operasi limit dan kekontinuan fungsi vektor
DESCRIPTION
menjelaskan tentang pengoperasian fungsi vektor beserta kekontinuannyaTRANSCRIPT
MAKALAH
OPERASI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN
FUNGSI VEKTOR
Disusun Untuk Memenuhi Tugas
Mata Kuliah Kalkulus Lanjut I
Dosen Pengampu : Dra. Emi Puji Astuti
Disusun oleh:
Wahyu Nugroho S. (4101409007)
Gilang Muhammad Bintang (4101409078)
Gilang Anjar Permatasari (4101409083)
Suryati (4101409088)
Setiasih Alfindah (4101409096)
Fenti Nugraheni (4101409100)
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2010
2
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Pemahaman tentang pengertian dan konsep-konsep fungsi vektor,
operasi-operasi vektor, limit dan kekontinuan fungsi vektor sangat penting
untuk dipelajari, karena akan mendasari pembelajaran lain seperti
keterdifferensialan dan integral fungsi vektor beserta sifat-sifatnya serta
penggunaan konsep kalkulus differensial fungsi vektor.
B. RUMUSAN MASALAH
1. Apa pengertian fungsi vektor dan konsep-konsepnya?
2. Bagaimana operasi aljabar pada fungsi vektor?
3. Apa pengertian limit dan kekontinuan fungsi vektor beserta sifat-sifatnya?
C. TUJUAN PENULISAN
1. Memenuhi tugas kalkulus lanjut 1.
2. Sebagai bahan pembelajaran dan referensi.
3
BAB II
ISI
A. FUNGSI VEKTOR BESERTA OPERASINYA
Suatu kurva di bidang datar dapat kita tampilkan sebagai fungsi real baik
eksplisit maupun implisit. Tetapi banyak ilustrasi yang tidak dapat terlihat dalam
penampilan ini. Sebagai contoh: aturan lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2, 𝑟 > 0, belum
memperlihatkan apakah setiap titik pada lintasannya dijalani tepat satu kali,
apakah lintasannya dijalani searah atau berlawanan arah dengan putaran jarum
jam serta di manakah titik pangkal dan titik ujung dari lintasannya. Bila lingkaran
tersebut ditampilkan dalam bentuk :
𝐹 𝑡 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑖 + 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑗 , 𝑟 > 0, 0 𝑡 2
dimana 𝑡 parameter dan 𝑖, 𝑗 adalah vektor basis untuk ℝ2 terlihat bahwa
lintasannya dimulai dari titik pangkal (𝑟, 0) dan berakhir di titik (𝑟, 0) serta setiap
titik dijalani tepat satu kali kecuali titik pangkal dan titik ujung dengan orientasi
berlawanan arah dengan jarum jam.
Misalkan 𝑥 = 𝑥(𝑡) = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝑡; 𝑟 > 0 , 0 𝑡 2
𝑦 = 𝑦(𝑡) = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝑡; 𝑟 > 0 , 0 𝑡 2
dengan mensubtitusi 𝑡 dari kedua persamaan ini diperoleh
𝑥2 + 𝑦2 = (𝑟 cos 𝑡)2 + (𝑟 sin 𝑡)2 = 𝑟2, 𝑟 > 0
yang merupakan persamaan lingkaran. Penampilan lingkaran sebagai suatu fungsi
vektor di bidang tidak tunggal, beberapa bentuk lain adalah
𝐹(𝑡) = (𝑟 𝑐𝑜𝑠 2𝑡) 𝑖 + (𝑟 𝑠𝑖𝑛 2𝑡)𝑗, 𝑟 > 0, 0 𝑡
𝐹(𝑡) = (𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝑡) 𝑖 − (𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝑡)𝑗, 𝑟 > 0, 0 𝑡 2
Dengan mengeliminasi 𝑡 dari setiap persamaan terakhir, kita akan memperoleh
lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2. Terlihat bahwa penampilan suatu kurva bidang
sebagai fungsi vektor dapat memperlihatkan arah gerakan dan berapa kali
lengkungan tersebut dijalani. Kelemahannya adalah penampilan suatu kurva dapat
dibuat dengan lebih dari satu cara.
1. Fungsi Vektor di Bidang dan Ruang
Grafik fungsi vektor di dalam ruang dan bidang dinamakan kurva
bidang di bidang dan ruang. Kurva ini dapat didefinisikan sebagai berikut:
4
Definisi 1.1.1
1. Misalkan fungsi 𝑥 = 𝑥(𝑡) dan 𝑦 = 𝑦(𝑡) terdefinisi pada himpunan
𝐷 ⊆ ℝ dengan 𝑡 parameter. Fungsi 𝐹: 𝐷 → ℝ2.
𝐹(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗
dimana (𝑖, 𝑗) basis baku untuk ℝ2 dinamakn fungsi vektor bidang.
2. Misalkan fungsi 𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡) dan 𝑧 = 𝑧(𝑡) terdefinisi pada
himpunan 𝐷 ⊆ ℝ dengan t parameter. Fungsi 𝐹: 𝐷 → ℝ3.
𝐹(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗 + 𝑧(𝑡)𝑘
dimana (𝑖, 𝑗, 𝑘) basis baku untuk ℝ3. dinamakan fungsi vektor di ruang.
Diagram panah dari definisi 1.1.1 diperlihatkan pada Gb.1 dan Gb.2 di
bawah.
Catatan :
1. Bila diketahui kurva 𝐶 sebagai fungsi vektor di ℝ2 atau ℝ3, arah dan
berapa kali kurva dijalani sudah tertentu.
2. Bila diketahui kurva 𝐶 dalam kartesius, arah dan berapa kali dijalani
belum diketahui.
3. Fungsi vektor di bidang memuat pengertian 𝑦 sebagai fungsi implisit dari
𝑥. fungsi vektor di ruang peubah 𝑥, 𝑦, 𝑧 terlibat, peubah yang satu
merupakan fungsi implisit dari peubah lainnya.
4. Fungsi vektor sering kali dinamakan fungsi parameter. Istilah yang
lengkap adalah fungsi bernilai vektor dengan peubah real
Contoh 1.1 :
Diketahui fungsi vektor di bidang
𝐹 𝑡 = 𝑡 − 1 𝑖 + 𝑡2 − 1 𝑗, −2 ≤ 𝑡 ≤ 2
a. Jika 𝑥 = 𝑡 − 1 dan 𝑦 = 𝑡2 − 1, nyatakan 𝑦 secara eksplisit sebagai
fungsi dari 𝑥.
5
b. Gambarkan grafik fungsi 𝐹 di bidang XOY sebagai kurva 𝐶.
