neki zadaci iz kemije

103
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики – процессов управления В. Н. СТАРКОВ, Н. А. СТЕПЕНКО ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Учебное пособие Санкт-Петербург 2007

Upload: jamjim97

Post on 15-Jan-2016

110 views

Category:

Documents


1 download

DESCRIPTION

neki korisni zadaci iz

TRANSCRIPT

Page 1: neki zadaci iz kemije

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТФакультет прикладной математики – процессов управления

В. Н. СТАРКОВ, Н. А. СТЕПЕНКО

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Учебное пособие

Санкт-Петербург2007

Page 2: neki zadaci iz kemije

УДК 517.53 (075.8)ББК 22.161.5

С77Р е ц е н з е н т ы : д-р физ.-мат. наук, проф. В.Ф. Зайцев (Рос. гос. пед.

ун-т им. А.И. Герцена); канд. физ.-мат. наук, доц.В.Н. Иголкин (С.-Петерб. гос. у-нт)

Печатается по постановлению Редакционно-издательского советафакультета прикладной математики – процессов управления

Санкт-Петербургского государственного университета

С77Теория функций комплексной переменной: Учеб.пособие / Старков В.Н., Степенко Н.А. — СПб.: ”СОЛО”,2007. — 103 с.ISBN 5-98340-063-0

В пособии рассмотрены различные разделы ТФКП, соответ-ствующие годовому курсу лекций, читаемому на факультете при-кладной математики-процессов управления СПбГУ. Некоторыематериалы представлены полно, другие — в кратком изложениии для их изучения надо прибегать к литературным источникам.При составлении пособия использовались разные источники, спи-сок которых приведен. Чтобы углубить знания в этой области,следует изучать эти монографии.

Пособие состоит из шести глав, в конце каждой даются вопро-сы для повторения. По ходу изложения теоретического материалаприводятся также примеры, служащие для иллюстрации общихположений и методов. В конце пособия приведены вопросы тести-рования, которое проводится каждый семестр. Пособие предна-значено для студентов университетов, обучающихся на дневном,вечернем и заочном отделениях физико-математических специ-альностей.

Библиогр. 7 назв. Ил. 23.

Работа выполнена при поддержке Федерального агентства пообразованию в рамках Национального проекта “Образование”.

Инновационный проект СПбГУ “Инновационнаяобразовательная среда в классическом университете”,

ИОП “Прикладная математика и информатика”

© В.Н. Старков, Н.А. Степенко, 2007

ISBN 5-98340-063-0

Page 3: neki zadaci iz kemije

ГЛАВА 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯНАД НИМИ

В XVI–XVII вв. выражения вида a + b√−1 , b 6= 0 , появля-

ющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, сталиназывать “мнимыми”.

По-видимому, впервые мнимые величины появились в извест-ном труде “Великое искусство, или о правилах алгебры” Карда-но Дж. (1545), который счел их бесполезными, непригодными к упо-треблению. Для многих крупных ученых (Ньютон И., Лейбниц Г.)алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин пред-ставлялась неясной и даже загадочной и мистической.

Символ i =√−1 предложил Леонард Эйлер (1794). Гаусс К.

ввел в употребление термин “комплексное число” в 1831 году. Пол-ное геометрическое истолкование комплексных чисел и действийнад ними появилось впервые в работе датчанина Каспара Вессе-ля (1799).

Замечание 1. Не надо путать символ i =√−1 и результат

извлечения квадратного корня из “−1 ”. Позже мы выясним, что√−1 = ±i .

Например, при решении уравнения x2−2x+5 = 0 , дискрими-нант которого отрицателен, получаем корни x = 1±2i , являющиесякомплексными числами.

§1. Алгебраическая форма комплексного числа

Определение 1.1. Комплексным (ударение на первый слог)числом z называется выражение вида z = x + iy , где x и y —вещественные числа, i — мнимая единица, i =

√−1 .

Выражение z = x + iy называют алгебраической формой ком-плексного числа, x называется вещественной частью числа z иобозначается Re z (Re — начальные буквы латинского слова realis— вещественный), y называется мнимой частью z и обозначает-ся Im z (Im — начальные буквы латинского слова imaginarius —мнимый).

Например, Re (1−2i) = 1 , Im (1−2i) = −2 . Если y = Im z = 0 ,то z = x является вещественным числом, а если Re z = x = 0 и

3

Page 4: neki zadaci iz kemije

y 6= 0 , то z = iy является чисто мнимым числом. Таким образом,множество вещественных чисел R является подмножеством мно-жества комплексных чисел C , то есть R ⊂ C .

Определение 1.2. Два комплексных числа z1 и z2 равнытогда и только тогда, когда Re z1 = Re z2 и Im z1 = Im z2 одновре-менно.

Определение 1.3. Сопряженным с комплексным числомz = x+iy называют комплексное число вида x−iy , его обозначаютz = x− iy .

Определение 1.4. Комплексное число −x− iy = −z называ-ется противоположным комплексному числу z = x + iy .

Их сумма равна так называемому нулевому комплексномучислу x + iy + (−x − iy) = 0 + i0 . Число z равно нулю, еслиRe z = Im z = 0 .

Для комплексных чисел α, β, γ выполняются следующие за-коны арифметики.

а) Коммутати в ный (п е р ем е стите л ь ный) з а к о н:

для сложенияα + β = β + α;

для умноженияαβ = βα.

б) Ас с о ц и ати в ный (с о ч етате л ь ный) з а к о н:

для сложения

α + β + γ = α + (β + γ) = (α + β) + γ = β + (α + γ);

для умножения

αβγ = α(βγ) = (αβ)γ = β(αγ).

в) Ди стри б ути в ный (р а с п р е д е л ит е л ь ный) з а к о н:

α(β + γ) = αβ + αγ.

4

Page 5: neki zadaci iz kemije

Действия над комплексными числами, записанными в алгеб-раической форме α = a + bi , β = c + di , выражаются следующимиформулами: для сложения и вычитания

α± β = (a + bi)± (c + di) = (a± c) + (b± d)i,

для умножения (учитывая, что i2 = −1)

αβ = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac− bd) + (ad + bc)i,

заметим также, что αα = a2 + b2 ∈ R , i3 = −i , i4 = 1 , и, наконец,для деления

α

β=

αβ

ββ=

(a + bi)(c− di)c2 + d2

=ac + bci− adi− bdi2

c2 + d2=

=ac + bd + (bc− ad)i

c2 + d2=

ac + bd

c2 + d2+

bc− ad

c2 + d2i.

§2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

В 1799 году датчанин Каспар Вессель определил комплексноечисло как упорядоченную пару вещественных чисел (x, y) . Извест-но, что на декартовой плоскости упорядоченной паре соответствуетточка. Выберем на плоскости прямоугольную систему координат иустановим взаимно однозначное соответствие между комплексны-ми числами и точками плоскости, при котором комплексному чис-лу z = x + iy отвечает точка M с координатами x, y (Рис. 1.1).Точку M мы рассматриваем как изображение комплексного чис-ла z = x + iy .

y

x0 x

iyM(x, y)

z = x + iy

1

Рис. 1.1.

При этом множество всех ве-щественных чисел изображаетсяосью абсцисс, называемой поэто-му вещественной осью, множествовсех чисто мнимых чисел лежитна оси ординат, называемой мни-мой осью. Плоскость XOY , точ-ки которой изображают комплекс-ные числа, называется комплекс-ной плоскостью (иногда гауссовой

5

Page 6: neki zadaci iz kemije

плоскостью) или просто плоскостью z . Термины “комплексное чис-ло z ” и “точка z ” употребляются как синонимы.

Комплексное число z = x + iy может также изображатьсявектором с проекциями x и y на координатные оси, который, та-ким образом, равен радиус-вектору точки z . Иногда термины “ком-плексное число” и “вектор” употребляют также как синонимы.

Замечание 2.1. Именно поэтому, глядя на координатнуюплоскость, естественно сделать вывод, что комплексные числаневозможно сравнивать, т.е. нельзя говорить, что какое-то ком-плексное число больше или меньше другого.

Напомним, что в полярных координатах точка M имеет ко-ординаты (r, ϕ) . В нашем случае полярные координаты имеют сле-дующий смысл: полярный радиус (или длина вектора) называетсямодулем комплексного числа z = x+ iy и вычисляется по формуле

r = |z| =√

x2 + y2 =√

zz,

полярный угол ϕ (угол между положительным направлениемоси OX и отрезком OM ) называется аргументом комплексногочисла z и обозначается ϕ = Arg z . Модуль и аргумент — две важ-нейшие характеристики комплексного числа.

Условия равенства двух комплексных чисел z1 и z2 — равен-ство их модулей: |z1| = |z2| и аргументов: Arg z1 = Arg z2 .

• Ос о б ы й р а з г о в о р об а р г у м е н т е

Угол ϕ = Arg z — аргумент комплексного числа z = x + iy .Этот угол, изменяясь от положительного направления оси OX про-тив часовой стрелки, увеличивается до 2π , а далее его величины по-вторяются. Поэтому аргумент комплексного числа бесконечнозна-чен, так как все его значения отличаются друг от друга на слагае-мые, кратные 2π .

Аргумент ϕ определяется из формулx = r cos ϕ,

y = r sinϕ(1.1)

с точностью до слагаемого 2πk :

Arg z = arg z + 2πk, k = 0,±1,±2, . . . .

6

Page 7: neki zadaci iz kemije

Из множества значений аргумента особо выделяется главноезначение arg z , удовлетворяющее неравенству −π < arg z ≤ π . Приэтом полезны формулы

arg z =

arctg

y

x, x > 0,

arctgy

x+ π, x < 0, y ≥ 0,

arctgy

x− π, x < 0, y < 0.

(1.2)

Замечание 2.2. Для комплексного числа z = 0 + i0 понятиеаргумента не имеет смысла.

§3. Тригонометрическая и показательная формы комп-лексных чисел

Кроме алгебраической формы z = x + iy часто используютдругие формы. Применяя формулы (1.1), находим

z = r cos ϕ + ir sinϕ или z = r(cos ϕ + i sinϕ),

что является тригонометрической формой записи комплексногочисла. Воспользовавшись формулой Эйлера eiϕ = cos ϕ + i sinϕ ,получим

z = reiϕ

показательную форму комплексного числа.Напомним, что модуль комплексного числа z = x + iy вы-

числяется по формуле r = |z| =√

x2 + y2 =√

zz , аргумент ϕкомплексного числа z обозначается ϕ = Arg z = arg z + 2πk ,(k = 0,±1,±2, . . .). Главное его значение arg z (угол между по-ложительным направлением оси OX и вектором числа z = x+ iy ),удовлетворяющее неравенству −π < arg z ≤ π , вычисляется поформулам (1.2)

Пример 3.1. Представить комплексное число

z = 1− sinα + i cos α, 0 < α <π

2

в тригонометрической форме.

7

Page 8: neki zadaci iz kemije

Р е ш е н и е. По определению:

z = |z|(cos(arg z) + i sin(arg z)

).

Модуль равен

|z| =√

(1− sinα)2 + cos2 α =√

2(1− sinα),

а аргумент

arg z = arctgcos α

1− sinα= arctg

cosα

2+ sin

α

2cos

α

2− sin

α

2

=

= arctgtg

π

4+ tg

α

21− tg

π

4tg

α

2

4+

α

2.

О т в е т: z =√

2(1− sinα)(

cos(π

4+

α

2

)+ i sin

4+

α

2

)).

Примечание: воспользоваться формулами двойного угла.

§4. Умножение и деление комплексных чисел, записан-ных в тригонометрической или показательной формах

Пусть даны два комплексных числа, записанных в тригоно-метрической форме

z1 = r1(cos ϕ1 + i sinϕ1),z2 = r2(cos ϕ2 + i sinϕ2).

Выведем формулу для произведения:

z1z2 = r1r2

(cos ϕ1 cos ϕ2 − sinϕ1 sinϕ2 + i(sinϕ1 cos ϕ2+

+cos ϕ1 sinϕ2))

= r1r2

(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)

).

Для деления получим следующую формулу (z2 6= 0) :

z1

z2=

r1(cos ϕ1 + i sinϕ1)r2(cos ϕ2 + i sinϕ2)

=r1(cos ϕ1 + i sinϕ1)(cos ϕ2 − i sinϕ2)r2(cos ϕ2 + i sinϕ2)(cos ϕ2 − i sinϕ2)

=

8

Page 9: neki zadaci iz kemije

=r1

r2

(cos ϕ1 cos ϕ2 + sinϕ1 sinϕ2 + i(sinϕ1 cos ϕ2 − cos ϕ1 sinϕ2)

)=

=r1

r2

(cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)

).

Умножение, деление удобнее производить в показательнойформе. Пусть z1 = r1e

iϕ1 , z2 = r2eiϕ2 , тогда произведение и част-

ное (считая z2 6= 0):

z1z2 = r1r2 ei(ϕ1+ϕ2),z1

z2=

r1

r2ei(ϕ1−ϕ2).

§5. Возведение в степень и извлечение корня из комплекс-ного числа

Возвышение в натуральную степень равносильно умножениючисла самого на себя n раз:

zn = z · z · . . . · z.

Формула для степени комплексного числа в показательной итригонометрической формах:

zn = (x + iy)n =(r(cos ϕ + i sinϕ)

)n =(reiϕ

)n=

= rneinϕ = rn(cos nϕ + i sinnϕ).

Отсюда получим формулу Муавра (1667–1754):

(cos ϕ + i sinϕ)n = cos nϕ + i sinnϕ. (1.3)

Замечание 5.1. В качестве ϕ можно брать как Arg z , так иarg z , так как

ei Arg z = eiarg z+2πki = eiarg ze2πki = eiarg z,

ибо по формуле Эйлера e2πki = 1 .

Пример 5.1. С помощью формулы Муавра (1.3) выразитьcos 3ϕ и sin 3ϕ через cos ϕ и sinϕ .

О т в е т: cos 3ϕ = 4 cos3 ϕ− 3 cos ϕ,

sin 3ϕ = −4 sin3 ϕ + 3 sinϕ.

9

Page 10: neki zadaci iz kemije

Определение 5.1. Число w называется корнем натуральнойстепени из числа z 6= 0 , если

wn = z. (1.4)

Обозначается w = n√

z , для n = 2 имеем w =√

z .

y

x0 1

4√

11

i 4√

12

-1

4√

13

−i 4√

14

π2

1

Рис. 1.2.

Вывод формулы n√

z . Пусть

z = r(cos ϕ + i sinϕ),w = %(cos θ + i sin θ).

Подставим эти выражения в (1.4),тогда

wn = %n(cos nθ + i sinnθ) == r(cos ϕ + i sinϕ).

Приравнивая вещественные соста-вляющие левой и правой частей,находим %n = r , а затем и nθ =

= ϕ + 2πm = arg z + 2πk . Получаем

% = n√

r,

θ =1n

Arg z =1n

(arg z + 2πk

).

Корень n -й степени из комплексного числа имеет n различныхзначений при k = 0, 1, . . . , n− 1 :

wk = n√

r(cos ϕ + i sinϕ) = n√

r

(cos

arg z + 2πk

n+ i sin

arg z + 2πk

n

).

Величина arg z выражается через arctgy

x.

Геометрически эти n значений корня изображаются верши-нами правильного n -угольника с полярными координатами

(n√

r,

1n

(arg z + 2πk))

.

Пример 5.2. Найдем по формулам 4√

1 = 1, i,−1,−i . Этиточки находятся в вершинах квадрата рис. 1.2.

10

Page 11: neki zadaci iz kemije

§6. Расширенная комплексная плоскость. Сфера Римана

Из геометрии известно, что любой упорядоченной паре веще-ственных чисел соответствует точка z на плоскости комплексно-го переменного. Определим на комплексной плоскости бесконечноудаленную точку. Так условно будем называть “мысленную точ-ку” (x, y) , координаты которой (обе сразу или одна из них) — вели-чины неограниченные, т.е. комплексные числа имеют формальныйвид z = x + i∞ , z = ∞+ iy либо z = ∞+ i∞ . Тогда пишут z = ∞(несобственное комплексное число), считая ее единственной беско-нечно удаленной точкой.

Для несобственного комплексного числа понятия веществен-ной и мнимой части, а также понятие аргумента не вводятся; точнееговоря, объявляются лишенными смысла (напомним, что понятиеаргумента не имеет смысла и для числа 0). Что касается модулячисла z = ∞ , то для него используется символ |∞| = +∞ .

Договорились, что имеют смысл следующие операции, в кото-рых участвуют z = ∞ и собственное комплексное число a :

a

∞= 0,

∞a

= ∞,a

0= ∞.

Такие операции, как

∞±∞, 0 · ∞,00,

∞∞

объявляются лишенными смысла.Определение 6.1. Совокупность точек комплексной плоско-

сти и бесконечно удаленной точки называется расширенной плос-костью комплексного переменного.

Наглядное представление о расширенной комплексной плос-кости дает следующая интерпретация Римана (1826–1866).

Чтобы получить геометрическое изображение числа ∞ , при-бегают к представлению комплексных чисел точками сферы. По-строим сферу (называемую сферой Римана) радиуса r , касающую-ся плоскости z в точке z = 0 и отметим точку N сферы, диамет-рально противоположную началу координат O .

11

Page 12: neki zadaci iz kemije

x

y0

N

Z

S

1

Рис. 1.3.

Из точки N(0, 0, 2r) сферыпроведем проведем луч в любуюточку Z(x, y, 0) плоскости (x, y)и отметим точку S пересеченияданного луча и сферы (Рис. 1.3).Эта точка S(ξ, η, ζ) является но-вым геометрическим представ-лением комплексного числа z .В результате таких построенийлучей между точками плоскости(x, y) и точками сферы устанав-ливается взаимно однозначноесоответствие, называемое стерео-графической проекцией, имею-

щей применение в картографии.Точкам меридиана NSO на сфере соответствуют точки луча

OZ на плоскости (x, y) , различным параллелям — круги на плос-кости (x, y) . Исключение составляет точка N . Северному полюсуN сферы не соответствует пока никакое комплексное число. Одна-ко точкам сферы, достаточно близким к N , соответствуют точки zплоскости, сколь угодно далеко отстоящие от начала координат, т.е.точка z сколь угодно большого модуля. Будем считать, что точкеN соответствует единственная точка z = ∞ .

