opisivanje sau metodom prostora stanja1

9. OPISIVANJE SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA METODOM PROSTORA STANJA

[5, 22, 25, 31, 39, 45, 49, 51, 66, 69, 71] Analiza sistema automatskog upravljanja je prije svega obavljena u vremenskom domenu koja je bazirana na poznavanju fizikalnosti i tehnologije unutar samoga sistema, što je omogućavalo dobijanje i rješavanje određenih klasa diferencijalnih jednačina. Definisanjem, kao i mogućnošću generisanja, standardnih pobudnih funkcija omogućeno je dobijanje i snimanje odziva na ove funkcije. Prije svega su dobijeni vremenski odzivi na odskočnu funkciju, jer se ova funkcija veoma često susreće u praksi, što je poznato kao vremenski odziv u obliku funkcije prelaza. Jednostavnost generisanja harmonijskih funkcija je omogućila razvoj frekventne analize, koja je nametnula potrebu uvođenja kompleksne promjenljive i kada je operatorskom metodom dobijena prenosna funkcija sistema, a koja je i danas često korištena u analizi i sintezi sistema automatskog upravljanja. Na današnjem stupnju razvoja modernih tehnologija i upravljanja susrećemo sisteme sa više ulaza i više izlaza, sa puno međuveza ovih ulaza i izlaza, pa metode opisivanja SAU u vremenskom domenu i frekventnih analiza daju odgovore na mali broj pitanja. Dodatne poteškoće stvaraju nelinearni sistemi na koje je nemoguće primjeniti navedene metode, kao i pitanje optimalnog ponašanja sistema upravljanja. Ove poteškoće su nametnule traženje rješenja u vremenskom domenu korištenjem mogućnosti pretvaranja diferencijalne jednačine n tog reda u n diferencijalnih jednačina prvoga reda. To je dalje omogućilo uvođenje matričnog računa pri opisivanju dinamike kretanja sistema upravljanja. Tako su dobijeni jednostavni i pregledni sistemi jednačina stanja koje je moguće programirati na računaru, a kojima je moguće obuhvatiti i nelinearnosti. Ovaj način opisivanja dinamike kretanja sistema je poznat pod imenom metoda prostora stanja i omogućila je veoma brz razvoj teorije automatskog upravljanja.

9.1. Metoda prostora stanja Samu metodu prostora stanja je najlakše objasniti na primjeru inercionog sistema drugoga reda koji se sastoji od mase M , opruge krutosti fK i klipa s cilindrom koji ima koeficijent

trenja r , slika 9.1. Neka je sila koja djeluje na sistem ( )tu , a tekuća koordinata koja karakteriše položaj sistema ( )tx . Diferencijalna jednačina kretanja sistema je:

( ) ( ) ( ) ( )tuM1tx

MK

dttdx

Mr

dttxd f

2

2=++ (9.1)

9. Opisivanje SAU metodom prostora stanja

312

pri čemu je odmah izvršeno normiranje koeficijenta uz najvišu derivaciju na jedinicu. Sada se uvode nove varijable i to na sljedeći način: za tekuću koordinatu položaja ( ) ( )txtx 1= i za brzinu ( ) ( )txtx 2= . Ove varijable se nazivaju varijable stanja i u opštem slučaju se označavaju kao ( )txi , n,...,2,1i = , gdje je n red sistema ili red diferencijalne jednačine kojom je opisana dinamika sistema. Deriviranjem uvedenih varijabli stanja se dobija: ( ) ( )txtx1 = , ( ) ( )txtx2 = (9.2) pa se polazna diferencijalna jednačina (9.1) može napisati u obliku: ( ) ( )txtx 21 =

( ) ( ) ( ) ( )tuM1tx

Mrtx

MK

tx 21f

2 +−−= (9.3)

Dobijen je sistem jednačina (9.3) koji na lijevoj strani ima prve derivacije uvedenih varijabli stanja, a na desnoj strani su funkcije varijabli stanja i sama pobuda sistema. Sada se može posmatrati sistem s jednim ulazom i dva izlaza, i/ili sistem s jednim ulazom i jednim izlazom, slika 9.2. Ustvari, analizira se isti sistem koji je opisan sa dva različita matematička modela.

Slika 9.1. Mehanički MrKf sistem Slika 9.2. Mogući prikazi bloka MrKf Sistem jednačina (9.3) postaje još jednostavniji ako se primijeni matrični račun i isti prevede u matrični oblik:

( )( )

( )( ) ( )tu

M10

txtx

Mr

MK

10

txtx

2

1f

2

1

+

−−=

(9.4)

