Nuklearna fizika 2 - vježbe -

5 Nuklearne reakcije

Zadatak 43 Mjerenjem ekscitacijske funkcije za reakciju 12C(ag)16O nađen je oštar vrh koji odgovara laboratorijskog energiji

7045 keV Objasnite pojavu ovog vrha Odredite energiju emitirane

gama-zrake Objasnite je li moguće pojavu ovog vrha potvrditi

proučavanjem reakcije 15N(pa)12C Maseni defekti su 7289 keV (p)

2425 keV (a) 100 keV (15N) i -4737 keV (16O)

Rješenje 43 Q-vrijednost reakcije 12C(ag)16O dana je s

keV

keV

OC

cmmQout in

7162

)4737(02425

)(1612

2

a

Rješenje 43

Mjereni vrh u udarnom presjeku pripisujemo stvaranju složene jezgre 16O a+12C16O

16O+g

Energija pobuđenja tog stanja računa se iz

gdje je Eprag energija praga za raspad jezgre 16O u a+12C a Erel

relativna energija gibanja a i 12C u sustavu centra mase

Dobivamo

Ex= 7162+5284= 12446 keV

relpragx EEE

CMM

CM

EE labrel 12

12

)(

)(

aa

Rješenje 43

Pri računanju energije gama-zrake moramo uzeti u obzir i odboj

jezgre

gdje je s M označena masa jezgre koja emitira gamu (16O) Korekcija

odboja je vrlo malena i dobivamo Eg= 12440 keV

Isto stanje složene jezgre 16O bit će moguće pobuditi reakcijom

p+15N16Oa+12C

ako se ono nalazi iznad praga za raspad u p+15N

2

00

21

Mc

EEEg

Rješenje 43

Provjeravamo kolika je Q-vrijednost

Dobivena vrijednost je 320 keV ispod Erel izračunate prije Dakle

proučavano stanje 16O nalazi se 320 keV iznad praga za raspad 16O u 15N+p Stoga ga je moguće pobuditi protonima čija je laboratorijska

energija

keV

keV

CNp

cmmQout in

4964

024251007289

)(1215

2

a

keV

NM

pMNM

EpE rellab 34115

16320

)(

)(15

15

Zadatak 44 Reakcijom (dp) pobuđuje se neko stanje teške parno-

parne jezgre uz Q= +8 MeV Pretpostavljajući da jezgre mete

ostaju u mirovanju procijenite energiju snopa na kojoj će naprijed

emitirani protoni imati isti impuls kao ulazni deuteroni Ako kutna

raspodjela ima vrh na 40o a jezgre u meti imaju polumjer 41 fm

koliki je prenešeni L

Rješenje 44 Za dani impuls energija je obrnuto proporcionalna masi EdEp= mpmd= 05 No zadano je i Epasymp Ed+Q pa dobivamo Ep= 2Q = 16 MeV Ed= Q = 8 MeV

Rješenje 44

Prenešeni moment impulsa poluklasično se može odrediti iz

Smjer izlazne čestice (q) ovisi o pt i zbog toga i o Lt

Specijalan slučaj prenešena energija vrlo malena u odnosu na upadnu

Slijedi

2

sin4cos222222

oioioioit ppppppppp

RpLLL t )1(

ppp oi

pR

LL

p

pt

2

)1(

22sin

Rješenje 44

Dobivamo

2

2sin2

)1(

pR

LL

26)1( LLL

Zadatak 45 Kvalitativno diskutirajte utjecaj momenta impulsa i

energije snopa na brzinu odvijanja nuklearnih reakcija

Rješenje 45 Poluklasično i vrlo kvalitativno ako s p označimo relativni impuls čestice snopa u odnosu na jezgru u meti s l relativni moment impulsa a s rl parametar sudara imamo pa je parametar sudara dan s Upadni snop ldquodijelimordquo na cilindrične zone polumjera rl unutar kojih čestice s datim impulsima p imaju moment impulsa l

)1( llpl l r

llp

llp

l

)1( r

Rješenje 45

Ako domet interakcije označimo s r0 tada iz uvjeta

vidimo da je val s najvećim l koji će još sudjelovati u reakciji onaj s

gdje uglata zagrada označava najveći cijeli broj od izraza u njoj

Udarni presjek za reakciju datog parcijalnog vala u ovakvoj aproksimaciji može se izjednačiti s površinom prstena polumjera rl

(za homogeni upadni snop)

0maxmax rlp

l

r

00

0max kr

prrl

222

1 )12( rr llll

Rješenje 45

Uz

totalni udarni presjek jednak je

Za ltltr0 (kr0gtgt1) vrijedi

Radi se o slučaju geometrijske optike u kome je klasično razmatranje po trajektorijama dobra aproksimacija

2

0

2max

2max

maxmax2

max0

22

0

)1(12

)1(2

1212maxmax

r

llll

llll

l

l

ll

0max

rl

20r

Rješenje 45

Za gtgtr0 (kr0ltlt1) vrijedi lmax=0 (samo s-val sudjeluje u reakciji)

Dakle za niskoenergijska raspršenja udarni presjek je općenito veći nego na visokim energijama

Uvjet za maksimalni moment impulsa ekvivalentan je uvjetu koji mora zadovoljavati kinetička energija projektila da bi uz relativni moment impulsa l čestica stupila u interakciju s drugom na udaljenosti r0

2

)1(0

llr

p

)1(22 2

0

22

llr

pT

Rješenje 45

O ovom izrazu prepoznaje se utjecaj centrifugalne barijere Dakle do interakcije čestice momenta impula l i jezgre dolazi ako je energija veća od visine centrifugalne barijere

Alternativno ako je energija fiksirana do interakcije dolazo samo za one čestice s l ltlmax ovaj utjecaj drastično smanjuje udarne presjeke za raspršenje viših parcijalnih valova

Uz r0asymp14 A13 fm visina centrifugalne barijere može se procijeniti na

Osim centrifugalne nabijeni snopovi ldquoviderdquo i kulonsku barijeru visine

MeVllA

llr

Vcf )1(10

)1(2

3220

2

MeVA

zz

r

ezzVc

31

21

0

221

Rješenje 45

Za nekoliko izabranih slučajeva visina barijere dana je u MeV-ima

meta snop p i n (S) p i n (P) p i n (D) p ( l)

p 0 20 60 1

7Li 0 55 17 16

16O 0 32 10 35

55Mn 0 14 42 66

120Sn 0 08 25 10

238U 0 04 12 15

Vcf Vcf Vcf Vc

Zadatak 46 Na slici je prikazana ovisnost udarnih presjeka o

energiji upadnih protona za razne izlazne kanale reakcije p+7Li

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Ove reakcije popraćene su emisijom gama-zraka energije E1 = 147

MeV E2 = 176 MeV E3 = 152 MeV i E4 = 181 MeV (sve tipa M1) Ako

je poznato da su dva najniža stanja jezgre 8Be usko osnovno stanje

0+ (T12asymp 10-15 s) i vrlo široko (Gasymp 800 keV) stanje 2+ na Exasymp 29 MeV

Na temelju ovih podataka naći i objasniti položaj stanja jezgre 8Be

njihove spinove i paritet te shemu raspada Kvalitativno objasniti

ponašanje udarnih presjeka navedenih reakcija i širine rezonanca

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Rješenje 46

Prvo pomoću tablica masa nalazimo Q-vrijednosti reakcija

1) 7Li(pg)8Be Q1= 1725 MeV

2) 7Li(pa)4He Q2= 1734 MeV

3) 7Li(pp)7Li Q3= 0 MeV

4) 7Li(pn)7Be Q4= -164 MeV

Uočiti da su (pn)-reakcije najčešće endotermne jer je masa

neutrona veća od mase protona za 13 MeV a za b-stabilne jezgre

meta mora imati najviše 500 keV veću energiju vezanja od izlazne

teške čestice

Zbog negativne Q-vrijednosti prag za reakciju 4) je na Ep= 188

MeV

Rješenje 46

Pretpostavljamo da se sve reakcije odigravaju preko stanja složene jezgre 8Be Uz oznake

X(ab)Y ili a+X C b+Y

imamo

U nerelativističkoj aproksimaciji

0 XCa ppp

CCaXa EcmEcmm 22

a

C

a

a

a

C

a

C

CC E

m

m

m

p

m

m

m

pE

2

2

22

a

C

aXaCaXaC E

m

mcmmEEcmmcm

2221

Rješenje 46

Uvrstimo li na desnu stranu

na lijevoj dobivamo

pa je energija pobuđenog stanja u složenoj jezgri C jednaka

Prvi član je baš jednak Q-vrijednosti prve od popisanih reakcija Q= 1725 MeV

Dakle rezonance se pojavljuju na energijama pobuđenja u 8Be Ex1= 1725+7(7+1)044= 176 MeV

Ex2= 198 MeV Ex3= 1812 MeV Ex4= 1915 MeV

aXa

XCXaCCx E

mm

mcmmmcmcmE

222

XaC mmm

aXa

XXaC E

mm

mcmmcm

22

Rješenje 46

Spinove i paritet pobuđenih stanja (rezonanci) možemo odrediti korištenjem zakona sačuvanja momenta impulsa i pariteta Paritet sistema a+X jednak je

i on mora biti jednak paritetu stanja C s jedne ali i paritetu krajnjeg sistema b+Y s druge strane

Model ljusaka za osnovno stanje jezgre 7Li daje J= 32- Unutrašnja parnost protona je + (J=12) pa ako jezgra 7Li međudjeluje s S-protonom paritet sistema p +7Li bit će negativan kao i paritet odgovarajućeg stanja u 8Be Ako 7Li međudjeluje s P-protonom paritet stanja u 8Be bit će pozitivan

Na energijama do asymp5 MeV relativni moment impulsa pri reakciji praktički ne može biti veći od 1 (L= 01)

L

XaXa )1(

Rješenje 46

Zaključujemo

L=0 (S-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)0= -1

L=1 (P-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)1= +1

Gledamo detektirane gama-zrake ona od 176 MeV točno odgovara prijelazu između rezonance na E(p)= 044 MeV i osnovnog stanja gama-prijelaz od 147 MeV prepoznajemo kao prijelaz iz tog stanja u prvo pobuđeno stanje jezgre 8Be Najniža dva stanja su pozitivnog pariteta a prijelaz je tipa M1 paritet stanja na Ex= 176 MeV mora biti pozitivan (M1-prijelaz čuva paritet) a spin mora biti J=1 samo tako se mogu intenzivno puniti stanja i 0+ i 2+

1

20

2

1

2

3

0

1

2

3

12

1

2

3

Rješenje 46

Zaključujemo da je u reakciji (pg) 7Li međudjelovao sa P-protonom Gama-raspad je ldquosporrdquo i zbog toga je ova rezonanca uža od ostalih koje se raspadaju emisijom čestica

Paritet sistema aa je pozitivna jer su a-čestice identični bozoni S druge strane za ovaj paritet vrijedi

gdje je L relativni moment impulsa dvije a-čestice koji dakle mora biti paran Stanje na Ex= 198 MeV preko kojeg se odvija reakcija 7Li(pa)4He mora dakle imati J= (0 ili 2)+ Relativno velika energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje prolasku kroz kulonsku i centrifugalnu barijeru stvorene a-čestice imaju pak ogromnu relativnu brzinu pa one laganu tuneliraju kroz barijeru(e) i rapad je tog stanja vrlo brz (tj stanje je široko)

Primijetiti da za stanje na Ex= 176 MeV spin jedan zabranjuje raspad u 2 a-čestice

LL )1()1(2 aaa

Rješenje 46

Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfa-čestice već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog pariteta To se može ostvariti g-emisijom ldquoneparnihrdquo fotona (E1 M2 ) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski dozvoljeni

Činjenica da se stanje na Ex= 1915 MeV ne raspada ni u 2 alfa-čestice ni gama-emisijom već baš emisijom neutrona koja je brža od gama-emisije govori da to stanje ima negativni paritet To pak znači da je u ovoj reakciji 7Li međudjelovao sa S-protonom (nema centrifugalne barijere) i zbog toga je udarni presjek veći Spin ovog stanja tada mora biti 1 ili 2

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Zadatak 43 Mjerenjem ekscitacijske funkcije za reakciju 12C(ag)16O nađen je oštar vrh koji odgovara laboratorijskog energiji

7045 keV Objasnite pojavu ovog vrha Odredite energiju emitirane

gama-zrake Objasnite je li moguće pojavu ovog vrha potvrditi

proučavanjem reakcije 15N(pa)12C Maseni defekti su 7289 keV (p)

2425 keV (a) 100 keV (15N) i -4737 keV (16O)

Rješenje 43 Q-vrijednost reakcije 12C(ag)16O dana je s

keV

keV

OC

cmmQout in

7162

)4737(02425

)(1612

2

a

Rješenje 43

Mjereni vrh u udarnom presjeku pripisujemo stvaranju složene jezgre 16O a+12C16O

16O+g

Energija pobuđenja tog stanja računa se iz

gdje je Eprag energija praga za raspad jezgre 16O u a+12C a Erel

relativna energija gibanja a i 12C u sustavu centra mase

Dobivamo

Ex= 7162+5284= 12446 keV

relpragx EEE

CMM

CM

EE labrel 12

12

)(

)(

aa

Rješenje 43

Pri računanju energije gama-zrake moramo uzeti u obzir i odboj

jezgre

gdje je s M označena masa jezgre koja emitira gamu (16O) Korekcija

odboja je vrlo malena i dobivamo Eg= 12440 keV

Isto stanje složene jezgre 16O bit će moguće pobuditi reakcijom

p+15N16Oa+12C

ako se ono nalazi iznad praga za raspad u p+15N

2

00

21

Mc

EEEg

Rješenje 43

Provjeravamo kolika je Q-vrijednost

Dobivena vrijednost je 320 keV ispod Erel izračunate prije Dakle

proučavano stanje 16O nalazi se 320 keV iznad praga za raspad 16O u 15N+p Stoga ga je moguće pobuditi protonima čija je laboratorijska

energija

keV

keV

CNp

cmmQout in

4964

024251007289

)(1215

2

a

keV

NM

pMNM

EpE rellab 34115

16320

)(

)(15

15

Zadatak 44 Reakcijom (dp) pobuđuje se neko stanje teške parno-

parne jezgre uz Q= +8 MeV Pretpostavljajući da jezgre mete

ostaju u mirovanju procijenite energiju snopa na kojoj će naprijed

emitirani protoni imati isti impuls kao ulazni deuteroni Ako kutna

raspodjela ima vrh na 40o a jezgre u meti imaju polumjer 41 fm

koliki je prenešeni L

Rješenje 44 Za dani impuls energija je obrnuto proporcionalna masi EdEp= mpmd= 05 No zadano je i Epasymp Ed+Q pa dobivamo Ep= 2Q = 16 MeV Ed= Q = 8 MeV

Rješenje 44

Prenešeni moment impulsa poluklasično se može odrediti iz

Smjer izlazne čestice (q) ovisi o pt i zbog toga i o Lt

Specijalan slučaj prenešena energija vrlo malena u odnosu na upadnu

Slijedi

2

sin4cos222222

oioioioit ppppppppp

RpLLL t )1(

ppp oi

pR

LL

p

pt

2

)1(

22sin

Rješenje 44

Dobivamo

2

2sin2

)1(

pR

LL

26)1( LLL

Zadatak 45 Kvalitativno diskutirajte utjecaj momenta impulsa i

energije snopa na brzinu odvijanja nuklearnih reakcija

Rješenje 45 Poluklasično i vrlo kvalitativno ako s p označimo relativni impuls čestice snopa u odnosu na jezgru u meti s l relativni moment impulsa a s rl parametar sudara imamo pa je parametar sudara dan s Upadni snop ldquodijelimordquo na cilindrične zone polumjera rl unutar kojih čestice s datim impulsima p imaju moment impulsa l

)1( llpl l r

llp

llp

l

)1( r

Rješenje 45

Ako domet interakcije označimo s r0 tada iz uvjeta

vidimo da je val s najvećim l koji će još sudjelovati u reakciji onaj s

gdje uglata zagrada označava najveći cijeli broj od izraza u njoj

Udarni presjek za reakciju datog parcijalnog vala u ovakvoj aproksimaciji može se izjednačiti s površinom prstena polumjera rl

(za homogeni upadni snop)

0maxmax rlp

l

r

00

0max kr

prrl

222

1 )12( rr llll

Rješenje 45

Uz

totalni udarni presjek jednak je

Za ltltr0 (kr0gtgt1) vrijedi

Radi se o slučaju geometrijske optike u kome je klasično razmatranje po trajektorijama dobra aproksimacija

2

0

2max

2max

maxmax2

max0

22

0

)1(12

)1(2

1212maxmax

r

llll

llll

l

l

ll

0max

rl

20r

Rješenje 45

Za gtgtr0 (kr0ltlt1) vrijedi lmax=0 (samo s-val sudjeluje u reakciji)

Dakle za niskoenergijska raspršenja udarni presjek je općenito veći nego na visokim energijama

Uvjet za maksimalni moment impulsa ekvivalentan je uvjetu koji mora zadovoljavati kinetička energija projektila da bi uz relativni moment impulsa l čestica stupila u interakciju s drugom na udaljenosti r0

2

)1(0

llr

p

)1(22 2

0

22

llr

pT

Rješenje 45

O ovom izrazu prepoznaje se utjecaj centrifugalne barijere Dakle do interakcije čestice momenta impula l i jezgre dolazi ako je energija veća od visine centrifugalne barijere

Alternativno ako je energija fiksirana do interakcije dolazo samo za one čestice s l ltlmax ovaj utjecaj drastično smanjuje udarne presjeke za raspršenje viših parcijalnih valova

Uz r0asymp14 A13 fm visina centrifugalne barijere može se procijeniti na

Osim centrifugalne nabijeni snopovi ldquoviderdquo i kulonsku barijeru visine

MeVllA

llr

Vcf )1(10

)1(2

3220

2

MeVA

zz

r

ezzVc

31

21

0

221

Rješenje 45

Za nekoliko izabranih slučajeva visina barijere dana je u MeV-ima

meta snop p i n (S) p i n (P) p i n (D) p ( l)

p 0 20 60 1

7Li 0 55 17 16

16O 0 32 10 35

55Mn 0 14 42 66

120Sn 0 08 25 10

238U 0 04 12 15

Vcf Vcf Vcf Vc

Zadatak 46 Na slici je prikazana ovisnost udarnih presjeka o

energiji upadnih protona za razne izlazne kanale reakcije p+7Li

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Ove reakcije popraćene su emisijom gama-zraka energije E1 = 147

MeV E2 = 176 MeV E3 = 152 MeV i E4 = 181 MeV (sve tipa M1) Ako

je poznato da su dva najniža stanja jezgre 8Be usko osnovno stanje

0+ (T12asymp 10-15 s) i vrlo široko (Gasymp 800 keV) stanje 2+ na Exasymp 29 MeV

Na temelju ovih podataka naći i objasniti položaj stanja jezgre 8Be

njihove spinove i paritet te shemu raspada Kvalitativno objasniti

ponašanje udarnih presjeka navedenih reakcija i širine rezonanca

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Rješenje 46

Prvo pomoću tablica masa nalazimo Q-vrijednosti reakcija

1) 7Li(pg)8Be Q1= 1725 MeV

2) 7Li(pa)4He Q2= 1734 MeV

3) 7Li(pp)7Li Q3= 0 MeV

4) 7Li(pn)7Be Q4= -164 MeV

Uočiti da su (pn)-reakcije najčešće endotermne jer je masa

neutrona veća od mase protona za 13 MeV a za b-stabilne jezgre

meta mora imati najviše 500 keV veću energiju vezanja od izlazne

teške čestice

Zbog negativne Q-vrijednosti prag za reakciju 4) je na Ep= 188

MeV

Rješenje 46

Pretpostavljamo da se sve reakcije odigravaju preko stanja složene jezgre 8Be Uz oznake

X(ab)Y ili a+X C b+Y

imamo

U nerelativističkoj aproksimaciji

0 XCa ppp

CCaXa EcmEcmm 22

a

C

a

a

a

C

a

C

CC E

m

m

m

p

m

m

m

pE

2

2

22

a

C

aXaCaXaC E

m

mcmmEEcmmcm

2221

Rješenje 46

Uvrstimo li na desnu stranu

na lijevoj dobivamo

pa je energija pobuđenog stanja u složenoj jezgri C jednaka

Prvi član je baš jednak Q-vrijednosti prve od popisanih reakcija Q= 1725 MeV

Dakle rezonance se pojavljuju na energijama pobuđenja u 8Be Ex1= 1725+7(7+1)044= 176 MeV

