NOZIONI DI LOGICA

Premessa

Il compito principale della logica è quello di studiare il nesso di conseguenza logica tra proposizioni, predisponendo delle tecniche per determinare quando la verità di una conclusione consegue necessariamente dalla verità delle premesse. Un altro aspetto, strettamente collegato con il precedente, è quello di determinare, date certe premesse, altre proposizioni che sono loro conseguenza logica. La logica, quindi, contrariamente ad un’opinione diffusa che la identifica genericamente con l’arte del ragionamento, va intesa, come lo studio delle regole linguistiche di inferenza che sono corrette, ossia che conducono a conclusioni vere, qualora applicate a premesse che risultano vere, ossia, in altre parole, che rispettano il nesso di conseguenza logica. Un obiettivo della logica come disciplina è quindi stabilire quali ragionamenti sono corretti e quali no.

PROPOSIZIONI.

Una proposizione è un’affermazione che è vera o falsa, ma non può essere contemporaneamente vera e falsa. ESEMPI Sono proposizioni :

• 7 è maggiore di 2 • Londra è la capitale della Francia • Un triangolo ha 5 lati

Non sono proposizioni :

• Che tempo fa ? • Apri quella porta • Che bella festa!

Poiché ogni proposizione può essere solo vera o falsa, è possibile associare ad ogni proposizione un valore di verità: vero o falso e si denota rispettivamente con V o F o anche rispettivamente con 1 o 0 . Se una proposizione è vera diremo che ha valore di verità V oppure 1 ,se è falsa diremo che ha valore di verità F oppure 0 . Ogni proposizione ha quindi un valore di verità. Le proposizioni si denoteranno con le lettere minuscole dell’alfabeto latino, quali a,b,c,…. La logica delle proposizioni descrive come si possono combinare tra loro proposizioni in modo da ottenere altre proposizioni usando i connettivi logici .

TAVOLE DI VERITA’

Data la proposizione a si può ottenere

La proposizione non a, detta la negazione di a .

In simboli: ¬ a

¬a è vera quando a è falsa ¬a è falsa quando a è vera. I valori di verità di ¬a sono quindi descritti dalla seguente tavola di verità

a ¬a

V F

F V

ESEMPIO

• a : Bari è una città ¬a : Bari non è una città • a : Oggi non abbiamo seguito le lezioni ¬a : Oggi abbiamo seguito le lezioni

Osservazione: in logica due negazioni affermano!! ¬ ¬a ha lo stesso valore di verità della proposizione a

Date due proposizioni a e b si possono ottenere :

a∧ b è vera se e solo se a è vera e b è vera . I valori di verità di a∧ b sono quindi descritti dalla seguente tavola di verità

a b a∧ b V V V V F F F V F F F F

ESEMPI

• a : 12 è divisibile per 3 ( V ) b : 12 è divisibile per 2 ( V ) a ∧ b : 12 è divisibile per 3 e per 2 ( V )

• a : 24 è multiplo di 6 ( V ) b : 24 è multiplo di 7 ( F ) a ∧ b : 24 è multiplo di 6 e 7 ( F)

La proposizione a e b detta la congiunzione di a e b . In simboli: a ∧ b

ESERCIZIO

• a : 3 è multiplo di 5 ( ) b : 8 è multiplo di 2 ( ) a ∧ b : ? ( )

• a : 3 è multiplo di 7 ( ) b : 25 è divisibile per 2 ( )

a ∧ b : ? ( )

a ∨ b è vera se e solo se almeno una delle due proposizioni è vera. I valori di verità di a ∨ b sono allora descritti dalla seguente tavola di verità

a b a∨ b V V V V F V F V V F F F

ESEMPI

• a : 7 - 4 = 3 ( V ) b : Bari è il capoluogo della Puglia ( V ) a ∨ b : 7 - 4 = 3 o Bari è il capoluogo della Puglia ( V )

• a : Firenze è una città ( V ) b : l’Arno è un lago ( F ) a ∨ b : Firenze è una città o l’Arno è un lago ( V ) OSSERVAZIONE La ‘’ o ‘’ di ‘’ a o b ‘’ è intesa in senso inclusivo ( a è vero oppure b è vero oppure a e b sono entrambe vere ) e non in senso esclusivo (a è vera oppure b è vera, ma non sono entrambe vere) .

