МОЛОДЁЖЬ — НАУКЕ. 2017€¦ · по итогам...

Министерство образования и науки Российской Федерации Псковский государственный университет

МОЛОДЁЖЬ — НАУКЕ. 2017

Материалы молодёжных научно-практических конференций

Псковского государственного университета по итогам научно-исследовательской работы

в 2016/2017 учебном году

Том VIII

Псков Псковский государственный университет

2017

ББК 74.580 М754

Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом Псковского государственного университета

Редакционная коллегия: И. Н. Медведева, С. В. Трифонов, В. Н. Мельник, В. Г. Соловьёв,

И. О. Соловьева, А. А. Хватцев

Ответственный редактор: С. В. Трифонов

Молодёжь — науке. 2017. Материалы молодёжных науч-но-практических конференций Псковского государственного университета по итогам научно-исследовательской работы в 2016/2017 учебном году. Т. VIII. — Псков : Псковский госу-дарственный университет, 2017. — 142 с.

ISBN 978-5-91116-686-1 (Том VIII) ISBN 978-5-91116-596-3 (общий)

В данный том сборника вошли материалы Международ-ной молодёжной научно-практической конференции «Физика. Математика. Информатика. Образование», состоявшейся в Псковском государственном университете в апреле 2017 года.

ББК 74.580

Стилистика, орфография и пунктуация соответствуют оригинал-макету, предоставленному редколлегией.

ISBN 978-5-91116-686-1 (Том VIII) ISBN 978-5-91116-596-3 (общий)

© Коллектив авторов, 2017 © Псковский государственный университет, 2017

М754

3

Оглавление

Ализаде Н. Е. Решение нестандартных задач в курсе математики средней школы .................................................................................................. 6

Мурашов Ю. В. Применение рентгеновской дефектоскопии для контроля качества конечного продукта производства ............................. 8

Пескин В. Е., Кобелева Ю. А. Вакуумная техника XXI века ................. 11 Костин В. А., Сергеев К. С. Измерение скорости звука методом

стоячих волн ....................................................................................................... 13 Никандров И. С. Инфракрасные лучи в строительной технике ............ 15 Булатов И. А. Концепция наблюдателя в современном

естествознании ................................................................................................... 17 Фёдоров А. С. Лазерные технологии в строительстве ........................... 18 Комлев И. А., Пальчунов Д. С. Применение поляроидов

для изучения механических напряжений в деталях конструкций .................. 20 Вармашкин Е. В. Замечательные кривые. История и применение ........ 22 Ежова И. М. Антагонистическая игра ................................................... 25 Копычко Д. А. Эллиптические функции и их приложения

в прикладной математике .................................................................................. 28 Мартынова В. С., Дмитриева Т. А. Нахождение равновесия

в биматричных играх ........................................................................................ 31 Мурашов Ю. В. Применение аналитической геометрии

для решения прикладных экономических задач ............................................. 35 Павлова И. А., Матяс К. А. Применение метода Монте-Карло

для моделирования экономических рисков ..................................................... 37 Пескин В. Е., Фёдоров А. С. Хроматические числа и задача

Эрдёша — Хадвигера ........................................................................................ 40 Никитина А. Д., Кобелева Ю. А., Политыко О. И.

Формула Циолковского. Её значение и применение ...................................... 43 Томшакова И., Баранова А. С. Линейные регрессионные модели

финансового рынка: САРМ .............................................................................. 45 Фёдоров А. С. Бутылка Клейна ............................................................... 48 Фёдорова В. А., Петров С. В. Магистральная теория развития

экономики ........................................................................................................... 52 Кузнецова С. Д. Влияние вибрационных частот на механическую

поверхность ....................................................................................................... 55 Бакеев А. В. Система видеонаблюдения на основе «Arduino» .............. 57 Леонтьева М. Д. Разработка автоматизированного учебного курса

«Основы алгоритмов» ........................................................................................ 58 Овчинин С. Э. Факультативный курс: «Технологии CSS» .................... 59 Окольничев Д. О. Реализация дистанционного обучения с помощью

сервисов Google.................................................................................................. 61

3

4

Осипова Л. Д. Применение скринкастов в создании электронных курсов ........................................................................................... 62

Парамонова М. Г. УМК «Компьютерные сети» ..................................... 65 Саматов Д. В. Модернизация научно — образовательного ресурса

«Язык и культура в коммуникативном пространстве Псковщины» ............... 66 Томашук Р. С. Факультативный курс: «Создание электронного

портфолио студента на платформе Joomla!» ................................................... 67 Чумаков С. А. Проектирование графического исполнителя .................. 69 Шмаков А. М. Разработка компетентностно-ориентированных

заданий по курсу «Теория вероятностей и математической статистики» ..... 70 Бабкина К. О. Пропедевтика геометрических представлений при

обучении математике в 5–6 классах ................................................................. 72 Васильева М. О. Об использование компьютерных технологий

при обучении построению сечений многогранников ..................................... 75 Дерунова В. Л. Применение метода координат при решении

геометрических задач ........................................................................................ 78 Эссенова Н. Т. Применение наглядного моделирования

при обучении школьников поиску решения сюжетных задач ........................ 81 Жмурова Д. А. Результаты контроля уровней развития

стохастического мышления обучающихся в системе среднего профессионального образования ...................................................................... 83

Кондратенко Ю. В. Методика обучения решению сюжетных задач глухих и слабослышащих учащихся 5–6 классов ............................................ 88

Никитин Д. А. Задача о распределении ресурсов, реализованная на языке программирования Python ................................................................. 90

Портнова С. А. Оценивание универсальных учебных действий учащихся 5–6 классов в процессе проектной деятельности по математике ... 93

Разгуляева А. И. Кейс-метод как средство оценки сформированности УУД у учащихся 5–6 классов ........................................................................... 96

Фёдорова Е. В. К вопросу о разработке элективного курса по теме «Решение задач с параметром»............................................................ 99

Фёдорова И. А. Формирование и развитие воображения на уроках геометрии .......................................................................................... 101

Алексеева Н. Ю. Программа GeoGebra как средство развития функционально-графической грамотности учащихся 10-х классов при изучении тригонометрических функций .................................................. 104

Бабичев А. А. Рефлексивная деятельность студента при формировании электронного портфолио обучающегося ......................... 108

Васильева Д. А. Компетентностно-ориентированные задания по аналитической геометрии на тему «Прямая на плоскости» ...................... 111

Ляхова М. Р. Семантический анализ текста отрывков из произведения Л. Н. Толстого «Война и мир» .............................................. 113

4

5

Макарова Н. А. Формирование навыков устных вычислений у учащихся 5–6 классов ..................................................................................... 114

Миронов А. А. Использование информационных компетенций на уроке математики. Интеграция как средство реализации ФГОС ............... 117

Платонова О. С. Лабораторные работы по математике и их роль в обучении школьников .................................................................................... 121

Плотницкая И. В. К вопросу о подготовке учащихся к решению практических задач по геометрии в рамках подготовки к ОГЭ ..................... 123

Пустынская М. А. Компетентностные задачи по теме «Функция и ее свойства» .................................................................................. 126

Рогожникова Н. А. Формирование и оценивание профессиональных компетенций в рамках курса «Алгебра многочленов» ................................... 128

Семёнова Ю. В. Практико-ориентированные задачи как средство развития универсальных учебных действий у учащихся 5–6 классов ........... 131

Тимофеева К. В. К вопросу об изучении правильных многогранников в школе .................................................................................. 134

Фёдорова Е. А. Задачи с экономическим содержанием как одно из средств формирования универсальных учебных действий учащихся средней школы .................................................................................................. 136

Чуева И. В. Проектная деятельность как средство формирования УУД по математике учащихся 5–6 классов ..................................................... 138

5

6

Ализаде Н. Е., Сумгаитский ГУ, математический факультет, 2 курс

(научный руководитель — доцент Агаяров М. Г.)

Решение нестандартных задач в курсе математики средней школы

В курсе математики средней школы есть такие задачи, при решении кото-

рых нет готовых правил, или нет стандартных последовательностей правил. Та-кие задачи считаются классами нестандартных типов задач. Для их решения нужно найти подходящий способ и достаточно применить этот способ для та-ких видов задач.

Значит, нестандартные задачи и их постановка, или же способы их реше-ния отличаются своей оригинальностью. Такие типы задач, помимо проявления интереса к математике, могут быть важным для развития логического мышле-ния учащихся.

Надо еще отметить, что учащиеся умеющие решать такие типы задач вла-деют навыками решения их различными способами, анализировать и находить нестандартные способы решения этих задач.

Таким образом у учащихся проявляется способность видеть «невидимые» зависимости между данными и ищущимися, что дает возможность для высоких показателей результатов в олимпиадах. Рассмотрим следующие задачи.

Задача 1. Найдите площадь тре-угольника со сторонами 26,13 и 65 .

Решение. Для решения задачи можно использовать формулу Герона. Но для этого приходится проводить сложные вычисления. Поэтому по ри-сунку искомую площадь можно найти по следующему образу:

12322115

2147

21

ABCS

.5,6235,214 Задача 2. Найдите сумму геометрической прогрессии:

.3...931 nnS

Решение. Заметим, что зная nS , можно получить следующую сумму 1nS двумя способами: либо добавить n3 , либо умножить все слагаемые на 3, а потом

прибавить 1. Получаем уравнение: .133 nn

n SS Отсюда .2

13

n

nS

6

7

Задача 3. Решите систему уравнений:

.,16

,9

2

22

22

xzyzyyx

Решение. По теореме обратной теореме Пифагора, из уравнения 222 3 yx , числа х и у являются катетами треугольника прямой)( DABD с ги-

потенузой АВ = 3. Рассматривая второе уравнение 1622 zy , построим треугольник BDC, где у и z —

катеты, а ВС = 4 — гипотенуза. Третье уравнение xzy 2 подсказывает, что число у есть среднее про-

порциональное чисел х и z. По теореме обратной теореме о пропорциональных отрезках

,5169 ,90 zxACABC тогда

.5

12 и 5

1659

,5

16 ,561 ,

,59 ,59 ,

22

2

2

yBDzxyBD

zzACDCBC

xxACADAB

Однако, такой прием дает потерю корней, легко убедиться, что

59

x ; 5

12y ; .

516

z

Для данной системы задания могут быть и другие. Например, чему равно значение выражения ху + уz; х + у + z; х + у; х + z.

Очень многие текстовые задачи на составле-ние уравнений (или систем уравнений) можно ре-шать графически. К ним относятся задачи на дви-жение и на совместную работу. Решение задачи ос-новывается на точных геометрических соотноше-ниях. Преимущество геометрического решения в его наглядности, так как чертёж помогает глубже понять условия задачи.

Задача 4. Расстояние между двумя городами равно 450 км. Два автомо-биля выходят одновременно навстречу друг другу. Один автомобиль мог бы пройти все расстояние за 9 часов, другой — вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся?

Читаем с чертежа ответ: 3 часа. Решаемые задачи дают основание говорить о том, что в процессе решения

нестандартных задач играют важную роль применение двух операций: – замена нестандартной задачи путем преобразования или излагания эк-

вивалентной ей задачей; – приведение нестандартных задач к нескольким стандартным задачам.

7

8

В зависимости от характера рассматриваемой нестандартной задачи ис-пользуется одна или оба одновременно из этих операций. В еще более сложных задачах приходится использовать эти операции несколько раз.

Литература

1. Канель-Белов А. Я., Ковальджи А. К. Как решают нестандартные задачи. М., 2008. 2. Рукшин С. Е. Математические соревнования в Ленинграде. СПб., 2000.

Мурашов Ю. В., ПсковГУ, факультет менеджмента, 1 курс

(научный руководитель — доцент кафедры физики Однобоков В. В.) Применение рентгеновской дефектоскопии для контроля

качества конечного продукта производства Для обеспечения необходимого качества конечного продукта необходимо

вести контроль не только качества материала, но и контролировать соблюдение технологических процессов, геометрические параметры и качество обработки деталей. Технические измерения и оценка качества обработанной поверхности несут информацию о внешней стороне изделия. Однако не менее важно знать структуру, химический состав, качество и глубину термической обработки, наличие возможных внутренних и поверхностных дефектов. Существуют раз-личные методы контроля, их можно разделить на две большие группы: кон-троль качества с разрушением и без разрушения материала. Более эффективный контроль дефектов, следует проводить с помощью физических методов нераз-рушающего контроля — дефектоскопии. Неразрушающий контроль дает воз-можность проверить качество материалов и конструкций до начала их эксплуа-тации и тем самым не допустить использования дефектных конструкций а, сле-довательно, предотвратить аварии и катастрофы. Данные о дефектах, получен-ные на ранних стадиях производства, позволяют техническим службам пред-приятия совершенствовать технологические процессы.

Дефектоскопия — комплекс методов и средств неразрушающего кон-троля изделий с целью обнаружения дефектов. Один из таких методов называ-ется рентгеновской дефектоскопией [1, с. 81].

Рентгеновские лучи — это один из видов электромагнитного излучения с длинной волны 6·10-13 – 10-9. Рентгеновское излучение было открыто Виль-гельмом Конрадом Рентгеном в 1895 году.

Рентгеновский аппарат предназначен для генерации лучей рентгена с нужными характеристиками. Он состоит из: рентгеновской трубки, генератора постоянного тока и прибора для управления. Рентгеновские аппараты, в зави-

8

9

симости от характера анодного напряжения бывают двух типов: аппараты не-прерывного и импульсного действия. В импульсных аппаратах формируется мощный импульс, напряжением до нескольких десятков киловольт. Такие ап-параты малогабаритны и легко транспортируемы. Высокая маневренность поз-воляет их использовать в полевых условиях — при монтажных работах и на строительных площадках.

В рентгеновской трубке лучи формируются за счёт торможения быстро-летящих электронов. Устройство рентгеновской трубки схематично показано на (рис. 1).

Рис. 1

Внутри баллона, из которого откачен воздух, находятся два электрода —

анод 3 и катод 1. Катод изготовлен из вольфрама, к нему подводится постоян-ный электрический ток. Под действием очень высокого напряжения, вольфра-мовый катод нагревается и излучает поток электронов 2. Высокое напряжение на катоде необходимо, чтобы сообщить электронам требуемую кинетическую энергию. Анод изготовлен из вольфрамомолибденового сплава, и он необходим для торможения быстролетящих электронов. При ударе об анод, электроны те-ряют свою кинетическую энергию, происходит их торможение, и часть энер-гии, потерянной электронами, превращается в рентгеновское излучение, состо-ящее из фотонов тормозного излучения [1, с. 97].

Лучи Рентгена способны нагревать предметы, на которые они воздейству-ют, и они не отклоняются электрическими и магнитными полями. Рентгеновское излучение обладает большей энергией, чем излучение видимого света и способно воздействовать на фотоплёнку и фотобумагу и поглощаться различными веще-ствами по-разному. Такие особенности рентгеновских лучей позволяют их приме-нять в различных областях, в том числе для рентгеновского контроля.

Рентгеновская дефектоскопия основана на поглощении рентгеновских лучей, которое зависит от плотности среды и атомного номера элементов. Наличие таких дефектов как трещины, раковины или включения инородного материала, приводит к тому, что проходящие через материал лучи ослабляются в различной степени [2, с. 129]. Регистрируя распределение интенсивности проходящих лучей, можно определить наличие и расположение различных не-однородностей материала.

9

10

Рис. 2 Схема рентгеновского просвечивания (рис. 2): 1 — источник рентгенов-

ского излучения; 2 — пучок рентгеновских лучей; 3 — проверяемая деталь; 4 — внутренний дефект детали; 5 — рентгеновское изображение за деталью; 6 — регистратор рентгеновского изображения.

Контроль шва рентгеном происходит по следующей схеме: поток рентге-

новского излучения направляется на проверяемое соединение, а с обратной стороны соединения помещают фотобумагу, рентгеновскую бумагу, или же специальную плёнку, чувствительную к лучам рентгена.

Интенсивность лучей регистрируют несколькими методами: фотографи-ческим, визуальным, ксерографическим и ионизационным. Фотографическими методами получают снимок детали на плёнке. Визуальный метод основан на наблюдении изображения детали на флуоресцирующем экране. При ксерогра-фическом методе получают изображения на металлических пластинках, покры-тых слоем вещества, поверхности которого сообщён электростатический заряд. Ионизационный метод основан на измерении интенсивности электромагнитно-го излучения по его ионизирующему действию, например, на газ. В этом случае индикатор можно устанавливать на достаточном расстоянии от изделия, что позволяет контролировать изделия, нагретые до высокой температуры.

Чувствительность методов рентгенодефектоскопии определяется отно-шением протяжённости дефекта в направлении просвечивания к толщине дета-ли в этом сечении и для различных материалов составляет от 1 до 10 %. Чув-ствительность вычисляется по формуле:

где: m — величина сварного дефекта, мм. s — толщина контролируемого изделия, мм.

% 100)sm(K

10

11

Применение рентгенодефектоскопии эффективно для деталей сравни-тельно небольшой толщины, т. к. проникающая способность рентгеновских лу-чей с увеличением их энергии возрастает незначительно. Рентгенодефектоско-пию применяют для определения раковин, грубых трещин, ликвационных включений в литых и сварных стальных изделиях толщиной до 80 мм и в изде-лиях из лёгких сплавов толщиной до 250 мм. Для этого используют промыш-ленные рентгеновские установки с энергией излучения от 10 до 400 кэВ (1 эВ = = 1,60210 · 10-19 Дж) [2, с. 178].

На показатель чувствительности радиографического контроля оказывают влияние следующие факторы:

1. Величина энергии просвечивания. 2. Толщина контролируемого сварного соединения и плотность металла. 3. Место и форма расположения дефекта. 4. Геометрические размеры проверяемого соединения. 5. Качество плёнки и фотобумаги. В теории совокупность всех этих факторов учесть практически невоз-

можно, поэтому на практике чувствительность контроля устанавливают экспе-риментально.

В Псковской области, например, рентгеновская дефектоскопия, приме-няется на предприятиях АО «Транснефтьмаш» и ЗАО «ЗЭТО», которые находятся в городе Великие Луки. Актуальность использования неразруша-ющего контроля и диагностики не вызывает сомнений, это связано, главным образом, с усложняющимися задачами повышения надежности и качества выпускаемой продукции.


1. Ермолов И. Н., Ланге Ю. В. Неразрушающий контроль: Справочник. М., 2004. 2. Назарова Т. С., Гробецкий А. А. Современные методы контроля материалов без разрушения: учебное пособие для студ. высш. учеб. заведений. М., 2000.

Пескин В. Е., Кобелева Ю. А., ПсковГУ, факультет инженерных и строительных технологий, 1 курс

(научный руководитель — профессор Верхозин А. Н.)

Вакуумная техника XXI века Бурное развитие вакуумной техники в XXI веке связано с потребностями

электроники, атомной энергетики и космонавтики. Вакуумная техника — это наука, которая изучает физико-химические процессы в разреженных газах, во-просы получения, сохранения и измерения вакуума.

11

12

Вакуум — состояние разрежения газа, при котором молекулярные соуда-рения или вовсе отсутствуют, или же являются немногочисленными по сравне-нию с числом соударений молекул со стенками сосуда. В обычных физических приборах вакуум достигается при давлении порядка 10-3 – 10-4 мм рт. ст.

Современная вакуумная техника восходит к вакуумметру Мак-Леода (1874), который был са-мым прогрессивным вакуумным прибором 19-го века. Спустя почти столетие изобретатели Гобсон и Редхед разработали инверсно-магнетронный ва-куумметр (1958), использующийся в практике ва-куумных измерений и по сей день.

Для получения высокого вакуума давление в откачиваемом сосуде первоначально понижает-ся с помощью насоса предварительного вакуума. Для получения более высокого вакуума исполь-зуют молекулярный или пароструйный насос.

Одно из первых применений вакуума и ва-куумной техники в промышленности, была откачка воздуха из осветительных электроламп и электровакуумных приборов. В связи с появлением транзисто-ров возникла проблема производства высокочистых материалов, при решении которой также используется вакуумная техника.

Вакуумная техника широко применяется в самых различных областях, начиная с медицины и заканчивая испытанием космических ракет в условиях, приближенных к реальным в межгалактическом пространстве. Отметим также использование вакуумной техники в атомно-энергетическом комплексе (разде-ление изотопов, обработка материалов и откачка вакуумного оборудования).

Рассмотрим процесс напыления ме-таллического покрытия на поверхность ди-электрика. В литературе описан интересный эксперимент такого рода, наглядно показы-вающий возможности современной вакуум-ной техники. Целью эксперимента было ис-следование принципа работы вакуумной си-стемы и получение металлического покры-тия на поверхности диэлектрика. Использо-валась высоковакуумная установка на осно-ве турбомолекулярного насоса ТМН-500.

Средств откачки за 4 часа способны обеспечить вакуум с суммарным давлени-ем остаточных газов порядка 10-5 мм рт. ст. Для получения металлических по-крытий (Al, Cu) на поверхности диэлектрика был использован V-образный про-волочный резистивный испаритель и второй в виде конической спирали с ма-лой навеской испаряемого металла (20–50 мг). Испарители, навески и подложка подвергались трехступенчатой очистке. Металлический слой наносился на све-

12

13

жесколотую в атмосфере поверхность. В результате на поверхности диэлектри-ка были получены металлические покрытия толщиной 150–200 нм.

В заключение назовём области применения вакуума. 1. Радиоэлектроника — создание элементов микроэлектроники и полу-

проводниковых приборов. 2. Металлургия — улучшение физико-механических характеристик ме-

таллов, получение титана, ниобия, циркония, бериллия (их получают при 10-4 — 10-6 мм рт. ст.).

3. Химическая промышленность — получение синтетических волокон, полиамидов, полиэтилена, органических растворителей.

4. Фармацевтическая промышленность — получение антибиотиков, син-тетических гормонов, консервирование.

5. Легкая промышленность — нанесение декоративных покрытий. 6. Оптика — фильтры, просветленные линзы, зеркала. 7. Научные исследования — атомная, атомная и ядерная физика, ими-

тация космического пространства, получение новых материалов.

Литература 1. Вдовичев С. Н. Cовременные методы высоковакуумного напыления и плаз-менной обработки тонкопленочных металлических структур, Нижний Новго-род, 2012 [Электронный ресурс]: URL: http://www.unn.ru/books/met_files/ vdovichev.pdf 2. Юнаков А. Н. Вакуумная техника [Электронный ресурс]: URL: https:// ftfsite.ru/wp-content/files/vacum_tehnic_unakov_4.1.pdf 3. Кортнев Т. В., Рублев Ю. В., Куценко А. Н. Практикум по физике. М.: Выс-шая школа, 1965. С. 172–184.

Костин В. А., Сергеев К. С., ПсковГУ, факультет инженерных и строительных технологий, 1 курс


Измерение скорости звука методом стоячих волн Звук — это распространяющиеся в твёрдой, жидкой и газообразной среде

упругие волны. При сложении падающей и отражённой гармонической звуко-вой волны образуется стоячая волна, характеризуемая узлами и пучностями — чередующимися областями разрежения и сгущения частиц.

Под скоростью звука в газе (воздухе) понимают скорость распро-странения фронта волны — поверхности, проходящей через ближайшие части-цы, колеблющиеся синфазно. Существуют разные методы измерения скорости звука. Первый способ предложил Галилей. Метод Галилея заключался в изме-рении промежутка времени между моментом наблюдения от выстрела и момен-

13

14

том прихода звука к наблюдателю (предполагается, что скорость света много больше скорости звука).

Впервые вычислил скорость звука теоретически Ньютон, рассматривая воздух как упругую среду и используя закон Бойля-Мариотта (зависимость дав-ления газа от объёма при постоянной температуре). В дальнейшем выяснилось, что формула Ньютона не подтверждается экспериментально, так как Ньютон ошибочно полагал колебания частиц в звуковой волне изотермическими. Оказа-лось, что за период звуковой волны выравнивание давлений и температур не происходит. Значит, колебания происходят не изотермически, а адиабатически.

В нашем опыте использовался метод стоячих волн, описанный в литера-туре [1], с некоторыми экспериментальными отличиями. В качестве источника звука использовался мобильный телефон с установленной в нём программой «Simple generator». Измерения проводились на частоте 5 кГц. В цилиндриче-ский сосуд наливалась вода. Сверху помещался источник звука (телефон). Сто-ячая волна создавалась в столбе воздуха в сосуде при сложении падающей вол-ны и волны отражённой от поверхности воды. Высоту столба воздуха можно менять, наливая воду в цилиндр. При изменении уровня жидкости количе-ство пучностей и узлов изменяется, меняется положение узла. Расстояние до следующего узла фиксировано, оно определяется длиной волны.

С помощью сообщающихся сосудов меняем положение уровня воды и находим такое положение, при котором слышимость звука минимальна, и дела-ем отметку на стенке цилиндра. Повышаем уровень воды до следующего ми-нимума и делаем вторую отметку.

Измеряя расстояние x от одной отметки до другой, получаем половину

длины волны (x = 3,5 см). Скорость звука находим по формуле: , где

v — скорость звука (м/c), — частота (Гц) , — длина волны (м). В результате опыта мы получили скорость звука, равную 350 м/c с по-

грешностью, не превышающей 10 %. По результатам исследования может быть поставлена лабораторная работа.

14

15

Литература 1. Кузнецова И. В. Определение скорости звука методом стоячих волн в трубе [Электронный ресурс]: URL: http://internat.msu.ru/wp-content/uploads/2013/ 05/3.12-Определение-скорости-звука-методом-стоячих-волн-в-трубе.pdf

Никандров И. С., ПсковГУ, факультет вычислительной техники и электроэнергетики, 1 курс

(научный руководитель — доцент Михайлусова Т. Н.)

Инфракрасные лучи в строительной технике В наши дни инфракрасные лучи широко используются в строительной

технике. Инфракрасные лучи используются для сушки разных материалов, по-лимеризации, термовлажностной обработки. Для техники и строительства очень важную роль играет инфракрасный нагрев.

Как и в большинстве ситуаций, инфракрасный нагрев на производстве должен протекать с высоким КПД. Основную роль играет коэффициент погло-щения — чем он больше, тем лучше тело нагревается. Как правило, данный ко-эффициент больше у материалов черного цвета. Помимо этого КПД зависит от толщены материала, его теплопроводности, а также от угла падения инфра-красных лучей и их отражения.

Для строителей особый интерес представляет отражательная способность в инфракрасном спектре красок и стекол, т. к. солнце несет на Землю большое количество лучей этого типа. Чтобы избежать перегрева строительных соору-жений и выцветания красок, нужно знать отражательную способность материа-ла. Например, алюминиевая краска имеет коэффициент отражения инфракрас-ных лучей около 60 %.

Людям, работающим в области строительства, необходимо обладать ин-формацией о возможности поглощения и излучения инфракрасных лучей. Так, источниками излучения инфракрасных лучей являются все нагретые тела (до 1800 °С). Из закона Кирхгофа следует, что чем больше тело поглощает инфра-красные лучи, тем сильнее его излучательная способность. Степень поглоще-ния инфракрасных лучей зависит от цвета материала (лучшая поглощающая (излучающая) способность у черных тел) и от состояния его поверхности: ше-роховатость, царапины, волнистость и т. д. увеличивают поглощающую спо-собность материалов.

Излучатели инфракрасных лучей на практике должны иметь большой срок службы и иметь возможность равномерного нагрева облучаемых поверх-ностей. Желательно, чтобы время нагрева излучателей было небольшим. Эти излучатели можно подразделить на 2 категории: газовые и электрические. Газо-вые используют для отопления отдельных зон, сушки некоторых материалов.

15

16

Второй тип излучателей, как правило, применяется в промышленности, а также электрические инфракрасные излучатели обладают бо́ льшим КПД.

ТЭНы — темные (т. к. почти не светятся при высоких температурах) из-лучатели трубчатого типа — одни из наиболее выгодных излучателей инфра-красных лучей, т. к. они имеют время разогрева от полминуты до 5 минут.

В строительстве, а также и в другой промышленной отрасли, широкое применение имеет «зонный» обогрев рабочего места. При «зонном» обогреве тепло подводится излучением от источников инфракрасных лучей, при этом воздух нагревать не нужно. Эту теплую зону можно перемещать вместе с рабо-чей бригадой по всему фронту работ.

Для обогрева помещений часто используют лучистое отопление светлы-ми и темными инфракрасными излучателями; в первом случае отопление сов-мещается с освещением. При таком отоплении излучатели ставят в одном месте по 3–5 штук, что позволяет регулировать обогрев помещения при помощи ком-мутационного блока. Лучистое отопление часто используют в качестве допол-нительного отопления, чтобы уменьшить мощность обычных установок. Одна-ко для помещений высотой более 6 метров лучистое отопление уже экономиче-ски выгодно, потому что при лучистом отоплении вентиляция почти не влияет на тепловой баланс.

Очень важную роль в строительстве играет инфракрасная сушка. При ин-фракрасной сушке сознательно выбирается длина волны излучения, чтобы она эффективно поглощалась тем или иным материалом. Для сушки важное значе-ние имеет коэффициент поглощения воды. Существуют также и комбиниро-ванные методы сушки: инфракрасная и высокочастотная; инфракрасная и зву-ковая; инфракрасная и конвекция.

В наши дни масштаб производства просто огромен, и человек старается всячески автоматизировать производство. В автоматизации процессов приме-няют также и инфракрасные лучи.

Любое нагретое тело излучает инфракрасные лучи, а значит, это излуче-ние можно использовать, как источник информации о ходе процесса, как инди-катор. Полученную информацию о материале преобразовывают в выходной сигнал, удобный для обработки и передачи при помощи датчика. Более того, каждое вещество имеет определенный спектр инфракрасного излучения с ха-рактерными полосами поглощения. Этот факт является основой инфракрасной спектроскопии — метода количественного и качественного анализа различных элементов и продукции, получаемой в промышленности.


1. Долгополов Н. Н. Современная физика — строителям: учебное пособие. М., 1966.

16

17

Булатов И. А., ПсковГУ, факультет инженерных и строительных технологий, 1 курс


Концепция наблюдателя в современном естествознании Что такое сознание и какую роль оно играет в нашей жизни? Ответить на

этот вопрос ещё c древних времен пытались философы. Современные учёные только приближаются к разгадке феномена сознания. Как ни странно, но дать ответ на этот вопрос, возможно, сможет не психология, а квантовая физика.

В конце 20-х гг. XX в. большинством учёных была принята концепция, названная копенгагенской интерпретацией квантовой механики. Она носила позитивистский характер и оказалась пригодной только для практических рас-чётов. Вопрос о том, что стоит за этими расчётами ставить запрещалось. Авто-рами копенгагенской интерпретации были Нильс Бор и Вернер Гейзенберг. Против копенгагенской интерпретации резко возражал Альберт Эйнштейн. Позже были предложены другие интерпретации, где в качестве необходимого элемента было добавлено сознание наблюдателя. Предлагалось помимо изме-ряемой системы и прибора включить в измерительный процесс также картину, возникающую в этот момент в сознании человека.

Квантовая физика имеет множество парадоксов, которые часто противо-речат нашему пониманию мира, однако они подтверждаются множеством экс-периментов. Одним из таких парадоксов является принцип квантовой суперпо-зиции. Под ним понимают состояние, в котором объект может находиться не только конкретно в одном из двух состояний, но и в двух состояниях одновре-менно. В качестве примера можно привести мысленный эксперимент, приду-манный одним из создателей квантовой механики Эрвином Шрёдингером («Кот Шрёдингера»). В закрытый ящик помещён кот, рядом с ним находится атом радиоактивного изотопа, ёмкость с ядовитым газом и механизм, разбива-ющий её. Пока атом не распался, кот жив, если атом распался, то он запускает в действие механизм, пускающий яд, и кот умирает. Согласно квантовой механи-ке, если над ядром не производится наблюдения, то состояние системы описы-вается суперпозицией двух состояний: (нераспавшийся атом + живой кот) и (распавшийся атом + мертвый кот), то есть он и жив и мертв одновременно.

Если ящик открыть, то суперпозиция состояний исчезнет и нам станет виден результат эксперимента. Получается, что до вмешательства наблюдателя кот находится в живом и в мертвом состоянии одновременно, а после наблюде-ния в одном или другом. Каждая компонента квантовой суперпозиции пред-ставляет собой отдельную и равноправную классическую реальность. Вселен-ная расщепляется на ряд вселенных-ветвей, каждая из которых соответствует своему возможному исходу события. Такая интерпретация была предложена американским физиком Хью Эвереттом. Многомировая интерпретация Эверет-та, утверждает, что существует бесконечное число одинаково реальных миров.

17

18

Каждый такой мир является составляющей этой суперпозиции. Один из миров представляет из себя альтернативу другому. Так, например, в одном мире кот жив, а в другом он мёртв. Что же делает сознание? Оно разделяется на множе-ство этих миров и в каждом из миров видит то, что происходит именно в нём, независимо от других. Другими словами, в каждом альтернативном мире суще-ствует наш «двойник», который воспринимает свою реальность, и у него воз-никает иллюзия единственности наблюдаемого им мира.

В 2000 г. профессор М. Б. Менский предложил расширенную концепцию Эверетта, предполагающую, что сознание, точнее осознание, — это разделе-ние альтернатив. Делается вывод, что во время сна или транса, глубинный уро-вень сознания получает доступ ко всем классическим мирам. Оно может выби-рать благоприятный исход и способствовать его реализации в будущем. Конеч-но, тема о роли сознания в естествознании является ещё довольно спорной. Многие учёные не принимают её всерьез. Но в то же время интерес к ней во всем мире возрастает.


