numerical solution of partial differential equations solution manual

84

Upload: gui-san

Post on 07-Mar-2015

278 views

Category:

Documents


5 download

TRANSCRIPT

Page 1: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�������� ��

�� � � ������� ���� ������ ���������

���� ��

�� ������

�� ���������

�� � �

� �

���� ������ ��

� �

� ��

�� ������ ��� �

� �

��

�� ��� ������ ��

� �

���

�� ������

��

�� �

�� ������

����

�� ��

� �

��� ���

�� ������

��

�� ���

�� ������

����

���

��

��

�������

��

��

���

� ����

��

���� �

�� �

�����

��

��

��� �

��� �

��

����� ��

��

��� ��� � �

��

��� ����

�����

����

��� ���� �

����

� ����

��

��

��

� ��

� �

���

��

���

����

���� � � ��������� ����� � � ���� �� � �� ��������� ���� � ��

�����

����� ��� ��

��� ������� �

����

��� ������

���� �� � � ��� � ��

Page 2: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

� � ��������� ��

������ �� �

����

��� ���� � � �� �� �����!�� �� � � ��"�

Page 3: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

#

�������� ��

$���� ��%��� ������ &�� ���������'

������ � �� �(�� � �

� �(������ � � � � �(�

� ���(�� ��

�(��� & ��� � � � �

���

���� ��(�� � �� �� ���(��

� � � �� (��� � � �

�� ��

��� (��� ��� � � � � � (�

� ��

�(��� � ���

�(��� & ��� � � � � �

���� �������� �' ���� � �

�� � ����

� ����� & �� �� � ��' ���

�������

������ � �

��)�� � #� � � �� ��� ���* �

#������� � ����� � ���

����� ���� � ��

��� � ��

���� � � ����

#��� �� � � " � � #(�

� �

���

��

(� � �

���

��

�� � � � �� � � " � � # � ��+� �����

Page 4: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�������� �#

��������� ���� ��� ���� ��,��

�� ���(� ��� � � � �

��� � � ��� � ��� ����

(��� �(�

�)� �

��(�� �

�� (��

�� ���� (��

�� � � � �*

�)� � ��(��� �

�� (����

�� � ��� (����

�� � � � �*

�� � �

�� (� �(����� �

��� (��

� � (����� �(�(����� � � � �

-�

�� � ��(���� � �

� (� �(����� � ��� )(�� �(���� �(�(���*� � � �

���

��� � � � � ��(���� �

�� (���� �

��� (���)� � (���*��

� �� &������ �� � �� � ����� &� ���

���� � ��

��� �(�

(��� �(�(���

��

(����

(�

��

��

(��� �(��(��� �

(��� �(��(������� �(� �� �

� � ��� �� � � ��������� �� � � ��� � �� �' ��� � �% ��� ��� ���.������,�

���,����

(� � ��(���(� �

� �� ���� �� � �(� � � ��� �� � � ����� &�%�

Page 5: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

"

�������� ��

-������ � � ��� � ��

� ��

� � � � � � ���� � � ����� � � �

��� ����� � � � � � � �� ��,��

� � � � ���� � �

��,���

� � � ��

� � ����� �

-���� �� � � � �� � �&� /% ��������� � �� � � ��� � � ��� � �

� � � � � � � �

0� � � ���� &�%' �� ����� � � � ��

�� � ����� � ��� � � �� � ������� �� � � �� �� �� �

��� ���� �� � � �

-� /% ��������� �� ���� � � � �� �� � � � ��� � � � � � � � � � �

Page 6: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�������� �"

� � �.��� �� ��,��' �� �������� ������' ���� �+ �

��������� � � � ��������

� �������� � )� � �� ����*�

� � � � � � � � � � �

1� � � � &� ��� � � ���� �� ���' ��� ��������� ������ /% &������

����� � ����

��

�(�� ����

���� � �����

-� ���� ���"�

)� � ��� � ��� ���(�*����� � ������

� )�� ��� ��� � ��� ��� �(�*��� � �� �����

� ���(� ���� � ��� ���(� �� � ��

� � ������.�������� ������ �� � ��&� � � !��� ��& ��

�� � � � ��� � ��� ���(�

�� � �� �� � �� �� �/�,�

��� � � �� �� ��&� �,�

�� � �� � ��

�� � � � ��� � � � � # � � � ��

� � � ���� ������� � � ������� &��2� �� � � ����� &�%' &��

�� � ����� �� � �����

Page 7: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

+

�������� �

�� 0� � � � � � � � � �� ���� 3���� �� )�� �*' � ���������� �� ������ � � ���� ��� � �

��� ��� � � ���� � � �� �� � � � �� �� � � � �� ��� � �� �

0� �� �� � ������� ���4����� ���� �� � � � � � ��

�������� �� ������ � � ���� ��� � �

��� �� � ��' & ��� �� � � � ���' �� ��� � � � �' ����� � � �

5��,�����%' �� � � ���������� ��� �����!�� ��� � � ����� ��� ���� � ��

�������� �� ������ � �' �� �� ����� ��� �� �� )�� �*'��� �� � � ����� ��� �������' &�� ��� � �' /�� �,� ��������� � �'

����� � ��� ������ ��� �6���

��� � � ����� ������� ����%��� ��,��

!� �

!�

#!�

!� ����"��& ��� "� � ���� �

�#(�

����� !� � �!� � � � & ���

� ����"

� � ���"

�� � �

�� � ���"

� � ���"

��� ������% ��� � � � � � � � ��� & �� � � �

���� �� �������' /�� &��

� ����"

� � ���"

� � �

�� � ���"

� � ���"

��� ��& ��� � �' /�� � � � � �� ��� � ��� �� � � ���������� ��� 78�

�����!��

Page 8: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�������� �+

��������� �� ���� ��� ����9:

�� ���(� ��� �

�� (������� � � � � �

��� � � ��� � ��� ����

���� � )�� ��(� � �

��

��(���� �

��

��(���� �

���

��(���� � � �*

���

�� �� � � ����' &�� ����������� �����' ��

���� � ��

(�� )� �

��� (���� � � � � �*

���

7�& ��������� �/��� � ���'����� � ��

(�

���

��� )� �

��� (���� � � �*�

� ��(�

$

$�

� � �

��� (���� � � �

���

� � � � �

� � ��6����� ������ �� � � ��;������ �� �&� ����� �� � �� ����' �� &�

���� ���% � � ����� �� ��� ������' ��,���

(�

���(�

$

$��)� � �

�� (���� � � �*�� � ��

��(���

$�

$���)� � �

�� (���� � � �*��� � � �

� � ���� (���

$

$����

�� �

�� (���$�

$����� � � � � �

����� � � ���������� �����' � � ��;������ /��&��� � � ���� ��� ��� �

��� �����' /������

�� � ��(� ��� � �

�� (����

$

$��

$��

$��� �

$�

$���

$�

$��

��

-����� �� � � � �

�(� ��� ���� (�����

& ��� ��� ���� �������� ���� ���� � ����

Page 9: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

<

=������ �� � �� � ����� ��,�� �� � � ����� &�%

���� � ��

��� (�

(�����

��� �

����

�� ����

(�

(�����

��

� ����

(�

(�����

���(� ��

��� � ��' �� %� � ������� ��'

%��� � %� �(� � ���,���� ��� � � ��� ����(�

(���� �

�� � �� ��� � � ��������� �� � �� � � ��� � ��� ���.������,� ��������� � �� ����� � %� � �(� �

� ��� �� � � � � �� �

Page 10: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

��

�������� ��

1������ �� � �� ���/��� � � �.��� �� ��,��

���� � ��

(��

(���

������� � ����

���

��� ����

� ������ ��� �

��� �

(���

����� � ��

������ ��

� ������� �

��,��� � � ����������� �%����

�����

�������� � � � ���

���� �

���������

� ����

��������

� �� �����

������ � �� �� ����

���� �

�������

� �� �����

�������

�,������% � � ���������� ��� � � � ���� ������� � ��� �����!�� �� � � �

��� ��� � � ��� ��� �

>����,�� ���� �� � ������ ���/������� �� ���� /������ ,����� &��

���.������,� ��������� ���,����

� � � � � � � �' ��� �� �����

��� �

���� � �

� �� ���� ��

���� ����� � � ��� ��� ��

Page 11: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

��

�������� �<

� � �.��� �� ��� �� � � ����� ��

���� � ��

(��

(�����

��� �

�� �

(�����

� �

$���� � � ������� ���� �� � !����� ��,�� � �������� ��

!� � � ��!��"�� � �� �����"��& ��� "� � ���� ��(���

����� !��� ��� ���"�

� � ���"�

��� � �� � �

�� ��"�

� � � �� � ��� ��"

��� &

� � &

& ��� & � ��"��� � ��"

�� -���� & �� ������,� � � �� ��� �� �������.

�������% ���/��

� � 5���2:7�� ����� �� ��� �� � � �� ' ��� � ��

!� ��� ��"�

� � ��"��

7�& !� � !�' ����� "� � �? ���� �� � � ���� ���������� ���� ���� ����

�� ���� ���� /�� ! ��� !� ��� ������,�' ��� �� �!� � �!�� � �� �� ���

� ������� ����� � ��� ����� ���� � �� � � 5���2:7������� �� ���

���� �� � ������ ���/������� �� ���� /������ ,�����' &�� ���������

� � ����� �� ��� �� ��� �� �� ���� ����

��� � � ������� ��������� �� ����% � ��� ���� ��� /� ���.������,�'

& �� ��6�����

� � � � � ���� �� � ��

-���� � � �� � �

�� ' � � !��� �� � ��� ��6����� � �� � � �� ' ��� � �

������ � �� � � �

� � ���������� ����� �� � �� �� ��� �� �/������ /% ��/��������� � ��� � �

�� ���� ���� -���� �� � ��(� � ��� (��� � � ������� ����� ���

'(��� ��� '(���

Page 12: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

��

�������� ���

@������ � � (�' �� � �(�(' � � �6������

$�

$��

$��

$��

/������

$�

$��

�(

$

$(

��

�(

$�

$(

��

� �� �� �� � � ���� ���� �� ���� � ��

�����

�� �������� +' /�� &�� � �

����� ������ ��� � �� ����� ������ ������ �� ������% �� � � ���������'

��� � � ������� ����� �� � � ���������� ����� ���

��(� �� � �

�� ((���

�(

�$

$(

��$��

$(�

��

$�

$(�

��$�

$(

���

7�&

�(

$

$(�

$

$�$

$(� ��

��

$

$�$�

$(�� ��

$�

$���

�$

$�$�

$(�� �����

$�

$��� ������

$�

$��

�� � ��

�(

�$

$(

��

�(

$��

$(�

��

$�

$(�

��

�(

$�

$(�

�$

$�)��� � �* �

$

$�)��� � ��*

� ��� � � �

��,��� � � ��6����� ���������� �����

��(��� � ((��

��� �

���

��

Page 13: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�#

0� � � �������� �� �������� #'

(� � � � ��� � ��

�((� �� � ��((��

(� �(��� � �((��

(��� � (����

� �(�(��� � ((����� � ��� � �� � ��� � �� � ���� � ��

�� ((��

���� � #

�� �� � #((��

�((���

-� � � ������� ����� �� � � ���������� ����� �� �������� # ���

��(� ��� � �

��((��� � ���((���

� �� ((���

��

� � ������� ����� � ������� �����

Page 14: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

��

�������� ���

� � 5���2:7������� �� ��� ��,��

� ����

��� � � � �

������ � �

������ � �

������ � �� ����

� ����

���

�� � ��' �� �� � � '

� ���)�� � � � ��) � �

��)�� � & )� � � )� � �

& ��� &� � �� �� &��� � ���' �� ��&��� & � �

��� ��� � � # � � ��� � � # � � ) �����!��

� ���)�� � � � ��) � �

��)�� � �

��,���

) � *�!� � *�!