što se kratko može napisati u formi:

x(t)

u(t)M

r

Kf

u(t) x(t)M r KfSISTEM

x (t)

x (t) u(t) 1

2SISTEMM r Kf

Linearni sistemi automatskog upravljanja

313

( ) ( ) ( )tutt bAxx += (9.5) gdje je A matrica koeficijenata, ( )tx i ( )tx matrice kolone varijabli stanja i njihovih derivacija, a b matrica kolona kojom je dato dejstvo pobudne skalarne veličine ( )tu na stanje sistema. Stanje sistema je određeno varijablama stanja ( )tx1 i ( )tx2 . Izlaz sistema ( )ty predstavlja linearnu funkciju varijabli stanja ( )tx i ulazne veličine ( )tu :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tduttdut,ty T +=+= xcxc (9.6) gdje je ( )ty skalarna izlazna veličina, d skalarna veličina koja daje dejstvo pobudne

skalarne veličine ( )tu na izlaz ( )ty , a Tc mora biti matrica vrsta koja će sa ( )tx dati skalarni proizvod. Navedeni primjer je inercioni sistem drugoga reda, lahko ga je shvatiti i fizikalno realizirati. Zato varijable stanja imaju svoju geometrijsku interpretaciju, pa u ovome slučaju dinamika sistema može biti predstavljena u faznoj ravni (detaljnije se može pogledati u poglavlju 12). Tako se može posmatrati kretanje sistema iz jedne tačke, koja je određena vremenskim trenutkom 1t i koja je data koordinatama ( )1tx , u drugu tačku koja je određena trenutkom

2t i koja je data koordinatama ( )2tx . Određivanjem više tačaka se može dobiti trajektorija kretanja sistema. Sada se vrijeme t javlja kao parametar i ono je različito za svaku tačku trajektorije kretanja sistema. O ponašanju sistema proizvoljnog n tog reda se mogu donositi određeni zaključci ako mu je poznata trajektorija kretanja. Opis jednostavnih sistema se može poopćiti na sistem n tog reda koji ima n varijabli stanja. U ovome slučaju vektor stanja ( )tx ima n komponenti - varijabli stanja, a matrica stanja A će biti kvadratne forme i n tog reda. Za sisteme drugog i trećeg reda, 2n = i

3n = , geometrijska interpretacija je moguća i jasna, što u većini primjera varijablama stanja daje fizikalnu prirodu. Za sisteme reda većeg od tri ( 3n > ) geometrijska interpretacija postaje nejasna i nemoguće je obezbijediti fizikalnost varijablama stanja, što za analizu postaje nebitno jer je ovo analitička metoda. Jednačina stanja (9.5) i jednačina izlaza (9.6) za sistem s jednim ulazom i jednim izlazom glase: ( ) ( ) ( )tutt bAxx +=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tduttdut,ty T +=+= xcxc (9.7) U slučajevima kada se analizira sistem s više ulaza i više izlaza, na sistem djeluje više varijabli pa ( )tu postaje vektor ili matrica kolona, na izlazu ima više varijabli pa ( )ty postaje vektor ili matrica kolona, matrica stanja sistema A ostaje kvadratne forme i reda n , matrica kolona b postaje matrica B , matrica vrsta Tc postaje matrica C , a skalar d postaje matrica D , naravno sve odgovarajućih dimenzija. Sada jednačina stanja i jednačina izlaza imaju oblik:


314

( ) ( ) ( )ttt BuAxx += ( ) ( ) ( )ttt DuCxy += (9.8) Primjena matrica daje značajnu prednost, jer su jednačine (9.7) i (9.8) sažete i u slučaju da opisuju vrlo komplikovane i nepregledne sisteme, ali opet omogućavaju bolji uvid u fizikalno stanje sistema. U slučaju kada se kao varijable stanja mogu odabrati stvarne fizikalne veličine, tada se može doći do više podataka o samome sistemu, što omogućava izbor povoljnijeg upravljanja u odnosu na metodu prenosne funkcije kada su na raspolaganju bili ulazno dejstvo i odziv sistema.

9.2. Matematički model sistema automatskog upravljanja sa varijablama stanja

Prije svega, potrebno je napisati analitički oblik jednačina s varijablama stanja, a zatim dati najlakši način dobijanja ovih jednačina iz diferencijalne jednačine i iz prenosne funkcije sistema. Zatim je potrebno dati transformaciju jednoga modela u drugi.

9.2.1. Jednačine u prostoru stanja kojima je opisana dinamika sistema automatskog upravljanja

Neka na jedan sistem djeluje više ulaza i sa njega ima više izlaza. Tada je njegovo dinamičko ponašanje moguće opisati pomoću jednačine stanja i jednačine izlaza na sljedeći način: ( ) ( ) ( )ttt BuAxx += ( ) ( ) ( )ttt DuCxy += (9.9) Ove jednačine se zovu dinamičkim jednačinama stanja u kojima je: ( )tu vektor ulaza sa m komponenata ili dimenzija m x 1 ; ( )tx vektor stanja sa n komponenata ili dimenzija n x 1 ; ( )ty vektor izlaza sa r komponenata ili dimenzija r x 1 ; A matrica stanja sistema i

dimenzija je n x n ; B matrica ulaza koja povezuje varijable ulaza i stanja i dimenzija je n x m ; C matrica izlaza koja povezuje varijable stanja i izlaza i dimenzija je r x n ; te D matrica prenosa i dimenzija je r x m . Matrica D predstavlja direktnu vezu varijabli ulaza i izlaza, što u sistemima automatskog upravljanja nije uobičajeno jer se zahtijeva pojačanje snage s povratnom vezom. Zato se član ( )tDu može izostaviti, pa se dobijaju dinamičke jednačine stanja za sisteme sa više ulaza i više izlaza oblika: ( ) ( ) ( )ttt BuAxx += ( ) ( )tt Cxy = (9.10)


