optimiranje procesa - fkit e-campus v1 metoda b. zelić: analiza i modeliranje ekoprocesa,...

Optimiranje procesa

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Optimiranje procesa

- rješavanje optimizacijskih problema podrazumijeva pronalaženje optimuma (minimuma ili maksimuma) neke funkcije f - funkcija f se naziva i funkcijom cilja - funkcija cilja ovisna o zavisnim varijablama x1,…, xn - x1,…, xn kontrolne varijable, njihovim izborom “kontroliramo” vrijednost funkcije cilja - teorija optimiranja – razvoj metoda optimalnog izbora x1,…, xn koji maksimiziraju ili minimiziraju funkciju cilja f ili razvoj metoda pronalaženja optimalnih vrijednosti x1,…, xn - u nekim problemima izbor optimalnih vrijednosti x1,…, xn nije potpuno slobodan već je definiran ograničenjima (dodatni uvjeti koji proizlaze iz prirode optimizacijskog problema)

Optimiranje procesa


Podjela metoda optimiranja procesa - optimiranje bez definiranih ograničenja

- jedno-dimenzijski analitičke metode - više-dimenzijske analitičke metode (gradijentne metode)

- optimiranje sa definiranim ograničenjima - linearno optimiranje - jedno-dimenzijski analitičke metode - linearno programiranje / simpleks metoda - nelinearno optimiranje

Optimiranje bez definiranih ograničenja


Funkcija f(x1,…,xn) = f(x), pri čemu je x = (x1,…,xn) Funkcija f ima minimum ako u točki x = X0, u području R u kojem je f definirana, vrijedi da je f(x) ≥ f(X0) za sve x u R. Funkcija f ima maksimum ako u točki x = X0, u području R u kojem je f definirana, vrijedi da je f(x) ≤ f(X0) za sve x u R. Minimum i maksimum funkcije f se nazivaju ekstremima funkcije f. Funkcija f ima lokalni minimum ako u točki x = X0 vrijedi da je f(x) ≥ f(X0) za sve x u okružju točke X0, odnosno za sve x koji zadovoljavaju uvjet gdje je X0 = (X1,…,Xn) i r > 0 zadovoljavajuće mali. Identično vrijedi i za lokalni maksimum funkcije f.

( ) ( )1/22 2

0 1 1x-X ... n nx X x X r⎡ ⎤= − + + − <⎣ ⎦



Ako je funkcija f derivabilna i ima ekstrem u točki X0, u području R u kojem je funkcija f definirana (ne uzimajući u obzir granice područja definicije), parcijalna derivacija ∂f/∂x1,…,∂f/∂x2 mora biti jednaka nuli u točki X0. Točka X0 u kojoj vrijedi zove se stacionarna točka funkcije f. Uvjet * je nužan za definiranje ekstrema funkcije f u okolišu točke X0, ali nije zadovoljavajući.

0 0grad (X ) (X ) 0*f f=∇ =



Jedno-dimenzijske analitičke metode n = 1 y = f(x1) Uz uvažavanje nužnog uvjeta* y’ = f’(x1,0) = 0 lokalni minimum se postiže zadovoljavanjem uvjeta y’’ = f’’(x1,0) > 0 lokalni maksimum se postiže zadovoljavanjem uvjeta y’’ = f’’(x1,0) < 0 1. Primjer Pronaći globalni minimum i maksimum funkcije

3 22 3 7 5y x x x= ⋅ + ⋅ − ⋅ +

Gradijentna metoda


- metoda strmog silaska - pronalaženje minimuma funkcije f(x), x = (x1,…xn) višestrukim računanjem minimuma funkcije g(t) pojedinačne varijable t - pretpostavka: funkcija f ima minimum u točki X0 i optimiranje starta u točki x - traži se minimum funkcije f u blizini točke x prateći pravac u smjeru koji predstavlja smjer strmog silaska (smjer maksimalnog smanjivanja) funkcije f u točki x - određuje se vrijednost pojedinačne varijable t u točki z(t) u kojoj funkcija g(t) ima minimum.

