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Capítulo
Números Racionales
6
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Definición
Números Racionales
El conjunto de números Q, tal que
denominador
número de partes de
igual tamaño en que se
ha dividido el entero
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numerador
número de partes
de igual tamaño
que hemos
seleccionado
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Significado de una fracción
¿Qué parte del círculo está coloreada?
3
8 Cantidad total de partes iguales que forman el todo, en este caso, el círculo.
3
8se lee tres octavos.
Dra. Yuitza T. Humarán Martínez
Cuando cuantificamos cantidadesmenores que el todo, dividimos enpartes equitativas.
Cantidad de partescoloreadas.
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Numerador y denominador
A m se le llama numerador y al número n se le llamadenominador.
m
n
numerador
Si tenemos dos números naturales m y n
Dra. Yuitza T. Humarán Martínez
m
nse llama fracción de naturales.
denominador
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Fracciones en palabrasCantidad de partes
equitativas en que se
divide el todoNombre de las partes
Dos Mitades o medios
Tres Tercios
Cuatro Cuartos
Cinco Quintos
Seis Sextos
Siete Séptimos
Ocho Octavos
Nueve Novenos
Diez Décimos
Once Onceavos
A partir de once se añade el sufijo “avos” a la palabra
correspondiente a la cantidad total de partes en que se divide el todo.
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Ejemplo
Dra. Yuitza T. Humarán Martínez
Para cada una de las siguientes figuras, escriba un número que represente la parte de la región que está coloreada y la que no está coloreada.
5
6Cinco sextos
1
6Un sexto
2
5
Dos quintos
3
5
Tres quintos
Área coloreada Área nocoloreada
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Significados de los números racionales
• Diferentes representaciones que se le pueden
atribuir a las fracciones
• Parte de un todo
• Una razón
• Un cociente
• Una medida
• Un operador
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Parte de un todo
Ejemplos:
Dra. Yuitza T. Humarán Martínez
del círculo está pintado.3
8
3
12 del conjunto son manzanas verdes.
La relación entre cierta cantidad de partes de
un todo divido equitativamente y el total de las
partes.Modelo discreto(conjunto de objetos)
Modelo continuo (área)
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Razón
Una razón es una relación entre dos cantidades.
– Tres de cada cinco dentistas prefieren la
pasta de dientes Sincaries.
30 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 : 1𝑔𝑎𝑙ó𝑛30
1
3 ∶ 5 3
5
Dra. Yuitza T. Humarán Martínez
Ejemplos:
– Un nuevo automóvil tiene un rendimiento
de 30 millas por galón.
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Cociente
Dra. Yuitza T. Humarán Martínez
Representación de la operación de división.
El enunciado de división a ÷ b es
equivalente a
Ejemplo:
Si dividimos una manzana entre tres
personas en partes iguales, esto es 1 ÷ 3.
Cada una tendrá un tercio de manzana.
a b
1 ÷ 3 =13
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Medida
Representación en la recta numérica y la
cuantificación de longitud.
Ejemplos:
La coordenada del punto A es .
1
3
La longitud entre -2 y A es .5
3
Dra. Yuitza T. Humarán Martínez
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Operador
En la Aritmética, un operador es un símbolo que denota una o más operaciones que deben realizarse sobre uno o más operandos.
Ejemplo:
– La operación de multiplicación con fracciones.
(Significado: ¿Cuánto es una tercera parte de 2 enteros?)1 23
Dra. Yuitza T. Humarán Martínez
31 2
23
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Definición
Fracción propia
Una fracción, , en la cual
Ejemplos:
Fracción impropia
Una fracción, , en la cual
Ejemplos:
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y
, ,7
7
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Considere las siguientes fracciones de enteros: b)
244
Dra. Yuitza T. Humarán Martínez
123
8 3
c)
d)
216
8a) 105
2
Enteros subconjunto de los
Racionales
Los enteros positivos y los negativos son números racionales.
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Tomemos como numerador al 0. Por ejemplo, 0 0
No podemos usar a cero como denominador un número racional.