Покажем, что точка z = ∞ + i∞ (или z = x + i∞ , илиz = ∞ + iy ) будет при таком преобразовании переходить в точкуN(0, 0, 2r) и наоборот. Координаты точек на такой сфере (ξ, η, ζ)связаны формулой

ξ2 + η2 + (ζ − r)2 = r2 или ξ2 + η2 = ζ(2r − ζ). (1.5)

Из коллинеарности NZ и NS можно получить представлениелуча NSZ

ξ − 0x− 0

=η − 0y − 0

=ζ − 2r

0− 2r.

Отсюда можно получить координаты точек плоскости через коор-динаты точек сферы:

x =2rξ

2r − ζ, y =

2rη

2r − ζ. (1.6)

12

Page 13: neki zadaci iz kemije

Составим

x2 + y2 =4r2(ξ2 + η2)

(2r − ζ)2

и, в силу (1.5),

x2 + y2 =4r2ζ

2r − ζ.

Тогда можно выразить координату

ζ =2r(x2 + y2)

x2 + y2 + 4r2,

а в силу (1.6) и другие координаты

ξ =4r2x

x2 + y2 + 4r2, η =

4r2y

x2 + y2 + 4r2.

Устремим x →∞ , y →∞ (по отдельности или вместе), тогдаξ → 0 , η → 0 , ζ → 2r , а это и есть точка N .

§7. Вопросы для повторения

1. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

2. Модуль и аргумент комплексного числа.

3. Формулы для умножения и деления комплексных чисел.

4. Формулы для возведения в степень комплексного числа.

5. Формула для извлечения корней из комплексного числа.

6. Сфера Римана.

13

Page 14: neki zadaci iz kemije

ГЛАВА 2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕН-НОГО

§1. Определение функции комплексного переменного.Предел и непрерывность функции

Возьмем два экземпляра расширенной плоскости комплекс-ных чисел: плоскость z = x + iy и плоскость w = u + iv . Пусть напервой из них задано произвольное множество точек D (оно мо-жет содержать и точку z = ∞), а на второй — множество точек G(Рис. 2.1). Введем понятие функции от комплексного переменного.

Определение 1.1. Если каждому числу z ∈ D по некоторомузакону поставлено в соответствие определенное комплексное числоw ∈ G , то говорят, что на множестве D задана однозначная функ-ция w = f(z) комплексного переменного, отображающая множе-ство D в множество G .

x

y

0 u

v

0

z

D

w

G

w = f(z)

1

Рис. 2.1.

Множество D называют областью определения функции f(z) .Если каждая точка множества G является значением функ-ции f(z) , то говорят, что G — область значений этой функцииили образ множества D при помощи функции f(z)

(G = f(D)

). В

этом случае говорят еще, что функция f(z) отображает D на G .Функцию f(z) можно записать в виде

f(z) = u(x, y) + iv(x, y), (2.1)

где u(x, y) = Re f(z) , v(x, y) = Im f(z) — вещественные функцииот переменных x , y , (x, y) ∈ D .

14

Page 15: neki zadaci iz kemije

Если каждому z ∈ D соответствует несколько разных значе-ний w , то функция w = f(z) называется многозначной.

Понятия предела и непрерывности функции комплексного пе-ременного вводятся аналогично, как это делается для функции ве-щественного переменного, необходимо лишь всюду вместо абсолют-ной величины писать модуль комплексного числа.

Определение 1.2. Говорят, что функция f(z) имеет пределв точке z0 , равный числу A = a + ib , если

lim|z−z0|→0

|f(z)−A| = 0. (2.2)

В этом случае пишут limz→z0

f(z) = A .

Для функции f(z) в представлении (2.1) свойство (2.2) запи-сывается в виде равенства

lim(x,y)→(x0,y0)

√(u(x, y)− a)2 + (v(x, y)− b)2 = 0, z0 = x0 + iy0,

или, что все равно, в виде двух равенств

lim(x,y)→(x0,y0)

u(x, y) = a, lim(x,y)→(x0,y0)

v(x, y) = b.

Для комплексных функций имеют место свойства, анало-гичные соответствующим свойствам для пределов вещественныхфункций.

Определение 1.3. Функция w = f(z) называется непрерыв-ной в точке z0 , если для нее выполняется свойство

limz→z0

f(z) = f(z0). (2.3)

Таким образом, непрерывная в точке z0 функция должнабыть определена в окрестности этой точки, в том числе и в нейсамой и должно выполняться равенство (2.3), которое для f(z) ви-да (2.1) представляется в виде следующих двух равенств:

lim(x,y)→(x0,y0)

u(x, y) = u(x0, y0), lim(x,y)→(x0,y0)

v(x, y) = v(x0, y0).

Следовательно, непрерывность функции f(z) в точке z0 экви-валентна непрерывности функций u(x, y) и v(x, y) в точке (x0, y0) .

15

Page 16: neki zadaci iz kemije

Пример 1.1. Рассмотрим функцию f(z) = z2 . Выпишем еевещественную и мнимую части.

Запишем

z2 = (x + iy)2 = x2 − y2 + i2xy = u + iv.

Получаем, что вещественная часть u(x, y) = x2−y2 , а мнимая частьv(x, y) = 2xy . Эти формулы можно использовать для вычисленияфункции z2 в любой точке z = x + iy .

Перечислим некоторые функции комплексного переменного.

– По к а з а т е л ь н а я ф ун к ц и я:

ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y).

– Т р и г о н о м е т р и ч е с к и е ф ун к ц и и:

cos z =12(eiz + e−iz

), sin z =

12i

(eiz − e−iz

),

tg z =sin z

cos z, ctg z =

cos z

sin z.

– Ло г а р и фм и ч е с к а я фу н к ц и я:

Ln z = ln |z|+ i(arg z + 2πk), k ∈ Z.

Значение логарифма при k = 0 называется главным значени-ем логарифма и обозначается ln z = ln |z|+ iarg z . Тогда

Ln z = ln z + 2πki.

– С т е п е н ь с п р о и з в о л ь н ым п о к а з а т е л е м αβ .Если α и β — два комплексных числа, α 6= 0 , то в силуосновного логарифмического тождества степень:

αβ = eβ Ln α = eβ(ln α+2πki), k ∈ Z.

Когда β — целое вещественное число, то степень αβ имеетодно значение, так как e2πkiβ = 1 . Если же β — несократимаярациональная дробь p/q , (q > 1), то степень αβ имеет ровно qразличных значений. Во всех других случаях степень имеетбесконечное множество значений.

16

Page 17: neki zadaci iz kemije

§2. Необходимое и достаточное условие дифференцируе-мости функции комплексного переменного

Пусть однозначная функция w = f(z) определена в некото-рой окрестности конечной точки z0 = x0 + iy0 . Выберем в этойокрестности точку z0 + ∆z и пусть ∆w является приращениемфункции f(z) при переходе от точки z0 к точке z0 + ∆z , т.е.∆w = f(z0 + ∆z)− f(z0) .

Определение 2.1. Если существует конечный предел

lim∆z→0

f(z0 + ∆z)− f(z0)∆z

= lim∆z→0

∆w

∆z, (2.4)

то он называется производной от функции f(z) в точке z0 и обо-значается f ′(z0) .

Функция f(z) , обладающая производной в точке z0 , называ-ется дифференцируемой в z0 .

Напомним, что существование конечного предела (2.4) функ-ции комплексного переменного f(z) = u(x, y)+iv(x, y) при стремле-нии ∆z = ∆x+ i∆y → 0 эквивалентно существованию соответству-ющих конечных пределов для двух вещественных функций u(x, y)и v(x, y) при одновременном стремлении ∆x → 0 и ∆y → 0 .

Выясним теперь при каких условиях функция будет диффе-ренцируемой в данной точке.

Теорема 2.1. Для того чтобы функция f(z) была диффе-ренцируема в точке z0 как функция комплексного переменного,необходимо и достаточно, чтобы функции u(x, y) и v(x, y) былидифференцируемы в точке (x0, y0) , а их частные производные вданной точке удовлетворяли условиям Коши-Римана (иногда ихназывают условиями Эйлера-Даламбера) :

∂u

∂x=

∂v

∂y,

∂u

∂y= −∂v

∂x. (2.5)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Возьмемфункцию w = f(z) дифференцируемую в точке z0 области D ,тогда для нее будет верно равенство

∆w = f ′(z0)∆z + ε∆z, (2.6)

17

Page 18: neki zadaci iz kemije

где∆z = z − z0 = (x− x0) + i(y − y0) = ∆x + i∆y,

∆w = f(z)− f(z0) =(u(x, y)− u(x0, y0)

)+

+ i(v(x, y)− v(x0, y0)

)= ∆u + i∆v.

Обозначим f ′(z0) = a+ib , ε = ε1+iε2 , причем ε1 и ε2 стремят-ся к нулю, когда ∆x → 0 и ∆y → 0 одновременно. Перепишем (2.6)в виде

∆u + i∆v = (a + ib)(∆x + i∆y) + (ε1 + iε2)(∆x + i∆y).

Отделяя после умножения в правой части вещественную и мнимуючасти, получим

∆u = a∆x− b∆y + ε1∆x− ε2∆y,

∆v = b∆x + a∆y + ε2∆x + ε1∆y.(2.7)

Отсюда в силу того, что ε1 и ε2 стремятся к нулю, когда∆x → 0 , ∆y → 0 одновременно, следует, что функции u(x, y) иv(x, y) вещественных переменных x и y дифференцируемы в точ-ке (x0, y0) , то есть имеют частные производные. Причем полноеприращение каждой функции переходит в соответствующий пол-ный дифференциал

du =∂u

∂xdx +

∂u

∂ydy, dv =

∂v

∂xdx +

∂v

∂ydy. (2.8)

Сравнивая первые два слагаемые в обоих равенствах (2.7) с полнымдифференциалом (2.8), получим для частных производных:

∂u

∂x= a,

∂u

∂y= −b,

∂v

∂x= b,

∂v

∂y= a.

Тогда∂u

∂x=

∂v

∂y,

∂u

∂y= −∂v

∂x.

Это и есть условия Коши-Римана.Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть выполнены условия Коши-

Римана (2.5). Докажем, что функция f(z) имеет производную инайдем ее вид.

18

Page 19: neki zadaci iz kemije

Так как функции u(x, y) и v(x, y) дифференцируемы в точ-ке (x0, y0) , (ибо имеют частные производные в записи условийКоши-Римана), то, как известно из вещественного анализа, полноеприращение отличается от полного дифференциала на бесконечномалую величину порядка выше, чем расстояние√

(∆x)2 + (∆y)2 = |∆x + i∆y| = |∆z|.

Запишем

∆u = u(x0 + ∆x, y0 + ∆y)− u(x0, y0) =∂u

∂x∆x +

∂u

∂y∆y + α|∆z|,

∆v = v(x0 + ∆x, y0 + ∆y)− v(x0, y0) =∂v

∂x∆x +

∂v

∂y∆y + β|∆z|.

Здесь α и β стремятся к нулю при ∆x → 0 , ∆y → 0 . Обозначимравенства в условиях Коши-Римана

∂u

∂x=

∂v

∂y= a, −∂u

∂y=

∂v

∂x= b (2.9)

Составим приращение функции

∆w = ∆u + i∆v = a(∆x + i∆y) + bi(∆x + i∆y) + (α + βi)|∆z| =

= (a + bi)∆z + (α + βi)|∆z|.Тогда

f ′(z0) = lim∆z→0

∆w

∆z= lim

∆z→0

(a + bi + (α + βi)

|∆z|∆z

)и так как α + βi стремится к нулю при ∆z → 0 , то

f ′(z0) = a + bi

Итак, функция f(z) дифференцируема в точке z0 и ее произ-водная равна a + bi .

Заметим, что f ′(z0) в силу (2.9) может быть представлена од-ной из следующих форм:

f ′(z0) =∂u

∂x+ i

∂v

∂x=

∂v

∂y− i

∂u

∂y=

∂u

∂x− i

∂u

∂y=

∂v

∂y+ i

∂v

∂x. (2.10)

19

Page 20: neki zadaci iz kemije

Если же дана зависимость w = f(z) , то после проверки выпол-нения условий (2.5) производную можно найти непосредственнымдифференцированием:

w′ =df(z)dz

.

Правила дифференцирования и таблица производных имеет такойже вид, что и для функций вещественного аргумента.

Пример 2.1. Найти производную функции

f(z) = (x3 − 3xy2) + i(3x2y − y3).

Р е ш е н и е. Условия Коши-Римана для данной функциивыполнены в любой точке. Таким образом используя, например,первую форму из (2.10) определяем, что ux = 3x2 − 3y2 , vx = 6xy ,и, следовательно, сама

f ′(z) = 3x2 − 3y2 + i6xy = 3(x2 + 2ixy − y2) = 3(x + yi)2 = 3z2.

О т в е т: f ′(z) = 3z2.

§3. Аналитические функции 1

Понятие аналитической функции является основным поняти-ем теории функций комплексного переменного. Класс аналитиче-ских функций играет особую роль как при решении многочислен-ных чисто математических проблем, так и в различных приложени-ях функций комплексного переменного в смежных областях есте-ствознания.

Определение 3.1. Функция f(z) называется аналитической(или голоморфной, или регулярной) в конечной точке z0 , еслиона дифференцируема в каждой точке некоторой окрестности точ-ки z0 .

Определение 3.2. Функция f(z) однозначная и дифферен-цируемая в каждой точке области D называется аналитической(иначе регулярной или голоморфной) в этой области.

1 Старков В. Н. Аналитические функции. Условия аналитичности. Кон-формные отображения. // Методическое пособие с ответами на вопросы дляГосударственного экзамена. Вып. 1. — СПб, “Полиграф экспресс”, 2005, с. 19–24.

20

Page 21: neki zadaci iz kemije

Из этих определений видно, что понятие аналитичности идифференцируемости в области совпадают, в то время как усло-вие аналитичности в точке является более жестким, чем условиедифференцируемости в точке (это будет показано ниже на приме-ре 3.2). Условие аналитичности в точке требует, чтобы функциябыла дифференцируема не только в этой точке, но и в некоторойее окрестности.

Напомним определение окрестности точки и области.Определение 3.3. Множество точек z комплексной плоско-

сти, лежащих внутри окружности радиуса ε с центром в точке z0 :|z − z0| < ε , называется ε -окрестностью точки z0 .

Определение 3.4. Точка z0 ∈ D называется внутренней длямножества D , если вместе с точкой z0 множество D содержитнекоторую окрестность точки z0 .

Определение 3.5. Множество D точек плоскости называет-ся открытым, если все точки z ∈ D являются внутренними для D .

Определение 3.6. Открытое множество D называется обла-стью, если оно связно, т.е. любые две точки z1, z2 ∈ D можно со-единить ломаной L , целиком лежащей в D .

Пример 3.1. а) Аналитической функцией является полином

Pn(z) = a0zn + a1z

n−1 + . . . + an−1z + an, a0, a1, . . . , an ∈ C,

так как он имеет производные во всех точках комплексной плоско-сти z .

б) Рациональная функция

R(z) =P (z)Q(z)

,

P (z) и Q(z) — полиномы, имеет производную в каждой точке, гдеQ(z) 6= 0 . Поэтому R(z) аналитична в области, полученной из плос-кости z удалением (выкалыванием) конечного числа точек, в кото-рых Q(z) = 0 .

21

Page 22: neki zadaci iz kemije

Определение 3.7. Точки плоскости z , в которых однознач-ная функция f(z) аналитична, называются правильными точкамиf(z) . Точки, в которых функция f(z) не является аналитической,называются особыми точками этой функции.

Пример 3.2. Рассмотрим функцию

w = z|z|.

Здесь

u(x, y) = Re w = x√

x2 + y2, v(x, y) = Im w = y√

x2 + y2.

Возьмем z 6= 0 . Найдем

∂u

∂x=√

x2 + y2 +x2√

x2 + y2,

∂u

∂y=

xy√x2 + y2

,

∂v

∂x=

xy√x2 + y2

,∂v

∂y=√

x2 + y2 +y2√

x2 + y2.

Видим, что условия Коши-Римана (2.5) не выполняются ни в однойточке z 6= 0 .

Теперь рассмотрим z = 0 . Вычислим производную в точкеz = 0 по определению

lim∆z→0

w(z)− w(0)z

= lim∆z→0

z|z| − 0z

= lim∆z→0

|z| = 0.

Значит, функция дифференцируема в одной единственной точкеz = 0 , но так как точка не является областью (у нее нет окрестно-сти), то эта функция нигде не аналитична.

§4. Связь аналитических функций с гармоническими

Пусть дана функция f(z) = u(x, y) + iv(x, y) , аналитическаяв некоторой области D . Тогда во всех точках области D функ-ции u(x, y) и v(x, y) удовлетворяют условиям Коши-Римана (2.5).

22

Page 23: neki zadaci iz kemije

Выясним, любая ли функция двух переменных x и y может слу-жить вещественной или мнимой частями некоторой аналитическойфункции.

Дифференцируем первое из условий Коши-Римана (2.5) по x ,а второе — по y и после сложения получим

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0. (2.11)

Дифференцируя снова первое из условий (2.5) по y , а второе —по x , после вычитания из первого второго получим

∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2= 0. (2.12)

Видим, что функции u(x, y) и v(x, y) должны удовлетворятьодному и тому же дифференциальному уравнению с частными про-изводными второго порядка, называемому уравнением Лапласа.

Определение 4.1. Функции, удовлетворяющие уравнениюЛапласа, называются гармоническими функциями.

Таким образом, функции u(x, y) и v(x, y)должны быть гармо-ническими и удовлетворять условиям Коши-Римана (2.5).

Определение 4.2. Функции, удовлетворяющие уравнениюЛапласа и условиям Коши-Римана (2.5) называются взаимно со-пряженными.

Окончательно получаем, что вещественная и мнимая частьаналитической функции являются сопряженными гармоническимифункциями.

