Nelineras programmanas uzdevumi EsejaRadomirs Cirskis, Mate980102 (N=28, M=12) 2008.g. 28.februr

Satura rdtjs1. Uzdevumi........................................................................................................................................3 2. 1.uzdevums .....................................................................................................................................4 2.1. Uzdevumu klase.......................................................................................................................4 2.2. Atrisinjuma eksistence...........................................................................................................4 2.3. Ekstrma nepiecieamais nosacjums......................................................................................5 2.4. Atrisinjums.............................................................................................................................6 2.uzdevums...........................................................................................................................................7 Uzdevuma klase...............................................................................................................................7 1.1. Atrisinjuma eksistence...........................................................................................................7 1.2. Ekstrma eksistences nepiecieamais nosacjums...................................................................8 1.3. Atrisinjums.............................................................................................................................8 1.3.1. Atrisinjums ar Lagrana funkciju...................................................................................8 1.3.2. Atrisinjums ar viena argumenta funkciju.......................................................................9 3. 3.uzdevums ...................................................................................................................................10 1.1. Uzdevuma klase.....................................................................................................................10 1.2. Atrisinjuma eksistence ........................................................................................................10 1.3. Ekstrma eksistences nepiecieamais nosacjums ................................................................12 1.4. Atrisinjums...........................................................................................................................13 4. 4.uzdevums ...................................................................................................................................14 1.5. Uzdevumu klase ....................................................................................................................14 1.6. Atrisinjuma eksistence.........................................................................................................14 1.7. Ekstrma eksistences nepiecieamais nosacjums ................................................................15 1.8. Atrisinjums...........................................................................................................................16

2/16

1. Uzdevumi1. 2.Object2 Object1

3.Object3

4.Object4

3/16

2. 1.uzdevums2.1. Uzdevumu klaseObject9

Object10

Aizstjot parametru, iegsim:

(2.1.1) Dotais uzdevums ir pieder neliners minimizcijas uzdevums klasei bez ierobeojumu nosacjumiem. dus uzdevumus risina, mekljot funkcijas f loklos ekstrmus, izmantojot pirms un otrs krtas ekstrma nepiecieamos nosacjumus.

2.2.

Atrisinjuma eksistence

Uzdevuma (2.1.1) atrisinjuma eksistences demonstrcijai, izmantosim ai uzdevuma klasei raksturgus eksistences kritrijus. Teorma 2.2.1. Uzdevumam eksist atrisinjums, ja vienlaicgi izpilds un . Viena argumenta funkcijas gadjum tas nozm, ka pc patikas lielam M atradsies funkcija ir neprtraukta un grafika kreisais un labais zars (pret ordintu) vrsti uz augu:Object117 Object116

y

M0 x

sapratsim var kalpot ar vektors. fakta prbaudei kalpo sekojoais kritrijs.Object36 Object115

, kur par argumentu

Kritrijs 2.2.2. Ja

un ts otrs krtas atvasinjumu matrica ir pozitvi noteikta, tas ir, tad . To vai matrica ir pozitvi noteikta, var prbaudt pc Silvestra kritrija. Kritrijs 2.2.3 (Silvestra): 1. Matrica A ir pozitvi pusnoteikta ( ) tad un tikai tad, ja visi ts galvenie minori ir nenegatvi. 2. Matrica A ir pozitvi noteikta ( ) tad un tikai tad, ja ts lejupsldoo galveno minoru virkne ir pozitva.Object33 Object37 Object38 Object39 Object40

