LAÉRCIO VASCONCELOS

O ALGEBRISTA

Volume 1

Rio de Janeiro

2016

O ALGEBRISTA VOLUME 1Copyright © 2016, Laércio Vasconcelos Computação LTDA

DIREITOS AUTORAIS

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TítuloO ALGEBRISTA VOLUME 1ISBN: 978-85-86770-22-7

AutorEng. Laércio Vasconcelos

Supervisora de MarketingSirléia Damázio

CapaRafael Conde

IlustraçõesSergio Luiz Correia de Vasconcelos

Laércio Vasconcelos ComputaçãoRua Almirante Cochrane, 33 sl 201, TijucaRio de Janeiro RJ CEP 20.550-040Tel (21) 2210-2888www.laercio.com.br

ÍNDICE

CAPÍTULO 1: N úmeros inteiros............................................................1O início da álgebra.................................................................................1Conjuntos numéricos............................................................................1

Números naturais................................................................................2O número 0..........................................................................................2Números inteiros..................................................................................3Números racionais...............................................................................4Números irracionais.............................................................................6Números reais.....................................................................................6Números complexos ou imaginários...................................................7

Operações com números inteiros.......................................................8Adição de inteiros................................................................................9Exercícios..........................................................................................11Módulo ou valor absoluto..................................................................12Adição de inteiros de sinais diferentes..............................................12Exercícios..........................................................................................13Soma algébrica..................................................................................14Comparação de inteiros.....................................................................15Exercícios..........................................................................................16Subtração de inteiros.........................................................................16Exercícios..........................................................................................17Expressões com adição e subtração de inteiros...............................18Corta-corta.........................................................................................20Exercícios..........................................................................................21Eliminação de parêteses...................................................................21Exercícios..........................................................................................23Parênteses, chaves e colchetes........................................................24Multiplicação e divisão de inteiros.....................................................24Produto com mais de dois fatores.....................................................26Exercícios..........................................................................................27Expressões combinando multiplicações e divisões..........................27Exercícios..........................................................................................27Exercícios..........................................................................................28Potenciação de números inteiros......................................................28Exercícios..........................................................................................29Propriedades das potências..............................................................30Exercícios..........................................................................................31

Expressões com números inteiros....................................................32Sequência de adições e subtrações..................................................33Exercícios..........................................................................................33Sequência de multiplicações e divisões............................................33

Exercícios..........................................................................................33Expressões com adição, subtração, multiplicação e divisão............33Exercícios..........................................................................................34Parênteses, colchetes e chaves........................................................35Exercícios..........................................................................................36Expressões com potências................................................................36Exercícios..........................................................................................38

Propriedades da adição......................................................................38Propriedade de fechamento da adição.............................................39Elemento neutro................................................................................39Comutatividade..................................................................................40Associatividade..................................................................................40

Propriedades da multiplicação...........................................................40Fechamento.......................................................................................40Elemento neutro................................................................................41Comutatividade..................................................................................41Associatividade..................................................................................41Distributividade..................................................................................41

Raiz quadrada e raiz cúbica de números naturais...........................42Exercícios..........................................................................................43

Raiz quadrada e raiz cúbica de números inteiros............................43Raízes de ordem superior.................................................................44Exercícios..........................................................................................45

Valor numérico.....................................................................................45Exercícios..........................................................................................46

Racional ou irracional?.......................................................................46Exercícios..........................................................................................49

Exercícios de revisão..........................................................................49Respostas dos exercícios...................................................................54

CAPÍTULO 2: N úmeros racionais.......................................................61Também Reais e Irracionais...............................................................61Segurança, precisão, rapidez.............................................................61Inteiros e racionais..............................................................................61

Módulo e simétrico de um número racional......................................62Revisão de frações..............................................................................62

Fração é uma divisão........................................................................63Simplificação e fração irredutível.......................................................63Fração decimal, fração ordinária.......................................................64Fração própria, fração imprópria, fração aparente, número misto....64Porcentagem.....................................................................................65Dízimas periódicas............................................................................65

