ODDS Algorithmus

Oder

Die Kunst, sich richtig zu entscheiden

Jana Fenske / Bernhard Früh

Ein Autokauf steht an:

Ein Schnäppchen ??? 55.000 Km, 75 PS, 5 Türen, aus 04/06Mit Klima, Navi, aus 1.Hand...

SIE müssen den Preis bieten...

Ein Schnäppchen ??? 55.000 Km, 75 PS, 5 Türen, aus 04/06Mit Klima, Navi, aus 1.Hand...

Modellierung:-keine zweite Chance-nur ein Angebot-Sie brauchen ein Auto..

WAS ist Ihr Preis ???

Als Verkäufer brauche ich eine Strategie...

• - ich will verkaufen

• - möglichst hohen Preis erzielen

• - keine Chance auf ein Wiedersehen

• - wenig bis keine Informationen vom Markt

• Was ist zu tun ???

Neues Beispiel, Neues Glück

• Sie würfeln mit einem Würfel• Genau zwölfmal• Sie gewinnen, wenn Sie die „letzte“ Sechs

richtig vorhersagen• Bsp: 3, 6, 4, 1, 2, 6, 3, 6, 2, 5, 1, 3• Wenn Sie falsch liegen, oder gar keine

Sechs fällt, gewinnt die Bank • Welche Strategie verspricht Erfolg...???

Die Kunst der richtigen Entscheidung

• Grundüberlegungen:

• Jeder Wurf ist ein unabhängiges Ereignis

• Nach der letzten Gelegenheit gibt es kein „Zurück“ mehr

• Ungewissheit der Zukunft

• Sei E1,E2, E3, ...En eine Folge von n unabhängigen Ereignissen

• Sei pk die Wahrscheinlichkeit, dass sich Ek als Gelegenheit herausstellt

• Wir definieren qk als Gegenwahrscheinlichkeit: qk=1-pk

• Wir bilden rk=• Wir schreiben pk,qk,rk untereinander• Wir summieren die rk von hinten bis der Wert 1

erreicht oder überschritten wird• Diese Stelle heißt Stopp-Stelle s• Strategie ist: Nimm die nächste Gelegenheit nach s

Der Odds-Algorithmus

€

pkqk

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12pk

€

16

€

16

€

16

€

16

€

16

€

16

€

16

€

16

€

16

€

16

€

16

€

16

qk

€

56

€

56

€

56

€

56

€

56

€

56

€

56

€

56

€

56

€

56

€

56

€

56

rk

€

15

€

15

€

15

€

15

€

15

€

15

€

15

€

15

€

15

€

15

€

15

€

15

Summe 1.0

€

45

€

35

€

25

€

15

Zielerreicht• rückwärts aufaddiert: R=rn+rn-1+rn-2+... Bis R 1

• der Wert 1 wird erreicht beim fünftletzten Wurf• wir nehmen also die erste Sechs ab dem achten Wurf

Der Odds-Algorithmus beim Würfeln

€

≥

Optimale Strategie ?

• Wir bilden Qk= mit s als Stopp-Index

• Q=

• Erfolgswahrscheinlichkeit: W=Rs*Qs= 1.0*0.4019 = 40.19%

€

qn∗qn−1∗qn−2∗...qs

€

56 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟5≈0.4019

Der Odds-Algorithmus beim Autoverkauf

• Annahme: 8 ernsthafte Interessenten

• pk= qk= rk=

€

1k

€

k −1

k

€

1

k −1

n 1 2 3 4 5 6 7 8pk

€

11

€

12

€

13

€

14

€

15

€

16

€

17

€

18

qk 0

€

12

€

23

€

34

€

45

€

56

€

67

€

78

rk 1

€

12

€

13

€

14

€

15

€

16

€

17

Summe

€

153140

€

319420

€

107210

€

1342

€

17

Zielerreicht

Optimale Strategie ?

• Wahrscheinlichkeit für Optimum:

• W=Rs*Qs

• hier: 1.093*0.375=0.4099...ca. 41%

Der Odds-Algorithmus beim Arzt

• Idee der Vorstellung der Behandlungen:Folge von: - + - - + - - - - -

• Aufgabe: finde optimalen Stopp-Punkt der Versuchsreihe (Analog Würfelspiel)

• aber jetzt: unbekannte pk : Annahme konstant: muss geschätzt werden (Idee: Würfel ist gezinkt)

• oder: unbekannte pk : Annahme nicht konstant: muss geschätzt werden (je schlechter es dem Patienten geht, desto mehr sinken die Aussichten)

Odds-Algorithmus in der Politik

• Frage: Timing für Argumente ( im Wahlkampf)• (die Stichhaltigkeit der Argumente wird vorausgesetzt)• Es gibt interessante und uninteressante Ereignisse• Aus jedem Tag k kann mit der WS ek ein Ereignis hervorgehen,

das wiederum mit der WS gk interessant ist.• Unter Annahme der Unabhängigkeit gilt: pk=ek*gk • Beispiel: Die „Anderen“ sagen alle 14 Tage was zum Thema

Pendlerpauschale: ek=• Einschätzen der Chance, dass eigene Äußerungen dazu

erfolgreich sind (einer von drei Fällen): gk=• pk= €

1

14

€

1

3

€

1

14*

1

3=

1

42

Odds-Algorithmus Ausblick:

• viele Alltagsprobleme können modelliert werden

• Sekretärinnen-Prinzessin-Problem/Hausverkauf

• aber:Aktienkurse (Kurs von morgen ist sehr wohl vom Kurs von heute abhängig!)