Ex2= 198 MeV Ex3= 1812 MeV Ex4= 1915 MeV

aXa

XCXaCCx E

mm

mcmmmcmcmE

222

XaC mmm

aXa

XXaC E

mm

mcmmcm

22

Rješenje 46

Spinove i paritet pobuđenih stanja (rezonanci) možemo odrediti korištenjem zakona sačuvanja momenta impulsa i pariteta Paritet sistema a+X jednak je

i on mora biti jednak paritetu stanja C s jedne ali i paritetu krajnjeg sistema b+Y s druge strane

Model ljusaka za osnovno stanje jezgre 7Li daje J= 32- Unutrašnja parnost protona je + (J=12) pa ako jezgra 7Li međudjeluje s S-protonom paritet sistema p +7Li bit će negativan kao i paritet odgovarajućeg stanja u 8Be Ako 7Li međudjeluje s P-protonom paritet stanja u 8Be bit će pozitivan

Na energijama do asymp5 MeV relativni moment impulsa pri reakciji praktički ne može biti veći od 1 (L= 01)

L

XaXa )1(

Rješenje 46

Zaključujemo

L=0 (S-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)0= -1

L=1 (P-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)1= +1

Gledamo detektirane gama-zrake ona od 176 MeV točno odgovara prijelazu između rezonance na E(p)= 044 MeV i osnovnog stanja gama-prijelaz od 147 MeV prepoznajemo kao prijelaz iz tog stanja u prvo pobuđeno stanje jezgre 8Be Najniža dva stanja su pozitivnog pariteta a prijelaz je tipa M1 paritet stanja na Ex= 176 MeV mora biti pozitivan (M1-prijelaz čuva paritet) a spin mora biti J=1 samo tako se mogu intenzivno puniti stanja i 0+ i 2+

1

20

2

1

2

3

0

1

2

3

12

1

2

3

Rješenje 46

Zaključujemo da je u reakciji (pg) 7Li međudjelovao sa P-protonom Gama-raspad je ldquosporrdquo i zbog toga je ova rezonanca uža od ostalih koje se raspadaju emisijom čestica

Paritet sistema aa je pozitivna jer su a-čestice identični bozoni S druge strane za ovaj paritet vrijedi

gdje je L relativni moment impulsa dvije a-čestice koji dakle mora biti paran Stanje na Ex= 198 MeV preko kojeg se odvija reakcija 7Li(pa)4He mora dakle imati J= (0 ili 2)+ Relativno velika energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje prolasku kroz kulonsku i centrifugalnu barijeru stvorene a-čestice imaju pak ogromnu relativnu brzinu pa one laganu tuneliraju kroz barijeru(e) i rapad je tog stanja vrlo brz (tj stanje je široko)

Primijetiti da za stanje na Ex= 176 MeV spin jedan zabranjuje raspad u 2 a-čestice

LL )1()1(2 aaa

Rješenje 46

Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfa-čestice već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog pariteta To se može ostvariti g-emisijom ldquoneparnihrdquo fotona (E1 M2 ) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski dozvoljeni

Činjenica da se stanje na Ex= 1915 MeV ne raspada ni u 2 alfa-čestice ni gama-emisijom već baš emisijom neutrona koja je brža od gama-emisije govori da to stanje ima negativni paritet To pak znači da je u ovoj reakciji 7Li međudjelovao sa S-protonom (nema centrifugalne barijere) i zbog toga je udarni presjek veći Spin ovog stanja tada mora biti 1 ili 2

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 43

Mjereni vrh u udarnom presjeku pripisujemo stvaranju složene jezgre 16O a+12C16O

16O+g

Energija pobuđenja tog stanja računa se iz

gdje je Eprag energija praga za raspad jezgre 16O u a+12C a Erel

relativna energija gibanja a i 12C u sustavu centra mase

Dobivamo

Ex= 7162+5284= 12446 keV

relpragx EEE

CMM

CM

EE labrel 12

12

)(

)(

aa

Rješenje 43

Pri računanju energije gama-zrake moramo uzeti u obzir i odboj

jezgre

gdje je s M označena masa jezgre koja emitira gamu (16O) Korekcija

odboja je vrlo malena i dobivamo Eg= 12440 keV

Isto stanje složene jezgre 16O bit će moguće pobuditi reakcijom

p+15N16Oa+12C

ako se ono nalazi iznad praga za raspad u p+15N

2

00

21

Mc

EEEg

Rješenje 43

Provjeravamo kolika je Q-vrijednost

Dobivena vrijednost je 320 keV ispod Erel izračunate prije Dakle

proučavano stanje 16O nalazi se 320 keV iznad praga za raspad 16O u 15N+p Stoga ga je moguće pobuditi protonima čija je laboratorijska

energija

keV

keV

CNp

cmmQout in

4964

024251007289

)(1215

2

a

keV

NM

pMNM

EpE rellab 34115

16320

)(

)(15

15

Zadatak 44 Reakcijom (dp) pobuđuje se neko stanje teške parno-

parne jezgre uz Q= +8 MeV Pretpostavljajući da jezgre mete

ostaju u mirovanju procijenite energiju snopa na kojoj će naprijed

emitirani protoni imati isti impuls kao ulazni deuteroni Ako kutna

raspodjela ima vrh na 40o a jezgre u meti imaju polumjer 41 fm

koliki je prenešeni L

Rješenje 44 Za dani impuls energija je obrnuto proporcionalna masi EdEp= mpmd= 05 No zadano je i Epasymp Ed+Q pa dobivamo Ep= 2Q = 16 MeV Ed= Q = 8 MeV

Rješenje 44

Prenešeni moment impulsa poluklasično se može odrediti iz

Smjer izlazne čestice (q) ovisi o pt i zbog toga i o Lt

Specijalan slučaj prenešena energija vrlo malena u odnosu na upadnu

Slijedi

2

sin4cos222222

oioioioit ppppppppp

RpLLL t )1(

ppp oi

pR

LL

p

pt

2

)1(

22sin

Rješenje 44

Dobivamo

2

2sin2

)1(

pR

LL

26)1( LLL

Zadatak 45 Kvalitativno diskutirajte utjecaj momenta impulsa i

energije snopa na brzinu odvijanja nuklearnih reakcija

Rješenje 45 Poluklasično i vrlo kvalitativno ako s p označimo relativni impuls čestice snopa u odnosu na jezgru u meti s l relativni moment impulsa a s rl parametar sudara imamo pa je parametar sudara dan s Upadni snop ldquodijelimordquo na cilindrične zone polumjera rl unutar kojih čestice s datim impulsima p imaju moment impulsa l

)1( llpl l r

llp

llp

l

)1( r

Rješenje 45

Ako domet interakcije označimo s r0 tada iz uvjeta

vidimo da je val s najvećim l koji će još sudjelovati u reakciji onaj s

gdje uglata zagrada označava najveći cijeli broj od izraza u njoj

Udarni presjek za reakciju datog parcijalnog vala u ovakvoj aproksimaciji može se izjednačiti s površinom prstena polumjera rl

(za homogeni upadni snop)

0maxmax rlp

l

r

00

0max kr

prrl

222

1 )12( rr llll

Rješenje 45

Uz

totalni udarni presjek jednak je

Za ltltr0 (kr0gtgt1) vrijedi

Radi se o slučaju geometrijske optike u kome je klasično razmatranje po trajektorijama dobra aproksimacija

2

0

2max

2max

maxmax2

max0

22

0

)1(12

)1(2

1212maxmax

r

llll

llll

l

l

ll

0max

rl

20r

Rješenje 45

Za gtgtr0 (kr0ltlt1) vrijedi lmax=0 (samo s-val sudjeluje u reakciji)

Dakle za niskoenergijska raspršenja udarni presjek je općenito veći nego na visokim energijama

Uvjet za maksimalni moment impulsa ekvivalentan je uvjetu koji mora zadovoljavati kinetička energija projektila da bi uz relativni moment impulsa l čestica stupila u interakciju s drugom na udaljenosti r0

2

)1(0

llr

p

)1(22 2

0

22

llr

pT

Rješenje 45

O ovom izrazu prepoznaje se utjecaj centrifugalne barijere Dakle do interakcije čestice momenta impula l i jezgre dolazi ako je energija veća od visine centrifugalne barijere

Alternativno ako je energija fiksirana do interakcije dolazo samo za one čestice s l ltlmax ovaj utjecaj drastično smanjuje udarne presjeke za raspršenje viših parcijalnih valova

Uz r0asymp14 A13 fm visina centrifugalne barijere može se procijeniti na

Osim centrifugalne nabijeni snopovi ldquoviderdquo i kulonsku barijeru visine

MeVllA

llr

Vcf )1(10

)1(2

3220

2

MeVA

zz

r

ezzVc

31

21

0

221

Rješenje 45

Za nekoliko izabranih slučajeva visina barijere dana je u MeV-ima

meta snop p i n (S) p i n (P) p i n (D) p ( l)

p 0 20 60 1

7Li 0 55 17 16

16O 0 32 10 35

55Mn 0 14 42 66

120Sn 0 08 25 10

238U 0 04 12 15

Vcf Vcf Vcf Vc

Zadatak 46 Na slici je prikazana ovisnost udarnih presjeka o

energiji upadnih protona za razne izlazne kanale reakcije p+7Li

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Ove reakcije popraćene su emisijom gama-zraka energije E1 = 147

MeV E2 = 176 MeV E3 = 152 MeV i E4 = 181 MeV (sve tipa M1) Ako

je poznato da su dva najniža stanja jezgre 8Be usko osnovno stanje

0+ (T12asymp 10-15 s) i vrlo široko (Gasymp 800 keV) stanje 2+ na Exasymp 29 MeV

Na temelju ovih podataka naći i objasniti položaj stanja jezgre 8Be

njihove spinove i paritet te shemu raspada Kvalitativno objasniti

ponašanje udarnih presjeka navedenih reakcija i širine rezonanca

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Rješenje 46

Prvo pomoću tablica masa nalazimo Q-vrijednosti reakcija

1) 7Li(pg)8Be Q1= 1725 MeV

2) 7Li(pa)4He Q2= 1734 MeV

3) 7Li(pp)7Li Q3= 0 MeV

4) 7Li(pn)7Be Q4= -164 MeV

Uočiti da su (pn)-reakcije najčešće endotermne jer je masa

neutrona veća od mase protona za 13 MeV a za b-stabilne jezgre

meta mora imati najviše 500 keV veću energiju vezanja od izlazne

teške čestice

Zbog negativne Q-vrijednosti prag za reakciju 4) je na Ep= 188

MeV

Rješenje 46

Pretpostavljamo da se sve reakcije odigravaju preko stanja složene jezgre 8Be Uz oznake

X(ab)Y ili a+X C b+Y

imamo

U nerelativističkoj aproksimaciji

0 XCa ppp

CCaXa EcmEcmm 22

a

C

a

a

a

C

a

C

CC E

m

m

m

p

m

m

m

pE

2

2

22

a

C

aXaCaXaC E

m

mcmmEEcmmcm

2221

Rješenje 46

Uvrstimo li na desnu stranu

na lijevoj dobivamo

pa je energija pobuđenog stanja u složenoj jezgri C jednaka

Prvi član je baš jednak Q-vrijednosti prve od popisanih reakcija Q= 1725 MeV

Dakle rezonance se pojavljuju na energijama pobuđenja u 8Be Ex1= 1725+7(7+1)044= 176 MeV

Ex2= 198 MeV Ex3= 1812 MeV Ex4= 1915 MeV

aXa

XCXaCCx E

mm

mcmmmcmcmE

222

XaC mmm

aXa

XXaC E

mm

mcmmcm

22

Rješenje 46

Spinove i paritet pobuđenih stanja (rezonanci) možemo odrediti korištenjem zakona sačuvanja momenta impulsa i pariteta Paritet sistema a+X jednak je

i on mora biti jednak paritetu stanja C s jedne ali i paritetu krajnjeg sistema b+Y s druge strane

Model ljusaka za osnovno stanje jezgre 7Li daje J= 32- Unutrašnja parnost protona je + (J=12) pa ako jezgra 7Li međudjeluje s S-protonom paritet sistema p +7Li bit će negativan kao i paritet odgovarajućeg stanja u 8Be Ako 7Li međudjeluje s P-protonom paritet stanja u 8Be bit će pozitivan

Na energijama do asymp5 MeV relativni moment impulsa pri reakciji praktički ne može biti veći od 1 (L= 01)

L

XaXa )1(

Rješenje 46

Zaključujemo

L=0 (S-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)0= -1

L=1 (P-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)1= +1

Gledamo detektirane gama-zrake ona od 176 MeV točno odgovara prijelazu između rezonance na E(p)= 044 MeV i osnovnog stanja gama-prijelaz od 147 MeV prepoznajemo kao prijelaz iz tog stanja u prvo pobuđeno stanje jezgre 8Be Najniža dva stanja su pozitivnog pariteta a prijelaz je tipa M1 paritet stanja na Ex= 176 MeV mora biti pozitivan (M1-prijelaz čuva paritet) a spin mora biti J=1 samo tako se mogu intenzivno puniti stanja i 0+ i 2+

1

20

2

1

2

3

0

1

2

3

12

1

2

3

Rješenje 46

Zaključujemo da je u reakciji (pg) 7Li međudjelovao sa P-protonom Gama-raspad je ldquosporrdquo i zbog toga je ova rezonanca uža od ostalih koje se raspadaju emisijom čestica

Paritet sistema aa je pozitivna jer su a-čestice identični bozoni S druge strane za ovaj paritet vrijedi

gdje je L relativni moment impulsa dvije a-čestice koji dakle mora biti paran Stanje na Ex= 198 MeV preko kojeg se odvija reakcija 7Li(pa)4He mora dakle imati J= (0 ili 2)+ Relativno velika energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje prolasku kroz kulonsku i centrifugalnu barijeru stvorene a-čestice imaju pak ogromnu relativnu brzinu pa one laganu tuneliraju kroz barijeru(e) i rapad je tog stanja vrlo brz (tj stanje je široko)

Primijetiti da za stanje na Ex= 176 MeV spin jedan zabranjuje raspad u 2 a-čestice

LL )1()1(2 aaa

Rješenje 46

Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfa-čestice već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog pariteta To se može ostvariti g-emisijom ldquoneparnihrdquo fotona (E1 M2 ) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski dozvoljeni

Činjenica da se stanje na Ex= 1915 MeV ne raspada ni u 2 alfa-čestice ni gama-emisijom već baš emisijom neutrona koja je brža od gama-emisije govori da to stanje ima negativni paritet To pak znači da je u ovoj reakciji 7Li međudjelovao sa S-protonom (nema centrifugalne barijere) i zbog toga je udarni presjek veći Spin ovog stanja tada mora biti 1 ili 2

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 43

Pri računanju energije gama-zrake moramo uzeti u obzir i odboj

jezgre

gdje je s M označena masa jezgre koja emitira gamu (16O) Korekcija

odboja je vrlo malena i dobivamo Eg= 12440 keV

Isto stanje složene jezgre 16O bit će moguće pobuditi reakcijom

p+15N16Oa+12C

ako se ono nalazi iznad praga za raspad u p+15N

2

00

21

Mc

EEEg

Rješenje 43

Provjeravamo kolika je Q-vrijednost

Dobivena vrijednost je 320 keV ispod Erel izračunate prije Dakle

proučavano stanje 16O nalazi se 320 keV iznad praga za raspad 16O u 15N+p Stoga ga je moguće pobuditi protonima čija je laboratorijska

energija

keV

keV

CNp

cmmQout in

4964

024251007289

)(1215

2

a

keV

NM

pMNM

EpE rellab 34115

16320

)(

)(15

15

Zadatak 44 Reakcijom (dp) pobuđuje se neko stanje teške parno-

parne jezgre uz Q= +8 MeV Pretpostavljajući da jezgre mete

ostaju u mirovanju procijenite energiju snopa na kojoj će naprijed

emitirani protoni imati isti impuls kao ulazni deuteroni Ako kutna

raspodjela ima vrh na 40o a jezgre u meti imaju polumjer 41 fm

koliki je prenešeni L

Rješenje 44 Za dani impuls energija je obrnuto proporcionalna masi EdEp= mpmd= 05 No zadano je i Epasymp Ed+Q pa dobivamo Ep= 2Q = 16 MeV Ed= Q = 8 MeV

Rješenje 44

Prenešeni moment impulsa poluklasično se može odrediti iz

Smjer izlazne čestice (q) ovisi o pt i zbog toga i o Lt

Specijalan slučaj prenešena energija vrlo malena u odnosu na upadnu

Slijedi

2

sin4cos222222

oioioioit ppppppppp

RpLLL t )1(

ppp oi

pR

LL

p

pt

2

)1(

22sin

Rješenje 44

Dobivamo

2

2sin2

)1(

pR

LL

26)1( LLL

Zadatak 45 Kvalitativno diskutirajte utjecaj momenta impulsa i

energije snopa na brzinu odvijanja nuklearnih reakcija

Rješenje 45 Poluklasično i vrlo kvalitativno ako s p označimo relativni impuls čestice snopa u odnosu na jezgru u meti s l relativni moment impulsa a s rl parametar sudara imamo pa je parametar sudara dan s Upadni snop ldquodijelimordquo na cilindrične zone polumjera rl unutar kojih čestice s datim impulsima p imaju moment impulsa l

)1( llpl l r

llp

llp

l

)1( r

Rješenje 45

Ako domet interakcije označimo s r0 tada iz uvjeta

vidimo da je val s najvećim l koji će još sudjelovati u reakciji onaj s

gdje uglata zagrada označava najveći cijeli broj od izraza u njoj

Udarni presjek za reakciju datog parcijalnog vala u ovakvoj aproksimaciji može se izjednačiti s površinom prstena polumjera rl

(za homogeni upadni snop)

0maxmax rlp

l

r

00

0max kr

prrl

222

1 )12( rr llll

Rješenje 45

Uz

totalni udarni presjek jednak je

Za ltltr0 (kr0gtgt1) vrijedi

Radi se o slučaju geometrijske optike u kome je klasično razmatranje po trajektorijama dobra aproksimacija

2

0

2max

2max

maxmax2

max0

22

0

)1(12

)1(2

1212maxmax

r

llll

llll

l

l

ll

0max

rl

20r

Rješenje 45

Za gtgtr0 (kr0ltlt1) vrijedi lmax=0 (samo s-val sudjeluje u reakciji)

Dakle za niskoenergijska raspršenja udarni presjek je općenito veći nego na visokim energijama

Uvjet za maksimalni moment impulsa ekvivalentan je uvjetu koji mora zadovoljavati kinetička energija projektila da bi uz relativni moment impulsa l čestica stupila u interakciju s drugom na udaljenosti r0

2

)1(0

llr

p

)1(22 2

0

22

llr

pT

Rješenje 45

O ovom izrazu prepoznaje se utjecaj centrifugalne barijere Dakle do interakcije čestice momenta impula l i jezgre dolazi ako je energija veća od visine centrifugalne barijere

Alternativno ako je energija fiksirana do interakcije dolazo samo za one čestice s l ltlmax ovaj utjecaj drastično smanjuje udarne presjeke za raspršenje viših parcijalnih valova

Uz r0asymp14 A13 fm visina centrifugalne barijere može se procijeniti na

Osim centrifugalne nabijeni snopovi ldquoviderdquo i kulonsku barijeru visine

MeVllA

llr

Vcf )1(10

)1(2

3220

2

MeVA

zz

r

ezzVc

31

21

0

221

Rješenje 45

Za nekoliko izabranih slučajeva visina barijere dana je u MeV-ima

meta snop p i n (S) p i n (P) p i n (D) p ( l)

p 0 20 60 1

7Li 0 55 17 16

16O 0 32 10 35

55Mn 0 14 42 66

120Sn 0 08 25 10

238U 0 04 12 15

Vcf Vcf Vcf Vc

Zadatak 46 Na slici je prikazana ovisnost udarnih presjeka o

energiji upadnih protona za razne izlazne kanale reakcije p+7Li

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Ove reakcije popraćene su emisijom gama-zraka energije E1 = 147

MeV E2 = 176 MeV E3 = 152 MeV i E4 = 181 MeV (sve tipa M1) Ako

je poznato da su dva najniža stanja jezgre 8Be usko osnovno stanje

0+ (T12asymp 10-15 s) i vrlo široko (Gasymp 800 keV) stanje 2+ na Exasymp 29 MeV

Na temelju ovih podataka naći i objasniti položaj stanja jezgre 8Be

njihove spinove i paritet te shemu raspada Kvalitativno objasniti

ponašanje udarnih presjeka navedenih reakcija i širine rezonanca

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Rješenje 46

Prvo pomoću tablica masa nalazimo Q-vrijednosti reakcija

1) 7Li(pg)8Be Q1= 1725 MeV

2) 7Li(pa)4He Q2= 1734 MeV

3) 7Li(pp)7Li Q3= 0 MeV

4) 7Li(pn)7Be Q4= -164 MeV

Uočiti da su (pn)-reakcije najčešće endotermne jer je masa

neutrona veća od mase protona za 13 MeV a za b-stabilne jezgre

meta mora imati najviše 500 keV veću energiju vezanja od izlazne

teške čestice

Zbog negativne Q-vrijednosti prag za reakciju 4) je na Ep= 188

MeV

Rješenje 46

Pretpostavljamo da se sve reakcije odigravaju preko stanja složene jezgre 8Be Uz oznake

