obwody i sygnaŁy 2 wyk ł - zoise.wel.wat.edu.plzoise.wel.wat.edu.pl/dydaktyka/wel...

OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS

dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]

1 /20

16. CHARAKTERYSTYKI CZASOWE UKŁADÓW SLS 16.1. SPLOT FUNKCJI

A) DEFINICJA

Niech dane będą dwie funkcje f1(t) i f2(t) całkowalne w każdym prze-dziale (t1,t2), 0≤t1≤t2<∞, wówczas splotem tych funkcji nazywać będziemy funkcję q(t) określoną dla t≥0 w sposób następujący

( ) ( ) ( ) ( ) τττ dtfftftftqt

∫ −==0

2121 *)( (16.1)

Operację tworzenia splotu nazywamy splataniem funkcji f1(t) i f2(t) lub ich mnożeniem splotowym.

Interpretacja graficzna splotu Rozpatrzmy funkcje f1(t) i f2(t)

- w pierwszym etapie wykreśla-my funkcje f1(τ) i f2(τ) przyjmu-jąc τ za zmienną całkowania 1 2

1f (t)1

t1 2

1f (t)2

3 4

f ( )1 τ f ( )2 τ

τ t τ

W etapie drugim tworzymy lustrzane odbicie f2(-τ) funkcji f2(τ) 1 2

1f ( )1 τ

τ

f (- )2 τ

-1-2-3-4

1 2

1f ( )1 τ

τ

f (t - )2 1 τ

-1-2 t1

Następnie przesuwamy funk-cję f2(-τ) wzdłuż osi τ o pewną wartość, przyjmijmy t1 – w efek-cie uzyskujemy funkcję f2(t1-τ).

Całkujemy iloczyn funkcji f1(τ)⋅f2(t1-τ) ze względu na τ - jest to pole pod krzywą wypadkową funkcji f1(τ) i f2(t1-τ). Wartość splotu f1(t)∗f2(t) w chwili t=t1 jest równa temu polu powierzchni. 1 2

1

f (t)*f (t)1 2

t3 4t1

5 6

1,5



2 /20

B) WŁASNOŚCI SPLOTU

własność 1 - splatanie funkcji jest przemienne:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ττττττ dftfdtfftf*tftf*tft

021

t

0211221 ∫∫ −=−== (16.2)

własność 2 - splatanie funkcji jest łączne:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )tf*tf*tftf*tf*tftf*tf*tf 321321321 == (16.3)

własność 3 - splatanie funkcji jest rozdzielne względem dodawania:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tf*tftf*tftf*tftf 3231321 +=+ (16.4)

splot funkcji f(t) z funkcją jednostkową 1(t)

( ) ( ) ττ df1*tft

0∫= (16.5)

Zatem mnożenie splotowe funkcji f(t) przez funkcję jednostkową 1(t) jest równoznacz-ne z całkowaniem funkcji f(t) w przedziale (0,t)

splot funkcji f(t) z funkcją impulsową Diraca δ(t)

Na podstawie definicji ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τττδδδ dtftf*tt*tf ∫∞

∞−

−==

Ponieważ δ(t) istnieje tylko przy τ=0 - co oznacza, że należy brać pod uwagę wartość funkcji f(t-τ) tylko w punkcie τ=0, a więc f(t-τ) może być zastąpiona przez f(t). Za-tem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1tfdtfdtft*tf ⋅=== ∫∫∞

∞−

∞

∞−

ττδττδδ

stąd ( ) ( ) ( )tft*tf =δ (16.6a)

Ponadto ( ) ( ) ( )00 ttftt*tf −=−δ (16.6b)



3 /20

C) TWIERDZENIE BORELA O SPLOCIE

Jedną z najważniejszych właściwości przekształcenia Laplace’a jest

twierdzenie o splocie tzw. twierdzenie Borela:

( ) ( )[ ] ( ) ( )sFsFtftf 2121 * ⋅=L (16.7a)

lub ( ) ( )[ ] ( ) ( )tftfsFsF 21211 *=⋅−L (16.7b)

gdzie: ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tfsF,tfsF 2211 LL ==

D) TWIERDZENIE O TRANSFORMACIE POCHODNEJ SPLOTU

Transformata Laplace’a pochodnej splotu

( ) ( )[ ] ( ) ( )sFsFstf*tftd

d2121 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡L (16.8a)

czyli ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tf*tftd

dsFsFs 21211 =−L (16.8b)



