omar gelvez
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TRANSFERENCIA DE CALOR
Ciencia que se ocupa del análisis de la tasa de transferencia de energía que puede ocurrir
entre cuerpos materiales, como resultado de una diferencia de temperaturas. Esta ciencia
busca predecir:
- Como puede ser transferida la energía calórica.
- La rapidez a la que se realizará éste intercambio bajo ciertas condiciones
especificadas.
- Las temperaturas en función del tiempo.
En el estudio de la transferencia de calor se suelen considerar tres formas distintas de
transferencia, como son: conducción, convección y radiación. En realidad, la distribución
de temperatura en un medio se controla por los efectos combinados de éstas tres formas de
transferencia de calor, sin embargo, para simplificar los análisis se puede considerar
solamente una de ellas cuando las otras son despreciables.
Por ejemplo en una resistencia eléctrica, debido a la diferencia de temperaturas hay una
transferencia de calor hacia el ambiente por parte de la resistencia:
1
TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACIÓN
Cuando dos cuerpos de temperaturas diferentes están separados por un vacío perfecto, no es
posible la transferencia de calor entre ellos por conducción ó convección; en tal caso, la
transferencia de calor ocurre mediante radiación térmica. Es decir, la energía radiante
emitida por un cuerpo debida a su temperatura, es trasmitida en el espacio en forma de
ondas electromagnéticas de acuerdo con la teoría clásica de las ondas electromagnéticas de
Maxwell ó en forma de fotones discretos de acuerdo con las hipótesis de Planck, como
sultado de los cambios en las configuraciones electrónicas de los átomos ó moléculas. La
s formas de radiación electromagnética como los rayos
gam a relacionan con la
tem r
lgunas de sus propiedades son:
- No requiere un medio material entre el sistema y sus alrededores.
- Es muy rápida (a la velocidad de la luz) y no sufre atenuación en el vacío.
- A menor longitud de onda mayor frecuencia.
re
radiación térmica difiere de otra
m , microondas, ondas de radio y de televisión, las cuales no se
pe atura.
A
La radiación térmica es un fenómeno volumétrico y todos los sólidos, líquidos y gases
miten absorben ó transmiten radiación en diversos grados, sin embargo, suele considerarse e
2
como un fenómeno superficial en sólidos que son opacos a la radiación térmica, como
metales, madera y roca, ya que la radiación térmica emitida por las regiones internas nunca
pueden alcanzar la superficie y la incidente suele ser absorbida por esta.
Todos los cuerpos a una temperatura por encima del cero absoluto emiten radiación
rmica. Toda la energía radiante que sale del cuerpo se llama el poder emisivo total y
sale o se emite con una longitud de onda se define como poder emisivo
espectral (W/m
té
depende de la potencia real de la superficie y de la temperatura de la pared (dependencia
que no es lineal).
- Naturaleza de la superficie PODER EMISIVO - Temperatura T
Esta energía que2 µ ).
Poder emisivo:
• Longitud de onda Poder Emisivo Espectral
• Dirección Poder Emisivo Direccional (Intensidad)
• Total Poder Emisivo Total
→
→
→
3
Ley de Stefan-Boltzman:
Cuando dos cuerpos intercambian calor por radiación, el intercambio de calor neto es
proporcional a las diferencias en T4, de tal forma que la tasa de radiación máxima que
puede emitirse desde una superficie a una temperatura absoluta: donde
A es el área de superficie y
[ ]WATQemit4
max, σ=
σ es la constante de Boltzman, equivalente a
. 428 /10*67,5 KmW−
La superficie idealizada que emite radiación a esta tasa máxima recibe el nombre de cuerpo
negro. La radiación emitida por superficies reales es menor que la radiación emitida por un
cuerpo negro a la misma temperatura y se expresa como: donde [ ]WATQemit4εσ= ε es la
emisividad de la superficie y varía entre cero y uno, para un reflector ideal 0=ε y para un
cuerpo negro 1=ε . No todas las radiaciones que dejan una superficie alcanzarán la otra
superficie.
4
Por ejemplo, un cuerpo negro de área superficial A y temperatura absoluta Ts está dentro de
un recinto de temperatura absoluta Tp. El cuerpo emitirá energía radiante en cantidad
y absorberá energía radiante en cantidad , así que la energía radiante neta que
sale del cuerpo será
4sTAσ 4
pTAσ
( )44psNetoR TTAQ −= σ .
Si ninguno de los dos cuerpos es un radiador perfecto y si ambos guardan una relación
geométrica entre sí la energía radiante neta que sale del cuerpo será ( )44psNetoR TTAFQ −= σ
donde es una magnitud adimensional menor que la unidad, que modifica la ecuación
para los radiadores perfectos de manera que tengan en cuenta las emitancias y la
distribución relativa de las superficies.
F
La determinación de la cantidad real de calor radiante intercambiado depende de varios
factores:
1. Relación geométrica entre los cuerpos (factor de visión).
2. La presión o no de gas absorbente.
3. Receptividad de la superficie.
El factor de visión permite determinar cuanta energía llega a una superficie con respecto a
lo que salió de la otra, este factor también varía entre cero y uno.
5
Procesos básicos de intercambio de calor radiante:
CASOS
SUPERFICIE NEGRA
SUPERFICIE GRIS
( )( )ATTQ
ATTQ4
24
12,1
42
412,1
−=
−=
σ
σσ
( )42
41112,1
11
TTAQ
A
−=
→
σε
ε
( )( )ATTQ
ATTQ4
24
12,1
42
412,1
−=
−=
σ
σσ
( )42
41112,1
11
TTAQ
A
−=
→
σε
ε
( )visióndefactorF
FTTAQ→
−=
12
124
24
112,1 σ
( )radiosidadw
wwAQ→
−= 2112,1 σ
A1
A2
A1
A2
A2
A1
6
TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN
La conducción es la forma de transferencia de calor en la cual el intercambio de energía
ocurre de la región de mayor a la de menor temperatura por el movimiento cinético ó el
impacto directo de las moléculas como en el caso de los fluidos en reposo o por el arrastre
de los electrones como en el caso de los metales.
150º
140º
130º qt
qn
dA
Definiendo un diferencial de área en una de las isotermas, la dirección del flujo de calor es perpendicular a esta.
La ley básica de la conducción del calor basada en observaciones experimentales, se conoce
con el nombre del físico matemático francés J. Fourier quien la aplicó en su teoría analítica
del calor, la cual establece que la tasa de conducción de calor en una dirección dada es
proporcional al área normal a la dirección del flujo de calor y al gradiente de temperatura
en esa dirección. xTkAq
∂∂
−=
Donde el signo menos nos indica que el calor fluye de un medio caliente a uno frío, A es el
área de transferencia de calor perpendicular al eje X (m2), la derivada parcial es el gradiente
de temperatura en la dirección X (K/m) y k es la conductividad térmica.
Demostración:
[ ]
( )
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−=
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−=
=
kji
kji
AzTA
yTA
xTkdQ
kAjAiAkzTj
yTi
xTkdQ
kzTj
yTi
xTkq
WqdAdQ
ˆˆˆ.ˆˆˆ
ˆˆˆr
7
nnyx
nyx
QAnTkQQ
senAn
kQQ
=∂∂
−=+
+∂
−=+ )cos( θθ
nyy
nxx
T
AnTkA
yTkQ
senAnTkA
xTkQ
∂∂∂
−=∂∂
−=
∂∂
−=∂∂
−=
cos
22
2
2
θ
θ
Un ejemplo es el caso de dos paredes de espesores diferentes, con el mismo tipo de
material, la transferencia de calor por unidad de área en la pared A de la figura es mayor
que en B, debido a que esta depende de la diferencia de temperatura con respecto a la
distancia.
El valor numérico de la conductividad nos indica qué tan rápido fluirá el calor en un
material dado y varía según el material (W/mK). El mayor valor lo tienen los metales puros
y el menor los gases y vapores; los materiales aislantes amorfos y los líquidos inorgánicos
tienen conductividades térmicas intermedias entre éstos valores.
La conductividad térmica varía también con la temperatura. La de la mayoría de los
metales puros disminuye con la temperatura, mientras que la de los gases y la de los
materiales aislantes aumenta con ella.
dydT
An
Ax Ay
dndT
dXdT
5 cm 10cm
50º 100º
50º 100º
A B
Q =50/5 =10 ºC/cm Q=50/10 =5 ºC/cm
8
El mecanismo de conductividad térmica en un gas es simple, se identifica la energía
cinética de una molécula con su temperatura, en una región de alta temperatura la velocidad
es alta. Si una molécula se mueve de una región de alta temperatura a una región de baja
temperatura, transporta energía cinética a la parte de baja temperatura y transfiere ésta
energía a través de colisiones con moléculas de temperatura más baja, la condición depende
de la raíz cuadrada de la temperatura absoluta.
En los líquidos, cualitativamente, igual que en los gases, pero más complejo ya que las
moléculas se encuentran más cerca unas de otras y los campos de fuerza molecular ejercen
una fuerte influencia sobre el intercambio de energía en el proceso de colisión.
En los sólidos se identifican dos modos: por vibración de red y por el transporte por medio
de electrones libres. En buenos conductores eléctricos un gran número de electrones libres
se mueven en la estructura de la red del material transportando carga eléctrica y energía
térmica, como un gas de electrones.
En materiales aislantes a altas temperaturas puede ser por conducción a través de material
sólido poroso ó fibroso, por conducción a través del aire atrapado en los espacios huecos ó
por radiación a temperaturas suficientemente altas.
9
TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN
Cuando un fluido en movimiento pasa sobre un cuerpo sólido ó fluye dentro de un canal y
si las temperaturas del fluido y del sólido o del canal son diferentes, habrá transferencia de
calor entre el fluido y la superficie sólida debido al movimiento relativo entre el fluido y la
superficie, a este mecanismo de transferencia de calor se da el nombre de Convección, que
implica los efectos combinados de la conducción en la primera capa de fluido y del
movimiento del fluido.
Sólido Ts
Fluido T∞
El gradiente de temperatura depende de la rapidez a la que el fluido conduce el calor, es
decir, del campo de flujo. Se dice que la transferencia de calor es por Convección Forzada
si el movimiento es inducido artificialmente, digamos con una bomba ó un ventilador que
impulse el fluido sobre la superficie; y que la transferencia de calor es por Convección
Libre (o Natural), si el movimiento del fluido es ocasionado por fuerzas de empuje debidas
a diferencias de densidad causadas por diferencias de temperaturas en el fluido. Por
ejemplo, una placa caliente suspendida verticalmente en aire frío en reposo, produce un
movimiento en la capa de aire adyacente a la superficie de la placa, debido a que el
gradiente de temperatura en el aire da lugar a un gradiente de densidad que a la vez pone el
aire en movimiento. La rata de transferencia de calor por convección depende de la
conductividad térmica, el calor específico, la densidad del fluido, su viscosidad y de las
temperaturas. Puede presentarse en diferentes formas:
- Interno, en el cual el fluido está confinado por la superficie.
- Externo, en el cual el fluido se encuentra fuera de la superficie.
10
Procesos básicos de intercambio de calor convectivo
ASO ONFIGURACIÓN
ref
OEFICIENTE
C C T C
Confinado nterno m
I
-Natural
-Forzado
T
TmTsqh c
−=
o
inado
Externo
N
conf
-Natural
-Forzado
T ∞
∞−=
TTsqh c
ÉTODOS DE SOLUCIÓN:
Analítico (infinitesimal)
T ∞Ts
Tm
Ts
M
-
( ) energiadebalancedelldiferenciaEcyTyT ? →=
∂ .→∂
Empírico (finito)
io
-
Tomando un promed
( )
( ) StensionalaTATAf
Cpuh
TATCpAu
h
TsTenTTrefTsATmCp
TrefTsqh
T
w
m
T
flujom
T
c
→∆∆
=
∆
∆=
−=∆−∆
=−
=
dimρ
ρ
St Stanton. ≅
11
DETERMINACIÓN DE Q CONVECTIVO
1. Conociendo el gradiente de temperatura del fluido
0==⎟⎟⎠
⎞∂∂
⎟⎠⎞
∂∂
yRr yTO
rT z
Para el tubo
Rre r
TkAq=
⎟⎠⎞
∂∂
−=
Para placas
0=
⎟⎟⎠
⎞∂∂
−=y
e yTkAq
La determinación analítica del perfil de temperatura para T(r) ó T(y) es bastante
turbulento o en transición.
l fluido.
Se d
complicado ya que depende de:
1. Patrón de flujo: laminar,
2. Forma de la frontera.
3. Propiedades físicas de
pue e decir que
( )
TmCpQmCp
QT
TTq refsc
∆=⇒=∆
−≅ 1
Para tuberías existe una temperatura media del fluido.
TrdrCp
(2)( ervrdmCpTE r πρ== )()
( ) ( )
mm
m
R
r
CpTRvE
CpTmrCpTervE
20
2
πρ
πρ
=
== ∫ &
12
Para volver (1) igualdad:
( )
refs
c
refsc
TTqh
TThq
−=
−=
Donde h es variable y depende de muchos factores.
nidades
U
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
FfthBtu
Cmwh
r202 ;
alores típicos del coeficiente de transferencia de calor por convección V
CONDICIÓN ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
CmWh
º2
AIRE CONVECCIÓN LIBRE 5-15
AIRE CONVECCIÓN FORZADA 15-300
ACEITE CONVECCIÓN FORZADA 50-1700
AGUA CONVECCIÓN FORZADA 5000-12000
VAPORIZACIÓN DE AGUA 3000-55000
CONDENSACIÓN DE AGUA 5500-100000
13
CONVECCION Y RADIACION COMBINADAS
Cuando las transferencias por convección y por radiación son del mimo orden de magnitud
onsideremos por ejemplo, el fluido de los productos calientes de combustión a una
q=qc +qr
relaciones de los flujos de calor por convección
y ocurren simultáneamente, es muy complicado hacer un análisis de transferencia de calor
considerando la interacción entre las dos formas de transferencia. Por otro lado, bajo
condiciones muy restringidas, puede determinarse en forma aproximada la transferencia de
calor por convección y radiación simultáneas, mediante la superposición lineal de los flujos
de calor debidos a estas dos formas de transferencia.
C
temperatura Tg, a través de un ducto frío cuyas paredes se mantienen a una temperatura Tw.
Los productos de la combustión tales como el CO2, CO y H2O absorben y emiten radiación.
Entonces, la transferencia de calor del gas a las paredes del conducto se realizan tanto por
convección por radiación y un análisis apropiado de este problema de transferencia de calor
requiere de una solución simultánea de las ecuaciones de convección y radiación; lo cual es
muy complejo. Si la componente radiante del flujo de calor no es muy apreciable, se puede
calcular aproximadamente el flujo total de calor q desde el gas hasta la superficie de la
pared, sumando el flujo de calor por convección qc y el flujo de calor por radiación qr
como:
Cuando en esta ecuación se reemplazan las
y radiación se obtiene:
( ) ( ) ( )( )
( )wgcr
wgrcwgrwgc
TThqo
TThhTThTThq
−=
′
−+=−+−=
En donde se define el coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y
radiación como:
rccr hhh +=
14
ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN
a distribución de temperatura en un medio puede determinarse a partir de la solución de la
s de la superficie de control.
lemento Qg.
lujo de calor a una diferencia de temperatura:
cuación de balance de calor
QQQQQQQ
QQQQQ
kz=++−+−
L
ecuación diferencial de la conducción de calor cuando se somete a condiciones apropiadas
de frontera. Se mira el cambio de gradiente en todas las direcciones, se debe hacer el
balance de energía teniendo en cuenta:
- Flujo de calor conducido a travé
- Flujo de calor almacenado en el elemento Qa.
- Flujo de calor que se genera en el interior del e
F
E
( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) agQzzkyykyxxkkx
azzkyykxxkgkzkykx QQQ ++ +++=+
+∆+∆+∆+
∆+∆+∆+ )()(
Se puede aproximar al concepto de derivada
( ) ( )
( )
( ) xx
QQQ
xx
QQQ
xx
fxxfxfxxf
xxxkkx
xkxxxk
xx
∆∂
∂−=−
∆∂
∂=
⋅⋅⋅⋅∆
∂∂
+∆∂∂
+=∆+
∆+
∆+
2
2
2
2
agzyx QQz
zQy
yQ
xx
Q=+∆
∂∂
−∆∂
∂−∆
∂∂
−
Es decir: Tasa neta de calor que entra por conducción al elemento + Tasa de zyx ∆∆∆
energía generada en el elemento zyx ∆∆∆ = Tasa de incremento de interna del
elemento zyx ∆∆∆
energía
15
Relaciones de transformación
. La tasa neta de calor que entra por conducción al elemento de volumen se determina
1
sumando las entradas netas de calor por conducción en las direcciones x, y, z. Si en la
posición x el flujo de calor en dirección x es xTk
∂∂
− , la tasa de flujo de calor que entra al
elemento de volumen a través de la superficie en d irección x es
zyTkQ ∆∆xx ∂
∂−=
zxyTkQy ∆∆
∂∂
−=
xyzTkQz ∆∆
∂∂
−=
2. Si en el medio hay fuentes distribuidas de energía que generan calor a una tasa g (x,
y, z, t) por unidad de tiempo y por unidad de volumen, la tasa de energía generada
en el elemento esta dada por
VqQ gg ∆=
3. En el caso de sólidos y líquidos lo calores específicos, a presión y volumen constante,
macenamien
son iguales, esto es, CCvCp ≡≅ . Entonces la tasa de incremento de la energía interna se
refleja en la tasa de al to de energía en el elemento de volumen y esta dada por,
tTmCpQa ∂
∂=
donde ρ y Cp no varían con el tiempo.
VtTCpVq
zT
yTT⎡ ∂∂ 22
xVk g ∆
∂∂
=∆+⎥⎦
⎤⎢⎣ ∂
∂+
∂+
∂∆ ρ2
2
22
Realizando las simplificaciones y dividiendo por k, obtenemos la ecuación diferencial
parcial de la conducción de calor.
tT
kCp
kq
zT
yT
xT g
∂∂
=+∂∂
+∂∂
+∂∂ ρ
2
2
2
2
2
2
16
Donde
→=Cpk
ρα Difusividad térmica (m2/seg)
ada rapidez de transferencia de energía o valor bajo de la
capacidad calorífica, lo que si aterial una cantidad
Una difusividad alta indica elev
gnifica que se absorberá dentro del m
menor a la de la energía en movimiento y será utilizada para aumentar la temperatura del
material, por tanto habrá mas energía disponible para transferencias ulteriores.
Generalizando
tT
kgT
∂∂
=+∇α12
Donde es el operador laplaciano y se define como T2∇
2
2
22 Zyx ∂∂∂
222 TTTT ∂
+∂
+∂
=∇
En la ecuación general el primero y segundo término del lado izquierdo de la ecuación
representa respectivamente las ganancias del calor del sólido por conducción y generación,
y el lado derecho representa la tasa de variación de la temperatura con el tiempo en el
sólido.
17
ECUACIONES DE CONDUCCIÓN DE CALOR EN OTROS SISTEMAS DE
OORDENADAS
nte derivamos la ecuación de conducción del calor para un sistema de
oordenadas rectangulares, esta ecuación se utiliza para analizar la conducción de calor en
C
En el análisis precede
c
sólidos tales como la placa, un medio semi-infinito, un rectángulo ó un paralelepípedo. Por
otra parte, para analizar la conducción de calor en cuerpos tales como un cilindro o una
esfera se debe expresar la ecuación de conducción de calor en el sistema de coordenadas
cilíndricas ó esféricas respectivamente; el propósito de emplear diferentes sistemas de
coordenadas es asegurar que las superficies coordenadas coincidan con las superficies que
delimitan la región.
Coordenadas cilíndricas:
tT
kg
zTT
rrT
rrT
∂∂
=+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
αφ111
2
2
2
2
22
2
Coordenadas esféricas:
( )tT
kgT
senrTsen
senrrr ∂∂
=+∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+∂ αφθθ
θθθ
1112
2
2222
Existen otros sistemas de coordenadas ortogonales para resolver las ecuaciones de
conducción del calor en cuerpos que tienen otras formas geométricas. Por ejemplo, se
rT∂1 2
puede utilizar coordenadas cónicas, elipsoidales, parabólicas, etc. Para nuestro caso la
solución de la ecuación de conducción en tales sistemas de coordenadas no las tendremos
en cuenta.
18
Ecuación general de conducción
CASO COORDENADAS ECUACION GENERAL
Rectangulares
tT
kCp
kqTTT g =+
∂+
∂+
∂ 222
zyx ∂∂
∂∂ρ
222 ∂
Cilíndricas
tT
kg
zTT
rrT
rrT
∂∂
=+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
αφ111
2
2
2
2
22
2
Esféricas
( )
tT
kgT
senrTsen
senrrT
rr ∂∂
=+∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
αφθθθ
θθ111
2
2
2222
2
1
lgunos casos prácticos:
imensional en el estado estable sin generación de calor,
A
1. Flujo de calor unid
02
2
=∂∂
xT
2. Flujo de calor unidimensional en coordenadas cilíndricas
012 ∂
2
=∂
+∂∂ T
rrrT
3. Flujo de calor unidimensional en estado estacionario con fuentes de calor
19
02
2
=+∂∂
kg
xT
4. Conducción bidimensional en estado estacionario sin fuentes de calor
02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
yT
xT
20
CONDUCCION UNIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTABLE
A continuación discutiremos las aplicaciones de la conducción del calor en una placa, en un
cilindro y un ferentes
condiciones de frontera; discutiremos la determinación del flujo de calor a través de una
iones de frontera
En los problemas de conducción de calor que se encuentran en la practica intervienen
ueden ser muy distintas, para estudiar estos problemas es
ecesario conocer las condiciones térmicas en cada una de las superficies de contacto; en
ean
ada
es
egiones y considerarlas por separado. Así, la condición de
contorno o de frontera es simplemente una temperatura conocida. Se pueden plantear cuatro
TTx ==
a esfera, en estado estable y en una dimensión, considerando di
placa cuya conductividad térmica depende de la temperatura; estudiaremos el análisis de la
transferencia de calor en capas paralelas compuestas, el concepto de resistencia térmica por
analogía con la resistencia eléctrica, derivaremos la ecuación de una aleta en una
dimensión, determinando la transferencia de calor proveniente de superficies provistas de
aletas
Condic
regiones adyacentes que p
n
general se requiere que tanto el flujo de calor por unidad de área como la temperatura s
continuas a través de la interfaz; así las soluciones de la ecuación de conducción en c
región deben estar ligadas.
En el estudio de problemas de transferencia de calor más complejos, a menudo
conveniente desligar las r
clases de fronteras:
1. Primera clase: Se especifica el valor de la temperatura en dos puntos del cuerpo,
( x=0 ; x=e )
Especificar 10→ 2TT ex ==
21
2. Segunda clase: Especifica el flujo de calor en una posición dada. Donde el flujo de
calor es igual al producto de la conductividad térmica k del material por la derivada
la temperatura normal a la superficie.
de
dxdTkq
qqx
−=
==
0
00
a clase: Esta condición se da cuando se somete la superficie limite a una
transferencia de calor por convección con un medio de temperatura conocida.
Consideremos una placa
3. Tercer
( ) 011 =−=−∞=
=
x
kc
dxdTkTTh
cq
Frontera móvil:
e llaman condiciones de frontera móvil a las condic
onvección, fusión o solidificación y ablación porque
ia, lo que hace el análisis de los
a móvil muy c plejo.
4.
nocondensacic qq &=
S
c
elevada a una potenc
condiciones de fronter om
011 )( = ∂−=−∞
xx x
kTTh ∂T
00
qxT
x
=∂∂
=
iones de problemas de radiación,
en ellos aparece la temperatura
problemas de calor sometidos a
0=
(20
=∂
−=
Thx
kx
)2∞−∂
=TT
ex
22
Situaciones de transferencia de calor
CASO
PERFIL DE TEMPERATURA
FLUJO DE CALOR
ARED PLANA
P
kAe
TTQ
AkCQ
AdxdTkQx −=
21
1
−=
−=
PARED
CILÍNDRICA
( ) 22
2
1
21
01
CLnr
rrLn
TTrT
rTr
rr
+⋅−
=∗
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
( )
kLr
rLn
TTQ
rAdrdTkQr
π21
2
21 −=
−=
La solución debe ser particularizada a través de las condiciones de frontera:
Pared plana
x
===
⊗
2ex=
10
TTTT
eTTC 12
1−
=
CeCTTeCTCT
212
11221
+=+==
( ) 112 Tx
eTT
T x +−
=⇒
( )
( ) 112
21
1
2
Txe
TTxT
CxCxT
CdxdTdx
+−
=
+=⊗
=
2
0Td=
T1
T2
23
* Pared cilíndrica
12
21
121
121
2212
2111
rr
rr
LnTTC
LnCTT
CLnrCTCLnrCT
−=
=−
+=+=
( ) 22
2
1
21 CLnr
rrLn
TTrT +⋅
−=⇒ ( )
( ) 2
1
2
1
TT
TT
rr
rr
=
=
=
=
CASOS DE
1. Paredes en serie:
Las tem eraturas T1 , T2 ,...Tn serán fijas en el tiempo.
Los calores son iguales por que no hay generación ni almacenamiento
RIVADOS
p
QAk
eAk
eTT
Ake
TTQ
Ake
TTQ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=−
−=
−=
2
2
1
131
2
2
32
1
1
21
Ake
Ake
TTQ
2
2
1
1
31
+
−=
Si se tiene una pared compuesta en la cual una de ellas (intermedia), se debe realizar el
balance por separado.
24
1. Paredes en paralelo. Estado estable unidimensional sin generación.
)
)
)
Ake
TTQ
Ake
TTQ
Ake
TTQ
3
2
323
2
2
322
1
1
211
3
2
1
−=
−=
−=
Ake
TTR
TT
Ake
RAk
eRdonde
RRTT
Ake
TT
QQQ
eq
1
1
3232
3
23
2
22
3232
1
1
21
321
1
;11
−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=
−
+=
Generalizando: 21
32 111RRRR
TTQ
Condiciones de frontera de tercera clase:
eqeq
+=→−
=
(Unidimensional estado estable sin generación)
( )
( )222 ∞−=
2
111:−
=
−∞===
kAe
TTQ
TTAhQdondeQQ
k
ckc
TTAhQc
Q
25
Despejando las diferencias de temperaturas:
calordeciatransferendeglobaleCoeficientU
globalistenciaUA
siendo
UA
TTQ
RTT
QTTahkA
eAh
Q
TTAh
∞−= 222
Q
TTkAeQ
TTAh
Q
=
=∞−∞
=
∞−∞=⇒∞−∞=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++
−=
−∞=
∑Re1;
1
11
1
21
2121
21
21
11
Coeficiente global de transferencia de calor
AhkAe
Ah
TTQ 21 ∞−∞=
TT
QUA
2
21
1++
∞−∞=
AhkAe
UA1
=1
1
Ah 21
11
++
Ejemplo
Se tiene una pared co iguientes especificacio
h1 h2 U %h %U
n las s nes:
10 100 8.33 h2 6.2%
10 400 8.88 400% 100 10 8.33 h1 6.2%
400 10 8.88 400%
100 40 22.22 400% 68.75%
26
De la te tab pu e co luye:
1 i gl transferencia de calor U es menor que los valores menores
a jorar la transferencia de calor apreciablemente debemos mejorar el
t nsferencia de calor, del lado que tenga el menor h.
n
an rior la se ede s nc
. El coefic ente obal de
de h.
2. P ra me
coeficien e de tra
( )21 ∞−∞= UQSe tie en dos objetivos: TT
(debe aumentarse la resistencia total al
A
↑
↓⇒ U 1. Disminuir la transferencia de calor
paso del calor).
2211
21
11Ah
RAh
TTQp ++
∞−∞=
2. Aumentar la transferencia de calo (Tomar en cuenta que U < hmin ). r ↑⇒ U
eep
ii AhR
Ah
TTQ11
21
++
∞−∞=
27
Disminución de la transferencia de calor colocando una resistencia adicional.
ASO SITUACION FORMULA
C
Sin resistencia
adicional AhkAe
Ah
TTQ
21
21sin 11
++
∞−∞=
PARED PLANA
adicional AhAkCon resistencia ee
Qcon 1++
kAAh
TT
a 21
21
1+
∞−∞=
Sin resistencia
adicional LrhR
Lr
TTQ
p2211
21sin
21
21
ππ++
∞−∞=
h
PARED
CILINDRICA
Con resistencia
adicional LrhLkLn
RLrh
TTQ
a
rr
p2211
21
2221 1
2
πππ+++
∞−∞=
con 1
i
Podría aparecer a simple vista que entre mas grueso sea el aislante menor será la perdida de
calor. Esto se cumple p lantes curvos.
Ejemplo: considerar un tubo con capas sucesivas iento cilíndrico. A medida que
el grueso del aislam ento aumenta, la superficie de la que el calor debe ser removido por el
ire aumenta y la perdida total de calor puede aumentar si el área aumenta mas rápidamente
ue la resistencia.
ara aislantes planos, pero no para ais
de aislam
a
q
28
r
(m) LkLn r
r1
aπ2 rLh π2
1 2
∑
0.4 0 0.0198943 0.0198943
0.45 0.0018745 0.0176838 0.0195583
0.5 0.0035514 0.0159154 0.0194668
0.6 0.0064532 0.0132629 .01971610
∑ +++=rLh π22Lkaπ2
LnRRR r
r
pi12
La resistencia es un mín ndo las derivados de la
suma de la re nc s igual a cero.
imo y la perdida de calor un máximo, cua
siste ia R con re pecto al radio r se hace
a
aa
krh
rhkrhkrrr⎡
∗2 11Ldr
d
=
=⎥⎦
⎢⎣
∗∑
2
22
22
02π
E
cuando el ra
R= −=
11⎤−
11
n otras palabras, la máxima perdida de calor por una tubería tiene lugar cuando el radio
dio critico sea: 2h
kr a= c
29
Es de desear mantener el radio crítico tan pequeño como sea posible, de manera que la
aplicación del aislante proporcione una reducción y no un aumento en la perdida de calor
por una tubería. Lo cual se puede lograr usando un material aislante de baja conductividad.
• Para aumentar la transferencia de calor rcritico > rexterior (tubería)
• Para disminuir la transferencia de calor rcritico < rexterior (tubería)
Determinación del espesor de aislamiento requerido (Radio Óptimo).
Si queremos determinar cuanto aislamiento poner, entonces se debe realizar un análisis
económico.
El espesor económico se define como el valor mínimo anual de la suma de los costos
enta, pero se reduce el costo de perdida de energía.
Mas allá del punto mínimo, el costo total aumenta, debido a que el costo del aislante supera
al de la energía, como se aprecia en la figura C
correspondientes a la pérdida de calor más los del aislante. Cuando el espesor de un
aislamiento es bajo, el costo anual amortizado de aislante es mínimo, pero el costo anual de
energía que se pierde es alto y por consiguiente, a mayor espesor, el costo del aislante se
increm
c Vs ra
Cc = Costo del combustible.
30
ra = Radio de aislamiento.
r2 = Radio exterior del materia sin aislamiento.
Cmin = Costo total mínimo.
Los factores que deben ser tenidos en cuenta para el cálculo del aislamiento requerido son:
• El costo del calor perdido: Costo del combustible, inversión de capital, interés,
depreciación de os equipos, mantenimiento, numero de horas de operación.
• El costo del aislamiento.
•
Costo del material: Ca = ( $/Kg) * wa = ( %/Kg)*π(ra2-r2
2 )*L*ρa
wa= Peso especifico del material.
( Q*horas )* $/Kw-hr Costo del calor perdido: CQ =
Donde:
LrhLkr
rLn a
RR pi ππ 21
22 +++
l esta determinado por
TTQ 21 ∞−∞=
aea
El costo tota
QpaT CCC +=
31
CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL ESTABLE CON GENERACIÓN
mportamiento térmico se ve afectado por la producción
o adsorción de energía térmica. Ejemplos típicos: Las resistencias de calentadores, los
embobinados eléctricos, los reactores nucleares y la combustión del combustible en el
hogar de una caldera. La disipación del calor, procedente de fuentes internas, constituye
otro aspecto importante para juzgar la potencia de régimen de motores eléctricos,
generadores y transformadores.
ASOS:
1. Placa plana:
onsiderar una placa plana en la cual el calor se genera uniformemente. Esta placa podría
ser n ión en
la cual se genera el calor al pasar una corriente eléctrica a través de ella. Si suponemos la
exis
sufi
exp
En algunas circunstancias, el co
C
C
u elemento de calentamiento tal como una barra plana de un cuadro de distribuc
tencia de un estado estable, que el material es homogéneo y que la placa es lo
cientemente larga para poder pasar por alto los efectos de los extremos, se puede
resar una ecuación de energía para el elemento diferencial como:
xxg QQ ∆+=+ dondxQ e Qg es la intensidad de la fuente de calor por unidad de volumen.
02 ==∇k
qT g
02
2
=+k
qdx
Td g Ecuación que debe cumplirse en cualquier punto del cuerpo.
Por dos integraciones sucesivas se obtiene la solución de esta ecuación, la primera de ellas
conduce al gradiente de temperatura y la segunda proporciona la distribución de la
temperatura,
32
( ) 212
1 CxCxk
qTCx
kq
dxdT g
xg ++−=⇒+−=
Donde C1 y C2 son constantes de integración cuyos valores están determinados por las
condiciones de frontera de primera clase. Por facilidad se toma T1 y la posibilidad de un
punto x0 donde 0=dxdT .
010
1210
0
0
0
xk
qC
dxdTxx
TCTTx
g
xx
x
=⇒=→=
=⇒=→=
=
=
Reemplazando estas expresiones se obtiene la distribución de la temperatura:
( ) 102
2 kkT
xqx
qT gg
x ++−=
Si se tienen los valores de T1 Y T2 , puedo calcular a x0. Se tiene que mirar el flujo de calor
en una dirección transversal:
x
( )
( )
( ) ( )00
q
xeqxek
qk
dxdTkq
g
gg
exex −=−−=⎟
⎠⎞−=
==
( )02
01
000
0
0
0
:
:
xeAqQ
AxQndoGeneraliza
xqxk
qk
dxdTkqentonces
exkdx
qdTdT
qxqqdT
g
gg
xx
ex
g
ggg
−=
−=
−=−=⎟⎠⎞−=
−=⎟⎠
⎞⎞
==
=
Si se quiere determinar el balance global o calor generado por la pared, puede realizarse
una tabla de “mas por menos” (+ x -).
0 xxkk
xkdx
−=+−=
000
qdT
xkdxdx
Calculando
g
xx
⎞
=⎟⎠
⇒⎟⎠ ==
33
x0 01 xqQ q−= ( )02 xeqQ g −=
Ejemplo: Calcular el calor en cada una de las fronteras y el punto máximo de una pared
cuyas temperaturas son T1= T2 = 100°C , espesor e =0.2 m, conductividad térmica k = 40
w/m.K, la pared tiene una generación uniforme qg = 105 w/m3
Suposiciones:
- Condiciones de estado estable.