Гармонические функции встречаются во многих задачах фи-зики и механики. Так, например, температура однородной пластин-ки, находящейся в тепловом равновесии, электрический потенциалплоского проводника, потенциал скоростей плоского установивше-гося потока однородной, несжимаемой жидкости и т.д. являютсягармоническими функциями декартовых координат x и y , т.е. удо-влетворяют уравнению Лапласа, в соответствующих областях. Прирешении многих задач механики и физики вместо того, чтобы ис-кать гармонические функции и оперировать с ними, ищут анали-тические функции, вещественными или мнимыми частями которыхявляются эти гармонические функции.

23

Page 24: neki zadaci iz kemije

§5. Восстановление аналитической функции по ее веще-ственной или мнимой части

Отметим, что всегда можно построить аналитическую функ-цию, для которой данная гармоническая функция является или ве-щественной, или мнимой частью.

Прежде всего надо помнить, что вещественная u(x, y) и мни-мая v(x, y) части аналитической функции должны быть гармони-ческими, т.е. удовлетворять уравнению Лапласа (2.11), (2.12).

Пример 5.1. Восстановить аналитическую функцию, для ко-торой данная функция u = x2 − y2 + 2x является вещественнойчастью.

Сначала надо убедиться, что u(x, y) является гармонической,т.е. удовлетворяет уравнению Лапласа (2.11). Это так.

Теперь находим в силу условий Коши-Римана (2.5)

∂v

∂x= −∂u

∂y= 2y и

∂v

∂y=

∂u

∂x= 2x + 2.

Интегрируя первое из этих соотношений по x , получим

v =∫

2y dx = 2xy + ϕ(y),

где ϕ(y) — произвольная функция от y .Для получения ϕ(y) дифференцируем полученное равенство

по y и подставляем во второе условие Коши-Римана (2.5):

∂v

∂y= 2x + ϕ′(y) = 2x + 2, отсюда ϕ′(y) = 2 и ϕ(y) = 2y + C,

где C — произвольная постоянная.Итак, гармоническая функция, сопряженная с u(x, y) имеет

вид v = 2xy +2y +C . Выпишем искомую аналитическую функцию

w = u + iv = x2 − y2 + 2x + i(2xy + 2y + C) = (x2 + 2xyi− y2)+

+(2x + 2yi) + Ci = (x + yi)2 + 2(x + yi) + Ci = z2 + 2z + Ci.

24

Page 25: neki zadaci iz kemije

§6. Вопросы для повторения

1. Формула Эйлера. Тригонометрические тождества для триго-нометрических функций.

2. Доказать теорему сложения для тригонометрических функ-ций.

3. Пример вычисления степени с комплексным основанием икомплексным показателем.

4. Определение предела и непрерывности комплексной функ-ции.

5. Определение дифференцируемости комплексной функции.Доказать теорему о необходимом и достаточном условии диф-ференцируемости комплексной функции.

6. Производная и дифференциал комплексной функции. Прави-ла дифференцирования.

7. Аналитичность комплексной функции в точке и области.

25

Page 26: neki zadaci iz kemije

ГЛАВА 3. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

§1. Геометрический смысл аргумента и модуля производ-ной функции комплексного переменного

Пусть дана функция f(z) , имеющая производную в точке z0 ,причем f ′(z0) 6= 0 . Тогда arg f ′(z0) есть угол поворота касательнойк любой кривой, проведенной через точку z0 при ее отображении спомощью функции w = f(z) на плоскость w . Модуль |f ′(z0)| мож-но рассматривать как величину масштаба в точке z0 при отобра-жении w . Если |f ′(z0)| > 1 , то происходит растяжение бесконечномалого элемента, выходящего из точки z0 . Если |f ′(z0)| < 1 , топроисходит сжатие, при |f ′(z0)| = 1 масштаб в окрестности точ-ки z0 не меняется.

§2. Конформные отображения

С помощью аналитической функции w = f(z) можно отоб-разить точку z0 (или множество точек D ) плоскости z на точ-ку w0 = f(z0) (или на множество G) плоскости w .

Рассмотрим две комплексные плоскости z и w . Если функцияw = f(z) однозначная, то каждой точке z0 плоскости XOY соот-ветствует определенная точка w0 на плоскости UOV . Точку w0

называют образом точки z0 , а z0 — прообразом w0 . Кривая наплоскости z с помощью функции w = f(z) отображается на кри-вую на плоскости w . Первая кривая называется также прообразом,а вторая — образом. Аналогично можно говорить об отображенииобласти на плоскости z на область плоскости w .

Определение 2.1. Отображение одной плоскости на другуюназывается конформным в точке z , если все бесконечно малые ду-ги, выходящие из этой точки, при отображении поворачиваются наодин и тот же угол и получают одно и то же растяжение (сжатие).

Иными словами, при конформном отображении сохраняетсяподобие в бесконечно малых частях. Отображение с помощью ана-литической функции является конформным везде, кроме, быть мо-жет, точек, в которых производная данной аналитической функцииравна нулю.

26

Page 27: neki zadaci iz kemije

Начертим два экземпляра комплексных плоскостей: плос-кость z и плоскость w . Проведем на каждой по паре кривых, прохо-дящих через точку z0 и точку w0 соответственно. Проведем такжекасательные к ним и хорды ∆z и ∆w .

Рис. 3.1.Величина |f ′(z0)| определяет коэффициент преобразования

подобия или коэффициент растяжения для |f ′(z0)| > 1 (сжатия— для |f ′(z0)| < 1) в точках при отображении w = f(z) .

Аргумент Arg f ′(z0) — это угол, на который нужно повер-нуть касательную к отображаемой с помощью функции w = f(z)кривой l (прообраз) в данной точке z0 , чтобы получить направле-ние касательной к получаемой при отображении w = f(z) кривойL (образ) в точке w0 .

Это отображение с помощью аналитической функции облада-ет свойством постоянства растяжения и свойством консервативно-сти (сохранения) углов в данной точке.

Из дифференцируемости функции следует выполнение равен-ства

∆w = f ′(z0)∆z + o(|∆z|),

где o(|∆z|) — бесконечно малая величина более высокого порядкамалости чем |∆z| .

Так какlim

∆z→0

|∆w||∆z|

= |f ′(z0)|,

то получаем, что отношение любых линейных элементов образа

и прообраза (здесь длины хорд)|∆w||∆z|

равно постоянной вели-

27

Page 28: neki zadaci iz kemije

чине |f ′(z0)| . На рис. 3.1 показана одна пара хорд. Точно также

Arg f ′(z0) = lim∆z→0

Arg∆w

∆z= lim

∆z→0Arg ∆w − lim

∆z→0Arg ∆z.

Углы в правой части равенства — это соответственно углы, состав-ляемые касательными к кривой образа в точке w0 и к кривой про-образа в точке z0 . Аргумент производной в точке z0 показываетугол поворота касательной к кривой (прообраза) при отображенииw = f(z) . Он постоянен для различных кривых (на рис. 3.1 показантолько поворот касательных одной пары кривых). При этом всегдаf ′(z0) 6= 0 (у комплексного числа 0 + i0 аргумент не определен).

Определение 2.2. Отображение окрестности точки z0 наокрестность точки w0 , осуществляемое аналитической функциейw = f(z) и обладающее в точке z0 свойством сохранения углови постоянством растяжений, называется конформным (т.е. сохра-няющим форму) отображением I рода (здесь поворот касательныхпроисходит против часовой стрелки, тогда как в конформном отоб-ражении II рода касательные поворачиваются по часовой стрелки).

Надо заметить, что все сказанное относится к точке и ее ма-лой окрестности. В других точках кривой параметры отображения(коэффициент растяжения и угол поворота) изменяются.

Немецкому математику Бернхарду Риману (1826–1866 гг.)принадлежит доказательство (1851 г.) фундаментальной теоремыконформных отображений.

Теорема 2.1. Всякую односвязную область D комплекснойплоскости z , граница которой состоит более чем из одной точки,можно конформно отобразить на внутренность единичного круга|w| < 1 плоскости w и притом бесконечно многими способами.

Чтобы функцию w = f(z) определить однозначно, на нее сле-дует наложить различные дополнительные условия. Имеет местоследующая теорема единственности конформного отображения.

Теорема 2.2. Функция w = f(z) , осуществляющая кон-формное отображение заданной односвязной области D (границакоторой состоит более чем из одной точки) на единичный круг|w| < 1 определена единственным образом, если выполняютсяусловия:

w0 = f(z0) и arg f ′(z0) = α,

28

Page 29: neki zadaci iz kemije

где z0 ∈ D , w0 — центр круга, α — заданное вещественное число.

В теории Конформных Отображений различают две основныезадачи:

а) При известной функции f(z) найти образ заданной обла-сти D ;

б) Найти функцию f(z) , отображающую одну данную об-ласть D на другую данную область G .

Конформное отображение f(z) при этом чаще всего рассмат-ривается как взаимно однозначное. Его называют также однолист-ным, когда для размещения образа хватает плоскости w . Однаконередки ситуации, когда одного листа плоскости w недостаточно.Риман Б. ввел понятие многолистной (римановой) поверхности, ко-торая позволила строить конформные отображения даже с помо-щью многозначных функций.

Перечислим некоторые из функций, для которых известно ре-шение упомянутых задач теории Конформных Отображений:

– линейная функция f(z) = az + b ;

– дробно-линейная функция f(z) =az + b

cz + d;

– инверсия f(z) =1z

;

– степенная функция f(z) = zn ;

– показательная функция f(z) = ez ;

– радикал f(z) = n√

z ;

– функция Жуковского f(z) =12

(z +

1z

);

– логарифмическая функция f(z) = Ln z ;

– тригонометрическая функция f(z) = cos z и т.п.

29

Page 30: neki zadaci iz kemije

Большую роль играют суперпозиции упомянутых функций.При осуществлении Конформных Отображений следует использо-вать следующие общие принципы.

Принц и п с о отв ет стви я г р а н и ц: при конформномотображении друг на друга двух областей, ограниченных замкну-тыми жордановыми (без самопересечений) кривыми, между их гра-ницами всегда устанавливается взаимно однозначное и взаимнонепрерывное соответствие с сохранением направления обхода гра-ницы. Для того чтобы определить область G , на которую аналити-ческая функция f(z) отображает заданную область D , достаточнонайти контур, на который эта функция отображает границу обла-сти D и установить направление обхода.

Далее следует применять п р и н ц и п с о отв ет стви яо б л а ст е й: внутренность области D может отобразиться либотолько на внутренность области G , либо только на ее внешность.Для этого надо найти образ любой внутренней точки области D .

§3. Линейная функция

Отображение, осуществляемое линейной функцией

w = az + b,

где a и b — постоянные комплексные числа (a 6= 0), является кон-формным на всей плоскости. Оно преобразует прямые в прямые(углы между прямыми сохраняются) и окружности в окружности.

§4. Дробно-линейная функция

Дробно-линейное отображение

w =az + b

cz + d,

где a, b, c, d — постоянные комплексные числа (c 6= 0), являетсяконформным на всей плоскости. Оно преобразует в окружностьвсякую окружность (прямые линии условно считаются окружно-стями с бесконечно большим радиусом). Внутренняя область отоб-ражаемой окружности переходит либо во внутреннюю область об-раза, либо во внешнюю область образа.

30

Page 31: neki zadaci iz kemije

Пример 4.1. Найти, в какую область преобразуется круг∣∣∣∣z − 12

+i

2

∣∣∣∣ ≤ √2

2

при отображении

w =iz − 2z + i

.

Р е ш е н и е. Запишем уравнение окружности:(x− 1

2

)2

+(

y +12

)2

=12

или x2 + y2 − x + y = 0.

Используя формулы

x =12(z + z), y =

−i

2(z − z), x2 + y2 = zz,

перепишем уравнение окружности: 2zz − (z + z)− i(z − z) = 0 .

Рис. 3.2.

Выразим z и z через w :

z = −i− 1w − i

, z = i− 1w + i

.

Подставим в уравнение границы и получим v = u + 2 . Центр про-

образа — точка zA =12− 1

2i переходит в точку wA′ = −1 + 2i ,

которая лежит над прямой v = u + 2 .О т в е т: Образом является полуплоскость v ≥ u+2 (рис. 3.2).

31

Page 32: neki zadaci iz kemije

Замечание 4.1. При a = d = 0 , b = c = 1 из формулы

дробно-линейной функции получаем функцию w(z) =1z

, называе-мую инверсией.

Пример 4.2. Найти образ множества −1 ≤ x ≤ 1 , y ≥ 0 при

отображении w =1z

.

Р е ш е н и е. Запишем w =1z

в виде u+iv =x− iy

x2 + y2. Отсюда

u =x

x2 + y2, v =

−y

x2 + y2.

Рис. 3.3.

Рассмотрим уравнения границ прообраза и найдем границыобраза:

x = −1,

y ≥ 0дает

u =

−11 + y2

< 0,

v =−y

1 + y2≤ 0.

Поделив второе уравнение на первое, получим y =v

u. Подстановка

этого выражения в первое уравнение даст

u

(1 +

v2

u2

)= −1 или u2 + u + v2 = 0.

Окончательное уравнение границы(u +

12

)2

+ v2 =14

при u < 0, v < 0.

32

Page 33: neki zadaci iz kemije

Далее y = 0,−1 ≤ x ≤ 1

дает

u =1x

,

v = 0.

Получим для v = 0 такие условия для u : u ≥ 1 при 0 < x ≤ 1 иu ≤ −1 при −1 ≤ x < 0 .

x = 1,y ≥ 0

дает

u =

11 + y2

> 0,

v =−y

1 + y2≤ 0.

Поделив второе уравнение на первое, получим y = − v

u. Подстанов-

ка этого выражения в первое уравнение даст

u

(1 +

v2

u2

)= 1 или u2 − u + v2 = 0.

Окончательное уравнение границы:(u− 1

2

)2

+ v2 =14

при u > 0, v < 0.

Точка z = i отобразится в точку w = −i .О т в е т: Область v ≤ 0 с выброшенными полукруга-

ми (рис. 3.3):(u +

12

)2

+ v2 =14

и(

u− 12

)2

+ v2 =14.

§5. Целая степенная функция

При помощи степенной функции

w = zn

угол с вершиной в начале координат плоскости z отображается вугол с вершиной в начале координат плоскости w c раствором в n

33

Page 34: neki zadaci iz kemije

раз большим. Отображение будет взаимно однозначным, если рас-твор угла на плоскости w будет не более 2π . Например, функцияw = z2 отображает верхнюю полуплоскость плоскости z на плос-кость w с разрезом по положительной части вещественной оси.

Пример 5.1. Найти в какую область преобразуется квадрат

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

функцией w = z2 + z + 1 .Р е ш е н и е. Выделим вещественную и мнимую части:

u = x2 − y2 + x− 1,

v = 2xy + y.

Рис. 3.4.Определим образы участков границ данного квадрата:

OA :

y = 0,

0 ≤ x ≤ 1дает

u = x2 + x− 1,

v = 0.(3.1)

— это отрезок вещественной оси −1 ≤ u ≤ 1 .

AB :

x = 1,

0 ≤ y ≤ 1дает

u = 1− v2

9,

0 ≤ v ≤ 3(3.2)

— это часть параболы в первом квадранте.Образы отрезков BC и CO также являются дугами парабол:

BC : u =14(v2 − 9

), 1 ≤ v ≤ 3, (3.3)

CO : u = −1− v2, 0 ≤ v ≤ 1. (3.4)

34

Page 35: neki zadaci iz kemije

Так как точка z =12(1 + i) переходит в точку w = i− 1

2, то внут-

ренность квадрата переходит во внутренность криволинейного че-тырехугольника.

О т в е т: Внутренность квадрата переходит во внутренностькриволинейного четырехугольника (3.1)– (3.4) (рис. 3.4).

§6. Радикал

Рассмотрим функцию

w = n√

z, (3.5)

обратную степенной функции z = wn , причем примем, что w = ∞при z = ∞ . Во всех точках расширенной плоскости z , кроме точекz = 0 и z = ∞ (где эта функция соответственно равна w = 0 иw = ∞) , эта функция n -значна и все ее n различных значенийдля каждого фиксированного z = reiϕ (не равные 0 и ∞) даетформула:

w = n√

r · eiarg z+2πk

n = n√

r · eiarg z

n · ei2πkn при k = 0, 1, . . . , n− 1.

Рис. 3.5.

Через wk обозначим мно-жество всех точек w , соответ-ствующих данному фиксиро-ванному значению k . В резуль-тате получим n функций wk ,k = 0, 2, . . . , n − 1 , называемых вет-вями многозначной функции (3.5).Очевидно,

wk+1 = wk · ei2πkn .

Рассмотрим какую-нибудь ветвь wk функции (3.5) и заста-вим точку z описать в плоскости какую-нибудь замкнутую кри-вую l (Рис. 3.5). Если эта кривая не содержит внутри себя точкуz = 0 (сплошная кривая на рис. 3.5), то непрерывно изменяющийсяаргумент точки z вернется к прежнему значению с возвращениемточки z в исходное положение. В силу этого и ветвь wk радикала

35

Page 36: neki zadaci iz kemije

останется прежней (т.е. мы вернемся к прежнему значению корняв исходной точке). Картина изменится, если кривая l будет содер-жать внутри себя точку z = 0 (пунктирная кривая на рис. 3.5).В этом случае после полного обхода кривой l аргумент точки z висходном положении увеличится на ±2πk (в зависимости от того,совершается ли обход кривой против или по часовой стрелки), в си-лу чего мы от значения wk корня в исходной точке перейдем либок значению

wk · ei2πn = wk+1,

либо к значениюwk · e−i

2πn = wk−1.

Повторяя обход вокруг начала координат в том или ином направ-лении достаточное количество раз, мы можем перейти от исходнойветви wk радикала к любой другой ветви. Очевидно, что после nобходов начала координат в одном направлении мы возвращаемсяк исходной ветви радикала.

Точка, обладающая тем свойством, что обход вокруг нее пере-водит от одной ветви многозначной функции к другой ветви, назы-вается точкой разветвления этой функции. Таким образом, точкаz = 0 будет точкой разветвления функции (3.5).

Из сказанного следует, что мы можем выделить n однознач-ных ветвей wk функции (3.5) только в такой области D , которая несодержит ни одной замкнутой кривой, заключающей внутри себяточку z = 0 .

