Numarul phi si sirul lui Fibonacci

Cuprins

1. Phi si phi – Proportia divinã.

2. Despre numãrul de aur (Phi si phi)

3. Numãrul de aur si Fibonacci 3

4. Reprezentare graficã – dreptunghiuri de aur.

5. Alte siruri care tind la Phi

6. Câteva curiozitãti despre Phi ai phi

7. Anexa nr. 1.

8. Reprezentarea graficã.

9. Anexa nr. 2.

10. Programul sursã C++ ce creeazã reprezentarea graficã (din anexa 1)

11. Anexa nr. 3.

12. Numãrul Phi cu 20.000 de zecimale.

13. Bibliografie.

Despre numãrul de aur (Phi si phi)

Sã începem cu o problemã de esteticã. Sã considerãm un segment de dreaptã. Care este cea mai „plãcutã” împãrtire a acestui segment în douã pãrti ? Unii ar spune cã în douã jumãtãti, altii ar spune cã în proportie de 3:1

Grecii antici au gãsit un rãspuns pe care ei îl considerau corect (teoreticienii îl numesc „simetrie dinamicã”). Dacã pãrtii stângi a segmentului îi atribuim lungimea u=1, atunci partea dreaptã va avea o lungime v=0,618… Despre un segment partitionat astfel spunem cã este împãrtit în Sectiunea (sau Proportia, Diviziunea) de aur (divinã).

Care este justificatia pentru înzestrarea acestei proportii particulare cu un asemenea statut aparte ? Ideea este cã lungimea u reprezintã aceeasi parte din tot segmentul (u+v) cât reprezintã lungimea v din partea u. Cu alte cuvinte :

Dacã notãm Ф=u/v, vom rezolva ecuatia pentru Ф, observând cã :

Rãdãcina pozitivã a ecuatiei, care se poate scrie

Ф2 - Ф – 1 = 0

este :

o constantã care este numitã Numãrul de aur sau Proportia divinã.

Dacã presupunem u=1, atunci

, cum am presupus mai devreme. Notãm numãrul v = 0.6180339887… = Ф (phi).

Numãrul de aur si Fibonacci

Afirmãm cã numãrul nostru Phi este strâns legat de sirul lui Fibonacci. Pentru cei care nu stiu, sirul lui Fibonacci este definit prin :

f0=0; f1=1; fn= f0+ f1 (oricare n32).

Acest sir exprimã (într-un mod naiv) cresterea populatiei de iepuri. Se presupune cã iepurii au câte doi pui o datã la fiecare lunã dupã ce împlinesc vârsta de douã luni. De asemenea, puii nu mor niciodatã si sunt unul de sex masculin si unul de sex feminin.

În felul acesta, numãrul de perechi de iepuri existente dupã n luni ar trebui sã fie fn. Vã puneti întrebarea ce poate avea în comun Ф cu sirul lui Fibonacci ? Aceasta este o idee remarcabilã a matematicii. Pentru început sã observãm cã :

Ф este o fractie infinitã.

Acum sã privim fractiile partiale :

Toate rezultatele fractiilor sunt rapoarte de numere Fibonacci succesive, fapt ce „motiveazã” teorema ce spune cã :

În cuvinte putem spune cã, pe mãsurã ce n se apropie de infinit, raportul termenilor al n+1-lea si al n-lea din sirul lui Fibonacci se apropie de Ф. Aceastã teoremã este valabilã pentru orice secventã arbitrarã ce satisface recurenta :

fn= f0+ f1 (oricare n32), cu proprietatea cã primii doi termeni sunt diferiti.

Reprezentare graficã – dreptunghiuri de aur

Legãtura geometricã dintre numãrul Phi si numerele lui Fibonacci poate fi vãzutã in graficul din anexa 1. Pornind de la un dreptunghi de aur (de lungime Ф si lãtime 1), urmeazã un sir natural de „cuibãriri” ale dreptunghiurilor divine în cel initial.

