Zopakujte si základní informace ke zkoušce:

n Test obsahuje 30 úloh a na jeho řešení máte 90 minut čistého času.

n V průběhu testu můžete používat přiložené vzorce, prázdný sloupec je určen na vaše poznámky.

n U každé úlohy je jen jedna správná odpověď.

n Za každou správnou odpověď získáte bod, za špatnou 1/4 bodu ztrácíte.

n Nejlepší je řešit nejdříve snadné úlohy a k náročnějším se vrátit.

n Nebuďte nervózní z toho, že nevyřešíte všechno, to se povede málokomu

MatematikaNÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY

T��� � DUBNA 2018

D���� ������ �������: 28. dubna 2018 P���� �������� �����: 884P���� ����: 30

P������� �����������: 25,5 %

S������ �������� ���� ��������.

M��. ����� �����: 30 M��. �������� �����: 27,8 M��. ����� �����: -7,5 M��. �������� �����: -6,0 P������� �����: 9,7

PŘEHLED VZORCŮ

© Scio® 2018 Matematika

Kvadratická rovnice: 2 0ax bx c ; 2

1,2

4

2

b b acx

a

; x1 + x2 =

b

a ;

1 2

cx x

a ; 0a

Goniometrické funkce:

2 2sin cos 1x x

tg cotg 1,2

x x x k

sin 2 2 sin cosx x x ; 2 2cos2 cos sinx x x

xx cos2

πsin

;

πcos sin

2x x

cos

tg cotg ,2 sin

xx x x k

x

π sin π

cotg tg , 2 12 cos 2

xx x x k

x

sin sin cos cos sinx y x y x y

cos cos cos sin sin x y x y x y

2

cos1

2sin

xx ;

2

cos1

2cos

xx

x 0 6

π

4

π

3

π

2

π

sin x 0 1

2

1

22

1

23 1

cos x 1 1

23

1

22

1

2 0

Trigonometrie: sinová věta:

sin

sin

b

a;

sin

sin

c

b;

sin

sin

a

c

kosinová věta: 2 2 2 2 cosa b c b c ; 2 2 2 2 cosb a c a c ; 2 2 2 2 cosc a b a b

Logaritmus: log log logz z zx y x y ; log log logz z z

xx y

y ; log logk

z zx k x ; log y

z x y x z

Aritmetická posloupnost: 1 1na a n d ; 12

n n

ns a a

Geometrická posloupnost: 1

1

n

na a q ; 1

1, 1

1

n

n

qs a q

q

Geometrická řada: 1

1, 1

1s a q

q

Rozklad na součin: 1 2 3 2 2 1( )( ... ) n n n n n n na b a b a a b a b a b b

Kombinatorika: ( ) !P n n ;

V k nn

n k( , )

!

!

;

!,

! !

n nC k n

k k n k

;

1; =

1 1

n n n n n

k n k k k k

1 2

1 2

1 2

( ... )!’( , , ..., )

! !... !

k

k

k

n n nP n n n

n n n

; ’ , kV k n n ;

1 1’ ,

1

n k n kC k n

k n

Binomická věta: 1 2 2 1....1 2 1

n n n n n nn n n

a b a a b a b a b bn

Analytická geometrie: velikost vektoru: 1 2( ; )u u u je: 2 2

1 2u u

Kosinus odchylky přímek 1 1 1 1: 0p a x b y c a

2 2 2 2: 0p a x b y c je 1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cosa a b b

a b a b

Vzdálenost bodu M[m1;m2] od přímky p: ax + by + c = 0 je 1 2

2 2

a m b m cMp

a b

Středový tvar rovnice kružnice: 2 2 2x m y n r ; elipsy:

2 2

2 21

x m y n

a b

; e

2 = a

2 – b

2

Středový tvar rovnice hyperboly:

2 2

2 21

x m y n

a b

;

1

2

2

2

2

b

ny

a

mx; e

2 = a

2 + b

2

Vrcholová rovnice paraboly: 2

2 , ;2

py n p x m F m n

;

22 , ;

2

px m p y n F m n

Objemy a povrchy těles:

Kvádr Válec Jehlan Kužel Koule

Objem a b c 2r v 1

3S v

21π

3r v

34π

3r

Povrch 2(ab+ac+bc) 2π r r v S+Q π r r s 24π r

Matematika

© Scio 2018 3

1.