Penyelesaian:
a. Mengeliminasi 𝑡 dari persamaan yang diberikan. Dari 𝑥 = 𝑡– 1
diperoleh 𝑡 = 𝑥 + 1 yang bila digantikan ke persamaan 𝑦 = 𝑡2 − 1
menghasilkan
𝑦 = (𝑥 + 1)2 − 1 = 𝑥2 + 2𝑥
karena −2 ≤ 𝑡 ≤ 2 maka −3 ≤ 𝑡 − 1 ≤ 1, sehingga −3 ≤ 𝑥 ≤ 1.
jadi fungsi parameter 𝐹 dapat ditampilkan sebagai
𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥, −3 ≤ 𝑥 ≤ 1
b. Perhatikan bahwa disini arah kurva 𝐶 adalah dari titik pangkal
(−3,3) ke titik ujung (1,3) dengan setiap titik pada kurva dijalani
satu kali. Kurva 𝐶 yang berbentuk parabola diperlihatkan pada
gambar di bawah ini:
Jelas 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥, −3 ≤ 𝑥 ≤ 1, dan 𝐹 𝑡 = 𝑡 − 1 𝑖 +
𝑡2 − 1 𝑗, −2 ≤ 𝑡 ≤ 2.
Jelas gambar grafik 𝑦 atau fungsi 𝐹(𝑡) mempunyai titik pangkal di
(−3,3), ini bisa dihitung dengan menggunakan 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥, dengan
cara memasukkan 𝑥 = −3 sehingga diperoleh 𝑦 = (−3)2 +
2 −3 = 9 − 6 = 3. Juga bisa dihitung dengan menggunakan
𝑡 = −2, sehingga diperoleh 𝑥 = −2 − 1 = −3 dan 𝑦 = (−2)2 −
1 = 3. Dan cara yang sama kita dapat mencari titik ujung kurva,
sehngga di dapat titik ujung kurva (1,3). Jelas disini arahnya
berlawanan dengan jarum jam.
6
Titik potong dengan sumbu 𝑥
0 = 𝑥2 + 2𝑥
0 = 𝑥(𝑥 + 2)
𝑥1 = 0; 𝑥2 = −2
Titik potong dengan sumbu 𝑦
𝑦 = 02 + 2.0
𝑦 = 0
Koordinat titik balik (−1, −1)
𝑥 =−𝑏
2𝑎=
−2
2 ∙ 1= −1
𝑦 = (−1)2 + 2(−1) = 1 − 2 = −1
Contoh 1.2
Nyatakan lingkaran yang berpusat di titik (0,0,0), berjari-jari 4 satuan
dan terletak pada bidang 𝑦 =1
3 3𝑥 sebagai suatu fungsi vektor di ruang.
Penyelesaian:
Perhatikan gambar di bawah ini yang memperlihatkan lingkaran berpusat
di titik (0,0,0), berjari-jari 4 satuan dan terletak pada bidang Γ : 𝑦 =
1
3 3𝑥.
7
Cara pertama
Lingkaran berpusat di (0,0,0) dengan jari-jari 4, terletak pada bidang Γ:
𝑦 =1
3 3𝑥. Jelas 𝑦 =
1
3 3𝑥 ⇔
𝑦
𝑥=
3
3⟶ ∠𝑋𝑂𝑄 =
𝜋
6.
Kita dapatkan gambar sketsanya seperti pada gambar 4.
Mencari 𝑥
Perhatikan persegi panjang OQPZ,
(OQPZ persegi panjang karena 𝑂𝑍 ⊥ 𝑂𝑋 dan 𝑂𝑍 ⊥ 𝑂𝑌 sehingga
OQPZ tegak lurus dengan semua garis yang ada di bidang OXQY
termasuk OQ).
∠𝑃𝑂𝑍 = 𝑡
Jelas 𝑂𝑄 = 𝑂𝑃 sin 𝑡 = 4 sin 𝑡
Perhatikan persegi panjang OXQY
Didapat 𝑥 = 𝑂𝑄 ∙ cos𝜋
6= 4 ∙ sin 𝑡 ∙
1
2 3 = 2 3 sin 𝑡.
Mencari 𝑦
Perhatikan bidang OQPZ
Jelas 𝑂𝑄 = 4 sin 𝑡
Perhatikan bidang OXQY
Didapat 𝑦 = 𝑂𝑄 ∙ sin𝜋
6= 4 ∙ sin 𝑡 ∙
1
2= 2 sin 𝑡.
Mencari 𝑧
Perhatikan bidang ZOQP
𝑂𝑍 = 𝑂𝑃 cos 𝑡 = 4 cos 𝑡.
Dari perhitungkan di atas kita peroleh 𝑥 = 2 3 sin 𝑡, 𝑦 =
2 sin 𝑡 , dan 𝑧 = 4 cos 𝑡 disubstitusikan ke persamaan umum
𝐹(𝑡) = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘, didapat persamaan vektornya:
𝐹 𝑡 = (2 3 sin 𝑡) 𝑖 + (2 sin 𝑡) 𝑗 + (4 cos 𝑡) 𝑘, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.
Cara kedua
Lingkaran di ruang berarti berbentuk bola dengan persamaan 𝑥2 + 𝑦2 +
𝑧2 = 16 dan 𝑦 =1
3 3𝑥.
Perhatikan persegi panjang OZPQ
𝑂𝑄 = 𝑂𝑃 sin 𝑡 = 4 sin 𝑡.
Perhatikan persegi panjang OXQY
𝑂𝑌 = 𝑦 = 𝑂𝑄 ∙ sin𝜋
6= 4 sin 𝑡 ∙
1
2= 2 sin 𝑡.
8
Ambil 𝑦 = 2 sin 𝑡.
𝑥 =3
3𝑦 =
3
32 sin 𝑡 = 2 3 sin 𝑡.
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 16.
(2 3 sin 𝑡)2 + (2 sin 𝑡)2 + 𝑧2 = 16.
12 𝑠𝑖𝑛2𝑡 + 4 𝑠𝑖𝑛2𝑡 + 𝑧2 = 16 ⇔ 16 𝑠𝑖𝑛2𝑡 + 𝑧2 = 16.
𝑧2 = 16 − 16 𝑠𝑖𝑛2𝑡 = 16 1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑡 = 16 𝑐𝑜𝑠2𝑡.
𝑧 = 4 cos 𝑡.
Jadi 𝐹 𝑡 = (2 3 sin 𝑡) 𝑖 + (2 sin 𝑡) 𝑗 + (4 cos 𝑡) 𝑘, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
Jadi suatu fungsi vektor untuk kurva ruang ini adalah :
𝐹 𝑡 = (2 3 sin 𝑡) 𝑖 + (2 sin 𝑡) 𝑗 + (4 cos 𝑡) 𝑘, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.
Cara ketiga
Perhatikan kembali Gb.4, perpotongan antara bidang Γ: 𝑦 =1
3 3 𝑥
dengan bidang XOY adalah garis lurus
𝑔: 𝑦 =1
3 3𝑥
𝑧 = 0
Garis lurus ini dan bidang r yang memuat lingkaran L memperlihatkan
pada Gb.5 dan Gb.6.
