Obrada signala 1

2017-2018

27.09.2017.

Furijeova transformacija

• predstavljanje signala ili sistema u spektralnom domenu

• ako se Furijeova transformacija primeni na signal dobija se spektar signala

• ako se primeni na impulsni odziv sistema dobija se frekvencijski odziv sistema

Primer - sistemi

0 5 10 15-0.1

0

0.1

0.2

0.3

n

h1[n

]

0 5 10 15-0.2

0

0.2

0.4

0.6

n

h2[n

]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

/

|H1(e

j )|

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

/

|H2(e

j )|

Primer - signali

0 20 40 60 80 100-4

-2

0

2

4

n

x1[n

]

0 20 40 60 80 100-2

0

2

4

n

x2[n

]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

/

|X1(e

j )|

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

40

/

|X2(e

j )|

Furijeova transformacija(diskretnog signala)

nj

n

j enxeX

deeXnx njj

2

1

jeXnxF

nxeX j 1F

x[n] – diskretan signalX(ejω) – kontinulana funkcija

j j j

R IX e X e jX e X(ejω) - kompleksna funkcija bez obzira na to da li je ulazni signal x[n] realan ili kompleksan

X(e

jω)

–ko

nti

nu

aln

afu

nkc

ijap

oω

Furijeova transformacija(diskretnog signala)

2 2

2 2

j j n

n

j k j k n

n

j k j n j k n j

n

X e x n e

X e x n e

X e x n e e X e

Funkcija je periodična sa periodom 2π

Furijeova transformacija(konvergencija - dovoljan uslov)

svakozaeX j ,

j j n j n

n n n

X e x n e x n e x n

Konvergencija Furijeove transformacije

Kompleksan niz, realan niz...

• x[n] – kompleksan niz

njxnxnx IR

cos sin

cos sin

cos sin

j j n

R I

n n

j

R I

n

I R

X e x n e x n jx n n j n

X e x n n x n n

j x n n x n n

XR(ejω)

XI(ejω)

Kompleksan niz, realan niz...

• x[n] – realan niz

jj eXeX

cos sin

cos sin

j j n

n n

j

n

X e x n e x n n j n

X e x n n j x n n

cos sin

cos sin

j j n

n n

j

n

X e x n e x n n j n

X e x n n j x n n

Spektar signala

Amplitudski spektar (parna funkcija)

Fazni spektar (neparna funkcija)

exp argj j jX e X e j X e

1

* 2

2 2

j j j

j j

R I

X e X e X e

X e X e

1arg tan

j

Ij

j

R

X eX e

X e

j j n

n

X e x n e

j j j

R IX e X e jX e

Spektar signala - primer

1, 0

0,

n Nx n

n N

1

0

2 2 2

2 2 2

1

2

1

1

sin2

sin2

j NNj j n

jn

j N j N j N

j j j

j N

eX e e

e

e e e

e e e

N

e

Spektar signala - primer

Frekvencijski odziv LTI sistema nj

enx 0

k

kjnj

k

knj

k

ekheekhknxkhny 000

k

kjjekheH 00

njjeeHny 00

000 argexp

jjj

eHjeHeH

00 argexp 0

jjeHnjeHny

Frekvencijski odziv LTI sistema

nj

n

j enheH

Frekvencijski odziv sistema

Amplitudska karakteristika

Fazna karakteristika

exp argj j jH e H e j H e

jjH e e M

2 2

j j j

R IH e H e H e

M

1arg tan

j

Ij

j

R

H eH e

H e

j j n

n

H e h n e

j j j

R IH e H e jH e

Frekvencijski odziv LTI sistema - primer

Frekvencijski odziv LTI sistema - primer

Konvolucija u vremenu

• Odziv LTI sistema na pobudu x[n] u vremenskom domenu je konvolucijaimpulsnog odziva i pobude

• U spektralnom domenu:

n

njj enyeY

jjj eHeXeY

Osobine

• Linearnost

• Periodičnost

• Inverzija u vremenu

nxeX j F*

jkj eXeX )2(

nbxnaxFebXeaX jj

2121

Osobine

• Pomeraj u vremenskom domenu

• Pomeraj u frekvencijskom domenu

• Diferenciranje u frekvencijskom domenu

nnxd

edXj

j

F

nxeeXnjj 00

F

00 nnxeXe jnj

F

Primeri

• Niz konačne dužine – kauzalan

• Nekauzalan niz sa simetričnim koeficijentima

• Kauzalan niz sa antisimetričnim koeficijentima

• cos(ω0n)

• Idealni filtri

Neki transformacioni paroviSignal {x[n]} Furijeova ransformacija X(ej)

[n] 1

[n-n0]

1, (<n<)

anu[n], (a<1)

n

nc

sin

. vr.druge za,0

,10,1

n

Nnnx

nje 0

n0cos

k

jj keke 22 00

k

k22 0

2/1

2/sin

2/sin

NjeN

.,0

,,1

c

cjeX

jae1

1

k

k22

0nje

Primer

• Signal – x[n]

• Filtar za usrednjavanje dužine 3

1 2 1 2

2 2cos cos , , 2

10 10x n n n

1

, 0,1,23

0, 2

nh n

n

Primer

• Signal – x[n]

• Filtar za usrednjavanje dužine 3

1 2 1 2

jX e

3sin

2

sin2

j jH e e

Primer

1

1 1 1 1

1

1 1

1 1

1

1

3sin

2,

3sin

2

1

2

3sin

1 2

2 3sin

2

3 3sin sin

1 12

2 3 2 3sin

2

j j j

j

j jn

j n

j n

Y e X e H e

e

y n Y e e d

e d

e

1

1

1

1

1 1

1 2

1 2

1 2

3sin

12 2cos 1

3sin sin

2 2

3 3sin sin

1 12 2cos 1 cos 1

3 3sin sin

2 2

j ne n

y n n n

Primer

Primer

Proizvod u vremenu

nhnwnv

n

njj enhnweV

n

njnjjj edeeHnweV2

1

deHenweV j

n

njj

2

1

1

2

jj j j jV e W e H e d H e W e

Periodična konvolucija

Parsevalova teorema

nxnhnw

n

j nxeV20

deXdeXeXeV jjjj2

0

2

1

2

1

deXnx j

n

22

2

1