option pricing with lévy process

Valoración de Opciones con

Arbitraje Bajo los Procesos de Lévy

Matias Andrés Moraga Gálvez

Julio - 2013

Matías Moraga Gálvez – Valoración de opciones con arbitraje bajo los procesos de Lévy || Julio - 2013

Agenda

• Resumen

• Opciones y sus características

• Modelo de Black-Scholes

• Modelo de Merton

• Modelo CPV

• Modelo Propuesto

• Método Numérico

• Resultados

• Conclusiones

• Bibliografía


Resumen

• En base a los modelos de valoración de opciones de CPV, que

relaja el supuesto de no arbitraje en la económica sobre el

modelo de Black-Scholes y el modelo de Merton, que agrega

discontinuidades al subyacente. Es posible crear un modelo

generalizado de ambos y obtener resultados numéricos a través

de métodos computacionales


Hipótesis

• Es posible crear modelos para valorar opciones mas complejos

y obtener resultados usables en el mercado financiero a través

de métodos numéricos.


Opciones y sus características

Put: Da el derecho pero no la

obligación de vender un activo a un

determinado precio en un

determinado tiempo.

Fuente: Tools for Computational Finance [7]


Black-Scholes

Fischer Black Robert C. Merton Myron Scholes


Black-Scholes

• Supuestos:

– Subyacente sigue un proceso Browniano geométrico con

volatilidad y drift constantes.

– El subyacente no paga dividendos.

– No hay costos de transacción.

– Es posible tranzar cualquier fracción del activo en cualquier momento.

– Es posible pedir y prestar dinero a una tasa constante libre de riesgo.

– No hay oportunidades de arbitraje.


Black-Scholes

• Ecuación:

Donde:

𝑉 = Valor de la opción

S = Precio del subyacente

σ = Volatilidad del subyacente

r = Tasa libre de riesgo

t = Tiempo

𝜕𝑉

𝜕𝑡+ 𝑟𝑆𝜕𝑉

𝜕𝑆+σ2𝑆2

2

𝜕2𝑉

𝜕𝑆2− 𝑟𝑉 = 0


Black-Scholes

00.2

0.40.6

0.81

0

50

100

150

2000

20

40

60

80

100

120

𝐶 𝑆, 𝑡 = 𝑆0𝑁 𝑑1 − 𝐾𝑒−𝑟 𝑇−𝑡 𝑁(𝑑2)

𝑃 𝑆, 𝑡 = 𝐾𝑒−𝑟 𝑇−𝑡 𝑁 −𝑑2 − 𝑆0𝑁 −𝑑1

𝑁(𝑥) =1

2π 𝑒−

𝑧2

2

𝑥

−∞

𝑑𝑧

𝑑1 =1

σ 𝑇 − 𝑡ln𝑆

𝐾+ 𝑟 +

σ2

2(𝑇 − 𝑡)

𝑑2 = 𝑑1 − σ 𝑇 − 𝑡

Fuente: Elaboración propia


Evolución

Black-

Scholes

Robert

Merton Modelo CPV

Otros

Modelos

Sobre el Subyacente Sobre el Portafolio

Relajo de Supuestos


Modelo de Robert Merton



• Supuestos:

– Subyacente sigue un proceso de Lévy con volatilidad y drift

constantes.





– No hay oportunidades de arbitraje.


Evidencia empírica de saltos

Fuente: Tesis de Nicholas Hinde [13]

Retornos diarios del DJIA desde 1930 hasta 2006 a la izquierda

y proceso Browniano simulado para 76,5 años con idéntica Volatilidad a la derecha


Poisson Compuesto

• Un proceso Poisson compuesto con intensidad λ > 0 y

distribución del tamaño del salto 𝑓, es un proceso estocástico

Xt definido como:

𝑋𝑡 = 𝑌𝑖

𝑁𝑡

𝑖=1

• Donde el tamaño del salto 𝑌𝑖 son variables aleatorias

independientes e idénticamente distribuidas con distribución 𝑓 y 𝑁𝑡 es un proceso Poisson con intensidad λ, independientes

de 𝑌𝑖


Poisson Compuesto

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Llegadas con distribución Poisson

