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Pró-Reitoria de Graduação Curso de Física

Trabalho de Conclusão de Curso

O COMPUTADOR QUÂNTICO ÓPTICO

Autor: Wilton Albuquerque Rodrigues

Orientador: Dr. Paulo Henrique Alves Guimarães

Brasília - DF

2011

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O COMPUTADOR QUÂNTICO ÓPTICO (Optical Quantum Computer)

Wilton Albuquerque Rodrigues1, Paulo Henrique A. Guimarães1

1 Curso de Física - Universidade Católica de Brasília

Computação quântica é um ramo do conhecimento que faz uso dos conceitos

da Física Quântica como meio para realização de tarefas computacionais. Este

trabalho se propõe a apresentar de forma sintética as bases da computação quântica

com objetivo de demonstrar a possibilidade da implementação de um computador

quântico óptico, levando em conta as tecnologias que atualmente estão disponíveis

para essa empreitada.

Palavras-chave: Computação quântica, portas quânticas ópticas, implementação de

um computador quântico óptico.

Quantum computing is a branch of knowledge that makes use of the concepts of

quantum physics as a means to perform computing tasks. This work is to present in

summary form the foundations of quantum computing in order to demonstrate the

feasibility of implementing a optical quantum computer, taking into account the

currently available technologies for this work.

Keywords: Quantum computing, optical quantum gates, implementation of an optical

quantum computer.

1. Introdução

A computação quântica surge como promessa de realizar tarefas

que a computação clássica em tese nunca poderá realizar devido a limitações

impostas por fenômenos físicos na esfera subatômica, nesta perspectiva,

surgem várias propostas para a construção de um computador quântico. A

princípio é constatado que o computador quântico é uma construção teórica,

no entanto se não houvesse a possibilidade de implantação na Natureza de

máquinas que processem a informação quântica, este campo de pesquisa

seria apenas uma curiosidade matemática (NIELSEN, CHUANG, 2005), e não

despertaria nenhum interesse por parte da comunidade cientifica.

É necessário frisar que implantar experimentalmente circuitos

quânticos e sistemas de comunicação tem se tornado um grande desafio, na

medida em que é difícil controlar um sistema quântico individual e é de vital

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importância a manipulação de tais sistemas para que de fato a computação

quântica seja uma realidade.

Este trabalho apresenta a possibilidade de implantação de uma

maquina quântica pelo viés da óptica quântica, para isso é apresentada uma

breve revisão de álgebra linear, e posteriormente é feita uma síntese das

portas quânticas, e de alguns conceitos da física óptica. Ao fim são analisadas

as chances de equipamentos que manipulam estados quânticos serem

utilizados para a construção de portas quânticas.

2. Breve histórico da Computação Quântica.

A computação sem duvida foi a área da ciência que mais êxito

conseguiu durante a segunda metade do século 20, e que vem evoluindo

constantemente. Segundo a famosa Lei de Moore (ALEGRETTI, 2004) a

velocidade do computador é dobrada a cada 18 meses (...), sendo esta lei

mantida desde o surgimento do primeiro PC em 1981. No entanto

observadores cogitam que a validade da Lei terminará em algum momento dos

primeiros 20 anos do século XXI (NIELSEN. 2005). Acredita-se que a

tecnologia utilizada na fabricação de transistores esteja chegando ao seu

limite, devido aos fenômenos quânticos que impõe restrições ao avanço da

atual tecnologia (SCHNEIDER. 2005), a alternativa que segue como solução

ao rompimento da Lei de Moore é mudar para um novo paradigma da

computação como indica Chuang e Nielsen (2005). Esse paradigma como

menciona os autores é dado pela teoria da Computação Quântica.

O interesse pela computação quântica surgiu quando em 1982,

Feynman indicou que os sistemas clássicos não poderiam modelar sistemas

quânticos, estes só poderiam ser modelados utilizando um sistema quântico

(ALVES, 2003). O primeiro passo na computação quântica foi dado por

Deutsche (NIELSEN, CHUANG, 2005), desenvolvendo o conceito de

computador Quântico Universal e com a publicação do primeiro algoritmo

quântico, que seria capaz de resolver problemas matemáticos de maneira mais

eficiente, que um algoritmo clássico (NICOLAU, 2010).

