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Noam CHOMSKY, Sheila GREIBACH Sheila GREIBACH (*1939) Noam CHOMSKY (*1928 )

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Page 1: Noam CHOMSKY, Sheila GREIBACH Sheila GREIBACH (*1939)Noam CHOMSKY (*1928 )

Noam CHOMSKY, Sheila GREIBACH

Sheila GREIBACH (*1939)Noam CHOMSKY (*1928 )

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Normalformen für kontextfreie Grammatiken

GREIBACH Normalform:

Erweiterte GREIBACH Normalform:

A → aw, w (N T)*

A → aw, w N*

Grammatik G = (N,T,P,S)

CHOMSKY Normalform:

A → BC, A → a, A,B,C N, a T

S → ist nur dann erlaubt, wenn S nicht auf der rechten Seite einer Produktion vorkommt.

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Homomorphismen auf kontextfreien Sprachen

P‘ = P – {A → a | A → a P, A N, a T} {A → h(a) | A → a P, A N, a T}.

Klarerweise gilt auf Grund der Konstruktion L(G‘) = h(L(G)).

Beweis: Sei Grammatik G = (N,T,P,S) eine Typ-2-Grammatik,ohne Beschränkung der Allgemeinheit in CHOMSKY-Normalform, und h: T* W* ein Homomorphismusmit N W = { } (sonst Variablen in N umbenennen ! ).Konstruiere nun ein kontextfreie Grammatik G‘,G‘ = (N,W,P‘,S‘) mit

P‘ = P – {A → a | A → a P, A N, a T} {A → h(a) | A → a P, A N, a T}.

Klarerweise gilt auf Grund der Konstruktion L(G‘) = h(L(G)).

Satz. Die Familie der kontextfreien Sprachen ist gegenüber beliebigen Homomorphismen abgeschlossen.

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Ableitungen in kontextfreien Grammatiken„normale“ Ableitung : ein beliebiges Nonterminal wird ersetzt.

Links-Ableitung L :

das in der Satzform am weitesten links vorkommende Nonterminal wird ersetzt

Rechts-Ableitung R :

das in der Satzform am weitesten rechts vorkommende Nonterminal wird ersetzt

Parallel-Ableitung || :

alle in der Satzform vorkommenden Nonterminalewerden gleichzeitig ersetztAlle Ableitungsvarianten ergeben dieselbe Sprache!

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BäumeEin (geordneter, markierter gerichteter) Baum überV und W ist ein Graph g = (K,E,L) über V und W, der folgende Bedingungen erfüllt:

1) W = [1..n] für ein n N1.

2) Es gibt genau einen ausgezeichneten Knoten p0

(Wurzel), der keinen Vorgänger hat. Außerdem gibt es von der Wurzel aus zu jedem anderen Knoten q von g

einen Pfad (p0,e1,p1,…,pk-1,ek,q) der Länge k ≥ 1,(pi,ei+1,pi+1) E, 0 i < k, q = pk.

3) Jeder von der Wurzel verschiedene Knoten hat genau einen Vorgänger.4) Jeder Knoten ohne Nachfolger heißt Blatt.

5) Ist p kein Blatt, so sind die Nachfolger von p geordnet (die Kanten tragen die Bezeichnungen 1 bis k für ein k).

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Ableitungsbäume für kontextfreie Grammatiken

Sei G = (N,T,P,S) eine kontextfreie Grammatik. EinBaum g = (K,E,L) über V = N T {ε} und W = [1..n] heißt Ableitungsbaum für G, wenn Folgendes gilt:

1) Ist p0 die Wurzel von g, so gilt L(p0) = S.

2) Ist p kein Blatt, so muss L(p) N gelten.

3) Ist p ein Blatt mit L(p) = ε, so ist p der einzige Nachfolger seines Vorgängers.

4) Ist <(p,i,qi)>i [1..k] die geordnete Menge der

von p mit L(p) = A wegführenden Kanten, so ist

A L(q1)…L(qk) eine Produktion in P.A-Baum für G: für Wurzel gilt L(p0) = A.Ableitungsbaum ist ein S-Baum.

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Front eines AbleitungsbaumesSei G = (N,T,P,S) eine kontextfreie Grammatik undg = (K,E,L) ein A-Baum für G.

