Studia Kantiana 14 (2013): 34-54

O papel da intuio e dos conceitos nas teorias

kantianas da geometria

[The role of intuition and concepts in the Kantian theories

of geometry]

Julio Esteves

Universidade Estadual do Norte Fluminense (Campos de Goytacazes, Brasil)

Introduo

Para muitos crticos de Kant, os argumentos visando provar que o

espao uma intuio pura a priori, s concebvel como tal se no for

nada alm de forma subjetiva de nossa intuio, e no uma determinao

aderente aos objetos em si mesmos, fundar-se-iam todos exclusivamente

na validade inquestionada da geometria euclidiana.1 Como tambm

observa Allison (2004, p. 116), para muitos crticos, a Exposio

transcendental do conceito de espao no forneceria simplesmente uma

prova adicional para teses independentemente defendidas na Exposio

metafsica, mas a sua nica prova. Se isso estivesse correto, o

aparecimento das assim chamadas geometrias no-euclidianas

representaria uma refutao de facto da concepo kantiana do espao.

Diante disso, os defensores de Kant tendem a pr em relevo a validade

em si e independncia que a Exposio metafsica do conceito de espao

teria relativamente geometria euclidiana. Isso posto, assumindo

tambm a defesa de Kant, gostaria de argumentar em sentido inverso,

evidenciando a independncia da geometria euclidiana relativamente s

teses apresentadas na Exposio metafsica. O apoio para essa minha

linha de defesa se encontra numa determinada teoria kantiana da

geometria, distinta da que usualmente discutida pelos intrpretes. Esta

ltima aquela teoria que pode ser depreendida de vrias passagens de

suas obras, em particular na Esttica transcendental da Crtica da razo

pura e nos pargrafos iniciais dos Prolegmenos, onde a exigncia de

Email: julioesteves@pq.cnpq.br. O presente artigo uma verso substancialmente ampliada e

revisada de um paper que apresentei no X Congresso Kant Internacional, que se encontra

publicado nas atas do mesmo (Esteves, 2005, pp. 173-184). 1 Um exemplo paradigmtico desse tipo de crtica pode ser encontrado, por exemplo, em Strawson

(1966, pp. 62 e 277) e tambm em Guyer (1987, pp. 360-1).

Esteves

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construo de conceitos resulta num papel de destaque dado intuio

pura no procedimento geomtrico, o que justamente d origem suspeita

por parte dos crticos. Entretanto, podemos encontrar em outras

passagens da prpria Crtica da razo pura,2 em particular na seo

intitulada Disciplina da razo pura no uso dogmtico, indicaes de uma

diferente concepo dos pressupostos da geometria, que, ainda que

igualmente sustente a necessidade de construo de conceitos, concede

um papel destacado ao conceito geomtrico e um papel absolutamente

secundrio intuio, sobretudo intuio pura. Ora, se pudermos

mostrar que esta ltima verso representa a posio consistente de Kant a

respeito dos pressupostos da geometria, ento teremos atravs disso

obtido um importante elemento para mostrar que ela independente da

concepo kantiana do espao como intuio pura e forma subjetiva da

intuio. Como consequncia lateral, teremos que, quaisquer que sejam

as deficincias dos argumentos especificamente destinados a

fundamentar a concepo kantiana do espao aduzidos na Exposio

metafsica, elas no tero nada a ver com a pretenso de dar conta das

condies formais transcendentais da geometria euclidiana, a nica que

Kant teve oportunidade de conhecer.

A parte fundamental do que estou chamando de teoria kantiana

da geometria usualmente discutida pelos intrpretes desenvolvida na

Esttica transcendental da Crtica da razo pura e nos pargrafos

correspondentes no incio dos Prolegmenos. Trata-se de passagens

fundamentais porque nelas que o prprio Kant acredita ter dado conta

adequadamente do elemento que tornaria primeiramente possveis os

juzos sintticos a priori produzidos pela geometria, a saber, a intuio

pura do espao como forma pura da intuio.3 preciso fazer essa

advertncia preliminar porque, como salientado pelos prprios

intrpretes, segundo Kant, as condies de possibilidade do

conhecimento geomtrico no esto ainda inteiramente dadas na Esttica

transcendental, tendo de ser complementadas pela contribuio dada pelo

entendimento, tal como podemos ver na Analtica transcendental.

Contudo, os intrpretes geralmente compreendem a contribuio dada 2 Doravante citada sob a forma abreviada KrV. As referncias Crtica da razo pura so sempre ao

texto da 1 e da 2 edies, designadas, respectivamente, como de slito, pelas letras A e B, e

seguindo, o mais das vezes, a traduo de Valerio Rohden. A traduo de passagens de outras obras de Kant de minha responsabilidade.

3 Como se pode verificar, por exemplo, na seguinte passagem da Exposio metafsica do espao:

Disso se segue que, no tocante ao espao, uma intuio a priori (no emprica) subjaz a todos os conceitos do mesmo. Assim, todos os princpios geomtricos, por exemplo, que num tringulo a

soma de dois lados maior do que o terceiro lado, jamais so derivados dos conceitos universais

de linha e de tringulo, mas, sim, da intuio, e isso a priori com certeza apodtica (KrV, A 25/ B

39).

O papel da intuio e dos conceitos nas teorias kantianas da geometria

36

pelo entendimento, mais exatamente, a contribuio dada pelos conceitos

puros do entendimento, sempre em vinculao com as teses da Esttica

transcendental, ou seja, em vinculao com a concepo kantiana do

espao como intuio pura e forma pura da intuio. Em contraposio a

isso, em primeiro lugar, buscarei mostrar que Kant defende uma teoria

alternativa, na qual antes especificamente o conceito geomtrico que

recebe papel de destaque. Em segundo lugar, buscarei deixar

suficientemente evidenciado em que medida ela completamente

independente da Esttica transcendental.

1. O papel da intuio pura numa das teorias kantianas da

geometria

O que usualmente entendido pela maioria dos intrpretes como

constituindo a teoria kantiana da geometria tem a forma de um

argumento analtico-regressivo, que assume a validade da geometria

(euclidiana) e do seu peculiar modo de procedimento como algo

condicionado, indo em busca das suas condies de possibilidade.

Assim, Kant parte da suposio de que a geometria uma cincia que

determina sinteticamente e com validade necessria e universal as

propriedades do espao, perguntando-se ento pela natureza que tem de

ter a representao do espao, de modo a tornar possvel uma tal cincia

(Prolegmenos). Que as proposies matemticas em geral tenham

validade necessria e universal, i.e. validade a priori, algo que Kant

toma por indubitvel, pelo menos na medida em que nos limitarmos

matemtica pura, cujo conceito j traz consigo que ela no contm

conhecimento emprico, mas s conhecimento puro a priori (KrV, B 15;

grifado no original). J o carter sinttico das proposies geomtricas,

especificamente, seria algo que, para ele, poderia ser evidenciado tanto

nos axiomas quanto nos teoremas demonstrados com base neles. Assim,

pelo exame do que toma por um princpio (Grundsatz) da geometria, a

saber, o axioma segundo o qual a linha reta o caminho mais curto entre

dois pontos, Kant procura mostrar que se trata de uma proposio

sinttica. Pois, escreve ele, o meu conceito de reto no contm nada de

quantidade, mas s uma qualidade. Portanto, o conceito do mais curto

acrescentado inteiramente e no pode ser extrado do conceito de linha

reta por nenhum desmembramento (KrV, B 16; grifado no original).