Lungimea si lãtimea celui de-al n-lea dreptunghi de aur pot fi scrise ca expresii liniare, unde coeficientii sunt întotdeauna numere Fibonacci. Aceste dreptunghiuri pot fi înscrise într-o spiralã logaritmicã, asa cum aratã imaginea. Sã presupunem cã punctul din coltul din stânga jos al primului dreptunghi este originea unui sistem rectangular de coordonate. Apare acum întrebarea : unde se aflã punctul spre care tinde spirala? Rãspunsul este : spirala tinde spre punctul de coordonate

Asemenea spirale logaritmice sunt echiangulare, în sensul cã orice

dreaptã ce trece prin punctul taie spirala sub un unghi constant. În sensul acesta, spunem cã spirala este o generalizare a cercului, unde unghiul este de 900. Spirala noastrã are un unghi

Spiralele logaritmice se întâlnesc destul de des si în naturã. De exemplu carcasa unui melc, coltii unui elefant sau conurile de pin au formã de spiralã.

Altã aplicatie geometricã a numãrului Phi apare la desenarea unui pentagon regulat fãrã cerc si compas. Aceasta este legatã de faptul cã

Alte siruri care tind la Phi

La fel de simplu cum Ф este o fractie infinitã, tot asa poate fi si un

radical infinit :

Iatã altã serie infinitã legatã de Ф :

Dintre multe alte expresii posibile ce se apropie de Ф urmãtoarele douã sunt mai cunoscute :

unde

Câteva curiozitãti despre Phi si phi

Un prim fapt ce „sare în ochi” si este cel putin curios îl constituie relatia simplã între Ф, π si e :

Pare într-adevãr ciudat cum trei numere irationale se „leagã” printr-o expresie atât de simplã, însã matematicienii au demonstrat cã asa stau lucrurile si vrem nu vrem trebuie sã-i credem. Cine nu crede poate folosi un calculator electronic pentru a face niste calcule simple cu vreo opt zecimale si va fi uimit rezultate.

Coincidentele nu se opresc însã aici. Sã considerãm urmãtorul sir :

f0=0.6180339887…; f1=1.000; f0=1.6180339887… ; f0=2.6180339887…;

fn= f0+ f1 (oricare n32).

Din definitia sirului se observã cã oricare doi termeni consecutivi adunati îl dau ca rezultat pe urmãtorul. Este însã nevoie de un ochi ager pentru a observa cã prin înmultirea oricãrui termen cu Ф=1.6180339887… va rezulta termenul imediat urmãtor.

Asadar . Prezentãm acum câteva egalitãti simple cu Ф si ф :

Ф2 = Ф+1

Фn+2= Фn+1+ Фn

ф2= ф +1

фn+2= фn+1+ фn

Anexa nr. 1 Reprezentarea graficã

Anexa nr. 2

Programul sursã C++ ce creeazã reprezentarea graficã (din anexa 1) #include <iostream.h>#include <conio.h>#include <stdio.h>#include <math.h>#include <graphics.h> int x31,x32,y31,y32; void rect1 (int x1, int y1, int x2, int y2) { setcolor(1); rectangle(x1,y1,x2,y2); setcolor(14);

arc(x1+y2-y1,y2,90,180,y2-y1); } void rect2 (int x1, int y1, int x2, int y2) { setcolor(1); rectangle(x1,y1,x2,y2); setcolor(14); arc(x1,y1+x2-x1,0,90,x2-x1); } void rect3 (int x1, int y1, int x2, int y2) { setcolor(1); rectangle(x1,y1,x2,y2); setcolor(14); arc(x2-y2+y1,y1,270,360,y2-y1); } void rect4 (int x1, int y1, int x2, int y2) { setcolor(1); rectangle(x1,y1,x2,y2); setcolor(14); arc(x2,y2-x2+x1,180,270,x2-x1); } void gold(int n) { int i,j,k,l; for(i=1;i<n;i++) { if (i%4==0) if ((x32>x31)&&(y32>y31)) { rect1(x31,y31,x32,y32-x32+x31); y32=y32-x32+x31; } else break; if (i%4==1) if ((x32>x31)&&(y32>y31)) { rect2(x31+y32-y31,y31,x32,y32); x31=x31+y32-y31; } else break; if (i%4==2) if ((x32>x31)&&(y32>y31)) { rect3(x31,y31+x32-x31,x32,y32); y31=y31+x32-x31; } else break; if (i%4==3) if ((x32>x31)&&(y32>y31)) { rect4(x31,y31,x32-y32+y31,y32); x32=x32-y32+y31; } else break; } } void main() { int n; int gdriver=DETECT,gmode; initgraph(&gdriver,&gmode,"");

x31=10; y31=20; x32=625; y32=400; cout << "Introdu numarul de dreptunghiuri pe care sa le desenez : "; cin >> n; cleardevice(); setbkcolor(0); rect1(x31,y31,x32,y32); gold(n); getch(); closegraph(); }