Misalkan u adalah vektor satuan sepanjang garis g, maka vektor u dapat
dinyatakan sebagai kombinasi linear dari i dan j, yaitu
𝑢 =1
2 3 𝑖 +
1
2 𝑗
9
Suatu fungsi vektor untuk persamaan lingkaran L yang terletak pada
bidang r adalah
𝐹 𝑡 = (4 sin 𝑡)𝑢 + (4 cos 𝑡)𝑘 = (4 sin 𝑡) 1
2 3𝑖 +
1
2𝑗 + (4 cos 𝑡)𝑘
= (2 3 sin 𝑡)𝑖 + (2 sin 𝑡)𝑗 + (4 cos 𝑡)𝑘, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
Perhatikan bahwa cara ini memberikan hasil yang sama.
2. Operasi Pada Fungsi Vektor
Kita telah mempelajari bahwa kurva bidang dan ruang dapat
ditampilkan sebagai fungsi vektor di ℝ2 dan ℝ3. Selanjutnya, kita
mendefinisikan fungsi vektor di ℝ𝑛 sebagai berikut.
Definisi 1. 1. 2
Misalkan 𝑥1 = 𝑥1 𝑡 ; 𝑥2 = 𝑥2 𝑡 , … , 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛(𝑡) terdefinisi pada himpunan
𝐷 ⊆ ℝ dengan 𝑡 parameter dan 𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛 adalah basis baku untuk ℝ𝑛
Fungsi 𝐹: 𝐷 → ℝ𝑛 ,
𝐹 𝑡 = 𝑥1 𝑡 𝑒1 + 𝑥2 𝑡 𝑒2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑡 𝑒𝑛 = 𝑥𝑖(𝑡)𝑒𝑖
𝑛
𝑖=1
Dinamakan fungsi vektor di ℝ𝑛 . Grafik fungsi ini dinamakan kurva di ℝ𝑛 .
Diagram panah untuk fungsi ini diperlihatkan pada gambar berikut ini.
Definisi 1. 1. 3
Misalkan 𝐷, 𝐸 ⊆ ℝ, 𝐹: 𝐷 → ℝ𝑛 dan 𝐺: 𝐸 → ℝ𝑛 adalah fungsi vektor di ℝ𝑛
Fungsi 𝐹 dikatakan sama (ekivalen) dengan 𝐺 jika 𝐹 dan 𝐺 menjalani 𝐶 dalam
jumlah yang sama dan dengan arah yang sama dari titik pangkal dan titik
ujung yang sama pula.
10
Bila kita mempunyai dua vektor di ℝ𝑛 , maka operasi aljabar yang dapat
dilakukan padanya ialah penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar,
perkalian skalar, dan khusus untuk 𝑛 = 3 perkalian silang vektor.
Berikut ini adalah definisi dari semua operasi pada fungsi vektor tersebut.
Definisi 1. 1. 4
A. Operasi Aljabar pada Fungsi Vektor di ℝ𝑛 .
Misalkan 𝐹, 𝐺: 𝐷 → ℝ𝑛 , 𝐷 ⊆ ℝ;
𝐹 𝑡 = 𝑓𝑖 𝑡 𝑒1
𝑛
𝑖=1
dan 𝐺 𝑡 = 𝑔𝑖(𝑡)𝑒𝑖
𝑛
𝑖=1
Adalah fungsi vektor di ℝ𝑛 Penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan
skalar dan perkalian skalar dari 𝐹 dan 𝐺, ditulis:
𝐹 + 𝐺, 𝐹 – 𝐺, 𝑐𝐹, 𝑐 konstanta real dan 𝐹. 𝐺.
didefinisikan sebagai berikut.
Penjumlahan : 𝐹 + 𝐺 𝑡 = 𝐹 𝑡 + 𝐺 𝑡 = 𝑓𝑖 𝑡 + 𝑔𝑖(𝑡) 𝑒1
𝑛
𝑖=1
Pengurangan : 𝐹 − 𝐺 𝑡 = 𝐹 𝑡 − 𝐺(𝑡) = 𝑓𝑖 𝑡 − 𝑔𝑖(𝑡) 𝑒1
𝑛
𝑖=1
Perkalian dengan skalar : (𝑐𝐹) 𝑡 = 𝑐𝐹 𝑡 = 𝑐𝑓𝑖(𝑡) 𝑒𝑖
𝑛
𝑖=1
Perkalian skalar : 𝐹. 𝐺 𝑡 = 𝐹(𝑡) . 𝐺 𝑡 = [𝑓𝑖 𝑡 . 𝑔𝑖 𝑡 ] ∈ℝ
𝑛
𝑖=1
B. Perkalian Silang Dua Fungsi Vektor di ℝ3.
Jika 𝐹 𝑡 = 𝑓1 𝑡 𝑖 + 𝑓2 𝑡 𝑗 + 𝑓3 𝑡 𝑘, 𝑡 ∈ 𝐷 ∈ ℝ dan 𝐺 𝑡 = 𝑔1 𝑡 𝑖 +
𝑔2 𝑡 𝑗 + 𝑔3 𝑡 𝑘, 𝑡 ∈ 𝐷 ∈ ℝ maka perkalian silang (vektor) dari 𝐹 dan 𝐺,
ditulis 𝐹 × 𝐺 didefinisikan sebagai vektor:
𝐹 × 𝐺 =
𝑖 𝑗 𝑘𝑓1(𝑡) 𝑓2(𝑡) 𝑓3(𝑡)𝑔1(𝑡) 𝑔2(𝑡) 𝑔3(𝑡)
= 𝑓2(𝑡) 𝑓3(𝑡)𝑔2(𝑡) 𝑔3(𝑡)
𝑖 − 𝑓1(𝑡) 𝑓3(𝑡)𝑔1(𝑡) 𝑔3(𝑡)
𝑗
+ 𝑓1(𝑡) 𝑓2(𝑡)𝑔1(𝑡) 𝑔2(𝑡)
𝑘
C. Komposisi Fungsi Real dengan Fungsi Vektor.
11
Misalkan 𝐷, 𝐸 ⊆ ℝ; 𝑔: 𝐷 → ℝ, 𝑥 = 𝑔(𝑡) fungsi real dengan ℝ𝑔 =
𝑔 𝐷 ⊆ 𝐸 dan 𝐹: 𝐸 → ℝ𝑛 , 𝐹 𝑡 = 𝑓𝑖(𝑡)𝑒𝑖𝑛𝑖=1 fungsi vektor di ℝ𝑛 .