1. Верхозин А. Н. Квантовая теория сознания-пути становления. [Электрон-ный ресурс]: URL: http://pskgu.ru/projects/pgu/storage/wt/wet04/wet04_25.pdf 2. Менский М. Б. Феномен сознания с точки зрения квантовой механики. [Электронный ресурс]: URL: http://www.intelros.ru/pdf/metafizika/03_2012/07.pdf 3. Менский М. Б. Концепция сознания в контексте квантовой механики // Успе-хи физических наук. 2005. Т. 175. № 4. С. 413–435. 4. Коржиманов А. В. Квантовая суперпозиция: как физики учатся понимать её правильно [Электронный ресурс]: URL: http://22century.ru/popular-science-blpuications/quantum-superposition

Фёдоров А. С., ПсковГУ,

факультет инженерных и строительных технологий, 1 курс (научный руководитель — профессор Верхозин А. Н.)

Лазерные технологии в строительстве

Вплоть до начала XX века считалось, что сфокусированный и однород-

ный луч света получить невозможно, но после появления лазеров ситуация из-менилась. В 1900 г. немецкий ученый Макс Планк подверг сомнению утвер-ждение Исаака Ньютона о непрерывности энергии. Планк предположил, что излучение происходит в виде отдельных дискретных порций (квантов), которые 25 лет спустя получили название фотонов. В 1905 г. А. Эйнштейн выдвинул идею о том, что свет не только испускается, но и поглощается отдельными пор-циями. Следуя этой концепции, Эйнштейн создал теорию внешнего фотоэф-

18

19

фекта. «Квантовая революция» привела в середине 20-го века к появлению оп-тических квантовых генераторов (лазеров).

Основой любого лазера служит особая среда, называемая активным веще-ством. В зависимости от типа лазера это может быть кристалл (твердотельный лазер), газ — чаще всего гелий, неон или аргон (газовый лазер) или жидкий ди-электрик (жидкостный лазер). За счёт энергии извне (электричество, радиовол-ны, свет или химическая реакция) происходит возбуждение активной среды, что приводит к возбуждению атомов и к появлению инверсной заселённости энерге-тических уровней. В газовых лазерах инверсная заселённость создаётся с помо-щью резонансной передачи энергии в газовом разряде. Система с инверсной за-селённостью неустойчива. Первый же фотон, возникающий при спонтанном пе-реходе, выбьет из соседнего атома второй фотон. Два фотона выбьют четыре, че-тыре — восемь и т. д. Волна дойдёт до зеркала оптического резонатора, отразит-ся и пойдёт к другому зеркалу. Отражения повторяются многократно, интенсив-ность излучения нарастает, пока большинство возбуждённых атомов не отдадут свою энергию. Тогда через одно полупрозрачное зеркало резонатора вырвется интенсивный луч, направление которого строго параллельно оси резонатора.

Луч лазера имеет замечательные характеристики, недостижимые для лю-бого другого источника света. Это: 1) временная и пространственная когерент-ность (фазовые соотношения в разные моменты времени и в разных точках пространства остаются постоянными); 2) монохроматичность (для газовых ла-зеров Δλ = 10-11 м); 3) большая мощность (лазерный луч можно сфокусировать в пятно диаметром порядка длины световой волны, поэтому мощность может до-стигать 1018 Вт/м2; 4) малая угловая расходимость (порядка угловой минуты для газовых лазеров); 5) амплитуда световой волны может достигать колоссального значения (до 1011 В/м).

Лазеры применяются в системах многоканальной связи, в метрологии, в химии (для избирательного разрыва химических связей и управления ходом химической реакции), в термоядерных установках, для получения объёмных изображений (голография), в медицине (лазер заменяет нож хирурга), в аст-рономии (радиолокация Луны), в радиоэлектронике (лазерные проигрывате-ли, CD-плееры, лазерные принтеры, лазерные проекторы). Впечатляющим примером применения лазеров в строительство является применение лазеров в геодезии. При строительстве огромное значение имеют инженерно-геодезические измерения, для проведения которых необходима высокая точ-ность. От этой точности зависит качество и надёжность последующих строи-тельных, монтажных и ремонтных работ. Лазерный отвес, уровень, нивелир, маркер, рулетка и лазерный дальномер — инструменты, применяемые при разметке земельных участков, строительстве зданий, монтаже инженерных коммуникаций и отделке помещений.

Примером внедрения современных технологий в строительство слу-жит лазерная рулетка (дальномер), позволяющая практически мгновенно и очень точно измерить расстояние от нескольких сантиметров до десятков и со-

19

20

тен метров. Работать с этим прибором так же просто, как с обычной рулеткой. Нами построен и опробован простой лазерный дальномер, принцип действия которого можно пояснить так. Луч лазера направляется на удалённый объект. Другой лазер, находящийся на поворотной оси на некотором расстоянии от первого, направляет свой луч в ту же точку. Зная угол поворота второго лазера и расстояние между ними, можно легко найти расстояние до объекта.


1. Лазер. Мегаэнциклопедия [Электронный ресурс]: URL: http://mega-book.ru/article/Лазер 2. Лазерные технологии в строительстве [Электронный ресурс]: URL: http: //build.rin.ru/articles/1399.html 3. Современные лазерные приборы для строительства [Электронный ресурс]: URL: http://www.stroymat.ru/view_stat.php3?id_=1320

Комлев И. А., Пальчунов Д. С., ПсковГУ, факультет инженерных и строительных технологий, 1 курс


Применение поляроидов для изучения механических напряжений в деталях конструкций

Метод фотоупругости — неразрушающий метод изучения напряжений в

прозрачных оптически изотропных телах. Под действием напряжений такие те-ла (стекла, пластмассы, кристаллы кубической симметрии) становятся анизо-тропными, т. е. подобными одноосному кристаллу с оптической осью, совпа-дающей с направлением деформирующей силы. Мерой оптической анизотро-пии служит разность показателей преломления обыкновенного и необыкновен-ного луча no — ne = k σ, где σ — напряжение; k — коэффициент пропорцио-нальности, зависящий от материала образца.

Различают: – прямое моделирование, когда материал модели обладает теми же свой-

ствами, что и реальные объекты; – косвенное моделирование, когда материал модели совершенно отличен

от материала реального сооружения, и когда задача решается методом упругих аналогий. Таким путём можно изучать реологические свойства вещества, например, явление ползучести (реология — наука о деформациях и текучести сплошных сред, обнаруживающих упругие, пластические и вязкие свойства), термоупругости (напряжений, возникающих при нагревании) и многое другое.

20

21

Моделирование напряженно-деформированного состояния заключается в выводе условий подобия полей напряжений и деформаций в прозрачной мо-дели и прототипа из конструкционного материала. Основная идея заключается в сравнении систем уравнений, описывающих модель и прототип. Эти систе-мы приводятся к безразмерному виду, а затем подбором коэффициентов доби-ваются, чтобы характерные комбинации коэффициентов были одинаковы для обеих систем.

Схема установки показана на рисунке. Источник света (осветитель с лам-пой накаливания, на рисунке не показан) формирует световой пучок, падающий на поляризатор П. Обыкновенные и необыкновенные лучи, полученные из естественного света с помощью поляризатора, некогерентны и поэтому не мо-гут интерферировать. Для наблюдения интерференции необходимо, чтобы обыкновенный и необыкновенный лучи получались из поляризованного луча, полученного с помощью поляризатора П как две его составляющие, поляризо-ванные в перпендикулярных плоскостях. Кроме того их нужно привести к од-ной плоскости с помощью ещё одного николя А.

Поместим между скрещенными поляризатором П и анализатором А пла-

стинку из стекла или оргстекла. Если пластинка не деформирована, то свет че-рез такую систему не проходит, экран Э затемнён. Подвергнем пластинку сжа-тию или растяжению (F — деформирующая сила). В результате на экране будут наблюдаться цветные полосы. Каждая такая полоса соответствует местам, где напряжение одно и то же. По расположению цветных полос можно судить о распределении напряжений в образце.

Для изучения напряжений в деталях и конструкциях изготовляют про-зрачную модель этой детали и помещают её между скрещенными поляриза-тором и анализатором. Модель подвергается действию нагрузок, аналогичных тем, какие будет испытывать сама деталь. Наблюдаемая при этом цветная кар-тина позволяет определить распределение и значение нагрузок в детали и найти опасные места.

21

22

Литература 1. Миндлин Р. Изучение напряжений методом фотоупругости // УФН. 1940. Т. 23. Вып. 1. С. 16–66. [Электронный ресурс]: URL: http://ufn.ru/ufn40/ ufn40_1/Russian/r401c.pdf 2. Герасимов С. И. Применение метода фотоупругости для анализа остаточных напряжений в компакт-дисках // Прикладная механика и техническая физика. 2004. Т. 45. № 3. С. 176–180. [Электронный ресурс]: URL: http://www.sibran.ru/ psb/phsb/papers/pmtf_2004_3_20.pdf 3. Верхозин А. Н. Оптика в общем курсе физики. Л., 1991.

Вармашкин Е. В., ПсковГУ, факультет вычислительной техники и электроэнергетики, 1 курс

(научный руководитель — профессор Хватцев А. А.)

Замечательные кривые. История и применение Вот уже несколько тысяч лет человечество создает само себя. Двигается

вперед с помощью науки и техники, мечтает о новых мирах и о преобразовании уже существующего мира. В процессе этого мы обращаемся за вдохновением к природе, к самому совершенному механизму окружающего нас мира. Окружа-ющий нас мир — это мир геометрии, мир крутых изгибов, плавных переходов и спиралей. Наблюдаемые многократно, они послужили основой для постепенно-го установления понятия о линии.

Кривые распространены в природе, а их свойства используются в различ-ных механизмах, используемых человеком в жизни. Поэтому кривые — это способ показать пользу и практическое применение геометрии в нашей жизни.

Рис. 1. Верзиера Аньези («Локон Аньези»)

Пусть имеется круг с диаметром aOC . Верзиерой Аньези называется

геометрическое место точек М, удовлетворяющих условию BMOC

BDOB

(рис. 1).

22

23

Из рисунка видно, что пропорцию можно переписать в виде xa

BDy

. Так как

yayBD , то, следовательно, xa

yayy

или 22

3

axay

.

История. Эту кривую упоминал уже Ферма в 1703 году, а построение ее привела Мария Гранди, которая в 1718 г. за ее форму назвала ее на латыни «versoria», что значит «канат, который поворачивает парус». По-итальянски Гранди привела название «versiera», и конечно же, в своей книге Аньези совер-шенно правильно назвала кривую «laversiera». Книгу Аньези переводил на ан-глийский язык Джон Кольсон, который неправильно заменил «laversiera» на «l’aversiera», что значит «ведьма», или «жена дьявола». Таким образом, в Ан-глии эта кривая стала известна как «ведьма Аньези».

Применение. Трамплин-рампа российского авианосца Адмирал флота Советского Союза Кузнецов образован верзиерой Аньези.

Циссоида Диоклесса Кривая названа по имени древнегреческого математика Диоклеса (Ш век

до нашей эры), применявшего её в решении делосской задачи. Построение. Возьмем окружность (называемую производящей) с диамет-

ром aOA 2 и касательную AB к ней (рис. 2). Через точку O проведем луч OB и на нем отложим отрезок BCOM . Построенная таким образом точка M принадлежит циссоиде. Повернув луч OB на некоторый угол и, проделав ука-занное построение, мы найдем вторую точку циссоиды, и т. д. Если точку O

принять за полюс, то OCOBOM ; но cos

2aOB и cos2aOC , откуда

получаем полярное уравнение циссоиды

cossin2 2a

.

Пользуясь формулами перехода от полярных координат к декартовым,

получим уравнение в прямоугольной системе координат xa

xy

2

32 .

Рис. 2. Делосская задача

23

24

Возможность найти графическим путем ребро куба с объемом, в два раза большим объема данного куба, усматривается из следующих соображений. Пусть b-ребро данного куба, а B -ребро искомого; тогда 33 2bB и, следова-тельно, 3 2bB . Отсюда ясно, что графическое решение задачи должно све-стись к построению 3 2b . Перепишем для этой цели уравнение циссоиды в виде

xay

xy

2

3. Прямая kxy отсекает от касательной отрезок akAD 2 и пе-

ресекает циссоиду в точке М, координаты которой удовлетворяют уравнению 3

2k

xay

. Это уравнение можно рассматривать как уравнение прямой прохо-

дящей через точку A(2а, 0) и отсекающей на оси ординат отрезок 32akOC .

Если принять 21

a и на оси ординат отложить отрезок 2OC , соединить точ-

ку C с точкой А(1, 0) а точку пересечения прямой СА с циссоидой соединить с точкой О и продолжить полученный отрезок до пересечения с касательной, то, опираясь на формулы 32akOC и akAD 2 следует что 3 2AD .

Лемниската Бернулли Лемниската представляет собою геометрическое место точек М, произве-

дение расстояний каждой из которых от двух фиксированных точек F и 1F есть постоянная величина. Располагая фиксированные точки F и 1F — фокусы лемнискаты на оси абсцисс и обозначая их абсциссы через a и a , будем

иметь 21 aMFMF , или 22222 ayaxyax или

022222222 yxax .

Переходя к полярным координатам, получим:

Рис. 3

2cos2 22 a .

24

25

В качестве примера применения лемнискаты в области физики можно указать, что эквипотенциальные линии поля, создаваемого двумя параллельны-ми токами, текущими по бесконечно длинным проводникам, в плоскости, к ним перпендикулярной, в частном случае являются лемнискатами.

Розы Гранди Итальянский геометр Гвидо Гранди (1671–1742) создал так называемые

розы. Семейство роз Гранди описывается уравнением в полярных координатах bkasin , где a и k — некоторые постоянные, а b — переменная величина.

При k нечётном роза состоит из k лепестков, при k чётном — из km 2 лепестков; при k рациональном лепестки частично покрывают друг друга. При иррациональном k роза имеет бесконечное число лепестков.

В этом уравнении значение a отвечает за длину лепестков, а значения b и k — за количество и форму.

Очарованный результатами Гранди, немецкий геометр, математик-натуралист XIX в. Б. Хабенихт также решил заняться математическим «расте-ниеводством». Хабенихт в своих работах приводит ряд полученных им уравне-ний, которые с хорошим приближением аналитически выражают очертания различных листьев и плодов. Хабенихт, постепенно усложняя уравнения, полу-чает большое количество уравнений контуров листьев: плюща, крапивы, листь-ев кислицы и др.


1. Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика. Свойства. Применение: спра-вочное руководство. М., 1969.

Ежова И. М., ПсковГУ, финансово-экономический факультет, 2 курс

(научный руководитель — доцент Вишнякова О. М.)

Антагонистическая игра С развитием экономики и управления все чаще встречаются ситуации, в

которых сталкиваются две или более стороны, преследующие различные цели, причем результат, полученный каждой из сторон при реализации определенной стратегии, зависит от действий других сторон.

Антагонистические игры — игры с противоположными интересами сто-рон. К ним относится, в частности, игра двух лиц с нулевой суммой, т. е. при которой выигрыш одного игрока является проигрышем другого. Для решения подобной игры составляется платежная матрица, в которую заключены ходы конкурирующих игроков. Каждая ячейка платежной матрицы соответствует одному ходу игроков.

25

26

Естественный принцип оптимальности для антагонистической игры — принцип максимина (минимакса). Возможен такой исход, при котором макси-мин и минимакс совпадают, что говорит о наличии седловой точки, которая бу-дет равна значению этих двух показателей. Такой исход говорит о том, что игра находится в чистых стратегиях.

Кроме того, если в платежной матрице нет седловой точки, то равновесие игры находится в смешанных стратегиях.

Для решения игры в смешанных стратегиях используются два метода [1]: – геометрический (графический) метод; – метод линейного программирования (симплекс-метод). Графическим методом решают матричные игры размера m×2 и 2×n, т. е.

когда у одного или обоих игроков имеется только две стратегии. Данный метод является простым и наиболее наглядным для решения матрицы игры. Суть это-го метода заключается в преобразовании платежной матрицы в систему линей-ных уравнений. На основе составленной системы уравнений находится область допустимых значений, экстремумы целевой функции и по этим данным строит-ся график, на основе которого определяется исход игры.

Для парных игр разработан достаточно простой аналитический метод ре-шения, базирующийся на основных положениях линейного программирования с привлечением принципов двойственности задач линейного программирова-ния. Процесс нахождения решения игры с использованием методов линейного программирования, включает следующие этапы [1, c. 91]:

– составляется пара двойственных задач линейного – программирования, эквивалентная данной матричной игре; 2) определяются оптимальные планы двойственных задач; 3) используя формулы, находятся решение игры. Рассмотрим пример антагонистической игры. Две крупные торговые сети по продаже бытовой техники и электроники

«Магазин1» и «Магазин2» планируют открыть свою торговую точку в одном из городов. Например, в Псковской области это могут быть магазины Эльдорадо и М-Видео. Численность населения и расстояние между городами представлены на рис. 1.

26

27

Рис. 1. Карта предполагаемых районов торговли

Если торговая точка сети «Магазин1» находится ближе торговой точки сети «Магазин2», то её услугами воспользуются 60 % населения

города, если дальше — 35 %, остальные воспользуются услугами конкурента. Если торговые точки будут расположены на одинаковом расстоянии от города, то 50 % населения воспользуется услугами сети «Магазин1», а остальные 50 % — услугами сети «Магазин2».

Необходимо определить оптимальные стратегии для двух торговых сетей, считая их целью «захват» наибольшего числа покупателей.

Составим платежную матрицу размера 4х4, т. к. у каждой торговой сети есть возможность открыть свою торговую точку в одном из 4 городов.

15486124641246412464169561548616660166171695612760154861276016956128031666015486

Вычеркиваем доминирущего игрока «Магазин1» стратегии и получаем

новую матрицу.

154861246412464124641695615486166601661716956128031666015486

27

28

В оставшейся матрице элементы третьего столбца не превышают элемен-тов второго. Следовательно, сети «Магазин2» менее выгодно открывать торго-вую точку в Дедовичах, чем в Порхове. Вычеркиваем второй столбец в матри-це, и получаем новую матрицу:

154861246412464169561548616617169561280315486

В данной матрице есть седловая точка, равная 15486. Её наличие говорит

о том, что в данной игре есть оптимальные решения для двух торговых сетей. Таких решений три:

и «Магазин1», и «Магазин2» открывают торговую точку в Дно; и «Магазин1» и «Магазин2» открывают торговую точку в Порхове; и «Магазин1», и «Магазин2» открывают торговую точку в Стругах Крас-

ных.

Литература 1. Матвеев В. А. Конечные бескоалиционные игры и равновесия: учебное посо-бие. Псков, 2004.

Копычко Д. А., ПсковГУ,

факультет вычислительной техники и электроэнергетики, 1 курс, (научный руководитель — доцент Астахова И. С.)

Эллиптические функции и их приложения

в прикладной математике Как известно тригонометрическая функция )sin(zf ; )cos(zf ;

)(ztgf и тд являются периодическими функциями (одно-периодическими). Если zfzf 12 и zfzf 22 то функция zf называется

двоякопериодическими с периодами 12 и 22 . Примером двоякопериодических функций являются эллиптические

функции Якоби, они могут быть определенны с помощью интегралов:

Рассмотрим интеграл

0 2 sin1 k

du (1)

Угол называется амплитудой и записывается amu .

28

29

Тогда 1) snusin или amusin или kusn , — эллиптический синус (или си-

нус амплитуда); 2) cnuamu cos или kusn , (или для краткости sinsnu ,

coscnu );

3) Функция dnuk sin1 2 или kudn , — дельта амплитуда; посто-

янная 2k называется модулем (параметром ) эллиптической функции.

При модуле 212 k графики функции cnusnu, и dnu выглядит следую-

щим образом: 21k — называется дополнительным модулем 12

12 kk , если

0k , то 11 k

Рис. 1

Эллиптические функции Якоби dnucnusnu ,, — определяющая тройка

функции. Остальные девять определяются через них; например, cnusnuscu ,

snucnucsu и т. д.

Интегралы:

0 22 sin1

, dk

dkF

022 sin1, dkkE (2)

называются соответственно эллиптическим интегралом 1-го и 2-го рода. Из (1) и (2) видим, что 0,F и 0,E .

29

30

Положим в интегралах (1) и (2) амплитуду 2 . Тогда из интеграла (1) получаем

KkKk

du

20 22 sin1

— полный эллиптический интеграл 1-го рода.

А из второго получаем

EkEk 2

022 sin1 — полный эллиптический интеграл 2-го рода.

На примере закона движения математического маятника и покажем при-менение эллиптических функций и эллиптических интегралов.

Рассмотрим движение плоского математического маятника по окружно-сти радиуса l с центром в точке O .

Будем определять положение точки M (маятника) углом отклонения радиуса OM от вертикали

tS — величина дуги, на которую отклонился маятник в момент t .

Рис. 2

На маятник действует сила упругости нити N и сила тяжести P . Когда маятник находиться в равновесии 0 NP .

Когда маятник отклонён, возникает результирующая сила F , направленная по касательной к траектории в сторону поло-жения равновесия sinsin mgPF .

По 2-му закону Ньютона производная по времени от количества движения мате-риальной точки равна действующей на неё

силе: Fmvdtd

, где m — масса маятника.

dtdl . .sin2

22 mg

dtdml

dtdl

dtd

(3)

Мы получим линейное однородное дифференциальное уравнение

т. к.

dd

dtd

dd

dtd

dtd

2

2, то уравнение (3) станет

sing

ddl

, sin2

dd

,

где 1

2 g

30

31

Полученное уравнение интегрируем:

cdd cos2

sin 22

2

Пусть 0 — угол максимального отклонения маятника, при этом 0 ,

тогда 02 cos2 c и 0

22 coscos2 ; то есть

0

0 coscos2coscos2

ddt

dtd (4)

Переходя к половинному аргументу и сделав замену переменного

sin2

sin k , где 2

sin 0k , получим

0 22 sin1 k

dt .

В правой части стоит эллиптический интеграл первого рода; kFU , — функция верхнего предела amu snusin и модуля k . Эллиптические интегралы не могут быть вычислены в элементарных функциях.

Таким образом, закон движения математического маятника выражен через

эллиптическую функцию tegsnttsmsnu

2sin,sinsin 0 , где

2eg . Итак, рассматривая движение математического маятника пришли к

дифференциальной модели реального процесса. Это обстоятельство даёт воз-можность рассмотрения дифференциального моделирования и в других задачах.


1. Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. М., 1970. 2. Хватцев А. А. Дифференциальные уравнения: учебное пособие. Псков, 2010.

Мартынова В. С., Дмитриева Т. А., ПсковГУ, финансово-экономический факультет, 2 курс


Нахождение равновесия в биматричных играх Теория игр — это раздел математики, изучающий математические модели

принятия решений в конфликтных ситуациях. Теория игр опирается на предпо-ложение о том, что независимо от цели игры и ее обстоятельств найдется стра-тегия, которая позволит добиться успеха. Игра — упрощенная формализован-ная модель реальной конфликтной ситуации. Цель теории игр — выработка ре-комендаций по разумному поведению участников конфликта (определение оп-тимальных стратегий поведения игроков).

31

32

К настоящему времени существует несколько способов классификации игр. Основным является деление на бескоалиционные конечные парные игры с выиг-рышами (матричные позиционные биматричные) и коалиционные. В данном до-кладе мы рассмотрим биматричные игры. Биматричная игра — это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока. С ненулевой суммой (необя-зательно выигрыш одного игрока означает проигрыш другого).

Пусть первый игрок имеет m стратегий, а второй — n стратегий. Выиг-рыши первого и второго игроков задаются матрицами nmijaA

и

nmijbB

. Если первый игрок применяет стратегию i, а второй — стратегию j, то

первый игрок выигрывает ija а второй — ijb . Чистая стратегия — определенная реакция игрока на возможные вариан-

ты поведения других игроков. Пара стратегий ),( 00 ji является ситуацией рав-новесия (в чистых стратегиях) в биматричной игре, если выполняются неравен-ства: ,

000 ijji aa i=1, … m. ,000 jiji bb j=1, … n

Равновесие в смешанных стратегиях Пара смешанных стратегий (p, q) есть ситуация равновесия в биматрич-

ной игре тогда и только тогда, когда каждому игроку в отдельности не выгодно менять свою смешанную стратегию на любую чистую стратегию:

m

k

n

l

n

jjijlkkl qaqpa

1 1 1 и

m

k

n

l

n

jjijlkkl qbqpb

1 1 1

njmi,,1,,1

Это означает, что стратегия первого игрока ),( 1 mppX является наилучшей реакцией на действия второго игрока, а стратегия второго игрока

),,( 1 nqqY — является наилучшей его реакцией 1-го игрока, pi и qj — ве-

роятности, с которой игроки выбирают чистые стратегии, и

m

iip

11 ,

n

jiq

11.

Тогда средние выигрыши первого и второго игроков соответственно равны

m

i

n

j

Tjiij AqpqpaqpA

1 11 ),,( ;

m

i

n

j

Tjiij BqpqpbqpB

1 12 ),,(

32

33

Графически это можно изобразить следующим образом:

Пример: Борьба за рынки Небольшая фирма (игрок 1) намерена сбыть крупную партию товара на

одном из двух рынков, контролируемых другой, более крупной фирмой (иг-рок 2). Для этого оно может предпринять на одном из рынков соответствующие действия (например, развернуть рекламную кампанию). Господствующий на рынках игрок 2 может попытаться воспрепятствовать этому, предприняв на од-ном из двух рынков предупредительные меры. Игрок 1, не встретивший на рынке препятствий, захватывает его; встретившись с сопротивлением — терпит поражение. Выборы фирмами рынков являются их чистыми стратегиями.

Пусть проникновение игрока 1 на первый рынок более выгодно для него, чем проникновение на второй, но борьба за первый рынок требует больших средств. Например, победа игрока 1 на первом рынке принесет ему вдвое боль-ший выигрыш, чем на втором, но зато поражение на первом рынке полностью его разоряет (проигрыш равен 10), а игрока 2 избавляет от конкурента (выиг-рыш равен 5).

Описанная биматричная игра может быть задана матрицами выигрышей:

1125

11

210BA

Определим наилучшую реакцию первого игрока на действия второго.

)143,0[1

143]1,0[

]1,143(0

12122

111210

q

q

q

pq

qq

q

Наилучшая реакция игрока А (множество приемлемых

стратегий) Рис. 1-а

Наилучшая реакция игрока В

(множество приемлемых стратегий)

Рис. 1-б

Ситуация равновесия по Нэшу Рис. 1-в

33

34

Определим наилучшую реакцию второго игрока на действия первого:

]1,92(192]1,0[

)92,0[0

)31 ,16(1125

)1 ,(

p

p

p

qpppp

Множества всех приемлемых ситуаций игрока 1 и игрока 2 изображены на рис. 2 (для игрока 2 соответствующее множество показано пунктиром).

Рис. 2 Зигзаги приемлемых ситуаций пересекаются в единственной точке

)143,

92( , которая и оказывается единственной ситуацией равновесия. Эта ситуа-

ция равновесия является ситуацией равновесия в смешанных стратегиях. Таким

образом, оптимальными стратегиями по Нэшу являются )97,

92(X и

)1411,

143(Y . При этом цена игры для игрока 1

6371

1411143

11210

)97,

92(1

Цена игры для игрока 2 31

1411143

1125

)97,

92(2


1. Матвеев В. А. Конечные бескоалиционные игры и равновесия: учебное посо-бие. Псков, 2004.

34

35

Мурашов Ю. В., ПсковГУ, факультет менеджмента, 1 курс

(научный руководитель — доцент Зуев А. Н.)

Применение аналитической геометрии для решения прикладных экономических задач

Целью данной статьи является рассмотрение простейших экономических

моделей, которые изучаются в рамках дисциплины микроэкономика, с исполь-зованием некоторых формул аналитической геометрии.

Мы рассмотрим: – линейную модель амортизации, описанную как уравнение прямой ли-

нии; – линейную модель издержек и найдём точку безубыточности, как точку

пересечения двух прямых; – законы спроса и предложения, заданные уравнением прямой по двум

точкам и найдём точку рыночного равновесия. 1. Линейная модель амортизации. Существуют различные модели начисления амортизации на купленное

предприятием оборудование. Наиболее простая из них — линейная модель. Пользуясь этой моделью, предприятие относит стоимость купленного оборудо-вания на затраты производства равными долями. Если известны начальная сто-имость оборудования Р, остаточная стоимость S и срок службы Т, то ежегодная амортизация задается формулой:

Стоимость оборудования после t лет эксплуатации находится по формуле:

Учитывая формулу для амортизации, получаем:

Это уравнение определяет прямую линию [1, с. 95]. 2. Линейная модель издержек. Точка безубыточности. При производстве х единиц любой продукции совокупные издержки (за-

траты) С(х) состоят из двух слагаемых — постоянных (фиксированных) и пе-ременных издержек:

Постоянные издержки F — это издержки, не зависящие от числа единиц

произведенной продукции. Переменные издержки V — это издержки, напря-мую зависящие от количества произведенной продукции. В простейшем случае переменные издержки прямо пропорциональны х — количеству произведенной продукции. Коэффициент пропорциональности а — это переменные затраты по

35

36

производству одной единицы продукции. Если обозначить через b фиксирован-ные затраты, то получится уравнение, которое называется линейной моделью издержек:

Совокупный доход (или выручка) R(x), получаемый предприятием от

продажи х единиц продукции, определяется формулой:

где р — цена единицы товара. Очевидно, что область определения этой функции {x: x ≥ 0} и R(0) = 0. Если произведено и продано х единиц продукции, то прибыль:

Точка, в которой прибыль обращается в нуль, называется точкой безубы-

точности [1, с. 96]. 3. Законы спроса и предложения. Количество товара, которое покупатели приобретут на рынке, зависит от

цены на этот товар. Соотношение между ценой и количеством купленного то-вара называется функцией, или законом спроса. Закон спроса устанавливает, что существует отрицательная связь между количеством какого-либо блага, ко-торые люди будут покупать, и ценой, т. е. при более высоких ценах купят меньше, при более низких больше. Следовательно, тангенс угла наклона графи-ка спроса будет отрицательным [2, с. 58].

Количество товара, которое производители выставят на продажу, также за-висит от цены на этот товар. Соотношение между ценой и количеством товара, выставленного на продажу, называется функцией, или законом предложения.

Закон предложения устанавливает, что существует положительная связь между количеством товара и ценой. Следовательно, тангенс угла наклона гра-фика предложения положителен. В простейшем случае эти функции линейны. Закон спроса обозначен через D, закон предложения — через S; х — количество товара, р — цена на этот товар.

Уравнение спроса можно составить, если заданы две точки, лежащие на его графике. Для этого нужно использовать уравнение прямой, проходящей че-рез две заданные точки:

Точка пересечения кривых спроса и предложения (х0, р0) называется точ-

кой рыночного равновесия. Соответственно р0 называется равновесной ценой, а х0 — равновесным количеством (объемом продаж).

В заключение хотелось бы сказать, что математика и экономика — это самостоятельные области знаний. Однако математика является такой наукой, которая создаёт универсальные аналитические инструменты, используемые для решения различного рода задач, и помогает наглядно объяснить многие эконо-мические процессы.

36

37

Литература 1. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обуча-ющихся по экономическим специальностям / Н. Ш. Кремер [и др.]. Электрон. текстовые данные. М., 2015. [Электронный ресурс]: URL: http:// www.iprbookshop.ru/52071.html 2. Алексеенко В. Б., Красавина В. А. Математические методы исследования экономики: учебное пособие для студ. высш. учеб. заведений. М., 2005.

Павлова И. А., Матяс К. А., ПсковГУ,

финансово-экономический факультет, 2 курс (научный руководитель — доцент Вишнякова О. М.)

Применение метода Монте-Карло для моделирования

экономических рисков Метод Монте-Карло — это численный метод решения математических

задач и прямое статистическое моделирование при помощи получения и преоб-разования случайных величин. Рождение метода Монте-Карло произошло в 1949 году в связи с выходом в свет статьи Н. Метрополиса и С. Улама «Метод Монте-Карло». Позже Улама, а также Дж. Неймана стали считать создателями данного метода. Только благодаря появлению ЭВМ стало возможным возник-новение метода Монте-Карло, так как моделирование случайных чисел вруч-ную — это очень трудоёмкая работа.

Название метода происходит от названия коммуны в княжестве Монако, широко известного своими многочисленными казино, ведь именно рулетка яв-ляется одним из самых широко известных генераторов случайных чисел.

Анализ риска методом Монте-Карло производится с помощью моделей возможных результатов. Создавая такие модели, любой фактор, которому свой-ственна неопределённость, мы заменяем некоторым диапазоном значений — распределением вероятности. Далее проводятся многократные расчеты резуль-татов, причем каждый раз используется другой набор случайных значений функций вероятности. С помощью моделирования методом Монте-Карло мы можем получить распределение значений возможных последствий.

В ходе данного исследования, мы рассмотрели применения метода Мон-те-Карло для оценки инвестиционных рисков [2].

Численное определение величины риска инвестиционного проекта осу-ществляется с помощью методов количественной оценки. Когда точные оценки параметров задать невозможно, но можно определить интервалы возможного колебания показателей, то применяется метод имитационного моделирования Монте-Карло, формирующий множество возможных случайных сценариев. Ре-зультат анализа риска выражается в виде вероятности [1].

37

38

Рассмотрим применение метода Монте-Карло на примере инвестицион-ного проекта по строительству нового цементного завода и сухого способа про-изводства цемента на основе использования передовых знаний и технологий (все данные в нашем исследовании — условные). Основная информация по проекту представлена в таблице 1 [4, с. 238].

Таблица 1 Характеристика инвестиционного проекта

Год Ставка

налога на прибыль, %

Ставка дисконтиро-

вания, %

Цена реализации,

руб.

Объём продаж, кг.

Себестои-мость,

руб.

Операционные издержки,

руб.

2011 20 10

330 23 3000 550 2012 362 69 6500 5000 2013 384 92 10000 10000

Рассмотрим движение денежных средств как численный ряд, состоящий

из последовательности распределенных во времени денежных платежей CF0 , CF1 , …, CFn .

