Operational Research (OR)

Hoorcollege (Week 7)

R.B.J. Pijlgroms

Hogeschool van Amsterdam

Instituut voor Informatica & Elektrotechniek

2

Inhoud

De tentamenstofEnkele voorbeelden van tentamenvragen Poissonverdeling Kendall-classificatie 2* M/M/1 systeem versus M/M/2-

systeem

3

De TentamenstofBeschrijvende statistiek Blad- steeldiagram, box plot, mediaan,

kwartielen, modus, gemiddelden, variantie, spreidingsmaten,…

Kansverdelingen Discrete: N-aselector, Bernoulli, binomiale,

geometrische, logaritmische, Poisson Continue: uniforme, normale, negatief-

exponentiële

Wachtrijmodellen Kendall-notatie, Little’s results, M/M/1, M/M/s

4

Tentamenstof

Geen formules uit het hoofd leren.Formules kunnen gebruiken. Formules worden gegeven, zie voor de wachtrijformules: het formuleblad.

5

Tentamenvraag (5 nov 1999)

Poissonverdeling / Negatief exponentiële kansdichtheid Als je in het helpbestand van MS-Excel

opzoekt: Poisson, dan krijg je de werkbladfunctie Poisson.verd() voorgeschoteld.Als je vervolgens op de hyperlink Zie ook: klikt dan krijg je alleen verwijzingen naar

Expon.verd() Statistische functies

Verklaar waarom de Poissonverdeling en de (negatief-)exponentiële kansdichtheid kennelijk zó veel met elkaar te maken hebben dat bij de één alleen naar de ander verwezen wordt?

6

Tentamenvraag (vervolg)

Beide verdelingen zijn de twee keerzijden van één medaille. Toelichting: Neem waarden die getrokken zijn uit een neg. exp. verdeling en interpreteer deze (bijv.) als tijdsintervallen tussen aankomsten van opeenvolgende klanten bij een loket en zet deze intervallen aaneen-gesloten uit langs een tijdas (langs de as staan dan de tussenaankomsttijden). Kies nu een vast tijdsinterval, bijv. Van één uur en tel het aantal aankomsten voor elke achtereenvolgend uur. Deze aantallen per uur zijn dan Poisson-verdeeld.

7

Tentamenvraag (vervolg)

Beide verdelingen zijn de twee keerzijden van één medaille. Toelichting: Neem waarden die getrokken zijn uit een neg. exp. verdeling en interpreteer deze (bijv.) als achtereenvolgende levensduren van gloeilampen in één bepaald verlichtingspunt Zet de tijdstippen van vervanging uit langs een tijdas. Kies nu een vast tijdsinterval, bijv. één jaar en tel het aantal lampen per jaar. Deze aantallen per jaar zijn dan Poisson-verdeeld.

8

Tentamenvraag (vervolg)

De overeenkomst met een Poisson-verdeling wordt beter naarmate er meer aankomsten zijn (Wet van de grote aantallen).Zeg de tussenaankomsttijd is gemiddeld 15 s. Gemiddeld verwachten we dan 60x60/15 = 240 aankomsten per uur. De neg. exp. verdeling heeft dan parameter = 1/15 sec-1 en de Poissonverdeling = 4 aankomsten per minuut =

240 aankomsten per uur.

9

Tentamenvraag

Bij een verbinding voor transport van digitale data gaat gemiddeld 1 bit per minuut verloren. Door foutcorrectie kan een overgezonden frame nog gecorrigeerd worden als er minder dan 3 bits verloren gegaan zijn. (minder dan 3 = 0, 1 of 2)

Bereken de kans dat er in 3 minuten een goede overdracht is.

Aanwijzing: De formule voor de kansen bij een Poissonverdeling is: P( X=k ) = e- µ µ k /k!

10

Tentamenvraag (vervolg)

We beschouwen een tijdsperiode van 3 minuten. De parameter is dan = 3 bit/3min. P(k=2)= exp(-3)*32/2! = 0,224042

P(k=1)= exp(-3)*31/1! = 0,149361P(k=0)= exp(-3)*30/0! = 0,049787Totaal: 0,423190Dit is de kans op het verloren gaan van twee bits of minder.

11

Tentamenvraag (vervolg)

Een andere verbinding is 60 keer zo snel, maar verliest 6 keer zoveel bits. Door de snelheid kan de correctie alleen gebeuren als er minder dan 2 bits verloren gegaan zijn. Als dezelfde hoeveelheid bits als in de vorige vraag overgebracht moet worden, bij welke verbinding heb je dan de grootste kans op goede overdracht van de data?

12

Tentamenvraag (vervolg)

De data0 0,59049 0,23730 0,03802 0,03125 0,02548 0,00098 0,000011 0,91854 0,63281 0,21350 0,18750 0,16350 0,01563 0,000462 0,99144 0,89648 0,53746 0,50000 0,46254 0,10352 0,008563 0,99954 0,98438 0,83650 0,81250 0,78650 0,36719 0,081464 0,99999 0,99902 0,97452 0,96875 0,96198 0,76270 0,409515 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,000000 0,59049 0,23730 0,03802 0,03125 0,02548 0,00098 0,000011 0,32805 0,39551 0,17548 0,15625 0,13802 0,01465 0,000452 0,07290 0,26367 0,32396 0,31250 0,29904 0,08789 0,008103 0,00810 0,08789 0,29904 0,31250 0,32396 0,26367 0,072904 0,00045 0,01465 0,13802 0,15625 0,17548 0,39551 0,328055 0,00001 0,00098 0,02548 0,03125 0,03802 0,23730 0,59049

3 min

=1 bit / 1min = 3bit / 3min

(3/60) min = (1/20) min =0,05 min

= 6 bit / min = 6* 0,05 bit / 0,05 min = 0,3 bit / 0,05 min

maal 6

maal 1/60

13

Tentamenvraag (vervolg)

Dezelfde hoeveelheid data wordt verzonden in 3/60 = 1/20 = 0,05 minuut. Het verlies is gemiddeld 6 bit/min. De parameter = 6*0,05 = 0,3 bit / (0,05min).

