Biljeke za izradu izvjetaja o izvedenome pokusu1 PROBLEMNapiite to je cilj pokusa.

2

ISTRAIVANJEPronaite izvore informacija koje bi Vam mogle pomoi da rijeite problem. Ovdje moete navesti podatke iz drugih pokusa, ali morate navesti koliko vjerujete u njihovu istinitost. Definirajte kljune varijable. Ne zaboravite! Kada koristite podatke iz drugih izvora, uvijek navedite izvor.

3

KONTROLA VARIJABLIOdaberite jednu varijablu koju ete promijeniti (neovisna varijabla) i jednu varijablu koju ete mjeriti ili promatrati (ovisna varijabla). Opiite nain na koji ete kontrolirati ostale varijable kako bi pokus uspio.

4

PREDVIANJEPokuajte predvidjeti rezultate pokusa. Ponudite znanstvene dokaze Vaih predvianja.

5

OPREMANavedite opremu koju namjeravate uporabiti u pokusu i za kakva mjerenja slui. Navedite koje ete mjerne jedinice primijeniti kod varijable koju namjeravate promijeniti. Objasnite nain na koji ete paziti da su rezultati to toniji.

6

SIGURNOSTOpiite mjere opreza koje ete poduzeti. Pozovite se na bilo kakve podatke.

METODE 7Opiite metode kojima ete izvesti pokus.

8 ZABILJEITE REZULTATENa jasan nain biljeite rezultate u tablicu. Navedite sve mjerne jedinice. Ako se oitanja ponavljaju, zabiljeite sve vrijednosti i izraune (na pr. prosjeci).

9

PREDSTAVITE REZULTATE U KOORDINATNOME SUSTAVUNa to jasniji nain prikaite rezultate istraivanja u koordinatnome sustavu. Neovisna varijabla bi trebala biti na x-osi, a ovisna na y-osi. Na mjestima gdje je mogue, povucite crtu. Ako postoje, definirajte toke koje ne slijede uzorak ostatka rezultata.

10

PROVJERITE REZULTATEAko postoje rezultati koji ne slijede uzorak ostatka rezultata, moete ih provjeriti tako da ponovite te dijelove pokusa.

11

ZAKLJUAKOpiite to zakljuujete iz rezultata. Opiite uzorke pomou znanstvenoga miljenja. Opiite odnose izmeu varijabli. Navedite sve dodatne podatke i njihove izvore.

12

PROCJENADefinirajte rezultate koji se ne uklapaju u uzorak, ako takvi postoje. Predloite naine na koje bi pokus mogao biti uspjeniji, a rezultati toniji. Objasnite jesu li rezultati dovoljno toni za izvoenje zakljuka i trebate li izvesti dodatna oitanja kako biste potvrdili rezultate. Navedite razloge i naine prikupljanja dodatnih dokaza.

I ne zaboravite NAIN IZRAAVANJA Predstavljanje podataka i rezultata bi trebalo sadravati znanstvenu terminologiju. Uporabite pravilne simbole. Predstavite rezultate na razliite naine. Pokaite da ste u svoj rad ukljuili i razne dodatne izvore podataka.

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

012 13435637839

2 26 2 2345 %&' 2 !"#$ ' '

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' '

()*+,- - 2+(2)+./010 /23,*4 3*5,*620- +20 320 710 68 ;< 0 29:*0 =< /> C ?@AB@0 '

5D AD0 $ 5I$0000000000000000000000G0 HU 0 W@D 0 00 H "LLM EQG 0X"NT$

013 92 2 4578 55

5!5#$51 "32"1$ 5%! " 1 2 2 25

&')+,-- 132 47228;7< (*) ./0 456 896 0:8:2 ) 08 ? 2 5 522 @ 455 145 5 2 5 1 12 ! 1 2 5 A0 A D IHEC8 8 5 F JGB KMOP LN L QR QS QT U*W*XY2Z[960677279396 V'++ 3 5/3>;/03 2:5;5473 1 7 8 = 012@ 2 153 2 2 5 2 2 2 2 4 1 D ]F ^ ! \ 52 51 2 2 1