CFt — это разность между всеми поступлениями денежных средств и рас-ходами на заданном временном отрезке проведения финансовой операции. Та-ким образом, величина CFt может быть как положительной, так и отрицатель-ной. Исходя из исходных данных, математическая модель будет иметь вид:

)1)(1)(1( TVCPQCFt где T — ставка налога на прибыль; P — цена реализации; Q — объём продаж; С — себестоимость; V — операционные издержки; r — ставка дисконтирования.

Рассмотрим такой показатель оценки эффективности инвестиционного проекта, как чистый приведённый доход (стоимость), который представляет со-бой разность между дисконтированными показателями чистого дохода и пер-воначальными инвестициями [3].

n

t tt

rNFCINPV

1 )1(

где NFCt — чистый денежный доход для периода ; I — первоначальные инве-стиции.

Проведя расчёты, мы получили, что NPV при заданных первоначальных условиях, равен 2668586150980 руб. Так как величина чистого приведённого дохода оказалась положительной, то это говорит о том, что в течение своей экономической жизни проект возместит первоначальные затраты I и обеспечит получение прибыли при ставке дисконтирования 10 %.

Все расчёты проводились в программе Microsoft Excel. С помощью функ-ции генерация случайных чисел была сгенерирована ставка дисконтирования. Для этого было выбрано нормальное распределение и стандартное отклонение 1, а количество случайных чисел равняется 35.

38

39

По итогам проведённых расчётов была составлена гистограмма.

Рис. 1. Гистограмма распределения чистого приведённого дохода

в зависимости от ставки дисконтирования Для более полного анализа полученных данных была использована ещё

одна функция, которая называется описательная статистика. Таблица 2

Описательная статистика полученных данных Среднее 2 677 132 482 635 Стандартная ошибка 11 732 073 704 Медиана 2 697 162 634 292 Мода 2 702 191 998 621 Стандартное отклонение 69 407 884 051 Дисперсия выборки 4 817 454 368 484 690 000 000 Эксцесс 0 Асимметричность 0 Интервал 290 342 255 211 Минимум 2 549 296 652 150 Максимум 2 839 638 907 360 Сумма 93 699 636 892 215 Счет 35 Уровень надежности (95,0 %) 23 842 442 367

Анализ по методу Монте-Карло показывает, что вероятность положи-

тельного чистого приведённого дохода не стопроцентная. По данным таблицы 2 можно сделать вывод, что в 5 % случаев существует вероятность отрицатель-ного чистого приведённого дохода, означающего, что в данном случае компа-ния понесёт убытки.

39

40

Литература 1. Гранатуров В. М. Экономический риск: сущность, методы измерения, пути снижения: учеб. пособие для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. М., 2002. 2. Королев В. Ю., Бенинг В. Е., Шоргин С. Я. Математические основы теории риска: Учебное пособие. М., 2007. 3. Челмакина Л. Оценка эффективности инвестиционных проектов // Проблемы теории и практики управления. 2007. № 9. С. 69–75. 4. Ефремова Е. А., Прядкина В. А. Применение метода Монте-Карло для оцен-ки инвестиционных проектов. «Научное сообщество студентов XXI столетия. Экономические науки»: Электронный сб. статей по материалам XXVII студен-ческой международной научно-практической конференции. Новосибирск, 2014. № 12 (27). [Электронный ресурс]: URL: http://www.sibac.info/archive/ economy/12(27).pdf

Пескин В. Е., Фёдоров А. С., ПсковГУ, факультет строительных и инженерных технологий, 1 курс,


Хроматические числа и задача Эрдёша — Хадвигера Хроматические числа и проблемы, возникающие при их нахождении, от-

носятся к комбинаторной геометрии, изучающей вопросы, касающиеся геомет-рической постановки, а также легко поддающимся комбинаторной интерпрета-ции. Авторы данной задачи являются Гуго Хадвигер и Пол Эрдёш, и другие из-вестные личности в области точных наук — Е. Нелсон и Дж. Р. Исбелл.

Нахождение хроматического числа n-мерного евклидова пространства принято называть задачей Эрдёша — Хадвигера, первыми сформулировавшие данную проблему ещё в конце первой половины двадцатого века. На протяже-нии многих лет математики изучают эту проблему. На данный момент написа-но огромное количество научных статей, монографий, но проблема настолько нетривиальна и сложна, что и на сегодняшний день осталось много неисследо-ванных вопросов, косвенно или прямо связанных с этой областью математики.

Что же такое хроматическое число? Определение. Хроматическим числом (χ) n-мерного евклидова простран-

ства называется такое число, равное наименьшему возможному количеству цветов, которыми можно закрасить точки этого пространства так, чтобы рас-стояние между любыми точками одного цвета не равнялось единице.

Единица выбрана в качестве эталонного значения для удобства, так как χ не будет зависеть от выбранного значения. Действительно, возьмём произволь-ное значение Z отличное от единицы, то есть отличается в Z раз от единицы, т. е. мы лишь совершаем уменьшение или увеличение картинки, а на задачу это не может влиять никак.

40

41

Для наглядного представления сути и проблематики задачи рассмотрим одномерное пространство (R1), то есть прямую. Точек на прямой бесконечно много, следовательно, прямая — это бесконечное множество точек. Разобьём прямую на χ непересекающихся частей Vi (i=1.. χ), тогда если требуется раскра-сить множество в некоторое количество цветов, то это эквивалентно объедине-нию этих непересекающихся частей. Математически это можно выразить сле-дующим образом:

VVVR 211)( (1)

при условии, что для любой пары индексов a, b (1 ≤ a ≤ χ, 1 ≤ b, a ≠ b) вы-полняется условие Va∩Vb=∅. Значение χ(R1) — это минимальное число χ, при котором существует равенство (1) обладает дополнительным условием: рассто-яние между любыми двумя точками одной области (одного цвета) не равно 1.

Задача Эрдёша — Хадвигера заключается теперь лишь в том, что необхо-димо найти величину χ. Очевидно, χ(R1) ≥ 2, так как одного цвета не достаточно для выполнения необходимого условия. Предположим, что χ(R1) = 2. Это озна-чает, что существует такая раскраска, состоящая лишь из двух цветов (рис. 1), а любые точки одного и того же цвета удалены на расстояние меньшее или рав-ное 1. Рассмотрим рис. 1.

Рис. 1 На рисунке представлена прямая, раскрашенная в белый и чёрный цвета,

чётные точки и ноль выколоты, а нечётные — нет. На данной прямой мы не найдём двух белых или двух чёрных точек, удалённых на расстояние равное единице.

Если в одномерном пространстве работать уже не над чем, то на плоско-сти возникает серьёзная геометрическая проблема. До сих пор не удаётся найти однозначную раскраску плоскости, чтобы вычислить точное значение χ(R2). На сегодняшний день доказано две теоремы, в совокупности образующих интер-вал, в котором может располагаться χ(R2). Теорема братьев Мозерами (1961 г.) гласит, что χ(R2) ≥ 4, а теорема Хадвигера (1961 г.) доказывает верхний предел χ(R2) ≤ 7. Следовательно, χ плоскости равно 4, 5, 6 или 7. Аналогичная ситуация и с третьим измерением -χ(R2) ≥ 5 и χ(R2) ≤ 15.

41

42

Также на рис. 2 приведена таблица, где n — пространственное измерение.

Рис. 2

Большой вклад в развития представлений о хроматических числах внёс

Райский, доказав теорему: χ(Rn) ≥ n + 2. На основе его выводов были проведены дальнейшие исследования

Д. Лармана и К. А. Роджерса. О практическом применении хроматических чисел в программировании,

промышленности и других отраслях пока не может быть и речи. Но именно благодаря хроматическим числам была доказана теорема о четырёх красках, формулировка которой была опубликована в далёком 1852 году Фрэнсисом Гутри и лишь в 1976 году Кеннетом Апеллем и Вольфгангом Хакеном была до-казана первая математическая теорема при помощи современных компьютер-ных технологий. В основе вычислений были заложены принципы χ.

Тем не менее, тема, освещенная в данной статье, хорошая почва для ис-следования. Математики всего мира стремятся вывести свою теорему, которая сузит интервалы значений хроматического числа того или иного измерения.

Есть ли у хроматических чисел будущее? Определенно да. Как и многие области математики изначально не находили применения, но позже использо-вались в различных отраслях, так в стороне не останется и это. Самое главное, что учёные не теряют интерес к задаче Эрдёша-Хадвигера и находят новые и новые значения, выводы, формулы, теоремы, которые необходимы в современ-ном мире.


1. Райгородский А. М. Хроматические числа: учебное пособие. М., 2003. 2. Хроматическое число. [Электронный ресурс]: URL: https://ru.wikipedia.org/ wiki/хроматическое_число. (дата обращения: 28.03.2017).

42

43

Никитина А. Д., Кобелева Ю. А., Политыко О. И., ПсковГУ, факультет инженерных и строительных технологий, 1 курс


Формула Циолковского. Её значение и применение Константин Эдуардович Циолковский внес огромный вклад в области

изучения космоса и ракетостроения. Но ему было нелегко: его исследования были не высоко оценены учеными того времени, несмотря на то, что его работы были очень значимыми для космонавтики и воздухоплавания, даже сейчас не-которые из них используются для расчетов полета летательных аппаратов, но видимо калужский учитель просто на эпоху обогнал свое время.

Важное достижение в своей научной деятельности Константин Эдуардо-вич достиг 10 мая 1897 г. Так датировалась рукопись Циолковского, в которой была выведена его знаменитая формула, названая в честь него.

В чем же прелесть этой формулы, благодаря которой Константин Эдуар-дович оставил свое имя в истории? Во-первых, она сразу дала доказательство того, что полеты к другим планетам посредством ракет возможны. Во-вторых, формула позволила установить идеальное топливо для ракеты: если использо-вать в качестве горючего жидкий водород, а в качестве окислителя жидкий кислород, то грузоподъемность ракеты существенно возрастает. В-третьих, она и сегодня составляет важную часть математического аппарата, используемого при проектировании ракет, в частности, при определении их основных массо-вых характеристик [3].

Формула Циолковского была получена путём интегрирования диффе-ренциального уравнения Мещерского для материальной точки переменной массы: [4]

dtdmU

dtdvm

в котором m — масса точки; U — скорость точки; u относительная скорость, с которой движется отделяющаяся от точки часть её массы.

Спроецируем данное уравнение на ось X. Газы относительно скорости движения будут отлетать в противоположную сторону, поэтому

rU — относительная скорость, будет со знаком минус. rx UU

И после подстановки получаем следующий вид.

dtdmU

dtdvm r

Получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющи-мися переменные. Разделяем переменные и интегрируем левую и правую часть по массе и скорости соответственно.

43

44

v

v

m

mr dv

mdmU

00

После интегрирования 00ln vv

mmUr

После выражаем максимальную скорость k

tkr m

mmUvv )(ln0max

Для удобства под логарифмом преобразуем дробь и получаем

)1ln(0maxkt

r mmUvv .

Обозначения переменных в формуле: rU — относительная скорость газов; 0v — начальная скорость; maxv — текущая (максимальная) скорость; km — масса корпуса, tm — масса топлива.

Если обозначить 10 VUv r и Zmm

kt , то )1ln(1max ZVv .

Число Z называют ныне числом Циолковского. Пример. Оценить ускорение ракеты в момент времени, когда космический корабль

достигает орбиты. Принять следующие значения параметров: удельный им-пульс (скорость истечения газов) u = 3000 м\с, масса космического корабля на орбите m = 5000 кг, скорость сгорания топлива в ракете μ = 100 кг\с.

Решение [1].

Применим формулу Циолковского: m

muv 0ln .

В этой формуле скорость ракеты v зависит от ее массы m(t), которая уменьшается по мере сгорания топлива. Для простоты предположим, что ско-рость сгорания топлива является постоянной, так что зависимость массы раке-ты от времени будет описываться линейной функцией: m(t) = m0−μt, где μ — скорость сгорания топлива.

Конечная масса космического корабля m известна в данной задаче. Пола-гая, что скорость истечения газов также является постоянной, можно записать

следующее выражение на основе формулы Циолковского:tm

mutv

0

0ln)( .

Дифференцируя по времени t, найдем ускорение ракеты:

tmu

tmm

tmmu

dtdvta

02

0

0

0

0 )())((1)( .

tμmμuta

0 )(

44

45

Оценим ускорение ракеты в момент, когда она достигает орбиты, полагая,

что ее масса равна m = 5000 кг: g6605000

10030002

0

cм

tmua

Итак, на финальном участке траектории ракета может испытывать боль-шое ускорение. Поскольку она представляет собой неинерциальную систему отсчета, то на космонавтов будет действовать соответствующая сила инерции, направленная противоположно ускорению (т. е. в сторону Земли). Как видно, перегрузки, испытываемые космонавтами, могут достигать несколько единиц g.

Формула Циолковского и сегодня составляет важную часть математиче-ского аппарата при проектировании ракет, в особенности для определения их массовых характеристик.


1. Вывод формулы Циолковского // mgh.do.am: Для студентов, школьников и подготовки к ЕГЭ. Физика — простым языком. 2017. [Электронный ресурс]: URL: http://mgh.do.am/publ/temy_po_fizike/mekhanika/vyvod_formuly_ ciolkovs-kogo/2-1-0-14 (дата обращения: 08.04.2017). 2. Карпутин В. С. Формула Циолковского // Космическая гонка ХХ века. [Элек-тронный ресурс]: URL: http://spaceracexx.narod.ru/index2c.html (дата обраще-ния: 08.04.2017). 3. Первушин А. История. Константин Циолковский // old.mirf.ru: Ежемесячный журнал Мир Фантастики.1997. [Электронный ресурс]: URL: http://old.mirf.ru/ Articles/art5873.htm (дата обращения: 08.04.2017). 4. Реактивное движение // Math24.ru: Дифференциальные уравнения. 2009. [Электронный ресурс]: URL: http://www.math24.ru/ (дата обращения: 10.04.2017).

Томшакова И., Баранова А. С., ПсковГУ, финансово — экономический факультет, 2 курс


Линейные регрессионные модели финансового рынка: САРМ Современная финансовая теория подразумевает ряд подходов к оценке

неопределенных денежных потоков, которые основываются на довольно упро-щенных моделях рынка финансовых инструментов.

Модель САРМ (CapitalAssetPricingModel) разработана в 1960-х гг. ХХ в., независимо друг от друга, известными западными экономистами: Д. Литнером, Ж. Моссином и У. Шарпом, Д. Трейнером.

CAPM — модель оценки финансовых активов, которая используется для определения требуемого уровня доходности актива, который, в свою очередь,

45

46

предполагается добавить к уже существующему портфелю с учётом рыночного риска этого актива.

Разберем конкретный пример Выбора оптимального портфеля на примере акций 3-х компаний (Сбербанк, Роснефть, Газпром).

Стоимость и доходность акций 3-х компаний с января 2009 г. по апрель 2010 г. представлена в таблице 1.

Таблица 1

Дата Сбербанк (Pa) Роснефть (Pb) Газпром (Pc) стоимость доходность стоимость доходность стоимость доходность

01.01.2009 16,44 –0,132 111,16 0,134 114,7 0,016 01.02.2009 14,27 0,461 126,1 0,162 116,5 0,085 01.03.2009 20,85 0,333 146,59 0,207 126,4 0,169 01.04.2009 27,8 0,587 176,99 0,167 147,82 0,205 01.05.2009 44,13 –0,137 206,51 –0,186 178,1 –0,125 01.06.2009 38,08 0,113 168 0,137 155,79 0,043 01.07.2009 42,39 0,119 191 0,038 162,52 0,004 01.08.2009 47,45 0,261 198,3 0,146 163,1 0,073 01.09.2009 59,85 0,080 227,2 –0,019 175 0,005 01.10.2009 64,61 0,071 222,9 0,049 175,9 –0,053 01.11.2009 69,21 0,198 233,81 0,078 166,49 0,100 01.12.2009 82,94 0,066 252,01 –0,063 183,09 0,018 01.01.2010 88,41 –0,137 236,25 –0,021 186,44 –0,101 01.02.2010 76,3 0,125 231,2 0,010 167,61 0,023 01.03.2010 85,8 –0,016 233,56 0,036 171,5 0,012 01.04.2010 84,42 –0,132 242 0,134 173,53 0,016

Доходность рассчитывается по формуле: начальная

начальнаяP

P конечнаяPr .

Следующий шаг — это определение ожидаемой доходности акций. В со-ответствии с положением модели Марковица, доходность акции за будущий период будет определяться по формуле:

N

trrE

1151)(

133,0)( arE — Сбербанк, 058,0)( brE — Роснефть, 032,0)( crE — Газпром.

Риск ценной бумаги измеряют с помощью дисперсии и стандартного от-клонения.

15

1

22 ))((1

1

tt rEr

N 2

. 0,089 ,008,0 ; 0,105 ,011,0 ; 0,211 ,045,0 222 ccbbaa Таким образом, составляется система из начальных условий:

46

47

1

)()()(

cov2cov2cov2

cba

22c

22b

22a

2

cba

cbar

bccbaccaabbacbaпорт

rErErEE порт

Подставляем все известные нам значения:

1θθθ

θ0320θ0580θ1330E0070θθ20160θθ2

0150θθ2θ0080θ0110θ0450σ

cba

cbar

cbca

ba2c

2b

2a

2порт

порт,,,

,,

,,,,

Задача формирования оптимального портфеля из n акций в модели Мар-ковица сводится к следующему: инвестор после выбранной для себя ожидаемой доходности должен найти такую комбинацию «весов» акций портфеля, при ко-торых риск портфеля становится минимальным. Применим метод множителей Лагранжа для нахождение условного экстремума функции:

)())(,,,(

1θθθλrEθ0320θ0580θ1330λσL

cba2

портbba12порт

Затем берем частные производные полинома по каждой неизвестной ве-личине и приравняем к нулю:

01

0)(0315,00584,01329,0

00315,00157,00149,00324,0

00584,00149,00221,00298,0

01329,00324,00298,00893,0

2

1

21

21

21

cba

портcba

cbaa

cbab

cbaa

L

rEL

L

L

L

Таким образом:

; 2261rE52617

θ ; 1150rE41310θ ; 3140rE0957θ

порт

cпортbпортa

,)(,,)(,,)(,

Подставляя данные выражения в формулу дисперсии, мы можем найти среднеквадратическое отклонение в зависимости от значения ожидаемой до-ходности. В соответствии с этим составляется график границ эффективных портфелей (рис. 1). Красным цветом выделена область, достижимая для данно-го портфеля.

47

48

Рис. 1. График границ эффективных портфелей Если взять доходность 0,05 то веса будут следующими:

Данный пример демонстрирует применение понятий теории вероятности — математического ожидания и дисперсии, и методов отыскания условного экстремума функции нескольких переменных в рамках модели САРМ.


1. Уильям Ф. Шарп, Гордон Дж. Александер, Джеффри В. Бэйли Инвестиции, Инфра-М, 2001.

Фёдоров А. С., ПсковГУ, факультет вычислительной техники и электроэнергетики, 3 курс

(научный руководитель — профессор Хватцев А. А.)

Бутылка Клейна В мире существует огромное множество поверхностей. Наиболее извест-

ными примерами поверхностей являются границы геометрических тел в обыч-ном трёхмерном евклидовом пространстве, к примеру, шар. Но существуют и более экзотические поверхности, чьи свойства не согласуются с нашим быто-вым опытом.

Лента Мёбиуса — поверхность, имеющая только одну сторону, а её гра-ница состоит из одной замкнутой кривой. Чтобы получить такую поверхность,

48

49

достаточно для одной из сторон квадрата (листа) поставить в соответствие (склеить) противоположную сторону, беря точки в обратном порядке (рис. 1). Лента Мёбиуса имеет и другие нетривиальные свойства, однако более интерес-ным является вопрос о причине этих свойств.

Рис. 1 Введём понятие топологического пространства. Пусть дано множество X. Система T его подмножеств называется тополо-

гией на X, если выполняются следующие условия: Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих T,

принадлежит T; Пересечение конечного семейства множеств, принадлежащих T, принад-

лежит T; TX , .

Пара (X, T) называется топологическим пространством. Множества, при-надлежащие T, называются открытыми множествами [4].

Вообще, евклидовы пространства nR являются топологическими про-странствами, так же как и всякое метрическое пространство. Базой их стан-дартной топологии можно выбрать открытые шары.

По сути дела, топологическое пространство — это множество с правилами, говорящими как работать с этим множеством (математической структурой на этом множестве). К примеру, атлас, где множество цветов обозначает высоту, с которой можем работать. Стоит правда отметить, что атлас — понятие дифферен-циальной геометрии, позволяющие вводить на многообразии дополнительные структуры, например, гладкую структуру или комплексную структуру.

Хаусдорфово пространство — это топологическое пространство, удовле-творяющее сильной аксиоме отделимости T2 (для любых двух различных точек и Y должны найтись непересекающиеся окрестности). Многообразие — Хау-сдорфово топологическое пространство со счётной базой, каждая точка которо-го обладает окрестностью, гомеоморфной евклидову пространству nR , иными

49

50

словами, пространство, локально сходное с евклидовым. Евклидово простран-ство является самым простым примером многообразия.

И только теперь возможно вернуться к первоначальному вопросу, по-скольку поверхность — это двумерное топологическое многообразие. «Двумер-ность» поверхности подразумевает возможность реализовать на ней метод коор-динат, хотя и необязательно для всех точек. Так, поверхность Земли в идеале представляет собой двумерную сферу, широта и долгота каждой точки которой являются её координатами, за исключением полюсов и 180-го меридиана [1–2].

Рис. 2

Лента Мёбиуса — топологический объект, простейшая неориентируемая

поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное ев-клидово пространство 3R .

Под вложением понимается специального вида отображение одного эк-земпляра некоторой математической структуры во второй экземпляр такого же типа. А именно, вложение некоторого объекта X в Y задаётся инъективным отображением, сохраняющим некоторую структуру. Что означает «сохранение структуры», зависит от типа математической структуры, объектами которой яв-ляются X и Y.

Любая неориентируемая поверхность содержит в себе ленту Мебиуса. Если к каждой точке A гладкой поверхности S можно построить единичную нормаль n(A) так, что полученная векторная функция от A будет непрерывной на всей поверхности S, то S называется ориентируемой поверхностью. Иначе говоря, возьмём на гладкой поверхности S произвольную точку M, проведём через нее нормаль к поверхности и выберем на этой нормали одно из двух воз-можных направлений. Рассмотрим теперь на поверхности S какой-либо замкну-тый контур, проходящий через точку M, и не имеющий общих точек с границей поверхности S. Будем перемещать точку M по замкнутому контуру вместе с нормальным вектором n так, чтобы вектор n все время оставался нормальным к

50

51

S и чтобы его направление менялось при этом непрерывно. После того, как точ-ка M обойдёт этот контур и вернётся в исходное положение, может случиться одно из двух:

– точка M вернется с тем же направлением нормали (ориентируемая по-верхность)

– точка M вернется с направлением, противоположным исходному (не-ориентируемая поверхность)

Если склеить две ленты Мёбиуса по краю получится бутылка Клейна (рис. 2). Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве 3R сделать это, не создав сингулярности (самопересечения), невозможно.

Погружение — такое отображение f : YX одного топологического пространства в другое, при котором каждая точка в X имеет окрестность U, ко-торую f гомеоморфно отображает на f(U). То есть исходное множество как бы сжимается с помощью для того, чтобы его можно было представить в про-странстве с меньшей размерностью. Это возможно благодаря тому, что f изме-няет то, каким способом объект стремится занять пространство, а, следователь-но, и его размерность [3]. Таким образом, понятие размерности существенно важно для топологии.

Более того, бутылка Клейна создаётся на подобии листа Мёбиуса: ци-линдр проворачивается через четвёртое измерение для склеивания его основа-ний в обратном порядке (рис. 3). Полноценную бутылку Клейна нельзя пред-ставить в пространстве 3R , хотя, казалось бы, мы не изменяли то, как объект стремится занять пространство, а лишь привлекли четвёртое измерения для то-го, чтобы провернуть данный объект. Однако, по всей видимости, это действие привело к изменению размерности начального объекта.

Рис. 3

51

52

Благодаря тому, что данный объект, равно как и лента Мёбиуса, опреде-лён в Хаусдорфовом пространстве, мы можем говорить об их Хаусдорфовой размерности, то есть дробной размерности. А значит, можно предположить, что привлечение размерностей более высокого порядка для изменения свойств фи-гуры без увеличения их топологической размерности, приводит к тому, что объект застревает меж двух размерностей — его начальной топологической размерностью и 1 , иначе говоря, приобретает дробную размерность — становиться фракталом.


1. Аминов Ю. А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. 1987. 2. Александров А. Д. Математика, её содержание, методы и значение. Т. 3. М., 1956. 3. Фёдоров А. С. Фракталы. М., 2016. 4. Википедия — свободная энциклопедия [Электронный ресурс]: URL: http://ru.wikipedia.org

Фёдорова В. А., Петров С. В., ПсковГУ,

финансово-экономический факультет, 2 курс (научный руководитель — доцент Вишнякова О. М.)

Магистральная теория развития экономики

Для успешного функционирования экономики на конечном интервале

времени, приходится решать задачу максимизации потребления за весь плано-вый период при наличии и выполнению условий горизонта планирования (сро-ка, за который предполагается реализовать план производства/реализации) в конечный рассматриваемый момент времени.

Решение ищется в предположении, что на отдельных временных интерва-лах планового периода на накопление может направляться весь произведённый экономикой продукт либо не направляться вообще (весь продукт направляется на потребление). Решение получается в форме «Магистральной теоремы», суть которой состоит в том, что выход экономики на магистраль исход экономики с магистрали для удовлетворения условия экономического горизонта происходит максимально быстро за счёт направления всего продукта целиком либо только на потребление, либо только на накопление.

Собственно, магистралью в математической экономике принято назы-вать такую траекторию экономического роста, на которой соотношения про-изводственных показателей (такие как темп роста производства, темп снижения цен) неизменны, а сами показатели (такие как интенсивность производства, ва-ловый выпуск) растут с постоянным максимально возможным темпом. Либо магистраль — это траектория или луч максимального сбалансированного роста.

52

53

В своей работе мы раскрываем методы построения и сущность магистра-ли на примере модели Солоу, как одной из наиболее понятных наиболее широ-кому кругу лиц.

Состояние экономики, согласно модели Солоу, задаётся совокупностью пяти величин (переменных состояния): Y — объем конечного продукта; С — фонд непроизводственного потребления; S — валовой фонд накопления; L — объем наличных трудовых ресурсов; К — объем наличных основных фондов.

Конечный продукт делится на фонд непроизводственного потребления и валовой фонд накопления K = C + S.

Фонд накопления составляет фиксированную часть выпуска S = sY, где 0 < s < 1 , s-const. Тогда можно записать: C = (1–s)Y. Величину s будем называть в дальнейшем нормой накопления. За счёт

фонда валового накопления обеспечиваются восстановление и чистый прирост основных фондов (чистые накопления). Предполагается, что величина выбытия основных фондов пропорциональна их объёму с постоянным коэффициентом , то есть, если объем действующих фондов равняется K, то выбывает и, следова-тельно, подлежит восстановлению объем K.

Таким образом, KdtdKsYS , где const ,10 .

Уравнение динамики трудовых ресурсов модели выражается соотноше-

нием constggLdt

tdL ,)( .

Оно означает, что прирост рабочей силы пропорционален ее объему. По смыслу величина k является фондовооруженностью живого труда, а

функция f (k) устанавливает зависимость производительности труда от фондо-вооруженности.

Динамика величины k описывается дифференциальным уравнением

kksfdt

tdK )()( где g (2)

Среди траекторий, удовлетворяющих уравнению (2), существует особая,

стационарная, траектория, вдоль которой начальное значение фондовооружен-ности сохраняется постоянным во все моменты времени. А в макроэкономике стационарное состояние экономики — состояние, в котором различные пара-метры всей экономики растут с постоянным темпом.

На рис. 1 представлен пример стационарных траекторий, возникающих в различные временные моменты.

53

54

Рис. 1. Пример фазовых траекторий

Так на рисунке 1 жирными линиями отмечены траектории, к которым

приближается экономика в тот или иной момент времени. То, как будет выглядеть магистральная теория на практике лучше рас-

смотреть на задаче. Рассмотрим модель Солоу с производственной функцией

11)1,()( AKKFkf , представленной функцией Кобба — Дугласа. K — капитал (параметр эффективности труда), F — труд, AL — пара-

метр модели. Доля дохода капитала в общем доходе составляет 1/3, темп при-роста численности населения равен 34 % в год, тем прироста параметра эффек-тивности труда составляет 1,5 % в год, а норма амортизации составляет 2,5 % в год. Стационарные норма сбережения и капиталовооруженность эффективного труда — 0,33 и 15,625 соответственно. Изобразим магистраль развития.

С учётом всех данных из условия, производственная функция примет вид kkf )( . Для к стационарной и соответствуют формулы, выведенные из

уравнения динамики модели Солоу (2).

11 )1(maxarg )(gnsss

gnsk

ss

Стационарная траектория, вдоль которой начальное значение фондово-

оруженности сохраняется постоянным во все моменты времени (построена на основе уравнения динамики (2)) будет иметь вид, представленный на рисунке 2.

54

55

Рис. 2. Динамика фондовооружённости при s = 0,33

Как видно из рис. 2, все траектории динамики фондовооружённости бу-дут приближаться к стационарному значению.

Литература 1. Тарасевич Л. С., Гребенников П. И., Леусский А. И. Макроэкономика. М.,2006.

Кузнецова С. Д., ПсковГУ, факультет инженерных и строительных технологий, 1 курс

(научный руководитель — доцент Михайлусова Т. Н.)

Влияние вибрационных частот на механическую поверхность

В 18 веке был введен термин «акустика» — науке о звуке, изучающей фи-зическую природу звука и проблемы, связанные с его возникновением, распро-странением, восприятием и воздействием.

Киматика — наука, изучающая видимый звук и вибрацию. Ярким и зани-мательным примером явлений, изучаемых киматикой, являются, например, фи-гуры Хладни [1].

Эрнест Флоренс Фридрих Хладни (30 ноября 1756 — 3 апреля 1827) — немецкий физик, основоположник экспериментальной акустики. Родился в Виттенберге. По желанию отца, видного юриста, изучал право в Виттенберге и в Лейпциге. Окончил Лейпцигский университет (1782). Работал физиком в Вит-тенберге.

55

56

Основные работы в области акустики. Открыл в 1787 продольные колеба-ния струн, стержней, пластин, камертонов, колоколов, в 1799 — вращательные колебания стержней. Первый тщательно и точно исследовал колебания камерто-на, установил в 1796 законы колебания стержней. Объяснил эхо, эксперимен-тально определил верхний порог слышимости звука — 22 000 Гц. Изобрел ряд музыкальных инструментов, названных им клавицилиндром и эуфоном [2].

Эрнеста Хладни по праву считают отцом экспериментальной акустики. Наибольшую известность принесли Хладни опыты по исследованию колебаний пластин с помощью открытого им метода акустических, или звуковых «фигур», которые произвели огромное впечатление на современников.

На пластинку из стекла, металла или дерева, закрепленную в какой-либо одной точке, насыпается песок. Стоячие волны в пластинке возбуждаются тем, что где-либо по ее краю проводят натертым канифолью смычком. Песок сбра-сывается с пучностей и собирается на узловых линиях, образуя так называемые фигуры Хладни. Эти фигуры дают картину узловых линий, рассекающих по-верхность пластинки при ее колебаниях. Вид фигур зависит от формы пластин-ки и положения закрепленной точки, а также от того, в каком месте проводить смычком. В случае круглой пластинки узловые линии могут быть круговыми или радиальными; в случае прямоугольной или треугольной пластинки они имеют направление, параллельное сторонам или диагоналям. Меняя точки за-крепления и места возбуждения, можно получить разнообразные фигуры Хлад-ни, соответствующие различным собственным колебаниям пластинки.[3].

Фигуры Хладни применяются для изучения собственных частот диафрагм телефонов, микрофонов, громкоговорителей. Фигуры Хладнииспользуются в дефектоскопии (топографический метод) для исследования изделия в целом (например, пластинки или оболочки).

Образование стоячей волны важно в конструировании музыкальных ин-струментов. Например, есть фигуры Хладни для корпуса гитары. Также приме-нение этому стали развивать художники, дизайнеры Фигуры, порождаемые с помощью звука, демонстрируют удивительное разнообразие форм и гармонич-ность пропорций [2].

Литература 1. Порвенков В. Г. Акустика и настройка музыкальных инструментов. М., 1990.2. Википедия — свободная энциклопедия [Электронный ресурс]: URL:http://ru.wikipedia.org 3. Элементарный учебник физики: В 3 т. Т. 3. Колебания и волны. Оптика.Атомная и ядерная физика / Под ред. Г. С. Ландсберга. 13-е изд. М., 2003.

56

57

Бакеев А. В., ПсковГУ, физико-математический факультет, 4 курс

(научный руководитель — старший преподаватель Хмылко О. Н.)

Система видеонаблюдения на основе «Arduino»

Arduino — простая и недорогая микроконтроллерная плата, позволяющая даже новичку в теме программирования и электроники создавать по настояще-му удивительные вещи. При помощи разнообразных датчиков, дисплеев, плат расширения возможно дополнять и усовершенствовать модель.

Платформа состоит из аппаратной и программной частей; обе чрезвычай-но гибки и просты в использовании. Для программирования используется упрощённая версия C++, известная так же как Wiring. Разработку можно вести как с использованием бесплатной среды Arduino IDE, так и с помощью произ-вольного C/C++ инструментария. Поддерживаются операционные системы Windows, MacOS X и Linux [1].

Основная задача работы заключается в создании системы видеонаблюде-ния, которая будет проста в реализации, удобна в управлении. С помощью мик-роконтроллера, PIR-датчика, камеры и доступа в интернет возможно наладить простую схему передачи файлов (изображение, видео, текст) при обнаружении движения в поле действия датчика и отправить уведомление на указанную по-чту. Модель может реализовать учащийся, преподаватель или обычный пользо-ватель. С помощью этой работы возможно изучить основные понятия, действия и функции Arduino, которые пригодятся в дальнейшем для реализации соб-ственных проектов или улучшения имеющихся.

