new Математическая логика · 2020. 2. 10. · Древняя Греция 600...

Математическая логика(mk.cs.msu.ru → Лекционные курсы → Математическая логика (группы 318, 241))

Лекция 1

Что такое логика?Содержание лекцийИстория логикиЛогические парадоксы

Лектор:Подымов Владислав Васильевич

E-mail:[email protected]

ВМК МГУ, 2020, весенний семестр1 / 22

http://mk.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0_(%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D1%8B_318,_241)

Что такое логика?Логика1 — это наука об общезначимых формах и средствах мысли,необходимых для рационального познания в любой области знанияЛогика2 — это нормативная наука о формах и приёмахинтеллектуальной познавательной деятельности,осуществляемой с помощью языкаЛогика3 — это наука, которая изучает,каким образом мы выражаем мысли, делаем умозаключения,и как всё это можно представить формальноЛогика4 — это наука о правильных способах рассуждения,то есть таких, при которыхиз верных исходных положений получаются верные результаты

1 Философский энциклопедический словарь.2 Бочаров, Маркин. Основы логики.3 Метакидес, Нероуд. Принципы логики и логического программирования.4 Успенский, Верещагин, Плиско. Вводный курс математической логики.

3 / 22

Что такое логика?Формальная логика1 — это наука о законах знания,полученного из ранее установленных и проверенных истин,без обращения в каждом конкретном случае к опыту,а только в результате применения законов и правил мышленияФормальная логика2 — сейчас это синоним логикиМатематическая логика3 — это1) логика, развиваемая с помощью математических методов,2) логика, используемая в математикеМатематическая логика4 — это раздел математики,посвященный изучению математических доказательстви вопросов оснований математики

1 Кондаков. Логический словарь-справочник.2 Философский энциклопедический словарь.3 Клини. Математическая логика.4 Математическая энциклопедия.

4 / 22

Что такое логика?

Формальная математическая логика изучает:

I законы причинно-следственной связи в окружающем миреI проявление этих законов

в рациональном мышлении человекаI отражение этих законов в языках:

I как естественных,I так и искусственных

I формы, в которых проявляются эти законы,вне зависимости от содержания (смысла)тех явлений (предметов), к которым эти законы относятся

5 / 22

Что такое логика?Например:

Посылки:1: Все люди смертны

2: Сократ человек

Следствие:Сократ смертен

Это известный силлогизм

6 / 22


Посылки:1: Каждый металл — проводник

2: Ртуть — металл

Следствие:Ртуть — проводник

Это физическое суждение

6 / 22


Посылки:1: Инертные газы химически неактивны

2: Гелий — инертный газ

Следствие:Гелий химически неактивен

Это химическое суждение

6 / 22


Посылки:1: Во всех южных городах летом тепло

2: Ставрополь — южный город

Следствие:В Ставрополе летом тепло

Это “бытовое” географическое суждение

6 / 22


Посылки:1: Каждый предмет, обладающий свойством A,

обладает и свойством B2: Предмет c обладает свойством A

Следствие:Предмет c обладает свойством B

Это закон логики

6 / 22


Посылки:

1: ∀x (A(x)→ B(x))

2: A(c)

Следствие:

B(c)

Это тот же закон, записанный формально

6 / 22


Законами логики описываются универсальные способыполучения новых знаний из имеющихся,не зависящие от природы этих знаний

Например, закон

∀x (A(x)→ B(x))A(c)B(c)

может быть интерпретированкак упомянутое физическое суждение, если:

I “A(x)” = “x — металл”I “B(x)” = “x — проводник”I “c” = “ртуть”

7 / 22


Законами логики описываются универсальные способыполучения новых знаний из имеющихся,не зависящие от природы этих знаний

Например, закон

∀x (A(x)→ B(x))A(c)B(c)

может быть интерпретированкак упомянутое химическое суждение, если:

I “A(x)” = “x — инертный газ”I “B(x)” = “x — химически неактивный элемент”I “c” = “гелий”

7 / 22

Что такое логика?Исходные знания:

1: Каждый металл — проводник2: Ртуть — металл

Новые знания:Ртуть — проводник

Как расценивать новые знания?Откуда они взялись?

