onj¡s3 - upcommons.upc.eduupcommons.upc.edu/bitstream/handle/2117/90671/1400291614.pdf ·...
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LAJVIINAS CILINDRICAS DE DIRECTRIZ
CIRCULAR SDilETRICA CON CARGA UNIFORME.
1. CONCEPTOS Y COiill?ORTAMIENTO GENERALES.
La generación de estas superficies se obtiene por traslación de
un arco de circunferencia en la dirección perpendicular a su
plano. Sus características formales vienen, pues, fijadas por
el ángulo <l:>K, mitad del que abarca toda la porción de círculo
generatriz, la longitud L, el radio R y el grueso 2h de la lá
mina ( fig. 1. ) •
Suelen distinguirse dos tipos de láminas cilíndricas: las lámi
nas largas (~ < 0,4) y las láminas cortas (~ ~ 0,4), tipología que se refleja en algunas diferencias de comportamiento.
Para obtener unas condiciones aceptables de trabajo debe asegu
rarse en estas láminas la rigidez o indef ormabilidad de los ar~
cos extremos (tímpanos), normalmente mediante relleno o atiran
tado (fig. 2.) para así evitar la pérdida de curvatura debida
a las cargas (fig. 3.). La lámina así rigidizada suele apoyarse
en cuatro soportes, es decir, sin puntos de apoyo intermedios
entre los dos tímpanos.
Bajo una carga vertical uniforme (peso propio, por ejemplo) los
puntos de una lámina cilíndrica tienden a descender y a despla
zarse, simultáneamente, hacia el interior del cilindro (fig. 4.) •
Cuando la carga se concentra en la clave (caso de carga unifor-
me en proyección horizontal, por ejemplo) los puntos de la lá
mina tienden a bajar y a desplazarse hacia afuera.
1.1.LAMINAS CILINDRICAS LARGAS.
Una lámina cilíndrica larga se comporta, de una parte, de
forma semejante a una viga apoyada en los tímpanos (fig.5): las
fibras longitudinales superiores se comprimen y las inferiores
se traccionan, variando, estos esfuerzos de tracción y compre
sión, linealmente deBde unos máximos en los bordes y en la cla
ve hasta anularse en el plano neutro.
For otra parte, en sentido transversal,ararecen unos esfuerzos
de compresión COLO si también el cilindro se comportara de f or
ma similar a una serie de arces apoyados sobre las cuatro zonas
de esquina prÓximaf; a los bordes (fig. 6), quedando pues, estos
arcos, comprimidos en la dirección del c{r·culo generatriz. Sin
embargo, ya hemos visto que los 1mntob de la lámina tendrían que
moverse hacia el interior del cilindI"o, o sea que, en cuanto a
la flexión, estos arcos comprimirán las fibras del intradós y
traccionarán las del extradÓs (fig.7). Este efecto transversal
es sin embargo más leve que el longitudinal en las láminas largas.
Las deformaciones serán máximas en el ~ central y nulas en
los arcos de les tímpanos. Este hecno de desplazarse con esta ... , d 1 t' , . 1 (f' var1ac1on ·e cero en os impanos y un max1mo en e centro -ig,
8) provoca a su vez una flexión en el sentido longitudinal, so
bre todo en lEs zonas A próximas a lof; tímpanos (en el resto son
prácticamente nulas).
Seg~n todas estas consideraciones, una lámina cilíndrica larga
con tírnr)anos rigidizados y carga uniforme vertical presentará
las siguientes distribuciones de esfuerzos(ver pag. siguiente)
Los esfuerzos N1, N2 y N12 dan lugar en cada punto a tensiones
principales que determinaran unas isostáticas del tipo de las
expresadas en lu fig. 9.
1. 2. 1Al\1INAS CILINDRICAS CORTAS
Difieren, en cuanto a su comportamiento, de las láminas lar_e;_a._§
en los siguiente~-'! puntos:
A) En cuanto a las tracciones y com1;resiones longitudinales,
se van apBrtando del tipo vig8: de la fig. 5 hasta llegar
a un eotado en el que tanto las fibras superiores como la
inferiores estan traccionadas y las :1.nterm.edias comprimid.
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(fig. 10.), disminuyendo los valores de estas tracciones y
compresiones en relación a los de las láminas largas.
b) En cuanto a las compresiones y flexiones transversales, au
mentan en las láminas cortas, así como la flexión longitudi
nal, que se hace notar en toda la longitud del cilindro, pues
las zonas A de la fig. 8.se yuxtaponen debido a la pequeña
longitud.
Podríamos decir, en términos generales, que disminuye el efecto
viga y aumenta el efecto ~·
1. 3. LAMINAS CILINDRICAS NIDLTIPLES.
Cuando varias láminas cilíndricas se yuxtaponen con los bordes
comunes dos a dos (fig. 11.) se producen algunos cambios de com
portamiento. En el caso, corriente, de que todas las láminas sean
iguales se produce una compensación de los desplazamientos hori
zontales en los bordes y éstos tienden a desplazarse sólo verti
calmente. En comparación con la lámina simple o.islada, los es
fuerzos de tracción longitudinales N1 bajan de valor pero abarcan
mayor zona de lámina (sube el plano neutro) con lo que las com
presiones N1 aumentan de valor y reducen su área de acción.
Las compresiones transversales N2 se mantienen, en líneas genera
les, pasando a ser pequeñas tracciones en los bordes, y los cor
tantes N12 experimentan un descenso en su valor.
Los flectores transversales t~ 2 son los que experimentan un mayor
descenso debido a la disminución de desplazamiento horizontal
del borde y, en éste, llegan a cambiar de signo (es decir, a trac
cionar el intradós y comprimir el extradós).
O sea que, en resumen, una lámina interior de un conjunto de lá
minas cilíndricas iguales sigue un comportamiento parecido, ~Q
viga, al de la lámina aislada, pero su comportamiento transver
sa!t_más favorable (esfuerzos menores) y más parecido a un verda-\!!l
dero arco. En cuanto a las dos mitades periféricas de las láminas
extremas (fig. 11.) se. comportan, aproximadamente, como si de lá
minas simples se tratara.
H ·~1:1
1.4. RIGIDIZACim; .J~ L.,;(Ji:INAS CILINDHICAS.
Un aumento de la rigidez de las láminas cilíndricas se consigue
agregando vigas longitudinales a lo largo de los bordes (fig.
12J. Esto aumenta el área de la zona de tracciones longitudina
les, baja el plano neutro y aumenta también la zona de compre
siones longitudinales. Con respecto a la lámina sin vigas de
borde se observa, pues, una disminución de las tracciones y com
presiones loneitudinales N1, asi como de los momentos transver
sales M2 que, además, pasan a ser positivos (tracción en intra
dós, compresión en extradÓs). En cuanto a las vigas de borde
soportarán tracciones longitudinales más una flexión longitudi
nal que comprimirá las fibras superiores y traccionará las in._
feriores, danü.o como resultado una tracción compuesta.
Los arcos transversales hemos visto que van paulatinamente com
~::ortándose como verdaderos arcos (momentos positivos y empujes
en los bordes) a medida aue se rigidizan los bordes (lámina mul
tiple, lámina con vigas de· borde). 8ste proceso podría llevar
a una total rigidizaciÓn del borde, por ejemplo apoyándolo en
un muro contínuo, pero entonces el efecto de verdadera sucesión
de arcos provocaría esfuerzos mayores al debilitarse el compor
tamiento espacial, cayendo en el concepto bóveda (que difiere
de la lámina en su mayor espesor exigido por unos mayores es
fuerzos).
