on the radon transform of sampled functions a thesis presented by manuela alexandra s. pereira

129

Upload: others

Post on 11-Sep-2021

1 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

� � ����� � ��� � �������������������������� ������ �! ���"#��$�� ���

%'&)(+*-,/.0,21+34*5,4*567&)*-8

97:

;'<>=@?BADCE<GFHCIA7JK<�=MLBNO<QPSRKTUAVNWAVXINY<[Z\<>]W^`_a=M^`AVCE_>]

&/b

c (+*�de.gf`.0,4.0bh6#bOiBjM6+kO.06+*-*53/.g6+kmlO6+8n%o1+1Dp0.0*-8HqVr5.g*56+r-*5,.06s1tlO3u&).0lOp>iwv+pyxtp0pgz{*-6�&SbOi@&)(+*�3/*-|�v+.034*5zm*567&),

iwbO3}&)(+*�8+*-kh3/*-*~bYi

deb`r-&/bh3�bOi��K(D.0p0bO,/bh1+( :.06s&)(+*�,4v 9`� *5r�&obYi

jM6+kh.g6+*5*-3/.06DkmqVr5.g*56+r-*5,

� lO34fYlO348H��6+.gfO*534,/.g& :� lOz 9 34.08+kh*Y����lO,4,)lOr�(�v+,4*-&4&),

� v+6+*��O�h�h�

Page 2: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

EV�

IR

TA S

�����O�Y�u���W����� ¢¡¤£�£�£~¥ ��¦{§�¨Y©7ª¬«y§�­®«�ª)¯h§�¨�°��u§~±D²�³>ª��´ª¬�µ�u§e¶·§�¸ � �W¨ � ª¬«µ�W¸�²B­®«y«+�u�µ�W�Y�´¸B�´ª¬¸¹ª��´º�ª¬°t²

Page 3: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

»�¼`½t¾À¿hÁ0¼nÂ�Á0¿�Ã�¼`½�Ä>Å-¼�ÆaÇ!È®¿OÅ5¿OÉ0Å5¼sÊ2¼�ˬÌWÍD½ÀÌ�¿OÁ0Í`Ë

È2Å5Í`δÇÐÏ�ÍVÑ`¿OÅ�ÒÓÇ!ÔeÅ-ÍtÌ5Õ`¿YÖ¬Ö

×mØQÙWÚ·Û�ÜÞÝtß·àÀØ�Ù�áWÝtØ@â5ãäà�á�å à�ãÐâ5Ýtå[æèçwÛVßQã¹éèØ@êOÙWëwàÀØèâ

Â�ì>Ë�Ö�Å5¼�Ì�Öí ª®§�°`°7�´ª¬¸´¸!�´��ª � ��§¤�4§ � �¹ª��u�µî¬§¤�´�µ�W¨���ï+�´�7ªñðñ§�°��W¨��¹�u§�¨�¸´ïg���uòó��ïD�V�µª � ª�ôñ��¸¹ª � �W¨`¸¹�´§�¨��èï0©`¨ � �´�µ�W¨�¸

�W¨õ§n�`�ö¯hª¬«M«�§¤�¹�´� � ª�²�­ � «µ�W¸¹ª¬°h÷wï0���uòøª)¯O���uª¬¸´¸´�µ�W¨��y¸�°7ª��u�µº�ª¬°�ïg�����´�7ª{ð®§�°7�W¨��¹�u§�¨`¸¹ïg���4òù��ï�§�¨���`�ö¯hª¬«�§¤�¹ª¬°Þïú©�¨ � �´�µ�W¨s§�¨�°û�´�7ª��`�ö¯hª¬«�§¤�¹ª¬°s«��y¨7ªU§�¨�§�«µ�Oî�ª¬°û��¨s°7ª��´§���«w²�üK�7ª�«�§¤�¹�¹ª��o��¸�¸´�7�-ôñ¨s�¹�m��§�º�ª�´�7�´ª�ª����´���+ª��´�´��ª¬¸��´��§¤�U«µª¬§�°��¹�s§Þðñ§�°7�W¨��¹�4§�¨�¸¹ï0���uòý¸´© ¥ ¸¹�´§�¨Y�´��§�«�«��Þ°`�öþDª��uª¬¨��oïg�u�Wòÿ�´�`§¤�o��ï®�´�7ª��°7ª¬§�«���î�ª¬°Ð«��y¨7ª�� ¥ �W©�¨�°7ª¬°Ð¸´©7���+���´� � ¨7�W¨7÷wî�ª��´�}ôñ��°7�´� � §�¨�°o�`�ö¯hª¬«��µî¬§¤�´���W¨t²����W©�¨�°�ª¬°o¸u©7���+���´�À�uª¬¸´©�«µ�´¸��¨\�Iôè��¸¹ª��´¸��0�´�7ªe§�°�ò���¸u¸´� ¥ «µª�§�¨�°{�´�7ªo��¨��¹ª��4¸¹ª � �´��¨7��¸¹ª����M�´�`§¤�®ïú©�«�«µ� � �`§¤�u§ � �¹ª��u�µî�ªe�´�7ªe¸´©7���+���´�M��ï�´�7ªñ�4§�¨7��ªñïú©�¨ � �´�µ�W¨ � ôñ����«�ªK¨7�W¨h÷wî�ª��´�oôñ��°7�´�~¸´��§¤�+ª¬¸·�µ�´¸�§�òU�`«����´©�°7ªB�¹� ¥ ª � �W¨Y�´��¨O©7�W©�¸´«��e°�ª � §¬�h��¨7� �ïg�u�Wòø�´�7ªÞò�§5¯7��òo©�òøº¤§�«�©7ª � §¤��§��u§¤�¹ª��>¸´��¨ ���������0ô®�7ª��´ª����H��¸��´�7ªÞ°���¸¹�´§�¨ � ª{�¹���´�7ªÞ§�¨7�W«µª§�¸´¸¹� � ��§¤�¹ª¬°\ô®�µ�´���´�7ª2ò�§5¯7��òo©�ò��4²

üK�7ª¬¸´ªo� ¥ ¸¹ª��´º¤§¤�´�µ�W¨�¸}ª¬¨�§ ¥ «�ªo�´��ªe°�ª��u�µº¤§¤�´�µ�W¨#��ï@�´�7ª�¨�§¤�u�´��ôó¸¹�¹�4�µ�s§¤�����´��¯h��ò~§¤�´�µ�W¨����}±h­��®�¹��´�7ªmð®§�°7�W¨ �¹�u§�¨�¸´ïg���uòù��ïS�´��ª\�`�ö¯hª¬«�§¤�¹ª¬°�«��y¨7ª�²�üK����¸e��¸~§�¨õ©7���+ª��¹÷ ¥ �W©�¨`°n�W¨ �´��ª\�¹�u©7ªmð®§�°7�W¨�¹�u§�¨�¸¹ï0���uò ôñ��� � � �y¸�¸´����ôñ¨[�¹� ¥ ª#�´�µ�W�Y� � ��¨ �´�7ªÞ¸¹ª¬¨�¸¹ª#�´��§¤����¨7ª��O©�§�«����´�µª¬¸ ¥ ª � �WòUª#ª��Y©�§�«y�µ�´�µª¬¸ �ôñ�7ª¬¨��´�7ª��u§¤�´��� ¥ ª��Iôèª�ª¬¨ �V�ö¯Oª¬«�§�¨�° ��ò~§¤��ª�¸u�µî�ª����Yª¬¸e�¹�sî�ª��u�7²�üñ�7ª���±h­���¸U§Þ¸´��òU�`«�ª�òU�h°7ª¬«��ïè�´��ª��u§�¨7��ªUïú©�¨ � �´�µ�W¨Þ�´�`§¤� � ©�¨�«y����ªe�´�7ªUïg�uª��Y©7ª¬¨Y�´«µ�Þ©�¸¹ª¬° �}�µ�u§ � °7ª¬«µ�´§ � § ��� �W©�¨Y�´¸Ðïg���2�´��ªU�´�7�´ª�ª���´���+ª��´�´�µª¬¸BòUª¬¨Y�´�µ�W¨7ª¬°m§ ¥ �-º�ª�²"!ä¨��´ª¬¸´©�«�� � �µ�M§�«�«µ��ô®¸ ¥ ���´���´�7ª����´ª��´� � §�«�§�¨�°�§�«µ�����u�µ�´�`ò�� � §�°7º¤§�¨ � ª¬¸�¹���´�7ªe���´� ¥ «�ª¬ò���ïB«���¨7ªo°7ª��¹ª � �´�µ�W¨t²�#}¨#�´�7ªe�´�7ª����´ª��´� � §�«·¸´��°7ª � �µ�}��¸�¸´����ôñ¨#�´��§¤���´�7ªe�¹�u§�°`�µ�´�µ�W¨�§�«¸¹�¹�u§¤�¹ª�������ïh«���¨7ª!°7ª��¹ª � �´���W¨ ¥ �S�´���´ª¬¸´�7�W«�°`��¨7�B��¸+ï0©`¨�°�§�òUª¬¨Y�´§�«�«µ�%$`§¬ô�ª¬° � §�¸��µ����¸��y¨��¹�u�y¨�¸´� � §�«�«��K©�¨�§ ¥ «µª�¹���´ª¬§ � ��§ ��� ©��u§¤�¹ªñ�`§¤�4§�òUª��¹ª��説¸´�´��ò�§¤�¹ª¬¸·ï0���踴�`§¤�´��§�«�«µ�e«µ� � §�«��µî�ª¬°U«��y¨7ª¬¸�²&#}¨U�´�7ªñ§�«������u�µ�´��ò�� � ¸´��°7ª �§�¨~§�¨�§�«��O¸´�y¸ä÷ ¥ �Y÷ ¸¹�h¨��´��ª¬¸´��¸!«���¨�ªK°7ª��¹ª � �´�µ�W¨�§�«µ�����u�µ�´��ò ��¸!���´���+�W¸¹ª¬°~§�¨�°~¸´����ôñ¨~�¹� ¥ ªK¸´© ¥ ¸´�´§�¨��´��§�«y«µ�òU���´ª2§ ��� ©7�4§¤�¹ª��´��§�¨��´���´ª¬¸´�7�W«�°`��¨7�eòUª��´�7�h°�¸�²' ��¨�§�«�«�� � ôèª � ��§¤�u§ � �¹ª��u�µî�ªñº5§¤�u���W©�¸!¸¹�´§¤�´��¸¹�´� � §�«7���´���+ª��´�´�µª¬¸>��ïD�´�7ªM�u§�¨7��ªMïú©�¨ � �´���W¨(�À�µ�´¸!�`�´� ¥ § ¥ ��«µ÷�µ� ��°7ª¬¨`¸´�µ� ��ïú©�¨ � �´�µ�W¨ � òUª¬§�¨ � º5§¤�4��§�¨ � ª � §�¨�°{¸´§�òU�`«�ª}ò�ª¬§�¨t²)#}¨ � ª�§¤�W§���¨\�´�`��¸M«µª¬§�°�¸M�¹��§�°7º¤§�¨ � ª¬¸��¨ ¥ ���´�U�´�7ª����u��§�¨�°~§�«µ�����4�µ�´��ò�¸*�+��!§����´�O��ïV��ïtª)¯7��¸¹�¹ª¬¨ � ªñ��ï�§�ï0©`¨�°�§�òUª¬¨Y�´§�«`«�§�ôõ�´��§¤� � ��§¤�u§ � �¹ª��´÷

�µî�ª¬¸!�´�7ªM§�òU�V«��µ�´©�°7ª¬¸>��ïD�´�7ªKðñ§�°��W¨e�¹�u§�¨�¸¹ï0���uò � §�¨`° ¡ �a§�¨e�����´��ò�§�« � ��¨e�´�7ªKò���¨`��òЩ`òG���u� ¥ § ¥ ��«���� ���ï�ª��u�´���ñ¸¹ª¬¨�¸´ª � §�«µ�����u�µ�´�`ò ïg���®ª¬¸¹�´��ò�§¤�´��¨��o�´��ª�¨Y©`ò ¥ ª��M��ï!«���¨7ª¬¸B��¨�§�¨{��ò�§¤��ª�²

,-,.,

Page 4: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

/ 0214351�076�8(9�:<;>= ?5@�=�1�9�1�07:�3A0CB�143DBE;>6�8(9�:EF

,.G

Page 5: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

H IKJML NPO QSRUT VXW RPLXY[Z

!èô��W©�«�°�«y����ª��¹���´��§�¨\��¸¹ª�º�ª��u§�«À�+ª����`«µª}�´��§¤� � ��¨�°`�öþDª��uª¬¨��MôB§¬�h¸ � ò~§�°7ª��´����¸Bô����C���+�W¸´¸´� ¥ «�ª�²¦m��§�°7ºh��¸¹��� � ³·�u��ïI²aðK����ª��]���´� � ��ª��¹��²"^S��¸��`§�¸´¸´�µ�W¨Ðï0���>¸ � ��ª¬¨ � ª � ¸¹�¹�´�W¨7� ¥ ª¬«��µª�ï7��¨Ð�u�µ�����a§�¨�°`_��u¸¹����u��¨ � �µ�`«µª¬¸ � §�¨�° � �W¨�¸¹�´§�¨Y� � ��§�«y«µª¬¨7��ª¬¸���§¬º�ª ¥ ª�ª¬¨~§o¨7ª�º�ª��Bª¬¨�°���¨7�2¸´�W©7� � ªS��ï�§¬ô�ª}§�¨`°~��¨�¸´�`�µ�u§¤�´�µ�W¨�²!I�o��¸2�4§¤�´ª¬«µ�û��¨H«��µï0ª��´��§¤���W¨�ª���§�¸Ð�´�7ª������+���´�´©�¨��µ�I�Þ�¹� � «µ�W¸´ª¬«µ�û��¨Y�¹ª��u§ � �Ðô®�µ�´� � §�¨�°n«µª¬§¤�4¨nï0�´�Wò �°7ª�ª��\�´���y¨\��ª��u¸�²]!��¹�u©�«µ��ïgª�ª¬«�ïg���´�´©`¨�§¤�¹ª2�¹�~��§�º�ª���§�°\¸u© � �\§�¨\�����+���´�´©�¨��µ�I��²üK�7ª}òUª¬ò ¥ ª��u¸���ïÀò���°7� � �¹���u§�« � �Wò�ò��µ�¹�¹ª�ª � ³@�´��ïú¸�²!­®«µª*�h¸´§�¨�°�ª��)a�§¬º � � � � ¶·§����y°�ü>§¤�´���h� � §�¨�°�®§�ºO�y¨�a���§�¨7ªcb´§���§�º�ªe���´��ºh��°7ª¬°#��¨�¸u�µ�W���¹ïú©�« � �Wò~òUª¬¨��´¸2�´��§¤�S�`§¬º�ª���òU�`�´��º�ª¬°{�´�7ª��Y©`§�«��µ� ����ï@�´����¸

ò�§�¨O©�¸ � �u�µ�`��²��S§¬ºh��¨U§�¨�°d!À���2§}«µ�W¨��SôB§¬�o�¹����ª��´�7ª�� � ¸´��¨ � ªè�´�7ªM�´�yòUªBôèª ¥ ���´�U¸¹�´§¤�´�¹ª¬°U§¤�&^S§¤�´º¤§¤�u°t²¦\���uªñ�´��§�¨�§ � �W«�«�ª¬§¤�W©7ª � ��ªñ��§�¸ ¥ ª�ª¬¨�§2�¹�u©�ªKïg�4�µª¬¨�°U�´��§¤�S!·��§¬º�ªS«µª¬§¤�u¨7ª¬°~�¹���´ª¬¸´�Dª � ��§�¨�°~§�°`ò��µ�´ª�²üK�7ª�ï0ª¬«�«µ�-ô�§�¨�° ï0���uòUª���òUª¬ò ¥ ª��u¸U��ïS�´�7ª2^S§¤�´º5§¤�4°�ðK� ¥ ���´� � ¸�e�§ ¥ ��§�º�ª � �´ª¬§¤�¹ª¬°õ§�¨õª¬¨�ºh�ö÷�´�W¨�òUª¬¨Y���´�`§¤�ÐôB§�¸e§�«µô�§��O¸oïú©�¨ � ïg�4�µª¬¨�°�«µ� � §�¨�°�§{¸¹�W©�� � ª~��ïñ¨O©�òUª��u�W©�¸ ¥ �4§���¨�¸¹�¹���uò~��¨7�\¸¹ª¬¸´¸u�µ�W¨�¸�´��§¤�M�7ª¬«µ�+ª¬°�ò�§¤�´©7�´ª��´�7ª�ò�§��y¨��y°7ª¬§�¸���ïÀ�´����¸��´�7ª¬¸u��¸�²f!@ô��W©�«�°�¸¹�+ª � ��§�«�«���«�����ªS�¹��§ � �h¨7��ôñ«�ª¬°7��ª��´�7ªïg�4�µª¬¨�°�¸´�`�µ�\§�¨�°Þ¸´©7���+���´�®��ïS^®�W¨7���h�ge�� � §�¨�°#�´�7ªeª¬§¤�u«µ�\ª¬¨ � �W©��u§¤��ª¬òUª¬¨Y��ïg�´�Wòh�S§�¨�§¬�W§�§müMôñ©�òe÷�}§�¨�¸¹� � í §�«µ�¹ª��i�B§j��ª�� � �}��ò����¹�u�µ�W¸k^ñ�u�y¸¹�´© � §�¨�°5a2�u��¸¹�´�>¦\���´�W§�¨`¸¹ª¬¨t²2üK�7ª��uªo§¤�´ªo��ï � �W©��u¸¹ªeò�§�¨��òU���´ª\¨�§�ò�ª¬¸ � �¹�O�nò�§�¨Y�n�¹�û°���¸´�´��¨7�W©���¸u�n��¨�°`�µºO�y°�©�§�«�«µ��²û±O� !Ð�´��§�¨\�H§�«y«è��ïS�´�7ª¬òýï0���~¸´�ö¯H���´ª¬§¤���ª¬§¤�u¸*�Sü�§�ò�òÐ��^®ª����`¸ � ¦{§¤�C��^®�Yª�ï0ª�� � ±O�´§�¨ lW©��´�W§ � ±h§�ò�³"_`¸¹�¹ª�� � ¦{§¤�W¨Y©`¸�m·��ª��u¸¹�¹ª¬°�� � ¦{� � ��§¤ª¬«���´�O°�� � ­®¨�°��´ª�ôK�}§�òU�W¨�¸ � ��ª¬¨nb´§�ò���¨�³>ª¬�µ� � ª � ¦m� � ��§¤ª¬«À¦ � m@«��´��� � l���§�¨�oD�W© � ±7©�p}��¨���q}©7ª*� � lW§5÷¸¹�W¨e­®°`§�¸r�5§ � ¦m�W��§�òUª¬°U­S«��>��ª¬«�§ ¥�¥ §�¸ � �S�´ª�ôõ�B§¤�4«�¸¹�W¨ � ­ ¥ °��W«ö÷ ðKª�}¦m§�¨`¸¹�W©7�u� � §�¨�°U¦{§¤�C�`���O�u°t²' ��¨�§�«�«µ� � ¨7�W¨�ª���ï>�´�`��¸Bôè�W©`«�°���§¬º�ªÐôè���s��ª¬°�ôñ�µ�´�7�W©��M�´�7ª�ïg�4�µª¬¨�°�¸´�`�µ����ïfa2§¤�´��«�ª�ª¬¨2eÀ§¤ï0�u§�¨ � ª�²#}©7�´¸u��°7ªi^Sðte � �´�7ª��´ªo§¤�´ªÐ¸¹ª�º�ª��4§�«À�+ª����`«µª��´�`§¤�t!MôB§�¸®«�© � �O���¹��òUª�ª��®§¤�u^S§¤�´º5§¤�4°(�M�M§¤�´�W«�§�¨�¨���´� � ��ª��¹� � ±h�W©�¨�°7�W©�¸u¸+���W©��`��§ � ¦m�y¨��4�ñ�W©���ª¬¨ � §�¨�°{±h©`¸´§�¨ í ��ª � î����´ª*�wvD§�¸Mô�ª¬«�«t§�¸ñ§e���´ª¬§¤� � �Wòe÷òЩ`¨��µ� �{��ïM�M§�ò ¥ �4��°7��ªExn���W¸¹�¹�W¨sï0�u�µª¬¨�°`¸*�S³a§�©�«�� ' ª��´�´ª¬�µ�4§ � l��W¸>yª��M§�ò4z��ª¬¸ � e�©��µî<q}©�§¤�uª¬¸´ò�§ � !ä¨|{ª¬¸���Y�u¨�ª�§�¨�°n¦{�µ�W©7ª¬«@�B§�¸¹�¹�u� � !ä¨|{ª¬¸o±O�W©�¸u§ � ' �u§�¨ � �y¸ � �\¶!ª¬«µ�W¸¹� � l)y©`«���§�­®«y«µª¬¨Þ§�¨�°}eÀ© y~ ¸2¦m���W©7ª¬«@±h��«ö÷º�ª¬�µ�u§ � l����´��ª��}�W¨f�� §�«µº�ª¬¸ � l��W¸>yªoü�§�º5§¤�´ª¬¸ � ^®ª��uò2y~ ¨`�µ��ðñ� � � � ðK�h°7�u�µ���~¦{�µ�u§¤�W§���§ � ±h§¤�u§~¦{§���§ � üK��§¤���ðñ� ¥ ª¬�µ�u� � lW�W¸�yªA�}©�§¤�u�¹ª � ±O��_`§���ª��´�¹��§�¨`°[¦{�µ�W©7ª¬«®¶S�y«�«�§�¸ä÷����W§�¸ � ð®� � §¤�u°7� ± � ���y§¤���`§ � ' �u§�¨ � ��¸ � §e�ª¬�µ�¹ª � l��W¸>yª��B§¤�u«��W¸®¦m�W¨��¹ª¬�µ�u� � ­S¨�§��M§�¨�§�¸®°`§�±h��«�º5§ � �M«�y§�©�°���§��S�u©`òU�W¨�° � lW�\z§¤��³a§�©�«�� ' ª��´�uª¬�µ�u§ �

G

Page 6: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

¦m§¤���W��ªn§�¨�°Kl��W¸>yªHüÀ�u� ¥ �W«�ª�� � �}§¬ºh��° ­S©7�W©�¸¹�\§�¨`°�­®¨�¨�ªû±7ò��µ�´� � ±h§¤�u§�� í ��«���ª¬¨�¸¹�W¨�§�¨`°�p@©7�u�!Iº¤§�¨7�-ºV²¦m�Sï0�u�µª¬¨`°�¸t��¨2³>���´�´©7�W§�«Yï0���À�´�7ª·���uª¬§¤���´��ò�ª¬¸tôñ�7ª¬¨D!D��� ¥ § � ����³a§�©�«y§ñ¦\���4§���¸À§�¨�°Ð¦m�µ�W©�ª¬«7�B§¤�¹÷

�´�W¸¹� � ���u��¸¹�´�y¨�§��S�u§�¨�°7ª � ±|y~ «µºh��§e§�¨�°\³a§�©�«�§<��§¤�u�u��§�¸ � ü�ª��´ª¬¸´§�§�¨�°�lW�W§�¨�§~­S¨�°7�u§�°�ª � ðñ�µ�´§~¦{§�¨Y�´©�§§�¨�°#³>§�©`«µ�4��©7ª¬°7ª¬¸ � �S§��µ�Sü>§¬º�ª¬���u§ � l��W¸>yª�¦{§�¨Y©7ª¬«·�B§ ¥ �u§�« � ³�ª¬°��´���M§¤�u°7�W¸¹� � !临§ ¥ ª¬« ' �uª¬�µ�´§�¸ � §�¨�°ò������h°�°�§�©7�W�Y�¹ª��klW�W§�¨�§h²��ª¬��¨7��§�ô�§���ïg�´�Wò �´��ª��Dª����V«µª}�´��§¤��! � §¤�uª2òU�W¸¹�Kï0���Mô�§�¸K�´�7ª2��§¤�u°7ª¬¸´� � ��§�«�«�ª¬¨7��ª���ï����4§�°�©�§¤�¹ª

¸ � ���Y�W« ²Küñ�7ª���ôèª��uª � ¨7ª�º�ª��u�´�7ª¬«µª¬¸´¸ � §�«µôB§¬�h¸ñ�`�´ª¬¸¹ª¬¨Y��²�!Mïgª�ª¬« ¥ «µª¬¸u¸¹ª¬°\�¹����§¬º�ª ¥ ª�ª¬¨\�u§��y¸¹ª¬° ¥ ��� ô���+ª����`«µªU�´��§¤�2�uª¬«µª¬¨��´«�ª¬¸´¸´«µ�Þ��¨�¸¹�V�µ�´ª¬°ÞòUª��¹�m§�«�ô�§��O¸Ð�`©7�u¸u©7ªUò��s°7�´ª¬§�ò~¸�²�¦m�sòU���´�7ª��Ð�y¸2§m«���ºO��¨��ª)¯h§�ò��`«µªS��ï � �W©7�4§¤��ª � °7ª��¹ª��uò���¨`§¤�´�µ�W¨ � �O��¨`°�¨7ª¬¸´¸ � §�¨�°�©�¨ � �W¨`°��µ�´�µ�W¨�§�«V«µ��º�ª�ï0���K�7ª��)�h��°�¸�²·¦m�Wò�ò��§�¨�°��}§�°�°7� � �´�`��¸a�´�7ª¬¸´��¸!�y¸!°7ª¬°�� � §¤�¹ª¬°e�¹�2���W©��!¦m�e¸´��¸¹�¹ª��·ü�ª��´ª�î¬��¨��`§�§�¨�° ¥ �´���´�7ª��·­S¨�°7��yªM�¹����ª��´��ª��ôñ�µ�´��³a§�©�«�� � ­®ïg�W¨�¸´� � §�¨�°�üÀª��uª�î¬��¨���§2�`§¬º�ª®§�«�ô�§��O¸���§�°~§Ð¸¹�+ª � ��§�«7�`«y§ � ªñ��¨�òÐ���7ª¬§¤�´� � §�¨�°�!a�¹�u©`«µ�ò���¸´¸B�´��ª+bä�-����ï ¥ ª¬��¨7�eôñ���´���´�7ª¬ò'ª�º�ª��´�h°�§¬��²�}©7�u��¨���òÐ�Þ���u§�°�©�§¤�¹ª�¸¹�´©�°��µª¬¸ � !®ôB§�¸�«y© � �O�{ª¬¨��W©7�W�s�¹�m¸¹ª�ª�ò��Þïú§�ò���«µ�\���u��ô ¥ �s§\¨O©�ò ¥ ª����ï�ª)¯ � ª����´�µ�W¨�§�«}�+ª����`«�ª�² üÀ���´�7ªÞ¶·§�¸ � �W¨ � ª¬«µ�W¸\ïú§�ò���«µ���n­S¸´¸´©�¨]�� z§¤��§�¨�°�¦m§�¨O©7ª¬« � ³>ª¬°7�´� � ð®�µ�´§§�¨�°û�B§¤�´§¤�u��¨`§ � ð®� � §¤�u°7� � §�¨�°#¶!ª��u�y¨���§ � �´��§�¨\�h¸Sïg�����´�7ªe«µ�-º�ª�§�¨�°Þ¸´©7���+���´� � §�¨�°#ôñ�7�W«µªe�7ª¬§¤�´�´�y«µ�ª¬ò ¥ �u§ � ��¨7��òUª2�y¨��´�7ª�ïú§�ò���«µ��²¦m� ¥ ª¬«µ��º�ª¬°o°�§�©7�W�Y�¹ª��u¸ � ' �4§�¨ � ��¸ � §S§�¨�°��説¨�ª¬°��µ�´§ � ôñ�7�W¸´ªè¸´ò��y«µª@§¤�a�´�7ª@ª¬¨`°���ï��´��ª�°�§���§�«µôB§¬�h¸ò�§�°7ªM�´�7ªK�`§¤�u°�¸´�����`¸À��ïD�´�7ª����´ª¬ò ���´�-ºO��¨��}¸´ª�ª¬òó¸¹�2�µ�´�uª¬«µª�º5§�¨Y��²aüK�7ª��´ªK§¤�´ªKò��WòUª¬¨��´¸è��¨e«��µï0ªBôñ�7ª��´ª

«��µï0ª��µ�´¸¹ª¬«µï��´©7�u¨�¸Bï0���K�´�7ª ¥ ª��¹�¹ª�� � §�¨�°�!Bô�§�¸K«y© � �O��ª¬¨��W©7�W���¹�~��§�º�ª��Iôè�7²¦m�m�Y©`¸ ¥ §�¨�° � �S©�¨7� � ïg�������y¸ñ©�¨ � �W¨`°��µ�´�µ�W¨�§�«�¸´©7���+���´� � � §¤�u��¨7� � §�¨�°Þ«µ�-º�ª�²i�®©`¨7� � �´��§�¨\�h¸®ï0���§�«µôB§¬�h¸ ¥ ª¬«��µª�ºh��¨7�~�´�`§¤��! � �W©�«�°s°�������²oüK��ª��´ªU��¸}¨7��ô�§��5! � �W©�«�°s��§�º�ª�°7�W¨7ª��µ�}ôñ���´�7�W©7�S���W©(�d!§�ò'�´ª¬§�«�«���ï0���´�´©�¨�§¤�¹ª��¹����§¬º�ªo¸´��§¤�´ª¬°��´��ª�� ô���òU�WòUª¬¨Y�´¸ñ§ ¥ �-º�ª2ôñ�µ�´�����W©��

üK���y¸èô����C��ô�§�¸K¸u©7���+���´�¹ª¬° ¥ ��¸´© ¥ � �W¨��¹�4§ � �Mïg�´�Wò����´�-ôñ¨4�S¨��µº�ª��u¸´��� � ��� ¶}��¸´�µ�W¨\±O�¹�u§¤�¹ª��W��ª¬¸K§�¨�°­!üKð�³>ª��´ï0���uò�§�¨ � ª��a§2¦{§¤�´�7ª¬ò�§¤�´� � §�«V±h�´§¤�´��¸¹�´� � §�« ' ���uòo©�«�§¤�´���W¨U§�¨�°����u�µ�´���O©7ª�� ������� ¡ ¡ ���>� ©�¨�°7ª�����u��ò�ªS��ïa­!üKð�­®ð�# ¦5�Sð�!��K­S­%^ £j� ÷�� � ÷��B­®­ � ²

Gj,

Page 7: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

� N�L�Y�RPLXY[Z

� � ½DÖ�Å5ÍtÄ>¾�Ì�Ö-É0ÍD½ �� ��  ¿#Ï�¼`Ä�ÍD½�Ö�Å5¼`½�ˬΠÍVÅn¡ ¢¡ ²� üK�7ª2ð®§�°7�W¨��¹�u§�¨�¸´ïg���uò ²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² £¡ ² ¡ üK�7ª2ð®§�°7�W¨��¹�u§�¨�¸´ïg���uò���ï>�´��ª2°7ª¬«µ�´§eïú©�¨ � �´�µ�W¨ ²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² �¡ ²¥¤ üK�7ª2ð®§�°7�W¨��¹�u§�¨�¸´ïg���uò���ï>�´��ª2«���¨7ª���¨�°`� � §¤�¹���Mï0©`¨ � �´�µ�W¨ ²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² £¡ ² � üK�7ª2ð®§�°7�W¨��¹�u§�¨�¸´ïg���uò���ï>�´��ª2«���¨7ª�¸¹ª��WòUª¬¨Y�ñ��¨`°�� � §¤�¹���Mïú©�¨ � �´�µ�W¨ ²2²2²�²2²�²�²2²2² ¡¡ ² � üK�7ª2ð®§�°7�W¨��¹�u§�¨�¸´ïg���uò���ï>�´��ª2¸¹�¹�u�µ�\��¨`°�� � §¤�¹���Mïú©�¨ � �´�µ�W¨ ²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² �¤¡ ² � üK�7ª2ð®§�°7�W¨��¹�u§�¨�¸´ïg���uò���ï>�´��ª��`�ö¯hª¬«t��¨�°�� � §¤�¹���Mïú©�¨ � �´���W¨ ²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² �¡ ².£ üK�7ª2ð®§�°7�W¨��¹�u§�¨�¸´ïg���uò���ïa§e�V�ö¯Oª¬«y§¤�¹ª¬°�ï0©`¨ � �´�µ�W¨ ²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ¡¤£¡ ²¥¦ ±hòU�O���´����¨7��²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ¡

§ ��  ¿#Ï�¼`Ä�ÍD½�Ö�Å5¼`½�ˬΠÍVÅn¡ Í`ή¼}¨>ÉgÃ�¿hÁ0¼7Ö�¿OÄ ¿OÄ�ÑV¿�¡H¼©¨ �ª§¤O²� üK�7ª2¸¹ª��ñ��ïa«y��¨7ª¬¸B¸´©7���+���´�¹ª¬° ¥ ��«"¬�­ ® ²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ¡n�¤O² ¡ ³@�ö¯hª¬«�§¤�¹ª¬°\«y��¨7ª¬¸ ²2²�²2²�²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ¡ �¤O²¥¤ üK�7ª2¸¹ª��V§¤�u§ ¥ «µª2§¤���`�´�¬¯7��ò�§¤�´�µ�W¨ ²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ¤ £¤O² � ³@�ö¯hª¬«�§¤�¹ª¬°�ª¬°���ª�ò�§¤�`¸ ²�²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ¤�¤

¯ ÔeÍV¾>½ÀÄ>¿OÄÁ0¼7Ö�Ö-É0ÌW¿YË~¼`½ÀÄõÖ   ¿{ÄaÉ0ˬÌWÅ5¿�Ö�¿#Ï�¼�Ä�ÍD½ Ö�Å-¼V½ÀˬÎIÍ`Åj¡ § ¢� ²� üK�7ª2°��y¸ � �´ª��¹ª2ðñ§�°��W¨��¹�u§�¨�¸¹ï0���uò ²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ¤ �� ² ¡ üK�7ª2��¨Y�¹ª��u¸¹ª � �´�y¨7��¸¹ª��K��ï!§�«��y¨7ªS¸´ª��WòUª¬¨��S²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ¤�¦� ²¥¤ üK�7ª2��¨Y�¹ª��u¸¹ª � �´�y¨7��¸¹ª��K��ï!§U�`�µ¯Oª¬«�§¤�¹ª¬°�«y��¨7ªó²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² � �� ² � üK�7ª2��¨Y�¹ª��u¸¹ª � �´�y¨7��¸¹ª��K��ï!§�¸¹�¹�4�µ��¸¹ª��WòUª¬¨Y�Q²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² � £

° ± ¿YÖ�¿YÅj¡�É0½>É0Ë�Ö-É0Ì2¡HÍtÄ�¿hÁ0Ë�Î ÍVÅ~Ö   ¿#Ï�¼�Ä>ÍV½õÖ�Å5¼`½�ˬΠÍVÅn¡ Í`Ît¨aÉgÃ�¿OÁ0¼7Ö-¿YÄÁúÉ0½�¿OË °|²� ²� ­��´§5¯O�W¨7�WòÐ��ï0���K�´�7ª2ðñ§�°��W¨��¹�u§�¨�¸¹ï0���uò'��ï!§e�`�µ¯Oª¬«�§¤�¹ª¬°m«���¨7ª ²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² � ¦

� ²�¤²� üK�7ª2«y��¨7ª�òU�h°7ª¬«�²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² � ¦� ²�¤² ¡ üK�7ª2¸´ª��WòUª¬¨��SòU�h°7ª¬« ²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² � �� ²�¤²¥¤ üK�7ª2¸´�¹�u�µ�\òU�h°7ª¬« ²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ���

� ² ¡ eÀ��¨�ª2°7ª��¹ª � �´�µ�W¨ ¥ ��ò�§¤� � �7ª¬°�_`«µ�¹ª��u�y¨7�U��¨�ðñ§�°7�W¨m¸¹�`§ � ª�²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² £>� ²¥¤ üK�7ª2¸¹�¹�4�µ�\¸¹ª��WòUª¬¨Y�®òU�h°7ª¬«>²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² £ �� ² � m!¯h�+ª��u��òUª¬¨Y�´§�«+���´� � ª¬°�©7�´ª ²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ¦�¤� ² � m!¯h�+ª��u��òUª¬¨Y�´§�«+�´ª¬¸´©�«��´¸�²�²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ¦�£� ² � eÀ��¨�ª2°7ª��¹ª � �´�µ�W¨\ª)¯7§�òU�`«�ª¬¸ó²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ¦��

Gj,.,

Page 8: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

¢ È2Å5Í`ì>¼�ìaÉ0ÁúÉ0Ë�Ö-É0Ì�¡nÍtÄ>¿OÁ0Ë�ÎIÍ`Å�Ö   ¿mÏ�¼�Ä�ÍD½ Ö�Å-¼V½ÀˬÎIÍ`Åj¡ ÍVÎt¨aÉyÃ�¿hÁ0¼7Ö�¿OÄ[ÁúÉú½�¿YË ³ �� ²� ­����´� ¥ § ¥ �y«��µ� ��°7ª¬¨�¸´�µ�I�~ïú©�¨ � �´�µ�W¨�ï0���ñ�´��ª2ðñ§�°7�W¨��¹�4§�¨�¸¹ï0���uò ²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ��¤� ² ¡ ±O�´§¤�´��¸¹�´� � ¸M��ïa�´�7ª2ðñ§�°7�W¨m�¹�u§�¨�¸¹ï0���uò ²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²� £�£� ²¥¤ �Sª��¹ª��uò���¨��y¨7�U�´�7ª2¨O©�ò ¥ ª��M��ï!«���¨�ª¬¸¢²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²� £ ¤� ² � eÀ��¨�ª2°7ª��¹ª � �´�µ�W¨\ª)¯7§�òU�`«�ª¬¸ó²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²� £ �

² ´ ÍD½ÀÌ�Áú¾�Ë�É0ÍV½�Ë �ª�>§ÔUÉ0ì>ÁúÉ0Í`ÑVÅ-¼©¨  �µ �ª� ¢

Gj,-,.,

Page 9: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

¶ · Z�Y N¹¸ º · VX» ¼[RUZ

¡ ²� ½\¾C¿�¾�À�ÁcÂÃÁc¿ÃÄÆÅr¾CÂÃÄÆÇÉÈ�Ç�ʪ¾SË¥ÄÆÈEÁ&Ì�ÍAÎ�Ï�Ð�ÑEÒ�Ó ²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² £¡ ² ¡ Ô�Õ ¿�Ê�¾sÖ×ÁiÎ�ÂÃÇÉØjÒ&¾sÈjÙ�ÖcÇÉÈ*ÂÃÇ Õ ¿%Î�Ú�ÇsÂ�ÂÃÇÉÀtÒgØEË¥ÇsÂÃÛSÇsÊ(ÂÃÜnÁ�Ý�¾ÉÙ�ÇÉÈ�Â�¿�¾sÈnÛ�Ê�Çs¿ÃÀÞÇsÊ(ÂÃÜnÁ�ØEÄÆß�Á×˪ÄÆÈjÙ�Ä¥Ö×¾sÂÃÇ�¿

Ê Õ ÈnÖ�ÂÃÄ¥Ç�ÈuÇ�Ê©ØEÄàßEÁcËná©â�Í Î�ã�ÐÃã�Ð�ä"Ð�åjÒwæ�ÄÆÂÃÜkä2Í4å�ÍAç�Ón²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² �¦¡ ²¥¤ Ô�Õ ¿�Ê�¾sÖ×Á"Î�ÂÃÇÉØ�Ò©¾�ÈnÙ)Ö×ÇÉÈ*ÂÃÇ Õ ¿fÎ�Ú�ÇsÂ�ÂÃÇÉÀtÒ�ØnËÆÇsÂÃÛ�Ç�Ê�ÂÃÜEÁ Ý�¾ÉÙ�ÇÉÈ)Â�¿�¾sÈnÛ�Ê�Çs¿ÃÀèÇsÊ7ÂÃÜEÁ�Ä¥ÈnÙEÄÆÖr¾CÂÃÇ�¿�Ê Õ ÈEÖcÂÃÄÆÇÉÈ

ÇsÊ©ØnÄàß�Á×ËEá�ÍAÎàé�ê�Ð�éjë�Ð�ä&ÐÃå�Ò�æ�ÄàÂÃÜdÎàé�ê�Ð�é�ë�Ò©Í Î�ç�Ðrì]çCÒ|¾sÈjÙkä�Í2åtÍ�çÉÓÞ²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ��¤O²� í|ÜEÁ]Û�Üj¾ÉÙ�ÁrÙkÛ�Ác ÄÆÛ(ÂÃÜnÁfØEÄàßEÁcË.¾CÂÃÁrÙkËÆÄÆÈnÁ&Ì�î�¾sÛ�Û�Ç*Ö×Ä¥¾sÂÃÁrÙkæ�ÄàÂÃÜuËÆÄÆÈnÁ&Ì�Ó@²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ¡ �¤O² ¡ ï ØnÄàß�Á×Ëjá�Ö×ÇÉÈ*Â�¾sÄ¥ÈEÁrÙ�ÄÆÈiÂÃÜEÁ&ØnÄàß�Á×Ë¥¾sÂÃÁrÙ�ËÆÄÆÈnÁSÌ�ît¾sÈjÙkÂÃÜEÁ+¾sÛ�Û�Ç*Ö×Ä¥¾sÂÃÁrÙiËÆÄ¥ÈEÁ+ÌwÍèÎ�Ï�Ð�ðñÒ�Ó"Î�¾ñÒ ðtòôó õ�ö

Î�ÚjÒ|ð+÷ ó õ7Óa²�²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ¡ £¤O²¥¤ Ý�¾sÂÃÄÆÇ)Ú�ÁcÂøæ|Á×ÁcÈkÂÃÜnÁfÚ�Ç Õ ÈnÙEÛ(Ç�Ê�Î�ù�ÓÆçrãñÒ�¾�ÈnÙ%ú�Î�ðCû�Ò|¾sÛg¾SÊ Õ ÈEÖcÂÃÄÆÇÉÈkÇsʪðgìdðCûøÓ�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ¡ �¤O² � Ô�Õ ¿�Ê�¾sÖ×Á"Î�ÂÃÇÉØ�Ò©¾�ÈnÙ)Ö×ÇÉÈ*ÂÃÇ Õ ¿fÎ�Ú�ÇsÂ�ÂÃÇÉÀtÒ�ØnËÆÇsÂÃÛ�Ç�Ê�ÂÃÜEÁ Ý�¾ÉÙ�ÇÉÈ)Â�¿�¾sÈnÛ�Ê�Çs¿ÃÀèÇsÊ7ÂÃÜEÁ�Ä¥ÈnÙEÄÆÖr¾CÂÃÇ�¿�Ê Õ ÈEÖcÂÃÄÆÇÉÈ

ÇsÊ�ØEÄÆß�Á×Ë¥¾CÂÃÁrÙDËÆÄÆÈnÁSÌ�î�æ�ÄàÂÃÜ�ü*Îàé�ý.ê�Ð�é�ý¥ëÉÒ7þ-é�ý¥ê�Í�é�ý¥ë)Í�é>Ð�é`ÿ�üñì ù�Ð������cÐÃù�����¾sÈjÙ�ä�ý�ÍAåný�ÍèçÉÐ��|Íç�Ð������×Ð�*ÓS²2²�²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ¤�

¤O² � Ô�Õ ¿�Ê�¾sÖ×Á�Î�ÂÃÇÉØjÒ�¾�ÈnÙtÖcÇÉÈ*ÂÃÇ Õ ¿&Î�Ú�Ç�Â�ÂÃÇÉÀtÒªØnËÆÇ�ÂÃÛ(ÇsÊ\Û�Á×Øj¾C¿�¾�ÚEË¥Á&¾sØnØ�¿ÃÇCß�ÄÆÀ�¾sÂÃÄÆÇ�ÈtÂÃÇ"ÂÃÜnÁgÝ�¾ÉÙ�ÇÉÈtÂ�¿�¾�ÈnÛ�Ê-Ç�¿ÃÀôÇ�Ê�ÂÃÜEÁ]ØnÄàß�Á×Ë�ÄÆÈjÙEÄÆÖr¾CÂÃÇ�¿ Ê Õ ÈnÖcÂÃÄÆÇÉÈ%Ç�Ê©ØEÄÆß�Á×ËEá©âgæ�ÜnÁ×Èkä4Í4åtÍAç�Ón²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ¤ ¡

� ²� �w¾s¿ÃÄÆÇ Õ Û�Ë¥ÄÆÈEÁ×Û�ÇsÊ©¾�È �ÉËÆÁ"ðCû�Ê�Çs¿����gã+ò�ðCû�ò������+¾�ÈnÙ������������Sò�ðCû>ò��ªÓO²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ¤��� ² ¡ í�æ�ÇDÄÆÈ*ÂÃÁc¿ÃÛ�Á×Ö�ÂÃÄ¥È �uËÆÄÆÈnÁ×Û&æ�ÄàÂÃÜdØj¾C¿�¾�À�ÁcÂÃÁc¿ÃÄÆÅr¾CÂÃÄÆÇÉÈnÛtÎ�Ï�Ð�ðñÒ]¾�ÈnÙ�Î�Ï×ûøÐ�ðsû�ÒfÂÃÜn¾sÂ"ÄÆÈ*ÂÃÁc¿ÃÛ�Á×ÖcÂS¾sÂS¾uØ�Ç�Ä¥È*Â

Î��>Ð��nÒ�ÓB²�²2²�²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² � ¤� ²¥¤ í|ÜEÁ|ÂÃÄ���Ü*ÂÃÈnÁ×Û�Û\ÇsÊjÂÃÜnÁ Õ ØnØ�Ác¿ Ú�Ç Õ ÈjÙ&Ç�Ê�Î�!EÓ ù"��Ò�Ó�Î�¾ñÒ ï ÖcÇÉËÆËÆÁ×ÖcÂÃÄÆÇÉÈ�ÇsÊ�ËÆÄ¥ÈEÁ×ÛªÌ$#�Û Õ ØEØ�Ç�¿�ÂÃÁrÙ"Ú&%('*),+ )- + - ö¾sÈjÙdÎ�Ú�Ò�ÂÃÜEÁ&¿�¾CÂÃÄÆÇtÚ�Á� æ|ÁcÁ×ÈuÂÃÜnÁ&Û Õ Ø�¿ÃÁ×À Õ ÀÇ�ʪÏfÊ-Ç�¿gÂÃÜEÁ&Ä¥È*ÂÃÁc¿ÃÛ�ÁcÖcÂÃÄÆÈ.��Û�ÁcÂgÇ�Ê©Ár¾sÖ�ÜiËÆÄÆÈnÁ"¾�ÈnÙkÂÃÜnÁ

Õ ØnØ�Ác¿ Ú�Ç Õ ÈjÙ/�ÉÄ10ñÁ×ÈkÚ&%iÎ�!�Ó ù�2ñÒ]Î�¾�Û ¾SÊ Õ ÈEÖcÂÃÄÆÇÉÈuÇsÊ43nÒ�Ó²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² � £� ² � Ý�¾sÂÃÄÆÇ�Ú�Ác æ�Á×Á×È�ÂÃÜnÁ"¾C¿ÃÁr¾�Û�Ç�ʪÂÃÜnÁ&Û�ÁcÂÃÛ�ÂÃÜn¾sÂ Õ ØEØ�Ác¿ |¾sÈjÙuËÆÇræ|Ác¿ Ú�Ç Õ ÈjÙ/57698EÌ�î;:: <&=?> =@ > @BA ö�¾�ÖcÖ×Ç�¿�Ù&ÄÆÈ.�iÂÃÇ<Î�!EÓ ù"��Ò�ö(¾�Û)¾iÊ Õ ÈnÖ�ÂÃÄ¥Ç�È�ÇsÊ�ÂÃÜEÁ%Ë¥¾CÂ�ÂÃÄ¥ÖcÁuÛ�ÄÆÅ×ÁÉö�Ê-Ç�¿�¾iÖ×Ç�Ë¥ËÆÁ×Ö�ÂÃÄ¥Ç�È�ÇsÊgËÆÄÆÈnÁ×Û�Ì"ÍÞÎ�ã�Ð�ðC#ÉÒ�ÐÃðC#dÿD"ó-FE Ð ó G ÐÃù ó-FE Ð ó H�I Ó ²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² � ¦� ² � ï Ö×Ç�Ë¥ËÆÁ×Ö�ÂÃÄ¥Ç�È�ÇsÊfÛKJ Õ ¾C¿ÃÁ%ÄÆÀ�¾���Á×Û)Ö×Ç�È*Â�¾�ÄÆÈnÄÆÈ.�`¾iØnÄàß�Á×Ë¥¾sÂÃÁrÙ�ÁrÙL�ÉÁ�Î�ËÆÁcÊ.Â�Ò�ö|¾sÈjÙ�ÂÃÜnÁtÖ×Ç�¿�¿ÃÁcÛ�Ø�ÇÉÈjÙ�ÄÆÈ.�

ÄÆÛ�Ç� Ö×Ç�È*ÂÃÇ Õ ¿ÃÛ"Ç�Ê�ÂÃÜnÁ�¾sÀ�ØnËÆÄàÂ Õ ÙEÁ+Ç�Ê|ÂÃÜEÁ)Ýg¾�ÙEÇ�È`Â�¿�¾�ÈEÛ�Ê�Çs¿ÃÀ Î�¿ÃÄ1��Ü�Â�Ò�Ó�í|ÜnÁ�Ö×Äà¿ÃÖ×ËÆÁ×Û"Û Õ Ø�Ác¿ÃÄÆÀ�Ø�Ç�Û�ÁrÙÇ�ÈkÂÃÜnÁfØEËÆÇ�ÂÃÛ�Ç�Ê\ÂÃÜEÁfÝg¾�ÙEÇ�È%Â�¿�¾�ÈEÛ�Ê�Çs¿ÃÀ�¾C¿ÃÁfÂÃÜnÁ]Ú�Ç Õ ÈjÙ�Û(Ç�Ê©í|ÜEÁ×Ç�¿ÃÁcÀM!�ÓÆçÉÓÞ²2²2²2²�²2²�²�²2²2² � �

� ² � N È�ÂÃÁ�¿ÃÛ�Á×ÖcÂÃÄÆÇÉÈ`Ç�Ê�¾tË¥ÄÆÈEÁ)Û Õ ØEØ�Ç�¿�ÂÃÁrÙiÄÆÈO5 ),+ PQ + R ¾sÈjÙ`¾�È Õ È�Ú�Ç Õ ÈjÙEÁ×ÙiÛ�Â�¿ÃÄÆØTS�U]ÌgÿWV�54698YX�:: <&=?> Z[ > \ A¾sÈjÙuÌ�]�ÿ�^_54698.X�:: < =?> Z[ > \ A Óñ²�²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² � £

,�`

Page 10: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

� ².£ a�Ç�Ë¥ËÆÁ×Ö�ÂÃÄ¥Ç�È�Ç�Ê�ÄÆÈ*ÂÃÁc¿ÃÛ�Á×ÖcÂÃÄÆÈ.�gÛ�ÁcÂÃÛwÇsÊjÂÃÜnÁ(Û�Â�¿ÃÄÆØEÛªÇsÊ Õ ÈEÄÆÂ\æ�Ä¥Ù�ÂÃÜ�¾�Û�Û�Ç*Ö×Ä¥¾CÂÃÁrÙ)æ�ÄÆÂÃÜSÂÃÜnÁ(ËÆÄÆÈnÁ×Û©ØE¿ÃÁcÛ�Á×È*ÂÃÁrÙÄÆÈcb�Ä�� Õ ¿ÃÁ?!EÓ d�Ówí|ÜnÁ�ÄÆÈ�ÂÃÁ�¿ÃÛ�Á×ÖcÂÃÄÆÈ.�SÛ�ÁcÂ(Ç�Ê�Ár¾sÖ�ÜtÛ�Â�¿ÃÄÆØ%Û�Á���À�Á×È*ÂfÎ�¾sÛ�Û�Ç*Ö×Ä¥¾sÂÃÁrÙkËÆÄÆÈnÁrÒwÄÆÛ|Û�ÜnÇræ�ÈtÄ¥ÈtÛ�ÇÉËÆÄ¥ÙÎ�ÙE¾�Û�ÜnÁ×ÙjÒ]ÇÉÈdÂÃÜnÁ�ËÆÁcÊ.Â)ÇsÊ�Á×¾�Ö�Ü�Øj¾�Äà¿SÇ�Ê ØnËÆÇsÂÃÛ×Óií|ÜnÁ�ØnËÆÇsÂÃÛ+ÇÉÈdÂÃÜEÁ)¿ÃÄ1�ÉÜ*Â+Û�ÜEÇræèÂÃÜnÁ)¿�¾CÂÃÄÆÇDÇsÊ�ÂÃÜnÁæ�Ä¥Ù�ÂÃÜ�ÇsÊ7ÂÃÜEÁ�Új¾�ÈnÙSÂÃÜj¾CÂ�ÄÆÛwÈnÇ�ÂwÛ�Üj¾C¿ÃÁrÙ�Ú�%SÂÃÜEÁ�Âøæ|Ç&ÄÆÈ*ÂÃÁc¿ÃÛ�Á×ÖcÂÃÄÆÈ.�&Û�ÁcÂÃÛ©ÂÃÇ]ÂÃÜj¾CÂ�ÇsÊ7ÂÃÜEÁ�Ä¥È*ÂÃÁc¿ÃÛ�ÁcÖcÂÃÄÆÈ.�Û�Ác ÇsÊ\ÂÃÜnÁfÛ�Â�¿ÃÄÆØuÛ�Á���À�Á×È*ÂröE¾�Û ¾SÊ Õ ÈnÖcÂÃÄÆÇ�ÈuÇ�Ê\ÂÃÜEÁ]¾�È �ÉËÆÁ&ð�Ó ²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ���

� ²� e7ÁcÊ-Â�U Î�¾ñÒw¾�ÈtÁrÙ ��ÁfÀ�¾�Ø�æ�ÄàÂÃÜ%ÂÃÜ�¿ÃÁ×ÁgËÆÄÆÈnÁ×Û×ö7Î�ÚjÒwÄàÂÃÛ(Ýg¾�ÙEÇÉÈ�Â�¿�¾�ÈEÛ�Ê�Çs¿ÃÀuön¾sÈjÙiÎ�ÖCÒwÝ�¾ÉÙ�ÇÉÈ�Â�¿�¾�ÈEÛ�Ê�Ç�¿ÃÀØ�¿ÃÁrÙEÄÆÖcÂÃÁrÙuÚ�%tÂÃÜnÁ]ËÆÄÆÈnÁ"À�Ç�ÙEÁ×Ë�Ó(Ý Ä1�ÉÜ*Â�Uª¿ÃÁ×Ö×Çf0ñÁc¿ÃÁrÙuËÆÄÆÈnÁcÛ�æ�ÄàÂÃÜuÂÃÜE¿ÃÁ×Û�ÜEÇÉË¥ÙEÛ Ç�Ê Î�ÙnÒfç�d�ö©Î�ÁCÒg��ã�ö�¾�ÈnÙÎ�Ê�Òih�ã"jèÇ�Ê\ÂÃÜEÁfÀ�¾sß�ÄÆÀ Õ Àè¾sÀ�ØnËÆÄàÂ Õ Ù�ÁÉÓ ²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² � £

� ² ¡ a�Ç�È�ÂÃÇ Õ ¿(ØEËÆÇ�Â|ÇsÊ�ÂÃÜEÁ�ËÆÁ×È ��ÂÃÜ�Ç�Ê�ÂÃÜEÁ�Û�Á���À�Á×È*ÂÃÛ,k�ÏcûøÐÃðCûøÐ�5ml - õ + l - õ- + - n ¾�Û�¾&Ê Õ ÈnÖ�ÂÃÄ¥Ç�È�Ç�Ê7ÂÃÜnÁ Øj¾s¿�¾sÀ�ÁcÂÃÁc¿ÃÛÏcû\¾�ÈjÙ%ðCûøÓ²�²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² � ¡� ²¥¤ e7Ä¥ÈEÁ×Û�¿ÃÁ×ÖcÇC0ÉÁc¿ÃÁrÙ�Ú�%�¾�ØEØnËo%�Ä¥È � ï Ë1�ÉÇs¿ÃÄÆÂÃÜEÀpd*Ó ù]ÂÃÇ&ÂÃÜnÁ ÁrÙ ��ÁgÀ�¾�Ø�ÇsÊ�b�Ä1� Õ ¿ÃÁqd*ÓÆçgæ�ÄàÂÃÜsr4Û�ÁcÂ|ÂÃÇ�Î�¾ñÒ

ã&�¥ç�d�ö�¾sÈjÙDÎ�Ú�Ò|ãL� 2�Ó ²2²�²2²�²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² � ¤� ² � í>Ç�Ø;U�Î�¾ñÒstªÙ �ÉÁ�À�¾sØ�æ�ÄàÂÃÜ�Ê-Ç Õ ¿%Û�Á���À�Á×È*ÂÃÛ�¾�ÈjÙ5Î�Ú�Ò+ÄàÂÃÛ%Ý�¾ÉÙ�ÇÉÈ<Â�¿�¾�ÈnÛ�Ê-Ç�¿ÃÀuÓvu�Ç�Â�ÂÃÇ�ÀOUwe�ÄÆÈnÁ×Û

¿ÃÁ×ÖcÇC0ÉÁc¿ÃÁrÙkÚ�% ï Ë1�ÉÇs¿ÃÄàÂÃÜnÀMd�Ó ù+æ�ÄàÂÃÜcr5Û�ÁcÂ(ÂÃÇuÎ�ÖrÒ�ã&� �+¾�ÈnÙ�Î�ÙjÒ|ã&� ù�Ó�²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² � ¤� ² � í>Ç�Ø;U"Î�¾ñÒ Ô�Õ ÚnÄÆÀ�¾���Á"ÇsÊwÂÃÜEÁSÁ×Ù �ÉÁ"À�¾�Ø�ÇsÊ*b�Ä1� Õ ¿ÃÁsd*Ó !k¾sÈjÙ�Î�Ú�Ò(ÄàÂÃÛfÝg¾�ÙEÇ�ÈuÂ�¿�¾�ÈnÛ�Ê-Ç�¿ÃÀuÓ�u�Ç�Â�ÂÃÇ�ÀOUe7Ä¥ÈEÁ×Û(¿ÃÁ×Ö×Çf0ñÁc¿ÃÁ×ÙkÚ�% ï Ë1�ÉÇ�¿ÃÄàÂÃÜEÀMd�Ó �Sæ�ÄàÂÃÜcr5Û�ÁcÂ(ÂÃÇuÎ�ÖCÒ(ãL� h�d)¾�ÈjÙDÎ�ÙjÒ|ã&� �*Ó�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ���� ² � x ÁcØ�Á×ÈjÙ�Á×ÈnÖ×Á]ÇsÊ�ÂÃÜnÁ]ËÆÇræ|Á�¿gÚ�Ç Õ ÈjÙtÇ�ʪ¾sÈ.� Õ Ë¥¾s¿�Ác¿�¿ÃÇ�¿�y{z�Î�ÄÆÈuÙ�Á���¿ÃÁcÁ×Û�Ò�Ç�ÈkÂÃÜnÁ]ÄÆÀ�¾C�ÉÁ]Û�ÄÆÅ×Á}|Ê�Ç�¿g¾

Õ ÈnÄàÂ�Û�Â�¿ÃÄÆØdÎ�æ�Ä¥Ù�ÂÃÜuä�ÍAçrÒ�ÓB²�²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² £>� ².£ Î�¾ÉÒ&½\¾C¿�ÂÃÄ¥¾�Ë|Ù�Ác¿ÃÄ10ɾCÂÃÄ10ñÁ)Ç�Ê(ÂÃÜEÁ)Ý�¾ÉÙEÇ�È�Â�¿�¾�ÈEÛ�Ê�Çs¿ÃÀ Ç�Ê(ÂÃÜnÁ+Û�Â�¿ÃÄ¥Ø�Ä¥ÈnÙEÄÆÖr¾CÂÃÇ�¿"Ê Õ ÈEÖcÂÃÄÆÇÉÈ�ÎFd�Ó ��d�Ò]æ�ÄàÂÃÜ

¿ÃÁ×Û�Ø�ÁcÖcÂ�ÂÃÇ�ð�ö ¾sÛ%¾DÊ Õ ÈEÖcÂÃÄÆÇÉÈ�Ç�Ê"ð�Ó}Î�ÚjÒsa�ÇÉÀ�Øn¾s¿ÃÄÆÛ�ÇÉÈ�ÇsÊ]ÂÃÜnÁuÝ�¾ÉÙ�ÇÉÈ<Â�¿�¾�ÈnÛ�Ê-Ç�¿ÃÀ Ç�ÊgÂÃÜnÁuÛ�Â�¿ÃÄÆØÄÆÈjÙ�ÄÆÖr¾sÂÃÇs¿"Ê Õ ÈEÖcÂÃÄÆÇÉÈ�Î�ÙE¾�Û�ÜEÁrÙjÒ�æ�ÄàÂÃÜ`ÂÃÜEÁ�¾�ÚEÛ�ÇÉË Õ ÂÃÁ~0ɾsË Õ Á)Ç�Ê|ÄÆÂÃÛ]Øn¾s¿�ÂÃÄ¥¾�ËwÙEÁ�¿ÃÄ�0�¾sÂÃÄ10ñÁSæ�ÄÆÂÃÜD¿ÃÁ×Û�Ø�Á×ÖcÂÂÃÇ�ð%Î�Û�ÇÉËÆÄ¥ÙjÒ�Ómu�Ç�ÂÃÜkÖ Õ ¿K0ñÁcÛ�¾s¿ÃÁ]ÈnÇs¿ÃÀ�¾�ËÆÄÆÅ×ÁrÙkÚ�%�ÂÃÜnÁcÄÆ¿_0�¾�Ë Õ Á&¾sÂ�ð]Í�ç��ñÓD²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² £j¤

� ²¥¦ a�Ç�À�Øj¾s¿ÃÄÆÛ�Ç�È�ÇsÊSÂÃÜEÁiÝg¾�ÙEÇÉÈ�Â�¿�¾sÈnÛ�Ê-Ç�¿ÃÀ ÇsÊ&ÂÃÜnÁiÛ�Â�¿ÃÄÆØ�ÄÆÈnÙEÄÆÖr¾sÂÃÇs¿kÊ Õ ÈnÖ�ÂÃÄ¥Ç�È}Î�Ùn¾�Û�ÜEÁrÙjÒ)æ�ÄàÂÃÜ4ÂÃÜnÁ¾ Õ ÂÃÇ*Ö×Çs¿�¿ÃÁ×Ë¥¾sÂÃÄÆÇÉÈuÊ Õ ÈnÖ�ÂÃÄ¥Ç�È%ÇsÊ\ÄàÂÃÛ(Øj¾C¿�ÂÃÄ.¾sË7ÙEÁc¿ÃÄ10�¾sÂÃÄ10ñÁ�æ�ÄàÂÃÜt¿ÃÁ×Û�Ø�Á×ÖcÂ|ÂÃÇ+ðtÎ�Û�Ç�ËÆÄ.ÙnÒ�Ómu�Ç�ÂÃÜ%Ö Õ ¿K0ñÁcÛ(¾s¿ÃÁÈEÇ�¿ÃÀ�¾�ËÆÄÆÅ×ÁrÙ%Ú&%�ÂÃÜEÁ×Äà¿_0ɾsË Õ Á&¾sÂ�ð]Í�ç � Óù²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² £ �

� ²¥� e7Ä¥ÈEÁ×Û]¿ÃÁ×Ö×Çf0ñÁc¿ÃÁ×Ù`Ú�% ï Ë1�ÉÇs¿ÃÄÆÂÃÜEÀ�d�Ó !kæ�ÄàÂÃÜTr}Û�ÁcÂ&ÂÃÇdÎ�¾ÉÒfãL� ùu¾sÈjÙ�Î�ÚjÒfãL� �kæ�ÜnÁcÈd¾�ØEØnËÆÄÆÁrÙDÂÃÇ%ÂÃÜnÁÁrÙL�ÉÁ]À�¾sØkÇ�Ê7b�Ä�� Õ ¿ÃÁ,d�Ó d*Ó ²�²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² £ �

� ²� £ a�Ç�È�ÂÃÇ Õ ¿gØnËÆÇ�ÂgÇ�ʪÂÃÜnÁ&Ö×Ç�¿�¿ÃÁcË.¾CÂÃÄÆÇÉÈiÊ Õ ÈEÖcÂÃÄÆÇÉÈiØE¿ÃÇ�Ù Õ Ö×Á×ÙuÚ&%%ÂÃÜnÁ"¾�ØEØnËÆÄÆÖr¾sÂÃÄÆÇ�È`ÇsÊ ï Ë1�ÉÇ�¿ÃÄàÂÃÜEÀ�d�Ó !�ÂÃÇÂÃÜEÁ]ÁrÙ ��Á]À�¾�ØtÇ�Ê�b�Ä1� Õ ¿ÃÁ}d�Ó d�ÓW²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² £ �

� ²�� ï Û�Â�¿ÃÄÆØ%Û�Á��ÉÀ�Á×È*Â�ÄÆÈO�c� � �Æön¾�ÈjÙtÂÃÜnÁfÚ�Ç Õ ÈjÙ�ÄÆÈ.�S¿ÃÁcÖcÂ�¾�È �ÉËÆÁ(� Õ Û�ÁrÙtÄÆÈkÂÃÜnÁfØ�¿ÃÇ*Ç�Ê©ÇsÊ4e�Á×À�À�¾,d�Ó d*Óý² ¦ £� ²� ¡ e7ÁcÊ-Â�UªÝ�¾ÉÙEÇ�È�Â�¿�¾�ÈnÛ�Ê-Ç�¿ÃÀ�ÇsÊ>ÂÃÜnÁ ÄÆÀ�¾���ÁfÛ�ÜnÇræ�ÈtÄ¥Ècb�Ä1� Õ ¿ÃÁ(d�Ó d%Î�¾ÉÒ�Ó©Ý�Ä1�ÉÜ*Â�U\ÄàÂÃÛi� ÔEï Ó"�gÇ�ÂÃÄÆÖ×Á ÂÃÜj¾CÂrö

Ê-Ç�¿&Ár¾sÖ�ÜDØnÄàß�Á×Ë¥¾sÂÃÁrÙiËÆÄÆÈnÁÉö�ÂÃÜnÁ,� Ô�ï ÄÆÛ�0ÉÁc¿ %�Ö×ËÆÇÉÛ�ÁSÂÃÇtÂÃÜEÁ+Ý�¾ÉÙEÇ�È�Â�¿�¾�ÈnÛ�Ê-Ç�¿ÃÀ[Á�0ñÁc¿ %�æ�ÜnÁc¿ÃÁSÚ Õ ÂfÄÆÈÄàÂÃÛ(Â�¾�ÄÆËÆÛ×öjæ�ÜnÁ�¿ÃÁfÂÃÜnÁ]¾sÀ�ØnËÆÄàÂ Õ ÙEÁgÇ�Ê�ÂÃÜEÁfÝg¾�ÙEÇ�ÈkÂ�¿�¾�ÈEÛ�Ê�Ç�¿ÃÀ�ÄÆÛ?J Õ ÄàÂÃÁfÛ�À�¾�ËÆË�Ó�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ¦ ¡

� ²��¤ Ô %EÈ*ÂÃÜEÁcÂÃÄÆÖ ÄÆÀ�¾C�ÉÁ×Ûªæ�ÄÆÂÃÜ)Âøæ|Ç&ØnÄàß�Á×Ë¥¾sÂÃÁ×Ù�ËÆÄÆÈnÁcÛ|¾�ÈnÙ)Ûþ�Ëà ø¾�ÈnÙL Ø�Á×ØnØ�Á�¿�ÈEÇÉÄÆÛ�ÁÉÓª½\¿ÃÇÉÚj¾sÚnÄÆËÆÄàÂÃÄ¥ÁcÛ(Ç�Ê7Û�Â�¾sÂÃÁ¿ÃÁ�0ÉÁc¿ÃÛþ�Ë�U�Î�¾ñÒ|ã�ö>Î�Ú�Ò|ã�Ó ã�çÉö>Î�ÖCÒ(ã�Ó ã"�*ö�Î�ÙjÒ|ã�Ó ãÉù�ö>Î�ÁCÒ(ã�Ó ã�!�ö�¾sÈjÙ�Î�Ê�Ò|ã�Ó ã"d�Óe²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ¦ �� ²� � e7ÁcÊ-Â�U�ÚEÄÆÈj¾s¿ %�À�¾�Ø�Çs¿ÃÄ1�ÉÄÆÈj¾CÂÃÁrÙ4Ú&%<Â�¿ÃÁ×Û�ÜEÇÉË¥ÙEÄÆÈ.��ÂÃÜEÁ�Ýg¾�ÙEÇÉÈ�Â�¿�¾sÈnÛ�Ê-Ç�¿ÃÀ Û�ÜnÇræ�È4ÄÆÈ�ÂÃÜnÁiËÆÁcÊ-ÂkÇ�Êb�Ä1� Õ ¿ÃÁ,d�ÓÆçf�*Ó�Ý Ä1�ÉÜ*Â�U©Ö×Ç�¿�¿ÃÁcÛ�Ø�ÇÉÈjÙ�ÄÆÈ.�)À�¾sØu¾sÊ.ÂÃÁc¿�ÂÃÜnÄÆÈnÈEÄÆÈ.�EÓK²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ¦ �� ²� � e7ÁcÊ-Â�U�ÚEÄÆÈj¾s¿ %�À�¾�Ø�Çs¿ÃÄ1�ÉÄÆÈj¾CÂÃÁrÙ4Ú&%<Â�¿ÃÁ×Û�ÜEÇÉË¥ÙEÄÆÈ.��ÂÃÜEÁ�Ýg¾�ÙEÇÉÈ�Â�¿�¾sÈnÛ�Ê-Ç�¿ÃÀ Û�ÜnÇræ�È4ÄÆÈ�ÂÃÜnÁiËÆÁcÊ-ÂkÇ�Êb�Ä1� Õ ¿ÃÁ,d�ÓÆçf�*Ó�Ý Ä1�ÉÜ*Â�U©Ö×Ç�¿�¿ÃÁcÛ�Ø�ÇÉÈjÙ�ÄÆÈ.�)À�¾sØu¾sÊ.ÂÃÁc¿ À�¾sß�ÄÆÀ Õ ÀÙEÁ�ÂÃÁ×ÖcÂÃÄÆÇÉÈ7Ó�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ¦�£� ²� � ½\¿ÃÇÉÚn¾�ÚnÄÆËÆÄàÂ$%�ÇsÊ7Ác¿�¿ÃÇ�¿|¾�Û|¾fÊ Õ ÈnÖ�ÂÃÄ¥Ç�È�Ç�Ê7Ö�Ün¾�È �ÉÁ�Ç�Ê�Û�Â�¾sÂÃÁ ØE¿ÃÇ�Új¾�ÚEÄÆË¥ÄàÂ�%�Ù Õ Á(ÂÃÇ]ÈnÇÉÄÆÛ�Á�Ê�Çs¿|ÂÃÜnÁ�Û�Äàß)ËÆÄÆÈnÁÙ�ÁcÂÃÁ×ÖcÂÃÄÆÇÉÈtØE¿ÃÇ*ÖcÁrÙ Õ ¿ÃÁ×Û(ÙEÄÆÛ�Ö Õ Û�Û�ÁrÙ�Ä¥È�ÂÃÜEÁ�ÂÃÁcß�ÂrÓ\Ý Á×Û Õ ËàÂÃÛ�¾s¿ÃÁfÛ�ÜEÇCæ�È�Ê-Ç�¿�ÄÆÀ�¾���Á×Û�æ�ÄàÂÃÜO��Î�¾ñÒ�ö�ù�Î�Ú�Ò�ö!uÎ�ÖrÒ�öj¾sÈjÙOdtÎ�ÙjÒ�ØnÄàß�Á×Ë¥¾sÂÃÁ×ÙkËÆÄ¥ÈEÁ×Û×Óñ²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ¦�¦� ²��£�í|Ü�¿ÃÁ×Á]ÄÆÀ�¾��ÉÁcÛSÎ�ËÆÁcÊ.Â�ÖcÇÉË Õ À�ÈjÒ|¾�ÈjÙ%¾�Û�Û�Ç*Ö×Ä¥¾CÂÃÁrÙ�ÁrÙ ��ÁfÀ�¾�ØEÛ]Î�¿ÃÄ���Ü*Â�Ò�Ó'²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² � £

`

Page 11: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

� ²��¦�e7Ä¥ÈEÁ+Ù�ÁcÂÃÁ×ÖcÂÃÄÆÇ�Èiæ�ÄàÂÃÜ�ÂÃÜnÁ ï u Ô ¾�Ë1�ÉÇs¿ÃÄàÂÃÜnÀ�Ç�È�ÂÃÜnÁ]ÂÃÜE¿ÃÁ×Á"ÄÆÀ�¾���Á×ÛgÇsÊ*b�Ä1� Õ ¿ÃÁ�d*ÓÆçf��Ó�e�ÁcÊ.ÂfÖ×Ç�Ë Õ À�È;U� ¿ÃÛ�Â���d"¿ÃÁ×Ö×Çf0ñÁ�¿ÃÁrÙkËÆÄÆÈnÁ×Û ¾s¿ÃÁ&Û�ÜEÇCæ�ÈkÛ Õ Ø�Ác¿ÃÄÆÀ�Ø�ÇÉÛ�Á×Ù%ÇÉÈ%ÂÃÜnÁfÄÆÀ�¾���ÁÉÓªÝ�Ä1��Ü�Â�ÖcÇÉË Õ À�È�U©Ûþ�À�ÁgÊ-Ç�¿�d�ãËÆÄÆÈnÁ×Û×Ó²�²2²�²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ��

� ²� þ Û�ÄÆÈ�Î�ðCûjì�ðñÒ×þ�¾�ÈnÙ -����� ���o�K�F�.�{��� ¾�Û(Ê Õ ÈnÖcÂÃÄÆÇ�ÈnÛ�Ç�ʪð�Ó ²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ��£� ² ¡ � Ä¥Û�ÂÃÇ���¿�¾sÀèÇ�Ê7ÂÃÜnÁ�Ý�¾ÉÙ�ÇÉÈ�Â�¿�¾�ÈEÛ�Ê�Ç�¿ÃÀ�Ç�Ê�ÂÃÜnÁ ØnÄàß�Á×Ë¥¾sÂÃÁ×Ù)Ë¥ÄÆÈEÁ�æ�ÄàÂÃÜtÌ�ÍAÎ�ã�Ð�ãÉÒw¾�ÈnÙ+ÂÃÜnÁ � Â�Ú�%kÎ�h�Ó ��Ò�Óí|ÜEÁ]ØE¿ÃÇÉÚn¾�ÚEÄ¥ËÆÄàÂ$%k¾sÂg�+Í4ã+ÄÆÛ Ç�À�ÄàÂ�ÂÃÁrÙtÂÃÇ)ÄÆÀ�Ø�¿ÃÇC0ÉÁrÙ�ÂÃÜEÁfÖ×Ë¥¾s¿ÃÄàÂ�%kÇsÊ\ÂÃÜnÁ � � Õ ¿ÃÁ�ÓÞ²2²�²2²�²�²2²2² ���� ²¥¤ �f¾ Õ Û�Û�Ä¥¾�È<ÙEÁcÈnÛ�ÄàÂÃÄÆÁ×Û+Ö�Üj¾C¿�¾�ÖcÂÃÁc¿ÃÄÆÅ×ÄÆÈ �iÂÃÜEÁ ï N ÔEï ÂÃÇuÂÃÜEÁ�Ë¥Ä1�ñÁcË¥ÄÆÜEÇ*Ç�Ù�ÇsÊ�ÂÃÜnÁ�Ûþ�À�ØEËÆÁ�À�Ár¾�ÈdÇsÊ�ÂÃÜnÁÝ�¾ÉÙ�ÇÉÈkÂ�¿�¾sÈnÛ�Ê�Çs¿ÃÀ�Ç�ʪ¾~!Éã��c!Éã)ØnÄàß�Á×Ë¥¾sÂÃÁrÙ%ÁrÙ ��Á]À�¾�Ø�öL��Ä�0ÉÁ×È%ÂÃÜEÁfÈ Õ À+Ú�Á�¿(Ç�Ê\ØEÄàßEÁcË.¾CÂÃÁrÙkËÆÄÆÈnÁ×Û×Ó ²� £ �� ² � e7ÁcÊ-Â�UªÄÆÀ�¾���Á×Û�ØE¿ÃÁ�0�ÄÆÇ Õ Û�Ë1%k¾�Èn¾�Ëo%�Å×ÁrÙkÄÆÈ�b�Ä�� Õ ¿ÃÁ,d�ÓÆç�2�ÓwÝ�Ä1�ÉÜ*Â�Uª¾sÛ�Û�Ç*Ö×Ä¥¾sÂÃÁrÙi¾�Ö�ÂÃÄ�0�ÄàÂ$%tÀ�¾sØnÛ×Óe²�²2²2²� £ ¦� ² � e7ÁcÊ-Â�UªÄÆÀ�¾���Á×Û(ØE¿ÃÁ�0�ÄÆÇ Õ Û�Ëo%t¾�Èj¾sËo%EÅcÁrÙ%ÄÆÈcb�Ä�� Õ ¿ÃÁ(d*ÓÆç�2�ÓwÝ Ä���Ü*Â�U\ËÆÄ¥ÈEÁ×Û|¿ÃÁ×Ö×Çf0ñÁ�¿ÃÁrÙtæ�ÄàÂÃÜ�ÂÃÜnÁfÖ×Ç�À+ÚEÄ¥Èn¾C

ÂÃÄÆÇÉÈkÇ�Ê ï Ë1��Ç�¿ÃÄàÂÃÜnÀ�Ûgd*Ó d)¾sÈjÙch�ÓÆçÉÓ�²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²� £ �� ² � í�æ�Ç�Ä¥À�¾C�ÉÁ×Û&Î�ÂÃÇ�Ø�Ò�ön¾�Û�Û�Ç*Ö×Ä¥¾sÂÃÁ×ÙiÁ×Ù �ÉÁ]À�¾sØnÛfÎ�À�Ä¥ÙEÙEËÆÁg¿ÃÇræ�Ò�ö�¾sÈjÙt¿ÃÁcÖ×Çf0ñÁc¿ÃÁrÙkËÆÄÆÈnÁcÛ"Î�Ú�ÇsÂ�ÂÃÇÉÀtÒ�Ó ²2²�� £� ².£ í�æ�Ç�Ä¥À�¾C�ÉÁ×Û&Î�ÂÃÇ�Ø�Ò�ön¾�Û�Û�Ç*Ö×Ä¥¾sÂÃÁ×ÙiÁ×Ù �ÉÁ]À�¾sØnÛfÎ�À�Ä¥ÙEÙEËÆÁg¿ÃÇræ�Ò�ö�¾sÈjÙt¿ÃÁcÖ×Çf0ñÁc¿ÃÁrÙkËÆÄÆÈnÁcÛ"Î�Ú�ÇsÂ�ÂÃÇÉÀtÒ�Ó ²2²���� ²¥¦ í�æ�Ç�Ä¥À�¾C�ÉÁ×Û&Î�ÂÃÇ�Ø�Ò�ön¾�Û�Û�Ç*Ö×Ä¥¾sÂÃÁ×ÙiÁ×Ù �ÉÁ]À�¾sØnÛfÎ�À�Ä¥ÙEÙEËÆÁg¿ÃÇræ�Ò�ö�¾sÈjÙt¿ÃÁcÖ×Çf0ñÁc¿ÃÁrÙkËÆÄÆÈnÁcÛ"Î�Ú�ÇsÂ�ÂÃÇÉÀtÒ�Ó ²2²�� ¡

`�,

Page 12: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

¶ · Z�Y N¹¸ � ��� QSRPZ

¡ ²� Ô ÇÉÀ�ÁfØ�¿ÃÇÉØ�Ác¿�ÂÃÄÆÁ×Û�Ç�Ê\ÂÃÜEÁfÝ�¾ÉÙEÇ�È%Â�¿�¾sÈnÛ�Ê�Çs¿ÃÀuÓ�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2² ¦� ²�  kÇ�Ù�Á×ËÆÛgÂÃÜj¾CÂfÖr¾sÈ�Ú�Á Õ Û�ÁrÙkÂÃÇ�¿ÃÁ×ØE¿ÃÁ×Û�ÁcÈ�Âf¾)ØnÄàß�Á×Ë¥¾sÂÃÁrÙ�ËÆÄÆÈnÁÉÓgí|ÜnÁ"Ý�¾ÉÙEÇ�ÈuÂ�¿�¾�ÈEÛ�Ê�Ç�¿ÃÀ�Ç�Ê©ÂÃÜnÁ&Û�Â�¿ÃÄÆØ

Û�Á���À�Á×È*Â�ÄÆÛgÙ�Ä¥Û�Ö Õ Û�Û�ÁrÙkÄÆÈtÂÃÜnÄÆÛ�Ö�Ün¾�ØEÂÃÁ�¿rÓ Ô Á×Á(e7Á×À�À�¾~d*Ó ù�¾�ÈjÙtÁ×ÈnÛ Õ ÄÆÈ.��Ù�Ä¥Û�Ö Õ Û�Û�ÄÆÇÉÈ7Ó ²2²�²�²2²2² � ¦� ²� a�Ç*Á�¡)Ö×ÄÆÁ×È*ÂÃÛ�ÇsÊ�Î�h�Ó ��ãÉÒ ¾sÈjÙ`Î�h�Ó ��çCÒ|Ê�Çs¿g0ɾC¿ÃÄ¥Ç Õ Û(¿ÃÁ���Ä¥Ç�È�Û�ÄÆÅ×Á×Û×Ó ²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²� £ ¤� ² ¡ t\¿�¿ÃÇ�¿©¿�¾sÂÃÁwÊ�Ç�¿©ÂÃÜEÁ|Á×Û�ÂÃÄÆÀ�¾sÂÃÁwÇ�ÊjÂÃÜEÁ|È Õ À+Ú�Á�¿�Ç�ÊnËÆÄ¥ÈEÁ×Û\Ê�Çs¿ªÂÃÜEÁi kÇ�È�ÂÃÁia|¾s¿ÃËÆÇ]Ácß�Ø�Ác¿ÃÄÆÀ�Á×È*Â\Ù�Á×Û�Öc¿ÃÄÆÚ�ÁrÙ

ÄÆÈkÂÃÜEÁgÂÃÁcß�ÂrÓ ²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²2²�²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²2²�²2²�²�²2²2²� £ �

`�,.,

Page 13: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

¢ ���������� £

¤ LXY�¼[N T » I Y · N�L

üK�7ª�§ ¥ ��«��µ�I�}�¹� ¥ ©���«�°2ò~§ � ����¨�ª¬¸Àôñ���´���+ª�� � ª����´©`§�«�§ ¥ ��«y�µ�´�µª¬¸��´�`§¤�>ò��yò�� � �´�7�W¸´ª���ïV�Y©�ò~§�¨�¸��`§�¸ ¥ ª�ª¬¨§Ð«��W¨7�¤÷ ¸¹�´§�¨�°��y¨7�2���W§�«+��¨~¸ � �µª¬¨ � ª®§�¨`°���¨~ª¬¨7�W��¨7ª�ª��4��¨7�7²"#}¨7ª � �u�µ�´� � §�«`���´� ¥ «µª¬ò ïg�����´�7ª}§¤�¹�´§���¨�òUª¬¨Y���ï@�´���y¸®���W§�«@��¸S�´�7ªU°7ª�º�ª¬«µ���`òUª¬¨Y����ïè§��´��ª����´�mï0��� � �WòU�`©7�¹ª���ºh��¸´���W¨m�´��§¤��ô®��«�«�ª¬¨`§ ¥ «µªUò�§ � �`��¨7ª¬¸�¹��©`¨�°7ª��u¸¹�´§�¨`°\ºh��¸´©�§�«�¸¹�´��òo©�«�§¤ª � ª�² �7²}§�ºh��°7ª���¸¹ª��Y©�ª¬¨ � ªÐ�`�´�O°`© � ª¬° ¥ �m§�°��µ�W�µ�´§�« � §�òUª��u§ � §�¸¹�´��«�«��ò�§¤��ª��´§j��ª¬¨nïg�u�Wò §�¨n§��µ�u�`«�§�¨7ª � ���o§ � �W«�«µª � �´�µ�W¨û��ïB�yò�§¤��ª¬¸ � ��º�ª��4��¨7�{°`�öþDª��uª¬¨����+ª��u¸¹�+ª � �´�µº�ª¬¸}��ï§Þ¸ � ª¬¨7ª\��¨��´�7ª�¨�§¤�´©7�4§�«Bôè���u«y°t²nüK�7ª��+���¹ª¬¨��´�y§�«M§¤���`«�� � §¤�´���W¨�¸Ð§¤�uª\¨Y©�ò�ª��´�W©�¸ � §�¨`°H�´��ª\��òU�`§ � �ôè�W©`«�° ¥ ªo¸´�µ�W¨���_ � §�¨���²k!E¨{ïú§ � � � ºO��¸u�µ�W¨{¸´�O¸¹�¹ª¬ò~¸S§¤�uªo§ � �u© � �y§�«À�´ª��O©��µ�uª¬òUª¬¨��®ïg����ò�§�¨Y�\���u� ¥ «µª¬ò�¸��¨{�´� ¥ ���´� � ¸��K¥O¦�§g¨�©ª§g«_¬®­°¯i±$¦�¦�©è�×���� ¡ �r� � §�°�º5§�¨ � ª¬°Þ¸´©��´º�ª¬��«�«�§�¨ � ª�¸¹�h¸¹�¹ª¬ò�¸��K²°¯_³c§g´µ©�¶p§g¦�·�×���� � �r� � �´�7ª�ò�§�¨�§¤��ª¬òUª¬¨Y�2��ïB«�§¤�´��ªU��ò�§¤��ª�§¤� � ���µº�ª¬¸��{¸¹³c©�¯_¦�¬?©4´_º»©4¶µ§g¦m·)� ¡¤£�£�£ �r� � � �WòU�V©7�¹ª�����u§¤�`��� � ¸��K¼w©�©�½g©�´M§g«g¬¾¥O©4´¹½?©4« �×���� � �r� � ª�� � ²�!ä¨Þ�´ª � ª¬¨��а7ª � §�°7ª¬¸ � ¸u�µ�W¨���_ � §�¨Y�}���´�����´ª¬¸u¸2��§�¸¥ ª�ª¬¨n§ � �`�µª�º�ª¬° ��¨û¸¹�Wò�ª�¸´© ¥ ÷ §¤�´ª¬§�¸Ð��ïK�´�7ª~ºh��¸´���W¨û���´� ¥ «µª¬ò�²\üK�7ª�òU�W¸¹�e¨7���´§ ¥ «µª���¸��`�´� ¥ § ¥ «µ�Þ§¸¹�W«���°�©�¨�°7ª��u¸´�´§�¨�°���¨7�B��ï��´��ª@��ª��WòUª��¹�u� � §�¸¹�+ª � �´¸���ï���ò�§¤��ª � §¤���´©7�´ªu�K¿�§i¯g½?©4´*§?º%�×�����¤���v;¼w§g´�¶*¦�©�À§g«_¬ÂÁ�±$ºLºL©4´i³c§g«[� ¡¤£�£�£ �r� � � ² ª�²U�´�7ªU���´�nb¹ª � �´�µ�W¨s��ïB§\¸ � ª¬¨�ª���¨Þ�´�7ª�¤j� ô����u«�°Þ�¹�\�´��ª ¡ �'��ò�§¤��ª�`«�§�¨7ª�²��説¸u��°7ª¬¸U��ª��WòUª��¹�u� � §¤�´ª¬§�¸~¸´© � �õ§�¸~� ¥ b¹ª � ���´ª � ���W¨��µ�´���W¨ �KÃT¦�¦�³c§g« � ¡¤£�£�£ ��v/¼w§g¦�¦�±�«i§?³©4¶Ä§g¦�·f�×��������r� � ���K�´�7ªÐ�´ª � ��º�ª��u����ï]¤j� ¸¹�¹�u© � �´©7�uª�ïg�´�Wò�º5§¤�4�µ�W©�¸ � ©7ª¬¸�� ÅÇÆ?³È§?º&±}§g«g¬M²W§g«_§g¬g©�×���� ¡ ��vȸiÆ*§4¶*¶*Ƨ?«_¬É¥O´*Æ?ʹ¨�©4¶*¶ �×�����¦��r�~��§¬º�ªm§�«y¸¹�û¸¹ª�ª¬¨�¸´���W¨���_ � §�¨Y�U§�°7º5§�¨ � ª¬¸�²ô^ñ�-ôèª�º�ª�� ��µ�Ð�y¸Ð©�¨ � �W¨��¹�´�-º�ª��u¸´��§�«è�¹�Þ¸´§¬�H�´��§¤�o§#©�¨���_�ª¬°û§�¨�° � �W�7ª��´ª¬¨Y�Ð�´��ª����´�ûï0���кh��¸´�µ�W¨H��¸ � �¹�Þ°�§¤�¹ª � ¨7���§¬º¤§���«�§ ¥ «�ª�²#}¨7ª·¸´�W©7� � ª·��ï7°���Ë � ©�«µ� �S��¸+�´�7ª·ïú§ � ���´��§¤��ºO�y¸´�µ�W¨}��¸�¨7����§�«µô�§��O¸�§�°�°7�´ª¬¸u¸¹ª¬°2��¨�§Kò~§¤�´�7ª¬ò�§¤�´� � §�«�«��

���u��¨ � �µ�`«µª¬°�ô�§���²]!E¨Uïú§ � � � ���·��¸!©�¨ � �Wò�ò��W¨e�¹�i_`¨�° � �y¨Ð�´��ªKºO�y¸´�µ�W¨e«��µ�¹ª��u§¤�´©��´ª � ���´�-º5§ ¥ «�ªM�W©�§¤�u§�¨Y�¹ª�ª¬¸�´��§¤�·ºh��¸´�µ�W¨~§�«µ�����u�µ�´��ò~¸!§ � �´©�§�«�«µ�U§ ��� �WòU�`«y��¸´�Uôñ�`§¤�·�´�7ª��eôèª��uªñ°7ª¬¸´�µ�W¨�ª¬°U�¹�а7�7² í �7ª¬¨U���u��ºh��°7ª¬° �¸´© � �\�W©�§¤�u§�¨Y�¹ª�ª¬¸S�W¨�«µ��§¤���`«µ���¹� � �Wò��D�W¨�ª¬¨��´¸®��ïa�´�7ª����u� ¥ «µª¬ò�§�¨�°{§¤�´ª � �Wò�ò��W¨�«µ����¨Y�¹ª��u¸¹�+ª��u¸¹ª¬°ôñ�µ�´����ª¬©7�u��¸¹�´� � ¸·§¤�è��ò��`«µª¬òUª¬¨Y�´§¤�´�µ�W¨U�´��ò�ª�²f�}©7ª®�¹���´���y¸ � òU�W¸´�è§�«µ�����u���´��ò�¸!�¹ª¬¨�°~�¹� ¥ ªK§¤���V«�� � § ¥ «µª

Ì

Page 14: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Í Ì Î Ï ±�«g¶¹´*Æ?¬g¯gʹ¶¹±$Æ?« Ð��¨õ§Hï0ª�ô � ¨�§¤�´�´�-ô � °7�Wò~§���¨�¸~§�¨`° §¤�´ªÞ©�¸´©`§�«�«µ��¨7���~º�ª��´�õ�´� ¥ ©�¸¹��² #}¨õ�´��ª{���´�7ª�����§�¨�° � òU�W¸¹�ò�§¤�´�7ª¬ò�§¤�´� � §�«tª)þD���u�´¸B�´��§¤�K§�°�°7�´ª¬¸u¸BºO��¸u�µ�W¨~�`�´� ¥ «µª¬ò�¸B��§�º�ª ¥ ª�ª¬¨ � §¤�´�u�µª¬°��W©7�K©�¨`°7ª��M���O�+���´�7ª¬¸¹ª¬¸�´��§¤��§¤�´ª{�¹�O��°���¸¹�´§�¨Y�~ï0�´�Wòù�uª¬§�«��µ� � �¹���´ª¬¸u©�«µ�~��¨ §�«µ�����u�µ�´�`ò�¸���ï2�`�u§ � �´� � §�«Kº¤§�«�©7ª�²�üK����¸~��¸ � ��¨�`§¤�´� � § � �W¨�¸¹ª��O©7ª¬¨ � ª#��ï2�´�7ª{°`��Ë � ©�«µ�I�H��ï��´�7ªmºh��¸´�µ�W¨����´� ¥ «µª¬ò §�¨�° � ��¨õ�`§¤�´� � § � �W¨�¸¹ª��O©7ª¬¨ � ª��ï��´�7ªÞ«�§ � ����ï2ò~§¤�´�7ª¬ò�§¤�´� � §�«}§¤���+ª¬§�«K��ïи¹�WòUª#��ï��´�7ª#�y¸´¸´©7ª¬¸~�´��§¤���`§¬º�ª#�¹� ¥ ª{§�°`°7�´ª¬¸´¸¹ª¬° �¹�ò�§j��ª�ºh��¸´�µ�W¨H���u§ � �´� � §�«w²nüK�7ª����´� ¥ «µª¬òÿ§�°`°7�´ª¬¸´¸¹ª¬°���¨��´���y¸Ð�´��ª¬¸´��¸ � �´�7ª\°�ª��¹ª � �´�µ�W¨���ïñ��ª��WòUª��¹�4� �¸¹�¹�u© � �´©��´ª¬¸è�y¨���ò~§¤��ª¬¸ � �y¸è§Ð���Y�h°�ª)¯h§�ò��`«µªñ��ïÀ�´�7ªS¸´ª�����ïÀ���´� ¥ «µª¬ò ôñ��� � �~ïú§�«�«V��¨~�´��ª®�W§¤� ¥ ª�� ô�ª�ª¬¨��®ôñ��§¤�}��¸S�´ª¬§�¸¹�W¨�§ ¥ «µ�{©�¨`°7ª��u¸¹�¹�O�O°{�´�7�´�W©��W�{�`�u§ � �´� � ªU§�¨�°#ª)¯O�+ª��u�yòUª¬¨��´§¤�´���W¨ ¥ ©7��«�§ � �h¸�§�¸¹�W«���°�´�7ª����´ª��´� � §�«�ïg�W©�¨`°�§¤�´�µ�W¨ � §�¨�° ¡ ���´��ª��´ª¬ò�§¤�C�¤§ ¥ «µ��ª¬«�ª��W§�¨��ñò~§¤�´�7ª¬ò�§¤�´� � §�« � �W¨ � ª����´¸K�´��§¤�M�`�´��ºh��°7ª°7ª�ª��m©�¨`°7ª��u¸¹�´§�¨�°`��¨7� ¥ ©7�M°���¸¹�uª��W§¤�u° � �WòU�+�W¨7ª¬¨Y�´¸K��ï>���´ª¬§¤�ñ���4§ � �´� � §�«�¸´�µ�W¨`��_ � §�¨ � ª�²!ä¨��´�7ª�ºO�y¸´�µ�W¨�«��µ�¹ª��u§¤�´©��´ª � �´�7ª\¸¹�´§�¨`°�§¤�u° §�«µ�����u���´��òýïg����°�ª��¹ª � �´��¨7�s��ª��WòUª��¹�u� � ¸¹�¹�u© � �´©��´ª¬¸U��¸