Anexa nr. 3

Numãrul Phi cu 20.000 de zecimale 1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052604628189024497072072041893911374847540880753868917521266338622235369317931800607667263544333890865959395829056383226613199282902678806752087668925017116962070322210432162695486262963136144381497587012203408058879544547492461856953648644492410443207713449470495658467885098743394422125448770664780915884607499887124007652170575179788341662562494075890697040002812104276217711177780531531714101170466659914669798731761356006708748071013179523689427521948435305678300228785699782977834784587822891109762500302696156170025046433824377648610283831268330372429267526311653392473167111211588186385133162038400522216579128667529465490681131715993432359734949850904094762132229810172610705961164562990981629055520852479035240602017279974717534277759277862561943208275051312181562855122248093947123414517022373580577278616008688382952304592647878017889921990270776903895321968198615143780314997411069260886742962267575605231727775203536139362107673893764556060605921658946675955190040055590895022953094231248235521221241544400647034056573479766397239494994658457887303962309037503399385621024236902513868041457799569812244574717803417312645322041639723213404444

9487302315417676893752103068737880344170093954409627955898678723209512426893557309704509595684401755519881921802064052905518934947592600734852282101088194644544222318891319294689622002301443770269923007803085261180754519288770502109684249362713592518760777884665836150238913493333122310533923213624319263728910670503399282265263556209029798642472759772565508615487543574826471814145127000602389016207773224499435308899909501680328112194320481964387675863314798571911397815397807476150772211750826945863932045652098969855567814106968372884058746103378105444390943683583581381131168993855576975484149144534150912954070050194775486163075422641729394680367319805861833918328599130396072014455950449779212076124785645916160837059498786006970189409886400764436170933417270919143365013715766011480381430626238051432117348151005590134561011800790506381421527093085880928757034505078081454588199063361298279814117453392731208092897279222132980642946878242748740174505540677875708323731097591511776297844328474790817651809778726841611763250386121129143683437670235037111633072586988325871033632223810980901211019899176841491751233134015273384383723450093478604979294599158220125810459823092552872124137043614910205471855496118087642657651106054588147560443178479858453973128630162544876114852021706440411166076695059775783257039511087823082710647893902111569103927683845386333321565829659773103436032322545743637204124406408882673758433953679593123221343732099574988946995656473600729599983912881031974263125179714143201231127955189477817269141589117799195648125580018455065632952859859100090862180297756378925999164994642819302229355234667475932695165421402109136301819472270789012208728736170734864999815625547281137347987165695274890081443840532748378137824669174442296349147081570073525457070897726754693438226195468615331209533579238014609273510210119190218360675097308957528957746814229543394385493155339630380729169175846101460995055064803679304147236572039860073550760902317312501613204843583648177048481810991602442523271672190189334596378608787528701739359303013359011237102391712659047026349402830766876743638651327106280323174069317334482343564531850581353108549733350759966778712449058363675413289086240632456395357212524261170278028656043234942837301725574405837278267996031739364013287627701243679831144643694767053127249241047167001382478312865650649343418039004101780533950587724586655755229391582397084177298337282311525692609299594

2240000560626678674357923972454084817651973436265268944888552720274778747335983536727761407591712051326934483752991649980936024617844267572776790019191907038052204612324823913261043271916845123060236278935454324617699757536890417636502547851382463146583363833760235778992672988632161858395903639981838458276449124598093704305555961379734326134830494949686810895356963482817812886253646084203394653819441945714266682371839491832370908574850266568039897440662105360306400260817112665995419936873160945722888109207788227720363668448153256172841176909792666655223846883113718529919216319052015686312228207155998764684235520592853717578076560503677313097519122397388722468258057159744574048429878073522159842667662578077062019430400542550158312503017534094117191019298903844725033298802450143679684416947959545304591031381162187045679978663661746059570003445970113525181346006565535203478881174149941274826415213556776394039071038708818233806803350038046800174808220591096844202644640218770534010031802881664415309139394815640319282278548241451050318882518997007486228794215589574282021665706218809057808805032467699129728721038707369740643566745892025865657397856085956653410703599783204463363464854894976638853510455272982422906998488536968280464597457626514343590509383212437433338705166571490059071056702488798580437181512610044038148804072524406164290224782271527241120850657888387124936351068063651667432223277677557973992703762319147047323955120607055039920884426037087908433342618384135970781648295537143219611895037977146300075559753795703552271449319132172556440128309180504500899218705121186069335731538959350790300736727023314165320423401553741442687154055116479611433230248544040940691145613987302603951828168034482525432673857590056043202453727192912486458133344169852993913574786989579864394980230471169671573622839120181273129165899527599192203183723568272793856373312654799859124632750300605925674549794350881192950568549325935531872914180113641218747075262810686983013576052471944559321955359610452830314883911769301196585834314424894898565584250834109429502771975833522442912573649380754171137392437601435068298784932712997512286881960498357751587717804106971319667534771947922636519016339771284739079336111191408998305603361060987171783055435403560895292908184641437139294378135604820389479125745077075575103002420726629001809042293424942590606661413322872269806901459945119954780163991514126125257282806643312616574693881951