- Conducción unidimensional en la dirección x.
- Propiedades constantes para la pared.
Las condiciones de frontera son simétricas, por lo tanto el gradiente de temperatura es cero,
00
=⎟⎠⎞
=xdxdT , en consecuencia no hay transferencia de calor a través de este plano.
Calculo del punto máximo: 21102
2 2TTcomoTe
kxq
ek
qT gg =++−=
22 0
02 exekxq
ek
q gg =→=
Calculo de la temperatura má a en e = xo:xim 1002
0max 2Tx
kxq
xk
qT gg +−= +
( )
CT
Txk
T
º5.112
1004022
max
10max
=
+∗
−=+−=
qg 1.010 252 ∗
res:
Calculo de calo 1.010501 ∗−=−= xqQ q
2410 wQ −= 1 m
( ) ( )
24
2
502 .02.010xeqQ g −∗=−=
10
1
mwQ =
12 QQ −
-, xo < 0 + + qge
+, xo < e - + qge
+, xo > e - - qge
34
2. Cilindro hueco:
Para condiciones de estado estable, la razón a la que se genera calor dentro del cilindro
debe ser igual a la rapidez con que se transmite calor por convección de la superficie del
ovimiento. Esta condición permite que la temperatura de la
ntenga en un valor fijo Ts = T1.
cilindro a un fluido en m
superficie se ma
A fin de determinar la distribución de temperaturas en el cilindro, comenzamos con la
ecuación de calor, para una conductividad térmica k, constante: forma apropiada de la
01=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
kq
drdTr
drd
rg
Al separar variables y suponer generación uniforme, esta expresión se integra para obtener:
12
2Cr
kq
drdTr g +−=
Si el procedimiento se repite, la distribución general para la distribución de
ierte en: temperaturas se conv
( ) 212
4CLnrCr
kT g
r ++−=
Las constantes C
q
1 Y C2 se determinan aplicando las condiciones de frontera:
110 0drdTrr =→= ; TTrr =→=
Aplicando el desarrollo para este caso como se hizo para la pared plana, se obtiene:
( ) ( ) 11
20
221 24
TrrLnr
kq
rrk
qT gg
r ++−−=
Calores:
( )20
211 rrLqQ q −= π y ( )rrLqQ q −= 11 π
35
Tabla resumen. Conducción unidimensional, estado estable con generación.
CASO DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS FLUJO DE CALOR
PARED PLANA
( ) 102 xqq gg ++−= 01 AxqQ g−=
2Tx
kx
kT x
xeAqQ g −= ( )02
CILINDRO HUECO
( )20
211 rrLqQ q −= π
( )20
222 rrLqQ q −= π
( ) ( ) 11
20
221 24
TrrLnr
kq
rrk
qT gg
r ++−−=
36
SUPERFICIES EXTENDIDAS
Al hablar de superficie extendida, se hace referencia a un sólido que experimenta
transferencia de energía por conducción dentro de sus límites, así como transferencia de
nergía por convección (y/o radiación) entre sus límites y los alrededores. e
Aunque hay muchas situaciones diferentes que implican efectos combinados de
onducción y convección, la aplicación mas frecuente es aquella en la que se usa una
perficie extendida de manera especifica para aumentar la rapidez de transferencia de
alor entre un sólido y un fluido contiguo, esta superficie extendida se denomina aleta.
as aletas se usan cuando el coeficiente de transferencia de calor por convección hc es
equeño. Los ejemplos mas comunes son las aletas de enfriamiento de componentes
lectrónicos, o de cilindros de los motores de motocicletas y podadoras, así como de los
bos del condensador de un refrigerador domestico.
as aletas se agregan para aumentar el producto hcA y así disminuir la resistencia
rmica por convección 1/hcA
as aletas según su posición relativa se clasifican en:
• Longitudinales
• Transversales.
Las aletas según la forma d
• Aletas de sección transversal constante.
c
su
c
L
p
e
tu
L
té
L
e la sección se clasifican en:
• Aletas de sección transversal variable.
37
Aletas de sección transversal constante:
Considerando flujo bidim bia en dirección x, sin
considerar el grad uy pequeño, que la aleta no genera.
Se realiza el balance de energía:
ensional, que la temperatura solo cam
iente en y por el valor del espesor m
cxxx QQQ += ∆+
( )∞−++= TThpdxdxdx
dQQQ x
xxx ( )∞−=⇒ TThp
dxTdkA x2
2
( ) 02
2
=∞−− TTkAhp
dxTd
x
ón, transformamos la variable dependiente
peratura θ como:
Para simplificar la forma de esta ecuaci
( )∞−= TTxθdefiniendo un exceso de tem , como T∞ es una constante.
dθ/dx = dT/dx, al reemplazar nos queda:
022
2
=− θθ mdxd cuya solución es: ( ) ( ) ( xLmCxLmsenhCx − )+−= cosh65θ
38
( ) ( )xLmmCxLmsenhmCdxd
−−−−= cosh65θ
Condiciones de frontera:
1. ∞= −==→= TTx bx 000 θθ
Lx
hdxdTkLx θ=⎟
⎠⎞−→=
=0
2.
Reemplazando la segunda condición frontera tenemos:
[ ( ) ( )] ( ) ( )[ ] 656565 0cosh00cosh0 CkmhCCsenhChmmCmsenhCmk =⇒+=−−
Reemplazando:
cohmLsenhmLCmLCmLsenhC
kmh
kmh +
=⇒+= 06660 cosh
θθ
Generalizando:
( ) ( )mLsenhmL
xLmxLsenhmkm
h
kmh
x coshcosh
0 +−+−
= θθ
Hay que tener en cuenta que el gradiente de temperatura disminuye al aumentar x. Esta
a
Calor de aleta:
tendencia es una consecuencia de la reducción en la transferencia de calor por conducción
con el aumento de x debido a las perdidas por convección continuas de la superficie de l
aleta.
El calor total transferido por la aleta se puede evaluar en mas alternativas, que
implican el uso de la distribución de tem
dos for
peraturas. El procedimiento mas simple, y el que
usaremos, impl ier a la base de la aleta. Es decir: ica aplicar la ley de four
AdxdTkA
dxadTkQ
xx
∗⎟⎠⎞−=∗⎟
⎠⎞−=
== 00
[ ]AsenhmLmCmLCmkQ kmh
a 66 cosh −−−=
39
[ ]senhmLmLkAmCQ kmh
a += cosh6
aletadeCalormLsenhmL
senhhmLhmLkAmQkm
h
kmh
a →++
=cosh
cosh0θ
Una manera alterna de presentar esta ecuación para un análisis mas practico, es dividiendo
ghmLtaghmLkAmQ km
h
kmha tan10 +
+= θ por cosh(mL):
etro h/km y de la longitud de la aleta:
El objetivo es mirar como varia el calor de aleta (Qa) al variar la relación h/km.
h/km mL = 0 TaghmL = 0.3
Efecto del parám
2 02 θkAmQa = 04375.1 θkAmQa =
1 0θkAmQa = 0θkAmQa =
0.1 01.0 θkAmQa = 0388.0 θkAmQa =
0.01 001.0 θkAmQa = 0309.0 θkAmQa =
Observaciones:
a transferencia de calor aumente la relación k/km <1
• Si la relación h/km < 1, se ponen aletas para aumentar el calor transferido.
• Es indiferente poner aletas cuando h/km = 1, por que el calor transferido no cambia.
Desde el punto de vista práctico se colocan aletas cuando h/km 0 en estas condiciones
• Para que l
→
la perdida de calor en la aleta se puede aproximar a:
taghmLkAmQa 0θ=
Para disminuir el error cometido por despreciar la perdida de calor en el extremo (aleta), se
debe “corregir” la longitud de la aleta.
40
Longitud corregida:
Para hacer la corrección de la longitud, se parte de la suposición de que el área última se
abre y aumenta la longitud de la aleta.
tLL =+= δ
Aleta de aguja:
CA
Calor absoluto perdido p
n la medida en que se i
eóricamente se puede d
E
mL = 4
T
termino 0θkAm es cons
2c2tLLc +=
pA
=δ
22
2 rr
r=⇒= δ
ππδ
SO δ δ+= LLc
2t
=δ
2tLLc +=
2=δ r
2rL + δ =
or una aleta:
ncremente L, el calor de aleta ( Qa ) aumenta hasta un punto donde
ecir que ( )4→→∞→ ≈ mLLL QQ . De mL = 4 en adelante el ∞→mL
tante, independiente de L ya que la
41
( ) 01 θkAmQmLtagh a =⇒=
Desde el punto de vista “relativo” la mejor aleta es la mas corta.
Aletas de sección transversal constante
CASO PERFIL DE TEMPERATURAS FLUJO DE CALOR
ECU
GENERAL
ACION
mLsenhmLsenhhmLhmLkAmQ
kmh
kmh
a coshcosh
0 ++
= θ( ) ( )
mLsenhmLkmh
kmx cosh+
xLmxLsenhmh cosh −+−0=θθ
ghmLtaghmLkAmQ
kmh
kmh
a tan10 ++
= θ
ECUACION
SIMPLIFICADA
( )mL
xLmx cosh
cosh0
−= θθ
Otra forma de expresar el calor de
do en cuenta la eficiencia:aleta tenien
( )c
cca mL
mLtaghhpLQ 0θ=
42
Distribución de temperatura y pérdi e calor para aleta ión transversal unif
CASO CONDICIÓN ALETA (x=L)
DISTRIBUCIÓN DEEMPERATURA
das d s de secc
T
orme
TRANSFER
DE LA ALEbθθ /
ENCIA DE CALOR
TA Qa
A
Adiabática
0== Lxdxdθ
( )mL
xLmcosh
cosh −
( )mLM tanh
B
Temperatura Establecida
( ) LL θθ =
( ) ( )
mLsenhkmhmL
xLmsenhkmhxLm
e
e
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+
−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+−
cosh
cosh
mLsenh
mLM b
L ⎟⎠⎞− θ
θ
⎜⎝⎛cosh
C
Aleta infinita ( )
( ) 0=∞→
LL
θ
mxe− M
( ) Cbb
L
hpkAMTT
kAhpmTT
0
2
0 θθθ
θ
≡−==
≡−=
∞
∞
SECCIÓN TRANSVE SAL UNIFORMER
43
DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURA Y FLUJO
CALOR EN ALETAS DE SECCIÓN TRANSVERSAL UNIFORME
Al resolver la ecuación general para aletas de sección transversal uniforme, es posible
encontrar la distribución de temperatura, sometiéndola a condiciones apropiadas de
front E neral se conoce la temperatura en la base x=0 de la aleta, pero hay varias
situaciones físicas posibles en el extremo x=L de la aleta:
A. Aletas con flujo de calor despreciable en el extremo (adiabáticas)
es el área del extremo o borde de la aleta es muy pequeña en comparación con el
e la a y el calor transferido por el extremo de la aleta es despreciable con
e ransferido por las superficies laterales, entonces la condición de frontera que
c sta situación en el extremo o borde de la aleta es
DE
era. n ge
En
área
resp
cara
te c
late
cto
teri
aso
ral d
al t
za e
leta
0==Lxdxdθ .
iguiente es la formulación matemática del problema La s
( ) ( )
( )( ) Lxe
≡∞
n
0θ
dxxd
xTTx
Lparaxmdx
xd
==
=−=
≤=−
0
0
00
0
22
2
θ
θ
θθ
en
x≤
Resolviendo
( ) ( ) ( )xLmsenhCLmCx x − −+= 21 coshθ
Aplicando las condiciones de frontera se obtiene
( ) ( ) ( )mL
xLmTTTxTx
coshcosh
00
−=
−−
=∞
∞
θθ
El c
ante
a ransferido por la aleta se obtiene sustituyendo la solución dada por la ecuación
rior, en la ecuación general
lor t
( )0=
−=xdx
xdAkQ θ
Obt
eniendo así,
mLphkAmLmAkQ tanhtanh 00 θθ ==
44
B. Alet
as con convección en el extremo
Es una condición de frontera físicamente mas real en el borde de una aleta, se considera que
por el borde ó extremo de la aleta se transfiere calor por convección al fluido que lo rodea.
( ) ( )
( )( ) ( ) Lxxh
dxxdk e ==+ 0θθ
xenTTx =≡−= ∞ 000 θθ
Lxparaxmdx
xd≤≤=− 002
2
2
θθ
En donde k es la conductividad térmica de la aleta y he es el coeficiente de transferencia de
calor entre el extremo de la aleta y el fluido circundante.
Se escoge la siguiente solución de la ecuación diferencial.
( ) ( ) ( )xLmsenhCxLmCx −+−= 21 coshθ
Las constantes de integración C y C se determinan aplicando 1 2 las condiciones de frontera
dadas anteriormente, de donde se obtiene respectivamente
0cosh 12210 =+−+= ChmkCmlsenhCmLC eθ
como
( ) ( ) 221 cosh mCxLmmCxLmsenhmCdxd
LxLx
−=−−−−= ==
θ
Cuando se hallan C1 y C2 se encuentra la distribución de temperatura en la aleta
( ) ( ) ( )
mLsenhkmh⎛
⎝=θ mL
xLmkmhxLmx
e
e
⎟⎠⎞⎜
⎝+
−⎠
⎜⎛+−
cosh
cosh
0
θ
ga se puede suponer razonablemente que la temperatura en
el extremo o borde de la aleta es aproximadamente igual a la temperatura T∞ del medio
ás se considera que se conoce la temperatura To en la base de la aleta.
senh⎟⎞
B. Aleta larga (infinita)
En una aleta suficientemente lar
circundante, adem
45
( ) ( )
( )( )
kAphmdonde
xcuandox
≡
∞→→
2
0θ
xenTTx
Lxparaxmxd
=≡−=
≤≤=−
∞ 00
22
0
00
θθ
θθ
La solución es de la forma
Las constantes de integración se determinan aplicando las condiciones de frontera, donde
dx 2
( ) mxmx eCeCx 21 += −θ
012 0 θ== CyC , y la solución será
( ) mxex −=0θ
θ
Eficiencia de la aleta:
la transferencia de calor de una
fuente. Sin embargo, la aleta misma representa una resistencia de conducción para la
encia de calor de la superficie original. Por esta razón no hay seguridad de que la
transferencia de calor aumente a través del uso de aletas. Una apreciación de este caso se
obtiene evaluando la efectividad de la aleta ηa.
rficie de la
aleta y el ambiente, entonces tendríamos:
Se debe recordar que las aletas se utilizan para aumentar
transfer
Si θ0 se mantuviera constante como una diferencia de temperaturas entre la supe
idealQQ =max
Partiendo de : ( ) 00 θθ fcaideal hApLhQ ==
Af = área superficial total de la aleta
Si se toma: kAhpm =2
( )
c
creala mL
mLtaghkAmQQ 0
2θ==
Generalizando:
46
( )c
cca mL
mLtaghhpLQ 0θ=
Haciendo una extensión del concepto de eficiencia de aleta, podem manejar todo tipo de
aleta (de sección constante o variable) como:
os
aletafa
aletaideala
hAQQQ
ηθη∗=
∗=
0
Donde la eficiencia para diferentes formas se calcula por medio de la tabla 3.5, del libro
¿Que pasaría si la tem la aleta se mantuviera constante en toda la
longitud de ella? O lo que seria lo mismo que
Incropera.
peratura de la base de
( ) mLmL ≈tanh , ósea mL <<<<<Tb = cte.
0θhpLQideal = , por lo tanto la eficiencia de la aleta se expresaría de la forma: Entonces
ideal
reala
Q=η
Q ⇒
vidad térmica.
aleta:
la longitud óptima se usan dos criterios:
1. El mejor uso del material gastado en construir la aleta.
( )c
ca mL
mLtagh=η
Llamaremos parámetro de la aleta al producto mL , cuando este producto es pequeño, el
valor de ηa esta cerca de la unidad; cuando mL es mayor que aproximadamente 4,
( ) 1≅mLtagh . Un valor pequeño de mL corresponde a aletas relativamente cortas y gruesas
de alta conductividad térmica, mientras que valores altos de mL corresponden a aletas
relativamente largas y delgadas de baja conducti
Determinación de la longitud optima de la
Con respecto a
2. El costo mínimo del sistema.
47
Mejor uso del material
tbALtAc ∗=∗=
axi
M
optim
Q =a
dLdQa
LbA
AbA
LA
bAt
LA
t c ==
cc =⇒=
mizar el flujo calórico (calor de aleta), para una Ac constante, ¿cuál será la longitud
0
a de la aleta?
kth2taghmLkAm m = θ ;
0=
( ) Lkt
taghkt
tbka 0θ∗=
hhQ 22
2322
0 LhtaghthkbQc
a ∗= θ
kAk
2322
0 LkA
htaghLA
khkbQ c
a ∗= θ c
0232sectan
20⎢⎣ LLkdL
2 2 =⎥⎥⎦
⎤⎢⎡
∗∗+∗−= LKA
hhmLLA
ghmLAhkb
dQ
c
cca θ
02sec 232 =∗+−= L
kAhhmLtaghmL
dLdQa
c
0sec3 2 =− taghmLhmL
48
El valor de que hace que esta ecuación se cumpla es mL 419.1=mL y es el valor que hace
máxima la relación beneficio- costo y es cierto, solo para aletas de sección transversal
constante.
419.1=mL Corresponde a una ηa = 0.62 → 62%
Cuando los catetos sean iguales entonces ese es el punto optimo.
Haciendo un análisis económico:
Si se colocan aletas mas largas que
QymL
419.1=mL , entonces el calor que va a disipar es
ces no compensa el aumento del material con la disminución de Q desde
ese punto de vista la aleta seria mas corta.
l sistema:
ara hacer este análisis se hace una tabla de costos, así:
con una tubería aleteada que me transmite calor. Al aumentar la longitud
de las aletas el costo se eleva y si disminuyo la longitud y compenso el calor con una
sistencia.
( )1dQ
muy poco y enton
Costo mínimo de
P
Si tengo un cuarto
re
49
Aletas con á ia
que se encuentran en la práctica tie
e hace m
ma de funciones exponencia
caso especial considere la aleta anular de espesor t.
rea de sección transversal var ble
Muchas de las aletas
área Ac varia entre la base y el extremo, por lo qu
solución no presentara la for
Estas aletas tienen muchas aplicaciones en intercambiado
evaporadores de sistemas de refrigeración enfriados por a
es uniforme (t es independiente de r), el área de la secció
r; el área superficial ( )11
222 rrAf −= π , por tanto la forma
se reduce a:
L9
CT
Cmin
m *
1.419nen una sección transversal cuya
as complejo su análisis ya que la
les o hiperbólicas simples. Como
res de calor liquido-gas, como los
ire. Aunque el espesor de la aleta
n transversal, rtAc π2= varia con
general de la ecuación de la aleta
50
( ) ;0212
2
=∞−−+ TTkth
drdT
rdrTd
b kthm 2
=
∞−==−+ TTdondemdrd
rdrd
bθθθθ 01 22
2
La expresión anterior es una ecuación de Bessel modificada de orden cero, y la solución
general tiene la forma: ( ) ( ) ( )mrKCmrICr 0201 +=θ donde I0 y K0 son funciones de Bessel
de orden cero m clase, respectivamente. Si la temperatura
en la base de la aleta se establece,
odificadas de primera y segunda
( ) br θθ = , y se supone la superficie adiabática,
02
=rdr
dT , C1 y C2 se pueden evaluar para dar una distribución de temperaturas según la
forma :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )211021100 mrImrKmrKmrI
210200 mrImrKmrKmrIr++++
=θ
θ
o:
Las funciones de Bessel se tabulan según el apéndice B del libro de Mills.
Si la transferencia de calor de la aleta se expresa com
( )11
12rrrr
ca drdtrkA
drdTkAQ
==
−=−=θπ
y por lo tanto
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )21202110
21112111012
mrKmrImrImrKmrKmrImrImrKtmkrQa +
−= θπ
Eficiencia global de la superficie
η uperficie ba
que se le une en cada caso la ηs , se define como:
En contraste con la eficiencia de la aleta, que caracteriza el rendimiento de una sola aleta, la
eficiencia global de la superficie s caracteriza un arreglo de aletas y la s se a la
maxQQTotal
s =η
51
Donde QT es la transferencia de calor total del área de la superficie A asociada con las
aletas y la parte expuesta de las aletas, si hay N aletas en el arreglo, cada una de las áreas
iciales Af, y el área de la de la superficie primaria AL, el área total de la superficie es
T
superf
fLT AAA += .
La transferencia de calor máxima posible resultara si toda la superficie de la aleta, así como
la base expuesta, se mantuviera en Tb.
La transferencia de calor total esta dado por ( )∑ +== LiaiuloT QQNQQ mod
Donde Qai = calor de aleta por un modulo calor total de un modulo aleteado.
Si acepta
y QLi =
mos condiciones de flujo unidimensional,
aletafiai hAQ ηθ ∗= 0
0θLiLi hAQ =
el calor total de calor por convección de las aletas y de la superficie principal (sin aletas) se
expresa como
( )
( )
( )( )( )faL
bTfaLbT
faLT
LafT
LiafiT
AAh
TTQAATThQ
AAhQ
hAhAQ
hAhANQ
η
η
ηθ
θηθ
θηθ
+
−=⇒+−=
+=
+=
+=
∞∞ 1
0
00
00
Eficiencia de la superficie:
( )TfaL
TfaLT
AA
AhAAhQ 0
ηη Asup
0sup θηηθ
=+
=+=
( )T
fa A
Aηη −−= 11sup
Que dando de esta manera la resistencia para un sistema aleteado
52
sup
0
1η
θ
T
T
hA
Q =
53
Eficiencia de aletas continúas
CASO Re/r η
21
2,028,1Re⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
ML
rM
r
21
3,027,1Re⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
ML
rM
r
( )( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
=
rr
mrmrhtg
Reln35,011Reφ
φφη
Busca aleta circular
equivalente.
CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTABLE SIN
GENERACIÓN
SOLUCIÓN ANALÍTICA
Para este análisis se toma un sistema cartesiano y un elemento con sus 4 caras expuestas al
flujo de calor. Se realiza un balance de energía y teniendo la Temperatura en función de X
y Y se pueden obtener los gradientes de temperatura en X y Y ( xT ∂∂ / y y los
calores conducidos.
alance de Energía:
yT ∂∂ / )
B
2
2
XT
∂∂ + 2
2
YT
∂∂ =0 Esta es una Ecuación diferencial de tipo Lineal homogénea parcial.
Esto permite que si la ecuación es valida para T, también lo es para una (cte)X T
esto es un caso particular de la linealidad.
54
Donde a , b , c , d son condiciones de frontera.
Al solucionar esta ecuación se encuentran cuatro constantes de integración y se necesitan 4
condiciones de frontera, las cuales se pueden clasificar en homogéneas y no homogéneas.
El caso más sencillo que podemos abordar es cuando tenemos a,c,d homogéneas y b no
homogénea. El método analítico que se aplica a la solución se llama SEPARACIÓN DE
VARI
Las no homogéneas se pueden convertir en homogéneas haciendo un cambio de variable.
ABLES.
θ (x,y) = f (x,y) ⇒ θ (x,y) = A(x) . B(y)
θ (x,y) = T(x,y) - Tα
EJEMPLO
Se tiene un sólido con las siguientes condiciones de frontera:
1. (a) T(0,y) = T0
2. (c) T( w ,y ) = T0
4. (b) T ,h) = T +
3. (d) T(x,0) = T0
(x 0 θ msen X.
2
2
XT
∂∂ + 2
2
YT
∂∂ =0 H a
d
W
b
c
Tα
X
Y
55
La Solución es de la forma : θ (x,y) = A . B ) (x) (y
Para la ecuación 2
2
XT
∂∂ + 2
2
YT
∂∂ =0 es:
2
B(y) . A(x)(2
X∂+ ∂
2
) B(y) . (A(x)2
Y∂ = 0
∂
B(y) 2
2 (A(x))X∂
A∂ + (x) 2
2 ) (B(y)Y∂
= 0∂ Dividimos entre A(x) . B(y) y resulta
A(x)1
2
2 (A(x))X∂
∂ + B(y)
12
2 ) (B(y)Y∂
∂ = 0
A(x)1
2
2 (A(x))X∂
= ∂B(y)
1− 2
2 ) (B(y)Y∂
∂ = ± λ 2
izquierda F(x) sea igual al termino de la derecha
F(y) es que ambos sean iguales a una constante, por ejemplo
La única manera para que el termino de la
λ 2 > 0.
Tomamos la negativa para A y para B la positiva así:
T0
T0
T0
T(x,h) = T0 + θ msen X.
H
W
56
A(x)1
2
2 (A(x))X∂
∂ = - λ 2 ⇒A(x)
12
2 (A(x))X∂
∂ ) + λ 2 A(x) = 0 (sin Senoidal) ⇒
B(y)1
2
2 ) (B(y)Y∂
∂ = λ 2 ⇒B(y)
12
2 ) (B(y)Y∂
∂ - λ 2 = 0 (sin Exponencial)
La solución será de la forma:
A(x) =C1sen
⇒
λ X + C2cos λ X
B(y) =C3℮ -λY + C4 ℮ -λY
La solución completa será el producto A(x) * B(y)
θ (x,y) =( C1sen λ X + C2cos λ X )*( C3℮ -λY4
-λY )
1.
+ C ℮
Reemplazando las condiciones de frontera:
θ (0,y) =0
0 =( C1sen0 + C s0)( C3℮ -λY + C4
= ( 0 + C2 ) ( C3℮ -λY + C4 ℮ -λY )
C2 = 0
.
2co ℮ ) -λY
0
3 θ (x,0) = 0
0=( C1sen λ X + C cos λ2 X )*( C3℮ -λ0 + C ℮ -λ0 )
0=( C1sen4
λ X + C2cos λ X )*( C3 + C4
=( C1sen
)
0 λ X )*( C3 + C4 )
C3 = -C4
a ecuación general reemplazando los valores de las constantes L
θ (x,y) = C1sen λ X( C3℮ -λY + C3 ℮ -λY )
θ (x,y) = C1*C3 Csen λ X( ℮ -λY + ℮ -λY ) por 2/2
θ (x,y) = 2C1*C3 Csen λ X( ℮ -λY + ℮ -λY )
57
2. θ (x,y) = C sen λ X senh λ Y
3. θ (w,y) =0 0 = Csen λ W senhλY
λ W = 0,π , 2π , 3π , 4π , …… .nπ λ n π n entero … W = n →
Se obtienen n soluciones . ( independiente de n, el valor de senλ W es siempre cero).
Como la ecuación 2
2
XT∂
∂+ 2
2
YT∂ =0 es lineal, la suma de las soluciones particulares es
tam ién una solución, de esta forma como se tienen n soluciones (infinitas)
∂
b θ (x,y) puede
m e a serie infinita así: escribirse co o la suma d un
∑∞
=1nC λnY ; λn = nπsenλnX senhn / W
dependen de la 4 condición
de frontera.
.
Se deben encontrar los valores de C de la solución general que n
4 θ (x,H) =θ msen πX
W
θ msen (πX)/W = sen (n∑∞
=1nC n πX)/w senh(nπH)/w
as constantes, esta igualdad existe cuando C2=C3 =C4 =
uando n=1
Como Cn es la combinación de otr
0=…
θ msen (πX)/W = C1 sen (1 (π X)/W) senh(πC H )/W
C1 = θ m senh (πY/ W) sen(πX/ W)
senh (π H )/ W
PRINCIPIO DE ORTOGONALIDAD: Principio aplicado a las funciones seno (llamadas
funciones propias).
λsen nX sen λ mX dX = {0 si n ≠ m , valor propio si n = m.
∫
58
Un aso particula es cuand F(c r o X) = θ c = cte.
E
anterior,
Antes de aplicar la 4
condición de frontera
Tenemos:
jemplo
Se tiene una placa con las siguientes condiciones de frontera:
Y
θ = 20oC
Por el mismo procedimiento θ = 0 θ = 0 θ
θ (x = C nsen,y) ∑∞
=1nλ nX senh λ nY ; λ n = (nπ) / W
Aplicando la 4 condición de frontera se obtiene:
θ c = ∑∞
=1nC nsen λ nX senh λ n ; cH omo hay C1,C2,C3…..Cn multiplicando por
sen λ nXdX
θ c sen λ nXdX = Cn sen∑ ∫ 2 λ nXsenh λ nH
pondiente
se calcula el Cn corres
∫W
0
θ c sen λ nXdX = ∫W
C sen0
n2 λ nXsenh λ nH
W X
H
θ = 0
(x, y)= ?
59
W n π *
2W Integrando obtenemos: θ c ∫ sen
WXnπ dX = Cn senh
Multiplicando y dividiendo por la derivada interna tenemos:
θ c πn
W⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
Wnπcos =
2W Cn senh
WHnπ
Cn = 2θ c nHsenh
)1(1
λn−+
Así: θ (x,y) = ∑ Cn sen λ nX senh λ nY.
SOLUCIÓN GRAFICA
El principio básico de la solución por este método es que las líneas isotermas son
pe culares as e al u to específico. De esta manera se
a el elemento de análisis y se trata de dibujar sobre él un sistema de cuadrados
as.
METODOLOGÍA (según Incropera)
1. Identificar todas las líneas de simetría relevantes. Estas líneas se determinan por
n térmicas. Estas líneas se determinan por condiciones térmicas así como
por condiciones geométricas. Como se muestra en la fig. 1.(a). ,estas líneas
orizontales y diagonales que se designan. Por tanto, para
este sistema es posible considerar sólo un octavo de la configuración, como se
muestra en la fig 1.(b).
rpendi a l líneas d flujo de c or en n pun
tom
curvilíneos compuesta por líneas de flujo de calor y líneas isoterm
co diciones
incluyen las verticales, h
60
2. a el sentido que quizá no haya transferencia
de calor en una dirección perpendicular a las líneas. Por tanto, son líneas de flujo
o tales.
3. Después de que todas las líneas conocidas de temperatura constante asociadas con
las fronteras del sist ido identificadas, debe hacerse un intento de dibujar
líneas de temperatura constante dentro del sistema. Las isotermas siempre deben
ser perpendiculares a las adiabáticas.
Las líneas de flujo de calor deben dibujarse con la finalidad de crear una red de
cuadrados curvilíneos. Esto se logra haciendo que las líneas de flujo de calor y las
isotermas se intersequen en ángulos rectos y que todos los lados de cada cuadrado
la fig 1. (c) al asignar la coordenada
(X) a la dirección del flujo de calor y la coordenada (Y) a la dirección normal de
este flujo, el requerimiento se expresa como:
Las líneas de simetría son adiabátic s en
de calor y deben tratarse com
ema hayan s
4.
sean aproximadamente la misma longitud. En
22bdacYcdabX +
≡∆≈+
≡ ∆
FIG.1
61
DETER ANSFERENCIA DE CALOR
Si l
todas la
ii Mqq =
=1
Don
aplican
MINACIÓN DE LA TR
a grafica de flujo se construye de forma apropiada, el valor de qi será el mismo para
s bandas y la transferencia de calor se expresa como: M
q = ∑ i
de M es el número de bandas asociado con la grafica. A partir del cuadro curvilíneoy
do la ley Fourier obtenemos
xT
lYkxT
kAq iiii ∆
∆∆≈
∆∆
≈ ))((
Don
transfer
página.
increm
global
de ∆ Ti es la diferencia de temperaturas entre isotermas sucesivas, Ai es el área de
encia de calor por conducción para la banda y l es la longitud del canal normal a la
Sin embargo, si la grafica de flujo esta construida de forma apropiada, el
ento de temperatura es el mismo para todas las isotermas contiguas y la diferencia
de temperaturas entre las fronteras ∆ T1-2 se expresa como:
∆ T1-2 =N
NT =∆∑ jj
j T∆=1
Donde N es el número total de incrementos de temperatura. AL combinar las ecuaciones
anteriores y teniendo en cuenta que ∆ X ≈ ∆ Y para cuadros curvilíneos obtenemos :
21−∆≈ TkNMlq
Para la figura 1. N=6 y M=5, por supuesto que conforme la red de cuadros curvilíneos se
hace más fina, M y N aumentan y la estimación de M/N se hace más exacta.
FACTORES DE FORMA PARA LA CONDUCCIÓN
En muchos problemas de conducción multidimensional intervienen flujos de calor entre dos
superficies, cada una de las cuales tiene una temperatura uniforme; las superficies restantes,
62
si las hay, son adiabáticas. EL factor de forma para la conducción, S, se define de manera
que el flujo de calor, entre las superficie oQ
oQ TkS∆= s sea :
∆Donde K es la conductividad térmica y T es la diferencia de tem
S
peratura entre las
os que tiene dimensiones de longitud. Los resultados obtenidos antes superficies; vem
para la conducción unidimensional también pueden expresarse en función del factor de
forma.
63
RECOMENDACIONES PARA EL USO DE LA TABLA DE FACTORES DE FORMA
1. No existe generación de calor interna: = 0.
2. La conductividad térmica K es constante.
3. Ambas superficies deben ser isotérmicas.
4. Debe tenerse cuidado en los casos en que el medio es infinito. Por ejemplo en el
punto 7 tanto la superficie plana como el medio infinito deben estar a la T2.
5. El apartado 8 a menudo se usa incorrectamente para calcular la pérdida o la
ganancia de calor de tuberías subterráneas. Es esencial que la tierra que rodea a la
tubería se encuentre a la misma temperatura que las superficies, lo que rara vez
ocurre en la realidad. Además, el problema de las tuberías subterráneas con
frecuencia hay conducción transitoria.
oQ ′′′
64
RECOMENDACIONES PRACTICAS PARA LA SOLUCIÓN GRAFICA
1. El trazado del sistema de cuadrados curvilíneos es útil si las fronteras son isotermas.
2. Si el cuerpo tiene simetría, las líneas de flujo de calor son los ejes de simetría.
3. La distancia entre líneas isotermas aumenta con el aumento del área de
transferencia.
4. Las líneas isotermas son perpendiculares a las líneas de flujo de calor.
MÉTODO PRÁCTICO PARA DETERMINAR GRÁFICAMENTE LA DISTANCIA
ENTRE 2 LÍNEAS ISOTERMAS
Se desarrolla basado en la conducción de calor en el caso particular de un tubo:
Cuando h determinado N=3
Para saber cuanto es el valor
De r1 y r2 se aplica la analogía
De TC con las resistencias eléctricas.
