Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

OTPORNOST MATERIJALA 2

Osnovne akademske studije, III semestar

Prof dr Stanko Br£i¢email: stanko@np.ac.rs

Departman za Tehni£ke nauke

Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru

2015/16

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Sadrºaj

1 Savijanje grede silama - rekapitulacijaNaponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

2 Elasti£na linija grede pri savijanju silamaGlavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Sadrºaj

1 Savijanje grede silama - rekapitulacijaNaponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

2 Elasti£na linija grede pri savijanju silamaGlavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Naponi pri savijanju silama

Posmatra se konzolni nosa£ konstantnog popre£nog preseka,kod koga na slobodnom kraju u ravni popre£nog preseka delujupovr²inske sile

Usvojen je koordinatni sistem xyz, gde je x osa ²tapa, dok suy, z glavne centralne ose popre£nog preseka

Neka je P rezultanta povr²inskog optere¢enja i neka je njenpravac || sa jednom od glavnih osa, recimo P ||zPosmatra se slu£aj kada se pravac sile P poklapa sa osom z(rezultanta P prolazi kroz teºi²te preseka - se£e osu ²tapa)

Kada je rezultu¢a sila P paralelna sa jednom od glavnih osainercije, onda je re£ o pravom savijanju silama

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Konzola sa koncentrisanom silom na kraju

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Konzola sa koncentrisanom silom na kraju

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Naponi pri savijanju silama

Sile u preseku za posmatranu konzolu i optere¢enje, uproizvoljnom preseku x, date su sa

Tz(x) = P My(z) = −P (l − x)

Koristi se Sen-Venanov polu-inverzni pristup: pretpostave senaponi i pretpostavke se unose u Navijeove jedna£ine ravnoteºePretpostavlja se slede¢e:

- komponentalni naponi koji su razli£iti od nule:

σx 6= 0 τxy 6= 0 τxz 6= 0 (1)

- komponentalni naponi koji su jednaki nuli:

σy = 0 σz = 0 τyz = 0 (2)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Naponi pri savijanju silama

Ako se zanemare zapreminske sile, Navijeove diferencijalnejedna£ine ravnoteºe, uz pretpostavku o naponima, svode se na

∂σx∂x

+∂τxy∂y

+∂τxz∂z

= 0

∂τxy∂x

= 0∂τxz∂x

= 0

(3)

Iz druge dve jedna£ine direktno sledi:

τxy = τxy(y, z) τxz = τxz(y, z)

²to zna£i da smi£u¢i naponi ne zavise od koordinate x, t.j. daimaju isti raspored u svakom od popre£nih preseka

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Naponi pri savijanju silama

Ovo je posledica £injenice da je popre£ni presek konstantanduº ²tapa, kao i da su transverzalne sile takoe kostantne (isteu svim presecima)

Imaju¢i u vidu da su smi£u¢i naponi isti u svim presecima, odn.da su nezavisni od x, iz prve jedna£ine (3) dobija se

∂σx∂x

= f(y, z)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Naponi pri savijanju silama

Takoe se pretpostavlja da je raspodela normalnog napona σxu popre£nom preseku ista kao i kod £istog savijanja

σx(x) =My(x)

Jyz (4)

Jedina je razlika ²to je kod savijanja silamna momenatsavijanja My(x) promenljiv duº grede

U posmatranom slu£aju je

My(x) = −P (l − x)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Naponi pri savijanju silama

Unose¢i momenat My(x) i izraz za normalni napon σx, prvaod jedna£ina ravnoteºe (3) postaje

∂τxy∂y

+∂τxz∂z

= − PJyz

Ova jedna£ina ravnoteºe bi¢e identi£ki zadovoljena ako seuvede funkcija napona pri savijanju Φ(y, z) preko koje seizraºavaju naponi smicanja

τxy =∂Φ

∂zτxz = −

∂Φ

∂y− P

2Jyz2 + f(y) (5)

gde je f(y) proizvoljna funkcija od y

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Naponi pri savijanju silama

Ako se pretpostavljeni naponi (1) i (2) unesu uBeltrami-Mi£elove jedna£ine po naponima, dobija se, posleintegracije, diferencijalna jedna£ina po funkciji napona Φ(y, z)

∆Φ =ν

1 + ν

P

Jyy +

df(y)

dy+H (6)

gde je ∆ Laplasov operator

∆ =∂2

∂y2+

∂2

∂z2

dok je H integraciona konstanta

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Naponi pri savijanju silama

Prema tome, problem odreivanja naponskog stanja prisavijanju grede silama svodi se na re²avanje diferencijalnejedna£ine (6) po funkciji napona uz odgovaraju¢e grani£neuslove

Desna strana jedn. (6) zavisi od optere¢enja, odn. odraspodele momenata savijanja duº ²tapa

U relacijama (5) kojima se uvodi funkcija napona pri savijanjusilama �guri²e i proizvoljna funkcija f(y) £ijim izborom moºeda se dobije pogodniji oblik diferencijalne jedna£ine (6) pofunkciji napona, na primer, ∆Φ = 0

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Naponi pri savijanju silama

Jedna£inom (4) pretpostavljen je zakon raspodele napona σx upopre£nom preseku

Moºe da se pokaºe da se samo na osnovu polaznepretpostavke o naponima (1) i (2), kori²¢enjem veza izmeunapona i deformacija, kao i uslova kompatibilnosti deformacija,dolazi do toga da se normalni naponi pri savijanju silama moguda izraze u obliku (4)

σx(x) =My(x)

Jyz

dakle, na£elno na isti na£in kao i kod £istog savijanja

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Naponi pri savijanju silama

Za odreivanje smi£u¢ih napona koriste se uslovikompatibilnosti deformacija izraºeni preko napona, koje sedobijaju kao sistem diferencijalnih parcijalnih jedna£ina 2. reda

Odgovaraju¢i grani£ni uslovi zavise od oblika popre£nogpreseka, tako da i raspored smi£u¢ih napona zavisi od oblikapreseka

Moºe da se pkaºe da totalni smi£u¢i napon τ = τxs u nekojta£ki konture popre£nog preseka ima pravac tangente nakonturu popre£nog preseka

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Smi£u¢i naponi u popre£nom preseku

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Naponi pri savijanju silama

Neutralna ravan pri savijanju grede je ravan u kojoj uzduºnavlakna ne menjaju svoju duºinu, t.j. za koje je dilatacija εx = 0

Imaju¢i u vidu izraz za normalni napon (4), kao i vezu izmeunapona i dilatacija σx = Eεx, dilatacije su jednake nuli zaz = 0, ²to pretstavlja ravan xy

Dakle, neutralna ravan z = 0 je upravna na ravan savijanja zx,odnosno na ravan y = 0, u kojoj leºi deformisana osa ²tapa

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Ravan savijanja i neutralna ravan

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje: izduºenja i skra¢enja vlakana u preseku

