notes in continuum mechanics

69

Upload: ahmadreza-aminian

Post on 29-Dec-2014

258 views

Category:

Documents


6 download

DESCRIPTION

classroom notifications about continuum mechanics

TRANSCRIPT

Page 1: Notes in Continuum Mechanics

����������� ��� �����������������������! #"%$%&('*),+-"/.&# 0-1�2436587:9<; =�>@?BADCFEHGBIGKJ@?MLBNOLQPDLRNTSVU�WXNYLRUZWXN[W\�]O^_?R`a>@bcJVdB?_C*efbcghbiLRNYLQPDLRN[jk�lnm oqpsr-tvuwryxzxz{ | }!~�����rzuc~��\�>@b/�h>@bc?Bga��?B�vb���GB`���]���]O����]O`Q?RJVb%�@ghGBJ@��>z?B���c?RJ��]OJ�A@A@^�^_b���>4GBJ@]O�c`��8GBJ@?K��>@b�gQ��bc]�JVI_�4A@]O�D�V��J4GB^s]���`���N���J-�c?BJ��h]�J�A@A@^�^sbc��>4GKJ@]���`���b!`a�hA@�V�_`a��`a�hbc^s`���>@]���>�>4Gw Rb!¡@ga?R¡�bcga�h]�b�`��@b�¢4J@bc�yG��£GB�O�¡�?R]�J��`¤]OJs`a¡4GB��bBN¤¥�b�J@�cbKUX�h>@b�^s?B�h]�?RJ¦?B�§G¨�cgh]O��dBb��£�4GB�O�V��?RA@���s��b��@b�`h��gh]���bc�_��sG©`a]�J@IR�Ob£ Rb���?����]O���s Rb����h?RgªGK��G¦`h]OJ@IR��bQ¡«?R]OJ�£]�J�`a¡4GB��bBN¬\�>@bf^_?K��]�?BJ-?B�­G/�4A@]O��>V?���b� Bbcg�U���bc]OJ@IiG��c?BJ��h]�J�A@A@^�U]�`��Vbc`h��gh]O�«b��M���]Y��`£ Rb���?��c]Y����GK��b� Rbcg��y¡«?B]�J��]�Jy`a¡4GB�cbKN¤��J��h>@]�`���?RA@gh`abf��bf��]��O�§��b¨�wGB�O�cA@��GK��]OJ@I��>Vbª�®?Rga�cbªb�¯X¡�bcgh]ObcJ@��bc�yGK�¬b� Rbcg���¡�?R]OJ��¬]OJ_`a¡4GB�cb�P¦�h>@b¨°�±�²�³�°�°�UVGKJ@�_�h>@b��V]�`h¡V��GB��bc^sbcJ�¬�wGBA@`abc�_P��>Vb©°�±�²h´Bµ·¶4N­¸¹b�^�Gw�_GB��`a?%��bQ]OJ��bcgabc`���bc��]OJ�?B�h>@bcg¬¡@ga?R¡«b�ga�h]�bc`�UV`aA@��>yGB`¤��bc^s¡�bcg�G���A@gabBUX�h>4GK���wGBJ��b%�@b�¢4J@b��Db� Bbcg�����>VbcghbKN���JDIRb�J@bcghGB�º��b¨��]��O�º�«bf��g���]�J@Ii��?s`h?R�Y Rb©bc»�A4GK�h]�?RJV`��h?s¢@J@�M�®A@JV����]O?RJ@`?B�6��>@bf�®?Rga^ ¼ �®½:¾�¿�¾�ÀVÁaÂa� ����NYL��¥�b�ghb/½:¾h¿«¾�À�GBJ@�z?R¡V�h]�?RJ@GB���Y�-ªGBghb/`�GB]O�M��?���b�µ·¶�Ã�³�Ä4³�¶�Ã�³�¶4±º KGBga]�GB�@�Obc`�U���>@]O��`�� ¼ ��>V]���>z�c?BA@�����b%G¦`a�wGB��GBg�?Rg�G¦ Rbc����?Rg�U4]�`�GMÃ�³�Ä4³�¶�Ã�³�¶4±« KGBga]�GB�@�ObBN

¸¹bDGB����d�J@?n����>4G���`a?R��]O�@`�GKghbD��?R^s¡«?R`abc�Å?K�¨GK��?B^_`_GBJ@�Å^s?R�Obc�cAV��bc`�U���>@]O��>Å?B�·��b�JÆ�®?Rga^]�J�h?��cg��X`���GB�O`£��>@]���>�>@Gn Bbf�@]�gabc����]�?BJ4GB��¡@gh?R¡�bcg���]Obc`cN¤¥ª?n��b� Rbcg��@AVgh]�JVI/��>@]O`£�c?BA@gh`ab!��b!��]O����`a��]O��d��?��h>@b�Ç�È�¶4±8µ·¶4É�ÉXÊÌË�Í�Ä4È�±·Ë4³�°�µ�°�Uº]ÎN�bBN�]OIRJ@?Rgab/��>Vbc`hbs�@b���GB]O��`cN©¸¹b¦��]O����GK��`h?���GBghIBbc�O�DGB`a`hA@^sb¦��>@b^_GK��b�gh]�GK�«��?i��b¨>@?R^s?RIRbcJVbc?RA@`�GKJ@�M]O`h?B�hgh?R¡V]��BNÏÑÐyÒÑÓ�Ò�ÔÕfÖ ��b�bc�£��?RJ@`a]�`a�h`¦?B��GBJ@]O`h?B�hgh?R¡@]O����ga��`a��GB��`�N׸Ø>�Ù�cGBJÚ��b�GB¡V¡@�O�×��>@b��c?RJ��]OJ�A@A@^ÛGB¡��¡Vgh?w¯X]�^_GK��]O?RJZÜ-¸Ø>��y�cGBJy��b%GB`h`aA@^sb©]O`h?B�hgh?R¡�VÜ

k�l�Ý Þ-tvßv}f���=�?RJ@`a]��@b�g�G���A@^s¡�?K�­^_GK�hbcgh]�GB�ÎN:¸àbf�wGBJyb�¯Xb�ga���®?Rga�cbc`�?BJ-��>@b!�OA@^s¡�UV`aA@��>�GB`�GB¡@¡@�O]�b��-��?GK�@`�?RJ]O�h`�`aA@ga��GB��bBUZGBJV��]O�£^_Gw�s�«bf`aA@��áabc������?¦?B�h>@bcg��®?Rgh��bc`��@A@b���?¦`�Gw��IRg�Gw �]O���BN�¸¹b!�V]�`a�h]�J@IBA@]�`a>�����?����¡«b�`!?B�¬GB¡V¡@��]Obc�y�®?Rgh��b/>@b�ghbBN%âZÉX²·ã�´�Ç�³¬ãwÈ�²�Ç�³�°ªGBghb%¡@ghb�`h`aA@ghb�`¨GB¡@¡@�O]�bc����?��h>@b/`aA@ga��GK�cb�?Rgª?RAV�hbcg��?RA@J@�4GKga�Ú?K����>@b��OA@^_¡§U�`hA@��>äGB`¦¡Vghbc`a`hA@gabc`¦�®gh?B^åGB¡V¡@��]Obc�Ú�O?GB�@`�NÙæQÈcÃBÍ/ãwÈ�²�Ç�³�°%GBghb�GK¡@¡@��]Obc��®?Rga�cbc`/�@]�`���gh]O�@AV�hbc�¹�h>@gh?RAVIR>@?RAV�/��>@b_��A@^s¡�ND�ç���h>@b-��AV^_¡à]�`/JV?B��^s?n X]OJ@I@UvGK���v�®?Rgh��bc`¦GK¡@¡@��]Obc���?��h>@b���AV^_¡Ú^/A@`a�¦�@GB��GBJV�cbBN×¥ª?���b� Bbcg�U�]O����b��c?BJ@�cb�¡V��A4GK���O�à`h¡V��]O�%��>@b��OA@^s¡ÙGB��?BJ@IzG�¡@��GBJ@b��>Vgh?RA@IB>à��>Vb_�OA@^_¡§U:��b�>@Gn Bb-G�J@b���]OJ��hbcgaJ4GB�v`hAVga��GB��b-GB��gh?R`a`©��>@]O��>¹�®A@g���>@b�g%]OJ��hbcgaJ4GB�v�®?Rgh��bc`GBgab/b�¯Xb�ga��b�����?-dKbcb�¡���>@b©����?�¡4GKga��`�?B���h>@b/�OA@^_¡M]�JMbc»�A@]��O]��@ga]�A@^�N£\�>@b�`hb�]OJ��bcgaJ4GB�:�®?Rgh��bc`QGBghb�wGK����b��D°�±8²�³�°�°n³�°�N

¸¹b��cGBJ_��?RJ@`a]��@b�g�Gf`a^�GB�O�@bc�Obc^sbcJ�¤?B�§GBghbcG%èéÅ��]Y��>@]OJi�h>@b�`�GB^s¡@�Ob¨��`abcb�¢4IRA@gab©Ln��N Ö AV��>�GBJbc�Obc^sbcJ��>4GB`�G©J@?Rgh^_GB�Zê U���>@]O��>-�c?RAV������bQAV`hbc�-�h?/�@b�`h��gh]���bQ�h>@bQ?Rga]�b�J���GK��]O?RJs?B����>V]�`¬bc��b�^_b�J�wN

L

Page 2: Notes in Continuum Mechanics

ë�ì�í�î�ïð�ñ ò�ó�ò�ô�õ�ö�÷�ø�ù�ú�õ�û�÷�ô

dA

n

τ

x

y

z

σ

τ

τ

xy

xz

x

dA=idydz

üHýOþRÿ������������ ��� �������������������������� �!"�#� ������ �%$���� ����'&(��)*���(���+&(,!-.� /��0&.�1� ������ �����'���2&(�&(� 3@ý4���&(�65�&(����&7��,4��������98;: �=<ªýOþ�/�>�?����� �@&(,A-.��/��0&(�=� ������������B���@�/��C�aÿ�� �D&(���C�(�E&(�1��,4����������65�cÿ�3��.�F �G�������fýH�B3I�cý4�@þJ� KL���6���)'���M�/@ý4�B���+&(,H,N&(����&���,H��������>8;OJPQ&(��)M�/��R,OýH�sý4

,�ýH�S6T�UBV 8;O8�: WDX �ZY�[ýH�R�/��+�6����������]\C�B���Rÿ���� �(P^8;O ý4�7� �0&(,4,45"&M$���� �����P^&(��)_�/������_ýH�R���]� �0&(� ���`��a�hÿ������(���+�/Q&.�/VýH�b$�������(�%ý4�b�Q&(��&.,H,H��,c��'d � X �"�D&(��Ref��e�ý4,H,?)Vý4$�ýH)��g�/��J� ������ �/ý4�;���&������+�I��������7��&(��&(,4,H��,��Md P���&(,H,4��)]�/���hNikjml�n(ocp qDj�rspsp P�)������.���)_t?Pu&(��)`&%�������I��������©ýH�v�/��J��,A&(���w�(�B8�:xPE��&(,H,4��)�/��'psyQr�n(j�p qDj�rspsp P^)������.���)#zN�"{|�(��@�/Q&kg�/��@�������+&(,}� ������ �wt#ýH�7�������aýH)�������)#~Qi�p �!qD�!�(r©ý4�£ý4��� �L)@ÿ������7q�r h�p ��ikhQPI&(��)�hNr���n(qD�!�(r�ý4�Hý4>��� �L)@ÿ������J�siklC~Ij�rspsp ��ikhQ�9�B/��7�hý�þ(�a���(�;$(�����ý4���a�G���BzDýH���,Oý�þ�/��,45J�������|��������,�ý4�0&.���)��uz�ýH�=~Qi�p �!q��!�(r¬ý��ºý49������������������|&��G�������!ýH�@�/�����&(�+�|)@ýH� ��� �ýH�(�%&(�B&����� �@&.,��6���������ef�Rÿ�,4)1��g��� �L)Vÿ����wq�r h�p ��ikhQP�&.��)vhNr���n(q��!�(r¬ý��:ý4f������������������C&7�G�(�����QýH�@�/�����&.�+�)@ý4����� �ý4���M&(�>&��������+&(,N�6�� �����>��� �L)@ÿ��cýH�Vþv�siklC~Ij�rspsp ��ikhQ�

X ��ef�+�������hý4)����b�/��@�M�0&.� ����hýH&(�`)VýH������hýH�����b��Pu�v&(��)`��Pu�/����`�/����������+&(,^� ��������x��&(�_3������hýH����,45@)���� ���hý43���)Dý4�M���� �+�B�(�?�w���������(���������PQt��;P�t���&(��)�tQ���=t��/ý4��&w� �� ��� �|�mK���� ���)]����&(�&(� �0&R� 8�:x�^{>��e��/�������e�ýH,4,�3I�B�e9�7����� �hý43�,H�B)@ý4�������ý4�����¤ýH�w�/@ýH�^��,H&(���.PL&.,H���@þ��/��>�g&(��)+�x&�K�����P���7�/������Ce�ý4,H,Q3I�|�ef�w��/���&(��� �������������P�e�/@ý4�s/@ef��)������(��Cz �s�|&(��)@z �m� W � ���C�@þRÿ����7��[ �^�B/��C��&.�+�/���,4)��|�G�(�>�/��x�(�/����>�e9�%)VýH������hýH������P�� �@ef�g/Q&0$���ý4�]&(,4,u�+���(�+�I�������;����>���7�0&(�ae��aý4��7�/������ýH��&J�J�v�w�@&.��hý�K@�/�ÿ��7�t � �  t�� z �s�¡z��m�z � � t�� z � �z���� z���� tQ�

¢£WDX �¤��[

¥|��ef��$(���Qý�B�0&.�'3I�R������$���)'�/Q&.Bz �s�|�*z � �;P@ý��¤�.�?�/Q&k>�/@ýH�B�+&.��hý�K�ýH�B�65��+������hýH��&(,�PL�(�/���� e�ý4����/����+&.����hýH&(,§ý4�%�/��R,�ÿ��+�1ef�Rÿ�,4)�3I�R�hÿ�3;¦ �������)a��iÿ������(��� ���&Bý4����)����(�&.�ý4�����t ý4�>&(�M� K�&(����,H�R�(�§&�����e¨��,A&(� ���(�?��3;¦ �������PI&J����������)L©ª��&(��«1������������ X �M�D&(��>3I�(�/M� �0&(,H&(���&(��)]$(��� ���� �R&(���w&.,H���+���������� ��P��(�=¬���� �(�/_&(��)]����� ���&(��«��������I��� �ý4$(��,�5�PE&(��)v�hÿ��s/"��3�¦ ������R&(���Y

Page 3: Notes in Continuum Mechanics

­�®B¯9°;±�²k³ ´mµ¶´�·I¸D¹ º�»I¼�½�¸D¾Dº�·¿�À�Á Â�ÃHÄ�ÅIÆ�Á Ç�È(É�Ç=ÃHÉJÊ�Æ�É�Ç�ÃHÉ;Ë�Ë�Ä�Ä�À�ÊsÌQÈ(É�ÃHÊ�Í�Î?Ï�É@Ä+È(É�ÂJÁ�À�Í�ÅIÀ�Ê Ç�Í�ÈRÍ�À�Ê�Æ�É�Ð1Á�È(É�ÑgÇ�À�É�Í�Æ�Á}Ò�À�ÌQÈ0¿�À�Í¿�À�Á Â*Ó4ÃHÑ(À]ÈÕÔ"Ö×Ô#Ä+È.Ç�Á Ã�Ø�Ù>ÚfÀ"Ê0È(É*ÛQÉ�Ð2À�Ã4Ü�À�É�¿.È(Ó4Ë�À�ÍMÈ(É�ÐÝÀ�ÃHÜ�À�É;¿(À�Ê Ç�Æ�Á Í'Æ(Þ7Ã4Ç�ÙCÈ.É�Ð*Ã4Þ�Æ�Ë�ÁÊ�Æ�Æ�Á Ð�ÃHÉQÈkÇ�ÀxÍ6Â�Í Ç�À�ÄßÞDÈ(Ó4ÓHÍ|È(ÓHÆ�É�Ü+Ç�Ì�ÀwÀ�ÃHÜ(À�É�¿�À�Ê�Ç�Æ(Á�Í�àDÆ.Þ!Ç�À�ÉvÊ�È(ÓHÓ4À�Ð]ÊsÌ�È(Á�È(Ê Ç�À�Á�ÃHÍ6Ç�Ã4Ê7¿�À�Ê�Ç�Æ�Á�Í�á�Ç�Ì�À�ÉÇ�Ì�À�Ç�À�É�Í Æ�Á|Ã4Í�Ð�ÃAÈ(Ü(Æ�ÉQÈ(ÓIâ%ÃHÄ�Å�Ó4Â�Ã4É�ÜxÇ�Ì�È.Ç�È.ÓHÆ�É�ÜwÇ�Ì�À�Í À7Ð�Ã4Á�À�Ê�Ç�Ã4Æ�É�Í�Æ�É�Ó�Â%É�Æ�Á Ä@È.ÓEÍ Ç�Á À�Í Í�À�ÍCÀ ØLÃHÍ6Ç0Îã Ó4Í�Æ%ÞGÆ�ÁRÈ(É�ÂvÜ(Ã4¿�À�É"Ð�ÃHÁ À�Ê�Ç�ÃHÆ�É"ä ÚfÀ+Ê�È(É"ÛQÉ�Ð"Ç�Ì�Àg¿(À�Ê�Ç�Æ�Á�ÃHÈ(Ó?ÞGÆ�Á Ê�ÀJÀ ØLÀ�Á6Ç�À�ÐåÈ(Í�æ çèä é¶ê Î�æ ÃHÍÑ;É�Æ�Ú�É]È(ÍBÇ�Ì�ÀJë�ì í�î ëDï�ðkñ+Æ�ÁCò ëDì�ósòsò�ô(ósî ë�ðkìmÎ^ê ÃHÍBÑ;É�Æ�Ú�É]È.Í�Ç�Ì�Àgò ë�ì�ósòsò�ë�ó ñ�ò�ðkìmÎõ�öM÷�øk÷4ù�ú^û Â%Ê�Æ(É�Í�Ã4Ð�À�Á ÃHÉ�Ü�ÈJÍ�Ä+È(ÓHÓ�Ê�Ë�Ò�Ã4ÊRÀ�ÓHÀ�Ä+À�É�Ç�Æ(ÞcÇ�Ì�ÀRÄ@ÈkÇ�À�Á ÃAÈ(Ó�ÙLÍ Ì�Æ�Ú¨Ç�Ì�È.ÇBü�ýsþ�ç2ü�þ6ý�Îõ�öM÷�øk÷4ÿ�ú�� Æ(Á�Ç�Ì�ÀRÍ Ç�Á�À�Í�Í�Ç�À�É�Í�Æ�Á

ê ç ���� � ��� ��� � ��

Û�É�ÐxÇ�Ì�ÀfÀ�ÃHÜ�À�É;¿(À�Ê Ç�Æ�Á Í��k¿.È(Ó4Ë�À�Í�Î��*ÌQÈ.ÇcÃHÍEÇ�Ì�ÀfÍ6Ç�Á�À�Í�Íu¿�À�Ê Ç�Æ�ÁcÃHÉRÇ�Ì�ÀfÐ�ÃHÁ À�Ê Ç�ÃHÆ(É@à ��� Ô�� ����� Ô���� � Ô�á������� �! �"�#%$�&

P

P’

A

A’

P

AA’

B

B’P’

x

y

v

u

u+du dy dy

v+dv dx dx

� Ã4Ü�Ë�Á�À �('*) Æ(Ç�ÃHÆ�É�Æ(Þ=È(Ð,+�È(Ê�À�É;ÇCÅ�Æ(ÃHÉ�Ç�Í�ÃHÉ'Ä@ÈkÇ�À�Á ÃAÈ(Ó�Î�-EÀ Þ!Ç ' À/.NÀ�Ê�Ç|Æ(Þ^Í6Ç�Á�È.ÃHÉaÆ(ÉaÉ�À�ÃHÜ�Ì;ÒIÆ�Ë�Á�Ã4É�ÜÅIÆ�ÃHÉ�Ç�Í ã Ù10cÎ12�ÃHÜ�Ì�Ç ' À/.NÀ�Ê�Ç>Æ(ÞcÍ�Ì�À�È(Á|Í6Ç�Á�È(ÃHÉ�Î3 Ì�ÀwÀ4.�À�Ê ÇbÆ(Þ?Ç�Ì�ÀgÍ6Ç�Á�À�Í�Í À�ÍbÚ�Ã4Ç�Ì�ÃHÉ'Æ�Ë�ÁCÓ4Ë�Ä�ÅaÊ0È.Ë�Í�À�ÐvÒ;Â'Ç�Ì�ÀxÈ(Å�Å�Ó4ÃHÀ�Ð'ÞGÆ�Á Ê�À�ÍCÃHÍ|Ç�Æ1Ð�Ã4Í Ç�Æ(Á ÇÇ�Ì�À7ÒIÆLÐLÂ�Î 3 Ì�ÃHÍ>Ð�ÃHÍ6Ç�Æ�Á6Ç�ÃHÆ(É�Ã4Í�Ð�À�Í Ê�Á�Ã4Ò�À�Ð]ÃHÉ%Ç�À�Á�Ä�Í>Æ(Þ§Ç�Ì�À7Ð�ÃHÍ�Å�ÓAÈ(Ê�À�Ä�À�É�Ç�¿�À�Ê Ç�Æ�Ágà657�981�9:�áfÆ(Þ=ÈÅIÆ�ÃHÉ�Ç;0uÙ�Ã�ζÀ(ÎxÇ�Ì�ÀwÅIÆ�ÃHÉ�Ç;02ÃHÍbÄ�Æ�¿(À�ÐvÞGÁ�Æ(ÄßÃ4Ç�Í�Æ�Á ÃHÜ�Ã4ÉQÈ(ÓuÅ�Æ�Í Ã4Ç�ÃHÆ�ÉaÇ�Æ%Ç�Ì�Ã4ÍbÉ�À�Ú Å�Æ(Í�Ã4Ç�ÃHÆ�ÉNÎ 3 Ì�À< Ë�À�Í6Ç�Ã4Æ�É1È(Á ÃHÍ À�Í ' Ú�Ì�À�Á�ÀCÐ�ÆLÀ�Í9È(É@È(Ð=+�È(Ê�À�É�ÇfÅ�Æ�Ã4É�Ç ã Ä�Æ�¿�À|Ç�Æ>� 3 Ì�ÀCÐ�Ã4Í�Å�ÓHÈ(Ê�À�Ä+À�É�ÇfÆ.Þ ã ÃHÉJÇ�Ì�À? Ð�ÃHÁ�À�Ê�Ç�ÃHÆ�É%Ã4Í>Ü(Ã4¿�À�ÉMÒ; 5%@BA 5A ?DC ?È(É�Ð�Í�ÆwÚfÀxÈ.Á�ÀRÃHÉ�Ç�À�Á�À�Í Ç�À�Ð'Ã4É%Ç�Ì�ÀRË�É�Ã�Ç�À�Ó4Æ�É�Ü�È.Ç�ÃHÆ�ÉFE6ý�Ù�Ð�À ÛQÉ�À�ÐaÈ(ÍE6ýbç A 5A ? àDÏsÎ � áÔ

Page 4: Notes in Continuum Mechanics

GIHKJ�L>MON=P QSRTQVUXW6Y/Z\[X]\^,W6_6Z,U`a�b4c�dfehg�i;j�ilknmog�cqprk�s�i;t9cqbucnvfg�woxfiueKt9p�ilg�knyzil{>drk|v>t�wot�w}iugKwov~t9pfi;cnt�pfiueKxfwoe�i4b4t9woc�vfg4�

�h�����r��r��� ���K���r��X� �6�������� c�jDi4s�i4e�t�pfi�kn���fm}woiux!g�t9e�i4g�gKbuknvFxfw}g�t9c�e�t�t9p�i�m}dfyz�!wov!cnt9p�iue�j�k��(g�kngDj�i4m}m ��� v~�fkneht�w}bud�m�kne4�xfwoe�iub/t9woc�vfg�w}vFt9pfi�m}dfyz��j�p�w}b�p�jDiuehi�k|t �¡�¢�£¤i/a¥c�e�ilg�pfiukne�wovf¦§j�wom}m¨vfc©m}c�vf¦niue�£¤i�k|t �¡�¢ªk|a«t9i4e �� a¬jDi­g�t�kne�tªj�w®t9p¯�Xc�wov>t�g�°±knv�x³²�j�p�w}b�p³mow}i;knmoc�vf¦qt9pfi;´µknvfx � xfw}ehiub4t�w}c�v�g�a¥ehc�y·¶¸�1wovfwot�w�knmomo�k�e�wo¦�pOt�knvf¦�moin��t�pfiuvFj�ilb�k|v�ghpfc�j¹t9pfk|t�t9pfwog�knvf¦�moi�w}gKxfi4bue�iukng�i4x¯£O�~t9p�i�k|vf¦�m}i�r�� ´»º �r¼�r�½ ilehi4a¥i4e�t�czt�pfw}g�k|g�t�pfilg�pfiukne�wovf¦qght9e�knw}v�£Xi4tVjDiuiuv�t9pfil�fm}knvfiug*¾(¿lknvfxF�\¿n�Xknvfx�xfiuv�cnt9ilwot*À>Á � �°¦�knw}v!t�pfiuehi­knehi;Âz�Xc�ghg�w}£�m}i�bucny§�Xc�vfi4v>t�g;Ã

À>Á ���Ä�r�� ´Åº �r¼�r�K� À>Á ���Æ�1�� ´Çº �r¼�1��� À �h�K���r��1� º �r��r� �6���ÉÈO�Ê e�c�yËt�pfiughi È bucny§�Xc�vfi4v>t�g*iumoc�vf¦Ok=t9w}cnv§wov~knvO�©x�w}e�i4b4t�w}c�v©knvfx~xfwoght9cneht9woc�vzcnaÌknvO�!k|vf¦�m}i�b�k|v~£¤ib�k|m}bud�m�k|t�iux ��Í pfi4g�il{>drknvOt9w®t9w}i4g � Á � �h� � �h� �fÀ\Á � � À\Á � � À ��� kne�i;buknm}moiux!t9p�ilb4c�yz�¤c�v�iuvOt9g�cna¸ght�e9knwov �ÎÐÏFÑÐÒ=ÑÐÓ1ÔÖÕ pfc�j×t9pfk|tKt9pfi;ehw}¦�pOt�k|vf¦�m}i�²*¶¤°Øw}gKx�iubuehi�knghiux³£O�Fk|v¯knv�¦�m}i�r�� ´ º �r¼�r�k|gªk�ehiug�d�mot�cna�knv�kne�£fw®t�kne��!xfwoght�c�eht�w}c�v �Ù�Ú�Û ÜÞÝ~Ýzß�à§áhâäãæåªç

`�dfe*vfiS¾\t*t�knghè§wogDt�c%a¥c�e�y%d�m�k|t�iªghc�y§iªe�i4m�k|t�w}c�v§£¤i/tVj�i4iuv~t9pfibuc�yz�¤cnvfiuvOt9gKc|a7ght9ehiughg�knvfx!t9p�c�g�icna7g�t9e9k|w}v �¬Í p�i�g�woy§�fmoiug�t*e�i4m�k|t�w}c�vzw}g�k­m}wovfi�k|eDc�v�in��ehi4a¥i4e�e�i4x~t9c�kng � c\c�èni|éÉg�ê7k�j ��� a¨jDi�ght9ehi4t�b�pk�g9knyz�fmoi�w}v~t9pfi�´¯xfw}ehiub4t�w}c�v§ë!w � i � k|�f�fmo�!k�vfc�e�y§knmIg�t9ehiug�g�ìfÁlt9pfi4v�jDi;b�knvFj�e�w®t9i� Á � ìfÁí �6����î��j�pfi4e�i í w}g�t�pfi;ï©ðuñnò(óôòOõ�ð÷öø/ó®ù=õ/ú6ûýü/û«úÿþlû��~ú÷ø���õ/ûýð�� � � c�j g�t9ehi4t9b�p�w}vf¦lk�g9knyz�fmoi*w}vqc�vfiKx�w}e�i4b4t�w}c�vj�w}mom¨dfg�dfknm}m®�Fprk�s�i­t�pfi­i�� i4b4t�cna¬b�prknvf¦�wovf¦©w®t9gªg�prkn�Xi­wov¯cnt�pfiuehg�ë~dfg�drk|m}mo�Fx�iubuehi�knghw}vf¦©wot ��Í pfii��¤iub/t�pfiuehi�wog*t9cq�fe�c\xfdfb4i;ght9e�knw}v�g�h�ª��� ìfÁí � ���K��� ìfÁí �6��� � �j�pfi4e�i w}g;kF�fehc��¤i4ehtV�Åc|a�t9p�izy§k|t�iue�w}knm¬buknm}moiux� �ð=û}õ�õ�ð���� õ��hùnúÿûýð �z� tldfg�dfknm}m®�¯t�k|èniug;s|knm}d�iug;w}vt9p�ile�knvf¦�il¡���� � � ¡��É � �

Page 5: Notes in Continuum Mechanics

������� �"!�# $&%'$)(+*-,�.0/+1023*-4-.3(

5768:9<;>=@?BA<C�DE6GF�AIH<J>J>KELMH<NOH<=BP>DRQSH<=BLT?BQ@=@A:?B?UQ@9V9<;>=WKX;>YZJ�C[QS\�A]?^QS=@H<DXN_DXN`H<N"LMa�DX=@A�8�Q@DX9bNFGDXKRKcPdAeYUH<a>Af;>Jg9<6hHU8:9bYeP�DXNiHjQ@DX9bN]9<6[Q@\iHjQa�;>AkQS9UQS\>AeJ�KlH<N>Am?BQ@=SH<DRNnDXNIQS\iHjQ7a>DX=BA:8�QSDX9<NoH<N>aQS\�AI?BDXa>A&p)A�qdA:8�QS?U9<6?^QS=SHjDXN>?ZDXN`9<QS\�A:=Za>DX=BA:8�Q@DX9bN�?:rtsu6FvAoHj?@?@;�YUAwQS\iH�QUQ@\>A:?BAnA�qdA:8�QS?U8xH<NOPdAH<a>a�A:atQS9<ybA�Q@\>A:=oz{QS\�DX?|DR?|} N>9~FGN�H<?|Q@\>A��|�����i�:�O�������3�i���u�i�~�����-�����iCGH<N>atDR?U�jH<KXDRa`6{9<=|?@YUH<KRKa>A�6{9b=@YUHjQSDR9bN>?S�hF�Af9bP�QSH<DXN�Q@\>A�A:� ;iHjQ@DX9bN�?�B� � ������ ���`  z �>¡h¢_�i£ ��¤� ¡ � ������>¡ �`  z � � ¢_�i£ ��¤ z-s¥r§¦"�� £ � �� ���i£ �`  z �>¡h¢_� � ��¤

¨ \>A:?BAUA�� ;iHjQSDR9bN>?�=@A�KlHjQ@AeQS\>AWA�KX9bN�y"HjQSDR9bNiH<K©?BQ@=SH<DRN>?QS9�QS\�AZN�9b=@YUH<Kª?^QS=BA:?@?BA:?�rZ«TAZH<=@A�H<KR?@9DXN"Q@A:=@A�?BQ@A:aMDXN¬QS\�A|=@A�KlHjQ@DX9bNVP+A�Q)FvA:A:N_?B\>AxH<=m?BQ@=@A:?B?@A�?�H<N>a­?B\>AxH<=m?BQ@=SH<DRN>?:r ¨ 9oa>A:=BDR�<AUQS\�DX?:C®F�A8:9<N>?@DRa>A:=�QS\�ATA�q�A�8�QI9<6eHjJ>J>KRL0DRN>yMQS\>A¬N>9b=BY|HjK¯?BQS=BA:?B?@A:? �i£ � � C �>¡ � � � HjN>a � ��� ° CH_±3pua²J>=@9bP�KXA:Y 8:9<=@=@A�?@J+9bN>a>DRN>y­QS9M?BDXYe;�KRQ¥HjN>A:9b;�?@KRL`?^QS=@A�QS8¥\>DRN>yMQS\>Ag?@H<YZJ>KXAnH<KX9bN�yM³­FG\>DXKR?BQ8:9<YUJ>=BA:?B?@DXN�y]DEQfH<KX9<N>y�´drWµ¶KX9bN�y�J>KlH<N�A:?fHjQ�· ¸<¹Q@\>A�N>9b=@YUH<Kº?^QS=BA:?@?fDX?¯»�A:=B9]FG\>DRKX?^Q¯QS\>A�?@\�AxH<=?BQ@=@A�?@?�DX?¼|�½�± z �i£ � �>¡ � � �

µ¶6�Q@A:=G?@9<YUA�H<KRybA:P�=SHeF�A¯¾iN�a¿ � ±>z � ¢   �� ¼ z-s¥r � ° �su6ºFvAka>A�¾iN>AfQS\>AmYU90a>;>KR;>?G9<6[A:KXH<?BQ@DX8�DRQ)L�DRNI?B\>AxH<=ez-9<6�Q@A:NI}0N�93FGNoH<?�Q@\>AkYZ90a>;>KX;�?�9j6º=@DRybDXa�DRQ)L��À�C>QS\>DR?�8xH<N]PdAFG=BDRQBQSA:NIH<?

¿ � ¼À¬Á À � �±�z � ¢   �

 9b=GH<KRK�8:9<YUJ+9bN>A�N Q@?:C¿ � ¡ � �À ¼�� ¡ Á ¿ ¡@£ � �À ¼ ¡B£ Á ¿ £ �7� �À ¼ £ � z-s¥r �b� �

ÃÅÄwÆÅÇ�ÆRÈ>É[Ê A:=@DE�bA�A:� ;iH�QSDX9<N]s¥r � °ÃÅÄwÆÅÇ�ÆRË>É�Ì Q@=SH<DRNnYZAxH<?B;>=@A�YUA�N"QS?7?B\>9~FÍQS\iH�Q7QS\�AmJ>=BDXN>8�DXJiHjK®?^QS=@H<DXN>?¶HjQ7HUJ+9bDXN"Q¶DXNIHUP+AxH<YÎH<=BAy<DR�bA�NIP"L�B�¯�ÐÏÑ Á � ¡ �Ò° Á � £ �Ó� ±Ñ

su6©QS\>A¯YZ90a>;>KXD+6{9b=ÔQS\�AfYUHjQ@A:=@DXH<K�Hj=@A � � ±ÕCÖÀ � Ñ CiH<N�an×®9bDX?B?@9bN�Ø'?G=SHjQ@DX9WDR?  U�ÚÙÛ FG\iHjQ¶H<=BAQ@\>A�?BQ@=@A:?B?@A�?HjQ�Q@\>DX?GJ+9bDXN"Q&Ü

¸

Page 6: Notes in Continuum Mechanics

Ý�Þ�ß�à á"â�ã ä&å'ä)æ+ç-è�é0ê+ë0ì3ç-í-é3æî�ï&ð ñóòZôxõgö ÷ ÷�øIùoúeûgüºý:òZûþ�ÿ��������:ÿ������� ������������� ��������������Rÿ�� �!"�#�$������%�� ��&���'��� !(�$�����)���

*,+.-0/214365(7&-0/81936:;7&-0/21436<�78+,/21=->305�1936:�1?36<�7�$�A@B�6�6�C���6 ����&D8E�%F�fÿF�������'���Xÿ����G�H%B!'�FI��J�����$%��&�����������

K +=305�1936:8193�<L ÿ��F�6�$���SÿF������IA��%��������!(�$�������6%���M��N���POHDRQS!'�F UT��6���$����I�V +XW�5�19W�:819WB<;Y T2�@B��

K + /�Z9[�\] V - OHD /^[�7

O_�`��%���6�������6�a���� >ÿ��G�$��!�ÿ������������b%dce F�����0�H!(�����M����&���Bÿ����CfU��%����W�5g+hW�:C+hWB<�+iZ f

���)T�%����H%j��!'���K +iZlk -m/�Z9[�\�7 f]

T�%��&��� ]on k -m/�Z9[�\�7 ������!'������ p��%��Sqlr�s'teuvtdwArmxGy'r"uvtzql{o{6|&}F~'�Fw���r"�BD���P���"���e��� �������j!A�6�$!(�$��'���6�������6�

W�5g+i/����gn ��� W�:a+h['����n � � WB<�+iZ�/;����n ���� 5H:a+=�'��n � � � 5�<N+.Z�/;���gn � � � :6<�+iZ�/^�'��n � �

@��� )�$%��g�0�$�6�������'���&������f ���l�$%��G F�����&�&�������pI'�����&�)�dcp� +�-m/^n�[e��/;n�� [��$�'7�Y T�%F����� �A�?� D��`���� ��%�������6�l!'��!'�� P��%���!'�C������M��'�����d�$���'���6�����&���a!'�&������IS���)�$%F��MF��!'���G�F����� !'� ��������P���"��¡���� �������P�$%F���0�$�6�����C���'� M�����&�����

W�5G+=�'������n � � � 5H:C+iZJ/^�(�����gn � �W�:C+=�'������n � � � 5�<N+¢�'��� � ['��n ���WB<�+¢[(��������n � � � :6<�+,Zg�'�'� � ['��n � �

@��� U��%��M�����������MB!'���0�$�6�����6����!'�� PM�����������MB!'�£!^¤F�&��D

¥

Page 7: Notes in Continuum Mechanics

����������� � �������������������� �!�"���$#�#% &('*) +-,.&0/21 341*'*)65758:9�;=<?>"@BA(C D�E�FHGJILKNMHOMQP�FSRHT�UWVJRXT�Y�Z[Y�T\R]V:Y�T_^`Z=a`TbRXZ[a`Tdce�fbghFXijE�klP�mHFhIon�klp�kqRXT_rsts�uwv xzy�{6|}y�~Ny��:�t���}�l���6~��q���:�t|}y�~t~��P�E=MHP���FXG����7��k�f�P��pjF`��G��lkl����E�k:��FXP��lk����qFH����E�k:ij��p�kliji���klP�i�FXp�Zt��E�f��$E�f�iWM6�S����ghMQ��p�f\���fb��E���E�k�P�FXp�ghMH N��FXg��¡FXP�klP��i7MH bFXP�O¢��E�k���f�MHOXFXP=MQ £Z¡MHP��6��E�k�ijE�k¤MQp��lFXg��¡FHP�klP��i7MQi]��E�k�FH¥[¦��f�MHOXFXP=MQ }�lFXg��¡FHP�klP��i�T�§-kh�¤MHP©¨=P��-��E�k¢k�f�OXk�P�ªQMH bG�kli*MHP��«klfbOXklPªXk�����FXp�i¬FQ��i�G��$E�M­g¢M���p�f®�¡Te�E�k*klf�OHklPªXk�����FHp�i]OXf\ªXk7��E�k���pjf�P���f��=MH BM���k�i¯�°FXp���E�k*��klP�ijFXplZ¡MHP��Sfb�N��k¬MQ��±jG�ij�¯FXG�p²�lF�FXpj��f�P=M���kij³�i´��klgµijF:��E=M���¶B·�¸¡·�¹:��f�pjkl����f�FXP�i] �fbk¬MH bFXP�O¢��E�klijk���f�p�k�����f�FXP�i�Z!��E�k�g¢MQ��p�f®�Jfbi]��f�MHOXFXP=MQ £Z¡��f\��E��f�MHOXFXP=MQ !kl bklg�klP��i���E�fb�$EJMQp�k���E�k7P�FHp�ghMH !i´��p�k�i�ijklilT���PSFQ��E�k�p���FXpj��ilZ

ºS» ¼½ º!¾ ¿ ¿¿ º=À ¿¿ ¿ º=ÁÂÃ

��E�k�p�k º!¾!ÄlĤÄ�º=Á MHp�k¬��E�kq��p�fbP��lfb�� �k¬i´��pjkli�ijkli�ZN��fb��E º!¾ ��E�k� �MHp�OHklij��MQP�� º=Á ��E�k�ijg¢MQ � �k�ij�lT�Å�G���¤MQP­��k7��p�M¤�ÆM���fb����G�p�k�FH�Ç��E�fbi$È

σ

σ

σ

σ

τ

tn

dA

1

2

3

ÉNfbOXG�p�kWRXÊÌË���pjkliji²ªHkl����FXp²p�kl �MQ��fbP�OW��FhMQp�k¤M�k� �klg�klP�¯ÍÎ2f�P���pjf�P���f��� bk�M��`kli²�lF�FXpj��f�P=M���k]i´³`i´��k�gST�Ï�Ç��k��$MHmQk���E�k�G�P�fb�ЪHkl����FXp�Ñ »oÒ Ñ ¾ ·�Ñ À ·�Ñ Á�Ó Z Ò ijklk�¨=OXG�pjk�R Ó ��E=MQ��fbi���E�k�ij��pjkliji²ªHkl����FXp��°FXp��E�f�i��� �MHP�kwÈSÔ}ªQMH bG=MQ��f�P�O�f\�7Ê

Õ » ¼½ Õ ¾Õ ÀÕ ÁÂà »×Ö Ñ ¾ Ñ À Ñ Á�Ø ¼½ º!¾ ¿ ¿¿ º=À ¿¿ ¿ º=Á

Âà » ¼½ Ñ ¾Ùº!¾Ñ À�º=ÀÑ Á�º=ÁÂÃ

R

Page 8: Notes in Continuum Mechanics

Ú�Û�Ü�Ý�Þß�à á�á�â�ã�ä�å�æ�ç�è�ä�é�ê Ú!ê"å�æ$ë�ëì�í�î]ï�ð�ñ�òlóWô ð�ï]õhí�ñ�ðbî¯öXó�ò�î�÷Hølù!ú�ó�û�ñ�÷wúüî�ý=õQîþô!ÿ ���(ô¡ÿÿ �(ô!ÿ��������ý�ð�ï]òlõHñ�� ó¬ø�ó ú�ø�ð\î�î�ó�ñ�î�÷ ð\öXó � ÿ �� ÿ� � � ÿÿ� ÿÿ � � ÿ�� ÿ� ����ý�ðbï�ïjý�÷Xí������ óqø�ó�òl÷ ñ�ð�ï�õ�����óqõHï�î�ý�óhó���í=õQî�ðb÷Xñ�÷���õQñ©ó����bð���ïj÷Xð������`÷Sð ��ú�óqúÐõHñî*õ ø�õ���ý�ð�òlõ��ø�ó���ø�ó�ï�ó�ñ�î�õQî�ðb÷Xñ©÷�� î�ý�óqïjî�ø�ó�ï�ï7ð�ñ"!���ùBõ ÷�÷#��ò$ý�÷Xðbòló%$&�°÷Xøþð�ñ�ï´î$õHñ�ò�ó��°÷Xø�õ�òl÷'(��í�î�ólø)�=õQò$ûQõ ó+*ú�÷Xí����,� ó]î�÷�í�ï�ó7ó-����ð���ï�÷Xð���ï-�.¯÷wú ó���ï�óqò�÷Xí�����÷Xñ�ó�øjó-��øjólïjólñî¬ï´î�ø�ó�ï�ïjólï0/21�ñ435�©÷Hñ�óhòlõHñ©ï�ý�÷wúoî�ý=õQî7÷Xñ«õ6����÷Hî7÷��Ðï�ý�ó¤õHøïjî�ø�ó�ï�ï87¢õ õQð�ñ�ï´î�ñ�÷Xø9'hõ��=ïjî�ø�ó�ï�ï � ù�î�ý�ó¯ï´î�øjólï�ï�òl÷'(� ÷Xñ�ólñî�ï�ðbñ¢õHñ;:(��ðbø�ólò î�ðb÷Xñ(<=�°÷Xø>' õ*ò�ð�øjò-��ó@?AS÷Xý�ø-B ï¯ò�ð�ø�ò���ó��8CÆï�ð�'hð�� õHø�òl÷Xñ�ïjî�øjí�ò�î�ð�÷Xñ­ò¤õQñ%� ó*í�ï�ó-�­î�÷�ø�ó���ø�ó�ï�ólñî¯î�ý�ó�ø�ó�� õQî�ð�÷Xñ�ïjý�ð��6� ó�î�ú�óló�ñï�ý�ó¤õHø*õHñ��©ñ�÷Xø>'¢õ��}ï´î�øjólï�ïjólï¬ðbñ"!��D$°ï�ó�óFE í�ø�óG3*H�F.¯ó�ø�óqî�ý�ó�ïjî�ø�ólïjï*öHólò�î�÷XøJI ð�ïJ��ó�òl÷'(�¡÷Hï�ó-�ð�ñî�÷hõqòl÷�'F� ÷Xñ�ó�ñ�î²ñ�÷Hø9'hõ��!î�÷qî�ý�ó*õQø�ó¤õqó-�bó-'�ólñîLK;MLõQñ��Jõqòl÷�'F� ÷Xñ�ó�ñ�î²ðbñ î�ý�óJ��� õQñ�ó7÷��Çî�ý=õQîõHøjó¤õ�ù���ólñ�÷Hî�ó-� � õHñN�O7SõHï�í�ïjí=õ��P$°ï�ólóJE í�ø�óQ�R*

s

t

s2 s1s3

s2 s3

2

-

C1

C2

C3

SNð í�øjóT3VUPAS÷Xý�ø�B�ï�ò�ð�ø�ò���ó�ïW�°÷HøW!�� ò¤õHïjó��X-óÐú�ð����`ñ�÷wú(ïjý�÷wú(î�ý�õQîtî�ý�ó�ïjî�øjólïjï�ðbñqõHñ;:Y�=õHø´î�ðbòlí���õHøZ��ðbø�ó�ò�î�ðb÷Xñ���ðbólïÇð�ñ¬î�ý�ó�ý=õQî�ò$ý�ó-��ø�ó ð�÷Xñ÷��?î�ý�ðbï ø�õ���ý��[Ç÷Q��÷qî�ý�ð�ïÐú�ó\��øj÷5]jólò îWI õ��b÷Xñ î�ý�óT��ð�ø�ó�ò�î�ð�÷Xñ�ô ù ðbö�ð�ñ � � � � ô ÿ � � � ÿ ô ÿÿ � � � ô ÿ��`ð�'hð�� õHø>��:��°ø�÷�'_^`:�î�ý=õ ÷Xø�õHï�ú�ó\'hõa:¢ú�øjðbî�ó� ÿ �b7 ÿ � � ÿ� ô ÿ � � � ÿÿ ô ÿÿ � � ÿ� ô ÿ�SNðbñ=õ���� :hõHïW�¡óH�°÷Xø�óQù ô ÿ �c��ô ÿÿ � ô ÿ�@�d��`÷�\ö�ð�ñ î�ý�ólïjó*ó���í�õQî�ðb÷Xñ�ï�ú�ó)E=ñN�ô ÿ �e� $ �Ofg� ÿ *-$ �,fg� � *h�g7 ÿ$ � � fg� ÿ *�$ � � fg� � *ô ÿÿ � $ �Ofg� � *-$ �,fg� � *h�g7 ÿ$ � ÿ fg� � *�$ � ÿ fg� � * $i1910� �R*ô ÿ� � $ �Ofg� � *-$ �,fg� ÿ *h�g7 ÿ$ � � fg� � *�$ � � fg� ÿ *3

Page 9: Notes in Continuum Mechanics

j�kml@npo;q5r s9sutwv=xRyuz){N|�x#}N~[j�~�yuz0�9��L�+����� �m���V�������,�9�����-�J� �Z� � ��� �F���N�,� �Z� ��� � �N�����N�J���9�>����� ���N�-�9�T�-¡p¢��5���������m��£(¤�¥����-�¦ � � � �H§ ¦ � � ��� §h¨b© � ����9��¤��9���9���p�9����ªF�>�9�9�-�>�L¤«����p�9�m���6���N�T�­¬ © ¤�¥®�����)��,��m�¢N�9�9���N�¯�����T�-���9�-¥��° � � � �`¨ ���± ² � ¨b© �´³ ° � � � ���± ² �µm���������m�9���¶�����9��¥��\· � ��%�����\���®��ª�����£,¸m¹V��£F��¥®���>¥�ºF����T�a���»¤��9�+¼�\�����������N�¶�9���-��N���-¡p¢����9�������N�����-�������\�������¶�9���½�>�9�9���9��¤«����;���\£Y¢��¾�Y¥����(�W� ���������9���½�-���9��¥��½· � �¿�����4�9���F�9�����>�À�����5�¶���N��º£Y¢��¾��¥������¢N���>�����J·´�+¸ÁÃÂOÄÃÅ+Å5ÄiÆ;Ç ¹VÈ��H���0�=É%�����-ÊË�W�-���>�-¥��-�´�&��W�N¸[�>��£(¤�¥����9�-���>�������Ì�¸[¤�¢��>�T�>���a���-¸ÁÃÂOÄÃÅ+Å5Ä�Í�Ç µm���\�¾���>�-�9�W�������9���L�5���Q¤«����p�W���mª��¼��-�,Ì;º