& ��� !� ��� !� ��� � � ����� ��

� ���!

� � � � ��!� ��� � �

���� !� !� ��

�� � � �� � ����

-������ � � # � �? � �� � � ��������� * ��� + ���� /� ��� � ��

*�!�� � *�!

�� � �

����*�

*�� �

�!�!�

���

����� �� � �� �����% ����� ��� !� �� � � ������� ���� �� � � �6������ *�

&��� /� �������/��' ��� � � �������� �� ������������% *�!�

0� # �� ���� �������� ���� � � /������% � � �������� &��� /� ,��%

�����% �%������� �/��� � � #' ��� ��% /� &������

) � ,������ � #

)� � ,�-�

� �� �������� &��� ������% � � ���������� �������� ��� ��� � ������ � �

# � � # � � ��� � � # � �' ��� ,��% �����% �����!�� )� � � )� � �

-�/��������� ���� � � ���������� �������� &�� � � # � � ��6�����

� ���,�� � � � ��,� � �

��),�-* � ���

� � # ��,��

� ���,�� � � ��), �-*� �

��,

��

���

� �� �

Page 15: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�"

��� � � # � �9

� ���),�-* � � � ��,

��

���

� ���,

��

��

���

� ���

�� & �� � � !��� ��� � ��� ��� � � ����

$���� � � ���� � �� � ����

� � � � ���� ��� � �' � ��� ��,�

- � �����

,)���� � � ��* � � � ��- � �� �

�� � ��

, ��� �� � � � �

� � � � ���

� � � � ��

��

� � ���

������%

)� � ,�- ��

� � ��� ��

�,������%

)� � � ��� ��� � � �

)� � � �� ��� ���% ��� � �� � � ���� � � �

��� )� � )����� ��� ���% ��

�� � ��

� � � ��

� � ���

�� � ��

�� � � �� � ��

��

�� ��� � �. � �

& �� �� �6��,����� ��

��� � +� � � � � ����� � � �

��� � �� �� � � ���� ��

� � +��+

��

Page 16: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�������� ���

��������� �� ��%��� ������ �/��� � ������ ��,��

���� � �� � �� ��(���� ���

��(������� � � � ��

�(��� ���� (������� � � � �

���

����� � ��� � �(���

$�

$��� �

�� (���$�

$��� � � ���(��� �

��� (������� � � ��

� (���(��� ���� (���(��� �

��� (���(������� � � � �

��� �� � � ���� &�%

�� �

��� � ��� � �� ��

��(������ �

���

��(�������� � � � �

� �� �� ��

���� � � � ���Æ

��

��� � ��� � (���� ��� (���(������

� ��� (���� � � � �

-�������% ��� � 9

�� �

��� � ��� � � � �� (������ � � � �

�� � � � ��(��� � � � �

��� � (���� �

�� (���(��� �

��� (���� � � � �

-�/��������� � ��� ���������� ���� � � �� ���' ��/�������� � � ��� �.

��� ���� ���� � � ����. ��� ���� ��� ��,����� /% (� ��,�� � � ���������

�� � � ���������� �����

�� ���� (������� � � � �

� ��� (����� � � � �

�� � �� (������ � �

�� (����

�� � �� (������

� ��� (����

� (���) ������� � ����� � �

����* � � � �

�(���) ����� � ���� � �

���* � � � �

� �(��� � �(���

����� �� � � � � �$�

$���� � � � �� � �

���,���� � � �������� �� ��������% �����

Page 17: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�+

�������� #�

� � ����� ��������� �� � � ���� ��� ���� ��,��

��(���� �'(����

8� � � ��� � ��� ���� � � ������ �.��;������ ��,��

�� � �) �� (���� ���� (���� � � � �*

��� ��������% ��� � � /.��;������ 5��������� � � ����� �� � � ��;������

/��&��� � � ���� ��� ��� � ��� �����' ��� ����� � � ���� � � �� / ��

�����!�� � � ��,�� ��;�������� �6������' � � ���������� ����� /������

���� ��� (����� � �

��")(���� � (/�������* � � � �

� �� �� /������ /% ������ � � ' & ���

� � ��(���� �

���")(����� � (/�����*�

7�& &����

���� � ���� � ��� /� ���

��� &� �/���� �� � � ����� &�%

������ � )���"�����*�

����"��

����������������"���

����������������(������

0� � � ���/����% ���������

� � "� � ��� � ��

�� �����!��' ��� � � ��������� �� � � ��� � �� � �� �6������ ��� ���.

������,� A�!��

%� � ��� ������ 0 � � � � � � ( � � � � � ���

� �� &� �/����

������� � � %� �(��

����� ��� � � ��������� ��� ���.������,�' ��� � �% ��� �� � -���� � ��

���� & ���,�� 0 (� �� �� �������� ��� �����' ��� ������ � � �� ��� � �

/������% ������' &� ��� � ��

%��� � %� �(���

����� /% ���������

������ � %� � �(�� � ���

& �� �� � � ��6����� ������

Page 18: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

��

�������� #�

=� /���� ���� � � @�������.B�� ���� �� ��� �� ��� ����������� ����

�� ���Æ

���� �

�������

��� � � � ���Æ

��� �

����Æ

����

��

��������� � � ����� �� � � ��� � ��� ����' &� !�� !��� � ��

� � ���Æ

���

� � �� ����)(/����� �

��� (/������� � � � �*

B�������� � � ��������� &�� � � �.��;������ ��,�� � � ��������� �� � �

��� � ��� ����

�� ����)(/����� �

��� (/�������*

� ���(������ �

���(/������� � ��� ����(������� � �������� � ��

� �� �� )�(����� ��(/�����* �

��� )�(����� ��(/�������*

� �����(���(/����� � � � �

� �� ���������� �� �� /� �,������� �� � � ����� ���� ��� � � ������ ��

� � ���������' �� /� ��� �� ��,� � � ������ �� � � ������ �� � � ������

���� �� � � �� ���' �� /� ������� &� ��� � � ������� ����������

1� � )1� � ��(��1� �

�� � �

�(���1�� ��� � �

�(���1��� � � � �*������

� �� ��,�� � � ��������� �� � � ��� � ��� ���� �� � � ������ ����� ��

�� �� )�(���� � ��(/�����* �

��� )�(���� � ��(/�������*

� �����(���(/�����

� ��(�)�� �

����(������� � ��(/�������

� �����(����� � ��(/���������� �

����(���(/������ � � � �*

� �� (���)��� �

����(������ � ��(/��������� � � �*

� ��� (���)���� � � � �* � � � �� � ��������� �� � � ���� ��� ���� �� � � @�������.B�� ���� �� ���

�� � �� � � ���� �� ��� � � ��� � ��� ����' /�� &�� (� �������� /%

�(�' ��� � � ����� �� ��� ��� �� ���� � ����� � � ���������� �����

�� � �� �/������ /% ��/�������� � ��� �&� ���������� ? � � ����� �� � �

��;������ &��� /� � ��� &�� �� ��� ��&�� �� (� ��� �� �,�� ���/�� ��

������� �' ��� ���,�����% � � ������ /������

Page 19: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�<

�)�(���� � ��(/�����*� ��� )�(���� � ��(/�������*

�(��� � �� )�(������ � ��(/�������*

� ��(����(���(/������ �

��� (������� � � � �

������% &� ���� ����� � � ������ /% ��,����� /% (�' �� � �� � � �� ���

�� � ���������� ������������� �� �� � ����� � �� ����� � � ���� � ��

� �����!�� � �� ��;�������� �6������' ��� � �� �(��� � ��(/�� � �

&� �/���� � � !��� ������ �� ��6�����

Page 20: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

��

�������� ##

C�������� ���� � � ����� ������� ���������' �������� �� # �����.

�����'

����� � !��������������������������

&� !�� � ��

����� � ���� ��� ���

� ��#�(/ � ��� ���

� ��#�(

� � ��� ���� ��#(�

� ���� �� � ��

� � �

& ��� &� �,� &������

� � �� ���� #(�

��� ��������% ��� �� ��� �� � � �� �� �&� ������ � �� ��,� �� � � ����

&�%

������ ������ � ���

� � ��

� ���� �� � ���

� � ��� � ���

���� ������� � ���

� � ��

� ��� � ��� � ���� � ��� � �����

� � ��� � ���� � ��� � ����� � � � �� � ��

7�& �' �� ��� �� ��� ��� ������,�' �� � � �����!������ ������% ��,��

������� �' ��� ��% ������,� ,����� �� (� � � �� ��� �� � ������� ��&�%�

���/��

Page 21: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

��

�������� #�

��������� � � ���� ��� ���� �� � � ����� &�% &� ���

�� ���(���� � � � �

� � ��� � ��� ���� /�������

����� )��(�� ��� (���� �

�� (���� �

��� (���� � � � �*�

����������� )�� (�� �

�� (����

� �� (���� �

��� (���� � � � �*

����������� )��(/�� �

�� (/����� �

�� (/������ �

��� (/������� � � � �*

� ������������ )�� �(/ � �

� �(/��

� �� �(/������ �

��� �(/������� � � � �*

��

������� �

�������

��

� � ���������� ����� �� � �� � � ��;������ /��&��� � ��� �&�? ����,.

��� � � ����� & �� ������ &� ��� ���� &�� � � ������� ����� �� � �

���������� �����' & �� �����(���� � �

� �� �(�� � �� �� ��(/����

� ��� �� � ��(���� � �

�� �� � � ���(/������� � � � �

7�& /% � � &�% � � /������% ������ ��� � ���� �� �� ����� � �� � � � �' �� � �� ��� � � � ��� ��� � �� � �' &�� ������� /����� ��

����� �� � =� ��� � ������� ��,� � /���� �� � � ���������� �����' &��

� � ����� ��������

������ � ��(���� �

�� (��� �(/���� �

��� )(����� � (/�����*�

1� �� �������� ����� �� � � ������' & ��� ��� � � ���� ���� /���� ��� ����

������ � � ������' � � ���������� ����� �� � � ����' /�� &�� � � � �

� � /���� �� � ������� �������' /�� &�� � � �������� �� � � �&� �����

��,��,��� � ��� ����,���,��

=������ ���� � �������� /� ��� ��� � � ����� �� � � ��������' &� �����

�� � � ����� &�%

������ �

��� ��

� ���

�����

���� �

������� ����� � �

������� �(�����

Page 22: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

��

� � ������ �� � � /������% ������ /���� 3��� @��,���� � � ���/����%

���������

��

����

�� �

�� �����!�� ��� � � ��������� �� � � ��� � ��� ���.������,� =� � ��

��!�� %� �� /� � � ������� ����� �� ���� ��,�� � ��� !�� �� � � �����

&�% � ��

������� � � %�

��� ��

��

� �

� �

�� ���

��

�� �

� � �

���(��

� %� �(���

� �� !����% � �&� � ��

����� � ��� /� ���� � ���

�� � � ����� &�%

7��� � �� &� �,� �������� �� ��� � �� � � �/�,� ����%��� �� �,���

����������� ��������? � ��� ��� ��� ���������' /�� �,� ��;����� ,�����

�� ��� ��� �����' �� � �% � ���� /� �������� /% �� ��� ��� � ��

����� � �� � � ���/����% ��������� ��������� � � ��3� �� � � ���� ���� /%

��6������ � �� � � ��������� � ���� /� �����!�� �� ��� ��� ����� 0 (�

Page 23: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�#

�������� #"

� � ����� ��%��� ������ ��������� �/��� � � ����� �� /� ��� ��,��

(����

(���) (�� �

�� (���� �

�� (���� �

��� (���� � � � �

�� � �

��(�� �

��� (���� � � � �

����� � � � & �� � � � ����� � � ���������� ����� �� � � ����� ����'

/�� &�� � � �������� �� � � ���� � ��(�� & �� 0 � �

� � ����� ���������� �������� ��� ���� �� ��������' & �� 0 � �' /% � �

�6������

������� � �� �� � �����

���� � ���

����� � ���

������ � �������� � (�������

& ��� � � ���������� � � ����!�� ���������� ����� �� � �� ����� 0� &�

��& ��!��

%� � ��� ������� 0 � � � � � � � ( � � � � � � ��

&� ��� � �� �� ��� ��� ������' ��������� � ��� &�� 0 � �' � � ���������

�� � � ��� � ��� ���� ��� ���.������,� �� � � ����� ��������� ���� � ��

�� �����!�� �����

�������� � � %� �(�

& ��� � �� ��& �� ����� /���� �� � � ���������� ����� �� ��� ���

������' �� � �� ������� � � ��� �������� � � -���� �� � � �� � � �� ��

� ��� ����� �� � � /������% �� � � �6����' ��� & �� � � �' �� �����&�

� �� ���� � �(�� �� � � ����� &�% � � /���� � �� � � ����� ����'

/�� &�� �� ���������� ���� ��(���' & �� �� !��� ����� �� (�

Page 24: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

��

�������� #

0� � � ���� 0 � � �� �� ���% �� ��� � ��

2���� �������� � �����

(�� �

(�����

���� �

(/�����

���� �,

� ����� � ,

�� � � ����� �������� ��� �����' ����� �,�(��-0(�� � �' ��� ��������%

��� � � /.��;������ ��� 2���� � � ����������� �� � � ����' /�� � � ������.

