oa prezentacija1

Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim

naukamaCime se bavi algebra?

Amela Muratovic-Ribic

30. septembar 2015

Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama

Cime se bavimo?

Algebra se bavi rjesavanjem algebarskih jednacina.

Algebarski izraz je ime za jednu ili vise algebarskih velicina, recimobrojeva ili slovnih simbola, koji su medusobno povezani znakovimakao +,−, ·, :,

√i td., kao i zagradama raznih vrsta radi definisanja

redosljeda algebarskih operacija.

Primjer

2 · a + (b − 3 · c) · (d ÷ a + 4)

Cime se bavimo?

Primjer

2 · a + (b − 3 · c) · (d ÷ a + 4)

Cime se bavimo?

Primjer

2 · a + (b − 3 · c) · (d ÷ a + 4)

Jednacine i identiteti

Jednacina je odnos jednakosti dva algebarska izraza, koja postajeispunjena poslije uvrstavanja samo odredenih vrijednosti umjestonjihovih slovnih simbola.

Primjer

Tako se npr. odnos jednakosti f (x) = g(x) izmedu dvije funkcijeiste promjenljive naziva jednacina sa jednom nepoznatom, ako vazisamo za odredene vrijednosti te nepoznate.

Razlika izmedu jednacine, jednakosti i identiteta?Ukoliko je jednakost ispunjena za proizvoljne vrijednostipromjenljive x , onda se ona zove identitet, odnosno kaze se da jeidenticki ispunjena i pise f (x) ≡ g(x).Jednakost je relacija (odnos) i moze biti ispunjena ili ne.

Primjer

Razlika izmedu jednacine, jednakosti i identiteta?

Ukoliko je jednakost ispunjena za proizvoljne vrijednostipromjenljive x , onda se ona zove identitet, odnosno kaze se da jeidenticki ispunjena i pise f (x) ≡ g(x).Jednakost je relacija (odnos) i moze biti ispunjena ili ne.

Primjer

Glavne velicine

U algebarskim izrazima glavne velicine su one po kojima sealgebarski izrazi klasifikuju. Njih treba utvrditi u svakompojedinacnom slucaju.

Kod funkcija glavne velicine su nezavisne promjenljive.

Ostale velicine, koje jos nisu zamjenjene brojevima suparametri koje u nekim slucajevima nazivamo i koeficijenti.

Glavne velicine

Klasifikacija izraza

Algebraski izrazi1 Cijeli racionalni izrazi su oni kod kojih se glavne velicine samo

sabiraju, oduzimaju i mnoze ukljucujuci i stepenovanje.ax3 − 2x + a

2 Razlomljeni racionalni izrazi sadrze i dijeljenje glavnih velicina i

cijelih racionalnih izraza. 2x2−3x+4

3 Iracionalni izrazi se odlikuju po korjenovanju cijelih ili

razlomljenih racionalnih izraza.√

x+ax−b .

Transcedentni izrazi sadrze algebarske izraze tj. racionalne iiracionalne izraze sa glavnim velicinama u eksponentu, podznakom logaritma ili kao argument neke trigonometrijskefunkcije. ex + a, log10(2x + 3), sin(x2 − 2).

x+ax−b .

Algebarske jednacine

Algebarska jednacina je ona koja kao funkcije f (x) i g(x) imasamo algebarske tj. racionalne i iracionalne funkcije.

Svaka algebarska jednacina moze se algebarskimtransformacijama svesti na normalni oblik

P(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . . + a1x + a0 = 0, an 6= 0

koja ima iste korjene kao polazna jednacina, ali ponekad inekoliko prekobrojnih.

Obicno uzimamo an = 1 i n se naziva stepen jednacine.

n−1 + . . . + a1x + a0 = 0, an 6= 0

Svodenje na normalni oblik

Primjer

Rijesiti jednacinux3

x − 1=

x − 1.

Normalni oblik ove jednacine je x4 − x3 − x + 1 = 0. Rjesenja sukubni korjeni od 1 u kompleksnim brojevima. Medutim x = 1 jerjesenje normalnog oblika, ali ne i polazne jednacine.

Sistem jednacina

Sistem jednacina ima u sebi vise nepoznatih ili vise jednacina.

Svaki sistem algebarskih jednacina se takode moze svesti nanormalan oblik

P1(x , y , . . . , z) = 0

P2(x , y , . . . , z) = 0

Pm(x , y , . . . , z) = 0.

gdje su Pi (x , y , . . . , z) polinomi po x , y , . . . , z .

Stepen sistema je maksimalni stepen polinoma Pi .

Ako je stepen sistema jednak 1 tada se sistem (jednacina)naziva linearan, a u suprotnom nelinearan.

Sistem jednacina

P1(x , y , . . . , z) = 0

P2(x , y , . . . , z) = 0

Pm(x , y , . . . , z) = 0.

Sistem jednacina

P1(x , y , . . . , z) = 0

P2(x , y , . . . , z) = 0

Pm(x , y , . . . , z) = 0.

Sistem jednacina

P1(x , y , . . . , z) = 0

P2(x , y , . . . , z) = 0

Pm(x , y , . . . , z) = 0.

Sistemi jednacina

Primjer

2x2y + z3 − 2 + xz = 0

ima stepen 3 pa je ovo nelinearna jednacina sa vise nepoznatih.

Primjer

ax + by = 1

2x − 4y = 0

ima stepen jedan i predstavlja linearni sistem jednacina.