Entonces:
=−
=
KLR
QR
Ln
TT
π20
3
30 =−
KLRRLn
TT
π20
2
20 =− TT
KLRRLn
π20
1
10
Com s
o e sabe que T0 – T1 = ∆ T y T0 – T2 = 2 ∆ T
=
KLRR
Ln
∆T=Q
π2
3
0
3=
KLRR
Ln
∆T
π20
2
2=
KLRR
Ln
∆T
π20
1
=∆
KLRR
Ln N
TN
π20
Q
Ta T0 R1
R3
R0
R2
65
66
=0R
3
3RLn
=0R2
2RLn
=0R1
1RLn
=R0
N
RLn N
Si se re
Ln 1 0
Ln r1 0 0
e
(R1/ R0) N = (Rn / R0 onde : F = factor gráfico
lacionan los 2 últimos términos:
R /R0 = (1/N) * Ln Rn/R
/r (Ln rn/r )1/N
= e
) Rn = R0 F dN
EJEMPLO
Donde: R0 = 10 Cm R3 = 20 Cm y N=3
F=(rn/r0
R F2 = 10 (1,26)2 = 15,87 Cm
R1 = 10 (1,26) = 12,6Cm.
SOLUCIÓN NUMÉRICA
El objetivo de este método es convertir las ecuaciones diferenciales en ecuaciones
algebraicas ( o numéricas ), lo cual se puede hacer por un procedimiento analítico o por un
balance de energía sobre un elemento finito.
Procedimiento analítico Partiendo de la ecuación que gobierna el proceso en el interior
del cuerpo, producto de un balance de energía infinitesimal:
R0
R2 ?
R3
)1/N = ( R3/R0)1/3
= ( 2)1/3 = 1.26
R2 = 0
→
67
2
2
XT
∂∂ + 2
2
YT
∂ 2
2
XT
∂∂
→∂ =0 Donde : Flujo neto de calor por
en la dirección x.
Al aplicarle un mecanismo de aproximación analítico como es la expansión en series de
Taylor puede convertir la ecuación en una algebraica ( reemplazando x+ x por m+1).
Si hablamos de encontrar la
la temperatura en la dirección
de x.
conducción
∆
T
T
m
Tm-1
m
variación de la pendiente de m+1
T
X-1 m m+1
Caso Unidimensional 2
2
XT
∂∂ = 0
aso Bidimensional con T(x,y) Función continua.
En forma de series de Taylo
Línea recta. →
C → →
r tenemos :
Tm+1 = Tm + XT
∂∂
∆ x + 2
2
XT
∂∂
∆ x2 ………….+ ( se desprecian)
T = T -m-1 m XT∂
∆ x + 2
2
XT∂
∆ x2 ………….+ ( se desprecian) ∂ ∂
m+1 m-1 m
--------------------------------------------------------------------------------------
T + T = 2 T + 2
2
XT∂ ∆ x
∂2
nmXT
,2
2
∂∂ = Tm
Par
2Xn Tm, 2 -n 1,-Tm n 1,
∆++
a un procedimiento similar obtenemos:
nmYT
,2
2
∂∂ = 2Y
n Tm, 2 -n 1,-Tm n 1,Tm∆
++
El Balance de energía en un nodo debe ser igual a cero : e de
tal forma
que x = Y Reemplazando :
siempre la subdivisión se hac
∆ ∆ ⇒
2Xn Tm, 2 -n 1,-Tm n 1,Tm
∆++ = 2Y
n Tm, 2 -n 1,-Tm n 1,Tm∆
++
Tm+1,n + Tm-1,n + Tm,n+1 + Tm,n-1 - 4Tm,n = 0 ECUACIÓN NODOS INTERNOS
sta ecuación solamente se cumple para los nodos internos de un cuerpo conduciendo calor
en forma bidimensional. Se puede plantear una ecuación de este tipo para cada uno de los
rpo. no uaciones con n incógnitas.
tic ue s frontera.
F(x x) = F(x) +F` (x) x + F” (x)
E
nodos internos del cue Para n dos tengo n ec
Por éste método analí o NO se p de analizar los nodo
* + ∆ ∆ ∆ x2 0.5
PROCEDIMIENTO POR ELEMENTOS FINITOS
Este método puede aplicarse a conducción bidimensional con generación. Para obtener la
peraturas se ía sobre un elemento
ecuación de relación de tem hace un balance de energ
finito Vc → nodo.
68
NODOS INTERNOS
Balance de Energía :
Q1 + Q2 = Q3 + Q4
Si aplicamos Fourier:
Q1 Q3
Q4
Q2
m-1,n m,,nm+1,n
m,n-1
m-1,n
Q1 = K( ∆ Y l ) (Tm-1,n - Tm,n )
∆ X
Q2 = K( ∆ X ) (Tl m,n-1 - Tm,n )
∆ Y
Q3 = K( ∆ Y ) (Tl m,n - Tm+1,n )
X
4 = K( X ) (T
∆
Q ∆ l m,n - Tm,n+1 )
INTERNOS
todo si se puede utilizar para nodos de frontera.
ODOS FRONTERA
. Cuando las fronteras coinciden exactamente con el sistema X,Y (ejes de coordenadas).
∆ Y
Reemplazando:
Tm+1,n + Tm-1,n + Tm,n+1 + Tm,n-1 - 4Tm,n = 0 ECUACIÓN NODOS
Este mé
N
1
Existen 5 tipos de nodos así:
69
Nodo frontera convectivo en superficie
vertical
Las condiciones de frontera pueden
ser de 2 tipos:
mp. Del
nodo.
Balance de Energía : Q1 + Q2 + Q3 + Qc = 0
Q1 = K( X ) (T
Tm,n Tm+1,n
Tm,n+1
Tm,n-1
Q2
Q3
Qc
Q1 Tα
a. Cuando se conoce la Te
b. Cuando la frontera es convectiva.
∆ l ∆ X ) (Tlm,n - Tm,n+1 ) ; Q3 = K( m,n - Tm,n- 1 )
∆ ∆ 2 Y 2 Y
Q2 = K( Y ) (T∆ l m,n - Tm+ 1,n ) ; Qc =h( ∆ Y ) (Tm,n - T∞ ) l
X
0 = K ( T
∆
l m,n - Tm,n+1 ) + K l ( Tm,n - Tm+1,n ) + K ( Tl m,n - Tm,n-1 ) + h( ∆ Y ) (Tm,n - T∞ )
m,n - Tm,n+1 +2 Tm,n - 2Tm+1,n +Tm,n - Tm,n-1 + 2 h(
l
2 2
∆0 = T Y)( Tm,n - T∞ )
K
⎥⎦⎤∆
+K
Yh24 Tm,n - 2Tm+1,n - Tm,n+1 - Tm,n-1 =2 h(⎢⎣⎡ ∆ Y)( T∞ ) /(K) NODO TIPO 1
Nodo frontera convectivo en superficie horizontal
Balance de Energía:
1 2 3 c
Tα
Q + Q + Q = QTm,nQc
Tm-1,n
Q1 Q2
Q3
Tm,n-1
Tm+1,n
70
Q1 = K( Y ) (T∆ l m-1,n - Tm,n ) ; Q3 = K( X l ) (Tm,n-1 - Tm,n )
∆
2 X ∆ ∆ Y
Q2 = K( Y ) (T∆ l ∆m+1,n - Tm,n ) ; Qc =h( X ) (Tm,n - T∞ )
2 X
K ( T
l
∆
l m-1,n - Tm,n ) + K ( Tl m+1,n - Tm,n ) + K hl ( Tm,n-1 - Tm,n ) = ( ∆ X ) (Tm,n - T∞ )
2 2
Tm-1,n - Tm,n + Tm+1,n -Tm,n +2Tm,n-1 - 2Tm,n = 2 h
l
( ∆ X)T hm,n - 2 ( ∆ X T∞ )
K
k
⎥⎦⎤⎡ ∆
+Xh24 T - 2T - T - T =2 h( ∆ X)( T∞ ) /(K) NODO TIPO 2 ⎢⎣ K m,n m,n-1 m-1,n m+1,n
Nodo frontera convectivo en esquina interna
Balance de Energía:
Q1 + Q2 + Q3 +Q4= Qc
K(
m,n+1
Q2
Q1 Q3
Q1 = ∆ Y l )
(X
nTm, -n 1,-Tm∆
) ; Q3 = K(2Y∆l )(
Yn1,Tm -n Tm,
∆+ )
Q2 = K( X ) (∆ lY
1nTm, -n Tm,∆
+ ) ; Qc =h(
2X∆ +
2Y∆ ) (T∞ -Tm,n ) l
Q4 Q
m,n-1
m-1,n m,n
m,+1n
c
71
Q = K(4 2X ) (∆l
Y∆
1-nTm, -n Tm, )
K l (Tm-1,n - Tm,n ) + h( ∆ X l )(T∞ - Tm,n) = K l (Tm,n - Tm,n+1 ) + K (Tm,n - Tm+1,n ) + K ( l l
Tm,n - Tm,n-1 ) 2
-6Tm-1,n - 2Tm,n + 2 h
2
( ∆ X T∞ ) - 2 h( ∆ X)Tm,n = 2Tm,n - 2Tm,n+1 -Tm+1,n +2Tm,n - Tm,n-1
K K
⎥⎤
⎢⎡ ∆
+Xh26 Tm,n - 2Tm-1,n - 2Tm,n+1 - Tm+1,n - Tm,n-1 = 2 h( ∆ X)( T
⎦K⎣∞ )/(K) NODO TIPO 3
odo frontera convectivo en esquina externaN
Balance de Energía:
Q1 + Q2 = Qc
Q1 = K( ∆ X l ) (Tm,n - Tm,n-1 )
2 ∆ Y
Q2 = K( ∆ Y l ) (Tm,n - Tm+1,n ) ;
2 ∆ X
Q1
Q2
Tm,n-1
Qc
Tm+1,nTm,n
2X∆ +
2Y∆ ) lQc =h( (T∞ -Tm,n )
K l ( Tm,n - Tm,n -1) + K l ( Tm,n - Tm+1,n ) = h( ∆ X l ) (T∞ -Tm,n )
2 2
72
Tm,n - Tm T,n-1 + n -Tm,n -Tm+1,n = m, 2 h(KX∆ )T∞ - 2 h(
KX∆ ) Tm,n
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ∆
KXh22 T+ m,n - Tm+1,n - Tm,n-1 =2 h( ∆ X)( T∞ ) /(K) NODO TIPO 4
Nodo Adiabático
Balance de Energía:
Q1 =
Y ) (T
Q2 + Q3
Q1 = K(
Tm,nTm-1,n
Tm,n-1-
Tm,n+1
Q1
Q2
Q3
∆ l m-1,n - Tm,n )
X
Q2 = K( X ) (T
∆
m,n - Tm,n+1 ) ; Q3 = K( X ) (T∆ l ∆ l m,n - Tm,n-1 )
2 Y 2∆ ∆ Y
m NODO TIPO 5
La TABLA 1 l resume las situaciones anteriormente descritas.
4Tm,n -T ,n+1 - Tm,n-1 - 2Tm-1,n = 0
73
TABLA 1
74
CONTINUACIÓN
75
“La energía que se pierde o se gana o para enfriarlo”. sirve para calentarlo 2L
To
T T
Para cuando ⇒α< TTO el cuerpo está calentándose.
Balance de Energía: dtdTCm)TtT(hA pcs =−α
Para cuando el cuerpo está enfriándose.
Balance de Energía:
⇒α> TTO
dtdTCm)TTt(hA pcs =α−
[Se coloca el signo (-) porque la temperatura va disminuyendo, entonces su variación con
respecto al tiempo debe ser negativa]. La ecuación es la misma para ambos casos.
Introduciendo dt
T)t(Tt α−=θ
P
S
o
CthA
P
St
o
Ln
P
S
P
S
oPos
eTToTTt
CthAeLn
TToTTtedt
ChA
td
dtdt
ChA
)TT(dtdC)TT(thA
∀ρ−
−θ
θ
=α−α−
∀ρ⊥=−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
α−α−
⇒∀ρ
−=θθ
θ−=θ
∀ρ
α−θ
∀ρ−=α−θ
∫∫
Graficando esta ecuación:
A medida que aumenta el tiempo, entonces tθ disminuye, lo que indica que la diferencia
es cada vez más pequeña.
α− TTt
76
t
1
t =t
e puLa ecuación anterior s ede presentar de otra forma:
( ) SSPP
SA
tC ρ
−=∀ρ
longitud cA/C
hthA ∀∀
aracterística
= Fo.Bi
LtBi
KKxLxht
=L)L(C 2
P=
αρ
CÁLCULO DEL CALOR PERDIDO O SUMINISTRADO
Flujo instantáneo:
)FoBi(e−=θ Temperatura en función del tiempo
)t(
)TTt(hAQ s)t( α−=
FoBIs
ts
e)TTo(hA
))TTo((hA−α−=
α−θ=
El calor total suministrador a un tiempo t:
∫∀
−
α−=t t
s dte)TTo(hA p
s
∫∫
ρ
−α−=
o
ChA
t
o
FoBis
t
o)t( dte)TTo(hAdtQ=)t(Q
77
78
t = 0, no hay pérdida de calor
en t = , el calor perdido es Qo = mCp(To-T
en
) α α
)Fo.Bi(fQoQ
e1Q Bi
=
−= −
FoQo
I-e- oBiF
t =t
O
1.0
Qo máximo calor que se puede perder.
Ejemplo: Un cuerpo cilíndrico que está inicialmente a una temperatura de 400ºC se somete
repentinamente a una temperatura T
⇒
α =25ºC, calcular la temperatura del cuerpo al cabo de
hora si la conductividad térmica del material 1 .α→
Datos:
istradominSuTotalCalore1mCp)TTo(Q
1emC)TTo(
eeC)TTo(
ehAC
)TTo(hAQ
tChA
)t(
tChA
p
ChA
tChA
p
t
o
t
o
tChA
s
ps)t(
p
s
p
s
p
s
p
s
p
s
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−α−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−α−−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−∀ρα−−=
∀ρα−−=
∀ρ−
∀ρ−
θ∀ρ
−∀ρ
−
∀ρ−
∫∫
Cºmw20h;
CºkgJ400Cp;
mw10q;
mkg5800 23
4q3 ====ρ
El calor fluirá del cuerpo al ambiente:
Balance de Energía:
da
Qsale = Qconv =
=
Qentra + Qgenerada = Qsale + Qalmacena
Qgenerada = 664.1254.0x)1.0(x10q 24q =π=∀ W
)TTt(hAs α−
tT98.29153
tT
CºKgJ400*Kg884.72
Kg884.72m;tTmCpQ
)º25T(W2832.6
C)ºCº25T)()1.0(24.0x)1.0(2(xCºm
Wm20
almacenado
)t(
)t(2
2
2
∂∂
=∂∂
=
=∀ρ=∂∂
=
−=
−π+π
Qgenerada = Qsale + Qalmacenada
pReem lazando:
125.664 = 6.2832 (T(t)-25)+29153.98 tT
∂∂
20 = (T(t)-25)+4639.9892 tT
∂∂
79
si llama K1 =20 y K2 =4639.9892
K1 = (T(t)-25)+K2 tT
∂∂
Haciendo 1K25)t(T)t( −−=θ
dtdK
dtdTK)t(
dtdT
dtd
22θ
−=−=θ⇒=θ
∫ ∫θ
θ
=θ−θ−⇒=θ
θ−
o
t
o2o
2K/t)LnLn(
Kdt
)t(d
3552025400;LnKtLn oo2
=−−=θθ+−=θ
)355LnKt()355Ln
Kt(
Ln 22 eee+−+−
θ =θ⇒=
Reemplazando el tiempo en segundos t = 3600 seg.
Cº41.208)hora1(T
2045409.1632025)t()t(T
409.163e 463=θ)355Ln
989.9(
=
++=++θ=⇒
=+−
Para resolver la ecuación diferencial se puede hacer por un método alterno aplicando cond.
3600
I.
2Kt
2
112
CeKtLnCLn
LnCCconCKtLn
−=θ⇒−=−θ
=+−=θ
Para t = 0 ⇒⇒ Ce =− Co C = To –25 – 20
C = 400 – 25 – 20
C = 355
Ejemplo: Un elemento cilíndrico de 0.2m de diámetro y 0.4m de largo se somete a un
era calor a una rata uniforme por unidad de volumen y
⇒ T (t) = 208.4 ºC.
proceso en el cual mientras él gen
80
estando a una temperatura inicial de 10ºC, se pone primero en un ambiente de aire, el cual
este ambiente una temperatura de equilibrio
de 45ºC. Luego se pone (partiendo de la misma temperatura inicial) dentro de un gran
e agua a 20ºC, alcanzando en este caso una Tº de equilibrio de 24ºC.
Determinar el tiempo requerido en cada caso, para que el elemento alcance la Tº del
ambiente que la rodea.
Asumir que el coeficiente de transferencia de calor por convección en la segunda prueba es
de hW = 100w/m2 ºC;
5800 kg/m3; Cp = 400 Joul/Kg ºC
Solución: Asumimos conductividad alta:
se encuentra a una Tº de 25ºC, alcanzando en
volumen d
=δelemen
φ = 0.2 m
= 0.4 m
T = 25 ºC
Teq1 = 45 ºC
En el equilibrio con el primer ambiente Qa =
⊥
To = 10 ºC
α 1
φ
)1()T45(AL*A*Q
h)ThAq 11α =⇒45(AL**
)TT(AhQ
1s
Tqs1Tq
11eqs1q
α
α
−−=
−=
En el equilibrio con el segundo ambiente Qa = φ
81
)T24(AhL*A*q
)TT(AhQ
2s2Tq
22eqs2q
α
α
⇒−=
−=
)2(L*A
)T24(AhqT
2s2q
α−=
• As = 2 π rL + π r2 * 2 = 2 π (0.1)(0.4)+2 π (0.1)2 = 0.31416 m2
• h2 = 100 w/m2 ºC
• AT
• T = 10 ºC
Reemplazando en 2: Qq = 9998.727 w/m3
Reemplazando en 1: h1 = 20 w/m2 ºC
Haciendo un balance de energía sobre el elemento, y suponiendo K grande: Estado
transitorio:
Q = Qa + Qc
Q
= π r2 = π (0.1)2 = 0.3142 m2
α 2
• L = 0.4 m
q
)T)t(T(AhQ;tTCQ sCP`a α−=
∂∂
∀ρ=g = qq ∀ ;
Pa er caso: ra el prim
φ=⎥⎦
⎢⎣
−−∀ρ
−+∂ α
s11
P AhT)t(T
Ct⎤⎡∂
φ=∀ρ
−−∀ρ
−+∂∂
−−+
−+∂∂
∀
∀α
α∀
α
q1s
P
q1
P
1s
1s1q
1s1
qhAT
Cq
)T)t(T(C
hAtT
)T)t(T(AhqT
)T)t(T(AhtT
Para resolver esta ecuación tomamos o hacemos un cambio de variable:
∀ρ=∀ Pq Cq
∂∀ρ∀ρ∂ PP CCt
82
φ=θ∀ρ
+∂θ∂
∂∂
=∂θ∂
⇒−−=θ ∀α
P
1s
s1
q1
ChA
t
tT
tAhq
T)t(T
32 m0126.04.0*)2.0(: =π=∀θ Resolviendo esta ecuación en
1o
11o11 x/)(Lnx/)LnLn(1t θ
θ=θ−θ=⇒
En el tiempo
o queEcuaciónxtLnLn →=θ−θ
1t
x1
=θ∂θ
0t1
P
procesoelgobierna
t:X
t
J000215.0
Ct
0
∂θ
∂θ∂
−=∀ρ
−−∂θ∂
∫ ∫θ
t, la T(t) = 25ºC entonces Tº del ambiente
1s1s WhAhA1
PX
C=⇒θ
∀ρ=
Integrandoθ=
11
p
2s2
1220
22
1
10
11
0
s1
q11
s1
q
s1
q11 α⎢
⎣
s001075.0x5C
hAx
h5hx/)(Lnt:casosegundoelPara
horas722.0seg801.2597t
000215.0/)572.0(Lnx/)(Lnt
Cº0509.35;Cº0509.20
AhT)(T
Cº0509.20Ah
qAh
qT)t(T
−
α
−==∀ρ
−=
=θθ=
≈=
−=θθ=⇒
−=θ−=θ
⎥⎦
⎤⎢⎣
∀−−φ=θ
=∀
⎥⎦
⎤∀−−=θ
⎡
q⎡
En el tiempo t la T(t) = 20ºC, Tº del ambiente ⇒
83
2863.00109.40109.42020
Cº01019.4Ah
q;Cº10T;Cº20T
O
22
S2
qO2
=θθ
−=−−=θ
=∀
==α
horas323.0seg55.1163t
001075.0/)2863.0(Lnt
0109.140109.42010O −=−−=θ
2
2
≈=
−−=⇒
Ejemplo: Un esfera de aluminio cuyo peso es m = 7kg y cuya temperatura inicial es de
260ºC se sumerge súbitamente en un fluido cuya temperatura es de 10ºC. Suponiendo que h
= 50w/m2 ºC, determine el tiempo que se requiere para enfriar el aluminio a 90ºC.
To = 260ºC
T1 = 90ºC
Te = 10ºC
h = 50w/m2 ºC
t = ? To T1
Datos aluminio supuestos ctes:
K = 204 w/m2 ºK, P = 2707 Kg/m3 ; Cp = 900 J/Kg ºK
→
3oo 43 π3
33
m0852.03rr4
m002586.0Kg2707mKg7mm
=∀
=⇒π=∀
==ρ
=∀⇒∀
=ρ
84
Para el cálculo de Bi se necesita la longitud característica
1.00069.0w204Cºm*
3m0852.0*
Cºmw50
KhBi
A/L3/r
2c
erficiesupsólidococ
<==⊥
=
∀==⊥
Se trata como un problema de capacidad calórica concentrado o (Resistencia Interna
Despreciable)
horas437.0seg941.1573t
m09122.0)0852.0(4r4A
C*hA
TLnT)TT(Lnt ps
01 ∀ρ−
−−−= αα
tC
hATTTTLnLn
TTTTLn
222o
p
s
0
1e
0
1 pCAsh
≈=⇒
=π=π=
∀ρ−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⇒=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
α
α
α
α∀ρ
−
que un sis
transcurre un tiempo igual o 4 constantes de tiempo: donde la constante de
= Ash /
O ⇒−= α
us l cálculo de Bi:
Esfera de radio ro ro / 3
Cubo de lado a a / 6
Ejemplo: Determinar el tiempo requerido para que un elemento cilíndrico de 0.1m de
NB: [Kar/ckar: para fines prácticos se dice tema alcanza un estado estacionario
después que
∀ρ PC tiempo 1/b
TT( −⇒ α ioEstacionarEstado)TT(018.0)
Lo que se a en e
Pared plana espesor 2L ⇒ L
Cilindro largo de radio ro ⇒ ro / 2
⇒
⇒
φ y L
= 0.2m = 4500 kg/cm3 ; Cp = 400 Joul / kg ºC y K >>>>>>. Alcance la Tº ambiente , ρ
85
que lo rodea, si se sabe que genera calor a una rata qq w/m3 y la Tº de equilibrio condicho
ambiente es de 120ºC, la Tº del ambiente es 80ºC, h = 50 w/m2ºC.
Análisis
t
T
Los más altos cambios de Tº
80ºC
20ºC
La ecuación diferencial del comportamiento transitorio de este cuerpo es: Qentra + Qgenerada =
Qalmacenada.
p
s
o )(
po t
CLnLn θθ =⇒
∀ρ−=θ−θ
o
CA
/Lns
t
op
s
s
q
s
p
s
ee
tC
ttT
hAq
)t(TT:defineSe
tT
hAC
−
α
∂θ
∂θ∂
−=∂∂
⇒∀
+−=θθ
∂∂∀ρ
rio se supone que el tiempo es grande el término
q
pq2
hAq
)t(TT
tTCq))t(TT(hA
α
α
=∀
+−
∂∂
∀ρ=∀+−
s thAθ
∀ρ∂p hAC θ
−=θ∂
⇒θ∂∀ρ
−=θ ∫ ∫h
hA ∀ρ
En el equilib ⇒
Cº120T0e eqo
==θ⇒φ→ xt θ−
86
35q
2
2
q
Sq
S
q
S
q
hAq
)t(TT∀
+−α=θφ=θ
m/w10q
50*50*40Lr
)rL2r2(*50*40q
hA)80120(qhAq
=
=π
π+π=
∀−
=⇒∀
+
para cuando T(t) = 80ºC
12080 −=θ
⇒
a001388.0C
hAS ==∀ρ
m2.0*)05.0(*Joul400*kg4500Cºkgmm)2.0)05.0(2)05.0(2(*
Cºmw50
ChA
hAq
2080hAq
8080
p
22
332
2p
S
S
qo
S
q
π
π+π=
∀ρ
∀+−=θ⇒
∀+−=θ
horas18.0seg152.660t
001388.0100Ln401Ln
aLnLnte
Cº0051.40m07854.0w50
Cºmm001571.0*mw10
hAq
oat
o
2
23
35
S
q
≈=
−−
=−
θ−θ=→=
θθ
⇒
=−
=∀
−
2. BIOT Grande Bi > 100
“sólido semi-infinito”.
Para este caso en que la resistencia convectiva en la frontera es muy pequeña, comparada
p
superficie cambia casi inmediatamente a T
con la resistencia interna, debida a la conducción. Se asume que la tem eratura dela
α , al entrar en contacto con un ambiente a dicha
temperatura (T ), es decir, la frontera se independiza del tiempo “el calor se concentra
en la superficie y NO penetra”. Es así como el elemento fuera infinitamente grueso. En el
interior se presentan grandes caídas de temperatura, y en el exterior pequeñas.
α →
87
2L
Ts
To
Ts
T T
“Todo el cuerpo se encuentra a la temperatura To y en el tiempo t = 0, la temperatura de la
cara en x = 0 se eleva instantáneamente a la temperatura Ts”.
balance de Energía: tT1
XT2
2
∂∂
α=
∂
∂
definimos la temperatura adimensional si
t1
xTsTTs)t,x(T
TTT)t,x(T
2
2
OO ∂θ∂
α=
∂
θ∂⇒
−−
=α−
α−=θ
Lo anterior es una ecuación parcial de 2 variables, y para solucionarla la metodología se
reduce a buscar una variable función de x1t; que haga que se pueda expresar como η )tx( 1θ
⇒α
=ηt2
x)tx( 1 la ecuación diferencial una función de una sola variable, dicha variable
se transforma en:
θ=η∂
η+η∂
22
de la siguiente manera (demostración):
θ∂θ∂2
88
∴θ=η∂θ∂
η+η∂
θ∂⇒θ=
η∂θ∂
α+
η∂
θ∂
αη∂θ∂
=α
−=αη∂
θ∂
αη∂θ∂η∂θ∂θ∂ x
−=∂η∂
=
α=
η∂
θ∂=
ααη∂
θ∂=
θ
∂η∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛αη∂
θ∂η∂∂
=η∂η∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛αη∂
θ∂∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂θ∂
∂∂
=∂
θ∂
αη∂θ∂
=∂η∂
η∂θ∂
=∂θ∂
α=
∂η∂
⇒α
=η∂θ∂
α=
∂
θ∂
2t
x
x11.
ldiferenciaecuaciónlan
tt4.
tt
t41
t21.
t21.
x
xt21.
t21.
xxxx
t21.
xx
t21
xt2x
t1
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∂
∂
∂
eemplazandoRe
tt4t4
si introducimos la variable p = η∂θ∂ para poder integrar:
∫ ∫
∫η
η∂η−=∂
⇒θ=η+∂
⇒ 2PP2P
θη
θ
ηη−η−
η−η−
η−=θ∂−⇒=η∂θ∂
=⇒=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
η∂
o O
Ln
O
dCeCe
CePeCPe
P
22
22
Las condiciones de frontera iniciales eran:
anterioriablevarlaaVolviendo
89
α=α
α=αη
α=αφ
=η
φ=α
φ=η
=α−α−
=αθ⇒=α
=α−α−
=θ⇒=
φ=α−α−α
=θα≈=
t2)t,(
2x)o,x(
t2)t,o(
1TToTTo)t,(To)t,(T
1TToTTo)o,x(To)o,x(T
TToTT)t,o(TTs)t,o(T
Al hacer la integración tenemos:
para hallare la constante C, se reemplaza alguna condición frontera, ejemplo la 2ª
∫η
η− φ=θ=θθ+η=θηo
oo º)t,o(deC2
∫ ∫α α
η−η− π=η=θ=η=θα
o o 2de;1)o,x(deC
22
π⇒
π=
2C2
C1
)(erfde2)t,x(o
2η=η
π=θη=θ ∫
ηη− Temperatura Función de x y t
erf ( ) Función error de
La integral de la ecuación anterior se puede hacer pero ese trabajo ya esta hecho y se puede
encontrar los valores de la función error de
η η
η en tablas o en gráficas.
Como es función de x y de t, entonces pueden existir diferentes combinaciones de x y t
ismo . Lo que quiere decir que podemos tener dos posiciones del cuerpo que
tengan la misma temperatura, pero en tiempos diferentes.
η
que den el m η
90
1
e 2-
Tabla de la función error de η
“Se considera que fer ( η) es casi ⊥ cuando η esté entre 2.5 y 3.6”.
91
Gráfica de la función error de η
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛α
=−−
t4xfer
TTTT
11
1
ZONA DE CAMBIO: La zona límite hasta donde To empieza a cambiar, la determina la X
crítica. Antes de la zona de cambio 1)()t,x( <ηθ=θ después siempre es . La zona de
cambio se establece cuando
⊥
.1)(5.2 =ηθ⇒=η Esta zona de cambio también funciona
con paredes delgadas.
t.2x5.2Xcritico α=
Cálculo del calor suministrado a la pared.
Flujo instantáneo:
t)ToT(KA
t)TTo(KA)t(Q
t2/x
de2)(**t2
1e2x
.x
A)TTo(x
KAxTK)t(Q
22
ox
πα−α
=πα
α−−=⇒
α=η
ηπ
=ηθ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛απ
=∂η∂
η∂ϑ∂
=∂ϑ∂
α−∂ϑ∂
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−=
η−η−
=
∫
El calor total suministra o a un tiempo t: d
X/ t4α
92
∫∫ −t
2/1)Toπα
−α==
o
t
o
dttT(KAdt)t(Q)t(Q
t.)ToT(KA2)t(Q
2/1t.)ToT(KA)t(Q
2/1
πα−α
=
πα−α
=
t.)ToT(KA2)t(Qπα
−α= Calor total suministrado
HISTORIA DE LA TEMPERATURA EN UN SÓLIDO
SEMI – INFINITO CON CONVECCIÓN EN LA SUPERFICIE
1.0
0.5
0.1
0.01
0.0 0.5 1.0 1.5
0.05
0.40.5
123
0.050.1
4
0.30.2
La gráfica anterior se utiliza como solución, cuando se tiene en cuenta la convección en la
frontera, es decir, T se considera un poco diferente de Ts para determinar .
Si el coeficiente convectivo de transferencia de calor tiende a infinito, entonces la
stantáneamente a una nueva temperatura T
α )t,x(θ
temperatura de la superficie se eleva in α ,
entonces la solución de la gráfica anterior con α=αtk/h es igual a la del uso de la
gráfica de función error.
Fo21
r2x
=α
ToTTo)t,x(T
−−
93
. BIOT Mediano 0.1<Bi<100
“Sólido infinito”
para este caso la resistencia con ctiva en la frontera y la resistencia interna debida a la
conducción son ambas considerables. El cuerpo, estando inicialmente a una temperatura se
expone bruscamente a la transferencia de calor por convección con un ambiente a
temp y se asume que todos los puntos del cuerpo alcanzan a cambiar su
temperatura con el espacio y el tiempo.
3
e
αeratura T
“Se estudia analíticamente un caso particular , el cual pu
atemático debido a las condiciones de frontera
de frontera y la distribución de temperatura SIMÉTRICAS”
Balance de energía:
ede someterse a tratamiento
m escogidas”: “la geometría, las condiciones
tT1
xT2
2
∂∂
α=
∂
∂
Condiciones de frontera:
ToT.3
Lxen)TT(hx
K.2
)o,x(
)t,L(
=
=α−=∂
−
si introducimos la variable
T
xenxT.1
∂
φ=φ=∂∂
adimensional :)t,x(θ
94
α− TToα−
=T)t,x(T)t,x(
ecuación diferencial se convierte en:
θ
la
tx2 ∂α∂
la ecuación diferencial parcial de 2 variables, se resuelve por el método de separación de
variables y las condiciones de frontera cambian a:
12 θ∂=
θ∂
[ ]xcosNx
1)o,x(.3hx
K.2x
.10x0x
=θθ=⎟⎠⎞
∂θ∂
−φ=⎟⎠⎞
∂θ∂
==
Me)t,x( t=θ⇒ sen
xcosBxAsen)x(F:SoluciónFF.1
tG
G11
xF
F1
tGF1
xFG
t))x(F.)t(G(1
x))x(F.)t(G(
:ldiferenciaecuaciónlaenreemplazasesoluciónestasi)t(G).x(F)t,x(
22
22
2
2
2
2
2
2λ+λ
λ+λ=φ=λ+=∂
λ−=∂∂
α=
∂
∂⇒
∂∂
α=
∂
∂⇒
∂∂
α=
∂
∂
=θ
αλ−
ición de frontera
Ce)t(G:SolucióntGG.2
x
t2
2
2=φ=∂λα−
∂
∂
αλ−
) φ=∂θ∂ =0xx/ Aplicando la primera cond
[ ]
xcosNe)t,x(enemplazandoRe
MxNsenxcosMex
2
2
t
0xt
0x
λ=θ
φ=⇒λλ−λλ=⎟⎠⎞
∂θ∂
⇒
λα−
=αλ−
=
Aplicando la segunda condición de frontera:
95
)
LBiL.hLTag ==λ⇒
LK
xcoshNexsenNeK Lxt
Lxt 22
λλ
λ=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ λ−− =
αλ−=
αλ−
Esta ecuación tiene un número infinito de raíces positivas... gráfica.
λ
∑ ∑ ⎟⎞
⎜⎛λ=λ=θ
λ−αλ−
n
LL
t xnLcosNenXcosNe)t,x( 22n2
n ⎠⎝
αt
L
se concluye que ),Fo,Bi(f)t,x( Χ=θ
consiste en trazar un gráfico exacto de este tipo: uno de los métodos para determinar nλ
2. Solución Gráfica:
La solución analítica puede ser expresada (tabulada y graficada)en términos de parámetros
adimensionales tales como Bi, Fo, y Χ ; esta solución se encuentra plasmada en las
gráficas de Heisler, las cuales se presentan para 3 casos particulares:
Placa infinito de espesor 2L
- Cilindro largo de radio r .
o
Condiciones en la frontera convectiva
1ª carta:
-
o
- Esfera de radio r .
amtxBi1
Ck
LcFoFovs
TTo 2=⎥⎦⎢⎣ α−tT)t,o(T
Pρ=α
α⎤⎡ α−
T(o,t): Temperatura en la línea central en el tiempo t.
96
T : Temperatura del fluido de los alrededores (cte).
To: Temperatura inicial en la pared (cte)
/: Razón de temperaturas sin dimensiones.