La proposizione a o b, detta la disgiunzione di a e b In simboli: a∨ b.

ESERCIZIO • a : 5 - 4 = 8 ( )

b : Bari è una città ( ) a ∨ b : ? ( )

• a : Bari è un lago ( ) b : 4 x 2 = 9 ( ) a ∨ b : ? ( )

a→ b è falsa se e solo se a è vera e b è falsa, in tutti gli altri casi a→ b è vera I valori di verità di a → b sono quindi descritti dalla seguente tavola di verità.

a b a→ b V V V V F F F V V F F V

ESEMPI

• a : 12 è un numero divisibile per 6 ( V ) b : 12 è un numero divisibile per 3 ( V ) a → b : se 12 è un numero divisibile per 6 allora è un numero divisibile per 3 ( V )

• a : l’uomo è un elefante ( F ) b : 11 è un numero primo ( V )

a → b : se l’uomo è un elefante allora 11 è un numero primo ( V) OSSERVAZIONE La nozione di implicazione a → b si discosta dal significato usuale che si dà all’implicazione che esprime normalmente una correlazione di tipo causa-effetto tra a e b .

La proposizione se a allora b o anche a implica b, detta implicazione. In simboli : a → b

ESERCIZIO

• a : 10 + 2 = 12 ( ) b : ogni cane ha le ali ( ) a → b : ? ( )

• a : 11 - 4 = 8 ( ) b : 5 + 3 = 9 ( )

a → b : ? ( )

La proposizione : a se e solo se b o anche

condizione necessaria e sufficiente affinché a è anche b, detta doppia implicazione. In simboli a ↔ b

a↔ b è vera se e solo se a e b hanno lo stesso valore di verità . I valori di verità di a ↔ b sono allora descritti dalla seguente tavola di verità.

a b a↔ b V V V V F F F V F F F V

ESEMPI

• a : Verdi è un compositore italiano ( V ) b : 22 = 4 ( V ) a↔ b : Verdi è un compositore italiano se e solo se 22 = 4 ( V )

• a : il merluzzo è un mammifero ( F ) b : 4 è un numero dispari ( F )

a ↔ b : il merluzzo è un mammifero se e solo se 4 è un numero dispari ( V )

OSSERVAZIONE Anche la doppia implicazione si discosta dal significato usuale di se e solo se. ESERCIZIO

• a : 3 – 2 = 1 ( ) b : Il Mediterraneo è un deserto ( ) a↔ b : ? ( )

• a : ( 22 )3 = 25 ( ) b : ( 22 - 1 )2 = 9 ( )

a ↔ b : ? ( )

CONNETTIVI LOGICI I simboli

sono detti connettivi logici A partire da proposizioni molto semplici è possibile, utilizzando i connettivi logici , ottenere proposizioni composte sempre più complesse

• Il valore di verità di tali proposizioni è univocamente determinato dalle tavole di verità una volta che si sia stabilito il valore di verità delle singole proposizioni di cui sono composte.

• ¬ , viene posto prima di una proposizione (connettivo unario).

• ↔→∨∧ ,,, , sono posti tra due proposizioni (connettivi binari).

¬ , ∧ , ∨ , → , ↔

FORMULE

Si considerino ‘’n’’ simboli a1 ,…, an , detti variabili proposizionali Si dicono formule o forme proposizionali ( nelle variabili a1 ,…, an ) le espressioni definite da

1. a1 ,…, an sono formule 2. se a e b sono formule allora:

a ∧ b

a ∨ b ¬a a → b a↔ b sono formule

3. sono formule (nelle variabili a1 ,…, an ) solo le espressioni ottenute tramite le 1 e 2

ESEMPIO

• a , b variabili

a ∨ b è una formula ¬ (a ∨ b) è una formula a ∨ b ↔ (¬ (a ∨ b )) è una formula

Per semplificare la scrittura: • Si eliminano le parentesi più esterne • L’ordine in cui si considerano i connettivi logici è il seguente: prima la negazione ¬ , poi ∧ e ∨ , infine → e ↔ .