2. FHEDIIilENSIONADO DE LAMINAS CILINDRICAS.
Una idea aproximada de los esfuerzos de tracción y compresión
longitudinales o transversales (fig. 13J N1 y N2 se obtiene con
siderando, por una parte, la lámina como una viga apoyada en
los tímpanos. La carga q por m.l. de viga será el total de la
carga vertical sobre una franja transversal de 1 m. y, por tan
to, en caso de carga vertical uniforme sobre la superficie de
la lámina de valor q ton/m2 (fig. 14):
9 = 2· R ·+~· t 4on/m.P. Y, en caso de carga vertical unifGrmie en proyección horizontal:
9 ~ 2· R· ~n cpk· ~ ton jM. e Bajo esta carga por unidad de longitud, la viga tiene un flec-
tor máximo:
M .... x = -- WV»~.
El cual da lugar a unas tracciones y compresiones cuyos valo-, .
res maximos son: H z" 1. N4 " + J fon /m
Ñi: - M·i!' ton /rt J
donde ( fig. 16.) ~
z:. R . c¡.e,h +IC . i!' = R- i! j ~'!:f. (-4-!m~K )- ¡'
4lc J
J = 2· (zh) · R~ [ ~ -t Sai(zci>k) -2. 4
i,<f>ic] Por otra parte, un valor aproximado de N2 es el que viene da
do por la teoría de la menbrana:
N,_ = -,_-R- ~(4\-<\>)
Ñ2 " -t" R · an z et>
(para carga uniforme sobre la lámina)
(para carga uniforme en proyección horizontal)
Y, con todo, es aconsejable prever siempre que la lámina va a
precisar tres capas de armaduras y debe tener, en consecuen
cia, el grueso suficiente.
3. CALCULO DE LAMINAS CILINDRICAS CIRCULARES Sil'irETRICAS.
El sistema de 11 ecuaciones diferenciales con 11 incógnitas
(N1,N2,N12,M1,M2 ,Q1,Q2 ,u,v,w) (ver Fig. 1~) se obtiene del
sistema general de láminas tan sólo sustituyendo los radios
de curvatura generales R1 y R2 por sus valores concretos de
este caso: R2=oo,R 1=R. No queda apenas simplificado, pues, el
'N
--,.z
~-~· --------------_i -
sistema general. Es por ello que el cálculo de cualquier sis
tema de láminas cilíndricas resulta excesivamente laborioso.
Aquí se tratará del cálculo a través de los coeficientes del
Commitee on I.Iasonry and Reinforced concrete of the Structural
division through its subcommitee on thin_shell design.
3. 1 • CALlPO DE AJ:-"LI CACI ON.
lor el método aquí expuesto es posible el cálculo de láminas
cilíndricas en las que se verifique que R/2h = 100 ó R/2h = = 200, es decir, que el canto 2h sea 1/100 ó 1/200 del radio R.
Cumplida esta relación, se pueden analizar láminas que cumplan
además la relación R/L =0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6. Caso de
que 11/L se halle entre dos de los valores anteriores no debe-
rán interpolarse los coeficientes, sino tomar los resultados
más desfavorables de los dos, anterior y posterior al dado.Una
vez dentro del campo anterior, las láminas a calcular son las
de ~ =30º, 35º, 40º~ºº· Los puntos de la lámina donde se ha-IC
llen esfuerzos vienen determinados por las coordenadas (cf>, X)
( fig. 18.), y, por simetría, sólo se precisará estudiar una cuar
ta parte de la lámina. Aquí nos referiremos siempre al cuadran
te OABC ( fig. 18.). Consideraremos que Q2 = M12 = O dado su ba
jo valor real, y los ~;entidos positivos de los restantes es
fuerzos serán los indicados en la fig. 18. Las deformaciones
tan sólo se determinarán en el borde CB y serán el desplazamie~
to vertical. flv y el horizontal Aw cuyos sentidos positivos se
expresan asimismo en la fig. 18. ,
Tor el presente metodo se pueden analizar los puntos dados por
una x cualquiera y por<\:> =Oº, 10º, 202, ••• <l>IC(si no es múl
tiplo de 10 serán + = 10º, 20º,•·• C+K - 5º),ct;>k ). La f'.d_pÓ
tesis de cálculo supone la lámina apoyada en los tímpanos de
forma que el único esfuerzo que aquella les transmite es el
cortante N12 • Los tímpanos, a su vez, se suponen lo suficien
temente rígidos para que sus deformaciones sean pequeñas
respecto a las de la lámina y pueda despreciarse su influencia.
Se examinará entonces el cálculo de los siguientes tipos:
- LáminB.s simples sin vigas de borde ..
Láminas múltiples iguales sin vigas de borde.
- Láminas simples con vigas de borde.
Láminas múltiples con vigas de borde.
3.2. COEFICIENTES.
Se manejarán 39 coeficientes x1 ••••• (x39. Los 11 primeros,
'x 1 •••• x11 dependen tan sólo del valor ( +IC - + ) del punto
donde se hallan esfuerzos. El grupo x12 ••••• x27 depende del
valor de las relaciones ~ , R/2h y R/L de la lámina en cues
tión, así como del valor el> en el punto estudiado.
Por Último rl28 •••• x39 dependen de las relaciones R/2h, R/L
y 4>K de la lámina en estudio.
Los valores de estos coeficientes pueden hallarse en las tablas
adjuntas a este trabajo.
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3.?>.2.. C.AL.C.ULO t>E LAMINAS ClLINCRICAS CIRCULARES SlMETR.CCAS ~ULílPLcS .Sll\4 Vl(::JAS .DE S02DE.
3. 3. z. ~. Có.\CM.lo de. los ~f!A.Vl.z.os fi~~ t.J4 ) Ni., Nu 'a l'lz. 'a 'º5 ~rla.z.a.WW:eV\TOS ~ '1- L::::..""v Co~sichn(Ñ\'IJ.o ~s e~~ivic...s <Mslaks coW10 s~ i111oli.co... e~ el o.ro.rlo.olo 3- 3. 1. A~ lt()IMll.G\reMl\oS a. (!.l.)tos esf uerz.o.s e.a. cile (orm~c.\o""es f\J~ (1) 1
Nz..(I), N1z. (I) , Mz. (I) , ~H (I) ~ Av (I) · ~Nl.e-~ 01.Si"*s1Mo
tos vo-lores VL (I) '3 Si..(!) eoo.I c.vlQtJfo.s t!N\ 3. 3. ~ · Z. ~ los esf11erzos ~ vrie"""brQMQ.. co.lc:vlo.olo~ e.vi. 3. 3. 1. i. ~ lloi.-.o.re......o.s ~ .. ,wi .. 1m
N" , "'z. ~ '"tz.. .
3. 3. z. z. C.Onsto.vttes ch. ~lcvlo.
