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TEMAS DE MATEMTICAS(Oposiciones de Secundaria)

TEMA 1EL NMERO NATURAL. SISTEMAS DE NUMERACIN.

1. Introduccin.2. Construccin de .

2.1. Definicin Axiomtica.2.2. Forma Constructiva.

3. Adicin de Nmeros Naturales.3.1. Definicin.3.2. Propiedades.

3.2.1. Asociativa.3.2.2. Existencia de Elemento Neutro.3.2.3. Conmutativa.

4. Producto de Nmeros Naturales.4.1. Definicin.4.2. Propiedades.

4.2.1. Distributiva del Producto respecto de la Adicin.4.2.2. Existencia de Elemento Absorbente.4.2.3. Existencia de Elemento Neutro.4.2.4. Conmutativa.4.2.5. Asociativa.

4.3. Conclusiones.5. Orden en .6. Otras propiedades de .7. Conjuntos Finitos.8. Divisin Eucldea.9. Sistemas de Numeracin.

9.1. Cambio de sistemas de numeracin.Bibliografa.

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TEMA 1

EL NMERO NATURAL. SISTEMAS DE NUMERACIN.

1. INTRODUCCIN.

Los nmeros naturales aparecen debido a la necesidad que tiene el hombre decontar. Un nmero cualquiera como el 5 es una abstraccin, es una determinadapropiedad de algunos conjuntos.

Podemos construir los nmeros naturales de dos maneras:

a) Desde el punto de vista axiomtico.b) De manera constructiva, con ayuda de la Teora de Conjuntos.

2. CONSTRUCCIN DE .

2.1. Definicin Axiomtica.

Construimos con un nmero infinito de elementos, todos ellos distintos, llamadosnmeros naturales.

={0, 1, 2, 3, 4,}

Cada uno de los smbolos anteriores, excepto el que figura en primer lugar, es elsiguiente de aquel que le precede.

Se verifican los siguientes axiomas, llamados postulados de Peano:

Axioma 1: 0

Axioma 2: A cada nmero a se le asigna un siguiente s(a)=a* que tambin esnatural y se verifica:

a; a S(a) / a; a b; b, si a=b S(a)=S(b)

Axioma 3: No existe ningn natural cuyo siguiente sea el 0.

a; a S(a)0

Axioma 4: a, b S(a)=S(b) a=b

Axioma 5 (de induccin matemtica o induccin completa):

K, K / 0K y a, aK S(a)K K=

Tambin es posible establecer el uno 1 como primer nmero natural, siendo laconstruccin la misma.

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PROPIEDADES

1) a, b, si ab a*b* (axioma 4)

2) a aa* (axioma 5)

Construimos K={a / a y aa*}

Veamos que K. Por el axioma 3: 0K.

Supongamos que aK a*(a*)* a*K K

3) a y a0 b / a=b*

Construimos K={0}{a; b a=b*}

K0, ya que 0K. Supongamos aK, como K contiene todos los siguientes,a*K K=

2.2. Forma Constructiva.

DEF Si K es un conjunto, llamamos siguiente de K al conjunto K*=K{K}

A partir de este momento designaremos al conjunto por el smbolo 0.

= 00* = 0{0} = {0} = 11* = 1{1} = {0, 1} = 22* = 2{2} = {0, 1}{2} = 3

Hemos de asegurarnos de que este proceso puede continuar de forma indefinida yque llegamos a obtener un determinado conjunto infinito. Para ello necesitamos elAxioma del Infinito.

AXIOMA DEL INFINITO

Existe al menos un conjunto K0 que cumple:

a) 0K0b) aK0 a*K0

(Decimos que K0 es recurrente)

Sea ahora K la familia de todos los conjuntos que verifican el axioma anterior(conjuntos recurrentes) y llamamos =K con KK.

es no vaco, ya que al menos existe un conjunto recurrente. es recurrente (es trivial su comprobacin).

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es el conjunto recurrente ms pequeo, ya que si K es un conjunto recurrente, pordefinicin de se tiene que verificar que NK.

El conjunto definido anteriormente verifica los axiomas de Peano vistosanteriormente.

Por la construccin de , los axiomas 1, 2 y 5 son evidentes.

El axioma 3 se verifica si tenemos en cuenta que n*=n{n}=, entonces {n}= yde aqu n, lo que no tiene sentido.

Para poder comprobar el axioma 4 necesitamos de unos resultados previos:

DEF Un conjunto K es Transitivo a (aK aK)

LEMA Todo nmero natural es transitivo

dem.

Vamos a realizar la demostracin por induccin.

Llamamos C={n / n es transitivo}

1) 0C, porque 0 es vaco y se cumple la condicin por vacuidad.2) Supongamos que nC, entonces

mn mnn* mn*mn* n*C C= c.q.d.

m=n m=nn* mn*

Podemos Probar ya el Axioma 4.

Supongamos m*=n* y supongamos mn

Entonces mm*=n*=n{n}, lo que implica mn pues mn y tambinnn*=m*=m{m}, lo que implica nm

Se tiene mn y nm y como ambos son transitivos se verifica que nm y mny por tanto m=n, lo cual es una contradiccin.

3. ADICIN DE NUMEROS NATURALES.

3.1. Definicin.

Sea f:x tal que (x,y)x, f(x,y) verificando:

1) f(x,0)=x, x2) f(x,y*)=[(f(x,y)*] x,y

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Esta aplicacin existe y es nica.

dem.

1) Existencia

Sea M={x / fx :{x}x, verificando fx(x,0)=x, fx(x,y*)=[fx(x,y)]*, y}

0M, ya que f0 :{0}x / f0(0,y)=y, y.

f0(0,0)=0, f0(0,y*)=y*=(f0(0,y))*, y

Supongamos que xM, x*M?

fx*:{x*}x / fx*(x*,0)=x*, fx*(x*,y*)=[ fx*(x*,y)]*

Esta fx* ser fx*(x*,y)=[ fx(x,y)]* x*M, por tanto M=

Como esto se verifica x, podemos garantizar que f:x

2) Unicidad

Supongamos Mx={y / f(x,y)=g(x,y)}, x con f y g satisfaciendo lascondiciones 1) y 2).

0Mx?, f(x,0)=g(x,0)=x

Si yMx, y*Mx?

f(x,y*)=[f(x,y)]*=[g(x,y)]*=g(x,y*) y*Mx

Luego Mx=, y como esto es x f=g

Por tanto, (x,y) podemos obtener f(x,y). A esta aplicacin se le conoce con elnombre de adiccin de nmeros naturales. Se simboliza por +.

Definicin axiomtica:

La aplicacin de nmeros naturales es una aplicacin +:x tal que(x,y) x existe un nico nmero, llamado x+y=+(x,y) tal que:

1) +(x,0)=x+0=xx,y

2) +(x,y*)=x+y*=(x+y)*

Se Verifica:

1) x, x+1=x*

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2) x+y=0 x=0y=0

3.2. Propiedades.

3.2.1. Asociativa.

a,b,c, se tiene :(a+b)+c=a+(b+c)

Para la demostracin definiremos un conjunto M formado por todos los numerosnaturales que verifican la propiedad. Comprobaremos que M=

Sea M={x / (a+b)+x=a+(b+x) a,b}

0M, ya que (a+b)+0=a+b=a+(b+0)

Supongamos que xM (a+b)+x*=((a+b)+x)*=(a+(b+x))*=a+(b+x*)Luego x*M M=

3.2.2. Existencia de Elemento Neutro.

0 / x x+0=0+x=x

Sea el conjunto M={x / x+0=0+x}0M, trivialmente.si xM Comprobemos que x*M

x*+0=x*=(x+0)*=(0+x)*=0+x* x*M y por tanto M=

3.2.3. Conmutativa.

a,b se verifica: a+b=b+a

Sea el conjunto A={x / x, x+1=1+x}

0A, trivialmente.si zA z*+1=(z+1)+1=(1+z)+1=1+(z+1)=1+z* A=

Sea el conjunto B=={x / x, x+a=a+x}

0B, ya que 0 es el elemento neutro.Comprobemos que z*Ba+z*=a+(z+1)=(a+z)+1=(a+z)*=(z+a)*=(z+a)+1=z+(a+1)=z+(1+a)=

=(z+1)+a=z*+a B=

Con estas tres propiedades tenemos que (,+) es semigrupo aditivo de los nmerosnaturales.

Para ser un grupo le falta tener la propiedad de Elemento Opuesto.

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4. PRODUCTO DE NMEROS NATURALES.

4.1. Definicin.

Sea f:x / (x,y)x, f(x,y), verificando:

a) f(x,0)=0, xb) f(x,y*)=f(x,y)+x, x,y

Esta aplicacin existe y es nica.

dem.

1) Existencia.

Sea M={x / fx :{x}x, verificando fx(x,0)=0, fx(x,y*)=fx(x,y)+x, y}

0M, pues si definimos fx como la aplicacin nula f0, verifica las condiciones.

Supongamos que xM y vamos a comprobar que x*M

fx*:{x*}x / fx*(x*,0)=0, fx*(x*,y*)=fx*(x*,y)+x*

Esta fx* ser fx*(x*,y)=fx(x,y)+y; As definida veamos que cumple las doscondiciones para pertenecer a M

1) fx*(x*,0)=fx(x,0)+0=fx(x,0)=02) fx*(x*,y*)=fx(x,y*)+y*= fx(x,y)+x+y*= fx(x,y)+x+(y+1)=

fx(x,y)+(x+1)+y= fx(x,y)+x*+y= fx(x,y)+y+x*= fx*(x*,y)+x*

Por tanto x*M lo cual implica que M=

2) Unicidad.

Supongamos que existen f y g dos funciones verificando las dos condiciones delproducto.

Sea M={y / fx(x,y)=gx(x,y) x} Comprobemos que M=

0M ya que fx(x,0)=0=gx(x,0) x

Supongamos que yM y veamos que y*M

fx(x,y*)=fx(x,y)+x=gx(x,y)+x=gx(x,y*)

Por tanto M= lo cual significa que f=g

Se simboliza por

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Definicin Axiomtica de multiplicacin de nmeros naturales:

A cada par x e y se le asocia uno y slo un nmero natural, que designaremospor xy=(x,y) y que se llama producto de x por y, y verifica:

a) x0=0 xb) xy*=xy+x, x,y

Se verifica que x1=x x

4.2. Propiedades.

4.2.1. Distributiva de la multiplicacin respecto de la adicin.

Distributiva por la derecha (a+b)c=ac+bca,b,c

Distributiva por la izquierda c(a+b)=ca+cb

Para la demostracin definiremos un conjunto M formado por todos los numerosnaturales que verifican la propiedad. Comprobaremos que M=

Sea el conjunto M={x / x, (a+b)x=ax+bx}

0M ya que (a+b)0=0=a0+b0

Supongamos que zM, comprobemos que z*M

(a+b)z*=(a+b)z+(a+b)=az+bz+a+b=az+a+bz+b=az*+bz*

Por tanto M= (anlogamente por la izquierda).

4.2.2. Existencia de Elemento Absorbente en ( ,)

El cero 0 es el elemento absorbente de (,) pues

b se verifica b0=0=0b

ab+0=ab=(a+0)b=ab+0b 0b=0 Como b0=0 b0=0b

Una demostracin alternativa puede ser:

b0=b(0+0)=b0+b0 b0=0

Anlogamente para 0b=0

4.2.3. Existencia de Elemento Neutro en ( ,).

El uno 1 es el elemento neutro ya que verifica a1=a=1a

Para comprobarlo definimos M={x / 1x=x}

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0M, ya que es el elemento neutro: 10=0

Supongamos que zM y comprobemos que z*M

1z*=1(z+1)=1z+1=z1+1=z+1=z*

Por tanto z*M M=

4.2.4. Conmutativa.

ab=ba a,b

Sea M={x / ax=xa a}

0M, trivialmente.

Supongamos que zM

az*=a(z+1)=az+a=a+az=a+za=(1+z)a=z*a

Entonces M=

4.2.5. Asociativa.

(ab)c=a(bc) a,b,c

Sea M={x / (ab)x=a(bx)}

Como (ab)0=0= a(b0)=a0 0M

Supongamos que xM. Veamos que x*M

(ab)x*=(ab)(x+1)=(ab)x+ab=a(bx)+ab=a(bx+b)=a(b(x+1))=a(bx*)

Entonces x*M

Por lo tanto M=

Teniendo en cuenta las propiedades de la adicin y la multiplicacin de nmerosnaturales, podemos decir que (,+,) es un semianillo conmutativo con elementounidad.

