nema mogućnosti prebacivanja u veličine, ujedno nemoguće...

Nastavna cjelina: Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe

Nastavne jedinice: TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE

Razred: III

Napomena: Softver Sketchpad 4.07 HR – nema mogućnosti prebacivanja u

pdf. format i pri kopiranju u Word-u nastali su neprirodni fontovi, stilovi i

veličine, ujedno nemoguće je kompletno srediti tekst i zato se

izvinjavam.

TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽE

Što je nepoznanica kod trigonometrijskih nejednadžbi?

Kod trigonometrijskih nejednadžbi nepoznanica je varijabla neke trigonometrijske funkcije.

Trigonometrijske nejednadžbe imaju oblik: f (x) 0 ili f (x) > 0

Postupak rješavanja:

1. Primjeniti prikladne trigonometrijske identitete

2. Primjenom algerbarskih postupaka nejednadžba se svode na jedan od osnovnih oblika sin x < a; sin x > a; cos x < b; tg x < c; ctg x < d

Prisjetimo se: Važno za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi.

2. cos x = a, a -1, 1

x1,2 = x0 + 2k, k Z

x0 ... pojedinačno rješenje

1. sin x = a, a -1, 1

x1 = x0 + 2k

x2 = 180 - x0 + 2k , k Z

4. ctg x = a

x = x0 + k

3. tg x = a, a R < - , >

x = x0 + k, k Z



Razred: III

Napomena: U programu nemaoznake za element-koristimo

Ponovimo-općenito: Kada je x a -a x a, a R

x a x a ili x -a Pod ili smatramo unija.

Zadatak 1: Riješimo nejednadžbu 2 sin x > 1 /:2

sin x > 1

2

Rješavamo koristeči se brojevnom kružnicom

- Funkcija na lijevoj strani trigonometrijske nejednadžbe je sinusoida f(x) = sin x

1. Jedinica (zadanom) odnosno 1

2 (sređenom obliku) je na desnoj strani zadane

nejednadžbe. Kako znamo da li je pravac koji crtamo y = 1

2 ili x =

1

2?

Iz definicije trigonometrijskih funkcija na brojevnoj kružnici dolazimo do zaključka koji pravac crtamo.



Razred: III

ctg x g x = 1

f y = 1

E (t)

sin x

COS XO

Napomena:U rađenom Sketchpad 4.07 NE MOGU se skratiti pravci.

Napomena:

Radi preglednosti koordinatni sustav je skriven u pdf. doc. se nemože prikazati-u rađenom Sketchpad 4.07 koji

se nalazi pod korisničke postavke-dokumenti može.

Crtamo pravac koji sječe koordinatnu os gdje se nalazi

zadana funkcija-sinus na ordinati (y = 1

2).

Rješavamo pomoću jedinične brojevne kružnice:



Razred: III

1.Nacrtajmo jediničnu brojevnu kružnicu

2.Odredimo kutove za koje je sin x = 1

2i sin x = -

1;

2

x1 =

6 (30) , x2 =

3

2 (270)

3. Nacrtajte pravce (granične vrijednosti): g (x) = y = 1

2, h (x) =

y = - 1

2

4. Izdvojimo dio luka brojevne kružnice od

6 do

5

6 za koje je

vrijednost sinusa veća od 1

2 i -

6 do -

5

6

za koje je vrijednost sinusa manja od - 1

2.

Označimo ga crvenom bojom na jediničnoj brojevnoj

kružnici.



Razred: III

Unutar intervala -,

Unutar kojeg se intervala nalaze

rješenja zadane trigonometrijske

nejednadžbe?

Rješenja nejednadžbe su unutar intervala -, i

pripadaju skupu:

-5

6 + 2k < x < -

6 + 2k, k Z U

6 + 2k < x <

5

6 + 2k, k Z ?



Razred: III

1,6

1,4

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3

- 1

2 < sin x <

1

2

Granične vrijednosti:

g (x) = 1

2, h (x) = -

1

2

Riješenje nejednadžbe 2 sin x > 1 /:2

sin x > 1

2

6

5

6

-5

6-

6sin x < -1

2

sin x > 1

2

h x = -1

2

g x = 1

2



Razred: III

10

8

6

4

2

-2

-4

-15 -10 -5 5 10 15

k y = -2,61799

j y = -0,523599

Rješenja nejednadžbe su unutar intervala

-, i pripadaju skupu:

-5

6 + 2k < x < -

6 + 2k, k Z U

6 + 2k < x <

5

6 + 2k, k Z ?