���� ����� ��,��,�� �� ����� ���� �� (�' ��� � ��� �� ���� �� ����������

����

� �

(����-(�� �� � � �

(�-�

� � � ���� �� , ������� � �� 2���� � � ��� 0 � �' ��� � � � ���� �� - � ��

������� � ��

� ��(�� � �

(�- � ��

� �� ����� � �� ��� ��� 0 ��� (' &�� 0 � �

3����� � �� �� � ����3

���� � �3

������ � 3������� � ��3

������ � 3�������

& ��� � � ��������� �� � � ��� � ��� ��� ���.������,� �� � � ���/����%

���������� �� �����!�� ����� 3 ������ ������ ��� ������� ,���� ��

��� � ����� 0 ( ���� � � ���� �������� � �&� � �� � � �������

������ /� �������� �� ��� � ����� &�� 0 � � ����� �� ���� /� ��������

��� �� �� 0 ( ��' �� �� ��� �� � � /��������� & ��� A���� ��� /������%

���������� ��� ��,��

7�& �� � � � &� �,� 3���� � -0(� � -' ��� �� �� ���% �� ���

��������% � �� �� � � A���� ��� /��������� ����� � � ��� �� 3���� � -

����� 3���� � - �� ��� ��� ������ �����

����� � 3���� �,�(��-0(�

�- �,�(��-0(�

�- �,��

����� , �� ������,� ��� - �� ������,� 0�������� � � � ���� ,����� �� ,

��� - ��,�� � � ��6����� ������

� �� ��,�� � ���.����� /���� ��� �����? �� ��� � ��&�� /���� ���� �� ��

���% ��������% �� ������ � � ����%��� &�� 3 �������� /% ����� � ������ �

,�(�� -0(� 0� �� ���% �� ,����% � �� � �� � ���� �� ���� � ���� ���

Page 25: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�"

�������� � � ���� ���6�����% ��� ������ � � ,����� �� , ��� - ��� � �

���� �� /�����' ��� &� !�� � ��

�- � ,�� � � ����� � - �,��

& �� �� � � ��6����� !��� ������

Page 26: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�������� ��

� � � ������������� ��� � � ��������� ��

��

��� �

��

��� �� �

� ��

��� �

& �� ���

� � �� � � � � �� � �� ����

� � � ���

=�� � � ������� ���������� �� � �' �� � � ��� �� � ��� ��' � �� ��,��

� � � ������������ ���,��

� � �� � �� � �

� ����

� ��� /��� �&�% ���� � � ���� � � �� ' �� � �&�

�"

1���� � � � ������������� � � �������� � �� ��������' �� �� ��,����� ��

� �&� /���&9

� � �

� � ��"

� � �

Page 27: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�+

� � ��&��� �� ��� ��

���� � ��

(�� � � �

� ��� � ��

��

(�� �

��� � � �� ' &�� � � ������������� ���&��� ��;������ & �� � � �

� ��� �6������� ��������� ���� ��� ��� � ���� � �� � ' & ��� �(� � �'

��� �� /������% ���������� ��� ������ �� � � � �� �� � � � 1� � �

�������� ���� � �� ' & �� � �

�� � � 5�D ��������� ��6����� � ��

�� � �� �

(�

(�� ��

� � ������� ����� �� � � ���������� ����� ���

�� � ��(���� � �

�(�� � �� ��

��� ���� � � ����� ��������

� � �� � �� �

� ������

&� �/����

� � ������ ��� � ���� �� �

������

=� � �� �,� � � ����� /����� ��� � � ��� ����� � � =������ �� �

�� � �� ��� ��� � � � � �� &� �����% ��� � ��

���� � �� �� �� � ���� �(���

& �� � � �� ' ���,���� � �� � � ���/����% ��������� � � � �� �����!��

1 ������� ���6�����% ���� ��� � � �� 0� � � ����� &�% � �� ��,�� /%

���������

��� � � �(��

& ��� � �� �� ����� /���� �� � � ���������� ����� $���� ��� /�����

�� � � ������ ����,���,�� &� � ��� �/����

��� � � �� (��(����

��� ��� �� � ��

= �� ��� �� �������� /% �� � � � � � ������������� /�����

� � �� � �� � �

� ����

��� � � �������� ��

� � �� � �� �

� �����

�� � �� �� ������,�' �������� /% 3��� & �� �� �� ������,� � � ��������

Page 28: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

��

�� ����������' /�� ��� ������������� ����,���,��' ������ � � /������%

� ������������

�� � �� � � �����

�"

� � �������� ��& ��,����� �� � �&� /���&

� � � � � ���" � � ��"

0� � �� ���� � � ��&��� �� ��� /������

���� � ��

(�� � � �

� ����� � ��

(�� �

��� � � �� ' &�� � � ������������� /��2&��� ��;������ & �� � � �

� � ������� ����� �� � � ���������� ��� � � ���� �� /�����' /�� ��& � �

/����� ���

��� � ����� ����� � ����

& �� � � � � �� ' ��� �������� ������������% &�� � � � ���� �����

Page 29: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�<

����%��� �� /����� � �� ��,�� � � /����

��� � � �� (� �(/����� �� �

C�� � �� ���� �� ���������� ����� ���% ���� & ��� � � �������� �� ����� ?

�� � ������� ���% ���� & ��� � � ������ �� ���������� �� � ��� ����

&�� �� �� ��' ��& �� � � � � � ��� � � �� ' �� & �� � � � ���

� � �� 8������ � �� ������ � � ��������� �������� �� ��E������ /% � �

/������% ����������' ��� � � ������������% �� � � ����,���,�� ����� � ��

� � ����� /���� �� ��� ,����

Page 30: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

#�

�������� ��

� � ��������� �� � � ��,���� ������� ��

����� � � �� ���

� � ���

� � � � �

��

����� & � )���� ���� � ���

� � ���� � � � �*

� �� )���� ���

� � ���� � � � �*�

� �� )���� ���

� � � � �*� � � � �

� ���� ���� � �� � �

������

� � �� � �������� � � � �

�� $�&��� �� ���

���� � ��(�

� ��� � ��

��

(�� �

�� � � ����� ,�� 7������ ����%��� ��,��

!� � � ��� ����� � �

���

! � �� ��� �����

� )�� ��� ��� ��*� �� ��� ��

� � � ��� �� � �� ��,�� /%

���! �� �����

�� ��� �

�� ��� ��� ��

�� �����

��� � �

��� � � �

�� ����

�� ���������� ���

� � � ����� ����

� � � ����� ��������)� � ��� � �

� ��� � � �*�

�� �������� � � ��� � �� ��

� � � � ������ � �

��� � ���� � �����

��� D��.=�����; �� ���

Page 31: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

#�

���� � �

��� � ������ � �� �����

� ����� ����

��

��

!� ���� � ������ � �� ���� �

���� ������

� �� �� � �� ��� � � �� ��� ��

����� � � � ��� ��

���! �� �����

�� ��� �

�� �� � �� ��� �

�� �����

����� �

��� � � � �

�� ���

��� � � � �

�� ��������)� � ���� � �

� ��� � � � ��

����� � � ���� � �

� ��� � �

����� � � � ��

���� � ����� ����� � � � �

���� C�� �� ���

���� � �� �

�� �

� � ����� � ����

�� � � �������� �� ��,�� /%

���! � ���� � �� � �� �����

�� �� � � � �� �����

� ���� � ������� � �� �������

�� �������� � � � �������

� ������ � �������� � �� ��������� � �������� ��� �

���� � ��������� ��� �

����

� � � ������ � �

����� ����� � � �

�,� D���.���� �� ���

Page 32: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

#�

���� � ����

� ����� � �����

��

!� � ���! ��� � � � � �

���

! � ��� ��� � �)�� ���� ��

��2��� � � ������,� ���� &� �,�

���! �� �����

�� ��� �

)�� �� ���� �*

�� �����

��� � �

��� � � � �

�� ���

� ���� � � �

�� �������)� � ���

� � �� ��

� � � � ��

����� � � ���� � �

� ��� � �

����� � � � �

����� � �

���� ����� � � � �

Page 33: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

##

�������� �#

0� � � ��� ��� � ��

�� ���� � � �����

� � � � � ����

��� ��

�� � �� � ���� � �����

& �� ����� � �� ����� � � 5�����% � � ��� �� � � � � � ��������

� �� �������� ����� � ���,� & ��� �� �� � ��������' & �� �� � ������ �

����? � � ���� ����� � � � & ��� � � ��' ��,��� � � �6������ �� � �

� �������������

�� �� � ������

� � ����� � ���� �� �� ��� �� � % �� ���

�� �� � �����

�� �� � %� ���� � %�

� �� � %� ����� � %�� ���� � � � �

& �� ���� & ���

� � %� %�� ���� � � � �

0� � � ����� �� % � � � � ����� � ������� ���� & ��� � � ���� ���� 0�

� ��� � � � � � ������������� �� ��� ���� ��� � � �' ��� � � �������� ��

� ������� ������.,����� �� � �� ������

1��� �� � � � ��� � � � �� � � �������� �� ������.,����� �� � � �����

� � � � ���� ' ��� � � � ������������� ��� ���% ���� �� � ����� & ���

� � ���� ���� � �����

��� � � �������� ��� � ���)������ ���* � � ����,���,�� ���

� � ������� �� ���)������ ���*

� �� � )�#�� � ������ ���* ���)������ ���*�

� � ������� ,���� �� � � �� �������� & ��� � �� � �' & �� �� & ��� ������� �

#�� � �

"' ��� � � ������� ,���� �� � �� � � � ��"��� � �

�������� �� � ������� ������.,����� ��� � ���"��� � ���<�

Page 34: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

#�

�������� ��

��������� � � ���� ��� ���� �� ��%��� ������ �/��� � ��� ��,��

456 � ����

� ��(��� ��� (������ �

�� (������� � � � �

� �� �(�� ����

�(���� � ���

�(���� � � � �

& ��� &� �,� ���� �� � ���' ���' ��� �(� �� (�

1 ������� ��������� �� � � ��� � ��� ���� ��,��

756 � ���)��(�� ��� (���� � �

� (���� � � � �*

����

���)��(�� ��� (���� �

�� (���� � � � �*

�� ������ � �� �� ���% �� �����/�� �� � � ������� ����� �� � ��� ��.