2ª carta:
α
Lc: ½ del espesor dela pared = L
ParámetroL/xBi1vs
T)t,o(T ⎥⎦
⎢⎣ α−
T)t,x(T ⎤⎡ α−
X/L: Posición adimensional.
Calor “potencial”: Uo
Bi : Parámetro
3ª carta:
T(x,t): Temperatura en x, en el tiempo t.
)TTo(CUo p α−∀ρ=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ α⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
2
2
kthvs
UoU
U: calor perdido o ganado durante el tiempo t. el método de los gráficos de Heisler sirve
a aislada en una cara: base : x = 0 dT/dx = φtambién para una plac .
E HEISLER “PLACA PLANA e=2L”
X = φ : en la superficie aislada.
X = L: en la superficie convectiva.
CARTAS D
97
Temperatura de Línea central de una placa cuyo espesor es 2L. kLhBi =
98
CARTAS DE HEISLER “CILINDRO LARGO r=ro”
99
CARTAS DE HEISLER “ESFERA ro”
100
k3rhBi o= Temperatura del Centro de una Esfera
101
CONDUCCIÓN TRANSITORIA, BI-TRIDIMENSIONAL SIN GENERACIÓN
Para este caso se tienen las siguientes restricciones:
1. Simetría: Los 2 ambientes deben ser iguales
2. El elemento que conduce calor, está a una T inicial uniforme To y repentinamente el
ambiente que lo rodea se cambia a Tα.
La solución analítica a estos casos se basa en que la ecuación diferencial que gobierna
estos procesos es:
)z,y,x(T tT1
yT
xT
2
2
2
2
∂∂
α=
∂
∂+
∂
∂
Si se introduce la variable θ(x,y,z) ⇒
α
α
α
α
−−
=−
−=θ
T)0,y,x(TT)t,y,x(T
TTT)t,y,x(T)t,y,x(
o
La ecuación diferencial de 2º orden en T se convierte en:
)z,y,x(t
1yx 2
2
2
2θ
∂θ∂
α=
∂
θ∂+
∂
θ∂
Utilizando el método de separación de variables:
Si se reemplaza la solución en la ecuación diferencial, entonces
)t,y(.)t,x()t,y,x( 21 θθ=θ
t).(1
y)t,y(.)t,x((a
x)t,y(.)t,x((a 21
221
2
221
2
∂θθ∂
α=
∂
θθ+
∂
θθ
102
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂θ
α−
∂
θθ
−=∂θ
θα−
∂
θ∂θ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂θ
θ+
∂θ
θα=
∂
θθ
+∂
θ∂θ
θθ÷⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂θ
θ+∂θ
θα
=∂
θθ+
∂
θ∂θ
ta1
ya1
ta11
x1
ta1
ta11
ya1
x1
ta
ta1
ya
x
222
2
2
1
121
2
1
1
1
2
222
2
221
2
1
211
22
122
2
121
22
No puede existir una “función” que sea función de x y t que sea igual a otra función de y y
t: tiene que ser igual a una constante ±λ y esa constante debe ser cero. Entonces tanto para
como para debe ser el mismo tipo de solución; entonces tendríamos 2 ecuaciones 1θ 2θ
independientes:
t
txtx 21
21 ∂α∂∂θα∂θ
a1a111 112
112 θ
=θ∂
⇒φ=θ
−θ∂
a1a11y
1 222
2
222
2
2
θ=
θ∂⇒φ=
θθα
−∂
θ∂θ yt 2 ∂α∂∂
Se concluye que la solución de es la solución de un proceso unidimensional al igual que
para .
ra se obtiene de
1θ
2θ
La solución gráfica, de la misma mane )t,y(.)t,x()t,y,x( 21 θθ=θ
Casos particulares:
1. Columna Y
2a
2b
X
Si quiero encontrar la Tº en un punto x,y ≠ centro:
103
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α−α−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
α−α−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α−α−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
α−α−
=α−
α−=θ
θ=θ
θ=θ
T)t,o,x(TT)t,y,x(T
TToT)t,o,x(T
T)t,y,o(TT)t,y,x(T
TToT)t,y,o(T
TToT)t,y,x(T)t,y,x(
F)t,c()t,y(F)t,c()t,x(
corrección22
corrección11
Para el punto central (o,o,t):
)y(a2PLACA)x(b2PLACATTo
T)t,o(TTTo
T)t,o(T*T)t,o(TT)t,o(T
TToT)t,o(T
TToT)t,o,o(T
)t,oy(.,o()t,o,o 21
α−
=θθ= )t(
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
α−α−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
α−α−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α−α−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
α−α−
=α−
θ
Para el punto (o,a,t):
)y(a2PLACA)x(b2PLACAT)t,o(TT)t,a(T
TToT)t,o(TTToTTo ⎝⎠⎝ α−⎠⎝ α−α−T)t,o(T*T)t,o(TT)t,o(TTt,
)t,ay(.)t,ox()t,a,o(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α−α−
⎟⎠⎞
⎜⎛
α−α−
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ α−
⎟⎞
⎜⎛ α−
=α
=θ=θ=θ
Para el punto (b,a,t):
)a,o(T
21
−
)y(a2PLACA)x(b2PLACAT)t,o(TT)t,a(T
TToT)t,o(T*
T)t,o(TT)t,b(T
TToT)t,o(T
TToT)t,a,b(T
)t,ay(.)t,bx()t,a,b( 21
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α−α−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
α−α−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α−α−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
α−α−
=α−
α−
=θ=θ=θ
2. Cilindro Corto
104
Y X Para encontrar la temperatura de un punto del centro: ≠
)r(CILINDRO)x(L2PLACAT)t,0(TT)t,r(T
TToT)t,o(T*
T)t,o(TT)t,x(T
TToT)t,o(T)t,r,x(
cilindropared)t,r().t,x()t,r,x(
21
21
λ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α−α−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
α−α−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α−α−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
α−α−
=θ
∞θ∞θ
θθ=θ
3. Extremo de una Barra
2b
2aZ
X
Y
)(erfinitoinfsemiSólidoParedPared1 αθ
)t,x(.)t,z(.)t,y()t,z,y,x(
32
321
η−θαθ
θθ=
θθ
105
La conducción transitoria sirve para estimar propiedades térmicas de un elemento tales
como la conductividad térmica K y el calor específico Cp. Un problema típico es: Dado un
(x,t) dimensiones físicas L, coeficiente convectivo h, encontrar Cp. si no conocemos K
prueba y error asumo K y despejo K Kasum = Khallado
CONDUCCIÓN TRANSITORIA UNIDIMENSIONAL
SIN GENERACIÓN
3. SOLUCIÓN NUMÉRICA
Existen 2 alternativas para obtener la ecuación algebraica. Una a partir de un Balance de
Energía sobre un elemento diferencial y otra sobre un elemento finito. Cuando se toma un
elemento diferencial se aplica la serie de aproximación de Taylor para obtener la ecuación
algebraica.
Elemento Diferencial: Procedimiento Analítico:
θ ⇒
FoBi →→ →
T
X
T n+1
T nT n-1
n-1 n n+1
xxT
2x
xT 2
2
2∆
∂∂
=∆
∂
∂
Balance de Energía:
tT1
xT2
2
∂∂
α=
∂
∂
106
la aproximación de Taylor nos da el valor de las funciones antes y después de un nodo y
nos permite aproximar una segunda derivada a valores específicos de la temperatura.
2
n1n1n
n2
2
2
T2TT
x
T
x
−+=
⎟⎟
⎠
⎞
∂
∂⇒
∂
−+
22
1n1n
2
2
2
n1n
2
2
2
n1n
x
xT
T2T
)2x
x
Tx
xT
TT
)lesDespreciab(.......2x
x
Tx
xTT
∆
∆∂
+=+
∆
∂
∂+∆
∂
∂−=
+∆
∂
∂+∆
∂+=
−+
−
+
T∂
lesDespreciab(.......+
T
tTT
tT i
n1i
n∆
−=
∂∂
⇒+
Reemplazando en la ecuación diferencial:
tTT1
xT2TT i
n1i
n2
in
i1n
i1n
∆−
α=
∆
−+ +−+
En el método explícito aparecen dos discretizaciones, en el tiempo y en el espacio; la
temperatura en un tiempo cualquiera depende del tiempo y el espac o anterior:
i
( )
( )
( ) ( ) InternosNodosEcuaciónr21TTTrT
T2TTrT
xtrTTT2TT
xt
in
i1n
i1n
1in
in
i1n
i1n
1in
2in
1in
in
i1n
i1n2
−+=
−+=
∆
∆α=−=−+
∆
∆α
−++
−++
+−+
107
Por este método no se pueden tratar nodos convectivos.
PROCEDIMIENTO POR ELEMENTOS FINITOS
1. Discretizamos el espacio de tal forma que las distancias sean las mismas.
2. Definimos el elemento finito de control
3. Identificamos los flujos de calor sobre el elemento: conducido, almacenado, generado,
convectivo.
4. Hacer el Balance de Energía
Elemento Finito: Método Universal
NODOS INTERNOS:
Q
Q
Q
Q
q
q
K1 K2
n-1
0 1 2 3 4
n n+1
e
alance de Energía: B
QK1 + Qg = QK2 + Qa
QK1 = KA ⎟⎞
⎜⎛
∆−−XTn1Tn
⎠⎝
QK2 = KA ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∆
+−X
1TnTn
Qa = XACp∆ρ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆
−+
tTnTn 11T
Qg = q XA
Reemplazando los colores en la fórmula de Balance de Energía: q ∆
108
xTn1Tn ii −−
K∆
+ qq X = ∆ tTnT1TnTn ii nXCp
xK
i1i
∆−
∆ρ+∆
+ : +− XCp ρ ∆
( ) ( )Cp
1TnTnXCp
Tn1TnXCptK
2i
2 ρ
tqtK qiii ∆++−
∆− i+1 i
CpK
ρ=α
∆ρ−−
∆
∆ = Tn - Tn ; ρ
iq
Cptq
+ρ
∆Tni+1 = r(Tni-1 - Tni - Tni + Tn+1) + Tn
Tni n+1i) – 2 Tnir + Tni + Cp
tqq
ρ
∆+1 = r(Tni-1+T
Cp
tqq
ρ
∆ Tni+1 = (1-2r)Tni + r(Tni-1 + Tn+1i) +
Tni+1 = (1-2r) Tni + r (Tni-1 + Tni + 1) NODOS INTERNOS SIN
GENERACIÓN
NODOS FRONTERA:
Q
Q
Q
Q
g
a
K1 C
n-1
0 1 2 3 4
n
e X X
2
Balance de Energía:
QC + Qa
QK1 = KA
QK1 + Qg =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆
−−XTn1Tn ii
Qa = ρ2X∆ ACp ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆
−+
tTnTn i1i
QC = hA )TTn( i α−
109
Qg = qq2X∆ A
Reemplazando los valores de los calores en la formula de Balance de energía tenemos:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆−− XTn1Tn ii
∆−∆
ρ+α−=+∆
+
tTnTn
2XCpTTnh
2q
XK
i1ii
q
XCp y * 2∆ρ ∆ t Cp/K ρ=α r= 2x/x ∆∆α
( ) ( ) i1iqi2 TnTn
Cptq
nxxKCpXCp
+=ρ
ii TTt2hTn1Tntk2 ∆+−α
∆∆ρ∆ρ+ ∆
+−−∆
2rTn-i1-2rTni + 2r 1iiq TnTnCp
tTn
KXhr2
KXTh +=+
qρ
∆+i∆
−α∆
Cptq
TK
Xh1Tnr2k
xh1r21⎢⎡
⎢⎣⎡ +−Tni+1 = Tni q
ρ
∆+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ α
∆+−+⎥
⎦
⎤
⎣⎥⎦⎤∆
Tni+1 = Tni⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ α∆
+−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ∆+− T
KXh
1Tnr2kXh
1r21 i
NODO FRONTERA CONVECTIVO, SIN GENERACIÓN
NODO INTERFASE: 2 Materiales
110
Q
Q
A B
Q
a1
q1 2q
K1 K2
n-1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
n n+1
Q a2
Q
Balance de Energía:
k2 + Qa1 + Qa2
Qk1 = K1A
Qk1 + Qq1 + Qq2 = Q
⎟⎟⎠⎝
⎞⎜⎜ ∆
−−XTn1Tn ii
Qk2 = K2A
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆
+−X
1nTTn ii
Qa1 = ρ 1Cp1 ⎟⎟⎞
⎜⎛ −∆ + TnTnA
X i1i
Q⎠
⎜⎝ ∆t2
a2= ρ 2Cp2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎛∆ TnA
X i
⎝ ∆−+
tTn
2
i1
q1 = qq1 A2x∆ Qq2 = qq 2 A
2x∆Q
lance de Energía:
K1
Reemplazando en la ecuación de Ba
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆−∆
ρ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆−∆ ++
tTnTn
2X2Cp
tTnTn
2X i1i
1
i1i
11
ii2q1q
iiCp
X1TnTn2K
2Xq
2Xq
xTn1Tn
ρ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆+−
=∆
+∆
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆−−
2CpCp(X
1TnTn2Kqq2X
xTn1Tn
211
ii
q1q
ii2 ρ+ρ=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆+−
−++∆
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆−− K1
111
(*) 2 t y ( 1Cp2 + 2Cp2)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆
−∆ +
tTnTn
2X i1i
∆ ρ ρ ∆ X
1ii2
iiqq
221
iiTnTn
X)2Cp21Cp1(1TnTn(2tK2
2Cp21Cp1(t)2q1q(
X)2Cp1Cp()Tn1Tn(1tK2 +=+
∆ρ+ρ
+−∆−
ρ+ρ
∆++
∆ρ+ρ
−−∆
Si definimos m = 1Cp1 / 2Cp2: ρ ρ
( ) ( )1ii
2
i
qq2
1Cp1ii
TnTnX)1m(
1TnTn2Cp2t2k2
)2Cp2Cpt2q1q
x/
Tn1Tn(t1K2+=+
∆+
+−ρ
11()m11(
∆
−ρ+ρ
∆++
−−∆
ρ∆+
1iiii
qqii
TnTn)1m(
Tn1Tn(2r2)2Cp21Cp1(
t2q1q()m/11( ρ+Tn1Tn(1r2 +=+
+−−
−+ρ
∆++
−−
Tn = )2Cp21Cp1(
t)2q1q(Tn
)1m(Tnr2
)1m(mTnr2
)1m(1mTn qqi
i2i1
i
ρ+ρ
∆+++
+−
+−
+− 1r2i+1
)2Cp21Cp1(1m()1m()1m()1mTn
ρ+ρ++
++⎥
⎦+−
+=
t)2q1q()1Tnr21mTn1r2r2
(mr21Tn qq2
i21i1i ∆+
++−⎤
⎢⎣
⎡−+
)2Cp2Cp1(t)qq(
1tn)1m(
r2)1m()1m( +⎦⎣ +
1mTn1r2)2r1mr(21TnTn1
2q1q2i1iρ+ρ
∆+++
++
−+⎥
⎤⎢⎡
+−=+
1Tn)1m(
2r21Tn
)1m(m1r2
)2r1mr()1m(
21TnTn i1i +
++−
++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+−=+
o interfase sin generación
CRITERIO DE CONVERGENCIA: Se debe tener especial cuidado con la medida de los
y t debido a que si estos son muy grandes se pueden obtener resultados no muy
confiables
nod
∆ X ∆
112
a placa cuyo espesor de 40 cm es muy pequeño en comparación de
nsiones y repentinamente una de sus caras (solo una) sufre un cambio brusco
n su temperatura desde 28º C hasta 300º c; calcular analíticamente el tiempo máximo que
anscurre antes de que en la cara opuesta se sienta dicho cambio.
– i – infinito”
Ejemplo: si se tienen un
las otras dime
e
tr
SOLUCIÓN: Se analiza por “sólido sem
DATOS: = 1.2 X 10-6 m2/seg
K = 80 W/ mº C
= 0.4 m
t = ? (X = 0.4)
α
e
TsToTs)t,x(T
TToT)t,x(T
)n()t,x(−
−=
α−α−
=θ=θ
El valor de n que hace que esa relación sea ⊥ es:
t4x)(11
30028300)t,4.0(T25
α=η→ηθ===
−−
⇒=η
t2
4.0
α 2.5 = Despejando el tiempo t:
t = min888.88m)10x2.1(25x)2x5.2( 2 =
αsegm4.04.0
26
222
=−
113
Ejemplo: Determinar la capacidad calórica y la conductividad de un elemento cilíndrico de
2 m φ y 0.4m de longitud cuya Densidad es 5800 Kg / m0.
n 2 pruebas diferentes.
ina una resistencia a la
ción.
2ª PRUEBA: El elemento se deja enfriar sin generar calor estando inicialmente a 400º C en
un ambiente de 25º C y alcanza una temperatura de 51.25º C al cabo de 400 seg. Durante
esta 2ª prueba el coeficiente de Transferencia de calor por convección es de 800 W/ m2 oC
la cual determina una resistencia a la convección similar (no igual) a la resistencia a la
conducción.
SOLUCIÓN:
3 mediante los resultados
obtenidos e
1ª PRUEBA: El elemento genera calor a una rata de qq = 104 W/m3 y alcanza una
temperatura de 271.3º C después de dejarlo una hora en un ambiente de 25º C estando él a
una temperatura inicial de 400º C. Durante esta prueba el coeficiente de transferencia de
calor por convección es de sólo 20 W/m2 oC la cual determ
convección muy alta frente a la resistencia de la conduc
q q 0.4
0.2
=20 W/m2oC = 5800 Kg/m3
4 3 2
(3600) = 271.3º C
h δ
qq = 10 w/m As = 0.3142 m
T ∀ = 1.25664
To = 400º C
T =25º C
Asumiendo Bi < 0.1 C es el elemento
α
∀
114
Balance de energía: Qq = Qa + Qc
qq = mC ∀ p ( )α−=+∂∂
T)t(ThAtT
tT
)T)t(T(mCphAs
mCp
qq∂∂
=α−−∀
θ=∀
−α−+∂∂ )
hAsq
T)t(T(mCphAs
tT q
Define: ¬(t) = T(t) - T]-tthAsTqq
∂∂
=∂θ∂
⇒∀
mCphAs
x;mCphAs
t)t(
McphAs
t−=θ−=
∂θ∂
⇒θ=θ+∂θ∂
x = ( ) Cp10x62069.8
xCp4.0x)1.0(x5800)4.0(x)1.0(2)1.0(2(x20 2
2
2 −−=
ππ+π−
∫ ∫θ
θ θ00
0
Ln(¬/¬
=θ−θ⇒=θ∂ t
xtLnLndtx
0) ¬= 3.22631416.0x2010x26.1*10
253.27124
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−
¬= 35531416.0x2010x26.1*10 24 ⎞⎛ −
25400 =⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
−−
0.45026 = + Cp
10x62069.8 2−Ln(0.6375) = + * 3600
Cp = 689.263 J/Kgo C
Para la 2ª prueba: como dice que la resistencia convectiva es similar (no igual a la
conductiva
esta cerca de 0.1 < Bi < 100 se soluciona por cartas de Heisler: se supone cilindro ⊥
α
115
X = 51.25
T(0.400) = 51.25ºC h = 800w/m2o C
07.0254002525.51
TToT)t,0(T
=−−
=α−
α−
k2hro K =
Bi2hro Asumo un K: Bi = 2 Bi =
Ka= 202x21.0x800
= De las tablas con ½ Bi como parámetro: Fo = 0.08
Fo = t
xCpxrFaxKPCpr
ktr
t 2o
2o
2o
δ=⇒=
α
Kh = 7.9955
Ejemplo: Para determinar el calor específico de un material se hizo una prueba sobre una
struida de dicho material, que consistió en someterla a un cambio brusco de la
temperatura de los ambientes que rodean la placa elevándolos igualmente a 240ºC. La
na temperatura inicial de 20ºC y tiene una conductividad térmica K = 26
W/moC. El coeficiente de transferencia de calor de la placa a los ambientes es de
100W/
Durante la prueba se encontró que las temperaturas en puntos situados sobre la superficie
la superficie al cabo de 2.11 horas fue
de 209º C y 199.5º C respectivamente.
placa = 7850 Kg/m3. EXPLICAR DETALLADAMENTE el proceso de solución.
placa con
placa está a u
m2oC.
exterior y en el punto medio entre el eje de la placa y
δ
DATOS:
116
To = 20º C
h = 100 w/m2º C
850 kg / m3
Posición Relativa de P con respecto al centro:
X/L =
K = 26 w/mº C
δ = 7
L2/L = 0.5
Pared plana – solución por cartas:
X/L = 0.5 k = 26 846.3khL
Bi == Lc
Para Bi = 1.0 asumimos Lc = 0.2600
En la tabla 2 : 1/Bi = 1.0 92.0αT)t,α(TαT)t,x(T
=−−
T(x,t) = 199.5º C 24092.0
)t,0(T +=
Tα = 240ºC T(0,t) = 195.978 ºC
Posición relativa de S con respecto al ce
2405.199 −
ntro:
/L = 1 k = 26 Bi = 3.846 Lc Lc = 0.2600
n la tabla 2: 1/Bc = 1.0
X
E 64.0αT)t,0(TαT)t,x(T −
=−
T(x,t) = 209º C 24064.0240209
)t,0(T +−
=
117
Tα = 240º C
T(0,t) = 191.563 º C
Iterando con Bi para 1/Bi = 2.0: x/L = 0.5 0.95
X/L = 1 0.795
L = 0.52
T(0,t) = 197.368
T(0,t) = 201.006
1/Bi = 2.5, 2.1, 1.5, 1.2, 1.3, SI
para i/Bi = 1.3 x/L = 0.5 0.915 Lc = 0.34
x/L = 1 0.70
Cº74.195240915.0
αT=+
− T(x,t) = 199.5 ºC )t,x(TT(0,t) =
T(0,t) = Cº714.1952407.0 0
αT)t,x(T=+
− T(x,t) = 209 ºC
Vamos a la tabla 1 con T(0,t) y Bi
2012.024020
24074.195)t,0(T=
TToT
=−
−α−
α−
hallamos Fo: Fo = 2.2 = kttα22 PCpLL
=
m338.0k
Bi →⊥== hL
22 )338.0(*7850*2.23600*11.2*26kt
Cp ==PL2.2
Cp = 100.0996 CºKg
Jo ul
118
Una barra cilíndrica (aislada por un extremo) de 4 cm. de diámetro y 30 cm. de largo, que de 6.75x105 W/m3, se sumerge verticalmente en un baño de aceite a a alcanzado su equilibrio térmico en el aire a 20°C. Determinar la
l aceite a partir del momento que
lo siguiente: • Densidad de la barra = 2500kg/ m3 • Calor especifico = 400J/Kg °C • Kbarra = 30 W/m °C
la barra con el aire = 67.5 W/m2 °C /m2 °C
en el baño es muy grande. adial de la temperatura en la barra es
despreciable.
1° Parte : La barra alcanza el equilibrio con el aire (estado estable) L = 0.3 m ; D = 0.04m ; r = 0.02m
Balance de energía:
genera calor a una rata25°C después de que hhistoria de la temperatura de la barra que esta dentro deempieza a sumergirse en el baño. Considere
• h de • h de la barra con el aceite = 120 W• La cantidad de aceite• La variación r
))((
))(()
2
2
(
))((
∞
∞
∞∆+
−=
−=
−+=∆+
TTDhAqdy
TdKA
TTDhAqqAdyd
TTDhqAyqA
CgC
CgC
yyCCyC
π
π
π
+
+
Aqg
{
yCysenhCydy
Td
DhAq
TTKA
Dhdy
Tdkq
TTKdy A
DhTd Cg
C
g
C
ββθθβ
πππ
θβ
cosh)(0
00)(
212
2
2
2
2
2
2
2
+=⇒=−⇒
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−⇒=+−− ∞∞
44 344 21
1° C.F : 0)0()0(cosh000 1
0
2
1
10
=⇒+=⇒===
CsenhCCdydy
y4342143421
ββββθ
119
120)02.0(1075.620
)0(cosh0
25
01
1
200)(
−=−−=−−=⇒
=−−⇒==
∞
∞
TxTDhAq
TTC
CDhAq
TTTTy
Cg
Cgy
ππ
βπ 43421
TTy
Cg
Cgy
ππ
βπ 43421
2° C.F :
)02.0(25.67 00 ππ
)20()120()( 0 −=−−⇒−=−=dydKLy ∞ LL ThLsenhTkTTh ββθ 3° C.F : 3° C.F :
360203002 +−=⇒ TT0)120(300
)20(531502.03025.67
0 −=−−⇒
−⇒=⋅
⋅=
TT
T
L
Lβ
4° C.F :
.67)3.015()120(150 =⋅−⋅− senhT0
0L
)5.4cosh()120( 0 −=−−⇒ ∞ TDh
TTT CgL π
7.01
)( == =TLy LLy
5401.4510020
000
00
=⇒−=+−
Aq
71.1197.528101.45360203007.528101.45
⇒−=⇒ T−=−−
TTTTT LL
Remplazando: T = (119.71-120)cosh(15y)+120=-0.29cosh(15y)+120 2
2° Parte : El cilindro se introduce gradualmente al aceite (estado transitorio) “ojo” nuevo origen de y abajo
T
y
Ty = 0.55cosh(15y)+1 0 (con el origen de y arriba)
(∆y = 0.03m)
ara seguir el mvto de inmersión de, invertí la nomenclatura) (p
120
Análisis (1) : Qg + QK1 = Qa + QCr + QCa
tFotkyCy
rTT
Kyh
tTyC
kTT
Ky∆ 2
q
yr
TThtTyC
yTTKyq
ryrr
TThtTryC
yTTrK
Pa
i
aPg
aaPg
aaP
∆==
∆∆
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +∆−
∆+
∆∆
∆=−+
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +∆−+
∆∆
∆=∆−
+∆
⎤⎢⎣⎡ +∆−+
∆∆
∆=∆−
+
301;12)(
12)(
2)()()()
2
02
01
001
20
2012
ρρ
ρ
πππρπ
β321
ryqg ⎥⎦∆ ( 22π
{ [ ]aiii
aiii
giiT 21 =⇒ +
ai
iiii
g
TTTFoTyr
TTiTTKyqFoT
yr
TTiFo
TTTTKyq
48.048.125.012)(
12)(
010
4
012.0
01
25.20
2
00
00
10
01
2
−−++=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +∆−−−+
∆+
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +∆−+
−=−+
∆⇒
+
43421321β
β
nálisis (2) : Q + Q = Q + Q + QA g K2 a Cr K1
iia
ii TTrFo
Tq 111
1 )( −+=+ii
i yiTTy 12 2 ∆−∆ + βg
iia
iaPiig
ii
TTTK
TTTTrK
yhtT
KyCTT
Ky
TTr
012
011
2
12
2
012
)()(2
))((
−+−
−+−∆
+∆∆∆
=−+∆
−
ρ
πaia
Pg yTTyr
rtryC
yrKryq 1
221222 )(2)()()(∆
+−∆+∆
∆=∆
+∆ ππρππii KhTTT ∆−
q
[ ]aiiii
aiiii
gii TTTTFoTTT
ryiTTT
KyqFoTT 36.036.225.20)(22 01211
36.0
012
25.20
2
11
1 ++−++=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
∆−+−+
∆+=⇒ +
321321β
Análisis para (3): Qg = Qa + QCr + QKn-1
in
ina
iii
TTyiTTyq 11
12
)(2+
+−∆
+−
=∆
ng
in
ina
in
ag
TTrFoK
TTry
KTTyrrhryq
1
122 ))(()(2)(
−
−
−
−∆
+−∆+P tTryC 2 )(
∆∆
∆ πρ 2=∆ πππ
β
[ ]ai
ni
ni
nai
ni
ni
ngi
ni
n TTTFoTTTryiTT
KyqFoTT 36.036.125.20)(2 1
36.0
1
25.20
21 ++−+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
∆−+−
∆+=⇒ −−
+
321321β
121
Criterios de estabilidad (determinación de Fo y ∆t)
[ ][ ][ ]a
in
in
in
aiiii
aiii
TTFoFoTT
TTTFoFoTT
TTFoFoTT
36.025.20)36.11()3(
36.025.20)36.21()2(
48.025.20)48.11()1(
11
0211
1
101
0
+++−=
+−++−=
+++−=
−+
+
+
(1) Fo < 1/1.48 = 0.675 0.65 = ∆t/30 ∆t = 19.5 seg (2) Fo < 1/2.36 = 0.424 0.4 = ∆t/30 ∆t = 12 seg tomo este por (3) Fo < 1/1.36 = 0.735 0.7 = ∆t/30 ∆t = 21 seg ser el menor Remplazando encontramos la ecuación para cada nodo inmerso
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )iii
iiii
iiii
iiii
iiii
iiii
iiii
iiii
iiii
n
TTyn 111
)056.0(06.02 =→=→= +
iiii
iii
TTTy
TTTTyn
TTTTyn
TTTTyn
TTTTyn
TTTTyn
TTTTyn
TTTTyn
TT
TTTTy
TTTyn
9101
10
81091
9
7981
8
6871
7
5761
6
4651
5
3541
4
2431
3
1322
021
101
0
25.294.0)456.0(3.010
25.294.0)056.0(27.09
25.294.0)056.0(24.08
25.294.0)056.0(21.07
25.294.0)056.0(18.06
25.294.0)056.0(15.05
25.294.0)056.0(12.04
25.294.0)056.0(09.03
25.294.0
25.294.0)056.0(03.01
25.324.0)408.0(00
++=→=→=
−++=→=→=
−++=→=→=
−++=→=→=
−++=→=→=
−++=→=→=
−++=→=→=
−++=→=→=
−++
−++=→=→=
++=→=→=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
t 5 T6 T7 T8 T9 T10
n
T2 T3 T4 Ty T0 T1 0 0 106,946 111,675 11 7,833 118,609 119,099 119,403 119,584 119,68 119,714,689 116,61 11
12 0,03 101,204 111,675 11 609 119,099 119,403 119,584 119,68 119,714,689 116,61 117,833 118,24 0,06 98,861 23,348 11 8,609 119,099 119,403 119,584 119,68 119,714,689 116,61 117,833 1136 0,09 62,575 19,339 55,427 116,61 117,833 118,609 119,099 119,403 119,584 119,68 119,7148 0,12 46,166 9,924 53,713 43,192 117,833 118,609 119,099 119,403 119,584 119,68 119,7160 0,15 35,705 15,274 28,015 39,767 48,465 118,609 119,099 119,403 119,584 119,68 119,7172 0,18 33,578 9,479 23,066 22,107 45,951 46,596 119,099 119,403 119,584 119,68 119,7184 0,21 30,391 8,026 18,043 22,092 24,069 43,569 47,493 119,403 119,584 119,68 119,7196 0,24 28,510 7,210 18,337 15,348 21,638 23,509 44,693 47,223 119,584 119,68 119,71108 0,27 27,416 8,034 15,982 13,880 16,176 22,238 23,688 44,301 47,379 119,68 119,71120 0,3 27,300 7,576 14,933 12,555 15,949 15,950 21,851 23,657 44,505 47,334 119,71134 0,3 27,069 7,178 14,528 12,809 13,951 14,954 16,007 22,086 23,663 44,433 85,221
122
Transferencia de Calor por Convección
El proceso de la transferencia térmica de una superficie de un sólido a un líquido se llama
intercambio de calor por convección o emisión calorífica. En este caso la transferencia de
calor se realiza debido a la acción simultánea de la conductibilidad térmica y la
convección.
El fenómeno de la conductibilidad térmica en líquidos y ga que en los ses, al igual los
sólidos, lo determina de modo completo el coeficiente de conductibilidad térmica y el
gradiente de temperatura El fenómeno de convección que es segunda forma elemental
de propagación del calor tiene otro aspecto. En este caso el proceso de transferencia
térmica está ligado inseparablemente con la transferencia de masa fluida. Por eso la
convección es posible solamente en los líquidos y gases cuyas partículas son capaces de
desplazarse con facilidad.
Según la naturaleza de su surgimiento se distinguen dos formas de movimiento: libre y
forzado. El movimiento libre se llama también convecci ibre. Se conoce como ón l
forzado el movimiento que surge bajo la acción de un agente externo, por ejemplo,
una bomba, un ventilador, etc. En caso general a la par con el movimiento forzado
puede desarrollarse también el libre
Flujo de calor por convección a partir de la frontera sólido-fluido
V
Perfil d ee temperatura d l fluido
0=xdxdT Determinar el flujo de calor
0=x
−= fc dK
xdTq
{ GLiq
oua
id,ρidos
Cp flu
123
Además de existir sferencia de
calor se ve mejorada por el movimiento del fluido (natural o forzado)
piedades del fluido
ondiciones de flujo
contacto intimo entre sólido y fluido (conducción), la tran
Convección : Conducción + Movimiento
FACTORES QUE DETERMINAN LA TRANSFERENCIA DE CALOR
Pro
Patrón de flujo (laminar o turbulento)
Forma de la frontera
- El fluido (sus propiedades)
C ExternoInterno
a. paralelo b. transversal
El co calor es una función de m
- La naturaleza del flujo: velocidad, régimen Laminar
Turbulento
- Forma de la frontera InternoExterno
eficiente de transferencia deuchos parámetros que se relacionan
124
El flujo de calor por convección esta definido por la evolución de la temperatura del fluid
en las cercanías de la interfaz sólido-fluido, y considerando que en esta
o
interfaz el fluido se
encuentra en reposo relativo al sólido (velocidad del fluido cero) el mecanismo de
transferencia en esta prim ede aplicar la relación
de Fourier, de tal manera que:
era capa de fluido es de conducción y se pu
0
=
⎟⎠⎞
∂∂T
−=X
fc xKq
De esta se requiere conocer la función de
temper lmente no es tan sencillo de establecer, debido a la
com lejidad del movimiento del fluido, principalmente en los casos en que el flujo es
rbulento.
s así, que para simplificar la cuan se ha ideado
na forma de involucrar en un único factor (el coeficiente de transferencia de calor h) todos
los parámetros que podrían afectar su valor (propiedades del fluido, régimen de flujo,
rma de la frontera etc) y que mediante una relación mas sencilla permita cuantificar el
ujo de calor por convección como producto de una diferencia de temperatura entre la
perficie del sólido y alguna temperatura representativa del fluido denominada (ya
ijimos que la temperatura es variable en las cercanías de la frontera).
EFINICIÓN DEL COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR
/m2 °c] h = f ( Π1, Π 2, Π 3... Π n)
relación se observa que para determinar qc
atura con x, lo cual norma
p
tu
E cqtificación del flujo de calor convectivo
u
fo
fl
su refT
d
D
donde h es el coeficiente de transferencia de calor por
convección
)
ref
c
ref
xf
refX
fc
TTq
TTxTK
TTxTK
−=
−
∂∂−=
−=⎟⎠⎞
∂∂
−=
=
=
SS
0
S0
/
)(h q
h
h [W
De la ecuación anterior se deduce que para establecer el valor de h se requiere:
o Definir la temperatura de referencia en el fluido Tref
o Determinar el perfil de T° en el fluido para poder calcular el ) 0/ =∂∂ xxT
125
DEFINICIÓN DE LA TEMPERATURA DE REFERENCIA
o Para flujos externos
o Para flujos internos
Temperatura ambiental para la
transferencia de calor por convección.