X(ab)Y ili a+X C b+Y

imamo

U nerelativističkoj aproksimaciji

0 XCa ppp

CCaXa EcmEcmm 22

a

C

a

a

a

C

a

C

CC E

m

m

m

p

m

m

m

pE

2

2

22

a

C

aXaCaXaC E

m

mcmmEEcmmcm

2221

Rješenje 46

Uvrstimo li na desnu stranu

na lijevoj dobivamo

pa je energija pobuđenog stanja u složenoj jezgri C jednaka

Prvi član je baš jednak Q-vrijednosti prve od popisanih reakcija Q= 1725 MeV

Dakle rezonance se pojavljuju na energijama pobuđenja u 8Be Ex1= 1725+7(7+1)044= 176 MeV

Ex2= 198 MeV Ex3= 1812 MeV Ex4= 1915 MeV

aXa

XCXaCCx E

mm

mcmmmcmcmE

222

XaC mmm

aXa

XXaC E

mm

mcmmcm

22

Rješenje 46

Spinove i paritet pobuđenih stanja (rezonanci) možemo odrediti korištenjem zakona sačuvanja momenta impulsa i pariteta Paritet sistema a+X jednak je

i on mora biti jednak paritetu stanja C s jedne ali i paritetu krajnjeg sistema b+Y s druge strane

Model ljusaka za osnovno stanje jezgre 7Li daje J= 32- Unutrašnja parnost protona je + (J=12) pa ako jezgra 7Li međudjeluje s S-protonom paritet sistema p +7Li bit će negativan kao i paritet odgovarajućeg stanja u 8Be Ako 7Li međudjeluje s P-protonom paritet stanja u 8Be bit će pozitivan

Na energijama do asymp5 MeV relativni moment impulsa pri reakciji praktički ne može biti veći od 1 (L= 01)

L

XaXa )1(

Rješenje 46

Zaključujemo

L=0 (S-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)0= -1

L=1 (P-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)1= +1

Gledamo detektirane gama-zrake ona od 176 MeV točno odgovara prijelazu između rezonance na E(p)= 044 MeV i osnovnog stanja gama-prijelaz od 147 MeV prepoznajemo kao prijelaz iz tog stanja u prvo pobuđeno stanje jezgre 8Be Najniža dva stanja su pozitivnog pariteta a prijelaz je tipa M1 paritet stanja na Ex= 176 MeV mora biti pozitivan (M1-prijelaz čuva paritet) a spin mora biti J=1 samo tako se mogu intenzivno puniti stanja i 0+ i 2+

1

20

2

1

2

3

0

1

2

3

12

1

2

3

Rješenje 46

Zaključujemo da je u reakciji (pg) 7Li međudjelovao sa P-protonom Gama-raspad je ldquosporrdquo i zbog toga je ova rezonanca uža od ostalih koje se raspadaju emisijom čestica

Paritet sistema aa je pozitivna jer su a-čestice identični bozoni S druge strane za ovaj paritet vrijedi

gdje je L relativni moment impulsa dvije a-čestice koji dakle mora biti paran Stanje na Ex= 198 MeV preko kojeg se odvija reakcija 7Li(pa)4He mora dakle imati J= (0 ili 2)+ Relativno velika energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje prolasku kroz kulonsku i centrifugalnu barijeru stvorene a-čestice imaju pak ogromnu relativnu brzinu pa one laganu tuneliraju kroz barijeru(e) i rapad je tog stanja vrlo brz (tj stanje je široko)

Primijetiti da za stanje na Ex= 176 MeV spin jedan zabranjuje raspad u 2 a-čestice

LL )1()1(2 aaa

Rješenje 46

Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfa-čestice već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog pariteta To se može ostvariti g-emisijom ldquoneparnihrdquo fotona (E1 M2 ) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski dozvoljeni

Činjenica da se stanje na Ex= 1915 MeV ne raspada ni u 2 alfa-čestice ni gama-emisijom već baš emisijom neutrona koja je brža od gama-emisije govori da to stanje ima negativni paritet To pak znači da je u ovoj reakciji 7Li međudjelovao sa S-protonom (nema centrifugalne barijere) i zbog toga je udarni presjek veći Spin ovog stanja tada mora biti 1 ili 2

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 43

Provjeravamo kolika je Q-vrijednost

Dobivena vrijednost je 320 keV ispod Erel izračunate prije Dakle

proučavano stanje 16O nalazi se 320 keV iznad praga za raspad 16O u 15N+p Stoga ga je moguće pobuditi protonima čija je laboratorijska

energija

keV

keV

CNp

cmmQout in

4964

024251007289

)(1215

2

a

keV

NM

pMNM

EpE rellab 34115

16320

)(

)(15

15

Zadatak 44 Reakcijom (dp) pobuđuje se neko stanje teške parno-

parne jezgre uz Q= +8 MeV Pretpostavljajući da jezgre mete

ostaju u mirovanju procijenite energiju snopa na kojoj će naprijed

emitirani protoni imati isti impuls kao ulazni deuteroni Ako kutna

raspodjela ima vrh na 40o a jezgre u meti imaju polumjer 41 fm

koliki je prenešeni L

Rješenje 44 Za dani impuls energija je obrnuto proporcionalna masi EdEp= mpmd= 05 No zadano je i Epasymp Ed+Q pa dobivamo Ep= 2Q = 16 MeV Ed= Q = 8 MeV

Rješenje 44

Prenešeni moment impulsa poluklasično se može odrediti iz

Smjer izlazne čestice (q) ovisi o pt i zbog toga i o Lt

Specijalan slučaj prenešena energija vrlo malena u odnosu na upadnu

Slijedi

2

sin4cos222222

oioioioit ppppppppp

RpLLL t )1(

ppp oi

pR

LL

p

pt

2

)1(

22sin

Rješenje 44

Dobivamo

2

2sin2

)1(

pR

LL

26)1( LLL

Zadatak 45 Kvalitativno diskutirajte utjecaj momenta impulsa i

energije snopa na brzinu odvijanja nuklearnih reakcija

Rješenje 45 Poluklasično i vrlo kvalitativno ako s p označimo relativni impuls čestice snopa u odnosu na jezgru u meti s l relativni moment impulsa a s rl parametar sudara imamo pa je parametar sudara dan s Upadni snop ldquodijelimordquo na cilindrične zone polumjera rl unutar kojih čestice s datim impulsima p imaju moment impulsa l

)1( llpl l r

llp

llp

l

)1( r

Rješenje 45

Ako domet interakcije označimo s r0 tada iz uvjeta

vidimo da je val s najvećim l koji će još sudjelovati u reakciji onaj s

gdje uglata zagrada označava najveći cijeli broj od izraza u njoj

Udarni presjek za reakciju datog parcijalnog vala u ovakvoj aproksimaciji može se izjednačiti s površinom prstena polumjera rl

(za homogeni upadni snop)

0maxmax rlp

l

r

00

0max kr

prrl

222

1 )12( rr llll

Rješenje 45

Uz

totalni udarni presjek jednak je

Za ltltr0 (kr0gtgt1) vrijedi

Radi se o slučaju geometrijske optike u kome je klasično razmatranje po trajektorijama dobra aproksimacija

2

0

2max

2max

maxmax2

max0

22

0

)1(12

)1(2

1212maxmax

r

llll

llll

l

l

ll

0max

rl

20r

Rješenje 45

Za gtgtr0 (kr0ltlt1) vrijedi lmax=0 (samo s-val sudjeluje u reakciji)

Dakle za niskoenergijska raspršenja udarni presjek je općenito veći nego na visokim energijama

Uvjet za maksimalni moment impulsa ekvivalentan je uvjetu koji mora zadovoljavati kinetička energija projektila da bi uz relativni moment impulsa l čestica stupila u interakciju s drugom na udaljenosti r0

2

)1(0

llr

p

)1(22 2

0

22

llr

pT

Rješenje 45

O ovom izrazu prepoznaje se utjecaj centrifugalne barijere Dakle do interakcije čestice momenta impula l i jezgre dolazi ako je energija veća od visine centrifugalne barijere

Alternativno ako je energija fiksirana do interakcije dolazo samo za one čestice s l ltlmax ovaj utjecaj drastično smanjuje udarne presjeke za raspršenje viših parcijalnih valova

Uz r0asymp14 A13 fm visina centrifugalne barijere može se procijeniti na

Osim centrifugalne nabijeni snopovi ldquoviderdquo i kulonsku barijeru visine

MeVllA

llr

Vcf )1(10

)1(2

3220

2

MeVA

zz

r

ezzVc

31

21

0

221

Rješenje 45

Za nekoliko izabranih slučajeva visina barijere dana je u MeV-ima

meta snop p i n (S) p i n (P) p i n (D) p ( l)

p 0 20 60 1

7Li 0 55 17 16

16O 0 32 10 35

55Mn 0 14 42 66

120Sn 0 08 25 10

238U 0 04 12 15

Vcf Vcf Vcf Vc

Zadatak 46 Na slici je prikazana ovisnost udarnih presjeka o

energiji upadnih protona za razne izlazne kanale reakcije p+7Li

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Ove reakcije popraćene su emisijom gama-zraka energije E1 = 147

MeV E2 = 176 MeV E3 = 152 MeV i E4 = 181 MeV (sve tipa M1) Ako

je poznato da su dva najniža stanja jezgre 8Be usko osnovno stanje

0+ (T12asymp 10-15 s) i vrlo široko (Gasymp 800 keV) stanje 2+ na Exasymp 29 MeV

Na temelju ovih podataka naći i objasniti položaj stanja jezgre 8Be

njihove spinove i paritet te shemu raspada Kvalitativno objasniti

ponašanje udarnih presjeka navedenih reakcija i širine rezonanca

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Rješenje 46

Prvo pomoću tablica masa nalazimo Q-vrijednosti reakcija

1) 7Li(pg)8Be Q1= 1725 MeV

2) 7Li(pa)4He Q2= 1734 MeV

3) 7Li(pp)7Li Q3= 0 MeV

4) 7Li(pn)7Be Q4= -164 MeV

Uočiti da su (pn)-reakcije najčešće endotermne jer je masa

neutrona veća od mase protona za 13 MeV a za b-stabilne jezgre

meta mora imati najviše 500 keV veću energiju vezanja od izlazne

teške čestice

Zbog negativne Q-vrijednosti prag za reakciju 4) je na Ep= 188

MeV

Rješenje 46

Pretpostavljamo da se sve reakcije odigravaju preko stanja složene jezgre 8Be Uz oznake

X(ab)Y ili a+X C b+Y

imamo

U nerelativističkoj aproksimaciji

0 XCa ppp

CCaXa EcmEcmm 22

a

C

a

a

a

C

a

C

CC E

m

m

m

p

m

m

m

pE

2

2

22

a

C

aXaCaXaC E

m

mcmmEEcmmcm

2221

Rješenje 46

Uvrstimo li na desnu stranu

na lijevoj dobivamo

pa je energija pobuđenog stanja u složenoj jezgri C jednaka

Prvi član je baš jednak Q-vrijednosti prve od popisanih reakcija Q= 1725 MeV

Dakle rezonance se pojavljuju na energijama pobuđenja u 8Be Ex1= 1725+7(7+1)044= 176 MeV

Ex2= 198 MeV Ex3= 1812 MeV Ex4= 1915 MeV

aXa

XCXaCCx E

mm

mcmmmcmcmE

222

XaC mmm

aXa

XXaC E

mm

mcmmcm

22

Rješenje 46

Spinove i paritet pobuđenih stanja (rezonanci) možemo odrediti korištenjem zakona sačuvanja momenta impulsa i pariteta Paritet sistema a+X jednak je

i on mora biti jednak paritetu stanja C s jedne ali i paritetu krajnjeg sistema b+Y s druge strane

Model ljusaka za osnovno stanje jezgre 7Li daje J= 32- Unutrašnja parnost protona je + (J=12) pa ako jezgra 7Li međudjeluje s S-protonom paritet sistema p +7Li bit će negativan kao i paritet odgovarajućeg stanja u 8Be Ako 7Li međudjeluje s P-protonom paritet stanja u 8Be bit će pozitivan

Na energijama do asymp5 MeV relativni moment impulsa pri reakciji praktički ne može biti veći od 1 (L= 01)

L

XaXa )1(

Rješenje 46

Zaključujemo

L=0 (S-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)0= -1

L=1 (P-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)1= +1

Gledamo detektirane gama-zrake ona od 176 MeV točno odgovara prijelazu između rezonance na E(p)= 044 MeV i osnovnog stanja gama-prijelaz od 147 MeV prepoznajemo kao prijelaz iz tog stanja u prvo pobuđeno stanje jezgre 8Be Najniža dva stanja su pozitivnog pariteta a prijelaz je tipa M1 paritet stanja na Ex= 176 MeV mora biti pozitivan (M1-prijelaz čuva paritet) a spin mora biti J=1 samo tako se mogu intenzivno puniti stanja i 0+ i 2+

1

20

2

1

2

3

0

1

2

3

12

1

2

3

Rješenje 46

Zaključujemo da je u reakciji (pg) 7Li međudjelovao sa P-protonom Gama-raspad je ldquosporrdquo i zbog toga je ova rezonanca uža od ostalih koje se raspadaju emisijom čestica

Paritet sistema aa je pozitivna jer su a-čestice identični bozoni S druge strane za ovaj paritet vrijedi

gdje je L relativni moment impulsa dvije a-čestice koji dakle mora biti paran Stanje na Ex= 198 MeV preko kojeg se odvija reakcija 7Li(pa)4He mora dakle imati J= (0 ili 2)+ Relativno velika energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje prolasku kroz kulonsku i centrifugalnu barijeru stvorene a-čestice imaju pak ogromnu relativnu brzinu pa one laganu tuneliraju kroz barijeru(e) i rapad je tog stanja vrlo brz (tj stanje je široko)

Primijetiti da za stanje na Ex= 176 MeV spin jedan zabranjuje raspad u 2 a-čestice

LL )1()1(2 aaa

Rješenje 46

Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfa-čestice već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog pariteta To se može ostvariti g-emisijom ldquoneparnihrdquo fotona (E1 M2 ) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski dozvoljeni

Činjenica da se stanje na Ex= 1915 MeV ne raspada ni u 2 alfa-čestice ni gama-emisijom već baš emisijom neutrona koja je brža od gama-emisije govori da to stanje ima negativni paritet To pak znači da je u ovoj reakciji 7Li međudjelovao sa S-protonom (nema centrifugalne barijere) i zbog toga je udarni presjek veći Spin ovog stanja tada mora biti 1 ili 2

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Zadatak 44 Reakcijom (dp) pobuđuje se neko stanje teške parno-

parne jezgre uz Q= +8 MeV Pretpostavljajući da jezgre mete

ostaju u mirovanju procijenite energiju snopa na kojoj će naprijed

emitirani protoni imati isti impuls kao ulazni deuteroni Ako kutna

raspodjela ima vrh na 40o a jezgre u meti imaju polumjer 41 fm

koliki je prenešeni L

Rješenje 44 Za dani impuls energija je obrnuto proporcionalna masi EdEp= mpmd= 05 No zadano je i Epasymp Ed+Q pa dobivamo Ep= 2Q = 16 MeV Ed= Q = 8 MeV

Rješenje 44

Prenešeni moment impulsa poluklasično se može odrediti iz

Smjer izlazne čestice (q) ovisi o pt i zbog toga i o Lt

Specijalan slučaj prenešena energija vrlo malena u odnosu na upadnu

Slijedi

2

sin4cos222222

oioioioit ppppppppp

RpLLL t )1(

ppp oi

pR

LL

p

pt

2

)1(

22sin

Rješenje 44

Dobivamo

2

2sin2

)1(

pR

LL

26)1( LLL

Zadatak 45 Kvalitativno diskutirajte utjecaj momenta impulsa i

energije snopa na brzinu odvijanja nuklearnih reakcija

Rješenje 45 Poluklasično i vrlo kvalitativno ako s p označimo relativni impuls čestice snopa u odnosu na jezgru u meti s l relativni moment impulsa a s rl parametar sudara imamo pa je parametar sudara dan s Upadni snop ldquodijelimordquo na cilindrične zone polumjera rl unutar kojih čestice s datim impulsima p imaju moment impulsa l

)1( llpl l r

llp

llp

l

)1( r

Rješenje 45

Ako domet interakcije označimo s r0 tada iz uvjeta

vidimo da je val s najvećim l koji će još sudjelovati u reakciji onaj s

gdje uglata zagrada označava najveći cijeli broj od izraza u njoj

Udarni presjek za reakciju datog parcijalnog vala u ovakvoj aproksimaciji može se izjednačiti s površinom prstena polumjera rl

(za homogeni upadni snop)

0maxmax rlp

l

r

00

0max kr

prrl

222

1 )12( rr llll

Rješenje 45

Uz

totalni udarni presjek jednak je

Za ltltr0 (kr0gtgt1) vrijedi

Radi se o slučaju geometrijske optike u kome je klasično razmatranje po trajektorijama dobra aproksimacija

2

0

2max

2max

maxmax2

max0

22

0

)1(12

)1(2

1212maxmax

r

llll

llll

l

l

ll

0max

rl

20r

Rješenje 45

Za gtgtr0 (kr0ltlt1) vrijedi lmax=0 (samo s-val sudjeluje u reakciji)

Dakle za niskoenergijska raspršenja udarni presjek je općenito veći nego na visokim energijama

Uvjet za maksimalni moment impulsa ekvivalentan je uvjetu koji mora zadovoljavati kinetička energija projektila da bi uz relativni moment impulsa l čestica stupila u interakciju s drugom na udaljenosti r0

2

)1(0

llr

p

)1(22 2

0

22

llr

pT

Rješenje 45

O ovom izrazu prepoznaje se utjecaj centrifugalne barijere Dakle do interakcije čestice momenta impula l i jezgre dolazi ako je energija veća od visine centrifugalne barijere

Alternativno ako je energija fiksirana do interakcije dolazo samo za one čestice s l ltlmax ovaj utjecaj drastično smanjuje udarne presjeke za raspršenje viših parcijalnih valova

Uz r0asymp14 A13 fm visina centrifugalne barijere može se procijeniti na

Osim centrifugalne nabijeni snopovi ldquoviderdquo i kulonsku barijeru visine

MeVllA

llr

Vcf )1(10

)1(2

3220

2

MeVA

zz

r

ezzVc

31

21

0

221

Rješenje 45

Za nekoliko izabranih slučajeva visina barijere dana je u MeV-ima

meta snop p i n (S) p i n (P) p i n (D) p ( l)

p 0 20 60 1

7Li 0 55 17 16

16O 0 32 10 35

55Mn 0 14 42 66

120Sn 0 08 25 10

238U 0 04 12 15

Vcf Vcf Vcf Vc

Zadatak 46 Na slici je prikazana ovisnost udarnih presjeka o

energiji upadnih protona za razne izlazne kanale reakcije p+7Li

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Ove reakcije popraćene su emisijom gama-zraka energije E1 = 147

MeV E2 = 176 MeV E3 = 152 MeV i E4 = 181 MeV (sve tipa M1) Ako

je poznato da su dva najniža stanja jezgre 8Be usko osnovno stanje

0+ (T12asymp 10-15 s) i vrlo široko (Gasymp 800 keV) stanje 2+ na Exasymp 29 MeV

Na temelju ovih podataka naći i objasniti položaj stanja jezgre 8Be

njihove spinove i paritet te shemu raspada Kvalitativno objasniti

ponašanje udarnih presjeka navedenih reakcija i širine rezonanca

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Rješenje 46

Prvo pomoću tablica masa nalazimo Q-vrijednosti reakcija

1) 7Li(pg)8Be Q1= 1725 MeV

2) 7Li(pa)4He Q2= 1734 MeV

3) 7Li(pp)7Li Q3= 0 MeV

4) 7Li(pn)7Be Q4= -164 MeV

Uočiti da su (pn)-reakcije najčešće endotermne jer je masa

neutrona veća od mase protona za 13 MeV a za b-stabilne jezgre

meta mora imati najviše 500 keV veću energiju vezanja od izlazne

teške čestice

Zbog negativne Q-vrijednosti prag za reakciju 4) je na Ep= 188

MeV

Rješenje 46

Pretpostavljamo da se sve reakcije odigravaju preko stanja složene jezgre 8Be Uz oznake