4.3. Conclusiones.

1) En (,) no existen divisores de cero.

m0 y n0 mn0

2) Ley de Simplificacin.

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a) Si a+b=a+c b=c ab) Si ab=ac b=c a-{0}

3) Ley de Monotona

a) Si a=b a+c=b+c cb) Si a=b ac=bc c

5. ORDEN EN .

DEF Dados los nmeros naturales a y b, se dice que a es menor que b y se escribea

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Para comprobar que es una relacin de orden hemos de comprobar que severifican las propiedades reflexiva, antisimtrica y transitiva.

1) Reflexiva: aa ya que a+0=0 a.

2) Antisimtrica:Como ab c / a+c=bComo ba d / b+d=aEntonces a+c+d=a y por tanto c+d=0 lo que signifi-ca que c=d=0 y por tanto a=b

3) Transitiva:Como ab d / a+d=bComo bc e / b+e=c

De ambas expresiones obtenemos a+(d+e)=cY como d+e ac

6. OTRAS PROPIEDADES DE .

PROP El conjunto con la relacion est bien ordenado. Es decir, todo subconjunto Cde tiene elemento mnimo (Se entiende por elemento mnimo mC / mc cC).

dem.

Tenemos C con C.

Podemos encontrarnos dos situaciones:

1) 0C. En este caso 0=minC2) 0C

Sea el conjunto A={x / x0 / x+d=c xc cC xC AC=

Luego A

0A, por tanto A es no recurrente

Debe existir a0A / ao* A

Como a0

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OBS La relacin de orden es compatible con las operaciones suma y productodefinidas anteriormente:

1) ab a+c b+c c2) ab ac bc c

TEOREMA DEL EXTREMO

Toda parte A de no vaca y acotada superiormente tiene elemento mnimo.

dem.

Sea S el conjunto formado por las cotas superiores de A.

Teniendo en cuenta la propiedad anterior,

s0S / s0=minS

Si s0=0 A={0} y 0=maxASi s00 s0=maxA ya que el anterior, r0, a s0 no sera cota superior, lo

que significa que a0A / r0

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8. DIVISIN EUCLDEA.

PROP Dados D,d con d0, existen c,r nicos verificando D=dc+r con r

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TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA NUMERACIN.

Sea b con b>1. Entonces todo n se puede expresar de forma nica comon=n0+n1b+n2b2+n3b3++npbp

con n0, n1, n2,,np, np0 y ni

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PROP Sea n=npnp-1n2n1n0 un nmero escrito en base b. Si multiplicamos el nmeron por una potencia cualquiera de la base, entonces

nbk= npnp-1n2n1n0000 con k ceros

dem.

Como n=npnp-1n2n1n0, escribiendolo de forma polinmica tenemosn=n0+n1b+n2b2+n3b3++npbp

Si multiplicamos los dos miembros de la expresin por bk queda:nbk=n0bk+n1bk+1+n2bk+2+n3bk+3++npbk+p

y completando el polinomio:

nbk=0+0b+0b2++0bk-1+n0bk+n1bk+1+n2bk+2+n3bk+3++npbk+p

volviendo a escribir n segn el convenio establecido, obtenemos la expresinbuscada.

PROP n en base b tiene p+1 cifras bpn

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PROP Sean n y n dos nmeros en base b que tienen p y p cifras respectivamente.Entonces p

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Tambin podemos calcular el valor del polinomio con slo obtener el resto de ladivisin del polinomio por la base, utilizando para ello la regla de Ruffini.

b) Dado un nmero en base 10, hallar su expresin en una base cualquiera b.

Dado el nmero n en base 10, consiste en calcular los coeficientes del polinomion=n0+n1b+n2b2+n3b3++npbp

Basta dividir el nmero sucesivamente hasta conseguir un cociente que sea menorque b. El nmero en base b estar formado por el ltimo cociente y la sucesin de restosobtenida en orden inverso.

c) Dado un nmero n en base b, hallar su expresin en otra base b.

Este cambio se realiza pasando el nmero n en base b a base decimal y luego debase decimal a base b.

9.2. Operaciones bsicas entre nmeros en una base cualquiera.

a) Suma.

En un sistema de base b, para sumar dos nmeros se procede de forma anloga acomo se hace en el sistema decimal.

En cualquier base se usan las mismas reglas ya establecidas para el sistemadecimal.

b) Producto.

Las reglas de la multiplicacin en una base cualquiera son anlogas a las delsistema decimal. Es necesario saber las tablas de multiplicar para los nmeros menoresque la base.

9.3. Sistemas de Numeracin ms utilizados.

El sistema binario (base 2) es el ms utilizado como lenguaje interno de losordenadores (cdigo mquina). Los smbolos que utiliza son 0 y 1.

Debido a la cantidad de dgitos que se requieren para representar en binario lainformacin en un ordenador, se recurre a usar los sistemas octal y hexadecimal.

El sistema octal es el sistema de numeracin en base 8 y utiliza por tanto ochosmbolos para representar las cantidades. Los smbolos utilizados son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y7. Cada cifra octal corresponde a tres dgitos binarios.

El sistema hexadecimal es el sistema de numeracin en base 16 y utiliza dieciseissmbolos para representar las cantidades. Los smbolos utilizados son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Cada cifra hexadecimal corresponde a 4 dgitos binarios.

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Bibliografa.

Matemticas Bsicas, curso de acceso. UNEDEstructura y tecnologa de Computadores I. UNED.Anlisis Matemtico I. Aut: J. A. Fernndez ViaAnlisis Matemtico. Aut. Julio Rey Pastor, Pedro Pi, Cesar Trejo. Ed. KapeluszAnlisis Matemtico I. Aut. Jess Fernndez Novoa. Ed. UNED

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TEMAS DE MATEMTICAS(OPOSICIONES DE SECUNDARIA)

TEMA 2

FUNDAMENTOS Y APLICACIONES DE LA TEORIA DE GRAFOS.DIAGRAMAS EN ARBOL.

1. Introduccin.2. Definicin de grafo.

2.1. Grafo Simple.2.2. Grafo General.2.3. Grafo Orientado.2.4. Grafo Nulo.2.5. Grafo Completo.2.6. Grafo Regular.2.7. Grafo Bipartido.

3. Operaciones entre Grafos.3.1. Isomorfismos y homomorfismos.3.2. Combinaciones.3.3. Supresiones y Contracciones.3.4. Complementos.

4. Trayectorias. Grafos Eulerianos y Hamiltonianos.4.1. Trayectorias.4.2. Los puentes de Knigsberg.4.3. Grafos Eulerianos.4.4. Grafos Hamiltonianos.

5. Matrices y Grafos.5.1. Matriz de Adyacencia.5.2. Matriz de Incidencia.

6. Planaridad y dualidad.6.1. Grafos Planares.6.2. Grafos Duales.

7. Diagramas en rbol.7.1. La enumeracin de rboles.

8. Coloreado de Grafos.9. Aplicaciones de la teora de Grafos.

9.1. El teorema matrimonial de Hall.9.2. El teorema de Menger.9.3. La teora de matroides.

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TEMA 2

FUNDAMENTOS Y APLICACIONES DE LA TEORIA DE GRAFOS.DIAGRAMAS EN ARBOL.

1. INTRODUCCIN.

La teora de grafos, que naci como una rama de la Topologa, se ha convertido hoyen da en una herramienta matemtica indispensable en campos tan diversos como lainvestigacin operativa, la lingstica, la qumica, la fsica, la gentica, la teora de redeso la teora de la decisin.

Es por ello, que para casi cualquier rama de la ciencia, se hace indispensable elconocimiento, a travs de conceptos globales, de las ideas bsicas que sustentan a ladenominada teora de grafos.

Este tema tiene por objetivo introducir al lector en estos conocimientos bsicos atravs de una breve pero, esperamos, clara exposicin de las lneas generales de estateora.

2. DEFINICIN DE GRAFO.

Se denomina grafo G al par (V(G), E(G)), en el que V(G) es un conjunto no vacode elementos denominados vrtices (tambin llamados nodos o puntos) y E(G) es unconjunto finito de pares no ordenados de elementos de V(G) denominados aristas(igualmente lneas). Al conjunto de elementos de V(G) se le denomina conjunto devrtices y al conjunto de elementos de E(G) conjunto de aristas.

As, sea el conjunto de vrtices V(G)={u, v, w, z} y el conjunto de aristasE(G)={{u, v}, {u, w}, {w, z}}, se dice que {u, v} es la arista que une los puntos u y v, yse le designa de forma abreviada por uv. Si u=v la arista recibe el nombre de lazo. Larepresentacin de dicho grafo es la siguiente:

Se dice que dos vrtices u y w de un grafo G sonadyacentes si el grafo contiene una arista que los une.Se dice tambin que los vrtices son incidentes endicha arista. Anlogamente, se dice que dos aristasson adyacentes si tienen, al menos, un vrtice encomn.

Se denomina grado de un vrtice v de G al nmero de aristas que inciden en v, y sedesignar g(v) (un lazo en v contribuye de manera doble al grado de v). A un vrtice degrado 0 se le denomina vrtice aislado. A un vrtice de grado 1 se le denomina vrticeterminal o extremo.

Un subgrafo de un grafo G, es un grafo cuyos vrtices pertenecen a V(G) y cuyasaristas pertenecen a E(G).

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En los siguientes apartados de este punto se expone la tipologa ms comn de losgrafos.

2.1. Grafo Simple.

Se denomina grafo simple al grafo G={V(G), E(G)} que verifica que para todo u, vperteneciente a V(G), existe a lo sumo una nica arista {u, v} de E(G) que los une.

Grafo Simple [u, vV(G) !{u, v}E(G)]

Ejemplos de grafos simples seran los siguientes:

2.2. Grafo General.

Se denomina grafo general o simplemente grafo, al grafo G=(V(G), E(G)), conV(G) conjunto de vrtices y E(G) conjunto de aristas.

De esta forma, un grafo general puede representar dos vrtives unidos por ms deuna arista. Igualmente, una arista no tiene porque unir dos vrtices diferentes,pudindose hablar de la arista {u, u}. A la arista que une un vrtice consigo mismo se ledenomina Lazo.

La representacin grfica de estetipo sera:

2.3. Grafo Orientado.

Un grafo orientado D, tambin denominados redes o digrafos, se define como unpar (V(D), A(D)), donde V(D) es un conjunto finito no vaco de elementos llamadosvrtices, y A(D) es una familia finita de pares ordenados de elementos de V(D)llamados arcos (o aristas orientadas o di-aristas). En base a la existencia o no de lazos,podremos hablar de digrafos generales o digrafos simples.

A continuacin se muestra el diagrama del digrafo general (V(D), A(D)), conV(D)={u, v, w, z} y A(D)={uv, vv,uw, vw, wv, wu, wz}

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2.4. Grafo Nulo.

Se denomina grafo nulo a un grafo dondeE(G) es vaco, es decir, el conjunto de aristases el conjunto vaco. Obviamente en este tipode grafo todo vrtice es aislado.

2.5. Grafo Completo.

Un grafo completo es un grafo simple enel que cualquier par de vrtices sonadyacentes. Un grafo completo de n vrticestiene 2

)1(2

=

nnn aristas. El resultado se

obtiene por combinaciones de n vrticestomados de dos en dos.

2.6. Grafo Regular.

Se llama grafo regular a un grafo cuyos vrtices tienen todos el mismo grado. Si elgrado de cada vrtice es r, se tiene un grafo regular de grado r.

Todo grafo nulo es un grafo regular de grado 0. Todografo completo con n vrtices es un grafo regular degrado n-1.

Especial mencin merece un tipo de grafo regular llamado grafo platnico, grafosformados por los cinco slidos regulares (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro eicosaedro).

2.7. Grafo Bipartido.

Sea un grafo G y sea su conjunto de vrticesV(G) que puede ser expresado como la unin disjuntade dos subconjuntos de vrtices V1 y V2 de forma quecada arista de G une un vrtice de V1 con otro de V2,entonces se dice que G es un grafo bipartido y seescribe G(V1, V2).

3. OPERACIONES ENTRE GRAFOS.

3.1. Isomorfismo y Homomorfismo.

Se dice que dos grafos G1 y G2 son isomorfos si existe una correspondenciabiunvoca entre los vrtices de G1 y los de G2, con la propiedad de que el nmero dearistas que unen cada dos vrtices de G1 es igual al nmero de aristas que unen losvrtices correspondientes de G2.