5

6

6

i y = 2,61799

Napomena: Rad u programu zahtjeva

više decimala radi preciznosti u crtanju. h y = 0,523599

1. Nacrtamo graf funkcije f (x) = 2 sin x

2. Nactramo pravac y = 1 (granična vrijednost)

3. Izdvojimo dio grafa ispod pravca i projeciramona osi x odnosno ortogonalno projeciramolukove na osi x

g x = 1f x = 2 sin x



Razred: III

Zadatak 2: Riješi nejednadžbu cos x < 3

2.

Riješavamo koristeči se grafom funkcije kosinus (postoje dvije mogučnosti rješavanja-radi

apsolutne vrijednosti funkcije kosinus cos x )

1. Nacrtajmo graf kosinusoide f (x) = cos x

2. Pošto je cos x < 3

2 tada su radi apsolutne vrijednosti funkcije granične vrijednosti

- 3

2 < cos x <

3

2.

3. Povlačimo pravce (granične vrijednosti) koje smo dobili iz tog uvjeta g (x) = y = 3

2

h (x) = y = - 3

2

Koju koordinatnu os i dio poluravnine promatramo? x-os

Koje dijelove kosinusoide moramo istaknuti? Dijelove koji se nalaze unutar pruge koju omeđuju graničnipravci odnosno vrijednosti.

Što su rješenja trigonometrijske nejednadžbe? Rješenja su označena crvenom bojom



Razred: III

8

6

4

2

-2

-4

-6

-15 -10 -5 5 10 15

Napomena:

Očitamo na apcisi i spuštimo okomicu na graf za

x1 =

6 i x2 =

5

6. U pisanom programu-mora se

nacrtati pravac kroz te točke.

Pri crtanju grafa funkcije softver zapisuje cos (x).

l y = 0,523599

h x = - 3

2

f x = cos x g x = 3

2

-5

6 + 2k < x < -

6 + 2k, k Z U

6 + 2k < x <

5

6 + 2k, k Z

Rješenja nejednadžbe su unutar intervala


1. Istakniti dijelove grafa koji suunutar pruge

- 3

2 < cos x <

3

2

2. Očitamo intervale kojima su apcise tihlukova: iz točaka sjecišta pravaca s lukovimakosinusoide spuštamo okomicu na apcisu -označeno crvenom bojom (rješenja)

-

6-5

6

6

5

6

I mogućnost:



Razred: III

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

Napomena:Pri crtanju grafa funkcije softver zapisuje cos (x).

Rješenje nejednadžbe prikazano

crvenom bojom.

1. Nacrtamo graf funkcije f (x) = cos x

2. Nactramo pravac (granična vrijednost)

g (x) = y = 3

2

3. Izdvojimo dio grafa ispod pravca i projeciramo na osi x.

Rješenje nejednadžbe su unutar intervala


-5

6 + 2k < x < -

6 + 2k, k Z U

6 + 2k < x <

5

6 + 2k, k Z

i y = 2,61799k y = -0,523599

j y = 0,523599l y = -2,61799

- 5

6-

6

6

5

6

II mogućnost:

g x = 3

2f x = cos x



Razred: III

Riješimo upotrebom brojevne kružnice

1.Nacrtajmo jediničnu brojevnu kružnicu

2.Odredimo kutove za koje je cos x = 3

2 i cos x = -

3

2

x1 =

6 (30) ; x2 =

5

6 (150)

Naznačimo kuteve na brojevnoj kružnici.

Granične vrijednosti: - 3

2 < cos x <

3

2

4. Izdvojimo dio luka brojevne kružnice od

6 do

5

6 i -

6 do -

5

6 . Odredimo gdje je cos x veći, a gdje manji od

graničnih vrijednosti.

Označimo crvenom bojom lukove na jediničnoj brojevnoj kružnici.