Текущую схему можно использовать для охраны своего дома как менее затратную и рабочую версию видеонаблюдения и применять в городских усло-виях, в безлюдных местах, где нет возможности поставить хорошее видеона-блюдение.

С развитием технологии популярность набирают кружки радиолюбителя. В этих кружках актуальны темы, связанные с Arduino. В качестве учебного по-собия можно использовать и данный проект, показывающий взаимодействие сети и Arduino, срабатывающей на сигнал PIR-датчика.

Основной особенностью проекта является доступность и возможность ре-ализовать, при имеющихся небольших средствах и базовых знаниях электрони-ки и программирования, проект, который заинтересует не только учащихся, но и взрослых.

Литература 1. [Электронный ресурс]: http://amperka.ru/product/arduino-uno2. [Электронный ресурс]: http://arduino.ru/Hardware/ArduinoBoardUno3. Блум Джереми. Изучаем Arduino: инструменты и методы технического вол-шебства / Пер. с англ. СПб., 2015.

57

58

Леонтьева М. Д., ПсковГУ, физико-математический факультет, 4 курс


Разработка автоматизированного учебного курса «Основы алгоритмов»

Проведя анализ школьных учебников по курсу «Информатика и ИКТ», таких авторов как Угринович Н. Д., Босова Л. Л. и Семакин И. Г. можно сде-лать вывод, что авторы школьных программ по-разному подходят к обучению такому понятию как алгоритмы.

Алгоритм — это точное и понятное предписание исполнителю совершить последовательность действий, направленных на решение поставленной задачи [1].

Основная идея автоматизированного учебного курса (далее АУК) «Осно-вы алгоритмов» — формирование у детей школьного возраста общей алгорит-мической культуры, которое заключается в усвоении на практическом уровне понятийного аппарата и способов поэтапной деятельности [2].

АУК «Основы алгоритмов» предназначен для детей, обучающихся в начальных классах и в средней школе. Тренажер может применяться на уроках информатики, как вводное занятие по основам алгоритмов. В процессе работы с данным АУК учащиеся приобретут умения и навыки, нужные для работы в ин-формационной среде, и сформируют основные алгоритмические представле-ния, что в будущем является базой для освоения программирования. С помо-щью АУК школьники смогут освоить такие темы, как «Понятие алгоритма и его свойства», «Способы записи алгоритмов», «Структуры алгоритмов», «Не-которые приёмы алгоритмизации».

АУК «Основы алгоритмов» начинается со стартовой страницы, откуда можно перейти в выбор уровня по порядку. Уровни представлены в порядке усложнения. Тренажёр позволяет в наглядной форме освоить пользователю ос-новы логики, грамотного составления последовательности действий, что в це-лом способствует формированию у учащихся фундаментальных понятий о про-граммировании. Тренажер представляет собой приложение, в котором при по-мощи командных блоков нужно составить алгоритм, благодаря которому будет выполнена поставленная задача, а именно требуется путем выполнения команд провести через лабиринт кота до его цели (мыши) (рис. 1). Выбирая определен-ные действия, составляем список команд кота. Запускаем программу на выпол-нение, если список команд составлен, верно, кот дойдет до мыши, в случае ошибки выпадает сообщение, что список команд составлен неверно и его нуж-но переписать. Следует отметить, что невозможно перейти к следующему зада-нию, пока не будет выполнено текущее.

58

59

Рис. 1. Пример уровня АУК «Основы алгоритмов»

Литература 1. Макарова Н. В. Информатика: учеб. пособие для вузов. М.: Академия, 2003.2. М. П. Лапчик, И. Г. Семакин, Е. К. Хеннер и др. Теория и методика препода-вания информатики. М.: Издательский центр «Академия», 2008.

Овчинин С. Э., ПсковГУ, физико-математический факультет, 4 курс

(научный руководитель — старший преподаватель Лобарёв Д. С.)

Факультативный курс: «Технологии CSS»

В настоящее время процесс информатизации общества бурно развивается, поэтому все большую ценность приобретают науки, связанные с информацион-ными и коммуникационными процессами. Все большее значение в жизни лю-дей занимают Internet, технологии, связанные с работой в сети и различными web-сайтами.

Темпы развития информатизации обуславливают появления различного рода программ, сред разработки и языков программирования, огромная часть которых не попадает в школьный курс информатики. Это и делает актуальными изучение различных web-технологий. Научившись создавать и структурировать web-страницы, следующим шагом для учащегося будет научиться форматиро-вать эти web-страницы. Тут на помощь и приходят CSS технологии.

Данный курс дает возможность учащимся получить знания о CSS техно-логиях и создания при помощи них продуктов способных существовать в сети интернет.

59

60

Факультативный курс: «Технологии CSS» предлагается учащимся, жела-ющим расширить свои знания по предмету, и углубиться в изучения web-технологий.

Цель: разработать факультативный курс по теме: «Технологии CSS» для учащихся 9–11-х классов.

Задачи данного курса: Выявить потребность и актуальность данного курса; Определить понятие факультативного курса; Изучить и проанализировать литературу по данной теме; Изучить формальный язык описания внешнего вида документа CSS; Разработать рабочую программу факультативного курса «Технологии

CSS». Объект исследования: факультативные курсы и процесс создания фа-

культативных курсов. Предмет исследования: методика преподавания факультативных курсов

языка CSS в старшей школе. Методы исследования: Теоретический; Практический. Практическая значимость исследования состоит в том, что учащиеся бу-

дут обладать знаниями по теме «Технологии CSS» и умением применить их. А также данный факультативный курс может быть использован учителями в школе, как для преподавания факультатива, так и фрагментарно на уроках ин-форматики.

Литература 1. Лапчик М. П. Методика преподавания информатики: учеб. пособие для студ.пед. вузов. М.: Академия, 2001. 2. Мейер Э. CSS — каскадные таблицы стилей. Подробное руководство, 3-е из-дание. СПб.: СимволПлюс, 2008. 3. Самоучитель CSS URL: [Электронный ресурс]: http://htmlbook.ru/samcss (датаобращения: 10.03.2017). 4. CSSURL: [Электронный ресурс]: https://ru.wikipedia.org/wiki/CSS (дата обра-щения: 07.03.2017).

60

61

Окольничев Д. О., ПсковГУ, физико-математический факультет, 4 курс

(научный руководитель — доцент Мельник В. Н.)

Реализация дистанционного обучения с помощью сервисов Google

На сегодня образовательные учреждения во всех сферах своей деятельно-сти используют средства информатизации. Ими пользуются учителя для подго-товки и проведения уроков. Средства информатизации являются технологиче-ской основой процесса управления обучением. Сегодня они позволяют гово-рить о таких вещах, как индивидуальное обучение и дистанционное сопровож-дение образования.

Но, несмотря на стремительное развитие этих средств, дистанционные формы обучения разработаны ещё не в полной мере. Это связано с тем, что учителя недостаточно хорошо знакомы с дистанционной формой обучения, ме-тодами решения образовательных задач и способами достижения новых обра-зовательных результатов с помощью средств телекоммуникаций.

Целью моей работы является, реализация дистанционного обучения с по-мощью сервисов Google.

Для достижения данной цели, передо мной стояли следующие задачи: 1. Изучение материалов по теме сервисов Google2. Изучение видов и программ дистанционных систем3. Исследование возможностей создания дистанционного курса на основе

сервисов от Google. 4. Создание дистанционного курса с применением сервисов Google.Дистанционное обучение — это учебный процесс, в котором учебные за-

нятия осуществляются с использованием современных информационных и те-лекоммуникационных технологий. Дистанционное обучение является целена-правленным процессом интерактивного взаимодействия обучающих и обучаю-щихся между собой. При дистанционном обучении нет пространственных и временных ограничений, создается творческая среда для подготовки к деятель-ности в разных социальных сферах, предоставляется выбор форм и методов обучения сверх принятых в классной системе обучения, обучающийся сам вы-бирает для себя дистанционный курс, а также углубляет и расширяет имеющи-еся знания. [2]

Сервисы Google на основе бесплатных шаблонов и инструментов позво-лят создать полноценный дистанционный курс. Они имеют большие достоин-ства и возможности, что позволяет использовать их в любой сфере, где есть сеть интернет. Современные студенты и преподаватели в информационной сфере используют для общения и работы несколько устройств: ноутбуки, ком-пьютеры, смартфоны, мобильные телефоны и т. д. Инструменты Google под-

61

62

держиваются самыми разными устройствами, поэтому являются общедоступ-ной и универсальной технологией [2].

Отметим, что предлагаемая технология дистанционного обучения, явля-ется лишь дополнением к обычному очному обучению студентов в вузе и ори-ентирована в первую очередь на организацию самостоятельной работы студен-тов. При этом становятся возможными повышение производительности труда преподавателя, снятие ограничения зоны его деятельности стенами учебного корпуса вуза, предоставление возможности получения образования обучающи-мися в более комфортных для них условиях, реализация личностно-ориентированного обучения [1].

В данной работе рассмотрена реализация дистанционного обучения на основе сервисов от Google [3], таких как:

Google Drive (Диск); Google Docs (Документы); Google Sites (Сайты). В результате был создан сайт дистанционного курса по теме «Массивы в

программировании», где присутствуют формы тестов, видео уроки, лекции, а также презентации по теме массивы.

Литература 1. Данилов О. Е. Реализация дистанционного обучения в вузе с помощью сер-висов Google // Молодой ученый. 2014. № 5. С. 498–502. 2. Полат Е. С. Дистанционное обучение в профильной школе: учеб. пособие длястуд. высш. учеб. заведений / Е. С. Полат, А. Е. Петров, М. А. Татаринов и др. / 3. Под ред. Е. С. Полат. М.: Издательский центр «Академия», 2009.4. Справка о Google сервисах [Электронный ресурс]: URL: https://support.google.com

Осипова Л. Д., ПсковГУ, физико-математический факультет, 4 курс

(научный руководитель — доцент Мельник В. Н.)

Применение скринкастов в создании электронных курсов

Одно из направлений развития современной системы образования, это внедрение в процесс обучения информационных технологий. Информационные технологии, в свою очередь, так же не стоят на месте. Их использование обес-печивает дополнительные возможности для повышения качества и эффектив-ности процесса обучения. И поэтому внимание специалистов, как в образова-тельной сфере, так и в сфере информационных технологий, привлекают вопро-сы о создании учебных пособий, справочников, электронных учебников, и про-

62

63

чих учебных материалов, разработанных на базе современных информацион-ных технологий, таких как, например, технология скринкастинга.

Скринкастинг — (от англ. screen — экран и broadcasting — передавать, показывать, вещать) это достаточно новое явление, которое упростило дистан-ционное обучение через Интернет. Суть скринкаста заключается в том, что специальное программное обеспечение записывает все действия, происходящие на экране компьютера вместе с аудио-потоком. Результатом записи является скринкаст — (англ. screencast) цифровая видеозапись информации, также из-вестная как video screen capture (досл. «видеозахват экрана»).

Чаще всего скринкастинг используется для развлечений, а именно записи игрового процесса. В образовательных учреждениях скринкастинг использует-ся не столь часто, эту технологию внедряют лишь некоторые работники учеб-ных заведений.

Но, несмотря на это, скринкастинг — развивающееся средство образова-тельных технологий, которое используется в электронном обучение (e-Learning).

Технология экранного видео является хорошим решением для образова-тельного процесса: учащийся может не только слушать, но и наблюдать за каж-дым движением, может неоднократно смотреть сначала видео, останавливать и прокручивать его. Такое видео обладает большей наглядностью, так как многим ученикам гораздо проще посмотреть видео в несколько минут, чем слушать длинный текст.

Целью моей работы является, запись скринкастов, и его практическое применение в создании электронного курса.

Для достижения данной цели, передо мной стояли следующие задачи: Изучение материалов на тему электронное обучение и электронные курсы. Изучение материалов по теме скринкастинга. Поиск и изучение программ, для записи скринкаста. Запись скринкаста. Создание электронного курса. Электронный курс — это часть электронного обучения, которая пред-

ставляет собой структурированный материал по той или иной теме, решающий заранее определенные задачи обучения. Это может быть изучение нового мате-риала учеником, повышение квалификации уже работающих учеников по раз-ным направлениям, ознакомление с существующими стандартами и правилами, тестирование по определенным темам.

Электронное обучение — (англ. E-learning, сокращение от англ. Electronic Learning) — это система обучения при помощи информационных и электрон-ных технологий.

К примеру, преподаватель в университете, или учитель в школе, может создать сам электронный курс, с целью лучшего ознакомления учащимися ма-териала. Для большей наглядности на этот курс можно добавить скринкаст с ежедневным домашним заданием. Учащиеся же могут зайти на электронный

63

64

курс дома, или в любом другом месте, и синхронизировать свои задания, вы-полняя их в удобное время, или к заданному преподавателем времени. Или наоборот, учащиеся могут записать скринкаст, в котором будет отображено по-дробное выполнение поставленного перед ними задания.

Участие обучающихся так же может быть мотивировано тем, что у пре-подавателя не всегда найдется время для индивидуальной работы с каждым студентом в аудитории, а их самостоятельную работу по разным причинам сложно проконтролировать. Но при помощи создания электронного курса и применения на нём скринкаста можно оптимизировать образовательный про-цесс, что в действительности может помочь студенту в большей успеваемости.

В результате работы были записаны скринкасты в программе Camtasia Studio 9 и создан шаблон курса с помощью Google Sites.

Литература 1. Аллен М., E-learning: как сделать электронное обучение понятным, каче-ственным и доступным. Альпина Паблишер, 2016. 2. Видеркер М. А., Заживнова О. А., Романов В. В. Применение технологиискринкастинга в разработке электронных учебных пособий // Образовательные технологии и общество, 2013. Т. 16. № 1. С. 429–439. 3. Волик О. Н., Сулейманова Е. А. Состав и структура методического обеспече-ния информационно-средового подхода к модернизации профессионального образования // Образовательные технологии и общество, 2012. Т. 15. № 4. С. 409–419. 4. Мещерякова И. Н. Возможности электронного обучения в развитии познава-тельной активности студента. Учебно-методическое пособие. ФЛИНТА, 2014. 5. Мозолевская А. Н. Скринкастинг как элемент образовательной технологии //Проблемы и перспективы развития регионального отраслевого университетско-го комплекса ИрГУПС. Иркутск: ИрГУПС, 2011. С. 49–55. 6. Сидляр М. Ю. Свободное программное обеспечение для скринкастинга и егоиспользование при проектировании электронного учебного пособия. // Тамбов-ский государственный университет имени Г. Р. Державина. 7. «What Is Screencasting» [Электронный ресурс]: http://www.oreillynet.com/pub/a/oreilly/digitalmedia/2005/11/16/what-is-screencasting.html (дата обращения: 09.12.16). 8. Бондаренко М., Бондаренко С. Скринкаст: лучше один раз увидеть! Мир ПК.2010, № 10.

64

65

Парамонова М. Г., ПсковГУ, физико-математический факультет, 4 курс


УМК «Компьютерные сети»

На сегодняшний день компьютерные сети представляет собой одно из ос-новных средств коммуникации всего человечества. Необходимость объедине-ния компьютеров в сети вызвана усовершенствованием путей передачи сооб-щений, возможностью обмена информацией в быстром режиме.

Освещение раздела школьной информатики, посвященный изучению компьютерных сетей, вызывает определенные трудности, так как, с одной сто-роны, старшеклассникам многое известно, ведь они давно являются пользова-телями ПК и имеют некоторые представления о принципах работы локальных компьютерных сетей. С другой стороны, эти знания отрывочны, бессистемны [1]. Для максимального достижения успеха по изучению данной темы следует подкрепить полученные знания практической работой.

В связи с поставленной целью был разработан учебно-методический ком-плекс по компьютерным сетям для получения учащимися практических навы-ков по построению сетей разных топологий. Эта разработка также необходима для формирования у школьников компетенции как способности личности справляться с самыми различными задачами, как совокупности знаний, умений и навыков, которые необходимы для выполнения конкретной работы; общей способности и готовности личности использовать знания, умения и обобщен-ные способы действий, усвоенные в процессе обучения, в реальной деятельно-сти, реализовывать их.

УМК включает в себя 5 лабораторных работ по моделированию компью-терных сетей разных топологий. Для самого процесса моделирования была вы-брана среда NetEmul. Проанализировав различные программы по моделирова-нию сетей, был выбран именно этот эмулятор, т. к. работа в нем не вызывает трудностей: он достаточно функционален и прост в использовании. Каждая ла-бораторная работа пошагово расписана и сопровождается наглядным материа-лом в виде картинок. Прежде чем приступить к их выполнению, учащимся сле-дует ознакомиться с эмулятором. Подробная информация о нем предоставлена в первой лабораторной работе. Помимо практических заданий УМК имеет тео-ретическую составляющую. Вдобавок к учебникам по информатике ознако-миться с основами компьютерных сетей школьникам поможет учебное пособие от Microsoft, локализованое издательством «БИНОМ. Лаборатория знаний» [2].

Применяя наглядный и практический методы обучения, ожидается поло-жительная динамика в изучении темы «Топологии компьютерных сетей», раз-витие навыка моделирования, поиска информации, ответственности, целе-устремленности, трудолюбия.

65

66

Главным преимуществом УМК является привлечение компьютерных средств обучения. В основном, лабораторные работы по данному разделу сете-вых технологий проводятся в отсутствии реального оборудования. Работу сетей демонстрируют только схемы и картинки. Эмулятор же поможет школьникам разобраться в принципах построения и работы компьютерных сетей, погрузив их в процесс моделирования и визуализации теоретической информации, кото-рую учащиеся получили на уроке.

Литература 1. Ковалев Г. К. Изучение темы «Локальные компьютерные сети» в 10-м классесредней школе. [Электронный ресурс]: URL: http://cyberleninka.ru/article/n/ izuchenie-temy-lokalnye-kompyuternye-seti-v-10-m-klasse-sredney-shkoly (дата обра-щения: 20.05.2016). 2. Основы компьютерных сетей: Учебное пособие для ученика. М., 2006.

Саматов Д. В., ПсковГУ, физико-математический факультет, 4 курс

(научный руководитель — доценты Кабаченко В. В., Большакова Н. В.)

Модернизация научно-образовательного ресурса «Язык и культура в коммуникативном пространстве Псковщины»

Коллективом научно-образовательной лаборатории региональных фило-логических исследований совместно с кафедрой прикладной информатики в образовании физико-математического факультета ПсковГУ разработан сайт «Язык и культура в коммуникативном пространстве Псковщины» (http:// nocpskoviana.pskgu.ru). Этот сайт описывает основные направления деятельно-сти лаборатории и содержит информационный материал, полученный в резуль-тате проведенных лабораторией исследований по сбору фольклорных материа-лов на территории Псковской области. Эти материалы содержатся в следующих разделах сайта:

Библиографические указатели. Псковский фольклор и народная речь. Псковский край в литературе. Псковские памятники письменности. Целью настоящей работы является модернизация информационной со-

ставляющей перечисленных разделов. Информация хранится в таблицах базы данных:

Administrators — Таблица содержит данные об администрации сайта. Articles — Таблица содержит данные о статьях. Letter — Таблица содержит данные о письмах. News — Таблица содержит данные о новостях. Section — Таблица содержит пункты.

66

67

В результате проведенной работы: Модернизирована структура таблиц базы данных. Разработан порядок сортировки и поиска материала в пользовательской и

административной частях сайта. Реализована функция добавления вспомогательных материалов (в виде

текстовых и медиа-файлов) к материалам раздела сайта. Добавлен счетчик посещений страниц сайта.

Литература 1. Томсон Л. Разработка Web-приложений на РНР и MySQL / Пер. с англ.СПб., 2003. 2. Модернизация сайта. [Электронный ресурс]: URL: http://www.infodesigner.ru/pages/main/service/upgrading_sites/index.shtml

Томашук Р. С., ПсковГУ, физико-математический факультет, 4 курс


Факультативный курс: «Создание электронного портфолио студента на платформе Joomla!»

Создание данного курса актуально в настоящее время, так как все чаще у студентов прослеживается потребность составить портфолио, тем самым пока-зать свои сильные стороны. Данный материал может быть полезен при устрой-стве на работу, поступлении в другое учебное заведение, получении контракта на выполнение какой-либо работы и т. д.

Мы живём в 21 веке, где компьютерные технологии играют большую роль. Достаточно часто возникает необходимость показать свои достижения широкой аудитории или продемонстрировать их людям, находящимся в гео-графически удаленном регионе, и вот тут возможность создания портфолио в электронном виде становится все более актуальной.

В таких странах как Канада, Америка, Япония создание портфолио явля-ется неотъемлемой частью не только на уровне высшего образования, но и на уровне общешкольного обучения [2].

В нашей стране ситуация немного иная (поскольку портфолио рассматри-вается прежде всего как способ оценки или собрание работ), однако, в послед-нее время появилась тенденция развития идеи портфолио [2].

Это проявляется: – в ВУЗах (появление как портфолио студентов, так и сотрудников уни-

верситета; внедрение соответствующих дисциплин в учебный план); – в среднем образовании (как альтернативный способ контроля и оценки,

а также применение в профильном обучении).

67

68

Портфолио — это эффективный способ фиксирования, накопления и оценки индивидуальных достижений человека [1, с. 3]. Данное «творческое со-чинение» отражает не только жизнь конкретного студента, но и максимально раскрывает его творческий потенциал, успешность, перспективы и способно-сти. Портфолио можно по праву считать официальным документом, который, подобно диплому о высшем образовании, может повлиять на всю дальнейшую судьбу студента [3].

Однако так уж случилось, что многие учащиеся хотели бы создать соб-ственное портфолио, но не знают или сомневаются где это сделать и как в дальнейшем редактировать свой проект. Разработанный факультативный курс поможет студенту освоиться в системе управления Joomla! и создать на ее базе полноценное электронное портфолио.

Joomla! — система управления содержимым, позволяющая самостоятель-но и бесплатно создавать электронные ресурсы.

Главной целью данного курса является формирование знаний, умений и навыков при создании своего электронного портфолио на платформе Joomla!

Задачи данного курса: Определить понятие факультативного курса; Разобрать структуру портфолио; Разработать курс «Создание электронного портфолио студента на плат-

форме Joomla!». Создать методическое пособие по данному курсу. Объектом исследования является процесс создания электронного

портфолио на платформе Joomla! Методы исследования: Теоретический; Практический. Практическая значимость исследования представляет собой возможность

создать и сохранить свое портфолио на электронном ресурсе и управлять им с помощью системы Joomla!

Литература 1. Фокина В. Н., Абрамова А. В. Методические рекомендации по формирова-нию портфолио студента. М., 2012. 2. Анализ появления и развития метода портфолио в России и за рубежом.[Электронный ресурс]: URL: http://pandia.ru/text/78/612/12934.php (дата обра-щения: 20.03.2017). 3. Что такое портфолио студента. [Электронный ресурс]: URL: http:// советсту-денту.рф/obshhestvennaya-zhizn/chto-takoe-portfolio-studenta/ (дата обращения: 22.03.2017).

68

69

Чумаков С. А., ПсковГУ, физико-математический факультет, 4 курс


Проектирование графического исполнителя

Графический учебный исполнитель (ГРИС) — это программа-тренажер для развития алгоритмического мышления и формирования умений составле-ния управляющих алгоритмов [1].

Язык программирования для графического исполнителя — это учебный ал-горитмический язык. Поэтому алгоритмы управления ГРИСом, записанные на ал-горитмическом языке, являются для него одновременно и программами [2].

В основе приложения лежит проект Waterbear, имеющий открытый ис-ходный код. [3]

Графический исполнитель предназначен для детей в возрасте от 14 до 16 лет и соответствует всем эргономическим требованиям к приложениям для данной возрастной группы.

Разработанный ГРИС является Web-приложением. Он состоит из трех по-лей: 1) поле, в котором находятся основные команды; 2) поле, в котором осу-ществляется ввод команд; 3) поле, в котором отображается результат выполнен-ных команд. Ввод команд осуществляется перетаскиванием команды из одного поля в другое. Результатом выполнения команд — является изображение.

В ГРИСе возможно выполнение последовательности прямых команд и циклов из нескольких прямых команд (вперед на «10»; поворот налево на «45» градусов)

Благодаря большому количеству команд, итоговое изображение может быть, как простой геометрической фигурой (рис. 1), так и сложным изображе-нием (рис. 2). Все ограничивается лишь фантазией пользователя.

Поэтому данный ГРИС обучает не только основам программирования, но и развивает абстрактное мышление и фантазию у школьников.

Рис. 1

69

70

Рис. 2

Литература 1. Босова Л. Л. Учебник по информатике за 9 класс. Ч. 1. М., 2012.2. Электронное учебное пособие по курсу Алгоритмизация. [Электронный ре-сурс]: URL: http://project.1september.ru/works/567487

Шмаков А. М., ПсковГУ, физико-математический факультет, магистратура, 2 курс

(научный руководитель — доцент В. Н. Мельник)

Разработка компетентностно-ориентированных заданий по курсу «Теория вероятностей и математической статистики»

В настоящее время профессиональная сфера четко обозначает требования к специалистам и ведет их отбор по результатам сформированности тех или иных компетентностей и компетенций, которые являются ключами к миру профессии и карьерному успеху.

Для достижения этих требований необходимо, чтобы процесс обучения был компетентностно-ориентированный. Компетентностный подход направлен не на увеличение объема информированности человека в различных предмет-ных областях, а на то, чтобы научить его самостоятельно решать проблемы в неизвестных ранее ситуациях.

В свою очередь одним из условий эффективной реализации компетентност-ного подхода обучения является модернизация системы оценивания образова-тельных результатов. Одним из способов формирования и оценивания компетен-ций является использование компетентностно-ориентированных заданий. В дан-ной исследовательской работе рассматриваются возможности реализации компе-

70

71

тентностно-ориентированных заданий по курсу «Теория вероятностей и матема-тической статистики» в дистанционной среде Moodle, что позволяет существенно изменить организацию образовательного процесса посредством создания специ-ально организованной деятельности студентов, создавая тем самым условия и среду для самореализации и раскрытия их творческих способностей.

Ориентация на формирование компетенций оказывает серьезное влияние на всю систему оценки и контроля достижений студентов. От организации про-цесса оценивания и объективности выставленных оценок в целом зависит от-ношение студентов к образовательной деятельности, их познавательная моти-вация. При выполнении компетентностно-ориентированных заданий студентам необходимо более тщательно прорабатывать теоретический материал, привле-кать дополнительную литературу, что способствует усвоению не суммы гото-вых знаний, а методов их приобретения, более глубокому усвоению уже полу-ченного материала.

Объект исследования: методы проверки усвоенных компетенций. Предмет исследования: процесс разработки компетентностно-ориентиро-

ванных заданий по курсу «Теория вероятностей и математической статистики». Цель работы: разработка компетентностно-ориентированных заданий по

дисциплине «Теория вероятности и математической статистики» и их реализа-ция в системе дистанционного обучения Moodle.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи: Изучены основные понятия компетентностного подхода в научной и

научно-методической литературе и определена его роль в процессе обучения студентов.

Изучены основные возможности системы дистанционного обучения Moodle в части реализации компетентностно-ориентированных заданий.

Рассмотрены критерии компетентностно-ориентированных заданий и ос-новные категории компетенций.

Представлена общая информация о классификации, структуре и характе-ристике компетентностно-ориентированных заданий.

Разработана система компетентностно-ориентированных заданий по дис-циплине «Теория вероятностей и математической статистики» интегрирован-ных в систему дистанционного обучения Moodle.

Практическая значимость работы состоит в возможности использования разработанных материалов в ходе мониторинга усвоенных компетенций у сту-дентов по дисциплине «Теория вероятностей и математической статистики».

Литература 1. Алмазова Н. И. Когнитивные аспекты формирования межкультурной компе-тентности при обучении: Автореф. дис. … д-ра пед. наук. СПб., 2003. 2. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Про-хоров. М., 1999.

71

72

3. Ефремова Н. Ф. Формирование и оценивание компетенций в образовании.Ростов н/Д., 2010. 4. Равен Дж. Компетентность в современном обществе: выявление, развитие иреализация. М., 2002.

Бабкина К. О., ПсковГУ, физико-математический факультет, магистрант 1 курс

(научный руководитель — профессор Ермак Е. А.)

Пропедевтика геометрических представлений при обучении математике в 5–6 классах

Одной из самых распространенных проблем в современном образовании является изучение геометрии обучающимися 7–9 классов, а потом, как послед-ствие — и проблемой 10–11 классов. Причин, объясняющих упадок интереса к изучению геометрии, много. Одна из них связана со слиянием двух предметов «алгебра» и «геометрия» в единый предмет «математика». Стоит отметить, что слияние алгебры и геометрии в один предмет даёт возможность уменьшения количества часов на объединённый предмет и может привести к «вымыванию» геометрии, как предмета, а также к снижению уровня математической культуры учащихся.

Не стоит забывать, что есть проблема, которую пытаются решить не одно десятилетие, связана она с тем, что существует огромная «пропасть» между изучением планиметрии и стереометрии. Обучающийся средней и старшей школы, изучая геометрию сегодня, не может понять, что изучение геометрии — это изучение одной неделимой науки, которая имеет связь со многими другими предметами. Данная проблема уходит корнями в 5–6 класс. Обучающиеся, ко-гда переходят в среднюю школу, открывают для себя много различных предме-тов, некоторые сведения из которых они уже изучали в начальной школе. Заме-тим, что геометрия не изучается как отдельный предмет в 5 классе, лишь неко-торые факты встречаются учащимся при изучении определенных тем матема-тики. В зависимости от программы и выбранного учебно-методического ком-плекса, сопровождающего обучение в 5–6 классах, ученики знакомятся лишь с некоторыми фактами геометрии. В большинстве своем эти сведения являются практическими примерами при изучении первичных алгебраических представ-лений. Другими словами, все эти факты — это лишь «фрагменты» одной це-лостной науки, которую ученики будут изучать «заново» в 7 классе.

Изучение геометрии является важным блоком в учебном процессе. Гео-метрия обладает важным свойством: все ее объекты наглядно представимы. Модели многих из этих объектов — вокруг нас. Но, когда наступает время изу-чать геометрию 7–11 классов, все чаще в общеобразовательных школах изуче-

72

73

ние геометрии сводится к пассивному «заучиванию» теорем и основных свойств фигур, причем в отдельности, а, не рассматривая планиметрические объекты как составляющие стереометрических фигур.

Основной же проблемой при изучении геометрии в школьном курсе явля-ется отсутствии преемственности между пропедевтическим курсом в 5–6 клас-сах и непосредственным её изучением в 7–11 классах. Связано это с тем, что геометрия в средней школе преподносится, как строго логическая, дедуктивная наука, развивающая только логическое мышление. А как же развитие «живого» воображения, которое, в свою очередь, свойственно обучающимся 5–6 классов? Тонкая грань между «сухой логикой» и «живым воображением» является пред-метом споров многих исследователей уже на протяжении десятилетий. Но обе стороны согласны в одном: нельзя строить догмы и делать утверждения, не представив образно фигуру, но и нельзя увидеть фигуру, не соотнеся ее с прак-тикой в жизни. Именно эта связь может изучаться учениками 5–6 классов, за счет наглядности геометрических фигур. Придерживаясь этого, учитель может быть понятым учеником, а ученик понять геометрию как целостную науку и проявить к ней интерес в последующем изучении в 7–11 классах.

Изучив основные проблемы, связанные с этим вопросом, можно сделать вывод, что геометрию стоит изучать как отдельный предмет в 5–6 классах. Од-ной из оптимальных форм обучения могут выступать предметно-ориентированные курсы, которые должны быть разработаны с учетом основ-ных направлений педагогической стратегии. Такая стратегия характеризуется особым вниманием к индивидуальности человека, его личности, ориентацией на развитие познавательного интереса и учебно-познавательной деятельности. В условиях существующей классно-урочной системы занятий предметно-ориентированные занятия вписываются в учебный процесс, не затрагивая со-держание обучения, определяемое стандартами образования, интегрируются в реальный образовательный процесс.

Основными вопросами предмета «геометрия», которые должны быть изу-чены на пропедевтическом уровне в 5–6 классе, являются:

Развитие пространственных представлений, воображения, а также логи-ческого мышления;

Неразрывное изучение планиметрических и стереометрических объектов; Сформированность навыков и умений измерения, владения геометриче-

скими (чертежными) инструментами, а также — знания приемов построения и чтения чертежа;

Наглядное изучение основных свойств геометрических фигур; Практическое воплощение математических основ, изготовление моделей

по готовым чертежам; Изучение связи геометрии с другими предметами и активное применение

полученных знаний. Одними из главных правил пропедевтики геометрических представлений

при обучении математике в 5–6 классах должна быть наглядность и преем-

73

74

ственность геометрии. В связи с этим, проектирование эффективного учебного процесса на предметно-ориентированных курсах должно строиться на объеди-нении отдельных элементов планиметрической и стереометрической геометрии в единое целое, другими словами, при изучении трехмерных фигур и их свойств, двухмерные фигур должны рассматриваться как их составляющие. Ученики 5–6 классов будут изучать фигуры, и, с помощью учителя, выводить определенные свойства и закономерности, встречающиеся в данных фигурах. Пример представлен на схеме (рис. 1). Данные занятие предполагают активное использование моделей, «живых» примеров из жизни. Обучающиеся смогут самостоятельно пробовать строить модели геометрических фигур, изучать их свойства и признаки наглядно и проверять их практическими способами. Учи-тывая тот факт, что владение чертежными инструментами у многих обучаю-щихся на невысоком уровне, на данном курсе учащиеся ознакомятся с основ-ными приемами построения стереометрических фигур на плоскости. Стоит от-метить, что многие «сухие» геометрические задачи можно преобразовать в практико-ориентированные, что поможет не только пробудить интерес детей на данном занятии, но и впоследствии развить познавательный интерес к изуче-нию геометрии.