� ³ ÎÏZÐ � �� �LÑ �TÒ ±� �\Ò ± ÒdÓÔÕ¯�9�a�2É%��N�-ÊË�������>�-¥����´�&��´���N���W�a���>��¸¿Ö����������´�����J£F�5×V��£Y¢�£��9�N�a���W�>�9�9���9�0ØÙ`Ù@ÚuÛ ÜÞÝPß-àâáLßaãâä�å)æ çéè½êLÚìëíå¯à�îYà½êLï>æ�ð�èOñâãÀå¯ÝPã�òFæZß�ê¿ß-ò(àµm�����9�)���>���ó�8�Y¤��>��������¤�¥��-�¿�W�����0�6���9�L¢��9���½¡p¢����9�¯�T¥����P���(�������8�>¢�Ì#ô>�����a¸8¹#�-¸Ëõ[�������;�aÊË�´¤��>��������¤�¥��¤��>�R¼#�����-�����%���9�>�-�>�9£(�-�;�����Z���N�T��£F¤������m���`��¥�����6��O�����J�9��¥�¢N�9����½�9�F�Q¤��>�Ì�¥���£%¸ö�÷ùøTú#ûcü�û­÷;ý þ ÿ ��� û�� ���� ú� �����=�>�9�9���9�9������¢��=���b�ó�8� �>���������a��¥�¥�º �-¡p¢�� ¼���¥��-�;�,¥���������Nª���¤�¤N¥��������+¼��-���,�9£F��¥�¥P���>�a�»���9�G�>��ª�N�����-���;��¥�º���� �­�-�>�-�;�Y��N¥�º=���"�����(¼#���-�������óº=���´�����G���9�-�%���W�����0�,�9���J¥��;���N����ª�´���9�T��¤�¤N¥�������¸¹V¢�¤�¤«��>�������5�8�9���L�����½���h�\Ì«�a��£ �9���>�9�@��G�\¤���¥�¥®���-¸ µm����¢�¤V�����>¢��>�@�������N��Ì«�a��£í¤��>�+¼V�����-��½�&��9�����a��¢N�9���Nª,�¾���>�-�9�>�-�J�����>�¢�ª�N�¢N�)���N�(Ì«�a��£%¸¶�L�+� �>¢�¤�¤«��9���������)������¤N��¥�¥��������)�9��¤�¥®���-�-�Ì;º,�(Èp��� �&�J�-��ª��¸@µm���J�&��>�-�J�H×V�-�¾��������O�����TÌ­�-��£_�����¾����¥�¥��9���J����£(� ¦ ���W���m�����J�@����ª�;�����������Ì«�a��£ § Ì�¢V�W�����8�����¾���>��Ì�¢N�9����F���´�N� �­�-�9���;�a¸P¹#�-¸Ëõ[�������;�aÊË�W¤��9�����-��¤�¥��������N���a�5���-�8�������m��¥��9���¢�ª�F������>�9�9���9�9���L���6�����)Ì«�a��£ �-¥���9�¯�9�Q�9���)Èp�����&�)����ª�¯�W��¥�¥��0������ª�������c�@�J£(�+¼�)�9¢��F�������p�9¥�º½�i���m�a�´�aº�&�9��£��9���)Èp�����&�¯����ª�¯�9���)�>�9�9�-�>�W�����¾���9��Ì�¢N�9����(�W��¥�¥«Ì«�¯�����)�9��£F�����½Ì«�����6�-���9���-¸��8º��ì¼V���-�������óº���8�Y���-�N�=�9�O£F�-���â�6�9��ª����»���[�������>¢��>�i�������-�£(¤����9��Ì�¥��¶���â�>�����¶���½�9���Q���9�-�½�+¼�-�)�W�����0�â������&��>�-�J���mÌ«�-����ª(��¤�¤�¥����-��¸ÿ ��� û� ���� ú����Jö�� � ú ��� �«þ � ÷ � �­û "! �$#2���N�&%����9�)�>�¥�¢V���������´���(��¥������a���@¤��9�ÌN¥��-£,�N�9���-�' # ¨�( %���W��¥��9�(���9��¥�¢N�9���� ¦ ' ����� ( ���9�T���>Ì����9�����¾º½�9�-��¥®���9� § ¸ÖÀ�¯�W��¥�¥«Ì­�)�N�a��¥�����ªY¥����9ª��-¥�ºQ�W� ���6¥������a���@�-¥����>�9���L¤��9�ÌN¥��-£(�-¸�Ö������m���N���´��£F¤�¥������8���@�����5�´�@��a�����0��È��(�9�¥�¢N��������¯���,�9��£F¤N¥���¤��>�Ì�¥���£F�T���N�À�-��£YÌ����N�Q�9���-£ �9�%�>�¥�¼��F£(��>���-�£(¤�¥��u×=������-¸

)

Page 10: Notes in Continuum Mechanics

*�+-,/.1032�4 56587:9<;�=8>@?BAC;�DBEF*GEH=8>JI6IK-L1MCNPO/QSRUTWVXNZY\[ ]^Q`_aLCQSbCcZY\dC[ QfegYWhiTjdkQUT^elMCVCmCQncoTpRnY\eqbCc6QnN6N6rs]\QS[�Y\T^m�T^VCmt_aLCTW_PY^hTjduQfT^eMCVCmBQfc$NZLCQUT^cnv3T^VCmwRfY\exdBr�VCQF_aLCQney_aY`Y\d�_JT^r Vz_aLBQ/N6Y^[�MB_6r�Y\VSh�Y\cT{duQfT^eyOPLCr�RJLwr�NiNZr�exMB[ _JTWVCQfY\MBN6[ |RfY^e}bCcZQfNZN6Qfm&T^VCmXN6LCQfT^c6Qnm�~�$�/�J� �������U���n�x�����j�$�z�$�f�q� �k����� � �z���n�}� �l�q���q�@�����f�q���� O�Y\c6m�TWduY\M�_"VCY^_aTW_ar Y\V�r N/r V�Y\cZmCQfc"LBQfc6QW~$��Q�OPr�[�[�dkQ`mCQfT^[�r VC�wQ8 �_6QfVCNZr ]^Qf[ |}OPr _6L�]\QnRn_aY^c6NPT^VCmN6Y^e}Q¡_ar�eqQfN�OPr _aL<_aQnVCN6Y^c6Nf~}¢{h£_aQnV�_aLCQnN6QpOPr�[�[duQjOPcZr _6_6QfV<Y\MB_Sr V�]\QfR¡_aY\c¤VCY^_aTW_ar Y\V�v�NZY&¥ r�NST^VT^cZdCr _aT^cZ|}]\QfR¡_aY\cnv�Y\c"¦ r N"_aLCQSbkY\N6rs_ar�Y^V�~F¢{hiRnY\MCcZN6Q¤N6Y\eqQn_6r�eqQfN/O�Q¤OPr [�[kO"T^V3_o_aYpQ¡ �bCcZQfNZN�_aLBQfN6QY\d�§ZQnRn_6N�r V�_6QfcZe}N-Y^h�_aLBQfr�c-RnY\eqbuY\VBQfV3_aNn~F�¨QSRfY\MB[�mtOPc6rs_aQ@_aLCr N-r�V�Y\VCQSY^hN6Q¡]\QncaT^[©O/Tª|�N¤«

¥ ¬l­ ¥\® ¥\¯ ¥1°8± ¬ ²³ ¥3®¥\¯¥3°´µ ¬ ¥\®ª¶ ·¸¥\¯Z¹ ·º¥1°¡»

¼�YªO�Qn]^Qfcfv�N6r VCRfQ"O�QPL½TU]\QP_JT^¾WQfVp_aYSMCN6r VC�@N6MBdCN6Rnc6r�b�_aNF_aYSmCQfVBY^_aQ"_6LCQPRfY\eqbuY^VCQfV3_aN�O�QPRUT^Vpe}T^¾^Qh�MCc¿_aLCQncoMBN6Q^~FÀÁhO/QSc6Qn[ÂT^dkQf[�_6LCQ@¦�v:Ã�T^VCmXÄ�T� �QnN¤Å^Æ8Ç�ÆJÈBv�_aLCQnVXO�QSRfY\MC[ mXOPcZr _6Q`_aLCr NPT^N¥ ÉÊ¥\ËÁÆ OPLCQfcZQz¶¬ÌÅ\ÆJÇ�ÆJÈQ¡ �RnQfbB_o_aL½T�_�MBN6M½T^[ [ |qO/Q¤mCY\VGÍÎ_odkY^_aLCQncfv½TWVCmXOPcZr _6Q@r�VCN¿_aQUTWm¥ ÉÊ¥\ËOPr _6LÏ_aLCQXMCN6Q�Y^h�_aLCQ�r VCmCr�RnQfNjr NqMBVCmCQfcZNZ_6Y�Y�m�~ºÐ�NZr�VC�<_aLCQnN6QXr�VCmBr�RfQnNfvFO/QXRUTWVºOPcZr _aQ�_6LCQ�mCY^_bCcZY�mCMBRn_oduQ¡_ÑO/QnQfVX]\QfR¡_aY\cZN`¥ T^VCmÓÒ T^NoTjN6MCe¥ ÔÕÒ ¬ Ö× ËÙØuÚ ¥3Ë£ÒJËQ¡ �RnQfbB_�Y\VCRnQzTW�3T^r�VtO�QSmCY\V�ÍÛ_oduY^_6LCQfcnv�T^VCm�r�VBNZ_aQfT^m�OPc6r _6Q¥ ÔÕÒ ¬�¥3Ë£ÒJËK-LCr N{RUTWVÜQUT^NZr�[ [ |tdkQwQ8 �_6QfVCmBQfm�~ � e�T�_ac6rÙ ÓÝ r N`T^VÓY\d�§ZQfR¡_`OPr _6L&cZY�OPN`T^VCmÜRnY\[�MCeqVCNnvuTWVCmÜN6YRfY^MC[�m�dkQSOPcZr _Z_aQfVXT^N�ÝÞËàß�~âáÓMB[ _ar bC[�r RUTW_6r�Y\V}Y^hiTp]^QfRn_6Y\cPd3|XTpe}TW_6c6rs Ý ÔÕ¥ ¬ãÝÞËÛß¡¥�ßK-LCQnc6QzT^c6Q@cZMC[�QnNPh�Y^c-mCY\r�VB�p_6LCr�Nn~�K-LCQn|XTWc6QST^N-h�Y\[ [�YªOPN`«Å\~ � VÓr VCmCQ¡ �T^bCbkQUT^cZN-Y\VCRfQ¤Y\c"_ÑOPr RfQSr�V�QUTWRJLX_6Qfc6eXvCdCM�_�VBQn]\Qnc�eqY\cZQ`_aL½T^V�_ÑOPr�RnQ^~Ç�~PÀÁh�_aLCQ@r VCmCQ8 �T^bCbkQUTWc6N"_ÑOPr�RnQ^v½rs_-r�N"RfT^[�[ Qfm�TXä^å�æjæjç{r�VBmCQ¡ uv�T^VCm�cZQfbCcZQfN6QnV3_aN�TpNZMCeX~�ÀÁ_Pr�NRfT^[�[ Qfm�TpmCMCeqew|�r VCmCQ¡ tduQnRUT^MCNZQzrs_-mCY�QfNPVCY^_oe}TW_6_6Qfc/OPLCTW_o[�Qn_Z_aQnc-r�N-MCNZQfmÓh�Y^c-r _U~

è

Page 11: Notes in Continuum Mechanics

é�ê-ë/ì1í3î�ï ð6ð8ñ:ò<ó�ô8õ@öB÷Có�øBùFéGùHô8õJú6úûBüPýÁþ�ÿ��������������� � �������������������� ÿ������������������! "$#%#&�������Gü(')���½ÿ$����*+�����������,- ��.�����.�����/*10��Zÿ�2��3��¤ÿ����4�$��*+�`þ5�����6�������������nü7 �4�����8�������9���1ÿ�������0����`ÿ$���;:6"$<>=?#%@A#,"CB;�ED-*1F����B,GIHKJMLON � þQPQJSRT �^ÿ$�U���.VW�����X �����!���QY.0��ZÿPÿ����4�������1ÿ�� ÿZD[*[�Wÿ����\����]�U����^�0����.�^ü_\`ba\cdc>a�e�f 7 �����%�]�^þ�ÿ$���@þ5�������dVW����^1�,- ��������.�������)���.�6���������������nÿ��2�����bVW�AD�gN üWh>G?Jji�Glk�mknHo�ü!ipk�k�i�GqHWJriAGsG5i�GqHûBüWt�GqHWJjuwv�k$k�B,GqH(xzy{v.GqH_\`ba\cdc>a\|wf(} �.�d3��Sÿ$�2�WÿN ü!B,GqH,B�HEk!J~B,G�ko�ü!B,G�G?Jãû_\`ba\cdc>a���f 7 ��� ÿ�����0Bÿ$ÿ$�U�����p02��ÿ$�����;�������p����^Pÿ$�����Zÿ$�.���.��3����¡ÿ$���ÿ$�{ÿ����C�Zÿ��������$ÿ$����������0�������^O�������,�U�^ÿ%�Wÿ������Gü

�����E� ���������+�&�ýZ�/�����nÿ�0����`ý��1�.���������b�$���U�qÿ������.���CVC���C���3ÿ$�.�-�U0������/*���������D����K�jû6�Xû�*[�Wÿ����\?�����.�����1ÿ���������D�������U��3������zþ5���!�����������nÿ$����^jÿ$��^��nÿ$�U���O������ÿ$�U�1����*� ��������1ÿ����^þiÿ$�����Zÿ$�.���.�fü!'����1������û+�<û�*��Wÿ$�.�������ÿ$�����������%g 7 �2��ÿW ����� ����¿ÿ$�����W���jÿ$���������.�)���d3����������bVW�ADb���.�Sÿ�����Db��*� ����¿ÿ%���3ÿg� ��^�0����Pû4�����dVW���1o>�+3����nÿ�����h �AVW�sÿ$�9����*+ ��������3ÿ���h�G��5P�J N�� o������[�����-���.�������Wÿ$�K�ED-�¿ÿ$��*Óü�ýÁÿ�������W�����dVW���!�.���������1���-���.�������Wÿ$�(�ED-�¿ÿ$��*�VW�U���%�1�������^ÿ$�Wÿ$���¤ÿ�������0U^��1���1���U^����&�CVSü �füÛÿUüÿ����&¡2���¿ÿUüýÁþ�ÿ$�������-���.�������Wÿ$���C���tÿ$�U�O¡2���¿ÿW�������������2�Wÿ��O�.D��Zÿ���*¢���.���p���dVW�£��VW�2�Wÿ!���.�`ÿ$���4���-���.�������Wÿ$���C���ÿ$�U�6�.���������¤�5�����U�^ÿ$���¥hA¦G �§PQJ N�� o��.��g X ���6���U�.V����!���"þ§��������D��Zÿ��$����^��3ÿ6þ5���EVC�����©¨h ¦ª J h ª �����w�!x�h�«£�.���W�h ¦« J h ª �����w��¬­h�«£�����!�ýÁþ�V���VW���sÿ$�4�9*[�Wÿ����\ ® GIHCJ°¯ �����w� �.���!�¬±�����)� �����w��²ÿ$�U���bV��6�����bVW���sÿ$�`ÿ������K�.������ÿ$������������ b���!�³*[�Wÿ����\�����0��Wÿ$�����©¨h ¦G J ® GqHh�H ��ý6ýJüso��´

Page 12: Notes in Continuum Mechanics

µ£¶K·�¸p¹Aº>» ¼�¼½¿¾©À�ÁÂ�ÃUÄ�À�ÅUÆ&µ?ÆÇÁÂ%È�ÈÉ)Ê�Ë$Ì4Ë$Í2Î�Ë!Ë$ÍUÌ1Ï�ÊdÐWÑ)Ê�Ò�Ë$ÍUÌ1Ó�Î�Ë$Ï.Ô�Õ/Ö~Î�Ï.Ì6Ë�Í�Ì1×�Ê�Ó�Ø�Ê�Ù�Ì�ÙAË$Ñ�Ê�Ò�Ë$Í�Ì6Ù�Ì,Ð�Ú2Î�Ñ�Ô�Ñ)Û�Ì�×�Ë�Ê�Ï�Ñ)Ô�Ù]Ë$Í�ÌÊ�Ü�Ý]ÑEÞ�Ñ.Ë$Ì�Ó¥ß2ÔÇà¿Ì�à á£âã�ä!åUæ á ×�Ê�ÑwçÑ�Ô�Ù!ç ä á ã â ä)åUæ á£è Ñ�Ô�Ù)ç×�Ê�Ñwç äéZÙ¥ê�Ý£ß2Î9Ï�Ê�Ë$Î�Ë$Ô�Ê�ÙbÎ�Ï.Ê�ë�Ù�Ý/Ë$ÍUÌ�ì�Î>Õ-Ô�ÑCË$Î�í�Ì�Ñ!Ë�Í�Ì�Ò5Ê�Ï�Ó

Ö�îqïKð ñò ×�Ê�Ñwç Ñ�Ô�ÙWç ãè Ñ.Ô�ÙWç ×�Ê�Ñwç ãã ã â�óôöõ ÷ åî ðøÖ�îqï ÷ ïéZÙ¤ù�Ì�Ù�Ì�Ï�Î�Üúß�Ë�Í�Ì/Ù�Ì�Ðüû�ý�Î�ÕUÔ�Ñ�ÐWÔ�Ü�Ü�Ó[Î�í�Ì/Î�Ù�ù�Ü�Ì�Ñ;þ(ÿß��?ÿß��2ÿ4ÐWÔ�Ë$Í­Ë$ÍUÌ�Ê�Ü�Ý­Î>Õ-Ì�Ñ�à��KÍ�Ì�Û�Î�Ü�ë�Ì�Ñ×�Ê�Ñwþ(ÿ,ß�×�Ê�Ñ��?ÿ,ß�×�Ê�Ñ��wÿWÎ�Ï�Ì6Ë$Í�Ì�×�Ê�Ó+Ø�Ê�Ù�Ì�ÙAË$Ñ)Ê�Ò�Ë�Í�Ì1Ù�Ì,Ð Î>Õ-Ô�Ñ!Ô�Ù¥Ë�Ì�Ï.Ó�Ñ)Ê�Ò�Ë$ÍUÌ1Ê�Ü�Ý8×�Ê�Ê�Ï.Ý�Ô�Ù2Î>Ë$ÌÑ.Þ�ÑEË$Ì�Ó��Ë�Í�Ì�Ñ.Ì6Î�Ï�Ì�×�Ê�Ó�Ó+Ê�Ù�Ü�Þ+í�ÙUÊ�ÐWÙ¥Î�ÑKË$ÍUÌ� �����������������������������,à���Ò ×�Ê�ë�Ï�Ñ.Ì4Ë�Í�Ì�Ï.Ì6Î�Ï�Ì4ê;Ù�Ì,ÐÎ>Õ-Ì�Ñ�ßwÑ�ʳË$Í�Ì�Ë�Ï$Î�Ù�ÑEÒ5Ê�Ï�Ó�Î�Ë�Ô�Ê�Ù/Ó�Î�Ë$Ï.Ô�Õ[Ô�ÑKù�Ô�Û�Ì�Ù¥ÚAÞ

Ö�îqïKð ñò ×�Ê�Ñwþ(ÿ ×�Ê�Ñ��?ÿ ×�Ê�Ñ��2ÿ×�Ê�Ñwþ! ×�Ê�Ñ��� ×�Ê�Ñ��" ×�Ê�Ñwþ!# ×�Ê�Ñ���# ×�Ê�Ñ��"# óô$ ̳Ù�Ê�Ë$Ì�Ë$Í2Î�Ë4ÖjÍ2Î�Ñ�Ë�Í�̳Ô�ÙAË$Ì�Ï�Ì�Ñ.Ë$Ô�Ù�ù/Ø�Ï.Ê�Ø�Ì�Ï.ËZÞ¥Ë$Í2Î�Ë4Ö&% ÿ ðöÖ�' à)(-ëU×%Í Î[Ë�Ï$Î�ÙUÑ.Ò5Ê�Ï.Ó[Î�Ë�Ô�Ê�Ù8Ô�ÑípÙ�ÊdÐWÙ±Î�Ñ)���*��+��-,"���/. 0là

x

y

x’

y’

q

v

1�Ô�ù�ë�Ï�ÌOê2��3&Ì�×,Ë$Ê�Ï ÷ Ô�Ù/ËZÐ�Ê�×�Ê�Ê�Ï�Ý�Ô�Ù2Î�Ë�ÌOÑ.Þ�Ñ.Ë�Ì�Ó+Ñ�à465�ë�Î�Ë$Ô�Ê�Ù87§é�é%à:9<;�Ô�Ñ�Ë$Í�ÌWØ�Ï.Ê�Ø�Ì�Ï.ËZÞ;Ë�Í2Î�Ë&Ó�Î�í�Ì�Ñ�Î>=�Ï�Ñ.Ë&Ï�Î�Ù�í1Ë�Ì�Ù�Ñ.Ê�Ï?7§ÔÇà¿Ì�à�ÎOÛ�Ì�×�Ë$Ê�Ï�;(ÎOË$Ì�ÙUÑ�Ê�Ï&�Ô�Ë!Ý�Ì�=2Ù�Ì�ÑOÍ�ÊdÐ Ë$Í�Ì�×�Ê�Ó+Ø�Ê�Ù�Ì�ÙAË�Ñ)Ó;ëUÑ.Ë�Ë�Ï$Î�ÙUÑ.Ò5Ê�Ï.Ó Ô�Ò�Ë�Í�Ì1×�Ê-Ê�Ï�Ý�Ô�Ù2Î�Ë$Ì4ÑEÞ-ÑEË$Ì�Ó ×%Í2Î�Ù�ù�Ì�Ñ�à)énÒ�Ë$Í�Ì×�Ê�Ó�Ø�Ê�Ù�Ì�ÙpË�ÑK×%Í2Î�Ù�ù�Ì6Ô�Ù�Ë$Í�Ô�ÑCÓ�Î�Ù�Ù�Ì�Ï�ßUË�Í�Ì�Ê�Ú"@.Ì�×�ËWÔ�Ë�Ñ�Ì�Ü�Ò Ø�Ï�Ì�Ñ�Ì�Ï.Û�Ì�Ñ)×�Ì�ÏEË%Î�Ô�Ù/Ø�Ï�Ê�Ø�Ì�ÏEË$Ô�Ì�Ñ�ß�Î�Ù�ÝbÔ�ÙÎ�Ñ�Ì�Ù�Ñ�Ì+Ô�Ë�Ï�Ì�Ó[Î�Ô�Ù�ÑOë�ÙU×%Í2Î�Ù�ù�Ì�Ý£à)�KÍ�Ô�Ñ�Ô�Ñ�Î�Ù�Ì,Õ�Ë$Ï.Ì�Ó+Ì�Ü�Þ8ë�Ñ�Ì,Ò5ë�Ü(Ø�Ï.Ê�Ø�Ì�Ï.ËZÞ�àBA�Ü�Ì�Î�Ï�Ü�Þ¥Ð�Ì;Ð�Ê�ë�Ü�ÝÙ�Ê�Ë!Ð�Î�ÙAË�Ú2Î�Ñ.Ô�×6Ø�ÍAÞ-Ñ.Ô�×�Î�Ü�Ü�ÎdÐWÑWË$Ê[×�Ê�Ó+Ì�Ê�ëUË�ÝUÔDC�Ì�Ï�Ì�ÙAË$Ü�Þ]Ô�Ù8Ý�ÔEC?Ì�Ï�Ì�ÙAË�×�Ê�Ê�Ï�Ý�Ô�Ù2Î�Ë�Ì6ÑEÞ�Ñ.Ë$Ì�Ó�Ñ�à�énËÐ�Ê�ë�Ü�ݳÚ�ÌCÔ�Ù�×�Ê�ÙAÛ�Ì�Ù�Ô�Ì�ÙAË�Ô�Ò�F!Ê-Ê�í�Ì G Ñ&Ü�Î�ÐH75Ò5Ê�Ï�Ì,ÕUÎ�Ó+Ø�Ü�ÌI;�Ð�Î�Ñ(Ý�ÔDC�Ì�Ï.Ì�ÙAË&Ô�Ù;ÎOÝ�ÔDC�Ì�Ï.Ì�ÙAË(×�Ê�Ê�Ï.Ý�Ô�Ù2Î>Ë$ÌÑ.Þ�ÑEË$Ì�Ó]àJ(-Ê9Ë$Ì�ÙUÑ�Ê�Ï.Ñ�Î�Ï.Ì�Ì,Õ�Ë$Ï.Ì�Ó+Ì�Ü�Þ/ë�Ñ�Ì,Ò5ë�Üúà

K

Page 13: Notes in Continuum Mechanics

LNMPORQTSVU�W X-X*Y[Z]\_^*`>a2b�\"c2d�L�de^*`�f-fgih jlknm-o<prqDsut vwj�x2t y�z�{|j}o ~�t���p-s�mro<p-��jnp�m-jlv�s�o<pl�&t v2��p-jn�"�2q|p-jnsro<v�j8��y�t�m-p-qEx�~�o<puqEm�sm�p-t v�s�~�o<p-y�t�m�qDo<vN��q���j � �T���� � ��� � �g�s-kIt�{�t p&q|s�t v}j�x2t y�z�{Dj�o�~6t��njlp�o�o<p���jlp&m�jnv�s-o pl���P��j�klo<y�z/o<v�jlvVm? ro ~�t�s�kIt {|t p&q|sPm���j�s�t�y�jq|v}t vV¡¢kno�o p-��qDv�t�m�j>s�¡"s�m�jny8��qe�[j��   � �  �P��qDsJs���£<£<jns�m�s�m���t�m�t¤s-jnklo<v2�uo<p���jlp�m�jnv�s-o<p¥p-jn�T��q|p�jls�m§¦Ro��¨y�t�m-p-q|knjlsn�©�P��qDsJqDs¥qDv���jnjl�ukno<p-p�jlk�mI�ª o<p6q|v2s�m�t�v�klj���qE~�« t v�� � t p-jPh jlknm-o<p-sn��m-��jlv�¦Rj�kIt v�s-�2o_¦wm���t�m�m-��jlqDp¥z2p-o"����knm¥« � � � q|s�t¤s-jnklo<v2�p�t�v�¬um�jnv�s-o pl��­/jlkIt���s-j�q|v¢m��2j�v2jn¦®kno�o p-��qDv�t�m�j>s�¡"s�m�jny

« �� � �� �°¯ � �²± « ±l³ ¯ � ��´ � ´D³ � � �²± � ��´ ¯ « ± � ´D³µ o�t¶£<jlv�jnp-qDk�·�v��}p�t v�¬�m�jlv2s-o<pPm�p-t v�s�~�o<p-y�sP{|qD¬ j¸m��2q|s>¹º ��»� � � �¼± � ��´ º ±�´ ¯�½-½ �[¾ ³

¿¢ÀTÁ©Â!Ã�Ä_Ã�Å/Â�Å�Æ�ÇÉÈRÀ"Â!ÊlÅ�Ë¢Ì gHm-jlv�s�o<p�qDs�t v�o<­"Í�jlk�m�¦&��qDk��¢q|s¥q|vVh�t p-q|t vVmR��v2��jlpJp-o m�t�m�qDo<vuo ~m��2jÎklo"o<p���q|v�t�m�j�s�¡"s�m-jly ¯ q|v}~�t knml�Ï�2v���jlpÐt vV¡}k���t v�£<jÎo ~6klo"o<p���q|v�t�m�j�s�¡"s�m-jly ³ � ª o p�m-��q|s&m�o�­Ïjm��2j�klt s-j���qDm�sPkno<y�zÏo<v2jlvVm�s&y)��s�mPm�p-t v�s�~�o p-yÑt knklo<p���q|v2£¶m-o�t�p���{|j>s���k��Òt s ¯�½-½ �[¾ ³ �ÓÕÔ×ÖÕØ�Ø�ÖDÙ�Ú �P��j�s�m�t�m-j¤o ~©s�m�p�jls-s?t�m�tBz/o<q|vVm�Û°qDsP£<qDh jlv}­T¡

Ü�Ý � Þß · àз áื â · áá á à â ·ãä

¦¤��pl��mI��m-��j?��p-s�mJklo"o<p���q|v�t�m�j�s�¡"s�m-jly}�6gHs�jlklo v��¢klo"o<p-�2q|v�t�m-j&s�¡"s�m-jlyåq|s¥q|vVm�p�o����2kljl���"¦&��o s-j?æ � �ç"ç � t v��8è � t�x�jls�t p-j¤£<qEh<jnv}­V¡Þß á éê ëéê ëãäíì Þß éê ëéëà éë

ãäíì Þß à éê ëéëà éëãä

î ��t�m?t p-j¸m-��j¤klo<y�zÏo v�jlvVm�s�o ~ Ü �Ý ¯ Ü�Ý q|v¢m���j¤v�j�¦®kno�o<p���q|v�t�m�j>s�¡�s�m�jny ³�ï

ð

Page 14: Notes in Continuum Mechanics

����������� � � ���������������� �!��"��$#&%('*)+�-,.���/'*"0%1�2�3���4"5'6�7,.�809 :<;>=6?A@CB;EDF: G H IKJL@NMO:LB3IPD H ;Q;R9SB6DFIT@NMU:VXW�Y[Z]\ ^`_ba c�d�egfihkjmlgnl*o�e�p6q4rtsup�q�v6wyx3qzr<s{x3q�v|�}4~�e���d��+o6�ge�hS���+�����3q��6w5�2q��6w[�3q4r+p�s��3qzr��

��������� ���+���O� �X�(�(���������U� ���+���O� �X�(�(��� �¡¢��£$}¥¤¥¤`�§¦.lg�§¦N¨�©i¤¥e2e���}¥o�nul*¦N��ªU��e�¤4f6¦«}4e�o��t¦�eX¬���eg¨�¤¥�­~��<e*®¯�+¤°l*��¦«}4±+}z¦7©�q�|�d��­���²lg���³�u¤¥}¥~²}4¦�}¥o�n± l*���+�N£$d��­���³¦«d��´��e�¤¥f6¦�}¥e�oO£$}4¤¥¤µ¨¶���*ª�q³|�d6�´·�����¦L±­e������+��¬ye�o�ª6�N¦�e&¦�d[l*¦Neg®�lgo¸}¥o3·[o�}4¦��+¤z©¹¦�d�}¥o¬�¤¥l*¦«�*wm£$d�}¥±.dP£º�{± lgoK¦«lg�g��¦«eU¤¥}4��}4oK¦«d���»5¼¢¬�¤¥lgo��*w�£$}4¦«d¢¦«d���lg¬6¬�¤¥}4�+ª¢®!eg��±+�­�´lg¤¥��eO¨y�+}¥o6nO}¥o¦«d6}¥�²¬�¤°lgo6�gq>|�d�}4��}4~�¬6¤¥}¥�­��¦«d[l�¦�¦�d��¹ego�¤4©½±­e�~�¬ye�o��­o¦«�²eg®���¦����­���u£º�Olg���¹}4o¦«�+���+�§¦«�+ªb}¥o¾lg���¿�À2Á »`«¼�Ã� ¿�ÄgÁ »`«¼6Ã�Â�Å À.Ä*Á »`«¼�Ã�q(|�d�}¥�$}4�����­®!�­�����+ª�¦«e²lg�ÇÆyÈzÉgÊÌË<Í�ÎÐÏ.Ë.Í.Í�q

Ñ ¦¯¦«d��Òe�¬�¬ye���}z¦«����Ó3¦����­~���£º�Ô±+lgo�±­e�o���}¥ª��­�1¤4elgª�}4o�n��(e�o²lgo²}¥o3·[o�}4¦��+¤z©C¤4e�o�nN¬���}4��~Fs�®!e��(}4o3Õ��¦«lgo�±­�$®!eg�¯l�¦�f�¨y��f�o�ª��­�1¬6���+����f����gq(Ö×®y¦«d��$¬���}¥��~�}¥�¯l*¤¥e�o�nÔ¦«d��ÒØLl�Ó3}¥�+w�¦�d��+o²lgo©³ª6}¥��¬6¤°lg±­�+~²�+o¦«�lg���L}4oX¦«d���»5¼X¬6¤°lgo��*w[��eÙXÚQÙ Á »`Â�¼�Ã�Â Û Ú Û Á »`«¼6Ã�Â Ü ÚRÝ

Þ[��e�~ߦ«d�}4�à Ä�á Ú â Û

â Øuã â Üâ ¼

ÚäÝà À�á Ú â Ù

â Ø ã â Üâ »

ÚäÝ Á Ö�Ö�Ö.qzr�Ãå�á Ú â Ü

â ØÚäÝ

Þ[��e�~çæÔe2e��g�*è��Ôé`l £R£º�L±+lgo&��d�e�£¿[á Úëê Á!¿�À ã ¿�Ä Ã Á Ö�Ö�Ö.q���Ã

lgo�ª¹lg¤4��e Å À�á ÚäÝ Â Å Ä�á ÚQÝì o�±+�Clgnlg}4o&¦�d�}¥�Ò¬���e�¨�¤¥�­~�}¥�$®!f�¤¥¤z©{ª���·[o��+ªUego�±+�L£���d[l í��C®!e�f6o�ª ¿�À2Á »`«¼�Ã� ¿�ÄgÁ »`«¼6Ã�Â�Å À.Ä*Á »`«¼�Ã�q|�d�}4�³��¦.l�¦«�{}¥�C���­®!�­�����+ª½¦«e¸lg�CÆyÈzÉgÊÌ˲Í�Î Ï�Égî/Ê[q ì ®Ò±­e�f������gwºlgo½}¥o6·�o�}4¦��+¤4©T¤4e�o�nO¨ye3ª3©K}¥��lgoïlg¨3Õ��¦��«lg±�¦«}4e�o�w2}¥o�¦�d��t��� lg¤5£ºe���¤4ªu£��tlg���Ò¦.lg¤4��}¥o�n�lg¨ye�f6¦Ç��� lg��e�o[lg¨6¤4©²¤¥e�o6n�¨ye3ª6}¥�+�¯£$}4¦�dX�+o6ª��+q¯Ö×®`lgolg¬�¬6��e�¬���}°l*¦��<��¦����­��� ¿[á }4�$lg¬�¬�¤4}¥�­ª{lg±+��e�����¦�d����+o�ª6�Òd6e�£º�­íg�+�$¦«d�}4�Ç}¥�$l���� lg��e�o[lg¨6¤¥�Nlg¬�¬6��e Ó3}¥~�l�Õ¦«}4e�o�q

|�d��+���L¦7£ºe²± lg���+�$¦«d��­���­®!eg���N���­¬����­���+o¦Ò¦«d��N��Ó3¦����­~��­�+w�£$d��­o¹¦«d6����¦«���+�����+�tlg���Nl*±­¦«}4o�n´}¥o&�*ªÁ ¬6¤°lgo����§¦«���+���«ÃÒl*o�ª{£$d��+o&¦«d��N��¦��«lg}4o��$lg����e3±­±+f�����}¥o6n²}4o&�*ª Á ¬�¤¥lgo�����¦��«lg}4o5Ã�qm|µe²��¦«lg��¦�£$}z¦«d{£��£$}¥¤4¤Ì±­e�o�±+�­o¦«�«l�¦«�Le�o&¦�d��N± lg���Neg®m¬6¤°lgo����§¦«���+���­qðòñ�óòô�ô�ô�óÐõö(÷ �+��}zí����­ø2f�l*¦«}4e�o�� Á Ö�Ö�Ö.q���Ã�w Á Ö�Ö�Ö.q���Ã�qðòñ�óòô�ô�ô�ó4ù�ö(÷ �­·[o��N¬�¤¥lgo����§¦«�«l*}¥o�w[l*o�ª¹ng}4í�����e�~²�L��Ó6lg~�¬6¤¥�+�­q

r

Page 15: Notes in Continuum Mechanics

ú�û�ü�ý�þÿ�� ������������ ��������� ���������� �!�#"$���%� �&�' ( )�*�+�,�-"$�././.10�2 3547698;:�<>=�?A@B=DCE35F!8G@H:�<JIK<>:ML <J? 2ON

x

y

h

k 1

2

3

4

σσ

τ

τ

x

xy

xy

x

PRQTSVU�W�XGYVZ\[^]!_a`cbd_ae�X!egf�_VhHh�_aW�]!X!iKjV]�fkQ*e�SD_ae^jli�`mjVn*noX>nTX!`cX!egfK_VhHfkp�Xrq�_V`mjVQ*eMs,Q*e�t qMuv&Xw]Jj exq�X>W�QzyaXrfkp�XrX!{U|j�fkQT_Ve�i}_ hRX>{(U,QTnTQ*~�W�Q*U�`�Q*ext qxQ*e�jci�QT`cb�nTX�`�jVe�e�X>W!s|~g��jVb�b,n*�(QTe�Scjh�_aW�]!XG~|j n�jVe�]>XOfk_�j�i�`mj nTnHW�X!]�f$jVe,SaU�n�j W�X!n*X!`cX!egfc�%�|SaU�W�X�Y���ur�-eAfkp,XO[&q,QTW�X>]>f�QT_ae9e,_aW�`�jVn1�������jVe�q�i�p�X!jVW������$�J��i�f�W�X>i�i�X>i1`GU,i�f�~|jVn�j e�]!X u/�-e7t qDfkp,XKh�jV]>X�j W�XJj i']>_aW�W�X!i�b�_ae,qmfk_rfkp�XKi�Q*q�X!i'_Vh�fkp�XW�X>]>fkjVe�San*XVs�i�_�Q*e�f�p�X�[9q�Q*W�X>]>fkQ*_ae���X;p|jJyVX

�������k���G���������#���r�������$�!�����D�������$�J�-�>�m���h�_aW�jl]Jj i�Xr��p�X!W�Xwf�p�X!W�X;j W�X�e�_c~�_(q,��h�_VW�]!X>iKjVb�b�n*QTX!qouRv&Xr]!jVexW�X>��W�Q*fkX�f�p�QTi�jVi

�������k�/������� ���� � �����$�J�#�����%�>�$�!�-�� ����-e�fkp�XrnTQ*`�Qzf j i��M¡��D¢ �l��XwSaX>f£f�p�Xrb|jVW�f�Q�jVn�q�Q*¤�X!W�X!egfkQTjVnMX>{(U�j fkQ*_ae

¥ ���¥ [ � ¥ �>�$�¥|¦ �§�¥ ���¥+¦ � ¥ �>�$�¥ [ �§� �������$u�¨g�

��Q*f�p7fkp�Xri�X>]!_ae,q^X!{U|j�fkQT_Ve�]>_a`cQTe�SGh�W�_a`©jGh�_aW�]>Xr~|jVn�j e�]!XrjVn*_ae�SGf�p�X ¦ q�QTW�X!]�fkQT_VeMuª£p�QTiKSaQzyaX!i}tlX!{U|j f�QT_ae,i�h�_VW�¨cU�e,«(e,_���e^{(U�jVegfkQ*f�QTX>i!s|i�_D��X;e�X>X!q^jVexX�¬(fkWkjcX!{U|j f�QT_ae7h�W�_a`i�_V`�X���p�X!W�XVu�ª£p�Q*i­]!_a`cX!iKh�W�_a`B]!_Ve�i�Q*q�X!W�QTe�Scfkp�XGq,X>h�_aW�`mj f�QT_aex_Vh�fkp,XG~�_(q,�VsoQ�u®XVuKfkp�XOi�fkW�jVQTe,i!u�-e^t q�b�W�_a~,nTX!`ci ��X;p|jJyVXO¨li�f�WkjVQ*e�]!_a`cb�_Ve�X!egfkirZ

¯ �­� ¥|°¥ [ ¡ ¯ �K� ¥|±¥|¦ ¡ ²�$�K� ¥+°¥|¦ � ¥+±¥ [t

Page 16: Notes in Continuum Mechanics

³M´£µ1¶·g¸�¹ º�º�º�»�¼½�¾�¿�À�Á�Â�Ã�¿�Ä�¾�Å�Æ�Ç È!Â#É$¾�Ã%Ç Ä&Æ'¿(¿)½Ã*Ä+Ç,Â-É$¾Ê­Ë*Ì�Í!Î�Í!ÏgÐkËTÑ ÐkË*Ï�ÒmÐ�Ó�Í!Ô�Í�Í>Õ(Ö�Ñ ÐkË*×aÏ�Ô;ÑVÔ�Ø�×aÙTÙ*×�Ú�Ô>ÛMÐkÓ�ÍlÜ|Î�Ô�ÐwÐ-Ú�ËTÝ>ÍDÚ�ËzÐkÓÞÎ�Í>Ô�ßdÍ!Ý�ÐOÐk×�àdÛáÐkÓ�ÍDÔ�Í>Ý!×aÏ,âÐ-Ú�ËTÝ>Í�Úrã®Î!ãäÐJã/åxÑVÏ�â�Ð�Ó�Í}Ð�Ó�ËTÎ�â�×aÏ�Ý>Í�Úrã�Î>ã®Ð!ã�åæÛ,×aÏ�Ý>Í�Úrã®Î!ãäÐJã�àdÛ,ÑVÏ,â�ÐkÓ�Í>Ï7Ý!×açGè,ËTÏ�Ë*Ï�Ò;Ð�Ó�Í!çéÒaË*êVÍ!ÔÐkÓ,ÍwÍ>ÕÖ|Ñ ÐkË*×aÏ ë|ì í�îë à ìAï

ë|ì í�ðë å ìòñë|ì ó î$ðë å ë à ô�õ�õ�õ ã®ö÷

ø£Ó�Ë*ÔKÍ>ÕÖ|Ñ ÐkË*×aÏ�ËTÔ£Ý!ÑVÙTÙ*Í!â7ÐkÓ�Í�ù$ú�ûdüVý%þ�ý�ú�ûÿú��Gù$ú������Vþ�ý�!ý� ý%þ ��ãø£Ó�ËTÔ1ÒaË*êVÍ!Ô1Ö,Ô£ÑVÏ�×VÐ�Ó�Í!Î�Í!ÕÖ|Ñ Ð�ËT×aÏcÐk×GÔ�×aÙ*êVÍVÛ)è�Ö,УË*Ïm×aÎ�â�Í!Î'Ðk×Gâ�×OÔ�×OÚ�Í­Ï�Í>Í!â�Ðk×OÎ�Í>Ú�Î�Ë*Ð�Í}ÐkÓ,ËTÔËTÏDÐkÍ>Î�çcÔ\×VØoÐ�Ó�Í}Ô�ÐkÎ�Í!Ô�Ô�Í!Ô>ã��|×aÎ\ß�ÙTÑVÏ�Í�Ô�Ð�Î�Í>Ô�Ô\Ú1Í}ÝJÑVÏcÖ�Ô�Í}Í!ÕÖ|Ñ Ð�ËT×aÏ,Ô ô�õ ã��a÷�Ð�×;Î�Í!Ù�Ñ�ÐkÍ£Ô�Ð�Î�Í>Ô�Ô�Í>Ô£ÑVÏ�âÔ�Ð�ÎkÑVË*Ï�Ô�ÑVÔ£Ø�×aÙ*ÙT× Ú�Ô��

í�î ñ �� ô� î���� � ð ÷ í�ð ñ �� ô�� ð���� � î ÷ó î$ð ñ � ô � ï � ÷� � î$ð ñ � � î$ð ô�õ�õ�õ ã�!a÷" Ö�è,Ô�ÐkËzÐkÖ,Ð�ËTÏ�ÒDË*Ï�Í>ÕÖ|Ñ ÐkË*×aÏ ô�õ�õ�õ ã®ö÷�Ú1ÍrÜ|Ï�âë ìë à ì ô�� î���� � ð ÷ ïë ìë å ì ô� ð���� � î ÷ ñ � ô � ï � ÷

ë ì � î$ðë å ë à ô�õ�õ�õ ã$#g÷�RË*Ï|ÑVÙTÙ&%OÚ�Í�ÝJÑVÏmÍ!ÙTË*ç�Ë*Ï|Ñ Ð�Í ÐkÓ�Í�Ð�Í!Î�çéË*Ï � î$ð ×VÏmÐkÓ�Í�Î�Ó�Ô>ã õ ØáÚ1Í­â,Ë*Ì�Í!Î�Í>ÏgÐkË�Ñ�ÐkÍ�ÐkÓ�Í�Ü�Î�Ô�Ð1Í!ÕÖ|Ñ Ð�ËT×aÏô�õ�õ�õ ã$'g÷�Ú�Î�Ð!ã�åæÛ+ÑVÏ�â�ÐkÓ�ÍrÔ�Í>Ý!×aÏ,âxÚ�Î�Ð�àdÛ|ÑVÏ,â^ÑVâ,â�Ð�Ó�Í!ç�Û,ÐkÓ,Í!Ï�Ú1ÍwÒaÍ>УÐ�Ó�ÍrÍ!ÕÖ|Ñ Ð�ËT×aÏ

�ë ì � î$ðë å ë à ñ �

ë ì � îë å ì �ë ì � ðë à ì

ÑVÔKÑVÏ�Í)()ß�Î�Í!Ô�Ô�ËT×VÏxØ�×aÎ+*),.-/10* î * ð ã " Ö,è�Ô�Ð�Ë*ÐkÖ)ÐkËTÏ,Òcè�ÑVÝ32�ËTÏ ô�õ�õ�õ ã$#g÷�Û,Ú1ÍrÜ|Ï|Ñ ÙTÙ4%cÜ|Ï�â5 ë ìë å ì ï

ë ìë à ì76 ô� î ï � ð ÷ ñ98 ô�õ�õ�õ ã�:a÷;<;<;>=3? @BADCFEFGIHKJ<L MNADEFGFOQPROSADEFTU ÍwÏ,×�Ú�Ó|ÑJêaÍ;ÑlÔ�Í>Ð}×VØV'lÍ!ÕÖ|Ñ Ð�ËT×aÏ�Ô£Ð�×cÔ�×aÙ*êVÍ�Ø�×aÎW'lÖ�ÏX2Ï�× Ú�Ï�ÔY�ë � îë å ï

ë � î$ðë à ñ 8ë � ðë à ïë � î$ðë å ñ 8 ô�õ�õ�õ ã$Zg÷5 ë|ìë å ì­ï

ë|ìë à ì76 ô� î ï � ð ÷ ñ 8ø£Ó�Írß�Î�Í!Ý!Ë*Ô�Í�Ô�×aÙTÖ,Ð�ËT×aÏ�Ðk×GÐkÓ,Í!Ô�ÍrÍ>Õ(Ö�Ñ ÐkË*×aÏ�Ô Ú�ËTÙ*Ù�â,Í!ßdÍ!Ï�â�×aÏ7ÐkÓ�Í�Ë*ç�ßd×aÔ�Í!â�Ø�×aÎ�Ý!Í!Ô£×VÏ�ÐkÓ�Í�×aè\[�Í!Ý>ÐÚ�Ó�Ë*Ý$Ó Ñ Î�ÍGâ�×VËTÏ�ÒmÐ�Ó�ÍGâ�Ë*Ô�Ð�×aÎ�Ð�ËTÏ�Ò�Û�Ë�ã®ÍVãr×aÏ9Ð�Ó�ÍGèd×aÖ�Ï�â|Ñ Î]%9Ý>×aÏ�â�ËzÐkË*×aÏ�Ô!ã " ß�Í>Ý!Ë*Ü�ÝJÑVÙ*Ù4%�ÐkÓ�ÍlÔ�ÐkÎ�Í!Ô�ÔÝ!×Vç�ßd×aÏ�Í>ÏÐ�Ô'Ñ Ð�ÐkÓ�ÍKÔ�Ö,Î�Ø�ÑVÝ>ÍK× Ø�Ð�Ó�Í�è�×(â�%lçGÖ,Ô�Ð'è�Í�Ë*ÏlÍ!ÕÖ�ËTÙ*ËTè�Î�ËTÖ�çEÚ�Ë*Ð�ÓlÐkÓ�Í�ËTçcßd×aÔ�Í>âcÍ^((ÐkÍ!Î�Ï|ÑVÙ

'

Page 17: Notes in Continuum Mechanics

_a`�b>c\d7e�f g]ghg^i$j\kml)npo.qXr s�nptXlWuwvRxzySr�{3l]s�xzt|v}n~n�k\s4t�x�r1{3l

dA sina

adA

cos

t

s x

xy

dA X

n Fa

a

�V�4���X�]�����������h�Q���X���������S���������X���]�S�Q�h���������W�������X�������� ¡ ���]�S�S¢Q <£|�W�S���m���¤���X¥W�&�§¦¨�§¦X�4¢R�������z�X�S�W���+�h¦X�W¢§��©D��¥ª�¤�D��¢R¥����X�4� ¡ ���<�§¦X�«���7�h�S�h�X���X���������X�Q��¬�7�D�S���X¢]���X�Q�h�4�X���h¦X� ¡ ���h�Q�S¢}�)­��S���§�S�����D�h¦X��¢]©®�z���X�§�]������������¢]¦X�¯¥W�°���+±������h���~ V£|�����]�«�4����²~�4�X��z�¨�F¢]©®���4�ª���]�¤�I� ¡ �h¦X���������X�������´³7µY¬R¥W¦X�4�3¦�©m��²z�S¢¨�X¶´�§¦X��¦7�~¶·���§�Q�~��¢h�w� ¡ �h¦X�°�§�]�����������z ¸ �4©m¶X�4�>�§�]�������X��©D�Q�§���Y���4¹��Q¢>³7µF�Q��¢�º»���X�m³7µF¢h���ªº¼�z¢��h¦X�«���h�S��¢�� ¡ �§¦X�«���§¦��S�R�1¥>��¢h�4�X�S¢Q¬~¥W�&�§¦º����Q���X�¨�§¦X�Y���X���4�½���)�1¥>�Q�S�I�§¦��¾�X���h©m���a�§�®³\µ¿���X�w�§¦X���F�X�4�h�S�)�§�4���a ªÀ�¦\�X¢�� ¡ ���]�S�Y�X���������S������h¦X���I�X�4�h�S�)�§�4����¢h¦X�¯¥W¢W�§¦����

³7µ�ÁXÂÃ�S��¢�º°Äų7µ�Æ)Â3Ça¢]���«º»È9ÉÊÂ¥W�4�h¦»ÉÊÂ+�·�S�4�X�®�h¦X�+��©D¶���¢h�S� ¡ ���h�Q�K�S��©D¶·���X�S�7���4���§¦���¢������h�Q�Q�h�����a ½Ë��&¹~���X�4�X�D�h¦X�h���X��¦F�7�I³7µ���X��¥W�h�&�§�4�X� Ì ¡ ���ª�§¦X�½¢]�X� ¡ ���Q� ¡ ���h�Q��¶·�S�W�X���4�«���]�¤�+�����§¦���¢��X�4�h�S�)�§�4���a¬�¥��½¦��¤¹��

ÌÍÈÎÁXÂÊ�S��¢�º�Ä�Æ)Â3Ça¢h�4�Wº ÏÐ]ÐhÐ3 $Ñ7Ò���X�w� ¡ �S�����h¢h���¨¢h�4©m�4�����}�SÓ\���z�h����� ¡ ���ª�h¦X�½Ô°�X�4�h�S�)�§�4���

ÕÖÈÎÁXÇa¢]���Wº�Ä´ÆQÂ3Ç×�S��¢·º ÏÐ]ÐhÐ3 &دÙ7ÒÚ<Ú<Ú>Û�Ü Ý°ÞRßRà�á<áãâ7äFåFæ�ÞRçQèmå¸ ���&¹~���X�Wé�¶·�X��êë¢Ã¢h��©Y�X�4�§���X�S���X¢h�&���4¢a¹��S�����X�Q©®�����X���X�� ÊÐì�Ã�h�X�h�X¢í�����Ã�§���·�}�S��¢h�4�S�í� ¡ ¥������7�§�]�����X�S��½�X�Q¥ ¡ �X���Q�§�4���®î��S�����4�S�¨�§¦X��ï)ðñ3ò3ï3ïÊó^ô~õ×ö)ð ÷.ø�õ°Ï¢]��©m�)�§�4©m�Q¢��h¦X��ù�÷�ñ)ú½ï)ð ñ§ò3ï3ïÊó^ô~õ×ö)ð ÷.ø�õ~Ò^ R�����R�§¦X�¢h�4©m¶������S��¢h�½�§¦����«¥��¾���h�½�S���X¢h�4�X�S�]���X�D¦X�S�]��¬�¥W¦X�Q�h�½�§¦X�Q�h�¾���h�½�X�D���~��� ¡ ���h�S�Q¢S¬�¥��¾�S���û���Q±��X�î�¢h�¨�§¦X�z� ÁXÂ�ÈBü�ý îü Ô ý�þ ÁXÇ�ÈBü�ý îü � ý�þ ÆQÂ3Ç«ÈÖÿ ü�ý îü � ü Ô ÏÐ]ÐhÐ3 &Ø�ØpÒÐ ¡ ¥��½¢h�X��¢]�§�&�§���h���§¦X�Q¢h���h�S���z�§�4���X¢ª�4�7�§�¨�SÓ\���z�h�����|ÏÐ]ÐhÐ3  � Ò��§¦��S��¥>���S�X��¥W�4�h¦��§¦X�½�SÓ\�����§�����

ü�� îü � � ÄÅ� ü�� îü � ý ü Ô ý Ä¿ü�� îü Ô � È9Ù ÏÐ]ÐhÐ3 &Øp��Ò�

Page 18: Notes in Continuum Mechanics

����� ����� ��������� �������! �"$#%��&��('*),+.-/"102��#3+.&4)5�6�7� #8&9+:";02�

<>=@?�ACB�DE=@F�F�G@H7BJI�K8LMKNLE?�=OBP.LMQRPOSTPOL�K8BMU8=7=OV6LXWZY[?:=OBJI�\XF�D�P]G^=O_`D(F�KaBJKN?:bcBJI:KNL�K8LEB�=dKN?�BJF�=7S�e:f/\gP?�\�Dh=@ij\/FJP�BJ=@FXH:BJI�\lkam�njkam6o�pqmOrsut�v w t

w�x t>yw twRz tKN?{D(I�K8f2I|f/POL�\}KaB(f~PO?*Q�\gD(F�K8B�B�\/?*POL

sut2sut��{v��

���T���]�]���8���5� F�=��O\cB�IRP.B>��P.L�S�\��R?�\XS�Q�G|\X� eRP.BJK8=@?�L��q�����2Wa�@���MLJP.B�KNL��R\/L(BJI�\�\/� eRP�BJKN=O?�L�=._Z\/� e�K��U8KNQ�F�KNe����q�����2W�����W�4\gf/PO?��$PO?:STD(K8UNU���L�=@U8�O\>BJI�K8LM\/� eRP.B�KN=@?{K8?TP ? e�� Qj\/F=O_`D�P]G6LXWE¡I�\g\/POL�K8\/L�B(KNL�B�=d=@Q�L�\XF��O\BJI�P.B¢Puij=@UaG7?:=@��KNPOU9_%e�?�fXB�KN=@?T=O_Z£.?�S*S�\Xb@F�\X\OHRK!W¤\OW,=._¥B�I�\g_%=@F��

� t v§¦ t£ x t y©¨ t x9z y«ª t£ z tKNL}PTL�=OUNe:B�KN=@?¬�®­�e�L�B�L�e:Q�L�B�K8BJe7BJ\uK8B}KN?¯B�I�\l\/� eRP.B�KN=@?9��W�°7e�f2I±PTL�=OUNe:B�KN=@?�B�e�F�?�L�=@e:BgB�=|Qj\d�@\XF�Ge�L�\X_%e�U5_%=@F�f/POL�\XL KN?��@=OU8�6KN?�b|UN=@?:b²F�\XfXBJPO?�b@e�UNPOF�L�BJF�KNi�LXW|��\^f/PO?³\~POL�KNU8U8G¯L�I�=]D´B�IRP.BcBJI�\µL�BJF�\/L�Lf/=O��ij=@?�\X? B�L¢POF�\

¶�· v ª t/¸¶�¹ v ¦ t]¸ º ·2¹ v«» ¨ tL�=¬BJI�K8LTKNLTP©L�=@UNe7BJKN=O?¼D(I�\/F�\�BJI:\�L�BJF�\XL�L�\/L¯POF�\�e�?�K8_%=OF��*W§½[_�f/=@e�F�L�\�BJI�\�_%e�?�f�BJK8=@?¾�hPOU8L�=IRPOL(BJ=uLJP�BJKNL�_3GµBJI:\cQj=@e�?�S�POF�GTfX=@?�S�KaBJKN=O?�L/HRL�=�BJI:KNLD�=Oe�UNS*Q�\cPOi�i:F�=@i�F�K�P.B�\>_%=@F¢Puf/POL�\�D(I�\/F�\ PF�\XfXBJPO?�b@e�UNPOF`Q�=6S:GgK8L`\�¿7i�\XF�K8\/?�fXKN?�b[P¢e�?:K8_%=@F���BJF�POfXB�KN=@?g_%=@F�f/\5=@F`e�?�K8_%=OF��hPOi:i�UNK8\/S}L�I�\/POF/WZ½[_3BJ\/?I�=]DE\X�@\XF¢DE\}D(KNUNU9D�PO?�B¢B�=dD�=@F�VµKN?µB�I�\}=@i�ij=@L�KaBJ\>S:KNF�\XfXB�KN=@?�WZÀ9=OFKN?�L�B2PO?�fX\OH�Ka_Á=@e�FF�\XfXBJPO?�b@e�UNPOFL�B�F�K8iµKNL5\�¿7ij\/F�K8\/?�fXKN?�b P�e�?�Ka_%=@F��ÂfX=@��i:F�\/L�L�Ka�@\[_%=@F�f/\�=O_¥ÃOÄ>Å�� t KN?�B�I�\ x S�K8F�\XfXBJK8=@?µP�B�=@?:\>\/?�SPO?�STBJI:\�L�PO�u\gKN?{BJI�\l» x S�K8F�\XfXBJK8=@?*P.BBJI:\�=.BJI�\XF¢\X?�S�H�B�I�\/?TD�\�V ?�=]D

¶�· v ª tv�ÃOÄ>Å.� t ¸ ¶�¹ v º ·2¹ v��

PO?�S*L�=l=@e:F¢L�BJF�\/L�L(_%e�?�f�BJK8=@?TKNL �{v¾£6ÆÇà z t���T���]�]����È9� °7I�=]D�B�IRP.B(BJI�\}ij=@U8G6?�=O��KNPOU

�jÉEv ¦ É�:Ê xÉy ¨ É£ x t z y ª

É£ x9z t y

Ë É�:Ê z

ÉK8L¢PuL�BJF�\XL�L[_%e:?�fXB�KN=@?�W5�Ì_�POU8UÍBJI:\cfX=@?�L�BJPO?�BJL�\�¿7f/\Xi:B Ë É�DE\/F�\�L�\XB¢BJ=uÎ/\/F�=^K8?*B�I�KNLXH�D(IRP.B¢D�=@e:UNSB�I�\}L�B�F�\/L�L�i�P.B�B�\/F�?*f/=OF�F�\XL�ij=@?�S*BJ= Ï

Ã

Page 19: Notes in Continuum Mechanics

Ð�ÑÒ�Ó Ô�Õ�Ö ×�×�×�Ø�Ù Ú�Û�Ü�Ý!Þ�ß$à%Ü�á�Û(â*ã,ä.å/ß1æ2Û�à3ä.á4ã5Ü6Ü7Ú à8á9ä:ß;æ2ÛçZçZç�è�é ç`êµë�ì>í5î¥ì ï ì�ð,ñ�òTóô7õ@ö8÷:øJù8õ@ú¯õOû5øJü�ýdýXþ ÷Rÿ.øJù8õ@ú��}õOûEý/öNÿ���ø�ù��/ùaø��|û%õ���@ù�Oý/ú ��õ@÷:ú��Rÿ������/õ@ú���ù8ø�ùNõ@ú��[ù��>û���ýXþ ÷�ý/ú�øJö���@ý������ù����X÷�ö8ø�øJõ���õlùNúTÿ���ø��JÿOù��@ü�ø�û%õ����Mÿ������^ÿ.ú�ú�ý ��!�ù#"¤ý�"$�%�&��õ@ö�6ù8ú�� øJü�ý�:ùNüRÿ�����õOú�ù���ý/þ ÷Rÿ.ø�ùNõ@ú*ÿOú��øJü:ý/ú{ùNú�ø���õ'��÷��/ù8ú���ø�ü�ý(�jõ@÷�ú��Rÿ������/õ@ú��:ù8øJù8õ@ú���"$)*��ý/þ ÷�ýXú�øJö�����ý+�(ùNöNöj÷���ýgÿ�øJý��2ü�ú�ùNþ ÷�ý, ú�õ-�(ú*ÿ��øJü:ý/.10*2�35476-38935:1;*< =�!7ù8ú9�(ü�ù��2ü&�Eý>�(ùNö8ö?��ø2ÿ���ø@�%�9�O÷�ý ����ùNú���ÿA��õ@ö8÷:øJù8õ@úB!'��ü�õ-� øJüRÿ.øEøJü�ý�O÷�ý ���ù��ÿ/��õOöN÷:ø�ùNõ@ú^ø�õ øJü�ý>��ùNüRÿ����uõ@ú�ù���ý/þ ÷Rÿ.ø�ùNõ@úC!�ÿOú��µø�ü�ý/ú&DRú��*õO÷:øE�(üRÿ.øF�jõ@÷�ú��Rÿ����9�/õ@ú���ù8ø�ùNõ@ú��G�~ÿOú�jýH��ÿ.øJù���DRý��I�%�µø�ü�ù��F��õ@öN÷:ø�ùNõ@úC"

+c

-c

x

y

L)¥ù��@÷���ýJ�KML>õ���ÿOùNú�û%õ��MøJü�ýN��ø7��ý����(û%÷�ú���øJùNõOú*ù8ú���ý ��øJù8õ@úIO�O�OP"RQS �¢ÿOú*ý5T:ÿ��VU�öNý�!��/õOú���ù���ý �øJü:ý}û%÷:ú��Xø�ùNõ@úW�X J�YZ%[ \�]_^a` ]_^cbJ [ed*f `hgZ%[ ^ dO���ø�ü�ù���ÿV.ÿOö8ù�����ø���ý����[û%÷�ú��XøJù8õ@ú_i j�ýa�/ÿOú²ý5.ÿOöN÷Rÿ�øJý}øJü�ýA��ùNüRÿ����uõ@ú�ù��gýXþ ÷Rÿ.øJù8õ@ú²ù8ú*ø��Eõk��ø2ÿ��@ý�� ") ù�����ø�ö���! Y X l d Wl ] dNm l d Wl ^ dX ` J�Yn [ b ]_^a` gn [ÿOú��o��õ l d Yl ] d m l d Yl ^ d XqpU���õr6ù8ú��døJüRÿ.ø>s d s d W&Xtp û%õ��Mø�ü�ù��Mû%÷:ú��Xø�ùNõ@úB!���õuù8ø(ù��(ÿ/.ÿOö8ù��&��ø���ý����(û%÷�ú��Xø�ùNõ@úC"

u

Page 20: Notes in Continuum Mechanics

vBw@xzy|{%}�~ �����e���|���5�r�#�������r���F�o�$��� ���P���1�����M�'�c�|���_�����P��+�-���G���a�����H���5�7� ������ ����7¡���¢�����£�¤�� �¦¥����(�F¡���§P¡¨��¡�������H©o����¤��������� Cª�«¬�5�H���H�G����­®������7¡��H���7��� ����� �+�� o��¡��N������©��� 9��¡��-�F ¯�� &°*±������A²cª´³_�����µ��¡��N������� ���¶¥��� �§������� ·�¸ ¹ º*» ¼º*½ » ¹¿¾ ²�ÀÁ�ÂeÃ�Ä ½ ¾µÅÁ�·�Æ ¹ º » ¼º Ä » ¹qÇÈ�¸PÆ ¹ ¾ º » ¼º Ä º*½ ¹É¾ ²�ÀÊ Â¿Ë�Ì ¾ ½ »Â »cÍÎÐÏ�©�¤��*©��7�� �±o��¡�� ���&©�¤��� �± ½ ¹ÒÑ Â�Ó È5¸PÆ9¹ÔÇ Ó ���¯�7¡������k����±����/§ ����¤������ ¢���� ���  %���7¡���� ��±��9��¥¶©£Õ�Ö©��h�F���7¡� ���©�¢�¢�¤������&¤��%©��CªÐ×>¤��� �± Ä ¹tÇ Ó·�¸¹É¾ ÅÁ�Â_Ø È5¸Pƶ¹¿¾ ²�ÀÊ Â¿Ë�Ì ¾ ½ »Â »cÍ�F¡���§P¡V���Ù�7¡��E§ ���a£��� *©��7���� /��¥Õ©>¥�����§ �E�7�(��¡��E����±�¡%� ÅÛÚ ©�¤��� �±Ü Ä?Ý ©� ���Àq���-�F  Ú ©�¤��� �± ¾ ½ Ý ªÙÞ� ¥ß©�§5�à��¡����¬¢Õ���7�� |���á©�¤%���â©�¢�¢�����¢�����©��7�$¥����ã��¡��G����¤��c�7���� A��¥�©¶§ ©� %�7��¤���Ï�� �â¤��%©���� �N�F����¡/©F§ ���V¢�����������Ï��¥�����§ � Å ©� ��o©���¡�� ©����� �±�¤��%©���À Ó ©��@��¡��-�F ¯�� �°�±������ Ê ª

P

F

³à��±������ Ê�äMå ����©��� �¥����E�7¡��N���7�������F¥��� �§5�7���� o�� ���� §5�7���� IÞ�Þ�ÞPªRæç��N ����7��7¡��¥���¤�¤��-�F�� �±/¢?���� %�7� äÌ ªFè@¡��z©�¢�¢�¤������a¤���©��A§�����¤��a£Õ�z§ �� �������� ��� �/��� ¢*©���©��7��¤�éA©��à©>§ ����¢���� �������� /©� ��/©+��¡��Ö©��â¥�����§���ªê ������¤á©���¤�é �7¡��¯����¤����7���� ë������¡�� ì5í-î*ï5ðñî*ò-ì5ó1ô�ó#ò�õö��¥���z�ö¥��� �§��7���� ��V�7¡*©��k©����o�7¡�������� ¤�Ï�� �����¤��������� ��E��¥Ù��¡��N¢�����£�¤����IªÐè@¡����F���F©� ��e÷�©���¢�¤����¥â�7¡��(îÕðeó1õCø5óRîÕù�ï/ò�ú(ì5í-î*ï5ð�î*ò-ì5ó1ôßó#ò�õ*ªÁ ªFè@¡��I��¡�� ©���¥�����§��I¡*©��9© ¢*©��7©�£?��¤���§&������������£����7���� û�rÏ�� ���7¡��I¤#ªü¡Bªý�� ��Bªÿþ¶�r�G��Ï�� �k£%é��_ô�Õï5õ���õ*ô�� ìAîÕðeó1õCø5óRîÕù�ï Ó ��¡��&�5÷�©�§5���������7����£��������� ¨��¥F�7¡��&¤��%©��ö���a�� ����V¢?�����P©� %�/©-�z©Öé�¥��������¡���¢?���� %���¥z©�¢�¢�¤���§Ö©��7���� Bª/þ¶�  �§�����¡�������¤����7����  ©Ö�E©Öé�¥������ ��¡����N©����Ö© Ú ��ª���ª��������P©� �§ � ©Ö�z©-éA¥������ ��¡��E�  �� Ý �F��¤�¤|£?�z��¡��E��©����z ��(��©������ �à�F¡�©��Ð�7¡��E��¡�� ©��Ð������������£����7���� /©�§5�7�*©�¤�¤�é��� ª

Page 21: Notes in Continuum Mechanics

����������� ������������������ �!��"��$#&%'���)(+*-,.�/�0���1"2(3�546�798 :<;>=3?A@CB;EDF: G HI;E=/JLK M ;N;O8PB3DQJR@TSU:

V�W X�Y ZO[]\_^a`cbedgfUhid&jOZAkl^mhn`cbpoqb�`�r bpf stdgke^muwvxd]dgu.yUbef_^a`cz<h{}|�~��l�����a�����~<~��������1���C�����������l���$�$���1�6�U���p���m�������-|!�������+|'����~��+~��1�����������0�g�g�l~��������e��� ~��¡���¢£~����¤��~����e���¥���£�¦�l�����l§��)�+�g�3�����¤���g¢���|!�����g�e¢£�e�����e§������&�����l�t¨/§��6�E�����������l���g����������¢���e�������1¢��e�������1�m�����g���1�e�©�1|�~��3�q�lª/§��+~��1�����.�������$���1~�~��e�g��§3~«���&�����)���©�l�0����¢��1���+~��l�e�n¬­|���� �e�������1¢��e��T�����������l���l���l��~«���'�������$�¥���®¡���§3���-¯ ~����e�g~����$��~����l�����l���$���1����� ¢3�e���l���1�°�l¢����&~��l���g�'��|±����¢����������¢²~6�+�����e�~��)���.³!´®����¢¤µ�¶��e���g�������e�~��e�.·����a����¢��l�q�+|n~����a�l���l���l��~ ������¸+�e¢¤�����-¹´®���3¢�´+¹/µ/������m|!�����l�T�����)�+���e�º�1�²~����T����¢3�)���°¢������e�l~������²���»���l�

³!¼�½�´�¶6¾�¹�µ<¿N³!¼�½�´�¶�À6¹�µ<¿N³Á¼�Â6¶�ÃĹ´ ¹�µÅ ¿E³Á¼�Â�¶ÇÆ6¹�´ ¹�µ

ÅÉÈtÊ ³!Ë�½5ÂĶÇÃ.¿N³�Ël½­ÂĶÇÆ�Ì�¹�´ºÍtγÁ�3��~��g~����+~a~����¥Ï���¢Ð�+��¢LÑ�~��9~��l���g�m�����������°�l�p��§3���¥¼�®�1�m�Ò~��������l�~m~���~������l�0����¢��1���+~������1���´TÍÓ�l������~6���~���+��¢&���º�g�����e�'�p�����C|!�����É~�����~'�����+����Ô���n�1~c�����©�<���+¢��)���/�e�����������l��~6¶��©Õ<�»�/��¢��1�����Ò¹´�¹�µ®����¢²~6�+¸/�1���&���1���»~����1�Ò~����T§���§����Ö�����3���e���«�a���l~$~����T|!�����e�T�����������e�T�lª/§��+~��1���¤�1�]~�������+¢��)���°¢������e��~������Ø×

Ù ¼�½Ù ´ È

¯´

Ù Ë�½5ÂÙ µ È

¼�½'¿Ð¼�´ Í Î

³Á¬­Úm�»¯�¶¯´

Ù ¼�ÂÙ µ È

Ù Ël½­ÂÙ ´ È

Å Ël½­Â´ Í Î

·����-���l�e����¢Ò�eª�§���~������¤���l���T�e�����l�$|!�����Û�l��������¢��l�����3�&|!�����e�l�$���]~����-µ®¢��1���e��~��1�����

(σ )

θ

rdθ dr

r 3r

y

x

(τ )rθ 2

(τ )rθ 4

(σ )r 1

(σ )θ 4

(σ )θ 2

Ü ����§����®¯�×'Ý ��¢������±��~����e�����e�q���²�l�/���1��¢������p�+�±�e�/����¢�������~��e�·n�g�����1���º~����e���a�lª/§��+~��1���������T�1�0��¸g|!���$�®��~����e��� |!§3���l~������¤Þß�3��§��6��~����+~

à à à à Þ]Ítί

Page 22: Notes in Continuum Mechanics

á�â�ã�ä�åæ�ç è�é�ê�ë�ì�í�î�ï�ð�ñ ò!î�ó�í$ô&õ'î�ï)ö+÷-ø.î/î0ì�ò1ó2ö3ñ5ù6í

ú5ûÒü°ý�þ�ÿ����lý0ý�������û�ÿ��� �� ����� � ���� ��� �� ���� � �� � � ���� �ÿ�û��� �ý�! ��" $#����eý�%&�� ' � ���� � � �� ���� � �� � � ��(� �*) ' � ���� � � �� ��(� � �� � � ���� �+)-,/.10 2 ú436587�9: �;! <� ��= �!�!�� ! >�eý�%gü°ý�û��eû?� $#����1û�@A�������;B����DCE��ý�%F! ��" $ÿ� G�H . �� � ,��� � �� � � � ,��� �G�I . � � ,��� � 2 ú4365KJ?9L�H4I . M ���� ' �� � ,�(� )Nný�þ)ÿ��>�eý/ý��!�O��û�ÿ!�� qÿ��!�=B+ÿ�þ"P�ÿ�#�þ"�QC!ý��> �ý�þ;B+��û�@��eþ�ÿ� �!�"���;SR²ü���ý�#�þ"��%& TC!ý��>#��eû����1û�@��(C!ý�� ü���ý�#3þ"��%� : �;! U���"�!��P�þ)ÿ�V �ý�þ"�� ���ÿ�ûO�UC!ý�� üO��ü��«ü���ý�#�þ;��%� �5VNV���� �ÿ�ü� W%gý����X �P���ü����" ���û�@�þYRQ� ��ZRaÿ��!��ÿ�þ" �ý�P� ���CEP�þC!ý��T �ý�þ;B+��ûO@®ü���ý�#3þ"��%� T��û?B�ý�þ;B+��ûO@A! ��Tü°ý���û?$ÿ�ü�ü3þ"�"�eÿ��1ý�û¥ý�C[C!ý������� �5\^]/_^`bac_ed?fWg ���!�YB��h! ��= !���lý�û��D��i*P�ÿ!��ý�ûÒý�Ckjli�ûm5Ôú4365 � 5nmo pbq rtsQu�vxwWy�z&{-|k}-y�~ ��s�wm��shsQ{ ��z�u�v6��vU{-� �FvU��w�sQ|�y�v6{��z<z����-y�{�vxw�sh|ú5û-%gý�B+�1û�@�CE��ý�%t�eÿ���!�� !��ÿ�û-�eý/ý�������û�ÿ���� >�ý]ü�ý�þ)ÿ���lý0ý�������û�ÿ��� : �� �ÿ�B�����û?���ý��OP������Rÿ�û�ý�! ����SR/ü��}ý�C��eý/ý��!�O��û�ÿ!�>!��ÿ�ûO �C!ý���%�ÿ!��ý�û�5nú5û< �����!��ý�û�ú�ú�5�� : �}þ�ý/ý������]ÿ�!��ÿ�ûO �C!ý���%�ÿ!��ý�ûO �#��� : ���lû�pÿ����� !��ÿ�û��lý0ý�������û�ÿ��� Cÿ=B+ÿ�����ý�P� aÿ�û�@�þ"�� �� ÿ+û�����û?!��ý+��P�������! ����lý�û����lüOmýC$ÿ/!�eû� �ý����k#�����û�@ÿ�ûÒý�#+�������! �ÿ>�" $�1û*B+ÿ����)ÿ�û?$P�ûO�����$� ��� !�����ÿ+û� �C!ý���%�ÿ����ý�û� �5X���;%&�1þ)ÿ���þ;R��*��lû� �ý��! qÿ��!����û?B+ÿ��!��ÿ�û?P�û��O���-ÿ��� �ÿ�û�@���CE��ý�% �pÿ����� !��ÿ�û��lý0ý��!���1û�ÿ��� h�ý²ü�ý�þ)ÿ����eý/ý��!���1û�ÿ!�� �� : �Y� -� ��A �ÿ�%&�� �ý���-ý�C���ÿ�û� ¡C!ý��!%�ÿ��1ý�û¢��P�þ"� 2 ÿ+þ;� 3ý�P�@� ¢! ��=%�ÿ!�!�^£¢¤�¥§¦��" T��ÿ� O���T%gý��!�Q�lý�%�ü3þ"�"�eÿ����(9Z5

ú5û&�eÿ���!�� ��)ÿ�ûA�eý/ý�������û�ÿ���� �� : � ÿ����$���pÿ�þ;��û�@ : �;� A���;�!������1ý�û� �¨¥ÿ�û��A©���ÿ+þ�ý�û�@�� ��$�eý/ý�������û�ÿ���ÿ�£��� �5¥ú5ûØü°ý�þ�ÿ��Q�eý/ý�������û�ÿ���� : ��ÿ�!�A���pÿ+þ"��ûO@ : �Y� ª��ÿ��O�)ÿ�þ©ÿ+û��ª�ÿ�û�@��lû?��)ÿ+þW���"������!��ý�ûO �� : ��"�� ÿ����� ¡��1þ�þ�ý��¡� �ý�@�ý�û�ÿ�þ«5W¬T ��" $ ��"%gü�þ"�Y­��� �%�ÿ������  ÿgþ1ý���� ���û����x�Y$%&�eÿ�û� T� �ÿ$�!�lþ)ÿ!��ý�û� T#��� : ���lûü���ý�ü�����!�"�� ßÿßÿ$ü�ý���û?®� �ÿ���ý û�ý�[�eý�û?�ÿ���û= �ü�ÿ���ÿ�þ������!�;B+ÿ!�;B��� ßÿ��!�WB�����R= ��"%���þ�ÿ���5®¯�ý��®�1û� ��ÿ�û������C!ý���ü�þ�ÿ�û��Q ¡��!�� !  ü���ý�#�þ"��%& $° ý0ý����±� qþ�ÿ : @��YB��� ²�H . �³µ´ G�H M·¶ G�I�¸²!I . �³ ´ G�I M·¶ G�H�¸ 2 ú4365��*9¹ HSI . �º L�H4I7

Page 23: Notes in Continuum Mechanics

»m¼T½�¾*¿?À�Á Â�Ã�ÄKÅ*Æ�ÇZÈ�ÉËÊ�Ì«ÍEÈ�Î�Ç$ÏAÐlÈ�ÉÒÑÓ�Ô�È+È�Æ*Í;Î(ÑOÌSÕ�ÇÖT×�ØQÙ�Ø�ÚÒÛ�Ü�Ý"Þ�ß�à!×�Ý;á�à�â�Ø�ÜSãXØ�Ø�ß�Ü!×�ØQà�Ü!Ù!Ø�à!à$ä�Þ�å�á�Þ�ß�Ø�ß?Ü!àTÝ"ß�Ü!×�ØhÜSã�ÞAä�Þ�Þ�Ù�æ�Ý"ß�ÛÜ�Øhà¡ç+à�Ü�Ø�å&àTÝ;à�è�ÝYé�Ø�ßâ?ç¢Ü�×OØ�Ù�Ø�Ú"ÛÜ�Ý;Þ�ß�à!×OÝ"á�àZê�ë ì ê�í ä�Þ�à!î�ï>ð ê�ñ à�Ý"ßOî�ïQò�ó íSñ à!Ý;ß�ôïê�õ ì ê�í à�Ý"ß î ï>ð ê�ñ ä�Þ�à î ï>ðöó íSñ à!Ý;ß>ô�ï ÷eø4ù6ú8û�üó ë�õ ì ÷ ê�í ò ê�ñ üOà!Ý;ß$ï�ä�Þ�à(ï$ðýó í4ñ�þ ä�Þ�à î ïhò�à!Ý;ß î ï�ÿ��Þ�ãXØ�é�Ø�Ù��VÛ�àhà�×�Þ�ã$ß�Ý;ß�Ü�×�Ø�Ú"Û�à�Ühà!Ø�äZÜ�Ý;Þ�ß��mØ��OáOÙ!Ø�à�à!Ý;Þ�ß�àQã$Ý;Ü!×-æ�Ø�Ù�Ý;éÛÜ�ÝYé�Ø�àQÝ"ß�Ü�×OØ�åtÜ!Ø�ß�æ-Ü!Þ<â�ØÛ¢â�ÝYÜhå�Þ�Ù!Øxä�Þ�å�á�Ú"Ø���úhøSßcá�Û�Ù�Ü!Ý"ä���ÚÒÛ�Ù���Ý��ãXØ6ã�Û�ß?ÜQÜ!Þ¢ä�Þ�ß?é�Ø�Ù�Ü�EÙ�Þ�å æ�Ø�Ù�Ý;éÛÜ�ÝYé�Ø�à�ã=úKÙ�ú�Ü�ú� ��ï&Ü�ÞÜ�×OÞ�à!ØQã=ú�Ù�ú§Ü�ú�������ãXØxä�Û�ß���à!Ø=Ü�×OØ�ä�×�Û�Ý"ß/Ù��OÚ"ØQÜ�ÞAà!×OÞ�ã�� � ì ä�Þ�à(ï �� � ò à�Ý"ß$ï� �� ï�� � ì à�Ý"ß>ï �� � ò ä�Þ�à(ï� �� ï ÷eø4ù6ú��?ü����������� �"!�# Ø�Ù!ÝYé�ØQØ�$%��ÛÜ�Ý;Þ�ß�àx÷eø4ùUú&�?übú

'�( )+* , -/.103254 687:9<; =?>�2A@ BDC�.�25EFEHGJI 9 KLGJ=M2N®Ø�ÜO��à$ä�Þ�ß�à!Ý;æ�Ø�Ù�Ü!×�ØQà�Ü!Ù!Ø�à!à>Ý"ߢÜ�×OØhã�Û�Ú;Ú"à�ÞP�kÛ�á�Ý;á�Ø�à���â%Q�Ø�ä�Ü!Ø�æDÜ!Þ�Û�ß/Ý"ß?Ü�Ø�Ù!ß�Û�Ú�á�Ù!Ø�à!àR��Ù!ØOS"T[Û�ß�æÛ�ßcØU�+Ü!Ø�Ù!ß�Û�ÚWá�Ù!Ø�à!àR��Ù!Ø5SWV�ú<XkÝ"Ù�à�ÜhãXØAß�Þ�Ü�Ø6Ü!×�ÛÜQÜ!×�Ý"àhÝ;à=Û/ôæcä�Û�à�ØAÞY��á�ÚÒÛ�ßOØ�à�Ü�Ù!Û�Ý"ß�ú[Z�Ú"à!Þ\�mÜ�×�Øä�Ûà!Ø=Ý"à�à¡ç+å&å�Ø�Ü!Ù!Ý"ä�Û�Ú�Û�â�ÞY�OÜTÜ�×�ØQáOÝ"á�ØQÛ ��Ý"à���à!ÞAÝ �®Ü!×�Ý"à�Ý"à�Ü�×OØQä�Ø�ß?Ü!Ù!Ø=ÞY�[Þ]��Ù�á�Þ�Ú"Û�Ù�ä�Þ+Þ�Ù�æ�Ý"ß�Û�Ü�Ø�à��Ü�×OØ�ßAÛ�ß?çxà!Þ�Ú �OÜ�Ý;Þ�ßxãXØ_^�ß�æ�å`�Oà�Ü�â�ØTÛa�b�Oß�ä�Ü!Ý"Þ�ß6ÞP�c��Û�Ú;Þ�ß�Øh÷eß�Þ�ÜkÞY��ï�übúkÖT×�Ý;à�à!Ý;å&áOÚ"Ý ^�Ø�à[å�ÛÜ�Ü�Ø�Ù!à$d��Ý;Ü!Ø�ÛAÚ;Þ�Ü�úr

qpi

po

XkÝ"è]�OÙ!Ø=ôfehg�Ù�Þ�à!àjiSà�Ø�ä�Ü!Ý"Þ�ß�Ü�×�Ù�Þ]��è�×/á�Ý;á�ØX�Þ�Ù$Û�à�Ü�Ù�Ø�à�àa�b��ß�äZÜ�Ý;Þ�ßlkk÷m��üU�OØ�$d��ÛÜ!Ý"Þ�ß�÷eø4ùUú ô�ü�â�Ø�ä�Þ�å�Ø�àn?o îo � î ðqp� oo �sr n1o î ko � î ðtp� o ko �ur ìwvx

Page 24: Notes in Continuum Mechanics

y�z|{~}d��� � ���_���d���U�����"���b���"�O���1�����P���h�%�f�d� �c�\���+��a�P �¡� �¢W£P �¤R¥§¦"¨�¡D©ª¥§¤�£¬«b­"¦"¨� �¥§�]¦®�Y«°¯�±P£Y²�¥§£Y³"´ ¡3�]¦"´ µY¶· �¢"¡/¸W£Y²R �¥�£Y´�¹\¡�²�¥±P£P �¥±]¡�¤¢W£J±Y¡�³º¡�¨��Y»¼¡ ��P +£Y´�¹\¡�²�¥±P£P �¥±]¡�¤�½1¾|¢"¡¿]¡�¦"¡�²�£Y´À¤R�]´§­f �¥§�Y¦D«b�]²_ �¢"¥ ¤|¥§¤©¬ÁwÂ?´§�]¿�ÃOÄÆÅ<à Ǻ´ �]¿1Ã|ÄÆÈ�à ÇFÄÆÉ ÊmËÍÌ`½&Î]ÏÐW�]²1 �¢"¡Ñ»¼�Y»¼¡�¦d hÒÓ¡aÒO¥§´ ´" +£YÔP¡°ÅÕÁ×Ö\½OÊb¾|¢"¡Ø²R¡J£Y¤R�]¦�«b�]²� �¢"¥§¤1ÒO¥§´ ´W³s¡�¨��]»/¡°£Y¸\¸W£Y²�¡�¦� ~ÒO¢"¡�¦�Ò~¡¨��Y¦"¤�¥ ¹"¡�²�¢"��ÒÙ ��O¨J£Y´ ¨�­"´§£P �¡Ú¹"¥§¤R¸"´�£Y¨�¡�»/¡�¦� �¤�«b²R�]»8 �¢"¡1¤R �²�¡�¤R¤�¡�¤�¶]´§£P �¡�²�¥§¦° �¢"¡1¨��]­"²R¤�¡JÏU½FÛF±P£Y´ ­W£P �¥ ¦"¿Ü"Ý Ò~¡ÞW¦"¹ Ü"Ý Á ÂÃ Ç ÄàßYȾ|¢"¡/¤R �²�¡�¤R¤�¡�¤<ÒO¥  �¢"¥§¦� �¢"¡�¸"¥ ¸s¡�¢W£J±Y¡¼ ��:»¼£P �¨+¢� �¢"¡¼£Y¸"¸\´§¥§¡�¹?«b�]²�¨�¡�¤`£  � �¢"¡�³s�Y­"¦"¹W£Y²áµãâ?¢\¡�²�¡ �¢\¥§¤~»/¡J£P¦"¤~ �¢"£P _ �¢\¡�µ¼¢W£J±]¡° ��3»¼£P �¨+¢� �¢"¡5¸\²�¡�¤R¤�­"²R¡�¤Ñ£P Ó �¢"¡°¥ ¦"¦"¡�²ÊmÃÁwä%Ï~£Y¦"¹¬�]­f �¡�²5ÊmÃÁ×åUϤ�­\²R«m£Y¨�¡�¤�½Óæ�­\ � �¥§¦"¿3 �¢"¡�¤R¡[¥ ¦¬¿]¥ ±Y¡�¤

çhè"é Á Âä Ç ÄàßYÈê ç1èWë Á Âå Ç ÄàßYÈ«b²��Y»ìÒO¢"¥ ¨+¢ Â8Á ä Ç å Ç Ê èWë�çíè\é Ïå Ç ç ä Ç ê ÈîÁ è"é ä Ç çãèWë å Çß"Êmå Ç ç ä Ç Ïï�ð ñáò óõô5öíô5÷�ø`ùûúÚü/ùJýãþ�ÿ�ü¼ö �]ü/÷��Mü/ù�ø`÷ ú���� � ôaþ�÷��Ë�¦?ß ¹ã¸º�]´�£Y²O¨��f�]²R¹"¥§¦"£P �¡�¤�¶WÒ~¡[¢W£J±]¡[¤�¡�¡�¦?£Y³º��±]¡[ �¢W£P a¥ «u �¢"¡�¸"²��Y³"´§¡�» ¢W£Y¤Ø²R�Y +£  �¥§�Y¦W£Y´�¤áµf»/»/¡� �²áµ £P³s�]­f < �¢\¡¬�]²�¥ ¿]¥§¦�¶Ú©ÚÊbÃ]Ï[£Y´§�]¦\¡�£Y¦\¹ Ò~¡�£Y²R¡D¤��Y´ ±%¥§¦"¿í£Y¦ �%¹"¡� ��íÞ"¦"¹  �¢"¡�Ãã¹"¡�¸s¡�¦"¹"¡�¦\¨�¡Y½¾|¢"¡�²�¡¼£Y²�¡/»�£P¦dµí¨J£Y¤R¡�¤ÒO¢"¥§¨+¢®¢W£J±]¡¼ �¢"¥§¤5Ôd¥ ¦"¹M�Y«Ó¤Rµ%»/»¼¡U �²áµ]½�¾|¢\¡¼¿]¡�¦"¡�²�£Y´�¤��Y´§­\ �¥§�]¦�¥§¦� �¢\¥§¤¨J£P¤�¡<¥ ¤O¡�d­W£P �¥§�]¦MÊmËÍÌ<½ Î]Ï�¶WÒO¢"¥§¨+¢l¢W£Y¤ ��£Y²R³"¥  �£Y²RµD¨��]¦"¤á +£Y¦� �¤aÒO¢"�]¤R¡[±P£Y´ ­"¡�¤Ñ£Y²R¡[¹"¡U �¡�²�»/¥§¦"¡�¹l³�µ¤�­\³"¤R �¥  �­f �¥§¦\¿� �¢"¡³s�Y­"¦"¹W£Y²áµ¬¨��Y¦"¹"¥  �¥§�]¦\¤�½��°¦"¡5�Y«u �¢"¡5 �¡�²�»/¤|¥§¦®ÊmËÍÌ<½ ÎYÏ~¥§¤Ñ£3´§�]¿�£P²�¥  �¢"»��Å<à ÇW´§�]¿1Ã� ¢"¡�²�¡<Ã[Á Ö�Ò~¡[¢W£J±]¡`£�¸"²R�]³"´§¡�» ÒO¥  �¢: �¢"¥§¤�¶º¤R¥§¦"¨�¡[´ �]¿cÊmÖ�Ï_¥§¤O­"¦"¹"¡UÞW¦"¡�¹�½O¾u¡�¨+¢"¦"¥§¨�£Y´§´µD �¢\¥§¤Ñ¥§¤Ôd¦"��ÒO¦�£Y¤Ó£�������������� "!$#%���$&c�Y«� �¢"¡Ø¤R�]´§­\ �¥§�]¦ ¶��]² ������������� '��&)( ½FËÍ«�ÒÓ¡°¡�±P£Y´ ­W£P �¡Ñ �¢"¡Ø¤á �²�¡�¤�¤R¡�¤~«b²R�]» �¢\¥§¤_«b­"¦"¨U �¥ �]¦�¶\ÒÓ¡�Þ"¦"¹ Ü"Ý Á ÂÃ Ç ÄûŬÊj¯ÓÄàßF´§�]¿�ÃYÏÀÄàßPÈËÍ«° �¢"¡l¸\²��]³"´ ¡�» ÒÓ¡í£P²�¡� �²Rµ%¥ ¦"¿Ù ��®¤R�]´ ±Y¡l¥ ¦�±]�]´±]¡�¤¼£®¢\�]´§¡:£P � �¢\¡l�]²R¥§¿]¥ ¦8Êm¤�­\¨+¢ £Y¤� �¢"¡:¸"¥§¸º¡¸"²R�]³"´§¡�» ¹"¥§¤R¨�­"¤R¤�¡�¹ £P³s��±]¡JÏ� �¢\¡�¦M �¢"¡�²R¡D¥§¤�¦"�í¸W£P²R �¥ ¨�­"´§£Y²¸"²��Y³"´§¡�»l½�*a��ÒÓ¡�±Y¡�²�¥ «Ó �¢"¡�²�¡D¥ ¤[¦"�¢"�]´ ¡/£P  �¢"¡/�]²�¥ ¿]¥§¦ ¶� �¢"¡�¦M³º�Y �¢Ù�Y«_ �¢"¡3ÞW²�¤á < �ÒÓ�l �¡�²�»/¤¢"¡�²R¡D£Y²R¡/¤R¥§¦"¿Y­"´�£Y²�½,+%¥§¦"¨�¡/ �¢"¡¼¤á �²R¡�¤�¤¨J£P¦"¦"�Y 3³º¡�¨��]»/¡D¥§¦\Þ"¦"¥  �¡D£Y¦�µdÒO¢"¡�²R¡�¥§¦M �¢"¡¬³s�%¹\µY¶FÒ~¡¬¢W£J±Y¡D ��?¨��Y¦"¨�´ ­"¹"¡� �¢W£P 3 Á Å ÁHÖ\½¾|¢d­"¤�¶W«b�]²O£.-W£P O¸"´�£  �¡°ÒO¥  �¢"�]­\ Ñ£`¢\�]´§¡£P | �¢"¡5�]²R¥§¿]¥ ¦�¶f �¢"¡�²R¡5¥§¤|�]¦"´µí¯¸º�]¤�¤R¥§³"´ ¡°¤��]´ ­\ �¥ �]¦D«b�]²O£¤R �²�¡�¤�¤Ñ¹"¥§¤á �²�¥ ³"­\ �¥§�]¦¬¤áµf»/»/¡� �²R¥§¨�£Y´�£Y³º�]­\ O �¢"¡�]²�¥ ¿]¥§¦�¶%¦W£Y»/¡�´µ Ü"Ý Áw¨��]¦"¤á +£Y¦� �½/103214'56287:9 � ¢W£P Ñ¥§¤_ �¢"¡ Ü$; ¹"¥ ¤R �²�¥§³\­\ �¥ �]¦�«b�]²_ �¢"¥§¤O¨J£P¤�¡=<

Page 25: Notes in Continuum Mechanics

>@?BADCFEHG%I J=KMLONFPRQSUTWV:X)YZSU[:Q]\_^`SUTbadcfe�S�S�PFY8[gahXjikQl@m n'o p qsr"tvu3w u�xzy{q}|v~��"~fr"��u�� u_x�m�~��`��~.����q}����:�8���������������s���:�8�������:�����v :�������_¡]�8���¢���h��£:����¤:����¥¦���}�:�=¡§���¨�����8©��ª£$���«���b�d�B :�8¬­������®H���������¯F�$�%������®:�f°±£² :��³´�kµ'¶`·¸£­ h�}���M����¥�£:�8¹R�� :�8¬­������®H�������º��¯F�$�d���8��®,�Z���B�d®{�:®:»F®:�=¡]®ª�Z�:®h�����8��®{���h�k����3¼½¡]�:���k�¾�8�,���R�¨�Z�:®:��������®¿���À�j¡D�Á����¥������ª©d�����b��¤:�8����¶ÃÂj®Ä���:�v£h����©��8���:�{���h�����{¡Å���$�� ¼Æ°�ÇÉÈ�ÊhµËD�h������¡D���$�Ì©���¼�°±ÍUÈkÎ�µ¶ÐÏ���®H¹Ñ :�8¬­������®H�,¥������:�� :���:�=©��v¤²����®¿ :��©�������£­�� Ä�=©��������:�¹��������`�Z���������8©��8®:ÒÀ£­ :�d³O��ËF¤­�����_®��h¥������������É°Z���:�k�R���`ÓÆ��®h�8���MÔ`�8��¥���®H�`¥������h�� :��µ���®: ���®$����¹F���������W¶Âj®{���:�}£h����©��8���:�B�Õh��¥�£:�8��Ëh�«¹�¥�¥�������¹,����®:���� :�����d������®:�D���� h�:���� ����:�������������B�Z�:®:�������®�¼Æ°±ÍUÈkÎ�µÅ����Ö�Z�:®:��������®ª������®:�f©d�����b��¤h���À���8��®:��˲¼�°±Í�µË²��®: ª�������:�f£­ h�פ²������¥��×��®ª�� :�d¶Dؽ�$�d� ����®ª¡Å�. :��8�Ù���:���Å���M®h���M���h���Ì�����=Ú�ÛB�:�����À������¥���®H¹������k�:®:�8¯F�:��� �Ì©d��������¤:���dËF¤:�h�B��®h�}�:����Z�:�@��®:�s���D�������8�� ���h�×ÜRÝÞ�ß$à�á�àãâBä=Ýjåhæ�ç�æ�Þ±èWà%évàãâ]ê%æ�ç'è±æHë�ì�Ýkä¶ÆÂj®����:���`¥������:�� _¡Å���������:¥�� ���$�d�`���h�í�������h������®_���º���:�£² :�}���MÒ��8©���®3¤F¹����:�}£h���� :�:���]�d�î�j¡Å�Ö�Z�:®:�������®:�M¡]�:���k�������s���h��¥�������©����]�Z�h®:��������®:�B�d����®:�8¹���®:����î���:�}©d�����b��¤:�8����¶�Âj®ª�d���:���]¡Å���� :�×ï

¼�°±ÍUÈkÎ�µ�ð�ñ_°±Í�µ�ò_°)Î�µÂó�î¡D�}���:¤:�����8���h���}���h���M�8®F���Ö���:�B£² :��Ë�¡D�À��������®{ô$®: {���:�d�B�8�D�±�����8�M��£$�d���B�8®F���Ö����£$�����%���À���������8��®:�¡]�:�8�k�ª����®ª¤²�À������©��� ª����£$�����d�����8¹�¶õ ��� �:� �������:¥��À���$�d� ò_°±Î�µ`ðÐ�����²ö�ÎÂó�Æ¡Å�À���:¤h���������h���}���:�8� �8®H����°±Âó÷.¶øö�µË:¡Å�fô$®h 

ùvúHûú Í ûíüþýÍ úú Í,ÿ��Í û �zù"úHû ñú Í ûªü ýÍ ú ñú Í¿ÿ��Í û ñ � �����²ö�Îfð��ÛB�:�8� ¥.�:���]¤²�}�����h�À�Z���]��®H¹3Î�©��d���:�dË:���_¡D�f����®:���8�: :�}���$�%�

ù�ú ûú Í%ûíü ýÍ úú Í ÿ �Í%û �zù"ú û ñú Ídû�ü ýÍ ú ñú Í ÿ �Í%û ñ � ð�� °±Âó÷�¶��HµÛB�:�fÒ���®h�����d�Ù�����8�h���8��®,���Ö���h���B���

ñ_°ZÍ�µ`ðíÍ û ü�� Í� ü��Í%û ü����®: ����Ö���:�}�Z�:���@�«���������]�Z�:®:����8��®3���¼Æ°ZÍ%È�Î�µ`ð ù sÍ û ü�� Í� ü �Ídû ü�� � �����²ö�Î °±Âó÷�¶��Hµ

Ó$����¥þ���:�8�M¡D�f�Ì�d®ª���������:�b�d���s���h�f�«�������������í¤F¹��d£:£:�8¹��8®:ÒÖ��¯F�$�d������®h�.°ZÂó÷�¶��Hµsï��� ð ÿ ù ö� ü�� �Í ü � �Í û � �����²ö�Î��� ð ù ö� ü ý ö � Í û ü�� �Í � �����­ö�Î °ZÂó÷�¶ ý �Hµ����� ð ù ö� ü � � Í û ÿ � �Í ÿ ö �Í%û � ����® ö�Î

