บทท่ี 1 ลำ�ดับและอนุกรม1) ลำ�ดับ ( Sequence ) คว�มหม�ยของลำ�ดับ

ฟงัก์ชนัท่ีโดเมนเป็นเซตของจำ�นวนเต็มบวกหรอืสบัเซตของจำ�นวนเต็มบวกในรูป

เรยีกว�่ ลำ�ดับ

ในกรณีท่ีฟงัก์ชนัเป็นลำ�ดับท่ีมโีดเมนเป็น จะเรยีกลำ�ดับดังกล่�วว�่ ลำ�ดับจำ�กัด (finite

Sequence ) และในกรณีท่ีฟงัก์ชนัเป็นลำ�ดับที่มโีดเมนเป็นเซตของจำ�นวนเต็มบวก จะเรยีกลำ�ดับดังกล่�วว�่

ลำ�ดับอนันต์ ( infinite sequence )

ในก�รเขยีนลำ�ดับ จะเขยีนเฉพ�ะสม�ชกิของเรนจเ์รยีงกันไป กล่�วคือ ถ้� เป็นลำ�ดับจะเขยีนแทนด้วย ในกรณีท่ี เป็นลำ�ดับอนันต์จะเขยีนแทนด้วย

เรยีก ว�่ พจน์ที่ 1 ของลำ�ดับเรยีก ว�่ พจน์ที่ 2 ของลำ�ดับ

เรยีก ว�่ พจน์ที่ หรอื พจน์ทัว่ไป ( general term ) ของลำ�ดับ

เชน่ ลำ�ดับ 2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 , 20 ม ี , , ,

, และ

หม�ยเหต ุ ในกรณีท่ีกำ�หนดลำ�ดับโดยพจน์ทัว่ไป เชน่ จงห�เขยีนหกพจน์แรกของลำ�ดับน้ี

1. ลำ�ดับเลขคณิต ( arithmetic Sequence )

บทนิย�ม ลำ�ดับเลขคณิต คือ ลำ�ดับซึ่งมผีลต่�งท่ีได้จ�กก�รนำ�พจน์ท่ี ลบพจน์ที่ เป็นค่�คงตัวที่

เท่�กัน สำ�หรบัทกุจำ�นวนเต็มบวก และ เรยีกค่�คงตัวนี้ว�่ ผลต่�งรว่ม (common difference )

เขยีนแทนด้วย นัน่คือ และม ี เมื่อ คือ พจน์ท่ี 1 และ คือ ผลต่�งรว่ม

ตัวอย�่งท่ี 1 จงเขยีน 5 พจน์แรกของลำ�ดับในขอ้ต่อไปน้ี

1. 2.

3. 4.

5.

ตัวอย�่งท่ี 2 เลขคณิตลำ�ดับหน่ึงมพีจน์ที่ 5 เท่�กับ 29 และพจน์ที่ 51 เท่�กับ 397 จงห�พจน์ท่ี 30 ของลำ�ดับน้ี

ตัวอย�่งท่ี 3 กำ�หนดลำ�ดับเลขคณิต 24 , 19 , 14 , 9 , … , - 46 จงห�ว�่ลำ�ดับน้ีมกีี่พจน์

ตัวอย�่งท่ี 4 กำ�หนดลำ�ดับเลขคณิต 5 , 8 , 11 , 14 , . . . , 77 จงห�ว�่ลำ�ดับน้ีมกีี่พจน์

ตัวอย�่งท่ี 5 จำ�นวนเต็มตัง้แต่ 16 ถึง 775 ท่ีห�รด้วย 3 ลงตัว มกีี่จำ�นวน

ตัวอย�่งท่ี 6 จำ�นวนเต็มท่ีอยูร่ะหว�่ง 25 กับ 227 ท่ีห�รด้วย 2 และ 3 ลงตัว มกีี่จำ�นวน

ตัวอย�่งท่ี 7 จำ�นวนเต็มท่ีอยูร่ะหว�่ง 32 กับ 500 ท่ีห�รด้วย 7 แล้วเหลือเศษ 2 มกีี่จำ�นวน

