przypadku do odwzorowania ruchu wirnika

stosowana jest często metoda elementów odkształcanych [42, 224].

W opracowanym własnym oprogramowaniu stosowano metodę powierzchni ślizgowej

do wyznaczenia przebiegu sił elektromotorycznych w ustalonym stanie pracy (rozdział 4.4)

oraz metodę elementów odkształcanych do analizy rozruchu silnia BLDC (rozdz. 4.5.2)

Rozwiązanie równania ruchu

Równanie równowagi mechanicznej, podobnie jak układ równań pola i obwodów

elektrycznych rozwiązywany jest metodą „step by step”. Do dyskretyzacji równania (4.48)

zastosowano metodę różnic wstecznych [42] w której:

tt

nnn

1

d

d (4.55)

t

nnn

21

1 (4.56)

przy czym nn t , 11 nn t – prędkości kątowe wirnika w chwilach czasowych

ntt oraz 1 ntt .

Wykorzystując zależności (4.55) oraz (4.56) z równania bilansu momentów (4.48)

można w każdym 1n kroku czasowym wyznaczyć nowe położenie wirnika [44]:

102

1 2)(

nnn

nJ

TTt (4.57)

4.4. Algorytm sterowania silnikiem BLDC

Komutacja pasm w silnikach BLDC jest realizowana przez układ sterujący (komutator

elektroniczny) [125, 154, 199] rys. 4.14. Schemat zastępczy silnika zawiera rezystancje pasm

stojana 1R , 2R , 3R , indukcyjności własne 1L , 2L , 3L oraz siły elektromotoryczne

indukowane w pasmach 1e , 2e , 3e .

Bilans napięć pojedynczego pasma można zapisać w ogólnej postaci:

1321

1111d

d

d

d

d

de

t

i

t

iM

t

iLiRu

(4.58)

przy czym M – indukcyjność wzajemna pomiędzy dwoma dowolnymi pasmami

( 12M = 23M = 13M = M ) [259].

70

Rys. 4.14. Schemat zastępczy silnika BLDC zasilanego układem komutatora elektronicznego

Przyjmując, że zastępcza indukcyjność i-tego pasma MLL ipi otrzymuje się

równania napięć w postaci uproszczonej:

3

3

3333

2

2

2222

1

1

1111

d

dd

dd

d

et

LiiRu

et

LiiRu

et

LiiRu

p

p

p

(4.59)

Podczas pracy silnika komutator zasila dwa szeregowo połączone pasma. Trzecie

pasmo w którym po komutacji płynie jeszcze zanikający prąd, jest zwierane przez diodę

zwrotną. W każdym kroku czasowym konieczne jest uwzględnienie dwóch równań

napięciowych oraz równania prądów. W rezultacie rozpatrywany układ równań można

zapisać w postaci:

211

3221

32

21323123

21

2

2

1

121112

d

d

d

dd

d

d

d

iii

eeiit

L

t

LiiRiRRu

eet

Li

t

LiiiRu

pp

pp

(4.60)

w którym 2112 uuu oraz 3223 uuu .

W celu poprawnego sterowania komutacją pasm wymagana jest znajomość przebiegów

sił elektromotorycznych. Dlatego do przedstawionego wcześniej algorytmu polowej symulacji

dynamicznych stanów pracy konieczne jest dołączenie procedury „zarządzającej” sekwencją

przełączeń pasm. Poniżej zilustrowano działanie tej procedury.

Obliczenia symulacyjne wykonano dla napięcia 24U V. Silnik obciążono stałym

momentem 5,20 T Nm. Rys. 4.15 ilustruje przebiegi sił elektromotorycznych oraz

71

odpowiadające im wartości napięć pasm silnika dla t = 0,222 ms. Do odwzorowania ruchu

wykorzystano metodę powierzchni ślizgowej. Przy obciążeniu momentem 5,20 T Nm

ustalona prędkość obrotowa un = 502 obr/min. Kąt obrotu wirnika oznaczono przez .

Rys. 4.15. Przebiegi sił elektromotorycznych w pasmach silnika BLDC

W tabeli 4.1 przestawiono sekwencję stanów pracy tranzystorów i diod zwrotnych oraz

odpowiadające im przedziały.

Tabela 4.1. Kolejność załączania kluczy komutatora elektronicznego

Takt komutatora Stopnie elektryczne

komutatora Położenie wirnika

β [°] Przewodzące tranzystory

Przewodzące diody

I 0˚ – 60˚ 0 – 12 T1, T6 D2

II 60˚ – 120˚ 12 – 24 T2, T6 D4

III 120˚ – 180˚ 24 – 36 T2, T4 D3

IV 180˚ – 240˚ 36 – 48 T3, T4 D5

V 240˚ – 300˚ 48 – 60 T3, T5 D1

VI 300˚ – 360˚ 60 – 72 T1, T5 D6

W przedstawionym algorytmie każdy tranzystor przewodzi w przedziale 120 stopni

elektrycznych. Zmiana zasilanych pasm następuje co 60 stopni elektrycznych. Diody zwrotne

przewodzą, kiedy prąd w komutowanej fazie jest różny od zera. Silnik dla którego

72

wyznaczono algorytm sterowania ma 5 par biegunów w wirniku, zatem jeden cykl pracy

komutatora odpowiadał obrotowi wirnika o 72 stopnie mechaniczne. Na rys. 4.16

przedstawiono schematy połączeń pasm silnika w poszczególnych taktach przekształtnika.

Rys. 4.16. Schematy połączeń stojana w sześciu taktach pracy komutatora elektronicznego

W każdym takcie pracy komutatora jest rozwiązywany układ zbliżony do układu (4.60),

z uwzględnieniem odpowiedniej konfiguracji z rys. 4.16. W ramach każdego taktu konieczne

jest wyszczególnienie dwóch okresów. Rys. 4.17 przedstawia zastępczy schemat silnika

podczas IV taktu komutatora elektronicznego. W IV takcie pasma 1 oraz 3 są zasilane,

podczas gdy pasmo 2 – wyłączone. W pierwszym okresie – bezpośrednio po komutacji prąd

2i w wyłączonym paśmie jest różny od zera. Ten stan ilustruje rys. 4.17.

Prąd 2i przepływa przez pasma 1 i 2 oraz

diodę zwrotną 5D . Wartości napięć są równe

3131 eeUu s oraz 1212 eeu . Gdy prąd

2i osiągnie wartość zero, wtedy 13 ii , zaś

napięcia u13=Us+e1-e3, u12=-0,5(Us+e1-e3).

Rys. 4.17. Zastępczy schemat elektryczny podczas

pierwszego okresu IV stanu taktu komutatora

73

4.5. Kompleksowe oprogramowanie do symulacji dynamicznych stanów pracy

silników wzbudzanych magnesami trwałymi

Struktura oprogramowania

Na podstawie modelu matematycznego oraz algorytmu do symulacji stanów pracy

silników opracowano program komputerowy w środowisku programistycznym Borland

Delphi. Poniżej przedstawiono strukturę i działanie oprogramowania w odniesieniu do

silników BLDC. Opracowane własne oprogramowanie, podobnie jak programy komercyjne

składa się z trzech głównych części: preprocessingu, processingu oraz postprocessingu.

W bloku preprocesingu wprowadzane są dane wejściowe oraz przeprowadzana

dyskretyzacja obwodu magnetycznego silnika. Wprowadzenie danych wejściowych odbywa

się w sposób interaktywny. Blok preprocesingu jest uniwersalny, umożliwia wprowadzanie

parametrów struktury silnika zarówno z wirnikiem zewnętrznym i wewnętrznym. Formularz

służący do wprowadzania danych silnika z wirnikiem zewnętrznym przedstawiono na

rys. 4.18. Zadawana jest liczba magnesów, liczba żłobków stojana oraz wszystkie wymiary

silnika. Zadeklarować należy również umiejscowienie magnesów w wirniku (magnesy

naklejane na powierzchnię wirnika oraz magnesy zatapiane w wirniku). Program wymaga

również zadeklarowania względnego zapełnienia podziałki biegunowej dla wirnika (to jest

względnej rozpiętości magnesów).

Rys. 4.18. Formularz programu do wprowadzania danych strukturalnych

W następnym kroku wprowadza się parametry uzwojenia – rys. 4.19. Użytkownik

wybiera jeden z pośród trzech proponowanych waiantów: uzwojenie rozłożone [62] oraz dwa

rodzaje uzwojeń skupionych [75, 76, 77, 161]. W przypadku zadeklarowania uzwojenia

rozłożonego konieczne jest określenie standardowych parametrów: m , p oraz q [38, 124].

74

Do wyznaczania rozkładu pola konieczne jest określenie wektora przepływów w obszarze

uzwojenia – równanie (4.10). Dlatego zadawana jest wartość prądu w pojedynczym zwoju

oraz deklarowana liczba zwojów w żłobku. Po wprowadzeniu wszystkich danych istnieje

możliwość weryfikacji wykonalności uzwojenia (przycisk sprawdź uzwojenie).

W zakładce „PARAMETRY DYSKRETYZACJI” deklarowane są dane niezbędne do

dyskretyzacji rozpatrywanego silnika. Następnie dokonywana jest dyskretyzacja metodą

MES. Poszczególnym obszarom przypisywane są właściwości fizyczne (określić należy

obszary źródeł pola, obszary ferromagnetyka miękkiego oraz obszary zajmowane przez

magnesy trwałe). Program wykonuję automatyczną wizualizację siatki MES oraz podaje

ilości elementów oraz węzłów siatki. Rys. 4.20 przedstawia siatkę MES dla dwóch typów

silników BLDC.

Rys. 4.19. Formularz programu do wyboru parametrów uzwojenia

a) b)

Rys. 4.20. Siatka dyskretyzująca silnik BLDC: a) z naklejanymi magnesami trwałymi,

b) zatapianymi magnesami trwałymi

75

Przykład siatki silnika z wirnikiem wewnętrznym przedstawiono na rys. 4.21.

Rys. 4.21. Siatka dyskretyzująca silnik BLDC z wewnętrznym wirnikiem

Blok procesingu zawiera algorytmy formowania dyskretnego układu równań MES oraz

procedurę wyznaczania rozkładu pola przy wykorzystaniu iteracyjnego algorytmu

Newtona-Raphsona – rozdziały 4.1 oraz 4.2.

Procedury składające się na blok postprocesingu umożliwiają wizualizację wyników

obliczeń: linii sił pola magnetycznego, rozkładu modułu indukcji magnetycznej oraz rozkładu

składowej promieniowej i obwodowej wektora indukcji w szczelinie powietrznej.

Umożliwiają również eksport wyników obliczeń w postaci pliku graficznego lub tekstowego.

Rys. 4.22 ilustruje rozkład pola wzbudzanego przez: (a) magnesy trwałe, (b) uzwojenia

w silnika o 12-stu „wydatnych zębach” i 10-ciu magnesach. Na rys. 4.23 przedstawiono

składową promieniową rB oraz składową obwodową tB indukcji w szczelinie powietrznej

w funkcji kąta .

Rys. 4.22. Rozkład pola magnetycznego: a) wzbudzanego przez magnesy trwałe, b) wzbudzanego przez uzwojenia

76

Rys. 4.23. Rozkład składowych Br oraz Bt w szczelinie silnika BLDC

Na rys. 4.24 przedstawiono zakładkę „QUASI-STATYKA” w której możliwa jest

symulacja stanów pracy i obserwacja przebiegów: sił elektromotorycznych, prądów

pasmowych, prędkości kątowej oraz momentu podczas rozruchu silnika.

Rys. 4.24. Formularz programu z widoczną zakładką „QUASI-STATYKA”

Schemat blokowy algorytmu rozwiązywania równań modelu polowo-obwodowego

ilustruje rys. 4.25. W bloku procesingu zastosowano pętlę iteracyjną związaną

z nieliniowością obwodu magnetycznego – algorytm Newtona-Raphsona. Nowe położenie

wyznaczane jest po rozwiązaniu równania ruchu w n-tym kroku czasowym. Równanie

momentów rozwiązywane jest po wyznaczeniu rozkładu pola. Ilość k-tych iteracji związanych

z wyznaczeniem rozkładu pola w nieliniowym obwodzie magnetycznym zależy od stopnia

jego nasycenia.

77

START

Wczytanie danych wejściowych

Dyskretyzacja struktury maszyny

Formowanie równań pola i obwodów w k-tej iteracji

Rozwiązywanie sprzężonego układu równań pola i obwodów w k-tej iteracji

Procedura wyznaczenia momentu elektromagnetycznego

Wyznaczenie położenia w n-tym kroku czasowym

ΘR k

k=k+1

NieTak

Wizualizacja wyników obliczeń

n<nmax

Tak

n=n+1

Nie

PREPROCESSING

PROCESSING

POSTPROCESSING

STOP

Rys. 4.25. Algorytm oprogramowania do symulacji stanów pracy silników BLDC

Struktura programu została tak przygotowana, aby było możliwe połączenie z innym

programem zmieniającym dane wejściowe. Taka potrzeba zachodzi przy badaniu wpływu

wymiarów silnika na charakterystyki, ale przede wszystkim w procesie optymalizacyjnym.

W tym przypadku całe oprogramowanie „realizuje” polecenia programu optymalizacyjnego.

Jego zadaniem jest wyznaczenie parametrów przy pomocy których wyznaczana jest funkcja

78

celu (przystosowanie). Komunikacja pomiędzy modułami odbywa się przez procedurę

transformacji zmiennych decyzyjnych. Tę procedurę próbowano zastosować również

wykorzystując oprogramowanie komercyjne – skrypty połączeń wymagały jednak dużego

nakładu pracy.

Symulacja rozruchu silnika BLDC

Działanie opisanego powyżej systemu obliczeniowego zilustrowano na przykładzie

rozruchu silnika BLDC. Obszar silnika dyskretyzowano siatką składającą się z 10080

trójkątnych elementów oraz 5220 węzłów. Silnik był sterowany według algorytmu

przedstawionego w tabeli 4.1 – rozdział 4.4. Przyjęto napięcie zasilające przekształtnik

24sU V, moment obciążenia 0,20 T Nm oraz moment bezwładności 002,0bJ kgm2.

Przykładowe wyniki obliczeń dla t = 0,334 ms przedstawiono na rys. 4.26, 4.27, 4.28 oraz

4.29. Rysunki ilustrują przebiegi sił elektromotorycznych, prądów pasmowych, prędkości

kątowej oraz momentu elektromagnetycznego.

Rys. 4.26. Przebieg sił elektromotorycznych

Uzyskano maksymalne wartości 8T Nm oraz 22,2121 II A. Prędkość kątowa

w stanie ustalonym była równa 53,4 rad/s, natomiast wartości sił elektromotorycznych –

05,9321 eee V.

79

Rys. 4.27. Przebieg prądów pasmowych

Rys. 4.28. Przebieg prędkości kątowej

Rys. 4.29. Przebieg momentu elektromagnetycznego

W przebiegu momentu w stanie ustalonym widoczne są pulsacje – rys. 4.29. Są one

powodowane jednocześnie przez moment zaczepowy oraz przez komutator [254]. Źródłem

80

momentu zaczepowego są oddziaływania pomiędzy magnesami trwałymi oraz

użłobkowanym stojanem [196]. Zmniejszenie wartości momentu zaczepowego może być

uzyskiwane przez optymalizacje obwodu magnetycznego. Źródłem pulsacji generowanych

przez komutator są zmiany kierunków prądów w pasmach silnika. W celu zmniejszenia

wpływu zjawisk związanych z komutacją stosowane są specjalne filtry [191].

Optymalizacja tego typu maszyn musi przebiegać kompleksowo, formułowane zadania

syntezy powinny obejmować optymalizację konstrukcji silnika jak również główne parametry

charakteryzujące układ sterowania.

Podsumowanie

Symulacja komputerowa z wykorzystaniem modeli polowych jest dokładniejsza, jednak

wymaga dużego nakładu obliczeniowego. Współcześnie bowiem, proces projektowania

silnika często wspomagany jest przez obliczenia optymalizacyjne. Pełen proces

optymalizacji wymaga obliczenia funkcji celu (a więc parametrów silnika) setki a nawet

tysięcy razy. Zastosowanie modelu polowego lub polowo-obwodowego prowadzi często do

wielogodzinnych obliczeń optymalizacyjnych. Dlatego konieczna jest racjonalizacja

numerycznych algorytmów wyznaczania rozkładu pola elektromagnetycznego.

Autor zaproponował szereg udoskonaleń, skracających czas formowania równań

i czas ich rozwiązywania.

1. W przypadku gdy optymalizacja dotyczy tylko części rozpatrywanego obiektu (np. tylko

wirnika), to przy założeniu liniowości obwodu, zapamiętane wyrazy macierzy sztywności

MES związane z węzłami leżącymi w obszarze stojana nie muszą być wyznaczane

w kolejnych iteracjach procesu. Takie postępowanie może być zastosowane

w początkowej fazie optymalizacji, w przypadku obwodów słabo nasyconych. Jest to

równoznaczne z zastosowaniem w tej fazie mniej dokładnego modelu polowego (modelu

ze stałą przenikalnością elementów ferromagnetycznych), ale jednak o wiele bardziej

dokładnego od modelu o parametrach skupionych.

2. W przypadku obwodu o znacznym stopniu nasycenia opracowano i zastosowano

procedurę zapamiętywania cząstkowych macierzy sztywności odnoszących się do

poszczególnych elementów skończonych. Formowanie macierzy sztywności polega

wówczas na prostej operacji sumowania przyczynków z odpowiednimi wagami.

3. W początkowych iteracjach (pokoleniach) procesu optymalizacji poszczególne elementy

zbioru zazwyczaj znacząco odbiegają od optimum. Nie jest więc konieczne stosowanie

bardzo dokładnego modelu. W opracowanych algorytmach zastosowano strategię

polegającą na zmiennej „gęstości dyskretyzacji” w kolejnych pokoleniach. Dzięki

zmniejszeniu liczby węzłów w początkowych pokoleniach uzyskano nawet czterokrotne

81

zmniejszenie czasu obliczeń funkcji celu odnoszącej się do pojedynczego wariantu

urządzenia. Przy ogólnej liczbie pokoleń rzędu 10, po uwzględnieniu zaproponowanych

powyższych modyfikacji algorytmu MES uzyskano ponad dwukrotne skrócenie czasu

obliczeń optymalizacyjnych.

4. Do rozwiązania sprzężonego nieliniowego układu równań pola i obwodów

w oprogramowaniu zastosowano zaawansowany algorytm Newtona-Raphsona.

Poszukiwane są zarówno poprawki wektora potencjałów jak też poprawki wektora

prądów, a nie prądy jak w przypadku klasycznych sformułowań. Zastosowany algorytm

wprawdzie zwiększa czas obliczeń w jednej iteracji, jednak powoduje znaczące

zmniejszenie liczby wykonywanych iteracji związanych z nieliniowością. Przy silnym

nasyceniu liczba wykonywanych liczba iteracji jest dwu, a nawet trzykrotnie mniejsza niż

w przypadku klasycznej metody ”chord” [166].

5. W celu zwiększenia efektywności modelowania pola magnetycznego w magnesach

trwałych wykorzystano składowe wektora natężenia pola oraz wektora indukcji

magnetycznej wyrażone w lokalnym układzie współrzędnych. Przyjęto, że pierwsza oś

układu lokalnego jest w magnesach izotropowych zgodna z kierunkiem namagnesowania,

a w magnesach anizotropowych – z kierunkiem łatwego magnesowania. Zaproponowano

obliczanie wyrazów macierzy Jakobiego procesu iteracyjnego (związanego z nieliniową

krzywą odmagnesowania) w sposób podobny jak w przypadku ferromagnetyka

miękkiego.

6. W wyniku obliczeń testowych stwierdzono, że do odwzorowania ruchu wirnika

w ustalonym stanie pracy korzystne jest (szczególnie przy wyznaczaniu sił

elektromotorycznych) stosowanie metody powierzchni ślizgowej, a do analizy stanów

dynamicznych (np. do analizy rozruchu silnika BLDC) – stosowanie metody elementów

odkształcanych. Te właśnie metody włączono do opracowanego własnego

oprogramowania.

Na podstawie modelu matematycznego oraz algorytmu do symulacji stanów pracy

silników opracowano program komputerowy w środowisku programistycznym Borland

Delphi. Opracowane własne oprogramowanie, podobnie jak programy komercyjne składa się

z trzech głównych części: PREPROCESSINGU, PROCESSINGU, POSTPROCESSINGU. Blok

PROCESINGU zawiera algorytmy formowania dyskretnego układu równań MES oraz procedurę

wyznaczania rozkładu pola i prądów przy wykorzystaniu iteracyjnego algorytmu Newtona-

Raphsona. Struktura programu została tak przygotowana, aby było możliwe połączenie go

z innym programem, zarządzającym zmianami danych wejściowych. Taka potrzeba zachodzi

w procesie optymalizacji. W tym przypadku całe oprogramowanie „realizuje” polecenia

programu optymalizacyjnego. Jego zadaniem jest wyznaczenie parametrów przy pomocy

których formowana jest funkcja celu (przystosowanie). Komunikacja pomiędzy modułami

82

odbywa się przez transformację zmiennych decyzyjnych. Przy tak skonstruowanej strukturze

modułowej możliwe jest również wykorzystywanie oprogramowania komercyjnego do

wyznaczania pola. W tym przypadku konieczne jest jednak opracowanie dodatkowych

skryptów łączących różne środowiska.

W celu oceny poprawności działania opracowanego algorytmu i oprogramowania

rozpatrzono kilka zadań testowych.

Wykazano, że w przypadku silników BLDC, z uwagi na efektywność sterowania, prostokątne

przebiegi prądów pasmowych zapewniają lepsze właściwości dynamiczne. W celu poprawy

kształtu przebiegów prądów pasmowych badano możliwość zastosowania zmodyfikowanych

przebiegów napięć zasilających pasma silnika. Zmodyfikowane przebiegi napięć umożliwiają

znaczne skrócenie czasu zanikania prądu w wyłączanym paśmie oraz poprawę kształtu

przebiegu prądu w paśmie włączanym. W celu poprawnego sterowania komutacją pasm

wymagana jest znajomość przebiegów sił elektromotorycznych. Dlatego do przedstawionego

wcześniej algorytmu polowej symulacji dynamicznych stanów pracy dołączono procedurę

„zarządzającą” sekwencją przełączeń pasm.

83

5. Algorytmy optymalizacji w projektowaniu przetworników

elektromagnetycznych 5.1. Analiza i synteza obiektu technicznego. Formułowanie zadania optymalizacji

Zadanie analizy polega na wyznaczeniu wektora T

mppp ,...,, 21P , parametrów

funkcjonalnych obiektu o zdefiniowanej strukturze Tnsss ,...,, 21s , przy zadanych

wymuszeniach Tkfff ,...,, 21F .

W przypadku silników elektrycznych parametry definiujące strukturę s to najczęściej

wymiary silnika lub ich stosunki [108, 109, 141, 142, 190]. Do tej grupy można dodać

również parametry określające strukturę materiałową [131, 145]. Zwykle jednak parametry

materiałowe są w procesach projektowania i optymalizacji przyjmowane „a priori” jako stałe,

o znanej wartości.

Zbiór wymuszeń zewnętrznych F obejmuje parametry elektryczne charakteryzujące zasilanie

silnika, parametry opisujące jego obciążenie mechaniczne oraz parametry środowiskowe, w

szczególności temperaturę otoczenia.

Natomiast do zbioru P parametrów funkcjonalnych zalicza się przede wszystkim parametry

elektromagnetyczne, takie jak moment elektromagnetyczny, przeciążalność momentem,

krotność momentu rozruchowego, prąd znamionowy, krotność prądu rozruchowego, straty

mocy, sprawność, współczynnik mocy i inne.

Proces syntezy obiektu, nazywany również projektowaniem, polega na wyznaczeniu zbioru

parametrów struktury s , które przy określonych wymuszeniach F pozwalają uzyskać zadane

wartości parametrów funkcjonalnych Tmzzzz ppp ,...,, 21P , przy czym wymaga się żeby

poszczególne parametry jp spełniały następujące relacje:

jzj pp lub jzj pp lub jzj pp , mj ...,,3,2,1 (5.1)

Tak zdefiniowane zadanie projektowe może mieć wiele rozwiązań, tzn. istnieje wiele

wariantów obiektu różniących się parametrami struktury s , które spełniają wymagania (5.1).

Rozwiązania te można porównywać między sobą i wybrać najbardziej korzystne pod

względem wybranego kryterium. Kryterium, według którego porównujemy warianty, może

być jeden z parametrów jp lub kombinacja kilku parametrów [105, 112, 132, 146].

Otrzymany w procesie syntezy obiekt, spełniający wszystkie wymagania, najlepszy pod

względem przyjętego kryterium, nazywamy optymalnym. Proces syntezy nazywany jest

wówczas projektowaniem optymalnym.

84

Zmienne decyzyjne procesu optymalizacji

Zbiór wszystkich niezależnych zmiennych is które w procesie projektowania są

przedmiotem decyzji projektanta nazywamy zmiennymi decyzyjnymi. Zmienne te w sposób

jednoznaczny określają rozpatrywaną strukturę.

Zmienne decyzyjne bardzo często mają mocno różniące się wartości, a nawet mogą być

wyrażone w różnych jednostkach. Dlatego w numerycznej implementacji, ich wartości

powinny być unormowane, tzn. powinny być bezwymiarowe i mieć porównywalne wartości.

W pracy zmienne decyzyjne normowane są według zależności [31, 102]:

minmax

min

ii

ii

iss

ssx

, ni ...,,3,2,1 (5.2)

przy czym minis , maxis – przewidywane wartości dolnych i górnych granic przedziałów

zmienności zmiennych decyzyjnych is .

Zbiór unormowanych zmiennych decyzyjnych formuje wektor Tnxxx ...,,, 21x . Jeżeli

maxmin , iii sss to 1,0ix .

W oprogramowaniu moduł optymalizacyjny steruje zmiennymi opisującymi strukturę

generowanych obiektów, wykorzystywane jest przekształcenie odwrotne do (5.2):

minmaxmin iiiii ssxxs (5.3)

Funkcje ograniczeń

Rozwiązanie optymalne s pod względem wybranego kryterium sk musi spełniać

ograniczenia określone zależnościami (5.1).

Rozwiązując zadanie optymalizacji poszukujemy najlepszy wektor s pod względem

przyjętego kryterium. Bardzo często należy uwzględnić ograniczenia.

Równościowe i nierównościowe ograniczenia (5.1) przedstawia się zwykle w postaci

0 jzj pp lub 0 jzjj pp , przy czym w zależności od tego czy wymaga się by

jzj pp , czy też by jzj pp , współczynnik j przyjmuje odpowiednio wartość +1 lub 1 .

W procesie optymalnej syntezy zazwyczaj mamy do czynienia z ograniczeniami

nierównościowymi 0 jzjj pp . Funkcje tworzące ograniczenia podobnie jak zmienne

decyzyjne powinny być unormowane. Funkcje te są normowane poprzez odniesienie do

zadanych parametrów funkcjonalnych:

85

0

jz

jzj

jp

pp s; mj ...,,3,2,1 (5.4)

Ostatecznie, po uwzględnieniu unormowanych zmiennych decyzyjnych ograniczenia

proponuje wyrażać się w postaci:

01

jz

j

jjp

pg

xx ; mj ...,,3,2,1 (5.5)

Dowolny wektor zmiennych decyzyjnych x określa jeden wariant obiektu (urządzenia).

Każdy wariant urządzenia musi spełniać wszystkie wymagania postaci (5.5).

Zbiór D punktów dla których spełnione są wszystkie nierównościowe ograniczenia (5.5)

nazywany jest obszarem dopuszczalnym [216] i jest definiowany następująco:

mjgD j ...,,3,2,1,0)(: xx (5.6)

Funkcja celu

Kryterium optymalności (kryterium jakości [130]) nazywane jest w procesie

optymalizacji funkcją celu. Wartość funkcji celu zależy od przyjętego wektora zmiennych

decyzyjnych x . Funkcja celu w niniejszej pracy jest normowana następująco [190]:

0

0

k

kf

xx (5.7)

przy czym xf – wartość kryterium optymalności, 0k – wartość kryterium w pierwszym

kroku.

W wykorzystywanych w tej pracy algorytmach genetycznych, metodzie roju cząstek,

operuje się na populacji osobników, cząstek (wariantów urządzenia). W takim przypadku

zastosowano normalizacje dla l-tego osobnika według zasady:

śr

ll

k

kf

0

xx (5.8)

przy czym śrk0 – średnia wartość kryterium w pierwszej iteracji (po inicjacji).

Poniżej przy omawianiu metod optymalizacji przyjęto, że funkcja celu jest

minimalizowana. Jeżeli pierwotna funkcja celu jest maksymalizowana to w algorytmie

minimalizacji stosuje się transformację:

x

xl

lb

f1

lub xx ll bCf (5.9)

86

przy czym C – odpowiednio dobrana stała. Stała ta powinna mieć wartość zbliżoną do x~

2 f

W takim przypadku, podobne są względne różnice pomiędzy wartościami funkcji xf oraz

xf~

obliczanymi w punktach leżących w pobliżu punktu optymalnego x . Transformacja

(5.9) nie wpływa więc w istotny sposób na prawdopodobieństwo wylosowania

poszczególnych punktów (osobników), szczególnie pod koniec procesu optymalizacji – tj.

w pobliżu punktu optymalnego x . W przypadku algorytmu genetycznego wartość stałej

C można przyjąć według zasady: 0ˆ

~2 xfC , przy czym 0x oznacza osobnika

wylosowanego w procesie inicjacji, charakteryzującego się największą wartością f~

.

5.2. Metody optymalizacji bezwarunkowej

Metody optymalizacji bezwarunkowej dzielą się na deterministyczne

i niedeterministyczne [4, 158, 193]. Przykładową klasyfikację wybranych metod

optymalizacji przedstawiono na rys. 5.1.

W algorytmach deterministycznych do minimum zmierza się iteracyjnie wzdłuż

kolejnych kierunków poszukiwań. W metodach bezgradientowych kierunki poszukiwań

optimum są określane według ściśle określonych reguł, przyjętych przed rozpoczęciem

procesu optymalizacji. W tej grupie metod wyróżniamy metody poszukiwań prostych oraz

metody z tzw. minimalizacją kierunkową. Minimalizacja kierunkowa polega na wyznaczeniu

optymalnej wartości kroku, przy którym funkcja celu osiąga najmniejszą z możliwych

wartości wzdłuż aktualnego kierunku poszukiwań. W metodzie Hooka-Jevesa

optymalizowana funkcja celu jest obliczana wzdłuż ortogonalnej bazy kierunków, przyjętej

przed rozpoczęciem obliczeń. W kolejnych iteracjach wykonuje się kroki próbne i robocze.

Jeżeli wszystkie próby w badanym podobszarze są negatywne to następuje powrót do obszaru

poprzedniego i ponowienie prób przy zmniejszonej długości kroku próbkowania [130].

W metodzie Rosenbrocka rozwiązań poszukuje się także wzdłuż kierunków ortogonalnych.

Metoda obejmuje wyłącznie etap próbkowania, przy czym długość kroku jest na bieżąco

aktualizowana – w zależności od osiąganego wyniku (pozytywnego lub negatywnego). Jeżeli

wszystkie próby zakończą się negatywnie to następuje obrót bazy kierunków [107].

W metodzie Gaussa-Seidla baza kierunków jest również niezmienna podczas procesu

optymalizacji. Dla każdego kierunku poszukujemy takiego punktu w którym funkcja celu

osiąga minimum – minimalizacja kierunkowa. Proces optymalizacji jest bardzo prosty polega

na znajdowaniu najlepszej wartości ix przy wartościach ustalonych pozostałych zmiennych.

W metodzie Powela, podobnie jak w metodzie Gaussa-Seidla, poszukiwane jest

minimum dla każdego kierunku, jednak po wykonaniu pełnej iteracji ( n -kolejnych

87

minimalizacji) baza kierunków jest modyfikowana. Wyznaczany jest nowy kierunek [130]

który zastępuje kierunek najstarszy.

Natomiast w grupie metod gradientowych kierunek poszukiwań tworzony jest

w każdej iteracji na bieżąco na podstawie informacji o gradiencie funkcji celu w osiągniętym

punkcie. Z wyjątkiem metody gradientowej prostej, pozostałe metody zawierają procedurę

minimalizacji kierunkowej. Najbardziej efektywne są metoda najszybszego spadku oraz

metoda gradientów sprzężonych [216]. W metodzie najszybszego spadku, przyjmuje się że

kierunek gradientu wyznacza kierunek największego wzrostu funkcji. Następnie wykonuje się

minimalizację kierunkową i wyznacza nowe położenie wektora x . W metodzie gradientów

sprzężonych kierunek poszukiwań w n-tej iteracji jest linową kombinacją „aktualnego”

gradientu oraz kierunku poszukiwań z poprzedniej iteracji.

Metody optymalizacji

Deterministyczne Niedeterministyczne

Bezgradientowe Gradientowe

Poszukiwań prostych

Z minimalizacją kierunku poszukiwań

Rosembrocka

Hooka-Jeevesa

Gaussa-Seidla

Powela

Gradientów prostych

Najszybszego spadku

Gradientów sprzężonych

Sztuczne systemy immunologiczne

Inteligencji roju

Roju cząstek - PSO

Algorytmy mrówkowe - ACO

Ewolucyjne

Algorytmy genetyczne AG

Strategie ewolucyjne SE

Rys. 5.1. Podział metod optymalizacji

W algorytmach niedeterministycznych operuje się na zbiorze punktów, a trajektorie

ich przemieszczeń n-wymiarowej przestrzeni zmiennych decyzyjnych nie są określane

regułami. W zależności od typu algorytmu punkty nazywane są osobnikami (w algorytmach

ewolucyjnych) lub cząstkami (w algorytmach inteligencji roju). Kolejne iteracje nazywane są

pokoleniami lub krokami czasowymi [63, 99, 155, 209].

Najczęściej do zagadnień optymalizacji siników wzbudzanych magnesami trwałymi

stosowane są algorytmy genetyczne (Genetic Algorithm – GA) oraz algorytm roju cząstek

88

(Particie Swarm Optimization – PSO) [18, 25, 72, 114, 142, 149, 250, 160, 164, 168, 251,

253]. Rzadziej stosowany jest algorytm mrówkowy (Ant Colony Optimization – ACO)

[47, 153]. Poniżej przedstawione zostaną pierwsze dwie metody.

Algorytm genetyczny

W algorytmach genetycznych optymalizacja jest realizowana z wykorzystaniem

mechanizmu ewolucji gatunków oraz doboru naturalnego. Algorytmy genetyczne są

metodami probabilistycznymi, w których operacje genetyczne wykonywane są na populacji

osobników. Populacja osobników jest zbiorem rozwiązań analizowanego zadania. Algorytmy

genetyczne wykorzystują pojęcia związane z genetyką oraz ewolucją gatunków [40, 63].

Elementarnym nośnikiem informacji w genetyce jest gen (cecha, znak [155]). Przy

kodowaniu binarnym przyjmuje on dwie wartości. Mogą występować także genotypy

wielowartościowe. Uporządkowany ciąg genów nazywamy chromosomem. Zbiór

n chromosomów określa jednego osobnika populacji (genotyp lub strukturę). Grupa

N osobników tworzy populację.

Chromosom reprezentuje jedną zmienną decyzyjną. Schemat blokowy algorytmu

genetycznego przedstawiono na rys. 5.2a, zaś PSO na rys. 5.2b.

a) b)

Rys. 5.2. Schematy blokowe: a) algorytmu genetycznego, b) metody roju cząstek

W ramach jednego pokolenia, populacja osobników poddawana jest następującym

operacjom: inicjacji, reprodukcji (selection), krzyżowania (crossover), mutacji (mutation).

89

Pierwszą procedurą algorytmu jest inicjacja populacji początkowej. Generacja populacji

początkowej odbywa się drogą losową poprzez losowanie kolejnych genów tworzących

chromosomy – wartości zmiennych decyzyjnych. W populacji początkowej często umieszczane

są wstępnie zaprojektowane warianty optymalizowanego urządzenia [109].

Reprodukcja (selekcja) polega na wyborze osobników, z których jest tworzona nowa

populacja. Selekcję przeprowadza się jedną z trzech metod: ruletki, rankingu liniowego lub

turnieju [239]. Celem procedury reprodukcji jest poprawa dotychczasowego średniego

przystosowania całej populacji. W operacji tej nie uzyskujemy poprawy przystosowania

najlepszego osobnika. Najbardziej popularną metodą selekcji jest metoda ruletki [170].

W metodzie tej każdemu osobnikowi w populacji przypisywane jest prawdopodobieństwo

wylosowania lp według zależności:

N

kk

ll

f

fp

1

(5.10)

przy czym lf – funkcja celu l-tego osobnika, N – liczba osobników w populacji.

Prawdopodobieństwo lp jest wprost

proporcjonalne do funkcji celu lf l-tego

osobnika. Na rys. 5.3 przedstawiono

przykładowy podział prawdopodobieństw lp

dla populacji o liczebności siedmiu

osobników. Najlepiej przystosowany jest

osobnik p – ma on największe

prawdopodobieństwo wyboru do pokolenia

powstającego podczas procedury selekcji.

Rys. 5.3. Przykład podziału prawdopodobieństw w metodzie ruletki

Pole ruletki jest w implementacji komputerowej losowane z wykorzystaniem funkcji

random. Losowana jest liczba z przedziału odpowiadającego obwodowi ruletki. Wylosowana

liczba jest przypisana do odpowiedniego osobnika.

Pierwszym etapem metody rankingu liniowego jest utworzenie listy rankingowej

osobników tworzących populację [106]. Osobniki sortowane są według rosnącej wartości

przystosowania. Ostatnie miejsce na liście rankingowej przypisuje się osobnikowi najlepiej

przystosowanemu. Pojedynczemu (l-temu) osobnikowi przypisuje się prawdopodobieństwo

wyboru do następnego pokolenia według zasady:

N

kk

ll

n

np

1

(5.11)

90

przy czym ln – numer osobnika na liście rankingowej.

Przyporządkowanie prawdopodobieństw według zależności (5.11) powoduje, że

osobnik ostatni na liście rankingowej otrzymuje największe prawdopodobieństwo wyboru do

następnego pokolenia.

Natomiast, w metodzie reprodukcji turniejowej proces selekcji osobników jest

dwuetapowy [31]. W pierwszym etapie osobniki są losowo wybierane do grup turniejowych.

Wybór osobników może być dokonywany ze zwracaniem lub bez zwracania. W drugim

etapie z każdej grupy wybieramy najlepiej przystosowanego osobnika. Operacja jest

powtarzana do uzyskania nowego pokolenia o tej samej liczbie osobników. Liczbę grup

turniejowych oraz ilość wybieranych osobników zależy od preferencji twórcy procedury

optymalizacyjnej.

Krzyżowanie polega na losowym skojarzeniu osobników populacji w pary rodzicielskie

i odbywa się przy wykorzystaniu binarnej postaci zmiennych decyzyjnych (chromosomów).

W niektórych aplikacjach algorytmów genetycznych podczas krzyżowania wybierane są tylko

osobniki o przystosowaniu wyższym od średniego przystosowania całej populacji [172].

Wybrane osobniki następnie kojarzone są w pary rodzicielskie. Wyróżniamy następujące

sposoby krzyżowania: jednopunktowe, dwupunktowe oraz krzyżowanie wieloosobowe [106,

239]. Rys. 5.4 ilustruje sposób realizacji krzyżowania jednopunktowego oraz

wieloosobowego, przy czym i – numer chromosomu.

Rys. 5.4. Ilustracja realizacji sposobu krzyżowania jednopunktowego oraz wieloosobowego

Po ustaleniu par rodzicielskich losowo wybierany jest punkt krzyżowania. W wyniku

krzyżowania pary rodzicielskiej otrzymuje się parę potomków. Metoda krzyżowania

wieloosobowego zakłada, że potomek może mieć kilku rodziców. Na rys. 5.4 przedstawiono

przykład krzyżowania wieloosobowego, w którym każdy osobnik posiada 3 chromosomy.

91

Z każdego z rodziców zabierany jest jeden chromosom i przekazywany potomkowi.

W opisanym przykładzie z trzech rodziców otrzymujemy jednego potomka.

Ostatnim etapem algorytmu genetycznego jest mutacja. Polega ona na zmianie wartości

losowo wybranego genu. Gen wybieramy jest z zadanym prawdopodobieństwem mutacji –

mp z wszystkich osobników tworzących populację. Spotykane są również metody mutacji

w losowym genie każdego chromosomu – metoda ta stosowana w przypadku długich

łańcuchów binarnych [239].

W procedurach krzyżowania oraz mutacji istnieje niebezpieczeństwo utraty najlepszego

osobnika w populacji. W celu uniknięcia tego zjawiska w procedurach optymalizacyjnych

stosowana jest strategia elitarna [106]. Polega ona na wymuszonym przesunięciu najlepszego

osobnika do następnego pokolenia.

W celu zakończenia obliczeń za pomocą metod niedeterministycznych konieczne jest

określenie kryterium stopu. Kryteria zakończenia można przyjmować następująco.

Zadana maksymalna wartość pokoleń lub kroków czasowych – Jmax. Tak

sformułowane kryterium zakończenia obliczeń wykorzystywano wyłącznie

podczas obliczeń testowych.

W n-wymiarowej (n – liczba zmiennych decyzyjnych) „hipersferze”

o promieniu (np. =10-3) i środku w punkcie x , odpowiadającym osobnikowi

optymalnemu, zawiera się przynajmniej 80 % populacji. Tak sformułowane

kryterium zakończenia obliczeń jest czasochłonne. Dodatkowo bardzo trudny do

określenia jest promień , którego wartość należy dobierać indywidualnie

w zależności od optymalizowanego obiektu.

Dlatego zaproponowano inne kryterium będące koniunkcją dwóch warunków:

(a) w dwóch kolejnych pokoleniach wartość funkcji celu dla lidera spełnia

warunek 11ˆˆ xx JJ pp , gdzie 1 – tolerancja końcowa [3],

(b) średnie przystosowanie 20% najlepszych osobników różni się od lidera o

mniej niż (1- 2 ).

