1

OLASILIK

• Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile

alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru

olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır.

• Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi seçilen

örneklerin şansa bağlı olarak farklılıklar göstermesi ve

bunun sonucunda her deneyde farklı sonuçlarla

karşılaşılmasıdır.

• Olasılık, herhangi bir deneyin sonucunda

gözlenebilecek farklı durumlar ile hangi sıklıkla

karşılaşılacağıdır. Bir başka ifadeyle ortaya çıkan

olayların belirsizliğinin incelenmesi anlamına gelir.

2

• Diğer bir tanım, Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.

• 17 yy.’da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya başlanan olasılık, uygulamalı matematiğin bir dalı olarak gelişim göstermiş ve istatistiksel yorumlamada önemli uygulama alanı bulmuştur.

Örnekler:

• Madeni paranın atılması sonucu tura gelme olasılığı,

• Bir deste iskambil kağıdından çekilen 2 kağıdın en az birinin papaz olma olasılığı,

• Nişanlı olan bir çiftin evlenme olasılığı.???

3

• Olay: Birden fazla basit olayın bir araya

gelmesi sonucu oluşur.

Örnek: hilesiz bir zarın atılması sonucu asal

sayı gelmesi,

içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan 2

top çekildiğinde birinin sarı birinin lacivert olması.

Temel Tanımlar ve Kavramlar-

4

• Örnek Uzayı: Bir deneyin sonucunda

elde edilen tüm mümkün basit olaylarının

oluşturduğu kümedir. Genellikle S ile

tanımlanır.

• Örnek: Hilesiz bir zarın atılması sonucu

elde edilen örnek uzayı;

• x: zarın üst yüzünde gelen sayı

• S = { x; x = 1,2,3,4,5,6 }

5

Temel Tanımlar ve Kavramlar • Tekrarlanabilir Deney: Sonucu kesin olarak kestirilemeyen bir tek çıktı (şans değişkeni) oluşturan eylem, gözlem ya da süreçtir.

Örnek: madeni para atılması,

içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan bir top çekilmesi.

• Basit Olay: Tek bir deneyde tek bir sonuç olarak gerçekleşen olaylardır.

Örnek: hilesiz bir zarın atılması sonucu 2 gelmesi P(A)

bir deste iskambil kağıdından çekilen kağıdın maça as olması P(A)

6

• Bileşik olay:İki veya daha çok olayın birlikte

veya birbiri ardına meydana gelmesine denir.

• P(A1 ve A2)

• İki zar atılır ve 4 gelmesi

• Bir zar arka arkaya iki defa atılır .Her iki atışta da 4

gelmesi.

• 52 lik desteden as ve aynı zamanda karo gelmesi.

7

• Ayrık (bağdaşmaz) olay: Eğer A ve B gibi iki olay

aynı anda gerçekleşemiyor ise bu olaylara

ayrık(birbirini engelleyen) olaylar denir

Örnek:

•Madeni para atılması sonucunda yazı veya tura

gelmesi

•Bir sınavda geçilir veya kalınır.

Temel Tanımlar ve Kavramlar

8

• Bağdaşır olay:Bir olayın ortaya çıkması başka bir

olayın ortaya çıkmasını engellemiyorsa iki veya

daha çok olay birlikte meydana gelebiliyorsa

bağdaşır olaydır.

Örnek:

• Zarın atılması sonucu 1 ve tek sayı gelmesi.

(Çünkü aynı anda gerçekleşebilirler.)

• 52 lik desteden çekilen kartın maça olması kız

olması

9

• Bağımsız olay: Bir olayın ortaya çıkması

başka bir olayın ortaya çıkmasından ilişkisiz ise

( ( ). ( )P A B P A P B

Örneğin, ailede birinci çocuğun erkek olması

ikincisinin de erkek olacağı anlamına gelmez.

• Bağımlı olay: Bir olayın ortaya çıkması başka bir

olayın ortaya çıkmasını etkiliyorsa

• 52 lik bir desteden iadesiz arka arkaya iki kart

çekiliyor. Kart sayısı önce 52 sonra 51.

• 6 beyaz, 8 kırmızı top var. 3 top çekiliyor İade

edilirse bağımsız, iade edilmezse bağımlı olaydır.