A 1 = (Vi..(I) · cx'.30 + 51.. (I) · cx3 '°) · CX3g
A ( +=o 2.. = AH {I\=I . E-R~·lh + Y1..(I). ~J.., + SL (I). CX.3s) · tx'3cr
LY
A3 = 0(32.. O(l't - ó<'3g . CX33
HL (:rr)::
tvll. (u)= R
A1 -Az. A3
VL(I) · íX.30 + SL (l) · IX3, + tl1.. (.n:) · 0(13
0(31
3. 3. 2.. 3. Esfverzo.s ~ correcc.iÓVI.. ·
N, QI) = ~: · -(11i:_X) {'MI).D(,. + Hc(lr)-o(.,~ + SL(.1)- o(,0 + ~(Ir)- o<,,)
N2.. (:rr)= 'llNl(líi:_x) · ( V1..CI)·CX 1y + Hi.. (n).O<.g + SL(I) ·lX2.z. + ~(Ir)· O(z,)
N12. (rr)= ~ ·(A')(lf:)-(vL(I) ·D<43 + Hdrr}ac4.,. + SL(1)·°'z1 + ~L (.II)· o<is)
Mt (rr) = R ';2.tN\ cn¡_x)-( VL(l). 0(45 + HL(lr). ()(('\;. Si..(I)- D(1.3 + ~L (Ir). <X2.~)
3. 3. 2. 4. Esfue.rz.os finGlles ~ la.s IC::.""'i"'Gl.S irtTerior~ (z.o.,,a.. A-B , G=i~- 48 bis).
m N-t = N-1 + N-1 (.rr)
N, :: N:_r' + N¿ (Il.)
N12. = N1~ + N42.. (JI)
Mz. = M2. (rr)
3. 3. 2. s. Des rlQZGU\o\ibTOs e.., bs ¡c{Vlo\¡"10.S iYJteriore.s. se. et.S iV"li I~ ~ lo.t tk. le.. ¡¿1MiV1tA.. c.ih~cQ.. 4ve a re.riti co"'si.ii(.ero.o!Q. Q.islaolct... 'a-ten.\EW\Jo eM GMtMt~ ~ I ror ~~c... 1 sen~ AH =o.
3. '3. 2. 6. Es~zos p~o..ea.s e:ll\ ~o.s c:A(lhoVtoS eociell..C~ (zovia. lt-C '1 B-D ~ fi<a . ~ 8 E>is) .
N4 = ~" (1)
Ni. ::: N,_ (I)
Nu. = N•z. (!)
Mz. =- Mz (I) Col'\llo se 0bs~, el)Tal:) :ZO\'\a.S ~ Qd~~o... ':2e. u::JCM(~ C:OkSÍ~~~ lOW\O ('OllJ:i h_ ~LMA"'~ ~lo.dcv...
?,. 3. 2. -:¡.. l>esplo.z.a.m.le11ttos e~ eos bordes h. IGV,) l0.~11\ClS COIM ~~ e....Vie A~ e '1 B'1 D (f'<i· ~8 b~)-
6.H = Ótt (I)+ L" . '2oeM(TI¡L·x).fVJI).d.z.o. +HLÓl)·cX32+SL(r)O(:rs+~~~J R3-E ·Z.h \ '
b..v = 6v (I )+ L" · :lJW\(1t_>')(vL.(1) · O{z.s + HdlI) · CX31 + SL.(l)· CX.3~+ ML(IJ.'w' Rl·~·Z.\i . R ~Ji)
3.3. 3. CALC..ULO DE L-At-\INAS CIL.INt>R\CAS C.\R.CvL..ARES SIME.TRICAS
SIMPLES CON VIGAS DE . Bo~DE ·
~. 6. 3. 1. cO..\c.ulo~ previos. Se %"11.~ ~ ~ V,_ (I)' HL (l) ~ s._ (1) <)Ji o.rQ..rJctolo/ 3.3. ~. 2. ho.lb.~o.s pa.ro.. lo. 1¿,_w.i\'\c ... sl.ivt vica~ rk. borh, cv.M.
c:oVV\o Los N1 (I), N2.(I) ~ f\/ 12 (1) olJ ~Q/l.to.Jo 3.3. 4. ~. \'r\
De. i~ol formo... ~ ~Wl~ .PIY) ~rJa.7..~~TcY) t:::..""v "a' AH ;J ~Mto.olo 3.3. ~. 5. o. fo.s ~ o.~ d~~
Av (I) '3 AH (I).
3. 3. 3. 2. DetertVW:no.~Ó\.'\ ~ Sb (1.) ~ Vb (!) ·
~ PoJ1.<A.. eo..r:~a. v~~I v"'iforW\ew.eM.Te. rt.pQl\.t:.J.o.... ~ \-lonz.oV\i"-1 :
1; = ..1.. Q. R · 0(1 + V,_ (I )- CX1i. + H'- (I) ·o<," + St. (r) · o<z.o lT
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!V ~ro.. CA:lr~e1... veMi.co...I ~forMeW\.e"'i-e. r~Fr~ ?obre lo. s<Arer /.te.U. (M.íVc:A.. :
Tx:: ~·Q·R-0(1 +VL(!)· <X 1z.+ Hi..(I)·o<16 +SL(I)·O<:z.o (P"rG. cP=o)
Pcr otro. rcH·'ti, eM. o.wiboS Ú'\.SOS ~) 1 b) :
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~ B2. = o' 6o1'f 3 2.b1 . (2.a..1)'
B3 = B,. 11213
B4 ::: B1 • L2. R·E
L! Bs = o'~2.3~'f . (2b1)·(2.o...)3- E
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B1 = Bs ·2a., · 0'1'1351
L · o'1l31 q
(sie~~o Z.~ 1 'a- 2.b1 el c~nTo ~ o.~cho re.6rec itvct~e"'it, e(o.. 1~ \Ji~o. ~ borc:U) ·
Ba = '1,2.1-32.. ·L 2at • 2 b1
B 1 = Bi · ~ + B3 · P (si~o p el r~o / ror V\'lio(o.o( Ja lol'\ca j tuo{,,
d,¡¿ 1~ v i~o.. olt bor<k)
B<o ::: B1 · D<1i. - 82. ( po.rlí\. 4> =o)
Bif ::. B1 . CXz.o + B9 ( p~ro.. 4>=o)
BB= l:J.v (I)+B4·[VL(I)·o<z.8 +HL(l) ·0(31 + S1..(l)·lX31¡] (ro-ro. cp=o ~ X=~)
B12. = BB - B6 · P
BB ::: B4 . <Xi.e + Bs
Bti, = BI/ · o<.39 - B1
Sb (I): - f'>,
Bu - B10 • B11t
B,3
,?,.3.3.3. CJ.lc.M-lo Je. VL Cm) 1 Si.. cm).
VL (fil)= v'1..(I) + Vb(I)
51..(nl:) = sL cr) + s~ Ct)
3.3.3.4. 'E.sfverzo.s <k. correccio'"'.
V¡,(I)=- B12. + B11¡ · St, (!) Bt3
N1 (m) = ~: . ~(lT~x~. ( VL (nr) · o<1i. + Hi.. (I) ·<X,, + Si.. (m) · OC'20)
Nz. (m}:: 'UM(lT~X)·(YL(IIl)·o<'.11.¡ +H1..(l)·cX1g + Si..Cm)· CÍ..22)
N1i. (m) = ~ ·e.os (rri:_>') · ( V1.. (Ill)· o<13 + Ht. (r). oC.11 + Si.. Cm)· 0(~1)
3. 3. 3. 5. E.s ~erzos fit'l<>.\eS ·
Ni .:: N4 (I) + N1 ('llI)
N2. = N, (I) + Nz. (nr)
N1z. = N,2. (I) + N,, (DI)
Mz. = R· S4W\ (rr¡_x). (Vi..(m). D< 15 + H,_ (1). cx 19 + SL OII) · D<'.¡3)
3.3.3. 6~ DesfllazQ~e"'To.s e.v. lo.s borJes (~=o)·
3. 3. 3. f.
