numerical analysis of the optimal exercise boundary of an ... · numerical analysis of the optimal...

26
UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY Inst. f ¨ or informationsteknologi Information Technology Avd. f¨ or teknisk databehandling Dept. of Scientific Computing Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an American Put Option by Per Lindberg Gunnar Marcusson Gustav Nordman Internal Report No. 2002:7 May 2002

Upload: hanhu

Post on 08-Apr-2019

218 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITY

Inst. for informationsteknologi Information Technology

Avd. for teknisk databehandling Dept. of Scientific Computing

Numerical Analysis of the Optimal ExerciseBoundary of an American Put Option

by

Per Lindberg Gunnar Marcusson Gustav Nordman

Internal Report No. 2002:7

May 2002

Page 2: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

���������������� ���������������������� �!�#"%$'&(�*),+�-�(����� ��.')($'/0&21�����3��46587:9<;=46"(+$�&>���?��/@��&(�!A8����)(AB)�+���DC($�E���� $'�F)(�*G����IH&���)J.'�K��$'/L�8�*�J� +$�)��NMO�!��P<A'HRQSP<T�$��!��)UE���&(�*�!��� �:�>��� VW��&*�K�2���:�-�!��A2X-�-�*�!$'�Y�ZG�/@��&(�!)(AZ��[�\]����2X +�-������&^$')*)^�,X`_O&��-��A'Hba�� P�$'� )*$'��)dc���� �<�@��� VW��&(����)�)*P<T��K/e�0$SP<T`)(�����-�`���`�K��A��K�C +��/@" +$�&*��� )*�3"%G���A2��� $'��[\]��C�+��/@"(+$�&d)(�����-�f587:9<;g/@���`AW+�������e��.�����)(A-�-EW�K&^"(+$'&d�3hS�!)R����&*�������>/0$i����� �!�K&J�,Xj���3���)(ki/@E���$��*�!)(A-�mlW�3���K�������3��4Sln1�������o)(�!G��*�K�O��X0.��!� �*�!.'T��K��)R��� �����p$iP<Te"(+$'&n�����Y$�+������� �!.2�),+���qC($'E���� $'���K��[rg"s�*��&()*$'/ ���3�t�=Cuc�����)j�#1��.'$'�v�������wkZ���!)(Ax"%G���A2�*�!$'�y)*$�/ lW�K)*AZ&*�wX'��&z&��-�������{��� �!�"%$'&(�*),+�-�(����� ��.')*$�/0&21�����K�]����E��-)*)��-&]XS�|EW$�� ki��$'/}��X`$'� �!A8�0.'&*�����K&^��� �!�������~�ZG�/@��&(�!)RHA-���=+$�)*��� ��.'����[�\]�gG�������&*)�+$'A��K&>)(�������BTZG�&�Eo$'�wkS��$'/0�K��)�A�$i�K�@PK�!���2�*��&>lo��&($'&m��X��� X'$��:�-�*�!�!�w���3�������n$iP<Tj� � &,+���2�������3[

Page 3: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

�Y�6�K��8�����UT��`$'E��*�!/0�����Ih��K&*PK�!)*�jlW$�G�������&Rk�"%$'&e�-�x�^/@��&(�!P�����E�G��Y$'ES���!$���� )0)R��G���� ����lZk)*$'�wXS� ��.`��T��uMO�:�-P<A2HbQSP<T�$'� ��)NE��-&(���!���n��� VW��&(���2���!���O�K�iG��-��� $'���ZG�/0�K&*� P���� � k'[��UT��!)N�!)P���&(&*�!�K��$'GS�>G�)(�!��.���T��Y_O&*����A'Hbad�!P�$��!)*$���)*P<T���/@�Y�����f��T��K�Bc������!��.z��T��@$'E��*�!/0����3hS��&(P��!)(��lo$'G�������&(kYG�)*� ��.e�N)(�!/@E��!�]PK$'/@E���&*� )*$'���-�!.'$'&(� �*T�/j[���u��T������!�2X'�K)(�*�!.2�-�*�u� "d$'G�&>)*$'� G���� $'�F"%$'�!� $,�J)���T��zAZ��$,�J�?/e�8��T��K/e�-�*�!P�����E�&*$'ESH��&(�*�!�K)�$�"#��T��Nlo$'G�������&(k�[>�UT��K&*�p�!)]��$j�-����� kZ�*�!P��-�|)($'�!G��*�!$'�j��$Y��T��NE�&*$'l��!��/z4�l�GS���T��N�-)(ki/0ES��$��*�!P��-�|lo��T���Xi�!$�&^$�"g�*T��>$'ES���!/0�����3hS�K&*P�� )*�Nlo$'G�������&(kz�!)�AZ��$,�J�~�JT������E�E�&($2��P<T�� ��.p�3hSE��!&Rkz�����u�JT��K�j��� /0����$p�3hSE�� &(ku.'$i��)U�*$@� ��c����w�=k'[QS�!��PK�N��$������-� kZ��� P�����)*$��!G��*�!$'�`� )^AZ��$,�J��4����p��E�E�&($,hS� /e�-�*���*T��N$'E��*�!/0�����3hS��&(P��!)(�lW$'G�������&Rkt�J� �*T~�YEW$�� ki��$'/@�:����[]���,Xi� ��.u��$'�����*T��!)��O�N�Ih��-/0� ����T�$,����T���PK$S�3�NHP��!�K�2��)JX��-&(ke"%$�&���T����!�2X�$'� X����zE���&��-/0�3����&()J� � X'$'�!�-��� �!� �=k��#�����z� � � �2����&(��)R��&*�-�����3[

Page 4: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

� �@¡Y¢¤£�¡Y¢¤¥

¦ § �W,� ¨�©�ª|��,��¨o� «

« ¬m� ¨o�|­%®S� ¯�®2°6�|�s �%¨o� «± [w² ³�$'&(/�G��!����[�[m[m[�[m[�[m[m[�[�[m[�[m[�[m[m[�[m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ ±± [ ± ´ &($'l��!�K/¶µ]��)(P�&(�!E��*�!$'� [m[�[�[m[�[m[�[m[m[�[m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ ·

¸ ¹ ª|��®Z�8���'��­n¬m�8���2�����f¨��J º�®`�u��®Z�8���'����¬�ª� »·�[w² �U� /0�����!)*PK&*�3���!¼��-��� $'�u$�"���T�����/0�K&*�!P���� ´ G��½[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ ¾·�[ ± adG�/@��&*� P�����/0�3��T�$i� [m[m[�[�[m[�[m[�[m[m[�[m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ ¾·�[¿· M�$'G������-&(kz_O$'����� �*�!$'��)f[m[�[�[m[�[m[�[m[m[�[m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ À·�[ÂÁ ³|�!����� ��.���T��>Ã]E��*�!/0����r6hS��&(P�� )*��MO$'G�������&(k [�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ À·�[ľ ��P�PKG�&���P3k�$�"���T����ZG�/@��&*� P�����/0�3��T�$i� [m[�[m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ Å·�[¿Æ ´ ��&R"%$'&*/0����PK��[m[�[m[�[m[m[�[�[m[�[m[�[m[m[�[m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ Å

Ç ÈpÉ ������­#Ê^Ë�®Z�8�2���K®`�u����­%Ì������ ¦ZÍÁ�[w² ´ &($'EW�K&(�*�!��)U"���&�"%&($'/Î/0�-�*G�&*�w�=ky[�[m[�[m[m[�[m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ϲ�ÐÁ�[ ± ´ &($'EW�K&(�*�!��)J������&U/0�-��G�&(� �=kÑ[�[m[�[m[�[m[m[�[m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ϲ�·Á�[¿· _OG�&(X'��c��(���!��.@$-"|�*T����iG�/0�K&*�!P�����)($'�!G��*�!$'� [m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ϲ,¾

» ¯������2ª|������¨o� « ¦¾S[w² ³���&�"%&($'/Î/0�-�*G�&*�w�=ku[�[m[m[�[�[m[�[m[�[m[m[�[m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ ± ²¾S[ ± ad����&J/0�-��G�&*� �=kÒ[�[m[�[m[m[�[�[m[�[m[�[m[m[�[m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ ± ²¾S[¿· _OG�&(X'��c��(���!��.e[m[�[m[�[m[m[�[�[m[�[m[�[m[m[�[m[�[m[�[�[m[m[�[m[�[m[m[ ± ²

Page 5: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

Ó Ô#Õ�ÖU×�Ø�ÙnÚÜÛ�Ù#Ý6ÞbßdÞ�à�Þ3ÖUß

á â ¡Y¢gãg��ä�å�æU¢gç��@¡

�^/@��&*� P����p$'ES���!$���)g��&(���J�!���K� k>�*&��������p��T�&($'G�.'T�$�G��g��T��U��$'&*� ��[6�UT��!)g�KX����@��T�$'G�.'Tr#G�&*$'Eo�����B$'E��*�!$'��)m��&(�0lo�K�(���K&�/0�-��T���/0�-��� P���� � k����K)*P�&(�!lo����[uè=�~"���P3���*T��0E�&*�!PK�!��.E�&*$'l��!��/Î$�"6��/0�K&*� P����u$'ES���!$���)UT���)J��$��Jk��K�dlW�K���j)*$'�wX'���j�����-� kZ��� P���� � k'[���#T���X'�n)(�*G���� ������T��#E�&($'EW�K&(�*�!��)�$-"S�*T��#�^/@��&*� P�����E�GS�|$�E���� $'��[��UT��!)�� )��Jc�������PK�:�������&(� X-�-���wX'�J�JT��!P<Tu.�� X'�K)��*T���T�$'�!���K&��*T��^&(�!.'T2� � l�GS����$��n��T��^$'l�� �!.2�8���!$����|��$�)*��� �o�����)*)(�K��46��[Â.�[��j)R��$iP<Ao4|"%$'&m�jE�&(�3H=)(EW�KP��wc����FE�&*�!PK�0G�E�G��2��� �n�jP��K&(�����!�~��� /0�-4��*T��0)($P���� �!�����Ih�E��!&(kY���-���-4�T���&(��������$-�����jl2kYém[���J)(����&(�*���@l2kNP�$'/@E���&(�!��.]�*T��J�^/@��&(�!P��-�NE�G��#��$���T���rgG�&($'Eo������[6�UT��Kk@��&(�U�ZG�� �*�)*�!/@�!�!��&����������wV��K&�$'��� k]�!����T��#"���PK����T��-�|r#G�&*$'Eo������$'E��*�!$'��)�P����>$'��� k�lo���IhS��&*PK�!)(����-�J��T����3hSE�� &(ku���-���-[ê�)*� ��.���T��K)*�d)*� /0� �:��&(� ��� ��)����d����&(�d��l��!���*$�.'� X��J��.�$S$i�N�ZG�/0�K&*� P�������E�E�&($,hS� /e�-�*�!$'�$�"J��T��Y��/0�K&*� P����FE�G���[��UT�� )��!�B��G�&(��.2��X'�uG�)N�-��$'E�Eo$'&(�*G���� �=kf��$`�������wkS¼K�e��T��$'E���� /e�-�n�IhS��&*PK�!)(�ulW$'G�������&Rk'[�è�N���K)*PK&*�!lo��)K4g����Eo�������!��.�$-"U��T��YPKG�&*&(���2�pE�&(�!P��e$�"��T���G�������&*�wki�!��.@��)()*�K��4�� "�$'����)*T�$'G��!�zP�$��Z�*�!�ZG�����$pT�$��!��$'&U�3hS�K&*P�� )*����T���$'ES���!$���[