Encontrando a fração geratriz...........................................................66Fatoração de números naturais.........................................................66MMC..................................................................................................67Comparação de frações....................................................................68Exercícios de revisão sobre frações..................................................69

Lidando com sinais.............................................................................72Exercícios..........................................................................................74

Simplificação........................................................................................74Exercícios..........................................................................................75

Adição e subtração de números racionais.......................................75Comparação de números racionais...................................................78Exercícios..........................................................................................79

Multiplicação e divisão de números racionais.................................80Inverso ou recíproco..........................................................................82Fração de fração................................................................................83Expressões com adição, subtração, multiplicação e divisão de racionais.............................................................................................83Organize o rascunho.........................................................................84Exercícios..........................................................................................86

Propriedades das operações com números racionais....................88Propriedade de fechamento da adição.............................................89Propriedade do elemento neutro da adição......................................89Propriedade comutativa da adição....................................................90Propriedade associativa da adição....................................................90Propriedade de fechamento da multiplicação...................................90Propriedade do elemento neutro da multiplicação............................90Propriedade comutativa da multiplicação..........................................90Propriedade associativa da multiplicação.........................................91Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração...........................................................................................91

Potências de números racionais – expoentes positivos................91A ordem correta.................................................................................92Exercícios..........................................................................................95Exercícios..........................................................................................96

Propriedades das potências...............................................................96Exercícios..........................................................................................97Exercícios..........................................................................................98Exercícios........................................................................................100

Potências de números racionais – expoentes negativos.............101Exercícios........................................................................................103

Raízes de números racionais...........................................................104Exercícios........................................................................................106Cuidado com o sinal negativo.........................................................107Exercícios........................................................................................108

Expoentes 1/2 e 1/3.........................................................................109Exercícios........................................................................................111

A raiz quadrada negativa?................................................................111Expressões com números racionais...............................................113

Exercícios........................................................................................115Extração de raiz quadrada................................................................118Números irracionais..........................................................................122Números reais....................................................................................124Operando com números reais..........................................................126Exercícios de revisão........................................................................127Detonando uma prova – Questão 11...............................................133Respostas dos exercícios.................................................................134Detonando uma prova – Questão 11...............................................141

CAPÍTULO 3: E xpressões algébricas..............................................143Questões clássicas...........................................................................143Termos e expressões........................................................................143

Termo algébrico...............................................................................143Termos semelhantes.......................................................................144Redução de termos semelhantes....................................................145Expressões algébricas.....................................................................145Valor numérico.................................................................................146Exercícios........................................................................................146

Classificação de expressões algébricas.........................................146Exercícios........................................................................................147Monômio e polinômio.......................................................................148Binômios e trinômios.......................................................................148Grau de um monômio ou polinômio................................................149Polinômio homogêneo.....................................................................149Polinômio em x................................................................................149Polinômio completo.........................................................................149Completar e ordenar P(x)................................................................150Exercícios........................................................................................150

Operações com monômios...............................................................151Adição e subtração de monômios...................................................151Exercícios........................................................................................151Multiplicação de monômios.............................................................151Exercícios........................................................................................152Potências de monômios..................................................................152Exercícios........................................................................................153Divisão de monômios......................................................................153Exercícios........................................................................................153

Monômios não divisíveis.................................................................153Exercícios........................................................................................154Distributividade................................................................................154Exercícios........................................................................................155

Adição e subtração de polinômios..................................................156Exercícios........................................................................................157

Multiplicação de polinômios.............................................................158Outro método para armar a multiplicação.......................................160Exercícios........................................................................................161

Divisão de polinômios.......................................................................161Divisão de polinômio por monômio.................................................161Exercícios........................................................................................162Divisão de dois polinômios..............................................................163Teorema do resto............................................................................166Exercícios........................................................................................167