Рис. 3.6.Расширенная плоскость z с любым разрезом от точки z = 0

до точки z = ∞ и, в частности, с разрезом вдоль положитель-ной части вещественной оси (левая часть рис. 3.6) не содержит ниодной замкнутой кривой, обходящей точку z = 0 . На ней можно

36

Page 37: neki zadaci iz kemije

выделить n однозначных ветвей wk , k = 0, 1, . . . , n− 1 , радикала,принимающих каждая одно из значений n

√z .

Эти ветви будут однолистно отображать расширенную плос-кость z с разрезом вдоль положительной части вещественной осина секторы

k2π

n< arg w ≤ (k + 1)

n, k = 0, 1, . . . , n− 1,

расширенной плоскости w (правая часть рис. 3.6, где n = 6). Этиотображения обратны рассмотренному выше отображению w = zn

и непрерывны. Для того чтобы фиксировать какую-либо из вет-вей wk радикала, достаточно лишь указать, в каком из секторовдолжно изменяться w .

Поскольку каждая ветвь wk радикала w = n√

z однолистнана расширенной плоскости z с любым разрезом от точки z = 0 доточки z = ∞ , то в каждой точке этой расширенной плоскости при-менима теорема о производной обратной функции, в силу которой(

n√

z)′ =

1(wn)′

=1

nwn−1=

1n

n√

zn−1.

Эта производная конечна и отлична от нуля во всех точках расши-ренной плоскости, исключая точку z = 0 и точку z = ∞ , в силучего отображение с помощью любой ветви функции w = n

√z кон-

формно на расширенной плоскости z с любым разрезом от точкиz = 0 до точки z = ∞ .

В точке z = 0 эти отображения уменьшают углы в n раз.

§7. Показательная функция

Рассмотрим показательную функцию

w = ez, z = x + iy.

Перепишем

w = ex(cos y + i sin y) = r(cos ϕ + i sinϕ),

поэтомуr = ex, ϕ = y.

37

Page 38: neki zadaci iz kemije

Линии x = const преобразуются в окружности r = const (y и ϕ— любые), линии y = const — в лучи ϕ = const (x и r — лю-бые). Для взаимной однозначности при отображении с помощьюфункции w = ez необходимо и достаточно, чтобы отображаемаяобласть не содержала никакой пары различных точек z1 и z2 , длякоторых z1 − z2 = 2πki , k ∈ N . Этому условию удовлетворяет лю-бая горизонтальная полоса шириной меньше 2π , например, полосы2πk < Im z ≤ 2π(k + 1) .

Полоса 0 < Im z < π плоскости z отображается функци-ей w = ez на верхнюю полуплоскость плоскости w , а полоса0 ≤ Im z < 2π — на плоскость w с разрезом по положительнойчасти вещественной оси. Прямые y = 0 и y = 2π отображаются влучи ϕ = 0 и ϕ = 2π , т.е. обе в положительную вещественную ось,поэтому нужен разрез.

Полуполоса −∞ < Re z < 0 , 0 < Im z < π отображается в еди-ничный полукруг |w| < 1 , Im w > 0 , а полуполоса 0 < Re z < ∞ ,0 < Im z < π — на полуплоскость Im w > 0 , из которой удаленединичный полукруг.

§8. Логарифмическая функция

Логарифмическая функция обратна показательной, бесконеч-нозначна, все ее значения вычисляются по формуле

w = Ln z = ln |z|+iArg z = ln |z|+i(arg z+2πk), k = 0,±1,±2, . . . .

Дополнительно примем, что w = ∞ при z = 0 и z = ∞ . Обо-значив через wk множество всех точек w , соответствующих дан-ному фиксированному значению k , получим бесконечное множе-ство функций, которые называются ветвями многозначной функ-ции w = Ln z . Бесконечнозначность логарифма связана с бесконеч-нозначностью его мнимой части Arg z . Поэтому область не должнадопускать обхода начала координат по непрерывной кривой, таккак при таком обходе значение Arg z изменяется на 2π . Областьуказанного типа будет сектором концентрического кольца:

0 < r1 ≤ r ≤ r2, −π < −ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 < π.

Однозначная ветвь логарифма — это его главное значение

ln z = ln |z|+ iarg z.

38

Page 39: neki zadaci iz kemije

Вещественная и мнимая части этой функции имеют непре-рывные частные производные, удовлетворяющие условиям Коши-Римана (2.5). А это значит, что выделенная ветвь логарифма пред-ставляет собой дифференцируемую функцию комплексного пере-менного z в области D . Производная ее не обращается в нуль и,следовательно, функция w = ln z осуществляет конформное отоб-ражение области D на некоторую область плоскости w .

Пример 8.1. Найти образ плоскости с разрезом вдоль поло-жительной части вещественной оси при отображении однозначной

ветвью логарифма, когда z0 = i переходит в w0 =52πi .

Р е ш е н и е. В области D , представляющей собой плоскостьz с разрезом вдоль положительной части вещественной оси,

z = |z|(cos ϕ + i sinϕ), |z| > 0, 0 < ϕ < 2π,

выделим ветвь логарифма

w = ln |z|+ iϕ.

Эта ветвь отображает D на полосу 0 < v < 2π (здесь принимаемw = u + iv ). Далее имеем

w(i) =12πi.

Чтобы получить w0 =52πi , надо взять w(i) + 2πi =

52πi . А ветвь

w = ln |z|+ i(ϕ + 2π)

отображает D на полосу 2π<v<4π , содержащую точку w0 =52πi .

О т в е т: 2π < v < 4π .

§9. Функция Жуковского

Так называют функцию

w =12

(z +

1z

). (3.6)

39

Page 40: neki zadaci iz kemije

Ее производная

w′ =12

(1− 1

z2

)конечна и отлична от нуля во всех точках плоскости z , кроме точекz = 0,+1,−1 , в силу чего отображение (3.6) конформно в плоско-сти z , исключая три упомянутые точки.

Установим условие однолистности отображения. Пусть z1 6=z2 ,но w1 = w2 , т.е.

12

(z1 +

1z1

)=

12

(z2 +

1z2

).

Переписав последнее равенство в виде

(z1 − z2

)(1− 1

z1z2

)= 0

найдем из него, что z1z2 = 1 . Следовательно, отображение будетоднолистным в любой области, не содержащей никаких двух точек,связанных равенством z1z2 = 1 . Этому условию удовлетворяют, вчастности, круг |z| < 1 и внешность круга |z| > 1 .

Для того чтобы лучше представить себе рассматриваемоеотображение, положим

z = reiϕ, w = u + iv

и произведя соответствующие замены в функции Жуковского (3.6)и отделив вещественные и мнимые части, получим два веществен-ных равенства, зависящие от двух параметров

u =12

(r +

1r

)cos ϕ, v =

12

(r − 1

r

)sinϕ.

Рассмотрим две упомянутые выше области |z| < 1 и |z| > 1 .В области |z| < 1 возьмем окружность |z| = r < 1 . Из парамет-рической записи исключим угол ϕ . Получим, что эта окружностьпри отображении перейдет в эллипс

u2

a2+

v2

b2= 1

40

Page 41: neki zadaci iz kemije

с полуосями

a =12

(r +

1r

), b =

12

(r − 1

r

)и полуфокусным расстоянием

c =√

a2 − b2 = 1,

не зависящим от радиуса r окружности |z| = r . Таким образом,окружности |z| = r , 0 < r < 1 , при данном отображении перейдут всофокусные эллипсы с полуосями a и b , фокусы которых находятсяв точках (±1, 0) (рис. 3.7).

Рис. 3.7.

Так как r − 1r

< 0 при r < 1 , то из представления веществен-ной и мнимой частей следует, что при положительном направленииобхода окружностей |z| = r соответствующие эллипсы обходятся вотрицательном направлении. При r → 0 будет a → ∞ и b → ∞ .Следовательно, при r → 0 эллипсы, постепенно округляясь, уве-личиваются и заполняют всю плоскость w . При r → 1 − 0 будетa → 1 и b → 0 , и эллипсы постепенно вырождаются в разрез вдольинтервала [−1, 1] вещественной оси плоскости w .

Исключив r из уравнений для вещественной и мнимой частей,получим

u2

cos2 ϕ− v2

sin2 ϕ= 1

уравнение гиперболы с полуфокусным расстоянием

c =√

a2 + b2 = 1.

41

Page 42: neki zadaci iz kemije

Следовательно, отображение переводит лучи arg z = ϕ в семействогипербол с теми же фокусами (±1, 0) , что и у семейства эллип-сов (вершины гипербол выколоты).

Итак, функция (3.6) однолистно и конформно отображаеткруг |z| < 1 на всю плоскость w с разрезом вдоль вещественной осиот точки w = −1 до точки w = 1 . При этом верхняя полуокруж-ность переходит в нижний берег разреза, а нижняя полуокруж-ность — в верхний берег разреза. Верхний единичный полукруг|z| < 1 , Im z > 0 функция Жуковского (3.6) отобразит на нижнююполуплоскость Im w < 0 , а нижний полукруг |z| < 1 , Im z < 0 —на верхнюю полуплоскость Im w > 0 .

Рассмотрим теперь в области |z| > 1 окружности |z| = r , где1 < r < +∞ . Проведя точно такой же анализ, как и в предыдущемслучае, легко доказать, что функция (3.6) отображает эти окруж-ности на те же самые эллипсы, что и в предыдущем случае, но про-ходимые в положительном направлении. При r → 1+0 эти эллипсывырождаются в разрез [−1, 1] вещественной оси u , а при r → +∞эллипсы, округляясь, увеличиваются и заполняют всю плоскостьw . Таким образом, функция Жуковского (3.6) однолистно и кон-формно отображает область |z| > 1 на всю плоскость w с разрезомвдоль вещественной оси от точки w = −1 до точки w = 1 . Приэтом верхний полукруг отображается на верхнюю полуплоскость,а нижний полукруг — на нижнюю полуплоскость.

Обратная к функции Жуковского функция

w = z +√

z2 + 1

двузначна, что обусловлено двузначностью квадратного корня.Каждую точку z она отображает в две точки w1 и w2 , связан-ные условием w1w2 = 1 . Легко показать, что точки z = −1 и z = 1будут точками разветвления этой функции. Таким образом, в лю-бой области, не содержащей замкнутых кривых, обходящих лишьодну из этих точек, можно выделить две однозначные ветви об-ратной функции. Этому условию, в частности, удовлетворяет всяплоскость z с разрезом вдоль отрезка [−1, 1] вещественной оси.Ветви обратной функции однолистно отображают плоскость z суказанным разрезом либо на круг |w| < 1 , либо на круг |w| > 1 ипо теореме о производной обратной функции аналитичны.

42

Page 43: neki zadaci iz kemije

Пример 9.1. Найти конформное отображение расширеннойплоскости z с разрезом вдоль дуги AB окружности, концы которойлежат в точках ±a вещественной оси (внешность дуги AB ), навнешность круга на расширенной плоскости W , граница которогопроходит через те же точки ±a (см. рис. 3.8).

Примечание. Данный пример играет важную роль в теориикрыла самолета.

Рис. 3.8.Р е ш е н и е. С помощью дробно-линейной функции

w =z − a

z + a

отобразим внешность дуги AB плоскости z на внешность луча ABплоскости w , причем дуга AB перейдет при этом в луч от точкиw = 0 до точки w = ∞ . Внешность дуги AB отобразится на внеш-ность луча (на рис. 3.8 отсутствует). Так как производная

dw

dz=

2a

(z + a)2

и при z = a положительна, то этот луч будет наклонен к отрица-

тельной оси плоскости w под углом α = 2 arctgh

a(еще раз заметим,

что плоскость w на рис. 3.8 не изображена).Далее поступим следующим образом. Найдем отображение на

внешность луча в плоскости w внешности окружности C плоско-сти W . С этой целью снова воспользуемся дробно-линейной функ-цией

Ω =W − a

W + a.

43

Page 44: neki zadaci iz kemije

При этом окружность C перейдет в прямую, которая из-затого, что производная

dΩdw

=2a

(W + a)2

при W = a положительна, образует с положительной осью угол

β =π

2− arctg

h

a. Внешность круга C перейдет в полуплоскость на

плоскости Ω , ограниченную этой прямой (эта плоскость на рис. 3.8также не изображена). Отображение

w = Ω2 =(

W − a

W + a

)2

переведет эту полуплоскость на внешность луча, образующего с по-

ложительной осью угол 2β = π−2 arctgh

a= π−α . Таким образом,

этот луч совпадает с ранее полученным лучом на плоскости w .Исключив w , получим искомое отображение(

W − a

W + a

)2

=z − a

z + a.

Найдем

z =12

(W +

a2

W

)и W = z +

√z2 − a2.

При данном отображении z(W ) любая окружность C ′ , каса-ющаяся окружности C в точке W = a , переходит в замкнутуюкривую, охватывающую дугу AB и имеющую в точке B (z = a)точку возврата. Эта кривая напоминает профиль крыла самолета.Функция W (z) = z+

√z2 − a2 осуществляет конформное отображе-

ние внешности этого профиля на внешность круга, ограниченногоокружностью C ′ .

Изменяя значения параметров a, h и d , можно получить раз-личные по форме сечения крыльев, называемых профилями Жу-ковского (профили НЕЖ) . Поясним, что a характеризует ширинукрыла, h — его искривление, d = OO1 — расстояние между цен-трами окружностей, характеризует толщину крыла. Так как ком-плексный потенциал обтекания кругового цилиндра C ′ известен, то

44

Page 45: neki zadaci iz kemije

можно найти комплексный потенциал обтекания профиля и, знаяего, выяснить вопрос о подъемной силе и сопротивлении крыла.

§10. Разбор нескольких примеров построения отображений

Пример 10.1. Отобразить треугольник, заключенный междупрямыми y = 2 , x = 0 , y = x , с помощью функции

w =12z2 − z

на плоскость w .

Рис. 3.9.

Р е ш е н и е. Используя z = x + iy , запишем функцию

w =12(x2 + 2ixy − y2)− x− iy.

Тогда u =12(x2 − y2) − x , v = xy − y . Рассмотрим, во что будут

отображаться конкретные прямые.Отрезок

y = 2, 0 ≤ x ≤ 2 : u =x2

2− x− 2, v = 2x− 2.

Из последнего выразим x =12(v + 2) при −2 ≤ v ≤ 2 , тогда

u =18(v2 + 4v + 4)− 2− v

2− 1

и окончательно u =18v2 − 5

2. Эта парабола — образ y = 2 .

Далее

45

Page 46: neki zadaci iz kemije

x = 0, 0 ≤ y ≤ 2 : u = −y2

2, v = −y.

Видим, что u = −12v2 при −2 ≤ v ≤ 0 . Образ x = 0 — также

парабола.Следующая линия

y = x, 0 ≤ x ≤ 2 : u = −x, v = x2 − x или v = u2 + u.

Это парабола с осью Ov .Теперь выясним, куда перейдет внутренняя точка прообраза.

Возьмем z = 1+32i , вычислим w = −13

8, она лежит внутри образа.

О т в е т: Образ и прообраз области изображены на рисун-ке 3.9.

Пример 10.2. Найти однолистное и конформное отображе-ние верхней полуплоскости с разрезом по отрезку от точки z1 = 0до точки z2 = i (рис. 3.10 а) на верхнюю полуплоскость Im w > 0(устранить разрез).

Рис. 3.10.Р е ш е н и е. С помощью отображения ω = z2 удвоим углы

с вершинами в начале координат, в результате чего отрезок [z1, z2]перейдет в отрезок [ω1, ω2] расширенной плоскости ω от точкиω1 = z2

1 = 0 до точки ω2 = z22 = −1 , а луч arg z = π (отрицательная

вещественная полуось) — в луч arg ω = 2π .

46

Page 47: neki zadaci iz kemije

В итоге исходная область отобразится на расширенную плос-кость ω с разрезом по вещественной оси от точки ω2 = −1 до точкиω = ∞ (рис. 3.10 б). С помощью функции Ω = ω+1 сдвинем началоразреза в начало координат и перейдем к расширенной плоскостиΩ с разрезом вдоль вещественной оси от точки Ω2 = 0 до точкиΩ = ∞ (рис. 3.10 в). В полученной области можно выделить од-нозначную ветвь функции W =

√w , уменьшающую вдвое углы с

вершинами в начале координат и отображающую последнюю об-ласть на полуплоскость Im w > 0 (рис. 3.10 г).

Итак, рассматриваемую задачу решает функция

W =√

w =√

ω + 1 =√

z2 + 1.

Эта функция может быть использована для построения комплекс-ного потенциала, связанного со скоростью течения, при исследова-нии картины течения около плотины, в роли которой может высту-пать отрезок [z1, z2] .

О т в е т: W =√

z2 + 1 .

Пример 10.3. Найти однолистное и конформное отображе-ние вертикальной полосы 1 < Re z < 2 (рис. 3.11 а) на верхнююполуплоскость Im w > 0 .

Рис. 3.11.

47

Page 48: neki zadaci iz kemije

Р е ш е н и е. С помощью функции ς = z − 1 передвинемлевую границу полосы до мнимой оси (рис. 3.11 б). Функция

ω = e12πi · ς

повернет полосу на прямой угол против часовой стрел-ки (рис. 3.11 в). Отображение Ω = πω увеличит ширину полосы0 < Im ω < 1 в π раз (рис. 3.11 г). Наконец, функция w = eΩ отоб-разит полосу 0 < Im Ω < π на верхнюю полуплоскость (рис. 3.11 д).

Окончательно, искомое отображение

w = eΩ = eπω = eπiς = eπi(z−1).

О т в е т: w = eπi(z−1) .

Пример 10.4. Найти однолистное и конформное отображе-

ние полосы 0 < Im z < π с разрезом −∞ < Re z ≤ 0 , Im z =π

2(рис. 3.12 а) на полосу 0 < Im w < π (устранить разрез).

Рис. 3.12.Р е ш е н и е. Функция ω = ez отобразит исходную

полосу ширины π на верхнюю полуплоскость Im ω > 0 ,причем разрез перейдет в разрез 0 ≤ |ω| ≤ 1 , arg ω =

π

2

48

Page 49: neki zadaci iz kemije

вдоль мнимой оси длиной 1 (рис. 3.12 б). ФункцияΩ =

√ω2 + 1 отобразит последнюю область на полуплос-

кость Im Ω > 0 (рис. 3.12 в), (см. Пример 10.2). Главнаяветвь логарифма отобразит верхнюю полуплоскость на полосу0 < Im w < π (рис. 3.12 г).