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Veamos el ejemplo siguiente, donde G1 tiene el conjunto de vrtices {u, v, w, x, y,z} y G2 tiene {l, m, n, p, q, r}. G1 y G2 son isomorfos bajo la correspondencia ul,vm, wn, xp, yq, zr

Dos grafos son homomrficos (o idnticos salvo vrtices de grado 2) si ambospueden ser obtenidos a partir del mismo grafo insertando nuevos vrtices de grado dosen sus aristas.

Ejemplo: Sea el grafo G representado por el siguiente diagrama:

G(V(G), E(G))V(G)={v1, v2, v3, v4}E(G)={v1v2, v1v3, v3v2, v2v4}

Construimos dos grafos homomrficos entre s G1 y G2 a partir del anterior grafo G.Para ello, y partiendo de G, tomamos algunas de sus aristas y le insertamos un vrticede grado dos.

Construimos G1:

Sea la arista v1v2 del grafo G,insertamos un nuevo vrtice v de grado2, de tal forma que el grafo G1resultante sera:

De igual manera construimos G2:

Sea la arista v1v3G, insertamos elvrtice v de grado 2 de tal forma queel grafo resultante G2 es:

Se concluye que G1 y G2 son homomrficos.

3.2. Combinaciones.

Sean dos grafos G1=(V(G1); E(G1)) y G2=(V(G2), E(G2)) con V(G1) y V(G2)disjuntos. Se define el grafo unin como G1G2 tal que G1G2=(V(G1)V(G2), E(G1),E(G2)).

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Se dice que un grafo es conexo si no puede ser expresado como la unin de dosgrafos, en caso contrario ser inconexo. Cualquier grafo inconexo G puede verseexpresado como la unin de un conjunto finito de grafos conexos.

Un grafo circuito es un grafo conexo regular de grado dos. El grafo circuito de nvrtices es designado Cn.

Igualmente, sean los grafos G1 y G2, se define el grafo suma, y se denota por G1+G2como la unin de ambos grafos, trazndose a continuacin una arista entre cada vrticede G1 y cada vrtice de G2.

Sean los grafos G1=(V(G1), E(G1)) con V(G1)={u, v, w, x, y, z} y G2=(V(G2),E(G2)) con V(G2)={l, m, n} representados de la forma siguiente:

Se representa el grafo G1G2 de la forma:

Y el grafo G1+G2 como:

3.3. Supresiones y Contracciones.

Sea F un conjunto de aristas del grafo G, se denomina G-F al grafo que se obtienecuando se suprime en G el conjunto de aristas F.

Anlogamente, sea H un conjunto de vrtices del grafo G, se denomina G-H al grafoque resulta cuando se suprimen en G los vrtices que hay en H y las aristas que incidenen ellos.

Sea el grafo G y en l la arista e, se denomina G/e al grafo obtenido de contraer enl la arista e, es decir, eliminar la arista, identificando a continuacin sus extremos v yw, de forma que el vrtice resultante es incidente a aquellas aristas que originalmenteeran incidentes a v y w (excepto la propia arista e). En consecuencia, se llama

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contraccin de G a cualquier grafo que se obtiene a partir de G, despus de efectuarcontracciones de algunas de sus aristas.

Sea el grafo G1=(V(G1),E(G1)) con V(G1)={u, v, w, x}y E(G1)={uu, uv, vw, wu, wx,xv} y sea F={uw, xv}, serepresenta el grafo supresin G-F de la forma siguiente:

3.4. Complemento.

Sea G un grafo simple, cuyo conjunto de vrtices es V(G), el complemento(G) de G(denotado por G ) es el grafo simple que tiene a V(G) como conjunto de vrtices, en elcual dos vrtices son adyacentes si y slo si no son adyacentes en G.

Con el grafo G definido en elapartado anterior, se construye el grafocomplemento de G de la siguienteforma:

4. TRAYECTORIAS. GRAFOS EULERIANOS Y HAMILTONIANOS.

4.1. Trayectorias.

Sea una secuencia de aristas v0v1, v1v2,..., vm-1vm, en la que todas las aristas sondiferentes, entonces se le denomina cola. Si adems los vrtices v0, v1,..., vm, sondiferentes (excepto el primero y el ltimo que pudieran coincidir), la secuencia dearistas resultante se llama trayectoria. Una trayectoria es cerrada si v0=vm, y unatrayectoria cerrada que posee al menos un lado es denominada circuito.

Los siguientes ejemplos ilustran estas definiciones:

Cola:

Trayectoria:

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Trayectoria cerrada:

Al vrtice v0 se le denomina vrtice inicial y al vm vrtice final. La longitud de unasecuencia de aristas es el nmero de aristas que posee.

TEOREMA: Si G(V1, V2) es un grafo bipartido, todo circuito en G tiene longitudpar.

TEOREMA: Sea G un grafo simple de n vrtices, si G tiene k componentes(subgrupos disjuntos) el nmero de aristas de G cumple la siguiente relacin:

)1)((21

+ knknmkn m = nmero de aristas

Se denomina conjunto desconectador de un grafo conexo G al conjunto de aristasde G cuya eliminacin desconecta a G. Un conjunto corte ser un conjuntodesconectador del que ningn subconjunto suyo es un conjunto desconectador.

Sea el grafo G, donde V(G)={v, w, x, y, z} y E(G)={vw, vx, wy, yz, wx, wz, xy,xz}, el conjunto de aristas D={wy, wz, xy, xz} es un conjunto desconectador de G, yaque si en G procedemos a la eliminacin de las aristas de D queda el grafo inconexo quea continuacin se expone.

4.2. Los Puentes de Knigsberg.

En el siglo XVIII, la ciudad de Knigsberg, en Prusia, tena dos islas y siete puentessegn indica la figura:

El alcalde de la ciudad escribi aEuler plantendole la siguiente cuestin:Es posible que una persona cruce lossiete puentes pasando por cada uno deellos una sola vez?

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Euler prob que era imposible lo que el alcalde propona. Sustituy la isla y lasorillas por puntos y los puentes por lneas que unan dichos puntos, obteniendo as elsiguiente grafo:

El grafo ser recorrible si existe uncamino que contenga todos los vrticesy que pase por cada arista exactamenteuna vez.

Supongamos que haya un camino que no empiece ni termine en un vrtice u. Cadavez que el camino llegue a u debe de salir por otro que no haya sido utilizado. De esamanera, las aristas del camino incidentes con u deben aparecer de dos en dos, es decir, ues par. As, si v es impar, el camino debe empezar y terminar en Q.

Basndose en ese razonamiento, se deduce que no puede haber ms de dos vrticesque sean impares. El grafo anterior tiene cuatro vrtices impares, por lo que no esrecorrible.

4.3. Grafo Euleriano.

Se denomina grafo euleriano, a un grafo conexo G que tiene una cola cerrada queincluye todas las aristas de G.

TEOREMA de Euler: Un grafo es euleriano si y slo si cada vrtice es de gradopar. Si tiene exactamente dos vrtices impares es recorrible (la cola no ser cerrada) y sellama semieuleriano.

A continuacin se muestran ejemplos de grafos no eulerianos, semieulerianos yeulerianos respectivamente.

4.4. Grafo Hamiltoniano.

Se denomina grafo hamiltoniano, si existe un camino cerrado que contiene todoslos vrtices una sola vez (no tiene porque contener todas las aristas). Un grafo que poseauna trayectoria que pase a travs de cada vrtice es denominado semihamiltoniano.

Los siguientes ejemplos corresponden a un grafo no hamiltoniano,semihamiltoniano y hamiltoniano respectivamente.

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5. MATRICES Y GRAFOS.

Dado un grafo G con m vrtices y n aristas, podemos asociar matrices a G, muytiles para el clculo.

5.1. Matriz de Adyacencia.

Es la matriz A=(aij) de orden mxm definida por:

= contrariocasoenvaadyacenteesvsika jiij 0

donde k es el nmero de aristas queunen el vrtice vi con el vj

La matriz de adyacencia es muy til para decidir cuestiones de conexin, pues si Aes la matriz de adyacencia de un grafo con m vrtices donde m>1, entonces el trminoaij de la matriz An nos da el nmero de caminos de longitud n que van del vrtice vi alvrtice vj. La demostracin se puede hacer por induccin en n.

5.2. Matriz de Incidencia.

Es la matriz M=(mij) de orden mxm tal que mij es 1 si el vrtice vi es incidente con laarista ej y cero en caso contrario.

6. PLANARIDAD Y DUALIDAD.

6.1. Grafos Planares.

Se denomina grafo planar a un grafo trazado en el plano de forma que ningn par dearistas se cortan geomtricamente, excepto en el vrtice que ambas inciden.

Ejemplos de grafos planares son:

Igualmente se dice que un grafo es planar si puede ser empotrado en el plano, esdecir, dibujado sin cruces.

A continuacin se exponen algunos teoremas y corolarios referentes a la teora degrafos planos.

TEOREMA: El grafo K3,3 (grafo bipartido completo con seis vrtices y nuevearistas) y el grafo K5 (grafo regular de grado cuatro, cinco vrtices y diez aristas) son noplanares.

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La demostracin de este teorema (que omitiremos en este tema dada sucomplejidad) se puede realizar de dos maneras distintas, por el teorema de Jordan o porla frmula de Euler.

TEOREMA de Kuratowski: Un grafo es planar si y slo si no contiene ningnsubgrafo que sea homomrfico a K5 y K3,3.

Frmula de Euler: el teorema o frmula de Euler, relaciona el nmero de vrtices,aristas y caras de un grafo plano conexo G.

Sea un punto del plano x, se dice que x es disjunto de G si x no representa ni unvrtice de G ni un punto que pertenezca a una arista de G. En este contexto, se definecara de G que contiene a x como al conjunto de todos los puntos del plano que puedenser alcanzados desde x siguiendo una curva de Jordan, cuyos puntos sean todosdisjuntos de G.

Dos puntos del plano x e y son equivalentes si ambos son disjuntos de G y puedenser unidos por una curva de Jordan cuyos puntos sean todos disjuntos de G. Estarelacin de equivalencia sobre los puntos del plano disjuntos de G define clases deequivalencia a las que se denominan caras de G.

TEOREMA: Si G es un grafo plano conexo, y sea n el nmero de vrtices, m elnmero de aristas y f el de caras de G, se cumple la siguiente relacin:

n-m+f=2 (vrtices aristas + caras = 2)

dem.

La demostracin de este teorema se hace por la tcnica matemtica de lainduccin, en este caso sobre el nmero de aristas m.

Caso m=0

Sea el nmero de aristas m=0, y dado que G es conexo, se tiene que el nmerode vrtices n=1 y f=1. Por tanto el teorema queda demostrado para m=0.

Caso m-1

Hiptesis de induccin, suponemos ahora el teorema cierto para todos los grafosplanos conexos tales que tiene m 1 aristas: n ( m 1) + (f 1) = 2

Caso m

Sea ahora G un grafo planar conexo, y e una arista contenida en algn circuitode G. Entonces G e es un grafo planar conexo con n vrtices, m 1 aristas y f 1caras, de forma que G e verifica:

n ( m 1) + (f 1) = 2 por la hiptesis de induccin.

De aqu se desprende que G cumple el teorema: n m + f = 2.

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COROLARIO: Si G es un grafo plano con n vrtices, m aristas, f caras y kcomponentes, se cumple que:

n m + f = k +1

COROLARIO: Si G es un grafo planar conexo simple de n vrtices (n3) y maristas, se cumple m 3n 6.

TEOREMA: Todo grafo planar simple contiene un vrtice cuyo grado es a lo sumocinco.

dem.

Se supone, sin prdida de generalidad, que el grafo es plano y conexo, y quecontiene al menos tres vrtices. Si todo vrtice tuviera grado 6 como mnimo, setendra que 6n2m, con lo que se llega a una contradiccin. Por tanto se tiene que elgrado es a lo sumo de cinco.

6.2. Grafos Duales.

Sea G un grafo plano, se llama grafo dual de G y se denota por G*, aquel construidode la siguiente manera:

a) Se elige un punto vi en cada cara Fi de G. Estos puntos son los vrtices de G*.

b) Por cada arista eG se traza una lnea e* que atraviesa nicamente la arista e, yse unen los vrtices vi pertenecientes a las caras adjuntas a e. Estas lneas son lasaristas de G*.