Contudo, o exemplo escolhido no me parece muito feliz. Kant est

afirmando que o conceito de reta no pode conter (analiticamente) o

predicado mais curto, porque o primeiro conteria somente uma

qualidade, ao passo que o segundo, uma quantidade. Entretanto,

Esteves

37

preciso admitir contra Kant que ordinariamente dizemos de certas coisas

que elas possuem a qualidade ou propriedade de serem mais curtas que

outras. Em outras palavras, o mais curto pode ser perfeitamente

considerado como uma qualidade, por exemplo, uma qualidade que

atribumos reta quando a comparamos com outras linhas possveis

passando por dois pontos dados, ainda que a atribuio daquela

qualidade reta exija uma mensurao comparativa. Alis, poder-se-ia

mesmo alegar, ainda contra Kant, que a qualidade a que ele se refere

como contida no conceito de reta poderia ser expressa justamente pelo

predicado ser o caminho mais curto entre dois pontos. No que tange

aos teoremas, a resposta dada por Kant nas partes introdutrias

primeira Crtica ainda menos desenvolvida e convincente. Com efeito,

Kant tem ainda mais dificuldade em defender a tese do carter sinttico

dos teoremas porque no desconhecia que as inferncias dos

matemticos procedem todas segundo o princpio de contradio (KrV,

B 14). Ainda assim, Kant sustenta que o procedimento dedutivo

geomtrico, fundado no princpio de contradio, no transformaria as

proposies derivadas em proposies analticas. Pois, prossegue ele,

uma proposio sinttica pode seguramente ser compreendida segundo

o princpio de contradio, mas somente de tal modo que se pressuponha

uma outra proposio sinttica, da qual a primeira possa ser inferida,

jamais, porm, em si mesma (KrV, B 14). Desse modo, Kant parece

estar querendo dizer que o suposto carter sinttico dos axiomas de

algum modo transmitir-se-ia para toda a cadeia de proposies derivadas

deles de acordo com o princpio de contradio. Em suma, pelo menos

nas partes introdutrias da primeira Crtica, Kant sustenta a tese do

carter sinttico a priori das proposies geomtricas em geral

exclusivamente apoiado no exemplo (insuficientemente discutido) dos

axiomas. Como quer que seja, a questo posta por Kant tanto na Esttica

transcendental quanto nas partes correspondentes dos Prolegmenos ser

a de determinar qual deve ser a natureza da representao do espao, se

ela deve se constituir como uma condio de possibilidade da geometria

como conhecimento sinttico a priori das propriedades do espao.

De acordo com Kant, em primeiro lugar, o espao tem de ser

originariamente intuio, j que de um simples conceito de espao no se

podem extrair proposies que ultrapassem o conceito (KrV, A 25/ B

40-1), ou seja, as supostas proposies sintticas a priori geomtricas.

Em segundo lugar, essa intuio tem que ser encontrada em ns a priori

(...), portanto, tem que ser intuio pura e no emprica (KrV, A 25/ B

41), j que as proposies geomtricas nela fundadas teriam validade a

priori. Por fim, como ltimo passo no sentido de fornecer um argumento

O papel da intuio e dos conceitos nas teorias kantianas da geometria

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indireto para as teses da Exposio metafsica, Kant argumenta que s

podemos compreender a possibilidade de determinar a priori, como o faz

a geometria, o conceito e propriedades de objetos que so dados a

posteriori no sentido externo, se admitirmos que o espao no nada

alm de forma pura da nossa intuio externa, forma subjetiva da

sensibilidade, e no uma determinao aderente s prprias coisas (KrV,

A 25/ B 41). Com esse ltimo passo, Kant pretende explicar por que os

clculos feitos pelo gemetra a respeito de figuras ideais e perfeitas, das

quais no se pode encontrar nenhum exemplo na natureza, podem no

obstante encontrar aplicao a priori em objetos reais, que se aproximam

apenas imperfeitamente dessas figuras. Pois, segundo Kant, se o espao

tematizado pelo gemetra no for nada alm de uma forma introduzida

pelo sujeito no ato de conhecimento dos objetos do sentido externo e,

portanto, uma condio de possibilidade dos mesmos aparecerem para

ns, compreender-se- como possvel obter conhecimento a priori das

propriedades de partes do espao e como esse conhecimento vlido

independentemente da experincia pode encontrar uma aplicao

necessria nos objetos da experincia.4

Essa teoria kantiana da geometria gerou muitas objees, em

virtude das suposies que lhe servem de ponto de partida. Assim, por

exemplo, Kant teria tomado por inquestionvel que a geometria

euclidiana, a nica que ele pde conhecer, exporia a estrutura necessria

do espao, tal como seria possvel depreender da afirmao de que o

espao s pode ter trs dimenses, mais um suposto exemplo de

proposio sinttica a priori fornecida pela geometria (KrV, A 25/ B 40).

Alis, em contraposio a esta ltima suposio, verifica-se hoje em dia

uma recusa geral em considerar as proposies geomtricas como

verdades sintticas a priori. Com efeito, ou bem se as considera como

proposies analticas, quando se trata das geometrias puras ou no-

interpretadas, por exemplo, ou bem como proposies sintticas a

posteriori, quando se trata da geometria aplicada ao espao fsico. Com

relao a esta ltima distino, Kant usualmente criticado por no ter

tido clareza sobre as condies de possibilidade de uma geometria pura e

as de uma geometria aplicada (Kemp-Smith, 1995, pp. 111-12). Outra

4 Cf. Prolegmenos, 13, Observao I: Se (...) esta intuio formal [for] uma propriedade

essencial de nossa sensibilidade, mediante a qual, unicamente, objetos nos so dados, e se essa

sensibilidade no nos representar coisas em si mesmas, mas somente seus fenmenos, ento

muito fcil conceber e, ao mesmo tempo, fica inquestionavelmente provado: que todos os objetos externos de nosso mundo sensvel tm de concordar necessariamente, e com toda exatido, com as

proposies da geometria, porque a sensibilidade, atravs de sua forma de intuio externa (o

espao), com o qual se ocupa o gemetra, torna primeiramente possveis aqueles objetos como

meros fenmenos. Cf. tambm KrV, A 25/ B 40-1 e Prolegmenos, 6-10.

Esteves

39

objeo usual est relacionada ao excessivo peso concedido por Kant ao

papel representado pela construo de figuras, qual ele faz aluso no

item 3 da Exposio metafsica do espao na primeira edio da Crtica

da razo pura (KrV, A 24), e, em decorrncia disso, intuio pura do

espao, em sua avaliao do modo de proceder geomtrico. Com efeito,

isso parece ser tributrio de um determinado modo de fazer geometria,

justamente maneira de Euclides, o qual j comeara a ser superado ao

tempo do prprio Kant com a introduo da geometria analtica por

Descartes.5

Contudo, como veremos mais a frente, mesmo do ponto de vista

de uma anlise imanente dos prprios textos kantianos, possvel fazer

objees a essa tentativa de dar conta do modo de proceder da geometria

euclidiana mediante recurso intuio pura do espao compreendido

como forma da intuio externa. Entrementes, procuremos aprofundar

nossa compreenso dessa teoria kantiana da geometria. Assim, para

efeitos de argumentao, poderamos dar por concedido que o

conhecimento geomtrico se exprima em proposies sintticas a priori,

perguntando, ento, em que sentido exatamente o recurso intuio pura

a priori do espao permitiria dar conta do carter especfico dessas

proposies. Pois, afora o remetimento sua doutrina crtica, segundo a

qual a partir de meros conceitos de espao a geometria s poderia

produzir proposies analticas, e no as buscadas proposies a priori

ampliadoras do conhecimento e dotadas de certeza apodtica (KrV, B

41), a Exposio transcendental no apresenta nenhum detalhamento

mais preciso sobre o modo como a intuio pura do espao funcionaria

em tal ampliao.