Wir definieren nun eine Ordnungsrelation auf den Pfaden

von g: Seien P(j) = (p(j,0),e(j,1),p(j,1),…,e(j,kj),p(j,kj)) für

j {1,2} zwei voneinander verschiedene Pfade in g, die

in der Wurzel beginnen (i.e., p(1,0) = p(2,0) = p0) und zu

einem Blatt von g führen, dann definieren wir P(1) < P(2) genau dann, wenn es ein m ≥ 1 so gibt, dass e(1,i) = e(2,i) für alle 1 i < m und e(1,m) e(2,m).Betrachten wir nun alle derartigen Pfade in g, so sind diesewohlgeordnet und sind p(1),…,p(k) die Blätter dieser Pfade,so ist die Front von g durch L(p(1))…L(p(k)) definiert.

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Ableitungen und Ableitungsbäume

Sei G = (N,T,P,S) eine kontextfreie Grammatik undg = (K,E,L) ein A-Baum für G sowie w (N T)*.

Dann gilt A G w genau dann, wenn es einen A-Baum

für G mit Front w gibt.

Jeder Linksableitung in G kann man eindeutig einen Ableitungsbaum zuordnen. Gibt es zwei verschiedeneLinksableitungen in G für ein Wort w, so sind die entsprechenden Ableitungsbäume nicht äquivalent.

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Eindeutigkeit, (inhärente) Mehrdeutigkeit

Sei G = (N,T,P,S) eine kontextfreie Grammatik.

G heißt eindeutig, wenn es zu jedem in G ableitbaren Terminalwort genau eine Linksableitung in G gibt.Ansonsten heißt G mehrdeutig.

Eine kontextfreie Sprache heißt inhärent mehrdeutig, wenn jede Grammatik, die L erzeugt, mehrdeutig ist.

Beispiel: Die kontextfreie Sprache L = L(1) L(2) mit

L(1) = {anbncm | n,m N} und

L(2) = {anbmcm | n,m N} ist inhärent mehrdeutig.

Bemerkung: L(1) L(2) = {anbncn | 1 n}.

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Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen

Sei L eine unendliche kontextfreie Sprache. Dann gibt es eine (nur von L abhängige) Schranke m > 0 so, dass für jedes Wort z in L mit |z| m Wörter u,x,v,y,w * so existieren, dass

z = uxvyw mit |xvy| m und |xy| > 0sowie

z(i) = uxivyiw für alle i 0 ebenfalls in L liegt.

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Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen – Beweis 1

Sei G = (N,T,P,S) eine kontextfreie Grammatik, die

L erzeugt, k = card(N) und m := 2k.

Wegen |z| ≥ m (= 2k) muss jeder Ableitungsbaum für zeinen Pfad mit einer Länge von mindestens k+1 haben.So ein Pfad hat aber mindestens k+2 Knoten, wobei alle bis auf den letzten mit einem Nonterminal markiert sind.Also muss es mindestens ein Nonterminal A aus N geben, das in diesem Pfad mindestens zweimal als Markierung eines Knotens vorkommt (Schubfachprinzip!).

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Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen – Beweis 2

Sei nun (p0,e1,…,pl) so ein Pfad maximaler Länge in

einem Ableitungsbaum von z, d.h., l ≥ k.

Dann kann man in diesem Pfad zwei Knoten pv1 und pv2

so auswählen, dass Folgendes gilt:1) 0 < v2 - v1 k und v1 ≥ l-k-1;

2) L(pv1) = L(pv2) = A für ein A N und

L(pj) A für alle j {i | v1 < i l} – {v2}.Der A-Baum T‘ mit der Wurzel pv1 repräsentiert die

Ableitung eines Teilwortes z‘ von z mit einer Länge von

höchstens 2k, da es lt. Voraussetzung nur Pfade mit einer maximalen Länge von k+1 geben kann; z‘ ist somit die Front von T‘; bezeichnet man die Front des vom Knoten

pv2 ausgehenden A-Baumes mit v, so kann man z‘ = xvy

für gewisse Wörter x,v,y schreiben.

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Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen – Beweis 3

Da G (außer eventuell S ε) keine ε-Produktionen enthält und v2 v1 gilt, muss |xy| ≥ 1 gelten, d.h.:

A * xAy und A * v, wobei |xvy| 2k =m und |xy| ≥ 1.