Algorytm roju cząstek

Algorytm optymalizacji metodą roju cząstek należy do grupy algorytmów stadnych

[57, 234]. Algorytm stadny po raz pierwszy został przedstawiony w 1987 roku przez

C. Reynoldsa. Reynolds zaproponował kilka zasad które umożliwiały grupie osobników

realistyczne zachowanie w przestrzeni rozwiązywanego zadania optymalizacyjnego, co stało się

punktem wyjściowym do opracowania bardziej zaawansowanych algorytmów inteligencji roju.

Metoda PSO została zaprezentowana przez J. Kennedy’ego i R. Eberharta w 1995 [99].

Tę niedeterministyczną metodę opracowano na podstawie obserwacji zachowań stad ptaków

92

i ławic ryb. Rój składa się z osobników nazywanych cząstkami. Każda cząstka stanowi

dopuszczalne rozwiązanie rozpatrywanego zadania optymalizacji. Podczas rozwiązywania

zadania cząstki przemieszczają się w n– wymiarowym obszarze poszukiwań, w którym n jest

liczbą zmiennych decyzyjnych. Każda cząstka posiada własny wektor położenia xl oraz

prędkości vl. Zasada działania opiera się na dwóch podstawowych zasadach: każda cząstka

posiada informację o swoim najlepszym położeniu w dotychczas wykonanych krokach

xlLB – cecha kognitywistyczna [52, 100] oraz posiada informację o położeniu lidera xGB.

Liderem określa się najlepiej przysposobioną cząstkę. Podczas wyznaczania kolejnego

położenia, wykorzystuje się informację o wartości funkcji celu plLB=p(xl

LB) dla najlepszego

własnego położenia w poprzednich krokach czasowych. Dodatkowo cząstki posiadają

informację o przystosowaniu lidera roju pGB=p(xGB).

Pierwszym etapem algorytmu jest inicjacja. Polega ona na przyporządkowaniu

w sposób losowy początkowych wektorów położeń l0x i prędkości l

0v cząstek.

W kolejnych iteracjach (krokach czasowych) porównuje się wartości funkcji celu dla

poszczególnych cząstek z zapamiętaną najlepszą wartością plLB. W przypadku uzyskania

lepszej wartości funkcji celu, przyjmuje się nową wartość xlLB. Analogiczną procedurę stosuje

się przy określaniu aktualnego lidera.

Następnie należy dokonać oceny cząstek na podstawie przyjętej funkcji celu,

wyznaczyć najlepsze położenie dla każdej cząstki w poprzednich krokach xlLB oraz określić

położenie lidera roju xGB.

Kolejnym etapem obliczeń jest aktualizacja prędkości i położenia dla każdej cząstki.

W J-tym kroku obliczeniowym dla l-tej cząstki wartość wektora prędkości oblicza się według

algorytmu:

lJGB

lJ

lLB

lJ

lJ rcrcw 1221111 xxxxvv (5.12)

w którym: w współczynnik inercji, lJ 1x wektor położeń l – tej cząstki w poprzednim kroku,

c , c są współczynnikami uczenia się lub przyśpieszenia [131], r i r są liczbami

losowymi z przedziału <0,1>.

Po wyznaczeniu prędkości cząstki aktualizowane jest jej położenie:

lJ

lJ

lJ vxx 1 (5.13)

Opracowane na podstawie algorytmu oprogramowanie testowano na przykładzie funkcji

„HEART”:

2

222 1100550

1

30

xyxy

xf (5.14)

93

Na rys. 5.5 przedstawiono wizualizację rozmieszczenia cząstek roju w kolejnych

krokach czasowych. Obliczenia wykonano przy wykorzystaniu klasycznej metody roju

cząstek (zależności 5.12 oraz 5.13). Rój składał się z N cząstek. Kolorem czerwonym

zaznaczono punkt, w którym wartość funkcji jest minimalna w rozpatrywanym przedziale.

Algorytm PSO opracowany został prawie 30 lat temu. Od tego czasu ta

niedeterministyczna metoda optymalizacji z powodzeniem stosowana była do rozwiązywania

różnorodnych zagadnień optymalizacji: testowych zadań optymalizacyjnych [50],

rozwiązania zadania komiwojażera [201]. Stosunkowo rzadko natomiast była do tej pory

stosowana do rozwiązywania zadań inżynierskich [6, 115]. W bardziej zaawansowanych

odmianach metody PSO, w celu poprawy zbieżności oraz jakości obliczeń, proponowane są

jej modyfikacje [54, 255].

Autor niniejszej pracy zaproponował metodę dobru rodzaju modyfikacji i wagi z jaką są

uwzględniane w wyrażeniach opisujących prędkość cząstek w kolejnych krokach,

dostosowaną do specyfiki rozpatrywanych zagadnień, to jest zadań optymalizacji maszyn

magnetoelektrycznych. Wykazał także, że zastosowanie zmiennych w poszczególnych

krokach współczynników wagowych może się przyczynić do znaczącego zwiększenia

efektywności algorytmu.

a) Inicjacja b) J=1 c) J=2

d) J=4 e) J=7 f) J=15

Rys. 5.5. Widok przebiegu rozmieszczenia cząstek w kolejnych kokach czasowych

94

Liniowo zmieniający się współczynnik inercji

W modyfikacji wprowadza się liniową zależność wartości współczynnika inercji w od

numeru kroku czasowego. Na początku przyjmuje się większą wartość współczynnika inercji,

która jest zmniejszana wraz z kolejnymi krokami czasowymi. W przypadku dużych wartości

współczynnika inercji algorytm przeszukuje większy obszar, natomiast dla małych wartości

w algorytm przeszukuje w sposób „lokalny” [204]. Zależność opisującą wartość

współczynnika inercji dla J-tego kroku wyraża się następująco:

11maxmin

maxmaxmin

J

wwwJ

J

wwwJ (5.15)

przy czym minw , maxw – minimalna i maksymalna wartość współczynnika inercji.

W przypadku wartości współczynnika inercji 2,1w rój ma tendencję do bardziej

dynamicznego przemieszczania się w przestrzeni rozwiązywanego zadania. Wędrujące

cząstki mają możliwości odkrywania, nowych nieznanych terenów przeszukiwanego obszaru.

Wartość współczynnika inercji nie może być wybierana w sposób przypadkowy.

Efektywny sposób doboru opisano w [25]:

10,5 21 ccw (5.16)

Środek ciężkości roju

W metodzie tej do wzoru (5.12) dodawany jest składnik zapisywany następująco:

)( 133lJcrc xm (5.17)

w którym:

N

l

l

N

l

ll

c

f

f

1

1

x

xxm (5.18)

przy czym: c – współczynnik uczenia się lub przyśpieszenia [131], cm – wektor

współrzędnych środka ciężkości roju, xlf – wartość funkcji celu dla l-tej cząstki,

N – liczba cząstek w roju.

Po zastosowaniu tej procedury wszystkie cząstki przesuwają się w kierunku punktu

środka masy roju. Wartość przesunięcia jest proporcjonalna do odległości pomiędzy

aktualnym położeniem cząstki a punktem cm .

95

Dokładny model zachowań społecznych ławic ryb

Modyfikację metody opracowano na podstawie analizy zachowań społecznych,

w szczególności obserwacji bezkolizyjnego synchronicznego przemieszczania ławic ryb

[114]. Klasyczna metoda roju cząstek nie odzwierciedla dokładnie reguł panujących podczas

wybierania przywódców [122], jak również dokładnych modeli mechanizmów ochronnych

przed drapieżnikami.

Ławica ryb to grupa osobników najczęściej tego samego gatunku, poruszająca się

w tym samym kierunku z jednakową prędkością, pozostająca w charakterystycznym szyku.

Główną przyczyną skupiania się ryb w ławice jest ochrona przed drapieżnikami.

Prawdopodobieństwo, że ryba padnie ofiarą jest odwrotnie proporcjonalne do liczebności

ławicy [59]. Stopień ochrony zwiększa tzw. efekt zamieszania (chaos effect) [212].

Ławice ryb mogą bardzo szybko zmieniać kierunek dotychczasowego poruszania się.

Bezkolizyjny ruch zachowany jest dzięki kontaktowi wzrokowemu z najbliższymi sąsiadami

[122]. W klasycznej metodzie roju cząstek bardzo silny wpływ na globalne zachowanie całego

roju ma najlepiej przysposobiony osobnik. W rzeczywistych ławicach ryb bardzo duży wpływ

na zachowanie pojedynczego osobnika wywiera najbliższe otoczenie [236]. Dlatego w celu

uzupełnienia modelu matematycznego roju do równania (5.12) dodano następujący składnik:

lJ

lNrc 133 xx (5.19)

gdzie c – współczynnik uczenia się lub przyśpieszenia, lNx – położenie najlepiej

przystosowanej cząstki w obszarze bliskiego otoczenia.

Rys. 5.6 ilustruje algorytm wyznaczenia położenia cząstki w J-tym kroku

z uwzględnieniem najbliższego otoczenia cząstki F1. W otoczeniu rozpatrywanego osobnika

znajduje się grupa sąsiadów z pośród których w opracowanym algorytmie wybierany jest

najlepiej przystosowany osobnik.

Rys. 5.6. Przykład ławicy ryb z uwzględnieniem najbliższego otoczenia poszczególnych osobników

96

5.3. Zastosowanie metod funkcji kary do optymalizacji z ograniczeniami.

Przystosowanie funkcji kary do algorytmu genetycznego.

Zadanie optymalizacji z ograniczeniami nierównościowymi polega na wyznaczeniu takiego

wektora x , że:

DffD

xxxx

ˆ),ˆ()( (5.20)

przy czym D jest zbiorem rozwiązań dopuszczalnych mjgD j ...,,2,1,0)(: xx

[64, 130], w którym ograniczenia w postaci 0xjg zdefiniowano zgodnie z zależnością

(5.5).

Do rozwiązania zadania w postaci (5.20) najbardziej efektywne są metody funkcji kary

i właśnie te metody zastaną omówione poniżej.

Podobnie jak w metodzie Couranta [139], w metodach funkcji kary jest konstruowana

zmodyfikowana funkcja celu. Do pierwotnej funkcji celu dodawany jest składnik

reprezentujący karę za przekroczenie granic obszaru dopuszczalnego (kara zewnętrzna) lub

za zbliżanie się do granic tego obszaru (kara wewnętrzna). Ogólną formułę opisującą

funkcje zmodyfikowane dla procesu minimalizacji funkcji celu )(xf można przedstawić

w postaci:

,...3,2,1),()()( kkrfh kk xxx (5.21)

w której )(xkrk to człon reprezentuję karę, k – numer nadrzędnej iteracji związanej ze

zmianą wagi funkcji kary.

Optima funkcji )(xkh są znajdowane metodami optymalizacji bez ograniczeń. Problem

optymalizacji z ograniczeniami jest więc sprowadzany do rozwiązywania ciągu zadań bez

ograniczeń [130]. W wyniku minimalizacji kolejnych funkcji zmodyfikowanych mhhh ...,,, 21 ,

konstruowanych dla monotonicznie rosnącego ciągu liczbowego kr , otrzymuje się minima

cząstkowe nxxx ˆ...,,ˆ,ˆ21 , które coraz lepiej aproksymują rozwiązanie x . Ciąg kx dąży do

rozwiązania x .

Wykorzystując do rozwiązania zadania optymalizacji metody niedeterministyczne,

w szczególności algorytmy genetyczne dopuszcza się poruszanie osobników tworzących

populację poza obszarem dopuszczalnym D . Osobniki te są wtedy słabiej przystosowane,

mogą z większym prawdopodobieństwem zniknąć w procedurze reprodukcji, a podczas

krzyżowania mogą przyczynić się do powstania osobników lepiej przystosowanych. Dlatego

podczas rozwiązania zadań optymalizacji silników wzbudzanych magnesami trwałymi

korzystniej jest stosować metodę funkcji kary zewnętrznej.

97

Kara zewnętrzna, zapisywana jest zwykle w postaci:

)()( xx krZ kk (5.22)

i jest dołączana do pierwotnej funkcji celu )(xf w przypadku przekroczenia granic obszaru

dopuszczalnego.

W zagadnieniach technicznych bardzo rzadko są stosowane inne metody, takie jak: metoda

transformacji zmiennych decyzyjnych, metoda modyfikacji kierunków poszukiwań

(Klingmana-Himmelblau’a). W najbardziej rozpowszechnionej metodzie Schmita–Foxa,

wykorzystywanej w rozprawie, zmodyfikowane funkcje celu są konstruowane następująco:

m

jjjkk ggErfh

1

))(()()( xxxx (5.23)

przy czym funkcja:

0

1))(( xjgE

dla

dla

0

0

x

x

j

j

g

g (5.24)

Wzrastający w kolejnych iteracjach współczynnik wagi jest zapisywany w postaci ciągu

potęgowego: kk ar , przy czym a jest liczbą rzeczywistą większą od 1.

Jednym z najważniejszych aspektów tej metody jest właściwy dobór współczynnika a . Jeżeli

ciąg ka zbyt szybko dąży do nieskończoności ( a jest zbyt duże), to kara jest zbyt znacząca;

punkt bieżący kx jest gwałtownie spychany do obszaru D i algorytm może „utknąć” w

punkcie tworzącym lokalne „zagięcie” funkcji h. Z kolei przy zbyt małym a algorytm jest

wolno zbieżny. Z rozpoznania literaturowego, ale przede wszystkim z przeprowadzonych w

ramach niniejszej pracy badań, wynika że przy określonej zależnością (5.23) funkcji )(xh

optymalna wartość tego współczynnika zawiera się (w zależności od rodzaju zadania –

rozdział 6 oraz rozdział 7) w przedziale 1,1÷1,6.

W przypadku maksymalizacji funkcji )(xf , zmodyfikowana funkcja celu przyjmuje

postać:

DZf

Dfh

kk

k

k xxx

xxx

dla

dla (5.25)

Przystosowanie funkcji kary do algorytmu genetycznego

Rozwiązując zadanie optymalizacji przy wykorzystaniu algorytmu genetycznego, wartość

przystosowania podlega maksymalizacji i musi być dodatnia. W przypadku uwzględniania

ograniczeń z wykorzystaniem funkcji kary zewnętrznej dla osobników znajdujących się daleko

od obszaru dopuszczalnego w przestrzeni rozwiązywanego zadania, wartości kary xkZ mogą

98

przekroczyć wartości pierwotne xf . Autor niniejszej pracy zaproponował modyfikację

metody funkcji kary zewnętrznej w taki sposób by mogła być stosowana do rozwiązywania

zadania z ograniczeniami uwzględnionymi za pomocą algorytmu genetycznego.

Jeżeli w procesie optymalizacji narzucanych jest j ograniczeń, mj ...,,3,2,1 to

zależność opisującą karę wyrażamy w postaci:

xx

m

jjjkk grZ

1

(5.26)

w której j – współczynniki wagowe dotyczące poszczególnych ograniczeń.

Karę zewnętrzną xkZ – zgodnie z zaproponowanym algorytmem wyraża się

w jednostkach względnych, to jest odnosząc ją do przyjętej funkcji celu xf :

x

xx

k

kk

f

Zz (5.27)

wtedy xxx kkk zfh 1 .

Po uwzględnieniu zależności (5.25) zmodyfikowaną funkcję celu xh można zapisać

w postaci:

x

x

xxk

m

jjj

kkk

f

g

rfh1

1 (5.28)

W przypadku maksymalizacji zmodyfikowanej funkcji xh , gdy osobnik znajduje się

w obszarze dopuszczalnym to wartość funkcji xh jest równa xf . Natomiast, gdy Dx

to wartość parametru xkz powinna być mniejsza od jedności 1, zmieniając się w przedziale

od 0 do 1. W celu dopasowania metody funkcji kary zewnętrznej do algorytmu genetycznego

zaproponowano wykorzystanie funkcji „sigmoidalnej” w postaci:

tetS 1 (5.29)

Rys. 5.7. Przebieg funkcji „sigmoidalnej”

99

Proponowana modyfikacja okazała się bardzo efektywna (rozdz. 7) w odniesieniu do

algorytmu genetycznego, w którym wartość przystosowania musi być dodatnia. Funkcja

zmodyfikowana zapisywana jest w postaci:

xxxxx xxk

zk

zkk fefefh kk 11 (5.30)

Współczynnik x reprezentuje karę za niespełnienie ograniczeń; zmniejsza pierwotną

maksymalizowaną funkcję celu xkf . Gdy kara xkz dąży do zera (to znaczy, że obiekt

spełnia wszystkie ograniczenia), to współczynnik x rośnie do jedności. Zaproponowana

transformacja upodabnia algorytm z funkcją kary do algorytmu z multiplikatywną funkcją

kompromisową – rozdz. 5.4. Funkcja xkh jest iloczynem dwóch maksymalizowanych

czynników: przystosowania xkf oraz czynnika x związanego z parametrami

funkcjonalnymi uwzględnianymi w zbiorze ograniczeń.

5.4. Optymalizacja wielokryterialna – kompromisowe funkcje celu

Bardzo często w procesie optymalnego projektowania silników magnetoelektrycznych

mamy do czynienia z koniecznością uwzględnienia kilku parametrów funkcjonalnych, które

należy wziąć pod uwagę przy tworzeniu kryteriów optymalności. Zmiany wartości zmiennych

decyzyjnych ix mogą wpływać korzystnie na wszystkie kryteria, jednak w praktyce zmiany te

mogą prowadzić do przeciwstawnych tendencji. Jedne parametry nadal poprawiają się,

podczas gdy inne pogarszają się. Mówimy wówczas, że kryteria są sprzeczne i trzeba szukać

„kompromisu”. Zagadnienia te są przedmiotem tzw. optymalizacji wielokryterialnej.

W teorii optymalizacji wielokryterialnej przestrzeń zmiennych decyzyjnych jest nazywana

przestrzenią sterowań. Niech ix , Ni ,...,2,1 oznacza i-ty punkt w przestrzeni sterowań, a

kf , Mk ,...,2,1 k-te kryterium cząstkowe. Wówczas mówimy, że rozwiązanie mx

„dominuje” rozwiązane ix jeżeli: (a) mx nie jest gorsze od ix dla wszystkich

kryteriów kf , (b) mx jest jednoznacznie lepsze od ix przynajmniej dla jednego kryterium

[245].

W zagadnieniach optymalizacji wielokryterialnej nie można wskazać jednoznacznie który

wektor x jest optymalny. Dlatego często wykreślany jest front Pareto (zbiór kompromisów),

to zbiór punktów nie dominujących się nawzajem w przestrzeni sterowań [245].

Jeżeli optymalizacja byłaby przeprowadzana kolejno względem każdego z przyjętych

kryteriów otrzymuje się różne rozwiązania. Te rozwiązania stanowią wierzchołki zbioru

kompromisów – końce zbioru Pareto. Osiągnięcie optimum względem wszystkich kryteriów

100

Mfff ...,,, 21 nie jest możliwe i dlatego zbiór wierzchołków jest nazwany punktem utopijnym

(utopia point).

Podstawowym zadaniem optymalizacji wielokryterialnej jest znalezienie zbioru

kompromisów (frontu Pareto). Dalsze działania wymagają interwencji projektanta (jego

wiedzy doświadczenia, intuicji) zmierzającej do wyboru wariantu kompromisowo-

optymalnego. Teoria optymalizacji wielokryterialnej proponuje strategie wspomagające

podjęcie decyzji, np. algorytm wagowy lub algorytm min-max [130]. Strategie te zazwyczaj

prowadzą do skonstruowania kompromisowej funkcji celu i przeprowadzenia optymalizacji

jednokryterialnej. W strategii wagowej należy najpierw przekształcić kryteria cząstkowe

kf tak aby wszystkie były maksymalizowane lub minimalizowane. Następnie, wykorzystując

kryteria cząstkowe, formułowana jest addytywna lub multiplikatywna funkcja

kompromisowa:

xxxx MM ffff ...2211 (5.31)

lub

Mq

M

qqffff xxx ...21

21 (5.32)

przy czym M ,...,, 21 oraz Mqqq ...,,, 21 stanowią wagi z jakimi są uwzględniane

poszczególne kryteria cząstkowe.

W przypadku zadań optymalizacji silników z magnesami trwałymi funkcją celu może

być jeden z parametrów funkcjonalnych, pozostałe parametry tworzą wówczas zbiór

ograniczeń. Tak skonstruowaną funkcję celu wykorzystano do optymalizacji silnika

LSPMSM – rozdział 5.5.2.

Jednak często na etapie wstępnej optymalizacji silników, której celem jest rozpoznanie

relacji pomiędzy parametrami opisującymi strukturę obwodów elektromagnetycznych,

a uzyskiwanymi parametrami funkcjonalnymi dopuszczalne wartości tych parametrów nie są

jednoznacznie określone. Dlatego, przy wstępnym formułowaniu wytycznych do

projektowania wygodniejsze jest dołączenie tych dodatkowych parametrów z odpowiednią

wagą do kompromisowej funkcji celu i wykorzystanie zasad optymalizacji wielokryterialnej.

Takie podejście zastosowane zostało w dalszych rozdziałach pracy, np. rozdział 6.

Natomiast w procesie projektowania silnika dedykowanego do określonego zadania lub

przeznaczonego do seryjnej produkcji, funkcją celu może być jeden z parametrów

funkcjonalnych (lub kombinacja kilku parametrów), zaś pozostałe parametry tworzą zbiór

ograniczeń nierównościowych. W takim przypadku z powodzeniem można stosować

proponowaną i przedstawioną w rozdziale 5.3 modyfikację funkcji kary.

Funkcja zmodyfikowana jest wówczas iloczynem dwóch czynników: funkcji celu

i czynnika związanego z ograniczeniami – zal. (5.30).

101

5.5. Oprogramowanie do optymalizacji silników. Przykłady testowe

5.5.1. Struktura oprogramowania z wykorzystaniem algorytmu genetycznego i metody

roju cząstek

Przykłady obliczeń optymalizacyjnych które przedstawiono i omówiono w niniejszej

rozprawie zostały wykonane przy pomocy własnego oprogramowania. Stworzone środowisko

komputerowe może być uniwersalnym narzędziem do analizy stanów pracy i wspomagania

procesu projektowania przetworników elektromagnetycznych. Oprogramowanie składa się

z dwóch modułów: modułu optymalizacyjnego OPT oraz modułu OBIEKT zawierającego

matematyczny model zjawisk analizowanej maszyny – rys. 5.8 oraz 5.10.

System komputerowy pozwana na wykorzystanie modułów OPT zawierających różne

algorytmy optymalizacji. Natomiast w module OBIEKT do symulacji zjawisk można

wykorzystywać zarówno prostsze modele o parametrach skupionych, jak również modele

polowe i polowo-obwodowe.

Oba moduły są połączone przez procedury: transformacji zmiennych decyzyjnych

oraz obliczania funkcji celu i ograniczeń. W procedurze optymalizacji wykorzystywany jest

wektor zmiennych unormowanych x , natomiast moduł do symulacji stanów pracy silników

BLDC, PMSM lub LSPMSM wykonuje obliczenia na podstawie wektora zmiennych

rzeczywistych s .

Przedstawione dwumodułowe oprogramowanie ma uniwersalny charakter; może być

komponowane z różnych modułów. Umożliwia wspomaganie procesu projektowania

obiektów technicznych, opisanych modelami matematycznymi o różnym stopniu złożoności.

Moduł OPT opracowano i testowano w trzech wariantach:

z zastosowaniem metody gradientów sprzężonych,

z wykorzystaniem algorytmu genetycznego,

z wykorzystaniem metody roju cząstek,

natomiast moduł OBIEKT w wariantach z wykorzystaniem następujących modeli zjawisk

elektromagnetycznych:

obwodowego,

polowego,

polowo-obwodowego.

Możliwych jest więc aż 9 kombinacji modułów.

Opracowane środowisko umożliwia także łączenie modułu zawierającego

oprogramowanie własne z modułem wykorzystującym oprogramowanie komercyjne. Jest to

praktyczne rozwiązanie, szczególnie przy wykorzystaniu komercyjnego oprogramowania do

102

odwzorowania modelu zjawisk elektromagnetycznych (moduł OBIEKT). W takim przypadku

konieczne jest opracowanie „skryptów” umożliwiających komunikację pomiędzy modułami.

W zrealizowanych i prezentowanych w dalszej części pracy obliczeniach

wykorzystywano moduły OPT z procedurami optymalizacji AG oraz PSO. Natomiast

w module OBIEKT wykorzystywano wszystkie wymienione powyżej rodzaje modeli, i to

zarówno w postaci własnych programów jak też w postaci procedur środowiska

komercyjnego ANSYS Maxwell.

Obliczenia z zastosowaniem metody PSO oraz modelu o parametrach skupionych

opracowanym w środowisku ANSYS Maxwell przedstawiono w rozdziale 5.5.2. W rozdziale

tym zaprezentowano również wyniki obliczeń dla modułu OPT wykorzystującego algorytm

genetyczny oraz modułu OBIEKT zawierającego opracowany przez autora model

o parametrach skupionych transformatora zasilacza elektronicznego.

Natomiast, w rozdziale 6 przedstawiono wyniki obliczeń optymalizacyjnych dla modułu

OPT zawierającego procedury algorytmu genetycznego oraz modelu polowego silników

PMSM oraz LSPMSM z wykorzystaniem środowiska ANSYS Maxwell.

Z kolei w rozdziale 7 przedstawiono wyniki obliczeń optymalizacyjnych dla modułu

OPT zawierającego procedury algorytmu genetycznego oraz modelu polowego-obwodowego

opracowanego na bazie kompleksowego oprogramowania do symulacji dynamicznych stanów

pracy BLDC – rozdział 4.5.

Przykładowo, na rys. 5.8 przedstawiano schemat opracowanego środowiska

komputerowego, którego zadaniem jest wspomaganie procesu projektowania silników BLDC.

System ten w całości został opracowany przez autora w środowisku programistycznym

Borland Delphi zarówno moduł OPT, w którym zastosowano AG, jak też moduł OBIEKT

z polowo-obwodowym modelem stanów nieustalonych w silniku. Widok formularza modułu

OPT przedstawiono na rys. 5.9.

Środowisko obliczeniowe umożliwia zapis do pliku tekstowego cząstkowych wyników

optymalizacji tj.: wartości zmiennych decyzyjnych, fizycznych wartości parametrów

funkcjonalnych, na podstawie których formowana jest funkcja celu i funkcje ograniczeń, oraz

fizycznych i unormowanych wartości funkcji celu. Zbiory wyników obejmują wszystkich

osobników w poszczególnych pokoleniach; zapamiętywane są także dane osobnika

najlepszego (o największym przystosowaniu), osobnika najgorszego oraz wartości średnie dla

całego pokolenia. Zapis jest wykonywany po zakończeniu cyklu operacji w jednym

pokoleniu, przy czym informacje są dopisywane do wcześniej zapisanych wyników.

103

ΘS k

Rys. 5.8. Schemat blokowy dwumodułowego oprogramowania do optymalizacji silników BLDC

Podczas obliczania kolejnych pokoleń w procesie optymalizacji pliki z wynikami są

„otwierane” i „zamykane” po zakończeniu obliczeń w każdym pokoleniu. Dzięki temu, nawet

przy niezaplanowanym (np. awaryjnym) przerwaniu programu wyniki dotyczące

przeliczonych pokoleń pozostają zachowane i nie ma potrzeby rozpoczynania obliczeń od

początku. Możliwy jest restart programu od ostatniego poprawnie zakończonego pokolenia, to

jest przed wystąpieniem błędu.

Rys. 5.9. Widok formularza programu do obliczeń optymalizacyjnych silników BLDC

104

Natomiast na rys. 5.10 przedstawiono schemat blokowy systemu do optymalizacji

silników PMSM oraz LSPMSM [114]. Jak już powiedziano, zaproponowana koncepcja

dwumodułowa umożliwia wybór dowolnego modułu OPT i dowolnego OBIEKTU. W tym

przypadku, moduł OPT wykorzystuje proponowaną własną zmodyfikowaną procedurę metody

PSO (uwzględniającą model zachowań społecznych w ławicach ryb). Moduł OBIEKT zawierał

w tym przypadku matematyczny model maszyny opracowany został w komercyjnym

środowisku.

Komunikacja pomiędzy modułem OPT oraz oprogramowaniem komercyjnym

realizowana jest przy pomocy skryptów opracowanych w języku programowania Visual

Basic. Uruchomienie programu optymalizacyjnego połączonego ze specjalnymi skryptami

umożliwia automatyczne „zarządzanie” pracą programu ANSYS Maxwell. Parametry

opisujące analizowaną strukturę są transformowane, a ich wartości zapisywane są w skrypcie.

W następnym kroku uruchamiany jest skrypt, który przekazuje wartości zmiennych

decyzyjnych do pracującego w „tle” programu ANSYS Maxwell i uruchamia obliczenia. Po

wyznaczeniu parametrów funkcjonalnych obliczana jest funkcja celu, a jej wartość

przekazywana jest do programu optymalizacyjnego.

Rys. 5.10. Schemat blokowy dwumodułowego oprogramowania do optymalizacji LSPMSM

Na rys. 5.11 przedstawiono ogólną strukturę opracowanego środowiska

optymalizacyjnego z pracującym w „tle” programem Maxwell. W module optymalizacyjnym

OPT użytkownik może zadawać wartości: liczby osobników w roju, liczbę kroków czasowych

105

do zakończenia obliczeń, zadawać parametry charakteryzujące metodę PSO oraz parametry

funkcji kary.

Oprogramowanie dwumodułowe może być komponowane z różnych modułów.

Umożliwia wspomaganie procesu projektowania obiektów technicznych, opisanych

modelami matematycznymi o różnym stopniu złożoności oraz z modułów zawierających

różne procedury optymalizacyjne. Opracowane środowisko umożliwia także łączenie modułu

zawierającego oprogramowanie własne z modułem wykorzystującym oprogramowanie

komercyjne.

Rys. 5.11. Widok formularza programu optymalizacyjnego z pracującym w „tle” programem ANSYS Maxwell

5.5.2. Optymalizacja wybranych urządzeń z wykorzystaniem obwodowych modeli

zjawisk elektromagnetycznych

Silnik LSPMSM

Wykonano obliczenia optymalizacyjne silnika z wsuwanymi magnesami w kształcie

litery „U” [117]. Strukturę obwodu magnetycznego ilustruje rys. 5.12. Podczas obliczeń

wykorzystywany był dwumodułowy system, którego schemat blokowy przestawiono na rys.

5.10, przy czym zastosowano moduł OPT (PSO) oraz MODEL (silnika LSPMSM

o parametrach skupionych opracowany w ANSYS Maxwell).

Zadanie optymalizacji polegało na zaprojektowaniu wirnika o optymalnej strukturze

magnesów, przy zadanym obwodzie magnetycznym stojana to jest wykroju blach silnika

indukcyjnego Sg100L-4B. Silnik indukcyjny charakteryzował się następującymi parametrami:

106

liczba par biegunów 2p = 2, długość pakietu

stojana LS = 125 mm, zewnętrzna średnica

stojana DS = 154 mm, wewnętrzna średnica

stojana dS = 94 mm, liczba żłobków ż = 36.

Układ wzbudzenia wykonany został z materiału

magnetycznego o następujących właściwościach

magnetycznych: Hc = 836 kA/m oraz Br = 1,13 T.

Przyjęto wymiary klatki o wymiarach od

typowego silnika indukcyjnego.

Rys. 5.12. Struktura silnika LSPMSM

Zadanie optymalizacji zostało sformułowane następująco: wyznaczyć parametry

strukturalne opisujące układ wzbudzenia (wymiary lm, rm, gm – rys. 5.12) oraz liczbę zwojów

Ns w żłobku, które zapewnią uzyskanie maksymalnego iloczynu sprawności oraz

współczynnika mocy [142, 233]. Pozostałe parametry: wymiary stojana, długość szczeliny

powietrznej oraz wymiary klatki wirnika pozostawały stałe podczas obliczeń.

Obiekt został opisany przy pomocy czterech zmiennych decyzyjnych: s1 = lm – długość,

s2 = gm – grubości magnesu, s3 = rm – odległości pomiędzy biegunami oraz s4 = Ns. Zmienne

decyzyjne tworzą wektor s = [lm gm rm zs]T. Zmienne unormowano wykorzystując regułę (5.2).

Unormowane zmienne decyzyjne formują wektor x = [x1 x2 x3 x4]T.

Funkcję celu dla l-tej cząstki przyjęto w postaci:

00 cos

cos xxx

lllf (5.33)

w której: xl , xlcos – sprawność oraz współczynnik mocy dla l-tej cząstki (wariantu

maszyny), 0 , 0cos – uśredniona dla całego pokolenia wartość sprawności oraz

współczynnika mocy uzyskanego w wyniku wykonania procedury INICJACJI.

Zadanie optymalizacji polega na maksymalizacji funkcji xlf przy uwzględnieniu

ograniczeń nierównościowych dotyczących wymaganej masy materiałów magnetycznych

zm mm x oraz momentu elektromagnetycznego przy prędkości równej 80% prędkości

synchronicznej zTT x8,0. Funkcje ograniczeń zapisano w następujący sposób:

01)(,01 28,01 zmz mmgTTg xxxx (5.34)

Ograniczenia uwzględniono metodą funkcji kary zewnętrznej. Proces optymalizacji jest

powtarzany przy wzrastającym udziale członu reprezentującego karę. Wartość kary zależy od

107

wartości masy materiałów magnetycznych oraz momentu SnnT 8,08,0 i jest obliczana

według zależności:

xxx 2211 ggrZ kk (5.35)

przy czym: 1 , 2 – współczynniki wagowe ograniczeń, kk ar – współczynnik kary,

k – numer nadrzędnej iteracji związanej z karą.

Ostatecznie zmodyfikowana funkcja celu dla l-tej cząstki zapisywana jest:

))(())((dla)()(

))(())((dla)()(

zmzkl

zmzl

l

mmTTZf

mmTTfh

xxxx

xxxx (5.36)

W pojedynczej iteracji związanej z karą jest wykonywany pełen proces optymalizacji

metodą PSO. W następnej iteracji zwiększeniu ulega współczynnik kr .

Obliczenia optymalizacyjne wykonano dla roju o liczebności 60 cząstek. Przyjęto

następujące wartości współczynników wagowych: 1 = 0,5, 2 = 0,5, liczbę iteracji kary –

k = 4 oraz następująca wartości współczynników algorytmu optymalizacyjnego: w = 0,5,

c1 = 1,2, c2 = 1,6, c3 = 1,0. Dla każdej nadrzędnej iteracji związanej z karą wykonano 8 kroków

czasowych. Jako otoczenie każdej cząstki rozpatrywano grupę ośmiu najbliżej położonych

cząstek w przestrzeni rozwiązywanego zadania. Wybrane wyniki procesów optymalizacji dla

różnych wartości podstaw a współczynników kary, zadanych wymagań Zm oraz ZT

przedstawiono w tabeli 5.1.

Tabela 5.1. Zestawienie wyników optymalizacji dla r1=1,2 oraz r1=1,3

Tz mz s1 s2 s3 s4 η(x) cosφ(x) T(x) mm(x) a [Nm] [kg] [mm] [mm] [mm] [-] [%] [-] [Nm] [kg]

1,2 26,0 5,42 8,06 41 94,742 0,998 19,987 0,532 1,3

Tz≥20 mz≤0.55 25,94 5,56 5,76 41 94,746 0,998 20,019 0,544

1,2 Tz≥20 mz≤0.5 25,98 5,30 10,03 41 94,746 0,998 20,025 0,509 1,3 Tz≥23 mz≤0.6 31,08 5,11 8,33 36 94,521 0,998 23,160 0,599

Na podstawie powyżej przedstawionych wyników stwierdzamy, że w przypadku

algorytmu roju cząstek wartość współczynnika wagi a = 1,2 jest zbyt mała, algorytm jest

wolniej zbieżny. Dla tej wartości (pierwszy wiersz w tabeli 5.1) wartość masy materiałów

magnetycznych xmm odbiega od wartości zadanej Zm . Dlatego podczas optymalizacji

maszyn magnetoelektrycznych przy wykorzystaniu algorytmu PSO korzystniej jest stosować

większe wartości a.

Na rys. 5.13 przedstawiono przekroje najlepiej przystosowanych cząstek otrzymanych

w wyniku procesu optymalizacji. Struktura LSPMSM_1 odpowiada parametrom: Tz ≥ 20 Nm,

mz ≤ 0,55 kg oraz a = 1,3. Na rys. 5.13b przedstawiono najlepszego osobnika dla parametrów:

108

Tz ≥ 20 Nm , mz ≤ 0,5 kg oraz a = 1,2 (LSPMSM_2). LSPMSM_3 to optymalna struktura dla:

Tz ≥ 23 Nm , mz ≤ 0,6 kg oraz a = 1,2.

a) LSPMSM_1 b) LSPMSM_2 c) LSPMSM_3

Rys. 5.13. Optymalne struktury silników LSPMSM

W celu weryfikacji obliczeń optymalizacyjnych opracowano polowy model ustalonych

zjawisk elektromagnetycznych w badanym silniku. Do wyznaczania rozkładów pola

i parametrów silnika wykorzystano dwuwymiarową metodę elementów skończonych. Po

uwzględnieniu symetrii obwodu magnetycznego – analizowano ¼ struktury obwodu silnika.

Rozpatrywany obszar został podzielony na 7497 trójkątnych elementów. Siatkę

dyskretyzującą wykorzystaną podczas obliczeń symulacyjnych przedstawiono na rys. 5.14a.

Rozkład linii sił pola magnetycznego dla LSPMSM_1 przedstawiono na rys. 5.14b. Natomiast

rys. 5.14c przedstawia rozkład gęstości indukcji magnetycznej wytwarzanej przez magnesy

trwałe dla optymalnej struktury.

a) b) c)

Rys. 5.14. a) siatka dyskretyzująca, b) rozkład linii sił pola magnetycznego, c) rozkład gęstości indukcji magnetycznej

W celu wyznaczenia parametrów (cosφ, η) silnika przy wykorzystaniu MES konieczne

jest opracowanie pełnego modelu nieustalonych zjawisk elektromagnetycznych obejmującego

dodatkowo równania obwodów i równanie bilansu momentów [87]. Taki model pozwala

również na ocenę właściwości rozruchowych silnika [117]. Obliczenia wykonano dla

znamionowej wartości napięcia zasilającego U = 400 V. Przyjęto wartość momentu obciążenia

109

To = 20 Nm oraz wartość momentu bezwładności Jb = 0,0073156 kgm2. Przebieg prędkości

obrotowej oraz momentu elektromagnetycznego podczas rozruchu ilustruje rys. 5.15.

Rys. 5.15. Przebieg prędkości obrotowej oraz momentu podczas rozruchu

Na podstawie wyników przedstawionych na rys. 5.15 stwierdzamy, że uzyskane

w wyniku obliczeń optymalizacyjnych parametry układu wzbudzenia oraz przyjęte parametry

klatki rozruchowej zapewniają skuteczny rozruch maszyny i poprawną synchronizację.

W celu oceny przydatności modelu o parametrach skupionych w procesie optymalizacji

rozpatrywanego silnika LSPMSM, dla uzyskanych w wyniku optymalizacji wartości

zmiennych decyzyjnych wykonano obliczenia przy wykorzystaniu modelu MES. Wyniki

obliczeń zestawiono w tabeli 5.2.

Tabela 5.2. Porównanie wyników dla dwóch modeli

η cosφ Tr Typ modelu [%] [-] [Nm]

Model o parametrach skupionych 94,75 0,998 79,91 Model polowy 93,20 0,998 80,20

Porównując wyniki przedstawione w tabeli 5.2 możemy stwierdzić, że model

o parametrach skupionych może być wykorzystywany do wstępnej optymalizacji maszyn

synchronicznych o rozruchu własnym – pod warunkiem, że w obwodzie magnetycznym nie

wystąpią obszary silnie nasycone (rozdział 7). W analizowanym przypadku największe

rozbieżności (około 1,63 %) odnotowano dla sprawności.

Zaletą modeli o parametrach skupionych jest krótki czas obliczeń w stosunku do modeli

MES [7, 41, 161]. Wykazano, że mogą być one z powodzeniem stosowane w procesie

wstępnego optymalnego projektowania maszyn wzbudzanych magnesami trwałymi [222].

W celu uwzględniania wpływu zjawisk, których nie sposób odwzorować w tych modelach

110

(np. nasycenia obwodu magnetycznego) konieczne jest wprowadzanie współczynników

korekcyjnych.

Obliczenia optymalizacyjne zostały wykonane na komputerze o parametrach: procesor

Pentium D915, 2,8 GHz oraz 2 GB RAM. Czas obliczeń procesu optymalizacyjnego przy

zastosowaniu modelu o parametrach skupionych wyniósł 5 godzin i 30 minut. Przy

zachowaniu liczby kroków czasowych i liczebności roju takiej samej jak w przypadku modelu

o parametrach skupionych, szacowany czas obliczeń dla modelu polowego wyniósł by około

310 godzin.

Przy wykorzystaniu proponowanej modyfikacji metody roju cząstek (z uwzględnieniem

najbliższego otoczenia każdej cząstki) czas obliczeń w pojedynczej iteracji wydłuża się nawet

o kilkadziesiąt procent. We wszystkich testowanych przypadkach zmodyfikowana metoda

pozwalała jednak na uzyskanie wyniku optymalnego po mniejszej liczbie kroków czasowych.

Ponieważ jednak czas obliczeń modułu OPT jest zdecydowanie mniejszy od czasu obliczeń

modułu OBIEKT, w przypadku wykorzystania polowych modeli zjawisk w rozpatrywanym

silniku. Dlatego nawet nieznaczne zmniejszenie liczby kroków czasowych może znacząco

zmniejszać czas obliczeń. Taka modyfikacja jest pożądana podczas realizowania zadań

optymalizacji z wykorzystaniem modeli MES.

Transformator zasilacza elektronicznego

W drugim przykładzie testowym wykorzystano algorytm genetyczny do optymalizacji

wymiarów rdzenia oraz parametrów uzwojeń transformatora jednofazowego zapewniających

minimalne straty mocy. Zastosowano model o parametrach skupionych. Jako obiekt

optymalizacji wybrano transformator o uzwojeniu krążkowym oraz wykroju rdzenia typu EI.

