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OndaseLinhas
10/05/17
1
SJBV SJBV
(pags 95 a 102 do Pozar)
• Equações de Maxwell e equação de onda
• Solução geral para Modos TEM
• Solução geral para Modos TE e TM
Ondas e Linhas
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Guias de Onda
SJBV SJBV
• Tecnicamente, linhas de transmissão também são guias de onda, mas na prática o termo guia de onda é usado para estruturas que não suportam modos TEM.
• No geral, linhas de transmissão possuem dois ou mais condutores e guias de onda (metálicos) possuem apenas um condutor.
• Guias de onda são estruturas que confinam e suportam a propagação de ondas eletromagnéticas.
• Veremos que os modos suportados em guias de onda possuem frequências de corte.
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Guias de Onda
SJBV SJBV
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Guias de Onda
RETANGULAR
CIRCULAR
Linhas de Transmissão
CABO COAXIAL
PLACAS PARALELAS
MICROSTRIP
x
z
y
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• Usando a igualdade vetorial :
• Sabemos que ondas eletromagnéticas satisfazem as equações de Maxwell.
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Equação de Onda
• Tomando o rotacional em ambos os lados:
• Em um meio homogêneo e sem fontes ( J = 0 e ρv = 0):
∇×!E = − jωµ
!H
⇒∇×∇×!E = − jωµ∇×
!H
∇×∇×!E =∇ ∇⋅
!E( )−∇2
!E( )
∇ ∇⋅!E( )−∇2
!E = − jωµ∇×
!H
0
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Equação de Onda
• A equação resultante é a Equação de Helmholtz:
• Para um meio sem fontes, ρv = 0. Pela lei de Gauss:
−∇2!E = − jωµ jωε
!E( )
∇2!E +ω 2µε
!E = 0
• É possível chegar a uma equação equivalente para o campo magnético.
∇2!H +ω 2µε
!H = 0
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Soluções Modais
• Considerando uma onda se propagando num guia na direção do eixo z, o campo eletromagnético tem a forma:
!E(x, y, z) =
!E(x, y)e− jβz e
!H (x, y, z) =
!H (x, y)e− jβz
• Utilizando estas soluções nas equações de Maxwell, chegamos a expressões para os campos transversais em função de Ez e Hz:
Hx =jkc2 ωε
∂Ez
∂y−β
∂Hz
∂x⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Hy = −jkc2 ωε
∂Ez
∂x+β
∂Hz
∂y⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Ex = −jkc2β∂Ez∂x
+ωµ∂Hz
∂y
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Ey =jkc2−β∂Ez∂y
+ωµ∂Hz
∂x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
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Equação de Onda
• Substituindo esta solução na Eq. de Helmholtz temos:
• Considerando como solução geral uma onda plana com vetor de onda k = k âk:
Onde:
!E(!r ) =
!E0e
− j!k ⋅!r
x
y
z!E0
!H0
!k
!k ⋅!k = k2 = ω
2
vp2
k2 = kx2 + ky
2 + kz2
vp =1µε
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Modos TEM
• O vetor de onda k só possui componente na direção de propagação (eixo z abaixo).
• Os modos TEM se comportam como ondas planas dentro das Linhas de Transmissão, com Ez = Hz = 0.
x
yz
!E0 !
k
β = k(É comum chamar o componente do vetor de onda na direção de propagação de β )
!H0
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Modos TEM (Ez = Hz = 0)
• A equação de onda (Helmholtz) para o componente Ey é:
• Além disso kc = 0 (β = k). Veremos que isso implica que não há frequência de corte.
∂2
∂x2+∂2
∂y2+∂2
∂z2+ k2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟Ey = 0
−β 2Ey
∂2
∂x2+∂2
∂y2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟Ey = 0
• Mas β2 = k2 para modos TEM. Assim, a equação para encontrar a distribuição transversal dos campos para os modos TEM é a equação de Laplace:
Resolver usando C. C. na linha de Transmissão
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Modos TEM
• A impedância de onda para modos TEM é a mesma que a da onda plana uniforme:
• Se conhecermos o campo elétrico, podemos calculado o campo magnético para modos TEM usando:
ZTEM = −Ey
Hx
=Ex
Hy
=η =µε
!H (x, y) = 1
ZTEMaz ×!E(x, y)
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Modos TE e TM
• Modos TE não possuem componente Ez e modos TM não possuem componente Hz .
• Os modos TE e TM são compostos de superposições de ondas planas.
x
yz
!E0
!k
k2 = kc2 +β 2
Modo TM !E0
!k
12
!E0
!k
!E0
!k
• Os modos TE e TM possuem componente transversal ‘kc’ do vetor de onda:
k2 = kx2 + ky
2 + kz2
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Modos TE
• Os modos TE são caracterizados por ter Ez = 0 (Hz ≠ 0).
• A equação de onda (Helmholtz) para o componente Hz é:
• Além disso kc2 = k2 - β2. Há frequência de corte.