X(ab)Y ili a+X C b+Y

imamo

U nerelativističkoj aproksimaciji

0 XCa ppp

CCaXa EcmEcmm 22

a

C

a

a

a

C

a

C

CC E

m

m

m

p

m

m

m

pE

2

2

22

a

C

aXaCaXaC E

m

mcmmEEcmmcm

2221

Rješenje 46

Uvrstimo li na desnu stranu

na lijevoj dobivamo

pa je energija pobuđenog stanja u složenoj jezgri C jednaka

Prvi član je baš jednak Q-vrijednosti prve od popisanih reakcija Q= 1725 MeV

Dakle rezonance se pojavljuju na energijama pobuđenja u 8Be Ex1= 1725+7(7+1)044= 176 MeV

Ex2= 198 MeV Ex3= 1812 MeV Ex4= 1915 MeV

aXa

XCXaCCx E

mm

mcmmmcmcmE

222

XaC mmm

aXa

XXaC E

mm

mcmmcm

22

Rješenje 46

Spinove i paritet pobuđenih stanja (rezonanci) možemo odrediti korištenjem zakona sačuvanja momenta impulsa i pariteta Paritet sistema a+X jednak je

i on mora biti jednak paritetu stanja C s jedne ali i paritetu krajnjeg sistema b+Y s druge strane

Model ljusaka za osnovno stanje jezgre 7Li daje J= 32- Unutrašnja parnost protona je + (J=12) pa ako jezgra 7Li međudjeluje s S-protonom paritet sistema p +7Li bit će negativan kao i paritet odgovarajućeg stanja u 8Be Ako 7Li međudjeluje s P-protonom paritet stanja u 8Be bit će pozitivan

Na energijama do asymp5 MeV relativni moment impulsa pri reakciji praktički ne može biti veći od 1 (L= 01)

L

XaXa )1(

Rješenje 46

Zaključujemo

L=0 (S-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)0= -1

L=1 (P-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)1= +1

Gledamo detektirane gama-zrake ona od 176 MeV točno odgovara prijelazu između rezonance na E(p)= 044 MeV i osnovnog stanja gama-prijelaz od 147 MeV prepoznajemo kao prijelaz iz tog stanja u prvo pobuđeno stanje jezgre 8Be Najniža dva stanja su pozitivnog pariteta a prijelaz je tipa M1 paritet stanja na Ex= 176 MeV mora biti pozitivan (M1-prijelaz čuva paritet) a spin mora biti J=1 samo tako se mogu intenzivno puniti stanja i 0+ i 2+

1

20

2

1

2

3

0

1

2

3

12

1

2

3

Rješenje 46

Zaključujemo da je u reakciji (pg) 7Li međudjelovao sa P-protonom Gama-raspad je ldquosporrdquo i zbog toga je ova rezonanca uža od ostalih koje se raspadaju emisijom čestica

Paritet sistema aa je pozitivna jer su a-čestice identični bozoni S druge strane za ovaj paritet vrijedi

gdje je L relativni moment impulsa dvije a-čestice koji dakle mora biti paran Stanje na Ex= 198 MeV preko kojeg se odvija reakcija 7Li(pa)4He mora dakle imati J= (0 ili 2)+ Relativno velika energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje prolasku kroz kulonsku i centrifugalnu barijeru stvorene a-čestice imaju pak ogromnu relativnu brzinu pa one laganu tuneliraju kroz barijeru(e) i rapad je tog stanja vrlo brz (tj stanje je široko)

Primijetiti da za stanje na Ex= 176 MeV spin jedan zabranjuje raspad u 2 a-čestice

LL )1()1(2 aaa

Rješenje 46

Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfa-čestice već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog pariteta To se može ostvariti g-emisijom ldquoneparnihrdquo fotona (E1 M2 ) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski dozvoljeni

Činjenica da se stanje na Ex= 1915 MeV ne raspada ni u 2 alfa-čestice ni gama-emisijom već baš emisijom neutrona koja je brža od gama-emisije govori da to stanje ima negativni paritet To pak znači da je u ovoj reakciji 7Li međudjelovao sa S-protonom (nema centrifugalne barijere) i zbog toga je udarni presjek veći Spin ovog stanja tada mora biti 1 ili 2

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 44

Prenešeni moment impulsa poluklasično se može odrediti iz

Smjer izlazne čestice (q) ovisi o pt i zbog toga i o Lt

Specijalan slučaj prenešena energija vrlo malena u odnosu na upadnu

Slijedi

2

sin4cos222222

oioioioit ppppppppp

RpLLL t )1(

ppp oi

pR

LL

p

pt

2

)1(

22sin

Rješenje 44

Dobivamo

2

2sin2

)1(

pR

LL

26)1( LLL

Zadatak 45 Kvalitativno diskutirajte utjecaj momenta impulsa i

energije snopa na brzinu odvijanja nuklearnih reakcija

Rješenje 45 Poluklasično i vrlo kvalitativno ako s p označimo relativni impuls čestice snopa u odnosu na jezgru u meti s l relativni moment impulsa a s rl parametar sudara imamo pa je parametar sudara dan s Upadni snop ldquodijelimordquo na cilindrične zone polumjera rl unutar kojih čestice s datim impulsima p imaju moment impulsa l

)1( llpl l r

llp

llp

l

)1( r

Rješenje 45

Ako domet interakcije označimo s r0 tada iz uvjeta

vidimo da je val s najvećim l koji će još sudjelovati u reakciji onaj s

gdje uglata zagrada označava najveći cijeli broj od izraza u njoj

Udarni presjek za reakciju datog parcijalnog vala u ovakvoj aproksimaciji može se izjednačiti s površinom prstena polumjera rl

(za homogeni upadni snop)

0maxmax rlp

l

r

00

0max kr

prrl

222

1 )12( rr llll

Rješenje 45

Uz

totalni udarni presjek jednak je

Za ltltr0 (kr0gtgt1) vrijedi

Radi se o slučaju geometrijske optike u kome je klasično razmatranje po trajektorijama dobra aproksimacija

2

0

2max

2max

maxmax2

max0

22

0

)1(12

)1(2

1212maxmax

r

llll

llll

l

l

ll

0max

rl

20r

Rješenje 45

Za gtgtr0 (kr0ltlt1) vrijedi lmax=0 (samo s-val sudjeluje u reakciji)

Dakle za niskoenergijska raspršenja udarni presjek je općenito veći nego na visokim energijama

Uvjet za maksimalni moment impulsa ekvivalentan je uvjetu koji mora zadovoljavati kinetička energija projektila da bi uz relativni moment impulsa l čestica stupila u interakciju s drugom na udaljenosti r0

2

)1(0

llr

p

)1(22 2

0

22

llr

pT

Rješenje 45

O ovom izrazu prepoznaje se utjecaj centrifugalne barijere Dakle do interakcije čestice momenta impula l i jezgre dolazi ako je energija veća od visine centrifugalne barijere

Alternativno ako je energija fiksirana do interakcije dolazo samo za one čestice s l ltlmax ovaj utjecaj drastično smanjuje udarne presjeke za raspršenje viših parcijalnih valova

Uz r0asymp14 A13 fm visina centrifugalne barijere može se procijeniti na

Osim centrifugalne nabijeni snopovi ldquoviderdquo i kulonsku barijeru visine

MeVllA

llr

Vcf )1(10

)1(2

3220

2

MeVA

zz

r

ezzVc

31

21

0

221

Rješenje 45

Za nekoliko izabranih slučajeva visina barijere dana je u MeV-ima

meta snop p i n (S) p i n (P) p i n (D) p ( l)

p 0 20 60 1

7Li 0 55 17 16

16O 0 32 10 35

55Mn 0 14 42 66

120Sn 0 08 25 10

238U 0 04 12 15

Vcf Vcf Vcf Vc

Zadatak 46 Na slici je prikazana ovisnost udarnih presjeka o

energiji upadnih protona za razne izlazne kanale reakcije p+7Li

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Ove reakcije popraćene su emisijom gama-zraka energije E1 = 147

MeV E2 = 176 MeV E3 = 152 MeV i E4 = 181 MeV (sve tipa M1) Ako

je poznato da su dva najniža stanja jezgre 8Be usko osnovno stanje

0+ (T12asymp 10-15 s) i vrlo široko (Gasymp 800 keV) stanje 2+ na Exasymp 29 MeV

Na temelju ovih podataka naći i objasniti položaj stanja jezgre 8Be

njihove spinove i paritet te shemu raspada Kvalitativno objasniti

ponašanje udarnih presjeka navedenih reakcija i širine rezonanca

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Rješenje 46

Prvo pomoću tablica masa nalazimo Q-vrijednosti reakcija

1) 7Li(pg)8Be Q1= 1725 MeV

2) 7Li(pa)4He Q2= 1734 MeV

3) 7Li(pp)7Li Q3= 0 MeV

4) 7Li(pn)7Be Q4= -164 MeV

Uočiti da su (pn)-reakcije najčešće endotermne jer je masa

neutrona veća od mase protona za 13 MeV a za b-stabilne jezgre

meta mora imati najviše 500 keV veću energiju vezanja od izlazne

teške čestice

Zbog negativne Q-vrijednosti prag za reakciju 4) je na Ep= 188

MeV

Rješenje 46

Pretpostavljamo da se sve reakcije odigravaju preko stanja složene jezgre 8Be Uz oznake

X(ab)Y ili a+X C b+Y

imamo

U nerelativističkoj aproksimaciji

0 XCa ppp

CCaXa EcmEcmm 22

a

C

a

a

a

C

a

C

CC E

m

m

m

p

m

m

m

pE

2

2

22

a

C

aXaCaXaC E

m

mcmmEEcmmcm

2221

Rješenje 46

Uvrstimo li na desnu stranu

na lijevoj dobivamo

pa je energija pobuđenog stanja u složenoj jezgri C jednaka

Prvi član je baš jednak Q-vrijednosti prve od popisanih reakcija Q= 1725 MeV

Dakle rezonance se pojavljuju na energijama pobuđenja u 8Be Ex1= 1725+7(7+1)044= 176 MeV

Ex2= 198 MeV Ex3= 1812 MeV Ex4= 1915 MeV

aXa

XCXaCCx E

mm

mcmmmcmcmE

222

XaC mmm

aXa

XXaC E

mm

mcmmcm

22

Rješenje 46

Spinove i paritet pobuđenih stanja (rezonanci) možemo odrediti korištenjem zakona sačuvanja momenta impulsa i pariteta Paritet sistema a+X jednak je

i on mora biti jednak paritetu stanja C s jedne ali i paritetu krajnjeg sistema b+Y s druge strane

Model ljusaka za osnovno stanje jezgre 7Li daje J= 32- Unutrašnja parnost protona je + (J=12) pa ako jezgra 7Li međudjeluje s S-protonom paritet sistema p +7Li bit će negativan kao i paritet odgovarajućeg stanja u 8Be Ako 7Li međudjeluje s P-protonom paritet stanja u 8Be bit će pozitivan

Na energijama do asymp5 MeV relativni moment impulsa pri reakciji praktički ne može biti veći od 1 (L= 01)

L

XaXa )1(

Rješenje 46

Zaključujemo

L=0 (S-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)0= -1

L=1 (P-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)1= +1

Gledamo detektirane gama-zrake ona od 176 MeV točno odgovara prijelazu između rezonance na E(p)= 044 MeV i osnovnog stanja gama-prijelaz od 147 MeV prepoznajemo kao prijelaz iz tog stanja u prvo pobuđeno stanje jezgre 8Be Najniža dva stanja su pozitivnog pariteta a prijelaz je tipa M1 paritet stanja na Ex= 176 MeV mora biti pozitivan (M1-prijelaz čuva paritet) a spin mora biti J=1 samo tako se mogu intenzivno puniti stanja i 0+ i 2+

1

20

2

1

2

3

0

1

2

3

12

1

2

3

Rješenje 46

Zaključujemo da je u reakciji (pg) 7Li međudjelovao sa P-protonom Gama-raspad je ldquosporrdquo i zbog toga je ova rezonanca uža od ostalih koje se raspadaju emisijom čestica

Paritet sistema aa je pozitivna jer su a-čestice identični bozoni S druge strane za ovaj paritet vrijedi

gdje je L relativni moment impulsa dvije a-čestice koji dakle mora biti paran Stanje na Ex= 198 MeV preko kojeg se odvija reakcija 7Li(pa)4He mora dakle imati J= (0 ili 2)+ Relativno velika energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje prolasku kroz kulonsku i centrifugalnu barijeru stvorene a-čestice imaju pak ogromnu relativnu brzinu pa one laganu tuneliraju kroz barijeru(e) i rapad je tog stanja vrlo brz (tj stanje je široko)

Primijetiti da za stanje na Ex= 176 MeV spin jedan zabranjuje raspad u 2 a-čestice

LL )1()1(2 aaa

Rješenje 46

Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfa-čestice već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog pariteta To se može ostvariti g-emisijom ldquoneparnihrdquo fotona (E1 M2 ) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski dozvoljeni

Činjenica da se stanje na Ex= 1915 MeV ne raspada ni u 2 alfa-čestice ni gama-emisijom već baš emisijom neutrona koja je brža od gama-emisije govori da to stanje ima negativni paritet To pak znači da je u ovoj reakciji 7Li međudjelovao sa S-protonom (nema centrifugalne barijere) i zbog toga je udarni presjek veći Spin ovog stanja tada mora biti 1 ili 2

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 44

Dobivamo

2

2sin2

)1(

pR

LL

26)1( LLL

Zadatak 45 Kvalitativno diskutirajte utjecaj momenta impulsa i

energije snopa na brzinu odvijanja nuklearnih reakcija

Rješenje 45 Poluklasično i vrlo kvalitativno ako s p označimo relativni impuls čestice snopa u odnosu na jezgru u meti s l relativni moment impulsa a s rl parametar sudara imamo pa je parametar sudara dan s Upadni snop ldquodijelimordquo na cilindrične zone polumjera rl unutar kojih čestice s datim impulsima p imaju moment impulsa l

)1( llpl l r

llp

llp

l

)1( r

Rješenje 45

Ako domet interakcije označimo s r0 tada iz uvjeta

vidimo da je val s najvećim l koji će još sudjelovati u reakciji onaj s

gdje uglata zagrada označava najveći cijeli broj od izraza u njoj

Udarni presjek za reakciju datog parcijalnog vala u ovakvoj aproksimaciji može se izjednačiti s površinom prstena polumjera rl

(za homogeni upadni snop)

0maxmax rlp

l

r

00

0max kr

prrl

222

1 )12( rr llll

Rješenje 45

Uz

totalni udarni presjek jednak je

Za ltltr0 (kr0gtgt1) vrijedi

Radi se o slučaju geometrijske optike u kome je klasično razmatranje po trajektorijama dobra aproksimacija

2

0

2max

2max

maxmax2

max0

22

0

)1(12

)1(2

1212maxmax

r

llll

llll

l

l

ll

0max

rl

20r

Rješenje 45

Za gtgtr0 (kr0ltlt1) vrijedi lmax=0 (samo s-val sudjeluje u reakciji)

Dakle za niskoenergijska raspršenja udarni presjek je općenito veći nego na visokim energijama

Uvjet za maksimalni moment impulsa ekvivalentan je uvjetu koji mora zadovoljavati kinetička energija projektila da bi uz relativni moment impulsa l čestica stupila u interakciju s drugom na udaljenosti r0

2

)1(0

llr

p

)1(22 2

0

22

llr

pT

Rješenje 45

O ovom izrazu prepoznaje se utjecaj centrifugalne barijere Dakle do interakcije čestice momenta impula l i jezgre dolazi ako je energija veća od visine centrifugalne barijere

Alternativno ako je energija fiksirana do interakcije dolazo samo za one čestice s l ltlmax ovaj utjecaj drastično smanjuje udarne presjeke za raspršenje viših parcijalnih valova

Uz r0asymp14 A13 fm visina centrifugalne barijere može se procijeniti na

Osim centrifugalne nabijeni snopovi ldquoviderdquo i kulonsku barijeru visine

MeVllA

llr

Vcf )1(10

)1(2

3220

2

MeVA

zz

r

ezzVc

31

21

0

221

Rješenje 45

Za nekoliko izabranih slučajeva visina barijere dana je u MeV-ima

meta snop p i n (S) p i n (P) p i n (D) p ( l)

p 0 20 60 1

7Li 0 55 17 16

16O 0 32 10 35

55Mn 0 14 42 66

120Sn 0 08 25 10

238U 0 04 12 15

Vcf Vcf Vcf Vc

Zadatak 46 Na slici je prikazana ovisnost udarnih presjeka o

energiji upadnih protona za razne izlazne kanale reakcije p+7Li

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Ove reakcije popraćene su emisijom gama-zraka energije E1 = 147

MeV E2 = 176 MeV E3 = 152 MeV i E4 = 181 MeV (sve tipa M1) Ako

je poznato da su dva najniža stanja jezgre 8Be usko osnovno stanje

0+ (T12asymp 10-15 s) i vrlo široko (Gasymp 800 keV) stanje 2+ na Exasymp 29 MeV

Na temelju ovih podataka naći i objasniti položaj stanja jezgre 8Be

njihove spinove i paritet te shemu raspada Kvalitativno objasniti

ponašanje udarnih presjeka navedenih reakcija i širine rezonanca

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Rješenje 46

Prvo pomoću tablica masa nalazimo Q-vrijednosti reakcija

1) 7Li(pg)8Be Q1= 1725 MeV

2) 7Li(pa)4He Q2= 1734 MeV

3) 7Li(pp)7Li Q3= 0 MeV

4) 7Li(pn)7Be Q4= -164 MeV

Uočiti da su (pn)-reakcije najčešće endotermne jer je masa

neutrona veća od mase protona za 13 MeV a za b-stabilne jezgre

meta mora imati najviše 500 keV veću energiju vezanja od izlazne

teške čestice

Zbog negativne Q-vrijednosti prag za reakciju 4) je na Ep= 188

MeV

Rješenje 46

Pretpostavljamo da se sve reakcije odigravaju preko stanja složene jezgre 8Be Uz oznake

X(ab)Y ili a+X C b+Y

imamo

U nerelativističkoj aproksimaciji

0 XCa ppp

CCaXa EcmEcmm 22

a

C

a

a

a

C

a

C

CC E

m

m

m

p

m

m

m

pE

2

2

22

a

C

aXaCaXaC E

m

mcmmEEcmmcm

2221

Rješenje 46

Uvrstimo li na desnu stranu

na lijevoj dobivamo

pa je energija pobuđenog stanja u složenoj jezgri C jednaka

Prvi član je baš jednak Q-vrijednosti prve od popisanih reakcija Q= 1725 MeV

Dakle rezonance se pojavljuju na energijama pobuđenja u 8Be Ex1= 1725+7(7+1)044= 176 MeV

Ex2= 198 MeV Ex3= 1812 MeV Ex4= 1915 MeV

aXa

XCXaCCx E

mm

mcmmmcmcmE

222

XaC mmm

aXa

XXaC E

mm

mcmmcm

22

Rješenje 46

Spinove i paritet pobuđenih stanja (rezonanci) možemo odrediti korištenjem zakona sačuvanja momenta impulsa i pariteta Paritet sistema a+X jednak je

i on mora biti jednak paritetu stanja C s jedne ali i paritetu krajnjeg sistema b+Y s druge strane

Model ljusaka za osnovno stanje jezgre 7Li daje J= 32- Unutrašnja parnost protona je + (J=12) pa ako jezgra 7Li međudjeluje s S-protonom paritet sistema p +7Li bit će negativan kao i paritet odgovarajućeg stanja u 8Be Ako 7Li međudjeluje s P-protonom paritet stanja u 8Be bit će pozitivan

Na energijama do asymp5 MeV relativni moment impulsa pri reakciji praktički ne može biti veći od 1 (L= 01)

L

XaXa )1(

Rješenje 46

Zaključujemo

L=0 (S-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)0= -1

L=1 (P-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)1= +1

Gledamo detektirane gama-zrake ona od 176 MeV točno odgovara prijelazu između rezonance na E(p)= 044 MeV i osnovnog stanja gama-prijelaz od 147 MeV prepoznajemo kao prijelaz iz tog stanja u prvo pobuđeno stanje jezgre 8Be Najniža dva stanja su pozitivnog pariteta a prijelaz je tipa M1 paritet stanja na Ex= 176 MeV mora biti pozitivan (M1-prijelaz čuva paritet) a spin mora biti J=1 samo tako se mogu intenzivno puniti stanja i 0+ i 2+