Unutar kojeg se intervala nalaze rješenja zadane trigonometrijske nejednadžbe ?

Unutar intervala -,



Razred: III

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,4

-1,6

-1,8

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3

- 3

2 < cos x <

3

2


cos x > - 3

2cos x <

3

2

Rješenje nejednadžbe cos x < 3

2Rješenja nejednadžbe su unutar

intervala -, i pripadaju skupu:

-5

6 + 2k < x < -

6 + 2k, k Z U

6 + 2k < x <

5

6 + 2k, k Z

-

6-5

6

65

6

- 3

2

3

2

g y = -0,866025 f y = 0,866025



Razred: III

cos x < 0.6

cos x < 3

5

Određujemo sve brojeve x za koje je: -3

5 < cos x <

3

5 granične vrijednosti -

3

5 < y <

3

5

Jer je zadana apsolutna vrijednost funkcije kosinus.Zašto uzimamo 3

5 ?

Ponovimo-općenito: Kada je x a -a x a, a R

x a x a ili x -a odnosno unija

x < a -a < x < a, nema unije u rješenjuU gore napisanom leži odgovor za konačno rješenje

0.2952 + k < x < 0.7048 + k, kZ

Rješavamo pomoću jedinične brojevne kružnice:

1. Nacrtajmo jediničnu brojevnu kružnicu

2. Povučemo pravce y1 = 0.6 = 3

5 i y2 = - 0.6 = -

3

53. Odredimo kuteve za koje je cos x = 0.6 i cos x = - 0.6



Razred: III

x1 = cos-1 0.6 = 53.13010235 stupnjeve pretvaramo u radijane po formuli

0 = x1 =

180 =

53.13010235

180

x1 = 0.2951672353 = 0.2952 = 0.9273

x2 = cos-1 (-0.6) = 126.8698976 0 = x1 =

180 =

126.8698976

180

x2 = 0.7048327644 = 0.7048 = 2.2143

Unutar kojeg se intervala nalaze rješenja zadane trigonometrijske nejednadžbe?

Unutar intervala -,



Razred: III

1,4

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,4

-1,6

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Rješenje nejednadžbe cos x < 0.6

cos x < 0.6

0.2952 0.7048

-0.7048 -0.2952

x y = 0,6

Rješenje nejednadžbe je

unutar intervala -,

Rrješenje nejednadžbe je skup

0.2952 + k x 0.7048 + k,kZ =

0.9273 + k x 2.2143 + k, kZ x y = -0,6



Razred: III

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-15 -10 -5 5 10 15

Rrješenje nejednadžbe je skup

0.2952 + k x 0.7048 + k,kZ =

0.9273 + k x 2.2143 + k, kZ


= 2.214298

=0.927232

k y = -0,704833

j y = -0,295167

i y = 0,704833

h y = 0,295167

g x = 3

5

f x = cos x

Iz točaka sjecišta pravaca s lukovimakosinusoide spuštamo okomicu naapcisu.

Kako?Ističemo dijelove grafa funkcije koji je ispod

pravca y = 0.6 = 3

5, a pravac projeciramo na

os x.

-3

5 < y <

3

5 -

3

5 < cos x <

3

5

Rješenje nejednadžbe cos x < 0.6

cos x < 3

5



Razred: III

Zadatak 4:

Riješimo nejednadžbu sin x < sin

4

Da.Da li desnu stranu jednadžbe uzimamo kao broj?

Čemu je jednako sin

4?

sin x < 2

2

sin

4 =

2

2

x1 = sin-1 2

2 =

4

x1 =

4

x2 = sin-1 (-2

2) = -

4 =

3

4

x2 = -

4 =

3

4



Razred: III

Zadatak riješavamo koristeći se grafom funkcije sinus.

Druga je mogučnost crtanja grafa apsolutne vrijednosti (kao u prethodnim primjerima) - samostalno riješite.

Odredimo sve brojeve x za koje je - 2

2 < sin x <

2

2 - granične vrijednosti



Razred: III



Razred: III

1. Nacrtajmo graf sinusoide f (x) = sin x

2. Pošto je sin x < 2

2 tada su radi apsolutne vrijednosti funkcije granične vrijednosti

- 2

2 < sin x <

2

2.