Os problemas de compreenso dessa tese kantiana se colocam j

em virtude da conhecida, mas muitas vezes esquecida, ambiguidade

envolvida na palavra intuio, que, tal como o correlato alemo

Anschauung, significa ora o ato de intuir, ora o contedo ou objeto do

5 Como observa a esse respeito Hintikka (1992, p. 22), this () is the basis of a frequent criticism

of Kants theory of mathematics. It is said, or taken for granted, that constructions in geometrical

sense of the word can be dispensed with in mathematics. All we have to do there is to carry out certain logical arguments which may be completely formalized in terms of modern logic. The only

reason why Kant thought that mathematics is based on the use of constructions was that

constructions were necessary in the elementary geometry of his day, derived in most cases almost directly from Euclids Elementa. But () it was due to the fact that Euclids set of axioms and

postulates was incomplete. In order to prove all the theorems he wanted to prove, it was therefore

not sufficient for Euclid to carry out a logical argument. He had to set out a diagram or figure so that he could tacitly appeal to our geometrical intuition which in this way could supply the missing

assumptions which he had omitted. Kants theory of mathematics, it is thus alleged, arose by

taking as an essential feature of all mathematics something which only was a consequence of a

defect in Euclids particular axiomatization of geometry.

O papel da intuio e dos conceitos nas teorias kantianas da geometria

40

ato, o que intudo no ato de intuio. Ora, na Exposio metafsica,

Kant pretendeu ter provado que o espao intuio pura a priori, e no

um conceito, querendo dizer com isso, em primeiro lugar, que temos

uma conscincia originria e a priori do espao como algo uno, singular

e infinito, e, em segundo lugar, que os mltiplos espaos so

necessariamente concebidos como partes desse nico espao. Ou seja,

com a tese de que o espao uma intuio pura a priori, Kant est

chamando a ateno para a natureza do objeto ou do contedo da

conscincia que temos do espao. Ora, se for esse o sentido tambm

empregado na Exposio transcendental, no fica claro para mim por que

o apelo ao espao uno e infinito que abarca todos os espaos permitiria

compreender a validade de proposies relacionadas a pequenas partes

do espao, como, por exemplo, as proposies entre dois pontos s

pode passar uma nica linha reta e a soma dos ngulos de um tringulo

igual a dois retos, etc., nas quais, como alega Kant, ultrapassamos os

conceitos de tringulo e de reta, conectando a priori com eles predicados

que no esto contidos nos mesmos. Contudo, uma considerao de um

trecho dos pargrafos correspondentes dos Prolegmenos (7) fornece

alguma clareza a respeito do que ele tem em mente. Pois, segundo Kant,

do mesmo modo que a intuio emprica torna possvel, sem dificuldade,

que ampliemos sinteticamente na experincia o conceito que nos fazemos

de um objeto da intuio, atravs de novos predicados que a prpria

intuio oferece, assim tambm o far a intuio pura, s que com a

seguinte diferena, a saber, que no ltimo caso o juzo ser apodtico e

certo a priori, ao passo que no primeiro caso ser somente empiricamente

e a posteriori certo (...).

Se compreendo bem essa passagem, no o espao uno e infinito

enquanto tal que tornaria compreensvel a possibilidade de produzir

proposies sintticas a priori na geometria. Com efeito, de acordo com

a passagem citada, Kant supe que haja uma analogia entre o modo

como a intuio emprica permite acrescentar a um conceito predicados

que no estavam contidos nele e o modo como a geometria acrescentaria

novos predicados aos conceitos de espao, obtendo proposies

ampliadoras sobre o mesmo. Em outras palavras, se a inspeo visual de

uma rosa dada numa intuio emprica me possibilita acrescentar ao

conceito de rosa predicados que no esto originalmente contidos nele,

como o predicado vermelho, por exemplo, ento, analogamente, a

inspeo visual de um tringulo e de construes auxiliares traados num

quadro-negro possibilitar-me-ia acrescentar ao conceito de tringulo

propriedades que no estavam originalmente contidas no mero conceito

Esteves

41

do mesmo, como, por exemplo, a propriedade de ter a soma dos seus

ngulos internos igual a dois retos. Porm, como no ltimo caso a

proposio conhecida com validade necessria e universal, ou seja, a

priori, seria preciso admitir que na base da intuio emprica, sobre a

qual se d a minha inspeo visual do tringulo que tracei, existiria o

espao como sua forma pura, no qual eu propriamente considerei o

tringulo puro, livre das imperfeies empricas, e com o qual conectei a

priori a mencionada propriedade. Contudo, como esse tringulo puro,

forma daquele tringulo traado no quadro-negro, ainda assim um

objeto singular, pode ser chamado com toda propriedade de uma

intuio pura ou intuio formal.6 Assim, os dois sentidos em que o

termo intuio pode ser tomado, a saber, como ato de intuir e como

objeto intudo, acabam convergindo na explicao dada por Kant

visando dar conta da possibilidade de juzos sintticos a priori

ampliadores de nosso conhecimento na geometria.7

2. O papel decisivo do conceito geomtrico e o papel secundrio da

intuio na outra teoria kantiana da geometria

Ora, se o que foi dito acima for uma correta exposio do ncleo

fundamental do que os intrpretes usualmente tomam como sendo a

teoria kantiana da geometria, teremos de admitir que a explicao dada

na Esttica transcendental e no incio dos Prolegmenos no d conta

nem mesmo da validade da geometria euclidiana. Isso fica claro, se a

compararmos com a explicao alternativa dada por Kant na seo

intitulada Disciplina da razo pura no uso dogmtico, nas partes finais da

Crtica da razo pura. Ora, digno de nota que a teoria da geometria e

6 Sobre o conceito de intuio formal e sua importncia para essa concepo kantiana do

procedimento geomtrico, cf. KrV, B 161. 7 Um excelente resumo da teoria kantiana sobre as condies de possibilidade de proposies

sintticas a priori na geometria na verso que ora estou discutindo, a qual apela para uma analogia

com o modo como so estabelecidas proposies sintticas empiricamente vlidas, pode ser encontrado na seguinte passagem do livro sobre filosofia da matemtica de Jairo J. Silva (2007, p.