Рис. 1. Примерная схема изучения понятия куба на дополнительных курсах в 5–6 классах

74

75

Изучение пропедевтического курса геометрии поможет сформировать ос-новные ключевые компетенции: учебно-познавательные, информационные, коммуникативные, социально-трудовые, личностные компетенции и т. д. Обу-чающихся на данных занятиях нужно активно вовлекать в происходящее на уроке, что поможет участникам курса развить в себе творческие способности, самостоятельность, коммуникабельность, умение работать в коллективе, а так-же потребность к познанию нового, умение находить и отбирать нужную ин-формацию.

Литература 1. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. за-ведений / Под ред. В. А. Гусева. М., 2004. 2. Рослова Л. О. Методика преподавания наглядной геометрии учащимся 5–6классов. [Электронный ресурс]: URL: http://mat.1september.ru (дата обращения: 16.03.2017).

Васильева М. О., ПсковГУ, физико-математический факультет, магистрант 1 курс

(научный руководитель — доцент Медведева И. Н.)

Об использование компьютерных технологий при обучении построению сечений многогранников

Стереометрическая задача, в которой проверяется умение построить се-чение многогранника и найти какую-либо его геометрическую характеристику, входит в состав ЕГЭ по математике с 2010 года. Выпускники, как правило, бе-рутся за решение данной задачи, так как она проста в формулировке, и кажется для обучающихся посильной. Вместе с тем, статистические данные по резуль-татам ЕГЭ по математике за последние три года показывают, что 95 % выпуск-ников Псковской области, бравшихся за решение задачи 14 (С2), получили 0 баллов, только 2 % получили 2 балла, и 3 % получили 1 балл [1]. На диаграм-мах (рис. 1) представлены результаты решаемости задачи С2 по Псковскому ре-гиону и в целом по России (данные ФИПИ), из которых следует, что решае-мость этой задачи плохая по стране в целом, а псковские выпускники решают ее хуже, чем в целом по России.

75

76

Рис. 1. Сопоставление статистических данных по заданию № 14 (С2) ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Среди основных причин неудач выпускников при решении задачи 14 (C2), которые выделяют учителя, названы следующие: у учащихся плохо развито пространственное воображение, в учебниках по геометрии предлагает-ся недостаточное количество задач по данной теме, сказывается отсутствие та-кого предмета, как черчение.

В аналитических обзорах ФИПИ указываются следующие причины низ-кой успешности решения стереометрической задачи ЕГЭ по математике: наибольшие затруднения учащиеся испытывали при оформлении доказатель-ства, большое количество вычислительных ошибок. Низкая успешность выпол-нения этого задания свидетельствует о несформированности пространственных представлений у выпускников [2].

Заметим, что низкая сформированность пространственных представле-ний, как одна из причин низкой успешности решения стереометрической зада-чи, указывается, как профессионалами-практиками, так и исследователями-аналитиками.

Таким образом, поиск путей обучения решению задач на построение се-чений многогранников старшеклассников является актуальным. Для обучения построению сечений мы решили дополнительно привлечь возможности компь-ютерной программы «Живая геометрия», которая позволяет развивать про-странственные представления учащихся. Чертежи в данной программе не обла-дают свойствами полноты изображений, но на данном этапе исследования это не важно, так как чертежи используются для наглядности и формирования про-странственных представлений.

Разработанная автором методика применялась в рамках опытно-экспериментального преподавания геометрии с ноября по декабрь 2016 года в трех университетских профильных десятых классах Псковского государствен-ного университета. Было проведено три занятия (длительность каждого занятия составляла 1 час 20 мин.). Перед изучением темы было проведено входное те-стирование учащихся, состоящее их шести заданий, проверялись знания аксиом

76

77

стереометрии, свойств параллельных плоскостей и случаев взаимного располо-жения прямой и плоскости и двух плоскостей. Опрошено 55 человек. Результа-ты показали, что учащиеся знают формулировки аксиом стереометрии, но при-менить их на практике многие не смогли.

Затем было проведено два занятия, посвященные построению сечений многогранников, во время которых использовалась среда «Живая геометрия». Задания, которые необходимо было выполнить на уроках, иллюстрировались в данной программе. Программа позволяла обеспечить наглядность изображения, благодаря возможности «оживлять» объекты, позволила повысить интерес к предмету и позволила сэкономить время на уроке, так как все чертежи заранее были готовы. На первом занятии предлагались задания на свойства параллель-ных плоскостей и на способы задания плоскости. Вводилось понятие сечения многогранника и построения сечения тетраэдра и параллелепипеда двумя спо-собами. На втором занятии рассматривались различные случаи построения се-чений, в том числе из заданий ЕГЭ по математике за различные годы. Предва-рительно мною были проанализированы задачи С2 (14) и из них были выделе-ны отдельные фрагменты, в которых необходимо построить сечение много-гранника. На третьем занятии учащемся был проведен итоговый контроль по данной теме, который состоял из пяти заданий, такие же задания предлагались ранее учащимся 11-го класса для проверки остаточных знаний на построение сечений многогранников в рамках поискового эксперимента.

Рис. 2. Результаты итоговой контрольной работы

На представленных диаграммах видно, что при изучении темы, связанной с построением сечений многогранников по предлагаемой нами методике, с ис-пользованием компьютерной программы «Живая геометрия», учащиеся более уверенно справляются с заданиями, допускают меньше ошибок. Мы также счи-таем, что эту методику нужно использовать и при подготовке будущих учите-лей математики, которые, овладев ею, в свою очередь, смогут применять ее в своей профессиональной деятельности.

77

78

Результаты опытно-экспериментального преподавания показали, что ис-пользование среды «Живая геометрия», наряду с традиционной методикой изу-чения этого материала, позволяет более успешно обучать решению задач на по-строение сечений многогранников, способствует развитию пространственных представлений, повышает интерес учащихся к предмету, высвобождает время и ресурсы на содержательные и творческие виды работ. Мы считаем, что сбалан-сированное применение компьютеров в сочетании с традиционными формами обучения открывает принципиально новые возможности в обучении. Примене-ние цифровых образовательных ресурсов позволяет активизировать деятель-ность учащихся, дает возможность повысить качество обучения, содействует формированию метапредметных и предметных компетенций обучающихся.

Литература 1. Бойцова С. Н., Полетаев И. А., Бурская Л. Ю., Яркова Л. А., Бочерашвили В. Т.Статистики результатов государственной итогов аттестации сборник по Псков-ской области. Псков, 2015. 2. Ященко И. В., Семенов А. В., Высоцкий И. Р. Методические рекомендациидля учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2016 года по математике. М., 2016.

Дерунова В. Л., ПсковГУ, физико-математический факультет, 3 курс

(научный руководитель — доцент Фахретдинова В. А.)

Применение метода координат при решении геометрических задач

«Метод координат» довольно эффективно может быть использован при решении широкого класса геометрических задач, как планиметрических, так и стереометрических. Начиная с 5 класса, учащиеся знакомятся с понятиями ко-ординаты точки, далее, в 7 классе, изучается тема «Прямая», в рамках которой учащиеся находят уравнение прямой по координатам двух данных точек. А уже в 9 классе метод координат начинает использоваться при решении планиметри-ческих задач [1]. Наиболее сложными являются задачи по стереометрии, кото-рые учащимся приходится решать в 10–11 классах [2]. Такие задачи можно успешно решать и, не прибегая к методу координат, но в этом случае нередко требуются дополнительные построения, не всегда очевидные. Использование же метода координат сводит данные задачи к довольно простым арифметиче-ским алгоритмам, которые посильны большинству учащихся. Поэтому нам ка-жется, что необходимо уделять методу координат при решении стереометриче-

78

79

ских задач больше внимания и систематизировать все имеющиеся знания по данной теме.

Суть метода координат состоит в том, что посредством координат точек геометрическая фигура задается аналитически. Основоположником метода коор-динат считают французского философа и математика Рене Декарта (1596–1650), который в последней части своего большого философского трактата, вышедшего в 1637 году, дал описание метода координат и показал возможность применения его к решению геометрических задач [4]. Развитие идей Декарта привело к воз-никновению особой ветви математики, которую теперь называют аналитическая геометрия. Первоначально рассматривалось только двумерное пространство, но уже в XIX веке метод стали применять к решению задач трехмерного простран-ства, что позволило поднять геометрию на новый уровень [4]. А в самом начале XX века метод координат использовали в теории относительности, где время — это четвертое измерение.

Перечислим основные стереометрические задачи, при решении которых целесообразно использовать метод координат: определение угла между скре-щивающимися прямыми, угла между прямой и плоскостью, угла между плос-костями, вычисление расстояния от точки до прямой, расстояния от точки до плоскости, расстояния между скрещивающимися прямыми.

Задача. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания

равна а высота SH пирамиды равна 3. Точки M и N — середины рёбер CD и AB, соответственно, Т — середина SM. Найдите расстояние между NT и SC [3].

Решение. Расположим данную фигуру целесообразным образом в системе коорди-

нат (рис. 1). Найдем координаты точек:

С( , S( ); N( );

М . Так как точка Т является се-

рединой SM, то Т( ). Определим координаты направля-

ющих векторов:

Рис. 1

79

80

Найдем координаты точки К такой, что

Найдем уравнение плоскости KSC:

Воспользуемся формулой нахождение расстояния от точки до плоскости:

Ответ: .

Таким образом, применение метода координат мы считаем целесообраз-ным в сложных стереометрических задачах, например таких, какие предлага-ются в материалах ЕГЭ (задача 14) [3].

Литература 1. Атанасян Л. С. Геометрия. 7–9: учебник для общеобраз. учреждений. М.,2004. 2. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Геометрия. 10–11 кл.: учебникдля общеобразоват. учреждений. М., 2002. 3. Решу ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам. [Электрон-ный ресурс]: URL: https://ege.sdamgia.ru/ (дата обращения: 21.10.2016). 4. Фишер, Куно. История новой философии. [Электронный ресурс]: URL:http://lib.co.ua/philosophy/fisherkuno/dekartegogizn.jsp (дата обращения: 01.10.2016).

80

81

Эссенова Н. Т., ПсковГУ, физико-математический факультет, 4 курс

(научный руководитель — доцент Павлова Л. В.)

Применение наглядного моделирования при обучении школьников поиску решения сюжетных задач

Большое значение в обучении математике имеют сюжетные задачи, так как они иллюстрируют приложение математических методов. При этом одним из важных умений, которое должно быть сформировано у учащихся, является моделирование математической или практической ситуации. При осуществле-нии плана решения учащийся должен уметь преобразовывать условие задачи в математическую модель и совершать дальнейшую работу с этой моделью. Для обучения учащихся умению работать над задачей, учителю необходимо выра-ботать у учащихся такие умения и видеть затруднения, которые испытывают школьники. Целесообразно на ранних этапах диагностировать их умение моде-лировать и продолжать его формирование, в том числе, и во внеклассной рабо-те, уделяя этому должное внимание.

Задача учителя — научить решать задачи учащихся. Для этого учитель должен овладеть методикой обучения школьников решению сюжетных задач, при работе с задачами важно развивать интерес и самостоятельность к поиску решения, используя для этого различные методы работы на уроке, информаци-онные технологии и т. д.

Цель исследовательской работы — изучить способы обучения школьни-ков поиску решения сюжетных задач на основе наглядного моделирования.

Наглядное моделирование выбрано в связи с тем, что в исследовании рас-сматриваются сюжетные задачи 5–6 классов.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи: Изучить проблему формирования умения учащихся решать сюжетные

задачи и выделить пути их решения. Изучить опыт учителей по использованию наглядности при решении сю-

жетных задач и применить его на практике. Средства наглядности разнообразны: предметы и явления окружающей

действительности, действия учителя и учеников, изображения реальных пред-метов, процессов (рисунки, картины), модели предметов, символические изоб-ражения (карты, таблицы, схемы), проекционные материалы (кинофильмы, слайды и т. д.) и др. [2]

Приведём пример приема наглядного моделирования при решении сю-жетных задач.

Задача. Сережа стал на велосипеде догонять Наташу, идущую пешком, когда между ними было 600 метров, и догнал ее через 4 минуты. Найдите ско-

81

82

рость, с которой шла Наташа, если ее скорость в 4 раза меньше скорости Сере-жи.

Ход решения задачи: 1 шаг. Изучение структуры задачи. Учащиеся устанавливают связи между

объектами в задаче при помощи вопросов: — О чем идет речь в задаче? (О сближении двух движущихся объектов). — Какие величины используются в задаче? (Расстояние, время, скорость). 2 шаг. Составляется графическая модель текста задачи — реальное дей-

ствие изображается в виде графической схемы. 3 шаг. Поиск плана решения задачи (в виде схемы):

Рис. 1. Поиск плана решения задачи

Решение оформляем, записывая каждое действие, которое является отве-том на вопросы учителя:

1) 2003600 (м) — расстояние, пройденное Наташей;2) 800200600 (м) — расстояние, пройденное Сережей;3) 2004800 (м/мин) — скорость Сережи;4) 504200 (м/мин);Ответ: 50 м/мин — скорость Наташи.

Литература 1. Фридман Л. М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика.М., 2002. 2. Кострова Л. В. О развитии ключевых компетенций у учащихся при решениизадач // Математика в школе. 2010. № 5. 3. Наглядность и моделирование в обучении [Электронный курс]: URL:http://pedlib.ru/Books/5/0155/5_0155-1.shtml

82

83

Жмурова Д. А., ПсковГУ, физико-математический факультет, аспирант 1 курс


Результаты контроля уровней развития стохастического мышления обучающихся в системе среднего профессионального

образования

Освоение стохастической содержательно-методической линии необходи-мо для адаптации и профессиональной успешности в современном мире. В та-ком мире требуются не просто навыки решения задач на вычисление, на при-менение функциональных зависимостей, а также — умение работать с задача-ми, требующими для решения участия стохастического мышления.

В процессе работы преподавателем математики в Псковском агротехни-ческом колледже я столкнулась с трудностями освоения обучающимися 1–2 курсов материала темы «Комбинаторика и теория вероятностей».

Проблемы методики освоения обучающимися материала стохастической линии курса математики рассмотрены в ряде научных работ. Наиболее значи-мыми для решения проблемы поиска путей обучения материалу стохастической содержательно-методической линии, способствующих развитию стохастическо-го мышления учащихся, следует признать результаты, полученные С. В. Щерба-тых [2]. Cергей Викторович Щербатых указывает на необходимость начинать формирование у учащихся стохастического стиля мышления именно в старших классах, основываясь при этом на идее профессионально-прикладной направ-ленности обучения [1, с. 1].

К сожалению, в научных работах исследователями не уделяется внимание развитию стохастического мышления обучающихся в системе среднего про-фессионального образования (далее СПО).

Абитуриенты, поступающие в учебные заведения СПО, в основной массе, имеют основное общее образование (9 классов), возраст поступающих пример-но 15–16 лет — тот же, что у обучающихся в 10–11 классах школы. Но при этом существует специфика обучения в системе СПО, далеко не в полной мере осмысленная и учитываемая в методике обучения, в частности математике. Прежде всего, необходимо учитывать:

Отсутствие у большинства обучающихся мотивации к обучению. Невысокий уровень математической компетентности в объеме программы

основного общего образования у обучающихся 1-го курса СПО. Большой объем изучаемых общеобразовательных предметов и професси-

ональных модулей в небольшой промежуток времени. Недооценку общеобразовательных предметов в процессе обучения в си-

стеме СПО.

83

84

Слабое учебно-методическое обеспечение процесса обучения математике, в том числе — элементам стохастики.

Прежде, чем проектировать методику развития стохастического мышле-ния обучающихся в системе СПО, необходимо оценить уровень уже имеющих-ся первичных стохастических представлений. Учитывая примерную основную образовательную программу основного общего образования [4] и требования к содержанию основного государственного экзамена по математике [3], был со-ставлен входной контроль для обучающихся 1 курса в системе СПО. Входной контроль включает 13 заданий, разделенных на 4 группы, каждая из которых направлена на проверку одной из предметных областей стохастики:

– Навыки обработки и представления в табличной и графической формечисловых данных, значений величин, о которых в дальнейшем пойдет речь в задачах по комбинаторике, теории вероятностей, математической статистике.

– Комбинаторика.– Элементы теории вероятностей. Понятие события, виды событий.– Элементы теории вероятностей. Понятие вероятности, классическое

определение вероятности случайного события. 1 группа заданий (№№ 1–4). Основы математической обработки инфор-

мации. Задачи, включенные в эту группу, помогают выявить уровень владения практическими навыками представления числовых данных в виде таблиц, диа-грамм, графиков.

2 группа заданий (№ 5–7). Комбинаторика. Выполнение этой группы за-даний даст возможность проанализировать уровень умения решать комбина-торные задачи методом перебора вариантов, путем применения комбинаторных правил умножения и сложения.

3 группа заданий (№ 8–9). Элементы теории вероятностей. Понятие со-бытия, виды событий. Выполнение этих заданий даст нам возможность про-анализировать уровень усвоения обучающимися темы «Понятие события, виды событий».

4 группа заданий (№ 10–13). Элементы теория вероятностей. Понятие вероятности, классическое определение вероятности случайного события. Выполнение этих заданий даст нам возможность проанализировать уровень усвоения обучающимися темы «Понятие вероятности, классическое определе-ние вероятности случайного события».

Результаты входного контроля Задания входного контроля были предложены 259 обучающимся в возрасте

от 15 лет до 21 года. Большинство опрошенных-студенты в возрасте 16–17 лет (59 % — 16 лет, 24 % — 17 лет).

Всего были опрошены студенты 15 учебных групп 1-го курса СПО из трёх учебных заведений г. Пскова: «Псковский Агротехнический колледж», «Псковский колледж профессиональных технологий и сервиса», «СПО ПФ РМАТ». Опрошенные обучаются на 15 разных специальностях.

84

85

1 группа заданий 1 задание. С заданием справились без ошибок 82 % опрошенных. 2 чело-

века не решали 1-ое задание. В вопросе под буквой г) 40 человек допустили ошибку. В вопросе в) и г) допустили ошибку 7 человек. Трудности возникли лишь у 18 % опрошенных.

2 задание. 5 человек не решали это задание. 25 человек не построили ли-нейную диаграмму. 3 человека допустили ошибки в данных. 207 человек по-строили линейную диаграмму по примеру первого задания, 24 человека по-строили линейную диаграмму как ломаную линию. Таким образом, трудности с выполнением 2-го задания возникли лишь у 13 %. C заданием справились без ошибок 87 % опрошенных студентов.

3 задание. Анализ круговой диаграммы вызвал трудности у большинства опрошенных. Лишь 29 человек справились с заданием без ошибок, что состав-ляет 11 % от общего количества опрошенных студентов. Наиболее трудными оказались вопросы 4) и 5), ответы на которые предполагали умение оценивать процентное содержание вещества по круговой диаграмме, применять умение составлять и решать пропорцию или умение находить часть от целого, целое по его части. 74 обучающихся неверно ответили сразу на оба вопроса: 4) и 5). Остальные допустили ошибки в ответах на один из этих вопросов, либо в отве-тах на другие вопросы.

4 задание. Самостоятельное построение круговой диаграммы по заданно-му процентному содержанию вызвало меньше трудностей у опрошенных. С этим заданием справились верно 125 опрошенных, что составило 48 %. 19 че-ловек не стали выполнять это задание, остальные 115 человек построили диа-грамму с ошибками, неверно выделяли круговой сектор, соответствовавший данному процентному содержанию.

2 группа заданий. 5 задание. Комбинаторная задача, требовавшая применения комбинатор-

ного правила умножения или метода перебора вариантов, вызвала большие трудности у обучающихся. Верно справились с этой задачей лишь 23 человека (9 % от общего количества), 4 из них решили методом перебора, а 10 — комби-наторным правилом умножения, 9 обучающихся дали верные ответы без реше-ния. 11 человек пробовали решать методом перебора, но не все варианты учли при решении. Верно справились только с 1-м вопросом 63 человека, 27 из них дали только ответ, 6 человек решили методом перебора, 30 — использовали комбинаторное правило умножения. Верно справились только со 2-м вопросом 2 человека.

6 задание. Эта задача на оценивание уровня умения применять метод пе-ребора вариантов, комбинаторное правило сложения вызвала трудности. Все приступившие к выполнению этого задания решали его методом перебора ва-риантов, несколько человек использовали для этого дерево вариантов. Верно справились с задачей 42 человека (16 % от общего количества), 29 из них дали только ответ, 13 привели решение. 49 опрошенных обучающихся решали зада-

85

86

чу методом перебора, но не все варианты учли. Типичной ошибкой стала поте-ря возможности составления из трех цифр не только трехзначных чисел, но и однозначных и двузначных. Не внимательно прочитанное задание повлекло за собой неверный ответ, обучающиеся посчитали только трехзначные числа.

7 задание. Оно оказалось наиболее трудным, так как требовало вдумчиво-сти, рассмотрения нескольких ситуаций решения и подсчета соответствовав-ших комбинаций. Только трое обучающихся начали выполнение этого задания в верном «направлении», но, к сожалению, верного ответа не получил никто.

3 группа заданий. 8 задание. Это задание на распознавание событий и не-событий также вы-

звало большие трудности. 7 человек справились с заданием полностью верно (3 % от всех опрошенных). Остальные допустили каждый по 2–3 ошибки.

9 задание. Определение типов события (достоверное, случайное, невозмож-ное) также оказалось трудным для обучающихся. Лишь 4 из опрошенных справи-лись с заданием абсолютно верно. Некоторые студенты называли типы событий как вероятное, маловероятное. Часть опрошенных в ответе записывали несколько номеров событий, вероятно, не понимая, как выполнять данное задание.

4 группа заданий. 10 задание. С задачей нахождения вероятности по классическому опреде-

лению вероятности верно справились 117 опрошенных обучающихся, что со-ставило 45 %. 10 человек при решении этой задачи неверно составили дробь, перепутав местами числитель и знаменатель, составили отношение всех исхо-дов к благоприятным исходам.

11 задание. С этой задачей, на сложение вероятностей, верно справились 59 опрошенных, что составило примерно 23 %. Несколько человек применили теорему сложения вероятностей верно, но сложение десятичных дробей произ-вели не верно.

12 задание. Задача на нахождение вероятности случайного события по классическому определению с применением комбинаторного правила умноже-ния и перебора вариантов. 26 опрошенных обучающихся дали верный ответ в данной задаче (примерно 10 % от общего количества опрошенных).

13 задание. Оно оказалось почти не решенным. Один человек решил дан-ное задание, приведя решение. 51 человек из опрошенных дали верный ответ на задание, не приведя решения, очевидно, полагаясь на интуицию и «житейский» опыт. Таким образом, можно считать, что с заданием справились 52 человека, что составило примерно 20 % от числа всех опрошенных.

На диаграмме № 1 представлены результаты выполнения заданий.

86

87

0102030405060708090

100

№1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8 №9 №10 №11 №12 №13

верно

не верно

Как видно из диаграммы № 1, успешно выполнены только задания 1 группы. Из заданий 2–4 групп почти у половины опрошенных выполнено за-дание № 10, где нужно вычислить вероятность по классическому определению, выполнение остальных заданий вызвали большие трудности. Поэтому при про-ектировании методики нужно учитывать, что уровень первичных стохастиче-ских представлений у обучающихся СПО очень низкий, практически нулевой. Поэтому изучение комбинаторики, теории вероятностей и математическую ста-тистику начинать нужно будет с основных понятий, с самого начала.

Анализ рассмотренных исследований, особенностей процесса обучения в системе СПО, результатов входного контроля (констатирующего эксперимента) позволил сформулировать основные теоретические положения, которые лягут в основу методики развития стохастического мышления обучающихся в системе СПО. Они находят отражение в следующих принципах обучения математике:

Взаимосвязь вероятностного, комбинаторного и статистического компо-нентов стохастической линии.

Преемственность с современным курсом математики основной общей школы.

Интеграция с основным содержанием изучаемого первокурсниками в си-стеме СПО курса математики.

Дифференцированный подход в развитии стохастического мышления обучающихся.

Деятельностный подход в освоении изучаемого материала.

Литература 1. Щербатых С. В. Актуализация проблемы формирования стохастическогомышления у старшеклассников // Вестник Брянского государственного универ-ситета. 2013. № 1. С. 148–151. 2. Щербатых С. В. Методическая система обучения стохастике в профильныхклассах общеобразовательной школы: Диссертация на соискание ученой степе-ни доктора педагогических наук. М., 2011.

87

88

3. Кодификатор требований к уровню подготовки обучающихся для проведенияосновного государственного экзамена по математике. [Электронный ресурс]: URL: http://www.egeigia.ru/all-gia/demoversii-gia/matematika/2143-demoversiya-oge-2017-po-matematike-ot-fipi-oge-9-klass (дата обращения: 13.02.17). 4. Примерная основная образовательная программа основного общего образо-вания минобрнауки.рф›проекты/413/файл/4587/POOP_OOO_… (дата обраще-ния: 13.02.17).

Кондратенко Ю. В., ПсковГУ, физико-математический факультет, магистрант 2 курс

(научный руководитель — доцент Соловьёва И. О.)

Методика обучения решению сюжетных задач глухих и слабослышащих учащихся 5–6 классов

В ряде исследований отмечается, что дети с нарушением слуха с тру-дом усваивают пространственные и временные отношения, затрудняются в понимании и усвоении арифметического и геометрического материала. В настоящее время в специальной педагогике имеются единичные исследования, рассматривающие проблемы усвоения математики детьми с нарушением слу-ха. В данных работах проанализированы различные подходы к обучению ма-тематике в целом.

Одним из наиболее сложных для детей с нарушением слуха, обучающих-ся в 5–6 классах, является решение сюжетных задач. Под сюжетной задачей по-нимают задачи, в которых описан некоторый жизненный сюжет (явление, со-бытие, процесс) с целью нахождения определенных количественных характе-ристик или значений [4, с. 3]. Таким образом, для успешного решения сюжет-ной задачи учащийся должен хорошо понять, о чём идёт речь, представить себе описываемую ситуацию. При решении сюжетных задач дети с нарушением слуха имеют большие затруднения, связанные с отсутствием понимания самого сюжета задачи, так как они не слышат на слух слова, они не могут их понять. В развитии речи у глухих детей наблюдается большое своеобразие. Для них ха-рактерно существенное недоразвитие обычной бытовой фразовой речи, которой слышащие дети, развивающиеся нормально, уже овладевают к двум годам и значительно её совершенствуют в среднем и старшем дошкольном возрасте. Речь глухих детей бедна по словарю, по способам высказывания. Поэтому у глухих детей наблюдается заметное снижение словесной памяти по сравнению с их слышащими сверстниками.

Большое значение имеет расширение словарного запаса в процессе обу-чения. На уроках математики, при решении задач, встречается много слов, ко-торые дети не понимают и учителю необходимо объяснить учащимся значение

88

89

того или иного слова, так как не поняв сюжет, ребята не могут перейти к реше-нию задачи.

Чтобы обучение решению сюжетных задач глухих детей стало более эф-фективным, учителю необходимо владеть специальной методикой обучения решению сюжетных задач такой категории учащихся. Мы предлагаем исполь-зовать электронное учебное пособие, в котором сюжетные задачи для учащихся 5–6 классов проиллюстрированы картинками, чтобы при решении задачи ребё-нок сразу видел, что обозначают слова, которые он встретил в тексте задачи, и мог без разъяснения учителя приступить к решению задачи.

Целью исследования является разработка учебного пособия для учащихся 5–6 классов с нарушением слуха, направленное на обучение решению сюжет-ных задач.

Например, при решении задачи «Перед домом построили забор. Забор держится на 16 столбах, расстояние между столбами составляет 3 метра. Каково расстояние между пятым и одиннадцатым столбами?» учащиеся мо-гут столкнуться с тем, что не знают, что такое забор и что такое столб. В дан-ном пособии мы предлагаем текст задачи сопровождать картинками, на кото-рых изображены все непонятные для детей слова. Например:

При решении этой задачи в одном классе без электронного учебного по-собия учителю пришлось объяснять ребятам слова, которые они не знают, а при решении данной задачи в другом классе, с использованием электронного учеб-ного пособия, трудностей не возникло, так как ребята, посмотрев на картинку, сразу поняли, что это такое и не спрашивали у учителя.

В рассмотренной нами литературе было встречено недостаточно количе-ство методик для обучения решению сюжетных задач обучающимся с наруше-нием слуха. Был проведен опрос учителей математики в городе Пскове и городе Пыталово, которые работают с детьми с нарушением слуха и сделаны выводы о том, что данное пособие необходимо для обучающихся 5–6 классов, так как у де-тей действительно имеются большие трудности в усвоении сюжетных задач, а именно в понимании смысла самого сюжета задачи из-за непонимания слов.

89

90

В ГБОУ «Центр специального образования № 2» города Пыталово Псковской области разработанное нами учебное пособие для учеников 5–6 классов с нарушением слуха дополняется и расширяется. Впоследствии все учителя, работающие с детьми с нарушением слуха, смогут пользоваться дан-ным учебным пособием на уроках математики.

В созданном нами электронном пособии собрано некоторое количество сюжетных задач, которые обучающиеся 5–6 классов должны усвоить по учеб-ной программе. Эти задачи представлены не только текстом, но и в наглядном виде. Детям с нарушением слуха данное пособие помогает понять сам сюжет и не останавливаться на том, чтоб узнавать значение того или иного нового для них слова.

Литература 1. Никольская И. А. Современные подходы к обучению математике детей снарушениями слуха: учебное пособие для студентов дефектологических фа-культетов к курсу «Основы математики с методикой преподавания». М., 2011. 2. Суслова И. О. Основы психологии детей с нарушением слуха: учебное посо-бие. Саратов, 2013. 3. Тигранова Л. И. Особенности понимания текста арифметических задач сла-бослышащими детьми // Вопросы специального обучения слабослышащих де-тей. М., 1965. С. 70–93. 4. Щурова Ю. Е. Динамика интеллектуального развития слабослышащихшкольников от младшего школьного к подростковому возрасту. Дисс. на соис-кание степени канд. психологических наук. М., 2007. 5. Фридман Л. М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика:учеб. пособие для учителей и студентов педвузов и колледжей. М., 2002. 6. Шелехова Л. В. Сюжетные задачи по математике. Учебно-методическое по-собие. Майкоп, 2007.

Никитин Д. А., ПсковГУ, физико-математический факультет, 2 курс


Задача о распределении ресурсов, реализованная на языке программирования Python

В нашем распоряжении имеется запас средств (ресурсов) a, который дол-жен быть распределен между n-предприятиями [1]. Каждое из предприятий при вложении в него некоторых средств x приносит доход, зависящий от x, т. е. представляющий собой функцию . Все функции заданы таб-

90

91

лично и являются неубывающими. Требуется так распределить средства между предприятиями, чтобы в сумме они дали максимальный доход.

За математическую основу алгоритма, решающего данную задачу, был взят мощный современный способ оптимизации — метод динамического про-граммирования. Его возникновение связано с именем американского ученого Ричарда Беллмана, который в начале 50-х годов сформулировал так называе-мый «принцип оптимальности» [2].

Управляемая система в данном случае — средства или ресурсы, которые распределяются. Состояние системы перед каждым шагом характеризуется од-ним числом a — наличным запасом еще не вложенных средств. В этой задаче «шаговыми управлениями» являются средства выделяемые предприятиям. Тре-буется найти оптимальное управление, т. е. такую совокупность чисел

, при которой суммарный доход был максимален. Функциональное уравнение Беллмана для этой задачи примет вид

.

Функция определяет максимальный доход от вложения средств в предприятия на i-ом шаге распределения.

Приложение, решающее эту задачу, написано на языке Python — высоко-уровневый язык программирования с динамической типизацией. Поддерживает объектно-ориентированный подход, содержит большое количество полезных библиотек для научных расчетов [3, 4].

Программная реализация поиска оптимального плана на языке Python представлена на рис. 1.

Данные о распределении ресурсов между предприятиями имеют табличный вид. Например, в отдельном файле Excel в таких форматах как xlsx, sql или csv.

Таким образом, задачу оказалось возможным разбить на отдельные под-задачи, а именно:

создать объект, способный считывать входные данные, и возвращать ре-шение задачи с использованием первого объекта, создать второй, реализующий графический интерфейс пользователя;

с использованием первого объекта, создать второй, реализующий графи-ческий интерфейс пользователя.

91

92

Рис. 1. Программная реализация поиска оптимального плана на языке Python

Данное приложение окажется полезным в вопросах управления, а кон-кретно в вопросах оптимального распределения средств предприятиями.

Литература 1. Задача оптимального распределения ресурсов. [Электронный ресурс]: URL:http://www.studfiles.ru/preview/3397140/page:2 (дата обращения: 10.01.17). 2. Задача о распределении ресурсов. [Электронный ресурс]: URL:http://stu.sernam.ru/book_sop.php?id=16 (дата обращения: 10.01.17). 3. Python 3 для начинающих. [Электронный ресурс]: URL:https://pythonworld.ru/gui/pyqt5-firstprograms.html (дата обращения: 05.01.17). 4. Введение в PyQt5. [Электронный ресурс]: URL: http://python-3.ru/page/into-pyqt5 (дата обращения: 05.01.17).

92

93

Портнова С. А., ПсковГУ, физико-математический факультет, магистрант, 2 курс


Оценивание универсальных учебных действий учащихся 5–6 классов в процессе проектной деятельности по математике

Введение Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) основного общего образования, основанного на системно-деятельном подходе к обучению, влечёт за собой изменения в педагогической практике учителей-предметников и в учебно-воспитательном процессе в целом. Создание новых условий для осуществления образовательного процесса направлено на воспитание активного, инициативного, мыслящего и способного трудиться ученика. В связи с переходом на новые образовательные стандарты меняется и подход к формулировке результатов обучения и оценке уровня их сформиро-ванности у учащихся. В ФГОС основного общего образования сформулирова-ны три вида результатов обучения: личностные, метапредметные и предметные.