Итак, искомое отображение

w = lnΩ = ln√

ω2 + 1 = ln√

e2z + 1 =12

ln(e2z + 1).

О т в е т: w =12

ln(e2z + 1) .

§11. Вопросы для повторения

1. Геометрический смысл модуля и аргумента производнойфункции комплексного переменного.

2. Конформное отображение: определение и примеры конформ-ных отображений.

3. Линейная и дробно-линейная функции.

4. Целая степенная функция и радикал.

5. Показательная и логарифмическая функции.

6. Функция Жуковского.

7. Степень с произвольным комплексным показателем.

49

Page 50: neki zadaci iz kemije

ГЛАВА 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМП-ЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

§1. Определение интеграла от функции комплексногопеременного

Пусть в области D плоскости z задана непрерывная функция

w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

и пусть l — кусочно-гладкая линия с началом в точке z0 и кон-цом в точке zn , лежащая в области D . Задание начала и концалинии l ориентирует эту линию, т.е. устанавливает на ней положи-тельное направление. Линия l может быть как незамкнутой, таки замкнутой (в последнем случае zn = z0 ). Любым образом разо-бьем линию l на n “элементарных” дуг в направлении от z0 к zn

точками z1, . . . , zn−1 , где zk = xk + iyk (Рис 4.1).

Рис. 4.1.

Обозначим zk−zk−1 == ∆zk = ∆xk + i∆yk , где∆xk = xk − xk−1 , ∆yk == yk − yk−1 и k = 1, . . . , n(∆zk — вектор, идущийиз точки zk−1 в точкуzk , а |∆zk| — длина этоговектора, т.е. длина хор-ды, стягивающей k -уюэлементарную дугу). Впроизвольном месте каж-дой элементарной дуги

(zk−1, zk) возьмем соответственно по точке ςk = ξk + iηk и составимсумму

n∑k=1

f(ςk)∆zk =n∑

k=1

(u(ξk, ηk)∆xk − v(ξk, ηk)∆yk

)+

+in∑

k=1

(v(ξk, ηk)∆xk + u(ξk, ηk)∆yk

).

50

Page 51: neki zadaci iz kemije

Через max |∆zk| обозначим наибольшую из величин |∆zk| .В курсе математического анализа доказывается, что при усло-вии max |∆zk| → 0 (в этом случае n → ∞) обе суммы в пра-вой части формулы для непрерывных функций u(x, y) и v(x, y)(непрерывность этих функций следует из непрерывности f(z)

кусочно-гладкой l стремятся к конечным пределам, не зависящи-ми ни от способа разбиения l на элементарные дуги, ни от выбораточек ςk . Эти пределы являются соответственно криволинейнымиинтегралами второго рода∫

l

u(x, y) dx− v(x, y) dy и∫l

v(x, y) dx + u(x, y) dy.

Следовательно, при max |∆zk| → 0 и сумма в левой части ис-ходной формулы тоже стремится к конечному пределу, не завися-щему ни от выбора точек zk , ни от выбора точек ςk . Предел этотназывается контурным интегралом от функции f(z) вдоль линииl и обозначается символом∫

l

f(z) dz =∫l

u dx− v dy + i

∫l

v dx + u dy,

т.е. представляется как сумма криволинейных интегралов от веще-ственной переменной.

При параметрическом задании дуги l : z(t) = x(t) + iy(t) ,t1 < t < t2 имеем ∫

l

f(z) dz =

t2∫t1

f(z(t)

)z′(t) dt.

Это удобно для случая, когда дуга является частью окружности, апараметром служит полярный угол.

§2. Интегральная теорема Коши и ее следствия 1

Сформулируем и докажем интегральную теорему Коши, ко-торая является центральной в теории аналитических функций.

1 Старков В. Н. Интеграл Коши. Интегральная теорема Коши. // Методи-ческое пособие с ответами на вопросы для Государственного экзамена. Вып. 1.— СПб, “Полиграф экспресс”, 2005, с. 25–27.

51

Page 52: neki zadaci iz kemije

Теорема 2.1. (И н т е г р а л ь н а я т е о р е м а К о ш и)Если D — односвязная область конечной плоскости и f(z) — од-нозначная аналитическая в этой области функция, то для любойзамкнутой спрямляемой кривой l , лежащей в области D , инте-грал от функции f(z) вдоль кривой l равен нулю :∮

l

f(z) dz = 0. (4.1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Напомним формулу Грина-Остроградского, которую будем использовать для доказательства:∫

l

P (x, y) dx + Q(x, y) dy =∫ ∫

G

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy, (4.2)

где G — внутренность замкнутой жордановой (без самопересече-ний) спрямляемой кривой l .

Возьмем f(z) = u(x, y)+iv(x, y) и выпишем интеграл согласноформуле Грина-Остроградского:∮

l

f(z) dz =∫l

(u dx− v dy) + i

∫l

(v dx + u dy) =

=∫ ∫

G

(−∂v

∂x− ∂u

∂y

)dxdy + i

∫ ∫G

(∂u

∂x− ∂v

∂y

)dxdy.

В силу условий Коши-Римана (2.5) для аналитической функ-ции выражения в скобках обращаются в нуль, т.е.∮

l

f(z) dz = 0.

Если функция f(z) есть аналитическая функция в замкнутоймногосвязной области, то интеграл по внешнему контуру равен сум-ме интегралов по внутренним контурам (теорема Коши для много-связной области). Везде интегрирование как по внешнему, так и повнутренним контурам совершается в положительном направлении,т.е. так, что область остается все время слева.

Имеет место также теорема о составном контуре, когда об-ласть D не является односвязной.

52

Page 53: neki zadaci iz kemije

Теорема 2.2. Пусть f(z)является аналитической функци-ей в многосвязной области D ,ограниченной извне контуром L ,а изнутри контурами l1, . . . , ln ипусть f(z)непрерывна в замкну-той области D . Тогда∮

C

f(z) dz = 0,

где C = L+n∑

j=1

lj — полная грани-

ца области D , состоящая из кон-туров L и l1, . . . , ln , причем обходграницы C происходит в положи-тельном направлении (т.е. так,что область D остается все время слева) .

Из интегральной теоремы Коши 2.1 следует независимостьконтурного интеграла от пути интегрирования. Если функция f(z)аналитична в некоторой односвязной области D , то интеграл полюбому контуру в этой области не зависит от пути интегрирова-ния.

§3. Теорема о первообразной

Определение 3.1. Функция

F (z) =

z∫z0

f(ς) dς

называется первообразной функцией для функции f(z) , если

F ′(z) = f(z).

Теорема 3.1. Если функция f(z) является аналитическойв односвязной области D , то интеграл от f(z) по любому пути,соединяющему точки z1 и z2 этой области и лежащему в ней,

53

Page 54: neki zadaci iz kemije

равен разности значений первообразной в точках z2 и z1 , т.е.вычисляется по известной формуле Ньютона-Лейбница:

z2∫z1

f(z) dz = F (z2)− F (z1).

Интегралы от элементарных функций комплексного перемен-ного вычисляются с помощью тех же формул, что и для функцийвещественной переменной.

§4. Интегральная формула Коши

Пусть функция f(z) аналитична в замкнутой области D (од-носвязной или многосвязной) и Γ — граница области D . Оказыва-ется, что тогда значения функции f(z) в любой точке области Dможно вычислить, зная только значения f(z) на границе областипо интегральной формуле Коши:

f(z) =1

2πi

∮Γ

f(ξ)ξ − z

dξ.

Заметим, что формула Коши остается в силе и для многосвяз-ной области, но под интегралом подразумевается сумма интеграловпо всем кривым, составляющим контур (обходимые области оста-ются слева).

Пусть функция f(z) однозначна и аналитична в односвязнойили многосвязной области D и непрерывна в замкнутой D и l —граница области D . Можно показать [2], что значение функцииf(z) в любой точке z0 области D , (z /∈ l ) можно вычислить, знаятолько значения f(z) на границе l этой области по формуле

f(z0) =1

2πi

∮l

f(z)z − z0

dz, (4.3)

где граница l обходится в положительном направлении.Интеграл в правой части (4.3) называется интегралом типа

Коши для функции f(z) , а сама формула носит название инте-

54

Page 55: neki zadaci iz kemije

гральной формулой Коши. Эта формула выражает значения ана-литической функции внутри внутри замкнутой кривой через зна-чения той же функции на самой кривой. Для вывода формулы (4.3)воспользуемся теоремой 2.2 о составном контуре, приведенной ра-нее.

Проведем окружность γ% сцентром в точке z0 и радиусастоль малого, что круг |z−z0|≤%лежит внутри D . Тогда функ-ция

ϕ(z) =1

2πi· f(z)z − z0

будет аналитической в обла-сти D% , полученной из D уда-лением этого круга, и на грани-це области D% , состоящей из l иокружности γ% .

В силу теоремы 2.2 о составном контуре интеграл от функ-ции ϕ(z) по границе области D% , ориентированной положительноотносительно D% , равен нулю:∮

l

ϕ(z) dz +∮

γ+%

ϕ(z) dz = 0,

где γ+% — положительное направление обхода. Отсюда, поменяв

ориентацию γ+% на противоположную, получим∮

l

ϕ(z) dz =∮

γ−%

ϕ(z) dz.

Вернемся к виду ϕ(z) и найдем предел этого выражения пристремлении % → 0 :

12πi

∮l

f(z)z − z0

dz = lim%→0

12πi

∮γ%

f(z)z − z0

dz.

55

Page 56: neki zadaci iz kemije

Следуя формуле (4.3), левая часть равна f(z) . Оценим разность

12πi

∮γ%

f(z)z − z0

dz − f(z0) =1

2πi

∮γ%

f(z)z − z0

dz−

−f(z0)2πi

∮γ%

dz

z − z0=

12πi

∮γ%

f(z)− f(z0)z − z0

dz.

Здесь было использовано равенство∮γ%

dz

z − z0= 2πi .

В силу непрерывности f(z) в точке z0 для любого поло-жительного ε найдется δ = δ(ε) > 0 такое, что неравенство|f(z)− f(z0)| < ε будет выполняться для всех z ∈ uδ(z0) — окрест-ность точки z0 радиуса δ .

Для |z − z0| < % < δ получим∣∣∣∣∣ 12πi

∮γ%

f(z)z − z0

dz−f(z0)

∣∣∣∣∣ ≤ 12π

maxz∈γ%

∣∣∣∣f(z)− f(z0)z − z0

∣∣∣∣ 2π% <ε

2π%2π% = ε.

Следовательно

lim%→0

12πi

∮γ%

f(z)z − z0

dz = f(z0) и1

2πi

∮l

f(z)z − z0

dz = f(z0).

Если же z0 принадлежит внешности кривой l , то подынте-

гральная функцияf(z)

z − z0является аналитической не только на l ,

но и всюду внутри l (знаменатель z − z0 отличен от нуля на l ивнутри l ). Для z0 ∈ l интеграл Коши теряет смысл не только каксобственный, но и как несобственный интеграл. Итак

f(z0) =1

2πi

∮l

f(z)z − z0

dz =

f(z0), z0 ∈ D,

0, z0 /∈ D.

С помощью этой формулы можно вычислить некоторые кон-турные интегралы по замкнутым контурам.

56

Page 57: neki zadaci iz kemije

Пример 4.1. Вычислить интеграл∮C

ez

z(z − 3)dz,

где C — окружность с радиусом32

и центром в точке 2.Р е ш е н и е. В качестве числителя подынтегрального выра-

жения в интегральной формуле Коши (4.3) следует взять функцию

f(z) =ez

z,

которая аналитична в круге, ограниченном C . Применяя инте-гральную формулу Коши, получим∮

C

ez

z(z − 3)dz =

∮C

f(z)z − 3

dz = 2πif(3) =2πe3i

3.

§5. Производные высших порядков от функций комплекс-ного переменного

Из формулы Коши (4.3) можно получить формулу для произ-водных функции f(z) .

Теорема 5.1. Если функция f(z) аналитична в замкнутойобласти D , то в каждой точке области D она дифференцируе-ма сколько угодно раз, причем n-ая производная представляетсяформулой

f (n)(z0) =n!2πi

∮l

f(z)(z − z0)n+1

dz, (4.4)

где l — граница области D обходится в положительном направ-лении.

Эта формула может также служить для вычисления некото-рых контурных интегралов.

Известно, что аналитическая в данной области функция f(z)имеет в этой области производные любого порядка. Производные

57

Page 58: neki zadaci iz kemije

определяются по формуле

f (n)(z) =n!2πi

∮l

f(ξ)(ξ − z)n+1

dξ. (4.5)

С помощью этих формул можно вычислять некоторые криволи-нейные интегралы по замкнутым контурам для подынтегральнойфункции специального вида. Формулы следует записать в обратномпорядке∮

l

f(ξ)ξ − z

dξ = 2πif(z), и∮l

f(ξ)(ξ − z)n+1

dξ =2πi

n!f (n)(z).

Пример 5.1. Вычислить∮C

ez

(z − i)3dz,

где C — произвольный замкнутый контур, однократно обходящийточку i в положительном направлении.

Р е ш е н и е. Функция f(z) = ez аналитична в области, огра-ниченной контуром C и в силу формулы для производной, находим∮

C

ez

(z − i)3dz =

2πi

2!f ′′(i) = −π sin 1 + iπ cos 1.

§6. Принцип максимума модуля аналитической функции

С помощью теоремы о среднем можно доказать так называе-мый принцип максимума модуля аналитической функции.

Теорема 6.1. Если функция f(z) , не равная тождествен-но постоянной, аналитична в замкнутой области D , то модульэтой функции |f(z)| достигает наибольшего значения на границеобласти D и только на ней.

Доказательство этой теоремы смотри [7].

58

Page 59: neki zadaci iz kemije

Применив принцип макси-мума модуля к функции

g(z) =1

f(z),

сразу же можно показать, чтопри условиях предыдущей тео-ремы и дополнительном условииf(z) 6= 0 в D , модуль функцииf(z) достигает и своего наи-меньшего значения тоже на границе и только на ней.

§7. Неравенство Коши и теорема Лиувилля

Формула (4.5) и принцип максимума модуля (Теорема 6.1) поз-воляют получить важную, оценку модуля n -ой производной.

Пусть функция f(z) аналитична на окружности C радиуса Rс центром в точке a и в круге D , ограниченном этой окружностью.Пусть M будет наибольшим значением |f(z)| в круге D , достигае-мое на окружности C . Так как на C будет |ς−z| = R , то, применяяформулу для n -ой производной (4.5), в силу теоремы об оценке ин-теграла, находим

|f (n)(z)| =

∣∣∣∣∣ n!2πi

∮C

f(ξ)(ξ − z)n+1

∣∣∣∣∣ ≤ n!2π

· M

Rn+1· 2πR

или|f (n)(z)| ≤ n!M

Rn.

Это и есть искомая оценка.Как следствие отсюда получается следующая теорема.Теорема 7.1. (Т е о р е м а Л и у в и л л я) Если функ-

ция f(z) аналитична и ограничена на всей плоскости z , то онапостоянна.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если |f(z)| ≤ M на всей плоскостиz , то в силу

|f (n)(z)| ≤ n!MRn

59

Page 60: neki zadaci iz kemije

при n = 1 будет

|f ′(z)| ≤ M

R.

При R → ∞ правая часть стремится к нулю, а левая от R независит, откуда следует, что |f ′(z)| = 0 или f ′(z) = 0 . Но тогдаf(z) = const.

§8. Теорема Морера

Теорема 8.1. Пусть функция f(z) является непрерывной водносвязной области D и интеграл от f(z) по любому замкнуто-му контуру, целиком принадлежащему D , равен нулю. Тогда f(z)является аналитической функцией, в области D .

Отметим, что теорема является в определенном смысле об-ратной по отношению к интегральной теореме Коши 2.1. Ее можнообобщить и на многосвязные области.

§9. Понятие аналитического продолжения

Пусть функция f1(z) аналитична в области D1 . Положим, чтопостроена новая область D2 , имеющая с D1 общую часть D12 , иопределим в D2 аналитическую функцию f2(z) , значения которой

в области D12 совпадают со значе-ниями f1(z) .

Определение 9.1. Функцияf2(z) называется аналитическимпродолжением функции f1(z) изобласти D1 в область D2 через D12

(или f1(z) называется аналитиче-ским продолжением f2(z) из D2

в D1 через D12 ).Доказывается [7], что если существует такое аналитическое

продолжение, то оно является единственным, т.е. не может суще-ствовать двух различных аналитических продолжений функцииf1(z) из D1 в D2 через D12 .

В предельном случае новая область D2 может не налегатьна D1, а лишь соприкасаться с ней по некоторой дуге C . В си-

60

Page 61: neki zadaci iz kemije

лу полной однозначной определимости каждой из функций f1(z)и f2(z) через другую нет, вообще говоря, никаких оснований рас-сматривать эти функции, как различные; их можно рассматриватькак элементы одной и той же функции

f(z) =

f1(z) в D1,

f2(z) в D2

аналитической в области D , составленной из областей D1 и D2 :D = D1 ∪D2 .

Итак, если две функции, аналитические в некоторой области,равны между собой в части этой области (или на кривой, лежа-щей в этой области), то они равны и во всей рассматриваемой об-ласти. Таким образом, функция, аналитическая в некоторой обла-сти, полностью определяется своими значениями на любой частиэтой области или на любой кривой, принадлежащей этой области(т е о р е м а е д и н с т в е н н о с т и) .

§10. Вопросы для повторения

1. Определить интеграл от функции комплексного переменного.

2. Теорема Коши для односвязной области.

3. Теорема Коши для многосвязной области.

4. Первообразная комплексной функции.

5. Интеграл Коши.

6. Производные высших порядков от функции комплексного пе-ременного.

7. Теорема Лиувилля.

8. Теорема Морера.