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

2

4

6

8

10

12Poisson Acumulado

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

-1

0

1

2Tamaño y lugar de ocurrencia de los saltos

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-4

-2

0

2Simulacion Saltos con ditribución Normal



Proceso de Lévy

• Un proceso de Levy es un proceso aun mas generalizado que

un proceso Browniano, no solo cuenta con una componente

browniana sino también una componente de saltos



Lema de Itô para Levy

• Sea 𝑋𝑡 un proceso de Lévy definido por la suma de un termino

determinista, un proceso de Wiener y un proceso Poisson

compuesto:

• Entonces el proceso 𝑉𝑡 = 𝑓(𝑡, 𝑋𝑡) puede ser representado en

notación diferencial como:

𝑋𝑡 = 𝑋0 + 𝑏𝑠𝑑𝑠 + σ𝑠𝑏𝑠𝑑𝑊𝑡

𝑡

0

𝑡

0

+ Δ𝑋𝑖

𝑁𝑡

𝑖=1

𝑑𝑉𝑡 =𝜕𝑓

𝜕𝑆𝑡, 𝑋𝑡 𝑑𝑡 + 𝑏𝑡

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑡, 𝑋𝑡 𝑑𝑡 +

σ𝑡2

2

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2𝑡, 𝑋𝑡

+𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑡, 𝑋𝑡 σ𝑡𝑑𝑊𝑡 + [𝑓 𝑋𝑡− + Δ𝑋𝑡 − 𝑓(𝑋𝑡−)]



𝑑𝑆𝑡𝑆𝑡= α − λκ 𝑑𝑡 + σ𝑑𝑊𝑡 + η𝑡 − 1 𝑑𝑁𝑡

𝜕𝑉

𝜕𝑡+ 𝑟 − λκ 𝑆

𝜕𝑉

𝜕𝑆+σ2𝑆2

2

𝜕2𝑉

𝜕𝑆2− 𝑟𝑉 + λ 𝑉 𝑡, η𝑡𝑆𝑡 − 𝑉 𝑡, 𝑆𝑡 𝑣 𝑑η

∞

−∞

= 0

Dinámica del subyacente:

Ecuación:



Solución a la ecuación Integro-diferencial:

𝑉 𝑆, 𝑇 = 𝑒−λ 𝑇 λ 𝑇

𝑛

𝑛!𝐵𝑆 𝑆0, σ𝑛, 𝑟𝑛, 𝑇, 𝐾

∞

𝑛=0

σ𝑛 = σ2 +𝑛δ2

𝑇

𝑟𝑛 = 𝑟 − λκ +𝑛 ln 1 + κ

𝑇

λ = λ 1 + κ



Diferencia entre Merton y Black-Scholes:

Para realizar una comparación justa se deben igualar las volatilidades, es decir:

σ𝐵𝑆 = σ𝑀

σ𝐵𝑆 𝑡 = σ𝑀 + λδ2 + λμ2 𝑡

Bajo esta igualdad se utilizaron los siguientes parámetros para valorizar ambos

modelos:

Parámetro 𝑟 σ𝐵𝑆 σ𝑀 λ μ δ 𝑇 𝑆0

Valor 0,03 0,2 0,14 1 -0,1 0,1 ¼ Años 50



Diferencia entre Merton y Black-Scholes:



Modelo CPV


Modelo CPV

• Supuestos:

– Subyacente sigue un proceso Browniano geométrico con

volatilidad y drift constantes.





– Hay oportunidades de arbitraje.


Evidencia empírica

En base a información diaria en los precios del los futuros sobre el S&P500

desde Septiembre de 1997 hasta Marzo del 2009, se calculó el valor del

“mispricing” diario κ0 en los ultimo 10 años calculado bajo la formula:

κ0 𝑡, 𝑇 = 𝐹 𝑡, 𝑇 − 𝐹0(𝑡, 𝑇)

Con:

𝐹 𝑡, 𝑇 : Precio de Mercado del Forward

𝐹0 𝑡, 𝑇 = 𝑆(𝑡, 𝑇)𝑒(𝑟−𝑑)(𝑇−𝑡)


Evidencia empírica

A largo plazo hay momentos de gran “mispricing” y otros de bajos niveles, en

todo caso, los valores son relativamente pequeños y muchos son claramente

estrategias no aprovechables.

Mispricing de futuros sobre el S&P500 desde 1997 a 2009, Fuente: Dynamic option pricing with endogenous stochastic arbitrage [3]


Evidencia empírica

Sin embargo, bajo una mirada mas detallada se ve una patrón mas definido.