4 /20

E) CAŁKA DUHAMELA

( ) ( )[ ] ( ) ( ) τττ dtfftd

dtftftd

dt

∫ −=0

2121 * (16.9)

wyrażenie to nazywamy całką Duhamela (całką superpozycji)

Zgodnie z twierdzeniem o różniczkowaniu całki względem parametru (jeśli obie funkcje f1(t) i f2(t) mają ciągłe pochodne dla t>0) napiszemy

( ) ( )[ ]=tftftd

d21 *

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ττττττ dtffftfdtfftd

dtt

∫∫ −+=−= +

0

'2121

021 0 (16.10a)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ττττττ dftftffdftftd

dtt

∫∫ −+=−= +

02

'121

021 0 (16.10b)

a korzystając z przemienności splotu otrzymamy pozostałe postacie całki Duhamela

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) τττ dftf0ftftf*tftd

d t

0

'212121 ∫ −+= + (16.10c)

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) τττ dtfftf0ftf*tftd

d t

02

'12121 ∫ −+= + (16.10d)



5 /20

16.2. OPERATOROWE FUNKCJE UKŁADU

Rozpatrzmy układ elektryczny, na który działa wymuszenie przyczy-nowe f(t) (napięciowe lub prądowe) i dla którego poszukiwaną funkcją jest odpowiedź r(t) (prądowa lub napięciowa).

f t ( ) r t ( )układSLS

Jeśli wielkości f(t) i r(t) występują na tych samych zaciskach to rozpa-trywany układ staje się dwójnikiem. Jego stan opisany jest parą funkcji: prądu wejściowego i napięcia

I (s)Z

i (t)=f(t)Z

U(s)

u(t)=r(t)

Z(s)

a)

b) u (t)=f(t)0

U (s)0

I(s)

i(t)=r(t)

Y(s)

W zależności od wymuszenia odpowiedź wyznaczamy ze wzoru

( ) ( ) ( )sIsZsU Z= (16.11a) ( ) ( ) ( )sUsYsI 0= (16.11b)

gdzie:

Z(s) – operatorowa IMpedancja Y(s) – operatorowa adMITANCJA

Dla obu tych funkcji układu spełniających związek ( ) ( ) 1sZsY = (16.12)

stosujemy określenie : operatorowa IMMITANCJA



6 /20

W przypadku wyodrębnienia dwóch par zacisków mamy do czynienia z czwórnikiem. Jeśli wymuszenie jest związane z jedną bramą a odpo-wiedź z drugą to relacje pomiędzy nimi - stosunek odpowiedzi do wymu-szenia nazywamy TRANSMITANCJĄ operatorową.

F s( ) R(s)K(s)

( ) ( )( ) .P.WzerowychprzysFsRsK = (16.13)

czyli ( ) ( ) ( )sFsKsR = (16.14)

Wyróżniamy operatorową:

K (s)uI (s)=02

U (s)2

U (s)1

transmitancję napięciową

( ) ( )( ) ( ) 0sI1

2u

2sUsUsK

=

= (16.15a)

K (s)iuI (s)=02

U (s)=02

U (s)1

transmitancję prądowo-napięciową

( ) ( )( ) ( ) 0sU1

2ui

2sUsIsK

=

= (16.15b)

K (s)iI (s)2 I (s)1

U (s)=02

transmitancję prądową

( ) ( )( ) ( ) 0sU1

2i

2sIsIsK

=

= (16.15c)

K (s)uiI (s)=02

U (s)2

I (s)1

transmitancję napięciowo-prądową

( ) ( )( ) ( ) 0sI1

2iu

2sIsUsK

=

= (16.15d)



7 /20

Rozpatrzmy dwa szczególne przypadki funkcji wymuszającej f(t)

① Gdy funkcją wymuszającą jest funkcja impulsowa Diraca δ(t) Czyli ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 1==→= sFtttf δδ L

wówczas ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sKsKsFsKsR === 1 (16.16)

F s( )=1 R(s)=K(s)K(s)

Oznacza to, że funkcja transmitancji K(s) jest tożsama z operatorową

odpowiedzią układu na wymuszenie impulsowe. Można zatem nazwać ją operatorową funkcją impulsową układu.

② Gdy funkcją wymuszającą jest funkcja skoku jednostkowego 1(t)

Czyli ( ) ( ) ( )[ ] ( )s

sFtttf 111 ==→= L

wówczas ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sHs

sKsFsKsR ===1

(16.17)

F s( )=1/s R(s)=K(s)/s=H(s)K(s)

Tę szczególną odpowiedź H(s) nazywamy operatorową odpowie-

dzią układu na wymuszenie skokiem jednostkowym.