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O avanço mais significativo veio em 1994 quando o pesquisador Peter

Shor dos laboratórios AT&T Bell publicou o seu algoritmo quântico (ALVES,

2003). Esse algoritmo utiliza propriedades de um computador quântico para

realizar fatoração de números inteiros grandes de forma eficiente, algo que em

um computador clássico levaria muito tempo para ser realizado. A aplicação

direta do algoritmo de Shor se dá na quebra de chaves criptográficas, que se

baseiam justamente na dificuldade de fatoração de números grandes como

justifica Alves, o que fez chamar a atenção de muitos setores e governos para

o real potencial da computação quântica.

3. Computação Quântica

“Por computação quântica e informação quântica entendemos o estudo

das tarefas que podem se realizadas pelo processamento da informação

contida em sistemas quânticos” (NIELSEN, CHUANG, 2005). Temos a

definição de que o “computador quântico é um dispositivo que executa cálculos

fazendo uso direto de propriedades da Mecânica Quântica, tais como

sobreposição e interferência de estados (NICOLAU, 2010).

4. Álgebra Linear

Para um bom entendimento de mecânica quântica e consequentemente

da computação quântica alguns conceitos básicos de álgebra linear se tornam

importantes. Não será gasto muito tempo neste tema, pois o foco principal é o

computador quântico óptico e a possibilidade de sua implantação.

A álgebra linear é considerada o estudo dos espaços vetoriais

juntamente com as operações lineares que são realizadas nele. Vetores são

grandezas físicas que não são definidas completamente pelo seu módulo e

pela unidade de medida utilizada em sua medição, como é o caso de

grandezas escalares, para isso são necessários mais dados para que sejam

definidas tais grandezas, além do módulo a sua direção e seu sentido são

necessários para se defini-la.

Neste trabalho os vetores são representados em notação matricial já

que as operações com matrizes produzem o mesmo resultado que as

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operações vetoriais, o que difere uma da outra é somente a forma como se

escreve os vetores sendo que talvez a representação matricial possa ser mais

familiar ao leitor.

Uma matriz é um objeto matemático que é organizado em linhas e

colunas:

Onde cada elemento dentro desta matriz é indicado pelos índices:

É formado ( por ) elementos que estão dispostos em linhas e

colunas onde é o elemento associado a -ésima linha e -ésima coluna.

Segue alguns conceitos relacionados a matrizes relevantes para o nosso

trabalho.

4.1. Multiplicação por uma escalar:

Para multiplicar um número qualquer por uma matriz A, é

multiplicado cada entrada de A por . Assim, a matriz resultante B será

também e . Exemplo:

4.2. Multiplicação de matrizes.

Considere as seguintes matrizes

(4.1)

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Cada elemento de é calculado multiplicando-se ordenadamente os

elementos da linha i da matriz pelos elementos correspondentes da coluna j

da matriz e, a seguir, somando-se os produtos obtidos. Veja abaixo:

(4.2)

O cálculo é feito na seguinte forma:

(4.3)

(4.4)

(4.5)

O produto entre duas matrizes e é definido se, e somente se, o número de

colunas da matriz for igual ao número de linhas da matriz . Assim:

(4.6)

4.3. Matriz Diagonal:

Neste caso os elementos significativos se encontram unicamente na

diagonal principal.

Diagonal principal Diagonal secundária

A =

4.4. Matriz Identidade

São matrizes quadradas (possuem número de colunas iguais a número

e linhas), com entrada “1” em todos os elementos pertencentes à diagonal

principal e com entrada “0” fora da diagonal principal. Exemplos:

7

,

Uma matriz identidade desempenha na aritmética matricial o mesmo

papel que o número 1 desempenha nas relações numéricas

(4.7)

De forma que sendo A uma matriz m x n, teremos: A =A e A= A

4.5. Transposta de uma matriz

Se é uma matriz qualquer então a transposta de , denotada

é definida como a matriz , que é a troca ordenada de suas linhas

pelas suas colunas.