En los flujos externos la temperatura cambia bruscamente en los puntos mas cercanos a la
perficie pero en los mas alejados no lo hace, por eso usamos T∞ como temperatura de su
referencia.
)(
Qh = ambS TTA −
(confinado)
cción radial,
maremos en este caso la temperatura media o temperatura “bulk” como de referencia.
- Temperatura de referencia para Flujo interno:
- Flujo externo (no confinado)
En los flujos internos la temperatura está cambiando tanto en x como en dire
to
)( 2)(
2donde
0
p
R
pm
p
pmbulk
Cm
rTdrCrrUT
drrCm
TdmCTT
&
&
∫
∫
=
==
πρ
π)( rUdm = ρ
Entonces
126
promedio
local
)(
1
1
0
0
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−=
−
⎟⎟⎠
⎞−
=⇒
−=⎟⎟⎠
⎞−=
=
=
=
ambS
ambS
xx
ambS
y
f
ambSy
ffC
TTqh
TTqh
TTdy
dTK
h
TThdy
dTuq
com del tubo, existen por lo tanto diversos h, si sabemos que el
fluj e
Establecimiento de las ecuaciones Solución de las ecuacion
2. Empírico Mediante parámetros adimensionales (experimental)
OLUCION ANALITICA
n matemática T = T(x)
2. Necesitamos determinar un balance de energía Ecuación Los elementos del Balance energético -Flujo neto por Conducción son - Almacenamiento de la energía por la masa fluida
ajo de las fuerzas viscosas y normales
o la Tm cambia a lo largo
o d calor es constante.
ETERMINACIÓN DEL PERFIL DE TEMPERATURA D Para determinar el perfil de temperatura de la convección el proceso convectivo se puede
analizar por dos diferentes métodos:
1. Analítico es básicas
S Obtener relació 1. Conocer el perfil de velocidades U = U(x). Esto se puede obtener a partir de la Ecuación
de balance de fuerzas sobre un elemento de fluido. Ecuación de conservación del momentum denominada ecuación hidrodinámica.
- Trab Flujo neto por conducción = Q almacenado
Balance de fuerzas y energía
Ecuaciones Diferenciales
Resolverlas
Buscar los parámetros adimensionales que las gobiernan
Tcm p∆= & Flujo neto de calor por conducción Qc
127
VTKx
zyxTKx
x
∆∂∂
=∆∂∂
−
∆∆∆⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
−=∆∂∂
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆
∂∂
+=− +
2
2
xxx∆xxx
xxQ
xxx
Qx
QQ - Q QQ
Flujo neto por conducción V yx ⎦⎣ ∂∂ 22
Rata de almacenamiento
TTK ∆⎥⎤
⎢⎡ ∂
+∂ 22
de calor
( ) ( ) xTzCy CpTρU∆y∆z UTmCC xpp ∂ xp ∆∆∆∂
+∂∂∂
+ ρxx
Tdm
( ) ( )
( ) ( ) VCTTUT p
p
∆∂∂
+=∂
∂
ρϑϑy
yy
x
nálisis anterior s
T
VCUTTUTUUT
∂∂∂
∆∂
=∂∂
+∂∂
=∂∂
ϑ
ρ )( x dedireccion laen almacenadocalor xxx
∂y∂ El a e resume en las siguientes graficas anexas (*)
128
ECUACIÓN DEL GU A Y T N ARA U FL
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE LANCE FUERZAS
RELACIONES DE TRANSFORMACION DEFE C
LA
BADE
SE ND LE DE NEW O P N UID
ECUACION REN
O
IAL
omentum en x :
M
yxxF
yuv
xuu x ∂
yx∂+
∂∂
+=⎟⎟⎠
⎞∂∂
+∂∂
⎜⎜⎝
⎛ τσρ
M
omentum en y :
xyF
yvv
xvu xyy
v ∂
∂+
∂
∂+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂ τσ
ρ yvp
xup
xv
yu
y
x
yxxy
∂∂
+−=
∂∂
+−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
==τ
µσ
µσ
µτ
2
2
Mome mntu en x :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
2
2
yu
yu
en y :
++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ pvu
µ
ρ
Momentum
∂∂
+∂∂
2
2
xu
xu
∂∂
x−x= F
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
⎟⎞∂
2y
v
∂+
∂∂
+
⎟⎠
⎜⎜⎝
⎛∂
+∂∂
2
2
2 vxv
yv
xvu
µ
ρ∂∂
yp
−y= F
[τyx + (δτyx/δy)∆y]
[τxy + (δτxy/δx)∆x] τxy
τyx
σx
σy
[σx + (δσx/δx)∆x]
[σy + (δσy/δy)∆y]
∆y
∆x
129
ECUACION DIFERENCIAL DE LA ENERGIA EN LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCION
RT
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE BALANCE
DE ENERGIASELACIONES DE RANSFORMACION
ECUACION DEFERENCIAL
Ex = ρ · u · (∆y · ∆z) · Cp · T
Ey = ρ · v · (∆x · ∆z) · Cp · T
ducción :
Balance de Con
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆
∂
∂+∆
∂∂
− yy
Qx
xQ yX
Balance asociado con la energía
del fluido:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆
∂
∂+∆
∂∂
yy
Ex
xE yx
zxyTkQ
zyxTkQ
y
x
∆∆∂∂
−=
∆∆∂∂
−=
Ex = ρ u (∆y ∆z) Cp T
Ey = ρ v (∆x ∆z) Cp T
yvT
yTv
yvT
xuT
xTu
xuT
∂∂
+∂∂
=∂
φ
ρ ⎜⎛ ∂
+∂
⋅ vTuCp
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎝ ∂∂
2
2
2
2
yT
xTK
yT
x
∂∂∂
+∂∂
=∂
∂
)(
)(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
yv
xuT
yTv
xTu
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
2
2
2
2
yv
xvu
xpF
yuv
xuu xρ
[Qx + (δQx/δx)∆x]
[Qy + (δQy/δy)∆y]
Qx
Qx
Ex
Ey
[Ex + (δEx/δx)∆x]
[Ey + (δEy/δy)∆y]
∆y
∆x Analogía
130
SOLUCION EMPIRICA Tiene como objetivo encontrar los parámetro adimensionales que gobiernan la solución de
las ecuaciones básicas.
Encontrar la relación funcional entre los parámetros
Significado físico: viscosasfuerzas
inercia de fuerzas flujoVD Re ==µ
ρ
Lo
La t
sim
tom
con
sem
exp
resp
pue
sem
sem
En
pos
que s
eoría
ilitud
ó est
cepto
ejant
uesto
ectiv
de ex
ejanz
ejanz
caso
tulad
o E
a
e s es un numero adimensional que contenga h: Nadim(h) = f(h)
SEMEJANZA DE FENÓMENOS FISICOS
mejanza es la ciencia que estudia la
d enómenos. En la ía, de donde se
e por primera vez nos encontramos con el
de la semejanza. Como se conoce las figuras
es geométric nte, por ejem los tri los
s en la figura semejantes cuando poseen la propiedad de que sus ángulos
os son iguale os lados hom s, proporcionales. El concepto de semejanza se
tend cual r fenómeno físico. Se puede hablar, por ejemplo, acerca de la
a ática l movimiento de dos flujos de un líquido, semejanza dinámica;
a tribu de temperaturas y flujos caloríficos, la semejanza calorífica, etc.
ge ce de sem entre los fenómenos físicos se reduce a los
os siguientes:
l cepto de seme fenómenos físicos es aplicable solamente
f enos de un m o género con igual calidad, y que se describen
analíticamente con e iones que tienen tanto iguales la forma, como el contenido.
Si la descripción ma tica de do nómenos cualesquiera tiene forma igual, pero
su contenido físico e e fenómenos se denominan analógicos. Tal
analogía se da, por ejem ocesos d o ctibilidad térmica,
ele -conductibili difusión.
bu ca
e la se
e los f
término
d
β θ
α
β
α
θ
A
B C
a b
c
geometr
ame
, son
s y l
quie
en e
ción
plo,
ólogo
ángu
er a
em
dis
ral e
cin
de
ne l con pto ejanza
con
enóm
ctro
janza en cuanto a los
ism
uac
emá s fe
dif
c
t
s
dad y
rente, dichos
plo, entre los pr e la c ndu
131
o La premisa obligatoria para la semejanza entre los fenómenos físicos ha de ser su
pre se desarrollan en sistemas geométricamente semejantes.
emejantes pueden compararse
únicamente las magnitudes homogéneas sólo en los puntos homólogos del espacio y
ólogos del tiempo.
nt igual
imensión. Se denominan homólogos a los puntos de los sistemas geométricamente
mejantes cuyas
semejanza geométrica. Para que exista esta última es necesario que los fenómenos
en mención siem
o Al llevar a cabo el análisis de los fenómenos s
en los momentos hom
Llámense homogéneas a las magnitudes que tienen un mismo se ido físico e
d
se coordenadas son proporcionales.
En resumen las condiciones para la semejanza son:
1. Fenómenos con el mismo contenido no analógicos
2. Debe existir semejanza geométrica
3. debe establecerse siempre en puntos homólogos
4. Existir proporcionalidad entre todas las magnitudes del caso A y el caso B
Lista d
e constantes de semejanza
B
AT
B
A
B
A
B
AU
PB
PAcp
B
A
B
A
B
AL
TTCC
UUC
CCCC
YY
XXC
∆∆
====
====
∆ ; ;
; ;
µµ
ϑϑ
ρρ
µ
ρ
r numérico de estas constantes de se El valo mejanza no es arbitrario.
132
SEM J Tenien
E ANZA HIDRODINÁMICA
do la ecuación de momento para el caso A:
FI a = Fνa
⎥⎦
⎤⎡ ∂+
∂=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂ AA
A
AA
A
AAa
Uyx
UU22 ϑµϑϑρ ⎢
⎣ ∂∂ AAa yx 22
plazando en función de las constantes y parámetros del caso B: rem
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⎬⎫
⎨⎧
⎥⎤
⎢⎡ ∂
+∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2
2
22
VBB
BBB
V
BL
BV
BL
BVB
BL
BVBV
BL
BVBVB
CCUUUCC
dyCUdC
dxCUdCC
dyCdUCC
dxCdUCUCC
ϑρ
µϑρ
µρ
µρ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
+∂∂
⎭⎩ ⎦⎣ ∂∂ 2
2
2
2
B
B
B
BB
LBBL yU
xU
CyxCµ
vb
va
Ib
ia
FF
FF ...... =
como vemos lo que esta entre las dos “llaves” {} es la ecuación de para el caso B, por lo tanto para que no se altere la ecuación se debe cumplir que:
1 tantolopor 2
2
==µ
ρµρ C
CCCCCC
CCC VL
L
V
L
V
la condición necesaria para la semejanza hidrodinámica es:
BB
BBB
A
AAA UXUX ReRe Reynolds de igualdad sea o A ==µ
ρµ
ρ
SEM J En dos procesos que producen calor adem de moverse de la misma forma tenemos:
E ANZA TÉRMICA :
ás
⎥⎤
⎢⎡ ∂
+∂
=⎥⎤
⎢⎡ ∂
+∂
2
2
2
2AA
AA
AA
APAATTKTTUC ϑρ
⎦⎣ ∂∂⎦⎣ ∂∂ AAAA yxyx
lazando en función de B introduciendo CK = KA/KB y remp
133
Reynolds 1 por dividimosy mosmultiplica si 1
térmicasdesdifusivida de constante ndointroducie 1
2
2
2
2
2
2
22
2
22
2
=⇒==
==
=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩ ⎣⎩ ⎣CC
LBL
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎡
∂∂
+∂∂
⎭⎦∂∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
+∂∂
=⎥⎦
⎤⎡∂
∂∂
∆∆
∆
∆∆∆
υυ
α
ρ
ρ
υυ
ϑ
CCCC
CCC
CCCC
CC
CCC
yT
xTK
CC
yxC
xCTC
xCTCKC
xCTCCTCUC
LV
B
A
LV
KK
L
TK
L
TcpV
B
B
B
BB
TK
BBBpBBcpV
BL
BT
BL
BTBK
BL
BTB
La condición para que se cumpla la semejanza térmica es la igualdad en los números de Prant.
⎢⎣
+∂
∆ρ ρ
xCCCC V
BL
BTBVpBcpB
=⎬⎫
⎨⎧
⎥⎤
⎢⎡ ∂
+∂∆ ϑρ CTTUCCCCC BBT
ρα
ρ CCCCCC cpLcpV
térmicaddifusividacinemáti viscosidadPr#
1/
1
===
=⇒=
BA
BACυυ
ααca
/
BA
BAC
αα
υυ
α υ
Gobierna la solución θ = f ( Re, Pr )
)(0
∞=
−=⎟⎟⎠
⎞∂∂
− TThyTK S
y
Condición de frontera
Semejanza de las condiciones de frontera
NusseltdeK
xhK
xhentonces
CCCCC
CCC
B
BB
A
AA
K
LhTh
L
TK
#
1
==
=⇒= ∆∆
Nu = f ( Re, Pr ) es una relación adimensional y depende de cada caso.
Pr)(Re,fTTTT
S
S =−−
=∞
θ
134
Se pueden presentar los siguientes tres casos :
O A PLACA PLANA
ν > α Pr > 1
ν = α Pr = 1
ν < α Pr < 1
Térmico = Rojo Hidráulico = Azul
TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN ENTRE UN FLUIDY UN
Ecuaciones gobernantes:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
2
2
2
2
2
2
2
2
; yTv
xTK
yTv
xTuC
yuv
xuu
yuv
xuu pρµρ
Pueden sufrir modificaciones producto de algunas consideraciones:
0 0 2
2
2
2
=∂∂
∧=∂∂
xTu
µ
2
2
2
2
:yTK
yTv
xTuC
yu
yuv
xuuquedando P ∂
∂=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
∧∂∂
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂ ρµρ
Solución matemática: si introducimos las variables g(η) y η
Re )(xyg
UU
== ηη
),( )),(( yxgUUyxgUU
==
∞
∞∞
η
135
la forma final de la ecuación de momento
∫==∂∂
+∂∂
ηηηη
dgfgfg )( donde 021
2
2
y de la ecuación de energía, considerando )(ηθ=−−
∞ S
S
TTTT
0Pr21
2
2
=∂∂
+∂∂ η
θηθ f
olución hidrodinámica
/
S g ∞= UU
332.00
=⎟⎟⎠
⎞∂∂
=ηηg
1)5(1)(0)0(
≅=∞=
ggg
xxy Re=η
odemos hallar el espesor de la capaP límite hidrodinámica:
xxx
yRe5x
y Re5 =⇒==η
cuando Pr =1 las capas hidrodinámica y térmica coinciden.
136
En un fluido de Pr = 15 que se mueve sobre una placa plana de L = 1m a una T∞ = 50°C y
U∞ = 2m/seg. Calcular el espesor de capa limite δH y δT en x = 0.5m
5
5x 105Re donde Re 102.05.02 x
xxxUy
=−
como el Rex = 0.2x10 < 5x105 el flujo es laminar
= Y cuando U(x,y)=U∞
vx x === ∞η
5
δH H
xT
xH
TH
T
S
SnT
xH
YYYY
f
mx
xY
TTTyxT
mx
xx
x
x
xx
U
RePrRe
Pr
Pr(Pr) linealregresión una departir
00714.0102.0
5.002.2
Rex
Y2.02 obtenemos 1
),(
0176.0102.0
5.05Re5
Rex
Y5n entonces 1
3/1
3/1
3/1
T
H
5
T
5
H
==
=
≅=
==
===−
−==
===
===
∞
∞
δδ
ηθδ
a el movimiento de un fluido
sobre una placa plana, en régimen laminar se puede resumir en la siguiente gráfica.
U
δ
a
η
En resumen el comportamiento térmico e hidrodinámico par
xy RePr 3/1=η x
137
)
)∞
=
∞
∞
=
∞
−
∂∂−=
−=
∂∂===
TTyUK
TTqhTérmica
U
yU
U
fCicaHidrodinam
S
y
S
yf
0
2
0
2
/
21
/
214
ρ
µ
ρ
τ
xfx
xy
x
CxUdonde
xUC
xU
yu
xy
UU
Re664.0ReU
Re664.0
:icahidrodinám ec.en oRemplazand
Re332.0
332.0Re
)/(
0
=⇒=
=
=⎟⎟⎠
⎞∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂
∂
∞
∞
∞
=
∞
µρ
µρ
µ
xf
xf
U
xUfC
21
Re)/(332.04 2
==
∞
∞
ρ
xx
xx
S
xS
xS
y
x
S
S
KhxNu
TTK
xTT
yT
xy
TTTT
RePr332.0
:Nusselt Usando
RePr)(332.0
: témicaec.en oRemplazand
RePr332.0
332.0RePr
3/1
3/1
3/1
0
3/1
==
−−
−=⎟⎟
⎠
⎞∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝ −
−∂
∞
∞
=
∞
⎛
xkh
TTxh
RePr332.0
)(
3/1=
−=
∞
promedio)( 2 Lxhh ==
hx
x Re = 5x105
138
L
xfLxffxf
L
SLS
xS
S
xSSx
S
LKh
CCCC
NuKLh
TTLbhkTTbQ
LxkTTbQ
xUkTTbQ
xctexctex
dxcteQ
dxhTTbTTbdxhdQQ
TTAhQ
RePr664.0y
Re328.12y Re/664.0 si
RePr664.0 despejando
)(RePr)(664.0
:sucede ReRe ; En RePr)(664.0
Pr332.0)(2
22/1
)())((
)(
3/1
)
3/1
3/1
L
3/1
3/1
2/1
=
=⇒==
==
−=−=
==
−=
⋅−=
===
−=−==
−=
=
∞∞
∞
∞∞
∞∞
∞
∫
∫ ∫ ∫
υ
Colburn de analogia Pr2
PrRe donde Pr
PrRePrRe2
PrRe2
RePr664.0Re/328.1
:obtenemos y osrelacionam Si
3/2
3/23/1
3/13/1
StC
StNuNuNuC
NuC
NuC
f
LLL
f
LLx
Lxf
f
=
===
===
=
El numero de Stanton (St) nos si eficiente de transferencia de calor
por convección h:
rve para calcular el co
∞∞∞
==⋅
==CpU
hCpKU
hKLU
KhLNuStL ρρ
αυ
υ
/PrRe
ecordemos que si el flujo es laminar f = 64/Re, pero si es turbulento usamos el diagrama
de Moody para hallar el valor de f
R
139
Caso Laminar olución Analítica Coeficiente de fricción Cf
Coeficiente de transferencia de calor h Analogías S
Hid
rodi
nám
ica
232.0;;021
∂∂
+ηgf
12
2
=⎟⎟⎠
⎞∂∂
==∂∂
=∞ ηηηgg
UUg
Loca
l
xfxC
Re664.0
=xx x
kh RePr332.0 3/1=
∞
=
==
==
CpUh
St
JSt
fNuC
xx
x
x
xfx
ρ
3/2
3/2
Pr
8Pr
PrRe2
Térm
ica
S
S
TTTTf
−−
==+∂∂
∞
)(;0P21
2
2
ηθηθ
∂∂rηθ
Prom
edio
LfC
Re328.1
= placalongLLkh L
=
= RePr664.0 3/1
∞
=
===
CpUhSt
fJStC f
ρ
8Pr
23/2
Casos δH δT
Regimen Laminar
xxy
xX
Re
105URe 5x
=
≤= ∞
η
υ
Com
bina
da
xy RePr 3/1=η x
Pr = 50
Pr = 15
Pr= 1
5x/√(Rex1)
5x/√(Rex1)
5x/√(Rex1)
1.36x/√(Rex1)
2.02x/√(Rex1)
5x/√(Rex1)
U/U∞
η
140
Caso Turbulento e de fricción Cf
Coeficient Coeficiente de Transferencia de Calor h Analogias
3/2
3/2
Pr
PrPrRe2
∞
=
=
CpUh
NuC xTfx
ρ
Loca
l
2.0Re0576.0
x
TfxC =
80 x
TxNu = 8.03/1 RePr028.
Prom
edio
3/18.0,Pr)850Re036.0( −= L
LTNu
∞
=
===
CpUhSt
fJStC f
ρ
8Pr
23/2
141
Ejemplo Determinar la longitud de una placa cuyo Ts = 180°C, se mueve un fluido con una velocidad no
perturbada de 2 m/seg y una temperatura no perturbada de 30°c, calor transferido de 7888W/m de
anchura, y una F = 210.9N, ρ=780Kg/m3, K=0.14W/m°C
Y un # Pr desconocido que presenta espesor capa limite cuando η = 2.5
( )
metros 1.8L :(2) de despejando
2Pr entonces Re5.2y
Re5
)(PrReLK0.6647888 (2)
21
Re1.328210.9 (1)
:quedan ecuaciones las Re queRe328.1 que sabemos si
)2())(1()(
19.21021)1( F
1/3
3/1
2
L
2
=
====
−=
⋅=
==
−⋅=−=
==⋅=
∞
∞
∞
∞∞
∞
T
H
LT
LH
SL
Lf
SS
f
LL
TTL
LU
LUC
TTthTTAhQ
NwLUCL
δδδδ
ρ
υ
ρτ
FLUJO TURBULENTO Que sucede cuando la capa limite se vuelve turbulenta.
142
Xc: Longitud crítica en que el # Re vale 5x105 ó más
Para régimen turbulento no se cumple que :
xRe
332.02
Cfx ≠
Según análisis experimentales:
3/18.0
3/25/1
5/1
PrRe0288.0
PrPrReRe
0288.02
Re0576.0
=⋅
==
=
Tx
fx
Txf
Nu
NuC
C
Para h promedia en una placa cuya L > Xc, existen 2 funciones para hallarla: Q = Qlaminar + Qturbulento
[ ]3/18.0,
3/18.0
0
0
Pr]850Re036.0[
PrRe0288.0
)())(1())(1(
−=
+=
−=−⋅+−⋅=
∫
∫∫
∫∫ ∞∞∞
LT
L
x
L
Xcx
Xc
x
S
L
XcS
Tx
Xc
SLx
dxxK
x
dxhdxhL
TTAhTTdxhTTdxhQ
ττ
Como las propiedades físicas de los fluidos, cambian con la temperatura (Nu, Re, Pr) se deben
evaluar los parámetros a la temperatura fílmica Tf que es un promedio entre las temperaturas
superficial y ambiental.
h
8.03/10
850Re036.0Pr −= L
Xc
KLh
3/1PrRe332.0 += ∫Xc
x dxKLh
Nu
2∞+
=TTT S
f
La analogía de Colburn sirve para cualquier tipo de flujo: 3/2Pr2
StC f =
143
Ejemplo De cual de las resistencias que se muestran en
para que Ts sea constante.
la figura se debe suministrar más calor en la placa
Cada placa es de 1x1 [m2] y cada elemento de 4 cm
⎪⎨==Tf 139
2⎩
⎪
==°
+
− segmxf
f
/1061.2603687Pr28250
26υ
Primer paso: determinamos xc para ver si en un metro alcanza a sucederse flujo turbulento.
⎧ °= CmWK f /03447.0
mxxxxxUc
f
c 2661.050
1061.2610510565
5 =⋅
=⇒=−
∞
υ
Segundo paso: analizamos las celdas críticas: 1, 7 y 8
WQh
x
LKh
L
L
42.138
laminarflujo1075.061.26
04.050Re
PrRe664.0
51
3/11
11
=
=⋅
=
=
Celda 1: x
15.1239)28250(1)04.0(42.138
10
1
1
6
=−=
−
elda 7: ( )
WQTTxh
LyLquesabiendoKKLh
dhdhdhh
S
LL
L L
xxxx
L
xx
425))(104.0(
24.028.0PrRe664.0Pr850Re036.0
77
67
367
7 67
==−
==−−=
−==
∞
∫ ∫∫
L
/15.03/18.0
0 06
C
144
WK
f
Pr24.050664.0
28.0
3/1
5.0
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ ⋅
−
⎥⎦
⎢⎣ ⎠⎝ υ
KhhQ
f
425)222)(124.0(24.0
)222)(128.0(85028.050036.0Pr)222)(124.0()222)(128.0(28.0
3/1617161717
=⋅⎠⎝
⋅⎥⎤
⎢⎡
−⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ ⋅
=⋅−⋅= −−−−
υ
Celda 8:
Q Q −=
[ ] [ ]WQ
TTLLKTTL
LKQ
TTLhTTLhQQQ
SLSL
SSTT
1035
)(Pr850Re036.0)(Pr850Re036.0
))(1())(1(
8
77
3/18.078
8
3/18.088
7788788
=
−−−−−=
−⋅−−⋅=−=
∞∞
∞∞
W
KKQQff
)222)(128.0(28.0
8528.050036.0Pr)222)(132.0(32.0
85032.050036.0Pr8.0
3/1
8.0
3/171818 ⋅
⎥⎦
⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅−⋅
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅=−= −− υυ
Como vemos de la celda 1 hay que suministrar más energía a la placa para mantener Ts cte. DETERMINACION DE h PARA FLUJO INTERNO
specíficamente: 1. Flujo intratubular.
3. Zona de flujo totalmente desarrollado térmica e hidrodinámicamente
0⎥⎤
Q
1035=⎦⎣
E
2. Régimen laminar.
si ν = α las 2 zonas de entrada serán iguales.
No necesariamente la longitud hidrodinámica es igual a la longitud térmica:
H = LT si Pr = 1 ; LH < LT si Pr > 1 ; LH > LT si Pr < 1 L
145
Desarrollo analítico Flujo laminar completamente desarrollado : yr = 0 ; du/dx = 0 La ecuación de momento :
parabolaRrRC
r⎞⎛
44222
r
RCrCu(r)rCu
Crpararucomo
CrCrurrC
rur
r
rfxfporqueCrur
xP
xU
rUr
xryU
xUU
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
−=
−==∂
=⇒==∂∂
+=∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
14
)(
egramosint
000
2 integramos si
)()(,
1
21
21
211
2
2
21
1
1
2
2
µϑρ
rxP
∂=
∂∂ 11
µ
∂
u
Velocidad media: 82
;2)( maxuurdrrUuAR
==⋅ ∫ π2
1RCmm =
0
Re64;Factor de fricción:
)2/1(4 2=Vmρ
f τ
0
=⎟⎠⎞=
=
fdt
dU
r
µτ
Con base en el análisis del perfil de velocidades para flujo totalmente desarrollado
hidrodinámicamente podemos analizar lo térmico
Hidrodinámica: 0)/( =∂∂
mUUx
Térmicamente: )mS
Rr
mS TTrTK
TTqh
−∂∂⋅−
=−
= =/
0),(=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎛
−−
Sm
S
TTxrT
∂ ⎝∂ Tx
146
TOPICO HIDRODINAMICA TERMICA
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
+Ecuación erenDif cial ∂
∂−=⎥⎦
⎤xp
⎢⎣⎡uρ
∂∂
∂∂
rur
rrxu
ru
xu 1
2
2
µ+ v ⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
+∂∂
⋅ rrrx
TkrTv
xTuC p
12
2
ρ ⎥⎦
⎤
∂∂
rT
Ecuación de flujo minlmerroll
la ar tota nte
desa ado
11rx
p∂
= Crur
r=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂∂
∂∂
1µ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=∂∂
⋅⋅rTr
rrk
xTuC pρ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
=∂∂
2
2max
42 Rrr
xTU
rT
α
21 r
xp
ru
∂∂
=∂∂Derivadas de
amp µ
C o
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
2
14
R⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂−=
2
max
2
)( 1RrU
Rr
xpu r µ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
+= 2
42max
)( 164 Rrr
xTU
TT cr α ∂1Ecuaciones de
ampC o
81 2R
xp 2max
967 R
xTU
TT cm ∂∂
+=α
∂∂
µ Valores
med U m −=Pro ios
Coeficientes Re16
81
22
214 2
22=
∂∂
∂∂
=
⎞u
R⎟⎠∂
∂
= =
RxpU
Rxp
U
rf
mm
r
µρρ
µ
2max2max
max
967
163
4
RxT
∂∂U
TRxTU
T
RxTU
k
TTrT
kh
ccmS
Rr
+−∂∂
+
∂∂
=−
⎟⎠
⎞∂∂
−= =
αα
α
Parámetros Adimensionales 364.4== Nu
khl
Re64
=f
DE CALOR EN TUBOS CIRCULARES COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA
147
Caso Flujo de calor constante en la pared Temperatura de superficie cte Flujo totalmente
desarrollado 36.4=DNu 66.3=DNu
PrRe)/(0012.01PrRe)/(023.036.4
xDxDNu D
++=
[ ] 3/2PrRe)/(04.01PrRe)/(0668.066.3=
xDxDNu D
++
Fluj
o La
min
ar
Con
. zon
a de
ent
rada
PrRe)/(011.01PrRe)/(036.036.4
xDxDNu D
++=
PrRe)/(016.01PrRe)/(104.066.3=
xDxDNu D
++
Efecto del concepto de perfil de temperatura totalmente desarrollado sobre h:
* Primer Caso: Ts cte ) c=))
ía
teTT
rTkTT
qhSm
Rr
Sm −∂∂⋅−
=−
= =
(disminuye (disminuye /
Disminuye a la misma rata por lo que el coeficiente convectivo no var * Segundo Caso: Q(pared) = cte
la curva se mantiene pues
cterT
R
==r
⎟⎠⎞
∂∂
ctectecte
TTqh
Sm
==−
=
0)( =−∂∂
Sm TT
Cualquiera que sea la condición de frontera siempre se da un coeficiente convectivo de calor cte
x
148
ECUACIÓN DE LA ENER
GIA
00;)(1
0012
2
2
2
==∂∂
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=∂∂
⋅
≡∂∂
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
=⎥⎦⎢⎣⎡
∂∂⋅
rrTRrenTT
rTr
rrk
xTu
xTv
rTr
rrxTk
rxC
Sp
rrpρ
Basados en la expresión
⋅Cρ⇒
⎤∂+
∂ TvTu
0),(
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−∂∂
Sm
S
TTTxrT
x , buscamos la ecuación diferencial térmica
Derivando tenemos: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂
∂−−
−=x
Tx
TTTTT
dxdT
dxdT mS
mS
SS
uando Ts es cte tenemos
C ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−−
=∂∂
⇒=∂
∂x
TTTTT
xT
xT m
mS
SS 0
Cuando q es cte tenemos xxxx ∂
TTTcteT mS ∂=
∂∂
=∂∂
⇒=∂ ∂
Para q = cte ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=∂
∂=
∂⇒
x αα∂
rTr
rrxTuTu m 1
Flujo totalmente desarrollado laminar q cte ==> Nu = 4.364 Ts cte ==> Nu = 3.66 Analizando el cambio del fluido a totalmente desarrollado a Ts cte
Porque h = cte en el flujo totalmente desarrollado
cteTT
ctex
Tx
TxT
TTTT
xde
cteqsiTT
qh
mS
mS
Sm
S
mS
=−⇒
=∂
∂=
∂∂
=∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
∂∂
=−
=
0
149
DE SA IDA PROMEDIO DE UN
LUIDO QUE SE MUEVE DENTRO DE UN TUBO
RIMER CASO q cte
DETERMINACION DE LA TEMPERATURA L
F
P Balance de energía:
)(
)(
)( mpsx x
dxmCxDqDTTh ∆=∆=− ππ
12
1
0
2
10
2
1
mmp
mmxp
x Tm
Tmmp
L Tm
Tmmp
mmpmp
TTmCDLq
TTmCDxq
dTmCDdxqódTmCDdxq
dTx
TmCxDqTC
−=
−=
==
⎠⎜⎝
∆∂
+=
∫ ∫∫ ∫
π
π
ππ
π
Calor ganado a través de la pared = calor ganado por el movimiento SEGUNDO CASO Ts cte
xm ⎟⎞∆+
150
T⎛ ∂
151
p
Tm
TmmxS
Tm
Tm
L
pmxs
mx
mxpmxS
mxmxpmxSmxp
mCDLhTT
mCDdxh
TTdT
xdx
dTmCTTxDh
xdx
dTTmCxDTThTmC
ππ
π
π
−=−⇒
−=
−−
∆=−∆
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆+=∆−+
∫ ∫2
1
2
1 0
)ln(
)(
)(
1ln1
2
1
2 <=−−
⇒−
=−−
−
pmCDLh
mS
mS
pmS
mS eTTTT
mCDLh
TTTT
ππ
tra forma de presentar la ecuación, multiplico por un factor : o
LMTDhATTmCTT
T
TTTT
mCDLh
TTTT
mm
mm
pmS
mS
−−
⋅−
=−−ln
12
12
1
2 π
TLMTDdefinimosSi entrada∆=
TTTT
TTTThATTC
TTTT
TTDLhTTC
TTTTTDLhTTC
mmp
salida
entrada
salida
mS
mS
mSmSmmp
mS
mS
mSmmmp
SS
m
mS
mmmmp
⋅=−∆∆
∆−−−
−−=−
−−
−=−
−+−−
=−
)(
ln
ln
))(()(
ln
))()(
ln)(
12
1
2
1212
1
2
1212
1
2
1212
π
π
donde LMTD es la diferencia de temperaturas media logarítmica Características típicas de LMTD: • El valor típico de LMTD siempre estará entre el valor de la entrada y la salida
∆Tsalida < LMTD < ∆Tentrada
ón 0/0 que por
L’hopital LMTD = ∆Tsalida = ∆Tentrada
m
m
TTTT
S
S
−−
(m
T
• Cuando ∆Tsalida = ∆Tentrada el LMTD resulta en una indeterminaci
152
r requerida para calentar (ó enfriar) un
Ts constante
Casos prácticos Determinación del área de Transferencia de Calo
fluido desde T1 hasta T2
Flujo de calor constante
Dk
h
Thq
fLx
SLx
36.4
22
=
−=
=
= T
q
LTT
dxcm
dT
CDqdTdxdTcmDq
TTcmxDq
LT
T
p
xxxp
)(
)
)(
12
0
2
1
=−
=
==
=
−=∆ ∆+
∫∫ &
&
&
π
π
TTcmDL p ( 12 −= &π
cm p&
Dqp
π
Dqcmdx p&
π
π
{
LMTDDLhTTcm
dxcmDh
TTdT
dxdTcmDTTh
dxdTcmDq
TTdxdTcmxDq
p
LDh
S
pS
L
p
TT
TTxs
px
px
xxxpx
S
S
⋅=−⇒⎠
⎞
⎝
⎛
⎞⎛
−=−
−
=−
=
−=∆
−
−
−
∆+
∫∫
π
π
π
π
π
π
)(
)(
)(
12
1
1
0
2
1
&
&
&
&
&
S
htomamas
x
LcmDh
TTTTS −=⎟⎟
⎠⎜⎜⎝ −
− πln 2
&
eTTTT cmS p=⎟⎟⎜⎜ −
− 2 &
152
1. FLUJO EXTERNO TRANSVERSAL A UN CILINDRO
Debido a la naturaleza compleja del flujo a través de cilindros, de los procesos de
separación de flujo, no es posible calcular analíticamente los coeficientes de transferencia
de calor en el flujo transversal, es por esto que los investigadores se ven obligados a utilizar
fórmulas empíricas producto de muchas investigaciones y experimentos.