Číslo 6 4 22 5 11 se rovná číslu:

(A) 4,84 10

(B) 24,84 10

(C) 44,84 10

(D) 64,84 10

(E) 84,84 10

2.

Je dána množina ; π 2 A x x . Označíme-li B její

doplněk v množině celých čísel , potom počet prvků

množiny B je roven:

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) 4

3.

Poměr rychlostí chodce a cyklisty je 2:7. Chodec ujde 2 km za

půl hodiny. Cyklista ujede za 2 hodiny:

(A) 7 km

(B) 8 km

(C) 14 km

(D) 18 km

(E) 28 km

4.

Kladné číslo x, jehož čtvrtá mocnina je číslo 122018 , je

vyděleno třetí mocninou čísla 2018, čímž dostaneme číslo y.

Hodnota čísla y je:

(A) 1

2018

(B) 1

(C) 2018

(D) 62018

(E) 92018

5.

Pro přirozená čísla a, b platí 222 a ba a b . Číslo b je rovno:

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 7

(E) Takové číslo neexistuje.

Matematika

© Scio 2018 4

6.

Jsou-li čísla p, 1p , 2 1p prvočísla, je číslo 3 1p :

(A) prvočíslo

(B) dělitelné dvěma

(C) dělitelné třemi

(D) dělitelné čtyřmi

(E) dělitelné pěti

7.

Je známo: Jestliže půjde do kina Alena, půjde tam i Blanka. Také

platí, že do kina půjde Alena nebo Blanka. Které z následujících

tvrzení není v rozporu s oběma uvedenými výroky?

(A) Do kina půjde určitě pouze Alena.

(B) Do kina půjde určitě pouze Blanka.

(C) Do kina půjdou určitě obě společně.

(D) Do kina půjdou buď obě společně, nebo půjde jenom Alena.

(E) Do kina půjdou buď obě společně, nebo půjde jenom

Blanka.

8.

Pro množiny A, B, C platí A B , B C . Z níže uvedených

vztahů neplatí:

(A) A B A

(B) A B B

(C) A C C

(D) A C C

(E) B C B

9.

Je-li celé kladné číslo k celočíselným násobkem čísla 84, pak

číslo 14

k je určitě dělitelné číslem:

(A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) 14

(E) Nelze určit bez dalších informací o čísle k.

10.

Rovnice

4 3 24 4 0x x x x

má kořen 1 4x . Počet kořenů této rovnice ležících v intervalu

2; 2 je:

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) 4

Matematika

© Scio 2018 5

11.

Hodnota výrazu

2 6

4 82 2 2 2

je rovna:

(A) 8

(B) 16

(C) 20

(D) 30

(E) 60

12.

Počet řešení rovnice

2 21 1x x

v oboru reálných čísel je roven:

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) 4

13.

Kolika způsoby lze seřadit celá čísla od 1 do 10,

požadujeme-li, aby všechna sudá čísla byla seřazená vzestupně

a všechna lichá čísla byla seřazená sestupně? (Sudá a lichá

čísla se mohou libovolně střídat.)

(A) 34

(B) 72

(C) 120

(D) 166

(E) 252

14.

Losujeme náhodně číslo od 0 do 99. Jaká je pravděpodobnost,

že vylosujeme sudé číslo, které navíc obsahuje číslici 9 nebo

číslici 7?

(A) 1

10

(B) 1

5

(C) 8

25

(D) 9

25

(E) žádná z výše uvedených možností

Matematika

© Scio 2018 6

15.

Pro jakou hodnotu x se grafy funkcí : cotgf y x ,

π: tg

2g y x

na intervalu 0; π protínají?

(A) pouze pro π

4x

(B) pouze pro π

2x

(C) pouze pro πx

(D) pouze pro π

4x a

3π

4x

(E) pouze pro π

2x a πx

16.