A continuacin se ilustra este procedimiento de construccin con un ejemplo:

Como teoremas significativos dentro de la teora de grafos duales, se comentan lossiguientes:

TEOREMA: Si G es un grafo plano de n vrtices, m aristas y f caras, y su dual G*tiene n* vrtices, m* aristas y f* caras, se cumplen las siguientes relaciones:

n* = f m* = m f* = n

dem.

La demostracin de las dos primeras expresiones salen directamente a partir dela aplicacin de la definicin de dualidad. Para demostrar la tercera expresin, se hade sustituir las dos primeras en la denominada frmula de Euler.

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7. DIAGRAMAS EN RBOL.

La teora de rboles fue enunciada y elaborada por Cayley.

Un grafo que no posee ningn circuito se denomina bosque, si adems es un bosqueconexo, se denomina rbol.

Como ejemplos representativos derboles se tienen los siguientes:

Algunas de las propiedades caractersticas de los rboles son las siguientes:

TEOREMA: Sea T un grafo con n vrtices. Los siguientes enunciados sonequivalentes:

1) T es un rbol.2) T no contiene ningn circuito, y posee n 1 aristas.3) T es conexo y tiene n 1 aristas.4) T es conexo y cada arista es un istmo.5) Cada dos vrtices de T estn conectados por una nica trayectoria.6) T no contiene ningn circuito, pero la adicin de cualquier nueva arista crea

exactamente un circuito.

dem.

Si n = 1 los seis enunciados son triviales. Supondremos, por tanto, que n2.

Para la demostracin del teorema, demostraremos las implicacionesconsecutivas, es decir, 1) 2) 3) 4) 5) 6) 1).

1) 2)

T es rbol y por definicin no contiene ningn circuito. Esto conlleva quela eliminacin de cualquier arista va a dividir a T en dos grafos. Cada uno deestos grafos es un rbol. Por ello, y por induccin, el nmero de aristas en cadauno de los rboles es menor, en una unidad, que el nmero de vrtices que tieneel grafo total. Por tanto, el nmero total de aristas de T es n 1.

2) 3)

Si T fuera inconexo, entonces cada componente de T sera un grafoconexo sin ningn circuito y, por tanto, segn se ha demostrado antes, el nmerode vrtices de cada componente excedera en 1 del nmero de aristas. Por tanto,el nmero total de vrtices de T excedera en al menos 2 del nmero total dearistas. Hemos llegado a una contradiccin, pues T tiene n 1 aristas. Esto esporque se parte de una premisa falsa, es decir, el hecho de que T fuera inconexo.Por tanto T es conexo.

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3) 4)

La eliminacin de cualquier arista dara lugar a un grafo con n vrtices yn 2 aristas, que ser inconexo.

4) 5)

Como T es conexo, se sigue que cada par de vrtices han de estarconectados por al menos una trayectoria. Dados dos vrtices, si estos estuvieranconectados por dos trayectorias, entre ellos habra un circuito, contradiccin conque toda arista es un istmo.

5) 6)

Por reduccin al absurdo, si T tuviese un circuito, cualquier par devrtices incluidos en el circuito estaran conectados por, al menos, dostrayectorias, lo que es una contradiccin con las premisas. Si aadimos unaarista e a T, se crear un circuito ya que los vrtices incidentes a e ya estnconectados en T.

6) 1)

Supongamos que T no es un rbol, por tanto es inconexo. Si le aadimoscualquier arista que una un vrtice de una componente a un vrtice de otra, no secrear ningn circuito. Sin embargo, por el punto 6) se tiene que al aadir unanueva se crea un circuito, por tanto tenemos una contradiccin.

COROLARIO: Un bosque G con n vrtices y k componentes tiene n k aristas.

TEOREMA: Todo rbol G tiene al menos un vrtice de grado 1.

dem.

Sean los vrtices del rbol v1, v2,...,vn. Partiendo de v1 vamos a su vecino v2. Siel grado de v2 es 1, ya est probado el teorema. En cualquier otro caso, vamos alvrtice v3 a travs de otra arista. De esta forma se puede obtener el camino v1v2v3...en el que ninguno de los vi son iguales por la definicin de rbol. Como el nmerode vrtices es finito, el camino tiene un ltimo vrtice vj. Evidentemente, stetendr grado 1, ya que se ha llegado a l y no se puede dejar.

TEOREMA: Existe un nico camino entre dos vrtices cualesquiera v y w de unrbol.

TEOREMA: Sea G un grafo conecto (dos vrtices cualesquiera se encuentranunidos por un camino) de n vrtices y n 1 aristas, entonces es un rbol.

7.1. La enumeracin de rboles.

La enumeracin de grafos tiene por objeto encontrar el nmero de grafos noisomorfos que poseen una propiedad determinada.

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En general, se denomina grafo etiquetado de n vrticesa un grafo a cuyos vrtices se le asignan nmeros enterosde 1 a n, es decir, se trata de una aplicacin biunvoca delconjunto de vrtices de G sobre el conjunto {1, 2, 3,..., n}.El grafo etiquetado se designa (G,&) donde & es eletiquetado.

Ejemplo de rbol etiquetado:

TEOREMA: El nmero de rboles en los cuales el vrtice vi tiene grado di+1, v2tiene grado d2+1,..., vn tiene grado dn+1 viene determinado por el nmero combinatorio:

!!...!)!2(

,...,,2

2121 nn dddn

dddn

=

dem.

Como el grado de cada vrtice es por lo menos 1, di son enteros no negativos. Sise aaden los grados de cada vrtice y se cuentan cada una de las n 1 aristas dosveces, se tiene

(d1+1)+(d2+1)+...+(dn+1) = 2(n 1)

A partir de aqu se tendr la demostracin del teorema.

Ejemplo: Nmero de rboles con grado para el primer vrtice 3, para el segundo 3 ydel tercero al sexto 1.

Como d1=d2=2 y d3=d4=d5=d6=0, entonces el nmero de rboles es6!2!2

!40,0,0,0,2,2

4==

Dichos rboles son:

TEOREMA de CAYLEY: Existen nn 2 rboles etiquetados diferentes de nvrtices.

Existen varios mtodos de demostracin para este teorema. Uno de ellos debidoa Prufer y Clarke, y es:

Se establece una correspondencia biunvoca entre el conjunto de rbolesetiquetados de orden n y el conjunto de todos los smbolos ordenados (a1, a2,..., an-2)

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donde ai est definido como entero entre 1 y n. Dado que existen nnnn (n 2veces) de tales smbolos, la demostracin se tiene casi inmediata.

8. COLOREADO DE GRAFOS.

Se dice que un grafo G sin lazos es k-coloreablesi puede asignarse a cada uno de sus vrtices unode k colores dados de forma que ningn par devrtices adyacentes tengan el mismo color. Si escoloreable de grado k pero no de grado k 1,entonces G es k-cromtico. Como ejemplo, sea elsiguiente grafo 4-cromtico.

TEOREMA: Un grafo G cuyo mximo grado de vrtice es &, entonces es (&+1)-coloreable.

dem.

Utilizaremos la induccin sobre el nmero de vrtices. Si G tiene n vrtices, si sesuprime un vrtice, el mayor grado para ste ser &. Por hiptesis de induccin, estegrafo es (&+1)-coloreable.

TEOREMA: Si G es un grafo simple conexo no completo, si el mayor de losgrados de sus vrtices es & (3), entonces es &-coloreable.

TEOREMA: Todo grafo planar es 5-coloreable.

9. APLICACIONES DE LA TEORA DE GRAFOS.

Son varias las aplicaciones y usos que las distintas ciencias o reas hacen de lateora de grafos. La aplicacin ms importante dentro de la matemtica moderna seencuentra en el campo de la combinatoria.

Veamos algunos de los ejemplos ms importantes:

9.1. El Teorema Matrimonial de Hall.

Sea un conjunto finito de muchachos, cada uno de los cuales conoce a varias chicas.En qu condiciones se pueden formar los matrimonios de tal forma que cada uno de losmuchachos se case con la chica que conoce?

TEOREMA de Hall

Una condicin necesaria y suficiente para la solucin del problema matrimonial esque cada conjunto de k jvenes conozca colectivamente k chicas al menos (1km).

9.2. El teorema de Menger.

Determinacin del nmero de trayectorias que unen dos vrtices dados u, v de ungrafo G.

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TEOREMA de Menger.

El nmero mximo de trayectorias de vrtices disjuntos que conectan dos vrticesdiferentes no adyacentes v y w de G es igual al nmero mnimo de vrtices de unsubconjunto separador vw.

TEOREMA: El teorema de Menger implica el teorema de Hall.

9.3. La teora de Matroides.

Aplicacin de ciertos resultados de la teora de grafos a la teora transversal, dondeaparece el concepto de matroide como un conjunto dotado de una estructura deindependencia.

Bibliografa.

Algoritmos en Grafos y Redes. Aut. Blas Pelegrn, Lzaro Cnovas. Edit. P.P.U.Matemtica Discreta y Combinatoria. Aut. Ralph Grimaldi. Edit. Addison-WesleyIberoamericana.Lecciones de Optimizacin. Aut. Juan Jos Salazar. Edit. Universidad de La LagunaGraphs and Algorithms. Aut. M. Gondron, M. Minoux. Edit. Wiley-Intercience.Algebra y Matemtica Discreta. Aut. J.A. Aledo Snchez, J.C. Valverde Fajardo. Edit.Popular Libros.

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TEMAS DE MATEMTICAS(OPOSICIONES DE SECUNDARIA)

TEMA 3

TCNICAS DE RECUENTO. COMBINATORIA.

1. Introduccin.2. Tcnicas de Recuento.3. Variaciones.

3.1. Variaciones Ordinarias.3.2. Variaciones con Repeticin.

4. Permutaciones.4.1. Permutaciones Ordinarias.4.2. Permutaciones con Repeticin.

5. Combinaciones.5.1. Combinaciones Ordinarias.5.2. Nmeros Combinatorios.5.3. Combinaciones con Repeticin.

6. Combinatoria Clsica y algunas tendencias actuales de la combinatoria.Bibliografa Recomendada.

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TEMA 3

TCNICAS DE RECUENTO. COMBINATORIA.

1. INTRODUCCIN.

El Anlisis Combinatorio, o Combinatoria, estudia las diferentes formas en quepodemos ordenar o agrupar unos elementos dados siguiendo unas determinadas reglasestablecidas. Se prescinde de la naturaleza de los elementos u objetos, pero no delorden. Es por ello que resulta necesario distinguir entre si los objetos del mismoconjunto, ya que no son equivalentes.

La combinatoria nos va a permitir contestar a preguntas del tipo:

Cuntos nmeros de dos cifras se pueden formar con los dgitos 0, 1, 2 y 3? Cuntas clasificaciones distintas se dan entre cinco equipos de futbol?

Resumiendo, la combinatoria nos proporciona algoritmos para averiguar la cantidadde agrupaciones que, bajo determinadas condiciones, se pueden formar con loselementos de un conjunto.

Segn las caractersticas de los grupos y la naturaleza de los elementos, nospodemos encontrar con variaciones, permutaciones y combinaciones.

2. TCNICAS DE RECUENTO.

Las tcnicas de recuento tratan del estudio de las ordenaciones de los elementos deun conjunto.

A lo largo de las distintas situaciones que pueden darse, son dos los tipos deproblemas que nos podemos encontrar. Por un lado tenemos los llamados problemas deexistencia, que analizan la posibilidad de la existencia de las agrupaciones pedidas. Porotro lado, los problemas de enumeracin que nos van a permitir determinar el nmerode clasificaciones posibles.

Las tcnicas de recuento ms utilizadas son:

a) Paridad.

Esta tcnica nos permite resolver los problemas de existencia nombradosanteriormente. Un conjunto puede tener un nmero par o impar de elementos. Siprobamos que tiene un nmero impar, estamos en condiciones de afirmar que almenos hay uno. Quedara as demostrada su existencia.

b) Correspondencia uno a uno.

Tcnica utilizada para el recuento de elementos dentro de un conjunto. Se tratade conseguir establecer una aplicacin biyectiva entre el conjunto de estudio yuna seccin S(n) de . En caso de que podamos establecerla, diremos que el

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conjunto tiene n elementos, o lo que es lo mismo, el cardinal del conjunto(Card(A)) es n.

c) Regla del producto.

Sea P un conjunto con n elementos y Q otro conjunto con m elementos. Elnmero de elecciones distintas de un elemento de P y otro de Q es mn. Estaregla se puede extender a ms de dos conjuntos. Puede resultar til cuando elconjunto del cual queremos hallar su cardinal no est ordenado o no resultasencillo establecer una biyeccin con alguna seccin de .