61

Page 62: neki zadaci iz kemije

ГЛАВА 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХФУНКЦИЙ РЯДАМИ

§1. Разложение аналитических функций в степенныеряды1

Различают числовые и функциональные ряды. Из всевозмож-ных функциональных рядов большое распространение имеют сте-пенные ряды.

Определение 1.1. Функциональный ряд вида

∞∑n=0

cn(z− z0)n = c0 + c1(z− z0)+ c2(z− z0)2 + . . .+ cn(z− z0)n + . . . ,

где cn — комплексные постоянные (коэффициенты ряда), называ-ется степенным.

Областью сходимости называется внутренность круга (наокружности ряд может сходиться, а может и расходиться) с цен-тром z0 и радиуса R .

Радиус сходимости R можно определить, пользуясь призна-ками Даламбера или Коши:

R = limn→∞

∣∣∣∣ cn

cn+1

∣∣∣∣ или R = limn→∞

1n√|cn|

.

Частный вид степенного ряда при z0 = 0 имеет вид

∞∑n=0

cnzn = c0 + c1z + c2z2 + . . . + cnzn + . . . .

Этот ряд сходится при |z| < R , т.е. в круге радиусом R .1 Старков В. Н. Разложение аналитических функций в степенные ряды.

Ряд Лорана. Представление вычетов. // Методическое пособие с ответами навопросы для Государственного экзамена. Вып. 1. — СПб, “Полиграф экспресс”,2005, с. 28–33.

62

Page 63: neki zadaci iz kemije

Пример 1.1. Рассмотрим геометрическую прогрессию

∞∑n=0

zn = 1 + z + z2 + . . . + zn + . . . .

Ее круг сходимости |z| < 1 . Внутри этого круга прогрессия схо-дится абсолютно, а во всяком замкнутом круге |z| ≤ q < 1 — рав-номерно. Как и в вещественном анализе, сумма прогрессии внутриее круга сходимости равна функции 1/(1 − z) . Эта функция и еепредставление рядом очень полезны в задачах разложения в ряды.

Пример 1.2. Исследовать сходимость ряда

∞∑n=0

(z − 1)n

n!= 1 +

z − 11!

+(z − 1)2

2!+ . . . .

Его радиус сходимости равен

R = limn→∞

∣∣∣∣ cn

cn+1

∣∣∣∣ = limn→∞

(n + 1) = ∞.

Следовательно, кругом сходимости данного ряда будет вся плос-кость z .

§2. Теорема о разложении функции в ряд Тейлора

Один из видов степенного ряда — ряд Тейлора

f(z) =∞∑

n=0

cn(z − z0)n, cn =1n!

f (n)(z0).

Кругом сходимости этого ряда является круг |z − z0| < R .Как и всякий степенной ряд, ряд Тейлора внутри круга сходимо-сти определяет некоторую аналитическую функцию. Естественнопоставить вопрос: можно ли функции, аналитической внутри неко-торого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом кругек данной функции? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

63

Page 64: neki zadaci iz kemije

Теорема 2.1. (Т е о р е м а Т е й л о р а) Функция f(z) ,аналитическая внутри круга |z−z0| < R , может быть представ-лена в этом круге сходящимся степенным рядом

f(z) =∞∑

n=0

cn(z − z0)n,

причем этот ряд определен однозначно.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дана f(z) , аналитическая в

круге |z − z0| < R . Обозначим через z любую точку внутри этогокруга.

Опишем положительно ориентированную окружность l с цен-тром z0 и радиуса % < R так, чтобы точка z оказалась внутриконтура l . Тогда функция f(z) будет аналитической на контуре lи внутри его. Тогда по формуле Коши (4.3)

f(z) =1

2πi

∮l

f(ς)ς − z

dς.

Дробь1

ς − zможно представить в виде

1ς − z

=1

ς − z0· 1

1−z − z0

ς − z0

. (5.1)

Так как точка ς ∈ l , а z находится внутри этого контура, то∣∣∣∣z − z0

ς − z0

∣∣∣∣ = |z − z0|%

< 1.

Поэтому1

1−z − z0

ς − z0

можно рассматривать как сумму сходя-

щейся геометрической прогрессии

1

1−z − z0

ς − z0

= 1 +z − z0

ς − z0+(

z − z0

ς − z0

)2

+ . . . .

64

Page 65: neki zadaci iz kemije

Тогда для (5.1) получаем

1ς − z

=1

ς − z0+

z − z0

(ς − z0)2+

(z − z0)2

(ς − z0)3+ . . . , (5.2)

причем этот ряд равномерно сходится при любом ς ∈ l и постоян-ном z , потому что выражение∣∣∣∣z − z0

ς − z0

∣∣∣∣ = |z − z0|%

< 1.

Умножая (5.2) наf(ς)2πi

(при этом равномерная сходимость ненарушается) и интегрируя вдоль l , получаем

12πi

∫l

f(ς)ς − z

dς =1

2πi

∫l

f(ς)ς − z0

dς +z − z0

2πi

∫l

f(ς)(ς − z0)2

dς + . . . .

Обозначим

cn =1

2πi

∫l

f(ς)(ς − z0)n+1

dς =f (n)(z0)

n!, n = 0, 1, 2, . . . .

Здесь применена одна из формул Коши.Тогда

f(z) = c0 + c1(z − z0) + c2(z − z0)2 + · · ·+ cn(z − z0)n + . . . . (5.3)

Показано, что аналитическая функция f(z) в круге |z−z0|< Rпредставляется степенным рядом (5.3) с коэффициентами cn , т.е.своим рядом Тейлора.

Из математического анализа вещественной переменной извест-ны разложения при z0 = 0 элементарных функций.

Для разложения некоторых сложных функций целесообразноиспользовать эти ряды:

а) ez =∞∑

n=0

zn

n!= 1 +

z

1!+

z2

2!+ . . . +

zn

n!+ . . . ;

65

Page 66: neki zadaci iz kemije

б) sin z =∞∑

n=0

(−1)n z2n+1

(2n + 1)!= z − z3

3!+

z5

5!− . . .

· · ·+ (−1)n z2n+1

(2n + 1)!+ . . . ;

в) cos z =∞∑

n=0

(−1)n z2n

(2n)!= 1− z2

2!+

z4

4!− · · ·+ (−1)n z2n

(2n)!+ . . . ;

г) (1 + z)n = 1 + nz +n(n− 1)

2!z2 + . . .

· · ·+ n(n− 1) . . . (n− k + 1)k!

zk + . . . ;

д) ln(1 + z) =∞∑

n=1

(−1)n zn

n=

z

1− z2

2+

z3

3− · · ·+ (−1)n zn

n+ . . . .

Радиус сходимости первых трех рядов R = ∞ , т.е. они сходятся прилюбых z , а последних двух R = 1 , т.е они сходятся для |z| < 1 ,здесь взяты однозначные ветви функций, которые равны соответ-ственно 1 и 0 при z = 0 .

§3. Примеры построения аналитического продолжения спомощью степенных рядов

Пусть первоначально функция f1(z) задана своим степеннымрядом

f1(z) =∞∑

n=0

zn.

Этот ряд сходится внутри круга |z| < 1 к аналитической функции

f1(z) =1

1− z.

Всюду вне круга |z| < 1 ряд расходится: следовательно, f1(z) неопределена вне круга |z| < 1 .

Выберем некоторую точку z0 внутри круга |z| < 1 и построим

разложение f1(z) в степенной ряд∞∑

n=0cn(z − z0)n центром в этой

66

Page 67: neki zadaci iz kemije

точке. Вычислим коэффициенты cn по формуле

cn =f (n)(z0)

n!=

1(1− z0)n+1

.

Можно показать, что радиус сходимости данного ряда равен |1−z0| .Следовательно, функция

f2(z) =∞∑

n=0

(z − z0)n

(1− z0)n+1

является аналитическим продолжением функции f1(z) на область|z − z0| < |1− z0| .

Заметим, что степенной ряд, определяющий функцию f2(z) ,

также легко суммируется, причем f2(z) =1

1− z.

Рис. 5.1.

Далее, взяв в качестве новогоцентра разложения точку z1 внутрикруга |z−z0| < |1−z0| , получим ряд

∞∑n=0

(z − z1)n

(1− z1)n+1,

сходящийся внутри круга |z − z1| << |1 − z1| к функции f3(z) =

11− z

,

совпадающей с f2(z) и f1(z) в об-щих частях круга |z−z1| < |1−z1| иобластей определения соответствую-щих функций. Тем самым f3(z) яв-ляется аналитическим продолжением f1(z) на новую область. От-метим, что при любом выборе точки z1 граница соответствующегокруга сходимости пройдет через точку z = 1 (рис. 5.1). Поступаяаналогичным образом, можно построить аналитическое продолже-ние функции f1(z) на полную плоскость комплексной переменной,за исключением точки z = 1 . При этом аналитическим продол-жением f1(z) , полученным с помощью степенных рядов, являетсяфункция

F (z) =1

1− z,

67

Page 68: neki zadaci iz kemije

определенная и аналитическая всюду, за исключением точки z = 1 .Итак, нам удалось расширить область первоначального зада-

ния аналитической функции F (z) — круг |z| < 1 , в котором былазадана функция f1(z) , — на большую область. Заметим, что, хотяи имеют место многочисленные взаимные наложения построеннойцепочки областей, полученная аналитическая функция F (z) явля-ется однозначной во всей области своего определения — на полнойплоскости z с выброшенной точкой z = 1 . Дальнейшее аналитиче-ское продолжение функции F (z) на большую область уже невоз-можно. Точка z = 1 , являющаяся границей области аналитичностифункции F (z) , представляет собой в определенном смысле особуюточку этой функции. Поведение аналитической функции в окрест-ности таких точек заслуживает более подробного изучения, что ибудет проведено в дальнейшем.

§4. Ряд Лорана. Теорема Лорана1

Ряд, содержащий, кроме положительных степеней z − z0 ,также и отрицательные степени z − z0 , называется рядом Лоранаи имеет вид∞∑

n=−∞an(z − z0)n = . . . +

a−n

(z − z0)n+ . . . +

a−1

z − z0+

+ a0 + a1(z − z0) + . . . + an(z − z0)n + . . . .

Областью сходимости ряда Лорана является круговое кольцоR1 < |z − z0| < R2 (кольцо может выродиться в круг с выколотымцентром: 0 < |z − z0| < R2 или во внешность круга с выколотойточкой z = ∞ : R1 < |z − z0| < ∞ , а также во всю плоскость сдвумя выколотыми точками: 0 < |z− z0| < ∞). Часть ряда Лоранас коэффициентами a−n называется главной частью ряда Лорана,а с коэффициентами an — правильной частью.

Теорема 4.1. (Т е о р е м а Л о р а н а) Всякая аналити-ческая в кольце r < |z− z0| < R , где 0 ≤ r < R < ∞ , функция f(z)однозначно представляется в этом кольце в виде сходящегося ря-

1Пьер Лоран (1813–1854 гг.) — французский математик

68

Page 69: neki zadaci iz kemije

да и притом единственным образом

f(z) =∞∑

n=−∞cn(z − z0)n =

∞∑n=0

cn(z − z0)n +∞∑

n=1

c−n

(z − z0)n. (5.4)

Здесьcn =

12πi

∮γ

f(ς)(ς − z0)n+1

dς, n = 0,±1,±2, . . . , (5.5)

а γ — любая окружность |ς−z0| = % , r < % < R , ориентированнаяпротив часовой стрелки.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В заданном кольце сходимостипроведем еще две ориентированные против часовой стрелки окруж-ности l и L радиусов r′ и R′ с центром в точке z0 , гдеr < r′ < R′ < R . В силу условия теоремы 4.1 функция f(z) анали-тична в кольце между окружностями l и L и на самих окружно-стях. Поэтому по формуле Коши (4.3) для сложного контура полу-чаем

f(z) =1

2πi

∮L

f(ς)ς − z

dς +1

2πi

∮l−

f(ς)ς − z

илиf(z) =

12πi

∮L

f(ς)ς − z

dς − 12πi

∮l

f(ς)ς − z

dς, (5.6)

где z — точка между окружностями l и L .В первом интеграле (5.6) точка ς обозначает точку окружно-

сти L , поэтому ∣∣∣∣z − z0

ς − z0

∣∣∣∣ = |z − z0|R′ < 1.

Перепишем

1ς − z

=1

ς − z0· 1

1−z − z0

ς − z0

=∞∑

n=0

(z − z0)n

(ς − z0)n+1, (5.7)

причем ряд справа сходится равномерно для ς ∈ L (при фиксиро-ванном z ).

69

Page 70: neki zadaci iz kemije

Во втором интеграле (5.6) точка ς ∈ l , поэтому∣∣∣∣ ς − z0

z − z0

∣∣∣∣ = r′

|z − z0|< 1.

Тогда1

ς − z=

−1z − z0

· 1

1−ς − z0

z − z0

= −∞∑

n=0

(ς − z0)n

(z − z0)n+1(5.8)

и ряд справа также сходится равномерно для всех ς ∈ l (при фик-сированном z ).

Подставляя (5.7) и (5.8) в (5.6) и почленно интегрируя, нахо-дим

f(z) =∞∑

n=0

(z − z0)n 12πi

∮L

f(ς)(ς − z0)n+1

dς +∞∑

n=0

(z − z0)−n−1×

× 12πi

∮l

f(ς)(ς − z0)−n

dς =∞∑

n=0

(z − z0)n 12πi

∮L

f(ς)(ς − z0)n+1

dς+

+∞∑

n=1

(z − z0)−n 12πi

∮l

f(ς)(ς − z0)−n+1

dς.

(5.9)

Так как функцияf(ς)

(ς − z0)n+1при любом n аналитична в кольце, то

в силу теоремы Коши 2.1 интеграл (5.5) равен аналогичному инте-гралу по любой другой окружности, в частности по l и L . Поэтомуиз (5.9) следует справедливость (5.4), где числа cn вычисляются поформуле (5.5).

Первый ряд в правой части (5.4) сходится в круге |z− z0| < Rк некоторой аналитической в этом круге функции f1(z) , т.е.

f1(z) =∞∑

n=0

cn(z − z0)n.

Она называется правильной частью ряда Лорана. Второй ряд в пра-вой части (5.4) сходится во внешности круга |z − z0| > r . Он опре-

70

Page 71: neki zadaci iz kemije

деляет некоторую аналитическую функцию

f2(z) =∞∑

n=1

c−n

(z − z0)n,

называемую главной частью ряда Лорана.Итак, функция

f(z) = f1(z) + f2(z)

является аналитической внутри кольца r < |z− z0| < R функцией.Коэффициенты ряда Лорана однозначно вычисляются по форму-ле (5.5).

Замечание 4.1. Ряд (5.4) называется рядом Лорана функцииf(z) по степеням z − z0 или разложением Лорана функции f(z)в кольце r < |z − z0| < R . Когда говорят, что ряд (5.4)) сходится,под этим подразумевается, что сходятся отдельно ряды с положи-тельными и отрицательными степенями z − z0 .

Пример 4.1. Функция

f(z) =1

(z − 2)(z − 3)

аналитична на плоскости z , за исключением z = 2 и z = 3 . Про-ведем через них окружности |z| = 2 , |z| = 3 . Данная функцияаналитична в круге |z| < 2 , аналитична в кольце 2 < |z| < 3 и ана-литична вне круга |z| > 3 и может быть в этих областях разложенав ряды. Разложим функцию в ряд Лорана в кольце 2 < |z| < 3 :

f(z) =∞∑−∞

ckzk,

где

ck =1

2πi

∮γ

f(ς)ςk+1

dς, k = 0,±1,±2, . . . .

Здесь γ — окружность |ς| = % , 2 < % < 3 , ориентированная противчасовой стрелки.

71

Page 72: neki zadaci iz kemije

На самом деле для вычисления ck не обязательно прибегатьк таким сложным формулам. Иногда удобнее использовать пред-ставление разлагаемой функции в виде суммы функций, каждуюиз которых можно непосредственно представить в виде разложенияпо отрицательным или положительным степеням z − z0 .

Представим

f(z) =1

(z − 2)(z − 3)=

1z − 3

− 1z − 2

и разложим каждое слагаемое по степеням z :

1z − 3

=−1

3(1− z

3

) = −∞∑

k=0

zk

3k+1,

1z − 2

=1z· 11− 2

z

=1z

(1 +

2z

+(

2z

)2

+ . . .

)=

∞∑k=1

2k−1

zk.

Здесь использовалась формула для суммы членов бесконечно убы-вающей геометрической прогрессии.

Окончательно ряд Лорана этой функции имеет вид

f(z) =∞∑

k=1

2k−1

zk−

∞∑k=0

zk

3k+1.

Разложение около другой точки даст другой вид ряда.

Пример 4.2. Рассмотрим функцию

f(z) =1

(z − 1)(z − 2).

Она имеет две особые точки z = 1 и z = 2 и, значит, в кольце1 < |z| < 2 является аналитической и разлагается в ряд Лорана.Найдем это разложение, представив функцию в виде суммы про-стейших дробей:

1(z − 1)(z − 2)

=1

z − 2− 1

z − 1.

72

Page 73: neki zadaci iz kemije

Дробь 1/(z − 2) является аналитической функцией в круге |z| < 2и разлагается по положительным степеням аналогично ряду гео-метрической прогрессии:

−12· 1

1−z

2

= −12

(1 +

z

2+

z2

22+ . . . +

zn

2n+ . . .

)= −1

2

∞∑n=0

(z

2

)n

.

Дробь −1/(z − 1) является аналитической вне круга |z| > 1 и раз-лагается по степеням 1/z также как сумма геометрической про-грессии:

−1z − 1

=−1

z

(1−

1z

) = −1z

(1 +

1z

+1z2

+ . . . +1zn

+ . . .

)= −

∞∑n=1

1zn

.

Окончательно имеем

f(z) = −12

∞∑n=0

(z

2

)n

−∞∑

n=1

1zn

= −12−

∞∑n=1

(zn

2n+

1zn

).

Для этой функции можно получить и другие разложения в дру-гих областях. Так, например, в области |z| < 1 она аналитична иразлагается в ряд Тейлора:

1(z − 1)(z − 2)

= − 1z − 1

+1

z − 2=

11− z

− 12· 1

1−z

2

=

= 1 + z + z2 + . . . + zn + . . .− 12

(1 +

z

2+

z2

22+ . . . +

zn

2n+ . . .