�������� ����� &� � ������� ��6����

��� � �� � �� � �

���� � �� ���

��� � �� � ��

��,��� � � ��������

�� ����� � ��

��� ����� � ��

�� � �� ��

& �� ��,�� � � D��.=�����; �� ���

= �� � � ��� � ��� ���� �� ������� � ����

��� � ���

� � �������

��������� ����� �� � � ���� &�% �� � � �6�������

��� � ��� � �� � �

����� � ��� ���

���� � ��� � ���

��,��� � � ��������

��� ����� � ��

��� � ��� ��

�� ��� � � ��� � ���

Page 35: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

#"

0� �� ���% �� � ��2 � �� � ��� ��� � � ���� � ��� ��������� �� �� � �

D��.=�����; �� ���' /�� &�� �� �������� /% � � �

>�2� � � � ���� �� ,����/��� � � � � !�' 2 � �' ��� � � ����,���,��

/�����

� � ��

�� ��!�� � �� �

� � ��;�������� �6������ /������ �� � � ��& ,����/���

�� � �� !��� � �

��� � � ����� � 2�� ����������� �� � �(� ��� 0� � � ��& ,����/���

�� ��� !�(2

(�� � � �

����� ! � (��(� � �� � � ������ �� ��� ����������� �� � � D��.

=�����; �� ��� �� � � ��& ,����/��� � 2� ����� �� �� ���/�� �� ���� � �'

& �� �� � � ���� �� � � � � �

Page 36: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

#

�������� �"

��������� �/��� � ��� ��,��

*� � ��

������� ������

�� �

����(�� ��� (���� �

�� (���� � � � ��

� �����(�� �

�� (���� � �

� (���� � � � ��

= �� � ��� �&� ���������� ��� ���/���� ��� � � �,�� ����� &��� ������'

��� � � ��������� �����' & �� ��,��,� ��� ��&�&�� �� (�' ���

)(�� ��� (���� � � � ��� �

� �� (������

��

� �� (�����

�� ��� � � � �

+��

��������� ,��

��

�� � � ���� &�% ��,��

,��

��

� � � ������ �

���

� �

� � ��� ��(�� �

�� (���� �

��� (���� � � � ��

� � � � ) ��(�� ��� (���� �

��� (���� � � � �*� ��

� �� )

��(�� �

�� (���� � � � �*�� ��� � �

� )��(�� � � � �*�� �� � � � �

� � � � ��(���

�� � �� (���)��

�� � �� ��

�� ��*

�(���) �������� � �

������� � �

�� ���� ��* � � �

���

������� ��� � � ���(�� ��� (���� �

�� (���� � � � ��� ���

� )(�� ��� (���� �

�� (���� � � � �*� �

� �� )(�� �

�� (���� � � � �*�� �� � �

� )(�� � � � �*�� ��� � � � �

�(���� � �

� (���)��� � ��

�� ��*

�(���) ����� � �

������ � �

� ���� ���* � � � �

7�& � � ���������� ��� + �� � � ��;������ �� �&� �����' �� & �� � �

������ �� � � ���� �� � � !���' /�� &�� (� �������� /% �(� �����

� � ��;������ �������� ���% �,�� ��&��� �� (�' ��� � � ��������� ��

+� �� �/������ ���� � � ������� �� � � �/�,� ���������� �� ,��

��

���

������� ��� �' 2������ ���% � � �,�� ��&��� � � ������ ��

+� � (���) ����

��� � ���� �� ��* �'(���� +��

Page 37: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

#+

0�������� � ��� ���������� ���� � � ��;������ �� ���' ��� ��,����� /%

� � ������� ������ (� ��,�� � � ���������� �����

�� ����� � ��

(��

*�(�

� (�

(���+�

� �� ���(���� �

�� (�������

����

� � (���) ����� � �

������ � �

� ���� ��*

��(�) ����

��� � ���� �� ��* � � � �

���� � � ��;�������� �6������ &� �,�

�� �����

�� ����� � ��

�� ��

��� ������ � ����

��

������ � ���

�� �� ���

����� � � !��� �&� ����� �� � � ��������� ������' ��� � � ���� ����

������� ���� � � + ��������� �� �� ����� (�(���? � �� � � ������� �����

�� � � ���������� ����� /�����

�� (������� � (���) ��� �

�����

�� � �� ��

�� ���*�

Page 38: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

#�

�������� �

� � � ������������ � ���� � ����� ����� � � �� �� � � � � �(�

-���� � � � � �' � �� ����� ���� /��&��� ���� ��� ��' �� � � 5�D

��������� �� �����!�� � � ����� ,�� 7������ ����%��� ��,��

! � �� ���������� � �����������

& ��� �� � � � �(� � �(�' ��

# � ��(� � �(�� �(� � � � ��(�

��� � � �(��(�

B���,��� � ������ &�� ���� �������' � �� ����� ��

�!�� � )�� �� � � ���(�*� � �� ����(�

� �� ��� � �� � ���� �� ���(�

� �� ���� �� ���� ��(�

� � �(�

����� � � � � � � � �� ��� �� � ������� ���/�� &�� ��� ��% �����������

�� � � ,���� �� �

��� � � ���������� &� ������ � � ��;������ /��&��� � � ���� ���

���� ��� � � ��� � ��� ����' ��� ��,��� /% (�' ��,���

�� ��

(����(��� �

�� (������ � � � �

��� ��)�� # � ��(�� ��� # � ���(���� � � � �*

��)�� # � �� ��(�� ��� # � � � ���(���� � � � �*��

C�� #� ��(� � �� � � � �(�� �(� �� � � !��� ����� ���� �� � �

��������� ��

(��(��� � �� ��)�(� � �(�*� � �)� � ��(�� �(�*�� � �

� � ���� ���� ��,��

(�� �� (������ � �

� �� ��)�(� � �(�*�� � ���)� � ��(�� �(�*���

� ��(���� � �

���(�� � �

���� ��(���

(��

�� ����� ��

(���

(��

��� � � ���������� ����� ���������% ��������� �� (� ���������' 2������

(� !���

Page 39: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

#<

�������� �+

� � ������ �������� ������� ��;������ �� ��� ��

��

(���� � � ����

���

(���� �

& �� ��� /� �������� ��

���� � )�� �� *�

� � �

����� � ��

��

� ����

& ���

� �(�

� � ���(��

� � /������% ��������� �� �� � � ��,�� ��� � �' & ��� (� � ��� ���

� � � � � � � � ��� � � ����,���,� /������% ��������� �� � � �' ��� ��

���������� ���� �� ��� ������ &�� � � ��' ��� ��2� ���� � ��� ��� ���

�? � �� ��������� � � ����� ���� �� ������' �� � � �� ��� /������

����� � )�� ���*�

�� � ����

�� � ����

� �

� � ������� ��������� ��,��

�� � �(����

��� � � ����,���,� ������� ���������' ����� ��� � ��& �� ������ ������� � �

/������%' ��� ' ��� ����������� � � /������% ��������� /% ���

� �� '

�� � � �� ��� /������' �� � � �

�� � �

�)�� �� *�

� � �

����� � ��

��

� � � ������������� ��� � � ��������� �����

��

��

��

� � ����

����

���

��� � ��

& �� ��,�� � � �&� ���� �� ���,��

� � ��� ),� ��*��

� � ��� )- � ��*�� �

-���� � � � ������������ ���,�� ������%

��

��� �� � ���

Page 40: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

��

� � 5�D ��������� ��(�

(�� � � ��

�� � � � �� � � �/�,� ��������

Page 41: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

��

�������� �<

��������� � � ��;������� �� ��%��� ������' ��2��� � ��� �� ������'

��,��

���� � �� �(��� �

�� (������ � � � �

���� � ������ �(�� �

�� (���� � � � �

�)(��� �(�� ��� (���� �(�(��� �

�� (������ � � � �*

� �(�� �(��� �(�(��� � �� (������ � � � �

5��/����� � ��� ��������� ����� �� � � �� �����

(��

�(�

������ � ��

�(����� � ����

�� � � �

&�� ���������� �������(���� � �����

� �� ������� ���� �� � � ���������� ����� &��� /� 3��� & �� � �� ��������'

��� � �� ����� � � ������� ������� � �' �� � � �� ��� � �� /������

������ �����

� � ����� ��/��������� �� � � ������� ���� !����� � �&� � �� �� ��

� �������� ��

� � ����! � �� � �

����� � !����� � �

& ��� � � �(��(� ��� � � #(� � ��

! �� � �

�� � ����

��

� � ��� � �

������

�,������% �!� � �' �� � � �� ��� �� �� �������' ��� � � � ��� �

���! ��� �����

� ��� ��� �

� � ����� ��� ��

��� �����

� ������ �

��� � � � ��

� � ����

� � � � �

��� ���������� � � �

��� � ���

���� � � � ��

�������� � � �

��� � ���

���� � ��

�����

� � � � ��

���� � ����� � #� � ����� � � � �

��� � � � ��� ����� ��

� ����� � ��� � �����

Page 42: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

��

�������� ���

C�������� &�� � � ������� F���������,�G �� ���' & �� �� �������' &�

��� � � �/,���� ��������� �� ����� ��� ���/�' ��,��� � � �� ���

8����� � 8���

(��

������������� � �

������������

9�

:������������ � :

������������

9� �

������������� � �

������������

(�� ��

8������ � 8���9

� �

:������������ � :

������������

(�� ��

8������ � 8���9

� �

=� ��������� � ������� ���� /% &������

8��� �������� : �����

�� � � !�����������H8 H� H: ��

� �� �����!�� � � �6������� ���� !� � ���! ��� � ���! ��� �

����� ��� � !� � �

����� ���1 � !� �

���� H8

H�H:

�� �

���

��

& ��� � � ��#9 ��� 1 � �

�#�9 � �� ��6����� � � ������ �� /� ��������'

�� � ��

!� ��� � �!� ��!�������� � � ���� 1� � �

& �� ��,�� ! � � ��

!� � �!)��������� � � ���� 1� � �* � � � ��

��� ���/����% � � ����� �� � �� 6�������� ���� /� � ������� ���4�����

����' ��� & ��

)��������� � � ���� 1�� �*� � �

��

�������� � � ���� 1� � ��

-���� � �� ���� ��� ��� ��� � ��� 1' � � ���/����% ��������� �� �� � ���

B�������� �� � � !��� �� � � �&� �� ����' � � �6������� ��� �������'

/�� &�� ��� ,���� �� � ��� : �������� /% � ���� �� �&� ���� /������

Page 43: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�#

��� ������9

8����� � 8���

(��

����������������� � �

���������������� � �

���������������� � �

����������������

�9

�:���������������� � :

���������������� � :

���������������� � :

����������������

�9� �

����������������� � �

���������������� � �

���������������� � �

����������������

�(�� ��

8������ � 8���9

� �

:���������������� � :

���������������� � :

���������������� � :

����������������

�(�� ��

8������ � 8���9

� �

-�/�������� � � ���� ������� ���� ���� � �� �� ���' &� !�� ������%

� � ���� �6������� �� �/�,�' ������ � �� ��� � ��� ���1 ��� �������� /%

��� � ���1 ��� ���1 ��� � ��������,��% � � ����%��� �� � � ����' /�� ��&

����� ��

�������� � ���� 1� ���� 1 ���� �� � ��

� � &���� �����/�� ���� �� & �� � � ��� 1 � �' �� & �� � � � 1 � �

��'

