nowak wavelet

30

Upload: harishsingh

Post on 07-Apr-2016

239 views

Category:

Documents


2 download

DESCRIPTION

?wavelet based rician noise removal for mri ?

TRANSCRIPT

Page 1: Nowak Wavelet

������������ ���� ����� ��������� ��� ���� ��� � �� ����� �

������ � � � �� !"#$%&'( #)' *+ ,-#.'&/.%- ,)0/)##&/)0

1 /.2/0%) 3'%'# 4)/5#&6/'7,%6' 8%)6/)0 9 1 : ;<<=;> ?==@

A%B C DE ?FG HEH> ?I<J,(%/- C )*K%LM#0& N( 6O N#PO

Q#R C 2''$ CSSKKK N#0& N( 6O N#POTU)*K%LT

3OR( /''#P '* VWWW XYZ[\Z]^_`[\ `[ Va Zbc dY` ]c\\_[beO0O6' ?IIF

fghijgk lmnompq rsst,":u3 vO(R#&6 C :w = N; 1 %0)#'/. x#6*)%).# :( %0/)0 9 ?N@ 1O-'/&#6*-O'/*) w&* .#66/)0

y z{|}~�| � :' /6 K#--�L)*K) '2%' '2# )*/6# /) ( %0)#'/. &#6*)%).# ( %0)/'OP# /( %0#6 *R #76 % x/./%)P/6'&/RO'/*) N 4)-/L# %PP/'/5# �%O66/%) )*/6# 9 x /./%) )*/6# /6 6/0)%-�P#$#)P#)' %)P .*)6#�O#)'-7 6#$%&%'/)06/0)%- +&*( )*/6# /6 % P/� .O-' '%6L N x /./%) )*/6# /6 #6$ #./%--7 $&*R-#( %'/. /) -*K 6/0)%-�'*�)*/6# &%'/* D3vxG&#0/( #6 K2#&# /' )*' *)-7 .%O6#6 &%)P*( �O.'O%'/*)6 9 RO' %-6* /)'&*PO.#6 % 6/0)%-�P#$#)P#)' R/%6 '* '2# P%'%'2%' &#PO.#6 /( %0# .*)'&%6' N �2/6 $%$#& 6'OP/#6 K%5#-#'�P*(%/) � -'#&/)0 ( #'2*P6 +*& x /./%) )*/6# &#(*5%- NQ# P#&/5# % )*5#- K%5#-#'�P*( %/) � -'#& '2%' %P%$'6 '* 5%&/%'/*)6 /) R*'2 '2# 6/0)%- %)P '2# )*/6# N �2# )#KK%5#-#'�P*( %/) � -'#& &#PO.#6 x /./%) )*/6# .*)'%( /)%'/*) /) R*'2 2/02 %)P -*K 3vx &#0/( #6 N

� � ������������

�� �������� ��������� ������� �� �¡¢ �£��� �� �� ��������� ���¤�¥�¦ § ��¨��� �£� �����©¥��¥���������� �ª«  ¡¢ �¬����© ����©­���� ¢ ��¤ ��®­������� ���� ��®­���¤ §¯ �£� �����¤�¤ �©�� ���©°�������£�¬¬©������� ±²³ ´ µ£���¶��� ¢ � �·�� ¬£¯��� ©�����© �� �������£ ¬���¤��� ����������� ¢ ��£ ��·�§ ©� ª«  ���§ � ©�� ���¤ ´ µ£� ª«  �� ���� �©�� ���© �¬¬©�������� �¶ � � �� ��©���·�©¯ £��£ ´ µ£�� �� �����¬©��£�¤ ¢�¸¬ ©����©¯ �� ��¬ ©����©¯¢ §¯ �·������� ´ µ¨� �¯¬�� �¶ �·������� ��¹� ¬ ©��� �� � � ¤��� ��®­������� º»¼ µ£� ¤������� ���­�� �¶ �£� ¤��� ��®­������� ¬�� ���� ��­��� �¬����© ·�©­� � �·������� ´

½¾¿À ÁÂÂÁÃÄ Åà ÆÇÈÉÁÂÊ ËÈÂÅ¿ËÌŠ¾ÆË¿ËžÉÍ Á οËÄÅ¾Ï ÐÑÇÆÆÃ¿Å¾Ï ÈÍ Åʾ ÒËÅÁÃÄËÉ ÑÌÁ¾Ä̾ ÓÃÇÄÏËÅÁÃÄ Ô Î¿ËÄÅ ÄÃ Ð Õ Ö½×ØÙÚ ÛÜØÝ Ô ËÄÏ Õ ÁÌÊÁÎÁÄ ÑÅËž ÞÄÁß¾¿ÂÁÅÍÔ ¿¾Â¾Ë¿ÌÊÁÄ ÁÅÁËÅÁÃÄ Î¿ËÄÅ Äà РÙÛ×àáÜà Ð

²

Page 2: Nowak Wavelet

� ¼ �� ���� �¬¬©�������� �� �� ������ �� ��®­��� ��·���© � ���­������� �� �£� ��� � ¹¥�¬��� � ©� ��������¤ �·����� �£�� �� ��¤­�� ����� ´

µ£� �¨� �·������� �¬ �������� ��� �������©���¤ ´ � ��£�� ����©­���� ������ ��� § � �§�����¤ §¯ £��£�����¬©��� �� ¹¥�¬��� ´ ��¨�·�� ¢ ��£��·��� � ¤�����¤ ª«  �� £��£�� �¬����© ����©­����� ��¯ ��®­����¤¤������© ��� �¥�·������� ¢ ��¤ �����®­���©¯ � ©����� ��®­������� ���� ´ µ£� ��®­������� ���� ���¤£���� ª«  ��¤ ����©­���� ¡ �� ©�� ���¤ �� ¬������� ¤­� �� ¬�������© ����������� �­�£ �� ¬������ ��� ¶�����¤ �¯���� �£��­�£¬­� ¢ ��¤ §¯ ¬£¯��� ©�����© ����������� ������� �� ¤¯��� �� �¬¬©�������� �­�£ ��©­�� ��¤ ���¤��� �� ����� ´ �­�£©¯ �¬ ��¹ ��� ¢ ¨� ��� ¤�· �¤� � � ���� �¨� ����� �� º ��©���·�©¯ ©�¨ ����©­����� ¢ £ ��£ ª« 

������� ��¤ £��£ ����©­���� ¢ ©�¨ ª«  ������� ´ µ£� £��£ ª«  ����¯�¤ �� ���¯ �¬¬ ©�������� ��� ���� �£� �¸¬ ���� �¶ ©�� ���¤ �¬����© ��¤°�� ���¬���© ����©­���� ´ � ��£�� ����©­���� ������� �� ¬����§ ©� ¢§­� ��©¯ �� � ���� �¶ ©�¨�� ª«  �� �­�£ ©����� ¤��� ��®­������� ����� ´ µ£� �¤��� �� �£� ¬�¬ ����� ����·���¤ §¯ �������� �� £��£ ����©­���� ��¬����© ��¤°�� ���¬���©¡ � � ¶�� �¬¬ ©�������� �­�£�� ��������¬£¯¢ ¶­�������© � � ¢ ��¤ �¯� ���¤��© ¬ ��¶­���� ������� ´ µ£� ��©�·���� �¶ �£�� ¬��§ ©���� �©�� �������¤ �� §¯ �£� ¶��� �£�� ©�¨ ª«  �� �£� �­§ � ��� �¶ � ©���� �­�§�� �¶ ¬�¬ ��� �� �£� � �©������­�� ¢ ��� �� ± ¢ ¢ � ¢ � ¢ ¢ � ¢ � ¢ � ¢ ²� ³ ´ ����� ¢ ¨� ��� ���������¤ �� ��­¤¯��� ����� ��¤­��������£�¤� ¶�� � � ´� ������� ��������� ��  ¡ ����� ��������­����� ¤��� ��� ������©¯ ��¤�©�¤ §¯ �£�   ����� ¤�����¥

§­���� ±� ¢ �³ ¢ ��¤ ¨� ���­�� �£�� ��¤�© �£��­�£�­� �£� ¬�¬ �� ¢ ­�©��� ��£��¨ ��� ����¤ ´ µ£�   �������¤�© �� ¨ �¤�©¯ ����¬��¤ �� �£� � � ����­���¯¢ ��¤ ¨� £�·� �¸¬ ��������©©¯ ·�����¤ �£�� �� ¤� ����¤��¤ ¬��· �¤� �� �¸��©©��� ����£ �� �£� �§���·������ ´  ����� ����� ��­��� ���¤�� �­��­������ �� �£� ¤��� ��¤ �����¤­��� � § ��� �� �£� �  �����

�£�� ��¤­��� �� ��� �������� ¢ �� ¤����������¤ �� ª������� �� ��¤ � ´ µ£�   ����� ����� �� � �����©¥¤�¬ ��¤��� ����� ¢ ���£�� �£�� � ���¬©� �¤¤���·� ����� ´ �� ©�¨ ��������¯ ������� �¶ �£� ������­¤������ �£� ����� ¤�����§­���� ���¤� �� �£�  �¯©���£ ¤�����§­���� ´ �� ������� �¶ £��£ ��������¯¢ �£������ ���¤� �� � ��­����� ¤�����§­���� ´ ����­�� �£� ����� �� �����©¥¤�¬ ��¤��� ¢ ����� ����·�© ��·��¯ ¤�� �­©� �� � � ¢ ��¬ ����©©¯ �� ©�¨ ª« � ´ «�� ��©¯ �­�� ¨� ������¤ ¨ ��£ �£� ­�­�© ¬��§ ©�� ����� �����¤ ¨ ��£ ����� ��¤­����� �­�£ �� �·�� �����£��� ¢ ¨� ¶��� �£� �¤¤������© ���¬©�¸ ��¯ �¶ �

��ʾ ÀÃÂÅ ÌÃÀÀÃÄ ÅÍƾ à � Õ� Ö ÁÄßÃÉ߾ ÂËÀÆÉÁÄÎ Åʾ ÃÈ � ¾ÌÅ Ã � ÁÄž¿¾ÂÅ ÁÄ Åʾ �¿¾�ǾÄÌÍ �ÏÃÀ ËÁÄ Ã¿ � !"#$% Ë ÁÅÁ ¿¾�¾¿¿¾Ï Åà ÁÄ Åʾ Õ� Ö ÉÁž¿ËÅÇ¿¾ Ð

&'¾ ÂÅ¿¾Â ÅÊËÅ Åʾ ÄÃÅÁÃÄ Ã� (ÉÃ) ¿¾ÂÃÉÇÅÁÃÄ* ËÄÏ (ÊÁÎÊ ¿¾ÂÃÉÇÅÁÃÄ* Ë¿¾ À ¾ËÄÅ ÁÄ Ë ¿¾ÉËÅÁß¾ ¾Ä¾ Ð + ÉÅÊÃÇÎÊ ¿¾ÂÃ�ÉÇÅÁÃÄ ÌÃÀÀÃÄÉÍ ÇÂ¾Ï ÁÄ ¾, ÁÂÅÁÄÎ ËÆÆÉÁÌËÅÁÃÄ À ËÍ È¾ ÌÃÄÂÁϾ¿¾Ï ËÌ̾ÆÅËÈɾ ËÄÏ �ÇÁž Ǿ�ÇÉ Ô ËÏÏÁÅÁÃÄËÉ ÁÄ �ÿÀ ËÅÁÃÄ ÔÅÊËÅ À ËÍ È¾ ÌÉÁÄÁÌËÉÉÍ ¿¾É¾ßËÄÅ Ô Á ÌÃÄÅËÁÄ¾Ï ËÅ Ê ÁÎʾ¿ ¿¾ÂÃÉÇÅÁÃÄ Ð

Page 3: Nowak Wavelet

�¬����©©¯ ·��¯ ��� ����� § �£�· ��� �£�� ¤�¬ ��¤� �� �£� ©� ��© ��������¯ �� �£� �  ����� ´  ����� ����� ¤����¤�� �� ���� �� § ��£ ®­�©�����·� ��¤ ®­��������·� ������ ��¤ £��¤��� �� ���

���©¯��� ¢ �����¬�������� ¢ ��¤ ¶���­�� ¤�������� ´ ��� �¸��¬©� ¢ �� �� �£�¨� �� ±²²³ �£�� �£� § ��� ¤­� ��  ����� ����� ��¤­��� ¤������§ �©��¯ �� ©�¨ ª«  � � ´ �����®­���©¯¢ �� �� £��£©¯ ¤�����§ ©� �� ¤�·�©�¬� ©������ � ��£�¤� �£�� ����·� �£�� ����� ´ �� �£�� ¬�¬ �� ¨� ¤�·�©�¬ � ��·�© ¨�·�©��¥¤����� � ©������¬�� ��¤­�� ¶��   ����� ¤��� �£�� ����·�� ����� ¶��� �£� � � ¤��� ´

� �£�� ¨�·�©��¥¤����� � ©���� ¶�� � � ����� ����·�© £�·� § ��� ¬��¬ ���¤ �� �£� ©������­�� ´ � �©����§���¤ �� ¨�·�©�� ���� ����� ��¶�¥�£���£�©¤��� ±²³ ��¤ ��©���¤ �£���£�©¤��� ±²³ £�·� § ��� �¬¬©��¤�� � � ´ «���£�� �¶ �£��� ���£�¤� �¸¬©��� �£�   ����� ���­�� �¶ �£� ����� ¢ ��� ¤� �£�¯ ����­�� ¶���£� ��£����� § ��� �� �£� �  ������­¤� ����� ´ µ£� ¨�·�©��¥¤����� � ©��� ¤�����§ �¤ �� �£ �� ¬�¬�� ��¤������¤ �� �¬ ������©©¯ £��¤©�   ����� ����� ´ µ£� ¨�·�©��¥¤����� � ©������ ¬�� ��¤­�� ¬�����·�� ¹�¯����� ¤����©� ��¤ ¶���­��� ¢ ��¤­��� ���¤�� ����� �­��­������ �� �£� ����� ¢ ��¤ ����·�� �£� § �������� ¤­��¤ §¯ �£�   ����� ����� ´µ£� ¬�¬ �� �� ����� ���¤ �� ¶� ©©�¨ � ´ �� ª������ �� ¨� ��· ��¨ �£� ����� ���������� ����­�����¤ ��

� � ´ �� ª������ ��� ¨� ��·��¨ �£� ¤ ������� ¨�·�©�� �����¶��� ��¤ ¨�·�©��¥¤����� � ©������ ´ ��ª������ �� ¨� ¤���·� �¨� ¨�·�©��¥¤����� ����� ����·�© ¬�� ��¤­��� ¶�� � � ´ �� �£�¨ �£�� ����¶­©�����¤������� �¶ �£�   ����� ���­�� �¶ �£� ����� �� ��¬ ����©©¯ ��������¯ �� ©�¨ ª«  ������� ´ ��ª������ � ¨� ¬��· �¤� ��·���© ���­©���¤ ��¤ ���©¥¤��� �¸¬ �������� ´ �� ª������ � � ¨� ¤��¨ ��������©­����� ��¤ ��¤����� ¤��������� �¶ ������� ��¤ ¶­�­�� ¨��¹ ´

� � � ����� �� � �

µ£� ���� ������ ���£�¤ ¶�� ��®­����� �  �� ���� �� �� ���¬©� �£� �§� ��� �¶ �������� �� �£�¶��®­���¯¥¤����� ±�³ ´ µ£� ��¨ ¶��®­���¯¥¤����� ����­��� ���� ��� ¤�����¤ §¯