�´�7ª�¸¹�¤÷ � §�«�«µª¬°^®�W©7�W���¹�u§�¨�¸¹ï0���uò �K¼ÑÆg¯g½?Ò �×�� � ¡ ��v}ÓC¦;¦Ô±�«?½iÕ�Æ?´�¶*Ò�§g«_¬Ö²W±$¶¹¶*¦;©4´ �×���¦�¦��r����§�7ª¬©7�u�y¸¹�´� � ôñ�`� � � � �W¨�¸´��¸´�´¸~��ï<��<_��¹�´�y¨7��§�«y«ñ�´�7ª#�+�W¸´¸´� ¥ «µª��`§¤�u§�òUª��¹ª��4�µî¬§¤�´�µ�W¨�¸���ï��´��ª#¸¹�¹�4© � �´©7�´ª��ïK��¨Y�¹ª��´ª¬¸¹���¹�#�´�7ª���ò�§¤��ª � ¡ � � �W©`¨��´��¨��m�´�7ª�¨Y©�ò ¥ ª�����ïM�`�µ¯Oª¬«�¸2ôñ�7ª��´ª��´�7ª<_��o��¸�§ ��� ©��u§¤�¹ª � §�¨�°¤��o°7ª � «�§¤�u�y¨7�m�´�7ª��`§¤�4§�òUª��¹ª��u�µî¬§¤�´�µ�W¨�ô®�µ�´��òU���´ª�º����¹ª¬¸U�´�7ª�ôñ��¨`¨7ª��¬² �Sª¬¸¹�`�µ�¹ª�§s«�§ � �n��﮸´�¹�´�W¨7�ò�§¤�´�7ª¬ò�§¤�´� � §�«Bïg�W©�¨`°�§¤�´�µ�W¨ � �´�7ª4^®�W©7�W���¹�u§�¨�¸´ïg���uòý��¸o�W¨7ª���ï®�´�7ª�òU�W¸¹�U¸´© ��� ª¬¸´¸´ï0©�«�§�«µ�����u���´��ò�¸ïg�������´� ¥ «µª¬ò~¸�¸´© � �n§�¸2«���¨7ªU°7ª��¹ª � �´���W¨n§�¨�°sô®��°7ª¬«µ�m©`¸¹ª¬°û��¨Þ���4§ � �´� � §�«·§¤���`«y� � §¤�´�µ�W¨�¸�²UüK��ª��´ª�§¤�´ª ��7��ô�ª�º�ª�� � ò�§�¨Y�õ§�¸¹�+ª � �´¸���¨õô®��� � �[�µ�´¸�¸´© ��� ª¬¸´¸´ï0©�«S§¤���`«y� � §¤�´�µ�W¨õ�y¸�òU���uª#��ïЧ�¨[§¤�u��ï0���uò �´��§�¨¸ � �µª¬¨ � ª�² ' ���ñª)¯7§�òU�`«µª � ���K��¸K©�¸´©`§�«�«µ�<�O©��µ�¹ª2°���Ë � ©�«µ���¹�����´ª�º�ª¬¨Y�Kïú§�«�¸¹ª2�+�W¸´���´�µº�ª¬¸Bôñ�7ª¬¨��´�7ª��´§¤�´��ª��¸¹�¹�u© � �´©��´ª¬¸��`§¬º�ªM¸´�µ�W¨���_ � §�¨��´«��}°`�öþDª��uª¬¨��>¸´�µî�ª¬¸�²aüÀ�S��º�ª�� � �WòUªM�´����¸����´� ¥ «�ª¬ò � �´�7ª)^®�W©7�W�o�¹�u§�¨�¸¹ï0���uò��¸·©�¸u©�§�«�«µ� � �Wò ¥ ��¨7ª¬°Uôñ���´�U���´�7ª��B�7ª¬©7�u��¸´�´� � ¸¹�¹ª��`¸ � ¨7���uò�§�«y«µ�o�y¨�º��W«µºh��¨7�}º¤§¤�u�µ�W©�¸è��ò�§¤��ª®���´� � ª¬¸´¸´��¨7����+ª��u§¤�¹���u¸ � �¹���´��ª��D�W�y¨��Bôñ�7ª��uª}§�¨Y��¸¹ª��u�µ�W©`¸ � ��§¤�u§ � �¹ª��u��¤�´�µ�W¨m��ï>ôñ��� � ����¸M°7�W��¨��oô®��§¤� ¥ ª � �WòUª¬¸��¨Y�¹�u§ � �´§ ¥ «µª�²

¦{§¤�´�7ª¬ò�§¤�´� � §�«�«�� � �´�7ª�^ñ�W©7�W�[�¹�u§�¨`¸¹ïg���4ò ��¸�§�¨[§¤�����´��¯h��ò~§¤�´�µ�W¨õ��ï��´�7ª{ð®§�°7�W¨[�¹�u§�¨�¸¹ï0���uò �_��u¸¹�2�y¨��¹�´�h°�© � ª¬° ¥ �}l��W�`§�¨�¨nð®§�°7�W¨n��¨ô�K×ǧg¬�Æg«Þ�×����£��r�4²��®¨`«�����ªU�´�7ª�^ñ�W©7�W�n�¹�u§�¨�¸¹ï0���uò � �´�7ªðñ§�°7�W¨n�¹�u§�¨�¸¹ï0���uò �y¸2§\ï0���uò�§�«�«��{¸¹�´©�°`�µª¬°ûò�§¤�´�7ª¬ò~§¤�´� � §�« � �W¨�¸´�¹�u© � ��ô®�7�W¸¹ªU���´���+ª��´�´��ª¬¸2§¤�´ª�ô�ª¬«�«©�¨�°7ª��4¸¹�¹�Y�h°<�K¼T©4¦�½_§?º Æg«5�×��������r�4²&!E����§�¸�§�¸´¸´©�òUª¬°o§�¨o��òU�+���´�´§�¨Y���´�W«µª@�y¨�ò�§¤�´�7ª¬ò~§¤�´� � ¸a��¨��´ª � ª¬¨Y���ª¬§¤�u¸ ¥ ª � §�©�¸´ª���﮺¤§¤�u�µ�W©�¸U�yò�§¤�W��¨7�sòU�h°�§�«��µ�´��ª¬¸Ð�´�`§¤� � �y¨Hª)þ+ª � � � òUª¬§�¸´©��´ª\§sðñ§�°7�W¨��¹�u§�¨�¸¹ï0���uò�KØÑ©7§g«gº��×���¦�¤��r�4²S!ä¨ � �WòU�`©7�¹ª��ñºO��¸u�µ�W¨ � �´�7ª2¸´�µ�´©�§¤�´���W¨���¸B¸¹�WòUª��´����¨��U��ï��´�7ª}�´ª�º�ª��4¸¹ª�²èüK��ª}¸´ª¬¨�¸¹����W�µº�ª¬¸M§oï0©`¨ � �´�µ�W¨��W¨��´��ªS�V«�§�¨7ª � ���K§o¸u© ¥ ¸¹ª�����ï��´�7ª}�`«�§�¨�ª � §�¨�°��´�7ª�ð®§�°7�W¨��¹�u§�¨�¸¹ï0���uò ��¸�©�¸¹ª¬°�§�¸§�°�ª��¹ª � �¹���S��ïè«���¨7ª¬¸M����«��y¨7ª2¸¹ª��WòUª¬¨Y�´¸�²k!I�´¸S¸´©��µ�´§ ¥ ��«��µ�I��ï0���®�´�`��¸ñ�´§�¸C�\��¸®©`¨����O©7ª¬«µ��°�ª��¹ª��uò���¨7ª¬° ¥ ��´�7ªñïú§ � �@�´�`§¤��§�¨���°7ª¬§�«��µî�ª¬°~«���¨7ªK��¸èò�§¤���+ª¬°���¨Y�¹�Ч�¨���òU�`©`«�¸¹ªB�`«�©�¸@¸¹�WòUªÚÙ ¥ § � �O���´�W©�¨�°4Û�ï0©`¨ � �´�µ�W¨t²üK�7ª � �4© � ��§�«!���4§ � �´� � §�«@«��yò��µ�´§¤�´�µ�W¨s�7ª��uª~��¸ � �7��ô�ª�º�ª�� � �´�7ª~ô����u° � ��°7ª¬§�«��µî�ª¬°��µ²<!ä¨û�´�7ª��uª¬§�«·ô����u«�° ���ò�§¤��ª¬¸e§¤�´ª�§ � �Y©`�µ�´ª¬° ¥ �n°`�µ�W�µ�´§�«@¸´ª¬¨�¸¹���u¸o§�¨�°��´�7ª � �W¨��´��¨O©7�W©�¸o«��µ�W�Y�иu©7�´ïú§ � ª��´��§¤�e��òU�V��¨7��ª¬¸2��ï

Page 15: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Í Ì Î Ï ±�«g¶¹´*Æ?¬g¯gʹ¶¹±$Æ?« Ü�´�7ª¬¸¹ªM¸¹ª¬¨�¸´���u¸��y¸>¸u§�òU�`«µª¬°o§ ��� ���u°���¨��®�¹��§S���´ª)÷ °7ª*_V¨7ª¬°2�`�µ¯Oª¬«O«�§¤�¹�´� � ª�²f!E��ï0�W«�«µ�-ôñ¸>�´��§¤�a�´�7ª��y°7ª¬§�«��µî�ª¬°� �W¨ � ª����M��ïÀ§e«��y¨7ªS§�¸B§�¨���¨©_`¨��µ�¹ªD*� ¸´© ¥ ¸¹�`§ � ªS��ïÀ�´�7ª ¡ �Q�`«�§�¨7ª}��¸��´ª��`«y§ � ª¬° ¥ �~�´��ª � �W¨ � ª��`�M��ï�§«���¨7ª�§�¸K§�_`¨��µ�¹ª � �W«�«µª � �´���W¨���ïa�`�ö¯hª¬«�¸��´��§¤�ñ��§�º�ªÐ¨7�W¨h÷wº¤§�¨���¸u����¨7�e¸´©7���+���´��²

ü���§<_��u¸¹�ä÷w���u°�ª��S§¤���`�´�¬¯7��ò�§¤�´�µ�W¨ � �µ�S¸´�7�W©�«�° ¥ ªÐ�´ª¬§�¸¹�W¨�§ ¥ «µª��¹��ª)¯O�+ª � �S�´��§¤� � ôñ�7ª¬¨{�´�7ª��`�µ¯Oª¬«¸´�µî�ª~�y¸�òo© � ��¸´ò�§�«�«�ª��2�´��§�¨û�´��ª�«���¨�ª�«µª¬¨7���´� � �´�7ª���°�ª¬§�«��µî�ª¬°û«��y¨7ªUôè�W©`«�°s���´�-ºO�y°7ª~§\���O�h°HòU�h°7ª¬«ïg�����´��ªU�¹�u©7ªe�`�ö¯hª¬« � �W«�«µª � �´�µ�W¨t²d�S¨�°7ª����´����¸}òU�h°7ª¬« � ¸u��òU�`«µ���´���´ª¬¸´�7�W«�°`��¨7�~�´��ª�§�òU�`«��µ�´©`°7ª���ï��´�7ª�u§�¨7��ªÐï0©�¨ � �´�µ�W¨���ï!�´�7ªoðñ§�°7�W¨m�¹�u§�¨�¸¹ï0���uò�ô��W©�«�° ¥ ª�¸´©7Ë � ��ª¬¨��K�¹��°7ª��¹ª � �}«���¨7ª¬¸�²)^®��ô�ª�º�ª�� � ôñ�7ª¬¨�´����¸Ð§¤�´�W©�òUª¬¨Y�o�y¸��¹ª¬¸¹�¹ª¬°��W¨H�´ª¬§�«���ò�§¤��ª��´� � ���а7�Oª¬¸e¨7�����´§j��ª\«µ�W¨��m�¹�#�´ª¬§�«��µî�ª��´��§¤�o�´�7ª�ð®§�°7�W¨�¹�u§�¨�¸¹ï0���uò���ï·�´�7ªo��°7ª¬§�«��µî�ª¬°{òU�h°7ª¬«��y¸®§�º�ª��´�\�+�O���®§¤�����u�¬¯7��ò�§¤�´�µ�W¨{�¹���´��ªoð®§�°7�W¨m�¹�4§�¨�¸¹ï0���uò���ï�´�7ªo�`�ö¯hª¬«�§¤�¹ª¬°Þ«���¨7ª�²SüK����¸®¸¹�WòUª�ôñ��§¤��¸´©��´���u��¸u��¨7�U� ¥ ¸¹ª��uº5§¤�´�µ�W¨ � §�¸¹�´¸�°��W© ¥ �ñ�W¨#�´�7ªU§¤���V«�� � § ¥ ��«y�µ� ���ïKòU�W¸¹���O¨���ôñ¨H�´�7ª����´ª��´� � §�«��´ª¬¸u©�«µ�´¸2�W¨H�´�7ª�ðñ§�°7�W¨H�¹�u§�¨�¸¹ï0���uòÿ�¹� � �Wò��`©7�¹ª��oºO��¸u�µ�W¨û���u� ¥ «µª¬ò�¸�²üK����¸���¸2�´�7ª����´� ¥ «�ª¬ò §�°�°7�´ª¬¸u¸¹ª¬° ¥ �Þ�´����¸2�´��ª¬¸´��¸ � ôñ�7�W¸¹ª � ª¬¨��¹�u§�«����W§�«���¸2�¹�{���´�-ºO��°�ª~§\�u�������´�W©�¸©�¨�°7ª��4¸¹�´§�¨�°���¨��m��ï��7��ô��`�ö¯hª¬«��µî¬§¤�´�µ�W¨�§5þ+ª � �´¸~�´�7ª\ð®§�°7�W¨ �¹�u§�¨`¸¹ïg���4ò�²�#Sï � �W©��u¸¹ª � �W¨ � ªm¸´© � ��§� ��§¤�4§ � �¹ª��u�µî¬§¤�´�µ�W¨o��¸À§�º5§��y«�§ ¥ «µª � �µ� ¥ ª � �WòUª¬¸�¸´�µ�W¨���_ � §�¨��´«µ�Sª¬§�¸´�µª����¹� � �u���´� � �µî�ª·�´�7ª@ª)¯h��¸´�´��¨7�K¸¹�¹�u§¤�¹ª��W��ª¬¸ïg����«��y¨7ª�°7ª��¹ª � �´�µ�W¨Þ§�¨�°Þ°7ª�º�ª¬«���� ¥ ª��¹�¹ª���§�«µ�����u�µ�´�`ò�¸�² í ���y«µª2�´�7ªUò�§���¨m���W§�«a��ï·�´�7ªo�´�7ª¬¸´��¸S��¸S¨7����´�7ªo���´� ¥ «µª¬ò���ïè«y��¨7ª�°7ª��¹ª � �´���W¨Þ�Dª���¸¹ª � º¤§¤�u�µ�W©�¸S¨7ª�ô ��¨�¸u�µ�W���´¸S§¤�´ªU°7ª��u��º�ª¬°m�W¨#�´�7ªe�+ª��´ï0���uò�§�¨ � ª��ï � ©��´�´ª¬¨Y�ñ¸¹�W«�©7�´���W¨�¸B§�¨�°\¸¹�WòUªÐ¨7ª�ôG¸¹�W«�©��´�µ�W¨�¸M§¤�´ª����u���D�W¸´ª¬°t²

üK�7ªñ�´�7ª¬¸´��¸·�y¨ � «�©�°7ª¬¸aº¤§¤�u�µ�W©`¸·¨7��º�ª¬« � �W¨Y�¹�u� ¥ ©7�´���W¨�¸�²g!E¨ � ��§¤���¹ª�� ¡ � ô�ª®¸´�´§¤�´� ¥ ��°���¸ � ©�¸u¸´��¨7�S�´�7ªðñ§�°7�W¨#�¹�u§�¨`¸¹ïg���4ò�§�¨�°{�´ª�ºh�µª�ô ¸¹�WòUªo���´ª�ºh�µ�W©�¸´«µ���h¨7��ô®¨{§�¸¹�+ª � �´¸ � ¸´© � �Þ§�¸}�µ�´¸ ¥ §�¸´� � ���´���+ª��´�´�µª¬¸ �§�¨�°s�´�7ª~�u§�¨7��ª�ïú©�¨ � �´�µ�W¨`¸}ïg���2º¤§¤�u�µ�W©`¸ � §�¨7�W¨�� � §�«@¸¹�¹�u© � �´©7�uª¬¸2��¨ � «�©`°���¨7���´�7ª~«���¨�ªe§�¨`°s�´�7ª��`�µ¯Oª¬« ²í ª�§�«�¸´�m��¨Y�¹�´�O°`© � ªU� ô��{¸¹�¹�4© � �´©7�´ª¬¸��´�`§¤��§¤�´ª�©`¸´©�§�«�«µ�{¨7���2ï0�W©�¨�°û��¨Þ�´��ª~«��µ�¹ª��u§¤�´©��´ªe÷®�´�7ª�¸¹�¹�u�µ� �ôñ��� � �û��¸Ð§{«��y¨7ªUôñ�µ�´�s�+�W¸´���´�µº�ª�ôñ��°��´� � §�¨�°n�´�7ª~�V�ö¯Oª¬«y§¤�¹ª¬°ûïú©�¨ � �´�µ�W¨û÷S§�¨�°H°7ª��u�µº�ª��´�7ª¬�µ�Ðð®§�°7�W¨�¹�u§�¨�¸¹ï0���uò�¸¬²�!ä¨ � ��§¤���¹ª���¤ � ô�ª��y¨��¹�´�h°�© � ª��´�7ª��`�ö¯hª¬«@«�§¤�¹�´� � ª � ïg���uò~§�«��µî�ª~�´��ª � �W¨ � ª��`�o��ﮧm�`�µ¯Y÷ª¬«�§¤�¹ª¬°n«y��¨7ª � §�¨`°n°7ª��u��º�ª�§�¨nª)¯7§ � ��ª)¯h���´ª¬¸´¸u�µ�W¨sï0���Ð�µ�´¸Ððñ§�°7�W¨n�¹�u§�¨�¸¹ï0���uò�²�üK����¸��`§¤���+ª¬¨�¸��¹� ¥ ª�Y©`�µ�¹ªÐ°��µþDª��´ª¬¨Y�ñï0�´�Wò��´�7ªÐ�yòU�`©�«�¸´ª��`«�©�¸ÚÙ ¥ § � �O���´�W©�¨�°�Û~ïú©�¨ � �´�µ�W¨{§�¸´¸¹� � ��§¤�¹ª¬°#ôñ�µ�´�m�´�7ªo�y°7ª¬§�«��µî�ª¬°«���¨7ªMòU�h°7ª¬« ²g!ä¨�¸¹�¹ª¬§�° � �´�7ªñðñ§�°��W¨U�¹�u§�¨�¸¹ï0���uò ��ï+�´�7ªñ�`�ö¯hª¬«�§¤�¹ª¬°�«���¨�ªB�y¸·§ � �W¨Yº��W«�©7�´�µ�W¨U��ïtò�§�¨Y�eª¬«µª)÷òUª¬¨Y�´§¤�´�Uï0©`¨ � �´�µ�W¨�¸ � §�¨�° � �W¨Y�´��¨O©7�W©�¸´«��e°�ª � §¬�h¸k�ú§�¸B§2ïú©�¨ � �´���W¨���ï�«���¨�ªK§�¨7�W«µªE�aï0�´�Wò �µ�´¸@ò�§5¯7��òo©�òº5§�«y©7ª�²]!I�K�y¸è�´��ª¬¨�¸´�7��ô®¨��´��§¤� � ©�¨�°�ª��B¸´�WòUª2¸´��òU�V«��µï0�O��¨���§�¸´¸´©�ò����´�µ�W¨�¸ � �´�7ªi^®�W©7�W���¹�u§�¨�¸´ïg���uò ��ï�´�7ª�«���¨�ªo��¸}§�¨û§¤�`���´�¬¯7��ò�§¤�´���W¨{�¹���´�`��¸}ª)¯O�`�´ª¬¸´¸´�µ�W¨�²`�S¨7ïg���u�´©�¨�§¤�¹ª¬«µ� � �´�`��¸}§¤�����´��¯h��ò~§¤�´�µ�W¨s��¸}¨7����`§¤�´�´� � ©`«�§¤�u«µ����¨`¸´�µ�W�Y�¹ï0©�«D§�¨�°�°7�Oª¬¸K¨7���K«�ª¬¨�°��µ�´¸¹ª¬«µï��¹��¸´��òU�`«�ª��B§�¨`§�«µ�Y�´� � §�«tò�§�¨��µ�`©`«�§¤�´�µ�W¨��´��§�¨��´�7ª�¹�u©7ª®ª)¯O���uª¬¸´¸´�µ�W¨t²g!E�è��¸è�´�7ª��´ª�ï0���´ª®¨���� � «µª¬§¤���´��§¤���´�7ª��´ªS��¸@§�¨Y�~§�°7º¤§�¨��´§¤��ª���¨�¸¹�´©�°7�h��¨7���´��ª%^®�W©7�W��¹�u§�¨�¸¹ï0���uò�§�¨`°�ôèª�°���¨7���ñ°7��¸¹����¨��´�7ª2�´ª¬ò~§���¨�°7ª��B��ïa�´�7ª��´�7ª¬¸´�y¸�²!ä¨�¸¹�¹ª¬§�° � � ��§¤���¹ª�� � §�°�°7�´ª¬¸u¸¹ª¬¸}�W¨7ªU��¸´¸´©�ª��´��§¤�2��§�¸}¸´���W¨���_ � §�¨Y�S�yòU�`§ � �}�W¨#�´�7ªU¸´��§¤�+ªÐ��ïè�´�7ªðñ§�°7�W¨H�¹�u§�¨�¸´ïg���uò2�U�´�7ª�_V¨��µ�¹ª�¨`§¤�´©7�´ª���ïK�`�ö¯hª¬«@«�§¤�¹�´� � ª¬¸�² í ����«�ª~�W¨ÄÝÈÞ��Iôè�s¨7�W¨h÷w�V§¤�u§�«�«µª¬«è«���¨7ª¬¸

Page 16: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Í Ì Î Ï ±�«g¶¹´*Æ?¬g¯gʹ¶¹±$Æ?« ßôñ��«�«®§�«µôB§¬�h¸���¨��¹ª��4¸¹ª � � � �´��ª#¸´§�ò�ªÞ°��Yª¬¸�¨7�����7�W«�° �W¨�§ ¥ �W©�¨�°7ª¬° ¸´© ¥ ¸¹ª�����ïÇÝ Þ ² ^®ª¬¨ � ª � �´�7ªÙ ¥ § � �O���´�W©�¨`°4Ûmïú©�¨ � �´���W¨s��ïK©�¨ ¥ �W©`¨�°7ª¬°û¸´©����+���´�2§�¸´¸¹� � ��§¤�¹ª¬°Hôñ�µ�´�û�´��ª���°7ª¬§�«y�µî�ª¬°n«��y¨7ª ¥ ª � �WòUª¬¸§mïú©�¨ � �´���W¨n¸´©7�`�D���u�¹ª¬°s�W¨n�´��ª�¸¹ª��o��ïK§�«�«�«���¨7ª¬¸2�´��§¤�o���Ð��¨Y�¹ª��u¸¹ª � �´¸�² í ª�°7ª¬¨7���¹ª~�´�`��¸Ð¸´ª��o§�¸Ð�´�7ª��¨Y�¹ª��u¸¹ª � �´��¨7�H¸¹ª��~��ï��´�7ª#«���¨7ª � §�¨�°�¸´�´©�°7� �µ�´¸��`�´���+ª��´�´�µª¬¸�²�!I����§¤���+ª¬¨�¸U�´��§¤���´����¸�¸¹ª�� � §�¨ §�«�¸¹�¥ ª � �`§¤�u§ � �¹ª��u�µî�ª¬°§�¨�§�«µ�O�´� � §�«�«���§�¨`° � ©�¨�«�����ª��´�7ª#§�ò��`«��µ�´©�°�ª���ï��´�7ª#ð®§�°7�W¨ �¹�u§�¨�¸¹ï0���uò � ��¸�¨7���¸´�µ�W¨���_ � §�¨��´«���§5þ+ª � �¹ª¬° ¥ ���`�ö¯hª¬«��µî¬§¤�´�µ�W¨t²]!ä¨\ïú§ � � � ô�ª�¸´����ôG�´�`§¤�K�´�7ªÐ�y¨��¹ª��u¸´ª � �´��¨7��¸¹ª��®��ï>�´��ª�«���¨7ª ��´�7ªñ¸¹�¹�4�µ� � §�¨�°U�´��ªK�`�ö¯hª¬«�§¤�¹ª¬°U«���¨�ªB§¤�uªñ§�«�«7º�ª��´�U¸´�yò���«�§¤�¬²�üK����¸!��¸@§��´ª¬¸´©�«��>��ï+���4§ � �´� � §�«�¸´�µ�W¨`��_ � §�¨ � ª¸´��¨ � ª}�´�7ª��`�´ª � ��¸¹ª � �`§¤�u§ � �¹ª��u�µî¬§¤�´�µ�W¨m��ïÀ�´�7ª2�y¨��¹ª��u¸´ª � �´��¨7�U¸¹ª��K��ï��´�7ª��`�ö¯hª¬«�§¤�¹ª¬°�«���¨�ªS§¤���+ª¬§¤�u¸B�¹� ¥ ª�Y©`�µ�¹ªñ°���Ë � ©�«µ��² !E�è§�«y¸¹� � �WòU�V«µª��¹ª¬¸@�´��ªñ�u�µ�����u�W©�¸ � ��§¤�u§ � �¹ª��u�µî¬§¤�´���W¨���ït§o¸¹ª��u�µª¬¸@��ïtòU�O°�ª¬«�¸·�´��§¤� � §�¨¥ ª�©�¸´ª¬°e�¹�2§¤�����´��¯h��ò~§¤�¹ª��´��ª�� � �Wò��`©7�´§¤�´�µ�W¨�§�«y«µ�Ð��¨Y�¹�u§ � �´§ ¥ «�ªE�Àð®§�°7�W¨e�¹�u§�¨�¸´ïg���uò ��ïV�´�7ªB�`�ö¯hª¬«�§¤�¹ª¬°«���¨7ª�²!ä¨ � ��§¤���¹ª�� �>� ôèª�¸¹�´§¤�u���¹� � �W¨�¸´��°7ª��}�´�7ªe���4§ � �´� � §�«!��òU�`«y� � §¤�´�µ�W¨�¸ñ��ïè�´�7ªe�´�7ª����uª��´� � §�« � �`§¤�u§ � ÷�¹ª��u�µî¬§¤�´�µ�W¨���ï®�´�7ª��`�´ª�ºO���W©�¸ � ��§¤�`�¹ª��u¸�² í ª � �´ª¬§¤�¹ª{§s�´§5¯O�W¨��Wò�����ï}òU�O°�ª¬«�¸e�´��§¤��§¤�����u�¬¯7��ò�§¤�¹ª

�´�7ªS�`�ö¯hª¬«�§¤�¹ª¬°~«��y¨7ªñ§�¨�°�ôñ��� � �~¸´© ��� ª¬¸´¸´�µº�ª¬«µ��§ ��� �W©`¨��Bï0����òU���uª®��ït�´�7ªSï0ª¬§¤�´©7�´ª¬¸��´��§¤� � ��§¤�u§ � �¹ª��4�µî�ª�µ��� ¥ �W©�¨�°7ª¬°#¸´©7���+���´� � ¨7�W¨h÷wî�ª��u��ôñ��°7�´� � §�¨�°#�`�µ¯Oª¬«���¤�´�µ�W¨w�4²i!E����¸}¸´�7��ô®¨Þ�´��§¤�}�´�7ª¬¸¹ª�¸´© ��� ª¬¸u¸´�µº�ª§¤�����´��¯h�yò�§¤�´�µ�W¨�¸è���´�-ºO��°�ªS§�¨�§�¨�§�«µ�O�´� � §�«7b´©�¸¹�´��_ � §¤�´���W¨~ï0���M¸¹ª�º�ª��u§�«+º¤§¤�u��§¤�´�µ�W¨�¸��W¨��´�7ª}ôñ��°�ª¬«µ�U©�¸¹ª¬°¸¹�¹�u§¤�¹ª�������ïa«���¨7ª�°7ª��¹ª � �´���W¨ ¥ ���´���´ª¬¸´�7�W«�°`��¨7�o��ï>�´��ª2ðñ§�°7�W¨{§�òU�`«��µ�´©`°7ª�²·¦\���´ªÐ��òU�+���´�´§�¨Y�´«µ� � �´����¸ª)¯Oª�� � ��¸¹ªM���´�-ºO�y°7ª¬¸���a§}���´ª � �y¸¹ªK©�¨�°7ª��4¸¹�´§�¨�°���¨��ñ��ïDôñ�7ª¬¨e�´�7ªñ§�¸u¸´©�òU���´���W¨Ð�´�`§¤�·�`�ö¯hª¬«�¸a��§¬º�ªñ�D�W�y¨��ä÷¸´©7���+���´�a��¸!§ ��� ª����´§ ¥ «µª®§�¨�° ¡ �a���´�O��ï0¸a�´��§¤�@�´����¸!§�¸´¸´©`òU���´�µ�W¨ � §�¨�«�ª¬§�°U�¹��¸´�µ�W¨`��_ � §�¨Y�>ª��u�´���u¸��0ïú§�«�¸¹ª�+�W¸´�µ�´�µº�ª¬¸��M©�¨�°7ª��M�´�7ªo¸¹�´§�¨�°�§¤�4°\�´�7�´ª¬¸u�7�W«�°���¨��e¸´�¹�u§¤�¹ª�����²KüK�7ª�ò~§���¨\�´ª¬¸u©�«µ�K��¸K§~�´�7ª����´ª¬ò §j�O�y¨\�¹��´�7ªe©�¨ � ª��´�´§���¨Y� �m���u��¨ � ���`«µª���ï ' �W©��u�µª���§�¨�§�«µ�h¸´��¸��0ôñ�7ª��´ªe¸´��òo©�«µ�´§�¨7ª��W©`¸®«µ� � §�«��µî¬§¤�´���W¨{��¨m�´��òUªe§�¨�°¸¹�`§ � ª\§¤�´ª\�yòU�+�W¸´¸´� ¥ «�ªE�Sïg���U�´��ª\¸´�µî�ª���ïñ�´�7ª��uª��W�µ�W¨���﮸´©����+���´�Ð��ï®�´�7ª\ðñ§�°��W¨��¹�u§�¨�¸¹ï0���uò4���´�7ª©�¨ � ª��´�´§��y¨��I�m��ïB«���¨7ªÐ���u�µª¬¨Y�´§¤�´�µ�W¨Þª¬¸¹�´��ò�§¤�¹ª¬¸2�´ª � ��º�ª��´ª¬° ¥ �{�´�7�´ª¬¸´���W«�°���¨7����¸�«µ��ô�ª�� ¥ �W©�¨�°7ª¬° ¥ �{§�Y©`§�¨��´�µ�I�{��¨Yº�ª��u¸¹ª¬«������´���+���´�´�µ�W¨�§�«À�¹���´�7ªeôñ��¨�°7�-ô�¸u�µî�ª�²�±h��¨ � ªe¸´ò�§�«�«Àôñ��¨�°���ôñ¸S§¤�´ªU¨7ª � ª¬¸´¸´§¤�u�m�¹�«µ� � §�«��µî�ª��´�7ª2�uª � ��º�ª��´ª¬°#«���¨7ª¬¸ � �´�`��¸KòUª¬§�¨�¸K�´��§¤�K�´�7ª2�´���´ª¬¸´�7�W«�°`��¨7�e¸¹�¹�u§¤�¹ª����\��òU�+�W¸¹ª¬¸M§�¨{��¨Y�¹�u��¨�¸´� ��¹�u§�°7ª)÷w�¤þ ¥ ª�� ô�ª�ª¬¨\ïú§�«�¸¹ª��+�W¸´�µ�´��º�ª¬¸K§�¨�°�¸¹�`§¤�´�y§�«�«µ� � §�«��µî¬§¤�´�µ�W¨t²

üK���y¸�«���ò��µ�´§¤�´���W¨#ò����´�µº5§¤�¹ª¬¸Ð§\¸¹ª¬§¤� � �nï0����§\°`�öþDª��uª¬¨��2«��y¨7ªU°7ª��¹ª � �´�µ�W¨n¸´�¹�u§¤�¹ª�����²��B©��y«�°���¨7���W¨�´�7ªM�´ª¬¸´©`«µ�´¸a��ïV�´��ªM���´ª�ºh�µ�W©�¸ � ��§¤�`�¹ª��u¸ � ô�ªK¸´�7�-ô��´��§¤�·�´��ªKðñ§�°7�W¨U�¹�4§�¨�¸¹ï0���uò ��ïV�´��ªM�`�ö¯hª¬«�§¤�¹ª¬°U«���¨7ª��¸}�´�µ�W�Y�´«µ� ¥ �W©�¨`°7ª¬° ¥ �Þ§�ï0©�¨ � �´�µ�W¨#�´��§¤�<��S��¸ � �W¨�¸´�´§�¨����y¨#§�¸uò�§�«�«!¨7ª¬�µ�W� ¥ ���u�7�O�O°{��ï��´�7ªU�+ª¬§j�º5§�«y©7ª � ¡ �2��§�¸Ð§{¸u��òU�`«µª�°�ª��Dª¬¨`°7ª¬¨ � ª��W¨��´�7ª�«���¨7ª~§�¨��W«µª���¨n�´�7ª~�uª¬ò�§���¨�°7ª��Ð��ïM�´�7ª���¨��¹ª��4¸¹ª � �´��¨7�¸¹ª�� � §�¨�° ¤��S��¸®î�ª��´��ª¬«�¸¹ª�ô®�7ª��´ª�²2üK���y¸®«µª¬§�°`¸®�¹��§�¨7���´��ª��2��¨��¹ª��uª¬¸¹�´��¨7� � �W¨��¹�4� ¥ ©7�´�µ�W¨{��ï@�´��ªo�´��ª¬¸´��¸*�§�¨7ª�ô �`§¤�u§�òUª��¹�u� � òU�h°7ª¬«�ïg���}�´�7ªUð®§�°7�W¨#�¹�u§�¨�¸¹ï0���uò ��ïè§��`�ö¯hª¬«�§¤�¹ª¬°#«���¨7ªÐ�´��§¤����¸u�Y©`�µ�¹ªÐª¬§�¸´�m�¹�ò�§�¨��µ�V©�«�§¤�¹ª � ¥ ���´�s§�¨�§�«µ�O�´� � §�«�«µ�#§�¨�° � �WòU�`©7�´§¤�´���W¨�§�«�«µ��² í ª~©�¸¹ªe�´���y¸�òU�O°�ª¬«>§�¸2�´�7ª ¥ §�¸´��¸Sï0����§¨7ª�ô�§�¨�§�«µ�h¸´��¸ä÷ ¥ �Y÷ ¸¹�O¨Y�´�7ª¬¸´�y¸è�`�´� � ª¬°`©7�´ªSïg���K«��y¨7ª®°7ª��¹ª � �´���W¨(�·�W�µº�ª¬¨��´�7ª�¨O©�ò ¥ ª��B��ï��`�ö¯hª¬«�§¤�¹ª¬°�«���¨7ª¬¸

Page 17: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Í Ì Î Ï ±�«g¶¹´*Æ?¬g¯gʹ¶¹±$Æ?« à��¨��´��ªS��ò~§¤��ª � �´�7ªS�`§¤�u§�ò�ª��¹ª��u¸���ï��´�7ª®«��W¨7��ª¬¸¹�B«���¨7ªñ§¤�uªS°7ª��¹ª��4ò���¨7ª¬° ¥ ��_`¨`°���¨7���´�7ª}«�§¤�´��ª¬¸´�躤§�«�©7ª��ï@�´�7ªUð®§�°7�W¨s§�òU�`«����´©�°7ª��ú§�¨`§�«µ�O¸u��¸}¸¹�¹ª���� � �´�7ªe�`§¤�4§�òUª��¹�u� � ª¬¸¹�´��ò~§¤�¹ªU��ï@�´�7ªU§�¸´¸¹� � ��§¤�¹ª¬°ûð®§�°7�W¨�¹�u§�¨�¸¹ï0���uòÿ��¸Ð¸´�O¨Y�´�7ª¬¸´�µî�ª¬°[�ú¸¹�h¨��´��ª¬¸´��¸�¸´�¹ª���� � ¸´© ¥ �¹�4§ � �¹ª¬°nï0�´�Wòÿ�´�7ª~���u���W��¨�§�«@ð®§�°7�W¨H�¹�u§�¨�¸¹ï0���uò �§�¨�° �´�7ª{�`�´� � ª¬¸u¸��µ�¹ª��4§¤�¹ª¬°t²�üñ�7ªm�´ª¬¸u©�«µ�´��¨7�H§�«µ�����u�µ�´��ò ��¸�ª)¯O�¹�uª¬òUª¬«µ� ïú§�¸¹� � ��¨Yº��W«µº�ª¬¸�¨7��ò�§¤�W� �¨Y©`ò ¥ ª��u¸��0���´�7ª��è�´��§�¨U�´�7ªK¨O©�ò ¥ ª��!��ï+«���¨�ª¬¸>�y¨e�´�7ªK��ò�§¤��ªE� � §�¨�°U�+ª��´ï0���uò�¸>�´ª¬ò�§¤�C�¤§ ¥ «µ�Ðô説«y«hôñ�7ª¬¨� �WòU�`§¤�´ª¬°#�¹���´�7ªe¸¹�´§�¨�°�§¤�u°{�´�7�´ª¬¸u�7�W«�°���¨���¸¹�¹�u§¤�¹ª��W�µª¬¸�²}üK���y¸ñ��¸S°�©7ªÐ�¹���µ�´¸S§ ¥ ��«y�µ� ���¹� � �WòU�`«µª��¹ª¬«��°���¸ � �W©`¨��B�´�7ª�ð®§�°7�W¨��¹�u§�¨`¸¹ïg���4ò'��ï>§�«y«t���´ª�ºh�µ�W©�¸´«��~°7ª��¹ª � �¹ª¬°m«y��¨7ª¬¸M§¤�Kª¬§ � �{¨7ª�ôQ°7ª��¹ª � �´�µ�W¨\¸¹�¹ª��À²!ä¨ � �`§¤���¹ª�� �>� ô�ªm�´©��u¨��W©7��§¤�¹�¹ª¬¨��´���W¨ �¹�H�´�7ª{¸´�´§¤�´��¸¹�´� � §�« � ��§¤�u§ � �¹ª��4�µî¬§¤�´�µ�W¨[��ï��´�7ª{ð®§�°7�W¨�¹�u§�¨�¸¹ï0���uò�² í ª�§�¸u¸´©�òUª~§{¸´��òU�V«µªUòUª¬§�¸´©7�´ª � �����`�u�µ��� � �W¨n�´�7ª�¸´�`§ � ª~��ïM��ò�§¤��ª�«���¨7ª¬¸}ô®��� � � � ��¨�´©7�u¨ � �y¨�°�© � ª¬¸�§�òUª¬§�¸u©7�´ªU�W¨s�´�7ª�§�òU�`«��µ�´©`°7ªÐ��ï��´�7ªU�u§�¨���ª�ï0©`¨ � �´�µ�W¨#��ïB�´�7ª�ðñ§�°7�W¨û�¹�u§�¨�¸¹ï0���uò�²�B«µ�W¸¹ª¬°7÷wïg���uòQª)¯h���´ª¬¸´¸´���W¨�¸À§¤�´ªM°7ª��4�µº�ª¬°�ï0���>�´�7ªB���´� ¥ § ¥ �y«��µ� �}°7ª¬¨�¸u�µ� ��ïú©�¨ � �´�µ�W¨Ð��ï��´�7ªB«�§¤�¹�¹ª�� � §�¸>ô�ª¬«�«§�¸}º5§¤�4�µ�W©�¸}¸¹�´§¤�´��¸¹�´� � ¸���¨ � «�©�°`��¨7�U�´�7ªUòUª¬§�¨ � º¤§¤�u��§�¨ � ª � §�¨�°Þ�´�7ª � �W¨�°��µ�´���W¨�§�«�«y����ª¬«����7�O�h°\ïú©�¨ � �´�µ�W¨ïg���K���´¸M¸´§�òU�`«µª�òUª¬§�¨ � �W�µº�ª¬¨��´�7ª2¨O©�ò ¥ ª��B��ï>�`�ö¯hª¬«�§¤�¹ª¬°�«���¨7ª¬¸¬²>üK�`��¸B«µª¬§�°�¸B�¹��§�¨7���´�7ª��®��¨��¹ª��uª¬¸¹�´��¨7�

� �W¨��¹�4� ¥ ©7�´�µ�W¨}��ïO�´�7ª·�´��ª¬¸´��¸ � §M���´�O��ï���ïhª)¯7��¸¹�¹ª¬¨ � ª·ï0���À§K¸´�´§¤�´��¸¹�´� � §�«W«y§¬ôû�´��§¤�À����º�ª��u¨�¸��´�7ª·§�òU�V«��µ�´©�°7ª��ï`�´�7ªMð®§�°7�W¨e�¹�u§�¨�¸¹ï0���uò�²aüK�7ªBª)¯7��¸¹�¹ª¬¨ � ªM��ïD¸´© � �U§S«y§¬ô � ï0���aº5§¤�4�µ�W©�¸a�¹�u§�¨�¸´ïg���uò~§¤�´�µ�W¨�¸ � �Wò�òU�W¨�«��©�¸¹ª¬° ��¨�ºh��¸´�µ�W¨ � ��§�¸ ¥ ª�ª¬¨õ�´��ª{¸´© ¥ bäª � ����ï�ª)¯O�¹ª¬¨�¸u�µº�ª#°�ª ¥ §¤�¹ª{��¨õ�´�7ª#�´ª � ª¬¨���«��µ�¹ª��4§¤�´©7�´ª��K¥O©4¦;¦§g«_¬�¸¹©4á"«gƹջºL¨g±S�×���� � ��v�âѦ;ºLÒi§i¯gº&©�«Ä§?«_¬®¿~±$©4¦�¬��×���� � ��v?¼w¯_§g«g½M§g«_¬®ãä¯g³cå�Æg´i¬��×���������væ Æ?´�¶m±$¦�¦�§Ä§g«g¬µ¸¹±�³OÆg«gʹ©4¦;¦Ô±]� ¡¤£�£�£ ��viçW´i©4«i§g«_¬?©4´è§g«g¬µ¸*´*±�é�§?º&¶;§�é�§�� ¡¤£�£ ��r�4² í ª����´ª¬¸´ª¬¨��M§°7ª��u�µº¤§¤�´�µ�W¨}ï0�´�Wò _��4¸¹�t���u��¨ � �µ�`«µª¬¸D�´��§¤� � �¹�K�´�7ª ¥ ª¬¸¹�À��ïY�W©7���O¨���ôñ«µª¬°���ª � ôB§�¸����uª�ºO�µ�W©`¸´«µ�ñ©�¨`§¬º¤§���«�§ ¥ «µªïg���ñ�´�7ª�ðñ§�°��W¨��¹�u§�¨�¸¹ï0���uò�²

üK���y¸K¸¹�´§¤�´��¸¹�´� � §�«�«�§�ô�§�«y¸¹���`§¤���+ª¬¨�¸M�¹����§¬º�ªU��¨Y�¹ª��´ª¬¸¹�´��¨������u§ � �´� � §�«��u§�ò���_ � §¤�´�µ�W¨�¸�²�!ä¨{�`§¤�´�´� � ÷©�«�§¤� � ô�ªÐ¸u�7��ôQ�´��§¤�`��K�µ�ñ°7ª��+ª¬¨�°�¸K�W¨�«µ���W¨m§~¸´ª��ñ�`§¤�u§�ò�ª��¹ª��u¸K�´��§¤� � §�¨ ¥ ª2�`�´ª)÷ � �WòU�`©7�¹ª¬° � §�¨�°¡ �B«µª¬§�°�¸B�¹��§U¸´��òU�`«�ªS«��y¨7ª¬§¤�M°7ª��+ª¬¨�°7ª¬¨ � ª}��ï>�´�7ª�_��u¸¹�ä÷@§�¨`°�¸¹ª � �W¨�°h÷w���u°�ª��ñ¸¹�´§¤�´��¸¹�´� � ¸M��ï��´��ª��u§�¨7��ªï0©`¨ � �´�µ�W¨Þ�W¨s�´�7ª¬¸´ª��`§¤�u§�òUª��¹ª��4¸�²�!ä¨s�´�7ª � �W¨Y�¹ª)¯O�Ð��ïB§¤�`�`«�� � §¤�´�µ�W¨`¸ � �´����¸�§ ¥ �y«��µ� �{�¹�\���´ª)÷ � �Wò��`©7�¹ª§�«�«��`§¤�u§�òUª��¹ª��u¸}��ò��`«��µª¬¸Mº�ª��u�\ª�Ë � �µª¬¨Y��¸¹�´§¤�´��¸¹�´� � §�«a��¨�ïgª��´ª¬¨ � ª����´� � ª¬°�©7�uª¬¸�² í ªU°7ª¬òU�W¨`¸¹�¹�u§¤�¹ªo�´����¸���´���+ª��´�I� ¥ ��°7ª��u�µºh��¨7�U§�¨\���`�´��ò�§�«�§�«µ�����4�µ�´��ò � �y¨��´�7ª�ò��y¨���òo©�ò ���´� ¥ § ¥ �y«��µ� ����ïaª��´�´���®¸´ª¬¨�¸¹ª � ï0����´�7ª�ª¬¸¹�´�yò�§¤�´�µ�W¨s��ïB�´�7ª~¨O©�ò ¥ ª�����ïB«y��¨7ª¬¸���¨s§��V�ö¯Oª¬«y§¤�¹ª¬°sª¬°7��ª~ò�§¤�n�´��§¤�Ð��§�¸2º�ª��´�s«µ��ô � �WòU�`©h÷�´§¤�´�µ�W¨�§�« � �WòU�V«µª)¯h��� ��²nüK�`��¸Ð§�«������u�µ�´��òÓª¬¨�§ ¥ «�ª¬¸Ð�´��ª�§¤�`�`«�� � §¤�´�µ�W¨H��ﮧ�¨`§�«µ�O¸u��¸ä÷ ¥ ��÷ ¸¹�h¨Y�´�7ª¬¸´��¸o«���¨7ª°7ª��¹ª � �´�µ�W¨�§�¨�§�«µ�h¸´��¸2�¹�#«µ� � §�«@�yò�§¤��ª�¨�ª¬�µ�W� ¥ ���u���Y�h°�¸�²�üK�7ª��´ª¬¸´©�«µ����ï®��¨��¹ª����4§¤�´��¨7�m�´��ª~� ô��s§�«µ���¤÷�u�µ�´��ò~¸ñ��¸S§����´� � ª¬°�©7�´ª � §¤�`§ ¥ «µªo��ï@§ ��� ©7�u§¤�¹ª¬«��{°7ª��¹ª � �´��¨���«��y¨7ª¬¸ñô®�µ�´�7�W©7� � �WòU���´�Wò��y¸¹ª���ï@¸´�`§¤�´��§�««µ� � §�«��µî¬§¤�´�µ�W¨t² í ªè�`�´��ºh��°7ª!º¤§¤�u�µ�W©�¸Àª)¯h§�ò��`«µª¬¸���ï�¸´�`§¤�´��§�«�«µ�}«µ� � §�«��µî�ª¬°Ð«���¨7ª·°7ª��¹ª � �´���W¨��W¨ � ��§�«y«µª¬¨7�W��¨7�¨�§¤�´©7�u§�«t¸ � ª¬¨7ª¬¸�²

Page 18: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

¢ ���������� ê� ë R ì � T NXL Y�¼�� L Zô¸�N¹¼ W

!E¨Þ�´�`��¸ � ��§¤�`�¹ª�� � ô�ª�°���¸ � ©�¸´¸}�´�7ª�ð®§�°7�W¨s�¹�u§�¨�¸´ïg���uò §�¨�°s°7ª��u�µº�ª�¸´�WòUª���ïB�µ�´¸����´���+ª��´�´��ª¬¸�²�m@º�ª¬¨�´�7�W©7�W�U�´��ªKðñ§�°7�W¨U�¹�4§�¨�¸¹ï0���uò ��§�¸!���uª�ºO�µ�W©`¸´«µ� ¥ ª�ª¬¨U§¤���`«y�µª¬°o�¹�2º5§¤�4�µ�W©�¸!��ò�§¤��ªM�`�´� � ª¬¸u¸´��¨7�}�´§�¸r�h¸ ��µ�è�y¸@¸¹�´��«y«�¨7���@ô�ª¬«�«D©�¨�°7ª��4¸¹�¹�Y�h°��7�-ô[���è��¸è§5þDª � �¹ª¬° ¥ �U�`�ö¯hª¬«��µî¬§¤�´�µ�W¨�²>üK��ªñ���´� ¥ «µª¬òó��¸@�´��§¤���yò�§¤��ª¬¸§¤�´ªÞ¨7��� � �W¨Y�´��¨O©7�W©�¸�ï0©�¨ � �´�µ�W¨�¸ � ¥ ©7���`�µª � ª�ôñ�y¸¹ª � �W¨�¸¹�´§�¨Y��ï0©`¨ � �´�µ�W¨�¸ � ¸´�y¨ � ª{��ò~§¤��ª#��¨Y�¹ª¬¨�¸´��� � ��¸� �W¨�¸¹�´§�¨Y�Uôñ�µ�´���y¨ûª¬§ � � �yò�§¤��ª��`�ö¯hª¬« ² �è��§�¸´¸´©�ò~��¨7�m�´�`§¤�o�V�ö¯Oª¬«y¸Ð��§�º�ª\��¨\_`¨`�µ�¹ª¬¸´��ò�§�«@§¤�´ª¬§ � �µ�e��¸�+�W¸´¸´� ¥ «�ª!�¹�S�´�`��¨\�}��ï`��ò�§¤��ª¬¸a§�¸ � �W¨Y�´��¨Y©��W©�¸Àïú©�¨ � �´���W¨�¸ ¥ ©����µ�a��¸�ª)¯h�+ª � �¹ª¬°o�´��§¤�a�´����¸�ô®��«�«W��¨Y�¹�´�h°�© � ªª��´�´���u¸¬²g^®��ô�ª�º�ª�� � �´�7ª��´ªK��§�¸@¨7��� ¥ ª�ª¬¨ � �¹��°�§¤�¹ª � §�¨Uª)þ+���´�·�¹� � ��§¤�u§ � �¹ª��u�µî�ªñ�u�µ�����´�W©�¸u«µ��ôñ�`§¤�!�´�7ª¬¸¹ªª��´�´���u¸ñò�§¬� ¥ ª�²!ä¨~�´���y¸ � ��§¤���¹ª�� � ô�ª ¥ ª��W��¨~�¹�U§�°�°7�´ª¬¸´¸è�´����¸è���´� ¥ «µª¬ò ¥ ��¸¹�´©�°��O��¨����´�7ªSª)þDª � �´¸B��ïÀ�`�ö¯hª¬«��µî¬§¤�´�µ�W¨�W¨U�´�7ªKð®§�°7�W¨U�¹�u§�¨�¸´ïg���uò\²>­®ïg�¹ª��è°7ª��u�µºh��¨7�}¸¹�WòUªK��ïD�´�7ª ¥ §�¸u� � ���´���+ª��´�´�µª¬¸>��ïD�´�7ªñ«�§¤�¹�¹ª�� � ô誮°7ª��u�µº�ª�´�7ª}ðñ§�°7�W¨��¹�u§�¨�¸¹ï0���uò ��ï�§Ð¸´ª��Y©7ª¬¨ � ª®��ïÀò��O°7ª¬«y¸·��ïÀ��¨ � �´ª¬§�¸´��¨7� � �WòU�`«µª)¯7�µ� � � ª¬§ � ���y¨��¹�´�h°�© � �y¨7�2§�¨ª)¯O�¹�4§Ðï0ª¬§¤�´©7�´ª � «µª¬§�°`��¨7���¹�e�´�7ªS�`�ö¯hª¬«�§¤�¹ª¬°�ïú©�¨ � �´�µ�W¨t² í ª2¸¹�´§¤�´� ¥ ���´�7ª�«���¨7ªñôñ��� � � � �`§¬ºh��¨7�e��¨\_`¨����¹ª«µª¬¨7���´��§�¨�°Uî�ª��´�oôñ��°7�´� � ��¸·�´�7ª®¸´��òU�`«�ª¬¸¹�·§ ¥ ¸¹�¹�u§ � �´���W¨�ï0���@�´�7ª®�`�ö¯hª¬«�§¤�¹ª¬°�«���¨�ª�² í ª®�´�7ª¬¨~��¨Y�¹�´�h°�© � ª�´�7ª®«y��¨7ªM¸¹ª��WòUª¬¨Y� � �´�7ªñ�´ª¬¸´�¹�u� � �´�µ�W¨U��ït�´��ª®«���¨�ª��¹�e§ ¥ �W©�¨`°7ª¬°U¸´© ¥ ¸´ª��·��ï+�´�7ªñ�`«y§�¨7ªñ§�¨�° � �´�7ª��´ª�ï0���´ª �§~òU���uª��´ª¬§�«��y¸¹�´� � òU�h°7ª¬«tï0���}��ò�§¤��ª¬¸�²��®ª)¯O� � ô�ª � �W¨�¸u��°7ª��ñ«��y¨7ª¬¸Môñ�µ�´�{¨7�W¨h÷wº¤§�¨���¸´�`��¨7�eôñ��°7�´� � �´��§¤�ôèª��´ª�ïgª��®�¹��§�¸®¸¹�¹�u�µ�`¸¬²èüK�7ª�ª)¯h�¹ª¬¨�¸´���W¨\�¹�~�´��ª2�`�ö¯hª¬« � ôñ��� � �\��¸ ¥ §�¸´� � §�«�«���§~¸´�¹�u�µ����ï]_`¨����¹ª2«µª¬¨7���´� ���¸è�´�7ª¬¨�¸u�7��ôñ¨��¹� ¥ ªk�Y©`�µ�¹ª®¸´�yòU�`«µª�²aüK�7ª®�`�ö¯hª¬«�§¤�¹ª¬°~ïú©�¨ � �´���W¨~��¸è¨7ª)¯O�B°7ª*_`¨�ª¬°�§�¸�§�ô�ª¬�µ�W�Y�¹ª¬°�¸´©�ò

��ï+�`�ö¯hª¬«�¸ � §�¨�°�¸u�7��ôñ¨��¹� ¥ ªMª��Y©`�µº5§�«�ª¬¨��!�¹�2�´��ª � �W¨�º��W«y©7�´�µ�W¨���ï+�´�7ªñ�`�ö¯hª¬«7��¨�°�� � §¤�¹���!ïú©�¨ � �´���W¨Uôñ�µ�´�§e�¹�u§���¨���ïa°7ª¬«µ�´§oï0©`¨ � �´�µ�W¨�¸�²·¦{§j�O�y¨7�U©�¸¹ª}��ï��´��ª ¥ §�¸´� � ���´���+ª��´�´�µª¬¸���ï>�´�7ª�ðñ§�°7�W¨��¹�4§�¨�¸¹ï0���uò � �µ�M��¸�´�7ª¬¨\¸¹�¹�4§��µ�W���¹ï0���´ôB§¤�u°\�¹��¸´�7��ôQ�´��§¤�K�´�7ªÐðñ§�°7�W¨m�¹�u§�¨�¸¹ï0���uò'��ïa�´�7ª2�V�ö¯Oª¬«y§¤�¹ª¬°�ï0©`¨ � �´�µ�W¨���¸K§~¸´©�ò��ï>ò~§�¨���òU�h°�©�«�§¤�´���W¨�¸���ï>�´��ª2ðñ§�°7�W¨��¹�4§�¨�¸¹ï0���uò'��ïa�´�7ª��`�ö¯hª¬« ²

üK�7ª2¸´�´©�°7�~��ï>�´����¸M¸´ª��Y©7ª¬¨ � ª2��ï>ò��O°7ª¬«y¸M��¸M��¨Y�¹ª��´ª¬¸¹�´��¨7���y¨��Iôè��ô�§��O¸¬² ' �µ�u¸¹� � ¥ ª � §�©�¸¹ª2���K«µª¬§�°�¸�¹�U§ � «µ�W¸¹ª¬°h÷wï0���uò ª)¯O�`�´ª¬¸´¸´�µ�W¨��¹�e�´�7ª�ðñ§�°��W¨��¹�u§�¨�¸¹ï0���uò ��ïÀ�´�7ª}�`�µ¯Oª¬«�§¤�¹ª¬°�ïú©�¨ � �´�µ�W¨�²·±hª � �W¨�° � §�¨�°

í

Page 19: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Í Ð ÎîÌ ¶*Ò_©ï´*§g¬?Æ?«p¶*´*§g«gºLå;Æ?´i³ ðòU���´ª}��òU�+���´�´§�¨Y�èï0���B�´�7ªS�´ª¬ò�§���¨�°�ª��è��ï��´�`��¸@�´��ª¬¸´��¸ � ¥ ª � §�©�¸¹ª��µ�@�`�´��ºh��°7ª¬¸B��¨�¸u�µ�W���@�W¨��7��ôª¬§ � ����ï�´�7ª2°��öþ+ª��´ª¬¨Y�Bïgª¬§¤�´©7�uª¬¸M��ï��´��ª��`�ö¯hª¬«�§¤�¹ª¬°�«���¨7ª��ú¨7�W¨h÷wî�ª��u��ôñ��°7�´� � ¥ �W©�¨�°�ª¬°�¸u©7���+���´� � �`�ö¯hª¬«��µî¬§¤�´�µ�W¨w�§5þDª � �´¸S�µ�´¸Mð®§�°7�W¨\�¹�u§�¨`¸¹ïg���4ò�²·üK����¸B¸¹ª��´¸®©7�\§Uï0�W©�¨�°�§¤�´���W¨�ïg���K�´��ª2ïg�W«y«µ��ôñ�y¨7� � ��§¤���¹ª��4¸�²

ñOò�ó ôBõÑöø÷ÖùsúWûcüþý*ÿiù/ü����LûÈÿ��í ª�¸¹�´§¤�´� ¥ ��ª¬¸¹�´§ ¥ «��y¸´����¨7�Ð�W©7�ñ¨7���´§¤�´���W¨t²&!Eï�����¸M§�_`¨����¹ª}¸´ª�� � ôèª2°�ª¬¨7���¹ª��µ�´¸ � §¤�u°`��¨�§�«��µ�I� ¥ �� �� ²!Iï�� §�¨�° � §¤�´ª�� ô���_`¨��µ�¹ª�¸¹ª��´¸Ðôñ�µ�´� � §¤�u°���¨�§�«y�µ� ��� ����§�¨�°�� ��� � �´ª¬¸¹�+ª � �´�µº�ª¬«µ� � �´�7ª��´ª~§¤�uª� ����� ���°���¸¹�´�y¨ � �èò�§¤�V¸Bïg�´�Wò��Q��¨Y�¹����²·­S¸M��¸B¸¹�´§�¨�°�§¤�4°���¨�ò�§¤�´�7ª¬ò�§¤�´� � ¸ � ôèª�°7ª¬¨7���¹ª��´��ª2¸¹ª��B��ï>§�«�«+¸´© � �ò�§¤�`¸ ¥ ��� � ² í ª�ôñ�y«�«V©`¸¹ª2�´����¸Bª)¯h�+�W¨7ª¬¨Y�´��§�«t¨7���´§¤�´�µ�W¨mª�º�ª¬¨\ôñ�7ª¬¨�ô�ª�°7ª¬§�«�ôñ�µ�´����¨\_V¨��µ�¹ª}¸¹ª��´¸�²

­ «���¨7ª��B��¨ Ý Þ � §�¨ ¥ ª��`§¤�u§�ò�ª��¹ª��u�µî�ª¬° ¥ ������ ��������� � � � �W¸ª�"!$#�¸´�y¨��&% � ¡ ²���ôñ�7ª��´ª'� � � � %(#©�*)®Ý Þ � � ��¸��´�7ª�°`��¸¹�´§�¨ � ª��¹�{�´�7ª����u�µ�W�y¨û§�«µ�W¨7�#�´�7ª�«���¨7ªU�+ª��´�+ª¬¨�°�� � ©�«�§¤���¹�+� �§�¨�° � ����� � � � �W¸ª�&%´¸´�y¨����a��¸è§�©�¨����!º�ª � �¹���K��¨�°�� � §¤�´�y¨7�}�´�7ª®°����´ª � �´�µ�W¨���ït�´�`��¸@«��y¨7ª � §�¸���¸@��«y«�©�¸¹�¹�u§¤�¹ª¬°��¨ ' ���W©7�´ª ¡ ²�¤² ' ��� ¥ �´ª�ºh�µ� � � ôèªsôñ�y«�«K�´ª�ï0ª����¹� � ������§�¸ � � �´�7ªs§¤�´�W©�òUª¬¨Y�4� ¥ ª¬�y¨7�H�Wò~ò��µ�¹ª¬°©�¨�«µª¬¸u¸U���´�7ª��´ôñ�y¸¹ªmª)¯h�`«�� � ���¹ª¬«µ��¸´�Dª � ��_�ª¬°t² ' ©7�´�´��ª��uòU���´ª � °�©�ª\�¹�H�´�`��¸��W¨7ª{�¹�H�W¨�ªm�´ª¬«�§¤�´���W¨�¸´���µ�¥ ª�� ô�ª�ª¬¨ � §�¨�°�� � ôèªoôñ��«y«À©�¸¹ªo�´�7ªo� ô��\��¨�°��y¸ � �u��ò��y¨�§¤�¹ª¬«µ� � ª�² �7²�ô�ªoô®��«�«��uª�ïgª��}�¹��§�«y��¨7ªÐ§�¸ ¥ ���´�� � � � % � �,) Ý.-�/�§�¨�°0� � � � %C���1)9Ý2-43 £ %6587w²

ξθ

b

y

l

x

' �µ�W©7�´ª ¡ ²�j�S½\¾C¿�¾�À�ÁcÂÃÁ�¿ÃÄ¥Å×¾sÂÃÄÆÇÉÈ�Çsʪ¾+ËÆÄ¥ÈEÁ&Ì�ÍAÎ�Ï�Ð�ÑnÒ�Ó

Page 20: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Í Ð ÎîÌ ¶*Ò_©ï´*§g¬?Æ?«p¶*´*§g«gºLå;Æ?´i³ 9± ¿;:!½>ÉyÖ5ÉgÍD½ � Ç � Ç+' �W«�«µ�-ôñ��¨7��ð®§�°7�W¨A�K× §g¬�Æg« �×����£��r� � �´�7ª=<?>A@CBEDGFIHJDGK&BEKMLON�PRQRBEDSFIT(PUD&LJVWBUTYX���¸§���ª��u¨7ª¬«��¹�u§�¨�¸¹ï0���uò�§¤�´�µ�W¨�°�ª*_`¨7ª¬° ¥ � Z �ÔÝ,[ õ�\ Ý�[^]M_Z 3a`�7�� � % � � �cb [ õ `]�I�"�ed�� ��fg� �h�"�jiM��% � ¡ ² ¡ �ôñ�7ª��´ª=`#��¸ñ§Uï0©`¨ � �´�µ�W¨�°7ª*_`¨�ª¬°���¨�¸¹�WòUª�°��Wò�§���¨���ï�ÝÈÞ5²!E� � §�¨ ¥ ª�¸´�7�-ôñ¨��KØÑ©7§?«gº��×���¦�¤���vlk4§_±�« �×���¦����r���´��§¤�o�´�7ª~���u���Dª��u�´�µª¬¸2«���¸´�¹ª¬°n��¨Hü�§ ¥ «�ª ¡ ²�

ïg�W«y«µ��ô ï0�´�Wò �´���y¸K°7ª*_`¨����´�µ�W¨t²ÁúÉ0½�¿O¼�Å5ÉgÖ µ Z 3 monp`*!$m Þpq 7�� � % � � � m�n Z 3a`�7�� � % � �r!sm Þ Z 3 q 7�� � % � � �ôñ�7ª��uªtm n � m Þ §¤�´ª � �W¨�¸¹�´§�¨Y�´¸�²ÁúÉ0½�¿O¼�Å~Ö-Å-¼`½�ˬÎIÍ`Åj¡n¼7Ö5ÉgÍD½ Z 3a`]� µ �u7�� � % � � � �wvyx{z�|O�} |l~ � } Z 3a`]�I�&�u7r� �} |�~ � } % | ~ �} |l~ � }�� �ôñ�7ª��´ª µ � Â�� n �B²Ë   ÉgÎ Ö-Éú½ÀÑ Z 3a`]�I� f ¼ �u7�� � % � � � Z 3a`]�I�"�u7�� �,f�� � ¼ % � �ÌWÍV½8�DÍVÁú¾ÀÖ-É0ÍV½ Z 3a`�� q 7�� � % � � � Z 3a`�7�� � % � ��� Z 3 q 7�� � % � � �ôñ��ª��´ª��а7ª¬¨7���¹ª¬¸ñ�´�7ª � �W¨Yº��W«�©7�´�µ�W¨m���Dª��4§¤�¹���¬²Ä�¿OŤÉ��7¼7Ö5É��D¿YË Z 3��R`�7�� � % � � � �t�{� n,��h� %(� Þ ��h�;� Z 3a`�7�� � % � � �ô®�7ª��´ª ��� ���Unh%(� Þ �p%h� � �t��W� %���W� �

ü>§ ¥ «µª ¡ ²�j� Ô ÇÉÀ�ÁfØ�¿ÃÇÉØ�Ác¿�ÂÃÄÆÁ×Û�Ç�Ê>ÂÃÜnÁ]Ý�¾ÉÙEÇ�È%Â�¿�¾sÈnÛ�Ê�Çs¿ÃÀuÓ

´ Í`Å5ÍVÁúÁ0¼�Å µ�� Ç � Ç������ VWBU�J�wBU�^H�DM����T(Bp� � TYFIH � L � BU�wQ�VyBETtLp�UX�X � FITYHI@1VYK�D�@hFIH{BUD&L`]� � %(#©� � `]� � % f #\�¡  Z 3a`]� � �u7�� � %C��� � Z 3a`]� � �u7�� f"� %65 f ��� � ¡ ²¥¤��`]� � %(#©� � `]� f�� %(#\�¡  Z 3a`]� � �u7�� � %C��� � Z 3a`]� � �u7�� � %65 f ��� � ¡ ² � �`]� � %(#©� � `]� f�� % f #\�¢  Z 3a`]� � �u7�� � %C��� � Z 3a`]� � �u7�� f"� %C���p£ � ¡ ² � �¤ T(BhBeV�¥SüK�7ª}���´���+ª��´�´�µª¬¸M§¤�uª�¸¹�+ª � ��§�« � §�¸¹ª¬¸ñ��ï>�´��ª2«���¨7ª¬§¤�M�¹�u§�¨`¸¹ïg���4ò�§¤�´�µ�W¨����u���Dª��u� ��²´ Í`Å5ÍVÁúÁ0¼�Å µ�� Ç � Ç'¦ BUD&LYHIQ � T=F ��� P(§sD � FITePED&LJVWBUTYXPRFIHIBUD  � ��¨ª© »¬« � ��� T �

» �ÔÝ Þ \ Ý ÞH�L=PUD�H�D®­ � TyFIH{¯W� � X*PEFITYH�° « PUD�Q��¨ � ÝÈÞ \ Ý/Þ

Page 21: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Í Ð Î Ð ¶*Ò_©ï´*§g¬?Æ?«p¶*´*§g«gºLå;Æ?´i³ Ægå ¶¹Òg©è¬g©4¦&¶;§på�¯_«gʹ¶¹±$Æ?« ±��¨ �I�"� � � f ÄP'FITePUD®Lp�wPEFIHIBED²¯y� Ä1³*����� D « H V µ �  �I�"� � » � f Äl«Z 3a`]� µ �u7�� � % � � � �E°�ª�� » � n �´ � » � n �uµ � ´ Z 3a`]�I�"�u7^¶ �1f � » � n � µ � � Ä´ � » � n � µ � ´ % � » � n � µ �´ � » � n � µ � ´;· £ � ¡ ² � �¸ D���PUTyFIHI@hK¹�wPUT « � ��� D » � Ï�º PUD�Q Ï'º HJL=P�T(BEF»PEFIH{BUD²¯W�`� « F ��� DZ 3a`]� µ �u7�� � % � � � Z 3a`]�I�"�u7�� �,f�� � Ä % Ï µ � º � �p£ � ¡ ².£��

¤ T(BhBeVW¥ue�ª��½¼ � » �B²&�����´�7ª�«���¨�ª¬§¤���¹�4§�¨�¸¹ï0���uò�§¤�´�µ�W¨��`�´���+ª��´� ����ï��´��ª�ðñ§�°7�W¨\�¹�u§�¨�¸¹ï0���uòZ 3a`]�I¼��u7�� � % � � � �E°7ª�� » � n �´Y¾¿´ Z 3a`]�I�"�u7�À �´Y¾^´ % ¾´Y¾Á´; %ôñ�7ª��´ª ¾ � � » � n � µ � ²±h��¨ � ª µ � ¼ f Ä � � ¡ ² � �eï0�W«�«µ�-ôñ¸Uï0�´�Wò �´�7ª{¸´���µï0�´��¨7�Þ���´���+ª��´�I��² í �7ª¬¨» � Ï�º � Ï � nº � Ï � º � Ï µ � º � ��¸M§~©�¨��µ�Bº�ª � �¹��� � §�¨�° � ¡ ².£��Bï0�W«�«µ�-ôñ¸�²

­S¸Ðô®��«�« ¥ ª � �WòUª�ª�ºO�y°7ª¬¨��o��¨û�´��ª�ï0�W«�«µ�-ôñ��¨7�m¸´ª � �´�µ�W¨�¸ � �µ�o��¸Ð��ïg�¹ª¬¨��´�7ª � §�¸¹ª��´��§¤�o�´�7ª�ð®§�°7�W¨�¹�u§�¨�¸¹ï0���uòý��ïS§Þ��ª��WòUª��¹�u� � ¸u��§¤�+ª�ô®�µ�´��§¤� ¥ �µ�¹�u§¤�u�û�+�W¸¹ª���¸U¸´�µ�W¨���_ � §�¨��´«��nòU���´ª � �WòU�`«y� � §¤�¹ª¬° �¹�� �WòU�`©7�¹ª��´��§�¨��´��§¤�o��ïñ�´��ª�¸´§�ò�ª�¸u��§¤�+ª���¨�§ � §�¨7�W¨�� � §�«��+�W¸¹ª �0ª�² �7² � ª¬¨��¹ª��uª¬° �W¨��´�7ª����4�µ�W��¨w�4²í ��ª¬¨H�´��ª��Iôè�s�+�W¸¹ª¬¸ � §�¨ ¥ ª��´ª¬«�§¤�¹ª¬° ¥ ��§�¨�§YË~¨7ª��¹�u§�¨�¸¹ï0���uò�§¤�´���W¨ � �����´�W«�«y§¤�´� ¡ ² ¡ ò��µ�W�Y� ¥ ª©�¸¹ª¬°��¹��¸´��òU�`«y�µïg�U�´��ª � �WòU�`©7�´§¤�´�µ�W¨`¸�²

±O��ïú§¤�Kô�ª���§�º�ªÐ¸¹�´©�°`�µª¬°���ª¬¨7ª��u� � ���´���+ª��´�´�µª¬¸B��ïa�´�7ª�ð®§�°7�W¨\�¹�4§�¨�¸¹ï0���uò�²&!ä¨��´�7ª2�uª¬ò�§���¨�°7ª��M��ï�´����¸ � ��§¤�`�¹ª�� � ôèªe°7ª��u��º�ª � «µ�W¸´ª¬°h÷wïg���4ò�ª)¯h���´ª¬¸u¸´�µ�W¨�¸®ïg���}�´�7ªeðñ§�°��W¨{�¹�4§�¨�¸¹ï0���uò ��ï·ï0©`¨ � �´�µ�W¨�¸®�´��§¤��`«�§���§�¨\�yòU�+���´�´§�¨��M�u�W«µª2��¨�«���¨�ªS°7ª��¹ª � �´���W¨t²

ñOò�ñ ôBõÑöø÷ÖùsúWûcüþý*ÿiù/ü����LûÈÿ�� û½�èýiõÑöøúWö�Ã�ý*ùÄ��ÅWü�Æ�ýrÇfûcüÈè¿�¡è¡n¼ � Ç � Ç'����� N�PRQ;BUDgFITePED&LJVWBUTYXÉB(V=F ��� >=HJT(PR@Q � ��F»P�VYK�D�@hFIH{BUDg@ � DGF � T � Q0PRF�� � �^Ê�H�LZ 3ad>�I� f �^Ê��u7�� � % � � � d>� �,f �^Ê,� � % � �p£ � ¡ ²¥¦��

¤ T(BhBeVW¥MüK��ª�«µª¬ò~ò�§ñï0�W«�«µ�-ôñ¸�ïg�´�WòQ�´�7ªM°7ª*_`¨`�µ�´�µ�W¨���ïV�´�7ª�ð®§�°7�W¨o�¹�u§�¨�¸¹ï0���uò�§�¨�°o�´�7ª����´���+ª��´�´�µª¬¸��ï��´��ªD�}�µ�u§ � °7ª¬«µ�´§�ï0©�¨ � �´�µ�W¨ � ¸´��¨ � ªZ 3ad>�I� f �^Ê��u7�� � % � � � b d��I� f �^Ê���d�� ��fg� �o�]�¹iM� � d>� ��f �^Ê1� � % � �p£

Page 22: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Í Ð Î Ü ¶*Ò_©ï´*§g¬?Æ?«p¶*´*§g«gºLå;Æ?´i³ Ægå ¶¹Òg©è¦Ô±�«g©ï±�«_¬g±$Êm§4¶iÆg´ å�¯_«gʹ¶¹±$Æ?« Ì�ÏñOòeË ôBõÑöø÷ÖùsúWûcüþý*ÿiù/ü����LûÈÿ�� û½�èýiõÑöÌÃCÇ�üÑöÍÇCüÑú*ÇCÆqù~ý¹ûcÿÎ��ÅWü�Æ�ýÏÇCûcü± ¿;:!½>ÉyÖ5ÉgÍD½ � Ç � Ç üK��ª�LpKo�R��BUTyF1L � F1B(V=P���H�D � � � � � % � �B�y¸B�´�7ª�¸¹ª��Ðk���×� �2Ñ ��) ÝÈÞ�� ����� ���1ÒR£ � ¡ ²¥���!IïlÓÌÔpÝÈÞ�§�¨�°4� Ðu���r��Õ�ÓS�¹ÖK � �´�7ª�«���¨�ª�����¸K¸´§��y°��¹� ¥ ª2¸´©7���+���´�¹ª¬° ¥ ��Ó\²

üK�7ª�ðñ§�°7�W¨Ð�¹�u§�¨�¸´ïg���uò Z 3a`�7����r� � §�¨ ¥ ªè¸¹ª�ª¬¨o§�¸>�´�7ª����´�nb¹ª � �´�µ�W¨���ïG`��W¨��¹��Ðk���C�4²aüK�7ª@ï0�W«�«µ�-ôñ��¨7�ï0©`¨ � �´�µ�W¨��`«�§��O¸ñ§ � ª¬¨��¹�4§�«t�´�W«µª2��¨�«y��¨7ª�°7ª��¹ª � �´�µ�W¨t²± ¿;:!½>ÉyÖ5ÉgÍD½ � Ç § Ç üK��ª�×H�D � H�D�QUH{@CPEF»BUTØVpK�D�@�FIHIBED#��ïa«���¨�ª��B��¸B�´�7ª ¥ ��¨�§¤�´��ò�§¤�

« � Ý Þ \ Ñ £ %�?Ò«Ù3 �»7��I�S� � �;ÚGÛ Ì�Ü �I�S� �ÞÝ ��µï¿�s)�Ðk���×�p%

£ ���´�7ª��´ôñ��¸´ª�² � ¡ ²� £ �ü��а7ª��u��º�ªK�´�7ª®ð®§�°7�W¨��¹�u§�¨�¸¹ï0���uòó��ï�«Ù3 �»7��I�"� � ô�ª®�´ª¬«��Ð�W¨��´�7ªñï0�W«�«µ�-ôñ��¨7�2�y¨��¹ª��uò�ª¬°���§¤�¹ªK�´ª¬¸u©�«µ�´¸�²Èè¿�¡è¡n¼ � Ç � ÇÙ¸ V�� � � � %(#\� µ « � ����� � � � �W¸w�&%´¸´��¨)��� µ « PUD�Q » � 3 ¡ n ¡²ß 7 « � ��� T �D¡ n*PUD�Q ¡ ßPUT � FI��BUàeQEHJX � D®LpH{BUD�PU�^@CBU��K�X�D�­ � @�F»BUTpL « F ��� D� � » � � � � � ¡ n % � � ¡ Þ � µ �h�,£ � ¡ ²����á���� D » � Ï'º â « F � H�L �Câ K®PEFIH{BUDT � QUK®@ � L�F»B� � Ï�º â � ��� ��� f �?Ê��¿�h�,£ � ¡ ²� ¡ �¤ T(BhBeVW¥}üK�7ª�_`�u¸¹�M�´ª¬¸´©`«µ�Bïg�W«�«���ôñ¸Bï0�´�Wò� � » � � � �7� ¡ n(� ! ¡ Þ #\�� � � ¡ n(� ! � � ¡ Þ #� � � � ¡ ny% � � ¡ Þ � µ ���,£

!Iï » � Ï'º â � �´�7ª¬¨ � � ¡ nã� � �W¸ª� � �W¸ª�?Êl!�¸´��¨��!¸´�y¨��oÊ� � �W¸E��� f �?Ê*�� � ¡ Þ � f � �W¸©�·¸´��¨)�?Ê�!�¸´��¨)� � �W¸w�oÊ� ¸u��¨(��� f �?Ê*�«µª¬§�°���¨��o�¹�~�´�7ª�¸¹ª � �W¨�°\�´ª¬¸´©�«µ��²

Page 23: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Í Ð Î Ü ¶*Ò_©ï´*§g¬?Æ?«p¶*´*§g«gºLå;Æ?´i³ Ægå ¶¹Òg©è¦Ô±�«g©ï±�«_¬g±$Êm§4¶iÆg´ å�¯_«gʹ¶¹±$Æ?« Ì ÌÈè¿�¡è¡n¼ � Ç § Ç�¸ V�� � � �pä %C� ä ��PUD�Qå�çæ � � £ % £ � « F ��� DZ Ñ «Ù3 �u7��I�S�CÒ�� � %C��� � Z Ñ «Ù3 � æ 7��I�S�CÒ�� �,f4�Yä � �W¸n��� f � ä �p%C� f � ä �p£ � ¡ ²��¤��

¤ T(BhBeVW¥n���W¨`¸´��°7ª��Ð�´�7ª�«y��¨7ª¬§¤�o�¹�u§�¨�¸¹ï0���uò�§¤�´�µ�W¨  �Þè � � û Ñ Û º û Ü © Ï'º û � °�ª*_`¨7ª�¼ �  �I�S��§�¨�°¨7���¹ª2�´��§¤�«Ù3 �»7��I¼�� � «Ù3 �»7��  �I�S�r�� �¹é � û � Ñ Û º û Ü{ê | Û�ë Ü�ì ÊCí �I�"�� � é � û � Ñ Û º û Ü{êïî ð � û ë�ñ � û Ñ Û º û Ü�ò×ì ÊCí � ë �� �¹é � û � Ñ Û º û Ü{ê � û Ñ Û º û Ü�ì�Ñ Û º û Ü{ê ð � û ë í � ë �� � é Ê ì�Ñ Û Ê Ü{ê ë í � ë �� «Ù3 � æ 7�� ë �p%

ôñ�7ª��´ª�ô�ª���§�º�ª�©�¸¹ª¬°�� ¡ ²� ¡ �4²S!E�Mïg�W«y«µ��ôñ¸Kïg�´�Wò �����´�W«�«�§¤�u� ¡ ² ¡ �´��§¤�Z Ñ « æ 3 �ç7�� à �CÒ�� � % � � � Z Ñ «Ù3 �ç7��I¼��CÒ�� � % � �� Z Ñ «Ù3 �ç7��I�"�CÒ�� � ! � � �Yäw� ��� ä �p% Ï µ � º û � �� Z Ñ «Ù3 �ç7��I�"�CÒ�� � ! �Yä � �W¸E��� f � ä �p% � ���"!�� ä �r�p£«µª¬§�°���¨��o�¹��� ¡ ²��¤��4²

�`  ¿OÍ`Å5¿>¡ � Ç � Ç'���&� N�PRQRBUD FITePUD®LJVWBUTpXÄBeV�F ��� �×H�D � H�D�QUH{@CPEF»BUT1VYK¹D8@hFIH{BUDB(Vt�×H�D � � � � �Yä %C� ä �ªHJLZ Ñ «Ù3 �ç7{Ò�� � % � � � d�� �,f �pä %C� f � ä �p£ � ¡ ²� � �

¤ T(BhBeVW¥ í ª2¸¹�´§¤�´� ¥ � � �W¨�¸´�y°7ª��u��¨7�Ð�´�7ª�«���¨7ª½�jÊ � � £ % £ � � ��� ��� £ ² ' �´�Wò'�´�7ª�°7ª*_`¨`�µ�´�µ�W¨���ï��´�7ªðñ§�°7�W¨\�¹�u§�¨�¸¹ï0���uò � Z Ñ «Ù3 �jÊp7{Ò�� � % � � �ób � é � ì ÊCí �I�"�ed�� �Of�� ���"�ji;�,£í ª�¨7ª)¯h� � �W¨�¸´�y°7ª��M� ô�� � §�¸¹ª¬¸¬² ' �µ�u¸¹� � ô®�7ª¬¨4� � £ �Z Ñ «�3 �eÊp7{Ò�� � % � � �óbôb � é � ì ÊCí � � �ed>� ��f�� �ji � i;# �ób � é � ì ÊCí � � �ji;# � ÝÌõ ��ï ��� £ %

£ ��ï �åö� £ £

Page 24: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Í Ð Î ß ¶*Ò_©ï´*§g¬?Æ?«p¶*´*§g«gºLå;Æ?´i³ Ægå ¶¹Òg©è¦Ô±�«g©ªº&©�½?³c©�«_¶ª±$«_¬_±�Ê�§4¶iÆ?´Äå�¯_«?Êm¶¹±�Æg« Ì Ð±Oª � �W¨�° � ô®�7ª¬¨2� ö� £ �Z Ñ «Ù3 �eÊC7{Ò�� � % � � � bôb � é � ì ÊCí � � �ed>� ��f�� � �W¸w� f #B¸´��¨����ji � iR#�

¸´��¨�� b � é Û � ì Ê Ü í � � �½÷ b d>� �,f�� � �W¸w� f�ø �ji ø®ù i �� ¸´��¨�� b � é Û � ì Ê Ü í � � �ji �� £ £

^ñª¬¨ � ª � Z Ñ «�3 �eÊY7{Ò�� � % � � � d>� � % � �p%§�¨�°��´�7ª��´��ª����´ª¬ò�ï0�W«�«µ�-ôñ¸Bïg�u�Wò e�ª¬ò�ò~§ ¡ ²¥¤U¸´��¨ � ªZ Ñ «Ù3 �ç7��I�S�CÒ�� � %C��� � Z Ñ «�3 �jÊY7��I�"�CÒ�� ��f4�Yä � �W¸n��� f � ä �p%C� f � ä �� d>� �,f4�Yä � �W¸n��� f � ä �p%C� f � ä �� d>� �,f4�Yä %C� f � ä �p£ñOòuú ôBõÑö�÷ÖùsúWû�ü ý¹ÿiù/ü��8�&ûÈÿ�� û½�Wý*õÑöûÃCÇ�üÑö2�¹ölü½� ö}ü�ý�Ç�üÑú*Ç6Æqù~ý¹ûcÿ���ÅWü�Æ�ý

ýÏÇCûcü± ¿;:!½>ÉyÖ5ÉgÍD½ � Ç ¯ Ç ­ô�×H�D � L � �RX � DGF�þ � � � % � %pÓ��S��¸®�´�7ªe�´ª¬¸¹�¹�u� � �´���W¨{��ïè§�«y��¨7ª�� � % � �K�¹�\§ � «µ�W¸¹ª¬°§�¨�° ¥ �W©�¨�°�ª¬°��uª��W�µ�W¨SÓ\²&!I�Mô®��«�« ¥ ª2°7ª¬¨7���¹ª¬°\¸´�yòU�`«µ� ¥ �SL � �RX � DGFú²± ¿;:!½>ÉyÖ5ÉgÍD½ � Ç ° Ç üK��ª�LpKo�R��BUTyF1L � F1B(V=P*L � �RX � DGFØþ � � � % � %pÓ��B�y¸B�´�7ª�¸¹ª��Ðk��þ�� �2Ñ ��)9ÝÈÞl� �O��� �h�,%6��)+Ó�ÒR£ � ¡ ²� � �± ¿;:!½>ÉyÖ5ÉgÍD½ � Ç�¢tÇ üK��ª�×H�D � H�D�QUH{@CPEF»BUTØVpK�D�@�FIHIBED#��ïa¸¹ª��WòUª¬¨Y��þû��¸B�´�7ª ¥ ��¨�§¤�´��ò�§¤�ÿè� ÝÈÞ \ Ñ £ %�?Ò

ÿ,3 þr7��I�"� � � ÚGÛ�� Ü �I�S� � Ý ��µïÁ�s)0Ðk��þ��p%£ ���´�7ª��´ô®��¸¹ª�² � ¡ ²� � �

�`  ¿OÍ`Å5¿>¡ � Ç � Ç������ N�PRQRBUDóFIT(PUD&L�VyBETpX BeV�F ��� ��HJD � L � �EX � DGFtH�D�QUH{@CPEF»BETtVpK�D�@�FIHIBED BeV�L � �RX � DGFþ � � �pä %C� ä %pÓ��=H�L Z Ñ ÿ,3 þr7{Ò�� � % � � � � é � ì � û ­ º ì º û í � � % � ���t��þ��p% � ¡ ²��£��

Page 25: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Í Ð Î à ¶*Ò_©ï´*§g¬?Æ?«p¶*´*§g«gºLå;Æ?´i³ Ægå ¶¹Òg©ªº&¶*´*±��ï±$«_¬_±�Ê�§4¶iÆ?´Äå�¯_«?Êm¶¹±�Æg« Ì Ü� ��� T � �t��þ�� � b ��� ÚGÛ�� Ü iM�,£ � ¡ ²��¦��H�LtF ��� � � D¹�RF � BeVªL � �RX � DGF�þ ³¤ T(BhBeVW¥ ' �´�Wò��´�7ª�°7ª*_V¨��µ�´�µ�W¨���ï>�´�7ª�ðñ§�°��W¨��¹�u§�¨�¸¹ï0���uò �Z Ñ ÿ,3 þr7{Ò�� � % � � � b ��é � û ì ë ê Ñ ­ ë � í �I�"�ed>� ��f�� �h�"�¹i;�� b � �¹é � û ì ë ê Ñ í �I�"�ed>� ��f�� ���"�¹iM�� ��� �� �uÓûÕ'Ðk��þ��r� ��ï+� � % � � � � �Yä % � ä �

£ ���´��ª��´ôñ��¸¹ªU£§�¨�°��´�7ª��´��ª����´ª¬ò�ï0�W«�«µ�-ôñ¸�²

ñOò�� ôBõÑöø÷ÖùsúWûcüþý*ÿiù/ü����LûÈÿ�� û½�èýiõÑöô�4ý*ÿ�Ç�� Ç�üÑú*Ç6Æqù~ý¹ûcÿ¬��ÅWü�Æ�ýrÇfûcü± ¿;:!½>ÉyÖ5ÉgÍD½ � Ç ² Ç ­ALYFITYH ��� � � � % � %��u�K��¸M§�«���¨�ª®ôñ���´�\§e�+�W¸´�µ�´�µº�ª�_`¨`�µ�¹ª}ôñ��°7�´���в± ¿;:!½>ÉyÖ5ÉgÍD½ � Ç��tÇ üK��ª�LpKo�R��BUTyF1L � F1B(V=P*LyFITpH ��� � � � % � %����B��¸M�´��ª2¸¹ª��Ðk����� ��� �s)9Ý/Þ �� � �,f�� �h�"�"! �

¡$# £ %'&�(�)��+*± ¿;:�,.-0/1-�2, �43 ³ 36587:9 LYFITYHï�4H�D�QUH{@CPEF»BET�VYK¹D8@hFIH{BUD<;>=.?�@�ACBEDF�GB�?H@ 7I9KJ B0L:MNAPORQSMNDTVUÔÝ Þ \ ÑXW %Y)?Ò

TÙ3Z�E7[%I�\* � � Ú�Û X�Ü %I�]* � Ý )^BE=¿��)�Ð_%��"*p%W ;>@ 7I9 AP`aB�? 9 ( %'&�(b& W *Èè¿�¡è¡�c �d3�¯e3 ¸ Va� � % �gf %Ph f %��i*åPUD8Q$� æ � % W % W %��i* « F ��� DZ Ñ T�3Z�E7[%I�\*CÒ�% � %Ph�* � Z Ñ TÙ3Z� æ 7[%I�]*CÒ�% ��f4�gfkj ;+?X%lh f h f *p%Ph f h f *p£ %'&�(b&")X*¤ T(BhBeVW¥ 587I9 DkAP;�;>=mB�? ?PB0QSB�n�MNAH@�;S@ 7 MN@6;>=ge 9 QSQSMR&�( � (\o[=�p ��è � �'q Ñ Û º q Ü ©sr º qXt M>Lku�¼ � p'� tMvu 9 A�B�w1MN@PBE;+L<B�u 9 Lx@PB j M>ny@�;v@ 7 MN@z;>=H@ 7I9 n 9 QSQRM j M>L Jd9|{ ? 9 u}@�;~? 7 ;X`�@ 7 MN@�T�3Z�E7[%I¼�* � TÙ3Z� æ 7[%I�\*C(�s;+Q J B�L:B�L:��`6B�@ 7 �s;>AP;+n�n�MNA�O�&�(b&Sn 9 M>u:?H@�;F%'&�(b&")X*C(

Page 26: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Í Ð Î à ¶*Ò_©ï´*§g¬?Æ?«p¶*´*§g«gºLå;Æ?´i³ Ægå ¶¹Òg©ªº&¶*´*±��ï±$«_¬_±�Ê�§4¶iÆ?´Äå�¯_«?Êm¶¹±�Æg« Ì ß�`  ¿�2k�5¿>¡ �43�§43 ����� NOPRQRBUD�FIT(PUD&L�VyBETpXôBeV"F �&� LYFITYHï��H�D�QUH{@CPEF»BET�VYK¹D8@hFIH{BUD�BeV�LYFITYH �G� � % �gf %Ph f %�� f *H�L Z Ñ T�3Z�E7{Ò�% � % � * � ���� �� õ H V�� �,f4�gf �"� ¬ qÞ %Ph � h fW H V�� �,f4�gf ��Ö ¬ qÞ %Ph � h f¬ q�E����� Û º � º q Ü � H V8h ö� h f £ %'&�(b&>&+*¤ T(BhBeVW¥�� 9 ?�@PMNAP@ J O j ;+L:?�B�u 9 A�B�L:��@ 7:9 ?�@�A�B�D��;Ê � % W % W %��i*C(��:AP;+Q�@ 7:9 u 9�� LkBE@PBE;+L�;>=i@ 7I9� M>uI;+Lv@�A�M>L:?�=�;>A�Q tZ Ñ TÙ3Z�;ÊY7{Ò�% � % � * � b�� Ñ � � � � Q õ Ò %I�]*ed�% ��f�� ���]*��M�� b Q õ� Q õ b��� � d�% �,f��aj ;+?�h f #\?�B�L h�*�� � �R#8£� 9 L 9g� @ j ;+L:?PB0u 9 A @�`s; j M>? 9 ?Y(\�mBEA�?�@ t ` 7I9 L�h � W tZ Ñ TÙ3Z�RÊY7{Ò�% � % � * � b Q õ� Q õ b �� � d�% �Of� *�� � �R#� b �� � � Ñ � � � � Q õ Ò % � *��R#� Ý õ B�=,� � �"�¢¡ Þ %W ;>@ 7:9 AP`6B�? 9 ££ 9 j ;+L:u t ` 7I9 L�h ö�¤W t j ;+L:?PB�u 9 A¥@ 7:9 j 7 M>LI� 9 ;>=6wNMNA�B�M J n 9 ? ø�� #r�¦?�B�L h��eM>L:u�§ �Ì� � j ;+?h���(}o¦=h|�¢¨ Þ t Z Ñ TÙ3Z�RÊY7{Ò�% � % � * � b Q õ �E©�ª�� º �� Q õ �E©�ª�� º � b �� � )� j ;+?�hy?PB�L h�� d�% ��fø�f §"*�� ø �+§� )� j ;+?�h�?PB0L h�� b Q õ �E©�ª�� º �� Q õ ��©�ª�� º � �x§� ��¦?PB�L8h�� £o[=mh|«¢¨ Þ t Z Ñ TÙ3Z�RÊY7{Ò�% � % � * � b Q õ �E©�ª�� º �� Q õ �E©�ª�� º � b �� � )� j ;+?�hy?PB�L h�� d�% � ! ø !�§"*�� ø �+§� ��¦?PB�L8h�� £¬ 9 L j 9 t Z Ñ TÙ3Z�RÊY7{Ò�% � % � * � ���� �� õ BE=O� � ��� ¡ Þ %Ph � WW BE=O� � �¹Ö ¡ Þ %Ph � W¡�E����� º � BE=mh ö� W %

Page 27: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Í Ð Î í ¶*Ò_©ï´*§g¬?Æ?«p¶*´*§g«gºLå;Æ?´i³ Ægå ¶¹Òg©}�7±0­g©�¦9±�«_¬g±$Êm§4¶iÆg´ å�¯_«gʹ¶¹±$Æ?« Ì àM>L:u�@ 7I9 @ 7:9 ;>A 9 Q®=�;+n�nE;¯`6?H=�A�;+Q®° 9 QSQRMR&�(�±I(ñOò³² ôBõÑöø÷ÖùsúWûcüþý*ÿiù/ü����LûÈÿ�� û½�èýiõÑö´�dzµwöØÃ�ÇCüÑú*ÇCÆqù~ý¹ûcÿ¬��ÅWü�Æ�ýÏÇCûcü¶�¿;:�,.-0/1-�2,¸· 3 ��¹ 3$º ��Hw° � �i» � %�¼ � %l¼ � %��=%�½*�B�?�M�A 9 j @PM>LI� { n0MNAvA 9 �+BE;+L `6B�@ 7 QSB0u:u:n 9 D;+B0Lx@%�¼ � %l¼ � * t `aB�uI@ 7 � t M>L:u 7I9 BE� 7 @6½4(¶�¿;:�,.-0/1-�2,¾· 3 �k� 3a587I9 LpKo�R�&BUTYF1L � F,BeV�Pt��Hw° � �» � %�¼ � %l¼ � %��=%�½*8B�?H@ 7:9 ? 9 @Ð_%¿»y* �ÁÀ % � %(#I*,) ÝÈÞH�� � ��f ¼ � ��� � & %o� # f ¼ � �I� ½ &6 £ %'&�(b&>Ã+*¶�¿;:�,.-0/1-�2,¾· 3 � · 3a587I9 ��Hw° � ��HJD8QUHI@pPEF»BUT1VpK�D�@�FIHIBEDF;>=mDkB �"9 nI»�B�?H@ 7I9�J B�L:MNAPOGQSMNDÄ U>Å6Æ \ ÑXW %Y)?Ò

Ä 3 »Á7[%I�]* �Ç� ÚGÛ�È Ü %I�]* � Ý )ÉB�=��s)0Ði%¿»]*p%W ;>@ 7:9 AP`6B�? 9 ( %'&�(b&1±�*Èè¿"Ê�Ê�cË· 30Ì43 ¸ Vy» � %�¼ � %l¼ � %��=%�½�*åPUD8Qi» Ê � % W % W %��=%�½�* « F ��� DZ Ñ Ä 3 »Á7[%I�s*CÒ�% � % � * � Z Ñ Ä 3 » Ê 7[%I�\*CÒ�% �,fg� ��%�¼ � %l¼ � *p% � *p£ %'&�(b&>Í+*¤ T(BhBeVW¥6�s;+Lk?PB�u 9 AÎ@ 7I9 n0B�L 9 MNA.@�A�M>L:?�=�;>A�QSMN@PBE;+Lå¼ ��è Û ÏXÐXÑ ÏXÒ Ü %I�]* t ` 7I9 A 9 è Û ÏXÐXÑ ÏXÒ Ü %I�\*eB�?.M>?mu 9�� L 9 uB�L�° 9 QRQSMS&�(bÃ�( 587:9 L t J O�@ 7I9 ? 7 BE=�@PB�LI�¥D:AP;>D 9 AP@�O�;>=.@ 7I9 � M>u:;+L�@�A�M>L:?�=�;>A�Q tZ Ñ Ä 3 » Ê 7[%I¼�*CÒ�% � % � * � Z Ñ Ä 3 » Ê 7[%I�\*CÒ�% �,f�� ��%�¼ � %l¼ � *p% � *p££"B�L j 9 t =�;>A6M>L�O'� )�Ð_%lÓ�* t � ��f ¼ � ��� � & M>L:u¡� # f ¼ � ��� ½ &M>L:u�¼ � � f %�¼ � %l¼ � * t BE@ =�;+n0nE;X`6?H@ 7 MN@� Ô � �"� � & M>L:u � Ô � ��� ½ & £¬ 9 L j 9 t �s)0Ð_%¿»]* BE=ÎM>L:uv;+L:nEOGB�=¿¼�)�Ð_%¿» Ê *sM>L:u t @ 7:9 A 9 =�;>A 9 t Ä 3 » Ê 7[%I¼�* � Ä 3 »Á7[%I�]*C(r ¿"ÊÕc:�¯Ö�· 3 � 3 º L�M>nE@ 9 A�L:MN@PBEw 9 D:AP;�;>= j M>L Jd9 u 9 A�BEw 9 uG=�AP;+Q�@ 7I9 =�;+n�nE;X`aB�LI��B�L�@ 9 APD:A 9 @PMN@PBE;+L�;>=×@ 7I9B�L:u:B j MN@�;>A = { L j @PBE;+L Ä 3 »Á7Ä 3 »Á7[%I�]* � Ä 3 » Ê 7[%I� f %�¼ � %l¼ � *�* � Ä 3 » Ê 7[%I�]*��1d�%I� f %�¼ � %l¼ � *�*p£ %'&�(b&>Ø+*587I9 n 9 QSQSM�=�;+n�n�;X`6?G=�A�;+Q�@ 7I9 j ;+L�w>;+n { @PBE;+L¾D:AP;>D 9 AP@[O�M>L:u ° 9 QSQSM�&�(�)N( 587I9 B0Lx@ 9 APDkA 9 @PMN@PBE;+L;>=H%'&�(b&>Ø+*8`6B�n0n Jd9z{ ? 9 = { nd=�;>A8@ 7I9 u 9 A�BEwNMN@PBE;+L�;>=.?P;+Q 9 = { @ { A 9 A 9 ? { nE@P?�(

Page 28: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Ù³Ú+Û ÜÞÝdß×à<ádâeãÎäÎå�ÝdádâeåeæXç�äÎá4è�äeçFÝßeà �Ié0­ àkê é å×ã é�ë â:Ý4äeá�ç"ì×å ë Ý é äÎå íîÜÈè¿"Ê�Ê�c~· 3Eï×3 �����að8ñ+ò+óNô<õlö³ñ>ôI÷�ø�óNöîù¤ó³øiõ�ú"ûHü�ý¿þ�ûgÿý�ôòNý��Cñ>õ�óNö�ø��"ô��Yõlý'óNôFó³ø\ü�ýEþ�û�ÿ » Ê�� % W � W � � � ½�*ý0÷� Ñ Ä » Ê�� Ò�%� ��� * � ���� �� �� ©�ª���� � ý ø W ��� ��"���Æ %���� j ;+?h�����½8?�B�L h�* ��� � ¡ � ©�ª�� � � ñ � �������"!�# � $��� ©�ª���� � �����%� ý ø �Æ � �&� j ;+?�h����˽6?PB�L8h'�x!(� )�I� �Æ %���� j ;+?dh��+*�½6?PB�L h�* �¡�����,� ý ø W ��� ��"� �Æ %'½8?PB�L6h-�}��� j ;+?h���*�. %'&�(b&0/>*

1Hö�óYó³ø32 £"B�L j 9 Ä »54 � %76 ��8 * � Ä »94 � %76 � � 8 * � Ä »:4 � %;�<6 ��8 * � Ä »:4 � %;�<6 � � 8 * t =�AP;+Q�@ 7I9?�O"QSQ 9 @�APO�D:AP;>D 9 AP@PB 9 ?K%'&�(bÃ+*>=C%'&�(bÍ+* t BE@ =�;+n�nE;¯`6? @ 7 MN@�@?YÄ »:4 ��A %� � h�* � �B?YÄ »:4 ��A %;�� �"C �Ëh�* � �@?YÄ »:4 ��A %� �"C ��h�* � �@?YÄ »54 ��A %;�D � h�*�.�%'&�(b&�E+*� 9 ?�@PMNAP@ J O j ;+L:?PB0u 9 A�B�LI�& _« W M>L:u~h&F W � ¨ Æ � (]�IAP;+Q´@ 7I9 u 9�� LkBE@PBE;+L�;>=Î@ 7:9 � M>uI;+Lv@�A�M>L:?�=�;>A�Q t�@?YÄ »54 ��A %� ��� * � G � ? � H0� �5I � Ñ � J�� �LK� A %�M]*;N�%� O� ��P M]*��QM� G I �# I � G K �# K � N�%� R�S6 j ;+?�hT� 8 ?PB�LHh�*��06� 8 .� 9 L 9g� @ j ;+L:?PB0u 9 A @ 7 A 9�9 j M>? 9 ?�(]�mBEA�?�@ t ` 7I9 Lvh � W t�@?YÄ » 4 ��A %� ��� * � G I �#5I � G K �#LK � N�%� O�S6d*��Q6�� 8� G K �#LK � � ? � $�� � I � A %� �*�� 8� U ½ BE=R� ��"� ¡ Æ �W ;>@ 7I9 AP`6B�? 9 .£ 9 j ;+L:u t ` 7I9 Lvh � ¨ Æ t �B?YÄ » 4 ��A %� ��� * � G I �# I � G K �# K � N�%� <� 8 *��06� 8� G I �# I � � ? � $�� �LK� A %� g*��Q6� UWV BE=O� ���� � Æ �W ;>@ 7I9 AP`aB�? 9 .