ตัวอย�่งท่ี 8 ป้�จุข๊�ยขนมครกในวนัท่ี 3 มกร�คม ในวนัแรกข�ยได้กำ�ไร 100 บ�ท และในวนัต่อๆไปจะข�ยได้กำ�ไร เพิม่ขึ้นจ�กวนัก่อนหน้�วนัละ 10 บ�ททกุวนั ขอ้ใดต่อไปน้ีเป็นวนัท่ีของเดือนมกร�คมท่ีป้�จุข๊�ยได้ กำ�ไรเฉพ�ะ ในวนันัน้ 340 บ�ท ( ขอ้สอบ O-NET )

ก. วนัท่ี 25 ข. วนัท่ี 26ค. วนัท่ี 27 ง. วนัท่ี 28

ตัวอย�่งท่ี 9 ถ้�ผลบวกและผลคณูของส�มพจน์แรกของลำ�ดับเลขคณิตที่ม ี เป็นผลต่�งรว่มเท่�กับ 15 และ 80 ต�มลำ�ดับแล้ว มค่ี�เท่�กับขอ้ใดต่อไปน้ี( ขอ้สอบ O-NET )

ก. 1 ข. 4 ค. 9 ง. 16

ตัวอย�่งท่ี 10 ถ้� a1, a2 , a3 ,…. เป็นลำ�ดับเลขคณิตซึ่ง แล้ว ผลต่�งรว่มของลำ�ดับเลขคณิตน้ีมคี่�เท่�กับ ขอ้ใดต่อไปน้ี( ขอ้สอบ O-NET )ก. 1.25ข. 1.5ค. 1.75ง. 2.0

ตัวอย�่งท่ี 11 พจน์ที่ 31 ของลำ�ดับเลขคณิต เท่�กับขอ้ใดต่อไปน้ี( ขอ้สอบ O-NET )

ก. ข. ค. ง.

ตัวอย�่งท่ี 12 ลำ�ดับเลขคณิตในขอ้ใดต่อไปน้ีมบี�งพจน์เท่�กับ 40 ( ขอ้สอบ O-NET )

ก. ข. ค. ง.

2. ลำ�ดับเรข�คณิต ( Geometric Sequence ) บทนิย�ม ลำ�ดับเรข�คณิต คือ ลำ�ดับที่มอัีตร�สว่นระหว�่งพจน์ท่ี กับ พจน์ท่ี เป็นค่�คงตัวท่ีเท่�กัน

สำ�หรบัจำ�นวนเต็มบวก และ เรยีกค่�คงตัวนี้ว�่ อัตร�สว่นรว่ม เขยีนแทนด้วยสญัลักษณ์

นัน่คือ

และม ี เมื่อ เป็นพจน์ท่ี 1 ท่ีไมเ่ท่�กับศูนย์ และ เป็นอัตร�สว่นรว่มท่ีไมเ่ท่�กับศูนย์

ตัวอย�่งท่ี 1 จงห�ห�้พจน์แรก ของลำ�ดับเรข�คณิตที่กำ�หนดค่�ต่�งๆ ใหใ้นขอ้ต่อไปน้ี

1. 2.

3. 4.

5.

ตัวอย�่งท่ี 2 จงห�พจน์แรกของลำ�ดับเรข�คณิตท่ีม ี เป็นพจน์ที่ 5 และ เป็นอัตร�สว่นรว่ม

ตัวอย�่งท่ี 3 ลำ�ดับเรข�คณิตชุดหน่ึงมพีจน์ท่ี 7 และพจน์ที่ 10 เท่�กับ 16 และ 1024 ต�มลำ�ดับ แล้ว พจน์ที่ 5 เท่�กับขอ้ใดต่อไปน้ี

ก.ข.ค.ง.

ตัวอย�่งท่ี 4 พจน์ที่ 16 ของลำ�ดับเรข�คณิต , , , ... เท่�กับขอ้ใดต่อไปน้ี

ก. ข.

ค. ง.