Принято среди метапредметных результатов обучения выделять четыре группы универсальных учебных действий (УУД): личностные, регулятивные, познавательные и коммуникативные. «Под универсальными учебными действи-ями в современной педагогической науке понимается совокупность обобщённых действий учащегося, а также связанных с ними умений и навыков учебной рабо-ты, обеспечивающих способность субъекта к самостоятельному усвоению новых знаний и умений, к сознательному и активному присвоению нового социального опыта, к саморазвитию и самосовершенствованию» [2, с. 12]. Каждая группа универсальных учебных действий направлена на развитие определённых спо-собностей учащегося, например:

– личностные — смыслообразование на основе развития мотивации и це-леполагания учения; развитие Я-концепции и самооценки; развитие морального сознания и ориентировки учащегося в сфере нравственно-этических отношений;

– регулятивные — целеполагание и построение жизненных планов вовременной перспективе; планирование и организация деятельности; целеобразо-вание; самоконтроль и самооценивание; действие во внутреннем плане;

– познавательные исследовательские действия (поиск информации, ис-следование); сложные формы опосредствования познавательной деятельности; переработка и структурирование информации (работа с текстом, смысловое чте-ние); формирование элементов комбинаторного мышления как одного из компо-нентов гипотетико-дедуктивного интеллекта; работа с научными понятиями и освоение общего приёма доказательства как компонента воспитания логическо-го мышления;

– коммуникативные действия, направленные на осуществление межлич-ностного общения (ориентация в личностных особенностях партнёра, его пози-

93

94

ции в общении и взаимодействии, учёт разных мнений, овладение средствами решения коммуникативных задач, воздействие, аргументация и пр.); действия, направленные на кооперацию — совместную деятельность (организация и пла-нирование работы в группе, в том числе умение договариваться, находить об-щее решение, брать инициативу, разрешать конфликты); действия, обеспе-чивающие формирование личностной и познавательной рефлексии [3, с. 11–12].

Кроме перечисленных результатов обучения, ФГОС основного общего образования в программу развития универсальных учебных действий включает формирование компетенций обучающихся в области учебно-исследовательской и проектной деятельности.

В связи с этим перед учителями-предметниками встаёт необходимость научить обучающихся проводить проектно-исследовательскую работу. Данный вид деятельности позволяет формировать и развивать у учащихся одновремен-но разные универсальные учебные действия. А также метод проектов позволяет оценить уровень сформированности УУД.

На основании Примерной основной образовательной программы основ-ного общего образования [1] была создана таблица для оценки уровня сформи-рованности универсальных учебных действий у учащихся 5—6 классов посред-ством проектной деятельности. Оценивание проводится в процессе наблюдения за деятельностью ученика во время работы над проектом, по завершении этого наблюдения выставляется соответствующее количество баллов по каждому критерию в таблицу. Примеры критериев оценивания уровня сформированно-сти регулятивных и познавательных УУД представлены в таблице 1.

Таблица 1 Оценивание уровня сформированности УУД

Регулятивные универсальные учебные действия Умение самостоятельно определять цели обучения, ставить и формулировать новые задачи в учебе и познавательной деятельности, развивать мотивы и интересы своей познавательной деятельности Показатели УУД Шкала оценивания

Низкий уровень (0) Средний уровень (1)

Высокий уровень (2)

Определяет глав-ную проблему про-екта, исследования

Испытывает затрудне-ния при определении проблемы даже при ра-боте с учителем

Определяет пробле-му совместно с учи-телем

Самостоятельно определяет главную проблему

Выдвигает версии решения проблемы

Испытывает затрудне-ния даже с помощью учителя

Выдвигает версии решения проблемы под руководством учителя

Самостоятельно вы-двигает версии ре-шения проблемы

Предвосхищает ко-нечный результат

Испытывает затрудне-ния в предвосхищении конечного результата

Совместно с учите-лем предвосхищает конечный результат

Самостоятельно предвосхищает ко-нечный результат

94

95

Формулирует гипо-тезу

Не может сформулиро-вать гипотезу даже с помощью учителя

Совместно с учите-лем формулирует гипотезу

Самостоятельно формулирует гипо-тезу (возможна кор-ректировка)

Ставит цель дея-тельности на осно-ве определенной проблемы

Испытывает затрудне-ния при постановке це-ли своей деятельности

Под руководством учителя ставит цель своей деятельности

Самостоятельно ставит цель своей деятельности

Формулирует учебные задачи как шаги достижения цели

Совместно с учителем формулирует учебные задачи

Формулирует зада-чи, которые впо-следствии корректи-рует совместно с учителем

Самостоятельно формулирует учеб-ные задачи

Познавательные универсальные учебные действия Умение создавать, применять и преобразовывать знаки и символы, модели и схемы для ре-шения учебных и познавательных задач Переводит инфор-мацию из графиче-ского или символь-ного представления в текстовое пред-ставление, и наобо-рот

Испытывает затрудне-ния даже при работе с учителем

Под руководством учителя преобразует информацию

Самостоятельно преобразовывает информацию, но иногда нуждается в консультации учи-теля

Анализирует свой опыт разработки и реализации учебно-го проекта на осно-ве заданных крите-риев оценки

Проводит анализ не принимая во внимание критерии оценки и ана-лиз является завышен-ным

Основную часть анализа проводит на основе критериев оценки, но анализ является завышен-ным

Весь анализ постро-ен на основе крите-риев оценки и ана-лиз является каче-ственным или стро-гим

Разработанная таблица представляет собой средство оценивания уровня сформированности УУД учащихся через проектную деятельность. Данная раз-работка может быть использована и как средство наблюдения за динамикой из-менения уровней сформированности показателей УУД.

Разработка средств оценки сформированности универсальных учебных действий является практической необходимостью, так как с переходом основ-ной школы к ФГОС перед учителями встал вопрос не только о том, через какие формы и методы развивать УУД, но и как их оценивать. Представленная разра-ботка может служить началом к созданию учителями своих собственных средств оценки с учетом специфики определённого учебного предмета.

95

96

Литература 1. Примерная основная программа основного общего образования. Одобренарешением федерального учебно-методического объединения по общему обра-зованию протокол № 1/15 от 8 апреля 2015 г. 2. Сюсюкина И. Е. Формирование универсальных учебных действий младшихшкольников в оценочной деятельности: Автореф. дис. ... канд. пед. наук: 13.00.01. Магнитогорск, 2010. 3. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от дей-ствия к мысли. Система заданий: пособие для учителя / Под ред. А. Г. Асмоло-ва. М., 2010.

Разгуляева А. И., ПсковГУ, физико-математический факультет, магистрант 1 курс

(научный руководитель — доцент Мартынюк О. И.)

Кейс-метод как средство оценки сформированности УУД у учащихся 5–6 классов

Современное общество характеризуется все большим развитием науки и техники, созданием инновационных технологий, меняющих жизнь людей. Из-менения происходят, в том числе, и в образовании. На сегодняшний день прио-ритетной целью образования становится развитие умения учащихся мыслить самостоятельно, то есть ставить перед собой учебные цели, планировать пути их реализации, оценивать собственные результаты. Таким образом, школа должна способствовать формированию умения учиться у учащихся. Достиже-ние этого возможно благодаря формированию системы универсальных учебных действий (УУД). Одним из методов, позволяющих оценить сформированность УУД может быть кейс-метод. Кейс-метод (Case-study — метод конкретных си-туаций, метод ситуационного анализа) — это метод обучения, использующий реальные ситуации из разных сфер жизни человека.

Рассмотрим данную технологию на примере кейса «Площади и объемы». Данный кейс предназначен для 5 класса, носит ознакомительный харак-

тер, предполагает коллективную работу. Рассчитан на 1 урок. Уровни «понима-ние» и «применение».

Цели: познакомить учащихся с понятием площади (прямоугольника и квадрата)

и объема (прямоугольного параллелепипеда и куба), формулами; учиться решать задачи по данной теме. Поскольку в настоящее время классы укомплектованы по 25–30 человек,

предлагается разделить учащихся на 5 групп по 5–6 человек в каждой группе, причем постараться сформировать группы, равные по силам. После того, как

96

97

группы сформированы, учащимся предлагается ряд заданий. Задания представ-лены в таблице 1.

Таблица 1 Задания для групп

№ группы Задание 1 Изучить информацию по данной теме, предложенную в учебнике

(Н. Я. Виленкин и др.), выделить главное 2 Изучить информацию по данной теме, предложенную в учебнике

(Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин и др.), выделить главное 3 Изучить кластер по данной теме, сопоставить данные, чтобы полу-

чилась логическая схема материала 4 Изучить таблицу с информацией по данной теме, сопоставить дан-

ные, чтобы получилась логическая схема материала 5 Просмотреть видеоролик по данной теме, сопоставить данные,

чтобы получилась логическая схема

После того как теоретический материал изучен учащимся предлагается таблица, которую им необходимо заполнить вместе с учителем. Заполняя таб-лицу, ребята должны работать по следующим правилам:

– каждая группа называет только один факт по данной теме;– пока говорит один, остальные молчат и внимательно слушают;– высказываться предлагается по очереди, но необходимо следить, чтобы

факты были достоверны (правильно поняты из источника) и не повторялись. За нарушение правил команда пропускает свою очередь назвать факт по

данной теме. Когда учащиеся разобрали и усвоили теоретический материал вместе с

учителем, им предлагаются практические задания (см. таблица 2). Таблица 2

Практические задания для групп №

группы Вид объекта Форма

фигуры Площадь

основания Объем

1 Брусок прямоугольный параллелепипед

2 Классная комната

прямоугольный параллелепипед

3 3-d модель куб 4 3-d модель прямоугольный

параллелепипед 5 Брусок куб

Когда задание озвучено и ученики получили свои объекты для исследо-вания, таблицу для занесения результатов, они начинают работать. Им необхо-

97

98

димо определить форму, объем и площадь, предложенного объекта и заполнить второй столбец таблицы 3. Остальные графы, учащиеся не заполняют. Уча-щимся предлагается представить результаты своей деятельности. Обязательное условие — высказаться должен каждый член группы.

Таблица 3 Результаты работы групп

№ группы: Правильность выполнения измерений (оценивает

учитель) Форма фигуры Объем фигуры Площадь фигуры

Когда задание выполнено и результаты представлены учащимся предла-гается оценить сперва собственную деятельность (каждый оценивает только се-бя) и, потом, оценить работу остальных групп в целом. Результаты занести в таблицу 4.

Таблица 4 Оценка работы

№ группы: Правильность выполнения измерений

(оценивает учитель) Форма фигуры Объем фигуры Площадь фигуры Самооценка (себя я проявил на уроке) Очень хорошо Нормально Плохо Взаимооценка (группа №__ работала на уроке) Очень хорошо Нормально Плохо Взаимооценка (группа №__ работала на уроке) Очень хорошо Нормально Плохо Взаимооценка (группа №__ работала на уроке) Очень хорошо Нормально Плохо Взаимооценка (группа №__ работала на уроке) Очень хорошо Нормально Плохо

Применение такой технологии при обучении позволяет получить инфор-мацию о сформированности у учащихся всех видов УУД (их 4: коммуникатив-ные, регулятивные, познавательные, личностные).

Таким образом, повышение качества образования является одной из акту-альных проблем не только в России, но и для всего мирового сообщества. Ис-пользование инновационных технологий, переход на новые ФГОС и другие из-

98

99

менения используются с целью модернизации образования так, чтобы совре-менные школьники могли комфортно обучаться и получать знания в стреми-тельно развивающемся окружающем мире. Одним из методов, который, воз-можно, поможет в достижении этой цели может являться кейс-метод, и, в от-дельности, задания такого типа, как были рассмотрены выше.

Литература 1. Заманова Е. В. Образовательные результаты ФГОС. Способы их диагностикии технологии достижения. [Электронный ресурс] // URL: https://doc-viewer.yandex.ru/view/176260942

Фёдорова Е. В., ПсковГУ, физико-математический факультет, 4 курс

(научный руководитель — доцент Перькова Н. В.)

К вопросу о разработке элективного курса по теме «Решение задач с параметром»

Задачи с параметром относятся к задачам повышенного уровня сложно-сти, в связи с чем, принято считать, что они предназначены для «продвинутых» учеников. Решение уравнений и неравенств, содержащих параметр, является, пожалуй, одним из самых трудных разделов элементарной математики. Это связано с тем, что в школе стараются развить умения и навыки решения опре-деленного набора стандартных задач, связанных часто с техникой алгебраиче-ских преобразований.

Задачи с параметрами предполагают не только умение производить мате-матические выкладки, но и понимание цели выполняемых действий. Для успешного решения таких задач необходимо понимать, какие именно случаи надо рассматривать. Задачи с параметрами требуют гибкости мышления, логи-ки в рассуждениях, умения хорошо и полно анализировать ситуацию [1].

Опыт показывает, что учащиеся, владеющие методами решения задач с параметром, успешно справляются и с другими задачами. Именно поэтому за-дачи с параметром обладают диагностической и прогностической ценностью.

Ежегодно задачи с параметром встречаются в вариантах ОГЭ и ЕГЭ по математике. По данным ФИПИ за 2015 и 2016 год задание, содержащее пара-метр, выполнили полностью в среднем 0,5–1% выпускников. Результаты анке-тирования студентов II–III курса физико-математического факультета направ-ления Педагогическое образование (профиль — математика) показали: у 5 ре-спондентов из тринадцати в школе была рассмотрена тема «Задачи с парамет-ром», и только один респондент приступал к решению задачи с параметром на итоговой аттестации по математике.

99

100

Сравнительный анализ линии задач с параметром в школьном курсе ма-тематики и типов задач, предлагаемых в основном и едином государственном экзамене, показывает явное несоответствие программы требуемым результатам [2, с. 34]. Основы, которые учащиеся получают при изучении линии задач с па-раметрами, недостаточны для успешного выполнения заданий такого типа на экзаменах.

Выше сказанным обуславливается актуальность разработки элективного курса для старшеклассников «Решение задач с параметром».

Элективный курс состоит из двух модулей и позволяет в зависимости от класса легко его корректировать. Для учеников 7–9 классов предназначен пер-вый модуль, для учеников 10–11 классов — первый и второй модули. Курс рас-считан на 25 часов и включает в себя 10 тем и 2 обобщающих занятия в каждом модуле.

№ Тема Кол-во часов

Модуль I. Решение простейших уравнений и неравенств с параметром 1 Тема 1. Линейные и сводимые к линейным уравнения с парамет-

ром 2

2 Тема 2. Линейные и сводимые к линейным неравенства с пара-метром

2

3 Тема 3. Квадратные и сводимые к квадратным уравнения с пара-метром

2

4 Тема 4. Квадратные и сводимые к квадратным неравенства с па-раметром

2

5 Тема 5. Иррациональные уравнения и неравенства с параметром 2 6 Тема 6. Графический метод решения задач с параметром 2 7 Тема 7. Функциональный метод решения задач с параметром 2 8 Обобщение тем 1 Итого: 15 Модуль II. Решение трансцендентных уравнений и неравенств с параметром 9 Тема 1. Тригонометрические уравнения и неравенства с парамет-

ром 3

10 Тема 2. Показательные уравнения и неравенства с параметром 3 11 Тема 3. Логарифмические уравнения и неравенства с параметром 3 12 Обобщение тем 1 Итого: 10

Элективный курс был частично апробирован в 9 университетском пред-профильном классе МАОУ «Лицей экономики и основ предпринимательства № 10» г. Пскова. Анализ результатов входного контроля показал, что не все

100

101

учащиеся готовы к освоению тем курса без повторения базовой программы по математике, что является основанием для корректировки элективного курса.

Литература 1. Гурова А. А. Костюченко Р. Ю. Специальные методы решения задач с пара-метрами в подготовке школьников к итоговой аттестации по математике. [Электронный ресурс]: URL: http://cyberleninka.ru (дата обращения: 05.03.2017) 2. Мирошин В. В. Решение задач с параметрами. Теория и практика. М., 2009.

Фёдорова И. А., ПсковГУ, физико-математический факультет, магистрант 2 курс


Формирование и развитие воображения на уроках геометрии

Не секрет, что многие обучающиеся в школе не обладают достаточно раз-витым пространственным воображением. Проблема не новая, но актуальная. Если учитель не решает её ещё тогда, когда ведёт младшие и средние классы, то через несколько лет уроки стереометрии будут терять большую часть своей эффективности.

Как показали исследования Л. С. Выготского, В. В. Давыдова, Е. И. Игна-тьева, С. Л. Рубинштейна, Д. Б. Эльконина, В. А. Крутецкого и других, вообра-жение выступает не только предпосылкой эффективного усвоения детьми но-вых знаний, но и является условием творческого преобразования имеющихся у детей знаний, способствует саморазвитию личности. То есть, оно в значитель-ной степени определяет эффективность учебно-воспитательной деятельности в образовательных учреждениях.

Чем богаче впечатления детей, тем больше будет развиваться детское во-ображение. Воображение и фантазия — это важнейшие стороны жизни ребен-ка. Усвоить какую-либо программу без воображения достаточно сложно. Вме-сте с тем, именно эта способность ребёнка нуждается в особом внимании. Из-вестно, что воображение развивается особенно интенсивно в возрасте от 5 до 15 лет. Именно в этот период нужно специально развивать воображение, иначе в дальнейшем наступает быстрое снижение активности его развития.

Воображение — это создание образов таких предметов и явлений, кото-рые никогда не воспринимались человеком раньше. Но воображение, как гово-рят «из ничего творить не может». Оно всегда строится на преобразованном, переработанном материале прошлых восприятий. Каждый образ, созданный в воображении, является в какой-то степени и воспроизведением, и преобразова-нием действительности. Воспроизведение — основная характеристика памяти, преобразование — основная характеристика воображения. Если основная

101

102

функция памяти — сохранение опыта, то основная функция воображения — его преобразование [1].

Но следует понимать, что перед человеком в образах может предстать и то, чего он непосредственно не воспринимал, и то, чего вообще не было, и даже то, чего в такой именно конкретной форме в действительности и быть не мо-жет. По мнению Р. С. Немова, воображение — это особая форма человеческой психики, стоящая отдельно от остальных психических процессов и, вместе с тем, занимающая промежуточное положение между восприятием, мышлением и памятью.

Одной из основных задач школы является развитие пространственного воображения обучающихся. Если оно будет плохо развито, то полноценное изучение геометрического материала станет практически невозможным.

В средних и старших классах учителя сталкиваются с тем, что их ученики не умеют читать изображения пространственных фигур, плоский чертёж не воспринимается ими объёмно, ученики часто бывают не в состоянии опреде-лять соотношения между отдельными элементами изображения, мысленно из-менять их взаимное расположение, расчленять фигуру на части или склеивать её из имеющихся частей.

Не секрет, что переход от планиметрии к изучению стереометрии вызы-вает у обучающихся большие трудности, и связаны они с тем, что в этом курсе отсутствуют алгоритмы (практически каждая задача и каждая теорема решают-ся и доказываются как новые). Развитие пространственных представлений у учащихся в курсе стереометрии должно идти, прежде всего, за счет существен-ного пополнения запасов пространственных представлений, полученных школьниками в пропедевтическом курсе математики и в систематическом курсе планиметрии.

Задания, которые следует использовать для формирования у школьников пространственных представлений, должны быть двух типов:

а) задания на создание пространственных образов; б) задания на оперирование пространственными образами. Как нельзя лучше, воображение даёт непосредственное видение геомет-

рического факта и подсказывает логике его выражение и доказательство, а ло-гика, в свою очередь, придаёт точность воображению и направляет его к созда-нию картин, обнаруживающих нужные логике связи.

При подготовке и проведении уроков стереометрии делается упор на зна-ния, умения учащихся, полученных в курсе планиметрии. В этом учителю мо-гут помочь современные средства обучения — компьютер, мультимедиа проек-тор, интерактивная доска, а также учебно-методическая литература. Сейчас существует большое количество учебных комплексов. Например, программа «Poly», комплекс «Живая геометрия», ИИП «КМ — Школа», обучающая про-грамма «Стереометрия. Открытая математика» (Физикон), программа «Репети-тор по математике» и другие.

102

103

Все психические процессы, в том числе и пространственное воображение, совершенствуются в результате деятельности. Эта деятельность должна чем-то стимулироваться и направляться, то есть необходима система упражнений.

В качестве примеров таких упражнений нами подобрана следующая се-рия заданий, которые можно разделить на несколько блоков.

Первый блок заданий — устные задачи, в которых, на первый взгляд ни-чего не говорится о пространстве [2].

Разделите круглый сыр тремя разрезами на 8 частей. Можно ли расположить 6 одинаковых карандашей так, чтобы каждый ка-

сался пяти остальных? Из шести спичек сложите четыре правильных треугольника так, чтобы

стороной каждого была целая спичка. Расположите 5 одинаковых монет так, чтобы каждая из них касалась че-

тырех остальных. Второй блок заданий связан с невозможными фигурами (рис. 1).

Рис. 1

И третий блок заданий — задания, связанные с развёртками фигур (рис. 2).

Рис. 2

Стоит отметить, что подобные задания вызывают интерес у обучающих-ся, а это является залогом успешного усвоения материала.

Ещё одно средство, с помощью которого можно развивать воображение — это игра. Игры замечательны тем, что в них может участвовать, абсолютно любой ученик, и возможны различные варианты решения. Тем самым, даже

103

104

слабый обучающийся будет заинтересован в процессе познания через игру. «Геометрическая мозаика», «Танграм», «Составь картинку», «Волшебный круг», «Головоломка Пифагора», «Вьетнамская игра», «Пентамино» и др. — игры, которые способствуют развитию геометрического воображения. В их ос-нове одно правило: нужно из определённых по количеству и форме фигур со-ставить как можно больше различных изображений. Элементы данных игр можно с пользой применять на уроках геометрии в 7–8 классах.

В заключение следует подчеркнуть, что воображение является основной двигательной силой творческого развития человека и играет огромную роль во всей его жизни. Без творческого подхода тяжело решить какую-либо задачу, и поэтому творческие способности необходимо развивать у человека с раннего детства. Основная роль в плане осуществления развития творческих способно-стей ребенка принадлежит, в первую очередь, его родителям, которые не долж-ны упускать времени и заниматься с ребёнком постоянно.

Литература 1. Большая онлайн библиотека. [Электронный ресурс]: URL: (http:// www.e-reading.club/chapter.php/99761/27/Bogachkina_-_Psihologiya__konspekt_lekciii.html 2. Далингер В. А. Методика формирования пространственных представлений уучащихся при обучении геометрии. Омск, 1992. 3. Слепынина Н. С. Пространственное воображение учащихся на уроках гео-метрии. [Электронный ресурс]: URL: https://infourok.ru/prostranstvennoe-voobrazhenie-uchaschihsya-na-urokah-geometrii-1145663.html 4. Смирнова И. М. О преподавании стереометрии в гуманитарных классах //Математика в школе. 1994. № 1. С. 42–45. 5. Фридман Л. М. Наглядность и моделирование в обучения: кн. для учителя.М., 1984.

Алексеева Н. Ю., ПсковГУ, физико-математический факультет, 4 курс


Программа GeoGebra как средство развития функционально-графической грамотности учащихся 10-х классов

при изучении тригонометрических функций

Одной из важных тем в школьном курсе математики является тема «Функции и их графики». Математика занимает ведущее место в формирова-нии умений, необходимых для чтения и изображения графиков элементарных функций, что составляет основу функционально-графической грамотности.

104

105

Под функционально-графической грамотностью будем понимать наличие у школьников системы функционально-графических знаний и функционально-графических умений, необходимых для чтения и изображения графиков эле-ментарных функций.

В 10-х классах в курсе алгебры и начал математического анализа большое внимание уделяется тригонометрическим функциям. Тригонометрические функции являются периодическими, поэтому графики этих функций занимают значительное количество места как при построении на доске, так и при постро-ении в тетрадях учащихся. На доске, особенно во время урока, не всегда поуча-ется построить хорошие, яркие и четкие графики. В результате у учащихся мо-гут возникнуть проблемы с освоением темы, им будет сложно выполнять зада-ния, в которых необходимо применить знания и умения исследовать и читать графики тригонометрических функций. Помимо математики знания тригоно-метрических функций необходимы при изучении физики, поэтому важно чтобы учащиеся хорошо освоили этот материал.

Для построения ярких и наглядных графиков создано множество различ-ных программ и онлайн-сервисов, которые учитель может использовать на уро-ке, например, УМК «Живая математика», программы GraphDrawer, GeoGebra.

GeoGebra — это свободно распространяемая образовательная математи-ческая программа, соединяющая в себе геометрию, алгебру и математические исчисления. Существуют офлайн и онлайн-версия программы (http://www. geogebra.org/). В данной программе можно строить чертежи, используя точки, векторы, отрезки, линии и конусные сечения, а также графики функций, кото-рые возможно впоследствии изменять, работая только с помощью мыши. С другой стороны, возможен также прямой ввод условными символами. Важной характеристикой GeoGebra является возможность построения «динамического графика», график можно перемещать в зависимости от промежутков нахожде-ния каждого из коэффициентов.

В связи с вышесказанным является актуальным проведение исследования, посвящённого использованию программы GeoGebra в процессе обучения мате-матике.

Целью исследования является выявление эффективности использования программы GeoGebra как средства развития функционально-графической гра-мотности учащихся при изучении функций и их графиков на примере тригоно-метрических функций и их графиков в курсе алгебры и начал математического анализа в 10-х классах.

Главной задачей исследования являлась разработка наглядно-графических иллюстраций и банка заданий по теме «Тригонометрические функции» с использованием программы GeoGebra для учащихся 10-х классов.

Рассмотрим пример из банка заданий, разработанных в программе Geo-Gebra, которые учитель может предложить учащимся по теме «Тригонометри-ческие функции».

105

106

Пример. Постройте график функции 24

cos

xy , путем преобразо-

вания графика функции xy cos . Сначала учащиеся самостоятельно строят в тетрадях график функ-

ции xy cos , а учитель осуществляет построение графика в программе (рис. 1).

Рис. 1

Затем учитель вместе с учащимися определяют сколько перемещений необходимо сделать для получения искомого графика. После этого определяют, какие именно перемещения нужно выполнить. Первым шагом учитель вместе с учащимися осуществляют перемещение графика функции вдоль оси Ох, в от-рицательном направлении (рис. 2).

Рис. 2

После этого, учитель с помощью кнопки «Флажок» может скрыть исход-ный график. Далее осуществляется перенос графика вдоль оси Оу в отрица-тельном направлении. После перемещения учитель, с помощью кнопки «Фла-

106

107

жок» может скрыть промежуточный график, чтобы учащимся было более по-нятно, как выглядит искомый график (рис. 3).

Рис. 3

Наглядно-графические иллюстрации и банк заданий были частично апроби-рованы в МАОУ «Гуманитарный лицей № 15» в 10 «Б» классе при изучении темы «Тригонометрические функции и их графики», с использованием программы Ge-oGebra как средства развития функционально-графической грамотности.

В апробации приняли участие 18 учащихся. Для учащихся это было пер-вое знакомство с программой GeoGebra. Учащимся особенно было интересно увидеть, как выглядят графики тригонометрических функций при разном мас-штабе окна программы. Также учащиеся заметили, что график, построенный в программе, значительно понятнее и нагляднее, чем график, построенный на доске при помощи мела. У учащихся появился большой интерес и желание са-мостоятельно поработать в данной программе.

Использование таких графиков на уроке значительно облегчает работу учителя. Главное достоинство использования программы на уроке — это эко-номия времени, которое учитель потратил бы на построение графика на доске с помощью мела. Поэтому у учителя появляется больше возможностей контро-лировать деятельность учащихся на уроке и поддерживать их интерес. Однако разработка одного такого урока занимает значительное количество времени и сил учителя. Начинающим работать в этой программе, а также молодым учите-лям, которые только начинают свою деятельность в школе, не всегда удается с первого раза продумать и создать такую наглядно-графическую иллюстрацию, использование которой действительно будет эффективно на уроке, которая бу-дет последовательно отображать этапы изучения функции и построения её гра-фика, а также этапы выполнения задания. Поэтому важно разработать такой банк наглядно-графических иллюстраций и заданий, использование которых позволят повысить эффективность уроков.

107

108

Бабичев А. А., ПсковГУ, физико-математический факультет, магистрант 1 курс


Рефлексивная деятельность студента при формировании электронного портфолио обучающегося

Современная система образования отводит особое внимание личностному росту обучающихся. Поэтому существует необходимость в создании условий, направленных на развитие личности, её дальнейшее самоопределение и саморе-ализацию. Одним из действенных механизмов, способным обеспечить лич-ностный рост в процессе учебной деятельности, является рефлексия.

«Словарь практического психолога» Головина С. Ю. трактует рефлексию следующим образом: «рефлексия — процесс самопознания субъектом внутрен-них психических актов и состояний. Предполагает особое направление внима-ния на деятельность собственной души, а также достаточную зрелость субъек-та. У детей её почти нет, и у взрослого она не разовьется, если он не проявит склонности к размышлению над самим собой и не направит специального вни-мания на свои внутренние процессы» [1, с. 215]. В концепции развивающего обучения рефлексия рассматривается как существенный показатель высокого умственного развития [2]. Основываясь на таких трактовках понятия, делается вывод о том, что рефлексия является важным фактором для формирования вы-сокоразвитой личности. Это означает, что для системы образования появляется необходимость в методах и средствах, предоставляющих возможность влиять на рефлексию обучающихся. Это необходимо для повышения качества образо-вания, роль которого заключается не только в интеллектуальном развитии обу-чающегося, но также и в личностном.

Исследование направлено на изучение возможности влиять на рефлек-сивную деятельности студентов в процессе формирования электронного порт-фолио обучающегося. Важно выяснить, осуществляют ли студенты рефлексию в процессе формирования е-портфолио, а также предложить способы активиза-ции рефлексивной деятельности студентов.

В качестве инструмента было выбрано портфолио по ряду причин. Во-первых, согласно ФГОС ВО электронная информационно-образовательная среда организации должна обеспечивать формирование электронного портфолио обу-чающегося, которое используется для отражения результатов деятельности сту-дента. Вторая причина заключается в широком потенциале портфолио как среды для развития рефлексивной деятельности. В зарубежной традиции портфолио определяется как коллекция работ и результатов обучаемого, которая демон-стрирует его усилия, прогресс и достижения в различных областях [6, c. 347].

Существует несколько подходов к структурированию студенческого портфолио. Для примера приведём структуру портфолио обучающегося Псков-ского государственного университета [7, с. 4]: 1) общие сведения; 2) учебная

108

109

деятельность; 3) научно-исследовательская деятельность; 4) культурно-творческая деятельность; 5) общественная деятельность; 6) спортивная дея-тельность; 7) профессиональная деятельность.

Анализ литературы показывает, что одна из основных функций портфо-лио — накопительная, но также немаловажна другая функция, заключающаяся в анализе собственных достижений [3, 4]. В идеале, при составлении портфо-лио, обучающиеся должны проводить глубокий самоанализ своей прошлой дея-тельности (ретроспективы), нынешней и своих будущих возможностей. Также рефлексия позволяет подготовить их к будущей профессиональной деятельно-сти путём профессиональной самоорганизации и саморазвития. Студенческое портфолио может быть тесно связано с компетенциями, одной из функций та-кого портфолио является демонстрирование их сформированности, для чего также необходима рефлексия, позволяющая студенту выявить свои сильные и слабые стороны и объективно оценить свой уровень владения компетенциями, подкрепив это тем или иным документом.

Становлению рефлексивной деятельности способствуют как внешние, так и внутренние факторы. К первым относятся всевозможные технологии, цели, методики учебной и педагогической деятельности, в то время как ко вторым — внутренним, относится личностные потребности обучающегося, такие как: по-требность быть конкурентоспособным, интерес к профессии, поиск личных смыслов [5]. На эти факторы сложно воздействовать. Например, можно допол-нить структуру портфолио таким образом, чтобы она позволяла воздействовать на рефлексивную деятельность обучающегося. Одним из возможных вариантов решения этой проблемы является добавление в портфолио рефлексивных стра-ничек. Содержание этих страничек может включать в себя не только рефлек-сию в чистом виде, но и элементы самооценки, ввиду того, что самооценка яв-ляется важной составляющей современной системы образования, как общего, так и высшего. Рефлексия является лишь инструментом для формирования са-мооценки, ведь без неё это невозможно. Следует обратить внимание на то, что какую бы структуру не содержали рефлексивные странички, обязательным условием является наличие подробной инструкции для работы с ней, по той причине, что студенты могут быть попросту не знакомы с тем, как правильно заниматься рефлексией, поэтому необходимо подробно объяснить им, как это делать. Из этого следует, что методики должны подбираться таким образом, чтобы обучающиеся могли максимально быстро и эффективно включиться в процесс деятельности, не тратя своё время на изучение способов рефлексии са-мостоятельно. Электронное портфолио, в данном случае выбрано не случайно, по причине того, что именно современные технологии дают широкий спектр возможностей по постоянному отслеживанию портфолио обучающегося и мно-гообразие методов его представления ввиду существования большого количе-ства электронных «оболочек», посредством которых происходит формирование портфолио обучающегося. Это многообразие средств позволяет активизировать творческую активность студента, что позитивным образом сказывается на фор-

109

110

мировании рефлексии, ввиду того, что творчество имеет широкое поле для ана-лиза деятельности.

Идея рефлексивного портфолио не нова и уже существуют наработки в данной сфере. Многие из них делают ставку на психологическую составляю-щую и используют для активизации рефлексии студентов различные «точеч-ные» методики, как, например, техника «Обратная сторона медали», целью ко-торой является выявление отрицательных черт характера и их осмысление. По-мимо этого, в рефлексивных портфолио большую часть внимания уделяется именно работам, где задействованы либо творческие навыки обучающихся, ли-бо их психологическая сфера, будь то эссе, сочинения, поделки или результаты каких-либо психологических тестов. В нашей же работе мы не планируем за-ниматься созданием именно рефлексивного портфолио, а попытаемся лишь включить элементы рефлексии в структуру портфолио. Предположительно, финальный результат должен включать в себя элементы различных видов портфолио, начиная от портфолио-папки достижений и заканчивая элементами проблемно-исследовательского портфолио.