3. Crtamo pravce (granične vrijednosti) koje smo dobili iz gornjeg uvjeta g (x) = y = 2

2 i h (x) = y = -

2

2

4. Označimo točke sjecišta pravaca s grafom.

5. Očitamo intervale u kojima su apcise tih lukova-ortogonalno projeciramo lukove na osi x: iz točaka sjecišta pravaca s lukovimasinusoide crtamo okomicu (na grafu nisu nacrtane okomica nego samo točke) spuštena na apcisu.

6. Određujemo intervale na apcisi koji su rješenja zadane nejednadžbe



Razred: III

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 157

4

m y = 5,49779

-

4 + k < x <

4 + k, k Z .

sin x < 2

2

Rješenje nejednadžbe sin x < sin

4

l y = -2,35619

-

4

k y = -0,785398

i y = 0,785398

Rješenje nejednadžbe su unutar intervala


3

4

j y = 2,35619

4h x =

- 2

2

g x = 2

2f x = sin x



Razred: III

Riješimo upotrebom jedinične brojevne kružnice

sin x < 2

2

1. Nacrtajmo jediničnu brojevnu kružnicu

2. Povučemo pravce paralelno s osi x jer je funkcija sinus (pogledamo brojevnu kružnicu na 1 strani)

y1 = - 2

2 i y2 =

2

2 (granične vrijednosti)

3. Crtamo kutove za koje je sin x = -2

2 i sin x =

2

2

x1 =

4 ; x2 = -

4 =

3

4



Razred: III

1,4

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,4

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5

Rješenje nejednadžbe:

-

4 + k < x <

4 + k, k Z sin x <

2

2

-

4 =

7

4

4

sin x < 2

2

sin x > -2

2

h x = - 2

2

g x = 2

2



Razred: III

Zadatak 4:

Riješite nejednadžbu 2 cos2 x 1

Zadatak riješavamo pomoču jedinične brojevne kružnice.

Samostalno riješiti upotrebom grafa funkcije kosinus (jedna i druga mogučnost).

2 cos2 x 1 /:2 Da bi dobili funkciju kosinus, a ne njen kvadrat moramo korjenovati.

Drugi korjen od kosinus na kvadrat iks ( cos2 x ) ima pozitivnu i negativnu

2 cos2 x

2

1

2 vrijednost i zato pišemo modul ili apsolutnu vrijednost od kosinusa cosx .

cos2 x 1

2 / cos x

1

22

2 Zašto racijonaliziramo? Da dobijemo uočljivu vrijednost

kosinusa poznatog kuta.

cos2 x 1

2 / cos x

2

4

cos2 x 1

2 cos x

2

2

cos x - 2

2 cos x + 2

2 0 1) cos x - 2

2 0 cos x

2

2 x0 =

4

cos x + 2

2 0 cos x -

2

2 x0 =

3

4

2) cos x - 2

2 0 cos x

2

2 x= x0 + 2k = -

4

cos x + 2

2 0 cos x -

2

2 x = x0 + 2k = -

3

4



Razred: III

1,4

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,4

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5

Postupak isti kao u prethodnimzadacima.

Rješenja nejednadžbe su unutar

intervala -, i pripadaju skupu:

- 2

2 cos x

2

2

-3

4 + 2k < x < -

4 + 2k, k Z U

4 + 2k < x <

3

4 + 2k, k Z

cos x -2

2cos x

2

2

3

4

-3

4

h y = - 2

2g y =

2

2

Rješenje nejednadžbe 2 cos2 x 1

4

-

4 =

7

4




Razred: III

Zadatak 5:

Riješite nejednadžbu 2 sin2 x - sin x 1

Zadatak riješavamo koristeći se grafom funkcije sinus

Samostalno riješite pomoču jedinične brojevne kružnice.

2 sin2 x - sin x - 1 0

1. Uočavamo kvadratnu nejednadžbu a x2 + b x + c = 0

Uvesti supstituciju.Što treba napraviti?

Nemožemo.Možemo li riješiti kvadratnu nejednadžbu u obliku kako je napisana?