0644216738718000110042184830258091654338374923641183888564685143150063731904295148146942431460895254707203740556691306922099080481945297511065046428105417755259095187131888359147659960413179602094153085855332387725380232727632977372143127968216716234421183201802881412747443168847218459392781435474099999072233203059262976611238327983316988253931262006503702884478286669404473079471047612558658375298623625099982323359715507233838332440815257781933642626304330265895817080045127887311593558774721725649470005163667257715392098409503274511215368730091219962952276591316370939686072713426926231547533043799331658110736964314217197943405639155121081081362626888569748068060116918941750272298741586991791453499462444194012197858601373660828690722365147713912687420966513787562059185432888834174292090156313328319357562208971376563097850156315498245644586542479293572282875060848145335135218172958793299117100324762220521946451053624505129884308713444395072442673514628617991832336459836963763272257569159723954383052086647474238151107927349483695239647926899369832491799950278950006045966131346336302494995148080532901790297518251587504900743518798351183603272277260171740453557165885557829729106195819351710554825793070910057635869901929721799516873117556314448564810022001425454055429273458837116020994794572082378043687189448056368918258024449963187834202749101533579107273362532890693347412380222201162627711930854485029541913200400999865566651775664095365619789781838045103035651013158945890287186108690589394713680148457001836649564720329433437429894642741255143590584348409195487015236140317391390361644019845505104912116979200120199960506994966403035086369290394100701945053201623487276323273244943963048089055425137972331475185207091025063685981679530481810073942453170023880475983432345041425843140636127210960228242337822809027976596077710849391517488731687771352239009117117350918600654620099024975852779254278165970383495058010626155333691093784659771052975022317307412177834418941184596586102980187787427445638669661277245038458605264151030408982577775447411533207640758816775149755380471162966777100587664615954967769270549623939857092550702740699781408431249653630718665337180605874224259816530705257383454157705429216299811491750861131176577317209561565647869547448927132060806354577946241453106698374211379816896382353330447788316933972872891810366408326985698825443851667586228993069643468489751484087903964760420361020602171

7394470263487633654393195229077383616738981178124248365578105034169451563626043003665743108476654877780128577923645418522447236171374229255841593135612866371670328072171553392646325730673063910854108868085742838588280602303341408550390973538726134511962926415995212789311354431460152730902553827104325966226743903745563612286139078319433570590038148700898661315398195857442330441970856696722293142730741384882788975588860799738704470203166834856941990965480298249319817657926829855629723010682777235162740783807431877827318211919695280051608791572128826337968231272562870001500182929757729993579094919640763442861575713544427898383040454702710194580042582021202344580630345033658147218549203679989972935353919681213319516537974539911149424445183033858841290401817818821376006659284941367754317451605409387110368715211640405821934471204482775960541694864539878326269548013915019038995931306703186616706637196402569286713887146631189192685682691995276457997718278759460961617218868109454651578869122410609814197268619255478789926315359472922825080542516906814010781796021885330762305563816316401922454503257656739259976517530801427160714308718862859836037465057134204670083432754230277047793311183666903232885306873879907135900740304907459889513647687608678443238248218930617570319563803230819719363567274196438726258706154330729637038127515170406005057594882723856345156390526577104264594760405569509598408889037620799566388017861855915944111725092313279771138032943765475090165169496509916073833937715833230245701948347400070437618671998483401631826008462619656284649118225688857521346375490254180833821383522245258726789379505375915603579454698509102256225455003017571049469833483545323835260787092219304581782306012370753280678368541306584636788866433486249368010198782799630670259543265137806007386392908564830874157618741897345848450141889765293411013722158643559915527113623322003526677859159890231446163321026519665907632061524383747619049531582968836265042094840105654589130629827717249809641959472340465110419821347689354018038256954956286039244264159867485982280060353862839166201252826607493306196584965199979419393226017235710733642537083033011433624985753635970424446475998999950855041354977558585934576590926533307252775416758431466936767806170350120038448748838233760344077515947781221883070900087386627362091660799050226989270321899760379509890591085910392967345614610700304581921273892599269610621167643642438350141020408632