Узнали ли мы что-нибудь новое о мире?Знание — этоформа представления информации; формальное высказываниеЗакон формальной логики — этопринцип преобразования одних высказываний в другиеЗаконы формальной логикипозволяют преобразовывать форму представления информации,но не позволяют получать новую информацию

8 / 22

Содержание лекцийСпособ представления знаний и принципы работы с нимиопределяются тем, как выбраны:

I интересующие особенности высказыванийI формальный язык, адекватно описывающий эти особенностиI средства анализа высказываний выбранного языка

Разделы логики, которые встретятся в курсе:

Логикавысказываний

x→ y

Логика предикатов∀x (A(x)→ B(f(y)))

. . .

Модальные логики♦x→ ♦y

Эпистемическиелогики

= знаю, что♦ = допускаю, что

Темпоральныелогики = всегда♦ = иногда

9 / 22

Содержание лекцийЭлементарные составные части “реальных” высказываний частоимеют смысл, заданный способами, выходящими за рамки логики

Например, высказывание “дважды два — четыре”включает в себя смысл нелогических понятий“два”, “четыре”, “умножить” и “равно”

На том, как можноI определять и анализировать нелогические понятия

средствами логики иI отличать “хорошие” определения и методы анализа от “плохих”,

будет сосредоточено внимание в части курса, посвящённой

аксиоматическим теориям иформальным доказательствам

10 / 22

Кто это всё придумал?

. . .0 100 1900 2000. . .

это временная шкала (гг. н.э.)

11 / 22

История логики

Аристотель

−400 −300


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0

Древняя Греция

−600 −500 −400 −300 −200 −100 0

. . .

0 100 200 300 400

начало Нового времениВозрождениеСредние века

400 500 1500 1600. . .

Готфрид Лейбниц

1600 1700 1800

Джордж Буль

1800 1900

Георг КанторГотлоб ФрегеДавид ГильбертБертран РасселЭрнст Цермело Абрахам ФренкельТуральф Скулем(Торальф Сколем)Курт ГёдельАльфред ТарскийЖак ЭрбранГерхард ГенценАлонзо ЧёрчСтивен КлиниАнатолий МальцевСол КрипкеАмир ПнуэлиРоберт Флойд Тони Хоар

(Чарльз Энтони Ричард)Ален КолмероэМихаил Захарьящев

1800 1900 20001900 2000

. . . . . .

12 / 22



−400 −300


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0

. . .

0 100 200 300 400


400 500 1500 1600. . .


1600 1700 1800


1800 1900

Георг Кантор

Готлоб ФрегеДавид ГильбертБертран РасселЭрнст Цермело Абрахам ФренкельТуральф Скулем(Торальф Сколем)Курт ГёдельАльфред ТарскийЖак ЭрбранГерхард ГенценАлонзо ЧёрчСтивен КлиниАнатолий МальцевСол КрипкеАмир ПнуэлиРоберт Флойд Тони Хоар


1800 1900 2000

1900 2000

. . . . . .

12 / 22



−400 −300


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0

. . .

0 100 200 300 400


400 500 1500 1600. . .


1600 1700 1800


1800 1900

Георг Кантор

Готлоб Фреге

Давид ГильбертБертран РасселЭрнст Цермело Абрахам ФренкельТуральф Скулем(Торальф Сколем)Курт ГёдельАльфред ТарскийЖак ЭрбранГерхард ГенценАлонзо ЧёрчСтивен КлиниАнатолий МальцевСол КрипкеАмир ПнуэлиРоберт Флойд Тони Хоар


1800 1900 2000

1900 2000

. . . . . .

12 / 22



−400 −300


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0

. . .

0 100 200 300 400


400 500 1500 1600. . .


1600 1700 1800


1800 1900

Георг КанторГотлоб Фреге

Давид Гильберт

Бертран РасселЭрнст Цермело Абрахам ФренкельТуральф Скулем(Торальф Сколем)Курт ГёдельАльфред ТарскийЖак ЭрбранГерхард ГенценАлонзо ЧёрчСтивен КлиниАнатолий МальцевСол КрипкеАмир ПнуэлиРоберт Флойд Тони Хоар


1800 1900 2000

1900 2000

. . . . . .