315

Na slici 9.3 prikazan je matrični blok dijagram dinamičkih jednačina stanja, pri čemu je slijed faktora kod množenja matrica suprotan toku signala. Sada blokovi sadrže matrice umjesto prenosnih funkcija, a putevi signala umjesto jedne skalarne varijable sadrže vektorske varijable. Takođe se vidi da je jedna povratna veza, kao i jedna vremenska operacija simbolički označena integralom. Svi preostali blokovi predstavljaju matrice i daju čiste algebarske povezanosti. Ako se želi potražiti veza između metode prostora stanja i metode prenosne funkcije, koja je zgodna za sisteme s jednim ulazom i jednim izlazom, to se dinamičke jednačine stanja moraju napisati u obliku: ( ) ( ) ( )tutt bAxx +=

( ) ( )tty T xc= (9.11)

Slika 9.3. Blok dijagram jednačina stanja

gdje su ulaz ( )tu i izlaz ( )ty skalarne varijable, b je matrica kolona ulaza i dimenzija je

n x 1 , a Tc je transponovana matrica kolona izlaza i dimenzija je n x 1 . Relacije (9.11) se koristiti za dobijanje matematičkog modela s varijablama stanja iz prenosne funkcije. Sam postupak dobijanja dinamičkih jednačina se može primijeniti samo na linearne i vremenski invarijantne sisteme, te isključuje primjenu na sisteme s transportnim kašnjenjem.

9.2.2. Dobijanje dinamičkih jednačina stanja iz prenosne funkcije Poznavanjem tehnologije procesa koji se odvija u sistemu omogućava da se napiše diferencijalna jednačina, iz koje je lahko odrediti prenosnu funkciju sistema. Ista se može odrediti i eksperimentalno dejstvom harmonijske funkcije na sistem i snimanjem odziva sistema, i/ili nekom drugom metodom. Prenosna funkcija sistema može poslužiti za dobijanje dinamičkih jednačina stanja, za šta su razvijene sljedeće metode. Direktni postupak. Predpostavimo da je nekom od metoda određena prenosna funkcija sistema:

u (t) x(t) x(t) y(t)+

+

+

+

D

A

B C.


316

( ) ( )( ) n1n

1n1

nm1m

1m1

m0

asasasbsbsbsb

sUsYsG

++++++++

==−

−−

−

, nm < (9.12)

gdje je 1a0 = a da pri tome nije ništa izgubljeno na opštosti (moguće je uvijek izvršiti normiranje ovoga koeficijenta na jedinicu). Nadalje, neka vrijedi predpostavka da su polovi realni i različiti, da su nepoznati i da se ne žele tražiti. Iz prenosne funkcije se vidi da u brojniku osim mb postoje i drugi koeficijenti odnosno potencije od s , što znači da brojnik ima određenu dinamiku. Prenosna funkcija se rastavlja na pojedine sabirke:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUsQ

1bsUsQ

sbsUsQ

sbsUsQ

sbsYn

mn

1mn

1m

1n

m

0 ++++= −

−

(9.13)

pri čemu je nazivnik radi kratkoće pisanja označen s ( )sQn . Varijable stanja se odabiraju na sljedeći način:

( ) ( ) ( )sUsQ

1sXn

1 =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ssXsUsQ

1ssUsQ

ssX 1nn

2 ===

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )ssXssXssXssUsQ

1ssUsQ

ssX 2112

n

2

n

2

3 =====

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ===== ssXssXssUsQ

1ssUsQ

ssX 12

13

n

3

n

3

4

( ) ( )( ) ( )ssXssXssXs 3222 === (9.14)

.....................................................................................................

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ssXsXssUsQ

1ssUsQ

ssX 2n12n

n

2n

n

2n

1n −−−

−

− ====

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ssXsXssUsQ

1ssUsQ

ssX 1n11n

n

1n

n

1n

n −−−

−

====

Iz (9.14) je očito da su varijable stanja međusobno povezane derivacijama jer je: ( ) ( ) ( ) ( )txtxsXssX 2121 =⇒= ( ) ( ) ( ) ( )txtxsXssX 3232 =⇒= ( ) ( ) ( ) ( )txtxsXssX 4343 =⇒= (9.15) ............................................................. ( ) ( ) ( ) ( )txtxsXssX 1n2n1n2n −−−− =⇒= ( ) ( ) ( ) ( )txtxsXssX n1nn1n =⇒= −−


317

U (9.15) ima )1n( − -a jednačina. Posljednja n -ta jednačina se dobija iz prve relacije (9.14):