Ex.:

4.6. Número complexo

A noção de números complexos é importante por que o objeto de

estudo da álgebra linear são os espaços vetoriais, o espaço vetorial de maior

interesse para nós é Cⁿ considerado como o espaço de todas as n-uplas de

números complexos. Um número complexo é um par ordenado de números

reais denotados tanto por (a, b) quanto por , onde

Neste caso convém usar uma única letra para denotarmos um número

complexo,

O conjugado complexo é obtido trocando o sinal da parte imaginária; por

exemplo, se temos o número complexo seu conjugado complexo

será

4.7. Transformações Lineares

Uma transformação linear (ou um operador linear no caso

de ) é definida por equações que apresentaremos na forma matricial

8

(4.8)

e fica , Sendo a matriz chamada de canônica da transformação

linear em T.

Um importante operador linear em qualquer espaço vetorial V é o

operador identidade, definido pela equação:

para todos os vetores

Se não houver possibilidade de confusão representaremos por .

Para se calcular elementos da matriz do operador entre os

estados e (onde, para , temos que e são os elementos

diagonais), podemos usar a seguinte equação:

(4.9)

A notação utilizada na equação (4.1) é chamada notação de Dirac, na

frente ela aparecerá mais vezes, basta saber no momento que o símbolo é

chamado de bra e representa a linha de , e chama-se ket e representa a

coluna de .

Suponha V um espaço vetorial com vetores de base e , e A um

operador linear de V em V, onde e . Encontramos a

representação matricial do operador A.

(4.10)

Portanto, a representação matricial é:

(4.11)

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4.8. Transposta conjugada:

Tendo a matriz que tem entradas complexas é dito que sua transposta

conjugada é

fica sendo a matriz no qual as entradas são conjugados complexos das

entradas de e é transposta de .

Exemplo:

Se então,

A matriz unitária fica definida como . Já uma matriz Hermitiana de é

definida quando .

4.9. Matrizes de Pauli.

Um grupo de quatro matrizes importantes e úteis para a Computação

Quântica e Informação Quântica são as matrizes de Pauli. São matrizes

unitárias 2 x 2 que podem ser representadas de várias maneiras. As matrizes e

suas correspondentes notações são mostradas abaixo.

5. O Qubit (bit quântico):

A unidade básica de informação nos computadores clássicos é o bit,

que pode ter os estados 0 ou 1 como valores, nos computadores são

representados pela presença ou não de corrente elétrica nos chips (Oliveira e

Sarthour , 2004). Analogamente, a unidade de informação quântica é o bit

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quântico (ou q-bit), que assim como o bit pode ter dois estados possíveis

representados pelos vetores e , onde:

(5.1)

A diferença entre os bits e q-bits é que os q-bits além dos dois estados

clássicos podem formar combinações lineares de estados chamadas de

superposição (CHUANG. 2005).

(5.2)

Onde o número α e β são complexos. O estado de um q-bit é

representado por um vetor num espaço vetorial complexo de duas dimensões

chamado espaço de Hilbert. A interpretação física de um q-bit descrito por

Motta (2010), é que ele está, simultaneamente nos estados e , sendo

assim a quantidade de informação armazenada no estado é infinita, no

entanto para se ter acesso a essa informação que está no nível quântico é

necessário fazer uma medida, e ao medirmos um q-bit encontramos o estado 0

com probabilidade e o estado 1 com probabilidade , que leva a

, neste caso o q-bit é descrito como um vetor normalizado com

módulo 1(NIELSEN, CHUANG, 2005).

Uma forma de representar o q-bit graficamente é através da chamada

esfera de Bloch como pode ser visto na fig. 1, que é uma representação

limitada, pelo fato de não existir uma generalização simples da esfera de Bloch

para muitos q-bits. Nesta esfera a seta representa o valor do q-bit, quando ela

aponta para o pólo norte ele vale o que equivale ao bit clássico “0”, e ao ser

apontada para o pólo sul vale que equivale ao bit clássico “1”, as demais

regiões representam superposições quânticas de e .

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Figura 1: Esfera de Bloch (Fonte: Wikipédia)

Um q-bit como visto é um sistema de dois estados e pode ser

representado fisicamente por um elétron nos dois níveis mais baixo de um

átomo de hidrogênio, por exemplo: o elétron pode ter a probabilidade α e β de

estar no nível fundamental ou no primeiro estado excitado respectivamente,

algo que deixa o elétron parcialmente em ambos os estados de energia. Além

deste exemplo de dois elétrons orbitando no átomo também existe a

possibilidade de trabalhar com q-bits através do spin nuclear num campo

magnético uniforme, assim como através de fótons, processo que veremos

com mais detalhes adiante por ser importante para a compreensão do tema

aqui explorado, o computador óptico.