ตัวอย�่งท่ี 5 กำ�หนดให ้ เป็นลำ�ดับเรข�คณิต โดยท่ี และ ถ้� คือค่�ในขอ้ใดขอ้หน่ึง

ต่อไปน้ีแล้ว ขอ้ดังกล่�วคือขอ้ใดก. -20ข. -50ค. 60ง. 100

ตัวอย�่งท่ี 6 ถ้�พจน์ที่ 2 และ พจน์ท่ี 5 ของลำ�ดับเรข�คณิต มค่ี�เท่�กับ 3 และ ต�มลำ�ดับ แล้ว

พจน์ที่ 8 ของลำ�ดับน้ีเท่�กับเท่�ใด

ตัวอย�่งท่ี 7 ถ้�ลำ�ดับเรข�คณิต 2 , -6 , 18 , . . . มพีจน์สดุท้�ยเป็น 162 แล้ว ลำ�ดับน้ีมกีี่พจน์

ก. 5ข. 6ค. 7ง. 8

ตัวอย�่งท่ี 8 ถ้�พจน์ที่ 3 และพจน์ที่ 6 ของลำ�ดับเรข�คณิต มค่ี�เท่�กับ 20 และ – 160 ต�มลำ�ดับ

แล้ว 1,280 เป็นพจน์ที่เท่�ใดของลำ�ดับน้ี

ตัวอย�่งท่ี 9 กำ�หนดใหเ้ริม่ฝ�กเงินด้วยเงินต้น 15,000 บ�ท และอัตร�ดอกเบีย้ 6% ต่อปี จงห�สตูรก�รคิดจำ�นวน เงินในบญัชหีลังจ�กคิดอกเบีย้แล้ว เมื่อสิน้ปีที่

ตัวอย�่งท่ี 10 คน 3 คน อ�ยุ 10 , 18 และ 30 ปี จงห�ว�่อีกกี่ปีข�้งหน้�อ�ยุของคนทัง้ส�มจะเรยีงกันเป็น

ลำ�ดับเรข�คณิต

ตัวอย�่งท่ี 11 ให ้ เป็นพจน์ 4 พจน์เรยีงกันในลำ�ดับเรข�คณิต โดยที่ เป็นพจน์แรก

ถ้� และ ค่�สมับูรณ์ของพจน์ท่ี 5 ของลำ�ดับน้ีเท่�กับขอ้ใดก. 16ข. 32ค. 48ง. 54

3. อนุกรมเลขคณิต (Arithmetic Series) บทนิย�ม ถ้� เป็นลำ�ดับเลขคณิต จะเรยีก ว�่ อนุกรมเลขคณิต

ให ้ แทนผลบวกของ พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตท่ีม ี เป็นพจน์แรก และ

เป็นผลต่�งรว่ม จะได้ ทำ�ใหไ้ด้ว�่ ผลบวก พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต

หรอื

และ หรอื

ตัวอย�่งท่ี 1 จงห�ผลบวกของพจน์ทกุพจน์ของอนุกรมเลขคณิต

ตัวอย�่งท่ี 2 จงห�ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต

ตัวอย�่งท่ี 3 จงห�จำ�นวนเต็มบวก ท่ีทำ�ให ้ ของอนุกรมเลขคณิต

มค่ี�เท่�กับ

ตัวอย�่งท่ี 4 ถ้�ผลบวกของ พจน์แรกของอนุกรมหน่ึง คือ แล้ว พจน์ที่ 10 ของอนุกรมน้ี

มค่ี�เท่�กับขอ้ใดต่อไปน้ี(ขอ้สอบ O-NET)ก. ข. ค. ง.

ตัวอย�่งท่ี 5 ถ้� เป็นลำ�ดับเลขคณิต ซึ่ง แล้ว มค่ี�เท่�กับขอ้ใดต่อไปน้ี(ขอ้สอบ O-NET)

ก. ข. ค. ง.