3. VARIACIONES.

3.1. Variaciones Ordinarias.

DEF Sea A un conjunto con m elementos, A={a1, a2,, am}. Llamaremos variacionesn-arias (de orden n) de los m elementos del conjunto A a todo conjunto ordenadoformado por n elementos cualesquiera elegidos entre ellos sin elegir ms de una vez unelemento. Consideraremos distintas dos variaciones si difieren en algn elemento o, siteniendo los mismos elementos, difieren en el orden de colocacin de los mismos.

Al nmero de variaciones n-arias formadas por m elementos cualesquiera, lorepresentaremos por Vm,n o nmV

Ejemplo: Si un aula tiene 5 sillas en primera fila y entran 25 nios, De cuntas formasdistintas podemos componer esa primera fila?

Sol:

Aqu nos encontramos con variaciones ordinarias de 25 elementos tomados de 5en 5. Sera V25,5 o 525V

Veamos ahora como podemos calcular ese nmero.

PROP El nmero de variaciones n-arias o de orden n que se pueden formar con mobjetos cualesquiera, es igual al nmero de variaciones de orden n-1 que se puedenformar con los m objetos multiplicando por m-n+1.

Vm,n = (m-n+1)Vm,n-1dem.

Sea A el conjunto formado por los m elementos A={a1, a2,, am}. Vamos arealizar la demostracin por induccin en n.

Para n=1 Est claro que existen m formas diferentes de elegir 1 slo elementoentre m. Luego Vm,1=m

Para n=2 Para conseguir todas las variaciones de orden 2 basta aadir a las deorden 1 un nuevo elemento del conjunto A elegido entre los m-1 no

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usados. Como para la eleccin del primer elemento tenemos m objetos ypara elegir el segundo m-1, segn la regla del producto, obtendremosm(m-1) variaciones binarias. Luego Vm,2=m(m-1) que es lo mismo queVm,2=Vm,1(m-1)

Supongamos cierto para n-1

Para n Anlogo al caso n=2. Para conseguir todas las variaciones de orden nbasta aadir a las variaciones de orden n-1 un nuevo elemento delconjunto A elegido entre los m-n+1 no utilizados. Por tanto Vm,n=Vm,n-1(m-n+1)

PROP El nmero de variaciones de orden n de m elementos es

Vm,n=m(m-1)(m-2)(m-n+1)dem.

Como por la proposicin anterior tenemos que

Vm,n=Vm,n-1(m-n+1) Variaciones n-ariasVm,n-1=Vm,n-2(m-n+2) Variaciones (n-1)-arias Vm,2=Vm,1(m-1) Variaciones binariasVm,1=m Variaciones unitarias.

Sustituyendo reiteradamente obtenemos:

Vm,n=m(m-1)(m-2)(m-n+1)

Ejemplo: Dados cuatro amigos: Juan, David, Ivan y Alberto, deciden hacer untorneo de Ping-Pong. Obtener las diferentes clasificaciones que se pueden dar para lostres primeros puestos.

Para obtener las variaciones de orden 3 siguiendo el mtodo de la proposicin,hay que obtener primero las de orden 2. Y para conseguir stas, hemos de partir de lasde orden 1.

Variaciones deorden 1

Variaciones de orden 2 Variaciones de orden 3

Juan, David, IvanJuan, David Juan, David, AlbertoJuan, Ivan, DavidJuan, Ivan Juan, Ivan, AlbertoJuan, Alberto, David

Juan

Juan, Alberto Juan, Alberto, IvanDavid, Juan, IvanDavid, Juan David, Juan, AlbertoDavid, Ivan, Juan

David

David, Ivan David, Ivan, Alberto

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David, Alberto, JuanDavid, Alberto David, Alberto, IvanIvan, Juan, DavidIvan, Juan Ivan, Juan, AlbertoIvan, David, JuanIvan, David Ivan, David, AlbertoIvan, Alberto, Juan

Ivan

Ivan, Alberto Ivan, Alberto, DavidAlberto, Juan, DavidAlberto, Juan Alberto, Juan, IvanAlberto, David, JuanAlberto, David Alberto, David, IvanAlberto, Ivan, Juan

Alberto

Alberto, Juan Alberto, Ivan, David4 43 432M m(m-1) m(m-1)(m-2)

PROP Sean los conjuntos A=S(n) (con S(n)={1, 2, , n}) y B={b1, b2,,bm} tal queCard(A)=n y Card(B)=m con 1nm. El nmero de aplicaciones inyectivas entre A y Bcoincide con el nmero de variaciones de orden n de m elementos.

dem.

Recordemos que f:AB en inyectiva siempre que se verifique que a1,a2Acon a1a2 f(a1)f(a2).

Es decir, a elementos distintos en A, imgenes diferentes en B.

Vamos a realizar la demostracin por induccin en Card(A)=n

Para n=1 f:{1}{b1, b2,,bm}.Podemos tomar como imagen del 1, f(1)=bi con i:1,,mPor tanto obtenemos m aplicaciones inyectivas diferentes.Nmero de aplicaciones inyectivas = m = Vm,1

Hiptesis de induccin. Sea f:{1, 2, , n-1}{b1, b2,,bm} Inyectivas.Supongamos que el nmero de aplicaciones f inyectivas es Vm,n-1.

Para n tenemos f:{1, 2, , n}{b1, b2,,bm} inyectiva.Para calcular su nmero basta tener en cuenta que las imgenes deelementos {1, 2, ,n-1} se pueden elegir de Vm,n-1 maneras distintas(hiptesis de induccin) y que una vez elegidas estas imgenes quedan enel conjunto B m-(n-1) elementos que no son imagen de ningn elementodel conjunto {1, 2, , n-1}. Por tanto, la imagen del elemento n se puedeelegir de m-n+1 formas distintas. Luego el nmero de aplicacionesinyectivas f distintas sera Vm,n-1(m-n+1) que es lo mismo que Vm,n.

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3.1 Variaciones con Repeticin.

DEF Dado un conjunto A con m elementos, A={a1, a2,, am}, llamamos variacionescon repeticin n-arias a los distintos conjuntos ordenados que se pueden formar con nelementos, considerando que cada elemento puede figurar cualquier nmero de veces enuna misma variacin.

Al nmero de variaciones con repeticin n-arias que se pueden formar con melementos se representa por VRm,n.

PROP El nmero de variaciones con repeticin n-arias que se pueden formar com mobjetos cualesquiera es igual al nmero de variaciones con repeticin de orden n-1 quese pueden formar con m objetos, multiplicando por m.

VRm,n=VRm,n-1mdem.

La demostracin es anloga a la de variaciones ordinarias. Vamos a realizar lademostracin por induccin en n.

Para n=1 Trivialmente VRm,1=m

Para n-1 Por hiptesis de induccin VRm,n-1=VRm,n-2m

Para n Supongamos ya formadas las variaciones con repeticin de orden n-1.Para obtener las variaciones con repeticin de orden n bastar con aadira cada una de ellas un elemento cualquiera de entre los m quedisponemos. As, por cada variacin con repeticin de orden n-1obtenemos m variaciones con repeticin de orden n. Las variaciones n-arias as formadas son todas, ya que si hubiera una que no estuviese,quitndole el ltimo elemento obtenemos una (n-1)-aria y como elelemento est entre los m a elegir, llegamos a una contradiccin. Portanto, podemos afirmar que VRm,n=VRm,n-1m

PROP El nmero de variaciones con repeticin de orden n de m elementos esVRm,n=mn.

dem.

Aplicando el resultado obtenido en la proposicin anterior:

VRm,1=mVRm,2=VRm,1mVRm,n=VRm,n-1m

Al final, sustituyendo en la expresin inferior la anterior a ella, obtenemosVRm,n=mn

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Ejemplo. Dados cuatro amigos, Juan, David, Ivan y Alberto, deciden jugar dos torneosde Ping-Pong. Obtener los posibles campeones de ambos torneos.

En este caso hemos de calcular las variaciones con repeticin de 4 elementostomados de 2 en 2. Aplicando el procedimiento constructivo de la proposicin anteriortenemos:

VR de orden 1 VR de orden 2Juan, JuanJuan, DavidJuan, IvanJuanJuan, AlbertoDavid, JuanDavid, DavidDavid, IvanDavidDavid, AlbertoIvan, JuanIvan, DavidIvan, IvanIvanIvan, AlbertoAlberto, JuanAlberto, DavidAlberto, IvanAlbertoAlberto, Alberto

PROP Sean los conjuntos A=S(n) y B={b1, b2,,bm} tal que Card(A)=n y Card(B)=m.El nmero de aplicaciones entre A y B coincide con el nmero de variaciones conrepeticin de m elementos de orden n VRm.n.

dem.

Vamos a realizar la demostracin contando el nmero de aplicaciones distintas.

Sea f: {1, 2, , n} {b1, b2,,bm} aplicacin.

Para 1A, el nmero de posibles imgenes, f(1), puede ser m, ya que f(1)=bjpara algn j: 1, , m.

Para 2A, tenemos que f(2) puede tambin tomar como valor cualquier bj conj:1, , m. Al no requerir para f la inyectividad, podemos permitir que 1 y 2 tengan lamisma imagen.

Lo mismo podemos decir para el resto de elementos de A. Por tanto f(i)=bj coni:1,,n y j:1,,m

Como cada elemento de A tiene m posibilidades de elegir la imagen y A tiene nelementos, resulta mn formas distintas de elegir las imgenes para todos los elementosde A.

8/18

El nmero total de aplicaciones entre A y B es mn=Card(B)Card(A) y mn=VRm,n.

4. PERMUTACIONES.

4.1. Permutaciones Ordinarias.

DEF Llamaremos permutaciones ordinarias de n elementos a las variaciones de nelementos de orden n. Lo representaremos por Pn.

Las permutaciones ordinarias son un caso particular de las variacionesordinarias.

OBS Dado un conjunto A={a1, a2, , an}, dos permutaciones de los elementos de Aslo se diferencian en el orden de colocacin de sus elementos ya que todas estarnformadas por todos ellos.

DEF Sea n. Se llama factorial de n, y se representa por n!, al producto de los nprimeros nmeros naturales, comenzando en el 1.

n!=n(n-1)(n-2)321

DEF Definimos el factorial de 0 como 0!=1.

PROP Se verifica:1) n!(n+1) = (n+1)!2) n!(n+1)(n+2)m = m! con m>n

dem.

Inmediata a partir de la definicin.

Con esta nueva notacin podemos expresar las variaciones de m elementos deorden n de la siguiente manera:

)!(!

, nmmV nm

=

PROP El nmero de permutaciones de n elementos es n!.

dem.

Por definicin de permutaciones tenemos que

!!0!

)!(!

, nn

nnnVP nnn ==

==

Veamos ahora un mtodo constructivo para formar permutaciones:

PROP Sea el conjunto A={a1, a2, , an}. Supongamos formadas todas laspermutaciones con los n-1 elementos primeros. Para obtener todas las permutaciones de

9/18

orden n, tomaremos el elemento an, y en cada una de las permutaciones de orden n-1colocaremos el elemento an de todas las formas posibles.

dem.

Vamos a realizar la demostracin por induccin en n.

Para n=1 A={a1}. Como el conjunto A consta de un solo elemento, existir unasola permutacin P1=1!=1

Para n=2 A= {a1, a2}. Dada la nica permutacin de orden 1, para obtener las deorden 2 tendremos que colocar a2 en todas las posiciones posibles conrespecto a a1: a1a2 y a2a1. P2=2!=2

Para n=3 Igualmente, partiendo de las dos permutaciones de orden 2, colocaremosa3 en todos los lugares posibles:

a1a2 a1a2a3 a1a3a2 a3a1a2a2a1 a2a1a3 a2a3a1 a3a2a1P3=3!=6

Para n Repetimos el proceso anterior. Partiendo de una permutacin de orden n-1, colocamos an en todos los lugares posibles, que son n sitios distintos.Luego por cada permutacin de orden n-1 obtenemos n de orden n.

Pn=Pn-1n=(n-1)!n=n!Comprobemos que son todas.Sea a1a2an una permutacin cualquiera de orden n. Eliminando elelemento a1 obtenemos una permutacin de orden n-1. Sabiendo loanterior, si tenemos dos permutaciones de orden n que proceden de lamisma permutacin de orden n-1, al eliminar an obtendramos lapermutacin de orden n-1 de la que parten. Luego para que laspermutaciones de orden n-1 sean distintas, tienen que diferir en el lugarde colocacin de an.