Zadanie optymalizacji zostało sformułowane następująco: przy zadanych wartościach

napięć uzwojeń pierwotnego i wtórnego 1U , 2U , prądu 1I oraz częstotliwości f wyznaczyć

parametry struktury transformatora zapewniające minimalne straty mocy.

Na rys. 5.16 przedstawiono rdzeń transformatora z naniesionymi oznaczeniami wymiarów.

Strukturę rozpatrywanego obiektu opisano pięcioma zmiennymi decyzyjnymi:

- indukcja B w kolumnie głównej transformatora,

- gęstości 1J , 2J prądów w uzwojeniach,

- wysokość kL ( 21 kkk LLL – rys. 5.16) okna uzwojenia,

- przekrój FeS kolumny głównej.

Funkcję celu dla l-tego osobnika w populacji sformułowano następująco:

)](22[2

2

21

2

1 managpkRIRIf Fefpl x (5.37)

111

przy czym: 1R , 2R – rezystancje uzwojeń stron górnego i dolnego napięcia,

pk – współczynnik strat dodatkowych w materiałach ferromagnetycznych [88], g – grubość

rdzenia transformatora, fp – stratność materiału rdzenia, Fe – masa właściwa materiału

z którego wykonany jest rdzeń.

Celem badań było testowanie różnych strategii i ocena ich przydatności w procesie

projektowania maszyn wzbudzanych magnesami trwałymi. Dlatego opracowany program

umożliwia analizę efektywności różnych metod: reprodukcji, krzyżowania, mutacji oraz

wpływu strategii elitarnej na przebieg procesu optymalizacji. Przed rozpoczęciem obliczeń

zadawane są parametry: liczba osobników 50N , prawdopodobieństwo krzyżowania

4,0kp oraz prawdopodobieństwo mutacji 2,0mp . Użytkownik w sposób interaktywny

może zmieniać parametry wszystkich operatorów genetycznych oraz obserwować ich wpływ

na wyniki obliczeń. Widok formularza programu komputerowego przedstawiono na rys. 5.17.

Rys. 5.16. Oznaczenie wymiarów transformatora

Rys. 5.17. Widok formularza aplikacji komputerowej

Bardzo ciekawe są wyniki analizy efektywności procesu optymalizacji, w którym

wykorzystywana jest strategia elitarna (SE) – wymuszone przeniesienie najlepszego osobnika

do następnego pokolenia. Porównanie przebiegu procesów optymalizacyjnych dla procedury

112

z SE oraz procedury bez strategii elitarnej przedstawiono na rys. 5.18a. Zadaniem strategii

elitarnej jest zabezpieczenie populacji przed utratą najlepiej przystosowanego osobnika

podczas operacji krzyżowania i mutacji. Alternatywnie przed utratą najlepszego osobnika

w procesie krzyżowania można zabezpieczyć się przez formowanie nowego pokolenia na

bazie połowy najlepiej przystosowanych rodziców i połowy najlepiej przystosowanych

potomków [170, 239].

Porównanie przebiegów procesów optymalizacji dla dwóch typów reprodukcji: ruletki

(RWS) oraz rankingu liniowego (LRS) zilustrowano na rys. 5.18b. Przedstawiono wartości

funkcji celu dla najlepiej przystosowanego osobnika w populacji.

Na podstawie prezentowanych wyników obliczeń symulacyjnych można stwierdzić, że

przy tak sformułowanym problemie optymalizacyjnym metoda rankingu liniowego wykazuje

lepsze właściwości niż procedura ruletki. Zdecydowanie szybciej pozwala na osiągniecie

lepszego rozwiązania.

a) b)

Rys. 5.18. Porównanie przebiegu procesu optymalizacyjnego: a) z procedurą strategii elitarnej, b) dla dwóch typów reprodukcji

Porównano również przebieg procesu optymalizacyjnego dla dwóch metod

krzyżowania: jednopunktowego z zadanym prawdopodobieństwem (1CPC) oraz

wieloosobowego (MPC). W procedurze (MPC) przeprowadzane było jednocześnie

krzyżowanie jednopunktowe i wieloosobowe. Osobniki do krzyżowania wybierane były

losowo. Każdy z pięciu rodziców przekazywał jeden z chromosomów swojemu potomkowi.

W procedurze tej powstawało 6-ciu potomków z procedury krzyżowania wieloosobowego.

Porównanie wyników obliczeń dla metod (MPC) oraz (1CPC) przedstawiono na rys. 5.19a.

Obserwując przebieg procesu optymalizacji można stwierdzić, że procedura krzyżowania

wieloosobowego jest wolniej zbieżna i pozwala na uzyskanie tylko minimalnie lepszych

wartości optymalnych. Zatem w przypadku zastosowania czasochłonnych modeli polowych

stosowanych w optymalizacji silników magnetoelektrycznych nie powinna być stosowana.

Analizowano przebieg procesu optymalizacji dla dwóch typów mutacji: z zadanym

prawdopodobieństwem 2,0mp (BB) oraz dla mutacji losowego bitu w każdym osobniku

(RBI). Rys. 5.19b ilustruje przebieg procesu optymalizacyjnego dla mutacji (BB) oraz (RBI).

113

Opracowano procedurę umożliwiającą również wymuszenie mutacji w każdym chromosomie.

Takie procedury stosowane są w przypadku długich łańcuchów binarnych tworzących

chromosomy [239]. W przypadku zadań optymalizacji maszyn wzbudzanych magnesami

trwałymi należy zastosować mutację z zadanym prawdopodobieństwem, ponieważ we

wszystkich obliczeniach testowych pozwalała na szybsze osiągniecie optimum.

Wykonanie obliczeń porównawczych miało na celu wytypowanie najbardziej

efektywnych metod: reprodukcji, krzyżowania oraz mutacji które zostaną wykorzystane przy

zadaniach optymalizacji silników wzbudzanych magnesami trwałymi.

a) b)

Rys. 5.19. Porównanie przebiegu procesu optymalizacyjnego: a) dla dwóch typów krzyżowania, b) dla dwóch typów mutacji

5.5.3. Zastosowanie metody roju cząstek do identyfikacji parametrów histerezy

magnetycznej modelu Jilesa-Athertona

Parametry modelu Jilesa-Athertona (rozdział 3.5.3) określane są na podstawie

wyznaczonych eksperymentalnie pętli histerezy. Do identyfikacji tych parametrów mogą być

stosowane różne metody optymalizacyjne: algorytmy genetyczne [32, 90], metoda

symulowanego wyżarzania [24], metoda roju cząstek [151] oraz sieci neuronowe [237].

W celu efektywnej identyfikacji parametrów modelu Jilesa-Athertona opracowano

algorytm oraz aplikację komputerową, w której wykorzystano metodę roju cząstek.

Dla zadanej pętli histerezy uzyskanej z pomiarów eksperymentalnych przeprowadzono

identyfikację parametrów pozwalające jak najlepiej odwzorować jej kształt. Pętlę histerezy

opisano za pomocą pięciu zmiennych decyzyjnych: nas1 iHs , as 2 , ks 3 , cs 4 , 5s

- rozdział 3.5.3. Zmienne decyzyjne tworzą wektor Ti ckaH nass . Wszystkie zmienne

decyzyjne zostały unormowane według reguły (5.2).

Naturalne kryterium w postaci odchylenia zdefiniowano zależnością (5.39a). Jednak

zastosowanie tego kryterium nie odwzorowało pętli histerezy z zadowalającą dokładnością.

Pętle aproksymujące były często przesunięte i odkształcone od pętli zadanej. Po wielu

próbach testowych zaproponowano bardziej rozbudowaną funkcję celu obejmującą trzy

składniki:

114

xxxx 332211 gggf l (5.38)

w której:

pN

nm

sm

p nH

nHnH

Ng

1

2

1

1x , (5.39a)

m

sm

S

SSg x2 , (5.39b)

m

sm

H

HHg

max

maxmax3 x . (5.39c)

przy czym: składnik x1g reprezentuje odchylenie standardowe dla zadanej i symulowanej

pętli histerezy, składnik x2g reprezentuje różnicę pomiędzy polem powierzchni zadanej

i symulowanej pętli, składnik x3g reprezentuje różnicę pomiędzy maksymalnymi

wartościami natężenia pola magnetycznego dla obu pętli, 321 ,, – współczynniki

wagowe, pN – liczba próbek pomiarowych, indeksy m i s – oznaczają wartości

uzyskane z pomiarów oraz obliczeń symulacyjnych, nHnH sm , – wartości natężenia

pola magnetycznego dla n-tej mierzonej oraz optymalizowanej próbki, sm SS , – pola

histerezy mierzonej oraz optymalizowanej próbki, sm HH minmax , – maksymalne oraz minimalne

wartości natężenia pola magnetycznego dla histerezy uzyskanej z pomiarów oraz histerezy

otrzymanej podczas obliczeń symulacyjnych.

W celu oceny poprawności działania algorytmu oraz jego przydatności przy

wyznaczaniu parametrów histerezy modelu Jilesa-Athertona wykonano identyfikację dla

następujących materiałów: (a) supranhyster [115], (b) ferryt K 2004 [271] oraz (c) stal St 45.

Właściwości magnetyczne powyżej wymienionych materiałów badano przy pomocy

zautomatyzowanego stanowiska pomiarowego – rys. 5.20 [115]. Podczas badań

wykorzystywano próbki pierścieniowe.

Obliczenia wykonano dla roju

o liczebności 1500 cząstek. Przyjęto

wartości współczynników wagowych:

0,11 , 0,4532 oraz parametrów

roju 5,0w , 1,11 c oraz 3,12 c [99].

Proces optymalizacyjny składał się

z dwóch etapów. W pierwszym etapie

wykonano proces optymalizacyjny dla Rys. 5.20. Stanowisko pomiarowe do badania właściwości

magnetycznych materiałów

115

przyjętej liczby kroków Jmax = 50. W drugim etapie w populacji początkowej umieszczane

było optymalne rozwiązanie z etapu pierwszego, pozostałe cząstki inicjowane były losowo.

W rezultacie losowo rozmieszczone cząstki w kolejnych krokach czasowych przemieszczały

się w kierunku lidera roju z etapu pierwszego, przeszukując obszar w jego otoczeniu [112].

Na rys. 5.21a przedstawiono porównanie pętli histerezy otrzymanej w wyniku obliczeń

optymalizacyjnych oraz pomiarów dla materiału supranhyster. W wyniku obliczeń

symulacyjnych otrzymano następujący zbiór optymalnych zmiennych decyzyjnych:

2207782,071 s A/m, 250,032 s A/m, 47,103 s A/m, 321,04 s A/m, 0,0003355 s .

Rys. 5.21b ilustruję porównanie pętli histerezy dla materiału ferryt K 2004. W tym

przypadku uzyskano następujące optymalne wartości zmiennych opisujących model Jilesa-

Athertona: 2400000,0011 s A/m, 68,7792 s A/m, 44,4743 s A/m, 601,04 s A/m,

0,0003495 s .

a) b)

Rys. 5.21. Porównanie obliczonych z wyznaczonymi eksperymentalnie pętli histerezy dla: a) supranhyster, b) ferryt K 2004

Natomiast na rys. 5.22 przedstawiono porównanie pętli histerezy dla materiału stal

St 45. Uzyskano następujące wartości zmiennych decyzyjnych: 71571696,631 s A/m,

854,2212 s A/m, 999,2313 s A/m, 431,04 s A/m, 0,001635 s .

Rys. 5.22. Porównanie pętli histerezy optymalizowanej z pomiarową dla St 45

116

Na podstawie wyników obliczeń symulacyjnych stwierdzono, że opracowany algorytm

i oprogramowanie umożliwiają wyznaczenie parametrów modelu Jilesa-Athertona z dużą

dokładnością. Dla dwóch rozpatrywanych materiałów pętle uzyskane w wyniku obliczeń

symulacyjnych i pomiarów eksperymentalnych są zbliżone kształtem. Natomiast dla ferrytu

K 2004 możemy zaobserwować znaczną różnice pomiędzy wartościami natężenia pola:

780max mH A/m oraz 590max sH A/m. W celu uzyskania natężenia pola o zbliżonych

wartościach należy przyjąć większą wartość współczynnika w kompromisowej funkcji

celu [115].

5.6. Podsumowanie

W rozdziale 5 zostało przedstawione główne osiągnięcie autora polegające na

opracowaniu środowiska komputerowego, które może być uniwersalnym narzędziem do

analizy stanów pracy, wspomagania procesu projektowania oraz optymalizacji różnych typów

silników o magnesach trwałych. Zdaniem autora osiągnięty został założony podstawowy cel

badań i potwierdzona główna teza sformułowana w pierwszym rozdziale rozprawy.

Oprogramowanie składa się z dwóch modułów: modułu optymalizacyjnego oraz

modułu zawierającego matematyczny model zjawisk elektromagnetycznych w analizowanym

obiekcie. Głównym zadaniem jakie postawił sobie autor było opracowanie środowiska

programistycznego uniwersalnego, umożliwiającego w stosunkowo prosty sposób wymianę

modułów – zarówno modułu optymalizacji, jak również modułu zawierającego model zjawisk

w dowolnym typie urządzenia, a także „wymienne” stosowanie modeli o różnym stopniu

złożoności. Opracowane oprogramowanie dwumodułowe ma taki charakter.

Moduły są połączone przez procedurę transformacji zmiennych decyzyjnych oraz

procedurę obliczania funkcji celu i ograniczeń. Procedura transformacji zmiennych jest

powiązana ze strumieniem danych wyjściowych modułu optymalizacji i jednocześnie tworzy

strumień danych wejściowych dla modułu zawierającego model obiektu. Odwrotna sytuacja

występuje w przypadku procedury obliczania funkcji celu i ograniczeń. W tym przypadku

wyznaczane parametry funkcjonalne silnika tworzą strumień danych wyjściowych z modułu

zawierającego model obiektu i jednocześnie strumień danych wejściowych modułu

optymalizacji. Na podstawie „dostarczonych” informacji o parametrach funkcjonalnych,

„wewnątrz” modułu optymalizacji są formowane kompromisowe funkcje celu lub człony

reprezentujące karę za niespełnienie wymagań.

Oprogramowanie umożliwia wspomaganie procesu projektowania optymalnych

obiektów opisanych modelami matematycznymi o różnym stopniu złożoności – zarówno

modelami o parametrach skupionych jak też modelami o parametrach rozłożonych

i modelami mieszanymi. Po wykonaniu testów, w których funkcja celu była wyznaczana

117

z wykorzystaniem procedury numerycznej, na przykład wymagała wyznaczenia rozkładu pola

metodą elementów skończonych, stwierdzono, że do optymalizacji silników

magnetoelektrycznych najbardziej efektywne są algorytmy genetyczne oraz metoda roju

cząstek. Te właśnie metody, z zaproponowanymi modyfikacjami, włączono do ostatecznej

wersji oprogramowania.

Opracowane środowisko umożliwia także łączenie modułu zawierającego

oprogramowanie własne z modułem wykorzystującym oprogramowanie komercyjne. Jest to

praktyczne rozwiązanie, szczególnie przy wykorzystaniu komercyjnego oprogramowania do

odwzorowania modelu zjawisk elektromagnetycznych. W takim przypadku konieczne jest

jednak opracowanie dodatkowych „skryptów umożliwiających komunikację pomiędzy

modułami.

Autor, zarówno w przypadku algorytmu genetycznego jak również metody roju cząstek

stosował różne, w tym zaproponowane przez siebie modyfikacje, np. strategię elitarną

i krzyżowanie wielopunktowe w algorytmie genetycznym. Metodę roju cząstek autor

udoskonalił poprzez wprowadzenie bardziej efektywnej metodyki określania „najbliższego

otoczenia” cząstki, zaproponował także uzmiennianie w kolejnych krokach czasowych

współczynników wagowych z jakimi uwzględniane są człony w wyrażeniu opisującym

prędkość cząstki. Wykorzystał dodatkowe kryteria odwzorowujące zachowania społeczne

ławic ryb, zwiększające ochronę przed drapieżnikami, wprowadzając tzw. efekt chaosu.

Wszystkie modyfikacje zwiększają oczywiście czas obliczeń w module

optymalizacyjnym, umożliwiają jednak osiągnięcia optimum przy mniejszej liczebności

pokolenia lub roju; zmniejszeniu ulega też liczba „przetworzonych” pokoleń. Zmniejsza się

więc liczba „wywołań funkcji celu. W przypadku gdy funkcja celu jest formowana

z wykorzystaniem prostego modelu zjawisk w obiekcie, stosowanie modyfikacji nie jest

wskazane; komplikuje algorytmy, a nawet może wydłużyć czas trwania obliczeń. Jednak gdy

wykorzystywany jest polowy lub polowo-obwodowy model zjawisk elektromagnetycznych

w urządzeniu, to czas operacji wykonywanych w module optymalizacyjnym jest pomijalnie

mały. Wtedy nawet niewielkie zmniejszenie liczby osobników w pokoleniu lub liczby

pokoleń mogą znacząco skrócić czas obliczeń. Zdaniem autora jest to jeden z ważniejszych

wniosków wynikających z przeprowadzonych badań, a wprowadzone modyfikacje –

istotnym własnym osiągnięciem.

Bardzo często w procesie optymalnego projektowania silników magnetoelektrycznych

mamy do czynienia z koniecznością uwzględnienia kilku parametrów funkcjonalnych, które

należy wziąć pod uwagę przy tworzeniu kryteriów optymalności. Zmiany wartości zmiennych

decyzyjnych mogą wpływać korzystnie na wszystkie kryteria, jednak w praktyce zmiany te

często prowadzą do przeciwstawnych tendencji. Jedne parametry poprawiają się, podczas gdy

inne pogarszają. Mówimy wówczas, że kryteria są sprzeczne i trzeba szukać „kompromisu”.

118

Zagadnienia te są przedmiotem tzw. optymalizacji wielokryterialnej. W zagadnieniach

optymalizacji wielokryterialnej nie można wskazać jednoznacznie który wariant jest

optymalny. Dlatego często wyznaczany jest tzw. zbiór Pareto (zbiór kompromisów). Dalsze

działania wymagają interwencji projektanta zmierzającej do wyboru wariantu

kompromisowo-optymalnego. Teoria optymalizacji wielokryterialnej proponuje strategie

wspomagające podjęcie decyzji, np. algorytm wagowy lub algorytm min-max. Strategie te

zazwyczaj prowadzą do skonstruowania kompromisowej funkcji celu i przeprowadzenia

optymalizacji jednokryterialnej. W strategii wagowej formułowana jest addytywna lub

multiplikatywna funkcja kompromisowa.

Na etapie wstępnej optymalizacji silników, której celem jest rozpoznanie relacji

pomiędzy parametrami opisującymi strukturę obwodów elektromagnetycznych,

a uzyskiwanymi parametrami funkcjonalnymi dopuszczalne wartości parametrów nie są

jednoznacznie określone. Dlatego, przy wstępnym formułowaniu wytycznych do

projektowania wygodniejsze jest dołączenie tych parametrów z odpowiednią wagą do

kompromisowej funkcji celu i wykorzystanie zasad optymalizacji wielokryterialnej. Bardzo

ważnym zagadnieniem w ekstremalizacji funkcji kompromisowej jest dobór współczynników

wagowych z jakimi są uwzględniane poszczególne kryteria. Autorską metodykę dobierania

wartości tych współczynników przedstawiono w kolejnych rozdziałach.

Natomiast w procesie projektowania silnika dedykowanego do określonego zadania

lub przeznaczonego do seryjnej produkcji, funkcją celu może być wąski zbiór wybranych

parametrów funkcjonalnych, zaś pozostałe parametry tworzą zbiór ograniczeń

nierównościowych. W takim przypadku z powodzeniem można stosować metodę funkcji

kary. Ponieważ w algorytmie genetycznym przystosowanie musi być wielkością dodatnią

(kara nie może przewyższać funkcji celu), zatem autor zaproponował modyfikacja członu

reprezentującego karę z wykorzystaniem funkcji sigmoidalnej. Opracowana i wdrożona

procedura upodabnia algorytm z funkcją kary do algorytmu z multiplikatywną funkcją

kompromisową funkcją zmodyfikowana (z karą) jest wówczas iloczynem dwóch czynników:

funkcji celu i czynnika związanego z ograniczeniami.

Kolejne udoskonalenie zaproponowane przez autora dotyczyło zadania

optymalizacji z ograniczeniami w postaci funkcji kary, w którym wykorzystywana jest

metoda roju cząstek lub algorytm genetyczny, a dokładniej optymalnego skojarzenia iteracji

związanych ze zmianami kary z iteracjami (pokoleniami) algorytmu genetycznego.

W klasycznej metodzie z funkcją kary zewnętrznej, zmiana współczynnika kary następuję po

całkowitym zakończeniu bezwarunkowej optymalizacji zmodyfikowanej funkcji celu. Takie

postępowanie jest niecelowe i prowadzi do znacznego, niepotrzebnego wydłużenia czasu

obliczeń. Zarówno w algorytmie genetycznym, jak i w metodzie roju cząstek, wynik bliski

119

optimum uzyskuje się zwykle już po kilku iteracjach Nie warto zatem kończyć procesu

optymalizacji bezwarunkowej w odniesieniu do funkcji zmodyfikowanej. Należy zmieniać

wagowy współczynnik kary „wcześniej”, przed osiągnięciem optimum, po wykonaniu

kilku iteracji algorytmu optymalizacji bezwarunkowej, to jest po obliczeniach wykonanych

dla kilku pokoleń. Jak wynika z przedstawionych w podrozdziale 6.4 rozważań, dzięki takiej

modyfikacji można uzyskać dwu- lub nawet trzykrotne skrócenie czasu obliczeń w porównaniu

z procedurą klasyczną. Zaproponowana modyfikacja w pewnym stopniu zaciera różnicę

pomiędzy iteracjami nadrzędnymi, wynikającymi ze zmian kary, a iteracjami podrzędnymi

związanymi z procedurą optymalizacyjną. Oba typy iteracji przenikają się nawzajem.

W celu oceny poprawności działania opracowanego uniwersalnego oprogramowania

modułowego rozpatrzono kilka zadań testowych opisanych w podrozdziale 5.5.2. Między

innymi przedstawiono wyniki testowych obliczeń optymalizacyjnych silnika LSPMSM

z zastosowaniem zmodyfikowanej metody PSO oraz modelu o parametrach skupionych

opracowanym w środowisku ANSYS Maxwell oraz wyniki obliczeń dla modułu

optymalizacji wykorzystującego algorytm genetyczny oraz moduł zawierający opracowany

przez autora model o parametrach skupionych transformatora elektronicznego.

W pierwszym teście wykonano obliczenia optymalizacyjne silnika LSPMSM

z wsuwanymi magnesami w kształcie litery „U” . Ograniczenia uwzględniono metodą funkcji

kary zewnętrznej. Proces optymalizacji był powtarzany przy wzrastającym udziale członu

reprezentującego karę. Autor przeanalizował i podał wytyczne co do doboru wartości

podstawy a ciągu potęgowego stanowiącego współczynnik wagowy funkcji

kary – zaproponował optymalną wartość a = 1,3.

W celu weryfikacji obliczeń optymalizacyjnych opracowano polowy model zjawisk

ustalonych elektromagnetycznych w tym silniku. Z przeprowadzonych badań wynika bardzo

ważny wniosek, a mianowicie, że model o parametrach skupionych może być wykorzystywany

do wstępnej optymalizacji maszyn synchronicznych o rozruchu własnym pod warunkiem, że

w obwodzie magnetycznym nie wystąpią obszary silnie nasycone. Zaletą modeli o parametrach

skupionych jest krótki czas obliczeń w stosunku do modeli MES. Wykazano, że modele te

mogą być z powodzeniem stosowane w procesie wstępnego optymalnego projektowania

maszyn wzbudzanych magnesami trwałymi. W celu uwzględniania wpływu zjawisk, których

nie sposób odwzorować z ich wykorzystaniem (np. nasycenia obwodu magnetycznego)

konieczne jest wprowadzanie współczynników korekcyjnych.

W celu wyznaczenia przy wykorzystaniu MES wszystkich parametrów silnika, także

parametrów opisujących jego właściwości rozruchowe, wykorzystano pełny model

nieustalonych zjawisk elektromagnetycznych obejmujący dodatkowo równania obwodów

i równanie bilansu momentów. Stwierdzono, że uzyskane w wyniku obliczeń

120

optymalizacyjnych parametry układu wzbudzenia oraz parametry klatki rozruchowej

zapewniają skuteczny rozruch maszyny i poprawną jej synchronizację.

W drugim przykładzie testowym wykorzystano algorytm genetyczny do

optymalizacji wymiarów rdzenia oraz parametrów uzwojeń transformatora zasilacza

elektronicznego, zapewniających minimalne straty mocy. Celem badań było testowanie

różnych strategii i ocena ich przydatności w procesie projektowania urządzeń

elektromagnetycznych. Przeprowadzono analizę efektywności różnych metod: reprodukcji,

krzyżowania, mutacji oraz wpływu strategii elitarnej na przebieg procesu optymalizacji.

Porównano także przebiegi procesów optymalizacji dla dwóch typów reprodukcji: metody

ruletki oraz metody rankingu liniowego. W metodzie ruletki prawdopodobieństwa przypisane

poszczególnym osobnikom różnią się w znacznie mniejszym stopniu niż w metodzie rankingu

liniowego. Stosunek prawdopodobieństwa przypisanego grupie najlepszych osobników do

prawdopodobieństwa przypisanego grupie najgorszej zwykle nie przekracza 2 do

3 (wyjątkiem są osobniki generowane w wyniku mutacji). W metodzie rankingu stosunek ten

jest równy liczbie osobników w pokoleniu, np. 1:60. W tym drugim przypadku zatem,

osobniki gorzej przystosowane są szybciej eliminowane i wydawać by się mogło, że algorytm

jest bardziej efektywny. Niestety, przy rozbudowanych procedurach obliczania

„przystosowania” algorytm z wykorzystaniem „rankingu” często nie znajduje optimum

globalnego; ma bowiem więcej cech algorytmu deterministycznego. Jednak w stosunkowo

prostym zadaniu jakim jest optymalizacja transformatora, którego parametry są wyznaczane

analitycznie, a ograniczenia równościowe są wykorzystywane do eliminacji niektórych

zmiennych metoda rankingu liniowego wykazuje lepsze właściwości niż procedura ruletki.

Tego wniosku nie można jednak uogólniać i „przenosić” na bardziej złożone przypadki

rozpatrywane w niniejszej rozprawie.

Porównano również przebieg procesu optymalizacyjnego dla dwóch metod

krzyżowania: jednopunktowego z zadanym prawdopodobieństwem (1CPC) oraz

wieloosobowego (MPC). Wykazano, że procedura krzyżowania wieloosobowego jest

wolniej zbieżna i pozwala przy tym samym „nakładzie obliczeniowym” na uzyskanie

tylko minimalnie lepszych wartości optymalnych. Zatem w przypadku zastosowania

czasochłonnych modeli polowych stosowanych w optymalizacji silników

magnetoelektrycznych nie powinna być stosowana.

Analizowano następnie przebieg procesu optymalizacji dla dwóch typów mutacji:

z zadanym prawdopodobieństwem 2,0mp (BB) oraz dla mutacji losowego bitu w każdym

osobniku (RBI). Na podstawie wszystkich obliczeń testowych odnoszących się do zadań

optymalizacji obiektów opisanych złożonymi modelami, w tym także maszyn wzbudzanych

magnesami trwałymi, wykazano, że bardziej efektywny jest algorytm z wykorzystaniem

mutacji o z góry zadanym prawdopodobieństwie.

121

Wykonanie obliczeń porównawczych miało na celu wytypowanie najbardziej

efektywnych metod: reprodukcji, krzyżowania oraz mutacji które zostaną wykorzystane przy

zadaniach optymalizacji silników wzbudzanych magnesami trwałymi.

W ostatnim teście (rozdz. 5.5.3) opracowane oprogramowanie wykorzystano do

realizacji zadania innego typu, nie polegającego na optymalnej syntezie obiektu. Metodę roju

cząstek wykorzystano do identyfikacji parametrów histerezy magnetycznej modelu Jilesa-

Athertona. Wykazano, że zastosowanie naturalnego kryterium w postaci odchylenia nie

pozwala na odwzorowanie pętli histerezy z zadowalającą dokładnością. Pętle aproksymujące

były często przesunięte w stosunku do pętli wyznaczonej pomiarowo. Po wielu próbach

testowych zaproponowano bardziej rozbudowaną funkcję celu obejmującą dodatkowe

dwa składniki dotyczące pola powierzchni pętli oraz położenia jej wierzchołków. Na

podstawie wyników obliczeń symulacyjnych stwierdzono, że opracowany algorytm umożliwia

wyznaczenie parametrów modelu Jilesa-Athertona z dużą dokładnością; pętle uzyskane

w wyniku obliczeń symulacyjnych i pomiarów eksperymentalnych są bardzo zbliżone

kształtem.

Podsumowując, można stwierdzić, że wykonane testy potwierdziły przydatność

i efektywność opracowanego oprogramowania. Opracowane środowisko zostało z w dalszej

części badań z powodzeniem wykorzystane do optymalizacji silników o magnesach trwałych.

122

6. Optymalizacja magnetoelektrycznych silników synchronicznych na podstawie polowo-obwodowego modelu zjawisk elektromagnetycznych

6.1. Wprowadzenie

Ciągła motywacja do analizy i syntezy struktur maszyn wzbudzanych magnesami

trwałymi jest determinowana przez rozwój inżynierii materiałowej. Producenci oferują

magnesy trwałe o dużych gęstościach energii, lepszych parametrach magnetycznych,

mechanicznych i termicznych. Współcześnie producenci i użytkownicy maszyn elektrycznych

coraz częściej zwracają uwagę na energooszczędność urządzeń. Z powyższych powodów

obserwowany jest wzrost zainteresowania oraz rozwój konstrukcji silników wzbudzanych

magnesami trwałymi. Różnorodność właściwości magnetycznych dostępnych magnesów

trwałych wpływa na zróżnicowanie konstrukcji tych silników [83]. Wymiary, kształt oraz

rozmieszczenie magnesów trwałych możliwe jest kształtowanie pożądanego przez

konstruktora rozkładu pola w szczelinie powietrznej, a co za tym idzie kształtowanie

charakterystyk.

Rozwój technologii proszkowej umożliwia swobodne kształtowanie geometrii elementów

oraz ich właściwości magnetycznych – w zależności od zastosowanych domieszek.

W najbardziej nowoczesnych, nowatorskich rozwiązaniach stosuje się obwody magnetyczne

składające się zarówno z różnych typów proszkowych elementów magnetycznie miękkich jak

też różnych typów proszkowych magnesów trwałych – tzw. struktury hybrydowe.

W niniejszym rozdziale przedstawiono wyniki obliczeń optymalizacyjnych różnych

typów silników magnetoelektrycznych (PMSM i LSPMSM). Celem tych obliczeń jest

rozpoznanie relacji pomiędzy parametrami opisującymi strukturę obiektu i jego paramentami

funkcjonalnymi. Na podstawie wykonanych obliczeń i wynikających z nich wniosków

możliwe jest formułowanie ogólnych zaleceń do projektowania silników

magnetoelektrycznych. W każdym przypadku rozpatrywane było zadanie polegające na

optymalizacji parametrów wirnika przy wykorzystaniu stojana seryjnie produkowanego

silnika indukcyjnego. W rozdziale 6.3 zaprezentowano wyniki obliczeń optymalizacyjnych

magnetoelektrycznego silnika synchronicznego, posiadającego magnesy złożone z materiałów

o różnych właściwościach magnetycznych: a) spiekanego materiału NeFeB, b) proszkowego

dielektromagnesu opracowanego przez Instytut Tele- i Radiotechniczny w Warszawie [250].

W ostatnich latach interesującą alternatywą dla silników PMSM są silniki o rozruchu

własnym – silniki LSPMSM. Obserwowany jest dynamiczny wzrost zainteresowania tymi

maszynami w wielu zespołach badawczych na całym świecie [18, 84, 138, 150, 181].

Podstawową zaletą tego typu silników jest możliwość bezpośredniego rozruchu po włączeniu do

sieci trójfazowej. Podstawowym zadaniem uzwojenia klatkowego w wirniku jest wytworzenie

momentu elektromagnetycznego, który ma wprowadzić silnik w synchronizm [55].

123

Pełne rozpoznanie możliwości, zalet oraz właściwości silników o magnesach trwałych

wymaga dogłębnego poznania zjawisk, opracowania nowych, dokładnych modeli

matematycznych oraz algorytmów optymalnego projektowania [143, 251].

6.2. Zastosowanie algorytmu genetycznego do optymalizacji wirnika PMSM 6.2.1. Optymalizacja wirnika z magnesami łukowymi z uwzględnieniem momentu

zaczepowego

W rozdziale omówiono problem optymalizacji wirnika silnika synchronicznego

o rozruchu częstotliwościowym na bazie produkowanego seryjnie stojana silnika

indukcyjnego – typu Sg100L-4B. Podstawowe parametry charakteryzujące obwód stojana

przedstawiono w tabeli 6.1. Strukturę obwodu magnetycznego silnika z magnesami łukowymi

naklejanymi na powierzchnię wirnika przedstawiono na rys. 6.1. Obliczenia symulacyjne

wykonano przy wykorzystaniu polowego modelu ustalonych zjawisk elektromagnetycznych.

Rys. 6.1. Obwód silnika z zewnętrznymi magnesami łukowymi

Tabela 6.1. Wymiary i parametry stojana

Liczba par biegunów

Średnica zewnętrzna

Średnica wewnętrzna

Długość pakietu

Liczba żłobków

Liczba zwojów w żłobku

2p DS dS LS ż Ns [-] [mm] [mm] [mm] [-] [-] 2 154 94 125 36 45

Obliczenia rozkładu pola dla jednego wariantu silnika były powtarzane 600 razy – dla

różnych wartości kąta wzajemnego usytuowania wektora pola stojana i osi magnesów

w przedziale odpowiadającym jednej podziałce biegunowej, tj. w przedziale od 0 do 45

elektrycznych, z krokiem 0,1 s. Założono znamionową gęstość prądu w uzwojeniu stojana.

Przy ustalonych wartościach prądów stojana, odpowiadających dowolnie wybranej chwili,

124

a więc przy ustalonym położeniu wektora wypadkowego przepływu stojana, zmieniano kąt

położenia wirnika. Na tej podstawie wyznaczano maksymalną, średnią i średniokwadratową

wartość elektromagnetycznego momentu użytecznego, maksymalną, średnią

i średniokwadratową wartość momentu zaczepowego, przebieg indukowanej w uzwojeniu

siły elektromotorycznej oraz współczynnik THD zawartości harmonicznych w tym przebiegu.

Rozpatrywany silnik opisano za pomocą trzech zmiennych decyzyjnych:

1s – długość szczeliny powietrznej, mgs 2 – grubość magnesu, /3 mms –

współczynnik zapełnienia podziałki biegunowej (rozpiętość magnesu odniesiona do podziałki

biegunowej).

Jako podstawowe kryterium optymalności przyjęto wskaźnik energooszczędności; czyli

iloczyn sprawności i współczynnika mocy [168]:

coscos1

e

m

P

Pf (6.1)

przy czym: mP – moc mechaniczna użyteczna, eP – moc elektryczna pobierana z sieci.

Po podstawieniu: TPm oraz cos3UIPe otrzymujemy:

aTTUIUI

Tf

3cos

cos31 (6.2)

Jeżeli zmiennymi w procesie optymalizacji są wyłącznie parametry związane z wirnikiem

(przy zadanych wymiarach stojana oraz parametrach uzwojenia) to maksymalizacja

wskaźnika energooszczędności cos jest równoznaczna z maksymalizacją momentu

elektromagnetycznego T. Stała a jest zależna od przyjętej indukcji w rdzeniu i gęstości prądu

w uzwojeniu stojana:

sspssFesuss

JBsJsBkzUIa

const

2

233

(6.3)

Jeśli więc założyć że w projektowanym magnetoelektrycznym silniku synchronicznym

warunki termiczne będą takie same jak w bazowym silniku indukcyjnym, to gęstość prądu

i skuteczna wartość prądu w uzwojeniu nie może ulec zmianie. Zatem współczynnik a we

wzorze (6.2) może być rozpatrywany jako „stała” określająca stopień wyzyskania materiałów

czynnych, z których jest wykonany stojan.

Bardzo ważnym parametrem podczas projektowania silników magnetoelektrycznych

jest moment zaczepowy cT , który powinien być jak najmniejszy [56, 224, 244].

Uwzględniono również koszt (objętość V ) magnesu. Te dwa parametry mogą być

rozpatrywane podczas formułowania funkcji celu jako ograniczenia. Jednak podczas

125

wstępnego projektowania silnika PMSM ich oczekiwane wartości nie są narzucone

jednoznacznie. Dlatego w początkowej fazie obliczeń optymalizacyjnych oba te parametry

zostały włączone do kompromisowej funkcji celu jako dodatkowe składniki.

Podczas pierwszej próby przyjęto, że maksymalizowana kompromisowa addytywna

funkcja celu będzie sformułowana następująco:

13

1233221

vttffff c (6.4)

w której t , ct , v oznaczają odpowiednio unormowane wartości: momentu

elektromagnetycznego, momentu zaczepowego i objętości materiału magnetycznie twardego

– odniesione do wartości optymalnych tych parametrów uzyskanych w procesie inicjacji:

0T

Tt ,

0c

cc

T

Tt ,

0V

Vv (6.5)

Wszystkie obliczenia wykonano przy wykorzystaniu oprogramowania, omówionego

w rozdziale 5.5. W module optymalizacyjnym wykorzystano metodę algorytmu

genetycznego. Na podstawie wstępnych obliczeń testowych przyjęto wartości

współczynników wagowych 4,032 . Obliczenia wykonano na populacji o liczebności

50 osobników. Jako kryterium zakończenia przyjęto liczbę pokoleń równą 20. W procedurach

algorytmu genetycznego stosowano: reprodukcję metodą ruletki (RWS), krzyżowanie

jednopunktowe (1CPC), strategię elitarną (SE) – rozdział 5.5.2. Założono wartość

prawdopodobieństwa mutacji 005,0mp . W tabeli 6.2 przedstawiono wybrane wyniki,

a mianowicie parametry najlepszych osobników w wybranych pokoleniach. W kolejnych

kolumnach wyszczególniono: numer pokolenia – J, wartości zmiennych decyzyjnych, wartość

funkcji celu dla najlepiej przystosowanego osobnika w populacji, średnią wartość momentu

elektromagnetycznego oraz maksymalną wartość momentu zaczepowego.

Tabela 6.2. Wyniki obliczeń optymalizacyjnych dla λ2 = λ3= 0,4

δ gm m f Tav Tcmax J [mm] [mm] [-] [-] [Nm] [Nm]

1 0,4712 5,2695 0,5599 1,2341 19,3596 1,5609 5 1,0762 5,2078 0,4685 1,3484 15,9212 0,15520

10 1,0763 4,2029 0,4685 1,5359 15,2412 0,12156 15 1,0763 4,2556 0,4685 1,5459 15,2835 0,12431 20 1,07630 4,2019 0,4685 1,5485 15,2395 0,12085

Następnie powtórzono obliczenia przyjmując mniejsze wartości współczynników

wagowych dotyczące kryteriów pomocniczych ct i v, a mianowicie 2,032 . Wyniki

zestawiono w tabeli 6.3.

126

Tabela 6.3. Wyniki obliczeń optymalizacyjnych dla λ2 = λ3= 0,2

δ gm m f Tav Tcmax J [mm] [mm] [-] [Nm] [Nm]

1 0,91692 5,3175 0,4475 1,5844 15,7777 1,0952 5 9,4421 3,4627 0,4664 2,9649 14,004 0,189 8 0,99423 3,4627 0,4664 3,3101 14,6871 0,1441

12 0,94423 3,4675 0,4664 3,4667 14,824 0,17140 15 9,9861 3,4633 0,46643 3,4776 14,674 0,13764 18 0,9986 3,4682 0,46640 3,4803 14,679 0,13364 20 0,9985 3,4829 0,46640 3,4878 14,695 0,13320

Analizując wnikliwie przedstawione powyżej wyniki obliczeń można stwierdzić, że

zadanie optymalizacji zostało sformułowane niewłaściwie. Na podstawie obserwacji zmian

wartości zmiennych decyzyjnych można zaobserwować, że dodatkowe kryteria 2f i 3f

dotyczące momentu zaczepowego i objętości magnesu prowadzą do przeciwstawnych

tendencji w porównaniu z kryterium dotyczącym momentu użytecznego. Wierzchołki zbioru

kompromisów w sensie Pareto, to znaczy optima względem każdego z maksymalizowanych

oddzielnie składników funkcji kompromisu (6.4) występują przy diametralnie różnych

konfiguracja zmiennych decyzyjnych.

W przypadku składnika 1f (maksimum momentu średniego) optimum występuje dla

0 , 1m i dużej wartości mg , bliskiej grubości jwh jarzma wirnika i ograniczonej tylko

nasyceniem tego jarzma. Natomiast w przypadku składnika 2f (minimum momentu

zaczepowego) optimum występuje dla możliwie dużej szczeliny i bardzo małej grubości

magnesu. Moment zaczepowy jest w dodatku multimodalną funkcją rozpiętości magnesu m ,

tzn. funkcją posiadającą wiele ekstremów. Dla wybranego przypadku zależność tę ilustruje

rys. 6.2. Przy zmianach m o około 0,05 moment zaczepowy zmienia się nawet o 400%,

podczas gdy średni moment elektromagnetyczny (tabela 6.2 oraz 6.3) zaledwie o kilka

procent. W wyniku optymalizacji otrzymuje się obiekt o bardzo małej, względnej rozpiętości

magnesu (poniżej 0,5). Wynika stąd, że łączenie w jedną kompromisową funkcję celu

składnika unimodalnego i multimodalnego jest niewłaściwe. Tak silnie i niemonotonicznie

zależne od zmiennych decyzyjnych dodatkowe kryterium wypacza proces optymalizacji.

Optimum trzeciego składnika funkcji celu występuje dla wartości m i mg dążących do

zera. Ten składnik również negatywnie wpływa na przebieg procedury optymalizacyjnej. Przy

zerowych wymiarach magnesu składnik ten dąży do nieskończoności. W wyniku

optymalizacji według zaproponowanego kryterium (6.4) otrzymuje się maszynę o zbyt dużej

szczelinie powietrznej i zbyt małych wymiarach magnesu.