Page 26: Notes in Continuum Mechanics

!#"%$'&)(+*�, -/.10�2)354�687:9�;=<>68?�4A@CBD687FE�GIHJ6K6L3)<M?NEO;�PQ4R%S�TAT�ULVMWYXQZ�[�\]TA^`_aXbTdcfegWhVi[+jk^klmjKVi[�npo+qKrJZ`[�sgo)q)tJVMevu�lMViTdWwZxWfVM[�nky�liZ`cfVmX�z{Z�XhXbS�TA^kcYVinkVM[#|`WY^xXbS�VMWhViWliVM}`TdlMzgXb^�~aTxy�WfT�_>y�l#_>^kc1WY^klMjKVi[On�u�cf^k~OliT]egW1VM[)j`^klMjKVM[�n�S�^klMT]W1VM[�u�lFZ�XfT]Wd�hR%S�T�\]^kWa�`��XfT]cYe���^ky�lisWfTdT]e�Xf^gVMevuOlMzvWYzKevegTdXfcYz�Z�~�^kyLX%XbS�Tx��Z�[�s���Z�ULT]Wd�

x

y

SS

r

q

�wVMnky�cfT'�O�w��Td^kevT�Xbc�zI_>^`c�Zpu�liZ�XbT�y�[�s�Tdc�y�[�Vm_>^kcfe�XbTd[�WfVM^k[g���AVMXbS�Zp\]VicY\]y�liZ`c�S�^kliT'Z�X�XfS�T1\]Td[+XbcfT��T�Z`cfT�[�^/��Vi[vZ{ua^kWYVMXbVM^k[CXb^�WY^klMj`T�Z�[�Z`lMz)XfVi\�Z�lilMzIXbSOT�u�cY^k~�liTde�Wf^klmjkTds \]^kegu�yOXbZ�XbVM^k[�Z`lMlMz{Vi[XbSOTp¡�cfW�X���¢�T£UOTdcf\dViWfT��J�¤Tp�AViWYS�Xb^�¡�[�s�XfS�T�WYXbcYT]WYW�VM[�Z�u�lFZ�XbTpy�[Os�T]c%XbTd[�WfVM^k[��AVMXfS�ZC\dVicY\]y�liZ`cS�^klMT�Vi[�XfS�TC\]T][+XfcfT`��R%SOTgn`T]^kegTdXfcYz�VMWxWfS�^/�A[¤Vi[�¡�nkyOcfTg�O��R%S�TCu�liZ�XbT�|#�AS�Vi\QS¥VMWpXbT]\QSO[�Vi\]Z`lilmzVi[L¡�[�VMXfT{VM[�T�UKXfT][+X�|#VMW�WYy�~K¦YT]\�XbTds¥Xf^ ~a^ky�[�s�Z�cYz§_>^kcf\dT]W�VM[¨XbSOT{�©s�VicYT]\�XbVi^`[#����cY^ke«ªKX��­¬DT][�Z�[)X]®�Wu�cYVi[�\dViu�lMT���T�WYT]TIXbS�Z�X�XbSOT�Vi[L¯�y�T][O\]T�^�_�XbS�T{S�^klMTIWYS�^ky�lMs�~aT{lMViegVMXbTds Xb^5ZvcfTdnkVi^`[�Z`cY^ky�[�s§XbS�TS�^klMT`|LZ`[�s�WY^�Z�X1liZ`cfn`T�s�VMWYXQZ�[�\]TdW'_>cf^ke�XfS�TpS�^klMT°XfS�T�u�liZ�XbT°ViW�Wfy�~K¦YTd\dXfT]s�Xb^�Z�yO[�VM_>^kcYe�WYXfcfT]WYW��Vi[�XfS�Tp��s�VMcfTd\dXbVM^k[#�w�¤Tx�AVilMl#Z`WYWfy�egTxXbS�Z�X%XfS�T�WYXfcfT]WYW�_>yO[�\dXfVi^k[�ViW%n`VMjkTd[�~)z�ZC\d^ke�~�VM[�Z�XfVi^k[�^`_T]±)y�Z�XbVi^`[�W{²´³µ¬���¶+·1Z`[Os¸²>³µ¬��º¹k·��h�¤cfVMXfVi[�n{XbS�VMWAZ`W» ²>o�¼b�k·D½¾²>¿IÀLli^knDoAÁ�°ÀÃo r ·ÄÁÆÅ�¿�o r Á�Ç�o t Á Âo r Á�È5É�\]^kWa�`�R%S�VMW�n`VMjkTdW Ê�Ë ½ Å ¿�Ào r Á��`°À ÉÍÌ�Å ��¿�Á�Î Âo t Á�Ï Èo r É \d^kWa�`�Ð X�lFZ`cYnkTps�VMWYXbZ`[�\]TdW�²>o�Ñ ÒÍ·�|OXfS�T�[�^kcfevZ`l#W�XbcYT]WfW�~aT]\]^`evTdWÊ�Ë ½��`°À Ì ¿�\]^kWa����AS�VM\QSÓVm_Ô��T�WfTdX�¿�½ Ì Â°ÀD½ Ì �ÄÕ Ï nkVmjkT]WÊ�Ë ½ � � ²�Ö�Á×\]^kWa�`�`·�AS�VM\QS©evZ�Xf\QS�T]WxXbSOT�WYXbcYT]WYW{\d^k[�s�VmXbVi^`[�Z�X�lFZ�cfnkT{s�ViW�XQZ`[�\dT]Wd��R%S�T�~�^`y�[�s�Z`c�z�\]^`[�s�VMXfVi^k[¨^k[�XbS�TVi[OWfVisOT�^`_�XfS�TC\]VMcf\]lMT�ViWxXfS�Z�XxXbSOTgcfZ`s�ViZ`lwW�XbcfTdWfWYT]W�WYS�^ky�lMs¥~�TCØ]Tdcf^��C³µ_�[�^/�¾��TvWYTdXIo�½ÚÙ�|ÄXbS�TcbZ�s�Viy�W%^�_ÔXfS�T�\]VicY\]lMT`|OXfS�T][Û ½ Å ¿IÀo r Á � � É Ì Å Ì � � Á Î Âo t Á Ï Èo r É \]^`Wa�`�Î

Page 27: Notes in Continuum Mechanics

Ü#Ý%Þ'ß)à+á�â ã/ä1å�æ)ç5è�é8ê:ë�ì=í>é8î�èAïCðDé8êFñ�òIóJéKéLç)íMîNñOì�ôQèõLöM÷�ø]ùDúbû�öMüÔùdý)þ�ÿ�úbö��k÷�û�ÿ`üÔú����aùJú��fþ�ù������ÿ`÷� ��ÿ��Mþ�ù����������fö��kû+úÔÿ����kþO÷���úbûOù�û����iù�����úfû�ù����bÿ`ø���ùdúbù �úbù ��!güAû�ÿ"�kù�üfù #�ÿ��bÿ�úbù$�% ú&�'�aù)(]ù$�*��+-,%û�öiü.�kö%�kùdü

/ 0-13254 6-798�: ;<7=?> @A7 8 1B4 6C �`ÿD�iþ�ÿ�úföi÷��FEHGJIK�kö��`ù]ü

EHGJI 1ML 6 / > ;NPO 8�2 ;�<O = 2 6 AO 8�Q ø �kü 6 �N 1BR öiüxùdüfüfùd÷+úböFÿD�JûOù$�fùgö��JúbûOùvü*��iþOúföS�k÷�öMüxú&��û�ÿ"�kù5ÿ`÷�T!vù]ÿ`÷�öM÷��U���� OUV W +'XY�+ÿ`öM÷Z�Äúbû�ùù$���kùF���DúbûOù�û���MùP!�þ�ü�ú)�aùP���fùdùF���Jÿ`÷�[����fødùF��öS�Yù]ø�úbù$��öM÷¨úbûOù O ��ö��fùdødúbö��k÷Z�aü�� úfû�öiüpû�ÿ`ü�ú&�5��ù(]ù ���\����Aÿ`÷�]��ÿ��Mþ�ù)���^� 6 /_2`;�<7 = 2 6 A7 8 1aRb��!F�Oöi÷�öM÷���úbû�ùdüfù �fù �Fÿ�úföS�k÷�ü��kö��`ù]ü

A 1c7 8 4 6 : < 132 4 7 =@d û�öMøQûe�kö%�kùdü$��f�÷�ÿD�S����g � O : �� 1 4 7 8@ h O 87 8 2 6 �S�� O 2BL O 87 8 > 7 8O 8 2 6 Q ø$�kü 6 ��i ��jlkF+%mmn�

oqpsrqt�uvrqw�xzy üfù�ùdýKþ�ÿ�úbö��k÷{��jlkF+%mmn��ú��'�Où$�fö%�kù�ùH|}#��Yù]üYüföS�`÷�üY�����~�G$��~�I�ÿ�÷��[EHGJI"+

Page 28: Notes in Continuum Mechanics

����������� �����������������������! #"$�%��&'�)(�*,+.-/+.�0�1�243 5$687�9;:=<6?>@5 A B <C5EDF7HG4IKJML JM>?:N5O�P�QSRUT1VXWZY [�\�]_^a`cbed_fdhg�]ji�k%lnmoi�kqp�r0sHktl$mKsHkqpu�v%wj]yxz\�{,g�|_]j`F}~{,��{N�Hkq��r��Ck���rS�Hk%l,i�m/�Hktl��� ��� �������$������M�M�!���,�#�M���,�K�#�#������� � �#�¢¡n�����'£¤ ]K¥�d_�n¦§{¨\Sd�©y{¨]yg�ªt«a{�¬�d_wjv%g�{,­¯®��z]y°�ª%{,w#x$v±g ¦!\�v%²³\M´.\�{�¥µ]y�z²,{�x¶²���{,dh´.v%g�f�´.\�{·­�v±xz´�]y�z´�v±]yg d_��{x�^��z¥�d_²�{$¥µ]y��²�{,x,rSxz^�²³\�d_x�v±w#®0]yx�{�­�ª±]dh­�x,k�¸¹]�¦§{�©_{,�!°0]H­�«j¥µ]y��²�{,x�²,d_g/d_ª±xz]·fy{,g�{,�.d�´.{~xz´���{�x�x!v±g/d°0]H­�«_k~º�´~v±xn®»]yxzx�v%°�ª±{¶´.]�¥µ]y�zw�^�ª)d�´.{E´.\�{=¥µ]_��²,{·°�d_ª)d_g�²,{�dhg�­M²,]yw#®Sdh´�v±°�v%ª±vt´¼«K{,½�^Sdh´�v±]yg�xn´.]o´.d_|_{d_²�²,]y^�g´!]_¥¾d�fy{�g�{,��d_ª'°0]C­�«o¥µ]y�z²,{hr�°�^�´¿´�\�{~w#]yxz´�v±w#®»]y�À´³d_g´�°»]C­�«#¥µ]y��²�{$v±x¿]h¥¾²�]y^��zx�{~fy��d�©Cvt´¼«yrx�]�¦§{·¦!v±ª%ª¾�z{,xz´���v%²�´~]y^���x�{�ª%©_{,x~´.]�´�\�v±x$²,d_x�{hk¶ÁÂ{�¦!v±ª%ªedhx�x�^�wj{=´�\Sdh´~´�\�{=¥µ]y�z²,{·]_¥�fy��d�©Hvt´¼«Md_²Ã´.xv±g ´�\�{KĹŠ­�v±�z{,²Ã´.v±]_g�kNº�¥Æ¦§{#�z{,®0{�dh´~´�\�{¨­�{,�zv%©hdh´�v±]yg f_v%©y{�g¯v±gMx�{�²�´�v±]yg¯º�ºzº³kÇ�o¦§{·ÈSg�­M´.\Sd�´~´.\�{¥µ]y�z²,{E°Sd_ª±d_g�²,{~{�½�^Sdh´.v%]yg�x!°0{,²,]_wj{ É�Ê�ËÉ�Ì Í É�Î�˳ÏÉ Å ÐÒÑÉSÊ�ÏÉ Å Í É�Î�˳ÏÉ�Ì ÍÔÓyÕ ÐÖÑ ×µØ ktl�Ù´³dh|Cv%g�f/v±g´.]�d_²�²,]y^�g�´E´�\�{·¦�{�v±fy\´¶]_¥Æ´.\�{¨°0]H­�« v%´.xz{,ªt¥Úk�u�\�{#²,]yw#®Sdh´�v±°�v%ª±v%´¼«/{�½�^Sdh´.v%]yg¯��{�wod_v%g�x´.\�{¶x�d_w#{ Û ÉSÜÉSÌ Ü Í ÉSÜÉ Å ÜÝ × Ê�Ë Í Ê�Ï Ù ÐÞÑ ×µØ k��yÙuU] x�]yªt©y{o´�\�{,xz{K{,½�^Sdh´�v±]yg�xN¦§{Kv±g´.�z]H­�^�²,{j´�\�{�ßàv±�z«áxÀ´.��{�x�x�¥µ^�g�²�´.v%]ygãâXr�d_x=°0{�¥µ]_��{_k ¸à]�¦�{éy{��g�]�¦Þ´�\�{Exz´���{,xzx¹¥µ^�g�²�´�v±]yg/v±x!­�{ÃÈSg�{�­ax�]·´�\Sdh´

Ê�Ë Ð ÉSÜ âÉ Å Ü Ä ÓyÕ Å»ä Ê�Ï Ð ÉSÜ âÉ�Ì Ü Ä ÓyÕ Å»ä ÎÃË³Ï Ð Ä ÉSÜ âÉSÌ0É Å ×µØ kqpÙº�¥¿¦§{oxz^�°�xz´�v%´�^�´.{¨´.\�{�x�{j{,½�^Sdh´�v±]yg�x¶v±g´�]�´�\�{j²�]yw#®Sdh´.v%°�v±ª%v%´¼«å{,½�^Sdh´�v±]yg¯¦§{jÈSg�­á´.\Sd�´·âæ\Sd_x¶´.]x.d�´.v±xÀ¥ç«�´.\�{¶{�½�^Sdh´.v%]yg ÉSè âÉ�Ì è Í � É�è âÉ�Ì Ü É Å Ü Í É�è âÉ Å è ÐÞÑ ä vékê{_k ë Ü ë Ü â ÐÒÑ ×µØ kêi�Ùº¼g�]_´.\�{���¦�]y�z­�x�´.\�{ExÀ´.��{�x�x!¥µ^�g�²Ã´.v±]_gåxÀ´.v±ª%ª'x�dh´.v%xzÈS{�x!´�\�{E°�v±\�d_��w#]yg�v%²n{,½�^Sd�´.v±]_g�k� ��ì íî�,¡=� � �¾���¢�~���ï¡��Mð ñM��¡�� � �U�¢�¢¡����º¼g·x�{�²�´�v±]yg�ºzº�º³ktl�¦§{�­�v±xz²,^�xzx�{,­·´�\�{§´¼¦§]~®»]_x�x�v%°�ª±{¿�h­·d_®�®���]�¬Hv±wjdh´.v%]yg�xU]_¥S®�ª±d_g�{§xz´.�z{,xzx�d_g�­·®�ª±d_g�{xz´��.d_v%g�k¿ÁÂ{¶¥µ]y^�g�­a´.\�dh´nv%gå°0]_´�\a²�dhx�{,xà´.\�{¶x�]yª%^�´.v%]yg/¥µ]y�¹´�\�{¶xz´.�z{,xzx�{,x~²�]yg�xzv±xz´�xn]_¥e{ìH®��z{,x�xzv±]yg�x¥µ]y� Ê�Ë r Ê�Ï d_g�­ ÎÃË³Ï káò�]_��®�ª)dhg�{oxÀ´.��{�x�x ÊSó Ð�Ñ r�¦!\�v%ª±xÀ´=¥µ]y��®�ª)d_g�{jxz´��.d_v%g ÊSó Ð�ô�× Ê�Ë Í Ê�Ï ÙÃkº¼gM°0]_´.\M²,d_x�{�x Ê�Ë r Ê�Ï dhg�­ Î�Ë³Ï ²�d_gM°0{�­�{���vt©y{,­M¥µ�z]ywõ´�\�{�ßàv±�z«åxz´���{�x�x$¥µ^�g�²Ã´.v%]ygáâá¦!\�v%²³\Mv±x~d

l

Page 29: Notes in Continuum Mechanics

ö�÷�ø�ù�úû�ü ý�þ�ÿ���������� � ������������������������ ���!"�#%$'&)(�*%+)$-,�$/.0*%1�243�+)1�5'6%7�$-,�+�892�:�(;5<*�+)$',>=@?A2B,�8�24C�1�2B,D+�*E8�$-7�2�#F*%$G2BH/5'&)(�5/*�+�,�IJ*�1�2K#L*�6M2�#%#M2�#�CE28N5/,O&)5'6%I-2B&�PQ+)I-,�$-6%2�*%1�2SR�+�TU2�6M2�,�8B2�#�3U2V*WCE2B2�,D*%1�24*WCE$�8N5/#%2�#B=?A$XCY2BH-2B6Z+[.FCE2\CE5',�*�*%$]2BH/5'&)(�5/*�2�*%1�2\R�+)#M^�&�5/8�2�7�2�,�*%#�_@R�+�TU2�6M2�,�8B2�#�R�$`#M*�5'6M*G*%$]2�7�2�6%I'2'=a +�,�8�2Sb;cFdfeg.h$-6F^�&�5/,�2S#M*�6M2�#M#�_!?A$i$-j'2/kl#m&�5NCn8N5', 3!24C�6%+�*M*�2B,D5'#

oLp d qrts b pmuwv b�xXyo x d qr s b�x uzv b p y sh{ =}|-y~ p x d q�\� p x� $-6E*%1�248N5'#M24$'.�^�&�5/,�24#M*%6�5'+�,\b;c�d v s b pY� b�xXy�= a (�3�#L*�+[*�(�*%+),�Ig*%1�+)#�+�, ?A$i$-j'2/kl#F&)5NC s 2�:�(;5/*%+)$-,s � =l��yMyEI-+�H'2�#oMp d qr�� s q uzv�� y�b p9u�v s q ��v y�b�xB�o x d qr � s q uzv�� y�b�x uwv s q ��v yLb p � sh{ =l��y~ p x d q� � p x

��� ���]� �-�@� 2�6M+�H'2K2B:�(;5/*�+�$-,�# s�{ =l��y� ��� �n K¡g¢N£¤¡K¥§¦N¨¤© ¥«ª¤¬ ­`¦N®°¯`¢�¡g±�¬4² ¬4¨�¥§®a $³5/.�*�2B6´5K8B2�6M*�5'+),Q5'7�7Q$'(�,�*@$'.�2VT�$'6M*@CE2A1;5NH-2mR�+)#M8�$XH-2B6%2BR\5K#L*�6M2�#%#´.h(�,�8V*�+)$',�µ sh¶¸·�¹ y«5',�R�8N5',2BH/5'&�(;5/*%2m*%1�2�#M*%6%2B#%#%2B#Fb p _ib�x'_ � p xA5',�RZ+),Q*%1�298�5'#%29$'.º^�&)5',�29#L*�6%5'+),>_�b;c�.h6M$-7»*�1�+�#�=§?m$�C¼R�$JCE2I-$½5'3!$-(�*S8�5'&)8B(�&�5/*%+),�IQ*�1�2¾R�+�#%^�&)5'8�2B7Q2B,�*%#4$'.´*�1�2¾3!$�R�PO.h6%$-7¿*�1�+�#4+),�.h$'6%7Q5/*�+�$-,ÁÀ � ,Â$'(�*�&�+),�2/_#%+�,�8�2G*%1�2Q#L*�6%5'+),�#S5/6%2¾6%2B&�5/*%2�R]*�$ *�1�2¾R�+�#%^�&)5'8�2B7Q2B,�*%#�_�5',�R]*�1�2Q#L*�6%2B#%#M2�#g5/,�RÃ*%1�2¾#M*%6�5'+�,�#K5'6%26%2B&�5/*%2�RÄHi+�5D?A$i$-j'2/kl#G&)5XCS_«CY2\#%1�$-(�&)R�3!2 5'3�&�2Q*%$`R�$¤*�1�+�#�= � ,�^�6%5'8B*%+)8�2Z+�*g+�,�H-$-&[H-2�#G:�(�+[*�2 5R�2�5'&§$'.�2VT�$'6M*N= � ,]*�1�2�8N5'#M2Q$/.E^�&)5',�2¾#M*%6%2B#%#�_°?A$i$-j'2/kl#K&�5NCÅI-+�H'2�#K(�#S2�:�(;5/*%+)$-,�# sh{ =Æ|'yV_¸#%$ CE28N5/,O6M2�&�5<*�+�H'2�&[P�2N5/#%+)&�&�PQ8�$-,�#M*�6M(�8B* oMp _ o xK5',�R ~ p xA.h6%$-7Ç*�1�2B#%2'=´ÈF1�2B,DI-+[H-2�,½#�5NP oMp sh¶¸·�¹ yV_�*%1�2KÉR�+�#%^�&)5'8�2B7Q2B,�*�+�# Ê ÉÊ ¶ d oMp sh{ =}Ë-y� ,�*�2BI-6�5/*%+),�IG*%1�+)#FI-+[H-2B# É s�¶¸·�¹ y«dÍÌ oMp�Î ¶ �wÏ sh¹ y sh{ =lÐ�yÑ $/*�2³*%1;5/*�*%1�2J8B$-,�#L*�5',�*S$'.§+�,�*�2�I'6�5/*%+)$-, Ï +)#A,�$XCÒ,�$'*S5Z8B$-,�#L*�5',�*N_�3�(�*�+�#�5Q.h(�,�8B*%+)$-,¤$/.§*�1�2H/5'6%+)5'3�&�2 ¹ 5/&)$-,�2/= � *S+�#�2N5'#M+)2B6�*�$ #%2B2¾C�1�P`+[.@CE2¾8�$',�#%+�R�2�64R�+[T�2B6%2B,�*%+�5/*%+),�I sh{ =lÐ�yACS=Ó6�=Ô*N= ¶ *�$I-2V*Q3�5'8�jÄ*�$ sh{ =ÆË'yV=�ÕE&)2�5'6%&[P¼Ö'×;Ø�.h(�,�8V*�+�$-, Ï s ¹ y³C�+)&�&�R�+�#�5'^�^!2N5/6 s CY2D5'6M2\*�5'j�+),�IÂ5¤Ù�Ö'Ú�Û"Ü Ö'Ý

Þ

Page 30: Notes in Continuum Mechanics

ß>àFáEâ�ã�ä<å æEç}è�é�ê�ë�ìí�î ï ë�ð�ê�ñ�ò�ï�êó�ì�ô�õ�ö�÷ ö�ð!î"ê

P

x

y

2c

l

ø°ù)ú'û�ü%ýGþ-ÿ���������ù��ú��� �������%ù��ý��-ýBü����ýBü%ù������%ù��'ý������������ �"!Yý$#gû%�&�'�(��)/ý$���'üMý*�+�,������!-�����/.0�1�&�%ù2�ù�)ù3��ù�ý����5476�ù��8.9�'ù����ù��'!:�'ü&�+6ü%ý�#Qý�#;2!ý�ü%ù���úGú-ý���ý�ü ����3<'�+6�ü �-û�ú�6%�-û��7� 6�ý=���-û�ü&�%ý��476�ù�>!?�-û%���@2UýA#'����ýB����ý��'üMý�ü>2�<@���\ý�C���#D.%�)ý��@ø°ù)ú-û�ü%ýJþE�&6%��!F���;2Uý���#G.�ü ���%ü%û%��ù���úH�hü&�1#�;!>����I!�ù�� 6J��K�'ü ��ýMLN��.%.%�)ù�ý��O����ù3�+�Fý��%�I�P476�ý=�&��üMý��&���hû%������ù��1�@�K�-ü>�+6�ù�F�����MýSù�Q@RTSU L V?WYX;Z þU LV\[�WYX [!F6�ù��(6Oú-ù3�-ý��F� 6�ý=�&�%ü%ý��&�%ý��B���]%^ R Z S _ LV [ WYX9` a ^(b R Z S LU V c þ Z XedV def ` ]%b Rhgi .�.%��<iù��úkj��l��)'ý�mn�F�o��!=�%!YýM6%���'ý0p ^ RGqYrq W R ]%^s R Z S L WYX_ V\[ s!F6�ù��(6t�1�½ù���%ý�ú-ü ����ù��1��ú-ù3�-ý�� r R Z S L WYd(XU V\[ s uwv x X �y ù�#Qù��o�'ü&��<!YýM6%���'ý p b RGq{zq X R Z8| ]%^s RTS | L WYX_ V [ sú-ù3��ù���ú z R S | L WYXedU V�[ s u~}�x W ��Eû��/j��l�1)/ý�mn�F�o��!����� �¾ú-ù3�-ý��mû�� � ^(b R q{rq X u q{zq W R a ^(b�����!YýH�Mû%2%����ù��%û���ý=�+6�ý³ý\C�.�ü%ý��&�%ù��1�%�/!YýH6%���'ý;����ü%ý�����<@��ýBü%ù3�-ý��J�K�-ü r ���%� z ù��� ��� 6�ù��ý��iû%����ù��1�I�!Yý�6{���'ý Z S L W dU V [ s u�� v x X �� X u S | L X dU V [ s u�� }�x W �� W R Z S LU � V c þ Z X dV defS

Page 31: Notes in Continuum Mechanics

�I�7�:������� �:�����8�\�����%�¡ ¡��¢��F£D¤B ���¥��o¦�§�¨+©O¨+¢0�ª�«­¬E®�¯�°O±�¯�² ³%¬�´F¯�µµ9² ³%¬B²+¬�´ ¶D·7¸°�¹1º�µ�¹e¸°%±;»t¸°�² º�¯² ¬�´&¶½¼k¾K»9¿�ÀY¯�°%ÁJ¯�µµY²+³%¬E² ¬�´ ¶D·7¸°�¹�º1µ�¹e¸°�±;¸°�² ºk¯;² ¬�´ ¶½Ã'¾KÂ%¿\À%¯�°%ÁO²+³�Ä%·FÅF´ ¸3²+¬B² ³%¸·F¯�·Ãk¾¡Â�¿IÆw¼k¾K»9¿�ÇÉÈÅF³%¬�´ ¬ ¼k¾K»9¿�ÇËÊkÌ1Í »YÎÏ�Ð�Ñ\Ò ÆËÓ�Ô ¾Õ»9¿Ó » Ö Ãk¾¡Â�¿ ÇTÓØ× ¾¡Â�¿Ó  Æ�Ì1Ù�Í ÂeÎÏ�Ð\Ñ(Ò Ê Ì1ÍÏ ¼ Ð�Ñ Â ÎÚ/º�ÅÛÅ?¬�®�¯�°k®�º1°%·&¸Á%¬�´?Ü�¬�¬�Ý%¸°%±M»8®�º1°%·&²+¯�°�²7¯�°�ÁD¹�¯�´�Þl¸�°%±MÂ9ßáà7³%¸·âÅ?º1Ä%µÁk¶k¬�¯�°²+³{¯�²>¼k¾K»9¿â¯�°%ÁÈãÅ?º1Ä%µ�ÁOä9¬=®�º�°%·&²+¯�°�²�ÀY¸¶DÝ%µ�Þe¸�°%±�² ³{¯�²/Ã'¾KÂ%¿P¶;Ä%·&²�ä0¬E· º1¶D¬=®�º1°�·&²(¯�°�²MåÃk¾¡Â�¿âÇ~æ ¾Kç;ßéè�¿à7³%¸�·A¸·�°%º�Å�¯�°*¬�ê�Ä{¯�²+¸�º1°*² ³{¯�²AÅ?¬H®�¯�°$¸°�² ¬�±1´ ¯�²+¬=²+ºk±1¬�²B¯�°ë¬�ìlÝ%´&¬�·&· ¸º�°ëíKº1´ × ¾¡Â�¿�ß/îl¸¶D¸µ¯�´ µ3Þ1À¸�íïÅ?¬MÅ?¬�´&¬M² º�Ü�¬�¬�Ý*Â8®�º1°%·�²(¯�°�²/¯�°%ÁO¹�¯�´&Þ8»ïÀYÃk¾¡Â�¿:¯�°�Á*Èð¯�´ ¬E®�º1°%·&²+¯�°�²�ÀY· º¼k¾K»9¿�Çòñ ¾Õç;ß3ó�ô�¿ÅF³%¸�®(³5Å?¬õ®�¯�°5¸°�²+¬�±1´+¯�²+¬*² ºö±�¬�²t¯�°ò¬�ìlÝ%´&¬�· ·&¸º1°òíKº1´ Ô ¾K»9¿\ßø÷�¸�°{¯�µµ3Þ1ÀFä0º1Ä%°%Á{¯�´&ÞÛ®�º1°%Á%¸3²+¸�º1°%·º1°,²+³�¬JÁ�¸· Ý�µo¯�®�¬�¶D¬�°�²+·ùïÀ�úû®�¯�°wä0¬@¸°�² ´ ºeÁ%Ä%®�¬�Áö² ºõ¬�µ¸�¶k¸�°{¯�² ¬'¯�°�Þ,Ä�°%Á%¬�ü%°%¬�Áw®�º1°%·�²(¯�°�² ·kº�í¸°�² ¬�±1´ ¯�²+¸�º1°IßFýþ°ë²+³%¸�·A¬\ì%¯�¶kÝ%µ�¬�À0®�µ�¬�¯�´&µ�Þ@²+³�¬;¬�°%Á*º�íâ²+³%¬H®�¯�°�²+¸�µ¬�¹1¬�´/¸°J²+³%¬HÅ:¯�µ�µÿ®�¯�°%°%º�²E¶kº�¹�¬�À¯�°%ÁO²+³�¬M®�¯�°�²+¸�µ¬�¹�¬�´7¸3²+· ¬�µ�íÿÅF¸µ�µ�°%º�²F¶Dº�¹1¬M¯�·�¯Ä%°%¸3²F¬�¸�² ³%¬�´�ß����������� � º�¶kÝ%µ�¬�² ¬?²+³�¬>· º1µ�Ä�²+¸�º1°Hº�í{²+³%¸�·�Ý%´&º1ä%µ¬�¶ ä�Þ�¬�ìlÝ%µ�¸®�¸�²+µ3Þ=¸°�²+¬�±1´+¯�²+¸°�±A¬�ê�Ä{¯�²+¸º�°%·7¾Õç;ßéè�¿¯�°%Á"¾Õç;ß3ó�ô�¿\ß

Ï

Page 32: Notes in Continuum Mechanics

������������� �������! #"%$'&)(+*+"%,� .-0/1* '23$54�687:9�7:,;(< =�>�?�@�?A�BDCFE)GIHKJLENMOJ�JLE)PRQSJ:TSP8QSQLP8Q

U)VXWZY[ \^]`_ U)a W \�]cbI_ UNd�Wfe \^] g ]ih Y[�jklVma W n \Fo[TSP8p)TSP8QSP8q�JrJLE)PiQLGtsu�J:vGtqwJ:GxMyp)s5MOq)PzQSJLT:M{vq|p�TLGt})sP8~�H.vJ:E�q)Gx};GF������GtTL��P8Q����1PlJ:P�TL~0v�q)P�JLE)P��v�QLp�s5M{��P8~0P8q�J:Q.v�`JLE)PR�)v�QSp)s5M{��P8~0P8q�J�M{q)�xTLGOJmMOJLv�Gtqy��Gt~�p;Gtq)P�q�J:Q�MOJ�J:E�P�G{TLv��{v�q�M{TSPX�8P8TSG)�=�>�?�@�?��NB.CFE�G%H�J:E)MOJ1J:E�P���Gts�sG%H.vq)��Q�J:TSP8QLQR�)vQSJLTLv�}�u�J:vGtqwTLP�p)TLP�QLP�q�JLQ�M�p�s5M{q)P�QSJLTLP8QSQ�QSGts�uFJ:v�G{q��G{T.MiJLE)v�qyp)s�MOJ:Pz�

U)V W � o�]c� n��{� ]coRh��moU)a W � ]co^� n��l� ]c�moklVma W n [ � � ]cbmo^b�h � oFb�h � � ]N� h¢¡H.E�P8TLP � _ � _m�I_m¡ M{TLP��8Gtq)Q�JmM{q�JLQ8��£¤vq)�¥JLE)P�Q�J:TLP�QLQ���u)q���J:vGtq§¦��8GtTSTLP�QLp;Gtq)�)vq)�¨J:G�J:E)vQ�Q�J:TLP�QLQ��v�QSJLTLv})u�J:vGtq��=�>�?�@�?©�B¤ª'�`JLE)P1�tv¬«tP8q�QSJ:TSP8QSQLP8Q�M{�lJ�v�q�J:E)P­JLE)v�q�p)s5MOJLP­QSE)GIH.q�®�¯Nq)�!JLE)P1��Gtq)QSJ:M{q�J:Q � _m�I_m¡ QLu)�mEJLENMOJ�J:E)P�TLP�v�Q.q)G�QSE)P°MOT­QSJLTLP�QLQ1GtqxJ:E)P�P8���tP8Q ] W²±�³c´t� M{q��¨q)G�q)GtTL~�M{s Q�J:TLP�QLQ1G{q�J:E�P�P��)�tP] Wµn­³;´{� �D�1P�J:P�TL~0v�q)P¶J:E)PRQLu�TS�+M{��PR��G{TL�8P�Q¶G{qxP8M{�mE¨};Gtu)q��NM{TS�!G{��JLE)PRp)s5M�J:P{�· ¸�¹ º¼»8½¿¾ÁÀ8Â�Ã.ÄXÅ ÄXÆ!Ç¿½�»8Æ ÈÊÉ�À�Â�ËÍÌÎÉyÉ0ËÐÏÁ»°ÆwÂ�Ç¿ÄX½�1v�QSp)s5MO�8P8~0P8q�JLQzv�q�pÑG{s5M{Tz��GFGtTS�)v�q)MOJ:P�QiM{TLP�P�«OM{suNMOJLP8��v�q�J:E)P�QLM{~�PyH�M°�t��ÒÐÓ�uNM�J:v�G{q)Q�Ô+ª'Õ��×Ö�ØTLP�s5MOJLP1J:E)PRQ�J:T:MOv�q)Q.M{q����)vQLp)s�M{�8P�~�P�q�J:Q

Ù�ÚÛWÎÜcÝÜNÞ _ ÙSßÛWÎÝÞ h YÞ ÜcàÜcá _ â ÚãßäW YÞ ÜcÝÜcá h ÜNàÜNÞ nKàÞJ:GzJLE)PRQSJ:TSP8QSQLP8Q��äå¥PRM{TLPRq)GIHÊv�q�MzpÑG{QLvJLv�Gtq!JLGiPlæ�M{~0v�q)P1H.E��!JLE)PR�8Gtq)Q�JmM{q�J¶ç WÊè v�q|Ô+ª'Õr�êé{Øl�Ò¿«OM{s�uNM�J:v�q���J:E)PRQSJLTLP�QLQLP�Q1M{q��xQSu)})Q�J:vJLu�J:vq)�0v�q|Ô+ª'Õr�ëÖ�ØÛHäPR¯Nq)�ìÔ+P�«{P8q�J:u)M{s�s¬�)Ø�JLENMOJà W Ö�ç Þ{áí n�î QLvq áç�ïWfè JLE)P8TSP���GtTSP��8G{q�JLTLv})u�J:P�Q¿M.J:P8TS~ðH.E)v��mE�vq�«tGts¬«tP8Q á M{sGtq)PO��ñ�E)vQ�JLP8TL~²vQ�q)GOJäòlóõô^ö{÷�ølùãú�û{÷�üNøLý{�ª'��HäP­Q�JmM{T�J�M�JÛMRpÑG{v�q�J­Ô Þ _ á Ø#®^JLE)P8q�v�q)��TLP8M{QLP á }�� ��þ ®�HäP­�tPlJäJLG�JLE)P�pÑGtvq�J1Ô Þ _ á h ��þ Ø�ÿ�H.E)v��mEv�Q0G{�X��Gtu)TSQLP�JLE)P¨QLM{~0P�p;Gtv�q�J8®ÛQLG|H�PxH�Gtu�s�� P#æ�p;P8�lJ�JLE)P¨QSGts�u�JLv�Gtq�J:G¥}ÑP�J:E�P¨Q:MO~�PO� å v¬J:EPlæFp)TSP8QSQLv�G{q)Q�vq�«{Gts«^vq)�R�8GtQ á ®FQSv�q á P�J:�O�¤J:E�v�Q H�G{u)s���}ÑP�J:E�P¶�8M{QLPO� � GIH�Pl«tP�T�MRJLP8TS~ � � Ú'ß� HäGtu)s���mENM{q��tPiv� á�� á h ��þ �rñ�E�P8TLP0M{TSPzGF���°M{QSv�Gtq)M{s¿QLv¬J:uNM�J:v�G{q)Q¶H.E)P�TLPi~�u)s¬J:vp)s�P�«{MOs�u)P��ÁQLGtsu�J:vGtq)Q�°MOq�};PR�8Gtq)QSv��)P�TLP���®NH.E)P8TSP�JLE)P8TSP�MOTLP�M{�)�)v¬J:vGtqNM{sÑ�8Gtq)Q�J:TLM{v�q�J:Q.Gtq�J:E�P�p�TLGt})sP8~ H.E)v��mE�TLP8~0GI«tPJ:E�P�MO~�})v��{u)vJã�{� � GIHäP�«tP�T­vqy�tP8q)P�T:M{s�HäPRJmM��OP�ç WÊè ��

Page 33: Notes in Continuum Mechanics

� ��������� ����������� �"!$#&%&� '(�*),+-%.�"/0�21�35476847'9#:�; <�= >@?�ACBEDGF5H,IKJLHNMPO�DRQRSTJGJUFVI WYX Z[ICH,I]\^S`_aBcb F5ICSTXedfhgcikjVlmgNn$gporq.l�g5nKskjut2j�v$wpgcg5x�ykj�z7q|{�v$}�~�{mo�zri$gc}�z7orgp}r}-~�{mo�w5gp}-~�{mo-j8�unKw5j�}rgu��� i$g5}�g,gpx�ykjuz7q.{mv$}}ri({ ��g5n�z7ikj�z-z7i$gN}�t|{m�9gc{�~�z7i(g,v({mor��j�t�}�z7o�g5}�}Eq.v�j�n$q|o�g5wpzrq|{mvC��j�}�skj�t|j�v$wpg5nKs��Cz7i(g�}rt|{���g�{�~z7i(gY}ri(gVj�o`}�z7o�g5}�}Tv${mor��j�t�zr{�q.z5����vC��n]zri$g5o�g�j�org�{�~Rwp{my$o�}rgN��}�i$gVjuo�}�zrorgp}r}rgp}�j�}r}�{[wpq2juzrg5n��*q�z7igVjuw�i�v${mor��j�t9}�zrorg5}�}5�k}�{Y��gTg��[��gpwpz z7i(g-}rt.{m��g`{�~�z7i(g-}ri$g5j�o�}�z7orgp}r}*v${�� z7{cs9g-skjut2j�v$wpg5n�s���z7i$g}rt.{m�9g5}�{�~�zri$g5}�g,z���{�}�i$gVjuo�}�z7o�g5}r}�g5}p����v�~&j�w¡zV�¢q|v(w5t|y(n$q|v$£�zri$gNs�{¤n(�C~�{mo�w5gp}Y¥ ¦L§�¨�©�ª�©�«-¬-q|vz7i(g��(q|wpzry$orgu�$z7i$g�gpx¤y$juz7q.{mv$}�z�ju­�g�z7i$gT~�{mo��®k¯$°®$±³² ®$´p°�µ®k¶·² ®$´p°�¸®^¹º² ¨ ¦ »®k¯$µ®^¶¼² ®$´¡µ�°®k±½² ®$´¡µr¸®^¹¾² ª ¦ » §À¿c��ÁmÁ ¬®^¯k¸®^¹Â² ®$´p¸Ãµ®k¶Ä² ®$´5¸�°®$±½² « ¦ »fhgcwVj�v]�*orq.zrgYz7i(g5}rgYg5x�ykjuzrq|{mv$}�q|vKjÅ�,{mo�gEwp{m���$j�wpz�v${�z�j�z7q|{�v�s��Cy(zrq|t.q|}rq.v$£N}ry$�,��juz7q.{mv]wp{mv[Ælmgpv�z7q|{�v��E� i(g�}�z7o�g5}�}rg5} ¯$° � ´¡°�µ j�orgNj�t.tÇwp{mv�z�j�q.v$g5nKq.v�z7i(gcz7g5v(}r{mo ¯$ÈÊÉ ��Ë-g5o�q.lujuz7q�lmgp}`���Ìo5�ÊzV��z7i$g�9{m}rq�z7q|{�v�l�juorq2jus$t|gp} ± � ¶ j�v$n ¹ wVj�vas�g-�*o�q.z�z7g5vaw5{����kjuwpz7t���j�}®®$± © ®®k¶ © ®®^¹ Í ®®$±kÈj�v$nK{u~�w5{my$o�}rgczri$g�s�{¤n(�a~�{morwpgcw5{����9{mv$gpv�zr}-wVjuvKs�gY�*o�q.z�z7g5v�ju}T¥ È �T� i�y$}Tgpx�ykjuz7q.{mv$},§À¿c��ÁmÁ ¬wVjuv]s9gT�*orq.z�z7gpv]ju}*zri$g�}rq.v$£mt|g�g5x�ykjuzrq|{mv ®k¯$ÈÊÉ®$±¤É ² ¥ È ¦Î» §À¿c��Á �m¬

� i$gÅs9{my$v(nkj�o���wp{mv$n$q�z7q.{mv$}�j�o�g,{�s(z�j�q.v$g5n�~�or{��Äz7i$gNorgpx�y$q|o�g5�,g5v�zEzrikjuzEjuz�z7i$gN}�y$o�~&j�wpgÅ{�~z7i(gEs9{[n[�m�$z7i(gE}�z7orgp}r}�g5}-�cy(}�z`g5x�ykj�t�z7i(gEq.���9{m}rgpn8}ry$o�~&j�w5g�~�{morwpg5}p���"~Ïzri$gE}�y$o�~&juw5g�g5t|gp��gpv�z�Ð�Ñikj�}`jNv${mor��j�t�Ò ¦Ó§:Ô�©7ÕK©7Ò�¬¡�ǧ:Ô�©7Õºjuv$n�Ò�j�o�g�zri$gEn(q|orgpwpzrq|{mvaw5{m}�q|v$gp}`{u~Ïz7i(q|} lmgpwpz7{�o�¬*zri$g5va��gwVjuv]g¡l�jut|ykjuzrg-z7i$g�}�z7orgp}r}*lmgpwpz7{�o�juz zri$q|} �9{mq.v�z�ju}Ö Ô³Õ Ò�×]ØÙ ¯$° ´p°�µÚ´¡°�¸´p°�µ ¯$µ ´¡µr¸´p°�¸Ú´¡µr¸ ¯k¸

ÛÜ ¦ Ö ¯$° Ô ² ´p°�µ Õ ² ´¡°�¸ Ò ´¡°�µ Ô ² ¯$µ Õ ² ´¡µr¸ Ò ´p°�¸ Ô ² ´¡µr¸ Õ ² ¯k¸ Ò0×ÝRx�ykjuz7q.v$£8z7i$q.}E}�z7orgp}r}�lmg5w¡z7{mo��*q.zri�zri$g�q.���9{m}�g5n�~�{morwpg��9g5o�y$v$q�zYjuorgVjh§ÏÞ¨e©0Þª�©GÞ«�¬-��gÅ£�gpz�z7i$gg5x�ykj�z7q|{�v$} Þ¨ ¦ ¯$° Ô ² ´p°�µ Õ ² ´p°�¸ ÒÞª ¦ ´p°�µ Ô ² ¯$µ Õ ² ´¡µr¸ Ò §À¿c��Á���¬Þ« ¦ ´p°�¸ Ô ² ´¡µr¸ Õ ² ¯k¸ Òß ~Ïwp{my$o�}rg�z7i$q.} s�{my(v$nkj�o���w5{mv(n$q.zrq|{mv�w5j�v]s9gT�*orq�zrz7gpv8��{mo�gTw5{m�,�kj�w¡z7t���j�}¯$ÈÊÉ Ò É ¦áà È §À¿c��ÁVâ�¬

ã

Page 34: Notes in Continuum Mechanics

ä�å æ�ç�è�é�ê ë�ì�í�î�ï�ð ñ"ò$ó&ô&ð õ(ï*ö,÷-ô.ï"ø0ñ2ù�ú5û7ü8û7õ9ó:ïýÏþ|ÿ������������� ������7þ��$þ��.þ����8þ����5ÿ�������������� �!�"�7þ��$#%�¤þ|ÿ�&(')�$þ�*�����5ÿ��rþ+���,�.-/�����rþ��mÿ����0��#2143(þ�536�!3��7 �����98:�����;�<>=�?;�@ <BA ;�<C=�D;�E <GF ;�<!H/?5D;�EI;�@ 8 ;J<C=�?;�@K;JL F ;;�E M0N ;�H/D�O;�E A ;�H/?>O;�@ A ;�H/?5D;JLQP R%SUT�VXW�YZ[3��\���!����þ|ÿ�]�uÿ^�I�_14��þ������5ÿ�þ|ÿ`�!�5ÿK������þ+����#a���� b���2�c�����!��þ.ÿ����5ÿ������ =$dfe ��þ.ÿ����.�� ��g��#h143$þ�53i�!3K�.����.-/���"�7þ���ÿ��4�j��.�� �� ; < =�dfe;�EJk];�EJl A ; < =�k!l;�E�dm;�Ene N ; < =�dok;�Ene.;�EJl N ; < =pe�l;�E�dm;�EJk Frq R%SUT�V ' Y

sut(vow6v�xKy{z �.��þ�|��}��-/�����7þ��mÿ�� R%SUT�V�VXYCTsut(vow6v+~ny{� �)C�n.�|þ.ÿ�&Nþ|ÿ��(þ�.���.���K�.�rþ�|����!3�������3��.�[��-/�����7þ��mÿ��4��#,.�� ������rþ��$þ��|þ����:#a���� R%SUT�VXW�Y>T

Page 35: Notes in Continuum Mechanics

����������� ������������������ �!��"$#%�'&(�)#+*,.-0/214365 7 8936:<;=-?>@-A;�BCED�FHGJI%KMLON P�QSRUTWVYX[ZU\Z�]SR_^9`badcE^0`be9fhg0`bi9f�jlk0`+j<cWjlk0`�amon�plq r sut v sxw yEz t {=|$w}p~���QHZ$�A����]����R9�0TS�����@Z�����]S��RA��������Q�g���RA�x��RA]0��]����������]S�S������]S�S��]��(����R��S��������������������������`�~��QHZ$�A�EZU ���RW������]6��QHZ��=�W��]S�0������]S�S��]�¡��RA�x��RA]S��]���=�$Z�]6�S�������������u��Q0�_������ZU��]�`@P�ZU]��¢�E�uZU£U���Q0��������]��RuZ�����]S��RA�(¤W¥�QS�dZU]S�¦�����§����¨A����`©¥�QS��������]S��RA�ª��ZU£U������QS��«'RA���

¬�­ ®¯ ¬�° ±²$³ °(´ ±²$³ °�µ±² ³ ´¦° ¬�´ ±² ³ ´�µ±²$³ µ¶° ±²$³ µ·´ ¬�µ¸¹ �'º¼»(`+j½�

~��<�$Z�]ERU«���RATS�����<¾H]S�_�S����]S�����S �����ZU �TS����Z�]S�E�S����]S�����S ��ª�0������������RA]S�¢RU«��¦����Z���]u«'��RA�¿��Q0�����uZ������+À��]Á��QS����ZU�x�¼��Z$¨Uf�]0RU����Rx�u��]����RU]Á�S��Z$����]0\EÂ@RUQS��ÃÄ���������� ������S��ZU\A��Z��u��`P�ZU]E�¢��\A���¢��QS�����¼�xRA���§�S���������� �¨0¤Á~��<���� � hTS���¼��TS�x�uZ�����RA]u��RA]�A��]�����RA]Å`©ÆÇ������ZU��]u����]0��RA������S��������]����<��Q0�d�S������RA������RA]��S��R9�ST0�����W��]���QS����R?�0¨��¨Á��Q0�=ZU�0�S �������«'RA��������`�¥�QS���ª���x�S ���������QHZ��ZU]¨@��RA��]�¼��]È��QS�=TS]S�S������RU�������4��R?�0¨�ÉHÊ �xRl�A���¼��RÁZ_]S���Ë �R?�$Z�����RA]ÈÉHÌÊ `¼¥�QS�¡�0�����0 ÍZU�����x��]�¼RU«��Q0������RA��]������R�«[��RATS����� Î Ê ­ É ÌÊ�Ï ÉHÊZU]S���¢������ � Å��ZU �  Î Ê���QS�uÐUÑ�Ò¶Ó�Ô+Õ?Ö(×�Ø_×�ÙHÚ�ÛU×(Ö�Ú·Ü�Ý�`©Þ9��]S������Q0���U������RA��É ÌÊ ������������ �«[Z¡«'T0]S������RA]�RU«�ÉHÊßf��Q0�������x�S ������ Î Ê·�'ÉHÊ'��fHZU]0�È�¢���$ZU]������+���à Î Ê ­âá

Î Êá Éhã à Éhã �'º¼»(`biA�

TS����]S\¡��Q0���(QSZU��]È��TS ��¼«'RA���S�+äÅ������]���ÍZ�����RA]�`å§Rl�æ ����=T0�d��RA]S�����S�����¶��RW]S����\AQ���RAT0����]0\@��RA��]����ÉhçÊ ZU]S��É�èÊ `Á»¶]0������ZU � +¨@��QS�����d�����HZ���Z�����RA]�A������RA�Á��� à ÉHÊßf���Q0�� ��¦�ÁZ�«!�����_��QS�é�S��«'RA���uZ�����RA]ê��QS�����E�����HZU��Z�����RA]O�U������RA�Á��� à É ÌÊ `2¥�QS�����ëZU������� ÍZ������Á��Q�TS��ì à É ÌÊ ­ à ÉHÊ0í à Î ÊÞ9RuQSRl�Ë«�Z��§Z��HZU���¼ZU������Q0��¨0¤6»¶]S�����ÍZU � �¨x��QS�����ª�����SZU��Z�����RA]@��� à�î ­ðï à É ²Ê f�RU� à�î ² ­ à É ²Ê `�Ƨ«!�������Q0���0������RA������RA]Åfà�î Ì ² ­ à É Ì ²Ê ­ � à ÉHÊ9í à Î Ê'� ²­ à?î ² íOi à ÉHÊ à Î Ê?í à Î ²Ê