Es importante comentar que bajo cualquier forma de arbitraje, con un área

distinto de cero sobre el “mispricing” el modelo se comportará mejor que el de

Black-Scholes

Mispricing de futuros sobre el S&P500 desde 1997 a 2009, Fuente: Dynamic option pricing with endogenous stochastic arbitrage [3]


Modelo CPV

Π = 𝑉 +Δ𝑆

𝑑Π = 𝑟Π𝑑𝑡 + 𝑓(𝑡)Π𝑑𝑊𝑡

𝜕𝑉

𝜕𝑡+σ2𝑆2

2

𝜕2𝑉

𝜕𝑆2+(𝑟σ − μ𝑓𝑡)

(σ − 𝑓𝑡)𝑆𝜕𝑉

𝜕𝑆− 𝑉 = 0

Dinámica del portafolio:

Ecuación:


Modelo CPV

Diferencia entre CPV y Black-Scholes:

Parámetros

Arbitraje escalonado

Parámetro 𝑟 σ 𝐾 𝑆0 𝑇 𝐶𝑎𝑠𝑜 1 𝐶𝑎𝑠𝑜 2

Valor 0,05 0,2 100 100 1 Año 0,195 0,205

%σ

𝑇

𝑓

𝑇/4 3𝑇/4


Modelo CPV


𝑓 = 97,5% σ

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

100

200

300

400

5000

100

200

300

400

Tiempo al vencimiento (años)

Precio Opcion

Valor Subyacente



Modelo CPV


𝑓 = 102,5% σ

0

0.20.4

0.6

0.8

1

0100

200300

400500

0

100

200

300

400

Tiempo al vencimiento (años)

Precio Opcion

Valor Subyacente



Modelo Propuesto


Modelo Propuesto

Robert

Merton Modelo CPV

Nuevo

Modelo


Modelo Propuesto

• Supuestos:

– Subyacente sigue un proceso de Lévy con volatilidad y drift

constantes.





– Hay oportunidades de arbitraje.


Modelo Propuesto

• Dinámica del subyacente:

• Dinámica del derivado:

𝑑𝑆

𝑆= α − λκ 𝑑𝑡 + σ𝑑𝑊𝑡 + η − 1 𝑑𝑁𝑡

𝑑𝑆 = α − λκ 𝑆𝑑𝑡 + σ𝑆𝑑𝑊𝑡 + η − 1 𝑆𝑑𝑁𝑡

𝑑𝑉(𝑡, 𝑆𝑡) =𝜕𝑉

𝜕𝑡𝑑𝑡 + α − λκ 𝑆

𝜕𝑉

𝜕𝑆𝑑𝑡 +σ2𝑆2

2

𝜕2𝑉

𝜕𝑆2𝑑𝑡

+σ𝑆𝜕𝑉

𝜕𝑆𝑑𝑊𝑡 + 𝑉 𝑡, η𝑡𝑆𝑡 − 𝑉 𝑡, 𝑆𝑡 𝑑𝑁𝑡


Modelo Propuesto

• Portafolio:

Π = 𝑉 + Δ𝑆

+ 𝑉 𝑡, η𝑡𝑆𝑡 − 𝑉 𝑡, 𝑆𝑡 + Δ η − 1 𝑆 𝑑𝑁𝑡

𝑑Π = 𝑑𝑉 + Δ𝑑𝑆

𝑑Π =𝜕𝑉

𝜕𝑡+ α − λκ 𝑆

𝜕𝑉

𝜕𝑆+σ2𝑆2

2

𝜕2𝑉

𝜕𝑆2𝑑𝑡

+ σ𝑆𝜕𝑉

𝜕𝑆+ Δσ𝑆 𝑑𝑊𝑡


Modelo Propuesto

El retorno del portafolio a diferencia del modelo de Merton depende no solo de

la tasa libre de riesgo sino también incorpora el beneficio de arbitraje

browniano y por saltos en el subyacente.