ESEMPIO

• (( a → b ) ↔ ( ( ¬ a ) ∨ b))

si scrive

( a → b ) ↔ ( ¬ a ∨ b )

Per ogni forma proposizionale nelle variabili a1 ,…, an si può costruire una tavola di verità

ESEMPIO a ∨ b → c

Le variabili sono a , b , c . Le righe della sua tavola di verità sono 23 = 8

a b c a∨ b a∨ b→c V V V V V V V F V F V F V V V V F F V F F V V V V F V F V F F F V F V F F F F V

OSSERVAZIONE La tavola di verità di una formula in ‘’n’’ variabili ha 2n righe.

TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONI

Una formula nelle variabili a1 , …,an che sia sempre vera qualunque siano i valori di verità assegnati ad a1 , …,an si dice tautologia.

ESEMPIO

La formula a ∧ ( a → b ) → b è una tautologia

a b a → b a ∧ (a→b) a ∧ (a→b) →b V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V

Una formula nelle variabili a1 , …,an che sia sempre falsa qualunque siano i valori di verità assegnati ad a1 , …,an si dice contraddizione.

ESEMPIO La formula a ¬∧ a è una contraddizione

a ¬a a ¬∧ a V F F F V F

OSSERVAZIONE a è una contraddizione se e solo se ¬a è una tautologia .

ESERCIZI Siano a e b variabili proposizionali. Si verifichi che sono tautologie le seguenti: a ∧ b → ¬a ∨ b ; a → ( b → a ∧ b ) ; a → a ∨ b ;

CONSEGUENZA LOGICA

Siano a e b due formule della logica proposizionale. Si dice che b è conseguenza logica di a, se b è vera ogni volta che a è vera e si scrive:

a ⇒ b.

Più in generale: Siano a1 ,…,an e b formule . Si dice che b è conseguenza logica di a1 ,…,a n , se b è vera ogni volta che a1 ,…,a n sono vere e si scrive

a1 ,…,a n ⇒ b .

ESEMPIO a, b, a → b sono formule. La formula b è conseguenza logica di a , a → b ossia

a , a → b ⇒ b

Infatti : dalla tavola di verità di a → b si vede che nell’unico caso in cui a ed a → b sono entrambe vere, il che corrisponde solo alla prima riga, anche b è vero .

a b a→ b V V V V F F F V V F F V

ESEMPIO

a , b , a → b sono formule. La formula a non è conseguenza logica di b , a → b ossia non è vero che

b , a → b ⇒ a

Infatti : dalla tavola di verità di a → b si vede che b ed a → b sono entrambe vere sia in corrispondenza della prima riga. sia in corrispondenza della terza riga. Ma mentre in corrispondenza della prima riga anche a è vera , in corrispondenza della terza riga a è falsa.

a b a→ b V V V V F F F V V F F V

Siano a e b due formule Si dice che a e b sono semanticamente equivalenti se hanno gli stessi valori di verità, cioè se hanno le stesse tavole di verità e si scrive

a ⇔ b. Quindi se a e b sono semanticamente equivalenti si ha:

• a è vera se e solo se b è vera ; • a è falsa se e solo se b è falsa.

ESEMPIO Date le formule a e b, sono semanticamente equivalenti le formule :

a→ b e ¬ a ∨ b Infatti : la tavola di verità di a→ b è

a b a→ b V V V V F F F V V F F V

La tavola di verità di ¬ a ∨ b è

a b ¬a ¬ a ∨ b V V F V V F F F F V V V F F V V

ESERCIZIO Verificare che se a e b sono formule , allora sono semanticamente equivalenti le formule

a→ b ; ¬ b→ ¬ a ; ¬ ( a ¬∧ b ).

L’equivalenza semantica delle formule a→ b ; ¬ b→ ¬ a ; ¬ ( a ¬∧ b )

si collega a tre diversi modi in cui è possibile dimostrare una implicazione. Per dimostrare che

da a segue b si può procedere con una :

• dimostrazione diretta si assume vero a e si deduce la verità di b;

• dimostrazione indiretta o per contrapposizione da ¬ b segue ¬ a;

• dimostrazione per assurdo si suppone a ¬∧ b e si giunge ad una contrapposizione e ciò equivale a provare ¬ ( a ¬∧ b ).

