ÜSLÜ SAYILAR

15.12.2011

İlköğretim matematik öğretmenliği grup5

ANTALYA

2

İÇİNDEKİLER

ÜNİTE HAKKINDA GENEL BİLGİ .......................................................................................................... 4

ÜSLÜ SAYILAR.................................................................................................................................... 6

Üslü Sayıların Tanımı : ................................................................................................................... 6

Üslü Sayıların Özellikleri: ............................................................................................................... 8

ÜSLÜ SAYILARDA DÖRT İŞLEM .......................................................................................................... 9

Üslü İfadelerde Toplama ve Çıkarma: ............................................................................................ 9

Üslü İfadelerde Çarpma: ...............................................................................................................10

Üslü İfadelerde Bölme: ............................................................................................................12

ÜSLÜ SAYILARDA SIRALAMA ............................................................................................................14

KAYNAKLAR ......................................................................................................................................15

3

AÇIKLAMA

Üslü sayılar

Üslü sayılar tanımı

Üslü sayıların özellikleri

Üslü sayılarda dört işlem

Üslü sayılarda toplama işlemi

Üslü sayılarda çıkarma işlemi

Üslü sayılarda çarpma işlemi

Üslü sayılarda bölme işlemi

Üslü sayılarda sıralama

4

ÜNİTE HAKKINDA GENEL BİLGİ

Üslü olarak verilen bazı ifadelerin gerçek değerlerini, doğrudan doğruya bulmak,

matematik yönünden yapılması zor bir işlemdir. Kaynaklar, bu tür, birtakım

hesaplamaları, kolaylıkla yapılmasını sağlayan, logaritmayı ilk kullananı, John Napier

(1550 - 1617) olduğunu göstermekte.

John Napier tarafından, bu konuda "Minifici Logaritmorum Canonis Descripto" (bir

logaritma cetveli tanımı ve iki ayrı trigonometri ile bütün matematik hesaplarında kolay

ve çabuk kullanılmasına genel açıklaması) adlı, zamanın bilim dili olan Latince olarak

kaleme alınmış eser, ilk kez 1614 yılında Edinburg şehrinde yayınlandı. Böylece logaritma

adını da John Napier koymuştur.

Bir logaritma çizelgesinin hazırlanmasında, taban olarak 1 den büyük sayı seçilebilir.

Napier, çizelgesini (e) tabanına göre hazırlamıştır. Fakat çizelgeyi tamamladıktan sonra,

(e) sayısını almakla, zor bir sistem ortaya koyduğunu, uygulaması sırasında farkına vardı.

Daha sonraki yıllarda, 10 tabanlı, yeni bir logaritma sisteminin hesaplama işlerinde büyük

kolaylıklar sağlayabileceğini düşündü. Fakat, bu yeni sisteme ait, düşündüğü temel

ilkeleri, bizzat ortaya koyamadan öldü. Ömrünün son günlerinde, arkadaşı olan, İngiliz

matematikçi ve astronom Henri Briggs'ten (1551 - 1630) düşüncelerinin tamamlanmasını

istedi.

Henri Biggs, bu isteğe uyarak, 10 tabanına göre, bir logaritma cetveli hazırlayarak, 1617

yılında yayımlamıştır. Bu eser, 1'den 1000'e kadar olan sayıların 14 ondalıklı

logaritmalarını gösterir. Henri Briggs, ilk logaritma cetvellerinin yayımından 7 yıl sonra,

yani 1624 yılında; önceleri, 1'den 20.000'e daha sonra da, 90.000'den 100.000'e kadar

olan sayıların 14 ondalıklı logaritmalarını kapsayan Logaritmik Aritmetik adlı bir eser daha

yayımladı.

Daha sonra, Hollandalı matematikçi Adrien Vlacq, Henry Briggs'ten eksik kalan,

20.000'den 90.000'a kadar olan sayıların logaritmik değerlerini hesap etti ve cetvellerini

1626 yılında, Briggs' in adı altında, Goude'de yayımladı. Bu yeni çizelgeler, 10 ondalıklı

olup, 1'den 1.000.000'a kadar sayılan , ve 0 dereceden 90 dereceye kadar olan açıların,

1'er açı dakikası aralıklı olarak, için sinüs, tanjant ve sekantın logaritma değerlerini

kapsıyordu. Ayrıca, her biri 10" için, sinüs ve tanjantın logaritmalarına ilişkin bir çizelge

yayımlandı. Logaritma cetvelleri üzerine eser hazırlayanlar, Adrien Vlacq' ın bu eserini

temel kabul ederler.1

1 http://www.trabzonum.org/forum/showthread.php?t=17099

5

PROGRAM

KATEGORİLER PROGRAM İÇERİĞİ KAZANIMLAR

ÜSLÜ

SAYILAR

Üslü sayılarla

yapılan işlemler.

Üslü sayılar da

kare kök alma

işlemi.

Üslü sayı

işlemlerinde pratik

kazanma.