Potências de um polinômio..............................................................167Exercícios........................................................................................168

Expressões envolvendo polinômios...............................................168Exercícios........................................................................................171

Exercícios de revisão........................................................................171Soluções dos exercícios...................................................................182

CAPÍTULO 4: P rodutos notáveis......................................................189Para ganhar tempo............................................................................189(a+b)2 = a2 + 2ab + b2..........................................................................189

Interpretação geométrica.................................................................193Não confunda..................................................................................194Exercícios........................................................................................195

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2........................................................................195Exercícios........................................................................................196Interpretação geométrica.................................................................198Não confunda..................................................................................199

(a+b+c)2...............................................................................................200Exercícios........................................................................................200

(a+b).(a–b) = a2 – b2............................................................................200Exercícios........................................................................................203

Produto de Stevin: (x+a).(x+b) = x2 + Sx + P...................................203Exercícios........................................................................................204Exercícios........................................................................................205Exercícios........................................................................................206Exercícios........................................................................................207Interpretação geométrica.................................................................207

Derivados do Produto de Stevin......................................................207(x+a).(x+b).(x+c)..............................................................................207(a+1).(b+1).......................................................................................208(a+1).(b+1).(c+1)..............................................................................208Exercícios........................................................................................209

Cubos da soma e da diferença.........................................................209(a+b)3...............................................................................................209(a–b)3...............................................................................................210Exercícios........................................................................................210

Soma e diferença de cubos..............................................................211(x + 1/x)n..............................................................................................212Exercícios de revisão........................................................................214Respostas dos exercícios.................................................................218

CAPÍTULO 5: F atoração....................................................................223Usar expressões racionais...............................................................224Fatoração por evidência...................................................................225

Exercícios........................................................................................227Interpretação geométrica da fatoração por evidência.....................227Exercícios........................................................................................228

Fatoração por agrupamento.............................................................228Exercícios........................................................................................229Interpretação geométrica da fatoração por evidência.....................230Exercícios........................................................................................230

Fatoração por quadrados e cubos...................................................230Exercícios........................................................................................231Exercícios........................................................................................232Exercícios........................................................................................233

Fatoração por diferença de quadrados...........................................233Exercícios........................................................................................233Exercícios........................................................................................234Exercícios........................................................................................234

Soma e diferença de cubos..............................................................234Exercícios........................................................................................235

Trinômio do segundo grau na forma x2 + bx + c............................235Exercícios........................................................................................236Trinômios que não podem ser fatorados.........................................237Exercícios........................................................................................238

Trinômio do segundo grau na forma ax2 + bx + c..........................238Justificativa do método da fatoração de ax2 + bx + c......................239Exercícios........................................................................................240Exercícios........................................................................................241

Fatorações combinadas....................................................................241Exercícios........................................................................................242

Fatoração por “mágica”....................................................................242Polinômios.......................................................................................245

Fatoração em provas e concursos..................................................247Exemplo: EPCAr 2010 – Expressões algébricas complexas..........247Exemplo: CMRJ 2015 – Expressões algébricas e equações.........248

xn – yn e xn + yn....................................................................................249xn – yn...............................................................................................249xn + yn...............................................................................................250

Exercícios de revisão........................................................................250Respostas dos exercícios.................................................................256

CAPÍTULO 6: M MC e MDC................................................................263Problemas sobre MMC e MDC..........................................................263Fatores numéricos e algébricos......................................................263Recordando o MDC e o MMC de números naturais.......................264MDC e o MMC de expressões algébricas........................................265

Exercícios........................................................................................266Exercícios........................................................................................266

MDC e simplificação de frações algébricas....................................267Exercícios........................................................................................267

MMC e redução ao mesmo denominador.......................................267Exercícios........................................................................................268

Casos especiais.................................................................................268Exercícios de revisão........................................................................270Respostas dos exercícios.................................................................272

CAPÍTULO 7: F rações algébricas....................................................275Obrigatório para concursos.............................................................275Simplificação de frações algébricas................................................276