��� ��& ����� �� � � ���/����% ��������� �� � �? � �� �� ��� � �������

�� � ���/����% ��,������ �,�� � � ���������,�

Page 44: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

��

�������� ���

0� � � ���6����.8� �� �� ��� &�� � ���,�� E�� &� ��� � ��� � � E��

�� � �� ���� � � � �� ��/��������� � � E�� �++� ���� � � �� ���

� �� ��,��

Æ;����� � �

� �� 6���;

��� � �� 6�;

�� � � 6�;

� � � � 6���;

���

��& ��� 6� 9� ���,� 7�& )� � ������*��� �� �������� ����������

/������ ������ � � ������� � �� � ��� � � ����� ��' �� � � ������

������� �+��' &� � ����

<�� �(�

(�

� �� � � 6�; � �

� � � 6���;��

� � ���

�� �� �� ���� � � ����� �� � �� �� ���' &� ������% �,� <�� � �

-�������%' �� &� ���

= � �(�

(�

� �� �� 6���;�� � �

� �� 6�;

��� � �

&� �,� = � �' /������ )�� ������*��� �� �������� ����������

� ��

< �= �(�

(�

�6��;�� � 6;

��� � �

��� � � ���/����% ��������� �� �����(��(� � � �� -� �� � ��� ���

��� �� � � ���� ���� �� �� � � �/�,� ����� �6���� �I�� ��� I� /��&��� ���� ��� �� � �� ������% < � = � � 8� � � �� �� ���' �� � �% ���

�� � � �������� �����' ��% ��� � �� � � ' � ��

6��;���6; � ��������� � �����������������������

& ��� �� �� ���� ��� �� � ��� �����

< �= � (�

(����

� � � �������� � �

& �� � � �� ��� �� ���/��

��� � � B�� �� ��� &� &���� � � E�� �+"� ��

;��������� � �

� � � (����� � �

�� �� (����

����

& ��� (� 9� ���,�����' ��� &� &��� ���� ������ ���,����� /% (� � ��'

��/��������� �� � ��' � � �� ��� /������

���� � �� � �

� (��(�� �� (����

���� � (� � (����

� �� � � (����

����

�?

Page 45: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�"

���' ����� ��� � � B�� �� ��� &� ��� &���� (���� � ,�����(��� '

&� ��� &���� �� �� � � ���� �� �+�� ��

���� � �� � <���,

������(���

� � � =�,

������(���

� ��

�����' /% ���� ��� � � ��������� �� ������ ��� ���

��� �� � ��� �&�

�����������' &� �,�

<�� � �� ,

�����(��(����(�� = � � �

� ,�����(��(����(���

5�����% /�� ��� ���������,� 1���

< �= ���,

�����(�

�� � (�(���

� �� (�(�

��

����� �� � � ,�����(� � (��� �� � � �,�����(� � (� ' &� �,�

< �= � � ��� � � �� ��� �� ���/��

Page 46: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�������� "�

-�/��������� � � ����� ������� ���� !����� ���� � � �� ��� ��,�� �

�������� ���,���� � ��

! ��

!� ��� ��� #(�� � �>� ���#(�� !� ��!�

��

� � �>�!� � �)�� ��� #(�� �> ��� #(�*!� �� � �>� � ��

� � ��������% ��� ������� ���������� ��� � � ����� �� � �� 6�������� ��

�,� ������� ���� � �� �� �6��� �� ��� ��� ��,�� �� �� "#' ��� ���

��>� �� � �� � �>� ��� � ��� ���,���� > � �

���

��� � �>��� ��� #(�� �> ���#(��

��� � �>���� ��� #(�� �> ���#(��� � ��> ���#(�� �>� ��� #(��� �>)���� #(�� �� ���� #(�*���

� �> ���,���� �� � �

�� � �� ��J��� J��� � ���� � ���� ����� � � �� ��� �� ���/�� ��� ��� > � �'

���,���� � �� �� � � 7��� � �� � � �� ��� �� ��� ���/�� �� > � �

A�,����� /% �(� ��� ��������� �� ��%��� ������ �/��� � ��� &� ���

���� � ����

�(�� �

���� � ����

�(��

����� � ���� � ����

� ����

(���

� )�� ��� (������� � � � �*

��)� ��� (���� � � � �*

��)� ���� (���� � � � �*

��

�(�

(�

��

��� � � � �

� �

�(�

(�

��

�'(��� �'(����

����� ��� ����������% &� ���� ��6���� � �� (��(�� � ����� � � ��!��.

���� ��� ' �� �6��,������% � �� > ������� /������ ����� � � ��!������

���

Page 47: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�+

�������� "�

� � �������� �������� �� ��� ��� � � ��� �6������ ��

���� � �� �����

� ����� � ��

���

�� �������� ������' � � � � � � � � � � 1� � � ���� ��� /������% &�

��������� �� ����� ���� �� ������ &�� � � ��' ��� � � �����������

/������% ��������� ���� � ��� ��� ��������� ��

���� ��,�

����� � �� �����

� � ���� �

-�������% �� � � ��� � ��� /������% &� ��������� �� ����� ���� &��

� � � � � ��� � � ����������� /������% ���������

����� � �����

�(�� ��

� � ��

=� ��� � �� ��������� ����� �� ��,�

����� � �� �� � ��(����

� � ��������

� � ���� ������� ���� !� ��� #�(� �����!�� � � �6������ �� ��������

������ ���,���� � ��

! � �� �� ���� ��#(�

�� � � ����� &�% 0� ���� �����!�� � � /������% ��������� �� � � �' �����

��� �� �� �,�� ��������

�� ������% � � ����������� ���� �� � � /������% ��������� �� � � �

&� ��6���� � ��

��� #� � ��(�� ��� #� � ��(�

(�� ��� #�(� � ��

7�& �(� � �' �� � �� ��,��

(� ��� # � ��� #(��

� � ���� � �� ��� # ��� (��#(� ����� ���� �� ��� �����,�� 0���� 0��'

��� 0 � � � � � � � � �� ��,�� � �������� ������� ����� � � ����� ���

�� �/������ /% &������ #(� � � � �/(�' �� # � �� � �/' & ��� (� ��

�����

����� ��� # � �� ��� / ��� ��� #(� � � ��� �/(� � ��/(��'(����

� � ��������� (� ��� # � ��� #(� � �� ��,��

��� / � / �'(���

Page 48: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

��

7�& � � �6������ ��� / � / �� � ���6�� ������,� ����' & �� &� ������

/% � � �� ��,�� � � ������� ,����

! � �� �� ���� ��#(�

� �� �� ���� ��� � �� ��(��

� �� �� ��� � ���(���

C�� � �� �!� � � & �� � � �� ' ����� ��� �9��� � � ��� � � �

Page 49: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�<

�������� "#

�� -���� � � ������� �� � � ����� �� ���' � �� �� ��� � ��� �� ����� ����� � � ����� ���� �,� ������� ������� � �� �

��� 0� � � � � � �� � ��!' �� � � � ����! � ����! � �' ���

& � � J����! � �J���! � J� � ���!J�����! �J����! � J�� � ���! J� �

�� � �� �& �� � �� �� -���� &� ��� �������� � �� ��� � ��� �� �����&�

� �� ��& �� � �J�� �� �� � � ���� ������ 7�& B��� K�L� � ����� ������

� �� �� �� �� � �� �� �� � � ���� ������' � �� � � ��� � � � � � �,�

� � ���� ���/�� �� 3���� ������ � � ���� ������ ����� &� �,� � �&�

� �� � ��� 0 �,� � � ���� ���/�� �� 3���� �� � � ���� ������ C��

0 � � ���� � ����� � � ��J� � J��� ? � �� �� � 3��� �� �' ��� � � �� ��

3��� ���� ������ � � ���� ������ �� ��� ���% �� ���J�� J��� � ���� � �������� 0� ��� � ��� &� ��� &���� � � ���!' ��� � �� � � ����"' & ��� � ��

����' ��� � �� &� ��� &���� � � 3��� �� � � ���� � ���!�� -�/���������

���� � � � � � �� ��,��

�����! � �����"�!��� � ���! � �

& �� ����� ��

�� � �����"�!��� � � � ��

-���� � � �������� �� � � ����� �� � �� �6������ �� �' � �% ��� �� � � ����

������ �� ��� ���% � �% ��� ���4�����' ��� � �� � � ��� �� � � ����� ��

����' ��� ���� /��&��� .� ��� � ����� � � �1 ��� ��� � � 0� ��� � ���� � ������� �� � � ����� �� � � �� ������� �' ��� �� � �% ��� /�� ��

�� �� � � ���� ������ �� ��� ���% �� � �% ��� �� � � ���� ������ ����� � �

�&� ,����� �� � ��� ���� �� � � ������' �� � � �1 ��� ��� � �? � �� �����

�� ���� �� J���J�� � � ��� ����� � ��

Page 50: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

"�

�������� "�

� � ����� ������� ����

H�!�����

&��� /� � �������� �� � � �� ���' &�� ���� /���� �� � � ���� ���� &��

��������� H��' ��

H�� � H� )�� ��� ������*

! H� � H� )�� ����� ������ � �

�>� ��� #(�� ��*

� H��)� �� �

��� � �� � ��>� ��� #(�� ��*�

����������� � � ������������ ,���� H�� � �� ��,��

! � �� �� ��� #(�� �>� ����"� � �>�"��� �������

0� &� ������ � �� > � �� ' � �� �� ����� � � '(�� � �� ��,��

�!�� � )�� �>"��� �"��*� �'(��

� � �'(��

����� � � "� � � � � ,�� 7������ ��������� �� � ������� �����!��

��� � � ���� & ��� #(� � � &� !�� � ��

!� �� �>� ��� � �>�

���� ��� ���>� �� ���

��� ��������� ���/����% &� ��6���� � �� �!� � �' �� � �� � � ���������

�>� � � � � �

�� ��������%

�� � �& � �� & �� > � �� � �� ��������� �� �������' &� ���� � ��

������% � � ���/����% �� � �� ��� �� ���������� /% � � /� �,���� �� � �

������� ���� & �� ���������� ���� ������% -� &� ��2� #(� � �' "� � �'

��� !�� � ��

! � �� �� � ��� � �� � ��� � �� �

� � ��

�� � �� �! � � & �� � � � � �

>��� �������% &� �������� � ������� ������� ���� ��� ����� ����

Page 51: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

"�

����/���� ������������ &� �/����

�!�� � )�� �� � ���"� � ��"�*� � ���"��� "���

� �� �"� � �"� � �"� � �"��� "���� � � �� � ���

��"�� � ��� � ��� � ���

� �� �"� � �"� � �"�

� �� �"��� "���

� �

����� � � � � �' ��� � � "� � �

Page 52: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

"�

�������� ""

� � �6������� �,� � ������� ���� �������� �� � � �������

: �

��

�H�H:

�!�����

��

!� �� H� � �>"� H:

!� �� H: ���>"�! H�

& ��� " � ��� ��#(� � �� ��,�� � � ���������

!� ��� � �� >�"�!��

!� � �� � >�"��! � � � ��

1� � � ������� �� � � ����� �� � �� 6�������� �� �' ��� ���/����% &� ����

��6���� � �� � � ����� ��� � ���4����� ���� �� � � ���� ������? � �� ��,��

� � ��������� � � �>�"��� � � � �� ���� ��� ��� ��� ,����� �� #'