8 /20

Zatem relacje pomiędzy operatorową funkcją impulsową układu K(s) i operatorową odpowiedzią układu na wymuszenie skokiem jednostkowym H(s) są następujące:

( ) ( )

( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

sHssKssKsH

(16.18)

Znajomość jednej z tych funkcji pozwala łatwo określić drugą. 16.3. CHARAKTERYSTYKI CZASOWE

Czasową charakterystykę układu o określonym wejściu i wyjściu - stanowi przebieg sygnału wyjściowego, gdy na wej-ściu działa wymuszenie będące sygnałem wzorcowym.

Najczęściej używanymi sygnałami wzorcowymi w procesach bada-nia układów są:

① sygnał impulsowy δ(t)

② sygnał skoku jednostkowego 1(t) ______________________________

Rozpatrzmy ponownie zależność (16.14)

( ) ( ) ( )sFsKsR = gdzie: F(s) = L[f(t)] – jest transformatą wymuszenia K(s) = L[k(t)] – jest transmitancją operatorową

Zatem zgodnie z twierdzeniem Borela (16.7b) oryginał odpowiedzi r(t) określony jest funkcją splotu

( ) ( ) ( )tftktr *= (16.19)

F s( ) R(s)K(s)

f(t) r(t)*k(t)L-1



9 /20

A) CHARAKTERYSTYKA IMPULSOWA

① Jeśli sygnałem wzorcowym jest funkcja impulsowa Diraca δ(t) to zgodnie z (16.19) i (16.16)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )tksKtr

tkttktr

==

==−1

*

Lδ

(16.20)

zatem k(t) – zwana CHARAKTERYSTYKĄ IMPULSOWĄ UKŁADU (funkcją/charakterystyką impulsową) jest tożsama z odpowiedzią układu na wymuszenie impulsem Diraca.

B) CHARAKTERYSTYKA SKOKOWA

② Jeśli sygnałem wzorcowym jest funkcja skoku jednostkowego 1(t) to zgodnie z (16.17)

( ) ( ) ( )[ ] ( )thsHsKs

tr ==⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= −− 11 1 LL (16.21)

zatem h(t) – zwana CHARAKTERYSTYKĄ SKOKOWĄ UKŁADU (funkcją/charakterystyką przejściową) jest tożsama z odpowiedzią układu na wymuszenie skokiem jednostkowym.

C) ZWIĄZKI POMIĘDZY CHARAKTERYSTYKAMI

Z relacji (16.18)

wynikają następujące

związki

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=⎯⎯ →⎯=

=⎯⎯ →⎯=

−

−

∫

tdthdtksHssK

dkthssKsH

t

1

1

0

)(

L

L ττ (16.19)



10 /20

Znając charakterystykę czasową układu rs(t) jako odpowiedź na sygnał wzorcowy fs(t), możemy wyznaczyć odpowiedź układu na do-wolny sygnał przyczynowy, korzystając z zależności

( ) ( )( ) ( )⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= − sF

sFsRtr

s

s1L (16.23)

♦ Mając charakterystykę impulsową k(t) można wyznaczyć odpo-wiedź układu na dowolny sygnał przyczynowy f(t), korzystając z twier-dzenia Borela (16.7) oraz definicji splotu (16.1) i jego własności (16.2):

( ) ( ) τττ dtfktrt

∫ −=0

)( (16.24a)

( ) ( ) τττ dftktrt

∫ −=0

)( (16.24b)

♦ Mając charakterystykę skokową h(t) można wyznaczyć odpowiedź układu na dowolny sygnał przyczynowy f(t), korzystając z twierdzenia o transformacie pochodnej splotu (16.8) oraz całki Duhamela (16.10):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τττ dtfhfthtrt

∫ −+=0

'0 (16.25a)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τττ dfthtfhtrt

∫ −+=0

'0 (16.25b)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τττ dfthfthtrt

∫ −+=0

'0 (16.25c)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τττ dtfhtfhtrt

∫ −+=0

'0 (16.25d)



11 /20

PRZYKŁAD 1: Znając charakterystykę przejściową układu

( ) ( )teR

tht

LR

111⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

−

Wyznaczyć odpowiedź tego układu (prąd w obwodzie i(t)) na wymuszenie przyczynowe liniowe f(t) = t1(t) w zależności od parametrów pierwotnych tego układu.