FUNZIONI PROPOSIZIONALI o PREDICATI

In matematica sono necessarie oltre alle proposizioni anche le funzioni proposizionali o predicati. Sia D un insieme detto dominio. Una funzione proposizionale su D è un’espressione P(x) tale che P(x) sia una proposizione quando al posto della variabile individuale x si sostituisce un arbitrario elemento a∈D, ossia, per ogni a∈D, si ha che P(a) è vera o P(a) è falsa

Se si considera :

a : Antonio è alto 1.60, a è una proposizione. Chi conosce Antonio sa se a è vera o se a è falsa. Se si considera:

P ( x ) : x è alto 1.60 ( dove x varia nell’insieme di tutti gli uomini ) P(x) è una funzione proposizionale. P ( x ) è vera se x varia nell’insieme di tutti gli uomini alti 1.60. P ( x ) è falsa se x non varia nell’insieme di tutti gli uomini alti 1.60. In generale: Se D1 , D2 ,…,Dn sono n insiemi una funzione proposizionale ( in n variabili) su D1 x D2 x…x Dn è un’espressione P(x1 , x2 ,…,xn ) tale che P(a1 , a2 ,…,an ) è una proposizione, per ogni (a1 , a2 ,…,an ) elemento di D1 x D2 x…x Dn .

ESEMPI 1. x è minore di 3 e maggiore di -3 ( dove x varia in R ); è una funzione proposizionale nella variabile x ed il dominio è R: 2. y = 2x ( dove x e y variano in Z ); è una funzione proposizionale nelle variabili x ed y su Z x Z.

QUANTIFICATORI Un predicato P(x1 , x2 ,…,xn ) non è né vero né falso , ma diventa vero o falso, cioè diventa una proposizione, se si vincolano le variabili . Le variabili si vincolano se:

• Si sostituiscono le variabili x1 , x2 ,…,xn con dei valori particolari. ESEMPIO P( x ) : x è un numero pari ( x varia in N ) P( 4 ) è vera P( 11 ) è falsa • Quantificando le variabili Sia P ( x ) un predicato con x variabile nel domino D. Si possono avere enunciati del tipo :

1. per ogni x in D, la proposizione P ( x ) è vera. In simboli ∀ x P ( x )

∀ si legge per ogni ∀ è detto quantificatore universale ESEMPIO Per ogni numero intero x , x è maggiore di x-1.

2. esiste almeno un x in D per cui la proposizione P( x ) è vera.

In simboli ∃ x P ( x ) ∃ si legge esiste ∃ è detto quantificatore esistenziale. ESEMPIO Esiste almeno un numero intero pari minore di 20 divisibile per 4.

Osservazione: Se nessun valore di x soddisfa il predicato P(x) allora la Proposizione (formula) non è soddisfacibile.

Le quattro regole logiche fondamentali per i quantificatori

Nella logica dei predicati continuano a valere le regole corrette della logica proposizionale. In questo paragrafo introduciamo quattro regole logiche relative ai quantificatori, dette regole di eliminazione e di introduzione del quantificatore universale e esistenziale, le quali, unitamente alle regole del calcolo proposizionale, consentono di giustificare tutte le altre regole logiche della logica dei predicati.

(A) Regola di eliminazione del quantificatore universale

Tale regola è evidentemente corretta: se è vero che tutti hanno la proprietà formalizzata da A(x), ne segue logicamente che anche un individuo particolare ha tale proprietà. (B) Regola di introduzione del quantificatore universale

Evidentemente tale regola non è corretta: come si è già osservato in precedenza, se è vero che un individuo a ha la proprietà A(x) non è detto che tutti abbiano tale proprietà. Essa va applicata nel modo seguente: se si è correttamente dedotto A(a) in una dimostrazione (derivazione) e non si è usata nessuna ipotesi relativa ad a, allora si può correttamente dedurre ∀xA(x).

(C) Regola di introduzione del quantificatore esistenziale

Tale regola è evidentemente corretta: se è vero che un individuo a ha la proprietà A(x), ne segue logicamente che esiste un individuo che ha tale proprietà. (D) Regola di eliminazione del quantificatore esistenziale

Evidentemente tale regola non è corretta: se è vero che esiste un individuo con la proprietà A(x) non è detto che un determinato individuo a abbia tale proprietà. Essa va applicata nel modo seguente: se si è dedotto correttamente ∃xA(x), allora si può indicare con a l’individuo che si è dimostrato esistere e scrivere A(a), purché su a non si sia in precedenza formulata alcuna ipotesi.