4/16

NB! Msu gadjum matricas galvenais minors ir matricas, kas no matricas f''(x) iegta izsvtrojot i-tofx x1 1

f x xi

i

f x

n

xn

Ja matricas visus galvenos minorus var atdalt no nulles ar pozitvo elementu, tad t ir pozitvi noteikta. Apskatsim abus atrisinjuma eksistencei nepiecieamos nosacjumus. 1. Dot funkcija ir trs argumentu kvadrtisks formas paveids (polinomil forma). Tdjdi t ir neprtraukta pc visiem saviem argumentiem, un . Vl jo vairk, t k polinomilai funkcijai atvasinjumi ir vai nu polinomils funkcijas, vai liners funkcijas, vaiObject41

konstante, funkcija ir gludas un pieder gluduma klasei . Ldz ar to var pielietot kritriju Kritrijs 2.2.2. 2. Apskatsim funkcijas (2.1.1) otrs krtas atvasinjumu matricu:Object44

Object43

un tai skait

. s matricas galvenie minori:Object42

,Object45 Object46

un ir negatvs,

. Ts galvenie 1. krtas minorsObject47

Object48

ldz ar to matrica nav pozitvi noteikta vai pusnoteikta. Td neko par faktu vl nevar spriest.Object49

Noteiksim no viendojuma is matricas pavrtbas un pavektorus. Atrisinot viendojumu, iegsim sekojoas pavrtbas un tm atbilstous pavektorus:Object50 Object51

Object52

Object53

Object54

No pavektoru izteiksmm ir redzams, ka funkcijas pieskarplaknem ir vairki dadi virzieni, un no t var secint, ka funkcijai ir sedla punkts kd no kritiskiem punktiem. Ttad t var tiekties uz pie noteikt argumentu pieauguma.Object55

Tdjdi problmai (2.1.1) atrisinjums neeksist, bet eksist tikaiObject56

.

2.3.

Ekstrma nepiecieamais nosacjums

Uzdevumam (2.1.1) ir sekojoi ekstrma eksistences nepiecieamie noscaju-mi visprg form: Teorma 2.3.1. Pirms krtas ekstrma nepiecieamais nosacjums: Ja 1) f : R n R ;

2) f C 1 R n ; 3) x0 ir f lokla minimuma elements, tad f ( x0 ) = 0 . 5/16

( )

Teorma 2.3.2. Otrs krtas ekstrma nepiecieamais nosacjums: Ja 1) f : R n R ; 2) f : C 2 R n ; 3) x0 ir f lokla minimuma elements, tad f ( x0 ) 0 .Ttad teormu nosacjumi konkrti im uzdevumam ir pierakstmi pierakstmi:

( )

(2.3.1)

Object57

(2.3.2)Object58

Acmredzams, ka pc Silvestra kritrija (Kritrijs 2.2.3) nosacjums (2.3.2) neizpilds. Nkamaj punkt paskatsimies, kdu rezulttu dod nosacjums (2.3.1).

2.4.

Atrisinjums

Viendojumu sistma (2.3.1) ir homogna viendojumu sistma, kurai ir tikai viens trivils atrisinjums - (0,0,0). Ldz ar to funkcijai ir viens viengais ekstrma punkts (punkts, kur f'(x0) = 0). aj punkt funkcija pieem nulles vrtbu: . No iepriekjiem funkcijas (2.1.1) izptes rezulttiem var secint, ka punkts (0,0, 0) ir kritisks punkts, bet nav minimums, jo tas ir seglu punkts. Lai to nodemonstrtu, ir nepiecieams uzrdt kaut vienu tdu punktu, kur f(x, y, x) < 0. Tdi punkti ir piemram (0,1,1) un (0,-1,-1). ajos punktos . Ldz ar to ir pierdts, ka (0,0, 0) nav minimuma punkts, un atrisinjums problmai neeksist.Object59 Object60 Object61

Pardsim, kaObject62

. emsim funkcijas argumentu veidObject64

Object63

. TdObject65

gadjum funkcijas vrtba aj punkt irObject66

. Robea pa kopu

. Ldz ar toObject67

.

6/16

2.uzdevumsAizstjot parametrus, iegsimObject22

.(1)

Uzdevuma klaseDotais uzdevums ir neliners programmanas uzdevums ar ierobeojumu viendbas veid. ,Object68

(1)

kur m < n brvbas pakpju skaita nodroinanai. Gadjum (1) .