Komposisi dari 𝐹 dan 𝑔, ditulis gF , didefinisikan sebagai:
𝐹 ∘ 𝑔 𝑡 = 𝐹 𝑔 𝑡 = 𝑓𝑖[𝑔 𝑡 ]𝑒𝑖
𝑛
𝑖=1
Situasi definisi ini diperlihatkan pada gambar berikut ini:
D. Operasi Perkalian Fungsi Real dengan Fungsi Vektor.
Misalkan 𝐷 ⊆ ℝ, 𝑔: 𝐷 → ℝ, 𝑥 = 𝑔 𝑡 fungsi real dan 𝐹: 𝐷 → ℝ𝑛 , 𝐹 𝑡 =
𝑓𝑖(𝑡)𝑒𝑖𝑛𝑖=1 fungsi vektor di ℝ𝑛 . Perkalian antara 𝑔 dengan 𝐹, ditulis 𝑔𝐹,
didefinisikan sebagai:
𝑔𝐹 𝑡 = 𝑔 𝑡 . 𝑓𝑖 𝑡 𝑒𝑖 , 𝑡 ∈ 𝐷 ⊆ ℝ
𝑛
𝑖=1
Contoh:
Diketahui fungsi
𝐹 𝑡 = sin 𝑡 𝑖 + cos 𝑡 𝑗 + 𝑡𝑘, 𝑡 ∈ 𝑅
𝐺 𝑡 = cos 𝑡 𝑖 − sin 𝑡 𝑗 + 𝑒−𝑡 , 𝑡 ∈ ℝ
𝑔 𝑡 = 𝑒𝑡 , 𝑡 ∈ ℝ
Tentukan fungsi 𝐹 + 𝐺, 𝐹 − 𝐺, 𝐹 ∙ 𝐺, 𝐹 × 𝐺, 𝐹°𝐺, 𝐺°𝑔, 𝑔𝐹 𝑑𝑎𝑛 𝑔𝐺.
12
Penyelesaian:
Berdasarkan Definisi 1.1.4 diperoleh hasil berikut.
𝐹 + 𝐺 𝑡 = (cos 𝑡 + sin 𝑡)𝑖 + cos 𝑡 − sin 𝑡 𝑗 + 𝑡 + 𝑒−𝑡 𝑘
𝐹 − 𝐺 𝑡 = sin 𝑡 − cos 𝑡 𝑖 + sin 𝑡 + cos 𝑡 𝑗 + 𝑡 − 𝑒−𝑡 𝑘
𝐹 ∙ 𝐺 𝑡 = sin 𝑡 cos 𝑡 − cos 𝑡 sin 𝑡 + 𝑡𝑒−𝑡
𝐹 × 𝐺 𝑡 = 𝑖 𝑗 𝑘
sin 𝑡 cos 𝑡 𝑡cos 𝑡 − sin 𝑡 𝑒−𝑡
= cos 𝑡 𝑡
− sin 𝑡 𝑒−𝑡 𝑖 − sin 𝑡 𝑡cos 𝑡 𝑒−𝑡 𝑗 −
sin 𝑡 cos 𝑡cos 𝑡 − sin 𝑡
𝑘
= (𝑒−𝑡 cos 𝑡 + 𝑡 sin 𝑡)𝑖 − (𝑒−𝑡 sin 𝑡 − 𝑡 cos 𝑡)𝑗 − 𝑘
𝐹 ∘ 𝑔 𝑡 = 𝐹 𝑔 𝑡 = 𝐹 𝑒𝑡 = (sin 𝑒𝑡)𝑖 + (cos 𝑒𝑡)𝑗 + 𝑒𝑡𝑘
𝐺 ∘ 𝑔 𝑡 = 𝐺 𝑔 𝑡 = 𝐺 𝑒𝑡 = (cos 𝑒𝑡)𝑖 + 𝑠𝑖𝑛 𝑒𝑡 𝑗 + 𝑒−𝑒 𝑡𝑘
𝑔𝐹 𝑡 = 𝑔 𝑡 𝐹 𝑡 = (𝑒𝑡 sin 𝑡)𝑖 + (𝑒𝑡 cos 𝑡)𝑗 + 𝑡𝑒𝑡𝑘
𝑔𝐺 𝑡 = 𝑔 𝑡 𝐺 𝑡 = (𝑒𝑡 cos 𝑡)𝑖 − (𝑒𝑡 sin 𝑡)𝑗 + 𝑘
B. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI
Sebelum membahas limit fungsi vektor, kita perlu mengingat kembali
konsep limit fungsi real sebagai dasar atau analogi untuk mendefinisikan limit
fungsi vektor. Denifisi formal limit fungsi real adalah :
Dipunyai fungsi 𝑓 terdefinisi pada selang 𝐼 yang memuat 𝑎 kecuali mungkin
di 𝑎 sendiri. Limit fungsi 𝑓(𝑥) bernilai 𝐿 untuk 𝑥 mendekati 𝑎 ditulis
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿
Jika dan hanya jika∀휀 > 0∃𝛿 > 0 ∋ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀 apabila 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿
13
Pada grafik di atas terlihat bahwa nilai 𝑓(𝑥) dapat dibuat sebarang dekat ke
𝐿 dengan cara mengambil nilai 𝑥 yang cukup dekat dengan 𝑎. Dengan kata lain,
jarak 𝑓(𝑥) ke L dapat dibuat sebarang kecil dengan cara mengambil jarak x ke 𝑎
cukup kecil. Bila ukuran jarak yang digunakan di sini adalah nilai mutlak, maka
diperoleh rancangan konsep limit yang hasilnya seperti di atas.
1. Limit Fungsi Vektor
Konsep limit fungsi vektor di ℝ𝒏 dirancang serupa dengan limit fungsi
real. Namun sebelumnya, perlu diterjemahkan simbol fungsi vektor yang
berbeda dengan simbol fungsi real.
Rumus fungsi vektor di masing-masing ruang dituliskan :
𝑅2: 𝐹(𝑡) = 𝑥 𝑡 𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗
𝑅3: 𝐹 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑦 𝑡 𝑗 + 𝑧(𝑡)𝑘
𝑅4: 𝐹 𝑡 = 𝑥1 𝑡 𝑒1 + 𝑥2 𝑡 𝑒2 + 𝑥3 𝑡 𝑒3 + 𝑥4(𝑡)𝑒4
𝑅𝑛 : 𝐹 𝑡 = 𝑥1 𝑡 𝑒1 + 𝑥2 𝑡 𝑒2 + ⋯ + 𝑥𝑛(𝑡)𝑒𝑛
𝐹 𝑡 = 𝑥𝑖 𝑡 𝑒𝑖
𝑛
𝑖=1
Dimana disepakati bahwa 𝐹(𝑡) : Komponen fungsi vektor.
𝑥𝑖(𝑡)𝑒𝑖 : Fungsi vektor pada satu arah
dengan 𝑥 melambangkan fungsi,
𝑡 sebagai variabel (pengganti 𝑥
pada fungsi real) dan 𝑒
menyatakan arah vektor (vektor
satuan).
Namun demikian dalam makalah ini simbol 𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑛 digantikan
𝑓1, 𝑓2 , … , 𝑓𝑛 . Sehingga 𝐹 𝑡 = 𝑓1 𝑡 𝑒1 + 𝑓2 𝑡 𝑒2 + ⋯ + 𝑓𝑛(𝑡)𝑒𝑛 . Disini kita
menggunakan ukuran jarak dua vektor di ℝ𝑛 sebagai berikut:
Untuk 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) dan 𝑌 = (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛)
Maka jarak 𝑋 ke 𝑌 ditulis 𝑋 − 𝑌 didefinisikan sebagai:
𝑋 − 𝑌 = (𝑥1 − 𝑦1)2 + (𝑥2 − 𝑦2)2 + ⋯ + (𝑥𝑛 − 𝑦𝑛)2
Agar limit fungsi vektor 𝐹(𝑡) untuk 𝑡 mendekati 𝑎 dapat dibahas, di
sekitar 𝑎 harus terdapat tak berhingga banyaknya titik dari domain 𝐷𝑓 . Untuk
ini kita mengambil domain 𝐷𝑓 selang terbuka 𝐷 yang memuat 𝑎 kecuali
mungkin di 𝑎 sendiri.