99): Esse genial golpe de mestre de Kant a chave da possibilidade dos enunciados sintticos a

priori. Ele nos fornece uma resposta a todas as questes anteriores. Por seu intermdio temos um meio, a saber, as intuies puras do espao e do tempo, onde levar a cabo as construes e

verificaes matemticas, e, portanto, um correlato puro das verificaes empricas; isso responde

como so possveis os enunciados sintticos a priori da matemtica. Ademais, como o espao e o tempo so as formas necessrias de toda experincia sensvel, e a matemtica, num certo sentido a

ser precisado, a cincia do espao e do tempo, claro agora como possvel aplic-la aos dados

dos sentidos, ou seja, nossa experincia do mundo sensvel. O mundo sensvel matematizvel simplesmente porque o so o espao e o tempo, e esse mundo , inapelavelmente, um mundo

espao-temporal. Como se pode observar imediatamente, por estar comentando a concepo

kantiana da matemtica em geral, e no somente da geometria em particular, o autor se refere no

somente ao espao, mas tambm ao tempo.

O papel da intuio e dos conceitos nas teorias kantianas da geometria

42

da matemtica em geral exposta por Kant na mencionada seo da

primeira Crtica j tinha sido antecipada em suas principais teses na

Investigao sobre a evidncia dos princpios da teologia natural e da

moral, um opsculo pr-crtico publicado em 1764. Esta uma

observao muito importante, pois significa que a teoria da geometria

apresentada inicialmente na Investigao e depois reproduzida na

Disciplina fora concebida num momento em que Kant ainda no

dispunha daquela concepo do espao como intuio pura e forma

subjetiva da intuio, que, segundo os intrpretes mais autorizados, teria

sido antecipada somente na Dissertao de 1770. E, de fato, no que se

segue, em contraposio ao modo de proceder usual dos intrpretes, que

simplesmente acabam por projetar as teses da Esttica transcendental na

Disciplina, buscarei mostrar que a teoria da geometria apresentada nesta

ltima seo pode e deve ser lida independentemente da concepo do

espao como intuio pura e forma subjetiva da intuio.

Na Disciplina, tal como j o fizera na Investigao, Kant procede

a uma comparao entre o conhecimento filosfico, que um

conhecimento racional a partir de meros conceitos, e a matemtica, um

conhecimento racional que procede pelo que ele chama de construo de

conceitos. Kant esclarece que construir um conceito significa exibir a

priori a intuio que lhe correspondente.8 preciso atentar aqui para o

fato de que, diferentemente do que acontece na Esttica transcendental, a

expresso a priori no usada na citao acima como um adjetivo

qualificativo da intuio, e, sim, como um advrbio modificando a

Darstellung, designando o modo como exibido o objeto numa

intuio.9 Ou seja, construir um conceito exibir a priori numa intuio,

e no exibir numa intuio a priori. E que isso de fato seja assim, no se

evidencia por razes meramente gramaticais. Pois vrias passagens da

Disciplina mostram claramente que, como a geometria procede a uma

exibio a priori, pouco importa a natureza da intuio, a saber, se pura a

priori, ou emprica, na qual tal exibio feita.10 Porm, verdade que a

8 Cf. KrV, A 713/ B 741: Einen Begriff aber konstruieren, heisst: die ihm korrespondierende

Anschauung a priori darstellen. 9 Alis, o emprego da expresso a priori como um advrbio designando o modo de exibio de um

objeto ocorre em outras passagens da Disciplina, como, por exemplo, KrV, A 717/ B 745, A 722/

B 750, A 729-30/ B 757-8. 10 Cf. KrV, A 713/ B 742: Assim, eu construo um tringulo na medida em que exibo o objeto

correspondente a esse conceito ou bem mediante a pura (blosse) imaginao na intuio pura, ou

bem, de acordo com a mesma, tambm sobre o papel na intuio emprica, em ambos os casos, porm, de um modo completamente a priori (...) nessa passagem, fica completamente claro que

a expresso a priori est sendo usada como um advrbio; cf. tambm KrV, A 718/ B 746: O

segundo procedimento, contudo, a construo matemtica e, aqui, mais exatamente, a construo

geomtrica, mediante a qual componho (hinsetze) numa intuio pura, tanto quanto numa intuio

Esteves

43

frase que se segue imediatamente definio do que seja uma construo

de um conceito parece desmentir essa interpretao. Pois Kant prossegue

afirmando que, para a construo de um conceito, exigida uma

intuio no-emprica, como se, para exibir a priori numa intuio,

fosse necessria uma intuio a priori. Entretanto, justamente nesse

ponto, Kant manifesta algum embarao pelo fato da intuio no-

emprica supostamente exigida para a construo de um conceito

geomtrico ser, ainda assim, por definio, um objeto singular, o que

coloca o problema de saber como que ela pode expressar validade

universal para todas as intuies possveis que caem sob o mesmo

conceito (KrV, A 713/ B 741).

A reflexo contida nessa passagem fornece elementos para anular

completamente o argumento regressivo da Exposio transcendental e o

correspondente do incio dos Prolegmenos. Pois, de que adianta remeter

para uma suposta forma pura de um tringulo construdo sobre uma folha

de papel, numa tentativa de explicar, por exemplo, a validade necessria

e universal da afirmao de que num tringulo qualquer a soma dos

ngulos internos igual a dois retos? Pois a intuio formal desse

tringulo puro ser sempre ainda uma intuio, ou seja, um objeto

singular, com um determinado comprimento de seus lados formando

ngulos determinados, ao passo que essa verdade geomtrica

supostamente vlida para todo e qualquer tringulo, independentemente

de tais particularidades, independentemente da grandeza dos lados e dos

ngulos. Ou seja, a Disciplina parte de uma reflexo sobre algo trivial, a

saber, que as verdades geomtricas so vlidas, por exemplo, para os

tringulos em geral, para a triangularidade enquanto tal, acabando por

dar um golpe de morte na teoria de que a considerao de um objeto

dado numa suposta intuio pura, sempre particular e determinada, possa

fundar tal validade.

Na Disciplina, Kant fornece uma outra explicao, bem diferente

daquela dada na Esttica transcendental. Pois, segundo ele, possvel

construir um conceito geomtrico mesmo na intuio emprica, sem

prejuzo da universalidade das propriedades e proposies produzidas,

porque, nessa intuio emprica, atento apenas para a ao de

construo do conceito ou para as condies universais de construo

(KrV, A 714/ B 742).11 Ou seja, enquanto a Esttica transcendental apela

emprica, o mltiplo que pertence ao esquema de um tringulo em geral, e, por conseguinte, ao seu conceito (...).

11 Traduzo a expresso allgemeine Bedingungen der Konstruktion por condies universais de

construo, seguindo a traduo de Valerio Rohden, em contraposio, por exemplo, a Paul

Guyer, que a traduz por general conditions of construction.