6. Circuitos Quântico

A computação quântica tem um grande potencial para armazenamento

de informação, mais somente isso não a torna interessante do ponto de vista

da ciência da computação é necessário que haja uma manipulação eficiente

da informação de maneira a obter resultados desejados (MARQUEZINO,

2006), isso pode ocorrer através de portas lógicas.

A computação quântica da mesma forma que a computação clássica,

usa como meio de manipulação de informações as portas lógicas; na

computação clássica é mais fácil e perceptível entendê-las por que neste caso

as portas lógicas são mais próximas da realidade, por exemplo, linhas

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correspondem a fios e bifurcações significam que a corrente elétrica passa por

ambos os fios (PORTUGAL, 2005).

Agora serão vistas as principais portas quântica de 1 q-bit, uma porta

quântica sobre um q-bit pode ser descrita como uma matriz 2x2 (por exemplo,

uma matriz unitária qualquer especifica uma porta quântica válida), diferente

das portas clássicas onde somente uma porta lógica não-trivial de um bit pode

existir (a porta NOT ou NÃO, com a ação dela os 0 e 1 são trocados um pelo

outro), existem muitas portas quânticas não-triviais (NIELSEN, CHUANG,

2005), dentre as mais importantes, temos a porta Not Quântica sendo análoga

a porta clássica NOT. A porta quântica NOT é dada por um operador que

satisfaz:

e (6.1)

Assim a matriz que representa o operador é dada da seguinte forma

(6.2)

Outra porta é porta Z

(6.3)

essa porta não altera o estado de , e muda o sinal de para - .

Porta Hadamard,

(6.4)

Veja o funcionamento desta porta

(6.5)

(6.6)

O papel da porta Hadamard é transformar a base e em uma base em

que os estados são uma superposição da base computacional. A ação da

porta Hadamard pode ser visualizada na esfera de Bloch na fig.2. A operação

que a Hadamard realiza corresponde a uma rotação de , seguida de uma

reflexão sobre o plano .

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Figura 2: Visualização, na esfera de Bloch, ação da porta Hadamard sobre o estado

.

6.1. CNOT: O Não-Controlado

As matrizes unitárias 2x2 são infinitas, sendo ilimitado o número

de portas quânticas de 1 q-bit, no entanto elas não são suficientes para montar

circuitos quântico que possam representar operações sobre um numero

qualquer de q-bits (LULA, 2005), para isso as matrizes 4X4 são capazes de

cumprir bem este papel; tendo como principal representante a porta CNOT,

conhecida também como porta Não-controlado, ela define operações sobre 2

q-bits e é chamada de porta Universal.

Na fig.3 é visto um exemplo da porta Não-controlado, ela tem dois q-bits

de entrada, o q-bit de controle e o q-bit alvo, nesta ordem, o funcionamento

desta porta se dá seguinte forma: a linha superior representa o q-bit de

controle e a linha inferior o q-bit alvo, se o q-bit de controle estiver nos estado

“0” nada acontece com o q-bit alvo, este só muda se e somente se o estado do

q-bit de controle for igual a 1.

Figura 3: Porta CNOT

A vantagem desta porta é que os q-bits podem estar nos estados

superpostos. A ação desta porta pode ser resumida em onde

é a operação adição de modulo 2.

; ; ;

.

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Existem outras portas quânticas que podem ser consideradas

universais, no entanto a porta CNOT juntamente com as portas de um q-bit

são protótipos para a formação de qualquer outra porta quântica (CHUANG,

NIELSEN 2005), por isso ela é considerada uma porta Universal.

A matriz associada a porta CNOT é dada por:

Antes de se prosseguir é importante verificar algumas convenções

utilizadas em circuitos quânticos, na fig. 4 é representado uma porta U-

Controlada.

Figura 4: Uma representação de uma porta U-Controlada.