1.1.

Atrisinjuma eksistenceObject70 Object71 Object72

ai uzdevumu klasei atrisinjuma eksistenci nodroina sekojoas prasbas. Teorma 1.1.1. Ja , eksist punkts , kuram izpilds kaut viens no sekojoiem nosacjumiem:

, un

1.Object73

, ,Object74 Object75

2.

tad eksist problmas (1) atrisinjums. Acmredzams, ka , jo s funkcijas ir polinomilas vai lineras, un ka ierobeojumi defin netuku kopu. Viendojumu apmierina bezgala daudz punktu, piemram, punkti : . Visprgk gadjum ierobeojuma nosacjumu var prrakstt di: . Tomr dotos kritrijus atrisinjuma eksistences pierdanai lietot nevar, joObject79 Object80 Object81 Object82 Object83

unObject69 Object76

unObject77 Object78

un ldz ar to viennozmgu atbildi par atrisinjuma eksistenci im uzdevumam dot nevar. Ievietosim minimizjamaj funkcij ierobeojumu apmierinoo atrisinjumu iegts iepriek. Iegsim divu argumentu funkciju : Atbilstoi s funkcijas atvasinjumi:Object84 Object85 Object86 Object87

, kas tika .

>0Object88

ai funkcijai var pielietot visas ts metodes, kas ir apraksttas 1.uzdevum. Par atrisinjuma eksistenci var pateikt, ka, acmredzams, funkcija ir gludaObject89

, un kaObject90

, ttad

7/16

atrisinjums eksist.

1.2.

Ekstrma eksistences nepiecieamais nosacjums, kura ir (1.2.1)Object91

Ievedsim Lagrana funkcijas jdzienu. Defincija 1.2.1. Par problmas (1) Lagrana funkciju sauc funkciju definta ar izteiksmi

Object92

Neliners programmanas uzdevumiem ar ierobeojumiem viendbu form (1) ir sekojos ekstrma eksistences nepiecieamais nosacjums.

Teorma 1.2.2. Ja konstantes

Object93

Object95

, un ir problmas (1) atrisinjums, tad eksist , ne visas viendas ar nulli , tdas, ka izpildsObject94 Object97

(1.2.2).Object96

Uzdevuma (1) Lagrana funkcija ir . No sakarbas (1.2.2) iegstam sekojou ekstrma eksistences nepiecieamo nosacjumu uzdevumam (1):Object98

(1.2.3)Object99

1.3. 1.3.1.

Atrisinjums Atrisinjums ar Lagrana funkciju

dus uzdevumus risina, izmantojot ekstrma nepiecieamos nosacjumus, mekljot funkcijai un ierobeojuma nosacjumam atbilstos Lagrana funkcijas - atvasinjuma pc funkcijas argumenta nulles:Object23 Object24

da tipa optimizcijas problmas parast atrisinanas gaita ir:1. sol no pirmajiem n viendojumiem izsaka nezinmos x k funkcijas no = ( 0 , 1 ,..., m ). Ja iespjams, tad nosaka, kur no j nevar bt 0, tad o j nonorm uz 1. Normsim Lagrana funkcijas atvasinjumu vektoru ar . Td gadjum, acmredzams, ka . Ldz ar toObject100 Object101

iegstam divu viendojumu sistmu:Object102

, kuras atrisinjums irObject103

;

izlaiams; 3. sol mekl problmas atrisinjumu starp priem x 0 , 0 (tie visi apmierina ekstrma

2. sol funkcijas x = x( ) ievieto pdjos m viendojumos un mekl sistmas g j ( x( ) ) = 0, j = 1,..., m, atrisinjumu (atrisinjumus) 0 . Problmas (1) gadjum is solis ir

(( ) )

8/16

nepiecieamos nosacjumus), saldzinot vrtbas f x 0 . Ievietojot s izteiksmes ierobeojum , iegsim . Rezumjot funkcijas sasniedz savu minimums punkt un atbilstoi minimuma vrtba . Uzdevuma (1) atrisinjums ir: minimums tiek sasniegts punkt (-24, -1856, -56); funkcijas minimums ar ierobeojumu ir -3712.Object104 Object105 Object106 Object107

( ( ))

1.3.2.