127

Rys. 6.2. Zależność momentu zaczepowego w funkcji współczynnika zapełnienia podziałki biegunowej k =m

dla różnych wartości współczynnika zapełnienia podziałki żłobkowej kt

Wykonano zatem obliczenia dla skorygowanej kompromisowej funkcji celu

zastępując objętość materiału magnetycznego v w trzecim składniku funkcji (6.4) stopniem

wykorzystania materiału magnetycznie twardego – vT (moment elektromagnetyczny

uzyskiwany z jednostki objętości). Inaczej sformułowano także drugi składnik dotyczący

momentu zaczepowego a mianowicie według zasady podanej w rozdziale 5.1 – zależ (5.9).

Funkcje celu sformułowano w postaci:

0gdy0

0gdy

21

2121

vc

vcvc

ttt

ttttttf (6.6)

w której:

0T

Tt ,

00

0

c

cc

c

cccc

T

Tk

T

TTkt

,

0v

vv

T

Tt (6.7)

przy czym przyjęto: 5,021 , 2` ck . Sposób określenia stałej `ck opisano w rozdz. 5.1.

Wykonane obliczenia potwierdziły poprzedni wniosek, że włączenie do kompromisowej

funkcji celu składnika reprezentującego moment zaczepowy znacząco „wypacza” proces

optymalizacji. Moment zaczepowy jest bowiem niemonotoniczną funkcją m , a pochodna

mcT silnie oscyluje, osiągając miejscami duże wartości. Algorytm optymalizacji jest zbyt

wrażliwy na zmiany momentu zaczepowego. Nawet uwzględnienie momentu zaczepowego

jako ograniczenia nie poprawia jakości działania procedury optymalizacyjnej.

Dlatego w dalszych rozważaniach zadanie optymalizacji zostało podzielone na dwa

etapy. W pierwszym etapie nie uwzględniano momentu zaczepowego. Jest rzeczą naturalną,

128

że w przypadku tak sformułowanego zadania optymalizacji długość szczeliny δ będzie dążyła

do zera. Nie ma więc sensu włączanie tego parametru do zbioru zmiennych decyzyjnych.

W przypadku produkcji przemysłowej wartość długości szczeliny powietrznej jest

ograniczona od dołu względami technologicznymi, możliwością montażu wirnika

z naklejonymi na powierzchni silnymi magnesami oraz naciągiem magnetycznym. Zwykle

bez względu na wielkość silnika, szczelina ma taką samą długość i zazwyczaj zawiera się

w przedziale 0,8 do 1,0 mm [62]. W dalszych obliczeniach przyjęto δ = 0,9 mm.

6.2.2. Dekompozycja zadania. Etap 1 – optymalizacja z uwzględnieniem współczynnika

THD zawartości harmonicznych w przebiegu siły elektromotorycznej

W pierwszej kolejności w celu rozpoznania zależności pomiędzy zmiennymi

decyzyjnymi (wymiary m i mg ), a uzyskiwanymi parametrami funkcjonalnymi wykonano

szereg obliczeń wykorzystując metodę systematycznego przeglądu. Grubość magnesu

zmieniano w przedziale 62 mm, zaś względną rozpiętość magnesu m – w przedziale

95,055,0 . Obliczano następujące parametry funkcjonalne:

- średni moment elektromagnetyczny T (wartość średniokwadratowa),

- moment maksymalny maxT , to jest moment przy prostopadłym usytuowaniu wektorów

pola wirnika i pola stojana,

- średnią wartość momentu zaczepowego cT (wartość średniokwadratowa),

- maksymalny moment zaczepowy w obszarze podziałki biegunowej maxcT ,

- objętość magnesu V ,

- współczynnik THD zawartości harmonicznych w przebiegu siły elektromotorycznej,

- moment średni vT uzyskiwany z jednostki objętości (przy stałej długości maszyny jest to

wartość uzyskiwana z jednostki pola powierzchni przekroju magnesu płaszczyzną

prostopadłą do osi maszyny).

Wyniki obliczeń przedstawiono w tabeli 6.4. Dla każdej z dwóch możliwych

konfiguracji zmiennych m i mg wyznaczono wartości średnie i wartości optymalne

(minimalną lub maksymalną).

129

Tabela 6.4. Zależności wybranych parametrów elektromagnetycznych sinika od gm oraz αm

gm m T Tmax Tc Tc max V THD Tv*104 Lp. [mm] [-] [Nm] [Nm] [Nm] [Nm] [cm3] [%] [N/m2]

1 2 0,55 14,050 20,662 0,897 0,647 19,863 23,416 4,302 2 2 0,6 14,763 20,868 0,782 0,630 21,668 16,736 4,144 3 2 0,65 15,411 22,708 1,121 0,765 23,474 13,432 3,993 4 2 0,7 15,894 23,018 0,557 0,356 25,280 9,056 3,824 5 2 0,75 16,273 24,437 1,255 0,775 27,085 10,028 3,654 6 2 0,8 16,533 24,783 0,707 0,416 28,891 12,316 3,481 7 2 0,85 16,703 25,060 1,194 0,776 30,697 13,985 3,309 8 2 0,9 16,820 26,102 0,566 0,366 32,503 16,824 3,148 9 2 0,95 16,877 26,447 1,016 0,594 34,308 17,483 2,992

średnia 15,925 23,787 0,899 0,592 27,085 14,808 3,650 optymalna 16,877 26,447 0,557 0,356 19,836 9,056 4,302

1 3 0,55 16,149 23,698 1,125 0,831 29,632 23,263 3,279 2 3 0,6 16,949 23,893 0,801 0,657 32,326 17,062 3,155 3 3 0,65 17,640 25,875 1,340 0,887 35,020 13,190 3,031 4 3 0,7 18,154 26,231 0,660 0,354 37,714 9,211 2,897 5 3 0,75 18,511 27,251 1,242 0,770 40,407 8,737 2,757 6 3 0,8 18,747 27,694 0,867 0,465 43,101 10,970 2,617 7 3 0,85 18,869 27,663 0,979 0,599 45,795 12,373 2,479 8 3 0,9 18,939 28,600 1,744 1,027 48,489 14,192 2,350 9 3 0,95 18,958 29,346 1,683 0,994 51,183 15,043 2,229

średnia 18,102 26,695 1,160 0,732 40,407 13,782 2,755 optymalna 18,958 29,346 0,660 0,354 29,632 8,737 3,279

1 4 0,55 17,360 25,432 1,222 0,918 39,294 23,291 2,630 2 4 0,6 18,205 25,611 0,771 0,638 42,866 17,434 2,528 3 4 0,65 18,913 27,540 1,316 0,878 46,438 13,319 2,425 4 4 0,7 19,431 28,032 0,708 0,355 50,010 9,939 2,313 5 4 0,75 19,756 28,342 0,853 0,502 53,582 8,324 2,195 6 4 0,8 19,971 29,016 1,464 0,799 57,154 9,276 2,080 7 4 0,85 20,050 29,343 0,879 0,553 60,726 10,522 1,966 8 4 0,9 20,116 30,665 3,015 1,875 64,299 11,854 1,862 9 4 0,95 20,110 30,640 2,619 1,620 67,871 12,958 1,764

średnia 19,324 28,291 1,427 0,904 53,582 12,991 2,196 optymalna 20,116 30,665 0,708 0,355 39,294 8,324 2,630

1 5 0,55 18,113 26,481 1,252 0,952 48,847 23,165 2,184 2 5 0,6 18,985 26,598 0,726 0,615 53,288 17,597 2,098 3 5 0,65 19,698 28,399 1,218 0,801 57,728 13,577 2,010 4 5 0,7 20,215 29,142 0,786 0,388 62,169 10,596 1,915 5 5 0,75 20,521 28,857 0,541 0,291 66,610 8,433 1,814 7 5 0,85 20,797 30,130 1,172 0,713 75,491 9,289 1,623 8 5 0,9 20,918 32,551 3,695 2,342 79,932 10,546 1,541 9 5 0,95 20,908 31,916 3,105 1,948 84,372 11,577 1,459

średnia 20,302 30,189 1,853 1,161 58,715 13,359 1,818 optymalna 20,988 32,551 0,541 0,291 48,847 8,223 2,184

1 6 0,55 18,602 27,102 1,268 0,964 58,293 23,110 1,859 2 6 0,6 19,490 27,277 0,750 0,583 63,592 17,765 1,786 3 6 0,65 20,207 28,792 1,086 0,696 68,891 13,859 1,709 4 6 0,7 20,726 29,893 0,874 0,445 74,191 10,952 1,628 5 6 0,75 21,025 29,542 0,816 0,388 79,490 8,638 1,541 6 6 0,8 21,265 31,148 2,827 1,818 84,789 7,795 1,461 7 6 0,85 21,332 30,487 1,558 0,945 90,089 8,633 1,380 8 6 0,9 21,527 33,981 4,036 2,567 95,388 9,896 1,315 9 6 0,95 21,522 33,252 3,358 2,095 58,293 10,761 1,245

średnia 20,633 30,164 1,841 1,167 68,303 12,379 1,547 optymalna 21,527 33,981 0,750 0,388 58,293 7,795 1,859

Z tabeli 6.4 oraz poniżej przestawionych rysunków wynika, że moment

elektromagnetyczny jest monotonicznie rosnącą funkcją obu analizowanych zmiennych

decyzyjnych, natomiast stopień wykorzystania materiału magnetycznego – funkcją malejącą

130

względem tych zmiennych. Są to zatem kryteria przeciwstawne. W funkcji celu muszą być

uwzględnione oba parametry.

Zależność momentu użytecznego T , momentu zaczepowego cT , współczynnika THD

oraz „objętościowej” gęstości momentu vT w zależności od zmiennych decyzyjnych

przedstawiono na rysunkach 6.3, 6.4, 6.5 oraz 6.6.

Rys. 6.3. Elektromagnetyczny moment użyteczny (wartość średniokwadratowa)

Rys. 6.4. Moment zaczepowy (wartość maksymalna przy obrocie wirnika w przedziale 0 – 90º)

Rys. 6.5. Współczynnik THD

131

Rys. 6.6. Moment elektromagnetyczny Tv przypadający na jednostkę objętości

Bardzo ciekawa i istotna jest zależność współczynnika THD zawartości harmonicznych

w sile elektromotorycznej od zmiennych m i mg . Można zauważyć, że istnieje optymalna

rozpiętość magnesu 8,07,0 m przy której współczynnik THD jest najmniejszy,

współczynnik ten jest nawet trzykrotnie mniejszy niż dla skrajnej wartości 55,0m . Jest to

bardzo ważne spostrzeżenie z uwagi na prawidłową pracę silnika synchronicznego, ponieważ

przebieg siły elektromotorycznej powinien być możliwie sinusoidalny [66, 71]. Przy zbyt

małej (mniejszej od 0,65) lub zbyt dużej (większej od 0,85) względnej rozpiętości magnesu

przebieg siły elektromotorycznej jest silnie odkształcony i może mieć przebieg zbliżony do

trapezu a nawet do prostokąta. To powoduje silne zniekształcenie przebiegów prądu oraz

dodatkowe, znaczące pulsacje momentu elektromagnetycznego.

Jeżeli chodzi o wartości zmiennych m można zaobserwować, że moment użyteczny

T oraz stopień wyzyskania vT materiału magnetycznie twardego prowadzą do

przeciwstawnych tendencji.

Z przestawionych rozważań wynika, że głównym parametrem, który należy

uwzględnić w kompromisowym kryterium optymalności w pierwszym etapie obliczeń

jest współczynnik THD zawartości harmonicznych w przebiegu siły elektromotorycznej,

a nie moment zaczepowy.

W celu właściwego doboru współczynników wagowych w kryterium kompromisowym

wykonanych zostało szereg testowych obliczeń. Właściwy dobór współczynników wagowych

ma znaczący wpływ na przebieg procesu optymalizacji [167].

W tabeli 6.5 zestawiono wartości względne, rozpatrywanych jako kryteria cząstkowe

parametrów (T , cT , THD oraz vT ). Jako odniesienie przyjęto średnie wartości każdego

z analizowanych parametrów dla całego rozpatrywanego obszaru zmiennych decyzyjnych

m i mg . W tabeli 6.6 podano wartości odwrócone. Analiza zaprezentowanych poniżej

przeglądowych wyników dotyczących parametrów względnych ułatwia konstrukcję funkcji

132

celu w pierwszym etapie procesu optymalizacji, tj. w etapie, w którym w funkcji celu nie jest

uwzględniany moment zaczepowy.

Tabela 6.5. Względne parametry elektromagnetyczne (odniesione do wartości średnich w całym obszarze przeszukiwań)

gm m T/Tav Tmax/Tav Tc/Tc av THD/THDav Tv/Tv av Lp. [mm] [-] [-] [-] [-] [-] [-]

1 2 0,55 0,7451 0,7426 0,6243 1,7392 1,7977 2 2 0,6 0,7829 0,7500 0,5447 1,2430 1,7315 3 2 0,65 0,8173 0,8161 0,7805 0,9977 1,6686 4 2 0,7 0,8428 0,8272 0,3879 0,6726 1,5979 5 2 0,75 0,8630 0,8782 0,8737 0,7448 1,5269 6 2 0,8 0,8768 0,8907 0,4919 0,9147 1,4544 7 2 0,85 0,8857 0,9006 0,8316 1,0387 1,3829 8 2 0,9 0,8920 0,9381 0,3942 1,2496 1,3152 9 2 0,95 0,8950 0,9505 0,7075 1,2985 1,2502

średnia 15,925 23,787 0,899 0,592 3,649 1 3 0,55 0,8564 0,8517 0,7831 1,7278 1,3703 2 3 0,6 0,8988 0,8587 0,5575 1,2673 1,3184 3 3 0,65 0,9355 0,9299 0,9332 0,9797 1,2665 4 3 0,7 0,9627 0,9427 0,4592 0,6841 1,2104 5 3 0,75 0,9816 0,9794 0,8647 0,6489 1,1518 6 3 0,8 0,9942 0,9953 0,6034 0,8147 1,0936 7 3 0,85 1,0007 0,9942 0,6814 0,9190 1,0360 8 3 0,9 1,0043 1,0279 1,2145 1,0541 0,9821 9 3 0,95 1,0054 1,0546 1,1717 1,1173 0,9313

średnia 18,102 26,695 1,160 0,732 2,754 1 4 0,55 0,9206 0,9140 0,8510 1,7299 1,0990 2 4 0,6 0,9654 0,9204 0,5366 1,2948 1,0564 3 4 0,65 1,0030 0,9898 0,9163 0,9893 1,0131 4 4 0,7 1,0304 1,0074 0,4929 0,7382 0,9665 5 4 0,75 1,0477 1,0186 0,5935 0,6183 0,9172 6 4 0,8 1,0591 1,0428 1,0194 0,6890 0,8692 7 4 0,85 1,0632 1,0546 0,6120 0,7815 0,8213 8 4 0,9 1,0668 1,1021 2,0988 0,8805 0,7783 9 4 0,95 1,0665 1,1012 1,8233 0,9625 0,7371

średnia 19,324 28,291 1,427 0,904 2,195 1 5 0,55 0,9605 0,9517 0,8714 1,7205 0,9125 2 5 0,6 1,0068 0,9559 0,5056 1,3070 0,8768 3 5 0,65 1,0446 1,0206 0,8477 1,0084 0,8397 4 5 0,7 1,0720 1,0473 0,5474 0,7870 0,8002 5 5 0,75 1,0883 1,0371 0,3769 0,6263 0,7582 6 5 0,8 1,0995 1,0864 1,5084 0,6107 0,7182 7 5 0,85 1,1029 1,0828 0,8162 0,6899 0,6780 8 5 0,9 1,1093 1,1698 2,5725 0,7833 0,6440 9 5 0,95 1,1088 1,1470 2,1618 0,8598 0,6099

średnia 20,302 30,189 1,853 1,161 1,818 1 6 0,55 0,9865 0,9740 0,8826 1,7165 0,7770 2 6 0,6 1,0336 0,9803 0,5220 1,3195 0,7462 3 6 0,65 1,0716 1,0348 0,7562 1,0293 0,7142 4 6 0,7 1,0991 1,0743 0,6087 0,8134 0,6802 5 6 0,75 1,1150 1,0617 0,5681 0,6415 0,6440 6 6 0,8 1,1277 1,1194 1,9680 0,5790 0,6106 7 6 0,85 1,1313 1,0957 1,0847 0,6412 0,5765 8 6 0,9 1,1416 1,2212 2,8097 0,7350 0,5495 9 6 0,95 1,1413 1,1950 2,3380 0,7992 0,5204

średnia 20,633 30,164 1,841 1,167 1,547 średnia 18,857 27,8252 1,43631 13,4638 2,99144

133

Tabela 6.6. Względne, odwrócone parametry elektromagnetyczne

gm m Tav/T Vav/V Tc av/Tc THDav/THD Tv av/Tv

[mm] [-] [-] [-] [-] [-] [-] 1 2 0,55 1,1335 2,7633 1,0031 0,6324 0,5563 2 2 0,6 1,0787 2,5331 1,1498 0,8848 0,5775 3 2 0,65 1,0333 2,3382 0,8023 1,1025 0,5993 4 2 0,7 1,0020 2,1712 1,6146 1,6352 0,6258 5 2 0,75 0,9786 2,0265 0,7168 1,4767 0,6549 6 2 0,8 0,9632 1,8998 1,2732 1,2024 0,6876 7 2 0,85 0,9534 1,7880 0,7531 1,0589 0,7231

8 2 0,9 0,9468 1,6887 1,5886 0,8802 0,7603 9 2 0,95 0,9436 1,5998 0,8851 0,8470 0,7999

średnia 15,925 27,085 0,899 14,808 3,649 1 3 0,55 1,1209 1,8325 1,0313 0,5925 0,7298 2 3 0,6 1,0680 1,6798 1,4486 0,8078 0,7585 3 3 0,65 1,0262 1,5506 0,8655 1,0449 0,7896 4 3 0,7 0,9971 1,4398 1,7587 1,4963 0,8262 5 3 0,75 0,9779 1,3439 0,9340 1,5775 0,8682 6 3 0,8 0,9656 1,2599 1,3384 1,2564 0,9144 7 3 0,85 0,9593 1,1858 1,1853 1,1139 0,9652 8 3 0,9 0,9558 1,1199 0,6650 0,9711 1,0183 9 3 0,95 0,9548 1,0609 0,6893 0,9162 1,0737

średnia 18,102 40,407 1,160 13,782 2,754 1 4 0,55 1,1131 1,3672 1,1678 0,5578 0,9099 2 4 0,6 1,0615 1,2533 1,8520 0,7452 0,9466 3 4 0,65 1,0217 1,1569 1,0845 0,9753 0,9870 4 4 0,7 0,9945 1,0742 2,0160 1,3071 1,0346 5 4 0,75 0,9781 1,0026 1,6743 1,5606 1,0903 6 4 0,8 0,9676 0,9400 0,9748 1,4005 1,1505 7 4 0,85 0,9638 0,8847 1,6238 1,2347 1,2176 8 4 0,9 0,9606 0,8355 0,4735 1,0959 1,2849 9 4 0,95 0,9609 0,7915 0,5450 1,0025 1,3567

średnia 19,324 53,582 1,427 12,990 2,195 1 5 0,55 1,1209 1,0881 1,4808 0,5767 1,0958 2 5 0,6 1,0694 0,9974 2,5521 0,7592 1,1405 3 5 0,65 1,0307 0,9207 1,5221 0,9839 1,1909 4 5 0,7 1,0043 0,8549 2,3573 1,2607 1,2496 5 5 0,75 0,9893 0,7979 3,4232 1,5842 1,3189 6 5 0,8 0,9792 0,7480 0,8555 1,6247 1,3924 7 5 0,85 0,9762 0,7040 1,5809 1,4382 1,4750 8 5 0,9 0,9706 0,6649 0,5016 1,2668 1,5527 9 5 0,95 0,9710 0,6299 0,5969 1,1540 1,6397

średnia 20,302 58,715 1,853 13,358 1,818 1 6 0,55 1,1092 0,9020 1,4525 0,5356 1,2871 2 6 0,6 1,0586 0,8269 2,4558 0,6968 1,3401 3 6 0,65 1,0211 0,7633 1,6954 0,8932 1,4002 4 6 0,7 0,9955 0,7087 2,1061 1,1303 1,4702 5 6 0,75 0,9814 0,6615 2,2566 1,4331 1,5528 6 6 0,8 0,9703 0,6201 0,6514 1,5881 1,6377 7 6 0,85 0,9672 0,5837 1,1819 1,4339 1,7345 8 6 0,9 0,9585 0,5512 0,4563 1,2508 1,8200 9 6 0,95 0,9587 0,5222 0,5483 1,1503 1,9215

średnia 20,633 68,303 1,841 12,378 1,547 średnia 18,857 49,619 1,4363 13,463 2,9914

Przeprowadzona szczegółowa analiza umożliwia dobór właściwych wartości

współczynników wagowych w kompromisowej funkcji celu.

134

Wykresy ilustrujące unormowane wartości parametrów funkcjonalnych, które będą

brane pod uwagę przy maksymalizacji kompromisowej funkcji celu przedstawiono na

rys. 6.7, 6.8, 6.9 oraz 6.10.

Rys. 6.7. Względny moment elektromagnetyczny T/Tav (odniesiony do wartości średniej)

Rys. 6.8. Względny współczynnik zawartości harmonicznych – wartość odwrócona THDav/THD

Rys. 6.9. Względny moment zaczepowy – wartość odwrócona (Tc)av/Tc

135

Rys. 6.10. Względna „gęstość momentu” elektromagnetycznego Tv/Tv av (odniesiona do wartości średniej)

Szczegółowej analizie poddany był wpływ objętości i wymiarów magnesów trwałych

na efektywność ich wykorzystania pod względem generowanego momentu

elektromagnetycznego. Rys. 6.11 prezentuje zależność momentu elektromagnetycznego od

grubości magnesu, natomiast na rys. 6.12 przedstawiono przebieg momentu jednostkowego

VTTv w funkcji mg .

Rys. 6.11. Zależność generowanego momentu elektromagnetycznego w funkcji grubości magnesu

Rys. 6.12. Zależność „objętościowej gęstości” momentu w funkcji wymiarów magnesu

136

Kryterium dotyczące objętości magnesu prowadzi do przeciwstawnych tendencji

w porównaniu z kryterium dotyczącym momentu użytecznego. Jeżeli przyjąć maksimum

momentu jako kryterium to magnes powinien mieć dużą grubość mg . Jednak

z przedstawionych tabel oraz rys. 6.7 wynika, że przyrosty momentu elektromagnetycznego

powyżej grubości mg większej niż 4,5 mm są coraz mniejsze. Oznacza to, że stopień

wyzyskania magnesów, tj. wartość momentu elektromagnetycznego uzyskiwana z jednostki

objętości magnesu znacząco maleje (rys. 6.12). Przyjmowanie jako kryterium wyłącznie

maksimum momentu elektromagnetycznego jest nieekonomiczne. Powyżej 54mg mm

koszt uzyskania większego momentu poprzez zwiększenie grubości magnesu jest zbyt duży.

Dlatego w kompromisowej funkcji celu, oprócz kryterium dotyczącego maksymalizacji

momentu elektromagnetycznego musi być uwzględniony czynnik ekonomiczny – koszt

(objętość) magnesu lub stopień jego wyzyskania.

Można przyjąć, że przy założeniu długości maszyny sL =125 mm, stopień wyzyskania

materiału magnetycznego nie powinien być mniejszy niż 41022,1 Nm/m2 – rys. 6.12.

Oznacza to, że w przeliczeniu na bezwzględną jednostkę objętości stopień wyzyskania

VTTv [Nm/m3] nie powinien być mniejszy od wartości granicznej Vgt równej około

4106,1 Nm/m3. Stopień wyzyskania magnesu można uwzględniać w postaci funkcji kary.

Ponieważ wartość graniczne VgT nie może być w sposób jednoznaczny precyzyjnie określona,

zatem wygodniejsze jest dołączenie (z odpowiednią wagą) parametru VTTv lub objętości

magnesu V do kompromisowej funkcji celu.

Jak wcześniej wspomniano, względna rozpiętość magnesu m ma znaczący wpływ na

współczynnik THD zawartości harmonicznych w przebiegu siły elektromotorycznej i na

wartość momentu zaczepowego. W pierwszym etapie optymizacji, współczynnik ten zostanie

uwzględniony w kompromisowej funkcji celu.

Jak wcześniej wspomniano właściwy dobór współczynników wagowych ma istotny

wpływ na rozwiązanie optymalne uzyskiwane w procesie optymalizacji. Szacowanie

właściwych wartości tych współczynników poprzez proces optymalizacji z wykorzystaniem

modelu polowego zjawisk jest czasochłonne. Dlatego na etapie doboru wartości

współczynników wagowych obliczenia przeprowadzono dla różnych kompromisowych

funkcji celu – z wykorzystaniem arkusza kalkulacyjnego (Microsoft Excel – wersja 32

bitowa). Pierwszą analizę przeprowadzono dla multiplikatywnej funkcji celu w postaci:

6/14/13/13 5,075,01321

vv

q

vqq thtthtthtf (6.8)

przy czym

137

avT

Tt ,

avTHD

THDh ,

avv

vv

T

Tt (6.9)

Wyniki obliczeń dla funkcji (6.8) przedstawiono w tabeli 6.7. Najwyższą wartość

multiplikatywnej funkcji kompromisu otrzymuję się dla parametrów mg = 3 mm, m = 0,75.

Kolejne obliczenia testowe wykonano dla addytywnej funkcji celu:

vthtf 31

21 (6.10)

przy czym 11 , 7,02 oraz 25,03 .

Wyniki obliczeń zestawiono w tabeli 6.8. W tym przypadku najwyższą wartość

addytywnej funkcji kompromisu otrzymuję się dla parametrów mg = 4 mm oraz m = 0,75.

138

Tabela 6.7. Porównanie wyników dla multiplikatywnej funkcji kompromisu

gm αm T V THD Tv*1000 t h V/Vav tv f Lp.

[mm] [-] [Nm] [cm3] [%] [N/m2] [-] [-] [-] [-] [-]

1 2 0,55 14,050 19,863 23,416 4,302 0,74667 0,56812 0,3619944 2,0633108 0,88866

2 2 0,6 14,763 21,668 16,736 4,144 0,78456 0,79490 0,3948061 1,9873531 0,97646

3 2 0,65 15,411 23,474 13,432 3,993 0,81903 0,99039 0,4276288 1,9150781 1,0402

4 2 0,7 15,894 25,280 9,056 3,824 0,84467 1,46897 0,4605404 1,8339392 1,15133

5 2 0,75 16,273 27,085 10,028 3,654 0,86483 1,32657 0,4934731 1,7525365 1,12278

6 2 0,8 16,533 28,891 12,316 3,481 0,87865 1,08019 0,5263747 1,6692542 1,0649

7 2 0,85 16,703 30,697 13,985 3,309 0,88766 0,95125 0,5592685 1,5871791 1,02586

8 2 0,9 16,820 32,503 16,824 3,148 0,89392 0,79073 0,5921691 1,5095659 0,97299

9 2 0,95 16,877 34,308 17,483 2,992 0,89692 0,76093 0,6250618 1,4349188 0,95688

10 3 0,55 16,149 29,632 23,263 3,279 0,85825 0,57187 0,5456953 1,5727827 0,89117

11 3 0,6 16,949 32,326 17,062 3,155 0,90078 0,77968 0,5953013 1,5131463 0,97239

12 3 0,65 17,640 35,020 13,190 3,031 0,93748 1,00859 0,6449073 1,4536693 1,04304

13 3 0,7 18,154 37,714 9,211 2,897 0,96481 1,44425 0,6945164 1,3891830 1,14423

14 3 0,75 18,511 40,407 8,737 2,757 0,98375 1,52269 0,7441294 1,3220249 1,15713

15 3 0,8 18,747 43,101 10,970 2,617 0,99631 1,21274 0,7937354 1,2552135 1,08877

16 3 0,85 18,869 45,795 12,373 2,479 1,00282 1,07521 0,8433415 1,1890964 1,04909

17 3 0,9 18,939 48,489 14,192 2,350 1,00650 0,93735 0,8929575 1,1271665 1,00555

18 3 0,95 18,958 51,183 15,043 2,229 1,00753 0,88434 0,9425535 1,068933 0,98329

19 4 0,55 17,360 39,294 23,291 2,630 0,92261 0,57118 0,7314607 1,2613959 0,87713

20 4 0,6 18,205 42,866 17,434 2,528 0,96749 0,76308 0,7979188 1,2125288 0,95466

21 4 0,65 18,913 46,438 13,319 2,425 1,00514 0,99880 0,8644079 1,1628101 1,02604

22 4 0,7 19,431 50,010 9,939 2,313 1,03266 1,33852 0,9308446 1,1093141 1,10658

23 4 0,75 19,756 53,582 8,324 2,195 1,04996 1,59809 0,997389 1,052709 1,15291

24 4 0,8 19,971 57,154 9,276 2,080 1,06135 1,43415 1,0638816 0,9976205 1,11524

25 4 0,85 20,050 60,726 10,522 1,966 1,06554 1,26438 1,1303742 0,9426467 1,07268

26 4 0,9 20,116 64,299 11,854 1,862 1,06909 1,12222 1,1968668 0,8932429 1,03208

27 4 0,95 20,110 67,871 12,958 1,764 1,06877 1,02661 1,2633594 0,845973 1,00058

28 5 0,55 18,113 48,847 23,165 2,184 0,96260 0,57428 0,9190600 1,0473689 0,86616

29 5 0,6 18,985 53,288 17,597 2,098 1,00894 0,75601 1,0026109 1,0063158 0,93616

30 5 0,65 19,698 57,728 13,577 2,010 1,04684 0,97980 1,0861612 0,9637933 1,00418

31 5 0,7 20,215 62,169 10,596 1,915 1,07434 1,25545 1,169716 0,9184674 1,06871

32 5 0,75 20,521 66,610 8,433 1,814 1,09061 1,57759 1,2532658 0,8702124 1,12776

34 5 0,85 20,797 75,491 9,289 1,623 1,10526 1,43217 1,4203654 0,7781552 1,08452

35 5 0,9 20,918 79,932 10,546 1,541 1,11169 1,26148 1,5039161 0,739153 1,04339

36 5 0,95 20,908 84,372 11,577 1,459 1,11115 1,14915 1,587462 0,6999549 1,01046

37 6 0,55 18,602 58,293 23,110 1,859 0,98862 0,57564 1,1086111 0,8917623 0,85134

38 6 0,6 19,490 63,592 17,765 1,786 1,03582 0,74884 1,2093992 0,8564932 0,91731

39 6 0,65 20,207 68,891 13,859 1,709 1,07392 0,95991 1,3101824 0,8196852 0,98055

40 6 0,7 20,726 74,191 10,952 1,628 1,10149 1,21468 1,4109666 0,7806969 1,04036

41 6 0,75 21,025 79,490 8,638 1,541 1,11737 1,54016 1,5117438 0,7391981 1,0992

42 6 0,8 21,265 84,789 7,795 1,461 1,13013 1,70665 1,612532 0,7008358 1,12206

43 6 0,85 21,332 90,089 8,633 1,380 1,13371 1,54095 1,7133151 0,6617464 1,08487

44 6 0,9 21,527 95,388 9,896 1,315 1,14405 1,34426 1,8140993 0,6306104 1,04278

45 6 0,95 21,522 100,687 10,761 1,245 1,14379 1,23625 1,9148865 0,5973151 1,01191

Śr. 18,816 53,434 13,303 1,15713

139

Tabela 6.8. Porównanie wyników dla addytywnej funkcji kompromisu

gm αm T V THD Tv*10000 t h V/Vav tv f

[mm] [-] [Nm] [cm3] [%] [N/m2] [-] [-] [-] [-] [-]

1 2 0,55 14,050 19,863 23,416 4,302 0,74667 1,76018 0,361879944 2,063310804 1,336069

2 2 0,6 14,763 21,668 16,736 4,144 0,78456 1,25802 0,394778061 1,987353163 1,74235

3 2 0,65 15,411 23,474 13,432 3,993 0,81903 1,00970 0,427676288 1,915078109 1,954839

4 2 0,7 15,894 25,280 9,056 3,824 0,84467 0,68075 0,460574404 1,833939289 2,218961

5 2 0,75 16,273 27,085 10,028 3,654 0,86483 0,75382 0,493472631 1,752536581 2,176095

6 2 0,8 16,533 28,891 12,316 3,481 0,87865 0,92577 0,526370747 1,669254287 2,05273

7 2 0,85 16,703 30,697 13,985 3,309 0,88766 1,05125 0,559268975 1,587179188 1,959408

8 2 0,9 16,820 32,503 16,824 3,148 0,89392 1,26465 0,592167091 1,509565961 1,797382

9 2 0,95 16,877 34,308 17,483 2,992 0,89692 1,31418 0,625065318 1,434918831 1,755013

10 3 0,55 16,149 29,632 23,263 3,279 0,85825 1,74866 0,545691853 1,572782798 1,410337

11 3 0,6 16,949 32,326 17,062 3,155 0,90078 1,28258 0,595300213 1,513146354 1,790014

12 3 0,65 17,640 35,020 13,190 3,031 0,93748 0,99149 0,644908573 1,453669363 2,032642

13 3 0,7 18,154 37,714 9,211 2,897 0,96481 0,69240 0,694516934 1,389183075 2,271882

14 3 0,75 18,511 40,407 8,737 2,757 0,98375 0,65673 0,744125294 1,322024903 2,305172

15 3 0,8 18,747 43,101 10,970 2,617 0,99631 0,82458 0,793733654 1,255213375 2,179438

16 3 0,85 18,869 45,795 12,373 2,479 1,00282 0,93005 0,843342015 1,189096934 2,094442

17 3 0,9 18,939 48,489 14,192 2,350 1,00650 1,06684 0,892950375 1,127166435 1,983138

18 3 0,95 18,958 51,183 15,043 2,229 1,00753 1,13079 0,942558735 1,06893573 1,923801

19 4 0,55 17,360 39,294 23,291 2,630 0,92261 1,75076 0,731418607 1,261395929 1,426686

20 4 0,6 18,205 42,866 17,434 2,528 0,96749 1,31049 0,797911188 1,212528048 1,785147

21 4 0,65 18,913 46,438 13,319 2,425 1,00514 1,00120 0,864403879 1,162810441 2,038138

22 4 0,7 19,431 50,010 9,939 2,313 1,03266 0,74709 0,93089646 1,109314041 2,239612

23 4 0,75 19,756 53,582 8,324 2,195 1,04996 0,62575 0,99738904 1,05270389 2,331298

24 4 0,8 19,971 57,154 9,276 2,080 1,06135 0,69728 1,063881621 0,997620095 2,272421

25 4 0,85 20,050 60,726 10,522 1,966 1,06554 0,79090 1,130374201 0,942646117 2,189772

26 4 0,9 20,116 64,299 11,854 1,862 1,06909 0,89109 1,196866893 0,893242989 2,101559

27 4 0,95 20,110 67,871 12,958 1,764 1,06877 0,97408 1,263359473 0,84597361 2,022371

28 5 0,55 18,113 48,847 23,165 2,184 0,96260 1,74132 0,919060097 1,047368951 1,426837

29 5 0,6 18,985 53,288 17,597 2,098 1,00894 1,32274 1,002610984 1,006315588 1,766236

30 5 0,65 19,698 57,728 13,577 2,010 1,04684 1,02061 1,086161872 0,963793443 2,009834

31 5 0,7 20,215 62,169 10,596 1,915 1,07434 0,79653 1,16971276 0,918467984 2,184522

32 5 0,75 20,521 66,610 8,433 1,814 1,09061 0,63388 1,253263758 0,870212824 2,30188

33 5 0,8 20,734 71,050 8,223 1,719 1,10192 0,61809 1,336814646 0,824288424 2,304147

34 5 0,85 20,797 75,491 9,289 1,623 1,10526 0,69824 1,420365534 0,778150652 2,226487

35 5 0,9 20,918 79,932 10,546 1,541 1,11169 0,79272 1,503916421 0,7391995 2,141174

36 5 0,95 20,908 84,372 11,577 1,459 1,11115 0,87021 1,58746742 0,699952749 2,06163

37 6 0,55 18,602 58,293 23,110 1,859 0,98862 1,73718 1,108616211 0,891760623 1,40858

38 6 0,6 19,490 63,592 17,765 1,786 1,03582 1,33540 1,209399492 0,856477932 1,731926

39 6 0,65 20,207 68,891 13,859 1,709 1,07392 1,04176 1,310182774 0,819674852 1,965058

40 6 0,7 20,726 74,191 10,952 1,628 1,10149 0,82326 1,410966056 0,780663969 2,131301

41 6 0,75 21,025 79,490 8,638 1,541 1,11737 0,64928 1,511749338 0,739123981 2,252471

42 6 0,8 21,265 84,789 7,795 1,461 1,13013 0,58594 1,61253262 0,70083858 2,287534

43 6 0,85 21,332 90,089 8,633 1,380 1,13371 0,64895 1,713315901 0,661703464 2,218665

44 6 0,9 21,527 95,388 9,896 1,315 1,14405 0,74391 1,814099183 0,63064604 2,1326

45 6 0,95 21,522 100,687 10,761 1,245 1,14379 0,80890 1,914882465 0,597318151 2,0584

Śr. 18,816 53,434 13,303 2,331298

140

Na podstawie przeprowadzonych powyższych obliczeń testowych wspomagających

dobór współczynników wagowych, w dalszej kolejności przeprowadzono właściwe,

kompleksowe obliczenia optymalizacyjne z wykorzystaniem opracowanego dwumodułowego

oprogramowania. Sformułowano kompromisową funkcję celu dla l-tego osobnika

w pierwszym etapie w postaci:

av

3

av

2

av

1 22V

V

THD

THD

T

Tf

llll xxx

x (6.11)

w której: 1 =1, 2 =0,75, 3 =0,25.

Przebieg procesu optymalizacji podczas 30-tu pokoleń przedstawiono w tabeli 6.9.

Wyszczególnione w tabeli wartości zmiennych decyzyjnych, parametrów

elektromagnetycznych oraz przystosowania – wartości kompromisowej funkcji celu (6.11)

dotyczą najlepszego osobnika w każdym pokoleniu. W ostatniej kolumnie podano średnią

wartość przystosowania dla każdego pokolenia.

Tabela 6.9. Przebieg procesu optymalizacji z wykorzystaniem algorytmu genetycznego

J gm m f T THD V Tc fav

[mm] [-] [-] [Nm] [%] [cm3] [Nm] [-]

1 5,5896 0,67113 1,9182 20,2497 15,0630 66,417 0,74878 1,9545

2 6,4321 0,7398 2,1100 21,1309 12,6083 83,854 0,75842 2,0755

3 5,9935 0,76845 2,11568 21,0999 11,9567 81,360 1,6202 2,1075

4 2,82948 0,70153 2,115714 17,86139 12,5666 35,681 0,65462 2,1113

5 3,47401 0,72410 2.116379 19,01752 12,1849 45,059 1,0303 2,1144

6 3,72621 0,72837 2,116379 19,3423 12,2272 48,548 1,04391 2,1148

7 2,78872 0,74712 2,116394 18,1243 12,69363 37,461 1,33027 2,1098

8 3,57828 0,73557 2,116395 19,2127 12,14817 47,120 1,1772 2,1160

9 3,5782 0,73557 2.116395 19,2127 12,14814 47,119 1,1772 2,1143

10 3,5651 0,73555 2,116395 19,1968 12,1467 46,948 1,18050 2,1123

11 3,5699 0,73555 2,116396 19,20267 12,14718 47,010 1,17920 2,1152

12 3,5650 0,73559 2,116396 19,19701 12,1467 46,949 1,1809 2,1163

14 3,5650 0,73559 2,116396 19,19701 12,1467 46,949 1,18094 2,1106

16 3,5650 0,73555 2.116396 19,19680 12,14671 46,947 1,18049 2,1143

18 3,56508 0,73540 2,116396 19,19600 12,14671 46,938 1,17885 2,1160

20 3,56508 0,73555 2,116396 19,19680 12,1467 46,948 1,1804 2,1163

22 3,5650 0,73553 2,116396 19,1961 12,1467 46,946 1,1800 2,1162

24 3,56500 0,7354 2,11639 19,19591 12,1467 46,937 1,17887 2,1142

26 3,56500 0,6980 2,11639 18,9273 12,9034 44,550 0,64865 2,1163

28 3,56500 0,73539 2,11639 19,1958 12,1467 46,937 1,17866 2,1160

30 3,56500 0,73548 2,11639 19,1958 12,1467 46,942 1,179361 2,1162

Parametry osobnika optymalnego uzyskane w wyniku procesu optymalizacji są podane

w ostatnim wierszu tabeli 6.9. Proces optymalizacji powtórzono dla skorygowanych

współczynników wagowych w addytywnej funkcji celu. Zmieniono wagę drugiego składnika.

141

Podczas tej próby testowej przyjęto wartości współczynników wagowych: 1 = 1, 2 = 0,5,

3 =0,25. W wyniku obliczeń symulacyjnych uzyskano praktycznie taki sam obiekt.

Przebieg procesu optymalizacji oraz zmiany głównych parametrów

elektromagnetycznych w wybranych pokoleniach ilustruje rys. 6.13.

a) b)

c)

Rys. 6.13. Porównanie wartości parametrów elektromagnetycznych w 30-tu pokoleniach:

a) Tsk, b) THD, c) V

Na podstawie wyników zamieszczonych w tabeli 6.9 wynika, że algorytm działa

efektywnie. Rozwiązanie zbliżone do optymalnego zostało znalezione już po około

10 pokoleniach. Czas obliczeń można skrócić trzykrotnie. Wynika to ze stosunkowo dużej

liczby osobników w pokoleniu – równej 50. Zwiększenie liczby osobników do 100, nie

wpływa w istotny sposób na wydłużenie czasu obliczeń, zmniejszeniu ulega do około 65

liczba pokoleń ewolucyjnych po których możemy uzyskać optimum. Zwiększona liczba

osobników zwiększa jednak znacząco prawdopodobieństwo znalezienia minimum

globalnego.