12 / 22



−400 −300


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0

. . .

0 100 200 300 400


400 500 1500 1600. . .


1600 1700 1800


1800 1900

Георг КанторГотлоб ФрегеДавид Гильберт

Бертран Рассел

Эрнст Цермело Абрахам ФренкельТуральф Скулем(Торальф Сколем)Курт ГёдельАльфред ТарскийЖак ЭрбранГерхард ГенценАлонзо ЧёрчСтивен КлиниАнатолий МальцевСол КрипкеАмир ПнуэлиРоберт Флойд Тони Хоар


1800 1900 2000

1900 2000

. . . . . .

12 / 22



−400 −300


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0

. . .

0 100 200 300 400


400 500 1500 1600. . .


1600 1700 1800


1800 1900

Георг КанторГотлоб ФрегеДавид ГильбертБертран Рассел

Эрнст Цермело Абрахам Френкель

Туральф Скулем(Торальф Сколем)Курт ГёдельАльфред ТарскийЖак ЭрбранГерхард ГенценАлонзо ЧёрчСтивен КлиниАнатолий МальцевСол КрипкеАмир ПнуэлиРоберт Флойд Тони Хоар


1800 1900 2000

1900 2000

. . . . . .

12 / 22



−400 −300


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0

. . .

0 100 200 300 400


400 500 1500 1600. . .


1600 1700 1800


1800 1900

Георг КанторГотлоб ФрегеДавид ГильбертБертран РасселЭрнст Цермело Абрахам Френкель

Туральф Скулем(Торальф Сколем)

Курт ГёдельАльфред ТарскийЖак ЭрбранГерхард ГенценАлонзо ЧёрчСтивен КлиниАнатолий МальцевСол КрипкеАмир ПнуэлиРоберт Флойд Тони Хоар(Чарльз Энтони Ричард)

Ален КолмероэМихаил Захарьящев

1800 1900 2000

1900 2000

. . . . . .

12 / 22



−400 −300


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0

. . .

0 100 200 300 400


400 500 1500 1600. . .


1600 1700 1800


1800 1900

Георг КанторГотлоб ФрегеДавид ГильбертБертран РасселЭрнст Цермело Абрахам ФренкельТуральф Скулем(Торальф Сколем)

Курт Гёдель

Альфред ТарскийЖак ЭрбранГерхард ГенценАлонзо ЧёрчСтивен КлиниАнатолий МальцевСол КрипкеАмир ПнуэлиРоберт Флойд Тони Хоар(Чарльз Энтони Ричард)


1800 1900 2000

1900 2000

. . .

. . .

12 / 22



−400 −300


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0

. . .

0 100 200 300 400


400 500 1500 1600. . .


1600 1700 1800


1800 1900

Георг КанторГотлоб ФрегеДавид ГильбертБертран РасселЭрнст Цермело Абрахам ФренкельТуральф Скулем(Торальф Сколем)Курт Гёдель

Альфред Тарский

Жак ЭрбранГерхард ГенценАлонзо ЧёрчСтивен КлиниАнатолий МальцевСол КрипкеАмир ПнуэлиРоберт Флойд Тони Хоар(Чарльз Энтони Ричард)


1800 1900 2000

1900 2000

. . .

. . .

12 / 22



−400 −300


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0

. . .

0 100 200 300 400


400 500 1500 1600. . .


1600 1700 1800


1800 1900

Георг КанторГотлоб ФрегеДавид ГильбертБертран РасселЭрнст Цермело Абрахам ФренкельТуральф Скулем(Торальф Сколем)Курт ГёдельАльфред Тарский

Жак Эрбран

Герхард ГенценАлонзо ЧёрчСтивен КлиниАнатолий МальцевСол КрипкеАмир ПнуэлиРоберт Флойд Тони Хоар(Чарльз Энтони Ричард)


1800 1900 2000

1900 2000

. . .

. . .

12 / 22



−400 −300


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0

. . .