A * xiAyi * xivyi für alle i ≥ 0.

Offensichtlich gibt es nun noch Wörter u und w so, dassman z = uxvyw schreiben kann, d.h., man erhält

S * uxivyiw für alle i ≥ 0.

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Korollare zum Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen

Korollar A.

Sei L = {af(m) | m N} eine formale Sprache und f: N N eine monoton wachsende Funktion über den natürlichenZahlen derart, dass für jedes c N ein k N mit f(k+1) > f(k)+c existiert. Dann ist L nicht kontextfrei.

Korollar B.

Sei L = {af(m) | m N} eine formale Sprache und f: N N eine monoton wachsende Funktion über den natürlichenZahlen derart, dass für ein d > 0 f(k+1) > f(k) + dk für alle k N gilt. Dann ist L nicht kontextfrei.

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Beispiele zum Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen

Bemerkung: Korollar B folgt direkt aus Korollar A.

Beispiel. L = {ap | p prim} ist nach Korollar A nicht kontextfrei, da es beliebig große Primzahllücken gibt.

Aufgabe PL2A. L = {af(m) | m N} ist nicht kontextfrei für:

1) f(m) = md, d ≥ 2,

2) f(m) = km.Aufgabe PL2B. L ist nicht kontextfrei für:

1) L = {anbncn | n ≥ 1},2) L = {ww | w {0,1}*}.

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Abschlusseigenschaften kontextfreier Sprachen

Die Familie der kontextfreien Sprachen ist weder gegenüber Durchschnitt noch gegenüber Komplement abgeschlossen.

L(1) L(2) = {anbncn | 1 n} ist aber nicht kontextfrei.

Die Sprachen L(1) und L(2) mit

L(1) = {anbncm | n,m N} und

L(2) = {anbmcm | n,m N} sind kontextfreie Sprachen.

Außerdem gilt L(1) L(2) = {a,b,c}* - (({a,b,c}* -L(1)) ({a,b,c}* -L(2))).

Wäre also L2 gegenüber Komplement abgeschlossen,

dann wäre L2, da gegenüber Vereinigung abgeschlossen,

auch gegenüber Durchschnitt abgeschlossen; Widerspruch!

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Kontextfreie Sprachen aus {a}*Jede kontextfreie Sprache über einem einelementigen Alphabet ist regulär.

Die Korollare A und B zum Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen würden somit schon aus demPumping Lemma für reguläre Sprachen ableitbar sein.

Charakterisierung regulärer Sprachen aus {a}*:Für jede reguläre Sprache L aus {a}* gibt es natürliche Zahlen d,m ≥ 0 sowie c(k), 1 k m, derart, dass

L = 1 k m {adx+c(k) | x N}.

Aufgabe: Wie schauen die entsprechenden Minimalautomaten aus?

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Normalformen für kontextfreie Grammatiken

GREIBACH Normalform:

Erweiterte GREIBACH Normalform:

A → aw, w (N T)*

A → aw, w N*

Grammatik G = (N,T,P,S)

CHOMSKY Normalform:

A → BC, A → a, A,B,C N, a T

S → ist nur dann erlaubt, wenn S nicht auf der rechten Seite einer Produktion vorkommt.

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Normalformen für Grammatiken

Grammatik G = (N,T,P,S)

Normalform für monotone Grammatiken:

A → BC, AD → BC, A → a, A,B,C,D N, a T

S → ist nur dann erlaubt, wenn S nicht auf der rechten Seite einer Produktion vorkommt.

Normalform für unbeschränkte Grammatiken:

A → BC, AD → BC, A → a, A,B,C,D N, a T {}

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Varianten von regulären Grammatiken

Grammatik G = (N,T,P,S)

Normalform für reguläre Grammatiken:

A → aB, A → a, A,B N, a T

S → ist nur dann erlaubt, wenn S nicht auf der rechten Seite einer Produktion vorkommt.