ë ì ãg�@í�î�£�ï ðñ£^òf¡�çK¢gçK�0¡

Ã����U$�"���T���"%G�������/@���2�<���Sl�G�� �!��� ��.^l�� $SP<AZ)g$�"o$'ES���!$���E�&*� P�� ��.]�!)|��T��^óJôwõiö<÷8øù�ö<ú�û8ô!ü<ýü*þ�ÿ�õ���� û�� � �UT���$�&*��/ ± [ ± �g����)(P�&(�!l�� ��.��*T��^rgG�&($'Eo�����Y$�E���� $'��[|�y�w��T�$�G����*T��!)n���ZG�� H���!$��0��T��^&��-E��!�@���KX���� $'E�/@���2��$�"�$'E���� $'�e/0��&(A��K�*)���$'&*� ���J�!����T��-�e��$��OlW�K���YEo$')()*�wHl��!�-[gè=�z�*T��!)U)(��PK�*�!$'�u�����J�!�!�oc�&*)R�d)(�<�8���]��T��ml���)*� P]"%$'&*/�G��:���^��������T��K�z���Kc�������T��)*P�$�EW�m$�"|$'G�&U�!�2X���)(�*�!.2�8���!$���[

��� � �������������¯�®2°6�|�s �%¨o�Ò«�� ¦�� ú�ü � ­%��� �"!3���8º�¨o­%®i�@�B��� �o®2e��¨�©�®i­ ö<û���ý#�!ý#�sýNû�$%�'&OûYõ8ý<ý,ü#�sý&��(�%ú*)�+��oõ�,-� ö<ý/.��(0�ü#�213+ 465 �87 ��9v� 5 �(7 � � ² �4;: �87 ��9=< : �87 � 4 7�> � : �(7 � 4;? �87 � � ± �&6ú�ü#@<üU�6AB<võ��C)��yõ�@�üD)iü#�=ü#@E,-�(�F�!ý#�'� ö�ö<û���ý#�õ��F�sý3G 5 �!ýmõH@E�!ý<÷�$E@�ü<ü�õ8ý<ý,ü#�JI�ó^û��C)#KLA: �!ýmõ*IM,eû�@�ü�û�@�ô!ü<ý<ýNKO@E�!ý<÷�+0õ8ý<ý,ü#�JI ù��=û,ö<÷PKLA��Q�!ýR�sú�ü%�(�F�bü#@�ü<ý#��@(õ��büPAB<S�!ý%�sú�ümô!û,ö*õ�ô,eü*õ��T@(õ��bü�û�$ @<ü#��ÿ;@#��õ��C)��U�!ý%�sú�ü%0�û8ôwõ����sôV�(�'+LA�&6ú;� ö<úW)iü<ý,ö#@E��13ü<ý �%ú�ü%,@õL.��F�(��ÿX)iü�û�$�%ú�üZY�ÿ�ö#��ÿ�õ��'� û���ýpû�$ : G � ú�ü%�=ü#@E, 4[? �!ý>õ]\Q� ü#��ü#@_^C@�û,ö<ü<ý<ý3G

±

Page 6: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

Ó Ô#Õ�ÖU×�Ø�ÙnÚÜÛ�Ù#Ý6ÞbßdÞ�à�Þ3ÖUß

` º�®i¨�� ®i� «a� «cb � ­%��� �"!3���8º�¨o­%®i�]®[d�ª���,��¨o�fe/g ý<ý3ÿ;,eü/�%ú�õ��B�sú�üJ,@õ�@�÷2ü#�B�!ýUýN^�ü<ö3ø� h�üi)j13+lk;G(m�õ��C)l�sú�õ��n&Oüo&nõ��F�/�=û-^C@E� ö<üeõ~ö<û��F�'�(�;.iü#�F��ö3ôwõ��(, û�$O�sú�üp$�û�@E,rqs9t � : � é^�*�uG � ú�ü#�v�sú�ü�û���ôV+�^C@#� ö#�(�;.Z$Iÿ[��ö#��� û��jû�$p�sú�üw$�û�@#,yx �87 �Z9=z �87E{ : �(7 �*��&6ú;� ö<ú�!ýzö<û���ý#�!ý#�=ü#�F�J&��(�sú|�%ú�üYõ}13ý,ü#��ö<üuû�$eõ�@u13�(�'@(õL.iüo�!ýH&6ú�ü#�~z��!ýH�sú�üpý,û8ô ÿ[��� û��Òû�$H�sú�ü$�û8ôsô!û�&��(�;.v13û8ÿ[�C)2õ�@E+o08õ�ô ÿ�ü�^C@<û�1�ô!ü#,��(�T�%ú�ü�)iû�,@õ��(�j�ÂÐ { én�a�T� �ZGz�; �(7E{E� � > � � z�� �87E{E� � > ²

± ��� � � �(7E{E� ��z��'� �(7E{E� ���F��z �(7E{E� ��9 Ð � ·2�z � é {E� ��9yt ��� � � ÁZ�

r#�ZG��8���!$���) � ·2�d�-��� � Á2�JP����`lo��)($'� X�����G�)(�!��.@��T��>³��3ki��/e�-�SH������P�&*�KE�&*�K)*�K�Z���-��� $'�"%$'&*/�G��:� � )(����� ²u�s�I4���T�� )U.'� X���)JG�)J��T��m��&(l�� �*&���.��^"%&*�K�mE�&*�!PK�]"%$'&���T���rgG�&($'Eo�����z �(7E{E� ��9=���6�i����� ;��'�D�;�� � ��t � : � é]�(��� � ¾'�

MO$���T���T��m��/0�K&*� P����z�����u�*T��mr#G�&*$'Eo�����z$'E��*�!$'��T���X��m�*T���P�$'�2��&*��PK�J"%G���PK��� $'�t � : � é]�(��9 �'  � : � � 9v/0�8h �'  � : { Ð2� { � Æ2�

�JT���&(�   �!)���T��m)R��&(�!A���E�&(�!PK��[è=�v$'&(����&Y�*$�E�&*� P�����T�����/0�K&*� P����yE�G���$�E���� $'� �O�~T���X'�~��$�)($'� X��`��T��~$'E��*�!/0���)(��$�E�E��!��.0E�&($'l�� ��/

/e� h¡ ¢ � �~£ � �6� ¡ t � : ¡ �N¤3¥ { ¦l§ �ÂÐ { én� {�JT���&(� � � �w�O������$����K)p�*T��Y�Ih�Eo��P3���K�?X-��� G��eG�������&��*T��uE�&*$�l���l�� �!� �=k~/@���-)*G�&(�©¨@4���Kc������t)(G�P<Tj�*T��-� : T���)U��T�����ki����/@�!PK)4;: �87 ��9{� : �87 � 4 7�> � �87E{ : �87 �(� : �87 � 4[? �(7 �G������K&J¨p[

���M� ª~�F��«����B� ¬­�w®X¯a��°±/²F°���³Ã�G�&�/e�-�!��.�$2���n�!)��*$������-� ki¼��e�*T��BûP^C���(,@õ�ôJü�´Sü#@�ö#�!ý,üv13û8ÿ;�C)2õ�@#+84¤��T��-��)(��E���&*�-���K)��T��0��&*�����JT���&*�@$'���@)*T�$'G��!�fP�$��Z�*�!�ZG��N��$zT�$'� �f�*T��p$'E��*�!$'�f�����~��T��e��&(���u�JT���&(�$'����)*T�$�G��!�z�3hS��&(P�� )*�m� ��[�UT��!)]� )]��$'����l2k`$'l�)(��&RXS� ��.Y��T���EW$��!�2�]$�"#� �2����&()*�KPK��� $'� ���3µ ��$'�`��T�� � Hb�8hS�!)d�JT���&(���T���E�&(�!P��%z lW�KP�$'/@��)J�!�����2��� P����o��$N��T���PK$'�2��&��-PK�U"%G���P3��� $'�u"%$'&J���!� �R¶S�3µ [g�UT��!)J�!)

·

Page 7: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

Ó Ô#Õ�ÖU×�Ø�ÙnÚÜÛ�Ù#Ý6ÞbßdÞ�à�Þ3ÖUß

0 10 20 30 40 50 600

5

10

15

20

25

30

Price of underlying asset (S)

Opt

ion

Val

ue

Contract FunctionEuropean price

³6�!.'G�&*��²¸·g_O$��Z�*&���P3��"%G���PK�*�!$'�O¹O9 ��  � : � � �����@E�&*� P��U"%G���P3��� $'�@"%$�&��mrgG�&*$�EW�����E�G��d$'E��*�!$'��[

³6�!.'G�&*� ± · ´ &(�!P��J)(G�&("���PK�d"%$�&��-�0��/0�K&*�!P����pE�G��O�����p��T��d$'E��*�!/0�����IhS��&*PK�!)(��lo$'G����iH��&(k�[

��G�����$��*T���"���PK���*T��-�U�*T����^/@��&(�!P��-�uE�G��J$'E��*�!$'���-� �O�,ki)J/�G�)R�JlW�]��$'&R��Tz�-�J�!����)(�t ���Z�87 �(�U)(�!��PK��$'����P����z�3hS�K&*P�� )*�m� �J�8�^�-�Zke���!/@��[Ã����^P��-�Y&*$'G�.'T�� kp)*��k0�*T��-�n��T���EW$'� �2�O$�"�$'E���� /e�-���3hS��&(P��!)(�]$iP�P�G�&*)��JT���&*����T��^r#GiH&*$'Eo�����>$'E���� $'�m�!�2���K&*)*�KPK�*)6��T���E���k'$�V@"%G���P3��� $'�>� �mc�.�G�&*��²'[¤³�$'&���T��O�^/@��&(�!P����>E�GS���T�� )U�!�2���K&*)*�KPK�*�!$'�u���3X'�K&�$iP�PKG�&*)U)(�!��PK��4���)U)R�<�-�*���z����&(�!� ��&�4Z��T���E�&*� P���)J�-&*���!�����2��� P����

Á

Page 8: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

º ß�»6ÚtÙ#ÕJÞ#¼�½]Ø�Ô#ÕdÞ#¼6Þbß�¾ ÖUÝ àÀ¿�ÙU½�ÚjÙnÕJÞ#¼�½]ß ÔR»Uà

"%$'& �Z�87 � ¶S�3µb�(7 �3[�UT��tEo$'�!�2�*) �3µ=�87 �DÁ 7*§ �ÂÐ { ép�J.'� X���)@G�)@�*T��z$'E���� /e�-���3hS��&(P�� )*�tlo$'G�������&(k�PKG�&(X��587:9<; �87 �I[>�yT��K� �Z�(7 � ¶ 587:9<; �(7 �^$'���N)*T�$'G��!�~�Ih��K&*PK�!)*�p��T��NE�G���4�$'�`�*T��p$���T���&�)*� ����4�i�(7 �_Ây587:9<; �(7 �¤� �g� )g$'E���� /e�-�S��$�T�$��!�p� ��[6è=�Nc�.'G�&(� ± ���J)*���J��T��-�g��T�� )g�!)g�K�iG�� X-���!�K�2���$@E�&*$8C(�KPK�*�!��.N��T��m� �2����&()*�KPK��� $'��$'�2��$p��T�� � � 7 E��!�����-[

