non oltrepasserò mai quel confine. si denoti con larea del poligono regolare di n lati inscritto in...
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Non oltrepasserò mai quel confine
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“Si denoti con l’area del poligono regolare di n lati inscritto in C (cerchio di raggio assegnato r).
Si dimostri che e si trovi
un’analoga espressione per l’area del poligono regolare di n lati circoscritto a C.
Si calcoli il limite di “
(estratto dal problema n. 2 dell’ ESAME DI STATO LICEO SCIENTIFICO corso di ordinamento, sessione ordinaria 2007)
ns
nrn
sn2
sin2
2
nns
lim
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Nel passato: il metodo di esaustione
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Archimede di Siracusa, vissuto tra il 287 e il 212 a.C., sfruttando il metodo di esaustione già elaborato da Eudosso di Cnido (408-355 a.C. cc), determinò con buona approssimazione la lunghezza della circonferenza, l’area del cerchio del segmento parabolico e di numerose altre superfici nonché alcuni volumi di superfici di rotazione.
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Il metodo di esaustione si basava sull’idea di approssimare una superficie curva attraverso una sequenza di poligoni inscritti o circoscritti dal numero di lati via via crescente. Ai matematici greci però mancava il concetto di limite. Il metodo di esaustione non comprendeva alcun passaggio al limite e si arrivava a dimostrare la tesi attraverso un ragionamento per assurdo
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Oggi: il concetto di limite
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1. Data una circonferenza C di raggio r, per ogni numero naturale n si possono costruire poligoni regolari di n lati, sia inscritti che circoscritti ad essa?
2. La lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio in che relazione sono con i perimetri e le aree dei poligoni sia inscritti che circoscritti ad essi?
3. È possibile esprimere in funzione del raggio r del cerchio e del numero dei lati n del poligono inscritto l’area di quest’ultimo e calcolarne il limite per ?
n
Alcuni spunti di riflessione
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Triangolo
4
3
2
3
2
1
3
2sin
2
1120sin
2
1 2222 rrrrSAOB
da cui
22 34
3
3
2sin
2
13 rrSABC
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Quadrato
22 24
2sin
2
144 rrSS AOBQUADRATO
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Pentagono
22
8
19
5
2sin
2
155 rrSS AOBPENTAGONO
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Esagono
22 32
3
6
2sin
2
166 rrSS AOBESAGONO
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Si noti che:
Generalizzando sul poligono inscritto di n lati otteniamo:
nnrsn
2sin
2
1 2
Striangolo Squadrato Spentagono Sesagono
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Dalle costruzioni fatte si può dedurre che:
• È possibile costruire una funzione f (successione): che associ ad ogni numero naturale n (numero
dei lati del poligono inscritto) il numero reale non negativo che rappresenta l’area del poligono regolare.
• La successione dei poligoni regolari inscritti è limitata superiormente ed il suo limite è l’area della circonferenza circoscritta
• Si può dimostrare che la successione è monotona crescente, ossia:
1 nn ssNn
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PH sin x
PA xPosto: e
1sin
lim0
PH
x
xx PA
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n
nnn nn
2
2sin2
lim2
sinlim
1
nt
12
2sinlim
2
2sin
lim0
t
t
n
ntn
222 )2
2sin2
2
1(lim)
2sin
2
1(limlim r
n
nn
nrn
nrsnn
nn
Ponendo si ha che t tende a 0 quando n
tende all’infinito per cui:
Ritornando in ns otterremo:
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La successione delle aree dei poligoni regolari
inscritti in una circonferenza tende all’area del cerchio che li contiene
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Possiamo pensare anche ad una rappresentazionedella successione in un opportuno riferimento
r2
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… e i poligoni circoscritti ?
Analoghe considerazioni possono essere svolte per i poligoni circoscritti i cui lati
risultano essere tangenti alla circonferenza di raggio r.
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Nel triangolo isoscele AOB, OH=r e HB=r
da cui:
L’area di AOB è ,mentre l’area del poligono
circoscritto è
Si otterrà la successione
tann
r2 tann
nr2 tann
Sn nr2 tann
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Dalla costruzione del generico poligono circoscritto alla circonferenza si può dedurre che:
• È possibile costruire una funzione (successione) che associ ad ogni numero naturale n (numero dei lati del poligono circoscritto) un numero reale non negativo (la sua area)
• La successione dei poligono regolari circoscritti è limitata inferiormente ed il suo limite è l’area della circonferenza inscritta
• Si può dimostrare che la successione è monotona decrescente, ossia:
1 nn ssNn
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Con analoghe considerazione si perviene a dimostrare che:
limn
Sn limn
nr2 tann
r2
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Quindi sia la successione delle aree dei poligoni inscritti che quella delle aree dei poligoni circoscritti alla medesima circonferenza tende all’area della stessa al crescere del numero dei lati
limn
n
2r2sen
2n
limnnr2tg
n
r2
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2limlim rSs nn
nn
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Hanno partecipato :
Castiello Emmanuele
Di Costanzo Rossella
Ferriero Iacopo
Formisano Isabella
Marsiglia Giulia
Mastantuoni Cesiria
Paduano Luigi
Pesarino Salvatore
Sghairi Ahmed Giovanni
Docenti : Rosemary Romano, Maria Rita Tammaro