Jak można zauważyć na podstawie wyników z tabeli 6.9 proces optymalizacyjny mógł

zostać zakończony po 10 pokoleniu. Dalsze obliczenia nie przyniosły poprawy parametrów

najlepiej przystosowanego osobnika w pokoleniu dlatego można zastosować inne niż

tradycyjne kryteria zakończenia obliczeń – rozdział 5.2. Pozwoli to na uniknięcie

nieefektywnych, zbędnych obliczeń kolejnych populacji [167].

142

6.2.3. Dekompozycja zadania. Etap 2 – optymalizacja z uwzględnieniem współczynnika THD i momentu zaczepowego

Drugi etap syntezy polegał na włączeniu do procesu optymalizacji momentu

zaczepowego. Jak wykazano podczas wcześniejszych obliczeń, moment zaczepowy jako

funkcja rozpiętości m magnesu ma w rozpatrywanym przedziale kilka minimów

i maksimów – rys. 6.9. Okres zmienności tej funkcji jest ściśle związany z podziałką

żłobkową stojana 1ż . Podczas obliczeń symulacyjnych rozpatrywano przedział:

11

2

1,1ˆ,

2

1,1ˆ ż

mż

m (6.12)

przy czym: m = 0,735 – optymalna wartość zmiennej m uzyskana w pierwszym etapie

optymalizacji (tabela 6.9), – podziałka biegunowa.

W pierwszej kolejności w celu rozpoznania wpływu zmiennej m na uzyskiwane

parametry funkcjonalne wykonano szereg obliczeń testowych. Wielkość m w obliczeniach

testowych zmieniano z krokiem 0,005. Przyjęto szczelinę powietrzną = 0,9 mm oraz

optymalną grubość magnesu mm gg ˆ = 3,565 mm – uzyskaną w pierwszym etapie obliczeń.

Wyznaczono wartości parametrów elektromagnetycznych przydatnych do formowania funkcji

celu dla etapu drugiego. Wyniki obliczeń przedstawiono w tabelach 6.10 oraz 6.11. Wpływ

zmian m na względne wartości parametrów elektromagnetycznych: t, h i tc ilustruje

rys. 6.14.

Ze względu na konieczność ograniczenia czasu obliczeń w pierwszym etapie

zastosowano rzadszą dyskretyzację kąta obrotu wirnika. W etapie drugim, ze względu na

konieczność dokładnego wyznaczenia momentu zaczepowego, który bardzo silnie zależy od

nawet minimalnych zmian rozpiętości magnesu m , zastosowano znacznie gęstszą

dyskretyzację. Zagęszczenie siatki dyskretyzującej bardzo korzystnie wpłynęło na

zwiększenie dokładności wyznaczania współczynnika THD. Przy gęstszej dyskretyzacji

uzyskano mniejsze wartości tego współczynnika. Dlatego aby dobrze odwzorować wyższe

harmoniczne rozkładu pola w szczelinie konieczne jest zastosowanie gęstej siatki

dyskretyzującej.

Jak wynika z tabeli 6.10 najmniejsza wartość współczynnika THD równa 8,314 %

występuje dla m = 0,74. Największą wartość momentu – jak można się było spodziewać –

otrzymano dla wartości maksymalnej m = 0,80. Kompromisową wartość optymalną

z pierwszego etapu optymalizacji m = 0,735 zaznaczono kolorem czerwony.

143

Tabela 6.10. Wpływ rozpiętości magnesu na wybrane parametry elektromagnetyczne

Tabela 6.11. Względne wartości parametrów elektromagnetycznych (odniesione do wartości średniej)

m T THD Tc Lp [-] [Nm] [%] [Nm]

1 0,67 18,65316 11,70699 0,86809406

2 0,675 18,69981 11,31597 0,79184831

3 0,68 18,74775 10,92995 0,71226676

4 0,685 18,79500 10,55563 0,62961908

5 0,69 18,85720 10,22236 0,44933342

6 0,695 18,90277 9,872815 0,57896364

7 0,7 18,9441 9,557158 0,68679593

8 0,705 18,98378 9,301697 0,77451581

9 0,71 19,02397 9,044355 0,84709129

10 0,715 19,06154 8,797022 0,90171800

11 0,72 19,0935 8,615344 0,94603032

12 0,725 19,13802 8,480562 1,02517569

13 0,73 19,16536 8,382809 1,10592078

14 0,735 19,19368 8,327143 1,17417144

15 0,74 19,22065 8,314108 1,2290171

16 0,745 19,24800 8,338544 1,25080124

17 0,75 19,28717 8,404732 1,06543742

18 0,755 19,30859 8,499073 0,92395032

19 0,76 19,33135 8,589024 0,75376874

20 0,765 19,35565 8,735921 0,63910132

21 0,77 19,37895 8,895898 0,61841459

22 0,775 19,39623 9,067047 0,58520259

23 0,78 19,43246 9,247683 0,52968676

24 0,785 19,45027 9,434014 0,67156082

25 0,79 19,46963 9,615342 0,83645577

26 0,795 19,48867 9,795475 0,9845261

27 0,8 19,50938 9,974491 1,1524142

αm t h tc Lp [-] [-] [-] [-]

1 0,67 0,97389 1,25422 0,96985

2 0,675 0,97633 1,21232 1,06324

3 0,68 0,97883 1,17097 1,18203

4 0,685 0,98130 1,13087 1,33719

5 0,69 0,98455 1,09516 1,87371

6 0,695 0,98692 1,05771 1,45419

7 0,7 0,98909 1,02390 1,22587

8 0,705 0,99115 0,99653 1,08703

9 0,71 0,99325 0,96896 0,99390

10 0,715 0,99521 0,94246 0,93369

11 0,72 0,99689 0,92300 0,88995

12 0,725 0,99921 0,90856 0,82125

13 0,73 1,00063 0,89808 0,76129

14 0,735 1,00211 0,89212 0,71703

15 0,74 1,00352 0,89072 0,68504

16 0,745 1,00495 0,89334 0,67311

17 0,75 1,00699 0,90043 0,79021

18 0,755 1,00811 0,91054 0,91122

19 0,76 1,00930 0,92018 1,11695

20 0,765 1,01057 0,93591 1,31735

21 0,77 1,01179 0,95305 1,36142

22 0,775 1,01269 0,97139 1,43868

23 0,78 1,01458 0,99074 1,58947

24 0,785 1,01551 1,01070 1,25368

25 0,79 1,01652 1,03013 1,00653

26 0,795 1,01751 1,04943 0,85515

27 0,8 1,01860 1,06861 0,73057

Rys. 6.14. Wpływ rozpiętości αm na względne wartości parametrów t, h oraz tc

144

W analizowanym przedziale 80,067,0 m występują dwa minima funkcji momentu

zaczepowego: dla m = 0,69 i m = 0,78 (kolor zielony w tabelach). Dla tych wartości

zmiennej m otrzymuje się odpowiednio cT = 0,449 Nm i cT = 0,529 Nm. Stanowi to około

2,55 % i 3,1 % wartości momentu użytecznego, co przy konstrukcji wirnika z magnesami

naklejanymi na powierzchni jest wynikiem bardzo dobrym [62].

W punkcie pierwszego minimum momentu zaczepowego (dla m = 0,69) współczynnik

THD wynosi 10,22 %, natomiast w punkcie drugiego – m = 0,78 współczynnik ten jest

równy 9,24 %. W drugim punkcie moment użyteczny jest większy o około 0,58 Nm.

Uwzględniając te dane wydaje się zatem, że kompromisowe optimum powinno być wybrane

w pobliżu drugiego minimum.

Podobnie jak w przypadku pierwszego etapu wykonano wstępne obliczenia

optymalizacyjne przy pomocy arkusza kalkulacyjnego. Jako pierwszą skonstruowano

kompromisową funkcję addytywną:

c

c

aT

T

T

Tf

av

3

av

2

av

1THD

THD2 (6.13)

a następnie multiplikatywną:

321 qc

qqm thtf (6.14)

Po wielu obliczeniach testowych autor zaproponował następujące wartości współczynników

wagowych: 1 = 2, 2 = 1, 3 = 0,5 oraz 1q = 2, 2q = -0.5, 3q = -0,5. Jako odniesienie przyjęto

wartości średnie z uzyskane podczas inicjacji:

avT

Tt ,

avTHD

THDh ,

c

c

cT

Tt

av (6.15)

Porównanie przeglądowych wyników dla przedziału 80,067,0 m przedstawiono

w tabeli 6.12. Dla obu funkcji optymalny wariant obiektu uzyskano dla tej samej wartości

parametru m .

Przyjmując współczynniki wagowe określone na podstawie powyższych obliczeń

testowych przeprowadzono drugi etap obliczeń optymalizacyjnych. Tym razem, ze

względu na specyfikę rozwiązywanego zadania, to jest przyjęte kryteria cząstkowe i silnie

zróżnicowaną ich czułość na zmiany parametru m , funkcja multiplikatywna opisana

zależnością (6.14) okazała się bardziej korzystna [168].

W module optymalizacyjnym wykorzystano algorytm genetyczny i opracowane własne

oprogramowanie. Obliczenia wykonano na populacji o liczebności 48 osobników.

W procedurach algorytmu genetycznego stosowano: reprodukcję metodą ruletki (RWS),

145

krzyżowanie jednopunktowe (1CPC), strategię elitarną (SE) – rozdział 5.5.2. Podczas

obliczeń drugiego etapu przyjęto większą wartość prawdopodobieństwa mutacji 008,0mp .

Większa wartość współczynnika mp zapewniała uniknięcie pojawiającego się skupiania się

osobników w okolicy ekstremum lokalnego. Porównanie wyników obliczeń w kolejnych

pokoleniach przedstawiono w tabeli 6.12.

Tabela 6.12. Porównanie wyników dla funkcji addytywnej i multiplikatywnej

αm t h tc fa fm Lp

[-] [-] [-] [-] [-] [-]

1 0,67 0,97389 1,25422 1,03109 3,230020 0,744735

2 0,675 0,97633 1,21232 0,94053 3,309134 0,81075

3 0,68 0,97883 1,17097 0,84600 3,402670 0,889578

4 0,685 0,98130 1,13087 0,74784 3,515468 0,984662

5 0,69 0,98455 1,09516 0,53370 3,819054 1,21156

6 0,695 0,98692 1,05771 0,68767 3,646378 1,110478

7 0,7 0,98909 1,02390 0,81575 3,567767 1,057874

8 0,705 0,99115 0,99653 0,91994 3,529308 1,027813

9 0,71 0,99325 0,96896 1,00614 3,515490 1,015045

10 0,715 0,99521 0,94246 1,07102 3,518324 1,015478

11 0,72 0,99689 0,92300 1,12366 3,522178 1,015723

12 0,725 0,99921 0,90856 1,21766 3,509685 0,995855

13 0,73 1,00063 0,89808 1,31357 3,495394 0,972765

14 0,735 1,00211 0,89212 1,39463 3,483669 0,953192

15 0,74 1,00352 0,89072 1,45978 3,472243 0,935766

16 0,745 1,00495 0,89334 1,48565 3,465844 0,927497

17 0,75 1,00699 0,90043 1,26548 3,519672 1,001094

18 0,755 1,00811 0,91054 1,09743 3,570085 1,065445

19 0,76 1,00930 0,92018 0,89530 3,663825 1,170004

20 0,765 1,01057 0,93591 0,75910 3,748290 1,252414

21 0,77 1,01179 0,95305 0,73453 3,753542 1,253305

22 0,775 1,01269 0,97139 0,69508 3,774172 1,266314

23 0,78 1,01458 0,99074 0,62914 3,833240 1,309902

24 0,785 1,01551 1,01070 0,79765 3,647269 1,142452

25 0,79 1,01652 1,03013 0,99351 3,507059 1,006363

26 0,795 1,01751 1,04943 1,16938 3,415506 0,912328

27 0,8 1,01860 1,06861 1,36879 3,338276 0,829885

max 3,833240 1,309902

146

Tabela 6.13. Przebieg procesu optymalizacji dla funkcji multiplikatywnej

αm T THD Tc fmax fav J [-] [Nm] [%] [Nm] [-] [-]

1 0,695824 18,90983 9,81973 0,596837 1,116002 1,0044

2 0,762901 19,38953 8,99094 0,598334 1,27989 1,1902

3 0,777439 19,40369 9,13747 0,57280 1,28901 1,2296

4 0,777973 19,41926 8,99590 0,578495 1,30464 1,2456

6 0,768818 19,42805 9,20478 0,542541 1,30611 1,2838

8 0,688514 18,84406 9,87267 0,420883 1,31265 1,3005

9 0,688514 18,84406 9,87267 0,420883 1,31265 1,2913

12 0,781765 19,43987 9,28515 0,53827 1,31345 1,3105

Zmiany głównych parametrów silnika w kolejnych pokoleniach procesu optymalizacji

ilustruje rys. 6.15.

a)

b)

c)

Rys. 6.15. Porównanie wartości parametrów elektromagnetycznych: a) moment elektromagnetyczny,

b) współczynniki THD, c) moment zaczepowy

147

Na rys. 6.16 przedstawiono porównanie rozkładów momentu zaczepowego w funkcji

kąta obrotu w wybranych pokoleniach.

Rys. 6.16. Porównanie przebiegów momentu zaczepowego w wybranych pokoleniach

6.3. Zastosowanie algorytmu genetycznego do optymalizacji wirnika PMSM z hybrydowym układem wzbudzenia

W rozdziale przedstawiono wyniki obliczeń optymalizacyjnych struktury wirnika

magnetoelektrycznego silnika synchronicznego wzbudzanego hybrydowym układem

magnesów. Hybrydowa struktura wirnika została zaproponowana w ramach projektu „Nowa

generacja energooszczędnych napędów elektrycznych do pomp i wentylatorów dla

górnictwa” przy współudziale autora niniejszej pracy [111]. Optymalizację parametrów

silnika przeprowadzono przy wykorzystaniu algorytmu genetycznego. Dwuwymiarowy

model MES do polowej symulacji ustalonych zjawisk opracowano w programie ANSYS

Maxwell. Strukturę obwodu magnetycznego silnika przedstawiono na rys. 6.17. Podstawowe

parametry charakteryzujące obwód stojana przedstawiono w tabeli 6.1.

Rdzeń wirnika został wykonany z magnetycznie

miękkiego materiału proszkowego Somaloy 500 [211],

na powierzchni którego naklejono magnes trwały,

składający się z dwóch materiałów o różnych

właściwościach magnetycznych ( 1M , 2M ). Obszar

1M magnesu jest wykonany z materiału NdFeB

o właściwościach: 890CH kA/m oraz 23,1rB T,

natomiast obszar 2M – z dielektromagnesu

proszkowego o właściwościach: 97,404CH kA/m

oraz 646,0rB T. Pakiet stojana został wykonany

z blachy elektrotechnicznej o ziarnach zorientowanych

[248].

Rys. 6.17. Struktura silnika synchronicznego z hybrydowym układem wzbudzenia

148

Układ wzbudzenia silnika opisano za pomocą czterech zmiennych decyzyjnych:

(a) 11 mgs – grubość obszaru magnesu neodymowego, (b) 2s – parametr określający

względną grubość obszaru magnesu proszkowego 12 mm gg , (c) )( 213 mm bbs –

współczynnik zapełnienia podziałki biegunowej materiałem magnetycznym oraz

(d) )( 21114 mmm bbbs – względna rozpiętość kątowa obszaru 1M , przy czym

1mb – rozpiętość kątowa magnesu neodymowego, 2mb – rozpiętość kątowa magnesu

proszkowego.

W module do symulacji ustalonych stanów pracy silnika PMSM wykorzystywane są te

same parametry jak w rozdziale 6.2 – to jest T , współczynnik THD , V oraz cT . Także

w tym przypadku zadanie optymalizacji podzielono na 2 etapy.

Etap I. Optymalizacja z uwzględnieniem współczynnika THD zawartości harmonicznych

w przebiegu siły elektromotorycznej.

W etapie pierwszym przyjęto addytywną funkcję celu określoną wzorem (6.11).

W kryterium optymalności, obok momentu użytecznego i stopnia wykorzystania materiału

magnetycznie twardego, uwzględniono współczynnik THD przebiegu indukowanej siły

elektromotorycznej.

Podczas obliczeń optymalizacyjnych przyjęto parametry algorytmu genetycznego:

liczba osobników w populacji N = 60, wartość współczynnika mutacji mp =0,005,

maksymalna liczba populacji Jmax = 35. Wykorzystywano procedury: reprodukcji metodą

rankingu liniowego (LRS), krzyżowania jednopunktowego (1CPC), strategię elitarną

(SE) – rozdział 5.5.2. Założono wartości współczynników wagowych: 11 , 75,02 ,

25,03 . Przebieg procesu optymalizacji przedstawiono w tabeli 6.14. Dla wybranych

pokoleń przedstawiono wartości: zmiennych decyzyjnych, parametrów silnika oraz wartość

funkcji celu dla najlepszego osobnika w pokoleniu.

Tabela 6.14. Przebieg pierwszego etapu procesu optymalizacji

gm1 ξ α α 1 T THD V Tc f J

[mm] [-] [-] [-] [Nm] [%] [cm3] [Nm] [-]

1 4,022 1,019 0,799 0,545 14,400 8,982 57,390 0,583 1,246841

3 3,197 1,195 0,809 0,629 16,190 6,825 46,398 1,039 1,425541

5 3,144 1,072 0,782 0,704 16,308 7,736 44,119 0,655 1,470121

10 3,144 0,900 0,791 0,704 16,296 7,499 44,627 0,247 1,473461

16 3,144 0,824 0,821 0,704 16,561 7,189 46,319 0,925 1,474563

20 3,019 0,881 0,813 0,704 16,298 7,279 44,074 0,692 1,490000

25 3,019 0,806 0,812 0,704 16,172 7,356 44,020 0,571 1,495876

30 3,019 0,749 0,817 0,704 16,236 7,064 44,291 0,751 1,496811

35 3,019 0,749 0,817 0,704 16,236 7,064 44,291 0,751 1,496812

149

Rys. 6.18 ilustruje zmiany wartości składników kompromisowej funkcji celu

w wybranych pokoleniach procesu optymalizacji.

a) b)

Rys. 6.18. Porównanie wartości parametrów elektromagnetycznych w wybranych pokoleniach: a) T, b) THD

Etap II. Optymalizacja z uwzględnieniem momentu zaczepowego.

Podczas realizacji drugiego etapu syntezy struktury wirnika do procesu optymalizacji

włączony został moment zaczepowy. W obszarze jednej podziałki biegunowej stojana posiada

kilka maksimów i minimów [136], okres zmienności związany jest z podziałką żłobkową 1ż .

Dlatego w drugim etapie zawężono przedział zmienności parametru :

11 52,0ˆ,52,0ˆ żż (6.16)

przy czym: 817,0ˆ – optymalna wartości zmiennej wyznaczona w pierwszym etapie

optymalizacji.

W drugim etapie optymalizację przeprowadzono dla multiplikatywnej funkcji celu

wyrażonej zależnością (6.14). Założono następujące współczynniki wagowe 21 q ,

212 q , 213 q w kompromisowej funkcji celu. Przyjęto wartości optymalne

z pierwszego etapu optymalizacji: grubość magnesu 019,3ˆ11 mm gg mm oraz wartość

parametru 749,0ˆ . Wyniki obliczeń w kolejnych pokoleniach porównano w tabeli 6.15.

Tabela 6.15. Przebieg drugiego etapu procesu optymalizacji dla funkcji multiplikatywnej

α α 1 T THD V Tc fc J

[-] [-] [Nm] [%] [cm3] [Nm] [-]

1 0,774 0,868 16,875 8,575 41,960 0,1850 2,6313547

2 0,888 0,769 17,323 12,01 48,140 0,1005 2,7084663

5 0,775 0,868 16,884 8,615 42,014 0,1827 2,7100939

7 0,749 0,868 16,643 7,689 40,605 0,3015 2,7100939

10 0,749 0,769 15,963 7,964 40,605 0,1648 2,7105938

12 0,749 0,769 15,963 7,964 40,605 0,1648 2,7105938

150

Porównanie wartości wybranych składników funkcji celu dla drugiego etapu optymalizacji

przedstawiono na rys. 6.19.

a) b)

Rys. 6.19. Porównanie wartości w wybranych pokoleniach drugiego etapu optymalizacji: a) THD, b) Tc

Rys. 6.20 ilustruje przekroje poprzeczne najlepszej maszyny w wybranych pokoleniach

procesu optymalizacji.

a) 1 pokolenie b) 12 pokolenie

Rys. 6.20. Porównanie przekroi poprzecznych maszyny w wybranych pokoleniach

W wyniku drugiego etapu optymalizacji uzyskano ponad czterokrotne zmniejszenie

wartości maksymalnego momentu zaczepowego przy nieznacznym zmniejszeniu, zaledwie

o 1,5% momentu użytecznego. Uzyskano efekt ekonomiczny w postaci zmniejszenia

objętości materiału magnetycznego o 8,3 %.

Porównanie wyników optymalizacji dla dwóch struktur silników z magnesami naklejanymi

Porównano wyniki dwuetapowych obliczeń optymalizacyjnych dla dwóch struktur

silników PMSM: z magnesami jednorodnymi (rys. 6.1) oraz z hybrydowym układem

wzbudzenia (rys. 6.17). Zestawienie wyników obliczeń symulacyjnych dla optymalnych

struktur przedstawiono w tabeli 6.16.

151

Tabela 6.16. Wartości parametrów elektromagnetycznych dla optymalnych silników

T THD V TC Rodzaj silnika

[Nm] [%] [cm3] [Nm]

Z hybrydowym układem wzbudzenia 15,963 7,964 40,605 0,165

Z magnesami jednorodnymi 19,439 12,784 49,897 0,538

Silniki o hybrydowych układzie wzbudzenia pozwalają na uzyskanie mniejszej wartości

współczynnika THD i zdecydowanie mniejszej wartości momentu zaczepowego, ale niestety

kosztem zmniejszenia użytecznego momentu i mniejszej wartości „objętościowej” gęstości

momentu vT w stosunku do silników o magnesach jednorodnych.

Zastosowanie magnesów hybrydowych ma istotny wpływ na parametry funkcjonalne

silnika. Odpowiedni dobór hybrydowego układu wzbudzenia pozwala na minimalizację

pulsacji momentu. Dlatego magnesy hybrydowe proponuje się stosować wszędzie tam gdzie

ważne jest ograniczenie pulsacji momentu nawet kosztem pogorszenia sprawności

i współczynnika mocy [251].

6.4. Zastosowanie metody roju cząstek do optymalizacji wirnika LSPMSM 6.4.1. Optymalna synteza silnika z wykorzystaniem metody funkcji kary zewnętrznej

W celu porównania parametrów funkcjonalnych oraz właściwości silników

synchronicznych o rozruchu własnym i przeznaczonych do rozruchu częstotliwościowego

wykonano optymalizację silnika LSPMSM.

Badano silniki LSPMSM o różnych kształtach przekrojów prętów klatki rozruchowej.

Obliczenia optymalizacyjne wykonano dla struktur obwodów magnetycznych

przedstawionych na rys. 6.21 [113].

a) b)

Rys. 6.21. Struktury silników LSPMSM: a) o przekroju kroplowym prętów wirnika, b) o przekroju kołowym prętów wirnika

152

Podczas obliczeń przyjęto wymiary stojana seryjnie produkowanego trójfazowego

silnika indukcyjnego ogólnego przeznaczenia o oznaczeniu handlowym Sg 100L-4b, którego

parametry przedstawiono w tabeli 6.1. Układ wzbudzenia wykonano z materiału NdFeB

o właściwościach magnetycznych: 836CH kA/m oraz 13,1rB T.

W module OPT zastosowano zmodyfikowaną metodę PSO, z uwzględnieniem środka

masy roju wyznaczanego na podstawie wartości funkcji celu dla wszystkich

cząstek – rozdział 5.2. Głównym celem modyfikacji była poprawa zbieżności klasycznego

algorytmu PSO i skrócenie całkowitego czasu obliczeń. W przypadku analizowanego silnika

LSPMSM czas obliczenia dla jednej cząstki wynosił około 3 minut. Dzięki tej modyfikacji

uzyskano zmniejszenie liczby kroków o 2 do 4, co oznaczało zmniejszenie czasu obliczeń

średnio o ok. 6 godzin.

W module OBIEKT zastosowano dwuwymiarowy polowy model ustalonych zjawisk

elektromagnetycznych w analizowanym silniku i został opracowany z wykorzystaniem

środowiska ANSYS Maxwell.

Zadanie optymalizacji zostało sformułowane następująco: dla zadanych parametrów

pakietu stojana (Ls, Ds, ds oraz liczby zwojów w żłobku – sN ), wymiarów klatki należy

wyznaczyć parametry strukturalne układu wzbudzenia (rm, gm oraz lm – rys. 6.21a)

zapewniające maksymalną wartość sprawności η, współczynnika mocy cosφ oraz momentu

elektromagnetycznego T80 przy prędkości równej 80 % prędkości synchronicznej. Wysoka

wartość tego momentu pozwala na swobodne wprowadzenie maszyny w synchronizm [55].

Układ wzbudzenia opisano przy pomocy trzech zmiennych decyzyjnych: s1 = lm, s2 = gm

oraz s3 = rm. Wszystkie zmienne decyzyjne wykorzystywane w module optymalizacyjnych

zostały unormowane według reguły (5.2).

Kompromisową multiplikatywną funkcję celu dla l-tej cząstki przyjęto w postaci:

321

0

80

00 cos

cosqlq

lq

ll

T

Tf

xxxx (6.17)

w której: xl , xlcos , xlT80 – sprawność, współczynnik mocy oraz moment dla l-tej

cząstki (l-tego wariantu silnika) 0 , 0cos , 0T – średnie wartości sprawności, współczynnika

mocy oraz momentu T80 w pierwszym kroku czasowym po inicjacji.

Zadanie optymalizacji polegało na maksymalizacji funkcji (6.17) przy uwzględnieniu

ograniczenia nierównościowego dotyczącego całkowitej masy materiału magnetycznego

zm mm x . Unormowaną funkcję ograniczeń zapisano w następującej postaci [96]:

0

z

zlml

m

mmg

xx (6.18)

153

Przyjęte ograniczenie zostało uwzględnione metodą funkcji kary zewnętrznej. Kara

xkZ za odstępstwo od zadanej masy zm jest wyznaczana według zależności (5.22).

Zmodyfikowana funkcja celu dla l-tej cząstki po uwzględnieniu członu związanego

z karą przyjmuje postać:

))((dla)()(

))((dla)()(

zm

l

kl

zml

l

kmmZf

mmfh

xxx

xxx (6.19)

W klasycznej metodzie z funkcją kary zewnętrznej, zmiana współczynnika kary

w zależności (5.22) następuję po całkowitym zakończeniu bezwarunkowej optymalizacji

zmodyfikowanej funkcji celu – zależność (5.23). W algorytmach niedeterministycznych

wykorzystywanych w tej pracy (AG i PSO) takie postępowanie jest niecelowe; prowadzi do

znacznego, niepotrzebnego wydłużenia czasu obliczeń.

Zarówno w algorytmie genetycznym, jak i w metodzie roju cząstek, wynik bliski

optimum uzyskuje się już po ok. 30 % liczby iteracji potrzebnych do dokładnego

wyznaczenia tego optimum. Nie warto zatem kończyć procesu optymalizacji bezwarunkowej

w odniesieniu do funkcji zmodyfikowanej (z karą), skoro po zakończeniu tej optymalizacji

funkcja celu jest modyfikowana – poprzez zwiększenie kary. Należy zmieniać wagowy

współczynnik kary „wcześniej”, przed osiągnięciem optimum, po wykonaniu Jp iteracji

algorytmu optymalizacji bezwarunkowej, to jest po obliczeniach dla Jp pokoleń (AG) lub

Jp kroków czasowych (PSO). Testowano procedurę przyjmując różne wartość liczby

Jp (z przedziału 2 do 10) wykonywanych „niepełnych” iteracji procesu optymalizacyjnego.

Najlepszy pod względem efektywności algorytmu wynik uzyskiwano zwykle dla Jp równego

3 lub 4. W porównaniu z procedurą klasyczną uzyskiwano dwu- lub nawet trzykrotne

skrócenie czasu obliczeń.

Opisana powyżej modyfikacja polega w pewnym stopniu na zatarciu wyraźnej granicy

pomiędzy iteracjami nadrzędnymi, wynikającymi ze zmian kary a iteracjami podrzędnymi

związanymi z procedurą optymalizacji (kolejnymi pokoleniami lub kolejnymi krokami

czasowymi). Oba typy iteracji przenikają się nawzajem.

Podczas procesu optymalizacji przyjęto Jp = 3, to znaczy, że współczynnik kary

zmieniany był po wykonaniu trzech kroków czasowych wykonywania algorytmu PSO.

Obliczenia symulacyjne wykonano dla roju o liczebności N = 44 cząstek. Podczas

obliczeń przyjęto następujące współczynniki procedury PSO oraz funkcji kary: w =0,5,

1c = 1,2, 2c = 1,6, 3c = 0,6, a = 1,2, mm ≤ 0,55 kg, q1 = q2 = 1, q3 = 0,5. Jako kryterium

zakończenia obliczeń przyjęto liczbę głównych iteracji równą 6 związanych z narastającą

karą. Obliczenia optymalizacyjne kończyły się zatem po 18-stu iteracyjnych krokach

algorytmu PSO.

154

Przyjęto, że silnik zasilany jest z trójfazowej sieci symetrycznej o napięciu

znamionowym 400NU V. Założono, że w stanie pracy ustalonej silnik został obciążony

momentem równym momentowi znamionowemu bazowego silnika indukcyjnego.

Dla każdej struktury przedstawionej na rys. 6.21 proces optymalizacyjny powtórzono

pięć razy dla różnych położeń startowych cząstek w przestrzeni poszukiwań rozwiązania

optymalnego. Procedura inicjacji roju przeprowadzana była losowo.

Przed rozpoczęciem obliczeń optymalizacyjnych, w celu oceny dokładności

wyznaczania parametrów całkowych, przeprowadzono szczegółową analizę dotyczącą liczby

elementów skończonych i doboru długości kroku czasowego podczas rozwiązywania

zagadnień związanych z nieliniowością. Charakterystykę oraz współczynniki stratności dla

blachy elektrotechnicznej przyjęto na podstawie wyników eksperymentalnych [14].

Na tym etapie obliczeń, moment zaczepowy Tc oraz skuteczna wartość siły

elektromotorycznej indukowanej w uzwojeniach stojana SEM nie były uwzględniane

w kompromisowej funkcji celu. Wartości tych parametrów, bardzo ważnych podczas

projektowania maszyn o magnesach trwałych, były jednak rejestrowane w celu oceny

możliwości włączenia ich do wielokryterialnej kompromisowej funkcji celu.

Wyniki optymalizacji silnika, którego obwód magnetyczny ilustruje rys. 6.21a

przedstawiono w tabeli 6.17. Dla wybranych kroków czasowych przedstawiono wartości

parametrów dla najlepszej cząstki w roju (najlepszego wariantu silnika). W kolejnych

wierszach tabeli wyszczególniono wartości zmiennych decyzyjnych, najważniejszych

parametrów całkowych oraz funkcji celu i współrzędnej s2MC środka ciężkości roju.

Tabela 6.17. Przebieg procesu optymalizacji dla silnika z kroplowym przekrojem żłobków

s1 s2 s3 η(x) cosφ(x) T80(x) mm(x) Tc(x) SEM(x) f(x) s2MC J

[mm] [mm] [mm] [%] [-] [Nm] [kg] [Nm] [V] [-] [mm]

1 30,87 4,49 3,39 93,18 0,958 23,95 0,532 1,819 230,07 1,11678 4,36

3 41,87 4,69 7,61 93,79 0,987 19,16 0,745 1,971 262,71 1,14715 5,89

6 32,30 4,52 13,01 87,81 0,871 27,39 0,551 1,366 209,80 1,14920 5,03

8 42,12 3,09 8,24 93,98 0,947 25,60 0,491 1,919 254,85 1,27484 3,69

10 42,15 3,11 8,58 93,07 0,899 28,43 0,494 1,896 245,57 1,26301 3,37

18 42,12 3,45 8,26 93,66 0,991 26,98 0,549 1,945 250,61 1,36489 3,46

W procesie inicjacji uzyskano następujące wartości średnie cząstkowych kryteriów

funkcji celu: 91,880 %, 859,0cos 0 , 39,210 T Nm. W wyniku procesu optymalizacji

obserwowana jest znaczna poprawa wszystkich jej składników.

Na rys. 6.22 przedstawiono przebiegi SEM w roju dla wybranych kroków procedury

PSO, odnoszące się do najlepiej przystosowanej cząstki.

155

Rys. 6.22. Przebieg fazowej wartości SEM dla wybranych kroków czasowych

Porównanie przebiegów momentu zaczepowego lidera roju w wybranych krokach

przedstawiono na rys. 6.23.

Rys. 6.23. Przebieg momentu zaczepowego w funkcji mechanicznego kąta obrotu

Następnie wykonano obliczenia symulacyjne dla silnika LSPMSM z prętami klatki

rozruchowej o przekroju okrągłym – wyniki zestawiono w tabeli 6.18. Uzyskano następujące

wartości parametrów w procesie inicjacji roju: 15,800 %, 691,0cos 0 , 07,230 T Nm.

Dla drugiej analizowanej struktury otrzymujemy zdecydowanie gorsze wartości wszystkich

parametrów funkcjonalnych. W tym przypadku zastosowanie okrągłych prętów klatki

powoduje zmniejszenie szerokości zębów w wirniku. Podczas pracy przy obciążeniu

znamionowym, zęby wirnika są obszarami o silnym nasyceniu.

156

Tabela 6.18. Przebieg procesu optymalizacji dla silnika z okrągłym przekrojem prętów w wirniku

s1 s2 s3 η(x) cosφ(x) T80(x) mm(x) Tc(x) SEM f(x) s3MC J

[mm] [mm] [mm] [%] [-] [Nm] [kg] [Nm] [V] [-] [mm]

1 37,72 5,45 9,22 89,97 0,735 18,89 0,735 1,403 240,33 1,08043 10,02

4 27,18 4,61 6,47 86,91 0,879 22,19 0,473 1,319 227,19 1,35279 7,46

6 32,30 4,52 13,01 87,81 0,871 27,39 0,551 1,366 209,80 1,50471 13,03

10 43,00 3,04 12,83 88,82 0,899 24,46 0,471 1,196 238,32 1,50854 13,05

14 41,03 4,13 13,03 89,24 0,900 27,46 0,649 1,449 219,89 1,51698 13,07

18 41,44 3,48 11,79 89,99 0,891 24,46 0,548 1,437 229,12 1,58283 11,81

Rys. 6.24 ilustruje przebiegi czasowe fazowej wartości SEM dla silnika

przedstawionego na rys. 6.21b.

Rys. 6.24. Przebieg fazowej wartości SEM dla wybranych kroków czasowych

Na rys. 6.25 przedstawiono przebiegi momentu zaczepowego w silniku o okrągłym

przekroju prętów wirnika dla najlepiej przystosowanej cząstki w każdym kroku czasowym.

Rys. 6.25. Przebiegi momentu zaczepowego w funkcji mechanicznego kąta obrotu dla silnika z prętami o przekroju okrągłym

157

W przypadku obliczeń symulacyjnych sinika z wirnikiem z prętami o przekroju

okrągłym zaobserwowano obszary o silnym nasyceniu – głównie pomiędzy prętami klatki

rozruchowej.

Można zatem przypuszczać, że ze względu na nasycanie się elementów obwodu

magnetycznego, modele o parametrach skupionych (obwodowe) mogą prowadzić do znacznych

błędów przy wyznaczaniu parametrów silników LSPMSM. Dlatego przeprowadzono analizę

porównawczą wyników uzyskiwanych z wykorzystaniem obu modeli (polowego

i obwodowego) pod kątem rozpoznania wpływu nasyceń występujących w obwodzie

magnetycznym optymalizowanej maszyny na wartości jej parametrów funkcjonalnych.

Opracowano model o parametrach skupionych na bazie programu ANSYS Maxwell.

Przy wykonaniu obliczeń przyjęto wartości zmiennych decyzyjnych optymalnej cząstki

uzyskanej w wyniku optymalizacji z polowym modelem obiektu (dane z ostatniego wiersza

tabeli 6.18). Porównanie wyników dla modeli: uproszczonego o parametrach skupionych oraz

modelu MES przedstawiono w tabeli 6.19.

Tabela 6.19. Porównanie wyników obliczeń dla dwóch typów modeli

Typ modelu η(x) cosφ(x) T80(x)

O parametrach skupionych 93,52 0,993 29,93

MES 89,99 0,891 24,46

Na podstawie wyników obliczeń przedstawionych w tabeli 6.19 zaobserwowano, że

w przypadku obszarów o silnym nasyceniu, zastosowanie mniej dokładnego modelu (modelu

o parametrach skupionych) może zniekształcać przebieg procesu optymalizacji. Podczas

szczegółowej analizy przebiegów procesu optymalizacji stwierdzono, że w przypadku modelu

o parametrach skupionych inna jest trajektoria przemieszczenia się roju w kolejnych krokach.

W wyniku optymalizacji otrzymywane są znacznie mniej dokładne wartości parametrów

funkcjonalnych, co powoduje, że algorytm znajduje optimum w niewłaściwym miejscu.

Otrzymuje się inne wartości optymalnych zmiennych decyzyjnych niż w przypadku

algorytmu z dokładniejszym modelem MES.

W wyniku zastosowania uproszczonego modelu obwodowego do analizy silnika z silnie

nasyconymi podobszarami otrzymuje się znacznie zawyżoną wartość współczynnika mocy

cos . Powoduje to silne zakłócenie procesu optymalizacji z multiplikatywną kompromisową

funkcją celu. W wyniku optymalizacji otrzymuje się mocno zawyżoną wartość długości

magnesów w porównaniu z obliczeniami z wykorzystaniem MES.

W wyniku testów stwierdzono, że wynikające z niedokładności modelu obwodowego

zakłócenia procesu optymalizacji, można zmniejszyć poprzez zastosowanie funkcji addytywnej.

Przy właściwym doborze współczynników wagowych, czułość na zmiany jednego parametru

nie wywiera wówczas tak znaczącego wpływu na proces obliczeń.

158

Podstawową zaletą modeli o parametrach skupionych jest krótki czas obliczeń [114].

Jednak z uwagi na dokładność obliczeniową są przydatne jedynie na etapie wstępnego

projektowania.

6.4.2. Projekt i wykonanie prototypu silnika. Weryfikacja pomiarowa

Na podstawie wykonanych obliczeń optymalizacyjnych, z wykorzystaniem

przedstawionego powyżej oprogramowania, wykonano prototyp silnika LSPMSM

o strukturze obwodu magnetycznego przedstawionej na rys. 6.21b.

Obliczenia realizowane były w ramach projektu „Nowa generacja energooszczędnych

napędów elektrycznych do pomp i wentylatorów dla górnictwa”, współfinansowanego ze

środków Europejskiego Funduszu Rozwoju Regionalnego w ramach Programu Operacyjnego

Innowacyjna Gospodarka. Projektowany silnik przeznaczony był do napędu wentylatora

kopalnianego.

W wyniku szeregu wykonanych obliczeń optymalizacyjnych zaprojektowano silnik

z wykorzystaniem stojana seryjnie produkowanego silnika indukcyjnego – rys. 6.26a.

Podstawowe parametry charakteryzujące obwód stojana przedstawiono w tabeli 6.1. Układ

wzbudzenia wykonano z materiału NdFeB o właściwościach magnetycznych:

836CH kA/m oraz 13,1rB T, składający się wsuwanych magnesów tworzących kształt

litery „U”. Pakiet stojana wykonano z blach typu M 530-65A. Zdjęcie wirnika przed

montażem klatki rozruchowej przedstawiono na rys. 6.26b.

Na specjalnie przygotowanym w laboratorium Zakładu Mechatroniki i Maszyn

Elektrycznych stanowisku pomiarowym (rys. 6.27) przeprowadzono badania prototypu.

Stanowisko dostosowane było do badań silnika przeznaczonego do napędu wentylatora. Układ

pomiarowy obejmował: badany prototyp silnika, układ do pomiaru mocy, układ do rejestracji

przebiegu momentu, wentylator oraz komputer.

a) b)

Rys. 6.26. Prototyp silnika: a) stojan silnika indukcyjnego Sg100L-4B, b) zaprojektowany wirnik

159

Rys. 6.27. Stanowisko do badania prototypu silnika LSPMSM

Badany silnik obciążany był wentylatorami o różnych charakterystykach [15]. Na rys.

6.28 przedstawiono zdjęcia badanych wentylatorów.

Rozruch silnika synchronicznego

musi zakończyć się synchronizacją, co jest

szczególnie trudne przy dużych momentach

bezwładności napędzanego układu [258].

Dlatego badano wpływ rodzaju wentylatora

na przebieg procesu synchronizacji. Przy

obu badanych wentylatorach silnik wpadł

w synchronizm. Wykonano pomiary

parametrów na podstawie których

wyznaczono sprawność oraz współczynnik

Rys. 6.28. Wentylatory przeznaczone do współpracy z prototypem silnika

mocy. Porównanie wartości otrzymanych eksperymentalnie z uzyskanymi w procesie

optymalizacji przedstawiono w tabeli 6.20.

Tabela 6.20. Porównanie wyników pomiarów eksperymentalnych z wynikami obliczeń symulacyjnych

U I1 P n cosφ η ηcosφ

[V] [A] [W] [obr/min] [-] [%] [%]

Pomiar 400 4,107 2460 1500 0,879 91,21 80,17

Optymalizacja 400 4,2 2551 1500 0,891 89,99 80,18

Uzyskano dobrą zgodność wyników pomiarów z wynikami symulacji przy

wykorzystaniu dwumodułowego oprogramowania przedstawionego w rozdziale 5.5.1.

W przypadku sprawności rozbieżność między wynikami obliczeń symulacyjnych i pomiarów

wyniosła 1,46 %, natomiast dla współczynnika mocy 1,36 %.