Dra. Yuitza T. Humarán Martínez
Enteros subconjunto de los Racionales
También el cero es un número racional.
𝑎
0no está definida, , incluyendo a 0
0
4
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Resumen
Por lo tanto, este conjunto consiste
de:
Fracciones de naturales
Opuestos de las fracciones de
naturales
Enteros
Dra. Yuitza T. Humarán Martínez
El conjunto de los números racionalesconsiste de cocientes,
𝑎
𝑏,donde a y b son
enteros para b ≠ 0.
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Modelo de la recta numérica
¿Cuáles números se han representado en la
siguiente recta numérica?
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1
4
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Fracciones equivalentes
Fracciones equivalentes son numeros que representan el
mismo punto sobre una recta numérica.
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Fracciones equivalentes
Fracciones equivalentes son numeros que ocupan la
misma área de un entero.
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Manipulativos tangibles
Bloques de patrones
Piezas de rectángulos
Franjas de fracciones
Piezas de círculos1 CM
Barras de cuisenaire
Dra. Yuitza T. Humarán Martínez
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Ejemplos
Dra. Yuitza T. Humarán Martínez
1. Si la barra anaranjada es el todo, ¿qué
parte representa una barra amarilla?
2. Si la barra verde representa el todo,
¿qué parte representan dos barras
rojas?
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Ejemplo
Si representa del todo, dibuje una posible1
3
representación del todo.
Dra. Yuitza T. Humarán Martínez
Con un modelo de
conjuntos
Con un modelo de área
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Ejemplo
Si la siguiente figura representa el todo,
¿qué parte representa un trapecio?
Dra. Yuitza T. Humarán Martínez
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Ley fundamental de fracciones
Sea cualquier fracción y n natural, entonces
Ejemplo
Hallar el valor para x tal que
, por lo tanto x = 60
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Simplificación de fracciones
Un número racional esta
• en su estado más simple
• en su forma mínima
• reducido completamente
si a y b no tienen un factor común mayor que 1.
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Ejemplo
a.
c.
10
55=
12b. − =36
10
d.3𝑎
=𝑎𝑏
Escribir cada fracción en su forma más simple:
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9
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Igualdad de Fracciones
Demostrar que
42
12=
10
35=
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Método 1: Simplificar ambas fracciones a su
estado más simple. Si reducen a
la misma fracción, son iguales
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Igualdad de Fracciones
Método 2: Convertir ambas fracciones a fracciones
equivalentes con el mismo denominador usando el
mínimo común múltiplo.
Si las nuevas fracciones son iguales, las
originales eran equivalentes.
Demostrar que 6=
1520 50
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Igualdad de Fracciones
, d 0 son iguales si yDos fracciones y
Demostrar que48
=4
108 9
𝟗 × 𝟒𝟖 = 𝟒𝟑𝟐
𝟏𝟎𝟖 × 𝟒 = 𝟒𝟑𝟐
Como los productos son iguales, las fracciones son
equivalentes.
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sólo si ad = bc.
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Ordenamiento de Números Racionales
Si a, b, c, y d son enteros donde b > 0 y d > 0,
entonces si y solo si ad > bc.
𝟒
𝟓
𝟏𝟏
𝟏𝟐
Ejemplo:
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Densidad de los números racionales
Dado números racionales cualesquiera,𝑎 𝑦 𝑐 ,
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𝑏 𝑑
existe otro número racional entre estos dos
números.
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Ejemplo
Hallar dos fracciones entre
• Primero, determinamos dos fracciones
pero con denominadoresequivalentes a
mayores.
5𝑦
1.
12 2
5𝑦
1
12 2
𝟓=
?
𝟏𝟐 𝟒𝟖
𝟏=
?
𝟐 𝟒𝟖
𝟓=𝟐𝟎
𝟏𝟐 𝟒𝟖
𝟏=𝟐𝟒
𝟐 𝟒𝟖
𝟐𝟏,𝟐𝟐
,𝒚𝟐𝟑
𝒆𝒔𝒕á𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆𝟓
𝒚𝟏
𝟒𝟖 𝟒𝟖 𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟐
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