1499178152979681522379832242737536570085534699796554138590503268361602227884755470626984391088521030207686047068045568465604916864988606162229523239070980926293023379564821799816326458278888776745208463719710634789231066754693550476151977816990258818404079275109018244827870525059769837535143062244509022023824398231255058416232071883193006936064646820965950065492901097161865263672161074171361837766733279756268548012456576827903176039465553945231433875677303497915785885910116637484556758479527139186087825401042333298574427471189696104851264019750435990920766215589986607368376231883588450812929501146653548281714484640568652465409078154716196257844695752625694551656015191640292179885489093732803146519222475900309657154905053610437768687726191595284492046478689734737085984138451316211929720126342407736945459818650296592335345125684549745411298197358766707286016160562042306360661302814967734457977377505575646654752563226481771169978570871228315431045691232625034976811524521744973961367488220464805196887543419695119331204502160514293848447545238212701438309578558136196783023106850808458769520590532946833849047120991625563650340034396708289336983674230015751173851512691230661722764144216075129173418747143150932419249141609699986728158238592573598238948492749196461522722733387463121384362621163794670620326302250554895805730837504612992311362991730694894073425883194839992741639509844396340576352847175627621927865225396087201310804864065343961688754525342630989695176190197709631922587093421659559744717501575383767415222805706502806831433565249171997333584030641535507591159742643664828466281368021745059097058946027442926322222154594507580465712060686399043082369396932082374907675611901715613054248133117152425684784633637700152044179165011682325752361604957497063908224434445103512190488198302760017668098509652454390071990980349930268606755238796852921947323933523700866502214074645540372223434816757493731446409283790065391967740103558619361815668366168648923955549614528264728949941606158030458678914619717281554511000566605424996919741027987405932764349537145251676946206985978809469501747302284142757188719409212091379940594303705043648386004346452279933029239018659226898749921132565605578401423354260589510562036907202893931592044047683592763647996005964048607619891592981949508787860276634599054042637700459008032794347206298254452563564795429924881986461361713144857734699534755771554913842392894017540341399738461

6948129347924223460974301962752301382860722449638095383840152656781976450758854785515549234523478164603306293884200995080326014091830257438577067102522724366690598890854501557075423031666592472352892470258862479488754625276572728515111287827067345431024451523345654228431103967952829625019369893998347396176398809573541526014537296468147382184360052109947211941659149471670520379225520963364584846804144778030216472862399926404836350877374782450163820089524032253437992579012926564015553775409175170441962728503912669595666487724296766036730345366873404907914188694521471582790815723396912403998586939085517307980195554612851340891206108401221361707057043006056924685591646883477332085689141267942844804138468281325692914816010978627269686686737391711893146226913489458042778989960814470952476290501926031164920686774331866154696689660182266357878875060885624356267893279735463390418210877463803921624477202567269959639182468778845549717903851583920474831990312762243706623509251877543414010711233586590774812206376345901988422547272765529050439950252444039113658267081330058058820946031020826134136912757293699289302996173089284367031523858975398738893680744152637379424050644876417176861355234326986572897046306918017427797217388985944328485205725758833756382015054672065167425268189485167332804630764781329313260289322936604521021318981298766152624448748669389040617846991666541748508459797014617821584501491957210982508923451747451225432738681972586494458808377139868506598408545773165416917406705211194916628633773226375347566637002212032752438999773600607404270297220363477804829883485518952507947460551994034011077116972564426100509205984336253584706959718576261677663021174787834197564450183804102920324040882661734433909026352235050682858285443283961848092537613082011562686990799911708475558698215031007356324042198856958420068243992695378440320222237462814765923060554747693683057654967769047115962550247450780962483744990802561375091562235908101053449394177429427709144516666870041522854463807661535114155648785493601138747310382877331338839170964617482906315678806518276176579853502166599860746401267488412113009854993833710603196250670279752431011937733554853701169467485888836308033328773957165627534036727218070562256232637414883349928997025897729922403694175074342731419415743246679457858603989407509735636368881567215967635438066559393893438207598406121606431766442190267777379914557994503146870871626622652413359056992849