Atrisinjums ar viena argumenta funkcijuObject109

eit ekstrma eksistences nepiecieamie nosacjumi ir izpilds neatkargi no maingo vrtbmObject112

un

Object108

. Neviendba

, bet no viendbas , kuras atrisinjums irObject111

iegsim viendojumu sistmuObject110 Object113

. Ievietojot o atrisinjumu ierobeojuma nosacjum, iegsim viendojumu maing y izteikanai: . Ir iegti tie pai rezultti k metod ar Lagrana funkciju.Object114

9/16

3. 3.uzdevums(3.1)Object27

1.1.

Uzdevuma klase

Dotais uzdevums ir neliners programmanas uzdevums ar ierobeojumiem neviendbu veid.

,

(1.1.1)

Object118

kur uz m ierobeojumu nav. Konkrtaj gadjuma (3.1) n = 3, m = 2, , un . Atgdinsim izliektas kopas un izliektas funkcijas defincijas.Object119 Object120 Object121

Defincija 1.1.1. Kopa Q ir izliekta kopa, ja Defincija 1.1.2. FunkcijaObject123 Object124

. , kur M izliekta kopa, ir izliekta funkcija, ja izpildas . Turpmk izliekts funkcijas apskatsim tikai izliekts kops. Funkcijas izliektbas prbaudei ir lietojams sekojos kritrijs.Object122

Kritrijs 1.1.3. Funkcija

Object125

ir izliekta, ja matrica

Object126

.

Pierdsim, ka visas uzdevuma (3.1) funkcijas ir izliektas. Tam lietosim kritriju 1.1.3 un Silvestra kritriju 2.2.3. Apskatot otrs krtas atvasinjumu matricas ,Object127 Object128

un

Object129

Ldz ar to varam secint, ka visas funkcijas ir izliektas. Td veid ir nodemonstrts, ka uzdevums (3.1) pieder izliekts programanas uzdevumu klasei .Par pieaujamo argumentu kopas izliektbu skat. atrisinjuma eksistences pierdjum.

1.2.

Atrisinjuma eksistenceeksist kaut vai viens ierobeojumus apmierinos punkts

Izliekts programanas uzdevumu klasei atrisinjuma eksistenci nodroina sekojoas prasbas. Teorma 1.2.1. JaObject130

10/16

Object131

un izpilds kaut viens no sekojoiem noscacjumiem: ,Object132 Object133

1.

2. , tad eksist problmas (1.1.1) atrisinjums. Apskatsim s prasbas. 1. Uzdevuma (3.1) funkcijas . Vairk, ts irObject134 Object135

ir polinomialas vai lineras, ldz ar to .Object136

2. Neviendbu sistma uzdod plakniObject137

. Nodemonstrsim. Pirm

ierobeojuma neviendba prrakstma kvadrtu summ sekojoi: . Relu skaitu kvadrti var bt tikai nenegatvas vrtbas un nenegatvu vrtbu summa ir nenegatva. No k var secint, kas summa ts nenegatvie saskaitmie var bt tikai nulle: , , respektvi . Izmantojot otro neviendbu, iegsim: .Object138 Object139 Object140 Object141 Object142

Respektvi:Object143

unObject144

. Rezumjot, ir bezgala daudz tdu punktu , kas apmierina ierobeojuma nosacjumus, i.e., pieaujamo

Object145

argumentu vrtbu kopa sastv no bezgalgi daudziem punktiem. 3. Apskatsim funkcijas otras krtas atvasinjumu matricu. Augstk jau bija nodemonstrts,Object146

kaObject147

. Ttad saska ar kritriju 2.2.2:Object148

.