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Naponi pri savijanju silama

Za razliku od £istog savijanja, kod savijanja silama, zbogtransverzalinh sila postoje i smi£u¢i naponi, pa se zato javljajui klizanja

Usled normalnih napona σx koji odgovaraju £istom savijanjujavljaju se poduºna pomeranja koja su, u odnosu na neutralnuravan (neutralnu osu) meusobno suprotnih smerova, ali istihintenziteta za isto rastojanje od ose z = 0

Drugim re£ima, kod £istog pravog savijanja nosa£ sa takodeformi²e da se popre£ni obr¢u oko neutralne ravni, ali pri tomerotirani preseci ostaju ravni i ⊥ na deformisanu osu nosa£a

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Naponi pri savijanju silama

Za razliku od toga, kod pravog savijanja silama zbog uticajaklizanja, popre£ni preseci ne ostaju ravni posle deformacijenosa£a, niti upravni na deformisanu osu nosa£a

Zna£i, Bernulijeva hipoteza ravnih preseka kod pravogsavijanja silama vi²e ne vaºi

Na slede¢oj slici prikazana je deformacija konzole optere¢enesilom P na slobodnom kraju

Kako je T sila konstantna duº ose konzole, to su u svimpresecima i klizanja ista

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Klizanja u popre£nom preseku

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Naponi pri savijanju silama

Najve¢a klizanja su u blizini neutralne ravni, gde su najve¢ismi£u¢i naponi:

γxz =1

Gτxz,max

U ta£kama krajnjih vlakana popre£nog preseka (u gornjem idonjem) klizanja su jednaka nuli (jer su tu i smi£u¢i naponijednaki nuli)

Kako su T sile iste u svim popre£nim presecima, smi£u¢inaponi, a time i klizanja, takoe su isti u svim presecima

Deformacije klizaja ne uti£u na dilataciju vlakana usledsavijanja (usled uticaja M)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Naponi pri savijanju silama

Deformacija preseka usled uticaja smi£u¢ih napona ne uti£ebitno na dilataciju poduºnih vlakana i u slu£aju savijanjasilama kada su T sile promenljive duº ose nosa£a

Zbog toga je izraz za normalni napon σx pri savijanju silama,dat sa (4):

σx(x) =My(x)

Jyz

prihvatljiv i kada su T sile promenljive duº ose nosa£a

Generalno, uticaj T sila na deformaciju nosa£a je relativnomali, tako da se u prora£unima obi£no zanemaruje

Zbog toga je prihvatljiva Bernulijeva hiporeza ravnih preseka

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Naponi pri savijanju silama

Bernulijeva hipoteza ravnih preseka:

Popre£ni preseci i posle deformacije nosa£a ostaju ravni iupravni na deformisanu osu nosa£a

Kriva linija u koju prelazi osa nosa£a posle deformacije nazivase elasti£na linija nosa£a

Ako je pomeranje ose nosa£a u pravcu z ozna£eno sa w(x),ugib nosa£a, za slu£aj malih deformacija pri savijanju grednognosa£a krivina elasti£ne linije data je sa:

κ =1

ρ=

w′′

[1 + w′2]3/2≈ w′′ (7)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Naponi pri savijanju silama

Za slu£aj malih deformacija pri savijanju silama grednognosa£a, prvi izvod ugiba w′ je mala veli£ina, pa se obi£nozanemaruje

Krivina elasti£ne linije kod savijanja silama data je isto kao ikod £istog savijanja:

κ =1

ρ≈ w′′ = −My(x)

E Jy(8)

Jedina razlika je ²to je momenat savijanja promenljiv duº osenosa£a

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Sadrºaj

1 Savijanje grede silama - rekapitulacijaNaponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

2 Elasti£na linija grede pri savijanju silamaGlavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Centar smicanja

Centar smicanja S je ta£ka u popre£nom preseku saosobinom da ako kroz centar smicanja prolazi rezultantasila u popre£nom preseku, tada nastaje samo savijenje beztorzije

Ako rezultanta sila u preseku P ne prolazi kroz centarsmicanja, tada osim savijanja nastaje i torzija

U takvom slu£aju sile u popre£nom preseku se redukuju nacentar smicanja i onda se vr²i superpozicija savijanja i torzije

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Cetnar smicanja u popre£nom preseku

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Centar smicanja

Za ²tapove sa punim popre£nim presekom (pravougaoni,kruºni, T presek i sl.) centar smicanja se poklapa sa teºi²tempopre£nog preseka

Za ²tapove sa tankozidnim presecima (otvorenim ilizatvorenim) poloºaj centra smicanja razlikuje se od poloºajateºi²ta

Ako je rezultanta optere¢enja u ravni popre£nog preseka Ptakva da prolazi kroz centar smicanja S, ali pravac sile P nijeparalelan ni sa jednom od glavnih centralnih osa inercije y ili z,onda nastaje koso savijanje silama

Sila se razlaºe na komponente Py i Pz, pa se koristi principsuperpozicije

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Koso savijanje silama

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Sadrºaj

1 Savijanje grede silama - rekapitulacijaNaponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

2 Elasti£na linija grede pri savijanju silamaGlavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Smi£u¢i naponi u popre£nom preseku

Za odreivanje raspodele smi£u¢ih napona u popre£nompreseku potrebno je da se re²ava diferencijalna jedna£inadrugog reda po funkciji napona pri savijanju

Meutim, ovakav put re²avanja problema savijanja silama nijeba² prakti£an

Konstatovano je da je za prakti£ne primena sasvim opravdanatehni£ka teorija savijanja grede

Tehni£ka teorija savijanja grede zasniva se na hipoteziuravskog

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Smi£u¢i naponi u popre£nom preseku

Hipoteza uravskog glasi

Pri pravom savijanju grede silama, komponenta smi£u¢egnapona paralelna ravni savijanja konstantna je duº pravihparalelnih sa neutralnom osom, a komponenta smi£u¢egnapona koja je upravna na ravan savijanja zanemaruje se

Na primer, za konzolu koja je optere¢ena silom P u pravcu osez na slobodnom kraju, koja prolazi kroz teºi²te (centarsmicanja), smi£u¢i naponi su dati sa

τxy = 0 τxz = τxz(z) (9)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Hipoteza uravskog

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Hipoteza uravskog

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Smi£u¢i naponi u popre£nom preseku

Polaze¢i od hipoteze uravskog, raspored smi£u¢ih napona ugredi izloºenoj savijanju silama moºe da se odredi iz uslovaravnoteºe sila koje deluju na izdvojen elementarni deo iz grede

Posmatra se elementarni deo koji je izdvojen iz grede na visiniz od neutralne ose i neka je ²irina preseka na izdvojenom delub(z)