„Maximalvariante“ für reguläre Grammatiken:

A → wB, A → w, A,B N, w T*

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CHOMSKY - HierarchieGrammatik G = (N,T,P,S); betrachte Normalformen:

Normalform für monotone Grammatiken:A → BC, AD → BC, A → a, A,B,C,D N, a T

Normalform für unbeschränkte Grammatiken:A → BC, AD → BC, A → a, A,B,C,D N, a T {}

Normalform für reguläre Grammatiken:A → aB, A → a, A,B N, a T

CHOMSKY Normalform:A → BC, A → a, A,B,C N, a T

CHOMSKY-Hierarchie: L3 L2 L1 L0

L3 L2 L1 Lrek L0

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Bedeutung der - Produktionen

Grammatik G = (N,T,P,S):

Normalform für monotone Grammatiken:A → BC, AD → BC, A → a, A,B,C,D N, a T

Normalform für unbeschränkte Grammatiken:A → BC, AD → BC, A → a, A,B,C,D N, a T {}

Unterschied: -Produktionen der Gestalt A →

Eine -Produktion der Gestalt A → reicht bereits:

Zu jeder Typ-0-Sprache L T* gibt es eine monotone Sprache L‘ (T {e})* derart, dass gilt: - Für jedes Wort w L existiert ein Wort wen L‘ für ein n N.

- Jedes Wort v L‘ ist von der Gestalt wen für ein w L und ein n N.

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Homomorphismen auf monotonen SprachenBeweis: Sei Grammatik G = (N,T,P,S) eine Typ-0-Grammatik,ohne Beschränkung der Allgemeinheit in Normalform.Konstruiere dazu ein monotone Grammatik G‘,G‘ = (N {S‘,E},T {e},P‘,S‘) mit den folgenden Produktionen in P‘:

A → BC, AD → BC, A → a, A,B,C,D N, a T,für alle derartigen Produktionen in P.

A → E für alle Produktionen A → in P,

h(L(G‘)) = L für den Homomorphismus h: (T {e})* T* mit h(a) = a, a T, und h(e) = ε.

S‘ → Se, ED → DE für alle D N, Ee → ee,

Analog dazu gilt L(G‘‘) = L für G‘‘ = (N {S‘,E,e},T,P‘ {e → },S‘).

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Abgeschlossenheit gegenüber Homomorphismen

Aufgabe HOMA:Zeigen Sie, dass alle Sprachfamilien der CHOMSKY-Hierarchie gegenüber -freien Homomorpismen abgeschlossen sind.

Aufgabe HOMB:Zeigen Sie, dass die Sprachfamilien der CHOMSKY-Hierarchie L3 , L2 und L0 gegenüber beliebigen Homomorpismen abgeschlossen sind, L1 und Lrek hingegen nicht.

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Sprachfamilien – (volle) Trios

Sprachfamilie: nichttriviale Menge formaler Sprachen(enthält zumindest eine nichtleere Sprache)

TRIO:

Abgeschlossen gegenüber R, h-1, h- (-freier Homomorphismus)

full (volles) TRIO:

Abgeschlossen gegenüber R, h-1, h

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(volle) Abstrakte Sprachfamilien

(full) abstract family of languages: (f)AFL

AFL:

TRIO und abgeschlossen gegenüber , ●, +

full AFL:

volles TRIO und abgeschlossen gegenüber , ●, *

oder ● folgt bereits aus den jeweils 5 anderen Eigenschaften!

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Abschlusseigenschaften von Sprachfamilien

+

h

h-1 gsm-

gsm-1

TRIO fTRIO AFL fAFL L3 L2 L1 L0

h-

gsm

+ + + + + +

Kompl.

+ + + + + +

+ + + + + +

*

+ + + + + - +

+ + + + + + + +

+ + + + - +

+ - -

+ + + + +

+ + + + + + + + R + + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

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Quotient von Sprachen

Quotient von Sprachen L/M

L/M = { w | es gibt ein u M sodass wu L }

Ist F eine Sprachfamilie, die gegenüber gsm-Abbildungen abgeschlossen ist, so ist für jede Sprache L T* aus F auch L\{a} für jedes a T aus F.Beweis:

L\M = { w | es gibt ein u M sodass uw L }

q0q1

b/b für alle b T

a/

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Weitere Operationen auf Sprachen

INIT(L) = { w | wu L }

FIN(L) = { w | uw L }

SUB(L) = { w | xwu L }

Aufgabe AFLA: Zeigen Sie, dass jede Sprachfamilie, diegegenüber gsm-Abbildungen abgeschlossen ist, auch gegenüber den Operationen INIT, FIN und SUB abgeschlossen ist.