Ã Ä å�ï £�ã#ç�æpÅ�î ì ã#ç�ædç�¡TÆ �OÇv¢fÈ`£ ÉÜï £�ã#ç�æpÅ�¡ ì åt¢

�UT��uE�&*$�l��!�K/Ü$-"JE�&*� P��!��.`���F��/0�K&*� P����FE�G���$'ES���!$���T���)K4#��)�/@���2��� $'���K�F�!�F)(��PIH���!$�� ± 4¤��$��������wkZ���!P����#)*$'� G���� $'��[��^���F��TZG�)���$t�3h���PK��)*$'� G���� $'�f"%$�&���T��e$'E��*�!/0����3hS��&(P��!)(�elo$'G�������&(k�[0�UT��K&*�e��&*�-4�T�$ ���KX���&K46����ki)��*$j�ZG�/@��&(�!P����!�wkt���3���K&*/@�!���N��T��E�&*� P��N$�"#��T��@$�E���� $'��[mè=�~�*T��!)�)(��P3���!$��~���N�J�!� �|���K)*PK&*�!lo�N��T��N�ZG�/@��&(�!P����6/@�K�*T�$S��)�O�]T��,X��^G�)(���Y�*$>E�&(�!P��J��T��^�^/@��&(�!P����0E�G���$'ES���!$��e�����ec����e�*T��d$'E���� /e�-���3hS��&(P��!)(�lW$'G�������&Rk'[

Êp� ËÌ°�Í�ÏÎ%°�®X¯a�F��²�°Ða��²�°���³Ñ��ÒQ²�Ó �ÏÔ­�Í�w��°¯a�Z³Õª|�/²���pT���X'�pG�)(���~��T��N/@�K�*T�$i������)(P�&*� lW�K�B� �Ö�·�� [�QSG�E�Eo$')*�N�*T��-���Ih��K&*PK�!)*� ��.�$'���wk`�!)���!� $ �����z�-�p×~��� )*PK&*�K�*��EW$'� �2��)J�!�Y�*�!/@�o� 7E{i7�>ÙØÚ7E{i7a> ± ØÚ7E{�Û3Û�Û3{ ép��[è=���*T��!)>P���)(��4#��T��u$'ES���!$����J�!� ��lo��T���X��z� �!A-�u��rgG�&*$'Eo���-�?$�E���� $'���J� �*T�/e�8��G�&(� �=k���-��� ��ÜÝ> ² � ØÚ7 � �t���-P<T`�!�2���K&(X-��� ÜMØÚ7/¶Þ¦2¶ ��ÜÝ> ² � Ø-7E{JÜ 9�Ð {3Û�Û�Û3{ ×W�y²'[d�UT�� )������l��!��)JG�)J��$pE�&(�!PK�]��T���$'E��*�!$'��� ��éÙ� ØÚ7 G�)(�!��.p�UT��K$'&*�K/ ± [ ± [���g��T�� )gEW$'� �2�g�3hS��&(P�� )*�!��.��!)#��� �!$,�O�K��42�����p�*T��U$'E��*�!$'�>E�&*� P����J�!� �Slo����T��d/0�8hS�!/>G�/$�"U��T���C(G�)(�>P���� P�G��!�-���K��E�&(�!PK��4g5Lß3àEád4g�����B��T��0�3hS��&(P��!)(�eX-���!G�� ��  � � � � [têd)*�!��.��T�� )eE�&(�!P������`)*$'�wX'�z"%$'&@�*T��t���3hi�Y��� /0��)R����E G�)*�!��.B��T��t)��-/0�z����P<T����!�ZG��-[v�B�EW�K&("%$'&(/ �*T��!)�&(��Eo���-�*�����wkeG��Z�*�!�o�O��T���X���&*���-P<T�����$'G�&O����)(�!&*�K�u)(����&(�U���-��� 7 [gè"�����!�K� ØÚ7�â Ð�4��*T����!� /0�w���J� �!��lo����T���E�&(�!PK�m$-"|�*T����^/@��&*� P����uE�G��d$'E���� $'��[�UT��~$'E���� /e�-�d�IhS��&*PK�!)(��lW$'G�������&RkÒ�!)e$'l��<�-�!���K�Òl2k E�&*$ C(��PK�*�!��.F�*T��`� �Z�*��&()*��P3��� $'�lW�3�=�O�K��� �*T��~E�&*� P���"%G���P3���!$��v�-��� ��T��~P�$��Z�*&���P3��"%G���PK�*�!$'� ��  � � � � $'�2��$���T��� � 7 H=E��:����� � )*�K�mc�.�G�&*�K)m²m����� ± �

Êp�M� ãä���Í�w��°¯a�Z�H�å��²�Ó �nÎ�|$f)*$'�wX'�u��T��jM��:��P<A'HRQiP<T�$'�!�K)p���ZG��-�*�!$'���ZG�/@��&*� P���� � kf�O��G�)(�z�*T����!/@E��!� P��w�mc���� �*���� VW��&(����PK�N)*P<T��K/0�0_O&��-��A'Hba�� P<T�$'� )*$'� � )*���l�çæ��:�3[mê�)(�!��.u��T��!)^���N.'�K�����~G���P�$������wH

¾

Page 9: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

º ß�»6ÚtÙ#ÕJÞ#¼�½]Ø�Ô#ÕdÞ#¼6Þbß�¾ ÖUÝ àÀ¿�ÙU½�ÚjÙnÕJÞ#¼�½]ß ÔR»Uà

���!$������!�wk@)(�<�-l��!��/@�K�*T�$S�Y�J�w��Tz����$'&(����&U$�"6��PKP�G�&*��PKku$-" � ± 4 ± �O�!�Y�*�!/@��������)*E���P��-[�UT���)(P<T���/@�m�!)U)*T�$ �J�jlW�K�!$,��4��J� �*Tu���!/@�]��� )*PK&*�K�*�!¼��-��� $'�u)(�*��E ØÚ7 �����j��)*)(�K�d)(�*��EØH� 4

è ßá � è ßL�"éáØÚ7 > � � á± ê è ßá��"é � è ßá � é > è ß��"éá��"é � è ß��"éá � é± Øo� ë >

> � � � �áÁ ê è ßáf�"é � ± è ßá > è ßá � é > è ß��"éá��"é � ± è ß��"éá > è ßL�"éá � éØo� � ë >

��� ê è ßá > è ßL�"éá± ë 9vÐ { � À'�

&*���-&*&��-��.'�!��.p�*T������K&*/@)U.'� X���)JG�)

è ßL�"éá � é ê � � á�ìÁ � � � � �á

Á ë > è ßL�"éá í ² >Ïîuï � ïðCñ� > �Nò ;�*ó >> è ß��"éá��"é_í � î ï � ïð ñô � � � ðÝõô ó 9 � æ2�

9 è ßá � é ê � � � �á�öÁ � � � á�ì

Á ë > è ßá í ²p� î ï � ïð ñ� � �Nò ;�Wó >> è ßá��"é_í îuï � ïð"ñô > � � ðÝõô ó

�J� ��TWì©9 ò ;ò � �-��� ö 9 ò ;ò � ï [g�UT��]��� /0���!�KX����W�!)����K��$��*����l2kY�������u/ �!)���T����-)*)*�3�.'&*� �SH=Eo$'�!�2��[�UT��t)(P<T���/@� � æ2�p&(��)(G�� �*)0� ����T��j)RkS)R���K/ ÷]5 ß3àEáø9sù=ú,4��JT��K&*�*÷}�����ûù ��&(���&*� ���:�-.'$'������/0�-��&(�!P��K)�4aúm�!)]�*T��NAZ��$,�J�B)($'�!G��*�!$'��� �`��T��NE�&*�KXi� $'G�)���� /0��)(���KE��-���5 ß3àEá��*T��^G���Ai��$ �J�eE�&*� P����-�#��T���E�&*�K)*���2�����!/@��[|�UT��!)n)(ki)R����/ T���)#��$mlo�^)*$�� X'�K�e� ��KX'�K&(ku�*�!/@�^)(�*��E�[#��$N��$���T��!)U�K�@PK�!���2�*� k@�O��G�)(���UT�$'/0��)��^� .'$'&(� ��T�/Ñ"%$�&O��&(�!���!��.-H$'������)(ki)(�*��/@) �Nüu�'ý �d$'Eo��&*�-��� $'��)<�I[^µ]G��>��$@��T���T�����XZk`P��-�!P�G��:�-�*�!$'��)J���K�����K��4�����!/@E��!�K/0�K�Z�d�-�!���ZG�/@��&*� P�����P����!PKG��:�8���!$���)U�!�*þ�ÿ�������������[O�B��G�)*�� �����������"%$'&XS� )*G��-�!�!¼��-��� $'�u�����zX���&*�wc�P��8���!$���[

Æ

Page 10: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

º ß�»6ÚtÙ#ÕJÞ#¼�½]Ø�Ô#ÕdÞ#¼6Þbß�¾ ÖUÝ àÀ¿�ÙU½�ÚjÙnÕJÞ#¼�½]ß ÔR»Uà

Ke−r t∆

Smax

0

Τ(S(T))

t

Φ S

³6� .'G�&*��·[·n_O$'/0E�G��<�-�*�!$'��������&(�����J� �*T�lW$'G�������&RkuP�$'����� �*�!$'��)K[

Êp��Ê � � ��³ Î��������Ì� ³ Î%°N²�°���³ ®³�$�&Y��T��~lo$'G������-&(k � 9 ÐF���BP<T�$�)*�~��T��~��� )*P�$�G��2�����v�3hS��&(P�� )*�fE�&*� P��   � �6�Nò ; [�UT��0$-��T��K&�lW$'G�������&Rk'4��������wkZ���!P����!�wkz����)(P�&*� lW�K�Bl2kf5 9 Ð���) �oâ � 4�T���)���$�lo�P<T�$')*�K�z��&(�*� c�PK�:��� � k'4�������$-�����elZk � á����Z[¤�UT��^lW$'G�������&Rk0PK$'�����w��� $'��)n��&*���!� �!G�)R��&��8������!�uc�.'G�&(�m·�[#�UTiG�)d����)*�K�d��T��mEo$'� �Z� � á�����)*GS�0PK�!�K�Z�*� kY"��-&�"%&*$'/�� �������!�3��5l9{Ð��T��K&*��4�PK$'/0E���&*�o�DÅ���[���0��$����K�B�*T��-�m��T�� )�P<T�$��!P��@E��!�,k���������� /0Eo$'&(�����2��&*$'� �p�!�B�*T��0��P�PKG�&���P3kf$�"���T��"���&plW$'G�������&Rk�&*��)(G�� �*) � )*�K�j)(��P3���!$��xÁ�[w² �3[?�UT��K&*��4��O�zT�������$fG�)*� ����! 9 Å   [MOG��e"%$�&@�*T��jc�&()(�0c�X'�zk'���-&*)e�*T��t$'ES���!/0���U�Ih��K&*PK�!)*�jlW$�G�������&Rk?�!)pXS� &(�*G����!�wkF��T��)���/@�N"%$'&m���!�¤)(��� ��PK�*�!$'��)m$-"��*T��e�-&(���wc�P��!���6lo$'G�������&(k������~��TZG�)��JT����B���@�!$i$'A`�-�)*T�$'&R�]/0�-��G�&*� �*�!�K)d$����>P����tG�)(� ����! 9�·   [�³�$'&d�0���K)(���J� ��T Øo�#" ²�Ð �%$ ����.'$���j/0�8hS�!/�G�/ ��� VW��&(����PK�elo�K�=��������·   ������Å   $�"��*T��@$'&*���K&e²,Ð �%$ �JT�� P<TF�!)���T���3hSEW�KPK�*������PKP�G�&*��PKk � )*�K�m)(��P3���!$��t·�[ÂÁZ�I[