P(k=1) = exp(-0,3)*(0,3)1/1! = 0,222245P(k=0) = exp(-0,3)*(0,3)0/0! = 0,740818

Totaal: 0,963064(Dit is de kans op het verloren gaan van geen of één bit.) De snellere verbinding geeft dus de grootste kans op een goede overdracht (ondanks het grotere verlies).

14

Tentamenvraag

Wat is het verwachte aantal klanten in een single server-systeem, met negatief exponentieel verdeelde aankomst- en bedieningstijd, met een bezettingsgraadvan 85% ?

M/M/1 E(Nq) = E(Nq)=0,85/(1-0,85)=0,85/0,15=5,666…

15

TentamenvraagGeef voor de volgende beschrijvingen de juiste Kendall-notatie; geef ook telkens de waarde van en . A) Een tankstation met 6 identieke

benzine-pompen; bij het oprijden van het terrein kiest men voor een bepaalde pomp. Aankomst- en bedieningsproces zijn negatief-exponentieel verdeeld. Het terrein is groot genoeg om alle klanten te verwerken. Per uur komen gemiddeld 50 klanten zich melden; de gemiddelde duur van een bezoek is 5 minuten.

16

Tentamenvraag (vervolg)

Antwoord A)

M/M/6 (of 6 maal M/M/1 ??) =50 uur -1

=12 uur -1

s

17

Tentamenvraag (vervolg)

B) Een computernetwerk met 8 servers en 1250 terminals. De terminals doen elk gemiddeld 20 maal per uur een server-request, dat in gemiddeld één seconde wordt afgehandeld. Een terminal die een request heeft gedaan, staat te wachten op antwoord en er kan intussen niet op gewerkt worden. Aankomst- en bedieningenproces zijn Poisson-processen.

18

Tentamenvraag (vervolg)

Antwoord B)

M/M/8/1250/1250 = 1250 . 20 = 25000 uur -1

= 3600 uur -1 = = 25000/(8 .

3600)=0,8680555

19

Tentamenvraag (M/M/2 versus 2*M/M/1)

Laat met behulp van berekeningen zien dat een postkantoor met twee loketten beter met één centrale wachtrij kan worden ingericht,dan met twee 'aparte' loketten, ieder met hun eigen wachtrij. Ga bij de berekeningen uit van de volgende gegevens: Poisson aankomst- en bedieningsproces, gemiddeld 30 aankomsten per uur, gemiddeld 3 minuten per bediening. De ruimte om te wachten is groot genoeg en iedereen wordt in het postkantoor binnengelaten.(Gegevens: =30 uur -1 ; E(Ts)=3 min; = 20 uur -

1 )

20

Tentamenvraag (vervolg)

Hier staan twee modellen tegenover elkaar: Een M/M/2-model met centrale wachtrij en = 30

[aankomsten/uur]. Een "2 maal M/M/1-model" met twee aparte rijen

en 30 [aankomsten/uur] (hele systeem).

In beide gevallen is =20 [klanten/uur] (per server).Om de situaties te vergelijken zouden we bijv. detheoretische verwachtingen van de doorlooptijdE(Tq) kunnen berekenen.

21

Tentamenvraag (vervolg

Schema van de berekeningen (zie het formuleblad)

P0 E(Nw)

E(Tw)= (1/) E(Nw) (Little’s result)

E(Tq)= E(Tw)+E(Ts)

22

Tentamenvraag (vervolg)

M/M/2-model formuleblad: = /(shier: 30/(2*20)=3/4 Bereken eerst P0

1

0

0

1!1

!1

1s

n

sn

sn

P

71

...

2030

20230

1!2

12030

!1

112

0

20

n

n

n

P

1+3/2

23

Tentamenvraag (vervolg)

De verwachting van het aantal wachtenden

2

0

1!

s

PN

s

wE

...9285,11427

871

43

49

43

1!2

71

43

23

2

2

wNE

24

Tentamenvraag (vervolg)

De verwachting van de gemiddelde wachttijd

E(Tw)=(1/) E(Nw) = 1/30 . 27/14 == 9/140 uur = 27/7 min = = 3,85… min.

25

Tentamenvraag (vervolg

De verwachting van de gemiddelde verblijfstijd (= gemiddelde doorlooptijd).

E(Tq) = E(Tw)+E(Ts) = 3,85…+3 =.

= 6,85 min = 6 min 51 s.

26

Tentamenvraag (vervolg

Nu het “2 maal M/M/1-model”

Dit model levert dus een bijna twee- maal zo grote gemiddelde doorlooptijd.

(om precies te zijn: 12/(48/7)=1,75. )

min 12uur51

152011

qTE

27

Variaties op een themaQueues with baulking

When long queue customer chooses not to enter queue (with a certain probability)

Continental queueing servers pick customer at random

Post Office queues Several lines; servers enter and leave the system at

random

Last come, first servedGroup service (lift and bus queues)

Student discipline Arriving customers jump the queue, joining it where a

friend is standing