160

6.5. Podsumowanie i wnioski

Znaczna część badań przedstawionych w rozdziale 6 była realizowana w ramach projektu

„Nowa generacja energooszczędnych napędów elektrycznych do pomp i wentylatorów dla

górnictwa” współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Rozwoju Regionalnego

w ramach Programu Operacyjnego Innowacyjna Gospodarka. Badania dotyczyły opracowania

nowych struktur, modeli matematycznych oraz wytycznych do projektowania silników

synchronicznych, które w przyszłości zastąpią bardziej energochłonne silniki indukcyjne.

Z przeprowadzonych i przedstawionych w rozdziale 6 rozważań dotyczących

formułowania i rozwiązywania zadań optymalnej syntezy silników, a także

z przeprowadzonych obliczeń wynika szereg zestawionych poniżej tez i wniosków.

W ramach wymienionego powyżej projektu wielokrotnie projektowano i analizowano silniki

synchroniczne w oparciu o istniejące wykroje blach stojana produkowanych seryjnie silników

indukcyjnych. Jeżeli zmiennymi w procesie optymalizacji są wyłącznie parametry związane z

wirnikiem (przy zadanych wymiarach stojana oraz parametrach uzwojenia) to

maksymalizacja wskaźnika energooszczędności cos jest równoznaczna

z maksymalizacją momentu elektromagnetycznego T. Stała proporcjonalności jest zależna

od przyjętej indukcji w rdzeniu i gęstości prądu w uzwojeniu stojana. Zatem współczynnik

proporcjonalności może być rozpatrywany jako „stała” określająca stopień wyzyskania

materiałów czynnych, z których jest wykonany stojan.

Z przeprowadzonych rozważań wynika ważny wniosek szczegółowy: włączenie do

kompromisowej funkcji celu jednocześnie członu reprezentującego elektromagnetyczny

moment użytecznych i moment zaczepowy znacząco „wypacza” proces optymalizacji.

Moment zaczepowy Tc jest bowiem niemonotoniczną funkcją rozpiętości magnesu m ,

a pochodna mcT silnie oscyluje, osiągając miejscami duże wartości. Algorytm

optymalizacji jest zbyt wrażliwy na zmiany momentu zaczepowego. Przy zmianach

m o około 0,05 moment zaczepowy zmienia się nawet o 400%, podczas gdy średni moment

elektromagnetyczny zaledwie o kilka procent. W wyniku optymalizacji otrzymuje się obiekt o

bardzo małej, względnej rozpiętości magnesu. Dlatego zaproponowano dekompozycję

zadania optymalizacji poprzez podzielenie go na dwa etapy. Moment zaczepowy, po

zmniejszeniu liczby zmiennych decyzyjnych i zawężeniu przedziałów zmienności

parametrów, jest uwzględniany dopiero w etapie drugim.

Silniki o hybrydowych układach wzbudzenia pozwalają na uzyskanie mniejszej wartości

współczynnika THD przebiegu siły elektromotorycznej i zdecydowanie mniejszej wartości

momentu zaczepowego, ale niestety kosztem zmniejszenia użytecznego momentu.

161

Z przedstawionych w podrozdziale 6.4 rozważań wynika istotny wniosek, dotyczący

modyfikacji zadania optymalizacji z ograniczeniami, w którym wykorzystywana jest metoda

roju cząstek lub algorytm genetyczny. W klasycznej metodzie z funkcją kary zewnętrznej,

zmiana współczynnika kary następuję po całkowitym zakończeniu bezwarunkowej

optymalizacji zmodyfikowanej funkcji celu. Zaproponowano modyfikację polegającą na

„wcześniejszej” zmianie współczynnika kary, przed osiągnięciem optimum, po wykonaniu

3 do 4 iteracji algorytmu optymalizacji bezwarunkowej, to jest po obliczeniach wykonanych

dla 3 do 4 pokoleń. Dzięki zaproponowanej modyfikacji można uzyskać dwu lub nawet

trzykrotne skrócenie czasu obliczeń w porównaniu z procedurą klasyczną. Modyfikacja

w pewnym stopniu zaciera różnicę pomiędzy iteracjami nadrzędnymi, wynikającymi ze zmian

kary, a iteracjami podrzędnymi związanymi z procedurą optymalizacyjną.

Przed rozpoczęciem obliczeń optymalizacyjnych, w celu oceny dokładności wyznaczania

parametrów całkowych i jednocześnie wymaganej efektywności algorytmu zaleca się

przeprowadzenie szczegółowej analizy dotyczącej liczby elementów skończonych i

doboru długości kroku czasowego podczas rozwiązywania zagadnień związanych z

nieliniowością

W celu lepszego odwzorowania wyższych harmonicznych rozkładu pola w szczelinie

konieczne jest zastosowanie gęstej siatki dyskretyzującej. Zagęszczenie dyskretyzacji

korzystnie wpływa na zwiększenie dokładności wyznaczania współczynnika THD.

W przypadku silnika LSPMSM z klatką o prętach o przekroju kołowym w obwodzie

występują znaczące obszary o silnym nasyceniu – głównie pomiędzy prętami klatki

rozruchowej. Silnik z tego typu klatką cechuje się zdecydowanie gorszymi parametrami

funkcjonalnymi od silnika o prętach kroplowych.

Na podstawie wyników obliczeń przedstawionych w podrozdziale 5.4 zaobserwowano, że w

przypadku obszarów o silnym nasyceniu, zastosowanie mniej dokładnego modelu (modelu o

parametrach skupionych) może zniekształcać przebieg procesu optymalizacji. W tym

przypadku inna jest trajektoria przemieszczenia się roju w kolejnych krokach. W wyniku

optymalizacji otrzymywane są znacznie mniej dokładne wartości parametrów funkcjonalnych,

co powoduje, że algorytm znajduje optimum w niewłaściwym miejscu. Otrzymuje się inne

wartości optymalnych zmiennych decyzyjnych niż w przypadku algorytmu z dokładniejszym

modelem MES. W wyniku zastosowania uproszczonego modelu obwodowego do analizy

silnika z silnie nasyconymi podobszarami otrzymuje się znacznie zawyżoną wartość

współczynnika mocy cos . Powoduje to istotne zakłócenie procesu optymalizacji z

multiplikatywną kompromisową funkcją celu. W wyniku optymalizacji otrzymuje się

zawyżoną długość magnesów w porównaniu z wynikami obliczeń z wykorzystaniem MES.

162

Podstawową zaletą modeli o parametrach skupionych jest krótki czas obliczeń. Jednak z

uwagi na dokładność obliczeniową są przydatne jedynie na etapie wstępnego projektowania.

Do głównych osiągnięć autora prezentowanych w tym rozdziale można zaliczyć.

1. Wskazanie, że w przypadku projektowania silnika synchronicznego w oparciu o istniejące

wykroje blach stojana, to przy zachowaniu niezmienionego stopnia wykorzystania

materiałów czynnych w stojanie, maksymalizacja wskaźnika energooszczędności cos

jest równoznaczna z maksymalizacją momentu elektromagnetycznego T.

2. Wykazanie, że włączenie do kompromisowej funkcji celu jednocześnie członu

reprezentującego elektromagnetyczny moment użytecznych i moment zaczepowy

znacząco „wypacza” proces optymalizacji, algorytm jest bowiem zbyt wrażliwy na

zmiany momentu zaczepowego. Zaproponowano dekompozycję zadania optymalizacji;

moment zaczepowy, po zmniejszeniu liczby zmiennych decyzyjnych i zawężeniu

przedziałów zmienności parametrów decyzyjnych, jest uwzględniany tylko w etapie

drugim.

3. Przeprowadzenie analizy i optymalnej syntezy nowej hybrydowej struktury wirnika.

Stwierdzono, że silniki o hybrydowym układzie wzbudzenia pozwalają na uzyskanie

mniejszych wartości współczynnika THD i momentu zaczepowego.

4. Opracowanie efektywnego połączenia metody funkcji kary zewnętrznej z algorytmem

genetycznym. Zaproponowana modyfikacją polega na wzajemnym sprzężeniu kroków

iteracyjnych związanych z narastaniem kary z krokami (to jest kolejnymi pokoleniami)

algorytmu genetycznego i umożliwia nawet trzykrotne skrócenie czasu obliczeń

w porównaniu z procedurą klasyczną.

5. Wykazanie, że w przypadku silnika LSPMSM z klatką o prętach o przekroju kołowym

w obwodzie występują znaczące obszary o silnym nasyceniu – głównie pomiędzy prętami

klatki rozruchowej. Silnik z tego typu klatką cechuje się zdecydowanie gorszymi

parametrami funkcjonalnymi niż silniki o prętach kroplowych.

6. Wykazanie, że w przypadku występowania obszarów o silnym nasyceniu, zastosowanie

mniej dokładnego modelu o parametrach skupionych może znacząco zniekształcać

przebieg procesu optymalizacji. Wyznaczane są znacznie mniej dokładne wartości

parametrów funkcjonalnych, co powoduje, że algorytm znajduje optimum

w niewłaściwym miejscu.

163

7. Optymalizacja silników BLDC na podstawie polowo-obwodowego

modelu zjawisk elektromagnetycznych

7.1. Wprowadzenie

Pierwsze prototypy bezszczotkowych silników prądu stałego (BLDC) powstawały już

w latach 50-tych XX wieku. Istotny wzrost znaczenia silników BLDC nastąpił dopiero

w latach 80-tych, kiedy rozpoczęto produkcję trójskładnikowych magnesów z pierwiastków

ziem rzadkich – rozdz. 2. Jednak pomimo wysokiej niezawodności i trwałości, koszty

układów elektronicznych były wciąż bardzo wysokie, co znacznie zwiększało cenę napędów

z silnikami typu BLDC. Dlatego z powodów ekonomicznych silniki te były jeszcze przez

pewien czas mniej konkurencyjne w porównaniu z klasycznymi silnikami komutatorowymi.

Dopiero spadek cen elementów elektronicznych (tranzystorów MOSFET) wywołał

dynamiczny rozwój konstrukcji tego typu maszyn. Dzięki postępom technologicznym w tych

dwóch dziedzinach, silniki BLDC są współcześnie bardziej konkurencyjne pod względem

parametrów i kosztów w porównaniu z silnikami komutatorowymi.

Silniki BLDC nie posiadają komutatora mechanicznego i układu szczotek, należą do

grupy maszyn o komutacji elektronicznej. Ze względu na wykorzystywanie układów

zasilających o prostej strukturze oraz stosowanie tańszych konstrukcji stojana

z „wydatnymi zębami” (biegunami) i nawiniętymi na nich uzwojeniami skupionymi,

w silnikach typu BLDC uzyskuje się przebiegi sił elektromotorycznych w kształcie trapezu.

Uzwojenia stojana mogą być łączone zarówno w układzie trójkąta jak też gwiazdy, jednak ze

względu na łatwość sterowania bardziej popularna jest druga konfiguracja. Kolejność

załączenia uzwojeń zależy od położenia wirnika, które musi być stale kontrolowane.

Położenie wirnika można określać za pomocą układu czujników Halla lub metodami

bezczujnikowymi – rozdz. 2.

Silniki BLDC posiadają wiele zalet: wysoką sprawność, duży stosunek momentu do

masy, wysoką trwałość, liniową charakterystykę mechaniczną, możliwość precyzyjnej

regulacji obrotów [136, 249]. Podstawową wadą silników bezszczotkowych w porównaniu do

maszyn komutatorowych są pulsacje momentu elektromagnetycznego. Pulsacje te są

źródłem dodatkowych strat mocy, hałasu oraz wibracji [49, 74]. Ważnym zagadnieniem

w projektowaniu silników BLDC jest minimalizacja tych pulsacji, które niekorzystnie

wpływają na pracę całego układu napędowego. Zagadnienie to jest przedmiotem dalszej

części tego rozdziału.

Pulsacje momentu są generowane przez dwa składniki: moment zaczepowy i moment

tętniący [140]. Źródłem momentu zaczepowego są interakcje pola magnetycznego

wytworzonego przez magnesy trwałe z uzębionym stojanem. W silnikach BLDC

164

częstotliwość zmian reluktancji w obszarze sąsiadującym z magnesem jest związana

z podziałką biegunową, a nie żłobkową. Moment zaczepowy jest funkcją posiadającą

w obszarze podziałki biegunowej jedno lub co najwyżej dwa ekstrema. Jest więc parametrem

znacznie mniej czułym na zmiany rozpiętości magnesu. Dodatkowo, wypadkową składową

okresową wynikającą z momentu zaczepowego, to jest składową generowaną na całym

obwodzie wirnika można znacząco zmniejszyć stosując różne liczby biegunów stojana

i biegunów wirnika [75, 110, 208], składniki pochodzące od pojedynczych magnesów przy

odpowiednim doborze tych parametrów kompensują się.

W rozpatrywanych konstrukcjach zdecydowanie większe znaczenie ma tzw. moment

tętniący [49]. Przyczyną występowania momentu tętniącego jest sposób sterowania silnikiem

BLDC – za pomocą sekwencji impulsów prądowych, najlepiej prostokątnych. W celu

uzyskania impulsów o kształcie prostokątnym konieczne jest formowanie kształtu impulsów

napięciowych, a mianowicie ich silne forsowanie podczas załączania uzwojeń i zmiana

polaryzacji przy ich odłączeniu (w celu szybkiego „wygaszenia” impulsu prądowego w fazie

wyłączanej) – rozdz. 4.2. W przypadku stosowania bipolarnych układów sterowania

formowanie kształtu impulsów napięciowych jest mocno utrudnione; dlatego pulsacje

momentu muszą być minimalizowane już na etapie projektowania silnika.

Ważnym zatem zagadnieniem w procesie optymalnego projektowania silników BLDC

jest minimalizacja pulsacji momentu. Przeprowadzone testy wykazały, że moment zaczepowy

w przypadku silników BLDC jest parametrem znacznie mniej czułym na zmiany rozpiętości

magnesu niż w silnikach PMSM. Zatem w tym przypadku dekompozycja zadania nie jest

konieczna; moment użyteczny (składowa stała) i moment zaczepowy (składowa okresowa)

mogą być uwzględniane jednocześnie w tej samej funkcji kompromisowej. Dlatego

w zagadnieniach dotyczących optymalizacji maszyn komutowanych elektronicznie często

przyjmowane są funkcję celu w których moment użyteczny jest maksymalizowany, zaś

pulsacje (składowa okresowa) są minimalizowane [102, 141, 179, 200].

Minimalizację momentu tętniącego można uzyskać przez zastosowanie odpowiedniego

układu sterowania lub przez zwiększenie liczby pasm w stojanie – rozdz. 2. Na etapie

projektowania, minimalizację momentu pulsującego uzyskuje się przez przyjęcie

odpowiednich parametrów obwodu magnetycznego [142, 159, 245, 253]. W niniejszej pracy

badano wpływ wymiarów układu wzbudzenia (rozpiętość kątowa i wysokość magnesu oraz

długość szczeliny powietrznej) na średnią wartość momentu i współczynnik tętnień.

W trakcie komutacji, szczególnie w układzie z kształtowanymi impulsami

napięciowymi, w obwodzie magnetycznym silnika występują silnie nasycone podobszary.

Specyfika zjawisk związanych z komutacją pasm uniemożliwia prawidłowe oszacowanie

indukcyjności pasm, szczególnie indukcyjności wzajemnych. Przeprowadzenie obliczeń

optymalizacyjnych przy wykorzystaniu uproszczonych obwodowych modeli zjawisk może

165

być całkowicie nieefektywne i może prowadzić do błędnych rozwiązań w sensie

optymalizacji – podrozdział 6.4. Dlatego podczas obliczeń optymalizacyjnych silników

BLDC stosowano wyłącznie polowy model nieustalonych zjawisk.

Ze względu na stany nieustalone występujące podczas przełączania uzwojeń konieczne

było zastosowanie modelu opisanego sprzężonym układem równań pola

elektromagnetycznego i równań przełączanych obwodów elektrycznych (pasm silnika).

W przypadku maszyny z nieliniowym obwodem, macierz sztywności MES zależy od

rozwiązania Φ i musi być wyznaczana iteracyjnie w każdym kroku czasowym. Do

rozwiązania sprzężonego nieliniowego układu równań pola i obwodów zastosowano

przedstawiony wcześniej algorytm Newtona-Raphsona – rozdział 4.2. W zaproponowanym

algorytmie poszukiwane są zarówno poprawki wektora potencjałów jak też wektora prądów

w uzwojeniach: 1 kn

kn

kn ΦΦΦ oraz 1 k

nkn

kn iii . W n -tym kroku czasowym i k -tej

iteracji związanej z nieliniowością rozwiązywany jest układ równań (4.33) – rozdz. 4.2.

111

11

kn

kn

Tn

Tn

kn

kn

knnM

kn

kn

T

kn

ttt RiΦzΦzu

ziΦSΘ

i

Φ

Rz

zH (1)

Poniżej przedstawiono wyniki obliczeń zadania testowego (rozdz. 4.2) polegającego na

wyznaczeniu przebiegów prądów pasmowych ti1 , ti2 , ti3 w silniku BLDC z wirnikiem

zewnętrznym (rys. 7.2) w układzie uzwojeń połączonych w gwiazdę dla dwóch przypadków

(a) impulsów zasilających o stałej wartości napięcia oraz (b) impulsów napięciowych

o zmodyfikowanym kształcie, w taki sposób by skrócić czas trwania stanów przejściowych

w przebiegach prądów. Przyjęto, że silnik jest zasilany z bipolarnego układu sterowania.

Obliczenia symulacyjne wykonano dla siatki dyskretyzującej przekrój poprzeczny maszyny

składającej się z 30960 skończonych elementów. Przyjęto wartość napięcia zasilającego

przekształtnik 24U V, krok czasowy t = 0,222 ms. Uzyskane przebiegi prądów ti1 ,

ti2 oraz ti3 ilustruje rys. 7.1a, b. Jak wynika z rysunku 7.1a, przy zasilaniu impulsami

prostokątnymi, przebiegi prądów pasmowych znacząco odbiegają kształtem od przebiegów

prostokątnych, co jest bardzo niekorzystne z punktu widzenia efektywności. Dlatego

zastosowano układ zasilania o zmodyfikowanych (przy wykorzystaniu sterownika

matrycowego) przebiegach napięć. W tym przypadku włączane pasmo silnika zasilane jest

napięciem o wartości U5,1 , natomiast pasmo wyłączane jest zasilane napięciem o przeciwnej

biegunowości – równym - U5,0 . Przebiegi prądów w tym przypadku pokazano na rys. 7.1b.

Zastosowanie zmodyfikowanych przebiegów napięć zasilających pasma umożliwia znaczne

skrócenie czasu zanikania prądu w wyłączanym paśmie oraz poprawę kształtu przebiegu

prądu w paśmie włączanym.

166

(a) (b)

Rys. 7.1. Przebiegi prądów pasmowych: a) przy zasilaniu prostokątnymi impulsami napięciowymi,

b) przy zasilaniu impulsami zmodyfikowanymi

W stanach dynamicznych prędkość obrotowa zmienia się i w takim przypadku model

matematyczny opisujący zjawiska w silniku musi być uzupełniony o równanie bilansu

momentów – rozdz. 4.3.

W niniejszym rozdziale przedstawiono wyniki obliczeń optymalizacyjnych silnika

BLDC z wirnikiem zewnętrznym. W kompromisowej funkcji celu uwzględniono dwa ważne

przy projektowaniu tego typu silników parametry. Porównano przebiegi procesów

optymalizacji dla dwóch różnych strategii.

7.2. Optymalizacja wielokryterialna

Rozpatrzono dwie omówione wcześniej strategie – rozdz. 5.3 oraz 5.4. W pierwszym

przypadku obliczenia optymalizacyjne wykonano przy wykorzystaniu strategii

z kompromisową funkcją celu. Strukturę obwodu magnetycznego przedstawiono na rys. 7.2.

Rozpatrywany silnik ma 12 szerokich zębów (biegunów) w pakietowanym wewnętrznym

stojanie, na których są nawinięte uzwojenia skupione. Trójpasmowe uzwojenie skojarzono

w gwiazdę. W każdym z pasm znajdują się dwie szeregowo połączone cewki. Sposób

rozmieszczenia uzwojenia w żłobkach przedstawiono na rys. 4.8b. Zewnętrzny wirnik

wykonano w postaci ferromagnetycznej tulei, na powierzchni której naklejono 10 magnesów

trwałych. Liczbę p biegunów wirnika i liczbę ż zębów stojana (równą liczbie odstępów

pomiędzy zębami stojana i z tego powodu nazywaną czasami liczbą żłobków stojana)

dobrano według zależności 22 żp [76].

Przyjęto, że silnik zasilany jest z komutatora elektronicznego składającego się z sześciu

idealnych tranzystorów – rys. 2.13. Algorytm sterowania został opracowany na podstawie

przebiegów sił elektromotorycznych w pasmach stojana – rozdział 4.4.

167

W pracach dotyczących zagadnień optymalizacji maszyn elektrycznych komutowanych

elektronicznie często przyjmowane są funkcje celu, w których występują: średnia wartość

momentu elektromagnetycznego avT oraz wartość współczynnika pulsacji [141, 179, 200].

Zadanie optymalizacji zostało sformułowane następująco: dla zadanych wartości długości

pakietu maszyny, średnicy zewnętrznej stojana oraz średnicy zewnętrznej wirnika wyznaczyć

parametry magnesów trwałych oraz obszaru szczelinowego zapewniające wysoką średnią

wartość momentu avT przy jednoczesnej minimalizacji współczynnika tętnień .

W module optymalizacyjnym wykorzystano algorytm genetyczny, a w module

zawierającym model matematyczny silnika zastosowano polowo-obwodowy opis zjawisk

elektromagnetycznych. Komputerowe kody obu modułów zostały opracowane przez autora

z wykorzystaniem języka programistycznego Borland Delphi.

Silnik opisano przy pomocy trzech zmiennych decyzyjnych: 1s – długość szczeliny

powietrznej, mhs 2 – wysokość magnesu oraz ms 3 – rozpiętość kątowa magnesu – rys.

7.2. Zmienne decyzyjne tworzą wektor Tmmh s . Wszystkie operacje w module

optymalizacyjnym wykonywane są na zmiennych bezwymiarowych 1,0x . Transformacja

zmiennych decyzyjnych realizowana jest według zależności (5.2), przy czym przyjęto

następujące przedziały zmienności parametrów decyzyjnych: 6,14,0 , 0,60,1 mh

oraz 96,052,0 m .

Kompromisową, addytywną funkcję celu dla l-tego osobnika przyjęto w postaci:

x

xx

lav

av

lavl

T

Tf

0

201 (7.2)

przy czym: 1 , 2 – współczynniki wagowe, xlavT – średnia wartość momentu

elektromagnetycznego dla l-tego osobnika, 0avT – średnia wartość momentu

elektromagnetycznego po inicjacji, xl – wartość współczynnika tętnień dla l-tego

osobnika, 0av – średnia wartość współczynnika tętnień po inicjacji.

Współczynnik pulsacji definiowano według zależności [215]:

avT

TT minmax (7.3)

gdzie: maxT , minT , avT – wartość maksymalna, minimalna oraz średnia momentu

elektromagnetycznego podczas jednego cyklu pracy komutatora elektronicznego.

168

W opracowanym algorytmie genetycznym

przyjęto liczbę osobników w populacji N = 60

oraz maksymalną liczbę pokoleń Jmax = 50.

Zastosowano: reprodukcję metodą ruletki

(RWS), krzyżowanie jednopunktowe (1CPC)

oraz strategię elitarną (SE) – rozdział 5.5.2.

Przyjęto prawdopodobieństwo mutacji

005,0mp . W celu skrócenia czasu obliczeń

rozpatrywano tylko jeden takt pracy komutatora

elektronicznego. Rozpatrywany silnik został

podzielony na 10080 trójkątnych elementów. Rys. 7.2. Przekrój silnika BLDC z zaznaczonymi zmiennymi decyzyjnymi

Czas obliczeń jednego pokolenia wynosił około 1,4 godz. Proces optymalizacji wykonano dla

czterech zestawów współczynników wagowych: (a) 1 = 0,5, 2 = 0,5, (b) 1 = 1,0, 2 = 0,33,

(c) 1 = 1,0, 2 = 0,25, (d) 1 = 1,0, 2 = 0,15.

Przebieg procesów optymalizacji dla różnych zestawów współczynników wagowych

przedstawiono w tabelach 7.1, 7.2, 7.3 oraz 7.4. Dla wybranych pokoleń wyszczególniono:

wartości zmiennych decyzyjnych ( mmh ,, ), wartości parametrów całkowych silnika ( avT , ),

wartość funkcji celu najlepiej przystosowanego osobnika w populacji maxf oraz średnią wartość

przystosowania dla całego pokolenia avf .

Tabela 7.1. Porównanie wyników optymalizacji dla λ1=0,5 oraz λ2=0,5

δ hm αm Tav(x) ε(x) fmax(x) fav J

[mm] [mm] [-] [Nm] [-] [-] [-]

1 0,712 3,846 0,588 2,450 0,460 0,5026 0,4135

3 1,160 2,001 0,917 2,559 0,093 0,9316 0,8976

5 1,160 2,001 0,917 2,568 0,093 0,9346 0,9258

10 1,350 2,063 0,917 2,474 0,061 1,1818 1,1487

20 1,350 2,095 0,917 2,262 0,060 1,2050 1,1925

40 1,350 2,095 0,917 2,262 0,060 1,2050 1,1849

50 1,350 2,095 0,917 2,262 0,060 1,2050 1,2002

Tabela 7.2. Porównanie wyników optymalizacji dla λ1=1,0 oraz λ2=0,33

δ hm αm Tav(x) ε(x) fmax(x) fav J

[mm] [mm] [-] [Nm] [-] [-] [-]

1 0,844 2,361 0,833 2,851 0,123 0,85629 0,78661

5 1,154 1,655 0,917 2,403 0,068 0,93804 0,90941

10 1,157 1,718 0,917 2,434 0,068 0,94738 0,92943

20 1,157 1,749 0,917 2,447 0,062 0,98212 0,97296

40 1,157 1,749 0,917 2,447 0,062 0,98213 0,97877

50 1,157 1,749 0,917 2,447 0,062 0,98213 0,97993

169

Tabela 7.3. Porównanie wyników optymalizacji dla λ1=1,0 oraz λ2=0,25

δ hm αm Tav(x) ε(x) fmax(x) fav J

[mm] [mm] [-] [Nm] [-] [-] [-]

1 0,712 3,850 0,588 2,449 0,460 1,09726 0,99050

6 1,358 3,259 0,917 2,783 0,106 1,16349 1,13601

12 0,831 2,347 0,917 2,870 0,103 1,16353 1,15755

20 0,831 2,347 0,917 2,870 0,103 1,16354 1,15147

40 0,831 2,347 0,917 2,870 0,103 1,16354 1,15415

50 0,831 2,347 0,917 2,870 0,103 1,16354 1,15084

Tabela 7.4. Porównanie wyników optymalizacji dla λ1=1,0 oraz λ2=0,15

δ hm αm Tav(x) ε(x) fmax(x) fav J

[mm] [mm] [-] [Nm] [-] [-] [-]

1 0,606 3,711 0,833 3,037 0,608 1,00401 0,88110

3 0,972 4,788 0,750 2,898 0,352 1,08511 1,03040

5 0,641 3,656 0,917 3,101 0,174 1,10401 1,07740

10 0,735 4,560 0,917 3,094 0,151 1,12268 1,08959

20 0,646 4,515 0,917 3,150 0,134 1,12640 1,11410

50 0,647 4,516 0,917 3,162 0,130 1,12645 1,12356

W metodzie algorytmów genetycznych liczba osobników w populacji wpływa na jakość

uzyskiwanych wyników [64]. Większość zadań przedstawionych w niniejszej pracy

rozwiązywano przyjmując N > 50. W przypadku rozwiązania zadań optymalizacji obiektów

technicznych, w szczególności zadań optymalizacji silników wzbudzanych magnesami

trwałymi jest to odpowiednio dobrana wartość zapewniająca kompromis pomiędzy jakością

otrzymywanych wyników a złożonością czasową procesu optymalizacyjnego.

We wszystkich przedstawionych powyżej testach, w początkowych pokoleniach

obserwowany jest silny wzrost średniego przystosowania populacji avf . Po około

10 pokoleniach następuje stabilizacja zarówno średniego przystosowania avf jak też

maksymalnego maxf . W dalszych populacjach większość osobników znajduje się w pobliżu

rozwiązania optymalnego. We wszystkich analizowanych przypadkach obliczenia

optymalizacyjne można zakończyć po około 15 do 20-stu pokoleniach.

Na podstawie przeprowadzonych badań testowych stwierdzono, że ze względu na liczbę

wykonywanych pokoleń korzystniej jest stosować populację o większej liczbie osobników.

Na przykład przy N = 100 otrzymuje się rozwiązanie zbliżone do optymalnego już po 6÷10

pokoleniach. W rozpatrywanych testach najbardziej efektywne działanie algorytmów

uzyskiwano dla N 70÷80; w takim przypadku obliczenia zwykle dawały optymalny wynik

już po nie więcej niż dziesięciu pokoleniach. W przypadku optymalizacji obiektów

technicznych, w szczególności zadań optymalizacji silników wzbudzanych magnesami

trwałymi opisanych 3÷5 zmiennymi decyzyjnymi jest to liczba zapewniająca najszybsze

działanie algorytmu genetycznego.

170

Porównanie przebiegów momentu elektromagnetycznego w funkcji mechanicznego

kąta obrotu wirnika z uwzględnieniem przełączania pasm stojana w wybranych pokoleniach

przedstawiają rys. 7.3, 7.4 oraz 7.5.

Rys. 7.3. Przebiegi momentów elektromagnetycznych dla λ1=1,0 oraz λ2=0,33

Rys. 7.4. Przebiegi momentów elektromagnetycznych dla λ1=1,0 oraz λ2=0,25

Rys. 7.5. Przebiegi momentów elektromagnetycznych dla λ1=1,0 oraz λ2=0,15

171

Na rys. 7.6 przedstawiono porównanie przebiegów momentów elektromagnetycznych

najlepiej przystosowanych osobników w populacji dla różnych wartości współczynników

wagowych.

Rys. 7.6. Porównanie przebiegów momentów elektromagnetycznych dla różnych wartości współczynników wagowych

Przebieg momentu elektromagnetycznego silnika BLDC jest uzależniony od przyjętych

wartości współczynników wagowych ( 1 oraz 2 ) kompromisowej funkcji celu.

W przypadku równych wartości współczynników 21 = 0,5, otrzymano wartości momentu

avT = 2,26 Nm oraz współczynnik pulsacji = 0,06. Zwiększenie 1 powoduje uzyskanie

w wyniku procesu optymalizacji silnika o wyższej wartości avT i jednocześnie większych

pulsacjach momentu. Dobór wag w kompromisowej funkcji celu jest ściśle powiązany

z wymaganiami stawianymi przed projektowanym silnikiem. W przypadku gdy minimalizacja

pulsacji momentu jest ważna, to należy przyjmować większą wartość współczynnika 2 .

7.3. Optymalizacja z ograniczeniami

Jeżeli wymagana wartość avT lub jest narzucona przed rozpoczęciem procesu

projektowania silnika, to zgodnie z zaleceniami sformułowanymi w rozdziale 5.3 należy

zastosować strategię z funkcją kary, to znaczy zrealizować klasyczne zadanie optymalizacji

z ograniczeniami. W rozpatrywanym przykładzie przyjęto założenie, że silnik musi się

charakteryzować małymi wahaniami generowanego momentu obrotowego. Wartość pulsacji

momentu nie może przekraczać dopuszczalnej wartości z . W tym przypadku

maksymalizowana funkcja l-tego osobnika celu została sformułowana następująco:

0

av

lavl

T

Tf

xx (7.4)

172

Zadanie optymalizacji polega na maksymalizacji funkcji xlf przy uwzględnieniu

ograniczenia nierównościowego dotyczącego wymaganej wartości współczynnika pulsacji

z x . Unormowaną funkcję ograniczenia opisano wyrażeniem:

0

z

zl

lgx

x (7.5)

Ograniczenia uwzględniono metodą funkcji kary zewnętrznej. W metodzie tej (rozdział

5.3) konstruowana jest zmodyfikowana funkcja celu xlh , w której uwzględniana jest kara

xlkZ za przekroczenie ograniczenia. Kara dla l-tego osobnika wyrażana jest zależnością:

xx lk

lk grZ (7.6)

Przyjęto narastający współczynnik kary w postaci ciągu potęgowego o podstawie a >1, to

znaczy kk ar .

W klasycznym ujęciu [105, 106] funkcja zmodyfikowana dla l-tego osobnika przyjmuje

postać:

x

xxxxxxx

l

l

k

ll

k

ll

k

ll

kf

grfgrfZfh 1 (7.7)

W algorytmie genetycznym zmodyfikowana funkcja celu, to jest przystosowanie musi

być wielkością dodatnią. Kara wg zależności (7.6) nie może być większa od pierwotnej

funkcji celu (7.4). Dlatego obliczenia optymalizacyjne wykonano z wykorzystaniem

zaproponowanej przez autora sigmoidalnej modyfikacji funkcji kary zewnętrznej –

rozdział 5.3. W opracowanym algorytmie zmodyfikowana funkcja celu xlkh dla l-tego

osobnika jest zapisywana w postaci:

x

x

x

x

xxxl

lk

l

l

kf

ga

lf

gr

llk efefh

(7.8)

W klasycznej metodzie z funkcją kary zewnętrznej, zmiana współczynnika kary

w zależności (7.8) następuje po całkowitym zakończeniu bezwarunkowej optymalizacji

zmodyfikowanej funkcji celu. W algorytmie genetycznym takie postępowanie jest niecelowe;

prowadzi do znacznego, niepotrzebnego wydłużenia czasu obliczeń. Wykazano, że bardzo

dobre wyniki zapewnia algorytm ze zmianą współczynnik kary przed osiągnięciem optimum,

np. po wykonaniu obliczeń dla ograniczonej liczby Jp < Jmax pokoleń. Zaproponowano więc

oryginalny algorytm mieszany, w którym operacje związane z tymi strategiami (algorytmem

genetycznym i generowaniem narastającej kary) wzajemnie się przenikają (podrozdz.6.4).

W porównaniu z procedurą klasyczną uzyskano dwu, a nawet trzykrotne skrócenie czasu

obliczeń.

173

Poniżej zbadano wpływ wartości a podstawy współczynnika kary oraz liczby

Jp pokoleń wykonywanych w ramach zadania maksymalizacji przystosowania (to jest funkcji

hk opisanej zależnością 7.8) w k-tej iteracji nadrzędnej, związanej ze zmianą kary. Wykonano

obliczenia testowe dla Jp = 1, 5, 10, 15. Rozpatrywano dwie wartości współczynnika kary

a = 1,1 oraz a = 1,2. Zadano dopuszczalną wartość współczynnika tętnień z 0,065.

Pozostałe parametry modułu OPT oraz modułu OBIEKT (rozdział 5.5.1) przyjęto takie same

jak w obliczeniach w rozdziale 7.2.

Porównanie przebiegów procesu optymalizacji dla a = 1,1 oraz różnych wartości Jp

przedstawiono w tabelach 7.5 oraz 7.6. oraz rysunkach 7.7 oraz 7.8. Podane parametry

dotyczą osobnika najlepiej przystosowanego.

Tabela 7.5. Przebieg procesu optymalizacji silnika BLDC dla a = 1,1 oraz Jp = 1

δ hm αm Tav(x) ε(x) hmax(x) hav J

[mm] [mm] [-] [Nm] [-] [-] [-]

1 1,016 1,013 0,750 1,888 0,2951 0,85270 0,69431

3 1,358 2,001 0,917 2,447 0,0692 0,94148 0,81689

5 1,158 2,251 0,917 2,638 0,1076 0,94153 0,88439

7 1,357 2,064 0,917 2,473 0,0660 0,95114 0,91453

10 1,361 2,080 0,917 2,478 0,0658 0,95333 0,93962

15 1,357 2,111 0,917 2,488 0,0652 0,95695 0,94159

20 1,351 2,113 0,917 2,494 0,0649 0,95925 0,949462

30 1,351 2,120 0,917 2,496 0,0646 0,96048 0,95734

40 1,352 2,120 0,917 2,497 0,0646 0,96056 0,95905

50 1,352 2,121 0,917 2,497 0,0646 0,96056 0,95979

Tabela 7.6. Przebieg procesu optymalizacji silnika BLDC dla a = 1,1 oraz Jp = 5

δ hm αm Tav(x) ε(x) hmax(x) hav J

[mm] [mm] [-] [Nm] [-] [-] [-]

1 0,935 3,457 0,588 2,328 0,4068 0,780645 0,65486

3 1,162 2,001 0,917 2,558 0,0935 0,828981 0,78975

5 1,162 2,001 0,917 2,558 0,0935 0,689793 0,61562

7 1,356 2,004 0,917 2,450 0,0693 0,891180 0,72631

10 1,358 2,064 0,917 2,473 0,0660 0,919583 0,84239

15 1,308 2,064 0,917 2,484 0,0649 0,955161 0,89653

20 1,320 2,064 0,917 2,492 0,0649 0,958445 0,94732

30 1,321 2,098 0,917 2,498 0,0649 0,976193 0,96864

40 1,321 2,098 0,917 2,498 0,0649 0,976197 0,97002

50 1,321 2,098 0,917 2,498 0,0649 0,976197 0,77183

174

Rys. 7.7. Porównanie przebiegów momentów elektromagnetycznych dla a = 1,1 oraz Jp = 1

Rys. 7.8. Porównanie przebiegów momentów elektromagnetycznych dla a = 1,1 oraz Jp = 5

Przeprowadzono również badania wpływu wartości współczynnika kary a na przebieg

procesu optymalizacyjnego i uzyskiwane rozwiązanie optymalne. Przebiegi procesów

optymalizacji dla a = 1,2 oraz różnych wartości Jp przedstawiono w tabelach 7.7 oraz

7.8 oraz na rysunkach 7.9 oraz 7.10.

Tabela 7.7. Przebieg procesu optymalizacji silnika BLDC dla a = 1,2 oraz Jp = 1

δ hm αm Tav(x) ε(x) hmax(x) hav J

[mm] [mm] [-] [Nm] [-] [-] [-]

1 0,771 2,882 0,833 2,8747 0,5167 0,818213 0,67295

3 1,311 2,031 0,917 2,4830 0,0660 0,946388 0,79628

5 1,362 2,031 0,917 2,4617 0,0677 0,950226 0,84867

8 1,311 2,001 0,917 2,4707 0,0620 0,956270 0,89254

10 1,311 2,068 0,917 2,4880 0,0649 0,956882 0,91458

15 1,311 2,070 0,917 2,4845 0,0654 0,958047 0,93724

20 1,312 2,064 0,917 2,4913 0,0644 0,958155 0,94578

30 1,312 2,064 0,917 2,4913 0,0644 0,958155 0,95021

40 1,312 2,064 0,917 2,4913 0,0644 0,958155 0,955871

50 1,312 2,064 0,917 2,4913 0,0644 0,958155 0,95672

175

Tabela 7.8. Przebieg procesu optymalizacji silnika BLDC dla a = 1,2 oraz Jp= 5

δ hm αm Tav(x) ε(x) hmax(x) J

[mm] [mm] [-] [Nm] [-] [-]

1 0,832 2,348 0.917 2,8543 0,1069 0,890192

3 1,372 2,004 0.917 2,4417 0,0685 0,933706

5 1,322 2,001 0.917 2,4670 0,0671 0,947597

8 1,322 2,067 0.917 2,4923 0,0649 0,974379

10 1,321 2,098 0.917 2,4968 0,0650 0,976112

15 1,321 2,098 0.917 2,4968 0,0650 0,976133

20 1,321 2,098 0.917 2,4968 0,0650 0,976186

30 1,321 2,098 0.917 2,4970 0,0649 0,976193

40 1,321 2,098 0.917 2,4970 0,0649 0,976197

50 1,321 2,098 0.917 2,4970 0,0649 0,976197

Rys. 7.9. Porównanie przebiegów momentów elektromagnetycznych dla a = 1,2 oraz Jp = 1

Rys. 7.10. Porównanie przebiegów momentów elektromagnetycznych dla a = 1,2 oraz Jp = 5

176

Na podstawie przedstawionych powyżej wyników można stwierdzić, że przebieg

procesu optymalizacji silnie zależy od przyjętej wartości a podstawy ciągu kk ar . Jak już

wspomniano wcześniej, w klasycznej metodzie z funkcją kary zewnętrznej, zmiana

współczynnika kary w zależności (7.7) następuje po całkowitym zakończeniu bezwarunkowej

optymalizacji zmodyfikowanej funkcji celu [132]. Liczba iteracji głównych (nadrzędnych)

związanych ze zmianami kary jest tym mniejsza im szybciej narasta kara, to znaczy przy

większych wartościach parametru a. Ale w takim przypadku, po każdej zmianie kary

„gwałtownie” zmienia się postać i „kształt” funkcji zmodyfikowanej. To powoduje, że liczba

pokoleń w każdej iteracji wewnętrznej (podrzędnej) związanej z bezwarunkową

maksymalizacją funkcji zmodyfikowanej (to znaczy przystosowania), wykonywanych

z wykorzystaniem algorytmu genetycznego musi być przy wzrastającym parametrze a coraz

to większa. Na podstawie przeprowadzonych testów dotyczących zadań optymalizacji

silników magnetoelektrycznych z wykorzystaniem polowych modeli nieustalonych zjawisk

wykazano, że najlepszą efektywność metody kary zewnętrznej „współpracującej”

z algorytmem genetycznym uzyskuje się dla współczynnika a z przedziału 4,12,1 .

Wykazano ponadto, że bardzo dobre wyniki zapewnia algorytm ze zmianą

współczynnika kary przed osiągnięciem optimum, np. po wykonaniu obliczeń dla

ograniczonej liczby Jp pokoleń. Zaproponowano więc oryginalny algorytm mieszany,

w którym operacje związane z tymi dwiema strategiami (algorytmem genetycznym

i generowaniem narastającej kary) wzajemnie się przenikają (podrozdz. 6.4). W porównaniu

z procedurą klasyczną uzyskano dwu, a nawet trzykrotne skrócenie czasu obliczeń.