Page 29: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Ù³Ú+Û ÜÞÝdß×à<ádâeãÎäÎå�ÝdádâeåeæXç�äÎá4è�äeçFÝßeàSX é0­ àkê é å×ã é�ë â:Ý4äeá�ç"ì×å ë Ý é äÎå í3Y�mB�L:M>n�nEO t ` 7:9 L�hZF\[ W � ¨ Æ^] t QRM)_�B�L:�&` � 8 ?PB�L h|M>L:uv§ � 6 j ;+?kh

�@?YÄ » 4 ��A %� ��� * � G I � ©�ª�� �# I � ©�ª���� G K � �����,�# K � �����,� )j ;+?�h�?PB�L h N�%� <�S`a�}§"*¦�Q`��+§� )j ;+?kh�?PB�L h G I � ©�ª����# I � ©�ª���� �cb � $ #,d � e K � �����,�gf %�§"*¦�x§� )j ;+?kh�?PB�L h Gih ��� � I � ©�ª���� Ñ $kj K � �������"!h:lnm � # I � ©�ª���� Ñ $ # K � �����,�"! �+§ �` 7 B j 7 t MN=�@ 9 A_?�;+Q 9 M>n�� 9�J A�M t j M>L Jd9 `8ACBE@�@ 9 L�M>?

�@?YÄ »:4 ��A %� ��� * � o��p ��q �©�ª���� BE= W �r a� �Æ % V j ;+?�h-��½8?PB0L8h�* ��� � ¡ ©�ª���� j � �����,�"!�# $©�ª����>�����%� BE= �Æ � V j ;+?kh-��½6?PB�L8h'�Qsr i� �Æ % V j ;+?�h�*�½8?�B�L h�* �¡�����,� BE= W �r a� �Æ %'½8?PB�L6h-� V j ;+?�h�*�.t ;>@PB j 9 @ 7 MN@y@ 7I9 @�`s; � A�?P@ j M>? 9 ? j M>L Jd9 ; J @PM>B0L 9 u J O¥QSM)_"B�LI�Kh � W M>L:uSh � ¨ Æ B�L$@ 7 B�? 9�u�{ MN@PBE;+L tB�Q|Dkn�O�B�L:�R@ 7 MN@K@ 7 B�? 9�u�{ MN@PBE;+L�B�?iwNM>n�B�u<=�;>A�M>n�n8%� � h�*vF�Å j\wyx W � ¨ Æ{z ( 587I9 n 9 QSQSM�=�;+n�nE;¯`6?z=�AP;+Q@ 7I9 j ;+Q J B�L:MN@PBE;+Lv`6BE@ 7 @ 7I9K9�u�{ M>n�B�@PB 9 ?H;>=H%'&�(b&�E+*C(�mBE� { A 9 &�(b&}D:A 9 ? 9 L�@P?S? { A�=�M j 9 M>L:u j ;+L�@�; { AGDknE;>@P?|;>=_@ 7I9 � M>u:;+L�@�A�M>L:?�=�;>A�Q ;>=iDkB �"9 nm»94 �% W � W � ) � )X*C(H� 7 B0n 9 t @�;RM � AC?�@;=�;>A�u 9 A8MND:DkAP; � B�QSMN@PBE;+L t @ 7I9 @�A�M>L:?�=�;>A�Q j M>L Jd9 MND:D:AP; � B�QRMN@ 9 u J O�MJ B�L:MNA�O~= { L j @PBE;+L t @ 7 B�? j M>LÕB�L�@�AP;�u { j 9 LI;+Lc=�L 9 �+n0BE�+B J n 9¥9 APAP;>A�=�;>A�@ 7I9 wNM>n {I9 ?z;>=�%� � h�*zM>?P?�; j B�MN@ 9 u`6BE@ 7 @ 7:9 DkB �"9 nyu:B�MN�>;+LkM>n�?R%�` 7I9 A 9 @ 7I9 M>Q|D�n�BE@ { u 9 ;>= @ 7I9 � M>uI;+L�@�A�M>L:?�=�;>A�Q¸A 9 M j 7I9 ?¥@ 7I9 wNM>n {I9| &+*C(}v~ ¿�2k�5¿�Ê · 3��e3-� úIûyð ñ+ò+ó>ôRõlö³ñ>ôI÷�ø�óNöîù ó³ø]õ�ú"ûeüý¿þ�ûgÿxý�ô�òNý���ñ+õ�óNö�ø��"ô��Yõlý'óNôRó³ø4ü�ý¿þ�ûgÿ » � %�¼ H � ¼ J � V � ½�*ý0÷�B?YÄ » 4 ��A %� ��� * � o���p ���q

�� �Q� � � Ð ý ø W ����� �Æ � � � P3�:��� � �Q� � � #%�� � �Q� � � Ð ! � � �Q� � � Ò ! ý ø �Æ ��� � � P3� �,s��G� �Æ � � � P ¾ �¡� �Q� � � Ò ý ø W ������� �Æ � � � P3� . %'&�(b&��+*� ú"ûgöPû&� Ï � %�¼ H � ¼ J *>�9� ¿ H � %³) � W *>�L� ¿ J � % W � )X*>�5� ¾ � % V � ½*>�5� ñNô�ò � � % V � �a½�*>�:��� � � �%"� j ;+?¯%lh�*3� � ?�B�Le%lh�*�* � ñNô�ò � � � R� ��P � Ï ���1Hö�óYó³ø32v� 9 L:;>@PB�LI� ¿ H � %³) � W *>� t ¿ J � % W � )X*>� t ¾ � % V � ½�*>� t M>L:u � � % V � �6½�*>� t %'&�(b&0/>* j M>LM>n�?�; Jd9 `8A�B�@�@ 9 L�M>?

�@?YÄ »:4 ��A %� ��� * � o���p ���q�� �Q� � � Ð BE= W �(� )�I� �Æ � � � P3�:��� � �Q� � � # � $��� � �{� � � Ð ! � � �{� � � Ò ! BE= �Æ ��� � � P�� �cs�� ��"� �Æ � � � P ¾ �¡� �Q� � � Ò BE= W �(� )�I��� �Æ � � � P�� .

Page 30: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Ù³Ú+Û ÜÞÝdß×à<ádâeãÎäÎå�ÝdádâeåeæXç�äÎá4è�äeçFÝßeàSX é0­ àkê é å×ã é�ë â:Ý4äeá�ç"ì×å ë Ý é äÎå í��

0

50

100

150

−2

−1

0

1

20

0.5

1

1.5

θb

0 20 40 60 80 100 120 140 160−3

−2

−1

0

1

2

3

θ

b

�mBE� { A 9 &�(b&�Ui��� �������;�Z���k�����<�� �¡a�;�� 3�k��� �v��¢������k��£��¤� ¥¦���k§¨�g�9�k©��-ª«��¡��� ¬���>��  §����g�k£­�g�:�k©��-��®°¯��;¥«®± �¡ ®¦���"�k����²�� ��³�k®±�� ´���c��®°¯��;¥ È^µ·¶ �¹¸�ºk¸�ºk»5º�¼��'½¾®¦�k©¨» ¶ ¼ ¶À¿�Á

Page 31: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Ù³Ú+Û ÜÞÝdß×à<ádâeãÎäÎå�ÝdádâeåeæXç�äÎá4è�äeçFÝßeàSX é0­ àkê é å×ã é�ë â:Ý4äeá�ç"ì×å ë Ý é äÎå í�Â587I9 @ 7I9 ;>A 9 Q®=�;+n�nE;X`a?H=�AP;+Q´° 9 QSQSMS&�(bÍ�(�mBE� { A 9 &�(bÃ�D:A 9 ? 9 Lx@P?i? { A�=�M j 9 M>L:u j ;+L�@�; { AzDknE;>@P?_;>=]@ 7:9 � M>uI;+L�@�A�M>L:?�=�;>A�Q¤;>=]@ 7:9 B0L:u:B j MN@�;>A= { L j @PBE;+L�;>=iDkB �"9 n�» � %³) � ��) � ) � )X*C( 587I9v� � { A 9 B�? u�{ BE@ 9 B�Lx@ { BE@PBEw 9 B�L�n�B�� 7 @S;>= � 9 QSMNA"_V&�(�) t° 9 QSQRM�&�(�) t M>L:uR@ 7I9 j ;+L�w>;+n { @PB�;+LRD:A�;>D 9 A�@�O|;>= 5 M J n 9 &�(�)N(H£"B�L j 9 @ 7:9 @�A�M>Lk?�=�;>ACQ ;>=4@ 7I9 j ;+L�w>;+n { =@PBE;+L|B�?m@ 7I9 j ;+L�w>;+n { @PB�;+L|;>=�@�ACM>L:?�=�;>A�QS?�M>L:u$@ 7I9 @�ACM>L:?�=�;>A�Q¢;>=@ 7I9 u 9 nE@PM_= { L j @PBE;+L|B�?�Mz?�B�L { ?�;+B�u t BE@=�;+n0nE;X`6? t =�A�;+Q � 9 QRMNA"_S&�(�) t @ 7 MN@\@ 7I9 � M>uI;+LS@�A�M>Lk?�=�;>ACQ¢;>= Ä » � B�?y@ 7I9 Q|;"u { n�MN@PB�;+L$;>=dM�?PB�L { ?�;+B�uJ O�@ 7I9 � M>uI;+L�@�A�M>Lk?�=�;>ACQ ;>= Ä »54 � (

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

−3

−2

−1

0

1

2

30

0.5

1

1.5

θb

R

0 20 40 60 80 100 120 140 160−3

−2

−1

0

1

2

3

θ

b

�mBE� { A 9 &�(bÃ�UL���������g�;�R���k���)�'�� �¡��n�� 3�k�����9��¢������k��£�����¥¦���k§'���c�k© �ê«��¡ �� <���>�� �§��²���k£Ä�g�{�k©��«®¦ )¡ ®¦���"�k���Å�²�� ��³�k®±�� ¨�g�� ®¦¯��;¥ Èv¶ �°Æ Ð º�Æ Ò º�»:ºk¼��'½¾®°�k©��°Æ Ð º�Æ Ò � ¶ � ¿ º�Ç ¿ �È�� �¡¨» ¶ ¼ ¶É¿�Á

Page 32: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Ù³Ú+Û°Y^Ýdß×à<ádâeãÎäÎå�ÝdádâeåeæXç�äÎá4è�äeç~â\X é0­ à:ê+â:Ýdà:ã�ç"ì×å ë Ý é äÎå Ú�ÊË´Ì�Í ÎÐÏ�ÑÓÒyÔ<Õ&ÖD×ÙØÈÚÅÔO×�Û�Ü�Ö�Ú¾Ý ÖDÜÞÔàß&á�µvÑ5â"Ô¤ØÈÑ:ÕãÜ�ä&×�åÃØÅá"֨׶�¿Qæ�,.-0/1-�2,¾· 3 �èç 3aº ÿEñ>õ'õlý��Cû B�? MRu:B�? j A 9 @ 9 ? {IJ �>AP; { D�;>=mÅ Æ ;>=.@ 7I9 =�;>A�Qé � ? MÄF�Å Æ �nM �ëê c *íìTî � ê � ìïFBð A .587I9 DkM>B�A ;>=Î� 9 L 9 ACMN@PB�LI�Sw 9 j @�;>A�?$% c � îy*sB�? j M>n0n 9 u�@ 7I9 ÿEñ>õ'õlý��Cû&ñPñN÷Cý�÷ (o¦@z=�;+n�n�;X`6?_=�AP;+Q�@ 7 MN@Ku 9�� LkBE@PBE;+LF@ 7 MN@ t M>?P?P; j B�MN@ 9 u<@�; 9 M j 7 DkB ��9 n.`6BE@ 7 `6B0uI@ 7 V M>L:u 7I9 BE� 7 @½ t @ 7:9 A 9 B�?8MSn0MN@�@PB j 9 é ¡ Ñ � � ? MòFvÅ8Æ5�nM �ëê V ¿ H *íì�½ ¿ J � ê � ìÞFBð A �` 7I9 A 9 t M>? J9 =�;>A 9 t ¿ H � %³) � W *�M>L:u ¿ J � % W � )X*C( 1 ý¿þ�ûgÿyÿEñ>õ'õlý��Cûî÷ MNA 9 @ 7I9 ? { D:Dd;>AP@z;>= DkB �"9 n�MN@ 9 u= { L j @PBE;+L:?�(¶�¿Qæ�,.-0/1-�2,¾· 3 � �×3 o[=9ó<B�? MSQSMNDkDkB�LI� ó�U0é ¡ Ñ �Tô Å �@ 7I9 ü�ýEþ�û�ÿ¿ñ>õ�û�òiø���ô'�Yõlý'óNô M>?�?�; j B0MN@ 9 uv`6BE@ 7 ó<B0?H@ 7I9 QSMND:D�B�LI�ó Ï U>Å Æ ô Åó Ï %�M]* � õö � È^÷�ø�ù I{ú KÅû ö Ä » ö � %�M]* %'&�(bà W *` 7I9 A 9 û ö � ó�%¿» ö *sM>Lku Ä » ö � %�M]*HB�?H@ 7I9 D�B ��9 n4B0L:u:B j MN@�;>A = { L j @PBE;+L�;>=.DkB �"9 nI» ö %'&�(b&1±�*C(587I9 A 9 MNA 9 QSM>L�O 9g� M>Q|Dkn 9 ?\;>=×DkB �"9 n�MN@ 9 uG= { L j @PBE;+L:?�(.o³LG@ 7:9 j ;+L�@ 9g� @H;>=×@ 7 B�?]@ 7:9 ?PB�? t @ 7I9 Q|;+?�@B�L�@ 9 A 9 ?�@PB�LI�|;+L 9 B�? @ 7:9 ? 9 @6;>=�u:B��+BE@PM>n4B�QSMN� 9 ? t ` 7 B j 7 MNA 9 D�B ��9 n0MN@ 9 u�= { L j @PBE;+L:? `aBE@ 7 A�M>LI� 9 ?�DkM j 9ð j ( 587:9 =�;+n0nE;X`6B0LI�$@ 7I9 ;>A 9 Q D:AP;Xw"B�u 9 ?6M>L 9g� D:A 9 ?P?PB�;+L�=�;>Aa@ 7I9 � M>uI;+L�@�A�M>L:?P=�;>A�Q´;>=�M|DkB �"9 n�MN@ 9 u= { L j @PBE;+L4(}v~ ¿�2k�5¿�Ê^· 30Ìd3a� úIûzð ñ+ò+óNôÕõlö³ñNô:÷�ø�óNöCù ó³ø�õ�ú"û8ü�ýEþ�ûgÿEñ>õ�û�ò_ø��"ô��XõlýlóNôÄü>ý �ÿþ���� ý�÷�À ó Ï %�M]* � %� ��� * � õö � » ÷ ø¾ù I{ú KÅû ö �@?YÄ »:4 � %�M]* A %� R� %�¼ ö H � ¼ ö J * P��È��� * %'&�(bÃ")X*� ý�õ�ú&�B?YÄ » 4 � %�M]* A %� ��� * ñN÷��>ý��Nûgôïñ� üký � ý� ���

Page 33: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Ù³Ú+Û � æYèiä.äeÝdß é å � Ú+í1Hö�óYó³ø:2 �IAP;+Q %'&�(b&>Ø+*8M>L:u t M>? Jd9 =�;>A 9 t u 9 LI;>@PB�LI�K»94 � % W � W � V � ½�*_M>L:u|» ö � %�¼ ö H � ¼ ö J � V � ½�*�@? ó Ï %�M]*�* A %� ��� * � � op q õö � » ÷ ø¾ù I{ú KÅû ö Ä »:4 � %�M\* �¤N�%�Mï� %�¼ ö H � ¼ ö J *�* ���� %� ��� *� õö � » ÷ øÅù I{ú K û ö �B?YÄ » 4 � %�M]*��LN�%�MÞ�V%�¼ ö H � ¼ ö J *�* A %� ��� *� ��?XÄ » 4 � %�M\* A %� ��� *�� õö � » ÷ ø¾ù I{ú K û ö � ? N�%�MÞ� %�¼ ö H � ¼ ö J *�* A %� ��� *� �@?YÄ » 4 � %�M]* A %� ��� *�� õö � » ÷ ø¾ù I{ú K û ö N�%� R� %�¼ ö H � ¼ ö J * P��È��� * �` 7I9 A 9 ` 9S7 MYw 9S{ ? 9 u<@ 7I9 n�B�L 9 MNACBE@�O~M>Lku j ;+Lxw>;+n { @PBE;+L<D:AP;>D 9 AP@PB 9 ?_;>=s@ 7I9 � M>uI;+L<@�ACM>L:?�=�;>A�Q¸M>L:u° 9 QSQRMS&�(�)N( 587I9 @ 7:9 ;>A 9 Q®=�;+n�nE;¯`6?H=�A�;+Q @ 7I9 j ;+L�w>;+n { @PBE;+LvD:AP;>D 9 AP@�O�;>=.@ 7I9 u 9 nE@PM$= { L j @PB�;+L4(

Ë´Ì�� �vÝàÖ�Ö<ØÈÏ&á�×��587I9z9�d9 j @ t B0L � M>uI;+LF?�DkM j 9 t ;>=m?�Q|;�;>@ 7 B�LI�SMS= { L j @PB�;+L@ó�%�M]*s=�;+n0nE;X`6?8@�A�BEw"B�M>n�nEOG=�AP;+Q®@ 7I9 j ;+L�w>;)=n { @PBE;+L�DkAP;>D 9 AP@�O>(�~2k/XcI/¯-�2�,¾· 3 � 3 o[=�½~B0? MSnE;X`O=�DkM>?P? � n�@ 9 A t ó��\½~B0? j M>n�n 9 u�@ 7I9 ÷îùSóYó>õ�úxý�ô�� ;>=9ó J O�½×(�è¿"Ê�Ê�cË· 3��3a� ú"ûzð ñ+òxóNôËõlö³ñ>ôI÷�ø�óNöîù¸ó�ø�õ�ú"û�÷CùSóYó+õ�úxý�ô��~ó³ø ó ñ� ½ ý�÷�À ó��s½ � %� ��� * � �À ó � %� ��� * � �É ½ � %� ��� *�. %'&�(bÃ>&+*1Hö�óYó³øa2 587I9 n 9 QSQRM�B0?_M�@�ACBEw�B0M>n j ;+L:? 9�u�{I9 L j 9 ;>=]@ 7I9 j ;+L�w>;+n { @PB�;+L<D:AP;>D 9 AP@�OF;>=]@ 7I9 � M>uI;+L@�A�M>L:?�=�;>A�Q�(

! 2k�12VÁúÁ�c:�#"�· 3 ç 3�� ú"û8ð8ñ+ò+óNô~õlö�ñNôI÷�øgó>öCù´ó³øaõ�ú"ûa÷CùSóYó+õ�úxý�ô��Ró³ø6õ�úIû_ÿ�ý�ôûaý�ô�òNý���ñ>õ�ó>öÎø��"ô��Yõlý'óNô~ó³ø6õ�úIûÿ�ý�ôû%$ � %� '& � h#&l* ñ(� ½ ý�÷ �@? é $ � �s½ A %� � h�* � �É ½ � %� O�Þ '& � h-�Ëh)&�*�. %'&�(bÃ>Ã+*1Hö�óYó³ø32 587:9 j ;>A�;+n�n�MNAPOG=�;+n�n�;X`6?H=�AP;+Q %'&�(�)g±�* t %'&�(bÃ>&+* t M>L:u�@ 7I9 j ;+L�w>;+n { @PB�;+L�D:AP;>D 9 AP@PB 9 ?s;>=.@ 7I9� BEA�M j u 9 nE@PMS= { L j @PBE;+L4(*iL 9 j ;+QSQ|;+L:nEO { ? 9 uR?PQ|;�;>@ 7 B�L:� � nE@ 9 A\B0?�@ 7I9,+ M { ?P?PB�M>L×( 587:9 L 9g� @\n 9 QSQRM j 7 MNACM j @ 9 A�B.- 9 ?HBE@P?� M>uI;+Lv@�A�M>L:?�=�;>A�Q�(

Page 34: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Ù³Ú+Û � æYèiä.äeÝdß é å � Ú¯Ú�è¿"Ê�Ê�cG· 30/43 � ú"ûHð ñxò+óNô�õlö³ñ>ôI÷�ø�óNöîù ó³ø6ñ�õ � ó21�òNý�ùSû�ôI÷Cý'óNô�ñ>ÿ 3 ñ)��÷�÷îýlñ>ô � ýlõ�ú$ùSû�ñNô54 � %�6 H � 6 J *ñNô�ò¬��ó7�1ñNöîýlñ>ô��Cû�8 � �:9 û<; %>= H � = J *? %76 ��8 * � )& C = H = JA@ #CB Ð'D2E ÐGF ���H �Ð # B Ò�D7E Ò�F ���H �Òý0÷ �É ? %76 ��8 * � %� ��� * � )| & CJI @ # BLK D7E K F �q � � %'&�(bÃ1±�*� ú"ûgöPû

I Æ � =4ÆH j ;+?PÆ4h�*M=4ÆJ ?PB0LIÆh6 $ � 6 H j ;+?�hD*N6 J ?PB0L h^.1Hö�óYó³ø32 ° 9 @ ? � %76 ��8 * � �Æ ¨ @ # Ð �� # Ò �� t @ 7I9 L�É ? � %76 ��8 * � %� ��� * ��GÓG )& C @ # Ð �� # Ò �� N�%� R�PO � 6a�QO Æ 8 *��06� 8 .�s;+L:?PB0u 9 AH@ 7I9 ;>AP@ 7 ;>�>;+LkM>nen�B�L 9 MNA @�A�M>L:?�=�;>A�QSMN@PBE;+LR ` §NS � r � R 6 8 S �`6BE@ 7�r � M>?8B�LË%'&�( />*C(UTa?�B�LI�$@ 7 B�? j 7 M>LI� 9 ;>=mwNMNA�B�M J n 9 ? t�É ? � %76 ��8 * � %� ��� * � GÓG )& C @ #WV �� #WX �� N�%� R�S`d*��Q`��x§� @ # $ �| & C G )| & C @ # X �� �x§� )| & C @ # $ � .t ;¯` t LI;>@PB j 9 @ 7 MN@ ? %�M]* � )| & C = H = J ? � % 8 # � MS� 4 *M>L:u t J O��H;>AP;+n�n�MNAPO�&�(b& t�É ? %76 ��8 * � %� ��� * � )| & C = H = J �¦u 9 @ 8 �Y 8 � Y �É ? � %76 ��8 * ��Z ¤� 8 ��P 4Y 8 � Y � 8 �Y 8 � Y�[ �M>L:u�@ 7I9 n 9 QSQSM$=�;+n�nE;X`a?�(

Page 35: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

\ ]_^a`cb5dMe fg h i j kml npo qsrtkuo vxwynzr|{ nzw k} ~�� i���k�q�i�l i�l �zi { k }�����������������2�����(�G�:���U�����(��� �:� �¡�2�����G�����.�:���:����� �C���(�¢�7���£�¥¤��G¦��2���G§�¦0��� �G�(¨ ©P�ª�����2���¢«�¬��­���2�­�7����(��� -+=�0� ®y�������W���(�¯��� ���:� ®:�°������§ �(�­�0±)�2���.�:�5�7�J�²���7�.�W�7�³��:��§��.���.�:���¡�%���0���5�2�������G��G�����2��¬5�7��§���� ´µ�(�0�G�<����7�U�¶¦��0� �ª����«³�%�:� ���7�J�.���¯·5�G·¶«³�(�­�(¨¢©P�¸��� �G�¹§ �(º�� ����� �%���.¤��G¦0�2���G§�¦0�0� ���7�������(�0�2���G§¹�%�.���5��¦0�0� �$C�7�%��� �����(�%�7�¢���.¤��G¦0�ª�����2���2�����0�����(�­���G����G§»«�¬¼$'¨<t%�¤��(�£����§��(�­�.±7�²�¤ �7����¤������G�­���.�:���%���7�¸���:·°��7�J��� � u ���7�<���.���0�G�W�7� ���<���(���G���W������� �,�­���2�­�7����(��� - �2���.�:�¼�7�½��� �¸���¥¤��G¦0�2���G§¹¦0�0� �7���7¨�® ¨W�.������� ���³�7�����0��®���(�ª�7��§¼��� �²¾��7§ �:�¼���­�7�������7�­·¿�7�¢�.���C�0��§��0�(�2���7�C�>��������.�:�½¨¢���ª�0�U��� �#�%�¼�����2�ª��� �G���y����������.�:���U�2���������·À�7��·5�7��¬µ�7��� �(�U�G¦.�G·5�G�<���2��¬¹�>��������.�:���G¨ Áª���0�¯���7�¯�����,��� ���7�­�������2���,��:����� u � �G����,�����2�U��� ����G����¦0���0� ®Â�¤������G���­�.�:�������G��§N���ë³�¼��:·°��� ���2���0�:���7¦0¦.¬Ä�0�����­�7����2«�¦0�7�W�7��§M·°�7���.±2�2���G�°�Q���G�2�­�­�M���7�«³�:����§��¸�����2�¶�(�7�Å�����#±��0§��5�7�P� u ���7¦0¦.¬Q�����(�>��¦¢�­���2�­�7����(��� - �2���.�:�N�2�¶·����­�Ŧ0�Æ���(����:·°�������2���.�:���7¦��:·°��¦.�¤ �.�Ǭ7¨�©P�,�­� �Æ�a�����2�U���.®:���������³�(� = �7��§¹¦.�#�¯�(� = «³�:����§��W�7��¦.�Æ�t��:·°�������2���.�:���7¦³��:·°��¦.�¤ �.�Ǭ�(�7�È�0��§ �(�G§¹«A�²§��(�­�.±7�G§É���7�ª«³�7��� u ���7�<���.���0�G�(¨Áª� �¹���G·5�7����§ �(�¶�7����� �¼�­���2�����(�5�7§�§ ���G�����G����� �É�­���2�­�7����(�­� - �2���.�:�M�7�����¥¤��G¦0�2���G§Ê�G§ ®7�É·5�2���(¨©P�µ�����2���¶«�¬Q�0��������§����(�0� ®¹��� �5�G§ ®7���0��§��0�(�2���7�y�>��������0�:�»�����0�­�P�(¦��7�����.º��G�y¦��0� �G�y�0�����É�:� �5�7���Ë����(¦0�7�����G�GÌP�G§ ®7�G�É�7��§s� �:� = �G§ ®7�G�(¨ÍÁª� �Ã���¥¤��G¦0�2���G§��G§ ®7�Q·5�2�s���µ��� �Q���(�¼�7�¶�7¦0¦%���¥¤��G¦0�2���G§s¦0�0� �G������2���2�­�µ�7�������(�0�2���G§Ê�%�.���P�G§ ®7�G�G¨¹©P�¼§ �(�­�0±7�5��� �µ¾��7§ �:�Ä���­�7�������7��·5�²���7�¶«³�7���P��� �¹�0��§��0±��0§����7¦�0��§����(�2���7� �>��������.�:��� �7��§���� ���G§ ®7�C·5�2�J¨�΢�0���7¦0¦.¬7�)�¯�C�0��������§�����W�7���2�����­�G¤ �0·5�2���.�:�����,��� ��¾��7§ �:����­�7�������7�­·_�7����� �¶���.¤��G¦Ï����� �����(�£�2�­�2«�¦.�¶�2�������G¤ �0·5�2���0�:�½�������2�����G§�����G�%��� ��¾��7§ �:�»���­�7�������7�­·c�7���� �U�G§ ®7�ª·5�2�°���y��� �ª��7�­���G���³�:��§��0��®�Ð��:� ®:�°���­�7�������7�­·Â¨ Áª���0���­� �Æ�%�¢�����2����� �ªÐ%�:��®:�����­�7�������7�­·�0�C���G�7¦�¦.¬��7�»�2�������Ƥ��0·µ�2���.�:�É���5��� ��¾%�7§ �:�É�����7�������7�­·É¨W���C«³�G��:·°�G�%�(¦0�G�2�%�����2�ª�����²���7��·°�(��§ ���G�� �7�¡�G¦0��·5�0���2���U��� �%·5�:���W�0·°�³�7�����7���¡�(�7�����G�W�7�³��� �%��:·°�������2���.�:���7¦���:·°�£¦.�¤��0�ˬ��7�³��� �%¦0�2�����(�G���7��§�.�ª�0�C�����(¦.�G�2�ª�����2�ª�����(���²·5�.®:���C«³�²�7�<¬¼«³�G� �(º��C�0�É������§ ¬���� ®°�.�(¨

ÚÆÑ

Page 36: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Ù�ÑxÛ�í Ýdß×à}æYà:Ý�äÎçFê é å×àkæ|æXì¾X,XkäÎá"Ýdà:ãMÒ�ÓMÔ:Õ Ñ � ÚGÖ×-Ì�Ø ÎÐÏ�ÑÓÛ'Ñ Ø(ÖDÜÞâgá�×�Ñ:Û Û'ä&ß&ßaÖ�Ú'ØÈÑ:ÕÚÙ,ÛÝÜÈÞªß àÁª� �y���:¦0¦.�#�%�0� ®°§ �(º����.���.�:�¹���:¦�¦.�Æ�%�U�����:·Ó�¸�(º����.���.�:�Âá�¨âá�¨ã�¿Qæ�ä å�æ)å�çAä çJèÏé�è%ê ¦0�0����$U�0�ª���7��§¼���5«³�$÷��¯ü+ü"óNögõ�ûPòÈ«�¬ é Õ Ñ � �.� ��� �(���²�2�­�¶�2�%¦.�G�7���%�Ë���µ�³�:�0�����M � � M Æ F@é Õ Ñ � �����­�É�����2� M � � M Æ FÂë¸ì $�í�¨Áª� �²���(�%�7� �7¦0¦½¦��0� �G�C��� ���A�7�­���G§¼«�¬ é Õ Ñ � �0�C§ �G� �7���G§È«�¬ ëLé Õ Ñ � ¨Áª� �y���:¦0¦.�#�%�0� ®���� �(�7�­�G·_�­���2�­�7����(�­� - �G� ëLé Õ Ñ � ¨}v~ ¿�ç�î5¿�Ê ç½èÏé�è $ FÉë¤é Õ Ñ � ý ø¥ñNô�ò�óNô:ÿï�Gý øKõ�ú"û\ø�óNÿ�ÿ¿ó � ý�ô��@�CóNô�òNýlõlý'óNôI÷Kú�ó>ÿ¿òåËð,$iú�ñ1÷K÷îÿ¿óCü:û ê �añ �Õ � ñ FÂò �å>åËð$õ�úIûgöPûSûPþ+ý0÷gõ�÷ ìÏó ��ô íK÷��^��ú�õ�ú"ñ>õHõ�ú"û8ü"óNý�ôkõ ì ô V � ó õ í F¼ë¸ì $�í �1Hö�óYó³ø32%ö��:�����0§ �(� ��¦0��� ��$ FÂëLé Õ Ñ � ¨ ÷�¬²������§ �(º£���.���.�:�y�7� ëLé Õ Ñ � �2��� �(���U�0� �:���W�³�:�0��� MÄF@é Õ Ñ ��������»�����2� M FÄë¸ì $�í�¨�ø��0����7�³«�¬È§ �(º����0���.�:�Â�7� é Õ Ñ � � M � ì ê V � ì õ í � ê � ìëFïð �½��:��§��0���.�:�Ãå>åËð²�0����2���0��º��G§P«�¬Ä�­�0·°��¦.¬Ã���(�����0� ® ô �Wê �7��§ ó � ì ¨Éø����0¦0¦¢«�¬Ã������§ �(º����.���.�:�Q�7� ëLé Õ Ñ � � ��� �(���¹�0�²����G��:��§P�³�:�0��� M¢ùLFié Õ Ñ � �������P�����2� M¢ùLFÊë,ì $�í�¨ ���G���7���5��� �µ���G��:��§P�³�:�0�<�y«�¬ M¢ù � ì ô ù V � ó�ù.õ í�¨Áª� �y�Ç�¯�5�³�:�0����� M �7��§ M¢ù § �(º£� �y$¯«�¬¹��� �y���:¦�¦.�Æ�%��� ®�� u ���2���0�:�

8 � ó ù �Åóô ù � ô õV 6�*Ä ��%� �(���7���­�0���� 8 � ó õ ��� �G� 6 � ô V � � ó õ � ó�ù^�Äóô ù � ô ô õÅ.�¸�G� �7���0� ®�ú � ó�ù^�Åó �7��§Âû � ô ùc� ô � �¯�¶���G±7�8 � úû õV 6�* Z ó�� úû ô [ õ ��7��§É��� �²�­¦.�7�³�y�7��$U�0� ê � úû õV �añ õV�%� �(���7���­�0����¶ú � û F@ð � ñ FÂò � ��� �(���(���7���¶���2���0����¬��0� ®°��:��§��0���.�:�ÂåËðƨö��:��±7�(�­���G¦.¬7���%���G����:��§��.���.�:��å>åËðª� �:¦0§��G�<���°��� �#�������2�U$ FÉëLé Õ Ñ � ���.�U��� ´µ��G�¯����º���§µ�7���7��� �(��³�:�0�<� M¢ùÃFSé Õ Ñ � �������Ã�����2� M�ù9FQë,ì $�í�¨¶üÆΠ���:·�åËðÆ�³®:�.±7�G�Ã�����2�,$ª���7�,��¦.�7�³� ê �Íñ �Õ � ñ FPò �A����(�7�Â�ª���.��� ê �¿ýþ �Õ � ú � û F@ð ¨WÎ�� �­��� �(�­·°�7���7� «³�G�(�7������å>åÿð¸� �:¦0§��(� � Z õ� úû ô [ õ

Page 37: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Ù�ÑxÛ Ú X é�� à:ê+â:Ýdà:ã�ê é å×àkæ Ú��¦.�G�7§��0��®���� 8 � úû õV 6&* Z ó�� úû ô [ õ�7��§ 6 � ì ô * û¢í V�� 8 � ìÏóv* ú í õ¾.ø��0����Z ì ô * û¢í V � ìÏóv* ú í õ � F@é Õ Ñ � ���.�C���:¦0¦.�#�%�U�����2�ª$ FÉë¤é Õ Ñ � ¨×-Ì�Ë �rá��vÑ5âgÔ¤Ø'Ñ:Õ âgág×�Ñ5Ûã�¿Qæ�ä å�æ)å�çAä ç½è³è Áª� �¶���(�¸�7�¢���¥¤��G¦0�ª�0�����(�­���G����G§»«�¬Â�µ¦0�0���²��� ���³�7�����G§¼«�¬ é Õ Ñ � �0�ª§��G� �7���G§»�7�¸�ü�ýEþ�ûgÿEñ>õ�û�ò�ÿ�ý�ôû<¨ã�¿Qæ�ä å�æ)å�çAä çJè¹ç½è Áª���_ü�ý¿þ�ûgÿ4÷Yû�õ��7���5¦0�0����$U��� ���³�7�����G§¼«�¬ é Õ Ñ � �0�Ä ë¸ì $�í � ?�� �ì� H � J í F@é Õ Ñ � � ë¸ì $�í�� ë,ì �Wí�����èA ì'à ¨��Æí�7��§É��� �y�£�¥¤��G¦��2���G§Â¦0�0� �¸$ Ï �7�������(�0�2���G§Â�%�0���¼$¯�0�$ Ï � �ö � È ÷ ø���� ��� ! � ö . ì'à ¨âá:íÁª� �²���(�%�7� �7¦0¦³�£�¥¤��G¦��2���G§Â¦0�0� �G���:� é Õ Ñ � �0�C§ �G� �7���G§É«�¬�Ä é Õ Ñ � ¨Áª�����C§ �(º����.���0�:�¹���C�0¦0¦0�������­�2���G§¼�0�É΢�.®:� ��� à ¨��2¨! ç�î)çVÁúÁ���î#" ç½èÏé�è � ú"û ü�ýEþ�û�ÿ¿ñ>õ�û�ò�ÿ ý�ôû%$ Ï ñ1÷C÷gó��Yýlñ+õ�ûPò � ýlõ�úvÿ�ý�ôû%$iú�ñ1÷�÷��¯ü+ü"óNögõs÷�ûYõë,ì $ Ï í � �ö � È ÷ ø���� ��� ! ë,ì � ö í ì'à ¨ à íñNô�òGý�ô�òNý���ñ>õ�óNösø���ô'�Yõlý'óNô � Ì Å Æ ô ? � � � A� $ Ï � ì�M í � é � �!�!" ! ì�M í � õö � È ÷ ø���� ��� ! Ä � ö � ì�M í . ì'à ¨$#�í

1Hö�óYó³ø32,Áª� �²��7�­�:¦0¦0�2��¬¼�0�C�5�������7�.®:�<�����7���U�2�­§Â��:����� u � �G����²�7� ì'à ¨âá:í�¨Áª� �¼�¤ �7��°�¤������G�����.�:�N���7�°��� �Â��� ���A�7�­�����(�°�7����� �É���¥¤��G¦0�2���G§M¦0�0� �¹�0�°� �7���G�7��¬N���P�¤������G����0�Q�¼��:·°���7��²���7�­·É�½�Ϩ��7¨��¼���7�­·������2�(������¦0� _ � ì'à ¨ à í���§����G�y� �7�y�0��±7�:¦.±7����� ���G����·°�(�­�2���.�:�Q�7���7¦0¦���¥¤��G¦0�(¨¢Áª� �ª���:¦0¦.�#�%�0� ®�¦.�G·5·5����� �Æ���W�����2�U�.���0�¡�³�:�����0«�¦.�C����§ �(�­�.±7�ª�Ç�¯��«³�:����§��������2�U���2���0����¬������0������7�³�(���Ǭ7¨

Page 38: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Ù�ÑxÛ Ú X é�� à:ê+â:Ýdà:ã�ê é å×àkæ ÚXÜS(l)

w

h

΢�.®:����� à ¨��2Ì&% ©��9§�©���¡���¡¨§��n�·®¦§Å�k©�� � ®¦¯��;¥±�"�k��¡¨¥¦®¦ �� � " �g§�§��3�;®±�g�k��¡¨½¾®°�k©´¥¦®¦ �� � Á�è¿"Ê�Ê'� çJè>é�è � ú"û_÷��Xüxü"óNögõm÷�ûYõyó³ø_õ�úIû\ü�ýEþ�û�ÿ¿ñ>õ�û�òSÿ ý�ôûU$ Ï ñN÷�÷gó���ý'ñ>õ�ûPò � ýlõ�úRÿ�ý�ôûC$ � ì� �)( í6÷�ñ>õlý0÷�*sûî÷õ�ú"û\ø�óNÿ�ÿEó � ý�ô���öPûgÿEñ>õlý'óNôI÷ ë,ì I ö!+ ì $�í�í-, ë¸ì $ Ï í., ë¸ì I�/1032 ì $�í�í ì'à ¨ Í í� ú"ûgöPû I ö!+ ñNô�ò I�/1032 ñ>ö�ûi÷îõlöîýZük÷ � ý�õ�úiüIñNö³ñ>ùSûYõ�ûgöC÷ I ö!+ ì $�í �54 �)(^� �6 � � �"!�7 ñNô�ò I�/1032 ì $�í � ì� �)(^�)8 ì ( í�í �ñNô�ò

8 ì ( í �WU | V 6 * õ 6 ��:� [ ( � �2�­����7� �Õ ] ý ø (:9<; 6| V 6 * õ 6 ��:� [ C � ( � �2������7� �Õ ] ý ø (:= ; 6 . ì?> ¨ Ø í1Hö�óYó³ø325ö��:���­�0§ �(��΢�.®:����� > ¨âá��%���0�­�ç �(���0����¸�����¥¤��G¦@� FQë¸ì $BA:í��7��§È������¦0��� �¶$ � ì� �)( í ì ���7���� �°�(�7���G�²�0�»�%�����­� (C9 ; 6 �7��§ (C= ; 6 í�¨�öC¦.�G�2�­¦.¬7�½�7��¬»�����­�0�»�%�0���»�£�2�­�7·°�(���(�­� ì� �)(^�)8 ì ( í�í������2���Ʊ7�(�­�������µ���¥¤��G¦D� ·��������0���(¦0��§ �µ�7¦�¦W¦0�0���G�²«³�(�Ë���(�G�N$ � �7��§Å$ 6 ¨ ê �­����·5�0��®Â�����2����� �¹§��0�����7����«³�(�Ë���(�G�¼��� �¸���<���(�­���G����.�:�¹�7�J$¡�7��§¹��� �,·5�7�0�¹§��0�2®7�:���7¦£�7�J��� �,���¥¤��G¦����¯�2�C��§��0�����7����yúP�����:·À��� ���������� �G���,��7�­� �(�G�J�0�����:¦0¦.�#�%�¸�����2� 8 ì ( í�·������¸«³��®7���G�2���(�¶�����7�Äú���:��û¡�½�%���(����ûx���¸�7�y����§��0�(�2���G§�0�¼��� �²º�®:� ���7���Ϩ��7¨

8 ì ( íFE U ú���:� [ ( � �2�­����7� �Õ ] �.� (:9<; 6ú���:� [ C � ( � �2�­����7� �Õ ] �.� (:=<; 6 .ø��0����7��«�¬µ§ �(º����0���.�:�½�<$¯�0�¯�­� ���³�7�����G§�«�¬ é ÕHG � ����� �(���y·�������«³�¸�2�C¦.�G�7���U�Ç�¯�����¥¤��G¦0�¯���7�U�%���0�­����� ��0�����(�­���G����.�:�È�A�:���<�ª�0�ª��� �²���¥¤��G¦J��G�����(� ì �7��§Â��� �(���(���7���¶·µ�0§ = �³�:�0�����7�¢��� ��·5�7�0�§��0�2®7�:���7¦�í�¨�Áª���0��0����� �y�(�7���²�0�¹�%�����­�ÉúÅ����·µ�0���0·���·É�:���.���Éú � �6)I Õ � j � � ��¦.�G�7§��0��®�������� �²¦.�#�¯�(�C«³�:����§µ�7� ì?> ¨KJ:í�¨ø��0·5��¦0�2�­¦.¬7����� �¶� ���³�(�U«³�:����§¹���:¦0¦.�Æ���C���­�:· ��� �y�>�7��%�����2��ú 9 | V 6 * õ 6 ¨

Page 39: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

L�ÑNM O X é�� à:ê+â:Ýdà:ã�ê é å×àkæ O�Y

l2

l1β = α − arctan(h/w)

αβ

hd

w

l

�¹���l2

l1 β = π−θ − arctan(h/w)

w

hd

αβ

l

��¢��΢�.®:� ��� > ¨âá�Ì.P ��®°¯��;¥RQ�;�� ��>�g®¦ ���¡´®¦ ¨�k© �5� ®°¯ �n¥ �"�k��¡¨¥¦®¦ �� � " �� �¡¨�k©��:�g§�§��3�;®±�g�k��¡T¥¦®±  � � ¶ �TS�º?U+� Á �¹���DU-VXW �NY ��¢)�U&Z W � Á

Page 40: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

L�ÑNM O X\[ �D]_^ â_` ]_aX^ [�b ]dc O��Áª� �G���µ�Ë���ëA�:����§��,�:�Ê��� ���������³�7���²���(�¶�7�C�£�¥¤��G¦��2���G§Å¦0�0���5¦.�G�7§Å���»�Ë���Ã�­�0·°��¦.�°«³�:����§��,�:���� �y¾%�7§ �:�¼�����7�������7�­· �7� �.���U�0��§��0�(�2���7�U����������.�:�½¨�Á��5��� �Æ�t�����0�(���¯�yº������¯�����Ʊ7�²��®7�G� �(�­�����­�G����¦.����G¦0�2���0��®������¶¾%�7§ �:�Â���­�7�������7�­·5�C�7�¢�5���(���7��§Â�7��¬��7���.���ª�­� «����(���(¨�è¿fege'� çJè�½èih óNôI÷Cý'òxû�öKõ � ó$÷�ûYõ�÷&jlkNô�ònm ÷��^��úGõ�úok>õDmp,qjrkNô�òGõ�ú"ûT�CóNöîö�ûg÷�ü"óNôòNý�ô���ý�ô�ò>ý��sk>õ�óNöø��"ô��Xõlýló>ôI÷ é but f ì�M ívkNô�ò é buw f ì�M í � � úIûgô ��x�ì� ��� í �� x é buw f ì�M í z ì� ��� í 9 � x é but f ì�M í z ì� ��� í . ì?> ¨ / í1Hö�óYó³ø�2¸Áª� �y¦.�G·5·5�����:¦0¦.�#�%�C�����:· ��� �²§��(º����.���.�:�¹�7�¢��� �¶¾��7§ �:�É���­�7�������7��· ���0�����À é but f ì�M í � ì� ��� í � Gzy � é but f ì�M í N�ì� O� ��P M í 8 M� G w N�ì� <� �&P M í 8 MÉ* G tH{|wo} N�ì� R� ��P M í 8 ME G w N�ì� <� �&P M í 8 M� � x é buw f ì�M í z ì� ��� í ��%� �(���y���¶���Ʊ7�¶�����G§Â��� �y���7��������2��~3tH{|wo} N�ì� <� ��P M í 8 M E���¨Áª� �²��:·�«��0���2���.�:�É�7� ��� �²�Ë���5���­�(±��.�:���C¦.�G·5·5�7�ª¦0�G�7§��C���5��� �y���:¦0¦.�#�%�0� ®���� �(�7�­�G·É¨}v~ ¿�ç�î5¿oe ç½è³è � ú"û��.k��N�R�<�B��kR�_��ø��R�Cù��³ø���ú"ûËý��@�>ý��sk|���R�Sø��f���3�lý?�R����ø���úIû�ü�ýEþ�û�ÿ!k���û)��ÿ�ý��ûÉ$�Ak���������ý?k|��û�� � ý���úvÿ ý��û%$ � ì� '& �)( & í���k|�lý���*Hû�����ú"û\ø��Nÿ�ÿ!� � ý���� �s�R�@�NýB�lý?�R�\� �åËðn��� ( � ( &�� �B? � $BA � ì�M í A ì� �)( í � U � � � � ¤�Þ '&³� E � � �1��!6� � � � ¤�Þ '&³� 9 � � �1��!� ì?> ¨ E í

kR��� � sX� ? ��� $?A � ì�M í A ì� �  ( í s � � � 8 ì ( & í# 9 � ¤�Þ '&³� 9 8 ì ( & íá . ì?> ¨ � íå>åËðv��� ( �¡ ( &�� 8 ì ( & íá � ���0� ì ( � ( & í � 9 � ? ��� $BA � ì�M í A ì�   ( í 9 8 ì ( & í� ����� ì ( � ( & í � . ì?> ¨����<í1-���3���32,Π���:· ì?> ¨KJ:íC�7��§ ì?> ¨ / íC�.�C���:¦0¦.�#�%�U�����2�

� x é b � �T¢ ÷�£ �!� ! ! f ì�M í z ì� �  � í 9 � ? ��� $BA � ì�M í A ì�   ( í 9 � x é b � �T¢�¤ Vs¥ �!� !ÿ!7f ì�M í z ì�   � í

Page 41: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

L�ÑNM O X\[ �D]_^ â_` ]_aX^ [�b ]dc O�Â�7�G��������� ®&���(º£���.���.�:�Âá�¨ � �

� ? m � I ö!+ ì $�í � ì�M í A ì� �  � í 9 � ? ��� $?A � ì�M í A ì� �  ( í 9 � ? m � I�/1032 ì $�í � ì�M í A ì� �  � í .Ð%�G����7�����­�:· ì á�¨âá7á:í��� ? ��� $?A � ì�M í A ì�   ( í 9 o¦¦p ¦¦q

� �.� � R�ï �&n� 9 � � �u�¹!6   ( ¡ ( &� �.� � R�ï �&n� = � � � � !6   ( ¡ ( &� � � � !�§�¨$© � ��#%�1�¹! � �.� ( �¡ ( &�7��§� ? �ª� $BA � ì�M í A ì� �  ( í.E o¦¦p ¦¦q

� �0� � ¤�Þ '&³� 9 � � �1��!�   ( ¡ ( &� �0� � ¤�Þ '&³� = � � �1��!�   ( ¡ ( &� � �1�¹!6 �T§�¨$© � ��#%� � ! � �0� ( �¡ ( &? ���­�:· �%���0���¼��� �y��� �(�7���G·_���:¦�¦.�Æ�%�G¨Áª�����������(�7���G·Ý��� �#�%�������2�(�����7� ( �¡ ( & �¯�.�°�0���³�:�����0«�¦.�µ���P«³�:����§ � ? �ª� $BA � ì�M í A ì� �  ( í������:·�2«³�Ʊ7�5�7��§»«³�G¦.�Æ�Í«�¬Â�Ë���Â���0·°�£¦.�¶�¤������G���­�.�:���������2�y§ �¹���7�,§��(�A�G��§È�:� ¨²Î¢�.®:� ��� > ¨ > �����G���G�������� �y�Ë���µ«³�:����§�� ì §��.±��0§ �G§¼«�¬ 8 ì ( & í�íC�7�%�°�>��������.�:�¼�7� ( � ( & ¨:t��7���0��¶�����2�ª��� �²��:���������7�0�<���%�����2���� �(¬ �0·°�³�:���¼�:� � ? �ª� $BA � ì�M í A ì� �  ( í°�2�­�Â���.®:���(¨�Áª� �Â��:�������7�<� 8 ì ( & í����°�Ä���(�7¦0�0��®P���7����7�¹�����2���� = ���(�7¦.�G�%��� �y�Ë���µ«³�:����§��U§ �(�³�G��§��0� ®��:�É��� �¶�7�­�.�G�����2���.�:�É�7�¢$­¨

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

5

10

15

20

25

30

35

θ − θlÎ �0®:� ��� > ¨ > Ì ªÃ�"�k®±�¤¢��n�7½'�;�; D�k© �9¢����  )¡ §Å�g�Å��« Á¦¿ ¸+�¾�� )¡­¬���U � �Å��§·�L���  ��n�k®¦�� ´���_UÃÇ®U � Á

ê �%��� �����:¦�¦.�Æ�%��� ®5��7���:¦0¦0�2�­¬¹�7�¡Á%� �(�7���G· á�¨KJµ�����Æ�%�(�A�.�%�0���7¦0�����A�:�­���.«�¦.�,���¹§ �(�­�.±7����� �¶�¤ �7���¤������G�����.�:�¼�7� � ? �ª� $BA�¯ ì�M í A ì?°�  ( í�¨

Page 42: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

L�ÑNM ѱ`³² ]�c3] XNâH´dâ Ò ^z] â«X,X_´³µ � [�¶aâ_`�[�µHb Ñ Ê! ç�î)çVÁúÁ���î#" ç½è½è �D·f¸ �.k����R���B��k|�\�����R��¹º����� ·\¸ �����R�B»sk|���R�¼��½o��»3�B�?�R�¾����� ·\¸À¿ �TÁ ¸� k|� ¸ �  ��� ¸ $�Ak������3»��?k|� ¸ � � ��� ·C ��� ¸ $���

� ? ��� $BA�¯ ì�M í A ì?°� �Ã í ¡ õö3Ä Q ÷ ø����@Å ��Æ � ?3Ç � � 4 ¯ ì�M í A ì?°-È ì� ö H  B ö J í P ó �à í ì?> ¨��|�Æí� ��� · � ?3Ç � � 4 ¯ ì�M í A ì?°� �à ínkR���|��� ¸ �ïñ� üký � ý� ���1-���3���:2�Î����:· ì á�¨ > �<í¯�7��§ ì?> ¨$#�í�� ��� ������§��0�(�2���7�¡�>��������0�:�°�7�½���¥¤��G¦0�2���G§µ¦��0� �C$�A��0����� �����¥¤��G¦0�2���G§����������.�:�É�7�������(�0�2���G§È�%�.���¼��� �²·5�2�����0� ® ó Ì é ÕDG É ô ? �   � A

ó�ì � ö í ¡ U � �.� Q ö F Ç ë,ì � í  � �7��� �(�����0���7¨Áª� �²��7���:¦�¦0�2��¬¹���:¦0¦0�Æ�%�U�����:· ì á�¨ > �Æí�¨ø��0���� ì?> ¨��|�Æí²��� u ���.���G�,�����5�G����·°�(�­�2���.�:�P�7�U�7¦0¦¢���.¤��G¦0�y����Ç ë,ì $�í�� �.�²�(�7�Ä�:��¦.¬Ã«A�5��:·5��� ���G§�%� �G�Å��� �µ���.¤��G¦¯¦0�2�����0��¼�0�²«³�:����§��G§½¨ÉÎ �0®:� ��� > ¨$#Ã�����G���G�<������� ���>�7����7��§Ê��:�����:� ����¦.�7���¶���7����� ��(�7���¹�7�C��� �µ���.¤��G¦0�2���G§Ê¦0�0� �°���.���i? ì� ö H  B ö J í�Ê ö H ¡ ö J ¡ H B ëF ? ÈË>o 3.3.3.  �> A�A �7��§ V ö ¡ õ ö ¡�  �9 ¡ �  3.3.3.� �/ ¨ ê �y�����2���G§P«�¬Ã��� �°��7���:¦0¦0�2��¬7� ��� �°¾%�7§ �:�P�����7�������7�­·��7�¯��� �5����§��0�(�2���7�,�>��������.�:��7�ª�Â���.¤��G¦0�2���G§Ê¦0�0� �5���¶�Ã����· �7�C�>��������0�:���²�������Ê�7�������2����� �#�%�Å�0�ÅÎ �0®:� ���¹á�¨ > �¡�ÿ¨��7¨Â���0�������:�0§��·°��§���¦0�2���G§¼«�¬������¶¾%�7§ �:�Â���­�7�������7�­· �7�ÌÇ � � 4 ¯ÿ¨©P�»���¤��¹�0�<���­��§�����Â�7� �2�����­�G¤ �0·5�2���.�:� �����2�µ�����#±���§ �G�5���:·°�Ã�0�����0®:�<�°�:� ��� �Â���G¦0�2���0�:�������.�«³�(�Ë���(�G�É��� �²¾%�7§��:�É���­�7�������7�­· �7��§É�5���G¦0�2���G§¼���­�7�������7�­·c�����2�ª�0�U����� u ���G�<��¦.¬¹�����G§É�0�¼��:·°�£� ���(�±������.�:�½Ì¢��� �²Ð��:� ®:�Â�����7�������7�­· ì�Í µDÎ �H² ì � �|Ï á:í���Ð ^z^ [�b ��ÑÒµH´f`�²�âDb a�Ó [�`³` ^N] ´ ì � ��E�E í�í�¨×-Ì�× ÎÐÏ�ÑÓÛ'Ñ5ß�Ô<ÚÅÔªÙ&â"Ñ ÔOß&ß�ÚÅÖÔ� á�ÝàÔ¤ØÅá"ÖD×ã�¿Qæ�ä å�æ)å�çAä ç½è � è Áª���Õ� ¸1¿ kR��kQñ Â�¸ k ¿�¿ ���3Á���¹ik|�B�?�R�É���¸��� �U¾%�7§ �:�����­�7�������7�­· �7����� �����¥¤��G¦<����§��0�(�2���7�����������.�:�¼�7� ���¥¤��G¦\� 4 ¡ ì �   �   V  ­õ í��0�

Ö� ?3Ç � � 4 ¯ ì�M í A ì?°  �Ã í ¡ � ?3Ç � � 4 ¯ ì�M í A ì �  �à í w é{b Ä ×�Ä e h ¨$© Å I Ø G K Ø Æ f   ì?> ¨��Gá:í�%� �(���� ?3Ç � � 4 ¯ ì�M í A ì �  �Ã í ¡ U Õ§�¨$©@Ù �.� ( F x �2������7� [ Õ É ]   ; 6 * �2�­����7� [ Õ É ]�zÉÄ�Ú�Û §3Ù Ä �7��� �(���%����� . ì?> ¨�� > í

Page 43: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

L�ÑNM ѱ`³² ]�c3] XNâH´dâ Ò ^z] â«X,X_´³µ � [�¶aâ_`�[�µHb ÑNÜ

0 20 40 60 80 100 120 140 160−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

θ

b

΢�.®:� ��� > ¨$# Ì ���������g�;�R���k���)�'�� �¡��n�� 3�k�����9��¢������k��£�����¥¦���k§'���c�k© �ê«��¡ �� <���>�� �§��²���k£Ä�g�{�k©��«®¦ )¡ ®¦���"�k���Å�²�� ��³�k®±�� ¨�g�� ®¦¯��;¥±�"�k��¡¨¥¦®¦ �� � " ½¾®°�k©nÝ3�°Æ ÷KÞ º�Æ ÷Kß ��à²Æ ÷KÞ ¶ Æ ÷�ß ¶ Æèº�Æ�ávÝ+ÇD«�º�â�â1â;º�«�ãsã¤�� �¡¨» ÷ ¶ ¼ ÷ ¶É¿ º�ä ¶S¿ º�â�â�â;ºuå Á

Page 44: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

L�ÑNM ѱ`³² ]�c3] XNâH´dâ Ò ^z] â«X,X_´³µ � [�¶aâ_`�[�µHb Ñ�O

020

4060

80100

120140

160180

−3

−2

−1

0

1

2

30

0.5

1

1.5

θ

b

0 20 40 60 80 100 120 140 160−3

−2

−1

0

1

2

3

θ

b

΢�.®:� ��� > ¨KJ�Ìçæ3è�é?ê!ësì�í&î!ï�ð�ñ|òdësó�ôÕì1ð�ó�ï�ð�è éõîTö|ðsï?ï�ðs÷­òdñ�øKð�ï�ù³ðsêzù?í�ñ�ë�éúësö�øûíõësñ�ñ�é�ð�ü ýû÷Õë�ï�ýûð�ó.ï�ðþï�ÿ�í��Ìësô�ðsóÕï?éúë�ó�ùBê�ðsé�÷ð�êfï�ÿ�íþñ�ýûü í�ø�ýûóRô ýûì�ë�ï�ð�éHê�è�ó�ìuï�ýKðsó�ð�ê_ñ�ý$ü í�ø Q���� ÿ�í�ó����� ���

Page 45: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

L�ÑNM Ö �\[ �D]_^ â_` ]_aX]_a��D] ¶aâ�� c Ñ#Ñ΢�.®:� ��� > ¨KJ5�����G���G�����ª���������7����7��§Â��:�����:� �%��¦0�7���C�7�¢��� �¶�2�����­�G¤ �0·5�2���.�:�¼���7�ç��� ¡ ì �   �   �   �Æí�¨�Ç�°�(�7� «³�É���(�G�½�¯«�¬N��:·°���2�­��� ®Q�%�.���M΢�.®:� ���Âá�¨âá��������2� ì?> ¨��Gá:í�§��0�����(®:�2�­§������ �§ �(�³�G��§��G������7���� Ç � ���s¯�� ì?°� �à í¯�:� ° ���¼��� �²���(®:�.�:�Â�%� �(�����6 Ê �:Ê���:� ( Ê ÈÅõ ���0� ( Ê���Ê ° Ê����6 Ê �¼Ê���:� ( Ê ÈÅõ ���0� ( Ê ¨�è¿fege'�! è è#" �@� ¸ �ª� ·f¸ � ¸1¿ kR��k�$ Â�¸ k ¿N¿ ��� Á|��¹:k��B�B�R�&%À� ·f¸ �.k��N�R� �B��k|�\�����R��¹ ���C� ·f¸ ���@�|�B»sk|���R��s½f�@» �B�B�|�����n� ·f¸Õ¿ �TÁ ¸� k|� ¸ �  ��� ¸�' A k��s���3»3�Bk|� ¸ �)(þ�B� ·C ��� ¸�' ��Ö��� ��� ' A�¯ ì+* í,� ì?°� �Ã í ¡ �-� Ç � � � ¯ ì+* í,� ì �  �à í/.�0 � ��� ' A�¯ ì+* í,� ì?°� �à í ì?> ¨���#�í( ·f¸ � ¸ %-� ¸ �@���B���213$54 ' ù � ·f¸� ��� ¸-¿ kR��k|¹ ¸ � ¸ ���76 ¸ � $54 ì?°� �à í,%0 � �ª� ' A ¯ ì+* í,� ì?°� �Ã í ¡98 �;: Ê��=<�> Ç ë¸ì ' í�kR�@�ª�=<�>CÇ ë,ì ' ù í,� ì?> ¨��3J:í

��v� ·f¸@? �R½A1 · �B��kR�\�����R��¹ ��� ��� ' A�¯ ì+* í5BC-���3���EDU¾ª�(�£¦0�7�(�0� ® ��� Ç � ' � ¯ ì+* í,� ì?°� �à í¯�%�0��� Ö��� Ç � ' � ¯ ì+* í,� ì?°� �à í��0� ì?> ¨��|�Æíª¦.�G�7§��C���Ö�-� �ª� ' A�¯ ì+* í,� ì?°� �Ã í ¡ F< Ä Q�G;H ���@Å ��Æ �-� Ç� ���s¯ ì+* í,� ì �  �à íI. é � Ä ×KJ Å A G Þ G A G ß Æ+L M Ä N&O ¨$© ÅKP Ø GRQ Ø Æ �

¡ �-� Ç � ���s¯ ì+* í,� ì �  �à í F< Ä Q G H ���dÅ �BÆ é � Ä ×KJ Å A G Þ G A G ß Æ�L M Ä N&O ¨$© Å P Ø G Q Ø Æ �&ST%�7�����(�0� ®Q�����2��Ê °�È ì� <VU  B <XW í/Y Ã Ê �0����� �§��������7����¼���­�:·m��� �É�³�:�0�<� ì� <VU  B <VW í����P��� �ɦ0��� � ' ù �¯�.����:¦�¦.�Æ�%�U�����:· ì á�¨âá > íª�����2�é � Ä ×KJ Å A G Þ G A G ß Æ�L M Ä N&O ¨$© ÅZP Ø GRQ Ø Æ � ¡�[ � �.� ë,ì �=<Ïí�� ë,ì ' ù í��¡ �� �7��� �(���%�0���7¨Ð%�G����7� ����������·µ·5�2���.�:�Å���y�;\����7¦W���»��� ������·�«A�(�¶�7�C���¥¤��G¦0�Õ� < �����2��«A�G¦0�:� ®Â���È«³�7���Å��� �µ���.¤��G¦���(���ª�7� ' A°�7��§ ' ù ¨×@]_^ �a`��cbed,fIghb�ijb�ilk�bnmofqpsr©P�¶� �¤��ª�0��������§�����,��� �y�G§ ®7�²�0��§��0�(�2���7�C����������.�:�½���%�����­�¼§��.±��0§ �G����� �²���(�C�7�¢¦0�0���G���­� ���³�7�����G§¹«�¬t ÕHG É �0�����°�Ë������� «£���(���(Ì���� �²���(�%�7� �G§�®7�G�%�7��§É�����²���(�ª�7��� �:�vuÿ�G§ ®7�G�G¨ã�¿�w�ä å�æ)å�çAäa èyx³è%ê � ¸ �z1 ¸ ���@�R�?»�k|���R�&�s½f�@» �B�B�|�Ã�:�È�5¦0�2�����0�� t ÕHG É ���C�5·5�2������� ®{ Ì ë|t ÕDG É~} � �   ��� Sê ¦0�0� � ' > ë|t ÕDG É ���ª���7�0§¼����«A�²�7� ¸ �;1 ¸ �.� {�ì ' í ¡ �²�7��§Â�ª�@�R�&� ¸ �z1 ¸ �7��� �(�����0���7¨WÁª���²���(�%�7�¢�7¦0¦¦0�0� �G�W�(¦0�7�����.º��G§µ�7���G§ ®7�G���0�¯§��G� �7���G§µ«�¬ { J � ì �Æí�¨WÁ%� �ª���¥¤��G¦0�2���G§¹¦0�0� � ' A¶�7�­�����(���2���G§µ�%�0���µ�7�¹�G§ ®7�' ���C§ �G� �7���G§Â�7��� ¿ �TÁ ¸� k|� ¸ � ¸ �;1 ¸ ¨

Page 46: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

L�ÑNM Ö �\[ �D]_^ â_` ]_aX]_a��D] ¶aâ�� c ÑÆÖê ���¥¤��G¦0�2���G§��G§ ®7�%·µ�2�µ�0�¢��� �ª«£�0���2��¬�����·Í�7�³��� �ª�0��§��0�(�2���7������������.�:���¢�7�½�7¦0¦����.¤��G¦0�2���G§5�G§ ®7�G�(¨ã�¿�w�ä å�æ)å�çAäa è��½è Áª��� ¿ �!Á ¸� k|� ¸ � ¸ �;1 ¸ ¹ik ¿ �7�¢�7�É�G§ ®7�¶����§��0�(�2���7�ª�>��������0�:� { �0�U��� �¶·µ�2�����0� ®{�� � { ¯ ì+* í ¡ �< Ä � G H �v� P�� Q {¯ì ' < í

��� ì ' < í�A�¯ ì+* í S ì?> ¨�� Ï íÁª� �»���:¦�¦.�Æ�%��� ®P��� �(�7���G· ��� �#�%�������2�������»¾%�7§��:� ���­�7�������7��·z�7� {�� � { ¯ ì�� í5�0�µ��� �Q����·Ý�7���� �¼·°��§���¦0�2���.�:���²�7�ª��� �¼¾%�7§ �:�N���­�7�������7�­· �7�.Ç � ���s¯U«�¬Å�7¦�¦W���0�������:��§��¶�7�������(�0�2���G§N�%�0���Ä���¥¤��G¦0�«³�G¦.�:� ®:�0� ®����µ�����y���¥¤��G¦0�2���G§É�G§ ®7�G��§ �(º�� �G§¼«�¬ { ¨�c� ¿�ç�î5¿oe� è è@� ·\¸ �.k����|�À�B��kR�\�����R��¹ ���&� ·\¸D¿ �TÁ ¸� k|� ¸ � ¸ �;1 ¸ ¹ik ¿ ���-kR� ¸ �;1 ¸ ���@�R�?»�k|���R����½o��»3�B�?�R�{ ��

���;{�� � { ¯ ì+* í,� ì?°� �Ã í ¡ F< Ä Q G H ���@Å��2�2��Å � ÆÆ ��� Ç� � � ¯ ì+* í,� ì?°.È�ì� <VU  B <XW í�Y ó �à í ì?> ¨�� / í

( ·f¸ � ¸ Ç ë,ì�{ J � ì �Æí�í ¡�� � <���,� '�� > { J � ì �Æí���½_» · � · k|�Ë� < > Ç ë,ì 'K� íE��%&kR�@� ��� Ç � �e��¯ ì+* í,� ì?°  �à í����� ¸ *ç� ¸ ��$E4-���2By���Z��BC-���3����D¯Î ���:· ì?> ¨$#�íC�7��§ ì?> ¨�� Ï í%�.�U���:¦0¦.�Æ���C�����2�{�� � { ¯ ì+* í ¡ �� Ä �y  H �v� P�� Q {¯ì 'Z� í F< Ä Q G H ���@Å �� �Æ Ç� � < ¯ ì+* í

�7��§»��� �(���(���7���7�£���7� * � > ë¸ì ��¡�í�� {�� � { ¯ ì+* � í ¡ ���.���7��§È�:��¦.¬É�.� �=¡�>�Ç ë,ì 'K� íC�7��§ 'K� > { J � ì �Æí�¨Áª���0�U�0�ª�;\����0±)�7¦.�G���C��� {�� � { ¯ ì+* � í ¡£¢ ì � ¡ í����%� �(�­�¢ ì � ¡ í ¡�[ � �.�@� ¡ > Ç ë,ì�{ J � ì �Æí�í� �7��� �(���%����� SÐ%�G����7� {�� � { ¯ ì+* í ¡ F< Ä Q�G�H � P�� Q ¢ ì ��<ÏíuÇ

� ��<�¯ ì+* í�0�C�°���.¤��G¦0�2���G§¼�>��������0�:�Â�7��§¼��� �²�����(�7���G·c���:¦0¦.�#�%�U���­�:·cÁª� �(�7���G·�á�¨KJ�¨¤ ������2®:�7�0�½�½���������(�£�2�­�2«�¦.���2�������Ƥ���·5�2���.�:�Ã�(�7�»«³�������G§»���É���G¦0�2������� �°¾%�7§ �:�Q�7��§ÃÐ��:� ®:����­�7�������7�­·5�U�7� {�� � { ¯ ì�� í�¨¥ ç�î)çVÁúÁ���9 è è3" �@� ¸ �¼� ·f¸ � ¸1¿ kR��k�$ Â�¸ k ¿�¿ ���3Á���¹ik|�B�?�R��%�� ·f¸ �.kN���R� �B��kR�\�����|�s¹ ���®� ·f¸�¿ �TÁ ¸� k|� ¸ �¸ �;1 ¸ ¹ik ¿ ����kR� ¸ �z1 ¸ ���@�R�?»�k|���R�F��½o��»3�B�?�R� { ���Ö�-�;{�� � { ¯ ì+* í,� ì?°� �Ã í ¡ �-� Ç � ����¯ ì+* í,� ì �  �à í/.�0 �;{�� � { ¯ ì+* í,� ì?°  �à í ì?> ¨��;¨:í

Page 47: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

L�ÑNM Ö �\[ �D]_^ â_` ]_aX]_a��D] ¶aâ�� c Ñ��( ·f¸ � ¸ %-� ¸ �@���B���213$54 ' ù � ·f¸� ��� ¸-¿ kR��k|¹ ¸ � ¸ ���76 ¸ � $54 ì?°� �à í,%

0 �;{©� � { ¯ ì+* í,� ì?°� �Ã í ¡98 �;: Ê���<ª>�Ç ëyì�{ J � ì �Æí�í'kR�@�C�=<=> Ç ëyì ' ù í,� ì?> ¨��;«:í��v� ·f¸@? �R½A1 · �B��kR�\�����R��¹ ��� {�� � { ¯ ì+* í5BC-���3���ED,Áª� �y�������7�¢�0�C�0§��G�<���0�(�7¦³���µ�����2�ª�7��¬J�G·5·µ� > ¨ > ¨

Page 48: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

­ ®n¯±°³²µ´·¶ ¸¹ º¼» ½ ¾ ¿À¾ ÁIÂ�ÃÄãÅ/Æ�¿ÈÇ Âɽ ¾ Ã£Ê ¿ ¾ Å/ÇaÆÌ˱¿�Ãa¿Í Âξ º¼½ ÃÏË£Âɽ ÇÑÐ@ºÒË!ÓÔKÕaÖØ×&Ù�Ú)ÛÜ×&ÝßÞ&ÖáàEâ;ãåä|àæÛ5çAÕ&ÚØÙyè�àEâéâ,à;ÚáÖáâ,Ù�Û5ÖØÙ7çAÕ�Úêç�ëcÖØ×�à3ÞìÙVí�à;îïî�ÝßÖáÖØÙ�Û5à t|ð�ñ ò Öáç·ó�Õ&Ù7Öáà ÚØô�õ�ÚáàEÖØÚ;ã�Ý�Õ&èÙ�Õ2ÖáâØç�è�ô&Û5àöÖØ×�àsç�õv÷áà;Û5Ö�ç�ëeøµÝ§÷áç�â@Ù�Õ�ÖáàEâ,à;ÚáÖ�ëRç�â�ÖØ×&Ù�ÚåÖØ×�à;ÚØÙyÚ(ÌqÖØ×�àsÙ�øµÝßù�à�ú@ûæàlÚáÖØÝßâØÖ�õ�ü-Û5çAÕ&ÚØÙyè�àEâ,Ù�Õ�ùÖØ×�àsà5ýhà;Û5ÖØÚ�ç�ëIÚØÝ�ølÞ�îyÙ�Õ�ùµÖØ×�àlþåÝ�è�çAÕ Öáâ,Ý�Õ&Úáë�ç�â,øÉÿ�õ2ü Û5çAølÞ�ô�ÖØÙyÕ�ùéÙ7ÖØÚ��ßÝ�î�ô�à;Úïç���àEâcÝéóìÕ&Ù7ÖáàcÚ,ô�õ�ÚáàEÖç�ëcÖØ×&à Þ çAÚØÚ,Ù7õ�î7à3Þ�Ýßâ,Ý�ølàEÖáàEâ,Ù��;ÝßÖØÙ7çAÕ&Ú��Üã�ä�×&ÙyÛ,×±î7à;Ý�è&Ú)ÖáçÄÖØ×�à#è&àEó�Õ&Ù7ÖØÙ7çAÕaç�ëªÖØ×�àæè&Ù�ÚØÛ5âØàEÖáà#þåÝ�è�çAÕÖáâ,Ý�Õ&Úáë�ç�â,øú=ûæàåÖØ×�à;ÕêÚáÖØô�è�ü���Ýßâ,Ù�çAô&Ú�ÚáàEÖØÚ|ÖØ×&ÝßÖeäåÙ�î�îvõ à ç�ë�ù�âØà;ÝßÖ|ÙyÕ�ÖáàEâØà;ÚØÖ|Ù�ÕµÚ,ô�õ�Úáà;\�ô�à;Õ2ÖeÛ,×&ÝßÞ�ÖáàEâ,Ú(ÌÖØ×�àcÝ�è�øµÙ�ÚØÚØÙ�õ�î7à@ÚáàEÖ�ç�ë�Ý�Õ Ù�øµÝßù�à)ÿ�ÖØ×�àcÚØàEÖåç�ë�î�ÙyÕ�à;Ú ÖØ×&ÝßÖïÝßâØàcÚØô&Þ&Þ ç�âØÖáà;èõ�üÖØ×�àcÙ�øêÝßù�à��ÜãhÝ�Õ&è-ÖØ×�àÙ�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÙ�Õ�ù@ÚáàEÖØÚ�ç�ëìÖØ×�à/âØà;ÚØÖáâ,Ù�Û5ÖØÙ7çAÕ&Ú=Öáç@ÖØ×&àqÙ�øµÝßù�à/ç�ëhÝ@îyÙ�Õ�à@ÿ�ä�×&Ù�ÛÜ×cäIàqè�à;Õ�ç�Öáà õ�üsî�Ù�Õ�à/ÚáàEùAølà;Õ2Ö��ÜãÝêÚáÖáâÜÙ7Þ ÿ+ÚáÖáâ,Ù�Þ3ÚáàEùAølà;Õ2Ö��Üã�Ý�Õ&è-ÝêÞ�ÙVívà;î�ÝßÖáà;è-îyÙ�Õ�à�úUÁq×�à;ÚáàªÝßâØàöÖØ×�àªÚáàEÖØÚåç�ë�Ý�î�î�î�ÙyÕ�à;Ú ä�×�çAÚØàöÚØô�Þ&Þ ç�âØÖÚáàEÖ|×�Ý�Ú|Õ�çAÕ�u�à;ølÞ&Ö_üµÙyÕ�ÖáàEâ,ÚØà;Û5ÖØÙ7çAÕêäåÙ7ÖØ×lÖØ×�àïÚØô�Þ&Þ ç�âØÖeÚØàEÖeç�ë�ÖØ×�àïî�Ù�Õ�à�ÚØàEùAølà;Õ�ÖEã�ÚáÖáâÜÙ7ÞêÚáàEùAølà;Õ2ÖEã�Ý�Õ&èÞ�ÙVívà;î�ÝßÖáà;èlî�Ù�Õ&à�ã�âØà;ÚáÞ à;Û5ÖØÙ��à;î7ü�ú�ûæàåè�àEâÜÙ��à Ý~ÛEî7çAÚáà;èvu�ë�ç�â,ø à5ívÞ&âØà;Ú,ÚØÙ7çAÕªëRç�âeÖØ×�àqó&â,ÚØÖ=Ý�Õ�èsÖØÙ7ùA×�Ö|î7çzäIàEâáuÝ�Õ&è�ô�Þ�ÞhàEâØu�õhçAô�Õ&è&Ú�ë�ç�âqÖØ×�àöç�ÖØ×�àEâqÖ_äIç�ú^c]� � �sb³iµ`Ør�����b=g b�� f i����¼g���f��sr������ m� çë+Ýßâ~ä|àé×&Ý���àêÝ�Ú,ÚØô&ølà;èæÖØ×�ÝßÖ ���ïÖØ×�àêîyÝßÖáÖØÙ�Û5à teð©ñ ò Ù�Ú@ô&Õ2õ çAô&Õ&è�à;è�Ý�Õ&è"!#��ÖØ×�à���ÝßâÜÙ�Ýßõ�î7à;Úµÿ%$�&('��ÛEÝ�Õ)ÖØÝ*)�àöÝ�Õ2ü+�ßÝ�î�ô�à@Ù�Õ-,£.+. ú�ÔKÕ)ÖØ×�à@Û5çAÕ2Öáà5í�Öåç�ë�ÖØ×&ÙyÚ|ÖØ×&à;ÚØÙ�ÚEãväIà~ÝßâØà~Ù�Õ2ÖáàEâØà;ÚáÖáà;èÙ�Õ)ÝßÞ&Þ�îyÙ�ÛEÝßÖØÙ7çAÕ&Úç�ë©ÖØ×&à�þåÝ�è�çAÕÖáâ,Ý�Õ�ÚáëRç�âÜø�ÖáçµÙ�øµÝßù�à@Þ&âØçvÛ5à;ÚØÚØÙyÕ�ù�ú�Áq×&Ù�Ú/Ù�ølÞ çAÚáà;ÚIÖ�ä|çµâ,à;ÚáÖáâ,Ù�Û5ÖØÙ7çAÕ�ÚEú�/�Ù�â,ÚáÖEãvõ à;ÛEÝ�ô&ÚáàÙ�øµÝßù�à;Ú ÝßâØà�ó�Õ�Ù7ÖáàïÛ5çAîyî7à;Û5ÖØÙ7çAÕ&Ú/ç�ë©Þ�ÙVívà;î�ÚEã�äIà~Õ�àEà;è ÖáçµÛ5çAÕ&ÚØÙyè�àEâ/ó�Õ&Ù7Öáà�ÚØô�õ�ÚØàEÖØÚ|ç�ë©ÖØ×�à@î�ÝßÖáÖØÙ�Û5à t|ð�ñ ò ú0�¿�w�132546287�1:9<;%=>;%Áq×&à~ÚØô�õ�ÚáàEÖ ç�ë t|ð�ñ ò ÚØô&ÛÜ×ÖØ×&ÝßÖ

?+@ !BADCBA @ ! Ý�Õ&è ?FE !GADHIA E ! ÿKJ�ú����L�M

Page 49: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

NPORQTSVU�WYX[ZY\^]�_�`aX>U�X[`�b<ZdcdefU�`�bde<]�ghc<`ai L*jÙ�Úïè�à;Õ�ç�Öáà;è3õ2ü tlk ñ mð©ñ ò Ý�Õ&è3âØàEë�àEâØâØà;è�ÖáçÝ�ÚïÖØ×�à+nporq%q^s%t�uµç�ëeÚØÙ��Eà ÿ Ewv ���5ÿ @xv ���Üú,Áq×�àªÝ�ÚØÚáçvÛEÙ�ÝßÖáà;èÛ5çAî�î7à;Û5ÖØÙ7çAÕ ç�ë ÞìÙVí�à;îyÚeÙ�Ú|âØàEë�àEâØâØà;èéÖáçsÝ�ÚIÖØ×�àysKz�oz1Ru�ç�ë©ÚØÙ�Eàlÿ E{v ���5ÿ @|v ����Ý�Õ�è è&à;Õ�ç�Öáà;è õ2ü~} k ñ mð©ñ ò} k ñ mð©ñ ò��{� ?������ U & ����� U*� . � ?��r��� U & �r��� U*� & ÿKJ�ú�!#�ä�×�àEâØà ����� U ����� @ !�� v �!a� � Ý�Õ&è �r��� U ����� E !�� v �!���� S ÿKJ�ú��#���¿����>��� 9<;^=�;~�åàEóìÕ&Ù7ÖØÙ7çAÕ&Ú~��ú��Ý�Õ�è ��ú�¡Ù�ølÞ�î�ü�ÖØ×&ÝßÖ@à;è�ù�à;Ú~×�Ý���àêÙ�Õ&ó�Õ&Ù7Öáàsî7à;Õ�ù�ÖØ×æÝ�Õ&èæÕ&çùAÝßÞ�ÚEúÔKÕ ÖØ×�àéÛ5çAÕ2Öáà5ívÖcç�ëqÙ�øêÝßù�àéÝ�Õ&Ý�î7üvÚØÙ�Ú;ã�ÖØ×&Ù�ÚcÙ�ÚöÚØà;Õ&ÚØÙ7õ�î�àsÝ�Úªî7çAÕ�ù Ý�ÚöÖØ×&àéÝ�Õ&Ý�î7üvÚØÙ�ÚöÙ�Úöî7çvÛEÝ�î�ã=Ù�ú à�ú)ÖØ×�àÚØÙ�Eà~ç�ë�ÖØ×&àcÙ�øµÝßù�àcâØàEùAÙ7çAÕ3ô&Õ&è�àEâ�Ý�Õ�Ý�î7ü�Ú,Ù�ÚqÙ�ÚqÚ,øµÝ�î�î7àEâqÖØ×�Ý�Õ-ÖØ×�àcøµÙ�Õ&Ù�øªô&ø î7à;Õ&ù�ÖØ×�ç�ë�Ù�øµÝßù�àcà;è�ù�àÚáàEùAølà;Õ2ÖØÚEú�Á�ç@Ý�ÛEÛ5çAô&Õ2Ö=ëRç�â=ÖØ×&ÙyÚ©ÚØÙ�ÖØô&ÝßÖØÙ7çAÕcä|àIä�Ù�î�î�Û5çAÕ&ÚØÙ�è�àEâzãßÙyÕcÚØô&õ�Úáà;\�ô�à;Õ�Ö�Û,×&ÝßÞ�ÖáàEâ,ÚEãAÚØô�õ&u_Ù�øµÝßù�à;ÚÝ�ÚØÚáçvÛEÙ�ÝßÖáà;è�ä�Ù7ÖØ×�ÚØô&õ�ÚáàEÖØÚïç�ë t k ñ mð�ñ ò ú~ûæàläåÙ�î�î�ãh×�çzäIà¢��àEâ;ã âØà;î�ü�çAÕ�ÖØ×�àlÚØÝ�ølàlÕ�ç�ÖØÝßÖØÙ7çAÕ�Öáç)âØàEë�àEâ@ÖáçÖØ×�à~Ù�øµÝßù�àcÝ�Õ&è�Ù7ÖØÚqÚ,ô�õ�u_Ù�øµÝßù�à@î�ÝßÖáÖØÙyÛ5à;ÚEú� à;Û5çAÕ&è ã�Ù7ÖcÙ�ÚöÙ�øµÞhçAÚ,ÚØÙ7õ�î7àªÖáç3Û5çAøµÞ�ô�ÖáàêÖØ×&àéþ�Ý�è&çAÕ#Öáâ,Ý�Õ&ÚØëRç�â,øoëRç�âªÝ�î�î�Þ çAÚØÚØÙ�õ�î7àlî�Ù�Õ�àlÞìÝßâ,Ý�øsuàEÖáàEâ,Ù�;ÝßÖØÙ7çAÕ�ÚEú Áq×�à�Û5çAøµÞ�ô�ÖØÝßÖØÙ7çAÕÑÙyÚµÛ5çAÕ&Úáà;\�ô�à;Õ2ÖØî7ü â,à;ÚáÖáâ,Ù�Û5Öáà;è Öáç Ý#î�ÝßÖáÖØÙ�Û5àç�ëµÿ^£ v ���5ÿ¥¤ v ���Þ çAÙ�Õ�ÖØÚt�¦Y§¨%© ñ ª © �¬« ÿ%$�&®­R�/>¯,9.±°±�� ÿ%$�&®­R� ��² $´³`¿ ¨ v¶µ ­*³´¿ ª & ? £ !�A ² A £ ! & ? ¤ !�A µ A ¤ ! · &ä�×�àEâØàп ¨ � ÿ¸�*&®¹º�qÝ�Õ�èm¿ ª � ÿ^¹�&����Üú�/�çAîyî7çzä�ÙyÕ�ùlÖØ×�àcÚØÖØÝ�Õ&è&Ýßâ,èÞ�â,Ý�Û5ÖØÙ�Û5àcÙyÕ�ÚØÙ7ùAÕ&Ý�î Þ�âØç�Û5à;Ú,ÚØÙ�Õ�ù�ã&äIàâØà;î7üéçAÕ-Ýlô&Õ&Ù�ëRç�â,ø Ú,Ý�ølÞ�î�Ù�Õ&ùcç�ë�ÖØ×�à»$ïÝ�Õ&语µä�Ù7ÖØ×

­ ³ �½¼¤ Ý�Õ&è�$ ³ ��¾ @�¿ÀvfE±¿£ S ÿKJ�úÁJR�Áq×�àåâØà;ÚáÖáâ,ÙyÛ5ÖØÙ7çAÕêç�ë�ÖØ×�àïþåÝ�è�çAÕéÖáâ,Ý�Õ&Úáë�ç�â,ø ÖáçªÖØ×&àïÚáàEÖIç�ë�øµÝßÞ�Þ�Ù�Õ�ùAÚeëRâØçAø Þ�ÙVívà;î�ÝßÖáà;èéë�ô�Õ&Û5ÖØÙ7çAÕ&Úè�àEó�Õ�à;è)çAÕ t�k ñ mð©ñ ò Öáçµë+ô&Õ&Û5ÖØÙ7çAÕ&Ú/äåÙ7ÖØ×è�çAøµÝ�Ù�Õ t ¦ ñ §¨%© ñ ª © Ù�Ú/ÖØ×�àöè�Ù�ÚØÛ5âØàEÖáà~þåÝ�è�çAÕÖáâ,Ý�Õ&ÚØëRç�â,ø�ú0�¿�w�132546287�1f9Y;5Â�;�Ã�Ù���à;Õ ÝcÞ�ÙVívà;î�îyÝßÖáÖØÙ�Û5à t k ñ mð©ñ ò Ý�Õ&è ÝcÞ�Ýßâ,Ý�ølàEÖáàEâ î�ÝßÖáÖØÙ�Û5à t ¦ ñ §¨%© ñ ª © ã�ÖØ×�àª�6ÄGÅ*s8ÆÇt�È(u�qÉuÊ�o#Å#ËrÌ"q^ȸorÌÍÆ8΢Ë*È´zÉÿ^��þ¢Á��Iç�ë=ÝlÞ�Ù7í�à;î�ÝßÖáà;è�ë�ô&Õ�Û5ÖØÙ7çAÕè�àEó�Õ�à;è)çAÕ t�k ñ mð©ñ ò Ù�Ú/ÖØ×�àöøêÝßÞ&Þ�Ù�Õ�ùÏ_̺ÐÒÑ t k ñ mð©ñ ò } , �ÍÓ � ÔÕ © � Ö ©

Ï-× � ¢ÇØ ÿ^ÙÀ� � ÿ%$ � &(' � � � ÚÛ�ÜTÝ>Þ�ß �Íà � áâ � ã ¢ ÿpä Û �Pϯå�Ð � äçæ � ÿ^ÙÀ�éè|ÿ¥$´ê ? ÿ ² Ûpë & ² Ûpì �dí�' ê &(' ê ��& ÿKJ�ú��#�ä�×�àEâØàîÐÒÑðï k ñ mð©ñ ò Ù�ÚlÖØ×�à3ÚáàEÖêç�ë�Þ�ÙVívà;î�ÝßÖáà;èÄë+ô&Õ&Û5ÖØÙ�çAÕ&Úµè�àEó�Õ&à;èÄçAÕ:ï k ñ mð�ñ ò ãlϯå�Ð � äÀæ � ÿ^ÙÀ�éè2ÿ%$�&('��sÙ�ÚùAÙ��à;Õõ�ü#ÿ%!�ú�! / �Üã�' ê � ÿ+Û5çAÚ�­6êº&ØÚØÙyÕ�­�ê*�Üã�Ý�Õ&è ÿ%$´êR&®­�êr��ñ¯ï ¦ ñ §¨%© ñ ª © ú

Page 50: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

NPORQ òóU�WYXô\8eYU�X>`Y]�X�_�U�\8e<õö]�X>U¶c<g±bø÷#\KeYX ]�X�õdi�X>eYU L�ùÔKÖ/ÙyÚ|ÛEî7à;Ýßâ/ë�âØçAø ÖØ×&Ù�Ú/è�àEó�Õ�Ù7ÖØÙ7çAÕµÖØ×�ÝßÖIÖØ×&à���þ¢Á£Ù�ÚIÚØÙ�ølÞ�î�üªÖØ×&àïâ,à;ÚØô&î7Ö|ç�ë©ÚØÝ�ølÞìî�Ù�Õ�ù~ÖØ×&à�þåÝ�è�çAÕÖáâ,Ý�Õ&Úáë�ç�â,ø ç�ë=ÝlÞ�Ù7í�à;î�ÝßÖáà;è)ë+ô&Õ&Û5ÖØÙ�çAÕÝßÖqÖØ×�à��ßÝ�î�ô�à;Úöÿ%$´êR&(' ê �Üã�Ù�ú à�ú