Um erro clássico..............................................................................277Para simplificar frações com monômios..........................................278Exercícios........................................................................................278Exercícios........................................................................................279Exercícios........................................................................................280Exercícios........................................................................................281

Multiplicação de frações algébricas................................................281Exercícios........................................................................................283Frações algébricas com sinais negativos........................................283

Exercícios........................................................................................286Divisão de frações algébricas..........................................................286

Exercícios........................................................................................289Adição e subtração de frações algébricas.....................................289

Denominadores que simplificam.....................................................291Exercícios........................................................................................291

Exercícios de revisão........................................................................292Respostas dos exercícios.................................................................301

CAPÍTULO 8: E quações do primeiro grau......................................307Facilidade ou dificuldade?................................................................307Igualdades..........................................................................................307Equações de primeiro grau..............................................................308

Exercícios........................................................................................309Método de resolução.........................................................................309

Exercícios........................................................................................313Discussão de uma equação do primeiro grau................................314

x=0 é solução determinada.............................................................317Exercícios........................................................................................318Equações equivalentes...................................................................319

Inequação...........................................................................................319Exercícios........................................................................................320

Equação fracionária..........................................................................320Exercícios........................................................................................323

Equação modular...............................................................................323Exercícios de revisão........................................................................324Respostas dos exercícios.................................................................330

CAPÍTULO 9: S istemas de equações do primeiro grau................333Uma incógnita, duas incógnitas, três incógnitas...........................333Método da substituição.....................................................................334

Exercícios........................................................................................336Método da adição...............................................................................336

Exercícios........................................................................................337Método da comparação.....................................................................337

Exercícios........................................................................................338Método dos determinantes...............................................................340

Demonstração.................................................................................342Cuidado com a “pegadinha” das posições trocadas.......................343Colocando em evidência.................................................................343

Exercícios........................................................................................343Sistemas literais.................................................................................344

Exercícios........................................................................................344Sistemas com 3 equações e 3 incógnitas.......................................345

Exercícios........................................................................................346Sistemas fracionários.......................................................................347

Exercícios........................................................................................348Sistemas possíveis e determinados................................................349

Retas concorrentes..........................................................................349Sistemas impossíveis.......................................................................350

Retas paralelas................................................................................351Sistemas indeterminados.................................................................351

Retas coincidentes..........................................................................352Exercícios........................................................................................353

Exercícios de revisão........................................................................354Respostas dos exercícios.................................................................362

CAPÍTULO 10: P roblemas do primeiro grau...................................365Problema, equação, solução............................................................365

Exercícios........................................................................................368Problemas envolvendo idades.........................................................369

Exercícios........................................................................................371Problemas de torneiras.....................................................................371

Exercícios........................................................................................375Diagramas - “entendeu ou quer que eu desenhe? “.......................375Exercícios........................................................................................378

Problemas de espaço, tempo e velocidade....................................379Exercícios........................................................................................381

Problemas de misturas.....................................................................382Exercícios........................................................................................388

Problemas de juros...........................................................................389Exercícios........................................................................................391

Problemas do segundo grau............................................................392Diminuir, subtrair...............................................................................394Exercícios de revisão........................................................................395Respostas dos exercícios.................................................................409Resoluções de exercícios selecionados.........................................412

CAPÍTULO 11: C onjuntos e tópicos sobre ANÁLISE.....................425Análise e álgebra...............................................................................425

O número zero....................................................................................4260, 1, 2...............................................................................................426