Należy pamiętać, że dla większych wartości a współczynnika kary po zmianie jego

wartości może wystąpić bardzo gwałtowna zmiana ograniczenia i wówczas autor zaleca

przyjmować większe wartości Jp. Przyjęcie zbyt małych wartości Jp nie jest korzystne

w przypadku algorytmów genetycznych. Ciągłe przystosowanie rywalizujących pomiędzy

sobą osobników pokolenia do zmian warunków otoczenia jest cechą charakterystyczną

algorytmu genetycznego. W tym przypadku zjawiska mają inny charakter niż w przypadku

metody roju cząstek. Po każdej zmianie funkcji ograniczeń pokolenie musi mieć odpowiednią

ilość czasu na adaptację do nowych warunków. Jednak przyjęcie zbyt dużych wartości Jp > 10

powodowało, że obliczenia były zbyt czasochłonne i nie wpływało to na poprawę jakości

rozwiązania. Wynika to z faktu, że w zadaniach optymalizacji maszyn wzbudzanych

magnesami trwałymi, rozwiązanie zbliżone do rozwiązania optymalnego dla populacji

o liczebności N>50 uzyskuje się już po około 5÷8 pokoleniach. Dlatego autor niniejszej

rozprawy zaleca przyjmować wartość Jp z przedziału 62 dla metody algorytmu

genetycznego. Przy tak przyjętych wartościach Jp kolejne pokolenia mają odpowiednią ilość

czasu na adaptację do nowych warunków, a zmiana współczynnika kary następuje przed

ustaleniem przybliżonego rozwiązania optymalnego.

177

Generalnie, przy wolniej narastającej karze (mniejszej wartości a podstawy ciągu)

uzyskuje się wynik bardziej zbliżony do rzeczywistego optimum. W procesie optymalizacji

silnika BLDC oznacza to zaprojektowanie obiektu o minimalnie wyższej wartości momentu

użytecznego Tav, ale niestety kosztem wydłużenia czasu obliczeń. Na podstawie

przeprowadzonych testowych obliczeń stwierdzono, że kompromis pomiędzy dokładnością,

a efektywnością uzyskuje się dla a = 1,2 oraz Jp = 5.

7.4. Podsumowanie

Z przeprowadzonych w rozdziale 7 rozważań i obliczeń dotyczących formułowania

i rozwiązywania zadań optymalnej syntezy silników typu BLDC wynika szereg

przedstawionych poniżej wniosków.

W wyniku komutacji, szczególnie w układzie z kształtowanymi impulsami napięciowymi,

w obwodzie magnetycznym silnika BLDC występują silnie nasycone podobszary.

Przeprowadzenie obliczeń optymalizacyjnych przy wykorzystaniu uproszczonych

obwodowych modeli zjawisk może być całkowicie nieefektywne i może prowadzić do

błędnych rozwiązań w sensie optymalizacji – podrozdział 6.4. Dlatego do obliczeń

optymalizacyjnych silników BLDC należy stosować polowo-obwodowy model

nieustalonych zjawisk elektromagnetycznych. W celu uwzględnienia nieliniowości

obwodu silnika zastosowano zmodyfikowany algorytm Newtona-Raphsona.

Podstawową wadą silników bezszczotkowych są pulsacje momentu

elektromagnetycznego, obejmujące dwa składniki: moment zaczepowy i moment tętniący.

Przyczyną występowania momentu tętniącego jest sposób sterowania silnikiem

BLDC – za pomocą sekwencji impulsów prądowych. W celu uzyskanie impulsów

o pożądanym prostokątnym kształcie konieczne jest formowanie kształtu impulsów

napięciowych, a mianowicie ich forsowanie podczas załączania uzwojeń i zmiana

polaryzacji przy odłączeniu (w celu szybkiego „wygaszenia” impulsu prądowego

w wyłączanym paśmie silnika). W przypadku stosowania bipolarnych układów sterowania

formowanie kształtu impulsów napięciowych jest mocno utrudnione; dlatego pulsacje

momentu muszą być minimalizowane już na etapie projektowania silnika.

Przeprowadzone testy wykazały, że moment zaczepowy i moment tętniący są

w przypadku silników BLDC parametrami znacznie mniej czułymi na zmiany rozpiętości

magnesu niż ma to miejsce w silnikach PMSM. W tym przypadku moment użyteczny

i moment zaczepowy mogą być uwzględniane jednocześnie w tej samej funkcji

kompromisowej.

Porównano procesy optymalizacji silnika BLDC dla dwóch różnych strategii:

(a) z kompromisową, wielokryterialną funkcją celu, (b) z dołączoną do algorytmu

178

genetycznego procedurą kary zewnętrznej za przekroczenie ograniczeń. Wykazano

przydatność obu strategii.

W metodzie algorytmów genetycznych liczba osobników w populacji znacząco wpływa

na jakość uzyskiwanych wyników. Większość zadań przedstawionych w niniejszej pracy

rozwiązywano przyjmując N > 50. W przypadku rozwiązania zadań optymalizacji

obiektów technicznych, w szczególności zadań optymalizacji silników wzbudzanych

magnesami trwałymi jest to wartość zapewniająca kompromis pomiędzy jakością

otrzymywanych wyników, a złożonością czasową procesu optymalizacyjnego. We

wszystkich analizowanych przypadkach obliczenia optymalizacyjne można zakończyć po

około 15 do 20 pokoleniach. W rozpatrywanych testach najbardziej efektywne

działanie algorytmów uzyskiwano dla N 70÷80; w takim przypadku obliczenia

zwykle dawały optymalny wynik już po około dziesięciu pokoleniach. W przypadku

optymalizacji obiektów technicznych, w szczególności zadań optymalizacji silników

wzbudzanych magnesami trwałymi opisanych 3÷5 zmiennymi decyzyjnymi jest to liczba

zapewniająca najszybsze działanie algorytmu genetycznego.

W algorytmie genetycznym zmodyfikowana funkcja celu, to jest przystosowanie musi

być wielkością dodatnią. Dlatego obliczenia optymalizacyjne wykonano

z wykorzystaniem zaproponowanej przez autora sigmoidalnej modyfikacji funkcji

kary zewnętrznej.

Do najważniejszych osiągnięć zaprezentowanych w rozdziale 7 można zaliczyć.

1. Opracowanie oryginalnego oprogramowania do polowo-obwodowej symulacji

„permanentnych” stanów przejściowych, wywoływanych przełączaniem pasm stojana

silnika BLDC. W celu poprawnego sterowania komutacją wymagana jest znajomość

przebiegów sił elektromotorycznych, dlatego do algorytmu dołączono procedurę

„zarządzającą” sekwencją połączeń.

2. Zaproponowanie „kształtowania” przebiegów impulsów napięciowych w taki sposób, by

znacząco skrócić czas zanikania prądu w paśmie wyłącznym oraz zwiększyć stromość

narastania prądu w paśmie włączanym. W przypadku stosowania bipolarnych układów

sterowania formowanie kształtu impulsów napięciowych jest mocno utrudnione; dlatego

pulsacje momentu muszą być minimalizowane już na etapie projektowania silnika.

3. Udowodnienie, że przeprowadzenie obliczeń optymalizacyjnych przy wykorzystaniu

uproszczonych obwodowych modeli zjawisk w silnikach BLDC może być całkowicie

nieefektywne i może prowadzić do błędnych rozwiązań w sensie optymalizacji.

W wyniku komutacji, szczególnie w układzie z kształtowanymi impulsami

napięciowymi, w obwodzie magnetycznym silnika BLDC występują silnie nasycone

podobszary.

179

4. Wykazanie, że moment zaczepowy jest w przypadku silników BLDC parametrem

znacznie mniej czułym na zmiany rozpiętości magnesu niż w silnikach PMSM. W tym

przypadku dekompozycja zadania nie jest konieczna; bowiem moment użyteczny

i moment zaczepowy mogą być uwzględniane jednocześnie w tej samej funkcji

kompromisowej.

5. Opracowanie zaleceń dotyczących „optymalnej” pod względem efektywności

obliczeniowej liczby osobników w pokoleniu (liczby cząstek w roju). Wykazano, że

w przypadku optymalizacji silników wzbudzanych magnesami trwałymi opisanych 3÷5

zmiennymi decyzyjnymi, najbardziej efektywne działanie algorytmów uzyskuje się dla

zbioru 70÷80 osobników (cząstek).

6. Wykazanie przydatności i efektywności zaproponowanej sigmoidalnej transformacji

funkcji kary zewnętrznej w zadaniach optymalizacji z ograniczeniami silników BLDC.

7. Przeprowadzenie analizy przydatności zaproponowanego algorytmu mieszanego,

w którym operacje związane z algorytmem genetycznym i algorytmem generowania

narastającej kary wzajemnie się przenikają. Wykazano dużą efektywność tej strategii.

180

8. Podsumowanie i wnioski końcowe

W związku z dynamicznym rozwojem maszyn o magnesach trwałych pojawiają się

nowe konstrukcje, których celem jest poprawa parametrów i charakterystyk oraz poprawa

wskaźników ekonomicznych. Dalszy rozwój nowych konstrukcji silników wzbudzanych

magnesami jest w dużej mierze uzależniony od doskonalenia metod symulacji ich stanów

pracy oraz metod projektowania i optymalizacji. W dostępnej literaturze brak jest opracowań

ujmujących kompleksowo zagadnienia dotyczące polowo-obwodowej symulacji dynamiki

nowych typów maszyn o magnesach trwałych, w szczególności opracowań prezentujących

algorytmy na tyle efektywne by można je było zastosować w procedurach rekursywnego

projektowania i w procedurach optymalizacji z ograniczeniami.

W rozprawie przedstawiono algorytmy i opracowane na ich podstawie uniwersalne

i efektywne oprogramowanie do optymalnej syntezy silników o magnesach trwałych.

Najważniejsze osiągnięcie autora polega na połączeniu efektywnego numerycznego polowego

modelu silnika ze skutecznie i stabilnie działającą procedurą optymalizacyjną. Uniwersalność

oprogramowania polega na: (a) możliwości analizy i syntezy silników magnetoelektrycznych

o dowolnej strukturze, (b) możliwości wymiennego stosowania różnych procedur

optymalizacji oraz (c) możliwości wymiennego wykorzystywania modeli matematycznych

o różnym stopniu złożoności do symulacji zjawisk w wybranym obiekcie.

Główne osiągnięcie autora polega na: opracowaniu środowiska komputerowego, które

może być uniwersalnym narzędziem do analizy stanów pracy, wspomagania procesu

projektowania oraz optymalizacji różnych typów silników o magnesach trwałych.

Oprogramowanie składa się z dwóch modułów: modułu optymalizacyjnego oraz modułu

zawierającego matematyczny model zjawisk elektromagnetycznych w analizowanym obiekcie.

Głównym osiągnięciem autora jest opracowanie środowiska programistycznego uniwersalnego,

umożliwiającego w stosunkowo prosty sposób wymianę modułów – zarówno modułu

optymalizacji, jak też modułu zawierającego model zjawisk w dowolnym typie urządzenia.

Moduły są połączone przez procedurę transformacji zmiennych decyzyjnych oraz procedurę

obliczania funkcji celu i ograniczeń. Procedura transformacji zmiennych jest powiązana ze

strumieniem danych wyjściowych modułu optymalizacji i jednocześnie tworzy strumień danych

wejściowych dla modułu zawierającego model obiektu. Odwrotna sytuacja występuje

w przypadku procedury obliczania parametrów funkcjonalnych obiektu i formowania na tej

podstawie funkcji celu i ograniczeń.

Oprogramowanie umożliwia wspomaganie procesu optymalnego projektowania

obiektów opisanych modelami matematycznymi o różnym stopniu złożoności - zarówno

modelami o parametrach skupionych jak też modelami o parametrach rozłożonych

i modelami mieszanymi. Po wykonaniu testów, w których funkcja celu była wyznaczana

z wykorzystaniem modelu polowego i metody elementów skończonych, stwierdzono, że do

181

optymalizacji silników magnetoelektrycznych najbardziej efektywne są algorytmy

genetyczne oraz metoda roju cząstek. Te właśnie metody, z zaproponowanymi

modyfikacjami, włączono do ostatecznej wersji oprogramowania.

Opracowane środowisko umożliwia także łączenie modułu zawierającego

oprogramowanie własne z modułem wykorzystującym oprogramowanie komercyjne. Jest to

praktyczne rozwiązanie, szczególnie przy wykorzystaniu komercyjnego oprogramowania do

odwzorowania modelu zjawisk elektromagnetycznych. W takim przypadku konieczne jest

jednak opracowanie dodatkowych „skryptów” umożliwiających komunikację pomiędzy

modułami.

Do najważniejszych osiągnięć autor zalicza ponadto.

6. Opracowanie efektywnego pod względem obliczeniowym, przystosowanego do obliczeń

projektowo-optymalizacyjnych oprogramowania do polowo-obwodowej symulacji stanów

nieustalonych i dynamicznych silników magnetoelektrycznych. Struktura programu

została tak przygotowana, aby było możliwe połączenie go z innym programem,

zarządzającym zmianami danych wejściowych. Taka potrzeba zachodzi w procesie

optymalizacji. W tym przypadku całe oprogramowanie „realizuje” polecenia programu

optymalizacyjnego. Obliczenia rozkładu pola są powtarzane tysiące razy. Dlatego Autor

zaproponował szereg modyfikacji skracających czas obliczeń, dotyczących metodyki

formowania i rozwiązywania układu równań metody elementów skończonych,

w szczególności metodyki rozwiązywania zagadnień nieliniowych. Udoskonalenia

polegają między innymi na:

zapamiętywaniu wyrazów macierzy sztywności odnoszących się do obszarów, których

struktura nie ulega zmianie podczas procesu optymalizacji,

zapamiętywaniu cząstkowych macierzy sztywności odnoszących się do

poszczególnych elementów skończonych, co znacznie przyspiesza formowanie

macierzy globalnej dla obszarów o nieliniowej charakterystyce magnesowania,

zastosowaniu strategii polegającej na zmiennej „gęstości dyskretyzacji” w kolejnych

pokoleniach algorytmu optymalizacyjnego,

zastosowaniu zaawansowanego algorytmu Newtona-Raphsona, w którym

poszukiwane są zarówno poprawki wektora potencjałów jak też poprawki wektora

prądów, a nie prądy jak w przypadku klasycznych sformułowań.

Dzięki wprowadzonym modyfikacjom uzyskano nawet trzykrotne skrócenie czasu obliczeń

optymalizacyjnych.

7. Przeprowadzenie analizy porównawczej i zaproponowanie sposobów formułowania zadania

optymalizacji z ograniczeniami w odniesieniu do silników o magnesach trwałych,

w szczególności doboru zmiennych decyzyjnych, sposobów uwzględniania w procesie

optymalizacji różnych przeciwstawnych kryteriów oraz ograniczeń. Autor porównał dwie

182

główne strategie: (a) formowanie wielokryterialnych funkcji kompromisowych oraz

(b) dołączanie do funkcji celu członu reprezentującego karę za przekraczanie ograniczeń.

Zaproponował by przy wstępnym formułowaniu wytycznych do projektowania nowych

konstrukcji silników stosować zasady optymalizacji wielokryterialnej, polegającej na

włączeniu parametrów funkcjonalnych do kompromisowej funkcji celu. Bardzo ważnym

zagadnieniem w ekstremalizacji funkcji kompromisowej jest dobór współczynników

wagowych z jakimi są uwzględniane poszczególne kryteria. Autor zaproponował metodykę

dobierania wartości tych współczynników. Natomiast w procesie projektowania silnika

dedykowanego do określonego zadania lub przeznaczonego do seryjnej produkcji, funkcję

celu formułować na bazie wąskiego zbioru wybranych parametrów funkcjonalnych,

a pozostałe parametry wykorzystać do zdefiniowania zbioru ograniczeń nierównościowych.

W takim przypadku z powodzeniem można stosować metodę funkcji kary.

8. Opracowanie i wdrożenie procedury modyfikacji członu reprezentującego karę za pomocą

funkcji sigmoidalnej. Dzięki modyfikacji kara nie może przewyższać funkcji celu;

przystosowanie w algorytmie genetycznym pozostaje zawsze wielkością dodatnią.

Opracowana i wdrożona procedura upodabnia algorytm z funkcją kary do algorytmu

z multiplikatywną funkcją kompromisową. Funkcja zmodyfikowana jest wówczas

iloczynem dwóch czynników: pierwotnej funkcji celu i czynnika związanego

z ograniczeniami.

9. Opracowanie zaleceń dotyczących „optymalnej” pod względem efektywności

obliczeniowej liczby osobników w pokoleniu (liczby cząstek w roju). Wykazano, że

w przypadku optymalizacji silników wzbudzanych magnesami trwałymi opisanych 3÷5

zmiennymi decyzyjnymi, najbardziej efektywne działanie algorytmów uzyskuje się dla

zbioru 7080 osobników (cząstek).

10. Sformułowanie wytycznych dotyczących doboru wartości podstawy ciągu potęgowego

stanowiącego współczynnik wagowy funkcji kary; autor zaproponował optymalną

wartość podstawy równą 1,21,4.

11. Porównanie efektywności procesów syntezy silników z wykorzystaniem modeli

matematycznych o różnym stopniu złożoności: modeli o parametrach skupionych (modeli

obwodowych), modeli o parametrach rozłożonych (modeli polowych), a także modeli

polowo-obwodowych (do opisu stanów dynamicznych). Autor wskazał w jakich

przypadkach, ze względów ekonomicznych, uzasadnione jest stosowanie modeli

uproszczonych, a w jakich konieczne jest stosowanie dokładniejszych modeli polowych.

12. Opracowanie i wdrożenie modyfikacji algorytmu genetycznego i metody roju cząstek.

Autor, wykazał, że zaproponowane modyfikacje wprawdzie zwiększają czas obliczeń

w module optymalizacyjnym, umożliwiają jednak osiągnięcie optimum przy mniejszej

183

liczebności pokolenia; zmniejszeniu ulega też liczba „przetworzonych” pokoleń.

Zmniejsza się więc liczba „wywołań funkcji celu, co przy zastosowaniu polowego modelu

zjawisk w silniku wpływa znacząco na skrócenie czasu obliczeń optymalizacyjnych.

13. Opracowanie efektywnego połączenia algorytmu genetycznego z metodą funkcji kary

zewnętrznej, polegającego na wzajemnym „skojarzeniu” iteracji związanych ze zmianami

kary z iteracjami (pokoleniami) algorytmu genetycznego. Autor zaproponował, by

wagowy współczynnik kary zmieniać przed osiągnięciem optimum funkcji

zmodyfikowanej w bieżącej iteracji związanej z narastaniem kary. Funkcja z karą jest

modyfikowana po wykonaniu kilku iteracji algorytmu optymalizacji bezwarunkowej, to

jest po obliczeniach wykonanych dla kilku pokoleń. Zaproponowana modyfikacja

w pewnym stopniu zaciera różnicę pomiędzy iteracjami nadrzędnymi, wynikającymi ze

zmian kary, a iteracjami podrzędnymi związanymi z procedurą optymalizacyjną. Oba typy

iteracji przenikają się nawzajem. Wykazano dużą efektywność tej strategii. Jak wynika

z przedstawionych w podrozdziale 6.4 rozważań, dzięki takiej modyfikacji można

uzyskać dwu- lub nawet trzykrotne skrócenie czasu obliczeń w porównaniu z procedurą

klasyczną.

14. Ocena przydatności w procesie projektowania urządzeń elektromagnetycznych różnych

strategii i modyfikacji algorytmów genetycznych i metody roju cząstek. Przeprowadzono

analizę efektywności różnych metod: reprodukcji, krzyżowania, mutacji oraz wpływu

strategii elitarnej na przebieg procesu optymalizacji. Wykazano, że przy rozbudowanych

procedurach obliczania „przystosowania” algorytm z wykorzystaniem „rankingu” często

nie znajduje optimum globalnego; ma bowiem więcej cech algorytmu deterministycznego.

Jednym z ważniejszych osiągnięć autora w zakresie zaleceń do metodyki

definiowania zadania optymalizacji jest sformułowana w rozdziale 6 teza dotycząca doboru

cząstkowych kryteriów w funkcji kompromisowej. Stwierdzono, że przy niewłaściwym

wyborze kryteriów algorytm optymalizacji może działać wadliwie. Dotyczy to przypadku gdy

poszczególne kryteria mają znacznie zróżnicowaną czułość na zmiany parametrów

decyzyjnych. Jak pokazano w rozdziale 6, zmiana przyjętej jako parametr decyzyjny

względnej rozpiętości magnesu o kilka procent może generować kilkuprocentowe zmiany

użytecznego momentu elektromagnetycznego przy jednoczesnych zmianach momentu

zaczepowego o kilkaset procent. Algorytm jest zbyt czuły na moment zaczepowy, co wypacza

wynik lub zakłóca proces optymalizacji wydłużając czas obliczeń. Dlatego zaproponowano

dekompozycję zadania optymalizacji na etapy, w taki sposób by uniknąć łączenia w jedną

funkcję kompromisową składników o charakterze unimodalnym i multimodalnym,

a w szczególności by uniknąć łączenia członów o bardzo różnej czułości na zmiany

poszczególnych parametrów decyzyjnych. Jest to jedna z głównych konkluzji wynikających

184

z przeprowadzonych badań nad formułowaniem i realizacją zadań optymalnej syntezy

urządzeń elektromagnetycznych.

Z przeprowadzonych w rozdziale 6 rozważań i obliczeń optymalizacyjnych dotyczących

silników synchronicznych o magnesach trwałych wynika szereg istotnych wniosków, które

także można zaliczyć do oryginalnych osiągnięć autora. Najważniejsze z nich to.

7. Wskazanie, że w przypadku projektowania silnika synchronicznego w oparciu o istniejące

wykroje blach stojana, przy zachowaniu niezmienionego stopnia wykorzystania

materiałów czynnych w stojanie, maksymalizacja wskaźnika energooszczędności cos

jest równoznaczna z maksymalizacją momentu elektromagnetycznego T.

8. Wykazanie, że włączenie do kompromisowej funkcji celu jednocześnie członu

reprezentującego elektromagnetyczny moment użytecznych i moment zaczepowy znacząco

„wypacza” proces optymalizacji, algorytm jest zbyt bowiem wrażliwy na zmiany momentu

zaczepowego. Zaproponowano dekompozycję zadania optymalizacji; moment zaczepowy,

po zmniejszeniu liczby zmiennych decyzyjnych i zawężeniu przedziałów zmienności

parametrów decyzyjnych, jest uwzględniany tylko w etapie drugim.

9. Wykazanie, że w przypadku występowania obszarów o silnym nasyceniu, zastosowanie

mniej dokładnego modelu o parametrach skupionych może znacząco zniekształcać

przebieg procesu optymalizacji. Wyznaczane są znacznie mniej dokładne wartości

parametrów, co powoduje, że algorytm znajduje optimum w niewłaściwym miejscu.

10. Przeprowadzenie analizy i optymalnej syntezy nowej hybrydowej struktury wirnika.

Stwierdzono, że silniki o hybrydowym układzie wzbudzenia pozwalają na uzyskanie

mniejszych wartości współczynnika THD i momentu zaczepowego.

11. Wykazanie, że w przypadku silnika LSPMSM z klatką o prętach o przekroju kołowym

w obwodzie występują znaczące obszary o silnym nasyceniu – głównie pomiędzy prętami

klatki rozruchowej. Silnik z tego typu klatką cechuje się zdecydowanie gorszymi

parametrami funkcjonalnymi niż silniki o prętach kroplowych.

Do najważniejszych osiągnięć zaprezentowanych w rozdziale 7, dotyczących

optymalnej syntezy silników BLDC można zaliczyć.

8. Opracowanie oryginalnego oprogramowania do polowo-obwodowej symulacji

„permanentnych” stanów przejściowych, wywoływanych przełączaniem pasm stojana

silnika BLDC. Opracowanie procedury „zarządzającej” sekwencją przełączeń pasm

silnika BLDC – na podstawie wyznaczanych przebiegów sił elektromotorycznych.

9. Zaproponowanie „kształtowania” przebiegów impulsów napięciowych w taki sposób, by

znacząco skrócić czas zanikania prądu w paśmie wyłącznym oraz zwiększyć stromość

narastania prądu w paśmie włączanym. W przypadku stosowania bipolarnych układów

185

sterowania formowanie kształtu impulsów napięciowych jest mocno utrudnione; dlatego

pulsacje momentu muszą być minimalizowane już na etapie projektowania silnika.

10. Udowodnienie, że przeprowadzenie obliczeń optymalizacyjnych silników BLDC przy

wykorzystaniu uproszczonych obwodowych modeli zjawisk może być całkowicie

nieefektywne i może prowadzić do błędnych rozwiązań w sensie optymalizacji. W wyniku

komutacji bowiem, szczególnie w układzie z kształtowanymi impulsami napięciowymi,

w obwodzie magnetycznym silnika BLDC występują podobszary silnie nasycone.

11. Wykazanie, że moment zaczepowy jest w przypadku silników BLDC parametrem

znacznie mniej czułym na zmiany rozpiętości magnesu niż w silnikach PMSM. W tym

przypadku dekompozycja zadania nie jest konieczna; moment użyteczny i moment

zaczepowy mogą być uwzględniane jednocześnie w tej samej funkcji kompromisowej.

12. Przeprowadzenie analizy przydatności zaproponowanego algorytmu mieszanego,

w którym operacje związane z algorytmem genetycznym i algorytmem generowania

narastającej kary wzajemnie się przenikają. Wykazano dużą efektywność tej strategii.

Wśród innych osiągnięć autora można wymienić.

1. Zaproponowanie nowych udoskonalonych struktur silników o magnesach trwałych,

w tym struktur hybrydowych.

2. Zaproponowanie metodyki wstępnego szacowania długości magnesów, co w procedurach

optymalizacji jest bardzo przydatne do określenia punktów startowych i przedziału

zmienności tego parametru, będącego jedną z podstawowych zmiennych decyzyjnych.

3. Opracowanie (na postawie obliczeń testowych) wytycznych do projektowania silników

wybranych typów, w szczególności wytycznych dotyczących wstępnego doboru

proporcji wymiarów układów wzbudzenia z magnesami trwałymi.

4. Opracowanie oryginalnego algorytmu wyznaczania parametrów modelu Jilesa-Athertona

odwzorowującego zjawisko histerezy magnetycznej poprzez minimalizację

trójskładnikowej funkcji celu z wykorzystaniem metody roju cząstek.

5. Autor wykazał ponadto, że w celu lepszego odwzorowania wyższych harmonicznych

rozkładu pola w szczelinie konieczne jest zastosowanie gęstej siatki dyskretyzującej

Zagęszczenie dyskretyzacji korzystnie wpływa na zwiększenie dokładności wyznaczania

współczynnika THD.

Podsumowując przedstawione w pracy rozważania, a w szczególności przedstawione

powyżej wnioski i wyszczególnione osiągnięcia, zdaniem autora można stwierdzić, że

założone na wstępie cele pracy zostały osiągnięte, a postawione tezy – udowodnione.

186

Wykaz literatury

[1] Ai-Qin Mu, De-Xin Cao, Xiao-Hua Wang, A modified particle swarm optimization algorithm,

Natural Science, Vol. 1, No. 2, pp. 151 – 155, 2009.

[2] Aliabad A. D., Miraslim M., Frshad N. F., Line-start permanent-magnet motors: significant improvements in starting torque, synchronization and steady-state performance, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 46, No. 12, pp. 4066 – 4072, 2010.

[3] Amborski K., Podstawy metod optymalizacji, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2009.

[4] Amoiralis E. I., Tsili M. A., Paparigas D. G., Kladas A. G., Global transformer design optimization using deterministic and nondeterministic algorithms, IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 50, No. 1, pp. 383 – 394, 2013.

[5] Antal L., Goździewicz M., Badania eksperymentalne rozruchu silnika synchronicznego wzbudzanego magnesami trwałymi, Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne, Nr 93, s. 131 – 136, 2011.

[6] Aparecida de Pina A., de Souza Leite Pires de Lima B., Albrecht C. H., Jacob B. P., Parameter selection and convergence analysis of the PSO algorithm applied to the design of riser, International Conference on Engineering Optimization EngOpt 2008, Rio de Janeiro, 1 – 5 June 2008.

[7] Ashabani M., Mohamed Y. A. R. I., Multiobjective shape optimization of segmented pole permanent-magnet synchronous machines with improved torque characteristics, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 47, No. 4, pp. 795 – 804, 2011.

[8] Azzaoui S., Srairi K., Benbouzid M. E., Non linear magnetic hysteresis modeling by finite volume method for Jiles-Atherton model optimizing by a genetic algorithm, Journal of Electromagnetic Analysis and Applications, No. 3, pp. 191 – 198, 2011.

[9] Bala S., Venkatarmanan G., Matrix converter BLDC drive using reverse-blocking IGBT’s, Proceedings of XXI Applied Power Electronics Conference and Exposition APEC’06, Dallas, Texas, USA, 19 – 23 March 2006, pp. 660 – 666, 2006.

[10] Baldursson S., BLDC motor modeling and control – a Matlab/Simulink implementation, Master Thesis, Institutionen för Energi och Miljö, Göteborg, 2005.

[11] Barakat A., Tnani S., Champenois G., Mouni E., Analysis of synchronous machine modeling for simulation and industrial applications, Simulation Modeling Practice and Theory, No. 18, pp. 1382 – 1396, 2010.

[12] Barański M., Demenko A., Łyskawiński W., Szeląg W., Finite element analysis of transient electromagnetic-thermal phenomena in a squirrel cage motor, COMPEL, Vol. 30, No. 3, pp. 832 - 840, 2011.

[13] Barański M., Idziak P., Królikowski W., Łyskawiński W., Analiza stanów pracy silników indukcyjnego i synchronicznego magnetoelektrycznego o rozruchu bezpośrednim, Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 2, s. 227-232, 2013.

[14] Barański M., Idziak P., Łyskawiński W., Szeląg W., Analysis of power parameters of the squirrel cage motor and LSPMS motor with U-shaped magnets, Przegląd Elektrotechniczny, R. 91 NR 4/2015, pp 135 – 138, 2015.

[15] Barański M., Jedryczka C., Analysis of the line start permanent magnet synchronous motor performance under different values of the supply voltage, XXIII Symposium Electromagnetic Phenomena in Nonlinear Circuits, July 2-4, 2014, Pilsen, Czech Republic, pp 28-29, 2014.

187

[16] Barański M., Szeląg W., Jędryczka C., Mikołajewicz J., Łukaszewicz P., Analiza i badanie silnika synchronicznego o rozruchu bezpośrednim i magnesach w wirniku rozłożonych w kształcie litery U, Przegląd Elektrotechniczny, No. 2, pp. 107 – 111, 2013.

[17] Barcikowski N., Hecquet M., Brochet P., Shirinskii V., Multiphysics modeling of a permanent magnet synchronous machine by using lumped models, IEEE Transaction on Magnetics, Vol. 59, No. 6, pp. 2426 – 2437, 2012.

[18] Belahcen A., Floran M., El-Hadi-Zaim M., Kolondzovski Z., Combined FE and particle swarm algorithm for optimization of high speed PM synchronous machine, Compel, Vol. 34, No. 2, pp. 475 – 484, 2015.

[19] Berhausen S., Boboń A., Polowa metoda wyznaczania parametrów i charakterystyk maszyny synchronicznej, Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne, Nr 91, s. 43 – 49, 2011.

[20] Bernard Y., Mendes E., Santandrea L., Boullault F., Inverse Preisach model in finite elements modeling, The European Physical Journal – Applied Physics, Vol. 12, pp. 117 – 121, 2000.

[21] Bernatt J., Obwody elektryczne i magnetyczne maszyn elektrycznych wzbudzanych magnesami trwałymi, Branżowy Ośrodek Badawczo-Rozwojowy Maszyn Elektrycznych „KOMEL”, Katowice 2010.

[22] Bolkowski S., Stabrowski M., Skoczylas J., Sroka J., Sikora J., Wincenciak S., Komputerowe metody analizy pola elektromagnetycznego, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1993.

[23] Boroujenia S., T., Haghparasta M., Bianchi N., Optimization of flux barriers of line-start synchronous reluctance motors for transient and steady-state operation, Electric Power Components and Systems, Vol. 43, No. 5, pp. 594 – 606, 2015.

[24] Boukhtache S., Azoui B., Féliachi M., Optimized model for magnetic hysteresis in silicon-iron sheets by using the simulated annealing algorithm, International Journal of Applied Electromagnetics and Mechanics, Vol. 30, No. 1-2, pp. 1 – 7, 2009.

[25] Brock S., Identification of friction torque in direct drive using particle swarm optimization, Materiały XIV Konferencji Naukowo-Technicznej Zastosowania Komputerów w Elektrotechnice – ZKwE’09, Poznań, 20-22 kwietnia 2009, s. 291 – 292, 2009.

[26] Cassimerne B. N., Sudhoff S. D., Sudhoff D. H., Analytical design model for surface-mounted permanent magnet synchronous machine, IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 24, No. 2, pp. 347– 357, 2009.

[27] Czaban A., Mathematical model of oscillatory process in electromechanical systems, Wydawnictwo T. Soroki, Lwów, 2008.

[28] Chaithongsuk S., Nahrid-Makarakeh B., Caron J. P., Takorabet N., Meibody-Tabar F., Optimal design of permanent magnet motors to improve field-weakening performances in variable speed drives, IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 59, No. 6, pp. 2484-2494, 2012.

[29] Cheng K., Tzou Y., Design of a sensorless commutation IC for BLDC motors, IEEE Transaction on Power Electronics, vol. 18, No. 6, pp. 1365 – 1375, 2002.

[30] Chongshan Z., Ren-Gang Y., Application of Jiles-Aterthon and Newton-Raphson method in modeling nonlinear inductor, Proceeding of the Third International Conference on Mechanics Automation and Control Engineering, - MACE’2012, pp. 3219 – 3233, 2012.

[31] Chwastek K., Najgebauer M., Szczygłowski J., Performance of some novel optimization algorithms, Przegląd Elektrotechniczny, No. 12b, pp. 191–193, 2012.

[32] Chwastek K., Szczygłowski J., Identification of a hysteresis model parameters with genetic algorithms, Mathematics and Computers in Simulation, Vol. 71, No. 3, pp. 206 – 211, 2006.

188

[33] Concari C., Troni F., Sensorless control of BLDC motors at low speed based differential BEMF measurement, IEEE Energy Conversion Congress and Exposition – ECCE’2010, 12 – 16 September 2010, Atlanta, USA, pp. 1772 – 1777, 2010.

[34] Corzine K. A., Kuhn B., Sudhoff S. D., Hegner H. J., An improved method for incorporating magnetic saturation in the q-d axis synchronous machine model, IEEE Transaction on Energy Conversion, Vol. 13, No. 3, pp. 270 – 275, 1998.

[35] Cros J., Viarouge P., Synthesis of high performance PM motors with concentrated windings, IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 17, No. 2, pp. 1248-1253, 2002.

[36] Czaban A., Czaban W., Rusek A., Lis M., Model matematyczny silnika synchronicznego z magnesami trwałymi typu PMSM z wykorzystaniem metod wariacyjnych, Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne, Nr 98, s. 177 – 181, 2013.

[37] Czochralska I., Metoda rozwiązywania układu równań linowych z symetryczną, nieokreśloną macierzą współczynników, Matematyka Stosowana, Nr 7, s. 45 – 51, 2006.

[38] Dąbrowski M., Projektowanie maszyn elektrycznych prądu zmiennego, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1994.

[39] Dabrowski M., Rudeński A., Effectiveness comparison of non-evolutionary non-deterministic optimization methods in design electrical machines, Computer Applications in Electrical Engineering, pp. 12 – 23, 2008.

[40] Dąbrowski M., Rudeński A., Metody ewolucyjne optymalizacji silników indukcyjnych jednofazowych z uwzględnieniem zmiennych decyzyjnych dyskretnych, Przegląd Elektrotechniczny, Nr 6, s. 10 – 15, 2006.

[41] Da-Woon Choi, Jian Li, Yun-Hyun Cho, Design of line-start permanent magnet motor with cost reduction and performance improvements, International Journal of Applied Electromagnetics and Mechanics, Vol. 39, No. 4, pp. 873 – 879, 2012.

[42] Demenko A., Symulacja dynamicznych stanów pracy maszyn elektrycznych w ujęciu polowym, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 1997.

[43] Demenko A., Obwodowe modele układów z polem elektromagnetycznym, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2004.

[44] Demenko A., Nowak L., Szelag W., Numerical formulation of motion equation in dynamic finite element analysis of electromechanical converters, Proceedings of International Workshop “Electric and Magnetic Fields”, Liege, Belgium, 28 - 30 September 1992, pp. 610 – 616, 1992.

[45] Domoracki A., Krykowski K., Silniki BLDC – klasyczne metody sterowania, Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne, Nr 72, s. 155 – 158, 2005.

[46] Domoracki A., Wpływy sposobu sterowania komutatorem elektronicznym na właściwości ruchowe silnika bezszczotkowego, Rozprawa doktorska, Politechnika Śląska, Gliwice 2008.

[47] Dorigo M., Maniezzo V., Colorni A., The ant colony system: a cooperative learning approach to the travelling salesman problem, IEEE Transactions on Evolutionary Computation, Vol. 1, No. 1, pp. 53 – 66, 1997.

[48] Dubiel S. M., Człowiek i magnetyzm, www.tuo.agh.edu.pl/magnetyzm_23_11_07.pdf

[49] Dudzikowski I., Ciurys M., Komutatorowe i bezszczotkowe maszyny elektryczne wzbudzane magnesami trwałymi, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 2011.

[50] Eberhard R., Shi Y., Comparing inertia weights and construction factors in Particle Swarm Optimization, Proceedings of the IEEE International Conference on Evolutionary Computation, San Diego, pp. 84 – 88, 2000.

[51] Elevin L. N., 3-phase BLDC motor control with Hall sensors using 56800/E digital signal controllers, Freescale Semiconductor, No. 2/2005.

189

[52] Engelbrecht A. P., Computational Intelligence, John Wiley & Sons Ltd., 2007.

[53] Faiz J., Mahdi Ebrahimi B., Akin B., Toliyat H. A., Finite-element analysis of induction motors under mixed eccentricity fault, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 44, No. 1, pp. 66 – 74, 2008.

[54] Fan H., A modification to particle swarm optimization algorithm, COMPEL, Vol. 19, No. 8, pp 870 – 889, 2002.

[55] Fei W., Luk P. C. K., Ma J, Shen J. X., Jang G., A high-performance line-start permanent magnet synchronous motor amended from a small industrial three-phase induction motor, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 45, No. 10 pp. 4724 – 4727, 2009.

[56] Ferreti G., Magnani C., Rocco P., Modelling, identification and compensation of pulsating torque in permanent magnet AC motors, IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 45, No. 6, pp. 912-920, 1998.

[57] Filipowicz B., Kwiecień J., Algorytmy stadne w optymalizacji problemów przydziału przy kwadratowym wskaźniku jakości (QAP), Automatyka, Tom 15, Zeszyt 2, s 159 – 166, 2011.

[58] Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J., Metody numeryczne, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2006.

[59] Foster W. A., Treherne J. E., Evidence for the dilution effect in the selfish herd from fish predation on a marine insect, Nature, Vol. 293, pp. 466–467, 1981.

[60] Gamazo-Real J. C., Vazguez-Sánchez E., Gómez-Gil J., Position and speed control of brushless DC motor using sensorless techniques and applications trends, Sensors, No. 10, pp. 6901 – 6947, 2010.

[61] Garcia X. T., Zigmund B., Terlizzi A., Pavlanin R., Salvatore L., Comparison between FOC and DTC strategies for permanent magnet synchronous motors, Advances in Electrical and Electronic Engineering, Vol. 8, No. 1, pp. 76 – 81, 2010.

[62] Glinka T., Maszyny elektryczne wzbudzane magnesami trwałymi, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2002.

[63] Goldberg D., Algorytmy genetyczne i ich zastosowania, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2003.

[64] Grzymkowski R., Kaczmarek K., Kiełtyka S., Nowak I., Wybrane algorytmy optymalizacji, algorytmy genetyczne, algorytmy mrówkowe, Wydawnictwo Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskiego, Gliwice 2008.

[65] Gwozdziewicz M., Zawilak J., Single-phase line start permanent magnet synchronous motor. Rotor construction and stator winding optimization, Archives of Electrical Engineering, Vol. 62, No. 2, pp. 227 – 236, 2013.

[66] Hafner M., Schoning M., Hameyer K., Automated sizing of permanent magnet synchronous machines with respect to electromagnetic and thermal aspects, COMPEL, Vol. 29, No. 5, 2010.

[67] Hamel A., Mohellebi H., Feliachi M., Hocini F., Particle swarm optimization for reconstruction of two-dimensional groove profiles in non destructive evaluation, Book of Digest of the XIV International Symposium on Electromagnetic Fields in Mechatronics, Electrical and Electronic Engineering ISEF’2009, Arras, 10 – 12 September 2009, pp. 219 – 220, 2009.

[68] Hanselman D. C., Permanent magnet motor design, McGraw-Hill, Inc., 1994.

[69] Hatakeyama K., Nakano S., Kurita N., Ishikawa T., Accurate estimation of initial rotor position for brushless DC motor position sensorless driver, International conference on Electrical Machines and Systems – ICEMS’2009, 15 – 18 November 2009, Tokyo, Japan, pp. 111 – 115, 2009.

[70] Heikkilä T., Permanent magnet synchronous motor for industrial applications – analysis and design, PHD thesis, Lappeenranta University of Technology, Finland, 2002.

190

[71] Hendershot J. R., Miller T. J. E., Design of brushless permanent-magnet motors, Magna Physics Publishing and Clarendon Press, Oxford, 1994.

[72] Honda Y., Highaki T., Morimoto S., Rotor design optimization of multi-layer interior permanent-magnet synchronous motor, Proceedings IEE Electric Power Applications, pp. 119 – 124, 1998.

[73] Hutten A., Haasen P., Fim-atom probe investigations of permanent magnetic materials, Journal do Physique, No. 47, pp. C7-205 – C7-209, 1986.