14
Situasi yang terjadi adalah jarak 𝐹(𝑡) ke suatu vektor tetap 𝐿 =
(𝑙1, 𝑙2, … , 𝑙𝑛) dapat dibuat sembarang dekat dengan cara membuat jarak 𝑡 ke 𝑎
cukup dekat. Dengan demikian diperoleh konsep limit fungsi vektor sebagai
berikut:
Definisi 1.2.1
Misalkan fungsi vektor 𝐹(𝑡) = 𝑓1(𝑡) 𝑒1 + 𝑓2(𝑡) 𝑒2 + … + 𝑓𝑛(𝑡) 𝑒𝑛
terdefinisi pada selang terbuka di D yang memuat 𝑎, kecuali mungkin di 𝑎
sendiri dan 𝐿 = (𝑙1, 𝑙2, … , 𝑙𝑛) vektor di ℝ𝑛 . Limit fungsi 𝐹 jika t mendekati a
sama dengan L, ditulis 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎 𝐹(𝑡) = 𝐿, jika ∀휀 > 0∃𝛿 > 0 ∋ 0 < 𝑡 − 𝑎 <
𝛿 ⇒ 𝐹 𝑡 − 𝐿 < 휀.
Adapun limit sepihak fungsi vektor didefinisikan sebagai berikut:
lim𝑡→𝑎+
𝐹(𝑡) = 𝐿 ⟺ ∀휀 > 0∃𝛿 > 0 ∋ 0 < 𝑡 − 𝑎 < 𝛿 ⇒ 𝐹 𝑡 − 𝐿 < 휀
lim𝑡→𝑎−
𝐹(𝑡) = 𝐿 ⟺ ∀휀 > 0∃𝛿 > 0 ∋ 0 < 𝑎 − 𝑡 < 𝛿 ⇒ 𝐹 𝑡 − 𝐿 < 휀
Teorema 1.2.1
Misalkan fungsi vektor 𝑋 = 𝐹(𝑡) terdefinisi pada selang terbuka 𝐼
yang memuat 𝑎, kecuali mungkin di 𝑎 sendiri. Maka
𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎 𝐹(𝑡) = 𝐿 ⟺ 𝑙𝑖𝑚𝑡−𝑎 𝐹(𝑡) − 𝐿 = 0
Bukti:
Dipunyai 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎 𝐹(𝑡) = 𝐿
Bukti ke kanan :
⟹ ∀휀 > 0∃𝛿 > 0 ∋ 0 < 𝑡 − 𝑎 < 𝛿
⟹ 𝐹 𝑡 − 𝐿 < 휀
⟹ 𝐹 𝑡 − 𝐿 − 0 < 휀
⟹ lim𝑡→𝑎
𝐹 𝑡 − 𝐿 = 0
Bukti ke kiri :
⟹ ∀ε > 0∃𝛿 > 0 ∋ 0 < t − a < 𝛿
⟹ F t − L − 0 < 휀
⟹ F t − L < 휀
Jadi limt→a F(t) = L
Jadi terbukti bahwa teorema di atas benar.
15
Teorema 1.2.2
Misalkan fungsi vektor 𝐹(𝑡) = 𝑓1(𝑡) 𝑒1 + 𝑓2(𝑡) 𝑒2 + … + 𝑓𝑛(𝑡) 𝑒𝑛
terdefinisi pada selang terbuka di 𝐷 yang memuat 𝑎, kecuali mungkin di 𝑎
sendiri dan 𝐿 = (𝑙1, 𝑙2, … , 𝑙𝑛) suatu vektor di ℝ𝑛 . Maka
lim𝑡→𝑎
𝐹 𝑡 = 𝐿 ⟺ lim𝑡⟶𝑎
𝑓𝑖 𝑡 = 𝑙𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛
Bukti :
⇒ diketahui lim𝑡→𝑎
𝐹 𝑡 = 𝐿 ini berarti bahwa
∀휀 > 0∃𝛿 > 0 ∋ 0 < 𝑡 − 𝑎 < 𝛿 ⇒ 𝐹 𝑡 − 𝐿 < 휀
Karena
𝑓𝑖 𝑡 − 𝑙𝑖 = [ 𝑓𝑖 𝑡 − 𝑙𝑖 2]1/2 ≤ [𝑓𝑖 𝑡 − 𝑙𝑖]
2
𝑛
𝑖=1
1/2
= 𝐹 𝑡 − 𝐿
Untuk 𝛿 > 0 di atas berlaku
0 < 𝑡 − 𝑎 < 𝛿 ⟺ 𝑓𝑖 𝑡 − 𝑙𝑖 ≤ 𝐹 𝑡 − 𝐿 < 휀
Sehingga terbuktilah
lim𝑡→𝑎
𝑓𝑖 𝑡 = 𝑙𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛
⇒ diketahui lim𝑡→𝑎
𝑓𝑖 𝑡 = 𝑙𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 dari sini diperoleh
lim𝑡→𝑎 [𝑓𝑖 𝑡 − 𝑙𝑖] = 0, 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 Sehingga
lim𝑡→𝑎
[𝑓𝑖 𝑡 − 𝑙𝑖]2 = 0
Akibatnya
lim𝑡→𝑎
𝐹 𝑡 − 𝐿 = lim𝑡→𝑎
[𝑓𝑖 𝑡 − 𝑙𝑖]2
𝑛
𝑖=1
1/2
= 0
Menurut Teorema 1.2.1 terbukti lim𝑡→𝑎 𝐹 𝑡 = 𝐿.
Teorema 1.2.3
Misalkan fungsi vektor 𝐹(𝑡) = 𝑓1(𝑡) 𝑒1 + 𝑓2(𝑡) 𝑒2 + … + 𝑓𝑛(𝑡) 𝑒𝑛
dan 𝐺(𝑡) = 𝑔1(𝑡) 𝑒1 + 𝑔2(𝑡) 𝑒2 + … + 𝑔𝑛(𝑡) 𝑒𝑛 , dan fungsi real 𝑢 = 𝑔(𝑡)
semua terdefinisi pada selang terbuka 𝐷 yang memuat 𝑎, kecuali mungkin di
𝑎 sendiri. Jika 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎 𝐹(𝑡), 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎 𝐺(𝑡) , 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎 𝑔(𝑡) ada dan berhingga,
maka
1. 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎 𝐹(𝑡) tunggal, yaitu jika lim𝑡→𝑎 𝑓(𝑡) = 𝑙 dan lim𝑡→𝑎 𝑓(𝑡) =
𝑚 maka 𝑙 = 𝑚.