] `^ E8 F HJ_

a7 7a b7

013 92 2 4578 55

55 2

!5 #$%&' )45 2 1 " 4 2 " $( * 2 *2 55 "3! 1 5+ 43 -. ,210 21/8

579;@B DF B AB IJ KE 8 ?G = L 0 2 N5" P * + 55 5* !225 !51 5* 5 O 5 5 5 5 1 3 2 " * 5 5 5 5 8 !5! 2 O 2 " P * 5 . QS Q . RTU 9V8 W 978 V 9V8 V 9V8 W X9Z9[\A]^JECH>CHDFBB@?B@EHDCFBM Y6:: B D>B =B I@G>DFAF AB IJ KE @ F G = L _ 153 " 2 42 ! !P " 5 2 5 2 24 1 "

4 /. `

4b3 -. ,2b 0 2 a/8

F

cF Fc d

013 92 2 4578 55

5 555 5 5 255 2 $!! #" #% & $! & 8 '212 (5 2 4 54 2 25 1 1) 1 2 12 2 5 1 2 4( 2 55 5 ( 25 )1 11 2 1 2 2 22 2 58

*+,2 - 2.51 / 255 5 5 2

024678:< >@BC;EF>:H>;9?I:JI 1 55 9;=:? @D: ! 5 1-353/95,353 61 759#5 7 9 3 45

9 7 / 554 44 3 3 55 955 93 5 0 4#53B 31

Mjerenje mase i polumjera Zemlje pomou jednostavnih fizikalnih zakona

Mihaela Pape, 8. razred Hrvoje Kira, 8. razredMentor: Dubravka Salopek Weber O Mate Lovraka, Zagreb kolska godina 2009./2010.

Sadraj

Uvod Newton-ov zakon gravitacije Mjerenje ubrzanja sile tee pomou matematikog njihala Mjerenje ubrzanja sile tee u slobodnom padu Mjerenje polumjera Zemlje Rawlinsovom metodom Izraun mase, obujma i gustoe Zemlje pomou izmjerenih podataka Rezultati svih mjerenja Zakljuak Literatura ivotopis autora rada

3 4 5

7 8

11

12 13 14 15

2

Uvod

Astronomijom se bavimo tek nekoliko mjeseci. Za izradu praktinog rada posluila su nam znanja iz fizike jer smo se fizikom bavili na dodatnoj nastavi dvije godine i tako malo proirili sadraje koji se inae obrauju na redovnoj nastavi. Ideja rada je bila mjeriti neke Zemljine konstante pomou poznatih zakona fizike. Jasno je da polumjer ili masu Zemlje ne moemo mjeriti izravno. Sreom, postoje neki zanimljivi naini posrednih mjerenja. Neki zakoni su dali dobre rezultate koje smo mogli iskoristiti, a s drugima nam to nije uspjelo, barem ne tako dobro. Openito smo vrlo zadovoljni postignutim rezultatima.

3

Newtonov zakon gravitacije

Newtonov zakon gravitacije koji definira privlanu silu izmeu dva tijela masa m1 i m2, udaljenih za r ima oblik:

F= K

m1 m2 ___________ r2

K je konstanta gravitacije i ona izosi 6.67 10-11 Nm2kg-2. Ako je jedno tijelo Zemlja onda jednadba prelazi u oblik:

MZemlje m F = K ___________ R2ZemljeOsim mase samog tijela m sve ostale veliine su konstante koje zajedno daju ubrzanje sile tee na povrini Zemlje. To ubrzanje ovisi o geografskoj irini zbog neznatne spljotenosti Zemlje.

g=

K MZemlje __________ R2Zemlje

(1)

Neke od ovih veliina, na primjer g i RZemlje se mogu mjeriti pomou poznatih fizikalnih zakona, a masa Zemlje se onda moe izraunati pomou njih. Jednadba (1) ne uvaava korekcije koje se javljaju zbog rotacije Zemlje, ali sila koja se javlja zbog rotacije Zemlje je puno manja od gravitacijske sile pa smo smatrali da je to zanemarivanje u redu.