10

• Eşit Olasılıklı Olaylar: Bir örnek uzayındaki

tüm basit olayların ortaya çıkma olasılığı eşit

ise bu olaylara eşit olasılıklı olaylar denir.

• Örnek:

• Bir deste iskambil kağıdından bir adet kağıt

çekilmesi.

11

Olasılığın İki Temel Kuralı; 1) Tüm basit olayların olasılıkları 0 ile 1 arasındadır.

2) Bir örnek uzayındaki tüm basit olayların ortaya çıkma olasılıklarının toplamı 1’e eşittir.

DİKKAT!!!!

Hiç bir olayın OLASILIĞI 1’den büyük

olamaz!!!!

• Bir A olayın ortaya çıkma olasılığı;

P(A)

şeklinde gösterilir.

12

Olasılığın Gelişim Aşamaları

• Klasik (A Priori) Olasılık

• Frekans (A Posteriori) Olasılığı

• Aksiyom Olasılığı

NOT:Bu sıralama olasılık teorisinin tarihsel gelişimini tanımlamaktadır.

13

Klasik Olasılık

• Eğer bir örnek uzayı n(S) adet ayrık ve eşit

olasılıkla ortaya çıkan basit olaylardan oluşuyor

ve örnek uzayındaki basit olaylardan n(A) adedi A

olayının özelliğine sahip ise A’nın olasılığı:

P(A) = n(A) / n(S) kesri ile elde edilir

n(S): Örnek uzayı eleman sayısı

n(A): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı

• Klasik olasılık TÜMDENGELİME dayanan çıkarımlar yaparak olasılığı bulur.

14

Örnek: Bir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adet yeşil bilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin sarı olma olasılığı nedir?

A: Çekilen bir bilyenin sarı olması

n(S): Örnek uzayı eleman sayısı = 15

n(A): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı = 5

3

1

15

5

)(

)()(

Sn

AnAP

15

Frekans Olasılığı

• Araştırılan anakütle üzerinde n adet deney

uygulanır. Yapılan bu deneylerde ilgilenilen A

olayı n(A) defa gözlenmiş ise A olayının göreli

frekansı (yaklaşık olasılığı):

P(A) = n(A) / n olarak bulunur.

16

Örnek: Bir fabrikanın üretmiş olduğu televizyonların hatalı olma olasılığı p nedir?

Önce örnek uzayı oluşturulur:

S={sağlam,hatalı}

Klasik olasılığa göre (eşit olasılıklı olaylar) p=0.5 olup gerçeği yansıttığı şüphelidir.

Yapılması gereken; örneklem alarak

p = n(H) / n

olasılığını hesaplamaktır.

17

• Bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasındadır. Örneğin bir para

atıldığında yazı gelme olasılığı 0.5 dir.

• Bir örnek uzayındaki tüm sonuçların olasılıklarının toplamı 1 e

eşittir.

Örnek: İki para atılma olayında örnek uzayı:

( ),( ),( ),( )s YY TT TY YT

Her sonucun gelme olasılığı ¼ dür. 4 sonuç olduğuna göre

¼+1/4+1/4+1/4=1.

• P(S)=1 örnek uzağının olasığı 1 dir.

• P ( ) = 0 boş kümenin olasılığı sıfırdır.

• A olayının tümleyeni olarak gösterilir. A

)AP(1)AP(

• Bazı Temel Olasılık Aksiyomları

Her sonucun gelme olasılığı ¼ dür. 4 sonuç olduğuna göre

¼+1/4+1/4+1/4=1.

A

• P(S)=1 örnek uzağının olasığı 1 dir.

• P ( ) = 0 boş kümenin olasılığı sıfırdır.

• A olayının tümleyeni olarak gösterilir.

18

Örnek Uzayı ve Olay Sayısını Belirleyen Sayma

Yöntemleri

• Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı

olayların geçerli olduğu durumlarda:

– Örnek uzayının eleman sayısı,

– İlgilenilen olayın eleman sayısının belirlenmesi

gereklidir.

Kullanılan iki temel prensip;

1) Toplama Yöntemi

2) Çarpma Yöntemi

19

• Bağımlı olayda çarpma kuralı:

Bağımlı iki olaydan A2 olayı A1 olayından sonra ortaya

çıktığında olayların birlikte gerçekleşme olasılığıdır.