� �� � ¡ � ��� �� � ¡ � � ��� �� � ¡

¨£��� � ��¤ � ¤����� £��������© ��¤ ·������© ¶��®­������ ¢ � � �� ²¢ ��¤ ��� ��¤ ��� ¤����� �£����© ��¤ ��������¯ ���¬������ �¶ �£� ¤��� ´ µ£� ����­������� ��� § � ¤����¬���¤ ���� � �����©��¤ ����� ���¬�����

� �� � ¡ � � �� � ¡ � � �� � ¡ ¨£��� � �� � ¡ �� �£� �����© �¶ �������� ��¤ � �� � ¡ �� � ���¬©�¸ ��­����� ¨£��� ����� ´ µ£� ����� ��¬��� ���©¯ ¤­� �� �£��� �© ������ �� �£� ¬������ ± ¢ � ¢ � ¢ ²� ³ ´

��ʾ À ¾ËÂÇ¿¾À ¾ÄÅ ÂÆË̾ Á ËÉÂà ÌÃÀÀÃÄÉÍ ¿¾�¾¿¿¾Ï Åà Ë � !" #$% ÁÄ Åʾ ÉÁž¿ËÅÇ¿¾ �Ù� Ð

Page 4: Nowak Wavelet

µ£� ���� ������ ��������­����� ���£��®­� �� � � �� �� ���¬­�� �£� ��·���� ¤������� ��­���������¶��� ���µ ¡ �¶ �£� ��¨ ¤��� � ±� ¢ ²²³ ´ ��� � ¤����� �£� ��·���� ��µ �¶ � ´ �­� �� ¬£��������� ¨£��£ ��� ¤�� �­©� �� ������© ¢ �£� �����© ���¬����� �¶ �£� ����­��� ���� � ��­�� �� § ��£ ���©��¤ ��������¯ �£����©� ±� ¢ ²²³ ´ µ£� ·�©­� �¶ �£� � � ¥�£ ¬ �¸�© �� ���¬©�¸ ��¤ �� ��·�� §¯

� ±� � ³ � �� ±� � ³��� �� ±� � ³¡ � ��� ±� � ³¡ � � �� ±� � ³��� �� ±� � ³¡ � � �� ±� � ³¡ � ´²¡

¨£��� � ¤������ �£� �����© �¶ �������� ¢ ��� ��¤ � �� ¤����� ��­����� ¨£��� ������ ¨ ��£ ·������� � �

�� �£� ���© ��¤ ��������¯ �£����©�� ¢ ��¤ � ±� � ³ ��¬������� �£� ¬£��� ����� �� �£� � � ¥�£ ¬ �¸�© ´����­�� �¶ �£� ¬£��� ����� ¢ �£� ������­¤� �¶ � �� �¯¬ ���©©¯ ­��¤ �� ¶��� �£� �� ��� ��������­����� ´� ����

±� � ³ � �� ±� � ³ � � ��� ±� � ³��� �� ¡ � ��� ±� � ³¡� � �� ±� � ³��� �� ¡ � � �� ±� � ³¡� �& � ´¡

µ£� ������­¤� ����� ±� � ³ �� ���©¥·�©­�¤ ��¤ ��� § � ¤��¬ ©�¯�¤ ¶�� · ��­�© ���¬ ������ �� ­��¤¶�� �­������¤ ���¬­��� ���©¯��� ´ � ©�������·�©¯¢ ¬£���¥���������� ���£�¤� ��� § � �¬¬©��¤ �£���§¯���§©��� ¤����� �¸�������� �¶ �£� ���© �����© ¶��� �£� ���¬©�¸ ¤��� ±²²¢ ²�³ ¢ §­� �­�£ �¬¬����£��¬������ �£��� �¨� ¤�� �­©���� ��¤ ��� ��� �¶��� ­��¤ �� ¬������� ´ �� �£�� ¬�¬ �� ¢ ¨� ¶� �­� �� �£����� ������ ������­¤� �� ��� ��������­����� � ´¡ ´ª���� �£� ������­¤� ��������­����� �� ���¬©¯ �£� �®­���¥�� �� �¶ �£� �­� �¶ �¨� ��¤�¬��¤���

��­����� ���¤�� ·����§ ©�� ¢ �£� ����� �� �£� ������­¤� ����� �� ¤�����§ �¤ §¯ �   ����� ¤�����§­����±² ³ ´ �� ��� �����¤ �� �� �§���·����� �¶ �£� �����© � ¨ ��£ �� �¤¤���·� ����� �

±� � ³ � � ±� � ³ � � ±� � ³ � ´¡

µ£� �¤¤���·� ����� �� ��� � ���¬©� ¨£��� ����� �� �£�� ��¤�© ´  ��£�� ¢ � ±� � ³ � ±� � ³ � � ±� � ³��¤ �£� ���­��­�� �¶ �£ �� ����� ¤�¬ ��¤� �� � ±� � ³ ´ ����� ¢ ¨� ��¯ �£�� �£�   ����� ����� �� � �����©¥¤�¬ ��¤��� ����� ´ �� ©�¨ ��������¯ �¤��¹ ¡ ������� �¶ �£� � �����­¤� ����� ¢ �£� ����� ¤�����§­�������¤� �� �£�  �¯©���£ ¤�����§­���� ´ �� £��£ ��������¯ �§���£�¡ ������� ¢ �£� ����� ���¤� �� � ��­�����¤�����§­���� ´

�� � ��� ������ �� ���� ��� �� �� �� ������� � �����!� " ����� �� ����" ��� �� � !����#� ��� ���!�� �� ��" �� � "��!��$�� �" �� � � �� ��¬©�¯ ¨�·�©��¥¤�� ��� � ©������ ���£�¤� �� ���¹ ©� �£ �� ��¬ ����©©¯¤�� �­©� ¬��§ ©�� ´ ��·�©��¥¤����� � ©������ ��� �­��������©©¯ �¤�¬� �� �¬����© ·��������� �� �£�

%�ʾ ÄÃÁ¾ ÁÄ Åʾ ¿¾ÌÃÄÂÅ¿ÇÌÅ¾Ï ÏËÅË & ÁÂ Ô ËÎËÁÄ Ô 'ËÇÂÂÁËÄ )ÊÁž ÄÃÁ¾ ÂÁÄ̾ Åʾ (Ó� Á ËÄ Ã¿ÅÊÃÎÃÄËÉÅ¿ËÄÂ�ÿÀ ËÅÁÃÄ Ð

Page 5: Nowak Wavelet

�����© § �£�·��� �� ����·� ����� ��¤ ¬�����·� ��¬������ �����© ¤����©� ©�¹� �¤��� ´ � ����·�� ¢ ¨��£�¨ �£�� ¨�·�©��¥¤�� ��� � ©������ ��� �©�� �¤�¬� �� �¬����© ·��������� �� �£� ����� ¤�����§­���� ´�¤�¬������ �� �£� ����� ¤�����§­���� �� ��¬ ����©©¯ ��¬������ �� ©�¨ ª«  �¬¬©�������� ´

� � � � ������������ �� � ���������� �£���� �� ¨��¹ �� �£� ¨�·�©��¥¤����� § ���­�� �£� ���£�����© ¨�·�©�� �����¶��� ���¤� ��

����������� �£� �����¯ �¶ �£� ¤�����¤ �����© � ���� � ���©© �­�§�� �¶ �� �� ������ ´ ����� ¢ �£�¨�·�©�� �����¶��� �¶ �£� ����¯ �� ��� �������� �¶ � ���©© �­�§�� �¶ ���� ������ ¨ ��£ £��£ ª« �¨£��£ ¨� ¹��¬ ¡ ��¤ � ©���� �­�§�� �¶ ���� ������ ¨ ��£ ©�¨ ª«  �¨£��£ ¨� ¤�����¤ ¡ ´ � ¶���¤�����¤��� �£� ����¯ ���� ������ ¢ ¨� ��������­�� �£� �� ��� ­���� �£� ��·���� ¨�·�©�� �����¶��� ´ ���£�� ¨�¯ ¨� ��� � ©��� �£� �����© ¶��� �£� ����� ´ � ¶ ��­��� ¢ � ��� �©�� ¬�� ��¤­�� ��­©¤ §� ������¤ �­�­���� ��¯ ���£�����© �����© ��¬����������� ¢ ���©­¤��� �£� ��­���� �����¶��� ´ ��¨�·�� ¢ �£� ¨�·�©�������¶��� ���§©�� �£� � ©������ ¬�� ��¤­�� �� �¤�¬� �� �£� �¬����© ·��������� �� �£� �����© ¶��®­���¯������� ��¤ �£���§¯ §�©����� �£� ���¤�¥�¦ § ��¨��� ����� ����·�© ��¤ �¸�����·� �����£��� ´ ��­����¥¤����� � ©������ �� � �©�§�© �¬ ������� �£�� ������ �¤�­�� �� �­�£ �¬����© ·��������� ��¤ £���� ©��¤��� �¸�����·� �����£��� �� ������� ¨£��� �£� ����� £�� £��£ ¶��®­���¯ ������� ��¤��� ¢ ¶�� �¸��¬©�¡ ´�­��£������ ¢ �� £�� § ��� �£�¨� �£�� ����� ����·�© ¢ ���¬������� ¢ ��¤ �����© ����·��¯ ���£�¤�§���¤ �� ¨�·�©�� �� �� ����� �£���¹��� �� ¨�·�©�� ������ ��­������� ��� �¯ ��¯�¬����� � �����¸¥�¬��� �© ¬ ��¶��� ���� �£������������� ��¤ ¢ �����·�� ¢ ¤� ��� ����� ¤­�� �¸�����·� ����¶���� �� �£������© ��������­����� ±²�³ ´

� �� � ������� ������� ���!�� ��"µ£� ²¥¤ ¤������� ¨�·�©�� �����¶��� ���µ ¡ ��¬������� � ���©¥·�©­�¤ ������­�­�¥���� �����© � � ¡

�� ���� � �¶ �£ �¶�� ��¤ ¤�©������ �¶ � ©�¨¬��� �����!� � $!����! � � ¡ ��¤ §��¤¬��� � ������ � � ¡ ´ ����¬ ����© �£����� �¶ �£��� ¶­������� ¢ �£� �£�¶�� ��¤ ¤�©������ ¶��� �� ���£������© §���� ¶�� � � ��  ¡ ��¤¨� £�·� �£� �����© ��¬����������� ±²� ¢ ²�³

� � ¡ � �� ��� ���� � ��� � � ¡ � ��� ����� �

�� �� �� � ��� � � ¡ � ´²¡

¨ ��£ �����!� ���� ���!��

��� � ���� � � � ¡ � ��� � � ¡ � � ´¡

��¤ � ������ ���� ���!��

��� � �� �� � � � ¡ � ��� � � ¡ � � � ´¡

Page 6: Nowak Wavelet

� ¹�¯ ¶���­�� �¶ �£� ¨�·�©�� ��¬����������� �� �­©������©­���� º �£� � ��� ���� �� � ´²¡ �� �� �¬¥¬��¸ ������� �� � � ¡ �� ���©� �����©­���� ¡ � ¢ ¨£�©� �£� �����¤ ���� �������� �¶ ���������� �� ������¤ ���� ���©�� � � � ´ ��©�¹� �£� ��­���� �����¶��� ¨£��£ �� §���¤ �� ���­���¤�© §���� ¶­�������¨ ��£ ¬ ��� �¬����©¥¤����� ©� ��©������� ¢ �£� ¨�·�©�� §���� ¶­������� ��� ©� ��©���¤ �� § ��£ ���� ��¤¶��®­���¯¢ � �¹��� �£� ��µ �� �¤��© ¤����¬������� ¶�� �����©� ¨ ��£ �¬����©¥·��¯ ��� ¶��®­���¯ ���¥���� ´ �� �£� �� µ ¢ ���¯ �£����� ��� ¬ ����§ ©� ¶�� �£� ¨�·�©�� ��¤ ���©��� ¶­������ ´ µ£� �£���� �¶¨�·�©�� �� ¤���­���¤ �� ������� ¤����© �� ª������ � �� ´µ£� ���©��� ��¤ ¨�·�©�� �� �� ������ ��� §� ���¬­��¤ ­���� �� �¸�����©¯ �� ����� ���­����� ´

� ���� �£� ¶��� �£�� �£� ���©��� ¶­������ ��¤ ¨�·�©�� ��� ��©���¤ §¯ �£� �¨�¥���©� ¤�¦������ �®­������±²� ¢ ²� ³

� � �¡ � � ��

� ±� ³ � � � � ¡ � ´� ¡

� � �¡ � � �� �

±� ³ � � � � ¡ � ´�¡

¨ ��£ � ��¤�¤�������¥��� � ©�¨¬��� ��¤ £��£¬��� � ©���� ¢ ���¬ ����·�©¯¢ �£� ���©��� ��¤ ¨�·�©�� ���¶¥

� ������ ��� §� ���­���·�©¯ ���¬­��¤

�� � �� � �

�� ±� ³ �

��� �� � ´ ¡

�� � �� � �

� �±� ³ �

��� �� � � ´�¡

µ£��� ���¬­������� ��� § � �­������©¯ ��������¤ ���� � ¤ �������¥��� � � ©��� §��¹ �¶ ©�¨¬��� ��¤£��£¬��� � ©���� ��¤ ¤���� ����� ±²� ¢ ²� ³ ´«�¨ �����¤�� � ©����£¥ ¤�������¥��� � �����© � �� ±²³ � ±³ � � � � ± ³ � ´ µ£� ���­����� � ´ ¡�

� ´�¡ § �������� ¨ ��£ � � � � ±� ³ ¤����� � ¤ �������¥��� � �� µ �¶ ´� ��������� � ´ ¡� � ´�¡ � ��� �� ¢¬�� ¤­��� �� � ¥���©� ��µ ���������� �¶ � ���� �¶ ¨�·�©�� �� �� ������ �� ���©�� � � ² � � � � ¢ ��¤ �����©� ��� �¶ ���©��� �� �� ������ �� ���©� � ´ �­� �� �£� ¤���� ����� ��·�©·�¤ ¢ �£��� ��� �¸���©¯ � �� �¨�·�©�� �� �� ������ �

�� �� ���£ ���©� � ¢ ��¤ � ��� ���©��� �� �� ������ ��� ´ µ£� ���©��� �� �� ������

��¬������ � ©�¨¥����©­���� �¬¬��¸ ������� �� �£� �����© ´ µ£� ¨�·�©�� �� �� ������ ��¬������ �£��¤����©�� ���¤�¤ �� ��������­�� �£� ¶­©©¥���� ©­���� �����© ´ µ£� ��¸ ��­� �­�§�� �¶ ���������� �����¸ � � ´ � ���­�� �¶ �£� �¬ ����© � ©��� §��¹ ���­��­�� ¢ �£� ¶��¨��¤ ��¤ ��·���� �� µ ��� § ���¬ ©������¤ �� � �� � ¡ ���¬­������� ¶�� � ¥©����£ � ©���� � ��¤

�´  �� ��¹�§ ©¯¢ �£�� ���� ��

©����� �� �£� �­�§�� �¶ �����© ���¬©�� ¬�� �����¤ ´�ÒÞ ÅÊËÅ ÁÄ Åʾ ÏÁÂÌ¿¾Å¾�ÅÁÀ ¾ Ì˾ )¾ ¿¾ÎË¿Ï Åʾ ÂÁÎÄËÉ ÁžÉ� Ë Åʾ �ľÂÅ ÂÌËɾ �� � Ú � ÂÌËÉÁÄÎ Ìþ� ÌÁ¾ÄÅ РÒÃ