Para un flujo transversal en un cilindro se ha determinado que el coeficiente de
transferencia de calor depende en gran medida del número de Reynolds, el cual se halla en
base a la velocidad de flujo libre y con longitud característica el diámetro del tubo, esta
dependencia se puede observar en el grafico de la Figura 1.
Para determinar el número de Nusselt promedio ( Nud ) en un flujo transversal alrededor de
un cilindro, se tiene las siguientes correlaciones encontradas en los libros de Holman, Mills
e Incropera.
153
Figura 1. Principales regímenes de flujo para el flujo alrededor de un cilindro.
1.1 CORRELACIONES PARA HALLAR COEFICIENTE DE
TRANSFERENCIA DE CALOR DE FLUJO TRANSVERSAL A UN
TUBO
Debido a la gran cantidad de variables en la transferencia de calor por convección, muchos
investigadores han dedicado gran parte de sus investigaciones a encontrar correlaciones
NÚMERO DE
REYNOLDS PATRÓN DE FLUJO
ReD<5
Flujo laminar no separado
5-15< ReD< 40
40< Re
Par de vórtices fijos en la estela
D<150
Trayectoria de vórtices laminar
150< ReD<3*105La capa límite es laminar hasta el punto de
separación; la trayectoria de vórtices es turbulenta y el campo de flujo de estelas es
cada vez más tridimensional.
3*105<ReD<3.5*106
La capacapa lím
límite laminar se transforma en una ite turbulenta antes de la separación;
la estela se vuelve cada vez más angosta y desorganizada
Se reestablece una trayectoria de vórtices turbulenta, pero en este caso es más angosta
que en el caso anterior, 150< ReD<3*1053.5*106< ReD
154
ma se aprox entales, con el fin de que los ingenieros
ten ntas para calcular el calor transferido por medio de fluidos, aquí se
enumeran algunas de estas correlaciones según sus autores:
1.1.1 SEGÚN LOS INVESTIGADORES CHURCHILL Y BERNSTEIN
las siguientes correlaciones son usadas muy frecuentemente, debido a que encierran la
mayoría de los rangos del numero de Reynold en las formulas lo cual las hace muy
ma atemático.
Se tienen las siguientes fórmulas:
Para un Pr>0.5
temáticas que
gan herramie
imen a los datos experim
nejables cuando se utiliza un software m
( ) 25.03/2
315.0
Pr4.01
Pr62.03.0
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
⋅+= ED
UDR
N
( )
8/5
25.03/2
313.0
282000Pr
4.01
Pr62.03.0 ⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
⋅+= EDED
UDRRN
Re< 104
Ecuación 1.1
⎞5⎛ .0313.0
Ecuación 1.3.
En donde se encuentra que:
Nud = Número de Nusselt promedio
Re = N
Pr =
1.1.2 SEGÚN LOS INVESTIGADORES NAK
úmero de Reynold
Número de Prant
Para bajos Re se tiene
5/4
1⎟⎟⎠
⎞+
2*104 < Re < 4*105
Ecuación 1.2.
( ) ⎟⎟⎠⎝
+⎟⎠⎝⎟⎞⎜⎛ +
+= 12820004.01
3.03/2
UDN ⎜⎜ ⎞⎜⎛⋅ Pr62.0
25.0EDED RR
⎠⎝ Pr
4*105 < Re < 5*106
OKZAKI AI Y
155
( )( ) 3.0PrRe8237.01
⋅−=
LnNu
Re*Pr < 0.2 Ecuación 2
dro se deben
valuar las propiedades del fluido a la temperatura fílmica que es la media aritmética de la
a fílmica
s = Temperatura de la superficie del tubo
Tα = Temperatura del fluido en movimiento estabilizada
STIGAD
tienen las siguientes correlaciones para el número d
Para utilizar las dos fórmulas anteriores en un flujo transversal en un cilin
e
temperatura de la superficie y de la temperatura de corriente libre:
Tf = 0.5(Ts + T∝)
De donde:
Tf = Temperatur
T
OR ZHUKAUSKAS1.1.3 SEGÚN EL INVE
se e Nusselt
PrsPrPrn ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ *Re*C Nud
1/4m= 0.7 < Pr <500; 1< Re <106 Ecuación 3
deben evaluar a la temperatura del fluido T∝ solo Prs será
ra de superficie del tubo Ts.
Pr > 10 ⇒ n = 0.37
Pr ≤ 10 ⇒ n = 0.36
Todas las propiedades se
evaluada a la temperatu
La constante C y m se encuentran en la tabla 1.
156
TABLA 1.Constantes de la ecuació
Re C m
n 3 para el cilindro circular en flujo cruzado
1-40 0.75 0.4
40-1000 0.51 0.5
1000-2*105 0.26 0.6
2*105-106 0.076 0.7
1.1.4 SEGÚN LOS INVESTIGADO NUDSEN Y KATZ.
relación fue determinada por los investigadores nombrados
RES HILPERT, K
La siguiente
1/3m Pr*Re*C Nud = Ecuación 4
Todas las propiedades se evalúan a la temperatura fílmica. Tf = 0.5(Ts + T∝).
egún la tabla 2 se pueden determinar los coeficientes C y m de la formula anterior
ABLA 2.Constantes de la ecuación 4 para el cilindro circular en flujo cruzado
S
TRe C m
0.4-4 0.989 0.330
4-40 0.911 0.385
40-4000 0.683 0.466
4000-40000 0.193 0.618
400 0-4000 0.02 0.8050 00 7
1.1.5 SEGÚN FAND.
( ) 3.052.0 PrRe56.035.0 ∗∗+=UDN para: 0.1 < Re < 105 Ecuación 5
.1.6 SEGÚN ECKERT Y DRAKE.
1
157
25.03.05.0 )PrPr(Pr)Re5.00443(
sUD += 1 < Re <103 Ecuación 6.1 N
25.038.06.0 )PrPr(PrRe25.0NUD = 10
sEcuación 6.2
Todas las propiedades se evalúan a la tem u fílmica, solo Prs se evalúa a la
temperatura de superficie. Para los g e la razón del Pr.
e todas estas ecuaciones, la menos engorrosa es la de Hilpert y por lo tanto es buena para
Bernstein es
na de las mas completas ya que encierra todos los rangos del número de Reynolds en una
e introducir dentro
e una computadora para obtener los resultados, mientras que las otras necesitan de una
base de datos.
3 < Re < 2*105
perat ra
ases se pu de omitir
D
obtener datos para inspección, pero la ecuación desarrollada por Churchill y
u
sola ecuación con algunas modificaciones, además esta ecuación se pued
d
158
a temperatura diferente corre por el interior de los tubos, permitiendo la
transferencia de calor por convección, tanto interna como externa en los tubos.
Una de las principales razones por la cual son muy empleados los bancos de tubos es
debido a su gran área para la transferencia de calor en espacios reducidos, esto se puede
explicar con el siguiente ejemplo:
Tenemos dos tubos concéntricos por los cuales fluyen dos fluidos, un fluido caliente entre
el tubo de mayor diámetro (D) y el de menor diámetro (d); y uno fluido frío que circula por
el interior del tubo de menor diámetro como se observa en la figura 2.
2. BANCOS DE TUBOS
Un banco de tubos es un arreglo de tubos que tiene como fin transferir calor entre dos
fluidos, cuya característica principal es la de presentar tanto flujo interno como un flujo
externo.
Normalmente, en los bancos de tubos, un fluido se mueve sobre los tubos, mientras que un
segundo fluido
159
L
Figura 2. intercambiador de calor con un solo tubo en el interior
de la anterior figura observamos que el área de transferencia de calor es por tanto:
LdA ⋅⋅= π
endo L la longitud de los tubos en la cual hay intercambio de calor.
hora si por el mismo tubo de diámetro D hacemos pasar varios tubos mas pequeños
nemos la siguiente disposición:
si
A
te
Figura 3. intercambiador de calor con varios tubos en su interior, que hacen que aumente el área para la transferencia de calor.
Ahora para una misma cantidad de caudales de los fluidos frío y caliente tenemos la
siguiente área para la transferencia de calor:
nLdA ⋅⋅⋅= π
donde n es el numero de tubos que hay en la figura 3.
Por lo tanto de aquí se deduce que los bancos de tubos mejoran la transferencia de calor
fluidos a una mayor
resión, debido a que los espesores en tuberías con diámetros pequeños en recipientes a
as chicos a medida que disminuye el diámetro de sus dimensiones, esta
deducción se obtiene de resistencia de materiales y se expres ula:
debido a su disposición.
Otra ventaja que presenta esta disposición, es que se puede transportar
p
presión son m
a en la siguiente form
σRPt ⋅
=
donde:
t es el espesor de la tubería.
P la presión que hay en tubería. es la
160
σ es el esfuerzo admisible de la tubería.
R es el radio medio de la tubería.
CIÓN DE BANCOS DE TUBOS
.1.1 Según l del flujo respecto del banco de tubos
tener una idea clara de lo que se va ha
atar:
) Bancos de tubos ideales: Son aquellos bancos a los que se las hacen algunas
on:
Flujo totalmente transversal a los tubos
La transferencia de calor es homogénea
ión
Se desprecian las corrientes de bypass
s: son los bancos de tubos que se encuentran en la realidad.
a dirección del flujo influye mucho en la transferencia de calor ya que se cambia el área
2.1 CLASIFICA
2 a relación de movimiento
Se deben considerar las siguientes definiciones para
tr
a
idealizaciones con el fin de observar el comportamiento global de la transferencia de calor
en los bancos de tubos. Estas idealizaciones s
Se desprecia la transferencia de calor por radiac
b) Bancos de tubos reale
L
de transferencia de calor o la cantidad de flujo que entra en contacto con los tubos.
161
a
b
Figura 4. Bancos de tubos con diferentes direcciones de flujo a) flujo cruzado perpendicular. b) flujo
cruzado oblicuo.
s cuyo flujo externo es perpendicular al flujo
ontracorriente o en el mismo
sentido que el flujo interno, as efectivo o no. Este análisis se
llevara a cab
2.1.2 Según la efectiv
puede no tener un buen contacto con los tubos y entonces no tiene una transferencia de
calor igual que el resto del flujo, este tipo de bancos se denominan bancos de tubos con
baypass (Figura 5a); mientras que si los tubos tienen un igual espaciamiento entre ellos y
con la cubierta, la transferencia de calor será uniforme en todo el fluido, ya que tendrá igual
contacto con los tubos a través de todo el banco y la transferencia de calor se hace con
mejor efectividad. (Figura 5b)
En la figura 4a se presenta un arreglo de tubo
interno de los tubos que difiere de la figura 4b porque su flujo se podría dividir en dos
clases de movimiento (tiene 2 componentes de velocidad), uno perpendicular al flujo
interno y otro paralelo, dependiendo si este ultimo va en c
el intercambiador será m
o mas adelante.
idad de la transferencia de calor
La efectividad con la que puede ocurrir la transferencia de calor depende de que tan
uniforme reciba calor el fluido, ya que puede haber un espaciamiento mayor entre la
cubierta y las hileras de tubos extremas , que entre las hileras de tubos, por donde el fluido
162
a b
on de fácil fabricación y estos se acomodan de tal forma para
ar los diferentes arreglos.
arreglos principales: alineados y
lternados como se muestra en la figura 6.
Figura 5. a) Banco de tubos con Baypass. b) Banco de tubos sin Baypass
2.1.3 Según el arreglo de los tubos en el banco
Debido a que no se pueden hacer infinidad de arreglos para los bancos de tubos, estos se
encuentran estandarizados de acuerdo a una geometría estándar, que son el cuadrado y el
triángulo equilátero, ya que s
d
Las filas de tubos de un banco tienen dos tipos de
a
Figura 6.Tipos de arreglos de bancos de tubos a) alineados b) alternados
a b
163
De la figura 6 a y b tenemos
Ltp = paso longitudinal
St = separación transversal entre diámetros
Sl = separación longitudinal entre diámetros, es el mismo paso longitudinal.
α = ángulo de inclinación entre el paso longitudinal y la línea de dirección del flujo
1.2.3.1. Arreglos estandarizados
El arreglo alineado esta e L = 1 al cual se le
denomina arre del flujo y el
aso longitudinal de los tubos es 90°. Su forma básica es el cuadrado, figura 7
164
De la figura 6 a y b tenemos
Ltp = paso longitudinal
St = separación transversal entre diámetros
Sl = separación longitudinal entre diámetros, es el mismo paso longitudinal.
α = ángulo de inclinación entre el paso longitudinal y la línea de dirección del flujo
1.2.3.1. Arreglos estandarizados
El arreglo alineado esta e L = 1 al cual se le
denomina arre del flujo y el
aso longitudinal de los tubos es 90°. Su forma básica es el cuadrado, figura 7
standarizado con la siguiente relación: ST / Sstandarizado con la siguiente relación: ST / S
glo cuadrado o arreglo a 90°, ya que el ángulo entre la dirección glo cuadrado o arreglo a 90°, ya que el ángulo entre la dirección
pp
Figura 7.Arreglo cuadrado St / Sl = 1
El arreglo escalonado tiene estandarizado los arreglos de 30°, 45° y 60°.
El arreglo de 30° es aquel que tiene el ángulo entre la dirección del flujo y el paso
longitudinal de los tubos igual a 30°. Su forma básica es el triángulo equilátero, figura 8
El arreglo de 45° es aquel que tiene el ángulo entre la dirección del flujo y el paso
longitudinal de los tubos igual a 45°. Su figura básica es el cuadrado. Figura 9
164
Figura 8. Arreglo escalonado de 30°
Figura 9. Arreglo escalonado a 45°
.
El arreglo de 60° es aquel que tiene el ángulo entre la dirección del flujo y el paso
longitudinal de los tubos igual a 60°. Su figura básica es el triángulo equilátero, figura 10
165
Figura 10. Arreglo escalonado 60°
2.2 NÚMERO DE REYNOLDS De igual forma que en un flujo transversal a un cilindro, el Reynolds influye en gran
medida sobre la transferencia de calor y este debe calcularse con la velocidad máxima que
pueda tener el fluido dentro del banco de tubos, es decir , cuando este pasa por el área de
flujo mínima.
2.2.1 Área de flujo mínima
Esta área de flujo mínima depende del arreglo que tenga el banco de tubos, ya que esta
e
flujo se divide en dos y pasa por cada área diagonal A2
Si el área vertical es menor que las dos áreas diagonales se debe cumplir la siguiente
relación.
puede ser el área vertical (A1) o las dos áreas diagonales (A2) (ver figura 11). Se deben
tomar las dos áreas diagonales ya que después que el flujo pasa por el área vertical A1, est
( ) ( )DLtpDSt −≤− 2 Ecuación 7
166
en donde:
St es la distancia que hay entre los centros de dos tubos de una misma fila.
Ltp es la distancia mas corta que hay entre los centros de dos tubos de diferente fila.
D es el diámetro del tubo.
sino se cumple la relación anterior, el área de flujo mínima son las áreas diagonales
Figura 11. Posibles áreas de flujo mínimas para bancos de tubos alineados y escalonados
Las áreas mínimas de los uientes:
ara bancos de tubos de arreglo escalonado de 30° y alineados St/Sl=1:
ltura total del banco de tubos , NTF el número total de tubos por fila, D es el
diámetro del tubo ,L el largo del tubo y Ltp es la distancia entre los diámetros cruzados
ara bancos de tubos de arreglo escalonado de 45° y 60°:
bancos de tubos estandarizados son los sig
P
A mín = (H - NTF*D)*L = NTF(Ltp - D)*L Ecuación 8
donde H es la a
(Ver figuras 8, 9 o 10)
P
( ) ( )( )121min −+×−= NTFLDLtpA Ecuación 9
Entonces ya determinada el área mínima de flujo determinamos el número de Reynolds
µ××
=min
ReA
Ecuación 10 DM
167
se puede usar para determinar el numero de Reynolds es la
lación de velocidades, esta relación no incluye el numero de tubos del intercambiador la
Para los bancos de tubos tenemos la siguiente relación para hallar la velocidad máxima:
ρ*Vmáxima*Amínima=ρ*V∇*A donde ρ es la densidad, Amínima puede ser al área A1 o A2 de
acuerdo a lo visto en la parte anterior (ver figura 9), A es el área a la entrada del banco y V
es la velocidad de entrada del fluido. Debido a que los bancos trabajan a presión constante,
se pueden tomar los fluidos como incompresibles. Por lo tanto se obtiene la siguiente
relación:
2.2.2 Velocidad máxima de flujo
Otra relación importante que
re
cual es muy útil cuando no se posee esta información
Ecuación 11
la cual conlleva a dos posibles valores dependiendo del arreglo del banco:
n donde el valor que sea mayor será la razón máxima entre velocidad máxima de flujo y
Ecuación 12 e
Vα .
De aquí se procede a obtener Re:
υVma × D
=Re Ecuación 13
2.3 DETERMINACIÓN DEL EF BIO DE
TEMPERATURA EN LAS PROPIEDADES DEL FLUIDO
Debido a la no uniformidad de las eraturas dentro del banco de tubos, se hace
necesario buscar una temperatura promedio global para determinar las propiedades del
fluido. Por lo cual se ha tomado como esta temperatura global a la temperatura fílmica:
temp
ECTO DE CAM
168
Tf Tα Ts2
Ecuación 14
onde TαTα 1 Tα 2D
2 Tα = temperatura promedio del aire Tα1 = temperatura del aire a la entrada Tα2 = temperatura del aire a la salida
Y Ts (temperatura de superficie promedio) se evalúa globalmente
Figura 12. Diferentes temperaturas que se enc o de tubos
Para la figura 12 se tienen que Ts1, Ts2,..Tsn son las temperaturas superficiales de los
tubos de cada fila, y Tα1 y Tα2 son las temperaturas de entrada y de salida del flujo al
banco de tubos, respectivamente.
valuar la temperatura de la superficie se considera que el calor que se transfiere del
e igual al que se transfiere al fluido externo, es decir se
desprecia la resistencia de la pared, como se muestra en la figura 13:
uentran en un banc
Para e
fluido interno es aproximadament
Figura 13. Transferencia de calo presentada en la sección transversal de uno de los tubos.
169
Tm Ts1 Rp
Q Ts Tα
1 Tm Tm1 Tm2
2 Q
Aihi heAe
donde
Ecuación 15
erno al entrada y la salida del tubo
Con esto quedan analizadas las propiedades, se evalúa el Re y se calcula el Nud.
2.4 CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE
CALOR INTERNO
El cálculo del hinterno se realiza con los concep os ya vistos de flujo dentro de tubos. Para el
Tm1 y Tm2 es la temperatura media del fluido int
respectivamente.
t
cálculo del mismo hay que tener en cuenta la repartición del flujo en los tubos ya que esto
interviene en la rata de masa que pasa por cada tubo y afecta así al Reynolds interno
a) b)
Figura 14 Distribución de la masa que va por dentro de los tubos: a) repartido por igual en cada fila
(serpentín); b) repartido por igual en cada tubo.
En la figura 14a la masa se reparte por igual en cada fila de tubos, por lo que para calcular
la masa en el que pasa por cada tubo se divide la mas total por el número de filas que hay
170
banco (esto ocurre cuando los tubos se encuentran en forma de serpentín); mientras que en
la figura 14b la masa se reparte por igual en cada tubo del banco, por lo que para calcular la
masa que pasa por cada tubo se divide la m r el número to l de tubos que hay.
2.5 COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN BANCO
DE TUBOS
Al analizar de manera experimental la transferencia de calor en los bancos de tubos, se ha
sto es
debido a que cuando el flujo atraviesa la primera fila de tubos se genera una turbulencia que
se incrementa a medida que el flujo se sigue desplazando por las demás filas de tubos, esto
propicia a que el coeficiente de transferencia de calor aumente, pero llegara un momento en
el cual el flujo se estabiliza y por ende el coeficiente de transferencia de calor no aumentara
infinitamente, esto se puede ilustrar en la figura 15.
as total po ta
encontrado que el coeficiente de transferencia de calor tiene aumentos apreciables desde la
primera hasta la quinta fila después de esta los aumentos son cada vez menores , por lo cual
el Nud promedio del banco de tubos se vuelve uniforme a partir de décima fila. E
171
Fitra
gura 15. Condiciones de flujo para tubos: a) alineadonsferencia de calor en los bancos de tubos
De manera empírica se han determinado varia
transferencia de calor externo en bancos de tu
2.5.1 Método Mills: El Nud promedio para un banco de tubos
relación:
Donde ∈ es un factor de arreglo y el Nud
determina con las correlaciones encontradas p
s y b) escalonados. c) Variación del coeficiente de c)
s correlaciones para hallar el coeficiente de
bos:
con 10 o más filas se calcula a partir de la
Ecuación 16 1fila es el Nusselt de la primera fila, el cual se
or Churchill y Bernstein. (Ecuación 1)
172
2
Donde ψ 1 Π
.4 Pt si Pl>=1
ψ 1 Π..4 Pt Pl si Pl<1
Donde Pl es Sl/D (paso longitudinal ad
adimensional).
Si el banco tiene menos de 10 filas
Donde es el Nud para la primera fil
un solo tubo, N es el numero de filas y φ es e
.5.2 Método Incropera:
2
La correlación utilizada es la de Zhukauska
PrsPrPr*Re*C Nud
1/4nm ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
las constantes C y m de penden d
Los valores de las propiedades se hallan a
i el cambio de temperaturas Tα1 y Tα2 es
la evaluación de las propiedades en la temp
de corrección tal que:
Valores de
temperatura de superficie del tubo.
S
φ alternado 13Pt
imensional) y Pt es ST/D (paso transversal
Ecuación 17 a de tubos, el cual se toma como si fuese el de
l factor de arreglo.
s:
1000<Re máx<2*106
el Re máximo y el arreglo, (tabla 3)
a fílm determina a la
muy grande, resultaría un error significativo de
eratura de entrada. Por ello se aplica un factor
0.7<Pr<580 Ecuación 18
temperatur ica, solo Prs se
173
Nud= C2 *Nud Ecuación 19
donde C2 depende del arreglo y del número de filas en el banco, (tabla 4)
l banco de tubos en flujo cruzado
eD máx C m
TABLA 3.Constantes de la ecuación 18 para e
Arreglo R
Alineado 10-100 0.80 0.40
Escalonado 10-100 0.90 0.40
Alineado 100-1000
Escalonado 100-1000 cilindro único aislado
Se aproxima como un
Alineado(Sl/St<0.7)* 103-2*105 0.27 0.63
Escalonado (St/Sl<2) 103-2*105 0.35(St/Sl)1/5 0.60
Escalonado (St/Sl>2) 103-2*105 0.40 0.60
Alineado 2*105-2*106 0.021 0.84
Escalonado 2*105-2*106 0.022 0.84
*Para Sl/St<0.7, la transferencia de calor es in o se deben usar.
enor de 20 Numero de filas 1 2 3 4 5 7 10 13 16
eficiente y los tubos alineados n
TABLA 4. Factor de corrección para la ecuación 19 para número de filas m
Alineado 0.70 0.80 0.86 0.90 0.92 0.95 0.97 0.98 0.99
Escalonado 0.64 0.76 0.84 0.89 0.92 0.95 0.97 0.98 0.99
2.5.3 Método Holman:
Nud = C*Re Pr Ecuación 20
Para bancos de 10 filas o más se usa la correlación de Grimson: n 1/3
donde C y n depende del arreglo, (tabla 5)
Para bancos de menos de 10 filas se utiliza el resultado de la fórmula anterior, pero se debe
multiplicar por un factor que depende del arreglo y del número de filas (tabla 6)
174
TABLA 5. Constantes par a tran erencia de tubos de 10 hileras o
St/D
la ecuación 20 para sf de calor para bancos
más.
1.25 1.5 2 3
C n C n C n C n Sl/D
Alineados
1.25 0 0.275 .100 0. 0.0633 52 .348 0.592 0.608 0 704 0.7
1.5 0 0.250 .101 0. 0.0678 44 .367 0.586 0.620 0 702 0.7
2 0. 0.229 22 8 418 0.570 0.602 0. 9 0.632 0.198 0.64
3 0. 0.357 37 8 290 0.601 0.584 0. 4 0.581 0.286 0.60
Es s calonado
0. 213 6 5 - - - - - - 0. 0.63
0. 6 0. 0.401 1 9 - - - - 440. 571 0.58
1 0.49 - - - - - - 7 0.558
1.125 - 478 0 0.518 0 - - - 0. .565 0.56
1.25 0.518 0.556 0.505 0.554 0.519 0.556 0.522 0.562
1.5 0.451 0.568 0.460 0.5 0.452 0.568 0.488 0.568 62
2 0.404 0.572 0.416 0.568 0.482 0.556 0.449 0.570
3 0.310 0 2 56 580 .44 0.5 8 4.59 0.3 0. 0 0 62 0.42 0.57
ABLA 6. Factor de arreglo para la ecuación 20 cuando son menos de 10 filas
Numero de filas 1 2 3 4 5 6 7 8 9
T
Escalonado 0.68 0.75 0.83 0.89 0.92 0.95 0.97 0.98 0.99
Alineado 0.64 0.80 0.87 0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 0.99
: Intercambiadores Compactos
Método grafico de Incropera
175
176
jH = St Pr2/3 ; St = h/G cp ; Re = G DH/µ ; G ≡ ρ Vmax = ρVAfr/Aff = m’/Aff = m’/σAfr donde: D0 = Diámetro exterior del tubo = Espaciado de aletas Dh = Diámetro hidráulico σ = Área de flujo libre / área frontal α = Área de T.C. / volumen total Af /At = Área de aleta / área total t = Espesor de aletas jH = Factor de Colburn Ai = Área interior del banco Afr = Área frontal al aire Amin = Área mínima de flujo para el fluido externo Nota: El área mínima de flujo libre es transversal al flujo en espacios
177
3. INTERCAMBIADORES DE CALOR
Se han desarrollado muchos tipos de intercambiadores de calor para ser usados en varios
grados de tamaños y de sofisticación tecnológica, como plantas de potencia de vapor,
plantas de procesamiento químico, calefacción y acondicionamiento de edificios,
refrigeradores domésticos, radiadores de automóviles, radiadores de vehículos espaciales,
etc.
En los tipos comunes, tales como intercambiadores de coraza y tubos y los radiadores de
automóvil, la transferencia de calor se realiza fundamentalmente por conducción y
convección desde un fluido caliente a otro frío, que están separados por una pared metálica.
En las calderas y los condensadores, es de fundamental importancia la transferencia de
calor por ebullición y condensación. En ciertos tipos de intercambiadores de calor, como
torres de enfriamiento, el fluido caliente (es decir agua) se enfría mezclándola directamente
con el fluido frío (es decir aire) o sea que el agua se enfría por convección y vaporización al
pulverizarla o dejarla caer en una corriente (o tiro) inducida de aire.
178
En los radiadores de las aplicaciones espac te, transportado por el
líquido refrigerante, es transferido por conducción y convección a la superficie de las aletas
y de allí por radiación térmica al espacio vacío. En consecuencia en los diseños térmicos de
los intercambiadores de calor es un área donde tiene numerosas aplicaciones los principios
de transferencia de calor que se discutieron a ateria de transferencia de calor.
El diseño real de un intercambiador de calor es un problema mucho mas complicado que el
análisis de la transferencia de calor porque en la selección del diseño final juegan un papel
muy importante los costos, el peso, el tamaño y las consideraciones económicas. Así por
ejemplo, aunque las consideraciones de costos son muy importantes en instalaciones
grandes, tales como plantas de fuerza y planta de tratamiento químico las consideraciones
de peso y tamaño constituyen un factor predominante en la selección del diseño en el caso
de aplicaciones espaciales y aeronáuticas. En el presente trabajo se pretende resumir los
spectos básicos qu entes tipos de
tercambiadores.
rminos especiales. Los terminos empleados para los principales tipos son calderas (o
iales, el calor sobran
través de la m
s
a e se tienen en cuenta para el diseño de difer
in
La mayoría de los intercambiadores de calor se pueden clasificar en base a la configuración
de las trayectorias del fluido a través del intercambiador, la aplicación que se les va a dar o
la relación térmica entre los fluidos trabajados. Examinaremos ahora la clasificación de los
intercambiadores de calor de acuerdo a estas diferentes consideraciones.
3.1.1 Clasificación por tipos de aplicación.
Para caracterizar los intercambiadores de calor en base a su aplicación se utilizan en general
te
generadores de vapor), condensadores, intercambiadores de calor de coraza y tubos,
torres de enfriamiento, intercambiadores compactos, radiadores para plantas de fuerzas
especiales y regeneradores. En seguida se describirán algunos aspectos típicos de estos
intercambiadores de calor.
179
CALDERAS.
Las calderas de vapor son una de las primeras aplicaciones de los intercambiadores de
calor. Con frecuencia se emplea el término generadores de vapor para referirse a las
calderas en las que la fuente de calor es unas corrientes de un flujo caliente en vez de los
productos de la combustión a temperatura elevada.
La principal función de la caldera es la de ceder calor a algún fluido de trabajo por medio
del aprovechamiento de la energía química de un combustible.
Las calderas generalmente se clasifican en calderas piro tubular y calderas acuotubulares,
esta clasificación depende de la disposición de los fluidos.
Figura 16. Calderas
ntenga su nivel.
LAS CALDERAS PIROTUBULARES
Consisten de una serie de tubos que transportan los gases residuales de una combustión que
se encuentran a elevada temperatura, estos tubos que se encuentran rodeados de una
determinada masa de agua, que al ganar calor de los gases se evapora y se transporta a
donde se requiera el vapor de agua para algún trabajo especifico (realizar potencia o hacer
limpieza de equipos alimenticios), el tanque que contiene la masa de agua se va llenando
continuamente para que ma
180
LAS CALDERAS ACUOTUBULARES
la superficie exterior de los tubos y le
ansfieren calor al fluido de trabajo.
Los tipos principales de condensadores son los condensadores de superficie, los
condensadores de chorro y los condensadores evaporativos. El tipo mas común es el
condensador de superficie, que tiene la ventaja de que el condensado se recircula a la
caldera por medio del sistema de alimentación. La figura 17 muestra una sección a través
de un condensador de superficie típico, de dos pasos, de una gran turbina de vapor de una
planta de fuerza. Como la presión de vapor a la salida de la turbina se de solo 1 a 2 pulg. De
Hg., la densidad es muy pequeña y rico es extremadamente alta.
El fluido de trabajo es transportado a través de tubos, los cuales atraviesan una cámara de
combustión esto hace que el fluido dentro de los tubos se evapore (casi siempre se evapora
agua pero existen otros procesos que requieren otros fluidos de trabajo) debido a que los
gases de la combustión a altas temperaturas rodean
tr
CONDENSADORES
La función principal del condensador es retirar el calor de algún fluido de trabajo y
transportar ese calor al ambiente.
la tasa de flujo volumét
181
Figura 17. Condensador
erir el vapor de la turbina al condensador,
almente se coloca este ultimo debajo de la turbina y acoplado a ella. El agua de
enfriamiento fluye horizontalmente dentro de los tubos en tanto que el vapor fluye
ente hacia abajo desde la gran abertura superior pasando transversalmente sobre
Para reducir la perdida de presión al transf
norm
verticalm
los tubos.
Obsérvese que se puede purgar el aire que existe en las regiones situadas sobre el centro del
depósito de agua caliente. Esto es muy importante porque la presencia de un gas no
condensable en el vapor reduce el coeficiente de transferencia de calor para la
condensación.
INTERCAMBIADORES DE CALOR DE CORAZA Y TUBOS
Las unidades conocidas con este nombre están compuestas en esencia por tubos de sección
circular motados dentro de una coraza cilíndrica con sus eje paralelos al aire de la coraza.
Los intercambiadores de calor liquido –liquido pertenecen en general a este grupo y
182
también en algunos casos los intercambiadores gas a gas son muy adecuados en las
aplicaciones en las cuales la relación entre los coeficientes de transferencia de calor de los
dos fluidos son del orden de 2 a 3 de tal forma que no hay necesidad de emplear superficies
extendidas.
En el caso de las aplicaciones gas a gas, la relación de los coeficientes de transferencia de
calor de las dos superficies o lados opuestos es generalmente de la orden de 3 a 4 y los
valores absolutos son en general menores que los correspondientes a los intercambiadores
de calor liquido – liquido en un factor de 10 a 100; por lo tanto se requiere un volumen
mucho mayor para la transferir la misma cantidad de calor. Existen muchas variedades de
este tipo de intercambiador; las diferencias dependen de la distribución de la configuración
de flujo y de los aspectos específicos de la construcción. Un factor muy importante para
determinar el número de pasos del flujo por el lado de los tubos es la caída de presión
permisible. El haz de tubos esta provisto de deflectores para producir de este modo una
distribución uniforme del flujo a trav
és de él. Ver figura 18
figura 1. intercambiador de coraza y tubos
183
TORRES DE ENFRIAMIENTO.
Las torres de enfriamiento se han utilizado ampliamente para desechar en la atmósfera el
calor proveniente de los procesos industriales en vez de hacerlo en el agua de río, un lago o
n el océano. Los tipos más comunes de torres de enfriamiento son por convección natural
la corriente de aire en la torre.
Se han construido grandes torres de enfriamiento del tipo de convección natural de más de
90m de altura para desechar el calor proveniente de las plantas de fuerza. Ver figura 19
e
y por convección forzada.
Torre De Enfriamiento Por Convección Natural.
En este tipo de torre el agua se pulveriza directamente en la corriente de aire que se mueve
a través de la torre de enfriamiento por convección térmica. Al caer, las gotas de agua se
enfrían tanto por convección ordinaria como por evaporación. La plataforma de relleno
situada dentro de la torre de enfriamiento reduce la velocidad media de caída de las gotas y
por lo tanto aumenta el tiempo de exposición de las gotas a
Figura 19. Torre de enfriamiento de tiro natural.
184
Torre de enfriamiento por convección forzada.
bligando al aire que fluya directamente hacia dentro. La figura
0 muestra una sección a través de una torre de enfriamiento de circulación forzada de tiro
ducido por un ventilador. Al aumentar la circulación del aire aumenta la capacidad de
En una torre de enfriamiento de convección forzada se pulveriza el agua en una corriente de
aire producida por un ventilador el cual lo hace circular a través de la torre. El ventilador
puede estar en la parte superior de la torre aspirando el aire hacia arriba, o puede estar en la
base por fuera de la torre o
2
in
transferencia de calor de la torre de enfriamiento.