O papel da intuio e dos conceitos nas teorias kantianas da geometria

44

para uma intuio a priori de um tringulo e para sua forma pura com

vistas a dar conta da validade necessria e universal das proposies

referentes a essa figura, a Disciplina rejeita tal explicao dando a

entender que o que garante essa validade o simples fato de que o que

construdo a priori numa intuio (qualquer) o conceito (de tringulo),

i.e. uma representao universal (KrV, A 713/ B 741), qual so

indiferentes vrias determinaes que se referem, por exemplo,

magnitude dos lados e dos ngulos, abstraindo-se, portanto, dessas

diferenas que no alteram o conceito de tringulo (KrV, A 714/ B

742). Assim, diferentemente do que se pode depreender da passagem dos

Prolegmenos acima citada, Kant sustenta na Disciplina que se pode

construir um conceito geomtrico mesmo na intuio emprica, porque,

no ato de construo, o gemetra atenta para as suas condies

universais de construo, i.e. para o conceito ou regra de construo, e

no porque na base do tringulo construdo na intuio emprica estaria

uma suposta intuio pura, forma daquela intuio emprica. O que Kant

quer dizer que o gemetra procede considerando no aquela figura

particular, a saber, um tringulo particular com lados e ngulos de uma

grandeza determinada, mas o tringulo em geral, a triangularidade

enquanto tal, abstrao feita dessas particularidades. Ou seja, em

contraposio Esttica transcendental, a alegao de que o gemetra

no estuda propriamente aquele tringulo real construdo sobre uma

folha de papel e, portanto, dado numa intuio emprica, no visa tanto

pr de lado as imperfeies daquele objeto real, que fariam com que os

clculos e as proposies produzidos com base nele resultassem em

meras aproximaes ou generalizaes indutivas. A concepo exposta

por Kant na Disciplina nos faz ver que igualmente necessrio pr de

lado as particularidades da figura real e determinada que, enquanto tais,

so irrelevantes para as propriedades do tringulo em geral. Desse modo,

a geometria pode produzir proposies com validade necessria e

universal sobre, por exemplo, os ngulos de um tringulo, porque, desde

o incio, o gemetra est considerando no propriamente aquele

tringulo particular desenhado sobre o papel, mas tambm no uma

suposta forma pura daquele tringulo particular, e, sim, os tringulos em

geral, as propriedades da triangularidade enquanto tal, as propriedades

do objeto do conceito de tringulo (KrV, A 716/ B 744), conceito ao

qual jamais ser completamente adequado nenhum tringulo particular

que possa ser construdo, quer numa intuio emprica, quer numa

intuio pura, em conformidade com o mesmo.

A pergunta que se coloca agora para qualquer um que tenha

familiaridade com os textos de Kant a seguinte: se a validade

Esteves

45

necessria e universal das proposies geomtricas garantida pelo

simples remetimento ao conceito geomtrico, s condies universais de

construo, qual ser ento o papel que caberia intuio nessa teoria

kantiana da geometria? Pois, se o conceito geomtrico o decisivo, por

que Kant insiste tanto na tese de que, em contraposio filosofia, a

geometria no pode se contentar com a mera considerao do conceito,

tendo de sair dele em direo intuio correspondente, mesmo que,

aprendemos agora, essa intuio seja emprica? Em outras palavras, se a

geometria lida com a triangularidade em geral, por que ela tem de

considerar sempre o universal em concreto (KrV, A 714/ B 742), ou seja,

sempre num tringulo particular, muito embora o gemetra saiba que

est expondo propriedades vlidas dos tringulos em geral?

Como se sabe, Kant d uma grande importncia necessidade de

construo de conceitos e ao recurso intuio correspondente por parte

da geometria. Ele insiste sobre esse ponto tanto na Disciplina quanto j

ao tempo da Investigao, sendo nisso precisamente que ele via consistir

a diferena especfica da matemtica em geral relativamente filosofia,

impedindo que esta ltima proceda more geometrico. Ora, se a

necessidade de construo de conceitos e de recurso intuio por parte

da geometria uma doutrina que Kant j defendia em 1764, ela no pode

ser ento o mero reflexo do seu interesse em argumentar indiretamente a

favor de sua concepo do espao. E, de fato, com relao necessidade

de construo em geometria, sou obrigado a concordar com Kant,

embora seja obrigado a discordar dele num ponto de menor importncia

relacionado com essa questo.

Por um lado, creio que Kant esteja certo em insistir na necessidade

de construo em geometria. Pois essa insistncia no tem nada a ver

com seu interesse em defender as teses da Esttica transcendental e,

como veremos, nem tributria do modo euclidiano de fazer geometria.

Ela se deve antes ao fato de que um conceito geomtrico a

representao de um mtodo de proceder universal da imaginao, com

vistas a fornecer a um conceito a sua imagem ou, tambm, uma regra

de sntese, com respeito a figuras puras no espao (KrV, A 140-41/ B

179-80). Ou seja, a insistncia por parte de Kant sobre a necessidade de

construo decorre de uma reflexo sobre o que conceitos geomtricos

essencialmente so. Com efeito, o que so conceitos geomtricos em

sentido prprio seno conceitos de figuras, linhas, etc., ou seja, conceitos

de objetos essencialmente exibveis no espao? E isso vlido mesmo

nos casos em que nossa imaginao ou percepo se encontra submetida

a limitaes que impossibilitam que efetivamente se construam as

figuras correspondentes, como no famoso exemplo do conceito de um

O papel da intuio e dos conceitos nas teorias kantianas da geometria

46

quiligono, i.e. de um polgono composto por mil lados, aduzido por

Descartes nas Meditaes. Pois, devido a uma limitao da imaginao,

no somos capazes de construir ou imaginar uma figura exatamente

correspondente, pois ela seria indistinguvel da imagem e da figura de

um crculo. Porm, o mesmo se passa com conceitos da aritmtica, por

exemplo, com o conceito de um bilho. No somos capazes de abarcar

pela percepo ou imaginao um conjunto de objetos exatamente

correspondente a esse nmero, pois ele seria indistinguvel de um

conjunto de objetos correspondente a um bilho e um, por exemplo.

Entretanto, compreendemos os conceitos de quiligono e de um bilho, e

o que a cada vez compreendemos nada mais nada menos que uma regra

sobre como deveramos proceder para executar aes em conformidade

de modo a exibir objetos em correspondncia, ou seja, figuras ou

conjuntos de objetos, apesar das nossas limitaes perceptivas.12 Em

suma, cingindo-nos ao exemplo que aqui nos interessa, quem

compreende o conceito de quiligono, como, de resto, um conceito

geomtrico em sentido prprio, compreende nada alm de uma regra que

dita um modo de procedimento para produzir determinadas figuras em

correspondncia. E, no meu modo de ver, por isso, e somente por isso,

que a geometria tem de proceder construo de seus conceitos.

Por outro lado, se o que foi dito estiver correto, serei obrigado a

discordar de Kant em outro ponto. Pois ele afirma em tom polmico

contra a tradio que a geometria se ocupa com quanta, com grandezas,

porque seu modo de procedimento consiste na construo de conceitos, e

s grandezas, e no qualidades, so passveis de construo a priori

(KrV, A 714-15/ B 742-43). Entretanto, Kant, e no a tradio, quem

toma o efeito pela causa. Pois, na geometria, como, de resto, em

qualquer cincia, o modo de procedimento determinado pelas

caractersticas e peculiaridades de seus objetos. Ou seja, por lidar com

conceitos de figuras e linhas, i.e. com grandezas extensivas, que a

geometria se v forada a adotar como parte de seu procedimento a

exibio dos objetos correspondentes. A situao totalmente diferente

na filosofia, como o prprio Kant salienta, porque seus conceitos no so

regras de sntese de figuras no espao, no so regras de produo de

intuies, e, sim, regras de sntese de intuies ou percepes possveis,

que ela tem de esperar que sejam dadas em alguma parte. por isso que

a filosofia no deve tentar imitar o procedimento geomtrico.