Предполагается, что при грамотной организации процесса создания портфолио, снабженного элементами нашей разработки, и его постоянного от-слеживания нам удастся диагностировать уровень рефлексивной деятельности обучающихся и, возможно, повлиять на него.

Литература 1. Головин С. Ю. Словарь практического психолога. М., 1998.2. Кузьменко Г. А. Развитие интеллектуальных способностей подростков вусловиях спортивной деятельности: теоретико-методологические и организа-ционные предпосылки. М., 2013. 3. Девисилов В. А. Портфолио и метод проектов как педагогическая технологиямотивации и личностно ориентированного обучения в высшей школе // Высшее образование сегодня. 2009. № 2. С. 29–33. 4. Загвоздкин В. К. Роль портфолио в учебном процессе. Некоторые психолого-педагогические аспекты // Психологическая наука и образование. 2004. № 4. С. 9. 5. Кошевая Н. С. Саморефлексия как механизм самопроектирования професси-ональных компетенций бакалавров экономического направления в системе ма-тематической подготовки // Личность, семья и общество: вопросы педагогики и психологии: сб. ст. по матер. LII междунар. науч.-практ. конф. № 5 (51). Ново-сибирск, 2015. 6. Митина Н. А., Нуржанова Т. Т. Современные педагогические технологии вобразовательном процессе высшей школы // Молодой ученый. 2013. № 1. С. 345–349. 7. Положение об электронном портфолио обучающегося ФГБОУ ВО «Псков-ский государственный университет». [Электронный ресурс]: URL: http://www.pskgu.ru/page/ 5b25a0f8-b75c-4b9b-89b9-e2267365dfa4 (дата обраще-ния: 29.03.2017).

110

111

Васильева Д. А., ПсковГУ, физико-математический факультет, магистрант 1 курс


Компетентностно-ориентированные задания по аналитической геометрии на тему «Прямая на плоскости»

В начале XXI века в связи с дискуссиями о проблемах и путях модерни-зации российского образования понятие «компетентностный подход» получило широкое распространение. После принятия Федеральных государственных стандартов высшего профессионального образования компетентностный под-ход активно внедряется в систему учебного процесса. В связи с этим, перед преподавателями встала сложная проблема — как формировать компетенции и оценивать уровень их сформированности.

Данная работа посвящена созданию компетентностно-ориентированных заданий по теме «Прямая на плоскости». Под компетентностно-ориентирован-ными заданиями будем понимать задания, целью которых является использова-ние знаний в нестандартных (предметных, межпредметных или практических) ситуациях.

Проанализировав задания, которые предлагались в международной про-грамме PISA, направленные на оценку и изучение уровня приобретаемых зна-ний и навыков 15-летних школьников, авторские тесты Рыжика В. И. [2], а так же исследования Медведевой И. Н и Быстровой И. Н. [3], мы выделили четыре типа компетентностно-ориентированных заданий:

– задания с противоречивыми данными;– задания, в которых недостаточно данных для решения;– задания с лишними данными;– многовариантные задания (задания, имеющие несколько вариантов ре-

шения); Исследование Быстровой И. Н. показало, что студенты выполняют ком-

петентностно-ориентированные задания значительно хуже, чем традиционные. Потому что в образовательном процессе компетентностно-ориентированным заданиям уделяется мало времени. При выполнении таких заданий важно не только знать теоретический материал, но так же анализировать и верно интер-претировать условие.

Рассмотрим методику составления компетентностно-ориентированных заданий для каждого типа. Для этого воспользуемся традиционным заданием и преобразуем его в компетентностно-ориентированное.

Задания с противоречивыми данными Традиционное задание: найдите угловой коэффициент прямой

.

111

112

Решение: уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид .

Для преобразования традиционного задания в компетентностно-ориентированное мы добавим противоречивые данные. В традиционном зада-нии речь идет только об угловом коэффициенте, где . Поэтому мы до-бавим угол между прямой и осью , тангенс которого не равен угловому ко-эффициенту.

Компетентностно-ориентированное задание: найдите угловой коэффици-ент прямой , образующей с осью угол .

Задания, в которых недостаточно данных для решения Традиционное задание: найдите расстояние от точки до прямой

, заданной уравнением . Решение: если заданы координаты точки , не лежащей на пря-

мой , и общее уравнение прямой , то расстояние от точки до прямой можно найти по формуле:

Компетентностно-ориентированное задание: найдите коэффициенты , прямой , если расстояние от точки до этой прямой равно 10.

Задания с лишними данными Традиционное задание: найдите каноническое уравнение прямой, прохо-

дящей через точку A(2;1) и имеющей направляющий вектор Решение: каноническое уравнение прямой находится по формуле

, где числа и — координаты направляющего вектора

прямой, а точка имеет координаты . Подставляя данные, получим:

. Для того чтобы преобразовать традиционное задание в компетентностно-

ориентированное, мы добавим лишнюю информацию. Это может быть: коор-динаты точки, уравнение прямой, координаты направляющего вектора, коорди-наты вектора нормали, угол между прямой и плоскостью и прочее. В данной задаче — это координаты точки пересечения медиан треугольника.

Компетентностно-ориентированное задание: дан треугольник с вер-шинами и . Найдите каноническое уравнение AB, если медианы треугольника пересекаются в точке .

112

113

Многовариантные задания (задания, имеющие несколько вариантов решения)

Традиционное задание: найдите общее уравнение прямой , проходящей через точку параллельно прямой .

Решение: для того, чтобы прямые были параллельны, необходимо выпол-нение двух условий: коэффициенты прямых должны быть пропорциональны и угловые коэффициенты равны. Поэтому и

.

Уравнение прямой имеет вид: . Для того чтобы найти , необходимо подставить координаты точки в уравнение прямой . От-сюда и уравнение прямой : .

Для преобразования традиционного задания в компетентностно-ориентированное мы уберем из условия координаты точки . Следовательно, прямых, параллельных прямой , бесконечное множество, так как коэффици-ент — любой.

Компетентностно-ориентированное задание: найдите общее уравнение прямой , параллельной прямой .

Литература 1. Медведева И. Н. Тестовый контроль знаний по геометрии. Псков, 2003.2. Рыжик В. И. Новые тесты по стереометрии // Математика в школе. 2007.№ 6. 3. Медведева И. Н., Быстрова И. Н. Компетентностно-ориентированные заданияпо геометрии // Вестник Псковского государственного педагогического универ-ситета: Серия «Естественные и физико-математические науки». 2009. Вып. 8. С. 53–58.

Ляхова М. Р., МБОУ «ЦО «Псковский педагогический комплекс», 10 класс


Семантический анализ текста отрывков из произведения Л. Н. Толстого «Война и мир»

Лев Николаевич Толстой — один из величайших писателей русской куль-туры — выпустил в 1869 из-под своего пера четырех томное произведение Война и мир. На сотнях страницах были описаны различные ситуации: от весе-лья в доме Ростовых и траура семьи Безуховых до эпических сражений и целых

113

114

войн. Все это разбавлено личными идеями и размышлениями самого автора, в которых он объясняет свою позицию и отношение к около политической теме.

Были взяты на семантический анализ несколько частей из эпилога произ-ведения, а также описание батареи Тушина из двадцатой части первого тома. В своем исследовании я хочу провести анализ и выявить, где чаще встречаются слова на разную тематику: в описании мира, войны или же личных размышле-ниях Льва Николаевича Толстого.

Семантика — раздел лингвистики, изучающий смысловое значение еди-ниц языка. В качестве инструмента изучения применяют семантический анализ. Семантика делится на два вида: лингвистика и программирование. Существует также отдельная самостоятельная дисциплина — общая семантика, рассматри-вающая общую теорию оценки фактов, отношений, ощущений с точки зрения того, как в действительности происходят оценочные реакции у человека. Се-мантика в программировании — дисциплина, изучающая формализации значе-ний конструкций языков программирования посредством построения их фор-мальных математических моделей.

Литература 1. Толстой Л. Н. Война и мир. Т. 1–2. СПб., 2015.2. Семантика (программирование). [Электронный ресурс]: URL: https:// ru.wikipe-dia.org/wiki/Семантика_(программирование) (дата обращения: 24.03.2017).

Макарова Н. А., ПсковГУ, физико-математический факультет, 3 курс


Формирование навыков устных вычислений у учащихся 5–6 классов

Формирование вычислительных навыков всегда было одним из важных требований к знаниям и сейчас оно не утратило своей значимости. В 5–6 клас-сах учащиеся овладевают навыками вычисления с натуральными и целыми числами, обыкновенными и десятичными дробями. При этом алгоритмы вы-числений с двух-трехзначными числами должны быть отработаны учащимися до автоматизма; учащиеся должны свободно производить в уме арифметиче-ские действия в пределах сложности примеров на умножение двузначного чис-ла на однозначное, на сложение двух дробей в простейших случаях. Все вычис-ления должны производиться достаточно бегло; их включение в выполнение более сложных вычислений (например, привидение к наименьшему общему знаменателю, вычисление значений числовых выражений и т. п.) не должно за-труднять учащихся.

114

115

Цели формирования вычислительных умений в современной школе — это не только требуемый ФГОС уровень владения учащимися вычислительны-ми умениями. Это также личностные и метапредметные результаты.

Личностные результаты: понимание мира и себя в мире, уважение иного мнения, владение зачатками алгоритмического мышления и алгоритмической культуры и др.

Метапредметные результаты: умения ставить учебные и познавательные цели своей учебной деятельности, выбирать и конструировать учебные дей-ствия, направленные на достижение учебных целей, устанавливать закономер-ности, исследуя числовые выражения, таблиц сложения/вычитания это не начальная школа? и умножения/деления, умения ставить вопросы, умения со-трудничать с участниками учебного процесса для овладения вычислительными умениями и др.

Вычислительные умения без систематического обращения к ним ослабе-вают. А поэтому, чтобы время и усилия учителя и учащихся не были затрачены впустую, чтобы вычислительные умения не становились препятствием к фор-мированию знаний и умений, задаваемых программой изучаемого предмета, нужно в системе математической подготовки учащихся предусмотреть меры для поддержания уровня вычислительных умений учащихся, а при необходи-мости и его восстановления.

Выбор методики совершенствования вычислительной подготовки уча-щихся зависит от того, каков исходный уровень их вычислительных умений. Вычислительная подготовка учащихся обычно характеризуется умениями про-изводить вычисления с числами, организовать процесс вычисления с использо-ванием при необходимости удобных вычислительных средств, выполнить про-верку вычисления, оценить точность приближенного результата. Для оценки уровня наличия у учащихся того или иного умения требуется провести опреде-ленную работу, направленную на его установление.

Устные упражнения имеют большое значение в формировании созна-тельного усвоения законов и свойств арифметических действий. На простых, но разнообразных примерах можно отработать умение в использовании свойств и законов арифметических действий. Выполняя упражнения, учащие-ся убеждаются в том, что иногда бывает достаточно только изменить порядок действий, проделать несколько простейших преобразований и вычисления значительно упростятся.

В письменных вычисления с десятичными дробями важно обращать внима-ние учащихся на то, как записаны десятичные дроби. Нужно следить за тем, что-бы при записи чисел под диктовку цифры размещались в соответствующих разря-дах; чтобы при сложении и вычитании десятичных дробей «столбиком» запятая стояла под запятой и каждый разряд — под соответствующим разрядом.

Для выполнения арифметических действий с десятичными дробями полезно чтобы учащиеся приобрели навык мысленного приписывания (или отбрасывания)

115

116

нулей у десятичной дроби. Обладая таким навыком, учащиеся легко справятся с выравниванием числа знаков после запятой при сложении и вычитании.

Для эффективного использования устных упражнений, нужно правильно определить их место в системе формирования понятий и навыков.

С целью изучения интереса учащихся к вычислительным приемам мною был проведен письменный опрос, который включал следующие вопросы:

Любишь ли ты выполнять вычисления? С удовольствием ли ты находишь значения выражений? Какие ошибки чаще всего допускаешь в вычислениях? Можешь ли самостоятельно найти и исправить ошибки, допущенные в

вычислениях? 5. Нравится ли тебе самостоятельно открывать новые способы вычислений?6. Всегда ли делаешь проверку выполняемых вычислений? Экспериментальные данные, позволили получить следующие результа-

ты: 73 % детей предпочитают находить значения выражений, и делают это с удовольствием, причем 8,6 % из них на сложение и вычитание. Самостоятельно обнаружить и исправить ошибки способны 51 % учащихся. Есть основания по-лагать, что дети не стремятся к выполнению действия контроля по результату.

Анализ программы по математике в 5–6 классах показал, что важнейши-ми вычислительными умениями и навыками являются:

– умение выполнять все арифметические действия с натуральными чис-лами;

– выполнять основные действия с десятичными дробями;– применять законы сложения и умножения к упрощению выражений;– использовать признаки делимости на 10, 2, 5, 3 и 9;– округлять числа до любого разряда;– выполнять основные действия с обыкновенными дробями и смешанны-

ми числами. Большое количество учащихся не владеют данными вычислительными

навыками, допускают различные ошибки в вычислениях. Среди причин невы-сокой вычислительной культуры учащихся можно назвать:

– низкий уровень мыслительной деятельности;– отсутствие надлежащего контроля за детьми при подготовке домашних

заданий со стороны родителей; – неразвитое внимание и память учащихся;– недостаточная подготовка учащихся по математике за курс начальной

школы; – отсутствие системы в работе над вычислительными навыками и в кон-

троле за овладением данными навыками в период обучения. Для решения данных проблем можно использовать следующие приемы,

направленные на преодоление причин возникновения ошибок: 1) игры, игровые моменты и занимательные;2) тесты «Проверь себя сам»;

116

117

3) математические диктанты; 5) творческие задания и конкурсы; 6) различные приемы устных вычислений. Формирование устных вычислительных навыков у учащихся в процессе

изучения ими математики — это длительный процесс, и является одной из ак-туальных задач, стоящих перед преподавателем математики в современной школе.

Основным средством формирования устных вычислительных навыков учащихся являются устные упражнения. Устные упражнения важны тем, что они активизируют мыслительную деятельность учащихся; и при их выполне-нии у детей развивается память, речь, внимание, способность воспринимать сказанное на слух, быстрота реакции.


1. Данилов И. К. Об игровых моментах на уроках математики // Математика в школе. 2005. № 1. 2. Демченкова Н., Моисеева Е. Формирование познавательного интереса у уча-щихся // Математика. 2004. № 19. 3. Минаева С. Формирование вычислительных умении в основной школе // Ма-тематика в школе. 2006. № 2 4. Ситников Т. В. Приемы активизации учащихся в 5–6 классах // Математика в школе. 2003. № 2. 5. Федотова Л. Повышение вычислительной культуры учащихся // Математика в школе. 2004. № 43 6. Щукина Г. И. Активизация познавательной деятельности учащихся в учеб-ном процессе: Учебное пособие для студентов педагогических институтов. М., 1980.

Миронов А. А., ПсковГУ, физико-математический факультет, аспирант 1 курс


Использование информационных компетенций на уроке математики.

Интеграция как средство реализации ФГОС Новые стандарты российского образования, в первую очередь, ставят пе-

ред школой задачу сформировать человека, способного совершенствовать себя, творчески мыслить, находить нестандартные решения реальных проблем, вла-деть современными информационно-коммуникационными технологиями. В связи с этим возникает необходимость поиска новых эффективных технологий

117

118

и методов обучения, применение которых внесет позитивные изменения как в характер учебного процесса, так и в способы деятельности учащихся. Одним из возможных путей решения данной проблемы может стать интеграция ряда учебных предметов с внедрением и рациональным использованием информа-ционно-коммуникационных технологий. Применение данного подхода позво-лит, в частности, разнообразить учебный процесс, сделав его более увлекатель-ным, в то же время — откроет новые пути для творчества учащихся, создаст внутреннюю мотивацию учебно-познавательной деятельности, потребность углублять, систематизировать полученные знания и применять их в решении разнообразных сложных, нестандартных задач.

В теории и методике обучения математике и информатике проведены ис-следования, посвященные вопросам интеграции этих учебных предметов.

Так, определены методологические основы интеграции в педагогике, сущность процесса интеграции, возможность интеграции на разных основаниях и т. п. (Берулава М. Н., Безрукова В. С., Краевский В. В., Леднев В. С., Петров-ский И. Г., Подходова Н. С., Солдаева М. В., Талызина Н. Ф. и др.). Но при этом далеко не в полной мере исследованы педагогические условия, методика и технологии применения информационных компетенций при обучении матема-тике, интеграции предметных областей на уровне понятийных аппаратов, общ-ности средств, прикладного и инструментального ПО, методов обучения и ин-струментов деятельности.

Таким образом, поиск педагогических условий и рациональных путей межпредметной интеграции для повышения уровня математической культуры старшеклассников представляет собой актуальную проблему исследования в области теории и методики обучения старшеклассников основам естественных и точных наук.

На основе анализа научных работ, посвященных межпредметной инте-грации, нами уточнен смысл понятия «интеграция» в соответствии с целью вы-полняемого нами исследования. Под интеграцией предметных областей «Ма-тематика» и «Информатика» будем понимать объединение в единое целое: со-держательных линий, общих для информатики и математики; общих понятий-ных аппаратов; общих организационных форм, методов обучения и инструмен-тов деятельности; общих методологических подходов к профессиональной дея-тельности учителя информатики и математики; общность средств прикладного и инструментального программного обеспечения, используемого как объект изучения и средство обучения, соответственно в информатике и математике. При этом мы осознаем, что термин «интеграция» может иметь и другие смыс-лы, что отражается на особенностях методики обучения математике и инфор-матике на межпредметной основе. В частности, Н. С. Подходова, М. В. Солдае-ва и др. указывают на отсутствие у старшеклассников целостной системы зна-ний в связи с их разобщенностью, неумением увидеть связи между различными смыслами изучаемых понятий. Нередко представить целостный объект изуче-ния старшеклассникам мешает низкий уровень геометрической культуры, недо-

118

119

статочно развитые пространственные представления. Это, в свою очередь, «яв-ляется основной причиной неспособности учащихся к практическому примене-нию математических знаний в окружающем мире, как при изучении математи-ки, так и при изучении других предметов» [1, с. 3]. Целостность математиче-ского объекта, пространственного образа может быть заданной изначально, но может быть и результатом специально организованной совместной деятельно-сти учителя и учащихся на межпредметной основе.

Актуальность темы исследования определяется необходимостью разра-ботки теоретических оснований и методических подходов для развития мате-матической культуры старшеклассников на основе интеграции математики и информатики. Эта разработка может проходить в контексте понятий дискрет-ной математики, математической логики, теории алгоритмов, информационно-го и математического моделирования, в условиях интеграции предметных об-ластей «Математика», «Информатика», который рассматривает Мирзоев М. С. в своем исследовании, посвященном вопросам формирования математической культуры учителя информатики [2].

Объектом исследования является процесс обучения старшеклассников математике.

Предмет исследования: методика интеграции предметов «Математика» и «Информатика» для повышения уровня математической культуры школьников.

Исходя из проблемы, объекта и предмета исследования сформулируем задачи исследования:

Анализ научной литературы, посвященной проблеме интеграции учебных дисциплин «Математика» и «Информатика» для развития математической культуры ученика старшей школы.

Поиск педагогических условий и дидактических требований, выполнение которых обеспечит оптимальные возможности интеграции математики и ин-форматики с целью повышения уровня математической культуры старшекласс-ников.

Разработка методики обучения математике и информатике, на принципах их интеграции в соответствии с целью исследования.

Проведение опытно-экспериментальной работы, анализ её результатов, предложение методических рекомендаций для учителей по использованию раз-работанной методики.

Такие процессы, как информатизация общества и интеграция наук, дик-туют необходимость развития межпредметных связей и использования ИКТ в обучении школьников. Интегрированные уроки математики и информатики мо-гут стать качественно новой формой обучения, которая будет направлена на формирование внутрипредметных знаний, умений и навыков, целостной карти-ны мира, развитие математической культуры личности. Новые методы и формы обучения, которые обеспечит интеграция математики и информатики, позволят ученикам наиболее целостно подойти к решению прикладных задач, от поста-новки проблемы исследования до получения и анализа результатов, например,

119

120

компьютерного эксперимента. При разработке методики мы будем учитывать такие необходимые условия реализации интеграции математики и информати-ки, как наличие соответствующего аппаратного и программного обеспечения, единое планирование учителей информатики и математики, наличие необходи-мого уровня квалификации учителей математики и информатики, предусматри-вающего требуемую систему знаний, умений и навыков творческой исследова-тельской работы.

Интегрированный курс математики и информатики, особенно — в стар-ших классах, способствует формированию целостного научного мировоззрения школьников, развитию у учащихся как высокого уровня математической куль-туры, так и современной информационной культуры, углублению знаний по обоим этим учебным предметам [3].

Помимо анализа концептуальных идей, необходимо изучать практику ра-боты учителей в этом направлении, обобщать их передовой опыт по реализации интегрированных курсов. Помимо отечественных, важно ознакомление с ре-зультатами исследований зарубежных ученых, с положительными практиче-скими результатами учителей из других стран по осуществлению интеграции математики и информатики, более глубоко изучить возможности, существую-щего программного обеспечения для обучения студентов и старшеклассников математике, уже существующие рекомендации по использованию средств ИКТ на уроках математики. «Информатика» возникла, в значительной степени, на основе математики, и, вместе с тем, сегодня многие школьники ошибочно, но с большой уверенностью в своей правоте, утверждают: «Между информатикой и математикой нет ничего общего!» Это говорит об отсутствии метапредметных результатов их обучения. Таким образом, ФГОС ООО нового поколения декла-рируются, как введенные в практику работы школы, но в действительности ма-ло реализуются. Решение задач исследования, о котором шла речь выше, может способствовать созданию благоприятных условий достижения старшеклассни-ками метапредметных и личностных результатов обучения математике на осно-ве использования ими информационных компетенций.


1. Солдаева М. В. Обучение теоретической составляющей курса алгебры и начал анализа на основе целостного подхода. РГПУ А. И. Герцена. СПб., 2014. 2. Мирзоев М. С. Теоретико-методические основания формирования математи-ческой культуры учителя информатики. Институт информатизации образова-ния РАО. М., 2015. 3. Павлов А. Н. Интегрированный курс математики и информатики в старших профильных классах. Московский педагогический институт. М., 2002.

120

121

Платонова О. С., ПсковГУ, физико-математический факультет, 3 курс


Лабораторные работы по математике и их роль в обучении школьников

Современные методы обучения в разработках уроков, с применением но-

вых технологий, всегда будет актуальной проблемой в обучении школьников. Когда учащиеся школы слышат о лабораторных работах, у них сразу воз-

никают ассоциации с тем, что это работа по физике или химии. Но лаборатор-ные работы можно эффективно использовать на уроках математики.

Лабораторные работы нацелены на приобретение учащимися новых зна-ний в тесной связи с реальной жизненной практикой. При таком способе изуче-ния учащиеся включены в активный познавательный процесс, когда они сами посредством своих проб и ошибок идут к правильному выполнению поставлен-ных задач. Это может заинтересовать и поддерживать желание учиться, что очень важно в обучении школьников.

Лабораторная работа — это такой метод обучения, при котором учащиеся под руководством учителя и по заранее намеченному плану проделывают опы-ты или выполняют определённые практические задания и в процессе их вос-принимают и осмысливают новый учебный материал, закрепляют полученные ранее знания [1].

Проведение лабораторных работ включает в себя следующие методиче-ские приёмы:

1) постановку темы занятий и определение задач лабораторной работы; 2) определение порядка лабораторной работы или отдельных ее этапов; 3) непосредственное выполнение лабораторной работы учащимися и кон-

троль учителя за ходом занятий и соблюдением техники безопасности; 4) подведение итогов лабораторной работы и формулирование основных

выводов [2]. Выделяют следующие виды лабораторных работ: Лабораторные работы по обучению использованию чертежных и измери-

тельных инструментов. Лабораторные работы на построение (на конструирование с использова-

нием ИКТ). Лабораторные работы на вычисления, вывод алгоритмов. Более подробно остановимся на лабораторных работах на вычисления.

Такой вид лабораторных работ важен для школьников, особенно в 5–6 классах, когда ученики изучают основные алгоритмы действий, проводимые с числами. Важно чтобы ученики не только умели это вычислять, но и были увлечены этим занятием. И чтобы они не просто действовали по заученному алгоритму,

121

122

но понимали, для чего они этого делают, когда-то могли самостоятельно выве-сти правило или алгоритмы. В таких лабораторных работах можно поупраж-няться в вычислениях.

Пример лабораторной работы для 6 класса. Тема «Сложение и вычитание смешанных чисел» Цель работы: Вывести правила вычитания и сложения смешанных чи-

сел. Ход работы: Найдите сумму смешанных чисел: , используя следующую по-

следовательность: Приведите дробные части к наименьшему общему знаменателю. Выполните отдельно сложение целых частей. Выполните отдельно сложение дробных частей. Запишите полученный результат. Сформулируйте правило сложения смешанных чисел. Найдите разность смешанных чисел: , используя следующую по-

следовательность: Приведите дробные части к наименьшему общему знаменателю. Выполните отдельно вычитание целых частей. Выполните отдельно вычитание дробных частей. Запишите полученный результат. Сформулируйте правило вычитания смешанных чисел. Благодаря такому плану лабораторной работы, ученики самостоятельно

выводят правило, они сами по шагам идут к ответу, таким образом, запомина-ют, что они делают.

При выполнении лабораторных работ ученики не только закрепляют по-лученные знания, но и учатся работать как самостоятельно, так и в коллективе, учатся проводить исследования, делать вывод по полученным результатам.


1. Воронов В. В. Педагогика школы в двух словах: Учеб. пособие для студентов пед. вузов. М., 2000. 2. Воронько Т. А. Лабораторная работа как средство развития поисковой актив-ности учащихся // Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и вузе: Учеб. пособие. М., 2000. 3. Манвелов С. Г. Конструирование современного урока математики: Книга для учителя. М., 2005. 4. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений. М., 2009.

122

123

Плотницкая И. В., ПсковГУ, физико-математический факультет, 4 курс


К вопросу о подготовке учащихся к решению практических задач по геометрии в рамках подготовки к ОГЭ

С 2014 года выпускники 9-х классов сдают экзамен по математике и рус-

скому языку в обязательном порядке в форме основного государственного эк-замена (ОГЭ), ранее — государственной итоговой аттестации (ГИА) [2].

ОГЭ представляет собой форму организации экзаменов с использованием заданий стандартизированной формы, выполнение которых позволяет устано-вить уровень освоения федерального государственного стандарта основного общего образования.

При проверке базовой математической компетентности учащиеся должны продемонстрировать:

– владение основными алгоритмами; – знание и понимание ключевых элементов содержания (математических

понятий, их свойств, приемов решения задач и пр.); – умение пользоваться математической записью; – умение применять знания к решению математических задач, не сводя-

щихся к прямому применению алгоритма; – умение применять математические знания в простейших практических

ситуациях. Материалы ОГЭ в разделе «Реальная математика» содержат задачи по гео-

метрии практического содержания, имеющие чаще всего простое решение, осно-ванное на составлении математической модели процесса или явления. Однако, ре-зультаты ОГЭ показывают, что сегодняшние 15–16 летние учащиеся с трудом ре-шают задачи на применение математики, в частности на применение геометрии.

Обеспечивая российских учащихся значительным багажом знаний, рос-сийская система обучения математике мало способствует формированию у них умения выходить за пределы учебных ситуаций, в которых формируются эти знания. В частности, это подтверждается низкими результатами российских школьников по математике в международном исследовании PISA, проводимом с 2000 года, где как раз и требуется решать нестандартные математические за-дачи практического содержания [3]. Вместе с тем, умение применять свои зна-ния на практике является сейчас одним из главных результатов обучения в рам-ках компетентностного подхода, прописанного во ФГОС.

С 2015 года в структуре ОГЭ по математике выделен новый раздел «Ре-альная математика», включающий в себя практический контекст, знакомый обучающимся или близкий их жизненному опыту. Здесь требуется: описывать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с ис-

123

124

пользованием геометрических понятий и теорем, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин.

Для выявления затруднений, возникающих у учащихся в процессе реше-ния задач практического характера по геометрии, было проведено анкетирова-ние учащихся 9 класса г. Пскова.

В анкетировании приняли участие 23 ученика. Анкета для учеников со-держала семь вопросов.

С помощью анкетирования были выявлены следующие основные затруд-нения, возникающие у учащихся при решении практических задач по геомет-рии: пробелы в знаниях; невнимательность при решении задач; проблемы в осмыслении и понимании формулировки задачи. Из чего следует, что учителю нужно больше внимания и времени отводить на решение практических задач по геометрии, развивать у учащихся способность понимать практическую задачу, выделять главное, систематически работать над заполнением пробелов в знани-ях учащихся.

Также было проведено анкетирование учителей математики 5–11 классов, имеющих различный стаж работы от 4 месяцев до 23,5 лет. Все анкетируемые учителя отметили необходимость решения с учениками практических задач. Основные сложности для учащихся при решении таких задач опрошенные учи-теля выделяют следующие: узкий кругозор учащихся; неспособность увидеть в практических задачах изучаемый школьный материал; неспособность понять, какими математическими знаниями нужно воспользоваться.

Учителями были предложены следующие варианты решения данных проблем:

– более тесное взаимодействие учителей предметников; – введение практических задач с более раннего возраста (начальные

классы); – чаще решать такие задачи, объяснять через них изучаемый материал. Нами были проанализированы демоверсии экзаменационных работ ГИА

и ОГЭ за восемь лет (с 2009 по 2016 гг.), а также содержание заданий, пред-ставленных на образовательном портале «Решу ЕГЭ» [1]. На основании этого и с учетом разработки по геометрии для 9-го класса Хмары С. Е. [4], был разра-ботан банк практических задач по геометрии для подготовки учащихся к ОГЭ, который был апробирован в период педагогической практики.

Работа по апробации банка проводилась в три этапа. Входную контрольную работу, содержащую шесть задач, писали 22 уче-

ника. Из полученных результатов следует, что все учащиеся решили, как ми-

нимум, одну задачу; таким образом, не было тех, кто вообще не приступил к решению задач.

Исходя из полученных результатов, также можно сделать вывод о том, что 55 % учащихся решили не больше половины задач контрольной работы.

124

125

На втором этапе, в течение всего эксперимента, на уроках геометрии уча-щимся предлагались для решения практические задачи из созданного банка, тем самым, проводилось систематическое обучение решению задач данного типа.

Задачи учащимся давались в рамках домашнего задания, а также реша-лись на дополнительных уроках математики. В последнем случае решение за-дач выносилось на всеобщее обсуждение, учащиеся предлагали идеи решения задач и объясняли, почему они так думают, затем рассматривались различные способы решения одной и той же задачи. В рамках домашнего задания форми-ровалось умение самостоятельно решать подобные задачи. На следующем уро-ке учащиеся представляли свои решения, и происходило их обсуждение.

На заключительном этапе была проведена контрольная работа для выяв-ления уровня знаний и умений учащихся по окончанию формирующего экспе-римента. Учащимся были предложены шесть задач из созданного банка задач. Итоговую контрольную работу писали те же учащиеся, которые участвовали во входном контроле.

Из полученных результатов следует, что после проведения формирующе-го эксперимента все учащиеся решили уже как минимум три задачи. Количе-ство учащихся, решивших не больше половины задач, составило 23 %, (в срав-нении с первичными результатами их количество уменьшилось на 32 %.). Кро-ме этого, в среднем на 17 % повысилась решаемость большинства задач.

Подводя итог экспериментальной работы, можно сказать, что в результа-те формирующего эксперимента было отмечено следующее: на 32 % умень-шился процент учащихся, решивших не более половины задач; в среднем на 17 % повысилась решаемость большинства задач.

Таким образом, можно сделать вывод, что систематическое решение за-дач практического характера с последующим анализом сделанных ошибок, способствует более уверенному и успешному решению задач такого типа, учи-телю полезен разработанный банк задач при обучении учащихся решению практических задач по геометрии, в том числе, при подготовке их к ОГЭ.


1. Каталог заданий для подготовки к экзаменам. Образовательный портал. [Элек-тронный ресурс]: URL: https://math-oge.sdamgia.ru/test?theme=67; Приказ Мини-стерства образования и науки Российской Федерации от 25 декабря 2013 года, № 1394 [Электронный ресурс]: URL: http://www.fipi.ru/sites/default/files/ document/normativ/prikaz_n_1394_ot_25.12.2013_g_poryadok_provedeniya_gia-9.pdf 2. Программа международной оценки обучающихся: Мониторинг знаний и умений в новом тысячелетии. Центр оценки качества образования. [Электрон-ный ресурс]: URL: http://www.centeroko.ru/pisa/pisa.htm 3. Хмара С. Е. Методическая разработка по геометрии (9 класс) по теме: Задачи по геометрии с практическим содержанием [Электронный ресурс]: URL: http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2012/08/20/zadachi-po-geometrii-s-prakticheskim-soderzhaniem

125

126

Пустынская М. А., ПсковГУ, физико-математический факультет, 4 курс

(научный руководитель — доцент Перькова Н. В.)

Компетентностные задачи по теме «Функция и ее свойства» С позиций компетентностного подхода основным результатом образова-

тельной деятельности становится формирование у студентов определенных компетенций, характерных для их профессиональной деятельности. Одним из средств их формирования являются специальные задачи, называемые компе-тентностными, целью решения которых является разрешение стандартной или нестандартной ситуации (предметной, межпредметной или практической по описанному в ней содержанию) посредством нахождения соответствующего способа решения с обязательным использованием математических знаний.