1

20

2

1

2

3

0

1

2

3

12

1

2

3

Rješenje 46

Zaključujemo da je u reakciji (pg) 7Li međudjelovao sa P-protonom Gama-raspad je ldquosporrdquo i zbog toga je ova rezonanca uža od ostalih koje se raspadaju emisijom čestica

Paritet sistema aa je pozitivna jer su a-čestice identični bozoni S druge strane za ovaj paritet vrijedi

gdje je L relativni moment impulsa dvije a-čestice koji dakle mora biti paran Stanje na Ex= 198 MeV preko kojeg se odvija reakcija 7Li(pa)4He mora dakle imati J= (0 ili 2)+ Relativno velika energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje prolasku kroz kulonsku i centrifugalnu barijeru stvorene a-čestice imaju pak ogromnu relativnu brzinu pa one laganu tuneliraju kroz barijeru(e) i rapad je tog stanja vrlo brz (tj stanje je široko)

Primijetiti da za stanje na Ex= 176 MeV spin jedan zabranjuje raspad u 2 a-čestice

LL )1()1(2 aaa

Rješenje 46

Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfa-čestice već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog pariteta To se može ostvariti g-emisijom ldquoneparnihrdquo fotona (E1 M2 ) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski dozvoljeni

Činjenica da se stanje na Ex= 1915 MeV ne raspada ni u 2 alfa-čestice ni gama-emisijom već baš emisijom neutrona koja je brža od gama-emisije govori da to stanje ima negativni paritet To pak znači da je u ovoj reakciji 7Li međudjelovao sa S-protonom (nema centrifugalne barijere) i zbog toga je udarni presjek veći Spin ovog stanja tada mora biti 1 ili 2

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Zadatak 45 Kvalitativno diskutirajte utjecaj momenta impulsa i

energije snopa na brzinu odvijanja nuklearnih reakcija

Rješenje 45 Poluklasično i vrlo kvalitativno ako s p označimo relativni impuls čestice snopa u odnosu na jezgru u meti s l relativni moment impulsa a s rl parametar sudara imamo pa je parametar sudara dan s Upadni snop ldquodijelimordquo na cilindrične zone polumjera rl unutar kojih čestice s datim impulsima p imaju moment impulsa l

)1( llpl l r

llp

llp

l

)1( r

Rješenje 45

Ako domet interakcije označimo s r0 tada iz uvjeta

vidimo da je val s najvećim l koji će još sudjelovati u reakciji onaj s

gdje uglata zagrada označava najveći cijeli broj od izraza u njoj

Udarni presjek za reakciju datog parcijalnog vala u ovakvoj aproksimaciji može se izjednačiti s površinom prstena polumjera rl

(za homogeni upadni snop)

0maxmax rlp

l

r

00

0max kr

prrl

222

1 )12( rr llll

Rješenje 45

Uz

totalni udarni presjek jednak je

Za ltltr0 (kr0gtgt1) vrijedi

Radi se o slučaju geometrijske optike u kome je klasično razmatranje po trajektorijama dobra aproksimacija

2

0

2max

2max

maxmax2

max0

22

0

)1(12

)1(2

1212maxmax

r

llll

llll

l

l

ll

0max

rl

20r

Rješenje 45

Za gtgtr0 (kr0ltlt1) vrijedi lmax=0 (samo s-val sudjeluje u reakciji)

Dakle za niskoenergijska raspršenja udarni presjek je općenito veći nego na visokim energijama

Uvjet za maksimalni moment impulsa ekvivalentan je uvjetu koji mora zadovoljavati kinetička energija projektila da bi uz relativni moment impulsa l čestica stupila u interakciju s drugom na udaljenosti r0

2

)1(0

llr

p

)1(22 2

0

22

llr

pT

Rješenje 45

O ovom izrazu prepoznaje se utjecaj centrifugalne barijere Dakle do interakcije čestice momenta impula l i jezgre dolazi ako je energija veća od visine centrifugalne barijere

Alternativno ako je energija fiksirana do interakcije dolazo samo za one čestice s l ltlmax ovaj utjecaj drastično smanjuje udarne presjeke za raspršenje viših parcijalnih valova

Uz r0asymp14 A13 fm visina centrifugalne barijere može se procijeniti na

Osim centrifugalne nabijeni snopovi ldquoviderdquo i kulonsku barijeru visine

MeVllA

llr

Vcf )1(10

)1(2

3220

2

MeVA

zz

r

ezzVc

31

21

0

221

Rješenje 45

Za nekoliko izabranih slučajeva visina barijere dana je u MeV-ima

meta snop p i n (S) p i n (P) p i n (D) p ( l)

p 0 20 60 1

7Li 0 55 17 16

16O 0 32 10 35

55Mn 0 14 42 66

120Sn 0 08 25 10

238U 0 04 12 15

Vcf Vcf Vcf Vc

Zadatak 46 Na slici je prikazana ovisnost udarnih presjeka o

energiji upadnih protona za razne izlazne kanale reakcije p+7Li

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Ove reakcije popraćene su emisijom gama-zraka energije E1 = 147

MeV E2 = 176 MeV E3 = 152 MeV i E4 = 181 MeV (sve tipa M1) Ako

je poznato da su dva najniža stanja jezgre 8Be usko osnovno stanje

0+ (T12asymp 10-15 s) i vrlo široko (Gasymp 800 keV) stanje 2+ na Exasymp 29 MeV

Na temelju ovih podataka naći i objasniti položaj stanja jezgre 8Be

njihove spinove i paritet te shemu raspada Kvalitativno objasniti

ponašanje udarnih presjeka navedenih reakcija i širine rezonanca

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Rješenje 46

Prvo pomoću tablica masa nalazimo Q-vrijednosti reakcija

1) 7Li(pg)8Be Q1= 1725 MeV

2) 7Li(pa)4He Q2= 1734 MeV

3) 7Li(pp)7Li Q3= 0 MeV

4) 7Li(pn)7Be Q4= -164 MeV

Uočiti da su (pn)-reakcije najčešće endotermne jer je masa

neutrona veća od mase protona za 13 MeV a za b-stabilne jezgre

meta mora imati najviše 500 keV veću energiju vezanja od izlazne

teške čestice

Zbog negativne Q-vrijednosti prag za reakciju 4) je na Ep= 188

MeV

Rješenje 46

Pretpostavljamo da se sve reakcije odigravaju preko stanja složene jezgre 8Be Uz oznake

X(ab)Y ili a+X C b+Y

imamo

U nerelativističkoj aproksimaciji

0 XCa ppp

CCaXa EcmEcmm 22

a

C

a

a

a

C

a

C

CC E

m

m

m

p

m

m

m

pE

2

2

22

a

C

aXaCaXaC E

m

mcmmEEcmmcm

2221

Rješenje 46

Uvrstimo li na desnu stranu

na lijevoj dobivamo

pa je energija pobuđenog stanja u složenoj jezgri C jednaka

Prvi član je baš jednak Q-vrijednosti prve od popisanih reakcija Q= 1725 MeV

Dakle rezonance se pojavljuju na energijama pobuđenja u 8Be Ex1= 1725+7(7+1)044= 176 MeV

Ex2= 198 MeV Ex3= 1812 MeV Ex4= 1915 MeV

aXa

XCXaCCx E

mm

mcmmmcmcmE

222

XaC mmm

aXa

XXaC E

mm

mcmmcm

22

Rješenje 46

Spinove i paritet pobuđenih stanja (rezonanci) možemo odrediti korištenjem zakona sačuvanja momenta impulsa i pariteta Paritet sistema a+X jednak je

i on mora biti jednak paritetu stanja C s jedne ali i paritetu krajnjeg sistema b+Y s druge strane

Model ljusaka za osnovno stanje jezgre 7Li daje J= 32- Unutrašnja parnost protona je + (J=12) pa ako jezgra 7Li međudjeluje s S-protonom paritet sistema p +7Li bit će negativan kao i paritet odgovarajućeg stanja u 8Be Ako 7Li međudjeluje s P-protonom paritet stanja u 8Be bit će pozitivan

Na energijama do asymp5 MeV relativni moment impulsa pri reakciji praktički ne može biti veći od 1 (L= 01)

L

XaXa )1(

Rješenje 46

Zaključujemo

L=0 (S-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)0= -1

L=1 (P-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)1= +1

Gledamo detektirane gama-zrake ona od 176 MeV točno odgovara prijelazu između rezonance na E(p)= 044 MeV i osnovnog stanja gama-prijelaz od 147 MeV prepoznajemo kao prijelaz iz tog stanja u prvo pobuđeno stanje jezgre 8Be Najniža dva stanja su pozitivnog pariteta a prijelaz je tipa M1 paritet stanja na Ex= 176 MeV mora biti pozitivan (M1-prijelaz čuva paritet) a spin mora biti J=1 samo tako se mogu intenzivno puniti stanja i 0+ i 2+

1

20

2

1

2

3

0

1

2

3

12

1

2

3

Rješenje 46

Zaključujemo da je u reakciji (pg) 7Li međudjelovao sa P-protonom Gama-raspad je ldquosporrdquo i zbog toga je ova rezonanca uža od ostalih koje se raspadaju emisijom čestica

Paritet sistema aa je pozitivna jer su a-čestice identični bozoni S druge strane za ovaj paritet vrijedi

gdje je L relativni moment impulsa dvije a-čestice koji dakle mora biti paran Stanje na Ex= 198 MeV preko kojeg se odvija reakcija 7Li(pa)4He mora dakle imati J= (0 ili 2)+ Relativno velika energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje prolasku kroz kulonsku i centrifugalnu barijeru stvorene a-čestice imaju pak ogromnu relativnu brzinu pa one laganu tuneliraju kroz barijeru(e) i rapad je tog stanja vrlo brz (tj stanje je široko)

Primijetiti da za stanje na Ex= 176 MeV spin jedan zabranjuje raspad u 2 a-čestice

LL )1()1(2 aaa

Rješenje 46

Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfa-čestice već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog pariteta To se može ostvariti g-emisijom ldquoneparnihrdquo fotona (E1 M2 ) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski dozvoljeni

Činjenica da se stanje na Ex= 1915 MeV ne raspada ni u 2 alfa-čestice ni gama-emisijom već baš emisijom neutrona koja je brža od gama-emisije govori da to stanje ima negativni paritet To pak znači da je u ovoj reakciji 7Li međudjelovao sa S-protonom (nema centrifugalne barijere) i zbog toga je udarni presjek veći Spin ovog stanja tada mora biti 1 ili 2

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 45

Ako domet interakcije označimo s r0 tada iz uvjeta

vidimo da je val s najvećim l koji će još sudjelovati u reakciji onaj s

gdje uglata zagrada označava najveći cijeli broj od izraza u njoj

Udarni presjek za reakciju datog parcijalnog vala u ovakvoj aproksimaciji može se izjednačiti s površinom prstena polumjera rl

(za homogeni upadni snop)

0maxmax rlp

l

r

00

0max kr

prrl

222

1 )12( rr llll

Rješenje 45

Uz

totalni udarni presjek jednak je

Za ltltr0 (kr0gtgt1) vrijedi

Radi se o slučaju geometrijske optike u kome je klasično razmatranje po trajektorijama dobra aproksimacija

2

0

2max

2max

maxmax2

max0

22

0

)1(12

)1(2

1212maxmax

r

llll

llll

l

l

ll

0max

rl

20r

Rješenje 45

Za gtgtr0 (kr0ltlt1) vrijedi lmax=0 (samo s-val sudjeluje u reakciji)

Dakle za niskoenergijska raspršenja udarni presjek je općenito veći nego na visokim energijama

Uvjet za maksimalni moment impulsa ekvivalentan je uvjetu koji mora zadovoljavati kinetička energija projektila da bi uz relativni moment impulsa l čestica stupila u interakciju s drugom na udaljenosti r0

2

)1(0

llr

p

)1(22 2

0

22

llr

pT

Rješenje 45

O ovom izrazu prepoznaje se utjecaj centrifugalne barijere Dakle do interakcije čestice momenta impula l i jezgre dolazi ako je energija veća od visine centrifugalne barijere

Alternativno ako je energija fiksirana do interakcije dolazo samo za one čestice s l ltlmax ovaj utjecaj drastično smanjuje udarne presjeke za raspršenje viših parcijalnih valova

Uz r0asymp14 A13 fm visina centrifugalne barijere može se procijeniti na

Osim centrifugalne nabijeni snopovi ldquoviderdquo i kulonsku barijeru visine

MeVllA

llr

Vcf )1(10

)1(2

3220

2

MeVA

zz

r

ezzVc

31

21

0

221

Rješenje 45

Za nekoliko izabranih slučajeva visina barijere dana je u MeV-ima

meta snop p i n (S) p i n (P) p i n (D) p ( l)

p 0 20 60 1

7Li 0 55 17 16

16O 0 32 10 35

55Mn 0 14 42 66

120Sn 0 08 25 10

238U 0 04 12 15

Vcf Vcf Vcf Vc

Zadatak 46 Na slici je prikazana ovisnost udarnih presjeka o

energiji upadnih protona za razne izlazne kanale reakcije p+7Li

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Ove reakcije popraćene su emisijom gama-zraka energije E1 = 147

MeV E2 = 176 MeV E3 = 152 MeV i E4 = 181 MeV (sve tipa M1) Ako

je poznato da su dva najniža stanja jezgre 8Be usko osnovno stanje

0+ (T12asymp 10-15 s) i vrlo široko (Gasymp 800 keV) stanje 2+ na Exasymp 29 MeV

Na temelju ovih podataka naći i objasniti položaj stanja jezgre 8Be

njihove spinove i paritet te shemu raspada Kvalitativno objasniti

ponašanje udarnih presjeka navedenih reakcija i širine rezonanca

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Rješenje 46

Prvo pomoću tablica masa nalazimo Q-vrijednosti reakcija

1) 7Li(pg)8Be Q1= 1725 MeV

2) 7Li(pa)4He Q2= 1734 MeV

3) 7Li(pp)7Li Q3= 0 MeV

4) 7Li(pn)7Be Q4= -164 MeV

Uočiti da su (pn)-reakcije najčešće endotermne jer je masa

neutrona veća od mase protona za 13 MeV a za b-stabilne jezgre

meta mora imati najviše 500 keV veću energiju vezanja od izlazne

teške čestice

Zbog negativne Q-vrijednosti prag za reakciju 4) je na Ep= 188

MeV

Rješenje 46

Pretpostavljamo da se sve reakcije odigravaju preko stanja složene jezgre 8Be Uz oznake

X(ab)Y ili a+X C b+Y

imamo

U nerelativističkoj aproksimaciji

0 XCa ppp

CCaXa EcmEcmm 22

a

C

a

a

a

C

a

C

CC E

m

m

m

p

m

m

m

pE

2

2

22

a

C

aXaCaXaC E

m

mcmmEEcmmcm

2221

Rješenje 46

Uvrstimo li na desnu stranu

na lijevoj dobivamo

pa je energija pobuđenog stanja u složenoj jezgri C jednaka

Prvi član je baš jednak Q-vrijednosti prve od popisanih reakcija Q= 1725 MeV

Dakle rezonance se pojavljuju na energijama pobuđenja u 8Be Ex1= 1725+7(7+1)044= 176 MeV

Ex2= 198 MeV Ex3= 1812 MeV Ex4= 1915 MeV

aXa

XCXaCCx E

mm

mcmmmcmcmE

222

XaC mmm

aXa

XXaC E

mm

mcmmcm

22

Rješenje 46

Spinove i paritet pobuđenih stanja (rezonanci) možemo odrediti korištenjem zakona sačuvanja momenta impulsa i pariteta Paritet sistema a+X jednak je

i on mora biti jednak paritetu stanja C s jedne ali i paritetu krajnjeg sistema b+Y s druge strane

Model ljusaka za osnovno stanje jezgre 7Li daje J= 32- Unutrašnja parnost protona je + (J=12) pa ako jezgra 7Li međudjeluje s S-protonom paritet sistema p +7Li bit će negativan kao i paritet odgovarajućeg stanja u 8Be Ako 7Li međudjeluje s P-protonom paritet stanja u 8Be bit će pozitivan

Na energijama do asymp5 MeV relativni moment impulsa pri reakciji praktički ne može biti veći od 1 (L= 01)

L

XaXa )1(

Rješenje 46

Zaključujemo

L=0 (S-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)0= -1

L=1 (P-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)1= +1

Gledamo detektirane gama-zrake ona od 176 MeV točno odgovara prijelazu između rezonance na E(p)= 044 MeV i osnovnog stanja gama-prijelaz od 147 MeV prepoznajemo kao prijelaz iz tog stanja u prvo pobuđeno stanje jezgre 8Be Najniža dva stanja su pozitivnog pariteta a prijelaz je tipa M1 paritet stanja na Ex= 176 MeV mora biti pozitivan (M1-prijelaz čuva paritet) a spin mora biti J=1 samo tako se mogu intenzivno puniti stanja i 0+ i 2+

1

20

2

1

2

3

0

1

2

3

12

1

2

3

Rješenje 46

Zaključujemo da je u reakciji (pg) 7Li međudjelovao sa P-protonom Gama-raspad je ldquosporrdquo i zbog toga je ova rezonanca uža od ostalih koje se raspadaju emisijom čestica

Paritet sistema aa je pozitivna jer su a-čestice identični bozoni S druge strane za ovaj paritet vrijedi

gdje je L relativni moment impulsa dvije a-čestice koji dakle mora biti paran Stanje na Ex= 198 MeV preko kojeg se odvija reakcija 7Li(pa)4He mora dakle imati J= (0 ili 2)+ Relativno velika energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje prolasku kroz kulonsku i centrifugalnu barijeru stvorene a-čestice imaju pak ogromnu relativnu brzinu pa one laganu tuneliraju kroz barijeru(e) i rapad je tog stanja vrlo brz (tj stanje je široko)

Primijetiti da za stanje na Ex= 176 MeV spin jedan zabranjuje raspad u 2 a-čestice

LL )1()1(2 aaa

Rješenje 46

Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfa-čestice već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog pariteta To se može ostvariti g-emisijom ldquoneparnihrdquo fotona (E1 M2 ) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski dozvoljeni

Činjenica da se stanje na Ex= 1915 MeV ne raspada ni u 2 alfa-čestice ni gama-emisijom već baš emisijom neutrona koja je brža od gama-emisije govori da to stanje ima negativni paritet To pak znači da je u ovoj reakciji 7Li međudjelovao sa S-protonom (nema centrifugalne barijere) i zbog toga je udarni presjek veći Spin ovog stanja tada mora biti 1 ili 2

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 45

Uz

totalni udarni presjek jednak je

Za ltltr0 (kr0gtgt1) vrijedi

Radi se o slučaju geometrijske optike u kome je klasično razmatranje po trajektorijama dobra aproksimacija

2

0

2max

2max

maxmax2

max0

22

0

)1(12

)1(2

1212maxmax

r

llll

llll

l

l

ll

0max

rl

20r

Rješenje 45

Za gtgtr0 (kr0ltlt1) vrijedi lmax=0 (samo s-val sudjeluje u reakciji)

Dakle za niskoenergijska raspršenja udarni presjek je općenito veći nego na visokim energijama

Uvjet za maksimalni moment impulsa ekvivalentan je uvjetu koji mora zadovoljavati kinetička energija projektila da bi uz relativni moment impulsa l čestica stupila u interakciju s drugom na udaljenosti r0

2

)1(0

llr

p

)1(22 2

0

22

llr

pT

Rješenje 45

O ovom izrazu prepoznaje se utjecaj centrifugalne barijere Dakle do interakcije čestice momenta impula l i jezgre dolazi ako je energija veća od visine centrifugalne barijere

Alternativno ako je energija fiksirana do interakcije dolazo samo za one čestice s l ltlmax ovaj utjecaj drastično smanjuje udarne presjeke za raspršenje viših parcijalnih valova

Uz r0asymp14 A13 fm visina centrifugalne barijere može se procijeniti na

Osim centrifugalne nabijeni snopovi ldquoviderdquo i kulonsku barijeru visine

MeVllA

llr

Vcf )1(10

)1(2

3220

2

MeVA

zz

r

ezzVc

31

21

0

221

Rješenje 45

Za nekoliko izabranih slučajeva visina barijere dana je u MeV-ima

meta snop p i n (S) p i n (P) p i n (D) p ( l)

p 0 20 60 1

7Li 0 55 17 16

16O 0 32 10 35

55Mn 0 14 42 66

120Sn 0 08 25 10

238U 0 04 12 15

Vcf Vcf Vcf Vc

Zadatak 46 Na slici je prikazana ovisnost udarnih presjeka o

energiji upadnih protona za razne izlazne kanale reakcije p+7Li

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Ove reakcije popraćene su emisijom gama-zraka energije E1 = 147