ตัวอย�่งท่ี 6 กำ�หนดอนุกรมเลขคณิต ซึ่งมผีลบวก 40 พจน์แรกเท่�กับ 430 และมผีลบวกของ 60 พจน์แรกเท่�กับ 945 จงห�ผลบวกของ 80 พจน์แรกของอนุกรม

ตัวอย�่งท่ี 7 กำ�หนดให ้ ถ้� เท่�กับผลบวกของจำ�นวนค่ีทัง้หมดใน และ เท่�กับผลบวกของ

จำ�นวนคู่ทัง้หมดใน แล้ว มค่ี�เท่�กับขอ้ใดต่อไปน้ี(ขอ้สอบ O-NET)

ก. – 550ข. 550 ค. – 450 ง. 450

ตัวอย�่งท่ี 8 ค่�ของ เท่�กับขอ้ใดต่อไปน้ีก. 970ข. 1020

ค. 1050ง. 1071

ตัวอย�่งท่ี 9 พจน์แรกที่เป็นจำ�นวนเต็มลบของลำ�ดับเลขคณิต มค่ี�ต่�งจ�กพจน์

ท่ี เท่�กับขอ้ใดต่อไปน้ีก. 54ข. 38ค. 22ง. 20

ตัวอย�่งท่ี 11 ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตอนุกรมหน่ึงเท่�กับ 430 ถ้�พจน์ที่ 10 ของอนุกรมน้ีคือ 79

แล้วผลบวก 3 พจน์แรกมคี่�เท่�กับขอ้ใดต่อไปน้ีก. 44ข. 45ค. 46ง. 47

4. อนุกรมเรข�คณิต (Geometric Series)บทนิย�ม ถ้� เป็นลำ�ดับเรข�คณิต จะเรยีก ว�่ อนุกรมเรข�คณิต

ให ้ แทนผลบวกของ พจน์แรกของอนุกรมเรข�คณิตที่ม ี เป็นพจน์แรก

และ เป็นอัตร�สว่นรว่ม จะได้ ทำ�ใหไ้ด้ว�่ผลบวก พจน์แรกของอนุกรมเรข�คณิต คือ

หรอื เมื่อ และ

ตัวอย�่งท่ี 1 จงห�ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมในแต่ละขอ้ต่อไปน้ี1)

2)

3)

4)

ตัวอย�่งท่ี 2 จงห�ผลบวกของอนุกรมในแต่ละขอ้ต่อไปน้ี1)

2)

3)

ตัวอย�่งท่ี 3 อนุกรมเรข�คณิตชุดหน่ึงมพีจน์แรกเท่�กับ อัตร�สว่นรว่มเท่�กับ

จงห�ค่� ท่ีทำ�ให ้

ตัวอย�่งท่ี 4 ผลบวกของอนุกรมเรข�คณิต เท่�กับขอ้ใดต่อไปน้ี

ก. ข. ค. ง.

ตัวอย�่งท่ี 5 ถ้� เป็นจำ�นวนจรงิลบ และ แล้ว มค่ี�เท่�กับขอ้ใดต่อไปน้ี

ก. -2 ข. -3ค. -4 ง. -5

ตัวอย�่งท่ี 6 ให ้ เป็นพจน์ที่ ของลำ�ดับเรข�คณิต โดยท่ี เป็นอัตร�สว่นรว่ม

ถ้� แล้ว คือขอ้ใดต่อไปน้ี

ก.ข.ค.ง.

ตัวอย�่งท่ี 8 ให ้ เป็นลำ�ดับเลขคณิตท่ีมผีลบวกของ 12 พจน์แรกเป็น และ เป็น

ลำ�ดับเรข�คณิตท่ีมพีจน์ท่ี 6 เป็น โดยท่ี แล้ว มค่ี�เท่�กับขอ้ใดต่อไปน้ี

ก. -225ข. -275ค. 225ง. 275

ตัวอย�่งท่ี 9 กำ�หนดให ้ เป็น 3 พจน์เรยีงติดกันในลำ�ดับเรข�คณิต และมีผลคณูเป็น 27 ถ้� เป็น 3 พจน์เรยีงติดกันในลำ�ดับเลขคณิตแล้ว มค่ี�

เท่�กับเท่�กับเท่�ใด ก. 7ข. 13ค. 15ง. 18