NOTA.
D.ºv"' D.v(r) + R;'._.2h. -("C)-(vLcm)-o<,e + Htü)·IX.l· -i- sLcm)· o<,v)
b.b" = 6.•Cl) + R;:.ih · -("L'.'){vL(mJ oc,~+ HL(I) · i<" + sl cm} o<35)
Esf'uet'.zos e\'I lo.s vi~o..s dt boroll ( tmc~o~ o c.owtp;esí o'"' v\11.lda.ol k svper~c.l.t. ~ lo. secc.lÓvt th la. vi<"to.).
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3. 3 .4. CALCULO OE L-AMINAS C\LINDlllCAS ClRC.ULARES S lMETRICAS
MUL.T\PLES C.ON VIG>A~ DE @.OR.01:.
u~aN\olo la.4 ~ 2.b1 ~ ~~-ro <-a OIMcÁ-iO dJt. ~ vi'Jt:Vl d.tJ borr.4_
~tre.M<v.1 o ~"ten.4ore1 , ~ vi'1~ iMT~~ ~ Jtec.tbtM a. olos k:ll'\.\iVIO.I) TtAAo!A~ / 'º"' el ~""'º ÚM'\TO 2.a..f , IANI at.fcko 4 bi , ~ ot.eWt., ~t""""- o<t. ~ ''~Te\po~iciÓvi" ck dos vic¡as eyTericres.
3,3,4,<. Cdlc.vlo de b. (d1Mi~a.. c.o\l\S\J.Rro.Jo.- a..isl(.ltlo.. ~ e.o~ vic¡o.. k borh dJ,. cJ.lLMtMsiollUIO 2.~t x 2..b-t · (p(trQ. lo CMl'\.I, ~~ 3.3. 3. / \.io.b~ ~ co.ICAA(wa.lo.., Q. ~ v~ / ~ vi't~' h borh)-
~~S tos vo.lor~ HL(I) k 3.3.f.2. J ~': h. 3.3.1.5. (o.I 'r"'ll'1m'Ol\.l.IWlOS A"') fN\ ~=O 'a )(.: i ) V'- (m) ~ SL(m.) k 3-3.3.3.
'} 1 nA-tWl~1¡ 1 ~ 411)~ r"'~ J.1 fo. .{¿~C"A. ~wiydL(3·3.J.5°.)
( ~ "'~ 11~ N" (r), Nz.. (I) , tJ~, cr) , Mz. (1)) , <v.>i. c.ciMo
eO') J.lh~~fMTos L::.v '1 Aw tJ.R. ~cfatt>. t).~tx -::a..'.lMrk COll\ vi¡I') k
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'º~ 11i~cn <M bO"lelst ~ ~ l~o~ ~ !n v 11~ ~ cow:ubn.~ ~tc+o ~~ hv~ .tM ~OJ) zovif>/:) ~lf.M~ AC '1 BD (fi~.11 ).
3. '3 · 4. ¿. Có.lc.v.lo c:Ae. los vtJores ele. VL (lv) , HL úV) , Si_ Q\f) 'a iL ,{IV)
~ L2-. <X" "' 's = oo. rtA. 't' = o R2.· 2.h. r ..
RI L! . o<.z. '# ~ s ::. - p"ro. =o R2.· 2.h.
L"· 0(31
Psr = R~E ·lh
R' _ L.,· o<.n sp - Rl·E· z.h
2. u::. L: · 0<:1z. -R2.·2h
2. 1 L.:. o 'º1t:t3 2.b1 {ZQ,.)z.
i: 1 E _ · <Xz.o + L.. • ~ 213l T - 2. R · 2.h z.bt · Za..f
Up.::. L" · O<.z.f + L11 • 0 112.31c:t
R~ E·2h E· Zbi · (Zt.41) 3
Fro. <P=o
~T"tl ~=O
Llf · <X.3r.¡
ETP = R'3· E. 2h
3 1 L:· o 1'f351 E · Zh1 · (za.)z.
AB3 = Psp - Ps · Ue
u
A B., = - A B3 . ET + Ps
ABy=
1 1 Psp - !} · Up u
- ETP
ABz.= - AB1t. ET+ p~ u
L4 E-1= R3·E·2.h.
Ez. = AK + E1 · (vL (m) ·<Xi.et+ HL(I) · o<n + SL (m) · CX3s)
E3 = VL (m) · D<30 + HL (r) . o<33 + Si.. (w) · CX'.3,
E'f ::. E1{ <X2'f • AB1 + 0<35 · AB3 + <X3z.)
Es = E,,·( O(z'I · AB~ + 0<'35 · ABy + 0<39)
E, :: 0(3o • AB1 + 0<36 · AB3 + CX.33
E;i: = D<'30 · ABz + D<36 · ABy + 0(3"1
E6 ·Ez. _ E 3 ML (rv) = --=E=4 ___ _
R E Es. t:, 1-
HL (1v) = -
Ev
E2. +Es ~(IV) E'1
v'L (1v) = HL(1v) · AS1 + ~L (1v) · ABz.
SL(lv) = HL (1v) · AB3 + ML (IV). AB4 R
• I 3.3. 4.3, Esrverzos de cor rece 1 ovt.
N1(II)= ~ .se.vt(1T()-(v1..(lv)-o<1z. + H1..(1v).0<,6 +S1..(1v). ()('º + ~L (1v). o<.2,.)
Nz.Crr)= ~ (rrL.x)·(V1-(rv). o<,"+ HL(1v).cx,¡ + S1..(1v)·CX'i.z. + ~1..(lv)·O<'.z.')
l\/i,_ (JI)= ~ · co<("[_" )-(vc(tv) · o<,3 + Hc(tv)- o<11. + SL ( 1v). D<,, + ~e (t v) · C><2s)
M. (lf) =- R·""' en i.'.' )· ( Vc(IV}. CX15 + HL(IY). 0<,, + SL (t v)-IXg + ~L (IV). D<n)
3. 3. l¡. 4. Esf verzo.s {:illlo.les.
N1 = N1 (1) + N1 (IT)
Nz. = N, (I) + N2. (rr)
N,z.. = N,z. (I) + N,2. (IT)
Mz. = Mz. (1) + M2. (11)
3.3.4.5. :Desplo.z.o..m¡e111ios e.vi los bor~ (<f>=o)
,ÓH :O
Av =- A:+ L" . '2QNlrrr:L.x)/v1..(1v)·íX.21 +HL(1v)-CX31 +S1..(IV)·0(3" + }111..(1V)·0(3.,.) R 3 ·E· 2.h \. 1 \ R )
(fa~ ck. 3-3.3. 6.)