Zal. (16.25c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τττ dfthfthtrt

∫ −+=0

'0

( ) 00 =f ( ) ( )ττ 1' =f

( )ti ( )( )

( ) =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+⋅= ∫

−−ττ

τde

Rth

t tLR

00

1110321

( ) ( ) =−= ∫∫+−

τττττ

deR

dR

tLRt

LRt

001111

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

+−t

LRt

LRt

eRL

RR00

11 ττ

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−=

−+− tLRt

LRt

LR

eeRLt

R 21

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−=

− tLR

eeRLt

R0

21

( )teRLt

Rt

LR

1112 ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−=

−



12 /20

16.4. ZWIĄZKI MIĘDZY CHARAKTERYSTYKAMI CZASOWYMI I CZĘSTOTLIWOŚCIOWYMI

WPROWADZENIE Znajomość transmitancji bądź immitancji operatorowej układu pozwa-

la wyznaczyć charakterystykę częstotliwościową stanu ustalonego dla układu klasy SLS, stabilnego, prawie we wszystkich punktach ω∈(0.∞), przez proste podstawienie s=jω. Zatem

( ) ( ) ωω jssKjK == (16.26)

Wykorzystując jednostronne przekształcenie Laplace’a (10.13) mo-

żemy powyższe równanie przekształcić w zależność słuszną dla ω∈(0.∞)

( ) ( ) ( )∫∫∞

−

=

∞− ==

00

tdetktdetkjK tj

js

ts ϖ

ω

ω (16.27)

Otrzymujemy zatem jednostronne przekształcenie Fouriera, które istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy

( ) ∞<∫∞

dttk0

Jak wiemy K(jω), czyli charakterystyka amplitudowo-fazowa, jest

wielkością zespoloną, którą możemy przedstawić w postaci algebraicznej lub wykładniczej:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωω ωωω jKjjKj eKejKjK argarg ==



13 /20

ZWIĄZKI GRANICZNE CHARAKTERYSTYK

Twierdzenie o wartości początkowej i końcowej funkcji f(t):

- jeśli ( ) ( )[ ]tfsF L= oraz istnieje granica ( ) ( )+→

=+

0lim0

ftft

, to

( ) ( )+∞→

= 0lim fssFs

(16.28)

- jeśli ( ) ( )[ ]tfsF L= oraz istnieje granica ( ) ( )∞=

∞→ftf

tlim , to

( ) ( )∞=→

fssFs 0lim (16.29)

Zatem jeśli operatorową funkcją układu jest transmitancja K(s) a cha-

rakterystyka impulsowa posiada skończone granice zarówno dla t→0+ jak i t→∞, to słuszne są związki

( ) ( )

( ) ( ) ⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

∞=

+

∞→

→

0lim

lim0

ksKs

ksKs

s

s (16.30)

Jeśli weźmiemy pod uwagę charakterystykę skokową (przejściową)

układu, to możemy zapisać przy założeniu, że h(t) posiada granice zarów-no dla t→0+ jak i t→∞ oraz uwzględniając zależności (16.18)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

==

∞==

+

∞→∞→

→→

0limlim

limlim00

hsKsHs

hsKsHs

ss

ss (16.31)

następnie uwzględniając wzór (16.26) otrzymujemy:



14 /20

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

==

∞==

+

∞→=∞→

→=→

0limlim

limlim00

hKsK

hKsK

jss

jss

ω

ω

ωω

ωω (16.32)

Są to związki o bardzo dużym znaczeniu praktycznym. Wynika z nich

jednoznacznie, że jeśli znamy np. charakterystykę amplitudową K(ω), to jej graniczne wartości określają jednoznacznie graniczne wartości funkcji skokowej (przejściowej) h(t) i odwrotnie.

t

1

0

h(t)

ω

1

0

K( )ω

ZWIĄZKI PARAMETRÓW CHARAKTERYSTYK

Jako podstawowe parametry charakterystyk czasowych przyjmuje się między innymi:

tn – czas narastania, to – czas opóźnienia, Z - zwis



15 /20

Czas narastania tn - układu dolnoprzepustowego definiujemy jako czas wzrostu charakterystyki skokowej (przejściowej) układu od 0,1 do 0,9 wartości ustalonej