12 Quem compreende esses conceitos est numa situao similar quela em que se encontraria um

cartgrafo nufrago numa ilha, mas ainda de posse de seus mapas e do conhecimento necessrio

para interpret-los. Ele est fisicamente incapaz de se evadir da ilha, mas sabe como deveria

proceder para tal.

Esteves

47

Desse modo, deixando de lado essa pequena confuso entre causa

e efeito, creio que Kant esteja certo ao insistir na necessidade de

construo em geometria. De fato, com base no que foi dito acima, ouso

afirmar que qualquer geometria que merea esse nome, e no apenas

aquela feita maneira de Euclides, dever conter um mnimo de exibio

de objetos correspondentes, pois isso algo inerente a um conceito

geomtrico, est analiticamente contido no conceito de conceito

geomtrico em geral. Na verdade, se entendo corretamente, exatamente

isso o que sucede quando se d uma determinada interpretao ao que

hoje em dia se denominam geometrias no-interpretadas. Pois essas

interpretaes so nada mais nada menos que tradues de variveis e

princpios lgico-formais em termos de pontos, retas etc., de maneira que

eles adquiram significado geomtrico propriamente dito.13 E o mesmo

vlido, creio eu, para as modernas geometrias crescentemente

algebreizadas: se devem exprimir verdades geomtricas em sentido

prprio, os clculos algbricos tm de ser interpretados, por exemplo, em

termos de figuras, em suma, em termos de conceitos de espao. Nesse

sentido, gostaria de corrigir a expresso empregada por Kant.

prefervel dizer no que uma geometria proceda por, e, sim, que proceda

a construo de conceitos. Pois, por mais que sejam crescentemente

algebreizadas, tais geometrias no se confundem com a lgebra,

continuam sendo sempre ainda geometrias, ou seja, cincias que

empregam conceitos de objetos exibveis no espao. Por isso, os clculos

algbricos altamente abstratos tm de ser interpretados em termos de

conceitos de espao, mesmo que, em virtude de uma limitao nossa,

no possamos de fato construir as figuras em correspondncia. Alm

disso, expressando minha tese de um modo mais contundente, uma

geometria que no exibisse pelo menos alguns de seus conceitos

primitivos seria algo equivalente a uma teoria das cores produzida para

ou por algum que fosse cego. Pois, como se trata, em ambos os casos,

de conceitos que remetem para objetos essencialmente exibveis numa

intuio, sem essa exibio simplesmente no se saberia sobre o que se

est tratando. Evidentemente, a diferena importante entre esses dois

tipos de conceitos est em que o conceito geomtrico no obtido

empiricamente a partir das intuies dadas, sendo antes uma regra a

priori para a produo de intuies.14

Para aprofundar um pouco mais o que, a meu ver, Kant

compreende por construo de conceitos em geometria, conveniente

13 Lano mo nesse ponto das consideraes apresentadas por Stephen Barker (1976, pp. 59-63). 14 interessante notar que em certa altura da Disciplina (KrV, A 716/ B 744), Kant afirma que o que

construdo na geometria no o conceito, e, sim, a intuio, em conformidade com o conceito.

O papel da intuio e dos conceitos nas teorias kantianas da geometria

48

retornar ao conceito de quiligono. Esse conceito foi por mim

intencionalmente aduzido acima justamente porque os intrpretes tendem

a encar-lo como um exemplo de conceito que no seria passvel de

construo, de acordo com a teoria kantiana, uma vez que no possvel

produzir uma imagem do objeto correspondente. Assim, Gottfried

Martin (1969, p. 25) afirma que, para Kant, a noo de construo

introduz uma restrio no que pode ter direito de cidadania em geometria

e que, por isso, um matemtico jamais vai querer ou poder construir

um quiligono.15 Esse caso sobretudo interessante porque discutido

por Kant em sua polmica contra Eberhard. Este ltimo parte da

suposio de que, se, para Kant, todo objeto do qual no possvel

fornecer uma imagem sensvel teria de ser considerado um objeto do

entendimento puro, ento o quiligono estudado pela geometria serviria

como um contra-exemplo da doutrina crtica, ou seja, como exemplo da

possibilidade de se obter conhecimento legtimo de uma coisa em si ou

de um objeto puramente inteligvel. Kant responde em tom sarcstico

que, seguindo a linha de raciocnio de Eberhard, um pentgono seria um

objeto sensvel, um quiligono seria um objeto puramente inteligvel e

um enegono (polgono de 9 lados) estaria a meio caminho entre o

sensvel e o supra-sensvel, pois, se no conferirmos os lados com o

auxlio dos dedos, dificilmente poderemos determinar seu nmero com

uma simples inspeo de vista. (Kant (3), 1983, p.325). O que est

subentendido nessa resposta algo que tem escapado aos intrpretes

quando afirmam que, segundo Kant, s tm direito de cidadania em

geometria aqueles conceitos passveis de construo, ou seja, cujos

objetos podem ser exibidos numa intuio. Como recordamos acima, a

palavra intuio encerra uma ambiguidade, significando ora a ao

subjetiva de intuir, ora o contedo do ato, o objeto intudo. Ora, sem

dvida, um quiligono no passvel de construo, se se entende por

isso a possibilidade de produzir subjetivamente uma imagem particular.

Porm, como fica claro na resposta dada por Kant a Eberhard, o que

determina se um objeto sensvel ou inteligvel e, portanto, objeto de

conhecimento possvel, no a nossa incapacidade ou limitao

subjetiva, ao tentar abranger com a vista, por exemplo, os lados de um

enegono. Assim, para Kant passvel de construo e inteiramente

legtimo todo conceito geomtrico cujo contedo no se choque com as

condies objetivas da intuio. por isso que o quiligono passvel

de construo, ao passo que o bingulo no o . Pois, com efeito, o

bingulo no um autntico conceito geomtrico no porque no

15 Tambm a esse respeito, vide Schirn, (1991, p. 3).

Esteves

49

possamos fazer subjetivamente uma imagem correspondente, mas

porque ele entra em choque com as condies do espao e da

determinao do mesmo (KrV, A 220-21/ B 268), ou seja, porque o

espao (euclidiano) no se deixa objetivamente determinar numa figura

composta de duas retas. Mas o conceito de quiligono no contm notas

que entrem em choque com as condies de determinao do espao,

pois o espao, objetivamente falando, passvel de ser determinado

numa figura de 1000 lados, e, por conseguinte, esse conceito tem pleno

direito de cidadania na teoria kantiana da geometria.

Consideraes finais

Vimos acima que a concepo kantiana das condies de

possibilidade da geometria apresentada na Disciplina da razo pura no

uso dogmtico permite invalidar o argumento regressivo desenvolvido

por Kant tanto na Esttica transcendental quanto nos pargrafos

correspondentes nos Prolegmenos. Pois, de acordo com a Disciplina, de

nada adianta apelar para uma suposta intuio pura, por exemplo, de um

tringulo particular, para dar conta da validade universal e necessria de

proposies que dizem respeito aos tringulos em geral,

triangularidade enquanto tal. Ainda de acordo com a Disciplina, a

validade necessria e universal das proposies geomtricas deve-se

antes inteiramente ao fato de que, no ato de construo daquele tringulo

particular, o gemetra dirige sua ateno para as condies universais de

construo do mesmo, ou seja, para o conceito ou regra universal que

preside a sua construo. Isso posto, gostaria de finalizar este artigo com

algumas consideraes que a meu ver se colocam muito naturalmente

como decorrncia dessa diversidade de concepes dos pressupostos da

geometria no interior da filosofia de Kant.