3.3.4.6- Esfverzos ~ P(.).. vi~o.. el.e honk ~~~o~ 4bi)(.2.a.1 ·
tl'Y\ el borcil.2 ~19'1. ck lo.. vi~o...:
fx5';. f;5 +SeM.(Tr·X) l! .fo'Go':fCf.3 ·V1..(tV)- ~ 12.-=132·2.a,·SL(IV)) L 2.bt. (2.a~)2 \' 1
Evi el bonk \VI fe.r1or ~ lo.. vi~ca :
~Im = f I + ':1l!M. crr·X) ~ . (_o'6o1í13. V1..(1v)+ 0'6366. Za.,. 51.. (IV)' x L 2b1 • (za,)z. \. L )
(fx5 ~ F./" h 3.3.3.1)
J.4. CALGULC JJS LO;:) . ..i.~~:U.BfiZOS M1 y Q1.
Expresaremos e2t0Ei valores para carga uniforme q sobre la super
ficie alabeada. En caso de carga uniforme en proyección horizontal
})Uede asimil~J.rse directamente a carga sobre la superficie si
+K < 35º ;y asimilars.e tomando O, 8 U.e la carga en proyección ho-
:-"i z on t~::.l <PI( ~ 3:5 f.
')\ ; ... r. ,,... ..... , ,·;"' . --·· •.•... : ,,·t +' ''"'.l'' l~"· .~ d . t' r' e,)····"~ ·~c-1.:.:.;0 '""' ··'·':'J"--'-·-·"...i..'-'~1 O vlffii.;allO- o,i,llnci., es ecir, impano J..-
giJO a to:csiÓn (relleno totalmente por ej.):
M1= 0 138·'{ · ~ • GoS (<bK -<I>) -1'3U' • X
2'118 VR·2.h
. [~fHI..( -1'3i fi' . x)- e.os (-1'3t ~ • )()] VR·Z.h VR·.2h
Q1= <\. {r[.lh . ~ ( <Pk-<P2 f!!!.)C
2't18 ~R.·Zh
. [<.os ( f'318 . x)- ~ '1-6. s.tNl( ~'3i8 . x)] \fk·lh \JR·2h
b ) ~·· , ' . ul . , t , 1 , . r<.n caso ae ar·i:;ic acion impano- arruna:
Mt =- o 11-6 • q. · '1R-í:h · e.os Cct>K -et>) i 13t ff • X
2'1H/ VR·2.h
. ~ (~'31B ·'X) · VR.·2.h
Q :: '\-· '1R-2h · c.os(<Vl(-cl>) . [e.os ( f!!!. x)- sfM( f'3 t 1 · x)] 1 f,3tB .,e ~R·2h VR·2.l,
2' 1-1 8 VR-2.h
3. 5. CALCULO DE LA ~~STHUCTURA ANEXA
La estructura anexa puede estar compuesta por el tímpano o los
tímpanos en caso de láminas simples o múltiples sin vigas de
borde, así como los pilares correspondientes ( fig. 19.). Las ac
ciones de la lámina sobre el tímpano vienen dadas por N12 y Q1º
El pórtico resultante se calculará, pues, bajo estas acciones
y su peso propio. Cuando se trate de láminas con vigas de borde,
la estructura anexa constituye una estructura espacial (fig. 20J.
El cálculo se efectuará entonces con las mismas acciones sobre
los tímpanos y, además, imponiendo a las vigas de borde una carga
uniformemente repartida igual a su peso propio más el peso pro
pio y sobrecargas que actúan sobre la mitad correspondiente de
la lámina.
N o
Los result1ijos hallados para las vigus de borde al calcular la
l~mina y los que se hallarán ahora se superponen y se dimensio
nan ~stas, en caua punto, para el cuso m~s desfavorable.
3. 6. ARM11.DO JE L;-1.l.=IN,:.S CILn~_ulU CitS
Consideraremos dos zonas en la lámina (fig. 21). Una de ellas
(zona A) se caracteriza por ser despreciables en ella N2 y M2 (por ejemplo que no produzcan en el hormigón tracciones superio-
res a
o,5 v(J~~ /1, 5 1
donde CJ¡K es la resi~--;tencia característica del hormigón). La
tangente a 45º a la línea de delimitación nos determina la zona
A~ La zona B se caracteriza por ser en ella despreciables los
esfuerzos N: 2 •
a) Armado. de la zona B
Se absorberán los esfuerzos N 1 N2 y 1VI2 mediante armaduras
longitudinules y transversales (fig. 12)
b) Armuqo de la zona A'
Seg~n que el signo de M2 en la zona B sea negativo o positi
vo se continuarán las armc-1duras transversales superiores o
las inferiores. En el lugar de la armadura transversal que
no continÚ_a se dispondrán armaduras disgonales que absorban
las tensioLeD principales de tracción debidas a N12 , es de
cir, que serán armaduras a 45º que absorban, en esa direc
ción, esfuerzos de tracci6n de valor N12 (fig. 23).
Queda pues una disposición general del tipo de la fig. 24.
c) Unión de la l_ámina con e]-_ tímpano y con la viga de borde
(fig. 25)
Se pasarán 1as armaduras de la 18.mina hacia la viga y el tím
pano en busca de la longitud de anclaje necesaria.
La condici6n de empotramiento o articulación en la uni6n
lámina-tÍmpnno para hallar los posibles valores de 1\1 1 y Q1
no depende pues del armado sino de la configuración del tím-
pano.
I
A _...-,,, I
1
·- ..... _ ..... A ' ' \
\
- - - - - :B --------
..... ~--'<-J5º
\
F16. 2.1
t="lG. 2.2..
FIG. 2.3
ARffADVRA TRANSVERSAL
~AlHADvRA ·• . LOIV61TUJ)lt.fAL
AfMADVRA lóNG>ITUDINAL
'
1\.
~ '\.
~ \
"' '\. ~'\:
'\.' ' '\. '- '\.
' " ' '
- -~
1\ ~'~
""'' '~ '\._ " ' ' ' '\. '\.' " ' ,, '
. -- ... -- . --
' ,~
"-
FIG. 24
MlMA.DVRA TRAtJSVt:RSAL
~- ~- --· -'
ARHADo~A LONl':olTVDlllfAL
-
S{\)·
FIG. 25
ARHADVrll\ TRAlllSvER.SAl
Ag,MAOVR.A LON61TVD1NAL
·· .. :.:¡ (:·:: -.: ~-= ·: ;;,
·:.: ':.;. :_.
'~:
. ·. ;:· ..
·•·
1.1
Si este es, por ejemplo, un arco atirantado, su rigidez a
torsión será débil y el extremo de la lámina podr~ experi
mentar un cierto giro, mientras que si, por ejemplo, el
tímpano es macizo (viga pared) podrá considerarse nulo es
te giro y estaremos en el caso de empotramiento perfecto.
3. 7 .LAMINAS CON VOLADIZOS.
Se trata del cálculo de una lámina simple o un conjunto de lá
minas mÚltiplesque se prolongan más allá del tímpano en vola
dizo ( fig. 26.). Llamando L a la longitud del vano central y 1 aJ.
voladizo (fig. 2.7.) se deberán calcular, con las hipótesis de
apoyo simple vistas hasta aquí, dos láminas cilíndricas una de
longitud L y otra de longitud 21. Supuestas ya calculadas, en
las expresiones que siguen los superÍndices L ó 21 indicarán que
se hace referencia a una u otra de las dos láminas simplemente
apoyadas de partida.
a) Esfuerzos en la lámina
zona en voladizo:
2.t 2e.. N1:::: Ni - N" (e."1 x= e)
Nz.= N:e. z.e
N<z = N<z..