( ) ( ) ( ) ( )sUasasas

1sUsQ

1sXn1n

1n1

nn

1++++

==−

− (9.16)

iz koje slijedi da je:

( ) ( ) ( ) ( )+++++ −−− sXsasXsasXsasXs 1

22n1

2n21

1n11

n ( ) ( ) ( )sUsXassXa 1n11n =++ − (9.17) U (9.17) se vidi da je drugi sabirak upravo ( )sXa n1 , treći sabirak ( )sXa 1n2 − , i tako redom sve do predposljednjeg sabirka koji je ( )sXa 21n− i posljednjeg sabirka koji je ( )sXa 1n . Tako (9.17) poprima oblik:

( ) ( ) ( ) ( )+++++ −− sXasXasXasXs 32n1n2n11n

( ) ( ) ( )sUsXasXa 1n21n =++ − (9.18) Takođe je prvi sabirak u (9.17): ( ) ( )( ) ( )ssXsXsssXs n1

1n1

n == − (9.19) što predstavlja kompleksni lik od originala ( )txn . Rješavanjem (9.17) po ( )sXs 1

n se dobija:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUsXasXasXasXasXasXs n11n232n21n1n1n +−−−−−−= −−− (9.20)

čiji je original u vremenskom domenu dat jednačinom:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutxatxatxatxatx n11n221n1nn +−−−−−= −− (9.21) Sada jednačine (9.15) zajedno sa jednačinom (9.21) opisuju dinamiku sistema u prostoru stanja. Jednačina izlaza se dobija direktnim uvrštavanjem varijabli stanja iz (9.14) u (9.13): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sXbsXbsXbsXbsXbsY 1m21m32mm11m0 +++++= −−+ (9.22) čiji je original u vremenskom domenu dat jednačinom: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )txbtxbtxbtxbtxbty 1m21m32mm11m0 +++++= −−+ (9.23) Jednačine stanja i jednačina izlaza se mogu napisati i u matrično-diferencijalnoj formi:


318

u

10

00

xx

xx

aaaa1000

01000010

xx

xx

n

1n

2

1

12n1nnn

1n

2

1

+

−−−−

=

−

−−

−

[ ]

=

−

−

n

1n

2

1

01mm

xx

xx

00bbby (9.24)

pri čemu množenje u drugoj jednačini (9.24) daje upravo (9.23). Posljednja relacija je poznata kao tzv. standardni oblik dinamičkih jednačina stanja: ( ) ( ) ( )tutt bAxx +=

( ) ( )tty T xc= (9.11) Ovaj oblik je zadovoljavajući ako su polovi prenosne funkcije realni i međusobom različiti, nepoznati i/ili ih se ne želi naći. Matrica stanja sistema A se naziva matrica u pratećoj formi ili Frobeniusova matrica. Ona u prvih 1n − redova ima jedinice iznad glavne dijagonale, dok su svi ostali elementi ravni nuli. Elementi u posljednjoj vrsti su koeficijenti iz nazivnika prenosne funkcije sistema. Matrica kolona b najčešće ima samo jedinicu u posljednjoj vrsti, dok matrica vrsta Tc ima koeficijente iz brojnika prenosne funkcije od mb do 0b koji su dopunjeni nulama do potrebne dimenzionalnosti n . To dalje znači da nule prenosne funkcije samo imaju uticaj na izlaz sistema.Varijable stanja u ovome slučaju se nazivaju faznim varijablama stanja. Primjer 9.1. Neka je data prenosna funkcija sistema:

( ) ( )12s19s8s

5,2s412s19s8s

10s4sG2323 +++

+=

+++

+=

Primjenom direktnog postupka se dobijaju jednačine stanja sistema: 21 xx = 32 xx = ux8x19x12x 3213 +−−−= i jednačinu izlaza:


319

21 x4x10y += Jednačine stanja sistema i jednačina izlaza u matrično-diferencijalnoj formi su:

u100

xxx

81912100010

xxx

3

2

1

3

2

1

+

−−−=

[ ]

=

3

2

1

xxx

0410y

Strukturni blok dijagram je prikazan na slici 9.4.

Slika 9.4. Blok dijagram direktnog postupka programiranja

Ovaj model se može primjeniti i na prenosne funkcije višega reda i znatno se pojednostavljuje ako nemamo dinamike brojnika, tj. kada je brojnik prenosne funkcije samo koeficijent mb :

( ) ( )( ) n1n

1n1

nm

asasasb

sUsYsG

++++==

−−

(9.25)

U ovome slučaju se govori o dinamici nazivnika. Prenosna funkcija se može pretvoriti u diferencijalnu jednačinu, a izlazna varijabla ( )ty i njenih )1n( − -a derivacija se odabiraju kao varijable stanja. Postupak je objašnjen na sljedećem primjeru. Primjer 9.2. Neka je data prenosna funkcija sistema:

u(t) y(t)