4

Mjerenje ubrzanja sile tee pomou matematikog njihalakako je poznato, period matematikog njihala ne ovisi o masi utega na niti, nego samo o duljini niti. T = 2 (l/g)1/2 42 l Odakle je g = ______ (2) T2 Dakle, sve to treba mjeriti su duljina niti i period takvog njihala. Slinu vjebu radimo i na redovnoj nastavi iz fizike, ali ovdje ju je trebalo usavriti jer je problem s matematikim njihalom to takvo njihalo, u stvari, ne postoji. Uteg bi trebao biti materijalna toka, toka bez dimenzije.

Slika 1. Fotografija pokusa s njihalom Prvo smo mjerili period s metalnom kuglicom objeenom na nit. Mjerili smo vrijeme za koje se napravi 10 titraja i smatramo da smo kod mjerenja vremena postigli dobru tonost mjerenja, ali problem je bio s utvrivanjem duljine niti. Kad smo uzimali stvarnu duljinu niti od toke objesita do kukice na kuglici rezultati koje smo dobivali za ubrzanje sile tee su bili premali. Tada smo shvatili da je duljina niti, po definiciji matematikog njihala, u stvari duljina od objesita do teita kuglice. Kad smo to uvaili dobili smo prihvatljivije rezultate. Izuzetno je vano dobro izmjeriti duljinu niti, jer ve greke od 2 ili 3 milimetra dosta mijenjaju rezultat. U tablici 1. na iduoj stranici su prikazani rezultati mjerenja perioda njihala za 5 razliitih duljina niti i po jednadbi (2) izraunata ubrzanja sile tee.

5

Tablica 1. Rezultati raunanja ubrzanja sile tee pomou matematikog njihala

l(m) 0.197 0.255 0.298 0.361 0.402

T (s) g (m/s2) t10 (s) 8.91 0.891 9.796 10.15 1.015 9.770 10.94 1.094 9.830 12.05 1.205 9.815 12.77 1.277 9.786 Srednja vrijednost g = 9.799 m/s2

Ovo nam se inilo kao dobar rezultat jer smo za ubrzanje sile tee na naoj geografskoj irini nali da iznosi oko 9.81 m/s2 i ovo bi bila greka od samo 0.12 posto.

6

Mjerenje ubrzanja sile tee u slobodnom padu Slobodni pad je jednoliko ubrzano gibanje ako se moe zanemariti otpor zraka. To je mogue na malim brzinama i za tijela relativno velike gustoe. Jednabe koje vrijede za slobodni pad su: v=g t s = g t2/2 Brzinu postignutu za vrijeme padanja bilo bi teko mjeriti. Zato smo odluili koristiti drugu jednadbu. Da bi imali to tonije mjerenje vremena mjerili smo pomou elektromagnetskog tipkala. Iz druge jednadbe ubrzanje sile tee iznosi: g = (2s)/t2 Uteg mase 100 grama putali smo da pada s visine 1 metar. Traka zalijepljena na vrh utega prolazila je ispod batia elektromagnetskog tipkala. Brojanjem tokica utvrdili smo vrijeme padanja s te visine. s=1m Tablica 2. Rezultati raunanja ubrzanja sile tee u slobodnom padu.

mjerenje 1 2 3

t(s) 0.46 0.46 0.44

g(m/s2) 9.45 9.45 10.33g = 9.74 m/s2

srednja vrijednost

Ovo nam se nije inilo kao tako dobar rezultat kao u prethodnom mjerenju. Moda bismo ga mogli poboljati tako da poveemo visinu s koje uteg pada, ali to je bilo teko tehniki za izvesti. esto bi nam uteg potrgao traku koju je vukao za sobom. Zato zakljuujemo da je bolje mjeriti ubrzanje sile tee pomou perioda matematikog njihala.