Para la proposicin siguiente hemos de tener en cuenta este resultado, que novamos a demostrar.

LEMA Dados dos conjuntos finitos y no vacios A y B, que tienen el mismocardinal (Card(A)=Card(B)=n con n), se verifica para f: A B que f es biyectiva siy slo si es inyectiva.

PROP Sean A y B dos conjuntos finitos y con el mismo cardinal n. El nmero deaplicaciones biyectivas f: A B coincide con el nmero de permutaciones de orden n.

dem.

Por el resultado anterior, al ser A y B finitos y con el mismo cardinal n, elnmero de aplicaciones biyectivas entre A y B coincide con el nmero de aplicacionesinyectivas entre los mismos conjuntos. Pero ese nmero coincide con las variaciones deorden Card(A) de Card(B) elementos. Pero como ambos cardinales son iguales, esas

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variaciones son permutaciones de orden n. Por tanto obtenemos como resultado lo quequeramos probar.

Con este resultado podemos dar una nueva definicin de permutacin.

DEF Sea A={a1, a2, , an}, un conjunto con n elementos, n. Llamaremospermutacin de los elementos del conjunto A a cada una de las biyecciones del conjuntoA en si mismo.

DEF Dadas dos permutaciones distintas p1 y p2 de los elementos del conjunto A={a1,a2, , an}, diremos que los elementos ai y aj forman inversin en la permutacin p1 conrespecto a p2 si el orden en el que figuran en ambas es inverso. En caso contrario se diceque forman permanencia.

Ejemplo. Sea A={a1, a2, a3, a4, a5} y sean dos permutaciones p1=a1a4a3a2a5 yp2=a1a2a3a5a4

Pares que forman inversin: (a4, a3), (a4, a2), (a4, a5), (a3, a2)Pares que forman permanencia: (a1, a4), (a1, a3), (a1, a5), (a3, a5), (a2, a5)

DEF Se llama ndice de la permutacin pi con respecto a la permutacin pj al nmerototal de inversiones de la primera con respecto a la segunda.

DEF Se dice que dos permutaciones son de la misma clase cuando el ndice de una deellas con respecto a la otra es cero o nmero par.

DEF Una permutacin es de Clase Par cuando el nmero de inversiones de sta conrespecto a otra, tomada como referencia, es cero o un nmero par. En caso contrario sedice que es de Clase Impar.

OBS Suele ser comn tomar como permutacin de referencia aquella que sigue elorden de los nmeros naturales.

DEF Se llama Caracterstica de una permutacin con respecto a otra al nmero (-1)isiendo i el ndice de la primera permutacin con respecto a la segunda.

DEF Si en una permutacin se cambian entre s dos elementos cualesquiera paraobtener una nueva permutacin, se dice que se ha efectuado una trasposicin.

PROP Si dada una permutacin, realizamos una trasposicin, la nueva permutacincambia de clase con respecto a la primera.

dem.

Caso 1: Los elementos que permutamos son consecutivos.

Supongamos que la permutacin ya tiene k inversiones con respecto a lade referencia. Si entre los elementos que permutamos ya haba inversin, stadesaparece, quedando k-1 inversiones. Si no la haba, generamos una nueva,quedando k+1 inversiones. En ambos casos, al variar slo en una unidad el

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nmero de inversiones, la clase de la nueva permutacin es par si la inicial eraimpar o al revs.

Caso 2: Los elementos que permutamos no son consecutivos.

Sea la permutacin (, ai, , aj, ). Queremos intercambiar ai y ajsabiendo que entre ellos hay k elementos.

Realizando k+1 inversiones situamos aj inmediatamente antes de ai (,aj, ai, ).

Realizando k inversiones situamos ai en el sitio inicial de aj volviendo asituar entre ambos k elementos.

En total hemos realizado 2k+1 inversiones.Si la permutacion inicial ya tuviese m inversiones con respecto a la de

referencia, la nueva permutacin tendra m+2k+1 inversiones.Si m es par m+2k+1 es imparSi m es impar m+2k+1 es parEn cualquier caso, la permutacin cambia de clase.

OBS Dado el conjunto A={a1, a2, , an}, existe el mismo nmero de permutacionesde clase par que de impar.

4.2. Permutaciones con Repeticin.

DEF Llamaremos permutaciones de n elementos entre los que hay r1 iguales entre s,r2 iguales entre s, , rp iguales entre s con r1+r2++rp = n a los distintos conjuntosordenados que se pueden formar con los n elementos entre los que figuran repetidos r1,r2, , rp elementos. Se denotar por prrrnP ,...,, 21 .

OBS Consideraremos distintas dos permutaciones cuando difieran en el orden decolocacin.

PROP El nmero de permutaciones distintas que se pueden formar con n elementosdonde existe uno de ellos repetido r veces es !

!rnPrn = .

dem.

Sean a1, a2, , an los n elementos de los cuales a1, a2, , ar con r

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Tendremos !!

rn clases o, lo que es lo mismo, !

!rn permutaciones distintas.

Entonces !!

rnPrn = .

PROP El nmero de permutaciones distintas que se pueden formar con n elementosdonde existen r1 elementos iguales entre s, r2 iguales entre s, y rp iguales entre s es

nrrrconrrr

nP pp

rrrn

p =+++= ...!!...!!

2121

,...,, 21

dem.

Realizando el mismo razonamiento que en la proposicin anterior, tendremosque intercambiando entre s el elemento que se repite ri veces (i:1,..,p) obtendremos ri!permutaciones iguales. Por tanto, el nmero de permutaciones totales tendr que serdividido por ri! i:1,,p para obtener el nmero de permutaciones distintas que hay.Dividir n! por r1!, y luego por r2! y as sucesivamente hasta llegar a rp! es lo mismo quedividir n! por el producto de los ri!. Queda, por tanto, lo que queramos demostrar.

PROP El nmero de permutaciones con repeticin del conjunto B={b1, b2, , bp} conel elemento bi repetido ri veces i: 1, , p coincide con el nmero de aplicacionessuprayectivas f:S(n) B verificando que cada bi tiene ri antiimgenes y quen=r1+r2++rp

5. COMBINACIONES.

5.1. Combinaciones Ordinarias.

DEF Dado un conjunto A={a1, a2, , an} de n elementos, llamaremos combinacionesde n elementos tomados de k en k a todos los subconjuntos de k elementos que sepueden formar con los n elementos. Consideraremos dos combinaciones diferentescuando los conjuntos que las forman sean distintos, es decir, cuando difieran en algnelemento. Las representaremos por Cn,k.

OBS En las combinaciones, al igual que en los conjuntos, no influye el orden de suselementos. Por tanto, consideraremos a partir de ahora que los elementos de lossubconjuntos estn en el mismo orden que los del conjunto inicial.

PROP Dado el conjunto A={a1, a2, , an}, obtendremos las combinaciones de kelementos a partir de las de k-1 elementos, sin ms que colocar, uno a uno, todos loselementos que siguen, segn el orden del conjunto A, al ltimo de la combinacin dek-1 elementos considerada.

dem.

Para k=1 Son las combinaciones de n elementos tomadas de uno en uno o, pordefinicin, los subconjuntos de un elemento. Como hay n sunconjuntosdistintos de 1 elemento, ser n el nmero de combinaciones Cn,1.

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Para k=2 Son las combinaciones de n elementos tomados de 2 en 2. Paraobtenerlas, partimos de las combinaciones unitarias y agregamos a cadaelemento, uno a uno, los siguientes a l.A partir de {a1} {a1, a2}, {a1, a3}, , {a1, an}A partir de {a2} {a2, a3}, {a2, a4}, , {a2, an}Y as sucesivamente.

El mismo proceso se sigue para obtener las combinaciones de n elementos de ken k.

A partir de {a1, a2, , ak-1} {a1, a2, , ak-1, ak}, {a1, a2, , ak-1, ak+1}

PROP El nmero de variaciones de orden k que se pueden formar con n elementos,A={a1, a2, , an}, es igual al nmero de combinaciones k-arias que se pueden formarcon los n elementos, multiplicando por el nmero de permutaciones de orden k, con1kn.

Vn,k = Cn,k Pkdem.

La demostracin es evidente sin ms que tener en cuenta que a partir de cadacombinacin (conjunto no ordenado de k elementos) obtenemos k! conjuntos ordenadosescribiendo sus elementos de todas las formas posibles (permutaciones de k elementos).As conseguimos todas las variaciones de n elementos tomados de k en k (recordemosque la definicin de variacin nos deca que eran subconjuntos de k elementosordenados).

COROLARIO El nmero de combinaciones de n elementos tomados de k en k es

)!!(!

, knknC kn

=

dem.

Segn la proposicin anterior Vn,k = Cn,k Pk

Por tanto )!!(!

!)!(

!,

, knkn

kkn

n

PVC

k

knkn

=

==

5.2. Nmeros Combinatorios.

DEF A los nmeros )!!(!

knkn

se les llama nmeros combinatorios. Se representan

por

kn y se lee n sobre p. El nmero n recibe el nombre de base y el nmero p de

orden.

OBS Segn esta nueva notacin

= k

nC kn, .

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PROP 110 =

=

nnyn

dem.

1!1!

)!0!(0!

0 ===

nn

nnn

1!0!!

)!!(!

==

=

nn

nnnn

nn

PROP

=

kn

knn

dem.

=

=

=

kn

kknn

knnknn

knn

!)!(!

))!()!((!

PROP nnnynn =

=

11

dem.

nnnn

nnn

=

=

=

)!1(1)!1(

)!1!(1!

1

y por la proposicin anterior nnnn

=

=

11

PROP

+

=

kn

kn

kn 1

11

dem.

=

+

=

+

+

=

+

)!!())!(1(

)!!()!1(

)!1!()!1(

)!11)!(1()!1(1

11

knkknn

knkkn

knkn

knkn

kn

kn

[ ]

=

=

+=

+= k

nknk

nknk

knknknk

knnkn)!!(

!)!!(

)()!1()!!(

))!(1()!1(

15/18

PROP

+

++

+

+

=

11

1...13

12

11

kk

kk

kn

kn

kn

kn

dem.

Aplicando el resultado de la proposicin anterior, tenemos

+

=

kn

kn

kn 1

11

+

=

kn

kn

kn 2

121

+

=

kn

kn

kn 3

132

+

=

+

kk

kk

kk

11

Si sumamos miembro a miembro todas las ecuaciones anteriores, y teniendo encuenta que

=

kk

kk

11 obtenemos la frmula a demostrar.

OBS Si escribimos por filas los nmeros combinatorios, situando en cada fila los quetengan la misma base y en la fila de debajo los de base una unidad mayor, resultar quecada nmero combinatorio es suma de los dos que tiene encima de l (aplicando lapenltima proposicin) quedando de la siguiente manera:

11

01

22

12

02

33

23

13

03

Los nmeros combinatorios de los extremos, segn la primera proposicin,valen 1.

Esta distribucin en forma de tringulo recibe el nombre de tringulo deTartaglia (en honor de Ncola de Fontana, que lo llamaban Tartaglia debido a sutartamudez), siendo tambin conocido como tringulo de Pascal.

Sustituyendo los nmeros combinatorios por sus valores, quedara

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1 11 2 1

1 3 3 1

A partir del tringulo de Tartaglia, obtenemos los coeficientes del desarrollo dela potencia del binomio (a+b)n, llamado Binomio de Newton.

(a+b)1 = a+b 1 1(a+b)2 = a2+2ab+b2 1 2 1(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 1 3 3 1Por tanto ( )

=

=+

n

i

iinn bainba

0

Leibniz extendi este resultado a:

( ) =+++

=+++naaa

rp

rrrrrn

np

p

pp aaaPRaaa...

21,...,,

2121

2121 ......

5.3. Combinaciones con Repeticin.

DEF Sea A={a1, a2, , an}. Llamaremos combinaciones con repeticin de los nelementos de A, a los distintos subconjuntos de k elementos donde los elementos sepueden repetir hasta k veces, siendo dos subconjuntos iguales cuando estn formadospor los mismos elementos y repetidos el mismo nmero de veces. Se denota por CRn,k.

OBS El nmero k de elementos de cada subconjunto puede ser mayor que n. Cuandoesto sucede, entre las combinaciones con repeticin se encuentran las combinaciones sinrepeticin de n elementos tomados de k en k.