8

19

12

10

4

___

+

+1s

1s

1s

x.1x2x.2x3x.3 x1


320

( ) ( )( ) 12s19s8s

6sUsYsG

23 +++==

čija je odgovarajuća diferencijalna jednačina: u6y12y19y8y =+++ Direktnim izborom varijable stanja 1xy = i njenih derivacija se dobijaju dinamičke jednačine stanja: 21 xx = 32 xx = u6x8x19x12x 3213 +−−−= i jednačinu izlaza: 1xy = ili u matrično diferencijalnoj formi:

u600

xxx

81912100010

xxx

3

2

1

3

2

1

+

−−−=

[ ]

=

3

2

1

xxx

001y

Matrica stanja sistema je ponovo matrica u pratećoj formi ili Frobeniusova matrica. Strukturni blok dijagram je prikazan na slici 9.5.

Slika 9.5. Blok dijagram direktnog postupka programiranja

sa dinamikom nazivnika

u(t)6

_+

__

8

19

12

y(t)x1x.1x2x.2x3x.3 1

s1s

1s


321

Paralelni postupak. Prilikom analize i sinteze sistema automatskog upravljanja najčešće se susreću prenosne funkcije za koje su određeni, ili se to može jednostavno učiniti, polovi prenosne funkcije sistema. Najčešće se radi o serijskoj vezi elementarnih blokova prvoga reda. U ovom slučaju se može dobiti znatno jednostavniji oblik dinamičkih jednačina stanja sistema, što se postiže razbijanjem prenosne funkcije u sumu elementarnih blokova prvoga reda:

( ) ( )( ) n

n

2

2

1

1

sK

sK

sK

sUsYsG

λλλ −++

−+

−== (9.26)

što daje:

( ) ( ) ( ) ( )sUs

KsU

sK

sUs

KsY

n

n

2

2

1

1

λλλ −++

−+

−= (9.27)

Polovi su ponovo n21 ,...,, λλλ realni i međusobno različiti, ji λλ ≠ za ji ≠ , a odgovarajući rezidiumi se mogu odrediti primjenom inverzne Laplaceove transformacije. Sada se varijable stanja odabiraju na sljedeći način:

( ) ( )i

i ssUsXλ−

= , n,...,2,1i = (9.28)

odakle slijedi da je: ( ) ( ) ( )sUsXssX iii += λ , n,...,2,1i = (9.29) Inverznom Laplaceovom transformacijom se dobija niz diferencijalnih jednačina: ( ) ( ) ( )tutxtx iii += λ , n,...,2,1i = (9.30) Iz (9.30) se vidi da svaka od n jednačina stanja sadrži samo jednu varijablu stanja, sve su prvoga reda i svaka je jednostavna za rješavanje. To dalje znači da je analizirani sistem razbijen na n autonomnih sistema prvoga reda između kojih nema nikakvih sprega. Jednačina izlaza slijedi iz (9.27): ( ) ( ) ( ) ( )sXKsXKsXKsY nn2211 +++= (9.31) čija inverzna Laplaceova transformacija daje original: ( ) ( ) ( ) ( )txKtxKtxKty nn2211 +++= (9.32) Jednačine (9.30) i (9.32) u matrično-diferencijalnoj formi su:


322

u

11

11

xx

xx

000000

000000

xx

xx

n

1n

2

1

n

1n

2

1

n

1n

2

1

+

=

−−−

λλ

λλ

[ ]

=

−

−

n

1n

2

1

n1n21

xx

xx

KKKKy (9.33)

Ove jednačine se mogu napisati skraćeno u matričnom obliku koji je poznat kao normalni oblik dinamičkih jednačina stanja: ( ) ( ) ( )tutt bΛxx +=

( ) ( )tty T xc= (9.34) Matrica Λ ima dijagonalnu formu sa korjenima karakteristične jednačine, koji su ujedno i svojstvene vrijednosti matrice stanja sistema. Matrica kolona ulaza b ima sve elemente ravne jedinici, a matrica vrsta izlaza Tc kao elemente ima rezidiume iK , n,...,2,1i = , koji se izračunavaju u polovima prenosne funkcije. Poznato je da dijagonalni oblik matrice Λ odgovara činjenici da pojedine diferencijalne jednačine nisu međusobno spregnute, tj. da je složeni sistem razbijen na n autonomnih sistema prvoga reda, što znatno pojednostavljuje matrične proračune. Varijable stanja se u ovome slučaju nazivaju kanonskim varijablama stanja. Primjer 9.3. Neka je data prenosna funkcija sistema:

( ) ( )( )( )( )

( )( )sUsY

4s2

3s1

1s1

4s3s1s5,2s4

12s19s8s10s4sG

23=

+−

++

+=

++++

=+++

+=

odakle je:

( ) ( ) ( ) ( )sU4s

2sU3s

1sU1s

1sY+

−+

++

=

Varijable stanja u transformisanom obliku su:

( ) ( )sU1s

1sX 1 +=


323

( ) ( )sU3s

1sX 2 +=

( ) ( )sU4s

1sX 3 +=

a jednačina izlaza ima oblik: ( ) ( ) ( ) ( )sX2sXsXsY 321 −+= što u vremenskom domenu kao jednačine stanja daje diferencijalne jednačine: uxx 11 +−= ux3x 22 +−= ux4x 33 +−= i jednačinu izlaza: 321 x2xxy −+= dok u matrično-diferencijalnoj formi jednačina stanja i jednačina izlaza imaju oblik:

u111

xxx

400030001

xxx

3

2

1

3

2

1

+

−−

−=

[ ]

−=

3

2

1

xxx

211y

Strukturni blok dijagrami mogu imati rasporede blokova kao na slici 9.6a ili 9.6b.

a)

Y(s)U(s) +

+ _

1s+1

1s+3

1s+4

1

1

2

X (s)1

X (s)2

X (s)3


324

b)

Slika 9.6. Blok dijagrami paralelnog postupka programiranja Blokovi u povratnoj vezi predstavljaju bezinercione blokove čiji su koeficijenti pojačanja ravni korjenima karakteristične jednačine, a blokovi u direktnoj vezi su takođe bezinercioni blokovi i ravni su rezidiumima u polovima prenosne funkcije ( )sG . Polovi prenosne funkcije, koji su ujedno i svojstvene vrijednosti matrice stanja sistema, su realni i međusobno različiti n21 ,...,, λλλ , što je i najčešći slučaj u praksi. Ako postoje višestruki korjeni, tada se matrica ne može svesti na dijagonalnu formu nego na tzv. Jordanovu normalnu matricu. Normalni oblik jednačina stanja je zgodan i jednostavan za primjenu u praksi jer, složeni sistem koji je opisan diferencijalnom jednačinom n -toga reda i koji ima složeni algoritam upravljanja, može biti zamijenjen sa n međusobno nezavisnih sistema prvoga reda sa jednostavnim upravljanjem. Serijski postupak. Kada se prenosna funkcija sistema ( )sG može predstaviti kao serijski spoj elementarnih blokova prvoga reda zgodno je primjeniti serijski postupak. Sada je svaki od elemenata blok prvoga reda, pa se izlaz iz svakoga od njih uzima kao varijabla stanja. Primjer 9.4. Neka je data prenosna funkcija sistema:

y(t)u(t)+

+ _x2

x3

x1

x.3

+

+

+_

_

_

x.2

x.1

1

2

1s

1

1s

3

1s

4

1


325

( ) ( )( )( )( )

( )( )sUsY

4s1

3s5,2s

1s4

4s3s1s5,2s4

12s19s8s10s4sG

23=

+++

+=

++++

=+++

+=

što se može predstaviti blok strukturom kao na slici 9.7.

Slika 9.7. Blok dijagram serijskog postupka programiranja

Sa slike 9.7 se vidi da prvi i treći elemenat predstavljaju aperiodske blokove prvoga reda, a drugi elemenat je integralno diferencijalni blok. Izlaz posljednjeg bloka je ujedno izlaz sistema ( )sY i prva varijabla stanja ( )sX 1 , izlaz drugoga bloka je ulaz u treći blok i druga varijabla stanja ( )sX 2 , a izlaz prvoga bloka je ulaz u drugi blok i treća varijabla stanja

( )sX 3 . Sa slike 9.7 se vidi da je:

( ) ( )sX4s

1sX 21 +=

( ) ( )sX3s5,2ssX 32 +

+=

( ) ( )sU1s

4sX 3 +=

Inverznom Laplaceovom transformacijom se dobijaju originali u vremenskom domenu:

211 xx4x +−=

3322 x5,2xx3x +=+ u4xx 33 +−= a jednačina izlaza je: 1xy = Uvrštavanjem treće jednačine stanja u drugu i sređivanjem dobijaju se sljedeće matrično-diferencijalne jednačine stanja i jednačina izlaza:

u440

xxx

1005,130

014

xxx

3

2

1

3

2

1

+

−−

−=

U(s) X (s)3 X (s)2 X (s) = Y(s)14s+1

s+2,5s+3 s+4


326

[ ]

=

3

2

1

xxx

001y

Vidi se da su iz iste prenosne funkcije sistema primjenom direktnog, paralelnog i serijskog postupka dobijene različite jednačine stanja sistema i različite jednačine izlaza sistema. Prilikom rješavanja konkretnih primjera u praksi uvijek se teži što jednostavnijem opisivanju sistema, a promjenljive stanja se pokušavaju odabrati tako da one budu fizikalne varijable stanja. Očito je izbor varijabli stanja višeznačan.