)=

=∞∑

n=0

(1− 1

2n+1

)zn.

Разложим ее в кольце 0 < |z − 1| < 1 (окрестность точкиz0 = 1) по степеням z − 1 :

f(z) = − 1z − 1

+1

z − 2= − 1

z − 1− 1

1− (z − 1)=

73

Page 74: neki zadaci iz kemije

= − 1z − 1

−∞∑

n=0

(z − 1)n = −∞∑

n=−1

(z − 1)n.

Таким образом, для одной и той же функции можно получитьразличные разложения. Это не противоречит единственности раз-ложения, ибо полученные ряды имеют место в различных областях.

§5. Изолированные особые точки, их классификация с по-мощью ряда Лорана

Важной характеристикой функций комплексного переменногоявляется наличие или отсутствие особых точек.

Определение 5.1. Точки, в которых функция f(z) не явля-ется аналитической, называются особыми точками данной функ-ции f(z) .

Определение 5.2. Особая точка z0 функции f(z) являетсяизолированной особой точкой, если функция f(z) аналитическаяв некотором кольце 0 < |z − z0| < R (круг, из которого выколотаточка z0 ), т.е. если в достаточно малой окрестности особой точкиz0 нет других особых точек.

Изолированные особые точки бывают трех типов:

— устранимая особая точка;

— полюс;

— существенно особая точка.

Определение 5.3. Изолированная особая точка z0 функцииf(z) называется устранимой (или правильной), если существует ко-нечный предел

limz→z0

f(z)

(этот предел не совпадает с f(z0)).

Утверждение 5.1. Для того чтобы изолированная особаяточка z0 функции f(z) была устранимой, необходимо и доста-точно, чтобы лорановское (5.4) разложение f(z) в некоторой

74

Page 75: neki zadaci iz kemije

окрестности z0 не содержало главной части, т.е. представлялобы ряд Тейлора :

∞∑n=0

cn(z − z0)n = c0 + c1(z − z0) + . . . + cn(z − z0)n + . . . . (5.10)

Данная функция f(z) совпадает с суммой ряда (5.10), еслиz 6= z0 . Функция f(z) будет аналитической и в точке z0 , если по-ложить f(z0) = c0 , что обычно и делают.

Определение 5.4. Изолированная особая точка z0 функцииf(z) называется полюсом, если

limz→z0

f(z) = ∞.

Утверждение 5.2. Для того чтобы изолированная особаяточка z0 функции f(z) была полюсом, необходимо и достаточ-но, чтобы главная часть лорановского (5.4) разложения f(z) вокрестности z0 содержала бы лишь конечное число членов :

f(z) =c−m

(z − z0)m+

c−m+1

(z − z0)m−1+ . . . +

c−1

z − z0+

∞∑n=0

cn(z − z0)n.

Если m > 0 , c−m 6= 0 , то m называется порядком полюса, приm = 1 полюс, называется простым.

Если для f(z) точка z0 есть полюс порядка m , то для функ-

ции1

f(z)точка z0 есть нуль порядка m .

Определение 5.5. Точка z0 называется нулем порядка mдля аналитической функции f(z) , если разложение в степеннойряд функции f(z) имеет вид

f(z) =∞∑

k=m

ck(z − z0)k, c−m 6= 0, k ≥ 1.

Определение 5.6. Изолированная особая точка z0 функцииf(z) называется существенно особой, если lim

z→z0f(z) не существует.

75

Page 76: neki zadaci iz kemije

Например, z = 0 для функции f(z) = e1/z является суще-ственно особой, так как

limz→0−

e1z = 0, хотя lim

z→0+e

1z = ∞.

Утверждение 5.3. Для того чтобы изолированная особаяточка z0 функции f(z) была существенно особой, необходимо идостаточно, чтобы главная часть лорановского (5.4) разложенияфункции f(z) в окрестности z0 содержала бы бесконечное числочленов:

f(z) =∞∑

n=−∞cn(z − z0)n.

Тип особой точки можно определить, используя следующуютаблицу.

Тип особой Вид ряда Лорана Предел функ-точки f(z) = ции lim

z→z0f(z) =

Устранимая c0 + c1(z − z0) + c2(z − z0)2 + . . . c0

особая точка . . . + cn(z − z0)n + . . .

Полюс m-гоc−m

(z − z0)m+ . . . +

c−1

z − z0+ c0+ ∞

порядка + c1(z − z0) + c2(z − z0)2 + . . .

Существенно . . . +c−m

(z − z0)m+ . . . +

c−1

z − z0+ c0+ Не существует

особая точка + c1(z − z0) + c2(z − z0)2 + . . . предела

§6. Разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечноудаленной точки

Определение 6.1. Точка z = ∞ называется бесконечно уда-ленной изолированной особой точкой, если все другие особые точкинаходятся на конечном расстоянии от начала координат.

76

Page 77: neki zadaci iz kemije

Определение 6.2. Точку z = ∞ будем называть устранимойособой точкой функции f(z) , если ее разложение в ряд Лорана (5.4)имеет вид

f(z) =∞∑

n=0

cnz−n (5.11)

или существует предел

limz→∞

f(z) = c0,

т.е. функция ограничена в окрестности бесконечно удаленной точ-ки.

Определение 6.3. Если в разложении (5.11) коэффициентыc0 = c1 = · · · = cm−1 = 0 , но cm 6= 0 . В этом случае говорят, чтоточка z = ∞ является нулем кратности m функции f(z) .

Определение 6.4. Точка z = ∞ называется полюсом поряд-ка m функции f(z) , если разложение в ряд Лорана (5.4) в окрест-ности этой точки имеет вид

f(z) =∞∑

n=−m

cnz−n, где c−m 6= 0.

Видно, что в этом случае

limz→∞

f(z) = ∞.

Определение 6.5. Бесконечно удаленная точка называетсясущественно особой точкой функции f(z) , если разложение в рядЛорана (5.4) для нее имеет вид

f(z) =∞∑

n=−∞cnzn,

причем главная часть состоит из бесконечного числа членов.

77

Page 78: neki zadaci iz kemije

§7. Вопросы для повторения

1. Степенные комплексные ряды: круг и радиус сходимости.

2. Доказать теорему о разложении аналитической функции вряд Тейлора.

3. Разложения элементарных функций по степеням z .

4. Аналитическое продолжение с помощью степенных рядов.

5. Теорема о разложении в ряд Лорана функции, аналитическойв кольце. Пример.

6. Классификация особых точек с помощью ряда Лорана.

7. Классификация бесконечно удаленной точки с помощью рядаЛорана.

78

Page 79: neki zadaci iz kemije

ГЛАВА 6. ВЫЧЕТЫ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРИМЕНЕ-НИЕ

§1. Вычет функции относительно изолированной особойточки. Основная теорема о вычетах

Определение 1.1. Вычетом функции f(z) относительно осо-бой точки z0 называется коэффициент c−1 при (z− z0)−1 в разло-жении в ряд Лорана (5.4) функции f(z) в окрестности z0 . Коэф-фициент c−1 6= 0 только в том случае, когда z0 — полюс или суще-ственно особая точка. Обозначается вычет Res f(z0) или Res

z=z0f(z) .

Вычет функции f(z) , соответствующий полюсу, можно вы-числить проще, не пользуясь разложением функции в ряд Ло-рана. В случае простого полюса z = z0 функции f(z) вычетRes f(z0) = lim

z→z0f(z)(z − z0) .

Определение 1.2. Вычетом функции f(z) в точке z0 назы-вается интеграл

Resz=z0

f(z) =1

2πi

∮L

f(z) dz,

где L — произвольный контур в кольце 0 < |z − z0| < R , ориен-тированный против часовой стрелки (L должен окружать точкуz0 ).

Если для f(z) имеется разложение в ряд Лорана (5.4) в точ-ке z0 :

f(z) =∞∑

k=−∞

ck(z − z0)k

в кольце 0 < |z − z0| < R , то вспомнив выражение для коэффици-ентов ck (5.5), видим, что для k = −1 :

c−1 =1

2πi

∮L

f(z) dz,

т.е. Resz=z0

f(z) = c−1 . Поэтому, если известно разложение функции

79

Page 80: neki zadaci iz kemije

в ряд Лорана (5.4) по степеням z − z0 , то вычет в точке z0 равен

коэффициенту при1

z − z0в ряде.

Поговорим о способах вычисления вычетов для разных типовособых точек.

§2. Вычисление вычетов в конечных особых точках

Утверждение 2.1. Вычет в устранимой особой точке ра-вен 0 .

Утверждение 2.2. Вычет для полюса z0 порядка m ≥ 1определяется по формуле

Resz=z0

f(z) =1

(m− 1)!lim

z→z0

dm−1

dzm−1

(f(z)(z − z0)m

). (6.1)

В случае функции f(z) вида

f(z) =g(z)ϕ(z)

,

где g(z) и ϕ(z) — аналитические функции в окрестности точки z0

и g(z0) 6= 0 , а для ϕ(z) точка z0 есть нуль первого порядка (дляf(z) же точка z0 есть полюс первого порядка), то формула (6.1)упрощается:

Resz=z0

g(z)ϕ(z)

=g(z0)ϕ′(z0)

.

Если же z0 — существенно особая точка, то имеется толькоодин способ вычисления вычета — разложение функции в ряд Ло-рана (5.4) и определение коэффициента c−1 .

Теперь о классификации для случая бесконечно удаленнойточки z = ∞ .

Выберем любое r ≥ 0 . Разложим функцию f(z) по степеням zво внешности круга |z| ≤ r , а именно на множестве |z| ≥ r , котороеиногда называют окрестностью бесконечно удаленной точки,

f(z) =∞∑−∞

ckzk = F1(z) + F2(z) =∞∑

k=1

ckzk +∞∑

k=0

c−k

zk.

80

Page 81: neki zadaci iz kemije

В этом случае F1(z) называют главной частью, а F2(z) — правиль-ной частью. В зависимости от поведения функции f(z) в окрест-ности z = ∞ введена следующая классификация:

а) Особенность в точке z = ∞ устранимая, если все ck = 0 ,k = 1, 2, . . . , т.е. если f(z) = F2(z) для |z| > r . В этом случае

limz→∞

f(z) = c0.

Очевидно, что1

2πi

∮L−

f(z) dz = −c−1,

где L− — произвольный контур, ориентированный по часовойстрелке, содержащий внутри себя окружность |z| = r .

При известном воображении можно считать, что точка z = ∞находится внутри контура L− . Если двигаться по контуру L−

по часовой стрелке, то точка z = ∞ остается слева. Видим,что в случае, когда z = ∞ — устранимая особая точка, товычет не обязательно равен нулю;

б) Точка ck есть полюс порядка m , если f(z) =m∑

k=1

ckzk + F2(z)

и cm 6= 0 . В этом случае, очевидно,

limz→∞

f(z) = ∞.

Далее ∮L−

f(z) dz =∞∑

k=0

c−k

∮L−

dz

zk+

m∑k=1

ck

∮L−

zk dz =

= −c−1

∫L

dz

z= −2πic−1,

потому, что∮

L−

zk dz = −∮L

zk dz = 0 , когда k 6= −1 ;

81

Page 82: neki zadaci iz kemije

в) Точка z = ∞ является существенно особой точкой, если

f(z) =∞∑

k=1

ckzk +F2(z) и имеется бесконечное число чисел ck ,

не равных нулю. В данном случае функция из-за второго сла-гаемого не имеет предела при z →∞ .

Далее ∮L−

f(z) dz =∞∑

k=−∞

ck

∮L−

zk dz = −2πic−1.

Определение 2.1. Вычетом функции f(z) в бесконечно уда-ленной точке называется

Resz=∞

f(z) =1

2πi

∮L−

f(z) dz,

где L− — произвольный замкнутый контур, ориентированный почасовой стрелке, принадлежащий множеству |z| > r (где функция

f(z) аналитична). Кроме того, если f(z) =∞∑

k=−∞ckzk — ряд Лора-

на функции во внешности окружности |z| = r , то

Resz=∞

f(z) = −c−1.

Теорема 2.1. (Т е о р е м а о в ы ч е т а х) Пусть функцияf(z) аналитична на всех плоскости z , за исключением конечногочисла точек z1, z2, . . . , zN . Тогда имеет место равенство

N∑k=1

Resz=zk

f(z) + Resz=∞

f(z) = 0.

Теорема 2.2. (О с н о в н а я т е о р е м а т е о р и ив ы ч е т о в) Пусть функция f(z) является аналитической всюдув замкнутой области D , за исключением конечного числа изоли-рованных особых точек z1, z2, . . . , zN , лежащих внутри областиD . Тогда ∮

L

f(ς) dς = 2πi

N∑k=1

Resz=zk

f(z),

82

Page 83: neki zadaci iz kemije

где L — полная граница области D , проходимая в положительномнаправлении.

Эти теоремы облегчают вычисление некоторых интегралов.Пример 2.1. Вычислить

I =∮

|z−i|=2

z − 7z2(z − 1)(z − 5i)

dz.

Строим контур интегрирования — окружность |z − i| = 2 .Подынтегральная функция имеет особые точки z1 = 0 , z2 = 1 иz3 = 5i . Точка 5i не лежит внутри контура интегрирования. Точкаz1 = 0 — полюс 2-го порядка, z2 = 1 — полюс 1-го порядка. Поосновной теореме о вычетах 2.2 получаем

I = 2πi(Resz=0

f(z) + Resz=1

f(z)).

По формуле для вычисления вычета в полюсе 2-го порядка

Resz=0

f(z) =11!

limz→0

(((z − 7)z2

z2(z − 1)(z − 5i)

)′)=

= limz→0

(z − 1)(z − 5i)− (z − 7)(2z − 1− 5i)(z − 1)2(z − 5i)2

=7 + 30i

25.

Для простого полюса вычет равен

Resz=1

f(z) = limz→1

(z − 7)(z − 1)z2(z − 1)(z − 5i)

= − 61− i

.

Окончательно,

I = 2πi

(7 + 30i

25− 6

1− i

)= π

(245− 106

25i

).

§3. Вычисление определенных интегралов с помощьювычетов

Некоторые определенные интегралы от функций веществен-ного переменного удается преобразовать в интеграл по замкнуто-му контуру от функции комплексного переменного, что позволяетприменить для вычисления этих интегралов основную теорему овычетах 2.2. Часто удается достаточно просто получить ответ и в

83

Page 84: neki zadaci iz kemije

тех случаях, когда применение других методов анализа оказывает-ся затруднительным.

Рассмотрим интеграл вида

I =

2π∫0

F (cos θ, sin θ) dθ. (6.2)

Подстановка z = eiθ даст для

cos θ =12(eiθ + e−iθ

)=

12

(z +

1z

),

sin θ =12i

(eiθ − e−iθ

)=−i

2

(z − 1

z

),

dθ =dz

iz

и превратит вещественный интеграл (6.2) в комплексный. При из-менении θ от 0 до 2π комплексная переменная пробегает замкну-тый контур — окружность |z| = 1 в положительном направлении.Окончательно интеграл (6.2) примет вид

I =1i

∮|z|=1

F

(z +

1z, z − 1

z

)dz

z.

Пример 3.1. Вычислить интеграл

2π∫0

dx

a + cos x, a > 1.

Р е ш е н и е. Положим eix = z . При изменении x от 0 до2π переменная z пробегает окружность |z| = 1 в положительномнаправлении. Выразим

cos x =12(eix + e−ix

)=

z2 + 12z

,

иdz = ieixdx = izdx, откуда dx =

dz

iz.

84

Page 85: neki zadaci iz kemije

Тогда

I =∮

|z|=1

dz

iz

(z2 + 1

2z+ a

) =2i

∮|z|=1

dz

z2 + 2az + 1.

Корни знаменателя z1 = −a +√

a2 − 1 , z2 = −a −√

a2 − 1 —простые полюсы, |z1| < 1 и z1 лежит внутри круга |z| = 1 :

Res f(z1) =1

z − z2

∣∣∣z=z1

=1

2√

a2 − 1.

Исходный интеграл равен2i· 2πi

2√

a2 − 1=

2π√a2 − 1

.

О т в е т:2π√

a2 − 1.

Пример 3.2. Найти интегралπ∫

0

tg(ϕ + i) dϕ .

Р е ш е н и е. Сделаем замену z = e2iϕ . Когда ϕ изменяетсяот 0 до π переменная z пробегает окружность |z| = 1 . Выразим

2iϕ = ln z, dϕ =12i· dz

z,

тогда

tg(ϕ + i) =ei(ϕ+i) − e−i(ϕ+i)

i(ei(ϕ+i) + e−i(ϕ+i)

) =eiϕe−1 − e−iϕe

i (eiϕe−1 + e−iϕe)=

=

√z

e− e√

z

i

(√z

e+

e√

z

) =z − e2

i (z + e2).

В нашем случае z = 0 и z = −e2 — простые полюсы. В круге|z| = 1 лежит z = 0 и Res f(0) = −1 .

85

Page 86: neki zadaci iz kemije

Интеграл равен

12i2

∮|z|=1

z − e2

z + e2· dz

z= 2πi

12i2

(−1) = πi.

О т в е т: πi .

§4. Несобственные интегралы от вещественной перемен-ной

Пусть требуется найти интеграл на отрезке [a, b] от веществен-ной функции f(x) . Отрезок [a, b] дополняется кривой C , котораявместе с ним ограничивает некоторую область D . Функция ана-литически продолжается в область, построенную таким образом.К аналитическому продолжению f(z) применяется теорема о вы-четах 2.1. Если интеграл по контуру C удается вычислить или вы-разить через интеграл по отрезку [a, b] , то это позволит найти этотпоследний и тем самым решить задачу.

В частности, если отрезок интегрирования бесконечный, торассматривают семейство расширяющихся контуров интегрирова-ния, чтобы в результате предельного перехода получить искомыйинтеграл по бесконечному отрезку интегрирования.

Оценку интеграла по контуру C иногда можно производитьпри помощи лемм Жордана 4.1, 4.2. Пусть подынтегральная функ-ция f(z) является аналитической в верхней полуплоскости за ис-ключением некоторых точек z1, . . . , zn , не находящихся на веще-ственной оси.