Pro jakou hodnotu parametru p je přímka 2 2018 y x kolmá

k přímce 2018 y p x ?

(A) 2

(B) 1

2

(C) 1

2

(D) 2

(E) 2018

17.

Množina M obsahuje 100 sudých a 100 lichých čísel. Jaký

nejmenší počet prvků z ní musíme náhodně vybrat, aby bylo

jisté, že mezi nimi jsou 4 sudá a 3 lichá čísla?

(A) 4

(B) 7

(C) 12

(D) 103

(E) 104

18.

Součet všech lichých trojciferných přirozených čísel

dělitelných třemi je roven součinu:

(A) 75 ∙ 1101

(B) 75 ∙ 1104

(C) 102 ∙ 999

(D) 150 ∙ 1101

(E) 150 ∙ 1104

Matematika

© Scio 2018 7

19.

V posloupnosti 1n n

a

s prvními dvěma členy

1 2a , 2 4a

platí pro každé přirozené číslo k, že 2 1ka

, 2ka a

2 1ka jsou po

sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti a 2ka ,

2 1ka a

2 2ka

jsou po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Čemu je

rovno 4a ?

(A) 6

(B) 8

(C) 9

(D) 12

(E) 18

20.

Pokud pro reálné číslo x platí log 6x , pak 2

1log

x je roven:

(A) 12

(B) 6

(C) 1

36

(D) 6

(E) 36

21.

Součet

7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 73 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2

je roven:

(A) 7 73 2

(B) 8 83 2

(C) 8 83 2

(D) 9 93 2

(E) 9 93 2

22.

Počet celých čísel v definičním oboru funkce

3

log sin 3:

4

x xf y

x

je:

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) Definiční obor funkce f obsahuje nekonečně mnoho

celých čísel.

Matematika

© Scio 2018 8

23.

Pětimístné heslo k počítači se tvoří z 26 různých velkých písmen

abecedy, písmena se v hesle mohou opakovat. Kdybychom

k těmto písmenům přidali ještě číslice 0 až 9, které by se též

mohly opakovat, zvýšil by se počet možných hesel:

(A) 5

5

36

26krát

(B) 105 krát

(C) 36

26

krát

(D) 36!

26!krát

(E) 2610 krát

24.

Kovový váleček má poloměr podstavy 4 cm a výšku 10 cm.

Počet kuliček o poloměru 2 cm, které se z něho dají odlít, je:

(A) 12

(B) 15

(C) 16

(D) 18

(E) 20

25.

Odchylka přímek BD a CF v krychli ABCDEFGH je:

(A) 60°

(B) 75°

(C) 90°

(D) 105°

(E) 120°

26.

Rovnostranný trojúhelník ABC má obsah 18 cm2. Otočíme ho

kolem těžiště o 60° a dostaneme trojúhelník A'B'C'. Průnik

trojúhelníků ABC a A'B'C' má obsah:

(A) 8 cm2

(B) 9 cm2

(C) 10 cm2

(D) 12 cm2

(E) 15 cm2

Matematika

© Scio 2018 9

27.

Obvod obdélníku je 28 cm a jeho úhlopříčka má délku 10 cm.

Obsah tohoto obdélníku je:

(A) 48 cm2

(B) 56 cm2

(C) 64 cm2

(D) 72 cm2

(E) 80 cm2

28.

V rovnoramenném trojúhelníku ABC s velikostí úhlů při

základně AB 70° leží bod C, průsečík výšek V, střed kružnice

opsané O a střed kružnice vepsané I na jedné přímce v pořadí:

(A) C, I, O, V

(B) C, I, V, O

(C) C, O, I, V

(D) C, O, V, I

(E) C, V, I, O

29.

Vzdálenost středu elipsy 2 29 4 18 8 23 0x y x y od

přímky 5x je rovna:

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5

30.

Pro přímky

: 22

xp y ,

: ; 3 3 ;q x t y t t

je kosinus jejich odchylky roven:

(A) 2

2

(B) 5

2

(C) 3

5

(D) 2

10

(E) 3

10