Êp�'& �Q°³ Î%°�³)( ²�Ó �+*û±/²�°�å�Z�-,/./�w�F¯w°®[�0� � ��³ Î���������Y��$ � T���X��e��T��eE�&*$'l��!��/ñ$�"Oc������ ��.t��T��Y�!�2���K&*)(��PK�*�!$'��EW$'� �2�>$�"J$�G�&>)($'�!G��*�!$'�5 ß3àEá �-���f�*T��p�3hS��&(P�� )*�@E�&*� P���[p�UT�� )�����)(P�&*� lW�K)m�*T��p$'E��*�!/0���6�Ih��K&*PK�!)*�@lo$'G������-&(k'[

À

Page 11: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

º ß�»6ÚtÙ#ÕJÞ#¼�½]Ø�Ô#ÕdÞ#¼6Þbß�¾ ÖUÝ àÀ¿�ÙU½�ÚjÙnÕJÞ#¼�½]ß ÔR»Uà

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20option pricecontract function

Discrete Stockprice ∆s

sa s

b si

³6�!.'G�&*�OÁX·|�UT��UEo$'� �Z�¤$�"��!�2���K&*)(��PK�*�!$'� �3µ � )¤P<T�$')(���0��) � �O$�& �21 ����Eo�������!��.�$�"��JT�� P<T$'����.'�wX'�K)¤��T���)(/e�-�!�!�K)(�43D5Lß3àEá ��� �¸� �'  � � � � 3Ä[|�B��)*�K����T��8�¤��T��O$'&*���K&¤$�"o��PKP�G�&*��PKk�!) üu�'Øo� �U)(�!��PK� � �]����� �51 P��-�j���wV��K&�"%&*$'/ �3µ �J�w��Tz�-�J/@$')(� Øo�76 ±

æ

Page 12: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

º ß�»6ÚtÙ#ÕJÞ#¼�½]Ø�Ô#ÕdÞ#¼6Þbß�¾ ÖUÝ àÀ¿�ÙU½�ÚjÙnÕJÞ#¼�½]ß ÔR»Uà

���J��$���T��!)#l2kN)(����&(�*�!��.��-�n��Eo$'�!�2� � 7p �3µ [|�UT��!)#�!)gEo$')()*�!l��!�U)*� ��P������dAi��$ ����T��8���T��N$'ES���!/0�����3hS��&(P�� )*�Nlo$'G������-&(k'4�5 7:9<; ¶ä  [m��"s���K&^��T��!)^���N���-�*P<T�"%$'&��YP<T�����.'��!��)*� .'��$�"g5Lß3àEá ��� ��� �'  � � � � �JT��!� �])(�*��E2�J�!)(������P�&(����)(�!��. � l2k Øo� [�^��Xi�!��.t"%$�G������*T��!)K4|���YP�$'/@E���&(�83q5 ß3àEá ��� � � ��  � � � � 3W"%$�&m�*T��YEo$'�!�2��)mlo�K"%$'&(����21 �@�-���Ò�-"s�*��& ��� ���N�*T��tP<T��-��.'�t$-"�)*� .'��[ �UT��`Eo$'� �Z�p�*T��-�0.'� X���)0�*T��t)(/e�-�!�!�K)(���l�)*$��!G��*�m��� VW��&*�K��P��m�!)UP<T�$')*�K�`��)J��T���Eo$'�!�2�J$�"|�!�2�*��&*)(��P3���!$���[�Qi����c�.'G�&(�mÁ�[n�UT�����O�N)(�K� � 7n9 �21 ��)�)(����&(�]X-��� G���"%$�&d�*T���P�$�/0E��-&*�!)($'�t� �t��T��>���IhS���w���K&��-�*�!$'��4�)(�!��PK��O�B��)*)(G�/@�`��T��-�u�*T��~$'E��*�!/0�����IhS��&*PK�!)(�Blo$'G�������&(kx�!)���P�$'�2X��3hy"%G���P3��� $'��[ � �&*���-)*$'���-l��!�z��)()*G�/@E���� $'��4nT������ �plo�������J&*$���.f���j��$'G�� ����$��Nc����x�fP<T��-��.'�z$�")*�!.���)O� �@�*T��^���Ihi�U� �*��&��8���!$���[ ���UT��!)�E�&*$iP��K��G�&(�^�!)nEo��&("%$�&*/@���e&(��Eo���-�*�����wk@G��2���!�����&*���-P<Tt$'G�&U����)*� &*�K�j)R�<��&R�����-���-[

Êp�:9 ÔS¯a¯w� �F��¯��ø��ÒQ²�Ó �ϳn���Í�w��°¯a�Z�H�å��²�Ó �pÎ����AZ��$,�Ü��T��-�t��T��?_O&*����A'Hbad�!P<T�$'� )*$'� )*P<T��K/0��T���)`��� $'&*����&�$�"@��PKP�G�&*��PKk $�"ü���ØH� � {PØÚ7 � �I[#MOG��U��T���P�$'/@E���&(�!)*$��Y"%G���PK�*�!$'�uG�)*������$�c����z�*T���$'E��*�!/0���o�3hS��&(P��!)(�lW$'G�������&Rk~.'� X���)m&*�!)(�N��$j���B$-��T��K&��K&*&*$�&m� ����T��0��)*)(�K�>)*E���PK�0$-"U�-�m/@$')(�@² 6 ± ØH� [�UT��!)�� ������)]�*$��Y��$������6$'&(����&�$-"O�-P�P�G�&���P3k�$�" ü���ØH� � { Ø-7 � � >­ü���ØH� �I[>�^���~�*TZG�)$'G�&#/0�3��T�$i�N"%$'&¤c������!��.���T��J$'ES���!/0���S�3hS��&(P��!)(��lo$'G�������&(k�T���)g��T��d��PKP�G�&*��PKk � ² { ± �

Êp�!; ªl�B�FÒE�����å�Z³ ¯a�����T���X'�mP�$�/0E�� �!�K�u$'G�&JP�$i���]�J� �*Tz�*T���P�$'/@/0�����<>=@?BA>C�D�EGF�HIAJ<�E>K7LMAJN�L�EJO@P�HQL>RQSUTVL%O>E�WQXUT7SYKIAJN�E�O�Z5[>RJ\�=G]^<U_JTJHQD�EVF�Ha`b<�=@?dc�JT���&(�m�*T��fe���. A�N�EJO�Z5[�RJ\>=G] �!)�"%$'&JÆ�Á8H=l��w��P�$i�����J� �*T�T��!.'T���&J��PKP�G�&*��PKk�[n�UT��ge���.A�<�E>K7L �!)J�p/e�-P�&*$��*T��-�d�3hSE��-����)J��$A�N�h@iIAJNJX�E�j%R>T@C%ZJE�TkAJN�\>H�Z7L�CGO%R@l�H>KBAJNJX>O�HJ<�HQLmZ5[>R%EGS�L�C�cnHJN�XUT�_�Z%_7LoA�<A�<�K%_�F%XmTJH�R%pqAJ<�DmKGR�l�H�KBAJ<�L%O�EQX>R�Z�C5F%FmC7DrAJN�T>_2]�Fs_JTkA�N�T�_2]�FYC7X%LA�j�E�T�_7P�D^A�N@j�HGX�HQD�j�����y�����-l��!�K)��*T���P�$�/0E�� �!�K&0��$�G�)*����T���T��!.'T��K)(��� �KX'�K��$�"m$'E��*�!/@�!¼��8���!$��Ò����� �*$&*���-&*&��-��.'�e�*T��YP�$i���-[fè�����-)N�3hS��PKG����K��$'��$����Y)*�K&*�!����E�&*$iP���)()*$'&N$����`/e�-P<T��!����J� ��Tf²,Æ-t�My$-"¤�J�fuB[

Å

Page 13: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

v ÖUÔ^à�ÞRÚl½]Ø�Ùdw]ÙnÕ ¼6Þyx�Ùû½]ßn½]Ø�z{xSÞyx| | | | | |×�� ×W; ²�Ð $ ¾f}2²�Ð $²,ÐQ~ æ Û ± � Á�² �²,ÐQ� ²,Å�² � ²,Ð'·'Æ �

�6��l��!�N²¸·nr6hS��P�GS���!$��z�*�!/@��)�"%$'&U���wV��K&*�K�Z�JE�&*$'l�� ��/L)(�!¼K��)�[� ��� ¢gç�ï Å�î����z£�ã#æ�ç�¥6£ ÉÜ¡TÅ�î��z¥¤ç�¥

�yT�����)R��G��SkS� ��.��*T��n$'E���� /e�-���3hS�K&*P�� )*��lW$'G�������&Rk'4-���OT��,X��OPK$'��P��K�2��&��8�����>$'�m�*T�&*�K�/e��� ����&*����)3·

²'[U�UT��>E�&*$'Eo��&R���!�K)d"��-&J"%&($'/¶/0�-��G�&(� �=km��� [Â��[���T���lW�KT���XS� $'&d��)J��T����3hSE��!&Rk����-�*�é â � [

± [U�UT��OE�&*$'Eo��&R���!�K)�������&�/0�-��G�&(� �=km�8� [Â��[�T�$,��$'G�&��ZG�/0�K&*� P����2)($'�!G��*�!$'��)�PK$'/@E���&*���$p�3hS� )(��� ��.p/0$i���K�!)U$�"���T��m��)Rki/0E��*$���� P�����lW�KT���XS� $'&U������&J/e�-�*G�&*�w�=k'[

·�[d_OG�&(X��mc��*��� ��.N$�"|$'G�&U�ZG�/@��&(�!P��-��&*�K)*G��w��)���� [Â��[¤��&Rki�!��.��*$pc����z"%G���PK�*�!$'��)U$-"6������z����T��-����E�E�&*$�hS�!/0�-������T���$'E��*�!/0�����IhS��&*PK�!)(��lo$'G�������&(k�[

&J� ª~�F��±D�B�X²�°��B®ÙÒE���ÞÒE�F� � �Í��²�� ��°N²Q��yT����~��T����*�!/@�>��$u/0�-�*G�&*�w�=kj�*������)��*$u�!��c���� �=kz��T��p�^/@��&(�!P�����E�G���$'ES���!$��`P�$'�iHX'��&(.'��)u�*$F��T��*^�ü#@M^�ü#��ÿ�õ�ô�^oÿ[��4����y�^/@��&*� P����xE�G��u$'ES���!$��Ò�J� ��TÒés9 � [ �UT��$'E���� /e�-���3hS�K&*P�� )*�mlW$�G�������&RkY"%$'&U)(G�P<T`���z$'E��*�!$'�u� )UAZ��$,�J�j��$plo�H�¿À��

ú���=9 ± �  ± � > � � Û � Å2�

���`Eo��&R"%$'&*/@���x)*�wh����K)(�*)Y�J� ��T���T����-&(���wc�P��!���JlW$�G�������&RkÒ�8�Y���wV��K&*���2�eEW$')(� �*�!$'��)��� á����%9��   4G�p9v· { Æ {�Û3Û�Û ²Læ'�W��$d)*���#�w"S�*T��!)�T��-�>���2k�� /0E���PK��$����*T��#P�$'�2X���&*.�����PK��[�UT��Y&*�K)*G��w��)�P����Flo�@)*���K���!�f�<��l�� � ± [z�UT�&*$'G�.�T�$'G�����T��K)*�e�*��)(�*)>��T��e�ZG�/�lo��&�$�")*E���PK��)R���KE�)d����&(��PK$'��)R�<���2����������TZG�) Øo� �!��P�&*����)*�K�t� �u)*�!¼K��[����P����`)(���>�*T��-�^��)����>� ��P�&(����)(����"%$'&J��T��>��&(�*� c�PK�:����lo$'G�������&(ku����.'�3���0lo�K�(���K&P�$'�2X'�K&*.'�K��P�����$,���-&*��)U��T��mEo��&(EW�3��G��-��E�G���^)¤/@���2��� $'���K�>�!��·�[Ä·J��T��O��P�PKG�&��-PKk�$-"�$'G�&|)*$'� G���� $'������Eo�������K�p$'�>�JT��K&*�O����P<T�$')(���$z)*�K���*T��@��&(�*� c�PK�:���|lW$'G�������&Rk`P�$������ �*�!$'�~� ������P<Tf���!/@��)R����E�[0�d$,�O�3X'��&K4|�*T��!)��!)$'��� k��JT����x�*T������!/@�Y��$B/e�8��G�&(� �=k�éä� 7 Â}Á�·j� �p� )@��$��eG��Z�*�!���*T����?��T��-�@��T��)*$'� G���� $'��)U)(����&(�U�*$0��� VW��&�[

²�Ð

Page 14: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

v ÖUÔ^à�ÞRÚl½]Ø�Ùdw]ÙnÕ ¼6Þyx�Ùû½]ßn½]Ø�z{xSÞyx� · Æ Å ² ± ² ¾ ²Læ5 ßuà#áÌ� ú �� Ð�[ÄÅ�Æ'Å2À ÐS[¿ÁZ¾-Æ2À ÐS[Ä·'Ð�Å�² Ð�[¿·�Á2Å�Æ Ð�[ ± Å ± Ð Ð�[ ± æ ± ²

�6��l��!� ± ·]��P�PKG�&���P3k�"%$'&^�*T��NEW�K&*Eo�K�*G����gE�G���4�����Eo�������!��.�$'���JT��K&*�p��T��p�-&(���wc�P��!���lW$'G�������&RkuP�$'����� �*�!$'�u� )d)(�K� � �8� � á�����9k�   �

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 010

12

14

16

18

20

22

24

26

28

Time to maturity

Sto

ck p

rice

c = 3c = 9Perpetual put

³6�!.'G�&*��¾[·6�UT��^�ZG�/@��&*� P�����X-��� G��J$�"��*T��d�^/@��&*� P����@E�G���$'E��*�!$'�p"���&g"%&*$�/ /e�8��G�&(� �=kP�$'/@E���&(������$U��T��¤��T��K$'&*�3���!P�����X-��� G��g$�"Z��T��#Eo��&(EW�3��G�����E�G���"%$'&�PK$'��)(�����2� Ø-7 9 Ð Û Ð�²'[a�$��*�n�*T��O� /0E�&($,X'��/@���2���JT��K�>��T��O��&(�*� c�PK�:����lW$'G�������&Rk � ��T���)R��$iP<AmE�&*�!PK� � á��y����T��8��!/@E��!� ��)_zä9{Ð2���!)U/@$,X'����"%&*$�/L·   ��$@Å   [

�UT��!)¤P�����lo��)*�K���N� �>c�.'G�&(�UÆ�48�JT��!P<TN)(T�$,�J)g��� VW��&(����PK��)¤lo�K�=�����K�Y5 7:9<;�"%$'&6��� VW��&*�K�2�P<T�$'�!PK��)d$�" � á����Z[� ��é�9v5 ß3àEá ��� á��y��9v·   ���?5Lß3àEá ��� á��y��9vÅ   �� � � 9v5 ß3àEá ��� á��y��9vÅ   ���?5Lß3àEá ��� á��y��9�² ±   �� � $ 9v5 ß3àEá ��� á��y��9�² ±   ���?5 ß3àEá ��� á��y� 9 ²Læ   ��UT��e/@�����~"%$'&���T��0���wV��K&*�K��P��-46P�$�/0E��-&*�!��. � á��y�Y�-��·   �����FÅ   4��!����T��@c�&()(��Ák'���-&*)d�!)U�!�u�*T���$'&*���K&J$�"O²�Ð �%$ [

²�²

Page 15: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

v ÖUÔ^à�ÞRÚl½]Ø�Ùdw]ÙnÕ ¼6Þyx�Ùû½]ßn½]Ø�z{xSÞyx

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Time to maturity

e1

e2

e3

³6�!.'G�&*��ÆX·Ñ�UT��Ò���wV��K&*����P��xlo�K�=�����K� $�E���� /e���N�IhS��&*PK�!)(�ÒlW$�G�������&(�!�K)B�J� �*T ��T��lW$'G�������&Rk�P�$'����� �*�!$'��)(�K�@�-�p���wV��K&*�K�Z�@Eo$')*�w��� $'��)�[B�UT��uc�&*)R�Nc�X'��k'����&*)N�*T������ ":H"%��&*�K��P���� ) üu�'Øo� �3[¤�yT��K�uP�$'/@E�G��*�!��.�"%$'&O/0�-��G�&*� �*�!�K)n�!��&*.���&#��T����Yc�X'�]k'����&*)K4���T��P<T�$'�!PK��$�"¤�-&(���wc�P��!����lo$'G�������&(kYlW�KP�$'/@��)J/@$'&*��PK&*� �*�!P���� [

² ±

Page 16: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

v ÖUÔ^à�ÞRÚl½]Ø�Ùdw]ÙnÕ ¼6Þyx�Ùû½]ßn½]Ø�z{xSÞyx

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 010

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

time to maturity

Sto

ck p

rice

c = 3c = 18Perpetual put

³6�!.'G�&*��À[·6�UT��^�ZG�/@��&*� P�����X-��� G��J$�"��*T��d�^/@��&*� P����@E�G���$'E��*�!$'�p"���&g"%&*$�/ /e�8��G�&(� �=kP�$'/@E���&(���~��$u��T��N�*T���$'&(�K�*�!P��-�6X-���!G��N$-"��*T��pEW�K&*Eo�K��G����gE�G���[0³�$'&)�Ú9Ñ· {O{PØo� 9Ð Û Ð�Ð2¾-Á {JØ-7 9 Ð Û Ð�²N�����`"%$'&)��9 ²Læ {�Øo� 9 Å#}i²,Ð � ô {�ØÚ7 9 Ð Û Ð'Ð'Ð�²�[�a�$��*�!PK����T��l��!.p�!/@E�&($ X���/@���2�U�J� �*T�T��!.'T���& : á����>������)*/0���!� ��& ØÚ7

0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 016

18

20

22

24

26

28

30

Time to maturity

Sto

ck p

rice

σ = 0.2σ = 0.3σ = 0.4σ = 0.5

×

³6�!.�G�&*�%æX·gè=/@E���P3�J$'����T���������&RH/e�-�*G�&*�w�=ke)($'�!GS���!$��u$�"|X-��&Rki�!��.N��T���X�$'�:�8���!� � �=k�[&J�M� ª~�F��±D�B�X²�°��B®U³ �w���­�Í��²�� ��°N²Q�a����-&�/0�-��G�&*� �=kt�O�0P�$'/@E���&(�0$'G�&m�ZG�/@��&(�!P����#&*��)(G�� �*)m�J�w��TBAi��$ �J��E�&*$'Eo��&R��� ��)m$�"��T���$'E���� /e�-���3hS��&(P�� )*�^lo$'G�������&(k�[p�DÆ��o)(�<�8����)n��T��8�n�*T��^$�E���� /e�����3hS��&(P��!)(�^lo$'G�������&(k

²�·

Page 17: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

v ÖUÔ^à�ÞRÚl½]Ø�Ùdw]ÙnÕ ¼6Þyx�Ùû½]ßn½]Ø�z{xSÞyx

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10−4

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

Time to maturity

fnum

/b1*

fnum

/b2*

�����s�{���7� ��� 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10−4

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

Time to maturity

fnum

/b1*

fnum

/b2*

���Q�s�{���7� ���³6�!.'G�&*��ÅX·na�G�/0�K&*�!P�����)($'�!G��*�!$'�u��� Xi�!���K��lZku�*T���&*� .'T2��T������SH=)(�!����$�" � ²,Ð'������� � ²'² �"%$'&UP�$'��)(�<�-�Z���*9vÐ Û Á

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10−4

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

Time to maturity

fnum

/b1*

fnum

/b2*

�������f���7� � 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10−4

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

Time to maturity

fnum

/b1*

fnum

/b2*

���Q���f���7� �³6�!.'G�&*��²,ÐX·|a�G�/@��&(�!P�����)*$'� G���� $'�N���wXS� �����@l2kN��T��d&*� .'T2��T��-���SH=)(�!���U$-" � ²�Ð2�g����� � ²'² �"%$'&UP�$'��)(�<�-�Z���%9 Ð Û Ð2¾

ú � � éû� 7 �OT��-)��-�t��)Rki/0E��*$���� P�lW�KT���Xi�!$'&U���K)*PK&*�!lo���zl2k

ú � é � éû� 7 � "y �� ²n���¢¡ �87 �Fé^���!� � éU� 7 � � ²,Ð2�

������&U�*T����3hSE��!&Rku���-�*��[���m��� )*$pG�)*�K�`�N)*� �!.'T2�*� k0/0$'&(����P�PKG�&��8�����3hSE�&(��)*)(�!$'�j.'� X����zl2k~�¿¾ �

ú �� � éU� 7 � "ä  £¤ ²���¥ ± � �,� éû� 7 ��� � ��¦ ±ÆG§ 驨 � � � éU� 7 � 驨 �Qª 驨 �¬«­ Û � ²'² �

²�Á

Page 18: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

v ÖUÔ^à�ÞRÚl½]Ø�Ùdw]ÙnÕ ¼6Þyx�Ùû½]ßn½]Ø�z{xSÞyx�UT���&(��)(G�� �*)dP����zlW��)(�����j�!�uc�.'G�&*��)�Åp�����f²,Ð�[���zP����x���!)($B)(���j�!��c�.'G�&(��)YÅ � �2�H<²,Ð � l�����T��-�Hú �� �!)p/0$�&*��)(����l��!�u�*T����ûú � é [ ³�$'&�Ì9 Ð Û Áu�-���`X-��&(ki�!��.Y�0�*T���&��8���!$�ú �� ��� �O��kS)�)R�<��kjP��!$�)*�>�*$`²'[¿Ð2¾ � �IhSP���ES�m"%$�&���T�����!E��I[�ú � é T�$,�O�3X'��&dX-��&*� ��)d�@� $���4S"%$'&U�R9 Ð Û Ð'·��O�m.'�K�/ú � 颮 ² Û ²��JT��!� ��"%$�&U�R9 Ð Û Ð'À�O�mT���X'�Dú � é ® ² Û Ð ± [è"O���0P<T��-��.'�@� � c�.'G�&(�j²�Ð � l��(�34��*T���ú �� &��-�*�!$�/@$ X���)���$ ® ² Û Ð'·�[Nè�m� )��*TZG�)�)R��� �!�"����!&(� k0&*$'l�G�)(�dP�$'/@E���&(������$oú � é [a�$'���p$�"���T��p&*�-��� $')].'�wX'�@�uEW�K&("%��P3�>&(��)(G�� ��[pMO$���T~X-��&(kt�J� ��T~�u�-���B�������f��$'���$�"|�*T���/Î.'� X��]��T����Ih��-PK�d&��-�*�!$N$�"�²'[nÃ]����� �Z�*��&(��)(�*�!��.p��$-�����!)��*T��-�nú � é X��-&*�!�K)J���!$��/0$'&(�]��T��-�*ú �� [g�UT�� )d� )U�3hSEo��PK�*���`)(�!��PK�Rú �� �!)J�N/@$'&*���-P�P�G�&��-�*�m����)*PK&*� E���� $'��[