(x)f−∇

( ) x (x)z t t f= − ⋅∇

Gradijentna metoda


- tako izračunati z(t) se uzima kao iduća aproksimacija za X0. 2. Primjer Treba izračunati minimum funkcije Kao pretpostavke prvog rješenja uzeti su odnosno x1 = 6 i x2 = 3

( ) ( ( ))( ) ' 0g t f z tg t

=

=

2 21 2(x) 3f x x= + ⋅

0

6X

3ij

=

Gradijentna metoda


-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x2

x1

x1 x2 t

6 3 0,209677

3,483871 -0,77419 0,309524

1,327189 0,663594 0,209677

0,770626 -0,17125 0,309524

0,293572 0,146786 0,209677

0,170461 -0,03788 0,309524

0,064938 0,032469 0,209677

0,037706 -0,00838 0,309524

0,014364 0,007182 0,209677

Analitičko rješenje x1 = 0, x2 =0.

Simpleks metoda ili linearno programiranje


- funkciju f

treba maksimizirati uzimajući u obzir sljedeća ograničenja

- pronalaženje osnovnih mogućih rješenja – sustavni pristup pretraživanju – simpleks metoda

- stupnjeviti prijelaz iz jednog u drugo moguće rješenje pri čemu vrijednost funkcije f uvijek povećava svoju vrijednost

1 1 ... n nf c x c x= ⋅ + + ⋅

11 1 1 1

21 1 2 2

1 1

...

...

...0 ( 1,..., )

n n

n n

m mn n m

i

a x a x ba x a x b

a x a x bx i n

⋅ + + ⋅ =

⋅ + + ⋅ =

⋅ + + ⋅ =

≥ =

Simpleks metoda


Osnovni koraci simpleks metode

1. KORAK

Operacija I0 – inicijalizacija vrijednosti osnovnih mogućih rješenja

2. KORAK

Operacija O1 – testiranje optimalnosti

Operacija O2 – određivanje boljeg osnovnog mogućeg rješenja

Operacija O3 – prijelaz na bolje osnovno rješenje

Simpleks metoda


Inicijalna operacija I0

- pronalaženje osnovnih mogućih rješenja (potrebno za početak iteracije)

- raspodjela varijabli x1,…,xn u dvije grupe

- m varijabli – temeljne varijabli

- n – m varijabli – netemeljne varijable ili varijable vektora desne strane

- netemeljne varijable imaju vrijednost nula

Simpleks metoda


Operacija O1 – testiranje optimalnosti

- provjeriti da li koeficijenti funkcije f (c1,…,cn) izražene kao funkcija trenutnih netemeljnih varijabli imaju negativnu vrijednost ili su jednaki nuli

- ako je gornji uvjet zadovoljen kriterij optimalnosti je također zadovoljen i osnovno moguće rješenje je optimalno

Simpleks metoda


Operacija O2 – određivanje boljeg osnovnog mogućeg rješenja

- zamjena varijabli

- jedna od temeljnih varijabli postaje netemeljna varijabla i poprima vrijednost nula, a umjesto nje jedna od netemeljnih varijabli postaje temeljna varijabla

- uzmimo netemeljnu varijablu xR koja ima pozitivni koeficijent c u funkciji f

- ostale netemeljne varijable zadržavaju vrijednost nula

- odredimo vrijednost ΔxR varijable xR i pripadajući porast vrijednosti funkcije f, Δf, na taj način da sve stare temeljne varijable ostanu pozitivne ili jednake nuli

- izaberemo minimalnu izračunatu vrijednost varijable ΔxR za idući korak

- ovaj postupak ponovimo za od netemeljnih varijabli

Simpleks metoda


Operacija O3 – prijelaz na bolje osnovno rješenje

- zamijeniti netemeljnu varijablu xR koja ima najveći prirast vrijednosti funkcije f, Δf, sa jednom od temeljnih varijabli prethodnog koraka

Simpleks metoda


3. Primjer

U proizvodnji dvaju tipova elektroničkih sklopova K i L koriste se dva robota R1 i R2. Za proizvodnju elektroničkog sklopa K potrebo je da robot R1 radi dvije minute, a robot R2 četiri minute. Slično, za proizvodnju elektroničkog sklopa L potrebo je da robot R1 radi osam minuta, a robot R2 četiri minute. Neto dobit za elektronički sklop K je 29 kn a za elektronički sklop L 45 kn. Odredi plan proizvodnje koji maksimizira neto dobit.