Em primeiro lugar, poder-se-ia perguntar se e em que medida a

concepo dos pressupostos da geometria apresentada na Disciplina

pode ser interpretada sem recurso Esttica transcendental, mais

exatamente, sem recurso s teses da Exposio metafsica do conceito de

espao, como havamos anunciado na Introduo a este artigo. Em outras

palavras, poderamos perguntar em que medida a teoria kantiana da

geometria defendida na Disciplina se sustenta independentemente de

qualquer recurso concepo do espao como forma pura da intuio e

intuio pura, defendida por Kant na Esttica transcendental. E, nesta

altura, para responder a essa questo, no basta fazer referncia ao fato

histrico de que a teoria da geometria encontrada na Disciplina havia

sido esboada num opsculo pr-crtico, redigido e publicado muito

O papel da intuio e dos conceitos nas teorias kantianas da geometria

50

antes de Kant ter concebido o espao como forma pura subjetiva da

intuio externa. Com efeito, ao fazer anteriormente referncia a esse

dado histrico, eu pretendia apenas dar plausibilidade inicial minha

proposta de interpretao. Pois poder-se-ia replicar que somente com a

concepo do espao caracterstica da fase crtica, tal como

apresentada na Esttica transcendental da primeira Crtica, aquela teoria

da geometria esboada no perodo pr-crtico teria chegado a sua

completude e perfeio.

O que podemos concluir da concepo encontrada na Disciplina

que, qualquer que seja a natureza do espao em que se constri uma

figura, a validade necessria e universal dos clculos e proposies feitos

com base nela estar necessria e suficientemente garantida pelo

remetimento s suas condies universais de construo. Eis por que

desenhos toscos feitos por Scrates na areia foram suficientes para levar

o igualmente tosco escravo de Mnon compreenso do modo como se

constri um quadrado com o dobro da rea de um quadrado

originalmente dado. Scrates teve que desenhar figuras ou, em termos

kantianos, exibir na intuio espacial objetos correspondentes ao longo

do processo de demonstrao daquele teorema, simplesmente pelo fato

de que o que estava em questo era justamente um teorema em

geometria, necessariamente relacionado a conceitos de objetos

essencialmente exibveis no espao. Por ser uma pessoa nada habituada a

lidar com questes abstratas, o escravo de Mnon precisaria repetir os

passos da demonstrao algumas vezes, desenhando novas figuras na

areia, at que por fim chegasse ao discernimento de que no seria mais

necessrio repetir o procedimento desenhando outros quadrados,

compreenso de que a validade daquele teorema estava estabelecida de

uma vez por todas, evidentemente, no em virtude daqueles desenhos

toscos, mas inteiramente em virtude dos conceitos (de espao) e dos

objetos correlatos dos mesmos, no caso, os conceitos de quadrado e de

diagonal.16

Contudo, se a validade necessria e universal dos teoremas e das

proposies geomtricas pode ser adequadamente explicada

exclusivamente pelo remetimento aos conceitos em questo, o que dizer

da sinteticidade dessas proposies? Com efeito, justamente o suposto

carter sinttico (a priori) das proposies geomtricas que fez com que

16 Parece ser exatamente assim que Plato interpretava a situao, como se pode ver na seguinte

passagem da Repblica, 510 d: And do you not also know that they further make use of the

visible forms and talk about them, though they are not thinking of them but of those things of

which they are a likeness, pursuing their inquiry for the sake of the square as such and the diagonal

as such, and not for the sake of the image of it which they draw?

Esteves

51

o Kant da fase crtica recorresse concepo do espao como intuio

pura e forma pura da intuio, de modo a tornar possvel uma analogia

com o modo como so estabelecidas as proposies sintticas a

posteriori. Assim, interpretando o Mnon luz da Esttica transcendental

e das passagens iniciais dos Prolegmenos, teramos que admitir que, ao

atentar para as figuras desenhadas por Scrates na areia ao longo da

demonstrao daquele teorema, o escravo estaria, contrariamente ao

diagnstico do prprio Scrates, aprendendo algo novo, a saber,

acrescentando sinteticamente ao seu conceito de quadrado e de diagonal

algo que no estaria originalmente contido nele e, no obstante, vlido a

priori, o que s seria possvel pelo fato de que na base daqueles desenhos

toscos estariam quadrados perfeitos e puros a priori, que seriam as

formas dos primeiros.

Entretanto, se, como reza a concepo da Disciplina, a validade

necessria e universal, i.e. a priori, daquele teorema no pode depender

de nenhum quadrado particular e mesmo singular, seja ele dado numa

intuio emprica na areia, seja ele dado numa suposta forma pura de um

quadrado desenhado na areia como correlato de uma intuio pura, ento

estaremos diante das seguintes alternativas: 1) ou bem as proposies

geomtricas seriam sintticas e, por conseguinte, exigiriam algo mais

que a mera considerao dos conceitos envolvidos, a saber, o recurso a

alguma intuio, mas, com isso, ficaria inexplicada a sua validade

necessria e universal, mesmo que se admita que essa intuio pura a

priori; 2) ou bem a validade necessria e universal das proposies

geomtricas pode ser suficientemente estabelecida inteiramente pelo

exame dos conceitos peculiares nelas envolvidos, a saber, conceitos de

espao, o que faz delas proposies analticas. Buscarei mostrar em

outro lugar que a concepo das proposies geomtricas como

proposies analticas, implicitamente presente nos escritos pr-crticos

em que Kant est ainda muito prximo da influncia de Leibniz, ,

paradoxalmente, aquela consistente com os princpios da filosofia crtica

terica kantiana e, em particular, com a assim chamada revoluo

copernicana.

Por ora, podemos responder da seguinte maneira questo

colocada acima. A teoria kantiana esboada na Disciplina e herdada do

perodo pr-crtico sugere uma concepo de geometria no como uma

cincia que determina sinteticamente e mesmo assim a priori as

propriedades do espao, como diz Kant na Esttica transcendental

(KrV, A 25/ B 40), mas como um conjunto de proposies analticas

inteiramente obtidas da anlise de nossos conceitos de espao, de acordo

com o princpio de contradio. Por conseguinte, uma vez que tenhamos

O papel da intuio e dos conceitos nas teorias kantianas da geometria

52

levado a cabo uma anlise completa da teoria kantiana da geometria

apresentada na Disciplina, veremos que ela inteiramente independente

da Esttica transcendental, mais exatamente, da Exposio metafsica do

conceito de espao. Desse modo, como foi dito na Introduo a esse

trabalho, o que temos aqui um importante elemento para evidenciar

essa independncia e livrar Kant de repetidas crticas feitas por seus mais

autorizados intrpretes. Alm disso, em analogia com o que faz o prprio

Kant por ocasio do argumento regressivo na Exposio transcendental

do conceito de espao (KrV, A 25/ B 40), a anlise completa da

concepo dos pressupostos da geometria na verso da Disciplina ter de

perguntar: o que deve ser a representao do espao, e no o espao

fsico em si, para que seja possvel um conjunto de proposies

analticas estabelecidas a partir de construes de conceitos de espao?