Ldz ar to uzdevumam (3.1) eksist atrisinjums. T k pieaujamo vrtbu kopa ir plaknes kvadranta projekcija 3-dimensiju telp ms varam konstrut 3dimensiju funkcijas grafiku pieaujamo vrtbu kopai. aj kop minimizjams funkcijas vrtba ir :Object176

K var redzt, jau no grafika, funkcija pieem minimuma vrtbu punkt (0.5, 0, 0.5).

11/16

1.3.

Ekstrma eksistences nepiecieamais nosacjums ,Object149 Object151

Izliekts programanas uzdevumiem Lagrana funkcija tiek ieviesta vienkrk veid:Object150

,.

kur

Ievedsim Lagrana funkcijas seglu punkta jdzienu. Defincija 1.3.1. Par Lagrana funkcijas seglu punktu sauc tdu punktu , kuram izpilds Defincija 1.3.2 (Sleitera nosacjums): . (1.3.1) Teorma 1.3.3 (Nepiecieamais nosacjums). Ja ir izliektas, izpilds Sleitera nosacjums (1.3.1), un ir problmas (1.1.1) atrisinjums, tad eksist tds vektors ka punkts ir Lagrana funkcijas L(x,y) seglu punkts. Apskatsim s teormas nosacjumus. No iepriekj ir zinms, ka ierobeojumi un defin tdas telpas virsmas,Object152 Object153 Object154 Object155 Object156 Object157 Object158 Object159 Object160 Object162 Object161

kuras eas kopObject163 Object165

, kuras visos punktos funkcija

pieem tika nenegatvas vrtbas. Respektvi, nav neviena punkta, kur abm funkcijm btu negatvas vrtbas. Ldz ar to Sleitera nosacjums neizpilds, un ekstrma eksistences nepiecieamo nosacjumu d form dotajam uzdevumam lietot nevar.

Sakar ar to, ka izliekts programanas uzdevums ir ar neliners programanas ar ierobeojumiem neviendbu veid uzdevums, tad var lietot uzdevuma ekstrma eksistences nepiecieamos nosacjumus.Teorma 1.3.4. Ja konstantes 1. 2.Object170 Object164

Object167

, un ir problmas (1.1.1) atrisinjums, tad eksist , ne visas viendas ar nulli , tdas, ka izpilds:Object166 Object168

;Object171

; (1.3.2).Object169

3.

Uzdevuma (3.1) Lagrana funkcija, saskaa ar (1.2.2), ir . No sakarbas (1.3.2) iegsim sekojou ekstrma eksistences nepiecieamo nosacjumu uzdevumam (3.1):Object172

,Object174

(1.3.3)

kuram, saskaa ar teormas (1.3.4) punktu 2, ir jpievieno nosacjumi: .Object173

(1.3.4)

12/16

1.4.

Atrisinjums

Atrisinsim o uzdevumu ar Lagrana reizintju metodi. Pc ekstrma eksistences nepiecieam nosacjuma (1.3.3) un teormas (1.3.4) papildus nosacjumiem varam uzrakstt viendojumu sistmu

(1.4.1)

Object175

13/16

4. 4.uzdevums(4.1)Object28

1.5.

Uzdevumu klase

is uzdevums pieder neliners programanas ar ierobeojumiem neviendbu veid uzdevumu klasei:

,Object177

(1.5.1)

kur uz m ierobeojumu nav. Konkrtaj gadjuma (4.1) n = 3, m = 2, , un . Atgdinsim izliektas kopas un izliektas funkcijas defincijas.Object178 Object179 Object180

1.6.

