određivanje površina s karata i...
TRANSCRIPT
• O površinama u nekim starim udžbenicima (geodezije)
• O površinama u nekim novijim udžbenicima (geografije)
• Iluzije linearnosti (malo psihologije)
• Površina poligona
• Utjecaj kartografske projekcije
Martin Sabolović (1730-1801)
profesor teologije, raspravljanja i filozofije (matematike)
Exercitationes Gaeodeticae, 1775.
Matija Petar Katančić (1750-1825)
pjesnik, književni teoretičar, prevoditelj, leksikograf,
povjesničar, arheolog, numizmatičar, geograf i kartograf
Zemlyomirje / Elementa Geometriae Practicae / Uvod u
praktičnu geometriju - zemljomjerstvo, 1778-1788, rukopis
Paulus Makó de Kerek-Gede
(1723-1793)
Katančić:
Pridhodna Bilixenja od
Dillorednog' Zemlyomirja =
Uvodne bilješke iz praktičnog
zemljomjerstva
• geografija u osnovnoj školi
• u 5. razredu
• Planet Zemlja
• Snalaženje na Zemlji
• Reljef Zemlje
• Vode na Zemlji
• Vrijeme i klima
• Tlo, biljni pokrov i životinjski svijet
• Čovjek i priroda
Fotografije snimljene s brojnih umjetnih satelita koji kruže
oko Zemlje potvrđuju da je Zemlja okrugla. ...
Sve točke na površini nisu jednako udaljene od njezina
središta. Zato kažemo da Zemlja ima oblik elipsoida,
točnije ona je geoid.
ELIPSOID – geometrijsko tijelo čiji oblik podsjeća na jaje.
Zemljina revolucija je pojava kretanja Zemlje oko Sunca
po putanji koja ima gotovo oblik kružnice (elipsa) i
zove se ekliptika.
ELIPSA – izdužena zatvorena kružna crta jajolika oblika.
Nagradni zadatak
Izračunaj koliku ćeš udaljenost prijeći ako
zrakoplovom letiš iz Osijeka za Dubrovnik i
ako se on kreće pravocrtno.
Na zemljovidu mjerila 1:250 000 udaljenost
između ta dva grada iznosi 13 cm.
Rezultat izrazi u kilometrima.
Zaključci za 5. razred
• u 5. razredu trebalo bi izostaviti:
elipsu, elipsoid, geoid, kutnu udaljenost i
susjedni meridijan
• sve pojmove trebalo bi uvesti na ispravan, a ne
iskrivljen ili čak pogrešan način
• piscima udžbenika trebali bi pomoći geodeti,
kartografi i matematičari
• geografija u gimnazijama, 4 godine
• u srednjim ekonomskim školama, 4 godine
• u srednjim strukovnim školama, 2 godine
“Prvi podatak o
dimenzijama Zemlje
potječe od
Eratostena. ...
izračunao je da je
opseg Zemlje
39 375 km ... Na
temelju opsega
možemo izračunati
ostale dimezije:
ekvatorski i polarni
polumjer, površinu
itd.”
“Ako stupanjsku mrežu ucrtavamo kao ravne pravce,
kružnice i lukove (geometrijske crte), dobivamo obične
projekcije. One ne zadovoljavaju u omjerima
površina.”
• neravni pravci ?
• neobične projekcije ?
• Lambertova ekvivalentna azimutalna projekcija
“Dodirna točka projekcije može biti pol, ekvator ili bilo koja
paralela ...”
“Lambertova projekcija s dvije standardne paralele je
konvencionalna stožasta projekcija na kojoj je očuvana
konformnost i ekvivalentnost u smjeru istok – zapad.”
Zaključci
• Ne vjeruj profesoru
• Ne vjeruj udžbeniku
• Piscima udžbenika iz geografije trebali bi
pomoći geodeti, kartografi i matematičari
Zaključci za 1. razred
Na početku 1. razreda bilo bi dobro da učenici imaju
osnovna znanja o sljedećim pojmovima:
• proporcionalnost
• linearno mjerilo
• koordinatni sustav u ravnini
• Pitagorin poučak
• jednakost kutova s okomitim kracima
• opseg kružnice i površina kruga
• površina i volumen kugle
• osnovno o elipsi i rotacijskom elipsoidu
• sustav geografskih koordinata
• osnove kartografskih projekcija
Štefu treba 8 sati da preore zemlju u obliku kvadrata
kojem je stranica 200 m.