MeV E2 = 176 MeV E3 = 152 MeV i E4 = 181 MeV (sve tipa M1) Ako

je poznato da su dva najniža stanja jezgre 8Be usko osnovno stanje

0+ (T12asymp 10-15 s) i vrlo široko (Gasymp 800 keV) stanje 2+ na Exasymp 29 MeV

Na temelju ovih podataka naći i objasniti položaj stanja jezgre 8Be

njihove spinove i paritet te shemu raspada Kvalitativno objasniti

ponašanje udarnih presjeka navedenih reakcija i širine rezonanca

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Rješenje 46

Prvo pomoću tablica masa nalazimo Q-vrijednosti reakcija

1) 7Li(pg)8Be Q1= 1725 MeV

2) 7Li(pa)4He Q2= 1734 MeV

3) 7Li(pp)7Li Q3= 0 MeV

4) 7Li(pn)7Be Q4= -164 MeV

Uočiti da su (pn)-reakcije najčešće endotermne jer je masa

neutrona veća od mase protona za 13 MeV a za b-stabilne jezgre

meta mora imati najviše 500 keV veću energiju vezanja od izlazne

teške čestice

Zbog negativne Q-vrijednosti prag za reakciju 4) je na Ep= 188

MeV

Rješenje 46

Pretpostavljamo da se sve reakcije odigravaju preko stanja složene jezgre 8Be Uz oznake

X(ab)Y ili a+X C b+Y

imamo

U nerelativističkoj aproksimaciji

0 XCa ppp

CCaXa EcmEcmm 22

a

C

a

a

a

C

a

C

CC E

m

m

m

p

m

m

m

pE

2

2

22

a

C

aXaCaXaC E

m

mcmmEEcmmcm

2221

Rješenje 46

Uvrstimo li na desnu stranu

na lijevoj dobivamo

pa je energija pobuđenog stanja u složenoj jezgri C jednaka

Prvi član je baš jednak Q-vrijednosti prve od popisanih reakcija Q= 1725 MeV

Dakle rezonance se pojavljuju na energijama pobuđenja u 8Be Ex1= 1725+7(7+1)044= 176 MeV

Ex2= 198 MeV Ex3= 1812 MeV Ex4= 1915 MeV

aXa

XCXaCCx E

mm

mcmmmcmcmE

222

XaC mmm

aXa

XXaC E

mm

mcmmcm

22

Rješenje 46

Spinove i paritet pobuđenih stanja (rezonanci) možemo odrediti korištenjem zakona sačuvanja momenta impulsa i pariteta Paritet sistema a+X jednak je

i on mora biti jednak paritetu stanja C s jedne ali i paritetu krajnjeg sistema b+Y s druge strane

Model ljusaka za osnovno stanje jezgre 7Li daje J= 32- Unutrašnja parnost protona je + (J=12) pa ako jezgra 7Li međudjeluje s S-protonom paritet sistema p +7Li bit će negativan kao i paritet odgovarajućeg stanja u 8Be Ako 7Li međudjeluje s P-protonom paritet stanja u 8Be bit će pozitivan

Na energijama do asymp5 MeV relativni moment impulsa pri reakciji praktički ne može biti veći od 1 (L= 01)

L

XaXa )1(

Rješenje 46

Zaključujemo

L=0 (S-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)0= -1

L=1 (P-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)1= +1

Gledamo detektirane gama-zrake ona od 176 MeV točno odgovara prijelazu između rezonance na E(p)= 044 MeV i osnovnog stanja gama-prijelaz od 147 MeV prepoznajemo kao prijelaz iz tog stanja u prvo pobuđeno stanje jezgre 8Be Najniža dva stanja su pozitivnog pariteta a prijelaz je tipa M1 paritet stanja na Ex= 176 MeV mora biti pozitivan (M1-prijelaz čuva paritet) a spin mora biti J=1 samo tako se mogu intenzivno puniti stanja i 0+ i 2+

1

20

2

1

2

3

0

1

2

3

12

1

2

3

Rješenje 46

Zaključujemo da je u reakciji (pg) 7Li međudjelovao sa P-protonom Gama-raspad je ldquosporrdquo i zbog toga je ova rezonanca uža od ostalih koje se raspadaju emisijom čestica

Paritet sistema aa je pozitivna jer su a-čestice identični bozoni S druge strane za ovaj paritet vrijedi

gdje je L relativni moment impulsa dvije a-čestice koji dakle mora biti paran Stanje na Ex= 198 MeV preko kojeg se odvija reakcija 7Li(pa)4He mora dakle imati J= (0 ili 2)+ Relativno velika energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje prolasku kroz kulonsku i centrifugalnu barijeru stvorene a-čestice imaju pak ogromnu relativnu brzinu pa one laganu tuneliraju kroz barijeru(e) i rapad je tog stanja vrlo brz (tj stanje je široko)

Primijetiti da za stanje na Ex= 176 MeV spin jedan zabranjuje raspad u 2 a-čestice

LL )1()1(2 aaa

Rješenje 46

Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfa-čestice već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog pariteta To se može ostvariti g-emisijom ldquoneparnihrdquo fotona (E1 M2 ) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski dozvoljeni

Činjenica da se stanje na Ex= 1915 MeV ne raspada ni u 2 alfa-čestice ni gama-emisijom već baš emisijom neutrona koja je brža od gama-emisije govori da to stanje ima negativni paritet To pak znači da je u ovoj reakciji 7Li međudjelovao sa S-protonom (nema centrifugalne barijere) i zbog toga je udarni presjek veći Spin ovog stanja tada mora biti 1 ili 2

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 45

Za gtgtr0 (kr0ltlt1) vrijedi lmax=0 (samo s-val sudjeluje u reakciji)

Dakle za niskoenergijska raspršenja udarni presjek je općenito veći nego na visokim energijama

Uvjet za maksimalni moment impulsa ekvivalentan je uvjetu koji mora zadovoljavati kinetička energija projektila da bi uz relativni moment impulsa l čestica stupila u interakciju s drugom na udaljenosti r0

2

)1(0

llr

p

)1(22 2

0

22

llr

pT

Rješenje 45

O ovom izrazu prepoznaje se utjecaj centrifugalne barijere Dakle do interakcije čestice momenta impula l i jezgre dolazi ako je energija veća od visine centrifugalne barijere

Alternativno ako je energija fiksirana do interakcije dolazo samo za one čestice s l ltlmax ovaj utjecaj drastično smanjuje udarne presjeke za raspršenje viših parcijalnih valova

Uz r0asymp14 A13 fm visina centrifugalne barijere može se procijeniti na

Osim centrifugalne nabijeni snopovi ldquoviderdquo i kulonsku barijeru visine

MeVllA

llr

Vcf )1(10

)1(2

3220

2

MeVA

zz

r

ezzVc

31

21

0

221

Rješenje 45

Za nekoliko izabranih slučajeva visina barijere dana je u MeV-ima

meta snop p i n (S) p i n (P) p i n (D) p ( l)

p 0 20 60 1

7Li 0 55 17 16

16O 0 32 10 35

55Mn 0 14 42 66

120Sn 0 08 25 10

238U 0 04 12 15

Vcf Vcf Vcf Vc

Zadatak 46 Na slici je prikazana ovisnost udarnih presjeka o

energiji upadnih protona za razne izlazne kanale reakcije p+7Li

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Ove reakcije popraćene su emisijom gama-zraka energije E1 = 147

MeV E2 = 176 MeV E3 = 152 MeV i E4 = 181 MeV (sve tipa M1) Ako

je poznato da su dva najniža stanja jezgre 8Be usko osnovno stanje

0+ (T12asymp 10-15 s) i vrlo široko (Gasymp 800 keV) stanje 2+ na Exasymp 29 MeV

Na temelju ovih podataka naći i objasniti položaj stanja jezgre 8Be

njihove spinove i paritet te shemu raspada Kvalitativno objasniti

ponašanje udarnih presjeka navedenih reakcija i širine rezonanca

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Rješenje 46

Prvo pomoću tablica masa nalazimo Q-vrijednosti reakcija

1) 7Li(pg)8Be Q1= 1725 MeV

2) 7Li(pa)4He Q2= 1734 MeV

3) 7Li(pp)7Li Q3= 0 MeV

4) 7Li(pn)7Be Q4= -164 MeV

Uočiti da su (pn)-reakcije najčešće endotermne jer je masa

neutrona veća od mase protona za 13 MeV a za b-stabilne jezgre

meta mora imati najviše 500 keV veću energiju vezanja od izlazne

teške čestice

Zbog negativne Q-vrijednosti prag za reakciju 4) je na Ep= 188

MeV

Rješenje 46

Pretpostavljamo da se sve reakcije odigravaju preko stanja složene jezgre 8Be Uz oznake

X(ab)Y ili a+X C b+Y

imamo

U nerelativističkoj aproksimaciji

0 XCa ppp

CCaXa EcmEcmm 22

a

C

a

a

a

C

a

C

CC E

m

m

m

p

m

m

m

pE

2

2

22

a

C

aXaCaXaC E

m

mcmmEEcmmcm

2221

Rješenje 46

Uvrstimo li na desnu stranu

na lijevoj dobivamo

pa je energija pobuđenog stanja u složenoj jezgri C jednaka

Prvi član je baš jednak Q-vrijednosti prve od popisanih reakcija Q= 1725 MeV

Dakle rezonance se pojavljuju na energijama pobuđenja u 8Be Ex1= 1725+7(7+1)044= 176 MeV

Ex2= 198 MeV Ex3= 1812 MeV Ex4= 1915 MeV

aXa

XCXaCCx E

mm

mcmmmcmcmE

222

XaC mmm

aXa

XXaC E

mm

mcmmcm

22

Rješenje 46

Spinove i paritet pobuđenih stanja (rezonanci) možemo odrediti korištenjem zakona sačuvanja momenta impulsa i pariteta Paritet sistema a+X jednak je

i on mora biti jednak paritetu stanja C s jedne ali i paritetu krajnjeg sistema b+Y s druge strane

Model ljusaka za osnovno stanje jezgre 7Li daje J= 32- Unutrašnja parnost protona je + (J=12) pa ako jezgra 7Li međudjeluje s S-protonom paritet sistema p +7Li bit će negativan kao i paritet odgovarajućeg stanja u 8Be Ako 7Li međudjeluje s P-protonom paritet stanja u 8Be bit će pozitivan

Na energijama do asymp5 MeV relativni moment impulsa pri reakciji praktički ne može biti veći od 1 (L= 01)

L

XaXa )1(

Rješenje 46

Zaključujemo

L=0 (S-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)0= -1

L=1 (P-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)1= +1

Gledamo detektirane gama-zrake ona od 176 MeV točno odgovara prijelazu između rezonance na E(p)= 044 MeV i osnovnog stanja gama-prijelaz od 147 MeV prepoznajemo kao prijelaz iz tog stanja u prvo pobuđeno stanje jezgre 8Be Najniža dva stanja su pozitivnog pariteta a prijelaz je tipa M1 paritet stanja na Ex= 176 MeV mora biti pozitivan (M1-prijelaz čuva paritet) a spin mora biti J=1 samo tako se mogu intenzivno puniti stanja i 0+ i 2+

1

20

2

1

2

3

0

1

2

3

12

1

2

3

Rješenje 46

Zaključujemo da je u reakciji (pg) 7Li međudjelovao sa P-protonom Gama-raspad je ldquosporrdquo i zbog toga je ova rezonanca uža od ostalih koje se raspadaju emisijom čestica

Paritet sistema aa je pozitivna jer su a-čestice identični bozoni S druge strane za ovaj paritet vrijedi

gdje je L relativni moment impulsa dvije a-čestice koji dakle mora biti paran Stanje na Ex= 198 MeV preko kojeg se odvija reakcija 7Li(pa)4He mora dakle imati J= (0 ili 2)+ Relativno velika energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje prolasku kroz kulonsku i centrifugalnu barijeru stvorene a-čestice imaju pak ogromnu relativnu brzinu pa one laganu tuneliraju kroz barijeru(e) i rapad je tog stanja vrlo brz (tj stanje je široko)

Primijetiti da za stanje na Ex= 176 MeV spin jedan zabranjuje raspad u 2 a-čestice

LL )1()1(2 aaa

Rješenje 46

Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfa-čestice već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog pariteta To se može ostvariti g-emisijom ldquoneparnihrdquo fotona (E1 M2 ) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski dozvoljeni

Činjenica da se stanje na Ex= 1915 MeV ne raspada ni u 2 alfa-čestice ni gama-emisijom već baš emisijom neutrona koja je brža od gama-emisije govori da to stanje ima negativni paritet To pak znači da je u ovoj reakciji 7Li međudjelovao sa S-protonom (nema centrifugalne barijere) i zbog toga je udarni presjek veći Spin ovog stanja tada mora biti 1 ili 2

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 45

O ovom izrazu prepoznaje se utjecaj centrifugalne barijere Dakle do interakcije čestice momenta impula l i jezgre dolazi ako je energija veća od visine centrifugalne barijere

Alternativno ako je energija fiksirana do interakcije dolazo samo za one čestice s l ltlmax ovaj utjecaj drastično smanjuje udarne presjeke za raspršenje viših parcijalnih valova

Uz r0asymp14 A13 fm visina centrifugalne barijere može se procijeniti na

Osim centrifugalne nabijeni snopovi ldquoviderdquo i kulonsku barijeru visine

MeVllA

llr

Vcf )1(10

)1(2

3220

2

MeVA

zz

r

ezzVc

31

21

0

221

Rješenje 45

Za nekoliko izabranih slučajeva visina barijere dana je u MeV-ima

meta snop p i n (S) p i n (P) p i n (D) p ( l)

p 0 20 60 1

7Li 0 55 17 16

16O 0 32 10 35

55Mn 0 14 42 66

120Sn 0 08 25 10

238U 0 04 12 15

Vcf Vcf Vcf Vc

Zadatak 46 Na slici je prikazana ovisnost udarnih presjeka o

energiji upadnih protona za razne izlazne kanale reakcije p+7Li

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Ove reakcije popraćene su emisijom gama-zraka energije E1 = 147

MeV E2 = 176 MeV E3 = 152 MeV i E4 = 181 MeV (sve tipa M1) Ako

je poznato da su dva najniža stanja jezgre 8Be usko osnovno stanje

0+ (T12asymp 10-15 s) i vrlo široko (Gasymp 800 keV) stanje 2+ na Exasymp 29 MeV

Na temelju ovih podataka naći i objasniti položaj stanja jezgre 8Be

njihove spinove i paritet te shemu raspada Kvalitativno objasniti

ponašanje udarnih presjeka navedenih reakcija i širine rezonanca

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Rješenje 46

Prvo pomoću tablica masa nalazimo Q-vrijednosti reakcija

1) 7Li(pg)8Be Q1= 1725 MeV

2) 7Li(pa)4He Q2= 1734 MeV

3) 7Li(pp)7Li Q3= 0 MeV

4) 7Li(pn)7Be Q4= -164 MeV

Uočiti da su (pn)-reakcije najčešće endotermne jer je masa

neutrona veća od mase protona za 13 MeV a za b-stabilne jezgre

meta mora imati najviše 500 keV veću energiju vezanja od izlazne

teške čestice

Zbog negativne Q-vrijednosti prag za reakciju 4) je na Ep= 188

MeV

Rješenje 46

Pretpostavljamo da se sve reakcije odigravaju preko stanja složene jezgre 8Be Uz oznake

X(ab)Y ili a+X C b+Y

imamo

U nerelativističkoj aproksimaciji

0 XCa ppp

CCaXa EcmEcmm 22

a

C

a

a

a

C

a

C

CC E

m

m

m

p

m

m

m

pE

2

2

22

a

C

aXaCaXaC E

m

mcmmEEcmmcm

2221

Rješenje 46

Uvrstimo li na desnu stranu

na lijevoj dobivamo

pa je energija pobuđenog stanja u složenoj jezgri C jednaka

Prvi član je baš jednak Q-vrijednosti prve od popisanih reakcija Q= 1725 MeV

Dakle rezonance se pojavljuju na energijama pobuđenja u 8Be Ex1= 1725+7(7+1)044= 176 MeV

Ex2= 198 MeV Ex3= 1812 MeV Ex4= 1915 MeV

aXa

XCXaCCx E

mm

mcmmmcmcmE

222

XaC mmm

aXa

XXaC E

mm

mcmmcm

22

Rješenje 46

Spinove i paritet pobuđenih stanja (rezonanci) možemo odrediti korištenjem zakona sačuvanja momenta impulsa i pariteta Paritet sistema a+X jednak je

i on mora biti jednak paritetu stanja C s jedne ali i paritetu krajnjeg sistema b+Y s druge strane

Model ljusaka za osnovno stanje jezgre 7Li daje J= 32- Unutrašnja parnost protona je + (J=12) pa ako jezgra 7Li međudjeluje s S-protonom paritet sistema p +7Li bit će negativan kao i paritet odgovarajućeg stanja u 8Be Ako 7Li međudjeluje s P-protonom paritet stanja u 8Be bit će pozitivan

Na energijama do asymp5 MeV relativni moment impulsa pri reakciji praktički ne može biti veći od 1 (L= 01)

L

XaXa )1(

Rješenje 46

Zaključujemo

L=0 (S-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)0= -1

L=1 (P-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)1= +1

Gledamo detektirane gama-zrake ona od 176 MeV točno odgovara prijelazu između rezonance na E(p)= 044 MeV i osnovnog stanja gama-prijelaz od 147 MeV prepoznajemo kao prijelaz iz tog stanja u prvo pobuđeno stanje jezgre 8Be Najniža dva stanja su pozitivnog pariteta a prijelaz je tipa M1 paritet stanja na Ex= 176 MeV mora biti pozitivan (M1-prijelaz čuva paritet) a spin mora biti J=1 samo tako se mogu intenzivno puniti stanja i 0+ i 2+

1

20

2

1

2

3

0

1

2

3

12

1

2

3

Rješenje 46

Zaključujemo da je u reakciji (pg) 7Li međudjelovao sa P-protonom Gama-raspad je ldquosporrdquo i zbog toga je ova rezonanca uža od ostalih koje se raspadaju emisijom čestica

Paritet sistema aa je pozitivna jer su a-čestice identični bozoni S druge strane za ovaj paritet vrijedi

gdje je L relativni moment impulsa dvije a-čestice koji dakle mora biti paran Stanje na Ex= 198 MeV preko kojeg se odvija reakcija 7Li(pa)4He mora dakle imati J= (0 ili 2)+ Relativno velika energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje prolasku kroz kulonsku i centrifugalnu barijeru stvorene a-čestice imaju pak ogromnu relativnu brzinu pa one laganu tuneliraju kroz barijeru(e) i rapad je tog stanja vrlo brz (tj stanje je široko)

Primijetiti da za stanje na Ex= 176 MeV spin jedan zabranjuje raspad u 2 a-čestice

LL )1()1(2 aaa

Rješenje 46

Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfa-čestice već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog pariteta To se može ostvariti g-emisijom ldquoneparnihrdquo fotona (E1 M2 ) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski dozvoljeni

Činjenica da se stanje na Ex= 1915 MeV ne raspada ni u 2 alfa-čestice ni gama-emisijom već baš emisijom neutrona koja je brža od gama-emisije govori da to stanje ima negativni paritet To pak znači da je u ovoj reakciji 7Li međudjelovao sa S-protonom (nema centrifugalne barijere) i zbog toga je udarni presjek veći Spin ovog stanja tada mora biti 1 ili 2

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 45

Za nekoliko izabranih slučajeva visina barijere dana je u MeV-ima

meta snop p i n (S) p i n (P) p i n (D) p ( l)

p 0 20 60 1

7Li 0 55 17 16

16O 0 32 10 35

55Mn 0 14 42 66

120Sn 0 08 25 10

238U 0 04 12 15

Vcf Vcf Vcf Vc

Zadatak 46 Na slici je prikazana ovisnost udarnih presjeka o

energiji upadnih protona za razne izlazne kanale reakcije p+7Li

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Ove reakcije popraćene su emisijom gama-zraka energije E1 = 147