ñ§����]S\@�!º¼»(`biA�������$Z�]@�� ����x��]SZ���� à Î Êà�î Ì ² ­ à?î ² íOi á

Î Êá Éhã à ÉHÊ à Éhã©í á

Î Êá Éhã á

Î Êá Éhò à Éhã à Éhò~���]0RU�����¶�¢Rx��QS��]S\U��ZU��RUT0����QS����ì

j

Page 36: Notes in Continuum Mechanics

ó�ô�õ�ö�÷ø�ù ú�û�ü�ý�þ�ÿ�������õ������%þ� (þ�������������������! �"�#%$&�!')(* �"+$&���,'��-�.�/�!�102�3�546(7(7�!$&'�08��9;:=<>�-'��?$@�BAC�D��9;"�E��F ;G�$)����08"�#C08���!�3H�IBJK�����02��08(7L�:802���M<M�>��9;"N')��<�')0�$&�>02$�9���G� ;:8:8 O<��P�QSRUTQ�VSW X VUT X VSWZY QURSTQ�VSW X VUT X VSW=[ QSRSWQ�VUT X VUT X VSWP6�������\$)��08'�#F$)��'�(]08����08(708:^9�'):24_�54`(a(7�!$)')08��9;:�b6�) _<c�>��9;"d�5<e9�Lf9;'� �g�"�#�$&�C�h02"�#�02�����QURUTQUVSW QSRUTQ�VSi X VUT X VSiUY QUR�iQ�VUT QURSiQ�VSW X VUT X VSW����02�Zj���02"�E_�) @<M�k��9;"d'��!<�'�02$&�l$)��08���!m`g�9�$&02 �"Xon^prq Y Xon q [ P;s TrW X VUT X VSW<����!')� s TtWZY �P u QSRUTQ�VSW [ QURSWQUVUT [ QUR�iQ�VUT QURSiQ�VSWUvw 02"U9;:8:�4�b`02Gx$&�C�h#C08�)LC:^9;�!��(7��"y$&�Z9;'��h��(,9�:8:�bo<M�h��9;"N08E�"� ;')�l$&�C08��:^9���$�$&�!')(Nb��) s TrWzY �P u QURUTQUVSW [ QSRSWQ�VUT v {�|l} �/~y�� "CG� ;'�$&gC"U9�$&�!:24z<c�="� O<+�U9��;�=$�<M z��:802E��y$&:24Z�! �"C�U02�!$&02"�E�"� ;$&9�$&02 �"���G� �'��! �(7LK �"C��"y$&�x ;G6��$)'&9;02".�� 9;'):208�!'�<M�302"y$&') `#�g��!��#N$&���h�;9�')0^9�j�:8�!� R bS�SbS��G� �'�$&�C� V b��Kb��,�! �(7LK �"C��"y$&�z ;G�#�02�)L�:89;���!(a�!"o$�b08"�$)��')(7�� ;G�<���08�D�N$&���>������9;'��5$&'&9�08" �`�D� Y Q �Q�V [ QURQ � {�|l} �-�o�� O<�<c�h�U9����>$&���\�;���!$) �' RUT '���L�'�������"y$&02"�E7$)���>#�08��L�:^9�����(7��"y$� ;G�L� �08"y$ VUT b�02"�$&��'�(a�� ;G�<���02�D�s �D� Y �P u QUR�

Q�V [ QUR �Q � v {�|l} ������ O<M�!�;��'�$&���\�! �"y$&��A`$Z�)�C �g�:8#����� O<��BA�9��!$&:�4,<���02�D� R <M�h9;')�lgC�)08"CE_9�$Z9;"y4� �"C�l$&08(7�;� } "�G�9;�!$$&�C�� �"�:�41'���9;:=�� ;"CG�g��)02 �"%9;'�08�����3G�'� �(�$&���,G�9��!$& ;'3 ;G>���;PN08"���mogU9�$)08 �" {�|l} �����h�;��')��g�� {�|�} �/�y��b9;"�#F$&�C08��08����gC��$z9@m`gC����$)08 �"N ;G�<�����'��h<M�h�D�� 6 ;�)�\$& _08"y$)') `#�g����\$)��08�eG�9;��$& �'!� ¢¡F£r¤F¥£�¦y§©¨6ª ��$&�D�d$)���k«d ���'!¬/�Z��02')�!:8���eG� ;'�L�:^9;"C�\��$&')9;08"�� ¢¡F£r¤F¥£2­�§©¨ �� O<®$)�U9�$�$&���\$�<M a#C�!¯U"�0�$&02 �"�� {�|�} �2�O��9�"�# {�|l} �/~y��9;'��\�� �(7LU9�$)08j�:2�;�P

Page 37: Notes in Continuum Mechanics

°.±�²c³o´yµ¶ ·�¸B¹/º�»8¼�½�¾�¿�²�À�¾Á�Âû�ÄD»�Â�ÅÆÈÇcÉBÊ Ë�ÌÎÍ©ÏlÐÎÐ�ÑxË�ÌÎÍ©Ò3Ó�Ô ÕÖÏ\×�ÒkÌÎÓ�Ø7ÔÙÐÎÚÙÓ�ÛÙÐÜ1ÝFÞ�ß2à8àMá�âDã�ä�â_åyæèç�é�êCá)ß8ëCÝ�ä)ß2ê�ìÙâ&í�ÝFá�ß8î7ï�à8Ý!á�â@ï�é�á)á�ß8å�à2Ý�ç�ã;á�Ý;ðèñóòZÞcÝFâDã;ô�ÝNãõä�é6ëèé;òzîaã�â&Ý!ä)ß^ã�àã;ê�ë�á5â&ä�Ý!â&çDíNß2â�ö6íCé�Þ�ë�é`Ý�áeß�âeå�Ý�íUã�÷;ÝOøfù�í�ß8ácß8áeÝ!ú`ûCß2÷�ã;à8Ý!êyâcâ&é_ã�á)ôoß8ê�ìüÞ�í�ã�âeâ&íCÝ\ä)Ý�à8ã�â&ß2é�ê�á�í�ß8ïaß8áå�Ý!â�ÞMÝ�Ý�êÙâ)í�Ý3á5â&ä&ã�ß8êfý�ã;ê�ëþâ)í�Ý3á5â&ä)Ý!á)á\ÿÎðZñóò�â&íCÝ�ä)Ýkß8ázã,é�ê�Ý��óâ)é���é�êCÝkä�Ý�à^ãâ&ß8é;ê�á)í�ß2ïdå�Ý!â�ÞMÝ�Ý!êÙâ&í�Ýá�â)ä)Ý!á)á©ã;ê�ëüâ)í�Ý�á�â)ä&ã;ß2ê.ö�â)í�Ý�ê_ß2ê�ç�ä�Ý�ã;á�ß8ê�ì�â)í�Ýeà2éyã;ëüé�êüâ)í�Ýeá)ã;îaïCà8ÝMÞ�ß2à8àoá�â)ä)Ý�â&çDí7ß2â�ò�û�ä�â)í�Ý�ä!ö�Þ�í�ß8à2á�âä)Ý!à8Ý�ã;á)ß2ê�ìaâ)í�Ýkà2éyã;ëNÞ�ß8à8à�ä�Ý!â)û�ä)êþâ)í�Ý3á)ã;î7ï�à8Ý\â&é,ß2â&áZé�ä�ß8ì�ß2êUã;à.á5âDã�â)Ý;ð�ù�í�Ýüîaã�â&Ý!ä)ß8ã;à�ß8á�â&í�Ý!ä)Ý�ò�é�ä)ÝÝ�à8ã;á�â)ß8ç�ð��Ué�älîaã;êyæfç�ã;á)Ý!á�ö�ÞMÝ7ç�ã;êÙâDã;ô�Ý@â&í�Ý@ä�Ý�à^ãâ&ß8é;ê�á)í�ß2ïþâ&é�å�Ý@à8ß2ê�Ý�ã�ä�ö�ßÃð/Ý�ð3ÿ����Ùý!ö�á�é�â&í�Ýîaã�â&Ý!ä)ß^ã�à�ß2álä)Ý�ò�Ý�ä�ä)Ý�ëfâ)éFã;álå�Ý�ß2ê�ì��� ��������������������ð��zéOÞMÝ!÷;Ý�ähê�é;â\ã�à8à�î,ã�â)Ý�ä�ß^ã;à2ázå�Ý�íUã�÷;Ý@ß8êfâ&íCß8áÞcãOæ;ð� ß2ì�û�ä�Ý! �ã�à8á)éNá)íCé�Þ�áüâ)í�Ý,á5â&ä�Ý�á)á"��á5â&ä&ã�ß8ê+ä�Ý�à^ãâ&ß8é;ê ò�é�ä3ã;ê�ß2ë�Ý�ã�à=ïCà^ã;á5â&ß8ç7îaã�â&Ý!ä)ß^ã�à�ð#�zÝ!ä)Ýâ&íCÝ�ä)Ýhß8á�ê�é7à8é;ê�ì�Ý�ä�ã# $��â&é��% hä�Ý�à8ã�â&ß2é�ê�åKÝ�â�ÞcÝ!Ý�êfâ)í�Ýká5â&ä�Ý�á)ázã;ê�ëNâ&í�Ýhá�â)ä&ã;ß2ê.öUß8ê�ò�ã;ç�âzã;êþã�ï�ï�à8ß2Ý�ëá�â)ä)Ý!á)á=ÿ'&þÞ�ß8à2àCç�ã�û�á)Ýzã;ê7ã;ä)åCß2âDã�ä�æüá5â&ä)ã;ß8ê@â&é>é`ç�ç!û�ä�ð)(�éyã�ë�á�û�ï_â&é>ÿ'&þÞ�ß8à2àCíUã�÷;Ýzê�éhÝ$*KÝ�ç�â�öyÞ�í�Ý!êâ&íCÝ�à8é�ã;ë,ä�Ý�ã;çDí�Ý!áeÿ'&Ùâ&í�Ý�á&ã;î7ï�à8Ý�Þ�ß8à2àUåKÝ!ì�ß8ê7â&éüëCÝ!ò�é�ä�îdö`îaéO÷`ß8êCìhò�ä�é�î à8Ý!ò�â=â&ékä)ß2ì�íyâeã;à2é�ê�ìhâ&í�Ýë�ß8ã;ì�ä&ã�îdð+�zéOÞcÝ�÷�Ý!äZß�ò�â&í�Ý�à8éyã;ë,ß8áeä�Ý�î7é�÷;Ý�ë�â)í�Ý\á&ã;î7ï�à2ÝzÞ�ß8à2àKêCé;âeä�Ý!â&ûCä)ê�â&é@ß�â&ácé;ä)ß8ì;ß8êUã;àSá5âDã�â)Ý;ð

ε

σ σ

ε

σY

a. b.

� ß2ì�û�ä)Ý, �-/.`â&ä�Ý�á)á"��á5â&ä&ã�ß8ê ç�û�ä5÷�Ý�á!ð,ã6ð7ä�Ý�ï�ä�Ý�á�Ý�êyâ&á3ãFà2ß8ê�Ý�ã;älÝ!à^ã;á5â&ß8ç@îaã�â)Ý�ä)ß8ã;à�ð10 á&ã;î7ï�à2Ý@åKÝ!ß8ê�ìà8é�ã;ë�Ý�ë�ã;ê�ë+ûCê�à8éyã�ë�Ý�ë Þ�ß8à8à©ä�û�ê+åUã;çDô1ã;ê�ë ò�é�ä�â)í%ã;à2é�ê�ìFâ&í�ß2áká5â&ä&ã�ß8ì�íyâüà2ß8ê�Ý�ð�å.ðNä)Ý�ïCä)Ý�á�Ý�êyâ&á7ãï�à8ã;á�â)ß8çlîaã�â&Ý!ä)ß8ã;à�ð2ZÝ�ã;à�îaã�â)Ý�ä)ß8ã;à8á©â&Ý!ê�ë�â&é3íUã�÷�Ýhã3î7é�ä)Ýzç�é�î7ï�à8Ý�3aåKÝ!íUã�÷6ß2é�û�äcâ)íUã;ê�â)í�ß8á!ð�ù=æ`ï�ß2ç�ã;à2à2æaã3á�â)ä)Ý!á)á4�á�â)ä&ã;ß2ê_ä)Ý�à8ã�â&ß2é�ê�á�í�ß8ïüò�é�ä©ã\á)ã;îaïCà8Ý�î7ß8ì�íyâ�à2é6é�ôhà8ß2ô;Ý65Uì;û�ä)Ý876ðÎù�íCÝZîaã�â)Ý�ä)ß8ã;àCå�Ý�í�ãO÷;Ý�áMÝ�à^ã�á�â&ß2ç�ã;à2à2æû�ïÙâ&é,á)é�î7Ý@à8ß2îaß�â&ß8êCì@á�â&ä�Ý�á�á�öxåKÝ�æ�é�êCë Þ�í�ß2çDíÙß2â\ëCÝ!ò�é�ä�îaálïCà^ã;á5â&ß8ç�ã;à8à�æ�ðzñ�ê95�ì�û�ä)Ý:7aâ&í�Ý@á)ã;îaïCà8Ýå�Ý�íUã�÷�Ý!á©à8ß8êCÝ�ã;ä�à2æ\â&é>ãzà8ß8î7ß2â)ß8ê�ì�á5â&ä)Ý!á)á�ÿ'&©öoã;ê�ëüâ)í�Ý�ê@å�Ý�í�ãO÷;Ý�á©ï�à8ã;á�â)ß8ç�ã�à8à2æ>å�Ý!æ;é�ê�ë@â&íCÝ�ä)Ý�ð;.6é�î7Ýîaã�â&Ý!ä)ß^ã�à8ácîaã�æ�Ý�36í�ß2å�ß2âeê�é�ê<�óà8ß8êCÝ�ã;äeÝ!à^ã;á5â&ß2ç\åKÝ!íUã�÷6ß2é�û�äeâ)í�é�û�ì�í�ö�Þ�ß2â&íNãüæ`ß8Ý!à8ëFá�â)ä)Ý�á�á�ãâzÿ>=& ðñ�ê@?�ë.ö�â)í�ß8êCì�á\åKÝ!ç�é�î7Ý_ä&ã�â)í�Ý�ä>î7é�ä)Ý@ç!é�î7ï�à8Ý�3�ð@ù�íCÝ!A������BC�ED� FB����G��D� �ò�é�ähã�îaã�â&Ý!ä)ß^ã�à ß8áhãä)Ý!à^ã�â)ß8é�êCá)í�ß2ïüåKÝ�â�ÞcÝ!Ý�ê,â)í�Ý�á�â)ä)Ý!á)á=ç�é�î7ïKé;ê�Ý�êyâ&á�â)íUã�â©îüû�á5â©åKÝ�á)ã�â&ß2áH5UÝ!ë_ò�é;äÎâ&í�Ý�é�ê�á�Ý!â=é;ò�ï�à8ã;á�â)ß8çå�Ý�íUã�÷`ß8é�ûCäzãâZã_ï�é�ß2êoâ�ð�ù�í�ß8á�ç�ã;êNåKÝ>Ý�36ï�ä�Ý�á�á)Ý�ëfã;á�â&í�Ý>Ý�úoûUãâ&ß8é;ê

IKJ ÿMLONQP)�SR6&Þ�í�Ý!ä)ÝTR6&Fß8á�â&í�Ýeæ`ß8Ý!à8ëkç�é�ê�á5âDã;êyâ�ð�ñóòUâ&í�Ýeîaã�â)Ý�ä)ß8ã;àoß8á�ß8á)é�â&ä)é;ï�ß8ç=â&í�Ý!êüâ&í�Ýcæ`ß2Ý�à8ë3ç�é�ê�ëCß2â&ß2é�ê3í�ã;áÎâ&éå�Ýzß2ê�ë�Ý�ï�Ý�êCë�Ý�êyâeé�ò.ë�ß2ä)Ý�ç�â&ß2é�ê.ð ù�íCß8á=ç�ã;êaåKÝzã;ç�ç!é�î7ï�à8ß2á)í�Ý!ë7åyæ7Ý�36ï�ä�Ý�á�á)ß8êCì3â&í�Ý�æ`ß8Ý!à8ë7ç�é�ê�ëCß2â&ß2é�êß8ê�â)Ý�ä)î7á�é;ò�â&í�Ý>ï�ä�ß8ê�ç!ß8ï�à2Ýlá�â)ä)Ý!á)á)Ý!á�öI+J ÿ'UWV&ÿ'U"UXV&ÿ'U"U"U�P;�SR6&

?

Page 38: Notes in Continuum Mechanics

Y[Z]\_^a`cb�d egf�hjilknmFo�p�qT\)r�p�sXtGkvuEk�t�w

e

s

plastic behaviour

elastic behaviour

sY

s ’Y

x+y{z}|M~����<���;���Myn�Q���K�4�%~��$���"���H��~%��y{�9�My���z�~%�����v�}~����������Q~�yn�������]�M�:�<y{�Q�{��H��~��Q�H���'���My��<y{�M�Q�8�%�M��ny{�M�X��~Q� �$�����4�%y{��~��Qz�yn�}���v~H�}�¡�%� �/���}~H���Q�}���M�n��¢,�M�n���H��yn�£~H�Qz}y{�}�[�¤ �M�$~�� ¤ ���'�X�}�1��~H~%���Mz��Q�#�%�M�$���/���:�%�'���8�'¥8¦��'¥"¥�¦��'¥4¥"¥W�

�]�M�¨§ ©EªE«W¬�­C®�¯�ª�°�±²¬E³�´F±�¯�µ�¯�³�´¶���H���Q~4�%�·���'������yn�Q�{�Myn� zC���Q�$|M~�� ¤ �M�Q�¸���M�¹����¢<yn��|M�º��� �X��~�H��~��$���»~��X���E�M�Q�T�%�M�������{|M��¼6�;�)�]�Myn�T�X���!½F����¢<�M~��$���H�Q�¾���¿�KÀ �'¥ÂÁ¶�'¥"¥"¥�Ã)Ĩ¼6�

ÅÇÆ#È�É#Ê�È{ËMÌKÍ<Î �$�%�E�¹Ï!�}� ~QÐÑ�]�Qyn~H�Q�{�Q�Ò�v��~6���H�%���%�����Ó��y{���M�{�8���Q�M�Hyn�}�[�KÔ8���£���Myn�Ò�%���H�M� ¤ ���'���6���M��Õ~��$���Q����yn�$�n�#�Q�}� �My{��yn�}�,�Q���!½F����¢<�M~H�Q�H���Q�9����'¥_Á¶�'¥"¥"¥_ÄS�'�

¤ � �Q~��/�'�Öy{�6�%�M����yn�$�n�#�H��~��Q�H�8y{�#��yn���M�{���%�$�M��y{�}�[�ÅÇÆ#È�É#Ê�ÈÇ×ØÌ]Ù y{z}�Q�c�����{|M�Q�����Ò�MÚOÛ:��~H���Q���n�$|M�����%�Q�¾�v~H�}�Ü�%� ���E�M��~%�����%�$~�yn�4�%y{���$Ýa|'���%y{�}�9�M�$� À �MÚOÛ»ÁÞ ÚOÛ��ÓÃ;ÄSß � Í � � ¤ �%�'���]���Myn�]�Q���à½>� ¤ ~�y������Q�#yn�,�%� ���v��~���[áÂÁÖâQã��[ä+å²âaâQã��#ÁÖâaâaâQã/ÄSß

â$ã<��â�â$ã£��� �:â�âaâ$ã���~H�_�%� �+æ;©%«�µvçl«WªE¬E³�´F±6��� �,µvè�¯�©H±�«�µ�©%ªE«E«T¯�´'é�­�©�¯�­�´'µv«��Óêë�'���;��~��_���M�Qy{~g�����n| �Q�Eì

íïî_ðEñ òôó,ó�õ:ö�÷HøúùÖû�ü�]�M�/�M~�����yn�}|M�»���$�$��yn�}� Î yn� Î �$���ý ¤ y��%�!���My{���$|M���Hyn�}�!���+���M��~��Q�n���%y{�}�M�H�Myn�#½F�$� ¤ �Q�Q�¹�H�%~H�Q�H�£���M��H��~%��y{�·�v�}~]� ¿ �,�X���H���;þ����%� �£z}�Q� �Q~%���lÿ��,�X�������<�%�M�£~H�Q�n���%y{�}�M��� yn�·½F�$� ¤ �Q�$�!�4�%~H�Q���T���M�,�H��~%��y{�,yn�

Page 39: Notes in Continuum Mechanics

��������� � �������������������! "� #%$&�(')�*$,+-/.�0(.1-2-/.13547698;:<47=>.@?)A BDC�EGF"E&HIEGF"J;K9K/L1HDM;EGF*A BON!PO6Q-<89RTS�U>.18;-V.WRX8;:Y47S�Z�:26QR�ST3[47=>.�Z16;U>:24/ST47\]47ST^;.�-/.1R�8�47ST6QUS�:`_aE"bOKdcIK�BeK�f2M;ghF�CiK/j�kml9AiAin�KOo Cqp�M;r!Ns .WU>.1-/8;R�ST:/.W3utwv�6;4/=yxz8;U>3|{�8;-2.q:/.WZ16QU>3}-78�U>~54/.1U>:26Q-/:W�O:/6@4/=>.���6;:24��Q.WU>.1-/8;Re-2.1R�8�47ST6QU>:/=DS��� .W4���.1.1U�47=>.W��=O8;:�476`RT6]6Q~5:/6;��.�47=>STU>�`R�S�~�.q47=>ST:��

x>�����������2�7��{2�7� �(�q�)N����� STU>Z1.�.%8;Z)=�STU>3>.���6�0�� Z18;U�478;~;.�6QU>.d6�0�47=>-2.1.¡^;8�R�\>.W:1�47=>.W-/.�8;-2.¡4/=>.1-2.W0(6Q-2.q¢D£�Z16Q�5��6QU>.1U�4/:�476�����Y�7�"N<¤�6i��.W^Q.W-���.¥~U>6i�¦47=O8�4�{/�/�eS�:�8`:2§I�5��.�47-2S�Zd4/.1U>:26Q-1�u:/6[��.¥�m\>:24 � .¨8 � R�.q4/65��-2ST4/.x>�����©�����Y�7�h{/�7�O�¦�����Y���W{/�ª� 8;U>3 �����2�7�>�¦�����Y���

��=>STZ)=�-2.13>\>ZW.1:<47=>.�U\>� � .1-!6�0eSTU>3>.1��.1UD3>.1U�4�Z16Q�5�«6;U>.1U�47:V4/6¥¬�­>NV®�R�:/6D��x>����S�:<8�R�:/6�:Y§I���5.W4/-/S�Z��:/6 �����Y�7�>�¦�!�Y�h�7�¯ =>ST:V-/.W3>\>Z1.W:V47=>.�UI\D� � .W-V6;0�Z16;����6QU>.WU4/:°476q±Q�D�;��=>STZ)=[S�:�:247STR�RI-78�4/=>.1-°8qR�6;41� � \]4!S�:°8 � ST4°��6;-/.��8;UO8;�Q.18 � RT.;N ¯ =>ST:�S�:�4/=>.[�56Q:24��;.1U>.W-78;R°0(6;-/�²�dST0!4/=>.[��8�47.W-/SX8�R³STUµ´\>.1:Y47S�6;Uµ=O8;:��O8;-Y47STZ1\>R�8;-4�§I�«.W:m6;0¶:2§I���5.W4/-/ST.1:1��47=D.1U·��8;U�§z�56Q-/.`6;0¶4/=>.1:2.�ZW6Q����6QU>.WU�47:9Z%8;U � .�:/=>6i��U·4/6 � .�.WST4/=>.1-¸ .W-/6�6Q-¶476 � .¨47=D.9:/8;�5.;N ¯ =D.¥�56Q:24�ZW6Q�5�>R�.�47.¨:2§I�5��.�47-2§��«6Q:2:/S � R�.¨S�:¶0(6;-�4/=>.9��8�4/.1-2SX8;R�476 � .S�:26;47-26Q�>STZ;N¡¹�U>3D.1-d4/=>.1:2.@Z1ST-/Z1\D��:Y4)8;U>ZW.1:W�«47=D.1-/.@8;-/.¥S�U�0G8�ZW4q6;U>RT§�º�STU>3>.W�«.WU>3>.1U�4�ZW6Q�5�«6QUD.1U�47:6;0°�����2�/�"�O8;U>3�¤�6I6Q~;.�»�:¡RX8%�¼�(�d�)N½�[Z%8�U � .���-/ST4247.WUx>�¾���©¿uÀ�����{/�7�ÂÁú�Ä�{2��� �(�q�)N½ÅQ�

��=>.W-/.9ÄÆST:¶47=>.¨:2=>.%8;-��56]3D\>R�\>:�ÇÄ��©ÇÈ� ɺ>�Y£�ÁÃÊ>�8;U>3 ¿�� É£�ÁÃÊ Ê£�Ë̺QÊ:/6 x>����� É£�ÁÍÊ Î {Y���!Á Ê£�ËϺ;Ê À�����xO�7�1Ð �(�q�)N�¢��

Ñ�Ò|ÓhÔ|Õ ÓTÖ>× � =>6i�©4/=O8�4¡S�U�4/=>.¨�Q.1U>.W-78;R�Z18;:/.¥�����Y�7�«=>8;:¡±Q�[S�U>3>.W�«.WU>3>.WU4�Z16;����6QU>.WU4/:1NÑ�Ò|ÓhÔ|Õ ÓTØ>× � =>6i�©4/=O8�4¡.1´\O8�4/S�6QUÙ�"�q�)N�¢��¶Z%8;U � .9STU�^Q.1-Y47.W3�476`�QS,^Q.{2����� £�ÁÃÊ

É x>����Ë ÊÉ À�����xO�7�

�����2�/�eS�:�STU�0G8;ZW4�8[­;4/=�-/8;U>~�4/.1U>:26Q-1N ¯ =>ST:���.18;U>:�ST4¶4/-78;UD:20(6Q-2��:¡8;ZWZ16Q-23>S�U>�[4/6��Ú�Û1ÜXÝ��ßÞ�Ú³�"Þ�Û7�)Þ�Üa��Þ°Ý�����à���Y�7�

¬

Page 40: Notes in Continuum Mechanics

á�â�ã�äå�æ ç è�é�ê�ë�ì�í�î�ï�ð�ã!ñ"ï ò%ó&ì(ô)ì*ó,õöa÷¶ø/ù>ú�û�ü�ø/ú1ý/þ�ü;ÿ��>ý�����ú1ý2ø/þ�ú��mü;ý2ú5ø����ú5þ����ø7ý����>þ�[ø7ùDú� ����������Vù>ü��9ø�����ú5ø/ù>ú��7ü;û5ú��� ��>ú1ýmü� �ø7ý/ü� ��Y÷!�Qý/û�ü�ø7þ"�� $#]þ&%ªú�% ���'�(����)*�,+�'��������`ø7ù>ü�ø - +�'� ).���'�����0/ + ���1�ù>ú2�>ý��3�;÷4�;÷65!7dö8%:9�;�÷!�Qý�ü� zþ���;ø7ý����>þ"�mû�ü�ø7úWý/þXü�ÿ�þ"�<�2ø/ý7ü;þ"=Qù�ø/÷!�Qý(>¶ü;ý��$#�ü;ÿ,ø7ù�����=Qùµÿ�� �=�%,?·ú>�þ�ÿTÿ@���Dø7ÿTþ >ú<�>ü;ý2øA��÷°þ,ø¶ù>úWý/ú�%B?Ùú,�2ø)ü�ý2øA��CD�E�F�>ú1û��� ��Yø7ý7ü ø7þ �=mø7ùOü ø�÷!�Qý�ü� |þ���;ø7ý����>þ"�dû�ü�ø7úWý/þXü�ÿø7ùDú��Dý/þ ��1þ�>ü;ÿVüHG]ú��I��÷�ø/ù>úJ�2ø/ý/ú����müK ��µø7ù>ú2�2ø/ý7ü;þ" ø7ú� ����Qý��mü�ý/ú`ü;ÿTþ=� >ú��$%ML�ú�ø,���9ü������>û�ú@ø/ùOü�ø���>ýA���N�;ý��>þ" Oü�ø7úO�(�3�2ø7úWû ü;ÿ�þ"=� ���>�þ,ø7ùyø7ù>ú,�>ý2þ ��Wþ�Oü�ÿ�üHG]ú��P�;÷³ø7ù>ú,�Yø7ý7ü�þ yø7ú� ����Qý�#>ø7ùOü ø�þ�

/��'�Q) RS /�T8T U UU /�V�V UU U /�W(W XYZB[E�Oü�ø7þ"�� \5!7dö8%^] ;_�2ù��`>Q�¡ø/ùOü�ø�ø7ùDúI�KCbac�>þXü�=��� Oü;ÿ@���Qû��@�� >ú� �ø��Q�;÷ - #d�/ü`�- V�WA)*��V�WeT8T`/(T8T_fg��V�WeV(Vh/(V�V4fg��V�WiWiW8/�WiW 5!7qö8%kj ;lm�`>Íÿ�úWø����Âü����>ÿn�@ü�ý���ø)ü�ø/þ�� M��÷po`q�U�r<ü��@���DøVø7ùDúmsta üHG]þ��%p1�ù>þ"�!þ�B=QþnuQú� �� �@ø/ù>ú¶ø7ý/ü� ��Y÷!�Qý/û�ü�ø7þ"�� û�ü�ø7ý2þnG v �'��) RSxw o U UU w o UU U o XYy ���>ÿ"�Iþ �=`ø/ù>þ�¶ø�� - V�Wm=Qþ"u;ú�� - +V�W ) v ��V v �zW - ���{) w - V�W|m�`>�ú�u;ú1ý¨ø7ù>úJ���Qû��b�� >ú� �ø��O�;÷}/O���~ ��;ø,�)ùOüK �=QúJ�� ��Dú1ý�ø7ù>þ"�dø7ý/ü� ��Y÷!�Qý/û�ü�ø7þ"�� $%��N�yþ" ø7ù>úJ >ú�>���3�Qý��>þ Oü ø7úO���3�Yø7ú1û�#Oú�[E�Oü ø7þ�� �5�7qö8%k] ;��«ú����Qû5ú��- +V�W ) w - V�WQ)���V�WeT8T`/�T8T�fg��V�WeV(V�/(V�V}fg��V�WiWiW8/�WiW 5�7qö8%no`U ;� �Qû��Oü;ý2þ �=`ø7ù>þ"�m>�þ,ø7ù ú�[3�>ü�ø7þ"�� �5�7qö8%kj ;Q>�úM�/úWúmø7ù>ü�ødø/ù>þ��þ�û��>ÿ�þTú�� - V�W<) w - V�Wt#«þ�%�úK% - V�W<)�U�%1�ù>ú4�;ø7ùDú1ý����Qû��b�� >ú� �ø���÷!�;ÿ�ÿ�`>Æþ 9üQ�/þTû�þTÿXü;ý«û�ü� � >ú1ý�#H���P>�ú4�/ú1ú<ø7ù>ü�ø³þ �ø7ù>þ"�����3�Qý��Dþ Oü�ø/úB���3�2ø/ú1û5�=;þ"uQú� � �yø/ù>ú��Dý/þ ��1þ�>ü;ÿ�üHG]ú���÷!�Qý�ø7ùDúI�Yø7ý/ü;þ |ø7ú� ����Qý�;�ø7ù>úI�2ø/ý/ú�����ø/ú� ����Qý�þ"��þTø��/ú1ÿ,÷p�DþXü�=��� Oü;ÿ&%!öe �;ø/ù>ú1ýA>}�Qý�����#>ø7ù>ú,�Yø7ý/ú����dü� ��~�2ø/ý7ü;þ" |ø/ú� ����Qý���ü;ý2ú¥ü�ÿ�þ=� >ú��$%� >ú\�b�����/þ�Dÿ�ú��>ý��3�;÷¥ø7ùOü�ø|ø/ù>ú1ý2ú·ü;ý2ú\�� >ÿ"�.� þ ��>ú���ú� ��Dú� �øD���]ú����Wþ�ú� ø����÷J���'�(����÷!�Qý}ü� þ���;ø7ý����>þ"�wû�ü�ø7úWý/þXü�ÿP>}���>ÿ"�� ��`>����� ��/þ"�>ú1ý�ø/ù>ú ø7ý/ü� ��Y÷!�Qý/û�ü�ø7þ"�� Oü;ÿQ�>ý�����ú1ý2ø/þ�ú��F�;÷����'�����P�� ��>ú1ýu�ü;ý/þ"�����Âý��;ø7ü�ø7þ"�� ���%�?Ùúm>�þ�ÿTÿ>ø)ü���úqü9û��Qý2ú�þ �ø��>þ,ø7þnuQú¡ý����Dø/údüK ���ü����{#N>�ùOü�ø�÷!�� ���ø7þ�� ��}��÷�/������>ÿ�>�úO���QûM�Dþ >ú¡ø��M=Qú�ø�ü - >�ù>þ"�)ùyùOü���ø/ù>ú<�/ü;û�úm�>ý/þ" ��1þ"�Oü;ÿ«üHG]ú���ü���/8��?\�Qý��þ" �=@þ �ø7ù>ú<�Dý/þ ��1þ�>ü;ÿüHG]ú��P���3�Qý��>þ Oü ø7úO���3�Yø7ú1û�>�úI>�ü� �ø�ø����� ��}÷!�� ��Wø/þ�� ��Q�;÷�/¡ø/ùOü�øP���� ��;øP=Qú� Dú1ý7ü ø7ú,��C{ae�>þ�ü�=��� Oü�ÿ���;û��b�� >ú� ø���þ - #Oþ&%ªú�% RS - T8T U UU - V(V UU U - WiWXY )��*�� RS /�T8T U UU /�V�V UU U /�W(W XY���

]

Page 41: Notes in Continuum Mechanics

�$�A�� E¡ ¢H£ ¤�¥§¦k¨�©ªb«�¬K­Q�B®�¬H¯h°�©!±8©&°n²³�´µ�¶�·�´n¸�¹x¶�º ¸¼»�½h¶K´¾¶�·M¿ÁÀ�´"Â�ÃÄ�´"µ�ÅKÆ6Ç�¹4È$Ç�É'Ê�ËQÃ"´´xË�Å�·�Ì{Í�ÎNÅDËQÃ"´´�¶�º ¸�»�½�¶�´¾¶K·Á¿MÀ�´nÂ�Ã"Ä�´Ã"µ�ϼР¸\Â�Ñ�µÃÏ�µ�º Â�ÃnÂe¸�¿�¶KÂ�·�ÃnÒ@¹E»�ÅJÓbÔ§É'Ê�Ç�Õ�ÕmÃ"»_¶�º�Å�Â�Ñ�µ�·�ÄbÅ�»�»�ÃÐ�Ã"´ÃnÂe¸�Í�ÖPÅ`Ë�µ�×�µ�·_Â�Ñ�û}µ�ÒNÑd¶�À�»�Â�»_Â�Ñ�µ6ÄbÅ�»�»�ÃÐ�ôÃnÂ�Ã"µ�»�ÍØ�Ù ½�Â�Àd¶�´´n¸�¹EÑ�Ã"Ú�Ñ�µ�·4ÄbÅtË}µ�·�»_Å�ÆÛÇ}Ë}Å�À�´"Ï�Ë}Å�·�Ì�¶�»4Ë�µ�´´&¹EÐ�ÀNÂ�Ë}µO¶�·�µP½�Å�º�»�Ã"Ï�µ�·�ú�Ú�ÜÞÝ�ßáà�â�ãBµ�´¾¶K»�Â�Ã"½�ÃnÂe¸Ñ�µ�·�µ`ä§ÍBåAÑEÀ�»4Â�Ñ�µQ½�Å�º�»�Â�ÃnÂ�À�Â�Ã"×�µP·�µ�´¶KÂ�Ã"Å�ºMÆ!Å�·4¶�º2û�Å�Â�·�Å�Ä�ýA¿�¶KÂ�µ�·�ö�´�Ã"ºJÂ�Ñ�µQ´Ã"º�µh¶K·Bµ�´¾¶K»�Â�Ã"½_·�µ�Ú�ÿ�µÃ»AÃ"º�Ï�µ�µ�Ï æ É�ÊQç�Ó{Ô�É'Ê�Ç�Õ�Õ4èêéKÈ�Ç�É'Êë0ì~íÞî~ïHí¾ðNñ�Ù º�µ�´µ�½�Â�·�ý§òe·�µ�»�Ã"»�Â8¶Kº�½�µ<»(Â�·�¶�ú�Ú ¶KÀ�Ú�µ6¿�µh¶K»�À�·�µ�»Aµ�´"Å�º�Ú ¶HÂ�ÃÅ�ºd¶�´{»�Â�·�¶�Ã"ºFúFÅ�º�µOÏ�÷�µ�½§òÂ�ÃÅ�º�Å�º�Â�Ñ�µ6»�À�·�Æ�¶K½�µ6ÅKÆ�¶�»�¶�¿�Ä�´µ�ÍpócÆ�Â�Ñ�µPÚ ¶�À�Ú�µ6û4Ä�´¶�½�µ�ÏF¶KÂ�¶�º�¶�º�Ú�´µPôIÂ�Å�Â�Ñ�µmõ�òe¶HÒNû�¹3»�Ñ�ÅtËÂ�Ñd¶KÂQÂ�Ñ�µI¿�µh¶K»�À�·�µ�Ï�»�Â�·�¶�ú�Ç�ö�ûAÚ�Ã"×�µ�º~ÐE¸Ç�öç*Ç�÷Û½�Å�»�øbôQèêÇ�ù�»�úNø@ôPè�ú3÷8ù@½�Å�»{ô�»�úQôócÆ�Â�Ñ�·�µ�µ�»�Â�·�¶�ú�Ú ¶KÀ�Ú�µ�»�¶�·�µ�Ä�´¾¶�½�µ�Ï$¹�¶�´Å�º�Ú�Â�Ñ�µ2õ�òi¶HÒNÃ"»�¹�¶�º�Ï\¶KÂÁû,üEýKþIÂ�Å~Â�Ñ�µ�õ�òe¶HÒNû�¹�Ï�µ�·�Ãn×�µµ§ÒNÄ�·�µ�»�»�Ã"Å�º�»<·�µ�´¶KÂ�Ã"º�Ú�Â�Ñ�µI¿�µ�¶�»�À�·�µ�ÏD»(Â�·�µ�»�»�µ�»,Ç�ÿÛ¹@Ç��B¹@Ç��\Â�Å�Â�Ñ�µ�»�Â�·�µ�»�»<½�Å�¿�ÄbÅ�º�µ�º Â�»6¶KÂPÂ�Ñ�¶KÂÄbÅ�Ã"ºEÂQÅ�º~Â�Ñ�µ,»�¶�¿�Ä�´"µ�Í

Page 42: Notes in Continuum Mechanics

����������� ��������������������� �"!$#&%��(')+*�,.-0/2143"5 6�798;:=<?>�@;[email protected]�UWV XZY\[T]_^`[acb�de@CB�f�fg8ih.BMj$k�8KlI:MfgmI8KB9k0no8Kprqs@;k�btkTdu79bsp�b�@iv.@Cp�8;n�@;p�v9mIfg@;p�wxqtp�8Kk�kyk�btqtfgmI8KB$7.@Ck�v�bsbsB$fzdumIk�f�bsj�F{ k�k�:9|}b~fg7.@�f`f�79bxv.@;p�mIk�8Kp�mIbsBf�@Cf�bsj�@;l�8;B9A$fg79b&�}@��Gm�ktJ�@;B9j�fg7.@�f`f�79bxj9m�k�fg8Kp�fgmI8KB�qs8KBMk�m�k�fgku8;nHKFup�8;f�@Cf�m�8KB�8;n�qsp�8Kk�k��zk�btqtf�m�8KB9k�8;nTf�79b�v9@;psJ.dumIf�7�f�79b�@;B9AKlIb&8CnTfzdum�k�fi��bsp`:9B9m�f�lIbsB9ACfg7�v�btm�B9Aqt8KB9k�fg@;Bf_J.�9lI:9kNGF�d�@;p��Mm�B9AE��j9mIk��9l�@;qsbt|�btBf�@Cl�8KB9A~f�79bi��@��Gm�kg�Tdu7Mm�q�7EmIkyfg79b`kg@;|}b�no8Kp�@;l�lMqsp�8;k�k���k�btqtfgmI8KB9ktJMm�bCFmIk�m�B9j9bt��btB9j9btB�f�8;n��MF�i@_��m�BMA�|E@;jMb=fg79btk�b�@;k�k�:9|}�Mf�m�8KB9k�d�b�dumIl�l`k�798Wd fg7.@CfEfg79b�bt��:9@CfgmI8KB9k+8;n&bt��:Mm�l�mIv9p�mI:9| @;B9jv�8K:9B9j.@Cp�w}qs8KBMj9mIf�m�8KB9k�q_@;BEv�b�kg@Cf�m�k�h9bsj�J�du79m�q�7+dumIl�l��9p�8W�;bifg7.@�f�fg7Mb~@;k�k�:9|}�MfgmI8KB9k�@;p�b�qt8Kp�p�bsq�f_F

x

y

z

θz

x

y

P

P’

O

 �mIAK:9p�b$HK¡�¢e@;p�:9BMj9bsp�fg8;p�k�mI8KB£�79b�v.@;p�v�btm�B9A�fzdum�k�f�bsj�mIk\k�7M8�duB�mIB¤h.AK:Mp�b�HKF�£�79b�j9mIk��9l�@;qsbt|�btB�f\8;n`@;Bwc��8KmIBf$>¥q_@;Bv�b�j9btk�qtp�m�v�bsj=@;k�@}p�8;f�@Cf�m�8KB�@;p�8K:9B9j=@}qtbsBfgp�b\8;n�fzdum�k�fi¦$J.fg79mIkuv�btm�B9A§fg79b&��8Km�Bf`m�B�fg79b&�9l�@;B9b��lIm�B9b\m�B�¨;j��idu79mIq�7�m�k~B98;fx|}8W�Kbtjcj9:Mp�m�BMA�f�79b§j9btno8;p�|�@CfgmI8KB�F�acb©q_@CBck�m�|}�9l�m�n�w�f�79b©�9p�8Kv9l�bt|vw}|E@;ª�mIB9A~fg79mIk«f�79b��\@��Gm�ktJ�@;B9j�fg@;ª�m�B9Axfg7Mb��9l�@;B9b`�$¬®­xf�8\v�b�fg79b��9l¯@;BMb`8Cn�°sbtp�8�p�8;fg@CfgmI8KB�F0±�nfg7Mbifzdum�k�f���btpe:9B9m�felIbsB9A;f�7+m�k�@$qs8KBMk�f�@CB�fsJ.@;B9j+f�79b~@;BMAKl�btke@;p�b�k�|�@;l�l2Jfg79btB+fg79b�jMm�k��Ml¯@;qtbs|}bsBfgk² @CB9j�³E@;p�b ² ¬?´�µ��;¶�· ³©¬®µ��C¸ ��¹�±�±�F�H��£�79bxde@Cp���m�ku@$no:9B9q�fgm�8;B�8Cnr¸�@;B9j�¶�@;l�8;B9b;J�du79m�q�7�d�bxdup�m�fgbx@;kº ¬»µr¼i�o¸4·�¶9� ��¹�±�±�FONK�H

Page 43: Notes in Continuum Mechanics

½�¾�¿�À�ÁÂ�à Ä�Å�Å�Æ�Ç�È�É�Ê�Ë�È�ÌÍ�Î�Ï�Ð9Ñ©Ò�Ó9ÔsÎ�Ô&Õ�Ô�Ös×;Ð�ÔtØC×;ÙIÚ.×CÒgÔ~Ò�Ó9ÔxÎ�ÒgÛ�×;Ï�Ð�ÖtÜKÝ}Þ�ÜKÐMÔsÐÒgÎ&ßà�á~â®à�ã�â»à�ä�â®å�á�ãuâ»æ

å�á�ä�â»çéè«ê.ëê9ìîí�ïGðå�ã�äeâñçòè ê.ëê ï¤ó ì ð×;Ð9ô�ÒgÓMÔ&ÖtÜKÛ�Û�ÔsÎ�Þ�ÜKÐMô9Ï�Ð9ѧÎ�ÒgÛ�ÔtÎ�Î`ÖsÜKÝ}Þ�ÜKÐ9ÔsÐÒ�Îõ9á~âöõ9ã�â®õ.ä�âö÷tá�ã`â»æ÷�á�äeâñø&ç è ê�ëê9ì í�ï ð ù�ú�û�û�üLýþ÷�ã�äeâ»ø&ç è«ê.ëê ï ó ì ðû�ÿ Õ�Ô�Î�Ú��MÎ�ÒgÏ�ÒgÚMÒ�Ô�ÒgÓMÔsÎ�Ô�Û�ÔtÙ¯×CÒ�Ï�ÜKÐ9Î�Ó9Ï�ÞMÎ0ÏIÐÒgÜ�Ò�Ó9Ô�Ô���Ú.×CÒgÏIÜKÐ9ÎrÜ ÿ Ô���Ú9ÏIÙ�Ï��9Û�ÏIÚ9Ý ù�ú$ü ��� þ � ×;Î�Î�Ú9Ý}Ï�Ð9ÑÐ9Ü��ÜGô� ÿ ÜKÛ�ÖtÔsÎ � Õ�Ô �.Ð9ô ê ÷�á�äê.ì ó ê ÷�ã�äê ï âñæ ù�ú�û�û�ü � þ������������������� &ô9Ï � ÔtÛ�ÔtÐ�Ò�ϯ×CÒ�Ï�Ð9Ñ ÷�á�ä ÕuÏIÒ�Ó\Û�ÔtÎ�Þ�ÔsÖ�ÒTÒgÜ ï ×CÐ9ô ÷�ã�ä Õ ü Û ü Ò ì � ôMÔsÛ�Ï�ØKÔ�×�ÖsÜ;Ý�Þ.×�ÒgÏ!�MÏ�Ù�Ï�Ò"Ô���Ú.×CÒgÏIÜKÐ ÿ ÜKÛeÒgÓ9ÔtÎ�ÔxÎ�Ò�Û�ÔtÎ�Î�ÔtÎ ü��������������#��%$ Ó9ÜWÕñÒ�Ó.×CÒ ë Îg×�ÒgÏ�Î&�.ÔsÎ('4×;Þ9Ù�×;ÖsÔ*)LÎuÔ���Ú9×CÒgÏIÜKÐ,+.- ë âñæ

/10204365 798;:=<?>A@;BDCE@28%FHG2GJILK?<?MN@;O�P.<

' ÔtÒ�ÚMÎ�Ù�Ü�Ü�Q ÿ ÜKÛ�×$Î�Ò�Û�ÔtÎ�Î ÿ Ú9Ð9Ö�ÒgÏ�Ü;Ð�R ù ìTS ï þ�ÿ Ü;Û�ÒgÓMÏ�ÎeÞ9Û�Ü��9ÙIÔsÝ ü U;��Ú9×CÒgÏIÜKÐ ùoúiû�û�ü � þ Ï�Î�Îg×CÒ�Ï�ÎV�9Ôsô�Ï ÿ÷�á�ä�âZê Rê ï S ÷�ã�ä�â í ê Rê9ì$ Ú��MÎ�ÒgÏ�ÒgÚMÒ�Ï�Ð9Ñ©Ò�Ó9ÔsÎ�Ô�ÏIÐ ùoú�û�û�üOýKþ Õ�ÔxÓ.×_ØKÔê Rê ï âñø&ç è ê.ëê9ì í�ï ð S í ê Rê9ì â»ø&ç è ê.ëê ï ó ì ðUyÙ�ÏIÝ�ÏIÐ.×CÒgÏIÐ9Ñ ë ��ÔtÒzÕ�ÔsÔtÐ=ÒgÓMÔsÎ�Ô&ÒzÕ�Ü�ÔXWGÞ9Û�ÔsÎ�Î�Ï�ÜKÐMÎ ù ô9Ï���ÔsÛ�ÔsÐÒgÏ�×CÒgÔ~ÒgÓMÔ �9Û�Î�Ò`Õ ü Û ü Ò ü � ÒgÓ9Ô&Î�ÔtÖsÜKÐMôÕ ü Û ü Ò ü W�×;Ð9ô�Î�Ú��MÒgÛ�×;ÖtÒ þ Õ�Ô �.Ð9ô�ÒgÓ9ÔxÎ�Ò�Û�ÔtÎ�Î ÿ Ú9Ð9ÖtÒ�Ï�ÜKÐ�Ò�Ü.��Ô~ÒgÓ9ÔxÎ�ÜKÙ�ÚMÒ�Ï�ÜKÐ�Ü ÿê -�Rê9ì - ó ê-XRê ï - â í Y ø&ç ù�ú�û�û�ü Z þY

Page 44: Notes in Continuum Mechanics

[]\N^4_a`�b�c dfeVe6gihkjmlonVp�jmq

rts�uwvyx{z�|�}X~�s���|,s�|�~��o����z�}����,�a�L�;�ov�|���~o�Tx{���(uV������s�|��.~o���ouVs!��|����V���������.u���v�|��,uo��s!u��a|�����|v�u ~��������V���k�����2�X���¡ ¡�¡��¢6£��¥¤X��¦¨§��ª©E«¬���ouos���|­���o�����!���.u ��s!�!�f��xi~���|®�k��uV�����*v������¯��s°vL~o���.s!|������ouo��.��~����±�]��s�|²v³uos!�.s!�!v��k�´v�|�|����¥~o�N~��ªv*~]z�uo���²x{���µ���°v�|��fuV~��V��uVu¬v*|�� ���°v�|��;uV~��ov�s!|¥©·¶"| ��~o�����]�����V��u��v��;��v�|���~��¬uV~��V��uVu x{z�|�}�~os!��|¸��s��!�T���yuVz�������uV~o���­v�|��¹uo���m��|?~o��uo��� ���¯��º�z�v*~�s���|t»{¼½¶o¶¡©¿¾�ÀX© «N����|~����½�k��z�|��ªv*�V�}���|���s�~os!��|�u%x{���Á~o���½uVz�������uV~����Euo���!z�~os!��|��s!���ª���(���*v���zªv*~����Ev�|���~����½���V�����!���Â~������s�}¡�=s�~·s�u·~o����uV���!z±~�s!��|Ã��s�uo}��m�����V���]©2¶Ä~¬s!u·s!|�~o���o��uV~os!|���~��w����uo���V���4~��ªv�~·~"���H�k��uouVs!�����;x{z�|�}�~os!��|�u��rDv�|��ÆÅÇ}���z��!�®����~o�È�k�´z�uV���Æx{��� ~���s�u�©¸Éw��~�����z����ÊÅÇ���Ëv���u²~��?ÌTv����°v�}���ÍÎu¯��ºazªv*~os!��|¥�f����s!}¡�s!uwuo���.������v*~Ï�Ëv*uos!���w~o�Euo��� ���*�]s�~(~�z��V|�uH��z±~½~���v*~H~����=�k��z�|��ªv*�V�,}���|���s�~�s���|�u½v��o�Ã�����V�=��v�uos��!����Xб���V��uVuo����x{�����;��v�|��±~��¨ÍÎu�x{z�|�}�~os!��|�rÁ�±uV�=~���s�u4s�u��.���o�(}������.��|�� �z�uo���]©;¶Ä~³s�u4�Ëv*uV�.~��=uV���½~o�ªv*~�k��~���ÅÑv�|��ArÆv��o� uV���!z�~os!��|�u³��x·~���� ��s��ªv��o�.��|�s�}H��ºazªv�~�s!��|]©