Koliko sati bi mu približno trebalo za preorati zemlju
kvadratnog oblika sa stranicom 600 m?
Odgovor: 72 sata
Štef je preorao zemlju u obliku kvadrata. Sutra bi
trebao preorati kvadratnu oranicu stranica koje je 3
puta veća.
Koliko će mu približno trebati za taj posao?
Odgovor: 9 puta više
Na karti Hrvatske u jednom atlasu je udaljenost od
Zagreba do Rijeke približno 2 cm i površina Hrvatske
oko 250 cm2.
Na zidnoj karti u predavaonici je udaljenost od
Zagreba do Rijeke 6 cm.
Kolika je površina Hrvatske na toj karti?
Odgovor: 2250 cm2
Nagradno pitanje
Na karti Hrvatske u jednom atlasu Miljenko je izmjerio
udaljenost od Zagreba do Rijeke. Na zidnoj karti u
predavaonici udaljenost od Zagreba do Rijeke je 3
puta veća od one u atlasu.
Koliko puta je površina Hrvatske veća na zidnoj karti?
Odgovor: 9 puta
U geodeziji i kartografiji
Površine se određuju:
• numerički
• grafički
• mehanički
Macarol (1950, 1960, 1978)
KartometrijaOdređivanje površina
• na temelju jednostavnih geometrijskih likova
• metodom riblje kosti
• numeričkim integriranjem (metoda pravokutnika,
trapeza, Simpsona)
• usporedbom sa standardnim likovima
• metodom kvadrata
• brojanjem točaka
• metodom pojaseva
• metodom vaganja
• metodom analize slika
• iz koordinata
...
Površina trokuta
1 1 1( , )T x y 2 2 2( , )T x y 3 3 3( , )T x y
1 12 2 2 1 2 11 1 3 3
2 23 3 3 1 3 12 2 1 1
3 3
11 1 1
12 2 2
1
x yx y x x y yx y x y
P x yx y x x y yx y x y
x y
1 2 3 2 3 1 3 1 2
1( ) ( ) ( )
2P x y y x y y x y y
Površina poligona
1 2 3 2 3 1 3 1 2
1( ) ( ) ( )
2P x y y x y y x y y
1 1
1( )
2i i iP x y y
O
+x
+y
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
r1
r4
1
Površina poligona
1 1
1( )
2i i iP x y y
1 1
1( )
2i i iP y x x
1 1
1( )( )
2i i i iP y y x x
1 1
1( )( )
2i i i iP x x y y
1 1
1( )
2i i i iP x y y x
1( )
2i i i iP x y y x
1
1( )
2i i iP x y y
1
1( )
2i i iP y x x
1( 2 )
2i i i iP x y x y
1( 2 )
2i i i iP x y y x
1i i ix x x 1i i iy y y
Površina poligona - poopćenje
1( )
2i i i iP x y y x 1i i ix x x 1i i iy y y
1
2C
P xdy ydx
C D
N MMdx Ndy dxdy
x y
Greenova formula
Domaća zadaća:
Izvesti Pitagorin poučak
primjenom geodetske
formule
Bogomolny, A. (2015): Front Page, Interactive
Mathematics Miscellany and Puzzles
U geodeziji i kartografiji
Kartografske projekcije
• konformne
• ekvivalentne
• ekvidistantne
• uvjetne
Usuh
Eulerov integral
Eulerov poligonalni postupak
Eulerov teorem o poliedrima
Eulerov teorem teorije grafova
Eulerova diferencijalna jednadžba
Eulerova projekcija
Eulerova formula
Eulerova funkcija
Eulerova konstanta
Eulerova relacija
Eulerovi brojevi
Eulerovi grafovi
Eulerovi kutovi
Eulerovi trokuti
1 1
1( )( ) /
2i i i i iP y y x x p
2i ip m
2 4
0 2 41
2 24i
y ym = m + +
R R
1
2
i iy yy
Potebno je poznavati kartografsku projekciju i
raspodjelu deformacija zbog projekcije
Zaključak
• U udžbenicima ima svakakvih bedastoća
• Za računanje površina poligona postoje
različite formule
• Ako površinu određujemo s karte ili plana
potrebno je voditi računa o deformacijama
zbog projekcije
• Rezultat ovisi o točnosti koordinata vrhova
poligona pa je to uvijek samo procjena