��� � � ��������% ��������� ��� ���/����% �� � ������� > � �� 0� �� ����

������� ��� ���/����% � �� > � ��

= �� � � !��� ��;������ ����� ��� �������� &� �/���� �� ������% � �

���� &�%

!� � )�� � >�"� � ��6�*!� � � ��

& ��� &� �,� ��& &������ 6 � ��� #(� = �� #(� � � � �� �� � �

���� �6������ �� /�����' �� � � ���� ��������� > � �� �� ����� ��������%

��� ���/����% = �� � �� ��������� ���� &� �,�

�� �

��(�

(�

��

���>

�(� � ��

��(��

����� �� &� ��6���� � � ���� ��% �������� ��������� > � �� ' � � ��������

�� � � ���������� ���� ��� ���% �������� � � ������� �� ! /% � ����

�� '(��' ��� � � �� ��� �� ���/�� ����� � � ���������� ����� �� ���

�;��� D��.B�� ���%�� ���/����%

��� ��������� ���/����% &� ���� ! � � -���� "� � � ��� 6� � � �� ��

� ������� ������� ���

� >� � �� � ��

Page 53: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

"#

�������� "

� � D��.=�����; �� ��� ��

���� � �� � �(��� � �

�������

-6������ /�� ����� ��� ������� �,�� � � & ��� ����' &� �/��������� �� �

��� � ��

�(���� � �

����

���� � ���

�(#�

����

��� � ���

(����

& ��� �� � � ��� � ��� ���� ��� ����� �,� � � ����������� � $���� � �

��������

6� ��

��

6� ��

� � �����

6� ��

� � ������� � ��

&� �����% !�� � �� �(���� � �

�6� ���6��

���� � �6� � �6���(�� � ����� ��6��

(���� � �

���� & �� � � ��6����� ������ �����&� ���� � � ������ �� � �� ��� ��

�6������� �� ���� �����&� � �� 6� � 6� �����

��������� � ������� ���,���� �� � �

��,��� � � ��6����� ���/����% ���������

8�� � � !���� �����' ��,�� ��� � �' ��� ��!����

������� ����

�� ��

6� �

���

� � �����

6� �

�����

� � ������� � ��

Page 54: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

"�

&� !�� � �� � � ������������� ���� ��6����� ���

�����

(���� � �

�6� ���6� � �

���� � �

� �� � ������

�����

���� � �6� � �6� � ��

� � �� � ������

�����

�(�� ���������

�����

��� ��6� � ��� � �����

�����

(���� �

�� �� � �����

� � ���

��

7�& ������� � �� &� ��� � � /������% ��������� �� � ���� �� � � �'

�� � �� ��� � � ����� �� �� � ���� ,���� $���� � � ������ ���� � �

������ �� � ��� �6�������' � ��

6� � 6� � ���

��

&� � �� !�� ���� � ��� ���� � ��

�����

���� �� �

�����

��� � �

����� ����

� � ������

������

���

���,���� � �� �� � �' ��� � �� � �&� � �� � � � ���� �� /������% ���.

������ ������� � � ���/����% �� � � �� ���

Page 55: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

""

�������� "+

� � /�� �� ��� ��,��

���� � ����

�� � ����� � ����

�� � � �� � ��

�� � ��� � ��

����

-6������ /�� ����� ��� ������� �,�� � ���� � �� � &� ���

6��� � ���

)���� �� � ����

��* � 6� � ���

)�� �

� � �����

�*

��� �� ��� � ����� � � � � �&� ���� /�� ,���� ' ��,���

6��� � 6��

7�&

��

�� ���� �

�)��

�� � �����

�*

���

��

�� ���� � �

�)��

�� � ��

����*

�� � ��

6� � �������)� � ��� � �� � ���*

� ��������� � ����

���

6� � �������)� � ��� � ��� ���*

� ����������������

������� � �

���6� �

���6� � � � ��

���������

��� � � ��������� �������� �� /������ �� ?���� ��� ��� ,����� �� �

= �� ��� �� � �������� �� � &� ���

6��� � 6����

��

��)��

�����

����*���

��

��)����

��������� �

�*

��� ���

���)�� �� � �����

�*�

������� �

���

��� �

����

������

�� �

� (�

(�4(�

� 4(���������

Page 56: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

"

� �� � �&� � ��

6��� � 6� � �4(��������� � ���������� �

� � ������� ���6�������� ��� ��& �������� /%

���$%& ������� � 6� � �� � ��$'(���������� � ��

6��� � 6� ��4(�

���$%&

6� � 6����

��

6��� � 6�

�� �

��

��,���

6� � ����6�

& ���

�4(�

���$%&

�4

���$%& � 4(�

� � �� ��� �� � ������� ���/�� �� ( �� ��������% �����' ��������% ��

4(� � �������

Page 57: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

"+

�������� "�

� � ����� �� ��

���� � �� � �

������

� �� �����

��

1������� � � �������� ���� !�> &� ��6����

!� � � �)�! � �� �*>� � � ��>��

�� ������% � � /������% ��������� ���� ����� � � ��6����� � �� ���> �

�' �� � ��

> � � �

��

���� �� ����� � � � ��� ��� /� �� �������� &�� �>� � � C�� �� ����� � �

&� ����� ��6���� �!� � � 7�&

!� � � ��! � �� ������� �� ����

����� ���

���!� �� ���

� ��

! ����� ��

� �� & ��� �

��� ���

���

5�����% ! � �' ��� ! � �� ��

���� �� � ����

�� �� ��� � �' & �� �� � � ��6����� ������

Page 58: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

"�

�������� �

1� �������� ������ &� ��� � � �������� ".����� �� ���' &�� � � ����.

������ �������� (���)� � �����*�

7��� � � /������% �� � / � � � � ���� ����� - �� �� �������� ��(�

��� � � �� �� � ��� ���� /���� ��� �� � � �������� �������� ����� � �

����,���,� ��� �� ������������ �� � � ����� &�%' &�� � � ����� ���� ��

� � ���������� �����' /�� � � � ����,���,� �� ������������ /%��� � �)

��(�

� �� � �*(�

����(��

� � ��%��� ������ ��������� �� � �� ��

���

�� �

��

��(��� �

��

��(���� �

���

��(���� � � � �

�� ���(�� � �

� (���� ���� (���� � � � �

��� � �� � �� ��,�� � � ���������� ����� ����

� ��(�� �

��� (����

� � ���������� ����� �� � ��� ������ �� � �������

� ��(�� �

��� (���� �

��� (���������

� � ���� �������� ���� �� � � �� �� /������% / � �� ��' &�� � �

���� �� � � �����

=�� � � ����� ��������

4+�) �� �

4+�) � �)

4+�) ���) �

0� &� ��& ��!�� 1) � /�) ' � �� �� �� �������% �������� �����

4+1) � )/) � 9�� � �/�) � /) � 9��*�9� � �

& ��� &� ��& &���� 9 � (� � (/ 1� ��� �� � � ������ ���� � �������

/������% � �� ������ ����� ����' ����� @ ��� * ��� /�� �������� 9 ����

* ����� �� &� � ���� < �� /� � �������� ��� � ��

��) � � �< ��� ���*

� ��

4+�) � �) � <1) � � ��) � �< � ��

Page 59: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

"<

� �� /% � � ������� ���������' & �� �� �,������% �����!�� /% 4+' � �

��� �������� �� � � <1 ������� �� ������� ,���� �� � � /������%?

�� � � /������% � � � � � ��� 1 � /� � �' �� � �� � �&� � ��

�) � �) � <1) � �<

��� �� 1 � �' �) � �) � �< � � ����� �������� &�� � ���� �� ����

� �� � �&� � ��

��) � �) � � �<�

���� � � �/�,� ���������� ��� � � ���������� ����� � � � ���� �� < ��

�/,����' ��� ��,�� � � ������

��) � �) � � ��(�� �

�� (���)� ������*

& �� �� !��� ����� �� (�

0� &� ��� (/ � �(� � � /������% ������ � ���� ��� ������' ���

�� ������� ������� �� ��6����� �� ������ ���� � � /������% � �� �����

�� � � ����� ����� /����

��)��) � � ��� (�����

��� (/������� �

��� (���)��������*

& �� �� ������ ����� �� (� C�� �� ����%��� �� � � ����� �� �������

"' ����� � ����� �' ��,�� � ������� /����' /�� &�� ��� � � ������ �

�������%��� ����� ����� � � ��� �� � �� � ���� (/ � �(� ��� �� � ��

(/ � (� ��,�� � ���� ��% ������ �����������' /�� &�� � �����!�����%

������ �����

Page 60: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�������� �

=�� M � <�� � /�� &� ���

4+M �<

(����������)�� �(��� � ��� *� ������)�

�� � �� �(���*

��

<

(/�����/� �(/�� � �/�� � /� �(/��

�� <

������� � ������ � ��� � ���

������ � ������

(�

�� �<��

����� �� �� ��������� ����������

����� 4+M � � �� &� � ����

< ��

��� �� � ��

0� ��& ��� �� ��������� ����������' &� ��!�� M � <)� � ��� � /�*

�� � � ���� &�%' ��,���

4+M �<

(����������)�� �� �(��� � �� ���

�*

�������)�� ���� � �� �� �(���*

��

<

(/�����/� �(/�� � �/�� � /� �(/��

�� <

������� � ������ � ��� � ��� ���

������ � ������

(�

�� �<�&

����� �� �� ��������� ���������� -� ��& &� � ����

< ��

��&�

= �� �� /� �� ���������� �� � ��� ���������� �� / &� � ����

M � <)�� � �� /��*

Page 61: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

��� � ��

4+M �<

(����

���������)(��� � ���(�* � ��������)(��� � ���(�*

��

<

(/�����������)(/�� � ��� /��(/* � ��������)(/�� � ��� /��(/*

�� <

��������� � �������� � �0 (� ��� � ��������

���<��(�

�������� � ��������� ��<�� /��

(/�� 0 (� ���� �0 (� ����

� �<���& � �

�� &� � ����

< ��

����&�

Page 62: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�������� #

D�/�� � � ��� ������9

' � ��

, 9 ��

- �9 ��

< � 9�

� 9 9�

# �9 9�

* ���# 9�

= � �9�

" 9 �9�

�9 �9�

+ "�# �9�

7 �9"�#�

6 9 ���#�

� � ��

A �9 9�

B �9 �9�

& ��� , ��� - ��� �� � � ������' <= � ��� �� � � /�����' ���

*+7 6 ��� �� � � ���,�� ���� �� � � /������% � � ��� ��3� ��

9 � (� � (/ � ��

� � A���� ��� /������% ���������� ��,�

�, � ���

�' � ���#�

�� � ���#�

�) � 0���#�

�- � 0"�#�

�. � 0��#�

�/ � 0��#�

�0 � 0��

1� � � ������ ������� � � /������%' A ��� B ' &� ��� � � �����������

/������% ����������

Page 63: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

#

�� � �(�(�

� &��#�

�� � �1�(A

� &��#��

��� ������ ���� � � /������%' � � ��������� �� ���� /���� �� � �

/��������� ���

# * � � 9

+� � �9

7� � �9

" 6� � 9

& ���

� ��� ��

� �"� ��

=� � �� ��� ��� ������ �6������� ��� � � ��� ��2��&� ,����� �� �� � � � ��

���� � �� � �� � �� � )�� � �9&��#�*

9�� �� � �

�� � �� � �� � ���#�� ���

9�� �� � �

0���#� � �� � � � ����� � ��(���

��� � ���#�� ���

9�� �� � �

���� � �� � 0�� � �� � )�� � �9&��#�*

9�� �� � �

�� � �� � ���

9��

0��#� � �� � � � ����� � � �9�

� �� � �

��� � 0"�#�� � � ����

���� � ��9�

���� � 0��#�� � � ����

���� � ��9�

� �� � ��

Page 64: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�������� �

� � ������� ����� �� � � ���������� ����� ��� ���;����� /% � � ����.