�ľ¿ ϾÅËÁÉ Á ËßËÁÉËÈ É¾ Âà Åʾ ÂÇÀÀËÅÁÃÄ Ãß¾¿ Åʾ ÂÌËɾ ÁÄ �� ÐÛ� ¿ËÄξ ÃÄÉÍ �¿ÃÀ � � Û Åà � � � Ð

Page 7: Nowak Wavelet

µ£� ������ �£�� �£� ¨�·�©�� �����¶��� �� �� ¤�����§ ©� �� �£�� �£� ¨�·�©�� �����¶��� � �¶ ���©¥¨��©¤ �����©� ��¤ ������ ���¤ �� §� ·��¯ �¬���� ¢ ¨ ��£ � ¶�¨ ©���� ���©��� ��¤ ¨�·�©�� �� �� ������¤�� ������� �£� ��¬����������� ´ µ£�� �� ¢ ¨�·�©�� �����¶��� � ���¤ �� ���¬���� ���©¥¨��©¤ �����©� ´µ£� ���¬������� ¬��¬ ���¯ �¶ �£� ¨�·�©�� �����¶��� �� �����§­��¤ �� �£� ¶��� �£�� �£� ¨�·�©���� �� ������ �¶ ¬ �©¯��� ��© �����©� ��� �¸���©¯ ���� ±� ³ ´ µ£�� ¶��� �� � �����®­���� �¶ �£� �·����£����������� �¶ �£� ¨�·�©�� ¶­������� ´ ��� ��� ¤����� �£� ­�¤��©¯ ��� ¤�������¥��� � ¨�·�©�� §���� ¶­�������� ���©� � ��¤ ©� ������ � ´ µ£��

��

� � ��� ±� ³ � � � � � � � � � � ² � � ´�¡

µ£� ¨�·�©�� ¶­������� �§�����¤ ¶��� ©����£¥� � ©���� � ��¤�£�·� � ·����£��� ������� ±²�³ ´ µ£�

�­�§�� �¶ ·����£��� ������� �¶ ��� ¤����� ���� �£� £��£��� ¤����� ¬ �©¯��� ��© �����© ¶�� ¨£��£ �©©¨�·�©�� �� �� ������ ��� �®­�© �� ���� ´ � ��£�� ¤����� �� � ¡ ¬�©¯��� ��©� ¨ �©© £�·� ���¥���� ¨�·�©���� �� ������ ´ µ£���¶��� ¢ �¶ �£� �����¥¶��� �����© �� ¤�����§ �¤ §¯ � ¬�©¯��� ��© �¶ ¤����� � � ¢ �£�� �©©¨�·�©�� �� �� ������ ��� ���� ��¤ �£� �����© �� ���¬©���©¯ ¤�����§ �¤ §¯ �£� ���©��� �� �� ������ �©��� ´«���� �� �£� ��£�� £��¤ �� ��� ¬ �©¯��� ��© �� ���­��­�� ´ µ£� ����� ���¤� �� § � �·�� ©¯ ¤�����§­��¤�·�� �©© ¨�·�©�� ��¤ ���©��� ���� ������ ´ �� ¶��� ¢ § ���­�� �£� ¨�·�©�� ��¤ ���©��� ¶­������� ������£������© ¢ ¨£��� ����� �� �¤������©©¯ ¤�����§­��¤ �� ���£ ���� ����� ´ � ���� ¢ � ©���� ���­�� �¶����� ��� § � ����·�¤ ¶��� �£� ¤��� §¯ ¤�����¤��� �©© �£� ¨�·�©�� ���� ������ ��¤ ��������� ��©¯�£� ���©��� �� �� ������ ´�� ���� ���©����� ���­������ �£� �����© �� ��� ¬�©¯��� ��© ¢ §­� ��¯ § � ¨�©©¥�¬¬��¸ �����¤ §¯ �

¬����¨ ��� ¬ �©¯��� ��© ¶­������ ´ � ���­�� �£� ¨�·�©�� ¶­������� �©�� £�·� ©� ��©���¤ �­¬¬��� ¢ ���� �¶�£� ¨�·�©�� �� �� ������ �¶ � ¬ ����¨ ��� ¬ �©¯��� ��© �����© ¨ �©© § � ���� �¸��¬� �£��� ������¬ ��¤��� ��¨�·�©��� �£�� £�·� �­¬¬��� ���� �£� §���¹¬ ����� �¶ �£� ¬�©¯��� ��© ¬ ����� �£�� ���¬���� �£� �����© ´µ£��� ���¥���� ¨�·�©�� �� �� ������ ��� ��­���© ¶�� ��������­����� ��¬������ �����© ¤����©� ©�¹� �¤��� ´µ£���¶��� ¢ �£� ¹�¯ �� �¦����·� ����� ����·�© �� �£� ¨�·�©��¥¤�� ��� �� �� ¤����� ��� ¨£��£ ¨�·�©���� �� ������ ¤� ��� £�·� ���� ������ �����© �����¯ ��¤ £���� ��� § � ¤�����¤�¤ ¨ ��£�­� ¤���������©�����© ©��� ´ � ��£�¤� ¶�� ��¹��� �£�� ¤����� ������� ��� ��©©�¤ � ������#��" ��! ����� ´

��¶��� ¤���­����� ¨�·�©��¥¤����� � ©������ ¢ ¨� ���� �£�� �� ���� ��� §� ¤����¬���¤ ­���� ��¬¥���§ ©� ¥¤ ¨�·�©�� §���� ¢ ¨£��£ ��� ��¬ ©������¤ ­���� � ¥¤ � ©��� §��¹ ¨£��� ¨� �©������� �£��¬¬©������� �¶ � ��¤

��� ��¨ � ��¤ ��©­��� �¶ �£� �� ��� ±²� ¢ ²� ³ ´ � �·�� � � �� ��� � ±� �³

¨� ������� � ´ ¡� � ´�¡ � ��� �� �� ��¨ � ��¤ ��©­��� �� �§���� � ���� �¶ ¨�·�©�� �� �� ������ �� ���©��� � ² � � � � ¢ ��¤ � ����©� ��� �¶ ���©��� �� �� ������ �� ���©� � ´ �� �£�� ���� �£� ���©��� �� �� ������

Page 8: Nowak Wavelet

������¬��¤ �� � �� � �� ©�¨ ¥����©­���� �¬¬��¸ ������� �� �£� ���� ���© �� ��� ¢ ��¤ �£� ¨�·�©���� �� ������ ��¬������ ¤����© �� ���� �£�� ��� § � ���§���¤ ¨ ��£ �£� ���©��� �� �� ������ �� ��������­���£� ¶­©©¥���� ©­���� ����� ­���� �£� ��·���� ¤������� ¨�·�©�� �����¶��� ´ � ���� � ¥¤ � ©��� §��¹ ¢ �£����¬­�������© ���� �¶ �£� ¶��¨��¤ ��¤ ��·���� ¥¤ ��µ �� � �� � � ¡ ¶�� �� � �� ��� ´µ£� ¤������� ¥¤ ¨�·�©�� ¶­������� �� ��� �� ��¤ ���©��� ¶­������� �� �� �� £�·� ��·���© ��¤���� � �

������¬��¤��� �� �£� ���©� ¢ � ������¬ ��¤��� �� ¨�·�©�� ����������� �£��������© ¢ ·������© ¢ �� ¤������©¡ ¢� � ������¬ ��¤��� �� �£� ¬������� ´ �� ��¤�� �� ¹��¬ �������� �� � � �� ��­� ¢ ¨� ¨ �©© ��¬©�¯ �£��§������ ��¤�¸ � ¶�� �£��� ��¤���� ´ �­��£������ ¢ ¨� ·�������� �£� ¥¤ ¨�·�©�� ¶­������� ¢ ���©���¶­������� ¢ ��¤ �£� ����� §¯ ����¹ ��� �£� ��©­��� �¶ ���£ ¢ ��¤ ��¬©�¯ � ����©� �§������ �¬����©��¤�¸ � ´ � ���� ¢ �£� � ¥�£ ���©��� ���� ����� �¶ �£� �� ��� � �� ���¬­��¤

�� � ��

� � ±� ³� ±� ³ � � ´�¡

ª�� �©��©¯ �£� � ¥�£ ¨�·�©�� �� �� ����� �� ���¬­��¤

�� � ��

� � ±� ³� ±� ³ � � ´²� ¡

�� ��©©����·�©¯ ��¶�� �� �£� ���©��� ��¤ ¨�·�©�� �� �� ������ §¯ ·������ � ��¤ � ¢ ���¬ ����·�©¯´

� � �������# �" ��! ������!�

� ���� ¨� ���¬­�� �£� ¥¤ ��µ �¶ �� ����� ´ ��� � ��¤ � ¤����� �£� ����¯ ���©��� ��¤ ¨�·�©���� �� ������ �¶ ´ µ£� ���© �¶ ¨�·�©��¥¤����� � ©������ �� �� �§���� � § ����� ����� ��� �¶ �����¥¶��������© ¨�·�©�� ���� ������ §¯ � ©������ � ´ �� � ©��� ��� �����­���¡ �£� ������§­���� �¶ � ¬�����­©��¨�·�©�� � � �� �£� �����© ��������­����� §¯ ¨���£���� �£� ������¬��¤��� ���� ����� �� §¯ � �­�§��� � � � � ²´ µ£�� �� ¢ ¨� ��¤�¶¯ � ���¬�����¥¨ ��� �����¤ ��� ��

��� � � � � � � � ´²²¡

ª������ � � � � ���¬©���©¯ ����·�� �£� ������§­���� �¶ �£� ¨�·�©�� ¶­������ � � ������� � � � ²©��·�� �� ­��©����¤ ´ �£������ � � � � � ² �����­���� �£� ������§­���� �¶ �£� � ¥�£ ¨�·�©�� ¶­�����������¤���©¯´ µ£� �¤�� �� �� �����­��� �£��� ¨�·�©�� ���� ������ ¨£��£ ������� ���� ����� �£�������© ´ µ�¹��� �£� ��·���� ��µ �¶ �£� � ©����¤ ¨�·�©�� ���� ������ �� ��¤ �£� ���©��� �� �� ������� ¢ ¨� �§���� �� ��¬��·�¤ ����� ����� ��� ¤�����¤ � ´ µ£� ��¨ ����� � �� ��©©�¤ � � ������#��" ��! ������ ·������ �¶ ´ µ£� ��©©������ �¶ ¨���£�� � � �� � � �� �£� � ������#��" ��! ����´

Page 9: Nowak Wavelet

� ©���©¯¢ �£� ��­���© ���­� �� ¨�·�©��¥¤����� � ©������ �� �£� ¤����� �¶ �£� � ©��� � ´ �¤��©©¯ ¨�¨�­©¤ ©�¹� �£� ¨�·�©��¥¤����� � ©������ ¬�� ��¤­�� �� § � �¤�¬��¤ �� �£� ©� ��© ª«  �� ���£ ¨�·�©���� �� ����� ¢ �� �£�� ¨� ��� �­¬¬���� ¨�·�©�� �� �� ������ ¨ ��£ ·��¯ ©�¨ ª«  ´ ��� ­� ���­�� �£�� �£�����¯ ¨�·�©�� �� �� ����� �� �� ­�§����¤ ����� ���� �¶ �£� ·�©­� �¶ �£� �����© �� ¨�·�©�� ���� ����� ���£� �¤��© �����¥¶��� ���� ¢ ��¤ ¤����� ��� ���� §¯ �� � � ±�� ³ ´ µ£�� �� ¢ �� �� �£� ¨�·�©�� �� �� ������¶ �£� �����¥¶��� �����© ´ µ£�� �£� � ©��� ¨���£� �£�� � ���� ���� �£� ���� �®­���¤ ����� �¶ ���£�� �� ����� ��

����� � � ��� �� � � ��� ´²¡

¨£��� � �� �� �£� ·������� �¶ �£� ����¯ ���� ����� �� ´ µ£�� �¬��� �© ¨���£� �� ����©¯ ¤�¤­��¤ §¯� ���� �� ��� � ���� � � � �� ¡� � ¨ ��£ ���¬ ��� �� � � ´ �� ��� �����¬��� �£� � ©������ �¬������� �� �¨�·�©��¥¤�� ��� ���©�� �¶ �£� �©������© � ����� � ©��� ± ²³ ´ ��¶���­����©¯¢ �£�� �¬��� �© � ©��� ¨���£���®­���� ¬ ��¶��� ¹��¨ ©�¤�� �¶ �� ��¤ � �� ��¤ �£���¶��� �� ��� ¶����§ ©� �� ¬������� ´

��� � ©��� �£�� �¬¬��¸ ������ � ´²¡ �� � �·�� §¯ ± ¢ ³

� � � ���� � � ��

��� ���� ´²¡

¨£��� ��� �� �£� �®­��� �¶ �£� � ¥�£ ¨�·�©�� ���� ����� ¢ � �� �� �� ����� ��� �¶ �£� ·������� �¶ �£� �� ¢ ��¤� ¡� ¤������ �£� ¬ �����·� ¬��� �¶ �£� ���­���� ����� ������·� ·�©­�� �� ���� ¡ ´ ����� ¢ ���­� ��� �£��� ±� � ³ � �� ¢ ���� �£�� � ±��� ³ � ��� � � �� ´ � ���� ¢ �£� ��� � � �� �� ���¬©¯ �� ����� ��� �¶ �£� �­������� ��� ´²¡ ¢ ��¤ ��� �� �� ����� ��� �¶ �£� ¤���� ������ �� � ´²¡ ´ µ£���¶��� ¢ � ´²¡ ¬��· �¤�� � �������§©��¬¬��¸ ������� �� � ´²¡ ¢ ��¤ ¨� ��� �����¬��� � ´²¡ �� � ¤���¥�¤�¬��·� ¢ ¨�·�©��¥¤�� ��� ¢ � ������ ©��� ´ µ£� �£���£�©¤��� ������ �¶ � ¡� �­��¤� ������� �©©�� ���© ������·� ¨���£���� ¶������ ����� �£���£� ���­���� ��¯ § � ������·� �¶ �£� ������­¤� �¶ �£� ¨�·�©�� ���� ����� �� �� �©©¡ ´ µ£�� �£���£�©¤¨�� � ��� ����� ¤­��¤ �� ±³ ¢ ��¤ �� ������ ���­��©©¯ �� �£� � �� �� ������� �¶ � ¬��¤����·� �­� �¶�®­���¤ ������ ��������� ´µ£� ������ �¶ �£� � ©��� � ´²¡ �� �� ��� ���©© ¨�·�©�� �� �� ������ ¢ ¨ ��£ �®­���¤ � �����­¤� ©���

�£�� �£� ����� ���¤ ·������� ¢ �� ���� ��¤ �� ©��·� ©����� ���� ������ �¬¬��¸ �����©¯ ­��©����¤ ´ � �� ´² ¤�¬ ���� �£�� ���©�������¯ §¯ ¬©������ �

�� � � � �� ´ � �£�� ¨�·�©��¥¤����� � ©������ �¬�������� ¢ �­�£�� £��¤ ��¤ ��¶�¥�£���£�©¤� ±² ¢ � ³ ¢ ��� �©�� § � ��¬©�¯�¤ ´ ��¨�·�� ¢ �£� �¬ ������� ��·�� §¯ � ´²¡£�� § ��� �£�¨� �� ¬��· �¤� § ����� ���­©�� �£�� ��£�� ���£�¤� �� �£�� ��¤ ��£�� �� ����� �¬¬©��������±³ ´ µ£���¶��� ¢ ¨� £�·� �£���� �� ¨��¹ ¨ ��£ �£�� �£���£�©¤ £��� ´� ��� ��������·� ����� ����·�© �� ¬ ����§ ©� §¯ ¨���£���� �£� ����� ���¤ ·������� �� � ´²¡ ´ ���

Page 10: Nowak Wavelet

�¸��¬©� ¢� � � ���� � � � ��

��� ���� ´²� ¡

¨£��� � � ² �� � ­���¥¤����¤ ¬�������� �£�� �¤�­��� �£� ���­�� �¶ ����� ��¤­����� ´ ª�©������� � ²¢ �¦����·�©¯ ������ �£� �£���£�©¤ ©�·�© �¶ �£� ���©�������¯´ ��� �¸��¬©� ¢ ����£� �� �� �­������ ­��·����© �£���£�©¤ ¶�� ��­����� ����� ����·�© �£�� �� ������� �£�� ² ±� ³ ´ ������ �£���£�©¤ ©�·�©���� ���­©� �� ������� ����� ��¤­����� ¢ §­� ��¯ �©�� ©��¤ �� �·�� �����£��� ´ µ£� �£���� �¶ � � ²¬��·�¤�� � ������·���·� ©�¨�� § �­�¤ �� �£� �£���£�©¤ ©�·�© ´ �� � � �¬¬©�������� ¢ ¨� £�·� ¶�­�¤�£�� � � ¬��· �¤�� ·��¯ ���¤ ���­©�� �� ���� � �¶ �®­���¤ ����� ��¤ ·��­�© ®­�©��¯ ���� ª������ � ¡ ´

����£�� ¤����� �¶ ��¸ �§ �©��¯ �� ¨�·�©��¥¤����� � ©������ �� �£� �£���� �¶ �£� ­�¤��©¯ ��� ¨�·�©�� ´ ���­� �¸¬ �������� ¨� £�·� ¶�­�¤ �£�� �£� � ��� ¨�·�©�� ±� ³ ¤��� � § ����� � �§ �� ¬�����·��� ��� �����¤����©� �­�£ �� ���©© ·���­ ©�� ���­��­�� ���¬���¤ �� ��£�� ¨�·�©��� ´ µ£� ������ ¶�� �£�� ��¯ § � �£�¶��� �£�� �£� � ��� ¨�·�©�� �©�� £�� �£� ���� ���¬��� �¬����© �­¬¬��� �¶ �©© ¨�·�©��� ´ µ£�� �� ¢ �����£ ���©� �¶ ���©¯��� �£� � ��� ¨�·�©�� �� ���� ©� ��©���¤ �� �¬��� ´ �� �£� ��£�� £��¤ ¢ ¨�·�©��� ¨ ��£©����� �¬����© �­¬¬��� �­�£ �� �£� � �­§ ��£���¥ ¨�·�©�� ±� ³ £�·� § ����� ¶��®­���¯ ©� ��©������� ��¤�¬¬��¸ ������� ¬��¬ ������ ´ � �©������ ¨ ��£ ¨�·�©��� ¨ ��£ ©���� �¬����© �­¬¬��� ������©©¯ ¬��¤­��������£�� ©��¹ ��� ������ ´ ��¨�·�� ¢ ¨� £�·� �§���·�¤ �£�� �­�£ ¨�·�©��� � �¯ �©�� ©��¤ �� �¸�����·������£��� �¶ ��� ¤����©� ´ µ£�� �©©­������� � ¶­�¤������© ���¤�¥�¦ �� ¨�·�©��¥§���¤ � ©������ ´ ��¤����� � ¨�·�©�� ¨ ��£ � ©���� �­�§�� �¶ ·����£��� ������� ¶�� ���¤ ¬�©¯��� ��© �¬¬��¸ ������� ¢§­� �£�� ��®­ ���� � ¨�·�©�� ¨ ��£ ©����� �¬����© �­¬¬��� ´ µ� �­������� ¨� �¤·� ���� ­���� �£� � ���¨�·�©�� �� �£�� ��� ¤����©� ��� § ��� ¬�����·�¤ ´

��� ���© ¬�������© ���­� �� �£� �£�¶�¥·������ ���­�� �¶ �£� ¨�·�©��¥¤����� � ©��� ¤�����§ �¤ �§ �·� ´����­�� �£� ¨�·�©�� �� �� ����� ·�©­�� ¤�¬ ��¤ �� �£� �©������� §��¨��� �£� ¤��� ��¤ �£� ¨�·�©��§���� ¶­������� ¢ ���¬©� �£ �¶�� �¶ �£� ¤��� ©��¤ �� ���¬©�����¤ �£����� �� �£� �­�¬­� �¶ �£� � ©��� ´� ����·�� ¢ � ���©������� § ��¨��� �£� ¨�·�©��� ��¤ �����© ���­��­�� ��� ©��¤ �� ����¶���� �� �£�� ©����¤ ����� ´ µ� ��¬��·� ¨�·�©��¥¤�� ��� � ©������ ���£�¤� ¢ ��·���© �­�£��� £�·� ¬��¬ ���¤ �£�¶�¥��·������ �­�¤�������¤¡ �� µ ���£�¤� ±� ¢ ³ ´ ª£�¶�¥��·������ ¨�·�©�� �����¶��� � £�·� § ����£�¨� �� ¬��·�¤� § ����� ���­©�� �� ���¯ ����� ����� �£�¯ ��� ©��� �������·� �� � ���©�������� § ��¨����£� �¤��� �� �� ���� ��¤ �£� ¨�·�©�� §���� ¶­������� ´ ª£�¶�¥��·������ � ©������ ��� § � ��£��·�¤ §¯�¬¬©¯��� �£� � ©��� ¤�����§ �¤ �§ �·� �� �·��¯ ����­©�� �£�¶� �¶ �£� �� ��� ¢ ­��£�¶���� ���£ ���­ ©� ¢ ��¤�£�� �·������� �©© �£� ���­©�� �����£�� ´ �¶ �£� �� ��� �� � ¬�¸�©� ¢ �£�� �£��� ��� �¸���©¯ � ����­©�� �£�¶�� �� ����© � �� §��£ £��������© ��¤ ·������© ¤���������¡ ¢ �����¤©��� �¶ �£�

²�

Page 11: Nowak Wavelet

­�¤��©¯ ��� ¨�·�©�� ­��¤ �� �£� ���©¯��� ´ �� ¶��� ¢ ¶��� �©�����£� � �£�� �¸¬©��� �£� ��¤­�¤������ ��¤�¦����� �£�¶�� � �¹� �£�¶�¥��·������ � ©������ ��©¯ ��¤���©¯ ���� ���¬­�������©©¯ �������·� �£���£� �£�¶�¥·������ � ©��� �§ �·� ± ¢ �³ ´ �� ��¹� ­�� �¶ �£��� �¤��� �� �£� ¨�·�©��¥¤�� ��� � ©���� ¶��� � ¤�����§ �¤ ��¸� ´

�� � ������������ �� � ����� � ��� � �

�� �£�� ������� ¢ �¨� ¨�·�©��¥¤����� � ©���� ¶�� ����� ����·�© �� � � ��� ¤�����§ �¤ ´ ��¶��� ¤�����§¥��� �£� ��¨ ¨�·�©��¥¤����� � ©��� ¤������¤ �� £��¤©�   ����� ����� ¢ ¨� §����¯ ��· ��¨ � � ©��� §���¤ ��� ��­����� �¬¬��¸ ������� �� �£�   ����� ����� �� �£� ������­¤� �  �� ��� ´ ª­�£ �� �¬¬��¸ ��������� ®­��� �������§©� �� £ ��£ ª«  ´ ��¨�·�� �� ©�¨ ª«  ¢ �� �¤¤����� �� § ���� ����¯¢ �£� ¨�·�©�� ��¤���©��� ���� ������ �¶ �£� ������­¤� ����� ��� �©�� § ����¤ ¶��� �£� ������¬ ��¤��� �� �� ������ �¶�£� �¤��© �����¥¶��� �����© � ´ µ£� §��� �� �����©¥¤�¬ ��¤��� ��¤ ¢ £���� ¢ �� ®­��� ¤�� �­©� �� ����·� ´µ� �·������ �£ �� ¬��§ ©�� ¢ ¨� �����¤­�� � �����¤ � ©��� �£�� �¬ ������ �� �£� ��$���� " ��!��$��

�  ����� ´ µ£� ����� �� �£� �®­���¤ ������­¤� ����� �� ���¥������© �£�¥�®­��� ¤�����§­��¤ ´ � �����£� ¬��¬ ������ �¶ �£� ¨�·�©�� �����¶��� ��¤ �£� ���¥������© �£ �¥�®­��� ¤ �����§­���� ¢ ¨� �£�¨ �£���£� ¨�·�©�� �� �� ������ �¶ �£� �®­���¤ ������­¤� �� ��� ��� ­�§����¤ ����� ����� �¶ �£� ¨�·�©���� �� ������ �¶ �£� �®­���¤ �����© �� ´ �­��£������ ¢ �©�£�­�£ �£� ���©��� ���� ������ �¶ �£� �®­���¤������­¤� ����� ��� § ����¤ ����� ����� �¶ �£� ���©��� ���� ������ �¶ �� ¢ �£� § ��� �� � ���¬ ©� ���¥����� ¢ ��¤�¬��¤��� �¶ �£� �����© ´ ����¤ �� �£��� �§���·������ ¨� ¤���·� � ¨�·�©��¥¤����� � ©����£�� ����·�� ����� ��¤ �¤�­��� ¶�� �£� § ��� �� �£� ���©��� ���� ������ ´ µ£�� � ©��� ��¯ § � �¬¬©��¤ ��§ ��£ £��£ ��¤ ©�¨ ª«  ������� ´

� �� �����" � � ��$����! � ���� �� ��� �" ����!�� £��£ ª«  ¢ �£�   ����� ����� �� ¨�©©¥�¬¬��¸ �����¤ �� ��­����� ´ ��� �¸��¬©� ¢ �¶ �£� ª«  ��

� ¬�¸�© �� ������� �£�� ²�¤� ¢ �£�� �£� ���� ¬�¸�© ·�©­� �� ���� �£�� �£��� ����¤��¤ ¤�·�������¶��� �£� ���� �� ��¤ �£�   ����� ¤�����§­���� �� �¬¬��¸ �� ���©¯ ��­����� ´ �¶ �£� ª«  �� § �©�¨ ²�¤� ¢�£�� �£�   ����� ����� § ����� �� ¤�·���� ¶��� ��­����� �� �©©­������¤ �� � �� ´ ´ � ���� ¢ �� £��£ ª« ����� �� ¨� � �¯ ����� �£� � � ����� �� ��­����� ¨£��� ����� ¨ ��£ ����¤��¤ ¤�· ������ � ´ �� �¦��� ¢�£� ����� �� ���!��#�!��� �!��!� �� £ ��£ ª«  � � ¢ ��¤ �����®­���©¯ ��¬������� �¶ �����© ��¤ ������� ¶���©¯ ������£�¶��¨��¤ �� �£� ¨�·�©��¥¤����� ´µ� ¤���·� � ¨�·�©��¥¤����� � ©��� ¶�� £ ��£ ª«  � � ¢ ©�� ­� ���­�� �£�� �£� ����� �� �£� � 

������­¤� ����� �� ¨£��� ��­����� ¨ ��£ ����¤��¤ ¤�·������ � ´ ����¤ �� �£�� ���­�¬���� ��¤ �£�¶��� �£�� ��µ �� �� ���£�����© �����¶�������� ¢ �£� ·������� �� ���£ ¨�·�©�� �� �� ����� �� � � ��

²²

Page 12: Nowak Wavelet

�£� �¬����© ¤�� ��� ´ µ£�� �§���·����� ��¤ �®­����� � ´²� ¡ �­����� � ���¬©� ¨�·�©��¥¤����� � ©���¶�� �£�� £��£ ª«  ���­����� ´

� � � ���� � � � ��

��� ����� ´²¡

¨£��� � �� � � � ¶�� �·��¯ ¨�·�©�� �� �� ����� ��¤ � �� �£���� §¯ �£� ­��� ´ �� ¬������� ¢ � � ��¯ ���§ � ¹��¨� ¬������©¯´ �� ª������ �� ¥� ¨� �­����� � ���¬©� ¬�� ��¤­�� ¶�� ����� ����� � � ¤�����©¯ ¶����£� ����¯ �  ����� ´ µ£�� � ©������ ¬�� ��¤­�� ¢ ��©©�¤ � ©�� ��£� � ¢ �� �­�©���¤ £��� ´

���������

�� � �������� � ��� ���� �� �������� ���

»¼ ���¬­�� �£� � ¥���©� ¢ ² � � � � ¢ �� µ �¶ �£� � �  ������­¤� ����� ´� ¼ �¬¬©¯ ¨�·�©��¥¤����� � ©��� �� ´²¡ �� �£� ¨�·�©�� �� �� ������ �� �§���� �£� � ©����¤

�� �� ������ �� ´� ¼ ���¬­�� �£� ��·���� ��µ ­���� �� �� �§���� �£� ��¬��·�¤ ����� ��� �¶ �£� �� ��� � ´

� ©�����£� � �� ��� �©�� �� ¬��· ��­�©¯ ¬��¬���¤ � ©������ ���£�¤� ±² ¢ ²³ �� �£�� �� ������ �£� ������� �£�­�£ �� ¨��� ��¤�¬ ��¤��� �¶ �£� �����© �¶ �������� ��¤ ¤��� ��� ����­�� ¶�� �£� § ��� �� �£������ ´ µ£�� �©�����£� �� ®­��� �¦����·� �� £��£ ª«  ������� ´

��¨�·�� ¢ �£� ��­����� �¬¬��¸ ������� �� �£� ¤��� £�� � ��� �� ¤��¨§��¹ � ��¬ ����©©¯ �� ©�¨ª«  �¬¬ ©�������� ´ µ£� ���� �¶ �£� ������­¤� �� ��� �� ��� �®­�© �� �£� �����¥¶��� �� ��� � ´ µ£���� ¢ �£� ������­¤� ����� �� § ����¤ ´ �����¤�� � ¬ �¸�© ±� ³ � � ±� ³ � � ±� ³ ´ µ£� ¬�¸�© ·�©­� �� ���¤ ��§ � ­�§����¤ �¶ ��� �¸¬����¤ ·�©­� �� �®­�© �� �£� �����© ���¬����� � ±� ³ ´ µ£�� �� ��� �£� ���� ¶��  ����� ����� ´ µ£� �¸¬ ����¤ ·�©­� �¶ ±� ³ ��

� � ±� ³¡ � � �� �¡��� ��� �� �&

���& ��² � � ±� ³� �� � ¡� �� ±� ³� ��� � ¡ � �� � �� � ¡�� �� ±� ³���� � ¡ �� ´¡

¨£��� �� � ¡ ¤������ �£� ��¤���¤ � ����© ¶­������ �¶ �£� � ��� ¹ ��¤ �¶ ��¤�� � ±² ³ ´ �� ������© �£���¸¬����¤ ·�©­� �� ��� �®­�© �� �£� �����© ·�©­� � ±� ³ ´ ��¨�·�� ¢ �� �� � � � �� �&