Ako se proizvodi x1 elektroničkih sklopova K i x2 elektroničkih sklopova L, onda je neto dobit po satu:

Ograničenja su definirana kako slijedi:

( )1 2 1 2, 29 45f x x x x= ⋅ + ⋅

1 2

1 2

1

2

2 8 60 (rad robota R1)4 4 60 (rad robota R2)

00

x xx x

xx

⋅ + ⋅ ≤

⋅ + ⋅ ≤

≥

≥

Inicijalna operacija I0

- pretpostavimo

x1 = x2 = 0 – netemeljne varijable

x3 i x4 – temeljne varijable

Operacija O1

c1 i c2 > 0 – optimum - maksimum nije postignut

Simpleks metoda


1 2 3

1 2 4

2 8 604 4 60

0 ( 1,..., 4)i

x x xx x x

x i

⋅ + ⋅ + =

⋅ + ⋅ + =

≥ =

3 1 2

4 1 2

60 2 8 6060 4 4 60

x x xx x x= − ⋅ − ⋅ =

= − ⋅ − ⋅ =

( )1 2 1 2, 29 45 0f x x x x= ⋅ + ⋅ =

Operacija O2

- pretpostavimo, x1 postaje temeljna veličina

x2 = x3 = x4 = 0

Simpleks metoda


1 2 3 1

1 2 4 1

2 8 60 30 8704 4 60 15 435x x x x fx x x x f⋅ + ⋅ + = Δ = Δ =

⋅ + ⋅ + = Δ = Δ =


x1 = x3 = x4 = 0

1 2 3 2

1 2 4 2

2 8 60 7,5 337,5

4 4 60 15 675

x x x x f

x x x x f

⋅ + ⋅ + = Δ = Δ =

⋅ + ⋅ + = Δ = Δ =

- prenosimo one jednadžbe za koje je najmanji prirast funkcije f

Operacija O3

Simpleks metoda


3 1 2

4 1 2

60 2 8 , 337,5

60 4 4 , 435

x x x f

x x x f

= − ⋅ − ⋅ Δ =

= − ⋅ − ⋅ Δ =

- temeljna varijabla postaje ona koja daje najveći prirast Δf

- nove temeljne varijable x1 i x3, nove netemeljne varijable x2 i x4

1 2 4

3 2 4

1154130 62

x x x

x x x

= − −

= − ⋅ +

Operacija O1

- izražavanje funkcije f preko novih netemeljnih varijabli

c2 > 0, optimum nije postignut

( )1 2 2 4, 435 16 7,25f x x x x= + ⋅ − ⋅

Operacija O2


x1 = x3 = x4 = 0

Simpleks metoda


1 2 4 2

3 2 4 2

1 15 15 2404

16 30 5 802

x x x x f

x x x x f

+ + = Δ = Δ =

+ ⋅ − ⋅ = Δ = Δ =

- x4 se ne analizira jer je koeficijent c4 < 0

Operacija O3

2 3 4

1 3 4

1 156 121 1106 3

x x x

x x x

= − ⋅ + ⋅

= + ⋅ − ⋅

- nove temeljne varijable x1 i x2, nove netemeljne varijable x3 i x4

Simpleks metoda


Operacija O1

- izražavanje funkcije f preko novih netemeljnih varijabli

c1 i c2 > 0, optimum postignut za x1 = 10, x2 = 5, x3 = 0, x4 = 0

( )1 2 3 4, 515 2,667 5,917f x x x x= − ⋅ − ⋅

Rješenje:

x1 = 4,5; x2 = 3,5; x3 = 3,5; x4 = 0; x5 = 0

3. Domaća zadaća


1. Zadatak

Odredi maksimum funkcije primjenom simpleks metode:

Ograničenja su definirana kako slijedi: ( )1 2 1 2, 150 300f x x x x= ⋅ + ⋅

1 2 3

1 2 4

2 5

2 168

3,50 ( = 1,...,5)i

x x xx x xx xx i

⋅ + + =

+ + =

+ =

≥

( ) 3 26 36 71 5f x x x xx= − ⋅ + ⋅ +

≤ ≤

2. Zadatak

Odredi lokalni maksimum i minimum funkcije:

( ) 4 51725 150 150f x x x= − ⋅ − ⋅

Linearna i nelinearna regresija


Linearna regresija

- određivanje nagiba i odsječka pravca iz serije podataka

- određivanje najboljeg moguće linearne aproksimacije serije podataka za koju zavisna varijabla nije u potpunosti linearno ovisna o nezavisnoj varijabli

- metoda najmanjih kvadrata – najzastupljenija metoda linearne regresije

- nelinearne jednadžbe – linearizacija – linearna regresija

Nelinearna regresija

- procjena parametara nelinearnih funkcija bez prethodne linearizacije

optimiranje procesa - fkit e-campus v1 metoda b. zelić: analiza i modeliranje ekoprocesa,...

Documents