Ï+× �Áú Ø ÿ^Ù�� � ÿ%$´êR&(' ê � � Ï �Áú Ø ÿ^Ù�� � ÿ%$�&('��¢û�ü ¨¥ý�¨¥þ ñ ÿ ý ÿ þ������à;Õ�Û5à�ã&Ý�î�îhÖØ×�à@âØà;ÚØô&î�ÖØÚeÖØ×&ÝßÖ äIàEâØà@Þ&â,à¢��Ù7çAô�ÚØî7ülç�õ&ÖØÝ�Ù�Õ&à;èéë�ç�â ÖØ×�à@þ�Ý�è&çAÕ)Öáâ,Ý�Õ&Úáë�ç�â,ø ÝßâØà@ÚáÖØÙ�îyî��ßÝ�î�Ù�èëRç�âåÖØ×�à»��þ¢Á@ú�/�ç�âåÖØ×&à;ÚáàöâØà;Ý�ÚØçAÕ&ÚEã�äIàöäåÙ�î�î è�âØç�Þ3ÖØ×�à��)ÚØô�õ�Ú,Û5â,Ù7Þ&Ö Ý�Õ&è3ÚØÙ�ølÞ�î�üêâØàEë�àEâ�ÖáçéÖØ×�à»��þ¢ÁÝ�Ú�Ï �Áú Ø ÿ^ÙÀ� � ÿ%$´êh&(' ê �Üú��� � ���� é�����ç�����ç���� ����������{�������� é������� �"!��À���# øµçAÕ�ùæÖØ×�àâØà;ÚØô�î7ÖØÚsç�ëåÖØ×&àÞ&âØà¢�vÙ7çAô&ÚsÛ,×&ÝßÞ�ÖáàEâ,ÚEãIÖØ×�à�ølçAÚáÖlâØà;î�à¢��Ý�Õ2Öµë�ç�âlà;è�ù�à-è�àEÖáà;Û5ÖØÙ7çAÕ Ù�ÚsÖØ×�àþ�Ý�è�çAÕ-Öáâ,Ý�Õ&Úáë�ç�â,ønç�ë�ÖØ×&àöÞ�ÙVívà;î�ÝßÖáà;èà;è&ù�àªøµÝßÞ�ú # ÚåÚ,×�çzä�Õ-Ù�ÕÂÁq×�àEç�â,à;ø ��ú��êÝ�Õ&è%$Iç�â,çAî�î�ÝßâØüî��ú���ãëRç�âIÝ@ùAÙ��à;Õéî�Ù�Õ�à'&¸ê � ÿ%$´êR&(' ê �ÜãRϯå)(+* � ( � ÿ^Ù��éè2ÿ,& êr�=Ù�Ú�è&àEÖáàEâ,øµÙ�Õ�à;èµõ2üsÖØ×�àqÞìÙVí�à;îyÚaä Û ÖØ×�ÝßÖeÚØÙ�øªô&î7ÖØÝ.-Õ�àEçAô&ÚØî�ü~õ à;î7çAÕ�ùïÖáç�Ð0/ïÿ,(21�3§ÿ¸���(��Ý�Õ&èyÐ0/�ÿ,&¸ê6�Üú=ÔKÖ�ëRçAî�î�çzä�Ú�ÖØ×&ÝßÖ�ÖØ×�à çAÕ�î7ü~à;è�ù�à;Ú�äå×&Ù�Û,×sÝßâØà â,à;î7à¢��Ý�Õ2ÖÖáç�ϯå)(+* � ( � ÿ^Ù��éè2ÿ,&(êr��Ýßâ,àåÖØ×�çAÚØàïÖØ×�ÝßÖIÙ�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5Ö/Þ�Ù7í�à;î�Ú|Ù�Õ+Ð0/ïÿ,(21�3§ÿ¸���(�ÜúWÁ©çlÛ,×&ÝßâÜÝ�Û5ÖáàEâ,Ù�Eà@ÖØ×�à�ÚáàEÖç�ë�Ú,ô&Û,×à;è&ù�à;ÚqäIàöÚáÖØÝßâØÖqõ�ü)Ù�Õ�Öáâ,ç�è&ô�ÛEÙ�Õ�ùsÖØ×�à~ÚáàEÖqç�ë�Ý�è&øêÙ�ÚØÚØÙ7õìî7àåî�ÙyÕ�à;Ú/ç�ë�} k ñ mð©ñ ò ú0�¿54�132546287�1:9<;76a;%Áq×&à o#Å*z�s5Æ�Æ�s98Çn�u»Æ¢u�qIç�ë�} k ñ mð©ñ ò Ù�Ú/ÖØ×&àöÚáàEÖqç�ë=Ý�î�î�î�Ù�Õ&à;Ú ÚØô�Þ&Þ ç�âØÖáà;è)õ�ü»} k ñ mð©ñ ò úÁq×�à@ë�çAî�î7ç§ä�Ù�Õ�ùlî7à;øêøµÝlÛ,×&ÝßâÜÝ�Û5ÖáàEâ,Ù�Eà;ÚåÖØ×�à~Ý�è&øµÙ�Ú,ÚØÙ7õ�î7à�ÚáàEÖEú:è¿��¶�"�[9Y;%=�;<;+=�u�o#Å*z�s8ÆéÆ´s>8¢nu�Æ�u¢q�s5Æ�q,=�u�Æ�u¢q? ÿ � ��� ë & � ��� ë � � å2ÿ%$�&®­R��@@ û $rû A � ��� ë ûKÛ5çAÚ�­�û v � ��� ë ûKÚØÙ�Õ�­�û�è#& ÿKJ�ú�¡#�A =�uÇÈ®u ����� ë o*Ì�Å �r��� ë o*È®u0B#sDCruÇÌ�8FEHGDIKJMLONPJQlÈ(Ë�˸ÎORTS�àEÖU& � ÿ%$�V¥&®­.V8� õhàIÝåîyÙ�Õ�àeÚØô&Þ&Þ ç�âØÖáà;è~õ�ü�} k ñ mð�ñ ò Ý�Õ&èªÛ5çAÕ&ÚØÙyè�àEâ3/=Ù7ùAô&âØàÀJ�ú��Iä�×&ÙyÛ,×öè&àEÞ�Ù�Û5ÖØÚ��ÝßâÜÙ7çAô&ÚeîyÙ�Õ�à;Ú�ç�ë Ý�Õ�ùAî�à�­.V�ë�ç�â|ÖØ×&à�ë�çAî�î7çzäåÙ�Õ�ù~Ö�ä|çsÛEÝ�Úáà;Ú(ÌÀ2XW�¹ A ­YV A[Z ¿ Ý�Õ&è�2K2XW Z ¿ A ­.V A ¼ úç/&âØçAøÖØ×�à�è�àEó�Õ&Ù7ÖØÙ�çAÕµç�ë©Ú,ô�Þ&Þ ç�âØÖeÚáàEÖEãvÖØ×�à�à5ívÖáâØà;øµÝy�ßÝ�î�ô�à;ÚIç�ëd$�VhÖØ×&ÝßÖ î7à;Ý�è ÖáçsîyÙ�Õ�à;ÚeÚ,ô�Þ&Þ ç�âØÖáà;èµõ�ü�} k ñ mð©ñ òÝßâØà~ÖØ×�çAÚØà~ç�ë©ÖØ×&àöî�Ù�Õ�à;ÚIÖØ×&ÝßÖåÛ5çAÕ�ÖØÝ�Ù�Õ-ÖØ×�à~Û5ç�â,Õ�àEâÜÚqç�ë�} k ñ mð�ñ ò ú¯Áq×&Ù�Ú/ølà;Ý�Õ&Ú2XW�ÖØ×�àöîyÙ�Õ�à;ÚIÖØ×&ÝßÖqÞ�Ý�Ú,Ú ÖØ×�âØçAô�ùA×%\lÿ ����� ë & �r��� ë �Üã2^2XW�ÖØ×�àöî�ÙyÕ�à;ÚIÖØ×&ÝßÖqÞ�Ý�ÚØÚqÖØ×�âØçAô�ùA×]\µÿ � ��� ë & ?�� ��� ë �ÜúÔ�Ö ë�çAî�î7ç§ä�Ú ë�âØçAø ÖØ×�à~îyÙ�Õ�à�à)^2ô�ÝßÖØÙ7çAÕÖØ×&ÝßÖ2XW�$�V A ����� ë Û5çAÚ�­YV v �r��� ë Ú,Ù�Õ�­YV�Ý�Õ&è $�V`_ ?������ ë Û5çAÚ�­.V ?I�r��� ë ÚØÙ�Õ�­.V�ç�âqà)^�ô&Ù�ßÝ�î7à;Õ�ÖØî�üû $�V û A ����� ë Û5çAÚ>­.V v �r��� ë ÚØÙyÕ�­.V �

Page 51: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

NPORQ òóU�WYXô\8eYU�X>`Y]�X�_�U�\8e<õö]�X>U¶c<g±bø÷#\KeYX ]�X�õdi�X>eYU LYa

max,y )max−(x

(xmax,y )max max,y )max(−x

(xmax )max,−y

i) ii)

/=Ù7ùAô�âØà~J�ú��2Ìcb�dfe9gih�j.k`lignmYopk+h�qrdfm.s�lioctvuwqxhfe�y{z2|c}<tvu~}��~����d�m.�"yxy{z�������}�tvu~}��K�2^2XW�$�V A ?������ ë Û5çAÚ�­YV v �r��� ë ÚØÙyÕ�­YV�Ý�Õ&èî$�V+_ ? ÿ ?������ ë Û5çAÚ�­.V v �r��� ë ÚØÙyÕ�­.V8�|ç�â à)^�ô&Ù�ßÝ�î7à;Õ2ÖØî7üû $�V û A ?������ ë Û5çAÚ�­YV v �r��� ë ÚØÙyÕ�­YV ���à;Õ�Û5à�ã û $�V¸û A �r��� ë ûKÚ,Ù�Õ�­.VÉû v ����� ë ûKÛ5çAÚ�­YVÉûT&Ý�Õ&èÖØ×�à~î�à;øµøµÝsë�çAî�î7çzäåÚEú

0�¿54�132546287�1¯9<;p9<;�Ã@Ù��à;ÕöÝåî�Ù�Õ�à�& � ÿ%$�&('���ÚØô�Þ&Þ ç�âØÖáà;è�õ�ü@ÝqÚáàEÖ���ã�ÖØ×�à�n s8Ì�u�Æ¢u9B#z uÇÌ�q�& Ü � Ý�ÚØÚáçvÛEÙ�ÝßÖáà;èä�Ù7ÖØ×�&/Ù�Ú/ÖØ×�à~â,à;ÚáÖáâ,Ù�Û5ÖØÙ7çAÕ)ç�ë�&|Öáç<�ú� Õ�à/Ù�ølÞ ç�âØÖØÝ�Õ2Ö©Ú,ô�õ�ÚáàEÖ©ç�ë&ÖØ×�à Ý�è&øµÙ�Ú,ÚØÙ7õ�î7à�ÚØàEÖ�Ù�Ú©ÖØ×�à Ù�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÙ�Õ&ùåÚáàEÖ=ç�ë�ÝïùAÙ��à;Õsî�Ù�Õ&àeÚáàEùAølà;Õ2ÖEãä�×&Ù�ÛÜ×Ù�Ú è�àEó�Õ&à;è�Ý�Ú ë�çAî�î7çzäåÚEú0�¿54�132546287�1 9<;M��;0�q×�à�sKÌ�qÉuÇÈ�Æ¢uét�q^sKÌwB±Æ¢u�q�ç�ë�nTsKÌ�uðÆ¢uXBrz uÇÌ�q�& Ü � Ù�Ú�ÖØ×�àêÚáàEÖ@ç�ë/Ý�î�î�î�ÙyÕ�à;Ú�ÚØô�Þ&Þ ç�âØÖáà;èõ2ü��nÖØ×&ÝßÖ�Ù�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖT& Ü �

}c/���& Ü �'� �[� &��~@@ /��>& Ü �'��� /ïÿ,&��������r� �ÔZÕéç�âÜè�àEâ/ÖáçsÛÜ×&Ýßâ,Ý�Û5ÖáàEâ,Ù��Eà@ÖØ×&Ù�ÚIÚáàEÖEã�ä|à@ÚáÖØÝßâ,ÖIõ�üêÙ�Õ2ÖáâØçvè&ô&ÛEÙ�Õ&ùöݪÖØÝ�í�çAÕ�çAøcü ëRç�â Ý�î�îhî�Ù�Õ�à;ÚIÙ�ÕéÖØ×�àÝ�è&øµÙ�Ú,ÚØÙ7õ�î7àïÚáàEÖEú0�¿54�132546287�1 9<;{�Y; $IçAÕ&Ú,Ù�è�àEâªÖØ×�à îyÙ�Õ�à;ÚªÙ�Õ ? ÿ ����� ë & �r��� ë �Üú¡�q×�à)î�Ù�Õ&à;Ú � � �r��� ë ã � � ?��r��� ë ã

Page 52: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

NPORQ òóU�WYXô\8eYU�X>`Y]�X�_�U�\8e<õö]�X>U¶c<g±bø÷#\KeYX ]�X�õdi�X>eYU O.¢� � ����� ë ã&Ý�Õ&è � � ?������ ë ÝßâØàöè&à;Õ�ç�Öáà;èõ�ü£ V � ÿ ?��r��� ë & ¼+¤ !#�£ ò � ÿ �r��� ë & ¼+¤ !#�¥ V � ÿ ?�� ��� ë & ¹º�¥ ò � ÿ ����� ë & ¹º� �# îyÙ�Õ�à�ÚáàEùAølà;Õ2ÖåÝ�ÚØÚáçvÛEÙ�ÝßÖáà;èäåÙ7ÖØ×Ýlî�Ù�Õ�à�& � ÿ%$�V¥&®­.V8��ñ ? ÿ � ��� ë & � ��� ë �IÙ�Ú Ý-Æ¢uXBrz uÇÌ�ql˸Î�q�E�¦Íu<§Vã`§,§Vãç�â�§,§D§�Ù7ë�&|ÙyÚqÝ�Õà;î7à;ølà;Õ2Öqç�ë=ÖØ×�à~ÚáàEÖ�Ï�¨7ãÍÏ�¨©¨Vã�ç�â�Ï�¨©¨n¨Vã�âØà;ÚáÞ à;Û5ÖØÙ��à;î7ü�ã�ä�×&àEâØà

Ï�¨ � � & @@ /�ÿ,&(� � /�ÿ £ V8������ Ý�Õ&èª/�ÿ,&¸� � /�ÿ £ ò ����ª� � ÿKJ�ú / �ÏH¨n¨ � � & @@ /�ÿ,&(� � /�ÿ ¥ V8�"��ª� Ý�Õ&èª/ïÿ,&®� � /�ÿ ¥ ò �"��ª� � ÿKJ�ún«#�Ï�¨©¨n¨ � � & @@ &��ñîÏ�¨Y¬-ÏH¨n¨ � � ÿKJ�ún­#��q×�à-ÖØ×�âØàEà-ÚØô&õ�ÚáàEÖØÚðÏH¨XãlÏH¨n¨7ã Ý�Õ&èDÏ�¨©¨n¨�Þ�ÝßâØÖØÙ�ÖØÙ7çAÕ ? ÿ ����� ë & �r��� ë �sÙ�Õ2Öáç ÚáàEÖØÚéç�ë�îyÙ�Õ�à;Úlä�×�Ù�Û,×Ù�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖIÖØ×�à@×�ç�â,Ù�EçAÕ2ÖØÝ�î�õ çAô&Õ�è&Ýßâ,Ù7à;Úeç�ë>} k ñ mð�ñ ò ÿ�Ö�ü2Þ à�§��Üã�ÖØ×&à���àEâØÖØÙyÛEÝ�îìõ çAô&Õ�è&Ýßâ,Ù7à;Úeç�ë>} k ñ mð�ñ ò ÿ�Ö�ü2Þ à§D§��Üã2Ý�Õ&èªçAÕ�à ×�ç�â,Ù�EçAÕ2ÖØÝ�î�Ý�Õ&èsçAÕ�àl��àEâØÖØÙ�ÛEÝ�îvõ çAô&Õ�è&ÝßâØü@ç�ëº} k ñ mð©ñ ò ÿ�Ö_ü�Þ à®§D§,§ �Üú2�q×�àEücÝßâ,à/ÛÜ×&Ýßâ,Ý�Û5ÖáàEâ,Ù��Eà;èõ2ü ÖØ×�à~ë�çAî�î7ç§ä�Ù�Õ�ùlî7à;øêøµÝvú:è¿��¶�"�[9Y;5Âa;"¯<u�q+& � ÿ%$�V¥&®­.V8�8�uyo n sKÌ�u�Æ�°Y¦±¦�ËrÈ´qÉuéÅH8FE�} k ñ mð�ñ ò J²;+=�u¢Ì´³ÏH¨ � � ÿ%$�V¥&®­YV8��@@ û $�V¸û A @@ ����� ë ûKÛ5çAÚ�­YVPû ?I�r��� ë Ú,Ù�Õ�­YV�@@ &®­YVYñ �iµ & ¼ ? µ � � & ÿKJ�ú��¢¹º�ÏH¨n¨ � � ÿ%$�V¥&®­YV8��@@ û $�V¸û A @@ ����� ë ûKÛ5çAÚ�­YVPû ?I�r��� ë Ú,Ù�Õ�­YV�@@ &®­YVYñ � ¹�& µ � ¬ � ¼ ? µ & ¼ � � & ÿKJ�ú��r���Ï�¨©¨n¨ � � ÿ%$�V¥&®­YV8� @@ @@ ����� ë ûKÛ5çAÚ�­.VÉû ?I�r��� ë ÚØÙ�Õ�­.V @@ A û $�V¸û A @@ ����� ë ûKÛ5çAÚ�­.VPû v �r��� ë ÚØÙyÕ�­YV @@ � &ÿKJ�ú���!#�A =�uÇÈ®u µ�� ÝßâÜÛEÚØÙ�Õ<¶ � ��� ë· ¸ o*Ì�Å�· �[¹ � ¿��� ë v � ¿��� ë � ÿKJ�ú����#�QlÈ(Ë�˸ÎOR�$IçAÕ&ÚØÙ�è&àEâº&�ñ ÏH¨7ú � Ù�Õ&Û5à0& Ù�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÚïõ ç�ÖØ× £ V�Ý�Õ&è £ ò ãK/ïÿ,&®� Û5çAÕ2ÖØÝ�Ù�Õ&Ú�Ö_äIç)ÞhçAÙyÕ�ÖØÚ ç�ëÖØ×�à@ë�ç�â,øoÿ � & � � \ �r��� ë ��& ?������ ë A � A ����� ë ú�Ô�Ö�ëRçAî�î�çzä�ÚEãvë�âØçAø ÖØ×�àcî�Ù�Õ�à�à)^�ô&ÝßÖØÙ7çAÕ�ã�ÖØ×&ÝßÖ

� � $�Vw» �r��� ë ÚØÙ�Õ�­.VÛ5çAÚ�­.V �Ý�Õ&è ?������ ë A $�V~» � ��� ë Ú,Ù�Õ�­YVÛ5çAÚ�­YV A ����� ë &

Page 53: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

NPORQ òóU�WYXô\8eYU�X>`Y]�X�_�U�\8e<õö]�X>U¶c<g±bø÷#\KeYX ]�X�õdi�X>eYU ORSëRâ,çAø ä�×&Ù�ÛÜ× \ � ��� ë ÚØÙ�Õ�­.V ?[� ��� ë ûKÛ5çAÚ�­.VÉû A $�V A \ � ��� ë ÚØÙ�Õ�­.V v � ��� ë ûKÛ5çAÚ�­.VÉûç�â;ã�à)^�ô&Ù�ßÝ�î7à;Õ�ÖØî�ü�ã

� ��� ë Ú,Ù�Õ�­YV ?I� ��� ë ûKÛ5çAÚ�­.VÉû A $�V A ?�� ��� ë Ú,Ù�Õ�­YV v � ��� ë ûKÛ5çAÚ�­.VÉû ���à;Õ�Û5à�ã û $�VPû A @@ ����� ë ûKÛ5çAÚ�­.VPû ?I�r��� ë ÚØÙ�Õl­.V @@Ý�Õ&è � ��� ë ûKÛ5çAÚ�­.VÉû ?I� ��� ë ÚØÙ�Õ�­.V`_ø¹½¼ û�ÖØÝ�Õ�­YV û A Û5ç�Ö µ ¼ ­.VYñ �iµ & ¼ ? µ � �¾åà5í�ÖEã Û5çAÕ&ÚØÙyè�àEâlÖØ×�à�ÛEÝ�Úáà3ä�×�àEâØà�&îñ ÏH¨n¨VúÄÔKÕÑÖØ×&Ù�ÚlÛEÝ�Úáà�ã'&cÙyÕ�ÖáàEâ,ÚØà;Û5ÖØÚ ¥ VqÝ�Õ&è ¥ ò Ý�Õ&è·ÖØ×�àÙ�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÙ7çAÕ ÞhçAÙyÕ�ÖØÚµÝßâ,à-ç�ë@ÖØ×�à3ëRç�â,ø ÿ � � \ ����� ë & � ��& ?��r��� ë A � A �r��� ë úF/�çAî�î�çzä�Ù�Õ&ù#ÖØ×�àÞ&âØçvÛ5à;è&ô�âØà@Ýßõ ç���àªî7à;Ý�è&Ú/Öáç � � $�V�» � ��� ë Û5çAÚ�­YVÚØÙ�Õ�­.VÝ�Õ&è û $�VPû A @@ � ��� ë ÚØÙyÕ�­.V ?I� ��� ë ûKÛ5çAÚ�­.VPû @@ä�Ù7ÖØ×�r��� ë ÚØÙ�Õ�­.V ?I����� ë ûKÛ5çAÚ�­YVÉû´_ø¹½¼ û�ÖØÝ�Õ�­YVPû�_ Û5ç�Ö µ ¼ ­.VYñ � ¹�& µ � ¬ � ¼ ? µ & ¼ � �/=Ù�Õ&Ý�î�î�ü�ã�Û5çAÕ&ÚØÙ�è&àEâqÖØ×�àcÛEÝ�ÚØàcä�×&àEâØà®&�ñ±Ï�¨n¨©¨Xú � ÙyÕ&Û5à®&®�ñ±Ï�¨Y¬�ÏH¨n¨�Ý�Õ&è Ï�¨n¨©¨K¿ ? ÿ ����� ë & �r��� ë �ÜãÖØ×�à;Õ @@ ����� ë ûKÛ5çAÚ�­.VPû ?I�r��� ë ÚØÙ�Õ�­.V @@ A û $�VPû A @@ ����� ë ûKÛ5çAÚ�­.VÉû v �r��� ë ÚØÙ�Õ�­.V @@ ��q×�àÙ�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÙyÕ�ù#ÚáàEÖlç�ë"& Ü � Ù�ÚsÖáâ,Ù�vÙ�Ý�îIä�×�à;ÕÀ� � , ¿.Á ÖØ×�à�ÚáàEÖlç�ë@Ý�î�î/î�Ù�Õ�à;ÚªÖØ×&ÝßÖéÝßâØà�Õ�ç�ÖÞ�Ýßâ,Ý�î�î�à;îìÖáç²& Ü � úc��ç§ä|à¢��àEâzã�ä�×�à;ÕH�nÙ�Ú ÝlÚØô&õ�ÚáàEÖ/ç�ëd, ¿ ã�ÖØ×&àEâØà~øµÝ;ü õ à~øµÝ�Õ2ü î�ÙyÕ�à;Ú/ÚØô�Þ&Þ ç�âØÖáà;èéõ2ü��ÖØ×�ÝßÖöÝßâØàêÕ�ç�ÖöÞ�Ýßâ,Ý�î�î7à;î�Öáç�&�Ý�Õ&è#è&ç�Õ�ç�ÖöÙ�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5Ö0& Ü � úÂ�q×�àlë�çAî�î7çzäåÙ�Õ�ùî7à;øµøµÝÛÜ×&Ýßâ,Ý�Û5ÖáàEâ,Ù��Eà;ÚÖØ×�à~Ù�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÙ�Õ&ùêÚáàEÖ ä�×�à;Õ%�³Ù�ÚqÖØ×�à~Ù�øµÝßù�àöÝ�Ú,Úáç�ÛEÙyÝßÖáà;è�ä�Ù7ÖØ×îï k ñ mð©ñ ò úÃÄ ¿h7��5¿h� 9Y;%=>;<;+=Íu»s8Ì�qÉu¢ÈéÆ�u®t�q^s8ÌwB+Æ�u¢ql˸Î�q,=�u»n s8Ì�u�Æ¢u9B#z uÇÌ�qU& @@ Å à�Æ áâ Æ ã ³`& � ÿ%$�V¥&®­.V8�f³çs8Æ�q,=�u�Æ¢u�q}c/ � & @@ Å à�Æ áâ Æ ã � � å2ÿ%$�&®­h�aû¸$ ÛxÇÉÈ ÿ^­Í&é$�V%&®­.V8� A $ A $´³XÊ Ø ÿ^­Í&é$�V%&®­.V8�éè#& ÿKJ�ú��ÇJR�A =�uÇÈ®u

Page 54: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

NPORQ òóU�WYXô\8eYU�X>`Y]�X�_�U�\8e<õö]�X>U¶c<g±bø÷#\KeYX ]�X�õdi�X>eYU O*ò2XW

$ ÛxÇÉÈ ÿ^­Í&é$�V%&®­YVK� � ?������ ë @@@@ Ú,Ù�Õ ÿ^­YV ? ­R�ÚØÙ�Õ�­.V @@@@ v û $�VPû ÚØÙ�Õ�­ÚØÙyÕ�­YV ÿKJ�ú����#�$ ³XÊ Ø ÿ^­Í&é$�V%&®­YVK� � ����� ë @@@@ ÚØÙ�Õ ÿ^­.V ? ­R�ÚØÙ�Õ�­.V @@@@ v û $�V¸û ÚØÙ�Õl­ÚØÙ�Õ�­.V ÿKJ�ú���¡#�

s Î<&�ñîÏH¨ � ÿKJ�ú�� / �2^2XW$ ÛxÇPÈ ÿ^­>&é$�V¥&®­YV8� � ?��r��� ë @@@@ ÚØÙ�Õ ÿ^­.V ? ­R�Û5çAÚ�­.V @@@@ v û $�V¸û Û5çAÚ�­Û5çAÚ�­.V ÿKJ�ú��)«#�$ ³9Ê Ø ÿ^­>&é$�V¥&®­YV8� � �r��� ë @@@@ ÚØÙ�Õ�ÿ^­.V ? ­R�Û5çAÚ>­.V @@@@ v û $�VPû Û5çAÚ�­Û5çAÚ�­.V ÿKJ�ú��)­#�

s Î�&lñîÏH¨n¨ � ÿKJ�ú�!*¹º�2^2^29W$ ÛxÇPÈ ÿ^­>&é$�V¥&®­YV8� � ?��r��� ë @@@@ ÚØÙ�Õ ÿ^­.V ? ­R�Û5çAÚ�­.V @@@@ v û $�V û Û5çAÚ�­Û5çAÚ�­.V ÿKJ�ú�!����$ ³9Ê Ø ÿ^­>&é$�V¥&®­YV8� � ����� ë @@@@ Ú,Ù�Õ�ÿ^­YV ? ­R�ÚØÙ�Õl­YV @@@@ v û $�VPû ÚØÙ�Õ�­ÚØÙyÕ�­YV ÿKJ�ú�!r!#�s Î�&�ñîÏH¨n¨©¨ orÌ�Å Ú,Ù7ùAÕ � ÚØÙ�Õ ÿ^­.V ? ­R� � � ÚØÙ7ùAÕ � ÚØÙ�Õ ÿ%!*­.V8� � � ÿKJ�ú�!r�#�2DË�W$ ÛxÇÉÈ ÿ^­Í&é$�V%&®­.V8� � ?������ ë @@@@ ÚØÙ�Õ�ÿ^­YV ? ­R�ÚØÙ�Õ�­.V @@@@ v û $�VPû ÚØÙ�Õ�­Ú,Ù�Õ�­YV ÿKJ�ú�!6JR�$ ³XÊ Ø ÿ^­Í&é$�V%&®­.V8� � �r��� ë @@@@ ÚØÙ�Õ�ÿ^­YV ? ­R�Û5çAÚ>­.V @@@@ v û $�VPû Û5çAÚ�­Û5çAÚ�­YV ÿKJ�ú�!r�#�s Î<&�ñîÏH¨n¨©¨{o*Ì�Å ÚØÙ�ùAÕ � ÚØÙ�Õ ÿ^­.V ? ­R� � � ? ÚØÙ7ùAÕ � ÚØÙ�Õ ÿ%!*­.V8� � � ÿKJ�ú�!r¡#�

QlÈ(Ë�˸ÎORÌ$IçAÕ&ÚØÙ�è&àEâ)Ý·î�ÙyÕ�à]&�� � ÿ%$�&®­R�éÖØ×&ÝßÖ�Ù�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÚ�& � ÿ%$�V¥&®­YV8� ÝßÖÖØ×&àæÞhçAÙyÕ�Öæÿ � & � � Ý�ÚÙ�î�î�ô�ÚáÖáâ,ÝßÖáà;è õ2ü�/=Ù7ùAô�âØà~J�ú�!�ú�/�âØçAø ÿ%!�ú����ÜãÍ $�V$ÀÎ � Í Û5çAÚ�­.VÀÚØÙ�Õ�­.VÛ5çAÚ�­ ÚØÙ�Õ�­ÏÎ Í � � ÎÝ�Õ&è�ã�ë�ç�â�­.V �� ­�ã� � $�V ÚØÙ�Õ�­ÚØÙyÕ ÿ^­.V ? ­h� ? $ ÚØÙ�Õ�­.VÚØÙ�Õ ÿ^­.V ? ­R�� � ? $�V Û5çAÚ�­ÚØÙ�Õ ÿ^­.V ? ­R� v $ Û5çAÚ�­.VÚ,Ù�Õ ÿ^­YV ? ­R� �

Page 55: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

NPORQ òóU�WYXô\8eYU�X>`Y]�X�_�U�\8e<õö]�X>U¶c<g±bø÷#\KeYX ]�X�õdi�X>eYU O L

−ymax

maxx

ymax

b

θ

max−xx

(x,y)

b

π−θ

y

l

l

/=Ù7ùAô�âØà�J�ú�! Á2Ð�Ñ hcgim)Ò9o�e9k>opÓ�Ò9gim.s ligim.opk Ñ gÔÒ9Õ×Ö.dfeXdfØTo�Ò9o�e9giÙ�dfÒ9gih�m.k�Ú{ÛfÜ9tFÝrd�m.��Ú{ÛpuDÜ>tfuxÝ´Ò9Õ.dfÒ�gnmOÒ9o�e9k>o�Ó�Ò�dvÒ�d�ÖÉh�gnmOÒUÚ{Þ�Ü>ßYÝ��� Ù�Õ&Û5àéÖØ×�à�} k ñ mð�ñ ò Ù�Úªõ çAô&Õ&è&à;è�ã©ÖØ×&à)ÙyÕ�ÖáàEâ,ÚØà;Û5ÖØÙ7çAÕ ÞhçAÙyÕ�Öªøcô&ÚØÖsÚ,ÝßÖØÙ�Úáë�ü#ÖØ×�à)Û5çAÕ&ÚáÖáâ,Ý�Ù�Õ2ÖØÚ�ÿ+ÚáàEàî/=Ù7ùP-ô�âØà~J�ú�!#� ?������ ë A � A ����� ë?��r��� ë A � A �r��� ë &ä�×�àEâØà ����� ë Ý�Õ&è �r��� ë ÝßâØà~ùAÙ��à;Õõ�ü#ÿKJ�ú��#�Üú # ëRÖáàEâïÚáçAølàöÝ�î�ù�àEõ&â,Ý�Ù�Û@øµÝ�Õ�Ù7Þ�ô&î�ÝßÖØÙ�çAÕ�ã�ÖØ×&ÙyÚqî7à;Ý�è&Ú Öáç

?������ ë @@@@ Ú,Ù�Õ�ÿ^­YV ? ­R�Ú,Ù�Õ�­YV @@@@ v û $�V û ÚØÙ�Õl­ÚØÙyÕ�­YV�A $ A ����� ë @@@@ ÚØÙ�Õ�ÿ^­.V ? ­R�ÚØÙ�Õ�­.V @@@@ v û $�VPû ÚØÙyÕ�­ÚØÙ�Õ�­.V ÿKJ�ú�! / �?��r��� ë @@@@ ÚØÙyÕ ÿ^­YV ? ­R�Û5çAÚ�­YV @@@@ v û $�V û Û5çAÚ>­Û5çAÚ�­YV A $ A �r��� ë @@@@ Ú,Ù�Õ ÿ^­YV ? ­R�Û5çAÚ�­.V @@@@ v û $�VPû Û5çAÚ�­Û5çAÚ�­YV � ÿKJ�ú�!É«#�S àEÖ à� ?������ ë @@@@ ÚØÙyÕ ÿ^­YV ? ­R�Ú,Ù�Õ�­YV @@@@ v û $�V û ÚØÙ�Õl­ÚØÙyÕ�­YV á � ����� ë @@@@ ÚØÙ�Õ ÿ^­.V ? ­R�ÚØÙ�Õ�­.V @@@@ v û $�V û ÚØÙ�Õ�­ÚØÙ�Õ�­.Vâ � ?��r��� ë @@@@ ÚØÙyÕ ÿ^­YV ? ­R�Û5çAÚ�­YV @@@@ v û $�VPû Û5çAÚ�­Û5çAÚ�­YV ã � �r��� ë @@@@ ÚØÙ�Õ ÿ^­.V ? ­R�Û5çAÚ�­.V @@@@ v û $�V û Û5çAÚ�­Û5çAÚ�­.V ��q×�à;Õ�ã àåä â Ù7ë=Ý�Õ&è)çAÕ&î7ü)Ù7ë

ûKÚØÙyÕ ÿ^­YV ? ­R�¢û � �r��� ëûKÛ5çAÚ�­YVÉû ? ����� ëûKÚØÙ�Õ�­.VPû � _ û $�V û Û5çAÚ�­�ÚØÙyÕ�­.V ? Ú,Ù�Õ�­�Û5çAÚ�­.VÚØÙ�Õl­.V;Û5çAÚ�­.V¼ � ��� ë ûKÚØÙ�Õ�­.VPû ?I� ��� ë ûKÛ5çAÚ�­.VPû!>ûKÛ5çAÚ�­YVzÚØÙ�Õ�­.VPû _�û $�VPû �ÚØÙ�Õ ÿ%!*­.VK� Ú,Ù7ùAÕ � ÚØÙ�Õ ÿ^­.V ? ­R� �¼ �r��� ë ûKÚØÙ�Õ�­.VPû ?I����� ë ûKÛ5çAÚ�­.VPû�_�û $�VPûKÚØÙ7ùAÕ � ÚØÙ�Õ ÿ%!*­.V8� � ÚØÙ7ùAÕ � Ú,Ù�Õ ÿ^­YV ? ­R� � &

Page 56: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

NPORQ òóU�WYXô\8eYU�X>`Y]�X�_�U�\8e<õö]�X>U¶c<g±bø÷#\KeYX ]�X�õdi�X>eYU O�Oä�×&Ù�ÛÜ×Ù�Ú/à)^�ô&Ù�ßÝ�î7à;Õ�Ö Öáç

$�V+_ø¹ Ý�Õ&è �r��� ë ûKÚØÙ�Õ�­YVÉû ? ����� ë ûKÛ5çAÚ�­.VÉûû $�V û _ÑÚØÙ�ùAÕçæ ÚØÙyÕ ÿ^­.V ? ­R�ÚØÙyÕ ÿ%!*­YV8�éè ÿKJ�ú�!É­#�ç�â$�V A ¹ Ý�Õ&è �r��� ë ûKÚØÙ�Õ�­YVÉû ? ����� ë ûKÛ5çAÚ�­.VÉûû $�V û A ÚØÙ�ùAÕçæ ÚØÙyÕ ÿ^­.V ? ­R�ÚØÙyÕ ÿ%!*­YV8� è � ÿKJ�ú��*¹º�� Ù�øµÙyî�Ýßâ,î7ü�ã áëê ã Ù7ë�Ý�Õ�èçAÕ&î7ü Ù7ë$�VU_ø¹ Ý�Õ�è �r��� ë ûKÚØÙ�Õ�­.VPû ?I����� ë ûKÛ5çAÚ�­.VPûû $�V û A ? ÚØÙ�ùAÕ æ ÚØÙyÕ ÿ^­YV ? ­R�Ú,Ù�Õ�ÿ%!*­YV^� è ÿKJ�ú������ç�â$�V A ¹ Ý�Õ�è �r��� ë ûKÚØÙ�Õ�­.VPû ?I����� ë ûKÛ5çAÚ�­.VPûû $�V û _ ? ÚØÙ�ùAÕ æ ÚØÙyÕ ÿ^­YV ? ­R�Ú,Ù�Õ�ÿ%!*­YV^�Ïè � ÿKJ�ú��r!#��q×�àEâØàEë�ç�âØà�ã�ë�çAô�â�è&Ù7ýhàEâØà;Õ2ÖqÛEÝ�Úáà;Úåøcô&ÚØÖ õhà~Û5çAÕ�ÚØÙ�è�àEâØà;è ú2XW àÏä â Ý�Õ&è áåê ã ã ä�×&ÙyÛ,×�Ù�ølÞ�îyÙ7à;Ú�ÖØ×�ÝßÖ à A $ A á Ý�Õ&è ã ô&ÚØÙ�Õ�ù�ÿKJ�ú�! / �Üã�î�à;Ý�è&ÚïÖáç ÿKJ�ú����#�Ý�Õ&è ÿKJ�ú���¡#�Üúº$IçAøcõ�Ù�Õ&Ù�Õ&ù)ÿKJ�ú�!É­#�Üã�ÿKJ�ú��*¹º�Üã=ÿKJ�ú������ÜãhÝ�Õ&è ÿKJ�ú��r!#�Üã$�V`_ø¹ Ý�Õ&è �r��� ë ûKÚ,Ù�Õ�­YV û ?I����� ë ûKÛ5çAÚ�­.VPûû $�V û _ø¹ Ý�Õ&è @@@@ �r��� ë ûKÚØÙ�Õ�­.VPû ?[����� ë ûKÛ5çAÚ�­YV û$�V @@@@ ä �*&ÿKJ�ú��r�#�ç�â$�V A ¹ Ý�Õ&è �r��� ë ûKÚ,Ù�Õ�­YV û ?I����� ë ûKÛ5çAÚ�­.VPûû $�V û A ¹ Ý�Õ&è @@@@ �r��� ë ûKÚØÙ�Õ�­.VPû ?[����� ë ûKÛ5çAÚ�­YV û$�V @@@@ ä � �ÿKJ�ú��6JR�¾�ç�ÖØÙyÛEÙ�Õ�ùïÖØ×&ÝßÖ�Ù�ë�$�VU_ø¹ïÝ�Õ&è ìvì�í�î*Ü7ï,ðÔñ ª u Ü 1 ë)ì�í�î�ÜMò9ó�ï ª u ÜÜ ¨ u Ü _:¹�ç�â�Ù7ë�$�V A ¹�Ý�Õ&è ìvì�í�î6ÜMïDðÔñ ª u Ü 1 ë)ì�ípî6Ü7òXó�ï ª u ÜÜ ¨ u Ü A¹vã �r��� ë ûKÚØÙ�Õ�­.VPû�_ ����� ë ûKÛ5çAÚ�­YV û.¼xû�ÖØÝ�Õ�­.VPû�_ ����� ë�r��� ë � Û5ç�Ö µ & ÿKJ�ú��r�#�ÿKJ�ú�� / � ë�çAî�î7ç§ä�Ú/ë�âØçAøoÿKJ�ú��r�#�Üã�ÿKJ�ú��6JR�ÜãhÝ�Õ&è#ÿKJ�ú��r�#�Üú2^2XW à ê â Ý�Õ�è á ä ã ãvä�×�Ù�Û,×éÙ�ølÞ�î�Ù�à;Ú�ÖØ×&ÝßÖ â A $ A ã ú ÿKJ�ú��)«#�Üã�ÿKJ�ú��)­#�Üã�Ý�Õ&èæÿKJ�ú�!*¹º�|ëRçAîyî7çzä£Ù�ÕÝlä/Ý;üÚØÙ�øµÙyî�Ýßâ/ÖáçêÛEÝ�Úáà»2XWzú2^2^29W à ê â Ý�Õ&è áôê ã ã�ä�×&Ù�ÛÜ× ÙyølÞ�î�Ù7à;ÚöÖØ×&ÝßÖ â A $ A á Ý�Õ&è�ã�ô�ÚØÙ�Õ�ù·ÿKJ�ú�! / �ªÝ�Õ&è£ÿKJ�ú�!É«#�Üãî7à;Ý�è&ÚIÖáç-ÿKJ�ú�!���� Ý�Õ�è�ÿKJ�ú�!r!#�Üú # î�Úáç�ãvëRâ,çAø ÿKJ�ú�!É­#�IÖáç-ÿKJ�ú��r!#�/Ý�Õ&èÝßë�ÖáàEâqâØà¢��àEâ,Ú,Ý�î ç�ë�ÖØ×�à@ÝßÞ&Þ&â,ç�Þ&â,Ù�ÝßÖáàÙ�Õ�à)^�ô&Ý�î�Ù7ÖØÙ�à;Ú�ÿ à ê â Ù�Õ&ÚØÖáà;Ý�è)ç�ë àÀä â �Üã

? @@@@ � ��� ë ûKÚØÙyÕ�­YVÉû ?I� ��� ë ûKÛ5çAÚ�­.VÉû$�V @@@@ _ÑÚ,Ù7ùAÕ æ Ú,Ù�Õ ÿ^­YV ? ­R�ÚØÙ�Õ�ÿ%!*­YV^�Ïèç�â;ã�à)^�ô&Ù�ßÝ�î7à;Õ�ÖØî�ü�ãÚØÙ7ùAÕ æ ÚØÙ�Õ ÿ^­.V ? ­R�ÚØÙ�Õ�ÿ%!*­.VK� è � ? � Ý�Õ&è @@@@ � ��� ë ûKÚØÙ�Õ�­.VPû ?I� ��� ë ûKÛ5çAÚ�­YV û$�V @@@@ A � �

Page 57: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

NPORQ L U�WYXô\8eYU�X>`Y]�X�_�U�\8e<õö]�X>U¶c<g±böõÍ\M÷dX>÷#b>U�X>Zf÷#\KeYX OPø� ÕæÖØ×�àêç�ÖØ×�àEâc×&Ý�Õ�è�ãd$�Veøªô&ÚáÖ@õ àêÚØô&Þ&Þ ç�âØÖáà;è õ2ü�} k ñ mð©ñ ò ú�$IçAøcõ�Ù�Õ�Ù�Õ�ùæÿKJ�ú�!#�@ä�Ù�ÖØ×ëS à;øµøµÝ ÿKJ�ú����Üãî7à;Ý�è&Ú Öáç ÿKJ�ú�!r�#�Üú2DË�W àùä â Ý�Õ&è á ä ã ãìä�×�Ù�Û,×3Ù�ølÞ�î�Ù�à;Ú ÖØ×&ÝßÖ à A $ A ã úcÿKJ�ú�!6JR�Üã|ÿKJ�ú�!r�#�Üã Ý�Õ&è·ÿKJ�ú�!r¡#��ëRçAî�î�çzäÙ�ÕÝlä/Ý;üÚØÙ�øêÙ�î�Ýßâ/ÖáçêÛEÝ�Úáà»2^2^2XWzú��pú � ���� é�����ç�����ç���� ����������{������û² �ü�c�f����� ýþ�f é���ûæàöÕ�à5ívÖ�Û5çAÕ&ÚØÙyè�àEâ ÖØ×�àöÙ�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÙyÕ�ùµÚáàEÖqç�ë=ÝlÞ�ÙVívà;î�ÝßÖáà;è�îyÙ�Õ�à�ú0�¿54�132546287�1 9<;,ÿ�;c$IçAÕ&ÚØÙyè�àEâ�ÖØ×�à|Þ�ÙVívà;î�ÝßÖáà;èöîyÙ�Õ�à2& Ø Ý�ÚØÚáçvÛEÙ�ÝßÖáà;ècä�Ù7ÖØ×~ÖØ×&à|î�Ù�Õ&à2& � ÿ%$�V%&®­.V8� ÚØô�Þ&Þ ç�âØÖáà;èõ2ü-ï k ñ mð©ñ ò ú �q×�à�sKÌ�qÉuÇÈ�Æ¢uét�q^sKÌwB Æ¢u�qeç�ëU& Ø çAÕ�} k ñ mð©ñ ò Ù�ÚIÖØ×�à~ÚáàEÖ ç�ë©Ý�îyîhîyÙ�Õ�à;Ú/ÚØô�Þ&Þ ç�âØÖáà;èéõ�ü»} k ñ mð©ñ ò ÖØ×&ÝßÖÙ�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖqÖØ×�à@â,à;ÚáÖáâ,Ù�Û5ÖØÙ7çAÕ�ç�ëU& Ø Öáç�} k ñ mð©ñ ò

}�/ � & Ø @@ Å à�Æ áâ Æ ã � � « &�� @@ / � & Ø @@ Å à�Æ áâ Æ ã � � /ïÿ,&���0��ª� · � ÿKJ�ú��r¡#���ô�à-Öáç ÖØ×�à3à5ýhà;Û5ÖØÚ ç�ë@Þ�ÙVívà;î�Ù�;ÝßÖØÙ�çAÕ�ã|ÖØ×&à3Ù�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÙ�Õ&ù ÚáàEÖ ç�ë~Ý#Þ�Ù7í�à;î�ÝßÖáà;èaî�Ù�Õ�à�ÛEÝ�Õ�Õ�ç�ÖEã�Ù�Õù�à;Õ�àEâ,Ý�î�ã�õhà@è�à;Ú,Û5â,Ù7õ à;è)õ2ü)ݵÚØÙyølÞ�î7à�ÛEî7çAÚáà;è~-�ë�ç�â,ø à5ívÞ&âØà;Ú,ÚØÙ7çAÕ�ú�ÔKÖqÙ�ÚEã&×�ç§ä|à¢��àEâzã�Þ çAÚØÚØÙ7õìî7àåÖáçéè�àEâ,Ù��àÖØÙ7ùA×2Ö�î7çzäIàEâ�-|Ý�Õ�èô�Þ&Þ àEâ�-�õ çAô&Õ&è&Ú;úÃÄ ¿h7��5¿h� 9<;�Âa;��8Î+& Ø s5ÆÀq,=Íu+¦�s��RuÇnorqÉuéÅÒnTsKÌ�ulo6Æ�ÆÇË�t�s^o#qÉu®Å A s^q,=�n s8Ì�u�& � ÿ%$�V¥&®­.V8�f³aq,=�uÇÌðq,=Íu�s8Ì�qÉuÇÈ�Æ¢u®t�q^s8Ì�BÆ¢u�q�˸ÎT& Ø ³>}c/ � & Ø @@ Å à�Æ áâ Æ ã � ³�ÆÇorq^s8Æ��lu´Æ»q,=�u�΢Ë*nKnpË A s8ÌwB-È®uÇnorq^s%Ë*ÌÍÆ�=ºsi¦�Æ

}c/ � & @@ Å à�Æ áâ Æ ã � ¿ }c/ � & Ø @@ Å à�Æ áâ Æ ã � ¿�� ð�ñ ò æ }c/ � & @@ Å à�Æ áâ Æ ã � è & ÿKJ�ú�� / �A =�uÇÈ®u�}�/ � & @@ Å à�Æ áâ Æ ã � s8Æ�q,=�u»sKÌ�qÉuÇÈ�Æ¢uét�q^sKÌwB+Æ¢u�q�˸Î×& @@ Å à�Æ áâ Æ ã ³�o6Æ�B#sDCruÇÌ�8FE%;+=Íu®Ë*È®uÇz IKJ�.³�o*Ì�Å� ð©ñ ò æ }�/ � & @@ Å à�Æ áâ Æ ã � è �� ÿ%$�&®­R� @@ $ ÛxÇPÈ ÿ^­Í&�&¸� ? ¹ � ¿Àv � ¿ A $ A $ ³9Ê Ø ÿ^­>&�&¸� v ¹ � ¿Àv � ¿� &ÿKJ�ú��É«#�A =�uÇÈ®u~$ ÛxÇPÈ ÿ íT�»o*Ì�Å�$dzXÊ Ø ÿ íT�yo*È(u�o*ƻźu��çÌ�u®Å-sKÌå;+=�uéË*È®uÇz IKJ�±JQlÈ(Ë�˸ÎOR×$IçAÕ�ÚØÙ�è�àEâ�Ý�Õ2ü~î�Ù�Õ&à2& � ÚØô&Þ&Þ ç�âØÖáà;è@õ�ü�} k ñ mð�ñ ò ÚØô&ÛÜ×~ÖØ×&ÝßÖ�& � ñ�}�/ � & @@ Å à�Æ áâ Æ ã � úd/&âØçAø ÿKJ�ú��ÇJR���/ïÿ,&��� � /ïÿ,&®�]�� � Ý�Õ�è���ÚØÙ�Õ&Û5à</ïÿ,&®��¿ /ïÿ,& Ø ���eÙ7ÖªëRçAî�î�çzä�ÚªÖØ×&ÝßÖ�/ïÿ,&���� � /ïÿ,& Ø �]�� � ú���à;Õ�Û5à��c&���ñ}c/ � & Ø @@ Å à�Æ áâ Æ ã � ë�âØçAø ä�×&Ù�ÛÜ×cÙ�Ö©ë�çAî�î7ç§ä�Ú�ÖØ×&ÝßÖ�}c/ � & @@ Å à�Æ áâ Æ ã � ¿ }c/ � & Ø @@ Å à�Æ áâ Æ ã � ú2¾åà5í�Ö���Û5çAÕ�ÚØÙ�è�àEâ=Ý�Õ�üî�Ù�Õ�à"& � � ÿ%$�&®­R�|ÚØô&Þ&Þ ç�âØÖáà;è õ2ü»} k ñ mð�ñ ò ÚØô�Û,×)ÖØ×&ÝßÖT& � ñð}c/ � & Ø @@ Å à�Æ áâ Æ ã � Ý�Õ&èÕ&ç�Öáà@ÖØ×&ÝßÖ���ëRâ,çAø ÿKJ�ú��r¡#���ÖØ×�àEâØàeÙyÚ ÝßÖ�î7à;Ý�ÚáÖ�çAÕ�à�Þ�ÙVívà;î¢äDñ & Ø ÚØô&ÛÜ×@ÖØ×&ÝßÖ+/�ÿ,& � � � /ïÿpäç����ª� ú � Ù�Õ&Û5à��§ëRâ,çAøÌÿ%��ú�!#���É/ïÿ,&(� � /�ÿpäÀ����ª� �

Page 58: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

NPORQ L U�WYXô\8eYU�X>`Y]�X�_�U�\8e<õö]�X>U¶c<g±böõÍ\M÷dX>÷#b>U�X>Zf÷#\KeYX O MÙ7ÖåÙyÚåÝ�î7ä/Ý;üvÚïÞ çAÚØÚØÙ7õ�î�à~ÖáçéóìÕ&è-Ý î�Ù�Õ�à�& � � � ÿ%$ � &®­R�qÞ�Ýßâ,Ý�î�î�à;î Öáç<& � äå×&Ù�Û,×3Ù�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÚïõ ç�ÖØ×H/�ÿ,&(��Ý�Õ&è/ïÿpäÀ����Ù�ú à�ú � & � � � ÿ%$ � &®­R��ñ�}�/ � & @@ Å à�Æ áâ Æ ã � ÚØô&ÛÜ×ÖØ×&ÝßÖ]/ïÿ,& � � � � /�ÿpäÀ�"��ª� �� Ù�Õ&Û5à�/ïÿpäÀ� ÙyÚ�ݵâ,à;Û5ÖØÝ�Õ�ùAî7àªä�Ù7ÖØ×�ÚØÙyè�à;Úqç�ë�î7à;Õ&ù�ÖØ× � Ý�Õ&è � � Ù7Öqë�çAî�î7çzäåÚqÖØ×&ÝßÖðû $ ? $ � û A ¾ � ¿Àv � ¿Ý�Õ&è�� ë�âØçAøoÖØ×�àlë�Ý�Û5ÖcÖØ×&ÝßÖ»$ � Ù�Ú@õ çAô&Õ&è&à;è3õ�üÄÿKJ�ú��ÇJR����Ù7Ö@ëRçAîyî7çzä�Ú~ÖØ×&ÝßÖ»$+ñ�� ð�ñ ò æ }c/ � & @@ Å à�Æ áâ Æ ã � è ú�q×&Ù�ÚIÞ&â,ç���à;ÚåÖØ×&ÝßÖ�}c/ � & Ø @@ Å à�Æ áâ Æ ã � ¿�� ð©ñ ò æ }c/ � & @@ Å à�Æ áâ Æ ã � è ú�q×�àlë�çAî�î7ç§ä�Ù�Õ�ù à5í�Ý�ølÞ�î7àµÚØ×&çzä�Ú@ÖØ×�ÝßÖ~ÖØ×�àµô�Þ&Þ àEâ�-�õ çAô&Õ�è�ç�ë~ÿKJ�ú�� / �@ÛEÝ�Õæõ àµøµÝ�è&àµÝßâØõ�Ù7Öáâ,ÝßâÜÙ�î7üÖØÙ7ùA×2Öqõ2ü)Ù�Õ&Û5â,à;Ý�ÚØÙ�Õ�ùsÖØ×�à~ÚØÙ��Eà~ç�ë©ÖØ×&àöî�ÝßÖáÖØÙ�Û5à�ú��� �����aÁ0¿ø9Y;%=�; $IçAÕ&ÚØÙyè�àEâcÖØ×&à)îyÝßÖáÖØÙ�Û5àîï k ñ k3 ñ 3 Ý�Õ&è ÖØ×�àÚáàEÖsç�ëåî�ÙyÕ�à;Ú�& ê � ÿ^¹�&®­6ê#����ä�×�àEâØà�­6ê �Z ¿ v Ýßâ,Û5ÖØÝ�Õ��®� v 3ê � &��¯ñ[åº�*& �O�O� @ è���ÚØ×�ç§ä�ÕÙ�Õî/=Ù7ùAô�â,à�J�ú���ÿ+ݺ�Üú � Ù�Õ�Û5à Z ê ­6ê ê Z ¿ ë�ç�âqÝ�î�î!�"��ÖØ×�àÝ�ÚØÚáçvÛEÙ�ÝßÖáà;è�ÞìÙVí�à;îyÝßÖáà;è�î�Ù�Õ�à;Ú/Ý�î�î�Û5çAÕ�ÖØÝ�Ù�Õ-ÖØ×�àöÚØ×�Ý�è�à;è)Þ�ÙVívà;î�ú ¾åç�ÖØÙ�ÛEÙ�Õ�ùlÖØ×&ÝßÖ�ÖØ×�à~Þ�ÙVívà;î$# Ú ô�Þ�ÞhàEâv-_î7àEëRÖÛ5ç�â,Õ�àEâq×&Ý�Ú/Û5ç�ç�â,è&Ù�Õ�ÝßÖáà;Ú � ? 3¿ &�%¿ � �&Ù�Ö|ë�çAî�î7ç§ä�ÚIÖØ×&ÝßÖ/ÖØ×�à@ÚáàEÖ/ç�ë©î�Ù�Õ&à;Úc& � ê Þ�Ýßâ,Ý�îyî7à;î&Öáç²& ê~ÖØ×&ÝßÖ Û5çAÕ2ÖØÝ�Ù�ÕÖØ×�à~Û5ç�â,Õ�àEâåÞ çAÙ�Õ�Ö ÚØÝßÖØÙyÚáëRü ÖØ×�à~à)^�ô&ÝßÖØÙ7çAÕ

$�� ê � ? �! Û5çAÚ>­6ê v �! Ú,Ù�Õ�­�ê ��ïà;Õ�ç�ÖØÙ�Õ�ùõ�üô$dzXÊ Ø ÿ^­�êr�åÖØ×�àlÚØô�Þ&â,à;øcô&øÀç�ë�$öÝ�øµçAÕ�ù�Ý�î�î=î�Ù�Õ�à;ÚïÞ�ÝßâÜÝ�î�î7à;î�Öáç &PêêÖØ×&ÝßÖ@õ à;î7çAÕ�ù)ÖáçÖØ×�àÙ�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÙ�Õ�ùµÚØàEÖqç�ë©ÖØ×&àöÝ�ÚØÚáçvÛEÙ�ÝßÖáà;è�ÞìÙVí�à;îyÝßÖáà;èî�Ù�Õ�àµÿ,&¸ê6� Ø$ ³ ÿ^­6ê6� � ÚØô�Þ « $�@@ ÿ%$�&®­6êr��ñ�}c/ � ÿ,& êr� Ø @@ Å à�Æ àâ Æ â ��· &Ù7ëIëRçAî�î�çzä�ÚöÖØ×&ÝßÖy$ ³ ÿ^­6ê*� � $ � ê ú ¾�à5ívÖöäIàéÕ&ç�ÖáàêÖØ×&ÝßÖ��=ë�ç�âcÝ-îyÙ�Õ�à�& � ÿ%$�&®­h����Ù7ÖöëRçAî�î�çzä�ÚöëRâØçAø��q×�àF-ç�âØà;øBJ�ú��êÖØ×&ÝßÖy$ ÛxÇÉÈ ÿ,&�&®­R� � $dzXÊ Ø ÿ,&�&®­h� � $§ú � Ù�Õ&Û5àµÝ�îyî2&Pê)×&Ý���à-$ � ¹&�©äå×�à;Õ ­ � � ­'��ÖØ×�àéî7çzäIàEâÝ�Õ&è�ô�Þ�ÞhàEâ/õ çAô&Õ&è�Ú|ç�ëqÿKJ�ú��É«#��ÝßâØà~à)^�ô&Ý�î�Öáç<\ ¾ !vúÀ/=Ù7ùAô�âØà~J�ú���ÿ�õ��IÞ&âØà;Úáà;Õ2ÖØÚqÖØ×&à@â,ÝßÖØÙ7çµç�ë ¨%© ü ª þ �( ¿ Ý�ÚÝ)ë�ô�Õ&Û5ÖØÙ7çAÕ�ç�ë)�hú¾�ç�ÖØÙ�Û5àé×�çzä�ÖØ×&àµÚØô�Þ&âØà;øªô&ø Û5çAÕR��àEâØù�à;ÚöÖáç-ÖØ×�àµô�Þ&Þ àEâ�õ çAô&Õ&è�Ý�Ú*��Ù�Õ&Û5â,à;Ý�Úáà;Ú��ÚØ×�ç§ä�Ù�Õ�ù@ÖØ×&ÝßÖIÖØ×�àqõ çAô&Õ�èµÙ�Ú�ÖØÙ7ùA×2ÖEú ¾åç�ÖØÙ�Û5àåÝ�î�ÚØçöÖØ×&ÝßÖ���à¢��à;Õêë�ç�âeâ,à;î�ÝßÖØÙ��à;î7ülÚØøµÝ�îyî @ ��à�ú ù�ú @ � !*¹ç�â @ � J#¹&�&ÖØ×�àöõhçAô�Õ&è Þ&âØç��vÙ�è�à;Ú Ýµù�ç2çvè�ÝßÞ&Þ&â,ç;í�Ù�øµÝßÖØÙ7çAÕÖáçêÖØ×�à~ÚØô�Þ&â,à;øcô&ø�úÔKÖ Ù�Ú ÚáÖáâ,Ý�Ù�ùA×�Öáë�ç�âØä/Ýßâ,è!Öáç£ÚØ×&çzäÎÖØ×&ÝßÖ ÖØ×�à âÜÝßÖØÙ7çaõ àEÖ�ä|àEà;Õ ÖØ×�à·ô�Þ&Þ àEâ�- Ý�Õ&è î�çzäIàEâ�-�õ çAô&Õ&è&Úç�ëåÿKJ�ú�� / ��Û5çAÕR��àEâØù�à;Ú~Öáç)çAÕ�àlÝ�ÚïÖØ×�àlî�ÝßÖáÖØÙ�Û5àlÚØÙ��EàªÙ�Õ�Û5âØà;Ý�Úáà;ÚEú�/�ç�â@ÖØ×�Ù�Ú�� Õ�ç�ÖØÙ�Û5àsëRâ,çAø ��×�àEç�âØà;ø J�ú��ÖØ×&ÝßÖ���ùAÙ���à;Õ &éÝ�Õ&è ­ � �Ò$ ÛxÇÉÈ ÿ,&�&®­ � �êÝ�Õ&èF$ ³9Ê Ø ÿ,&´&®­ � �lçAÕ&î�ü è�àEÞ à;Õ&èÑçAÕ @ Ý�Õ�è E ÖØ×�âØçAô�ùA× ����� ëÝ�Õ&è �r��� ë ú � Ù�Õ&Û5àcÖØ×�àsî�ÝßÖáÖáàEâ@Ù�Õ&Û5âØà;Ý�Úáàªî�Ù�Õ�à;ÝßâÜî7üéäåÙ7ÖØ×-ÖØ×&àcë�ç�â,ølàEâ+� Ù7ÖåëRçAî�î�çzä�ÚåÖØ×&ÝßÖ~$ ÛxÇÉÈ ÿ,&�&®­ � ��Ý�Õ&è$dz9Ê Ø ÿ,&´&®­ � �qÝßâØàªølçAÕ�ç�ÖáçAÕ&ÙyÛEÝ�î�î7ü�Ù�Õ&Û5â,à;Ý�ÚØÙ�Õ�ùµë+ô&Õ&Û5ÖØÙ�çAÕ&Úqç�ë @ Ý�Õ�è E ú��åà;Õ&Û5à�� ëRç�â�Û5çAÕ&ÚáÖØÝ�Õ2Ö � Ý�Õ&è� � î�Ù�ømeñ k-,/. $ ÛxÇPÈ ÿ,&´&®­ � � ? ¾ � ¿Àv � ¿$ ÛxÇÉÈ ÿ,&´&®­ � � � î�Ùyømeñ k-,/. $dzXÊ Ø ÿ,&�&®­ � � v ¾ � ¿ v � ¿$dz9Ê Ø ÿ,&´&®­ � � � � �

Page 59: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

NPORQ L U�WYXô\8eYU�X>`Y]�X�_�U�\8e<õö]�X>U¶c<g±böõÍ\M÷dX>÷#b>U�X>Zf÷#\KeYX O j

θ1 θ1(bsup( ), )1l l2 l3

0

0

(−0.5,1.5)

1

1

l4

Ú7d�Ý

0 10 20 30 40 50 60 70 800.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

kÚ�0ÉÝ/=Ù7ùAô�âØà»J�ú�� ÁºÐ ÕYo2Ò9gns�ÕOÒ9m.opk>kUh�qrÒ9Õ.o j.ÖYÖÉo�e$120Éh�jYmP��hfq+Ú�3Y� 465�Ý���Ú7d�Ý87çÓ�h�liliopÓ�Ò9gih�m�h�qKligim.opk:9 þ k>jYÖ.ÖÉh�e>Ò9op�;0+<>= à�Æ à? Æ ?A@dfmP��Ú�0ÉÝ~Ò9Õ.o`eXdfÒ9gihB0Éo�Ò Ñ opopmTÒ9ÕYo+k>jYÖYe9opØ�j.Øëhfq�Û�q h�e�Ò9ÕYo+gimOÒ9o�e9k>opÓ�Ò9gnmYs�k>o�Ò�h�q5o�dfÓ�Õºligim.oUd�m.��Ò9Õ.o+j.Ö.ÖÉo�e$1�0Éh�j.m.��s�gDCFo�m0�<�Ú�3Y� 4FE�Ý�Ú7d�kUd�qxjYm.Ó�Ò9gih�m�h�qHGYÝ��

Page 60: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

NPORQ L U�WYXô\8eYU�X>`Y]�X�_�U�\8e<õö]�X>U¶c<g±böõÍ\M÷dX>÷#b>U�X>Zf÷#\KeYX O ù�q×�à~Õ�à5ívÖ à5í�Ý�ølÞ�î7à~ÚØ×&çzä�Ú ÖØ×�ÝßÖqÖØ×�à~õ çAô&Õ&è�ÚIÝßâ,àöÚØÙ�øµÙyî�Ýßâ/à¢��à;Õ�ë�ç�â�ÚØøµÝ�î�î��ßÝ�î�ô�à;Ú/ç�ë E Ý�Õ&è @ ú��� �����aÁ0¿�9Y;5Â�;�$/çAÕ&ÚØÙ�è�àEâ©ÖØ×�à î�ÝßÖáÖØÙ�Û5à�ï k ñ k3 ñ 3 Ý�Õ&èsÖØ×&àIÚáàEÖ�ç�ëhî�Ù�Õ�à;ÚU& � ÿ^¹�&®­R�Üú�/�Ù�ùAô�âØàlJ�úÁJ�Þ&âØà;Úáà;Õ2ÖØÚÖØ×�à@â,ÝßÖØÙ7çêç�ë©ÖØ×�àcÝßâØà;Ý�Úqç�ë=ÖØ×�à~Ù�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÙyÕ�ùµÚáàEÖØÚqÖØ×�ÝßÖqõ çAô&Õ&èy}c/ � & Ø @@ Å à�Æ à? Æ ? � Ù�Õ#ÿKJ�ú�� / ���hÙ�ú à�úIµÿ @ � �

@@@@ � ð©ñ ò æ }�/ � & @@ Å à�Æ à? Æ ? � è @@@@@@@@ }c/ � & @@ Å à�Æ à? Æ ? � @@@@ &Ý�ÚqÝlë+ô&Õ&Û5ÖØÙ7çAÕ)ç�ë @ ëRç�â�­ � � Z3KJ &��îñ[åº�*& �O�O� &(J�è ÿ+ÛEô�âé��à;Ú�Û5ç�âØâØà;ÚØÞhçAÕ�è&Ù�Õ�ùªÖáç ­lçAô�ÖØÚ,Ù�è�à � ¹�& Z � ÝßâØàÚØÙ�øµÙyî�ÝßâeÖáçsÖØ×�à�çAÕ�à;Ú/Ù�ÕéÖØ×&Ù�Ú/Ù�Õ2ÖáàEâ®�ßÝ�îhÝ�Õ�èéÝßâØà�çAøµÙ�ÖáÖáà;è��Üúc¾åç�ÖØÙ�Û5à�ÖØ×&ÝßÖ/ëRç�â @ � J#¹ªÖØ×�à@è&ÙVý àEâØà;Õ&Û5àõ àEÖ_äIàEà;Õ�ÖØ×�à~ÝßâØà;Ý�ÚïÙ�Ú Ý�î7â,à;Ý�è�ü Ú,øµÝ�î�î7àEâ ÖØ×&Ý�Õ"�¢¹�L Ý�Õ&èë�ç�â @ � «*¹µÚØøêÝ�î�î7àEâ ÖØ×&Ý�Õ ��L)ú

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2001

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

M

R(M

)

θ = π/16 θ = π/8 θ = 3π/16θ = π/4

/=Ù7ùAô�âØà�J�úÁJ ÁNM dfÒ9gih>0Éo�Ò Ñ o�opm�Ò9ÕYo'dve9o�d�k2hfq�Ò9Õ.o�k>o�Ò9k�Ò9Õ.dfÒ2jYÖ.ÖÉo�e$1`dfmP�®lih Ñ o�e$120Éh�jYmP�PORQTSU9WVYXX Z�[]\ [^ \ ^`_ @ d�Ó�Óph�eX� gnmYsÒ9h�Ú�3 � 465�Ý @ d�k+d�q j.m.Ó�Ò9gnh�m�h�q�Ò9Õ.o2lndfÒ>Ò9giÓpo2k>giÙpo @ qxhfe�d�Ó�h�liliopÓ�Ò9gih�m0hfqrlngimYopk89&açÚ7| ÜXt þ Ý�Ü>t þBb-cBd?2e Ü d f ÜK4 d?2e Ü d g&h ��q×�àsâØà;Ú,ô&î7ÖØÚ�Ýßõ ç���àµÚØô�ù�ù�à;ÚØÖ@ÖØ×&ÝßÖ�� ë�ç�â~ølçAÚáÖ~�ßÝ�î�ô�à;Ú�ç�ë @ Ý�Õ&è E ç�ëIÞ&â,Ý�Û5ÖØÙyÛEÝ�î�Ù�Õ�ÖáàEâ,à;ÚáÖ���ÖØ×�àÙ�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÙ�Õ�ùÄÚáàEÖ)ç�ëªÖØ×�à�Þ�ÙVívà;î�ÝßÖáà;è±î�Ù�Õ�à%& Ø Ù�Ú äIà;î�î�ÝßÞ&Þ&âØçzívÙyøµÝßÖáà;è±õ2üaÖØ×�à#Ù�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÙ�Õ&ù ÚáàEÖç�ëÖØ×�à)Ý�ÚØÚáçvÛEÙ�ÝßÖáà;è îyÙ�Õ�àÂ&�ú]�q×�Ù�Ú~Ù�ÚªÛ5çAÕ�ó&â,øµà;è#õ�ü"/=Ù7ùAô�âØàðJ�ú��Y�eä�×�àEâØàéä|à Þ&âØà;Úáà;Õ2ÖØÚªÝ3Û5çAî�î�à;Û5ÖØÙ7çAÕ ç�ëÙ�øµÝßù�à;Ú|Û5çAÕ�ÖØÝ�Ù�Õ�Ù�Õ�ùöÝ@ÞìÙVí�à;îyÝßÖáà;èµà;è�ù�à��2ÖØ×�àåÛ5ç�âØâ,à;ÚáÞ çAÕ&è&Ù�Õ�ù@þåÝ�è�çAÕµÖáâ,Ý�Õ�ÚáëRç�âÜøT��Ý�Õ&èêÖØ×�àqõ çAô&Õ&è&Ú=ç�ë�q×�àEç�âØà;ø J�ú��i��ë�ç�â @ � E � J#¹vú ��×�à/Þhà;Ý*)sÝßÖ�ÖØ×�àqÛ5à;Õ2ÖáàEâeç�ëhÖØ×�àqþåÝ�è�çAÕlÖáâ,Ý�Õ&ÚØëRç�â,ø Û5ç�â,âØà;ÚáÞ çAÕ&è&ÚÖáçµÖØ×�à~ÞìÝßâ,Ý�ølàEÖáàEâ,Ù�;ÝßÖØÙ�çAÕç�ë=ÖØ×�à@à;è�ù�à~ä�Ù�ÖØ×)ä�×&Ù�ÛÜ×)ÖØ×�à~Þ�ÙVívà;î�ÝßÖáà;è)à;è�ù�àcÙ�ÚqÝ�ÚØÚáçvÛEÙ�ÝßÖáà;è�ú

Page 61: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

NPORQ L U�WYXô\8eYU�X>`Y]�X�_�U�\8e<õö]�X>U¶c<g±böõÍ\M÷dX>÷#b>U�X>Zf÷#\KeYX O a

5 10 15 20 25 30 35 40

5

10

15

20

25

30

35

40

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180−30

−20

−10

0

10

20

30b = 0, θ = 45

5 10 15 20 25 30 35 40

5

10

15

20

25

30

35

40

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180−30

−20

−10

0

10

20

30b = 0, θ = 90

5 10 15 20 25 30 35 40

5

10

15

20

25

30

35

40

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180−30

−20

−10

0

10

20

30b = 0, θ = 135

5 10 15 20 25 30 35 40

5

10

15

20

25

30

35

40

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180−30

−20

−10

0

10

20

30b = 15, θ = 45

5 10 15 20 25 30 35 40

5

10

15

20

25

30

35

40

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180−30

−20

−10

0

10

20

30b = 15, θ = 90

5 10 15 20 25 30 35 40

5

10

15

20

25

30

35

40

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180−30

−20

−10

0

10

20

30b = 15, θ = 135

/=Ù7ùAô�âØà�J�ú�� Á 7¡Ó�h�liliopÓ�Ò9gih�m�hfq�kkjOjPdve9o�giغd�s�opk2Óph�m)ÒXdfgim.gim.s"d�Ö.gml oplndfÒ9op�o�� s�o"Ú{lio�q©Ò�Ý @ dfmP�0Ò9Õ.o'Ó�h�e>e9opk>ÖÉh�mP�YgimYs"gik>h�1Óph�mOÒ9h�jYe9kch�q�Ò9ÕYo×d�ØTÖ.ligÔÒ9jP� o'h�q`Ò9ÕYo M d��Yh�m�Ò>eXdfm.k�q h�e9ؽÚxe9gis�ÕOÒ�Ý�� Ð Õ.oºÓpgÔe9Ópliopk�k>j.ÖÉo�e9giØTÖÉh�k>o�� h�m�Ò9ÕYoTÖ.lih�Ò9kch�q`Ò9ÕYoM d�� h�m�Ò>eXdfm.k�q h�e9ØÀdfe9o�Ò9ÕYon0Éh�jYmP�Yk�hfq Ð Õ.ophfe9opØo3Y�Dp��

Page 62: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

NPORQ O U�WYXô\8eYU�X>`Y]�X�_�U�\8e<õö]�X>U¶c<g±b:]�U�`�\DõI]�X�õ<i�X>eYU ø ¢��X� � ���� é�����ç�����ç���� ����������{����� �K���` �û ���c��!����"�Ã�Ù��à;ÕöÖØ×�àeè&Ù�qéÛEô&î7Ö_üïç�ë�è�àEâ,Ù�vÙ�Õ�ù ÝqÛEî�çAÚáà;è~-�ë�ç�â,ø9à5ívÞ&âØà;ÚØÚ,Ù7çAÕ@ë�ç�â�ÖØ×�àeÙyÕ�ÖáàEâ,ÚØà;Û5ÖØÙ�Õ�ù�ÚáàEÖ©ç�ë�Ý Þ�ÙVívà;î�ÝßÖáà;èî�Ù�Õ�à�Ù7Ö Ù�Ú ô&ÚØàEë�ô&îìÖáçêÛ5çAÕ&Ú,Ù�è�àEâ+��Ù�Õ)Ý�è&è&Ù�ÖØÙ7çAÕ ÖáçlÖØ×&Ù�Ú/Ý�Õ&è)ÖØ×�à~Ù�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÙyÕ�ùlÚáàEÖqç�ë�ÖØ×&à~î�Ù�Õ�à�ÚáàEùAølà;Õ2Ö��ÖØ×�à~Ù�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÙ�Õ&ùêÚáàEÖ ç�ë=ÖØ×�àöÚáÖáâÜÙ7ÞÚáàEùAølà;Õ2ÖEú0�¿54�132546287�1ø9<;�rY;�Ã�Ù��à;ÕÝlÚáÖáâÜÙ7Þts � ÿ%$�&('�& � �/ÚØô�Þ&Þ ç�âØÖáà;èéõ�ü ÝsÚáàEÖ��u��ÖØ×�à�Æ´q^È´sn¦ôÆ�u9Brz u¢Ì�qvs Ü � Ù�ÚÖØ×�à@âØà;ÚáÖáâÜÙ�Û5ÖØÙ7çAÕç�ëBsêÖáç<�ú0�¿54�132546287�1 9Y;xwa;"�q×�àðsKÌ�qÉuÇÈ�Æ¢uét�q^sKÌwB�Æ�u¢ql˸Î�ÆÇq^È�sn¦"Æ�u9Brz u¢Ì�q>s Ü � Ù�Ú ÖØ×�àªÚáàEÖ�ç�ë�Ý�îyî î�Ù�Õ�à;Ú�ÚØô�Þ&Þ ç�âØÖáà;èõ2ü��nÖØ×&ÝßÖ�Ù�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÚ�s Ü �

}c/�ÿks Ü � � �[� &��~@@ /�ÿks Ü � � � /�ÿ,&�������ª�r� � ÿKJ�ú��É­#�û±×�à;Õ%� � , ¿ ��ÖØ×�àöÙyÕ�ÖáàEâ,ÚØà;Û5ÖØÙ�Õ�ùêÚáàEÖåç�ëys Ü � Ù�Ú�Öáâ,Ù�vÙ�Ý�î Á ÖØ×�àcÚáàEÖ�ç�ë�Ý�î�î�î�Ù�Õ�à;Ú'& � � ÿ%$ � &®­ � � ÖØ×&ÝßÖÝßâØàµÕ�ç�Ö�Þ�Ýßâ,Ý�îyî7à;î�Öáç & � ÿ%$�&®­R��ç�â~ÝßâØàlÞ�Ýßâ,Ý�îyî7à;î�õ�ô�Ö�×&Ý���àôû $ � ? $rû A ð

¿ ú ��ç§ä|à¢��àEâz�©ä�×&à;Õë�oÙ�Ú�ÝÚØô�õ�ÚØàEÖ�ç�ë�, ¿ �AÖØ×&àEâØà�øµÝzüªõ à øµÝ�Õ2üªîyÙ�Õ�à;Ú=ÖØ×&ÝßÖeÚ,ÝßÖØÙ�Úáë�üöÖØ×�à;ÚáàåÛ5çAÕ&è&Ù7ÖØÙ7çAÕ�Ú=õ�ô�Ö�ÚáÖØÙ�î�îvè�ç~Õ&ç�ÖeÙ�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5Ös Ü � ú�ûæàcÛ5çAÕ&Û5à;Õ�ÖáâÜÝßÖáàªÙ�Õ)ÖØ×&à~ÛEÝ�Úáàöä�×&àEâØà�³ÙyÚ ÖØ×�à~Ù�øµÝßù�àcÝ�ÚØÚáçvÛEÙ�ÝßÖáà;è�ä�Ù�ÖØ×îï k ñ mð©ñ ò �#} k ñ mð�ñ ò ú

l

l’

M,Nw,h

{

s

/=Ù7ùAô�âØà�J�ú�¡ Á)| mOÒ9o�e9k>opÓ�Ò9gih�m0h�qKdTlignmYo k>j.Ö.ÖÉhfe>Ò9o��"gimvO à�Æ áâ Æ ã d�m.��d�m0jYmz0Éh�j.m.�Yo��×k�Ò>e9gnÖ/}F~�9 bN� O'QuS�� XX Z []\ �� \ � _ d�mP�9x� b>� ORQTSi�YXX Z []\ �� \ � _ �

Page 63: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

NPORQ O U�WYXô\8eYU�X>`Y]�X�_�U�\8e<õö]�X>U¶c<g±b:]�U�`�\DõI]�X�õ<i�X>eYU ø#S# ÚÙ�î�î�ô&ÚØÖáâ,ÝßÖáà;è Ù�Õ /=Ù7ùAô�âØàôJ�ú�¡Y��ÖØ×�àæÙ�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÙ7çAÕÏç�ëcÝ·î�ÙyÕ�àH&êÚ,ô�Þ&Þ ç�âØÖáà;èÏÙ�Õ"} k ñ mð©ñ ò Ý�Õ&è±Ý�Õô&Õ2õhçAô�Õ&è�à;è)ÚáÖáâ,Ù7Þ�s ÛEÝ�Õ�õ àöè&ÙVý àEâØà;Õ2Ö ëRâ,çAø³ÖØ×�àöÙyÕ�ÖáàEâ,ÚØà;Û5ÖØÙ7çAÕ�ç�ë�ÖØ×�àcî�Ù�Õ�à@ä�Ù�ÖØ×ÖØ×�à~âØà;ÚØÖáâ,Ù�Û5ÖØÙ7çAÕç�ëÖØ×�à�ÚáÖáâÜÙ7ÞµÖáç�} k ñ mð�ñ ò ú �q×�Ù�Ú�ølç�ÖØÙ�ßÝßÖáà;ÚIÖØ×�à�ÚØô�õr-_è&Ù�vÙ�ÚØÙ7çAÕªç�ë ÖØ×�àåÙyÕ�ÖáàEâ,ÚØà;Û5ÖØÙ�Õ�ùöÚáàEÖ|ç�ë Ý~ÚáÖáâ,Ù�ÞêÚáàEùAølà;Õ2ÖÙ�Õ2ÖáçlÖ_äIçéÚØô�õìÚáàEÖØÚEú0�¿54�132546287�1f9Y;%=��Y;T�q×�àåÙyÕ�ÖáàEâ,ÚØà;Û5ÖØÙ�Õ�ùsÚáàEÖ|ç�ë�ÖØ×�àåÚáÖáâÜÙ7Þ ÚØàEùAølà;Õ�Övs @@ Å à�Æ áâ Æ ã Ù�ÚeÖØ×�à�ô&Õ&Ù7çAÕêç�ë Ö_äIçlÚáàEÖØÚ��

}c/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � � Ñ~}c/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã ��� Ð�}c/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � &ä�×�àEâØà Ñ~}�/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � �� &�ñ�}�/åÿksh� @@ /ïÿ,&®� � /ïÿks��'¿ } k ñ mð�ñ ò ÿKJ�úÁJ#¹º�Ý�Õ&è Ð�}c/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � � &lñ�}c/ïÿksR� @@ /�ÿ,&(� � /ïÿks����¿I} k ñ mð©ñ ò � ÿKJ�úÁJ>����q×�àïÚáàEÖÀÑ~}�/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � Ù�Úeâ,àEëRàEâØâ,à;èêÖáçsÝ�ÚIÖØ×�àÀÎ�°�n8n E�s8Ì�qÉu¢ÈéÆ�u®t�q^s8ÌwB�Æ¢u�q�ç�ë:sªçAÕ»} k ñ mð�ñ ò ��Ý�Õ&èéÖØ×�à�ÚáàEÖÐ�}c/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � Ý�Ú ÖØ×�à0¦�o*ÈÇq^s^o*nKn E-sKÌ�qÉu¢ÈéÆ�u®t�q^sKÌwB+Æ�u¢qvsêçAÕ�} k ñ mð�ñ ò ú�q×�àªë�çAî�î7çzäåÙ�Õ�ùéî�à;øµøµÝ Û,×&Ýßâ,Ý�Û5ÖáàEâÜÙ�Eà;Ú@ÖØ×�àªÞ�ÝßâØÖØÙ�Ý�îyî7ü�Ù�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÙ�Õ�ù)ÚáàEÖ�ç�ë|Ý ÚáÖáâ,Ù�Þ ÚáàEùAøµà;Õ�ÖEú~ÔKÖÚØ×�ç§ä�ÚeÖØ×�ÝßÖ|Ý�Õ2üêî�Ù�Õ�àqÙyÕµÖØ×&Ù�ÚeÚáàEÖIøªô&ÚáÖIÙ�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖeçAÕ&àåç�ë�ÖØ×�àåõ çAô&Õ&è&Ýßâ,Ù�à;Ú�ç�ëÍ} k ñ mð�ñ ò ÝßÖ|ÝcÞ çAÙ�Õ2Ö�ÖØ×&ÝßÖõ à;î7çAÕ�ùAÚ/ÖáçµÖØ×�àcÙ�Õ�ÖáàEâÜÙ7ç�â ç�ëys�ú:è¿��¶�"� 9Y;76Y;¯<u¢qP� � å ¥ V%& ¥ ò & £ V%& £ ò è�8�u¯q,=�uîÆ¢u�q�˸ÎH8®ËP°�Ì�źo*È�E�nTsKÌ�uÇÆ�˸ÎÒ} k ñ mð©ñ ò J[;+=�uÇÌ´³�&+ñÐ�}c/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � s Î�o*Ì�ÅîËrÌ>n©E+s Î� & � ñt�BÆ�°ÍtO=�q,=�orq®& � �� &[o*Ì�Å�/�ÿ,&Çû s Þ��F� � � /ïÿ,& � û s Þ��F� �0��ù� & ÿKJ�úÁJº!#�A =�uÇÈ®u/s ÛxÇU� s5Æ�q,=�u»sKÌ�qÉuÇÈ´s%Ë*Èy˸Î;sKJQlÈ(Ë�˸ÎOR # Ú,ÚØô&ølàsÖØ×&ÝßÖêÿKJ�úÁJº!#�~×�çAî�è&Ú�Ý�Õ&èæè�à;Õ&ç�ÖáàlÖØ×�àlÞ çAÙ�Õ�Öïç�ë/Ù�Õ�ÖáàEâÜÚáà;Û5ÖØÙ7çAÕæç�ë�/ïÿ,&�û s Þ���� �ïÝ�Õ&è/ïÿ,& � û s Þ��F� �|õ2ü-Ù/ú � Ù�Õ&Û5à��võ�ü è�àEóìÕ&Ù7ÖØÙ7çAÕ��2ÖØ×&Ù�Ú Ù�Ú/Ý�ÕÙ�Õ2ÖáàEâ,Ù7ç�â Þ çAÙ�Õ2ÖIç�ë�sR��ëRç�âqÚ,øµÝ�î�îhà;Õ�çAô�ùA×u�+��ÖØ×�àEâØàÙ�Ú@Ý)õ�Ý�î�î�ç�ëIâ,Ý�è&Ù�ô�Ú;�~ÝßâØçAô&Õ&èIÙ��8�;�5ÿ^ÙÀ����ÚØô&ÛÜ×æÖØ×&ÝßÖ/�;�5ÿ^ÙÀ�®¿�s�ú�/&ô&âØÖØ×�àEâ,ølç�â,à���ÚØÙ�Õ&Û5à�& � õìÙ�Úáà;Û5ÖØÚÖØ×&Ù�Ú/õ�Ý�îyî$��×&Ý�î7ë�ç�ë�Ù7Ö äåÙ�î�îhõ à@çAô�ÖØÚØÙ�è�à@ç�ë�} k ñ mð©ñ ò ú � Ù�Õ�Û5à"&/Ý�î�Úáçêõ�Ù�Úáà;Û5ÖØÚv�;��ÿ^ÙÀ�/Ý�Õ&è &��� & � �&Ù7Ö ë�çAî�î7ç§ä�ÚÖØ×&ÝßÖº/�ÿ,&(� � ¶ } k ñ mð©ñ ò ¸�� ��ª� ��Ý�Õ&è�&�ñîÐ�}�/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � ú�©ç~Þ&âØç���àqÖØ×�àqÛ5çAÕR��àEâ,Úáà��vÝ�ÚØÚØô&ølà ÖØ×�ÝßÖ�sðñ¯Ð�}c/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � ú2�q×�à;Õ��É/�ÿ,&(� � /�ÿksR� � ¶ } k ñ mð©ñ ò ¸�� ��� ú � Ù�Õ�Û5à²&�ñ[}c/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � �©Ù7Ö@ë�çAî�î7ç§ä�Ú�ë�âØçAø ÿKJ�ú��É­#�~ÖØ×&ÝßÖ®/ïÿ,&®� � /ïÿks�� � } k ñ mð©ñ ò �� � ú��åà;Õ&Û5à���&øcô�ÚáÖ|Û5âØçAÚ,Ú|çAÕ&àåç�ë ÖØ×&àåõ çAô&Õ&è�ÝßâØülî�Ù�Õ�à;Úeç�ëÍ} k ñ mð�ñ ò ÝßÖ/Ý�Õ ÙyÕ�ÖáàEâ,Ù�ç�âeÞ çAÙ�Õ2Öeç�ë:ssÝ�Õ�è ÿKJ�úÁJº!#�|ë�çAî�î7ç§ä�ÚEú

Page 64: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

NPORQ O U�WYXô\8eYU�X>`Y]�X�_�U�\8e<õö]�X>U¶c<g±b:]�U�`�\DõI]�X�õ<i�X>eYU ø�ò�q×�à ë�çAî�î7çzäåÙ�Õ�ù3î�à;øµøµÝ-Ú,×�çzä�ÚsÖØ×�ÝßÖcÖ�ä|çæÞ�ÝßâÜÝ�î�î7à;îeîyÙ�Õ�à;ÚªÙ�Õ"Ð�}�/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � ä�×�Ù�Û,× Ù�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖÖØ×�à~ÚØÝ�ølàöõhçAô�Õ&è&ÝßâØüéç�ë�} k ñ mð©ñ ò Ù�Õ)Ö�ä|ç Ù�Õ�ÖáàEâÜÙ7ç�â Þ çAÙ�Õ�ÖØÚqç�ë�séøªô&ÚáÖq×&Ý���àcÚØÙ�øêÙ�î�Ýßâ�$ïÞ�Ýßâ,Ý�ølàEÖáàEâ,Ú;ú:è¿��¶�"�F9<;p9<;���Ë*ÌÍÆ´s^ÅRuÇÈ q,=�u¯ÆÇq^È�sn¦�s � ÿ%$�V%&®­.V%& � �±o6ÆéÆ¢Ë�t¢s%orqÉuéÅ A sKq,=Dn s8Ì�uÂ& � ÿ%$�V¥&®­.V8� o*Ì�Å�q A ˦�o*È(o*nKnu¢n�n s8Ì�u´Æ2&X� � ÿ%$ � &®­R��orÌ�Å�&X� � � ÿ%$ � � &®­R�lÆ�°>tF=�q,=horq�&��8&�&�� ��ñ¯Ð�}c/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � J��8Î�q,=�u�È®u´ÆÇq^È�s%t�q^s%Ë*ÌÍÆ˸Î+q,=Íuîq A Ë[n s8Ì�u´Æ+q¥ËIq,=Íu-s8Ì�qÉuÇÈ´s^Ë*ȯ˸Î-s~³T&��¥ûms ÛxÇU� o*Ì�Å�&X� �Éûms ÛxÇ�� ³�sKÌ�qÉu¢ÈéÆ�u®t�q~q,=Íu-ÆÇorzðuH8®ËP°�Ì�Å#orÈ�EIn s8Ì�u� ñu�׳ A =�u¢È(u;� s8Æ»o6ƻźu$�çÌ�uéÅ sKÌH¯<u¢zyzðo�IKJDLP³�q,=ÍuÇÌû $ � ? $ � � û A�� ÿ � &®­.VP&®­R� ÿKJ�úÁJº�#�A =�uÇÈ®u

� ÿ � &®­YVP&®­R� �  ¡¡¡¡¢ ¡¡¡¡£� @@@ ò9ó�ï ªò9ó�ï ª u @@@ s ÎT&lñîÏ�¨� @@@ ï,ðÔñ ªï,ðÔñ ª u @@@ s ÎT&lñîÏ�¨©¨� øµÝ�í�¤ @@@ ò9ó�ï ªòXó�ï ª u @@@ & @@@ ï,ðÔñ ªï,ðÔñ ª u @@@ ¥ s ÎT&lñîÏ�¨©¨n¨7J ÿKJ�úÁJrJR�

QlÈ(Ë�˸ÎOR3ûæàÚáÖØÝßâØÖªõ2ü Û5çAÕ�ÚØÙ�è�àEâ,ÙyÕ�ù-Ý-ÚØÖáâ,Ù7Þ¦s ÚØô&Û,× ÖØ×&ÝßÖ /ïÿksh�öè�ç2à;ÚªÕ�ç�ÖsÙ�Õ&ÛEî�ô�è�àêÝ�Õ2üæç�ëqÖØ×�àÛ5ç�â,Õ�àEâ,Ú�ç�ëa} k ñ mð�ñ ò ú��ïà;Õ�ç�ÖáàªÖØ×�àcÙyÕ�ÖáàEâ,ÚØà;Û5ÖØÙ7çAÕ�Þ çAÙ�Õ2ÖØÚ ç�ë2&��%ûms ÛxÇU� Ý�Õ�è�&X� �Éûms Û Ç�� ä�Ù�ÖØ× � õ2üîÙ � Ý�Õ&è±Ù � � �âØà;ÚáÞ à;Û5ÖØÙ��à;î7ü�úç/&âØçAø³ÖØ×�à~îyÙ�Õ�à�à)^2ô�ÝßÖØÙ7çAÕ&Ú/ë�ç�âº&�� Ý�Õ&è &�� ��&Ù�Ö ëRçAî�î�çzä�Ú/ÖØ×&ÝßÖ�Ù � í�ÿ+Û5çAÚ�­>&ØÚØÙ�Õ�­R� � $ � Ý�Õ&èÙ � � í2ÿ+Û5çAÚ�­Í&ØÚØÙ�Õl­R� � $ � � �&Ù�ú à�úû $ � ? $ � � û � ûVÿ^Ù � ? Ù � � �dí2ÿ+Û5çAÚ�­Í&ØÚØÙ�Õl­R�¢û � ÿKJ�úÁJº�#�ûæàöÕ�à5ívÖ�Û5çAÕ&ÚØÙyè�àEâ ÖØ×�à~ë�çAô�â Þ çAÚØÚØÙ7õìî7àïÛEÝ�ÚØà;Ú�ë�ç�â � ú2XW � � £ V|ç�â � � £ ò Á ÔKÕ ÖØ×�à;Úáà)ÛEÝ�Úáà;Ú��çÙ � � ÿ$§ � & � �~Ý�Õ�è"Ù � � � ÿ$§ � � & � ����äå×�àEâØà ?�� ��� ë A§ � &�§ � � A ����� ë �&Ý�Õ&è � � ?��r��� ë Ù7ë � � ¥ V©Ý�Õ&è � � �r��� ë Ù�ë � � ¥ ò ú ��à;Õ�Û5à���ë�âØçAøoÿKJ�úÁJº�#���

û $ � ? $ � � û � û § � ? § � � û¢ûKÛ5çAÚ�­�û � ûû Ù � ? Ù � � ûû¢ûKÛ5çAÚ�­�û �� Ù�Õ&Û5à@õ ç�ÖØ×±Ù � Ý�Õ&è Ù � � õ à;î7çAÕ�ùµÖáçéÖØ×�àcÚØàEùAølà;Õ�Ö � � sH� ûû Ù � ? Ù � � ûû A ûû Ù æ ? Ù 3 ûû��hä�×�àEâØà»Ù æ Ý�Õ&èÙ 3 ÝßâØàcÖØ×�àcà5ívÖáâØà;øµÝêç�ë�ÖØ×�àªÚáàEùAølà;Õ2ÖEú×�q×�à;ÚáàªÝßâØàöÖØ×&àöÞ çAÙ�Õ2ÖØÚqä�×�àEâ,à � Ù�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÚåÖØ×�àöõ çAô&Õ&è�ÝßâØüî�Ù�Õ�à;Úåç�ë�ÖØ×�àlÚáÖáâÜÙ7Þ!� Ù�ú à�ú@ÖØ×�àlî�Ù�Õ�à;Ú×& æ � �¥$�V ? ð ¿ &®­YV � Ý�Õ�è]& 3 � �É$�V v ð ¿ &®­.V � ú # Þ&Þ�î7üvÙ�Õ�ùêÖØ×�àlÚØÝ�ølàÝßâØùAô&ølà;Õ2ÖØÚqÖáçêÖØ×�à;Úáà@Ö_äIçêÞ çAÙ�Õ2ÖØÚ/âØà;ÚØô�î7ÖØÚqÙ�Õ� � ûû Ù 3 ? Ù æ ûû¢ûKÛ5çAÚ�­YVÉûT&ëRâ,çAø ä�×&Ù�ÛÜ×Ù7Ö ë�çAî�î7çzäåÚ/ÖØ×&ÝßÖ û $�� ? $�� �¥û A � @@@@ Û5çAÚ�­Û5çAÚ�­YV @@@@ � ÿKJ�úÁJº¡#�

Page 65: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

NPORQ O U�WYXô\8eYU�X>`Y]�X�_�U�\8e<õö]�X>U¶c<g±b:]�U�`�\DõI]�X�õ<i�X>eYU ø L2^2XW � � ¥ V&ç�â � � ¥ ò Án¨ ÚØÙyÕ�ù@ÖØ×�à�ÚØÝ�øµà�ÝßâØùAô&ølà;Õ2ÖØÚIÝ�Ú�ÖØ×�çAÚáàåô&Úáà;èµÙ�Õ+29WIî7à;Ý�è&Ú���ÙyÕlÖØ×�à;Úáà�ÛEÝ�ÚØà;Ú��Öáç û $�� ? $�� �¥û A � @@@@ ÚØÙ�Õ�­ÚØÙyÕ�­YV @@@@ � ÿKJ�úÁJ / �ûæà~çAøµÙ7Ö�ÖØ×�à~è�àEÖØÝ�Ù�î�ÚqëRç�âqõ�âØà¢��Ù�Ö_ü�ú�q×�àqî�à;øµøµÝ@ë�çAî�î7ç§ä�Ú�ë�âØçAø ÖØ×�àåë�Ý�Û5Ö�ÖØ×�ÝßÖ�2%�=Ý�î7ä/Ý;üvÚ|×&çAî�è&Ú=ë�ç�â|î�Ù�Õ&à;Ú�Ù�Õ�Ï�¨W�h2^2%��Ý�î�äIÝzü�Ú|×�çAî�è&Ú�ë�ç�âî�Ù�Õ�à;Ú|Ù�Õ+Ï�¨n¨W��Ý�Õ&è õ ç�ÖØ×éÛEÝ�Õ)×�çAî�èéë�ç�â/îyÙ�Õ�à;ÚeÙyÕ ÏH¨n¨n¨Vúç/=Ù�Õ&Ý�î�î�ü���äIà�Û5çAÕ�ÚØÙ�è�àEâIÖØ×�à�ÛEÝ�Úáà@Ù�Õêäå×&Ù�Û,×�/ïÿksh�Û5çAÕ�ÖØÝ�ÙyÕ&ÚIçAÕ�àåç�â ølç�â,à�Û5ç�âÜÕ�àEâ,Ú|ç�ë�} k ñ mð©ñ ò ú�©|ü Úáà;î7à;Û5ÖØÙ�Õ&ùcÖØ×�àïõ çAô&Õ&è&Ýßâ,ü � äå×&Ù�Û,× Ù�ÚIÙ�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5Öáà;è õ2ü& � Ý�Õ&èH& � � Ý�Õ&è à5ívÖáà;Õ&è&Ù�Õ�ù»} k ñ mð�ñ ò Ý�î7çAÕ&ù � ÚØçéÖØ×&ÝßÖ � � s)Ù�ÚïÛ5çAÕ�ÖØÝ�Ù�Õ&à;è ÙyÕ-ÖØ×�àsà5ívÖáà;Õ&è�à;è ä�Ù�Õ�è�çzä/�ÖØ×�à~âØà;Ú,ô&î7ÖØÚ�Ýßõ ç���àcÝßâØàªÚáÖØÙ�î�î��ßÝ�î�Ù�è ÿ+ÙyÕÖØ×�àöà5ívÖáà;Õ&è�à;è-ä�Ù�Õ&è&çzä��Üú � Ù�Õ&Û5à@â,à;ÚáÖáâ,Ù�Û5ÖØÙ�Õ&ùµÖØ×�àöÚØÙ��Eàöç�ë=ÖØ×�àÚáàEùAølà;Õ2Ö � � sªÛEÝ�Õ çAÕ&î7üµè&à;Û5âØà;Ý�Úáà�ÖØ×�àåè�Ù�ÚáÖØÝ�Õ&Û5à;ÚIõ àEÖ_äIàEà;Õ ÖØ×�àïîyÙ�Õ�à;Ú�ÖØ×�ÝßÖIÙ�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖIÖØ×�à�ÚáàEùAølà;Õ2Ö��ÖØ×&Ù�ÚIÙ�ølÞ�îyÙ7à;Ú�ÖØ×&ÝßÖ/ÖØ×�àïâØà;ÚØô&î�ÖØÚeÝ�î�Úáçs×�çAî�è Ù�Õ»} k ñ mð�ñ ò ÿ�à¢��à;Õ)ÖØ×�çAô&ùA×êÖØ×�àïõ çAô&Õ&è&Ú|øµÝ;üéõ àåî7à;ÚØÚ|ÖØÙ7ùA×2Ö��Üú�q×�à ë�çAî�î7çzäåÙ�Õ�ù î�à;øµøµÝ õ�ô&Ù�î�è�ÚµçAÕÏÖØ×�à�Þ&âØà¢�vÙ7çAô&ÚéçAÕ�à�Öáç·à;ÚáÖØÝßõ�î�Ù�Ú,× ÖØ×&ÝßÖ���Ù7ëªsÄÙ�Ú ÖØ×�àæÚáÖáâ,Ù7ÞÝ�ÚØÚáçvÛEÙ�ÝßÖáà;è ä�Ù7ÖØ× î�Ù�Õ�à�&���Ý�Õ2ü-î�Ù�Õ�à�&���ÙyÕ Ð�}�/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � ×&Ý�Ú�Ý Þ�Ýßâ,Ý�î�î7à;î©î�Ù�Õ�àcÙ�Õ }�/3ÿ,&®�qÚØô�Û,× ÖØ×&ÝßÖÖØ×�àêè&Ù7ýhàEâØà;Õ�Û5àlõhàEÖ�ä|àEà;Õ ÖØ×�à+$ªÞ�ÝßâÜÝ�ølàEÖáàEâ,Ú~ç�ë/ÖØ×�àêÖ_äIç3î�Ù�Õ&à;Ú@Ù�Ú@õ çAô&Õ&è�à;è�Ýßõ ç���àéõ2üæÝ�^�ô&Ý�Õ2ÖØÙ7Ö_üÖØ×&ÝßÖqçAÕ&î�üéè�àEÞ à;Õ&è&Ú/çAÕ�ÖØ×�à~ä�Ù�è&ÖØ×éç�ëysêÝ�Õ&èÖØ×�àcÝ�Õ�ùAî7à;Ú ç�ë�&|Ý�Õ�è & � ú:è¿��¶�"�f9Y;M�a;T��ËrÌÍÆ�s%źuÇÈ+q,=�uðÆ´q^È´si¦«sfo6Æ�ÆÇË�t�s^orqÉuéÅ A sKq,= q,=�u n s8Ì�u®& � ÿ%$�V%&®­.V8�FJ­¬YË*È+orÌrE¯n s8Ì�u�&�� �ÿ%$ � &®­ � � Æ�°>tO=�q,=horqT& � ñ Ð�}c/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � ³�q,=�u¢È(u¯s5Æ�o�¦�o*È(o*nKnu¢n�nTsKÌ�u & � � � ÿ%$ � � &®­ � � Æ�°>tO=�q,=horqT& � � ñ