� & ���¤� �� ������¯� � ±� ³¡ ���¤� �� � ±� ³ ´ ����� ¢ �£� ������­¤� ����� �� ��¯�¬������©©¯ ­�§����¤ ´� ¬��§©�� ������� �� ©�¨ ª« � ´ � �� ´ �©©­������� �£� ��¤­����� �� �������� �� ©�¨ ª«  � � ´

µ£� ª«  �� ���¬­��¤ �� �£� �®­���¤ §��¹���­�¤ �����© ©�·�© ��©���·� �� �£� ­�¤��©¯ ��� ��­�����

²

Page 13: Nowak Wavelet

����� ¬�¨�� � � ´ µ£� ���������� �� ¤����¤ ��

� ��¡ ���¸ ��¡ � ��� ��¡��¸ ��¡ � ��� ��¡ �� ´¡

¨£��� � �� �£� �����¥¶��� �����© ´ µ£� § ��� �� �£� �  ������­¤� ����� ��� ����������©¯ ��¤­������� �������� �� �£�¨� �� � �� ´ � ´ �� �£ �� ���� ª«  � ²� ©�� � �²�� ��� ¡ � ¤� ¢ ��¤ �£� �������� �¶�£� �����¥¶��� �����© �� � � � ���� ´ � ���­�� �¶ �£� ��¤­����� �� �������� ¢ �� �� �¶ �������� �� ��� ��©¯��¤­�� �£� ���¤�� �­��­������ ¤­� �� �£� ����� ¢ §­� �©�� �� ��¤­�� �£� § ��� ´ µ£� ®­������ �� º ��¨¤��� �£� § ��� �¦��� �£� ¨�·�©�� ��¤ ���©��� ���� ������ ¢ ��¤ ��� �� ����©¯ § � ����·�¤ � ���©© �£�� ��� �¶ �£� ¹�¯ ¬��¬ ������ �¶ ¨�·�©��¥¤����� � ©������ �� �£�� �£� ¨�·�©�� �� �� ������ �¶

¬ �©¯��� ��© �����©� ��� �¤������©©¯ ���� ´ �¶ �£� �����¥¶��� � �� ¬ �©¯��� ��© ¢ �£�� �£� ¨�·�©�� �� �� �������¶ � ��� �©© �¸���©¯ ���� ´ ��¨�·�� ¢ �� ������© ¢ �£� �¸¬ ����¤ ·�©­� �¶ ��·�� §¯ �� ´¡ ��� ��� § �¤�����§ �¤ §¯ � ¬�©¯��� ��© ��¤ £���� �£� �¸¬ ����¤ ·�©­� �¶ �£� ¨�·�©�� �� �� ������ �¶ �£� ����¯ �����©��� ��� ���� ´ µ£�� ����� �£�� �£� ¨�·�©�� �� �� ������ �¶ �£� ����¯ �����© ��� § ����¤ ´ µ£���¶��� ¢ �£�¨�·�©�� �� �� ������ �¶ �£� �  ������­¤� �� ��� ��� ��� ��©¯ �������­� ¤­� �� ���¤�� �­��­��������­��¤ §¯ �£� ����� ¢ §­� �£�¯ ��� �©�� § ����¤ ¶��� �£��� ��­� ·�©­�� ´ � ��� �©�� ���©¯��� �£�¨ � �£���£� ���©��� �� �� ������ �¶ �£� ������­¤� ����� ��� �©�� § ����¤ ´

�� ��� �£�� �£� § ��� �� �£� �  ������­¤� ����� ����¶���� ����©¶ �� § ��£ �£� ¨�·�©�� ��¤ ���©����� �� ������ ´ � ©�����£� � ¢ §���¤ �� � ��­����� ����� �¬¬��¸ ������� ¢ ¤� �� ��� ����­�� ¶�� �£ �� § ��� ´� ����·�� ¢ �£� § ��� �� �����©¥¤�¬ ��¤��� ´ �� £��£ ��������¯ �£��£ ª«  ¡ ������� �¶ �£� �� ��� �£� § ����� ���©�� �§ ©� ¢ ¨£����� �� ©�¨ ��������¯ �©�¨ ª«  ¡ ������� �£� § ��� �� �����¤���§ ©� ´ ����­�� �¶ �£������©¥¤�¬ ��¤��� ���­�� �¶ �£� § ��� ¢ �� �� ®­��� ¤�� �­©� �� ����·� ´ ���©© ¢ £�¨�·�� ¢ �£�� �£� ���© ��¤ ��������¯ ���¬������ ������� ���¬©� �¤¤���·� ��­����� ¨£���

����� ´ � ���� ¢ ��� � ��£� § � ���¬��¤ �� �¬¬ ©¯ �¸ ������ ¨�·�©��¥¤����� � ©������ ���£��®­�� �� ���£���¬����� ��¬�����©¯´ µ£��� ��� �¨� ¬��§©�� � ¨ ��£ �£�� �¬¬����£ ´ � ���� ¢ ¤­� �� �£� ­�¹��¨� ¢�¬����©©¯ ·��¯ ��� ¬£��� ¢ �£� ���­��­�� �¶ �£� ���© ��¤ ��������¯ ������ ��¯ ��� § � ¨�©© �­���¤ ¶��¨�·�©�� ���©¯��� �� �©© ´ ��� �¸��¬©� ¢ �¶ �£� ¬£��� ����©©���� ®­��¹ ©¯ �� �¬��� ¢ �£�� �£� ���© �� �����¯ �¸£�§ �� £��£ ¶��®­���¯ ���­��­�� �£�� �� ��� ���­��©©¯ � ��­���� �� �£� ¬£¯����© �§� ��� § ���������¤ ´ µ£� ¬���� �� �£�� � ¨�·�©�� ��¬����������� ��¯ ��� § � �� �� ����� ¶�� ��¬��������� ��¤���©¯� ��� �£� ���© ��¤ ��������¯ ������ �� �� �� ¶�� � �����­¤� ����� ´ µ£� �����¤ ¬��§©�� ���­�£ ���� �����­� ´ µ£���£�©¤��� �£� ���© ��¤ ��������¯ ������ ��¬�����©¯ ��¯ ����� ¤­�� ��·���¬£��� ¤���������� �� �£� ������­¤� ��������­����� �£�� ��� § � ·��¯ ¤����¤��� ´ ª��¬©� �¸¬ ��������£�·� § ��� ¬ ��¶����¤ �£�� �£�¨ �£�� �­�£ ¬£��� ¤���������� ��� § � ·��¯ · ���§ ©� �� ���­ ©���� �£�

²

Page 14: Nowak Wavelet

������­¤� ����� ´ µ� �·��¤ ¬£��� ¤���������� ¨� �­�� ��­¬©� �£� �£���£�©¤��� ¬ ��¶����¤ �� �£����© ��¤ �� ������¯ ������ ´ µ£� ���� ���­��© ¨�¯ �� ¤� �£�� �� �� §��� �£� �£���£�©¤ ¤�������� ���£� ���§���¤ ������­¤� �¶ ������¬ ��¤��� ���© ��¤ ��������¯ ¨�·�©�� �� �� ������ ´ µ£�� ©��¤� ­����£� §��¹ �� �£�   ����� ¬��§ ©�� ­�¤�� �����¤������� �� �£�� ¬�¬ �� ´µ£���¶��� ¢ �� ���§�� �£�� ¤�� �­©� ¬��§ ©�� ¨� ¬��¬ ��� � ��¨ ¨�·�©��¥¤����� � ©��� �£�� �¬ ������

�� �£� �®­���¤ ������­¤� ¢ ���£�� �£�� ������­¤� ¢ �� ��� ´ µ£� �®­���¤ � �����­¤� ¤��� �§ �¯� ����¥������© �£�¥�®­��� ¤�����§­���� ��¤ ��� § � ���� ����©¯ ����·�¤ �� �£� ¨�·�©��¥¤����� ´

� � �� �����" �� � � �!#��!���� ���#� �$��� � ����

���¹ ��� ¨ ��£ �£� �®­���¤ � �����­¤� ����� ¢ ������¤ �¶ �£� ������­¤� �� ��� ¢ �¦��� �¨� �¤·��¥����� ¨£��£ ��� �����¤ §�©�¨ ��¤ ¬��·�¤ ©���� �� �£�� ������� ´

»¼ µ£� ¨�·�©�� �� �� ������ �¶ �£� �®­���¤ ������­¤� ����� ��� ­�§����¤ ����� ����� �¶ �£�¨�·�©�� �� �� ������ �¶ �£� �®­���¤ �����© �� ´ ��� ­�§����¤ ´

� ¼ µ£� ���©��� ���� ������ �¶ �£� �®­���¤ ������­¤� ����� ��� �©���� ­�§����¤ ����� ����� �¶�£� ���©��� �� �� ������ �¶ �� ´ µ£� �¸¬ ����¤ ·�©­� �¶ ���£ ���©��� �� �� ����� ¤�¦��� ¶��� �£������¥¶��� ���©��� �� �� ����� §¯ � �������� �¦��� �£�� ¤��� ��� ¤�¬ ��¤ �� �£� �����© ´ � ���� ¢�£� § ��� ��� §� ����©¯ ����·�¤ ´

µ£� �®­��� �¶ �   ����� ���¤�� ·����§ ©� �� ¤�����§ �¤ §¯ � ���©�¤ ���¥������© �£�¥�®­��� ¤�����§­����±�³ ´ �� ¶� ©©�¨ � ¶��� � ´¡ �£�� �£� �®­���¤ ������­¤� ��

� ±� ³ � �� ±� ³��� �� ¡ � ��� ±� ³¡� � �� ±� ³��� �� ¡ � � �� ±� ³¡� �� ´� ¡

�®­�·�©���©¯¢ ¨� ��� �¸¬���� �£� �®­���¤ ������­¤� ��

� ±� ³ � �� ±� ³��� �� ¡ � �� � ±� ³¡� � �� ±� ³��� �� ¡ � �� � ±� ³¡�� � � ��� ±� ³��� �� ¡�� � � � ±� ³¡� � �� ±� ³��� �� ¡�� � � � ±� ³¡� �� ´�¡

¨£��� � � �� �� ²¡ ��¤ � � �

� �� ²¡ ��� ��¤�¬ ��¤��� ����¤��¤ ��­����� ������ ´ µ£� §���¹���¤®­�����¯ �� � ���¥������© �£ �¥�®­��� ���¤�� ·����§ ©� ¨ ��£ �¨� ¤������ �¶ ¶���¤�� ��¤ ���¥������©��¯¬���� ���� �� ±� ³�� � ´ µ£���¶��� ¢ �£� �®­���¤ � �����­¤� � ±� ³ �� ���¬©¯ � ���¥������© �£ �¥�®­������¤�� ·����§ ©� ���©�¤ §¯ � � ´

� ���� �£� ������� �¶ �£� ���¥������© �£�¥�®­��� ¤�����§­���� ±�³ ¢ �£� ���� ��¤ ·������� �¶ �£� � ±� ³ ��� º � � � ±� ³ � �� ±� ³ � � � �� ´ ¡

²�

Page 15: Nowak Wavelet

��� � � ±� ³ � � � � ��� ±� ³ � � � ¡ �� ´�¡

«��� �£�� �£� ���� �� § ����¤ ¶��� �£� ¤�����¤ ·�©­� �� ±� ³ ´«�¨ �����¤�� � ¨�·�©�� �� �� �����

��� � ��

� � ±� ³ � ±� ³ � �� ´�¡

«��� �£�� �� � �� ­��¤ �� ¤ ������­ ��£ �£�� ¨�·�©�� ���� ����� ¶��� �£� ¨�·�©�� �� �� ����� �� �����¥�¬ ��¤��� �� �£� ������­¤� ����� ±� ³ ´ � ���� �� ´ ¡ ¨� ��¤ �£� �¸¬����¤ ·�©­� �¶ �� � º� ± ��� ³ � �

�� � ±� ³ ��� ±� ³ � � � ¡ � �

�� � ±� ³�� ±� ³ �� ´�¡

¨£��� ¨� £�·� �¸¬©����¤ �£� ¶��� �£�� �£� ¨�·�©�� ¶­������ £�� �� ©���� ��� ·����£��� ������ ¢�£���§¯ ����£�©����� �£� �������� § ��� ���� � � ´ µ£�� �� ¢ �£� ¨�·�©�� §���� ¶­������� ��� ���������·��� �£� �������� § ��� ���� �� �£� �®­���¤ ������­¤� ¤��� ��¤ ¢ �£���¶��� ¢ �£� ¨�·�©�� ���� ������ �¶�£� �®­���¤ ������­¤� ����� ��� ­�§����¤ ����� ����� �¶ �£� ¨�·�©�� �� �� ������ �¶ �£� �����¥¶����®­���¤ �����© �� ´ µ£�� �£�¨ � �£�� �£� ¨�·�©�� ���� ������ �¶ �£� �®­���¤ ������­¤� ����� ���­�§����¤ ����� ����� �¶ �£� ¨�·�©�� �� �� ������ �¶ �£� �®­���¤ �����© �� ´«�¨ ¨� ¤���·� �£� ������� ¨�·�©��¥¤����� � ©��� �¶ �£� ¶��� � ´²� ¡ ´ µ� ������­�� �£� � ©��� ¨�

���¤ �� ����� ���� ¶�� �£� ·������� �¶ �£� � ¥�£ ¨�·�©�� �� �� ����� �¶ �®­���¤ ������­¤� �� ��� ´

��� � ��� � � � �� �� � � � ± �� � ³�� � � ����� � �� ± �� � ³��� �� �� � � ±� ³� � ±�³� � � ±� ³ � ±�³ � ��

�� � ±� ³�� ±� ³� �

� � � � ��

� �� ±� ³ ��� ±� ³ � � � ¡ �� ´²� ¡

¨£��� ¨� £�·� ­��¤ �� ´ ¡ ��¤ �� ´�¡ �� �£� ©��� ���¬ ´� ��­� ��� � � �� ¹��¨� �� ��§­�� ¢ ¤���¥§���¤ ����� ���� ¶�� � � ��� ��·�� ��¸� �� ª������ �� ¥� ¡ ¢

�� ­�§����¤ ����� ���� ¶�� � �� �� ���� � �¶ �£� ����¯ �®­���¤ ������­¤� ����� ����©¶ �� � �·�� §¯

�� �� � � � � ��

� �� ±� ³ � � ±� ³ � � � ¡

� � � � ����

� �� ±� ³ � ±� ³� � � �� �� ´²²¡

¨£��� ¨� £�·� ­��¤ �£� ¶��� �£�� �� � �� ±� ³ � ² ����� �£� ¨�·�©�� ¶­������� ��� ���£������© ´

²�

Page 16: Nowak Wavelet

«��� �£�� �£� � ����­� ·�©­� �¶ �£� ��­� ·������� � �� �� ��� ´ µ� ���­�� �£�� �£� ����� ���¤ ·�©­�¤� �� ��� ¶�©© § �©�¨ �£�� � ����­� ¨� ��¬ ©��� �� ´²²¡ ¨ ��£ �£� ���� ��§­��

� �� � �� � ��¸ ����

� �� ±� ³ � ±� ³� � � � � �� �� ´²¡

µ� ¶��� �£�� ����� ���� ¨� �­�� ���¬­�� �£� ����� ¬��¤­��� �¶ �£� �� ��� ¨ ��£ �£� �®­���¤¨�·�©�� §���� ¶­������� ´ �� ��©© �£�� ���¬­������ �£� ¤ ������� ¨�·�©�� �®­���¤ �����¶��� ��� ªµ ¡´µ£� �� ªµ �©�� ������ �� ��£�� �¬¬©�������� ¢ ��¤ � ¶��� � ©��� §��¹ �©�����£� �¸ ���� ¶�� ��� ���¥¬­������ ±³ ´ µ£� ���¬©�¸ ��¯ �¶ �£� �� ªµ ¶�� � � �� ��� ¨ ��£ ©����£¥� � ©���� ��� ��� ¡ � � � ¢ �­�� �©��£�©¯ ������� �£�� �£�� �¶ �£� ¶��� ��µ ´«�¸� �����¤�� �£� ���©��� �� �� ������ ´ µ£� � ¥�£ ���©��� �� �� ����� �� ���¬­��¤

��� � ��

� � ±� ³ � ±� ³ �� ´²¡

µ£� ��� �������� �� ­��¤ �� �·��¤ ���¶­���� ¨ ��£ �£� ���©��� ���� ������ �� ������¬��¤��� �� �£�������­¤� ����� ´ � ���� �� ´ ¡ ¨� ��¤ �£� �¸¬ ����¤ ·�©­� �¶ ��� º� ±��� ³ � �

�� � ±� ³ ��� ±� ³ � � � ¡ � �

�� � ±� ³�� ±� ³ � � � ��

�� � ±� ³� �� ´²� ¡

� ���� ¢ ���£ ���©��� ���� ����� �� § ����¤ ¶��� �£� �����¥¶��� ���©��� �� �� ����� �� � � ±� ³�� ±� ³ §¯ ����¬©� �£�¶� �� �£� ���� �®­�© �� �£� ��������

� � � � ���

� � ±� ³� �� ´²�¡

��� � � ¥���©� ¥¤ ��µ��

�� ±� ³ � � �� ´² ¡

� ���� ¢ � � ��� ��� � ¤��� ��� ¤�¬��¤ �� �£� �����© �� �£� ¬ ������� �¶ �£� ���©��� ¶­������ ´ µ£�

§��� � ��©¯ ¤�¬ ��¤� �� �£� ����� ©�·�© � � ��¤ �£� �­�§�� �¶ ���©�� �� �£� �� µ ¢ ��¤ ��� ����©¯ § ��­§������¤ ¶��� �£� ���©��� ���� ������ ´ «��� �£�� �£�� ¬�� ��¤­�� ¶�� ����·��� �£� § ��� �� ��� �©���� �£� �¬����©¥¤����� §��� ���������� ¤�����§ �¤ �� ±� ¢ ³ ´ µ£� �·���©© �©�����£� ¶�� ����� ����� �£�­�¤��©¯ ��� �����© � ­���� �£� �®­���¤ ������­¤� ����� � �� � �·�� §¯ �£� ¶� ©©�¨ ��� �©�����£� ´

²

Page 17: Nowak Wavelet

���������

�� � �������� � ��� ���� �� ����� � �������� ���

»¼ ���¬­�� �£� � ¥���©� �� µ ��¤ �� ªµ �¶ �£� �®­���¤ ������­¤� ����� ´� ¼ ���� ����� ���� �¶ �£� ·�������� � �� �¶ ���£ ¨�·�©�� ���� ����� ��� �����¤ ��� �� �� ´²¡ ´� ¼ � �©��� �£� ¨�·�©�� ���� ������ �����¤��� �� � ´²� ¡ ´� ¼  ���·� �£� § ��� ¶��� �£� ���©��� ���� ������ ��� §¯ �­§�������� � � ��

� �� � �

¶��� ���£ ´� ¼ ���¬­�� �£� ��·���� ��µ �¶ �£� � ©����¤ ¨�·�©�� ��¤ ���©��� �� �� ������ �� �§����

�� ����� ��� �¶ �� ´� ¼ µ�¹� �£� ¬ �¸�©¥§¯¥¬ �¸�© �®­���¥�� �� �¶ �£� ���­©� �� �§���� �� ����� ��� �¶ � ´

µ£� ���� �¤·������ �¶ �£� � ©�����£� �� ¢ ���¬���¤ �� � ©�����£� � ¢ �� �£�� �� ����­��� ¶�� �£�§ ��� �� �£� ¤��� ´ µ£�� ��� ¬��· �¤� ��¬��·������ �� �� ��� ®­�©��¯ ��¤ �������� �� �£�¨� �� ª������� ´

�� � ���" ���!� � �

���£ � ©�����£� � ��¤ � ©�����£� �� ��®­��� �£� ­�¤��©¯ ��� ����� ¬ �¨�� � � ´ �� � ���©¥¨��©¤�¬¬©������� ¢ ¨� �¯¬���©©¯ ¤� ��� ¹��¨ � � � � �����¢ ��¤ �� �­�� § � ����� ���¤ ¶��� �£� ¤��� ����©¶ ´ ����¬©� ����� ���� �� §���¤ �� �£� ¶� ©©�¨ ��� ���­���� ´ µ¯¬���© �  ������ ���©­¤� �� ��¬�¯ �������¶ ��� �­���¤� �£� ¬������ ´ �¶ ¨� �����¤�� �£� �®­���¤ ������­¤� �  �� ��� ¢ �£�� �� �­�£ ��¬�¯������� �� ±� ³ � � ��¤ �£� �·����� ¬ �¸�© ·�©­� �� � � ¢ �����¤��� �� �� ´ ¡ ´ � ���� ¢ ���¥£�©¶ �¶ �£����� �¶ �£� �®­���¤ ¬�¸�© ·�©­�� �� �£� ������ �­���¤� �£�� ¬������ ¬��· �¤�� ­� ¨ ��£ � ·��¯ ��©��§ ©������ ���� �¶ � � ´

� ���� �#�!�����!� ������!�

� � ����¤ �� ª������ � �� ¢ ¨�·�©��¥¤����� � ©������ §���¤ �� �£� ����¤��¤ �� µ �� �£�¶�¥·������ ´ª£�¶�¥��·������ � ��£�¤� ��� ¬��·�¤� § ����� ¬ ��¶������� ±� ¢ ³ ´ � ©�£�­�£ ¶��� �©�����£� � �¸ ��� ¶���£�¶�¥��·������ �� µ� ¢ �£��� ���£�¤� ��� ��� ¤�����©¯ �¬¬©���§ ©� �� �£� �� ªµ ­��¤ �� � ©�����£��� ´ µ£���¶��� ¢ �� �£�� ¬�¬ �� ¨� ��¹� � ¤�¦����� �¬¬����£ ´  ���©© �£�� �£�¶�¥��·������ � ©������ ��� § ���£ ��·�¤ §¯ �¬¬ ©¯��� �£� � ©��� �� �©© ¬ ����§ ©� �£�¶�� �¶ �£� �� ��� ¢ ­��£�¶���� ���£ ���­©� ¢ ��¤ �£���·������� �©© �£� ���­©�� �����£�� ´ � �£�¶�¥��·������ ·������ �¶ � ©�����£� �� �� ¬ ����§ ©� ­���� �£�����¬©� �¤�� ´ ��¨�·�� ¢ �£ �� �¬¬����£ �� ·��¯ ���¬­�������©©¯ �������·� ¶�� ©���� �� ���� �¨� £�·� ��

²�

Page 18: Nowak Wavelet

��¬ ��� � ©�����£� �� � ��� �� ¢ ¨£��� � �� �£� �­�§�� �¶ ¬ �¸�©� �� �£� �����¡ ´ µ£���¶��� ¨� ¬��¬ ����� ��� ��� �" ����� �£�¶�¥��·������ ��£��� ´ �� �¬¬©¯ � ©�����£� �� �·�� �­�� � ���©© ����� �¶ �£�¶�� ¢­��£�¶���� ���£ ���­©� ¢ ��¤ �£�� �·������� �£�� �����£�� ´ ��� �¸��¬©� ¢ ¨� ��� �£�¶� �£� �� ��� ©�¶���¤ ���£� ¢ ­¬ ��¤ ¤�¨� ¢ ­¬ �� � ¬�¸�© ©� ������� �� ���£ ¤�������� ¶�� � ����© �¶ �� � ²¡� �£�¶��¤������ ´ ����� ¢ �©© �£ �¶�� ��� ������¤ �­� �� � ����­©�� ¶��£��� ´ � £�©� �£�� ¤� �� ��� �­������� �£�¶�¥��·������� ¢ �� ¤��� ��¤­�� �£� ¤�¬ ��¤���� �¶ �£� � ©��� �­�¬­� �� �£� �©������� § ��¨��� �£� ¤�����¤ ¨�·�©��� ´ �� �­� �¸¬ ���� ���� �� ª������ � ¢ ¨� ­��¤ � � ´ � ���©� ��¬��·����� �� ¬����¬�­�©®­�©��¯ �� �®­���¤ ����� ¨�� �§���·�¤ ¨ ��£ ©����� ·�©­�� �¶ � ¢ ���©­¤��� �£� ¶­©© �£�¶�¥��·�������� µ ´

� � ���������� �£�� ������� ¨� ���¬��� �£� �¨� ¨�·�©��¥¤����� � ©������ �©�����£� � � ¬ ��¶�������� �� ���©

� � ��¤ �¯��£���� ¤��� ´ ��������� �� ¶� �­��¤ �� ©�¨ ª« � ¨£��� �£� �¨� � ©���� ¬��¤­�� ������ ¥����©¯ ¤�¦����� ���­©�� ´ �� £��£ ª« � ¢ ¨£��� �£�   ����� ����� �� ¨�©©¥�¬¬��¸ �����¤ �� ��­����� ¢�¸¬�������� £�·� �£�¨� �£�� �£� �¨� �©�����£� � ¬ ��¶��� �®­�©©¯ ¨�©© ´ µ£���¶��� ¢ ¨� £�·� ������©­¤�¤ £��£ ª«  �¸��¬©�� £��� ´�� �­� �¸¬ �������� ¨� £�·� ­��¤ �£� � ��� ¨�·�©�� ¢ �©�£�­�£ �£� �©�����£� � ¨� ¤���·�¤ ��¯ § �

­��¤ �� ����­������ ¨ ��£ ��¯ ¨�·�©�� §���� ´ �� £�·� ¶�­�¤ �£�� �£� � ��� ¨�·�©�� ¤��� � § ����� � �§�� ¬�����· ��� ��� ����� ¤����©� �­�£ �� ���©© ·���­©�� ���­��­�� ���¬���¤ �� ��£�� ¨�·�©��� �����©©�£� ¤���­����� �� ª������ �� �¥� ¡ ´ �� �©© �¸¬ �������� ¢ �£� �£���£�©¤ ¬�������� � � ���� ª���������¥� ¡ ¢ ��¤ ¨� ­�� �£� �¬¬��¸ �����©¯ �£�¶�¥��·������ � ©������ ��£�� � ¨ ��£ � � ���� ª������ �� ¥� ¡§���¤ �� �£� � � � ���©� ���� �� µ ´ �­��£������ ¢ �� �©© �� ��� ���¬������� ¢ �£� ¨ ��¤�¨ ��¤ ©�·�©�¶ �£� �� ��� ��������¯ ¤��¬ ©�¯ �� �������� ��¤ �� �£���� �� ¬��· �¤� �£� § ��� · ��­�© ®­�©��¯ ¶�� �£����� ���© ����¯ �� ��� �� ���£ ���� ´

� �� �"� �� � � ��!����� �!� � ����

�� �£�� �¸��¬©� ¨� ������ �£� ¬ ��¶������� �¶ §��£ ¨�·�©��¥¤����� � ©������ �©�����£� � �� ���� ��¶ �������� ��¤ ����� ��¤­����� ´ µ£� ���­©���¤ ����� �£�¨� �� � �� ´ � ��¡ �� ­��¤ �� �£�� �¸��¬©� ´���¬©�¸ ��­����� ¨£��� ����� �� �¤¤�¤ �� �£�� �� ��� ´ µ£� ������­¤� �¶ �£� ����¯ �� ��� �� �£��  ����� ¤�����§­��¤ ��¤ �� �£�¨� �� � �� ´ � �§ ¡ ´ � ©�����£� � � ��¤ �� ��� �¬¬©��¤ �� �£� � �����­¤� �¶�£� ����¯ �� ��� ´ �� �£�� �¸��¬©� ¢ �£� ����� ¬�¨�� � � ¨�� ���­��¤ �� § � ¹��¨� �� § ��£ �©�����£� � ´µ£� ª«  �� ���¬­��¤ �� �£� �®­���¤ §��¹���­�¤ �����© ©�·�© ��©���·� �� �£� ­�¤��©¯ ��� ��­���������� ¬ �¨�� � � ¢ ��¤ �� �£�� ���� ª«  � ¤� ´ µ£� � ©����¤ ������ ���­ ©���� ¶��� � ©�����£� � ��¤

²�

Page 19: Nowak Wavelet

� � ��� �£�¨� � �� ´ � ��¡ ��¤ �¤¡ ¢ ���¬ ����·�©¯´ µ£� · ��­�© ®­�©��¯ �¶ �£� �¨� � ©����¤ ������ �� �­�£§ ����� �£�� �£� ����¯ ����� �� �§ ¡ ´ µ£� �������� �� �£� ����� �� ���� �� ���¬­��¤ §¯

� �� � � � �� � � � �

�� ´²¡

¨£��� � � ��¤ � � ��� �£� ���� ¬�¸�© ·�©­�� �� �£� ¤ ��� ��¤ �£� §��¹���­�¤ ¢ ���¬ ����·�©¯´ �� �£������ ¢ �£� �������� �� ��­�£©¯ ²�� § ����� �� �£� ���­ ©� �¶ � ©�����£� �� ���¬���¤ �� � ©�����£� � ´ª�� �©��©¯¢ �£� �­� �¶ �®­���¤ ¬�¸�© ������ �� ���� �£�� �� ©�¨�� ¶�� � ©�����£� �� ���¬���¤ ��� ©�����£� � ´µ� �§���� � ���� ���¬©��� ­�¤������¤��� �¶ �£� ¬ ��¶��� ����� �¶ �£� �¨� �©�����£� � ¢ �£� �¸¥

¬ ������� �§ �·� ¨�� ��¬ ����¤ �·�� � ����� �¶ ª« � ´ �� ���£ ª«  ¢ �£� ²� ��¤�¬��¤��� ����©� ¨������¤­���¤ ´ � �� ´ � ��¡ ¤�¬ ���� �£� � ��� �®­��� ����� �� ª� ¡ �� � ¶­������ �¶ �£� ª«  �¶ �£� ����¯�� ��� ´ � ��� ¢ �£� � ª� �� ���¬­��¤ §¯ ��¹��� �£� �·����� �¶ �£� �­� �¶ �®­���¤ ¬�¸�© ������ �·���£� ²� ����©� �� ���£ ª«  ´ µ£�� �£�¨ � �£�� § ��£ � ©�����£� � � ��¤ �� ����������©¯ ��¤­�� �£� ������·�� � ¨ �¤� ����� �¶ ª« � ´ µ£� � ª� ¬ ��¶������� �¶ � ©�����£� �� �� �©��£�©¯ § ����� �£�� �£�� �¶� ©�����£� � ¢ ��¬ ����©©¯ �� ©�¨ ª«  ´ � �� ´ � �§ ¡ �£�¨ � �£�� �£� �������� �� �­�£ £��£�� �� �£� ������¬�� �����¤ §¯ � ©�����£� �� �� ©�¨ ª«  ´

� � �� �"� �� � � �� � ����� �£�� �¸��¬©� ¨� �¸�� ��� �£� ¬ ��¶������� �¶ �£� � ©������ �©�����£� � ¨ ��£ ���© � � ¤��� ´ µ�

���­©��� � ©�¨ ª«  �  ����� ¨ ��£ � ¹��¨� ���­�£� ¨� £�·� ��¹�� � £��£ ª«  ����� ¢ �¤¤�¤���¬©�¸ ��­����� ¨£��� ����� �� � � � ¡ �� �� ¢ ��¤ ���¬­��¤ ��� ������­¤� ´ µ£� ���­©���� ����� ��� ©�¨ ª«  � � ����� ¨ ��£ �   ����� ¤�����§­���� ´ µ£� ����� ©�·�© ¨�� �£���� �� �£�� �£� ���­©��������� ¨�� ��� �©�� �� ©�¨ ª«  ©�·�©� ����­�����¤ �� ¬������� ´ �� �£�� ���� ¢ �£� ª«  �� �£� ©�¨��������¯ ����¯ ������¡ ������ �¶ �£� §���� �� �¬¬��¸ �����©¯ ¤� ´ µ£� £��£ ��¤ ©�¨ ª«  ��������� �£�¨� �� � �� ´ ��¡ ��¤ �§ ¡ ¢ ���¬ ����·�©¯´µ£� ©�¨ ª«  ����� ¨�� � ©����¤ ­���� §��£ �©�����£� � ¢ ��¤ �£� ���­©�� ��� �£�¨� �� � �� ´ ��¡

��¤ �¤ ¡ ´ µ£� ����� ¬ �¨�� � � ¢ ��®­���¤ §¯ §��£ �©�����£� � ¢ ¨�� ·��¯ ���­����©¯ ����� ���¤ ¤�����©¯¶��� �·����� �®­���¤ ¬�¸�© ·�©­� �� �£� ©�¨��¥©�¶�¥£��¤ ������ �¶ �£� �®­���¤ ������­¤� �� ��� ��£������� �­���¤� �£� ¬������¡ ´  ���©© ¢ �£� ����·����� ¶�� �£�� ����� ��� ��·�� �� ª������ �� ¥� ´ «����£�� § ��£ �©�����£� � ��¤­�� �£� ����� ����������©¯¢ ��¤ �£� �������� �¶ �£� �� ��� ¬��¤­��¤ §¯� ©�����£� �� �� £��£�� �£�� �£�� �¶ � ©�����£� � ´ µ£�� �� ��¬ ����©©¯ �������§ ©� ¨£�� �£� ¤�¦�������§ ��¨��� �£� £��£ ª«  �� ��� ��¤ �£� � ©����¤ ������ ��� ���¬���¤ �� � �� ´ � ´

²�

Page 20: Nowak Wavelet

µ£� �¸¬ ������� ¨�� ��¬ ����¤ ²�� ��� �� ¢ ¨ ��£ ��¤�¬ ��¤��� ������ �� ���£ ���� ´ µ£� ���� �©���¤�·����� �­� �¶ �®­���¤ ¬�¸�©� ������ ¨��� ² ��� ¶�� �£� ����¯ ������­¤� ����� ¢ � ��� ¶�� �£� � ©����¤����� ¬��¤­��¤ §¯ � ©�����£� � ¢ ��¤ � �� ¶�� �£� � ©����¤ ����� ¬��¤­��¤ §¯ � ©�����£� �� ´ µ£���­� ����� ¬ �¨�� ¨�� � � � � ��� ´ µ£� ���� ·�©­� �¶ �£� ���� ���¤ ¬�¨�� �·�� �£� ²�� ����©� ¨���� � � ��� ��¤ �£� ����¤��¤ ¤�· ������ ¨�� ² �� ´ � ���� ¢ �£� ����� ���� ¬��¬ ���¤ �� ª������ �� ¥��� ·��¯ ��©��§ ©� ´

�� �� �"� �� � � ��� ��� �� � ����� �£�� �¸��¬©� ¨� �¸�� ��� �£� ¬ ��¶������� �¶ �£� � ©������ �©�����£� � ¨ ��£ ���­�© ©�¨ ª«  � �

¤��� ´ µ£� ¤��� ¨��� ��®­���¤ ¨ ��£ � ²´� µ��©� ������� ª¯���� �������© � ©������ � �¤���© ª¯���� � ¢��­¹��£� ¢ � �¡ �®­ �¬¬ �¤ ¨ ��£ � �£�ª¬��¤ ���¤����� ´ � �� ´ � �£�¨ � �£� ���� ���© ��¤ � ©����¤ ������ ´µ£� ����� ¬ �¨�� � � ¨�� ����� ���¤ ¶��� �£� ���� ¬�¸�© ·�©­� �� �£� ������� �¶ �£� �®­���¤ ������­¤������ �­���¤� �£� ¬������� £��¤ ´ µ£� ª«  �� �£� ©�¨ ��������¯ ������� �¶ �£� §���� �� �¬¬��¸ �����©¯�¤� ´ ���£ �©�����£� � ����� ����������©¯ ��¤­�� ���¤�� �­��­������ ¤­� �� ����� ¨ ��£�­� ©��� �¶�� ��� ¤����© ´ �­��£������ ¢ �£� �������� �¶ �£� �� ��� ¬��¤­��¤ §¯ � ©�����£� �� �¬¬ ���� �­¬ ������� �£�� �¶ � ©�����£� � ¢ �� �¸¬ ����¤ ´µ£� ������ �¶ �������� � � �¡ ��¤�����¤ §¯ �£� £��£ ©��£��¤ �������©� �� � �� ´ � �§ ¡ �� ­��¤ �� ������

�£� �������� �¶ �£� �¨� � ©����¤ ������ ´ µ£� �������� �� �£� ����� �� ���� �� ���¬­��¤ §¯

� �� � � � �� � � � �

�� ´¡

¨£��� � � �� �£� � ��� ¬�¸�© ·�©­� �� �£� §���£� ������ �­����� ¤�¨� �£� � �¤¤©� �¶ �£�  � � ¢ ��¤� � �� �£� � ��� ¬�¸�© ·�©­� �� �£� §��¹���­�¤ �¶ �£�  � � ´ �� �£�� ���� ¢ �£� �������� �� �£�  � � ����­�£©¯ �� §����� �� �£� ���­©� �¶ � ©�����£� �� ���¬���¤ �� � ©�����£� � ´

� � � � ���� ����� ��� ������ ���� ��� £�·� ¬�������¤ �¨� ¨�·�©��¥¤�� ��� � ©������ ���£�¤� ¶�� ����� ����·�© �� � � ´ �� £��£ ª« 

���­������ ¢ �£�   ����� ����� ��£����� �� �  ������­¤� ������ �� ¨�©©¥�¬¬��¸ �����¤ �� ��­�����¨£��� ����� ´ � ©�����£� � ¬��· �¤�� � ���¬©� ��¤ �¦����·� ����� ����·�© ���£�¤ ¶�� �­�£ ����� ´ ��©�¨ ª«  ¢ �£� ��­����� �¬¬��¸ ������� �� �� ©����� ·�©�¤ ��¤ �£�   ����� ����� £�� �¨� ¤����¤����¦���� �£� ���¤�� �­��­����� �¶ ¬ �¸�© ·�©­�� ��¤ �£� ����� ¤­����� �¶ � �����©¥¤�¬ ��¤��� § ��� ´ µ£�§��� ��� ����������©¯ ��¤­�� ����� �������� ´ µ� ¤��© ¨ ��£ �£�� ���� ���¬©�����¤ ���­����� ¢ ¨�£�·� ¤���·�¤ � ¨�·�©��¥¤����� � ©��� �£�� �¬ ������ �� �£� �®­���¤ � �����­¤� �� ��� ´ � ©�����£� ��

Page 21: Nowak Wavelet

�¸¬©���� �£� ­��®­� ¬��¬ ������ �¶ �£� ¨�·�©�� �����¶��� ��¤ �£� ���¥������© �£� �®­��� ¤�����§­������ ����·� ����� ��¤ § ��� ¶��� �£� �®­���¤ � �����­¤� �� ��� ´µ£� ���¬­�������© ���¬©�¸ ��¯ �¶ §��£ �©�����£� � �� � �� ���© ´ � ©�����£� � ��¯ § � ��¬©������¤

¨ ��£ �£� ¶��� �� µ ��®­����� � �� � � ¡ �¬ �������� ¶�� � � �� ��� ¢ ¨£��� � ���£� ©����£ �¶ �£� � ©���� �� �£� �� µ � ©��� §��¹ ´ � ©�����£� �� ��¯ § � ��¬©������¤ ¨ ��£ �£� ¶����� µ ��¤ ¶��� �� ªµ ´ µ£� ¶��� �� ªµ ±�³ ��� § � ���¬­��¤ �� � ��� ¡ � � � �¬ �������� ¢�©��£�©¯ ���� �£�� �£� �� µ ¢ ��¤ �� �£� ���� ���¬­�������© §­�¤�� �¶ � ©�����£� �� ´

�� £�·� ¤����������¤ �£� �­¬����� ¬ ��¶������� �¶ � ©�����£� �� ¢ �� ���¬������ �� �£�� �¶ � ©¥�����£� � ¢ �� ©�¨ ª«  � � ¨ ��£ ���­©������ ��¤ ���© ¤��� ´ ��¨�·�� ¢ �� � �­©� �¶ �£­�§ ¢ ¨� £�·�¶�­�¤ �£�� �£� �¨� �©�����£� � ¬��¤­�� ��­�£©¯ ��� �©�� ���­©�� �¶ �£� ª«  �� �£� ����� ��� ������ �¶��������¡ �� ������� �£�� ²�¤� ´ µ£�� ��� § � ��¶����¤ ¶��� �£� � �� ´ � �§ ¡ ¢ ¶�� �¸��¬©� ¢ ¨£��� ¨� ���·��¯ ©���©� ©��� �� �������� �� ª« � �§�·� ²�¤� ´ µ�¤�¯¢ ���� �©�� ���© �¬¬©�������� �¶ � � �¬ ����� ����©���·�©¯ £ ��£ ª« � ´ ��¨�·�� ¢ �� ¤���­���¤ �� �£� ����� ¤­����� ¢ £��£ ����©­���� � � ��¯ § ���� �¶��� ����� ��¤­����� ���£�¤� �­�£ �� � ©�����£� �� ´ � ���� ¢ �£� �¤·������ �¶ � ©�����£� �� �� �£���� ��� § � ­��¤ �� ���� £��£ ��¤ ©�¨ ª«  ������� ���­������ ´ µ£� ��©¯ �¤·������ �¶ � ©�����£� � ���£� £ ��£ ª«  ���� �� �£�� ��� ���¬©�¸ ��¯ �� �©��£�©¯ ©�¨�� �£�� �£�� �¶ � ©�����£� �� ´��·����������� ��� ­�¤�� ¨�¯ �� ������ �£� ¬ ��¶��� ���� �¶ �£� ¬��¬���¤ �©�����£� � �� ��·���©

� � �¬¬©�������� ¢ ���©­¤��� ¶­�������© � � ¢ �¯� ���¤��© ¬ ��¶­���� ��­¤��� ¢ ��¤ �������� �����������������¬£¯ �� � ¡ ´ � � ¬��·�¤�� �� ����� �¶ �£� ·���­©�� ���­��­�� ¨ ��£�� �£� §���� ±�³ ´ µ£����­ ©�� �¶ �£�� ¬�¬ �� £�·� § ��� �¬¬ ©��¤ �� � � �� ��¬��·� �£� · ���§ �©��¯ ��¤ �������� �¶ ���©© ·������¤ �������� ±� ³ ´

������ ���������µ£� �­�£�� �£��¹� � �� ª��§ ��� ��¤ µ�� ���¬ �� ¶�� �£��� £�©¬ �� ��®­����� �£� ¤��� ��¤ ¶�� ���¯����­©����� ���·��������� ��¤ � � ´ ����� ����£�� ¶�� £�� ���¬ ������� �� �£ �� ��·���������� ´ µ£��­�£�� �©�� �£��¹� �£� ����¯��­� ��·��¨��� ¶�� �£��� ·��¯ £�©¬ ¶­© �������� ��¤ �­��������� ´

���������

±²³ � ´ � ´ ���¤ ¢ � ´ � ´ � ����¹ �©© ¢   ´ � ´ � ­©¹��� ¢ ��¤ � ´ � ´ ª���¯� ¢ ��£¯����© �  ¤��¹��¬ ¤��� ¢�� � � ��! � � ���! � �"�� �¢ ·�© ´ ¢ ¬¬ ´ ²�� ¢ ²��� ´

±³ ª ´ � �� ¢ � ´   ��£��� ¢ ��¤ � ´ ��­�§ �© ¢ �� �� �������� �¶ ���¬���© ����©­���� �� ¶­�������© � � ¢�� ��! � � ���! � � �� �¢ ·�© ´ � ¢ ¬¬ ´ ²� ¢ ²��� ´

²

Page 22: Nowak Wavelet

±³ � ´ � ´ �¤�©����� ¢ � ´ � ´ ������ ©�¯¢ ��¤ � ´ � ´ � ¶��¶�� ¢ �� �����©¥��¥����� ��©�§������ ¬�� ��¤­��¶�� «�  ������� �¯���� � ¢� � �� � � ��� �¢ ·�© ´ ²²¢ ¬¬ ´ ²��� ²�� ¢ ²��� ´

±� ³ � ´ � ´ �¤�©����� ¢ � ´ � ©�·�� ¢ � ´ � ��¤¯¢ ��¤   ´  �¤������ ¢ �µ£� ��������� �����©¥��¥����� ������� «�  ������� ¢� � ��! � � ���! � � �� �¢ ·�© ´ ¢ ¬¬ ´ ��� ²� ¢ ²�� ´

±�³ � ´ �­¤§ � ������� ��¤ ª ´ ���� ¢ �µ£�   ����� ¤�����§­���� �¶ ����¯ � � ¤��� ¢� � ��! � � ���! �

� �� �¢ ·�© ´ � ¢ ¬¬ ´ � ²��� ²� ¢ ²��� ´± ³   ´ � ´ ���¹�©��� ¢ �����­������ �¶ �����© ����������� �� �£� ¬������� �¶ ����� �� �  �� ���� ¢�

� �� � � ��� �¢ ·�© ´ ² ¢ ¬¬ ´ � ¢ ²��� ´±�³ � ´ � ���·�¹ � ¢ �«���� �� � � ¢� � ��! � � ���! � � �� �¢ ·�© ´ ¢ �� ´ ¢ ¬¬ ´ ������� ¢ ²�� ´±�³ � ´   ´ � �����£ ¢   ´ � ´ � ��¹�©��� ¢ ��¤ � ´ � ´ � ����¹�©© ¢ �«���� ��¤ � ©������� �� ��������

��������� ������� ¢� � �� � � ��� �¢ ·�© ´ ² ¢ ¬¬ ´ �� ��� ²¢ ²��� ´±�³ � ´ � �� �§��¯ ��¤ � ´   ´ ª� ��£ ¢ ��� ­�§����¤ �����©¥��¥����� ����� ����­�� ¶�� ��������

��������� ������ ¢� � �� � � ��� �¢ ·�© ´ � ¢ ¬¬ ´ ²���� ²��� ¢ ²�� ´±²�³ � ´ � ´ � �©©�� ��¤ �´ � ´ ����¬£ ¢ �µ£� ­�� �¶ ¬ �¨�� �� ���� �� ¬ ��¶��� ®­��������·� ���©¯��� ��

©�¨ ª«  ������ ¢� � ��! � � ���! � �"�� �!� ¢ ·�© ´ ²²¢ ¬¬ ´ ²�� ²� ²�� ¢ ²�� ´±²²³ � ´ � ´ � ������� ¢ � ´ � ´ µ£������� ¢ ��¤ � ´ � ´ ������ ¢ ���¬��·�¤ ¤������§ �©��¯ �� ©�¨ �����©¥

��¥����� ����� �������� ��������� ������ §¯ ����� �¶ � ¬£���¥��������¤ ���© ��������­����� ¢�� �� � � ��� �¢ ·�© ´ ² ¢ �� ´ � ¢ ¬¬ ´ � ²�� ²� ¢ ²��� ´

±²³ � ´ ���·�� ¢ � ´ �­ ¢ � ´ ���©¯¢ ��¤ � ´ � �����©© ¢ �� �©������ �  ������ �� �£� ¨�·�©�� �����¶���¤����� ¢� � ��! � � ���! � � �� �¢ ·�© ´ ²¢ ¬¬ ´ ����� ¢ ²�� ²´

±²³ � ´ � �©��� ¢ µ ´ ��¤�� ¢ � ´ ������¯¢ � ´ �¤�� ¢ ��¤ � ´ ��¨���£ ¢ ���·�©�� ¤�������� �¶ ¶­�������©� � ¤��� ¢� �� �������� �! � �����! � �!� � ������ ¢ ·�© ´ � � � ���� ¢ ²�� ´

±²� ³   ´ µ ´ ������§ ©� ��¤   ´ � ´ � ��¹�©��� ¢ �� £¯ ��� ¤��� ��� ¨��¹ �� �  ����� ��������­�¥���� ¢� � ��! � � ���! � � �� �¢ ·�© ´ ²� ¢ ¬¬ ´ ²�� ¢ ²��� ´

±²�³ � ´ «�©© ¢ � ´ « ��£��­�� ¢ ��¤ � ´ � ���·�¹� ¢ �����¤¯�� ¤�������� �� �������� ��������� ����¥��� ¢� ���� ���! � � �� � �"�� �!� ¢ ·�© ´ ²� ¢ �� ´ ¢ ¬¬ ´ ²��� ² ¢ ²�� ²´

±² ³ ª ´ � ´   ��� ¢ �ª���������© ¬��¬ ������ �¶ � ����¥¨�·� ¬©­� ���¤�� ����� ¢� � �� � ����� ���� � � �¢·�© ´ � ¢ ¬¬ ´ ²��� ²�� ¢ ²��� ´

±²�³ � ´ � ´ ����£� ¢ ������¤������© §���� ��� �¬��� �© §���� ¶�� ¤��� ���¬������� ��¤ ¶�� ����������©����� ����� ¢� �� � �!� ��"� � � ��" �!�� !������ ¢ ·�© ´ ²¢ ¬¬ ´ ²��� ²²� ¢ � �� ´ ²�� ´

±²�³ � ´ ������©� ��¤ � ´ ��·� ���· � �� ¢ �������� �!� �$���!� ����!� ´ ���©�¨��¤ � ©�¦ � ¢ « � º � �������¥� �©© ¢ ²��� ´

Page 23: Nowak Wavelet

±²�³ � ´ ª����� ��¤ µ ´ «�­¯�� ¢ �������� �!� ����� � �!�� ´ ��©©�©�¯¢ �� º ��©©�©�¯¥���§��¤�� ¢²�� ´

±�³ � ´ � �­§ ��£��� ¢ ��! ����$��� �! �������� ´ �£�©�¤�©¬£�� º ª��� ���ª¥«ª� ª����� �� �¬¬©��¤� ��£������� ¢ �� ´ ²¢ ²�� ´

± ²³ � ´ � ´ ª�£��¶ ¢ � ����� ����� � ��!�� � �������!� � �������! � � ���" ����! � �! ��" � � ����� !������ ´  ��¤��� ¢ �� º �¤¤����¥���©�¯¢ ²�� ²´

±³   ´ � ´ «�¨�¹ ¢ ��¬����© �����© ����� ����� ­���� �����¥·�©�¤����� ¢� ���� � ��!�� � �������!�

������� ¢ ·�© ´ � ¢ �� ´ ²¢ ¬¬ ´ �� ¢ ²��� ´±³   ´ � ´ «�¨�¹ ��¤   ´ � ´ ����� �­¹ ¢ ���·�©��¥¤�� ��� � ©������ ¶�� ¬£���� �� ����� �¯���� � ¢�

� ���� �� �� � ������� �� �������!� �! � ��!�� �!� �"�� � � �������!� �¢ ·�© ´ ² � ¢ ¬¬ ´ ¬¬ ´ ��� ¢�­�­�� ²��� ´

±� ³ � ´ � ´ ����£� ��¤ � ´ � ´ ��£������ ¢ ��¤�¬���� �� ­�¹��¨� �����£���� · �� ¨�·�©�� �£���¹��� ¢�� � " �� � � ������� ���� �¢ ·�© ´ �� ¢ ¬¬ ´ ²��� ²� ¢ � �� ´ ²��� ´

±�³   ´ ���¶� �� ��¤ � ´ ����£� ¢ �µ����©����� ��·������ ¤�¥������� ¢� �� ����$�� � ���� �! � ����� ���� ��������� �!� � ��������� ¢ ·�© ´ «�¨ ���¹ º ª¬������¥���©�� ¢ ¬¬ ´ ²�� ²�� ¢ ²��� ´

± ³ � ´ ���� ¢ � ´ �­� ¢ � ´ � ´ �¤����¤ ¢ � ´ ª ´ �­��­� ¢ ��¤   ´ � ´ ��©©� ¢ �«���� ��¤­����� ­������ ­�¤�������¤ ¤������� ¨�·�©�� �����¶��� ¢� ���� � ��!�� � �������!� ������� ¢ ·�© ´ ¢ �� ´ ²¢¬¬ ´ ²�� ² ¢ ²�� ´

±�³ « ´ � ´ ��£���� ¢ ª ´ ���� ¢ ��¤ � ´ � ´ � ��¬ ¢ �!�������� ������� ������$ ���!� ´ « �¨ ���¹ º ��£�� �©�¯ ��¤ ª��� ¢ ²�� ´

±�³   ´ � ´ «�¨�¹ ��¤   ´ � ´ ������­¹ ¢ ���·�©��¥§���¤ � ©������ ¶�� ¬£���� ������� �¯���� � ¢� ����

���!� � �"�� � � �������!� ¢ �­§� ����¤ �¬��© ²��� ´±�³ � ´ � ´ ����£�� ¢ � ´ � ´ � ���¹� ¢ � ´ � ´ ª��§ ��� ¢ ��¤ � ´ ������£�©¹ ¢ � ��! ���� � ���!�!�� !� ��� #

��� �� � ��!��� �� �!� �� �������!� ´ ª� ´ ��­�� º ���§¯¥���� ���¹ ��� ´¢ ²�� ´±�³   ´ � ���� ��¤   ´ «�¨�¹ ¢ �«���� ����·�© � ��£�¤� ¶�� £��£ ����©­���� � � ¢� �� � ��� � ����

� ������ �"�� �!� ��!� �¢ ²��� ´

Page 24: Nowak Wavelet

��¡ −10 −5 0 5 10−10

−5

0

5

10

noisy coefficient

filte

red

coef

ficie

nt

�§ ¡ −2 −1 0 1 2−1

−0.5

0

0.5

1

noisy coefficient

filte

red

coef

ficie

nt

� �� ´ ²´ ������ ���� �� � � �� �� ������� �� �� ��� � ��� �� �� �� �� � � ��� ��� ���� �� � �� ����� � �� �� �� �� ��� � ��� �� �

� � �� � � �� ���� �� ��� � � ��� ���� ���� ��� � ����� �� � ��� ���������� � � �� �� �� � � ��� ��� ��� �� ������ � �� ���� � �!� ��� ���� � �� � ���� � � �� � � ���� ������ ����� � ��� � � � � � �

��¡ 0 5 10 15 20x

f(x)

�§ ¡ 0 5 10 15 20x

f(x)

� �� ´ ´ "���� ��� �� ��� �� �� � ��� ���� � ��� # �� ���� �� � � �� � � ��� ���� ���� �� � � ¡ !������� � ±� ³ � ²� ��� ���� �� �� $������ ���� � �!� � � � ² � �� "%� � &'�( � �� ��� ���"%� � ��� ��� ��� ���� �� � ��� �� ��� ���� �� ��� $������ ���� �� !�� ��� � ±� ³ �� � � ��� �� ����� ��� � � ��� ) � ��! "%�� ��� � ��� ��� � *� �� �� �� �� � � $������ � �� � ��� ���� ����� ���� �� � �� ��� ���� �� � ±� ³ � ² ��� � � ² �"%� + '�(� �

Page 25: Nowak Wavelet

��¡ 0

5

10

15

20

25

30

35

space

mag

nitu

de

�§ ¡ 0 5 10 15 200.6

0.7

0.8

0.9

1

dB SNR

Con

tras

t

� �� ´ ´ �������� �� ��� � �� � � �� ������� ��� � ��� �� ���� � ���� !����� ���� ��� ������ ��� ������ �� ����� � � �� ������ !����� ��� ��� ��� ��� ����� �� �� ���� �� ��� �� �������� � � ��� ���� �� � �� � �� ��� ���� �� � ��� "%� � �( � ��� ��� ��� � �� � �� ��� ������ ������� � � � � ���� � �� ��� � �� � �� ��� ��� �� ��� ���� ��� ����� � � � � ���� � � �� �� � ������ � �� � �� ��� � ���� � ������ �� �� ��� �� ��� ��� � � � ����� �� � ��� ���� � ��� �� �� �� �� ������ ��� ���� �� � �� ��� ��� �� ��� ���� ��� ����� ��� ��� �� ��� ��� � �� � �� �� � ������ ������� � ) � �� � "%� � � ����� �� � ��� ��� ��� �� ��� � �� � ���� �� ��� �� ��� � ) � ��! "%�� ������ � �� � � ���� ������ ��!� � �� � ���� ���� �� ��� �

Page 26: Nowak Wavelet

��¡ �§ ¡

��¡ �¤ ¡� �� ´ � ´ �������� �� ���� �� � � �� ��� ���� ��� � ��� % ����� �� ����� �� �� � �� � ����� ��� � ����� ��� �� � ���� �� � � � � ��� � ��� � ��� !�� � ��� ���� � "%� + ��( � �� ����� � ��� �*�� �� � � �� � � � + ² ��� � ��� � � �� �� ��� ���� ) ��� �� � � ��� � �� � � � � ��� ���� �������� �� ´²¡� � �*�� �� � � � � �² � ��� � � �� �� ��� ���� ) ��� �� �� � ���� �� � � � � ��� � �*�� ��� � � � �² � �� ���� � ������ � ��� ������ � �� �� ��� �� � ��� ��� � �� �� ��� � % � �� ������� � �� � ���� �� � � ��� ���� � ��� ��� � �� �� ��� �

Page 27: Nowak Wavelet

��¡ 0 5 10 15 2010

−4

10−3

10−2

10−1

100

SNR

MS

E

�§ ¡ 0 5 10 15 200.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

SNR

Con

tras

t

� �� ´ � ´ ���� �� � ��� ���� ������� � � �� �� �� �� !����� ���� �� �� �� �� ��� � �� � � ��� � �����*�� � � � �� "�� �� � "%� �� ���� ��� ����� ������ � )��� �� � �� �� �� ��� ����� ��� �� �)��� �� �� � � �� �� ��� ������ � % � �� ��� � � "� �� �� �� �� �� �� ���� � ��� ��!� ���� ���� "� �� �� � � � ��� ���� ��� � ��� ���� �� � �� � "%� �� ���� ��� ����������� � )��� ��� � � �� �� ��� �������� �� � )��� �� �� � � �� �� ��� ������ � �� ��� � �� � �� ��� ) ��� �� ��� � �� �� ��� � ���� ��� ��� ��� � ���� ��� � �� �� � ���� ��� ��� ��� ) ��� �� � �� �� �� ��� �

Page 28: Nowak Wavelet

��¡ �§ ¡

��¡ �¤ ¡� �� ´ ´ ������ ���� �� �� �� �� �� � ��� ��! "%� ��� �� �� � ��� � �� "%� �� � �� ��� ���� " ��� ��� ��! "%� ��� ! �� � ��� ���� � �� �� ����� � � �� �*�� �� � � �� � � ��� �!��� ��� ��� ��� � ² ��� � ��� � � �� �� ��� �� �� ��� � � ) ��� �� � � �*�� �� � � '��� � ���� � �� �� ��� �� �� ��� � � )��� �� �� � �*�� �� � � '�&� � ( � �� ) ��� �� � ��� �� � ��� ��� �� �� � ���� � ��! "%� ��� � ( ��� ��� ) ��� �� �� ������ �� �� ��� ��� � �� �*�� �� � � � � �� �� �� � � �� � � �� ��� � �� ) ��� �� � � ��� �� � ���� �� � � ��� ��� �� � �� �� ���� ���� ���� � � ������ ��� ��� � �� � � ��� ��� ����� ���� ) ��� �� �� � ������ ��� � �� � ��� �� ������� �� � ��!� ��� ���� ��� ��� � �� ��� �� � �� ���� �� � � ��� ���� �� ��� � �� �� � ��� ������ � � ������� �� ��� ��� ����� ���� � � �� ����� � � � � �� ��� ��� ����� ��� ������ � �� ��������� � �� � � � � � �²�� � ��� � ��� � � � ��� � ��� � � �� �� � ��� � ��� �� ) ��� �� � � )��� ���� � ���� ��� ��� � �� � �� �� � ������ �� ��� &'� �

Page 29: Nowak Wavelet

��¡ �§ ¡� �� ´ � ´ � � � � � � �� �� ��� �� �� � ��� # � � �� �� �� �!��� ��� "%� �� ��� ��� �� �� �� ���� � ����� �� ) ��� �� � ��� � � ��� � ��� ����� � � �� � � ���� � ��� # � � �� �� �� �!��� ��� "%��� ��� ��� �� �� �� ��� � ������ �� ) ��� �� �� �� � � � ��� � ��� ����� � � �� � � ���� � �� ��� � � � ) ��� �� � � ���� �� ����� � �� ��� � �� �� ��� �� �� �� �� ��� ��� � �� �� ���� ���� �

Page 30: Nowak Wavelet

��¡ �§ ¡

��¡ �¤ ¡� �� ´ � ´ �� �� �� ��! "%� ��� �� �� � ��� ��! "%� �� � �� ��� � "%� � ��� ��! � ���� �� �� �� �� ��� � �� � ��� �� � ���� ��( � ��� � �� �� �� � �� �� � ����� ������ ��� �� ���� �� ���� � ���� � ��� � � �� �� ��� ���� ) ��� �� � � ��� � � �� �� ��� ���� ) ��� �� �� � ( � ����� � �� � ��� � ��� ��� ����� ��� ���� � ��� ��� � �� ��� � �� � � ��� ��� �� � �� ��� ���� ��� ��� ��� ���� ��� ) ��� �� �� ������ �� �� ��� ��� � � � ����� �� ��� ���� � �� � ��� ���� ��� ����� ��� ��� � ��� ��� � ��� � ��� ��� � �� � �� ��� ��� � ��� � ' ��� �� �� ��� � �� � �� ��� ��� ���� � ' ��&� � �� ���� �� �� � � ��� ���� ���� ��� �� �� ´¡ �