2 t2 - t -1 = 0 a = 2 b = -1 c = -1

t1,2 = -b b2 - 4 a c

2 a=

-(-1) (-1)2 - 4 2 (-1)

22=

- -1 1 + 8

4=

1 9

4=

13

4

t1 = 1+3

4=

4

4= 1 t2 =

1- 3

4=

- 2

4 =

1

2 nul točke kvadratne jednadžbe su

granične vrijednosti

sin x = t2. Supstitucija

- 1

2 sin x 1 granične vrijednosti



Razred: III

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-15 -10 -5 5 10 15

Granične vrijednosti su 1 i - 1

2

Napomena: Program za crtanje parabole nemože primitit kao nepoznanicu nego samo x.

f (x) = 2 t2 - t -1 Nul točke kvadratne jednadžbe:

t1 = - 1

2 t2 = 1

Interval označen crvenom bojom

1-

1

2

f x = 2x2-x-1



Razred: III

1. Nacrtajmo graf sinusoide f (x) = sin x

2. Granične vrijednosti - 1

2 sin x 1

3. Crtamo pravce koje smo dobili iz gornjeg uvjeta g (x) = y2 = 1 , h (x) = y1 = - 1

2 .

4. Označimo točke sjecišta pravaca s grafom h (x) = y1 = - 1

2 (jedini pravac koji sječe graf funkcije), a pravac

g (x) = y2 = 1 (dodiruje graf funkcije-ne siječe ga) .

5. Očitamo intervale u kojima su apcise tih lukova-ortogonalno projeciramo lukove na osi x: iz točaka sjecišta pravaca slukovima sinusoide spuštamo okomice na apcisu.

6. Određujemo intervale na apcisi koji su rješenja zadane nejednadžbe

- 1

2 sin x 1



Razred: III

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

Rješenje nejednadžbe 2 sin2 x - sin x 1

-

6 + 2k x

7

6 + 2k, k Z

11

6

7

6h x =

-1

2

-5

6-

6

Napomena: Rad u programu zahtjeva

više decimala radi preciznosti u crtanju. j y = -2,61799

i y = -0,523599

g x = 1f x = sin x



Razred: III

Zadatak 6:

Riješite samostalno nejednadžbu cos2 x - sin2 x > 1

2

Upute za računanje:

Lijevu stranu jednadžbe zamjenjujemo s trigonometrijskim identitetom-trigonometrijska funkcija dvostrukog kuta:

1. Vidimo da je zadana vrijednost kosinusa traženog kuta pozitivan broj.

2. Sjetimo se jedinične brojevne kružnice.

3. Gdje se kosinus nalazi i gdje je pozitivan? Poklapa se s apcisom (x-os). Pozitivan je na pozitivnom dijelu osi x.

cos2 x - sin2 x > 1

2

cos 2x > 1

2

cos2 x - sin2 x = cos 2x

Što je granična vrijednost ili granične vrijednosti ?

Koji kutovi unutar intervala 0, 2 ima vrijednost kosinusa 1

2?



Razred: III

R: -

6 + k < x <

6 + k, k Z

t = 2 x cos t > 1

2

t = arc cos 1

2= cos-1

1

2

t =

3 (60) ;

2 x =

3 + 2k / : 2

2 x

2 =

3

2 +

2k

2 =

2 3 + k =

6 + k

x =

6 + k

Zadatak 7:

Riješite trigonometrijsku nejednadžbu tg x 3


1. Nacrtajte jediničnu brojevnu kružnicu

2. Nacrtajte pravac (graničnu vrijednost) x (y) = 3

3. Gdje se nalazi tangens na jediničnoj brojevnoj kružnici? Pogledati na

strani 2.

4. Odredimo točke za koje je tg x = 3. x =

3 + k

5. Zaključiti koji su intervali rješenje-vidite brojevnu kružnicu



Razred: III

1,8

1,6

1,4

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,4

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Rješenje trigonometrijske

nejednadžbe-pišemo radi

periodičnosti funkcije

tangens:

tg x 3

3 + k x <

2 + k, k Z

Rješenje tg x 3

3

2

2 interval ne sadrži

4

3

g y = 1

3

f x = 3



Razred: III

nema mogućnosti prebacivanja u veličine, ujedno nemoguće...

Documents