Um circuito deve ser lido sempre da esquerda para a direita as linhas

que aparecem não são necessariamente fios, elas representam a evolução de

um q-bit, podendo ser apenas a passagem do tempo ou o deslocamento de

uma partícula, como o deslocamento de um fóton, a linha vertical que aparece

unindo os símbolos • e U informa que o circuito atua simultaneamente nos dois

q-bits, ela representa o sincronismo, e não o envio de informação. Portanto,

não são permitidas nem junções, nem bifurcações de q-bits. O símbolo • indica

que o q-bit representado nessa linha é um q-bit de controle, ou seja, caso

esteja no estado , a porta U realiza a operação, caso esteja no estado a

porta U não realiza operação alguma. Por fim temos a saída, os q-bits que

compõem a saída podem ou não ser medidos.

7. Óptica

Para se ter uma boa noção da proposta do computador quântico óptico

é necessária uma boa fundamentação teórica em óptica clássica, conceitos

como: refração, reflexão, interferência, e caráter ondulatório da luz, são

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importantes princípios que norteiam a implementação do computador quântico

óptico.

7.1 Refração e reflexão

O mecanismo Físico para refração e reflexão da luz pode ser entendido

em termos da absorção da luz pelos átomos nos meios refletores e refratários

(TIPLER, 2006), a luz que se desloca no ar quando atinge uma superfície

transparente, que pode ser um vidro ou água, e é absorvida pelos átomos do

material transparente, estes átomos a irradiam na mesma frequência que

foram absorvidas, mas com velocidades diferentes.

A velocidade da luz em um meio transparente é menor que a velocidade

da luz, no vácuo, o que caracteriza o índice de refração n que é

a razão entre a velocidade c (velocidade da luz no vácuo) e a velocidade da

luz no meio v. n = c/v

A luz ao atingir uma superfície que faz fronteira entre dois meios como,

por exemplo, ar-vidro, tem parte de sua energia luminosa refletida e parte

absorvida pelo meio. Quando o raio de luz passa de um meio para o outro sua

velocidade passar a depender do meio em que se encontra, a esse fenômeno

dar-se o nome de refração, essa variação da velocidade ocorre após a luz

passar pelo o que é chamado de plano de incidência e dependendo do ângulo

da luz incidente, pode ocorrer a mudança do ângulo do raio de luz em

relação à normal do plano de incidência, para o angulo também em relação

à normal. Na reflexão o raio que é refletido permanece no plano de incidência

fazendo um ângulo em relação normal que é igual a . A fig.5 abaixo

exemplifica as duas situações:

Figura 5: Refração e reflexão

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7.2. A luz como uma onda eletromagnética

A luz é uma onda eletromagnética, e como tal é formada por dois

campos: o elétrico - e o magnético , estes campos estão em planos

perpendiculares entre si e perpendiculares a propagação da onda como

demonstrado na fig.6.

Figura 6: Representação de uma onda eletromagnética. Fonte: Enciclopédia livre - Wikipédia.

As ondas eletromagnéticas podem interagir com a matéria, o campo

elétrico, por exemplo, pode interagir com nuvens de elétrons que constituem a

matéria fazendo-a oscilar.

As equações de Maxwell da onda eletromagnética são expressas

abaixo:

Equação de Onda para :

(7.1)

Equação de Onda para :

(7.2)

7.3. A dualidade onda-partícula

A luz tem propriedades claras que a caracterizar como onda, e ao

mesmo tempo como partícula, o experimento de dupla-fenda evidência o

caráter ondulatório da luz por meio de propriedades como o padrão de

interferência e difração da luz. Em contra partida no inicio do sec. XX

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descobriu-se que a energia da luz pode chegar em quantidades discretas,

Einstein chegou a demonstrar que a energia luminosa é quantizada em

pequenas porções chamadas fótons, sendo que a energia de cada fóton é

dada por

(7.3)

Sendo a frequência, é a chamada de constante de Planck, ficou assim

definido o caráter corpuscular da luz, de modo que um feixe de luz é composto

por um feixe de partículas, os fótons, e cada fóton tem uma energia .

7.4. Interferência

A interferência é observada quando duas ondas coerentes se

superpõem. Coerência é a medida da correlação entre as fases medidas em

diferentes pontos de uma onda. Coerência em óptica é obtida geralmente pelo

espalhamento de um feixe de luz de uma única fonte, em dois ou mais feixes

que podem então ser combinados para produzir um padrão de interferência, os

lasers são as mais importantes fontes de luz coerente em laboratórios.