Na delovima pove²ine preseka ozna£enog sa A∗ delujuaksijalne sile, rezultante normalnih napona σxU ravni popre£nog preseka, duº ivice na rastojanju z, na ²irinib(z) deluju konstantni smi£u¢i naponi τzx(z), a u ravni koja je|| sa osom x deluju sm£u¢i naponi τzx(z) koji su, zbogkonjugovanosti smi£u¢ih napona jednaki sa τxz(z)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Hipoteza uravskog: ravnoteºa sila

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Smi£u¢i naponi u popre£nom preseku

Uslov ravnoteºe sila u pravcu ose ²tapa x izdvojenog elementaglasi

−∫A∗σx dA+

∫A∗

(σx +

∂σxσdx

)dA− τzx(z)b(z)dx = 0

odakle se dobija, imaju¢i u vidu i konjugovanost smi£u¢ihnapona

τzx(z) = τxz(z) =1

b(z)

∫A∗

∂σx∂x

dA (10)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Smi£u¢i naponi u popre£nom preseku

Imaju¢i u vidu izraz za normalni napon σx na proizvoljnomrastojanju z = ζ od neutralne ose z = 0:

σx(ζ) =My(ζ)

Jyζ

izraz za smi£u¢i napon (10) postaje

τxz(z) =1

Jy b(z)· dMy(x)

dx

∫A∗ζ dA (11)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Smi£u¢i naponi u popre£nom preseku

Koristi se diferencijalna veza izmeu momenata savijanja itransverzalnih sila:

dMy(x)

dy= Tz(x)

Uvodi se oznaka za integral u (11)

S∗y =

∫A∗ζ dA (12)

Integral (12) predstavlja stati£ki momentat odse£enog delapovr²ine preseka ispod vlakna na rastojanju z od neutralne ose

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Hipoteza uravskog: povr²ina preseka A∗

Povr²ina odse£enog dela povr²ine preseka na rastojanju z odneutralne ose ozna£ena je sa A∗

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Smi£u¢i naponi u popre£nom preseku

Sa oznakom S∗y izraz za smi£u¢i napon (11) dobija se ukona£nom obliku

τxz(z) =Tz(x)S

∗y(x, z)

Jy(x) b(z)(13)

U svim ta£kama ²irine preseka na rastojanju b(z) od neutralneose, smi£u¢i naponi su konstantni i dati su sa izrazom (13), uskladu sa hipotezom uravskog

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Smi£u¢i naponi u popre£nom preseku

Posmatra se, kao ilustracija, raspodela smi£u¢ih napona upravougaonom preseku za neku zadatu transverzalnu silu TzDimenzije pravougaonog preseka su b× c

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Smi£u¢i naponi u popre£nom preseku

Za pravougaoni presek ²irina preseka je konstantna, tako da je

b(z) = b Jy =1

12b c3

Povr²ina "odse£enog" dela povr²ine ispod vlakna na rastojanjuz data je sa

A∗ = b( c

2− z)

tako da je stati£ki momenat odse£enog dela povr²ine jednak

S∗y = b( c

2− z)· 1

2

( c2

+ z)

=b

2

(c2

4− z2

)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Smi£u¢i naponi u popre£nom preseku

Sa ovim, izraz za smi£u¢i napon u ta£kama vlakna narastojanju z od neutralne ose dat je sa

τxz(z) =Tz(x)S

∗y

Jy b(z)=

Tz2Jy

(c2

4− z2

)Sreivanjem se dobija

τxz =3

2

(1− 4z

2

c2

)TzA

(14)

gde je A = b c ukupna povr²ina preseka

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Smi£u¢i naponi u popre£nom preseku

Kao ²to se vidi, dobijena raspodela smi£u¢ih napona po visinipravougaonog preseka je paraboli£na

Za gornje i donje vlakno preseka, za z = ±c/2, dobija se da jeτxz(±c/2) = 0 (za ta vlakna je A∗ = 0)Maksimalna vrednost smi£u¢eg napona je na sredini visine (uteºi²tu) preseka, odn. u neutralnoj osi, za z = 0:

τxz,max =3

2

TzA

=3

2τ̄xz

gde je τ̄xz = Tz/A srednja vrednost smi£u¢eg napona

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Smi£u¢i naponi u pravouganom preseku

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Naponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

Savijanje grede silama - rekapitulacija

Smi£u¢i naponi u kruºnom popre£nom preseku

Sli£no moºe da se dobije smi£u¢i napon za kruºni popre£nipresek polupre£nika R:

τxz(z) =4

3

(1− 4 z

2

R2

)TzA

Raspodela po visini (u pravcu T sile) je paraboli£na, uta£kama gornjeg i donjeg temena kruºnog preseka smi£u¢inaponi su jednaki nuli, dok je najve¢a vrednost u teºi²tu, odn.u neutralnoj osi i iznosi

τxz,max =4

3

TzA

=4

3τ̄xz

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Sadrºaj

1 Savijanje grede silama - rekapitulacijaNaponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

2 Elasti£na linija grede pri savijanju silamaGlavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silama

Kod grede koja je izloºena pravom savijanju silama (savijanju ujednoj ravni, recimo u ravni xz), ²to je uobi£ajeno stanje konravanskih linijskih nosa£a, naponi u ta£kama popre£nh presekasu

- normalni naponi σx usled momenata savijanja:

σx(z) =My(z)

Jyz (15)

- smi£u¢i naponi τxz usled transverzalnih sila, u skladu sahipotezom uravskog:

τxz =Tz(x)S

∗y

Jy b(z)(16)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silama

Kao ²to se vidi iz izraza (15) i (16), i normalni naponi ismi£u¢i naponi imaju iste vrednosti u ta£kama vlakna koje jeparalelno sa neutralnom osom (na nekom rastojanju z)

Pri tome je normalni napon jednak nuli u neutralnoj osi, doksu ekstremne vrednosti normalnih napona u najudaljenijimvlaknima popre£nog preseka

Smi£u¢i naponi, sa druge strane, imaju nulte vrednosti unajudaljenijim vlaknima, a maksimalnu vrednost u neutralnojosi

Raspodela normalnih napona po visini preseka je linearna, araspodela smi£u¢ih napona je paraboli£na

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silama

U zavisnosti od znaka momenta savijanja (odn. od smeraobrtanja), jedan deo popre£nog preseka, u odnosu naneutralnu osu, je zategnut, a drugi deo je pritisnut

Prema tome, normalni naponi σx sa jedna strane neutralne osesu naponi zatezanja (pozitivni), a sa druge strane su naponipritiska (negativni), sa linearnom raspodelom po visini

Smi£u¢i naponi u svim vlaknima istog su znaka, koji sepoklapa sa smerom transverzalne sile Tz

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silama

Pri tome su u gornjem i donjem vlaknu vrednosti normalnihnapona σx u ekstremumu, a smi£u¢i naponi τxz u timvlaknima jednaki su nuli

U ta£kama neutralne ose normalni naponi σx jednaki su nuli,dok su smi£u¢i naponi τxz u neutralnoj osi najve¢i