7

Mjerenje polumjera Zemlje Rawlinsovom metodom

Polumjer Zemlje je prvi izmjerio knjiiar Aleksandrijske knjinice Eratosten u drugom stoljeu prije nove ere. Zanimljivo je da je to njegovo otkrie dugo bilo izgubljeno i, na primjer, Kolumbo je krenuvi na plovidbu oko Zemlje, mislio da je ona oko tri puta manja nego to u stvari jest. Bilo bi zanimljivo ponoviti Eratostenov pokus, ali ova zima svakako nije bila za to jer ne bi imao smisla krenuti na put od nekoliko stotina kilometara i onda imati oblano vrijeme. Ameriki astronom Dennis Rawlins je 1979. godine pokazao kako svatko moe izmjeriti radijus Zemlje pomou zapornog sata i metra. Ali to mora napraviti na obali mora gledajui zalazak Sunca u more. Promatrau koji gleda zalazak Sunca s visine h Sunce zalazi u toki Z, kako je prikazano na slici 2.

Slika 2. Primjena Pitagorina pouka na zalazak Sunca. Primjenom Pitagorina pouka na pravokutni trokut prikazan na toj slici vidimo da vrijedi: (R + h)2 = D2 + R2 ili R2 + 2Rh + h2 = D2 + R2

Kako je visina promatraa puno manja od polumjera Zemlje lan h2 se moe zanemariti pa vrijedi: D2 = 2Rh Odakle je D = ( 2Rh)1/28

Rawlinsova metoda zahtijeva koritenje trigonometrijskih funkcija i primjenu raznih korekcija zbog pojava u atmosferi i geografske irine promatraa. Mi smo koristili pojednostavljenu verziju koja to ne trai. Ako pretpostavimo da promatra gleda zalazak Sunca s dvije razliite visine, h1 i h2, kako je na prikazano na slici 3. vrijedi: D1 = ( 2Rh1)1/2 D2 = ( 2Rh2)1/2

Slika 3. Zalazak Sunca gledan s razliitih visina. t1 i t2 su vremena zalaska Sunca mjerena na visinama h1 i h2. Razlika udaljenosti D1 i D2 podijeljene s opsegom Zemlje se odnose kao razlika vremena zalaska Sunca podijeljena s periodom rotacije Zemlje oko svoje osi T. D1 D2___________

t2 t1 =___________

2R

T

Odavde se moe dobiti da je polumjer Zemlje: R=_____________________

T2 (h21/2 h11/2)2 2 (t2 t1)2 2

(3)

T = 86 400 s Na ovo treba primijeniti korekcije zbog geografske irine promatraa i datuma kad se mjeri. Faktor korekcije se rauna po formuli:9

F = cos2 - sin2 je deklinacija Sunca toga dana, a je geografska irina promatraa. Ako se mjeri oko prvog dana proljea na geografskoj irini 45 vrijednost F = 0.5 pa jednadba (3) prelazi u jednadbu (4).

R=

_____________________

T2 (h21/2 h11/2)2 4 (t2 t1)2 2

(4)

Ako se mjeri na ekvatoru na prvi dan proljea ili jeseni ne treba provodi korekcije i polumjer Zemlje se rauna po formuli (3). Zalazak Sunca treba mjeriti na moru. Zato smo uspostavili meugradsku suradnju s naim prijateljicama Sunanom i Mirtom koje ive u Zadru. Njima i njihovom tati hvala na trudu koji su uloili da bi ovaj rad bio dovren. Mjerili su istovremeno na 3 razliite visine ime smo dobili tri para vremena i visina. Datum mjerenja bio je 24.3.2010.

h1(m) 5.06 3.45 5.06

h2(m) 3.45 1.55 1.55

(t2-t1) (s) 2.2 3.3 5.5

R(m) 6 010 276 6 519 133 6 313 109

Srednja vrijednost:

6 280 839 m

Ovo smatramo jako dobrim rezultatom jer greka u odnosu na pravu vrijednost iznosi oko 1.4 posto. Smatramo da je dobro to je mjerenje bilo istog dana jer tako preporuuje i autor metode.