[74] Idziak P., Wpływ pola elektromagnetycznego na deformacje stojana maszyny prądu stałego, Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Politechniki Wrocławskiej, Seria: Studia i Materiały, Nr 50, s. 279 288, 2000.

[75] Ishak D., Zhu Z. Q., Howe D., Comparative study of permanent magnet brushless motors with all teeth and alternative teeth windings, Proceedings of IEE 2nd International Conference Power Electronic, Machines and Drives, pp. 834-839, 2004.

[76] Ishak D., Zhu Z. Q., Howe D., Comparison of PM brushless motors, having either all teeth or alternate teeth wound, IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 21, No. 1, pp. 95 – 103, 2006.

[77] Ishak D., Zhu Z. Q., Howe D., Permanent-magnet brushless machines with unequal tooth widths and similar slot and pole number, IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 41, No. 2, pp. 584 – 590, 2005.

[78] Jae Seok Choi, Takayuki Yamada, Kazuhiro Izui, Shinji Nishiwaki, Heeseung Lim, Jeonghoon Yoo, Optimal shape design of flux barriers in IPM synchronous motors using the phase field method, COMPEL, Vol. 33, No. 3, pp.998 – 1016, 2014.

[79] Jagiełło A., Przekształcenia niecałkowalne w teorii maszyn elektrycznych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.

[80] Janaszek M., Analiza pracy silnika synchronicznego o wzbudzeniu elektromagnetycznym szeregowym, Prace Instytutu Elektrotechniki, Zeszyt 266, s. 6 – 28, 2014.

[81] Jażdżyński W., Bajek M., Obliczenia analityczne silnika synchronicznego z magnesami trwałymi o rozruchu bezpośrednim (LSPMSM) z pominięciem zjawisk nieliniowych, Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne, Nr 83, s. 73 – 76, 2009.

[82] Jażdżyński W., Model dynamiczny LSPMSM i ocena jego przydatności do optymalizacji konstrukcji na podstawie obliczeń i pomiarów, Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne, Nr 100, s. 111 – 114, 2013.

[83] Jędryczka C., Łyskawiński W., Mikołajewicz J., Wojciechowski R., Analiza struktur magnetoelektrycznych silników synchronicznych o rozruchu częstotliwościowym. Modelowanie, Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Politechniki Wrocławskiej, Nr 66, Studia i Materiały Nr 32, Tom 1, s.86-91, 2012.

[84] Jędryczka C., Nowak M., Radziuk K., Stachowiak D., Hybrid magnets in line start synchronous motors , Przegląd Elektrotechniczny , No. 9, pp. 44 – 48, 2013.

[85] Jędryczka C., Polowa analiza stanów nieustalonych w magnetoreologicznych układach przenoszenia momentów obrotowych, Rozprawa doktorska, Politechnika Poznańska, Poznań 2010.

[86] Jędryczka C., Sujka P., Szeląg W., The influence magnetic hysteresis on magnetorheological fluid clutch operation, COMPEL, Vol. 28, No. 3, pp. 711 – 721, 2009.

[87] Jędryczka C., Wojciechowski R. M., Demenko A., Finite element analysis of the asynchronous torque in LSPMSM with non symmetrical squirrel cage winding, International Journal of Applied Electromagnetics and Mechanics, DOI - 10.3233/JAE-141947, 2014.

[88] Jezierski E., Gogolewski Z., Kopczyński Z., Szmit J., Transformatory Budowa i projektowanie, WNT, Warszawa 1963.

191

[89] Jiles D., Atherton D. L., Ferromagnetic hysteresis, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 19, No. 5, pp. 2183 – 2185, 1983.

[90] Jiles D., Thoelke J. B., Devine M. K., Numerical determination of hysteresis parameters for the modeling of magnetic properties using theory of ferromagnetic hysteresis, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 28, No. 1, pp. 27 – 35, 1992.

[91] Jiles D., Atherton D. L., Theory of ferromagnetic hysteresis, Journal of Magnetism and Magnetic Material, No. 61, pp. 48 – 60, 1986.

[92] Jiles D., Garikepati P., Palmer D., Evaluation of residual stress in 300M and AISI 4140 stell using hzsteresis loss and differential permeability, Review of Progress in Quantitative NDE, 8B, pp. 2081 – 2089, 1989.

[93] Jiles D, Thoelke J. B., Theory of ferromagnetic hysteresis: determination of model parameters from experimental loops, IEEE Transactions of Magnetics, Vol. 25, No. 5, pp. 3928 – 3930, 1989.

[94] Jiles D., A self consistent generalized model for calculation of minor loop excursions in the theory of hysteresis, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 28, No. 5, pp. 2602 – 2604, 1992.

[95] Jlies D., Atherton D. L., Ferromagnetic hysteresis, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 19, No. 5, pp. 2183 – 2185, 1983.

[96] Joghataie A, Takolloozadeh M., Improving penalty functions for structural optimization, Transactions on Civil Engineering, Vol. 16, No. 4, pp. 308 – 320, 2009.

[97] Kab-Jae Lee, Sol Kim, Seong-Yeop Lim, Ju Lee, Bridge design of interior permanent magnet motor for hybrid electric vehicle, International Journal of Applied Electromagnetics and Mechanics, Vol. 19, No. 1 – 4, pp. 601 – 606, 2004.

[98] Kapelski D., Jankowski B., Karbowiak M., Przybylski M., Ślusarek B., Research of magnetic properties of hybrid composite elements, Przegląd Elektrotechniczny, Nr 5a, s. 26 – 27, 2012.

[99] Kennedy J., Eberhart R., Particle Swarm Optimization, Proceedings of the International Conference on Neutral Networks, Perth, Australia, pp. 1942 – 1948, 1995.

[100] Kiranyaz S., Ince T., Yildirim A., Gabbouj M., Fractional particle swarm optimization in multidimensional search space, IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, Vol. 40, No. 2, pp. 298 – 319, 2010.

[101] Knypiński Ł., Application of the Newton-Raphson algorithm for the analysis of magnetic field and electric circuit coupled problems, Proceedings of II International Interdisciplinary Technical Conference of Young Scientist, Poznań, Poland, 20 - 22 May 2009, pp. 163 – 166, 2009.

[102] Knypiński Ł., Algorytm optymalizacji struktury bezszczotkowego silnika prądu stałego z wykorzystaniem polowego modelu zjawisk, Poznań University of Technology Academic Journals, Electrical Engineering, No. 72, pp. 175 – 184, 2012.

[103] Knypiński Ł., The steady-state and transient FEM analysis of the outer-rotor permanent magnet brushless DC motor, Proceedings of X International PhD Workshop OWD 2008, Wisła, Poland, 18 – 21 October 2008, pp. 277 – 280, 2008.

[104] Knypiński Ł., Nowak L., Fidel-circuit simulation of the dynamics of the outer rotor permanent magnet brushless DC motor, COMPEL, Vol. 30, No. 2, pp 929 – 440, 2011.

[105] Knypiński Ł., Nowak L., Optimization of the permanent magnet brushless DC motor employing finite element method, COMPEL, Vol. 32, No. 4, pp 1189 – 1202, 2013.

[106] Knypiński Ł, Nowak L., Optimization of the electromagnetic devices using genetic algorithm, Computer Applications in Electrical Engineering, Poznań University of Technology, pp. 103 – 116, 2008.

192

[107] Knypiński Ł, Nowak L., Field-circuit simulation of the outer rotor permanent magnet brushless DC motor taking nonlinearity into account, Studies in Applied Electromagnetics and Mechanics, vol. 34, pp. 309 – 317, 2010.

[108] Knypiński Ł., Nowak L., Two stage optimization of the PMSM with excitation system composed of different material, Computer Applications in Electrical Engineering, No. 11, pp. 148 – 158, 2013.

[109] Knypiński Ł., Nowak L., Zastosowanie algorytmu genetycznego do optymalizacji parametrów transformatora zasilacza elektronicznego, Materiały XIII Konferencji Naukowo-Technicznej Zastosowania Komputerów w Elektrotechnice – ZKwE’08, s. 319 – 320, 2008.

[110] Knypiński Ł., Nowak L., Analiza rozruchu w bezszczotkowym silniku prądu stałego, Materiały XV Konferencji Naukowo-Technicznej Zastosowania Komputerów w Elektrotechnice – ZKwE’10, Poznań, 19-21 kwietnia 2010, s. 167 – 168, 2010.

[111] Knypiński Ł, Nowak L., Demenko A., Optimization of the synchronous motor with hybrid permanent magnet excitation system, Proceedings of XVI International Symposium on Electromagnetic Fields in Mechatronics, Electrical and Electronic Engineering ISEF 2013, Ohrid, Macedonia, 12 – 14 September 2013,Pendrive PS.1 ID_024, pp. 1 – 6, 2013.

[112] Knypiński Ł., Antczak M., Sujka P., Identification of the Jiles-Atherton model hysteresis parameters using optimization procedure, Poznan University of Technology Academic Journals, Electrical Engineering, No. 63, pp. 102 – 110, 2010.

[113] Knypiński Ł., Jędryczka C., Demenko A., Influence of the shape of squirrel-cage bars on the dimensions of permanent magnets in an optimized line-start permanent magnet synchronous motor, Proceedings of XVII International Symposium on Electromagnetic Fields in Mechatronic, Electrical and Electronic Engineering – ISEF 2015, Walencja 10 – 12 September, 2015.

[114] Knypiński Ł., Nowak L, Jędryczka C., Optimization of the rotor geometry of the line-start permanent magnet synchronous motor by the use of particle swarm optimization, COMPEL, Vol. 34, No. 3, pp. 882 – 892, 2015.

[115] Knypiński Ł., Nowak L., Sujka P., Radziuk K., Application of a PSO algorithm for identification of the parameters of Jiles-Atherton hysteresis model, Archives of Electrical Engineering, Vol. 30, No. 2, June 2012, pp. 139 – 148, 2012.

[116] Knypiński Ł, Nowak L., Radziuk K., Le Manech Y., The field-circuit analysis of the start-up operation of the brushless DC motor, Computer Applications in Electrical Engineering, Electrical Engineering, Poznań University of Technology, pp. 93 – 105, 2010.

[117] Knypiński Ł., Nowak L., Jędryczka C., Kowalski K., Sujka P., Algorytm optymalizacji magnetoelektrycznych silników synchronicznych z uwzględnieniem polowego modelu zjawisk elektromagnetycznych, Przegląd Elektrotechniczny, No. 2, pp. 143 – 147, 2013.

[118] Kokosimos D. E., Kladas A. G., Modeling of interior permanent magnet machine using combined field analysis, XIX International Conference on Electrical Machines – ICEM, 6 – 8 September, Rome, Italy, p. 1 – 6, 2010.

[119] Kołowrotkiewicz J., Barański M., Szeląg W., Długiewicz L., FE analysis of induction motor working in cryogenic temperature, COMPEL, Vol. 26, No. 4, pp 952 - 964, 2007.

[120] Korecki J., Benabou A., Le Menach Y., Ducreux J., Piriou F., Hysteresis Phenomenon Implementation in FIT: Validation with Measurements, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 46, No. 8, pp. 3285 – 3288, 2010.

[121] Kowol M., Mynarek P., Mroczeń D., Model matematyczny przełączalnego silnika reluktancyjnego do analizy stanów dynamicznych, Zeszyty problemowe – Maszyny Elektryczne, Nr 88, s. 7 – 11, 2010.

[122] Krause J., Hoare D., Krause S., Hemelrijk C. K., Rubenstein D. I., Leadership in fish shoals, Fish and Fisheries, Vol. 1, No. 1, pp. 82 – 89, 2000.

193

[123] Królikowski L., Rozwój konstrukcji maszyn elektrycznych do końca XIX wieku, Monografie z dziejów nauki i techniki, Tom CXXXVIII, Wydawnictwo Polskiej Akademii Nauk, 1986.

[124] Krotochwil Z., Zembrzuski J., Uzwojenia silników indukcyjnych, Państwowe Wydawnictwo Techniczne, Warszawa 1961.

[125] Krykowski K., Energoelektronika, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2007.

[126] Krykowski K., Hetmańczyk J., Modele obwodowe silnika PM BLDC, Prace Naukowe Politechniki Śląskiej, Elektryka, Zeszyt 4, s. 89 – 100, 2007.

[127] Kubota H., Matsuse K., Speed sensorless Field-Oriented Control of induction motor with rotor resistance adaptation, IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 30, No. 5, pp. 1219 – 1224, 1994.

[128] Kuczmann M., Dynamic Preisach hysteresis model, Journal of Advanced Research in Physics, Vol. 1, No. 1, pp. 9 – 14, 2010.

[129] Kumar P., Bauer P., Improved analytical model of permanent magnet brushless DC motor, IEEE Transaction on Magnetics, Vol. 44, No. 10, pp. 2299 – 2309, 2008.

[130] Kusiak J., Danielewska-Tułecka A., Oprochna P., Optymalizacja. Wybrane metody z przykładami zastosowań, Wydawnictow naukowe PWN, Warszawa 2009.

[131] Łacheciński S., Zastosowanie mieszanych algorytmów optymalizacji w projektowaniu niskonapięciowych silników indukcyjnych dużych mocy, Rozprawa Doktorska, Politechnika Łódzka, Łódź 2008.

[132] Lampinen J., Multi-constrained nonlinear optimization by the differential evolution algorithm, Soft Computing and Industry, pp. 305 – 318, 2002.

[133] Le Manech Y., Clenet S., Piriou F., 3D compatible magnetostatic potential formulations coupled with electrical circuits, COMPEL, Vol. 13, No. 3, pp. 776 – 778 , 2000.

[134] Leite J. N., Sadowski N., Kuo-Peng P., Batistela N. J., Bartos P. A., The inverse Jiles-Atherton model parameters identification, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 39, No. 3, pp. 1397 – 1400, 2003.

[135] Levi E., State-space d-q axis models of saturated salient pole synchronous machine, IEE Proceedings – Electric Power Applications, Vol. 145, No. 3, pp. 206 – 216, 1998.

[136] Lindth P. M., Jussila H. K., Niemelä M., Parviainen A., Pyrhönen J., Comparison of concentrated windings permanent magnet motors with embedded and surface mounted rotor magnets, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 45, No. 5, pp. 2085 – 2089, 2009.

[137] Lovelace E., Jahns T., Lang J., H., A saturating lumped-parameter model for an interior PM synchronous machine, IEEE Transaction on Industry Applications, Vol. 38, No. 3, pp. 645-650, 2002.

[138] Lu X., Iyer K. L. V., Mukherjee K., Kar N. C., A novel two-axis theory-based experimental approach towards determination of magnetization characteristic of line-start permanent magnet synchronous machines, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 49, No. 8, pp. 4733 – 4737, 2013.

[139] Łuczkiewicz P., Zastosowanie metody szkieletu w optymalizacji funkcji wektorowych

w przestrzeni 3 , Czasopismo Techniczne – Środowisko, R. 106, No. 1, s. 79 – 95, 2009.

[140] Łukaniszyn M., Młot A., Analiza momentu elektromagnetycznego i składowych pulsujących w bezszczotkowym silniku wzbudzanym magnesami trwałymi, Przegląd Elektrotechniczny, No. 1, s. 21 – 25, 2005.

[141] Łukaniszyn M., Kowol M., Optymalizacja obwodu magnetycznego silnika reluktancyjnego modułowego z wirnikiem zewnętrznym, Proceedings of XLIII Internationa Symposium on Electrical Machines – SME 2007, 2 – 5 July 2007, Poznań, pp. 191 – 194, 2007.

194

[142] Łukaniszyn M., Jagiela, M., Wrobel, R., Optimization of permanent magnet shape for minimum cogging torque using a genetic algorithm, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 40, No. 2, pp. 1228 – 1231, 2004.

[143] Łukaniszyn M., Kowol M., Kołodziej J., Modelowanie i optymalizacja silnika reluktancyjnego dwumodułowego, Przegląd Elektrotechniczny, Nr 11, s. 100 – 106, 2011.

[144] Lv H., Wei G., Ding Z., Ding X., Sensorless control for the brushless DC motor: an unscented Kalman filter algorithm, System Science and Control Engineering, Vol. 3, pp. 8 – 13, 2015.

[145] Łyskawiński W., Analiza stanów pracy i synteza transformatora impulsowego w ujęciu polowym, Rozprawy nr 458, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2011.

[146] Łyskawiński W., Jędryczka C., Stachowiak D., Analiza nasycenia strefy przyszczelinowej w silniku synchronicznym z magnesami ułożonymi w kształcie litery „V”, Pomiary Automatyka i Kontrola, Vol. 59, Nr 10, s. 1089 – 1092, 2013.

[147] Łyskawiński W., Sujka P., Szeląg W., Barański M., Numerical analysis of histeresis loss in pulse transformers, Archives of Electrical Engineering, Vol. 60, No. 2, pp. 187 – 195, 2011.

[148] Mallampalli S., Bohori A., Dey S., Design and development of three phase permanent magnet brushless DC (PMBLDC) motor for variable speed, International Compressor Engineering Conference, 16 – 19 July, Purdue, India, 2012.

[149] Manivel S., Murugan M., Jeyabharath R., Selection and Modeling of PMBLDC Motor for Torque Ripple Minimization, IJCA Proceedings on International Conference on Innovations In Intelligent Instrumentation, Optimization and Electrical Sciences, No. 4, p. 1 – 5, 2013.

[150] Marcić T, A short review of energy-efficient line-start motor design, Przegląd Elektrotechniczny, No. 3, pp. 119 – 122, 2011.

[151] Marion R., Scoretti R., Raulet M. A., Krahenbűhl L., Identification of Jiles-Atherton model parameters using particle swarm optimization, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 44, No. 6, pp. 894 – 897, 2008.

[152] Marler R. T., Arora J. S., Survey of multi-objective optimization methods for engineering, Structural and Multidisciplinary Optimization, Vol. 26, No. 6, pp. 369 – 396, 2004.

[153] Mayergoyz I. D., Friedman G., Generalized Preisach model of hysteresis, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 24, No. 31 pp. 212 – 217, 1988.

[154] Mendrela E., Łukaniszyn M., Macek-Kamińska K., Tarczowe silniki prądu stałego z komutacją elektroniczną, Wydawnictwo Gnome, Katowice 2002.

[155] Michalewicz Z., Algorytmy genetyczne + struktury danych = programy, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2003.

[156] Mikołajewicz J., Analiza dynamiki liniowego silnika tubowego na podstawie polowego modelu zjawisk elektromagnetycznych, Rozprawa doktorska, Politechnika Poznańska, Poznań 2001.

[157] Miller T. J. E., Popescu M., Cossar C., McGlip M., Walker J. A., Calculating the interior permanent magnet motors, Proceedings of the IEEE International Conference on Electric Mechines and Drives IEMDC’2003, 1 – 4 June 2003, Wisconsin, USA, vol. 2, pp. 1181 – 1187, 2003.

[158] Ming-Hua Lin, Jung-Fa Tai, Chian-Son Yu, A review of deterministic optimization methods in engineering and management, Mathematical Problems in Engineering, Vol. 212, pp. 34 – 49, 2012.

[159] Mirahki H., Moallem M., Analytical prediction of cogging torque for interior permanent magnet synchronous machines, Progress In Electromagnetic Research M, Vol. 37, No. 3, pp. 31 – 40, 2014.

[160] Mirahki H., Moallem M., Rahimi S., Design optimization of ipmsm for 42v integrated starter-alternator using lumped parameter model and genetic algorithms, IEEE Transaction on Magnetics, Vol. 50, No. 3, pp. 114–119, 2014.

195

[161] Mirahki H., Moallem M., Torque calculation in interior permanent magnet synchronous machine using improved lumped parameter models, Progress In Electromagnetic Research M, Vol. 39, pp. 131 – 139, 2014.

[162] Młynarek P., Kowol M., Analiza polowo-obwodowa silnika synchronicznego z magnesami trwałymi o rozruchu częstotliwościowym, Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne, Nr 100, s. 73 – 76, 2013.

[163] Mingyue Feng, Hua Pan, A modified PSO algorithm based on cache replacement, Tenth International Conference on Computational Intelligence and Security, 15 – 16 November, pp. 558 – 562, 2014.

[164] Moussouni F., Brisset S., Brochet P., Comparison of two multi-agent algorithm: ACO and PSO for optimization of a brushless DC wheel motor, Intelligent Computer Techniques in Applied Electromagnetic Systems, Springer, pp. 3 – 10, 2008.

[165] Muntean A., Radulescu M. M., Miraoui A., Wide-speed operation of direct torque controlled interior permanent-magnet synchronous motors, Recent Developments of Electrical Drives, Springer, pp. 177 – 186, 2006.

[166] Nowak L., Modele polowe przetworników elektromechanicznych w stanach nieustalonych, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 1999.

[167] Nowak L., Jędryczka C., Sujka P., Knypiński Ł., Wykonanie obliczeń projektowych i optymalizacyjnych serii prototypów silników, Raport z zadania 8, etap B, F, Nowa generacja energooszczędnych napędów elektrycznych do pomp i wentylatorów dla górnictwa, POIG.01.01.02-00-113/09.

[168] Nowak L., Jędryczka C., Sujka P., Kowalski K., Radziuk K., Knypiński Ł, Opracowanie polowych algorytmów projektowania energooszczędnych silników do napędu pomp i wentylatorów, Raport z zadania 7, etap M, Nowa generacja energooszczędnych napędów elektrycznych do pomp i wentylatorów dla górnictwa, POIG.01.01.02-00-113/09.

[169] Nowak L., Knypiński Ł, Jędryczka C., Kowalski K., Decomposition of the compromise objective function in the permanent magnet synchronous motor optimization, COMPEL, Vol. 34, No. 2, pp. 496 – 504, 2015.

[170] Nowak L., Knypiński Ł., Radziuk K., Optimization of the parameters of error actuated control system with electromagnetic actuator, Przegląd Elektrotechniczny, No. 4, pp. 214 – 218, 2009.

[171] Nowak L., Kowalski K., Stachowiak D., Mikołajewicz J., Pietrowski W., Opracowanie bazy wiedzy o napędach wentylatorów i pomp kopalnianych, Raport z zadania 2, etap C, Nowa generacja energooszczędnych napędów elektrycznych do pomp i wentylatorów dla górnictwa, POIG.01.01.02-00-113/09.

[172] Nowak L., Radziuk K., Dynamics of electromagnetic linear actuator operating in error actuated system control, COMPEL, Vol. 26, No. 4, pp. 941-951, 2007.

[173] Nowak, L., Mikołajewicz J., Field-circuit model of the dynamics of electromechanical devices supplied by electronic power converters, COMPEL, Vol. 23, No. 4, pp. 977 – 985, 2004.

[174] Nowak L., Radziuk K., Knypiński Ł., Optymalizacja zamkniętego układu regulacji położenia z wykorzystaniem polowo-obwodowego modelu aktuatora liniowego, Materiały XII Konferencji Naukowo-Technicznej Zastosowania Komputerów w Elektrotechnice – ZKwE’07, s. 303 – 304, 2007.

[175] Nowak L., Mikołajewicz J., Stachowiak D., Kowalski K., Knypiński Ł., Pietrowski W., Algorytm doboru wymiarów magnesów trwałych silników synchronicznych, Materiały XVI Konferencji Naukowo-Technicznej Zastosowania Komputerów w Elektrotechnice – ZKwE’2011, s. 143 – 144, 2011.

196

[176] Nowak M., Field analysis of currents and torque pulsations of synchronous motor with hybrid magnets, Proceedings XV International PhD Workshop, OWD 2013, Wisla, Poland, pp. 234 – 237, 2013.

[177] Nowak M., Model matematyczny i symulacyjno-komputerowy modelu napędowego reaktora polimeryzacji z modelową wersją silnika BLDC w wykonaniu rurowym, Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne, Nr 99, s. 265 – 270, 2013.

[178] Olivieri C., Farbi G., Tursini M., Sensorless control of five-phase brushless DC motor, Proceedings of Sensorless Control for Electrical Drives – SLED’2010, 9 – 10 July 2010, Padova, Italy, pp. 24 – 31, 2010.

[179] Ouyang J., Lowther D., A novel adaptation approach for electromagnetic optimization, Archives of Electrical Engineering, Vol. 60, No. 4, pp. 473-483, 2011.

[180] Owczarek J., Elektromaszynowe elementy automatyki, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1983.

[181] Petrov I. Ponomarev P., Alexandrova Y., Pyrhönen J., Unequal teeth widths for torque reduction in permanent magnet synchronous machines with fractional-slot non-overlapping winding, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 51, No. 2, DOI: 10.1109/TMAG.2014.2355178, 2015.

[182] Pietrowski W., Komputerowa wizualizacja budowy maszyn elektrycznych, Przegląd Elektrotechniczny, R. 86, Nr 4, s. 188 – 191, 2010.

[183] Pietrowski W., Mikołajewicz J., Nowak L., Polowo-obwodowy model zjawisk cieplnych w przetwornikach elektromagnetycznych o symetrii osiowej, Przegląd Elektrotechniczny, No. 6, 2009.

[184] Pochanke A., Technika transportu szynowego, nr 5 – 6, s. 11 – 15, 2008.

[185] Potocki L., Silniki krokowe od podstaw, Elektronika dla Wszystkich, s. 22 – 26, lipiec 2002.

[186] Prasad G., Prasad P. V. N., Tulasi Ram Das G., Control of brushless DC motor using DSP motion control kit, IEEE International Conference on Advances in Engineering & Technology Research – ICEART’2014, 1 – 2 August 2014, Unnao, India, pp. 1 – 5, 2014.

[187] Przepiórkowski J., Silniki elektryczne w praktyce elektronika, Wydawnictwo BTC, Warszawa 2007.

[188] Przyborowski W., Kamiński G., Maszyny elektryczne, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2014.

[189] Pyrhönen J., Pyrhönen O., Niemelä M., Luukko J., Kaukonen J., Pohjalainen P., Direct torque control of synchronous motor drives for dynamically demanding applications, International Transactions on Electrical Energy Systems, Vol. 10. No. 5, pp. 297 – 304, 2000.

[190] Radziuk K., Magnetyczne układy regulacji i stabilizacji położenia. Symulacja polowa stanów pracy, Rozprawa doktorska, Poznań 2009.

[191] Rajan A. A., Vasantharatha S., Harmonics and torque ripple minimization using L-C filter for brushless DC motors, International Journal of Recent Trends in Engineering, Vol. 2, No. 5, pp. 239 – 243, 2009.

[192] Reynolds C. W., Flock, herds, and schools: a distributed behavior model, Computer Graphics, No. 21, pp 25 – 34, 1987.

[193] Rudeński A., Metody nieterministyczne w optymalizacji silników indukcyjnych jednofazowych, Prace Instytutu Elektrotechniki, zeszyt 226, s. 46 – 68, 2006.

[194] Rudnicki T., Czerwiński R., Fręchowicz A., Układy sterowania silnikiem PMSM, Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne, Nr 90, s. 51 – 55, 2011.

197

[195] Sadowski N., Lefévre Y., Lajoie – Mazenec M., Cros J., Finite element torque calculation in electrical machines while considering the movement, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 28, No. 2, pp. 1410-1413, 1992.

[196] Saied S. A., Abbaszadeh K., Hemmati S., Fadaie M., A new approach to cogging torque reduction in surface-mounted permanent-magnet motors, European Journal of Scientific Research, Vol. 26, No. 4, pp. 499– 599, 2009.

[197] Salah W. A., Ishak D., Hammadi K. J., Minimization of torque ripples in BLDC motors due to phase communication – a review, Przegląd Elektrotechniczny, R. 87, No. 1, pp. 183 – 188, 2011.

[198] Salminen P., Fractional slot permanent magnet synchronous motors for low speed applications, PhD thesis, Lappeenranta University of Technology, Lappeenranta 2004.

[199] Samaylenko N., Han Q., Jatskevich J., Dynamics performance of brushless DC motors with unbalanced Hall sensors, IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 23, No. 3, pp. 752 – 763, 2008.

[200] Sanchez C.C., Fernández Pantoja M., Poole M., Rubio Brentones, A., Gradient-coil design: a multi-objective problem, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 48 No. 6, pp. 1967-1975, 2012.

[201] Sevkli Z., Erdogan Sevilgen F., Keles Ö., Practicle Swarm Optimization for the orienteering problem, The 21st International Symposium on Computer Information Sciences ISCIS 2006, Istanbul, 1 – 3 November 2006, pp. 134 – 143, 2006.

[202] Shao J., Nolan D., Teissier M., Swanson D., A novel microcontrotroller-based sensorless brushless DC (BLDC) motor drive for automotive fuel pumps, 37 th Industry Applications Annual Meeting IAS’02, Pittsbourgh, Vol. 4, pp. 2386 – 2392, 2002.

[203] Shi X., Le Menach Y., Ducreux J., Piriou F., Comparasion of slip surface and moving band techniques for modeling movement in 3D with FEM, COMPEL, Vol. 25, No. 1, p. 17–30, 2006.

[204] Shi Y., Eberhart R., A modified particle swarm optimizer, Proceedings of the IEEE International Conference on Evolutionary Computation, IEEE World Congress on Computational Intelligence, Anchorage, Alaska, 4 – 9 May 1998, pp. 69 – 73, 1998.

[205] Silvestre Ferrari R., L., Finite elements for electrical engineers, Cambridge University Press, Cambridge 1983.

[206] Simpkins A., Todorov E., Position estimation and control of compact BLDC motors based on analog linear hall effect sensor, American Control Conference, 30 June – 2 July, Baltimore, USA, pp. 1948 – 1955, 2010.

[207] Siostrzonek T., Bezczujnikowy układ napędowy z bezszczotkowym silnikiem prądu stałego z magnesami trwałymi (BLPMDCM) sterowany sygnałem proporcjonalnym do modułu prądu źródła, Rozprawa doktorska, Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków 2008.

[208] Skvarenina T. L., The power electronics handbook, CRC Press LLC, 2001.

[209] Słowik A., Właściwości i zastosowania algorytmów ewolucyjnych w optymalizacji, Metody Informatyki Stosowanej, nr 2, s. 143 – 154, 2007.

[210] Ślusarek B., Nowoczesne proszkowe kompozyty magnetyczne w zastosowaniu do maszyn i urządzeń elektrycznych, Wydawnictwo Instytutu Tele-i Radiotechnicznego, Warszawa 2012.

[211] Ślusarek B., Jankowski B., Kapelski D., Karbowiak M., Przybylski M., Łukaszewicz P., Wpływ zastosowania proszkowego obwodu magnetycznego na parametry eksploatacyjne silnika elektrycznego małej mocy, Materiały konferencji Podstawowe Problemy Energoelektroniki, Elektromechaniki i Mechatroniki PPEEm 2012, Gliwice, 11 – 13 grudzień, s. 198 – 192, 2012.

[212] Snekser J. L., Ruhl N., Bauer K., McRobrt S., The influence of sex and pheneotype on shoaling decisions in zebrafish, International Journal of Comparative Psychology, No. 23, pp. 70 – 81, 2010.

198

[213] Sobczyk T., Problemy modelowania matematycznego prądnic synchronicznych wzbudzanych magnesami trwałymi. Prace Instytutu Elektrotechniki, Zeszyt 231, s. 100 -123, 2007.

[214] Sochocki R., Mikromaszyny elektryczne, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1996.

[215] Stachowiak D., Edge element analysis of brushless motors with inhomogeneously magnetized permanent magnets, COMPEL, vol. 23, No. 4, pp. 1119 – 1128, 2004.

[216] Stachurski A., Wierzbicki A., Podstawy optymalizacji, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 1999.

[217] Stachurski M., Metody numeryczne w programie Matlab, Wydawnictwo Mikom, Warszawa 2003.

[218] Štrumberger B., Hadžiselimovic M., Hren G., Design of fractional-slot permanent magnet synchronous motor with concentrated windings and interior permanent magnets, Przegląd Elektrotechniczny, No. 2, pp. 5 – 8, 2013.

[219] Štrumberger G., Dolinar D., Hamler A., Trelp M., Evaluation of saturation and cross-magnetization effect in interior permanent magnet synchronous motor, XXVI Industry Applications Conference – IAS’2001, Chicago, USA, pp. 2557 – 2562, 2001.

[220] Sujka P., Polowo-obwodowy algorytm wyznaczania strat mocy w rdzeniach z uwzględnieniem histerezy magnetycznej, Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów I Pomiarów Elektrycznych Politechniki Wrocławskiej, Studia i Materiały, Vol. 62, No. 28, pp. 343 – 348, 2008.

[221] Sujka P., Polowo-obwodowa analiza przetworników elektromagnetycznych z uwzględnieniem histerezy magnetycznej, Rozprawa doktorska, Politechnika Poznańska, Poznań 2007.

[222] Sykulski J., New challenges in design optimization of electromagnetic devices, Invited Lectures, XVII International Symposium on Electromagnetic Fields in Mechatronic, Electrical and Electronic Engineering – ISEF 2015, Walencja 10 – 12 September, 2015.

[223] Szczygłowski J., Influence of eddy currents on magnetic hysteresis loops in soft magnetic material, Journal of Magnetism and Magnetic Material, No. 223, pp. 97–102, 2001.

[224] Szeląg W., Analiza stanów pracy i synteza silników synchronicznych magnetoelektrycznych, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 1998.

[225] Szeląg W., Numeryczna metoda wyznaczania rozkładu pola magnetycznego w maszynie synchronicznej magnetoelektrycznej, Zeszyty Naukowe Politechniki Poznańskiej, Elektryka, s. 79 – 92, 1989.

[226] Szeląg W., Przetworniki elektromagnetyczne cieczą magnetoreologiczną, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2010.

[227] Szeląg W., Antczak M., Barański M., Szeląg P., Sujka P., Numeryczna metoda analizy zjawisk sprzężonych w silniku o biegunach wpisywanych, Przegląd Elektotechniczny, R. 87, Nr 11, pp 120 - 125, 2011.

[228] Szeląg W., Nowak L., Kowalski K., Stachowiak D., Wykonanie obliczeń projektowych i optymalizacyjnych serii prototypów silników, Raport z zadania 2, etap B, Nowa generacja energooszczędnych napędów elektrycznych do pomp i wentylatorów dla górnictwa, POIG.01.01.02-00-113/09.

[229] Szeląg W., Demenko A., Nowak L., Barański M., Jędryczka C., Kołowrotkiewicz J., Łyskawiński W., Mikołajewicz J., Radziuk K., Stachowiak D., Wojciechowski R., Sujka P., Nowak M., Wykonanie obliczeń projektowych i optymalizacyjnych serii prototypów silników, Przeprowadzenie obliczeń projektowych i optymalizacyjnych dla silników z magnesami hybrydowymi złożonymi z silniejszych magnesów wytwarzanych metodą spiekania i dielektromagnesów, Raport z zadania 8, etap E, Nowa generacja energooszczędnych napędów elektrycznych do pomp i wentylatorów dla górnictwa, POIG.01.01.02-00-113/09.

199

[230] Szeląg W., Antczak M., Barański M., Szeląg P., Sujka P., Numeryczna metoda analizy silnika o biegunach wpisywanych, Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne, Nr 92, s. 7 – 12, 2011.

[231] Szewczyk K., Kościelniak A., Kot R., Analiza obwodu magnetycznego silnika krokowego, Przegląd Elektrotechniczny, R. 88, Nr 5a, s. 44 – 46, 2012.

[232] Tadeusiewicz R., Jaworek J., Kańtoch E., Miller J., Pięciak T., Przybyło J., Wprowadzenie do modelowania systemów biologicznych oraz ich symulacji w środowisku MATLAB, Uniwersytet Marii Skłodowskiej-Curie, Lublin, 2012.

[233] Tahi S., Ibtiouen R. and Bounekhla M., Design optimization of two synchronous reluctance structures with maximize torque and power factor, Progress In Electromagnetic Research B, Vol. 35, pp. 369 – 387, 2011.

[234] Tarnowski W., Optymalizacja i polioptymalizacja w mechatronice, Wydawnictwo Politechniki Koszalińskiej, Koszalin 2009.

[235] Tashokori A., Ektesobi M., Hosseinzadeh N., Modeling of BLDC motor with ideal back-EMF for automotive applications, Proceedings of the World Congress of Engineering, WCE 2011, 6 – 8 July 2011, London, UK, pp. 1 – 5, 2011.

[236] Tien J. H., Levin S. A., Rubenstein D. I., Dynamics of fish shoals: identifying key decision rules, Evolutionary Ecology Research, Vol. 6, pp. 555 – 565, 2004.

[237] Trapanese M., Identification of parameters of the Jiles-Atherton model by neural networks, Journal of Applied Physics, Vol. 109, No. 7, pp. 07D355, 2011.

[238] Tsukerman I., Accurate computation of ripple solutions on moving finite element mesh, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 31. No. 3, pp. 1472 – 1475, 1995.

[239] Vasconcelos J. A., Ramirez J. A., Takahashi R. H. C., Saldanha R. R, Improvements in Genetic Algorihms, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 37, No. 5, pp.1314 – 3417, 2001.

[240] Vikas S., Wadnerkar G., Tulasi Ram Das, Rajkumar A. D., Performance analysis of SRM Drive using ANN based Controlling of 6/4 Switched Reluctance Motor, Journal of Theoretical and Applied Information Technology, Vol. 4, No. 11, pp. 1118 – 1124, 2008.

[241] Visintin A., Differential models of hysteresis, Springer, 1994.

[242] Wang J. P., Lieu D. K., Lorimer W. L., Hartman A., Comparison of lumped parameter and finite element magnetic modeling in a brushless DC motor, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 33, No. 5, pp. 4092 – 4094, 1997.

[243] Wasiluk W., Poradnik Inżyniera elektryka, Tom 2, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2007.

[244] Watterson P.A., Zhu J.G., Ramsden V.S., Optimization of permanent magnet motors using field calculations of increasing precision, IEEE Transactions on Magnnetics, Vol. 28, No.2, pp. 1589-1592, 1992.

[245] Widuch J., Algorytm optymalizacji tras przejazdu pojazdów, Studia Informatica, Vol. 32, No. 4A, s. 83 – 112, 2011.

[246] Wildi T., Electrical Machines, Drives and Power Systems, Prentice Hall, 2005.

[247] Wilson P. R., Neil Ross J., Brown A. D., Optimizing the Jiles-Atherton model of hysteresis by a genetic algorithm, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 37, No. 2, pp. 899 – 993, 2001.

[248] Wodziński A., Stuliga M., Chwastek K., Blachy elektrotechniczne o ziarnach zorientowanych – wybrane zagadnienia, Prace Instytutu Elektrotechniki, zeszyt 267, pp. 159 – 173, 2014.

[249] Wojciechowsk R., Mendrela E., Demenko A., Magnetic field and torque in permanent magnet slot-less brushless motor with twin cylindrical rotor, Przegląd Elektrotechniczny, No. 12, pp. 246 – 251, 2009.

200

[250] Xue X. D., Cheng K. W. E., Ng T. W., Cheung N. C., Multi-objective optimization design of in-wheel switched reluctance motors in electric vehicles, IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 57, No. 9, pp. 1280 – 1287, 2010.

[251] Yamazaki K., Kanou Y., Shape optimization of rotating machines using time-stepping adaptive finite element method, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 46, No. 8 pp. 3113 – 3116, 2010.

[252] Yamazaki K., Kumaghi M., Ikemi T., Ohki S., A novel rotor design of interior permanent magnet synchronous motors to cope with both maximum torque and iron-loss reduction, IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 49, No. 6, pp. 2478 – 2486, 2013.

[253] Yang Y. Wang X., Zhang R., Dind T., Tang R., The optimization of pole arc coefficient to reduce cogging torque in surface-mounted permanent magnet motors, IEEE Transactions on Magnetics, vol. 42, No. 2, pp. 1135 – 1138, 2006.

[254] Yong Liu, Zhu Z., Q., Howe D., Commutation-torque-ripple minimization in direct-torque controlled PM brushless DC drives, IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 43, No. 3, pp. 1012 – 1021, 2007.

[255] Zaharis Z. D., Yioultsis T. V., A novel adaptive beamforming technique applied on linear antenna array using adaptive mutated Boolean PSO, Progress In Electromagnetic Research, Vol. 117, pp. 165 – 179, 2011.

[256] Zalas P,. Antal L., Magnetoelektryczny silnik małej mocy wzbudzany magnesami hybrydowymi, Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Politechniki Wrocławskiej, Nr 69, Studia i Materiały, Nr 33, s. 401 – 407, 2013.

[257] Zalas P., Kisielewski P., Zastosowanie magnesów trwałych w silnikach elektrycznych małych mocy, Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne, Nr 91, s. 109 – 112, 2011.

[258] Zawilak J., Zawilak T., Silniki synchroniczne z magnesami trwałymi o dużej sprawności, Przegląd Elektrotechniczny, R. 90, Nr 1, s. 224 – 226, 2014.

[259] Zawirski K., Deskur J., Kaczmarek T., Automatyka napędu elektrycznego, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2012.

[260] Zhou P., Rahman M., A., Jabbar M., A., Field circuit analysis of permanent magnet synchronous motors, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 30, No. 4, pp. 1350 – 1359, 2002.

[261] Zhu Z. Q., Howe D., Electrical machines and drives for electric, hybrid, and fuel cell vehicles, Proceedings of the IEEE, Vol. 85, No. 4, 2007, pp. 746 – 765.

[262] Zienkiewicz O. C., Taylor R., L., Zhu J., Z., The Finite Element Method, its basis and fundamentals, Butterworth-Heinemann, 6E, 2005.

[263] http://magnesy.info.pl/, (marzec 2015).

[264] http://motion.schneider-electric.com/products/stepping_motors.html, (luty 2014).

[265] http://www. precisionmagnetics.com, (kwiecień 2008).

[266] http://www.arnoldmagnetics.com, (lipiec 2010).

[267] http://www.arnoldmagnetics.com/, (grudzień 2010).

[268] http://www.cantonigroup.com/pl/cantoni/cantoni_group/product/308/sg-100l-4b/,(lipiec 2014).

[269] http://www.microchip.com, Brushless DC Motor Control Made Easy AN 857, (luty 2013).

[270] http://www.mitsumi.co.jp/latest/Catalog/compo/motor/m42sp5_e.html, (grudzień 2010).

[271] http://www.seen.com.pl/, (sierpień 2010).

[272] http://www.wobit.com.pl/produkty/silniki/krokowe/silniki_krokowe.php, (grudzień 2010).