&J��Ê �Ì� ��¯��q° ²;²F°³)(å� Ò©²FÓ �ϳp���Í�B��°�¯a�Z�H®[����/²�°� ³QS�!��PK���*T���&(���!)d��$u������� kZ��� P������IhSE�&*�K)*)*� $'�`"%$'&J��T��>$'E���� /e�-���3hS��&(P�� )*�Nlo$'G������-&(k'4o� ��!)U$�"��!�2�*��&*�K)(�J��$�c����t�>"%G���PK�*�!$'�u��T��-�d��E�E�&($�h�� /e�8����)O� ��[6è=�j$'G�&U�������wki)*�!)K4������*&(k��$pc����z)*G�P<Tz"%G���PK�*�!$'��)��JT����z���!/@�^�*$@/0�-�*G�&*�w�=k²±7 9 éû� 7�¶ Ð Û ¾S[

0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 024

25

26

27

28

29

30

Time to maturity

Sto

ck p

rice

³6�!.'G�&*��²'²¸·��UT��@$'E��*�!/0���6�Ih��K&*PK�!)*�0lW$�G�������&Rk`��T��0�!��)(�mÆ�/0$��Z�*T�)�lW�3"%$'&*�@�3hSE�� &(k� �=9 Ð Û ± Á�4#�~9 Ð Û Ð2¾'�I[�ad����&�/0�-�*G�&*�w�=k'4¤��T��u)*�!$�EW�Y$-"��*T��ulW$�G�������&Rk��*������)N�*$�!��c���� �=k'4S�JT��!P<Tz/e�-A���)d� ����� �@P�G�� �U��$Nc����N)*� /0E��!�^"%G���PK��� $'�u��$N��T��m���-�<��[

�����$�"|��T���/@$'&*��PK$'/0E��!�!P��-���K�uE�&*$�EW�K&(��� ��)J$�"|��T���$'E��*�!/0�����Ih��K&*PK�!)*�mlo$'G������-&(k��!)��T��-�U�*T������ /0�]����&*�wX-�-���wX'�]$�"���T��m$�E���� /e���o�3hS�K&*P�� )*�mlW$�G�������&RkY.'$i��)U�*$N�!��c���� �=ku�-)

²,¾

Page 19: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

v ÖUÔ^à�ÞRÚl½]Ø�Ùdw]ÙnÕ ¼6Þyx�Ùû½]ßn½]Ø�z{xSÞyx

0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

Time to maturity

³6�!.'G�&*�@² ± ·��UT��>$'E���� /e�-���3hS��&(P��!)(��lo$'G������-&(k��J� �*Tt��T��>�������wkZ���!P�������)RkS/@E��*$���� P����lW$'G�������&RkTú � é )*G�l���&*��PK�*��� � �|9�Ð Û ± Á�4W�-9 Ð Û Ð2¾'�I[�� EW$'�wki��$'/@�:����$�"¤)*$'/@�>���K.'&*�K�P����zlW��c��(���K�z�*$p�*T��!)J���8�<��[

��T��#�3hSE�� &(k����-���n��E�E�&*$2��P<T���) � )(���#c�.'G�&(�U²'² �3[���$���X�$'�!����T�� )�E�&*$�l��!�K/j4����#)*G�l��*&���P3���T���)*� /0E��!��&���)(ki/@E���$��*�!P��Ih�E�&*��)()*� $'� � ²,Ð2��"%&*$�/Î$'G�&J�ZG�/@��&(�!P��-��)*$'� G���� $'��·±5 ßuà#á 9 5 ßuà#á]� ú � é�����x�*T��t&(��)*G�� ��� ��.fP�G�&RX'�`� )e)*T�$ �J�x�!��c�.'G�&*�B² ± [y�UT��j&*���-)*$'�Ò$-"�P<T�$i$')*� ��.Ìú � é�!��)R�����-�N$�"�ú �� �!)���T��-�fú � é �!)¤�-� �O�,ki)¤&(����� HX-��� G�������G�&*� ��.��*T����!��)(��k'����&¤lo�K"%$'&(���3hSE�� &(k'[ú �� � )>&(����� HX-���!G����B"%$�&�� �Z�*��&RX��-�!)��*T��-�>����Eo������$��F� �������z�������!)��*T���&(�K"%$'&(�e��$-�E�&���P3��� P������JT����tPK$'/@E���&*� ��.N&*�K)*G��w��)U�J� �*TuX��-&(ki�!��.pE��-&���/@�K�*��&*)K[���JP��-�0)(���J�!�Nc�.'G�&*��² ± ��T��-�g��T�� )gP�G�&RX'�d�!$i$'AZ)g/�G�P<T@)*� /0E�� ��&���T����p��T��dE�&*�KXi� $'G�)�[è��P����zlW��c��(�����z�!�z�N�!����)(�J)(�ZG���&*�K)�)(����)(���*$@)($'/@��EW$'�wki��$'/@�:����[Ã�G�&^�!�����e� )d�*$ec�&*)R��G�)(��EW$�� ki��$'/@�:��� )U�!�³±7 ��$u��E�E�&*$�hS�!/0�-������T���P�G�&RX'�K)]"%$'&�����P<T�¤[#ê�)(�!��.>�*T��!)���E�E�&($,hS� /e�-�*�!$'�p���]P�$'/>l��!������T��K)*�]Eo$'� ki��$�/0�!���!)#�!�2�*$N�>���3�vEo$'�wkZH��$'/@�:���o�J� ��T��WH����Eo���������2��P�$i�K�@P�� ���2��)K4o��[¿�-[#���z�3hSE�&*�K)*)(�!$'�j$'�u��T���"%$'&(/´ ß � ��� ±7 ß > ´ ß � é � ��� ±7 ß � é >ÞÛ3Û�ÛL> ´ é � ��� ±7�> ´�µ � ��� Û � ² ± �

�UT��YP�$i�K�@PK�!���2�*)>P��-��lo�e�3hSE�&(��)()*���?��)mEo$'� ki��$'/@�:�-�!)]� ���Ò�-)�)(������� �fc�.'G�&*�j²,·�[�UT��!)J.'�wX'��)JG�)d�p.'������&��-���3hSE�&*�K)*)(�!$'��"%$'& ´ µ 4 Ü 9 Ð {3Û�Û�Û3{ ×´ µb� ����9Þ<wá�� á > <aá � éR� á � é >ÞÛ�Û�ÛL> <féb� > < µ � ²,·2�

²�Æ

Page 20: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

v ÖUÔ^à�ÞRÚl½]Ø�Ùdw]ÙnÕ ¼6Þyx�Ùû½]ßn½]Ø�z{xSÞyx

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7−5

0

5

10

15

σ0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

−15

−10

−5

0

σ

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.72

4

6

8

10

12

14

σ0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

−5

−4

−3

−2

−1

σ

³6�!.'G�&*��²,·[·g�UT���P�$i�K�@P�� ���2��)U$�"|Eo$'� ki��$'/@�:�-�!)n$�"�����.'&(������T�&*����E��!$��(�������-.2���!��)(�U�¤[�UT��^Eo$'�!�2�*)nP����@lW�d����)(P�&(�!lo���0�J�w��T@.'$i$S�pE�&(��P�� )*� $'�0G�)*�!��.�Eo$'� ki��$�/0�!���!)|$�"����K.'&*�K��=�O$�[

�JT���&(��< µ 4 Ü 9 Ð {3Û�Û�Û#{·¶ ��&(��P�$'��)(�<�-�Z�*)�[���>X-��&Rkt��� �t��T����!�2���K&(X-���|Ð Û ± ¶ � ¶ Ð Û Æe�JT�� �!�mA��K��E�� ��.z���!��$��*T���&]E���&���/@�K�*��&()P�$'��)R�<���2��4��J�w��TuéS9vÐ Û ¾>k�����&()^�����z�R9{Ð Û Ð2¾S[#³�$'&U���-P<Tj�����mc������Q×�H��T����K.'&*�K�EW$'�wki��$'/@�:������$ ±5Lß3àEá �����~.'�3�%× > ²pP�$i�K�@P�� ���2��)K[N�UT����~���pc��m��� ¶ H��T~���K.'&*�K�EW$'�wki��$'/@�:�����!���F�*$�����P<T~$�"#��T���)*�O×FPK$S�3�@P��!�K�2��)�4�&(��)*G�� ��� ��.u�!�`�e��$������6$�"�׸} ¶P�$i�K�@P�� ���2��)K[����j�Ih��-/0E�� ���!)U.'�wX'�K�j� ������l�� ��¾�^)]P�����lW��)*�K���~�!�z�<��l�� ��)^·Y�����`Á�4W��T��N��P�PKG�&��-PKkj�!)^$���� kz)*� �!.'T2�*� ku� /0E�&($,X'���tlZkP<T�$S$�)*�!��.@�*T�������.'&(����$�"���T���Eo$'� ki��$�/0�!���!)��!� ´ � 4 �K�U�����lú {�� 4 1 ��T��!.�T���&��*T���� ± [���m��$,� ��&RkY��T���)*��/0��)R��&��8����.-ku�JT����jT�$'�!���!��.N�BP�$'��)R�<���2�^������X-��&(ki�!��.@�i[n�UT���3hSE�&*�K)*)(�!$'�z�O����&*��� $S$�Ai� ��.�"%$'&U� )U)*�!/@�!�!��&#��$ � ²�Á2�34¹ �(7 ��9Þú ß � ��� ±7 ß > ú ß � é � �'� ±7 ß � é >ÞÛ3Û�Û > ú3é � �'� ±7a> ú µ � �'� Û � ²�ÁZ�

³6�!&()(�u���fc����vEo$'� ki��$�/0�!���!)@�!�^±7 4��JT��!P<T{.'� X���)�G�)z���{��&*&($'&uP�$�/0E��-&���l�� �`�J� �*T��T��`c�&()(�uEo$'�wkS��$'/0�!���J��E�E�&*$�hS�!/0�-��� $'�Ò��lo$,X'�`� �Ò��T��t�WH=P���)*�-[ �yT����Ò��&Rki�!��.F�*$c����Y��T��]P�$i�K�@P�� ���2�U"%G���P3��� $'��)_ú µN{�Ü 9{Ð {�Û�Û3Û3{ ×|4S���^c����Y�*T��-���*T��Kke��&*�^T���&*����&O�*$��E�E�&($,hS� /e�-�*���*T����@��lo$ X�� � )(���Uc�.'G�&*�]² ¾ � �2�(�3[�è"o�*T���)(�UX��-�!G��K)g��&*�O�!��)R�����-�NE��!$��(���K���.2��� ��)(�|�!�U�i4�)(���Oc�.�G�&*��² ¾ � l��34-����)(���O�*T��-�6�*T��OPK$S�3�@P��!�K�2��)¤P�����lo����E�E�&*$�hS�!/0�-���K��J� ��TzEo$'� ki��$'/@�:�-�!)n�!���!�U�i4�� [Â��[ú µ=�*� �!�U���*��9Bº�á � � �U�'� á > º�á � é � �!�U��� á � é >SÛ�Û�ÛL> ºÝé � � �U�'� > º µ � ² ¾'�

²,À

Page 21: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

v ÖUÔ^à�ÞRÚl½]Ø�Ùdw]ÙnÕ ¼6Þyx�Ùû½]ßn½]Ø�z{xSÞyx| | | | | |4 9 4 � ² ± · Á ¾ Ʋ ÐS[ ± Á�²Læ Ð�[w² À ± Å Ð�[w² À�·�Á Ð�[w² À�·'· Ð�[w² À�·'· Ð�[w² À�·'·± ÐS[ ± Ð'À'¾ Ð�[w² À-Á¸æ Ð�[w² À-Á ± Ð�[w² À-Á ± Ð�[w² À-Á ± Ð�[w² À-Á ±· ÐS[ ² Ài² À Ð�[w²,·'Æ�· Ð�[w²,·2¾�Å Ð�[w²,·2¾�æ Ð�[w²,·2¾�Å Ð�[w²,·2¾�ÅÁ ÐS[ ²,Æ ± Á Ð�[w²'²'²,À Ð�[w²'²'²,· Ð�[w²'²'²,· Ð�[w²'²'²,· Ð�[w²'²'²,·¾ ÐS[ ²�Á'Å�Á Ð�[¿Ð'Å�²�Æ Ð�[¿Ð'Å�²,· Ð�[¿Ð'Å�²,· Ð�[¿Ð'Å�²,· Ð�[¿Ð'Å�²,·Æ ÐS[ ²�Á2¾'¾ Ð�[¿Ð2À�Æ ± Ð�[¿Ð2À�Æ'Ð Ð�[¿Ð2À�Æ'Ð Ð�[¿Ð2À�Æ'Ð Ð�[¿Ð2À�Æ'ÐÀ ÐS[ ²,·�Å�Á Ð�[¿Ð'Æ�Á�² Ð�[¿Ð'Æ'·'Å Ð�[¿Ð'Æ'·'Å Ð�[¿Ð'Æ'·'Å Ð�[¿Ð'Æ'·'Åæ ÐS[ ²,·'À'À Ð�[¿Ð2¾-Á�Á Ð�[¿Ð2¾-Á ± Ð�[¿Ð2¾-Á ± Ð�[¿Ð2¾-Á ± Ð�[¿Ð2¾-Á ±Å ÐS[ ²,·-Á}æ Ð�[¿Ð�Á2Æ'À Ð�[¿Ð�Á2Æ'Æ Ð�[¿Ð�Á2Æ'Æ Ð�[¿Ð�Á2Æ'Æ Ð�[¿Ð�Á2Æ'Ʋ,Ð ÐS[ ²,·-Á'Á Ð�[¿Ð�Á2Ð'¾ Ð�[¿Ð�Á2Ð'· Ð�[¿Ð�Á2Ð'· Ð�[¿Ð�Á2Ð'· Ð�[¿Ð�Á2Ð'·

�6��l��!�u·X·erg&*&*$�&*)N�!�F�*T��Yc��(���!��.`$�" ±5 ßuà#á �J� �*T�EW$'�wki��$'/@�:��� )m$-"dX-��&(�!$'G�)�����.�&*���K)� 4 9 9{����."� ¹ �87 �N� { 4 �p9v���K.C� ´ � �����:�3[| | | | | |4 9 4 1 ² ± · Á ¾ Æ

² ÐS[ ¾'À-Ð'Æ Ð�[ľ'¾�æ�· Ð�[ľ'¾'À ± Ð�[ľ'¾'À�Ð Ð�[ľ'¾'ÀS² Ð�[ľ'¾'ÀS²± ÐS[ ± Å�Æ2¾ Ð�[ ± æ'Å�Æ Ð�[ ± æ'Å'· Ð�[ ± æ'Å'· Ð�[ ± æ'Å'· Ð�[ ± æ'Å'·· ÐS[ ± ²�Ð�² Ð�[ ± Ð�²�Á Ð�[ ± Ð�² ± Ð�[ ± Ð�² ± Ð�[ ± Ð�² ± Ð�[ ± Ð�² ±Á ÐS[ ²,Æ�Ð�² Ð�[w² ¾�Ð'¾ Ð�[w² ¾�Ð�Á Ð�[w² ¾�Ð�Á Ð�[w² ¾�Ð�Á Ð�[w² ¾�Ð�Á¾ ÐS[ ²,·�·2¾ Ð�[w²'²,ÅS² Ð�[w²'²,Å'Ð Ð�[w²'²,Å'Ð Ð�[w²'²,Å'Ð Ð�[w²'²,Å'ÐÆ ÐS[ ²'²�Á2· Ð�[¿Ð'Å2À-Æ Ð�[¿Ð'Å2À'¾ Ð�[¿Ð'Å2À'¾ Ð�[¿Ð'Å2À'¾ Ð�[¿Ð'Å2À'¾À ÐS[ ²,ÐS²,Å Ð�[¿Ð¸æ ±�± Ð�[¿Ð¸æ ±'± Ð�[¿Ð¸æ ±'± Ð�[¿Ð¸æ ±'± Ð�[¿Ð¸æ ±'±æ ÐS[ÄÐ'ÅS²,Å Ð�[¿Ð2À�Ð'À Ð�[¿Ð2À�Ð'Æ Ð�[¿Ð2À�Ð'Æ Ð�[¿Ð2À�Ð'Æ Ð�[¿Ð2À�Ð'ÆÅ ÐS[Äиæ-Á2Å Ð�[¿Ð'Æ�²�æ Ð�[¿Ð'Æ�² À Ð�[¿Ð'Æ�² À Ð�[¿Ð'Æ�² À Ð�[¿Ð'Æ�² À²,Ð ÐS[ÄÐ2À�æ¸æ Ð�[¿Ð2¾-Á'Å Ð�[¿Ð2¾-Á2Æ Ð�[¿Ð2¾-Á2Æ Ð�[¿Ð2¾-Á2Æ Ð�[¿Ð2¾-Á2Æ

�6��l��!�YÁ�·erg&*&*$�&*)N�!�F�*T��Yc��(���!��.`$�" ±5 ßuà#á �J� �*T�EW$'�wki��$'/@�:��� )m$-"dX-��&(�!$'G�)�����.�&*���K)� 4 9 9{����."� ¹ �87 �N� { 4 1 9y����."�çú � �����:�3[

�JT���&(�#º µ�{/Ü 9vÐ {�Û�Û�Ûu{·¶ �-&*��P�$'��)(�<�-�Z�*)�[³�$�&#�]�iG�/�lW�K&#$�"�PK$'��)R�<���2�n��»Â)¤���JX-��&Rk��¤4ZPK&*���8���!��.���/@��)(Tp$ X���&g��T��d�����WHE��:�-����[���dP����@��T��K�eEo��&R"%$'&*/ �*T��Jc�&*)R�O)R����E0$�"�$�G�&#EW$'�wki��$'/@�:������E�E�&($,hS� /e�-�*�!$'��"%$�&n����P<T$�"���T���PK$'/�l�� ���-��� $'��)�$�"��~�������S[6�UT��m��E�E�&($,hS� /e�-�*�!$'��)�P�����lW�]G�)*������$N)(����T�$,���T���EW$'�wki��$'/@�:���SP�$i�K�@P�� ���2��)�����Eo�����e$'�e$'G�&n�=��$�X-��&(�:��l�� ��)K[6è=�0c�.'G�&*��Á�[¿·����^P����)*���@���~�Ih��-/0E�� �N$�"#��T��NPK$S�3�@P��!�K�2��)(G�&("��-P���)�$'lS�<��� ������� �~�*T��!)^�3hSEW�K&*� /0�K�Z��"%$�&����T�� &*������.�&*������E�E�&*$�hS�!/0�-��� $'��[

²�æ

Page 22: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

v ÖUÔ^à�ÞRÚl½]Ø�Ùdw]ÙnÕ ¼6Þyx�Ùû½]ßn½]Ø�z{xSÞyx

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.650

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

σ

error in first fiterror in second fit������¼U½!½©¾�½m¿�¾�½�À¬� ½!Á�ÂÄÃ7ÅÆ� 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

r

error for first fiterror for second fit���G��¼U½!½©¾�½m¿�¾�½�À¬� ½!Á�ÂÄÃ7ÅÆ�

³6�!.'G�&*��²�Á�·�rg&(&*$'&�"%$'&��*T���EW$�� ki��$'/@�:���#c��(���!��.')��J� �*T�X-��&(�!�K�?�{�������i[�è=�?�*T��!)�3h���/@E��!�]����G�)*� 4 9J9{����."� ¹ �87 ���"9{· { ����."� ´ � ���N�"9v����.C�çú � �����"9 ±

0 0.05 0.1 0.15 0.2−30

−20

−10

0

10

20

30

r0 0.05 0.1 0.15 0.2

−15

−10

−5

0

5

10

r

0 0.05 0.1 0.15 0.20

2

4

6

8

10

r0 0.05 0.1 0.15 0.2

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

r�����−5 −4 −3 −2 −1

−30

−20

−10

0

10

20

30

ln(r)−5 −4 −3 −2 −1

−15

−10

−5

0

5

10

ln(r)

−5 −4 −3 −2 −10

2

4

6

8

10

ln(r)−5 −4 −3 −2 −1

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

ln(r)���G�³6�!.'G�&*�e²,¾[·U�UT���PK$S�3�0PK�!�K�Z�*)]$�"#Eo$'� ki��$�/0�!���!)U$�"#����.'&(���>�*T�&*�K��E��!$-�*���K�`��.'���!��)R�]�� c�.'G�&*� � �2�(���������!� � ��� � c�.�G�&*� � l��*�I[��UT���EW$'� �2��)N�!� � l��>P��-��lo�u����)(P�&(�!lo���?lZkEW$'�wki��$'/@�:��� )O$�"|����.�&*�����=��$�[

< � <fé < µ´ $ H ± ·�[ æ�ÁZÀ-Å Æ�²'[¿·�Á2ÐS² H<²�Á�[Ä·�æ�²�Á´ � Hb·�[ÂÁ2Ð�Á�² H=· ± [ÄÀ ± ·�Á ¾S[ÄÀ ± æ�Á´ é H<²Læ�[ľ�Æ'·�æ ·'Æ�[¿Å'·�²�Ð H ± [ À�æ ± ·´�µ ² ± [ ¾�æ¸æ'· H�²Læ�[ÂÁ2Å'Æ'· ²'[¿Å'Æ'Ð'Å�|��l�� �m¾[·n_O$i�K�@P�� ���2��)J"%$'&J�NEW$�� ki��$'/@�:����[

²�Å

Page 23: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

v ÖUÔ^à�ÞRÚl½]Ø�Ùdw]ÙnÕ ¼6Þyx�Ùû½]ßn½]Ø�z{xSÞyx

0

0.05

0.1

0

0.5

1−100

−50

0

50

rσ 00.05

0.1

00.5

1−50

0

50

100

00.05

0.1

0

0.5

1−40

−20

0

20

rσ 00.05

0.1

0

0.5

1−2

−1

0

1

³6�!.'G�&*�N²,ÆX·g�UT��mPK$S�3�@P��!�K�2��)d$�"¤�N��T��!&*�u����.'&(���mEW$'�wki��$'/@�:���o�!�DZ7 �J� ��Tz&*�K)*Eo��P3���*$��T��K�!&�X-���!G���)J$�"|�������z�i[

± Ð

Page 24: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

È Û]Þyx�¼�»�x�xSÞ3ÖUßÉ ð ç�¥¤æ�å�¥6¥¤ç��@¡

���]����&(����l��!����$N�!�2X���)(�*�!.2�8������� $���$�"�� �Z�*��&(��)(�*�!��.�"%���-�*G�&*�K)U$�"���T�����/0�K&*�!P����YE�GS�$'E���� $'��[��UT�$'G�.�T���T���E�&*$8C(�KPK�g��������� �!���n)*�3�#�^� �!/@� ���*$]T�$,�������KEN�!�2��$^����P<T�)(G�liC(�KPK��O�m�O�K&*�N��l��!����$e�������wkS¼K��[��UT��>P�$���P�� G�)*� $'��)J�O�����!�j/e��A-�>�-&*�m���!)(P�G�)()*���t�!�j�*T��!)P<T���E��*��&�[