Компетентностные задачи отличаются от привычных задач математиче-ского анализа тем, что для первых характерна направленность на общекультур-ную, учебно-познавательную, информационную, социальную и личностную значимость получаемых в ходе решения задачи результатов, что в свою очередь создает у студентов положительную мотивацию к учебной деятельности. Кроме этого условие компетентностной задачи представлено как сюжет, конкретная ситуация или проблема.

Для решения таких задач студентам необходимо использовать знания и методы из различных разделов математического анализа, на которые нет кон-кретного указания непосредственно в условии задачи. Также в структуре компе-тентностных задач присутствует неопределенный компонент (лишние или недо-стающие данные), что делает такие задачи нестандартными. И наконец, компе-тентностные задачи предусматривают наличие нескольких способов решения, каждый из которых может использовать различные информационные ресурсы.

В рамках дисциплины «Математика (Математический анализ)» студенты I курса физико-математического факультета ПсковГУ направления «Приклад-ная информатика» в 1 семестре изучают тему «Функция и ее свойства».

В рамках изучения этой темы студенты должны знать: – определение функции, ее свойства; – способы задания функции; – понятие области определения и области значения функции; – определения монотонности функции; – понятие четной и нечетной функции; алгоритм определения четности и

нечетности функции; – понятие ограниченности и неограниченности функции; – понятие периодичности функции; – понятие обратной и обратимой функции – композиции функций.

126

127

Уметь: – находить область определения и область значения функции; – находить нули функции; – определять четность и нечетность функции; – определять промежутки возрастания и убывания функции; – определять период функции; – находить функцию, обратную данной; – строить графики элементарных функций и анализировать их – конструировать функции с наперед заданными свойствами. Владеть: математическим аппаратом исследования элементарных функций и по-

строения их графиков. В результате освоения курса математического анализа у студентов

направления «Прикладная информатика» должна быть сформирована обще-культурная компетенция ОК-7: способность самостоятельно приобретать и ис-пользовать в практической деятельности новые знания и умения, стремиться к саморазвитию.

С целью определения уровня сформированности компетенции ОК-7 у студентов 1 курса направления «Прикладная информатика» во 2 семестре было проведено тестирование, которое включало в себя теоретические вопросы темы «Функция и ее свойства» и компетентностные задачи, решение которых свя-занно с умением работать с графиками функций, находить наибольшее и наименьшее значения функции.

Анализ теста, показал, что почти 100 % опрошенных студентов, усвоили теоретический материл темы «Функция и ее свойства».

При решении компетентностных задач, предложенных в тесте, студенты показали следующие результаты:

100 % опрошенных решили компетентностную задачу, направленную на оценку умения анализировать и делать выводы, используя графики различных функций;

40 % учащихся смогли решить компетентностную задачу на наибольшее и наименьшее значение функции, причем 10 % представили подробное решение, в то время как остальные 30 % показали только некоторые фрагменты решения.

Апробация показала, что у студентов недостаточно сформирована обще-культурная компетенция ОК-7, требуется дополнительная целенаправленная работа.

127

128

Литература 1. Приказ Минобрнауки России от 12.03.2015 № 207 «Об утверждении феде-рального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению подготовки 09.03.03 Прикладная информатика (уровень бака-лавриата)». 2. Зимняя И. А. Ключевые компетентности как результативно-целевая основа компетентностного подхода в образовании. Авторская версия. М., 2004. 3. Канин Е. С. и др. Упражнения по началам математического анализа в 9–10 классах: Кн. для учителя. М., 1986.

Рогожникова Н. А., ПсковГУ,

физико-математический факультет, 4 курс (научный руководитель — доцент Мартынюк О. И.)

Формирование и оценивание профессиональных компетенций

в рамках курса «Алгебра многочленов» В среде работодателей в последнее время формируется набор требований

к молодым специалистам, понимание их квалификационного уровня. Именно поэтому Федеральные государственные образовательные стандарты высшего образования (ФГОС ВО) ставят перед вузами задачу формирования компетен-ций и создание новой контрольно-оценочной системы. Компетенции — это обобщенные и глубокие качества личности, отображающие ее способности наиболее универсально использовать и применять полученные знания, умения, навыки, и позволяющие субъекту владеть приемами, действовать и принимать решения в стандартных и нестандартных, профессионально, социально и лич-ностно значимых ситуациях [1].

Формировать компетенции призваны все предметы учебного плана. Оце-нивание компетенций представляет большую трудность, так как общепризнан-ных методов оценивания компетенций нет. Перед каждым преподавателем воз-никают вопросы, какие образовательные технологии использовать? Как оцени-вать уровень освоения компетенций? Какую форму для оценивания компетен-ций у студентов предложить на одном из этапов обучения? Именно поэтому яв-ляется актуальной проблема формирования и оценивания профессиональных компетенций.

Нами была предпринята попытка разработки контрольно-измерительных и оценочных материалов по алгебре многочленов для оценки сформированно-сти профессиональных компетенций студентов, обучающихся по направлению 44.03.01 Педагогическое образование профиль Математика. При разработке оценочных средств была использована технология проектного обучения. Разра-ботаны оценочные средства — проекты для малых групп по теме «Общая тео-рия многочленов». При работе над ними студентам необходимо ознакомиться с

128

129

научной литературой по теме проекта, изучить и разобрать основные определе-ния, доказательства теорем и свойства. Составить самостоятельную работу, по-добрать практические задания для подготовки к самостоятельной работе. В хо-де защиты проекта, студентам предлагается провести занятие или часть занятия по теме проекта, а также выполнить оценку работы группы, каждого студента в группе, подвести итоги и оценить компетенции.

Приведем пример проекта: «Значение многочлена. Корни многочлена. Теорема о делении на двучлен».

Первая часть Поиск информации по данной теме (определения, формулировки свойств,

формулировка теоремы о делении на двучлен) Привести примеры на каждое из определений. Примеры использования

свойств. Разобрать способы умножения многочленов (каждое слагаемое одной

скобки на каждое слагаемое другой скобки, вычисление коэффициента у кон-кретной степени).

Вторая часть Свойства многочлена (не менее 4 доказательств). Теорема о делении с до-

казательством. Примеры (сложение, умножение, деление на двучлен). Найти задания для подготовки к самостоятельной работе по теме. Загру-

зить их в форум «Выполнение проектов». Составить самостоятельную работу по данной теме (время выполнения 10

минут). Оформление проделанной работы (указать тему проекта, внести материа-

лы для подготовки к самостоятельной работе и саму самостоятельную работу, список литературы. Требования к оформлению: шрифт Times New Roman, начертание 14 пт, выравнивание по ширине, междустрочный интервал 1,5. Формулы набираем в окне Microsoft equation 3.0).

На данных этапах оценивались следующие компетенции: ПК-1 готовность реализовывать образовательные программы по учебно-

му предмету в соответствии с требованиями образовательных стандартов. ПКВ-1 способность демонстрировать, применять, критически оценивать и

пополнять математические знания. ПКВ-2 способность использовать математические знания и умения для

решения профессиональных задач. Оценивание результатов проектной деятельности позволяет выявить: сте-

пень самостоятельности в выполнении различных этапов работы над проектом; степень включенности в групповую работу и чёткость выполнения отведённой роли; практическое использование ЗУН; важность новой информации, исполь-зованной для выполнения проекта; степень осмысления использованной ин-формации; оригинальность идеи; осмысление проблемы проекта и формулиро-вание цели и задач проекта или исследования; уровень организации и проведе-

129

130

ния презентации; владение рефлексией; творческий подход при подготовке презентации; значение полученных результатов.

Деятельность студентов при работе над проектом, а также его защите оценивалась по разработанным автором критериям. Приведем эти критерии.

Работа с научной литературой. Поиск информации: – не выполняет задание (0 баллов); – рассматривает только один источник информации (1 балл); – рассматривает несколько источников информации (2 балла). Обработка информации: – не выполняет задание (0 баллов); – приводит теоретический материал, не анализируя информацию и не

рассматривая практические задания (1 балл); – приводит теоретический и практический материал, не анализируя ин-

формацию и практические задания (2 балла); – приводит теоретический материал, не анализируя информацию, но по-

дробно рассматривает практические задания и примеры (3 балла); – анализирует теоретический материал, выделяя главную информацию,

но не рассматривает практические задания и примеры (4 балла); – анализирует учебники, выделяя главную информацию, подробно разби-

рает практические задания (5 баллов). Представление проекта: – не может представить работу, привести теоретические факты, примеры

(0 баллов); – представляет работу, приводит примеры, но не всегда может пояснить

теорию или выполнение примера (1 балл); – представляет работу, но в выступлении присутствуют недочёты (2 балла); – представляет работу грамотно, безошибочно приводит примеры, пояс-

няя их решение (3 балла). Оформление проекта: – не соблюдены требования к оформлению проекта (0 баллов); – требования к оформлению проекта соблюдены частично (1 балл); – требования к оформлению проекта соблюдены (2 балла). Перевод баллов за проект можно осуществить по данной схеме: 0–5 — компетенции не сформированы 6–9 — частично сформированы 10–12 — сформированы Исходя из этого, представленное оценочное средство (проект) может

служить средством формирования и оценки знаний и компетенций студентов в рамках курса «Алгебра многочленов».


1. Ефремова Н. Ф. Формирование и оценивание компетенций в образовании. Ростов н/Д, 2010.

130

131

Семёнова Ю. В., ПсковГУ, физико-математический факультет, магистрант 1 курс


Практико-ориентированные задачи как средство развития универсальных учебных действий у учащихся 5–6 классов

В условиях реализации ФГОС OOO на первое место ставится не резуль-

тат самого обучения в виде каких-то конкретных знаний по определённым предметам, а умение учиться, получать знания. Обязательным требованием ФГОС является формирование универсальных учебных действий (УУД) на уроках математики и во внеурочной деятельности. Это является важнейшей за-дачей современной системы образования. Для реализации ФГОС ООО нового поколения необходим системно-деятельностный подход в обучении школьни-ков. Теоретические основы системно-деятельностного подхода заложены в научных трудах Л. С. Выготского, А. И. Леонтьева, П. Я. Гальперина, Д. Б. Эльконина, В. В. Давыдова, А. Г. Асмолова и др.

Сущность понятия УУД и некоторые вопросы методики обучения детей с целью формирования УУД рассмотрены в научных трудах А. Г. Асмолова, Г. В. Бурминской, И. А. Володарской, О. А. Карабановой, Н. Г. Салминой, О. А. Крысановой и др. [1].

На наш взгляд, практико-ориентированные задачи — эффективное сред-ство формирования УУД при обучении математике в 5–6 классах. Мы под прак-тико-ориентированными задачами будем понимать такие задачи, в которых предлагается практическая ситуация (связанная с различными областями дея-тельности), которую требуется описать на языке математики, чтобы решить по-ставленную задачу путём математического моделирования реального объекта, процесса, явления [4]. В широком смысле термин «универсальные учебные дей-ствия» (УУД) «означает умение учиться, т. е. способность субъекта к саморазви-тию и самосовершенствованию путем сознательного и активного присвоения но-вого социального опыта» [2, 27]. В более узком (собственно психологическом) значении это понятие А. Г. Асмолов понимает, как «совокупность способов дей-ствия учащегося (а также связанных с ними навыков учебной работы), обеспечи-вающих самостоятельное усвоение новых знаний, формирование умений, вклю-чая организацию этого процесса» [2, 27]. А. Г. Асмолов выделяет четыре основ-ных блока УУД, которые соответствуют ключевым целям общего образования: 1) личностный; 2) регулятивный; 3) познавательный; 4) коммуникативный.

Практико-ориентированные задачи способствуют развитию всех 4 видов УУД. В данной статье рассмотрим личностные универсальные учебные дей-ствия. Личностные универсальные учебные действия обеспечивают ценностно-смысловую ориентацию учащихся. Они развивают умения самостоятельно де-лать свой выбор в мире мыслей, чувств и ценностей и отвечать за этот выбор. К

131

132

личностным универсальным учебным действиям относятся: самоопределение; смыслообразование; нравственно-эстетическое оценивание.

Посредством работы над практико-ориентированной задачей у учащихся формируются такое действия как личностное, профессиональное, жизненное самоопределение, так как сюжет задачи взят из жизни, реально показывает профессии, различные виды деятельности и ученик из фабулы задачи может понять, что для него наиболее интересно, что важно, имеет значение, возможно, заинтересуется тем или иным фактом и захочет узнать больше [2].

Смыслообразование, т. е. установление учащимися связи между целью учебной деятельности и ее мотивом, другими словами, между результатом — продуктом учения, побуждающим деятельность, и тем, ради чего она осу-ществляется. Ученик должен задаваться вопросом о том, какое значение, смысл имеет для него учение, и уметь находить ответ на него. А так как сюжет задачи взят из жизни, то ученик видит, где можно применить математику. Ученики должны понимать, что математика не столь далека от жизни, как может пока-заться на первый взгляд. Те области деятельности, где она может применяться — самые разнообразные. Она связана с повседневной жизнью (поход в магазин, оплата услуг), работой, спортом [2].

Ещё одно формируемое универсальное учебное действие — дей-ствие нравственно-этической ориентации, исходя из социальных и личностных ценностей. Ценность практико-ориентированных задач состоит ещё и в том, что из фабулы задачи ученик узнаёт для себя что-то новое, полезное, интересное, а именно — конкретные факты из географии, биологии, из истории России (например, Великой Отечественной войны) и т. д. и тем самым развивается [3].

Обучение с использованием практико-ориентированных задач способству-ет более прочному усвоению информации, так как возникают ассоциации с кон-кретными действиями и событиями. Особенности этих задач (необычная форму-лировка, связь с жизнью, межпредметные связи) вызывают повышенный интерес учащихся, влияют на развитие любознательности и творческой активности.

Результатом формирования личностных УУД следует считать: – умение сопереживать, понимать чувства других; – знание и выполнение моральных норм; – устойчивую мотивацию к учебно-познавательной деятельности, здоро-

вому образу жизни; – адекватную самооценку результатов своих действий [3]. Приведём примеры практико-ориентированных задач, которые могут

способствовать развитию личностных универсальных учебных действий: Известно, что Псков находится на высоте 45 м над уровнем моря, а город

Астрахань расположен на 25 м ниже уровня моря. На сколько метров Астра-хань ниже над уровнем моря, чем Псков?

Маша любит читать, и дома у неё есть различные детские книги. На пер-вой полке стоят такие книги для детей, как Д. Н. Мамин-Сибиряк «Аленушки-ны сказки», И. А. Крылов «Басни», Г. Троепольский «Белый Бим Чёрное Ухо»,

132

133

К. Паустовский «Заячьи лапы» и другие. На второй полке стоят книги старшей сестры, такие как И. Железников «Чучело», Л. Кэрролл «Алиса в стране чудес», В. Гюго «Собор Парижской Богоматери» и др. На первой полке в 2 раз больше книг, чем на второй. После того, как с первой полки забрали 7 книг, а на вто-рую поставили новые 9 книг, принесённые мамой, то на полках книг стало по-ровну. Сколько книг было первоначально на каждой полке?

На правом берегу реки Волги, в Центральном районе города Волгограда, находится возвышенность, называемая «Мамаев курган», где во время Сталин-градской битвы происходили ожесточённые бои, начиная с сентября 1942 года и заканчивая январем 1943 года. Сегодня Мамаев курган известен, в первую очередь, памятником-ансамблем «Героям Сталинградской битвы» с главным монументом «Родина-мать зовет!». От подножия кургана до его вершины посе-титель проходит 200 гранитных ступеней высотой 15 см, шириной 35 см. Сту-пеней 200, так как Сталинградская битва продолжалась двести огненных дней и ночей. Какова высота кургана? Ответ дайте в метрах.

Десантники псковской дивизии принимали участие в арктических учени-ях, им приходилось выдерживать серьёзные погодные условия. Ночью темпе-ратура воздуха в Арктике опускалась до — 50 °С, днём поднималась до — 35 °С. На сколько градусов изменилась температура воздуха?


1. Аджемян Г. А. Формирование универсальных учебных действий у младших подростков при выполнении математических задач физического содержания. Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. М., 2016. 2. Асмолов А. Г., Бурменская Г. В., Володарская И. А., Карабанова О. А., Сал-мина Н. Г., Молчанов С. В. Как проектировать универсальные учебные дей-ствия в начальной школе: от действия к мысли. М., 2008. 3. Войнова Л. П., Байкалова Т. П. Формирование универсальных учебных дей-ствий учащихся в условиях введения и реализации ФГОС ООО: методическое пособие для учителей. Новокузнецк, 2015. 4. Егупова М. В. Методическая система подготовки учителя к практико-ориентированному обучению математике в школе: монография. М., 2014.

133

134

Тимофеева К. В., ПсковГУ, физико-математический факультет, 3 курс


К вопросу об изучении правильных многогранников в школе В настоящее время в школе уделяется недостаточно внимания на изуче-

ние геометрического материала. Геометрия является очень сложным звеном в математике. Это связано в первую очередь с тем, что у обучающихся слабо раз-вито пространственное воображение, нет практических навыков в построении геометрических фигур.

В процессе изучения геометрии, как известно, у учащихся развивается пространственное мышление как разновидность образного, формируются аб-страктные образы, в которых фиксируются формы, величина и т. д.

В данной работе остановимся на теме «Многогранники». По итогам ана-лиза материала по данной теме, изложенного в разных школьных учебниках, можно сказать, что во всех рассмотренных учебниках, при изучении много-гранников за основу взяты одни и те же фундаментальные темы: определение многогранника, выпуклые многогранники, правильные многогранники. Разница состоит лишь в глубине изучения данных вопросов и методах. Мы поставили цель: расширить представления учащихся о мире многогранников, развить их интерес к предмету геометрия. Для этого было разработано и проведено вне-классное мероприятие для учеников 6 класса по теме «Правильные многогран-ники». В рамках данного мероприятия предполагалось расширить и системати-зировать знания учащихся по истории многогранников, их роли в нашей жизни, сформировать навыки самостоятельной познавательной деятельности и способ-ности работать в коллективе. Занятие было проведено в виде игры.

При входе в класс каждый ученик получал небольшой листок бумаги, на котором было написано: земля, огонь, воздух, небо, вода.

В ходе беседы, которая открыла мероприятие, а также при последующем обсуждении и ответов на уточняющие вопросы, учащиеся выяснили, что тема мероприятия «Правильные многогранники». К этому времени они уже были знакомы с понятием многогранника и с легкостью приводили их примеры, вспомнили определение многогранника, его граней, ребер, вершин.

Учащимся были представлены виды правильных многогранников, они выполняли тренировочные задание, которое было выдано на отдельных листах. Для повышения интереса, занятие сопровождалось знакомством с различными фактами из истории многогранников, а также с вкладом отдельных ученых в развитие представления о многогранниках.

Затем учащиеся выяснили, зачем в начале урока они получили листки, на которых написано: земля, огонь, воздух, небо, вода. Соотнесли многогранники и стихии, с которыми их связывают. Земля — куб, огонь — тетраэдр, вода — ико-

134

135

саэдр, воздух — октаэдр и небо — додекаэдр. В процессе знакомства с много-гранниками учащиеся считали вершины, ребра и грани каждого многогранника.

Затем учащиеся разделились на 5 групп (в соответствии со стихией) по 5 человек. Далее каждой группе было предложено провести некоторые расчеты: сосчитать вершины, ребра, грани их многогранника, а затем от числа вершин отнять число ребер и прибавить число граней. Когда команды сопоставили от-веты, он у всех, к их большому удивлению, оказался одинаковым. Таким обра-зом, в ходе выполнения данного задания была выведена формулировка теоремы Эйлера для многогранников.

Одним из способов изготовления правильных многогранников является способ с использованием развёрток. На доске были представлены развертки правильных многогранников, ученикам было предложено узнать, какому мно-гограннику какая развертка соответствует, с этой задачей класс с легкостью справился. Каждой группе были выданы развертки в зависимости от их стихии, и сразу же уточнено, что их задача не просто склеить многогранник, а сделать «умный» многогранник, на гранях которого будут правила и полезная матема-тическая информация.

Развертки у каждой группы на столах с обозначенными размерами каждо-го ребра. Сначала предлагалось продумать, кто будет писать правила, а кто склеивать сам многогранник. Это задание не только помогло ребятам изучить многогранники, но и систематизировать свои знания по математике.

В конце урока в качестве рефлексии ребята клеили смайлики на додека-эдр, таким образом, показывая свои ощущения от данного мероприятия, заня-тие всем обучающимся понравилось.

Проведённое мероприятие оправдало ожидания, ребята очень заинтересо-вались правильными многогранниками, они еще долго не могли отложить раз-вертки, обсуждали здания в форме многогранников, а также возможное приме-нение многогранников в различных сферах жизни. После таких уроков учащие-ся глубже начинают вникать в суть самого предмета, проявляют интерес к нему. Простая техника измерений элементов геометрических фигур, с которы-ми работает учащийся, позволяет усваивать метрические соотношения экспе-риментально — в том числе учащимся с затрудненным восприятием геометрии.

135

136

Фёдорова Е. А., ПсковГУ, физико-математический факультет, магистрант 2 курс

(научный руководитель — доцент Павлова Л. В.)

Задачи с экономическим содержанием как одно из средств формирования универсальных учебных действий учащихся

средней школы В настоящее время не только увеличивается число экономических вузов и

факультетов, но и многие школьные учебные предметы включают в себя эко-номическую составляющую. Школа может внести важный вклад в подготовку школьников к взрослой жизни. И одной из задач современного школьного об-разования является овладение основными методами и приемами использования изучаемого математического аппарата в различных областях человеческой дея-тельности. В частности, он может быть использован на практике при решении задач с экономическим содержанием, эффективность освоения которых напря-мую зависит от успешного использования математических знаний.

В связи с этим существует значительное количество работ, посвященных включению в курс математики различных задач с экономическим содержанием. В исследованиях Э. С. Беляевой, Н. Б. Мельниковой, Е. Ю. Никоновой, Л. Д. Рябоконевой, А. С. Симонова, Н. А. Хоркиной, О. А. Клименковой и др.; в научно-методических работах И. И. Баврина, Т. В. Малковой, В. М. Монахова, А. С. Симонова, И. М. Шапиро и других авторов, рассматриваются вопросы ис-пользования математического аппарата для решения задач с экономическим со-держанием.

Процесс обучения математике в школе, прежде всего, направлен на фор-мирование у учащихся разнообразных знаний, умений и навыков, но, безуслов-но, при обучении происходит и воспитание, и развитие учащихся. Особо акту-альным в настоящее время является развитие универсальных учебных действий (УУД) учащихся.

Вопросам формирования универсальных учебных действий посвящены работы: А. Ю. Либерова, Л. Г. Петерсона. Решение задач с экономическим со-держанием может стать одним из средств формирования УУД. Что и явилось целью исследования.

Для реализации поставленной цели необходимо решить ряд задач: – изучить психолого-педагогические и теоретико-методологические ос-

новы формирования УУД; – выявить особенности формирования УУД через решение задач с эконо-

мическим содержания на уроках математике в основной школе. Согласно А. Г. Асмолову и др. «универсальные учебные действия — это

обобщенные действия, порождающие широкую ориентацию учащихся в раз-личных предметных областях познания и мотивацию к обучению» [8].

136

137

Все вышесказанное определяет актуальность тематики данного исследо-вания.

Объектом исследования является процесс обучения учащихся основной школы решению задач с экономическим содержанием.

Предмет исследования составляет методика обучения учащихся основ-ной школы решению задач с экономическим содержанием как средство разви-тия универсальных учебных действий.

Проблема исследования состоит в поиске путей реализации прикладной направленности курса математики основной школы через решение экономиче-ских задач для развития у учащихся универсальных учебных действий.

Под задачами с экономическим содержанием будем понимать текстовые или сюжетные задачи, в которых описана экономическая ситуация, для разре-шения которой требуются математические знания.

В ходе данного исследования был проведен анализ научной литературы по теории развития универсальных учебных действий при обучении учащихся основной школы решению задач с экономическим содержанием.

Разработан факультатив «Решение задач с экономическим содержанием» для каждого этапа:

1 этап: 5–6 классы, 2 этап: 7–8 классы, 3 этап: 9 класс. Приведем примеры задач, которые были использованы на занятиях: Задача 1. Треть поверхности нашей планеты приходится на сушу,

остальное — океан. А что такое суша? Более десятой части ее составляют лед-ники Арктики и Антарктиды; 15,5 % — пустыни, скалы и прибрежные пески; 7,4 % — тундры и болота, около 2 % занято городами, поселками, заводами, шахтами, аэродромами; почти 3 % — «испорченные» человеком земли (карье-ры, овраги, пустыни с истощенной почвой). Пахотные земли составляют около 11 %, или только 1,5 млрд гектар из общей площади суши. Сколько пахотной земли приходится на каждого из нас, если население планеты около 6 млрд. че-ловек?

Задача 2. Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибы-ли которых в минувшем году составила 13 млн. рублей. На этот год запланиро-вано увеличение прибыли первого отделения на 75 %, а второго — на 140 %. В результате суммарная прибыль фирмы должна вырасти в два раза. Какова вели-чина прибыли каждого из отделений: 1) в минувшем году? 2) в текущем году?

Задача 3. Стоимость проезда в пригородном электропоезде составляет 198 рублей. Школьникам предоставляется скидка 50 %. Сколько рублей стоит проезд группы из 4 взрослых и 12 школьников?

Задача 4. Заработная плата каждого из двух сотрудников фирмы состав-ляла 28600 рублей. По результатам работы заработная плата первого сотрудни-ка была повышена на 5 %, а второго — понижена на 7 %. На сколько рублей больше теперь заработная плата первого сотрудника, чем второго?

137

138

Итогом исследования является проведение контрольных работ на каждом этапе для проверки эффективности предложенной методики обучения решению задач с экономическим содержанием.

Дальнейшее исследование предполагает статистическую обработку полу-ченных результатов.


1. Абчук В. А. Экономико-математические методы: Элементарная математика и логика. Методы исследования операций, СПб., 1999. 2. Бродский И. Л., Видус А. М., Коротаев А. Б. Сборник текстовых задач по ма-тематике для профильных классов: 7–11 кл. М., 2004. 3. Симонов А. С. Экономика на уроках математики, М., 1999. 4. Балашова А. И., Ермолова Н. А., Потылицына А. Ф. К вопросу о развитии универсальных учебных действий // Муниципальное образование: инновации и эксперимент. 2009. № 5. С. 69–73. 5. Карабанова О. А. Что такое универсальные учебные действия и зачем они нужны? Муниципальное образование: Инновации и эксперимент. 2010. № 2. С. 11–12. 6. Пономарёва Е. А. Универсальные учебные действия или умение учиться. Муниципальное образование: Инновации и эксперимент. 2010. № 2. С. 39–42. 7. Классификация универсальных учебных действий. [Электронный ресурс]: URL: http://www.studfiles.ru/preview/2061437/ 8. Модель программы развития универсальных учебных действий. [Электрон-ный ресурс]: URL: http://nauka-pedagogika.com 9. Федеральный государственный стандарт [Электронный ресурс]: URL: http://xn--80abucjiibhv9a.xn--p1ai

Чуева И. В., ПсковГУ, физико-математический факультет, магистрант 2 курс

(научный руководитель — доцент Мартынюк О. И.)

Проектная деятельность как средство формирования УУД по математике учащихся 5–6 классов

В связи с принятием новых образовательных стандартов произошло пре-

образование основной цели образования, что привело к поиску новых методов обучения школьника. Обучение математике в соответствии с требованиями ФГОС должно обеспечивать формирование и развитие метапредметных уме-ний, учитывать личностные особенности каждого школьника. Образовательный процесс теперь направлен на формирование универсальных учебных действий, отражающих умение учиться [1].

138

139

Для формирования УУД на уроках математики активно используется технология проектного обучения, которая успешно применяется к постижению школьного предмета и особо действенна на уроках, которые направлены на установление межпредметных связей. Метод проектов — это модель обучения, вовлекающая школьника в процесс решения трудных проблем. Этот процесс заканчивается в действительном материале — продукте проекта.

По нашему мнению, внедрение проектов на уроках все еще оставляет много неразрешенных проблем:

– темы определяются стихийно, без осмысления их важности, в результа-те выполненные работы очень часто не представляют дальнейшей практиче-ской ценности;

– опыт введения проектной деятельности в начальной школе показал, чтопри отсутствии должного педагогической поддержки, роль тьюторов на себя взяли родители, бабушки и дедушки, спасая детей от получения неудовлетво-рительных оценок;

– требования презентации и оформления выполненной работы в виде ис-следовательской вызывает как у школьников, так и у учителей больше всего за-труднений (текстовое оформление проекта труднее, чем выполнение изделия в материале);

– часто учителя предлагают проектную деятельность только мотивиро-ванным учащимся;

– незначительный уровень самостоятельности, тривиальные шаблонывыполнения проектов.

Стихийность формирования УУД при обучении математике в 5–6 классах отображается в последовательности проблем: низкие результаты изучения ма-тематики, несформированность учебно-познавательных аргументов, слабый уровень пытливости и инициативы у школьников, всевозможные трудности школьной адаптации.

В школьном образовании применяется проектная деятельность по двум направленностям: проектные уроки и проекты во внеурочной деятельности [2]. Также применяют разные формы организации и проведения уроков (урок-исследование, урок-лаборатория и др.). Пользуются популярностью и учебные эксперименты, которые позволяют организовать изучение таких элементов ис-следовательской деятельности, как планирование и проведение опыта, обработ-ки и анализа его результатов.

Для формирования исследовательских способностей младших подростков на уроках математики, используют методический материал, который сориенти-рован на вырабатывание умений видеть проблему, выдвигать гипотезы, зада-вать вопросы, определять понятия, уметь наблюдать и систематизировать, заяв-лять мнения, делать умозаключения и выводы.

139

140

Рассмотрим более подробно, какие УУД формирует и развивает проектная деятельность. Работа над проектами осуществляется поэтапно, но не располагает жёстким алгоритмом действий, хотя потребует следованию логике и позициям проектной деятельности. На подготовительном этапе, определяется тема и выде-ляется конкретная проблема. Это позволяет формировать и развивать регулятив-ные (планирование, целеполагание, саморегуляция), в том числе и познаватель-ные (определение и формулировка гипотезы, определение поиска и сбора ин-формации, структурирование материала, построение речевого высказывания, смысловое чтение, обобщение, анализ и другие мыслительные операции, реше-ние поисковых, творческих и исследовательских задач) учебные действия. В дальнейшем вся работа направлена на использование и переработку данной ин-формации для достижения поставленной цели и решения проблемы. При этом продолжается формирование регулятивных и познавательных, в том числе и коммуникативных (планирование сотрудничества, распределение функций, ро-лей, умение слушать, интегрироваться в группу, управление поведения партнера, умение выражать свои мысли, владение речью) учебных действий.

Приведем пример проектного задания, которое можно предложить уча-щимся 5 класса по теме «Упрощение выражений». И рассмотрим более деталь-но формирование УУД на разных этапах решения задачи.

Задача: мороженое содержит 7 частей воды, 2 части молочного жира и 2 части сахара (по массе) (личностные УДД: проявление внимания, интереса, же-лания больше узнать). Сколько потребуется сахара для приготовления 4 400 кг мороженого (познавательные УУД: анализ с целью выделения признаков (суще-ственных и несущественных)).

1. Решение задачи (познавательные УУД: поиск решения проблемы уча-щимися).

2. Составление уравнения (познавательные УУД: создание способов ре-шения).

3. Проверка результата (регулятивные УУД: контроль в форме сличенияспособа действия и его результатов).

4. Формулировка ответа (коммуникативные УУД: умение с достаточнойполнотой и точностью выражать свои мысли).

Решение данной задачи может быть использовано в качестве типового за-дания для фрагмента урока «Упрощение выражений», а также может быть направлено на формирование УУД.

В ходе нашего исследования была изучена научно-методическая литера-тура, учебные пособия и другие средства обучения по методу проектов, видам универсальных учебных действий, рассмотрен процесс их формирования на уроках математики учащихся 5–6 классов, выявлены принципы организации проектного обучения математике в 5–6 классах, ориентированного на формиро-вание УУД.

140

141

Наблюдения за деятельностью учеников и полученные результаты на начало и конец работы показывают, что уроки математики, ориентированные на формирование УУД с использованием проектной деятельности, позволяют увеличить результативность обучения, дают возможность младшим подросткам самостоятельно учиться и содействуют обеспечению успешного усвоения зна-ний и умений. При этом формируются навыки самостоятельной работы школь-ников: они выполняют самоконтроль, осознают важность выполняемой работы, ставят перед собой цели, планируют и анализируют свою деятельность.

Роль школьника в учебном процессе значительно изменяется при перехо-де к работе над проектом. Они выступают активными участниками процесса обучения. При этом для достижения поставленной цели ученики вольны в вы-боре способов и видов деятельности.

Таким образом, проектная деятельность способствует формированию УУД, что позволяет полноценно выполнять цели и задачи ФГОС нового поко-ления.

Литература 1. Асмолов А. Г. Формирование универсальных учебных действий в основнойшколе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя. М., 2011. 2. Ступницкая М. Диагностика уровня сформированности общеучебных уме-ний и навыков школьников // Школьный психолог. 2006. № 7. С. 20–29.

141

Научное издание

МОЛОДЁЖЬ — НАУКЕ. 2017

Материалы молодёжных научно-практических конференций

Псковского государственного университета по итогам научно-исследовательской работы в 2016/2017 учебном году

Том VIII

Технический редактор: В. А. Дмитриев, С. В. Трифонов Компьютерная вёрстка: С. В. Трифонов

Корректор: С. Н. Емельянова ________________________________________________________

Подписано в печать: 04.04.2018. Формат 60х90/16. Гарнитура Times New Roman. Усл. п. л. 8,875.

Тираж 95 экз. Заказ № 5513.

Отпечатано на Versant 2100.

Адрес издательства: Россия, 180000, г. Псков, ул. Л. Толстого, д. 4а, корп. 3а.

Издательство Псковского государственного университета

МОЛОДЁЖЬ — НАУКЕ. 2017€¦ · по итогам...

Documents