Conjuntos...........................................................................................426O conjunto dos números naturais....................................................426O conjunto dos números racionais positivos...................................426Exemplos de conjuntos...................................................................427Pertinência.......................................................................................427Conjunto vazio.................................................................................427Exercícios........................................................................................427Representação por enumeração.....................................................428Representação por diagrama..........................................................428Representação por propriedade......................................................429Conjunto unitário..............................................................................429Conjuntos equivalentes...................................................................430Exercícios........................................................................................430Subconjunto.....................................................................................430Pertence ou está contido?...............................................................431Conjunto universo............................................................................432Exercícios........................................................................................432Operações com conjuntos...............................................................433União de conjuntos..........................................................................433Interseção de conjuntos..................................................................434Diferença de conjuntos....................................................................435Complementar.................................................................................436Exercícios........................................................................................437Diagrama de Venn para 3 conjuntos...............................................437Diferença simétrica..........................................................................438Número de elementos.....................................................................439Número de subconjutnos.................................................................441Conjunto das partes.........................................................................442Exercícios........................................................................................443

Intervalos............................................................................................443Operações com intervalos...............................................................445Máximos e mínimos de intervalos...................................................448

Médias.................................................................................................449Média aritmética..............................................................................449Média geométrica............................................................................449Média harmônica.............................................................................450Desigualdade das médias...............................................................450Média ponderada.............................................................................451

Plano cartesiano................................................................................452Relações e funções...........................................................................453

Diagrama de setas...........................................................................454Produto Cartesiano..........................................................................455

Função.............................................................................................456Domínio, contradomínio, imagem....................................................456

Função linear e função afim.............................................................458Sistemas de equações e interseção de gráficos.............................459

Exercícios de revisão........................................................................460Respostas dos exercícios.................................................................470Resoluções de exercícios selecionados.........................................472

CAPÍTULO 12: I nequações do primeiro grau.................................479A forma final da inequação do 1º grau............................................479

Exercícios........................................................................................482Conjunto solução.............................................................................482

Inequações fracionárias....................................................................482Exercícios........................................................................................484

Sistemas de inequações...................................................................484Exercícios........................................................................................485Inequações com duas variáveis......................................................485

Equações com módulo.....................................................................487Inequações com módulo...................................................................488Inequações “indeterminadas” e impossíveis.................................489Módulo................................................................................................489

|2x – 8| < 6.......................................................................................490|x – a| < |x – b|.................................................................................490Exercícios........................................................................................490

União e interseção?...........................................................................491Exercícios de revisão........................................................................492Respostas dos exercícios.................................................................495Resoluções de exercícios selecionados.........................................495

CAPÍTULO 13: E quações do segundo grau....................................499Equações do segundo grau..............................................................499Formas incompletas..........................................................................499

Exercícios........................................................................................500Equações do 2º grau impossíveis...................................................500

Forma fatorada...................................................................................501Exercícios........................................................................................502Exercícios........................................................................................502

Resolução por soma e produto........................................................502Exercícios........................................................................................503

Completando quadrados..................................................................503

Exercícios........................................................................................504Fórmula geral da resolução..............................................................504

Exercícios........................................................................................505Exercícios........................................................................................506

Discussão pelo discriminante..........................................................506Exercícios........................................................................................507

Gráfico do trinômio do segundo grau.............................................507Relações entre coeficientes e raízes...............................................509

Soma das raízes..............................................................................509Produto das raízes...........................................................................509Diferença das raízes........................................................................510Outras operações com as raízes.....................................................510Exercícios........................................................................................510

Resolvendo mentalmente – I (soma e produto).............................511Resolvendo mentalmente – II...........................................................511

Exercícios........................................................................................512Exercícios de revisão........................................................................513Respostas dos exercícios.................................................................523Resoluções de questões selecionadas...........................................527

CAPÍTULO 14: C álculo de radicais..................................................537Operações com potências de expoentes racionais.......................537

Radical, radicando, índice...............................................................539Operações básicas............................................................................539

Simplificação do índice....................................................................539Adição (e subtração) de radicais.....................................................539Colocar fora do radical.....................................................................539Colocar dentro do radical................................................................540Multiplicação e divisão de radicais..................................................540Operações algébricas com radicais................................................540Potenciação de radicais..................................................................540Redução ao mesmo índice..............................................................540Comparação....................................................................................541Cuidado com o sinal........................................................................541Exercícios........................................................................................542