}c/ � & @@ Å à�Æ áâ Æ ã � o*Ì�Å &�� ��ñ¯Ð�}c/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � J)¬�°�È´q,=ÍuÇÈ´z�ËrÈ(uF³$�� � ? � ÿ � &®­.VP&®­É�� A $f� A $�� � v � ÿ � &®­YVP&®­É����& ÿKJ�úÁJ5«#�A =�uÇÈ®u � ÿ � &®­.V¥&®­ � ��s5Æ»o6Æ»ÅRu��çÌ�uéÅ-s8Ì�GMI�JnI±IÉNPJQlÈ(Ë�˸ÎOR3ûæàÚáÖØÝßâØÖªõ2ü Û5çAÕ�ÚØÙ�è�àEâ,ÙyÕ�ù-Ý-ÚØÖáâ,Ù7Þ¦s ÚØô&Û,× ÖØ×&ÝßÖ /ïÿksh�öè�ç2à;ÚªÕ�ç�ÖsÙ�Õ&ÛEî�ô�è�àêÝ�Õ2üæç�ëqÖØ×�àÛ5ç�â,Õ�àEâ,Ú~ç�ëd} k ñ mð©ñ ò ú /�â,çAø�S à;øµøêÝîJ�ú��Ý�Õ&èæÖØ×&àlë�Ý�Û5Ö~ÖØ×�ÝßÖ®&���ñ�Ð�}�/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � �©Ù7Ö�ë�çAî�î7çzäåÚ@ÖØ×&ÝßÖ& � ÙyÕ�ÖáàEâ,ÚØà;Û5ÖØÚåçAÕ&àöç�ë�ÖØ×�àcëRçAô&âåõ çAô&Õ&è�ÝßâØü îyÙ�Õ�à;Ú�ÙyÕð} k ñ mð©ñ ò ÝßÖ�ÝêÞ çAÙ�Õ2ÖEú��ïà;Õ�ç�ÖáàsÖØ×�àªõhçAô�Õ&è&ÝßâØü)î�Ù�Õ�àõ2ü � Ý�Õ&è ÖØ×�àµÙyÕ�ÖáàEâ,ÚØà;Û5ÖØÙ7çAÕ�Þ çAÙ�Õ�Öïõ�üôÙ � ñ¡/ïÿ � Ü s Þ���� �Üú � Õ�ÖØ×&àªç�ÖØ×&àEâö×&Ý�Õ&è�� ë�âØçAø ÖØ×�àlë+Ý�Û5Ö@ÖØ×&ÝßÖ/ïÿ,&®��¿�/�ÿksR��� Ù�Öïë�çAî�î7ç§ä�ÚïÖØ×&ÝßÖ�&�Ù�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÚ~Ý�Õ2ü-ç�ë|ÖØ×�àsõ çAô&Õ&è&ÝßâØü�îyÙ�Õ�à;ÚåÖØ×&ÝßÖ@ÝßâØàlÙ�Õ�ÖáàEâÜÚáà;Û5Öáà;è�õ2üs'��Ý�Õ&èÙyÕêÞ�Ýßâ,ÖØÙ�ÛEô&î�Ýßâ � úç�ïà;Õ�ç�Öáà~ÖØ×&àïÞ çAÙ�Õ2Öeç�ë�Ù�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÙ7çAÕ)õ�ü ÙDñ /�ÿ � Ü s Þ��F� �Üú � Ù�Õ&Û5à�õ ç�ÖØ×�Ù·Ý�Õ&èÙ � ÝßâØàïà;î7à;ølà;Õ2ÖØÚ|ç�ë�ÖØ×�àåâ,à;ÚáÖáâ,Ù�Û5ÖØÙ7çAÕêç�ë � Öáç®s ÛxÇ�� �vÖØ×�àïÚØÙ�ølÞìî7àqÖáâ,Ý�Õ&Ú,î�ÝßÖØÙ7çAÕµç�ë+& � Ý�î7çAÕ&ùcÖØ×�àïÚáàEùAølà;Õ2ÖÖØ×&ÝßÖqç�â,Ù�ùAÙ�Õ&ÝßÖáà;Ú ÝßÖ�Ù � Ý�Õ&èÖáàEâ,øêÙ�Õ&ÝßÖáà;ÚqÝßÖ�Ù·ù�à;Õ&àEâ,ÝßÖáà;Ú�ݵÕ&àEä9î�Ù�Õ�à�ÖØ×&ÝßÖ���� Ù�Ú/Þ�Ýßâ,Ý�î�î�à;îìÖáç�&X���&Ý�Õ&è!#� Ù�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÚ"& ÝßÖ�ÖØ×&à»Ù/úº�q×&ÙyÚqÙ�ÚqÖØ×&àcî�Ù�Õ&à0& � � ú � Ù�Õ&Û5à®& � � ñôÐ�}c/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � Ý�Õ&è-õhç�ÖØ×H& � Ü s Þ��F� Ý�Õ&è& � �Ü s Þ��F� ÙyÕ�ÖáàEâ,ÚØà;Û5Ö � Ù�Ö ëRçAî�î�çzä�Ú/ë�âØçAø S�à;øµøµÝ�J�úÁJêÖØ×�ÝßÖyû $ � ? $ � � û A¦� ÿ � &®­.VÉ&®­ � �Üú

Page 66: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

NPORQ O U�WYXô\8eYU�X>`Y]�X�_�U�\8e<õö]�X>U¶c<g±b:]�U�`�\DõI]�X�õ<i�X>eYU ø�Oû±×�à;Õç/ïÿksh�åÛ5çAÕ�ÖØÝ�Ù�Õ�Ú@çAÕ�àsç�â~ølç�âØàlÛ5ç�â,Õ�àEâÜÚ�ç�ë<} k ñ mð©ñ ò ��õ2ü Úáà;î7à;Û5ÖØÙ�Õ&ùéÖØ×�àsõ çAô&Õ&è�ÝßâØü � ä�×�Ù�Û,×Ù�Ú�ÙyÕ�ÖáàEâ,ÚØà;Û5Öáà;è3õ�ü &qÝ�Õ&è-à5í�Öáà;Õ&è�Ù�Õ�ù�} k ñ mð©ñ ò Ý�î7çAÕ�ù � ÚØçéÖØ×&ÝßÖ � � s Ù�ÚåÛ5çAÕ�ÖØÝ�ÙyÕ�à;è�Ù�Õ�ÖØ×�àcà5í�Öáà;Õ�è�à;èä�Ù�Õ&è&çzä/�©ÖØ×�àµâØà;ÚØô�î7ÖØÚöÝßõ ç���à ÝßâØàéÚØÖØÙ�î�î��ßÝ�î�Ù�èÑÿ+Ù�Õ ÖØ×�àêà5ívÖáà;Õ&è�à;è ä�Ù�Õ&è&çzä��Üú � Ù�Õ&Û5àêâØà;ÚáÖáâ,Ù�Û5ÖØÙyÕ�ùÖØ×�àÚØÙ�Eàsç�ëeÖØ×&àsÚØàEùAølà;Õ�Ö � � sÛEÝ�Õ#çAÕ&î7ü-è�à;Û5â,à;Ý�ÚáàlÖØ×�àlè&Ù�ÚáÖØÝ�Õ�Û5à;Úåõ àEÖ�ä|àEà;ÕæÖØ×&àsîyÙ�Õ�à;ÚåÖØ×&ÝßÖ~Ù�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖÖØ×�à~ÚáàEùAølà;Õ2Ö���ÖØ×�Ù�ÚqÙ�ølÞìî�Ù7à;Ú|ÖØ×&ÝßÖqÖØ×�à~â,à;ÚØô&î7ÖØÚ Ý�î�ÚØçµ×�çAî�èÙ�Õ�} k ñ mð©ñ ò ÿ�à¢��à;Õ-ÖØ×�çAô�ùA×ÖØ×�àöõhçAô�Õ&è&Ú/øµÝ;üõ à~î7à;ÚØÚ/ÖØÙ7ùA×2Ö��Üú�q×�àêëRçAî�î�çzä�Ù�Õ&ùÖØ×�àEç�âØà;ø Û5çAøöõ�ÙyÕ�à;Ú~ÖØ×&ÙyÚ~î7à;øµøµÝ�ä�Ù7ÖØ×#äå×&ÝßÖ~ä/Ý�ÚöÞ&â,à¢��Ù7çAô�ÚØî7ü3Ú,×�çzä�Õ ëRç�âcÖØ×�àÙ�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÙ�Õ�ù ÚáàEÖ�ç�ëeÝ î�Ù�Õ�àöÚØàEùAølà;Õ�Ö���Öáç)Û,×�Ýßâ,Ý�Û5ÖáàEâ,Ù�EàsÖØ×�àsÙ�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÙ�Õ�ù)ÚáàEÖïç�ë�ÖØ×�àsÚáÖáâ,Ù7Þ ÚáàEùAølà;Õ2ÖÝ�ÚØÚáçvÛEÙ�ÝßÖáà;è ä�Ù7ÖØ×�s � ÿ%$�V%&®­YV¥& � �ÜúïÔ�ÖïÚØ×�çzäåÚ�ÖØ×&ÝßÖïÖØ×�àsî�ÝßÖáÖáàEâ�Ù�Ú�ÖØ×&àcô&Õ&Ù�çAÕ�ç�ë�ÖØ×�àsÙ�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÙ�Õ�ù ÚáàEÖç�ë/ÖØ×�àéî�ÙyÕ�à�& � ÿ%$�V%&®­.V8�@ä�Ù7ÖØ×æÝ-ÚØàEÖöÖØ×&ÝßÖcà5í�Öáà;Õ&è�ÚöÙ7ÖØÚöõhçAô�Õ&è&Ýßâ,Ù7à;Ú�Ý�î7çAÕ&ù-ÖØ×�à+$sè�Ù�ølà;Õ&ÚØÙ�çAÕ�õ2üæÝ^2ô�Ý�Õ�ÖØÙ7Ö�ü)ÖØ×&ÝßÖ çAÕ&î7ü)è�àEÞ à;Õ&è&ÚIçAÕ�ÖØ×&à~Ý�Õ�ùAî7à�­lÝ�Õ&è�ÖØ×�à~Þ�Ýßâ,Ý�øµàEÖáàEâ,Ú � Ý�Õ&语.V�úÃÄ ¿h7��5¿h� 9Y;76a;®¯<u�q�s � ÿ%$�V¥&®­.V%& � �<8éu q,=�uðÆ´q^È´si¦öo6Æ�ÆÇË�t�s^o#qÉu®Å A s^q,=Iq,=Íuðn sKÌ�u0& � ÿ%$�V%&®­.V8�FJ°¯wn s8Ì�u& � � ÿ%$�&®­R� 8éu¢npË*Ì�B*Æ�q¥Ë�}c/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � s Î�o*Ì�Å�Ë*Ì�n©E-s Î$ ÛxÇPÈ ÿ^­Í&é$�V%&®­YVK� ? � ÿ � &®­YVP&®­R� A $ A $ ³XÊ Ø ÿ^­Í&é$�V%&®­.V8� v � ÿ � &®­.VÉ&®­h� ÿKJ�úÁJ5­#�A =�uÇÈ®u+$ ÛxÇÉÈ ÿ íT�îo*Ì�Å $ ³9Ê Ø ÿ íT� o*È®u¯q,=�u¯nË A uÇÈF±ðo*Ì�Åë°Y¦±¦>uÇÈF±�8éËP°�Ì�Å6Æ Ë¸ÎÒ}c/ � & @@ Å à�Æ áâ Æ ã � ³»o6ÆîÅRu��çÌ�uéÅIsKÌ;+=�u®ËrÈ(u¢z IKJ�.³�o*Ì�Å � ÿ íT�»s8Æ�o6ƻźu$�çÌ�u®Å-sKÌ�GMIKJ©I±IPNÉJQlÈ(Ë�˸ÎOR /�âØçAø �åàEóìÕ&Ù7ÖØÙ7çAÕ J�ú��¢¹&�@à;Ù7ÖØ×&àEâ�&�ñGÑ~}�/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � ç�â�&¶ñGÐ�}c/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � ú ÔKë&�ñ-Ñ~}�/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � ��ÖØ×&à;Õ²/ïÿ,& � � � /ïÿks���¿I} k ñ mð©ñ ò �Aä�×�Ù�Û,×sÙ�ølÞìî�Ù7à;Ú©ÖØ×&ÝßÖ2& � Ù�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÚ�ÖØ×�à/õ çAô&Õ&è�ÝßâØüî�Ù�Õ�à;Úcç�ë/s'� � $�Vw\ ð

¿ &®­YV � �|ÝßÖlÖ�ä|ç#Þ çAÙ�Õ2ÖØÚ�Ù æ &®Ù 3 ñD} k ñ mð�ñ ò ú ÔKÖlëRçAî�î�çzä�ÚªÖØ×&ÝßÖ²& � Ù�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÚÂ&cÝßÖµÝÞ çAÙ�Õ�ÖåÖØ×&ÝßÖ�Ý�î�Úáç õhà;î�çAÕ�ùAÚqÖáç�} k ñ mð©ñ ò Ý�Õ&è!�hÛ5çAÕ&ÚØà)^2ô�à;Õ2ÖØî7ü���& � ñ�}c/ � s k ñ m@@ Å â Æ ã � ú�/�â,çAø �q×�àEç�âØà;ø J�ú��i�$ Û ÇÉÈ ÿ^­Í&é$�V%&®­.V8� A $ A $ ³XÊ Ø ÿ^­Í&é$�V%&®­.V8�/Ý�Õ&è ÿKJ�úÁJ5­#�q×�çAî�è&Ú;ú� ÕÖØ×&à@ç�ÖØ×�àEâå×&Ý�Õ�è���Ù7ëU&�ñîÐ�}c/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � ÖØ×�à;Õ!��ëRâØçAø�S à;øµøµÝðJ�úÁJ'�$�_ö$ ÛxÇÉÈ ÿ^­Í&é$�V%&®­.V8� ? � ÿ � &®­.VÉ&®­R�ç�â $ A $ ³XÊ Ø ÿ^­Í&é$�V%&®­.V8� v � ÿ � &®­.VÉ&®­h�Ý�Õ&è ÿKJ�úÁJ5­#� ëRçAî�î�çzä�ÚEú

/=Ù7ùAô�âØà J�ú / Þ&âØà;ÚØà;Õ�ÖØÚöÖØ×�àµõ çAô&Õ&è&ÝßâÜÙ7à;Ú�ç�ë }c/ � & @@ Å g$² Æ g$²? Æ ? � Ý�Õ&è }c/ � s @@ Å g$² Æ g$²? Æ ? � ��ä�×�àEâ,à²&�ÙyÚ@ÖØ×�àî�Ù�Õ�àªÝ�ÚØÚáçvÛEÙ�ÝßÖáà;è ä�Ù7ÖØ׳sÝ�Õ&è´s � ÿ%$�V¥&®­.V%&�������ë�ç�âïÖØ×&ày�ßÝ�î�ô�à;Úïç�ëåÿ%$�VÉ&®­YV8��ô&Úáà;è�Ù�Õô/=Ù7ùAô�âØàyJ�ú���ú # î�Úáç

Page 67: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

NPORQ O U�WYXô\8eYU�X>`Y]�X�_�U�\8e<õö]�X>U¶c<g±b:]�U�`�\DõI]�X�õ<i�X>eYU øYø

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180−30

−20

−10

0

10

20

30

bl = 0, θ

l = 45

θ

b

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

θ

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

bl = 0, θ

l = 90

θ

b

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

θ

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180−30

−20

−10

0

10

20

30

bl = 0, θ

l = 135

θ

b

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

θ

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

bl = 15, θ

l = 45

θ

b

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

θ

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

30

bl = 15, θ

l = 90

θ

b

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

θ

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

bl = 15, θ

l = 135

θ

b

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

θ

/=Ù7ùAô�âØàyJ�ú / Á�µ h�liliopÓ�Ò9gih�mh�q�gim)Ò9o�e9k>opÓ�Ò9gim.s×k>o�Ò9k�hfq�Ò9ÕYo�k�Ò>e9giÖYk�h�q�j.mYgÔÒ Ñ gn� Ò9Õ�dfk>k>hOÓpgndfÒ9o�� Ñ giÒ9Õ®Ò9Õ.o ligim.opk�ÖYe9opk>opmOÒ9o��gim;¶~gis�jYe9o�3Y� ·O� Ð ÕYo�gim)Ò9o�e9k>opÓ�Ò9gim.s'k>o�ÒUhfq´o�dfÓ�Õ�k�Ò>e9gnÖ"k>ops�ØTopmOÒ Ú7dfk>k>hOÓpgndfÒ9o���ligim.ovÝ�gik`k>Õ.h Ñ m�gim�k>h�lign��Ú7�.d�k>ÕYo��PÝKh�m"Ò9ÕYolio�q©ÒUhfqro�d�ÓXÕ�Ö.d�gÔe+h�qrÖ.lihfÒ9kp� Ð ÕYo2Ö.lih�Ò9k+h�m�Ò9Õ.o�e9gis�ÕOÒ+k>Õ.h Ñ Ò9Õ.o�eXdvÒ9gihTh�q~Ò9ÕYo Ñ g©�)Ò9Õ"hfq´Ò9Õ.on0.d�mP�×Ò9ÕPdfÒ`gik+m.hfÒ`k>ÕPdfe9op�0�<'Ò9ÕYoUÒ Ñ h�gimOÒ9o�e9k>opÓ�Ò9gimYs�k>o�Ò9k�Ò9hcÒ9ÕPdvÒ�h�qwÒ9Õ.o�gimOÒ9o�e9k>opÓ�Ò9gnmYs�k>o�Ò�h�q�Ò9ÕYo�k�Ò>e9giÖ"k>o�s�ØTopmOÒ @ d�k`d qxjYm.Ó�Ò9gih�m×h�qwÒ9Õ.o�d�m.s�lio2t �

Page 68: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

NPORQ O U�WYXô\8eYU�X>`Y]�X�_�U�\8e<õö]�X>U¶c<g±b:]�U�`�\DõI]�X�õ<i�X>eYU ø MÚØ×�ç§ä�Õ#ÝßâØàµÖØ×&àµâ,ÝßÖØÙ7çAÚ@õ àEÖ�ä|àEà;Õ ÖØ×�àµä�Ù�è&ÖØ×�ç�ëIÖØ×&àlõ�Ý�Õ&èæÖØ×&ÝßÖcÙ�Ú~Õ�ç�ÖöÚ,×&ÝßâØà;è�õ�ü ÖØ×&àµÖ_äIç3Ù�Õ2ÖáàEâ�-Úáà;Û5ÖØÙ�Õ�ùªÚáàEÖØÚ��6}c/ � s @@ Å g$² Æ g$²? Æ ? � � }c/ � � & @@ Å g$² Æ g$²? Æ ? � ��Ý�Õ&èµÖØ×�àåä�Ù�è�ÖØ×µç�ë�ÖØ×�àåÙ�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÙyÕ�ùcÚáàEÖ|ç�ë]s @@ Å g$² Æ g$²? Æ ? �Ù�ú à�ú ¿¹¸ ü ð©ñ ª u ñ ª �¨%©�º V ü ª�ñ ¨ u ñ ª u � 1 ¨ Þ��F» ü ª�ñ ¨ u ñ ª u �2¼ ¿¹¸ ü ð©ñ ª u ñ ª � úsÔ�Ö~Ù�Ú@ÛEî�à;Ýßâ@ÖØ×&ÝßÖ~ÖØ×�àµÙ�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÙyÕ�ùÚáàEÖ~ç�ëeÖØ×&àµÚáÖáâ,Ù7Þ#Ù�ÚïäIà;î�îÝßÞ&Þ&âØçzívÙyøµÝßÖáà;è)õ2ü ÖØ×&ÝßÖ ç�ë�ÖØ×�à~Ý�ÚØÚáçvÛEÙ�ÝßÖáà;è3î�Ù�Õ�à�ÚáàEùAølà;Õ2Ö��&à5í�Û5àEÞ&ÖqÞ àEâ,×&ÝßÞ�ÚIä�×&à;Õî­lÙ�Ú ÛEî7çAÚáà@Öáçð­.V�ú�q×&Ù�ÚIÙ�Ú/è&ô�àïÖáçlÖØ×�à�ë+Ý�Û5Ö ÖØ×&ÝßÖ ä�×&Ù�î�à�ë�ç�âIÖØ×&à�îyÙ�Õ�àïÖØ×�à@Ù�Õ�ÖáàEâÜÚáà;Û5ÖØÙ�Õ�ùlÚáàEÖ Û5çAî�î�ÝßÞìÚáà;ÚIÖáçµÝcÞ çAÙ�Õ2ÖIä�×�à;Õ­�½ ­.Våÿ�Ö�ä|ç Þ�Ýßâ,Ý�îyî7à;î�î�Ù�Õ&à;Ú~è�ç3Õ&ç�ÖöÙ�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5Ösô&Õ&î7à;ÚØÚ~ÖØ×�àEü#ÝßâØàêÖØ×&àêÚØÝ�ølà�����ÖØ×�à ÚØÝ�ølà è�ç2à;ÚcÕ�ç�Ö×�çAî�è)ë�ç�â ÖØ×�àöÚáÖáâÜÙ7Þ#ÿ+Ý�î�î�î�Ù�Õ�à;Ú/ÞìÝßâ,Ý�î�î7à;îhÖáç²&/ÝßÖ�Ýlè&Ù�ÚáÖØÝ�Õ�Û5à~î7à;ÚØÚ/ÖØ×&Ý�Õ ð ¿ õ à;î7çAÕ�ùsÖáç�}c/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � �Üú��¿����>���ö9Y;5Â�;ïÔKÖïÚØ×&çAô&î�è�õ àcà;ølÞ�×&Ý�ÚØÙ��Eà;è-ÖØ×&ÝßÖ�ÖØ×�àsÙ�Õ2ÖáàEâ,Úáà;Û5ÖØÙ�Õ&ù ÚáàEÖ�ç�ëeÝ ÚáÖáâ,Ù�Þ ÚáàEùAøµà;Õ�Ö@Ù�ÚïÕ�ç�ÖÝ�î7ä/Ý;üvÚêäIà;î�î�ÝßÞ�Þ&âØç;í�Ù�øµÝßÖáà;èaõ�üÄÖØ×&ÝßÖéç�ë~Ý î�Ù�Õ�à�ÚØàEùAølà;Õ�ÖEúé�q×�àEâØà ÝßâØà3ÙyÕÑë+Ý�Û5Ö î�ÙyÕ�à;Úlë�ç�âéä�×�Ù�Û,×ÖØ×�àµä�Ùyè�ÖØ×æç�ë/ÖØ×�àêë�ç�â,ølàEâcÛEÝ�Õ õ àêÚØÙ�ùAÕ&Ù7ó�ÛEÝ�Õ2ÖØî7ü3îyÝßâØù�àEâöÖØ×&Ý�Õ ÖØ×&ÝßÖöç�ë/ÖØ×�à î�ÝßÖáÖáàEâ;ú�$IçAÕ&ÚØÙyè�àEâ+��ë�ç�âà5ívÝ�øµÞ�î7à�� Ý)î�Ù�Õ�à&�ä�Ù�ÖØ×±­.V � Z ¿ v �~Ý�Õ&èI$�V�Ú,ô&Û,×�ÖØ×&ÝßÖ�ÖØ×�àlî�ÙyÕ�àªÙyÕ�ÖáàEâ,ÚØà;Û5ÖØÚ�ÖØ×�àsõhçAô�Õ&è&ÝßâØü ¥ ò ÝßÖÖØ×�à@Þ çAÙ�Õ2ÖlÙ � � ����� ë & �r��� ë v ð ¿ � úB©Iü+�ßÝßâØüvÙ�Õ�ù $�V Ý�Õ&èu�+�&Ù7ÖqÙ�Ú/Þ çAÚØÚØÙ�õ�î7à�ÖáçéøµÝ*)�à®&/Ù�Õ�ÖáàEâÜÚáà;Û5Ö ÖØ×�àõ çAô&Õ&è&ÝßâØü £ ò ÝßÖcÝ�Õ�ü3ÞhçAÙyÕ�Ö~Ù � ÿ$§À& �r��� ë ��& ?������ ë A § ê ����� ë � ä�×&Ùyî7à�)�àEàEÞ�ÙyÕ�ùÖØ×�àlÚáàEùAølà;Õ2ÖÖØ×&ÝßÖqç�â,Ù�ùAÙ�Õ&ÝßÖáà;Ú�ÝßÖ�ÙÑÝ�Õ&èÖáàEâ,øêÙ�Õ&ÝßÖáà;Ú�ÝßÖåÖØ×�àöÛ5ç�â,Õ&àEâcÿ ����� ë & �r��� ë �/Ù�ÕÖØ×&àöÙ�Õ2ÖáàEâ,Ù7ç�âqç�ëys&ú��åà;Õ&Û5à��Ý�Õ�üÄî�ÙyÕ�àä�Ù7ÖØ×ø­ � ¹ Ý�Õ&è ����� ë ? § ê $ ê ����� ë ä�Ù�î�î/õ à;î7çAÕ&ùæÖáç"Ð�}c/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � õìô�ÖµÕ�ç�ÖÖáç+}�/ � & @@ Å à�Æ áâ Æ ã � ú��q×�ô&Ú���õ�üI��ÝßâØüvÙ�Õ�ù-ÖØ×�àéî�ÙyÕ�àµÞ�Ýßâ,Ý�øµàEÖáàEâ,Ú���Ù7ÖcÙyÚ~Þ çAÚØÚØÙ7õìî7àsÖáç øµÝ*)�à ÖØ×�àéä�Ù�è�ÖØ×ç�ëÀÐ�}�/ � s @@ Å à�Æ áâ Æ ã � ^�ô&Ù7ÖáàcîyÝßâØù�àlÝ�Õ&è ÖØ×�àsä�Ù�è�ÖØ×-ç�ë<}c/ � & @@ Å à�Æ áâ Æ ã � ^�ô&Ù7ÖáàsÚØøµÝ�îyî�ú�ÔKÕ ÖØ×�àªà5í�Öáâ,à;ølà��ÖØ×�à�î�Ù�Õ&à<&ªÛEÝ�ÕÑÖáçAô&ÛÜ×ÄçAÕ&î7ü çAÕ�àÞ çAÙ�Õ2Ösç�ë�} k ñ mð©ñ ò ä�×�Ù�î7à ÖØ×�à�ÚáÖáâ,Ù7Þ�s#à;Õ2ÖØÙ7âØà;î7ü Û5ç���àEâ,ÚéçAÕ�à�ç�ë�Ù7ÖØÚõ çAô&Õ&è&Ýßâ,Ù�à;ÚEú ¾åç�ÖØÙ�Û5à��=×�çzäIà¢��àEâ+�=ÖØ×&ÝßÖöÚ,ô&Û,×#Ú,Ù7ÖØô&ÝßÖØÙ7çAÕ&Ú@Ýßâ,àµçAÕ&î7ü3ÞhçAÚ,ÚØÙ7õ�î7àªä�×�à;Õ"­YV�ÙyÚÒ��àEâØüæÛEî7çAÚáàÖáç-à;Ù7ÖØ×&àE⻹�ç�â Z ¿ Ý�Õ&è¶$�V|Ù�ÚöÕ&à;ÝßâöÖØ×�à î7çzäIàEâ�-�ç�âcô�Þ&Þ àEâ�-�õ çAô&Õ�è&ÚïëRç�âcÖØ×�àéÚáàEÖªç�ë î�Ù�Õ�à;ÚöÚØô�Þ&Þ ç�âØÖáà;èõ2ü�} k ñ mð©ñ ò úT�q×&Ù�Ú ÙyÚ�Ù�ølÞ çAÚØÚ,Ù7õ�î7à�Ù7ë�&lñ±Ï�¨Y¬îÏ�¨n¨W��õìô�Ö�ÛEÝ�Õ-×�ÝßÞ&Þ à;Õ�Ù�ÕîÏH¨n¨n¨VúT�q×�à@õ çAô&Õ&è�Ú ç�ëqÿKJ�úÁJ5­#�Ý�ÛEÛ5çAô&Õ2Öïë�ç�âïÖØ×&Ù�ÚåÞ�×�à;Õ�çAølà;Õ�ÝêÚØÙ�Õ�Û5à��hÙ�Õ Ï�¨©¨n¨W� � ÿ � &®­.VÉ&®­h�/ù�ç�à;Ú�Öáç Ù�Õ&ó�Õ&Ù7Ö�ü Ý�ÚÒ­.V©ÝßÞ&Þ�âØçAÝ�Û,×�à;ÚÒ¹éç�âZ ¿ ú�ÔZÕÖØ×�à;ÚØàöÛEÝ�Úáà;Ú��&ÖØ×&à~õ çAô&Õ&è&Ú/ÝßâØà~ç�õh�vÙ7çAô&ÚØî7ü Õ�ç�ÖqÖØÙ7ùA×2ÖEú

Page 69: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

¾ ¿ÁÀÃÂÅÄÇÆ�È ÉÊ ËÍÌ�ËÁÎ!Ó Ï)Ð Ï�Ñ«Ì`Ï�Ò Ó ÓÕÔ Ë×Ö�Ñ ÐNÓØÎ Ì`Ù ËÍ ÚÛÔ ÓÜÐ Ì�Î`Ú�Ð ÑÑÐNÓÝÎ!Ó Ó Ð Þ Ï�ßàË×Ö�ÚáÌ�ËâÔ Ö)Ï)Ð ËâÑ/�âØçAø ÖØ×�àêÚáÖØÝ�Õ�è�Þ çAÙ�Õ�Ö@ç�ë à;Õ&ùAÙ�Õ�àEàEâ,Ù�Õ&ù�ÝßÞ&Þ�î�Ù�ÛEÝßÖØÙ�çAÕ&Ú�� ÖØ×�àéù�ç2çvè&Õ�à;Ú,Ú~ç�ëqÝ�ølçvè�à;î|Ù�Ú~Ù�Õ2Öáâ,Ù�Õ&Ú,Ù�ÛEÝ�î�î7üÛ5çAÕ&Õ�à;Û5Öáà;è Öáç ÖØ×�à�ÞìÝßâØÖØÙ�ÛEô&î�ÝßâµÝßÞ�Þ�î�Ù�ÛEÝßÖØÙ7çAÕ·ë�ç�âµä�×�Ù�Û,×ÄÙ7ÖµÙyÚµÛ5çAÕ&ÚØÙ�è&àEâØà;è�úö�q×�ô&Ú��Iä�×&Ù�î�àéÖØ×�àEâ,à-Ù�Úô&ÚØô&Ý�îyî7üéÕ�çêõhà;ÚØÖ�ølçvè�à;î Ù�ÕÖØ×&àcÝßõ�ÚáçAîyô�ÖáàöÚáà;Õ&ÚØà��ìÙ7Ö�ÙyÚqÙ�ølÞ ç�âØÖØÝ�Õ2Ö Öáç ô�Õ&è�àEâ,ÚáÖØÝ�Õ�è)ÖØ×�àcÝ�èÍ�ßÝ�Õ2ÖØÝßù�à;Úç�â�î�Ù�øêÙ7ÖØÝßÖØÙ7çAÕ&Ú|ç�ë=à;Ý�Û,×-øµç�è�à;î Ù�Õ)ÖØ×&à~Û5çAÕ�Öáà5ívÖ�ç�ë�ÖØ×�à~è�à;ÚØÙ�âØà;èÝßÞ&Þ�î�ÙyÛEÝßÖØÙ7çAÕ)Ý�Õ&è×�çzä!ÖØ×�à~ølçvè�à;î$# ÚÞ&âØà;è&ÙyÛ5ÖØÙ7çAÕ&Ú�ÝßâØàqÝ�ýhà;Û5Öáà;èêõ2üsè&ÙVý àEâØà;Õ2Ö�ÚáàEÖáÖØÙ�Õ�ùAÚ=ë�ç�â�Ù7ÖØÚ=Þ�Ýßâ,Ý�øµàEÖáàEâ,ÚEú2�q×�à ô&î7ÖØÙyøµÝßÖáà/ù�çAÝ�î&Ù�Ú�ô&ÚØô�Ý�î�î7üÖáçéóìÕ&è�ÖØ×�àªõ à;ÚáÖïÖáâ,Ý�è�àF-�çßý õ àEÖ_äIàEà;Õ�ÖØ×�àsÛ5çAølÞ�î7à5í�Ù7Ö�üç�ë�ÖØ×�àsølç�è&à;î�Ý�Õ&è Ù7ÖØÚïÛEÝßÞ�Ýßõ�Ù�î�Ù�Ö_üÖáç)øµÝ*)�àÞ&âØà;è&ÙyÛ5ÖØÙ7çAÕ&Ú/ÝßÖ�ݵè�à;Ú,Ù7âØà;èî7à¢��à;î�ç�ë�Ý�ÛEÛEô�âÜÝ�Û5ü�úÔZÕ ÖØ×�à Þ&âØà¢�vÙ7çAô&ÚªÛ,×�ÝßÞ&ÖáàEâ,Ú���äIà ×�Ý���à�è&Ù�Ú,ÛEô&ÚØÚáà;è"��Ýßâ,Ù�çAô&Úöølçvè�à;î�ÚcÖØ×&ÝßÖsÛEÝ�Õ·õ àéô&Úáà;è Öáç�âØàEÞ´-âØà;Úáà;Õ2ÖµÝ Þ�ÙVívà;î�ÝßÖáà;èÄî�Ù�Õ�àæÿ+Õ&Ý�ølà;î�ü ÖØ×�àî�Ù�Õ&à���î�Ù�Õ�à)ÚáàEùAølà;Õ2Ö��IÝ�Õ�èÄÚáÖáâ,Ù7Þ��öî7à;Ý�è&ÙyÕ�ù3Öáç#ÝæÛ5çAîyî7à;Û5ÖØÙ7çAÕç�ë~ÝßÞ&Þ&âØçzívÙyøµÝßÖØÙ7çAÕ&ÚlÖáç ÖØ×�à3þåÝ�è�çAÕÑÖáâÜÝ�Õ&Úáë�ç�â,ø ç�ë@ÖØ×�à-Þ�ÙVívà;î�ÝßÖáà;è î�ÙyÕ�àÖØ×&ÝßÖêÖáâÜÝ�è�àF-�çßý!Ý�ÛEÛEô�â,Ý�Û5üëRç�â Û5çAølÞìô�ÖØÝßÖØÙ7çAÕ&Ý�î�Û5çAølÞìî7à5ívÙ�Ö_ü�ú�ÔZÕéÖØ×�Ù�Ú/Û,×&ÝßÞ&ÖáàEâz��ä|à@ÚáÖØÝßâØÖqÛ5çAÕ�ÚØÙ�è�àEâ,ÙyÕ�ùöÖØ×�à@ÝßÞ&Þìî�Ù�ÛEÝßÖØÙ7çAÕéç�ë©ÚØô�Û,×ølçvè�à;î�Ú�Öáç�ÖØ×�à/Þ&âØç�õ�î7à;ø ç�ëhî�Ù�Õ�àIè�àEÖáà;Û5ÖØÙ7çAÕ�ú=ûæàqõ àEùAÙ�Õcõ2üªÙ�Õ2ÖáâØç�è�ô&ÛEÙ�Õ�ùïÝåÖØÝ�ívçAÕ�çAøcücç�ëhÖØ×�à ølçvè�à;î�ÚÞ&âØà¢�vÙ7çAô&ÚØî�üöè&Ù�ÚØÛEô�ÚØÚáà;èlÝ�Õ&èµøêÝ*)�Ù�Õ&ù@à5í�Þ�îyÙ�ÛEÙ7Ö=ÖØ×�à�Ý�ÚØÚ,ô&ølÞ&ÖØÙ7çAÕ�Ú�ô&Õ&è�àEâ�ä�×�Ù�Û,×lÖØ×&àEüsÝßâ,àqõ�Ý�Úáà;è�ú=ÔKÖ�Ù�ÚÖØ×�à;ÕlÚØ×�ç§ä�ÕsÖØ×&ÝßÖ�ÖØ×�àqÚØÖØÝ�Õ&è&Ýßâ,èlÚáÖáâÜÝßÖáàEù�üªç�ë î�Ù�Õ&à|è�àEÖáà;Û5ÖØÙ7çAÕ ÿ�ÖØ×�âØà;ÚØ×&çAî�è&Ù�Õ�ùåç�ëhþåÝ�è�çAÕlÝ�ølÞ�îyÙ7ÖØô&è�à;Ú��Ù�Ú~äIà;î�î�÷áô&ÚØÖØÙ7ó&à;è#ô&Õ�è�àEâ~ÖØ×�à Ý�ÚØÚØô&ølÞ�ÖØÙ7çAÕæç�ëqÖØ×�à Ù�è�à;Ý�î�Ù��Eà;è#î�Ù�Õ�à��©õ�ô�Ö~ë+ô&Õ&è�Ý�ølà;Õ�ÖØÝ�îyî7ü�ãìÝ;äIà;è ë�ç�âølçvè�à;î�Ú�ÖØ×&ÝßÖ|ølç�âØà�ÛEî7çAÚØà;î7üsâØàEÞ�î�Ù�ÛEÝßÖáà ÖØ×&àåþ�Ý�è&çAÕlÖáâ,Ý�Õ&Úáë�ç�â,øÌç�ëhÖØ×&àqÞ�ÙVívà;î�ÝßÖáà;èµî�ÙyÕ�à�ú©ÔZÕlÞ�Ýßâ,ÖØÙ�ÛEô&î�Ýßâ+�ä|àsÚØ×�ç§ä ÖØ×&ÝßÖ�ÖØ×�àcÖØ×&âØà;ÚØ×�çAî�è�Ù�Õ�ùêÚáÖáâÜÝßÖáàEù�ü3Ù�ÚïÙ�Õ2Öáâ,Ù�Õ&ÚØÙyÛEÝ�î�î7ü)ô&Õ&Ýßõ�î7àöÖáç)Ú,Ù�øcô�î7ÖØÝ�Õ�àEçAô&ÚØî�ü)Ý�ÛÜ×&Ù7à¢��àlÝî7çzä!ë�Ý�î�ÚØàF-�ÞhçAÚ,Ù7ÖØÙ��à�â,ÝßÖáàcÝ�Õ�èÚáÞ�ÝßÖØÙ�Ý�î î�ç�ÛEÝ�î�Ù��;ÝßÖØÙ7çAÕ)ç�ë=ÖØ×�à~è�àEÖáà;Û5Öáà;è î�Ù�Õ�à;ÚEú�q×&ÙyÚ©ølç�ÖØÙ���ÝßÖáà;Ú�Ý@Õ�àEäÄî�ÙyÕ�à|è�àEÖáà;Û5ÖØÙ�çAÕlÚáÖáâ,ÝßÖáàEù�ü��2è&àEâ,Ù��à;èªëRâ,çAø ÖØ×&à/øµç�âØà/âØà;Ý�î�Ù�ÚáÖØÙyÛ|ÝßÞ&Þ�âØç;í�Ù�øµÝ.-ÖØÙ7çAÕlç�ëhÖØ×�àqÞ�Ù7í�à;î�ÝßÖáà;èêî�Ù�Õ�à/õ�üªÝ~ÚØÖáâ,Ù7ÞµÚáàEùAølà;Õ2ÖEú �q×�àqþåÝ�è�çAÕlÖáâ,Ý�Õ�ÚáëRç�âÜø ç�ë ÖØ×�àqî�ÝßÖáÖáàEâ|ÙyÚ�Þ&âØç�Þ çAÚáà;èÝ�Ú ÝsÞ�Ýßâ,Ý�ølàEÖáâÜÙ�Û�ølç�è&à;îìë�ç�â ÖØ×&ÝßÖ/ç�ë�ÖØ×�à�Þ�ÙVívà;î�ÝßÖáà;è)î�Ù�Õ�à��vÝ�Õ&èÚØ×�ç§ä�Õ ÖáçlÞ&âØç���Ù�è&àïÝ�ÕÝ�ÛEÛEô�âÜÝßÖáàöÝßÞ´-ø j

Page 70: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Npø#QTS bøURb`÷Yc<e<cdiPäfghc<`fU�WYXI`�b<Z3c<efU�`�b<e<]�gRcd`ai c<g±böõÍ\M÷dX>÷#b>U�X>Zf÷#\KeYX ø ùÞ&âØçzívÙ�øêÝßÖØÙ7çAÕÝßÖ���àEâØüî7ç§ä!Û5çAølÞ�ô�ÖØÝßÖØÙ�çAÕ&Ý�î Û5çAÚáÖEú��q×&Ù�Ú/Ù�Ú Ýlâ,à;ÚØô&î7Ö/ç�ë=Þ&â,Ý�Û5ÖØÙ�ÛEÝ�î�ÚØÙ7ùAÕ&Ù7óìÛEÝ�Õ&Û5à@ÚØÙ�Õ&Û5àÙ7Ö�à;Õ&Ýßõìî7à;Ú�ÖØ×�àïÝ�è�ç�Þ&ÖØÙ7çAÕêç�ë�Ý�ÕéÝ�Õ&Ý�î�ü�ÚØÙyÚp-�õ2üw-_ÚáüvÕ�ÖØ×&à;ÚØÙ�Ú�ÚáÖáâ,ÝßÖáàEù�üêëRç�â/î�Ù�Õ�àqè&àEÖáà;Û5ÖØÙ7çAÕ�ú � ô&ÛÜ×êÝ~ÚØÖáâ,ÝßÖp-àEù�üêäIçAô&î�èéõ àïÛ5çAølÞìô�ÖØÝßÖØÙ7çAÕ&Ý�î�î�üµô&Õ�ë�à;Ý�ÚØÙ7õ�î7àåô&ÚØÙ�Õ�ùcÖØ×�àïà5ívÝ�Û5ÖqþåÝ�è�çAÕ Öáâ,Ý�Õ&Úáë�ç�â,ø ç�ë�ÖØ×�àïÞ�ÙVívà;î�ÝßÖáà;èî�Ù�Õ�à���Ý�Õ&èæ×�Ù7ùA×&î7ü�Ù�Õ&à5ýhà;Û5ÖØÙ��àµô�Õ&è�àEâ�ÖØ×�àµî7à;ÚØÚïâØà;Ý�îyÙ�ÚáÖ@ølçvè�à;î�Úïç�ë|ÖØ×&àµÙ�è�à;Ý�î�Ù�Eà;è î�Ù�Õ&à�� ÚØàEùAølà;Õ�Ö��©ç�âà¢��à;Õµô&Õ2õ çAô&Õ&è�à;ècÚáÖáâ,Ù7Þ ú # ÕlÝ�Õ�Ý�î7ü�Ú,Ù�Úp-�õ�ü5-_ÚáüvÕ2ÖØ×�à;ÚØÙ�Ú�Ý�î7ù�ç�â,Ù7ÖØ×�ø ÙyÚ�è&à;ÚØÙ7ùAÕ�à;èsÝ�Õ&èlÚØ×&çzä�ÕªÖáç~Ý�Û,×�Ù7à¢��àÚØÙ7ùAÕ&Ù�ó�ÛEÝ�Õ�ÖØî�üµõ àEÖáÖáàEâåî�Ù�Õ&à�è&àEÖáà;Û5ÖØÙ7çAÕ-Ý�ÛEÛEô�âÜÝ�Û5ü ÖØ×�Ý�Õ�Ý�Õ�ü)ç�ë�ÖØ×�à~ÖØ×�â,à;ÚØ×�çAî�è&ÙyÕ�ùªøµàEÖØ×�ç�è�ÚEúå � æ ����ü»������!Áç|�����ù�a��� �[�Tý���� ���������������`! ���]� û² pü�c�f����� ý �f �����©Ýßõìî7à+��ú�� Þ&âØà;Úáà;Õ2ÖØÚöÝ ÚØô&øêøµÝßâØü�ç�ë ÖØ×�àéøµç�è�à;îyÚöÛ5çAÕ&ÚØÙyè�àEâØà;è#Ù�Õ ÖØ×�àêÞ�âØà¢��Ù�çAô&ÚöÛÜ×&ÝßÞ&ÖáàEâ,ÚEú]�q×�à;Úáàølçvè�à;î�ÚeÛEÝ�Õéõ àåÚáàEà;Õ Ý�Ú/ÝcÚØà)^2ô�à;Õ�Û5à�ç�ë�ÝßÞ&Þ�âØç;í�Ù�øµÝßÖØÙ7çAÕ�Ú�ÖáçªÖØ×�à�Þ�Ù7í�à;î�ÝßÖáà;èéî�Ù�Õ�à��2ä�×�àEâØàåçAÕ�à�ÖáâÜÝ�è�à;Úçßý£ÖØ×�à-Ý�ÛEÛEô�â,Ý�Û5ü·ç�ë�ÖØ×�à-ÝßÞ�Þ&âØç;í�Ù�øµÝßÖØÙ�çAÕ·ëRç�âéÖØ×�à�Õ2ô�øöõ àEâµç�ëïÞ�Ýßâ,Ý�ølàEÖáàEâÜÚêÙ�Õ·ÖØ×�à3ølç�è&à;îöÿ+Ý�Õ&èÙ�Õ&×�àEâ,à;Õ�Ö@Û5çAølÞ�î�à5ívÙ7Ö�ü-ç�ëIÖØ×�àµþ�Ý�è&çAÕ�Öáâ,Ý�Õ&Úáë�ç�â,ø+�Üú²�q×�àsÖØÝßõ�î�àµÝ�î�Úáç)Þ çAÙ�Õ�ÖØÚ�çAô&Ö~×�çzä�à;Ý�ÛÜ× ølçvè�à;îè�à;Ý�î�Úïä�Ù7ÖØ× ÖØ×�àsÖØ×�â,àEàªÞ�âØç�Þ àEâØÖØÙ7à;Úåç�ë|ÖØ×�àsÞ�Ù7í�à;î�ÝßÖáà;è�î�ÙyÕ�àöÖØ×&ÝßÖ@×&Ý���àµÖØ×�àlølçAÚáÖ�âØà;î�à¢��Ý�Õ&Û5àsë�ç�â~î�Ù�Õ�àè�àEÖáà;Û5ÖØÙ7çAÕÝßÞ&Þìî�Ù�ÛEÝßÖØÙ7çAÕ&Ú Á Æ�° ¦5¦�Ë*ÈÇq~ÿ�Þ�ÙVívà;î�ÝßÖáà;è)î�Ù�Õ�à;Ú|ÝßâØà@è�àEó�Õ�à;è çAÕ)Ù�øµÝßù�à;Ú���äå×&Ù�Û,× ÝßâØà�âØàEùAÙ7çAÕ�Ú|ç�ëõ çAô&Õ&è�à;èéÚØô�Þ&Þ ç�âØÖ���� A s^Årq,=#ÿ�Þ�ÙVívà;î�ÝßÖáà;è)î�Ù�Õ&à;Úe×&Ý���à�Õ&çAÕ~-¥�EàEâØçsä�Ù�è�ÖØ×�����Ý�Õ&è¦�s��Ru¢nTsxè�orq^s%Ë*ÌÄÿ�Þ�ÙVívà;î�ÝßÖáà;èî�Ù�Õ�à;ÚöÝßâØàêÞ�Ù7í�à;î�ÝßÖáà;è ë�ô�Õ&Û5ÖØÙ7çAÕ&Ú���Ù�ú à�úë+ô&Õ&Û5ÖØÙ7çAÕ&ÚöÚØô�Þ&Þ ç�âØÖáà;èæçAÕ ÚáàEÖØÚcç�ë Þ�ÙVívà;î�Ú��Üú # ÚªÛEÝ�Õ õhàéÚáàEà;ÕëRâ,çAøÎÖØ×�à)ÖØÝßõ�î7à��eçAÕ�î7ü#ÖØ×�à�¦�s��Ru¢nporqÉuéÅ�nTsKÌ�u-ølç�è&à;î|ç�ësÿ%!�ú������lÝ�ÛEÛ5çAô&Õ2ÖØÚlë�ç�âlÖØ×�à)ÖØ×�âØàEà�ÝßÖáÖáâ,Ù�õ�ô�Öáà;ÚÛ5ç�âØâØà;Û5ÖØî7ü�ú

�"7�é>¿OÁ �-�Réd7�1ø4�����1]ê+ëP7��*� êzì8�:�ç7���4 í+2éd4 Ä � 2 � ¿hÁ^2î#�Í4�2K7�1n s8Ì�u ÿ%!�ú��ÇJR� ô&Õ2õ çAô&Õ&è�à;è Õ2ô&îyî Õ�çÆ¢uXBrz uÇÌ�q ÿ%!�ú��zïr� õ çAô&Õ&è�à;è Õ2ô&îyî Õ�çÆÇq^È�sn¦ ÿ%!�ú�!r!#� ô&Õ2õ çAô&Õ&è�à;è Þ çAÚØÙ7ÖØÙ��à Õ�çÆ´q^È´si¦IÆ�u9Brz u¢Ì�q - õ çAô&Õ&è�à;è Þ çAÚØÙ7ÖØÙ��à Õ�ç¦�sW�huÇnorqÉu®Å-n sKÌ�u ÿ%!�ú������ õ çAô&Õ&è�à;è Þ çAÚØÙ7ÖØÙ��à ü�à;Ú�©Ýßõìî7à ��ú�� Á�ð h)�Yoplik'Ò9ÕPdvÒTÓ�dfmñ0Éo"jYk>o��²Ò9he9opÖ e9opk>opmOÒºdÖYgmlYo�l©dvÒ9o��ÂlngimYo�� Ð ÕYo M d��Yh�m�Ò>eXdfm.k�q h�e9ØÌhfq�Ò9Õ.o�k�Ò>e9giÖk>ops�ØTopmOÒ`gikU� gik>Ópj.k>k>o���gnm�Ò9Õ.gik`Ó�Õ.d�ÖYÒ9o�e��óò opo�ô5opØTغdõ·)� 4Td�m.�"opm.k>jYgim.s'� gik>Ópj.k>k>gih�m5�

ÔZÕ·ÖØ×�à�Û5çAÕ�Öáà5ívÖêç�ë�Ù�øµÝßù�àF-�õìÝ�Úáà;è ÝßÞ&Þìî�Ù�ÛEÝßÖØÙ7çAÕ&ÚsÚØô�Û,×ÄÝ�ÚêîyÙ�Õ�à)è�àEÖáà;Û5ÖØÙ7çAÕ��/Ù7ÖlÙ�ÚlÙ�ølÞ ç�âØÖØÝ�Õ2ÖlÖáçô&Õ&è�àEâÜÚáÖØÝ�Õ&è)×�çzä ÖØ×�à~Ý�ÚØÚØô�ølÞ&ÖØÙ7çAÕ&Ú/õ à;×&ÙyÕ&è à;Ý�Û,×-øµç�è�à;î�øêÝ;üÝ�ýhà;Û5ÖåÖØ×�àöølçvè�à;î$# Ú/Þ àEâØë�ç�â,øµÝ�Õ�Û5à�úön÷Kø�÷ùø úñûBüoýKþùÿBü������yüHý������ ���������������������������� !�!�" #!�$�%&����'($)�*�,+-$���.��/.�!$�0�0,+#��������$)���1����.������" #��.2��+30)�54"�/���76/ ����7+-��� �0�0,�/ ��!8��+9�,�: ;���/ #�+-�� ��<�7�= �0�0���+>4"��%& ����7+-�(�����/�(�����=��%& �'#�=��76?�=���%& #�*�@+#�!.��?�A8+#B1%& �'-�)�7��$�.��

Page 71: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Cpø-DFEHGJI�G`÷LKNMNKPOPäRQSKNTRI,ULV�T,GNWXKNMRI,T,GNMNY>Q�KPTZO[KNQ\Göõ�]M÷PV>÷-G�I,V�Wf÷-]^MLV ø a�� ���'#�?�_���� #�`�����;0)�74S�/�1��76?�#a �=���b%& #���� �0)01�/ #�1+#BP�����c�������b%3+S.��/�1��d�����c���%30)���� ?���e�(+#BP�7��:f� #.�+-����! #���B^+#�!%g������ A�h i+-��������j+#BL k.��/�7�� 9Bl$��� i����+-�h i�/�����?���/.�+-�&�����b�������=0< ��! #%3�?���?�!?a ������j�$�'#'#�/��� 3m#�?���`���%30<�7�c #��.`0,+#0)$��� ��=�������b.��?���/ i���7+-�n #�7'#+#�A�7����%oap Árq<s)t�urv ÄPw �,xzy�x({}|DC#~i�o�,="~:�:�*�-���\�l�������^�i�#�A�����b�,="~ ¦<|���~i�7�#�e~!�h~��)BS~b�&��¦������#�\~��)BS~�|r�<�#|l�A�#�������°"�<�>�l|l�#�<( ³ � Û^� ��� Ï å)(+*�� (Z���^Ùd�éè��z� Û����i� � ��*~��/�5�#��~3�#��~!�)B�~ A |l�,= ¦"�������h~?�e~?�!�&�z� Û����i� �9| �

� Û^� � _R� � �z�Sa� >�A ="~i��~��¡|�����¢��¦±¦<����¦<�£|l�#�e~h�,=*��~£��=S���7�±J�=���?�!�2 ����2m� ��!�7+-$�(�_ /�"&��+¢��/�7�/ i�&�����2�,�/��3m� #��$��oB^+#�&�����o�������/���+-��.�� �¤�����\���%30)���/��k+#B������ A����c�)�!$����F-�B^+#�! i���P�za¥�#a������¦m� ��!�7+-$�cm� #��$��/ #��.���/�7�/ i�k�����&+-���h���� ��k�7�/ #.)c��+n�,�/��c���/!$��7��?a�=���30��!+#�)�7�/%T�N��+>�}�?m#�?�+����c���� ��9�����?���h �����%& #�*�¦��7��$) ����7+-��c�����?���&�7�����%30,+-���7�<�7���+\§)��.� �������/���+-��.h���) ��_���/ #.�d��+(0,�?��B^�/ i�:.��?���/ i���7+-�Za �=�)��¤��¤.�$�����+(�����bB^ # i�:���) ��¤�����cf� #.�+-�����! #���B^+#�!%+#B�������������\��`��+#�o ����/ #�+-�) ��)�7�¦ �0�0���+>4"��%h ����7+-�¨��+����) ��o+#B������0)�54"�/�� ����/.©�����������?m#�/�©�����/���������%& �'#����76?����o�� ���'#�¦���/�� ����7m#�/�7�ª��+«�����¦0)�54"�/�b!�76?�#a # �©�i4" #%30<�7�����'-�7m#�/�¬���©­8�7'-$������Sa� ������ A�ª0)���/��/����� #�©��%h �'#��+#Bk��76?���" /®¦¯J�" /®¢0<�54S�/��° i+-���� #��������'¢�������?���������/Â& 3 � �!±�² � % Z � �&�³ � ��² � % Z � �, #��.]& % � �e²�´#´ � % Z � �1�����@ i+-����+-$��!b+#Bd�7��bf� #.�+-�n���! #�)�Br+#�A%T�<����+-��k+#Bd�����@f� #.�+-����! #���B^+#�!%µ0��!�/.��� i���/.����¶�����o�������`%3+".��/�c�^�������?�2.��/���� \Bl$��� i����+-��@���?0����/��/�����/.J #3 ?�7�A ?�7�/A�k #��.�����2�������/k�!�/ i+>m#�?���/.����¶�����n #�7'#+#�A�7����%· ��,+>m#�2���7���R ��������/���+-��.��)^�$� #�_��+� /�Y�_® ´ �_+#�°¸ ´ L¹+#B�����9%& º4���%@$�%» #%30)������$�.��;+#BP�����f� #.�+-�2���! #���B^+#�!%oa ¾�+#���� i�9���� ��������9f� #.�+-�2���! #���B^+#�!%»+#BX�������%& �'#�����^S$��7����.��5¼,�?���/�*�kBr�!+-%½���� ��@0����/.��� i���/.��S�������°%3+".��/�zao¾���0< ������� ?$��� ��@�7���@.���q° ?$��7�c��+.����������'-$�����¶�����n����.��7m"��.�$� #�¤ i+-�*���A�7�)$����7+-�)(+#B"& 3 #��.å&�³ºa �=������d #��.«�����n.��5¼,�?���/���&�7�/��'#����3+#B�����3��?'-%3�/����b¿ Û � ¶O& Û��zÀ}Á � Âà � Ä ¸ ��Å:�   � �O�O� � ² �N%h �Æ#�&�7�c��%30,+-���7�<�7�9��+`§)��.�+-���(�������/!��+-��.����� ���������,.��?���/ i�; #���Z�������/:���7����+-$��:'#�/���?�! �������'&B^ #����c0,+-��7���7m#�/?a # �k /��Lñ�1 #���L�������/: ����9���/ i+Çm#�?���/.��1�)$��%k$)�7���70)�7�(�0)$��!�7+-$�;�������/;���7���¦0) ��! #%&�?���?�!���%&���� ��;��+2����+-��Â& 3 #��.�&�³3 ����°.��?���/ i���/.Za # �(® ´ Lñ��?m#�/�2����+-$�'-�n%& #���`+#BP�����k�0)$��!��+-$�:�������/_ i+-�������S$��9��+h�,�9.��?���/ i���/.!�K& % ��=%&��!��/.Za # �b¸ ´ L­��������0)$��A�7+-$�X�������/8 ����=��+9��+-��'#�?�j.��?���/ i���/.&�<$��8�����=� #%3�=��+-��.�XBr+#� & % a�¾�+#���� i�=���) ����*B^+#�j�7+>�}�?�jm� #��$��/+#BP�����c�������/���+-��.����7�:��T^�$)�7���9.���qh ?$)�7�¤��+3���/���Z�7BN�����c+#�A�7'-���� #�Z�������/}�¤�?���c0< ��! #���7�/�1+#����+#���)+#�=�?m#�/��7BN�����?�` i�!+-���/.o�/ # A�n+#�����?�>adÈb�?01�/�).�����'@+-�2�����9 �0)0)���� ? ����7+-�!�S���)��= ? #�o�,�®^S$��7���c0���+#�<�7�/%& ����� �aön÷Kø�÷^É úñûBü«Ê�ü�ËN��üHÿPÌ\�¨���BüHý�=����B^ # i�o���) ��o��������������%3+S.��/��Bl #����°��+J # ? i+-$����oBr+#�o�����¦.)�5¼1�?�!�/�*�`�7�/��'#�����+#Bk��������?'-%3�/����'#�/���?�! ����/.��S�����/����!�� i������'2�/ # !�«�������3��+ À Á � Âà � Ä ��k n%& ÇÍ�+#�3����%&�7�� �����+-��Br+#�(�������&.��?���/ i���7+-�Za%�=����

Page 72: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Cpø-DFEHGJI�G`÷LKNMNKPOPäRQSKNTRI,ULV�T,GNWXKNMRI,T,GNMNY>Q�KPTZO[KNQ\Göõ�]M÷PV>÷-G�I,V�Wf÷-]^MLV ÎY¢

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

T = 0.15

Ú7d�Ý Ú7�PÝ

0 20 40 60 80 100 120 140 160

−300

−200

−100

0

100

200

300

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

T = 0.2

Ú�0ÉÝ Ú{ovÝ

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

−300

−200

−100

0

100

200

300

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

T = 0.6

Ú{ÓvÝ ÚxqXÝ­8�7'-$����h�Sa�  Á ô5o�q Ò¹~ºÚ7d�Ý�d�mo��Ys�oTغd�Ö Ñ giÒ9Õ�Ò9ÕYe9opo�lngimYopk @ Ú�0ÉÝ+giÒ9k M d�� h�m®Ò>eXd�m.k�q h�e9Ø @ d�mP��Ú{ÓvÝ M d��Yh�m�Ò>eXdfm.k�q h�e9ØÖ e9o��YgiÓ�Ò9o��*0�<0Ò9Õ.o�ligim.oTØTh)� opl{� M gns�ÕOÒ¹~�e9opÓph CFo�e9op�ligim.opk Ñ gÔÒ9Õ Ò9Õ e9opk>Õ.h�l©� k2h�q2Ú7�.Ýõp · @ Ú{ovÝ2�f| @ dfmP��ÚxqXÝ8Ï�|£Ð h�q�Ò9ÕYoغd lYgiØ�j.Ø�d�ØTÖ.ligÔÒ9jP� o��

Page 73: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Cpø-DFEHGJI�G`÷LKNMNKPOPäRQSKNTRI,ULV�T,GNWXKNMRI,T,GNMNY>Q�KPTZO[KNQ\Göõ�]M÷PV>÷-G�I,V�Wf÷-]^MLV Î*E����%&���� ����7+-�¦��c ��������?m"�� ����/.��S�������h�$��<��)^�$��/�*�c%3+".��/�����ë�X ��)�7�h�Sa�  Á �����&��?'-%3�/���?a # 9 ? #���,���?�/������ i+-%30) ��!����'��z®Sa� iÑ��; #�).R�z®Sa� zï#���P�����@+-���7�n.��7¼1�?���/�) i�k�,�?�e�}�?�/�¦�����(f� #.�+-�����! #�)�Br+#�A%Ò+#B ¦�������h #�).¶���) ��@+#B�+-����+#B��7��@��?'-%3�/����&��k�����`���?0)�� # i�/%&�/�*�(+#B=�����oÈ;�7�! # �.��/�7�� \Bl$��� i���7+-�¶��������°Ó9��+-���/ �Æ#�?�3.��/���� oB^$)�� i���7+-���8� ? #�7�/.¢������������?'-%3�/���@���/��'#���Za �=�����$�'#'#�/���@���� ��@ 2�,�?�����?��������/���+-��.�����'2%&�?����+S.¢�¤+-$)��.¢�,�&+-���°�����?���h�����°�������/���+-��.¢��k #.� �0����/.���+������°�7�/��'#���¢+#B:�/ # A���?'-%3�/���?a��=���cBr+-����+>������'k�����?+#�!�/%Ô.��?�!��m#�/= & ?�7+-��/.2Br+#�!%��i4S0��!�/���7+-�`B^+#�=������:���/��'#���ZaÃÄPÕ s)t ÕSw �Zxzy�x®�������£|l��~i�k�h�F|^�1~º& � �z��V ��� Vl�c���<���,="~9�?~XB#�h~i�<�,¿ � ¶Ç��V ��� V �zÀ Á � Âà � Ä ¸ J²;+="~��~i�wB*�,=���_¿ª|r�

Ö���¿N� � ¡¡¡¡¢ ¡¡¡¡£® ë ì�í�î× ï,ðÔñ)Ø u × | �T&�ñoÙH¨® ì ì�í�î× ò9ó�ïÇØ u × | �T&�ñoÙH¨n¨ë ì�ípî× ï,ðÔñ�Ø u ×*Ú ì ì�í�î× ò9ó�ï>Ø u × ± ³ × Û u ×× ïDðÔñ ü ³ Ø u � × | �T&�ñoÙH¨n¨©¨ � �z�SaÜ®-�

A ="~i��~(�,="~k��~9B-|l�#���=Ù�¨ � Ù�¨©¨x³¤���<�@Ù�¨©¨n¨P����~3�º�k��~��j�1~!��|r��¯N~?�(�3��I�J�ÝwJQ_���/���OR;­���+-%Ô�����.��?§<���7���7+-��+#B8�7�/��'#���o+#BN¿¢�����z®Sa� )«-���Ö���¿L� � Þ Å"ß Æ àá Æ â°ã#ä üÜå � ��æ� Þ y å Å ß Æ àá Æ â ã-ä üFå � è �læd����æ� Þ y å Å ß Æ àá Æ â è �læd� � �z��V ±�ç V í>æd���*æ �­���+-%¹�z®SaÜ® ² �: #��.¢�^Ñ�aÜ®-���

À_Á � Âà � Ä � /;�5èd������?���=èR��=�����c0)�54"�/��è � � ´ � ´ � ®ºé)êjë�ì � ®ºí#êjë�ì��} #��.!��$������'2�z®SaÜ®ºÑ����1�����9�������?'#�! #�L ��,+>m#�@��:���%&0)�7������9f� #.�+-�2���! #���Br+#�!%¡+#B8îh� èX���læ¤�Aa��=���c�����?+#���/%ÔBr+-���7+>��_B^��+-% SN�/%&%& &®SaܸSa

­8�7'-$����(�SaÜ®°0����/��/����� � i+-����+-$��;0)�7+#��B^+#�b�����@���/��'#���n+#B¤ #���N��?'-%&�/�*��c�$�0�0,+#�����/.o�S� À¤ï 3 ³ � ï 3 ³3 � 3�l #� ;B^$)�� i���7+-�k+#B,��V� #��. � Vr�P #� i+-%30)$����/.(�S���z�SaÜ®-�Aa ¾�+#���� i�:�����:���%h���� ��!�7�����/L�,�?�e�}�?�/�(�����:�$���Bl # i����?0����/��/�*���/.°���3������j0)�7+#�j #��.h���� ��j+#B,������f� #.�+-�3���! #�)�Br+#�A%[+#B,�����=0)�74S�/�� i�/�����?���/.� ��j������+#�!�7'-��������+Ç���3���(­8�7'-$����=®SaÜ®Sa2�=���:��� �0,�_+#B)���)����$���Bl # i�:�$�'#'#�/���j���� �� # ��'#+#�!�7����%ð�Sa� = ? #�(�,�:��%30��!+>m#�/.���` #.� �0�������'3�����c�������/!��+-��.`��+&�����k�7�/��'#���o+#BX�/ # !����?'-%3�/���?ap Árq<s)t�urv ÄPw �,x�ñ,x({}|DC#~i�o�,="~:�:�*�-���\�l�������^�i�#�A�����b�,="~ ¦<|���~i�7�#�e~!�h~��)BS~b�&��¦������#�\~��)BS~�|r�<�#|l�A�#�������°"�<�>�l|l�#�<( ³ �/ò � ��� Ù å)(+*�� (Z���læd�éè��z� ò ���i� � �

Page 74: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Cpø-DFEHGJI�G`÷LKNMNKPOPäRQSKNTRI,ULV�T,GNWXKNMRI,T,GNMNY>Q�KPTZO[KNQ\Göõ�]M÷PV>÷-G�I,V�Wf÷-]^MLV Î6ò

0 20 40 60 80 100 120 140 160

−300

−200

−100

0

100

200

300

θl

b l

­8�7'-$����9�SaÜ® Áõµ1ó£ô Ò ó£õ>ö Öº÷ ó Ò ó!ø Ò9Õºù8÷úù ôÇû Ò9Õ óAø Ò9ÕÇù8üzù û Ø:ù ô Ò�ü_ý7Û�þDÜ�ÿ�þDÜ�O�� ?�� Æ � ?��? Æ ? ��� ü � ø õºô Ó�Ò�� ó£ôbó!ø Ò9ÕºùUÖ � ö � Ø:ù�Ò�ù ö ü�Û�þ� ô ÿ þ���*~��/�5�#��~3�#��~!� ��~���|l�����"�������h~?�e~?�!�&�z� ò ���i� �9| �

�/ò � ��� � ����� ��¿ ò � � �� � � �z�Sa ² ����"~i��~P���¶� ´ �  £�L|��¤���?�!��� |r���8�i�*�/�����! � � � %& º4" � # � " � # � � � %& º4" � # � ��¿ " � # �$ L���<�d¿ ò � � �&% � ò ���£�-�zÀ Á � Âà � Ä('*)+�+#���� i�d���� ��P�����j�! �����+-,/. å1032 4!5#76 #.� �0���P�����j�����!�/���+-��.c��+������¤�7�/��'#���c+#B���?'-%3�/���Z¿ ò � � aX­8�7'-$����d�Sa ²0����/��/����&�����2���/�$�����3+#���� #�����/.J���7���R������h #�7'#+#�!�7����%�Br+#�°�����2�/.�'#��%& �0J+#Bc­8�7'-$����\�Sa� �a¨¾��h�� ?�7�/ ��3���� ��98}���������° ? ����2%@$���(�,�`�� �Æ#�/�J���������2��/�7�/ i����+-�R+#B� #�J �0�0)��+#0��!�� �����m� #��$��`Br+#�(��8j�������������+S.)$� i���7+-�\+#Bj�����3 #.� �0����7m#�(�����!�/���+-��.�%& �Æ#�/9�7�b0,+-���7�<�7�9��+2.��?���/ i�c�����(�����!�?�@�������/����7����+-$�� #�*�`Bl #����c0,+-��7����m#�/?a�©�����7�b������_��}�/�� i+-$��A �'-����':8"�����9���i4"�_�i4" #%30<�7�c���+>��_���� ��_�����c��?'-%3�/����%3+".��/�,��_��+#�:�$:;=< ?�7�/���:��+h�� #��.����; #���,�����c0���+#�)���/%&_0,+-��/.`���`�������b.��?���/ i����+-�Zad¾��`������_�i4� #%30)�7��8������9�/.�'#�9%& �02+#B­8�7'-$����k�Sa� -�l *����� #$�'-%3�/�����/.����7���o�����@��?'-%3�/���=¿ % ´ �?> @,�zÀBA @DC � A @DCA � A ' 81 #b���+Ç���n���n­8�7'-$����@�Sa¥Ñ)�l *�AaE ����§�'-$����� #���+k0)���/��/����d�����bf� #.�+-�����! #�)�Br+#�A%[+#BL�����b���?�¨�/.�'#�b%h �0F8S #�).h�����b�������/d���/ i+>m#�?�!�/.���HG���'#+#�!�7����%µ�SaÜ®�Br+#�3���¤+�m� #��$��/@+#B��a�¾��(������$�����A ����/���¤+����+#���� i+-%&����'-@+#BIG��7'#+#�A�7����%·�SaÜ®Sa­8�7�!��98"�������7�=B^+#�:�1+#����m� #��$��/}+#BL� m� ��!�7+-$)}�0)$��!�7+-$)d�������/¤ ����c.��?���/ i���/.n���������c���/�7'-���1+#�A��+�+".&+#BJ A 8 J�³ 8* #��. JLK 8*B^+#�j� � ´ � ² �7�j��j #�7���/ #.��(��%30,+-�!�7�)�7�¤��+k.��?���/ i�¤�����=�i4"���! 9��?'-%3�/����¿�a E �������j.�$��

Page 75: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

CNM-DFEHGJI�GFOLKNMNKPOPäRQSKNTRI,ULV�T,GNWXKNMRI,T,GNMNY>Q�KPTZO[KNQ\G(P�]QOPVSR-G�I,V�WTR-]^MLV ÎVU

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

T = 0.2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

T = 0.8

W ��X WZY X­8�7'-$����&�Sa ²�[ ô\� ô ù�ü ö ùN] óD^ ù ö ù Y9_ �$`a` ÷ _ � ôºûcb ÷ ûAóAö �ed�fagih � j d ó d�fºù}ù Çû ùkg �!` óAøml � û£õÇö ùnh �porq �ed�f�s�üzùtd�d ó W �uXv w o h x � ô WZY X vyw z �

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 20 40 60 80 100 120 140 160

−300

−200

−100

0

100

200

300

W ��X WZY X

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

T = 0.2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

T = 0.3

W ] X W X­8�7'-$������Sa¥Ñ [�{ ó `1| W ��X~} Çû ù�g �$` q �ed�f ø5óAõÇö üzù û g:ù ô d�ü � ôa WZY X �ed�ü�� � >ó£ô d ö � ô ü ø5ó!ö g �S� ó d�d ó g | ô1� ô ù�ü ö ùN] óD^ ù ö ù Y9_ b ÷ û£ó!ö �ed�fag�h � jkq �ed�fIsnüzùtdFd ó W ] X v w � � ôa W X v w j �

Page 76: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

CNM-DFEHGJI�GFOLKNMNKPOPäRQSKNTRI,ULV�T,GNWXKNMRI,T,GNMNY>Q�KPTZO[KNQ\G(P�]QOPVSR-G�I,V�WTR-]^MLV Îy���+h�����kB^ # i������ ��������k�7�/��'#���n+#B8�����k�� ������?�;��=��+#���}�/���Z0����/.)�� i���/.o�S�¢�z�SaÜ®-�!81������ !�n #��$�%3�/����� ����?'-%3�/������0< #�`�����c�/�*�������9��%& �'#� À Á � Âà � Ä a�¾��=��:��+#�= ?�7�/ �����+>� �����c�������/���+-��.)����'k �0)0���+- # !�n i+-$���.�,�:�i4S���/��.��/.h��+@ /m#+-��.h�������0��!+#�)�7�/%�8*!���� i���$) !�&�i4"���/�����+-�3�¤+-$)��.3��� �S$��7���:������Æ"��+>�����/.�'#�=+#B,������/��.�0,+-������j+#BL�����;��?'-%3�/�*�: #��.°�����/��c ����b0) ����}+#BN���� ��}���?�/.�d��+(�,�;.��?���?�!%&�����/.Za*�"�/ i+-��.�8"�?m#�/�Br+#�¤�����=m� #��$��/d+#B<�©���(������ !�@¿n��j.��?���/ i���/.�8��7�d��j��%30,+-���7�)���d��+�!�/ i+>m#�?�_��������?'-%&�/�*�_ # ? ?$��! ����/�7�Br�!+-% �����& #%30)���7��$�.��(+#B}�����&0,�/ �ÆS9+#B¤�����°f� #.�+-�����A #���B^+#�!%oa3�©�����7�(�����/��° ? ������¦����B^+#�!%& ����7+-� ��,+-$��:�����9��?'-%3�/���9�ú����/��'#����8������?�`0���+ÇmS��.��c��+&����B^+#�!%& ����7+-�` ��,+-$��=�7������ ����N<d+#�=�/�)./<�0,+-���*��/aX¾��B^ # i�98j.)$��&��+������� #.).��7���7m#�&0)��+#0,�?���e�¦+#B=������f� #.�+-�¶���! #���Br+#�!%�8X #��.¶�����°B^ # i�@���� ��@������f� #.�+-����! #���B^+#�!%g+#BN 0<�54S�/�� ����/.h���������� #} 9���?'-�7+-�°+#BN�$�0�0,+#���������� A�h��}��+-�/<e���?'-���7'-�7�)����8#�/ # !�`0,�/ �Æ3����������/ i�/�7m#�b i+-�*���!���)$����7+-��jBr��+-%[mº ��!��+-$�j�������/?a����/�� i��8SBr+#�}��+-�/<����!��mS�� #�"�/.�'#��%& �0) 8*������ #%&0)���7��$�.��}+#B 90,�/ �Æ3 ? #�h+-�)�7�k�,�=�� �Æ#�/�` #} 9m#�?���(��+-$�'-�&�/�����%h �����+#B,�����b�7�/��'#���&+#B,�����b #��+" ?�� ����/.���?'-%3�/����?aE ���k�e�}+°0)��+#�)�7�/%& 8)���� ��)�����7�e�°��+�.��?���/ i�b��?'-%&�/�*��b���� ��;.�+°��+#���0) #�n�����@�/�*���7�!�k��%& �'#�@ #��.�7+" ? #���76/ ����7+-�ª+#Bc�/��.�0,+-������98} ? #���,�2�,�?�����?�� #.).����/���/.ª���J��+S ? #����6/����'¦�����\ i+-%&0)$��� ����7+-��+#Bc�����f� #.�+-�2���! #���B^+#�!%oap Árq<s)t�urvV� w�� x3�Zx�{}|��#~i�����"~B�<|Z��~?�5�#�e~!�2~�� �S~k�&�!�����k���¢~!� ��~k|^�<��|z�!�#���#�d���S�1�/�l|z�����* � �*~��j�1~(�h�?~$�9�)~i�1�A~@���c���S�?|r�&� �S~£�%9��� � �à � Ä�' ò � � � �¤�læd�_¯�y/ L¡ 0£¢ ¡ ¢ ¡ 0¥¤:¦ � § 4u¢ § ¢ § 4t¤/¦L¨ �læd� � �z�Sa¥Ñ�����"~?��~

é ò � ± é)êjë�ì Ú ÅN©b��Å � ´ � �9�9� ��ª ®ºé~«k¬ ¡© ­ ±  í � � ± í#êjë�ì Ú¯®?° � ® � ´ � �9�9� � ª ®ºí «k¬ ¡° ­ ±  ±� �!�1�<�¥²=³b�e�*���£|^�����µ´ ) Ý����`~��*�u�n���9���"~c�!�~�i|^�&� ��~i� % � � � �à � Ä ' ò � � ���`�1�/����|^�¦�&�?~$�9�)~i�<�£~���k~�� �S~�/~��#�h~?�)�^�·¶ ò � �@�¸% ¿ A � �9�9� � ¿F¹ 0Z2 4 ' ò � � B���"~?��~�º ò � � |r�3���"~3�~�S�-�A~i�&���@�?~»�#�h~i�)�^�3|^���!�~�?|r�&� �S~� Å�� ® �$¼� �A���-�i|^�1~@���"~�?~»�#�h~i�<�^�(~D�*�l���-�>�e~��b�£���#� ���"~���~�i|^�3�y��~£�9|^�)���`�h�?~/�}���|r�&� �S~@~!� ��~i� )E ����@ #��'#+#�!�7����%¹��� �S$��7���/@��� �S$��7�!�/k0)��+S i�/.)$����/(B^+#�2 >�@.��?���?�!%&���)����'������`�1�/��@m� #��$��`+#Bb�����������.�+>�g���6?�\� ° �!© �!8X #��.�®-�; i+-%k�)��������'2�7+S ? #�¤��?'-%3�/����k���*��+2'-��+#�) #�j�/.�'#�//a°���` #��$�%&�&���� ���$� A��0���+" i�/.�$����/ ����h /m� #���� ��<�7�& #��.� i+-�� i�/�����! �����+-�������° #.�mº #���� �'#�/@+#B:�7+S ? #���76/����'`�����hf� #.�+-����! #���B^+#�!%»B^+#�=�����c0<$���0,+-��/_+#BX���/ i+>m#�?�!����'°��%h �'#�9��?'-%3�/����?a

Page 77: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

CNM-DFEHGJI�GFOLKNMNKPO¾½RQSKNTRI,ULV�T,GNWXKNMRI,T,GNMNY>Q�KPTZO[KNQ\G(P�]QOPVSR-G�I,V�WTR-]^MLV ÎaM­8�7'-$����c�SaÜ�@0����/��/�*��}�����c�$��<��%& �'#��+#BP�����;�/.�'#�c%& �0`+#BP­8�7'-$��!�;�Sa¥Ñ3���)�� !�� i+-�*�� #����_�����;��?'<%3�/���_¿J�l *�: #��.2�7��:f� #.�+-�o���! #���Br+#�!% �^�1�Aar¿}+-%30< ��!����'(�����9�� ������?�����7���`���� ���+#BX­8�7'-$��!��Sa¥Ñ)�^�1�!8�7�;��b01+-!��7�)�7���+2��+#���� i�(�e�}+2%& ÇÍ�+#�9.��5¼,�?���/�� i�/?a­8�7�A��98Z�7�b��b��+>�[%@$� !��%3+#�!�( ?���/ ��c���� ��;�����?��� ����n���¤+«.��7¼1�?���/���°�������/& i+-�����!�7�)$�������'���+������n+Çm#�?�! #���;��� �0,�2+#Bc������f� #.�+-�ª���A #���B^+#�!% ���ª��������/�7'-���,+#�!��+S+S.3+#B J �ÁÀ ´ � K >@I ak�S�/ i+-��.�8S�����/��b�e�}+3 i+-�*���A�7�)$����7+-�)d ����;���%&���� �� 8*���h���?�!%&¤+#BN��� �0,� #��.R #%30)������$�.���88��+����� ��(+#B������o��?'-%&�/�*�@¿�a E ����@%3�/ #��(���) ��98d�����/�������of� #.�+-�����! #���B^+#�!%��9�7+" ? #���76?�/.F8P�7�9�,�/ i+-%3�/k�/ #��7�?�� >�;��+�%& �Æ#�h§)���h.���������� i���7+-��;�,�?�e�}�?�/���������/;�����������%&���� ��c0) a<�! #%3�?���?�!��6/ ����7+-��98X #��.�®-�b��+n.��?���/ i�@��?'-%3�/����9����+-��&�7�/��'#������c%k$� A�¢�%h #���7�?�c���� #�������&��%& �'#���76?�#a E �)��98���+>�}�?m#�?� 81.�+��/���+#�=%3�/ #�2���) ����������;.��?���/ i���7+-�\��_���!�7m"�� #�,+-�� i������9f� #.�+-�2���! #���B^+#�!%

5 10 15 20 25 30 35 40

5

10

15

20

25

30

35

400 20 40 60 80 100 120 140 160

−30

−20

−10

0

10

20

30

θ

b

W ��X WZY X

0 5 10 15 20 25 30 35 400

5

10

15

20

25

30

35

40T = 0.65

0 5 10 15 20 25 30 35 400

5

10

15

20

25

30

35

40T = 0.7

W ] X W X­8�7'-$������SaÜ� [�{ ó `1| W �uX~à õ Y �pg � û ù óAø d�fºùLù >û ùFg �!` óAø\l � û£õÇö ù�h � Ä � ôa WZY X �ed�ü�� � >ó£ô d ö � ô ü ø5ó!ö g �S� ó d�d ó g |SÅ � ô ù�üö ùN] ó$^ ù ö ù Y9_ b ÷ ûAóAö �ed�fag�h � � q �ed�fIsnüzùtdFd ó W ] X vyw Ïuh � ô W X vyw Æ ���b�7+S ? #���76?�/.Zab¾��\B^ # i�98N�����@��+S ? #����6/ ����7+-�n�i4� # i�?���) ����/9�����@����%&�7�� ����7+-�)=+#Bj�����3��?'-%&�/�*�c%3+".��/��8, #������$)����! ����/.�����0)�7+#��3�l >�b #��.J�l.<��+#Bd�����3§�'-$����#a E ���/��(0)�7+#��c ����(�����(���/!$��7�b+#B} �0�0<�7�S����'ÇGb�7'#+<

Page 78: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

CNM-DFEHGJI�GFOLKNMNKPO¾½RQSKNTRI,ULV�T,GNWXKNMRI,T,GNMNY>Q�KPTZO[KNQ\G(P�]QOPVSR-G�I,V�WTR-]^MLV ÎÇÎ�!�7����%Ò�SaÜ®3��+h������/.�'#�@%& �0��^+#B������k������.�+>�b�}���+>���\���n�SaÜ���l *��Br+#���e�}+°m� #��$��/�+#BX�a_�¨�����7��8)����,+#���° ? #��/ 8Sm� ��!�7+-$)d�0)$��!�7+-$�j�������/d ��!�b.��?���/ i���/.`���°�����b���/�7'-���1+#�A��+�+".3+#B,¿\ #�). J ³8�B^+#�d� � ´ �¥È�7�;��; #�7���/ #.�����%30,+-���7�<�7�9��+ J A a�+�+#���3���� ��c�����@0,�?��B^+#�!%& #�) i�k+#B¤�����3��?'-%3�/���9%3+S.��/�X��b!�7'-���7§:< ? #�*�����2�¤+#�A��(���� #�¦���n­8�7'-$��!�(�Sa ² �^�1�������?���@�����_ #b01+-!��7�)�7���+`.��?���/ i�;��?'-%3�/�*��c�0) #��������'&������/�*�������&��%& �'#�\� J A 8 J ³a8P #��. J K>�b���7����+-$��;B^ #����301+-!�7���7m#�/?a&­�+#�k�����&�/.�'#�°%& �0�+#B:­8�7'-$����h�SaÜ��8X�������?'-%3�/���c%3+S.��/�P��; ?�7�/ ��A�7�2$��� ��)�����+o.�+`�+�a E ���k0���+#�)�7�/% ������� ��98Z�,�/ ? #$���@�����3��?'-%3�/����c ������+>� ��7'-���7§< ? #�*���7�&!%& #���7�?� 8"�����9! #%3�9��+-��.�}B^+#�:�����c0,�/ �Æ° #%30<���7��$�.��/}+#BX�����cf� #.�+-�2���! #���B^+#�!%oa���/�) i��81���� ����� �0)01�/�)=���2�����k���/�7'-���,+#�!��+S+S.):+#B������/��@0,�/ �ÆS��,�/ i+-%3�/�!�7'-���7§) ? #�����7�o%3+#���k���/�É<�?mº #���?a E ����b ? #���1�3��?�/������ i+-%30) ��!����'������&f� #.�+-�����A #���B^+#�!%&;+#B_­X��'-$����/9�Sa¥Ñn #��.��SaÜ��8X #��.��+#���� ?����'&���� ��b��������/�� ����7m#�/�7�o�� �����+Ç� �,+Ç�=���7�0< ������?�!���+#B������B^+#�!%3�?�;�� /m#�@�,�?�/�2���?0<�� # i�/.n�S�2 ��?�9+#B=�����$��+-��.� #�X0) ������?�!��+#B:��7'-���7§< ? #�*���7���� ���'#�?�@�$�0�0,+#���c #��.¶%& �'-���7��$�.��&���������h�� ������?�/a E + #.�.����/!_������:0��!+#�)�7�/%�8"�}����?�/.o��+h i+-�)���.��?�:��������/%& #��������'@%&+S.��/��:��� E ��<�7��Sa� �aÊ�Ë»Ì�Ë�Í ÎñûBü«ÊÇÌ�Ï�þ�Ð �¨�8�yüHýE ���h��+>m#�/�7���¢��������+S.)$� i�/.��S�������°����!��0¢%3+".��/��8X+>m#�?�(�7���������& #��.¢��?'-%3�/�*�( i+-$������?��0) ����� 88��9��+ # ? i+-$����XB^+#�X�����¤Bl # i�8���� ��X0)�54"�/�� ����/.�������/N�� >m#�:��+-�/<�6?�?��+b����.����LaN�©�����7�j�����¤����.����9+#B� �0)�54"�/�� ����/.�������:��d$��$� #�����·��$)�7���=�%& #���"�����/�& i+-%30) ��!�/.&��+·�S$� #�����7���7�/j�$) !�h #j��������%& �'#��+#�d�����).�+>�J���6?��8��7���$��!��_+-$��:���� ����7�:0)�� /�": &%& ÇÍ�+#�=��+-�7�9���`�����9��$�%k�,�?�:+#BPBl #����c0,+-������7m#�/_'#�/���?�! ����/.n���`%3�?����+".����� ��=�����!�/���+-��.`�����9 #%&0)���7��$�.���+#B8�����f� #.�+-�o���! #�)�Br+#�A%oaÑ Õ"w�wÓÒT� xzy�x�ÔN~/� �VÕ �z� ��� �3��~i�<�#�e~h���"~@�:�-�-�#�R�l�������^�i�#�A�µ���@����~3|^�<��|z�!�#���#�:�!�"�<�>�l|l���R���&���£�l�£|Ö�× � �z� Õ ��� Õ �ÙØ Õ �$ ¤���I�#|���~?�¯�9²ÛÚ�Ý ) Ý-Ý9ÜV _���1���7~/�Ý�VÕ �z� ����� � «k¬ ¡ � � %&���9� �VÕ �z� ��� � � � «k¬ ¡ � � �z�SaÜ�-�³;�A�!�"�h~k���S�#� Ý�VÕ �z� ����� � «k¬ ¡ �9|r�ßÞÇ�<����(�?���k���^�P�z� ��� � )Bà � Ý�aÕ �z� ����� � «r¬ ¡ � �âá ¤���"~?�

� Õ � ãäeå � | � á(� ´�¾æ ��A ?���� À Ã�ç¬ Â | � ´éè á è � «r¬ ¡ �z�Saܸ-�

���<�a ¤| � á3� � «r¬ ¡ }~?|^���"~?� � Õ ��ê ����� Ú ��! ?���� % Ø Õá '�ë �z�Sa È ����� Õ �ìê � ± ��! ?!��� % Ø Õá ' ��� ë � �z�SaÖí-�îm�"�i���"~i�£�&����~u Z�i���3���^� á ¤|l�}|��ï�"���!�A|��i��~3���n�*~?�e~?�A�(|^�1~@| �k���"~ñð æ¯ò |^�(ÚL´ )�ó Ü�|��k�Tð Ú ò ���@�Tð ± ò ���1����*|z�u�n���-Út´ )»ô Ü����-Út´ )Qõ Üé�S���7�º� )

Page 79: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

CNM-DFEHGJI�GFOLKNMNKPO¾½RQSKNTRI,ULV�T,GNWXKNMRI,T,GNMNY>Q�KPTZO[KNQ\G(P�]QOPVSR-G�I,V�WTR-]^MLV Îö÷_���/���9ø E �����7�/%&%& ¶��° ¶���%30<�7�n i+-���� �S$��/�� i��+#Bh�z®SaÜ®#®-�Aað¾�B ´ìù á è � «k¬ ¡ 8��7�hB^+-���7+Ç��98Br�!+-% �z�SaÜ�-�!8)���� �� �VÕ �z� ��� � �úá #��.F8�Br��+-% �z®SaÜ®#®-�!8<�}��� >m#�

� Õ � ãä å � �7B á(� ´�¾æ ��! ?���� À Ã ç¬ Â +#�����?��������#a �z�SaÖû-�

�S��������B^��+-%¡�z®SaÜ®#®-�!8*�7B � Õ �z� ��� � �âá #��. áýü ´ 8������?���¤�i4"����� �?þ 8 ��þ�� ® � Õ ± � 8��$� A�9���� �� � Õ �z� ����þ � �âá a���/�) i��8�Br�!+-%¡�����;+#�)��?��m� ����7+-�o+#B Ý�VÕ �z� ��� þ � � «k¬ ¡ �!8)�7�:��}0,+-���7�<�7����+&.��?���?�A%&����� � Õ $��� #%k�)�7'-$�+-$)��7��l��?� � Õ �©� Ú ��! ?!��� À Ã ç¬ Â 8��7B � è � þ #��. � Õ �©� ± ��! ?���� À Ã ç¬ Â 8�+#�����?��������Ç�Aa��¨���/� á&� � «r¬ ¡ 8��7�Br+-���7+>��_B^��+-% �z�SaÜ�-�_���� �� �aÕ �z� ��� � � � «r¬ ¡ #��.2Br��+-% �z®SaÜ®#®-�_���� ��ÿ � Õ ± � ÿ ù ��A ?������ Ø Õ� «k¬ ¡�� �f=�?0,�/ �������'3����� ���'-$�%3�/���= ��,+>m#��8<�����?���9�i4������ �?þ�� ® � Õ ± � �$� !�2���� ��ÿ � Õ ± � þ ÿ ù ��! ?���� � Ø Õ� «k¬ ¡ � #��.2�7�=��_01+-!��7�)�7�b��+h� >�`������ A�`+#B:�z�Sa È �= #��.¢�z�SaÖí-�=��+-��.�?aE ����}���/%&%& @0���+ÇmS��.��/¤�����9������7'-���_���?�/.��/.`��+h$��).��?�!��� #��.°�����c���! #.��u<�+�¼,��1�?���¤�?�/�2�����9����%&���� «k¬ ¡ #��.o�����9 # ? ?$��! # i�o���7���`���)�� !�o�������;0) ��! #%3�?���?�!� ? #�2�,�c���/ i+>m#�?�!�/.Za� � Õ s)t ÕSw � x�ñZxBÔP~?� �VÕ �z� ��� �;�*~i�1�#�e~9����~��:�*�-���¦�l�������r�?���A� ���;���"~c|^�<��|z�!�-�������!�"�<�>�l|l�#�\���9�@�£�l�£|Ö�× � �z� Õ ��� Õ �ÙØ Õ �$ ¤���I�#|���~?�¯�9²ÛÚ�Ý ) Ý-Ý9ÜV _���1���7~/�Ý�VÕ �z� ����� � «k¬ ¡ � � %&���9� �VÕ �z� ��� � � � «k¬ ¡ � � �z�Sa�  ´ �� �"~i�S ,�£����� ���"~°�1�£�/~i���º�#�l|z���«��� Ý�VÕ �z� ����� � «k¬ ¡ �$ :|l�:|r�B�"�º�A�A|��i��~°���o��~��!����~i�&����~h�����#��~ � Õ �"�1~$�9�"|�����/�!�#�r�7²¢| �2���<�������7²�| � Ý�VÕ �z� ����� � «k¬ ¡ � è � «k¬ ¡ ) îN��� Ý�VÕ �z� ����� � «k¬ ¡ � � � «k¬ ¡ @|^�c|r�`|r�c�"�º�A�A|��i��~������~!�!��#~i� � Õ ��|l���2�#��~?�A�����@|r�>�?~?�A|z������� Õ � � «k¬ ¡ � � ��! ?���� � Ø Õ� «k¬ ¡ � � �z�Sa� # >�îm�"�i���"~i�£�&����~u ¤| � ��� × A � �9�9� � ×� �� |��9�(�/~D� ��~?�<�A~k�����|r�£�l|^�<�>�8�£�l�£|p�<�-Ú × ò��� × �����1Å �� ® Ü@�����u�����"�#�Ý�VÕ 0 �z� �-���£��� �>ò � ù�� ���<Å�� ® ��¨Å�� � ü ´ � �z�Sa� /®-�I&�z� ��� �;|r�k�*~£�d�1~��o�º� I&�z� ��� � � � ò�� A Ý�VÕ 0����� "!� �/ò$# ��%'&)(+* #

Page 80: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

,NM.-0/214351FO�68786:9¾½<;'68=<3?>�@A=?18BC687<3?=?1878DE;56:=F9G68;H1(P�IQO:@SR.1�3?@�BTR.IJ7�@ K�L� � A �9�9� � M�ONQPSRUTVRUW � NYXYWZR[W ² P]\ �9� \^T`_a\cbUWed�\^W"\"dfNgTAR � R ² P � _ � X � R[X® èih8j I ����k[ "!lk # ü I ���am� "!�m # ��%'&)(^n #RUTMd op rq ���� "!� � � #tsvu  Zw .yx�z { 5�|�} 6 ¨ ���� "! # ��%'&)(+% #X � \^T o~p �q ���amZ "!�m� � � #ts (�� op �q ����k. "!� � � #ts (U � ® ùih ÿ !��V!lk ÿ ù � k. ��%'&)(+� #��� \^W"\ � k ù��U���]�"�)� � Ø Õ 4� � ���J���4( # � � � ��%'&)( È #