∂2
∂x2+∂2
∂y2+∂2
∂z2+ k2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟Hz (x, y, z) = 0
∂2Hz
∂z2= −β 2Hz
∂2
∂x2+∂2
∂y2+ kc
2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟Hz (x, y) = 0
• A derivada parcial em z, considerando a forma geral da solução é
• Assim, a equação para encontrar a distribuição transversal dos campos para os modos TE é a equação de Helmholtz 2D:
Resolver usando C. C. na L.T. ou Guia de Onda
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Modos TE
• A impedância de onda para modos TE é dada por:
• Isto pode ser verificado olhando para a equação para as componentes Ex e Hy para os modos TE:
ZTE =Ex
Hy
=−Ey
Hx
=ωµβ
=kηβ
Hy = −jkc2 β
∂Hz
∂y⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Ex = −jkc2 ωµ
∂Hz
∂y⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
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Modos TM
• Os modos TM são caracterizados por ter Hz = 0 (Ez ≠ 0).
• A equação de onda (Helmholtz) para o componente Ez é:
• Além disso kc2 = k2 - β2. Há frequência de corte.
∂2
∂x2+∂2
∂y2+∂2
∂z2+ k2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟Ez (x, y, z) = 0
∂2Ez
∂z2= −β 2Ez
∂2
∂x2+∂2
∂y2+ kc
2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟Ez (x, y) = 0
• A derivada parcial em z, considerando a forma geral da solução é
• Assim, a equação para encontrar a distribuição transversal dos campos para os modos TM é a equação de Helmholtz 2D:
Resolver usando C. C. na L.T. ou Guia de Onda
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Modos TM
• A impedância de onda para modos TM é dada por:
• Isto pode ser verificado olhando para a equação para as componentes Ex e Hy para os modos TM:
ZTM =ExHy
=−EyHx
=βωε
=βηk
Hy = −jkc2 ωε
∂Ez
∂x⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Ex = −jkc2 β
∂Ez
∂x⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
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Constante de Atenuação
• A constante de atenuação ‘αd’, devido a perdas no material dielétrico, para modos TE e TM é:
• Para modos TEM, β = k, e a constante de atenuação ‘αd’, devido a perdas no material dielétrico, é:
αd =k2 tanδ2β
[Np /m]
αd =k tanδ2
[Np /m]
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Ondas e Linhas
Trabalho de Final de semestre
§ Projetar guias de onda e Linhas de transmissão para operar em uma frequência a ser especificada e com número de modos a ser especificado (de acordo com Grupo.
§ Escolher um material dielétrico (pesquisar os mais usados) e projetar as dimensões do guia/L.T. de acordo com o dielétrico escolhido.
§ Identificar nome da banda de operação.
§ Discutir aplicações (dentro e fora das telecomunicações) para aquela banda de frequência.
Plotar (usando Matlab) os campos eletromagnéticos dos modos especificados de acordo com o grupo. NÃO USAR PACOTES DE MATEMÁTICA SIMBÓLICA.
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Trabalho de Final de semestre
§ No máximo 8 páginas com Figuras e Código.
§ Em cada caso, pesquisar formas de acoplamento da onda (do gerador para o guia/
linha).
§ Citar as referências usadas. Para os guias de onda, quando possível, identificar o
padrão do guia de onda
(ex: WR-## para guias retangulares).
§ Para linha de placas paralelas, relacionar dimensões com a de uma linha do tipo
Microstrip.
Apresentações e entrega: 08 /06 / 2017 e 13 /06 / 2017
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Ondas e Linhas Trabalho de Final de semestre
Grupo 1
v Guia de onda circular operando em 56 GHz.
v O guia deve suportar 1 modo TE somente.
v Plotar campo elétrico e magnético.
Grupo 2
v Guia de onda retangular operando em 45 GHz.
v O guia deve suportar 3 modos TE somente.
v Plotar campo elétrico e magnético para cada modo.
v Plotar componente do vetor de Poyinting na direção de propagação.
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Grupo 3
v Guia de onda retangular operando em 12 GHz.
v O guia deve suportar 3 modos TM somente.
v Plotar campo elétrico e magnético para cada modo.
v Plotar componente do vetor de Poyinting na direção de propagação.
Grupo 4
v L.T. de placas paralelas operando em 3 GHz.
v O guia deve suportar 3 modos TE somente (além do TEM).
v Plotar campo elétrico e magnético.
v Plotar componente do vetor de Poyinting na direção de propagação.
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Grupo 5
v Guia de onda retangular operando em 27 GHz.
v O guia deve suportar somente um modo da polarização TM.
v Plotar campo elétrico e magnético.
v Plotar componente do vetor de Poyinting na direção de propagação.
Grupo 6
v Guia de onda circular operando em 100 GHz.
v O guia deve suportar 1 modo TE somente.
v Plotar campo elétrico e magnético.
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Grupo 7
v L.T. de placas paralelas operando em 1,6 GHz.
v O guia deve suportar 3 modos TM somente.
v Plotar campo elétrico e magnético para cada modo.
v Plotar componente do vetor de Poyinting na direção de propagação.
Grupo 8
v Guia de onda circular operando em 500 MHz.
v O guia deve suportar 1 modo TE somente.
v Plotar campo elétrico e magnético.