PROP En nmero de combinaciones con repeticin de n elementos tomados de k en kque se pueden formar con los elementos A={a1, a2, , an} es

+= k

knCR kn1

,

dem.

Para k=1 Las combinaciones con repeticin de n elementos tomados de uno en unocoinciden con las combinaciones sin repeticin y son n.

Para k-1 Supongamos formadas para k-1, y colocados sus elementos (en cadacombinacin) en el mismo orden que aparecen en el conjunto A

Para k Para formar los de k elementos, partiendo de las anteriores, aadiremos acada una el ltimo elemento que en ellas aparece y, sucesivamente, cadauno de los que le siguen segn el orden establecido en A. Obtenemos astodas las combinaciones con repeticin.

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Para poder contarlas, ideamos la siguiente manera:

Vamos a establecer una biyeccin f: CRn,k Cn+k-1,k de tal forma que a cadacombinacin con repeticin de CRn,k le hacemos corresponder la combinacin sinrepeticin obtenida colocando como subndice de cada elemento el nmero que tenaincrementado en tantas unidades como elementos le preceden.

As f es biyectiva y

+= k

knCR kn1

,

Ejemplo. Queremos calcular CR3,6 (combinaciones con repeticin de 3 elementos de 6en 6). Dados los siguientes elementos, sus imgenes en C8,6 son:

a1a1a2a2a3a3 a1a2a4a5a7a8

Al primer elemento no le sumamos nada a su subndice ya que no tieneelementos a su izquierda, al segundo le sumamos 1, al tercero 2, al cuarto 3 y assucesivamente.

6. COMBINATORIA CLSICA Y ALGUNAS TENDENCIAS ACTUALES DELA COMBINATORIA.

Se entiende por Combinatoria o Anlisis Combinatorio a la parte de las matemticasque trata del estudio y determinacin de las distintas agrupaciones que pueden formarsecon un nmero finito de elementos siguiendo unas determinadas reglas.

La Combinatoria estudia las propiedades de los diversos grupos que puedenformarse, incidiendo de forma especial en hallar la regla que permita formar todos losgrupos y su nmero.

El inters por la combinatoria surge en la India, donde el matemtico Bhaskara (S.XI-XII) escribe sobre la utilidad de hallar variaciones de los diferentes metros en laversificacin. Este inters viene debido a que sus obras (sobre lgebra o aritmtica entreotras) estn escritas siguiendo la tradicin india, en verso.

En Europa aparece la combinatoria poco despus, desarrollndose en la Edad Mediadebido a los estudios judos sobre la Cabala. El motivo hay que buscarlo en lasespeciales caractersticas del idioma Hebreo. Sus palabras carecen de vocales y lasbsicas estn formadas por tres letras. Cuando dos palabras tienen las mismas letraspero en orden diferente es que existe algn tipo de relacin conceptual entre ellas. Enesta propiedad se basa el primero de los mtodos cabalsticos, la Temur, o arte de laspermutaciones y combinaciones de letras.

Tambin el filsofo y telogo Ramn Llul (nacido en Palma de Mallorca en 1233)trat la combinatoria en su obra Ars Magna. Parte de la combinacin de trminossimples. Establece unas tablas en las cuales aparecen una serie de trminos susceptiblesde combinacin: nueve trminos absolutos, nueve relativos, nueve cuestiones, nuevesujetos, nueve virtudes y nueve vicios. Filsofos y matemticos se han fijado en estaobra del mallorqun, entre ellos Leibniz.

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La combinatoria moderna aparece con Blaise Pascal (1623-1662). Cientfico yfilsofo francs, estudi en 1654 la expresin

kn , desarrollando la teora de las

combinaciones. En ella trata los nmeros combinatorios, el tringulo de Tartaglia y eldesarrollo de la potencia de un trinomio.

Pero fue Jacobo Bernouilli (1654-1705) en su obra Ars Conjectandi (arte de laconjetura) el mayor impulsor de la combinatoria en el siglo XVII. Consigui obtener ydemostrar el desarrollo del binomio (x+a)n siendo n un nmero natural.

Actualmente, nos encontramos con problemas de combinatoria que tienen que vercon grafos, dando lugar a la Teora de Grafos. En el tema 2 se ha visto el problema delos Puentes de Knigsberg.

Otros problemas de combinatoria se mezclan con Geometra, dando lugar a laGeometra Combinatoria.

BIBLIOGRAFA RECOMENDADA.

Introduccin a la Probabilidad y la Medida. Aut. Procopio Zoroa, Noem Zoroa. Ed.PPU

Introduccin a la Teora de la Estadstica. Aut. Alexander M. Mood, Franklin A.Graybell. Ed. Aguilar.

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TEMAS DE MATEMTICAS(OPOSICIONES DE SECUNDARIA)

TEMA 4

NMEROS ENTEROS. DIVISILIBIDAD. NMEROS PRIMOS. CONGRUENCIA.

1. Introduccin.2. Los Nmeros Enteros.

2.1. Construccin de 9.2.2. El Grupo Aditivo de los Nmeros Enteros.2.3. El Semigrupo Multiplicativo de los Nmeros Enteros.2.4. El Anillo de los Nmeros Enteros.2.5. Ideales en el Anillo de los Nmeros Enteros.

3. Divisibilidad.3.1. Divisibilidad de Nmeros Enteros.3.2. Divisibilidad en el Anillo de los Nmeros Enteros.3.3. Mximo Comn Divisor y Mnimo Comn Mltiplo.

4. Nmeros Primos.5. Congruencias.6. Criterios de Divisibilidad.Bibliografa Recomendada.

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TEMA 4

NMEROS ENTEROS. DIVISILIBIDAD. NMEROS PRIMOS. CONGRUENCIA.

1. INTRODUCCIN.

Este tema se divide en cinco partes fundamentales. La primera parte son LosNmeros Enteros. Comenzaremos definiendo el conjunto de los nmeros enteros.Definiremos en l la operacin de suma, que lo convertir en grupo abeliano. Luego laoperacin producto, constituyendo un grupo multiplicativo abeliano con elementounidad. Ambas operaciones nos crearn el anillo de los nmeros enteros. Y al finaltrataremos de los ideales en el anillo, que se caracterizan por ser subconjuntos formadospor los mltiplos de un nmero entero.

La segunda parte es la Divisibilidad. La divisibilidad en el anillo de los nmerosenteros se define de forma precisa en trminos de ideales. Por ltimo veremos laexistencia y unicidad del Mximo Comn Divisor y Mnimo Comn Mltiplo.

En la tercera parte definiremos los nmeros primos y veremos sus propiedades.Aqu hemos de resaltar el teorema fundamental de la aritmtica.

En la cuarta parte trataremos con congruencias y en la ltima veremos los criteriosde divisibilidad ms importantes.

2. LOS NMEROS ENTEROS.

En el tema 1 definimos el conjunto de los nmeros naturales, el cual tiene estructurade Semianillo conmutativo. Ahora tenemos que ampliar dicho conjunto. El motivo esque ecuaciones del tipo x+m=n donde se verifica que m>n no tendran solucin. Portanto, hemos de construir un nuevo conjunto en el cual esas ecuaciones siempre tengansolucin. Ese conjunto ha de estar dotado de una operacin interna (suma) que seaextensin de la operacin interna de y que verifique que todo elemento tienesimtrico.

2.1. Construccin de 99 .

DEF Sea el conjunto x={(a,b) / a, b}. Sobre este conjunto definimos larelacin R

(a,b)R(c,d) a+d = b+c

PROP La relacin R es una relacin de equivalencia.

Dem.

Para que R sea una relacin de equivalencia, debe verificar las propiedadesreflexiva, simtrica y transitiva.

a) Reflexiva. a+b=b+aya que es conmutativo (a,b)R(a,b)

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b) Simtrica (a,b)R(c,d) a+d=b+c b+c=a+d

Aplicando la conmutatividad c+b=d+a (c,d)R(a,b)

c) Transitividad

(a,b)R(c,d) a+d=b+c(c,d)R(e,f) c+f=d+e

Sumando ambas expresiones miembro a miembro

a+d+c+f=b+c+d+e a+f=b+e (a,b)R(e,f)

Por tanto R es una relacin de equivalencia.

COROLARIO La relacin R sobre x define un conjunto cociente cuyos elementosson las clases de equivalencia [(a,b)] donde

[(a,b)]={(m,n)x / (m,n)R(a,b)}

DEF Se define el conjunto de los nmeros enteros, y lo representamos por 9, como elconjunto cociente x/R. Es decir 9=x/R

OBS Sabemos que toda clase de equivalencia queda determinada dando unrepresentante cualquiera de la misma. Por convenio, los representantes de las clases deequivalencia sern aquellos pares ordenados que tengan al menos una de suscomponentes nula.

Se pueden dar tres casos, dado (a,b)x

1) a>b

En este caso existe m tal que a=b+m. Entonces se verifica (a,b)R(m,0).Todos los elementos de [(m,0)] son de la forma [(m,0)]={(b+m,b) / b}.

Al representante de [(m,0)] lo denotaremos con el smbolo +m, o simplemente,m. El conjunto 9+={[(m,0)] / m} lo llamaremos conjunto de los nmerosenteros positivos.

2) a

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3) a=b

Se verifica que (a,b)R(0,0). Todos los elementos de [(0,0)] son de la forma[(0,0)]={(a,a) / a}.

Al representante de [(0,0)] lo denotaremos con el smbolo 0.

Ahora ya estamos en condiciones de afirmar que 9=9+{0}9-

PROP El conjunto 9 es una extensin de .

Dem.

Basta ver que 9 lo cual es evidente ya que 0 09

n-{0} [(n,0)]9+9

2.2. El Grupo Aditivo de los Nmeros Enteros.

Vamos a definir en 9 la suma para dotarlo de estructura de grupo.

DEF Definimos la suma en 9 como

+: 9x9 9

con (a,b)x(c,d)9x9, entonces +((a,b),(c,d))=(a+c,b+d)

Notacin: La expresin +((a,b),(c,d)) se representa por (a,b)+(c,d).

PROP La suma as definida no depende del representante elegido.

Dem.

Sean (a,b)R(a,b) y (c,d)R(c,d)

Para ver que [(a,b)+(c,d)]=[(a,b)+(c,d)]

tendremos que probar que ((a,b)+(c,d))R((a,b)+(c,d))

(a,b)R(a,b) a+b=a+b(c,d)R(c,d) c+d=c+d

sumando ambas expresiones miembro a miembro

a+c+b+d = a+c+b+d (a+c,b+d)R(a+c,b+d)

((a,b)+(c,d)) R ((a,b)+(c,d))

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PROP La operacin de suma definida anteriormente verifica las siguientes propiedades:1) Asociativa: [(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)])=([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)]2) Conmutativa: [(a,b)]+[(c,d)]=[(c,d)]+[(a,b)]3) Elemento Neutro: [(0,0)], ya que [(a,b)]+[(0,0)]=[(a,b)]=[(0,0)]+[(a,b)]4) Elemento Opuesto: [(a,b)] [(b,a)] tal que [(a,b)]+[(b,a)]=[(0,0)]

Dem.

1) [(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)]) = [(a,b)]+([(c+e,d+f)]) = [(a+(c+e),b+(d+f))] =

= [((a+c)+e,(b+d)+f)] = [(a+c,b+d)]+[(e,f)] = ([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)]

2) [(a,b)]+[(c,d)] = [(a+c,b+d)] = [(c+a,d+b)] = [(c,d)]+[(a,b)]

3) [(a,b)]+[(0,0)] = [(a+0,b+0)] = [(a,b)]

[(0,0)]+[(a,b)] = [(0+a,0+b)] = [(a,b)]

Por lo tanto [(0,0)] es el elemento neutro y se representa por 0

4) [(a,b)] [(a,b)]+[(b,a)] = [(a+b,b+a)] = [(0,0)]

Luego el opuesto de [(a,b)] es [(b,a)]

Es el llamado elemento simtrico con respecto a la operacin de suma.

PROP El simtrico de cada nmero es nico.

Dem.

Sea [(a,b)]. Supongamos que admite dos simtricos: [(b,a)] y [(c,d)]

[(a,b)]+[(b,a)] = [(0,0)] = [(a,b)]+[(c,d)] [(a+b,b+a)] = [(a+c,b+d)]

Y para que las clases sean iguales, sus elementos han de estar relacionados:

(a+b,b+a) R (a+c,b+d)

lo que significa que a+b+b+d = b+a+a+c

Aplicando la ley de simplificacin en b+d = a+c

y eso es (b,a) R (c,d)

y por tanto [(b,a)] = [(c,d)]

y ambos elementos son el mismo.