1 2 1 2 1( ) ( ). ( )P AveA P A P A A

A2 nin şartlı olasılığı

• 8 boş 2 ikramiyeli bilet var. Bir kişi 2 bilet almış her iki

biletinde ikramiye kazanma olasılığı nedir?

• 1.bilet: P(A1)=2/10

Geriye 8 boş ve 1 ikramiyeli bilet kaldı.

2 1

1( )

9P A A

1 2 1 2 1

2 1 1( ) ( ). ( ) .

10 9 45P AveA P A P A A

20

• Bağımsız olayda çarpma kuralı:

Birbirinden bağımsız A1 ve A2 olaylarının birlikte gerçekleşmesi

olasılığı bu olayların basit olasılıklarının çarpımına eşittir.

1 2 1 2( ) ( ). ( )P AveA P A P A

• Aynı anda atılan iki zarın ikisinin de 2 gelmesi

1 2 1 2

1 1 1( ) ( ). ( ) .

6 6 36P AveA P A P A

Alinin 25 yıl sonra hayatta olması olasılığının 0.60, kardeşli

Hasan’ın 25 yıl sonra hayatta olması olması olasılığının

0.50 olduğunu varsayarsak 25 yıl sonra ikisinin de hayatta

olma olasılığı nedir.

1 2 1 2( ) ( ). ( ) 0.60.(0.50) 0.30P AveA P A P A

21

• Bağdaşır olayda toplama kuralı:

• İki olay bağdaşır olduğunda A1 olayının veya A2 olayının

ortaya çıkması, ya A1 olayının ya A2 olayının ya da A1 ve A2

olaylarının her ikisinin birlikte gerçekleşmesi anlamına gelir.

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )P AveyaA P A P A P AveA

• 52 lik bir desteden bir kız veya bir maça kızı

çekme olasılığı nedir?

1 2 1 2 1 2

4 13 1( ) ( ) ( ) ( )

52 52 52P AveyaA P A P A P AveA

1 2 1 2 1 2P(A U A ) P(A ) P(A )-P(A A )

1 2 1 2 1 2P(A U A ) P(A ) P(A )-P(A A )

22

• Bağdaşmaz olaylarda toplama kuralı:

• A1 ve A2 bağdaşmaz olaylar ise A1 veya A2

olayının ortaya çıkması olasılığı

1 2 1 2( ) ( ) ( )P AveyaA P A P A

• Bir zarın 2 veya 6 gelmesi olasılığı nedir?

1 2 1 2

1 1 2 1( ) ( ) ( )

6 6 6 3P AveyaA P A P A

23

2 1( )P A A

2 1 1 2 1

1 1

( ) ( ) / ( )

( 2) / ( )

P A A P AveA P A

P A A P A

• Bağımlı olaylardan birinin (A1) gerçekleştiği bilindiğine

göre , diğerine (A2) bağlı meydana gelme olasılığıdır.

• A2 nin A1 e bağlı şartlı olasılığı.

• A1 in gerçekleşmiş olması şartıyla A2nin

gerçekleşme olasılığıdır.

Şartlı Olasılık

24

• Bir öğrencinin iktisat dersinde başarılı olma

olasılığı P(A1)=0.25 olsun. Aynı öğrencinin hem

iktisat hem Matematikte başarılı olma olasılığı

P(A1 ve A2)=0.15. Öğrencinin İktisatta başarılı

olması şartıyla Matematikte de başarılı olma

olasılığı nedir?

2 1( ) 0.15 / 0.25P A A

2 1 1 2 1

1 1

( ) ( ) / ( )

( 2) / ( )

P A A P AveA P A

P A A P A

25

Örnek: Bir üniversitede okuyan öğrencilerin % 70’i tiyatroya,

% 35 ise sinemaya ilgi duymaktadır.

a) Bir öğrencinin sinemaya ilgi duyduğu bilindiğinde tiyatroya ilgi

duyma olasılığı 0,40 ise her iki aktiviteye birden ilgi duyma

olasılığı nedir?

b) Bir öğrencinin tiyatro veya sinemaya ilgi duyma olasılığı nedir?