U svim ostalim ta£kama (vlaknima) istovremeno postoje inormalni i smi£u¢i naponi - ravno stanje napona

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Morov krug napona pri savijanju silama

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silama

Glavni naponi i pravci glavnih napona u slu£aju savijanjasilama dati su sa

σ1,2 =σx2±√(σx

2

)2+ τ2 tan 2α1,2 =

2 τ

−σx(17)

gde je τ = τxzGlavni naponi i njihovi pravci menjaju se od ta£ke do ta£ke ugredi optere¢enoj savijanjem silama

Posmatra se konzola optere¢ena silom P na slobodnom kraju,koja je upravna na osu nosa£a, kao i promena napona u nekompreseku po visini popre£nog preseka

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Naponi u konzoli optere¢enoj silom P

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silama

Promena glavnih napona u celom nosa£u (i po visini preseka iduº nosa£a) moºe da se pregledno prikaºe gra�£ki prekotrajektorija glavnih napona

Trajektorije glavnih napona su krive linije koje gra�£kiprikazuju pravce glavnih napona u linijskom nosa£u

U svakoj ta£ni napregnutog tela glavni pravci su meusobnoortogonalni, tako da trajektorije glavnih napona pretstavljajusistem meusobno ortogonalnih krivih linija

Tangenta na krivu u bilo kojoj ta£ki trajektorija glavnih naponapretstavlja pravac odgovaraju¢eg glavnog napona u toj ta£ki

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silama

Sve trajektorije glavnih napona sa konturom grede (sa gornjomi donjom ivicom) zaklapaju ugao od 0◦ ili 90◦, jer su smi£u¢inaponi u ivi£nim vlaknima nula: τ = 0 (videti (17))

Trajektorije glavnih napona seku neutralnu osu pod uglovimaod 45◦ ili 135◦, jer je u neutralnoj osi normalni napon jednaknuli (σx = 0), pa je tan 2α1,2 =∞

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Trajektorije glavnih napona

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Trajektorije glavnih napona

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silama

Kao ²to se vidi iz izraza (15) i (16), normalni i smi£u¢i naponi,u slu£aju pravog savijanja silama, zavise, redom, od momentasavijanja i transverzalne sile, kao i od karakteristika popre£nogpreseka

Prema tome, uvidom u dijagrame sila u preseku prvo se odredepreseci duº nosa£a u kojima su momenti savijanja itransverzalne sile najve¢i

Koji su to preseci zavisi od stati£kog sistema linijskog nosa£a,kao i od posmatranog slu£aja optere¢enja

Zatim se analiziraju izabrani preseci sa ciljem da se odredeta£ke (odn. vlakna) u popre£nom preseku gde su naponi σx iτxz najve¢i

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silama

to se ti£e normalnih napona, koji se odreuju premamomentima savijanja, ekstremne vrednosti normalnih naponajavljaju se u najudaljenijim vlaknima od neutralne ose

Ako je momenat savijanja "pozitivan", odn. ako zateºe donjustranu popre£nog preseka, kao i ako je glavna centralna osa zpopre£nog preseka, u ravni savijanja, usmerena na dole, ondasu ekstremni normalni naponi u ivi£nim vlaknima

σx,max =MyJy

zmax σx,min =MyJy

zmin (18)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silama

Izrazi za ekstremne napone (18) obi£no se pi²u u obliku

σx,max =My

Wy,maxσx,min =

MyWy,min

(19)

gde su sa

Wy,max =Jyzmax

Wy,min =Jyzmin

(20)

ozna£eni otporni momenti popre£nog preseka

Za pozitivan momenat savijanja My i za orjentaciju ose z nadole, σx,max je najve¢i pozitivan, a σx,min najve¢i negativannormalni napon

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Sadrºaj

1 Savijanje grede silama - rekapitulacijaNaponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

2 Elasti£na linija grede pri savijanju silamaGlavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Kriva linija u koju prelazi osa nosa£a posle deformacije usledstati£kog optere¢enja naziva se elasti£na linija nosa£a

Za usvojeni koordinatni sistem xyz, gde je x osa nosa£a, a y, zsu glavne centralne ose inercije popre£nog preseka, pri £emu jexz ravan savijanja, pomeranja ose ²tapa u pravcu ose zobeleºavaju se sa w = w(x) i nazivaju se ugibi ose ²tapa

Nagib tangente na elasti£nu liniju u odnosu na osu x naziva senagib ose ²tapa i obeleºava se (obi£no) sa ϕ = ϕ(x)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Za slu£aj malih deformacija krivina elasti£ne linije ose ²tapadata je u obliku (8):

κ =1

ρ≈ w′′ = −My(x)

E Jy(21)

Ova jedna£ina moºe da se prikaºe u obliku

E Jy w′′ = −My(x) (22)

Diferencijalna jedna£ina (22) pretstavlja diferencijalnujedna£inu elasti£ne linije grede izloºene savijanju silama

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Re²avanjem (integracijom) diferencijalne jedna£ine savijanja(22) dobija se jedna£ina elasti£ne linije, w = w(x), kao ijedna£ina promene nagiba duº ose ²tapa, ϕ(x) = w′(x)

Pozitivan momentat savijanja My(x) prema usvojenojkonvenciji o znaku sila u preseku zateºe donja vlaknapopre£nog preseka grede

Takvoj deformaciji i usvojenom koordinatnom sistemu xzodgovara negativna krivina ρ ose ²tapa

Zbog toga je u jedna£ini (21) usvojen znak minus

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Konvencija o znaku krivine

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Diferencijalne veze izmeu sila u preseku i raspodeljenogoptere¢enja (ako nema raspodeljenih spregova my) glase

dMydx

= TzdTzdx

= −qz (23)

Kombinuju¢i ove veze sa (22), dolazi se do jedna£ina

My = −E Jy w′′ Tz = −(E Jy w′′)′ (E Jy w′′)′′ = qz (24)

Jedna£ine (24) odnose se na gredu sa promenljivim popre£nimpresekom duº ose ²tapa

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Ako je greda konstantnog popre£nog preseka, E Jy = const,jedna£ine (24) dobijaju oblik

My = −E Jy w′′

Tz = −E Jy w′′′

E Jy wIV = qz

(25)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Prilikom integracije diferencijalne jedna£ine (22) ili jedna£ina(24), odnosno (25), dobijaju se dve, odnosno £etiriintegracione konstante koje se odreuju iz odgovaraju¢ihgrani£nih uslovaGrani£ni uslovi mogu da budu zadati

- po pomeranjima i/ili ugibima- po silama- kombinovano i po silama i po pomeranjima

Ako su grani£ni uslovi zadati po silama: poznati su momentisavijanja i/ili transverzalne sile, treba da se takvi uslovi izrazepreko odgovaraju¢ih izvoda pomeranja

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Na primer, ako je momenat savijanja jednak nuli, na primer unepokretnom ili pokretnom osloncu, imaju¢i u vidu veze (25),to je ekvivalentno uslovu