÷ Web+bZ� ø E������ ���"�����U�"�t�[�?� ��� � ��� �[� �+� �)�����e�e���[��� � �e�J�[�"�r�U�a ¡�^�.��� � �'¢ � ��� � �[�?£ �+�¡� � %'&)(U& E ����"��¤ � ��%'&)(+� # 8 � � �e�"�U�"�8¥5¦§�[�"� ¢ � �)����� � �U� op �q ���am� "!�m� � � #�s (U& E���� � 8 �J�"� � ��%'&)(+% # 8�I ���amZ "!�m # � � ��[��  8 �J�"� � ��%'&)(^n # 8/I ���Zk[ "!^k # � � � � ® è¨h &G© �O�J�.ª)ª����«�¬� � �U� op rq ���Zk[ "!^k[ � � #Hs (U � ® è­h &®�¢ �"� ��� � � �[� � 8 �J�"� � u  Zw .yx�z { 5�|�} 6 ¨ ���� "! #�svu � } 6l¯M° 0J±² 4`³} ç 0 .´x�z {lz } 0 5 ¢ ³} ç 4 .´x�z {lz } 4 5 � ���� "! # �����J�.ª)ª��E����� � �U� o~p �q ���Zk[ "!� � � #ts ( �g�[�«�[ªQªF���[����� ���Zk. "! # � ¢ � � � � �U�Ý�VÕ 45���Zk[ "!� � k # � � � � � m¶µ� k Ý�VÕ 0"���Zk[ "!� � m #�[� 8 �J�"� � ��%'&)(]· # �[��  ��%'&)(+¸ # 8�VÕ ����k. "! # � � � � � m¶µ� k Ý�aÕ 0"���Zk[ "!� � m # � � � ���J���4( # � �� �)��� � � ��� � � �U� � � ��� �M�[������� ��� � �Ý�aÕ ���Zk[ "!� � � ���J���4( # � #�s¹� � ���J����( # � ��%'&)(+� # �J�.ª)ª����«���J�"� � � ���§� �a�e�����U�"���[�º� ��� � ��� �[� �+� &© ���)� ¢ � � � ¢ ª`�e�»�[���[ª)¦5¼ � � ��� �^�.�� ����"���.��� ¢ ��  � ��� � �Q� � � ��� � ��� �[� �+�½� �.ª) �� &º¾ � �e�"�U�"�«¥5¦O�^�.� <�"�)  � �a�)���¿� ��� ¤U�U����� ¢ � �'¢ �[�5�"���"� � ���)�5¤[�.ª�¤ �   & ® �"� � ��%'&)(]· # 8 Ý� Õ ���� "!� � «k¬ ¡ # �)��� ��� � � � ¢ ª����[�CªQ� � ���"�)���� ���SÀ �[ ��.�f�e���[���"�g�[� � �[�º� ��� �e�e���)� × �e�Á� ��� ¤U�[ª ¢ � � «r¬ ¡ &�¾ � �Qª � � �¿� �+¤ � �e�¡�Y�U�«�)�5�e�"�'  ¢ � �  f���� �[�"��¤U�U�"���.�Â�J�[�t� ¢ � � ��ª)� � ���"�U�"���.� 8 � � �«�)ª)ªÃ� �]� �)�£ �+�¡� � %'&Ä% � � �U�t���t�)�º�.� � �[�`� ��� �^�.��� � �5¢ � ��� � ��[�t�r�[�"Å'�Q���¡�«��� � � ���¿À �[ ��.�Æ�e���[���"�g�[� � �[�t� ��� � � �e�e���Q�^�"���.���[�t� ��� �)�� ��)�]�U�e�[�«� ¢ ���^�"�)�.���[� × �e�O�

Page 81: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

,NM.-0/214351FO�68786:9¾½<;'68=<3?>�@A=?18BC687<3?=?1878DE;56:=F9G68;H1(P�IQO:@SR.1�3?@�BTR.IJ7�@ K�Ç¥?� ¢ ��  �  Æ� � �U� � & ® �"� � ��%'&)(+* # 8nI ���� "! # �)�� ���¡À �[ ��.�È�e���[���e�J�[� � �[���f�^�.ª)ª � �^�"���.�È�[�r� ¢ � � �)�� �� <�]�U�e�[��� ¢ ���^�"�)�.��� 8 � & � & � ���»À �[ ��.�A�e���[���e�J�[� � �[��� ��� ���´É � ª)�U� �   �  �� �Á� �U�Ê�^�.���"�[�Q���)���f� ��� ª)�)� � �� ��� A "! A # �9�9� E��� "! # � 8'¢ ��  � ��� ��� �"�e����� � �à � ª & ® �)���[ª)ª�¦ 8 o~p rq ��� m "! m �?�]# �)�t� ��� � � � ¢ ª��º�[�`� � � � � � <�.ª) ��)��� I ���� "! # �U��� ��� ª � ¤ � ª � � &�¾ � � � ÉÃ��ª��'�[ÅÁ�U��� ��� �^�.�� ��)�"���.���r� ���+� � � ª)¤ � � & ¿ �.�� ����"���.� ��%'&)(^n #�)�º� � �[ª)ª)¦����[�t� � �5¢ �)� �  ¿�g�[� ��%'&)(+� # �[��  ��%'&)( È # �e� � �.ª)  8 ¥ ¢ �t�"� � �Mª)� ��� �8� ����� ÉÃ��� � �"�"�)�.�c�[� ��%'&)(+� # &t© ��"� � �Mª�¦�� � �[��  � ����� ��� � m �"��� � �U�t� ��� � � �UÅÃ���[� I ���� "! # �U� � �[��  � � �  Â¥'¦Â  � �^� � �[�"�Q��� � �U�.����� ¢   � �[�� � ��� � � �J�[� � � � ��ª)� � �����cª��.�"���[��� � � � ���[ªQ���¶¦ & ¿ �.�� ����"���.� ��%'&)(+¸ # �)�r�[ª)�e�c���[��� � � � �"�"�U�"¦ 8 ¥ ¢ �r�"� � ��ª)� ��� �� ���§� ÉÃ��� � �"�"�)�.�f�[� � k � � �)� � �r� ¢ ª) O�[� ��� ���«�)� � ¥ �� k ù��U���]�"�)�ÈË Ø Õ 4� � �ÍÌ m¶µ� k Ý�VÕ 0"���E "!� � m #ÏÎ � ��%'&)( í #© � � �.ª) ��t�«��� � � � �[ª)ª�¤U�[ª ¢ � ���[�8�� ��� � AÐ)ÑgÒÔÓ .y{ 0 ¯ { 4 5 Ð è�è � �Q� p I ����m� "!�m # I ���Zk� "!lk # q�8 � h ® �s h &tÕ ��¤ � �� ��� �Y�[�e�¡  � �]�+¦<�[�� ��� � ¢ ���^�"���.� AÐ�ÑJÒÔÓ . ¡ 5 Ð 8 � � �Q�Â�)�c�A� � �[�e�.���U¥Mª � �[�"� ¢ � ���"���.�<�)� � �.�e�¡�����[�^�"�)�]�[ª�"��� ¢ �U�"�)�.��� &E���� �[� �+� %'&ĸ � ÉÃ�?�.� � �S�f� ¢ �� �� �Â� ���"�[ª�ªQ� � ���"�U�"���.�È�[��� � � � � � �.ª) ��Q���¬�[ª)�[�[����� ��� ���g�[�SªQ�)� �   � <� � �^�"���.� &rÖ �O�.� �S� �[��  8 � ��� ���U��� �Â� � � �a���[�:� ��� �e�e�����f�[�"�"�'�]�)�U� �  ��«��� �O� �[� � � � �UÅÁ�[�C� ���SÀ �[ ��.��e���[���e�J�[� � �[���¬���´É � ª)�U� �   �  �� �Â� �U�A�]�[�È�.��ª�¦f¥ � � � �^�E¤ � � �   ¢ ��� �'¢ � ª�¦O¥'¦��¬� � � � � � �.ª) H� � �[ª)ª � �� � �[�È� ��� � � ��ªQ��� ¢   � �[��� ��� � � �UÅ &cÖ �Æ� ��� �[� ��� � 8 � � � � � � �.ª) ��)���Á�¬� � �UÅH�U���O�.��¤ � �A� � �Mª)��� ¢   ��«�)ª)ª��[�����.�)���U� �¿� �[�5¦f�J�[ª)� � �?�.�"���"�)¤ � ���J�[��[ª)ª:� � �UÅ'���[�tª)�U�"� � � � �U�.���)� ¢   � 8 ��� �Â� ª�¦��[ª)ª:ª)�)� � �«�«��� �� ��� �^�[�"� � �^� � ¥ ¢ � ! �)�Æ� ��� �a�[��� �   � � � � � �Q� �  È¥5¦ ��%'&)(+� # �[��  ��%'&)( È # & � � ��� � 8 � ��� h$×)Øf�e�e�a��� × m�]�[�A¥ �   � � � �^� �  Ê���r�[�� È�.��ª�¦Æ��� 8 �g�[� ® è�h 8 � ��� �[���.ª � �[��� ��� ® ×)Ø �e�e�a���A�)�§  � � � � � �Q� �  Æ�«��� � �[�� �"�"�[���[�8�U��ª � �[�e� � k.& E���� �g�.ª)ª)�E�«�)�����^�[�"�.ª)ªQ�U�"¦ � �e�"�U¥�ªQ�)� ��� ���¿�^�.��� � �^�"���.�¬¥ � �¶� �]� �O� � �)� � �"�"�[���[�� � ��� � � �U� � �"��¼ � &Ù�Ú�ÛÏÚ ÁúÁ Ò Û�Ü �?Ý u ÝfÞ bUT�PlNYd5\^W¡X � \»_�bUßJß�\�_+XYN�bUTibZ�¿PlXYWlN � P bZ� � � \"b[We\]à ´ )Qá B��� \^W"\ÁRUßgßCP^XYWaN � P � R � \X � \SP^R[à¡\ � N�d[X � Ø Õ RUT`d¬RUP�P � à»\¿X � R[X � ù�â ��%'&)( û #��� \^W"\ â NgP¬RÈ_�b[T�PlX$RUTMX ) � � \^T N � ��� NQP»P � _ � X � R[X�R[ßgß�ß0NJT`\lPÁR[We\fd5\]X¶\"_EX¶\"d NYXNQP¡NJà � bÏP�PlN � ß�\�X$bWe\�_�b � \^W !lk � NYX � R[TV\]WaWebUWSPaà¡RUßJß�\]W�X � RUT � � s �U���]�"�)� % Øâ ' ��%'&ĸU· #�^b[W�RUT ² ® è � )÷ Web+bZ� ø�® �"� � ��%'&)(+� # 8 �.��¤ � ��� � �U��� ��� � ×)تQ�)� � �)��  � � � �^� �   8o~p �q ���Zk. "!� � � #�s (U � ® ù �� ÿ !§�V!^k ÿ ù4�U���]���)� � Ø� � ���J���4( # � � � ��%'&ĸÃ( #

Page 82: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

,NM.-0/214351FO�68786:9¾½<;'68=<3?>�@A=?18BC687<3?=?1878DE;56:=F9G68;H1(P�IQO:@SR.1�3?@�BTR.IJ7�@ ö+ãÖ �O� ��� �[� ��� � � �[��  8 �^� � ¥��)���)��� ��%'&)(]· # 8 ��%'&)(+¸ # 8 ��%'&)(+* # 8 �[��  ��%'&)( û # 8I ��� "! # ���J���4( # � ù I ��� "! # � � mJä Ý�VÕ 0"��� "! "å � m # ��%'&ĸ[¸ #s Ý� ��� "! � # ��%'&ĸ[* #ù � ù4â � ��%'&ĸÏn #� �)��� � 8 �J�"� � ��%'&)(+% # 8 � ��� � ×)ØȪ)�)� � �)�c  � � � �^� �  4�)�«�[�� <�.��ª�¦æ��� �?� ù I ��� "! # 8 �)�¿�J�.ª)ª����«�¿� � �U�â � ��� ���J����( # �c�[�� ��^�.��� � �'¢ � �5�"ª�¦�U���]�"�)� % Øâ ' ù4�U���]�"�)� � Ø� � ���J���4( # � � �� � ��� � 8 �g�[� ® è � 8 �[�5¦fª)�)� � ���Zk[ "! # � ¢ � � � � �U�ÿ !��Ê!lk ÿ ùi�U���]�"�)� % Øâ '�«�)ª)ª?�"�U�"�Q�e�g¦ ��%'&ĸÃ( # �[�� f�«�)ª)ª`� ��� � � �g�[� � �[ªQ�e�¡¥ �   � � � �^� �   &E�� �Q��^�[���.ª)ª)�U�"¦È�)�§�)�5� � � � �e�"�)���O�Q�Aª)��� � ��[��� � � ¢ ª��"��[��� ��� �g�.ªQª��E�«�Q���¬� � �^�"���.��� 8 � ��� � � � � �«�)ª)ª� �]� � £ �+�¡� � %'&Ä% # � � �U�S� ��� �Ê�.� � �^�.���"�)  � ����� ��� � � �"�e���)�^�"���.�Ê�[��� ��� �e�e�a�������)� �e��� ��� � � �U� �çrè z éê z Ø 8 ��%'&)( û # � �.ª) ��Â�«��� � âë�[�¬  �]� � �  i�)� �Jn�&)(+* # & E�� �)� �Â� �[���¡� � �U�Á� ��� ¢ ��� � ���"�[�)����¦i�«��� �� � �)� � � ��� �[���.ª � �t�[�?� ��� ªQ�)� � ���[�"�e�Ã�]�)�U� �  Á�«��� � � ��� �e�e�����M���)� �]�[�¡¥ � � � �^��¤ � � �  O�)�t�)�5�e���)�����)�]�[ª)ª�¦  � � � ��  � �5���.�¡� ��� � � �U� � �"�)¼ � & ® ��� ¢ � � %'&Ä� � � �E�«� � �E� � � ¤U�U��� � �t����� � â 8 � ¢ �[� � �e�"�Q����� � � �]��� �[�)��^�.���]ª ¢ �����.��� & E����Á� �a�e�¿�Q��� � �U� � � �)�c� � �.���[�e�.���)�]�[ª)ª)¦Ê  � �^� � �[�"�Q���H� ¢ ���^�"�)�.�æ�[�â 8 � & � &���%'&ĸU· #� �e�"�U¥�ª)�Q� ��� ���¡  � � � ��  � ��� � �UÅ'�)�O�e�»� ��� ¢ ��� � ���"�[�)����¦O�����)���]�)��ª � �[�º�"� � �Mª)�)���¿� ��� �[�"¦�[t� ��� � � �[ª)ª � �� ��� � � �U� � �"��¼ � 8 � ��� ª)�U�"� � ��� ��� �[��� ¢ ªQ�U� ¢ ��� � �"�"�[�Q����¦¿�[�?� ��� � � �^�E¤ � � �  Oª)�Q� � ���U��� �Â� � � ��� & � � �^�.��  8� ��� �[��� ¢ ª)�U� � �"�"�[���]�[�¿¥ � �"���.��� � �]�[�5�8�J�[� � �.�"�C¤U�[ª ¢ � �:�[��âì� � �U�:�r� ¢ ª) ¿� �]�+� � � ���"�)¥�ª � �[�C�«�)�� ��E��"��¼ � �º�)��� ��� �^�.��� � ÉÃ���[� G ª��[�[����� ��� %'&Ä* 8 � & � & � ����� �"�"�[�º�)�C�[� � �U� � ��� � �[� *Uí �g�[��âµù ¸U· �[�� S�[� � �U� � �� � �U� (]í �J�[��â&ù �U·Ã& ® �)���[ª)ª�¦ 8 ���^� � ���U���)�"�.�Â�«��� � ® �)� ¢ � � %'&Ä%�� � # � ¢ �[� � �"�"��� � �U��� ��� ª)�E� � ��¥?� ¢ �� � � �Q���"��� � � &�© �Ê� ���Á� � ¢ � � 8 â s ¸U·�î ¸Hク í � ¸ �[�� æ� ��� �[��� ¢ ª)�U� � ���"�[�¿�Q��¥ � �¶� �]� � ( í �[��  ¸ í� � ���§À �[ ��.�O�e�a�[���e�J�[� � �r�[���^� � � ¢ � �  O�«��� � �[�f�[��� ¢ ªQ�U���"� � �f�[� ( í �[�� Á�.��ª�¦¡�.� � �e� ¢ ����� ¢ ��ª)�)� ��U��� � �U�����.� � �[� � �"��¼ � �[�t� ��� �e� ¢ � �.� � # & E�� �)���Q���^� � �M�U�"��¥�ª � �«��� � � ��� ª)�E� � �§¥`� ¢ ��  �!� � � �Q� � 8�g��� � ® ��� ¢ � � %'&Ä� 8 �Q���e� �Â� � ��� � � ¥ � �¶� �]� � ( � %Uí �[��  ¸Uí�&Ö ¤ � ���[ªQª 8 � ��� �[���[ª�¦'���)�~¥��[� �  A�.�Ê� ��� �e�e�a��� � �à � ª 8 � ���U¥Mª � �§�"���.��� � �]�[�����Q���"��� � �~�.�V� ��� � ¢ � < �� �Â� �5�"�[ª8ª)� � ���"�U�"���.�¬�[�º� � � � � � �.ª) ��)���Â�[ª��[�[�a��� ��� �9[�� ��� �J�[�^��� ��� ¦ � ¢ �e�«�"�U�"�)�"�g¦O�^�.��ð��)�^�"�Q���¡�^�.� <�e�e���[�)�5�"� &�Ö �¬�.� ��� �[��  8 �g��� � ��%'&ĸU· # 8 �����)��� � �?�[�"�"�[�5��� � �U��� ��� � � �U� � �"�)¼ � âñ¥ � ªQ�U�"� � �)�¬�[��  � ��e�S� �   ¢ � � � ��� �[��� ¢ ª)�U� ¢ ��� � �"�"�[�)�5�¶¦Â�[�?� ��� � � �^�E¤ � � �  ¬ª)�)� � � &�Ö �¡� ��� �[� ��� � 8 � ��� �»âò�Q�tª)�U�"� � ���t�)�ª)��Å � ª�¦»� � �U��� ��� � � �U� � � �[�«�«�)�� ��E� # �«�Qª)ªM�^�.�5�"�[�)��ªQ�)� � � � � �Â� �5�"���[�º�"���.��� � �]�[���"ª)¦» ��´ó � � � �5������¼ � � &

Page 83: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

,NM.- ô R.IJ7�@AB8@�3`@MõM3`IY687<ö~½i9�1�3Fõ`>�@�Bi;'I�R+3?@�=?IJ78÷iIJ7i=?18B:6:74D PU1�õ`@ ö[/

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

1

2

3

4

5

6

D

ε* (de

gree

s)

® ��� ¢ � � %'&Ä� [�øCù ` ùZúUûEùZú ] ù:ü�ý d�f ù:þÿüÙq?ù�� Y ü��ÏúÏû�üaý��aú����Ïþ����ù���$ü�� � 6 W�� ú«û�ù����$ùZù�� X ülú d�f ù � g ���lù�� ��� ù��Vý´ü�������ú � d� d � � ` W q � û d�f���� o X��© �È� � �)�~�]�[� � 8 �J�"� � ��%'&)( È # 8 � ��� � � �^�E¤ � ��¦A�[��� ��� � � �[ª)ª � �~�.� � �§� � �'¢ ��� � ����[�^��� � �]�)���Á� ��� �[��� ¢ ª)�U��[�]� ¢ ���[�^¦¿�«��� � � � �Q� � � ��� ª)�U�"� � ���.� � ���U� � � � �^�E¤ � � �   & � � ��� � 8 �g�[��¥?�[� � � � �[ª)ªÃ�[�� cª)�U�"� � â 8 � ��� � ��«�)ª)ª�¥ � �������.��� � �]�[�5��� ¢ ¥�� � ���[�8ª)�)� � ��� � �.� � ���U��� �¡� � � �����]�[�����[��¥ �   � � � �^� �  f�[�]� ¢ �a�U� � ª�¦ & G ��� �� �+¤ � � �]� �Á�)�¡� � �^�"���.� %'&)(U&ĸ 8 �.� � �?�.�"����¥��)ª)�)�¶¦��e���E¤ � ���^� �Â� � � �Q�t� ¢ �� �� �Â� �5�"�[ª�ª)� � ���"�U�"���.�Â�)���e�S� � ª)¦�.�È�[�Æ�[ ��U���"��¤ � � � � � � � �.ª)  & � ��� � ¤ � � 8 � �Â� �E¤ � �[ª)�e�f� �]� �Æ� � �U�~� � �)�~�[ª�� � �����U�"��¤ � �Q����[� � �[�"¦��e�� � ��ª �+�Â� ��� &~© ���M�U�"�"�)� ¢ ª)�U� 8 �����[� � �aª�¦f�[ ��U���"�)���¬� ��� � � � � � � �.ª) H��� ¢ ªQ �� � �'¢ ��� � �e� �Â� ÅÃ���E��ª �  �� ��[�t� ��� � � �UÅ�ª��Ã�]�U�"���.��� 8 � � �Q� � �U� �c� ÉÃ�[�^�"ª�¦H� � �U�~� �]�  ���e�O¥ �   � � � � � �)� �   & ® �[�§� ��� � � � � �[�"�.��� 8� � � � É'��� �]� ÅO�[ª)� � �����U�"��¤ � �«�e�¡� ��� � � � � � � �.ª) ��Q�����M�U���[ ���� � &�! #" $&%�')(+*,(.-/(�01- %23'54!687:9;-/0�<)(�*>=@?�- (BAC%D')EF%D'HGI9J*,2�'5K/L)9J0�(® �"� � � ���  ��)��� ¢ �"�"���.�¿�[�?� ��� ��� � ¤'�)� ¢ �t� � �^�"���.� 8 ���t�)���]ª � �U��� � �U��� ���«À �[ ��.�¡�e���[���"�g�[� � �[�?�S�^�.ª)ª � � <�"���.�f�[�t�e�e�a����� � É � ��¥����"�������¬� � �U�a�[�^� � ���)�e�"�)�]��� � �U����� � � � �5���[� � �U�� � �[ª)ª � ��� � ���e�Á� ��� � � � � � � �.ª) ��)���� �à � ª & E������ ���e� 8 �)��� � �U��� ��� �e�e�a���¬�[���e�'�]�Q�U� �  Á����� � ªQ�)� � ����M� "!NM # �«�)ª)ª��[�����.�)���U� � ���[�r�.��ª�¦¡�¿� � �UÅ�[� I ���� "! # �U� � s ��M 8 ! s !NM 8 ¥ ¢ �c�[ªQ�e�A�H�"�[�Qª�� � �U�¡  � �]�+¦Ã�Â�«��� � AÐ�ÑJÒÔÓ .y{�O ¯ { 5 Ð & G �Â�)�¿¤Ã�)�"��¥�ª � �)�® ��� ¢ � � %'&Ä� 8t¢ ��  � ��� ��� � � � � � � �.ª) ��)��� � �à � ª 8 � � �)�¿  � �]�+¦æ�)�����[�S�Y�[�e� � ��� ¢ � � �e�Æ� ¢ �U���[�5� �]� �[��[�]� � ���"�U¥�ª � �[��� ¢ ª)�U�~�[�]� ¢ ���[�^¦Æ�[��� ��� � � �^��¤ � � �  Vª)�)� � �«� ��� ��� ���ÂÀ �[ ��.�È�e���[���e�J�[� � �)�~�e���U�"�)�[ªQª�¦ª��Ã�]�[ª)��¼ �   � � & � & �^� � � ¢ � �  H��¤ � �S�¬� � ª)�U�"��¤ � ª)¦�� � �[ª)ª:�«�)�� ��E� # & E���� � � �^�.��  8 ¤'�Q�"��¥�ª � �)� ��%'&)(+* # 8 �)�

Page 84: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

,NM.- ô R.IJ7�@AB8@�3`@MõM3`IY687<ö~½i9�1�3Fõ`>�@�Bi;'I�R+3?@�=?IJ78÷iIJ7i=?18B:6:74D PU1�õ`@ öEô� � �U�¿� ��� �V� ��� � � �U� � � �[�¿�«�)�� ���� # �^�.�5�"�[�)��� � ¢ ª��"����ª � �"�e������� 8 �[ª)ª��[��� ���+� �^�.�5�e����¥ ¢ � � �e�Æ� ���À �[ ��.���e���[���e�J�[� � �U��[��¦O�.��¤ � � ���� "! # & � � ��� � 8 ¥'¦ � ¤U�[ª ¢ �U�"�Q���Â� ���S� �U�.����� ¢   � �[���Â�.��¤ � ��� � �UÅ 8�����Q�«� � �?�.�"����¥�ª � �e� � �UÅ � �[�5¦��)��� � � � ��� � �«� � �.�U�� ��Q���¡���"�[� � �"�"� � ���[��� ��� �[�"�e�Ã�]�)�U� �  Èª)�)� � 8 � & � & ���"�ª � ���[� � &æ© �Í� � �Q�¿� � �^�"���.� 8 � � �U�"� ¢ � � � �U�Â� ��� � � ���"�[¥�ª �+� �c�]�[�<¥ � �"�)�.��� � �]�[�5�"ª�¦Ê� � �[ª)ª � �¿� ��� �� ���»À �[ ��.�V�e���[���e�g�[� � �)�§� � ��ª)�[� �  V¥'¦A���"�§���U���"�)�[ªt  � ���)¤Ï�U�"��¤ � �«��� � � � �"� � �^�S�e� !�&Á¾ � �e�"�U����¥5¦�^� � � ¢ �"�Q���c� � �)�����U���"�)�[ªF  � ����¤U�U�"��¤ � �J�[��� ����À �[ ��.���e���[���e�g�[� � �[�º�»�e�e����� &ÑQPSRTR Ò��FÝVUFÝ Ô \]XQW p o � × # q ���� "! # � \¬XYXÃ\,Z�R.d�bUT�XYWeRUT�Pg�]bUWlà bZ�»XYXÃ\ÁNJTMdUN�_�R[X$b[W�� � TM_+XYN�bUTibZ�ÂPlXYWlN�[× s ��� Õ "! Õ Ø Õl#D\ RUP3][N � \]T �9²ÛÚ á\)Qá.á Ü ) � XÃ\]T \^ W p o � × # q^ ! ���� "! #ts Ø Õÿ ���)� �Y!�M��V! # ÿ �^�[� �Y!NM��V! # N � ! �s !NM_ ��%'&ĸ[% #÷ Web+bZ� ø~® �.ª)ª)�E�«�«¥5¦O ��´ó � � � �5�"�)�U�"�)��� ��¸'&ĸ[¸ # �«��� � � � �e� � �^���e� !�&® �[� ! s ! Õ 8 � ��� �M�U�"�"�)�[ª`  � ����¤U�U�"��¤ � �U¥?�E¤ � �)�����[��  �]� � �   & � ��� � ¤ � � 8 �[��� ��� �E¤ � � �]� �f�)�Á� ������ � ¤Ã��� ¢ �C� � �^�"���.� 8 �.� � � � ¤ � ��� � �[ª)ª�¦�  � �[ªQ�:����� � W p o � × # q ���� "! # �)�������[�^�"�)�]�[ªÃ�U���Mª)�)�]�U�"���.��� &�© ���e� � �[  8�.� �§� �[���e�¡  � �[ª?�«�)� � �[� ¢ ��� � �r¥?� ¢ ��  �  »� ¢ ���^�"�)�.� 8 � � �)� � �)���^�.���"�"�[���«�Q�Á� ��� � � ��� � ¥?�[� � �5�à»�[�! Õ & ® �[���^� � ���U�"��¥��)ªQ���¶¦Á�«��� � � � �)�������[�^�"�)�]�[ª��"� � ���U����� 8 � � �[ ��[����� ��� �^�.��¤ � �5�"���.�H� � �U�^ W p o � × # q^ ! ���E "! Õa#�s ·S_ ��%'&ĸ[� #® ��� ¢ � � %'& È � � # � � �E���Á�Ê��ª��[�»�[� ��%'&ĸ[% # �J�[� × s × C s �Y·Ã "·Ã +( # ���[� � �[ª)�)¼ �  4¥'¦i� ��� ¤U�[ª ¢ ��U� ! s (]íÏ&»© �S�]�[�V¥ � � �]� �Ê�g��� � � ���¡� � ¢ � � � � �U�S� ���   � ����¤U�U�"��¤ �a`cbJd e . × 5�f` { ���E "! # � �[�§����� � �[�)����"�[� � �"�"� � �?�[���)�5� � � � �e� & ® �����e� 8 ����  � �]�E¦'�:�J�[�)��ª�¦ �'¢ �)��Å'ª)¦ 8 ¥ � �)�����U�����"�+É�� � �U� � ª�¦¼ � �"���g�[� ! � ¢ � � � � �U�ÿ ! ÿ�g ¸U·[íÏ& G �^� � ���U���)�e�.�¬�[�:� ��� �U¥��e�.ª ¢ � � ¤U�[ª ¢ � �[� ��%'&ĸ[% # �«�)� � W p o � × # q ���� "! # � �[ª)�e�Â���[� � �[ª)��¼ �  ¥5¦O���"��¤U�[ª ¢ � �U� ! s ( í # �)��� � ���«���)� � ¥ # & + �[�"�Q� �S� �E��� ���   � ���)¤Ï�U�"��¤ �   � �]�+¦Ã� � ¢ � � �J�[�e� � ��� � �[�� ���¡À �[ ��.�A�e���[���e�J�[� � & E«� �)� �Â� �[����� � �U�S�"� � ��ª�¦�� � �Mª)�[�]�)���O� ��� ª)�U�e� � ��¥5¦Æ� ��� �U¥M�e�.ª ¢ � � ¤U�[ª ¢ ��[��� ���   � ����¤U�U�"��¤ � �r� ¢ ª) È�"�)�.��� � �]�[�5�"ª�¦�� �   ¢ � � � ��� �¶�r� � �[�)�Æ���"�[¥Mª �+� ���g�[�§� � � � � � �.ª) ��Q��� & E����� � �^�.�� f���"�[� � �"�¶¦¬�[���)��� � � � �e���)��� � �U� ��%'&ĸ[% # �)��� � ��� � < ���[��� � ª�� � � 8 � & � & � � ª�� � ��� � �U�����)ª)ª`� � �e�?�.�� �e�e�"�.���.ª)¦��e�f�"���.���[ª)�~�^�.�5�"�[�)���)���Á�Y�[�e�~�e���[���"�)�"���.����[�� Æ� � �UÅê�¦��e�f� � �5�[� � �"�)�.���[ª)� &ih ¢ � �e�O� � �)� 8¢ �"�)���¿� ��� �)��� � ����� � �"�U�"���.�f�[�º� ��� � ¢ �e�'�^�[�"� � ª)�U�"���.��� ¢ ���^�"�)�.�jlk ��m �Y! # � son m �Y! # m �Y!�qp # årp ��%'&ĸ È #�[�~� ��� �^�.�5¤[�.ª ¢ �"���.�È�[� m �Y! # �«��� � m �Z��! # 8 �.� � �r� ¢ ª)  � ÉÃ� � �^� jsk � `cbJd e . × 5tf` { ���� "! # � �e� � �E¤ �¡� ¤ � ��J�[�"� � ��  � �]�E¦A� � �[� `cbJd e . × 5tf` { ���� "! # & E�� �Q�§�)���)��  �]�  È� ��� �]�[� � 8 �[�S�]�[�Ê¥ � � �]� �V�J�"� � ® ��� ¢ � � %'& í�8� ��� � � � ��� � ¢ �e�Ã�^�[�"� � ªQ�U�"���.�È� ¢ ���^�"���.�È�)�~�^� � ���U� �  È�e�f� ���cÀ �[ ��.�È�e���[���"�g�[� � & + �[�"�Q� � � � �U�§� ���� � �UÅÆ� � �5� � � �  Ê�U� ! s · �)�§���U���"�E� � �S� � �[�È� � �U���[� ® ��� ¢ � � %'& È � ¥ # �[�� V� ��� �"�)  � < ª)�[¥ � � 8 � �+¤Ã�)���

Page 85: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

,NM.- ô R.IJ7�@AB8@�3`@MõM3`IY687<ö~½i9�1�3Fõ`>�@�Bi;'I�R+3?@�=?IJ78÷iIJ7i=?18B:6:74D PU1�õ`@ ö U

−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

θW � X

−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

θWZY X® ��� ¢ � � %'& È [ W � XSu �D� d � �aþ�û�ù�� � ^ � d � ^ ù`üaý d�f ù � �lû�üaú d �v��úN�Yý´üD� g üaý d�f ù/� d � � ` � úUû � ] � d üD��ýt�Ïú ]td � ülú W h � � h X q � d�f �$ù�� ` ù ]tdd ü3w x ���B�«ýx�Ïú ]td � ülú¿ü�ý�w � WZY Xzy ü g ` �D� � ��ülúcü�ý d�f ù � �lû�üaú d �v��úN�Yý´üD� g üaý d�f ù;� d � � ` � úÏû � ] � d ü���ýt��ú ]td � üaú W ûN�D� f ùeû Xq � d�f�d�f ùJ� Y ��ülþ�� d ù ^ �aþ��Ïùrüaý � d � ` �� d � ��þ`ûEù�� � ^ � d � ^ ùrq � d�f �$ù�� ` ù ]Ld�d ü3w W ��ülþ � û X�� �Mü d�f ] �{� ^ ù��B��$ù�úÏü�� g ��þ ��� ùeû Y9_d�f ù � � ^ �aþ���ù�� d w � o�| �

Page 86: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

,NM.- ô R.IJ7�@AB8@�3`@MõM3`IY687<ö~½i9�1�3Fõ`>�@�Bi;'I�R+3?@�=?IJ78÷iIJ7i=?18B:6:74D PU1�õ`@ ö9�� � �.�U�"��¤ � � � ��ª)��� ¢   � 8  ��æ���[�¡�?�.� � �[�5¦<���"�[¥�ª �+� �Â�g�[�»� � � � � � �.ªQ ��)��� &4© �i�Y�[�^� 8 �.��¤ � ���[� �  �� �� �U�Æ�«��� ��� ¢ ª��"�)��ª � ����É � ª)�U� �  Hª)�)� � � 8 � ��� �"�)  � < ª��[¥ � �«�[�t� ��� � � �UÅ��[���e�'�]�Q�U� �  H����� � �.� � ª)�)� � �«�)ª)ª� ¢ ����� � �"�:� ��� �^�.���e���)¥ ¢ �"���.���:�[��� � �UÅÃ���[�"�e�Ã�]�)�U� �  c�«��� � �[� ��� �tªQ�)� � �C�)�S� � �U��� � �UÅ � ��� � ��� � ¥?�[� � �'�'  &E�� �)���)��¥`�[� �   � �"�����U¥Mª � �[�� ��^�.���"�)�"� � ��������� � � � �U���)��ÅÃ�����«���U¥?� ¢ ��� ���S� ¢ � �[�O¤Ã�)� ¢ �[ªF�e¦'�"� �+� &E���� � � �[¥�� � �"¤U�U�"���.����� ¢ �[� � �e��� ��� �[ ��[���"���.�f�[�C� ��� �J�.ª)ª����«�)���Â�[ª��[�[�a��� ��� �J�[�«ª)�)� �   � � � �^�"�)�.� &} Á�~ Ú�Û���� �zR �?Ý���Ý)� N � \^TfXYXÃ\JZ�R�d.bUTHXYWeRUT�PJ�^b[Waà½bZ�XYXÃ\B[MN � \^ß�R[X¶\�d»\"d�]'\à¡R�[ÆbZ��R[TH\"d�]'\�NgTMd[NY_aR[X$bUW� � TM_EXYNYb[T � \ � m z k s W � ��� p �Fq ��� # � ���ame "!^k # [�\^WJ�]bUWaà XYXÃ\��]bUßJß´b���NJT�]¬P^X¶\�[�P ø� ) ß)\]X ��� s ^ W p o � × # q^ ! �Y·Ã "! � # ��%'&ĸ í #�.XÃ\]We\ ! � s�� ! Õc\ ! Õ NgP�RÏP�d�\ � T`\"d¬NJT Ú�� ) �Ü \ RUTMd �@� � ù � ù � � ¼á\) _abUà�[ � X¶\cXYXÃ\c_�b[WaW"\^ß�R[XYN�bUT¡� � T`_+XYN�bUT� m z k s � �C� ����� � ¯ � �C� ��� � m z k���{��� ± ��%'&ĸ û #

� ) d�\�_]ß�RUW"\ÂRUTÊ\"d�]'\s��NJXYX)[�RUWZR[à¡\+X¶\^WaP ���amZ "!lk # N �� m z k g�� �c� � ��¡ m z k #¢ � ��%'&Ä*U· #�.XÃ\]We\ �>£ p ·Ã +( q NgPÆRÍP]_�RUßyNJT�]��]R._EX$bUW \¤� � s � �ÏÉ� z M � � z M \ ¢ � s � �ÏÉ� z M � ��¡ � z M #D\ RUT`d ¡ m z k s¥ �amZ "!lkU ç è z éê z Ø '*)E �r���?�.�)�5�"�S�U� � �r�[�"� � ���[�"�)��� & E����»� ���"�S�)��� � �U��� � �Q�S�[ª��[�[���)� ��� �]�[�Í¥ � � �]� �<�[�¿���J�[� ��[� � �U�"� ���   � ª)� � ���)��� & E�� �)���)���¡� � � � ��� �'¢ � �«�Q  � ª�¦ ¢ � �  ��)�� ����.���"�[ª��^� �»� ¢ ���)�]�U�"���.�����e�¬� � �^��¤ � ��r�E¤ � �g�[� � �� � �U� � �E¤ � ¥ �]� ���^�[��� ¢ ��� �  �¥5¦f���.�)� � � � & � &   ¢ � �e�Á�e���[��� � ���e� �  ���¤ � ��Á�^� �¡� ¢ ���)�]� <�"���.����� � �[��� � ª # &º© �t�]�[�Â¥ � � � �E���c� � �U� 85¢ ��  � ���e� �Â� � � � � ���Q���[�"� ¢ � ���"���.���C�.�Â� ��� �"�)�.���[ªÃ�[�� c� ������.�)� � 8 � �U�"� ���   � ª�� � ���)���¡�Q��� ��� �[���"� � �[ª:  � � � �^�"���.�H� � � � ��� �5¢ � �)��� ��� ª � �[�e� < � �5¢ �U� � ��� � ��� � �Y¦ 187§ =F@�@�D �Z( û � í #e# &O¾ � �Qª � � �  ������[�§� ¢ �a� ¢ �Â��� � � � � �)�§�[ª�� � �����U�"�)¤ � ¤'� � �G�[��� ���¡�  �� �   � � � �^�"���.����"�[¥�ª �+� 8 �����)�� ��)�]�U� � �S� � �U�S� ��� �[ª��[�[���)� ��� �U¥?�E¤ � � � � ¢ ª)  � �+¤ � �e� �Â� � � �"�)ªQ� � ��� � �U�.�[�)���"�����.�)�"¦�  �� �H� �U��� & E���� � � �^�.�� ��)�»� � �U�»� � �)�¡�[ª��[�[���)� ��� �]�[��¥ � �^� � ¥��Q� �  4�«�)� � G ª)�[�[����� ��� %'&Ä* �e��[� � � � ¤ � �e���U�"�)�[ªºª��Ã�]�[ª)��¼+�U�"���.� � �"� � ��ª�¦�� ¢ ¥M�e�"��� ¢ � �©¨ G ª��[�[�a��� ��� %'&ĸ�ª ¥5¦ ¨ G ª)�[�[����� ��� %'&Ôn«ª �)�H� ���� � �^�.�� ��"� � ���[� G ª��[�[�a��� ��� %'&Ä* # &

Page 87: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

,NM.- ô R.IJ7�@AB8@�3`@MõM3`IY687<ö~½i9�1�3Fõ`>�@�Bi;'I�R+3?@�=?IJ78÷iIJ7i=?18B:6:74D PU1�õ`@ öyM

−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

θ® ��� ¢ � � %'& í [ y ü g ` �� � ��üaú¿ü�ý d�f ù � �lû�üaú d �v�aúN�Yýyü�� g ü�ý d�f ù;� d � � ` � úÏû � ] � d ü��ºýx�Ïú ]Ld � üaú W û���� f ùeû X q � d�f�d�f ù;��� d ü�¬] üD��$ùZþ�� d � ülú�ýt��ú ]td � üaú§üaý � d � ` �� d � �aþ�û�ù�� � ^ � d � ^ ù*q � d�f �$ù�� ` ù ]Ld�d ü­w W ��ülþ � û X�� �`ü d�f·] ��� ^ ù��z�D�$ù�úÏüD� g �aþ ��� ùeû Y9_ d�f ù � �^ �aþ��Ïù.� d w � o | �© �¡�e����� � �[�F�[ª)ª�� ��� � ��� �[� � �"�Q�]�[ª��U�"� ¢ �¡� ���"���)�c�J�E¤[�[���[�?� � � � � � �.ª) ��Q����� ��� �^�[�"� � ª)�U�"�)�.�¡� ¢ ���^�"���.��)���e� � �[ Æ�[��� ���¡À �[ ��.�È�e�a�[���e�J�[� � ���"� � ª�� 8 ���~� ¢ ������� ¢ �§� � �U�~� ��� ���a�[�^�"�)�]�[ªC� ¢ �"�^� �Â� �)�~���[�~¤ � �"¦ ��´ó � � � �5� & G � � É�� � ��ª � �)�� � ���«�H�Q� ® ��� ¢ � � %'& û � � �)� � ��� � � � ���"�� ��� � � �^��¤ � � �  Aª)�)� � �«� ��� �H� ����[ª��[�[����� ��� �)�t�U����ª)� �  Â�e��� ��� �M�´É � ªQ�U� �   �  �� �� �U�Á�[� ® ��� ¢ � � %'&Ä%�� � # 8 �J�[���¶�r�¿¤Ï�[ª ¢ � �t�[� � & + �[�"�)� �� � �U� 8 �Q�æ¥?�[� � �]�[� � � 8 �e� ¢ �a��� ¢ �¿ª)�)� � �¿�U� �   � � � �^� �  4�Q�æ� ��� � � ��� � ¥?�[� � �5�àV�[� J�® �[� ¡ 8 ¥ ¢ � 8 �J�[�� s ·S_Ä* 8 �����)���[ª�� � �[ �¦¬� � �`�.���"��¥�ª � �e�»  � � � �^� J A �[��  8 �J�[� � s ·S_ û�8 ¥?�[� � J A �[��  ¡ �U� ��� �)�"� �   &

0 5 10 15 20 25 30 35 400

5

10

15

20

25

30

35

40T = 0.3

0 5 10 15 20 25 30 35 400

5

10

15

20

25

30

35

40T = 0.9

W � X WZY X® ��� ¢ � � %'& û [ Å � ú�ù����$ù ] ü ^ ù��$ùeû Y9_ b þ��aü�� � d�fag h � Äïq � d�f s ��ù d�d ü W � X vyw jJ�aúÏû WZY X v w ¯ q f ùZúi� `a` þ � ùeû d ü d�f ù�ùeû��aùg � ` üaý l � �����$ù h � h �

Page 88: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

,NM.- U 3?>�@AD+3?=?I�PVDE@�÷:9�@�783Ê9~68B:@SR ö+KE���� ���"�[¥�ª �+� �Q�§� � �U��� ��� �[�^� ¢ �[ª À �[ ��.�V�e���[���e�g�[� � �[��� ��� ���´É � ª)�U� �   �  �� �Á� �U� � � �]� ® ��� <¢ � � %'&Ä%�� ¥ #e#  �� � �����[��� ¢ ª)ª)¦��^� � ��ª)¦��«�)� � � ����� �à � ª.  � �a��¤ �  §�J�"� � � ��� �"�e����� & + �[�"�)� � 8 �J�[� � ÉÃ� � ��ª � 8� � �U�º� � �)ª � ��¸'&ĸ[¸ #  �� � �º���[�t  � � � �� ��.� � � ��� � ! �s ! Õ � ��� �"� �¡�  �� � �����[� � �.ªQ S�J�[��� ��� � ¢ ���^�"���.����[�"�e�Ã�]�)�U� �  Á�«��� �¡� �[� � �[�F� ��� � � � �]� � � �UÅÃ���)� ® �)� ¢ � � %'&Ä%�� ¥ # &�© �Á�J�[�^� 8 �J�[� � �[� � � 8 � ��� � � � ¢ ���^�"���.����U� � � ¢ ª)ª��J�[�t� � �"�"�[�)�Â�Q��� � �"¤U�[ª)�C�[� ! �[�� ¿� ¢  �  � ��ª)¦§�e���[���"���"�)�.� � �U��� ����� ÉÃ�e� �+�Â� �º�[�M� ��� � � �)�5� � �"¤U�[ª)� #�e�§� ��� ¤U�[ª ¢ � �º��� �  ��)�^� �  ¿¥5¦ ��¸'&ĸ[¸ # &rÕ ��¤ � �c� � �U� 8 �[�t ��Q�"� ¢ �"� �  ¿�U¥?�E¤ � 8 � ����� ª�� � � ��� �)��� � �)� � < ���[�"�� ª�� � � 8 � ��� � � �e���[�������"���.�����U��� � �U�r�[�r� � �UÅ'�r�)�Á� ��� �^�[�"� � ª)�U�"���.�Á� ¢ ���^�"���.� � m z k 8 �[���]�[�¬¥ � � �]� �¬�J�"� �� ��� �^�.�5�e� ¢ �¿��ª��[�S� � �E�«�æ�)� ® ��� ¢ � � %'&)(]·Ã& E���� � � � � �UÅ'���U� � � � �e�?�.���"��¥�ª � �J�[�S� ��� � � � � � � �.ª) ��)���� �"�"�[���«�[��  8 �e�»�[�]�^� ¢ �5�«�J�[��� ���+� 8 � � � �]�  f�e�»�^�.���"�Q  � ��� ����� �à � ªF�[�C� ��� �"�e������� � � �Â� �5� &

20 40 60 80 100 120 140 160 180

10

20

30

40

50

60

® ��� ¢ � � %'&)(]· [ y üaú d ü���� ` þÿü d üaý d�f ù ] ü���$ù�þ°� d � ülú�ýt�Ïú ]td � ülú ` �$ü+û{� ] ùZû Y9_ d�f ù�� `V` þ � ] � d � ülú«üaý b þ��aü�� � d�fagTh � Ä d ü d�f ùùeû{�lù g � ` üaý l � �����$ù h � h ��! �± ²³<)(+K�-/AC%DLHK/(BE37´(�'3-µ7´2l*,(�?E����¬� �[�)�ʪQ� � ���"�U�"���.�Ê�[��� ��� �e�e����� � �'  � ª��J�[�¿ªQ�)� �   � � � �^�"�)�.�Í�Q��� � �U�Â���¿ �� � �¿���[�c�[�]�^� ¢ �5�¿�J�[��e�e�����M���[�t¥?� ¢ ��  �  �ª � ���[� � & � �)��� � � � �U� � ��U� � ¥?� ¢ ��  �  �� � �"� 8 � � �)��)��[ª��r�E¦'�� ��� �]�[� � �)�H� � �U� ��[���[ª�¦Ã�"�)���U����ª)�)�]�U�"�)�.��� & E���� �J�.ª)ª��E���)���»ª �+�»� �»� � ª)�U� � �� ���¿À �[ ��.�H�e���[���e�J�[� � ���[�t� ��� �e�e�����Æ�[�� �e�e������� � � �Â� ��� &ÑQPSRTR Ò��FÝ � ÝÈ� X�\�Z�R.d.bUT XYWeRUT�PJ�^b[Waà bZ��XYX�\�PlXYWlN�[ NJTMdUN�_�R[X$bUW�� � TM_EXYNYb[T be��XYXÃ\�PlXYWlN�[ P+\¶].à¡\]T�X×C·· ¸S¹ 2 º» 2 ¼ \ �.X�\^W"\�× s ��� Õ "! Õ Ø Õl#D\ P]R[XYNgP � \^P�XYXÃ\��]bUßgß�b���NJT�]f_�b[TMdUNYXYNYbUT�P� ) W¾½ oÀ¿ ×�·· ¸S¹ 2 º» 2 ¼ÂÁ1à ���� "! #ts W � o~p × q � ���� "! #D\ N � ���� "! # £�Ä çQÅ�� ×z·· ¸S¹ 2 º» 2 ¼ � ¼

Page 89: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

,NM.- U 3?>�@AD+3?=?I�PVDE@�÷:9�@�783Ê9~68B:@SR öVöá\) W ½ o ¿ × ·· ¸ ¹ 2 º» 2 ¼ Á1à ���� "! # ù W � o~p × q � ���� "! #D\ N � ���� "! # £ÇÆ ç�Å � × ·· ¸ ¹ 2 º» 2 ¼ � ¼� ) W¾½ oÀ¿ × ·· ¸ ¹ 2 º» 2 ¼ Á1à ���� "! #ts · \ N � ���� "! #�£ ç�Å � × ·· ¸ ¹ 2 º» 2 ¼ � ¼�.XÃ\^W"\ÈW � o~p × q � ��É� cÉ # NQPOXYXÃ\@Z�R.d.bUT¹XYWZR[T�Pg�]bUWlà bZ�OXYXÃ\�NgTMd[NY_aR[X$bUW§� � T`_+XYN�bUT�bZ�ÁPlXYWlN�[�× \ RUP,].N � \^T�u² Ú á\)Qá.á Ü \ RUTMd ç�Å � ×C·· ¸S¹ 2 º» 2 ¼ � Ä ç�Å � ×C·· ¸S¹ 2 º» 2 ¼ � \ R[TMd Æ çQÅ � ×�·· ¸S¹ 2 º» 2 ¼ � RUW"\�RÏP�NJTsÊc\ � T�NYXYN�bUT � ) �rË )÷ Web+bZ� ø�� �)��� � × ·· ¸ ¹ 2 º» 2 ¼´Ì × 8 �����J�.ª)ª����«���J�"� � £ �+�»� � *'&ĸ � � �U�

W¾½ oÍ¿ × ·· ¸ ¹ 2 º» 2 ¼ Á1à ���� "! # ù W � op × q � ���� "! # � ���� "! # _E�� �)�r�����E¤ � �«�^�.�� ����"���.� ¸'& E���� �[� ��� �«�����¬�^�.�� ����"�)�.�����g�.ªQª��E� �J�"� � � ���   �]� �����"�)�.�Á�[�C� ���SÀ �[ ��.��e���[���e�J�[� � �[� o ¿ × ·· ¸ ¹ 2 º» 2 ¼ÎÁWµ½ oo¿ ×z·· ¸�¹ 2 º» 2 ¼ÂÁ1à ���� "! # s nrÏCÐ oo¿ ×C·· ¸S¹ 2 º» 2 ¼ÂÁ � �����ÒÑ)É�� # år�s n�Ó;Ô�Õ ·· Ö ¹ 2 º» 2 ¼Â× � �����ÒÑ,É�� # år�s n Ó . Õ 5�Ø ¸ ¹ 2 º» 2 ¼ � �����ÒÑ)É{� # år�Ù_Ú ® �"� � h �]� ���)�"���.� n�& û�8 � ��� � J s ���� "! #V�£ çQÅ�� × ·· ¸ ¹ 2 º» 2 ¼ � 8;Å � J #�Û Å � × ·· ¸ ¹ 2 º» 2 ¼ � s:Ü �[�� i� ����)�5� � �[���[ª§�)�¬� ��� � � �J�[� � ¼ � �"� & E�� �)�Oª � �[ ��Á�e���^�.�� ����"���.� *'& ® �"� � h �]� ���)�"���.� n�&)(]· 8 � ��� � J £Ä ç�Å � × ·· ¸ ¹ 2 º» 2 ¼ � 8�Å � J #BÛ Å � × # Ì ç è z éê z Ø 8 �J�"� � � � �)� � Å � J #�Û Å � × #�s Å � J #�Û Å � × #BÛ ç è z éê z Ø &Æ© ��g�.ªQª��E�«��� � �U� W ½ o ¿ × ·· ¸ ¹ 2 º» 2 ¼ Ázà ���� "! #ës n Ó . Õ 5�Ø ¸ ¹ 2 º» 2 ¼ � �����ÒÑ)É�� # å��s n Ó . Õ 5 � �����ÒÑ)É�� # år�s W � op × q � ���� "! # _E�� �)��ª � �[ ����e�»�^�.�� ��)�"���.� (U&E���� ª �+�¡� �Ê���"��¤'�)  � �Á�[� ¢ ��� � � < ¥?� ¢ �� <�e�Í� ���ÈÀ �[ ��.���e���[���"�g�[� � �[�§� ��� �e�e����� � � � �Â� �5� &¾ � �)ª � � ��� ¥?� ¢ �� Ê�Q���[¥'¤'��� ¢ �"ª�¦È�"��� � ��� ¢ �"���)  � � ��� ���U�"�"�Q�[ª)ª�¦È�)��� � �a� � �^�"�)���Æ� � � 8 �����]�[�æ¥ � �'¢ ��� �ª��'�.� � �)���"�)  � � � �)�8� � � &º© �S�M�U�"�"�)� ¢ ª)�U� 8 �J�"� � ��¸'&ĸ[¸ # 8 ���8�[� � �º�e�~�)� � ���)�¶¦~�[� !¤Ý ! Õ �[��  ÿ �'�S� Õ ÿ ù ê ç® &

Page 90: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

,NM.- U 3?>�@AD+3?=?I�PVDE@�÷:9�@�783Ê9~68B:@SR ö+LE�� �)�S�)���]ª � �U��ª)¦È���[��� ��� �]�[� � �J�[�S� ���¬À �[ ��.�Ê�e���[���e�J�[� � �[�r� ��� �e�e���)�Ê� � � �Â� �5���"�Q��� � � ��� �e�e������ � � �Â� �5� � �[�¡¥?� ¢ ��  �  i� ¢ ���?�[�"� & E �Í  � ����¤ � �Ê�"��� � � � �Á¥?� ¢ ��  8 � � �e�"�U���»¥'¦<�^�.���"�)  � ���Q���A� ���À �[ ��.���e���[���e�J�[� � �[�C� ��� �)�� ��)�]�U�e�[��� ¢ ���^�"���.�O�[�º�Â� � �^�"�[���.ª � &ÑQPSRTR Ò �?Ý��8ÝÁÞ bUT�PlNYd�\]W¿RÁW"\"_+X$R[T�][ß)\3Þ êBß Ø ��NYXYX¬PlNYd5\lP�bZ��ß)\^T�].XYX Ø RUTMd � \ NJXJP§P � [«[ÃbUW^X�P]\]XÅ � Þ ê�ß Ø #ts � � ÿ � £ Þ êBß Ø � RUTMd¬XYXÃ\�NJTMdUN�_�R[X$b[W�� � TM_+XYN�bUT u Ó .xà »�á ¼ 5 ��� #�sãâ ( N � � £ Å � Þ êBß Ø # · b.XYXÃ\^W���NQP+\�ä� XÃ\�à¡R � NJà � à � RUß � \¿bZ�SXYX�\iZ�R.d.bUTæXYWZRUT�Pg�]bUWaà bZ��XYX�NQP�NgTMd[NY_aR[X$bUW�� � TM_+XYN�bUT \ W � u Óæå à »�á ¼�ç ��� # �ONgPî Ø ®�è � ® ä÷ Web+bZ� ø�G ��¦È� � �^�"�[���.ª � Þ êBß Ø �]�[�Ê¥ � �e���[���e�J�[� �Â�  V�Q���e�f� ��� ���´É � ª�é C s �Y·Ã "·Ã Ø � # ¥5¦Æ� ����U����ª)�Q�]�U�"���.�4�[�¿�æ�e�a�[���"ª)�U�"���.� �[�� ¹�æ�"�[�"�U�"���.� & � �Q��� �ëê �J�"� � ��¸'& È # ê � � �Q�»�[� � ���U�"���.�¹ �� � �O���[�� � �[��� � � ��� � � ª)�U�"��¤ � � � ��ªQ��� ¢   � �º�[��� ����À �[ ��.�»�e���[���e�g�[� ��ê � ���~� �ÏÉ�� � ¢ � �[� W � u Óæå à »�á ¼{ç � ���� "! #�)� � �'¢ �[ªÃ�e�§� � �U���[� W � Æ p é C q � ���� "! # & ® �"� � ��¸'&ĸ È # ê �[�� Â  ¢ � �e�§� ��� �e¦ �¡�Â� �e�"¦��[� W � Æ p é C q � ���� "! # ê���S� ¢S; � � �S�e�Æ�^�.���"�)  � �S¤U�[ª ¢ � ���[� ���� "! # £ p ·Ã �ì q�í p ·Ã > ® q & E �Æ  � � � � � �)� � � ���Á� �ÏÉ�� � ¢ ��ê �)�S�)�� � � � �"�"�U��¦¬�e�Á�^�.���"�)  � ��� ��� � � � �]�§� �'¢ �U�"���.�����[� ��¸'&ĸ È # &E����S� ���e� ê Øîvï Ñ { ê�� �.ª) ��«�)���Â� � �.�)�.��� ��� � � �"�[� ! ù ê Ø &r© �f� � �)�«� � �.���.� ê �)�«�)��� � �.���[�e�.���)�]�[ª)ª)¦�)���^� � �[���)���A� ¢ ���^�"���.�<�[� ! �[�� i� ��� � � �J�[� � � � �[� ��� �¬���"� � �ÏÉ�� � ¢ � � ��� �i�"�[� ! s ê Ø � �"�)��� � � ����"�[��� � �5���)��� � �.���[�e�.���)�]�[ª)ª)¦Á�)���^� � �[�"�)���c� ¢ ���^�"���.�O�[� ! �)� p ·Ã > ® q # &Qð �"�)���¿� ����� �5¢ �[ª)���¶¦�^�.� ! sIñ (( è �"�[� ® ! �����J�.ª)ª��E����� � �U�t� ��� � ¢ ���^�"���.�Â�)� � �ÏÉ�� � ¢ � � ��� � ! s �U���^�"�[� ê Ø �[�� Â� ����� �ÏÉÃ� � ¢ � �)� î Ø ® è � ® &ò���� � � ����  ê êÑJÒÔÓ { êº� �.ª) ����Q�V��� � �.�)�.�V� ��� � � �"�[� ! g ê Ø &O© �A� � �)��� � �.�)�.� ê �����)�S� � �.���[�e�.���)�]�[ª)ª)¦  � �^� � �[�"�Q���Â� ¢ ���^�"���.�O�[� ! �[�� f� ��� � � �g�[� � �[ª)�e� � �ÏÉ�� � ¢ � � ��� �f�"�[� ! s ê Ø &Qð �"�Q����"�)� ! s �"�[� ® !( è �"�[� ® ! � �ëê �.��� � �U�.�[�)� ê �[¥��"�[�)�V� � �ÏÉÃ� � ¢ � ¤U�[ª ¢ � �[� î Ø ® è � ® & ò���� � � �^�.��  êió® ê î¶ï Ñ { � Ø ÑgÒÔÓ { ¯ xî¶ï Ñ { ÑJÒÔÓ { ê �)�§�� �.���[�e�.���Q�]�[ª)ª�¦H  � �^� � �[�"�)����� ¢ ���^�"���.�È�[� � ê � ��� � � �J�[� �»� �ÏÉ�� � ¢ � � ��� � � s · ê �)�È� � �)� � �]�[� � ���¥ � �^� �Â� �«� ��� �E¤ � ���U� � �[�t� ��� �[� ��� �������O� ¢ ���^�"���.��� &­ô � ��� �ëê ��� � �[� � �ÏÉÃ� � ¢ � ¤Ï�[ª ¢ � î Ø ®�è � ® ê�[�� f� � �Q���)���[ª)�e�¡� ��� �E¤ � ���[ª)ª � �ÏÉ�� � ¢ � &¾ � � � É'� ¢ � � � � �)�?� � � ¢ ª��F�e�  � ����¤ � �[� ¢ ��� � �?¥`� ¢ �� ~�.��� ����À �[ ��.�S�e���[���e�J�[� � �[�Ã� ��� �Q�� ��)�]�U�e�[�� ¢ ���^�"���.�O�[�C� ��� �e�e���)��� � � �Â� �5� &

Page 91: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

,�õ.- ö 3?>�@AD+3?=?I�÷VDE@�÷:9�@�783Ê9~68B:@�ø ö+ÇÑQPSRTR Òé�?ÝQ�FÝ à �*×ÂNgPrXYX�\rPlXYWlN�[ ��� Õ "! Õ Ø Õl#D\ XYX�\^T»XYXÃ\;Z�R.d�bUTÁXYWeRUT�PJ�^bUWlàòbe�rXYXÃ\�NgT`dUNY_aR[X$bUW?� � T`_+XYN�bUTbZ�SXYXÃ\SP^XYWaN�[AP]\v][à»\^T�X*×z·· ¸S¹Qù º» ù ¼ NgPsú"b � TMd�\�d&ú ²

W¾½ o~p × ÿ ¸S¹Qù º» ù ¼ q à ���� "! # ù � «k¬û ¥ × çrè z éê z Øýü ��%'&Ä*Ã( #�.XÃ\^W"\

� «k¬û ¥ × çrè z éê z Øþü sãÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿä ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿå

� �Q� Ë â ñ Ø ®Õ è ¥�� ��� Õ "! Õ çrè z éê z Õ # è Ø Õ �"�[� ! Õ ü ® Î N � ��� Õ "! Õa# £ W��� �Q�ÆË`â ñ Ø ®Õ è ¥ � ��� Õ "! Õ ç è z éê z Õ # è Ø Õ �^�[� ! Õ ü ® Î N � ��� Õ "! Õ # £ W����� �Q� Ë â ñ Ø ®Õ è ¥ � ��� Õ "! Õ çrè z éê z Õ # è ê~ç® � �^�[� ! Õ è �"�[� ! Õa# ü ® Î N � ��� Õ "! Õa# £ W������ � ��É # NgP�RÏP�d�\��tT`\"d¿NJT � XÃ\"b[We\]à ´ ä � \ â RÏP�NJT Ú�� ä �ë� Ü \ RUTMd3W�� W���� \ RUTMd3W������`RÏPd�\��tT`\�d¿NgT Ú�� ä ô Ü��Ú�� ä Ü ä÷ Web+bZ� ø�� �)��� � × ·· ¸ ¹Qù º» ù ¼´Ì çrè z éê z Ø ê ���r�g�.ªQª��E�«� ê �J�"� � £ �+�¡� � *'&ĸ ê � � �U� Wµ½ oo¿ × ÿ ¸ ¹Qù º» ù ¼ Ázà ���� "! # ùW ¿ u � ¸S¹Qù º» ù ¼ � Á ���� "! # &.ô � ��� �ëê ¢ ���)����� ��� �Y�[�^�C� � �U� çrè z éê z Ø �)�8��� � �^�"�[���.ª � �[�� �� �¡� ���"���.���� �«k¬û í�� «r¬û�[�� Æ�U����ª�¦Ã�)���»£ �+�¡� � %'&Ôn ê W ½ o ¿ × ÿ ¸ ¹Qù º» ù ¼ Ázà ���� "! # ù â & ò �Á���"�E¤ � � ��� � � �^�.�� È�^� � �?�.� � �5���[�� ��� ¥?� ¢ ��  ê �^�.�����)  � � ��� Õ "! Õa# £ W������ ê �[���)ª)ª ¢ �e�e���U� �  Æ�)� ® ��� ¢ � � %'&)([(U& ò���� � ê � ��� � � �)�§�O� � �^�"�[����.ª � Þ ����� � ���)  � ���[��ª � ���[� � Ø Õ �[��  � è ê�ç® �"�[� ! Õ è ê~ç® �^�[� ! Õ � ¢ � � � � �U� × ·· ¸ ¹Qù º» ù ¼ Ì Þ & ® �"� �£ �+�¡� � *'&ĸ ê �����J�.ª)ª����«�~� � �U� Wµ½ oÍ¿ × ÿ ¸ ¹Qù º» ù ¼ Ázà ���� "! # ù W�� o�� u Óæå à ç���� �[��  ê �g�"� � £ �+�¡� � %'&Ôn ê� � �U� Wµ½ oÀ¿ × ÿ ¸ ¹Qù º» ù ¼ Ázà ���� "! # ù�� Ø ®Õ è � � è ê ç® �"�[� ! Õ è ê ç® �^�[� ! Õ�# ® & � �)��� � � �Q�«� ��� ª � ���[� � �[�� ��� ª)�)� � � � � �Â� �5� ¥ � Õ "! Õ �� è z éê z Øýü ê ��%'&Ä*Ã( # �g�.ª)ª)�E�«�¥'¦��U����ª)�Q�]�U�"���.���[� ò���� �[� �+� %'&)(U& ò«��� ���"�5�[�Y��g�[�«� ��� �]�[� � � ��� Õ "! Õ # £ W�� �[��  ��� Õ "! Õ # £ W���� �U� � �"� � �)ª)�U���[�� f� � �)�e� �  f�g�[�«¥�� � ¤Ã���¶¦ &ò���� �^� � ¥��)���U�"�)�.�<�[�£ �+�¡� �[� %'&Ä* �[��  %'&Ä% ª � �[ ��c�e�A� ��� �J�.ª)ª����«�)��� ¢ ��� � ���$¥`� ¢ �� V�J�[�Â� ���À �[ ��.���e���[���e�J�[� � �[�C� ��� �)�� ��)�]�U�e�[��� ¢ ���^�"���.�O�[�C� ��� �e�e�a����� � � �Â� �5� &� � P Ú�Û P�R �FÝ � Ý¡� XÃ\JZ�R.d.b[T�XYWZR[T�Pg�]bUWlàñbZ��XYXÃ\�NJTMdUN�_�R.X$bUW:� � TM_+XYN�bUT�bZ��XYXÃ\�PlXYWlN�[�P]\¶].à»\^T�X"!�·· ¸�¹Qù º» ù ¼ \

Page 92: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

,�õ.- ö 3?>�@AD+3?=?I�÷VDE@�÷:9�@�783Ê9~68B:@�ø L�ãh

r

w /2s

b

θ

θs

θs

s

s

® ��� ¢ � � %'&)([($#&% ��'� ��( ��ù��*)�ùZú+' � ú-,/. . .10N�aúUû2'43Ïù65[ü��ÏúUû � úN�Q�$ù878'v�aú��lþÿù à �N��ùZû � ú/'43Ïù ( �$ü]üaý�ü�ý:95ù;)<)­�>= � = ��.XÃ\^W"\?! s ���A@] "!$@] CBD@ #D\ P^R[XYNgPE��\lP�XYXÃ\��]bUßJß´bë��NgT�]f_abUTMdUNYXYN�bUT�P(�_ W ½ o ¿ !C·· ¸ ¹Qù º» ù ¼ Ázà ���E "! #�s êGFÐ)ÑJÒÔÓ å { ¯ { F ç Ð N � ���� "! # £ÂÄ çQÅIH !C·· ¸ ¹Qù º» ù ¼KJML¸�_ Wµ½ oÀ¿ !C·· ¸S¹Qù º» ù ¼ÎÁzà ���E "! #&N ê FÐ)ÑJÒÔÓ å { ¯ { F ç Ð N � ���� "! # £ÎÆ ç�Å H !z·· ¸�¹Qù º» ù ¼ JRUTMd O !S�V! @ O g �U���]�"�)� êGF}QP�RCS � Õ z T ¹Qù º» ù ¼ # L*�_ W ½ o ¿ ! ·· ¸ ¹Qù º» ù ¼ÎÁzà ���E "! #&Ni��U>V û ¥ ! �� è z éê z Øþü N � ���� "! # £ÎÆ ç�Å H ! ·· ¸ ¹Qù º» ù ¼ JRUTMd O !S�V! @ OXW �U���]�"�)� êGF}QP�RCS � Õ z T ¹Qù º» ù ¼ # Ln _ W ½ o ¿ !C·· ¸ ¹Qù º» ù ¼ Ázà ���E "! #�s ·Ã N � ���� "! #�Y£ ç�ÅIH !C·· ¸ ¹Qù º» ù ¼ JML�.XÃ\^W"\ ç�Å H ! ·· ¸ ¹Qù º» ù ¼ J Ä ç�Å H ! ·· ¸ ¹Qù º» ù ¼ J \ RUT`d Æ çQÅ H ! ·· ¸ ¹Qù º» ù ¼ J RUW"\ÈRÏP�NgT Êc\��tT�NYXYN�bUT � ä �rË \ RUT`d� U>V û ¥ ! �� è z éê z Øýü RÏPSNJT[Z8\«ä ���*] ä^ Web+bZ�+_D` �.�� ����"���.� n �g�.ª)ª)�E�«�8�g�"� � £ �+�¡� � %'&Ä*'& ò �����"��¤ � � ��� � �+� �[�)���)�����^�.�� ����"�)�.��� ê � � �e�"�U�"�¥5¦Æ���[�"�)�]�)���Á� � �U�§�J�[� ���� "! # £ ç�Å H !z·· ¸�¹Qù º» ù ¼ J ê ���§�)�~� � ¤ � ���e� ¢ � � � �U� ! s ! @ �[��  O �«�Í� @ O"a ê F® &ô � ��� �ëê �g��� � ��¸'&ĸ[¸ # ê �)� ���� "! # £�Æ çQÅIH !C·· ¸ ¹Qù º» ù ¼�J �[� ���� "! # £ÎÄ ç�ÅIH !�·· ¸ ¹Qù º» ù ¼�J ê � ��� �W�b o~p ! q�c ���E "! #�s B @O �"�Q� �Y!§�V! @ # O _ ��%'&Ä*[¸ #

Page 93: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

,�õ.- ö 3?>�@AD+3?=?I�÷VDE@�÷:9�@�783Ê9~68B:@�ø L�/ò�� �)���[�� ¬�^�.�� ����"���.� ( �[�:£ �+�»� � %'&Ä* ª � �[ Á�e�Â�^�.�� ����"�)�.� ( �[��� ��� � ��� �[� �+� & ®�¢ �"� ��� � � �[� �ëê � ��� ����� "! # £�Æ ç�Å H ! ·· ¸ ¹Qù º» ù ¼ J ê �^� � ¥��)���Q���Â�^�.�� ����"���.� ¸ �[�º£ �+�¡� � %'&Ä* �«��� � £ �+�»� � %'&Ä% ª � �[ ����e�W ½ o ¿ ! ·· ¸ ¹Qù º» ù ¼ Ázà ���� "! #dN � �)��e W�b o~p ! q�c ���� "! # ��U>V û ¥ ! �� è z éê z Øýü:f _g�¢ � ê �J�"� � ��%'&Ä*[¸ # ê W�b op ! q�c ���� "! # �Q���[� � �U� � �«� � �[� ��U>V û ¥ ! �� è z éê z Ø ü �)�:�[�� f�.��ª�¦Á���O !S�V! @ O�W �U���]�"�)� B @��U>V û ¥ Õ �� è z éê z Ø ü�[�� f� ��� � ��� �[� �+� �J�.ª)ª����«� &© �S�)���)�5� � � � �e�"�Q�����e���[���[ª)¦5¼ � � ��� �^�.�� ��)�"���.��� ¢ ��  � �§� � �)� � � ��� ¥?� ¢ �� A�U¥`��¤ � �)�S���[� � É��[�^� &g �[� � �^�.�� ����"���.�����^�[�"� � �e�?�.�� »�e�¿ªQ�)� � ���Q� Æ ç�Å H ! ·· ¸ ¹Qù º» ù ¼KJ # � � �Qª � �^�.�� ��)�"���.� * �U����ª)� � ���e�¿ªQ�)� � �t�[��[���.ª � �]ª)�.� � �e� ! @ ê �^�.�� ��)�"���.� ¸ �U����ª)� � ���e�¬ª)�)� � ��� � �.� � �[���.ª � ���U� � � ¢ ¥��e�"�[�5�"�)�[ª)ª)¦¬ ���ó � � � �5���J�"� �! @ &t© ��£ �+�¡� �[� n�&Ä* �e� n�&Ä% �[��  ò���� �[� �+� n�&Ä* ê � ��� �+¤ � � �]� ��� � �U�h � ��� � � � Æ çQÅ H ! ·· ¸ ¹Qù º» ù ¼ J �Q����¥��[�� §� � �U� � ÉÃ� � �� ��8� ��� �)�5� � ��� � �^�"�)���«� � �8�[�Ã� ��� ª)�)� �ji s ���A@] "!$@ #�[ª��.���¡� ��� �  �� �Â� ���"���.� Lh � ��� ���U�"���¬�[��� ��� ���) �� � �[��� � �)��¥��[�� ��e�¬� ��� �«�Q �� � �[� çQÅ H i ·· ¸ ¹Qù º» ù ¼ J   � �]�+¦Ã�lk ¢ �)��Å'ª)¦O�[� !  � ¤Ã�)�U� � �«�g�"� � ! @ &ô � ��� �ëê �^�.�� ����"���.� ¸ �.��ª)¦�� � �[ªQª�¦ � �.ª) ��f�)� �i� � �[ª)ª~� ¢ ¥m�$� � �.���.�¹�[�¿� ��� � � �.���.� �[�¿� ¢ ���?�[�"�Á�[�Wµ½ oÀ¿ ! ·· ¸ ¹Qù º» ù ¼ Ázà ���� "! # &:© �~� � �U��� � �.���.� ê � ����À �[ ��.���e���[���e�J�[� � k ¢ �)�"Åê�¦  � �^� � �[� � �8�g�"� � ê:FÐ�ÑgÒÔÓ å { ¯ { F ç Ð�e��¼ � ��� & ®�¢ �"� ��� � � �[� �ëê �.��¤ � �¬� ��� k ¢ �)�"Å¡  � �]�E¦»�[� B @ O �"�)� �Y!��Ê! @ # O ê �^�.�� ����"���.� * �.��ª)¦ � �.ª) ����g�[���� � �[ª)ª8���[��� � �[��¤Ï�[ª ¢ � �«�[� ! �[��  ê ����� � �)�f� � �)�����[��� �ëê � ��� � � �)���U�ª � �[�e�«�.� � �?�.�)���2� ��� @ "! @ # �r�J�[�� � �)� � � ���»À �[ ��.�V�e�a�[���e�J�[� � � �[��� � ��ª)��� ¢   � � ¥ � @ "! @ ç è z éê z Øþü & � �)��� �ëê �J�"� � £ �+�¡� � %'&Ä% �[�� ¢ ��  � �� ��� �[�"� ¢ � ���"���.�Æ� � �U� BD@ �)�~�"�)�.��� � �]�[�5�"ª�¦�� � �[ªQª � ��� � �[�È� ��� � � �U� �  �� �Â� ���"���.��� ��n �o # ê��U>V û ¥ ! �� è z éê z Øýü �Q���[ª)�e�¡�.��ª)¦¬�"ªQ��� � �"ª)¦Áª)�U�"� � �«� � �[�f� � �)��¤Ï�[ª ¢ �ëê �����J�.ª)ª��E����� � �U�«� ��� ¥`� ¢ �� O�U¥`��¤ ��)�t�"�)� � � & ò�� �)��� � ��ª)� � ��� � �U� ê �J�[�r���U�"�"�E� �e�e�a����� ê � ���À �[ ��.�»�e�a�[���e�J�[� � �[�F� ��� �e�e�a���Á� � � �¡� �����]�[�¥ � � � ª)ªF�U�����"�+É�� � �U� �  �¥5¦¬� ��� �J�.ª)ª����«�)���c� ¢ ���^�"���.� &

p�Prq6s ���N�gÚ s �FÝ u Ý ò���� TMRUWlWZbë�GPlXYWlN�[ R�[«[`WZb � Ngà¡R[XYN�bUT ��t ��u # �e�È� ���OÀ �[ ��.�æ�e�a�[���e�J�[� � �[��� ���

Page 94: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

,�õ.- ö 3?>�@AD+3?=?I�÷VDE@�÷:9�@�783Ê9~68B:@�ø LÏô�)�� ��Q�]�U�e�[��� ¢ ���^�"���.�O�[�º� ��� �e�e������� � � �Â� ��� !C·· ¸S¹Qù º» ù ¼ ê � ��� � � ! s ��� @ "! @ CB @ # ê �)�v Å j ½ oÀ¿ ! ·· ¸ ¹Qù º» ù ¼ Á1à ���� "! #�s

wÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿx ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿy

·Ã ��� ���E "! #-Y£ ç�Å H i ·· ¸ ¹Qù º» ù ¼�Jê FÐ�ÑgÒÔÓ å { ¯ { F ç Ð ��� ���E "! # £ ç�ÅIH i ·· ¸ ¹Qù º» ù ¼ J�[��  O !§�Ê! @ O g �U���]�"�)� ê:F}8P�R;S � Õ z T ¹Qù º» ù ¼ #��z|{8} ¥ ! �� è z éê z Øþü ��� ���E "! # £ ç�ÅIH i ·· ¸ ¹Qù º» ù ¼�J�[��  O !§�Ê! @ O N �U���]�"�)� ê:F}8P�R;S � Õ z T ¹Qù º» ù ¼ #� ��� � � çQÅ~H !�·· ¸ ¹Qù º» ù ¼KJ �Q���[�«�)� h �]� ���)�"���.� n�&)(]· ê �[��  ��U>V û ¥ Õ �� è z éê z Ø ü �[���)� ��%'&Ä*Ã( # &

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−30

−20

−10

0

10

20

30

θ

b

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−30

−20

−10

0

10

20

30

θ

b

® ��� ¢ � � %'&)(+¸X# 95ù�ý�'C�"�z�lû�üaú-'�v�aú��Yý´ü��4)�üaý�'43Ïù � )­���aùQ��3�üC��ú � ú?� � ���{�$ù<= � =-�V�*� � � � �*3+'C� � '¶���j� % � �Cü�' � 7Zù�'43N��'C0ýyü���ù#��7Q3 (N��� ùZþ���'$ùeû�þ � ú�ù*0�'43Ïù��j� % � ���^ù����<7�þÄü���ùj'$ü�'43�ù��z�lûEülú2'�v�aúN�Yýyü��4)iù;�lù������"3Ïù��$ù�5N��' � ú � '¶��'v� � þ��;0��"3�ù��$ù�'43�ù��) ( þ � '¶�Uû�ùCüaý�'43�ùj�1�aû�üaúl'�v�aú��Yý´ü��4) � ���c� � '$ù.��)­�aþÿþ �© �H�Y�[�^� ê �[�§�Qª)ª ¢ �e�e�a�U� �  �¥'¦ ® ��� ¢ � � %'&)(+¸ ê � ��� t �mu �)�~�f�]ª��.� � �U�����"�+É�� � �U�"���.�Æ�e�f� ���¡À �[ ��.��e���[���e�J�[� � �[�C� ��� ���´É � ª)�U� �  Oª)�)� � & ò���� �[�'�' �� � �"�r�[�:� � �)���U�����"�EÉÃ� � �U�"���.�O� ¢ �[� � �e�"��� ��� �J�.ª)ª����«�)����[ª��[�[����� ��� �g�[�«ªQ�)� �   � � � �^�"���.� &}�� ~ Ú�Û���� � R �?ÝQ�?Ý)� N � \^TfXYXÃ\JZ�R�d.bUTHXYWeRUT�PJ�^b[Waà½bZ�XYXÃ\B[MN � \^ß�R[X¶\�d»\"d�]'\à¡R�[ÆbZ��R[TH\"d�]'\�NgTMd[NY_aR[X$bUW� � TM_EXYNYb[T�� \ � m z k s W�b�� � p � q ��� # c ���ame "!^k # RUTMd¬XYXÃ\�T � à@ú�\]W¿bZ�;[`N � \^ß�R[X¶\"dOßyNJT`\lP o XYX'R.X�NYX�_abUT�X$RUNJT�P \ [�\]Wg�]bUWlà XYX�\��^bUßJß�b���NgT�]¬PlX¶\�[�PA_� äSP+\]X �¡s ·Ã W Æ m z k s ·Ã 8�º� h �� # ä��

Page 95: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

,�õ.- � @m��÷�@�=?Ig9@�7�351�øÎ÷�=?6:õ`@�B� �=F@ L�öá äs�.X�NJß)\ � W oh _abUà�[ � X¶\�¡ � m z k s � m z k�� W Æ m z kh ß)\]X � h � �� � #�s �U�"� � �ÏÉm z k ¡ � m z kh ß)\]X ��� �� "! �� #�s ����m£¢Ï "!^kA¢ #h W Æ m z k s Ì �U�� ó v Å j ½ oÀ¿ ! ·· ¸ ¹Qù º» ù ¼ÂÁ1à ��� �U "! �U # 8�º� h �� # �� ä�W"\]X � WlTVXYXÃ\­[ÃRUWeRUà»\]X¶\]W�P ��� �� "! �� # �»s (U c_c_c_E �o äò�� �Q���[ª��[�[�a��� ��� � � ��ª �+�¡� ���"�c�[� RUTMRUß�¤ÏPaNgP¦¥úA¤$¥�P¦¤UT�XYXÃ\^PaNgP � u/g2� # ���"�Ã� �   ¢ � � & u � � � ª)�)� � �)�  � � � �^� �  <�U� � �[� � �)� � ���U�"���.�V�[��ª)�5�[� ¸ ¥'¦Èª)�'�]�U�"�)����� ��� ªQ�U�"� � �e�S� � �UÅA�[��� ���  ��´ó � � � ��� �ÁÀ �[ ��.��e���[���e�J�[� � ¡ � m z k¬� �[���[ª�¦Ã�"�)�«�"� � � # & ò���� ª)�U�e� � �§�)�«� ���  ��´ó � � � ��� � ¥ � �¶� �]� �Æ� ���¿À �[ ��.�H�e���[���e�J�[� ��[�� V���"�S� ¢ �"� � �5��¥ � �e� � �e�"� � �U� �ëê W Æ m z k ê �[�� Ê�)���)���)�"�)�[ª)ª�¦ � k ¢ �[ªt�e��� ���»À �[ ��.�V�e���[���"�g�[� � & ò����t �mu �)�º� ��� �¡�e¦Ã��� ��� ����¼ �  ¡�[�]�^�[�� ��Q���§�e��� ��� ���U�a� �Â� � � �����[�?� � �)��ªQ�)� � � �e¦'�5� ��� �"�Q�t�e� � � # �[�� »�[ �  �  �e� W Æ m z kU& ò���� � � � � �e�"� � �U� � �)�¿� ¢ ¥��e���[�^� �  æ�e�Æ� ��� �[���)�.�)���[ª À �[ ��.�Ê�e�a�[���e�J�[� � �e�Æ�[¥��"�[�)�æ�[�¢ �F ��U� �   ¡ � m z k �[�� Á� ��� �����'� � �"�r�)�r��� � ���U� �   ¢ �5�"�)ª o ª)�)� � ���U� �   � � � �^� �   &�t �[� � � � �U� � �[� � �"� �Â� �� � �vª)�)� � t ��u �Q���[ �  �  ��e�O� ��� � ¢ �"� � �5�¥ � �"� � �e�"� � �U� � �[�� �� ��� ¢ �F ��U� �   � �e�"� � �U� � � ¢ ¥��e���[�^� �  �g��� � � ���«À �[ ��.�Â�e���[���"�g�[� �Çê � ��� �^�.�5�e����¥ ¢ �"���.���º�e��� ��� ª)�U�e� � ���J�"� � �[ªQª���� � ¤Ã��� ¢ �"ª)¦S  � � � �^� �  ¬ª)�)� � ��U� � �]�[��� � ª �  ��[�� � ��¡���[���U��� � �U���Q� ¡ � m z kU&Bô � ��� �ëê � ��� �U����ª)�)�]�U�"���.�¬�[�C� ����� �ÏÉ�� � ¢ � �[� � ���U�e�[��)�º� ¢m§ �]� � ���C�e�§  � � � �^��� ��� � � ÉÃ�ºªQ�U�"� � �e�ºª)�)� � ���[�º¦ � � ¢ ���^� ¢ �5� �  ¿�g�[� & ò�� �Q�:�)�º ��a�[�e�"�)�]�[ª)ª�¦� ��´ó � � � ����g��� � � ��� � � � � � � �.ª) ��)���«�[ª��[�[����� ��� ��� ��� � � � ��� �"�[�)ªQ�8�[��� ���rÀ �[ ��.�S�e�a�[���e�J�[� � �U� � � � ¤ � � � ÉÃ��ª)�Q�]���"ª�¦� �à � ª �  ����[�� ¢ ����� � �"� �  ��[��  ê � ��� � � �J�[� �ëê �[�����.�)���U� � �e� ¢ ����� ¢ ��  � � � �^�"���.��� & ò �"¦Ã�)���Á�e� � ªQ� � �)���U� �� � �.� � �e� ¢ �a��� ¢ �t  � � � �^�"�)�.�����)� ¢ � ¢ �[ª)ª�¦c���[� � �[�e¦ ê �[��  � ¤ � ��k ¢ �)� � �)�5¤[�.ª�¤ �   ��� ¢ ���Q�e�"�)�]�t�]�[�Oª � �[ ¬�e��?�5�[�~� � �"�J�[� � �[��� � &�© �È� ��� �J�.ª)ª����«�)���O� � �^�"���.� ê � � ��� � � � ��� � ÉÃ� � ��� �Â� �5�"�[ª � ¤'�)  � ��� � � ¢ ���?�[�"�"�)���� � �)���]ª)�[� � &

�! �¨ ©Mª¤LÂ(BAC%D7:(�'3-/9­? L)A�2 0�(�*¬«)A�(¾ � �^�.��  ¢ �^� �  A�O� � �a� � ��[� � ÉÃ� � �a� �Â� �5�"���e�f�^� � �M�U� � � ��� � � ���g�[� � �[��� � �[��� ��� ¤Ï�U�a��� ¢ �~ª)�)� �   � �� � �^�"���.�O�[ª��[�[����� ��� �� ��Q�"� ¢ �"� �  »�e���Y�U� &º© �¡�[��  � �r�e� � �+¤ � ¢ ��� � ¥���� ¢ � ¢ �t�[�"� ¢ �� ¡�e� ¢ � � �U¥?� ¢ � � ���� �[�5¦Æª)�Q� � �� � � � ��� � � � �5���)�È�f�.��¤ � �È� � �e�S� � �U� � �[�� È� � �U�§� ��� ���§���U��� �Â� � � �a�§� � � �ëê � � � � ª)� �  �.�V�e¦Ã��� ��� �"�)�]�[ª)ª�¦H� � � � ���U� �   �  �� �¡� �U��� & ò���� ���"�'� �   ¢ � � ¢ � �  È�e��� � � � ���U� � � ��� � � � � �U� � �§���[�� ��� �J�.ª)ª��E���)��� &(U& u ��� � �U� � �"��¼ � �[� n.· í n.· �M�´É � ªQ�����[�«� � ª � �^� �   &

Page 96: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

,�õ.- � @m��÷�@�=?Ig9@�7�351�øÎ÷�=?6:õ`@�B� �=F@ L��¸'& ò���� �[  � �)�"�"��¥Mª � � � ���^� � � ¢ � �  O�[�]�^�[�� ��)���¿�e� �Jn�&Ä� # �[�� ¬�¿� � ���[� � ª)�)� � ���U��� �Â� � � ��¤ � �^�e�[�a����amZ "!Em # h s (U c_c_c_E � ê  ��a�+�«�O�)��  � � � ��  � ���"ª)¦¿����� � ¢ �����J�[� � ���"�[¥��U¥��Qª)���¶¦Â��¤ � ��� � �)���[  � �)�"�"�­�¥�ª � � � � &*'& u ��� � �U� � ���[�O�^� � �U� �  ¹�^�.���"�[�)���)���V� ��� � �M�´É � ªQ�U� �  �ª)�)� � �¡  �]� � �  �¥5¦i� ��� ���U��� �¡� � � ����U¥?�E¤ � &n�& � �[ª)�;�¶�[�� ��$� � ��� � �����.�)� � ���[�r�[ �  �  »¥'¦Â���[�� �� � ª�¦c� � ¤ � ���"�Q���S� ��� �e�"�U� � �[� � �[� � � � �U� � ����É � ª�«�)� � �Â�.��¤ � �f�����[¥��U¥��)ª)�)�¶¦�® &%'& u ª)�Q� �   � � � �^�"���.�<�[ª��[�[�a��� ��� ���[�¿�U����ª)� �  V�e�H� ��� � � �U� �ëê �[��  � ªQ�)� � ���U��� �¡� � � �¿¤ � �^�e�[�a�� � �^��¤ � � �   &d¯ �[� � ª)�)� � ���[�«�]ª)�[���"� ���  f�[���^�[��� � �^�"ª�¦f  � � � �^� �  Æ���O�O ���E "! # ���Q°�Ï �°! # O�O N ¸' � ��� � � ���� "! # �U� � � ��� �e� ¢ � ª)�)� � �M�U��� �Â� � � ����[��  �8°�Ï m°! # � ��� � � �^��¤ � � �  Æ�.� � � &�Ö � ��� �"�«�Q� �ëê ������[�«�]ª)�[���"� ���  f�[���[� � �"�"�[� &�'& � � � �M� ( � % � � � � � � � � �U� �   %U·[· �"� �Â� ���g�[� � �[� � �[�Â� ��� �?�.�"�"�)¥�ª � �^� � ¥M�)���U�"���.�����[� � £b ¸' c_c_c_Ï �% c �[�� ±® £ b ·Ã "·S_ÿ·�(U "·S_ÿ·.¸' "·S_ÿ·.*à "· _ÿ·Un� "·�_ÿ·.% c &® ��� ¢ � � %'&)(+* ��� � � � �5�"���e� �¡��� É�� � ��ª � �e¦Ã��� ��� �"�Q��� � �U� � �«�[¥��"�[�Q� �  ������ � �fs ¸ �J�[�� ���  ��´ó � � � ���¤Ï�[ª ¢ � �«�[�²®V�^�.���"�)  � � �   &D³ �U���)� ¢ �~ª)�)� �   � � � �^�e�[���~� � � �c� ¤Ï�[ª ¢ �U� �   &�´ � � ª)� � �)���U�"¦¬� � � ¢ ª��"��� � �E� �  � � �U�A� ��� �e�e�a�[��� � �e�J�[�"���U�� ì� � �Mª �+�Â� �5�"�U�"���.� �[�»� ��� � � � � � � �.ª) ��Q��� �Â� � � �' �� � u ª��[�[���)� ��� � %'&ĸ�[��  %'&Ôn #  �� � �t���[��� � �[� � �[�]� � ���"�U¥�ª � ª � ¤ � ª)���[�?  � � � �^�"���.� � ���"�[� & ò���� �¶¦'���)�]�[ª����"�[¥�ª �+� �)�º� � �U�t� ���ª)�U�"� � �e�rª)�)� � �[�a���.�)���U� � ��¤Ï�U���)� ¢ �t�Y�[ª)� � �$�?�.�"���"�)¤ � ���U��ª)�'�]�U�"���.����� ��� � � � ��� � � ��ª)��� ¢   � �[�F� ����À �[ ��.��e���[���e�J�[� � �)�«�e�e���.��� � �~� � �[��� � �U��[��� ��� � � �UÅÃ��[�"�e�Ã�]�)�U� �  Æ�«��� � � ��� � �+� �[�Q���)���¡ª)�Q� � � & ® �[�� � �)�� � �[�e�.�i� �f� �+¤ � � � ��ª �+�¡� ��� �  Í¤U�U����� ¢ � ��� ¢ ���)�e�"�)�]� ê �^� �»� �.��ª�¦ ¢ � �  i�)�Í� ��� � � �U� � ���"�Ã� � �"�"�)���ª)��� � ���U� ¢ � �ëê �e�»�]ª � �[� ¢ �f� ��� � � � � � � �.ª) ��)����� � � ¢ ª��"� &ò����¿� ���"�����[�§� ��� ¢ � � �[� � �[�"� � �.ª��[�.�Q�]�[ª8�[� � ���U�e�[��� ê ��� �Â� ª�¦�� ��� XYX�NgT�T�NgT�]Hb�[�\^WeR[X$bUW �4µ 18Ig7�Z(�¶¸·¸¶ #e# & � �)��� � � ����À �[ ��.�S�e���[���e�J�[� � �[�a�[  ¢ �[ª)ª�¦  � �^� � �[� � �:�J�"� � � ����� �ÏÉÃ� � ¢ � ¤Ï�[ª ¢ � �[�"�e�Ã�]�)�U� �  �«��� � � ��� �^�[�"� � �^�����U��� �Â� � � ��� ê � � � � � � �.ª) ��)���~�[ª)�r�E¦'�rª � �[ ����e�¿���]ª ¢ �"� � ���[�?�J�[ªQ� � �?�.�"���"��¤ � ���U��� ¢ �� � ��� ª)�'�]�U�"���.���[��� ���Æ� �ÏÉÃ� � ¢ � & ò«� �)�����Q���Æ�Q�»�[���[� � �a�U�e�[�Á� � �U�¬� �+� ��¤ � �¬���´É � ª)�Â�J�"� � �æ� � �¢ �5�"�)ª��.��ª�¦<�Ê���U�"�"�E� � ¢ ¥M� � �¡� �+� �[�Q��� & © �¬�)�¡�^� �¡� �.��ª�¦ ¢ � �   ê �)��� � �U� � �[���[ª�¦Ã�"�)� ê �e�æ�[¥��"�[�)�� ��� �"�$�¶�]�[ª)ª �   �eÅ � ª � �e�.���[���V¥��)���U�"¦i� � �U� � �[��  ê �)� �  �� �   � � � �^�"���.� ê �e�Í�]ª � �[��� �����  �� �È� �U�¥5¦È� �   ¢ �]�)�����[ª)ª�ª)�)� � �§�e�Æ�"�)���.ª � ���´É � ª�� � �)��Å'� � ��� &Á© �V� ��� �^�.��� � ÉÃ�¿�[��ª)�)� �   � � � �^�"�)�.� ê �)�S�]�[�Ê¥ �¢ � �  »�e� � ª)� � �)���U� � �Y�[ª)� � �$�?�.�"���"�)¤ � �t¥'¦Â� �   ¢ �]�)���§� ��� �"�)¼ � �[�F� ��� �]ª ¢ �e� � ���[��  � � � �^�"���.���r�U�"� ¢ �� »� ���� �ÏÉ�� � ¢ � ª��'�]�U�"�)�.� & ò�� �Q�§�)���)ª)ª ¢ �e�e���U� �  È�)� ® ��� ¢ � � %'&)(^n � ��� � � � � � � �E� � ��� �]ª ¢ �"� � ���§�J�[� �Â�  

Page 97: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

,�õ.- � @m��÷�@�=?Ig9@�7�351�øÎ÷�=?6:õ`@�B� �=F@ LNõNoise parameter 0

5 10 15 20 25 30 35 40

5

10

15

20

25

30

35

40

Noise parameter 0.01

5 10 15 20 25 30 35 40

5

10

15

20

25

30

35

40�V�A� ��5¸�Noise parameter 0.02

5 10 15 20 25 30 35 40

5

10

15

20

25

30

35

40

Noise parameter 0.03

5 10 15 20 25 30 35 40

5

10

15

20

25

30

35

40��7�� �)û$�Noise parameter 0.04

5 10 15 20 25 30 35 40

5

10

15

20

25

30

35

40

Noise parameter 0.05

5 10 15 20 25 30 35 40

5

10

15

20

25

30

35

40��ù�� �´ý��® ��� ¢ � � %'&)(+*X# ���Eú+'43ÏùQ' � 7 � )­�D�lù��²� � '43�'E�?ü (N��� ùZþ���'$ùZû�þ � úÏù��.�aúÏû!�¶�aþ�'¬��aúÏû{¬ ( ù (¹( ù��Cú�ü � ��ù �1u �$ü¦5��¦5 � þ � ' � ù���ü�ýæ��'v��'$ù�$ù;�lù��¶�¶�aþ��²�V�A��º�0»��5¸��º � º�¼*0���7���º � ºA½+0m�)û$��º � º*¾�0X��ù���º � º�¿�0«��úUû �´ý4�"º � ºA= �

Page 98: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

,�õ.- � @m��÷�@�=?Ig9@�7�351�øÎ÷�=?6:õ`@�B� �=F@ L�K¥5¦È� � � � � � �.ª) ��Q���O� ���ÁÀ �[ ��.�V�e���[���e�g�[� � �[� ® ��� ¢ � � %'&)(+¸Í� ª � �J� # �[�� Ê� ��� � � � ¢ ª��§�[��� ��� � � �)�����)����[� � ���U�"���.� & ò�� �)�����)����� �   ¢ � � ��� ��� � ¢ � ¥ � ���[�M�Y�[ª)� � �?�.�"�)�"��¤ � � ê ¥ ¢ �º� ��� � � �U� � ���§� ¢ �U�a�[��� �]� ��� � �U�� ��� ¦¬�«�)ª)ª`¥ � �^� � ��ª � �"ª)¦ � ª)� � �)���U� �   &