M Mz.e. r,Mz.e. e) (ir· X 1 lr· L) uL L ) L J 1T ·X 2.= 2. + L z. (e.n ;<::. • u - , +"""ir - q, (e"")(:: T ·y . -¿:-
zona central:
N4 = t{"- N~2.e (t.M x::: e,)
N2.:: N~
N,¡:: N,~
M t.. 2.€. [lfi. Lz.. >< ( x )] - tu1 - M (º·- x- t). - . - · - · 1 - -z. - 1• l2. i. ~ - 2.. t'- L L
.-- ' 1 1 1 , __
+-1-"I --
~--X
-- +--1z---+
f. "l ·91..:1
'~ ., ---'I
~--~
----' --->
')(
1 ----
~fl ·91:1
b) Esfuerzos en las vigas de borde (si las hay)
Tensiones en las fibras superiores e inferiores:
zona en voladizo:
~ PUNTO X:O .X=~ x=L T"Elo!.SIOtJ --- 2-. ,
a;'"' oS = Íl",iÓ~ O"f <IS= ÍewiSiÓL'I 01 <JS :: T~Ó>t O-• "t"ev¡s1ort
lo. fibi'D. superior ck eo.. €0. ~ lllb.. cJ.t. ~ u.~~ d.L eo... ~~~ tM. (cp=o1 X=o) e,vt ( 4>=0 J X= ¡ .9oA. (cP::o / )C.= e)
Tt.Msio"' <:Ji. eK FI1 z.e <Ji.:-Ft,2~ X= t cr, F:r, z.e l~ ~bro.. i111feril9'l. q¡_ = - eNl X::e
" ::. - e4I\ ko
zona central:
~ T HS N ;<:::O x- L -4 x- l. -2
i:ehs.ió~ <fs en <JS:: te~siÓ~ <Ji ck <rs = téksio"' q'f as= Te:ll\sió"' '5'"1 lo. f'b~ surerior f(). ~ WI Í V\O.. e4I\ d.a. f.o.. Qe{..,¡ rtO. ~ ole. lo.. tó..llMilnGI,. e....
(<{>=01 )<>=O) ( <f>=o, x~t) (4>=o, ><::. ~)
Tensión cr¿ e11 F I,2.t. (fi:: 3·~-{6·t1 • cr: - L2.-4.ei
~ 3~ l. - •
!A ~brn. i\l\ferior <Ji: :: - fNt. )(:. t {FI,:_ FS)L)+<JS
~
. (Fr,:_ f s'J + oS
..:'lecha en el punto de f 7" O en el extremo del voladizo:
[ -¡ 6 Ls ] [ i.l ] Ó.v: S + S·l - s . .ei .. fl.., (tW\ X::. e)
3.8. PMJJJEO
3. 8. 1. PANDEO DE L.AliITN.AS CILINDRICAS LARGAS.
Sólo es preciso tenerlo en cuenta cuando sea .R.. )2oO. La tenZh
sión crítica ~ es entonces : E-Zh
<rer = o,2. R J.8.2. PANDEO DE LAMINAS CILINDRICAS CORTAS ( ¡ ~ 2,5).
Sólo es preciso tenerlo en cuenta cuando sea .R.. ~206 • En el Zl\
gráfico adjunto puede obtenerse entonces, a partir del valor
de R/L y R/2h, el valor de: ~ I 6 ~. I> E
(para los casos en que,aproxim.adamente,E=1000~ resistencia
caracter:r'stica).
J l
j
t
Cfc:r 1 +6 -·o E
~0001 [=-i·r-1·r~·r-i---;¡r--.-~r-:7T"~~~ 1 ' 1 1 1 1 / I 71 1 1
300 r?J2X~f4~~:1] 2.oo 1-J
100 ~~sr~~µ-LI ,-.,..._,.-- J 1 1 1 1 1 ' ' 1 ~ ..R. o 1 -2.. 3 4 5 6 7- 8 q 10 L
3.9. EJEMPLOS
Se incluyen a continuación los resultados de cálculo de una lá
mina simple sin vigas de borde y con vigas de borde, así como
los casos de láminas múltiples sin y con vigas de borde. Los pun
tos donde se han calcµlado esfuerzos son los de la zona OABC de
la fig. 18 que se han indicado con números sin envoltura circu
lar en las figuras correspondientes. Los esfuerzos en el resto
de los puntos son inmediatos por simetría respecto al eje longj
tudinal o transversal y están indicados mediante envolvente cir
cular.
También se expone el caso de una lámina con voladizos (fig. 32),
en la que los esfuerzos que experimentan variación debido al
vuelo, N1 y M2 se exponen diagramados para <P = OQ, 20º y 40º
junto con los correspondientes diagramas· de partida , resultado
del cálculo, por separado, de la lámina interior y la lámina
del voladizo.
NI y NII representan los esfuerzos principales de fracción o
compresión en la dirección dada por~ que, cuando es positivo,
representa el angulo de N1 y NI, en grados, medido desde N1 en
la dirección del reloj.
J I' I' ,.
LAMINA SIMPLE: SIN VIGAS DE SOR.DE ( fi~- 28)
PUNTO
-1. 2.. 3. 4. 5. 6· 1. 8-G).
\O.
fi. 12. ~3. i4. ( 5.
PUNTO
.t.
2.
3.
1 I • 1 ,
o 1 , 1\0¡ I ,' i....:.:...., I ,
• tvJ I '
1 , ' / ,_._,_ o, O I 1\01 ,; .... ' ,,..., =~o . , ,-..,, ,, ,,,
, 'M/-¡K J 1 •v:f / .. , , ' /'\,,o_ -to im.
t 1 I I / 1\-'.. ~,,, ,,
' · .. ~ .. ~ 'vp
1
1
,,. ,. l5'-' 11 .llC - • '.I' • .. .. "
,,. ,.:;-. ' ........ .. .. 6
-~, 5""" \3
i' ~.1,0
· ~= 01 3 T/mz..
e vtii forme. sobre. la so.re.r{.\d.t c.vrvo.)
E::: 2 · ~0 6 T/mz.
1="16. 28
E:SFUE:RZOS (ToNjtA..L.)
X ~ tJ1 N2.. N12. NI Nir. 13 .oo • .ooo .ooo -.003 .003 -.003 45.00
s.oo • 76.879 ·ººº -.002 76.879 -.ooo .oo 10.00 • 108.723 .ooo .ooo -.ooo 108.723 90.00
.oo 10. .ooo .ooo -11.547 11.547 -11.547 45.00 5.00 10. -2.55;' -1.360 -B. 165 6.228 -10.145 47.09
10.00 10. -3.616 -1.924 .ooo -1.924 -3.616 90.00 .oo 20. ·ººº .ooo -6 .364 6.364 -6.364 45 .oo
5 ·ºº 20. -17 .07'• -3.034 -4.500 -1.715 -18.392 73.66 10.00 20. -24.147 -4.290 ·ººº -4.290 -24.147 90.00
.oo 30. .ooo .ooo -1.342 1.342 -1.342 45.00 s.oo 30. -7.580 -3.638 -.949 -3.421 -7.796 77.14
10.00 30. -10.721 -5.145 ·ººº ~-5.145 -10.721 90.00 • 00 L•Oc .ooo .ooo .ooo -.ooo -.ooo 45.00
5.00 ~o. -1.23'• -3.699 ·ººº -3.699 -1.234 90.00 10.00 4C', -1. 745 -5.232 .ooo -5.232 -1.. 745 90.00
DES PLAZA H\l::N T05 (M.)