Рассмотрим интеграл∮

CR

f(z) dz по верхней полуокружно-

сти CR , опирающийся на отрезок [−R,R] вещественной оси.Лемма 4.1. Если M(R) есть максимум модуля f(z) на дан-

ной полуокружности и если R ·M(R) → 0 при R →∞ , то∮CR

f(z) dz → 0 при R →∞.

86

Page 87: neki zadaci iz kemije

Лемма 4.2. Если M(R) → 0 при R →∞ , то∮CR

f(z)eimz dz → 0 при R →∞, m > 0.

Для m < 0 в условиях леммы 4.2 нужно заменить верхнююполуплоскость на нижнюю и соответственно верхнюю полуокруж-ность на нижнюю. Леммы Жордана обычно используются при вы-числении несобственных интегралов.

Пример 4.1. Вычислим интеграл I =

∞∫−∞

dx

x4 + 1.

Р е ш е н и е. Аналитическое продолжение подынтегральнойфункции в верхнюю полуплоскость, а именно функция

f(z) =1

z4 + 1,

удовлетворяет всем условиям, относящимся к вычислению интегра-лов с помощью вычетов, и 1-й лемме Жордана 4.1. Особыми точ-ками функции в верхней полуплоскости являются точки

zk = eiπ4 (2k+1), k = 0, 1,

причем обе эти точки — полюсы 1-го порядка. Поэтому

I = 2πi1∑

k=0

Res f(zk) =π√

22

.

Пример 4.2. Вычислить интеграл

I =

∞∫−∞

cos αx

x2 + a2dx, a > 0, α > 0.

Р е ш е н и е. Чтобы иметь возможность воспользоваться 2-йлеммой Жордана 4.2, заметим, что в силу формулы Эйлера

I = Re I1 = Re

∞∫−∞

eiαx

x2 + a2dx.

87

Page 88: neki zadaci iz kemije

Аналитическое продолжение подынтегральной функции инте-

грала I1 — функцияeiαz

z2 + a2, имеет в верхней полуплоскости един-

ственную особую точку z1 = ia , являющуюся простым полюсом.Поэтому по основной теореме о вычетах 2.2

I1 = 2πiRes(

eiαz

z2 + a2

∣∣∣z=ia

)=

π

ae−αa и I =

π

ae−αa.

§5. Вычисление интегралов на основе теоремы Коши

Одним из важнейших применений теории вычетов являетсявычисление интегралов от однозначных функций по замкнутымкривым в предположении, что в некоторой области, содержащейконтур интегрирования, не заключается других особых точек, кро-ме изолированных особых точек однозначного характера. При этомвесьма полезной является теорема Коши:

Теорема 5.1. Если функция f(z) непрерывна в замкнутойобласти D и аналитична в области D всюду за исключением ко-нечного числа изолированных особых точек z1, z2, . . . , zn , то инте-грал от функции f(z) по контуру Γ области D при обходе конту-ра в положительном направлении (область остается слева) равенпроизведению 2πi на сумму вычетов функции f(z) в этих особыхточках: ∮

Γ

f(z) dz = 2πin∑

k=1

Res f(zk).

Это основная теорема о вычетах.Еще одна теорема имеет применение при вычислении интегра-

лов.Теорема 5.2. Если f(z) имеет конечное число особых точек

z1, z2, . . . , zn на плоскости z , то сумма всех ее вычетов, включаявычет в бесконечно удаленной точке, равна нулю:

n∑k=1

Res f(zk) + Res f(∞) = 0.

88

Page 89: neki zadaci iz kemije

Тогда, если контур Γ охватывает все конечные особые точки,а вне его оказывается только одна бесконечно удаленная точка, то∮

Γ

f(z) dz = −2πiRes f(∞).

Если же в контур Γ попадает некоторое большое количество mособых точек, а несколько оставшихся n − m точек и бесконечноудаленная точка лежат вне контура Γ , то интеграл удобнее вычис-лять не по формуле∮

Γ

f(z) dz = 2πim∑

k=1

Res f(zk),

а по формуле∮Γ

f(z) dz = −2πi

(n∑

k=m+1

Res f(zk) + Res f(∞)

).

При этом вычислений будет меньше.

Пример 5.1. Вычислить интеграл∮

|z|=3

z2 dz

(z2 + 1)(z − 2).

Р е ш е н и е. Полюсы i , −i , 2 лежат внутри круга. Вычислимвычеты:

Res f(i) = limz→i

(z − i)f(z) =1

2i(2− i),

Res f(−i) = − 12i(2 + i)

,

Res f(2) =45.

Тогда интеграл равен

2πi

(1

2i(2− i)− 1

2i(2 + i)+

45

)= 2πi

10 + 5i− 10 + 5i + 40i

2i(4 + 1)5= 2πi.

89

Page 90: neki zadaci iz kemije

Вычислим тот же интеграл с помощью вычета в бесконечноудаленной точке. Представим функцию в виде

f(z) =z2

z3

(1 +

1z2

)(1−

2z

) =

=1z

(1− 1

z2+ . . .

)(1 +

2z

+ . . .

)=

1z

+ . . . .

Тогда Res f(∞) = −1 и интеграл равен 2πi .О т в е т: 2πi .

Пример 5.2. Вычислить интеграл∮|z|=2

z20 dz

(2z3 + 1)2(z4 − 1)3.

Р е ш е н и е. Все особые точки zk = 4√

1 , 3√−0, 5 лежат в

круге |z| = 2 . Вычисление вычетов в этих точках довольно затруд-нительно, поэтому воспользуемся формулой

I = 2πi∞∑

k=1

Res f(zk) = −2πiRes f(∞).

Представим функцию в виде

z20

4z6

(1 +

12z3

)2

z12

(1−

1z4

)3 =

=z2

4

(1− 1

2z3+

14z6

− . . .

)2(1 +

1z4

+1z8

)3

=z2

4− 1

4z+ . . . .

Тогда Res f(∞) =14

и интеграл равен −2πiRes f(∞) = −πi

2.

О т в е т: −πi

2.

90

Page 91: neki zadaci iz kemije

§6. Вопросы для повторения

1. Понятие вычета функции. Основная теорема о вычетах.

2. Вычисление вычетов в конечных особых точках.

3. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов.

4. Леммы Жордана.

5. Вычисление несобственных интегралов от вещественной пере-менной.

6. Вычисление интегралов на основе интегральной теоремы Ко-ши.

91

Page 92: neki zadaci iz kemije

ТЕСТИРОВАНИЕ ПО ПРОЙДЕННОМУ МАТЕРИАЛУ

На каждый вопрос представлены три ответа. Выберите пра-вильный.

1. Формула модуля комплексного числа z = x + iy

а) |z| =√

x2 + y2 ,

б) |z| =√

x + y ,

в) |z| =√

x2 − y2 .

2. Модуль и аргумент комплексного числа −1 + i

а) 2, 90 ,

б)√

3, 45 ,

в)√

2, 135 .

3. Модуль комплексного числа z = a2 − b2 + 2abi

а) |z| = (a + b)2 ,

б) |z| = a4 − b4 − 4a2b2 ,

в) |z| = a2 + b2 .

4. Произведение i101 · i100 · i99 равно

а) −i ,

б) i ,

в) 1.

5. Произведение чисел z1 =√

2− i√

3 и z2 =√

2 + i√

3 равно

а) z1 · z2 = −1 ,

б) z1 · z2 = −5 ,

в) z1 · z2 = 5 .

92

Page 93: neki zadaci iz kemije

6. Квадратное уравнение с корнями z1 = 2 + 3i и z2 = 2i имеетвид

а) z2 − (6− 4i)z + 2 + 5i = 0 ,

б) z2 + 2iz + 2 + 3i = 0 ,

в) z2 − (2 + 5i)z − 6 + 4i = 0 .

7. Формула Эйлера для eiϕ

а) cos ϕ− i sinϕ ,

б) cos iϕ + sin iϕ ,

в) cos ϕ + i sinϕ .

8. Формула Муавра (cos ϕ + i sinϕ)n

а) cosn ϕ + i sinn ϕ ,

б) n cos ϕ + in sinϕ ,

в) cos nϕ + i sinnϕ .

9. Уравнение кривой |z − 1| = 2 в координатах (x, y) имеет вид

а) (x− 1)2 + (y − 1)2 = 4 ,

б) x2 + y2 = 2 ,

в) (x− 1)2 + y2 = 4 .

10. При z = x + iy выражение Re (z2 − z) равно

а) x2 − y2 − xy ,

б) x2 + y2 − x + y ,

в) x2 − y2 − x .

11. Выражение sin z через экспоненту имеет вид

а) sin z =ez − e−z

2i,

б) sin z =eiz + e−iz

2,

в) sin z =eiz − e−iz

2i.

93

Page 94: neki zadaci iz kemije

12. Прямая y = kx при отображении f(z) = iz

а) сдвинется на величину k по оси y ,

б) останется на месте,

в) повернется на угол 90 против часовой стрелки.

13. Необходимое и достаточное условие дифференцируемостифункции u + iv

а)∂u

∂x=

∂v

∂x,

∂u

∂y= −∂v

∂y,

б)∂u

∂x= −∂v

∂y,

∂u

∂y=

∂v

∂x,

в)∂u

∂x=

∂v

∂y,

∂u

∂y= −∂v

∂x.

14. Геометрический смысл модуля производной |f ′(z)|а) угол поворота при отображении f(z) ,

б) площадь образа при отображении f(z) ,

в) коэффициент растяжения или сжатия при отображе-нии f(z) .

15. Мнимая часть ln z равна

а) arg z + 2kπ ,

б) iarg z ,

в) arg z .

16. Выражение tg z через экспоненту имеет вид

а) tg z =eiz − e−iz

(eiz + e−iz)i,

б) tg z =eiz + e−iz

(eiz − e−iz)i,

в) tg z =eiz − e−iz

(eiz + e−iz).

94

Page 95: neki zadaci iz kemije

17. Выражение w для функции w =2iz − 3z + 4i

имеет вид

а) w =−2iz − 3z − 4i

,

б) w =2iz + 3z − 4i

,

в) w =−2iz − 3z − 4i

.

18. Дробно-линейное отображение, удовлетворяющее условиямw(0) = 0 , w(i− 1) = ∞ , w(−1) = i имеет вид

а) w = − z

z + 1− i,

б) w =z

z + 1− i,

в) w = − 2z

z + 1− i.

19. Прямая x+y = 1 при помощи функции w = −z2 отобразитсяна плоскости w

а) в параболу v =12(u2 − 1) ,

б) в параболу v =12(u2 + 1) ,

в) в параболу v = u2 − 1 .

20. Линейное преобразование с неподвижной точкой 1+2i , пере-водящее точку i в точку −i имеет вид

а) w = (2 + i)z + 1− 3i ,

б) w = (2− i)z + 1− 3i ,

в) w = (2 + i)z + 1 + 3i .

95

Page 96: neki zadaci iz kemije

21. Интегралi∫

−i

|z| dz вдоль полуокружности |z| = 1 , Re z ≥ 0

равена) 2i ,б) 3i ,в) 4i .

22. Интеграл1+i∫0

z dz равен

а) 2i ,б) −i ,в) i .

23. Интегральная формула Коши, выражающая значения функ-ции f(z) в области через значения функции f(z) на границеL области, имеет вид

а) f(z) = 2πi

∮L

f(ξ) dξ

ξ − z,

б) f(z) =n!2πi

∮L

f(ξ) dξ

z − ξ,

в) f(z) =1

2πi

∮L

f(ξ) dξ

ξ − z.

24. Ряд для функции1

1− zимеет вид

а)∞∑

n=1

zn(−1)n ,

б)∞∑

n=1

z−n ,

в)∞∑

n=0

zn .

96

Page 97: neki zadaci iz kemije

25. Формула для определения радиуса сходимости ряда∞∑

n=0

cnzn

а) R = limn→∞

cn

cn+1,

б) R = limn→∞

∣∣∣∣cn+1

cn

∣∣∣∣ ,в) R = lim

n→∞

∣∣∣∣ cn

cn+1

∣∣∣∣ .26. Радиус сходимости ряда

∞∑n=1

nzn

2nравен

а) 2n ,

б) 2n ,

в) 2 .

27. Круг сходимости ряда∞∑

n=0

(z + i)n

1 + in

а) |z + i| < 1 ,

б) |z + i| < 2 ,

в) |z + i| < 3 .

28. Ряд Тейлора для функцииz∫

0

sin z

zdz имеет вид

а)∞∑

n=0

(−1)n z2n+1

(2n + 1)!(2n + 1),

б)∞∑

n=0

z2n

(2n + 1)!(2n + 1),

в)∞∑

n=0

(−1)n z2n

(2n + 1)!(2n + 1).

97

Page 98: neki zadaci iz kemije

29. Тип конечных особых точек функции f(z) =sin z

(z − π)2

а) z = π — полюс первого порядка,

б) z = 0 — полюс первого порядка,

в) z = −π — полюс второго порядка.

30. Особые точки функцииz + 2

z(z − 1)3имеют тип

а) z = 0 — существенно особая точка, z = 1 — полюс 3 по-рядка,

б) z = 0 — устранимая особая точка, z = 1 — простой полюс,

в) z = 0 — полюс 1 порядка, z = 1 — полюс 3 порядка.

31. Бесконечно удаленная точка функции e−z cos1z

имеет тип

а) z = ∞ — существенно особая точка,

б) z = ∞ — устранимая особая точка,

в) z = ∞ — полюс первого порядка.

32. Вычет функции

а) показатель степени z в ряде Лорана функции,

б) коэффициент a−1 ряда Лорана функции, взятый со знаком“−”, т.е. −a−1 ,

в) коэффициент a−1 ряда Лорана функции.

33. Вычет функции1

1− cos zв точке z = 0

а) z = 0 — полюс 2 порядка, Res f(0) = 0 ,

б) z = 0 — полюс 2 порядка, Res f(0) = 1 ,

в) z = 0 — полюс 1 порядка, Res f(0) = 0 .

98

Page 99: neki zadaci iz kemije

34. Интеграл∮

|z|=1.1

z5 + z3

z4 + 1dz равен

а) 2πi ,

б) 3πi ,

в) −2πi .

35. Интеграл по замкнутому контуру∮

|z|=1.5

z3

z4 + 2dz при поло-

жительном направлении обхода равен

а) 2πi ,

б) −2πi ,

в) −1 .

99

Page 100: neki zadaci iz kemije

ЛИТЕРАТУРА

1. Алешков Ю.3. Лекции по теории функций комплексного пе-ременного. –– СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1999. С. 196.

2. Алешков Ю.3., Смышляев П.П. Теория функций комплекс-ного переменного и ее приложения. –– Л.: Изд-во Ленингр.ун-та, 1986. С. 248.

3. Бицадце А.В. Основы теории аналитических функций ком-плексного переменного. –– М.: Наука, 1984. C. 320.

4. Евграфов М.А. Аналитические функции. — М.: Наука, 1965.С. 424.

5. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию ана-литических функций. –– М.: Просвещение, 1977. С. 320.

6. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функ-ций. — М.: ГИТТЛ, 1957. С. 335.

7. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплекснойпеременной. –– М.: Наука, 1967. С. 304.

100

Page 101: neki zadaci iz kemije

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1. Комплексные числа и действия над ними . . . . 3§ 1. Алгебраическая форма комплексного числа . . . . . . . . . . . . . 3§ 2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел . . . . . . 5§ 3. Тригонометрическая и показательная формы комплек-

сных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7§ 4. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в

тригонометрической или показательной формах . . . . . . . . 8§ 5. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного

числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9§ 6. Расширенная комплексная плоскость. Сфера Римана . . . . 11§ 7. Вопросы для повторения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Глава 2. Функции комплексного переменного . . . . . . . . . 14§ 1. Определение функции комплексного переменного. Предел

и непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14§ 2. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17§ 3. Аналитические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20§ 4. Связь аналитических функций с гармоническими . . . . . . . 22§ 5. Восстановление аналитической функции по ее веществен-

ной или мнимой части . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24§ 6. Вопросы для повторения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Глава 3. Конформные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26§ 1. Геометрический смысл аргумента и модуля производной

функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26§ 2. Конформные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26§ 3. Линейная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30§ 4. Дробно-линейная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30§ 5. Целая степенная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33§ 6. Радикал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35§ 7. Показательная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

101

Page 102: neki zadaci iz kemije

§ 8. Логарифмическая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38§ 9. Функция Жуковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39§10. Разбор нескольких примеров построения отображений . . 45§11. Вопросы для повторения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Глава 4. Интегрирование функций комплексного пе-

ременного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50§ 1. Определение интеграла от функции комплексного пере-

менного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50§ 2. Интегральная теорема Коши и ее следствия . . . . . . . . . . . . 51§ 3. Теорема о первообразной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53§ 4. Интегральная формула Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54§ 5. Производные высших порядков от функций комплексного

переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57§ 6. Принцип максимума модуля аналитической функции . . . 58§ 7. Неравенство Коши и теорема Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . 59§ 8. Теорема Морера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60§ 9. Понятие аналитического продолжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60§10. Вопросы для повторения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Глава 5. Представление аналитических функций ря-

дами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62§ 1. Разложение аналитических функций в степенные ряды . . 62§ 2. Теорема о разложении функции в ряд Тейлора . . . . . . . . . . 63§ 3. Примеры построения аналитического продолжения с по-

мощью степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66§ 4. Ряд Лорана. Теорема Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68§ 5. Изолированные особые точки, их классификация с помо-

щью ряда Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74§ 6. Разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно уда-

ленной точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76§ 7. Вопросы для повторения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Глава 6. Вычеты функций и их применение . . . . . . . . . . . 79§ 1. Вычет функции относительно изолированной особой точ-

ки. Основная теорема о вычетах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

102

Page 103: neki zadaci iz kemije

§ 2. Вычисление вычетов в конечных особых точках . . . . . . . . . 80§ 3. Вычисление определенных интегралов с помощью выче-

тов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83§ 4. Несобственные интегралы от вещественной переменной . 86§ 5. Вычисление интегралов на основе теоремы Коши . . . . . . . 88§ 6. Вопросы для повторения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Тестирование по пройденному материалу . . . . . . . . . . . . . . 92Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

103