My = 0 ⇔ w′′ = 0

Sli£no, ako je transverzalna sila jednaka nuli (npr. naslobodnom kraju konzole gde ne deluje koncentrisana silaupravno na osu nosa£a), grani£ni uslov je

Tz = 0 ⇔ w′′′ = 0

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Grani£ni uslovi po silama i pomeranjima

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 1: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Odrediti jedna£inu easti£ne linije ravnomerno optere¢eneproste grede konstantne krutosti na savijanje (EJ = const)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 1: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Za prikazanu prostu gredu i optere¢enje momenat savijanja uproizvoljnom preseku dat je sa

My(x) =q

2(l x− x2)

tako da je diferencijalna jedna£ina elasti£ne linije (22) u ovomslu£aju data u obliku

EJyw′′ = −q

2(l x− x2)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 1: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Prvi i drugi integral diferencjalne jedna£ine dati su sa

EJyw′ = −q

2

(l x2

2− x

3

3

)+ C1

EJyw = −q

2

(l x3

6− x

4

12

)+ C1 x+ C2

Integracione konstante se odreuju iz grani£nih usova

w(0) = 0 ⇒ C2 = 0

w(l) = 0 ⇒ C1 =q l3

24

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 1: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Sa integracionim konstantama dobija se kona£no re²enje:- nagib (obrtanje popre£nog preseka)

ϕ(x) = w′(x) =q l3

24EJy

[1− 6

(xl

)2+ 4

(xl

)3]- ugib (jedna£ina elasti£ne linije)

w(x) =q l4

24EJy

x

l

[1− 2

(xl

)2+(xl

)3]

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 1: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Sa dobijenim re²enjem moºe da se odrede maksimalan ugib imaksimalna obrtanja preseka

Najve¢i ugib je u sredini proste grede:

wmax = w(l/2) =5

384

q l4

E Jy

Nagibi na krajevima proste grede (najve¢a obrtanja):

ϕ(0) = α = β = −ϕ(l) = q l3

24E Jy

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 2: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Odrediti jedna£inu easti£ne linije proste grede konstantnekrutosti na savijanje (EJ = const) optere¢ene koncentrisanomsilom

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 2: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Kod proste grede optere¢ene koncentrisanom silom u presekux = a momenti savijanja duº proste grede dati su u obliku dvatrougla sa ordinatom Pab/l u preseku x = a gde je sila i saordinatama 0 na osloncima

Analiti£ki izraz za momenat savijanja je dat preko dve linearnefunkcije poloºaja x duº ose

Analiti£ka formulacija izraza za momenat savijanja jepogodnija ako se izrazi preko Hevisajdnove funkcije ili funkcijeskoka H(x− a)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 2: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Hevisajdova funkcija H(x− a) de�ni²e se na slede¢i na£in:

H(x− a) ={

0 x < a1 x > a

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 2: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Imaju¢i u vidu Hevisajdovu funkciju, momenti savijanja uprostoj gredi optere¢enoj koncentrisanom silom mogu da seprikaºu u obliku

My(x) =P b

lx−H(x− a)P (x− a)

Diferencijalna jedna£ina elasti£ne linije glasi:

EJyw′′ = −P b

lx+H(x− a)P (x− a)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 2: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Integracijom diferencijalne jedna£ine se dobija:

EJyw′ = −P b

2lx2 +H(x− a)P

2(x− a)2 + C1

EJyw = −P b

6lx3 +H(x− a)P

6(x− a)3 + C1x+ C2

Integracione konstante se odreuju iz grani£nih usova

w(0) = 0 ⇒ C2 = 0

w(l) = 0 ⇒ C1 =P b

6 l(l2 − b2)

Uno²enjem integracionih konstanti dobija se kona£no re²enje

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 2: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Nagib (obrtanje popre£nog preseka) dato je sa:

ϕ(x) = w′(x) =P l2

6E Jy

{b

l

[1−

(b

l

)2− 3

(xl

)2]

+ 3H(x− a)(x− al

)2}

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 2: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Ugib (jedna£ina elasti£ne linije) dat je sa:

w(x) =Pl3

6EJy

{b

l

x

l

[1−

(b

l

)2− 3

(xl

)2]

+ H(x− a)(x− al

)3}

Ugib proste grede u preseku koncentrisane sile (x = a) je:

w(a) =Pl3

3EJy

(al

)2 (bl

)2

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 2: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Obrtanja preseka (nagibi) na krajevima grede su:

α = ϕ(0) =Pl2

6EJy

a

l

b

l

(1 +

b

l

)β = −ϕ(l) = Pl

2

6EJy

a

l

b

l

(1 +

a

l

)U specijalnom slu£aju kada sila P deluje u sredini raspona,a = b = l/2, dobija se

wmax =Pl3

48EJyα = β =

Pl2

16EJy

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 3: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Odrediti jedna£inu easti£ne linije proste grede konstantnekrutosti na savijanje (EJ = const) optere¢ene koncentrisanompregom na jednom kraju

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 3: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

U ovom slu£aju momenat savijanja u proizvoljnom preseku datje kao linearna funkcija promenljive x

My(x) =M

lx

tako da je diferencijalna jedna£ina elasti£ne linije data sa

EJyw′′ = −M

lx

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 3: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Integracijom se dobija op²ti integral:

EJyw′ = −M

2 lx2 + C1

EJyw = −M

6 lx3 + C1x+ C2

Integracione konstante se odreuju iz grani£nih uslova

w(0) = 0 ⇒ C2 = 0

w(l) = 0 ⇒ C1 =M l

6

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 3: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Uno²enjem integracionih konstanti dobija se kona£no re²enjeza obrtanje i za ugib (elasti£nu liniju) :

ϕ(x) = w′ =M l

6EJy

[1− 3

(xl

)2]w(x) =

M l

6EJy

x

l

[1−

(xl

)2]Nagibi grede na krajevima jednaki su

α = ϕ(0) =M l

6EJyβ = −ϕ(l) = M l

3EJy

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 4: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Odrediti jedna£inu easti£ne linije konzole konstantne krutostina savijanje (EJ = const) optere¢ene jednakopodeljenimoptere¢enjem q = const

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 4: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

U ovom slu£aju momenat savijanja u proizvoljnom preseku datje kao kvadratna funkcija promenljive x

My(x) = −1

2q(l − x)2 = −1

2ql2[1−

(xl

)]2tako da je diferencijalna jedna£ina elasti£ne linije data sa

EJyw′′ =

1

2ql2[1−

(xl

)]2Grani£ni uslovi su

w(0) = 0 w′(0) = ϕ(0) = 0

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 4: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Integracijom diferencijalne jedna£ine i uno²enjem u grani£neuslove, dobija se elasti£na linija posmatrane konzole:

w(x) =1

24ql4(xl

)2 [6− 4

(xl

)+(xl

)2]Najve¢i ugib i nagib su na slobodnom kraju, za x = l:

wmax = w(l) =1

8

ql4

EJy

ϕmax = w′(l) =

1

6

ql3

EJy

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 5: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Posmatra se greda raspona l, konstantnog preseka, koja je nalevom kraju slobodno oslonjena, a na desnom kraju jeuklje²tena