Bukti :
16
Dipunyai lim𝑡→𝑎 𝑓(𝑡) = 𝑙 dan lim𝑡→𝑎 𝑓(𝑡) = 𝑚 maka 𝑙 = 𝑚.
Ambil sembarang 휀 > 0.
Pilih δ1 > 0 dan δ2 > 0 sehingga
𝐹(𝑡) − 𝑙 < 휀/3 apabila 0 < 𝑡 − 𝑎 < 𝛿1 dan
𝐹(𝑡) − 𝑚 < 휀/3 apabila 0 < 𝑡 − 𝑎 < 𝛿2.
Pilih 𝛿 = min(𝛿1, 𝛿2).
Jelas 𝑙 − 𝑚 = 𝑙 − 𝐹(𝑡) + 𝐹(𝑡) − 𝑚 ≤ 𝐹 𝑡 − 𝑙 + 𝐹 𝑡 − 𝑚 <
휀/3 + 휀/3 < 휀.
Dengan kata lain terbukti bahwa 𝑙 = 𝑚.
2. limt→a F t + G t = limt→a F t + limt→a
G t
Bukti :
Ambil sembarang bilangan 휀 > 0. Menurut yang diketahui, ada bilangan
𝛿1 > 0 dan 𝛿2 > 0 sehingga
𝐹(𝑡) − (𝑥′, 𝑦′) = (𝑥1(𝑡), 𝑦(𝑡)) − (𝑥′, 𝑦′) < 휀/3
Untuk setiap 𝑡 ∈ 𝐷𝑓 = 𝐴, 𝑡 ≠ 𝑡0 dan 𝑡 − 𝑡0 < 𝛿0. Dengan mengambil
𝛿 = min 𝛿1, 𝛿2 diperoleh :
𝐹(𝑡) + 𝑔(𝑡) − (𝑥′ + 𝑥", 𝑦′ + 𝑦") = 𝑥1(𝑡), 𝑦1(𝑡)) − (𝑥′, 𝑦′) +
(𝑥2(𝑡), 𝑦2(𝑡)) − (𝑥", 𝑦") ≤
(𝑥1(𝑡), 𝑦1(𝑡)) − (𝑥′, 𝑦′) + (𝑥2(𝑡), 𝑦2(𝑡)) − (𝑥", 𝑦") <휀
3+
휀
3< 휀.
Untuk setiap 𝑡 ∈ 𝐷𝐹+𝐺 = 𝐷𝐹 ∩ 𝐷𝐺 , 𝑡 ≠ 𝑡0, dan 𝑡 − 𝑡0 < 𝛿
3. limt→a F t − G t = limt→a F t −limt→a
G t
4. limt→a cF(t) = limt→a F(t), c konstanta real
5. 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎 𝐹 𝑡 . 𝐺 𝑡 = 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎 𝐹 𝑡 . 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎 𝐺 𝑡
6. limt→a gF(t) = limt→a g(t) . limt→a F(t)
Contoh :
Hitunglah setiap limit fungsi vektor berikut.
a) 𝑙𝑖𝑚𝑡→0 𝑒 𝑡−1
𝑡𝑖 +
𝑙𝑛 1+𝑡
𝑡𝑗 +
1+𝑡2
𝑡𝑘
b) 𝑙𝑖𝑚𝑡→0 𝑠𝑖𝑛 𝑡
𝑡𝑖 +
𝑡
𝑒 𝑡𝑗
Jawab :
a) Kita hitung dahulu limit setiap komponen fungsi vektornya.
𝑙𝑖𝑚𝑡→0
𝑒𝑡 − 1
𝑡𝑖 +
𝑙𝑛 1 + 𝑡
𝑡𝑗 +
1 + 𝑡2
𝑡𝑘
𝑙𝑖𝑚𝑡→0
𝑒𝑡 − 1
𝑡= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→𝑎
𝑒𝑡
1= 1
17
𝑙𝑖𝑚𝑡→0
𝑙𝑛 1 + 𝑡
𝑡= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
11 + 𝑡
1= 1
𝑙𝑖𝑚𝑡→0
1 + 𝑡2
𝑡= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→02𝑡 = 0
jadi, 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎 𝑒 𝑡−1
𝑡𝑖 +
𝑙𝑛 1+𝑡
𝑡𝑗 +
1+𝑡2
𝑡𝑘 = 𝑖 + 𝑗.
b) Kita hitung dahulu setiap komponen fungsi vektornya.
𝑙𝑖𝑚𝑡→0
𝑠𝑖𝑛 𝑡
𝑡𝑖 +
𝑡
𝑒𝑡𝑗
𝑙𝑖𝑚𝑡→0
𝑠𝑖𝑛 𝑡
𝑡= 1
𝑙𝑖𝑚𝑡→0
𝑡
𝑒𝑡= 0
Jadi, 𝑙𝑖𝑚𝑡→0 𝑠𝑖𝑛 𝑡
𝑡𝑖 +
𝑡
𝑒 𝑡 𝑗 = 1.
2. Kekontinuan Fungsi Vektor
Seperti pada fungsi real, konsep kekontinuan fungsi vektor di satu titik
dapat di definisikan limit fungsi dititik itu, yang harus sama dengan nilai
fungsinya. Berikut adalah definisi formalnya.
Definisi 1.2.2
Misalkan fungsi vektor 𝐹 𝑡 = 𝑓1 𝑡 𝑒1 + ⋯ + 𝑓𝑛 𝑡 𝑒𝑛 terdefinisi pada
selang terbuka 𝐷 yang memuat 𝑎, 𝐹 dikatakan kintinu di 𝑎 ∈ 𝐷 jika
𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎 𝐹 𝑡 = 𝐹 𝑎 .
Definisi 1.2.3
Misalkan fungsi vektor 𝐹 𝑡 = 𝑓1 𝑡 𝑒1 + ⋯ + 𝑓𝑛 𝑡 𝑒𝑛 terdefinisi pada
himpunan 𝐷 yang memuat 𝑎, fungsi 𝐹 dikatakan kontinu di 𝑎 ∈ 𝐷 jika
∀휀 > 0∃𝛿 > 0 ∋ 𝑡 − 𝑎 < 𝛿 ⟹ 𝐹 𝑡 − 𝐹(𝑎) < 휀.
Definisi 1.2.4
Fungsi vektor 𝐹 𝑡 = 𝑓1 𝑡 𝑒1 + ⋯ + 𝑓𝑛 𝑡 𝑒𝑛 yang terdefiinisi pada
himpunan 𝐷 ⊆ 𝑅 dikatakan kontinu pada 𝐷 jika fungsi 𝐹 kontinu di setiap
titik pada 𝐷.
Teorema 1.2.4
Fungsi vektor 𝐹 𝑡 = 𝑓1 𝑡 𝑒1 + ⋯ + 𝑓𝑛 𝑡 𝑒𝑛 kontinu pada 𝐷𝑓 ⇔ fungsi
real 𝑓𝑖 kontinu pada 𝐷𝑓 = 𝐷𝑓1∩ …∩ 𝐷𝑓𝑛 , 𝑡 = 1, 2, … , 𝑛.