X t b..v flH o. o. o. o.
s. O· o.06240 o.o32q3 10. O· o.oS825 o. o 4651
M2. .ooo .ooo .ooo .ooo
-.052 -.074
.ooo -.401 -.567
.ooo -.681 -.964
.ooo -.756
-1.069
LAMINA SIMPLE e.o~ VlGJAS .DE BORDE (f"i~· lq)
o,~ m.
' , 1 ' I ' º' I I . \{) I ' I ,,,'' f--,..•IOO I , ,, ( ; I /
,-....¡ o / , ... 4 o. 1 '10' o / 10 ', ,h= o 1 'IY¡o/ R.= m·
, o/K 1 I t"\ '
l'.l-.::: 0 13 T/wi z..
cv~iforme sobte lo.. !::.vrerf icie.. c.vrV'Q..)
E=: 2 ·~o 6 T/mz. ... r·''"/ , I '' , ,,
''.....JI:
1 r,eso prorio JJ w.o.Tf'/CA<J. : 2,5 T /m~ (po.ro.. el ~le.vio dR. ICAl vi~G\S oLt borole.) ·
FIG. 2 'f
t:SFvi;Rz.os (TON-/H.L)
PUNTO X cf> N-1 N¡ N,2. N"! NIT ~ ' "'l ''('(' c1r·n •. c ... ;. ';' q ~)'1Q -<J .. ?(1 L·.C ('(' ,, ot)\ o ,.._; __ .,. •!\.J\.J .. :., .. , .. ¡ ..... ¿,. ,..,L.-. ·-1 1).'
2 r· ')"' '){' '{() c··I ,, ,· C"'O '·"· 1º1 1 '1r·L· 1' ·:r: " ~)o\ U • t. ... \._.ie~:·.)_, - .... 1'· 1'L •• 1-~o_;i. "-·"·• () - •• :. . .>; ... ).~J-1
3. 10.,00 • ;:'.\ •. )i;I, -.Ot)() .000 -·.060 2f;.(;t)l, 90.CJ(.1 4. .oo 10. .~Joo .ocie -·~iJ.11 ~l);.11 -:1.',11 L}s.oo s. ~-~-f°)(J 1CJ~ -~·1;~ .. Ü():) ···1./fj7 ... ¡;.(J.~-~l..M 1~L~~:~ -lS12fl~3 G3.~'() G. ·;c).()(J 1C~, ... 1c,9n:; ... :~.=~~:;' .GCJC -?.:,27 -1t·;.SJD3 ;;Q.ClQ 1. .oc1 ::c:, .coc: .ooo -.:1.:n1 ::.~n1 -:i.~í1 L:5.oo g. ~~;.()Ü ::01 -··¡~~(J(':~:(~ -~ .• ~J11 -·;·'.o/o::.: ... ;: .• ;~()fi --1:~.fiOO ~,,5.7~~ 9. 1c.0~1 :~c. -·11'.':·;~·;; .. 1.11:' .eco -·L.1L1 •• p;,~;~~~; :.ic.oc 'º· .OC' :~e. . OC(J .oco -· .::02 .:;o:: --.:;o:~ L;,5 ,()(1 n. :i.Oi.J :.;()ª -·2 ..• 2~JC.J ··~_:.1~}:: --.~·~:,:~· --;~.C/D -( .• ~~~~::~~ 73,.t)~: 12. HL.oc: ::.e.. -c;.o¡):' .. 1, .::oo .eco .. 1, .. i;rin -,¡.(!()/ JC ,oo 13. .CJCI l:( • .()(lfJ .OC1(1 .neo ..• CJOO -· .coo 1¡5 ,()() 14. :; .no L:.r.. • .:1u .-;; • : 6~' .coo --:¡. 1 :)~' .2~io 90 .oo 1s. 1 o .. oo L;.c. J 1; •• 1 .• :.. ~·~" .. ooo _.1;.!.1/:1 .t~ 11 :io.oo
DESPLAZf\HIE:NTOS (M·) y Tt:NSION EN LAS VIGAS (TON-/M~)
PvwTO X <P 6.v ~1-1 Fs F :r ~. o. o. o. O· O· o. 2. 5. o. 0.01558 o.oo 852 156.1~5 sqq.<¡ 54 3. w. o. o- o22o3 o.o i 2..06 22.f. 6'1q 848· 462
M~ .ooo ·ººº .o no ·ººº ~-.021
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-9.474 -4.010 -0.03866!1.187 I0.06357 -15.65 -7 .890 -0.05606 0.9583 0.1474 -a2.99 -13.59 -0.07595 o.9561 0.2931 -l0.12 -20.69 -0.09384 1.073 0.5020 -35.11 - -0.1 Q 1.20 o 422
-11.06 -0.03483 1.940 0.2256 -20.25 -0.04716, 1.924 o. 5080 -32.61 -o.05921¡'2.189 0.9067 -44 .95 -0.06746 2. 500 1.372
1.731
-0.02900 3.218 0.5995 -0.01111 3.568 1.202 -0804484 4 .141 1. 938 -0.0488314.418 2.566 -0.05166 4.246 ' 2
0.000536 -86.64 -37.58 0.000923 -106.2 -'4.50 0.001413 -121.0 -7).83 0.001927 -127.9 -91.21 0.0023_34 -12 -10 o
0.000632 -239.2 -104.0 O.Q00994 -277.7 -145.2 0.001384 -293.S -181.4 0.001641 -284.1 -207.1 0.001732 -255.7 -220.a
0,.000644 -497.6 -216.6 0.000945 -542.9 -285.9 0.001160 -535.2 -336.5 0,001242 -487.9 -366.2 0.001199 -431.0 -387.
-0.4499 -0.4965 -0.5288 -o. 5434 •0.5402
-0.4049 -0.4320 -0.4417 -0.4348 -0 .. 4228
-0.3602 -0.3706 -0.3668 -0.3568 -0.34
2)·8. ·.' 1ª .. 4 . ., 0.05559 -88.47, -39,. 78 -º·.º.2.43, 4 ! 5.11, 2 2'J7.7 126.7 0.05714 -126.7 -64.74 -0.03049 5.976 245.4 144.9 0,05366 -144.9 -88, 10 -0.03396. 6,.629 212.3 149.5 ¡0.04783 -149.5 -108.3 -0.03700 6.601 175.8 143.7 0.04304 -147.9 -127.9 -0.03967 6.678
1.218 2.242 3.250 3.942 4.324
0.000620 -864.6 -378.6 -0.3247 0.000834 -888.7 -474.2 -0.3185 0.000932 -834.6 -528.2 -0.3171 0.000918 -743.9 -575.4 -0.3042 0.000865 -669.4 -618. 7 -0.3086
R /.2.h. = .z., ----·
¡i>K 0\3! o<. 2'i ex_ 3o o< 3/ 0<_ 3Z Oc( 3 3 o< .J~ ex.. 3S" o( 3b o{ 37 o<u o< 3'1
R/1.0.1; 13.59 0.5598 0.10563 -0.5598 -0.3112 -0.04555 0.3446 0.001423 0.000252 -5.070 -2.186 -0.5143 JO
35 7.732 0.9838 0.13813 -0.9838 -0.4916 -0.07100 0.2228 0.003352 0.000438 -6.630 -3.408 -0.5958 . 40 5.711 ;1.576 0.1719 -1. 576 -0.9269 -0.1036 0.1579 0.007139 0.000718 -8.250 -4.é74 -o.6749
45 5.186 2.354 0.2050 -2.354 -1.462 -0.1434 0.1~7 0.01391 0.001117 -9.842 -6. 83 -o. 7503 50 5.265 3.292 0.2352 -3.292 -2. 576 -0.1895 0.1 3 0.02506 0.001649 -11.29 -9.097 -0.8195 w o.~.