10

Izraun mase, obujma i gustoe Zemlje pomou prethodno izmjerenih podataka

Sada kad smo imali izraunato ubrzanje sile tee i polumjer Zemlje mogli smo izraunati i masu Zemlje. Iz jednadbe:

g=

K MZemlje __________ R2Zemlje

moemo dobiti da masa Zemlje iznosi:g R2 Zemlje

MZemlje = __________ KAko uvrstimo da je g = 9.799 m/s2 , a RZemlje = 6 280839 m dobit emo da je

MZemlje = 5.7961024 kgNa kraju smo izraunali i srednju gustou Zemlje. Pretpostavili smo da je Zemlja kugla pa joj je obujam jednak: V = 4/3 R3

V = 1.037 1021 m3 = m/V = 5 587 kg/m3

11

Rezultati svih mjerenja

Ovo su sve konstante zemlje koje smo mjerili ili raunali. Pored njih su greke mjerenja u postocima u odnosu na te podatke na naoj geografskoj irini.

Ubrzanje sile tee Izmjereno: g = 9.799m/s2 Prava vrijednost: g = 9.80665 m/s2 Greka iznosi -0.08 %. Polumjer Zemlje Izmjereno: R = 6 280 839 m Prava vrijednost: R = 6 371 000 m Greka iznosi -1.4 %. Masa Zemlje Izraunato: Prava vrijednost: M = 5.796 1024 M = 5.96 1024

Greka iznosi 2.8 %.

Obujam Zemlje Izraunato: V = 1.0371021 m3 Prava vrijednost: V = 1.081021 m3 Greka iznosi - 4%. Srednja gustoa Zemlje: Izraunato: = 5 587 kg/m3 Prava vrijednost: = 5 517 kg/m3 Greka iznosi +1.3 %.

12

Zakljuak

Smatramo da smo vrlo tono izmjerili ubrzanje sile tee i polumjer Zemlje. U stvari, bili smo vrlo iznenaeni tonou naih rezultata. Od dvije metode mjerenja ubrzanja sile tee smatramo da je tonija ona koja koristi period titranja matematikog njihala. Odreivanje ubrzanja sile tee u slobodnom padu je netonije jer je teko tono mjeriti vrijeme. Razmiljali smo da probamo bacati uteg s vee visine, ali kako su nam rezultati s matematikim njihalom dali jako dobre rezultate to nismo pokuavali. Jo jednom napominjemo da je vano odrediti teite utega koji se njie na niti da bi se duljina njihala tono odredila. Rawlinsova metoda nas je prilino namuila. Nismo imali lanak s originalnim radom pa nam neke stvari nisu bile jasne. Kad smo nabavili lanak sve je bilo lako, ali smo shvatili da ne moemo mjeriti u Zagrebu. Jedva ekamo idue ljeto da mjerenja sami obavimo na moru. Tada e faktor korekcije biti malo drugaiji, izmeu 5.srpnja i 1. rujna mijenja se od 0.35 do 0.48. Dakle, formula (4) se ne moe primjenjivati u srpnju. Rawlinsova metoda je zbilja jednostavan nain da se lako izmjeri polumjer Zemlje. Moda na plai u predveerje.

13

Popis literature

Dobling your sunset or how anyone can measure the earth's size with wristwatch and meterstick - Dennis Rawlins, Journal of Physics, february 1979. Wikipedia matematiko njihalo Fizika za osnovnu kolu udbenik Gravitacija, Wikipedia

14

ivotopis autora

Mihaela Pape ima 15 godina. Osim astronomije voli i geografiju. Voli odlaske u kazalite, balet ili operu. U razredu je uvijek spremna pomoi uenicima koji imaju problema s uenjem.

Hrvoje Kira ima 15 godina. Voli fiziku i astronomiju. Svira gitaru i bubnjeve i ui dodatno engleski jezik. Ove godine sudjeluje na dravnoj smotri praktinih radova iz fizike s radom o viskoznosti meda.

15