MeV E2 = 176 MeV E3 = 152 MeV i E4 = 181 MeV (sve tipa M1) Ako

je poznato da su dva najniža stanja jezgre 8Be usko osnovno stanje

0+ (T12asymp 10-15 s) i vrlo široko (Gasymp 800 keV) stanje 2+ na Exasymp 29 MeV

Na temelju ovih podataka naći i objasniti položaj stanja jezgre 8Be

njihove spinove i paritet te shemu raspada Kvalitativno objasniti

ponašanje udarnih presjeka navedenih reakcija i širine rezonanca

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Rješenje 46

Prvo pomoću tablica masa nalazimo Q-vrijednosti reakcija

1) 7Li(pg)8Be Q1= 1725 MeV

2) 7Li(pa)4He Q2= 1734 MeV

3) 7Li(pp)7Li Q3= 0 MeV

4) 7Li(pn)7Be Q4= -164 MeV

Uočiti da su (pn)-reakcije najčešće endotermne jer je masa

neutrona veća od mase protona za 13 MeV a za b-stabilne jezgre

meta mora imati najviše 500 keV veću energiju vezanja od izlazne

teške čestice

Zbog negativne Q-vrijednosti prag za reakciju 4) je na Ep= 188

MeV

Rješenje 46

Pretpostavljamo da se sve reakcije odigravaju preko stanja složene jezgre 8Be Uz oznake

X(ab)Y ili a+X C b+Y

imamo

U nerelativističkoj aproksimaciji

0 XCa ppp

CCaXa EcmEcmm 22

a

C

a

a

a

C

a

C

CC E

m

m

m

p

m

m

m

pE

2

2

22

a

C

aXaCaXaC E

m

mcmmEEcmmcm

2221

Rješenje 46

Uvrstimo li na desnu stranu

na lijevoj dobivamo

pa je energija pobuđenog stanja u složenoj jezgri C jednaka

Prvi član je baš jednak Q-vrijednosti prve od popisanih reakcija Q= 1725 MeV

Dakle rezonance se pojavljuju na energijama pobuđenja u 8Be Ex1= 1725+7(7+1)044= 176 MeV

Ex2= 198 MeV Ex3= 1812 MeV Ex4= 1915 MeV

aXa

XCXaCCx E

mm

mcmmmcmcmE

222

XaC mmm

aXa

XXaC E

mm

mcmmcm

22

Rješenje 46

Spinove i paritet pobuđenih stanja (rezonanci) možemo odrediti korištenjem zakona sačuvanja momenta impulsa i pariteta Paritet sistema a+X jednak je

i on mora biti jednak paritetu stanja C s jedne ali i paritetu krajnjeg sistema b+Y s druge strane

Model ljusaka za osnovno stanje jezgre 7Li daje J= 32- Unutrašnja parnost protona je + (J=12) pa ako jezgra 7Li međudjeluje s S-protonom paritet sistema p +7Li bit će negativan kao i paritet odgovarajućeg stanja u 8Be Ako 7Li međudjeluje s P-protonom paritet stanja u 8Be bit će pozitivan

Na energijama do asymp5 MeV relativni moment impulsa pri reakciji praktički ne može biti veći od 1 (L= 01)

L

XaXa )1(

Rješenje 46

Zaključujemo

L=0 (S-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)0= -1

L=1 (P-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)1= +1

Gledamo detektirane gama-zrake ona od 176 MeV točno odgovara prijelazu između rezonance na E(p)= 044 MeV i osnovnog stanja gama-prijelaz od 147 MeV prepoznajemo kao prijelaz iz tog stanja u prvo pobuđeno stanje jezgre 8Be Najniža dva stanja su pozitivnog pariteta a prijelaz je tipa M1 paritet stanja na Ex= 176 MeV mora biti pozitivan (M1-prijelaz čuva paritet) a spin mora biti J=1 samo tako se mogu intenzivno puniti stanja i 0+ i 2+

1

20

2

1

2

3

0

1

2

3

12

1

2

3

Rješenje 46

Zaključujemo da je u reakciji (pg) 7Li međudjelovao sa P-protonom Gama-raspad je ldquosporrdquo i zbog toga je ova rezonanca uža od ostalih koje se raspadaju emisijom čestica

Paritet sistema aa je pozitivna jer su a-čestice identični bozoni S druge strane za ovaj paritet vrijedi

gdje je L relativni moment impulsa dvije a-čestice koji dakle mora biti paran Stanje na Ex= 198 MeV preko kojeg se odvija reakcija 7Li(pa)4He mora dakle imati J= (0 ili 2)+ Relativno velika energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje prolasku kroz kulonsku i centrifugalnu barijeru stvorene a-čestice imaju pak ogromnu relativnu brzinu pa one laganu tuneliraju kroz barijeru(e) i rapad je tog stanja vrlo brz (tj stanje je široko)

Primijetiti da za stanje na Ex= 176 MeV spin jedan zabranjuje raspad u 2 a-čestice

LL )1()1(2 aaa

Rješenje 46

Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfa-čestice već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog pariteta To se može ostvariti g-emisijom ldquoneparnihrdquo fotona (E1 M2 ) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski dozvoljeni

Činjenica da se stanje na Ex= 1915 MeV ne raspada ni u 2 alfa-čestice ni gama-emisijom već baš emisijom neutrona koja je brža od gama-emisije govori da to stanje ima negativni paritet To pak znači da je u ovoj reakciji 7Li međudjelovao sa S-protonom (nema centrifugalne barijere) i zbog toga je udarni presjek veći Spin ovog stanja tada mora biti 1 ili 2

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Zadatak 46 Na slici je prikazana ovisnost udarnih presjeka o

energiji upadnih protona za razne izlazne kanale reakcije p+7Li

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Ove reakcije popraćene su emisijom gama-zraka energije E1 = 147

MeV E2 = 176 MeV E3 = 152 MeV i E4 = 181 MeV (sve tipa M1) Ako

je poznato da su dva najniža stanja jezgre 8Be usko osnovno stanje

0+ (T12asymp 10-15 s) i vrlo široko (Gasymp 800 keV) stanje 2+ na Exasymp 29 MeV

Na temelju ovih podataka naći i objasniti položaj stanja jezgre 8Be

njihove spinove i paritet te shemu raspada Kvalitativno objasniti

ponašanje udarnih presjeka navedenih reakcija i širine rezonanca

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Rješenje 46

Prvo pomoću tablica masa nalazimo Q-vrijednosti reakcija

1) 7Li(pg)8Be Q1= 1725 MeV

2) 7Li(pa)4He Q2= 1734 MeV

3) 7Li(pp)7Li Q3= 0 MeV

4) 7Li(pn)7Be Q4= -164 MeV

Uočiti da su (pn)-reakcije najčešće endotermne jer je masa

neutrona veća od mase protona za 13 MeV a za b-stabilne jezgre

meta mora imati najviše 500 keV veću energiju vezanja od izlazne

teške čestice

Zbog negativne Q-vrijednosti prag za reakciju 4) je na Ep= 188

MeV

Rješenje 46

Pretpostavljamo da se sve reakcije odigravaju preko stanja složene jezgre 8Be Uz oznake

X(ab)Y ili a+X C b+Y

imamo

U nerelativističkoj aproksimaciji

0 XCa ppp

CCaXa EcmEcmm 22

a

C

a

a

a

C

a

C

CC E

m

m

m

p

m

m

m

pE

2

2

22

a

C

aXaCaXaC E

m

mcmmEEcmmcm

2221

Rješenje 46

Uvrstimo li na desnu stranu

na lijevoj dobivamo

pa je energija pobuđenog stanja u složenoj jezgri C jednaka

Prvi član je baš jednak Q-vrijednosti prve od popisanih reakcija Q= 1725 MeV

Dakle rezonance se pojavljuju na energijama pobuđenja u 8Be Ex1= 1725+7(7+1)044= 176 MeV

Ex2= 198 MeV Ex3= 1812 MeV Ex4= 1915 MeV

aXa

XCXaCCx E

mm

mcmmmcmcmE

222

XaC mmm

aXa

XXaC E

mm

mcmmcm

22

Rješenje 46

Spinove i paritet pobuđenih stanja (rezonanci) možemo odrediti korištenjem zakona sačuvanja momenta impulsa i pariteta Paritet sistema a+X jednak je

i on mora biti jednak paritetu stanja C s jedne ali i paritetu krajnjeg sistema b+Y s druge strane

Model ljusaka za osnovno stanje jezgre 7Li daje J= 32- Unutrašnja parnost protona je + (J=12) pa ako jezgra 7Li međudjeluje s S-protonom paritet sistema p +7Li bit će negativan kao i paritet odgovarajućeg stanja u 8Be Ako 7Li međudjeluje s P-protonom paritet stanja u 8Be bit će pozitivan

Na energijama do asymp5 MeV relativni moment impulsa pri reakciji praktički ne može biti veći od 1 (L= 01)

L

XaXa )1(

Rješenje 46

Zaključujemo

L=0 (S-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)0= -1

L=1 (P-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)1= +1

Gledamo detektirane gama-zrake ona od 176 MeV točno odgovara prijelazu između rezonance na E(p)= 044 MeV i osnovnog stanja gama-prijelaz od 147 MeV prepoznajemo kao prijelaz iz tog stanja u prvo pobuđeno stanje jezgre 8Be Najniža dva stanja su pozitivnog pariteta a prijelaz je tipa M1 paritet stanja na Ex= 176 MeV mora biti pozitivan (M1-prijelaz čuva paritet) a spin mora biti J=1 samo tako se mogu intenzivno puniti stanja i 0+ i 2+

1

20

2

1

2

3

0

1

2

3

12

1

2

3

Rješenje 46

Zaključujemo da je u reakciji (pg) 7Li međudjelovao sa P-protonom Gama-raspad je ldquosporrdquo i zbog toga je ova rezonanca uža od ostalih koje se raspadaju emisijom čestica

Paritet sistema aa je pozitivna jer su a-čestice identični bozoni S druge strane za ovaj paritet vrijedi

gdje je L relativni moment impulsa dvije a-čestice koji dakle mora biti paran Stanje na Ex= 198 MeV preko kojeg se odvija reakcija 7Li(pa)4He mora dakle imati J= (0 ili 2)+ Relativno velika energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje prolasku kroz kulonsku i centrifugalnu barijeru stvorene a-čestice imaju pak ogromnu relativnu brzinu pa one laganu tuneliraju kroz barijeru(e) i rapad je tog stanja vrlo brz (tj stanje je široko)

Primijetiti da za stanje na Ex= 176 MeV spin jedan zabranjuje raspad u 2 a-čestice

LL )1()1(2 aaa

Rješenje 46

Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfa-čestice već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog pariteta To se može ostvariti g-emisijom ldquoneparnihrdquo fotona (E1 M2 ) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski dozvoljeni

Činjenica da se stanje na Ex= 1915 MeV ne raspada ni u 2 alfa-čestice ni gama-emisijom već baš emisijom neutrona koja je brža od gama-emisije govori da to stanje ima negativni paritet To pak znači da je u ovoj reakciji 7Li međudjelovao sa S-protonom (nema centrifugalne barijere) i zbog toga je udarni presjek veći Spin ovog stanja tada mora biti 1 ili 2

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

1) 7Li(pg)8Be

2) 7Li(pa)4He

3) 7Li(pp)7Li

4) 7Li(pn)7Be

Rješenje 46

Prvo pomoću tablica masa nalazimo Q-vrijednosti reakcija

1) 7Li(pg)8Be Q1= 1725 MeV

2) 7Li(pa)4He Q2= 1734 MeV

3) 7Li(pp)7Li Q3= 0 MeV

4) 7Li(pn)7Be Q4= -164 MeV

Uočiti da su (pn)-reakcije najčešće endotermne jer je masa

neutrona veća od mase protona za 13 MeV a za b-stabilne jezgre

meta mora imati najviše 500 keV veću energiju vezanja od izlazne

teške čestice

Zbog negativne Q-vrijednosti prag za reakciju 4) je na Ep= 188

MeV

Rješenje 46

Pretpostavljamo da se sve reakcije odigravaju preko stanja složene jezgre 8Be Uz oznake

X(ab)Y ili a+X C b+Y

imamo

U nerelativističkoj aproksimaciji

0 XCa ppp

CCaXa EcmEcmm 22

a

C

a

a

a

C

a

C

CC E

m

m

m

p

m

m

m

pE

2

2

22

a

C

aXaCaXaC E

m

mcmmEEcmmcm

2221

Rješenje 46

Uvrstimo li na desnu stranu

na lijevoj dobivamo

pa je energija pobuđenog stanja u složenoj jezgri C jednaka

Prvi član je baš jednak Q-vrijednosti prve od popisanih reakcija Q= 1725 MeV

Dakle rezonance se pojavljuju na energijama pobuđenja u 8Be Ex1= 1725+7(7+1)044= 176 MeV

Ex2= 198 MeV Ex3= 1812 MeV Ex4= 1915 MeV

aXa

XCXaCCx E

mm

mcmmmcmcmE

222

XaC mmm

aXa

XXaC E

mm

mcmmcm

22

Rješenje 46

Spinove i paritet pobuđenih stanja (rezonanci) možemo odrediti korištenjem zakona sačuvanja momenta impulsa i pariteta Paritet sistema a+X jednak je

i on mora biti jednak paritetu stanja C s jedne ali i paritetu krajnjeg sistema b+Y s druge strane

Model ljusaka za osnovno stanje jezgre 7Li daje J= 32- Unutrašnja parnost protona je + (J=12) pa ako jezgra 7Li međudjeluje s S-protonom paritet sistema p +7Li bit će negativan kao i paritet odgovarajućeg stanja u 8Be Ako 7Li međudjeluje s P-protonom paritet stanja u 8Be bit će pozitivan

Na energijama do asymp5 MeV relativni moment impulsa pri reakciji praktički ne može biti veći od 1 (L= 01)

L

XaXa )1(

Rješenje 46

Zaključujemo

L=0 (S-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)0= -1

L=1 (P-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)1= +1

Gledamo detektirane gama-zrake ona od 176 MeV točno odgovara prijelazu između rezonance na E(p)= 044 MeV i osnovnog stanja gama-prijelaz od 147 MeV prepoznajemo kao prijelaz iz tog stanja u prvo pobuđeno stanje jezgre 8Be Najniža dva stanja su pozitivnog pariteta a prijelaz je tipa M1 paritet stanja na Ex= 176 MeV mora biti pozitivan (M1-prijelaz čuva paritet) a spin mora biti J=1 samo tako se mogu intenzivno puniti stanja i 0+ i 2+

1

20

2

1

2

3

0

1

2

3

12

1

2

3

Rješenje 46

Zaključujemo da je u reakciji (pg) 7Li međudjelovao sa P-protonom Gama-raspad je ldquosporrdquo i zbog toga je ova rezonanca uža od ostalih koje se raspadaju emisijom čestica

Paritet sistema aa je pozitivna jer su a-čestice identični bozoni S druge strane za ovaj paritet vrijedi

gdje je L relativni moment impulsa dvije a-čestice koji dakle mora biti paran Stanje na Ex= 198 MeV preko kojeg se odvija reakcija 7Li(pa)4He mora dakle imati J= (0 ili 2)+ Relativno velika energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje prolasku kroz kulonsku i centrifugalnu barijeru stvorene a-čestice imaju pak ogromnu relativnu brzinu pa one laganu tuneliraju kroz barijeru(e) i rapad je tog stanja vrlo brz (tj stanje je široko)

Primijetiti da za stanje na Ex= 176 MeV spin jedan zabranjuje raspad u 2 a-čestice

LL )1()1(2 aaa

Rješenje 46

Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfa-čestice već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog pariteta To se može ostvariti g-emisijom ldquoneparnihrdquo fotona (E1 M2 ) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski dozvoljeni

Činjenica da se stanje na Ex= 1915 MeV ne raspada ni u 2 alfa-čestice ni gama-emisijom već baš emisijom neutrona koja je brža od gama-emisije govori da to stanje ima negativni paritet To pak znači da je u ovoj reakciji 7Li međudjelovao sa S-protonom (nema centrifugalne barijere) i zbog toga je udarni presjek veći Spin ovog stanja tada mora biti 1 ili 2

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 46

Prvo pomoću tablica masa nalazimo Q-vrijednosti reakcija

1) 7Li(pg)8Be Q1= 1725 MeV

2) 7Li(pa)4He Q2= 1734 MeV

3) 7Li(pp)7Li Q3= 0 MeV

4) 7Li(pn)7Be Q4= -164 MeV

Uočiti da su (pn)-reakcije najčešće endotermne jer je masa

neutrona veća od mase protona za 13 MeV a za b-stabilne jezgre

meta mora imati najviše 500 keV veću energiju vezanja od izlazne

teške čestice

Zbog negativne Q-vrijednosti prag za reakciju 4) je na Ep= 188

MeV

Rješenje 46

Pretpostavljamo da se sve reakcije odigravaju preko stanja složene jezgre 8Be Uz oznake

X(ab)Y ili a+X C b+Y

imamo

U nerelativističkoj aproksimaciji

0 XCa ppp

CCaXa EcmEcmm 22

a

C

a

a

a

C

a

C

CC E

m

m

m

p

m

m

m

pE

2

2

22

a

C

aXaCaXaC E

m

mcmmEEcmmcm

2221

Rješenje 46

Uvrstimo li na desnu stranu

na lijevoj dobivamo

pa je energija pobuđenog stanja u složenoj jezgri C jednaka

Prvi član je baš jednak Q-vrijednosti prve od popisanih reakcija Q= 1725 MeV

Dakle rezonance se pojavljuju na energijama pobuđenja u 8Be Ex1= 1725+7(7+1)044= 176 MeV

Ex2= 198 MeV Ex3= 1812 MeV Ex4= 1915 MeV

aXa

XCXaCCx E

mm

mcmmmcmcmE

222

XaC mmm

aXa

XXaC E

mm

mcmmcm

22

Rješenje 46

Spinove i paritet pobuđenih stanja (rezonanci) možemo odrediti korištenjem zakona sačuvanja momenta impulsa i pariteta Paritet sistema a+X jednak je

i on mora biti jednak paritetu stanja C s jedne ali i paritetu krajnjeg sistema b+Y s druge strane

Model ljusaka za osnovno stanje jezgre 7Li daje J= 32- Unutrašnja parnost protona je + (J=12) pa ako jezgra 7Li međudjeluje s S-protonom paritet sistema p +7Li bit će negativan kao i paritet odgovarajućeg stanja u 8Be Ako 7Li međudjeluje s P-protonom paritet stanja u 8Be bit će pozitivan

Na energijama do asymp5 MeV relativni moment impulsa pri reakciji praktički ne može biti veći od 1 (L= 01)

L

XaXa )1(

Rješenje 46

Zaključujemo

L=0 (S-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)0= -1

L=1 (P-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)1= +1

Gledamo detektirane gama-zrake ona od 176 MeV točno odgovara prijelazu između rezonance na E(p)= 044 MeV i osnovnog stanja gama-prijelaz od 147 MeV prepoznajemo kao prijelaz iz tog stanja u prvo pobuđeno stanje jezgre 8Be Najniža dva stanja su pozitivnog pariteta a prijelaz je tipa M1 paritet stanja na Ex= 176 MeV mora biti pozitivan (M1-prijelaz čuva paritet) a spin mora biti J=1 samo tako se mogu intenzivno puniti stanja i 0+ i 2+

1

20

2

1

2

3

0

1

2

3

12

1

2

3

Rješenje 46

Zaključujemo da je u reakciji (pg) 7Li međudjelovao sa P-protonom Gama-raspad je ldquosporrdquo i zbog toga je ova rezonanca uža od ostalih koje se raspadaju emisijom čestica

Paritet sistema aa je pozitivna jer su a-čestice identični bozoni S druge strane za ovaj paritet vrijedi

gdje je L relativni moment impulsa dvije a-čestice koji dakle mora biti paran Stanje na Ex= 198 MeV preko kojeg se odvija reakcija 7Li(pa)4He mora dakle imati J= (0 ili 2)+ Relativno velika energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje prolasku kroz kulonsku i centrifugalnu barijeru stvorene a-čestice imaju pak ogromnu relativnu brzinu pa one laganu tuneliraju kroz barijeru(e) i rapad je tog stanja vrlo brz (tj stanje je široko)

Primijetiti da za stanje na Ex= 176 MeV spin jedan zabranjuje raspad u 2 a-čestice

LL )1()1(2 aaa

Rješenje 46

Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfa-čestice već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog pariteta To se može ostvariti g-emisijom ldquoneparnihrdquo fotona (E1 M2 ) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski dozvoljeni

Činjenica da se stanje na Ex= 1915 MeV ne raspada ni u 2 alfa-čestice ni gama-emisijom već baš emisijom neutrona koja je brža od gama-emisije govori da to stanje ima negativni paritet To pak znači da je u ovoj reakciji 7Li međudjelovao sa S-protonom (nema centrifugalne barijere) i zbog toga je udarni presjek veći Spin ovog stanja tada mora biti 1 ili 2

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 46

Pretpostavljamo da se sve reakcije odigravaju preko stanja složene jezgre 8Be Uz oznake