Figura 20. Torre de enfriamiento de tiro inducido
REGENERADORES.
En los diversos tipos de intercambiadores que hemos discutido hasta el momento, los
fluidos frío y caliente están separados por una pared sólida (exceptuando las torres de
enfriamiento) en tanto que un regenerador es un intercambiador en el cual se aplica un tipo
de flujo periódico. Es de tivamente por los gases
aliente y frío entre los cuales se intercambia calor. En general los regeneradores se
mplean para precalentar el aire de las plantas de fuerza de vapor, de los hornos de hogar
cir, el mismo espacio es ocupado alterna
c
e
185
abierto de los hornos de fundición o de los altos hornos y además muchas otras aplicaciones
ue incluyen la producción de oxigeno y la separación de gases a muy bajas temperaturas. q
Ver figura 21.
figura 21. Regenerador
3.1.2 Clasificación según la relación térmica entre los fluidos Los intercambiadores co car así:
or una única diferencia de temperaturas:
luidos se encuentran térmicamente una vez, por lo que existe un
nica diferencia de temperatura local. (Ver figura 22)
n superficie de separación se pueden clasifi
P
De un solo paso: Los f
ú
Por múltiples diferencias de temperatura:
De múltiples pasos y de flujo cruzado: Existen múltiples diferencias de temperatura
localmente por sección de intercambiador. (Ver figura 22)
186
Figura 22.Clasificación de los intercambiadores de calor según las relaciones térmicas entre los fluidos
187
3.1.3 Clasificación según las configuraciones geométricas del flujo
b) Dos c
Ambas corrie
Vapor
orrientes en flujo paralelo
Líquido
ntes sin mezclar
d) Dos corrientes en
a) Una sola corriente (condensador)
c)Dos corrientes a contraflujo
Una corriente sin mezclar
flujo mezclado
188
e) Dos corrientes a contraflujo cruzado
f) Dos corrientes a pasos múltiples
Figura 23. Esquemas de configuraciones geométricas de flujo comunes para intercambiadores de calor
Las más importantes son:
Una sola corriente: es un intercambiador en el que cambia sólo la temperatura de un
fluido; la dirección del flujo carece de importancia. (Ver figura 23a)
Dos corrientes en flujo paralelo ecciones paralelas y en el
mismo sentido. Su forma m le consta de En la práctica, un
ar lo que se conoce como
intercambiador de coraza y tubo iador tipo placa consiste en varia placas
ta as ad cuado ara b as pre
Dos corrientes en contracorriente: los fluidos se desplazan en direcciones paralelas perro
en sentidos opuestos. Los intercambiadores de coraza y tubos o de placas también son los
más comunes. la efectividad de estos es mayor que la de flujos paralelos. ( ver figura 23 c)
: los dos fluidos fluyen en dir
ás simp dos tubos concéntricos.
gran número de tubos se colocan en una coraza para form
s. El intercamb s
separadas por juntas y resul m e p aj siones. (ver figura 23b)
189
T1
T2
Dos corrientes en flujo cruzado: las corrientes fluyen en direcciones configuraciones. Una
o ambas corrientes pueden estar sin mezclar .tiene una efectividad in edia entre en
intercambiador contracorriente y uno de flujo paralelo, pero su construcción es más
sencilla. (Ver figura 23 d)
Dos corrientes en contraflujo cruzado: son intercambiadores en donde los tubos pasan
varias veces por la coraza. El número de veces que pasa por la coraza se indica con el
número de pasos y entre mayo e pasos aumenta su efectividad. (Ver figura
23e)
Dos corrientes a pasos múltiples: cuando los tubos de un intercambiador de coraza y tubos
están dispuestos en uno o más pasos en el interior de la coraza, algunos de los pasos
producen un flujo paralelo, mientras que otros producen un flujo a contracorriente (ver
figura 23f)
a) Una sola corr
term
r es el número d
c) Contr
Figura 24. Configura
T Fluido Caliente
t1
T
iente (condensador)
acorriente ción característica de la
c
t 2
t2
2T-t
t1
b) Flujos paralelos
d) Flujos cruzados
temperatura de los fluidos para intercambiadores de diferentesonfiguraciones
t1Fluido frío
T1
t2
190
191
S DE TRANSFERENCIA DE CALOR GLOBAL
En la figura 24 se muestran las diferentes variaciones de temperaturas que pueden
experimentar un fluido al ingresar a un intercambiador de calor.
3.2 COEFICIENTE Este coeficiente se define en términos de la resistencia térmica total para la transferencia
de calor entre dos fluidos:
1 1 1UcAc UhAhUA
donde los subíndices c y h denota caliente y frío respectivamente.
Reemplazando los valores de Uc y Uh dependiendo de si esta del lado externo o interno
tenemos:
( )00
i0 1r/rln11++=
ii r2hk2r2hUA ΠΠΠ
l cálculo del coeficiente depende de si se basa en
n la stencias deb n incluirse y por lo tanto la
cuación 21 se modifica de la siguiente manera:
Ecuación 21a
E el área de la superficie fría o caliente. Si
e superficie se hallan impurezas sus resi e
e
( )00
i0
ii r2h1
k2r/rln
r2h1
UA1
Π+
Π+
Π= +R im
Las impurezas encontradas en diferentes materiales se pueden extraer de la tabla 7
purezas Ecuación 21b
TABLA 7. Valores recomendados para la resistencia por ensuciamiento en el diseño de intercambiadores
de calor
FLUIDO RESISTENCIA POR ENSUCIAMIENTO Rf
[W/m2K]-1
Aceite combustible 0.05
Aceite para transformadores 0.001
Aceites vegetales 0.003
Gasóleo ligero 0.002
Gasóleo pesado 0.003
Asfalto 0.005
Gasolina 0.001
Keroseno 0.001
Soluciones cáusticas 0.002
Líquidos refrigerantes 0.001
Fluido hidráulico 0.001
Sales fundidas 0.0005
Gas de escape de un motor 0.01
Vapor (sin aceite) 0.0005
Vapor (con aceite) 0.001
Vapores refrigerantes 0.002
Aire comprimido 0.002
Gas ácido 0.001
Vapore solventes 0.001
Agua marina 0.0005-0.001
Agua salada 0.001-0.003
Agua de torre de enfriamiento (tratada) 0.001-0.002
Agua de torre de enfriamiento (sin tratar) 0.002-0.005
Agua de río 0.001-0.004
Agua destilada o condensada de un ciclo cerrado 0.0005
Agua tratada de alimentación de calderas 0.0005-0.001
192
3.3 INTERCAMBIADORES DE CALOR
FORMAS DE ANÁLISIS
Para analizar intercambiadores de calor, existen dos métodos lican de acuerdo a la
relación térm
El método de la diferencia media logarítmica de tem ra (LMTD siglas en
ingles) que consiste en determinar una diferencia media de temperatura entre los
fluidos del int ador de calor.
El método del las eficiencias (relación ε vs. NTU) que consiste en determinar la
razón en ferencia de calor que puede ocurrir en un intercambiador
de calor y la transferencia de calor que ocurre realmente.
que se ap
ica entre los fluidos:
peratu
ercambi
tre la máxima trans
193
Lo anterior se puede es
Figura 25.Formas de análisis partérm
quematizar en la figura 25.
ANÁLISIS GLOBAL
UNA SOLA DIFERENCIA DE TEMPERATURAS
MÚLTIPLES DIFERENCIAS DE TEMPERATURAS
MÉTODO LMTD MÉTODO DEFECTIVID
E LA AD
MÉTODO LMTD MÉTODO DE LA EFECTIVIDAD
sal
ent
salent TTMTD
∆−
TTLn
LMTD
LUAQ
∆∆
∆=
= *
max
maxQQ BAJOCpDEFLUIDOε =
*QQ ε=
LMTD * LUAQ
)*( Ccc
V
FLMTDUAQMTD
==
R
( ).
min
** mCq
ent
m
TmCpT
Tp
∆∆
=
∆=
ε
ε
ε
mCmCR
NTU
=
=
Paso simple contracorriente
Paso simple En paralelo
uLMTDUAQ *=
ccLMTDUAQ *=
NTU
a loica
m
m
ppmC
UA
s intercambiadores de calor según las relaciones s entre los fluidos
ax
in
minp
194
3.4 ANÁLISIS DEL INTERCAMBIADOR DE CALOR, USO DE LA LMTD
195
t1
(Diferencia de temperatura media logarítmica.)
Es esencial relacionar en la transferencia de calor las temperaturas de entrada y salida de
los fluidos con el U y el área superficial total para transferir el calor.
er haciendo balances de ener
(figura 26):
Q = mCpC(T1– T2), para el fluido caliente.
Q = mCpf(t2 – t1), para el fluido frío.
Figura 26. Volumen de control en el intercambiador de calor
Al producto de la masa con el Cp (m*Cp) se le llamara C de ahora en adelante,
modificando las ecuaciones anteriores tenemos:
Q = Cc(T1 – T2), para el fluido caliente.
= Cf(t2 – t1), para el fluido frío.
Se ia
de temperatura ∆T entre los flu mbargo como ∆T varia con la
posición en el intercambiador, es necesario trabajar con la diferencia de temperatura media
adecuada.
Estas relaciones se pueden obten gía globales a cada fluido
Volumen de control en el
intercambiador de calor
Flujo frio
Flujo caliente
t2
T2
T1
Q
puede obtener otra expresión útil al relacionar la transferencia de calor con la diferenc
idos, ∆T = Tc – Tf. Sin e
196
3.4.1
Se hace un balance de energía para cada fluido, teniendo en cuenta las siguientes
La conducción axial a lo largo de los tubos es insignificante.
ducto UA es constante.
Intercambiador de calor de flujo paralelo
consideraciones (figura 27):
La única transferencia de calor es entre los dos fluidos.
Los calores específicos se toman constantes.
El pro
Se trabajan con valores promedios de U y Cp
.
T2
t1
T1
t2
t2
T(x)
t(x)LM TD
dA
T2
Di flujo paralelo
ía:
Figura 27. stribuciones de temperatura para un intercambiador de calor de
Para un diferencial de área dA tenemos el siguiente balance de energ
TCcq ∂−=∂ Cc
qT ∂−=∂ (1)
tCfq ∂−=∂ Cf
t =∂ (2)
δq = U (T – t)δA (3)
q−∂
1
t1
T
Restando las dos primeras ecuaciones anteriores:
qCfCc
tT ∂⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
+−=−∂ )( Ecuación 22
y reemplazando dq de la ecua
⎞⎛ 11
ción (3) en la ecuación 22:
( ) AtTUCfCc
t ∂−⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
+−=− ) ⎞⎛ 11T∂(
reordenando la ecuación anterior
( ) AUCfCct
∂⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
+−=−
TT∂(
e integrando:
t ⎞⎛− 11)
dACC
UttTtTd
FC∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−11
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
CfCcUA
tTtT
Ln 11
11
22 Ecuación 23
Al sustituir Cc y Cf nce de energía global, Cc = (T1 – T2)/q y Cf =
(t2 – t1)/q, tenemos
de las ecuaciones del bala
:
( ) ( )( )Q
tTtTUAtTtTLn 2122
21
12 −−−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
Despejando Q:
( ) ( )( )( )( ) ⎟⎟
⎞⎜
−=
22 tTLn
UAQ
Q = UA*∆ Ecuación 24
Por lo tanto el LMTD es la temperatura media adecuada.
A menudo no es conveniente suponer que el UA es constante a lo largo del intercambiador,
lo que puede deberse a los efectos de entrada (mientras se desarrolla la capa límite) y a
o. Si sólo interesa la región de entrada entonces
odemos reemplazar U en la ecuación 24 por un valor medio de U:
=UA∆Tlm;
−−− 1122 tTtT
⎠⎝ − 11 tT⎜⎛
TLMTD
variaciones de las propiedades del fluid
p
dxUL1U
L
0∫= Q
197
Si las variaciones de las propiedades del fluido también son importantes entonces es
necesario integrar la ecuación 22 en a, ya que U, Cc y Cf varían a lo largo del
intercambiador.
3.4.2 Intercambiador de calor en contracorriente
forma numéric
t1
T1
T2t2
Con el mismo análisis del intercambiador anterior se puede demostrar que la ecuación
anterior también se aplica a este caso, pero la diferencia de temperatura en los flujos
extremos la hace variar un tanto:
r que el coeficiente global de transferencia de calor u, se toma constante
sobre la línea.
Vamos a supone
Como ( ) ( )( )
( )( ) ⎟⎟
⎞⎜⎛ −
−−−=∆
22
1122
ttT
Ln
tTtTTLMTD
Ent
⎠⎜⎝ − 11T
onces: ccLMTDAUQ ∗∗=
Advierta que con las mismas temperaturas de entrada y salida se tiene, LMTDcc>LMTDu
198
Ejemplo 1:
Efecto de la dirección relativa de los flujos para las mismas temperaturas terminales:
Calcular LMTD
cccc
cc
LMTDUQA
Tt
=
TtTtTt
LMTD
⋅
=−
=−
−
−
−−= 5.44
40ln
5040)(
ln
)()(21
1221
u
u 80 > 33.66 > 10
40 50 > 44.5 > 40
50)( 12
u
u LMTDUQA
tT
⋅=
u tTtTtTLMTD =
−=
−−−−
= 66.3380ln
1080)(ln
)()(11
2211
LMTDcc>LMTD 44.5 > 33.66 (ok)
80 > LMTD > 10
− 10)( 22
50 > LMTDcc >
199
Ejemplo 2: Efectos de la relación de los productos (m · Cp ) de cada fluido:
/ Aceite
Para los siguientes datos de contracorriente:
Agua kgmw 5=& seg variable=am&
Cpw = 4000 J/kg ºC Cpa = 2000 J/kg ºC
Tl = 100 ºC tl = 20 ºC
T2 = 70 ºC t2 = ?
2000*4000*5
70100)20()20()2
30.)70100()1
22
aaa
wwaa
wwww
mR
CpmCpmttCpmQ
CpmCpmQ
&&
&&
&&
===−
−⇒−=
=−=
aaa
ww
mR
CpmCpmt
&&
& 10*3030)30(202 ===−
En un intercambiador el fluido con el producto (m · Cp ) menor, será el que sufra una
para un ∆Tw = 30 ºC
am& R t2-20 t2 observaciones 5 2 60 80 Aceite menor mcp 60>30
20 0.5 15 35 Agua menor mcp 15<30
∞ 0 0 20
max
min
CpmCpm&
&= Rmayor diferencia de temperatura, por tanto
200
3.4.3 Intercambiadores de pasos múltiples y de flujo cruzado
Para ese tipo de intercam d s ne s nes:
1. La temperatura del flu en la coraza está a una temperatura isotérmica promedio
o es igual.
3. El coeficiente total de transferencia de calor es constante.
4. La razón de flujo de cada uno de los fluidos es constante.
5. El calor específico de cada fluido es constante.
6. No hay cambios de fase de evaporación o condensación en una parte del
intercambiador.
7. Las perdidas de calor son despreciables.
Haciendo un balance de energía para un diferencial (dx) y haciendo un desarrollo similar al
que se hizo en el análisis del intercambiador de un solo paso encontramos la siguiente
ecuación para el calor
bia ores e tie n la siguientes suposicio
ido
en cualquier sección transversal.
2. El área de calentamiento en cada pas
201
Q = UA ∆t = UA(MTD)real MTD real = f(R,S) = FT(LMTDcc)
Donde [ ]( )( )
11
12
12
21
2
2
2
;;
112112ln)1(
)1/()1(ln1tTttS
ttTTR
RRSRRSR
RSSRFT −−
=−−
=
+++−
+−+−−
−−+=
Ejemplo
Valor relativo de la diferencia de temperaturas (MTD)real de un intercambiador de múltiples
pasos en relación a la diferencia media de intercambiadores de paso simple para cuando se
tienen las mismas temperaturas terminales.
Dado que un intercambiador de paso múltiple se comporta simultáneamente como de flujo
unidireccional y de flujo en contracorriente, se espera que el valor numérico de la
diferencia media de temperatura este entre el valor máximo determinado por el arreglo en
contracorriente y el valor mínimo determinado por el arreglo en flujo unidireccional, asi
que es posible relacionar la (MTD) real con la LMTDcc mediante un factor que lógicamente
sera menor que 1.
ccLMTD realMTDF =
para el caso particular en donde laT1=t1= Par
s temperaturas terminales sean: 100 T2=60 20 t2= 50
a flujo unidireccional: ( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )( )
( ) 66.331080=
−LMTDu
Par
10/80ln506020100lnln
22
11
−−
−−
tTtT
5060201002211 =−−−
=−−−
=tTtT
a flujo contracorriente: ( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )( )
( ) 81.4450402060
5010020602112 =−
=−
−−−=
−−−−
=tT
tTtTcc
50/40ln50100
lnln21
12
−− tT
LMTD
202
Para flujo de pasos múltiples: MTD = FT(LMTDcc)
Donde
real
[ ]( )( )
891.0
1)33.1(133.1375.02
1)33.1(133.1375.02ln)133.1(
)375.033.11/()375.01(ln1)33.1(375.0
201002050;33.1
205060100
2
2
2
=
+++−
+−+−−
⋅−−+=⇒=
−−
==−−
= TFSR
temperaturas terminales se cumple que
LMTDu < MTD real < LMTDcc
onde F es un factor de corrección que se puede determinar de graficas, para varias
configuraciones de intercambiadores de calor en función de las temperaturas.(Figura 28)
MTD real = 0.891(44.81) = 39.92 * Como podemos observar para las mismas
33.66 < 39.92 < 44.81
Aunque las condiciones de flujo son mas complicadas que las anteriores, se pueden usar las
mismas ecuaciones si se hace la siguiente modificación al LMTD:
∆T = F*LMTD ∆TLMTD
D
203
**
*
*
c) Intercambiador de calor de flujo cruzado donde los dos fluidos están
mezclados
1. El parámetro P tiene un límite para un R dado.
2. En la misma medida P aumenta (R dado) Fn disminuye.
Ejemplo:
m1 = 5 Kg/sg m2 = 20Kg/sg
Cp2 = 2000 Cp1 = 4000
T1 = 100ºC t1 = 20ºC
Buscar el Fn para diferentes valores de T2
CARACTERÍSTICAS:
204
20)100(2000*20
4000*5)20(2000*20)100(4000*5
2010020
2
22
2
1
22
−
=mm
2
2
11
12
1
2
12
1
+−=
=−−
−=
−−
=
=−−
=
Tt
tT
ttTtt
P
CpCp
ttTTR
T2 t2 P Fn(1 shell) Fn(2shell)
90 25 0,0625 0,999 0,999
80 30 0,125 0,98 0,98
50 45 0,3125 0,86 0,975
40 50 0,375 0,5 0,92
Si queremos aumentar t2 entonces, debemos disminuir el R, para lo que se tienen las
siguiente
1. Bajamos m2 disminuimos R
2. Subimos m disminuimos R
3. Elevar T1
s opciones:
→
→1
75,6820150
20375,0 22 =→
−−
= tt
4. Poner un intercambiador de doble paso por el casco.
riterios de selección de intercambiador de calor
casco (1 Shell): no debe haber cruce de temperatura,
locamos un intercambiador de 2 Shell.
C
1. Para un intercambiador de un
equivale a decir que Fn ≥ 0,85.
2. Si existe un cruce de temperatura co
205
d) Intercambiador de calor de flujo cruzado de dos pasos por tubos (sin mezclar) y un paso por coraza (mezclado)
Fi e c el método LMTD para diferentes intercambiadores
gura 28. Factor d orrección según
Figura 29. factor de corrección según el método de la LMTD para un intercambiador de
calor de un paso por coraza y 2,4,6.... pasos por tubos.
206
207
Ejercicio: Diseñar un intercambiador de banco de tubos aleteado para enfriar 20.6 Kg/sg de aire que se mueve por el exterior desde 80° hasta 60° C con agua a 10° C que se distribuye igualmente por el interior de todos los tubos del banco. El aire tiene una velocidad antes de entrar al banco de 5 m/sg. Características físicas del banco: a) El área frontal es un cuadrado b)El arreglo de los tubos es cuadrado con relación St/de= SL/de= 1.5 c)Los tubos son de de/di = 0.024 / 0.02 mt. d) Los parámetros de relación modular del banco son: Ai/At = 0.1 Afr/Amin = 1.8 Ai/V = 360 m2/m3 Af/At = 0.92 Dh = 0.006 m donde: Ai = Área interior del banco Af =Área de aletas At = Área total externa (Libre + aletas) Afr = Área frontal al aire Amin = Área mínima de flujo para el aire V = Volumen Dh = Diámetro hidráulico para calculo de Re y Nu externos Y las siguientes condiciones .
• La resistencia de la pared de los tubos representa el 12% de la resistencia total al flujo de calor
• La eficiencia de las aletas se puede tomar como 0.8 • Si en lugar de enfriar el aire con agua a 10° se utilizara un liquido que se vaporizara
a los mismos 10° utilizando el mismo tamaño de intercambiador el aire saldría a 38° en lugar de 60° entrando a los mismos 80° y se determinaría un coeficiente global de transferencia U1, 1.9 veces mas grande que el U del caso con agua.
• El coeficiente de transferencia de calor (para el aire) es función del numero de Reynolds según el siguiente gráfico.
208
.Solución: Para resolver este problema se requiere analizar primero la transferencia de calor del intercambiador de calor con los flujos de aire y vapor y luego con los flujos de aire y agua
nálisis de inA tercambiador Aire – Vapor:
pa
apaVA
Q
kgkjcT
TcmQ −
=−⋅=⇒
=⇒=+=
∆=
4.871256)3880(10076.20)1(
/1007592/)3880()2(
)1( &
CCVA LMTDFUAQ − ⋅⋅= )()3(tt −− 1010
WAVA UAUA −− = )(9.1)(
s de intercambiador Aire – Agua (w):
VAVA UAUA −− =⇒= 19006)(871256)(445
CC TtTtTLMTD ==
−−−=
−−−= 838.4542)1038()1080(
ln[()()(
1
2121
tTt⇒
−−−−
)7(8.
)28/70ln()]1038/()1080ln[()]/())6(
212
Análisi
A
tT −− 108011
P === 0)4( 12
Fgraficasde =⇒ 112 tt −− 1010
)5( TTR ∞=−
=−
=388021
10003)( =−WAU ⇒
209
024.05.1)32(360/)31(
)30(
2/)70()29(]10003/12.0[)]/(1[
)28(
)024.05.1/(/)27(
006.06.20Re)26(
)25(
)5/(6.20)24(
8.1/)23()/(6.20)22(
compactosadoresintercambitablaPr
)21(
)02.0(4
Re)20( =mw&
min
2
80
min
minmax
3/2max
⋅⋅==
=
+=
+−
=
⋅==
⋅=
=
⋅=
==
→
=
⋅
−
NFLVA
LAV
TTAh
TTQ
HSHNTF
A
HA
A
AAAU
Je
UcJeh
NFNTF
i
fr
sf
ii
wSWA
L
fe
fr
fr
fr
a
pwwe
wi
µ
ρ
ρ
ρµπ
1° Parte (8) – (15)
(8) Q (A) t2 (10) mw (12) P (13) R (14) F (15) LMTD (11) Q 414884 43 3 0.47 0.61 0.95 43.17 410278 414884 42 3.1 0.46 0.62 0.95 43.72 4 520 15
2° Parte (24) Afr = 4.11 (25) H = 2.02 (27) NTF = 56.11 ≈ 56 (23) Amin = 2.28 (A) NF
(20) Rei
(19) hi
(32) L
(30) V
(31) Ai
(28) Tse
(29) Tf
(26) Ree
(T) Je
(22) Um
(21) he
(16) UA
4 993.05 359.65 0.144 0.6 216 36.32 53.16 2792 0.017 8.24 175466 721 10 397.22 172.79 0.36 1.48 533 35.48 52.74 3051 0.017 7.65
)(PrRe02.0
023.0)19(
816.0)8.01(92.01)1(1)18(
110003)16(
1007702/)60
4.08.0
2
2
2
2
2
BolternDittusKh
A
RRRRRRR
RUAt
tLMTD
Fgraficasdet
R
tP
LMTDFQ
tcmQ
c
i
aT
fs
eiTe
R
TiT
TWA
CC
CC
wpw
p
P
−=
=−−=−−=
=⇒
+=⇒++=
=−
−−=
−−
=
−−
=
⋅⋅=
−==⋅=⇒
=⇒=+
−
ηη
321
&
88.012.0)17(
/1)()16(]50/)80ln[()50()80()15(
)14(106080)13(
108010)12(
10003)11(
)10(414884)10(414884)20(10076.20)8(
)]/(1[)]/(1[A
AhAh Tesii + η
80()9(
)6080(6.20)8(
T
cQ
a
pAWA
=
−⋅=−
210
t2
T2
T1
T2
3.5 ANÁLISIS DE UN INTER
EFICIENCIA - NUT
3.5.1 Eficiencia
Para definir la eficiencia de un intercambiador de calor,
transferencia de calor máxima posible q máx,
puede alcanzar en principio en un intercambi
inita. (Ver figura 30)
Figura 30.Variaciones de las temperaturas de los f
calor de corrientes paralelas
CAMBIADOR DE CALOR, MÉTODO DE LA
debemos determinar la
para el intercambiador. Esta transferencia se
ador de calor en contraflujo de longitud
inf
luidos a lo largo de un intercambiador de
y otro de contracorriente
E terca or un s flu tiene má os peratura de
entrada del fluido caliente debe ser igual a la temperatura de salida del fluido frío o
. Para ilustrar este punto, considere una situación en que Cf < Cc, en cuyo caso, de
ergía globales a cada fluido Q = Cc( T1 – T2) y Q= Cf(t1 – t2), | dt | > | dT|.
cambio de temperatura más grande y como L→ϖ,
temperatura de entrada del fluido caliente(t2 = T1). En consecuencia del
nce nerg lob flu Q (T 2) obtenem :
Cf < Cc
Q T
De manera similar, si Cf > Cc, el fluido caliente experimentaría el cambio de temperatura
más grande y se enfriaría a la temperatura de entrada del fluido frío (T2 = t1), del balance de
energía global Q = Cc(T1– T2), obtenemos entonces
Cc > Cf
T1
t2 t - T
t1t1
ximo p ible, (la temn tal in mbiad o de lo idos ob el ∆T
viceversa)
los balances de en
El fluido frío experimentaría entonces el
se calentaría a la
1 – T os entoncesbala de e ía g al al ido = Cc
max = Cf * ( 1- t1)
211
Qmax = Cc * ( T1 - t1)
A pa
Qmax = C ación 25
rtir de los resultados anteriores podemos escribir la siguiente expresión general
min * ( T1 - t1) Ecu
Análisis de intercambiadores por el método de la efectividad (ε , p ó s)
Ahora se puede definir la eficiencia como la razón entre la transferencia real de calor para
de calor má
un intercambiador de calor y la transferencia xima posible:
od
máximoCalortransferirealmenteCalor
dEfectivida = maxQ
Qreal Ecuación 26 =ε
Qmax: calor absorbido (ó retirado)del fluido que tenga el mCpmin y el cual sufre la máxima
diferencia de temperatura (T -t ).
Para un caso dado iferencia de
temperatura, por lo tanto:
1 1
el flujo que tiene menor mCp es el que sufre mayor d
( )11.. tTmCpQ MinMax −=
( )12.min ttCpCQreal −∗=
( )( )11min
12min
.max tTmCpttmCp
QQreal
−−
==ε
( )( )11
12
tTtt
−−
=ε Si el fluido frío es el que posee el mCpmi s: n entonce
Si el fluido caliente es el que tiene el mCpmin entonces: ( )( )11
21 TT− tT−
=ε
212
Para un intercambiador de flujo pa donde el fluido frío es el que
ralelo unidireccional en
tiene menor Cp , encontrar la ecuación de la eficiencia.
maxQQ ∗= ε ; LMTDAUQ ∗∗=
( )Definiendo ( )11
12
tTtt −
−=ε ;
12
21
max
min
ttTTmCp −
mCpR
−==
T 1T 2t2
t1
( ) ==− QttCp 12.min( ) ( )
22
11
2211
tTtTtTUA
−tT
Ln−
−−−=
( ) ( )12
1221
min22
*ttp
UA−
ando las temperaturas y simplificando tenemos
11 ttTTmCtT
tTLn −+−=
−−
Reagrup
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−−
−=−−
112
21
min11
22
ttTT
mCpUA
tTtT
Ln
Entonces: ( )RUAtTLn +−=mCptT Min−
− 122 11
( )RmCp
UAtT +
−− 1
22 etT
=− 11
min
213
Tomando el termino de la izquierda de la ecuación anterior y en el numerador restamos y
mamos t1 obtenemos:
su
( ) ( ) ε−−−
=−
−−−=
−−+−
11
12
11
1212
11
2112
tTtT
tTtttT
tTtTtT ( A )
Despejando T2 en función de R:
La ecuación ( A ) quedaría:
( )1212 ttRTT −−=
( ) εεε −∗−=−=−
−−− RtT
tttRT 111
1121
Despejando la efectividad:
( )( )R
mCpUA
MineR+−
−=+1
11ε
( )
Re
RmCp
UA
Min
+−
=
+−
11
1
ε
MinmCp
UANTU = entonces, ( )
Re RNTU
+−
=+−
11 1
ε Si definimos:
Los calores en cada fluido quedan:
)
Donde:
( ) ( 21111222 TTCpmttCpm
QQ calientefrío
−=−
=
12
21
11
22
ttTT
CpmCpmR
−−
==
si el mCpmin es el caliente →( )( ) 11
21
11min
21min
tTTT
tTmCpTTmCp
−−
=−−
=ε Qreal: mCp/ ∆ T
214
→ si el mCpmin es el frío ( )( ) 11
1212min ttttmCp −=
−=ε
11min tTtTmCp −−
idades calóricas:
Relación de capac
maxmCpminmCp
= Cuando el fluido caliente es el mismo R21
12
TTtt
mCpmCpR
frio
cal
−−
==→
ínimo Cuando el fluido frío sea el m12
21
ttTT
mCpmCp
Rcal
frio
−−
==→
3.5.2 Número de unidades de transferencia de calor NTU
El número de unidades de transferencia de calor NTU es un parámetro adimensional que se
ra el análisis de un inter or y se define como,
queda demostrado que ε es función del NTU y del R
Si definimos:
usa ampliamente pa cambiador de cal
minmCp
UANTU = entonces, ( )
Re RNTU
+−
=+−
11 1
ε
)
Donde:
Los calores en cada fluido quedan:
( ) ( 21111222 TTCpmttCpm
QQ calientefrío
−=−
=
12
21
11
22
ttTT
CpmCpmR
−−
==
Cuando tenemos área infinita en un intercambiador, el NUT se hace infinito, por lo que en
mbiador de flujo para lo la efectividad tiende a cero
Para cualquier intercambiador se puede demostrar que ε = f( NTU , C min / C max) donde
es, ε vs. NTU se pueden encontrar en gráficas o en las tablas (ver tabla 8)
un interca le
estas relacion
215
CASO F CTIVIDAD ormulas analiticas GRAFICA DE EFE Analisis
friomCp =min
min
1
1
tt
−1
2
1
2 ;
pUANtu
TtR
2
1
Cm
ttTT
&=
−=
−−
= ε
Int dor im
al
ercambia
unidireccion
de paso s ple
T1
t1
T2t2 calientemCp =min
min
1
2
tT
−1
1
21
;
CpmUANtu
TT
TTR
&=
1 tt i −=
−−
= ε
1
0,5
R = 1
R = 0
Asíntota
TUN
( )
( )R
R
NTU
NTU
eRe
−
−−
∗=
1
1 −1−
−1ε
NTU
ite
ite
+
∞1
lim
lim
ε
A
=
→→
1
ε
R
friomCp =min
min
11
12
12
21 ;
CpmUANtu
tTtt
ttTTR
&=
−−
=−−
= ε
Int dor imple y ercambiacontracorriente
de paso s
t1
T
T2t
1
2
El análisis para este caso se reali
igual al caso unidireccional
za
1
( )
( )RNTU
NTU
eRe
−−
−
∗−−
= 1
1
11
R−
ε
( )RNTUeRe
−−
−∞
∗−−
= 111ε
1=LIMITEε
216
TABLA elaciones de eficiencia de un intercambiador de calor R = C mínimo /C máximo
Arreglo de flujo Relación
8 .R
Tubos concéntricos
Flujo paralelo ( )( )
RRNUT
++−−
=1
1exp1ε
Contraflujo
( )[ ]( )( )RNUTR
RNUT−−−
−−−=
1exp*11exp1ε ; R<1
NUTNUT+
=1
ε ; R=1
Coraza y tubos
paso por la coraza(2,4,... pasos de
tubos) ( ) ( )[ ]
( )[ ]1
2/12
2/122/12
R1NUTexp1R1NUTexp1R1R121
−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+−−
+−++++=ε Un
1nn
R11R111
11R11
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
ε−ε−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
ε−ε−
=ε N pasos por la coraza (2n,4n,.. pasos
por la coraza)
Flujo cruzado (un solo paso)
Ambos fluidos sin mezclar ( )[ ]{ }⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−− N−⎟
⎠⎞
⎜⎛−=ε 1UTRexpNUT1exp1 78.022.0 ⎝ R
Cmáx (mezclado)
Cmín (sin mezclar) ( )NUT[ ]{ }( )exp1Rexp1
R1
−−−=ε
Cmín (mezclado)
Cmáx (sin mezclar) [ ( )]{ }( )NUT RR −−−−= − exp1exp1 1ε
Todos los intercambiadores n (Cr=0) ( )NUT−−= exp1ε
217
TABLA 9 .Relaciones del NUT de un intercambiador de calor
Arreglo de flujo ión Relac
Tubos concéntricos
( ){ }R1
R11lnNUT+
+ε−−= Flujo paralelo
⎟⎞1
; R<1 ⎠
⎜⎝⎛
−−
−=
1*ln
11
RRNUT
εε
Contraflujo
1−=
εεNUT ; R=1
Coraza y tubos
Un paso p raza(2,4,... pasos de tubos)
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+−
+−=−
1E1ElnR1NUT 2/12
( )( ) 2/12R1
R11/2E+
+−ε=
or la co
N p asos por la coraza)
Use las ecuaciones del intercambiador anterior con
RFF
−−
=11ε
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−ε−ε
=1
1R*F
asos por la coraza (2n,4n,.. p
Flujo cruzado (un solo paso)
( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ε−+−=
Cmáx (mezclado)
Cmín (sin mezclar) R*1ln
R11lnNUT
Cmín (mezclado) ( )( )[ ]R*1lnRlnR1NUT ε−−=
Cmáx (sin mezclar)
Todos los intercambiadores con Cr=0 )1ln( ε−−=NUT
218
219
CASO RELACION DE EFECTIVIDAD EFECTIVIDAD LÍMITE
Intercambiador De
flujo paralelo
1 2
T
t
( )( )RUT RN
++−−
=1
1exp1ε
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 2 3N1 4 5UTEF
ECTI
VID
AD
R=0 R=0,25 R=0,5 R=0,75 R
Cuando el intercambiador tiene un área infi UT también tiende a infinito. Entonces de la r ón de
efectividad tenemos que la efectividad tiende
=1
nita, el Nelaci
a R+1
máxi es 5
1 , es
decir que cada R dado tiene una efectividad ma. Por ejemplo para R=1 la efectividad má a 0% xim
0
0,25
0,5
0,75
1
0 1 2 3 4 5NUT
EFEC
TIVI
DA
Intercambiador de flujo contracorriente
1 2
T
t
( )[ ]( )( )RNUTR
RNUT−−
−−=
1e*11ex1
ε ; R<1 −
−xpp
∞→+−
= NI.. Usi.........0101
limε ; cualquier RPara
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5NUT
EFEC
TIVI
DA
D
R=0 R=0,25 R=0,5 R=0,75 R=1
so cuando el NUT tiende a infinito, la relación de eficiencia tiende a 1, sin rtar
R=1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
En este caimpo R
0 5 10 15 20
NUT
EFEC
TIVI
DA
D
R=1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
10 20 30 40NUT
EFIC
IENC
IA
0
1 R=1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
10 20 30 40NUT
EFIC
IENC
IA
0
1
ε
OGÍA DEL CÁLC DE UN INTERCAMBIADOR
DE CALOR
Se h a s métodos para realiz análisis en un intercambiador de calor el
método del LMTD y el método de la efi bos métodos se pueden usar y se
obtendrán resultados equivalentes, pero dependiendo de lo que se conoce y lo que se desea
hallar un método puede resultar más efectivo que el otro.