0 .. 000385 -0.4866 30 3~.02 8.267 0.0986 -8.267 •3.492 -0.04257 0.7716 0.03561 -75. 70 -32. 70 35 33.96 14.07 0.1245 -14.07 -7.090 -0.06423 0.6124 0.08739 o.oornoo -95.68 -4~.33 -0.5497 40 39.51 21.38 0.1468 -31.38 -12.62 -0.08898 0.6071 0.1815 0.001123 -112.7 -6 .34 -0.5990 45, 44.27 28.96 0.1600 -28.96 -19.84 -0.1132 o.6944 0.3237 0.001601 -122.9 -86.91 -0.6273 50 45.16 34.63 0.1600 -34.63 -27.44 -0.1321 0.8010 0.4950 0.002014 -122.8 -101.0 -0.6299
R/1=0~3: 30 110.9 1¡.12 o.08756 -37.12 -15.70 -0.03796 1.641 0.2500 0.000532 -340.4 -147.6 -0.4443 35 121·º 5· .70 0.1~2 -58.70 -29.63 -0.05150 1.782 º· 5520 o.ooo868 -402.2 -200.2 -0.4792 40 1) .4 78.62 0.1 99 -78.62 -46.73 ~0.06707 2.154 0.9824 0.001193 -423.7 -260.8 -0.4884
i), 45 111.1 89.18 0.10274 -89.18 -62.16 -0.07481 2.432 1.410 0.001376 -399.4 -290.9 -0.4749 .··. fiO 111., 89.27 0.09013 -89.27 -73.18_ ~-0.07807 2.437 1.695 0.061382 -350.4 -303.5 -0.4550 lffi-=0.4:
)O 247.6 98.82 0.07423 -98.82 -41.89 -0.03237 3.525 0.9471 0.000586 -912.9 -397 .8 -o. 3936 )5 283.~ ¡ 1)9. 7 0.07945 -139.7 -70.98 -0.04180 4.354 1.701 0.000837 -976.3 -513.6 -0.4011 40 273. ¡161.7 0.07471 -161.7 -97 .64 -0.04717 4.977 2.518 0.000964 -918.o -579. 7 -0.)884 45 "ª32.0 1163.1 0.06551 -163.1 -117. 2 -0.04975 4.925 3.016 0.000945 -805.0 -611.3 -0.3732 50 ' 'f 87 • 9 1 57 • 7 0.05768 -157. 7 -135.5 -0.05270· 4.456 3.23(} 0.00087'5 -708.8 -647 .5 -0.3670 lVle0.5: 30 473.4 194.4 0.06058 -194.4 -82.77 -0.02666 6.899 2.166 0.000570 -1817. -800.0 -0.3421 35 486.4 244.3 0.05905 -244.3 -125.5 -0.03167 8.309 3.527 0.000704 -1772. -950.2 -0.3343 40 424.2 256.6 0.05240 -256.6 -158 .6 -0.03414 8. 519 4.483 0.000707 -1572. -1024. -0;.3210 45 349.1 254.2 0.0465~ -254.2 -189.1 -0.03671 7.792 4.924 o.000653 -1396. -1101. -0.)156 _50 2qi;_1 1260.~ 0.04"\9 -260 .. 4 ~g)4.5 -0.04173 6.701 '5.075 0.000616 -1J1g_ -12'52. -o. '226 ,, .6: ·.
)O 756.0 315.3 0.04838 -315.3 _, 35. 1 -0.02155 11.82 3.979 0.000510 -3009. -1341. -0.2961 35- 706.1 360.6 0.04430 -360.6 -188.1 -0.02429 13.15 5.790 0.000555 -2756. -1511. -o.2a4A 40 591.7 367.á 0.03930 -367 .3 -232.8 -0.02637 12.46 6.714 0.000519 -2445Q -1640. -0.277 ~ 498.8 374. 0.03615 -374.8 -287.2 -0.02931 11.18 7.265 0.000486 -2249. -1823. -0.2782 431.9 389c3 0.03392 -389.3 -357 .3 •0.03284 10.21 7.983 0.000481 -2110. -2043. -0.280'7
~
~ 1 ,
5. PROCEDIMIENTO EMPIRICO PARA EL ANALISIS DE LAMINAS CILINDRICAS ( *)
,, Debido a M.L. Kalra, de Nueva Delhi, y publicado en el Bulletin
of the Interna tional Association for Shell Structures11 (marzo
1970) este procedimiento se aplica a láminas cil!ndricas múlti
ples con vigas de borde, iguales y de directriz circular. Otras
limitaciones de las fórmulas son:
a) 1,5 <L < 4,5 R
b) 15 m. ~ L ~ 30 m.
c) 6 m. ~ R ~ 10 m.
d ) (2 h) ::::: 7 + 8 cm •
e) ~ic: ~ 40 º
f) (2a1) = I1 T6
+ L ~
g) (2e1) = 1 . ( 2a1 ) 6
h) carga uniforme sobre la superficie de la lámina
Estas limitaciones son las cotas de los casos más usuales en es-
te tipo de láminas. No es casualidad qUet asimismo, Gibson tra
te, aproximadamente, e1 mismo campo de aplicaci6n en su "Computer
Ana.lyses of Cylindrical Shells 11 • Los esfuerzos vienen dados por
su valor máximo mediante expresiones sencillas que pueden encan
tarse a continuación. A partir de estos valores máximos .y con la
ayuda de laf:l curvas tipo en los "arcos" dende se halla el valor
del esfuerzo a lo largo de dicha secci6n transversal. Estas cur
vas se bifurcan a veces y aparece un tramo de línea discontínua:
(*) 6.I Método I c.o ...... tro.i-\01.1Me.ll\tL o..\ ~x~+o ~ °""'t~t-to~ ~~lbs I COUl..Si~QI.. i~a.le..s "to.:A~s lo.s vic¡a.s rh bonk / °'2. .J.ol1 olt Co!N\io ~ 2.b1 ola o...d10.
este tramo representa, en esta zona, el valor del esfuerzo en lá-
minas "cortas", alteración estudiada ya en el capítulo sobre
forma general de trabajo de las láminas cilíndricas. Por Último,
se incluye una tabulación exhaustiva del campo de aplicación tra
tado en este capítulo (lo'.> WllA~ ~ so~ Totielaofos, ~tios ~Todos).
E$~lJE.R:iDS MAXlMOS EN LAMINAS C\L-1 Nt>RlCA.$
Dt. t)\R.ECTRIZ C.i~CUL.AR .
~·s <.!::.. <4'5 R
b"'·~ R~ 10m.
<l>ic ~ 40°
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2. b1 = ~ -:- 2.c::\ 1
Vl0A$ t>E. go~J>E: TODAS IC::>UALE.S DE DtMENSIONES Zo.4 )( 2. b1
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