Em outras palavras, teremos de perguntar: o que deve ser a

representao do espao para que seja possvel construir nossos

conceitos de espao, ou seja, exibir a priori objetos correspondentes aos

nossos conceitos de espao? Alm disso, ainda em analogia com a

Exposio transcendental, teremos de perguntar: como possvel que

esse conhecimento analtico a priori obtido a partir de nossos conceitos

de espao tenha aplicao a objetos dados na experincia?

Outra questo que no pode passar sem algum comentrio a da

contraposio entre o mtodo da geometria e da matemtica em geral e o

da filosofia, que j havia sido estabelecida por Kant no opsculo de 1764

e que retomada e desenvolvida mais tarde na Disciplina. Com efeito, as

interpretaes usuais dessa contraposio estabelecida por Kant

geralmente pem o acento no papel representado pela intuio pura na

matemtica (Crawford, 1962, pp. 257-268). De acordo com essa linha de

interpretao, exatamente a possibilidade de recurso intuio pura faria

com que somente na matemtica sejam possveis demonstraes feitas a

partir de axiomas e definies. Isso no deveria ser imitado pela

filosofia, onde no possvel esse recurso intuio pura, em oposio

ao que pretendeu fazer, por exemplo, Spinoza, com sua tica more

geometrico. Ora, se, como pretendi ter mostrado, o suposto recurso

intuio pura no de modo algum o elemento decisivo no procedimento

geomtrico, mas, sim, o recurso ao conceito (geomtrico), ento coloca-

se muito naturalmente a pergunta sobre o que distingue essencialmente a

matemtica da filosofia, na medida em que a matemtica

inegavelmente um conhecimento racional e a prpria filosofia definida

por Kant como um conhecimento racional a partir de conceitos.

Buscarei desenvolver detalhadamente essa questo em outra ocasio,

mas por ora, remeto o leitor para um artigo de minha autoria j

Esteves

53

publicado, no qual pode ser encontrado o essencial de minha resposta a

esse problema (Esteves, 2010, pp. 68-76).

Referncias

ALLISON, H. Kants transcendental idealism. rev. ed. New Haven:

Yale University Press, 2004.

BARKER, S. Filosofia da matemtica. trad. por Lenidas Hegenberg e

Octanny Silveira da Mota. Rio de Janeiro: Zahar Editores, 1976.

CRAWFORD, P. A. Kants theory of philosophical proof, Kant-

Studien 53: (1962): 257-268.

ESTEVES, J. Kants theories of geometry. In: Akten des X.

Internationalen Kant-Kongresses: Recht und Frieden in der

Philosophie Kants. v. 2. pp. 173-184. Berlin: Walter de Gruyter,

2005.

ESTEVES. J.; GLENDAY, C. Kant, Chomsky e Rawls: sobre o mtodo

de A theory of justice, Kant e-Prints 5 (2010): 66-92.

GUYER, P. Kant and the claims of knowledge. Cambridge: Cambridge

University Press, 1987.

HINTIKKA, J. Kant on the mathematical method. In: Carl J. Posy

(ed.), Kants philosophy of mathematics: modern essays. Dordrecht;

Boston: Kluwer Academic Publishers, 1992.

KANT, I. (1) Untersuchung ber die Deutlichkeit der Grundstze der

natrlichen Theologie und der Moral, Wilhelm Weischedel (ed.).

Bd. 2. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1983.

_____. Kritik der reinen Vernunft, Hamburg: Felix Meiner Verlag, 1976.

_____. Crtica da razo pura. trad. por Valerio Rohden e Udo

Moosburger (Coleo Os Pensadores). So Paulo: Abril, 1983.

_____. (2) Prolegomena zu einer jeden knftigen Metaphysik, die als

Wissenschaft wird auftreten knnen, Wilhelm Weischedel (ed.). Bd.

5 Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1983.

______. (3) ber eine Entdeckung, nach der alle neue Kritik der reinen

Vernunft durch eine ltere entbehrlich gemacht werden soll,

Wilhelm Weischedel (ed.). Bd. 5. Darmstadt: Wissenschaftliche

Buchgesellschaft, 1983.

KEMP SMITH, N. A commentary to Kants Critique of pure reason.

New York: Humanities, 1995.

MARTIN, G. Immanuel Kant, Ontologie und Wissenschaftstheorie.

Berlin: Walter de Gruyter, 1969.

PLATO, Republic. trad. por Paul Shorey. In: Edith Hamilton and

Huntington Cairns (eds.), The collected dialogues, including the

O papel da intuio e dos conceitos nas teorias kantianas da geometria

54

letters (Bollingen Series LXXI). Princeton, N.J.: Princeton

University Press, 1978.

SCHIRM, M. Kants theorie der geometrischen Erkenntnis und die

nichteuklidische Geometrie, Kant-Studien 82.1 (1991): 1-28.

SILVA, J. J. Filosofias da matemtica. So Paulo: UNESP, 2007.

STRAWSON, P. F. The bounds of sense: an essay on Kants Critique of

Pure Reason. London: Methuen, 1966.

Resumo: O exame dos textos de Kant permite distinguir duas teorias distintas

sobre os pressupostos da geometria. A primeira e mais discutida pelos

intrpretes aquela que exige a construo dos conceitos da geometria

euclidiana, a nica com o qual Kant pde ter tido familiaridade, na intuio pura

a priori do espao, como uma condio de possibilidade das proposies

sintticas a priori no conhecimento geomtrico. Desse modo, essa teoria dos

pressupostos da geometria forneceria uma prova indireta da Exposio

metafsica na Crtica da razo pura. Ora, com o aparecimento de geometrias

no-euclidianas, ambas perderam muito em fora de convico nos dias de hoje.

Em defesa de Kant, eu gostaria de mostrar que ele entretm outra teoria, em

oposio primeira, que tambm exige a construo de conceitos geomtricos,

mas na qual o conceito geomtrico desempenha o papel principal, enquanto a

intuio, sobretudo a intuio pura a priori do espao, desempenha um papel

secundrio. Se isso estiver correto, esta ltima teoria revelar-se-ia independente

da Exposio metafsica.

Palavras-chave: intuio pura, conceito geomtrico, construo de conceitos,

espao

Abstract: The study of Kants texts allows us to disentangle two distinct

theories of geometry. The first and more discussed by the interpreters is that one

that requires the construction of the concepts of the Euclidian geometry, the

only one with which Kant could have been acquainted, in the pure intuition a

priori of space, as a condition of possibility of the a priori synthetic propositions

in the geometrical knowledge. Thus, this theory of the presuppositions of

geometry would provide an indirect proof of the Metaphysical exposition in the

the Critique of pure reason. Now, since the non-Euclidian geometries arose,

both have no appeal nowadays. In Kants defense, I would like to show that he

entertains another theory, in opposition to the former, that equally requires the

construction of geometrical concepts, but in which the geometrical concept

plays the main role, while the intuition, above all the pure intuition a priori of

space, plays a secondary role. If so, this theory would turn out to be independent

from the Metaphysical exposition

Keywords: pure intuition, geometrical concept, construction of concepts, space

Recebido em 23/04/2013; aprovado em 30/05/2013.