18
Bukti :
Bukti ke kanan :
⟹ 𝐹 𝑡 = 𝑓1 𝑡 𝑒1 + ⋯ + 𝑓𝑛 𝑡 𝑒𝑛 kontinu pada 𝐷𝐹
⇒ 𝐹 kontinu pada setiap titik di 𝐷
⇒ 𝐹 kontinu pada 𝐷𝑓1…𝐷𝑓𝑛 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.
⇒𝑓𝑖(𝑡) kontinu pada 𝐷𝑓𝑖
⇒ 𝑓𝑛(𝑡) kontinu pada 𝐷𝑓𝑛
⇒ 𝑓𝑖(𝑡) kontinu pada 𝐷𝑓 = 𝐷𝑓1∩ …∩ 𝐷𝑓𝑛 .
Bukti ke kiri
⟸ 𝑓𝑖(𝑡) kontinu pada 𝐷𝑓 = 𝐷𝑓1∩ …∩ 𝐷𝑓𝑛 .
⇒ 𝑓𝑖(𝑡) kontinu pada 𝐷𝐹
⇒ 𝑓𝑛(𝑡) kontinu pada 𝐷𝐹
⇒ 𝐹(𝑡) kontinu pada setiap titik di 𝐷𝐹
Jadi teorema di atas terbukti kebenarannya.
Teorema 1.2.5
Misalkan fungsi vektor 𝐹 𝑡 = 𝑓1 𝑡 𝑒1 + ⋯ + 𝑓𝑛 𝑡 𝑒𝑛 dan 𝐺 𝑡 =
𝑔1 𝑡 𝑒1 + ⋯ + 𝑔𝑛(𝑡)𝑒𝑛 dan fungsi real 𝑢 = 𝑔(𝑡) semuanya terdefinisi pada
selang terbuka 𝐷 = 𝐷𝐹 ∩ 𝐷𝐺 ∩ 𝐷𝑔, maka fungsi 𝐹 + 𝐺, 𝐹 − 𝐺, 𝑐𝐹 𝑐
konstanta real, 𝐹. 𝐺 dan 𝑔𝐹 semuanya kontinu pada 𝐷.
Bukti:
Misalkan fungsi vektor 𝐹 𝑡 = 𝑓1 𝑡 𝑒1 + ⋯ + 𝑓𝑛 𝑡 𝑒𝑛 dan 𝐺 𝑡 =
𝑔1 𝑡 𝑒1 + ⋯ + 𝑔𝑛(𝑡)𝑒𝑛 dan fungsi real 𝑢 = 𝑔(𝑡) semuanya kontinu pada
himpunan 𝐷 = 𝐷𝐹 ∩ 𝐷𝐺 ∩ 𝐷𝑔, terdefinisi
𝐿𝑖𝑚𝑡→𝑎
𝐹 𝑡 = 𝐹(𝑎)
𝐿𝑖𝑚𝑡→𝑎
𝐺 𝑡 = 𝐺 𝑎
𝐿𝑖𝑚𝑡→𝑎
𝑔 𝑡 = 𝑔 𝑎
Maka
𝐿𝑖𝑚𝑡→𝑎 𝐹 + 𝐺 𝑡 = 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎 𝐹 𝑡 + 𝐺 𝑡
= 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎
𝐹 𝑡 + 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎
𝐺 𝑡
= 𝐹 𝑎 + 𝐺 𝑎
= 𝐹 + 𝐺 (𝑎)
Ini menunjukan bahwa fungsi 𝐹 + 𝐺 kontinu pada 𝐷.
𝐿𝑖𝑚𝑡→𝑎 𝐹 − 𝐺 𝑡 = 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎 𝐹 𝑡 − 𝐺 𝑡
19
= 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎
𝐹 𝑡 − 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎
𝐺(𝑡)
= 𝐹 𝑎 − 𝐺 𝑎
= 𝐹 − 𝐺 (𝑎)
Ini menunjukan bahwa fungsi 𝐹 – 𝐺 kontinu pada 𝐷.
𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎 𝑐 𝐹 𝑡 = 𝑐 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎
𝐹 𝑡 = 𝑐 𝐹 𝑎
Ini menunjukan bahwa fungsi 𝑐 𝐹 kontinu pada 𝐷.
𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎 𝐹. 𝐺 𝑡 = 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎
𝐹 𝑡 . 𝐺(𝑡)
= 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎
𝐹(𝑡) . 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎
𝐺 𝑡
= 𝐹 𝑎 . 𝐺(𝑎)
= 𝐹. 𝐺 (𝑎)
Ini menunjukan bahwa fungsi 𝐹 . 𝐺 kontinu di 𝐷
𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎 𝑔𝐹 (𝑡) = 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎 𝑔(𝑡0. 𝐹(𝑡)
= 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎
𝑔 𝑡 . 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎
𝐹 𝑡
= 𝑔 𝑎 . 𝐹(𝑎)
= 𝑔𝐹 (𝑎)
Ini menunjukan bahwa fungsi 𝑔𝐹 kontinu pada 𝐷
Teorema 1.2.6
1. Jika fungsi real 𝑢 = 𝑔(𝑡) semuanya terdefinisi pada selang terbuka 𝐷
yang memuat 𝑎 dengan
𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎
𝑔(𝑡) = 𝑏
dan fungsi vektor 𝐹,𝐹 𝑡 = 𝑓1 𝑡 𝑒1 + ⋯ + 𝑓𝑛 𝑡 𝑒𝑛 kontinu di 𝑏, maka
𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎
𝐹(𝑔 𝑡 ) = 𝐹 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎
𝑔(𝑡) = 𝐹(𝑏)
2. Jika fungsi real u = g(t) terdefinisi pada himpunan D dengan 𝑅𝑔=g(D) ⊆
E ⊆ R dan fungsi vektor 𝐹 𝑡 = 𝑓1 𝑡 𝑒1 + ⋯ + 𝑓𝑛 𝑡 𝑒𝑛 kontinu pada 𝐸,
maka fungsi vektor (𝐹 ∘ 𝐺) kontinu pada 𝐷.
Bukti :
1. Diberikan 휀 > 0, akan ditunjukan terdapat suatu 𝛿 > 0 sehingga
0 < 𝑡 − 𝑎 < 𝛿 ⇒ 𝐹 𝐺 𝑡 − 𝐹(𝑏) < 휀. diketahui 𝐹 kontinu di 𝑏,
maka ∃𝛿1 > 0 ∋ 0 < 𝑢 − 𝑏 < 𝛿1 ⟹ 𝐹 𝑢 − 𝐹(𝑏) < 휀. Dari
𝑙𝑖𝑚𝑡−𝑎 𝑔(𝑡) = 𝑏 diperoleh bahwa untuk 𝛿1 > 0 terdapat 𝜂 > 0 sehingga
0 < 𝑡 − 𝑎 < 𝜂 ⇒ 𝑔 𝑡 − 𝑏 < 𝛿1. Ambil 𝛿 = 𝜂, maka 0 < 𝑡 − 𝑎 <
20
𝛿 = 𝜂 ⇒ 𝑔 𝑡 − 𝑏 < 𝛿1 ⇒ 𝑢 − 𝑏 < 𝛿1 ⇒ 𝐹 𝑢 − 𝐹(𝑏) < 휀 ⇒
𝐹 𝑔 𝑡 − 𝐹(𝑏) < 휀.