9�� � ���UÒ#�F� � �å��²�� ��°N²Q��UT��~/0$')R���!�2���K&*�K)(��� ��.�&*�K)*G��w���!)e�JT��K&*�~��$�E�G��u�*T��f��&(�*� c�PK�:���dlo$'G������-&(k � á��y�Z[uj$')(�^$'E��*�!$'��)JT���X��>/0�-��G�&(� �*�!��)O$�"#�-�d/@$')(�dT����w"¤�pk'����&�[JQi$eG�)(�!��.p��T���&*�K)*G��w��)d$�")*��P3��� $'�jÁ�[ ²'4�� �U� )U)*G��@P�� ���2�J��$pT���X'� � á���� 9 ·   ��$p.'�K�d�N.'$i$i�j�-P�P�G�&���P3kY"%$'&���T��c�&*)R��Ápk'����&*)J��$p/0�-��G�&*� �=k�[M�kuP�$�/�l��!���!��.N���!��&*.�� � á������J� ��Tz��)(T�$'&(�J�*�!/@�^)(�*��E � �JT�� P<T�$�"�P�$'G�&()*���!��P�&*����)*�K)��T��U�-P�P�G�&���P3k��|���O�JT��K&*�J��l��!���*$].'�3�g��)¤PK�!$')(�U��)6Ð Û Ð'Àd��$�ú �� � )(��� � Å2�*�I[¤M�km"%G�&R��T��K&�!��PK&*���-)*�!��. � á����z����������PK&*���-)*�!��. ØÚ7 ���Y)(T�$'G�� ��lo�Y��l�� �0�*$t.'�3���KX�����P�� $')*�K&��*$��T���Eo��&*Eo�K�*G�����E�GS��[

9��M� ã �w���S�Í��²F� ��°M²J��UT��u���!E��!�F$'G�&�&*�K)*G��w��)�PK$'G��!��lW�Y��G��Y��$��`�ZG�/>lW�K&�$�"J�ZG�/@��&*� P����n��&(&*$'&()�[��B�T���X'�u�z���!)(P�$'�2��� �ZG�$'G�)�����&(� X-�-���wX'�p�!�f��T��@Eo$'�!�2� : 9   �JT��!P<TBP�&(���-�*��)N�zP<T�$SP<A��T��-�dE�&($'E���.'�-���K)���T�&($'G�.'T�$�G��J��T���)*$��!G��*�!$'��[³�$�&(��G����-���K� k�4i�*T��^E�&($'Eo��&(�*�!�K)O$�"��*T��^��� VW��&*�K�2���:�-�o�K�ZG��-��� $'�Y� �0��T���$'&(��/ ± [ ± �!)#��T��8�$�"W����� VWG�)*� $'�����ZG��8���!$��p�JT��!P<TpT���)#�]���-/0Eo����� ��.]�3V��KPK��[¤�B����TZG�)g.��K�#��� )*)*� E��-�*� X'��iG����!�w���!�K)¤�!�N$�G�&¤�ZG�/@��&*� P�����)*P<T��K/0�d�������*T��U��T��UP<T�$SP<A>�J� �!�ilW�U)(/0$i$��*T������K�@�-"s���K&��"%�K�{� �*��&*�-��� $'��)�[6µ]G�&*� ��.��*T���c�&*)(��� ���K&��-�*�!$'��)n�*T�$'G�.'T0��T���P<T�$SP<A@�J�!� �oT��,X��]�KVW��P3���������T�� )U/e��ku.'�wX'��&(�!)*���*$p�*T������!E�[

9���Ê �Ì� ��¯��q° ²;²F°³)(QS�!��PK���*T���&(���!)d��$u������� kZ��� P������IhSE�&*�K)*)*� $'�`"%$'&J��T��>$'E���� /e�-���3hS��&(P�� )*�Nlo$'G������-&(k'4o� ��O$'G��!�tlo��X'��&RkzG�)*�3"%G��|�w"|���>PK$'G�� �zc����`���t��E�E�&($,hS� /e�-�*� X����3hSE�&*�K)*)(�!$'�t�*$0�w��4�)*�,k�@�ZG�����&��-�*�!P]"%G���P3��� $'��$�"6�������z�¤4�.'� X�����)*$�/0����&(&*$'&��*$'�!�K&�����P���[

± ²

Page 25: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

È Û]Þyx�¼�»�x�xSÞ3ÖUß

���nT���X'�n��T�� )�"��-&�$���� k�$�l��<��� �����m&*�K)*G��w��)�"%$'&���T��nP��-)*�#�JT�����$����#$�"��*T���E���&���/@�K�*��&()�!)�P�$'��)R�<���2��[¤�^��� �2����&(��)R���!��.^���IhS�6)(�*��E>��$'G�� ��lW�#��$�/e�-A����d/0$�&*�n�!�SH����E��*T>)R��G���k$'�j)(G�&("��-P���)d�!� A��]�*T���$'����)J� ��c�.'G�&*��Á�[¿·���$p.'�K����&*�-����/@$'&*��.'�K����&*����&*�K)*G��w��)K[

±�±

Page 26: Numerical Analysis of the Optimal Exercise Boundary of an ... · Numerical Analysis of the Optimal Exercise ... (ki/0ES $ * !P - ... j13+lk;G(m õ C)l sú õ n& Oü o&

Õ�Ù#ݤÙ#ÕdÙnß�¼¤ÙÊxË £ Ç'£�ãg£�¡�æJ£�¥

� ²3�m��$'/0��)dM�C +$'&*A�[ g @u13�(�'@(õL.iü � ú�ü<û�@E+o�(�ÍÌ�û��F�'�(��ÿ�û8ÿ2ý � �(,eü3[OÃ�hi"%$'&(�jêd��� X���&()*� �=k´ &*�K)*)K4�²�Å'Ÿæ�[� ± �m��$'/}_O$'�!�K/e�-��[�adG�/0�K&*� P�����)*$��!G��*�!$'��$�"gl��:��P<A'H=)(P<T�$'� ��)^�K�ZG��-��� $'��4�²,Å'Å�æ�[ÏÎ���PIH�*G�&*�ea�$��*��)�"%$�&�_UQF¾ ±'± ·N_O$�/0E�GS�<�-�*�!$'���-�g�|$i$'�!)������³uj�K�*T�$i��)>"%$'&�³6�!������P��� QSE�&*� ��.�²,Å'Ÿæ'�34¿µ]��E���&R��/@���2�U$�"¤_O$'/@E�G��*��&�QSP�� ����PK��4W_O$'&(����� ��ê����wX'�K&*)*�w�=k'[�·��ÑÐ�$'���-��T��-�Òt�$i$S��/e����4f�]k'$'G���.-HRQi$S$'AÓuj$i$'��4g��������&()@QS¼��KEW�K)*)Rk'4��d�¢ÔG��n�|�K/pHEo$'���-4Z�����-t���$'&(.'�!$')dÕ�$'G�&*��&*� )�[�QZ��$iP<T���)(�*�!PJ�����NE���&(�*�:���i���wV��K&*���2�*�:���i���ZG��-�*�!$'��)�J�w��TF�-����E��*�����ZG�/@��&(�!PK)�4{Ð'�-�iG���&(k ± Ð'Ð ± [ÖÎ���P3��G�&(�e��$��*��)m"%$'&#ut�-��T���/0�-��� P����uj$i���K�!)�4��^�����wki)*�!)O�����zQS� /�G��!�-��� $'��4 ´ ��&R�Uè*è<4��d$,k'����è=��)R��� �*G����^$�"��|�KP<T���$'� $'.�k'4Qi�*$SP<AZT�$��!/z4�Qi�������K��[�DÁ����d��G��6������.�&*$��������d$,kma�� P�$'�!���!����)�[�³���&�c���� ��lo$'G�������&(k�PK$'�����w���!$���)�"%$'&�MO�:�-P<A2HQSP<T�$'�!�K)d�K�ZG��-��� $'��)K[Où�× gÙØÛÚ GÜ^ÿ;,eü#@3G g �oõ�ô�G!4�·¸æ � ÁZ�#·w²,·2¾'À2Ýo²,·'Ƹæ � �K�!��P3��&($'���!P��34± Ð�Ð'Ð�[�¿¾����d��P<T��K����G�)(A��Y�-���ÍÐ�$')(��E�T�M^[B�����!� ��&K[YÃ]E��*�!/0���¤�3hS�K&*P�� )*�0lW$'G�������&Rk�"%$'&m�����/@��&(�!P����uE�G��d$'E��*�!$'��[ g ^}^oôV� üi) Ø õ��sú�ü#,@õ��'� ö*õ�ôYÞ��(�oõ���ö<ü34�¾[·w²,Ð2À5Ýo²�²,Æ�4o²,Å'Ÿæ�[�ÂÆ���µ���/@�!�K�³Î���/�lo��&R��$'��[�_O&(� �*�!P��-��E�&(�!PK�e"%$'&N������/0�K&*� P����F$�E���� $'�F������&N/e�8��GSH&(� �=k'[oè=��ù�ü#,-�(�oõ�@^û��Yù��bû,ö<ú�õ8ý#��� ö g �oõ�ôV+ ý#�!ýPAß�õ��C)iû�,0ÞZ� ü3ô�)8ýdõ��C) g ^}^oôV� ö*õ���� û���ýI g ý,ö<û��oõ�A m�à�àJáuK84�E��-.'��)d·2¾�·5ÝS·2¾�æ�[�MO�!&(AZT +��G�)(��&�4�MO��)*�K� 4�²,Å'Å'¾S[�¿À��Ñut�-&*��A8ujG�)*�!�K�:�������³ut��&(��A~�JG���A-$ �J)(AZ� [ Ø õ�@#���(�;.2õ�ô!üo,eü#�sú�û3)8ýo�(�vhZ�oõ���ö#��õ�ô,eû3)iü3ôsôV�(�;.�[#QiE�&*� ��.'��&bH\#�K&*�:�-.�4�MO�K&*� �!��4W²,Å'Å2ÀS[��æ��>_^[�\²Ô��¼��ZG��K¼�[O���jG�EZ�J� ���z�iG�/0�K&*�!P�������E�E�&*$2�-P<Tz"%$'&J�-�j��/0�K&*�!P����z�����zrgG�&*$8HEo�����0$'E��*�!$'�@E�&*� P�� ��.�/@$i������[ g ^}^oô�G Ø õ��súXGÊÌ�û�,J^oÿ;�MG!4iÅ2À � ± H=·2�#· ± À�·7Ý ± æ'Æ�4�²�Å'Ÿæ�[�ÂÅ��#Î��whS� �f�BG��-���ÇânG�A'HN��G����Ì�]��$'A�[u� "%&*$'�2�(H c�hS�!��.�c����w���p���wV��K&*����P��e/@�K�*T�$i�"%$'&���T��]X-��� G��-��� $'�Y$�"|��/@��&(�!P����u$'E��*�!$'��)K[ Ú û8ÿ;@#�oõ�ô�û�$ÙÞZ�(�oõ���ö#��õ�ô�ã��;.��(��ü<ü#@E�(�;.�4Æ � ± �#· æ'·7ÝiÅ2ÀS4�²�Å'Å2ÀS[

± ·