0 100 200 300 400


400 500 1500 1600. . .


1600 1700 1800


1800 1900

Георг КанторГотлоб ФрегеДавид ГильбертБертран РасселЭрнст Цермело Абрахам ФренкельТуральф Скулем(Торальф Сколем)Курт ГёдельАльфред ТарскийЖак Эрбран

Герхард Генцен

Алонзо ЧёрчСтивен КлиниАнатолий МальцевСол КрипкеАмир ПнуэлиРоберт Флойд Тони Хоар(Чарльз Энтони Ричард)


1800 1900 2000

1900 2000

. . .

. . .

12 / 22



−400 −300


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0

. . .

0 100 200 300 400


400 500 1500 1600. . .


1600 1700 1800


1800 1900

Георг КанторГотлоб ФрегеДавид ГильбертБертран РасселЭрнст Цермело Абрахам ФренкельТуральф Скулем(Торальф Сколем)Курт ГёдельАльфред ТарскийЖак ЭрбранГерхард Генцен

Алонзо Чёрч

Стивен КлиниАнатолий МальцевСол КрипкеАмир ПнуэлиРоберт Флойд Тони Хоар(Чарльз Энтони Ричард)


1800 1900 2000

1900 2000

. . .

. . .

12 / 22



−400 −300


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0

. . .

0 100 200 300 400


400 500 1500 1600. . .


1600 1700 1800


1800 1900

Георг КанторГотлоб ФрегеДавид ГильбертБертран РасселЭрнст Цермело Абрахам ФренкельТуральф Скулем(Торальф Сколем)Курт ГёдельАльфред ТарскийЖак ЭрбранГерхард ГенценАлонзо Чёрч

Стивен Клини

Анатолий МальцевСол КрипкеАмир ПнуэлиРоберт Флойд Тони Хоар(Чарльз Энтони Ричард)


1800 1900 2000

1900 2000

. . .

. . .

12 / 22



−400 −300


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0

. . .

0 100 200 300 400


400 500 1500 1600. . .


1600 1700 1800


1800 1900

Георг КанторГотлоб ФрегеДавид ГильбертБертран РасселЭрнст Цермело Абрахам ФренкельТуральф Скулем(Торальф Сколем)Курт ГёдельАльфред ТарскийЖак ЭрбранГерхард ГенценАлонзо ЧёрчСтивен Клини

Анатолий Мальцев

Сол КрипкеАмир ПнуэлиРоберт Флойд Тони Хоар(Чарльз Энтони Ричард)


1800 1900 2000

1900 2000

. . .

. . .

12 / 22



−400 −300


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0

. . .

0 100 200 300 400


400 500 1500 1600. . .


1600 1700 1800


1800 1900

Георг КанторГотлоб ФрегеДавид ГильбертБертран РасселЭрнст Цермело Абрахам ФренкельТуральф Скулем(Торальф Сколем)Курт ГёдельАльфред ТарскийЖак ЭрбранГерхард ГенценАлонзо ЧёрчСтивен КлиниАнатолий Мальцев

Сол Крипке

Амир ПнуэлиРоберт Флойд Тони Хоар(Чарльз Энтони Ричард)


1800 1900 2000

1900 2000

. . .

. . .

12 / 22



−400 −300


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0

. . .

0 100 200 300 400


400 500 1500 1600. . .


1600 1700 1800


1800 1900

Георг КанторГотлоб ФрегеДавид ГильбертБертран РасселЭрнст Цермело Абрахам ФренкельТуральф Скулем(Торальф Сколем)Курт ГёдельАльфред ТарскийЖак ЭрбранГерхард ГенценАлонзо ЧёрчСтивен КлиниАнатолий МальцевСол Крипке

Амир Пнуэли

Роберт Флойд Тони Хоар(Чарльз Энтони Ричард)


1800 1900 2000

1900 2000

. . .

. . .

12 / 22



−400 −300


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0

. . .

0 100 200 300 400


400 500 1500 1600. . .