4006372744908821635242948022566330458553636337251762049074624062938962390622030424872688432377631733574205753997574373508409657792180880089420590662572782307692788656445563758012667280952527379828030076636976928164844651277473822397061738567507146692748220374881122563994075227626464994658463674019559973702838393119884822335539964978333165008467491254522956512409390963784095416901234675375280139080830863022653352387069273071984654649454979101134287154636695543437462154391886526085366974366530588562164411648068912837357794341530609478457270987037976921346205969538843826760827659181773627669918727803754219954172428335791064520613736884708545165822193158645377018313401818827251099922917614711860529176551422881123566217241692680620648845317615164272953585798375412375876100415475805595730122459276711895277333823356043374201321392804317053379463646428351993014576706491847707768959885421647973371769625943938648074893633201098893643528324494132569317438323509258286421276209473432879984387198291625035886368857440896091619767553023636147840186271827708891360398933077293060296717760258418030133475474406093218222662077059842476082637941388598601935208959821941885723823714271930349354518240112671046073097412681279072726438685681544729144826761389945092064098792647692574698812334642995267308237405720406143748700867048612599590178424976845844736824827947824753176338174814799571031203396345226743415123722322454626546328353564246627786460839872179127843089641636422237152822199860850600158245169478318926060165827491142774933502865503727691068107557826463340399219222602208590967841860013859653877265826244657597694069240541804444738471607901449743018055889337623761296918229234768453759556468421122698731637506249971182291485689604472527760093934343558339195165132985623645893149101860849683480338090932736261062054795970421298669883573560404347128399801249802209466851093490407878450102117684276345079137687609746900665759683043519266676563960922648845670212850744821184836102907689196493402300641753173483914758916672023069245347107627719792524997328576890388680141780313799483651089527220946591304506656658258539174690486872649902546765966599164547365134259755577397348506528439977384490513905829430130008366961455669748537793407881277215791487210719258869089277878732982982214574233273265987982756950898845306240223036486347722967056524127035887830281940074980575439016285786745531327197652607107643153112391526077219362144346096

08975872693422367433161371857457760811775151806966210479558514013006970184500702629047949257083712017527937855495762739124558714833201017036184052163681801734142508980616063467633085050418458581662933409347919910368591305378948215865170118121011333000669577523278668551807825675283614949492074583733684581369140797759592526727396642347874661439981964808103670506600523826916505514463471111686742817731950256064295163795965947564498789146144692593662930936480481617405980821425434052521137133240811391357997162285810141910341046056929078249895621456004104569222141683089323666251761869627171945385499855148427517336924120268015992808320145830075448474233126438780847808505610430490999936434590519518749484369677275747335967088334960915744743575039860201639766611427653695267044115520019391484293460101512953117445887648307037167739615426559139908303757766302130990871271988706903293047012410586150639985299814175780430348080358820320201104760700475571016942341203410891564394782530316459373043755819468675253495323013027678235356011664131117799609979366204344956968354793075431132755864318973151517106443218924979327780126496476447546707816580740613125937527184740881611547981830781675104780929141395456463116058126905175395355691577558041067198123163840527755605227222376471188323322309958506897101871750478190653349485842325976225657584189852914471783351732260298578629294346505636693216262767381624595741793269889232722066663608199249098883146852994099138673444604967084244297824363023293891035596560173994220198869025724547140163300961214618720836510868818533406062201709951582707044233704218017669634913369599606432200532887349489313596603042438080456594474333567831672703729636367594216999379522

Bibliografie

1. „The Golden Mean” – S. Finch (1999)

2. „A series representation for the Golden Mean” – B. Rossele (1999)

3. „Fibonacci Numbers and the Golden Section” – R. Knott (1997)

4. „Related e-messages” – R. W. Gosper (1997)

5. „The Golden Mean” – K. Wiedman (19996)