notas de clase 2 raices ecuaciones no lineales parte1
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8/17/2019 Notas de Clase 2 Raices ecuaciones no lineales Parte1
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Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
Métodos Computacionales (ING.INDUSTRIAL)Info m!tica Aplicada (ING. M"CANICA)
NOTAS DE CLASE DE LABORATORIO
Tema# Ra$ces de "cuaciones noLineales (%a te &)
Última revisión: Agosto 2006
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Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
?)( == z z f 0
' Método Bisección' Método Secante y Falsa posición' Método de Newton, Newton Rap!son
"#o$le%a&
T" R"MA D"L AL R M"DI
Dado un inte *alo +a,- en el cual la funci/n f es continua 0satisface 1ue su si2no en a sea distinto de su si2no en -,entonces e3iste al menos un punto 4, llamado a$4, tal 1ue f(4)5 6.
MétodosError
Convergencia
pro lema
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Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
f(x)
x
a c
f(x)
x c
a
f(x)
x
ca
Ecuaciones no lineales
7IS"CCI8N
MétodosError
Convergencia
isección!alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton
-
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Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
Actuali$o el intervalo% &i el sign'!'c(( ) sign'!'a((* entoncesa + c caso contrario + c% Retorno al paso ,
7IS"CCI8N
IDEA
AL'ORITMO Dada una funci/n f en +a, - , donde el si2n(f(a)) 95si2n(f(-)), 0 una tole ancia (tol)
Di*idi el inte *alo en mitades 0 toma el *alo medio como
"ASO (
"ASO )
"ASO *
Calcula un nue*o punto c 5 (a : -);<
&igo- &i .a / . tol ó .!'c(. tol* detengo el proceso 1retorno el valor de c como respuesta
MétodosError
Convergencia
isección!alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton
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Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
Matla-# -isec.m, f-isec.m
MétodosError
Convergencia
isección!alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton
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Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
La funci/n f(3) 5 3 = > =3 : < tiene una a$4 simple en 35>< 0 una a$4 do-le en
MétodosError
Convergencia
isección!alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton
-
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' po- e *elocidad de con*e 2encianecesidad de inte *alo acotado
' e3istencia de ot os métodos m!s!pidos
enta?as
3esventa4as
' con*e 2encia 2a anti4ada
MétodosError
Convergencia
isección!alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton
-
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MétodosError
Convergencia
isección !alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton
@ALSA % SICI8N
f(x)
x a)a , )a 2)a 5
c) ,c) 2c) 5
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MétodosError
Convergencia
isección !alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton
IDEA
AL'ORITMO
"ASO (
"ASO )
"ASO *
&imilar a isección pero reempla$a el punto medio por elpunto en el cual la recta secante corta al e4e 7%
( )( ) ( )a f b f
abb f bc −
−−=Calculo un nuevo punto
Dada una funci/n f en +a, - , donde el si2n(f(a)) 95si2n(f(-)), 0 una tole ancia (tol)
Actuali$o el intervalo% &i el sign'!'c(( ) sign'!'a((* entoncesa + c caso contrario + c% Retorno al paso ,
&igo- &i .a / . tol ó .!'c(. tol* detengo el proceso 1retorno el valor de c como respuesta
@ALSA % SICI8N
i ió
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MétodosError
Convergencia
isección !alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton
Matla-# falsi.m, alsi.m
Mé d i ió
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MétodosError
Convergencia
isección !alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton
Mé d i ió
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MétodosError
Convergencia
isección !alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton
S"CANT"
Mét d i ió
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13/36Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
MétodosError
Convergencia
isección !alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton
S"CANT"
IDEA
AL'ORITMO
"ASO (
"ASO )
"ASO *
Apro7imar la !unción por su línea secante utili$andosiempre los dos puntos m8s recientes
3ada una !unción ! en 9a* * un par de puntos 7o 7, 1 unatolerancia 'tol(
( )( ) ( )01
01112
x f x f x x
x f x x−
−−=Calculo un nuevo punto
&igo- &i .72 / 7 , . tol ó .!'72(. tol* detengo el proceso 1
retorno el valor de c como respuesta Actuali$o 7o + 7 , ; 7, + 7 2 % Retorno al paso ,