Ò1Ó2Ó4Ô¡Õ ÖØ×.Ù?Ú?Û¸Ü=Ý;Þ ß(×.Ú?Û?à�á2à�×.Ú?â

dy

dx

ds

qlql

n

ã s���z��o�yä±å æ4�!��uo�XçÄz��¹��x4v�uV�´v*�!�fuV��}X~�s!��|­�*x�~o���y����z�|��ªv��&�¹è�é�©=«N���.v�|����!�y}����o�o��uo�k��|���s�|���~��~����.��s!�o��}�~os!��|?}���uos�|��ê�s�uÏuo������|tåÏ}���u�ëËìfíïîñðî&ò ©ó±s���s��°v��wv��V��z��.��|�~�u v��������,~���~����y��s!�o��}�~os!��|}���uos!|��²ô?©

̵��~Áz�u�v�uouVz����N~o�ªv*~;~����(��v��%s!u;�k��s!|�� �4v��V�����´���y�k��s!|�� ~"��s�uV~o���Ev�~;~�������|��]©;«N��s!u%s�������s!��u~���v*~y~�������z�~������%�°v*~o���ov��4uVz��Vx�v�}����ªv�uy|��­v������!s!���®x{���V}����Áuo�1õö í õ÷ í õø íúù¸s�|Æ��ºazªv*~os!��|»{¼=©�ûËü�ÀX©.«N��s!u²uoz��Vx�v�}����ªv*uÃýtíþù®»i~����.uoz��&x�v�}��.|����V�´v*�2����}X~����²s!u²v�� �³vË��u²s!|?~����ÿ��?���!v�|���À6�v�|��Luo�y~o�����ª�ou&~w~"������ºazªv*~�s���|�uû{¼=©�ûËü�À³v��o� v*z�~�����v*~os!}Ëv*�!���uov*~�s�u��ª���]���!��v���s�|��

���� ê� � ð � ô í ù«N���¯��s!�o��}�~os!��|,}���uVs!|���uÏê�v*|��¸ô }Ëv�|A���²���os�~V~���|?s!|,~o���V��uw��x;~����=����v���s!��|�~w��x;~����¯����z�|��ªv��&�v�u

êµí è��è�é� ô í�� è�ÿ

è�é»�uV�����ª��z��V�Ãä�ÀX©Áó±z���uV~os�~�z±~�s!|��~o����uV�²v�|���~���� �Xб���V��uVuos!��|�u(x{���³~���� uV~o�o��uouo��u��k�4���ª|��

� r� �è��è±é � r� ÿ

è�ÿè±é í è�r

è�é íDù »i¼H¶o¶¡©���À

ü

Page 45: Notes in Continuum Mechanics

����������� � !#"�"$&%('*),+�-.'*/

021�354�68759:3,;<1=6>3,?=;<@�AB4C?D9FE84HGJILKM9ONQP81=6R35?�4CS(P8T=1�UD9O7�VOW�AX;Q3,?YKM9O1Y9O7,S�;Q3Z9:7�V\[�P81=@]3Z9O1�3XAX?=;<[Z?AB4H[^9O1_3Z9O`:4H4�abT=9ON�35Pdc^4�7,PdefP87�ghP8@�3X[^9O@,4�@^i

jk?D9:3lU=Pb4^@�35?�;<@�gh4F9O1�mYn�?=4H4�a�TD9:35;QP81_efP87X9>[^;Q7,[^NQ4�;<@o�prqtsup Iwv p

xD7,P8gy35?=;Q@^W�3,?=4�a�TD9O1�35;z32Vo p qts p|{ v p

AX;<NQNBS(4_c^4�7,P}9O7�P8T=1=U~35?�4_4^U=684�POe�9�SD9:7>POel[^;<7�[^T=N<9O7R[�7,P8@�@]�2@�4^[�35;<PO1�i�n�?=;Q@>;<gh�=N<;Q4^@�35?D9 3>35?=4efT=1=[�35;QP81

G}IL�>� o p qts p|{ v p�;<@l9h@,T=;z3Z9OS=NQ4�@�357�4^@�@�efT=1=[�35;QP81YefPO7l3,?=4C3,P87,@�;<P81YPOe#@,T=[Z?�9hSD9O7�i�021�684�1=4^7,9ON�WD;ze#AB4�[^9O1�AX7�;Q354C9O14^a�TD9 35;<PO1_U=4^@�[^7,;QS=;<1�6�35?=4��(4^7�;<gh4�3,4^7�P:e�35?=4�S=9O7^W�3,?=4^1\AB4�[F9:1_T=@,4�3,?=;<@�9:@�35?=4�@�357�4^@�@XefT�1=[�3,;<P81efP87d35?=4�35P87�@,;<PO1��=7�P8S=NQ4^gYi���PO1�EO4^7�@,4^NzV8Wl68;QEO4^1�3,?=4�@]357,4�@,@�efT�1=[�3,;<P81�A�4�[^9O1�U=4�354�7,gh;<1=4Y35?=4@,?=9O��4�POe�35?�4CS=9O7^i���4�1=[^4�35?�4�efT�1=[�3,;<P81

G}Iw�_� o {�� � s � � oRq � � s � ��� { o �;<@X9>@�T=;Q359OS=N<4�@]357�4^@,@XefT=1=[�35;QP81_efP87�35P87�@,;QP81�POer9R3,7,; 9:1=68T=N<9O7�SD9O7�i

¡£¢r¢�¤]¥ ¢§¦ ¨J©«ª­¬�® ¯#©«°|ªr±�©«²

x

y

y

dy

dxX

x#;Q68T=7,4 ��³l´ POg«4�1�3�P81�3,?=4R4^1�U�POe|9�SD9:7^i�n�?�4�efP87,[�4�P81�9�@,4�[�35;QP81�µ o µ s ;Q1�35?�4 o �2U�;<7,4�[�3,;<P81;<@L¶·¸W=@,Pd35?=4�ghP8gh4^1�3X;<@ s ¶·¸i

¹

Page 46: Notes in Continuum Mechanics

º�»�¼�½�¾�¿ À Á#Â�ÂÃ&Ä(Å*Æ,Ç�È.Å*É

Ê�ËÍÌ�Î�ÌXÏDÐ Ñ�ÐOÒ(Ë8Ó�ÑBÑ5Ï=Ô�Ô�Õ=Ö=×5Ø�Ù�Ï=Ô�Ô^Õ�Ö_×,Ó=Ú]Û.ÐOÜ^Ô�×�ÐOÚ,Ô�Ö=Ô^×�Ü^Ú�Ý<Ò(Ô^Ö_Ò�Þ�Ñ,Ï=Ô�ßOÔ^Ü�Ñ,Ë8Ú,×Cà.á�âZá�âZãdä*åÎÐOÕ=ÖY×,Ë>Ñ,Ï=Ô�Ò�Ë8Ó�Õ=ÖDÐOÚ]Þ_Ü^Ë8Õ�Ö=ÝQÑ,Ý<Ë8Õ=×�Ò(Ô^Ü�Ë8æhÔ

çèêéëã�ì�íîÍâ çïðé�ã�ì�ñ,îÓ=×�Ý<Õ=òJÐ}Ú�Ï�×�Ü^Ú,Ô�ÌóÜ^Ë8Õ�ßOÔ^Õ�Ñ5ÝQË8Õ�ôkõ�ÐOÝ<Ú�öQÞJË8Ò�ßbÝ<Ë8Ó=×�öQÞ¸Ñ,Ï=Ô^×�Ô�ÛfË8Ú�Ü^Ô�׫÷=Ú�ËÍßuÝQÖ=Ô�ÐøÑ,Ë8Ú,ù�Ó=ÔYÌXÏ=Ý<ÜZÏ�Ý<×Ö=ÝQ×�Ñ5ËOÚ�Ñ5ÝQÕ=ò�Ñ5Ï=ÔlÒDÐOÚ�ôrÙ�Ï=Ô�æhË8æhÔ^Õ�ÑBÐOÚ,æMÛfË8Ú çèúÝQ×|û�àf×,Ô�Ô�üDò8Ó�Ú,Ô�ý�å�Î�Ñ5ÏDÐ ÑBÛfË8Ú çïþÝ<×|ÿ§Î�ÐOÕ�Ö�×,ËHÑ5Ï=ÔÜ^ËOÓ=÷=ö<Ô�� Ý<×�ò8Ýzß8Ô�Õ�Ò�Þ� é����ëà çïHÿ�� çè�û�å��8ÿ��ûRé���� ���� � ÿ ÿ���� � û û����8ÿ��ûÌXÏ=Ô�Ú,Ô�Ñ,Ï=Ô�ÝQÕ�Ñ,Ô^ò8Ú,Ð:Ñ5ÝQË8Õ�Ý<×lËÍß8Ô^Ú�Ñ5Ï=ÔHÔ^Õ=Ö=×�ËOÛrÑ,Ï=Ô�ÒDÐ:Ú^ô��2Õ�Ñ5Ô^òOÚ5Ð:Ñ,Ý<Õ=òhÑ5Ï=ÔCÑ2Ì�Ë\÷=ÐOÚ�Ñ,×�ËOÛ­Ñ5Ï=ÝQ×�Ñ5Ï�Ý<×Ò�Þ_÷DÐOÚ]Ñ5×�ÌBÔCüDÕ�Ö � é������ �8ÿ��û à������Zô��8å

Ù�Ï=Ý<×XÝQÕ�Ñ,Ú,ËbÖ=Ó=Ü�Ô^×XÐ>Ö=Ë8Ó=Ò�ö<Ô�Ý<Õ�Ñ,Ô^ò8Ú,ÐOö Ñ5Ï=Ð:ÑXæRÓ=×]ÑXÒ�Ô�Ô�ß:ÐOöQÓDÐ:Ñ,Ô^Ö�ô��2Õ�Ñ5Ô�ò8Ú5Ð Ñ5Ý<ËOÕYÝQ×�ËOÛ&Ñ,Ô^ÕYÝ<Õ�Ñ5Ú�Ë��Ö=Ó=Ü�Ô^Ö�ÐO×BÐHæhÔ�Ñ,Ï=ËbÖ�ËOÛ�×�Ó=æhæ«ÝQÕ=òHÓ�Õ=Ö=Ô^Ú�ÐHÜ�Ó=Ú�ßOÔOÎ=Ò�ÞhÖ=ÝQßbÝQÖ=Ý<Õ=ò�Ñ,Ï=Ô�ÐOÚ�ÔFÐCÝ<Õ�Ñ5ËH×,æ«ÐOö<öDÚ�Ô^Ü�Ñ5ÐOÕ=ò8öQÔ^×ËOÛ ÌXÝQÖ�Ñ5Ï �8ÿ}ÐOÕ�Ö�Ï=Ô^ÝQò8Ï�Ñ"!rà&ÿ�å�ô$#MÖ=Ë8Ó=Ò�ö<Ô�ÝQÕ�Ñ5Ô^òOÚ5ÐOö§Ý<×lß8Ô�Ú�Þ�×,Ý<æhÝ<ö<ÐOÚ^ÎDÒ�Ó�Ñ�Ô�ßOÐ:ö<ÓDÐ:Ñ,Ô^×�Ñ,Ï=ÔHÛfÓ�Õ=Ü%�Ñ5ÝQË8ÕøÌXÝQÑ5Ï�Ý<ÕJÐOÕ¸ÐOÚ�ÔFÐYÒ�Ë8Ó�Õ=Ö=Ô^ÖJÒ�Þ�ÐYÜ^Ó=Ú]ß8ÔøàfË8Ú�×,Ë8æhÔ�Ñ,Ý<æhÔ^×�æRÓ=özÑ5ÝQ÷=ö<Ô>Ü�Ó=Ú�ßOÔ^×Zåô�Ù�Ï�Ô�æhÔ�Ñ5Ï�ËuÖÝ<×�ÝQö<öQÓ=×�Ñ,Ú5Ð:Ñ,Ô^Ö�ÝQÕ�üDò8Ó=Ú�Ô'&�ôRÙ�Ï=ÔhÐOÚ,Ô^Ð_Ý<×�Ö=ÝzßuÝQÖ=Ô^ÖøÝQÕ�Ñ,Ë_×�Ñ,Ú,Ý<÷�×�ËOÛBÌXÝQÖ�Ñ5Ï(�8ÿ§Î�ÐOÕ=Ö�Ñ5Ï�ÔdÛfÓ�Õ=Ü�Ñ,Ý<Ë8ÕÝ<Õ�Ñ,Ô^ò8Ú,Ð:Ñ5Ô�Ö)��ûRÐ:Ü^Ú,ËO×,×|Ñ5Ï=ÔXÝ<Õ�Ö=ÝQßbÝ<Ö�ÓDÐOö�×]Ñ5Ú�Ý<÷dÛfÚ,Ë8æ�Ñ5Ë8÷dÑ5Ë�Ò(ËOÑ,Ñ,Ë8æ�ô­Ù�Ï=Ô^ÕhÑ5Ï=ÔX×]Ñ5Ú,ÝQ÷=× Ñ5Ï=Ô�æ«×�Ô^özß8Ô^×ÐOÚ�ÔCÝQÕ�Ñ5Ô^òOÚ5Ð:Ñ,Ô^Ö*�8ÿ§ô

x

y

dx

x

y

dxdy

õ#ÝQò8Ó=Ú,Ô�&,+-�2öQö<Ó=×]Ñ5Ú,Ð:Ñ5ÝQË8Õ�ËOÛDÐXÖ=Ë8Ó=Ò�ö<Ô|Ý<Õ�Ñ5Ô�ò8Ú5Ð:ö�ô§Ù�Ï=Ô�Ð:Ú,ÔFÐ�ÌXÝQÑ,Ï=Ý<Õ�Ñ5Ï�ÔBÜ�Ó=Ú�ßOÔ�Ý<ק×�÷=ö<ÝzѧÝ<Õ�Ñ5ËlÔ^öQÔ^æhÔ^Õ�Ñ5×�8ÿ�. ��û(Î�ÝQÕ�Ñ,Ô^ò8Ú,Ð:Ñ5Ô�Ö/��ûhÑ5Ï=Ô�Õ/�8ÿ#�×lÐOÕYÝ<öQö<Ó=×]Ñ5Ú5Ð Ñ5Ý<ËOÕ�ËOÛ�Ñ5Ï=ÝQ×^Î=öQÔ�ÑXÓ=×lÔ�ß:ÐOöQÓDÐ:Ñ,Ô0>é ��� û213�8ÿ��û4

Page 47: Notes in Continuum Mechanics

57698;:=<?>A@ BDC�CFE�GHJI�K�LMHJNOQPSRUTWVYX*VYT�RZV\[^]_OY`,X,a,RUab]?cedgfhR�RUijilkjm,n�Rporq

s q"tvuqw q�xvyz|{D} R"kjX?dgRU~STgVAdgR"� u)� T�n�dZ��RF���3f�VYX,~SklX,~�dgf,R"OST�a,R�TU��RZVY�3f*T�RU�Ud3V�X,~SijR�~YO�RUn { T�OS�u x�� wS� y�� o qs q d�O u x�t wY� y�� o qs q� f,RUX } R } kliji7klX?dgR�~YTgV�d�R"� o { T�OY� o x^� s d�O o x�t s�� � f2`hn� x ���%�,��%�_�2���� ���g���,��� ���¡ £¢¤ ¢���_�2��� ���   ¢¤ ¢ u

q � u=¥¦ � ox � �%�,��%�_�2�¨§ u2©ª�« �g���,��� ���  £¢¤ ¢�g�_�2� � ���¡ £¢¤ ¢ �o

x ¬ w ©ª ���%�,��%�_�2��­ y��orqs q�® ©£¯

q � ox ° s w ©±²´³�µ·¶�¸Q¸Aµl¹,º�» T�OQPSR"dgf�V�d9d�f,R"T�RUn�`,i¼d3VYX?d½O { dgf,RUn�R { OST��UR�n�OQPSR�T�dgfhR�RUX,a,n�O { dgf,R"]�V�T½kln9¾�RUT�O �¿ÁÀÂÀ;ÃFÄ Å�ÆZÆ�ÇZÈ/É�ÇZÊ ËÍÌ�Î'ÏÂÏÐÏDÑ�Ê9É�Ç�Î'Ò� f,R�]_OY`,X,a�VYTÓc�O { V\]�VYT9O { R�ilijkjm�dgkj�$��T�OSn�n½n�RU�UdgklOSX��ZVYX*]R�T�R�m,T�R�n�R�X?dgRUa�]?cedgf,R"R�Ô=`�VAdgkjOYXorq

s q"tvuqw q�xvyz|{D} R�d3VYÕ�R�V'nÓdgT�RUn�n { `,X,�%dgkjOYX*O { d�f,R { OST��Ö x [ ­

o qs q"t�u

qw q��×yZ®dgfhR�X�dgf,kln9ngV�d�kjn � R�n½R�Ô=`�V�d�kjOSXÙØpÚ z�z ��ÛSÜ } kld�f[ x�� s q w qs q t w q=Ý�Þß Rà�ZVYX\RUijkl��klX�V�dgR Ý ØáVYXha Þ Ü { T�OS�^dgf,klnD]?câRUP�VYij`,V�dgklX,~$d�f,Rà�'OS��RUX?d �äã T�OS�^R�Ô=`�V�d�kjOSXeØpÚ z�z �æåYÜ �ç x ¬ [ ­ ���o qs q � o � u t ��� u

qw q � o � u � �è� � o � u ®é

Page 48: Notes in Continuum Mechanics

ê7ë9ì;í=î?ïAð ñDò�òFó�ôõJö�÷�øMõJùú9û,ü�ýÿþ����"ü������ü������ �� û,ü���ü�������������gû,ü'þ���üZþ� ����gû,ü�ü�������! #"%$'ú9ûhü& ��gû,ü��'�)(* +��ü����ü���ü�,�-�gû,ü. . ü��,�/ ��0�1�,ü���2�jþ3 ��Âþ��*üUýjý1�����ü��4�46587:9,5;9,<3=?>�@A= �!": #BC D 4�4E<F7G9H5;9,<I=?>�J'= �! #":BC�gû#�� K =MLAN �� F"O �PQ���2�R�2�Q�����SI��û���T�U H� N SH�RVSü��/��û,üW������ü���A�U�Q�X����� H�

Y =ML K�! #"[Z 5 7 7W\ < 7" 7 L^]%_

`ba[ced[f%fgcbh8ikj V�þYý1��þ���ü'l J:m þ���[l @�m �U ���þ���ü�ýjý1���Q����X�þYýnP,þ��o���,ü��A�� H������ H�p$`ba[ced[f%fgc1qi O û %(r��û�þ��/�gû,ü��U Sýlý� %(/���QS-�U��X��2�1 H�Y =?s�tu5vLxw y�<QztU5 \ w y�<Qzt|{IL}5nz�1�WþIV�þYý��1�[���2��ü���~�U��X��2�� ��+�U H�½þ���P�þ��A���,ü��A�� H������ H�[(�û H��ü�X��� H�����)��üX��2�� ������½þ��bü�#��jýjþ��gü��gþYý�����jþ��SSýlü�$�� û,þ��*�1�k�gû,üAVYþ�ý��,ü/ �� s3� � û,ü���ü~�1����û,ü . þg��� . � . ���2��ü������,þ���&(�û�þ��*�����1����V�þYý1�,ü �

Page 49: Notes in Continuum Mechanics

����������� ���������������������� �"!$#&%('�)* +-, .0/21 3 ,547698;:=<>@?�ACBED$FHGJI K�LNMPORQ=S�TPUT�VNM@WYX[Z]\^W(X�_`bacaca�dfe g@hci�jlknm opm�oqi�rtsuvLNwxVyw{zY|�wx}�VCT�~���MP}���wx�@TP}�w�TP�N�N~[��w���|�M�T���MY������|�LNw���MY������wx��M�}����xX����2��MYM���wP����~�Tn� |�LNw�Nw{��M�}���T�|��[M�V¡U�w�V�w�}�T�|�w��¢��V|�wx}�VCT�~���M�}��xw�����|�LNw���|�}�w�����wx������LN�[�£L7M��N�&M���w¤|�LN���H�Nw{��M�}���T�|��[M�V�XE��wxVN��w|�L�w�TP�N�N~[��wx�lw{zY|�wx}�VCT�~���M�}��xw��cLNTf¥Pw��NM�VNw���M�}��7M�V7|�LNw��&M(���¦��7������|�M�}�|���VNU��[|cTPUTP�[VN��|cTp}�wnT��x|��§¥�w��M�}���wPX©¨�LNw¡�&M(�(�^LCTP��UTP�[VNw��ªwxVNw�}�UP�^��V^|�LNw¡�N}�MY��wx�����«�[Vª|�LNwq��M�}�� MP�©¬{­$®�¯P°²±´³{±µ³{®$¶P·�X¸¹����w^T��N�N~[��TRV�M�}���TP~©��|�}�w����»ºN¼^M�VN~§�½��V´|�LNw�¾2�N�[}�w��{|��[M�V��¢|�LNw�V¿|�LNw���À�OCTP}�w^Á]ÂlÃ0ÄÅ��VÆ U�O�}�w»Zq�����Nwx��M�}���wx�@|�MtÁ�ÇȦÇÉÃqÇÊÄ�Ç�X�ÁpÂË�[�Ì�N�����N~�T���w��ª��@ͪ|�M»ÁÎÇʦÇ�����LN��~[��|ÌæÄÏ�����N�����N~�TP�xw�����Í�РѣÒÑ ¼YÓ ¾J|�M½Ã Ç Ä Ç X�¨�LNw���|�}�w�����M�V2Ã0ÄÔ�NON}��[VNU |�LN�[�»M��&w�}�T�|���MPV�º ÓÕ�Ó�Ö TP�x|��×TPUTP�[VN��|×T}�wx���[��|��§¥�wq��M�}���wP�«T�VN�5��Mt�NM(wx�ÎTPVRT����×M�ONV|�MP�E��M�}��ØJÙ£ÚÛ º  Í7Ð=Ý ÍÝ ¾ Ó ¾&Þ Ó�Õ(Ó�Ö��Mf��wx¥Pw�}7|�LNw×��MP}���w×M�V�|�LNw×MP|�LNw�}0w�VN�µ�¢Á]Âß���¡�N�[}�wx�x|�wx�´�[V½|�LNw�M�|�LNwx}¦�N�[}�wx�x|��[M�V�X���wxVN��w×|�LNw��V���}�w�TP��w¡�[V��[V|�w�}�VCTP~�wxVNw�}�UP�ªMP�E|�LN�[����À�OCTP}�w¦Á]ÂlÃ0Äà�[�

Ó�áãâ Ø Ù£ÚÛ º Ó Ü ÍlÐ=Ý ÍÝ ¾ Ó ¾ Þ Ó�Õ(Ó�Öqä Ø Ù£ÚÛ º Ó Í Ó�Õ(Ó�Ö¡â Ø Ù£ÚÛ º�Ý ÍÝ ¾ Ó ¾ ÓÕ(ÓYÖå�M�|�w7|�LCT�|¡TP~§|�LNMPONU�LR|�LNwl��À�OCT�}�w»�Nw{��M�}��×�p��V5|�LNw Õ �N�[}�w��{|��[M�V TP�]��w�~[~æ�&|�LN�[�p������wx}��&w�VN�N�[��ON~�TP}|�M»|�LNwq��M�}��xw¦T��N�N~��[w����(��M×VNMt��M�}��@������M�VNwPXç ��V���w Ñ£ÒÑ ¼ â Ùè ��}�M��é��MYM��Pw����Î~�Tn�¡����w¦��TPV���V|�wxU�}�T�|�wp|�LN�[��w{z(�N}�w�������M�VRTPVN� Æ VN�Ó�áãâ Zê º�ë¼ì Ó ¾ ÓÕ�Ó�Ö¨�LNw0��|�}�TP�[V^w�VNwx}�UP�ª�&w�}�ONVN�§|�¥�M�~[ON�×wP�NM�}��í|�}�TP��Vªw�V�w�}�U��ª�Nw�VN���[|î�P�C���Ì|�L�ON�

á Û â Zê º�ë¼ì â Zê ºN¼"ï�¼ â Zê ì¦ï ë¼ ð�ñ ¸�¸�¸£X§Z"òó ���[���[~�TP}¤w{z(�N}�w�������M�V5�nTPV��&wp��}��[|�|�wxV���M�}���LNwnT�}Î�í|�}�w����0ô

á Û â Zê©õ ë¼£ö÷ â Zê õ ¼£ö�øY¼£ö âZê ÷ ø ë¼£ö ð�ñ ¸�¸�¸£X ê ò

¨�LNwx��w½w{z(�N}�wx������M�VN�5LCTn¥�w½��wxw�Vù�Nw�}��[¥Pw��ãTP����ON���[VNU2TP�N�N~[��wx����|�}�TP��V����[VvM�VNw �N�[}�w��{|��[M�VvM�VN~[�PX��Mf��wx¥Pw�}¡�[�c��wtTP�N��~[�5T���|�}�TP�[V���V5|�LNw7¾�����}�wx�x|���M�V��&��M�~�~[Mf��wx�R���M�V�w7��V5|�LNw Õ �N�[}�w��{|��[M�V��«|�LNw}�wx��ON~§|H��LNMPON~��¡�&wc|�LNw���TP��w©T��ú�[��|�LNw©M�}��Nw�}���TP�H}�w{¥�wx}���wx��X��Îw�VN�xw©��w©�nTPV0TP���¡|�LNw©��M�V|�}�����O�|��[M�VN��NONwq|�Mt|�LNw¡��|�}�TP�[VN����V�TP~�~��N��}�w��{|���MPVN�qôá Û â Zê ð ºN¼�ï�¼�Ð2ºNö�ï�ö¤Ð2ºCû�ï�ûcÐ õ ¼£ö�ø�¼£ö©Ð õ ¼�û�ø�¼�û¢Ð õ ö�û�ø�ö�û{ò ð�ñ ¸�¸�¸£X�üò

Z

Page 50: Notes in Continuum Mechanics

ý�þ�ÿ�������� ���� �ÿ������������������ �"!�#

y

x

A

BC

DA’

B’ C’

D’

u

u + du dxdx

σσ

$%'&)(+*�,.-0/213,5476)*�8:9�;�%<6)=:604>9.?�@A(+90*�,CB3DFECGH(+=+I+,5*J9.?K;�*�,5?�?ML+NF9�O<6)=+&F;�P+,RQ+ST9�U"%'?WVXY=Z;�,W*�8[?\6�4;�,5=+?�60*�?\]�,C^_9�=`]a*�%';�, bdc\e -f L+gihkj�gih l7mJX�X�XnVpo�qrs,C^56)(+O'IZ]a*�%';�,tl7m3X�X�XnVvu�qw,W=�;�%'*�,5O'xy%'=z;�,W*�8[?\6�4d;�P+,{?�;�*�90%<=|?}9�O<6)=+,�~�90?

bdcwe -f���� j��� f0� l�j��N ��j��� ��j���kq�� f�� l7� �N � ��� �N ���� �� �nqT���xzI|%'��,W*�,5=�;�%�9�;�%<=|&F;�P+%'?\,kU"�+*�,5?�?�%<6)=�~�]�,�?�,W,R;�P+9�;

� bdc� j�N e�L+N90=+I.%'=F&),5=+,W*�90O|;�P|,w?�;�*�,W?�?2%<?60�|;n90%'=+,WI.��x�I+%'��,W*�,W=�;�%<9�;�%'=+&Cbdc�]{Vv*5Vp;WVd;�P+,\^W6)*�*�,5?�� 6)=+I+%'=+&R?�;�*�90%'=�V���Z���Z ¡ ¡ ��£¢�¤�¥ U"�+*�,5?�?R,5@A(+9�;�%'6)=�l7mJX�X�XnV¦u�qa,W=�;�%'*�,5O'x`%<=`;�,W*�8[?}604>;�P+,F?�;�*�,5?�?�,5?W~§90=|I�?�P+6¡]¨;�P+9�;;�P+,�?K;�*�90%<=+?M^_9�=���,C6)�|;�90%<=|,WI©��x`I+%ª�«,5*�,W=�;�%�9�;�%<=+&¬;�P+%'?},�U"�+*�,5?�?�%'6)=©]{Vp*WVi;_V\;�P|,�^W60*�*�,5?�� 6)=+I+%'=+&?K;�*�,W?�?�,W?5V

­¯®>®>®�°�± ²´³2µ_¶�·Mµ_¸�¹Wº »t¼�­½µW³�¾>¿�ÀF¹�Á »[³2Âà O',5Ä),5*\%<?�O<6�90I|,WIy]a%';�P:]�,W%<&0P�;�?a90?w?�P+6¡]a=Å%'=:Æ�&)(+*�, f ~"]a%ª;�Pz9.Ç�ÈA&¬]�,W%<&0P�;\9�;\o�É0^58Ê47*�6)8Ë;�P+,47(+O'^W*�(|8Å~�90=+IÌ9©-_É0È�&Z]�,W%'&)P�; f É�^W8Í47*�6)8H;�P|,�47(+O<^5*�(+8`VJÎ\P|,.O<,5Ä0,W*3%'?J��9�O�90=+^5,WI���x�9[]�,5%<&)P�;Ï 9�;�;n9�^nP+,WIZÄA%�9¬9t�|(+O<O',5xz9�;\;�P+,{,W=|I�V�rÐP�9�;M%<?MϨÑ

Îd6�?�6)O'Ä0,�;�P+%'?z�+*�6)�|O<,W8`~aO<,k;z(+?`90?�?�(+8t,�;�P�9�;z;�P+,�]�,W%<&0P�;Z%'?zI+%<?��+O�9�^W,WIÒI|6�]a=�]�90*�I|?Å��x90=Ð90*��+%';�90*�x�I+%'?�;�90=+^W,ZÓ�?�9_xÔo)8t8zV¨Î\P+,©;Y]�6Õ]�,5%<&)P�;�?y]a%'O<Oa� ,�O<%ª4Ö;�,WI×��x f 8t8 9�=+IØ-_8t8f

Page 51: Notes in Continuum Mechanics

Ù�Ú\Û�Ü�Ý�Þ�ß àá�á�á�âvÛ�ã�ä�å�æ�ç�è�ä�é�ê ë"ì�í

80cm

20cm

40cm

6kg 10kg

W

îdï<ð)ñ+ò�ó{ô"õ÷ö�ó5ø0óWòMù<ú�û0ü|óWüyýaï'þ�ÿ`ý�óWï'ð)ÿ�þ�������û0ù�û���Wó5ü���ZûFý�óWï<ð0ÿ�þ� û�þ�þ�û��nÿ+óWü`øAï�û¬û��+ñ+ù<ù'ó��ò�ó���� ó��kþ�ï'ø0óWù������}ú¡ý�ó5ø)ó5ò}þ�ÿ+óRþ�ú0þ�û0ù�� ú0þ�ó���þ�ï�û0ù«ó��+ó5ò�ð��Zÿ�û��aþ�ú¬ò�ó��[û0ï��yþ�ÿ+ó���û��[ó����\ÿ�ñ�� � !×ô�"$#%!'&(")&+*-,'*ð)ïªø"ï��+ð. ,0/213/54Að��67����ú)ùªøAï8�+ðMþ�ÿ+ï��9�+ò�ú��+ù<ó��Øý�ó\ÿ�û_ø0ó:�:û�ü+ó�ñ��ówú�;�þ�ÿ+ó=<?>A@CBEDF@G<?H8I JLKNMO@C>APRQTS�HTUNJ5>�V5�9�\ÿ|ó:�W�X��þ�ó��ÿ�û��Y� óWó���ü+ï8�W�+ù�û��5óWüZ�[��û%���[û0ù<ù�û��.�tú)ñ��þ+��ú�;Öþ�ó���ò�ó�;7ó5ò�ò�ó5ü�þ�úJû��dûZMO@C>APRQTS�HT\�@8]7<?H�SXD^IF_`IFB�PR��ýaÿ+ï8�nÿü+úAó����+ú�þ.û�a�ó��kþ.þ�ÿ+ó`;7ú0ò��Wó��.óFb"óWòKþ�ó5ü�ú��Õïªþ+�$�\ÿ+óyý�ú)òW4 ü+ú��|óc��� þ�ÿ|óc;7ú)ò��5ó��.ï8�)�:û�4�ï��+ð©þ�ÿ|ï8�ü+ï����+ù<û��Wó��[ó���þ�ï8��4[�+ú¡ýd�Zû���þ�ÿ+ó-MO@C>APeQS�H?UNJ5>�V5�f�\ÿ+ï��N�_û��c��óJû���+ù'ï<ó5ütþ�úFóWù<û���þ�ï8�Wïªþ7���+ò�ú��+ù<ó��g��û��ý�óWù<ùR�9hsó��_û��:ò�ó��+ò�ó���ó���þMû(���[û0ù<ùR�)øAï<ò�þ�ñ�û0ùi�nÿ�û��|ð)óJï��yûZj�ñ�û���þ�ï'þ7�gkl�[�¬ýaò�ï'þ�ï��+ðCï'þ�û��:m5kon¬þ�ÿ|ï8�ï8�\ú�;Öþ�ó��`ò�óF;7óWò�ò�óWüZþ�útû��\þ�ÿ+óg\�@ pqIF>^IFB�Pe@eS�HAú�;fkr��s"úr;7ú)ò\óFb|û��.�+ù'ó3þ�ÿ+óRøAï<òKþ�ñ�û0ù«ü+ï8�W�+ù�û��5ó��tó���þ��mutwv muxiv muyû0ò�óFþ�ÿ+ó��5ú���Wó��|þ�ñ+û0ù�ü+ï8�W�+ù�û��Wó��tó���þ{û�ò�ú)ñ�|üsû���ó�j�ñ+ï<ù'ï8�+ò�ï<ñ�z� ú���ïªþ�ï<ú������\ÿ+ó.ø"ï'ò�þ�ñ�û0ùü|ï8���|ù�û��5óF{�tó���þ&��d�FñT��þ%��ó|�W�:û�ù<ù�ó��+ú)ñ+ð)ÿZþ�úr� ó��Wú¡ø)ó5ò�óWü���zþ�ÿ+óRþ�ÿ|óWú)ò}�zú�;dù<ï8�|ó_û0òwó5ù�û��Kþ�ï��Wï'þ7�

ô2�d�FñT��þ}û0ð)ò�óWó3ýaï'þ�ÿ`û����Zï8�.��ú���óWüzò�ó_û0ù�ü+ï����+ù<û��Wó��[ó���þMû�þ\þ�ÿ+ó�� ú)ñ�+ü+û0òW�67�Õû0ü|ü+ï'þ�ï<ú�� û0ù<ù2ï8�.� ú���ó5ü~;7ú)òW�Wó����e��ñ|òW;£û��5ózû��+ü�� ú)ñ�|ü�û0òW�T��û�ò�ó`�5ú���Kþnû���þ.ï��)�[û0ð��+ïªþ�ñ+ü+ó[û��+üü+ï'ò�ó��kþ�ï'ú������\ÿ+ó���ó`øAï'ò�þ�ñ+û0ù�ü+ï����+ù<û��Wó��[ó���þ��Fð)ïªø)ózò�ï8��ó[þ�úÌû©øAï<òKþ�ñ�û0ù=��þ�ò�û0ï�����óWù'ü�m��W�[��67���[ú���þò�ó���� ó��kþ�� m��_û�����óRò�óWð�û�ò�ü+ó5ü©û��Mû.ü+ó5ò�ï'ø�û�þ�ï'ø0óCú���ó5ò�û�þ�ï<ú����2��ú¬ý�ó��Wû��`ýaò�ï'þ�óm5�W�q,0mr��� t��:� , ��� �Rmut��h ó��Wû��ÅóAb2�+ò�ó����}þ�ÿ+óRø�û0ò�ï<û�þ�ï'ú��yú�; þ�ÿ+ó��Kþ�ò�û�ï8�Zó��+ó5ò�ð��`û��m����A� � ���2�[�Z,'��um��}�:!���+m5�W��!����Am��W��!��F�^��mu�[�^��!��F�A�Amu�[�A��!��F���AmO�[����

Page 52: Notes in Continuum Mechanics

��� �N¡[¢�£5¤ ¥9¦�¦W¦A§¨��©�ª�«W¬�­¯®$ªu°R±?²2³[´µd¶·�¸^¶·�¹9·�º[»�¼�½�¾�¿�»�¼�ÀÂÁuÃ�¼�¾d»�¶¼|µd¶Á�Ä8¼|Å?Á2ÀTÆc½�·�Ã�¼�ÇÈÉ-Ê�Ë�ÌAÍXÎÐÏ0Ê�ÈÉ�Ë9ÌAÍXÎlÏ0Ê�˵d¶¼�¾�¼ Ë ·8Ç=»�¶¼�»�Á�»^¿�Äi·�º[»�¼�¾Wº�¿�ÄE¼�º¼�¾W½�ÆgÁ�¹Ñ»�¶¼�Å�ÁXÀTÆ�Ò�Ó7ºcµd¾W·�»�·8º½�»�¶·�Ç=µ=¼|¶�¿+Ã�¼|Ç}µ:¿�ÔTÔ�¼�À Ê ¿�ºÀÕ ¿�¾WÁ�ÖºÀEÒf×)¼�Ç�¿+Æc»�¶�¿�» »�¶¼�Á�Ô�¼�¾�¿�»�·8Á�ºTÇ Ê ¿�ºÀ Õ ¿�¾W¼cØ^Ù5Ú�Ú�Û2ÜÞÝ�ÜRßCà�áFÒ�â¼+¿�º�µd¶·�Ä8¼|»�¶T¼�ÃX·�¾W»�Ö¿�ĵ=Á�¾�ãcÀTÁ�º¼�Å�Æ�»�¶¼�¼FäX»�¼�¾�º¿�ÄѹåÁ�¾�¸�¼�Çd·8Ç ½�·�Ã�¼�ºÅ�ÆÊ�æ Ï0Èç-è é�Ê5ê�ë ìZÊ5íqë î�ÊuïqðYÍXñ×~¼�¸�Á�ÖÄ�À�¿�Ä8ÇWÁ�·8º¸�Ä8ÖÀ¼-·8º æ ¿�¸�Á�º�»�¾�·�ÅÖT»�·8Á�º¯ÀTÖ¼�»�Á�»�¶¼�µ=Á�¾Wã¯ÀÁ�º¼�Å�Æ$Å?ÁXÀTÆò¹åÁ�¾W¸�¼�Ç�Ò�󠶼ÇW»�¿�»�¼�ôg¼�º�»%»�¶�¿�» »�¶¼|»�Á�»�¿�ÄEÃX·8¾}»�Ö�¿�Ä�µNÁ�¾Wãc¹åÁ�¾:»�¶T¼�µd¶TÁ�Ä8¼|Å?Á2À2Æ�·8Ç õ�¼�¾�Á.ºÁOµ0»�¿�ã�¼�Ç%»�¶¼|¹åÁ�¾�ôÊ5ö'ÏoÊ ÷øËúùûælü�Ï0ý ÷åþ Ó�Ó�Ó^ÒGÿ üó ¶·�Ç%Ô?ÁOµN¼�¾W¹åÖÄѾW¼�ÇWÖÄ�»%·8Ç ÀT·8Ç�¸�ÖÇ�ÇW¼�À·8º�»�¶¼�º¼AäX»�ÇW¼�¸�»�·8Á�ºEÒ����������� ���� ���� � ������ ������������ !���#"$�&%'�(� ����*),+-�. Ö�¿�»�·�Á�º ÷Cþ ÓWÓ�Ó^ÒGÿ ü ¸�Á�º�»^¿�·�ºÇ=»7µ=Á-»�¼�¾�ô.Ç�Ò9󠶼&/�¾WÇW»10 Ë ·8Ç »�¶¼ ·8º�»�¼�¾�º�¿�Ä?Á�¾=Ç}»�¾�¿�·8º.¼�º¼�¾�½�Æ20T»�¶¼�¾�¼ÀÖ¼r»�Á�»�¶¼rÀ¼�¹åÁ�¾Wô`¿5»�·8Á�º$Á�¹N»�¶¼rÅ�ÁXÀTÆ$Å?¼�·�º½Â¸�Á�ºÇW·8À¼�¾�¼�À�Ògó ¶T¼gÇW¼�¸�Á�ºÀ30 æ ·8Ç|»�¶T¼.Ô?Á�»�¼�º�»�·8¿�ļ�ºT¼�¾�½�Æ�¿�Ç�ÇWÁ2¸�· ¿�»�¼�À�µd·�»�¶�»�¶¼ÂÇ�Ö¾}¹e¿�¸�¼�¿�ºTÀ Å?Á2À2Æ)¹åÁ�¾W¸�¼�ÇrÔ¾WÁ2ÀTÖ¸�·�º½$»�¶·�Ç�À¼�¹åÁ�¾Wô`¿5»�·8Á�º�Ò)󠶼»�¼�¾�ô Ë ùûæ ·8Ç »�¶T¼�¾�¼F¹åÁ�¾�¼�»�¶T¼�»�Á�»^¿�ÄÑÔ�Á�»�¼�º�»�·8¿�Ä�¼�º¼�¾W½�Æ�Á�¹�»�¶¼(ÇWÆXÇW»�¼�ô�Ò=×~¼-¿�¾W¼|¹e¿�ôg·�Ä8·8¿�¾�µd·�»�¶»�¶T¼�¸�Á�º¸�¼�ÔT»:»�¶¿�»5476498 Ï0ý ¾W¼�Ô¾W¼�Ç�¼�º�»�Çd¿-ôg¿5ä2·8ô�ÖTô Á�¾�ôg·�º·8ô�ÖTô Ã�¿�Ä8Ö¼%Á�¹;:;02Á�¹C»�¼�ºc¾W¼�¹å¼�¾�¾�¼�Àc»�Á¿�Ç ¿�º�¼FäX»�¾W¼�ô�Öô�Ò=<2·�ôg·�Ä ¿�¾WÄ�Æ Ê5ö'Ï0ý ¾W¼�Ô¾W¼�Ç�¼�º�»�Ç ¿�º�¼FäX»�¾W¼�ô�ÖTô?>g·8ºg¹e¿�¸�»d¿�ô.·8ºT·8ô�Öô@>rÁ�¹ ö ÒÓø¹9µ=¼�¶�¿+Ã�¼Z¿�º�¼�ÇW»�·8ôg¿�»�¼ ö&A ¹åÁ�¾:»�¶¼|»�¾�ÖT¼(ÇWÁ�Ä8Ö2»�·8Á�º ö Ì »�¶¼�ºöBA�Ïoö Ì9ë Ê5ö¿�ºÀ�Á�Ö¾f¼�Ç}»�·�ô`¿�»�¼�ßDCw»�¶¼:Ç�Á�Ä8ÖT»�·8Á�º-µd¶T¼�¾�¼ Ê5ö'Ïoý Ò�󠶼 ¼Fä2Ô¾W¼�ÇWÇ�·8Á�ºr¹åÁ�¾ ö ·�º[Ã�Á�Ä�Ã�¼�Ç ¿�º�·�º�»�¼�½�¾�¿�ÄE0µd¶·�¸^¶¯·8Ç%µd¶[Æ�µ=¼�¶�¿+Ã�¼-»�ÁcÖÇW¼�ôg¼F»�¶ÁXÀÇ%¹å¾�Á�ô »�¶¼Ø�Ý2F8ØFÛGF ÛHC.ÙJI(à5Ý2KFßeÝ�ÜeßÞÙMLNC »�Ác¼�Ã�¿�Ä�Ö�¿�»�¼(·�»�Ò Ó7º½�¼�º¼�¾�¿�ÄO0·�¹�P ·8Çd¿�¹åÖº¸F»�·8Á�º�Á�¹RQ�¿�ºÀ#QHST0»�¶¼�ºÊ P ÏVU PU ì Ê Q ë@U PU Q S Ê Q S¿r¾�¼�ÇWÖÄ�»%µd¶·�¸^¶ò·8Ç%¿�º¿�Ä8Á�½�Á�ÖÇ:»�Ár»�¶T¼Z¸^¶�¿�·8ºò¾WÖÄ8¼�·�ºÁ�¾WÀ·8º¿�¾WÆ�¸�¿�Ä8¸�ÖÄ8ÖTÇ�Ò=× ¶T¼�º»�¶·8Çd·�Ç ¿�ÔÔÄ8·�¼�À·8ºTÇ�·8ÀT¼�¿�ºÂ·8º�»�¼�½�¾�¿�ÄE02»�¶¼|¹åÁ�Ä8Ä�Áuµd·�º½�¶�¿�ÔÔ�¼�ºÇXWÊfÈ P ÷ZY\[ Q [ Q S üWÍ]YÂÏoÈ Ê P Í]YÂÏ0È ^_U PU Q Ê Q ë@U PU Q S Ê Q Sa` Í]Yb ÖT»d»�¶¼�Ç�¼�¸�Á�ºÀ�»�¼�¾Wô ¸+¿�º�Å?¼�·8º�»�¼�½�¾�¿5»�¼�À�Å�Æ�Ô�¿�¾}»�Ç »�Ár½�·�Ã�¼È ^ U PU Q S Ê Í QÍ]Y ` Í]YÂÏ È ^ U PU Q S Í[Ê QÍ]Y ` Í]YcÏ ù È ÍÍ]Ydc U PU Q Sfe Ê Q Í]Yg

Page 53: Notes in Continuum Mechanics

h3ikj�lHmonMp qRrsrtr_uvj�wyx{zt|~}���x��E���!�H��Z�s�����$�t�t���s�1�s���D�#�{�����T�H�s�1�]�s�~�{�T�]���o���$�2�t�s�*�D�&�1���s���y�����2�N�s���2���s�����y�2���� $�2�f�����]�� ��¡�{�T�]����¢_£¤ �H��� ¥�¦¨§ �ª©\«{¬y«s¬G­®¢t¯]©5° ¦ ±�² §² ¬´³ ¯¯]©´µ ²

§² ¬ ­f¶k· ¥ ¬!¯]©�2�� ��{�N�X�t�1¸H���T�s�1�¹�1�o� ¥�º¹§ �ª©\«{¬�«{¬ ­ ¢f¯o©»°½¼�¾D�1�2 ��¿�{�² §² ¬À³ ¯¯o© µ ²§² ¬ ­f¶ °d¼

q(x)

L

x

z

Á �T�]���s�ÃÂ!ÄÆÅ����2�V�s�������]�f�{�1 #�~�Ç�1�2�������� 3È$�s�N�GÉt�1�Ê�Ë�{�¹�2�'�2�N��¾D�T�1 �¾D�o�~ »Ì��ª©y¢Ê£Í �������Ë�2����¾¡���{���T�&�{���{���X�Z�]¾D¾T��ÎÇ�T���¹���s�]�N¾D�1�ÏÄÇ�Ð�����~�Ñ�ª�$�]���t�(Âo¢Ç�D�B�s�������]�f�{�1 Ò�~�&���~����1�N 3ÈN�~�� 5�D�Æ�t���GÉt�1�Ê�{�� 5�{�(�X¾D�o�~ ¹ÌN�Z©y¢Æ�2¾T�]���X�T�{�ƾT�1���2�s�3£RÓ´�$�M���T�=�s���&�2��Ô2�1�t���D�����1¸H�$�~�s�D�]�¹�Z�]��{�N�D�k���t�]��¾D���5ÕÓÖ���~�s�s�N���»�{���~�(�{�N�»�]��¾T�×�t�s�s���s�s�����T�,�{���»�����~�Ñ�2�t�» ����5�{�Ø���N�s�»���1�� ��T����È=�2�� ,�s�$�~��1�t�]�s�JÙ9�t�1���s�D�]�N�&�t�1���2�D�»��¾D�2���Ã�~�ª�s�1�¿�s���à��D�f�{�]�f�{�D�2�3£ ¤ �H���Ç�{���Ã�]��¾¡�5�f�{�s���s�&�1�]�¹�y�2���1�o�Ç�D�Ú�Û °VܽÝÞÎÇ�����s� Ü �T�¿�{���X�2���N¾D�D�� ����]�¹�1�o�Ç�~��  Þ �{���Ã�¹�]�����o�k�2���D�����t�{�D�(�2�;�{���Ã�1�t�]�s�JÙ9�t�1���s�D�]���2���]�N��{�N�X¬oÙJ��ßN�T�*Ä Þ ° ¦=¦ Ý~à ¯H¬!¯ ÝÁ �s�]�á�s�T����¾T�*�����2�V�s���1�2�t�5�s���Ã���]�¹�1�o�Ü °Vâ Þã ä â Þ ¯ à{å¯]© àÎÇ�����s� ã �D���{�N�B�s�2 ��T���Æ�2�3�����tÔ~�~�s���s�B�2�æ�s���B���1�N�s�{�2¾ç��ßN�T�è�~�y�s���&�����~�#ÈG�2��  å �D���s���& N�D�s�N¾é�2���ÊÙ�¹�1�o�B�D�5�{�N� Ý Ù9 ��T�s�1�Ê�{�T�]�3£ ¤ �H���Ç�{���Ã�t�s�{�2�T���1�����s�2�� ������s�¡�9�»�D�ê�ë ° Ú àÛì â °áâ ì µ ¯ à å¯]© à ¶ à Ý2àí