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OBS En general n9, se designa a su simtrico por nComo conclusin, la operacin suma definida junto con las operaciones que hemos

comprobado que verifica, nos indican que (9,+) es un Grupo Abeliano.

Una consecuencia de la definicin de suma, y por ser (9,+) un grupo, se verifica lapropiedad cancelativa en la suma de nmeros enteros.

PROPp,q,r9. p+q=p+r q=r

Dem.

Como p9 (-p)9 / p+(-p)=0

p+q=p+r (-p)+(p+q) = (-p)+(p+r)

Aplicando la propiedad asociativa ((-p)+p)+q = ((-p)+p)+r

Aplicando la propiedad de existencia de opuesto 0+q = 0+r

Aplicando la propiedad de existencia de neutro q=r

Ahora que ya tenemos a (9.+) como grupo podemos afirmar:

1) Existe una operacin inversa a la adicin, que llamaremos diferencia.

m,n9 m-n = m+(-n)

2) La ecuacin x+m=n con m,n9 es resoluble en 9, siendo la solucin x=n+(-m)y es nica.

DEF Se define la sustraccin o resta de nmeros enteros como la suma del primerocon el opuesto del segundo. m-n = m+(-n)

Esta operacin es interna en 9, pero no verifica las propiedades conmutativa yasociativa.

Veamos que la suma de nmeros enteros se corresponde con la construccin quehicimos de 9:

1) +m+n = [(m,0)]+[(n,0)] = [(m+n,0)] = +(m+n)

2) m+(-n) = [(0,m)]+[(0,n)] = [(0,m+n)] = -(m+n)

3) +m+(-n) = [(m,0)]+[(0,n)] = [(m,n)]

a) Si m>n [(m,n)] = +(m-n)

b) Si m

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2.3. El Semigrupo Multiplicativo de los Nmeros Enteros.

Vamos a definir en 9 una operacin producto tal que (9,) sea un semigrupoconmutativo con elemento unidad, prolongando el producto definido en .

DEF Definimos la multiplicacin de nmeros enteros como:

: 9x9 9

con (a,b)x(c,d)9x9, entonces ((a,b),(c,d))=(ac+bd,ad+bc)

Notacin: La expresin ((a,b),(c,d)) se representa por (a,b)(c,d).

PROP El producto as definido no depende de los representantes elegidos.

Dem.

Sean (a,b)R(a,b) y (c,d)R(c,d)

Para ver que [(a,b)(c,d)]=[(a,b)(c,d)]

tendremos que probar que ((a,b)(c,d))R((a,b)(c,d))

que es equivalente a ac+bd+ad+bc = ad+bc+ac+bd

Vamos a ver que se verifica esa igualdad en dos pasos:

Paso 1:

Comprobar: (a,b)R(a,b) y (c,d)R(c,d) (a,b)(c,d) R (a,b)(c,d)

ac+bd+ad+bc = (a+b)c+(b+a)d =

Como (a,b)R(a,b) a+b=b+a

= (b+a)c+(a+b)d = ad+bc+ac+bd

Uniendo ambos extremos: ac+bd+ad+bc = ad+bc+ac+bd

Que es lo mismo que (a,b)(c,d) R (a,b)(c,d)

Paso 2:

Comprobar: (a,b)R(a,b) y (c,d)R(c,d) (a,b)(c,d) R (a,b)(c,d)

La demostracin de este paso es anloga a la anterior.

Como la relacin R es transitiva, tenemos que:

(a,b)(c,d) R (a,b)(c,d) y (a,b)(c,d) R (a,b)(c,d)

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(a,b)(c,d) R (a,b)(c,d)

que era lo que queramos comprobar.

PROP La multiplicacin de nmeros enteros cumple las siguientes propiedades:

1) Asociativa: m,n,p9 (mn)p=m(np)

2) Conmutativa: m,n9 mn=nm

3) Elemento Neutro: e9 m9 me=m=em siendo e=1

Dem.

Sea m un representante de la clase [(a,b)], n de [(c,d)], p de [(e,f)] y e de [(e1,e2)]

1) (mn)p = ([(a,b)][(c,d)])[(e,f)] = [(ac+bd , ad+bc)][(e,f)] =

= [((ac+bd)e+(ad+bc)f , (ac+bd)f+(ad+bc)e)] =

= [(ace+bde+adf+bcf , acf+bdf+ade+bce)] =

= [(a(ce+df)+b(de+cf) , a(cf+de)+b(df+ce))]

= [(a,b)][(ce+df , de+cf)] = [(a,b)]([(c,d)][(e,f)]) = m(np)

2) mn=[(a,b)][(c,d)]=[(ac+bd, ad+bc)]=[(ca+db, da+cb)]=[(c,d)][(a,b)]=nm

3) me=m [(a,b)][(e1,e2)]=[(a,b)]

=+

=+

bbeaeabeae

12

21

Para resolver el sistema de ecuaciones multiplicamos la primera por a y la segundapor b

=+

=+2

12

2

221

2

bebabeaabeea

restando ambas ecuaciones: a2e1-b2e1=a2-b2 e1=1

sustituyendo en la primera ecuacin obtenemos e2=0

Luego e=[(1,0)]=19

Por conmutatividad me=em

Ya estamos en condiciones de poder afirmar que (9,) es un semigrupo conmutativocon elemento unidad.

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PROP Otras propiedades del producto de nmeros enteros son:1) Ley de Simplificacin: m,n,p9-{0}, si mn=mp n=p

2) El cero es un elemento absorbente: m9 m0=0

3) 9 no posee divisores de cero: m,n9, si mn=0 m=0 n=0

Dem:

A demostrar por el lector

OBS Teniendo en cuenta la definicin que hemos dado de nmeros enteros (tantopositivos como negativos) y la definicin de producto, podemos obtener la Regla de losSignos:

1) +m+n=[(m,0)][(n,0)]=[(mn,0)]=+(mn)2) +m(-n)=[(m,0)][(0,n)]=[(0,mn)]= (mn)3) -m+n=[(0,m)][(n,0)]=[(0,mn)]= (mn)4) -m(-n)=[(0,m)][(0,n)]=[(mn,0)]=+(mn)

PROP Propiedad distributiva del producto respecto de la suma:

pnm ,, 9 1) m(n+p)=mn+mp (por la izq.)2) (m+n) p=mp+np (por la der.)

Dem

Como ambas demostraciones son anlogas, slo haremos una:

1) Sea m un representante de la clase [(a,b)], n de la clase [(c,d)] y p de [(e,f)]

m(n+p)=[(a,b)]([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)][(c+e,d+f)]=

=[(a(c+e)+b(d+f), a(d+f)+b(c+e)]=[(ac+ae+bd+bf, ad+af+bc+be)]=

=[(ac+bd+ae+bf, ad+bc+af+be)]=[(ac+bd, ad+bc)]+[(ae+bf, af+be)]=

=[(a,b)][(c,d)]+[(a,b)][(e,f)]= mn+mp

PROP El conjunto 9, con las operaciones de suma y producto definidas es unaextensin de , con sus dos operaciones de suma y producto.

Dem

Definamos la aplicacin f: 9 con f(n)=+n

Es fcil comprobar que: f(m+n)=f(m)+f(n)

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y f(mn)=f(m)f(n) m,n

Basta tener en cuenta la definicin de suma y producto en 9.

2.4. Anillo de los Nmeros Enteros.

Como (9,+) es un grupo abeliano, (9,) es un semigrupo conmutativo conelemento unidad y se verifica la propiedad distributiva por ambos lados, entonces(9,+,) tiene estructura de Anillo Conmutativo unitario.

Veamos algunas de las propiedades de (9,+,)

PROP El anillo de los nmeros enteros no posee divisores de cero. Es decir:

m,n9 Si mn=0 m=0 n=0

DEF (9,+,) es un dominio de integridad, ya que es un anillo conmutativo conelemento unidad y sin divisores de cero.

PROP El cero es un elemento absorbente. Es decir: a9 a0=0a=0

Dem

Sabemos que b9 se verifica que b+0=0+b=b

Teniendo en cuenta esto: ab=a(b+0)=ab+a0

Aplicando la ley simplificativa: 0=a0

De forma anloga para : 0=0a

PROP a,b9 a(-b)=-(ab)=(-a)b

Dem

Sabemos que b9 (-b)9 / b+(-b)=0

b+(-b)=0 a[b+(-b)]=a0 ab+a(-b)=0 a(-b)=-(ab)

De forma anloga se comprueba que (-a)b=-(ab)

PROP a9 (-a)(-b)=ab

2.5 Ideales en el Anillo de los Nmeros Enteros.

Sabemos que 9 es un anillo conmutativo unitario y adems es un dominio deintegridad, ya que no posee divisores de cero.

Vamos a definir ahora el concepto de ideal.

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DEF Sea I un subconjunto de 9. Se dice que I es un ideal de 9 si verifica:

a) I es un subgrupo aditivo de 9.

b) a9 xI se cumple axI

OBS El subgrupo de 9 formado por todos los mltiplos de un entero cualquieram9 es un ideal de 9. La comprobacin es trivial.

El ideal lo representamos por (m).

Ya que los mltiplos de m coinciden con los de (-m), por convenio, al hablar delideal (m) tomaremos un positivo.

Comprobemos que todo ideal de 9 es de la forma (m).

PROP Dado un ideal I de 9, se verifica que I=(m) para un entero m convenientementeelegido.

Dem

Por ser I un ideal, se verifica I9.

Si I=(0), la proposicin queda demostrada.

Supongamos pues que I(0). Entonces I deber contener enteros positivos. Sea m elmenor de los enteros positivos de I. Comprobemos que I=(m), y lo haremos por dobleinclusin.

(m) I Como mI e I es un ideal (m) I

I(m) Supongamos que I(m) y llagaremos a una contradiccin.

Como I(m) a(m) / a(m)

Si dividimos a por p obtenemos: a=mq+r con r

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Los ideales (0) y (1) se llaman ideales impropios. Los restantes, si existen, sellaman ideales propios.

DEF Sea I un ideal. Diremos que I es un ideal principal si est engendrado por un soloelemento.

COROLARIO Todo ideal de 9 es un ideal principal.

DEF (a) es un subideal de (b) si (a)(b)

Con los ideales de 9 podemos definir las operaciones de suma e interseccin deideales, dando como resultado un nuevo ideal.

PROP 1) (a)+(b)={p9 / p=m+n, m(a), n(b)} es un ideal

2) (a)(b)={p9 / z(a) y z(b)} es un ideal

Dem

1) Sean m,n(a)+(b) m=a1+b1 y n=a2+b2 con

a1,a2(a) y b1,b2(b)

m-n=(a1+b1)-(a2+b2)=(a1-a2)+(b1-b2)

Como: a1-a2(a) y b1-b2(b) por ser (a) y (b) ideales se verifica que:

m-n(a)+(b) (1)

Sea n(a)+(b) n=a1+b1 con a1(a) y b1(b)

c9 c.n=c(a1+b1) c.n=ca1+cb1

Se verifica que ca1(a) y cb1(b)

entonces: c.n(a)+(b) (2)

De (1) y (2) se deduce que (a)+(b) es un ideal.

2) Sean m,n(a)(b) m,n(a) y m,n(b) m-n(a) y m-n(b)

m-n(a)(b) (1)

Sea n(a)(b) y c9 Como n(a) y n(b) se verifica que:

n.c(a) y n.c(b) n.c(a)(b) (2)

De (1) y (2) se deduce que (a)(b) es un ideal.

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Veamos ahora algunos ideales especiales

DEF Diremos que un ideal I es primo si verifica:

1) I9

2) nnI mI nI.

PROP I=(m) es un ideal primo de 9 si y slo si m es un nmero primo.

Dem

OBS Como 9 es un dominio de integridad, los ideales impropios son primos y portanto los excluiremos de la demostracin.

Demostrar: (m) es ideal primo (m) es nmero primo.

Es equivalente a: m no es nmero primo (m) no es ideal primo.

Si m no es un nmero primo a,b9 / m=a+b con a1 y b1.

Podemos considerar a y b positivos, luego: m(m) y m=ab

Pero a(m) y b(m) ya que m es el entero positivo ms pequeo. Por tanto (m) noes primo al no verificar la segunda condicin de la definicin.

Sea m un nmero primo y ab(m) ab=rm

Como m