X(ab)Y ili a+X C b+Y

imamo

U nerelativističkoj aproksimaciji

0 XCa ppp

CCaXa EcmEcmm 22

a

C

a

a

a

C

a

C

CC E

m

m

m

p

m

m

m

pE

2

2

22

a

C

aXaCaXaC E

m

mcmmEEcmmcm

2221

Rješenje 46

Uvrstimo li na desnu stranu

na lijevoj dobivamo

pa je energija pobuđenog stanja u složenoj jezgri C jednaka

Prvi član je baš jednak Q-vrijednosti prve od popisanih reakcija Q= 1725 MeV

Dakle rezonance se pojavljuju na energijama pobuđenja u 8Be Ex1= 1725+7(7+1)044= 176 MeV

Ex2= 198 MeV Ex3= 1812 MeV Ex4= 1915 MeV

aXa

XCXaCCx E

mm

mcmmmcmcmE

222

XaC mmm

aXa

XXaC E

mm

mcmmcm

22

Rješenje 46

Spinove i paritet pobuđenih stanja (rezonanci) možemo odrediti korištenjem zakona sačuvanja momenta impulsa i pariteta Paritet sistema a+X jednak je

i on mora biti jednak paritetu stanja C s jedne ali i paritetu krajnjeg sistema b+Y s druge strane

Model ljusaka za osnovno stanje jezgre 7Li daje J= 32- Unutrašnja parnost protona je + (J=12) pa ako jezgra 7Li međudjeluje s S-protonom paritet sistema p +7Li bit će negativan kao i paritet odgovarajućeg stanja u 8Be Ako 7Li međudjeluje s P-protonom paritet stanja u 8Be bit će pozitivan

Na energijama do asymp5 MeV relativni moment impulsa pri reakciji praktički ne može biti veći od 1 (L= 01)

L

XaXa )1(

Rješenje 46

Zaključujemo

L=0 (S-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)0= -1

L=1 (P-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)1= +1

Gledamo detektirane gama-zrake ona od 176 MeV točno odgovara prijelazu između rezonance na E(p)= 044 MeV i osnovnog stanja gama-prijelaz od 147 MeV prepoznajemo kao prijelaz iz tog stanja u prvo pobuđeno stanje jezgre 8Be Najniža dva stanja su pozitivnog pariteta a prijelaz je tipa M1 paritet stanja na Ex= 176 MeV mora biti pozitivan (M1-prijelaz čuva paritet) a spin mora biti J=1 samo tako se mogu intenzivno puniti stanja i 0+ i 2+

1

20

2

1

2

3

0

1

2

3

12

1

2

3

Rješenje 46

Zaključujemo da je u reakciji (pg) 7Li međudjelovao sa P-protonom Gama-raspad je ldquosporrdquo i zbog toga je ova rezonanca uža od ostalih koje se raspadaju emisijom čestica

Paritet sistema aa je pozitivna jer su a-čestice identični bozoni S druge strane za ovaj paritet vrijedi

gdje je L relativni moment impulsa dvije a-čestice koji dakle mora biti paran Stanje na Ex= 198 MeV preko kojeg se odvija reakcija 7Li(pa)4He mora dakle imati J= (0 ili 2)+ Relativno velika energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje prolasku kroz kulonsku i centrifugalnu barijeru stvorene a-čestice imaju pak ogromnu relativnu brzinu pa one laganu tuneliraju kroz barijeru(e) i rapad je tog stanja vrlo brz (tj stanje je široko)

Primijetiti da za stanje na Ex= 176 MeV spin jedan zabranjuje raspad u 2 a-čestice

LL )1()1(2 aaa

Rješenje 46

Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfa-čestice već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog pariteta To se može ostvariti g-emisijom ldquoneparnihrdquo fotona (E1 M2 ) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski dozvoljeni

Činjenica da se stanje na Ex= 1915 MeV ne raspada ni u 2 alfa-čestice ni gama-emisijom već baš emisijom neutrona koja je brža od gama-emisije govori da to stanje ima negativni paritet To pak znači da je u ovoj reakciji 7Li međudjelovao sa S-protonom (nema centrifugalne barijere) i zbog toga je udarni presjek veći Spin ovog stanja tada mora biti 1 ili 2

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 46

Uvrstimo li na desnu stranu

na lijevoj dobivamo

pa je energija pobuđenog stanja u složenoj jezgri C jednaka

Prvi član je baš jednak Q-vrijednosti prve od popisanih reakcija Q= 1725 MeV

Dakle rezonance se pojavljuju na energijama pobuđenja u 8Be Ex1= 1725+7(7+1)044= 176 MeV

Ex2= 198 MeV Ex3= 1812 MeV Ex4= 1915 MeV

aXa

XCXaCCx E

mm

mcmmmcmcmE

222

XaC mmm

aXa

XXaC E

mm

mcmmcm

22

Rješenje 46

Spinove i paritet pobuđenih stanja (rezonanci) možemo odrediti korištenjem zakona sačuvanja momenta impulsa i pariteta Paritet sistema a+X jednak je

i on mora biti jednak paritetu stanja C s jedne ali i paritetu krajnjeg sistema b+Y s druge strane

Model ljusaka za osnovno stanje jezgre 7Li daje J= 32- Unutrašnja parnost protona je + (J=12) pa ako jezgra 7Li međudjeluje s S-protonom paritet sistema p +7Li bit će negativan kao i paritet odgovarajućeg stanja u 8Be Ako 7Li međudjeluje s P-protonom paritet stanja u 8Be bit će pozitivan

Na energijama do asymp5 MeV relativni moment impulsa pri reakciji praktički ne može biti veći od 1 (L= 01)

L

XaXa )1(

Rješenje 46

Zaključujemo

L=0 (S-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)0= -1

L=1 (P-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)1= +1

Gledamo detektirane gama-zrake ona od 176 MeV točno odgovara prijelazu između rezonance na E(p)= 044 MeV i osnovnog stanja gama-prijelaz od 147 MeV prepoznajemo kao prijelaz iz tog stanja u prvo pobuđeno stanje jezgre 8Be Najniža dva stanja su pozitivnog pariteta a prijelaz je tipa M1 paritet stanja na Ex= 176 MeV mora biti pozitivan (M1-prijelaz čuva paritet) a spin mora biti J=1 samo tako se mogu intenzivno puniti stanja i 0+ i 2+

1

20

2

1

2

3

0

1

2

3

12

1

2

3

Rješenje 46

Zaključujemo da je u reakciji (pg) 7Li međudjelovao sa P-protonom Gama-raspad je ldquosporrdquo i zbog toga je ova rezonanca uža od ostalih koje se raspadaju emisijom čestica

Paritet sistema aa je pozitivna jer su a-čestice identični bozoni S druge strane za ovaj paritet vrijedi

gdje je L relativni moment impulsa dvije a-čestice koji dakle mora biti paran Stanje na Ex= 198 MeV preko kojeg se odvija reakcija 7Li(pa)4He mora dakle imati J= (0 ili 2)+ Relativno velika energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje prolasku kroz kulonsku i centrifugalnu barijeru stvorene a-čestice imaju pak ogromnu relativnu brzinu pa one laganu tuneliraju kroz barijeru(e) i rapad je tog stanja vrlo brz (tj stanje je široko)

Primijetiti da za stanje na Ex= 176 MeV spin jedan zabranjuje raspad u 2 a-čestice

LL )1()1(2 aaa

Rješenje 46

Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfa-čestice već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog pariteta To se može ostvariti g-emisijom ldquoneparnihrdquo fotona (E1 M2 ) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski dozvoljeni

Činjenica da se stanje na Ex= 1915 MeV ne raspada ni u 2 alfa-čestice ni gama-emisijom već baš emisijom neutrona koja je brža od gama-emisije govori da to stanje ima negativni paritet To pak znači da je u ovoj reakciji 7Li međudjelovao sa S-protonom (nema centrifugalne barijere) i zbog toga je udarni presjek veći Spin ovog stanja tada mora biti 1 ili 2

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 46

Spinove i paritet pobuđenih stanja (rezonanci) možemo odrediti korištenjem zakona sačuvanja momenta impulsa i pariteta Paritet sistema a+X jednak je

i on mora biti jednak paritetu stanja C s jedne ali i paritetu krajnjeg sistema b+Y s druge strane

Model ljusaka za osnovno stanje jezgre 7Li daje J= 32- Unutrašnja parnost protona je + (J=12) pa ako jezgra 7Li međudjeluje s S-protonom paritet sistema p +7Li bit će negativan kao i paritet odgovarajućeg stanja u 8Be Ako 7Li međudjeluje s P-protonom paritet stanja u 8Be bit će pozitivan

Na energijama do asymp5 MeV relativni moment impulsa pri reakciji praktički ne može biti veći od 1 (L= 01)

L

XaXa )1(

Rješenje 46

Zaključujemo

L=0 (S-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)0= -1

L=1 (P-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)1= +1

Gledamo detektirane gama-zrake ona od 176 MeV točno odgovara prijelazu između rezonance na E(p)= 044 MeV i osnovnog stanja gama-prijelaz od 147 MeV prepoznajemo kao prijelaz iz tog stanja u prvo pobuđeno stanje jezgre 8Be Najniža dva stanja su pozitivnog pariteta a prijelaz je tipa M1 paritet stanja na Ex= 176 MeV mora biti pozitivan (M1-prijelaz čuva paritet) a spin mora biti J=1 samo tako se mogu intenzivno puniti stanja i 0+ i 2+

1

20

2

1

2

3

0

1

2

3

12

1

2

3

Rješenje 46

Zaključujemo da je u reakciji (pg) 7Li međudjelovao sa P-protonom Gama-raspad je ldquosporrdquo i zbog toga je ova rezonanca uža od ostalih koje se raspadaju emisijom čestica

Paritet sistema aa je pozitivna jer su a-čestice identični bozoni S druge strane za ovaj paritet vrijedi

gdje je L relativni moment impulsa dvije a-čestice koji dakle mora biti paran Stanje na Ex= 198 MeV preko kojeg se odvija reakcija 7Li(pa)4He mora dakle imati J= (0 ili 2)+ Relativno velika energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje prolasku kroz kulonsku i centrifugalnu barijeru stvorene a-čestice imaju pak ogromnu relativnu brzinu pa one laganu tuneliraju kroz barijeru(e) i rapad je tog stanja vrlo brz (tj stanje je široko)

Primijetiti da za stanje na Ex= 176 MeV spin jedan zabranjuje raspad u 2 a-čestice

LL )1()1(2 aaa

Rješenje 46

Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfa-čestice već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog pariteta To se može ostvariti g-emisijom ldquoneparnihrdquo fotona (E1 M2 ) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski dozvoljeni

Činjenica da se stanje na Ex= 1915 MeV ne raspada ni u 2 alfa-čestice ni gama-emisijom već baš emisijom neutrona koja je brža od gama-emisije govori da to stanje ima negativni paritet To pak znači da je u ovoj reakciji 7Li međudjelovao sa S-protonom (nema centrifugalne barijere) i zbog toga je udarni presjek veći Spin ovog stanja tada mora biti 1 ili 2

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 46

Zaključujemo

L=0 (S-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)0= -1

L=1 (P-proton) J(8Be)= (8Be)= (-1)(+1)(-1)1= +1

Gledamo detektirane gama-zrake ona od 176 MeV točno odgovara prijelazu između rezonance na E(p)= 044 MeV i osnovnog stanja gama-prijelaz od 147 MeV prepoznajemo kao prijelaz iz tog stanja u prvo pobuđeno stanje jezgre 8Be Najniža dva stanja su pozitivnog pariteta a prijelaz je tipa M1 paritet stanja na Ex= 176 MeV mora biti pozitivan (M1-prijelaz čuva paritet) a spin mora biti J=1 samo tako se mogu intenzivno puniti stanja i 0+ i 2+

1

20

2

1

2

3

0

1

2

3

12

1

2

3

Rješenje 46

Zaključujemo da je u reakciji (pg) 7Li međudjelovao sa P-protonom Gama-raspad je ldquosporrdquo i zbog toga je ova rezonanca uža od ostalih koje se raspadaju emisijom čestica

Paritet sistema aa je pozitivna jer su a-čestice identični bozoni S druge strane za ovaj paritet vrijedi

gdje je L relativni moment impulsa dvije a-čestice koji dakle mora biti paran Stanje na Ex= 198 MeV preko kojeg se odvija reakcija 7Li(pa)4He mora dakle imati J= (0 ili 2)+ Relativno velika energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje prolasku kroz kulonsku i centrifugalnu barijeru stvorene a-čestice imaju pak ogromnu relativnu brzinu pa one laganu tuneliraju kroz barijeru(e) i rapad je tog stanja vrlo brz (tj stanje je široko)

Primijetiti da za stanje na Ex= 176 MeV spin jedan zabranjuje raspad u 2 a-čestice

LL )1()1(2 aaa

Rješenje 46

Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfa-čestice već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog pariteta To se može ostvariti g-emisijom ldquoneparnihrdquo fotona (E1 M2 ) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski dozvoljeni

Činjenica da se stanje na Ex= 1915 MeV ne raspada ni u 2 alfa-čestice ni gama-emisijom već baš emisijom neutrona koja je brža od gama-emisije govori da to stanje ima negativni paritet To pak znači da je u ovoj reakciji 7Li međudjelovao sa S-protonom (nema centrifugalne barijere) i zbog toga je udarni presjek veći Spin ovog stanja tada mora biti 1 ili 2

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 46

Zaključujemo da je u reakciji (pg) 7Li međudjelovao sa P-protonom Gama-raspad je ldquosporrdquo i zbog toga je ova rezonanca uža od ostalih koje se raspadaju emisijom čestica

Paritet sistema aa je pozitivna jer su a-čestice identični bozoni S druge strane za ovaj paritet vrijedi

gdje je L relativni moment impulsa dvije a-čestice koji dakle mora biti paran Stanje na Ex= 198 MeV preko kojeg se odvija reakcija 7Li(pa)4He mora dakle imati J= (0 ili 2)+ Relativno velika energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje prolasku kroz kulonsku i centrifugalnu barijeru stvorene a-čestice imaju pak ogromnu relativnu brzinu pa one laganu tuneliraju kroz barijeru(e) i rapad je tog stanja vrlo brz (tj stanje je široko)

Primijetiti da za stanje na Ex= 176 MeV spin jedan zabranjuje raspad u 2 a-čestice

LL )1()1(2 aaa

Rješenje 46

Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfa-čestice već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog pariteta To se može ostvariti g-emisijom ldquoneparnihrdquo fotona (E1 M2 ) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski dozvoljeni

Činjenica da se stanje na Ex= 1915 MeV ne raspada ni u 2 alfa-čestice ni gama-emisijom već baš emisijom neutrona koja je brža od gama-emisije govori da to stanje ima negativni paritet To pak znači da je u ovoj reakciji 7Li međudjelovao sa S-protonom (nema centrifugalne barijere) i zbog toga je udarni presjek veći Spin ovog stanja tada mora biti 1 ili 2

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 46

Slično se ni stanja negativnog pariteta ne mogu raspadati u 2 alfa-čestice već je prvo potreban prijelaz u stanje pozitivnog pariteta To se može ostvariti g-emisijom ldquoneparnihrdquo fotona (E1 M2 ) ili pak bržim čestičnim raspadom koji su energetski dozvoljeni

Činjenica da se stanje na Ex= 1915 MeV ne raspada ni u 2 alfa-čestice ni gama-emisijom već baš emisijom neutrona koja je brža od gama-emisije govori da to stanje ima negativni paritet To pak znači da je u ovoj reakciji 7Li međudjelovao sa S-protonom (nema centrifugalne barijere) i zbog toga je udarni presjek veći Spin ovog stanja tada mora biti 1 ili 2

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 46

Preostale dvije gama-zrake (181 i 152 MeV) pripisujemo raspadu stanja na Ex= 1812 MeV u osnovno i prvo pobuđeno stanje Slično stanju na Ex= 176 MeV spin i paritet su jednoznačno određeni na J= 1+ Gama-raspad je ovdje slabiji u odnosu na konkurentni p-kanal Zapravo ispravnije je reći da je p-raspad potisnut za stanje na Ex= 176 MeV višom kulonskom barijerom

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 46

Sada možemo nacrtati shemu pobuđenih stanja u 8Be

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Zadatak 47 Fotodezintegracija deuterona (g+d n +p) i radijativni

uhvat neutrona (n +p g+d) dvije su inverzne reakcije Koristeći

princip detaljne ravnoteže nađite vezu između totalnih udarnih

presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za

fotodezintegraciju Energija vezanja deuterona je 22 MeV

Rješenje 47 Korištenjem izraza za omjer totalnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije dobivamo Spinovi neutrona i protona su Jn= Jp= frac12 a deuterona i gama-kvanta Jd= Jg=1

2

2

12

12

12

12

np

d

p

d

n p

p

J

J

J

J

d

np gg

g

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 47

Relativni impuls neutrona i protona u sistemu centra masa nalazimo iz

zakona održanja energije

Budući da vrijedi

dobivamo

Dakle

pnpnd

m

p

m

pcmcmcm

22

22222

2cmmmB dpnd

m

p

mm

mmpB

pn

pnd

22

22

dnp Bmp 22

22

10524

9

dBmd

np

g

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Zadatak 48 Izračunajte totalni udarni presjek za reakciju 109Ag(ng)110Ag s termalnim neutronima energije 2 eV Prva

rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 51 eV i za nju vrijedi

Gg 014 eV i Gn= 1310-2 eV Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su frac12 i 1

Rješenje 48 Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom složene jezgre a+A C b+B u blizini rezonance E0 opisuje se Breit-Wignerovom formulom

gdje je reducirana valna dužina upadne čestice Gac i Gb parcijalne

širine stanja za formiranje složene jezgre i njezin raspad emisijom b

a G suma svih parcijalnih širina razmatranog stanja (rezonance)

422

0 G

GG

EEg bac

ab

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 48

Spinski statistički faktor dan je s

U našem je slučaju g=34 Gac= Gn Gb= Gg

Budući da vrijedi

(m je reducirana masa neutrona približno jednaka stvarnoj masi jer

je meta vrlo teška u odnosu na neutron) Dakle

1212

12

Aa

C

JJ

Jg

ggg GGGGGG nn

Emc

c

pnn

22

2

22 2

0

346

4 2 4

n

n

cbarn

mc E E E g

g

g G G

G

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Zadatak 49 Spin neke složene jezgre iznosi I i okomit je na

pravac upadnog snopa čestica Jezgra se raspada emisijom čestice b

momenta impula l dok rezidualna jezgra ima spin j Pravac kretanje

emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen moment

impulsa Pretpostavljajući da je l gtgtj nađite kutnu raspodjelu

emitiranih čestica b

Rješenje 49 Budući da se čestica b giba u ravnini okomitoj na njen moment impulsa raspodjelu tih čestica u odnosu na pravac l možemo prikazati d-funkcijom Iz zakona sačuvanja momenta impulsa i uz l gtgtj slijedi

ln

d

InlnIl

dd

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 49

Kutnu raspodjelu čestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije

po azimutzalnim kutovima tj

Definiramo li kao kut između i smjera upadnih čestica imamo

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije

nultočke unutar intervala integracije tj φ = π2 i φ = 3π2

In

d

2

0

1cos sin

2 W n I d

d

n

sincosIIn

d

dInnW

2

02

1

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 49

Tada vrijedi

Gdje su xi nultočke funkcije g(x) Dakle mi imamo

2 2

0 0

1 1 2 3 2

2 sin sin1 1

W n d dI I

d d

2 3 2

2 3 2sin cos

sin sin sin sin

2 3 2

sin sin

II I

I I

d d d

d d

i

i i

x xg x

g x

dd

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 49

Dobivena distribucija

skicirana je na slici i karakteristična je za reakcije koje se odvijaju

mehanizmom složene jezgre

1

sin W n

I

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Zadatak 50 Reakcija 6Li(pprsquo)6Li na energiji snopa Ep= 40 MeV

tipičan je primjer direktne reakcije Ako je poznato da transfer

momenta impulsa u ovoj reakciji iznosi l=2 procijenite na kojem

kutu treba očekivati maksimum raspodjele Koristiti aproksimaciju

Epasymp Eprsquo i za polumjer jezgre 7Li R= 3 fm

Rješenje 50 Poluklasično maksimalni intenzitet izlaznih protona pojavljuje se pod uvjetom gdje je R polumjer jezgre a q prijenos impulsa u direktnoj reakciji

qRl

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 50

Vrijedi

Kada je zadovoljeno

vrijedi

odnosno

if ppq

cos222

fifi ppppqq

ifif EEpp tj

2sin2

ipq

pi EmcR

lc

Rp

l

22

22sin

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40

Rješenje 50

Maksimalni intenzitet se pojavljuje na

o

40