7.5. Experimento de dupla fenda

Um dos fenômenos mais conhecidos e importantes na computação

quântica é a interferência quântica, para a explicação deste evento na

perspectiva quântica é utilizado aqui o experimento de Thomas Young da

dupla fenda. Neste experimento como representa a fig. 7, tem-se uma fonte

luminosa coerente, uma parede com duas fendas e um anteparo com um

sensor que mede a Intensidade da luz que chega neste anteparo.

fendaA

anteparoparede

intensidade A,B

fendaB

fonteluminosa

s

intensidade A+B intensidade A?B

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Figura 7: Experimento de dupla fenda de Thomas Young. Fonte: (LOPES, 2004)

Ao se abrir apenas uma das fendas a Intensidade da luz atinge seu

máximo na linha onde a fenda é aberta. Quando as duas fendas estão abertas

não são vistas apenas duas incidências de luz distintas, mais sim um padrão

de interferência característico deste fenômeno que gera franjas claras e

escuras. Este fenômeno ocorre devido à interferência construtiva e destrutiva

da luz, e o mais interessante é que esse padrão de interferência ocorre mesmo

quando a fonte de luz emite somente um fóton, é como se cada fóton

interferisse em si mesmo. Ao se tentar efetuar uma medida da partícula, para

saber se ela passa pela fenda A ou pela fenda B haverá o colapso da função

de onda, a partícula será encontrada em uma das fendas, e deixará de realizar

o padrão de interferência.

É explicado agora o experimento de dupla fenda pelo viés da mecânica

quântica, fugindo do rigor do formalismo quântico, pois não é o foco deste

trabalho.

Considere o experimento de dupla fenda como um evento: o fóton sai

da origem (feixe de luz) que é chamada de s e é o estado inicial do evento e

chega ao anteparo que dado por x sendo

o estado final. Na notação de Dirac fica da seguinte forma:

Sendo a amplitude de probabilidade. E no experimento de dupla fenda fica

A notação de Dirac é utilizada por ser prática em apresentar

transformações e estados quânticos. Considerando ainda o experimento de

dupla fenda, existe ainda a possibilidade deste evento ser divido em dois sub-

eventos, tendo a probabilidade representada por:

No exemplo do experimento de dupla fenda, não se verá a partícula

entrando na fenda A e saindo pela fenda B, pois a amplitude de probabilidade

para esse caso é dada por:

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A notação de Dirac é consistente em descrever todas as possibilidades

de eventos que podem ocorrer em estados quânticos.

8. A implementação do computador Quântico Óptico

A construção de um computador quântico de fato, está ligada não

somente a uma representação física do q-bit, mas também a obtenção de uma

tecnologia que possibilite a manipulação de q-bits sem que cause decoerência

no sistema, que seria a perda de informação no mesmo; segue em ordem

abaixo os requisitos que são básicos para a implantação de um computador

quântico.

1. Representação robusta do q-bit.

2. É necessária a construção de portas lógicas quânticas, que possibilitem a

manipulação de q-bits individualmente, de modo a permitir interações

controladas entre eles.

3. Preparação correta do estado inicial.

4. Realização da medida do resultado de saída.

8.1. Descrição do Equipamento Experimental

Agora Será feita uma breve descrição dos candidatos a componentes

de um computador quântico óptico, assim como a exemplificação de portas

quânticas que podem representar a evolução da informação quântica.

8.2. Representação do q-bit

Um bit quântico é um sistema quântico de dois níveis e o fóton óptico

possui várias características que o torna um bom candidato à implementação

da computação quântica. O fóton pode representar um q-bit de duas formas,

através de polarização ou da sua localização espacial (numa cavidade ou em

outra). Neste trabalho o q-bit é representado como a superposição de zero e

um fóton, o q-bit fica sendo, .

8.3. Preparação do Estado Inicial.

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É necessário para o estado inicial a geração de fótons individuais, neste

caso é utilizado um feixe de laser, sendo necessário que se reduza a

intensidade do feixe afim de que sejam emitidos poucos fótons, a este

processo é dado o nome de “estado monofotônico” e é justamente a

preparação do nosso estado inicial, nele é preparado um pacote de onda com

exatamente um quantum de energia (LULA, 2005). A maneira de preparar os

feixes com características de “estado monofotônico” é realizado através de um

processo conhecido como conversão paramétrica, nele um único fóton atinge

um meio óptico não-linear, estes meios tem a propriedade de gerar pares de

fótons para cada fóton que atinge o meio-não linear com frequência

, cada fóton é gerado simultaneamente e cada um com metade da energia

do fóton inicial. Quando um dos fótons é detectado destrutivamente através de

um detector se saberá com certeza que o outro fóton existe, neste caso uma

porta óptica é aberta para a passagem do segundo fóton, mais isso apenas

para o caso de um fóton e não dois ou mais serem detectados.