1,09,0 tttn −= (16.33) Czas opóźnienia to - układu dolnoprzepustowego definiujemy jako czas

wzrostu charakterystyki skokowej (przejściowej) układu od 0 do 0,5 wartości ustalonej

05,0 ttto −= (16.34)

t

h =1ust

0

h(t)

to

tn

0,1

0,5

0,9

gn f

t 45,035,0 ÷= (16.35)

go f

t 1,0= (16.36)

Funkcję zwisu Z(t) - układu górnoprzepustowego definiujemy:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )thhththtZ ust −=−= 0 (16.37)

lub funkcję zwisu w procentach ( ) ( ) ( )( ) %1000

0% ⋅−

=h

thhtZ (16.38)

t

h(0)

0

h(t)

ti

Z(ti)

Dla małych wartości t

( ) tftZ gπ200% ≈ (16.39)



16 /20

PRZYKŁAD 2: Dla układu przedstawionego na rysunku, mając dane R1=9kΩ, R2=1kΩ, C=1mF, wyznaczyć:

C

R1

u1(t) R2 u2(t)

1. charakterystykę skokową, 2. czas narastania i opóźnienia, 3. charakterystykę impulsową.

Ad.1.

• Podajemy skok jednostkowy na wejście układu i przedstawiamy schemat operatorowy układu

1/sC

R1

U1(s) R2 U2(s)

R1

U1(s) Z2(s) U2(s)

gdzie: ( )CsR

R

RsC

RsCsZ

2

2

2

2

2 11

1

+=

+=

• Korzystając z dzielnika napięcia wyznaczamy operatorową funkcję

układu

( )sK ( )( ) ( )CsRRR

R

RCsR

RCsR

R

RsZsZ

212

2

12

2

2

2

12

2

11

1++

=+

+

+=

+=

CRsRRRR

2112

2

++=

s9101+

=



17 /20

• Wyznaczamy operatorową odpowiedź układu na wymuszenie sko-kiem jednostkowym (zależność 16.17)

( ) ( )( )sss

sssKsH

9101910

1

+=+==

UWAGA: znając H(s) możemy wyznaczyć (zal.16.31)

( ) ( ) ( ) 0910

1lim910

1limlim0 =+

=+

==∞→∞→∞→

+

sssssHsh

sss

( ) ( ) 1,0910

1limlim00

=+

==∞→→ s

sHshss

• Wyznaczamy charakterystykę czasową skokową układu (zal.16.21)

( ) ( )[ ] ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡+

== −−

sssHth

910111 LL

( )ass1+

1−L

→ ( )tae1a1 −−

Lp.9.

( ) ( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

= −−−

910

191

910

91

1091 111

ssssssth LLL

( ) ( )111

9101

91 9

10

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

− teth



18 /20

( ) ( )tetht

11,01,0 910

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

−

Ad.2. Czas narastania tn - 1,09,0 tttn −= Czas opóźnienia to - 05,0 ttto −= Wiemy już, że

( ) 000 == +ht ( ) 1,0=∞= htustal

0.12

0

h t( )

50 t0 1 2 3 4 5

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1



19 /20

( ) 09,01,09,09,0 =⋅=th

09,01,01,0 910

=−− t

e

1,009,01,0 910

−=−− t

e

01,01,0 910

−=−− t

e

1,0910

=− t

e

( )1,0ln9

10=− t

303,29

10−=− t

stąd: 073,29,0 =t

( ) 01,01,01,01,0 =⋅=th

stąd: 095,01,0 =t

czyli: 977,1095,0073,21,09,0 =−=−= tttn

( ) 05,01,05,05,0 =⋅=th

stąd: 624,05,0 =t

czyli: 624,00624,005,0 =−=−= ttto



20 /20

Ad.3. Sposób 1

Znając charakterystykę skokową, można wykorzystać zal. 16.22.

( ) ( ) ( ) ( )tetedtd

tdthdtk

tt1

9101,011,01,0 9

109

10

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−==

−−

( ) ( )tetkt

191 9

10

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

−

Sposób 2

Znając operatorową funkcję układu

( )s

sK910

1+

=

wykorzystujemy zal.16.20:

( ) ( )[ ] ( )tes

sKtkt

191

9101 9

1011

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+==

−−− LL

as1+

1−L

→ tae −

Lp.5.

0.12

0

k t( )

50 t0 1 2 3 4 5

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

obwody i sygnaŁy 2 wyk ł - zoise.wel.wat.edu.plzoise.wel.wat.edu.pl/dydaktyka/wel...

Documents