Mét d isección
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14/36Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
Matla-# secant.m, fsecant.m
MétodosError
Convergencia
isección !alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton
Métodos isección
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15/36Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
MétodosError
Convergencia
isección !alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton
Métodos isección
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16/36Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
MétodosError
Convergencia
isección !alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton
enta?as
Des*enta?as
' me?o a la con*e 2encia lineal en lap o3imidad de una a$4 simple' mantiene con*e 2encia lineal pa a a$ces
mBltiples' no e1uie e de de i*ada
' método ite ati*o puede di*e 2e' no es f!cil de acota
Métodos isección
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17/36Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
M T D S D" N" T N
MétodosError
Convergencia
isección !alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton
Métodos isección
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18/36Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
IDEA
AL'ORITMO
"ASO (
"ASO )
"ASO *
M T D S D" N" T N
Utili4a la de i*ada de f pa a encont a la pendiente dela l$nea 1ue ap o3ima a f
3ada una !unción ! en 9a* * 1 !< =) 0 en 9a* * un punto dearran>ue 7o 1 una tolerancia 'tol(
( )( )0
001
x f x f
x x′
−=Calculo un nuevo punto
&igo- &i .7, / 7 0. tol ó .!'7, (. tol* detengo el proceso 1retorno el valor de c como respuesta
Actuali$o 7o + 7 , % Retorno al paso ,
( )( )1
11
−
−− ′
−=n
nnn x f
x f x x@/ mula de ecu encia
MétodosError
Convergencia
isección !alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton
Métodos isección
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19/36Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
Matla-# neEt.m, fneEt.m
MétodosError
Convergencia
isección !alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton
Métodos isección
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20/36Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
Fué puedo ace si el c!lculo de la de i*ada no est! disponi-le /
es mu0 la-o ioso HAp o3imo numé icamente el c!lculo de la;las de i*ada;s
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 0000
000
2
2
h
h x f x f h x f x f
hh x f h x f
x f
−+−+≈′′
−−+≈′
@/ mulas C"NTRADAS
Matla-# neEtde i*.m
df&d3.m
df
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df&d3.m
Calcular la raí$ simple de la !unción !'7( ) 75 ? 57 @ 2utili$andoLa derivada analítica 1 la derivada numérica% Adoptar
di!erentes valores del par8metro B D E"C "FRG-
MétodosError
Convergencia
isección !alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton
Métodos isección
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22/36Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
M T D D" N" T N>RA%JS NLa derivada segunda de la !unción nose anula en el intervalo
a
Si f(a) 0 fKK(a) tienen i2ual si2no el punto de a an1ueadecuado es a caso cont a io es -.
MétodosError
Convergencia
isección !alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton
IM"ORTANTE& + NO SE DEBE AN-LAR EN .a,$/
Métodos isección
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23/36Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
Matla-# neEt ap .m
MétodosError
Convergencia
isección !alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton
Métodos isección
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24/36Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
MétodosError
Convergencia
La funci/n f(3) 5 3 = > =3 : < tiene una
a$4 simple en 35>< 0 una a$4 do-le en35&.
isección !alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton
Métodos isección
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Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
' con*e 2encia cuad !tica ce ca de una a$4simple' con*e 2encia lineal ce ca de una a$4
mBltiple' método ite ati*o puede di*e 2e' e1uie e e*alua la de i*ada' no es f!cil de acota
enta?as
3esventa4as
Error Convergencia
!alsa posiciónsecantemétodos de "e#ton
redondeoMétodos
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Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
No utilice f(a) f(-) 6 pa a *e i ca si el si2nof(a) coincide con el de f(-). Utilice si2n(f(a)) 5si2n(f(-))
%uede lle*a a Unde OoE. Un nue*o *alo ite ado puede se i2ual a uno
ante io si la dife encia ent e a 0 - es mu0 pe1uePa.