Greda je optere¢ena ravnomerno raspodeljenim optere¢enjemq = const

Za datu gredu odrediti(a) jedna£inu elasti£ne linije(b) dijagrame sila u preseku My(x) i Tz(x)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 5: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 5: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Posmatrana greda je jednom stati£ki neodreena (za datooptere¢enje je svejedno da li je na levom kraju nepokretan ilipokretan oslonac)

U svakom slu£aju, reakcije veza ne mogu da se odrede samo izuslova ravnoteºe

Posmatra se diferencijalna jedna£ina elasti£ne linije (25):

E Jy wIV = q

Integracija ove jedna£ine je trivijalna

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 5: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Dobija se:

EJyw′′′ = qx+ C1

EJyw′′ =

q

2x2 + C1x+ C2

EJyw′ =

q

6x3 + C1

x2

2+ C2x+ C3

EJyw =q

24x4 + C1

x3

6+ C2

x2

2+ C3x+ C4

Integracione konstante se odreuju iz grani£nih uslova:

w(0) = 0 w′′(0) = 0 w(l) = 0 w′(l) = 0

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 5: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Dobijaju se integracione konstante:

C1 = −3

8ql C3 =

1

48ql3 C2 = C4 = 0

Kona£no re²enje za nagib i za ugib grede dobija se u obliku

ϕ(x) = w′(x) =ql3

48EJy

[1− 9

(xl

)2+ 8

(xl

)3]w(x) =

ql3

48EJy

x

l

[1− 3

(xl

)2+ 2

(xl

)3]

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 5: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Diferenciranjem dobijenog nagiba w′(x) odreuju se drugi itre¢i izvod ugiba

Prema vezama (25) dobijaju se sile u preseku:

My(x) = −EJyw′′ =ql2

8

x

l

(3− 4x

l

)Tz(x) = −EJyw′′′ =

ql

8

(3− 8x

l

)Prema dobijenim izrazima mogu da se nacrtaju dijagrami sila upreseku

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 5: Deformacija grednog nosa£a: ugibi i nagibi

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Sadrºaj

1 Savijanje grede silama - rekapitulacijaNaponi pri savijanju silamaCentar smicanjaHipoteza uravskog

2 Elasti£na linija grede pri savijanju silamaGlavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Mor-Maksvelova analogija (Metoda �ktivnih nosa£a)

Odreivanje ugiba i nagiba grednog nosa£a moºe da se vr²iintegracijom odgovaraju¢e diferencijalne jedna£ine

Meutim, ugibi i nagibi mogu da se odreuju i Metodom�ktivnog nosa£a, odnosno primenom Mor-Maksvelove analogije(Mohr - Maxwell)

Zavisnost izmeu ugiba grede w(x) i nagiba grede ϕ(x) jeo£igledno data sa

w′(x) = ϕ(x) (26)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Mor-Maksvelova analogija (Metoda �ktivnih nosa£a)

Imaju¢i u vidu ovu vezu, diferencijalna jedna£ina elasti£ne linijegrede EJyw′′ = −My(x) moºe da se prikaºe u obliku:

ϕ′(x) = − My(x)EJy(x)

(27)

Jedna£ine (26) i (27) mnoºe sa sa konstantom EJy0 koja sezove uporedna krutost na savijanje oko ose y, pa se dobija:

(EJy0w)′ = EJy0ϕ

(EJy0ϕ)′ = −My(x)

Jy0Jy(x)

(28)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Mor-Maksvelova analogija (Metoda �ktivnih nosa£a)

Jedna£ine sli£nog oblika su i diferencijalne veze izmeu sila upreseku i optere¢enja (23)

dMydx

= TzdTzdx

= −qz (29)

Postoji o£igledna sli£nost, odn. analogija, izmeu jedna£ina(29) i (28):

- veli£ini EJy0w odgovara My- veli£ini EJy0ϕ odgovara Tz

Na osnovu ove formalne sli£nosti fomuli²e se analogija

To je Mor-Maksvelova analogija ili Metoda �ktivnih nosa£a zaodreivanje ugiba i nagiba grednih nosa£a

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Mor-Maksvelova analogija (Metoda �ktivnih nosa£a)

Ako veli£inu

q̄ = My(x) ·Jy0Jy(x)

posmatramo kao �ktivno raspodeljeno optere¢enje �ktivnegrede, tada su odgovaraju¢i �ktivni momenat i �ktivnatransverzalna sila dati sa

M = EJy0w Tz = EJy0 ϕ

pa su veli£ine ugiba i nagiba elasti£ne linije grede jednake:

w(x) =MyEJy0

ϕ(x) =TzEJy0

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Mor-Maksvelova analogija (Metoda �ktivnih nosa£a)

Momentni dijagram posmatranog nosa£a koristi se kaodijagram (raspodela) �ktivnog optere¢enja

Meutim, �ktivno optere¢enje se aplicira na �ktivni nosa£, kojise tako formira od stvarnog nosa£a da postoji i odgovaraju¢aanalogija sa grani£nim uslovima

Ako je u stvarnom nosa£u na kraju grede slobodan oslonac,grani£ni uslovi su w = 0 i ϕ 6= 0U �ktivnom nosa£u tome odgovara takoe slobodan oslonac,jer je tu M = 0 i T 6= 0Zna£i, realnoj prostoj gredi odgovara �ktivna prosta greda

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Mor-Maksvelova analogija (Metoda �ktivnih nosa£a)

Ako je u stvarnom nosa£u kraj grede slobodan, na primer,slobodan kraj kod konzole ili grede sa prepustom, grani£niuslovi su w 6= 0 i ϕ 6= 0U �ktivnom nosa£u takvim grani£nim uslovima odgovarauklje²tenje, jer je tu M 6= 0 i T 6= 0Zna£i, realnoj konzoli odgovara �ktivna konzola, samo supromenjeni poloºji slobodnog kraja i uklje²tenja

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Stvarni i �ktivni nosa£

Analogija u grani£nim uslovima

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Stvarni i �ktivni nosa£

Analogija u grani£nim uslovima

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 1: Mor-Maksvelova analogija

Odrediti ugib i nagib slobodnog kraja konzole optere¢enekoncentrisanom silom na slobodnom kraju (EJy = const)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 1: Mor-Maksvelova analogija

Popre£ni presek je konstantan, tako da je referentni momenatinercije jednak momentu inercije grede: Jy0 = JyTada je �ktivno optere¢enje jednako dijagramu momenatasavijanja

q̄z = My(x)