Jadi terbuktilah yang diinginkan
2. Sama seperti bukti rumus pertama dan diserahkan pada pembaca.
Contoh :
Diketahui fungsi vektor 𝐹 adalah
𝐹 𝑡 = ln(1 + 𝑡2)
𝑡𝑖 +
𝑒2𝑡−1
𝑡𝑗 −
sinh 𝑡
𝑡𝑘, 𝑡 ≠ 0
2𝑗 − 𝑘, 𝑡 = 0
Tentukan semua nilai 𝑡 sehingga fungsi 𝐹 kontinu.
Penyelesaian :
Komponen fungsi vektor 𝐹 adalah
𝑥 𝑡 = ln(1 + 𝑡2)
𝑡, 𝑡 ≠ 0
0, 𝑡 = 0
; 𝑦 𝑡 = 𝑒2𝑡−1
𝑡, 𝑡 ≠ 0
2, 𝑡 = 0
, 𝑧 𝑡 = −sinh 𝑡
𝑡, 𝑡 ≠ 0
−1, 𝑡 = 0
Karena setiap komponen fungsi 𝐹 terdefinisi pada ℝ, maka 𝐹 terdefinisi pada
ℝ.
Sekarang selidiki kekontinuan setiap komponen fungsi 𝐹 pada ℝ.
Fungsi 𝑥 = 𝑥(𝑡);
Untuk 𝑡 ≠ 0, 𝑥 = 𝑥(𝑡) kontinu karena merupakan hasil bagi dari dua fungsi
kontinu.
Untuk 𝑡 = 0, karena
𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎
𝑥(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑜
𝑙𝑛(1 + 𝑡2)
𝑡= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
2𝑡1 + 𝑡2
1= 0 = 𝑥(0)
Maka fungsi 𝑥 = 𝑥(𝑡) juga kontinu di 𝑡 = 0. Dari kedua hasil diatas diperoleh
bahwa 𝑥 = 𝑥(𝑡) kontinu pada ℝ.
Fungsi 𝑦 = 𝑦(𝑡)
Untuk 𝑡 ≠ 0, 𝑦 = 𝑦(𝑡) kontinu karena merupakan hasil bagi dari dua fungsi
kontinu.
Untuk 𝑡 = 0, karena
𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎
𝑦(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚𝑡→0
𝑒2𝑡−1
𝑡= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
2𝑒𝑡
1= 2 = 𝑦(0)
21
Maka fungsi 𝑦 = 𝑦(𝑡) juga kontinu di 𝑡 = 0. Dari kedua hasil diatas
diperoleh bahwa 𝑦 = 𝑦(𝑡) kontinu pada ℝ.
Fungsi 𝑧 = 𝑧(𝑡)
Untuk 𝑡 ≠ 0, 𝑧 = 𝑧(𝑡) kontinu karena merupakan hasil bagi dari dua fungsi
kontinu.
Untuk 𝑡 = 0, karena
𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑎
𝑧(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚𝑡→0
− 𝑠𝑖𝑛 𝑡
𝑡= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
− 𝑐𝑜𝑠 𝑡
1= −1 = 𝑧(0)
Maka fungsi 𝑧 = 𝑧(𝑡) juga kontinu di 𝑡 = 0. Dari kedua hasil diatas diperoleh
bahwa 𝑧 = 𝑧(𝑡) kontinu pada ℝ
Karena 𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡), 𝑧 = 𝑧(𝑡) semuanya kontinu pada ℝ, maka fungsi
𝐹 juga kontinu pada ℝ.
22
BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Konsep fungsi vektor dan operasinya ternyata serupa dengan fungsi
real dalam kalkulus dan secara umum fungsi vektor dikenal dengan fungsi
parameter yakni fungsi bernilai vektor dengan peubah real. Operasi yang
dapat dilakukan pada fungsi vektor adalah fungsi aljabar, dan operasi
perkalian antara fungsi real dengan fungsi vektor. Demikian juga konsep limit
dan kekontinuan fungsi vektor yang didefinisikan dengan memanfaatkan
konsep limit dan kekontinuan fungsi real.
B. SARAN
Konsep fungsi vektor, operasi vektor, limit dan kekontinuan harus
benar-benar dipahami karena mendasari pemahaman pembelajaran materi
selanjutnya. Agar lebih mudah dalam memahami konsep-konsep tersebut,
disarankan untuk terlebih dahulu memahami konsep fungsi, limit dan
kekontinuan fungsi real serta materi pendukung lainnya dalam mata kuliah
kalkulus 1 dan 2.
23
SOAL LATIHAN
1. Dipunyai fungsi vektor 𝐹 𝑡 = 𝑡 + 1 𝑖 + 𝑡3 + 1 𝑗,𝑡 ∈ ℛ.
Jika 𝑥 = 𝑡 + 1 dan 𝑦 = 𝑡3 + 1. Tentukan persamaan koordinatnya!
2. Dipunyai fungsi vektor 𝐹 𝑡 = (4 cos 𝑡)𝑖 + ( 3 sin 𝑡)𝑗, 𝑡 𝜖 (0, 2𝜋)
Jika 𝑥 = 4 cos 𝑡 dan 𝑦 = 3 sin 𝑡. Tentukan persamaan koordinatnya!
3. Hitunglah lim𝑡→0𝑠𝑖𝑛2𝑡
𝑠𝑖𝑛 𝑡 2 .
4. Tunjukkan bahwa
lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)
𝑥𝑦
𝑥2 + 𝑦2= 0.
5. Dipunyai fungsi vektor 𝐹 𝑡 = sin−1 𝑡 𝑖 + cos−1 𝑡 𝑗 + 𝑒−𝑡𝑘.
Selidiki kekontinuan fungsi 𝐹 pada daerah definisinya.
6. Dipunyai fungsi vektor 𝐹 𝑡 = sin−1(2𝑡 + 3) 𝑖 +tan −1 𝑡
𝑡−1𝑗.
Selidiki kekontinuan fungsi 𝐹 pada daerah definisinya.
24
DAFTAR PUSTAKA
Berkey, D. Dennis.1988.Calculus, 2nd Edition. New York : Sounders College
Publishing
Chotim, Moch.2008.Kalkulus 1. Semarang: Universitas Negeri Semarang.
Martono, K.1992.Kalkulus Lanjut 1. Bandung : Institut Teknologi Bandung.
Purcell, E & Varberg, D.1987.Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1. Terjemahan I
Nyoman Susilo, Bana Kartasasmita, dan Rawuh. Jakarta : Penerbit Erlangga.
Purcell, E & Varberg, D.1987.Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 2. Terjemahan I
Nyoman Susilo, Bana Kartasasmita, dan Rawuh. Jakarta : Penerbit Erlangga.