El método LMTD se facilita con el conocimiento de las temperaturas de entrada y salida de
fluidos calientes y fríos, pues el LMTD se puede calcular fácilmente, es decir si se
ocen las temperaturas, el problema consiste en diseñar el intercambiador de calor
mero de tubos por fila o números de filas por tubos, material de los tubos, etc.).
rmalmente se tiene las temperaturas de entrada y salida del fluido y su velocidad con lo
solo queda seleccionar un tipo de intercambiador apropiado, es decir determinar el área
erficial de transferencia de calor.
manera alternativa se puede conocer el tipo de intercambiador y el tamaño mientras el
objetivo es determinar la transferencia de calor y la temperatura de salida del fluido para la
circulación del fluido y temperatura de entrada establecidas. Con esto podemos calcular el
rendimiento de un intercambiador, pero los cálculos serían muy tediosos y requerirían
iteración.
La naturaleza iterativa de la solución anterior se podría e r usando el método Nut. A
o iento del tipo de intercam o y las velocidades del flujo,
los valores d t y de Cmin/Cmax se podrían calcular y ε dría determinar entonces de
la tabla o ecuación apropiada. Como qmax también se puede calcular es fácil calcular la
transferencia real de calor a partir del requisito que q = ε*qmax y ambas temperaturas de
salida del fluido se pueden determinar.
3
.6 METODOL
an analiz do do
ULO
ar un
ciencia, am
los
con
(nú
No
que
sup
De
lim
tam
se
ina
añ
po
partir del c no
el
cim
Nu
biador y del
220
EL COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE
4. TABLA DE CORRELACIONES PARA CALCULAR
CALOR EXTERNO EN BANCO DE TUBOS
221
Para determinar el coeficiente de transferencia de calor dentro de un ducto se pueden usar cualquiera de las siguientes correlaciones: TUBOS LISOS FLUJO TURBULENTO
FORMULA CONDICIÓN OBSERVACIONES
f =(0.79*ln(ReD)-1.64)-2 104 < ReD < 5*105Si f no se encuentra dentro del rango de
ReD, f se determina del diagrama de Moody
NuD = 0.023ReD0.8*Prn ReD > 2600 n = 0.4 para calentamiento n = 0.3 para enfriamiento.
( )( )
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+
−=
18f7.121
10008f
322
1
r
rEBUD
P
PRN 3000 < ReD < 106
TUBOS RUGOSOS FLUJO TURBULENTO
2134.7*
02.54.7*2 −⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−−=
eDeD RreLogRr
eLogf ; ReR = ReD*e/De*(f/8)0.5; ReR es el Reynolds rugoso
0 < ReR < 5 flujo hidrodinámicamente liso 0 < ReR < 60 flujo rugoso en transición
60 < flujo totalmente rugoso
223
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+
=85.11PrRe55.089.0
83
25.05.0
ehf
f
StR
Di
De
( )( )DiDe
DiDe+
−π
π 22
4*4
; ha se determina de la tabla 4.8 Pág. 350 del libro Mills
Para un flujo a través de un tubo de cualquier forma se trabaja con las formulas anteriores bajo las mismas condiciones pero el
Reynolds se evalúa con el diámetro hidráulico.
Dhid = 4*A/P
Siendo A el área de la sección transversal y P el perímetro mojado por el fluido.
224
para determinar el valor del coeficiente de transferencia de calor externo en un flujo transversal a un cilindro se pueden usar cualquiera
de las siguientes formulas:
FORMULAS CONDICIONES OBSERVACIONES
NuD = C*ReDm*Pr1/3
0.4 < ReD < 4*105
Pr>0.7
Se obtiene errores de hasta un 20% las
propiedades son evaluadas a Tf los
valores de Con y m se toman de la tabla
7.2 de la Incropera
las propiedades se evalúan a la
temperatura media del fluido 1 < ReD < 106 NuD = C*ReD
mPrn(Pr/Prs)1/4
0.7 < Pr < 500 Prs se evalúa a la temperatura de
superficie
F=1 Para
( )( ) 4
13
2
21
Pr4.01
31Pr62.0
3.0
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
+=FR
N EDUD
( ) 21
282000Re1 dF +=
ReD < 104
2*104 < ReD < 4*105
( ) 54
85
282000Re1 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += dF
4*104 < ReD < 5*106
Nud = (0.8237 – ln(RePr)1/2)-1 RePr < 0.2 para flujos con un Reynolds bajo
Para determinar el valor del coeficiente global de transferencia de calor en un flujo transversal externo en tubos de diferentes formas
(triangular, hexagonal, cuadrado, etc) se determina con la siguiente relación:
225
Nud=C*RenPr1/4, los coeficientes Con y n se obtienen de la tabla 6-3 del libro de Hollman o la tabla 7.3 de la Incropera.
El ReD es evaluado con el diámetro característico D encontrado en las tablas anteriormente nombradas.
ReD = V*D/ν
En un banco de tubos el ReD se determina con el área mínima, ya que aquí se presentara la velocidad máxima de flujo, para tal efecto
se tiene la siguiente relación:
( ) ⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
−∞=
DStSl
St
DStStVV
21
22
2
2,max*max ; ReDmax = Vmax*D/ν
226
227
FORMULA OBSERVACIONES
Nu+10filas = ΦNu1fila
Ψ = 1-π/(4PT) si PL≤10
Ψ = 1-π/(4PTPL) si PL≥10
( ) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
−
Ψ+=Φ 25.1
7.0
3.07.01St
SlSt
Slalineado
Ptalternado 321+=Φ
( ) filafilas NudN
NNud 110 11 Φ−+=<
Para determinar el Nud1fila se utilizan las correlaciones para
el Nud en un flujo externo a un cilindro.
PL=SL/De , PT=St/De
SL es la distancia entre tubos longitudinalmente.
ST es la distancia entre tubos transversalmente.
D es el diámetro externo del tubo.
Φalineado es el factor para un arreglo de tubos alineados
Φalternado es el factor para un arreglo de tubos alternado
Nud<10filas se utiliza cuado el banco de tubos tiene menos de
10 filas.
Nud>10filas = CReDnPr1/3 n y Con se evalúan de la tabla 6-4 Pág. 283 del libro de
Holman
Nud<10filas=C2Nud>10filas C2 se evalúa de la tabla 6-5 Pág. 284 de la Holman
5. PROBLEMAS DE APLICACIÓN
228
Aun precalentador de aire llegan 16 kg/seg de gases a 500°C y 15 kg/seg de aire a 30°C. El
precalentador tiene un área de 400m2 y un coeficiente de transferencia de calor global de
1000W/m2°C.
Hallar el número de filas adicionales que se deben colocar para que se extraiga el 50% más
de calor del gas en el economizador.
Después del precalentador los gases pasan a un economizador en donde por dentro de sus
tubos pasa agua a 20°C a una rata de 8 kg/seg. Los tubos se encuentran doblados en forma
de serpentín de tal forma que quedan 14 filas, tienen un diámetro externo de 2”, un espesor
de 0.05” y un largo de 2 m. El economizador tiene 6 tubos por filas, un arreglo de 45° y
Ltpd =1.2Dext
229
Tomar las propiedades del gas como 1.2 las propiedades del aire a la temperatura
correspondiente.
PROCEDIMIENTO VARIABLE CORRELACIÓN DE CHURCHILL
Y BERNSTEIN
CORRELACIÓN DE
GRIMSON
CORRELACIÓN DE
ZHUKAUSKAS PRECALENTADOR
Asumo Tg2 Tg2 427 427 427Con Tg2 hallo Cpg Cpg 1306 1306 1306
Haciendo balance e energía al gas en el precalentador tenemos Q ..16 Cpg ( )500 Tg2
Q
1.525*106
1.525*106
1.525*106
Suponemos Cpa Cpa 1009 1009 1009
Del balace de energía para el aire en el precalentador tenemos
Ta2Q.15 Cpa
30
Ta2
130.8
130.8
130.8
TaTa2 30
2
Ta
80.4
80.4
80.4
Con Ta vuelvo a calcular Cpa, hasta que este no cambie
Cpa
1009
1009
1009
Calculamos la LMTDcc
LMTDcc( )500 Ta2 ( )Tg2 30
ln500 Ta2Tg2 30
LMTDcc 382.3 382.3 382.3
Hallamos los valores de P y Z
PTg2 500
470
P 0.155 0.155 0.155
230
Z.Cpg 16.Cpa 15
Z 1.381 1.381 1.381
F es encontrado en gráficas con los valores de P yZ F 1 1 1 Se recalcula el calor transferido con la ecuación de la LMTD y se
corrobora con el que se obtuvo anteriormente Q ..UA LMTDcc F
Q 1532*106 1532*106 1532*106
ECONOMIZADOR
Asumimos Tg3 Tg3 354 367.55 378Hallamos la temperatura media del gas en el economizador
TgTg2 Tg3
2
Tg 390.5 397.15 404
Cpg2(Tg) Cpg2 1278 1281 1282Haciendo balance de energía para el gas en el economizador
tenemos Q2 ..16 Cpg2 ( )Tg2 Tg3
Q2 1.186*106 1.218*106 1005*106
Suponemos Cpw Cpw 4179 4179 4178Con el balance de energía al agua en el economizador tenemos
Tw2Q2.8 Cpw
20 Tw2 64.65 56.4 50
Hallamos la temperatura media del agua
TwTw2 20
2
Tw 42.3 38.2 35
Con Tw vuelvo a calcular Cpw, hasta que este no cambie Cpw 4179 4179 4178
Con Tw buscamos las propiedades del agua Prw(Tw) Prw 4.16 4.252 4.252
231
µw(Tw) µw 631*106 682*106 682*106
Kw(Tw) Kw 0.634 0.63 0.63Con las propiedades del agua hallamos el Reynolds interno
Rei.8 4
....π 1.9 0.0254 6 µw
Rei 5.75*104 51580 51580
f ( ).0.79 ln( )Rei 1.64 2 f
0.02
0.021
0.021
Hallamos el Nud interno dependiendo del valor del Rei
Nudi
..f8
( )Rei 1000 Prw
1 ..12.7f8
12
Prw
23 1
Nudi 288.345 272.583 272.583
Hi .NudiKw
0.035 Hi 5223 4906 4906
Asumimos Ts Ts 60 60 50
Hallamos la temperatura fílmica Tf
Ts Tg2
Tf 229 228.6Las propiedades se evaluan a Tg
Con Tf buscamos las propiedades del gas
Prg(Tf) Prg 0.8208 0.8208 0.828
Kg(Tf) Kg 0.04884 0.04884 0.616µ g(Tf) µg 324*10-7 324*10-7 398*10-7
Con las propiedades calculamos el Reynolds externo Ree 22840 22840 18590
232
Ree0.74µg
y con este hallamos el Nud externo con las diferentes relaciones
Correlación de Churchill y Bernstein
Nud1 . 0.3 . . 0.62 Ree 0.5 Prg
1 3
1 0.4 Prg
2 3
1 4
1 Ree
282000
0.
Nud1 100.3
Φ=1+2/3Pt Φ 1.38 Nudg .Φ Nud1 Nudg 138.4
Correlación de Grimson C(St/d, Sl/d) en tablas C 0.495
n(St/d, Sl/d) en tablas n 0.571
Nudg ..C Reen Prg
13
Nudg
142
Correlación de Zhukauskas C(Ree, alernados St/Sl>2) en tablas C
0.6
m(Ree, alernados St/Sl>2)en tablas m 0.4
Nudg ...C Reem Prg0.36 PrgPrgs
14
Nudg 91.6
233
He .NudgKg
0.0508 He 133.1 137.332 111
Hallamos la resistencia de la pared
RPln
21.9
.....2 π K 2 NTF NF
RP 9.66*10-6 9.66*10-6 9.66*10-6
Evaluando globalmente la temperatura superficial con el balance de energía para los tubos tenemos
Ts
.Tg1
.Hi 25.33RP .Tw
1.He 26.38
1.Hi 25.33
RP1
.He 26.38
y corroboramos con el valor asumido antes
Ts 58.27 58.89 53.16
Hallamos el coeficiente global de transferencia de calor para el economizador
UA21
1.He 26.38
RP1
.Hi 25.33
UA2 3310 3410 2786
Calculamos la LMTDcc
LMTDcc( )425 Tw2 ( )Tg3 20
ln425 Tw2Tg3 20
LMTDcc 359 359.165 366.6
234
Calculamos Py Z
PTw2 20425 20
P 0.088 0.088 0.082
Z.Cpw 8
.Cpg 16 Z 1.381 1.381 1.381
El factor de corrección F se encuentra en gráficas, con los valores de P y Z F 1 1 1
Hallamos el valor del calor transferido en el economizador y lo
corroboramos con el obtenido anteriormente
Q2 ..UA2 LMTDcc F
Q2 1.189*106 1.218*106 1021*106
Para hallar el nuevo calor
Q3=Q2*1.5 Q3 1.783*106 1.828*106 1.531*106
Con el balance de energía al gas en el economizador
Tg4 425Q3.16 Cpg
Tg4 340 337.5 351
Con el balance de energía al agua en el economizador
Tw3Q3.8 Cpw
20 Tw3 73.3 74.7 65
Hallamos la LMTD
LMTD( )425 Tw3 ( )Tg4 20
ln425 Tw3Tg4 20
LMTD 335.4 333.6 345
235
PTw3 Tw2Tg3 Tw2
P 0.03 0.155 0.08
Z.Cpg 16.Cpw 8
Z 0.625 0.625 0.625
F(P,Z) F 1 1 1Hallamos el coeficiente de transferencia de calor global con la
ecuación del LMTD
UAQ3
.LMTD F
UA 5317 5478 4343
Asumimos el número de tubos por fila NF NF 41 39 41suponemos Ts para hallar la nueva temperatura
fílmica Ts 70 70 70
Hallamos la temperatura media del gas
TgTg3 Tg4
2
Tg 354 352.5 364
TfTs Tg
2 Tf 202 211.25 215
Con Tf hallamos las propiedades del gas Kg(Tf) Kg 0.0468 0.0468 0.0468
µg(Tf) µg 312.*10-6 321*10-6 321*10-6
Prg(Tf) Prg 0.685 0.685 0.685
236
Con las propiedades del gas hallamos el Reynolds externo
Ree
..16..( )0.09 .2 0.0254 2 NF
2 0.0254
µg Y con esto hallamos el Nud externo con cada correlación
Ree 7804 7441 6353
Correlación de Churchill y Bernstein
Nud1 .0.3..0.62 Ree0.5 Prg
13
10.4Prg
23
14
1Ree
282000
0.5
Nud1 53.37
Nudg .Φ Nud1 Nudg 73.7Correlación de Hilpert C(st/d, Sl/d) de tablas C 0.495
n(st/d, Sl/d) de tablas n 0.571
Nudg ..C Reen Prg
13
Nudg 75.3
Correlación de Zhukauskas C(st/d, Sl/d) de tablas C 0.446
m(st/d, Sl/d) de tablas m 0.571Prgs(Ts) Prgs 0.84
237
Nudg ...C Reem Prg0.36 PrgPrgs
14
Nudg 48
He .NudgKg
0.0508 He 70.8 72.38 58
Hallamos la resistencia de la pared
RPln
21.9
.....2 π 40 2 6 NF
RP 4.15*10-7 3.955*10-7 4148*10-7
Hallamos la temperatura media del agua
TwTw3 Tw2
2
Tw 64.8 65.55 57
µw(Tw) µw 439*10-6 439*10-6 439*10-6
Kw(Tw) Kw 0.657 0.657 0.657Prw(Tw) Prw 2.792 2.792 2.792
Rei.8 4
....π 1.9 0.0254 6 µw Rei 80130 80130 80130
f ( ).0.79 ln( )Rei 1.64 2 f 0.019 0.019 0.019Hallamos el Nud interno
Nudi
..f8
( )Rei 1000 Prw
1 ..12.7f8
12
Prw
23 1
Nudi 324.4 324.4 324.4
238
Hi .NudiKw
0.04826 Hi 4416 4416 4416
Evaluando globalmente la temperatura superficial de los tubos
Ts
.Tg 1..Hi ( )...π 1.9 0.02546 NF
RP .Tw 1..He ( )...π 0.05082 6 NF
1..Hi ( )...π 1.9 0.02546 NF
RP 1..He ( )...π 0.05082 6 NF
Y con este corroboramos el valor asumido anteriormente
Ts 74 75.4 66
Hallamos el número de filas de la ecuación del UA con las resistencias térmicas totales
NF .1.He ( )...π 0.05082 6
1.Hi ( )...π 1.9 0.02546
ln 21.9
....2 π 40 2 6UA
Y corroboramos con el valor supuesto
NF 40.6 38.8 40.8
Los valores en rojo son han sido asumidos para comenzar a iterar, los que estan en verde son los que se han supuesto e inmediatamente
obtenidos y los valores en azul son los valores con los que se corrobora la iteración, es decir aquellos valores que deben ser iguales
para obtener el resultado final.
239
Los tubos tienen un diámetro externo de 0.04 m y un diámetro interno de 0.035 m, longitud
de 2 m y un K de 40 W/m°C, pueden soportar una temperatura máxima de 390°C, en el
interior fluye 6 kg/seg de agua que se reparte uniformemente en cada tubo y tiene una
temperatura de 40°C. Hallar la fracción de aire que recircula y el número de tubos por fila
que hay.
Se tiene un banco de tubos alineados con St/Dext= 1.5 en donde entran 10 kg de aire a
560°C y sale a 400°C y una cantidad de aire esta recirculando por el banco de tubos.
240
PROCEDIMIENTO DE
VARIABLES CORRELACIÓNDE
CHURCHILL Y BRESTEIN
CORRELACIÓN DE
GRIMSON
CORRELLACIÓN
ZHUKAUSKAS
Asumimos Tw2 Tw2 82 79 80Hallamos la temperatura promedio del agua
Twprom 40 Tw22
Twprom
61
59.5
61
Cpw(Tw) Cpw 4186 4186 4186Con el balance de energía total al agua en los tubos tenemos
Q ..6 Cpw ( )Tw2 40
Q
1055*106 8539*106 1005*106
Con Tw buscamos las propiedades del agua Kw(Tw)
Kw
0.68
0.68
0.68
Cpw(Tw) w Cp 4186 4186 4186Prw(Tw) Prw 2.88 2.88 2.88 µw(Tw) µw 4. -4 4. -4 4.53*10-453*10 53*10
Suponemos Cpa (Ta1) Cpa 1075 1075 1075 Combinando las ecuaciones de balance de energía para el gas en
el Intercambiador y el balance de energía en la cámara de mezcla,
eliminamos F (siendo F =masa de recirculación/ masa de aire que
entra) y obtenemos
Ta1...400 Cpa 10 ( ).1106.26560 .400 1057.71 ..400 1057.71Q..10 Cpa ( ).1106.26560 .400 1057.71 .Q Cpag
Ta1
402.2
402
402.2
Hallamos el Cpa del aire a la temperatura de entrada y corroboramos con el que supusimos antes
Cpa (Ta1)
Cpa 1075 1075 1075
Hallamos la temperatura promedio del aire
Ta Ta1 4002
Ta
401
401
401
Con la temperatura de entrada de los gases Cpag(Tag)
Cpag
4187
4187
4187
Con la temperatura promedio del aire
241
µa(Ta) µa 322*10-7 322*10-7 322*10-7Ka(Ta) Ka 0.495 0.495 0.495Pra(Ta) Pra 0.65 0.65 0.65
Haciendo balance de energía a todo el aire que pasa por el banco de tubos
F ( ).1096 560 ( ).Ta1 Cpag( ).Cpag Ta1 ( ).400 1057.71
siendo F =masa de recirculación/ masa de aire que entra
44.7
F
41.25
43.5
Asumiendo NTF NTF 51 51.5 51.5Hallamos la resistencia de la pared
RPln 0.04
0.035.....2 π 40 2 8 NTF
RP
6.477*10-7 6.46*10-7 6.448*10-7
Hallamos el Reynolds interno
REi .6
....π0.0352
48 NTF µw
0.035
REi
1169
1172
1691
f ( ).0.79 ln( )REi 1.64 2 f 0.064 0.064 0.064
Hallamos el Nud interno
Nudi
..f8
( )REi 1000 Prw
1 ..12.7 f8
12
Prw
23 1
Nudi
1.81
1.836
811. 3
Hi .Nudi Kw0.035
Hi
35.2
35.7
35.2
Calculamos el área interna Ai ....π 0.035 8 2 NTF
Ai
90.6
90.4
90.6
Hallamos la LMTD
LMTD
339.6
341
340.5
242
LMTD ( )400 Tw2 ( )Ta1 40
ln 400 Tw2Ta1 40
Calculamos el área externa
Ae ....π 0.04 2 8 NTF
Ae
103
103.3
103
Hallamos el UA con la LMTD
UA QLMTD
UA
3106
2872
2950
Con las propiedades del aire y el numero de tubos por fila supuestos hallamos el RE externo
REe..10 ( )1 F 0.04..NTF 0.02 µa
y con él calculamos los Nud externos con cada correlación
REe
50880
55110
53630
Correlación de Churchill y Berstein
Nud1 .0.3..0.62 REe0.5 Pra
13
1 0.4Pra
23
14
1 REe282000
58
45
Nud1
701
ψ 1 π.4 1.5
ψ 0.476
Φ 1 .1 0.3
.ψ1.5 ( )1 0.7 2
0.7
Φ 1.516
NudA .1 .7 Φ
8Nud1
NudA
1017
Correlación de Grimson C(St/d, Sl/d)
C
0.386
n(St/d, Sl/d) n 0.592
243
NudA ..C REen Pra
13
NudA
852
Correlación de Zhukauskas C( alineado, Ree)
C
0.27
m ( alineado, Ree) m 0.63 Pras(Ts) Prs 0.84
244
Los valores en rojo son han sido asumidos para comenzar a iterar y los valores en azul son los valores con los que se corrobora la iteración , es decir aquellos valores que deben ser iguales para obtener el resultado final.
NudA ...C REem Pra0.36 PraPras
14
NudA
931
He .NudA Ka0.04
He
1264
1062
1157
Hallamos el coeficiente de transferencia de calor global con las resistencias totales
UA 11.He Ae
RP 1.Hi Ai
y corroboramos con el hallado anteriormente
UA
3106
3128
3135
Se halla el Nud externo de la primera fila de tubos
Nud1 .0.3..0.62 REe0.5 Pra
13
1 0.4Pra
23
14
1 REe282000
58
45
747
Nud1
701
747.3
Con la evaluación de la temperatura superficial en el lugar donde alcanzará la mayor temperatura (a la salida de los tubos de la primera fila)
Tw2 390
..( )Ta1 390 Nud1 Ka0.04
Hi
Tw2
86.6
79.55
79.37
¿Qué ancho debe tener un intercambiador de aletas en donde se enfría aire de 30°C a 10°C
a una rata de 5kg/seg si por dentro de los tubos pasa Refrigerante R134A a 10°C y con un
coeficiente de transferencia de calor de 600 W/m2°C?. La velocidad del aire a la entrada
del intercambiador es de 6 m/seg.
Características geométricas modulares del equipo
Ai/At=0.1
Afrontal/Amínima=1.87
Ai/V=400 m2/m3
Condiciones
La resistencia de la pared es el 12% de la resistencia total
La eficiencia de la aleta es 80 %
El diámetro equivalente es 0.004m
245
Con las temperaturas de entrada y salida del aire y la temperatura del refrigerante podemos
calcular la eficiencia:
εTa1 Ta2
Ta1 TR134 =ε 0.5
Como podemos considerar el intercambiador como un evaporador, el Cmín/Cmáx es igual a
cero y tenemos entonces la siguiente relación para NUT(ε,0):
NUT ln( )1 ε =NUT 0.693 Teniendo en cuenta que el fluido con el Cmín es el aire (Cpa=1011.3):
UA ..NUT ma Cpa
UA= 3504
y UA = 1/RT donde RT 1.Hi Ai
1..He At ηs
RP
RT .1.Hi Ai
1..He At ηs
10.88
UA 0.881.Hi Ai
1..He At ηs
ηs 1 .AfAt
( )1 ηa
Ecuación A Ai .0.1 At Ai + Af =At Af = 0.9At ηs=0.82
Para hallar He debemos usar la gráfica J vs Remáx
REmax.ma Dequiv
.Amínµa Af =ma / ρa* u =0.888 m
AmínAf1.87 Amín =0.475m2
µa =218.94*10-7
Re máx = 1992
Con Remáx hallo J de las gráficas que dependen del tipo de intercambiador (la disposición y
tipo de las aletas –se pueden encontrar en la Incropera, Mills, Holman)
246
J = 0.008
con J = 0.008 tenemos:
StJ
Pr2
3
St = 0.01 = He/(u*Cpa*ρa)
He=57.5 W/m2°C
Entonces despejando de la ecuación de UA, Ai:
Ai= 15.1 m2
V = Ai/400 = 15.1/400 = 0.038m3
L = V/ Af = 0.038/0.888 = 0.043 m
247
Del sistema mostrado en la figura calcular la longitud del primer intercambiador, al área de
transferencia de calor en el banco de tubos y el flujo másico que circula en el sistema.
Sabiendo que el intercambiador consume el 50% de la carga
contenedor
1Kg/s 150°
Tomar las propiedades de la leche como las propiedades del agua a la temperatura indicada.
Tw2
Tw1
Tas
Tw=82 Tmax = 115
Banco de Tubos U=100 w/m2K
20°Leche
K=40w/m2K
Intercambiador
0 05
0.06
0.08
248
Debido a que el intercambiador absorbe el 50% de la carga se puede decir que el calor
absorbido por la leche al ingresar por primera vez al intercambiador el igual a la absorbida
en el banco de tubos, de lo cual podemos deducir la siguiente expresión.
Cp1(Tw1-20) = Cp2(82-Tw1), en donde los Cp son evaluados a la temperatura media del
fluido a la entrada y salida de la leche del intercambiador y el banco de tubos
respectivamente.
por lo tanto se hace necesario hacer una iteración de tal forma que se tenga una temperatura
de leche inicial se evalúen las propiedades y se obtenga una nueva temperatura, hasta que
se encuentre el Tw1 que cumpla con la igualdad.
Tw1=50.1 es la respuesta a esta iteración.
Para determinar el flujo másico de leche que atraviesa el banco de tubos se asume que esta
saldrá a la temperatura máxima, par tal efecto es necesario que el área para la transferencia
de calor sea muy grande. con la relación de entrada para flujo cruzado , un flujo mezclado
(aire con Cpa ma) y otro sin mezclar (leche con Cpw mw) y con Cpa ma < Cpw mw (del
libro de Mills Pág. 773 tabla 8.3ª inciso 7) se hallo la siguiente correlación.
[ ]RNtueRe
−−−
−=1
1
1ε
el área de transferencia de calor se toma bien grande lo que conlleva a reducir la formula
anterior a:
Re1
1−
−=ε
haciendo balances de energía para el agua y para el aire:
Q = ma Cpa(150 - Tas)
249
Q = mw Cpw (115 – 51.1)
otras relaciones encontradas son:
mwCpwmaCpaR =
Tas = 150 - ε (115 – 51.1)
para resolver las 5 incógnitas anteriores se resuelve por iteración, las propiedades se
evalúan a la temperatura media de los fluidos aire y agua respectivamente.
Ta Cpa Que mw R ε Ta
89.43 1007.24 6.101*104 0.229 1.055 0.612 89.43
Debido a que solo hay una cantidad de masa que cumple con esta condición, esta es la
cantidad de masa de leche que fluye por el sistema.
Para determinar la verdadera Tas y el área de transferencia de calor se tienen las siguientes
correlaciones:
Qreal = mw Cpw (115 – 51.1)
Qreal = 29735.7 w
haciendo un balance de energía para el aire:
Tas = 150 - Qreal /(ma Cpa)
Tas = 120.53°C para Cpa = 1009j/Kg°K
de la correlación encontrada inicialmente se tiene:
250
1.51150150
−−
=Tasε = 0.3
mwCpwmaCpaR = =1.04
( )[ ]11lnln1+−−= εR
RNut = 0.44
despejando el área de transferencia de calor tenemos:
A = Nut*Cpa*ma/U
A = 4.44 m2
)
para determinar la longitud del intercambiador se le hace un balance de energía a ambos
flujos.
Qr = mw Cpw (51.1 - 20) = 29862.3 W
Tw2 = 82 – Qr/(Cpw mw) = 51.1°C
Según el método de la temperatura media logarítmica se tiene:
( ) (
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−
−−−=
1.5182201.51ln
1.5182201.51LMTD
LMTD = 31
UA = Qr / LMTD
UA = 963.3w/°K
251
se tiene ahora de la definición del coeficiente global de transferencia de calor que:
heAeKLhiAi
UA1
2
)05.006.0ln(1
1
++
=
π
De donde La se puede despejar, pero aun así nos hacen falta los coeficientes de
transferencia de calor tanto interno como externo.
Propiedades de la leche son:
µ 6.9 10 4−⋅:= mw 0.23:= Pr 4.6:= K 0.628:= D 0.05:=
Para el Reynolds en el interior del tubo tenemos:
Re 4mw
π 0.05⋅ µ⋅⋅:= Re 8.488 103
×=
f 0.79 ln Re( )⋅ 1.64−( ) 2−:= f 0.033=
252
las correlaciones encontradas para flujo interno son dos y son las siguientes
NUD
f8
⎛⎜⎝
⎞⎠
Re 1000−( )⋅ Pr⋅
1 12.7f8
⎛⎜⎝
⎞⎠
1
2Pr
2
3 1−
⎛⎜⎝
⎞
⎠⋅+
:= NUD 58.196=
Nud2 0.023Re0.8 Pr0.4:= Nud2 58.869=
hiUD NUDKD
⋅:= hiUD 730.941=
hiud2 Nud2KD
⋅:= hiud2 739.394=
Para el flujo externo hay que tener en cuenta que es un flujo anular, para el cual se debe
trabajar la longitud característica del Reynolds con el diámetro hidráulico. Este se
determina con la relación Do-Di = 0.08 – 0.06 = 0.02 m y se procede a hallar Re.
µ 4.3110 4−⋅:= mw 0.23:= Pr 2.7:= K 0.661:= D 0.02:=
Re 4mw D⋅
π 0.082 0.062−( )⋅ µ⋅⋅:= Re 4.853 103
×=
f 0.023:=
f fue determinado del diagrama de Moody.
253
NUD
f8
⎛⎜⎝
⎞⎠
Re 1000−( )⋅ Pr⋅
1 12.7f8
⎛⎜⎝
⎞⎠
1
2Pr
2
3 1−
⎛⎜⎝
⎞
⎠⋅+
:= NUD 18.245=
Nud2 0.023Re0.8Pr0.4:= Nud2 30.416=
heUD NUDKD
⋅:= heUD 602.991= hiUD 730.94:=
heud2 Nud2KD
⋅:= heud2 1.005 103×= hiud2 739:=
Determinados los coeficientes de transferencia de calor por convección, se determina la
longitud del intercambiador con la siguiente relación:
UA 963.3:=
L UA1
hiUD π⋅ 0.05⋅
ln0.060.05
⎛⎜⎝
⎞⎠
2 π⋅ 40⋅+
1π 0.06⋅ heUD⋅
+
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠⋅:= L 17.564=
L2 UA1
hiud2 π⋅ 0.05⋅
ln0.060.05
⎛⎜⎝
⎞⎠
2 π⋅ 40⋅+
1π 0.06⋅ heud2⋅
+
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠⋅:= L2 14.077=
254
6. CONCLUSIONES El cálculo de los coeficientes de transferencia de calor de manera analítica es muy
compleja, por lo que se ha tenido que estudiar de forma empírica las posibles correlaciones
que estos puedan tener con diferentes parámetros adimensionales (los cuales tienen
interpretaciones físicas) que hagan semejantes unos sistemas de otros.
En este trabajo recopilamos algunas de estas correlaciones para flujo externo, banco de
tubos e intercambiadores de calor y aplicamos varias de ellas en un mismo problema para
comparar los resultados y tener una idea de que tan grande es la incertidumbre que
podemos tener de los resultados que nos dan cada una de ellas.
La correlación de Chuirchill y Bernstein es una relación muy completa y debe ser
preferible para planteamientos con computadoras, debido a la amplia gama de fluidos y
números de Reynolds que cubre. Las correlaciones de Grimson y Zhukauskas son más
sencillas y son muy parecidas por lo que sus resultados son más concordantes. Algunas
tienen en cuenta de manera un poco más precisas la variación de las propiedades con
respecto a como varía la temperatura, lo que involucra mayor número de correcciones con
factores a las correlaciones y tratan de dar una solución más exacta.
En la solución de los problemas pudimos percibir que en el resultado final, hay diferencias
pero en algunos no es tan grande y cabe dentro de la incertidumbre prevista que es muy
grande, ya que estas correlaciones son obtenidas empíricamente y por más que se trate no
serán igual de precisa que los modelos. Por tanto la elección de la correlación queda sujeta
a criterio por las facilidades de cálculo que se tengan.
255