Atrisinjuma eksistenceObject181

ai uzdevumu klasei atrisinjuma eksistenci nodroina sekojoas prasbas. Teorma 1.6.1. Ja eksist kaut vai viens ierobeojumus apmierinos punkts un izpilds kaut viens no sekojoiem noscacjumiem:Object182

1.Object183 Object184

,

2. , tad eksist problmas (1.5.1) atrisinjums. Apskatsim s prasbas. 1. Uzdevuma (4.1) funkcijas . Vairk, ts irObject185 Object186

ir polinomialas vai lineras, ldz ar to .Object187

2. SistmObject200

ir 3 nezinmie un 2 neviendbas, ldz ar to viens vai divi no

nezinmiem var kalpot k parametri citu nezinmo noteikanai. Piemram, 2. neviendba dod sakarbu . No 1. neviendbas iegstam , ldz ar to . Var secint, ka ierobeojumi pieauj patvagu z (pie nosacjuma, ka ) un x, y vrtbu kopas attlotas grafik zemk (zil krs):Object201 Object202 Object203 Object189

14/16

y

0 xy= -x

3. Apskatsim funkcijas f otrs krtas atvasinjumu matricu:Object188

funkcijas linearittes d. Saska ar Silvestra kritrija (2.2.3) matrica ir pozitvi pusnoteikta, jo visi ts galvenie minori ir 0. Ldz ar to neko par funkcijas tiekanos uz bezgalbu pateikt nevar. Tomr atbilde ir pozitva (aplkojot robeu pieaujamo vrtbu kop), jo, lai kdu argumenta z vrtbu neemtu, tas neveicina funkcijas tiekanos uz . Savukrt, argumentu x, y kustbu virzien katram fikstam x ierobeo ierobeojumu nosacjumi. Ar toObject190 Object191

-1

pierdts, ka msu specifiskaj gadjumObject192

.

Pc atrisinjuma eksistences kritrijiem ar to pietiek, lai problmai eksisttu atrisinjums.

1.7.

Ekstrma eksistences nepiecieamais nosacjums

2. uzdevum jau ievedm Lagrana funkcijas (1.2.1) jdzienu. Neliners programanas uzdevumiem ar ierobeojhumiem neviendbu form (1.5.1) ir sekojos ekstrma eksistences nepiecieamais nosacjums. Teorma 1.7.1. Ja , un ir problmas (1.5.1) atrisinjums, tad eksist konstantes , ne visas viendas ar nulli , tdas, ka izpilds: 1. ; 2. ;Object193 Object194 Object195 Object196 Object197 Object198

3.Object199

(1.7.1)

Uzdevuma (4.1) Lagrana funkcija ir . No sakarbas (1.7.1) iegstam sekojou ekstrma eksistences nepiecieamo nosacjumu uzdevumam (4.1):Object204

,Object205

(1.7.2)

kuriem, sakar ar teormas 1.7.1 punktu 2, ir jpievieno nosacjumi

15/16

Object210

1.8.

AtrisinjumsObject207 Object208

Atrisinsim uzdevumu, izmantojot Lagrana funkciju .Normsim ekstrma eksistences nepiecieamos nosacjumus (1.7.2), izvloties . No otr viendojuma izriet, ka ar .Ldz ar to iegsim viendojumu sistmu

Object206

No pirm viendojuma dod divas iespjamus variantus: (kas izriet no pirm) vai (kas izriet no pirm). Aplkosim katru atsevii. Pirmaj gadjum (Object211 Object209

) sistma prrakstma sekojoi:Object212 Object213 Object214

. No k izriet, kaObject215

. Ttad atrisinjums jmekl uz taisnes . Saaurinot minimizcijas funkciju uz o taisni, iegsim, . Respektvi, minimums tiek sasniegts uz nogriea - diagramm zem attlots za krs:Object216 Object217

y 3y= x 3-

0 -1

3y= -x -1

x

Otraj gadjum (Object218

) iegsimObject219

. No pirms un tres viendbas un

piemuma

Object220

izrietObject221

un tlk no otrs viendbas:

Object222

. Ttad minimumsObject223

tiek sasniegts punkt (-1,0,0), kur minimizcijas funkcija pieem vrtbu lielka par -5.

, kas ir

16/16