Racionalização de denominadores..................................................544Exercícios........................................................................................545

Radicais duplos.................................................................................545A fórmula de transformação............................................................546Exercícios........................................................................................548

Raízes para lembrar...........................................................................548Exercícios de revisão........................................................................549

Respostas dos exercícios.................................................................556Resoluções de exercícios selecionados.........................................560

CAPÍTULO 15: E quações redutíveis ao segundo grau..................567Equações biquadradas.....................................................................567

Exercícios........................................................................................568Equações irracionais.........................................................................568

Exercícios........................................................................................570Outras equações redutíveis..............................................................570Exercícios de revisão........................................................................571Respostas dos exercícios.................................................................577Soluções de exercícios selecionados.............................................578

CAPÍTULO 16: S istemas do segundo grau.....................................583Sistemas não lineares.......................................................................583Alguns exemplos...............................................................................583

É álgebra ou aritmética?..................................................................585Exercícios de revisão........................................................................586Respostas dos exercícios.................................................................590Resoluções de exercícios selecionados.........................................591

CAPÍTULO 17: I nequações do segundo grau.................................595Cuidado com o sinal..........................................................................595Inequação com trinômio do segundo grau.....................................595

Exercícios........................................................................................598Inequação fracionária........................................................................598

Exercícios........................................................................................600Outras inequações.............................................................................600

Inequação com módulo...................................................................601Inequação com exponencial............................................................602Exercícios........................................................................................603

Exercícios de revisão........................................................................603Respostas dos exercícios.................................................................606Resoluções selecionadas.................................................................607

CAPÍTULO 18: P roblemas do segundo grau..................................613Exemplos............................................................................................613

Exemplo 1........................................................................................613Exemplo 2........................................................................................614Exemplo 3........................................................................................614Exemplo 4........................................................................................615Exemplo 5........................................................................................615

Aritmética avançada: nem sempre as equações resolvem..........616Exemplo 6........................................................................................616Exercícios........................................................................................618

Respostas dos exercícios.................................................................619Resoluções selecionadas.................................................................619

CAPÍTULO 19: F unções....................................................................621Domínio...............................................................................................621

Exercícios........................................................................................622Função composta..............................................................................622Função afim........................................................................................624Função injetiva ou injetora...............................................................624Translação de eixos..........................................................................625Função par e função ímpar...............................................................627Função identidade.............................................................................628Função inversa...................................................................................629Exercícios de revisão........................................................................630Respostas dos exercícios.................................................................632Resoluções selecionadas.................................................................633

CAPÍTULO 20: T rinômio do segundo grau.....................................637O último tópico...................................................................................637

Trinômio do 2º grau.........................................................................637Função quadrática ou polinomial do 2º grau...................................637Equação do 2º grau.........................................................................637Gráfico da função quadrática..........................................................638

O gráfico.............................................................................................638O vértice da parábola......................................................................639Exercícios........................................................................................640A concavidade.................................................................................640Cortando os eixos............................................................................642Soma e produto das raízes.............................................................643

Exercícios de revisão........................................................................643

Respostas dos exercícios.................................................................649Resoluções selecionadas.................................................................650

CAPÍTULO 21: P olinômios................................................................655Polinômios identicamente iguais.....................................................655

Polinômios idênticos........................................................................655Polinômios iguais para alguns valores............................................656Exercícios........................................................................................657

Separação em frações.......................................................................657Equações envolvendo polinômios..................................................659Divisibilidade entre polinômios.......................................................659Teorema do resto...............................................................................660

Exercícios........................................................................................660Teorema das raízes racionais...........................................................661Teorema de Bolzano..........................................................................663Relações de Girard............................................................................663

Exercícios........................................................................................664Exercícios de revisão........................................................................664Respostas dos exercícios.................................................................669Resoluções selecionadas.................................................................670