Rezultuju¢a �ktivna sila, rezultanta raspodeljenog trougaonogoptere¢enja, jednaka je

Φ =1

2P` · ` = 1

2P`2

i deluje na 2/3` od �ktivnog uklje²tenja

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 1: Mor-Maksvelova analogija

Zadatkom se ne traºi raspodela ugiba i nagiba duº nosa£a, ve¢samo vrednosti ugiba i nagiba na slobodnom kraju

Fiktivna transverzalna sila u uklje²tenju �ktivnog nosa£ajednaka je sili Φ:

T z = Φ =1

2P`2

dok je �ktivni momenat uklje²tenja jednak:

My = Φ ·2`

3= · · · = P`

3

3

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 1: Mor-Maksvelova analogija

Prema tome, ugib i nagib slobodnog kraja konzolekonstantnog preseka, optere¢ene koncentrisanom silom P naslobodnom kraju, iznose:

- ugib slobodnog kraja

w(`) =MyEJy0

=P`3

3EJy

- obrtanje slobodnog kraja

ϕ(`) =T zEJy0

=P`2

2EJy

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 2: Mor-Maksvelova analogija

Odrediti ugib i nagib slobodnog kraja konzole optere¢eneravnomerno raspodeljenim optere¢enjem q (EJy = const)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 2: Mor-Maksvelova analogija

Popre£ni presek je konstantan, tako da je referentni momenatinercije jednak momentu inercije grede: Jy0 = JyFiktivno optere¢enje jednako je paraboli£nom dijagramumomenata savijanja

q̄z = My(x)

Maksimalna ordinata momenta savijanja u stvarnom nosa£u je

Mmax =q`2

2

Prakti£nije je da se paraboli£na raspodela momenata, odn.�ktivnog optere¢enja na �ktivnom nosa£u, posmatra kaoalgebarski zbir trougla i parabole

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 2: Mor-Maksvelova analogija

Rezultuju¢a �ktivna sila za trougaono raspodeljenooptere¢enje, jednaka je

Φ1 =1

2

q`2

2· ` = q`

3

4

i deluje na 2`/3 od �ktivnog uklje²tenja

Rezultuju¢a �ktivna sila za paraboli£no raspodeljenooptere¢enje, jednaka je

Φ2 =2

3

q`2

8· ` = q`

3

12

i deluje na `/2 od �ktivnog uklje²tenja

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 2: Mor-Maksvelova analogija

Zadatkom se traºi ugib i nagib slobodnog kraja konzole, takoda je potrebno da se odrede reakcije veza u �ktivnomuklje²tenju

Transverzalna sila u �ktivnom uklje²tenju jednaka je rezultantiraspodeljenog �ktivnog optere¢enja:

T z = Φ1 − Φ2 =q`3

4− q`

3

12=q`3

6

Fiktivni momenat savijanja u uklje²tenju �ktivnog nosa£ajednak je

My = Φ1 ·2`

3− Φ2 ·

`

2=q`4

8

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 2: Mor-Maksvelova analogija

Prema tome, ugib i nagib slobodnog kraja konzolekonstantnog preseka, optere¢ene ravnomerno raspodeljenimoptere¢enjem q, iznose:

- ugib slobodnog kraja

w(`) =MyEJy0

=q`4

8EJy

- obrtanje slobodnog kraja

ϕ(`) =T zEJy0

=q`3

6EJy

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 3: Mor-Maksvelova analogija

Odrediti ugib u sredini proste grede optere¢ene koncentrisanomsilom u sredini raspona, kao i obrtanje preseka na jednom kraju(EJy = const)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 3: Mor-Maksvelova analogija

Dijagram momenata savijanja u posmatranoj prostoj gredi jelinearan (dva trougla), sa ordinatom u sredini Mmax = P`/4

Fitkivni nosa£ je prosta greda, optere¢ena sa raspodeljenimoptere¢enjem u vidu momentnog dijagrama

Da bi odredili obrtanje preseka u osloncu A, potrebno je da seodredi reakcija oslonca �ktivnog nosa£a

Da bi odredili ugib u sredini dosa£a, potrebno je da se odredimomenat savijanja �ktivnog nosa£a u sredini raspona

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 3: Mor-Maksvelova analogija

Rekacija �ktivnog nosa£a optere¢enog �ktivnim optere¢enjemjednaka je

EJyϕA =1

2· `

2· P`

4=P`2

16

Prema tome, obrtanje preseka stvarnog nosa£a u osloncu Aiznosi

ϕA =1

16

P`2

EJy

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 3: Mor-Maksvelova analogija

Momenat savijanja u sredini raspona �ktivnog nosa£a, imaju¢iu vidu ve¢ odreenu reakciju oslonca, jednak je

EJywmax =P`2

16· `

2− P`

2

16· `

6=P`3

48

Prema tome, ugib u sredini raspona proste grede optere¢enekoncentrisanom silom P u sredini raspona iznosi:

wmax =P`3

48EJy

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 4: Mor-Maksvelova analogija

Odrediti uglove obrtanja oslona£kih preseka α i β proste gredeoptere¢ene koncentrisanim spregomM na desnom kraju(EJy = const)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 4: Mor-Maksvelova analogija

Dijagram momenata savijanja u posmatranoj prostoj gredi jelinearan, sa ordinatom na desnom krajuM i nulom na levomkraju

Fitkivni nosa£ je prosta greda, optere¢ena sa raspodeljenimoptere¢enjem u vidu momentnog dijagrama

Da bi odredili obrtanja preseka u osloncima A i B, potrebno jeda se odrede reakcije oslonaca �ktivnog nosa£a

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 4: Mor-Maksvelova analogija

Rekacije �ktivnog nosa£a optere¢enog �ktivnim optere¢enjemjednake su

EJyϕA =1

3· 1

2· M ` = M`

2

6

EJyϕB = −2

3· 1

2· M ` = −M`

2

3

Prema tome, obrtanja oslona£kih preseka stvarnog nosa£aiznose

ϕA =1

6

M`6EJy

ϕB = −1

6

M`3EJy

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 5: Mor-Maksvelova analogija

Odrediti ugib u sredini raspona i nagibe na oba kraja prostegrede optere¢ene ravnomerno raspodeljenim optere¢enjem q(EJy = const)

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 5: Mor-Maksvelova analogija

Popre£ni presek je konstantan, tako da je referentni momenatinercije jednak momentu inercije preseka grede: Jy0 = JyFiktivni nosa£ je takoe prosta greda, a �ktivno optere¢enje jekvadratna parabola sa ordinatom u sredini

My(l/2) =ql2

8

Zbog simetrije posmatra se samo jedna polovina �ktivnognosa£a

Prakti£nije je da se paraboli£na raspodela momenata, odn.�ktivnog optere¢enja na �ktivnom nosa£u, posmatra kaoalgebarski zbir trougla i parabole iznad trougla, sa maxordinatom ql2/32

