1

Nemlineáris programozás

Játékelmélet

Alkalmazott operációkutatás

8. elıadás

2008/2009. tanév2008. november 21.

Smahó MelindaSmahó MelindaSmahó MelindaSmahó MelindaSmahó Melinda

Nemlineáris programozás

• Célfüggvény nem lineáris (feltételek lineárisak)

• Nincs közös megoldási algoritmus (speciális megoldási

algoritmusok)

• Osztályozás: célfüggvény alapján

– Célfüggvény másodfokú => kvadratikus programozás

– Célfüggvény lineáris törtfüggvény => tört vagy hiperbolikus programozás

Smahó MelindaSmahó MelindaSmahó MelindaSmahó Melinda

2

Kvadratikus célfüggvény

Smahó MelindaSmahó MelindaSmahó MelindaSmahó Melinda

Optimális megoldás nem csúcspont!

Tört vagy hiperbolikus program

• Definíció: Hiperbolikus programozásról beszélünk akkor, ha lineáris feltételrendszer nemnegatív megoldásait tartalmazó halmaz felett olyan racionális törtfüggvény maximumát keressük, amelyben mind a számláló, mind a nevezı elsı fokú függvény.

• Megoldás:

– Martos-féle módszer– Lineáris programozási feladattá transzformálás

Smahó MelindaSmahó MelindaSmahó MelindaSmahó Melinda

maxdxd

cxcz

bxA

0x

0T

0T

→+

+=

≤

≥

3

Játékelmélet

Smahó MelindaSmahó MelindaSmahó MelindaSmahó Melinda

Játékelmélet – alapfogalmak I.

• Definíció: A játékelmélet olyan matematikai elmélet, amely vetélkedési helyzetek általános jellegzetességeivel foglalkozik.– kétszemélyes játék

– n-személyes játék

• Feltételek:

– Racionális gondolkodás

– Saját érdekek

– Stratégia választás az ellenfél stratégiájának ismerete nélkül

• Definíció: A stratégia egy elıre kimondott szabály, amely meghatározza, hogyan válaszol a játékos a játék minden egyes szakaszában minden egyes körülményre.

• Szóba jövı stratégiák összessége = stratégia halmazSmahó MelindaSmahó MelindaSmahó MelindaSmahó Melinda

4

Játékelmélet – alapfogalmak II.

• Definíció: Ha a játékosok egymástól függetlenül, csak a saját érdekük figyelembevételével választanak stratégiát, akkor nemkooperatív, egyébként kooperatív játékról beszélünk.

• Játék kimenetele

– Értékelı függvény

– Kifizetı mátrix

• Ha a stratégiák halmaza véges, akkor véges játékról, egyébként végtelen játékról beszélünk.

Smahó MelindaSmahó MelindaSmahó MelindaSmahó Melinda

{ }n1n1

ii

n1nn11

n21

f,,f;S,,SG

n) 2, 1, (i Ss

)s ,,s(f , ),s ,,s(f :függvény Kifizetı

S,S,S:almazStratégiah

KK

K

KKK

K

=

=∈

Kétszemélyes zérusösszegő játékok

• 2 játékos, az egyik játékos azt nyeri, amit a másik elveszít

• Példa: egy J1 játékos és egy J2 játékos felmutatja egyszerre egy vagy két ujját. Ha az ujjak száma megegyezik, akkor J1 játékos nyer, ha nem, akkor veszít.

A játék kifizetési táblázata J1 játékos számára:

Smahó MelindaSmahó MelindaSmahó MelindaSmahó Melinda

112

1111J

21

2J

−

−

5

Mátrixjáték egyensúlyi pontja / nyeregpontja

• Mátrixjáték: kétszemélyes zérusösszegő véges játék

836

38342

554611J

321

2J

−−−

Smahó MelindaSmahó MelindaSmahó MelindaSmahó Melinda

)a minmax

)a maxmin

ij( :a választás1J

ij( :a választás2J

ji

ij

[ ]

[ ] v33;5maxij( :a választás1J

v38,3,6minij( :a választás2J

)a minmax

)a maxmin

ji

ij

==−=

===

Kevert stratégiájú mátrixjátékok

• Tiszta stratégia: ha játékos a játékban egy oszlopot vagy sort választ és végig ezzel a stratégiával játszik.

• Kevert/súlyozott stratégia: a játékosok változtatják a stratégiát a játék során.

1xxxx

0x,x, x:ségei valószínőálasztásistratégiav játékos J1

oszlopn sor, m : táblázatKifizetı

m321

m21

=++++

≥

K

K

Smahó MelindaSmahó MelindaSmahó MelindaSmahó Melinda

1yyyy

0y,y,y :ségei valószínőálasztásistratégiav játékos 2J

n321

n21

=++++

≥

K

K

yAx

:értéke) ek várhatónyereségén (J1 értéke várhatóJátékT

6

Kétszemélyes nem konstans összegő játékok

• Kooperatív nem konstans összegő játék: játékosok együttmőködnek, együttes nyeremény szétosztása (J. Nash, R. Selten, Harsányi J.)

• Nem kooperatív nem konstans összegő játék: játékosok nem mőködnek együtt

1920 - 20001930 -1928 -

Smahó MelindaSmahó MelindaSmahó MelindaSmahó Melinda

Nash-egyensúly: J2 adott választása mellett J1 döntése optimális és

J1 döntése esetén J2 döntése optimális. (egyik sem tudja elıre, hogy

mit választ a másik).

7

Fogoly-dilemma

1)(1)(06)(

6)(03)(3)(

−−−

−−−

Vall

Vall

Tagad

Tagad

B játékos

A játékos

Smahó MelindaSmahó MelindaSmahó MelindaSmahó Melinda

Nash-egyensúly: ha mindketten vallanak

Pareto-hatékony: ha mindketten tagadnak (mindketten jobban járnak)

Nash-egyensúly nem mindig Pareto-hatékony!

Köszönöm a figyelmet!

Smahó MelindaSmahó MelindaSmahó MelindaSmahó Melinda