8.3.1. Laser

O Laser (light amplification by stimulated emission of radiation) é uma

luz produzida através de emissão estimulada, neste processo o elétron que

está no átomo em um estado excitado tende a ir para um nível mais abaixo de

energia só que de uma forma demorada que pode ser acelerada por um

agente externo, por exemplo, um fóton externo pode causar o decaimento do

elétron excitado que ao passar para um estado de baixa energia produz um

fóton que é emitido do sistema juntamente com o fóton que causou a transição

com mesma energia e ambos propagando-se na mesma direção.

O que torna o laser interessante para o uso na computação quântica

são suas características peculiares, uma delas, é que a luz do laser é

monocromática sendo ela composta apenas por um comprimento de onda;

outra característica importante é a coerência da luz emitida pelo laser; e o que

faz uma radiação de luz ser coerente são as ondas da radiação estarem em

fase, tendo sempre a mesma direção e comprimento de onda.

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8.3.2. Meios Não-lineares

O índice de refração nos meios em geral depende do arranjo dos

átomos e da distribuição dos elétrons, os cristais não-lineares utilizados para a

conversão de frequência são meios dielétricos, tais meios são ideais quando

não contém em si cargas livres e sua estrutura atômica é eletricamente neutra

(PENELLO, 2007) o que leva a distribuição de cargas no meio se deslocarem

conforme a orientação do campo elétrico aplicado. Na prática a alteração da

distribuição dos elétrons no meio leva a diferentes níveis de refração.

Na teoria eletromagnética, a resposta que é dada pelo meio material

devido à ação do campo elétrico pode ser obtida com boa aproximação

expandindo a polarização do meio até a terceira ordem na amplitude do campo

elétrico (SOUZA, 2006).

(8.1)

Sendo que é a constante dielétrica do vácuo, é o vetor campo elétrico e

, , , são respectivamente a susceptibilidade de primeira, segunda e

terceira ordem do meio não-linear (SOUZA, 2006), a descrição na óptica linear

é feita por mais para meios não lineares a resposta é dada por e .

Os meios lineares de segunda ordem podem ser utilizados para

converter frequências; por exemplo, tendo um campo elétrico composto de

duas frequências e , propagando-se em uma direção y

Temos a equação do campo elétrico para as duas frequências:

(8.2)

Fazendo as devidas substituições de (8.2) em (8.1) a polarização elétrica não-

linear será dada por:

(8.3)

Fazendo uso das identidades trigonométricas em (8.3), reescrevemos a

equação da seguinte forma:

(8.4)

Dela observamos que a interação das duas ondas eletromagnéticas através de

um meio não-linear de segunda ordem chegará a resultados que vemos na

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fig.8, polarização elétrica com componentes nas frequências 0, , ,

e .

Figura 8. (a) Efeitos não-lineares de segunda ordem. (b) Retificação óptica; (c) soma de

frequências; (d) geração de diferença de frequência. Fonte: (PENELLO, 2007)

A importância dos meios não-lineares para computação quântica é a

possibilidade de interação entre fótons, uma vez que os fótons não interagem

entre si sozinhos, necessitando que algo torne possível esta interação.

8.4. Divisores de Feixe

O divisor de feixe é um dispositivo semi-refletor que pode ser um

pedaço de vidro parcialmente espelhado que reflete uma parte da luz que

nele incide e transmite . Probabilisticamente a luz ao passar pelo divisor de

fase, tem 50% de chance de ser refletida e 50% de ser transmitida.

Geralmente sua montagem é feita através de dois prismas com um fino filme

metálico entre eles, no caso ideal .

Figura 9: Divisor de Feixe.