Page 54: Notes in Continuum Mechanics

î3ïkð�ñHòoóMô õRösötö_÷vð�øyù{útû~ü�ý�ù�þEÿ������������ ��������������������������������� �! "���#%$%&'&'&(#*),+.-�+0/�+�1�$2&43)65�78 9 +�:�;+.- :=< : +.-> �!?@����AB����! ��C�� ����DD�E����F��G�.��HF��I�J -LK �M�N $ & 3) I�J -LK�; J -LK�+0-���O���P�� �!DL�������0������E=�F����Q���������� �! "���R�M�ST$ & 3) U 5V78 9 +0:�;+.- :W< :'X I�J -LKY; J -LK[ZV+.- JG\^]�]�]`_ba K?c �MH` edgf��Q�h L�!di����Mdj�M���F=k��l_m��_n ST$ n & 3) U 5�78 9 +0:�;+.- :W< :oX I�J -LKY; J -LK[ZV+.-�$Tp JG\^]�]�]`_rq K> �M�hH����O L�s?c�Q�M�������e��� n ST$ n &t3) u 5V78 8 +0:�;+.- : +0: n ;+.- : X I n ;cv][�0���F�.����������h�� �'w"�����x������dy 0�VD"���Q���*�[?c�MH���k.���gf�Q����h�� �o L��f�"������H��.���M���M�.��@J ;T$z;|{ {�$%p��� -�$%p ��� -�$%}'K �.��~.��� n Sz$ &t3) u 5V7 +.�`;+0- � X I v n ;s+.-��� n Sz$%p ��diDE��M��� 5V7 +.�`;+.- � X I $Tp?c �MH` e�M�R����F����� �!�.��~�����������i����f"�������.���G�.���� �! L����d��M�O�F��f��EM�� �Q��fdO_���������������M�� ][��H�E������Q��H���E�dj�FH` "����MH���ks�� ������f"�������.��O����dj�������.���G�.�O���Q���Q����d ����������������������~.�F��G���.d�����f"���0�����[�.kx�� �������.������.�����=k�?c ��H` ��M�V�� ��C�����F������H��B ��F�[?o���F���� �BA����� ���MH���eD��������0������E=���������������R�G�.���� �!�Q���Q����dO_'¡¢���c�£dj���Q�h���e�£��D��������k��� ��V��������������¤�����M�} J /L¥�¦/"¥�§QK¨$ª©8L« ¦/ : X ©8=¬ / :?c���� ¦/ ������ �s~���EM��HF�M�[�._'­� ��?��� "������ ������f"�������.������di�����M�.�j�G���@�� ���QD���M��£H����� ����F���M~����G�Q�.d n &®} J /�¥W¦/"¥�§QK�+0§¯$%p

a

Page 55: Notes in Continuum Mechanics

°=±R²@³�´0µ�¶ ·x¸�¸Q¸,¹b²»ºL¼�½Q¾�¿ÁÀ¼ÄÃÆÅ�Ç�È�ÉÊ�˯˯Ë@Ì�Í Î(Ï|ÐOÑ�Ò�Ó�ÔiÕeÖ�Î×ÓFØxÙ Ú Ò^دÕÁÛ�ÜÝRÞßáà�â"à�ã�ä�å�æ�ç�à�ãsèiæ�âæMèjæMé�à�å�æ�ê.â�ë�æ¤à�å�Þß�ç�à�ãMç�ìãMìé�ê�í�ë�à�î�æ¤à�å�æ�ê�âé�ïß�éQç�îQæ�ð�ß�ï%æMâTå�Þß�ñî�ß ë�æMê.ìéé�ßFçFå�æ�ê.â=ò�æ�é�à�ë.ß�î�ä�ñLê�óoß�îQíGì�ã¨å�ê�ê�ã¯íGê.î!ïß�îQæMë�æ�âô�íGìâïà�èjßFâ0å`à�ã»èjà�å�Þ�ß�èjà�å�æMç�à�ã¯ã�à�ócé�ô�êÄë�ß�îQâæ�âôå�Þ�ß�ðLßFÞ"à�ë�æ�ê.ìî*ê�í"ßFã¤à�é�å�æ�ç'éQä�é�å�ß�èié�ò�à�â�ïgæ�é*à�ã�éQêsìéQß�ïPæ�âVèCà�â�ä�ê�å�Þß�î¯à�î�ß�à�éxê�í¢ñ�Þ�ä�éQæ�ç�éFõ¨ö^í¢èjê�î�ßïæMî�ß�ç åPñî�à�çFå�æ�ç�à�ãoæMèjñ�ê.îQå�à�âçFßjæMâ�ß�âô�æ�âßFß�î�æMâôÂà�îQßCå�Þ�ßCë�à�î�æMê.ìégà�ññî�ê�÷�æ�èjà�å�ßCç�ê�èjñì�å`à�å�æ�ê.â"à�ãèißFå�Þ�ê�ïégócÞ�æ�ç`Þøé�ßFß�ù�å�Þ�ß�èjæMâæ�ègì�èúê�íhå�Þß�æ�â0å�ß�î�âà�ã�ß�â�ß�î�ô�ä�ë�æ¤àÁç�ê�èjñì�å`à�å�æ�ê.â"à�ãoèißFå�Þê�ï�é�õösâßcê�í�å�ÞßFé�ßcèjß å�Þê�ïé»æMé»ù�â�êÄócâCà�é¯å�Þ�ß�û�ü�ý�þ�ÿ��������lû����¨èißFå�Þê�ï�ò0à�âïiæMå»æMé¯å�ÞæMé»èjß å�Þê�ïPócÞæ�ç`Þóoßjócæ�ãMã»ß ÷�ñãMê.î�ßiÞß�îQß�õ�ÝRÞæMé�æ�é� Qìé�ågê.â�ßjê�íRàOócÞê.ãMßjçFã¤à�éQéVê�ícà�ññîQê�÷�æMèCà�å�ߣèjß å�Þê�ïé!ócÞæ�ç`Þà�ãMé�ê£æ�âçFã�ìï�ß�é�å�Þ�ß�èißFå�Þê�ïécìé�ßFïeæMâ��âæMå�ß�ß�ã�ßFèjßFâ0å|é�å�îQìçFå�ìî�ßFé|çFê�ïßFé|éQìç`ÞÁà�é����������LõÝRÞß��hà�ä�ãMß�æMô.Þ����cæMå��¨èjß å�Þê�ïgà�éQé�ìèiß�é*å�Þ"à�å*å�Þßoé�ê.ãMì�å�æMê.â!å�ê^å�Þß@ñîQê.ðãMß�èyç�à�â�ðLßoß ÷�ñî�ßFé�éQß�ïæ�âjå�ß�îQèjé@ê�í�é�ê.èißsé�ßFî�æMß�é�ò�ê�í�å�ßFâ�àgñLê.ã�ä�âê.èiæ¤à�ã"ê.î�àgé�ß�îQæ�ßFé�ê�í�é�æMâ�à�âï�ç�ê�é@íGìâç å�æ�ê�âé �Æà�íGê�ìî�æMß�îé�ßFî�æMß�é"!,õ»ÝRÞß�é�ßFî�æMß�éRæ�éoèCà�âæ�ñì�ã¤à�å�ß�ïCéQêPà�é@å�êPèCà�ù�ßsæ�å@é�à�å�æMéQí�äiå�Þßsð�ê.ìâ�ï"à�îQäjç�ê�âïæMå�æ�ê.â�é�õ¯ÝRÞßç�ê�ß$#içFæ�ß�â0å�é�æ�â å�Þ�æ�é!é�ßFî�æ�ßFé�ç�à�â ð�ßjï�ßFå�ßFî�èiæ�âßFïáéQêÁà�é!å�êeèCà�ù�ßPå�ÞßjñLê�å�ß�â0å�æ¤à�ã»ßFâß�îQô�ä&% íGê.îå�Þ�ßié�ä�éQå�ßFèúà�èiæ�â�æ�ègìèOõ�ÝRÞæ�é!æ�é�ð�ß�é�å�æ�ã�ãMìéQå�î�à�å�ß�ïÂð0ä à�â�ß ÷�à�èiñãMß�õ('WßFå�ìé!ç�ê�âé�æMïß�î�à�ô0à�æ�âå�Þ�ß�ðLß�à�è ï�æ�é�çFìé�éQß�ïOæ�âBå�ÞßsñîQßFë�æ�ê.ì�éRé�ß�ç å�æMê.â=ò"à�â�ï�à�é�éQìèjßså�Þ"à�å�å�ÞßsïæMé�ñã�à�ç�ßFèjßFâ0å�)2ç�à�â�ðLßócî�æ�å�å�ß�âOà�é)*�+-,".0/1,".324!657.0/�é�æMâ(8 +9;: .32�éQæ�â(<=8 +9 �?>A@�@�@`õCB�!ÝRÞæMéhß,÷�ñî�ßFé�é�æMê.â�Þà�éRå�Þß!ñîQê.ñLßFîQå[äBå�Þ"à�åD)*�+E5GF�!H5G)*�+E5G9I!657F�ò"à�âï�å�Þ"à�å�)0J J�?+�5GF�!H5

) J J �?+E5G9K!657F�ò�ælõmß�õ»æMå@é�à�å�æ�éL�"ß�é�å�Þß�ðLê�ìâï"à�î�äCçFê.âïæ�å�æMê.âé�õH@ í�óoß�é�ìð�éQå�æ�å�ì�å�ßså�ÞæMé�ß ÷�ñîQß�éQé�æ�ê�âæ�â0å�ê�ßNM�ì"à�å�æ�ê.âO�>�@�@P@`õRQS!hå�ÞßFâÂó@ßPê.ð�å`à�æMâÂà�âÂß�é�å�æMèCà�å�ß�íGê.îUT�õUV ßPç�à�â�à�å�å�ß�èiñ�å^å�ê�èjæMâæ�èiæ�éQßå�Þ�æ�é»ß�é�å�æMèCà�å�ß�ð0äià�ï� Qìé�å�æMâôså�ÞßcçFê�ß�#jçFæ�ßFâ�å�é�.0/`òW.32oæMâX�?>�@P@�@`õCB�! õY@[âií à�ç å�ò.å�ÞßcèjæMâæ�ègì�èyë�à�ãMìßê�íYT æ�éRô.æ�ë.ß�âOð0äBå�Þ�ß!ë�à�ãMìß�écê�íY.0/1,[ZNZ[Z�å�Þà�åcèCà�ù�ß�å�Þß!ïßFî�æ�ë�à�å�æMë�ß�é\ T\ .0/ 57F�,

\ T\ .32 57F �?>A@�@�@`õC]�!

^HM�ì"à�å�æMê.âéA�?>A@�@�@`õC]�!»ñî�ê�ë�æ�ï�ßsàVéQßFåoê�íWß$M�ìà�å�æMê.âé¨å�Þ"à�åoç�à�âBðLßhé�ê�ãMë.ßFïCå�ê��"âïië�à�ã�ìßFéoê�í_.0/¨à�âï.32�õgÝRÞ�ßjà�â"à�ãMä�éQæ�é�ç�à�â�ð�ߣïê.âßPð0äÂÞà�âï=ò�ê.î�`�à�å�Þba�à�ï�ç�à�â�ð�ßPìéQß�ïáå�ê�ïê�å�ÞßPÞ"à�î�ïÂó@ê�î�ù� éQß�ßVà�é�éQê�çFæ¤à�å�ß�ïc`�à�å�Þba�à�ï�ó@ê�î�ù�ðLê�ê.ù�! ò"ô�æMë�æ�âôgë�à�ãMìß�é

.0/65edSf 9hg8_i1jlk

, .3235 dSf 9hgm d <=8_i�jlk^HM�ì"à�å�æMê.âG�?>A@�@�@`õCB�!,ò'ócæ�å�Þ�å�ÞßFé�ß�ë�à�ã�ì�ß�éPíGê.îgå�Þ�ß�ç�ê�ß$#iç�æMß�â0å�éFò@æ�égå�Þß�â4à�â�à�ññ�î�ê�÷�æ�èjà�å�æMê.â�å�êå�Þ�ß�î�ß�à�ã=é�ê.ãMì�å�æMê.âBíGê.î@å�Þß�ñîQê.ðã�ßFèeõY@ íxâßFç�ßFé�é�à�îQä.ò"íGìî�å�ÞßFî�å�ßFî�èiéRæ�âBå�Þ�ß!íGê�ìî�æMß�î@éQß�îQæ�ß�écç�à�â�ðLßå`à�ù�ß�âOå�ê£ñîQêÄë�æMïß!Þæ�ô.Þ�ß�îcà�çFç�ìî�à�çFä�õ

n

Page 56: Notes in Continuum Mechanics

����������� ������������������ �!��"$#%�'&�()�*��&+#-,.�/�102�$&435���6�7&*"

8:96;=<2>@? A BC>@DFEG9IH JK?�>@HLEGMN?O< P <QHSRT>U;V9IHWD

XZY�[)\^]%_a`cb de-e-f�gihjh�k'fmlonqpretsuwv�xzy�p�{.|.p�{�e/h}k'fmlSn~h�dmv���et�.���6h�etxz|*dmdmv���et�.���C�j�6p�detlonq��f){.�4etv�|zsmn~{��-n��de-e-f�gihjh�k'fmlonqpretsuwv�xzy�p�{.|.p�{�e/h}k'fmlSn~h�dmv���et�.���6h�etxz|*dmdmv���et�.���C�.�mp�detlde-e-f�gihjh�k'fmlonqpretsuwv�xzy�p�{.|.p�{�e/h}k'fmlSn~h�dmv���et�.���6h�etxz|*dmdmv���et�.�����}�Cp�detl

��� �+� �W���G�w���2� �

��v��jdU��e-�-xz�-�-xz�Sv�y�{Q���I�6��uwdmv�|*d�v��Gn��{.�6x$�U�j� �mx�k'�j�-lox$�Uv�ym�mv�|¡{�e-xZ�-xz�jv��jy6�Guwdmx$��x¢k7{.v�n�sm�-xSv��n�v�£.xzn�� et�¤�C|z|$sm�zp¦¥§ymx§{.v�l¨�.k�e-dmx�e-dmx$�j�4�L��k�x$n�{.��e-v�|$v©eª�«v���et��|${.n�|zsmn~{�etx�etdmx���e-�-x$���-xz��v�yL�j���mx$�¦et�{.��|$x$�4e*{.v�y¬uwdmxz�-xGk7{.v�n�sm��x­lSv��jdeF�I|$|zsm�$p�®�dmx���e-�-xz�-�-xz�1|¡{.y¯etdmxzy2��x¤|$�jlof){.��x$�¬uwv©etd¬e-dmx¤�Iv�xzn��|$��v�e-x$�-v��jyG�6v��-|zsm�-��x$�ov�y���x$|�etv��.y�°§±*pi²Cp����}u³xz´.x$� etd6v�� {.���-smlox$�µetd){�e¶etdmx·�.�I¸�x$|�et� ��x$v�y6�1{.y){.n©�I�-x$�{.��xFf�x$��k'xz|ze$�Iuwv©etdm�jsCe�¹5{¡uw�$�6{.ym�Le-d�sm���jv©´jxz��smym��x¡{.n�v��4etv�|${.n�n©��dmv��jdox$��e-v�lS{�etxz���.kºetdmx�n��{.�6��e-d){�e|¡{�yZ��x§{.fmfmn�v�x$�ºp¶±ªy¢�-x${.n�v©eª�«�j�I¸�xz|zet��dm{+´.xF¹5{¡uw���.k�´�{.��v��js6���mv©»ºxz�-x$ye³eª�Cf�x$�zp�®�dmx$��x§¹5{¡uw�w{.�-v��-xv�y¢e-dm�-xzxOf��j���-v��6n�x§u�{+�I�Og�jpw±ªymd6x$�-xzyeF�mx�k'x$|�et��v�y¢etdmx­lS{�etxz�-v�{.n²Cp�¼§x�k'x$|ze-�wv�yet���C�ms6|$x$�½�msm��v�ym� k7{.�6�-v�|${�etv��jy¾ p�¼1{.lS{.�jxF�.kµe-dmx­�j�I¸�xz|ze��msm��v�ym�«�-xz��´Iv�|zx¤n�v�k'x

¥§ymx­f){.�4etv�|zsmn~{���eª�If�x­�.kµ�mxzk'xz|ze�u�x1uwv�n�n�v�y�´.x$�4etv��j{�etx1v��w{o|z�t{.|*£5p¿Àx­{�n�n�£Iy6�}uÁuwd){�ew{�|z�t{.|*£Ln��I�j£���n�v�£.x�ÂL{G°�ê��d){.f�x$�W�m�-x${.£Lv�yLetd6x1�j�I¸�x$|�e¤Ä7�j���-�jloxze-v�lox$�

eªu³�Q�-sm|*dU�6�-x¡{�£I�¤�){.|*£jÃ�e-��ê�m{.|*£CÅ�pW®�dmxLv�lSf��j�4e*{.ye­|*d){.�-{.|ze-x$��v���e-v�|o�.kw{½|$�t{�|*£Æv��Oe-d){�eG{�eOetdmxetv�f¬v©eFd){��§{o´.x$�4�¬��lL{.n�na�t{.�mv�sm���.k |$s6��´�{�ets6�-x.p§Ç��t{.|*£��1fm���jf){.�j{�etxO��¬x/ÈCe-x$ym�6v�ym�Le-dmx¤e-v�f¯v�yet�etd6x�lL{�etx$��v~{.n%p�®�d6x���e-�-x$���­{.�-�.smym�É{L��x$�jv��jyQ�.k�dmv��jdQ��sm��k7{.|zx�|$s6��´�{�ets6�-x�v��§x$ymdm{.ym|$xz���a{.��u·{.��-xzx$y¬uwd6x$yQ|${.n�|zsmn~{�e-v�ym� e-dmx¤�4et��x$�-�F{.�-�.smym�Q{o|$v��-|$s6n~{.��dm�.n�x­v�y¯{Sfmn�{�etx­smy6�mx$��etx$y6�-v��.y�p���xzym|$xetd6x¤�4et�-xz�-��{.�-�.smym�¯e-dmx­|$�-{.|*£¢etv�fWv��w´.x$�4�Wdmv��jdº�)n�x¡{��mv�ym� e-�ok'�-{.|ze-sm�-x­�I|$|$s6�-�-v�ym�«etdmxz�-xO{.ym�½etdmxfm���jf){.�{�etv��.yG�.kme-dmx·|z�t{.|*£Ov�yet��etdmx�lL{�e-x$��v~{.n%p�®�dmx·��e-�-xz�-� |$�.ym|$xzy�e-�t{�e-v��jyGv��¶�6x$�-|z�-v���xz� v�y¤e-x$��lS��.k�{Sf){.�t{�lSx�etx$�z�)etdmxSÊ�Ë7ÌtÍ*Ê*ʤÎ!Ï)ËÐÍ�Ï6Ê�Î!Ë7ÑFÒzÓIÔ�˪Õ�Ì�Ö@�5uwdmv�|*d¬uwv�n�n^�6x$f�x$ym�2�jy¯f){.�-{.lSx�etxz�-�F��sm|*dÉ{.�etd6x1{.fmfmn�v�xz�Z��e-�-x$����×Ø{�ym�ZetdmxF|$�t{�|*£L�-v�Ù$x�p�Ú5�.��v�y6��e*{�ym|$x��){.y¢x$lofmv��-v�|${.n5�-xzn~{�e-v��jyok'�j�·{�|z�t{.|*£Sv��etdm{�e

ÖÜÛT�jÝ��+²j×�Þ¶ßÐà.á âaãuwdmxz�-xwã5v��µe-dmx·n�x$ym�.e-d��.k)e-dmx·|$�-{.|*£¤{.ym�o×�Þµß4àwv��¶etdmx�lL{�ÈCv�l�sml=��e-�-xz�-� v�y�{.�m�-xzym|$x���k)etdmx·|z�t{.|*£5pÖÜ|¡{�yZetdmxzyZ��xF�-x$n�{�etxz�Se-� {G|$��v�e-v�|¡{�n5´�{.n�smx�ÖSä�et�G�mxze-x$�-lov�y6x�uwdmx�etdmxz��etdmxF|$�t{�|*£Sfm���jf){.�j{�etxz�$p±�k�ÖæåçÖSä¦etdmxzy¬etd6x¤|z�t{.|*£Wv��w�4e*{.�mn�x.�5�ms6e�v�k�ÖéèTÖoä�etd6x¤|z�t{.|*£W�j���}uw��smym|z�jyet�-�.n�n~{��mn��.p³®�dmx�-xz�jv�lox$����k¶v�y�e-x$��x$��e�{.��x­fmn��.e�etxz�½v�yZê)�jsm��x«�jp

Page 57: Notes in Continuum Mechanics

ë�ì�í�î�ïð�ñ ò�ó�ô�õ�ö�÷�ø�ù�ú�í û!ù�ü$ý%ö'þ�ÿ)ú*ù�þ+ý��.ú/ø��2ø$þ��5ù�÷6ö7þ*üL.E.F.M

Elastic/Plastic fracture

Strength of materials

EngineeringDesign Regime

max

Y

KKc

0

1

0 1

������ ������������������������ �� "!$#&%"�� '�$(*)+%" '���'�*��,-%���,��'�%/.102����3�4�$%�%���56!7-!$��,8�'%��9!;:8��<���=!73�3�4����5�'%� ������*>@?�ACBED�,��� '�9!$4���'��5E��,E%��� ���� �$�F%"G���.+����4�5E�'%� �������HJILKM(NPO QMR SUTWV�X Y[Z \]T[^<_ Y[`aT[b cdZ6bfe�TLgh G��f��%" '����� #���,�#���,-%" �!7%"���,E!7%i%"G��f��,�5E�$�j!$,9��4�4��38%���#�!$4�G���4�*�,k!l3�4�!7%"�m��,�5��� n%"��,������,k��n��po���,q .k%"G8�r��st�J!7%"���, H�?FACBvuw>yxC�iz|{$}~l�� G��� �� } �� %"G���GJ!$4����4���,�$%"GE�7�L%"G��rG���4�r!$,�5 ~ %�G���G�!$4��� � ��58%�G�D����������/��!;�'�� !$,85����������/����,��$ !�:����� '���'3@��#�%"�po���4.8K&(����$ �!6#�� �#��84�!$ �G���4�� } u ~ !$,�5����aH�?FA�Bau��->�(��m� � ��o��� ����$ �!�o��� '.4��$,�k%"G��,aG���4� ~�q ��#��$����������!$4�4F����H�?�ACB q ��#���������o��� '.a4�!$ �$�<��,�58����5�(<��4��,���!$ *#� "!7#��6#�!$,q ��!73�3� ���:�����!7%���5]!$��!$,]��,8�J,8�%"��4.�%"G��,���4�4��3��'�$([h G��������3�4�����i%�GJ!7%�%"G8�r��%" '������#��$,�#���,t%� "!7%�����,!7%m%"G��l%���36�'G�����45 q �<��,8��,��%��$���� m%�GJ!7%f%�G�� q ��58.]�'G�����45 q �l��,J! q 4��%��E������%�!$�,a!$,-.6!73�3�4����54���!$5�!7%m!$4�4�([)�� � GJ!�%mG�!$�����,�� � ��$,� � �p%"GE%"G8��!7,J!$4.+�'�����h G��� �������4�8%"���,��$��%"G8���l3�!$ "!$58� : � !7��3� �� o+��5���5 q .¢¡v '�£�%"G�� � G��a���� ��<�84�!7%���5¢!�%�G����� �.�$���� "!$#&%"�� '� q !$�'��5¤��,¥! q !74�!$,�#��E�$����,��� �$.$(�� q �+58. � G8��#�G¤GJ!$� q ����,¤5������$ �����5�3@�$�����'�������4�!$�'%���#f3��$%���,-%"��!$4���,��� '$.�(W¦��j�%��� �!$#�%��� �������%�G���,�4��+#�!74�4.�%�G��v!$ '��!$� ��,85��� ��%" "!7��,E#�!7,] '��%��� �,�%"�%"G8���� ��8,�5������$ �����5�3@���'�%�����,����P ���5���#��,��%"G����'%� "!$�,§��,��� '$.��F�m� � ��o$�� �%�G����� "!$#&%"�� '����,�#� ���!7�����%"G8�9���8 '�¨!$#��E!$ ���!��$��%�G�� q �+58.������$ � G��#�G�%"G��� ������<!7,���,��� �$.§3���,J!$4p%/.��j%"G������� ��¨!$#��k��,��� '$.©�ª D�!7,J!$4��$������*%��1�'�� '�¨!7#���%"��,������,����$ f«J����58��K&(�����,�#���%�G��� '����v!$,���,��� �$. q !74�!$,�#�����,¬#� �!$#��3� '��3J!$-!�%"���$, q �&% � ����,¬%"G��l ���58��#�%�����,a�,a�'%" �!$��,���,��� �$.6!$,�5a%"G��l��,�#� ���!7������,����� ��¨!$#�����,��� '$.�(h G��r�'%� "!$�,E��,��� �$.]!$�'���+#���!7%"��5 � �p%"G]!$,���44���3�%"��#�!$4�G���4����,]!�384�!7%����$�F%�G���#��t,�������­���® ª u°¯²±[³ > ³ ­´

{

Page 58: Notes in Continuum Mechanics

µ·¶ ¸n¹tº-»�¼ ½�¾<¿ÁÀPÂ�Ã�Ä&Å7Æ�¸[ÇÈÅ7É�Ê�Â�Ë�ÌJÆ�ÅtË Ê�Í$ÆMÄ�ÎaÄ�Ë�Ï�Å7Ã8¨Ë�ÉÐ�Ñ�Ò"Ó8ÔrÕ�Ó�Ö$×�Ø�ÔvÙ�×EÒ�Ñ$Ò�Ö$Ú�Ô�×�Ô�Û�Ø$Ü�Ý�Þ8ÔvÒ�Ñ�Ò"Ó�Ô�ß�Ñ�Û'à9Ö7Ò�Ù�Ñ�×9Ñ$ßLÖ�Õ�Û�Ö$Õ�ákÙÐ

â�ãwäæå�çjèLéMê[é"ëì í�î êLë/ï�ðñ Ùò@Ô�Û'Ô�×-Ò"Ù�Ö7Ò"Ù×�ØlóvôõÛ�ôöÒ�ô[Ò"Ó8ÔrÕ�Û"Ö$Õ�áEÚÔ�×�Ø7Ò"Ó ê÷·ã÷ ê äæåkø ç²è[é"ê[ëì í¤î ë/ï�ðù ß�óiÔvÐ�Ô&Ò�Ò�Ó�Ù�Ð Ò�Ñ�ú�û8Ò"Ó�Ô�×]óiÔrÓJÖ�ü�Ô�Ö$×�Ô&ý�þ�Û�Ô�Ð�Ð'Ù�Ñ�×]ß�Ñ�Û�Ò"Ó�ÔvÔ�ÿ+Þ8Ù�Ú�Ù���Û�ÙÞ�à°Õ�Ñ�×�Ý8ÙÒ"ÙÑ�×�Ö$Ðè ä � ø ï�ð ìç²ê � ù�� ô��� Ó�ÙÐ ÙÐLÒ"Ó�Ô ü7Ö$ÚÞ�Ô�Ñ$ß�Ùà�þ�Ñ�Ð'Ô�Ý�Ð'Ò�Û�Ô�Ð'Ð è Ð�Þ���Õ�ÙÔ�×-Ò ß�Ñ�ÛLÒ"Ó�Ô�Õ�Û"Ö$Õ�á<Ò�Ñ ��Ô�Ù�×�Ô�ÿtÞ�ÙÚ�Ù���Û�ÙÞ�à���Ô�Ò/óiÔ�Ô�×Ð'Ò�Û"Ö$Ù×�Ô�×�Ô�Û�Ø$Ü<Ö$×�Ý�Ð�Þ8Û'ߨÖ$Õ�Ô Ô�×�Ô�Û�Ø$Ü$ô Ó�Ô Ô�ÿtÞ�ÙÚ�Ù��8Û�Ù�Þ8àæÙÐLÞ�×�Ð�Ò�Ö��8Ú�Ô$û-Ð'ÑvÙß è Û�Ô�Ö7Õ�Ó�Ô�Ð[Ò"Ó8Ù�Ð[Õ�Û'ÙÒ�Ù�Õ�Ö7Úü7Ö$Ú�Þ8ÔfÒ"Ó�ÔvÕ�Û�Ö$Õ�ákó�Ù�ÚÚ�þ�Û'Ñ�þJÖ$Ø�Ö7Ò"Ô7ô

����������������� Ó�Ñ ówÒ�ÓJÖ7Ò�Ô�ÿtÞJÖ7Ò�Ù�Ñ�× � ù�� ô����Û�Ô�þ8Û�Ô�Ð'Ô�×-Ò"Ð*Ö$×�Þ�×�Ð�Ò�Ö���ÚÔvÔ�ÿtÞ�Ù�ÚÙ���Û'Ù�Þ�à]ô "! #%$ &('*),+.-0/ +21435+.6 7�89);: <>=?-�@9=?A�8B)DC� ÑvߨÖ$ÛLóiÔmÓJÖ�ü$Ô*Ú�Ñ+Ñ�á7Ô�Ý�Ö7Ò Ð�Ñ�Úpü+Ù�×�Ø ø Ý�þ�Û�Ñ���Ú�Ô�à�Ð[Þ�Ð'Ù�×�Øvü�Ô�Õ�Ò�Ñ�Ûià�Ô�Ò�Ó�Ñ+Ý�ÐWÙ�×�ü7Ö$Û�ÙÑ�Þ�Ð[Õ�Ñ+Ñ�Û'Ý�Ù�×JÖ�Ò"ÔÐ'Ü+Ð�Ò"Ô�à�Ð�ôFEmÑ óiÔ�ü$Ô�Û�þ@Ñ$Ù�×-Ò"Ð�Ù×�Ö ø ÝEþ�Ú�Ö$×�ÔfÕ�Ö$×]Ö$Ú�Ð'Ñ?�@Ô�Ý8Ô�Ð�Õ�Û�Ù��@Ô�Ý1Ö7Ð Õ�Ñ�à�þ�Ú�ÔMýk×tÞ�àG�@Ô�Û�Ð Ñ�×�Ö$×H Û'Ø-Ö$×�Ý�Ý�Ù�Ö$Ø�Û"Ö7à1û$Ö$×�Ý�Ò"Ó�Ô�Û�ÔmÖ$Û�Ô�Ñ+Õ�Õ�Ö7Ð�Ù�Ñ$×�ÐLó�Ó�Ô�×�Ò"Ó�ÙÐWþ�Û�Ñ ü�Ô�Ð Ò�ÑI��ÔJ�@Ô�×�ÔBK�Õ�Ù�Ö7Ú ô ù ×�þJÖ$Û�Ò"ÙÕ�Þ�Ú�Ö$ÛÙÒ�þ�Û'Ñ;ü+ÙÝ�Ô�ÐlÖ$×�Ô�ÚÔ�Ø-Ö7×tÒlÖ$×JÖ7ÚÜ+Ð�ÙÐlÑ$ß�Ò�Ó�Ô9Ð�Ò"Û'Ô�Ð�Ð<Ö$Û�Ñ�Þ8×�Ý¢Ö�Õ�Û"Ö$Õ�á�ô*LFÙ�Û�Ð�Ò�ûFÐ�Ñ�à�ÔM��Ö$Ð�ÙÕ�ÐlÑ7ß Ò"Ó�Ô Ó�Ô�Ñ�Û'Ü�Ñ$ß0NnÑ�à�þ�Ú�ÔMýPO Ö$Û'Ù�Ö��8Ú�Ô�Ð�ôH Õ�Ñ$à�þ�ÚÔ&ý1×tÞ�à?��Ô�ÛRQkÕ�Ö$×��@Ô�ó�Û�ÙÒ'Ò"Ô�׬Ö$ÐfÙÒ�Ð*Û'Ô�Ö$Ú�Ö$×�ÝaÙ�à�Ö$Ø�Ù×JÖ$Û�ÜEþJÖ$Û�Ò"Ð�û�Ñ�ÛfÖ$ÐfÖkÚ�Ô�×8Ø$Ò"ÓÖ$×�Ý1Ö$×]Ö$×�Ø$Ú�Ô Q äTS íVUXW Ñ�Û Q äZY\[9]_^nä`Y � Õ�Ñ$Ðba íVU Ð�Ù×Jac� Ó�Ô�Õ�Ñ�×ed'Þ�Ø-Ö�Ò"Ô Q ä`S�å UXW ôgf§ÔfÕ�Ö7×kó�Û�ÙÒ�Ô*ß�Þ�×�Õ&Ò"ÙÑ�×�Ð�Ñ$ß²Õ�Ñ�à�þ�Ú�ÔMý�ü7Ö$Û'Ù�Ö��8Ú�Ô�ÐiÙ�×9Ò�Ó�ÔfÐ�Ö$à�Ômó�Ö�ÜÖ$ÐvÒ"Ó�Ñ$Ð�Ô9Ñ7ß Û�Ô�Ö$Ú ü7Ö$Û'Ù�Ö��8Ú�Ô�Ð�û²Ð�Ñih � Q��fónÑ�Þ8Ú�Ýj��Ô�Ð'Þ�Õ�Ó�Ö]ß�Þ8×�Õ�Ò�Ù�Ñ�×·ô Ó8Ô9Ý�Ô�Û�Ùü7Ö7Ò�Ùü$Ô�Ñ$ß�Ð�Þ�Õ�Ó�Öß�Þ�×�Õ&Ò"ÙÑ�×�Ù�Ð Ý�Ô�KJ×�Ô�Ý1Ù�×EÒ"Ó8ÔrÞ8Ð�ÞJÖ$Ú·ónÖ�Ü

k hk Q ä Ú�Ùàlnmporq h � Q íts Q�� å h � Q��s Qù ßFhvuPÔMý�Ù�Ð'Ò�ÐfÔ�ü$Ô�Û�Ü+ó�Ó8Ô�Û�Ô7ûPÒ"Ó�Ô�×wh§Ù�ÐmÐ"Ö$ÙÝ�Ò"ÑP��Ô�x�yvx�z_{e|~}X�&ô ù ß[ónÔ<ó�Û'ÙÒ"ÔrÒ"Ó�Ô�ß�Þ�×�Õ�Ò�Ù�Ñ�×�Ù�×1Ò�Ô�Û'à�ÐÑ$ßFÛ�Ô�Ö$Ú²Ö$×�Ý�Ù�à�Ö$Ø�Ù×JÖ$Û�Ü�þ�Ö$Û'Ò�Ð�ûh � Q�� ä�� � S���� � ítU~� � S�� W �Ò"Ó8Ô�×1Ö�×8Ô�Õ�Ô�Ð�Ð�Ö$Û'Ü]Õ�Ñ$×�Ý�ÙÒ�Ù�Ñ�×Eß�Ñ�Û�h�Ò�Ñ.��ÔrÖ$×JÖ$ÚpÜtÒ"Ù�Õ*Ù�Ð÷v�÷�S ä ÷ �÷ W � ÷v�÷ W äæå ÷ �÷�S � � ù�� ô ø ��

Page 59: Notes in Continuum Mechanics

���r�������e� ���?���"���v���\����� �\¡9¢~�¤£�¥¦�%��£§¢©¨��ª�D«��9£­¬®�\����£%¡¯r°�±B²©±I³�´©±Dµ9³�¶�¶�±9·P¸�°�±º¹�»�¼¦½%¾À¿eÁXÂJÃXÄ�Å.»�ƦÆDZ9È�ɦ³\¸©Ê�ËcÌ�²9Í�¯r°�±RΤÉ�Ì�µ�¸�Ê�Ë�Ì�²�Ïг�Ì�·�ÑÒ³�´p±D²©ËcÓ.±B¸©Ê�Ó.±9²µÔ³\¶�¶�±B·Z½%ÕeÆÔÖª¼�×�»�ØÙÄ;Úª¼ÛÆn½�Ø�ÃXÕeÆ�Ü�Ý�²©Ê�Ì�µ9±ÞÊ�ÎrßF±�³�´©±áàcÊ�âc±BÌÐËcÌ�±ÞßF±áµÔ³�Ìt³�¶�ßã³ÔäÀ²Gå¦Ì�·V¸©°�±PË�¸©°�±9´çæ ¸�ËßJÊ�¸©°�Ê�Ì�³\Ìè³�´pé�Ê�¸�³�´päÞµ9ËcÌ�²p¸%³\Ì�¸%ê�Í릴©ËcÓ5¸�°�±B²©± ±9È�ɦ³\¸©Ê�ËcÌ�²rßF±Iµ9³�Ì�²©°�˧ß츩°¦³\¸

í¦î Ïí¦ï îGð í¦î Ïí¦ñ î�ò�ó�ô í®î Ñí�ï î2ð í¦î Ñí¦ñ îçòZó æ�õ�ö?Í�÷�êÊXÍø±�Í(¸©°�±i´©±Ô³\¶R³�Ì�·`Ê�ÓM³�àcÊ�Ì�³�´pätù¦³�´­¸�²çË�ÎG³�Ì�³\̦³�¶�ä�¸©Ê�µèΤÉ�Ì�µB¸�Ê�ËcÌ`²�³\¸©Ê�²pΠäÒúû³\ù�¶ü³�µB±�ýø²á±9È�ɦ³\¸©Ê�ËcÌþ î%ÿ ò(ó Í��FÉ�¸D¸�°�Ê�²DÊ�²��pÉ�²p¸DßJ°¦³\¸DßF±Çßã³\Ì�¸RΤËc´ ²©Ëc¶�âÛÊ�Ì�àá±9¶�³�²p¸©Ê�µBÊ�¸ äºù�´©Ëcé�¶�±9Ó.²9Í�� ±ÇµÔ³�ÌißJ´©Ê�¸�±¸�°�± Ì�³�é�¶ü³ÇËcùv±9´©³\¸�Ë�´r³�²

þ ò íí�ï ð�� íí¦ñ ò� íí ´©±BÓM±BÓ?év±9´©Ê�Ì�à,Ë�ήµBËcÉ�´p²©±ã¸�°�³\¸�³�Ì�äIΤÉ�Ì�µB¸©Ê�ËcÌ��0æ ï ô ñ êûµ9³�Ì2³�¶�²©Ë,év±�ßJ´©Ê�¸©¸©±9Ì2³�²�³�ΤÉ�Ì�µB¸©Ê�ËcÌ��0æ ô ê�Í� ±*µÔ³�Ì É�²©±è¸©°�Ê�²MËcùv±9´�³e¸�Ëc´MËcÌÒ³ ´p±Ô³�¶� �â\³�¶�É�±9·VΤÉ�Ì�µB¸©Ê�ËcÌ ÿ æ ï ô ñ êªÍZ¯r°�±è±9È�ɦ³\¸©Ê�ËcÌ ÿ æ ï ô ñ ê òµ9Ë�Ì�²p¸�³�Ì�¸JàcÊ�â�±9²J³?µ9É�´pâc±\Ý®³�Ì�·ºþ ÿ ´©±9ù�´©±9²p±9Ì�¸�²�³Gâ�±9µB¸©Ëc´JÌ�Ëc´pÓÞ³�¶®¸�Ë?¸©°�Ê�²�µ9É�´­âc±�Í��ÛÊ�ÓMÊ�¶ü³�´p¶�ä?Ê�Î"ß�±³�ù�ù�¶�äç¸�°�Ê�²,Ëcùv±9´�³e¸�Ëc´ ¸©Ë�³áµ9ËcÓ.ù�¶�±��� �â\³�¶�É�±9·èΤÉ�Ì�µB¸�Ê�ËcÌ��0æ ê�Ý�ßJ°�Ê�µ%°i´©±9ù�´©±9²p±9Ì�¸�²I³Þâc±BµB¸©Ëc´,妱9¶�·�ÝßF±Iàc±�¸r¸�°�±Ràc´©³�·�Ê�±9Ì�¸JË�Îû¸�°¦³\¸Jâ�±9µB¸©Ëc´r妱9¶�·�Í�� ±Rµ9³�Ìç³�¶�²pË.²p°�˧ßì¸�°�³\¸��� þÞþ�� ò í¦îí�ï î ð í¦îí¦ñ î ò�� í¦îí�cí æ�õ�ö?Í � ê¸�Ë àc±�¸ ¸©°�±�¶ü³�ù�¶�³�µ9Ê�³�Ì?Ëcùv±9´©³\¸�Ë�´ Ê�Ì2µ9ËcÓ.ù�¶�±��Ǹ�±B´©Ó.²9Ý�ßJ°�Ê�µ%°MµBËcÉ�¶�·M³�¶�²©ËRéb±;³�ù�ù�¶�Ê�±B·Ç¸�Ë ébË�¸©°M´p±Ô³�¶� â\³�¶�É�±9·M³�Ì�·.µ9ËcÓ.ù�¶�±��� �â\³�¶�É�±9·ÇΤÉ�Ì�µ�¸�Ê�Ë�Ì�²9Í�� Înµ9ËcÉ�´p²©±\Ý�Ê�În³�ù�ù�¶�Ê�±B·Ç¸�ËI³ µBËcÓMù�¶�± �� Xâ�³\¶�É�±B·2ΤÉ�Ì�µB¸©Ê�ËcÌ�èßJ°�Ê�µ%°çÊ�²J³\̦³�¶�ä�¸©Ê�µ�ÝÛ¸�°�±BÌ*þ î � ò`ó Í!�"$#�% &'#)(+*�, ´p˧âc± ±9È�ɦ³\¸©Ê�ËcÌ�õ�ö?Í � Í!�"$#�% &'#)-+* �Û°�˧ß�¸©°¦³\¸ � íí� ò íí¦ï/. � íí¦ñ!�"$#�% &'#�0�* õ�Î��0æ ô êãÊ�²J³\̺³\̦³�¶�ä�¸©Ê�µ,ΤÉ�Ì�µ�¸�Ê�ËcÌ�Ý�ù�´p˧âc±R¸�°¦³\¸;þ î � òZó Í132 465 798;:=<?>A@CBEDF>�GIHJ8;K L$@�>�KMH�N'@�< O <PK�Q=>A:'8;KRGëgÊ�àcÉ�´©± � ²©°�˧ßJ²P¸©°�±è¸�°�´©±9±�ùvËc²p²©Ê�é�¶�±èÓ.ËÀ·�±9²PË\ÎI¶�Ë�³�·�Ê�Ì�à ³jµ9´�³\µTSvÍ ¯ûËÐéb±BàcÊ�Ì ßJÊ�¸�° ßF±*ßJÊ�¶�¶µ9Ë�Ì�µ9±BÌ�¸©´�³\¸©±áËcÌ�UºËÀ·�±Mõ©õ©õ%ÝûßJ°�Ê�µ%° Ê�²I¸©°�±Þ¸©±Ô³�´pÊ�Ì�àºÓMËÀ·�±�æ ¸�°�Ê�Ì+SiË�Î㸩´päÀÊ�Ì�ຸ�Ë*´pÊ�ùj³ºù�Ê�±Bµ9±PË�Îù¦³�ùv±9´�Ê�Ìç°¦³�¶�Î%êªÍF¯r°�Ê�²r¸�É�´pÌ�² Ë�É�¸J¸�Ë.éb±R¸�°�± ±Ô³\²©Ê�±B²p¸;ÓMËÀ·�±D¸�ËM³�̦³\¶�äÀ²©±\Í�� ±R¸%³VS�±R¸�°�± Ëc´©Ê�àcÊ�Ì�Ë�ÎËcÉ�´�µBËÛË�´©·�Ê�̦³\¸�±r²­äÀ²p¸�±BÓ(¸�ËRéb±�³\¸�¸©°�±Jµ9´©³�µTS?¸�Ê�ù�ÝcßJÊ�¸©°2¸©°�± ï Ù³W�ÛÊ�²�Ê�ÌǸ�°�±J·�Ê�´©±BµB¸�Ê�ËcÌ2Ë�Îv¸�°�±Jµ9´©³�µTSù�´pËcù¦³�à�³e¸�Ê�Ë�Ìá³�Ì�·á¸�°�± Ù³W�ÛÊ�²ã¶�äÀÊ�Ì�à2³�¶�ËcÌ�àG¸�°�±DµB´�³�µTSM¸�Ê�ùnÍ0õ Ìá¸�°�Ê�²ã²päÀ²p¸©±9Ó ßF±R°¦³Ôâc±R馳�²pÊ�µÔ³\¶�¶�äM³� ·�ù�´pËcé�¶�±BÓ Ê�Ìḩ°�± ï®ñ ù�¶ü³\Ì�±�Í�ëgÊ�àcÉ�´p±D÷.·�±9Ó.ËcÌ�²p¸©´�³\¸©±9²r¸�°�± µBËÛË�´©·�Ê�̦³\¸�±B²9ÍX ²J²©°�ËßJ̺éb±�ΤËc´©±\Ý�¸�°�±R²­¸�´�³\Ê�Ì�µÔ³�Ìçév±RßJ´pÊ�¸p¸�±9Ìç³�²Y[Z]\ ò_^� ` íba Zí�ï \ ð íba \í�ï Zdc�

Page 60: Notes in Continuum Mechanics

egfMh�i�jlkWm npo�qsr3tvuxw yVzRh�{|yV}�~�t��R�bzTy���~���z�wP�'w��6��yVu�t��T}x

y

z

x

y

z

Mode I Mode II

Mode III

���)���+���������M�������������+���¡ ����¡¢v�l£����v¤+�¥£§¦F�¨£�¦T©ª��«¬���+��­T®¯��°x��¤+�)¤+�§��������®�«¬������­�­T®¯��¢)�v�+�)¤+������+�V®�«¬���+��­�­[­�±��;£��[�v¤+�²�����+�­³¤=±¨���v�´¦�£����V®gµg¶¸·¹µ�£�¤+�'µ�º»·¹¼¥£��[��½¾�V±¨�=¿F�����À£�¤+�=ÁÂ��¤+���F�Ã��¤+¢)Ä$¦F��¤+�[�v�+�F�?µ�Å´·¹Æ�Ç�ÈÊÉ�Ë+Ì�Í­³¤$±¨�+�)�M¦;£��[�¡±��+���[�ΣV���?±³ÁÂ���[±��¨£��)¤+�¥Ï�Ð³Ñ ·ÓÒ��Ô µ�ÅÔ Èg¶ ·_Ò�ÂÔ ÆÔ È Ç�­pÕ�Í×Ö�Ì£�¤+� Ï[ÐÙØ ·ÚÒ� Ô ÆÔ Ë Ç�­pÕ�ÍsÛlÌÜ �)���)¢Ý£��[¢)Ä�±¨���¡¤���¤�Þp±����àß��v£�¢x�[±¨�[���[�»¦F����°x��¤+�F¤l±¨�R£����á ÐÙÑ ·�Wâ Ï�Ð³Ñ É á Ð³Ø ·�Vâ Ï�Ð³Ø Ç�­pÕ�Í×ã�Ì­³��¤+�����v¤���½¾����ÄÀ ����[¦��F��®+±¨���¡�Fä��b£V±¨�)��¤¥�� ��Fä��+�v¢)�v½+�[�v�+�å�v�Ô áÐÙÑ

Ô Èçæ Ô áгØ

Ô Ë ·éè Ç�­pÕ�ÍsêlÌë ����½+�)¤+�v¤���±¨�+�F����Á��¡���F��±��b£V±RÆE���+�6±ì�¨£V±��v�6 |ÄÔ º ÆÔ È º æ Ô º ÆÔ Ë º ·íè Ç�­pÕ�ÍsîlÌ�v�VÍ����+�6±»��£V±¨�)�[ |ÄÀﯣV°+¢Ý£�¦F��ðñ�ì��ä��b£V±��v��¤gÍ Ü ��±��+������¢)��±¨�)��¤ò¦;£�¤$½x�PÁì���)±[±¨�F¤§£��Æ�Ç�ó�É ó�Ì�· Òâíôàõ Ç�ó�Ì æ õ Ç ó�ÌÙö Ç�­pÕ�Í Ò èlÌÖ

Page 61: Notes in Continuum Mechanics

÷gøMù�ú�ûlüWý þpÿ���������� �Rù��� �������������������� �"!#���%$& �'�(���

z=x+iy = reiq

qx

y

crack

)+*-,/.10�243'57698:8�0�;1*-<�= >?2"@%AB@C>?2EDGF�8/0IH�0�=�H�JLK10C8/K�=�,M=N>?*�8�<O*�<OP&QLK1R�=�<12S9.'> TUT PWV TUTX T&XT PYV Z UZ X\[ TUT Q]V TUTX T&XT Q^V`_ Z UZ Xa .1b'@C>?*c>?.'>�*�<1,ed�fhg�icj�kMl9*�<M>�8md�fhg�ion/lp=�<1;qd(fhgrios/l�t&=�<1;u.1@C*�<1,v>?w'2�@�2x0�2E@�.1Rc>?@Et1y92zw�=|{/2}�~�� V j� � � Z UZ X�� Z UZ X\�}E~�� V _� � � Z UZ XO� Z UZ X��698/D�b'*�<1*-<1,�>?w12E@�2zy�*->�wqd�fhg�io�/l�y�2�H�=�<e@Cw18�y}E~�� � _ }E~�� V � Z UZ X d�fhg�icj/j�l��8�y�y�2�=�0�2z,/8/*-<1,�>?8�=�@C@�.1D�2">?w�=N>I>?w12z@�8�R�.'>�*�8/<�w�=�@I>�w12"F�8/0�DU d X l V`� X������ [ ��V`� � _��y�w12E0�2 � *-@v=�H�8/D�K1R-2���H�8/<'@C>�= <�>�=�<';Y �¡ � j^d(8�>�w12�0%y�*�@�2Ly�2Oy�*�R-R�w�=|{�2OK10�8/b'R�2�D�@v= >r>?w12H�0�=�H�JL>?*-K&l�i+fhF+y�[email protected]@%>?*->�.'>?2z>?w'*�@I*�<M>�8md�fhg�icj/j�lp=�<';e2E¢B.1= >?2z0�2�=�R£=�<1;u*�D�=�,/*-<�=�0%A�K1=�0C>�@�t1>?w'2�<}�~�� V � d�  � j�l¥¤ � d � H�8/@ &¦ � � @�*-<� ¦�l}E~�� V � � d�  � j�l%¤ � d � @C*�<� &¦ � � H�8�@§ &¦/l¨�8�y�2E{�2�0I>?w12©H�0?= H�J�@C.10CF(=�HE2�@Iw�=|{�2"<18v=�K1K'R�*�2E;�F�8/0CH�2E@p8/<L>?w'2�Dut:@C8vª ~¥� V k�F�8/09¦ V¬«"­ i�®Iw1*�@,/*c{/2�@I>�w12"F�8/R�R-8�y�*-<1,�0C2�R¯=N>?*�8�<1@pH�8�<1<12�H�>?*-<1,�HE8/<1@%>�=�<M>?@ � =�<1; � 5� @�*-<�  ­ � � HE8/@  ­ V k� @�*-<�  ­ � � HE8/@  ­ V k®Iw1*-@�HE8/.1R-;ub2"y�0�*c>�>?2E<u=�@ ° @C*�<�  ­ H�8/@  ­@C*�<�  ­ � HE8/@  ­£±° ��v± V ks