QUANTIFICATORI E NEGAZIONI

Vediamo come si esegue la negazione delle proposizioni quantificate. Consideriamo la proposizione (falsa):

“Tutti i liguri sono genovesi”.

La sua negazione (che è una proposizione vera) si può esprimere sia anteponendo “non”:

“Non tutti i liguri sono genovesi”,

sia nel modo seguente:

“Esistono dei liguri che non sono genovesi”. Pertanto: “non per ogni x ...” equivale a “esiste x non...” In formula:

Consideriamo ora la proposizione (falsa):

“Esiste un ligure che è piemontese”. La sua negazione (che è una proposizione vera) si può esprimere sia anteponendo “non”:

“Non esiste un ligure che è piemontese”

sia nel modo seguente:

“Ogni ligure non è piemontese”

Pertanto: “non esiste x....” equivale a “per ogni x non...”

ESEMPI: P(x) : un cane è nero. IN SIMBOLI: ∃ x P ( x ) NEGAZIONE: ¬ (∃ x P ( x ) ) non esiste un cane nero OVVERO: ∀ x ¬P ( x ) Ogni cane non è nero P(x) : Tutti i gatti miagolano IN SIMBOLI: ∀ x P ( x ) NEGAZIONE: ¬ (∀ x P ( x ) ) non tutti i gatti miagolano OVVERO: ∃ x ¬P ( x ) esiste un gatto che non miagola

Dalle equivalenze precedenti,

negando ambo i membri si ottiene:

Quindi “Tutti gli individui hanno la proprietà...” equivale a “Non esiste un individuo che non ha la proprietà...” e “Esiste un individuo che ha la proprietà...” equivale a “Non tutti gli individui non hanno la proprietà...”. Ad esempio la proposizione

“Tutti gli italiani sono europei” equivale a

“Non esiste un italiano che non è europeo” e

“Esiste un italiano buddista” equivale a

“Non tutti gli italiani non sono buddisti”.

Osservazione: nella negazione la e (∧ ) diventa o (∨ ) e vicevera. Esempio: “Tutti gli italiani amano andare al mare e in montagna” NEGAZIONE: “Esiste un italiano che non ama andare al mare o non ama andare in montagna” Esempio

“Tutti i lavoratori vanno in ferie a Luglio o ad Agosto”

NEGAZIONE: “Esiste un lavoratore che non va in ferie né a Luglio né ad Agosto”

LINGUAGGIO

Un linguaggio è formato da

• Le variabili individuali x1 ,…, xn ,… • I connettivi logici ↔→¬∨∧ ,,,, • Il simbolo di uguaglianza = • I quantificatori ∀ , ∃ • I simboli ausiliari ( , ) e ; • I simboli predicativi • I simboli funzionali • Le costanti individuali .

Esercizi: Esprimere la negazione delle seguenti proposizioni: (a) “Ogni cinese è asiatico” (b)“Esiste un cinese che è biondo” (c) “Nessun europeo è americano” (d)“Tutti i cinesi non sono asiatici” (e) “Nessun cinese non è asiatico” (f) “Ogni vino è bianco o rosso” (g) “Ogni napoletano è allegro e ospitale” (h) “Per ogni numero ne esiste uno minore” (i) “Esiste un numero maggiore di tutti gli altri” Soluzioni: (a) “Esiste un cinese che non è asiatico” (b) “Ogni cinese non è biondo” (c) “Esiste un europeo che è americano” (d) “Esiste un cinese che è asiatico” (e) “Esiste un cinese non asiatico” (f) “Esiste un vino che non è né bianco né rosso” (g) “Esiste un napoletano non allegro o non ospitale” (h) “Esiste un numero di cui nessuno è minore” (oppure: “Esiste un numero di cui tutti non sono minori” o anche, tenendo presente che “non minore” equivale a “maggiore o uguale”: “Esiste un numero di cui tutti sono maggiori o uguali”) (i) “Per ogni numero ne esiste un altro di cui il primo non è maggiore” (oppure: “Per ogni numero ne esiste uno di cui il primo è minore”)