9.2.3. Transformacija matrice stanja sistema u dijagonalnu formu U svrhu pretvaranja faznog vektora stanja x u kanonski vektor stanja z se koristi matrica transformacije P , koja mora biti nesingularna jer mora postojati inverzna matrica 1−P . Neka su date dinamičke jednačine stanja i jednačina izlaza (9.11): ubAxx += xcTy = (9.11) Sada se uvodi smjena Pzx = , koja može biti napisana i u matričnom obliku:

[ ]

=

=

n

2

1

n21

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

n

2

1

z

zz

z

zz

ppp

pppppp

x

xx

ppp (9.35)

pri čemu su kolone matrice P označene sa ip , n,...,2,1i = . Pošto su elementi matrice P konstantni, to je relaciju Pzx = moguće derivirati i dobiti zPx = . Poslije uvrštavanja ovih relacija u dinamičke jednačine stanja i jednačinu izlaza (9.11) se dobija: ubAPzzP += PzcTy = Množenjem prve jednačine sa lijeve strane s 1−P se dobija: u11 bPAPzPz −− += PzcTy = (9.36)


327

Ako se sada nametne uslov da novi vektor stanja sistema z bude kanonski vektor stanja, tada bi nova matrica stanja sistema APP 1− morala biti dijagonalna matrica Λ koja je korištena u normalnom obliku jednačina stanja (9.34), tj.: ΛAPP =−1 (9.37) Ako se (9.37) pomnoži sa lijeve strane matricom P , dobiti će se da je PΛAP = , što se može napisati u obliku:

[ ] [ ]

=

n

2

1

n21n21

0000000

λ

λλ

ppppppA (9.38)

Množenjem matrica u relaciji (9.38) se dobija: [ ] [ ]nn2211n21 pppApApAp λλλ= (9.39) Poznato je da su dvije matrice jednake ako su im odgovarajući elementi jednaki, pa se uspoređivanjem dobija: iii pAp λ= , n,...,2,1i = (9.40) što se može napisati u obliku: [ ] 0pAI =− iiλ , n,...,2,1i = (9.41) Iz ovoga niza homogenih jednačina izračunavaju se matrice kolone ip matrice transformacije P . Pošto je P nesingularna matrica, to determinanta izraza u zagradi relacije (9.41) mora biti jednaka nuli, tj.: [ ] 0det =− AIλ (9.42) Relacija (9.42) predstavlja karakterističnu jednačinu, a korjeni iλ su svojstvene vrijednosti matrice A . Svakoj svojstvenoj vrijednosti iλ pripada i odgovarajući svojstveni vektor ip matrice P . Pošto je (9.42) homogena jednačina, to je njeno rješenje i iik p , gdje je ik bilo koja skalarna veličina. Matricom transformacije P su povezane Frobeniusova matrica A i dijagonalna matrica Λ . Poznato je da su matrice A i Λ slične ako postoji nesingularna matrica sa konstantnim koeficijentima P takva da je zadovoljena jednačina (9.37). Pri tome matrica A ne smije imati višestrukih korjena. Veoma značajna osobina transformacije po sličnosti je u tome što su svojstvene vrijednosti matrica A i Λ invarijantne. Ova osobina se može dokazati ako se pođe od determinante:


328

[ ] [ ] 0detdet 1 =−=− − APPIΛI λλ (9.43) Ako se prvi član u zagradi pomnoži sa lijeve strane s 1−P i sa desne strane s P , a pošto je

IPIPIPPIPP λλλλ === −−− 111 , ovaj član ostaje isti, pa se dobija: [ ] ( )[ ]=−=− −−− PAIPAPPIPP λλ 111 detdet

[ ] [ ] [ ] 0detdetdet 1 =−= − PAIP λ (9.44) jer se množenje determinanti izvodi na isti način kao i matrica. Pošto je matrica P nesingularna, to će (9.44) biti zadovoljeno onda i samo onda kada je [ ] 0det =− AIλ . Tako je dokazano da su svojstvene vrijednosti matrice A ujedno i svojstvene vrijednosti matrice Λ .

Primjer 9.5. Neka je data matrica stanja sistema u pratećoj formi:

−−

=32

10A

i neka je treba transformisati u kanonski oblik. Prvo se odrede svojstvene vrijednosti:

[ ] 02332

1detdet 2 =++=

+−

=− λλλ

λλ AI

odakle se dobija da su 11 −=λ i 22 −=λ . Da bi se odredila matrica transformacije P potrebno je poći od jednačine (9.41). Prvo se odredi svojstveni vektor 1p koji pripada svojstvenoj vrijednosti 11 −=λ :

0pp

2211

321

12

111 =

−−=

+−

pλ

λ

Odavde se dobijaju dvije saglasne jednačine iz kojih je 1211 pp −= , pa se može odabrati na primjer da je 1p11 = , pa samim tim i 1p12 −= . Tako svojstveni vektor 1p postaje:

−

=

=

11

pp

12

111p

Sada se izračunava svojstveni vektor 2p koji pripada svojstvenoj vrijednosti 22 −=λ :


329

0pp

1212

321

22

212 =

−−=

+−

pλ

λ

Ponovo se dobijaju dvije saglasne jednačine iz kojih je 2221 p21p −= , pa se ponovo može

odabrati na primjer da je 1p21 −= , pa je 2p22 = . Svojstveni vektor 2p je:

−=

=

21

pp

22

212p

Tako su određeni svi elementi matrice transformacije P :

[ ]

−

−=

==

2111

pppp

2212

211121 ppP

Inverzna matrica 1−P je:

=

==−

1112

1112

11

detadj1

PPP

Sada se još može provjeriti da li je zadovoljena matrična jednačina ΛAPP =−1 :

−

−=

−

−

−−

20

012111

3210

1112

9.2.4. Dijagonalizacija matrice stanja koja je data u pratećoj formi Kada je matrica stanja sistema A data u pratećoj formi, ili kao Frobeniusova matrica, tada je matrica koja je svodi na dijagonalnu formu data u Van der Monde obliku:

===

−−−− 1nn

1n3

1n2

1n1

2n

23

22

21

n321

1111

λλλλ

λλλλλλλλ

MWP (9.45)

gdje su iλ , n,...,2,1i = , karakteristične vrijednosti sistema, ili svojstvene vrijednosti matrice stanja sistema, koje su realne i međusobom različite.


330

Primjer 9.6. Neka je dinamika sistema opisana jednačinom stanja i jednačinom izlaza:

u201

92624100010

+

−−−= xx

[ ] x133y = Potrebno je dati sistem transformisati u dijagonalnu formu ili kanonski oblik. Karakteristične vrijednosti sistema su 21 −=λ , 32 −=λ i 43 −=λ . Pošto su karakteristične vrijednosti realne i međusobom različite, a matrica stanja sistema je data u pratećoj formi, to se za prevođenje matrice stanja u dijagonalnu formu koristi matrica transformacije u Van der Monde obliku:

−−−===1694

432111

MWP

za koju je:

−−−=== −−−

15621216

1712

21111 MWP

Dobijeni rezultat se može provjeriti:

−−

−== −−

400030002

11 AMMAPP

Sada kanonski oblik jednačina stanja sistema i jednačina izlaza imaju oblik:

u4107

400030002

−+

−−

−= zz

[ ] z731y =


331

9.2.5. Jordanov oblik matrice stanja sistema U slučajevima kada su karakteristične vrijednosti sistema iλ , n,...,2,1i = , višestruke nije moguće dijagonalizirati matricu stanja sistema. Može se jedino postići Jordanov kanonski oblik: APPAMMJ 11 −− == (9.46) koji ima sljedeće osobine: − svi dijagonalni elementi su karakteristične vrijednosti i − svi ostali elementi su nule osim onih koji leže iznad višestrukih karakterističnih

vrijednosti i koji su ravni jedinici. Tako na primjer, neka je matrica stanja sistema A reda 7 x7 i neka ima jednu trostruku, jednu dvostruku i dvije jednostruke karakteristične vrijednosti, tada će Jordanov oblik matrice stanja biti:

=

7

6

4

4

1

1

1

λ0000000λ0000000λ0000001λ0000000λ0000001λ0000001λ

J (9.47)

Najjednostavniji oblik Jordanove kanonske matrice je Schwartzov oblik, a prepoznaje se po tome što ima samo jednu karakterističnu vrijednost 1λ višestrukosti n . Tada Jordanov oblik matrice stanja ima oblik:

=== −−

1

1

1

1

1

1

11

000001000001000

000000001000001

λλ

λ

λλ

λ

AMMAPPJ (9.48)

Prva kolona matrice MP = je data karakterističnim vektorom 11 mp = , dok su ostale kolone date vektorima ii mp = za i=2,3,...,n. Ako se (9.48) sa lijeve strane pomnoži matricom MP = , tada se dobija:


332

====

1

1

1

1

000100

000001

λλ

λλ

MMΛPΛAMAP (9.49)

ili u raspisanoj formi:

[ ] [ ]

=

1

1

1

1

n21n21

000100

000001

λλ

λλ

mmmmmmA (9.50)

Za prvi član proizvoda AMAP = se ima: ( ) ( ) 0mIAmAImmAm =−=−⇒== 111111111 λλλλ (9.51) i ovakav oblik jednačine se dobija samo za prvu kolonu matrice MP = , jer će za sljedeće kolone matrice MP = jedinice iznad glavne dijagonale prouzrokovati povezivanje i međusobna djelovanja stanja, što dovodi do promjena relacija za sljedeće članove proizvoda kolona: 2112 mmAm λ+= ................................. (9.52) n11nn mmAm λ+= − ili: ( ) 121 mmIA =−λ ............................... (9.53) ( ) 1nn1 −=− mmIA λ Iz relacije (9.51) slijedi da je 11 mp = karakteristični vektor, a ii mp = za i=2,3,...,n to nisu jer ne postoji linearna nezavisnost vektora 11 mp = sa ostalim vektorima ii mp = za i=2,3,...,n. Skup linearno nezavisnih vektora ii mp = za i=2,3,...,n, a koji nisu karakteristični, izračunava se iz relacija (9.53). Primjer 9.7. Neka je data matrica stanja sistema:

opisivanje sau metodom prostora stanja1

Documents