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A fig. 9 esquematiza um divisor de feixe, e são as duas entradas que

comumente representamos como campos eletromagnéticos, e e são

respectivamente as saídas. Podemos considerar o princípio da superposição

que é um princípio fundamental da mecânica quântica, para montar nossa

porta lógica: Dados dois estados admissíveis de um sistema quântico, então a

soma desses dois estados também é um estado admissível do sistema

(PESSOA, 2005)

(8.5)

Considerando que os q-bits e são respectivamente as entradas e , e

que a taxa de transmissão do fóton refletido e transmitido é de 50% cada,

temos que = = .

(8.6)

(8.7)

(8.8)

Temos que porta quântica que computa as saídas é uma operação unitária

·:

(8.9)

Se for escolhido o caminho não seria difícil chegar a mesma porta unitária

, neste caso temos que considerar que a reflexão resulta em uma fase

.

(8.11)

(8.12)

8.5. Deslocadores de fase

Deslocador de fase é uma lâmina de vidro transparente capaz de

diminuir a velocidade da luz que por ele passa tornando possível diminuir ou

aumentar o percurso do feixe transmitido, isso por que a luz gasta um tempo

24

maior para se propagar por uma distância qualquer com um índice de refração

em relação ao tempo que gasta no vácuo. Se criarmos uma porta lógica a

ação que esta porta terá no estado de vácuo é deixá-lo invariante e

no estado de um fóton , sendo que , é a

distância do meio com índice de refração

9. Análise dos componentes de um computador quântico

A análise dos componentes que podem compor um computador

quântico óptico revela que apesar de ser atraente devido às potencialidades

que um fóton tem em representar a informação quântica, são grandes as

dificuldades de ordem tecnológicas encontradas na construção de um

computador quântico.

O primeiro desafio em construir o computador quântico óptico está na

criação do estado inicial; um laser atenuado em um meio não-linear como foi

descrito na seção 8.3, é utilizado para a criação de fótons únicos, o ideal seria

que a cada pulso de luz em um ciclo de tempo houvesse apenas um fóton,

mas isso até o momento não é possível, então lasers atenuados são utilizados

para que o número médio de fótons em cada pulso do laser seja o menor

possível, o problema está justamente ai, quanto menor o número médio de

fótons por pulso, maior é a probabilidade de pulsos vazios.

Os cristais não-lineares surgem para evitar este problema, o seu

funcionamento foi explicado na seção 8.3.2, no entanto esse recurso

apresenta também limitações; por exemplo, na melhor das hipóteses a

eficiência de um cristal não linear é , além disso, ocorrem muitas perdas

por absorção, sem contar que se não houver um detector de fótons eficiente

para avisar que um fóton foi gerado pequenas frações de fótons por pulso não

serão anunciadas.

Os divisores de feixe e os deslocadores de fase conseguem cumprir

bem o papel de portas lógicas quânticas na qual medidas são capazes de

serem realizadas e transformações unitárias expressam a evolução temporal.

As perdas que são sentidas em tais sistemas são oriundas das limitações

técnicas, que assim como nos meios não-lineares, diminuem as chances de

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construção de um computador quântico; os divisores de feixe com suas

laminas de metal por exemplo, acabam interagindo com os fótons.

10. Conclusão.

Este trabalho preocupou-se acima de tudo em demonstrar de forma

sintética as estruturas de um computador quântico, e a possibilidade da

implementação de um computador quântico óptico, já que o fóton se apresenta

como um atraente candidato para a representação de um q-bit por apresentar

assinatura de fenômenos quânticos como interferência e a superposição de

estados e também pelo vantajoso fato de o fóton poder ser guiado por

distâncias longas com pequenas perdas por meio das fibras ópticas.

No entanto é observado através da análise dos componentes

estudados, que a viabilidade de construção de um computador quântico óptico

é muito pequena ficando apenas a lição de que a teoria da máquina quântica é

consistente, mas sua implantação de fato na natureza tem um longo caminho a

se percorrer, as possibilidades são muitas, no entanto os desafios são

grandes, fica então aberta à proposta de algum outro computador quântico,

com um tipo de sistema diferente que possa se tornar realidade para o

processamento quântico.

Agradecimentos:

A Deus, pela oportunidade da vida e de explorar os dons que a mim

foram conferidos, a minha família fonte constante de fortaleza e estímulo que

me da segurança para prosseguir. Ao professor Dr. Paulo Henrique Alves

Guimarães pela orientação, paciência e incentivo que foram cruciais para a

realização deste trabalho.

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