De esta forma, igualando la ecuación de arriba con la anterior obtenemos:

𝑑Π = 𝑟Π𝑑𝑡 + 𝑓1Π𝑑𝑊𝑡 + 𝑓2Π𝑑𝑁𝑡

𝑑Π =𝜕𝑉


𝜕𝑉

𝜕𝑆+σ2𝑆2

2

𝜕2𝑉

𝜕𝑆2𝑑𝑡

+ σ𝑆𝜕𝑉

𝜕𝑆+ Δσ𝑆 𝑑𝑊𝑡 + 𝑉 𝑡, η𝑡𝑆𝑡 − 𝑉 𝑡, 𝑆𝑡 + Δ η − 1 𝑆 𝑑𝑁𝑡

= 𝑟 𝑉 + Δ𝑆 𝑑𝑡 + 𝑓1 𝑉 + Δ𝑆 𝑑𝑊𝑡 + 𝑓2 𝑉 + Δ𝑆 𝑑𝑁𝑡


Modelo Propuesto

Realizando el mismo proceso de factorización se llega a la siguiente ecuación:

0 =𝜕𝑉


𝜕𝑉

𝜕𝑆+σ2𝑆2

2

𝜕2𝑉

𝜕𝑆2+ Δ α − λκ 𝑆 − 𝑟𝑉 − 𝑟Δ𝑆 𝑑𝑡

+ σ𝑆𝜕𝑉

𝜕𝑆+ Δσ𝑆 − 𝑓1𝑉 − 𝑓1Δ𝑆 𝑑𝑊𝑡

+ 𝑉 𝑡, η𝑡𝑆𝑡 − 𝑉 𝑡, 𝑆𝑡 + Δ η − 1 𝑆 − 𝑓2𝑉 − 𝑓2Δ𝑆 𝑑𝑁𝑡


Modelo Propuesto

Ahora la dinámica del portafolio contiene una componente determinista una

browniana y una de saltos. Como el salto ocurre en ocasiones discretas se

busca apagar en primer lugar el ruido browniano, así se escoge una cobertura

que apague este ruido manteniendo la perturbación del salto:

0 = σ𝑆𝜕𝑉

𝜕𝑆+ Δσ𝑆 − 𝑓1𝑉 − 𝑓1Δ𝑆

Δ𝑆 σ − 𝑓1 = 𝑓1𝑉 − σ𝑆𝜕𝑉

𝜕𝑆

Δ =𝑓1𝑉 − σ𝑆

𝜕𝑉𝜕𝑆

𝑆 σ − 𝑓1


Modelo Propuesto

Reemplazando este valor de Δ que cubre al portafolio del ruido browniano

obtenemos las siguiente dinámica del portafolio:

𝑑Π =𝜕𝑉


𝜕𝑉

𝜕𝑆+σ2𝑆2

2

𝜕2𝑉

𝜕𝑆2− 𝑟𝑉 +

𝑓1𝑉 − σ𝑆𝜕𝑉𝜕𝑆

𝑆 σ − 𝑓1α − λκ − 𝑟 𝑑𝑡

+ 0 𝑑𝑊𝑡

+ 𝑉 𝑡, η𝑡𝑆𝑡 − 𝑉 𝑡, 𝑆𝑡 − 𝑓2𝑉 +𝑓1𝑉 − σ𝑆

𝜕𝑉𝜕𝑆

𝑆 σ − 𝑓1η − 1 − 𝑓2 𝑑𝑁𝑡 = 0


Modelo Propuesto

Como la dinámica del portafolio sigue siendo estocástica por el término 𝑁𝑡 no

se puede pedir que la ecuación se cumpla en todo momento, si se puede

esperar que la ecuación se cumpla, introduciendo el operador esperanza:

𝔼𝜕𝑉


𝜕𝑉

𝜕𝑆+σ2𝑆2

2

𝜕2𝑉

𝜕𝑆2− 𝑟𝑉 +


𝑆 σ − 𝑓1α − λκ − 𝑟 𝑑𝑡

+ 𝔼 𝑉 𝑡, η𝑡𝑆𝑡 − 𝑉 𝑡, 𝑆𝑡 − 𝑓2𝑉 +𝑓1𝑉 − σ𝑆

𝜕𝑉𝜕𝑆

𝑆 σ − 𝑓1η − 1 − 𝑓2 𝔼[𝑑𝑁𝑡] = 0


Modelo Propuesto

Finalmente se llega a la ecuación integro-diferencial que satisface el precio de

un derivado cuyo subyacente sigue un proceso de Lévy en presencia de

arbitraje:

𝜕𝑉


𝜕𝑉

𝜕𝑆+σ2𝑆2

2

𝜕2𝑉

𝜕𝑆2− 𝑟𝑉 +


𝑆 σ − 𝑓1α − λκ − 𝑟

+ λ 𝑉 𝑡, η𝑡𝑆𝑡 − 𝑉 𝑡, 𝑆𝑡 − 𝑓2𝑉 +𝑓1𝑉 − σ𝑆

𝜕𝑉𝜕𝑆

𝑆 σ − 𝑓1η − 1 − 𝑓2 = 0

∞

−∞


Método Numérico

Para simplificar el algoritmo que permitirá valorizar este tipo de opciones es

conveniente comenzar haciendo un cambio de variables:

Este cambio implica que el valor de la opción en términos de las nuevas

variables sea:

Con la condición inicial para una Call:

𝑥 = ln𝑆

𝐾+ 𝑟 −

σ2

2τ

τ = 𝑇 − 𝑡

𝑢(τ, 𝑥) =𝑒𝑟τ

𝐾𝑉 𝑇 − 𝑡, 𝐾𝑒

𝑥− 𝑟−σ2

2 τ

𝑢 0, 𝑥 = 𝑕 𝑥 = 𝑒𝑥 − 1 +


Método Numérico

Simplificando aún más la ecuación, con:

Llegamos a:

β = α − λκ − 𝑟

𝜕𝑢

𝜕τ=σ2

2

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2− β − σ𝐹

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑢 𝐹𝑓1 − λ − λ𝑓2 + λ [𝑢(τ, 𝑥 + 𝑦)]ν(𝑑𝑦)

∞

−∞

𝐹 =(α − 𝑟 − λ𝑓2)

σ − 𝑓1


Método Numérico

Separando las ecuaciones:

Método Implícito-Explícito

Método Crank-Nicolson

𝜕𝑢

𝜕τ=σ2

2

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2− β − σ𝐹

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑢 𝐹𝑓1 − λ − λ𝑓2 + λ [𝑢(τ, 𝑥 + 𝑦)]ν(𝑑𝑦)

∞

−∞

𝜕𝑢

𝜕τ= 𝔒𝑢 + 𝔗𝑢

𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛

Δτ= 𝔒𝑢𝑛+1 + 𝔗𝑢𝑛


Δτ= (𝔒 + 𝔗)

(𝑢𝑛+1+𝑢𝑛)

2


Método Implícito-Explícito

Método Implícito-Explicito


Δτ= 𝔒𝑢𝑛+1 + 𝔗𝑢𝑛

𝑢𝑛+1 = 𝐼 − Δτ𝔒 −1 𝐼 + Δτ𝔗 𝑢𝑛

𝑢1𝑛+1

𝑢2𝑛+1

⋮𝑢𝑀𝑛+1

𝑢𝑀+1𝑛+1

−

𝑢1𝑛

𝑢2𝑛

⋮𝑢𝑀𝑛

𝑢𝑀+1𝑛

= Δτ𝔒

𝑢1𝑛+1

𝑢2𝑛+1

⋮𝑢𝑀𝑛+1

𝑢𝑀+1𝑛+1

+ Δτ𝔗

𝑢1𝑛

𝑢2𝑛

⋮𝑢𝑀𝑛

𝑢𝑀+1𝑛


Operador Espacial 𝔒

𝔒 =σ2

2

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2− β − σ𝐹

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑢 𝐹𝑓1 − λ − λ𝑓2

𝔒 =σ2

2

𝑢𝑚+1 − 2𝑢𝑚 + 𝑢𝑚−1Δ𝑥2

− β − σ𝐹𝑢𝑚+1 − 𝑢𝑚−12Δ𝑥

+ 𝑢𝑚 𝐹𝑓1 − λ − λ𝑓2

𝔒 = 𝑢𝑚−1σ2

2Δ𝑥2−β − σ𝐹

2Δ𝑥

+ 𝑢𝑚 𝐹𝑓1 − λ − 𝑓2σ2

Δ𝑥2

+ 𝑢𝑚+1σ2

2Δ𝑥2+β − σ𝐹

2Δ𝑥


Operador Espacial 𝔗

𝔗 = λ [𝑢(τ, 𝑥 + 𝑦)]ν(𝑑𝑦)

∞

−∞

El operador integral es la ponderación de la probabilidad de salto por el valor

de la opción a ese salto.