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 5: Mor-Maksvelova analogija

Rezultuju¢a �ktivna sila za paraboli£ni deo raspodeljenogoptere¢enja jednaka je

Φ1 =2

3· q`

2

32· `

2=q`3

96

i deluje na `/4 od oslonca A

Rezultuju¢a �ktivna sila za trougaono raspodeljenooptere¢enje, jednaka je

Φ2 =1

2· q`

2

8· `

2=q`3

32

i deluje na `/3 od oslonca A

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 5: Mor-Maksvelova analogija

Fiktivna reakcija oslonca A je jednaka rezultanti �ktivnogoptere¢enja na polovini grede, odn. zbiru sila Φ1 i Φ2:

RA = Φ1 + Φ2 =q`3

24

Fiktivni momenat savijanja u sredini �ktivne grede jednak je

My,max = RA ·`

2− Φ1 ·

`

4− Φ2 ·

`

6= · · · = 5

384q`4

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 5: Mor-Maksvelova analogija

Prema tome, uglovi obrtanja oslona£kih preseka A i B jednakisu meusobno zbog simetrije (ne ra£unaju¢i znak)

α = ϕA =RAEJy

=q`3

24EJy

Maksimalan ugib je u sredini grede i iznosi

wmax =MyEJy

=5

384

q`4

EJy

Svi ovi izrazi izvedeni su ranije direktnom integracijomdiferencijalne jedna£ine elasti£ne linije

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 6: Mor-Maksvelova analogija

Odrediti ugib u sredini raspona i nagibe na oba kraja prostegrede optere¢ene ravnomerno raspodeljenim optere¢enjem q,pri £emu je momenat inercije preseka grede skokovitopromenljiv

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 6: Mor-Maksvelova analogija

Popre£ni presek je skokovito promeljiv i za referentni momenatinercije usvaja se Jy0 = JyFiktivni nosa£ je prosta greda, a �ktivno optere¢enje je dato sa

q̄z(x) = My(x)Jy0Jy(x)

Momentni dijagram stvarnog nosa£a je kvadratna parabola saordinatom u sredini

My(l/2) =ql2

8

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 6: Mor-Maksvelova analogija

Meutim, zbog promenljivog momenta inercije, kvadratnaparabola na levoj polovini, gde je krutost grede jednaka 2EJy,redukovana je sa 2

To zna£i da je ordinata �ktivnog optere¢enje u sredini preseka∞ blisko desno, jednaka

M+y (l/2) =ql2

8

dok je u istom preseku, ali ∞ blisko levo, jednaka

M−y (l/2) =ql2

16

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 6: Mor-Maksvelova analogija

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 6: Mor-Maksvelova analogija

Dakle, u preseku u sredini postoji prekid prve vrste u �ktivnomoptere¢enju

Da bi odredili obrtanja oslona£kih preseka, kao i ugib u sredinigrede, potrebno je da se odrede reakcije oslonaca i momenatsavijanja u sredini �ktivnog nosa£a optere¢enog �ktivnimoptere¢enjem

Parboli£ni delovi raspodeljenog optere¢enja na svakoj poloviniraspona nosa£a prikazuju se kao zbirovi trougaonog iparaboli£nog optere¢enja

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 6: Mor-Maksvelova analogija

Dobijaju se slede¢e rezultante �ktivnog optere¢enja, na levojpolovini i na desnoj polovini (videti prethodnu sliku):

Φ1 =2

3· ql

2

64· l

2=ql3

192

Φ2 =1

2· ql

2

16· l

2=ql3

64

Φ3 =1

2· ql

2

8· l

2=ql3

32

Φ4 =2

3· ql

2

32· l

2=ql3

96

Poloºaji napadnih linija sila Φi dati su na slici

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 6: Mor-Maksvelova analogija

Reakcije veza �ktivnog nosa£a odreuju se iz uslova, na primer,∑MB = 0

∑F y = 0

Posle sreivanja, dobijaju se slede¢e �ktivne reakcije:

RA =7

256ql3 RB =

9

256ql3

Fiktivni momenat savijanja u sredini preseka dobija se kao

My(l/2) = RA ·l

2− Φ1 ·

l

4− Φ2 ·

l

6= · · · = 5

512ql4

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 6: Mor-Maksvelova analogija

Sa ovim, dobija se traºeno re²enje:- obrtanje preseka A

α = ϕA =T z,AEJy0

=7

256

ql3

EJy

- obrtanje preseka B

β = −ϕB =T z,BEJy0

=9

256

ql3

EJy

- momenat savijanja u sredini preseka (ta£ka C)

wC =My,CEJy0

=5

512

ql4

EJy

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 7: Mor-Maksvelova analogija

Posmatra se Gerberova greda konstantnog popre£nog preseka imodula elasti£nosti E = 36 GPa, optere¢ena na prikazan na£inDimenzionisati nosa£ za dato optere¢enje tako da suzadovoljena dva uslova:

1 da najve¢i normalni napon bude manji od dozvoljenog napona

σx,max ≤ σdop = 20 [MPa]

2 da najve¢i ugib na delu nosa£a AB bude manji od dozvoljenogugiba

wABmax ≤ wdop =`AB300

U odreivanju pomeranja koristiti Mor-Maksvelovu analogiju

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 7: Mor-Maksvelova analogija

Popre£ni presek izraºen je preko nepoznatog parametra t kojitreba da se odredi prema zadatim uslovima

- σmax ≤ σdop = 20 [MPa]- wABmax ≤ wdop = `AB300

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 7: Mor-Maksvelova analogija

(c,d) Dijagrami sila u preseku; (e) �ktivni nosa£ i optere¢enje

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 7: Mor-Maksvelova analogija

Maksimalan momenat savijanja u nosa£u, merodavan zadimenzionisanje prema dozvoljenom naponu. jednak jeMy,max = 140.62 kNm

Iz naponskog uslova

σx,max =My,maxWy

≤ σdop

dobija se potreban otporni momenat popre£nog preseka:

Wy,pot ≥My,maxσdop

=140.62

20× 103= 7.03× 10−3 m3 = 7030 cm3

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2

Savijanje grede silama - rekapitulacijaElasti£na linija grede pri savijanju silama

Glavni naponi kod grede pri savijanju silamaDeformacija grednog nosa£aMor-Maksvelova analogija

Elasti£na linija grede pri savijanju silama

Primer 7: Mor-Maksvelova analogija

Momenat inercije popre£nog preseka grede je

Jy =1

12[6t (8t)3 − 4t (4t)3] = 234.67 t4

tako da je otporni momenat jednak

Wy =Jy4t

=234.67 t4

4t= 58.67 t3 ≥ 7030 = Wpot

Dobija se t ≥ 4.93 cm, a usvaja se t = 5.0 cmZa t = 5cm, dobija se otporni momenat

Wy = 58.67 · 53 = 7333.75 cm3

Stanko Br£i¢ Otpornost mater