20 40 60 80 100 120 140 160 180

10

20

30

40

50

60

20 40 60 80 100 120 140 160 180

10

20

30

40

50

60® ��� ¢ � � %'&)(^nm# 9�ù�ý�'C�À5 � úN�D���K)­� ( ü�� � � � úN��'$ùeû�5��Á'�$ù���3ÏüaþÄû � úN�¬'43ÏùÂ�1�aû�üaú�'�v��úN�Yýyü��4)ã��3�ü���ú � ú�'43Ïù�þÿù�ý�'�ü�ý� � ���{�$ù�= � ¼�½ � � � �*3+'C��7ZüD��$ù�� ( ülúÏû � úN�<)­� ( ��ý�'$ù��"'43 � úÏú � úN� �ò���� � � �^�.�� ¬���[��� ��� �^� � ¥��)���U�"�)�.�¡�[�8� à¡R � NJà � àñd5\]X¶\"_EX$bUW ����� � � ��� � � � � � � �.ª) ��)�������"�Ã� � �"� &ò�� �)���^�.�����)�e� �  f�[��� � �5� � ���)���¡� * í * ���´É � ª?�«�)�� ���� �.� � �[� � ª��Ã�]�U�"���.�f�[�º� ��� ���� "! # ��ªQ�[� � � ��� � ��Aª)�)� � �r�[�»  � � � �^� �   � À �[ ��.�<�e���[���e�J�[� � �U¥?�E¤ � � ��� � � � � � � �.ªQ  # �[�� i�[�]� � ���"�)���A� ���   � � � �^�"���.��.��ª�¦Ê�)�«� ��� � � ��ªQ��� ¢   � �[�«� ����À �[ ��.�<�e���[���"�g�[� � �U�Â� ��� � � ���e���[ª«ª��'�]�U�"�)�.�<�r�[�c� ��� ªQ�U�"� � �e�¡�)�� ��� �«�)�� ���� & Ö ��� � �U�.�[�)� ê � ��� �[�.�[ª~�r�[�¬�e� � ª)� � �)���U� � � ��� �]ª ¢ �e� � �a�»�[���Y�[ª)� � �?�.�"���"��¤ � �Á� � �U�� � � � � � �.ª) ��)���¬�[�����.�Q���U� � �S�)�È� ��� � � ��� � ¥?�[� � �'�' È�[��� ���»� �ÏÉÃ� � ¢ � & ® �)� ¢ � � %'&)(+% �)ª)ª ¢ �"�e���U� � �~� ���� � � ¢ ª)�"���[�C� � �)�����"�Ã� �   ¢ � � �.�f� ���SÀ �[ ��.���e���[���e�J�[� � �[� ® ��� ¢ � � %'&)(^nÈ� ª � �g� # &® �)���[ª)ª)¦ ê � ��� ÉÃ� � �a� �Â� �5� �  Á����� � ¤Ï�U�a��� ¢ ���e�"�U�"�)�e�"�Q�]�[ª��]ª ¢ �e� � �a�)��� �Â� � � �à�� & � �)��� � � � �U� � ª)�)� � ��U� � �?�.�)���"�r�)� ���� "! # �¶�e���[� � �[�� ¬� ��� �Y�[ª)� � �`�.�����"��¤ � �r�U� �§� �.�e�"ª�¦»�^� � �U� �  O¥5¦»�]ª ¢ �e� � �����U�"� ¢ ��  � �[� ��e� ¢ �O� �ÏÉ�� � ¢ ��ê �È�e�"�U�"�)�e�"�)�]�[ª��]ª ¢ �e� � ���)�������"�Ã� �   ¢ � � � ¢ � � �[�c� ���Äà ¥�à»\"RUT�P �[ª��[�[�a��� ��� �4Å  �B?1187�BÇÆ�18=Ã3 �Z(�¶�ÈU* #e# � � � ¢ ª) ¿¥ � �U¥�ª � �e�S�Q  � ���"�)�g¦�� ��� �]ª ¢ �e� � ��� � ��� � ��� & ò�� �)�º� ¢ �a� �  c� ¢ � ê5� �E� � ¤ � � ê�e�c¥ � k ¢ ��� � ���"�[¥�ª �+� �U�"�Q� &C© �O� � �U� � ���^�.�5�"�[�)���)��� � �[��� � �[  � �"�e� ¢ �^� ¢ � � � � & � & ¥ ¢ �)ª) ��Q���.�º�[���[� ��� ��[¥�É � �^�"� # ê ª)�)� � ��� � �� ��e�O�^�.��� � �5�e���U� � �)���»� � �v ���� � �^�"�)�.��� � � & � & � �[����¼]�.�5�"�[ª:�[�� �¤ � �"�"�Q�]�[ª # �[�� Æ����)���^� �¡� �.�O�e� � ��  � �[�5¦»���U���[ªQª � ª?ª)�)� � ��� � ���U�a�U� �  f¥5¦O�Â� � �[ªQª` ��)�e�"�[��� � �[ª��.���Â� ��� �  �� �Â� ���"���.�� � �e� � �]�)�[ª)ª�¦Í� ��� �4� ��� �[¥�É � �^�"�¬�U� �  ��Q�e�"�[���»�g�"� � � ��� �]� �Â� �a� # & © ��� ��� � � �]�[� � � ê � ��� �]ª ¢ �e� � ���� � �� f�e�¡¥ �§� ª��.���.�U� �  H�[��  � �[� � ªQ�)� � �^�.���e�a��¥ ¢ � � ���e�Á� ��� ¤U�[ª ¢ � �[�º� ���SÀ �[ ��.�f�e���[���"�g�[� � �U��� ���ª��Ã�]�U�"���.�����[�C�[� ��� �«ª)�)� � ��¥'¦O�Â���.���¶� � �.ª)�)�.��¥�ª � � � � ¢ �5� &�ô � ��� �ëê � ��� � � �]�[�f¥ � �"���.��� � �]�[�5���]ª ¢ �e� � ��E¤ � ��ªQ�U�¡�[�� S� ��� �]ª ¢ �e� � �º�e�e� ¢ �^� ¢ � � �]�[�c¥ �  �� § � ¢ ª��:�e�§�)��� � � & ò�� �Q�:ª � �[ ��:�e�~�?�'�[�:� � �"�J�[� � �[��� � ¥5¦

Page 99: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

,�õ.- õ @m��÷�@�=?Ig9@�7�351�øO=F@�D� �ø+3FD L$Ê

20 40 60 80 100 120 140 160 180

10

20

30

40

50

60

20 40 60 80 100 120 140 160 180

10

20

30

40

50

60® ��� ¢ � � %'&)(+%X# 9�ù�ý�'C�À5 � úN�D���K)­� ( ü�� � � � úN��'$ùeû�5��Á'�$ù���3ÏüaþÄû � úN�¬'43ÏùÂ�1�aû�üaú�'�v��úN�Yýyü��4)ã��3�ü���ú � ú�'43Ïù�þÿù�ý�'�ü�ý� � ���{�$ù�= � ¼�½ � � � �*3+'C��7ZüD��$ù�� ( ülúÏû � úN�<)­� ( ��ý�'$ù��²)­� �{� );��)ÍûEù8'$ù;78' � ülú ��e�"�[�� ��U�a ��]ª ¢ �e� � �a�)���¡�[ª��[�[���)� ��� � &t¾ �¿� �+¤ � �e��� �  �� � ¤ � ���[ª8¤U�U���)�[�5�"��¥ ¢ �«� � ¤ � �«����� � �"�U�"�)�"�J�[�^�e�[�"¦� � � ¢ ª)�"�S�[� � ¤ � �<� � � ¢ ª��"���^� � ���U���U¥�ª � �e�È� � �.� � �[��� ��� �¶�r� ��� ¢ ���Q�e�"�)�]�S  � �"�^����¥ �  Ê�U¥?��¤ � & � �)��� ��]ª ¢ �e� � �a�)��� �Â� � � �à���U� � �[ªQ�e� � ¢ � �Æ� �[� ��� É'� � ������¤ � �J�"� � �¬�^� � � ¢ �"�U�"�)�.���[ª��?�.�)�5���[��¤Ã� � � ê � ��«�)ª)ª?���[���^�.���"�)  � ��� ���+� �)�O� � �U���J�.ª)ª����«� &�! #� ©Mª¤LÂ(BAC%D7:(�'3-/9­?©A�(BK�«,?�- K© �c� � �)�º� � �^�"���.� ê � � � � �?�[�"�º� ��� � � � ¢ ª��"�C�[�`�§�"� ¢  �¦S�^� � �M�U���)���~� ��� � � �"�J�[� � �[��� � �[�?�"�´É�ªQ�)� �   � � � �*��"���.�O���"�Ã� �   ¢ � � ��¥��[� �  O�.� #�( # u ª)�[�[����� ��� %'&Ä% ê � � �)� � � � ���)ª)ªM� � � � ���e�¡�[���[���[ª�¦'���)�;�$¥'¦r�¶�e¦Ã�5� ��� �"�)�� u/g2� # ê ¸ # u ª��[�[�a��� ��� %'&ĸ ê � � �)� � � �   � ���[� � ¥'¦Ê� � � � � � �.ª) ��)��� � ò ô # ê �[��  * # u ª��[�[�a��� ��� %'&Ôn� � �)� � �«�Qª)ªt¥ �   � ���[� �  Ê¥'¦ � �U�"� ���   � ª�� � �a�)�����J�.ª)ª���� �  æ¥5¦Ê� � � � � � �.ªQ ��)��� ��Ë ® è ò ô # & ò«��� �"��É���"�Ã� �   ¢ � � �»� � � � �[¥��"�[�)� �  �¥5¦��^� � ¥��)���)���V� ��� � � ¥��[� � �[ª��[�[�a��� ��� �Á�«��� � � ��� �`�.�"�;�$���"�Ã� � �"�"�)������ ¢ ���Q�e�"�)�]�� ��)�"� ¢ �"� �  f�U¥?�E¤ � #(U& ��ªQ�[�)� u/g2� L¸'& ��ªQ�[�)� ò ô L*'& ò ô è ò�� �)� Ln�&/Ë ® è ò ô L%'&/Ë ® è ò ô è ò�� �Q� L�'&/Ë ® è ò ô è Ë�Ì L

Page 100: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

,�õ.- õ @m��÷�@�=?Ig9@�7�351�øO=F@�D� �ø+3FD L�L� ��� � �Qò�� �)� �Â� �[��� � �[�"� � �.ª��[�.�)�]�[ª�� � �)�����Q��� ê �[��  Ë�Ì �Â� �[��� � �ÏÉ�� � ¢ �   � � � �^�"���.� & ® ��� ¢ � � %'&)(+���� � � � �5�"�r���^� � �M�U���)�e�.�Á�[�F� ��� � � ���g�[� � �[��� � �[��� ��� �"�´É¡���"�'� �   ¢ � � � ê �)�¡� � � � ���[��� ��� �����[¥��U¥��)ª)�)�¶¦�[�rªQ�)� �   � � � �^�"���.� � �"���[�S�[���O� ¢ ���^�"���.�È�[�r� ��� �"�[ª��;�¶�[�� ��$� � ��� � �~���.�)� � ���"�[¥��U¥M�)ª)����¦±®Ê�g�[��� � �U� � ��^�.���"�[�Q���)��� ¸ �e� % ���´É � ª)�U� �  cª)�)� � � & ® � ¢ �t�)�5� � � � �e�"�Q���~�[¥�� � �"¤U�U�"���.���º�]�[�c¥ ��� �[  � �g��� � � ����� � ¢ � � &

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

Noise parameter

Pro

babi

lity

of E

rror

2 lines

ABSTHTH+ThinMF+THMF+TH+MXMF+Thin

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Noise parameter

Pro

babi

lity

of E

rror

3 lines

ABSTHTH+ThinMF+THMF+TH+MXMF+Thin

�V�A� ��5¸�

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Noise parameter

Pro

babi

lity

of E

rror

4 lines

ABSTHTH+ThinMF+THMF+TH+MXMF+Thin

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Noise parameter

Pro

babi

lity

of E

rror

ABSTHTH+ThinMF+THMF+TH+MXMF+Thin

��7�� �)û$�® ��� ¢ � � %'&ÎÍ+�X# u �$ü*5N�¦5 � þ � '�üaý�ù���$üD�1�D�1��ýt�Ïú�78' � ülú~ü�ý�7Q3N�aú��lùtüaý ��'v��'$ù ( �$ü*5N�¦5 � þ � '�û���ù�'$ü�úÏü � ��ùºý´ü��²'43Ïù�� ��� þ � ú�ùûEù8'$ù;78' � ülú ( �$ü+7Zùeû{���$ù��8û � ��7��N���ùeû � úl'43�ù�'$ù � ' � �8ù���Ïþ�'¶���D�$ù���3�ü���ú�ý´ü�� � )­���aù���� � '43�½/�V�A�Q0¹¾l��5¸�Q0�¿-��7��Q0N�aúÏû-=/�)û¹�(��1� ùZþ���'$ùeûþ � úÏù�� �ò����Â� �a�e���)�§� � �U�S� ��� ulg<� �[ª��[�[����� ��� �]ª � �U��ª�¦Æ� ¢ �e� � �"�J�[� � ���[ª)ª��^� � ¥��)���U�"���.���§�[��� � � � � � �.ª) ��)�����ª ¢ � ��� ¢ �a�)�e�"�)�]� & ò���� � � �"�J�[� � �[��� � � � ���"�E¤ �+�¡� ���"�§�[��� ��� �g�[� �Â� �§�]�[�A¥ � ¤ � �"¦Æ�"���.��� � �]�[��� # ¢ ��e�V� Í]· �$�g�.ªQ 4  � �^� � �[� � �Q�æ���"�[¥��U¥��)ªQ���¶¦A�[� � �"�"�[�Â��¤ � �»� ��� � �+� �[�Q���)���Æ� � � � ���Îk ¢ � � & ò���� � � �^�.�� �)�~� � �U��� ��� ���"�[¥��U¥M�)ª)����¦��[� � ���"�[�S�[� � � � ¤ �  V¥'¦H� ��� u/g2� �[ª)�[�[����� ��� �Q��k ¢ �)� � �)��� � �������"��¤ � �e��� ������.�)� � ª � ¤ � ª<®��[�� ¹� ��� � ¢ � ¥ � �f�[�¿���´É � ª)�U� �   ª)�Q� � �O�)�¹� ���A�  �� �Ê� �U� & ò�� �)�O�)�� ��)�]�U� � �O� � �U�

Page 101: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Ï�õ�Ð K ø.IÑ"ÒÔÓ²Ò:Õ�ÒMõGÕ�Ö�ײÑØÒm�"Ù�Ú�÷�ø»Ò:Û Ü�ÝÞ�ßmà ulg2�Ôá¸â�ã¸ä¸å�æ Þ�ß�ç æÎè�å�ä¸é:ê�è Þ�Þ äìë¹á$å�æ£á Þ æ�ä�í�è?æÎí Þ�ß�à è àÀî á$å¦á çïà+ÞCà å�è & ò ßmà¬Þ�ß æÎå�ðÔæÎè Þ�ß á Þ ê ä¸ñ Þ�ßmàßmà êmå�æ£è Þ æÎòïèCä�âÎê Þ æ�ä�í�è ê Þ�ßmà ä�í:â�ó Þ�ß á Þ î�à å�ñä¸å ç èÂò+â�ä�è à�Þ äìulg<�MæÎè î å�ä�ò à ð�êmå à�ôMõ Ëìö è ò ô è Ë�Ì?÷a&t à ë à å Þ�ßmà â à è�è ê Þ�ßmàlî å�ä¸é:á$éGæÎâÎæ Þ óÂä¸ñ à å�å�ä¸å&ä¸ñ Þ�ß æÎè î å�ä�ò à ð�êmå à æÎè�è Þ æ£âÎâ�á$é�ä�ê Þ�ÞQø æÎò à/Þ�ß á Þ ä¸ñ"ulg2� &�ö ä¸åÞ�ßmà å à�ç á¸æÎí�æ£ímã ßmà ê�å�æÎè Þ æÎòÂèCä�âÎê Þ æ�ä�í:è ê Þ�ß�à î å�ä¸é:á$é:æÎâÎæ Þ ó�ä¸ñ à å�å�ä¸ålæÎè-ê�è�ê�á¸âÎâ�ó ç ä¸å àùÞ�ß á¸íÄñä�êmå Þ æ çïà èÞ�ß á Þ ä¸ñ²ulg<� & ò ß�à ñä�êmå Þ�ß ä¸é:è à å�ë$á Þ æ�ä�í�æÎè Þ�ß á ÞdÞ�ßmàlî å�ä�ò à ð�êmå à è&ê�è�æÎí�ã ç á Þ ò ßmà ð�ú:â ÞCà å�æÎí�ã ÞCà í�ð Þ äðmäùé à+ÞCÞCà å Þ�ß á¸í Þ�ß ä�è à éGá¸è à ð�æÎíÁè Þ å�á¸æ�ã ß»Þ ñEä¸å ø á$å�ð Þ�ß å à è ß ä�âÎð�æ£ímã & ò ß æÎè>æ£è>ð�ê à/Þ ä Þ�ßmà ñá¸è ÞCà å2ð à ò+á�óä¸ñ Þ�ßmà ú:â ÞCà å à ðüû/á¸ðmä�í Þ å�á¸í�è�ñEä¸å çýÞ�ß á Þ â à á¸ð:è Þ äÇè ç á¸âÎâ à å Þ á¸æÎâÎè±á¸í�ðØâ à è�è±æÎí ÞCà å�ñ à å à í�ò à é à+Þ�ø&à+à íÞ�ßmà òAä�í Þ å�æ�é:ê Þ æ�ä�í�è-ñå�ä çþÞ�ßmà ð:æ­ÿ à å à í Þ âÎæ£í à è &Èô ä ø&à ë à å ê á¸è Þ�ßmà ú:ã�êmå à ò+â à á$å¦â�óÄè ß ä ø è ê ç á Þ ò ßmà ðú:â ÞCà å�æ£ímã¬ðmä à èlí�ä Þ òAä çïî â à+ÞCà â�ó à âÎæ ç æ£í�á ÞCà?Þ�ßmàùî å�ä¸é:â à�ç ê øDß æ£ò ß ò+á¸íÄä�í�âÎó�é à ñê�â£â�ó�á¸ð:ðmå à è�è à ð�é»óÞ�ßmàïà���î âÎæÎò+æ Þ�ç ä�ð à âÎæ£ímãÁä¸ñ Þ�ßmà û/á¸ðmä�í Þ å�á¸í�è�ñEä¸å ç ê á¸è?æÎè�ðmä�í à�õÞ�ß å�ä�êmã ßÔÞ�ß�à t ��u ÷ æÎí Þ�ßmà ulg2�î å�ä�ò à ð�êmå à &�! �� $&%�')(+*,(.-/(�01- %23'>(jªs9­7 L,?(BK� à ú:í:á¸âÎæ�� à�Þ�ß æÎè<ò ß á î�ÞCà å ø æ Þ�ß è�ä çïà âÎæÎí à ð à+ÞCà ò Þ æ�ä�í à�� á çïî â à è2ê�è�æÎí�ã Þ�ßmà ulg<��á¸â�ã¸ä¸å�æ Þ�ß:ç &�ö æ�ã �êmå à %'&ÎÍ�È î å à è à í Þ è Þ�ß å à+à æ ç á$ã à è¬òAä�í Þ á¸æÎí�æÎí�ãÔé�ä Þ�ß è�æ�ã�í�æ�úGò+á¸í Þ âÎæÎí à è Þ å�ê�ò Þ êmå à á¸í:ð å�æÎò ß â�ó ÞCà�� �Þ êmå à ð�á$å à á¸è2á¸í:ð Þ�ßmà á¸è�èCä�ò+æÎá ÞCà ð à ðmã à�ç á î è õ òAä ç¬î ê ÞCà ð�éXó Þ�ßmà ` á¸í:író à ð�ã à ð à+ÞCà ò Þ ä¸å õ�� Ù�Ñ"Ñõ Í�¶¸· ô ÷C÷C÷a& ò à��XÞ ê�å à ð�á$å à á¸è�ê�è�ê:á¸âÎâ�ó î ä�è à�î å�ä¸é:â à�ç è Þ äüâÎæ£í à ð à+ÞCà ò Þ æ�ä�íIá¸â�ã¸ä¸å�æ Þ�ß:ç è¬è�æÎí:ò à�à ðmã àð à+ÞCà ò Þ ä¸å�è ÞCà í�ð Þ ä î å�äXð:ê�ò à�ç á¸író�ñ�á¸âÎè à?î ä�è�æ Þ æÎë à è<æÎí ÞCà��XÞ ê�å à ðKå à ã�æ�ä�í:è & ò ßmà å à è�ê�â Þ æÎímãïè î êmå�æ�ä�ê�èà ðmã à¬î æ �Xà âÎè-ò+á¸íÇâ à á¸ð Þ äKñá¸â£è àïî ä�è�æ Þ æ�ë à è-ñä¸åÂâÎæÎí à ð à+ÞCà ò Þ æÎä�í &¬ö æ�ã�êmå à %'&ÎÍ�· î å à è à í Þ è Þ�ßmà ú�å�è Þ oâÎæÎí à è-ð à+ÞCà ò ÞCà ðÇé»ó Þ�ßmà u/g2� á¸âÎã¸ä¸å�æ Þ�ß�ç øDßmà í o £ b�� %� �%�� c & � ß æÎâ àùø&à âÎá¸ò�� á$é:èCä�âÎê ÞCà ã¸å�ä�ê�í�ðÞ å�ê Þ�ß ñä¸å Þ�ßmàDà ë¹á¸âÎê:á Þ æ�ä�íïä¸ñ�âÎæÎí à ð à+ÞCà ò Þ æÎä�íÁæÎí Þ�ß�à è à æ ç á$ã à è ê æ Þ æ£è6ò+â à á$å Þ�ß á Þ�Þ�ßmà íXê ç é à å|ä¸ñ�ñ�á¸âÎè àî ä�è�æ Þ æ�ë à è<æÎè k ê�æ ÞCà è ç á¸âÎâ à ë à í ø/ßmà í o�� %��Ã&

Page 102: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Ï�õ�Ð � ø�ÖÑ"ÒÔÓ²Ò:Õ�Ò��GÕ�Ö�ײÑØÒm�"Ù�Ú�÷�ø»Ò:Û Ý��

ö æ�ã�êmå à %'&ÎÍ�È»#�� 3������ ��)"!$#%��&|��'(��)�'�7�*%'(+¹)-,$�!.,�/0!.&1&1*+7��2!�'��3/4�3/�#.�6)"! ( &6�5���(#¦3�'Q��6

Page 103: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Ï�õ�Ð � ø�ÖÑ"ÒÔÓ²Ò:Õ�Ò��GÕ�Ö�ײÑØÒm�"Ù�Ú�÷�ø»Ò:Û Ý87

ö æ�ã�êmå à %'&ÎÍ�·X# 99�(,��"/��8'��;7Q'��2*.,ù�:��'43 '43�� %<; �=!.'(#%*$���1'43�)>*%, '43��&'43������-��)"!$#%��&?*$)"�@�(#%+����D=A61¼�BC6l99��)�'�7�*%'(+�)-,»�D ��&�'�½*=E���;7�*��������3/0'(�(,F��&G!$��� &�3�*C�:,H&1+ ( �����1) ( *.&1�3/0*.,l'43F�I�1)"!$#%�%6:�J�2#¦3+'"7�*%'(+¹)-,r�K&�!¦)-�<)L*.�j=¦ºM'(�(,F��&�6

Page 104: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

N OQPSRUTWVYX Z

[ \S]_^ `a^ b-c-b�dfegb�h i ]kj lmc�d n4]o\ egp l q `rj ]ts

eu\g`rs dvn4]_\wi ]_n x b y lmcM`ze{lmj c-b-s l|d

}8í Þ�ßmàÂî å à ëXæÎä�ê�è2ò ß á î�ÞCà åC~ ø>àùß á�ë à ò ß á$å�á¸ò ÞCà å�æ�� à ð á¸í�á¸â�ó Þ æÎò+á¸âÎâÎó Þ�ßmà ûDá¸ðmä�í Þ å�á¸í�è�ñEä¸å ç ä¸ñ|á î æ � �à âÎá ÞCà ð à ðmã àÁç á î ã�æ�ë à íMá¸í à ðmã à æÎí�ð�æÎò+á Þ ä¸åÂñê�í:ò Þ æ�ä�í & ô ä ø&à ë à åC~6ñä¸å ç ä�è Þ ê�è à èÂä¸ñ Þ�ßmà û/á¸ðmä�íÞ å�á¸í�èCñä¸å ç æÎí�òAä çïî ê ÞCà ådë�æÎè�æ�ä�í�~ Þ�ßmàlà ðmã à æ£í�ð�æÎò+á Þ ä¸å&ñê:í�ò Þ æ�ä�í�æÎè>í�ä Þ ��ímä ø íÁá¸í�ð ß á¸è Þ äùé à æ Þ è à â�ñð à+ÞCà å ç æ£í à ðÔñå�ä ç Þ�ßmà ä¸é:è à å�ë à ðüæ ç á$ã à è & ò ß æÎè?æÎè?á¸íüæÎímñ à å à í�ò à¬î å�ä¸é:â à�ç á¸í:ð�~�è�æÎí�ò àïÞ�ßmà å à á$å àê�è�ê�á¸â£â�óÇë$á$å�æ�ä�ê�è¬è�ä�êmå�ò à ä¸ñ�ê�í�ò à å Þ á¸æ£í Þ ó õà & ã & ê�í���ímä ø í í»ê ç é à åïä¸ñ�âÎæÎí à èA~>ê�í���ímä ø í â£æÎí à�î á �å�á çïà+ÞCà å�è ÷ á¸í�ðÇímä�æ£è à�õ è à í�èCä¸åùímä�æÎè à ~ à ðmã à ð à+ÞCà ò Þ æÎä�íMímä�æÎè à ~�æ ç á$ã à å à ã�æ�ä�í�è ø æ Þ�ß ä�ê Þ�à ðmã à èÂé:ê Þè Þ å�ä�ímã�âÎó ÞCà��XÞ êmå à ð ÷ ~�æ£è/í�á Þ ê�å�á¸âÎâ�ó�ñEä¸å ç ê�â£á ÞCà ðìá¸è-á î å�ä¸é:â à�ç ä¸ñ|è Þ á Þ æÎè Þ æ£ò+á¸â�æÎí�ñ à å à í:ò à & ��ê�ò ß ñä¸å �ç ê:âÎá Þ æ�ä�í±æÎí»ë¸ä�â�ë à è|á¸è�è�æÎã�í�æÎímã-á çïà á¸è�êmå à<Þ ä Þ�ß�à è î á¸ò à ä¸ñ à ð�ã à æÎí�ð�æÎò+á Þ ä¸åjñ�ê�í�ò Þ æ�ä�í:èA~�á¸í�ð±ð à å�æ�ë�æÎímãè Þ á Þ æÎè Þ æ£ò+á¸âÎâ�óÀä î:Þ æ ç á¸â î å�äXò à ð�ê�å à èdñEä¸å/ð à+ÞCà å ç æÎí:æÎímã Þ�ßmà ë$á$å�æ�ä�ê�è<ê�íK�Xímä ø í�è &};í Þ�ß æ£è²ò ß á î�ÞCà åC~ ø&à è Þ á$å Þ ñå�ä ç Þ�ßmà è�æ çïî â à è Þ"çïà á¸è�êmå à ä�í Þ�ßmà è î á¸ò à ä¸ñ:æÎí�ð�æ£ò+á Þ ä¸å²ñ�ê�í�ò Þ æ�ä�í�è õ áê�í�æ�ñä¸å ç ð�æÎè Þ å¦æ�é:ê Þ æ�ä�í Þ�ß á Þ2ç á�� à è2á¸âÎâ�âÎæ£í à è à k ê�á¸âÎâÎóÀâÎæ�� à â�ó ÷ á¸í�ð�ð à å�æ�ë à ò+â�ä�è à ð � ñEä¸å ç à���î å à è�è�æ�ä�í�èñEä¸å�ë¹á$å�æÎä�ê�è|è Þ á Þ æÎè Þ æÎò+è6ä¸ñ Þ�ßmà ûDá¸ð�ä�í Þ å�á¸í�èCñä¸å ç ä¸ñ î æ �Xà âÎá ÞCà ð à ð�ã àDç á î è # æ Þ è î å�ä¸é:á$é:æÎâ£æ Þ óÂð à í�è�æ Þ óñê:í�ò Þ æ�ä�í�~�ú�å�è Þ � á¸í:ðÂè à òAä�í�ð � ä¸å�ð à å ç ä çïà í Þ èC~$á¸í:ð Þ�ßmà|î å�ä¸é:á$é:æÎâ£æ Þ ólð à í�è�æ Þ ó-ñê�í:ò Þ æ�ä�í�ä¸ñmæ Þ è²è�á çïî â àçïà á¸í & ò ß æÎè>è Þ á Þ æÎè Þ æÎò+á¸â�ò ß á$å�á¸ò ÞCà å�æ���á Þ æ�ä�í�æÎèdáùè�æ�ã�í�æ�ú:ò+á¸í Þ å à è�ê�â Þ æÎí Þ�ßmà è à í�è àlÞ�ß á Þ æ Þ&î å�ä�ë à è Þ�ßmàà�� æ£è ÞCà í�ò à ä¸ñ-áÇè Þ á Þ æÎè Þ æÎò+á¸â2âÎá ø øDß æÎò ß ã¸ä�ë à å�í:è Þ�ßmà á ç¬î âÎæ Þ ê�ð à è ä¸ñ Þ�ßmà å¦á¸ímã à ñ�ê�í�ò Þ æ�ä�íØä¸ñ Þ�ßmàûDá¸ðmä�í Þ å�á¸í�è�ñEä¸å ç & ò ß�à�à�� æÎè ÞCà í�ò à ä¸ñÂè�ê�ò ß â£á ø èA~DñEä¸å ç á¸í»ó Þ å�á¸í�è�ñEä¸å ç èÀòAä ç¬ç ä�í:â�ó�ê�è à ðIæÎíëXæ£è�æ�ä�í�~ ß á¸è±é à+à í á$å�ã�ê à ð éXóüë$á$å�æ�ä�ê�èïá¸ê Þ�ß ä¸å�èïæÎí Þ�ßmà å à ò à í Þ¬î á¸è Þ�õ Æù �Ù²ÑJ� Ù²Ñ"Ó��Ø "Ú��»×G��Óõ Í�¶¸¶¸¶�÷ L?� ×G�XÕ�Ö��8��Ù Ù²Ñ"Ó���ÖEÚ-ײÑJ��ÒK�9��Ö õ � �����r÷ LE� ��Ò�Ñ�ٲѲӲÒK�IÙ²Ñ"Ó�����Ö���Ù�Û�ÕrÙ9�XÙ õ � ���mÍ�÷C÷a& � àî å à è à í Þ áùð à å�æÎë¹á Þ æ�ä�íÀñEå�ä ç ú�å¦è Þ�î å¦æÎí�ò+æ î â à è Þ�ß á Þ ~ Þ ä Þ�ßmà é à è Þ ä¸ñ�ä�ê�åE��ímä ø â à ðmã à ~ ø á¸è î å à ëXæ�ä�ê:è�â�óê�í�á�ë¹á¸æÎâ£á$é:â à ñEä¸å Þ�ßmà ûDá¸ðmä�í Þ å�á¸í�èCñä¸å ç &ulè&æ£í Þ�ßmàlî å à ë�æ�ä�ê�è>ò ß á î:ÞCà åC~ Þ�ßmàlà�� æÎè ÞCà í�ò à ä¸ñ�áùè�ä�ê�í�ðÀò ß á$å�á¸ò ÞCà å�æ���á Þ æ�ä�íKä¸ñ Þ�ßmàïõ è Þ á Þ æÎè Þ æÎò+á¸â ÷

ÝF�

Page 105: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Ï��rÐ�7 Ù��K��×J�GÙJ�GÖ��rÖEÕ� Ó²Ò�ѲÛ�ÖEÕ���� "ÑJ��Õ�Ö×�Ñ��X×J�ØÕ�"Ò���Ù²Ó�ײÑØÕ��ٲѲÛ��»×G��Ú Ý��î å�ä î�à å Þ æ à è|ä¸ñ Þ�ßmà û/á¸ðmä�í Þ å¦á¸í�èCñä¸å ç à í�á$éGâ à è Þ�ßmà ð à è�æ�ã�íÀä¸ñ"èCä î:ß æ£è Þ æÎò+á ÞCà ðÀæ£ímñ à å à í�ò à á¸â�ã¸ä¸å�æ Þ�ß�ç è &� à æÎâÎâÎê�è Þ å�á ÞCà2Þ�ß æÎè î ä�æÎí Þ é»ó î æÎò���æÎímãùê îÀø/ßmà å àlø>à â à ñ Þ ä$ÿìæ£í Þ�ßmàlî å à ë�æ�ä�ê�è&ò ß á î:ÞCà å # á¸íÀä î:Þ æ ç á¸âá¸â�ã¸ä¸å�æ Þ�ß:ç ~ræÎí Þ�ßmà/ç æÎí�æ ç ê ç î å�ä¸éGá$é:æÎâÎæ Þ ó?ä¸ñ à å�å�ä¸å>è à í�è à ~ Þ äùð à+ÞCà å ç æÎí à&Þ�ß�à í»ê ç é à å|ä¸ñ î æ ��à âÎá ÞCà ðâÎæÎí à èdæÎí�á±ã�æ�ë à í à ð�ã à?ç á î &?� ß æ£è&á¸â£â�ä ø è Þ�ß�à á î�î âÎæÎò+á Þ æÎä�íÁä¸ñ Þ�ßmà ulg-��â£æÎí à ð à+ÞCà ò Þ æ�ä�í�á¸â�ã¸ä¸å¦æ Þ�ß�çä¸ñ Þ�ßmà�î å à ë�æ�ä�ê�èÂò ß á î�ÞCà å Þ ä â�äXò+á¸â>æ ç á$ã à í à æ�ã ß é�ä¸å ß äXäXð�è &�� ßmà å à è�ê�â Þ ä¸ñ2æÎí ÞCà ã¸å�á Þ æÎí�ã Þ�ßmàÁÞ�ø äá¸â�ã¸ä¸å�æ Þ�ß:ç è>æ£è&á±âÎæ£í à ð à+ÞCà ò Þ æÎä�í î å�ä�ò à ð�êmå àlÞ�ß á Þ æÎèdò+á î á$é:â à ä¸ñ î å�ä�ë�æÎð�æÎí�ã è î á Þ æ£á¸âÎâ�ó¬â�ä�ò+á¸âÎæ�� à ð�âÎæÎí àà è Þ æ ç á ÞCà è &�4 .¡ ¢ £¥¤�¦�§¥¨"§ª©$«.©�¬@­o®ª¯±°¥²©�¬@­_³�«ª°¥´<¬�©�¦0°µ³�¦¶¤·¬¸¥¯|¹�¨-®ª¦0°o¬¤�¨"°¥²�³C¦0¤:º� ä�á¸ò ß æ à ë à á�è Þ á Þ æÎè Þ æ£ò+á¸â²ò ß á$å�á¸ò ÞCà å�æ���á Þ æ�ä�íÄä¸ñ Þ�ßmà ûDá¸ð�ä�í Þ å�á¸í�è�ñEä¸å ç ~ ø&à å à è Þ å¦æÎò Þ ä�êmålá ÞCÞCà í Þ æÎä�íÞ ä Þ�ßmà è�æ çïî â à è Þïî ä�è�è�æ�é:â à�ç¬à á¸è�êmå à ~dä¸åª»�¼.½1¾�¼�~2ñEä¸å à ðmã à æ£í�ð�æÎò+á Þ ä¸å¬ñ�ê�í�ò Þ æÎä�í�è # Þ�ßmà ä�í à�øDß æÎò ßá¸è�è�ê ç¬à è Þ�ß á Þ á¸âÎâ�â£æÎí à è<á$å à ðmå¦á ø í�æ£í�ð à+î�à í�ð à í Þ â�ó &pÀ¿rq6s<ÁÃÂFÁ�Ä�sÆÅ�Ç1ÈKÇ ` ä�í�è�æÎð à å Þ�ß�àDà ðmã à-ç á î �JÉËÊ ��Ì õ�Í ÷ á¸è�èCä�ò+æÎá ÞCà ð ø æ Þ�ß á¸í à ðmã à æÎí�ð:æÎò+á Þ ä¸å�ñ�ê�í�ò%ÎÞ æ�ä�í � ð à ú:í à ðMä�íÐÏ�ÑÓÒ ÔÕ Ò Ö & � æ£è?ð à ímä ÞCà ð[á¸è á¸ív½�×�Ø8Ù�»�ÙA×�Ø8ÙA×ÛÚÝÜ�×�ØÞ½1Ø8Ù�×�Úß½ßà.Ü�á�á ¤ Ø�½Ãâ�Úß¼.½�ãu��ÚäÙ$Ø Z ½�½ßØ ]Ù�ØCå�Ùæ½�×�Ø�½1à$Ü�Ú�¾�¼4ç��@×�àCÚß½1¾�× ø/ßmà í�~�ñEä¸åïá¸í»óMâÎæÎí àéè Î Þ ê î�î â à i � b i.ê AëAëAëC i�ì O i�í=îvï õ�ð U&V�ñ 3ò U&V�ñ ÷ có~Þ�ßmà�î å�ä¸éGá$é:æÎâÎæ Þ óÀð à í�è�æ Þ ó�ñê:í�ò Þ æ�ä�í�ä¸ñ i è�á Þ æ£èCú à è Þ�ßmà ñEä�âÎâÎä ø æÎí�ã±òAä�í:ð�æ Þ æ�ä�í

®�ôßõ Ò÷ö÷ö÷ö Ò ôÃø Ê � õ i$ê AëAëAë� i�ì ÷ � ìùí�úGê ®�ô Ê � õ i�í ÷ Ì ë õ�ô &ÎÍ�÷

}Qñ ®�ô Ê � õ i�í ÷ Ì ��û� 8� iäíEîÞï õ�ð U&V�ñ 3ò U>V$ñ ÷ ~ ø/ßmà å à û æ£èDá�òAä�í�è Þ á¸í Þ ~ Þ�ßmàÂà ðmã à æÎí�ð:æÎò+á Þ ä¸åDñ�ê�í�ò Þ æ�ä�íìæÎè�@×K½ çA¾�¼%ü¥á ¤ Ø�½�â%Úß¼%½1ã9�@ÚäÙ$Ø &� à á¸ò���ímä ø â à ðmã à?Þ�ß á Þ&Þ�ß�à á¸è�è�ê çïî:Þ æ�ä�í�è>ä¸ñ�æÎí�ð à+î�à í:ð à í�ò à á¸í:ðKê�í�æ�ñä¸å ç æ Þ ó ç á�ó�ímä Þ á¸â ø á�ó�èé à á î�î å�ä î å�æÎá ÞCà & }8íüñá¸ò Þ ~ ç ä�è Þ æ ç á$ã à è ÞCà í�ð Þ ä à��mß æ�é:æ Þ ã à ä çïà+Þ å�æÎò�è Þ å¦ê�ò Þ êmå à æÎí Þ�ßmà ñä¸å ç ä¸ñç ä�è Þ â�ó î á$å�á¸âÎâ à â�ä¸å î�à å î�à í�ð�æÎò+ê:âÎá$åDâÎæÎí à á$å�å�á¸í�ã à�çïà í Þ èC~²á¸è ø>à â£â�á¸è�ð�ä ç æÎí�á¸í Þ â£æÎí à ä¸å¦æ à í Þ á Þ æÎä�í�è &

}8í Þ�ßmà è à ò+á¸è à èA~»é�ä Þ�ßÀÞ�ßmà æÎí�ð à+î�à í:ð à í�ò à á¸í�ðÀê:í�æ�ñä¸å ç æ Þ ó á¸è�è�ê çïî�Þ æ�ä�í�è ø æÎâÎâ�é à ê�ímå à á¸â£æÎè Þ æÎò &jt à ë9Îà å Þ�ßmà â à è�èA~ Þ�ßmà è à á¸è�è�ê çïî�Þ æ�ä�í�èdò+á¸í�é à k ê:æ ÞCà ê�è à ñ�ê�â:é à ò+á¸ê�è à�Þ�ßmà óÁè�æ çïî âÎæ�ñó Þ�ßmà-î å�ä¸é:â à�ç òAä�í:è�æÎð@Îà å�á$é:â�óÄá¸í�ðÇá¸âÎâÎä ø æÎí�è�æ�ã ßrÞ è Þ�ß á Þ�ø ä�ê�â£ð ä Þ�ßmà å ø æÎè à é à ð�æΧÀò+ê�â ÞlÞ ä�á ÞCÞ á¸æÎí &¬ö ä¸å Þ�ß æÎè-å à á¸èCä�í�~ ø&àå à è Þ å�æ£ò Þ ä�ê�ådá ÞCÞCà í Þ æ�ä�í Þ ä Þ�ßmà è à+Þ ä¸ñ à ðmã à æÎí�ð�æ£ò+á Þ ä¸å&ñ�ê�í�ò Þ æÎä�í�è Þ�ß á Þ á$å à ê�í�æ�ñä¸å ç á¸í�ð�æÎæÎð õ ê�æÎæÎð ÷a&� à è Þ á$å Þ é»óKð à å�æÎëXæÎí�ã Þ�ßmà ë$á¸âÎê à ä¸ñ Þ�ßmà òAä�í:è Þ á¸í Þ ûF&ýE¿@þ�þ ÿ Å�Ç1ÈÛÇ��JÙCÚ � ã$Ù¥ÜÇ�@½�½1Ø�Ù�ØCå�Ù ½�×�Ø�½ßà.Ü�Ú�¾�¼Mç!�@×�à�Ú߽߾�× Üóà.à$¾�¼3Ø�½�×9åÐÚ�¾��¥Ù��?×Û½�Úß½1¾�×���� ����@ÙA×��

®�ô õ�� ��X÷?� wx yû ½ ç õ�� ��»÷ î�ï õ�ð U>V$ñ 3ò U>V$ñ ÷� ¾�Ú���Ù�¼�� ½ÃâCÙ õ�ô & � ÷

Page 106: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Ï��rÐ�7 Ù��K��×J�GÙJ�GÖ��rÖEÕ� Ó²Ò�ѲÛ�ÖEÕ���� "ÑJ��Õ�Ö×�Ñ��X×J�ØÕ�"Ò���Ù²Ó�ײÑØÕ��ٲѲÛ��»×G��Ú Ý�����@Ù�¼�Ù ï õ�ð U&V�ñ 3ò U>V$ñ ÷ ½�â=ÜFâ�å�½���ÙA× ã ¤ �¥Ù��?×Û½�Úß½1¾�×����� �

û � Í!#" � $ òAä�è&%(' )+*�,.- õ�ô &0/�÷Ü�×�Ø $ ��,ÆÜFâݽ�×213�����(45�¼3¾C¾�ç7698&ä�í�è�æÎð à å¬áÇâÎæ£í à;: � õ�� ��»÷a& }8ñ :=<î ï õ�ð�>@? ñ 3ò >@? ñ ÷ ~ Þ�ßmà íBA : õ�� ��»÷ � �Ã&DC ä ø ~dæÎñ: î�ï õ�ð�>&? ñ 3ò >&? ñ ÷ ~A : õ�� ��X÷t� ÍE 'F E GIH Ò J�K�LNM G ñPO.QSR Ò T OUQSR KV � V �

� Í� E 'F õ�ð�>@? ñ.W òAä�è � W7X ò >@? ñUW è�æÎí � W ÷ V �� Í� E 'Y[ZF õ ò >@? ñ è�æÎí � X ðU>@? ñ òAä�è �»÷ V � X � E ''Y[Z õ ò >@? ñ è�æÎí � * ðU>@? ñ òAä�è �»÷ V �

� \� $ E ' Y[ZF õ è�æÎí],/è�æÎí � X òAä�è^,DòAä�è �»÷ V � X � $ E ''Y[Z õ è�æÎí],/è�æÎí � *ÇòAä�è^,/òAä�è �»÷ V �

� \� $`_ E 'Y[ZF òAä�è õ ,a* �X÷ V � * E ''Y[Z òAä�è õ , X �»÷ V � b ø æ Þ�ß $ á¸í�ðc,ìá¸èDæ£í õ ! & \ /�÷a&M� ß�à â à�ç¬ç á±ñä�âÎâ�ä ø è<á$ñ ÞCà ålèCä çïà á¸âÎã à é�å�á¸æÎò ç á¸í:æ î ê�âÎá Þ æÎä�í &

��æÎí:ò àùÞ�ß�à ûDá¸ðmä�í Þ å¦á¸í�èCñä¸å ç ä¸ñdá î æ ��à âÎá ÞCà ð à ðmã àÀç á î æÎè�áKð à+ÞCà å ç æ£í�æÎè Þ æÎò ñ�ê�í�ò Þ æ�ä�í ä¸ñ Þ�ßmàá¸è�èCä�ò+æÎá ÞCà ð�è à+Þ ~edgf ê õ \ ÷ ~�ä¸ñ à ðmã à èA~má çïà á¸è�êmå à ä�í Þ�ßmà è î á¸ò à ä¸ñ à ðmã à æ£í�ð�æÎò+á Þ ä¸å>ñê�í:ò Þ æ�ä�í�è�æ£í�ð�ê�ò à èá çïà á¸è�ê�å à ä�í Þ�ßmà å¦á¸ímã à è î á¸ò à ä¸ñ Þ�ßmà ûDá¸ðmä�í Þ å¦á¸í�èCñä¸å ç & � à í à��XÞ ð à å¦æ�ë àKÞ�ßmà�î å�ä¸é:á$é:æÎâÎæ Þ óð à í�è�æ Þ ó�ñ�ê�í�ò Þ æ�ä�í á¸è�è�äXò+æÎá ÞCà ð ø æ Þ�ßÄÞ�ßmà âÎá ÞCÞCà å øDßmà í Þ�ß á Þ á¸è�è�äXò+æÎá ÞCà ð ø æ Þ�ßìÞ�ßmà ñEä¸å çïà å�æÎè õ�ô & � ÷a&ö ä¸å Þ�ß æÎèA~ ø&à í à+à ð�èCä çïà æÎí ÞCà å çïà ð�æÎá ÞCà ð à úGí�æ Þ æ�ä�í�èdá¸í�ð�å à è�ê�â Þ è &hÀ¿jigk<ÁÃÂFÁ�Ä.k{Å:Ç3lÇ � ß�à � ½ßØ�Ú�� ¾3ç=Ú��@Ù ½�×ÛÚäÙ�¼.âAÙ$àCÚß½�×9å âAÙCÚ�Ïnm2o : ÏMÑÓÒ ÔÕ Ò ÖDp ä¸ñ Þ�ß�à âÎæÎí àq: � õ���r �� r ÷ á Þ �æÎè sô õ �X÷ � �(tvuxwmõ �� ��r �� r ÷ * � í5ìy õ �� ��r �� r ÷ õ�ô & ! ÷øDßmà å àz�(t{uxwmõ}| ÷ á¸í�ð � í5ìy õ}| ÷ á$å à á¸è/ð à ú:í à ðKæÎí � ßmà ä¸å à�ç ! & \ &

� ßmà ñä�âÎâ�ä ø æÎímã?â à�ç¬ç á�è ß ä ø è Þ�ß á Þ|Þ�ßmà2ø æ£ð Þ�ß ä¸ñ Þ�ßmà æÎí ÞCà å�è à ò Þ æÎí�ãÂè à+Þ ä¸ñ�áÂâ£æÎí à æÎè|ð à+ÞCà å ç æÎí à ðé»ó�á¬è�æ çïî â à ñê:í�ò Þ æ�ä�í�ä¸ñ6æ Þ è2â à í�ã Þ�ß á¸í�ð�ð�æ�å à ò Þ æ�ä�í &ýE¿@þ�þ ÿ Å�Ç3l�Ç~���@Ù�� ½1Ø�Ú�� ¾�çÝÚ��@Ù ½�×ÛÚäÙ�¼.âAÙ$àCÚß½�×9å âAÙCÚM¾3çÝá�½�×�Ù : � õ���r �� r ÷ ½�âs

ô õ �»÷ ��� õ���r �� r ÷ W è�æÎí õ � r * �»÷ W õ�ô &0��÷���@Ù�¼�Ùq� õ}| ÷ ½�â=Ø8Ù��±×�Ù�Øæ½�×D���@Ù�¾�¼�Ù�ü�� ��

Page 107: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

���j��7 Ù��K��×J�GÙJ�U���j����9�����²ÛP������e���J�.�.���������J���������Ù����������Ù��²Û��#�G��Ú Ý��5�¼3¾C¾�ç76+8&ä�í�è�æÎð à å Þ�ßmà ñä�êmålð:æ­ÿ à å à í Þ ò+á¸è à è-æÎí Þ�ß�à î å�ä»ä¸ñjä¸ñ � ß�à ä¸å à�ç ! & \ &�ö ä¸å�ò+á¸è à èÝÁ{��á¸í�ðÁßÁv��~�æ & à & øDßmà í W ��r W����� ò >&? ñ�W è�æÎí � r W * ð�>&? ñUW òAä�è � r W��� ~ Þ�ßmà å à è�ê�â Þ è/á$å à è Þ å�á¸æ�ã ß»Þ ñä¸å ø á$å¦ð & 8&ä�í:è�æÎð à åímä ø Þ�ßmà å à�ç á¸æ£í�æÎímã Þ�ø äÁò+á¸è à è &>ö ä¸ålò+á¸è à ÁßÁßÁv��~�(t{uxw * � íLìy � W è�æÎí õ � r * �»÷ We� ð�>@? ñW è�æÎí õ � r ÷ W X ò >@? ñW òAä�è õ � r ÷ W�� X�W ��r We� è�æÎí �W è�æÎí õ � r ÷ W X òAä�è �W òAä�è õ � r ÷ W��

� W è�æÎí õ � r * �»÷ We� ð�>@? ñW è�æÎí õ � r ÷ W X ò >@? ñW òAä�è õ � r ÷ W�� * � W ��r W è�æÎí õ � r * �X÷è�æ£í õ � � r ÷ ë��æÎí�ò à è�æÎã�í Ê è�æÎí õ � r * �»÷ Ì � è�æ�ã�í Ê è�æÎí õ � � r ÷ Ì ~ Þ�ß�à í��t{uxw * � í5ìy � W è�æÎí õ � r * �»÷ W � ð�>&? ñW è�æÎí õ � r ÷ W X ò >&? ñW òAä�è õ � r ÷ W�� * � W ��r W ���� è�æÎí õ � r * �»÷è�æÎí õ � � r ÷ ���� ë��æ ç æ£âÎá$å�â�ó�~»ñEä¸åDò+á¸è à Á�����~�á¸í�ð�è�æÎí�ò à è�æ�ã�í Ê è�æÎí õ � r * �»÷ Ì � *2è�æ�ã�í Ê è�æÎí õ � � r ÷ Ì ~�(t{uxw * � íLìy � W è�æÎí õ � r * �»÷ W � ðU>@? ñW è�æÎí õ � r ÷ W X ò >@? ñW òAä�è õ � r ÷ W�� X � W ��r W è�æÎí õ � r * �X÷è�æ£í õ � � r ÷

� W è�æÎí õ � r * �»÷ We� ðU>@? ñW è�æÎí õ � r ÷ W X ò >@? ñW òAä�è õ � r ÷ W � * � W ��r W ���� è�æ£í õ � r * �X÷è�æ£í õ � � r ÷ ���� á¸í�ð Þ�ßmà â à�ç¬ç á±ñä�âÎâ�ä ø è &  í à æÎí ÞCà å à è Þ æÎí�ã òAä�í�è àP¡ ê à í�ò à ä¸ñ Þ�ß æÎè&â à�ç¬ç áùæÎè Þ�ß á Þ ~�ã�æ�ë à íKá â£æÎí à]: ~ Þ�ßmà/î å�ä¸é:á$é:æÎâ£æ Þ ó Þ�ß á Þ áâÎæÎí àq:£¢�ø æÎâÎâGé à âÎä�ímã Þ äÀæ Þ è2æ£í ÞCà å�è à ò Þ æÎímã¬è à+Þ æ£è î å�ä î ä¸å Þ æ�ä�í�á¸â Þ äÀæ Þ è2â à ímã Þ�ß &ýE¿@þ�þ ÿ�Å:ÇZ�:Ç¥¤ ¾�×�â.½1Ø8ÙA¼æÜ á�½�×�Ù : � õ���r �� r ÷ îYï õ�ð�>&? ñ 3ò >@? ñ ÷ 9���@ÙÝ»�¼3¾8ã�Ü9ã�½�á�½ßÚ�¦ Ú���Ü�Ú4Ü á�½�×�Ù : ¢Ø�¼3Ü � × ¼3Ü�×�Øó¾�ü¥á§¦ÐÜóà$à.¾�¼�Ø�½�×9å Ú�¾¨1}©3ª74�� ½�á�áIã$Ù�á�¾�×9å�Ú�¾0Ï@m o : Ï�ÑÓÒ ÔÕ Ò Ö9p ½�â« _ : ¢ î Ïnm o : Ï ÑÓÒ ÔÕ Ò ÖDp b � � A�ô õ�: ¢ ÷�� õ���r �� r ÷. õ�ô & ô ÷���@Ù�¼�Ù@A ô õ�: ¢ ÷ ½�â¶å�½���ÙA× ã7¦c1}© ¬ª745�¼3¾C¾�ç76 « _ :{¢ î Ïnm9o : ÏMÑ¥Ò ÔÕ Ò Ö p b � ­ G§H Ò J�K�L7®#¯ G ô K A ô õ�:£¢¬° V � V �

� A�ô õ�:}¢±° ­ 'F sô õ � ° V �

� A ô õ�:}¢±° � õ���r �� r�° ­ 'F W}²�³¬´ õ � r * � ° W V �µ ´�¶�·�¸�¹»º¬¹P¼+¼ µ ñ�½ º¬º ½¿¾ ² &� ¸�¹ ñ�½ º¬º ½N¾ ³¬´�À�·�¸�¹ ½Á ¹P¼ Á ¹Pº3³±¹P² ½ ´B·�¸�¹P²�¹ Á ¹P²�Â�º±·�² ~ µ ´�¶Ã·�¸�¹ C �eÄ µ Å�Å Á�½¿Æ ³¬¼ µ ·�³ ½ ´ ~ · ½c½Ç · µ ³¬´µ ´�¹ Æ Å Á ¹P²�²�³ ½ ´ ñ�½Á ·�¸�¹ Å Á�½Ç µ Ç ³¬º¬³±· ó ¶�¹P´�²�³¬· ó~½¸ñ ·�¸�¹�È µ ¶ ½ ´�· Á µ ´�² ñ�½Á ¼ ½¸ñ µ À ³±É¹P´¥º¬³3´�¹ : &

Page 108: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

���j��7ËÊ��K�^�J�UÊJ�U���j����9������ÌP������e���J�.�.���������J��������^Ê���������^Ê���Ì��#�G�ÎÍ Ï��Ð�Ñ ¿�Ä�ÒF¿�þ Å�Ç1ÈKÇ�¤ ¾�×�â%½ßØ8ÙA¼ Ü á�½�×�Ù : Ü�×�Ø�Ø8Ù�×�¾�ÚäÙ�ã(¦+Ó õ�: ¢ ° Ú���Ùé��Ü�á7�KÙæ¾�çWÚ���ÙÕÔ»Ö�×|Ú�¾ Ú��@ÙÙØ-ÜóØó¾�×Úß¼�Ü�×�â�çA¾�¼%ü ¾3ç : 1��¥Ù��?×K½ßÚß½1¾�×¥� ��(4 Ü�Ú<Ü-»@Ü�¼3Ü�üéÙAÚäÙA¼.½¬ÚCÜóÚ߽߾�× :£¢ Ø�¼�Ü � ×��<½�×�Ø8Ù�»�Ù�×�Ø9Ù�×ÛÚß᧦¥¾3ç : �<Ü8à$à$¾�¼�Ø�½�×9åÚ�¾¨1}©3ª74 a���@Ù�×���Ó õ�:£¢±° ½�â Ø�½Ãâ�Úß¼.½�ãu��ÚäÙ$ØÀÜóà$à.¾�¼�Ø�½�×9å Ú�¾« Ê Ó õ�: ¢ °ÜÛ�Ý W :gÛ õ���r�Þ � r�° Ì õ�ô &àß °Û « _ :{¢ î Ïnm o :�Þ ÏMÑ¥Ò ÔÕ Ò Ö9p bcáâ \ã \ * % Õ ? - Z�ä ZÝ#å È�æ Õ�ç ? ç�è O.Q[R¿é õ�Ý�°

X ê \ *ìë \ * o ä Ý p Z�ízî õ�Ý *ÃÓ >@? ñ °}ï X o \ *ë _ :}¢ î Ïnm o :�Þ Ï ÑÓÒ ÔÕ Ò Öìp b p î õ�Ý�°�Þ õ�ô &0ð °���@Ù�¼�Ù�Ó >&? ñ ½Ãâ¶å�½���ÙA× ã7¦Ù�GÙ�ü¥üWÜ�� ��j5�¼3¾C¾�ç76Ý� ³¬´ ò ¹ : ¢ ³¬²ñ¶ Á µ ¾ ´�³¬´�¶�¹ Å ¹P´�¶�¹P´j·�º ó+½¸ñ : ~�« Ê : ¢ Û õ��NÞ � ° W : Ì Û « Ê : ¢ Û õ��NÞ � ° Ì�µ ´�¶« Ê Ó õ�: ¢ °ÜÛ�Ý W :gÛ õ���r{Þ � r�° Ì Û­ G§H Ò J�K�LNM G ñPO.Q[R Ò T O.QSR K « Ê Ó õ�: ¢ °ÜÛ�Ý W :ÜÛ õ���r�Þ � r�°�ÞS: ¢ Û õ��NÞ � ° Ì « Ê : ¢ Û õ��NÞ � ° Ì V � V �Û ­ G§H Ò J�K�L(®#¯ G ô K « Ê Ó Û�Ý W :�ÞS:}¢ Ì A ô õ�:£¢¬° V � V � X ­ GIH Ò J�K£òL7®j¯ G ô K « Ê Ó Û�Ý W :�ÞS:£¢ Ì A ô õ�:}¢±° V � V � õ�ô &0ó °¾ ¸�¹ Á ¹ ¾ ¹ ½ ¼+³¬·ñ·�¸�¹ ò(½ ´�¶�³±·�³ ½ ´�³¬´�À Å�µ Á µ ¼+¹7·S¹ Á ² :ÜÛ õ���r�Þ � r�° µ ´�¶ : ¢ Û õ��¿Þ � ° ñ�½ÁôÇ�Á ¹7Ée³±· ó &gõ ¹Õ²S· µ Á ·Ç»ó�ò(½ ´�²�³3¶�¹ Á ³¬´�À õ��NÞ � ° î Ï@m õ�:�° ~ ³¬´ ¾ ¸�³ ò ¸ ò µ ²S¹z³¬· ñ�½ º¬º ½¿¾ ² ñ�Á�½ ¼÷ö�¹7ø�´�³±·�³ ½ ´ �'& \ ·�¸ µ ·« Ê Ó õ�:{¢¬°ÜÛ�Ý W :�ÞS:}¢ Ì Û î ��¼+³¬´¨ù Ó >@? ñ Þ äW}²�³¬´ õ � r * � ° W±ú * Ý � ëû ¹P´ ò ¹ ~ ­ G§H Ò J�K�L7®#¯ G ô K « Ê Ó õ�: ¢ °ÜÛ�Ý W :�ÞS: ¢ Ì A ô õ�: ¢ ° V � V �Û û ­ 'F sô õ � ° î � ¼+³¬´ ù Ó >@? ñ Þ äW}²�³¬´ õ � r * � ° W¬ú * Ý � V �Û ûü� õ���rvÞ � r�° ­ 'F W}²�³3´ õ � r * � ° W î ��¼+³¬´¨ù Ó >@? ñ Þ äW}²�³¬´ õ � r * � ° W ú * Ý � V �Û \ý « _ : ¢ î Ï@m o :�Þ Ï ÑÓÒ ÔÕ Ò Ö9p b­ 'F W}²�³¬´ õ � r * � ° W î ��¼�³¬´¨ù Ó >&? ñ Þ äW}²�³3´ õ � r * � ° W ú * Ý � V ��ë õ�ô & \7þ °Ä ²�²�Â�¼+³3´�À ~�¾ ³±·�¸ ½ Â�·ÿº ½ ²�² ½¸ñ À¹P´�¹ Á µ º3³±· ó�~ ·�¸ µ · � r�� ' Z µ ´�¶�¹ Æ Å º ½ ³¬·�³¬´�ÀÙ·�¸�¹z² ó ¼+¼�¹7· Á ³±¹P² ½¸ñ ·�¸�¹ñ Â�´ ò ·�³ ½ ´�²ôW}²x³¬´ õ � r * � ° W µ ´�¶ ê������� G J f J�K � õ ²S¹7¹���³±À  Á ¹ ô & \ ° ~ ·�¸�¹ô³¬´#·S¹7À Á µ º�³3´ õ�ô & \7þ ° ò µ ´ Ç ¹ Á ¹ ¾]Á ³±·S·S¹P´

Page 109: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

� j���ËÊ��K�^�J�UÊJ�U���j�����9������ÌP�������e�����.�.���������J��������^Ê���������^Ê���Ì��#�G�ÎÍ Ï��|sin(θ

l−θ)|

1/|sin(θl−θ)|

θl

π 0 θl−π/2 2 θ

l−π

��³±À  Á ¹ ô & \������������! #" %$&�(')��* õ+�,.- /10�2�354�2768+ ')��9.:;�(<=>��?%�;��?)9@ BAµ ² ­ 'F W}²x³¬´ õ � r * � ° W î � ¼+³3´ ù Ó >&? ñ Þ äW}²�³3´ õ � r * � ° W3ú * Ý � V �Û ­ J fDC&E8F �8���HGJIK O.QSRMLF W}²�³¬´ õ � r * � ° W î � äW}²�³¬´ õ � r * � ° W * Ý � V �X ­ J �N C&E8F �8��� GJIK O.QSR LJ fDC&E8F �8����G IK O.QSR L W}²�³¬´ õ � r * � ° W î õ Ó >&? ñ * Ý�° V �X ­ 'J �N C&E8F �8��� GJIK O.QSROL W}²�³¬´ õ � r * � ° W î � äW}²�³¬´ õ � r * � ° W * Ý � V �Û ý ­ Z J7 f 'J f õQP R ° ²x³¬´ õ � r * � ° î � ä²�³¬´ õ � r * � ° * Ý � V �X ý ­ J fDC&E�F �8��� GJIK O.QSR LZ J f ' ²�³¬´ õ � r * � ° î � ä²�³¬´ õ � r * � ° * Ý � V �X ý ­ J J fDC&E8F �8��� G IK O.QSR L ²�³¬´ õ � r * � ° î õ Ó >&? ñ * Ý�° V �

Page 110: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

� j���ËÊ��K�^�J�UÊJ�U���j�����9������ÌP�������e�����.�.���������J��������^Ê���������^Ê���Ì��#�G�ÎÍ Ï(Sµ ´�¶ ~ Â�²�³¬´�À»·�¸�¹ ò ¸ µ ´�À¹ ½¸ñ É µ Á ³ µ Ç º¬¹�T Û Õ�8��� G J f J�K U � Û � r * µ Á�ò ²�³¬´ % Õ V - Þ V � Û êW ê f õ I X ° R ÕV R V T ï ~­ 'F W}²�³¬´ õ � r * � ° W î ��¼+³¬´=ù Ó >@? ñ Þ äW}²�³¬´ õ � r * � ° W ú * Ý � V �Û ý ­ I,Y- /;2

Õ ä T î õ T * Ý�° \ã \ * % Õ V - ZÙäT Z V T X ý ­ è O.QSRI,.- /;2 ä T î õ T * Ýe° \ã \ * % Õ V - ZÙäT Z V TX ý î õ�Ý *=Ó >@? ñ ° ­ J J fDC&E�F �8��� G IK O.QSR L ²�³¬´ õ � r * � ° V �Û ý ä ZÝ å \ã \ * % Õ ? - Z ÈDZ Õ�ç ? ç I,.- /;2 %[ õ�Ýe° X ý ä ZÝ å \ã \ * % Õ ? - Z ÈDZ I,.- /;2 ç ? ç�è O.QSR [ õ�Ý�°X ý ê \ * ë \ * o ä Ý p Z�í î õ�Ý *=Ó >@? ñ ° ë õ�ô & \\ °õ ¹z´�¹ Æ · ò(½ ´�²�³3¶�¹ Á ·�¸�¹ ò µ ²S¹�³¬´ ¾ ¸�³ ò ¸ : ¢ Û õ��NÞ � °q<î Ïnm õ�:�° & � ³¬´ ò ¹ ~ ³3´;·�¸�³¬² ò µ ²S¹ ~« Ê Ó õ�:£¢3°gÛ�Ý W :�ÞS:}¢�Û õ��¿Þ � ° Ì Û î õ�Ýe°�Þ³±· ñ�½ º¬º ½¿¾ ²ÿ·�¸ µ ·­ GIH Ò J�K£òL(®#¯ G ô K « Ê Ó õ�: ¢ °gÛ�Ý W :�ÞS: ¢ Ì « õ�: ¢ ° V � V � Û î õ�Ý�° ­ GIH Ò J�K£òL(®#¯ G ô K A ô õ�: ¢ ° V � V �Û î õ�Ý�° U \ * ­ G§H Ò J�K�L(®#¯ G ô K A�ô õ�: ¢ ° V � V � ïÛ î õ�Ý�° o \ *ë _ :£¢ î Ïnm o :�Þ ÏMÑÓÒ ÔÕ Ò Ö p b p ë õ�ô & \ ý °� ¸�¹ ·�¸�¹ ½Á ¹P¼ ñ�½ º¬º ½¿¾ ² Ç»ó ²�Â Ç ²�·�³±·�Â�·�³¬´�À õ�ô & \\ ° ³¬´ õ�ô & \7þ ° ~ µ ´�¶ ò(½ ¼ Ç ³¬´�³¬´�ÀÙ·�¸�³3² ¾ ³±·�¸ õ�ô & \ ý ° &

� ¸�¹�·�¸�¹ ½Á ¹P¼ ²�¸ ½N¾ ²ô·�¸ µ · ~ Â�´�¶�¹ Á ·�¸�¹ C �eÄ ~ ·�¸�¹ Å Á�½Ç µ Ç ³¬º¬³±· ó ¶�¹P´�²�³±· ó�ñ Â�´ ò ·�³ ½ ´ ñ�½Á ·�¸�¹ µ ¼ ÎÅ º¬³±·�Â�¶�¹ ½¸ñ ·�¸�¹�È µ ¶ ½ ´�· Á µ ´�² ñ�½Á ¼ ½¸ñ µ º¬³¬´�¹ : ³¬² µ ¼+³ Æ ·� Á ¹ ½¸ñ ·�¸ Á ¹7¹ ò(½ ¼ Å ½ ´�¹P´#·�² � · ¾&½ ¶�¹Pº±· µñ Â�´ ò ·�³ ½ ´�²ôº ½Xò µ ·S¹P¶ µ ·�·�¸�¹�¹ Æ · Á ¹P¼�¹ÕÉ µ º¬Â�¹P² õ�Ý;Û þ µ ´�¶ Ý~Û Ó >&? ñ ° µ ´�¶ µ ò(½ ¼ Å ½ ´�¹P´j·�·�¸ µ · ò(½ ´ η�³¬´� ½ Â�²�º ó ¶�¹ ò µ ó ² ñ�Á�½ ¼ ³±·�²�¼ µ Æ ³¬¼ÕÂ�¼ µ · ÝDÛ \ · ½ ³±·�²�¼�³¬´�³¬¼ÕÂ�¼ µ · ÝDÛ Ó]\ C^ & ��³¬À  Á ¹ ô & ýÅ Á ¹P²S¹P´#·�²»·�¸�¹+ø�· Å Á�½ É�³3¶�¹P¶ ÇXó õ�ô &àß ° · ½ ·�¸�¹ µ ò ·� µ ºn¸�³3²S· ½ À Á µ ¼ ½¸ñ ·�¸�¹�È µ ¶ ½ ´Ã· Á µ ´�² ñ�½Á ¼ ½¸ñ ·�¸�¹Å ³ Æ ¹Pº µ ·S¹P¶~º¬³¬´�¹ ¾ ³±·�¸ :�Û õ þ Þ þ °-õ ·�¸�¹ ¶�¹Pº¬· µ ñ Â�´ ò ·�³ ½ ´~º ½�ò µ ·S¹P¶ µ · ÝÙÛ þ ³¬² ½ ¼+³±·S·S¹P¶~· ½ ³¬¼ Å Á�½ ɹ�·�¸�¹ò º µ Á ³±· óa½¸ñ ·�¸�¹ ø�À  Á ¹ ° &±� ¸�¹qø�· ò µ ´ Ç ¹ ò(½ ´�²�³¬¶�¹ Á ¹P¶;ɹ Á�ó À ½�½ ¶¥¹7ɹ Á�ó#¾ ¸�¹ Á ¹»¹ Æmò ¹ Å ·]³¬´~·�¸�¹ Á ¹7À ³ ½ ´þ`_ Ý _ \ &?� ¸�³3² Á ¹7À ³ ½ ´ ò(½Á�Á ¹P² Å ½ ´�¶�²g· ½ ·�¸�¹ôÉ µ º¬Â�¹P² ½¸ñ ·�¸�¹ôÈ µ ¶ ½ ´�· Á µ ´�² ñ�½Á ¼ ¾ ¸�³ ò ¸ µ Á ¹�²x¼ µ º¬º±¹ Á·�¸ µ ´ ½ ´�¹ ~ ³ & ¹ & É µ º¬Â�¹P² µ ²�² ½�ò ³ µ ·S¹P¶ ¾ ³±·�¸a·�¸�¹ Å�µ Á µ ¼�¹7·S¹ Á ³�a µ ·�³ ½ ´�² ½¸ñ º¬³3´�¹P² ¾ ¸ ½ ²S¹q³¬´j·S¹ Á ²S¹ ò ·�³ ½ ´ ¾ ³±·�¸·�¸�¹ Å ³ Æ ¹Pº µ ·S¹P¶ìº¬³¬´�¹ :�w ³¬²a²�¸ ½Á ·S¹ Á ·�¸ µ ´ ½ ´�¹ Å ³ Æ ¹Pº & �  ò ¸9º3³¬´�¹P² ò µ ´ ½ ´�º ó Ç ¹ ¼�¹P¼ Ç ¹ Á ² ½¸ñ ·�¸�¹

Page 111: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

� j���ËÊ��K�^�J�UÊJ�U���j�����9������ÌP�������e�����.�.���������J��������^Ê���������^Ê���Ì��#�G�ÎÍ ÏNÏÅ�µ Á ·�³ µ º3º ó ³¬´#·S¹ Á ²S¹ ò ·�³¬´�À�²S¹7· ½¸ñ : µ ´�¶ ~ ²�³¬´ ò ¹Ù·�¸�¹ Å�µ Á ·�³ µ º¬º ó ³3´j·S¹ Á ²�¹ ò ·�³¬´�À�²S¹7·»³¬²q´ ½ · µ ò+ò(½ Â�´#·S¹P¶ ñ�½ÁÇ»ó ·�¸�¹ C �eÄ õ ¾ ¸�³ ò ¸ µ ò+ò(½ Â�´#·�² ñ�½Á ·�¸�¹�º¬³¬´�¹P² µ ²z³ ñ ·�¸�¹ ó=¾ ¹ Á ¹a¼�¹P¼ Ç ¹ Á ² ½¸ñ ·�¸�¹ ñ Â�º¬º ó ³¬´#·S¹ Á ²S¹ ò · γ¬´�À¨²S¹7· ° ~ ·�¸�¹~¼+³¬²�¼ µ · ò ¸ ¾ µ ²Õ¹ Æ Å ¹ ò ·S¹P¶ &¨C ½ ·�³ ò ¹ ~ ¸ ½N¾ ¹7ɹ Á�~ ·�¸ µ ·Õ·�¸�¹ Å Á�½Ç µ Ç ³3º¬³±· ó ¼ µ ²�²Ù³¬´�·�¸�¹Á ¹7À ³ ½ ´ þb_ Ý _÷\ ~ µ ´�¶Ã·�¸�¹ Á ¹ ñ�½Á ¹~³¬´B·�¸�¹ Å�µ Á ·�³ µ º3º ó ³3´j·S¹ Á ²�¹ ò ·�³¬´�À ²S¹7· ~ ³¬² ½ ´�º ó µ ²�¼ µ º¬º ñ�Á µ ò ·�³ ½ ´½¸ñ ·�¸�¹z¹P´#·�³ Á ¹ Å Á�½Ç µ Ç ³¬º3³±· ó &M� ¸�³¬² ò(½ ´�ø Á ¼+²ñ·�¸�¹ Å Á ¹7Ée³ ½ Â�² ò º µ ³¬¼+²ñ·�¸ µ ·]·�¸�¹ C �eÄ Å Áx½ Ée³¬¶�¹P² µ ò º ½ ²S¹µ Å�Å Á�½¿Æ ³3¼ µ ·�³ ½ ´;· ½ ·�¸�¹z· Á Â�¹»È µ ¶ ½ ´�· Á µ ´�² ñ�½Á ¼ &

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

bl = 0 and θ

l = 0

a

P[r=a|(bl,θ

l)]

��³±À  Á ¹ ô & ý �dce���f=>?%g1hi')jk?19�=>l;monp'1*(?1�q=�hi')�;�f9.?1h>jk?)9�=>l(msr;��tBm&uv')=>m&*qu����;mow���=>l ôyx �!z]{>zQ$p')��*d=>l;m}|;=�~]���!�BA �%$7A� l(m�r(h>?%~;'1~(�vu���=���'�=e� x zs���e?1j���=�=>m�*�=>?s�vj�rBh>?��Qm�*�=>l;m�<&uv')h>��=8��?)9�=>l;m�|;g%:(h>m1A� ¸�¹ ½Á ¹P¼ ô & \ ³¬²g³¬´#·S¹ Á ¹P²S·�³3´�À»³¬´ÕÉ µ Á ³ ½ Â�² ¾ µ ó ² &   ´ ½ ´�¹ü¸ µ ´�¶ ~ ³±· Å Áx½ Ée³¬¶�¹P² µ ´�¹ Æ Å º¬³ ò ³¬·�²S· µ ·�³3²S·�³ Îò µ º ò ¸ µ Á µ ò ·S¹ Á ³!a µ ·�³ ½ ´ ½¸ñ ·�¸�¹ÿÈ µ ¶ ½ ´�· Á µ ´�² ñ�½Á ¼ ½¸ñ µ]Å ³ Æ ¹Pº µ ·S¹P¶zº¬³¬´�¹ &G� ¸�¹@²S·�Â�¶ ó ½¸ñ ·�¸�¹ÿ²S· µ ·�³¬²�·�³ ò ² ½¸ñÉ µ Á ³ ½ Â�²}�¹ Á ´�¹Pº.· Á µ ´�² ñ�½Á ¼ µ ·�³ ½ ´�²n¸ µ ² Ç ¹7¹P´ µ · ½ Å ³ ò]½¸ñ À Á ¹ µ · µ ò ·�³±Ée³±· ó ³¬´+·�¸�¹ Á ¹ ò ¹P´#· ÅUµ ²S· ~eÇ.½ ·�¸~³¬´·�¸�¹ ò(½ ¼ Å Â�·S¹ Á µ ´�¶ Ç ³ ½ º ½ À ³ ò µ ºUÉe³¬²�³ ½ ´~º¬³±·S¹ Á µ ·� Á ¹P² õ>� �K�8�~Ê������^�@�(�����~ÌB��� õ \ óó� °1��� �#Ì��ÎÊÎ��ÌP���Ê����J�&���K�j� õ \ óó ô °1�o� ��Ê��J��Ê���� ����Í��#�G�Î� õ \ óóó °1� � �G�e�.���8�jÊ�Ê����·�.��Íq�����.�K�9� � õ ý þþþ °1�

� �Î����Ê������Û� Ê��������^�Ã��Ê�ÌP�#Ê8�eÊ õ ý þþ�\ °S° & } ·+¸ µ ² Ç ¹7¹P´ Å ½ ²�·�Â�º µ ·S¹P¶ ·�¸ µ ·Ù·�¸�¹ Á ¹ µ Á ¹�Â�´�³±É¹ Á ² µ ºº µ ¾ ² ¾ ¸�³ ò ¸;À ½ ɹ Á ´�·�¸�¹»²S· µ ·�³¬²S·�³ ò ² ½¸ñ ·�¸�¹P²�¹ · Á µ ´�² ñ�½Á ¼ µ ·�³ ½ ´�² ~ µ ´�¶ µ ñ µ ³ Á µ ¼ ½ Â�´#· ½¸ñ ¹ Æ Å ¹ Á ³¬¼�¹P´ η µ º�¹7É�³¬¶�¹P´ ò ¹�¸ µ ² Ç ¹7¹P´ Å Á ¹P²S¹P´#·S¹P¶ · ½ ·�¸�³3²ü¹Q�^¹ ò · &Ý� ½ ·�¸�¹ Ç ¹P²�· ½¸ñܽ  Á �e´ ½¿¾ º¬¹P¶�À¹ ~ ·�¸�¹�·�¸�¹ ½Á ¹P¼µ Ç^½ ɹ µ ´�¶+·�¸�¹ ¾@½Á � ½¸ñ õ � �Î����Ê������Û� Ê����f���^���eÊ�ÌP�#Ê9��Ê õ ý þþ�\ °S° µ Á ¹ñ·�¸�¹ ½ ´�º ó µ É µ ³¬º µ Ç º¬¹ Å Á�½#½¸ñ ²½¸ñ ¹ Æ ³¬²S·S¹P´ ò ¹ ½¸ñ ²� ò ¸;º µ ¾ ² & } ´ µ ¶�¶�³¬·�³ ½ ´+· ½ ·�¸�³¬² ~ ·�¸�¹�·�¸�¹ ½Á ¹P¼ ³¬²ÿ³¬´#·S¹ Á ¹P²S·�³3´�À�³¬´a·�¸�¹q²S¹P´�²S¹�·�¸ µ ·ñ³±·

Page 112: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

� j� � ÌP�#Ê��.��Ì¿�U�f�^Ì��J�c����� �^Ê����������^Ê���ÌC���J�ÎÍ �%�B�¹P²S· µ Ç º¬³3²�¸�¹P² µ Ç µ ²�³¬² ñ�½Á ·�¸�¹ ¶�¹P²x³±À ´ ½¸ñ ² ½ Å ¸�³¬²S·�³ ò µ ·S¹P¶ µ º±À ½Á ³±·�¸�¼�² &   ´�¹ ½Ç É�³ ½ Â�² µ Á ¹ µ ½¸ñ µ Å�Å º¬³ ò µ η�³ ½ ´ ³3²ñ·�¸�¹�Â�²S¹ ½¸ñ õ�ô &àß ° µ ² µ�Å Á ³ ½Á2ñ�½Á�� µ ó ¹P²�³ µ ´=³¬´ ñ ¹ Á ¹P´ ò ¹ Å Áx½Xò ¹P¶� Á ¹P² &&õ ¸�³3º±¹»·�¸�¹z¼ µ(� ½Á À ½ µ º½¸ñ ·�¸�¹�·�¸�¹P²�³¬²ÿ³¬²&´ ½ ·&·�¸�¹q¶�¹7ɹPº ½ Å ¼�¹P´#· ½¸ñ ·�¸�¹P²S¹ µ º±À ½Á ³¬·�¸�¼+² Å ¹ Á ²S¹ ~e¾ ¹ ¾ ³¬º¬º ò(½ ´�²x³¬¶�¹ Á ³¬´�·�¸�¹�´�¹ Æ ·²S¹ ò ·�³ ½ ´�·�¸�¹ µ Å�Å º¬³ ò µ ·�³ ½ ´ ½¸ñ õ�ô &àß ° · ½ ·�¸�¹zº3³¬´�¹ ¶�¹7·S¹ ò ·�³ ½ ´ Å Á�½Ç º±¹P¼ &�4 �� �4¬�¨M¬�©�²Û¬©$´ ²�¦¶³�¬�¸¥¯U¹�¨-®ª¦0°o¬¤�¨"°¥²�³C¦0¤:º� ¸�¹ Á ¹ µ Á ¹üÉ µ Á ³ ½ Â�²g²S· µ ·�³¬²�·�³ ò µ º ¡  µ ´j·�³¬·�³±¹P² ½¸ñ ³¬´#·S¹ Á ¹P²S·g· ½ µ Å�Å º¬³ ò µ ·�³ ½ ´�² ½¸ñ ·�¸�¹ôÈ µ ¶ ½ ´�· Á µ ´�² ñ�½Á ¼ ³¬´É�³3²�³ ½ ´a·�¸ µ · ò µ ´ Ç ¹q¶�¹ Á ³¬É¹P¶ ñ�Á�½ ¼ � ¸�¹ ½Á ¹P¼ ô & \ &E� ¸�¹ ñ�½ º¬º ½¿¾ ³¬´�À ò(½Á�½ º¬º µ Á�ó Å Á�½ É�³3¶�¹P² ò º ½ ²S¹P¶ Î4ñ�½Á ¼¹ Æ Å Á ¹P²�²�³ ½ ´�² ñ�½Á ·�¸�¹»ø Á ²S· Î µ ´�¶�²S¹ ò(½ ´�¶ Î ¼ ½ ¼+¹P´j·�² ½¸ñ ·�¸�¹zÈ µ ¶ ½ ´¥· Á µ ´�² ñ�½Á ¼ ½¸ñ µ�Å ³ Æ ¹Pº µ ·S¹P¶�º¬³3´�¹ &� Ä�ÒFÄ��f��ÿ�Ò(�YÅ:Ç1ÈKÇ+¤ ¾�×�â%½ßØ8ÙA¼ÝÜ�»�½Z�9ÙAá5Ü�ÚäÙ$ØWáL½�×�Ù : Ü�×�ØéØ9Ù�×�¾�ÚäÙÓã(¦qÓ õ�: ¢ ° Ú��@Ùß�FÜ�á7�ÛÙݾ�ç4Ú��@ÙôÔ Öe×�Ú�¾WÚ���ÙØ-ÜóØó¾�×YÚß¼3Ü�×�â�ç�¾�¼.ü˾�ç : 1��¥Ù��?×Û½�Úß½1¾�× �j���4 Ü�Ú�Ü¥»�Ü�¼�Ü�üWÙCÚäÙ�¼%½±Ú�Ü�Úß½1¾�× : ¢ Ø�¼�Ü � ×��0½�×�Ø8Ù�»KÙ�×�Ø8ÙA×ÛÚß᧦޾�ç : �Üóà$à.¾�¼3Ø�½�×�åÐÚ�¾¨1}©3ª74����@Ù�×���Ó õ�: ¢ ° ��Ü�â Ú��@ÙEçA¾�á�á�¾ � ½�×9å��?¼.â%Úf 0Ü�×�Ø âAÙ$à$¾�×�Ø# �¾�¼3Ø8ÙA¼ üW¾�üéÙ�×�Ú�â(¡ Ê Ó õ�: ¢ ° W :ÜÛ õ���rvÞ � r�° ÌÛ ý ûü� áâ ä ù%¢ ý * µ Á�ò ²�³¬´ � äÓ >@? ñ�� ú X Ó >@? ñ¤£¥ \ * \ * � äÓ >&? ñÎ� Z1¦§©¨ª õ�ô & \ / °

¡ Ê Ó õ�: ¢ ° Z W :gÛ õ���r{Þ � r�° ÌÛ ý ûü� áâ ä Z º¬´ Ó >@? ñôX¬« Ó Z>&? ñ * ä Zä X Ó Z>&? ñ £¥ \ * \ * � äÓ >@? ñ�� Z ¦§s¨ª õ�ô & \ ! °���@Ù�¼�Ù � ½Ãâ¶åó½8­�Ù�× ã(¦c1}� 3ª74¿� û ã7¦c1[©3�74¿�MÜ�×�ØÕÓ >@? ñ ã(¦��JÙAüÓüWÜ;� �� 5�¼3¾C¾�ç76 � ¸�¹ ò(½Áx½ º¬º µ Á�ó�ñ�½ º3º ½¿¾ ² ñ�Á�½ ¼�·�¸�¹z¶�¹7ø�´�³¬·�³ ½ ´ ½¸ñ ø Á ²S· Î µ ´�¶¥²S¹ ò(½ ´�¶ Î ¼ ½ ¼�¹P´#·�²¡ Ê Ó õ�:}¢±° W :nÛ õ���r�Þ � r�° Ì Û ­ ? Ý « Ê Ó õ�:£¢¬°gÛ�Ý W :nÛ õ���r�Þ � r�° Ì V Ý¡ Ê Ó õ�: ¢ ° Z W :gÛ õ���r�Þ � r�° Ì Û ­ ? Ý Z « Ê Ó õ�: ¢ °ÜÛ�Ý W :gÛ õ���rvÞ � r�° Ì V Ý ë� ¸�¹ ñ�½ º¬º ½¿¾ ³¬´�À ò(½Á�½ º3º µ Á�ó»Ç Â�³¬º¬¶�² ½ ´Õ·�¸�¹P²�¹ Á ¹P²xÂ�º±·�²�· ½ ¶�¹7·S¹ Á ¼+³¬´�¹@·�¸�¹ Å Á�½Ç µ Ç ³3º¬³±· óq½¸ñ ·�¸�¹ÿÈ µ ¶ ½ ´µ ¼ Å º¬³¬·�Â�¶�¹z³¬´c·�¸�¹ ò µ ²S¹ ¾ ¸�¹ Á ¹Õ³±·q³¬²��e´ ½¿¾ ´¨·�¸ µ ·q·�¸�¹ Á ¹Õ³¬² ½ ´�¹ Å ³ Æ ¹Pº µ ·S¹P¶=º¬³¬´�¹�³¬´c·�¸�¹Õ¹P¶�À¹�¼ µ Å�®Ç Â�·ü´ ½ · ¾ ¸ µ ·ü³±·�² Å�µ Á µ ¼�¹7·S¹ Á ² µ Á ¹ &� Ä�ÒFÄ��f��ÿ�Ò(�|Å�Ç3l�Ç=¤ ¾�×Kâ.½1Ø8Ù�¼ Ü�× Ù�Ø�å9Ù�üWÜ.» d ÉËÊ d Ì õf¯@° ÜFâ$âA¾CàA½1Ü�ÚäÙ$Ø9� ½ßÚ��{Ú��@ÙÞ½�üWÜCå9Ù¥ÏMÑÓÒ ÔÕ Ò Ö Ü�×�Ø

Ø8Ù�×�¾�ÚäÙÓÚ��@Ù ×S�@üéã$ÙA¼ ¾�ç�»�½Z�9ÙAá5ÜóÚäÙ�Ø�áL½�×Ù%â4½�×�½ßÚMã7¦q°»�?½��Ù¿° Û ��.± : í<î m@� Õ Ò Ö W d õ�: í °nÛ \;² �� ë õ�ô & \ � °

Page 113: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

� j� � ÌP�#Ê��.��Ì¿�U�f�^Ì��J�c����� �^Ê����������^Ê���ÌC���J�ÎÍ �%�³����@Ù�×��?½ çñÓ õ�: ¢ ° ½Ãâ4Ú��@Ù´­FÜ�á¥�ÛÙÓ¾�çÝÚ��@ÙqÔ»Ö�× Ú�¾ Ú���Ù�Ø"ÜóØó¾�× Úß¼3Ü�×�â�ç�¾�¼%ü ¾�çÝÚ��@Ù¥Ù�Ø�å9Ù=üWÜ.»fÜ�ÚMÜ4»@Ü�¼3Ü�üµ ÙAÚäÙA¼.½¬ÚCÜ�Úß½1¾�× :£¢ Ø�¼3Ü � ×fÜóà.à$¾�¼3Ø�½�×9åÀÚ�¾=1}© ¬ª74N�

¡ Ê Ó õ�: ¢ ° W ° Û \ ÌÛ ý û ¡¶ô £¥ � áâ ä ùQ¢ ý * µ Á�ò ²�³3´ � äÓ >&? ñ�� ú X Ó >&? ñ¤£¥ \ * \ * � äÓ >@? ñ�� Z1¦§©¨ª¶¦§ õ�ô & \ ô °¡ Ê Ó õ�: ¢ ° Z W ° Û \ ÌÛ ý û ¡ ô £¥ � áâ ä Z º¬´ Ó >&? ñôX « Ó Z>@? ñ * ä Zä X Ó Z>@? ñ £¥ \ * \ * � äÓ >@? ñÎ� Z ¦§©¨ª¶¦§ õ�ô & \ ß °���@Ù�¼�Ù � ½�â�å�½�­�ÙA×Þã(¦�1}� ¬ªP4¿� û ã(¦¥1}© 3�(4N�ÎÓ >@? ñ ã(¦z�JÙAü¥üªÜ~� ����±Ü�×�Ø´¡¶ô Ê | Ì ½Ãâ4Ú��@ÙÓÙD�%»KÙ�àCÚ�ÜóÚ߽߾�ר� ½ßÚ��

¼3Ù�â�»�Ù$àCÚ�Ú�¾ : 5�¼3¾C¾�ç76W� ³¬´ ò ¹�·�¸�¹ Á ¹Õ³¬² ½ ´�º ó�½ ´�¹Õº¬³3´�¹�³¬´c·�¸�¹Õ¹P¶�À¹Ù¼ µ Å�® ·�¸�¹ C �eÄ · ½ ·�¸�¹ÕÈ µ ¶ ½ ´¨· Á µ ´�² ñ�½Á ¼½¸ñ ·�¸�¹zº µ ·S·S¹ Á ³¬²ô²�³¬¼ Å º ó ·�¸�¹ C �eÄ · ½ ·�¸�¹�È µ ¶ ½ ´¥· Á µ ´�² ñ�½Á ¼ ½¸ñ ·�¸�¹ ñ�½Á ¼+¹ Á &-� ¸�¹ ò(½Á�½ º3º µ Á�ó ·�¸�¹P´ñ�½ º3º ½¿¾ ² ñ�Á�½ ¼ 8ÿ½Á�½ º¬º µ Á�ó ô & \ ÇXó ¼ µ Á À ³¬´ µ º¬³!aP³¬´�À ½ ɹ Á ·�¸�¹»º¬³¬´�¹ Å�µ Á µ ¼�¹7·S¹ Á ² ®¡ Ê Ó õ�: ¢ °· W ° Û \ Ì Û ­ ¡ Ê Ó õ�: ¢ °· W :gÛ õ���rvÞ � r�°�Þ ° Û \ Ì « Ê :nÛ õ���r�Þ � r�° W ° Û \ Ì V ��r V � r*õ�ô & \ ð °Û ­ ¡ Ê Ó õ�: ¢ °· W :gÛ õ���rvÞ � r�° Ì A ô õ���r�Þ � r�° V ��r V � r õ�ô & \ ó °µ ´�¶ µ Å�Å º ó ³3´�À õ�ô & \ / ° µ ´�¶ õ�ô & \ ! ° &

� ¸�¹ ò(½Á�½ º3º µ Á�ó ³3²�³3´j·S¹ Á ¹P²�·�³¬´�À ³¬´Õ·�¸�¹ü²S¹P´�²�¹&·�¸ µ ·Ü³±·g²�¸ ½¿¾ ²g·�¸ µ · ® ½ ´ ò ¹ µ ¼+¹ µ ²� Á ¹ñ³¬² µ ²�²x³±À ´�¹P¶Ù· ½·�¸�¹]² ÅUµ ò ¹ ½¸ñ ¹P¶�À¹]³¬´�¶�³ ò µ · ½Á|ñ Â�´ ò ·�³ ½ ´�² ® ·�¸�¹ü¹ Æ Å ¹ ò ·S¹P¶�É µ º3Â�¹ ½¸ñ ·�¸�¹]È µ ¶ ½ ´�· Á µ ´�² ñ�½Á ¼ ½¸ñ µ ´�¹P¶�À¹¼ µ Å ò(½ ´j· µ ³3´�³¬´�À µ ²x³¬´�À º±¹ Å ³ Æ ¹Pº µ ·S¹P¶=º¬³¬´�¹ ò µ ´ Ç ¹ Å Á ¹P¶�³ ò ·S¹P¶c³¬´ ò º ½ ²S¹P¶ Î4ñ�½Á ¼ &Ý� ¸�³¬²ô³¬¼+¼�¹P¶�³ µ ·S¹Pº 󺱹 µ ¶�²ñ· ½ ·�¸�¹ ñ�½ º3º ½¿¾ ³3´�ÀÙ·�¸�¹ ½Á ¹P¼ &Ð�Ñ ¿�Ä�ÒF¿�þ Å�Ç3lÇ�¤ ¾�×�â.½1Ø8Ù�¼ Ü�×�Ù�Ø�å9Ù üªÜ%»�d É Ê d Ì õf¯@° ÜFâ.â�¾CàC½ßÜ�ÚäÙ$Øì� ½�Ú��gÚ��@Ù ½�üWÜCå�ÙWÏ ÑÓÒ ÔÕ Ò Ö Ü�×�Øà$¾�×�Ú�Ü�½�×Û½�×9幸4»�½Z�9ÙAá5ÜóÚäÙ�Ø áL½�×�Ù%âÀØ�¼�Ü� ×v½�×�Ø8Ù�»KÙ�×�Ø8ÙA×ÛÚß᧦ Üóà$à.¾�¼�Ø�½�×9åfÚ�¾21[©¬ªP4 ���@ÙA×��4½ ç�Ó õ�: ¢ ° ½Ãâ Ú���Ù­FÜ�á7�ÛÙ ¾3ç�Ú���ÙaÔ»Ö�× Ú�¾ Ú��@Ù~Ø-ÜóØó¾�×SÚß¼3Ü�×�â�ç�¾�¼.üµ¾�çÀÚ��@Ù�Ù�ØCå�Ù�üWÜ.»wÜ�Ú Ü�»@Ü�¼3Ü�üéÙAÚäÙ�¼%½¬ÚCÜ�Úß½1¾�× : ¢ Ü�á2âA¾Ø�¼3Ü � ×fÜóà.à$¾�¼3Ø�½�×9åÀÚ�¾¨1}©3ª74N�

¡ Ê Ó õ�: ¢ ° W ° Û ¸ Ì Û ¸�¡ Ê Ó õ�: ¢ ° W ° Û \ Ì õ�ô & ý þ °º Ý Ó Ê Ó õ�: ¢ ° W ° Û ¸ Ì Û ¸q»¼¡ Ê Ó Z õ�: ¢ ° W ° Û \ Ì * õ ¡ Ê Ó õ�: ¢ ° W ° Û \ Ì ° Z¼½ Þ õ�ô & ý \ °���@Ù�¼�Ù º Ý Ó õ}|à° üWÙ$Ü�×�â¾­�Ü�¼%½ßÜ�×�à.Ù¥Ü�×�ص¡ Ê Ó · õ�:}¢±° W ° Û \ Ì Þ)¿�Û \ Þ ý Ü�¼�ÙªÜFâ0åó½8­�Ù�×Þ½�×2¤ ¾�¼3¾�á�á5Ü�¼�¦ ©3ª#

Page 114: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

� j� � ÌP�#Ê��.��Ì¿�U�f�^Ì��J�c����� �^Ê����������^Ê���ÌC���J�ÎÍ �%���5�¼3¾C¾�çÜ6q8&½ ´�²�³3¶�¹ Á ·�¸�¹ Å�µ Á µ ¼+¹7·S¹ Á ³�a µ ·�³ ½ ´ : ¢ & � ³¬´ ò ¹�·�¸�¹�¹P¶�À¹Õ¼ µ Å ½¸ñ ·�¸�¹ ¸ º¬³3´�¹P²]³¬²]·�¸�¹Ù²�Â�¼½¸ñ ·�¸�¹�¹P¶�À¹~¼ µ Å ² ½Á ³±À ³¬´ µ ·S¹P¶ Ç»ó ¹ µ ò ¸ ½¸ñ ·�¸�¹�º3³¬´�¹P² ® Ç»ó ·�¸�¹�º3³¬´�¹ µ Á ³±· ó Å Á�½ Å ¹ Á · ó=½¸ñ ·�¸�¹aÈ µ ¶ ½ ´· Á µ ´�² ñ�½Á ¼`³¬· ñ�½ º3º ½¿¾ ²»·�¸ µ · Ó õ�:}¢±° ÛÁÀkÂí�úGê Ó í õ�:£¢¬° ® ¾ ¸�¹ Á ¹ Ó í õ�:{¢3° ³¬²z·�¸�¹�È µ ¶ ½ ´Ã· Á µ ´�² ñ�½Á ¼ µ · :}¢ ½¸ñ·�¸�¹ÄÃ Â Ö Å ³ Æ ¹Pº µ ·S¹P¶¥º¬³¬´�¹ & û ¹P´ ò ¹ ®¡ Ê Ó õ�: ¢ ° W ° Û ¸ Ì Û ­ ¡ Ê Ó õ�: ¢ ° W : ê ÛkÅ ê Þ ëAëAë ÞS:  ÛkÅ Â Þ ° Û ¸ Ì A�ô õ Ò÷ö÷ö÷ö Ò ô8Æ � Ç õfÅ ê Þ ëAëAë Þ�Å Â W ¸ ° V Å ê ëAëAë V Å ÂÛ ­ÁÈ

í ¡ Ê Ó í õ�: ¢ ° W : í ۬Ší Ì ù í A ô õfÅ í ° V Å ê ëAëAë V Å ÂÛ Èí

­ ¡ Ê Ó í õ�: ¢ ° W : í ۬Ší Ì A ô õfÅ í ° V Å íÛ ¸�¡ Ê Ó õ�: ¢ ° W ° Û \ Ì ë� ¸�¹z¶�¹ Á ³±É µ ·�³ ½ ´ ½¸ñ ·�¸�¹�¹ Æ Å Á ¹P²�²�³ ½ ´ ñ�½Á ·�¸�¹zÉ µ Á ³ µ ´ ò ¹�³¬²ô²�³¬¼+³¬º µ Á & � ¹ ò µ Â�²S¹Õ·�¸�¹ ¸ º¬³¬´�¹P² µ Á ¹�¶ Á µ ¾ ´³¬´�¶�¹ Å ¹P´�¶�¹P´j·�º ó ® ·�¸�¹ Ó í õ�:£¢¬° µ Á ¹Ù³¬´�¶�¹ Å ¹P´�¶�¹P´#· Á µ ´�¶ ½ ¼÷É µ Á ³ µ Ç º¬¹P² µ ´�¶ ® ·�¸�¹ Á ¹ ñ�½Á ¹ ® ·�¸�¹ÕÉ µ Á ³ µ ´ ò ¹ ½¸ñ·�¸�¹»²�Â�¼ ³¬²ÿ¹ ¡  µ ºÎ· ½ ·�¸�¹z²xÂ�¼ ½¸ñ ·�¸�¹ É µ Á ³ µ ´ ò ¹P² &©É µ Á À ³¬´ µ º¬³�aP³¬´�À ½ ɹ Á ·�¸�¹ : í µ ² µ Ç^½ ɹ�º¬¹ µ ¶�²ñ· ½