Cime se bavi algebra?

Linearna algebra se bavi rjesavanjem sistema linearnihjednacina i sire.

Algebra se bavi rjesavanjem jedne nelinearne jednacine i sire.

Algebarska geometrija bavi se rjesavanjem sistema nelinearnihjednacina i sire.

Kako rjesiti trascedentne jednacine?

Transcedentne jednacine se obicno rjesavaju trazenjem pribliznogrjesenja tj. numerickim metodama, a direktno ih je moguce rijesitiukoliko se mogu sa smjenama svesti na algebarske jednacine.

Primjer

Rijesiti eksponencijalnu, znaci transcedentnu jednacinu,

2x−1 = 8x−2 − 4x−2.

Ova jednacina je2x

64− 22x

Smjena y = 2x daje algebarsku jednacinu y3 − 4y2 − 32y = 0, cijarjesenja su y1 = 8, y2 = −4 i y3 = 0. Rjesavanje y = 2x daje samojedan realan korijen x = 3.

Kako rjesiti trascedentne jednacine?

Transcedentne jednacine se obicno rjesavaju trazenjem pribliznogrjesenja tj. numerickim metodama, a direktno ih je moguce rijesitiukoliko se mogu sa smjenama svesti na algebarske jednacine.

Primjer

Rijesiti eksponencijalnu, znaci transcedentnu jednacinu,

2x−1 = 8x−2 − 4x−2.

Ova jednacina je2x

64− 22x

Smjena y = 2x daje algebarsku jednacinu y3 − 4y2 − 32y = 0, cijarjesenja su y1 = 8, y2 = −4 i y3 = 0. Rjesavanje y = 2x daje samojedan realan korijen x = 3.

Generalna rjesenja jednacina prvog i drugog stepena

Generalno rjesenje

ax = b, a 6= 0, x =b

Generalno rjesenje

ax2 + bx + c = 0, a 6= 0

x1/2 =−b ±

√b2 − 4ac

ima dva rjesenja.

Generalno rjesenj jednacine treceg stepena u C

Kardanov metod: Neka je normalni oblik jednacineax3 + bx2 + cx + d = 0. Nakon dijeljenja sa a i smjene y = z + b

3ajednacina postaje

y3+3pq+2q = 0, odnosno u svedenom obliku y3+p∗y+q∗ = 0

gdje je

q∗ = 2q =2b3

27a3− bc

ai p∗ = 3p =

3ac − b2

Rjesenje je

√−q +

√q2 + p3 +

√−q −

√q2 + p3.

Generalno rjesenje za jednacinu cetvrtog stepena

Poznato je i generalno rjesenje za jednacinu cetvrtog stepena

x4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0.

Korjeni ove jednacine se poklapaju sa korjenima jednacine

x2 + (b + A)x

by − d

pri cemu je y bilo koji korjen kubne jednacine

8y3 − 4cy2 + (2bd − 8e)y + e(4c − b2)− d2 = 0

i A = ±√

8y + b2 − 4c .

Jednacine petog stepena i vise

Mi ne znamo da nademo generalno rjesenje za jednacinu petogstepena ili viseg ( sto ne znaci da rjesenje ne postoji ali ga jos nikonije otkrio).

Ove jednacine je moguce rijesiti u specijalnim slucajevima.

Razvoj apstraktne algebre

U devetnaestom vijeku fizicari pocinju da koriste jednacine i uapstraktnijem smislu izucavajuci odredene fizikalne pojave.Npr. ako camac prelazi rijeku brzinom ~v i stigne u tacku A,kolikom brzinom tece rijeka?

~v + ~x = ~A, ~x =?

Jednacinaa ∗ x = b

moze se promatrati u slucaju kada su npr.1 a, b i x matrice , a operacija ∗ sabiranje ili mnozenje matrica.2 Koeficijenti a i b mogu biti i funkcije sa operacijom sabiranja,

mnozenja ili kompozicije funkcija.3 Moze biti slaganje vektora i td.

Razvoj apstraktne algebre

U devetnaestom vijeku fizicari pocinju da koriste jednacine i uapstraktnijem smislu izucavajuci odredene fizikalne pojave.Npr. ako camac prelazi rijeku brzinom ~v i stigne u tacku A,kolikom brzinom tece rijeka?

~v + ~x = ~A, ~x =?

Jednacinaa ∗ x = b

moze se promatrati u slucaju kada su npr.1 a, b i x matrice , a operacija ∗ sabiranje ili mnozenje matrica.2 Koeficijenti a i b mogu biti i funkcije sa operacijom sabiranja,

mnozenja ili kompozicije funkcija.3 Moze biti slaganje vektora i td.

Generalizacija u algebri

Dolazi do potrebe rjesavanja jednacina, ne samo u realnimbrojevima, nego i u drugim skupovima sa drugacijimoperacijama.

Razvoj apstraktne algebre u kojem se obliku ona i danaspojavljuje.

Znaci, sada smatramo da koeficijenti i glavna velicinapripadaju skupu S na kome je definisana operacija ∗ i zanimanas da li mozemo uvijek rijesiti neku algebarsku jednacinu natom skupu.

Primjer

Jednacina 3x = 5 nema rjesenje u skupu prirodnih i cijelih brojeva.Ova jednacina ima rjesenje u skupu racionalnih, realnih ikompleksnih brojeva funkcija

Primjer

oa prezentacija1

Documents