Page 62: Notes in Continuum Mechanics

²´³Iµ9¶�·M¸N¹ ºh»�¼�½�¾�¿À�Á Â�µ�Ã�Á Ä�Å�¾�Æ�Ç�Â�Á�Æ�Å�È� À"É#À�Æ%Ê&Á ¿'¾(Æ�ÄË�Ì/ÍpÎ?Ï'Ð�ÑpÎ?ÌÒÏ1Ì�Ó�Ô´Õ'Î�Ï1ÖzÔ1ÖEÎ�Ö�ÍC×�Ð-Ø�Ù�ØMÎ�Ì�Ú�Î?Ï1Ð-ÑI×ÛÙ Î�Í�ÐÝÜOÏ�Ù�ÑpÎ�Ì�ÞÖ"ß�ÖEÍ�Ì1Õ�à�Ï1Ð-á�ÏeÓ-Ö|Ù�Ô'ÑpÎ?ÌÑ�Ð-Ø�â/ã�ämå�æçIÏ1Ð-ÑIÖ�è�é�Ù Î�Ð�Ì/ØOÏ�Ù Ñ�Ù�ØBé'×�Þ�ÖEÍIÌ�Ú�ê�Ì�Ñ�Ñ�Ð-Þ1Ó�Ö©Ñ�Ì/Ó-é'Î?Ð-Ì/Ø1Ñzë(Ù�áEÎ�é�Ù�Ó�Ócì/Õ�Î?Ï1ÖEÍ�ÖzÙ�ÍCÖzÙ�ØOÐ�Ø:í�Ø1Ð-Î�Ö4Ø�é1×�ÞÖ�ÍÌ�Ú�Î?Ï'Ö�×Ûî�ÕïÞ1é'Î�Î�Ï1ÖO×�Ì/ÑCÎvÐ-×�êÌ/Í%Î�Ù�ØMÎ�Ì�Ø1ÖLÐ�Ñrð/Ð-ñ�Ö�ØòÞMìYãóåõôOö÷�øúù Ö�Î�Î�Ð�Ø1ð#ûüåýæ�ð/Ðcñ/ÖEÑ�Î?Ï1ÖÑ�Ì�Ó�é'Î�Ð�Ì/Ø þ�ÿ�� å ô �� � á�Ì�Ñ�� â��ÖEØ1á�ÖzÎ?Ï'ÖxÑCÏ1Ö|Ù Í�Ñ%Î?ÍCÖ�Ñ�Ñ�Ï�Ù�Ñ�Ù �� ö� ÷ Ñ�Ð-Ø1ð/é1Ó�Ù�Í�ÐcÎ�ìLÙNÎ � å�æ ø � Özá|Ù�ØuÔ1ÖEí1Ø1Ö

�������9å � â�ä�� å Ó-Ð�×��� ����� ô � â�ä �á�Ì/Ñ �÷ þEÿ��Ù�ÑIÎ?Ï'Öx×�ÌBÔ1Ö�������Ñ%Î?Í�ÖEÑ�Ñ�Ð�ØMÎ?ÖEØ1Ñ�ÐcÎ�ìLÚ(Ù�á�Î?Ì/ÍEÕ1Ð�ØOÎ?ÖEÍ�×�Ñ�Ì�Ú\à�Ï'Ð�á�Ï�Î?Ï1ÖzÑCÎ�Í�ÖEÑ�Ñ�ÖEÑ4Ù�ÍCÖþ�ÿ � å ô �������� âNä � Ñ�Ð-Ø � â"! þEÿ�� å � ������ âNä � á�Ì�Ñ#� â� �����LÐ-ÑÛÖ�Ñ%Î�Ù�Þ'Ó�Ð�ÑCÏ1Ö�ÔWÞMìWÎ�Ï1ÖeÚ(Ù�Í�í�Ö�Ó-Ô ÞÌ/é1Ø1Ô1Ù�ÍCìYá�Ì�Ø1Ô1Ð-Î�Ð�Ì/Ø'ÑÛÙ�Ø'ÔóÔ1Ö�êÖ�Ø'Ô1ÑLÌ/Ø Î�Ï1Ö�Ù ê1ê1Ó�Ð-Ö�ÔÓ�Ì/Ù�ÔmÙ Ø1ÔuÎ�Ï1Öxð/Ö�Ì/×�ÖEÎ�ÍCì�Ì�Ú\Î?Ï1ÖxÞÌ:Ô'ì ø çIÏ1Ö�ÑCÎ?ÍCÖ�ÑCÑ©Ñ�Ì�Ó�é'Î�Ð�Ì/Ø1Ñ�Ù�ÑCÑ�ÌBá�Ð�Ù Î?ÖEÔeà�Ð-Î�ÏeÌ Î?Ï1ÖEÍ4ãeñ Ù�Ó-é1Ö�ÑÙ�ÍCÖuí�Ø'Ð-Î?ÖmÙ Î�Î?Ï1Öeá�Í?Ù á%$òÎ�Ð�ê¬ë � åõæ'Õ � å æMî�Õ9Ñ�ÌqÎ�Ï1Ð�Ñ�ê�Ù�Í%Î?Ð�áEé1Ó¯Ù Í�ÑCÌ/Ó�é:Î?Ð�Ì�Øòà�Ð-Ó�Ó�Ô1Ì/×�Ð�Ø1Ù Î?Ö ø&4ÖEÎ�Ö�ÍC×�Ð-Ø1Ð�Ø1ð'��������Ð�Ñ�Ø1Ì�ΩÙ�ØuÖ|Ù�Ñ%ì�Î�Ù�Ñ�$Õ&Þ1é:ΩÐcÎ�á|Ù�ØeÞ�Ö�Ù�á�Ï1Ð-ÖEñ/ÖEÔ´Õé1Ñ�Ð-Ø1ðÛÙ Ø�Ù�Ó-ì�Î�Ð�á|Ù Ó´×�Ö�Î?Ï1ÌBÔ1Ñë(Ì Ú�Î?Ö�Øué1ÑCÐ�Ø1ðÒá�Ì�×�ê1Ó-Ö�ÜOÙ�Ø�Ù�Ócì:ÑCÐ�ÑEÕ�Ù�Ñ�Ï1Ö�ÍCÖ�îpÌ/ÍIØ�é1×�Ö�ÍCÐ�á|Ù Ó§Î?ÖEá�Ï1Ø1Ð�è�é1ÖEÑ ø(*),+*-/.0+2143 ù Ï1Ì�à�Î�Ï�Ù Î�Î?Ï1ÖzÔ1Ð-Ñ�ê1Ó�Ù�á�ÖE×�ÖEØMÎIÚ�Ì/ÍI×�ÌBÔ1Ö������ïÚ�Í?Ù�á�Î?é1ÍCÖxÐ-ÑIð/Ð-ñ�Ö�ØuÞMì

5 å â6� �����7 8 �âNä ÑCÐ�Ø �â

9

Page 63: Notes in Continuum Mechanics

����������� ������������������! #"%$& ('��)�+*,��-/.!�10�23 465 798�:<; = >@?BAC>@DE8: F :HGJIK4MLONP QSR TVUXW Y,Z\[^] _a`cbc[d_e_gfh,i,j�`ck\UXi,_+Qlnm<o�p\qsrutwvxmHlzyJ{}|�~�p���p\q\tw�(p\��ru�(�#r�ru�(p����#�(����q�t���m�vx�!p\�u��ruvx�+���^twm����Hq�vx�(�����!pd~���twr%rup�mH�#o� ������� ����x� �� p������#rutwvxm � lzyJ{ � �  {a¡¢p��#��o�vd��p\q\tw�(p\�Br����#r£��m¤Jq\vx¥X�(��p§¦J¨���m(q�r�t�vxmX© � �   ~��(twqª��t�oc���wo�v���m(���w¤�rutwqou��rut�o¬«�p\o � � © �®­¯ ¨�q\v��(��o%p°ru�(p�q\vx¥X�(�wps¦±q\v�m�²%�(³�#r�p ©´����o%v�o��#rutwo%«�p�o�ru��t�o\{�lnm@�(��o�o%t�m(³@µ�ru�(p�q\vxm�²%��³�#rupXv�¨+�m��(¥��!p\� � ��¶e·X¸/¹ two � �º¶�»�¸¼¹!½ t¼{¾p�{a¤xvx�Jqª����m(³xp�r��(p�o%t�³xmJv�¨(ru��p�t�¥���³xtwm����%¤¿�����%r � o%�(�(o%r�twr���rup¸ÁÀ »+¸ ru�(�%vx�(³x�(v���r   {ÃÂ��(p+q\vxm�²%�(³�#r�p+v#¨��d¨��(m(qsrut�v�m°© � �  £�MÄ�·<¸/Å t�o Ä�»Æ¸/Å^½ t�m�v�r��(p\�c~�vx���(oru��pÇo%t�³xm�v�¨ ¸ t�o�qª���#m(³xp\�<ru�(�%vx�(³x��vx��rÈ{cÂ���t�o�t�o�v�¨&r�p\mÉ~���tÊr�r�p\mH��o © � �   {cÂ����(o ½ tw¨Ë~�p����ÈÌ�p� �§Í � © � �  Ë· © � �   � y�{ÊÎ  ~��(p���p^©Æt�o£��m��#�w¤�rutwq ½ r��(p\m�����r�vx¥°��rut�q\�����ʤ�� � � � Í �®­�½ t/{Ïp#{ Í t�o£�do¬ru��p�o�oc¨��(m(qsrutwvxm�{cÐ�p�~��%twrutwm(³� yJ{wÎ   � � Í���x� � � © � �  Ñ· © � �   � y�{}�  ��m(�<t�mr�p\³x���#rutwm(³�~�{Ï��{¾r\{ � ��m�� � ³xtwÌ�p\oÍ � ��Ò © � �  ¬Ó � · ��Ò © � �  %Ó � · Ò Ô � �  %Ó � ·ÖÕ � �  ~�twr�� Ô ��m(� Õ �×p�t�m(³��#���(tÊrª���¬¤ � q\v�¥��(�wps¦   ¨��(m�q�rutwvxm(o^t�mru�%v1�(��q\p\�±��oØ�����%rØv�¨£ru�(pJt�mrup�³x�u�#r�t�vxm�{Â��(two+two����(twr�p��Xq�vx¥�����t�q\�#rup��Éps¦1�(�%p\o�o%t�vxm ½ �(��r+twr�q\��mH�!pdo�tw¥�����tw«(p\�É�¤Ém(v�r�t�m(³Br����#r Í o���vx�(����!p���p\���¼{aÂ��(p�p\��o�twp\o%rÃ~��ȤJr�v¿³xpsr£�Ø��p\����¨��(m(q�r�t�vxm�¨���vx¥O�Øq\v�¥��(�wps¦�vxm(p�t�oaruv����(�JtwruoÁq\vxm�²%�(³�#r�p ½p�{¾³({ Ù � ©  c� Î�ÉÚ © · ©!Ûlz¨Ã~�pd~���tÊrup Ò © � �  %Ó � � Î��Ü � �  ru��p\m�ru�(pd«��%o%r�rn~�vXrup���¥Xo��×p�q\vx¥Xp Î�¢Ý � Ü � �  Ë· � Ü � �  ¬Þ~��(twqª�ßt�o+q\�wpÈ���%�w¤É�%pÈ���/{�àOq�p\�%ru��t�m���¥X¥�vx��m�r+v�¨e¥°��m�t��(�(���#rutwvxmÉvxm�r��(pÇ��p\¥���twm(t�m(³Br�p\��¥Xo ½ ��m(�~�p�q\��mÉ~���twr�p Í � Î�âá � Ü � �  Ë· � Ü � �  Ñ·�ã � �  Ñ· ã � �  åä � y�{Ï|  àØ�Êrup���m��#r�twÌ�p\�w¤�ru�(two�qÈ��mH���wo�vB�!p�~��%twr%rup\mH��oÍ � Ùçæ � Ü � �  Ë·�ã � �  nè � y�{ �� 

Î

Page 64: Notes in Continuum Mechanics

é�ê�ë�ì�íî�ï ð�ñ�ò�ó�ô�õ�ö�÷�ø�ù!ú#û%ü&ú(ý�ö)÷+þ,÷�ÿ��!ó����� �� ��� ������������ ���� �� ���� ��"!$#��� ��%'&)(+*�,.-0/213-4*0&513-76�891;:0-<*7=;>@?$1;*A1;BDC.=313/E-F*0&)(+*AGH/JI�(@KMLN/�K./�:7(O*7/2-P*0:0/�-P-�QR,.K5IE*013SNK5-A-P13B�C5=;>UT�>=3SVSNW�13K.LXQRSN:Y(@C5C.:0SNC5:P1Z(+*0/[(@K)(@=\>�*713I]QR,5K5IE*013SNK.-�^_8)SN:"13K5-<*`(@K.I�/@?5*0&5/[I�SNB�C5=;/bacQR,.K5IE*013SNK5-d[egf�hji�klf�m nUe�f�h$i�o =3SNL f(@:P/2(@C5C5:PSNC5:013(+*7/�QRSN:A(�C51;Cp/c,.K5q5/�:AC.:0/�-P-0,5:P/ e -0/EIE*71;SNKMrts4^vu h4w /EI�SNK.q5=;>xGy/2Iz(+K{/a�C5:0/E-0-�*7&5/-P*0:0/E-0-0/E-l(@K.q|q51;-0C5=3(@I�/EBD/EK�*7-"q51;:0/�Ib*7=\>c13K}*0/�:0B�-YS@Q~*7&5/E-0/�I�SNB�C5=3/a}C�S@*7/EK�*71Z(+=3-�^9�"&V,.-�5���{�5� i�����dy��e�f�h eR� ^�� hGY&5/E:0/ � 1;K5q51;Iz(+*0/�-�*7&./�q./�:01\�+(+*71\�N/lG[^�:�^�*z^$*7&5/[IESNBDC.=3/ba��+(@:013(@T5=3/+^���=;-0Se �5�"���5� h ���+�g�E�`� i ��� f�d � � e�f�h � n � � egf�h�� eR� ^v� h�"&51;-$13-j(@K)(+=3SNLNS@,5-�*0S[*0&5/"B�/E*7&.S�q�(@q.SNC.*7/EqD1;KA-0/EIE*71;SNK�r � ^ � *7S[q5/E*0/�:PBD1;K5/y*7&./�-<*7:P/�-0-P/�-_q5,5:P13K5LQR:7(+IE*7,.:0/@^$� IESNB�C5=3/acq51;-0C5=3(@I�/EBD/EK�*�Iz(+K|(+=3-0SXTp/lQRSN:PB4,5=3(+*7/Eq}(@-�¡ �¢�¤£ ^$�"&51;-"Iz(@K}T�/�:0/E=Z(+*0/�q*7SA*0&5/[I�SNB�C5=3/a}C�S@*7/EK�*71Z(+= �@¥ e ¡ �M�¤£ h$i§¦)d[e�fNh � f d � e f�h � n � e f�h eR� ^�¨ h%x/�(@:0/Aq5/�(@=31;K5L�GY1\*7&©C5=Z(+K5/4C5:PSNT5=3/EBD-�&5/�:P/@?ª1¤^�/@^�C5=Z(+K5/A-P*0:0/�-P-�(@K5q©C5=Z(+K5/4-P*0:7(@1;K«^F%x/AW�K5S¬G*7&5(+*�GY&5/EK}/E�+(@=3,5(+*71;K5LF*0&5/�-P*0:0/�-P-0/E-YQR:PSNB­*7&5/�-P*7:P/�-P-YQR,.K5IE*013SNK�GH/�q5S4K.S@*"&)(z�N/l*0SAq513-<*71;K5LN,51;-0&T�/E*®GH/�/�K�*0&5/[*®GyScI�(@-0/E-�?�T5,.*]GY&5/�K¯GH/[G�(@K�*]*7S�I�(@=3IE,5=Z(O*7/l*7&./X-P*0:7(@1;K5-�?)*0&5/�:P/F1;-�(�q51;°p/�:P/�K5IE/@^�"&5/�I�SNK.-P*`(+K�* ¦ 1;Kc*7&51;-Y/ba�C5:0/E-0-P13SNKJ*`(@W+/�-"*7&5/�QRSN:PB¦ci u �{±² �³±QRSN:"C5=3(@K5/�-<*7:0/E-0-E?p(+K5q ¦�i u � � ±QRSN:"C5=3(@K5/�-<*7:7(+13K«^8913K5(@=3=\>N?�(xKV,.B4Tp/E:cS@Q[C5:PSNT5=;/�B�-�Iz(+K´Tp/¯-0SN=\�N/�qµ,.-013K.L¶I�SNB�C5=;/ba{�+(@:013(@T5=3/2B�/E*0&5S�q.-�?Y13KC)(@:<*71;I�,5=3(@:�13K2IESNKO·P,5K5Ib*71;SNK}GY1;*7&}*0&5/[BD/b*7&5SVq2S@Q�¸`¹Oºz»z¹O¼½�¾@¿«½�¾bÀ�À�Á�ºVÂ@^à SNB�C5=3/a¢�+(@:P1Z(@T5=;/�B�/E*0&5S�q.-4Iz(@K{(@=;-0S�T�/2(@C5C.=313/Eq¢*7S�*0&5/c*7S@:0-01;SNK¶C5:PSNT5=;/�B�(@-4Gy/E=3=�^Ur®K-0/EIE*013SNK�slrPr`^ ² GH/A13K�*7:PS�q.,5I�/Eq©*0&5/4*7S@:0-01;SNK�QR,5K5Ib*71;SNK�Ä]?«GY&.13I`&©-7(+*013-<Å)/�qxƪ(@C5=Z(+I�/@Ç�-l/EÈV,5(+*71;SNK«^�"&51;-�-P,5LNLN/E-P*0-�*0&)(+*�1;*�IESN,5=3qMT�/2:0/�C.:0/�-P/�K�*7/Eq´T�>MC)(@:<*DS+Ql(©I�SNB�C5=;/ba�C�S@*0/�K�*713(@=¤^�r®KMQg(@IE*D(I�S@BDC5=;/ba�*7SN:P-013S@KJC�S@*0/�K�*713(@=«Iz(+KJT�/�GY:01\*0*7/EK¯(+-

É i Ä �{�yÊÌË2� ²� ¥�Í�ÎOÏ`Ð eR� ^vÑ hÒ 1;�N/EK}*7&)(+* Ó Ï É iÕÔ

Page 65: Notes in Continuum Mechanics

Ö«×"ØyÙ�Ú�ÛOÜ Ý4Þ3ß_àâáFãåäRæ0çMè�é+êPë�é5ìOägæ�í�æâî�ï�à�ð�ñò7ó.ô3õ"ô3ö�÷5ø;ô3ù�õ ú�û�üÌý2þ ÿ

�������û�� �

��� ò�õPô����Eù �û � ��� ú û ü�ÿ

�������û ������ û� � � � ü�ÿ

������ ���� � ���� ���Jõ � ú û ý!#" � ���

$&%('&)*',+.-0/ ó��21§ò0ó � ò"ò0ó5ù3�4�Nö�÷5ø3ù6587 � �9�Eò7ô:�.�5õ;3< ��=> ?@�BA C < ��=D E ø��.F �

� � �HG�ù � õ0ùI�}òJ�KFNùI�5ù4L � ò7ù]ò7ó5ù@M]ô�LONDõ<òJLPù�õ0õP7 � �9�Eò7ô:�.�Q7R�.L � ÷5ô;÷pùS�5ô3õ<òJ�.L<ò7ù4�H� � ù�òJ�Xô;ò7õHô���ò7ùIL � � ø÷9L0ù�õPõ � LPùUT$&%('&)*':V9- M õ<òJL0ùEõ0õP7 � ���bò7ô:�.� � ÷5÷�LW�N÷�LPô � ò0ùX7R�.L � LPù4�Eò � ��F � ø � LYG�ù � öZ� � �(Gpù[�5ùIL0ô]\Nù4�H7RLW�Nö ò0ó5ù�I�Nö�÷5ø3ù6587 � ���bò7ô:�.�5õ ; �^�?@� û A C < �.=0 ?_�U`

a ùbò7ùIL0ö�ô��5ù�ò0ó5ùbM]ô�LON´õPò L0ùEõ0õc7 � ���Eò0ô��.� � ���'ò7ó.ùxõ<òJL0ùEõ0õd�4�Nö�÷e�.�5ù4��ò0õd7RLW�Nö ò0ó5ù�õPùf�4�@öD÷5ø;ùg57 � ���Eò0ô��.�5õ � � ���Jõ � FUFNù�õ<ò � ÷�LW�.G5ø;ù�ö ò0ó � ò"ò7ó.ùIN(�4� � ø��(G�ù � õ0ùI�|òJ��õW�Nø:\@ùUT$&%('&)*':h9-i/ ó9�j1{ò7ó � ò$ò7ó5ù"÷9L �.G5ø;ù�ö#�U7 � ��ô:L � � ø � L�ó��Nø3ùyô�� � ÷5ø � ò7ù � ���5ù4L�ò0ù4�5õPô��.�k� � �kGpù�õW�Nø:\@ù4�� õ0ô��9F�ò0ó5ù[7 � ���bò7ô��U�5õ;3< ��=0�?@�]þ E � A C < �.=0�l ø��UF ��þnm8� û þpo� û

q rs t(u>v^wyx{z*uD| } |[w�~�vK�*��w���w����8xD�4�dz�|@�� ���5ùy� �W��7RL � �Eò � L0ù � ù65 � öDô:�5ù4�Aô:��õ0ù4�bò7ô:�.�k���KT ��� ô���\.�Nø]\NùEõ_ö��@ò0ô��.�K� � ò>�U7�ò7ó5ùY÷5ø � �5ù � � ����õ �[ò7ó5ù�4�@öD÷5ø;ùg5 � ÷5÷�L � � �`ó � õPù4�¢ò0ó5ù4LPù�ô;õ�õPø3ô:FNó�ò7ø:N��5ô:�pù4LPù4��ò�7RL �Nö ò0ó5ùQ�I�Nö�÷5ø3ù65©öDùbò7ó����5õ3�5ô;õ � � õ0õ0ùI�� Ge�2\NùUT>�"ó5ù3�@ò0ó5ù4L � ö��B�.ù�õ�ô:��\U�Nø:\@ù[ö��@ò0ô��.��ô��cò7ó.ù�÷5ø � �.ù � � �9�JõW�k� � �(G�ù � ÷5÷�L � � �`ó5ù4� � õPô���Fò7ó.ùDö�ùEò0ó��B�.õ��U7yõ0ùI�Eò7ô:�.�b�^T ÿ TH�"ó5ùQ�I�B�.LW�5ô�� � ò7ù�õWNVõ<ò7ù�ö ô;õ�ò0ó5ùDõ � ö�ùDó��21HùI\@ù4L � � õFõPó��21y�¶ô��� F � L0ù _ T � ���5ù3�yô;õ�ò7ó5ù[ù � õ0ô3ùEõPò4T>�xù[1Yô3ø;ø � õPõ � ö�ù�ò7ó � òYò0ó5ù[õ �Nø � ò7ô:�.�cò �U� ù�õ"ò7ó.ù37R�UL0ö

; �?@�U�g���IA C8�9�EK�U�g���1Yó5ùIL0ù � �5ùI���@ò7ùI�(�5ô:�pù4LPù4��ò7ô � ò7ô:�.��13T�L4T�ò�T�ò0ó5ù � ÷5÷�LW�N÷�LPô � ò0ùS\ � L0ô � G5ø;ùUT ?���E

� ���d�d  " ÿ � L0ù � ø;øL0ù � ø¡\ � L0ô � G5ø;ù�õ4TD¢��NöKG5ô:�5ô���F < �KT¤£ = � ��� < �^T¤¥ = FNô:\@ù�õ¦�§

"©¨,ªI«§ ; �@þ ; � þ¬� ; � � þ C � �

_

Page 66: Notes in Continuum Mechanics

­¡®P¯�°�±�²´³ µK¶�·0¸j¹�º�»R¼ ½¿¾eÀÂÁWÃÄÀ�Å´»,¼�Æ*¼jÇÉÈe¸BÊ�ËÌ{ÍÂÎUÏ�Ð�δÑJÒ�Ó9ÔKÑJÕ�Ö3×�ÖIØ Ò:ÍÂÎÂÑ Ò:ÍUÖ4Ù

Ú�Û�Ü�ÝßÞáà^â�ãjäOåUæ�ç Ú�Û Û�Ü�Ý[à�ÞáàKâ�ãjäWåUæ�è�égç êQÛ ÛBÜìëHÞÉàKâ�ãjäOåUæÎUÓ�ÙyÙWÐ�í�ÙWÑ Ò:Ñ Ð9ÑJÒ:Ó�Ô�î9ïyØWÒ:ÑJÒ:Ó�Ô åKÜ�ð Ö6ñ9ò�ó�ô�î�Ô.Ò:ÍUÖ4Ù

õ�öP÷ óÉøgù ö Ü ÞáàKâ�ãjäOð æ�ú ÞÉûÂÝ*ü4ý Ù à ô â¿Ý[àSüIý Ù ÞÉà ÷ û.ä ô ânëþü4ý Ù à ô ä÷ ó Þ,Ý@à Ù Ò:Ó ÞÉà ÷ û.ä ô ânë Ù Ò�Ó à ô ä ÿ� ÙyíeÖ�� ý ØWÖUî�Ñ Õ�Ö4ÙWÖ��KÐ9ÙWÑPÍÂÎUÓ�Ò:Ù Õ�� ý Øyô Ü�� î�ïyÕ�Ò ü ÕdÒ���ò�Ï:Ò�Ö4Ù0ÑJÕ�δÑàHÜ ÷ ãû ç �9ç ãû������� ÙyÒ:Ù�ÑJÕ�Ö ü ÎUÙ Ö�� ý Ø�Ñ Õ�Ö�� ý ×�Ö��������RØ Î ü Ñ Ð�Ø ÖÂî9ÑJÕ�Ö3× ý ��Ò:Ó�ÎUÓ�Ñ üIý Ó�ÑJØ Ò:í�Ð9Ñ Ò ý Ó üIý ��ÖIÙ��RØ ý � àHÜ ÷ é�� ý ØYïyÕ�Ò ü Õ Ý Ü ûUë î�Ô.Ò]ÍBÒ:Ó�Ô

õ ù Ü ���� û ð üIý Ù ôû ! ã ÷ Ù Ò:Ó ô û Ù Ò:Ó�" ôû$#õ�ö Ü ���� û ð üIý Ù ôû ! ã�â ÙWÒ�Ó ôû Ù Ò:Ó " ôû�# Þ&%('*)�äøgù ö Ü ���� û ð üIý Ù ôû ! ÙWÒ�Ó ôû ü4ý Ù " ôû�#+PÕ�Ö�� ý ×�Ö���ÙOÑJØ ÖIÙ Ù�Ò�Ó�ÑJÖIÓ�Ù Ò]Ñ-,.�,Î ü Ñ ý Ø �$� Ò�ÙP×9Ö�/�Ó�ÖI×�ÎUÙ

�$� Ü Ï�Ò0�1-243 � û ð õ�ö Þ ô Ü5��ä Þ6%(']ã7��ä+PÕ�ÖXÎUÓ�Î�,�Ï�Ù Ò:Ù8� ý ØDÑJÕ�Ö9� ý ×�Ö:���;�RØ Î ü Ñ Ð�Ø Ö�Ò�ÙDÑJÕ9ÖSÙ Î<��ÖSÎUÙ8� ý ØDÑJÕ9Ö� ý ×�Ö=� ü ÎÂÙ ÖUî�í�Ð9Ñ0ïyÒ:Ñ Õ Ý ÎUÓ�×ë í�ÖIÒ�Ó�Ôßò�Ð9Ø Ö4Ï>,HÒ���ÎUÔ.Ò:Ó�ÎUØ?,.îBÎUÓ�×dÏ�Ö�ÎÂ×�ÙYÑ ý ÎßÙWÑJØWÖ4ÙWÙSÒ:Ó�Ñ Ö4Ó�ÙWÒ:Ñ-,.�,Î ü Ñ ý Ø

���@� Ü Ï:Ò��1@2�3 � û ð øIù ö Þ ô ÜA�.ä Þ6%(']ã.ãjä��Ñ^íeÖ�ÎÂØ Ù^ØWÖ4òeÖ�ÎÂÑ Ò�Ó�ÔCB�Ñ Õ�Ö4ØWÖQÎÂØ Ö�ÎUÓfÒ:ÓD/�Ó�Ò]ÑJÖkÓ�ÐE�KíeÖ4Ø ý �PÙ ý Ï�Ð9Ñ Ò ý Ó�Ù üIý Ø ØWÖ4ÙWò ý Ó9×�Ò�Ó�ÔdÑ ý ÑJÕ�ÖÍÂÎUØ Ò ý Ð�ÙyÍÂÎUÏ�Ð�ÖIÙ ý � àF'�G Ó�Ï>,(ÑJÕ�ÖKÙ ý Ï�ÐBÑJÒ ý ÓH� ý Ø à�Ü ÷ ãJI.û Õ�ÎUÙSÑ Õ�Ö��,Î ü Ñ ý Ø ð è�éLK � Ò�Ó�Ò]ÑXÕ ý ï�ÖIÍUÖ4Ø4îÎUÓ�׿٠ý ÎÂÙ ðCM � ÑJÕ�Ò:Ù ü4ý ��Ö4ÙKÑ ý × ý ��Ò:Ó�ÎÂÑ ÖQÑJÕ�ÖHÙOÑJØWÖ4Ù Ù�ò�ÎÂÑWÑJÖIØ Ó 'ON Ö(ÙJÎ�,©Ñ Õ�ÎÂÑßÑJÕ9Ò�ÙKÒ:ÙKÑJÕ�ÖP QSR T9UWV@X VZY\[ Ù ý Ï�Ð9Ñ Ò ý Ó*Ñ ý Ñ Õ�Ö�ò9Ø ý í�Ï:Ö��^]*ÎUÙ ð Ô.ÖIÑ Ù�ÍUÖ4Ø�,!Ù��QÎUÏ:Ïáî�Ñ Õ�Ò�Ù�Ò�Ù[Ñ Õ�Ö ý Ó�Ï0,�ò�ÎUØWÑ ý ��ÑJÕ�ÖÙ ý Ï�Ð9Ñ Ò ý Ó ÑJÕ�δÑ^Ó�ÖIÖ4×�Ù�Ñ ý í�Ö ü4ý Ó�ÙWÒ�×�ÖIØ ÖI× ' � Ó©Ö4ÙWÙ Ö4Ó ü ÖUî � Ò:Ù[ÑJÕ�Ö��QÎUÔUÓ�Ò:Ñ Ð�×�Ö ý �YÑ Õ�Ö ü ØJÎ ü`_ba ÑJÒ�òÙWÑ Ø ÖIÙ Ù4/�Ö4Ï:× ' +PÕ�Ö�ÎUò�ò�Ï:Ò�Ö4×(Ï ý ÎU×�Ò:Ó�ÔdcYî�ÑJÕ�Ö ü ØJÎ ü`_ Ï:Ö4Ó�ÔUÑ ÕHe î ÎÂÓ�×dÎUÓf, ý ÑJÕ�ÖIØyÒ���ò ý ØOÑÎUÓ�Ñg�,Î ü Ñ ý Ø ÙÖ4Ó�Ñ Ö4Ø^Ò:Ó�Ñ ý ÑJÕ�Ö�ò�Ø ý í�Ï�Ö�� ý Ó�Ï>,�Í�Ò ÎHÑJÕ�Ò:Ù�ò�ÎUØJÎ<��ÖIÑ Ö4Ø '.h Ö ü ÎUÐ�ÙWÖ ý ��ÑJÕ�Ö�Ù Ò:Ó�Ô.Ð�Ï�ÎUØ[Ó�ÎÂÑ Ð�Ø Ö ý ��ÑJÕ�ÖÙWÑ Ø ÖIÙ Ùi/�ÖIÏ�סîÂÒ�Ó�ÑJÕ�Ö�Ï ý�ü ÎUÏ:Ò:Ñ-, ý �9ÑJÕ�Ö ü ØJÎ ü`_ Ñ Ò�ò�Ñ Õ�Ö4ØWÖ�Ò:Ù ÎUÓKÎUØ Ö4Î�ïyÕ�ÖIØ Ö�Ñ Õ�ÖYÎUÙWÙ ÐE��ò9Ñ Ò ý Ó�Ù ý ��Ï:Ò�Ó�Ö4ÎUØÖ4Ï�ÎUÙWÑ Ò ü ��Ö ü Õ�ÎUÓ�Ò ü Ù Þ Ò ' Ö ' ïyÕ�δÑKï�ÖHÕ�Î2ÍUÖHí�ÖIÖ4Óþ×�Ö4ÎUÏ�Ò:Ó�ÔcïyÒ]ÑJÕfÑ Õ�Ø ý Ð�Ô.Õ ý ÐBÑKÑJÕ�Ö ü4ý Ð�ØWÙ Ö ä í�Ø Ö4Î _× ý ïyÓ ' � Ó�ÑJÕ�Ò:Ù�ØWÖ4Ô.Ò ý Ó^Ó ý Ó a Ï:Ò�Ó�Ö4ÎUØ�ÎUÓ�×Kò�Ï�ÎUÙWÑ Ò ü Ö�j�Ö ü ÑJÙ{× ý ��Ò:Ó�ÎÂÑJÖ 'ik�ý ï�ÖgÍ.Ö4Øl� ý Ø;��ÎUÓf,�ò�Ø ý í9Ï�Ö���ÙÑJÕ9Ò�ÙyØ ÖIÔ.Ò ý ÓdÒ�ÙyÙWÐDm ü Ò�ÖIÓ�ÑJÏ0,dÙ��QÎUÏ:Ï�ÑJÕ�ÎÂÑyÑJÕ�Ö�Ö�j�Ö ü ÑJÙSÑ Õ�Ö4ØWÖKÎUØWÖ ý �DÙ Ö ü4ý Ó9×�ÎUØ�,dÒ0��ò ý ØWÑJÎUÓ ü Ö ' +PÕ�Ò�ÙÏ�Ö4Î�Í.Ö4Ù�Ð�Ù3ïyÒ:Ñ Õ Ñ Õ�Ö�ò�Ø ý í9Ï�Ö�� ý �PÎ ü ÑJÐ�ÎUÏ�Ï>,�ÖIÍÂÎUÏ:Ð�ÎÂÑ Ò�Ó�Ô8Ñ Õ�ÖkÙWÑJØWÖ4ÙWÙ^Ò�Ó�Ñ Ö4Ó�ÙWÒ:Ñ-,n�,Î ü Ñ ý Ø[Ñ ý /�Ó�×fÒ]ÑJÙ×�ÖIò�ÖIÓ�×�Ö4Ó ü Ö ý Ó ÍÂÎUØWÒ ý Ð�Ù�ò�ÎUØ Î<��ÖgÑJÖIØ Ù8ÎÂÓ�× Ò:Ñ Ù��RÐ�Ó ü ÑJÒ ý Ó�ÎUÏ�� ý Ø�� ' � Ó�ÐE�KíeÖ4Ø ý �[ÑJÖ ü Õ9Ó�Ò�o�Ð�ÖIÙ

p

Page 67: Notes in Continuum Mechanics

qsr�tvuxwfy z {(|�}�~J�����&�����W�����6�E� �Z�=���J�L�W~��x�

ab

ξ

ζ

x

y

z-plane

Maps to

χ−plane

�i�0�b�E�����b�g�v�b�D�&�b���¡ <¢£�¡ �¤E¤E���D�E¥l¦�§E���&�E�E¨S©ª�0�b�H«(¬�­i®Z¯;°±¬A²d®Z¯.³µ´ ¶8°v�¡ �¤E·¸©ª§E���E�D�0©4¨��0��¨�¢�����¹©�§E��¯Fº»¤E¢¼ ��E�©ª�$ <����¢0¢��0¤E·��9½4�>©ª§H�¡ 7¾��b�� <�E¿H�$���E�b�v·����$�>º-  À���·4Á. ��E¿HÂ9���¹©ª§D��«Jº-¤E¢� <�E�<¥§Ã �Äb�¹ÅW�������SÀD <�$���E��¿Æ�7Äb���(©�§E�¡Ç<�� <��·�È����E¨�¢��E¿E�0�E�ÉÄ� <�����b�D·��x�E�$�����0¨� <¢±©ª��¨`§E�E�0ÊË�D��·$ <·�½g��¢0¢¸ <· <�à�¢0Çx©ª�0¨� <¢E�<�E��·�¥8¦�§E�9 ��à<¢0Çx©���¨� �¢D©ª��¨`§E�E��Êx�E��·¸����¢0ÇÌ�<�$©�§E�=�Z �¨�©�©ª§Ã �©±�&�b�±·��¡ <¢0¢EÍ$®Z�L¥*��¥i�&�b�±·��� <¢0¢«f°v©ª§D��¨��b�$¤E¢��ÎÀ¹·�©�����·�·4�&�E�E¨�©����b�H¨� ��HÅW��½4���>©�©ª���

Ï ®L«f°�¬ÑÐ$ÒgÓÕÔ\Ð�Ò@ÒÖ × Ø «ÚÙÛ�b�¸©�§Ã �© ÏvÜ ®L«f°±¬ÝÐ$ÒgÓÆÔ\Ð�Ò@Ò× Ö × Ø «ËÞ ÙÛßlÄ� <¢��à ©ª���D� Ï Ü �&�b�¹¤Ã <�?©ª��¨��E¢¼ ��¡¨��� <¨`àá�b���b�$��©ª������·.�&���b� ©ª§E�0·.���fÄb�<¢0Äb��·�¨��b�f©ª�<�E�����f©ª���b�ª �©����b��È <�E¿â��·4Äb���?Çâ¨��b�$¤E¢��0¨� �©���¿s¥4¦�§E�(����·��E¢0©����E���SÀ�¤E����·�·����b�E· <����·��E��¤E���0·����D�b¢0Ç�·����$¤E¢���©ª§D�b�E�b§s¥:�Ã�b��SÀD <�$¤E¢0�9ãH��¿E�:äl��·8©�§E�:�<¤£���E���E�����Ë¿E��È� ��E¿�½g�b�E¢0¿�ÅW�:©������<�b������¿$ÅxÇ� <�� <¤E¤D¢�����¿�·?©ª����·�·v���d©ª§E�å º-¿E�0����¨S©ª�0�b��æ£ç�¥8¦�§E��¨��b������·�¤£�<�E¿E���D��·?©ª����·�·=���f©ª���E·��>©-Ç.�Z <¨S©ª�b��¨� <�ÉÅW��·�§E�7½4�H©ª�dÅ£�

Ð�Ò ¬èæ£ç Ö Ø Á�&�b�4 Ì¨��� <¨`à¹�<�;¢����E�<©ª§ × ÁÃ¥é ê?ë ìîí$ïnðbí$ñ�ò ó�ôáõ ó(ö�ö�÷�ïnø ù�ïní$ïÉú û:üHó(ò ÷�ïnû�ýÆþÿ �&�D�E¨�©����b�Æ·��E¨`§  <·(¯�¬ « Þ � ����¤D����·����f©ª·$ â���E¢��$©ª§Ã  ©Ì <·�·����<�E·Ì â¤W�b���f©�¯5©��n��Ä<���?ÇƤW�b���f©Ì«�b�C©ª§E�$¨��b�$¤E¢0�SÀC¤E¢� <�E�<¥��O��¨� <� ���fÄb����©�©ª§E�0·��&�E�D¨�©ª�0�b�Æ �·�½g��¢0¢\È; <�E¿ ½4���0©��¡«â¬Ñ¯ Þ � Èi·��H�&�b���Ä<���?Ç ¤£�b�0�f©�¯ ¬���³ Ô�� È�©ª§D�����d�0·� ¹�E�E��Êx�E�d¤W�b���f©�«�¬��³ Ô å ¥�Ë�E¨`§O ¹���E¢��Ì�0·àx�E�7½4�O <·� �� ��W¥9ä-�n¤Ã ���©ª�0¨��E¢� <��È �>�i©ª§D���&�E�E¨S©ª���<�â��·9 <�à<¢>Çx©ª��¨�®Z <·9�>©9�0·9§E�����7°�©ª§E���n½v��§Ã �Äb�Ì ��������������� ���� ����! "�$#<¥Õ�v�b�D�&�<���� <¢v�� <¤E·Ì§Ã �Ä<�É·���Äb���ª <¢��D·����&�D¢=¤D���b¤W���?©ª����·H®&�&�b�����E·?©` <�E¨��<ȱ©ª§E�SÇÕ¤E����·�����Ä<�

%

Page 68: Notes in Continuum Mechanics

&('*),+.-�/�0 132547698;:=<?>A@CB!DFEHG"DJI�<K>ML�>9NPO!6RQ.ST�UJV�W5XZY\[7]_^J`bac^(dfecTFg�XZUhe\i�VjXkeA^JXZlkdJm�XZT�Une\^JTFeo]�XpaZT�UhYAijWrqjXseA^JXtY\T�m�XsuJlHijvJWbXZmwXZ`beA^JXZl*`bUne\^JXyxuJW5T�UJXtijl*`bUheA^JXyz�uJW5T�UJX�{}|~ijl*`bUJYHe\T�UJakX�dJe\^fXpm�T�uJuf`5UJVx������~zn��� zn��� ]_^fXZlAX������ ���� � � ���;� �� ���m�T�uJY�ak`5lHaZW5XkY�`bU�eA^JX�z�uJW5T�UJX�eAi�XkW5W5`buJYAXkY�`bU�eA^JX�x�uJW5T�UJXF{��*^JX�e\l\TFUJYH�?ijlHm�T�e\`5i�U�`bY�YH^Ji�]_UVjlAT�uJ^J`ba�T�WbWb��`bU��~Vj�JlHXn�j{t ¡U�VjXkUJXZlAT�W¢]�X�a�TFU£]_lA`beAX;eA^J`5Y¤eAl\T�UfYH�?ijlHm�TFeA`5ijU�T�Ytx���¥§¦?z¨[�{t ��©],Xa�TFUªYHijWbq�XyYHe\lHXZYHYMuflAijvJWbXZm�Yo�?ijloak`5lAak�JW«TFloVjXZi�m�X�e\lA`bXZYo`bU�e\^JXtz¬uJW«T�UfX�dfeA^J`5Y*m�X�T�UfYoe\^~TFe*]�Xya�T�U�~UJ­he\^fXpakijlAlHXZYHu®ijUf­J`5UJV�YAi�W5�feA`5ijUn�?ijl*XkW5Wb`5ufeA`5a�TFW!V�XZijm�XkeAlA`5XkY*`5U�e\^fX;x¯uJW5T�UJX�{© ¡Uªi�eA^JXZl*]�ijlA­JYkd° ¦Px�[7� °,± ¦Kz¢[ � TFUJ­ ²³¦Kx�[}�´² ± ¦?z¨[T�lHX�e\^fX�aZi�m�uJWbX�µ¬u!i�e\XkU.eA`«T�WbYy`5U�eA^JXnx£TFUJ­¶z·uJW«TFUJXZY;lAXZYHu®XkakeA`bqjXkWb��{�¸��¬T�uJuJWr�$`5UJVªe\^JX�ac^~T�`5UlA�fW5Xti��¢­J`b¹®XZlHXZU�e\`5TFe\`bijUne\^fXy�?i�W5W5i�]_`bUJV3lAXkYA�JWre\Y_a�TFU�v!Xtijvfe\T�`5UJXk­°,º ¦Px�[}� ° º± ¦Kz¢[¥ º ¦?z¨[ � °,º º ¦Px�[}� ° º º± ¥ º � ° º± ¥ º º¦»¥ º [½¼ ¦"¾3{r� � [e\i�VjXkeA^JXZl*]_`beA^h`5­JXkU.eA`5aZT�W(lAXkYA�JWre\Y*�?ijlo²¿ Xkep�JYpT�YAYH�Jm�X¯eA^~TFeteA^JX¯uJW«TFeAX�`5YtYH�Jv$ÀHXZa�e\Xk­�e\iªT�YHeAlAXZYHY3ÁÂ`5U£e\^fX�Ã�­J`5lHXZakeA`5ijU�`bU�e\^JX�x�ÄuJW5T�UJX�d.]_^J`bac^n`5Y7XZÅ.�J`rq�TFW5XZU�e7e\i�TpYHeAlAXZYHY_Á�`5U¯e\^JX¤Æ3­J`5lHXZa�e\`5i�U�`5U¯e\^fX¤z(Ä¡uJW5T�UJXF{¨Ç�i�lAg.`5UJV;`5U�e\^JXz(Ä¡uJW5T�UJXFdJ],X;UJXZXk­�e\i¯�~UJ­£XkÅ.�~TFe\`bijUJY_�?ijl*e\^JXpaZi�m�uJWbX�µhY½e\lHXZYAYÈ�?�JUJakeA`5ijUfY °,± T�UJ­ª² ± {o ¡Uª�KT�ake`be,`5Y�X�T�YH`5XZY½e*e\i3WbiRi�g¯�?i�l�e\^fXt­JXZlH`bqFTFe\`rqjXkY ° º± T�UJ­n² º º± dfYA`bUJaZXÈe\^JXkYAXyT�lHX¤e\^JXseAXZlHm�Y,eA^~TFeoT�uJu!X�T�l`5U�X�µRuJlHXZYAYH`5ijUfYs�?ijlMeA^JX3Y½e\lAXkYAYsakijm�u®ijUfXZU�e\Yk{¤�*^JXkYAX3�?�JUJa�e\`bijUJY¤aZT�U£v!X�X�µfuflAXZYHYAXk­¬`bU�e\XklAm�Y¤i��¿ T��JlHXZU�eMYAXZlH`5XkY °,º± � ��É �Ê�fËz ����Ìz Ì �ÂÍ�Í�Í ² º º± �Â� É � � Ëz � � Ìz Ì �ÂÍ�ÍZÍT�UJ­�eA^JX¯aZi$XkÎ�aZ`bXZU�e\Y �jÏ d�� Ï XkqFT�Wb�~TFe\Xk­��?lAijmÐe\^JX�v!ij�JUJ­JT�lH��akijUJ­J`re\`bijUJYZ{;ÑÈ�"eAXZltYAi�m�X�m�TFe\^fX�Äm�TFe\`ba�T�W®Xk¹®ijlHeZdJ`be_aZT�U�v!XyYA^Ji�]_Uhe\^~T�eMeA^JXyaZijm�uJWbX�µ�Y½e\lHXZYAY_�?�JUJa�e\`bijU°,º± � �yÁÒ � ��� � � �z Ì �`5Y_TFuJuJlAi�uJlA`5TFe\Xs�?ijl_T�ak`5lAakW5�JW5T�l,^fijW5Xt`bU�T¯uJW5TFe\Xs�fUJ­JXZl_e\XkUJYA`bijU({Ó `b¹®XZlHXZU�e\`5TFe\`bUJV�e\^fXpm�T�uJuf`5UJV3�?�JUfake\`bijUhVj`bq�XZY¥ º ¦?z¢[7��� � � � �z Ì �T�UJ­ªYAi¯XkÅ$�JTFe\`bijU�¦"¾3{ÕÔj[,Vj`rqjXZY

ÖJ× � ÖJØ � Ò;Ù ° º ¦Kx�[}� ÒpÙ ° º±¥ º ��Á ÙÚ ����Û¨Ü Ì±9Ý� � Û± Ý�Þß

Page 69: Notes in Continuum Mechanics

à(á*â,ã.ä�å�æ ç3è5é7ê9ë;ì=í?îAïCð!ñFòHó"ñJô�íKîMõ�î9öP÷!êRø.ùú_û�ü�ýAü�þJÿ��bþJÿ������������5ÿ������ ��������������� ����� �� !�#"� �%$ &'sû)(+*�,.-/*��0�5þJÿ1���Jû�\ûký�,!�bþ.2fý\ü3(54Fû+���%�5þ���*pýHû�ü3 üFþ�67�8,�ü�ÿ��5þJü�ý0 9-~ü�ý:���;�8�=<?>����\û�\ý0�8(54� �@�A�*CB,ûEDjûký��F*ü38=B�û�ü�ýAû�ýAûZü38� G�5þ��\ûkýAû)�:�\û+6H�5þI�fûZýAûJ�8��ûEDFü38>~üK���5þfÿL���JûM,�üKNO�8,�>�,P�0�\ýHû)�0��B,ûM(Zü�þQ�cüR4�û�ü���S*jý0�T(+>S�U@�V�JûW,�üKNO�8,�>�,X�:�\ýHû)���Y����*�>S86Z2!û�üR�����Jû3þJü�ýAý0*[B�ûkþ�6\*3F=���Jû�û+88��-��AûR]^B_�S�8(5�\�8�¤üR����fû9-^*��bþ?� � �a` �5þb���fû �dc -�«ü�þfû3@;e=>S�����5þJÿW�����8��bþd]~ü�þ�6L��>S2��0�����������bþJÿ�Ff*jý ÿ���D�û)�� � �g !�h"� �;$ �ji �g " $ � "Rkl �m`A�*CB�û+D�ûZýsüK��������-/*��bþ�� ���T��n 2� b�: O,.,�û+�\ý: �]o�0*

�����p� � `�� "3kl &�8�q���Jûr,�ü[NS��,�>�,s�0�AýAû)�0�sü�ý0*�>Jþ�6ªü�þªû)�8��-��Aû1>fþ�6JûZý�AûZþ��0�8*jþd] üR�Mÿ3��Djûkþt�5þtuwv�@ " @

x