Discretizando la función de probabilidad de la variable 𝑦 por medio de la

cuadratura trapezoidal

[𝑢(τ, 𝑥 + 𝑦)]ν(𝑑𝑦)

∞

−∞

≈ ν𝑗𝑢𝑖+𝑗

∞

−∞

ν𝑗 = ν(𝑑𝑦)

(𝑗+12)Δ𝑥

(𝑗−12)Δ𝑥


Operador Espacial 𝔗

Al haber escogido la distribución normal para la variable 𝑦, la cuadratura

asigna un área de probabilidad a valor especifico de salto

ν 𝑦 =1

δ 2π𝑒−12𝑦−μ 2

δ2 para T=1 año, K=500, r=0.05, σ =0.2

−3 ≤ 𝑥 ≤ 3

24,15 ≤ 𝑆 ≤ 9745


Convergencia del Método




Parámetro 𝑟 σ λ μ δ 𝑇 𝐾 𝑠𝑒𝑔

Valor 0,05 0,2 0 - - 1 Año 100 52,63




Parámetro 𝑟 σ λ μ δ 𝑇 𝐾 𝑠𝑒𝑔

Valor 0,05 0,2 0,5 -0,92 0,425 1 Mes 100 52,85



Resultados

1. Comportamiento del precio con 𝑓2 = 0 y 𝑓1 ≠ 0



Resultados

2. Comportamiento del precio con 𝑓2 ≠ 0 y 𝑓1 = 0



Resultados

3. Comportamiento del precio con 𝑓2 ≠ 0 y 𝑓1 ≠ 0



Conclusiones

• El modelo aproxima de tal manera que sus resultados pueden ser utilizados

para comercializar opciones.

• El modelo converge al modelo de Merton en el caso que no hay arbitraje y

al modelo CPV cuando no hay saltos, a su vez converge a Black-Scholes en

el caso sin saltos ni arbitraje.

• Se deja la puerta abierta para conocer de manera empírica el arbitraje por

medio de los saltos en el subyacente.

• También se puede combinar con modelos que asuman tasa y volatilidades

como procesos estocásticos.

• Finalmente falta comprobar si el Hedge dinámico es un buena forma de

reducir el Profit & Loss al final del contrato.


Bibliografía

[1] F. Black and M. Scholes, The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81:637-654, 1973.

[2] R. C. Merton, Option pricing when underlying stock returns are discontinuous. Journal of Financial Economics, 3:125-144, 1976.

[3] M. Contreras, Dynamic option pricing with endogenous stochastic arbitrage. Physica A, 398:3552-3564, 2010.

[4] P. Willmott, Paul Willmott on Quantitative Finance. J. WILEY, 2000.

[5] G. Sofianos, Index arbitrage profitability. Journal of Derivatives, 1:6-20, 1995.

[6] J. Hull, Options, futures and other derivatives. Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall, 1997.

[7] R. Seydel, Tools for computational finance, 5th Edition. Universitext, Springer, 2012.

[8] R. Montalva, 2009. Valoración de opciones con arbitraje. Magíster en Ingeniera de los negocios, Universidad Adolfo Ibáñez.

[9] R. Sánchez, 2009. Modelos de volatilidad estocástica para valoración de opciones con arbitraje. Magíster en Ingeniera de los negocios, Universidad Adolfo Ibáñez.

[10] D. Santiagos, 2011. Caracterización de Burbujas Financieras en el Modelo de Black-Scholes con Arbitraje. Magíster en Ingeniera de los negocios, Universidad Adolfo Ibáñez.

[11] S. Heston, A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options. The Review of Financial Studies, 6:327-343, 1993.

[12] A. Ruiz, 2010. Una aplicación del método semiclásico a las finanzas. Magíster en Ingeniera de los negocios, Universidad Adolfo Ibáñez.

[13] Nicholas Hinde, 2006. Jumping Hedges, Hedging Options Under Jump-Diffusion. MSc in Mathematical Modeling and Scientific Computing, University of Oxford.

[14] Kazuhisa Matsuda, 2004. Introduction to Merton Jump Diffusion Model. Department of Economics,

The Graduate Center, The City University of New York.

[15] R. Feynman and A. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals. Emended Edition, Dover Publications , 2010.

[16] R. Cont and P. Tankov, Financial Modeling with Jump Processes. CHAPMAN & HALL, 2004.

[17] Anita Mayo, Methods for the rapid solution of the pricing PIDEs in exponential and Merton models. Journal of Computational and Applied Mathematics, 222:128-143, 2008.

[18] David S. Bates, Jumps and Stochastic Volatility: Exchange Rate Processes Implicit in Deutsche Mark Options. The Review of Financial Studies, 9:69-107, 1996.

[19] Carol Alexander & Andreas Kaeck, Does Model Fit Matter for Hedging? Evidence From FTSE 100 Options. The Journal of Futures Markets, 0:1-30, 2011.


option pricing with lévy process

Economy & Finance