Üslü sayılarla

yapılan işlemleri

uygulayabilmeleri;

Üslü sayıları

okuyabilmeleri;

Üslü sayılarla

yapılan çarpma ve

bölme işlemleri

yapabilmeleri;

6

ÜSLÜ SAYILAR

Üslü Sayıların Tanımı :

a,b,n birer doğal sayı olmak üzere;

an = b üslü niceliğinde a’ya taban,

kaç tane a’nın çarpıldığını belirten sayı olan n’ye kuvvet veya üs, b’ye de

değer adı verilir.

an ifadesi (a üssü n) veya (a’nın n. kuvveti) olarak okunur.

Bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımı, o sayının kuvveti olarak

adlandırılır.Bu tekrarlı çarpımın sonucunu bulmaya kuvvet alma işlemi

denir.Kuvvet kelimesi ile üs kelimesi eşdeğerdir.

a.a.a.a.a…..a=an (n tane a’nın çarpımı)

3x3x3x3x3=35 (5 tane 3’ün yan yana yazılıp çarpılmasıdır.)

2x2x2x2x2x2x2x2x2=29

Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir.Sıfırın sıfırıncı kuvveti

tanımsızdır.

70=1

00=tanımsız

101=10

102=100

103=1000

104=10000

7

(17)2 = 17.17=289

34= 3.3.3.3=81

8

Üslü Sayıların Özellikleri:

1. a 0 ise, a0 = 1 dir.

2. 00 tanımsızdır.

3. n IR ise, 1n = 1 dir.

4.

5. (am)n = (an)m = am . n

6.

7.

8. Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.

9. Negatif sayıların; çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.

10. n bir tam sayı ve a bir gerçel (reel) sayı olmak üzere,

a. (– a)2n = a2n ifadesi daima pozitiftir.

b. (– a2n) = – a2n ifadesi daima negatiftir.

c. (– a)2n + 1 = – a2n + 1 ifadesi

a pozitif ise negatif, a negatif ise pozitiftir.

11.

12.

9

ÜSLÜ SAYILARDA DÖRT İŞLEM

Üslü İfadelerde Toplama ve Çıkarma:

Tanım Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için benzer terimlerin üs

ve tabanlarının aynı olması gerekir.

a.xn+b.xn=xn(a+b)

a.xn-b.xn=xn(a-b)

10

Üslü İfadelerde Çarpma:

Tabanları aynı üsleri farklı olan üslü ifadeler çarpılırken ortak taban, taban

olarak alınır. Üsler toplanıp üs olarak yazılır.

am . an = am+n

Tabanları farklı üsleri aynı olan üslü ifadeler çarpılırken tabanlar çarpılıp taban

olarak yazılır ortak üs, üs olarak yazılır.

am . bm = (a+b)m

Tabanları ve üsleri farklı molan üslü ifadeler çarpılırken, önce kuvvetler alınır

sonra çarpma işlemi yapılır.

Örnek: 23 . 5

2 = 8 . 25 = 200

11

12

Üslü İfadelerde Bölme:

Tabanları aynı üsleri farklı olan üslü ifadeler bölünürken ortak taban, taban

olarak alınır, üsler çıkarılıp üs olarak yazılır.

am = am – n

an

Örnekler: 28 = 28-5 = 23 = 8

25

Tabanları farklı üsleri aynı üslü ifadeler bölünürken; tabanlar bölünüp taban

olarak alınır. Ortak üs üs olarak yazılır.

Örnekler: ( 81 )4 = 34 = 81

27

Tabanları ve üsleri farklı olan üslü ifadeler bölünürken tabanlar bölünüp önce

kuvvetler açılır sonra bölme işlemi yapılır.

13

14

ÜSLÜ SAYILARDA SIRALAMA

1 den büyük üslü doğal sayılarda sıralama yapılırken,

Tabanlar eşitse; üssü küçük olan daha küçüktür.

Üsler eşitse; tabanı küçük olan daha küçüktür.

15

KAYNAKLAR

1. http://www.trabzonum.org/forum/showthread.php?t=17099

2. http://www.matematikcifatih.com/6-sinif-matematik/uslu-sayilar

3. http://matematikk.blogcu.com/uslu-sayilar-konu-ozeti/2606166

4. http://bilgiyelpazesi.net/egitim_ogretim/konu_anlatimli_dersler/matematik_dersi_ile_ilgili_

konu_anlatimlar/uslu_sayilar_ozellikleri_4.asp

5. http://www.ossmat.com/index.php/matematik-testleri/lise-1-testleri/92-uslu-sayilar/1489-

uslu-sayilar-cozumlu-test-01.html

6. http://www.ossmat.com/index.php/matematik-testleri/lise-1-testleri/92-uslu-sayilar/1490-

uslu-sayilar-cozumlu-test-02.html

7. http://www.ossmat.com/index.php/matematik-testleri/lise-1-testleri/92-uslu-sayilar/3411-

uslu-sayilar-cozumlu-test-05.html

8. http://www.webhatti.com/matematik/623966-uslu-sayilarda-toplama-ve-cikarma-

islemi.html