1600 1700 1800


1800 1900

Георг КанторГотлоб ФрегеДавид ГильбертБертран РасселЭрнст Цермело Абрахам ФренкельТуральф Скулем(Торальф Сколем)Курт ГёдельАльфред ТарскийЖак ЭрбранГерхард ГенценАлонзо ЧёрчСтивен КлиниАнатолий МальцевСол КрипкеАмир Пнуэли

Роберт Флойд Тони Хоар(Чарльз Энтони Ричард)


1800 1900 2000

1900 2000

. . .

. . .

12 / 22



−400 −300


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0

. . .

0 100 200 300 400


400 500 1500 1600. . .


1600 1700 1800


1800 1900


(Чарльз Энтони Ричард)

Ален Колмероэ

Михаил Захарьящев

1800 1900 2000

1900 2000

. . .

. . .

12 / 22



−400 −300


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0


−600 −500 −400 −300 −200 −100 0

. . .

0 100 200 300 400


400 500 1500 1600. . .


1600 1700 1800


1800 1900


(Чарльз Энтони Ричард)Ален Колмероэ

Михаил Захарьящев

1800 1900 2000

1900 2000

. . .

. . .

12 / 22

Что движетразвитием логики?

13 / 22

Логические парадоксы

Парадоксы — движущая сила логики

Они заставляются задумываться над такими вопросами, как

I Что такое истинное утверждение?

I Что такое доказуемое утверждение?

I В какой мере можно “механизировать” рассудочное мышление?

14 / 22

Логические парадоксы(все знают этот парадокс, с него и начнём)

Парадокс лжеца

Это утверждение ложно

Ложно ли утверждение выше?

15 / 22

Логические парадоксы(а это должны знать все математики)

Парадокс Рассела

Пусть Ω — множество всех множеств,не содержащих себя в качестве элемента:

Ω = ω | ω /∈ ω

Верно ли, что Ω ∈ Ω?

16 / 22


Дилемма крокодила

Крокодил схватил ребенка.

Мать ребенка просит крокодила:“Верни мне ребенка!”

Крокодил отвечает:“Я верну тебе ребенка,если ты угадаешь, исполню ли я твою просьбу”

Если мать ответит “вернёшь”, она получит ребёнка?

А если мать ответит “не вернёшь”?

17 / 22


Парадокс утренней звезды

Венера видна ранним утром, и поэтому её называют“утренней звездой”

Венера видна поздним вечером, и поэтому её называют“вечерней звездой”

Означает ли это, что утренняя звездавидна поздним вечером?

18 / 22


Парадокс лысого(он же “парадокс кучи”)

Если у человека нет ни одного волоса, то он лыс

Если у лысого вырастет ещё один волосок, то он останется лысым

Значит, все люди лысые?

19 / 22

Логические парадоксыПарадокс пьяницы

Теорема. Все в этой комнате пьют.Доказательство.В этой комнате присутствует человек,такой что если он пьёт, то все пьют. (*)Я пью.Значит, все пьют. H

Лемма. (*)Доказательство.Если все в этой комнате пьют,то этот человек — любой из присутствующих.Иначе один из присутствующих (x) — непьющий.Пусть A — утверждение “x пьёт”, и B — утверждение “все пьют”.Утверждение A ложно, а значит, утверждение “если A, то B” истинно. H

Почему это доказательство неправильное?20 / 22

Логические парадоксыПарадокс морской битвы

Флотоводец обратился к прорицателю с вопросом,состоится ли завтра морская битва.Прорицатель ответил: “Битва завтра состоится”.

На следующий день случился шторм, и флот не смог выйти в море.Разгневанный флотоводец потребовал от прорицателявернуть деньги, поскольку его прогноз оказался ложным.

Прорицатель ответил:“Твои моряки вчера купили на рынке свежее молоко.Сегодня это молоко уже не свежее,но они не просят вернуть им деньги обратно.Мой прогноз тоже был верным вчера,и ты не вправе жаловаться на то, что он неверен сегодня”.

Прав ли прорицатель?21 / 22

Парадоксы неизбежны,но их влияние можно ограничить

Для этого нужныматематические модели логических законов

Так и появиласьМАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

22 / 22

new Математическая логика · 2020. 2. 10. · Древняя Греция 600...

Documents