La cantidad (- Q a);(f(-) Q f(a)) en el método de
la secante puede lle*a a un *e OoE, lo mismo enel caso de utili4a dife enciaci/n numé ica.
"RR R D" R"D ND"
Error Convergencia
Métodos c e>ueo
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Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
Error Convergencia
velocidad
X
f(x)
1k
x + k
x *
x?tol x x k k
-
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Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
Error Convergencia
velocidad
%R IMIDAD"l punto de a an1ue 3 o de-e esta lo
su cientemente p /3imo a la a$4 3
X* X 2
X 1
X 0
X
f(x)
Métodos c e>ueo
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"L"CCI8N D"L AL R INICIAL
Error Convergencia
velocidad
X
f(x)
0 x
1 x2 x 0 x
1 x
convergentedivergente
Métodos c e>ueo
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Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
f(x)
X
Con*e 2encia a
scilaci/n
"L"CCI8N D"L AL R INICIAL
Error Convergencia
velocidad
Métodos c e>ueol id d
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Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
Error Convergencia
velocidad
"L CIDAD D" C N "RG"NCIA
&upongamos >ue la sucesión H7nI converge 7 1 sea E n ) 7?7n para n J 0% &ie7isten dos constantes AJ0 1 RJ0 tal >ue
AR
1
R
1 ==−
− +∞→
+
∞→n
n
nn
n
n E
E
x x
x xlimlim R velocidad 'orden( de convergencia
A constante asintótica del error
R),* se dice >ue la convergencia es linealR)2* se dice >ue la convergencia es cuadr8tica
"RI@IFU" LA "L CIDAD D" C N "RG"NCIA D" L S M T D S
MétodosE
c e>ueol id d
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Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
!'7( ) 7 5 ? 57 @ 2
Error Convergencia
velocidad
Modi 1ue li2e amente la funci/n neEt.m a losnes de pode completa la ta-la si2uiente (3
6 5
>
-
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Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
Error Convergencia
velocidad
!'7( ) 7 5 ? 57 @ 2 A ancando de 36 5 &.< lle2amos a la a$4 do-le
35&
R
1 A nn E E =+
0%K
, 'velocidad lineal(
Al costo de H
MétodosE
c e>ueol id d
-
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Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
Secante , @alsa posici/n
H
Error Convergencia
velocidad
Utilice los *alo es de R si2uientesMétodo de la secante# &.W&XMétodo de la falsa posici/n# &.
MétodosE
resumen
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Notas de Clase de Laboratorio Raíces de Ecuaciones no Lineales
Método Nue*o punto Actuali4a7isecci/n %a te al medio Retiene dos
puntos 1ue acotan
la a$4@alsa posici/n T a4a una l$nea Retiene los dosBltimos puntos
Secante T a4a una l$nea(secante)
Retiene dospuntos 1ue acotan
la a$4NeEton T a4a una l$nea(tan2ente)
Retiene el puntom!s eciente
Error Convergencia
C M%ARACI8N "NTR" M T D S >
ALG RITM S
MétodosError
resumen
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8/17/2019 Notas de Clase 2 Raices ecuaciones no lineales Parte1
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Error Convergencia
Método Con*e 2encia elocidad decon*e 2encia
7isecci/n Ga anti4ada Lenta Y" n:& Y5 (Y"nY)
Y"n:& Y≤n>&(->a)@alsa posici/n Ga anti4ada %uede se lenta
Y"n:& Y5 (Y"nY)Secante No 2a anti4ada R!pida
Y"n:& Y5 (Y"nY(&: √V);<
)NeEton No 2a anti4ada R!pidaY"n:& Y5 (Y"nY C N "RG"NCIA