������ ���� ��' ��� ��� �����

��� (���� �

��� (/��������

=������

4+1 ��1

(����

��1

(/���1

� � ��������� 4+1 � � ����� ��

1) ��1& � 1/(���

�12 � 13(/��

����

(����

(/���

��

����� �� � � ����� &�% 1 ������ �,� � ������� �� �� �������� ���

�����' �� � � ������� ���� ��� �� � � /������%

7�

4+� ���

4+���� � �

4+����

+#�

& ��� �) � �) � �� �� � � ����� �� � � ��������� �������� ��� � �� � �

���������� ����� 1���%��� 4+ &� �����% !�� � ��

���) � � �(��� ���

�) � � �

�� � ��

4+<��� �=� � �< �<��� �=��

� �� ����� ��

4+��� � <��� �=� � ���� � �< �<��� �=��

0� &� ��& � ����

< � ��� = � �<��

& ��� � �� �� ����� /���� ��� � � ���������� ����� �����' �� �����&� � ��4+��� � <��� �=� � ��

����� /% � � �/�,� ,������ �� � � >������ @�������� � � ������� ��

��� � <��� � = ���� /� �������� �� � � /������%? /�� ����� A���� ���

Page 65: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

"

���������� ��� ��,�� �� � � /������%' ��� ���� ,���� � ���' �� � �

������� ,���� ���� /� <�� �=' ���

��� � <��� �= � <�� �=

�� ��� ��� ������ -���� < �� ������,�' �� �����&� � ��

��� � <���

0� � � ����� &�% &� ��� ������ � � ����%��� &�� � � ���� �� ��� � �����'

��� �/���� � � ����� /����

���� � ��� /��� � <�� � ����� � �

�����(���� � (/���������

)7��� � �� � � � ���� �� < ��� = �� ��� ���6��? �� �� ,����� ��% /�

�����/��' �� /�����*

Page 66: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�������� "

$���� � � ���� �������� �� �� �������� #' � � ��2��&� ,����� ���

��& ��' �� ��� �� 8� � � /������% ���� / � � &� ��� � � 7������

/������% ��������� �� ��,�

�� � ���(�

� ��,��

& �� �� ���� �� ��������� � � ��2��&� �� =�� � � ���� �������� ��

�� � �� ��������' ��� &������ 9 � ��#' � � � ��� �6������� /�����

���� � ���

(���� ��,��

�� � � � ����� � � �(���

��� � ���

(/��� ��,��

���� � �� � �������� � ��(/��

� ��,��

� � ������ �� � � �%���� ������# �� �

����� � ����

� <

� ����� � ��

���

0� ����� ����������� � � �6������ /������

0

$

$0

�0$�

$0

��

0�$��

$��� � � ��

8� � ������� ���� &�� (0 � �� ' (� � �

�� &� ��� � � �� ���

0��(0���0����������� � ������ 0�������� � �������

��

0��(���������� � ����� � �������� ���� � ��

=� ��� � � ��������

�� � � �� ����

�� � � �� ����

�� � � �� ����

�� � � �� ����

Page 67: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

+

��� �� ��� ��% 2��&� /������% ,���� � � �6������� /�����

���

�� �

��� �� � ���� �

� �� � �����

���

����

���� � ��� � ������ � �

���

�� �

��� �

� � ���� �� �� � ���

��

���

����

���� � ��� � ������ � �

���

�� �

��� �� � ���� �

� �� � �����

���

����

����� � ����� �� � �

���

�� �

��� �

� � ���� �� �� � ���

��

���

����

����� � ����� �� � ��

� �� ����� �� � � �� � ������ �� � � �%����

�������������

����� ������

��

���� �

��

����� �����

� ���

��

������ �

����� ������

��

� �����

��

����� �����

�������������

Page 68: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

��������

� � ���������� ����� �� �������% �������� ������ �� �� � � ����� &�%

��� ���� (���� � �������� �'(��� 0 � � � � � � � � �

��� �� � � 7������ /������% �� ��

��� � � ��(�� �

��� (���� � �������� �'(����

7�& ��!�� 3� /� �� /� � � �������� ��

3 � 3�� � � ��� � � ������

&��

3 � � ��� �� � � �

��� 3 � � �� � � ���� �� � � /������% � � ����� ��� � ��� � ��� /��

�����!��

4+��� �� ��� (���� � �������� �'(��� 0 � � � � � � � � �

4+��� ���(�� � �

�� (���� � �������� �'(���

& ��� 3 �����!��

4+3�� �� ��� � � ������ �'(��� 0 � � � � � � � � �

4+3�� ��

��� � ��� � � ������ �'(���

� �� � ����� � � �&� ����������% � ��

���(���

� 3�� �'(��

�� ��6�����

Page 69: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

<

�������� +

$���� � � �������� ��� � � ����� �� ��!��� �� + � &� �,�

4+� � �

4+�� ��

4+�����

& ��� �� � �� � �� ��� A�!�� � � ���������� ��������

3� � �� (������ ���

� �� &� !��

4+3� � ��� (�������� � �� ���� (������

��� (������ ���� (�� �

(�� �� (���� ��� ��� � � �� (��� +��

�����

4+�� �,3� � � ��� �,�� (������ ��� ��� �� (���+"�

7�& � � �� � �� � �� & �� � � � � �' �� �� (� � � ��� � (� �

�� � �

� &� �,�

�� ��� ��� �� (� � ��

5 ������ , � <' ��� ����� � � /����

�� � � <�� (���

&� � �� !��

4+�� �,3� � � ��

1� ������ �� � � /������% �� � �' ��� 3�� � 3�� � � 1��� 3� �

��� ��' �� � � 3� � �

� ����� �� �,3� � � �� � � /������%' �� /%

� � ������� ��������� �� �� ���.������,� �� �������� ������ ���� � ��

�� � ,3� � <�� (������ ���

� � ����� ������� �������� ������� �� � � ���� �������� &�� � � ����

�� ���� �� �� � �&� !����% � ��

��� � � <�� (������ ���

Page 70: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

+�

7�& ��������� ��� �� /% ����� ��,��

� �����(���

� �� ���� ���(�

(���

���������

���� ��

(���� ���

0� � �� ���� &� ���

4+3� � �� (���

� ����� �

� ���� ���(�

(����� � (��

��

=� ��% ��& ������ � �� (� � �� ' ��,���

��� ���(� �

�(�

�� � ��

� ���� ���(�

(���� ��

� � ���� ����%��� �� /����� ����� �������' ��� ��/4��� �� � � ���������

� (� � �� �� �

&� �,�

4+�� �,3� � � �

���,���� � �� &� � ���� , � <�+ � �� ��,�� � � /����

��� � � �<�� (��� ����� �

Page 71: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

+�

�������� +�

-���� � � ������

, �

�� �

� �

�� ������,� ��!����' � � �' � � �' ��� �� � �� � � N���/��� ������ ��

� � =��4� �� �

�� ���

��� �

��� �� �����,����� ������ � ��� �,� ��������� ���� � �� ����%'

�� N���/� ��������� ���,�����

Page 72: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

+�

�������� +�

��� , � 4�= � 40 � � O����.-����� ��������� ������ ��

C � �4�=���40 �

0� � �� � � �����,����� ������������� �� � � �����,���� !' � ��

�4�=���40 � � !�

��

!4� != � 40 �� � ��

�����

J�0 !4� != � 40 �� � �

���� & �� ' ����� J�0=� � �' &� ���

!� J�040 �

� � J�04��

7�& , �� ������,� ��!����' �� � ��

J�0 4�= � 40 �� � �

��

J�04�� � � J�040 � � ��

C�� J�040 � � �04J�' �� � �� ��,��

�� � � � � ��

=������ J�04� � �� �& &� ���

! � � �� �&

� � �� �&

��,���

�!�� ��� � &�

� � ��� �� � &�� ��

����� � � O����.-����� ��� �� ���,����� ��� � �� ������

Page 73: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

+#

�������� +#

5�����% D� � @�' & ��� ��� ������� �� � �� � � �� ��� �����,����

�� D �� @ D�� ���� /� � � ,����� &�� � � ���% ���.3��� ��������

����� � � �

���� � ���

� �� D���� � ����� ��� # � � # � � � @ ' ��� � �� ��,�� � � �� �� @ � �

�����,����� �� D

A�!���� , � E�D' � � �����,����� �� , ��� ��@ ' ��� � ��������

@ � � �����' �� , �� �%������� ��� ������,� ��!���� ���,���� � �� � �

@ � � � � N���/� ��������� ������ ��

� � � �

� �D �E�

& �� �� � � �����,�����

�@ �

� ����

� ��

� �� N���/� ��������� &��� ��,���� �� @ � �� � � � ' �� �� �

��@ � ��

� �� ���� ��� ���E��� &�� � � ������ �� �������� �' ����� � � ��������.

���� ����� & �� @ � �? � �� � � �����,����� �� � ���

� �

��� � � ��������� ���,����� �� � � � � �

Page 74: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

+�

�������� +�

7��/����� � � ��� ������ �� � � ����� ����� � � �%���� �� �6�������

��

���� � �� � ��

(���� ��,��

���� � �� � ��

(���� ��,��

���� � �� � ��

(���� ��,��

���� � �� � ��

(���� ��,��

& ��� � � ��,�� ����� �� � � ��� � ��� ���� ��% /� ��������� �� �����

�� � � �� ���������� ���� �� @������L� �6������' ��� � � ��,�� A���� ���

/������% ����������

� � ���� ���� ������ ��% /� ���/���� �� �P � �� ��;����� &�%�'

/�� � � ������ �� � � �%���� �� ��,������ ����� � � �%�����% ��������.

������� ��,�� /%9 �� ��E������ �� � � �� ' ��� ��E������ �� / � �

� ' ����

��E������ �� � � �������� � � /' �,� ��E������ �� � � �������� ��/ � �'

,� ������ ���� �� � � � ��� / ���� � � ���% � ��� ��������� & �� ��,�

���� �� ��;����� �������� ����# �

� �

� �� �

� #

� �� #

� �

� � � ��� ������������� ��������' ����� �������%��� /% � � ������ (���

���

,��� �

������ � � �

� �� � �

� � �� �

� � � ��

����

,��� �

������ � � �

� �� � �

� � �� �

� � � ��

����

,��� �

������ � � �

� �� � �

� � �� �

� � � ��

����

Page 75: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

+"

� � N���/� ������ �� � � ���� �� ��� ����' ��� ��� �����,����� ��� ��,��

/%

���

������> � � �

� ��> � �

� � ��> �

� � � ��>

���� � �

& �� ������!�� �� � >�� � � >�� � �' �� � � �����,����� ��� �' �' ��

��� � ��

� � �����,����� �� � � O����.-����� ������ ��� ,��� ������%

���

������! � � �

! ��! � �

! � ��! �

� ! ! ��!

���� � �

& �� ������� ��

�!��!� �� � �

�� � � �����,����� ��� �' �' � ��� ��

-�������% ��� ,��� &� ���

���

������! � � �

� ��! � �

! ! ��! �

! ! � ��!

���� � �

& �� ���� ������� ��

�!��!� �� � �

�� � � �����,����� ��� ���� �' �' � ��� �� 1� ��������' � ��� �� � ���

��� 3���' ��� � � ����� �� � � �6���� �� � � ���3��� �����,����� �� � �

N���/� ������

Page 76: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

+

�������� +"

=� ���� ������� ����� & �� ������% � � ���������� ���� �� � �

/������% ����������' ��� �,������% ��� ���� �� � � ���

��� �

���������

����# #�� ��� #�� ��� #�/�

�����!�� � � 7������ ��������� �� � � � ��� � � A���� ��� ��������� ��

/ � �' ��� ���� �����!�� � � �� �� A���� ��� ���������� �� # �� � ��� ���

�������� �� �' ��� #� �� � �������� �� � � �� ��,�� � � �����/�� ,�����

# � ���

��� � � � � � �

� �� ��� #� � � �� � � � � � ���' ��,��� � �

������� ���/�� �� � �� �� �����

>������%��� /% � � N���/� ��������� ������ &� !�� � ��

������� � =��4� ������ � �� ��� #(�� ��� #�(/�����?