T:Tiyatroya ilgi duyma

S:Sinemaya ilgi duyma

P ( T ) = 0,70 P( S ) = 0,35

a) P ( T / S ) = 0,40 P (T ∩ S ) =?

b)

0,140,35*0,40P(S)*P(T/S)S)P(T

91,00,14-0,350,70

S)P(T-P(S)P(T)S)UP(T

26

Bayes Teoremi

•Çeşitli nedenlerin aynı sonucu verebildiği

durumlarda, bazen sonuç bilindiği halde bunun hangi

nedenden meydana geldiği bilinmeyebilir.

•Sonucun hangi olasılıkla, hangi nedenden ortaya

çıktığı araştırılmak istendiğinde Bayes

teoreminden yararlanılır. Yani sonuç belli iken

geriye doğru analiz yapma imkanı sağlar.

k

iii

iii

i

BPBAP

BPBAP

AP

BAPABP

1

)()/(

)()/(

)(

)()/(

27

Örnek: Bir ilaç üç fabrika tarafından üretilmektedir. 1. Fabrikanın üretimi 2. ve 3. fabrikaların üretiminin 2 katıdır. Ayrıca 1. ve 2. fabrikalar % 2, 3. fabrika % 4 oranında bozuk ilaç üretmektedir. Üretilen tüm ilaçlar aynı depoda saklandığına göre bu depodan rast gele seçilen bir ilacın bozuk olma olasılığı nedir.

A = Seçilen ilacın bozuk olma olasılığı P ( A ) = ?

Bi= Seçilen ilacın i nci fabrikada üretilmesi

P(B1) = P(B2) + P(B3)

P(B1) + P(B2) + P(B3) = 1 olduğundan;

P(B1) = 0,50

P(B2) = P(B3) = 0,25 olarak elde edilir.

28

))P(BP(A/B))P(BP(A/B))P(BP(A/B

))P(BP(A/B/A)P(B

332211

111

40,05)(0.04)(0.25)(0.02)(0.2)(0.02)(0.5

)(0.02)(0.5/A)P(B1

Depodan rasgele seçilen bir ilacın bozuk olduğu

bilindiğine göre 1 nci fabrikadan gelmiş olma

olasılığı;

A = Seçilen ilacın bozuk olma olasılığı P ( A ) =

Bi= Seçilen ilacın i nci fabrikada üretilmesi P ( B1 ) ; P ( B2); P ( B3)

P(B1) + P(B2) + P(B3) = 1 olduğundan;

P(B1) = 0,50 P(B2) = P(B3) = 0,25

29

Örnek:

3 mavi, 2 kırmızı ve 5 yeşil torba bulunmaktadır.

Mavi torbaların her birinde 15 bilya(7si beyaz ve 8 i

siyah), kırmızı torbaların her birinde 11 bilya(7si

beyaz ve 4 ü siyah) yeşil torbaların herbirinde 20

bilya(11 i beyaz ve 9 u siyah) bulunduğu

bilinmektedir. Bu torbaların birinden bir bilya çekilmiş

ve siyah renkte olduğu görülmüştür. Bu bilyanın mavi

renkte bir torbadan çekilmesi olasılığı nedir.

30

•S:siyah bilya çekilmesi olayını

•P(M):bir bilyanın mavi torbadan çekilmesi olasılığı =3/10

•P(K): bir bilyanın kırmızı torbadan çekilmesi olasılığı=2/10

•P(Y) : bir bilyanın yeşil torbadan çekilmesi olasılığı=5/10

( ) :P S M •Mavi torbadan çekilen bir bilyanın siyah

renkli olması olasılığı=8/15

( ) :P S K •Kırmızı torbadan çekilen bir bilyanın

siyah renkli olması olasılığı=4/11

( ) :P S Y •Yeşil torbadan çekilen bir bilyanın siyah

renkli olması olasılığı=9/20

( ) :P M S •Siyah renkli bir bilyanın mavi torbadan

çekilmiş olması olasılığı nedir?

31

(3 /10).(8 /15)( )

(3 /10).(8 /15) (2 /10).(4 /11) (5 /10).(9 / 20)P M S

( ) 0.3496P M S

( ). ( )( )

( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( )

P M P S MP M S

P M P S M P K P S K P Y P S Y

Çekilen siyah bilyanın mavi renkli bir torbadan

çekilmiş olması olayı %34.96dır.