Odds-Algorithmus Anwendung:

• 10 Zahlen auf 10 (gemischten) Karten

• Ziel: die größte Zahl zu finden

• Dabei: Umdrehen, annehmen oder verwerfen, keine zweite Chance

Odds-Algorithmus Anwendung:

• 10 Zahlen auf 10 (gemischten) Karten

• Ziel: die größte Zahl zu finden

• Dabei: Umdrehen, annehmen oder verwerfen, keine zweite Chance

• Näherung nach Odds-Algorithmus:

• Multipliziere die Anzahl der Angebote mit 0.367 und runde ab als Näherung für s

Der Mann-Whitney-U-Test

ein Rangsummentest für eine

besondere Entscheidungssituation

mit kleinen Datenmengen

Häuserverkäufe durch Makler

• Rita (n1=8) Walter (n2=8)

• voneinander unabhängige Daten• Gibt es einen Unterschied der Verkaufszeiten ???

Rita Rasant Walter Kommtgleich

Häuserverkäufe durch MaklerRita Rasant Walter Kommtgleich

was sagt uns der Vergleich der Boxplots ?

Testen der Hypothese mit Rangsummentest

• H0 Hypothese: Die Verkaufszeiten unterscheiden sich nicht signifikant

• H1 Hypothese: Die Verkaufszeiten sind signifikant unterschiedlich

Testen der Hypothese mit Rangsummentest

• Ordnen der Daten von kleinsten zu größten

• Rangplätze vergebenBei gleichen Werten(hier 145) wird der Rangaufgeteilt. Beide erhalten den Rang 6.5

Rangsumme T von RitaBilde: TR

• Bei werden die Werte für TL und TU aus der Tabelle bestimmt:

• Hier: TR= 52.5 => Wir können H0 nicht ablehnen.

Auswertung der Teststatistik

€

α=0.05

Es ergibt sich:

TL =49 und TU =87

• Der Stichprobenumfang ist relativ gering (8Werte)• Die Standardabweichung liegt in beiden Fällen bei

über 70, was relativ groß im Vergleich zum Median ist.

• Die Wahrscheinlichkeit, mit der das Testergebnis zufällig eintreten könnte, unter der Voraussetzung, dass H0 richtig ist, kann nicht berücksichtigt werden.

Auswertung der Teststatistik

Erweiterte Anwendung

• Zwei Sportlerteams kommen für einen Wettkampf aus dem Trainingslager zurück.

• Hier die Ergebnisse, es gab maximal 20 Pkt.

• H0: Beide Teams hatten das gleiche Training.

• H1: Das Training war signifikant unterschiedlich.

A 9 10 10 12 13

B 11 15 15 16 18

Erweiterte Anwendung

• Sortieren der Daten mit Gruppenzuordnung

• U=Summe der B-Werte vor jedem A-Wert • U´=Summe der A-Werte vor jedem B-Wert • U > U´• U=0+0+0+1+1=2 (U´=3+5+5+5+5=23)

9 10 10 11 12 13 15 15 16 18

A A A B A A B B B B

Erweiterte Anwendung

• Tabelle mit:

• n2=5• U=2

• ergibt:• p= 0.016• 2p=0.032

• H0 wird abgelehnt. H1 wird angenommen.

Übung

• 5 Labormäuse lernen, dass sie bei Hunger dem Anführer folgen müssen, um Futter zu erhalten.

• Dann werden sie einer neuen Situation ausgesetzt, bei der sie Elektroschocks vermeiden müssen, indem sie wiederum dem Anführer folgen.

• Eine Kontrollgruppe von 4 Mäusen, die kein voriges Training über die Futterbelohnung erhalten hat, wird ebenfalls in der Elektroschock Situation beobachtet.

• Lernt die erste Gruppe Mäuse schneller?

Aufgabe:

• Stellen Sie die Hypothesen H0 und H1 auf

• Überprüfen Sie diese mittels Mann-Whitney-U-Test

• Sie erhalten folgende Beobachtungsdaten:

ExpM 78 64 75 45 82

KontrM 110 70 53 51

Auswertung:

• Rangordnung herstellen

• U=Summe der Anzahl der E Werte vor jedem K Wert

• hier: U=1+1+2+5=9

45 51 53 64 70 75 78 82 110

E K K E K E E E K

Auswertung:

• mit U=9und n2=5 aus Tabelle:

• p=0.452 abgelesen• Wir können H0 nicht zurückweisen• Es gibt keine Hinweise, dass das Futtertraining

übertragbar ist.

Zusammenhang: U und U´

• Behauptung:

• n1* n2= U + U´

• Beispiel Häuserverkauf

• n1=5 und n2=5

• U=0+0+0+1+1=2 und U´=3+5+5+5+5=23• 5*5=23+2

Formel zur Berechnung von U

• Behauptung:

• oder auch:

• ist n2>20: Annäherung der Stichprobenverteilung von U an die Normalverteilung

€

U = n1 ∗n2 +n1 ∗(n1 +1)

2− R1

€

U = n1 ∗n2 +n2 ∗(n2 +1)

2− R2

Literatur:

• Odds-Algorithmus: Prof.Dr.Thomas Bruss, Uni Brüssel In: Spektrum der Wissenschaft, Juni 2005, S.78-84

• Bas Kast: Wie der Bauch dem Kopf beim Denken hilft, 2007

• Waldemar Hofmann: Das Testen von Hypothesen, 1986

• Deborah Ramsey: Weiterführende Statistik für Dummies, 2008