� �� �� ��������% ���� ��� � � �������� ��� ������' ��� �� ������� ����

�� � � ������ �� 0 � �' ����� � � ������� ����� ��� �,� � � �������

�%�����% �/��� 0 � � ����� � � �����,����� ��� ��,�� /%

># #�� ��� ��� #(�� ��� #�(/��

� � ������� �����,���� �� ��,�� /% # � ��� #� � �? �������� � �6����

��� ' �� � �� (� � (/' � �� ����� �� � � �������� ������ �� ���

���(��

����(�� ��� ����� ��� ��3�� � �� �� ������������% �� ��� �(���

= �� 7������ ���������� ��� ��,�� �� �� �� ����� �� � � �6���� ����

� � ���� �� � � ������� ����� ��� ��� � � ����' ��� � � ����������

��� � � ��������� �����,����� �� ���������? ����&�� ,����� �� # ��� #�&��� /� ��;�����

�� = �� 7������ ���������� ��� ��,�� �� � ���� �� �������� �����'

� � � ��� � � �' � � ����&�� ,����� ��� # � � � � � � ��' #� �

� �� � � � � � ��� � � �������� ������ �� �������� & �� # � � #� �

�' ��� /������

�� � � ����(�� � �� �

� �(����

��� = �� 7������ ���������� ��� ��,�� �� � � � ��� �� / � �' ���

������� ���� �� � ������� �� �&� ������ �����? � � ����&�� ,����� ��� � �

���� ��� # ��� #�' ��� ��� ���

��� � � � � � �

� �� � � �������� ������

����������� �� � � �������� ,�����' # � #� ����' ��� �� � �������

�� ���

���(� � ��� �

��(�� � �� �� �(����

Page 77: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

++

���� = �� 7������ ���������� ��� ��,�� �� � � �' � � � ��� / � �'

��� ������� ���� �� ����� � ������� �� ������ �����' ��� � � ����&��

,����� ��� # � � � � � � ��' ��� ����� #� ����

��� � � � � � �

� �� � �

�������� ������ ��

�� � � ��� �

��(�� � �� �

� �(����

�,� = �� 7������ ���������� ��� ��,�� �� ��� ���� �����' ����� &�

�,� �������� �� ������ �����' ��� � � ����&�� ,����� ��� # ��� #� ���

� � ����' � � � � � �� � � �������� ������ ��& ����������� �� # �

#� � �' ��� �� � ������� �6��� �� � � �� � � N���/� ��� �� ����

��� ���,���� �� � �� ���� )7��� � �� � � ������ �� � � �%���� �� ��&

��������*

Page 78: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

+�

�������� +

� � �6������� �� /� ���,�� ��� �� �����

������ � ���� � ������

(����

������ � ���� � ������

(/��� �

/�� �� � � ���������� ������' �� � �� � A���� ��� ��������� �� ��,�� �� � �

/������% 0 � ( � @ =� � ������� ��6���� �� �����,����� �� � � N���/�

��������� ������ & �� ,���� �� �� � � ����� 0 � �' ( � �' ��� ���� ��

0 � ( � @ � � ��,�� ,�����

)�� � ����0��@� ���&(��@�� ���&0��@� ����(��@�

�����!�� � �� ���������' ���,���� � �� � � ���� �� � ���� �� /� ������,� ��

��& �� �,��' ��� ������,� �� �� �� ��� � � ���/�� �� �������� ��� ������

�� �� @���@���' & �� ������ &�� � � ���/�� �� �������� �����,������

�� � �� ����' ��,�� /% � � � � � � � @ � � ��� & � � � � � � �� �

� � �����,����� ������������� �� � � ������,� ���� ��� ������% 3���'

��� � � �� ��� ��,� � � �����,�����

!�4 ��� ��� ���@ � ��� &��@�

&�� �� & ��� � � ������� �����,���� � �� ����������� �� � � �' & � �'

��� � � ��%������� ���� �� ���,������� ��

�� �����@ � ��� ���@� � �� �

����@��

Page 79: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

+<

�������� ++

=�� � � ����� ������� ����

���� � !�����������

&� �/���� � �������� ���,���� � ��

!� ��!

�(��

� ���#(�� � ���#�(/ � �!� ��!

(���

��

!� � ���� � ���

� � ��!� �� ��

� � ��� �

& ��� � � (��(���' �� � ��� #(� ��� �� � ��� #�(/ C% �������� �

� � ����� �� � �� �6������ ��� �� �� �� � � ���� ������ ���,���� � �������� ��

� � ��

����� ��������� � ���

� � ��

����� � ��� � ��

� � ���

0� �� ���% �� ��� � �� /�� �� � ��� ���������� ��� ��&�%� �����!�� ��

� � �' �� � � �� ��� �� ��������������% ���/�� ���� ������ ! �� �������%

���� � �� �' �� ��� � � ������� ����� ���� �� 3��� ����� �� ��� � �

��� �������� ���� ����� �� � ����� & �� �� � � �������� ��

���� � ����� � (������ � ��

= �� � � �� � � 6�������� /������

�!� � �� � ���! � �

�� � �� ��� ���� �� 3���' ��� � � �� �� ��

�� ��� #(�� ��� #�(��

�� � �� � � ��������� ���,����� �� � � ���� &�% �� � � N���/� ��� ��

C�� �� &� ��2�

� ��

� ����(�

� � 6�������� /������

� � (�!� � �� � ���!� �� (� � �

&��� ��& &� �,� &������ ( � ����(� 7�& � � ����� ��� ������� ���

Page 80: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

��

��� # ��� #�' ������ � �� & �� # � #� � � � �% ��� ���� ��� �6���? ��

��� ����� � � ����� �,� � � ���� �������' & �� ��

��� ����(�

� � ����(�

� ���

� �� ��,�� � �����!�����% ������ ���� �� ���,�������? & �� (� �� �����

�� �� ������������% � � �(�' �������� &�� � � ���

�(��� ��� N���/�

���������

Page 81: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

��

�������� +�

� � �������� �����!�� = � 4� ��� � �' & �� ��� /� &������

=� � �� F�=�� F)�� 4� ���*�

�����

=�� ����� � �� F�=� � ��� � F4� ���� ���

��� � � ��������� ������ ��

C � �� F�E � F=��4� ���

��� � � ���/��� �� �� � � ,����� . &�� ��������

.�� � ���0����� ���(&����

�����!��

C.�� � �� F�.�� � F��� �)�������� � ���&����*.��

�� � �� � � ,����� . �� �� �����,�����' &�� �����,����

>�4 � �� F)���������� � ����&�����*�

� � ������� ,���� �� ���������� �� �������� & �� � � � � �' � ����.

���� ������� ���� ����� � � �������� �����,����� ��� /� ����� ��

�� �F' & �� � �� ���������% �����

1� � � �� �� �������' &� ���� �� ��2� ���������� � ����&����� ��

����� �� �����/��' ��/4��� �� � � ���������� � �� �� � � �� �& � � ' ��

/�� � � ������� �� �������� & �� � � �' ��� & � � � ����' ���

� �� > �� ����� �� �� ��F � ��

�� �F � > � �� ��F

��� � � �������� �����,����� � � /��� � ���� �� F ��2�� � � �������

�����,����� �6��� ��� ��������' ��,���

�� �F � ��� ��F�

�� � �� F � ��" ���

�#�" � > � #�"�

Page 82: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

��

�������� +<

� � ����%��� �����&� � � ����� �� � � �������� �� �� +�' /�� ��& � �

�����,����� �� � ������� �� # ���� ����� � � ������������� �����,����

��

>�4� � �� F)���������� � ����&����� � ����������*�

�,������% ��& > � �� #F

��� � �������� �����,����� &� ���% ��6���� � �� ��� �� � � � ���

������� �� ����������%' �� � ��' ��� �������' �� � � �� �& � � �� �� � �

� � ������� �����,���� �� �������� & �� � � � & � � ��� �� � � � �'

��� �� ����� �� �� ��F �� /����� ����� ��� � � �������� �����,�����

�� #F � > � �� ��F�

� � ������� F � ������� �����!��

�� #F � ��� ��F�

�� � �� F � ��+' ��� � � ����� ��� ������ �� "�+

Page 83: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

�#

�������� +��

�� /���� � � ���������' ������� � ��' ��� ���� ,���� �� �' ��� �� � �

� ��� ,������ �������� ��� ������ ��� �� � � Q�%��, ��/����� �' �� � ��

��� �� � �� �� � ������ ���/������� �� � � ,������ � ,� � � � ,����

� �� ���� � � ��!������ �� � � ������� � �� �� ����� � �� ���� �� � ������

���/������� �� ������ ��� ,���' ��� �� � ������� � ������ ���/�������

�� � � � � ,���� ��� ,�� ����� ���� ���� �� � � ����� ���

7��� ������ �� � ������ ���/������� �� ����' & �� &� �,� 4��� � �&�

�� ��� �� ��� ��� ����' & �� ���� �� �? ���� ������ ���� �� ���

� ����%' ������ �� � ������ ���/������� �� ����' & �� ���� �� �' ���

����' & �� ���� �� ��� � �� ������ ���� ���� �� ��� � �� ���������

� � �������,� ����

�� ����� � � ���������' ���� � �� ���� � ���� � ���� � �' & �� �� ��

� � �� ���,�� � � ��6����� ������

7�& &���� � � ,����� � �� � ������ ���/������� �� � � �����,������

��� �� , 0� ��% �� � � �����,����� ��� �������� &� ��� &���� � � ������

���/������� �� � � ������������� �����,������ �� � ������ �����,�����

&�� � � ���� �����,����' �� � ��

� �

����

����

� ��� �� ���% # ����� � ��

,�� �

����

�!� �

��

�� ��� �� � � Q�%��, ������ �� ��������� ��� ��������� #? � � �����.

���� ��% /� ���� �� ��% �� � � ��������� � �� 3���

���� + �� &� ��� � �� �,��% ���� �� ��;����� ,������ ��� �� ��� ��.

����? /�� � ����� �� ��������� # ������ ������� ���� � �� # �������%

��� ������ ,������ ����� � � ������� � ���� ��������� ����� �� ����

#�� ����������' &�� ���� � � � ������ ������� �� ��� ������ /���� ��� � �

����� �' ��� ���� � � 1� � �� ����� ���� &��� /� � � ����� ��������

8� ������' �� ������� ����� � � ������� � ��% ��������� /����� � ��' ��

�� ��% ����� ��� � �

Page 84: Numerical Solution of Partial Differential Equations Solution Manual

��

�������� +��

O�,�� �� ������� ������������� �� �� � � ��������' &� ��% &���� � �

�� �� � �� ,� � ,��,�� � ��,��

=� ��% � ������� ����% � � ���4����� �������� ������� � �� � � ��.

������ �� � � �%����

,� � ��

& ���

�� � ��,���

� � ������� ������������� ���� � � � �� ����������� �� ���� � ��

��,��� ����� � � �������� � �� � �� �%����' � � ��6����� ,����� � ��

�����% �/������ ����

� � � � ���

0� �� �� � ����� ������������� �� � � ��6����� �������� � � � ���� ��

���,������� �� � � ������� � �� � � �������� � ��% /� �� ������ � ��

� �� �� � � �������� ������� � ��� �' /�� �� �������� �������� ��% /�

�/������ ���� 6���2�%' �� � � ������� �������� ��% /� ��� �������