º Ý Ó Ê Ó õ�: ¢ ° W ° Û ¸ Ì Û ¸ º Ý Ó Ê Ó õ�: ¢ ° W ° Û \ ̵ ´�¶ õ�ô & ý \ ° ñ�½ º¬º ½¿¾ ² ñ�Á�½ ¼�·�¸�¹ ¾ ¹Pº¬ºÊ�e´ ½N¾ Á ¹Pº µ ·�³ ½ ´�²�¸�³ Å Ç ¹7· ¾ ¹7¹P´�·�¸�¹»É µ Á ³ µ ´ ò ¹ µ ´�¶�·�¸�¹ ø Á ²S· Î µ ´�¶²S¹ ò(½ ´�¶ Îv½Á ¶�¹ Á ¼ ½ ¼�¹P´#·�² ½¸ñ µ Á µ ´�¶ ½ ¼�É µ Á ³ µ Ç º±¹dº Ý Ó õ Ó °ÜÛ ¡ õ Ó Z ° * Ê ¡ õ Ó ° Ì Z &� Á�½ ¼ ·�¸�¹ Å ½ ³¬´#· ½¸ñ Ée³±¹ ¾ ½¸ñ µ Å�Å º¬³ ò µ ·�³ ½ ´�² ® ·�¸�¹~²�³¬À ´�³±ø ò µ ´ ò ¹ ½¸ñ ·�¸�³¬²z·�¸�¹ ½Á ¹P¼ ³¬²�·�¸ µ · ® ½ ´ ò ¹µ ¼+¹ µ ²� Á ¹¨³¬² µ ²x²�³±À ´�¹P¶D· ½ ·�¸�¹c² Å�µ ò ¹ ½¸ñ º¬³3´�¹ ³¬´�¶�³ ò µ · ½ÁÀñ Â�´ ò ·�³ ½ ´�² ® ·�¸�¹ ·S¹ Á ¼+² ¡ Ê Ó · õ�: ¢ ° W ° Û\ Ì Þ)¿ Û \ Þ ý µ Á ¹ ò(½ ¼ Å º±¹7·S¹Pº ó ¶�¹7·S¹ Á ¼+³¬´�¹P¶ ÇXó ·�¸�¹¥³¬¼ µ À¹ ²x³�a7¹ λ¾ ¸�³ ò ¸9¶�¹7·S¹ Á ¼+³¬´�¹P² � ·�¸ Á�½ Â�À ¸õ �'& ý ° ® Ó >@? ñ ·�¸ Á�½ Â�À ¸bË�¹P¼+¼ µ �'&0� ®�µ ´�¶ û ·�¸ Á�½ Â�À ¸ õ�ô &0/ ° & û ¹P´ ò ¹ ® À ³±É¹P´Ã·�¸�¹a¼�¹ µ ²� Á ¹ µ ´�¶B·�¸�¹³¬¼ µ À¹¥¶�³3¼�¹P´�²�³ ½ ´�²�³±·�³¬² Å ½ ²�²�³ Ç º±¹~· ½ Å Á ¹ Î�ò(½ ¼ Å Â�·S¹ ¡ Ê Ó · õ�: ¢ ° W ° Û \ Ì Þ)¿ Û \ Þ ý ®ÿµ ´�¶�·�¸�¹ Á ¹ ñ�½Á ¹¡ Ê Ó õ�: ¢ ° W ° Û ¸ Ìeµ ´�¶´º Ý Ó Ê Ó õ�: ¢ ° W ° Û ¸ Ì ñ�½Á µ º3º É µ º¬Â�¹P² ½¸ñH¸�½¸ñ ³¬´#·S¹ Á ¹P²S· &�Ì ´�¶�¹7¹P¶ ® ·�¸�³¬² ½ Å ¹ Á µ ·�³ ½ ´ ½ ´�º ó¸ µ ²&· ½ÙÇ ¹ Å ¹ Á�ñ�½Á ¼�¹P¶ ½ ´ ò ¹ ® ³¬´�¶�¹ Å ¹P´�¶�¹P´#·�º óÕ½¸ñ�¾ ¸�¹7·�¸�¹ Á ·�¸�¹�È µ ¶ ½ ´~· Á µ ´�² ñ�½Á ¼ ³¬² µ Å�Å º¬³¬¹P¶+· ½ ·�¸�¹¹P´j·�³ Á ¹ô³¬¼ µ À¹ ½Á · ½ º ½�ò µ º.´�¹P³±À ¸ Ç.½Á ¸ ½#½ ¶�² ® ½Á ¹7ɹP´;³¬´�¶�¹ Å ¹P´�¶�¹P´j·�º ó�½¸ñ ·�¸�¹ Å ³ Æ ¹Pº�³¬´#·S¹P´�²�³±·�³±¹P² ½¸ñ ·�¸�¹³¬¼ µ À¹ & � µ Ç º±¹ ô & \ Å Á ¹P²S¹P´#·�²Ü·�¸�¹üÉ µ º3Â�¹P² ½¸ñ ·�¸�¹ ò(½ ¹ÎÍ ò ³¬¹P´j·�² ¡ Ê Ó õ�:£¢3° W ° Û \ ÌUµ ´�¶Ïº Ý Ó Ê Ó õ�:}¢±° W ° Û \ Ìñ�½Á µ ´=¹ Æ µ ¼ Å º±¹�²S¹7· ½¸ñ ´�¹P³±À ¸ Ç.½Á ¸ ½#½ ¶¨²�³�a7¹P² Á µ ´�À ³¬´�À ñ�Á�½ ¼ ý þÑÐ ý þ · ½ \7þþÒÐ�\7þþ &�C ½ ·�³ ò ¹�·�¸ µ ··�¸�¹üÉ µ º¬Â�¹P² ½¸ñ ·�¸�¹ ò(½ ¹ÎÍ ò ³¬¹P´j·�² µ Á ¹ µ Å�Å Áx½PÆ ³¬¼ µ ·S¹Pº óïò(½ ´�²S· µ ´#· µ ´�¶+³¬´�¶�¹ Å ¹P´�¶�¹P´j· ½¸ñ ·�¸�¹]³¬¼ µ À¹ô²�³�a7¹ &Ó ¸�³¬²&²�Â�ÀÀ¹P²�·�²ñ·�¸ µ · µ À ½�½ ¶�²S· Á µ ·S¹7À ó · ½ ¶�¹7·S¹ Á ¼+³¬´�¹�·�¸�¹»´�Â�¼ Ç ¹ Áÿ½¸ñ º¬³¬´�¹P² ¸ ³3´ µ À ³±É¹P´¥¹P¶�À¹»¼ µ ž@½ Â�º¬¶ Ç ¹q· ½Ù½Ç · µ ³¬´ µ ´;¹P¼ Å ³ Á ³ ò µ ºU¹P²S·�³¬¼ µ ·S¹ ½¸ñ ·�¸�¹q¼+¹ µ ´ µ ´�¶;É µ Á ³ µ ´ ò ¹ ½¸ñ ³±·�²ÿÈ µ ¶ ½ ´;· Á µ ´�² ñ�½Á ¼µ ´�¶;²S¹Pº±¹ ò ·ñ·�¸�¹ ¸ ·�¸ µ ·üº±¹ µ ¶�²&· ½ ·�¸�¹ ò º ½ ²S¹P²S·ÿÉ µ º3Â�¹P² ½¸ñe¡ Ê Ó õ�: ¢ ° W ° Û ¸ Ì�µ ´�¶Ñº Ý Ó Ê Ó õ�: ¢ ° W ° Û ¸ Ì &gõ ¹´�¹ Æ · ñ�½Á ¼ µ º¬³�a7¹ ·�¸�³¬²ñ³3´j·�Â�³¬·�³ ½ ´ &

Page 115: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

� j� Ô �����.�DÕÎÍ]���Î����ÖD�Ê×��=����Í�ØU�@Õ��eÙÛÚj������Ì �%�BÔÈü¹7À ³ ½ ´ÛÜ�³�a7¹ ¡ Ê Ó õ�: ¢ ° W ° Û \ Ì º Ý Ó Ê Ó õ�: ¢ ° W ° Û \ Ìý þÏÐ ý þ þ ë ô ý þ�\ þ ë þþ ! ý! þÏÐ ! þ þ ë ô \ ð þ þ ë þþ � ýô þÏÐ ô þ þ ë ô \ ß / þ ë þþ �ðð þÏÐ ð þ þ ë ô \ ß � þ ë þþ ô ý\7þþÏÐÃ\7þþ þ ë ô \ ß � þ ë þþ ô¸ô

Ó µ Ç º±¹ ô & \��©Ý�?ÎmÞ�<&��m&�Î=>�e?19y�!�]A ß)zQ$�'1�;*´�!�BA ßÎà�$Ê9Y?1he�1')h>��?%:(��h>mg%��?%�d����á&m�&A�Äâ&ã äæå�ç�å}è�éëê)ìíê1ìµîïçyðµåñìqòíéôóÑå}èöõø÷úù1ê)ìµå}û  ´�¹ Å ½ ²�²�³ Ç º±¹ ¾ µ ó · ½ ¹P²�·�³¬¼ µ ·S¹+·�¸�¹+¼+¹ µ ´ µ ´�¶=É µ Á ³ µ ´ ò ¹ ½¸ñ µ Á µ ´�¶ ½ ¼ É µ Á ³ µ Ç º±¹�³¬² · ½�½Ç · µ ³¬´ µ² µ ¼ Å º¬¹ ½¸ñ�½Ç ²�¹ Á É µ ·�³ ½ ´�² µ ´�¶ ò(½ ¼ Å Â�·S¹»³±·�²ü² µ ¼ Å º±¹»¼�¹ µ ´ &hýüjigkpþ5ÿ;þ��.k�������� Ì ñ ¯ ³3² µ Á ¹ µ ºÎÉ µ º¬Â�¹P¶ Á µ ´�¶ ½ ¼�É µ Á ³ µ Ç º±¹ µ ´�¶�� Þ Z Þ� � � �� µ ² µ ¼ Å º±¹ ½¸ñ�½Ç ²S¹ Á��É µ ·�³ ½ ´�² ½¸ñ ¯ ® ·�¸�¹z² µ ¼ Å º±¹ ¼�¹ µ ´ _ � ³¬²

_ �ôÛ \� �È��� � � õ�ô & ýý °Ì ·]³¬² ¾ ¹Pº¬ºÊ��´ ½¿¾ ´�·�¸ µ ·ü·�¸�¹z² µ ¼ Å º±¹ ¼�¹ µ ´ ² µ ·�³¬²Sø�¹P²ÿ·�¸�¹ ñ�½ º¬º ½¿¾ ³¬´�À Å Á�½ Å ¹ Á ·�³±¹P² &�©ü��������������! �"$# _ �&% "'#)(�"+*-,/.10�2�"3.'"4,/57698',*�,/.10�2�"698:6 % *$"-;%­<,=#?>@6/5A*B8�;96=.C,D;�,/5�EF6/.­<,/;�>@, % 2�" ¯BG:H (�"-5 ¡3I _ �KJ.Û ¡LI ¯MJN õ�ô & ý / °Om��;-#)(�"-;�.:6/;�"-PQ> 8!#)(�"R6 % *�"�;1­/,=#?>?6=5A*S,/;4"+E/;�,/TU5V>)5�EF"W0A"-5�EX"-5Y#?2§¦<P

º Ý Ó õ _ �ô°gÛ \� º Ý Ó õf¯n°Z õ�ô & ý<[ °O\>�5�,=2�2§¦<PQ8�6/;D2�,/;@]X" � PR#)(�"+0�;96 % , % >�2^>)#�¦_EF"�5A*Z>?#�¦'8���5�`$#?>@6/5a698 _ � `Z6/5@­="-;@]X"�*b#N6�,dce,�f*g*�>?,=5E/>�*�#?;�> % ��#?>@6/5�698h.'"g,/5¹¡3I _ �KJ ,/5�EÑ­<,=;Z>@,/5�`�" º Ý Ó õ _ �ô°-G5K;�6$69876 Ó ¸�¹qø Á ²S·@· ¾@½�Á ¹P²�Â�º±·�² µ Á ¹»²S· Á µ ³±À ¸#· ñ�½Áx¾ µ Á ¶ ® ·�¸�¹ ·�¸�³ Á ¶;³¬²s�e´ ½¿¾ ´ µ ²ü·�¸�¹ ò ¹P´j· Á µ º�º¬³¬¼+³¬··�¸�¹ ½Á ¹P¼ & Ü�¹7¹ µ ´ ó ·S¹ Æ · ½ ´c¹Pº¬¹P¼�¹P´j· µ Á�ó Å Á�½Ç µ Ç ³¬º¬³±· ó ® ¹ & À & õNi Õ^Êe��� õ \ óð ß °1��j Ê�k�����Ú ��Ì õ \ óó \ °S° ®ñ�½Á Å Á�½�½¸ñ ² &Üe³¬´ ò ¹+·�¸�¹�È µ ¶ ½ ´�· Á µ ´�² ñ�½Á ¼ ½¸ñ µ¥Å ³ Æ ¹Pº µ ·S¹P¶Ã¹P¶�À¹~¼ µ Å ³3² µ ² µ ¼ Å º±¹ ½¸ññ½Ç ²�¹ Á É µ ·�³ ½ ´�² ñ�Á�½ ¼Ó õ�: ¢ ° ® ·�¸�³¬²üº¬¹P¼+¼ µ ²�Â�ÀÀ¹P²�·�²ü·�¸�¹ ñ�½ º¬º ½N¾ ³¬´�À µ Å�Å Áx½PÆ ³¬¼ µ ·�³ ½ ´;· ½ ³±·�² Å Á�½Ç µ Ç ³¬º¬³±· ó ¶�¹P´�²�³¬· ó &

Page 116: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

� j� Ô �����.�DÕÎÍ]���Î����ÖD�Ê×��=����Í�ØU�@Õ��eÙÛÚj������Ì �%�$lhýüjigkpþ5ÿ;þ��.km���n��� Ó ¸�¹ ,<*�¦/.o0p#N6=#?>?`+>�5�EX"q0A"�5�EF"-5�#\*�,/.10�2�"R,Z0r0�;�6 �=>).:,=#?>@6/5 õ Ä Ì Ü Ä ° · ½ ·�¸�¹ Å Á�½Ç µ �Ç ³¬º¬³¬· ó ¶�¹P´�²�³±· óa½¸ñ ·�¸�¹ C Ü Ä · ½ ·�¸�¹»È µ ¶ ½ ´�· Á µ ´�² ñ�½Á ¼ Ó õ�:£¢¬° ½¸ñ µÙÅ ³ Æ ¹Pº µ ·S¹P¶;¹P¶�À¹»¼ µ Å ò(½ ´j· µ ³3´�³¬´�À¸ º3³¬´�¹P²ñ³¬²« õ _ Ó � W ° Û ¸ °gÛ«Ss" ý ¢ º Ý ÓtI Ó õ�:{¢3° W ° Û ¸ J ¹ Æ Å+u * «vsý º Ý ÓtI Ó õ�: ¢ ° W ° Û ¸ J % _ Ó � *ø¡3I Ó õ�:£¢¬° W ° Û ¸ J - Zfw õ�ô & ý � °¾ ¸�¹ Á ¹ «vs ³¬²ÿ·�¸�¹ ò µ Á ¶�³3´ µ º¬³±· ó+½¸ñ ·�¸�¹»² µ ¼ Å º±¹ õ ´�Â�¼ Ç ¹ Áñ½¸ñ Å�µ Á µ ¼�¹7·S¹ Á ³�a µ ·�³ ½ ´�² ½ ´;·�¸�¹ À Á ³¬¶ �yx�zH@{g| J {Â�²S¹P¶;· ½�ò(½ ¼ Å Â�·S¹ ·�¸�¹�È µ ¶ ½ ´�· Á µ ´�² ñ�½Á ¼ ° &Ó ¸�¹ Á ¹ µ Á ¹ô· ¾&½�Á ¹ µ ² ½ ´�² ¾ ¸ ó õ�ô & ý � ° ³¬² µ ´ µ Å�Å Á�½PÆ ³¬¼ µ ·�³ ½ ´ & Ó ¸�¹]ø Á ²S·n³¬²n·�¸�¹ µ ²�²xÂ�¼ Å ·�³ ½ ´�·�¸ µ ··�¸�¹ ò ¹P´j· Á µ º�º¬³¬¼+³¬·�·�¸�¹ ½Á ¹P¼ ¸ ½ º¬¶�² & Ó ¸�³¬²�³¬² µ Á ¹ µ ² ½ ´ µ Ç º±¹ µ ²�²�Â�¼ Å ·�³ ½ ´Õ²�³¬´ ò ¹ ® ¹7ɹP´ Á ¹Pº µ ·�³±É¹Pº ó ²�¼ µ º¬º³¬¼ µ À¹Ù´�¹P³±À ¸ Ç^½Á ¸ ½�½ ¶�² Ç»ó ³¬¼ µ À¹ µ ´ µ º ó ²�³3²]²S· µ ´�¶ µ Á ¶�² õ ¹ & À &!} Þ4~ Û [ þ ° ® ¾ ³¬º3ºÎÀ¹P´�¹ Á µ ·S¹ µ º µ Á À¹´#Â�¼ Ç ¹ Án½¸ñÎ½Ç ²S¹ Á É µ ·�³ ½ ´�² õ \ ô þþ ° & Ó ¸�¹ô²S¹ ò(½ ´�¶~³¬²n·�¸�¹ µ ²�²�Â�¼ Å ·�³ ½ ´�·�¸ µ ·@·�¸�¹ ½Ç ²S¹ Á É µ ·�³ ½ ´�² ½¸ñÎÓ õ�:£¢¬°µ Á ¹q¶ Á µ ¾ ´�³¬´�¶�¹ Å ¹P´�¶�¹P´j·�º ó ® ³¬´�¸�¹ Á ¹P´j·Ü· ½ õ�ô & ý<[ ° &@C ½ ·�³ ò ¹�·�¸ µ · ¾ ¸�³¬º±¹ñ·�¸�¹ Å�µ Á µ ¼�¹7·S¹ Á ³�a µ ·�³ ½ ´�² :£¢ µ Á ¹¶ Á µ ¾ ´�³3´�¶�¹ Å ¹P´�¶�¹P´#·�º ó ® ·�¸�¹&É µ º¬Â�¹P² ½¸ñ ·�¸�¹&È µ ¶ ½ ´Õ· Á µ ´�² ñ�½Á ¼ µ ·�·�¸ ½ ²S¹ Å�µ Á µ ¼�¹7·S¹ Á ³!a µ ·�³ ½ ´�² µ Á ¹ñ´ ½ · ®²�³¬´ ò ¹�¹ µ ò ¸ Å ³ Æ ¹Pº µ ·S¹P¶~º3³¬´�¹ ò(½ ´#· Á ³ Ç Â�·S¹P²&· ½ µ º3º ½¸ñ ·�¸�¹P¼ & öqÂ�¹q· ½ ·�¸�³¬² ®eµ ´�¶;Â�´�º¬³!�¹]·�¸�¹q¹P²S·�³¬¼ µ ·S¹ ½¸ñ·�¸�¹+¼�¹ µ ´ ® ·�¸�¹�¹P²S·�³¬¼ µ ·S¹ ½¸ñ ·�¸�¹�É µ Á ³ µ ´ ò ¹ÙÀ ³±É¹P´ ÇXó õ�ô & ý � ° ³¬²qÂ�²� µ º3º ó ³¬´ ò(½Á�Á ¹ ò · &ÕC ¹7ɹ Á ·�¸�¹Pº±¹P²x² ®¾ ¹ ¾ ³3º¬º�²�¹7¹Õ·�¸ µ · ·�¸�¹ Ä Ì Ü Ä�ò µ ´Bº¬¹ µ ¶c· ½ ¹Q�^¹ ò ·�³±É¹ µ º¬À ½Á ³±·�¸�¼+² ñ�½Á ¶�¹7·S¹ Á ¼+³¬´�³¬´�À�·�¸�¹+´#Â�¼ Ç ¹ Áô½¸ñº¬³¬´�¹P²ÿ³¬´¥·�¸�¹ ¹P¶�À¹z¼ µ Å &õ ¹ô²�· µ Á · ÇXó Å Á�½ Å ½ ²�³¬´�À µ ´ µ º¬À ½Á ³±·�¸�¼ Ç µ ²S¹P¶ ½ ´�·�¸�¹ Å Á ³3´ ò ³ Å º±¹P² ½¸ñ ¶�¹ ò ³¬²�³ ½ ´�·�¸�¹ ½Á�ó &�Ì ·n³¬² ¾ ¹Pº¬º��´ ½¿¾ ´ õ>� �DÕ�Ö��@Õ õ \ óð� ° ·�¸ µ · ® À ³±É¹P´¥·�¸�¹ ½Ç ²S¹ Á É µ ·�³ ½ ´ ½¸ñ µ Á µ ´�¶ ½ ¼�É µ Á ³ µ Ç º±¹h� ® ·�¸�¹z¼+³¬´�³3¼�Â�¼Å Á�½Ç µ Ç ³¬º¬³±· óa½¸ñ ¹ Á�Áx½Á ¹P²S·�³3¼ µ ·S¹ ½¸ñ µ Á µ ´�¶ ½ ¼÷É µ Á ³ µ Ç º±¹v�÷³¬²ü·�¸�¹ .:, �=>). ��.�,v0�6<*-#�"-;�>?6/;�> õ É Ä1� °¹P²S·�³¬¼ µ ·S¹ �-�R� x Û µ Á À@¼ µ ÆH « õ � Û � W � Û�Ý�° õ�ô & ý ô °Û µ Á À@¼ µ ÆH « õ � Û�Ý W � Û � ° « õ � Û � °Z õ�ô & ý ß °Ó ¸�¹�¶�¹P´�²x³±· ó « õ � Û � ° ³¬² Á ¹ ñ ¹ Á�Á ¹P¶�· ½ µ ²+·�¸�¹ 0�;�>?6/;bEX"-5A*�>)#�¦ ®ÿµ ´�¶ « õ � Û�Ý W � Û � ° µ ²�·�¸�¹`g6/5�E/>)#?>@6/5�,=2�2^>��="-2^>�(f6$6$EÁñ Â�´ ò ·�³ ½ ´ &pÌ ´+·�¸�¹]º3³¬´�¹ü¶�¹7·S¹ ò ·�³ ½ ´ ò(½ ´#·S¹ Æ · ® ·�¸�¹ôÉ µ Á ³ µ Ç º±¹ñ· ½ ¹P²�·�³¬¼ µ ·S¹ô³3²g·�¸�¹´#Â�¼ Ç ¹ Án½¸ñ º3³¬´�¹P² ° ®�µ ´�¶a·�¸�¹ ½Ç ²S¹ Á ɹP¶ Á µ ´�¶ ½ ¼ É µ Á ³ µ Ç º±¹ô·�¸�¹ô² µ ¼ Å º±¹�¼�¹ µ ´ ½¸ñ ·�¸�¹ôÈ µ ¶ ½ ´�· Á µ ´�² �ñ�½Á ¼ ½¸ñ ·�¸�¹ Å ³ Æ ¹Pº µ ·S¹P¶¨¹P¶�À¹�¼ µ Å & Ó ¸�¹ Ä Ì Ü Ä Å Á�½ É�³3¶�¹P² µ ´ µ Å�Å Á�½PÆ ³¬¼ µ ·�³ ½ ´c· ½ ·�¸�¹ õ Â�´@��´ ½N¾ ´ °ò(½ ´�¶�³±·�³ ½ ´ µ ºnº¬³!�¹Pº¬³¬¸ ½�½ ¶ ñ Â�´ ò ·�³ ½ ´ ½¸ñ ·�¸�¹~º µ ·S·S¹ Á À ³±É¹P´ ·�¸�¹ ñ�½Á ¼�¹ Á ® ¹P´ µ Ç º3³¬´�À¥·�¸�¹~¹P²S·�³¬¼ µ ·�³ ½ ´ ½¸ñ·�¸�¹»´�Â�¼ Ç ¹ Áü½¸ñ º¬³¬´�¹P²ÿ·�¸ Á�½ Â�À ¸;·�¸�¹ ñ�½ º¬º ½¿¾ ³¬´�À µ º¬À ½Á ³±·�¸�¼ &� ������Ò�þ8ÿ Ñ � ���@�Y��cQ>8­="-5d,/5�"gE$]X"D.:,Z02d���I d JQõf¯n° PR,0�,/;�,/.'"�#�"�;b2�,=#@#?>?`�"a� x | zH@{g| J { PS,/5�E�,�0�;Z>@6/;0�;�6 % , % >�2^>?#�¦!8-6=;v#)(�"+5S��. % "-;+698o0�>É�f"-2�,=#�"4ED2�>)5�"-*ô« õ ° Û ¸ ° P�0A"-;)8�6/;Z.C#)(�"Q8�6/2�2�6/TU>)5X]D*�#�"q0�*S#N6b"-*�#?>� .:,=#�"S#)(�"v5S��. % "�;v698K0�>Z�X"�2n,r#�"4E2^>�5p"�*!#)(f,=#Q>?#Q`Z6/5Y#N,/>)5A*(6

Page 117: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

� j� Ô �����.�DÕÎÍ]���Î����ÖD�Ê×��=����Í�ØU�@Õ��eÙÛÚj������Ì �%�N�� G `Z6/.10��A#�"R#)(�" Øe,rEF6/5�#?;�,/5A*�8�6/;�.�� ± d���I d JQõf¯n° ² õ �Z� Þ4� � °�ÞW�6õ �g� Þ4� � °e� � x | zH@{g| J {��ª G `Z6/.10��A#�"R#)(�"�*-,=.o0�2�"S.'"g,/5 _ � ± d���I d J ² õ �g� Þ4� � ° � �� G `Z6/.10��A#�"�#)(A"h.:, �r>�. ��.�,�0�6/*�#�"-;�>@6/;Z>�0�;96 % , % >�2^>)#�¦�"�*-#?>�.:,=#�"�8-6=; #)(A"h5S��. % "�;!69812^>)5�"�* ��5�EF"-;#)(�" ×�¡�Ö�×

¸ �R� x Û µ Á À&¼ µ Æ «�I _ � ± d���I d J ² õ �g� Þ4� � ° � W ° Û ¸ J « õ ° Û ¸ °�Þ õ�ô & ý ð °TM(�"�;�"+«mI _ � ± d���I d J ² õ � � Þ4� � °s� W ° Û ¸ J >�*36 % #N,/>)5�"gE % ¦ �f*Z>)5X] _ � ± d���I d J ² õ � � Þ4� � °µ�,<* _ Ó � >)5�1[© G ª#��4 G��³±À  Á ¹ ô &0/ Å Á ¹P²S¹P´#·�²�·�¸�¹1¢ µ Â�²�²x³ µ ´�¶�¹P´�²�³¬·�³±¹P²�¶�¹P² ò(Á ³ Ç ¹P¶ Ç»ó õ�ô & ý � ° ñ�½Á µ Á ¹7À ³ ½ ´+²x³�a7¹ ½¸ñ [ þ Ð [ þµ ´�¶ ¸ � ± \ Þ� � � NÞ \7þM² &ÙC ½ ·�³ ò ¹�·�¸ µ ·q·�¸�¹P²�¹+¶�¹P´�²�³±·�³¬¹P² µ Á ¹ ò º¬¹ µ Á º ó ²S¹ ÅUµ Á µ ·S¹P¶ ® ³¬´�¶�³ ò µ ·�³¬´�Àa·�¸ µ ·q·�¸�¹Å Á�½Ç µ Ç ³¬º¬³±· ó2½¸ñ ¹ Á�Á�½Á�½¸ñ ·�¸�¹ É Ä1� ¶�¹ ò ³¬²�³ ½ ´�²;²�¸ ½ Â�º¬¶ Ç ¹=ɹ Á�ó ²�¼ µ º3º & ûô½¿¾ ¹7ɹ Á ® ¶�Â�¹¨· ½ ·�¸�¹

0 1 2 3 4 5 6 70

5

10

15

20

25

30

<r>

t=1

t=2

t=3

t=4 t=5

t=6 t=7

t=8 t=9 t=10

��³±À  Á ¹ ô &0/ ��£�'1:(������')��*Bm&�;����=>��m&�D<7l;')hi')<=>mh>��á&���;g}=>l;m�¤�¥?¦§¤`=>?�=>l;m�u��©¨%m&u��vl(?Î?]*�?19³=>l;m��>'1j�r(u�m�j�m&'1� ?)9¼=>l(m�np'1*(?%�=�hi')�;�f9Y?)h>j ?19@'Qª%zK«�ª%zsr;��tBm&uv')=>m�*�m�*(g1m�j�'1rX¬Bg1�v�%m&��=>l(m��B:(js~#mh�?19@r(��tBm&uv'�=>m�*�u����;m&�&A³¬´�¶�¹ Å ¹P´�¶�¹P´ ò ¹ µ ²x²�Â�¼ Å ·�³ ½ ´Õ³3´�¸�¹ Á ¹P´#·�· ½ ·�¸�¹ Ä Ì Ü Ä ® ·�¸�¹ñ· Á Â�¹ñÉ µ Á ³ µ ´ ò ¹P² ò µ ´ Ç ¹ñ¼� ò ¸+º µ Á À¹ Á ·�¸ µ ´·�¸ ½ ²S¹+²�Â�ÀÀ¹P²S·S¹P¶ ÇXó ·�¸�¹�ø�À  Á ¹ µ ´�¶=·�¸�¹ Å Áx½Ç µ Ç ³¬º¬³¬· ó�½¸ñ ¹ Á�Á�½Á?ò(½ Â�º¬¶=·�¸�¹ Á ¹ ñ�½Á ¹ Ç ¹�¼Õ ò ¸�º µ Á À¹ Áµ ² ¾ ¹Pº3º &ÄÌ ´ ½Á ¶�¹ Á · ½ ¹7É µ º¬Â µ ·S¹+¸ ½¿¾ ·�¸�³¬² Å Á�½Ç º±¹P¼ ¼ µ ó µ �.¹ ò · ·�¸�¹ µ ò+ò  Á µ òAóc½¸ñ&Ä º±À ½Á ³±·�¸�¼ ô & \ ®¾ ¹ ò(½ ´�¶� ò ·S¹P¶�·�¸�¹ ñ�½ º3º ½¿¾ ³3´�À É ½ ´#·S¹ 8 µ Á º ½ ¹ Æ Å ¹ Á ³¬¼+¹P´j· �

Page 118: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

� j� l Ú �����B�����.���U�.�������A­�Ê�Í1k@Ú#��Ì �%�B ® ½ ´�¹�·�¸ ½ Â�² µ ´�¶�· Á ³ µ ºÎ¹P¶�À¹�¼ µ Å ² ò(½ ´j· µ ³¬´�³¬´�À ¸ Å ³ Æ ¹Pº µ ·S¹P¶¥º3³¬´�¹P² ¾ ¹ Á ¹�³¬´�¶�¹ Å ¹P´�¶�¹P´#·�º ó ¶ Á µ ¾ ´µ ò+ò(½Á ¶�³¬´�À�· ½ õ�ô & ý °1�® ·�¸�¹]¹P²S·�³¬¼ µ ·S¹ ¸ �R� x ¾ µ ² ò(½ ¼ Å Â�·S¹P¶ ñ�½Á ¹ µ ò ¸+¹P¶�À¹�¼ µ Å�®jµ ò+ò(½Á ¶�³¬´�À»· ½ÕÄ º¬À ½Á ³±·�¸�¼ ô & \ ®eµ ´�¶·�¸�¹�´#Â�¼ Ç ¹ Áñ½¸ñ · Á ³ µ º¬²ñ³¬´ ¾ ¸�³ ò ¸ ¸ �R� x ¾ µ ²]¶�³��.¹ Á ¹P´#·ñ·�¸ µ ´ ¸&¾ µ ² Á ¹ ò(½Á ¶�¹P¶ &Ó ¸�¹~¹ Æ Å ¹ Á ³3¼�¹P´j· ¾ µ ² Á ¹ Å ¹ µ ·S¹P¶ ñ�½Á ³¬¼ µ À¹P²�²�³�a7¹P² Á µ ´�À ³3´�À ñ�Á�½ ¼ [ þ Ð [ þ · ½ \7þþ ÐD\7þþ µ ´�¶ ¸Á µ ´�À ³¬´�À ñ�Á�½ ¼ \ · ½ �'& Ó µ Ç º±¹ ô & ý Å Á ¹P²�¹P´j·�²@·�¸�¹ Å ¹ Á�ò ¹P´#· µ À¹ ½¸ñ ·�¸�¹]¹P²S·�³¬¼ µ ·S¹P²@·�¸ µ · ¾ ¹ Á ¹ ¾üÁ�½ ´�À ñ�½Á¹ µ ò ¸=³¬¼ µ À¹�²�³�a7¹ & 8 º±¹ µ Á º ó ® ·�¸�¹ Å ½ ²�²x³ Ç º±¹qÉ µ Á ³ µ ´ ò ¹z¼�³¬²�¼ µ · ò ¸ ¶ ½ ¹P²]´ ½ ·�²S¹7¹P¼ · ½�Ç ¹ µ Á ¹ µ ² ½ ´ ñ�½Á¼� ò ¸ ò(½ ´ ò ¹ Á ´ &�Ì ´+·�¸�¹�³¬¼ µ À¹�²�³�a7¹P² µ ´�¶a´�Â�¼ Ç ¹ Án½¸ñ º¬³¬´�¹P² ò(½ ´�²�³¬¶�¹ Á ¹P¶ ® ·�¸�¹ô¹ Á�Á�½ÁnÁ µ Á ¹Pº ó ¹ Æ�ò ¹7¹P¶�¹P¶\°¯ ® ²�Â�ÀÀ¹P²�·�³¬´�À¨·�¸ µ ·Ù·�¸�¹ Ä Ì Ü Ä ³¬² µ À ½�½ ¶ ¼ ½ ¶�¹Pº ñ�½Á ¶�¹7·S¹ Á ¼+³¬´�³3´�À¥·�¸�¹;´#Â�¼ Ç ¹ ÁÕ½¸ñ Å ³ Æ ¹Pº µ ·S¹P¶º¬³¬´�¹P²ÿ³¬´ µ À ³±É¹P´¥¹P¶�À¹�¼ µ Å &Èü¹7À ³ ½ ´ÛÜ�³�a7¹ \ º¬³¬´�¹ ý º¬³3´�¹P² / º¬³¬´�¹P² [ º¬³3´�¹P² � º¬³¬´�¹P²[ þÏÐ [ þ þF¯ þ [ ¯ þ �ô ¯ ý ý ¯ ôf / ¯ô þÏÐ ô þ þF¯ þF¯ þ \°¯ þ / ¯ þ [ ¯ð þÏÐ ð þ þF¯ þF¯ þ \°¯ þ [ ¯ þ ý ¯\7þþÏÐÃ\7þþ þF¯ þF¯ þ ý ¯ þ \°¯ þF¯

Ó µ Ç º±¹ ô & ý �y±Hh�h>?1h�hi')=>mp9.?1hÊ=>l(mpm&�f=>��j�')=>me?19O=>l;m��B:(js~#mh�?19Mu��v�(m&�Ê9Y?)hy=>l;m³²�?%�Î=>m�ÝÊ'�h>u�? mtBr#mh>��j�m&�Î=Ê*Bm&��<h>��~#m�*����=>l(mp=>mt]=�A�Äâ�´ µ ê1ìµå·¶íå�ç�å\¸pçÊê�õ�ì åM¹vº�éC»íù�å}ûÓ ¸�¹ü¼ µ ³3´+º¬³¬¼+³¬· µ ·�³ ½ ´ ½¸ñ ·�¸�¹]º¬³3´�¹ñ¶�¹7·S¹ ò ·�³ ½ ´a¹ Æ µ ¼ Å º±¹P² ½¸ñ�ò ¸ µ Å ·S¹ Á � ¾ µ ²@·�¸�¹ µ Ç ²�¹P´ ò ¹ ½¸ñ º ½�ò µ º¬³�a µ �·�³ ½ ´ &ñõ ¸�³¬º±¹»² µ ·�³¬² ñ µ ò · ½Á�ó µ ·�·�¸�¹ ¾ ¸ ½ º±¹z³¬¼ µ À¹Õº±¹7ɹPº ® ·�¸�¹�²S· Á µ ·S¹7À ó ½¸ñ Å Á ¹ � ¶�¹7ø�´�³¬´�À�·�¸�¹�´�Â�¼ Ç ¹ Á½¸ñ º3³¬´�¹P²q¶ ½ ¹P²»´ ½ · Á ¹ µ º¬º ó À¹P´�¹ Á µ º3³�a7¹�· ½ ·�¸�¹ ò µ ²S¹a³¬´ ¾ ¸�³ ò ¸¨·�¸�¹+È µ ¶ ½ ´Ã· Á µ ´�² ñ�½Á ¼`³¬² ò(½ ¼ Å Â�·S¹P¶½ ɹ Á ² Å�µ ·�³ µ º¬º ó º ½�ò µ º¬³�a7¹P¶�´�¹P³±À ¸ Ç^½Á ¸ ½�½ ¶�² & Ó ¸�¹ Å Áx½Ç º±¹P¼ ³¬²Õ·�¸ µ ·�¶�³��.¹ Á ¹P´#·�´�¹P³±À ¸ Ç^½Á ¸ ½�½ ¶ ¾ ³¬º¬º· ó Å ³ ò µ º¬º óìò(½ ´#· µ ³¬´�¶�³��.¹ Á ¹P´#· ´#Â�¼ Ç ¹ Á ² ½¸ñ º¬³¬´�¹P² µ ´�¶B·�¸�¹�¹P²S·�³¬¼ µ ·S¹ ½¸ñ ·�¸�³¬² ´�Â�¼ Ç ¹ Á ¼ÕÂ�²S· ® ·�¸�¹ Á ¹ �ñ�½Á ¹ ® Ç ¹ µ ¶ µ Å ·�³±É¹ & Ó ¸�³¬²ô³¬²ô³3¼ Å ½ ²�²�³ Ç º¬¹ ¾ ¸�¹P´¥·�¸�¹Ù´�Â�¼ Ç ¹ Á�½¸ñ º¬³¬´�¹P²ô³¬² Å Á ¹ � ²S¹7· ® ³¬´ ¾ ¸�³ ò ¸ ò µ ²S¹�³±·³¬² ³¬¼ Å ½ ²�²x³ Ç º±¹»· ½�Á ¹ ò(½ ɹ Á ·�¸�¹+³¬¼ µ À¹+º¬³3´�¹P² ¾ ³±·�¸ µ ´ ó ¶�¹7À Á ¹7¹ ½¸ñdò(½ ´�ø�¶�¹P´ ò ¹+³¬´ ¾ ¸ µ · Á ¹7À µ Á ¶�² · ½·�¸�¹P³ Á ² ÅUµ ·�³ µ º�º ½�ò µ º¬³�a µ ·�³ ½ ´ õ ¹ & À & ²S· µ Á · � µ ´�¶�¹P´�¶ � Å ½ ³¬´#·�² ° &Ó ¸�¹Õ²S· µ ·�³¬²S·�³ ò µ º ò ¸ µ Á µ ò ·S¹ Á ³�a µ ·�³ ½ ´¨¶�¹7ɹPº ½ Å ¹P¶c³¬´ ·�¸�³¬² ò ¸ µ Å ·S¹ Á ¼ µ �¹P²q³±· Å ½ ²�²�³ Ç º¬¹�· ½ ø�´�¶ ·�¸�¹½ Å ·�³¬¼ µ º õ ³3´�·�¸�¹Ã¼+³¬´�³3¼�Â�¼ Å Áx½Ç µ Ç ³¬º¬³¬· ó2½¸ñ ¹ Á�Á�½Á ²S¹P´�²S¹ ° ¹P²S·�³¬¼ µ ·S¹ ñ�½Á ·�¸�¹Ã´#Â�¼ Ç ¹ Á�½¸ñ º¬³¬´�¹P² ®·�¸�¹ Á ¹ ñ�½Á ¹Ü¹P´ µ Ç º¬³¬´�À&·�¸�¹ ò(½ ¼ Å Â�· µ ·�³ ½ ´ ½¸ñ ·�¸�¹nÈ µ ¶ ½ ´ · Á µ ´�² ñ�½Á ¼ ½ ɹ Á º ½Xò µ º¬³!a7¹P¶ ´�¹P³±À ¸ Ç.½Á ¸ ½#½ ¶�² &yÌ ´·�¸�³¬²�²S¹ ò ·�³ ½ ´ ® ¾ ¹ñø�´ µ º¬³�a7¹&·�¸�¹ ò ¸ µ Å ·S¹ Áܾ ³¬·�¸�² ½ ¼�¹ñ¹ Æ µ ¼ Å º±¹P² ½¸ñ ² Å�µ ·�³ µ º3º ó º ½�ò µ º¬³�a7¹P¶�º¬³3´�¹&¶�¹7·S¹ ò ·�³ ½ ´ &

Page 119: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

� j� l Ú �����B�����.���U�.�������A­�Ê�Í1k@Ú#��Ì �%�;�Ä ò(½ º¬º±¹ ò ·�³ ½ ´ ½¸ñ ´ µ ·� Á µ ºU³¬¼ µ À¹P² ò(½ ´j· µ ³3´�³¬´�Àzº3³¬´�¹P² ¾ µ ² µ ²x²S¹P¼ Ç º±¹P¶ ® ¹ µ ò ¸;³¬¼ µ À¹ô¶�¹ ò(½ ¼ Å ½ ²S¹P¶�³¬´#· ½µ ²S¹7· ½¸ñ º ½Xò µ ºô´�¹P³±À ¸ Ç^½Á ¸ ½�½ ¶�² ® ·�¸�¹¨´#Â�¼ Ç ¹ Á+½¸ñ º¬³¬´�¹P²�³¬´2¹ µ ò ¸�´�¹P³¬À ¸ Ç^½Á ¸ ½�½ ¶�¹P²S·�³¬¼ µ ·S¹P¶ ¾ ³±·�¸Ä º¬À ½Á ³±·�¸�¼ ô & \ µ ´�¶¨·�¸�¹Ùº¬³¬´�¹ Å�µ Á µ ¼�¹7·S¹ Á ² Á ¹ ò(½ ɹ Á ¹P¶ ¾ ³±·�¸ Ä º±À ½Á ³¬·�¸�¼ �'&0�'& ��³±À  Á ¹ ô & [ Å Á ¹P²S¹P´#·�²·�¸�¹ñ³¬¼ µ À¹P² Å Á ¹7É�³ ½ Â�²�º ó µ ´ µ º ó a7¹P¶�³¬´ 8 ¸ µ Å ·S¹ Á � ®jµ ´�¶�·�¸�¹ ò(½ÁxÁ ¹P² Å ½ ´�¶�³¬´�À]¹P²S·�³¬¼ µ ·S¹ ½¸ñ ·�¸�¹ñ´�Â�¼ Ç ¹ Á½¸ñ º3³¬´�¹P²q³¬´¨¹ µ ò ¸ ³¬¼ µ À¹ Á ¹7À ³ ½ ´ õ µ ò ·�³¬É�³±· ó ¼ µ Å ° & ��³¬À  Á ¹ ô &0� Å Á ¹P²�¹P´j·�²q·�¸�¹ Á ¹ ò(½ ɹ Á ¹P¶ º¬³¬´�¹P² &�õ ¹¹P¼ Å ¸ µ ²x³�a7¹ ·�¸ µ ·]·�¸�¹P²S¹ Á ¹P²�Â�º±·�² µ Á ¹»·�¸�¹ ½ Â�· Å Â�· ½¸ñ ·�¸�¹z²S· Á µ ³±À ¸#· ñ�½Á�¾ µ Á ¶ ò(½ ¼ Ç ³¬´ µ ·�³ ½ ´ ½¸ñ ·�¸�¹»· ¾&½µ º±À ½Á ³±·�¸�¼+² &ôC ½ Å ½ ²�· � Å Á�½�ò ¹P²�²�³¬´�À~²S·S¹ Å ² ¾ ¹ Á ¹Õ³3´ ò º¬Â�¶�¹P¶¥· ½ · Á�ó · ½ ³3¼ Å Á�½ ɹ�³¬´ µ ´ ó ¾ µ ó ·�¸�¹Ùº¬³¬´�¹¶�¹7·S¹ ò ·�³ ½ ´ Á ¹P²�Â�º±·�² & 8&½ ¼ ÅUµ Á ³¬´�À ¾ ³±·�¸¤��³¬À  Á ¹ �'& \ ð ® ³±·z³¬² ò º±¹ µ Á ·�¸ µ ·z·�¸�¹�² Å�µ ·�³ µ ºÜº ½�ò µ º¬³�a µ ·�³ ½ ´ ½¸ñ·�¸�¹ Á ¹ ò(½ ɹ Á ¹P¶¥º3³¬´�¹P²Ü³¬²&´ ½N¾ ²�³¬À ´�³±ø ò µ ´#·�º ó ¸�³±À ¸�¹ Á & ��³±À  Á ¹P² ô & ô · ½ ô &0ð Å Á ¹P²S¹P´j· µ ²�¹7· ½¸ñ µ ¶�¶�³±·�³ ½ ´ µ º³¬¼ µ À¹P² ½¸ñ ³3´�¶ ½�½Á µ ´�¶ ½ Â�·�¶ ½#½Á ² ò ¹P´�¹P² ® ·�¸�¹ µ ²�² ½�ò ³ µ ·S¹P¶�¹P¶�À¹�¼ µ Å ² ®Üµ ´�¶ ·�¸�¹�º¬³¬´�¹P² Á ¹ ò(½ ɹ Á ¹P¶¾ ³±·�¸;·�¸�¹ ò(½ ¼ Ç ³3´ µ ·�³ ½ ´ ½¸ñgÄ º¬À ½Á ³±·�¸�¼+² ô & \ µ ´�¶ �'&0�'&� Á�½ ¼ ·�¸�¹P²�¹ô¹ Æ µ ¼ Å º±¹P²&³±· ò µ ´ Ç ¹ ò(½ ´ ò º¬Â�¶�¹P¶�·�¸ µ ·&·�¸�¹�º3³¬´�¹P²Ü·�¸ µ ·@¹ Æ ³¬²S·&³¬´�·�¸�¹]¹P¶�À¹q¼ µ Å ·S¹P´�¶· ½zÇ ¹ Á ¹ ò(½ ɹ Á ¹P¶ ¾ ³±·�¸ ñ µ ³ Á º ó À ½#½ ¶ µ ò+ò  Á µ òAó & Ó ¸�³3²Ü³¬²Ü´ ½ ·n· ½ ² µ ó ·�¸ µ ·n·�¸�¹ Á ¹ µ Á ¹]´ ½ Å Á�½Ç º¬¹P¼+² &�Ì ´Å�µ Á ·�³ ò Â�º µ Á ® ·�¸�¹ Á ¹ µ Á ¹ô· ¾&½ ¼ µ(� ½Á ² ½  Á¦ò ¹P² ½¸ñ ¹ ÁxÁ�½Á �ñ\ ° ·S¹ Æ ·� Á ¹P¶ µ Á ¹ µ ²&·�¸ µ ·ÿº±¹ µ ¶a· ½ µ ²�³±À ´�³±ø ò µ ´j·´#Â�¼ Ç ¹ Á�½¸ñ:ñ µ º¬²S¹ Å ½ ²x³±·�³±É¹P² ®µ ´�¶ ý ° ¹P¶�À¹ñ¶�¹7·S¹ ò ·�³ ½ ´ ½ ¼�³¬²�²�³ ½ ´�²�·�¸ µ ·gº±¹ µ ¶Ù· ½ ¼+³3²�²S¹P¶Õº¬³¬´�¹&²S¹7À ¼�¹P´#·�² &��³¬´ µ º¬º ó ®Îµ º¬º�·�¸�¹ µ ´ µ º ó ²x³¬²q³¬² º¬³¬¼+³¬·S¹P¶ ÇXó ·�¸�¹ ñ µ ò · ·�¸ µ · ® ñ�½Á ¹ µ ò ¸�³¬¼ µ À¹ ®�µ º¬º�´�¹P³±À ¸ Ç.½Á ¸ ½#½ ¶�² µ Á ¹½¸ñ ·�¸�¹ ² µ ¼�¹q²�³�a7¹ ®�µ ´�¶a·�¸�¹ ²�³�a7¹q³¬² ò  Á�Á ¹P´#·�º ó Å Á ¹ � ² Å ¹ ò ³±ø�¹P¶ õ · ½ÙÁ�½ Â�À ¸�º ó �� F ½¸ñ ·�¸�¹q³¬¼ µ À¹ ¸�¹P³±À ¸#· ° &Ó ¸�¹]² ½ º¬Â�·�³ ½ ´ ½¸ñ ·�¸�¹P²�¹ Å Á�½Ç º±¹P¼+² ¾ ³3º¬º Á ¹ ¡ Â�³ Á ¹ µ ¶�¶�³±·�³ ½ ´ µ º�¼ ½ ¶�Â�º¬¹P² ® ¹ & À & µ ·S¹ Æ ·� Á ¹�¶�¹7·S¹ ò · ½Á ·�¸ µ ·ò µ ´ µ Â�· ½ ¼ µ ·�³ ò µ º¬º ó ¶�³¬² µ Ç º±¹q·�¸�¹zº¬³3´�¹ ¶�¹7·S¹ ò ·�³ ½ ´¨¼ ½ ¶�Â�º±¹ ³¬´�·S¹ Æ ·� Á ¹P¶ Á ¹7À ³ ½ ´�² ®�µ ´�¶ µ ´ µ º±À ½Á ³±·�¸�¼· ½ ¹P²�·�³¬¼ µ ·S¹~·�¸�¹ ½ Å ·�³¬¼ µ ºn´�¹P³±À ¸ Ç^½Á ¸ ½#½ ¶Ã²�³�a7¹ µ ·�¹ µ ò ¸2³¬¼ µ À¹;º ½�ò µ ·�³ ½ ´ & ��³¬´ µ º3º ó ® ·�¸�¹P²S¹ Á ¹P²�Â�º±·�²µ º¬² ½�Á µ ³3²S¹q·�¸�¹ ¡ Â�¹P²S·�³ ½ ´ ½¸ñ�¾ ¸�¹7·�¸�¹ Á µ ²x²�Â�¼+³¬´�À�·�¸�¹z¹ Æ ³¬²�·S¹P´ ò ¹ ½¸ñ µ Á ¹Pº¬³ µ Ç º±¹�¹P¶�À¹z¼ µ Å ³¬² ñ ¹ µ ²�³ Ç º±¹³¬´ Å Á µ ò ·�³ ò ¹ & Ä º3º^·�¸�¹P²S¹ ¡ Â�¹P²S·�³ ½ ´�² Á ¹P¼ µ ³¬´ ½ Å ¹P´ ñ�½Á2ñ Â�·� Á ¹ ¾&½Á � &

Page 120: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

� j� l Ú �����B�����.���U�.�������A­�Ê�Í1k@Ú#��Ì �%�BS

100 200 300 400 500 600

50

100

150

200

250

300

350

400

450

2 4 6 8 10 12 14 16

2

4

6

8

10

12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

100 200 300 400 500 600

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

2 4 6 8 10 12 14 16

2

4

6

8

10

12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

100 200 300 400 500 600

50

100

150

200

250

300

350

400

4502 4 6 8 10 12 14

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

��³±À  Á ¹ ôf¼ [ �y½¼m9.=�¾D��j�'1g1m&��r(h>m&�]��?%:(��u��d')��'1u��Bá&m�*��v��¿���g%:(h>myÀÎAvà9ÁBA�ne��g1l]=�¾D')����?Î<&�v')=>m�*q')<=>���B��=8��j�')r;�&A

Page 121: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

� j� l Ú �����B�����.���U�.�������A­�Ê�Í1k@Ú#��Ì �%�¿Ï

100 200 300 400 500 600

50

100

150

200

250

300

350

400

450

100 200 300 400 500 600

50

100

150

200

250

300

350

400

450

100 200 300 400 500 600

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

100 200 300 400 500 600

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

100 200 300 400 500 600

50

100

150

200

250

300

350

400

450100 200 300 400 500 600

50

100

150

200

250

300

350

400

��³±À  Á ¹ ôf¼ � �\½Om9�=�¾D�vj�')g%m&�yrBh>m&�]��?%:;��u��ø')��'1u��Bá&m�*ø��� ¿���g%:Bh>m\À]A�à�Á]A�n���g%lÎ=�¾@u����;m&�yh>m&<&?��Qm7h>m�*�w���=>lø=>l;m�<&?1js~(�v�;')=>��?%�?)9t¤eu�g%?)h>��=>l;j���À]A À '1�;*��]Avà1A

Page 122: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

� j� l Ú �����B�����.���U�.�������A­�Ê�Í1k@Ú#��Ì �(�1�

100 200 300 400 500 600

50

100

150

200

250

300

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

20

40

60

80

100

120

140

100 200 300 400 500 600

50

100

150

200

250

300

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

20

40

60

80

100

120

140

100 200 300 400 500 600

50

100

150

200

250

300

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

20

40

60

80

100

120

140

��³±À  Á ¹ ôf¼�ô � � w�?��vj�')g%m&�}�Y=>?1r#$q¬;'1����?Î<&�v')=>m&*dm�*(g1m�j�'1r;����j��v*(*(u�mph>?�we$q¬�')��*�h>m<&?��Qmh>m�*øuv���(m&�©��~#?)=�=>?%jø$7A

Page 123: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

 Fà l ÚrÄ)Å�ÆÈÇ�ÆYÉ�Æ���É�Ä?Ê�Å�ÆA­�Ê�Í1k@ÚXÆ�Ì �(�B�

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

20

40

60

80

100

120

140

100 200 300 400 500 600

50

100

150

200

250

300

350

400

450

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

20

40

60

80

100

120

140

100 200 300 400 500 600

50

100

150

200

250

300

350

400

450

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

20

40

60

80

100

120

140100 200 300 400 500 600

50

100

150

200

250

300

350

400

450

��³±À  Á ¹ ôf¼ ß � � w�?��vj�')g%m&�}�Y=>?1r#$q¬;'1����?Î<&�v')=>m&*dm�*(g1m�j�'1r;����j��v*(*(u�mph>?�we$q¬�')��*�h>m<&?��Qmh>m�*øuv���(m&�©��~#?)=�=>?%jø$7A

Page 124: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

 Fà l ÚrÄ)Å�ÆÈÇ�ÆYÉ�Æ���É�Ä?Ê�Å�ÆA­�Ê�Í1k@ÚXÆ�Ì �(��Ë

50 100 150 200 250 300 350

50

100

150

200

50 100 150 200 250 300

20

40

60

80

100

120

140

160

180

50 100 150 200 250 300 350

50

100

150

200

50 100 150 200 250 300

20

40

60

80

100

120

140

160

180

50 100 150 200 250 300

50

100

150

200

50 100 150 200 250 300

20

40

60

80

100

120

140

160

180

��³±À  Á ¹ ôf¼ ð � � w�?��vj�')g%m&�}�Y=>?1r#$q¬;'1����?Î<&�v')=>m&*dm�*(g1m�j�'1r;����j��v*(*(u�mph>?�we$q¬�')��*�h>m<&?��Qmh>m�*øuv���(m&�©��~#?)=�=>?%jø$7A

Page 125: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Ì Í�ÎdÏ·Ð:Ñ�Ò ÓÔ Õ×Ö Ø�ÙeÚ Û�ÜyÕÝÖ ÛÌ ´9·�¸�³¬²�·�¸�¹P²x³¬² ® ¾ ¹¨¸ µ ɹ Å Á ¹P²S¹P´#·S¹P¶ µ ¶�¹7· µ ³¬º±¹P¶_Þ�¸ µ Á µ Þ(·S¹ Á ³!a µ ·�³ ½ ´ ½=ß ·�¸�¹ È µ ¶ ½ ´D· Á µ ´�² ß�½Á ¼ ½=ßÅ ³ Æ ¹Pº µ ·S¹P¶ ß Â�´tÞ(·�³ ½ ´�² ¼ õ ¹ Ç ¹Pº¬³±¹7ɹܷ�¸ µ ·�²S¹7ɹ Á µ ºfÞ ½ ´#· Á ³ Ç Â�·�³ ½ ´�² ¾ ¹ Á ¹@¶�¹ Á ³±É¹P¶»·�¸ µ ·�²�¸�¹P¶Õ´ ½ ´ � · Á ³¬É�³ µ º³¬´�²�³¬À ¸j·�² ½ ´ ¸ ½¿¾ ·�¸�¹�È µ ¶ ½ ´Ã· Á µ ´�² ß�½Á ¼ ½=ß ·�¸�¹�³¬¶�¹ µ ºÜº3³¬´�¹+Þ ½ ¼ Å�µ Á ¹P² ¾ ³±·�¸B·�¸ µ · ½=ß µ�Å ³ Æ ¹Pº µ ·S¹P¶µ Å�Å Á�½¿Æ ³3¼ µ ·�³ ½ ´ ¼ Ó ¸�¹P²S¹¥³¬´YÞ7º¬Â�¶�¹ �Và ° µ Þ7º ½ ²S¹P¶ �Nß�½Á ¼ ¹ Æ Å Á ¹P²�²�³ ½ ´ ß�½Á ·�¸�¹ È µ ¶ ½ ´D· Á µ ´�² ß�½Á ¼ ½=ß·�¸�¹ Å ³ Æ ¹Pº µ ·S¹P¶cº3³¬´�¹ ® ý ° µaÅ Á ¹$Þ7³¬²�¹�Â�´�¶�¹ Á ²S· µ ´�¶�³3´�À ½=ß ¸ ½N¾ ·�¸�¹�É µ Á ³ ½ Â�² ß ¹ µ ·� Á ¹P² ½=ß ·�¸�¹ Å ³ Æ ¹Pº µ ·S¹P¶º¬³¬´�¹ õ Ç^½ Â�´�¶�¹P¶�²� Å�Å ½Á · ® ´ ½ ´ � a7¹ Áx½B¾ ³¬¶�·�¸ ®@µ ´�¶ Å ³ Æ ¹Pº¬³�a µ ·�³ ½ ´ ° µ �^¹$Þ(·�³±·�²�È µ ¶ ½ ´2· Á µ ´�² ß�½Á ¼ ®Qárâã�äYã/ågã=æ:ç�è�ågé Þ æ+ê�ëAç$ì ß ê=åvè4íAç'ì�ã/è�è�ç�åSè4ítã/è�é�îvïXðYé�è�ç+ç$ã=î�ñÈè�ê�æ'ã=òté�äYðtìóã/è�ç+ô�ê=è4í�ã=òtã=ì�ñfè4é Þ ã=ì�ì�ñõã=òtëÞ êræ+äYðAè4ã/è4é�êròtã=ì�ì�ñ#® [ â�ã Þ ítã/ågã Þ è�ç�ågé a ã/è4é�êròVê ßQö ã/ågé�êrðtî î�è4ã/è4é�î�è4é Þ î!ê ß è4íAç+÷1ã=ëAêròÈè�ågã=òtî ß ê=ågæøê ß è4íAçäYénù�ç$ì�ã/è�ç$ë�ì�é�òtç#®tã=òtëbúrâKã+äYå4êXê ß ê ß ç-ù�é�î4è�ç$ò Þ ç!ê ß ã:î�è4ã/è4é�î4è4é Þ ã=ì�ì�ã°ûüè4ítã/èBý=ê ö ç�ågòtî1è4íAç ö ã=ì�ðAçhê ß è4íAç÷oã=ëAêròDè�ågã=òtî ß ê=ågæþê ß ätå4ê=ôYã/ô�é�ì�é�î�è4é Þ ã=ì�ì�ñ+î�äpç Þ é ø ç$ëäYé�ùfç$ì�ã/è�ç$ë�ìóé�òAç$î ¼Ì òVè4íAç:äYå4ê Þ ç$îgî!ê ß ëAç�ågé ö é�òAýè4íAç$î4ç3æ:ã=é�ò Þ êròFè�ågé�ôYðAè4é�êròtî]® ö ã/ågé�êrðtîhê=è4ítç�åvé�òXè�ç�å4ç$î�è4é�òtýbé�òtî4é�ýríFè4îûyç�ågçbê=ôtè4ã=é�òtç$ëy®eòtã=æ+ç$ì�ñ à âRè4ítç�ëAç Þ êræ+äpêrî4é�è4é�êrò7ê ß è4íAç�ågã=òAý=ç ß ðtò Þ è4é�êrò7ê ß è4íAç�÷1ã=ëAêrò_è�åZã=òtî �ß ê=åZæÿé�òXè�ê3é�è4î1î4ðtätäpê=å4èoî�ç�è õ è4íAçRé�òFè�ç�åZî�ç Þ è4é�òAýî�ç�è�ê ß è4íAçvä�énùfç$ìóã/è�ç$ë�ì�éóòAç§âKã=òtë ã=æ+äYì�é�è4ðtëAç#® ý âBè4íAçå4ç$ã=ì�é a ã/è4é�êrò7è4ítã/è:ûoíYé�ì�çè4íAçDã=æ+äYìóé�è4ðtëAç�é�î+î4é�ýròté øYÞ ã=òXè4ì�ñ ã � ç Þ è�ç$ë�ôXñ�äYénù�ç$ì�é a ã/è4é�êrò è4ítçbî4ðAätäpê=å4èî�ç�èvéóîhôYã=î4é Þ ã=ìóì�ñ ðYòtã=ì�è�ç�å4ç$ëÈôfñÈé�èήUárâ è4íAç Þ êròtòAç Þ è4é�êrò�ô�ç�èqûyç�ç$ò�î�ç ö ç�ågã=ì ö ã/ågé�ã/è4é�êròtî�é�òÈè4íAçLî�è4ã=ò �ëtã/ågë+è4ítå4ç$î4íAêrì�ëYé�òAý ätå4ê Þ ç$ëtðAå4ç ß ê=åyìóé�òAçBëAç�è�ç Þ è4é�êrò3ã=òtë'ã�è4ã<ùfêròtêræ�ñ+ê ß æ+ê�ëAç$ì�îUè4íYã/èyã/ätätågê$ùAé�æ:ã/è�çè4íAçR÷oã=ëAêrò è�ågã=òtî ß ê=ågæøê ß è4ítçväYé�ùfç$ì�ã/è�ç$ëõì�éóòAç!ûoé�è4í ëté � ç�å4ç$òXè�ì�ç ö ç$ì�îoê ß ã Þ�Þ ðAågã Þ ñ#®�ã=òtë [ â1ã Þ ì�ç$ã/åðtòtëAç�åZî�è4ã=òtëté�òtý�ê ß ûoíAç$òè4íAç!ã=îgî4ðtæ+ätè4é�êròè4ítã/èoã:ì�éóòAç�éóîeé�ëAç$ã=ì�ã=òtëDòtê=èBäYénù�ç$ì�ã/è�ç$ë�é�îeã Þ�Þ ç�ätè4ã/ô�ì�ç ¼Ó íAçDæ'ã=é�ò7è4íAç�ê=å4ç�è4é Þ ã=ì Þ êròXè�ågé�ôYðtè4é�êròtîRûQç�å4çbã=ì�î�ê î4íAê°û1ò_è�êVôpçDê ß ätågã Þ è4é Þ ã=ìBé�æ+äYã Þ è'ôXñ à âç-ùfäpêrî4éóòAý ß ðtòYëtã=æ+ç$òXè4ã=ì�ì�é�æ:é�è4ã/è4é�êròtî ê ß Þ êræ:æ+êròtì�ñÈðtî4ç$ëÈätå4ê Þ ç$ëtðAå4ç$î]®�î4ð Þ íVã=î!è4íAç3ëAç�è�ç Þ è4é�êròVê ßý=ç�êræ+ç�è�ågé Þ î�è�ågð Þ è4ðAågç$îeôXñLè4íAå4ç$îgíAêrì�ëté�òtýH®�ã=òYë ý âKç$î�è4ã/ôYìóé�î4íté�òtýSãRätåZé�ò Þ é�äYì�ç$ë'ôYã=îgé�î ß ê=åoè4íAç�ëAç�ågé ö ã �è4é�êrò�ê ß òAç�ûþã=ì�ý=ê=åZé�è4ítæ:î ß ê=å ö ã/ågé�êrðYî Þ êræ+äpêròAç$òXè4îRê ß è4ítçìóé�òAç3ëtç�è�ç Þ è4é�êrò�ätå4ê=ôYì�ç$æ ¼ Ó íAç$î�çé�ò �Þ ì�ðtëAç$ë3ã=òLê=ätè4é�æ:ã=ì õ é�ò3è4íAç�æ'é�òté�æSðtæ ätågê=ôYã/ôYé�ì�é�è�ñSê ß ç�å4å4ê=åeî�ç$òtî4ç§âUätågê Þ ç$ëtðtå4ç ß ê=åQã=ðtè�êræ:ã/è4é Þ ã=ì�ì�ñ

�(�1Ô

Page 126: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Â��=à � �pÊ�Åe��Ú ��� Ä?Ê�Å � �(�glëAç�è�ç�ågæ:éóòté�òAý�è4íAçLòXðYæ�ôpç�å�ê ß ìóé�òAç$î�éóòVã=ò éóæ:ã/ý=ç#®�ã=òtë�ã=ò�ã=òtã=ì�ñ�î4é�î � ôXñ � î�ñ�òFè4íAç$îgé�î!ã=ì�ý=ê=ågé�è4ítæ ß ê=åëAç�è�ç�ågæ:éóòté�òAýLè4íAç+äYã/ågã=æ:ç�è�ç�ågîhê ß è4íAêrî�ç:ì�é�òtç$îή�è4ítã/èhûKã=î!î4íAê§ûoòõè�êDôpç+î4é�ýròté ø�Þ ã=òFè4ì�ñ�î4ðAäpç�ågé�ê=å è�êÞ ðAå4å4ç$òXè4ì�ñ:ðtî4ç$ë3æ+ç�è4ítêfëtî ¼ Ó íAç Þ êrævôYé�òYã/è4é�êrò'ê ß è4íAç1èqûyê+ã=ì�ý=ê=åZé�è4ítæ:îyç$òtã/ôYì�ç$îQî�äYã/è4éóã=ì�ì�ñ:ì�ê Þ ã=ì�é a ç$ëì�é�òAç3ëAç�è�ç Þ è4é�êrò�ûoé�è4íAêrðtèvëAç�ý=ågã=ëYã/è4é�êrò�ê ß è4íAçLëtç�è�ç Þ è4é�êrò�ã Þ�Þ ðAågã Þ ñ#®yî4êræ+ç�è4íté�òAý�è4ítã/èSûQã=îRî4íAê§ûoòòAê=èeè�ê'ôpç äpêrî4î4é�ô�ì�ç�ðYòtëAç�åeè4íAå4ç$îgíAêrì�ëté�òtýSî�è�åZã/è�ç�ýré�ç$î ¼õ íté�ì�ç1è4íté�îKé�îQãSòtêrò � è�ågé ö é�ã=ìYî4ç�èQê ß é�òtî4é�ýríFè4îQã=òtëã=ì�ý=ê=ågé�è4íYæ:é ÞoÞ êròXè�ågé�ô�ðAè4é�êròtîήfé�èKé�îQå4ç$ã=ì�ì�ñ+êròtì�ñã ø ågî4è!î�è�ç�ä�è�ê§ûQã/ågë�ã Þ êræ+ä�ì�ç�è�ç'ðtòtëtç�ågî�è4ã=òtëtéóòAý3ê ß è4íAç3é�æ+äYã Þ èhê ß äYénù�ç$ì�é a ã/è4é�êròõêròVè4íAç'÷1ã=ëAêròè�ågã=òtî ß ê=ågæ ¼ Ì ò ß ã Þ èή�è4íAç�å4ç+ã/å4ç:æ'ã=òFñ�ûQã°ñfî!éóò�û1íté Þ í è4ítéóî1ûQê=å � Þ êrðtì�ë ôpçSç-ù�è�ç$òtëAç$ë ¼ Ì ò�è�ç�åZæ:îê ß ëAç�ågé ö é�òtýDæ+êfëtç$ì�î�è4íYã/èSã/å4çî4ðté�è4ã/ôYì�ç ß ê=å+ì�é�òAç'ëtç�è�ç Þ è4é�êròy®�é�èvûyêrðtìóë�ôpç3éóòFè�ç�å4ç$î4è4é�òAýbè�ê ç-ù�è�ç$òtëûoítã/è+ûKã=î'ëAêròtç ß ê=å3è4íAçDì�é�òAçè�êVê=è4ítç�å'ý=ç�êræ+ç�è�ågé Þ ê=ô���ç Þ è4î ¼ Ì ò7ätågéóò Þ é�äYì�ç#®Uè4ítç�å4çDé�î:òAêÈågç$ã=î�êròûoíXñbè4íAç+ã=òtã=ì�ñ�î4é�î Þ êrðtìóë òtê=è�ôpçRç-ù�è�ç$òtëAç$ëõè�ê�äYénù�ç$ì�ã/è�ç$ë Þ é�å Þ ì�ç$îήpå4ç Þ è4ã=òAýrì�ç$îή�ã=òtëÈî�ê ß ê=ågè4íy®�ôYðAèé�èoågç$æ:ã=é�òtî1è�êô�çSëAç�è�ç�ågæ:éóòAç$ëbû1ítã/è1ûQêrðtì�ë�ôpç�è4íAçSç$ïfðté ö ã=ì�ç$òFè�ç-ù�ätå4ç$î4î4é�êròtî ß ê=å ïXðtã=òXè4é�è4é�ç$î î4ð Þ íã=îoè4ítç�é�òXè�ç�ågî�ç Þ è4é�òAý3î�ç�èή�è4ítç�ëAç Þ ã$ñbê ß è4íAç�ã=æ+äYìóé�è4ðtëAçhê ß è4íAç$é�å�÷oã=ëAêròbè�ågã=òtî ß ê=ågæý®Yê=å�î�è4ã/è4éóî�è4é Þ ã=ìïXðYã=òFè4é�è4é�ç$îBî4ð Þ íDã=îeè4íAç�íYé�î�è�ê=ý=ågã=æ·ã=òYëDî�ç Þ êròtë � ê=åZëAç�åoæ+êræ+ç$òXè4î ¼

��ö ç$ò ß ê=å�è4íAçõäYénù�ç$ì�ã/è�ç$ëdì�é�òtç é�è4î4ç$ì ß ®oè4íAç�å4çÈã/å4ç ö ã/ågé�êrðtîLç-ù�è�ç$òtî4é�êròtîLè4ítã/è�ûKã/å4ågã=òXè ß ðAå4è4íAç�åç-ùfä�ì�ê=ågã/è4é�êrò ¼ Ó íAç$î�ç:éóò Þ ì�ðtëAçRè4íAç'ç-ùfè�ç$òtîgé�êròVê ß ã=ì�ì�î4è4ã/è4é�î�è4é Þ ã=ì\å4ç$î4ðtì�è4î!è�êDè4íAç Þ ã=î4ç'ûoíAç�ågç:æ+ê=å4çå4ç$ã=ì�é�î4è4é Þ æ+ç$ã=î4ðtå4ç$îyã/ågç�é�æ:ä�êrî4ç$ë:êrò3è4íAç�î4äYã Þ ç1ê ß ç$ëtý=ç�é�òYëté Þ ã/è�ê=å ß ðtò Þ è4é�êròtî ¼ õ íYé�ì�çBå4ç$ìóã<ù�é�òtý!è4íAçã=î4î4ðtæ:ätè4é�êròDê ß ãLðtòté ß ê=ågæ·ätågé�ê=å�ëté�î�è�ågé�ôYðAè4é�êrò�î4ítêrðtì�ëDòAê=è�ôpç�è�êfêLëYé Í'Þ ðtì�è õ ç ¼ ý ¼ è�êã Þ�Þ êrðtòXè ß ê=åé�æ:ã/ý=ç$îeû1é�è4íã+ëAêræ:é�òtã=òXèKê=ågé�ç$òXè4ã/è4é�êrò�â1®tågç$ì�ã<ù�éóòAýRè4íAç!é�òtëAç�äpç$òtëtç$ò Þ ç1ã=î4îgðtæ+ätè4é�êròé�îeìóé � ç$ì�ñ:è�ê:ôpçã�î�êrðtå Þ çoê ß ý=å4ç$ã/è�ç�åeëté Í'Þ ðtì�èqñ ¼ Ì è\ûQêrðtì�ë'òAç ö ç�å4è4íAç$ì�ç$îgî\ôpçoé�òXè�ç�å4ç$î�è4éóòAý�è�êvç-ùfäYì�ê=å4çoätåZé�ê=ågîUè4ítã/è Þ ã=òã Þ�Þ êrðtòXè ß ê=åvè4ítç � òAê°ûoò�ý=ç�êræ+ç�è�ågé Þ î�è�ågð Þ è4ðAå4ç:ê ß æ+êrî4èSî Þ ç$òtç$î�è4ítã/è Þ êròFè4ã=éóò�ìóé�òAç$î õ ç ¼ ý ¼ äYågé�ê=ågîè4ítã/è ß ã ö ê=å3äYã/ågã=ì�ì�ç$ìóé�î4æ3â!ê=å:ç ö ç$ò_ç$ò Þ êfëAçDî4êræ+çDûQç$ì�ì � òtê°ûoò7äYå4ê=äpç�å4è4é�ç$îRê ß è4íAçbífðtæ:ã=ò ö é�î4ðtã=ìî�ñ�î�è�ç$æý®tç ¼ ý ¼ è4ítç�î�ê � Þ ã=ì�ì�ç$ë ¢ ç$î�è4ã=ì�èBäYågé�ò Þ é�ä�ì�ç$î\ê ß äpç�å Þ ç�ätè4ðYã=ìpê=å4ýrã=òté a ã/è4é�êrò õ@j�� Ú���Æ@Õ õ à óóó â�â ¼ òAê=è4íAç�å!é�òXè�ç�å4ç$î�è4é�òtýî4êrðAå Þ ç+ê ß ê=ä�ç$òõïfðAç$î�è4é�êròYîhé�î�è4íAç:é�î4î4ðtçvê ß ç-ùfè�ç$òYëté�òAýè4íAçRå4ç$î4ðYì�è4î ätå4ç �î�ç$òXè�ç$ë�è�ê òAêrò � ôYé�òYã/å4ñ�ä�énùfç$ìóã/è�ç$ë ß ðYò Þ è4é�êròtî ¼ õ íté�ì�ç:ã=ò�ç-ù�ã Þ èSç-ùfäYå4ç$î4î4é�êrò�ûQã=îvëAç�ågé ö ç$ë ß ê=åvè4íAç÷oã=ëAêrò:è�ågã=òtî ß ê=ågæ ê ß ã=òXñRäYénù�ç$ì�ã/è�ç$ë ß ðtò Þ è4é�êròy®=è4íYé�îUç-ù�ätå4ç$î4î4é�êrò:î4ð � ç�ågî ß å4êræ è4íAç1î4ã=æ+ç1ìóé�æ:é�è4ã/è4é�êròã=î�è4íAçoç$ïXðté ö ã=ì�ç$òXèUêròAç ß ê=å\è4ítçBäYénù�ç$ì�ã/è�ç$ë:ì�éóòAç � é�è\éóî�ïXðYé�è�ç Þ êræ+äYì�ç-ù ¼ ��ö ç$ò3é�òRè4íAç Þ êròXè�ç-ùfèQê ß ç$ëAý=çëAç�è�ç Þ è4é�êròy®té�èQûQêrðtì�ëLôpçhé�òXè�ç�å4ç$î�è4é�òAýRè�ê Þ êròtîgé�ëAç�åeæ+ê�ëAç$ì�î ß ê=åoè4íAçhì�é�òAç�è4ítã/èBã/ätäYì�ñ'ëté�å4ç Þ è4ì�ñ:è�ê+è4íAçé�æ:ã/ý=çSé�òFè�ç$òYî4é�è4é�ç$î ¼ Ó íYé�îeûQêrðtì�ë�ôfñXä�ã=î4îoè4ítçvòAç�ç$ë ß ê=å ã=òbç$ëtý=çvëAç�è�ç Þ è4é�êròõî�è�ç�ä�®Yè4ítã/è�ûQã=î�î4íAê§ûoòè�ê:ôpçhè4íAç!î�êrðAå Þ ç!ê ß�ö ã/ågé�êrðYîeätå4ê=ôYì�ç$æ:î ¼Ì ò'ã=ëtëté�è4é�êrò+è�ê�è4íYé�îήXã=òYë'î�è4é�ìóìté�ò+è4íAç Þ êròFè�ç-ù�èKê ßpö é�îgé�êrò:ã/ätäYìóé Þ ã/è4é�êròtî�ã=òYë:è4íAç1ç$ëAý=ç�ëtç�è�ç Þ è4é�êròätå4ê=ôYì�ç$æý®pè4íté�î ûQê=å � ì�ç$ã ö ç$î ö ã/ågé�êrðtî ê=è4ítç�å�ïXðtç$î�è4é�êròtîhðtòYã=òtî�ûQç�å4ç$ë ¼ òÈé�î4îgðAçvè4íYã/è!ûoé�ì�ì�å4ç$ïfðté�å4çß ðtå4è4íAç�åeé�ò ö ç$î�è4é�ýrã/è4é�êròDéóîyè4íYã/èBê ß íAê§ûaè�ê:ã=ðAè�êræ:ã/è4é Þ ã=ì�ì�ñëAç�è�ç�ågæ:é�òtç1è4íAçhê=äYè4é�æ:ã=ìpý=ågã=òfðtì�ã/ågé�è�ñ ß ê=åè4íAçh÷oã=ëAêròè�åZã=òtî ß ê=ågæ ¼ Ì èBéóîQìóé � ç$ì�ñ+è4ítã/èeôpç�è�è�ç�åeäpç�å ß ê=ågæ:ã=ò Þ ç Þ ã=ò�ôpç�ã Þ íté�ç ö ç$ë�ôfñ3ã=ëYã/ätè4é�òAýSè4íAç

Page 127: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

Â��=à � �pÊ�Åe��Ú ��� Ä?Ê�Å � �(��î4é a çKê ß è4íAçBì�ê Þ ã=ìAòAç$é�ýríXô�ê=åZíAêXê�ëvè�ê!è4íAçeì�ê Þ ã=ìAé�æ:ã/ý=çBî�è4ã/è4é�î4è4é Þ î ¼ Ó íté�î]®/ítê°ûQç ö ç�å]®Xû1é�ì�ìXå4ç$ïXðYé�å4çKî�êræ+çê=ätè4é�æ:ã=ìóé�è�ñ Þ ågé�è�ç�åZé�êròDå4ç$ìóã/è4é�òAý:è4íAçSòAç$é�ýríXôpê=ågíAêfêfë�î4é a çvã=òtë�è4íAçvã Þ�Þ ðtågã Þ ñDê ß è4íAçSì�é�òAç�ëtç�è�ç Þ è4é�êrò ¼ è+è4íté�îväpêré�òFèή�é�èRéóîvòAê=è Þ ì�ç$ã/å+û1ítã/èRè4íté�î Þ ågé�è�ç�ågé�ã æ:é�ýríXèRôpç ¼ òAê=è4ítç�å+ê=ä�ç$ò�é�îgî4ðAç3éóîvè4íYã/èSê ßé�òXè�ç�ý=ågã/è4é�òAývè4íAç�ì�ê Þ ã=ì�ç$î�è4é�æ:ã/è�ç$îQè4ítã/èKã/å4ç Þ ðAå4å4ç$òXè4ì�ñ+ê=ôtè4ã=éóòAç$ë'é�òXè�êRãvî�ç�èQê ß Þ êríAç�ågç$òFèQýrì�ê=ôYã=ì�ì�é�òAçç$î�è4é�æ:ã/è�ç$î ¼ Ì ëAç$ã=ìóì�ñ#®Fè4ítéóî\é�òXè�ç�ý=ågã/è4é�êròLî4íAêrðtìóë+ôpç1ëAågé ö ç$ò ß å4êræ ì�éóòAçBç$î�è4é�æ'ã/è�ç$îQëtç�ågé ö ç$ë'ã/èKæSðtì�è4é�äYì�çé�æ:ã/ý=ç å4ç$î�êrìóðAè4é�êròtîKã=òtë�òAç$é�ýríFôpê=ågíAêfê�ë'î4é a ç$î ¼ � ò Þ çhã/ýrã=é�òy®tî�êrì ö é�òtývè4ítéóîyäYå4ê=ôYì�ç$æ ûoé�ìóìYé�æ+ä�ì�ñ+è4íAçëAç�ågé ö ã/è4é�êròê ß ätå4ê=ôYã/ô�é�ì�é�î�è4é Þ æ+ê�ëAç$ì�î ß ê=å Þ êrò ø ýrðAågã/è4é�êròtîKê ß ì�éóòAç�î4ç�ýræ+ç$òFè4î ¼

Page 128: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

� Ü�� ÙeÜyÕ�������� ���

� Æ@Ú¼Ú�� �"!$# ã=òtë&% Æ('-Å�Ê*) �,+ Ä-�/.0! õ à,121 úrâ ¼ ò é�ò ß ê=ågæ:ã/è4é�êrò�æ:ã<ù�éóæ:é43$ã/è4é�êrò ã/ätätå4êrã Þ í�è�ê�ôYì�é�òtëî�ç�äYã/åZã/è4é�êròDã=òtë�ô�ì�é�òtëLëAç Þ êrò ö êrì�ðAè4é�êrò ¼65 "9�f;�,/2 7U6=.o0���#N,r#?>?6/5 #98;: à=à ý 1=<�à=à ú 1 ¼� Æ@ÕÊÖ�Æ@Õ>�@?A! õ à,12B úrâ ¼DC #N,=#?>�*�#?>@`g,/2UEF"4`$>ó*�>?6=5õ#)(A"46/;�ED,/5�EGF�,HEF"�*Z>@,/5�,/5�,/2IE<*�>ó* ¼ Ü ätåZé�òAý=ç�å �KJ ç�ågìóã/ý ¼ ¼�L ìóãHM=ç�ã=òtë ¼ON ðté�ì�ì�ç # ç$ëYé�è�ê=ågî õ à,121 ý â ¼ P `°#?>$Q="RQ°>�*Z>@6/5 ¼ SUTWV � å4ç$î4î ¼X � Å�Å9Y �Z?�! õ à,12B2[ â ¼ Þ êræ+ä�ðAè4ã/è4é�êròtã=ì�ã/äYätå4êrã Þ íDè�ê+ç$ëAý=ç�ëAç�è�ç Þ è4é�êrò ¼ ¡]\^\^\ H ;9,/5t* G 6/5U_o,=#@#�"-;�5P 5�,=2IE<*Z>�*v,/5�EG`�,r`-(F>)5�"h¡Z5Y#�"�2�2^>�]X"-5�`Z" # B : [ 8 1=<a[212B ¼i Æ � Å � � % ! õ à,12B árâ ¼:H (�"cbe,rEF6/5�#?;�,/5A*�8�6/;�. ,/5�E3*-6=.:"R6�8!>)#)*v,�0r0�2^>?`Z,=#?>?6=5A* ¼/d êrítòfe é�ì�ç�ñ ¼ihgi� + ÆA�Z�"! õ à,12B 8 â ¼ Om��5�Er,/.'"�5Y#N,/2�*R698v,�0r0�2^>@"gEv0�;�6 % , % >�2^>?#jE#)(A"46/;�E ¼�S Þ°¢ ågã$û �lk é�ìóì ¼i � Ç � �@mn!$# ã=òtëpo �Zg É@� j ! õ à,1 8 árâ ¼ _B,=#@#�"�;Z5�`$2n,<*Z*Z> qy`g,r#?>?6/5�,=5�E3*-`�"-5�"R,/5�,/2IE<*�>ó* ¼�d êríYò"e é�ì�ç�ñ ¼

r � �Zs Æ gi� � �ut"! õ à,121 árâ ¼mH (F;4"g"wv9E/>).'"-5A*�>?6=5�,/2e`g6/.10��A#�"-;xQ°>�*Z>@6/5�y�,]X"g6/.'"�#?;�>?`zQ°>N"-T�0�6/>)5Y# ¼zSfT{V� ågç$î4î ¼| g ÆtÅ � Å�Ç�Æ g ��}~!$# ã=òtë�% g Ä�� � � É � � � ���"! õ ý þþAà â ¼ � å4ê=ôYã/ôYé�ìóé�è�ñ æ+êfëtç$ì�î ß ê=å Þ ì�ðAè�è�ç�å�é�òÈòYã/è4ðAågã=ìé�æ:ã/ý=ç$î ¼ ¡]\^\ \ H ;9,=5A* G 6/5U_B,=#@#�"�;Z5 P 5�,=2IE<*Z>�*v,/5�E0`�,r`-(X>�5�"h¡Z5�#�"-2)2�>�]X"�5�`Z" # [ : [jý<[ < [jý 1 ¼o ����� Ä�Å � ��� j !$# | Ê g dzÊ�Å�� | !�#Z� � Ä �;� ÆA�6�"!$# ã=òtë�� � �D�XÊ g Ç^� i ! õ à,12121 â ¼�H T\6HvS,/5�E #)(F;4"g"�vE/>).'"-5A*�>?6/5�,/2A0�,r#@#@#�"-;�5A*R698\8-,r`�"�* ¼ �� � ç�è�ç�ågî ¼o ��g É � ÆOY ��mn!$# ã=òtë�� Ä ��� Æ g � � Å��D�"! õ ý þþþ â ¼ `¯��2^#?>©0�2�"zQ§>@"�T ]X"g6/.'"�#?;�EV>�5d`g6/.10��A#�"�;zQ°>�*Z>@6/5 ¼� ã=ævôtågé�ëtý=ç���òté ö ç�åZî4é�è�ñ � ågç$î4î ¼

o ÆtÆ s Æ g � i !$# ã=òYë � Æ g s ÆtÅ^��?�! õ à,121 úrâ ¼ � ñXåZã=æ:é�ë L ã=î�ç$ë V ç-ù�è4ðAå4ç òtã=ì�ñ�î4é�î��2��ñfòXè4íAç$î4é�î ¼ 7U6=.�v0��A#�"-;LcQ;9,Z0�(F>?`�*c_e;96$`�"g"gE/>�5f]/* # äYã/ý=ç$î ýý 1=< ý á B ¼o Æ � s � � Ê�Å�� % ! õ à,12121 â ¼BH (�"6be,rEr6=5#?;�,/5A*)8-6=;Z. ¼ � å4ê=ý=å4ç$îgîUé�òRæ:ã/è4íAç$æ:ã/è4é Þ î ¼�L é�å�MfíZ�ã=ðtî�ç�å L êrî4è�êrò #î�ç Þ êròtëDç$ëté�è4é�êrò ¼o Ê ��sZ� � j ! õ à,12[ ý â ¼ `�"$#)(f6$E<*L,=5�E .'"4,/5A*18-6/;3;�"g`g64]r5t>��->)5X]V`g6=.o0�2�"$�L0�,=#@#�"�;Z5t* ¼ � ¼ � ¼ � ã/è�ç$òFè+áþ�[210[ ú [ ¼o � � Å s ��?�!�# ã=òtë�� � ���fÊ g Ç � i ! õ à,12121 â ¼ �fè4ã/è4é�î�è4é Þ î�ê ß òtã/è4ðtågã=ì\é�æ'ã/ý=ç$îvã=òtë æ+ê�ëAç$ì�î ¼ ¡]\^\ \¡Z5Y#?2 G 7U6/5$8 G 6/5&7U6/.10��A#�"�;p��>ó*�>?6/5È,/5�E0_o,=#@#�"-;�5UbB"4`Z64]=5Y>)#?>@6/5 # äYã/ý=ç$î1ú [ à�< ú [ 8 ¼

�����

Page 129: On the Radon transform of sampled functions A thesis presented by Manuela Alexandra S. Pereira

  Ä   � Ä)Ê s gi� k � Y ����¡

¢ �;� Ä�Å s )'Ê g É � �@?A!$# ã=òYëp£ Ä)ÉpÉ � Æ g �@?A! õ à,12B2B â ¼ î4ðAå ö ç�ñê ß è4íAç k êrðAýríbè�ågã=òtî ß ê=ågæ ¼ 7U6/.10��A#�"-;��>ó*�>?6/5tP1cQ;9,Z0�(F>?`�*gPB,/5�E:¡Z.:,$]f"c_K;�6$`Z"-*g*Z>)5X] # [=[ : B 8 <�à=à,[ ¼? � Ä)Å����~! £ ! õ à,12B21 â ¼ Om��5�Er,=.:"�5Y#N,/2�*R698SE/>n]r>)#N,=2�>).+,°]X"e0�;�6$`Z"-*g*Z>)5X] ¼ � å4ç$òFè4é Þ ç k ã=ìóì ¼£ � � ��g �9mx!�#¤�RÅ � Å�Ç � Å�� j !$# ¢ gi� Å�ÄW� � !$# � Æ g s ÆtÅ��A?A!$# ã=òtëzo � Å�Å � � £ ! õ à,121 úrâ ¼ ÷oç�ätå4ç$î�ç$òXè4ã �è4é�êròbê ß î Þ ç$òAç$î ß å4êræ Þ êrì�ì�ç Þ è4é�êròtîoê ß é�æ:ã/ý=ç$î ¼ ¡]\ \^\¦¥b6/;Z�°*Z(f6Z076=5§bB"q0�;4"�*$"-5Y#N,r#?>?6/5t*+698¨��>�*!�t,/2C `�"-5�"-* ¼

t � �,� � ��� ÆtÅ�� � !�# ã=òtë r Ä�Æ � Ç^� i ! õ à,1212[ â ¼ � æ+ç�ågý=ç$ò Þ ç1ê ß îgé�æ+äYì�ç � Þ ç$ìóìAå4ç Þ ç�ätè4é ö ç�©tç$ì�ë'ätå4ê=äpç�å4è4é�ç$îôfñLì�ç$ã/åZòté�òAý+ã:î�ä�ã/ågî�ç Þ ê�ëAç ß ê=å1òtã/è4ðAågã=ì�éóæ:ã/ý=ç$î ¼ 5 ,=#£��;�" # á B�à : [ þ 8 <a[ þ�1 ¼j���� ��Æ g � % ! õ à,12121 â ¼ ��>ó*�>?6/5 *�`�>N"-5�`�",y\0Y(f6r#N6/5A*v#N6�0Y(A"-5�6/.'"�5�6/2�64]2E ¼/SfT{V � ågç$î4î ¼j�� kYÊ � � Ä � �/�"! õ à,121�à â ¼ _K;�6 % , % >)2�>?#jE<Ph;9,/5�Er6/.ªQ<,=;Z>@, % 2�"�*ZPh,=5�E�*�#N6$`�(f,<*-#?>?`R0�;96°`Z"�*Z*�"-* ¼§S Þ°¢ ågã°û �k é�ì�ì ¼j Ê g É�Ä ����� �u?A!$# ã=òtë«% Ä$� Ê�Å�¬�Æ ��� Ä-� ­®! õ ý þþþ â ¼ äYã/ågã=æ+ç�è�åZé Þ è�ç-ù�è4ðAå4çLæ+êfëtç$ì\ôYã=î4ç$ëVêròU¯9êréóòFèî�è4ã/è4é�î4è4é Þ îeê ß Þ êræ+äYì�ç-ùûKã ö ç$ì�ç�è Þ êXçw° Þ é�ç$òFè4î ¼ ¡Z5Y#?2 G>± 6��;�5�,/2M698x7U6/.10��A#�"-;¨��>�*Z>@6/5 # [ þ : [ 1=< 8 à ¼m � Ç�Ê�Å�� ?�! õ à,1�à 8 â ¼ ��1ô�ç�å!ëYé�ç L ç$î�è4éóæ:ævðYòAý ö êrò³²tðtò¤Mfè4é�êròAç$òÈëtðtå Þ íõé�íAågç T òFè�ç�ý=åZã=ì�ûyç�ågè�ç:ìl�ã=òAýrîý=ç�ûoé�îgî�ç�å S ã=òtòYé�ý ß ã=ì�è4é�ý2M=ç$é�è�ç$ò õK� òSè4íAçKëAç�è�ç�ågæ:é�òYã/è4é�êròSê ßtß ðYò Þ è4é�êròtî ß å4êræ è4íAç$é�åMé�òFè�ç�ý=åZã=ì�îMã=ì�êròAýÞ ç�å4è4ã=é�ò�æ:ã=òté ß êrì�ëtîZâ ¼ `�,=#)(�"-.:,=#?>�*g(;v´_K(�E<*Z>��/,/2^>ó*Z(�"nµv2�,<*Z*�" # [21 : ý [ ý < ý 828 ¼Mõ � òtýrì�é�î4í è�ågã=òtîgì�ã/è4é�êròê ß è4íAç!äYã/äpç�åBé�ò i Æ � Å � õ à,12B árâ�â ¼% ��Æ � � Ç�Æ g � �*�"!$#a¶ Ê g9g Ä)Å s � � !$# % � Å�É�Ä�Å�ÄW� % !$# | � ktÉ � �9�"!�# ã=òtë ? � Ä)Å��Amx! õ ý þþþ â ¼ � êròFè�ç$òXè{·ôYã=î�ç$ë�éóæ:ã/ý=ç!å4ç�è�ågé�ç ö ã=ì : è4ítçhç$òtëê ß è4ítç!ç$ã/ågì�ñ3ñ=ç$ã/ågî ¼ ¡]\ \^\ H¤¸]¹Hº¤»w¼^½Hº _ ¹�¾´¾l¿�¸�ºfP�º�¹HÀ E »�Á�»R¹Hº*Â` ¹�Ã�Ä�Áź*¿ ¡ ºÆ¾l¿�ÀÅÀÇÁÉÈa¿�º�Ã�¿ # ýý : à áËÊ 1=<�à á B þ ¼

% Ê � ÉpÉ�Ê^� % !$# ã=òtë � g ÊZ¬ + ÆtÉpÉ@��mn! õ à,1212B â ¼ � ätè4é�æ'ã=ì�ã=òtëDî4ðAôpê=ätè4éóæ:ã=ìpî�è�ågð Þ è4ðAågç ß å4êræ·æ:ê=è4é�êrò ¼¡]\^\ \�¡ º�¾jÀɼ 7 ½2º,Ì�¼^½Hº 7 ½HÍ�Î � ¾l¿�¸ � Á$»�Á´½HºÏ¹Hº� _ ¹�¾´¾l¿�¸�º b ¿�ÃнÐÈ2º(Áj¾jÁj½2º # ä�ã/ý=ç$î ý B ý < ý B2B ¼.�ÊZ� � � Ä-� X !$# ã=òYë�£ � Å � Ç�ÆA�0.0! õ à,121 ý â ¼ ��íYã/ä�çõã=òtë�æ+ê=è4é�êrò ß å4êræ éóæ:ã/ý=çVî�è�å4ç$ã=æ:îbðtòtëAç�åê=å4è4íAê=ý=åZã/äYíFñ�·+ã ß ã Þ è�ê=ågé�3$ã/è4é�êròdæ+ç�è4íAê�ë ¼ÒÑ�ºÆ¾l¿w¸�º�¹�¾jÁj½Hº*¹HÀ�±O½ � ¸�º�¹HÀ�Á$º 7 ½HÍ�Î � ¾l¿w¸ � Á�»�Áj½2º # 1 :à á 8 <�à úËÊ ¼} ��� � � Å�� % ! õ ý þþþ â ¼/ÓÔÁ4ÈHÄ v À4¿ Q ¿wÀ Q Á$»�Á´½Hº y ½�Õ´Öw¿ÐÃ,¾ ¸]¿ÐÃн�È�º(ÁžjÁ´½Hº×¹Hº* Q Á$» � ¹HÀZÃ�½�È2º(Áj¾jÁ´½Hºt¼�SUT{VÙØ å4ç$îgî ¼� � ÅÚ. g ÆtÆ � � o ! õ à,12[2B â ¼/Ûh¿w¾l¿ÐÃ,¾jÁ´½Hº¤Ü6¿�»�¾jÁÅÍ0¹2¾jÁj½2º¤Ü6¹Hº*Â~ÍG½= � Àɹ2¾jÁ´½Hº×¾ÅĤ¿�½H¸ E ¼�d êríYòze éóì�ç�ñ ¼